Fortschritte der Pliysik 26, 743-763 (1977)

uber die Bedeutung der Fouriertransformation fur die optische Abbildung

C . HOFMANN

Jenu, DDR

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daB die Fouriertransformation in guter Niiherung die drei grundliegenden Bspekte dcr reelen optischen Abbildung Beugung (exakt im Fraunhoferfall), KohLrenz des Licht.es und die UbertriLgungseigenschaften des optischen Systems beschreibt. Eine optische Abbildung kann in die beiden Schritte der Beugung am Objekt, die mathematisch durch die Fouriertransformation der Objektamplitudenverteilung in die Pupillenebene rnodelliert werden kann, und der Filterung und 'Beugung des Objektspektrums an der Pupille, die durch die inverse Fouriertransformation des be- schnittenen Beugungsspektrums der Objektainplitudenverteilung von der Pupillen- in die Bildebene beschrieben werden kann, zerlegt werden. Die Anwendungsmoglichkeit dieser beiden Fourier- schritte auf verschiedene optische Systeme wie Fouriertramformationsoptik, holographische Spei- cherung, Mikroskopoptik und Photoobjektive wird arif der Grundlage der Fouriertheorie der partiell koharenten Abbildung diskutiert.

On the Significance of the Fourier Transformation in the Optical Imaging

Abstract

It is shown that the Fourier transformation describes in a good approximation the three. basic aspects of the real optical imaging as diffraction (exnctly in the Fraunhofer case), coherenceof light,, and trims- fer characterist,ic of the optical system. An optical imaging consists of two steps as diffraction by the object, mathematically modelled by the Fourier transformation of the object amplitude distribution into the pupil plan, a.nd cutoff of the object diffraction pattern and diffraction by the pupil, describing by the inverse Fourier transformation of the cutoff object diffraction amplitude distribution from t,he pupil plan into the image plan. The applicability of these two Fourier steps in different optical systems ih9 optical Fourier transformation objectivw, holographic imaging, microscope optics, and photo objectives is discussed on the basic of t.he Fourier theory of the partiell coherent imaging.

Einleitung

Durch eine optische Abbildung sol1 von einem Ohjekt ein diesem ahnliches Bild erzeugt werden. In nullter Naherung kann diese Objekt.-Bild-Transformation durch die GauBsche Kollineation [Fi] beschrieben werden, die den an eine ideale punktformige Abbildung gestellten Anforderungen entspricht und sich strahlenoptisch konstruieren lBBt (Bild 1 a). Bildpunkte sind dabei die Schnittpunkte homozentrischer Strahlenbiindel. Dieses

54 Zeitnchri ft ,,Portschritte der Physik", Hcft 12

744 C. HOBMANN

Modell stellt aber nur eine mathematische Piktion dar. da ea sich aus enereetischen " Griinden nur im paraxialen Raum optischer Systeme physikalisch realisieren 15Bt [III. Gegeniibef der GauBschen Kollineation stellt die geometrisch-optische Abbildung die erste Niiherung fur die mit Lichtstrahlen recrlisierbare physikalische Abbildung dar. Die von diesem interferenz- optischen Modell vorausgesetzte Existenz von Lichtstrahlen wird fiir optische Systeme mit unendlich groBer Pupille nach der Eikonalgleichung durch die Wellennormalen realisiert. Da die Bildentetehung

H auptebenen

Bild I. Modelle der optischen Abbildung eines Objektpunktes O(x) mit der Intensit&t. I (x) , der in der Bildebene die Inten- sitlitsverteilung I'(a') entspricht. a) GauDsche Kollineation ale mathematische, ideal punktuelle Abbildung b) Geometrisch-optkche Abbildung als Interferenz von Strahlen mit konstanter optiseher Weglilnge uud init

c) Wellenoptische koMrente Zwei-Schritt-Abbildung mit -Filterung des Beugungsspektrums des Objektes durch Punktbildverwmhung durch die Stiahlaberrationen

F'upillenbeschnitt, der dnrch Beugung an der Pupille zur Punktbildverwuschung ftihrt

Uber die Bedeutung der Fouriertrensformetion fur die optische Abbildung 745

durch Interferenz der durch ein optisches System durch Brechung abgelenkten Lichtstrahlen erfolgt, entatehen Bildpunkte nur an Schnittpunkten von Strahlen mit konstanter optischer Weglange (Bild 1 b). Diese Interferenzbedingung wird durch das Fermatsche Prinzip in Verbindung mit dem Satz von Malus renlisiert. Die angestrebte Punktformigkeit der Abbildung wird in der geometrischen Optik durch die Strahlaberrationen des optischen Ubertragungssystems gestiirt, die fiber entsprechen- de Wellenaberriltionen [19] die geforderte Eikonalkonstanz stijrende Phasenfehler hervorrufen. Weitere Storungen der optischen Ubertragung treten durch die endlichen Pupillendurchmesser auf, die die Strahlenbiindel beschneiden und der fdkussierenden Wirkung der Strahlenbrechung entgegen- wirkende Beugungseffekte hervorrufen. Dies bedeutet, daR man von der geometrischen zur wellen- optischen Abbildung ubergehen muB, nach der die geforderte Panktformigkeit der Abbildung prin- zipicll durch eine aus der Beugung und den geometrisch-optischen Aberrationen resultierende Punkt- bildverwaschong gestort ist. Obwohl exakt an jeder strahlbegrenzenden offnung einea optischen Systems Beugung auftritt, he- nutzt man in der Praxis ein vereinfachtea Modell, bei dem nur Beugung an der Aperturblende auftritt und dns Beugungsbild durch die brechende Wirkung des optischen Systems in die Bildebene iLb- gebildet wird. Da aiich bereits am Objekt Beugung auftritt (die zwar bei der Abbildung makroskopischer Objekte und bei der Objektbeleuchtung durch ausgedehnte Lichtquellen meist vernachlaasigt wird), muB man in diesem wellenoptischen Modell eine 2-Schritt-Abbildung annehmen (Bild 1). Im ersten Schritt wird am Objekt gebeugt und die Beugungserscheinung in die Blendenebene transformiert. Da durch den BQndelbeschnitt der Blende Beugungsordnungen unterdriiokt wurden, erfolgt in der Blendenebene eine optische Filterung. Die nicht beschnittenen Beugungsordnungen des Objektes werden an der Blende nochmals gebeugt und in die Bildebene transformiert, wobei dieser zweite Abbildungsschritt zwar dem ereten invers ist, aber infolge des bundelbeschneidenden Eingriffs in der Pupillenebene an Stelle einea ideden Punktbildes ein Beugungaspektrum in Form eines verwaschenen Punktbildes erzeugt (Bild 1 c). Die boiden Abbildungsschritten entsprechenden Transformationen beschreiben die spektrale Zer- legung der raumlichen Struktur dea Objektes bzw. der Pupille durch Beugung und konnen u n k r ge- wiasen Einschriinkungen durch Fouriertramformationen mathematisch modelliert werden [13]. Exibkt entspricht bei der Fraunhoferschen Beugung die Amplitudenverteilung im Beugungsbild dem Fourier- spektrum der Amplitudenverteilung dea Objektes.

Die von den Kohiirenzeigenscheften des Lichtes abhangige Uberlagerung der von den einzelnen Punkten eines ausgedehnten Objektes ausgehenden und durch Wellen- aberration und Beugung deformierten und deshalb nicht mehr in diskreten Bild- punkten konvergierenderi Wellen bedingt den EinfluB der Objektstruktur auf die optische Abbildung. Die durch ein optisches System bewirkte Transformation der Helligkeitsverteilung yon Objekt- und Bildebene ist deshalb unvollkommen und von den zu ubertragenden Objektdetails, vom optischen Ubertragungssystein und voii der Koharenz des Lichtes abhiingig. Bei der Behandlung der realen optischen Abbildung inussen deshalb im Gegensatz zur mathematischen kollinearen Objekt-Bild-Trans- formation Beugung und Kohiirenz des Lichtes sowie die daraus resultierenden Uber- tragungseigenschaften des abbildenden Systems beriicksichtigt werden. Alle diese 3 grundlegenden Aspekt,e konnen in guter Niiherung theoretisch mit Hilfe der Fourier- t,ransformation behandelt werden [I?'].

Obwohl die Fouriertransformation die Basis der Abbeschen Theorie der mikroskopischen Abbildung [ I ] darstellt und bereits 1932 im Phasenkontrastverfahren nach ZERNWE [,"I], [2] eine weitere tech- nische Anwendung gefunden hat, wird sie erst seit den 6Oer Jahren nach Ubernahme von Analogien der elektrischen Nachrichtentheorie in die Optik durch DUFFIEUX [7] und HOPKINS [Id] als metho- disches Hilfsmittel fur die optische Informationsubertragung [21] und fur die Bildgiitebewertung [9] benutet. Dem systematischen Ausbau der Fouriertheorie der optischen Abbildung - insbesondere fur die partiell-koharente Abbildung - stand anfangs der groBe rechentechnische Aufwand entgegen, der zur numerischen Berechnung der im allgemeinen nicht geschloasen losbaren Fourierintegrale er- forderlich ist. Erst durch den 1966 von COOLEY und TUKEY [a] entwickeltenFormalismus zur schnel-

54*

746 C. HOFMANN

len ~O~Iriertransformation [ I l l ist die numerische Behandlung der Pouriertheorie der optischen Ab- bildung niit okonomisch vertretbareni Aufwand praktisch moglich geworden.

1. Fouriertransformation und Fraunhofersche Beugung

Nlach der skalarcn Beugungstheorie ist die komplexe Amp1 itudent,ransparenz

eines kohiirent durch eine in einem achsennahen Punkt L(xL) angeordnete Pnnktlichtquelle niit der Lichtstiirke J ( z L ) beleuchteten, ebenen, beugenden Objektes durch eine Integraltransforination niit der Lichterregung

+W

' exp ( - - ~ / C ( T ~ + T ~ ) ) dzA dy, ( 2 ) TP'L

-- m

verkniipfb [ 231. Die Koordinaten

xQ = ("Q, YO) (3)

beLeichnen in ausgewiihlten, der Objektebene parallelen Ebenen die Abstiinde voii Punkten Q(sg: yo) von der im Zentrum des beugenden Objektes als Normale errichteten Achse (Bild 2). Die auf dieser Achse gemessenen AbstLnde der einzelnen Ebenen von der Objektebene werden mitpg bezeichnet.

P

A u f fanjsebene

Rild 2. Geo~netrisclie Reziehnnge~l ,..viselieti den1 Or1 L(PI.) einer Punktlirlltquelle. den Punk%!l A(=< einee beugenden Objektes und dew Aufpunkt P(sp), in deni die BeuguIigsiiitensitbit. bestinlnlt Yird (lies x statt E ) .

Durch Reihenentwicklung der Abstiinde der Objektpunkt A ( z , ) vom Aufpunkt P ( z p )

bzw. von der Lichtquelle I@,)

Uber die Bedeutung der Fouriertransformation fur die optische Abbildung 747

bis zu Termen, die die Koordinaten qudratisch enthalten, erhdt man die Fresnelsche Niherong

bzw. bei Vernwhliissigung der in den Offnungskoordinaten quadrittischen Glieder die fur in1 Verhiilt- nis zur beugenden Offnung sehr groRe Abstiinde der Lichtquelle und dea Aufpunktes vom beugenden Objekt geltende Fraunhoferschen Niiherung

t m

des Kirchhoffwhen Beugungsintcgrals (2). Der von den Objektkoordinaten unnbhiingige Faktor C(xp, xL) ist, durch

-zk Pp i- PI, $- - - + - Y 3)) C ( X p , X , ) = -___ i r n e x p { . ( APPPL 2 PP

gegeben. Wegen

-- x p - A, = (mp, Bp) PP

und

IiiBt sich GI. (2 b) auch dnrch die Winkelkoordinaten A, und A , des Aufpunktm und der Lichtquelle ditrstellen:

Der Vergleich der Gln. (2 b) und ( 2 ~ ) mit einem zweidiniensionulen Fourierintegrd

+ m

f ( x ) = f f F ( w ) exp (2niwxj dp du - W

dessen Frequenzvektor W P , 4 = O C , 4

(7)

sei, zeigt, dnR die Amplitude im Fraunhoferschen Beugungsbild der Fouriertransforrnierbn der Amplitudentrensparenz des beugenden Objektes proportional ist. Durch die Fourierrucktransformation der Beugungsamplitude knnn man die Amplit,udent,rnnsp;irenz des Objektes

u p ( A p - A,) exp { --ilwc,(Ap - A,,)} clap dBp (9) A*C(Ap, A , ) .sjJ Y A ( X A ) =

-m

rekonstruieren. Physikalisch ist eine derartige Rekonstruktion problemaitisch, da nur die upup*-pro- portionale Beugungeinteiisitiit, aber nicht die komplese .4mplitude up meebitr ist. Nur wenn es wie in der Holographie gelingt, die komplexen AmpMuden interferometrisch ZII registrieren, ist. bei Ver- nachlisigung des Beschnitta vonup(;ep) durch die endliche HologrammgroRe eine Objektrekonstruk- tion aus dem Beugungsbild entsprechend GI. (9) moglich. Bei der koharenten optischen Abbildung er- folgt durch die% Riicktransformation (9) des Beugangsbildes des Objektw der Aufbau des Bildes.

748 C. HOFMANN

I h der Beugungswinkel (Ap - A,) von der Gitterkomtunten AxA im Objekt nbhangt, deren Kezi- proke

(10) 1

= 26.4 = 01.4, V A ) - 45.4

als Raurnfrequenz bezeichnet w i d , entspricht jedem Bougungswinkel eine Raurnfrequenz

1 1 w.4 = -(AP -A, , ) . (11)

1 h m Winkel A,, unter dem die Lirlitquelle erscheint, liiBt. sich ebenfalls formal eine Rauinfrequenz

( 1 14) 1

1 tor, = - A,,

xuordnen. 80 daB der Winkelkoordinnte Ap dee Aufpunktes die Raumfrequenzsumme

(1 1 b) 1 to,, 4- WL = T A P

Sqiiivnlent iet. I:titcr Beriicksichtigung von (1 1) er l idt man an Stolle der E’ouriertranaformationen ( 2 c ) und (9)

A h Foiiriertransformierte der Amplitodenverteilung des Objektes etellt nach GI. (12) die Licht- erregung iin Beugungsbild den in Sinusgitter qxk t r a l zerlegten Amplitudenverlauf dea Objektea dar.

Ausgehend davon, daB das Fraunhofemche Beugungsbild zweier Objektpunkte ein System paralleler, aquidistanter Interferenzstreifen ist, dal3 also durch Interferenz des am Objektzentrum A(0) und an einem beliebigen Objektpunkt A ( z A ) gebeugten Lichtes ein siniisformiges Amplitudengitter mit der durch die Lage des Objektpunktev A(z , , ) fixierten Raumfrequenz

(14)

erzeugt wird, kann man in den Gln. (3c) und (9) auch die Koordinatcn xA des Objektes durch die Raumfrequenzen wp im Fraunhoferschen Beugungsbild ausdriicken. Man erhalt die Fourierreziprozitat zwiachen der komplexen Amplitude dea Beugungsbildes im Ortsraum

* A W,’ = ( p p , v p ) = - = {(A,, - AL) ppj-‘

).PP

und der dieeen in Sinusgitter spektral zerlegten Amplitudenverlauf des Beugungsbildw datntellenden Objektamplitude im Frequenzraum

Uber die Bedeutung der Fouriertransformation fur die optisohe Abbildung 749

2. Fouriertransformation und Freeneleche Beugung

Die Modellierung der Fraunhoferschen Beugung durch die Fouriertransformation (2 c) ist fur die optische Abbildung wegen der dabei unzulassigen Vernachlassigung der Fresnelschen Beugungsanteile zunachst ohne Bedeutung. Man kann aber das Fresnelsche Beugungsintegral '(2 a) als Fouriertransformation der mit dem Fresnelterm

exp { - ;z- xAa ($ + k)} multiplizierten Amplitudentransparenz y A ( o d ) des beugen-

den Objektes auffassen. Der Fresnelterm ist der komplexen Amplitudentransparenz

i k

einer Linse der Dicke do und der Brechkraft

F=-(++&) 1

proportional, die sich aus der linsenbedingten Phasenverschiebung (Bild 3)

p?F(xA) = k(n - g l ( o A ) f g2(x.l)l (19)

ergibt, wenn man niiherungsweise ( r l , r2 > do, lacF\) fur die Radienabhgngigkeit der Yfeilhohen

(20)

und fur die Brechkraft

setzt. Dies bedeutet, daIJ man den Fresnelterm in ($1. (2a) durch das Aufsetzen einer realen Linse auf das beugende Objekt, deren Brechkraft durch

1 1 1 +- f' PP Pr, -=-

fixiert ist, und die die Lichtquelle in einem Punkt L'(xr,') abbildet, der in der Ebene des Aufpunktes die Koordinaten

PP

P L xLr = -xL -

hat, kompensieren kann (Bild 3).

--m

750 C. HOFMANN

IJnter Beriicksichtigung von (17), (18a) und (22) geht (23) iiber in

- w

gebeugtes licht

Rild 3. Niiheruiigsweise Konipensirtion der Fresiielschen Beuguiigs;liit,eile durch rine den1 heugeiiden Objekt. aulgesetxtr Liiiae, die die Lic1,tqiielle in die Beobachtungsebeiie sbbildet.

Wegen der Naherungen (20) und (21) ist dieseKompensation, bei der durch dieLinse die Lichtquellen- ebene in die Ebene des Aiifpunlttea abgebildet, werden mull, nur bei kleinen Aperturen exakt, moglich. Der Ubergnng zur exakten Unterdriickung der Fresnelbeugung erfolgt durch Aufspalten der Kompen- siitionsoptik in eine Kondensorlinse, die die in ihrer Objektbrennebene liegende Lichtquelle ins Un- endliche abbildet, und in eine Objektivlinse. die das im Unendlichen enhtehende Fmunhofersche Beugungsbild in ihre Bildbrennebene abbildet, (Bild 4). Der Abstand beider Linsen und die Lnge des beugenden Objektes bestimmen nur die Lage nnd die GroSe des Beugungsbilde$, sind nber nuf die 1ntr;iixitiitsverteiluiig ohne EinfluO.

.

Lichtquelle Kondemar Auriertromformotionsli~e Auffongebene

Biltl .I, Exskte Kompensation der Prrsnelschell Beugungwiiteilr durch eiiie Kondeiisor-0bjekti~-Anordnunu

3. Fouriertransformation und Punktbild

Die heziiglich der Presnelschen BeugungsanMe kompensierende Wirkilng einer in der Beugungsebene angeordneten Linse ermoglicht die Modellierung der optischen Ah- hildung eines Objektpunktes durch die Fouriertransformation des Amplitudenverlar~fs in der als beugendes Objekt wirkenden Aperturblende, wenn man die Beugiing an nnderen strahlenbegrenzenden offnungen vernachlassigt. Bei kleinen Aperturcn knnri tiiati entsprechend jedes optische System durch eine Aperturblende als beugendes Objekt und eine das Beugungsbild in die Bildebene ahhildende Linse groBen Durch- messers annahern.

Uber die Bedeutung der Fouriertransformation fiir die optische Abbildung 75 1

Man kann zur weiteren Vereinfachung dieses Modells, das Bild 3 entspricht, wenn niari die Lichtquelle und den Aufpunkt durch Objekt- und Bildpunkt und das beugende Objekt durch die Aperturblende ersetzt, ohne wesentliche Fehler annehmen, dall die Beugung der durch die Aberrationen des optischen Systems deformierten Welle nach deren Fokussierung an der Austrittspupille erfolgt (Bild 5). Deren alu Pupillenfunktion

y B ( 2 B ’ ) = t g ( 2 g ’ ) exp { - ikZ(zB’ ) } ( l a )

bezeichnete komplexe Amplitndentransparenz ( 1 ) enthalt sowohl die Wellenaberration Z(xE’) des optischen Systems a19 such die begrenzende Wirkung der Pupille

=+ 0 inner- = 0 auI3er- t(xB’) { } halb der Austrittspupille. (241

Unter den oben erwahnten einschrankenden Voraussetzungen ergibt sich nach GI. (33a) die Lichterregung upF(x’ - xo’, 1) in der Uingebung dea geometrisch-optischen Bild- punktes Oo’(zo’) als Fouriertransformierte dieser Pupillenfunktion.

Bildebene

Bild 5 . Stark reduziertes. niir IUr kleine Aperturen galtiges wellenoptisches Modell der Abbildung eincs Objektponklrs h r c h Beugung der voin optiaehen Syetein mit der Wellenubrrratlon 1 detortnierten und auf deli geometriscli- optiaehen Rildpunkt O ; ( z / ) Iokusaierten Welle an deer Auatsittslmpille.

Da nur der relative Verlauf der Aniplitudenverwaschung fiir die optische Abbildung von Interesse ist, wird die Lichterregung upp(z’ - zo‘, 1) auf die koniplexe Amplitude wPF(O, 0) der undeforniierten Kugelwelle bei gleichniiifiig transparenter Pupille (z(ap,) = 1) im geometrisch-optischen Bildpunkt Oo’(zo’) bezogen. Der auf ‘diese Weise auf die Flache der Audtrit>t,spupille F;IP normierte Aniplitudenverlauf

u,&’ - 2 0 , 1) = - aXBi all; (25) P A P . -m /I

wird als Ainplitudenverwaschungsfunktion des optischen Systems bezeichnet [9]. Der Abstand p’ zwischen Austrittspupille und Auffangebene ist die Pupillenschnittweite.

Far Ohjektive mit Kreispupille ohne Apodisntion erhlilt man nach Substitution der kurteaischeri Pupillenkoordinaten

xB‘ = e‘p’ sin a‘ cos q’

yB‘ = e’p’ sin a’ sin q’ (19)

752 c. HOFM.4”

durch normierte Polarkoordinaten e’, q‘ die Amplitridenverwnsah~mgsfunl~tion als

@R(%’ - 4 ‘ 2 Y’ - Yi, 1)

0 0

u’ bezeichnet den bildseitigen 6ffnungmvinkel.

Beim Ubergang von den Pupillenkoordinaten zu den Ortsfrequenzkoordinaten niittels (14) erhiilt man unter Beruclrsichtigung der Gln. (15) und (16) aus (25) die Fourier- reziprozitat zwischen der Arnplitudenverwaschungsfunktion

+m

uR(x’ - xo‘) = yB(ui) exp {2niw(x‘ - xo‘)} dp Hv (26) -m

udd der Pupillenfunktion

+0O

tyB(w) = FAP /s uR(3c’ - x0’) exp {-2nizo(x‘ - q,’)} dz’ Hy’ (27)

als deren Ortsfrequenzspektrunl. Aus G1. (26) folgt, daB man durch Veriinderung von y ~ ( w ) , d. h. durch Pupilleneingriffe, die Arnplitudenverteilung im Beugungsbild durch Heransfiltern von Ortsfreqiienzen beeinflussen kann. So bestimmt nach (14) der maximale Pupillendurchmesser die hijchste noch vom System ubertragene Ortsfrequenz mid damit deasen Auflosungsvermogen. Apodisation [21] und Schmidtplatte sind Beispiele von Pupilleneingriffen bezuglich der Amplituden- und Phasentransparenz bei inkohiirenter Abbildung, wahrend das Yhasenkontrastverfahren [2, 221 einer koharenten Filterung durch Phaseneingriff entspricht. Aus der Amplitudenverwaschungsfunktion U, erhiilt man den Intensitatsverlauf iin Pnnktbild in Form der Punktbildverwaschungsfunktion [9]

Bild 0. Wellenaberratioiurverlauf in der Austrittspupille dea optischeii Systems eines Prismenspektrograpben (a) uiid dnrsus fiber den Fouriertransformationsform~llsmus berechnetes astigmatisches Pnnkthild (1)) nach [ lo]

uber die Bedeutung der FoiiriertransformRtion fur die optische Abbildung 753

Man kann also aus dem Verlauf der Wellenaberration l(xB) in der Yupille ausgehend von der Pupillenfunktion (1 a) iiber den Fouriertransformationsfonnalismus (26) die Piinktbildverwaschungsfunktion (28) nuinerisch berechnen [U], wobei man zweck- rnafligerweise den Algorithmus der schnellen Fouriertransformation nach COOLEV und TUKEY [4 ] verwendet. Bild 6 zeigt als Beispiel den Verlauf der Wellenaberration in der Aiistiittspupille eines Prismenspektrographen und das dazugehorige typische ast,ig- inatische Punktbild [191.

Die Ahwendung der Amplititden- bzw. der Punkt~bildverwaschungsfunktion auf die kohiirente bzw. inkohiirente Abbildung uusgedehnter Objekte erfordert, die Invarianz dieaer Verwaschungsfunktion als Voraussetcung einer linearen Superposition [U]. Exakt. liil3t sich diese Invarianzforderung natiir- lich infolge der Ortabhangigkeit der au0eraxialen geometrisch-optischen Aberrationen nicht erfiillen. Dti. sich nber die Aberrationen nur allmahlich und stetig mit dem Bildort iindern, lassen sich innerhalb des Bildfeldes eines optischen Systems Invarianzbereiche definieren, aus denen man mit sprunghttfter Anderung der Vernaschung an den Grenzen die Bildebene approximieren kann. Durch eine aplana- tische bzw. isoplanatische Korrektion [I21 kann inan dieser Invarianzforderung noch beaser ent- sprechen. Unter Voraussetzung der Erfiillung dieeer Invarianzbedingung kann man bei koharenter bzw. inkohirenter Abbildung durch Faltung des Amplit.uden- bzw. Intensit&tsverlaufs in der Ohjekt- ebene mit der enbprechenden Verwaschungsfunktion den Verlauf der Amplitude bzw. der Intensitat in der Bildebene bestimmen.

4. Fouriertransformation und partielle kohiirente Abbildung ausgedehnter Objekte

Bei der Abbildung ausgedehnter Objekte mull man irn allgemeinen ausgedehnte Lichtquellen be- nutzen, do. eine Punktquelle beknnntlich energetisch nicht realisierbar ist. Die Uberlagerung der von den einxelnen Punkten eines ausgedehnten Objektes nusgehenden und durch Wellenaberrationen und Beugung deformierten Wellen wird von der Ausdehnung der Lichtquelle und damit von den Kohiirenz- sigenschnften des Lichtes abhiingig. Bei realen Lichtquellen mit endlicher Ausdehnung liegt partielle Kohiirenz vor. Die Grenzfiille strenger Koharenz bzw. Inkoharenz sind rein hypothetisch, da sie un- endlich kleine bzw. unendlich ausgedehnte Lichtquellen erfordern.

1)ie von eineni Punkt L(zL) einer Lichtquelle ausgehende Wellc

die in Fraunh.oferscher. Naherung (rL > jzLI, jzoi) durch

(29 a)

gegeben ist, wird durch die komplexe Amplitudentransparenz yo(xo) des abzubildenden Objektes moduliert (Bild 7). I h jedem Punkt Oo(xo) des Objektes im Bildraum eine Amplitudenverwaschung uo(x0, xz) uR(x' - /lo'xo) entspricht, ergibt sich die Aniplitudenverteilung in der Bildebene

-tm

uo'(;Eo', 2,) = JJ uo(;Eo, ZL) u&Zo' - Z0) dZ0 dgo (30) - W

diirch Paltung der Amplitudenverteilung im Objekt

~ O @ O , 2,) = UdZZ, 2 0 ) Vo(Z0)

mit der als invariant vorausgesetzten Ainplitudenverwaschungsfunktion.

754 C . HOFMANN

Aus Dimensionsgrtnden urid zur Elimination des AbbildungsmcL13s~bes

sind in (30) die Ortskoordinsten in den Funktionen u,,', u, und u , ~ durch reduzierte dimensionslose GroBen

- so' = x,,' L

LPl (33 4

- 1 XL = X L f -

e' (33 c) ersetet worden.

LirhtquPlle Oh'eht optisches System Bildebene rnit Blende

Blld 7. Partiell kohiiiante Abbildung ausgedehnter Objekte, die durch eine au6gedehnt.e Lichtquelle beleuchtet werden, durch eiii Objektiv rnit zusammenfallender Pupillen- und Hauptebenenlage

Jnfolge der lnkoharenz der einzelnen Lichtquellenpunkte L(ZiiL) iiberlagern sich in der Bildebene die einzelnen Intensitatsverteilungen uo'uo*' zur resultierenden Intensitats- verteilung

+W

I' (20') = j-1 U0'(Z"', 5,) U0*'(Z"', ZL) d Z L a&, (34) - W

wobei uber die Intensitiitsverteilung der Lichtquellc

(35) 1

Z L ( Z L ) = -J(Z,) PL2

zu integrieren ist.. Eliininiert man in G1. (34) die Amplitudenverteilung uo' durch G1. (30) unter Beriick- sichtigung von (31) und (29a). so erhalt man die Bildraumintensitiitsverteilung

Uber die Bedeutung der Fonriertransformation fiir die optische Abbildung 755

in Abhangigkeit von der Amplitudentransparenz des Objektes und von der Intensitats- verteilung der Lichtquelle, die als Fouriertransformierte in der Kohiitenzfunkt.ion [ 141

+W

I . L ( z ~ ~ , zO2) = J/ I,(z,) exp k n i (36) PL

- W

enthitlten ist.

Durch diese Kohiirenzfunktion wird die gegenseitige Koliiirenz der Lichtcrregungen in den beiden Objektpunkten Ol(Zo,) und Ol(Zo2) erfa5t, da sie das Interferenzglied derjenigen shear-Tnterferenz.cn dsrstellt, die man bei Uberlagerung der ineinander verschobenen Teilerregungen ~ 0 , und uo2 erhalten wiirde. Entsprechend nimmt diese Koharenzfunktion bei Inkoharenz ( I L ( Z L ) = (IL} = const) den Wert (I,) 6(Zo, - go,) nn, wiihrend bei Koharenz ( I L ( Z l , ) = (I,) 6 ( Z L - 2,,o) der Wert (I,) exp (2ni p/p,,(Zol - Zo2) ZLo) auftritt. Fallen beide Punkte znsammen, geht die Koharenzfunkt,ion in die Inkmitiit uber. Da man den Faktor

’yLo(Zo, ZL) = exp 2ni - XS, (37) I x I als koinplexe Amplitudentransparenz des Raomes zwischen Lichtquelle und Objekt anffassrn knnn, ladt sich die Koharenzfunktion unmittelbnr vor dem Objekt als

(36 a)

darstellen. Die Amplitudentrunspnrenz des Objektes verindert die Kohlrenifunktion zu

Dies bedeutet, da5 man allgemein die Kohiirenzfunktion einer ausgedehnten Lichtquelle in 2 Punkten Pl(Z,) und P,(Zp8) einer beliebigen Ebene durch die komplexe Amplitudentransptwenz. yjp(Zp, e,) in diesen Punkten entaprechend

+m

W Z P l 9 Za) = JJ 4 A Z L ) ‘yP(%l, Z L ) YP*(+z, 55 L) d f , o,, (36 b) -a

definieren kann.

Wegen GI. (30) ubortragen sich bei der optischen Ahbildung Aniplitudentransparenz- verteilungen vom Objektraum durch Faltung in den Bildraum, d. h., die ubertragung der Kohiirenzfunktion durch ein abbildendes System erfolgt durch einen doppelten Fa1 tungsprozefi.

-I-W

To’(Z&, Z;?) = JJJJ I .o( jEbl , 502) u ~ ( S : , - Zo1) ~n*(Zi, - Zo2) di$I dZo2 d& dfjoz. (39) -m

Als Spezialfall Z& = Z& = Zo’ von GI. (39) erhlilt man die mit G1. (34a) identische lntensitatsverteilung in1 Bildraum

I ’ ( Z i ) = FO’(ZO’, Zo’) + m

= J/JJ I’o(Zo1, Zoz) u&&‘ - Zol) uR*(ZO’ - Zo2) dZo2 (Eg02. (34b) -m

Die Faltung (39) der Objektkohiirenzfunktion mit dem als Ubertragungsfunktion dienendem Produkt der beiden Amplitudenverwaschungsfunktionen kann man durch

756 C. HOBMA“

+- yo(% a,) = JJJJ I;(z,,, z~,) exp { - 2 ~ i ( ~ ~ , a ~ - z ~ ~ s ~ ) dzol dzO2 ago, ago, (40b)

-m

und unter Berucksichtigung von G1. (27) durch eine einfache Multiplikation

Yo’(% a 2 ) = Yo(% 3,) K(w,, wz) (41)

mit der Koharenzubertragungsfunktion [i7]

D i m Kohirenzubertragungsfunktion hingt als reine Systemfunktion nur von den Eigenschaften des optischen Systems, insbeaondere von deasen Wellenaberrationen, ab. Sie erfadt nicht den EinfluB der Koharenz auf die optische obertragung. Aus G1. (41) folgt, daB bei der partiell kohirenten Abbildung die Kohkrenzfunktion linear, Amplitude und Intensitilt enbprechend G1. (34a) und (36) jedoch nicht- linear iibertragen werden.

Fur die Praxis der Bewertung optischer Systeme ist aber die Kohirenziibertragungs- funktion nicht so geeignet wie eine Ubertragungsfunlction, die auJ3er den System- parametern noch die Koharenzeigenschaftn des Lichtea enthiilt. Ein demrtigeu, als Transniissionakreuzkoeffizient [I51 bezeichnetes UbertragungsmaB gewinnt man, wenn man im Faltungsintegral (30) die Amplitudenverteilung im Objekt uo durch (31) unter Beriicksichtigung von (29) und (35) eliminiert und dimes durch Ubergang zu den Fouriertransformierten

i- m

und

des Produktes yo(Zo) exp und der Aniplitudenverwaschungsf unktion

uR(Z,,’ - xo) in ein Produlct iiberfuhrt:

In GI. (45) driickt sich die Filterwirkung der Pupille auf das Fourierspektruln des Objektes aus, wahrend die Fouriertransformation (43) die Beugung am Objekt bis auf konstante Faktoren als ersten Abbildungsschritt beschreibt. Durch Fouriersynthese der durch die Pupille gefilterten Aniplitudengitter (45) erhalt man im zweiten Abbildungs- schfitt die Bildaniplit,iide (31) bei Beleuchtung durch die Punktliohtquelle L(ZL). Dabei ist es vorteilhaft, mittels der aus ( l l ) , ( l l b ) , (6a), (6b), (33a), (33b) und (33c)

o b e r die Bedeutung der Youriertransformation fiir die optische Abbildung

unter Berucksichtigung der reduzierten Pupillen- und Ortsfrequenzkoordinaten

- Ap' w = y w e

abgeleiteten Relationen

die Fourierzerlegungen (43) und (44) als Frequenztransfonriationen durchzufuhren.

?w

Go(Eo) = Js po(Zo) exp rg ZoGo} d g dfj, (434 - w

+m

Die von L(ZL) im zweiten Abbildungsschritt erzeugte Amplitudenverteilung im Bild ist danach

u ~ ( z ~ ' , +W

= I / m e x p {-ikpLj /J ~ ~ ( m ~ ) y B ( ~ o + ah) exp ( - 2 n i ~ ~ ~ 8 ~ ) d p , d ~ , . (50) - W

Aus (50) erhiilt man entsprechend GI. (34) den Jnt,ensitiitsverlauf in der Bildebene durch Integration von u,,'u0*' uber die gesamte Lichtquelle, wobei die reduzierten Lichtquellenkoordinaten (33 c) durch die reduzierten Raumfrequenzkoordinaten

ist der Transmissionskreuzkoeffizient nach Hopkins [15], der sowohl die Eigenschaften des optischen Systems als auch der Beleuchtung enthlilt.

Im Grenzfall kohLrenter Beleuchtung durch eine axiale Punlrtquelle der Intensitiit

I L W I . ) = (Id a(=,) (W

758 C . HOFMANN

geht der Transmissionskreuzkoeffizient in die koharente ubertragungsfunktion

iiber, wiihrend bei inkoharenter Beleuchtung

(534

(55)

n u s (53) die inkohiirente Ubertragungsfunktion

J W

HiCEol - ~ 0 2 ) = (1,) J JvAE~~ + G L ) Y J B * ( E ~ Z + GI,) d ~ i , d c L (53b) -a7

entsteht.

Wegen seiner Abhangigkeit von zwei Raumfrequenzvektoren und der Unanschaulich- keit der konjugiert komplexen Multiplikation der Ainplitudenspektren 6,(iZOl) und G O ( i Z o 2 ) ist der Transniissionskreuzkoeffizient fiir die Praxis wenig geeignet. Man be- achrankt sich deshalb euf seinen linearen Anteil

- W

den inan zweckmafligerweise normiert. Bei koharenter bzw. inkoharenter Beleuchtung geht der mit H(0, 0) normierte Ausdruck (56) in die Pupillenfunktion

(57a)

bzw. in die Frequenziibertragungsfunktion [7]

- w

iiber. Entsprechend gibt der Realteil der normierten ubertragungsfunktion (56) ini koharenten Fall die Amplituden- und im inkoharent.en Fall die Modulationsiibertragungs- funktion [9 ] an. Rild 8 zeigt den Verlauf der Funktion

Re M(O> Go) M ( 0 , O )

Bild 8. Abhangigkeit dea Verlaufs der normierten ubertragungsfunktion Rn M ( 0 , co)lM(O. 0) von der Koharenz der Beleuchtung be1 beugungsbegrenzter Abbildung

uber die Bedeutung der Fouriertransformation fur die optische Abbildung 759

in Abhangigkeit von der Kohiirenz der Strahlung fur die aberrationsfreie Abbildung, d. h. fur den Fall reiner Beugung. Wahrend die Amplitudenubertragungsfunktion (yB(tE,,)) nur iin Bereich von 5 1 von 0 verschieden und konstant 1 ist, nimint die Modu- lationsiibertragungsfunktion T(a0) im Bereich (Zol 5 2 monoton ab. Dies bedeutet, daS der zu ubertragende Frequenzbereich bei der kohiirenten Abbildung nur halb so groS ist wie bei der inkoharenten; daB aber bei der koharenten Abbildung im Gegen- satz zur inkohiirenten das Signal im ubertragenen Frequenzbereich nicht niodifiziert wird. Aus Bild 8 geht weiter hervor, daO init steigender Koharenz der Beleuchtung eine Kontrastanhebung der niederen Rauinfrequenzen unter KontraRtverniinderung der hohen Raumfrequenzen und Abnahme des Auflosungsvermogeiis eintritt.

Ug cr;, t

c Fourieranolyse

1

Verwaschunp Ritd

w I G- Llementorgitter Ubertragungsfunktion ElemPntargitter(gedampft

und phcsenverxhoben) T((w' I X Q i W ) = . r@) : inkohirent 6 GI x ye IF) = t&l : koharent

nild 9. Behandlung der inkohtirenten bzw. kohtirenten Ahbildung durch Fourierzerlegung des Intensittits-(1(z0)) bZK. Anipiitudenverlaufs (uo(z0)) im Objekt in elementore Intensltiits-(f(w)) bzw. Amplitudengltter(r7,(w)), die durrli da8 optische Syatem raumfrepuenzabhlinglg gedkmpft und Phasenverschoben (fi(tc) bzw. &'(w)) ziim Ixitensitlits- (I'(ah')) bzw. Amplitudenverlauf (ufi'(zo')) im Bild zuaammengeeetet werden

Aus GI. (67a) bzw. (57 b) li1Bt sich in Verbindung mit GI. (52) eine lineare Amplitudenubertragung im koharenten Fall und eine lineare Intensitiitsubertragung im inkoharenten Fall ableiten (Bild 9), die durch Faltungen beschrieben werden kann. Bei der koharenten Abbildung wird durch Beugung am Objekt der Amplitudenverlauf (30) dea Objektes im ersten Abbildungsschritt in ein Spektrum von sinusformigen Amplitudengittern

zio(Zo) = WL) c o ~ ~ o ) exp (--ikpL) -

(58)

fourierzerlegt. Durch die Filterwirkung der Pupille

% W o ) = co(E0) VBWB) (59)

werden dieae Elementargitter unterschiedlich gedampft und phasenverschoben im nachfolgsnden Ab- bildungsschcitt in die Arnplitudenverteilung der Bildebene fourieHynthetisiert, wobei die Pupillen- funktion als UbertragungsmaB dient (Bild 9). Die sich aus (52) ergebende Intensitatsverteilung in der Bildebene

m

~~(zi) = ( I ~ ) ] // C,,(TZ~) y o ( ~ o ) exp { - 2 n i z i ~ ~ } dp0 dijo (62 4 - W

55 Zeitschrift "Fortschritte der Physik", Heft 12

760 C. HOFMANN

hangt damit nichtlinear von der Objektintensitiit ab. Nur bei schwach modulierten Objekten werden nach MENZEL [lS] die Intensitiiten bei koharenter Abbildung linear iibertragen. Im Gegensatz dszu werden bei inkoharenter Beleuchtung die Intensitiiten linear durch dns unge- beugte Licht iibertrgen, da sich in diesem Fall susJ52) eine Zerlegung der Objektintensitiit Z(iFo) ent- sprechend Bild 9 in sinusformige Intensitiitagitter 1 (Z0) ableiten IaBt, die durch dieFilterwirkung der Pupille

(60)

phasenverschoben und gediimpft zur Bildintensitat fouriertransformiert werden [13]. Bei der inko- harenten Abbildung wird nur die Beugung an der Blende beriicksichtigt. Die Linemitiit der Ubertragung schlieot aber die nichtidentische verwaschene Reproduktion der ln- tensitiit in der Bildebene mit ein, da durch die endliche GroBe der Pupille immer eine Ranmfreyuene- filterung entaprechend Bild 9 auftritt, die die einzelnen Pnnktbilder zwangslaufig verwascht.

i ;(Go) = i (Go) g ( Z 0 )

5. Die Anwendung der Fouriertransformation a d reale optieche Systeme

I)a die Anwendung der Fouriertransforniation in der optischen Abbildung exakt nur bei Fresnelscher Beugung moglich ist, ist es erforderlich, entsprechend Bild 10a die Lichtquelle durch eine Kondensoroptik nach unendlich und das im Unendlichen ent- stehende Fraunhofersche Beugungsbild des Objektes durch ein Objektiv in dessen Bildbrennebene abzubilden. Zur Erzeugung einer ahnlichen optischen Abbildung des Objektes mu13 aus dessen Amplitudenspektrum C i j ~ ) durch eine inverse Fouriertransforniation die Bild- a.niplitude (50) rekonstruiert werden. Dazu ist das Fouriertransformationsobjektiv, d ~ s die Fraunhofersche Beugungsfigur in ihre Bildbrennebene abbildet., durch eine analoge Ruektransformrttionsoptik zu einem Keplerschen Fernrohr zu ergiinzen (Bild 10a). Um eine scharfe Begrenzung des Fourierspektrums des Objektes zu erhalten, 1 n u B die Aperturblende in der genieinsamen Brennebene beider Teilsysteme des Teleskops liegen. Deshalb ist fur eine derartige Fouriertransforrnationsoptik telezent'rischer Hauptstrahlengang zu fordern [6] . Der zweite Abbildungsschritt, die Beugung an der Aperturblende, kann nur dann diirch eine Fourierrucktransfonnation (50) beschrieben werden, wenn die Aperturblende parallel durch das von einem Objektpunkt O(zo) ausgehende Licht durchstrahlt wird. 'Das Objekt muB deshalb in der vorderen Brennebene der ersten Transformationsoptik und das Bild in der hinteren Brennebene der Riicktransforniationsoptik liegen. Die beiden Teilsysteme mussen also sowohl beziiglich der Abbildung ins Unendliche als auch der Brennpunktabbildung korrigiert sein und - sofern die Fouriertransforniation auch be.i schrager Beleuchtung ohne Verzeichnung anwendbar sein sol1 - beiderseit'ig die Sinusbedingung erfiillen [6 ] . Fordert man eine homogene Ausleuchtung des Objektfeldes durch ausgedehnte Licht- quellen, niiiR das Objekt in der hinteren Brennebene des Kondensors stehen (Hild 10a). Streng genommen ist die Fouriertransforniation nur auf die Abbildung ebener Objekte, die in der Objektbrennebene des Vordergliedes eines t,eleskopischen System stehen, anwendbar. Eine derartige Abbildung ist, exakt in die heiden Abbildiingsschritte Fonriertransfoniiation der Objektainplitude (43) durch das Vorderglied in die die Frequenzebene daixtellende Blendenebene und Rucktransformation (50) des durch die Blende beschnittenen Fourierspektxunis (59) durch das 1-1 interglied in die Rildebene unterteilbar (Bild 9 und 10a). Beide Schrit,te konnen unter Voraussetzung koharenter Objektbeleuchtung auch raumlich und zeitlich getrennt ausgefuhrt werden, wenn man das Frannhofersuhe Beugungsbild mit einer ebenen Referenzwelle iiberlagert, das entst,ehende Interferenz- nluster als Schwarzungs- oder Brechzahlvert'eiliing auf . einer Photoplatte aufzeichnet

Uber die Bedeutung der Fouriert,ransforniation f i r die optische Abbilduiig 76 1

und an einem derartigen Fouiierhologramm eine koharente, der Referenzwelle ent- sprechende Rekonstrulrtionswelle beugt (Bild 10 b). Me Hologramrnebene ist dabei els Frequenzebene der Blendenebene analog. IXe Filterwirkung entsteht durch die Endlich-

lirhtquelle Kondensor Objekt . Transforrnofions- Blende Rucktrans formations- Bilde bene optik optik

bchtquelle Kondensor Mikroobjekt Aperturbiendt (Ffeqoen?ebene)

Zwischenbildebene

Bild 10. Anwendong der FouriertranRlorlliat.ion bei FouriertraiisIorniat~oi~optiken (a). hei der Fourierholographie

55*

beirn Mikroskol) (c) und bei Pliotoobjektiven kleiner Apert.ur (d)

7 62 C. HOFMANN

keit der Hologranimplatte. Da mit Ausnahme der Fouriertransformationsoptiken f iir die holographische Speicherung [6] und fur die koharente Filterung sowie von Mikroskop- objektiven mit Tubuslinse optische Systeme nicht einen Bild 1Oa analogen teleskopi- when Auf bau init, telezentrischem Haupktrahlengang besitzen, kann man die Fourier- transformation in ihren beiden Schritten nicht voraussetzungslos auf jede optische Abbildung anwenden. Bei der Abbildung im Mikroskop ohne Tubuslinse (Bild 1Oc) ist der erste Abbildungs- whritt zwischen dem in nullter Niiherung durch die Kohlersche Beleuchtung niit einer ebenen Welle bestrahlten Objekt, das in der Objektbrennebene des Mikroskopobjektives steht, iind dem primiiren Beugungsbild in der Bildbrennebene, in der die Bleride an- geordnet ist , in guter Niiherung durch die Fouriertransformation (12) modellierbar. Aiich fur den zweiten Abbildungsschritt zwischen dem primaren Beugnngsbild und detn rekonstruierten Zwischenbild sind wegen der diirch den groBen Abbildungsmaflstab des Mikroskopobjektives kleinen bildseitigen Apertur die Voraiissetzungen fur die An- wendung der Fourierriicktransformation (13) naherungsweise erfullt. Bei der Abbildung makroskopischer Objekte durch Photo- oder Fernrohrobjektive (Bild 10d), die - sofern sie nicht Selbstleuchter sind - defacto inkohiirent abstrahlen, kanri man die Beugung am Objekt vernachliissigen. Es ist nur der zweite Abbildungs- schritt der Beugung an der Blende zu berucksichtigen. Da bei den meisten Objektiven kein bildseitig telezentrischer Strahlengang vorliegt, sondern in guter Niiherung die Piipillen mit den Hauptebenen zusammenfallen, ist analog zu Bild 6 die Fourier- transformation auf dieaen zweiten Abbildungsschritt exakt nur bei kleinen Aperturen anwendbar. Obwohl exakt die Aperturen so klein sein miiflten, daB fur den Apertur- winkel u’ die Bedingung

sin u’ M tan u’ M u’

erfullt ist, liefert die naherungsweise Anwendung des Transformationsformalismus (2fi) iind (27)) der den Zusammenhang zwischen der Pupillenfunktion yB und der Punktbildverwaschungsfunktion u, beschreibt, auch fur die fur beugungsbegrenzte Objektive hochster Auflosung notwendigen hohen Aperturen noch brauchbare Er- gebnisse. Dies bedeutet, da13 der Fouriertransformationsformalismus grundsiitzlich fur jede beliebige optkche Abbildung als Basis der optischen Ubertragungstheorie dienen kann.

Literatur

[ I ] ABBE, E., Archiv mikroskop. Anatomie 9,413 (1973). [Z] BEYER, H., Beitriige zur Optik und Quantenelektronik in der DDR 1976. Vortriige der 8. Friih-

jahrsschule Optik, Berlin 1976, S. 17. [3] VAN CITTERT, P., Physica 1, 201 (1934). [4] COOLEY, J. W., TUKEY, J. W., Math. Compt. 19, 297 (1966). [5] GAUSS, C. F., Gottinger Abhandl. 1, 1 (1838/41). [(i] DIETZSCH, E., SCHLICHTINQ, J., THORWIRTH, G., Beitriige zur Optik und Quantenelektronik in

[7] DUFFIEUX, P., L’integrale de fourier et ses applications a l’optique. Editions de 1’Universit.h de

[S] FRANCON, M., Moderne Anwendungen der physikalischen Optik, Akademie-Verlag, Berlin 1971. [9] GROSSMANN, W., HOFYANN, C., PABST, S., Exper. Techn. Phys. 24, 343 (1976).

der DDR 1976. Vortriige der 8. Friihjahrsschule Optik Berlin 1976, S. 124.

Bestmcon 1948.

[ lo ] HAWSER, H., Optica Acta 9, 121 und 141 (1962). [ I l l HAFERKORN, H., GROSSMANN, W., EICHLER, W., Feingeriitetechnik 19,466 (1970). [ I23 HOFMANN, C., FeingerLtetechnik 22, 155 (1973). [I31 HOFMAL”, C., Beitriige zur Clptik und Quantenelektronik in der DDR 1976. VortrLge der 8. Friih-

jahrsschule Optik, Berlin 1976, S. 5.

Uber die Bedeutung der Fouriertransformation fiir die optische Abbildung 763

[ I d ] HOPKINS, H., Proc. roy. SOC. A 217, 408 (1953). [I51 HOPKINS, K., J. Opt. SOC. Amer. 47, 508 (1957). [IS] NITZSCHE, M., Beitrage zur Optik und Quantenelektronik in der DDR 1976. Vortrage der

8. Hhjahrsschule Optik, Berlin 1976, S. 30. [I71 MENZEL, E., MIRAND$, W., WEINGARTNER, I., Fourieroptik und Holographie. Springer-Verlag,

Wien 1973. [I81 MENZEL, E., Optik 15, 460 (1958). [I91 PABST, S., GROSSMANN, W., HOFMANN, C., Beitrage zur Optik und Quantenelektronik in der

[20] VI~NOT, J., Proc. Phys. SOC. 73, 661 (1958). [Sl] ROHLER, R., Informationstheorie in der Optik. Wiss. Verlagsgesellsch.zft, Stuttgart, 19G7. [22] ZERNIKE, F., Phys. Z. 36, 848 (1935). [23] ZEILNIKE, F., Physica 6, 786 (1938).

bDR 1976. Vortrage der 8. Fruhjahrsschule Optik, Berlin 1976, S. 45.