ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 133.

NZ 3180. 12.

Ueber die Ungleichheiten der grossen Axen der Ylanetenbahnen. (Auszug a u s e i n e m S c h r e i b e n a n d e n Herausgeber . )

Von Hugo Gyldhn.

Wenn man in der bekannten Gleichung

89 - = 2a2n -, da d t a&

wo die Redeutung der Buchstaben die in der Himmels- mechanik iibliche ist, a, + 6a fur a einsetzt, a, als eine Constante ansieht, und endlich die Grosse Jndt , die wir als unabhangige Veranderliche ansehen wollen, durch u be- zeichnet, so findet sich

dda . asL ~ = 2 (a, + da)2- . du a&

aa a& Der Kurze wegen schreibe ich noch Q fur 2 ~ ;

hierauf differentiire ich die vorstehende Gleichung, und erhalte

dad a d6a dQ ___ = ~ ( a , + d a ) - Q + ( a ~ + d a ) ~ - , du2 du du

dd a du

Indem nun der Werth von -- aus der Gleichung ( I )

hier eingesetzt wird, findet sich:

dQ ~ = z (a, + dn)3 Q2 + (a, + 6a)2-. d 2 S a du2 du

Wir nehmen bei der ferneren Behandlung dieser Glei- chung an, dass Q durch eine gleichformig convergirende trigonometrische Reihe dargestellt wird, wobei die Argu- ,mente in der nachstehenden Weise zusammengesetzt sind :

Arg. = Ru + B + sT. Es bezeichnen hier: 1 und s beliebige irrationale

Zahlen, B einen constanten Winkel und T eine Function von u , auf deren Bedeutung wir hier nicht einzugehen brauchen, und deren Einfluss hier uberhaupt ganz ausser Acht gelassen werden kann, weil derselbe nur dann merk- lich wird, wenn das betreffende Glied kritisch wird, d. h. wenn R einen sehr kleineo Werth bekommt, ohne dabei mit den storenden Kraften zu verschwinden. Nur so vie1 sei bemerkt, dass wenn dieser Coefficient mit den storenden Kraften verschwindet, so ninimt auch s einen Werth der- selben Ordnung a n ; im andern Falle kann s beliebig gross sein. FaILe, wo unter den ersten Gliedern in der Entwick- lung der Storungsfunction Librationsglieder oder uberhaupt

kritische, Glieder vorkonimen, schliesse ich hier aus, weil es Ausnahmefalle sind, und weil deren Behandlung eine hier unnothige Complication veranlassen wurde.

Unserer Annahme nach ist nun Q = Byis in (R;u + Bj) ,

wo die yi eine convergente Reihe bildGn, und die A;, ebenso wie die Bj , reelle Zahlen sind. Die Coefficienten yz sind wenigstens von der ersten Ordnung in Bezug auf die storenden Krafte ; es kann aber bewiesen werden, dass wenn ein von der Ordnung der storenden Krafte ist, so ist das entsprechende yi eine Grosse wenigstens zweiter Ordnung, und iiberdies niit einem Factor, wenigstens zweiten Grades, in Bezug auf die Excentricitaten oder Neigungen multiplicirt.

Wird nun der angefiihrte Werth von Q in die Glei- chung ( I ) eingefiihrt, so leitet man unter Vernachlassigung der mit 6a und da2 multiplicirten Glieder, den folgenden genaherten Werth von do ab :

d a = - ao2B- Yi cos ( l i u + Bi). ’ i

(3)

Dieser Ausdruck braucht nun allerdings nicht con- vergent zu sein, man kann aber in einem solchen Falle von Q eine beliebige Anzahl Glieder von solcher Beschaffen- heit auswahlen, dass dieselben, in ( I ) eingesetzt, ein con- vergentes Resultat liefern, gleichzeitig damit, dass die in Q restirenden Glieder eine beliebig kleine Summe geben.

Aus dem Werthe von Q findet sich:

I

2 2

I

2

Qz = - Byia - L 2 ’ y j 2 cos 2 (Riu + Bi)

+ - 22 y i y i p (cos [(A; - A,,) u + Bi - Bit]

- cos [(A; + Ai) u + B; + B J )

- = BRj yjcos (1;u + Bi) , dQ du

wobei die Indices i und z ’ eioander nicht gleich sein durfen.

dQ . Wird dieser Ausdruck von - mit dem Werthe (3) du

von da multiplicirt, so entsteht : IS

3180 I 88

o z B y12 - + ao2 B yj2 cos 2 ( R j u + Bi) d a G = dQ - L a 2

und hieraus folgt :

R,, - R j R j I + R j cos [(A; - Ail) u + Bj - B,,] - a03 BE y j yzt Ri 21' R; Ri* cos [(Ai + 2,) I4 + Bj + B,I]. + no3 88 yi yj' ~~

Zu diesem approximativen Ausdrucke kann beruerkt

I . dass er kein constantes Glied enthalt; 2. dass sammtliche Coefficienten wenigstens zweiter

Ordnung sind: denn wenn auch R j und R;, Grossen erster Ordnung waren, so wiirde, nach dem oben Gesagten, y i und wenigstens zweiter Ordnung sein. Das Product

werden :

A t , - A j

YiYz' x.7 iviirde in diesem Falle also wenigstens dritter Ordnung sein;

3. dass der Coefficient eines langperiodischen Gliedes, welches dadurch entsteht, dass die Differenz A,, - 2, eine

kleine Grosse erster Ordnung wird, wenigstens dritter Ord- nung ist.

Den constanten Theil von Q2 bezeichne ich mit v2, so dass:

va = B y i 2 .

Da nun unter den y i , welche alle mit den storenden Massen verschwinden, auch solche vorkommen, die schlecht- hin erster Ordnung sind, die also weder von den Excen- tricitaten noch von den Neigungen abhangen, so ist v a eine Grosse schlechthin zweiter Ordnung.

Nach diesen Bemerkungen fiihren wir (4) in die Gleichung ( 2 ) ein. Es findet sich .darauf:

dQ 6no? V Y dn - 6ao v 2 do2 - 2 v 2 da3 = ao2 - (5) &c - du

d2da

a dQ du

+ d a - + - . .

indem Glieder vierter Ordnung und noch kleinere nicht ausgeschrieben worden sind.

Aus den1 Vorhergehenden geht nun hervor, dass die subelementaren Glieder *) rechter Hand wenigstens dritter Ordnung sind. Unter den ubrigen Gliedern giebt es zwar eine unendliche Anzahl erster Ordnung. Diese bilden aber, unserer Voraussetzung nach, eine gleichformig eonvergente Reihe, und sollte unter ihnen ein Glied vorhanden sein, bei dem der Factor R j einer Grosse der Ordnung der storenden Krafte vergleichbar ware, ohne mit diesen zu ver- schwinden, so wird der Coefficient Ri yi als e k e kleine Grosse zweiter Ordnung anzusehen sein.

Um nun moglichst bald, und ohne hier wenig in- teressirende Nebenuntersuchungen anfangen zu mussen, zum Ziele zu gelangen, schreibe ich die Gleichung (5) in der nachstehenden abgekurzten Form

d ? d a ( 6 ) - 6aO2v26a = B'yicos (Ria + Bi) , welche einer ersten Annaherung entspricht. I

R; + RiI B,,] - no3 BBy, yi#

R j R,, cos [ (Rz + +) u + Bj + Bit]

Man erkennt sogleich, dass in dieser Annaherung

6 n = -2 cos ( R i u + Bj) R 1 2 + 6noa v 2

gefunden wird, also ein Resultat, welches nothwendig gleich- formig convergent ist, und welches immer, sofern wir von dem Falle der Libration oder kritischer Glieder absehen, zu Werthen fuhrt, die als kleine Grossen erster Ordnung anzusehen sind.

Wie die folgenden Annaherungen auszufuhren sind, ist leicht einzusehen. Bei jeder neuen Annaherung werden neue Glieder der rechten Seite der Gleichung (5 ) h' inzu- gefuhrt. Im Integrationsresultate erhalten einige dieser Glieder Coefficienten erster Ordnung, und es konnte dern- nach erscheinen, als ob die Annaherungen nicht conver- girten. So verhalt sich aber die Sache nicht: denn bei den Operationen, welche die successiven Annaherungen er- heischen, werden die, demselben Argumente zukommenden Coefficienten mit Factoren multiplicirt, die kleiner als die Einheit sind und dabei nicht etwa gegen die Einheit con-

*) Ueber den Begriff, den ich an diese Benennung kniipfe, sehe man meine Abhandlung in den Monthly Notices of the Royal Astr. S O C . VOl. XLVII.

vergiren ; so dass, weil die Integrationsdivisoren immer dieselben bleiben, die Convergenz der Annaherungen ge- sichert ist.

Aus den gefundenen Resultaten kann nun Ver- schiedenes mehr oder weniger direct geschlossen werden. Ich erwahne Folgendes.

Wenn man vom Librationsfalle absieht, und wenn die Excentricitaten und Neigungen stets innerhalb Grenzen schwanken, die selbst von der Ordnung der Excentricitaten und Neigungen der Hauptplaneten sind, so andern sich die mittleren Entfernungen von der Sonne innerhalb Gren- zen, die von einander nur um Grossen erster Ordnung abstehen.

Rei der Integration der Gleichung ( 5 ) darf keine willkuhrliche Constante eingefuhrt werden, sofern nicht ein Librationsglied vorliegt. Denn wurde eine solche Con- stante zugelassen, so w Are dies daniit gleichbedeutend, dass man eine gewisse Entwicklung nach den Potenzen der Zeit oder nach Exponentialfunctionen der Zeit einleitete. Auf eine absolute Losung ware hierinit verzichtet worden.

Es folgt hieraus, dass man von der mittleren Be- wegung nie einen gewissen Theil, ware er auch noch so

klein, absondern darf, und nach den Potenzen derselben entwickeln. Bei richtiger Bestimmung der Integrations- constanten, d. h. von a, u. a,, enthalten die Ausdrucke, welche die Storungen der grossen Axe einer Kepler’schen Ellipse reprasentiren, keine nach den Potenzen der Zeit geordneten Reihen. Diese Ausdrucke sind vielmehr durch trigonometrische Reihen gegeben, welche gleichformig con- vergiren. Man findet diese Reihen indessen nicht durch Anwendung der Methode der Variation der Constanten ; es ist vielmehr nothig, schon bei der ersten Annaherung Gleichungen anzuwenden, wo gewisse Glieder dritter Ord- nung enthalten sind.

Endlich darf ich nicht unerwahnt lassen, dass die oben mit yi bezeichneten Coefficienten selbst Functionen von dn sind. Von dieser Abhangigkeit konnte indessen hier abgesehen werden, und zwar aus denselben Grunden, aus denen die Function T in den Argumenten unberuck- sichtigt gelassen werden konnte. In einem Librationsfalle, oder uberhaupt, wenn eines der ersten Glieder in der Ent- wicklung der Storungsfunction kritisch ist,. darf diese Ver- nachlassigung nicht stattfinden.

Stockholm 1893 Juni 12. Hugo GyZden.

Zusatz. Dem Obigen mochte ich eine Bemerkung hinzufugen, hauptsachlich uni einern Missverstandnisse vorzu- beugen, dessen Entstehen sonst nicht ausgeschlossen erscheint. - Ich habe oben die Storungen der mittleren Entfernung nicht aus dem Grunde in Betracht gezogen, weil mir die Methode der Variation der Constanten als die geeignetste zur Berechnung der absoluten Storungen erscheint, sondern weil ‘es mir darauf ankam, das Wesen der Integrationsmethode an einem einfachen, leicht zuganglichen und dabei doch lehrreichen Beispiele zu zeigen.

In einigen Monaten hoffe ich den ersten Band meiner Untersuchungen uber die absoluten Bahnen der Haupt- planeten versenden zu konnen. Man wird in demselben nicht mehr die obige Gleichung ( I ) , wohl aber eine andere, etwas allgemeinere behandelt finden. In diesern Bande wird man uberdies eine Transformation der betreffenden Gleichung ausgefuhrt sehen, durch welche die Convergenz der oben erwahnten Annaherungen um Wesentliches verrnehrt wird.

H. G.

Die Lange von Aden. Iron A. Auwer-s.

Irn Verlauf der Zusammenstellung des Manuscripts fur Bd. V I des Berichts uber die deutschen Beobachtungen der Venusdurchgange habe ich kurzlich die definitive Ueber- arbeitung der I 87 5 ausgefuhrten telegraphischen Langen- bestimniungen auf der Strecke Berlin-Aden vorgenomnien. Wegen der Wichtigkeit der Llnge von Aden als dem Gabelpunkt der nach Sudasien und Australien einerseits, Sudafrica andererseits sich erstreckenden Langenketten wird es von Interesse sein, die Resultate jener Unternehmung und das wahrscheinlichste daraus und aus der englisch- indischen Bestimmung von 1874-1877 fur die Lange von Aden zu ziehende Mittel auch an dieser Stelle anzugeben. Die Langenbestimmung Berlin- Aden findet sich zwar be- reits in Bd. 111 der Dunecht Observatory Publications be- arbeitet und ausfuhrlich vertiffentlicht, das Resultat dieser Bearbeitung ist aber - abgesehen von den personlichen Gleichungen, die ich nicht unerheblich verschieden fest-

setzen zu mussen glaube, und einigen geringfugigeren Unter- schieden - durch einen Fehler in dem Zwischenglied Alexan- dria-Suez bedeutend entstellt.

Die Stationen waren bei der I 875 Jan. 30 - Mare I 5 ausgefuhrten Operation :

Berlin, Sternwarte Malta - Pfeiler auf dem Dach der Station der Me-

diterranean and Eastern Extension Telegraph Com- pany in La Valetta

Alexandria - Pfeiler auf dem Dach des Hatel de 1’Europe

Suez - Gill’s Pfeiler von 1874 im Hof des oster- reichischen Consulats

Aden - Gill’s Pfeiler in Aden New Town, of877 ostlich ron dem spater durch die Indische Grad- messung besetzten Punkt.

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