Mathemat isdm Zeitsdlrift, Band 55, Heft 2, S. 167--182 (1952).

[lber Stetigkeit yon Integraltransformationen.

Yon

Karl Zeller in Tiibingen.

Inhahsiibersicht. Seitc

w 1. E i n l e i t u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

w 2. B e z e i c h n u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

w 3. F - R ~ u m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

w 4. F - S y s t e m e . . . . . . . . . . . . : �9 . �9 . . . . . . . 170

w 5. Die F - S y s t e m e M u n d P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

w 6. Beispiele fiir Ri~u/ne a u s IM und P . . . . . . ": . . . . . . . 173

w 7. Der H a u p t s a t z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

w 8. F a - R ~ u m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �9 176

w 9. A b b i l d u n g e n mi t F o l g e n v o n O p e r a t i o n e n . . . . . . . \ . . . . 177

w 10. E in P e r m a n e n z s a t z . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . 178

w 11. S c h l u $ b e m e r k u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

w

Einleitung.

Wit betrachten lntegralti 'ansformationen der Form

(*) y(s) = 7(s).x(s)+ f l-'(s,t) x( t )dt (0 <= s < c~). o

Dabej ~ind x, 7 und F komplexwertige, mel~bare Funktionen; und e~ cc T T

ist = lira f gesetzt, wo f - wie aueh alle sp~ter vorkommenden 0 T - - > c~ 0 0

IntegrMe - - im LEBES~UEschen Sinne aufzufassen . ist. Da~ wichtigste Ergebnis des" Arbeit (Satz 7.1) lautet nun: Ordnet die Transformation (*) jedem ~ = x(t) aus einem F-Raum im Sinne yon BANACH [3] (S. 35) ein ~ ) - -y ( s ) aus einem ebensolchen Raum zu~ sO ist diese Abbildung stetig. Hierbei werden noeh einige Zusatzvoraussetzungen gemacht, die im wesentlichen besagen, dab die betreffenden Funktionenr~ume in ,nattirlicher" Weise als F-R~tume aufgefa~t werden.

Der Beweis yon 7. I beruht auf des" Theorie der F-Systeme - - d a s sind Mengen yon ,,verwandten" F-R~umen, siehe w 4 - - und auf dem Begriff der ,,fehlkonvergenzfreien" Abbildung (siehe w 2). Eine grund- legende Rolle spielt ein Satz aus BANACU [3] (Th. 7, S. 41~ hier Satz 3.5).

168 K. Zeller:

Die Theorie tier F-Systeme isL auch ffir sich allein von lnteresse. Sie verallgemeinert S&tze, die yore Verfasser in einer frtiheren Arbeit [12t fiir R~ume yon Zahlenfolgen aufgestellt wurden.

Welter ftihren wir die F~-R/iume ein: Ein F~-Raum ist die mit einem geeigneten Konvergenzbegriff versehene Vereinigung abz&hlbar vieler F-Rgume (w 8). Satz 7. 1 wird auf F,-R~tume verallgemeinert.

Schlielillich stellen wir einen Permanenzsatz ftir Integraltrans- formationen, wobei wir die erweiterte Form von 7.1 verwenden.

w

Bezeichnungen.

Wir gebrauchen die Symbole ~ (daraus folgt), ~.~ (folgt aus), ,~..~ (gleichbedeutend).

Wir betraehten Mengen !~, ~, . . . mit Elementen [, t), . . . , komplexe Zahlen a, b , . . . , sowie gewisse Strukturen auf Mengen.

Eine Menge ~ heil~t ein (komplexer) linearer Raum, wenn in ~[~ zwei Verknfipfungen ~'+ ~) und a t (a komplex) erkl~rt sind, die noch gewissen Gesetzen geniigen (siehe BA~ACI~ [3], S. 26). In bekannter Weise wird der Begriff ,,linearer Unterraum" definiert.

Eine Menge !~ heifit ein Raum !33 = [!~ ; c~)] mit einem Konvergenz- begriff r wenn in !~9 eine Vorschrift definiert ist, die gewisse Folgen ~, in ~:~ als konvergent gegen ein eindeutig bestimmtes Grenzelement auszeichnet. Bezeichnung der Konvergenz:

~, -~ ~ [ ~ ; r lim b, = ~ [!~], usw.

Unter einer F-Norm ~ in einem linearen Raum ~ verstehcn wir ein Funktional mit folgenden Eigenschaften:

(~) > O, ~(~) -~- 0 ~.~ ~ - - o (Nutlelement),

(~) = ~ ( - ~),

(~ + ~) _<_ ~ (~) + ~ (~),

h . ~ 0 ~ q (h,,~) -~ 0 (~ C ~ , h , komplex) ,

cp (~,,) -~ 0 ~ ~ (h ~,) -~ 0 (~, E ~ , h komplex).

Mit Hilfe der F-Norm definieren wit einen Konvergenzbegriff:

~.~ -~ ~ [ ~ ] ~ ~ (~ - ~) -~ o.

Der lineare Raum ~2~ zusammen mit der F-Norm r und dem durch sie definierten Konvergenzbegriff heil~t ein F-normierter Raum !~ ~ [!~; r

Wir gebrauchen die Bezeichnung ![9 sowohl fiir eine Menge als auch fiir diese Menge zusammen mit irgendwelchen auf ihr definierten

Ober Stetigkeit yon Integraltransformationen. 169

Strukturen. Nur in Zweifelsf~llen werden diese Strukturen n/iher an- gegeben (z. B. [ ~ ; r [~:~; r Soil betont werden, dal~ ![B als ein Raum mit Konvergenzbegriff aufzufassen is L so schreiben wir auch [~].

In einem F-normierten Ruum [!~; 9] heist eine Folge ~ konzentriert, wenn lira 9(~,~ ~ ~) = 0 ist. [!~; r heist voUstdndig, wenn jede

konzentrierte Folge konvergent (gegen ein Grenzelement) ist; wir nennen dann [!~9; r aueh kurz einen F-Raum.

Wir beschri~nken uns also nicht auf lokalkonvexe F-R~tume (ftir diesen Begriff vgl. man etwa [10]). Von BANAcu [3] weichen wir insofern ab, als wir komplexe F-R~tume betrachten. Die aus [3] tibernommenen S~tze gelten auch fiir komplexe F-R~ume.

Ftir den Begriff ,,magere Menge" (= Menge I. Kategorie) verweisen wir auf Ba~Acu [3], S. 13. Die Kenntnis dieses Begriffs ist fiir das Verst~tndnis der Arbeit nicht nStig.

Die Ausdrucksweise ,,q) ist eine Operation aus ~ in ~" bedeutet: - ,,Der genaue Erk!~trungsbereich von ~ ist eine Teilmenge yon ~3; qJ

bildet diese in ~ ab. Die Aussage ,,q) bildet ~ in ,~ ab" soll hingegen nieht ausschlieSen, dal~ ~ such ftir Elemente ~ r !fit erklart ist.

Im folgenden Teil von w 2 bedeutet q) eine Operation aus ~ in g. Ist E ~ , ~ ) ~ , so bezeichnen wir mit O3E die Menge der in der Form ~ ~ ~P~ (~ E ~) darstellbaren 3, mit ~ v ~ (q~v~ ~ q)-Urbild von ~) die Menge der ~ mit q)~E~. Insbesondere ist Cv~, der genaue Er- kl~rungsbereich yon q), Ist r __ ~ , so heist q~ eine Operation yon

in ~ ; ist q ) ~ ~ ~, so heist q) eine Operation aus (yon)!~ auf ~. Sind ~ und ~ lineare R~ume, so heil~t r linear, wenn q~v~ ein

linearer Unterraum yon !~ ist und (P(~ + t)) ~ (P~+ (Pt), q~(a~) ~- a-q)~ gilt.

Sind 3~ und ~} zwei R~ume mit Konvergenzbegriffen, so heist ~) .7s wenn q) 3~ in ~ abbildet und aus ~,-~ ~ [3:] folgt O~,-~ q)~[~]. q) heist ~O-fehlkonvergenzfrei~ wenn �9 ~ in ~ abbildet und aus ~ [ 3 ~ ] , r folgt t ) = ~ .

Sind ferner W und Z Mengen yon R~tumen, die Untermengen von bzw. ~ sind und irgendwelehe Konvergenzbegriffe haben, so bedeutet

(ffir die Operation q)): W~-stet ig: Bildet r ein @EW in ~ ab, so ist q~ @~-stetig. W Z-stetig : Bildet q) ein @ E W in ein q6 E Z ab, so ist q~ @q~-stetig. M. a. W: Ist durch (~ eine Abbildung der gena~nten Art fiberhaupt

definiert, so ist sie sogar stetig. Nicht verlangt ist also dabei, daS q) in allen Ri~umen ~ E W erkl~rt ist. Entspreehend definieren wir W~- und W Z-fehlkonvergenzfrei. Ist q) ein Funktional, ~ also der Raum der komplexen Zahlen (versehen mit dem tiblichen Konvergenzbegriff), so gebrauchen wir ktirzer die Bezeichnungen !~-stetig, W-stetig usw. an Stelle von ~ - s t e t i g , W~-stetig usw.

170

Wir beniitigen normierte R~ume.

K. Zeller:

w F-Rilume.

einige bekannte Hilfss/~tze iiber F-R~tume und F-

H i l f s s a t z 3.1. Zwei F-Normen q) und 0 definieren in einem linearen Raum ~ genau dann denselben Konvergenzbegriff, n,enn

~ - - -~ cA) n - - 9 * o o

ist. Gilt diese Beziehung, so ist auch jede in [~; rp] konzentrierte Folge in [~; 0] konzentriert, und umgekehrt.

H i 1 f s s a t z 3.2. Eine in dent F-normierten Raum [~; ~] konzentrierte Folge ~ enthdlt eine Teilfolge O, mit ~ r (t)~ -- t)~+~) < co. [~; q?.] ist genau dann vollstdndig, wenn .]ede Folge mit letzterer Eigenschaft konvergent (gegen ein Grenzelement) ist.

In den folgenden S~ttzen bedeuten ~ und N F-R~ume, q)eine Operation yon ~ in (~.

H i l f s s a t z 3.3. Gilt mit ir.qendwelchen Mengen ~p (p = O, 1, ...) die Gleichung ~ --: U ~v, so ist mindestens eine der Me~gen ~p nicht mager in [~].

S a t z 3.4. �9 sei linear und ~ffC-stetig. Dan~ ist entn,eder q) ~ ~ oder ~ mager in [@].

H i l f s s a t z 3.5. ep sei linear und @N-fehlkonverqenzfrei. Dann ist �9 @$-stetig.

B e w e i s e . 3. 1 und 3.2 sind trivial. 3.3: Folgt aus BANAe~ [3], S. 14, Th. 2. 3.4 und 3.5: Siehe BtNAc,[3], S. 38, Th. 3 bzw. S. 41, Th. 7.

3. 1 wird verwendet, um F-Normen in einfachere Gestalt zu bringen: Die F-normierten R~tume [~; ~] und [@; to] sind fiir unsere Zwecke gleichbedeutend. 3.2 ist ein wertvolles Mittel fiir Vollstttndigkeits- beweise. Auf 3.3, 3.4 und 3.5 baut die folgende Theorie der F-Systeme auf. Eine zentrale Stelhmg nimmt 3.5 ein (~gl. w 4 und die Be- merkungen zu 8.2).

w F-Systeme.

Sei !~ = [!~[B; t[t0] ein linearer Raum mit einem Konvergenzbegriff. Unter dem yon !~ erzeugten F-System, W verstehen wir die Menge der Raume ~ = [@; r mit folgenden Eigensehaften:

ist ein linearer Unterraum yon !~ und (bei gleicher Erkldrunq der Verknitpfun.qen ~ + t} und a~) ein F-Rau~t~, in dem 4. 1 gilt.

E i g e n s e h a f t 4.1. Aus b ~ , [ @ ; t p ] folgt g ~ - ~ [ ~ ] . Es wird nieht verlangt, daf~ !~ ein F-Raum ist. q,0 mug gewissen

Bedingungen gen(igen, damit W nieht leer ist. Jeder Raum @ ~ W erzeugt seinerseits ein i.a. weniger umfassen(les System E.

Uber Stetigkeit von Integraltransformationen. 171

Wir sagen~ da6 eine Menge ~. zu W gehSrt, wenn sie in geeigneter Weise als F-Raum aus W aufgefa6t werden kann. Die Aagabe der F-Norm eines Raumes aus W ist wegen 4.5 meist iiberfliissig.

Wir untersuehen~ welehe Untermengen yon ~ zu W gehtiren und welehe Beziehungen zwisehen den R~tumen aus W bestehen.

W und Z seien die yon zwei R~umen ~ und ~ erzeugten F-Systeme, �9 eine Operation aus !~ in ~. Dann gel ten folgende S~ttze:

S a t z 4.2. Gilt [~p;ffp]EW (p ~ 071, ...), so ist

~P ] E W [n 1 ++,, E -p

und fiir jedes r = 0, 1~.. . auch

~ = 0 p~O

S a t z 4.3. ~ sei linear und fi~r ein gewisses [~; qo] EW ~ - f e h l - konvergenzfrei. Dann ist fi~r ]edes [(~; ~p] E Z der Raum ~ g~ (-~ ~ rait der F-Norm ~p(O~) + q~(~) ein F-Raum aus W.

S a t z 4. 4. Sei ~, ~ E W, ~ ~ ~. Aus b , ~ ~ [~] folgt dann ~--, ~ [~]. S a t z 4.5. Sei [~; ~pIEW und [ ~ ; ~ ] E W . Dann haben [~; ~] und

[~; ~] denselben Konvergenzbegrif[. S a t z 4.6. 1st ~, ~ E W , ~ so bildet ,~ eine magere Menge

in

Satz 4.7. Gilt ~p E W nnd ~ =h ~J ~ (p ~ O, 1, ...), so gehi~rt

U ~, nicht zu W. B e w e i s e . 4.2: Vgl. [12], Satz 4.7. 4.3 : Es gentigt, die Vollstandigkeit yon [Or (~ ~ ~ ; ~ (~ ~) + r (~)]

zu beweisen . Sei ~ in [ ~ ( ~ ( - ~ ] konzentriert; dann ist ~ in [~] und q)(~.) in [(~] konzentriert, somit gibt es ein ~ E ~ und ein t)E mit ~,~ ~ ~ [~] bzw. �9 (~.) ~ 9 [(~] (~'~ Vollst~tndigkeit der F-R~tume). Welter gilt O(~)-~t)[~] (~-, 4. 1). �9 ist ~ - feh lkonvergenzf r@ somit ist t~ ---- ~ . Offenbar gilt nun ~, ~ ~ [ O ~ ( ' ~ ] .

4.4: Die durch I(~)-----~ definierte lineare Operation I (Identit~t) ist ~ - feh lkonvergenzf re i (~-~ 4. 1), somit ~ - s t e t i g (~--~ 3.5).

4. 5: Folgt aus 4. 4. 4. 6: Folgt wie 4.4~ diesmal unter Anwendung yon 3.4. 4.7 : Die Annahme U ~ E W wird mittels 3.3 und 4.6 zum Wider-

sprueh geffihrt. Auf dem folgenden einfachen Satz beruht der Beweis des Haupt-

ergebnisses : S a t z 4.$. @ sei eine lineare Operation aus ~ in ~. a ) Dann

gelten folgende logische Beziehungen fi~r Eigenschaften yon O: ~]~- fehlkonvergenz/rei ~.~ W ~-fehlkonvergenzfrei ~.~ WZ-fehlkonvergenz- /rei ~ WZ-stetig, sowie : ~ - s t e t i g ~.~ W~-stet ig ~-.~ WZ-stetig. b) Ferner ist �9 WZ-stetig, ~renn ~ ' ~ ~ ~ E W und q) ~- feh lkonvergenz f re i ist.

172 K. Zeller:

B e w e i s . a) folgt mit 4. 1 und 3.5. b) r bilde ein ~ 6 W in ein 6Z ab. Dann ist ~ ~ ~, somit ist q )~- feh lkonvergenzf re i (~-.~ 4.4),

also ~(~-fehlkonvergenzfrei (~-~ 4. 1), ulso ~ - s t e t i g (~-~ 3.5). Im n~chsten Abschnitt betrachten wir zwei spezielle Funktionen-

r~tume ~J~ und ~ sowie die erzeugten F-Systeme M und P.

w

Die F-Systeme M und P.

Alle im folgenden vorkommenden Funktionen sind.komplexwertig. Die Menge der Funktionen ~ z x(t), die in 0 ~ t <c~ erkl~rt,

endlich und me,bar sind, bezeichnen wir mit ~. Dabei heil~en zwei Funktionen $ und ~) gleich, wenn x ( t ) = y(t) ftir alle t gilt.

Mit 9)~ bezeichnen wir die Menge der Funktionen ~ ~ x(t), die in 0 ~ t < c~ fast tiberall erkl~rt und endlich sowie mefibar sind. Dabei sollen zwei Funktionen ~ und t} aus ~ gleich hei~en, wenn x(t) ~-- y(t) ffir fast alle t gilt. Anders ausgedrtickt, sind (tie Elemente von Klassen ,,aquivalenter" Funktionen aus ~.

Mit den Funktionen ~. aus !lit nehmen wir i. a. nur solche Operationen vor, die invariant sind gegen Abi%nderung yon x(t) auf einer Null-

menge. Wir verwenden daher in 9)~ statt fin, lim usw. die in bekannter

Weise definierten Ausdrticke fin*x(t), lim*x(t) usw. Jedem ~ ordnen wir die Menge ~ ~ der Funktionsklassen zu~ die e inen Repri~sentanten in ~ besitzen.

und ~ sind lineare Ri%ume bei .,natiir!icher" Erkl~rung der Verkniipfungen ~ + ~ und at .

Mit m~,r(~) bezeichnen wir das L~BESGUEsche Mal~ der Menge der t mit Ix(t)] ~ e, 0 ~ t ~ T. Wir nennen eine Funktionenfolge [, mal~- konvergent gegen ~, wenn fiir jedes ~> 0 und jedes 0 ~ T < c~ die Zahlen m~,T(~,~--~) eine Nullfo]ge bilden.

Nun definieren wir in ~ bzw. ~ einen Konvergenzbegriff:

~ , ~ ~[~] ~.~x~(t)~ x(t) [i~r alle t ( .punktweise Konvergenz"). ~, ~ ~[~] ~..~ xn(t) ist ma/3konvergent gegen x(t). !l)t und ~ (versehen mit diesen Konvergenzbegriffen und der oben

genannten linearen Struktur) erzeugen zwei F-Systeme M und P.

Die Menge ~ der fast tiberall verschw.indenden x(t) 6 ?~ biidet in [~iI einen abgeschlossenen linearen Unterraum. Dasselbe gilt fiir ~ ( - ~ in [~], wo ~ irgendein Raum aus P ist. Wir haben daher

S a t z 5.1. 1st [~; ~p] 6 P, so geh6rt der zugeordnete Raum ~ (vgl. o.) zu ~ mit der F-Norm ~(~)-----fincp(r.), wo ~ alle i~ @ liegenden Re- pr~isentanten von ~_ durchldiuft.

Der Beweis verl~tuft genau wie bei HH~LE [8], S. 472, Th. 22. 11.4.

~ber Stetigkeit yon Integraltransformationen. 173

Wir betraehten zwei Arten von Funktionstransformationen. 7(s) und F(s, t) seien in 0 ~ s < oo bzw. 0 ~ s, t < oo erkl~trt, endlich und mefSbar. Mit 7' bzw. F bezeiehnen wir dann die Transformationen

----~ OO

y(s) = r(.~) x(s) b~w. y(s) = f r ( s , t) x(t), t t . 0

In anderer Schreibweise lautet (*) nun t ) = ~,~+ F~. (*) kann gufgefagt werden als Operation aus ~3 in ~, aus 9)~ in ~,

aus 9~ in ~:1~, gus ~ in 9J~. Je naehdem ob ~3 oder 9J/ als Bildraum auftritt, ist die Abbildung erkl~trt, wenn y (s) fiir alle bzw. fast alle s existiert (y(s) ist dann nach 6.8 mel~bar). Im Falle ,,aus 9J~ in ~" ist y(s) ~ 0 anzunehmen, da sonst die Abbildung mehrdeutig ware. Es wird jeweils aus dem Zusammenhang ersichtlich sein, als was fiir eine Operation (*) aufgefaBt wird.

gin erster Schritt in Richtung auf das Hauptergebnis ist S a tz 5.2. Die Okeration 7' ist 9~-, ~9J~-, 9JlO~-stetig, also auch

PP-, PM-, b4b'l-stetig. B e w eis . Der erste Tell der Behauptung folgt aus bekannten Tat-

saehen iiber punktweise bzw. Magkonvergenz, der zweite ansehlieftend ~ mit 4.8.

w

Beispiel fiir R~iume aus Ivl und P.

B e i s p i e l 6.1. Zu P geh6rt der Raum (~ der beschriinkteT~ Funk- tio~en ~-~ x(t), [i~r die lim x(t) existiert. F-Norm:

tin IX(t)l. 0 = < t < ~

Die folgenden Beispiele sind R~tume aus M: B e i s p i e l 6.2. Der Raum ~ mit der F-Norm

I~(t)l dr. 0

g definiert in ~ wieder den in w 5 genannten Konvergenzbegriff (,,Maitkonvergenz").

B e i s p i e l 6. 3. Der Raum ~T der in o, 7' (T lest) L'-integrierbqren T

E~J~. F-Norm: g(~,)+ f Ix(t)l dt . 0

B e i s p i e l 6.4. Der Raum ~ der in ]edem endlichen Teilintervall L'-integrierbaren ~ E ~ . F-h?orm :

z(~.) = E 2-~ "" �9 ~(~) = f Ix(t) l d r .

Mathema,tische Zeitschrift. Bd. 55. |

174 K. Zeller:

B e i s p i e I 6. 5. Der Raum ~ der ~ E ~, fiir die f x (t) d t existiert. o

F-Norm :

(~) = z(D + ~o(~); ~o(~) = fin x(t) . 0 < _ m ~

B e i s p i e 1 6.6. Der Raum 7vR tier ~. E ~J~, fib" die bei gegebenem 7

das lntegral f 7(t)x(t)dt existiert (die also yon 7 in ~ abgebildet 0

werden). F-Norm (7 ~) + ,~ (D.

B'e i s p i e 1 6.7. Der Raum F v ~;~ der Funkt ionen ~ E ~ , fi~r die ---->oo

bei gegebenem F fast iiberall f F(s~ t) x (t) d t existiert. E-Norm : 0

(~) + ~ @ (7, ~)). /~(x(y~)) ist d a b e i so zu vers tehen: Fiir jedes s wird v o n d e r Funk- tion 7 ~ ~ F(s, t) x(t) (mit Argument t) die F-Norm z gebildet, sodann v o n d e r ents tandenen Funkt ion (mit Argument s) der Ausdruek #. Die Berechtigung der Bezeichnung Fv~J~ ergibt sieh aus 6.8 und 7.3.

B e w e i s e: 6. 1, 6.2, 6.3. Die geforderten Eigenschaften ergeben sich leicht aus bekannten S~tzen der Analysis, .

6.4. Anwendung yon 6. 3, 4. 2 und 3.1. 8

6.5. Anwendung yon 4.3 mit ~ ~ ~, (~ ~ ~ und ~ ~ f x ( t ) d t . o ~

6.6. Anwendung yon 4.3 mit ~ ~ ~ und (~ ~ ~' unter Beachtung yon 5.2.

6. 7. Hier benStigen wir einen tIi lfssatz: T

H i 1 f s s a t z 6.8. _/l(s~ t) sei (f ldchenhaft) me~bar. Ist f (s) = f A (s, t) d t 0

(T lest) fi~r fast alle s erkldrt (und endlich), so ist f(s)E~3rJ~. Ent- T

sprechende Behauptungen gelten fiir g (s) ==- ~ I f / l ( s , t) d t und o =< T<~c~ 'o ---~ oo

h (s) - - f A(s, t) d t. 0

B e w e i s l ) . Wir setzen ffir n ~ 0, 1, . . . A(s,t)

A ~ ( s , t ) = ~ . n fiir [ / 1 ] > n

(s, t) ~ r I~1 < ~-

f.(s) ~ f A,(s, t) d t ist mefibar (~-.. HoBso~.[9], S. 629). f,(s) konvergier t 0

fiir fast alle s gegen f(s), also ist f(s) meBbar (~-.~ [9], S. 584).

1) Verf. ve rdank t Herrn W. JUra(AT eine den Beweis betreffende Anregung.

O b e r Stet igkei t von In tegra l t ransformat ionen . 175

r f A(s , t )d t ist eine in T stetige Funktion, daher ist 0

Tn

g(s) = ! f _/l (s, t) dti , o

wo T, alle rationalen Zahlen durchl~tuft. Nach dem vorigen ist fiir Tn

jedes T, die Funktion f d(s, t )d t mel~bar, somit auch g(s) (~'~ [9], o

S. 584). ~hnlich verl~uft der Beweis ftir h(s). Wir kommen zum Beweis von 6.7. /~e!lJt ist ein linearer Unter-

raum in ~'J~. ~(~)+t~(z(~,8~)) ist eine F-Norm: Dazu mul~ zunachst gezeigt werden, dab ~ ( s ) ~ x(~,8~) eine Funktion aus ~ ist. Dies ist der Fall~ wenn die Funktionen x,~(s)= x,0,8~) zu ~ gehSren (~..~ [9]; S. 564 und 584). Letzteres ergibt sich aber aus 6.8 (man setze d(s, t) ---- F(s, t) x(t) bzw. A(S , t) ~ IF(s, t) x(t)l ). Daher ist der Ausdruck

(u(~,8~)) ffir jedes ~ E F ~ erkl~trt. Nun gelten folgende Beziehungen:

(t) < z (t) f. (m) <= z. (t) --~ 0 f. ii. ~.~ tt (8,) ~ 0.

Mit Hilfe dieser Eigensehaften bestatigt man, da[~ tt(~)+ t t ( u ( ~ ) ) e i n e F-Norm ist.

IF v 992] ist vollst~ndig: Sei E t t ( ~ - ~,+~) < c% E t~ (u(7~(~,- ~"+1))) < c~ (vgl. 3.2). Dann ist ftir fast alle s ~ x ( r , ( ~ . - ~.+a))< co. Somit ist die Folge ~, i~., fast allen R~umen 7 ' ~ konzentriert, hat daher in diesen R~umen Grenzelemente ~(~) (vgl. 6.6). AIle ~(') sind gleieh (~,, 4. 1), etwa ~ - L Offenbar gilt dann ~,-~[FV~X]. Dal~ der F-Raum [Feg)2] zu M gehSrt, ist nun klar.

Damit ist der Beweis votlendet. Wir kSnnen FeO3~ aueh auffassen als ,,Fast-iiberall-Durchsehnitt" der iiberabz~thlbar vielen R~tume ~ . In 6.7 steekt schon der Kern des Hauptergebnisses..

w

Das Hauptergebnis.

S a t z 7. 1. Die Transformation

(*) y(s) -~ 7"(s) x(s)+ f F(s, t) x(t) d t o

ist P!13- , M~-, M~- , Pg~-stetig und PP-, MP-, MM-, PM-stet~g. Anders formuliert, lautet der zweite Tell des Satzes: Bildet die

Transformation (*) einen Raum aus M oder P in einen ebensolchen a b, so ist diese Abbildung stetig.

i 76 K. Zetler:

B e w e i s . Es genfigt wegen 4.8~ den ersten T e i l der Behauptung zu beweisen. Wegen 5.2 dfirfen wir 7(s)--: 0 annehmen, also die Operation F betrachten.

1. F a l l (P~). F sei in ~ E P erkl~rt. Dann sind die Funktionale -->OO

/,(~) = f F ( s , t ) x ( t )d t nach 7 .2 stetig. Also ist F ~ - s t e t i g . 0

2. F a l l (M~). Der Beweis verlauft wie im ersten Fall. 3. F a l l (M~). Ist F i n ~ E M erkl~rt, so is t $ ~ _ F u ~ . F b i l d e t

/ w ~ stetig in ~J~ ab (~-.~ 7.3), also ist F erst recht ~J~-stetig (~.~ 4.4). 4. F a l l (Pg~). ir' sei in ~ E P erkl~rt. Dann ist F~ a.ufgefal~t als

Operation aus !D~ in !lr~, auch in dem zu ~ gehSrigen Raum ~E M erkl~rt. /1 bildet ~ stetig in ~ ab, also ist F erst recht ~!IJ~-stetig (man vgl. die F-Normen von ~ und ~- in 5.1).

Zusatze zu 7.1 finden sieh in w 8'(8.6) und in w 11. Wir tragen die beim Beweis verwendeten S~tze 7.2 und 7.3 nach:

-~)- OO

S a t z 7.2. Ein Funktional get Form f(~) ~ f s (t) x(t) d t ist M- 0

und P-stetig. B e w e i s. / ist genau dann in einem Raum ~ s M oder ~ s P erkl~rt,

wenn y ~ in ~ abbildet; nach 5.2 ist diese Abbildung stetig. Das - -~OO

Funktional g(O)~- f y ( t )d t ist in. ~ stetig, woraus die Behauptung o

folgt. S a t z 7.3. F bildet den Raum FU~J/~ stetig in ~ ' a b .

- - ~ o o

B e w e i s . y(s) = f F ( s , t ) x ( t ) d t ( ~ e r ~ ) ist meflbar (~-~6.8). 0

Es ist Jy(s)J ~ uo(7,~)~ u(7,~) ffir fast alle s, somit #( t~)~#(~) d-~(u(7,~)), woraus sich die Stetigkeit ergibt.

~8 ~ - , �9

F~-Riiume.

Sei ~ ein linearer Raum. Die ~p seien F-R~iume, die lineare Unter- r~tume in !~ bilden. Es gelte ~ p ~ p + l (p--~ 0, 1 , . . . ) und

E i g e n s c h a f t 8. 1. Aus ~ - ~ [ ~ ] , ~-~0[~q] folgt ~ ----- 0- Im linearen Raum ~ ~ U ~p definieren wir einen Konvergenzbegriff: ~.. -~ ~ [6] .,-.~ ~,~ ~ ~ [~p] f/~r" mindestens ein p. Versehen mit diesem Konvergenzbegriff heifit ~ ein F~-Raum. Die

~ nennen wir eine Definitionsfolge v o n ~ und schreiben ~ ~ {~p}. Offenbar kann ~ mittels verschiedener Definitionsfolgen bestimmt werden. Die ~p geh0ren alle zu dem yon dem F~-Raum ~ erzeugten F-System I=. Ein F-Raum ~ ist ein Fo-Raum ~ ~ {~p} mit ~ : (p = 0, 1 , . . . )

t3ber Stetigkeit von Infegraltransformationen. 177

8. 1 ist erfiillt, wenn !~9 einen Konvergenzbegriff hat und die ~ , zum F-System W gehSren. Die Menge der aus W hergeleiteten F : Riiume heil~t das F : S y s t e m W,. W, enthi~lt mehr Ri~ume als W (~.,4.7).

Wir bringen einige S~tze fiber Fo-Ri~ume, wobei u.a . 3.5 und 4.3 verallgemeinert werden. In 8.2 und 8.3 bedeuten $--~{@p} und q ~ (@~,) t :Raume , q~ eine Operation yon @ in @.

S a t z 8.2. 1st ~ linear und @(~.fehlkonvergenzfrei, so sogar ~q~-steti:l. S a t z 8.3. 1st q~ linear und @ff~-stetig, so bildet q) :edes ~ , in ein

@,j, ab. Bildet r zudem ~ a u / q~ ab, so ist :i~r geeignete p~ ( r = O, 1,.. .)

B e w e i s e . In beiden Si~tzen ist naeh Voraussetzung (P @q~-fehl- konvergenzfrei, also (ftir bel. p, r) @v@,-fehlkonvergeIizfrei. Somit ist

q~v @~('~@v EE (~-.~ 4.3). Es ist @v= U (r also @v = ~u@~,,(-~, r ~ 0

ffir geeignetes rv (~-.~ 3.3, 4. 6). q~ bildet @v fehlkonvergenzfrei, also stetig in @,~ ab (~-.~ 3.5). Damit ist 8 .2 und tier erste Tell yon 8.3

bewiesen. Bildet (P zudem @ auf @ ab, so gilt ~,---- U (P(q)v(~,V-~@v) p = 0

= U (q~,('h ~@v), also ffir geeignetes p, q~ = (~,('~ q~@v,. (~..3.3, 3.4), i o = 0 ,

somit @r_<_ (~v,. . Nun seien W, W~, Z, Z, die von zwei R~tumen ~ und 3 erzeugten

Systeme, r eine Operation aus i~ in .~. S a tz 8.4. Ist �9 linear und /i2r ein gewisses ~ .-~ {@~} ~ W. ~3-

:ehlkonvergenz:rei, so ist :iir ]edes @ ~ {@~} ~ Zo der Raum q~u r ('5 ein Fo-Raum aus W, mit der Definitionsfolge ~u(~v(--~@~.

B e w e i s. Wie oben folgt ~ q~v (-~ ~v ~ W. Es ist

S a t z 8.5.1st r linear und W3-/ehlkonvergenz:rei, so auch W, Zo-stetig. B e w e i s . Sei $ ~ W , , q ~ Z ~ , q) bilde @ in q~ ab. q~ ist ~3-, also

auch @q~-fehlkonvergenzfrei, somit @@-stetig (~.. 8. 2). Damit ergibt sieh unmittelbar als Zusatz zu 7.1 S a t z 8.6. Die Operation (*) ist POP:, M, Po-, IMAM:, P, Mo-stetig. Besonders wiehtig ist Satz 8.2. Mit 8. 2 lassen sieh 4.4 und 4. 5

auf Fo-R~tume verallgemeinern. Welter folgt aus 8 .2: Ist �9 eine lineare Operation yon ~ auf ~, @| und eindeutig umkehrbar, so ist die Umkehroperat ion ~-1 ,,~@-stetig"; u.a.

w

Abbildungen mit Folgen von Operationen.

~ , i~, W, Z, W~, Z~ seien wieder definiert wie in w die Oq(q=0,1, . . . ) Operationen aus !~ in 3 ; 3 ~ , ~ , ~ . Wir sagen: ,,Die Folge r bildet ~ in ~ ab", wenn es zu jedem ; C 3~ ein q gibt, so dalt ~Po; E ~ ist.

178 K. Zeller:

S a t z 9.1. V o r a u s s e t z u n g : Die (~q seien lineare Operationen aus ~ in ~, seien W ~-fehlkonvergenzfrei und mit folgender ,Mager- keitseigenschaft" versehen : Fiir ]edes ~ E W ist entweder ~ < Ovq ~ oder O~q ~ (-~ ~ mager in [~]. SchlieBlich m6ge die Folge Oq den Raum

--~ {@p} E W, in ein q~--+ {(~p} E Z~ abbilden. B e h a u p t u n g . Es gibt zu ]edem p = O , 1 , . . . ein q = q ( p ) und

ein r ~ r (p), so da/I ~ den Raum ~p in (~ abbitdet, und zwar stetig. B e w e i s . Sei q)~@,gh(+v ---- ~pq~. Ist Oq nicht in ganz @v erkl~rt,

so ist ~vq~ mager in [@p]. Ist q)q in @p erklgrt, so ist ~pq, E W (~.~ 4.3),

also entweder mager in [~p] oder ~--- ~v (~.+4.6). Es ist ~v = U ~vq~. q, ~'~0

Daher gibt es ein q ~ q(p) und ein r ~ - r(p), so dab ~v ~ ~q, ist (~., 3.3). Oq bildet @v in ~, ab, und zwar stetig (~-~ 3.5).

Die +q erftillen die Magerkeitsbedingung, wenn jedeg q)q~3 ein Raum aus W oder W, ist (~.+ 4.6, 3.3).

w 10.

Ein Permanenzsatz.

~rVir benStigen einige neue R~tume und Definitionen: B e i s p i e l 10. 1. Der Raum !~ der beschrdnkten Funktionen x(t) C

geh6rt za P mit der F-Norm

fin I/(t)l . 0 < t < c r

B e i s p i e l 10.2. Der Raum 3 der ~Es [i~r die lira* x(t) existiert,

gehSrt zu M~ mit der Definitions/olge 3p (s. u.). B e i s p i e i 10.3. Fi~r ]edes p = O, 1 , . . . . qehSr t der Raum 3p der

~C3 mit fin* Ix(t)J < co zu M mit der F-Norm t > p

P

vp(~) - - j ' [x(t)l d t + fin* [x(t)]. 0 t>=p

Wir unterdriicken die einfachen Beweise ffir 10. 1--10.3. Unter einer Treppenfunktion verstehen wir eine Funktion der Form

x(t) ~ a,~(bn~ t < b~+l; n----- 0, 1, . . . , r; b o ---~ 0, br+~ = c~).

Die Menge dieser Funktionen nennen wit %. ?IT bedeute die Menge der Funktionen x(t) E~3 mit

x(t) = o (t => T).

Wir setzen ?1-- O 9./z (Menge der abbrechenden Funktionen).

Mit %, 9./T, ~ bezeichnen wit auch die zugehSrigen Untermengen yon ~)~.

()ber Stetigkeit von Integraltransformationen, 1~9

Sei ~ ein Raum mit einem Konvergenzbegriff, ~ ~ !~. Ein ~ C heil~t Beriihrpunkt yon 3E in [!~], wenn es Elemente b, E ~ gibt mit ~ [ ~ ] . Die Menge der Beriihrpunkte bezeichnen wir hier und im folgenden dutch ~berstreichen (~). :~ heifSt abgeschlossen, wenn ~ ist. Es gilt folgender einfache Satz:

S a t z 10. 4. ~ und ~ seien Raume mit Konvergen2begriffen, ~ ~ ! ~ ~ ~_~, ~ abgeschlossen in [~], �9 eine !~ - s t e t i ge Operation. Dann ist 0 ~ ~ , und im Falle 4 ) ~ auch 0 ~ .

B e w e i s . Klar. Wir betrachten nun eine Integral t ransformat ion/~ Und die aus ihr

hergeleiteten Transformationen Fq (q = 0, l , . . . ) mit

j t) (s => q) (s, t) 0 (s < q).

----) (:X)

S a t z 10.5. Sei y (s ) -~ f F(s,t) x( t )dt , a) Genau dann existiert o

fi~r ]edes ~ C ~j get Grenzwert lim y (s) (wobei y (s) fi~r s ~ s (~) erkldrt $ - - - ~ Cx)

ist), wenn folgende Bedingungen erfi~llt sind" c o

(Zn) f IF(s, t)l dt ~ M o tier s ~ qo ; o

(Zn') fin* IF(s, t ) l ~ M~ fiir s ~ qp (p ~ 1, 2, . . .); o =<- t'<~

C~3

(Zs) lira f F(s, t) d t -~- a existiert; s ' ~ . c~ 0

T

(Sp) lira f / ' ( s , t) d t -~ aT existiert f~r 0 ~ T < c~. S----~ o o 0

b) Genau dann ist iiberdies l imy(s )~- - l im*x( t ) , wenn die auf- gefi~hrten Bedingungen erfi~llt sind und a -~- 1, a~ = 0 (0 ~ T < ~ ) gilt.

Die Bedingungen Zn und Zn' sind dabei so zu vers'tehen: Es gibt ein qp und ein Mp (das nicht von s abh~ngt), so dal~ die betreffenden Ungleichungen erffillt sind. Wir dtirfen dabei qp als ganz annehmen. Sp kann noch abgeschw~eht werden: Man ersetzt ,,0 ~ T < c<)" durch ,,ffir alle T,e iner in 0, c~ dichten Menge".

B e w e i s . a) F hat genau dann die gewtinschten Eigenschaften, wenn die Operationenfolge Fq den Raum ~ in ~ abbildet.

Die Bedingungen sind notwendig: Die Fq~ aufgefal~t als Operationen aus ~ in !13 , erftillen die Voraussetzungen yon 9.1 (~.~ 7.1, 6. 7). Also wird jedes ~ yon einem / ~ in ~ abgebildet, und zwar linear und stetig. Ftir die Fqp-Transformierte-t)~ gilt dann

fin [y~ (s)] ~_ M~. v~ (~.), 0 < = s - ~

180 K. ZelIer:

well vp eine homogene F-Norm ist (vgl. BA~ACH [3J, S. 54, Th. 1). H[e~'- aus folgen unter Anwendung bekannter S~ttze der Analysis die Be- dingungen Zn und Zn'; Zs und Sp sind trivialerweise notwendig.

Die Bedingungen sind hinreichend: Aus Zn und Zn' folgt, da f Fq~, ~p stetig in ~ abbildet. ~ ist eine abgeschlossene Menge in [~]~ Fq~, bildet jedes ~s in ~ ab (~.~ Sp), somit ist I~p(?i('hg.l)~ (~.~ 10.4). Zu ~(-~ ~{ gehSrt jedes ~ C ~/~,(-'~ ~ (vgl. etwa BANACU [3], S. 62). Dutch Betrachtung aller ~p erh~lt man hieraus~ da f fill" jedes ~ E ~(~0/ lira y(s) eiistiert. Somit ist Fqp(~p (-~ 9.{) ~ ~. ~v(-'~ enth~tlt jedes ~. C ~p

$ --> ~r

mit lim*x(t) ~--- 0; j edes soletie ~ Wird also von Fr in (~ abgebildet t - - - ~ o:~

(~-.~ 10.4). Anwendung yon Zs ergibt nun die Behauptung. (~:(~92, ~v( '~2 bedeuten jeweils die Menge der Berfihrpunkte beziiglich des Konvergenzbegriffes in [~,]).

b) Die Bedingungen sind offenbar notwendig. Ganz ~thntich wie ()ben beweist man, dalt sie auch hinreichend sind.

Der Beweis fiir den hinreichenden Tell des Satzes ist yore Typ der bekannten ,,Grundmengenbeweise". Erschwert wird die Durch- ftihrung dadurch, da f wir O perationenfolgen verwenden und daft in [~] nicht allgemein gilt ~ = ~.

Wit verzichten auf die Formulierung naheliegender Varianten yon 10.5, die ,,nulltreue" Transformationen usw. betreffen.

w

SchluBbemerkungen. Satz 7. 1 (und 8.6) kann in vielfacher Weise variiert werden durch

Verwendung anderer Intervalle und Integralbegriffe; u.a. bleibt 7. 1 - + c ~ o o

richtig, wenn in (*) f durch f ersetzt wird. Welter kann 7. 1 ver- 0 0

allgemeinert werden auf Funktionen mehrerer Ver~nderlicher; je nach dem verwendeten Integralbegriff treten dabei neue Schwierigkeiten auf. Analoga zu 8.6 ffir Mehrfachintegrale sind besonders wichtig, da viele gel~tufige R~ume yon Funktionen mehrerer Ver~nderlicher in natfirlicher Weise als F~-R~tume aufgefaft werden kiinnen. Selbstverst~tndlich sind in 7. 1 und 8.6 entsprechende S~ttze ffir Matrixtransformationen yon Zahlenfolgen enthalten (vgl. [12], Satz 4.4).

Die Voraussetzungen fiber Mel~barkeit sind z.T., insbesondere bei Betrachtung des Raumes ~ allein, entbehrlich.

Will man ~thnlich wie in [121 verntinftige Aussagen tiber lineare, stetige Funktionale in den benutzten FUnktionenr~tumen erhalten, so mar man sich auf lokalkonvexe F-R~ume beschr~tnken. Man betrachtet dann etwa das yon ~ erzeugte F-System lokalkonvexer F-R~tume und l~ift nur solche Transformationen (*)zu, die ~ in ~ abbilden.

Uber Stetigkeit yon Integraltransformationen, 181

Die gestreiften Fragen sollen in einer sp/iteren Arbeit ausfiihrlicher behandelt werden.

BAs~ca [2] (siehe [3], S. 87) bewies ebenfalls einen Satz tiber die Stetigkeit der Transformation (*) (mit 7(s)~-0). Er setzt voraus, dal~ die vorkommenden Funktionenr~ume BANACri-RKume s ind und drei Bedingungen genfigen (1., 2., 3.), wKhrend yon F Meltbarkeit nicht gefordert wird. 1. besagt dabei, dal~ der Raum zu IM oder P gehiirt. 3. kann weggelassen werden: Man verwendet am Schlu$ des Beweises start Th. 2~ S. 79, einfach Th. 7, S. 41.

Vereinigungen yon abz~thlbar vielen F-R~umen wurden auch be- tmndelt yon Ki~TItE [10] [1 1] und DIEUDONNE-ScHwARTZ [6]-tinter Einffihrung einer Topologie im Sinne yon BOURBXKI [4]. Diese Autoren beschr~inken sich auf loka lkonvexe R~tume; in [6] wird welter vorausgesetzt, dMt (~v eine abgeschlossene Menge in [~p+l] bildet. Auch bei F,-Raumen in unserem Sinn las t sich eine derartige Topologie einftihren; ffir die vorliegenden Zwecke erschien jedoch die Verwendung eines Konvergenz- begriffes einfacher.

Satz 10.5 findet Sich in leicht abgei~nderter Form ohne Beweis bei HARDY [7], S. 62. Ftir we i te re S~tze dieser Ar t v g l . m a n [1] und [5].

A6~r:w~ R.P. [1]

BANACH~ ~. [21

BANACH~ S. [3]

BOURBAKI ~ N. [4]

DAY, M.M. [5]

Literaturverzeichnis.

Properties of generalized definitions of limit. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 689--730 (1939).

Sur les op4rafions dans les ensembles abstraits et leur application aux 6q~ations int6grales. Fund. Math. IIL 133--181 (1922), insbes. S. 163 ft.

Th6orie des op6rations lin6aires. Warschau 1932.

Topologie g6n6rale. Paris, 1940--1949.

Regularity of function-to-function transformations. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 296--303 (1939).

DIEUDONN]~ J. und SCHWARTZ~ L.- [6] La dualit6 dans les espaces (F) et (LF). Ann. hmtitut Fourier 1,

HARDY~ G.H. E7]

HILLE~ E. is]

61--101 (1950).

Divergent series. Oxford 1949.

Functional analysis and semi-groups. (American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 31.) New York 1948.

182 K. Zeller: Uber Stetigkeit von Integraltransformationen.

HOBSON, E.W. [9] The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's

series. Vol. I. 3. ed. Cambridge 1927. K6Tu~, G.

[10] Ober die V.ollst~ndigkeit einer Klasse lokalkonvexer R~tume. Math. Zeitsehrift 52, 627--630 (1950).

[11] (~ber zwei S~ttze yon BANne~. Math. Zeitsehrift 53, 203--209 (1950). ZELrJEa, K.

[12] Allgemeine Eigenschaften von Limitierungsverfabren. Math. Zeit- schrift 53, 463--487 (1951).

(Eingegangen am 24. Juli 1951.)