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UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIENCIAS TECNOLOGICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA - DMAT
APOSTILA DE EQUACOES DIFERENCIAIS
JONES CORSO
Joinville - 2017
ii
Sumario
1 INTRODUCAO 1
1.1 Nocoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Solucao particular e solucao geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno . . . . . . . . . . . 7
2 EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 11
2.1 Equacoes com variaveis separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Equacoes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Equacao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Equacao de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Aplicacoes das ED de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.1 Problemas de variacao de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.2 Equacao do movimento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.3 Circuitos em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 23
3.1 EDL: Teoria das solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Dependencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 Solucoes linearmente independentes. O Wronskiano . . . . . . . . . 24iii
3.2 A equacao caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Solucao geral - sistema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Solucao em termos das raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Equacoes lineares nao homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Resolucao de equacoes lineares nao homogeneas . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Metodo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Aplicacao fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 EQUACOES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n 37
4.1 Equacoes de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Equacoes de ordem superior usando coeficientes a determinar . . . . . . . . 39
4.3 Equacao de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 SERIES NUMERICAS 43
5.1 Metodo de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 O metodo da Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Solucao em Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Equacao de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Funcoes de Bessel de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Equacao de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 53
6.1 Definicao da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.1 Metodo do complemento do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.2 Metodo das fracoes parciais (FP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.3 Funcao Degrau Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.4 Funcao impulso unitario ou funcao delta de Dirac . . . . . . . . . . 60
6.3.5 Convolucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Resolucao, pela TL, de EDL com coeficientes constantes . . . . . . . . . . 62
6.4.1 Transformadas de Laplace de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.2 Solucao do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62iv
7 SISTEMA DE EQUACOES LINEARES 65
7.1 Reducao de equacoes diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem 65
7.2 Calculo de eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2.1 Uso da Transformada de Laplace para o Calculo de eAt . . . . . . . 70
7.3 Resolucao de sist. lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 71
8 FORMULAS 73
Referencias Bibliograficas 76
v
vi
Capıtulo 1
INTRODUCAO
1.1 Nocoes elementares
Uma equacao da forma F(x, y, y′, y”, ..., y(n)
)= 0, onde a incognita x e uma funcao de
uma variavel, chama-se equacao diferencial ordinaria. Muitas leis gerais da Fısica, Biologia
e Economia encontram sua espressao natural nestas equacoes. Por outro lado, inumeras
questoes na propria matematica (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no
Calculo de Variacoes) sao formuladas por equacoes diferenciais ordinarias ou se reduzem
a elas.
O estudo das equacoes diferenciais comecou com os metodos do Calculo Diferencial e
Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no ultimo quarto do seculo XVII
para resolver problemas motivados por consideracoes fısicas e geometricas. Esses metodos,
na sua evolucao, conduziram gradualmente a consolidacao das Equacoes diferenciais como
um novo ramo da matematica, que em meados do seculo XVIII se transformou numa
disciplina independente.
Neste estagio, a procura e analise de solucoes tornou-se uma finalidade propria.
Tambem nesta epoca ficaram conhecidos os metodos elementares de resolucao (integracao)
de varios tipos especiais de equacoes diferenciais, tais como as de variaveis separaveis
(x′ = f (x) g (t)), as lineares (x′ = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x′ = p (t)x + q (t)xn),
as de Clairaut (f (x′) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a0 (t) + a1 (t)x+ a2 (t)x2).
A natureza daquilo que era considerado solucao foi mudando gradualmente, num pro-
cesso que acompanhou e, as vezes, propiciou o desenvolvimento do proprio conceito de
funcao. Inicialmente buscavam-se solucoes expressas em termos de funcoes elementares,
isto e, polinomiais, racionais, trigonometricas e exponenciais. Posteriormente passou-se
2 1.1. Nocoes elementares
a considerar satisfatorio expressar a solucao na forma de uma integral (quadratura) con-
tendo operacoes elementares envolvendo estas funcoes, ainda que a mesma nao admitisse
uma expressao em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os
problemas focalizados, surgiram as solucoes expressas por meio de series infinitas (ainda
sem a preocupacao com a analise da convergencia das mesmas).
Em fins do seculo XVIII a Teoria das Equacoes Diferenciais se transformou numa
das disciplinas matematicas mais importantes e o metodo mais efetivo para a pesquisa
cientıfica. As contribuicoes de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente
o conhecimento dentro do Calculo das Variacoes, Mecanica Celeste, Teoria das Oscilacoes,
Elasticidade, Dinamica de Fluidos, etc. Nesta epoca iniciou-se tambem a descoberta das
relacoes das equacoes diferenciais com as funcoes de variavel complexa, series de potencias
e trigonometricas e funcoes especiais (conhecidas posteriormente como de Bessel, etc.). O
grau que o conhecimento matematico atingiu nesta primeira fase ficou registrado na obra
de Euler ”Institutiones Calculi Integralis”em quatro volumes, o ultimo deles publicado
em 1794.
No seculo XIX os fundamentos da Analise Matematica experimentaram uma revisao
e reformulacao gerais visando maior rigor e exatidao. Assim, os conceitos de limite, de-
rivada, convergencia de series numericas e series de funcoes e outros processos infinitos
foram definidos em termos aritmeticos. A integral, que no seculo anterior era concebida
como primitiva, foi definida como limite de uma sequencia de somas. Este movimento
de fundamentacao nao deixou de atingir as equacoes diferenciais. Enquanto no seculo
anterior procurava-se uma solucao geral para uma dada equacao diferencial, passou-se a
considerar como questao previa em cada problema a existencia e unicidade de solucoes
satisfazendo dados iniciais (este e o problema de Cauchy). Tomava-se entao uma classe
ampla de equacoes diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existencia e
unicidade das solucoes estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas solucoes a
partir de caracterısticas das funcoes que definiam a equacao diferencial. Por outro lado, o
metodo de separacao de variaveis aplicado a certas equacoes diferenciais parciais conduziu
a equacoes ordinarias que nao admitem solucoes em termos de funcoes elementares conhe-
cidadas, como e o caso das equacoes de Sturm-Liouville e das equacoes de Fuchs (lineares
com coeficientes analıticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primei-
ras fornecem um exemplo caracterıstico de um problema linear de contorno, enquanto que
as equacoes Fuchsianas sistematizam varios tipos de equacoes especiais surgidas original-
1.1. Nocoes elementares 3
mente no seculo XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas tambem por Gauss
e Riemann. Incluem equacoes de relevancia da Fısica-Matematica, como as de Bessel, de
Legendre e de Gauss (ou hipergeometrica).
Um marco de referencia fundamental na evolucao das equacoes diferenciais e o trabalho
de Poincare ”Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle”(1881) no
qual sao lancadas as bases da Teoria Qualitativa das Equacoes Diferenciais. Esta teoria
visa a descricao da configuracao global das solucoes e o efeito de pequenas perturbacoes
das condicoes iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande
importancia na tecnologia contemporanea, teve sua origem em questoes de Mecanica
Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma
pequena perturbacao na posicao e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma orbita
que se afasta ou converge para a orbita original. O problema geral da estabilidade foi
simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincare, e considerado
fundador da Teoria Qualitativa das Equacoes Diferenciais.
Outro aspecto da Teoria Qualitativa, tambem estudado por Poincare, visa descrever
o comportamento assintotico das solucoes e a estrutura de seus conjuntos limites. O
comportamento assintotico de uma solucao se obtem quando se faz a variavel independente
(tempo) tender para infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equilıbrio, uma
solucao periodica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincare-Bendixson,
responde a este tipo de questoes no plano e em superfıcies bidimensionais, respectivamente.
O estudo de oscilacoes nao lineares de fenomenos eletricos realizado no primeiro quarto
do seculo passado conduziu a equacoes especiais de segunda ordem tais como as de Van
der Pol e Lienard.
A introducao do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937)
e os trabalhos de Peixoto (1958-62) relativos a caracterizacao, abertura e densidade das
equacoes diferenciais estruturalmente estaveis em superfıcies constituem um marco fun-
damental para o desenvolvimento contemporaneo das equacoes diferenciais. Trata-se de
determinar as condicoes necessarias e suficientes para que o retrato de fase de uma equacao
diferencial nao experimente mudancas qualitativas bruscas por pequenas perturbacoes das
funcoes que as definem.
Ao estudar um fenomeno variavel, expresso por uma funcao y = f (x), e comum
acharmos uma lei que o governe dada por uma relacao entre a variavel independente, a
funcao e suas derivadas ou diferenciais.
4 1.3. Nomenclatura usual para classificar ED
Definicao 1.1 Chama-se equacao diferencial a uma equacao F(x, y, y′, y”, ..., y(n)
)= 0
que estabelece uma relacao entre a variavel independente x, a funcao incognita y e suas
derivadas y′, y”, . . . , y(n), se y = f(x) e a funcao de uma so variavel independente x a
equacao diferencial diz-se ordinaria.
Um exemplo simples e dado por uma relacao do tipo dydx
− 1 = 0. Procura-se entao
uma funcao y = f(x) que satisfaca a equacao, e que no caso e facil ver que se trata de
f(x) = x, ou tambem f(x) = x + c, onde c e uma constante qualquer. Ve-se entao que
a equacao dada define uma famılia de curvas no plano, que sao retas todas paralelas, de
declividade 1.
1.2 Notacao
Usam-se frequentemente os sımbolos y′, y′′, y′′′, y(4), ..., y(n) para representar as derivadas
de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., enesima de y em relacao
a variavel independente x. Assim, y” representa d2ydx2 se a variavel independente e x, mas
representa d2ydp2
se a variavel independente e p. Se a variavel independente e o tempo,
usualmente denotada por t, e comum substituırem-se as linhas por pontos. Assim, y,··y e
···y representam dy
dt, d2y
dt2e d3y
dt3, respectivamente.
Observe-se o uso dos parenteses em y(n) para distinguir da potencia yn.
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED
Uma equacao diferencial ordinaria de ordem n e uma igualdade que relaciona a variavel
independente a n-esima derivada (e em geral tambem as derivadas de ordem inferior)
da variavel dependente. Assim como ha equacoes algebricas de varios graus, tambem ha
equacoes diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de
derivada que comparece na equacao. Por exemplo, a equacao dada acima e de 1a ordem,
enquanto a equacao y” + y = 0 e de 2a ordem. Neste exemplo, ve-se que y = sinx e uma
solucao, pois y′ = cos x e y′′ = − sinx, e portanto y′′ + y = 0. Aqui outras solucoes sao
y = c sinx, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x+ c nao e solucao.
Chama-se grau da equacao diferencial o expoente mais elevado com que comparece a
derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas sao de
1o grau, enquanto a equacao yy′′2 − y′3 = yy′
1+xe de 2o grau e de 2a ordem.
1.3. Nomenclatura usual para classificar ED 5
Uma equacao diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como
por exemplo ∂z∂x
+ ∂z∂y
= 0.
Como outro exemplo consideremos a equacao ∂z∂x
= 2x.
Analisemos as seguintes equacoes diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada
uma:
Exemplo 1 dydx
= 5x+ 3
Exemplo 2 ey d2ydx2 + 2
(dydx
)2= 1
Exemplo 3 4 d3ydx3 + (sin x) d2y
dx2 + 5xy = 0
Exemplo 4(
d4ydx4
)3
+ 3y(
d2ydx2
)7
+ y3(dydx
)2= 5x
Exemplo 5 ∂2y∂t2
− 4∂2y∂x2 = 0
Observacao 1 Uma equacao diferencial e chamada ordinaria (E.D.O.) se a funcao
incognita depende de apenas uma variavel independente. Se a funcao incognita depende
de mais de uma variavel independente, temos uma equacao diferencial parcial (E.D.P.),
ou equacao de derivadas parciais.
Determine, para cada uma das seguintes equacoes diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se
possıvel), (c) funcao incognita (FI), (d) variavel independente (VI).
Exercıcio 1.1 y′′′ − 5xy′ = ex + 1
Exercıcio 1.2 ty′′ + t2y′ − (sin t)√y = t2 − t+ 1
Exercıcio 1.3 s2 d2tds2
+ st dtds
= s
Exercıcio 1.4 5(
d4bdp4
)5
+ 7(
dbdp
)10
+ b3 − b5 = p
Exercıcio 1.5 (y′′)2 − 3yy′ + xy = 0
Exercıcio 1.6 dnxdyn
= y2 + 1
6 1.5. Solucoes
1.4 Equacoes diferenciais lineares
Uma E.D.O. de ordem n na funcao incognita y e na variavel independente x e linear se
tem a forma
bn(x)dny
dxn+ bn−1(x)
dn−1y
dxn−1+ · · ·+ b1(x)
dy
dx+ b0(x)y = g(x) (1.1)
As funcoes bj(x)(j = 0, 1, 2, ..., n)e g(x) supoem-se conhecidas e dependem apenas da
variavel independente x. As combinacoes atitivas podem ter multiplicadores (coeficientes)
que dependem de x; nenhuma restricao e feita sobre a natureza dessa dependencia em x.
As equacoes diferenciais que nao podem ser postas sob a forma da equacao (1.1) dizem-se
nao-lineares.
Ou seja, uma equacao diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo
a variavel dependente e suas derivadas ate ordem n sao de 1o grau com relacao a esta
variavel. Por exemplo, y′′ +xy′+ y = sin x e linear de 2a ordem, enquanto y′′ + yy′+ y =
sinx e nao linear, devido ao termo yy′.
1.5 Solucoes
Introducao
O estudo de equacoes diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equacao
diferencial que descreve uma situacao fısica especıfica e, achar a solucao apropriada dessa
equacao.
Em algebra tipicamente procuramos numeros desconhecidos que satisfazem uma
equacao como x3 + 7x2 − 11x + 41 = 0. No caso de uma equacao diferencial, por ou-
tro lado, somos desafiados a encontrar funcoes desconhecidas y = f(x) para as quais
uma identidade como y′(x) = 2xy(x) - isto e, a equacao diferencial dydx
= 2xy - vale em
algum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se possıvel, todas as solucoes
da equacao diferencial.
Uma solucao de uma equacao diferencial na funcao incognita y e na variavel indepen-
dente x, no intervalo I, e uma funcao y(x) que verifica identicamente a equacao para todo
x em I.
Exemplo 6 Determine se y = x2 − 1 e uma solucao de (y′)4 + y2 = −1.
1.5. Solucoes 7
Exemplo 7 Mostre que, para qualquer escolha das constantes c1 e c2, a funcao ϕ(x) =
c1e−x + c2e
2x e uma solucao explicita para a equacao linear y′′ − y′ − 2y = 0.
Exemplo 8 Demonstrar que a funcao dada sob a forma parametrica y (x) = x = a sin t
y = b cos te a solucao da equacao diferencial y′ = − b2x
a2y.
Exemplo 9 Demonstrar que a funcao implıcita (1 + y3)2
= (1 + x2)3e solucao da
equacao diferencial y′ =x(1+y3)y2(1+x2)
.
Exemplo 10 Mostre que x + y + exy = 0 e uma solucao implicita para a equacao nao
linear (1 + xexy dydx
+ 1 + yexy = 0.
Exemplo 11 Determinar a equacao diferencial da famılia de curvas c1x+(y − c2)2 = 0.
1.5.1 Solucao particular e solucao geral
Uma solucao particular de uma equacao diferencial e qualquer solucao da mesma. A
solucao geral da equacao diferencial e o conjunto de todas as suas solucoes.
A solucao geral da equacao diferencial y” + 4y = 0 e y(x) = c1 sin 2x+ c2 cos 2x. Isto
e, toda solucao particular da referida equacao tem esta forma geral. Algumas solucoes
particulares sao:
(a) y = 5 sin 2x− 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 = −3)
(b) y = sin 2x (com c1 = 1 e c2 = 0), e
(c) y ≡ 0 (com c1 = c2 = 0).
A solucao geral de uma equacao diferencial nem sempre pode ser expressa mediante
uma formula unica. Como exemplo, consideremos a equacao diferencial y′ + y2 = 0, que
admite duas solucoes y = 1/x e y ≡ 0.
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno
Um problema de valor inicial consiste em uma equacao diferencial, juntamente com
condicoes subsidiarias relativas a funcao incognita e suas derivadas - tudo dado para
um mesmo valor da variavel independente. As condicoes subsidiarias sao condicoes inici-
ais se as condicoes subsidiarias se referem a mais de um valor da variavel independente,
8 1.5. Solucoes
o problema e um problema de valores de contorno, e as condicoes dizem-se condicoes de
contorno.
Uma solucao de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, e uma funcao
y(x) que satisfaz nao so a equacao diferencial dada, mas tambem todas as condicoes
subsidiarias.
Exemplo 12 Determine se y(x) = 2e−x + xe−x e solucao de y′′ + 2y′ + y = 0.
Exemplo 13 y(x) ≡ 1 e solucao de y′′ + 2y′ + y = x?
Exemplo 14 Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x + 1 satisfaca
y(π/8) = 0 e y′(π/8) =√2 .
Nos problemas, determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin x + c2 cosx satisfaca as
condicoes dadas. Determine se tais condicoes sao iniciais ou de contorno.
Exercıcio 1.7 y(0) = 1, y′(0) = 2 sol. c1 = 2 e c2 = 1
Exercıcio 1.8 y(0) = 1, y′(π) = 1 sol. c1 = −1 e c2 = 1
Exercıcio 1.9 y(π/2) = 1, y′(π/2) = 2 sol. c1 = 1 e c2 = −2
Nos problemas a seguir, determine c1 e c2 de modo que as funcoes dadas satisfacam
as condicoes inicias prescritas.
Exercıcio 1.10 y(x) = c1ex + c2e
−x + 4 sin x; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol. c1 = −2 e
c2 = 3
Exercıcio 1.11 y(x) = c1ex+ c2e
2x+3e3x; y(0) = 0, y′(0) = 0 sol. c1 = 3 e c2 = −6
Exercıcio 1.12 y(x) = c1 sinx + c2 cos x + 1; y(π) = 0, y′(π) = 0 sol. c1 = 0 e
c2 = 1
Exercıcio 1.13 y(x) = c1ex + c2xe
x + x2ex; y(1) = 1, y′(1) = −1 sol. c1 = 1 + 3ee
c2 = −2− 2e
Exercıcio 1.14 Demonstrar que a funcao y = e−5x+c e a solucao da equacao diferencial
y′′ + 5y′ = 0.
1.5. Solucoes 9
Exercıcio 1.15 Mostrar que a funcao implıcita y(x), x2 + 4xy − y2 = 1 e a solucao da
equacao diferencial (x+ 2y) dx+ (2x− y) dy = 0.
Exercıcio 1.16 Verificar se as funcoes: a) y = −e−x; b) y = xe−x e y = 5e−3x , sao
as solucoes da equacao diferencial y′′ − 2y′ − 3y = 0. sol. a) sim, b) nao, c) sim
Exercıcio 1.17 Determinar as equacoes diferenciais das famılias de curvas: a) y = ecx
e b) y = cx3. sol. a) xy′ − y ln y = 0. b) xy′ − 3y = 0.
Exercıcio 1.18 Determinar a equacao diferencial y = (c1 + c2x) ex + c2. sol.
(ex − 1) y′′ + (1− 2ex) y′ + exy = 0.
Exercıcio 1.19 Determinar a equacao diferencial y = c1e2x+c2e
3x. sol. y′′−5y′+6y =
0.
10 1.5. Solucoes
Capıtulo 2
EQUACOES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM
A forma normal de uma equacao diferencial de primeira ordem e M(x, y)dx+N(x, y)dy =
0, onde M(x, y)dx e N(x, y)dy sao as funcoes de x e y.
A solucao geral da equacao diferencial de primeira ordem chama-se a funcao y =
φ(x, c), que e a solucao desta equacao para todos os valores da constante arbitraria. A
solucao obtida da solucao geral y = φ(x, c) para um valor determinado da constante
arbitraria, chama-se solucao particular. O grafico da solucao particular da equacao dife-
rencial chama-se curva integral da equacao diferencial. E a interpretacao geometrica da
solucao geral y = φ(x, c) e a famılia das curvas integrais.
2.1 Equacoes com variaveis separaveis
Muitas equacoes diferenciais de primeira ordem, Linear ou nao, podem ser reduzidas por
manipulacoes algebricas a forma:
h(y)y′ = g(x) → y′ =dy
dx(2.1)
h(y)dy = g(x)dx (2.2)
A equacao (2.2) e chamada equacao de variaveis separaveis, ou equacao separavel,
porque as variaveis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece
unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando
12 2.1. Equacoes com variaveis separaveis
ambos os membros de (2.2), obtemos:∫h(y)dy =
∫g(x)dx+ c
Exemplo 15 Seja as equacoes: dydx
= y2xe3x+4y e dydx
= y + sin x.
Exemplo 16 Seja, y′ = −2xy, resolva pelo metodo das equacoes separaveis.
Exemplo 17 Seja, y′ = 1 + y2, resolva pelo metodo das equacoes separaveis.
Exemplo 18 Seja, dydx
= y2 − 4, resolva pelo metodo das equacoes separaveis.
Exemplo 19 Resolver o problema de valor inicial y′ = 3x2+4x+22(y−1)
, y(0) = −1.
Resolver pelo metodo das equacoes separaveis :
Exercıcio 2.1 y′ = x2
ysol. y = ±
√23x3 + c
Exercıcio 2.2 y′ = x2
y(1+x3)sol. y = ±
√23ln |1 + x3|+ c
Exercıcio 2.3 y′ + y2 sinx = 0 sol. y = c− 1cosx
Exercıcio 2.4 y′ = 1 + x+ y2 + xy2 sol. y = tan(x+ x2
2+ c
)Exercıcio 2.5 y′ = (cos2 x).(cos2 2y) sol. y = 1
2arctan
(12sin 2x+ x+ c
)Exercıcio 2.6 xy′ = (1− y2)1/2 sol. y = sin (ln |x|+ c)
Exercıcio 2.7 dydx
= x−e−x
y+eysol. y = ±
√x2 + 2 (−ey + e−x) + c
Determine a solucao do problema de valor inicial dado, em forma explıcita.
Exercıcio 2.8 xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1 sol. y2 = 2ex (1− x) + c → c = −1 → y =
[2ex (1− x)− 1]12
Exercıcio 2.9 y′ = 2x(y+x2y)
, y(0) = −2 sol. y2
2= ln |1 + x2| + c → c = 2 → y =
[2 (ln |1 + x2|+ 2)]12
Exercıcio 2.10 y′ = xy3(1 + x2)−1/2, y(0) = 1 sol. − 12y2
= (1 + x2)12 + c →
c = −32→ y =
[3− 2
√1 + x2
]− 12
Exercıcio 2.11 y′ = 2x1+2y
, y(2) = 0 sol. y + y2 = x2 + c → c = −4 → y =
−12+ 1
2
√4x2 − 15
2.2. Equacoes Homogeneas 13
2.2 Equacoes Homogeneas
Iniciemos com a definicao de equacoes homogeneas
Definicao 2.1 Se o lado direito da equacao
dy
dx= f(x, y) (2.3)
puder ser expresso como uma funcao da razao y/x somente, entao dizemos que a
equacao e homogenea.
Um teste para a homogeneidade da Equacao (2.3) e dada pela seguinte definicao:
Definicao 2.2 Se uma funcao f satisfaz f(tx, ty) = tnf(x, y) para algum numero real
n, entao dizemos que f e uma funcao homogenea de grau n.
Exemplo 20 f(x, y) = x2 − 3xy + 5y2
Exemplo 21 f(x, y) = 3√x2 + y2
Exemplo 22 f(x, y) = x3 + y3 + 1
Exemplo 23 f(x, y) = x2y
+ 4
Se f(x, y) for uma funcao homogenea de grau n, podemos escrever
f(x, y) = xnf(1,
y
x
)e f(x, y) = ynf
(x
y, 1
)(2.4)
em que f(1, yx) e f(x
y, 1) sao ambas homogeneas de grau zero.
Definicao 2.3 Uma equacao diferencial da forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.5)
e chamada de homogenea se ambos os coeficientes M e N sao funcoes homogeneas de
mesmo grau.
14 2.3. Equacoes Exatas
Em outras palavras, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e homogenea se M(tx, ty) =
tnM(x, y) e N(tx, ty) = tnN(x, y).
Metodo de Solucao
Uma equacao diferencial homogenea M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pode ser resolvida
por meio de uma substituicao algebrica. Especificamente, a substituicao y = ux ou
x = vy, em que u e v sao as novas variaveis independentes, transformara a equacao em
uma equacao diferencial de primeira ordem separavel. Seja y = ux; entao, sua diferencial
dy = udx+ xdu. Substituindo em (2.5), temos M(x, ux)dx+N(x, ux)[udx+ xdu] = 0.
Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.4), podemos escrever
xnM(1, u)dx+ xnN(1, u)[udx+ xdu] = 0 ou
[M(1, u) + uN(1, u)]dx+ xN(1, u)du = 0, assim
dxx+ N(1,u)du
M(1,u)+uN(1,u)= 0.
Exemplo 24 Resolva (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0
Exemplo 25 Resolva o problema de valor inicial x dydx
= y + xey/x, y(1) = 1.
Resolva as equacoes :
Exercıcio 2.12 2x3ydx+ (x4 + y4)dy = 0
Exercıcio 2.13 (y2 + xy)dx+ x2dy = 0
Exercıcio 2.14 (x2 + 2y2)dx = xydy para y(−1) = 1
Exercıcio 2.15 2x2 dydx
= 3xy + y2 para y(1) = −2
2.3 Equacoes Exatas
Definicao 2.4 Uma expressao diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy e uma diferencial
exata em uma regiao R do plano xy se ela corresponde a diferencial total de alguma funcao
f(x, y). Uma equacao diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e chamada de
uma equacao exata se a expressao do lado esquerdo e uma diferencial exata.
Exemplo 26 A equacao x2y3dx+x3y2dy = 0 e exata, pois d(13x3y3
)= x2y3dx+x3y2dy.
O teorema seguinte e um teste para uma diferencial exata.
2.3. Equacoes Exatas 15
Teorema 2.1 Sejam M(x, y)dx e N(x, y)dy funcoes contınuas com derivadas parciais
contınuas em uma regiao retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Entao, uma
condicao necessaria e suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma diferencial
exata e∂M
∂y=
∂N
∂x. (2.6)
Metodo de solucao
Dada a equacao (2.5) mostre primeiro que ∂M∂y
= ∂N∂x
.
Depois suponha que ∂f∂x
= M(x, y) daı podemos encontrar f integrando M(x, y) com
relacao a x, considerando y constante. Escrevemos,
f(x, y) =
∫M(x, y)dx+ g(y), (2.7)
em que a funcao arbitraria g(y) e a constante de integracao. Agora, derivando (2.7) com
relacao a y e supondo ∂f/∂y = N(x, y):
∂f∂y
= ∂∂y
∫M(x, y)dx+ g′(y) = N(x, y).
Assim,
g′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
∫M(x, y)dx. (2.8)
Finalmente, integre (2.8) com relacao a y e substitua o resultado em (2.7). A solucao
e f(x, y) = c.
Exemplo 27 Resolva 2xydx+ (x2 − 1)dy = 0.
Exemplo 28 Resolva (e2y − y cos xy)dx+ (2xe2y − x cosxy + 2y)dy = 0.
Exemplo 29 Resolva o problema de valor inicial (cosx sinx− xy2) dx+y(1−x2)dy = 0,
y(0) = 2.
Verifique se a equacao dada e exata. Se for, resolva.
Exercıcio 2.16 (5x+ 4y) dx+ (4x− 8y3) dy = 0 sol. 52x2 + 4xy − 2y4 = c
Exercıcio 2.17 (2y2x− 3) dx+ (2yx2 + 4) dy = 0 sol. x2y2 − 3x+ 4y = c
Exercıcio 2.18 (y3 − y2 sinx− x) dx + (3xy2 + 2y cos x) dy = 0 sol. xy3 + y2 cos x −12x2 = c
16 2.4. Fator integrante
Exercıcio 2.19 (y ln y − e−xy) dx+(
1y+ x ln y
)dy = 0 sol. nao exata.
Exercıcio 2.20 x dydx
= 2xex − y + 6x2 sol. xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c
Resolva a equacao diferencial dada sujeita a condicao incial indicada.
Exercıcio 2.21 (x+ y)2 dx+(2xy + x2 − 1) dy = 0, y (1) = 1 sol. 13x3+x2y+xy2−y =
43
Exercıcio 2.22 (y2 cos x− 3x2y − 2x) dx+(2y sin x− x3 + ln y) dy = 0, y (0) = e sol.
y2 sinx− x3y − x2 + y ln |y| − y = 0
2.4 Fator integrante
Em geral, a equacao diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.9)
nao e exata, mas a equacao
µ(x, y)M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0,
que resulta da multiplicacao da Equacao (2.9) pela funcao µ(x, y), for exata, entao µ(x, y)
e chamado de fator integrante da Equacao (2.9).
Exemplo 30 A equacao ydx− xdy = 0 nao e exata, pois ∂M∂y
= 1 e ∂N∂x
= −1.
Definicao 2.5
Uma funcao I(x, y) e um fator integrante de (2.9) se a equacao
I(x, y)[M(x, y)dx+N(x, y)dy] = 0 (2.10)
e exata.
Considerando a equacaody
dx+ p(x)y = g(x) (2.11)
e o fator integrante como
µ(x) = e∫p(x)dx, (2.12)
2.4. Fator integrante 17
a solucao e dada por
y =
∫µ(x)g(x)dx+ c
µ(x). (2.13)
Passos para resolucao
1. Para resolver uma equacao linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.11);
2. Identifique P (x) e encontre o fator de integracao equacao (2.12);
3. Multiplique a equacao obtida em (2.11) pelo fator integrante;
4. O lado esquerdo da equacao em (3) e a derivada do produto do fator de integracao e a
variavel dependente y;
5. Integre ambos os lados da equacao encontrada em (4).
Exemplo 31 y′ = 2xy − x
Exemplo 32 y′ + 3y = x+ e−2x
Exemplo 33 Determine a solucao do problema de valor inicial y′−y = 2xe2x e y(0) = 1.
Resolver pelo metodo do fator integrante:
Exercıcio 2.23 y′ − 2y = x2e2x sol. y = e2x(
x3
3+ c
)Exercıcio 2.24 y′ + y = xe−x + 1 sol. y = 1 + e−x
(x22+ c
)Exercıcio 2.25 y′ +
(1x
)y = 3 cos 2x sol. y = 3
2
(sin 2x+ 1
2xcos 2x
)+ c
x
Exercıcio 2.26 y′ − y = 2.ex sol. y = ex (2x+ c)
Exercıcio 2.27 xy′ + 2y = sinx sol. y = 1x
(1xsin x− cos x+ c
x
)Exercıcio 2.28 y′ + 2xy = 2xe−x2
sol. y = e−x2(x2 + c)
Exercıcio 2.29 (1 + x2)y′ + 4xy = (1 + x2)−2 sol. y = (arctanx+ c) (1 + x2)−2
Exercıcio 2.30 xy′ + (x+ 1)y = x sol. y = 1 + 1x
(cex
− 1)
Determine a solucao do problema de valor inicial:
Exercıcio 2.31 y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0 sol. y = e−x2
2(x2 − 1)
Exercıcio 2.32 xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 12
y > 0 sol. y = x2
4− x
3+ 1
2+ 1
12x2
Exercıcio 2.33 xy′ + 2y = sinx, y(π2) = 1 sol. y = x−2
(−x cosx+ sin x+ π2
4− 1
)Exercıcio 2.34 x3y′ + 4x2y = e−x, y(−1) = 0 sol. y = − x+1
x4ex
18 2.6. Equacao de Ricatti
2.5 Equacao de Bernoulli
Uma equacao de primeira ordem que pode ser escrita na forma
dy
dx+ P (x)y = Q(x)yn, n = 1 (2.14)
onde P (x) e Q(x) sao contınuos em um intervalo (a, b) e n e um numero real, e chamado
de equacao de Bernoulli.
Teorema 2.2 A equacao diferencial de Bernoulli nao-linear dydx+P (x)y = Q(x)yn, sendo
n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equacao diferencial linear atraves da mudanca
de variaveis z = y1−n que resulta numa equacao diferencial linear em z.
Exemplo 34 Resolver a equacao (1 + x2) dydx
+ xy = x3y3.
Exemplo 35 Resolver a equacao dydx
= 4xy + x
√y.
Resolva a equacao diferencial de Bernoulli.
Exercıcio 2.35 dydx
− yx= −y2
xsol. y = x
x+c
Exercıcio 2.36 dydx
+ yx= xy2 sol. y = 1
cx−x2
Exercıcio 2.37 3 (1 + x2) dydx
= 2xy (y3 − 1) sol. y = 13√
1+c(1+x2)
Exercıcio 2.38 x2 dydx
− 2xy = 3y4 para y(1) = 12
sol. y = 1
(− 95x−1+ 49
5x−6)
13
2.6 Equacao de Ricatti
A equacao diferencial nao-linear
dy
dx= P (x) +Q(x)y +R(x)y2 (2.15)
e chamada de equacao de Ricatti. Se y1 e uma solucao particular para (2.15), entao as
substituicoes
y = y1 + u edy
dx=
dy1dx
+du
dx
em (2.15) produzem a seguinte equacao diferencial para u:
du
dx− (Q+ 2y1R)u = Ru2. (2.16)
2.7. Aplicacoes das ED de Primeira Ordem 19
Como (2.16) e uma equacao de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida
a equacao lineardz
dx+ (Q+ 2y1R)z = −R (2.17)
atraves da substituicao z = u−1.
Exemplo 36 Resolva dydx
= x3(y − x)2 + yxpara y = x.
Resolva a equacao de Ricatti dada; y1 e uma solucao conhecida para a equacao.
Exercıcio 2.39 dydx
= −2− y + y2, y1 = 2 sol. y = 2 + 1ce−3x− 1
3
Exercıcio 2.40 dydx
= − 4x2 − 1
xy + y2, y1 =
2x
sol. y = 2x+ 1
cx−3−x4
Exercıcio 2.41 dydx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex sol. y = −ex + 1ce−x−1
Exercıcio 2.42 dydx
= sec2x− (tanx)y + y2, y1 = tan x
2.7 Aplicacoes das ED de Primeira Ordem
2.7.1 Problemas de variacao de temperatura
A lei de variacao de temperatura de Newton afirma que a taxa de variacao de temperatura
de um corpo e proporcional a diferenca de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.
Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Entao, a taxa
de variacao da temperatura do corpo e dTdt, e a lei de Newton relativa a variacao de
temperatura pode ser formulado como
dT
dt= −k (T − Tm) , ou como
dT
dt+ kT = kTm (2.18)
onde k e uma constante positiva de proporcionalidade.
Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessario o sinal negativo na lei de
Newton, a fim de tornar dTdt
negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em
tal processo, T > Tm; assim T − Tm e positiva.
A equacao (2.18) e a diferencial linear. A solucao geral dessa equacao e:
T = Tm + Ce−kt, onde C e a constante arbitraria.
Se T |t=0 = T0, entao: C = T0 − Tm.
Assim, a solucao tem a forma: T = Tm + (T0 − Tm) e−kt.
20 2.7. Aplicacoes das ED de Primeira Ordem
Resulta dessa formula que para t suficientemente grande a temperatura T depende
pouco de T0.
2.7.2 Equacao do movimento de um corpo
Equacao do movimento de um corpo para um meio em que a resistencia e
proporcional a velocidade
Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a
lei de variacao da velocidade da queda V , se o corpo experimentar uma resistencia do ar
proporcional a velocidade (sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto e, encontrar
V = f(t).
Em virtude da segunda lei de Newton mdVdt
= F , em que dVdt
e a aceleracao do
corpo em movimento (a derivada da velocidade em relacao ao tempo) e F , a forca que
age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta forca e constituıda por duas forcas: pela
forca de gravidade mg e pela resistencia do ar −kV (toma-se o sinal menos porque
esta forca e oposta a velocidade). Assim,
mdV
dt= mg − kV . (2.19)
Temos uma equacao diferencial sobre a funcao desconhecida V. (E a equacao do mo-
vimento de certos tipos de para-quedas). A solucao geral da equacao diferencial (2.19)
e:
V = Ce−k
mt+
mg
k. (2.20)
Para encontrar a constante arbitraria C, vamos supor uma condicao suplementar: uma
velocidade inicial V0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida;
suporemos que esta velocidade incial e conhecida. Entao, a funcao procurada V = f(t)
deve ser tal que se tenha para t = 0 (no comeco do movimento) V = V0. Substituindo
t = 0, V = V0 na equacao (2.20), temos: V0 = C +mg
k, de onde C = V0 −
mg
kAssim, a dependencia entre V e t e:
V =(V0 −
mg
k
)e−k
mt+
mg
k. (2.21)
Resulta desta formula que para t suficientemente grande a velocidade V depende
2.7. Aplicacoes das ED de Primeira Ordem 21
pouco de V0.
2.7.3 Circuitos em serie
A equacao basica que rege a quantidade de corrente i em um circuıto simples do tipo RL
consistindo de uma resistencia R, um indutor L e uma forca eletromotriz E e:
Ldi
dt+Ri = E(t), (2.22)
onde i(0) = i0.
Esta equacao e linear; sua solucao e:
i(t) = i0e−R
Lt+
E
R
1− e−R
Lt
=
(i0 −
E
R
)e−R
Lt+
E
R.
A quantidade
(i0 −
E
R
)e−R
Ltna solucao e chamada corrente transitoria, pois tende
a zero quando t → ∞. A quantidadeE
Re chamada corrente estacionaria. Quando
t → ∞, a corrente i tende para a corrente estacionaria.
Para um circuıto do tipo RC consistindo de uma resistencia, um capacitor C, uma
forca eletromotriz, e sem indutancia, a equacao que rege a quantidade de carga eletrica
q no capacitor e
Rdq
dt+
1
Cq = E(t). (2.23)
A relacao entre q e i e i =dq
dt.
A solucao desta equacao diferencial e q(t) = q0(t)e−
1
RCt+ CE.
Exemplo 37 Uma bateria de 12 volts e conectada a um circuito em serie no qual a induta
ncia e de1
2henry e a resistencia, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial
e zero.
Exemplo 38 Quando um bolo e retirado do forno, sua temperatura e de 300oF . Tres
minutos depois, sua temperatura passa para 200oF . Quanto tempo levara para sua tem-
peratura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado
for de exatamente 70oF?
22 2.7. Aplicacoes das ED de Primeira Ordem
Exercıcio 2.43 Uma forca eletromatriz (fem) de 30 volts e aplicada a um circuito em
serie L−R no qual a indutancia e de 0, 5 henry e a resistencia, 50 ohms. Encontre a
corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t → ∞. Sol. i = 35
(1− e−100t
).
Para t → ∞, temos i = 35 .
Exercıcio 2.44 Uma forca eletromotiva de 100 volts e aplicada a um circuito R−C em
serie no qual a resistencia e de 200 ohms e a capacitancia, 10−4 farad. Encontre a carga
q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Sol. q (t) = 1100
(1− e−50t
)e,
i = dqdt temos i (t) = 1
2e−50t.
Exercıcio 2.45 Um termometro e retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de
fora, em que a temperatura e de 5oC. Apos 1 minuto, o termometro marcava 20oC; apos
5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da sala? Sol. T ∼= 24, 7411 que e a temperatura da
sala.
Capıtulo 3
EQUACOES LINEARES DE
SEGUNDA ORDEM
3.1 EDL: Teoria das solucoes
3.1.1 Dependencia linear
Um conjunto de funcoes {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} e linearmente dependente em a ≤ x ≤
b se existem constantes c1, c2, . . . , cn, nao todas nulas, tais que
c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) ≡ 0, em a ≤ x ≤ b (3.1)
Exemplo 39 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} e linearmente dependente em [−5, 1] pois
existem constantes c1 = −5, c2 = 1, c3 = 0 e c4 = 0, nao todas nulas, tais que (3.1)
se verifica. Em particular, −5x+ 1 · 5x+ 0 · 1 + 0 · sinx ≡ 0
Note que c1 = c2 = . . . = cn = 0 e um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1).
Um conjunto de funcoes e linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes,
nao todas nulas, tais que (3.1) se verifica.
3.1.2 Independencia linear
Um conjunto de funcoes {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} e linearmente independente em a ≤
x ≤ b se nao e linearmente dependente aı; isto e, se as unicas constantes que satisfazem
(3.1) em a ≤ x ≤ b sao c1 = c2 = . . . = cn = 0.
24 3.1. EDL: Teoria das solucoes
Independencia linear de duas funcoes - Um par de funcoes y1(x) e y2(x) e considerado
linearmente independente do intervalo I se e somente se nenhuma delas for um multiplo
constante da outra em todo o intervalo I. Dizemos que y1 e y2 sao linearmente dependentes
de I se um deles for um multiplo constante do outro em todo o intervalo I.
3.1.3 Solucoes linearmente independentes. O Wronskiano
Teorema 3.1 A equacao diferencial linear homogenea de ordem n L(y) = 0 sempre tem
n solucoes linearmente independentes. Se {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} representam essas
solucoes, entao a solucao geral de L(y) = 0 e
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) (3.2)
onde c1, c2, . . . , cn sao constantes arbitrarias.
O teorema (3.1) acima realca a importancia de podermos determinar se um conjunto
de solucoes de L(y) = 0 e linearmente independente ou nao. Em geral, o problema nao
pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); nao se pode experimentar todos os valores
possıveis dos c′s. Existe, entretanto, um outro metodo para abordar o problema.
Seja {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} um conjunto de funcoes no intervalo I, cada uma das
quais possui n− 1 derivadas. Entao o determinante na forma seguinte
W (y1, . . . , yn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 · · · yn
y′1 y′2 · · · y′n...
.... . .
...
y(n−1)1 y
(n−1)2 · · · y
(n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(3.3)
e chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de funcoes. Se um conjunto
de funcoes {y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)} e linearmente dependente no intervalo I entao
Wronskiano de W (y1, y2, . . . , yn) ≡ 0 neste intervalo.
Exemplo 40 As funcoes y1 = e−x, y2 = ex, y3 = e2x sao solucoes da equacao y′′′− 2y′′−
y′ + 2y = 0.
Mostrar que as funcoes dadas formam um sistema fundamental das equacoes diferen-
ciais correspondentes.
3.2. A equacao caracterıstica 25
Exercıcio 3.1 ex, e2x, e3x , y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0 Sol. 2e6x = 0
Exercıcio 3.2 e−x, ex, xex , y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 Sol. 4ex = 0
Exercıcio 3.3 x1/2 , x−1/2, 1, x2y′′′ + 3xy′′ + 34y′ = 0 Sol. 1
4x−3 = 0
Exercıcio 3.4 ex, xex, x2ex, x3ex, y(4) − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = 0 Sol. 12e4x = 0
3.2 A equacao caracterıstica
Iniciemos considerando as equacoes homogeneas, isto e, as equacoes da forma:
y′′ + ay′ + by = 0 (3.4)
onde a e b sao constantes.
Suponhamos que a e b sao reais e que o intervalo de variacao de x e o eixo dos x.
Lembremos que a solucao da equacao homogenea linear de 1a ordem com coeficientes
constantes y′ + ky = 0 e uma funcao exponencial, a saber,
y = ce−kx (3.5)
de onde temos y = eλx, possa ser uma solucao de (3.4) se λ for escolhido adequadamente.
Substituindo (3.5) e suas derivadas y′ = λeλx e y′′ = λ2eλx , na equacao (3.4). Entao
(3.5) sera uma solucao de (3.4) se λ for uma solucao da equacao do 2o grau.
λ2 + aλ+ b = 0 (3.6)
Esta equacao e chamada a equacao caracterıstica (ou equacao auxiliar) de (3.4). Suas
raızes sao: (λ− λ1)(λ− λ2) = 0 ou
λ1 =1
2
(−a+
√a2 − 4b
), λ2 =
1
2
(−a−
√a2 − 4b
), (3.7)
Em vista da deducao segue-se que as funcoes
y1 = eλ1x e y2 = eλ2x (3.8)
sao solucoes de (3.4).
26 3.2. A equacao caracterıstica
Da algebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equacao carac-
terıstica (3.6) pode possuir: duas raızes reais distintas; duas raızes complexas conjugadas
ou, uma raiz dupla real.
Determinar as solucoes das equacoes:
Exemplo 41 y′′ + y′ − 2y = 0
Exemplo 42 y′′ + y = 0
Exemplo 43 y′′ − 2y′ + y = 0
Determinar as solucoes das equacoes diferenciais seguintes:
Exercıcio 3.5 y′′ − 9y = 0
Exercıcio 3.6 y′′ + 2y′ = 0
Exercıcio 3.7 y′′ − 3y′ + 2y = 0
Exercıcio 3.8 y′′ + w2y = 0
Exercıcio 3.9 y′′ + 4y′ + 5y = 0
Exercıcio 3.10 y′′ + 2y′ + 5y = 0
Determinar uma equacao diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes funcoes sao
solucoes.
Exercıcio 3.11 e−x, e−2x sol. y′′ + 3y′ + 2y = 0
Exercıcio 3.12 1, e2x sol. y′′ − 2y′ = 0
Exercıcio 3.13 e3ix, e−3ix sol. y′′ + 9y = 0
Exercıcio 3.14 e(−3+4i)x, e(−3−4i)x sol. y′′ + 6y′ + 25y = 0
3.3. Solucao geral - sistema fundamental 27
3.3 Solucao geral - sistema fundamental
Uma solucao de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou nao) e chamada uma solucao
geral se ela contem duas constantes arbitrarias independentes (o intervalo de variacao
das constantes pode ser restrito em alguns casos a fim de evitar expressoes imaginarias
e outras degeneracoes). Aqui, independencia significa que a mesma solucao nao pode ser
reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitraria ou nenhuma. Quando
atribuımos valores definidos a estas duas constantes, entao a solucao obtida e chamada
uma solucao particular.
Consideremos a equacao linear homogenea
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.9)
e desejamos mostrar que uma solucao geral de tal equacao pode ser facilmente obtida se
duas solucoes adequadas y1 e y2 sao conhecidas.
Se y1(x) e y2(x) sao solucoes de (3.9) em um dado intervalo I, entao, temos:
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) (3.10)
onde c1 e c2 sao constantes arbitrarias, sera uma solucao de (3.9) no intervalo I. De vez
que ela encerra duas constantes arbitrarias, ela sera uma solucao geral de (3.9), desde que
nao possa ser reduzida a uma expressao contendo menos que duas constantes arbitrarias.
3.3.1 Solucao em termos das raızes
A solucao de (3.4) se obtem diretamente a partir das raızes de (3.7). Ha tres casos a
considerar.
• caso 1. λ1 e λ2 sao ambas reais e distintas. eλ1x e eλ2x sao duas solucoes
linearmente independentes. A solucao geral e
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ou y(x) = c1eλ1x + c2e
λ2x (3.11)
• caso 2. λ1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b supoem-se reais, as raızes
de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz e λ2 = p−iq. Duas
solucoes linearmente independentes sao e(p+iq)x e e(p−iq)x. O que nos interessa agora
28 3.3. Solucao geral - sistema fundamental
e obter solucoes reais a partir destas solucoes complexas. Isto sera feito aplicando
as relacoes de Euler.
eiqx = cos qx+ i sin qx e e−iqx = cos qx− i sin qx
De onde nos obtemos y(x) = c1epx cos qx+ c2e
px sin qx ou
y(x) = epx(c1 cos qx+ c2 sin qx) (3.12)
onde c1 e c2 sao constantes arbitrarias reais.
• caso 3. λ1 = λ2. eλ1x e xeλ1x sao duas solucoes LI; a solucao geral e
y(x) = c1eλ1x + c2xe
λ1x (3.13)
Observacao 2 As solucoes acima nao sao validas se a equacao diferencial nao e linear
ou se nao tem coeficientes constantes.
Determinar uma solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
Exemplo 44 y′′ + y′ − 2y = 0 sol. y(x) = c1ex + c2e
−2x
Exemplo 45 y′′ − 2y′ + 10y = 0 sol. y(x) = ex(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
Exemplo 46 y′′ + 8y′ + 16y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e−4x
Resolver o problema de valor inicial:
Exemplo 47 y′′ − 4y′ + 13y = 0 y(0) = 4, y′(0) = 1
Exemplo 48 y′′ + 4y′ − 21y = 0 y(0) = 3, y′(0) = 0
Determinar uma solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
Exercıcio 3.15 y′′ − y′ − 12y = 0 sol. y(x) = c1e4x + c2e
−3x
Exercıcio 3.16 y′′ + 4y′ + 5y = 0 sol. y(x) = e−2x (c1 cosx+ c2 sinx)
Exercıcio 3.17 y′′ + 0, 2y′ + 0, 26y = 0 sol. y(x) = e−x10
(c1 cos
x2+ c2 sin
x2
)
3.4. Equacoes lineares nao homogeneas 29
Exercıcio 3.18 4y′′ + 17y′ + 4y = 0 sol. y(x) = c1e−x
4 + c2e−4x
Exercıcio 3.19 y′′ + 5y′ + 12, 5y = 0 sol. y(x) = e−5x2
(c1 cos
5x2+ c2 sin
5x2
)Exercıcio 3.20 2y′′ + 2y′ + y = 0 sol. y(x) = e−
x2
(c1 cos
x2+ c2 sin
x2
)Exercıcio 3.21 25y′′ − 20y′ + 4y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e
25x
Exercıcio 3.22 y′′ + 0, 25y = 0 sol. y(x) = c1 cosx2+ c2 sin
x2
Exercıcio 3.23 y′′ + 2αy′ + (α2 + 1)y = 0 sol. y(x) = e−αx (c1 cos x+ c2 sinx)
Exercıcio 3.24 4y′′ − 4y′ − 3y = 0 sol. y(x) = c1e−x
2 + c2e32x
Resolver o problema de valor inicial proposto.
Exercıcio 3.25 y′′ + 2y′ + 10y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3 sol. y(x) = e−x sin 3x
Exercıcio 3.26 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1 sol. y(x) =(2− 7
3x)e
23x
Exercıcio 3.27 y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2 sol. y(x) = 2xe3x
Exercıcio 3.28 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2 sol. y(x) =
e−x3
(− cos 3x+ 5
9sin 3x
)Exercıcio 3.29 y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0 sol. y(x) = e2x − ex sin 3x
Exercıcio 3.30 y′′+4y′+5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −3 sol. y(x) = e−2x (cosx− sinx)
Exercıcio 3.31 y′′+4y′+4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e−2(x+1)
3.4 Equacoes lineares nao homogeneas
Temos
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.14)
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.15)
Teorema 3.2 Uma solucao geral y (x) da equacao diferencial linear (3.14) e a soma de
uma solucao geral yh (x) da equacao homogenea correspondente (3.15) e de uma solucao
particular arbitraria yp (x) de (3.14).
y(x) = yh(x) + yp(x) (3.16)
30 3.4. Equacoes lineares nao homogeneas
Em cada caso verificar que yp(x) e uma solucao particular da equacao diferencial dada
e determinar uma solucao geral.
Exemplo 49 y” + y = 2ex yp(x) = ex
Exemplo 50 y” + y = 2 cos x yp(x) = x sin x
Em cada caso verificar que yp(x) e uma solucao particular da equacao diferencial dada
e determinar uma solucao geral.
Exercıcio 3.32 y′′ − y = 2ex, yp(x) = xex sol y (x) = c1ex + c2e
−x + xex
Exercıcio 3.33 y′′−3y′+2y = 2x2−6x+2, yp(x) = x2 sol y (x) = c1e2x+c2e
x+x2
Exercıcio 3.34 y′′ + 4y = −12 sin 2x, yp(x) = 3x cos 2x sol y (x) = c1 cos 2x +
c2 sin 2x+ 3x cos 2x
Exercıcio 3.35 y′′ + 9y = 18x, yp(x) = 2x sol y (x) = c1 cos 3x+ c2 sin 3x+ 2x
Exercıcio 3.36 y′′+y = 2 sinx, yp(x) = −x cosx sol y (x) = (c1 − x) cos x+c2 sin x
3.4.1 Resolucao de equacoes lineares nao homogeneas
O metodo a ser utilizado e dos coeficientes a determinar. Este metodo e adequado para
equacoes com coeficientes constantes
y′′ + ay′ + by = r(x) (3.17)
onde r(x) e tal que a forma de uma solucao particular yp(x) de (3.17) pode ser prognos-
ticada; por exemplo, r pode ser uma potencia unica de x, um polinomio, uma funcao
exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais funcoes. O metodo consiste em
imaginar para yp(x) uma expressao semelhante a de r(x), contendo coeficientes incognitas
que sao determinados substituindo yp(x) e suas derivadas em (3.17).
Resolver as equacoes nao homogenea.
Exemplo 51 y′′ + 4y = 8x2
Exemplo 52 y′′ − y′ − 2y = 10 cos x
3.4. Equacoes lineares nao homogeneas 31
Termo em r (x) Escolha para yp (x)
Kxn(n = 0, 1, . . .) Knxn+Kn−1x
n−1+ . . .+K1x+K0
Kepx cepx
K cos qx
K sin qx
K1 cos qx+K2 sin qx
Observacao 3 Se r (x) e uma soma de funcoes da primeira coluna, escolhemos para yp (x) a
soma das funcoes nas linhas correspondentes.
• Pn (x)= eαx
sin βx
cos βx
• Caso em que a solucao homogenea e igual ao valor da funcao r (x), conforme (3.14)
xs[(A0xn + A1x
n−1 + ...+ An)eα cos βx+ (B0x
n +B1xn−1 + ...+Bn)e
α sin βx]
s→ e o menor inteiro nao negativo (s = 0, 1, 2, ...) que assegura nao haver nenhum termo
em yi (x) que seja solucao homogenea correspondente.
Exemplo 53 y′′ − 3y′ + 2y = 4x+ e3x
Exemplo 54 y′′ − y′ = ex cosx
Determinar uma solucao geral das seguintes equacoes diferenciais.
Exercıcio 3.37 y′′ + y = x2 + x sol y (x) = x2 + x− 2 + c1 cos+ c2 sin x
Exercıcio 3.38 y′′ + 5y′ + 6y = 9x4 − x sol y (x) = c1e−2x + c2e
−3x + 96x4 − 5x3 +
192x2 − 11x+ 6
Exercıcio 3.39 y′′ − y′ − 2y = sin x sol y (x) = c1e2x + c2e
−x + 110cosx− 3
10sinx
Exercıcio 3.40 y′′ + y′ − 6y = 52 cos 2x sol y (x) = c1e2x + c2e
−3x − 5 cos 2x+ sin 2x
Exercıcio 3.41 y′′ + y′ − 2y = 3ex sol y (x) = c1ex + c2e
−2x + xex
Exercıcio 3.42 y′′ + y = 2 sinx sol y (x) = c1 cos x+ c2 sin x− x cosx
Exercıcio 3.43 y′′ − 2y′ + 2y = 2ex cosx sol y (x) = ex (c1 cos x+ c2 sinx+ x sinx)
Exercıcio 3.44 y′′ + y = −x− x2 sol c1 cos x+ c2 sin x− x2 − x+ 2
32 3.4. Equacoes lineares nao homogeneas
Exercıcio 3.45 y′′ + y = sin x sol c1 cos x+ c2 sin x− 12x cos x
Exercıcio 3.46 y′′ + 4y = e−x sol c1 cos 2x+ c2 sin 2x+ 15e−x
Exercıcio 3.47 y′′ − y′ − 2y = 4 sinx sol c1e2x + c2e
−x + 49cos x− 4
3sinx
Resolver os seguintes problemas de valor inicial
Exercıcio 3.48 y′′−2y′+y = 2x2−8x+4; y(0) = 3, y′(0) = 3 sol y (x) = 3ex+2x2
Exercıcio 3.49 y′′ − y′ − 2y = 10 sin x; y(0) = 2, y′(0) = −3 sol y (x) = 13e2x +
23e−x + cos x− 3 sin x
Exercıcio 3.50 y′′−y′−2y = 3e2x; y(0) = 0, y′(0) = −2 sol y (x) = e−x−e2x+xe2x
Exercıcio 3.51 y′′+2y′+2y = −2 cos 2x− 4 sin 2x; y(0) = 1, y′(0) = 1 sol y (x) =
e−x sinx+ cos 2x
Exercıcio 3.52 y′′ + 4y′ + 8y = 4 cosx + 7 sinx; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol y (x) =
e−2x cos 2x+ sin x
3.4.2 Metodo Geral
Para resolver equacoes diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes constantes nao-
homogeneas pelo metodo dos coeficientes a determinar nos deparamos com uma limitacao
que e o tipo da funcao r(x). Se esta nao for um polinomio, uma funcao trigonometrica ou
uma exponencial necessitamos de um metodo geral que supere esta deficiencia.
Ha um metodo geral para resolver tais equacoes, no qual r(x) pode ser uma das funcoes
ja citadas, bem como lnx, tan, sec x, 1x, etc. Esse metodo e conhecido como variacao de
parametros.
Consideremos a equacao
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.18)
Supondo que f , g e r sao funcoes contınuas sobre um intervalo I.
Sabemos que a equacao homogenea corresponde y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 possui uma
solucao geral yh (x) sobre I, que apresenta a formaua solucao geral sera: y = yh + yp.
3.4. Equacoes lineares nao homogeneas 33
A solucao da equacao homogenea correspondente sera dada por
yh (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) . (3.19)
A ideia do metodo e trocar c1 e c2 em (3.19) por funcoes u(x) e v (x) de tal maneira
que a substituicao resulte em uma solucao particular da equacao dada (3.18). Assim,
teremos
yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) , (3.20)
seja uma solucao particular de (3.18) sobre I. Derivando vem
y′p = u′y1 + uy′1 + v′y2 + vy′2. (3.21)
Suponhamos que u′y1+v′y2 = 0, pois e uma solucao para a homogenea correspondente.
Isso reduz (3.21) a:
y′p = uy′1 + vy′2. (3.22)
Derivando novamente, vem:
y′′p = u′y′1 + uy′′1 + v′y′2 + vy′′2 . (3.23)
Substituindo (3.20), (3.22) e (3.23) em (3.18), vem:
u′y′1 + uy′′1 + v′y′2 + vy′′2 + f(x)(uy′1 + vy′2) + g(x)(uy1 + vy2) = r(x)
u′y′1 + uy′′1 + v′y′2 + vy′′2 + fuy′1 + fvy′2 + guy1 + gvy2 = r(x)
u(y′′1 + fy′1 + gy1) + v(y′′2 + fy′2 + gy2) + u′y′1 + v′y′2 = r(x)
As expressoes entre parenteses na ultima linha sao nulas, pois sao solucoes da equacao
homogenea correspondente a (3.18). Entao so resta:
u′y′1 + v′y′2 = r(x). (3.24)
Anteriormente, foi suposto que u′y1 + v′y2 = 0. Tomemos esta expressao, juntamente
com (3.24), e formemos um sistema de equacoes em u′ e v′:
u′y1 + v′y2 = 0
u′y′1 + v′y′2 = r(x)
Resolvendo pela regra de Cramer, teremos:
D =
∣∣∣∣∣∣ y1 y2
y′1 y′2
∣∣∣∣∣∣= W (y1, y2) = y1y′2−y′1y2
34 3.5. Aplicacao fısica
Du′=
∣∣∣∣∣∣ 0 y2
r(x) y′2
∣∣∣∣∣∣= −r(x)y2
Dv′=
∣∣∣∣∣∣ y1 0
y′1 r(x)
∣∣∣∣∣∣= r(x)y1
Entao, u′ =Du′W
= −r(x)y2W
e v′ =Dv′W
= r(x)y1W
. (Repare que D e o wronskiano formado
com y1 e y2).
Integrando, vem: u = −∫ r(x)y2
Wdx e v =
∫ r(x)y1W
dx.
Logo, uma solucao particular para (3.18), pode ser escrita: yp = −y1∫ r(x)y2
Wdx +
y2∫ r(x)y1
Wdx.
Portanto, a solucao geral de (3.18) sera: y = c1y1+ c2y2−y1∫ r(x)y2
Wdx+y2
∫ r(x)y1W
dx.
Exemplo 55 Resolver a equacao y′′ + y = secx.
Exemplo 56 Resolver a equacao y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x.
Exemplo 57 Resolver a equacao 4y′′ + 36y = csc 3x
Encontre a solucao geral, usando o metodo de variacao de parametros.
Exercıcio 3.53 y′′ + y = csc x sol y (x) = c1 cosx+ c2 sinx− x cos x+ sin x ln (sinx)
Exercıcio 3.54 y′′ − 4y′ + 4y = e2x
xsol y (x) = (c1 + c2x+ x lnx− x) e2x
Exercıcio 3.55 y′′ + 2y′ + y = e−x cos x sol y (x) = (c1 + c2x− cos x) e−x
Exercıcio 3.56 y′′ − 2y′ + y = x32 ex sol y (x) =
(c1 + c2x+ 4
35x
72
)ex
Exercıcio 3.57 y′′ + 2y′ + 2y = e−x
cos3 xsol y (x) = e−x
(c1 cos x+ c2 sin x− 1
2cos 2xcosx
)Exercıcio 3.58 y′′ + y = tanx sol y (x) = c1 sin x+ c2 cos x− cos x log |secx+ tanx|
3.5 Aplicacao fısica
Consideremos um sistema fısico cujas pequenas oscilacoes sejam regidas pela equacao
diferencial
x+ a1x+ a0x = f(t) (3.25)
Aqui, conhecem-se a funcao f(t) e as constantes a1 e a0.
3.5. Aplicacao fısica 35
Se f(t) ≡ 0 e a1 = 0, o movimento e livre e nao-amortecido. Se f(t) e identicamente
nula mas a1 nao e zero, o movimento e livre e amortecido. Para o movimento amortecido,
ha tres casos separados e considerar, conforme as raızes da equacao caracterıstica associada
sejam (1) reais e distintas, (2) iguais, ou (3) complexas conjugadas. Esses tres casos se
classificam, respectivamente, como (1) superamortecido, (2) criticamente amortecido, e
(3) oscilatorio amortecido (ou, em problemas de eletricidade, subamortecido). Se f(t)
nao e identicamente nula, o movimento se diz forcado.
Um movimento ou corrente se diz transitorio se se desvanece (isto e, tende a zero)
quando t → ∞. Um movimento (ou corrente) estacionario e um movimento que nao
e transitorio nem se torna ilimitado. Sistemas livres amortecidos sempre originam movi-
mentos transitorios, enquanto sistemas forcados amortecidos (admitindo senoidal a forca
exterior) originam ambos os movimentos - transitorio e estacionario.
Movimento de uma mola vibrante
x+a
mx+
k
mx =
F (t)
m
onde m → massa; k → constante e a → resistencia do ar.
Carga do capacitor
Ld2q
dt2+R
dq
dt+
1
Cq = E(t).
As condicoes iniciais para q sao q (0) = q0 e dqdt|t=0 = I (0) = I0.
Corrente
Ld2I
dt2+R
dI
dt+
1
CI =
dE(t)
dt.
A primeira condicao inicial e I (0) = I. A segunda condicao inicial e obtida de dIdt|t=0 =
1LE (0)− R
LI0 − 1
LCq0.
Exemplo 58 Uma massa de 10 kg se acha suspensa de uma mola cuja constante e
140N/m . Poe-se a massa em movimento, a partir da posicao de equilıbrio, com uma
velocidade inicial de 1m/s no sentido ”para cima ”e com uma forca externa aplicada
F (t) = 5 sin t. Determine o movimento subsequente da massa se a resistencia do ar e
dada por 90N .
Exemplo 59 Um peso de 128 lb acha-se suspenso de uma mola, cuja constante e 64 lb/pe.
Poe-se o peso em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o de 6 polegadas ”para
cima ”de sua posicao de equilıbrio e simultaneamente aplicando-lhe uma forca externa
36 3.5. Aplicacao fısica
F (t) = 8 sin 4t. Desprezando a resistencia do ar, determine o movimento subsequente do
peso.
Exemplo 60 Um circuıto RCL tem R = 10 ohms, C = 0, 001 farad, L = 0, 25 henry,
e uma voltagem aplicada de E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs (C) e i(0) = 0. Determine a
carga subsequente no capacitor.
Exercıcio 3.59 Um circuıto RCL tem R = 10 ohms, C = 10−2 farad, L = 12henries, e
uma voltagem aplicada de E(t) = 12 volts. Admitindo que nao haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a corrente
subsequente no sistema.
Exercıcio 3.60 Uma massa de 14slug se acha suspensa de uma mola, distendendo-a de
6 polegadas alem de seu comprimento natural. Poe-se entao a massa em movimento,
a partir da posicao de equilıbrio, com uma velocidade inicial de 4 pes/s ”para cima ”.
Determine o movimento subsequente da massa, se a resistencia do ar e dada por 2x lb.
Exercıcio 3.61 Um circuıto RCL, com R = 6 ohms, C = 0, 02 farad, L = 0, 1 henries,
tem uma voltagem aplicada de E(t) = 6 volts. Supondo que nao haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga
subsequente no capacitor e a corrente no circuıto.
Capıtulo 4
EQUACOES DIFERENCIAIS
LINEARES DE ORDEM n
4.1 Equacoes de ordem superior
Em geral, para resolver uma equacao diferencial de ordem n
any(n) + an−1y
(n−1) + · · ·+ a2y′′ + a1y
′ + a0y = 0, (4.1)
onde os ai, i = 0, 1, . . . , n sao constantes reais, precisamos resolver uma equacao polinomial
de grau n
anm(n) + an−1m
(n−1) + · · ·+ a2m2 + a1m+ a0 = 0. (4.2)
Se todas as raızes de (4.2) forem reais e distintas, entao a solucao geral de (4.1) sera
y = c1em1x + c2e
m2x + · · ·+ cnemnx.
Exemplo 61 y′′′ − 2y′′ − 5y′ + 6y = 0
E um pouco mais difıcil resumir os analogos dos casos em que as raızes sao reais
repetidas e as complexas conjugadas, pois as raızes de uma equacao auxiliar de grau
superior a 2 podem ocorrer de varias formas. Por exemplo, uma equacao de quinto grau
pode ter cinco raızes distintas, tres raızes distintas e duas raızes complexas, uma raiz
real e quatro raızes complexas, cinco raızes reais iguais ou cinco raızes reais, mas duas
das quais iguais, e assim por diante. Quando m1 e uma raız de multiplicidade k de uma
equacao auxiliar de grau n (isto e, k raızes sao iguais a m1), podemos mostrar que as
38 4.1. Equacoes de ordem superior
solucoes linearmente independentes sao
em1x, xem1x, x2em1x, . . . , xk−1em1x
e a solucao geral deve conter a combinacao linear
c1em1x + c2xe
m1x + c3x2em1x + · · ·+ ckx
k−1em1x.
Finalmente, deve ser lembrado que, se os coeficientes forem reais, raızes complexas da
equacao auxiliar aparecerao sempre em pares conjugados. Assim, uma equacao polinomial
cubica, por exemplo, pode ter no maximo duas raızes complexas.
Exemplo 62 Resolva y′′′ + 3y′′ − 4y = 0
Exemplo 63 Resolva d4ydx4 + 2 d2y
dx2 + y = 0
Exemplo 64 Resolva 3y′′′ + 5y′′ + 10y′ − 4y = 0
Exemplo 65 Resolva y(6) − 16y′′ = 0.
Determine a solucao geral da equacao diferencial de ordem superior dada.
Exercıcio 4.1 y′′′ − 4y′′ − 5y′ = 0
Exercıcio 4.2 y′′′ − 5y′′ + 3y′+ 9y = 0
Exercıcio 4.3 y(4) + y′′′ + y′′ = 0
Exercıcio 4.4 y(4) − 2y′′ + y = 0
Exercıcio 4.5 d5udr5
+ 5d4udr4
− 2d3udr3
− 10d2udr2
+ dudr
+ 5u = 0
Exercıcio 4.6 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 sol λ1,2,3 = 1 y(t) = c1et + c2te
t + c3t2et
Exercıcio 4.7 y(4) + 6y′′′ + 5y′′ − 24y′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = −3
y(t) = c1e2t + c2e
−2t + (c3 + c4t)e−3t
Exercıcio 4.8 y(4) + 5y′′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = ±3i y(t) =
c1e2t + c2e
−2t + c3 cos 3t+ c4 sin 3t
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exercıcio 4.9 y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7
Exercıcio 4.10 y′′′ + 2y′′ − 5y′ − 6y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1
4.2. Equacoes de ordem superior usando coeficientes a determinar 39
4.2 Equacoes de ordem superior usando coeficientes
a determinar
Exemplo 66 Resolva y′′′ + y′′ = ex cosx
Use coeficientes a determinar para resolver a equacao diferencial dada.
Exercıcio 4.11 y′′′ − 6y′′ = 3− cos x
Exercıcio 4.12 y′′′ +2y′′ − y′ − 2y = 1− 4x3 sol. y (x) = c1ex + c2e
−x + c3e−2x +2x3 −
3x2 + 15x− 8
Exercıcio 4.13 yiv−5y”+4y = 10 cos x sol y (x) = c1ex+c2e
−x+c3e2x+c4e
−2x+cos x
Exercıcio 4.14 y′′′ − 2y′′ − 4y′+ 8y = 6xe2x
Exercıcio 4.15 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex
Exercıcio 4.16 y′′′ − y′′ − 4y′+ 4y = 5− ex + e2x
Exercıcio 4.17 y(4) + 2y′′ + y = (x− 1)2
Exercıcio 4.18 y(4) − y′′ = 4x+ 2xe−x
Exercıcio 4.19 y′′′ + y′ = tanx
Exercıcio 4.20 y′′′ + 4y′ = sec 2x
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exercıcio 4.21 y′′′ − 2y′′ + y′ = 2− 24ex + 40e5x , y(0) = 12, y′(0) = 5
2, y′′(0) = −9
2
Exercıcio 4.22 y′′′ + 8y = 2x− 5 + 8e−2x , y(0) = −5, y′(0) = 3, y′′(0) = −4
40 4.3. Equacao de Cauchy-Euler
4.3 Equacao de Cauchy-Euler
Uma equacao diferencial linear da forma
anxn d
ny
dxn+ an−1x
n−1 dn−1y
dxn−1+ · · ·+ a1x
dy
dx+ a0y = g(x), (4.3)
onde os coeficientes an, an−1, . . . , a0 sao constantes, e conhecida como uma equacao de
Cauchy-Euler. A caracterıstica observavel desse tipo de equacao e que o grau k = n, n−
1, . . . , 1, 0 dos coeficientes monomiais xk coincide com a ordem k da diferenciacao dkydxk .
Iniciemos a discussao com um exame detalhado das formas da solucao geral de uma
equacao homogenea de segunda ordem
x2 d2y
dx2+ αx
dy
dx+ βy = 0. (4.4)
onde α e β sao constantes reais.Temos a equacao auxiliar
m2 + (α− 1)m+ β = 0 (4.5)
Ha tres casos diferentes a serem considerados, dependendo de as raızes dessa equacao
quadratica serem reais e distintas, reais e iguais ou complexas
A solucao da equacao de ordem superior segue analogamente. Podemos tambem re-
solver a equacao nao homogenea x2y′′ + αxy′ + βy = g(x) por variacao de parametros,
desde que determinemos primeiro a funcao complementar yp.
Raızes distintas
Se as raızes m1 e m2 desta equacao sao reais e distintas, entao as funcoes y1(x) = xm1
e y2(x) = xm2 constituem um sistema fundamental de solucoes de (4.4) para qualquer
valor de x para os quais estas funcoes sao reais e finitas. A solucao geral correspondente e
y = c1xm1 + c2x
m2 (4.6)
Exemplo 67 x2y′′ − 32x.y′ − 3
2y = 0
Raızes reais e repetidas
A equacao auxiliar (4.4) possui uma raiz dupla m1 = m2, se e somente se β = 14(α−1)2
e entao m1 = m2 =12(1− α) sao solucoes de (4.3) no caso de uma raiz dupla m de (4.5).
4.3. Equacao de Cauchy-Euler 41
A solucao geral correspondente e:
y (x) = (c1 + c2 lnx)xm. (4.7)
Exemplo 68 x2y′′ − 3x.y′ + 4y = 0 sol m = 2 → y (x) = (c1 + c2 lnx)x2
Raızes complexas conjugadas
Se as raızes de (4.5) forem um par de numeros complexos conjugados m1 = p + qi e
m2 = p− qi, onde p e q > 0 sao reais, entao uma solucao geral sera
y (x) = xp[c1 cos(q lnx) + c2 sin(q lnx)]. (4.8)
Exemplo 69 4x2y′′ + 17y = 0, y(1) = −1, y′(1) = 0
Equacao de terceira ordem
Exemplo 70 Resolva x3 d3ydx3 + 5x2 d2y
dx2 + 7x dydx
+ 8y = 0
Variacao de parametros
Exemplo 71 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 2x4ex, para y(1) = 1, y(1) = 0
Determinar uma solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
Exercıcio 4.23 x2y′′ + xy′ − y = 0 sol y(x) = c1x+ c2x−1
Exercıcio 4.24 x2y′′ + xy′ + 4y = 0 sol y(x) = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)
Exercıcio 4.25 x2y′′ + xy′ − 4y = 0 sol y(x) = c1x2 + c2x
−2
Exercıcio 4.26 x2y′′ + 3, 5xy′ + y = 0 sol y(x) = c1x−2 + c2
√xx
Exercıcio 4.27 25x2y′′ + 25xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cos(15lnx) + c2 sin(
15lnx)
Exercıcio 4.28 x2y′′ − xy′ + 0, 75y = 0 sol y(x) = (c1x+ c2)√x
Exercıcio 4.29 x2y′′ + 0, 25y = 0 sol y (x) = (c1 + c2 lnx)√x
Exercıcio 4.30 x2y′′ + 5xy′ + 3y = 0 sol y(x) = c1x−1 + c2x
−3
Exercıcio 4.31 3x2y′′ +6xy′ + y = 0 sol y(x) = x−1/2[c1 cos(
√36lnx) + c2 sin
√36lnx)
]
42 4.3. Equacao de Cauchy-Euler
Exercıcio 4.32 x3y′′′ − 6y = 0 sol y(x) = c1x3 + c2 cos(
√2 ln x) + c3 sin
√2 ln x)
Exercıcio 4.33 3x3y′′′ + xy′ − y = 0
Exercıcio 4.34 x4y(4) + 6x3y′′′ + 9x2y′′ + 3xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cosx+ c2 sinx+
c3x cos x+ c4x sin x)
Exercıcio 4.35 x3y′′′ − 2xy′ + 4y = 0
Exercıcio 4.36 x3y′′′ + 3x2y′′ − 6xy′ − 6y = 0 sol y(x) = (c1 + c2 lnx)x2 +
x
Exercıcio 4.37 x3y′′′ + 4x2y′′ − 6xy′ − 12y = 0
Resolva a equacao diferencial dada por variacao de parametros.
Exercıcio 4.38 2x2y′′ + 5xy′ + y = x2 − x
Exercıcio 4.39 x2y′′ − xy′ + y = 2x sol y(x) = c1x+ c2x lnx+ x(lnx)2
Exercıcio 4.40 x2y′′ − 2xy′ + 2y = x4ex
Exercıcio 4.41 x2y′′ + xy′ − y = ln x sol y(x) = c1x−1 + c2x− lnx
Exercıcio 4.42 x2y′′ + xy′ − y = 1x+1
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exercıcio 4.43 x2y′′ + xy′ − 0, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1 sol y =√x
Exercıcio 4.44 x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 1 sol y (x) = (1− lnx)x2
Exercıcio 4.45 x2y′′+xy′+y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 2 sol y(x) = cos(ln x)+2 sin(lnx)
Exercıcio 4.46 x2y′′ + xy′ − 2, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 0 sol y (x) =√x(x+ 1
x2
)Exercıcio 4.47 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0, y(1) = 0, y′(1) = −2 sol y (x) = (1− x2)x
Exercıcio 4.48 x2y′′ − 5xy′ + 8y = 8x6, y(12) = 0, y′(1
2) = 0
Capıtulo 5
SERIES NUMERICAS
5.1 Metodo de Series
As equacoes diferenciais homogeneas lineares com coeficientes constantes podem ser re-
solvidas por metodos algebricos e que as solucoes sao funcoes elementares conhecidas do
calculo. No caso de equacoes com coeficientes variaveis, a situacao e mais complicada
e as solucoes podem ser funcoes elementares. As equacoes de Bessel, Legendre e a hi-
pergeometrica sao deste tipo. Como estas e outras equacoes e suas solucoes representam
um papel importante na Matematica aplicada a Engenharia, vamos examinar um metodo
para resolve-las. As solucoes aparecem sob a forma de series de potencias, motivo por que
o metodo e conhecido como metodo da serie de potencias.
5.1.1 O metodo da Serie de Potencias
Examinemos a seguir a solucao de ED pelo chamado metodo da serie de potencias, que
fornece solucoes sob a forma de series de potencias.
Recordamos que uma serie de potencias1 (em potencias de x− a) e uma serie infinita
da forma∞∑n=0
cn(x− a)n= c0+c1(x− a) + c2(x− a)2+ . . ., (5.1)
onde c0, c1, . . . sao constantes, denominados coeficientes da serie, a e uma constante,
chamada centro, e x e uma variavel.
1O termo serie de potencias isolado, normalmente se refere a uma serie da forma ( 5.1),incluindo o caso particular (5.14), mas nao inclui as series de potencias negativas de x tal comoc0 + c1x
−1 + c2x−2 + . . . ou as series envolvendo potencias fracionarias de x. Notamos que, em
(5.1), escrevemos, por conveniencia, (x− a)0= 1, mesmo quando x = a.
44 5.1. Metodo de Series
No caso particular a = 0, obtemos uma serie de potencias em potencias de x.
∞∑n=0
cnxn= c0+c1x+ c2x
2+c3x3+ . . ., (5.2)
Vamos supor que todas as variaveis e constantes sao reais.
As series de Maclaurin sao exemplos de series de potencias:
1
1− x=
∞∑n=0
xn= 1 + x+ x2+x3+ . . . (|x| < 1, serie geometrica) ,
ex=∞∑n=0
xn
n!= 1 + x+
x2
2!+x3
3!+ . . .,
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1−x2
2!+x4
4!−+ . . .,
sinx =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!= x−x3
3!+x5
5!−+ . . .,
A ideia fundamental do metodo da serie de potencias para resolver uma equacao
diferencial e muito simples e expontanea.
Sendo dada uma equacao diferencial, desenvolvemos todas as funcoes dadas que nela
figuram, em series de potencias de x (ou em potencias de x − a, se desejamos a solucao
sob a forma de uma serie de potencias de x − a). Em seguida, imaginamos uma solucao
sob a forma de uma serie de potencias, digamos
y = c0+c1x+ c2x2+c3x
3+ . . . =∞∑n=0
cnxn (5.3)
e substituımos esta serie e as series obtidas por derivacao termo a termo
y′= c1+2c2x+ 3c3x2+ . . . =
∞∑n=1
ncnxn−1
y′′= 2c2+3.2c3x+ 4.3c4x2+ . . . =
∞∑n=2
n (n− 1) cnxn−2 (5.4)
etc, na equacao. Adicionando todos os termos que contem a mesma potencia de x, a
5.1. Metodo de Series 45
equacao resultante pode ser escrita
k0 + k1x+ k2x2 + k3x
3 + . . . = 0 (5.5)
onde as constantes k0, k1, k2, . . . sao expressoes que contem os coeficientes incognitos
c0, c1, c2, . . . em (5.15). A fim de que (5.5) se verifique para qualquer x em um inter-
valo dado, devemos ter k0 = 0, k1 = 0, k2 = 0, . . ..
Empregando estas equacoes podemos determinar os coeficientes c0, c1, c2, . . . sucessi-
vamente.
Exemplo 72 Resolver y′ − y = 0.
Exemplo 73 Resolver y′′ + y = 0.
5.1.2 Solucao em Serie de Potencias
Considere a equacao diferencial ordinaria de 2aordem
a0(x)d2y
dx2+a1(x)
dy
dx+a2(x)y = 0 (5.6)
que agora tem coeficientes variaveis. Queremos obter pelo menos uma solucao y(x), na
forma de uma serie de potencias como
y(x) =∞∑n=0
an(x− x0)n (5.7)
onde x0 e o ponto em torno do qual queremos achar a solucao. Esta expressao e uma
serie, mas nao necessariamente a serie de Taylor de alguma funcao f(x).
Podemos reescrever a equacao diferencial na forma normalizada
d2y
dx2+P 1(x)
dy
dx+P 2(x)y = 0 (5.8)
onde P1(x) =a1(x)a0(x)
e P2(x) =a2(x)a0(x)
.
Note que P1(x) e P2(x) sao duas funcoes racionais a qual nao se pode escrever a serie de
Taylor de uma funcao racional em torno dos pontos x0 que sao as raızes do denominador.
Definicao 5.1 Se ambas as funcoes P1(x) e P2(x) sao analıticas em x0, este ponto e
46 5.1. Metodo de Series
dito ordinario. Se pelo menos uma das funcoes P1(x) e P2(x) nao e analıtica em x0, este
ponto e dito singular.
Por exemplo, na equacao diferencial d2ydx2 + x dy
dx+ (x2 + 5)y = 0 temos P1(x) = x
e P2(x) = x2 + 5 que sao polinomios e nao tem ponto singular. Todos os pontos sao
ordinarios. Ja a equacao diferencial d2ydx2 +
1xdydx
+ (x2 − 4x + 5)y = 0 onde P1(x) =1x
e
P2(x) = x2 − 4x+ 5 tem um ponto singular em x0 = 0, apesar de P2(x) ser analıtica em
todos os pontos.
Teorema 5.1 A equacao diferencial 5.8 tem duas solucoes diferentes, linearmente in-
dependentes, na forma da equacao y(x) =∞∑n
an(x − x0)n desde que x0 seja um ponto
ordinario. Ou seja, se x0 for um ponto ordinario de 5.8, atraves do metodo de series e
possıvel encontrar as duas solucoes LI em torno de x0 que formam a solucao geral da
equacao diferencial. O que diferencia as duas solucoes sao os an.
Como exemplo, no caso das duas equacoes diferenciais anteriores, a primeira nao tem
nenhum ponto singular, e assim podemos achar a solucao para qualquer valor de x0, como,
por exemplo, y(x) =∞∑n
an(x− 2)n, y(x) =∞∑n
an(x)n, y(x) =
∞∑n
an(x+ 4)n. No entanto,
a segunda tem um ponto singular em x0 = 0. Com certeza ela tem duas solucoes LI para
x0 = 0, isto e, y(x) =∞∑n
an(x− 2)n, y(x) =∞∑n
an(x+ 4)n mas nao sabemos ainda o que
ocorre se x0 = 0.
Exemplo 74 Consideremos o metodo para pontos ordinarios, a primeira equacao dife-
rencial do exemplo anterior,
d2y
dx2+x
dy
dx+(x2+5)y = 0 (5.9)
que nao tem nenhum ponto singular. Vamos achar uma solucao em torno de x0 = 0 (sao
duas solucoes, pois x0 = 0 e um ponto ordinario), na forma
y(x) =∞∑n=0
anxn (5.10)
Exemplo 75 Considerando a equacao diferencial
xd2y
dx2+dy
dx+2y = 0 (5.11)
5.2. Metodo de Frobenius 47
com as condicoes iniciais
y (1) = 2
y′ (1) = 4. Fazendo a suposicao 5.10 e analisando a serie
em torno do ponto x0 = 1, por causa das condicoes iniciais que sao dadas nesse ponto.
Entao
y(x) =∞∑n=0
an(x− 1)n (5.12)
sera nossa solucao tentativa.
Classifique, se houver, os pontos singulares das equacoes diferenciais abaixo:
Exercıcio 5.1 d2ydx2 − 1
x−3dydx
+ 2y = 0
Exercıcio 5.2 (x2 − 9) d2ydx2 − x−3
2dydx
+ y = 0
Exercıcio 5.3 x3 d2ydx2 − x−3
x+4dydx
+ 2xy = 0
Resolva, pelo metodo de series em torno de x0 = 0, as seguintes equacoes diferenciais:
Exercıcio 5.4 d2ydx2 + x dy
dx+ (2x2 − 1) y = 0
Exercıcio 5.5 (t− 3) d2xdt2
+ dxdt
− (t− 1)x = 0
Exercıcio 5.6 d2ydx2 − x dy
dx− xy = 0 com
y (0) = 1
y′ (0) = 0
5.2 Metodo de Frobenius
Analisemos dois casos em que o ponto seja singular.
Definicao 5.2 Considere a equacao (5.8) d2ydx2 +P1(x)
dydx
+P2(x)y = 0 sendo x0 um ponto
singular da equacao. Se (x− x0)P1 (x) e (x− x0)2 P2 (x) forem ambas analıticas, entao
x0 e um ponto singular regular. Se pelo menos uma nao for analıtica, x0 e um ponto
singular irregular.
Exemplo 76 Seja a equacao diferencial d2ydx2 +
1x−3
dydx
+ x2−1x−3
y = 0, verifique se tem ponto
singular e se for, verifique se e regular ou irregular.
Quando um ponto singular e regular, temos o seguinte teorema:
48 5.2. Metodo de Frobenius
Teorema 5.2 Se x0 e um ponto singular regular da equacao diferencial d2ydx2 +P1 (x)
dydx
+
P2 (x) y = 0 entao existe pelo menos uma solucao na forma
y (x)= |x− x0|r∞∑n=0
an (x− x0)n (5.13)
em torno de x0, onde r e um parametro a ser determinado.
Exemplo 77 Seja a equacao diferencial d2ydx2 +
1xdydx
+(x−52x2
)y = 0.
O teorema a seguir, estabelece as condicoes para a obtencao de solucoes:
Teorema 5.3 Se x0 e um ponto singular regular da equacao diferencial d2ydx2 +P1 (x)
dydx
+
P2 (x) y = 0 e r1 e r2 sao as raızes da equacao indicial associada a x0, com R (r1) ≥
R (r2), as solucoes da equacao diferencial sao: 1. Se r1− r2 = N, onde N e um numero
natural, as solucoes LI em serie sao
y1 (x) = |x− x0|r1∞∑n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = |x− x0|r2∞∑n=0
bn (x− x0)n
2. Se r1 − r2 = N, N = 0, as solucoes LI em serie sao
y1 (x) = |x− x0|r1∞∑n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = Cy1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|r2∞∑n=0
bn (x− x0)n
onde C e uma constante. 3. Se r1 = r2, as solucoes LI em serie ficam
y1 (x) = |x− x0|r1∞∑n=0
an(x− x0)n
e
y2 (x) = y1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|r1+1∞∑n=0
bn (x− x0)n
Nas solucoes acima se percebe que sempre ha uma serie para o valor maior de r, que
no caso e r1, dada por y1(x) = |x− x0|r1∞∑n=0
an(x− x0)n e o que muda e a outra solucao,
5.3. Equacao de Bessel 49
y2 (x). Dependendo da equacao diferencial do problema, achar a solucao y2 (x) pode ser
bastante complicado, e nao ha um metodo generico para encontrar y2 (x).
Exemplo 78 Resolva pelo metodo de Frobenius x2 d2ydx2 − x dy
dx−(x2 + 5
4
)y = 0.
Resolva pelo metodo de Frobenius as equacoes diferenciais.
Exercıcio 5.7 2x2 d2ydx2 − x dy
dx− (1 + x)y = 0.
Exercıcio 5.8 2x2 d2ydx2−x dy
dx+(1+x)y = 0. sol. y1 (x) = x
[1 +
∞∑n=1
(−1)n xn
[3.5.7...(2n+1)]n!
],
x > 0 e y2 (x) = x12
[1 +
∞∑n=1
(−1)n xn
[1.3.5...(2n−1)]n!
], x > 0
Exercıcio 5.9 2x d2ydx2 +
dydx
+ xy = 0.
Exercıcio 5.10 3x2 d2ydx2 + 2x dy
dx+ x2y = 0.
Exercıcio 5.11 x2 d2ydx2 − x(x+ 3) dy
dx+ (x+ 3)y = 0.
Exercıcio 5.12 2x2 d2ydx2 + 3x dy
dx+ (2x2 − 1)y = 0.
5.3 Equacao de Bessel
Uma das equacoes diferenciais mais importantes da matematica aplicada e a equacao
diferencial de Bessel
x2 d2y
dx2+ x
dy
dx+ (x2 − v2)y = 0 (5.14)
onde o parametro v e um dado numero. Imaginamos que v e real e nao negativo.
Como x = 0 e um ponto singular regular da equacao de Bessel, portanto, esta admite
uma solucao da forma
y (x) =∞∑n=0
cnxn+r (c0 = 0) (5.15)
Uma solucao particular da equacao de Bessel para o primeiro expoente r1 = v e
representado por :
Jv(x) = xv
∞∑n=0
(−1)nx2n
22n+vn!Γ(v + n+ 1)(5.16)
50 5.4. Equacao de Legendre
Alem disso, exatamente da mesma forma, obtemos para o segundo expoente r2 = −v
J−v(x) = x−v
∞∑n=0
(−1)nx2n
22n−vn!Γ(1− v + n)(5.17)
Esta solucao e conhecida como a funcao de Bessel de primeira especie de ordem v.
5.3.1 Funcoes de Bessel de segunda especie
Para v = n inteiro, as funcoes de Bessel Jn(x) e J−n(x) sao linearmente dependente e nao
constituem um sistema fundamental. Assim:
Teorema 5.4 (solucao geral) Uma solucao geral da equacao de Bessel para todos os va-
lores de v e
y(x) = c1Jv(x) + c2Yv(x)
onde Yv(x) = cos vπJv(x)−J−v(x)sin vπ
esta funcao, Yv, e conhecido como a funcao de Bessel de
segunda especie de ordem v ou funcao de Neumann de ordem v.
Exercıcio 5.13 x2y” + xy′ + (4x2 − 9)y = 0
Exercıcio 5.14 x2y” + xy′ + (25x2 − 49)y = 0
Exercıcio 5.15 x2y” + xy′ + (2x2 − 81)y = 0
Finalmente necessitamos de solucoes da equacao de Bessel que sejam complexas para
valores reais de x. Assim, as solucoes
H1v (x) = Jv(x) + iYv(x)
H2v (x) = Jv(x)− iYv(x)
Essas funcoes linearmente independentes sao chamadas funcoes de Bessel de terceira
especie de ordem v ou primeira e segunda funcoes de Hankel de ordem v.
5.4 Equacao de Legendre
A equacao diferencial de Legendre2
2Adrien Marie Legendre (1752-1833), matematico frances, que trabalhou muito para a teoriados numeros e funcoes elıpticas. As funcoes de Legendre, solucoes da equacao de Legendre,aparecem pela primeira vez em 1784 em seu estudo da atracao de esferoides.
5.4. Equacao de Legendre 51
(1− x) y′′ − 2xy′ +m (m+ 1) y = 0 (5.18)
ocorre frequentemente em estudos de matematica aplicada, engenharia e em numerosos
problemas fısicos, particularmente em problemas de condicoes de contorno para a esfera.
O parametro m em (5.18) e um numero real dado. Qualquer solucao de (5.18) e chamada
funcao de Legendre. Notamos que (5.18) pode ser escrita sob o aspecto [(1− x2) y′]′+
m (m+ 1) y = 0.
Dividindo (5.18) por (1− x2) obtemos a forma padrao y′′ + f (x) y′ + g (x) y = r (x)
e vemos que os coeficientes da equacao resultante sao analıticos em x = 0, de modo que
podemos aplicar o metodo da serie de potencias. Substituindo
y =∞∑n=0
cnxn (5.19)
e suas derivadas em (5.18).
52 5.4. Equacao de Legendre
Capıtulo 6
A TRANSFORMADA DE
LAPLACE
6.1 Definicao da transformada de Laplace
O metodo da Transformada de Laplace, e um metodo operacional que pode ser usado com
vantagens para resolver equacoes diferenciais lineares. Usando transformadas de Laplace,
podem-se converter muitas funcoes comuns, tais como funcoes senoidais, funcoes senoi-
dais amortecidas, e funcoes exponenciais em funcoes algebricas de uma variavel complexa.
Seja f(t) uma funcao definida em 0 ≤ t < ∞ e seja s uma variavel real arbitraria. A
transformada de Laplace de f(t), designada por L {f (t)} ou F (s), e
L {f (t)} = F (s) =
∫ ∞
0
e−stf (t) dt (6.1)
para todo os valores de s que tornem convergente a integral.
Determine a transformada de Laplace das funcoes
Exemplo 79 f (t) = a, t ≥ 0
Exemplo 80 f (t) = ae−αt, t ≥ 0
Determine a transformada de Laplace das seguintes funcoes (a e b sao constantes reais)
Exercıcio 6.1 f (t) = sin bt
Exercıcio 6.2 f (t) = e−at cos bt
54 6.2. Propriedades da transformada de Laplace
Exercıcio 6.3 f (t) = teat
Exercıcio 6.4 f (t) = t sin at
6.2 Propriedades da transformada de Laplace
Os teoremas que seguem, alem de outros aspectos, sao uteis para o calculo de transfor-
madas de Laplace.
Teorema 6.1 Multiplicacao por uma constante
L {af (t)} = aL {f (t)}
Teorema 6.2 Linearidade - Se a e b sao constantes, entao
L {af (t) + bg (t)} = aL {f (t)}+ bL {g (t)}
para todo s tal que as transformadas de Laplace das funcoes f e g ambas existem.
Teorema 6.3 Derivadas - Suponha que a funcao f(t) e contınua e suave por partes para
t ≥ 0 e e de ordem exponencial quando t → +∞, de modo que existem constantes nao
negativas M , c e T tais que |f(t)|>Mect para t ≥ T . Entao L {f ′(t)} existe para s > c,
e
L {f ′ (t)} = sL {f (t)} − f(0) = sF (s)− f(0)
Teorema 6.4 Integral - Se f (t) e uma funcao contınua por partes para t ≥ 0 e satisfaz
a condicao de ordem exponencial |f(t)|<Mec.t para t>T . Entao
L
{∫ t
0
f(T )dT
}=
1
sL {f (t)} =
F (s)
s
para s > c.
Teorema 6.5 Translacao no eixo s - Se F (s) = L {f (t)} existe para s > c, entao
L {eatf (t)} existe para s > a+ c, e
L{eatf (t)
}= F (s− a)
6.3. Transformadas inversas de Laplace 55
Teorema 6.6 Para qualquer inteiro positivo n,
L {tnf (t)} = (−1)ndn
dsn[F (s)]
Determine F (s) para as seguintes funcoes:
Exemplo 81 f(t) = 3 + 2t2
Exemplo 82 f(t) = 2 sin t+ 3 cos 2t
Exemplo 83 f(t) = e−t sin 5t
Determine a transformada de Laplace das seguintes funcoes:
Exercıcio 6.5 f(t) = t3 + 2 cos 3t sol. F (s) = 6s4+ 2s
s2+9
Exercıcio 6.6 f(t) = 5e2t + 7e−t sol. F (s) = 5s−2
+ 7s+1
Exercıcio 6.7 f(t) = 2t2 cos t
Exercıcio 6.8 f(t) = t2 sin 4t
6.3 Transformadas inversas de Laplace
Definicao 6.1 A operacao de obtencao de f (t) a partir da TL, F (s), e denominada
Transformada inversa de Laplace de F (s), e indicada por f(t) = L−1 [F (s)].
Exemplo 84 Se F (s) = 1s, entao L−1 [F (s)] = 1
Exemplo 85 E se F (s) = 1(s2+1)
, entao L−1 [F (s)] = sin x
Teorema 6.7 (Linearidade) - Se as transformadas inversas de Laplace de duas funcoes
F1 (s) e F2 (s) existem, entao, para quaisquer constantes c1 e c2
L−1 {c1F1 (s) + c2F2 (s)} = c1L−1 {F1 (s)}+ c2L
−1 {F2 (s)}
Determine a transformada inversa de Laplace de
Exercıcio 6.9 F (s) = 1s2+4
sol. L−1 [F (s)] = 12sin 2x
Exercıcio 6.10 F (s) = 2(s−2)2+9
sol. L−1 [F (s)] = 23e2x sin 3x
Exercıcio 6.11 F (s) = s(s+1)2+5
sol. L−1 [F (s)] = e−x(cos
√5x+
√55sin
√5x
)
56 6.3. Transformadas inversas de Laplace
6.3.1 Metodo do complemento do quadrado
Todo polinomio quadratico em s pode ser posto sob a forma a (s+ k)2+h2. Em particular,
as2 + bs+ c ≡ a (s+ k)2 + h2 onde k = b2a
e h =√c− b2
4a2.
Determine:
Exemplo 86 L−1{
1s2−2s+9
}Exemplo 87 L−1
{s+2
s2−3s+4
}Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de
Exercıcio 6.12 F (s) = 1s2−2s+2
sol. L−1 [F (s)] = ex sin x
Exercıcio 6.13 F (s) = s+3s2+2s+5
sol. L−1 [F (s)] = e−x (cos 2x+ sin 2x)
Exercıcio 6.14 F (s) = ss2−s+17/4
sol. L−1 [F (s)] = ex2
(cos 2x+ 1
4sin 2x
)6.3.2 Metodo das fracoes parciais (FP)
Quando a TL da solucao de uma equacao diferencial e uma funcao racional em s, podemos
escrever
F (s) =P (s)
Q(s)(6.2)
onde P (s) e Q(s) sao polinomios em s.
• Expansao em FP quando todos os polos de F (s) sao simples e reais
Se todos os polos de F (s) sao reais e simples a equacao (6.2) e escrita como:
F (s) =P (s)
Q(s)=
P (s)
(s+ s1)(s+ s2) · · · (s+ sn)(6.3)
Aplicando a tecnica de expansao em FP, a equacao (6.3) e escrita
F (s) =k1
s+ s1+
k2s+ s2
+ · · ·+ kns+ sn
(6.4)
onde os coeficientes ki sao determinados como a seguir
k1 =
[(s+ s1)
P (s)
Q(s)
]s=−s1
=P (−s1)
(−s1 + s2)(−s1 + s3)(−s1 + sn)(6.5)
6.3. Transformadas inversas de Laplace 57
Exemplo 88 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) = s+3s2+3s+2
.
• Expansao em FP quando alguns polos de F (s) sao de ordem multipla
Se r dos n polos de F (s) sao identicos, isto e, o polo em s = −σi e de multiplicidade
r, F (s) e escrito como a seguir
F (s) =P (s)
Q(s)=
P (s)
(s+ s1)(s+ s2) · · · (s+ si)r(s+ sn)(6.6)
Entao F (s) pode ser expandido como
F (s) =k1
s+ s1+
k2s+ s2
+ · · ·+ kns+ sn
+A1
s+ si+
A2
(s+ si)2+ · · ·+ Ar
(s+ si)r(6.7)
e os coeficientes k1, k2, ..., kn sao determinados como em (6.5) e os coeficientes Ai,
como a seguir
Ar =[(s+ si)
r P (s)Q(s)
]s=−si
Ar−1 =dds
[(s+ si)
r P (s)Q(s)
]s=−si
Ar−2 =12!
d2
ds2
[(s+ si)
r P (s)Q(s)
]s=−si
...................................................
A1 =1
(r−1)!dr−1
dsr−1
[(s+ si)
r P (s)Q(s)
]s=−si
Exemplo 89 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) = s2+2s+3s(s+1)3
• Expansao em FP quando F (s) apresenta polos complexos conjugados
Se s1 e s2 sao polos complexos conjugados, entao F (s) e escrito como a seguir
F (s) =P (s)
Q(s)=
P (s)
(s+ s1)(s+ s2)(s+ s3) · · · (s+ sn)(6.8)
Entao F (s) pode ser expandido como
F (s) =k1s+ k2
(s+ s1) (s+ s2)+
k3s+ s3
+ · · ·+ kns+ sn
(6.9)
Os coeficientes k3, k4, ..., kn sao determinados como em (6.5) e os coeficientes k1 e k2
como a seguir:
(k1s+ k2)s=−s1
[(s+ s1) (s+ s2)
P (s)
Q(s)
]s=−s1
(6.10)
58 6.3. Transformadas inversas de Laplace
como s1 e uma grandeza complexa, ambos os lados da equacao (6.10) sao grandezas
complexas, igualando as partes reais obtemos uma equacao. Da mesma forma,
obtemos uma equacao igualando as partes imaginarias.
Exemplo 90 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) = s+1s(s2+s+1)
.
Determine as transformadas inversas de Laplace de
Exercıcio 6.15 F (s) = 2s2
(s−1)(s2+1)sol. y (t) = et + cos t+ sin t
Exercıcio 6.16 F (s) = 1s2−1
sol. y (t) = 12et − 1
2e−t
Exercıcio 6.17 F (s) = 2(s2+1)(s−1)2
sol. y (t) = −et + tet + cos t
Exercıcio 6.18 F (s) = 2s−13s(s2−4s+13)
sol. y (t) = −1 + e2t cos3 t
Exercıcio 6.19 F (s) = 2(s−1)s2−s+1
sol. y (t) = et2
(2 cos
√32t− 2
√3
3sin
√32t)
Exercıcio 6.20 F (s) = 12(s−1)(s2−s−1)
sol. y (t) = −12et + 5+
√5
20e
1+√5
2t + 5−
√5
20e
1−√
52
t
6.3.3 Funcao Degrau Unitario
Algumas entre as mais interessantes aplicacoes elementares do medoto das transforma-
das aparecem na resolucao de equacoes diferenciais lineares com funcoes de entrada des-
contınuas ou impulsivas. As equacoes deste tipo aparecem, muitas vezes, na analise da
corrente em circuitos eletricos, na de oscilacoes em sistemas mecanicos ou curvaturas de
vigas. Sao funcoes que possuem um valor muito grande por um intervalo muito curto.
A funcao degrau unitario, tambem chamada funcao unitaria de Heaviside, e definida
por
ua(t) =
0, t < a,
1, t ≥ a,a ≥ 0. (6.11)
Em particular, quando a = 0
u0(t) =
0, t < 0,
1, t > 0.(6.12)
A funcao degrau unitaria pode ser usada para escrever funcoes definidas por parte em
uma forma compacta.
6.3. Transformadas inversas de Laplace 59
Exemplo 91 Tracar o grafico de y = h (t), onde h (t) = uπ (t)− u2π (t), t ≥ 0.
A transformada de ua(t) e £ {ua(t)} =∞∫0
e−stua(t)dt =a∫0
e−st0dt +∞∫a
e−st1dt =
−1se−st |∞a , isto e, supondo s > 0,
£ {ua(t)} =e−as
s. (6.13)
Para uma dada funcao f , definida para t ≥ 0, e muitas vezes necessario considerar
a funcao g que lhe e relacionada pela definicao y = g(t) =
0, t < a,
f(t− a), t ≥ a ,
∣∣∣∣∣∣ e que
representa uma translacao de f , de uma distancia a, na direcao dos t positivos. Em
termos da funcao degrau unitario podemos escrever g(t) em forma conveniente g(t) =
ua(t)f(t− a).
Teorema 6.8 Se F (s) = £ {f(t)} existe para s > c ≥ 0 e se a for uma constante
positiva, entao
£ {ua(t)f(t− a)} = e−as£ {f(t)} = e−asF (s), s > c. (6.14)
Reciprocamente, se f(t) = £−1 {F (s)}, entao
ua(t)f(t− a) = £−1{e−asF (s)
}. (6.15)
O teorema afirma, que a translacao de f(t), de uma distancia a, na direcao dos t
positivos, corresponde a multiplicacao de F (s) por e−as.
Exemplo 92 Seja a funcao f definida por f (t)=
sin t , 0 ≤ t < π/4
sin t+ cos (t− π/4) , t ≥ π/4,
achar £ {f(t)}.
Exemplo 93 Achar a transformada inversa de F (s) = 1−e−2s
s2.
Achar a transformada de Laplace da funcao dada.
Exercıcio 6.21 f (t) =
0 , t < 2
(t− 2)2 , t ≥ 2sol. F (s) = 2e−2s
s3
Exercıcio 6.22 f (t) =
0 , t < 1
t2 − 2t+ 2, t ≥ 1sol. F (s) = e−s
(2+s2
s3
)
60 6.3. Transformadas inversas de Laplace
Exercıcio 6.23 f (t) = u1 (t) + 6u3 (t)− 2u4 (t) sol. F (s) = 1s(e−s + 6e−3s − 2e−4s)
Exercıcio 6.24 f (t) = t− u1 (t) (t− 1) t ≥ 0 sol. F (s) = 1−e−s
s2
Achar a transformada inversa de:
Exercıcio 6.25 G (s) = 1s2−4s+5
sol. g (t) = L−1 {G (s)} = e2t sin t.
Exercıcio 6.26 G (s) = 3!(s−2)4
sol. L−1 {G (s)} = t3e2t.
6.3.4 Funcao impulso unitario ou funcao delta de Dirac
Considere a funcao
Fϵ(t) =
1/ϵ , 0 ≤ t ≤ ϵ
0, t > ϵ,(6.16)
onde ϵ > 0.
E geometricamente evidente que, quando ϵ → 0, a altura da regiao retangular som-
breada cresce indefinidamente e que a largura decresce de tal modo que a area e sempre
igual a 1, isto e,∫∞0
Fϵ(t)dt = 1.
Essa ideia levou alguns estudiosos a pensar numa funcao denotada por δ(t), que fosse
aproximada por Fϵ(t) quando ϵ → 0.
Eles chamaram essa funcao limite de funcao impulso unitario ou funcao delta de Dirac.
Algumas de suas propriedades sao
1.∫∞0
δ(t)dt = 1
2.∫∞0
δ(t)g(t)dt = g(0) para qualquer funcao contınua g(t).
3.∫∞0
δ(t− a)g(t)dt = g(a) para qualquer funcao contınua g(t).
6.3.5 Convolucoes
A transformada de Laplace da (inicialmente desconhecida) solucao de uma equacao dife-
rencial e algumas vezes reconhecida como o produto das transformadas de duas funcoes
conhecidas.
Exemplo 94 Quando transformamos o problema de valor inicial x′′ + x = cost;
x(0) = x′(0) = 0, obtemos X(s) = s(s2+1)2
= ss2+1
· 1s2+1
= L {cos t}•L {sin t}.
6.3. Transformadas inversas de Laplace 61
A nova funcao de t definida como a integral, depende apenas de f e g e e chamada
convolucao de f e g. E indicada por f ∗ g, a ideia sendo que e um novo tipo de produto
de f e g, feito sob medida, de modo que sua transformada e o produto das transformadas
de f e g.
Definicao 6.2 A convolucao de duas funcoes - A convolucao f ∗ g das funcoes contınuas
por partes f e g e definida para t>0 como segue
f(x) ∗ g(x) =x∫
0
f(t)g(x− t)dt (6.17)
Teorema 6.9
f(x) ∗ g(x) = g(x) ∗ f(x) e g(x) ∗ f(x) =x∫
0
g(t)f(x− t)dt (6.18)
Exemplo 95 Calcule f (x) ∗ g (x) e g (x) ∗ f (x) se f (x) = e3x e g (x) = e2x
Exemplo 96 Determine por convolucoes L−1{
1s(s2+4)
}.
Exercıcio 6.27 Determine f (x) ∗ g (x) ou g (x) ∗ f (x) se f (x) = 4x e g (x) = e2x. sol.
g (x) ∗ f (x) = e2x − (2x+ 1)
Exercıcio 6.28 Calcule f (x) ∗ g (x) se f (x) = x e g (x) = x2. sol. g (x) ∗ f (x) = 112x4
Utilize convolucoes para determinar a transformada inversa de Laplace de
Exercıcio 6.29 1(s−1)(s−2)
. sol. g (x) ∗ f (x) = e2x − ex
Exercıcio 6.30 1(s)(s)
. sol. g (x) ∗ f (x) = x
Exercıcio 6.31 2s(s+1)
. sol. g (x) ∗ f (x) = 2 (1− e−x)
Exercıcio 6.32 L−1{
1(s−1)2
}. sol. g (x) ∗ f (x) = xex
62 6.4. Resolucao, pela TL, de EDL com coeficientes constantes
6.4 Resolucao, pela TL, de EDL com coeficientes
constantes
6.4.1 Transformadas de Laplace de derivadas
Emprega-se o metodo das transformadas de Laplace para resolver problemas de valor
inicial dados por uma equacao diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes
bndny
dxn+ bn−1
dn−1y
dxn−1+ · · ·+ b1
dy
dx+ b0y = g(x) (6.19)
juntamente com as condicoes iniciais
y(0) = c0, y′(0) = c1, ..., y(n−1)(0) = cn−1 (6.20)
Denotemos L {y (x)} por Y (s). Se y (x) e suas n−1 primeiras derivadas sao contınuas
para x ≥ 0 e sao de ordem exponencial α, e se dnydxn ∈ Eα , entao
L
{dny
dxn
}= snY (s)− sn−1y (0)− sn−2y′ (0)− ...− sy(n−2) (0)− y(n−1) (0) (6.21)
Aplicando (6.20), podemos escrever (6.21) como
L
{dny
dxn
}= snY (s)− c0s
n−1 − c1sn−2 − ...− cn−2s− cn−1 (6.22)
Em particular, para n = 1 e n = 2, obtemos
L {y′ (x)} = s.Y (s)− c0 (6.23)
L {y′′ (x)} = s2Y (s)− c0.s− c1 (6.24)
6.4.2 Solucao do problema de valor inicial
Para resolver o problema de valor inicial dado por (6.19) e (6.20), primeiro tomam-se as
transformadas de Laplace de ambos os membros da equacao diferencial (6.19), obtendo-se
uma equacao algebrica em Y (s). Resolve-se em seguida esta equacao, em relacao a Y (s),
e toma-se a transformada inversa de Laplace, obtendo y(x) = L−1 {Y (s)}.
Ao contrario do que ocorre nos metodos anteriores (nos quais primeiro se determina
6.4. Resolucao, pela TL, de EDL com coeficientes constantes 63
a solucao geral da equacao diferencial, e em seguida se levam nela as condicoes iniciais
para determinacao das constantes arbitrarias), o metodo das transformadas de Laplace
em geral resolve todo o problema de valor inicial em um so passo. A unica excecao e
quando as condicoes iniciais nao sao dadas em x = 0.
Utilize a TL para resolver o problema de valor inicial proposto:
Exemplo 97 y′ − 5y = 0 para y (0) = 2
Exemplo 98 y′ − 5y = e5x para y (0) = 0
Exemplo 99 y′′ − 3y′ + 4y = 0 para y (0) = 1, y′ (0) = 5
Utilize a TL para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exercıcio 6.33 y′ + 2y = 0 para y (0) = 1 sol. y (x) = e−2x.
Exercıcio 6.34 y′ + 2y = ex para y (0) = 1 sol. y (x) = 23e−2x + 1
3ex
Exercıcio 6.35 y′′ − y = 0 para y (0) = y′ (0) = 1 sol. y (x) = ex
Exercıcio 6.36 y′′ − y = sin x para y (0) = 0, y′ (0) = 1 sol. y (x) = 34(ex − e−x)−
12sin x
Exercıcio 6.37 y′′−3y = sin 2t para y (0) = y′ (0) = 0 sol. y(x) = −√3
21e−
√3t+
√3
21e√3t−
17sin 2t
Exercıcio 6.38 y′′ + y′ + y = 0 para y (0) = 4, y′ (0) = −3 sol. y (x) =
e−x2
(4 cos
√32x− 16
√3
3sin
√32x)
Exercıcio 6.39 y′′ + 2y′ + 5y = 3e−2x para y (0) = y′ (0) = 1 sol. y (x) = 35e−2x +
e−x(25cos 2x+ 13
10sin 2x
)Exercıcio 6.40 y′′ + 16y = cos 4t para y (0) = y′ (0) = 1 sol. y (x) = 1
4sin 4t+ 1
8t sin 4t
Exercıcio 6.41 2y′′′ + 3y′′ − 3y′ − 2y = e−t para y (0) = y′ (0) = 0 e y′′ (0) = 1 sol.
y (t) = −89e−
t2 + 1
9e−2t + 5
18et + 1
2e−t
Exercıcio 6.42 y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = sin 3t para y (0) = y′ (0) = 0 e y′′ (0) = 1
Exercıcio 6.43 d2xdt2
+ 9x = 3δ(t− π) para x (0) = 1, dxdt(0) = 0
64 6.4. Resolucao, pela TL, de EDL com coeficientes constantes
No caso de termos as condicoes iniciais diferentes de zero, isto e, x = 0, temos:
Exemplo 100 y′′ − 3y′ + 2y = e−x para y (1) = 0, y′ (1) = 0
Exercıcio 6.44 y′′− y′−2y = 3e2x para y (1) = 0, y′ (1) = −2 sol. y (x) = −23e−x+1−
23e2x−2
Capıtulo 7
SISTEMA DE EQUACOES
LINEARES
7.1 Reducao de equacoes diferenciais lineares a um
sistema de primeira ordem
Todo problema de valor inicial da forma
bn(t)dny
dxn+ bn−1(t)
dn−1y
dxn−1+ · · ·+ b1(t)
dy
dx+ b0(t)y = g(t) (7.1)
x(t0) = c0, x (t0) = c1, ..., x(n−1)(t0) = cn−1 (7.2)
pode reduzir-se a um sistema matricial de primeira ordem
x(t) = A(t)x(t) + f(t) e x(t0) = c (7.3)
onde A(t), f(t), c, e o tempo inicial t0 sao conhecidos. O metodo de reducao e o seguinte:
• Reescrever (7.1) isolando dnxdtn
. Assim,
dnx
dtn= an−1(t)
dn−1x
dtn−1+ · · ·+ a1(t)x+ a0(t)x+ f(t) (7.4)
onde aj(t) = − bj(t)
bn(t)(j = 0, 1, ..., n− 1) e f(t) = g(t)
bn(t).
• Definir n novas variaveis (n = numero da ordem da equacao diferencial original),
66 7.1. Reducao de equacoes diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem
x1(t), x2(t),..., xn(t), pelas equacoes
x1(t) = x(t), x2(t) =dx(t)
dt, x3(t) =
d2x(t)
dt2, · · ·, xn(t) =
dn−1x (t)
dtn−1(7.5)
Essas novas variaveis acham-se interligadas pelas equacoes
x1(t) = x2(t)
x2(t) = x3(t)
x3(t) = x4(t)
...................
xn−1(t) = xn(t) (7.6)
• Expimir dxn
dtem termos dessas novas variaveis. Primeiro, diferenciamos a ultima
equacao de (7.5), obtendo xn(t) =ddt
[dn−1x(t)
dtn
]= dnx(t)
dtn. Entao, de (7.4) e (7.5),
xn(t) = an−1(t)dn−1x(t)dtn−1 + ...+ a1(t)x(t) + a0(t)x(t) + f(t)
= an−1(t)xn(t) + ...+ a1(t)x2(t) + a0(t)x1(t) + f(t)
Por conveniencia, reescrevemos esta ultima equacao de modo que x1(t) apareca antes
de x2(t) etc. Assim,
xn(t) = a0(t)x1(t) + a1(t)x2(t) + ...+ an−1(t)xn(t) + f(t) (7.7)
• As equacoes (7.6) e (7.7) constituem um sistema de equacoes diferenciais lineares
de primeira ordem em x1(t), x2(t), ... , xn(t). Este sistema e equivalente a equacao
matricial x(t) = A(t)x(t) + f(t) se definimos
x(t) =
x1(t)
x2(t)...
xn(t)
(7.8)
7.1. Reducao de equacoes diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem 67
f(t) =
0
0...
0
f(t)
(7.9)
A(t) ≡
0 1 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0...
......
.... . .
...
0 0 0 0 . . . 1
a0 (t) a1 (t) a2 (t) a3 (t) . . . an−1 (t)
(7.10)
• Definamos c ≡
c1
c2...
cn
. Entao as condicoes iniciais (7.2) podem ser dadas pela
equacao matricial (vetorial) x(t0) = c. Esta ultima equacao e consequencia ime-
diata de (7.8), (7.5) e (7.2), pois
x(t0) =
x1(t0)
x2(t0)...
xn(t0)
=
x(t0)
x(t0)...
x(n−1)(t0)
=
c1
c2...
cn−1
≡ c
Observe-se que se nao se prescreve nenhuma condicao inicial, os passos 1 a 4 por
si sos reduzem qualquer equacao diferencial linear (7.1) a equacao matricial x(t) =
A(t)x(t) + f(t).
Colocar o problema de valor inicial na forma (7.3).
Exemplo 101 x+ 2x− 8x = et; x(0) = 1, x(0) = −4
Exemplo 102 e−t d4xdt4
− d2xdt2
+ett2 dxdt
= 5e−t ; x(1) = 2, x(1) = 3, x(1) = 4,...x (1) = 5
Exemplo 103···x = tx+x− y+t+1 e y = (sin t)x+x−y+t2; x(1) = 2, x(1) = 3,
x(1) = 4, y(1) = 5, y(1) = 6.
68 7.1. Reducao de equacoes diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem
Defina x(t), A(t), f(t), c e t0 de modo que o sistema dado seja equivalente ao sistema
(7.1).
Exercıcio 7.1 x− 2x+ x = t+ 1 para x(1) = 1, x(1) = 2. sol x (t) ≡
x1 (t)
x2 (t)
A (t) ≡
0 1
−1 2
f (t) ≡
0
t+ 1
c ≡
1
2
t0 = 1
Exercıcio 7.2 2x + x = 4et para x(0) = 1, x(0) = 1. sol x (t) ≡
x1 (t)
x2 (t)
A (t) ≡
0 1
−12
0
f (t) ≡
0
2et
c ≡
1
1
t0 = 0
Exercıcio 7.3 et···x− tx+ x− etx = 0 para x(−1) = 1, x(−1) = 0, x(−1) = 1. sol
x (t) =
x1 (t)
x2 (t)
x3 (t)
A (t) =
0 1 0
0 0 1
1 −e−t te−t
f (t) =
0
0
0
C =
1
0
1
e t0 = −1.
Exercıcio 7.4···x = t para x(0) = 0, x(0) = 0 , x(0) = 0. sol x (t) =
x1 (t)
x2 (t)
x3 (t)
A (t) =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
f (t) =
0
0
t
C =
0
0
0
e t0 = 0.
Exercıcio 7.5
x = x+ y − z + t··y = tx+ y − 2y + t2 + 1
z = x− y + y + z; x(1) = 1, x(1) = 15, y(1) = 0, y(1) = −7, z(1) = 4
.
sol x (t) =
x1 (t)
x2 (t)
y1 (t)
y2 (t)
z1 (t)
A (t) =
0 1 0 0 0
0 1 0 1 −1
0 0 0 1 0
t 0 1 −2 0
1 0 −1 1 1
f (t) =
0
t
0
t2 + 1
0
C =
1
15
0
−7
4
e t0 = 1.
Exercıcio 7.6 x+ 2x− 8x = 0; x(1) = 2, x(1) = 3
7.2. Calculo de eAt 69
Exercıcio 7.7
x = −2x− 5y + 3
y = x+ 2y; x(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = 1
Exercıcio 7.8
x = x+ y
y = 9x+ y.
7.2 Calculo de eAt
Teorema 7.1 Se A e uma matriz com n linhas e n colunas, entao
eAt = αn−1An−1tn−1 + αn−2A
n−2tn−2 + . . .+ α2A2t2 + α1At+ α0I, (7.11)
onde α0, α1, ..., αn−1 sao funcoes de t a serem determinadas para cada A.
Por exemplo, quando A tem duas colunas e duas linhas, n = 2 entao, eAt = α1At+α0I,
agora se n = 3, temos eAt =.
Teorema 7.2 Seja A tal como no Teorema anterior, e definimos
r(λ) ≡ αn−1λn−1 + αn−2λ
n−2 + . . .+ α2λ2 + α1λ+ α0. (7.12)
Entao, se λi e um autovalor de At,
eλi = r(λi). (7.13)
Alem disso, se λi e um autovalor de multiplicidade k, k > 1, entao valem tambem as
seguintes equacoes:
eλi = ddλr(λ)|λ=λi
eλi = d2
dλ2 r(λ)|λ=λi
. . . . . . . . . . . .
eλi = dk−1
dλk−1 r(λ)|λ=λi
Exemplo 104 Seja A uma matriz 4 × 4, e sejam λ = 5t e λ = 2t autovalores de At de
multiplicidade tres e um, respectivamente. Entao,
Exemplo 105 Calcule eAt para A =
1 2
4 3
.
70 7.2. Calculo de eAt
Exemplo 106 Calcule eAt para A =
3 1 0
0 3 1
0 0 3
.
7.2.1 Uso da Transformada de Laplace para o Calculo de eAt
Sabemos que x = eAt e uma solucao de x = Ax. De fato , como eA0 = I, x = eAt e uma
solucao do prolema de valor inicial
x = Ax(t) , x(0) = I (7.14)
Se x(s) = L{x(t)} = L{eAt}, entao a transformada de Laplace de (7.14) sera
sx(s)− x(0) = Ax(s) ou (sI − A)x(s) = I. (7.15)
Multiplicando a ultima equacao por (sI − A)−1 obtemos que x(s) = (sI − A)−1I =
(sI − A)−1. Em outras palavras,
L{eAt} = (sI − A)−1 ou eAt = L−1{(sI − A)−1}. (7.16)
Calcule eAt para:
Exercıcio 7.9 A =
0 1
8 −2
. sol.eAt = 16
4e2t + 2e−4t e2t − e−4t
8e2t − 8e−4t 2e2t + 4e−4t
Exercıcio 7.10 A =
12
12
−32
52
. sol. eAt = 12
3et − e2t e2t − et
3et − 3e2t 3e2t − et
Exercıcio 7.11 A =
3 −1
1 1
. sol. eAt = e2t
t+ 1 −t
t 1− t
Exercıcio 7.12 A =
0 0 0
1 0 0
1 0 1
. sol. eAt =
1 0 0
t 1 0
et − 1 0 et
7.3. Resolucao de sist. lineares com coeficientes constantes 71
7.3 Resolucao de sist. lineares com coeficientes cons-
tantes
Pelo processo anterior, qualquer sistema linear com coeficientes constantes pode ser redu-
zido a uma unica equacao diferencial matricial x(t) = Ax(t) + f(t), onde A e uma matriz
constante. Tal equacao e formalmente equivalente a (2.11) com p(x) = −a, constante.
O sistema matricial
x(t) = Ax(t) + f(t); x(t0) = c (7.17)
tem a solucao
x(t) = eA(t−t0)c+ eAt
∫ t
t0
e−Asf(s)ds (7.18)
ou equivalente
x(t) = eA(t−t0)c+
∫ t
t0
eA(t−s)f(s)ds (7.19)
Em particular, se o problema de valor inicial e homogeneo (isto e, se
f(t) = 0), entao ambas as equacoes (7.18) e (7.19) se reduzem a
x(t) = eA(t−t0)c (7.20)
Nas solucoes acima, as matrizes eA(t−t0) , e−As, e eA(t−s) se calculam facilmente a partir
de eAt substituindo a variavel t por t − t0, −s, e t − s, respectivamente. Em geral, x(t)
se obtem mais rapidamente a partir de (7.19) do que a partir de (7.18), pois a primeira
equacao envolve uma multiplicacao matricial a menos. Todavia, as integrais que surgem
em (7.19) sao, em geral, mais difıceis do que as que aparecem em (7.18).
Quando nao ha condicoes iniciais prescritas, a solucao de x(t) = Ax(t) + f(t) e
x(t) = eAtk + eAt
∫e−Atf(t)dt (7.21)
ou, quando f(t) = 0,
x(t) = eAtk (7.22)
onde k e um vetor constante arbitrario. Todas as constantes de integracao podem ser
desprezadas no calculo da integral em (7.21), pois ja se acham incorporadas em k.
Resolva as equacoes:
72 7.3. Resolucao de sist. lineares com coeficientes constantes
Exemplo 107··x+ 2
·x− 8x = 0, sendo x(1) = 2 e
·x(1) = 3
Exemplo 108··x+ 2
·x− 8x = et, sendo x(0) = 1 e
·x(0) = −4.
Exemplo 109··x− 6
·x+ 9x = t.
Resolva as equacoes:
Exercıcio 7.13··x + 2
·x − 8x = 0 para x(1) = 1,
·x(1) = 0 sol. x (t) =
13
2e2(t−1) + e−4(t−1)
4e2(t−1) − 4e−4(t−1)
Exercıcio 7.14
··x+ 2
·x− 8x = 4 para x(1) = 0,
·x(1) = 0
sol. x (t) = 13
−32+ e2(t−1) + 1
2e−4(t−1)
2e2(t−1) − 2e−4(t−1)
Exercıcio 7.15
··x+ 2
·x− 8x = 9e−t para x(0) = 0,
·x(0) = 0
Exercıcio 7.16···x = 6t para x(0) = 0,
·x(0) = 0,
··x(0) = 12
Resolva os sistemas:
Exercıcio 7.17
··x = 2
·x+ 5y + 3
·y = − ·
x− 2yx(0) = 0,
·x(0) = 0, y(0) = 1
Exercıcio 7.18
·x = x+ 2y·y = 4x+ 3y
Exercıcio 7.19
··x = 3
·x+ 5x+ 5y + 4·y =
·x− 2y
x(1) = 0,·x(1) = 0, y(1) = 1
Capıtulo 8
FORMULAS
FORMULAS BASICAS DE DERIVACAO
1. y = c y′ = 0 c = constante
2. y = (u)n y′ = n.un−1.u′
3. y = (c.un) y′ = c.n.un−1.u′
4. y = u± v y′ = u′ ± v′
5. y = (u.v) y′ = u′.v + u.v′
6. y =(uv
)y′ = u′.v−u.v′
v2
7. y = sin u y′ = cosu.u′
8. y = cosu y′ = − sinu.u′
9. y = tanu y′ = sec2 u.u′
10. y = cotu y′ = − csc2 u.u′
11. y = sec u y′ = sec u. tanu.u′ ou y′ = tanucosu
.u′
12. y = csc u y′ = − cscu. cotu.u′ ou y′ = − cotusinu
.u′
13. y = arcsin u y′ = 1√1−u2 .u
′
14. y = arccos u y′ = −1√1−u2 .u
′
15. y = arctanu y′ = 11+u2 .u
′
16. y = arccotu y′ = −11+u2 .u
′
17. y = arcsecu y′ = 1u√u2−1
.u′
18. y = arccscu y′ = −1u√u2−1
.u′
19. y = lnu y′ = 1u.u′
20. y = eu y′ = eu.u′
21. y = au y′ = au. ln a.u′
22. y = a log u y′ = 1u·ln a
.u′
74 Capıtulo 8. FORMULAS
FORMULAS BASICAS DA INTEGRACAO
1.∫undu = un+1
n+1+ c (n = −1)
3.∫sinudu = − cosu+ c
5.∫sec2 udu = tanu+ c
7.∫secu tanudu = sec u+ c
9.∫cscu cotudu = − cscu+ c
11.∫secudu = ln |secu+ tanu|+ c
13.∫sin2 udu = 1
2u− 1
4sin 2u+ c
15.∫
du√a2−u2 = sin−1 u
a+ c
17.∫
duu√u2−a2
= 1asec−1
∣∣ua
∣∣+ c
19.∫eudu = eu + c
2.∫
duu= ln |u|+ c
4.∫cosudu = sin u+ c
6.∫csc2 udu = − cot u+ c
8.∫tanudu = − ln |cosu|+ c
10.∫cotudu = ln |sinu|+ c
12.∫cscudu = ln |cscu− cotu|+ c
14.∫cos2 udu = 1
2u+ 1
4sin 2u+ c
16.∫
dua2+u2 = 1
atan−1 u
a+ c
18.∫udv = uv −
∫vdu+ c
20.∫audu = au
ln a+ c
FORMULAS TRIGONOMETRICAS
sin2 u+ cos2 u = 1 1 + tan2 u = sec2 u
1 + cot2 u = csc2 u tan u = sinucosu
cotu = cosusinu
tan u. cotu = 1
sinu. cscu = 1 cosu. secu = 1
sin2 u = 1−cos 2u2
cos2 u = 1+cos 2u2∣∣sin u
2
∣∣ = √1−cosu
2
∣∣cos u2
∣∣ = √1+cosu
2
sin (u± t) = sinu cos t± cosu sin t cos (u± t) = cos u cos t∓ sinu sin t
tan (u± t) = tanu±tan t1∓tanu tan t
sin 2u = 2 sinu cosu
cos 2u = 2 cos2 u− 1 = 1− 2 sin2 = cos2 u− sin2 u tan 2u = 2 tanu1−tan2 u
tan u2= 1−cosu
sinu= sinu
1+cosusinu cos t = 1
2[sin (u+ t) + sin (u− t)]
cosu sin t = 12[sin (u+ t)− sin (u− t)] cosu cos t = 1
2[cos (u+ t) + sin (u− t)]
sinu sin t = 12[cos (u− t)− cos (u+ t)]
Capıtulo 8. FORMULAS 75
FORMULAS BASICAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
f(t) F (s) = £ {f (t)}
1. 1 1s
2. t 1s2
3. tn−1 (n = 1, 2, . . .) (n−1)!sn
4.√t 1
2
√πs−
32
5. 1√t
√πs−
12
6. tn−12 (n = 1, 2, . . .) (1)(3)(5)...(2n−1)
√π
2ns−n− 1
2
7. eat 1s−a
8. sin at as2+a2
9. cos at ss2+a2
10. t sin at 2as(s2+a2)2
11. t cos at s2−a2
(s2+a2)2
12. tn−1eat (n = 1, 2, . . .) (n−1)!(s−a)n
(s > a)
13. ebt sin at a(s−b)2+a2
(s > b)
14. ebt cos at s−b(s−b)2+a2
(s > b)
15. t sin at 2as(s2+a2)2
16. t cos at s2−a2
(s2+a2)2
17. sin at+ at cos at 2as2
(s2+a2)2
18. sin at− at cos at 2a3
(s2+a2)2
76 Capıtulo 8. FORMULAS
Referencias Bibliograficas
[1] ABUNAHMAN, S. A. Equacoes diferenciais. Ed. LTC.
[2] APOSTOL, Tom M. Calculus. VolII, Ed. Reverte S.A., 1967.
[3] AYRES Jr., Frank. Equacoes diferenciais. SP, Ed. McGraw-Hill, 1959.
[4] BASSANEZI, R. C. e FERREIRA Jr, W. C. Equacoes diferenciais com aplicacoes.
SP, Ed. Harbra, 1988.
[5] BOYCE, Willian E. e PRIMA, Richard C. Di. Equacoes diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. RJ, LTC, 1994.
[6] BRONSON, Richard. Moderna introducao as equacoes diferenciais. SP: McGraw-Hill,
1977.
[7] EDWARDS Jr., C. H. e PENNEY, David E. Equacoes diferenciais elementares com
problemas de contorno. RJ: Prentice-Hall do Brasil, 1993.
[8] FIGUEIREDO, Djairo G. de e NEVES, A. F. Eq. diferenciais aplicadas. RJ: IMPA,
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[10] KREYSZIG, Erwin. Matematica superior. Vol. 1 RJ, LTC, 1969.
[11] LEIGHTON, Walter. Equacoes Diferenciais Ordinarias. RJ, LTC,1970.
[12] MACHADO, Kleber Daum. Equacoes diferenciais aplicadas a fısica. Ed. UEPG, 1999.
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[14] PISKOUNOV, N. Calculo diferencial e integral. Vol. 2, Ed. Lopes da Silva.
78 Referencias Bibliograficas
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[16] SPIEGEL, M. R. Transformadas de Laplace. Colecao Schaum. Ed.McGraw-Hill.
[17] ZILL, Demis G. Equacoes Diferenciais.
