Uumlbungen zur VorlesungStochastik und ihre

Didaktik (BA)

Referenten Franziska LitschkoReferenten Franziska Litschko Lisa DembnyLisa Dembny Maria MuumlllerMaria Muumlller

0712200807122008

Thema Wahrscheinlichkeit

41 Fuumlhren Sie in der Klassenstufe 78 die Begriffe Ergebnis Ergebnismenge und Ereignis ein und konzipieren Sie vielfaumlltige Uumlbungen zum Verstaumlndnis und zur Festigung dieser Begriffe im Zusammenhang mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit und demSchaumltzen von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe relativer HaumlufigkeitenSchaumltzen Sie den Zeitbedarf fuumlr Ihre Vorschlaumlge ab

RahmenlehrplanRahmenlehrplan

42 Doppeljahrgangsstufe 78421 PflichtbereichP1 78 Daten erheben und verstehen

Zentrale Leitideen Daten und Zufall Zahl Schuumllerinnen und Schuumller verstehen Statistiken und gehen

kritisch mit ihnen um Dabei ist es wichtig selbst Daten zu sammeln diese zweckmaumlszligig darzustellen und geeignet zu interpretieren Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft

Kompetenzbezug Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von

Darstellungen und zu den Leitideen Daten und Zufall und Zahl bilden den Schwerpunkt dieses Moduls

bull Planen und Durchfuumlhren statistischer Datenerhebungen bull Erfassen Darstellen und Bewerten von Daten bull Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte bull Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale

Zahlen

Die folgenden Schuumllertaumltigkeiten dienen dem Erwerb dieser KompetenzenDie Schuumllerinnen und Schuumller

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten Strichlisten und Haumlufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis- Linien- und Balkendiagrammen dar

bestimmen das Maximum das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes

bestimmen absolute und relative Haumlufigkeiten interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen vergleichen diese mit

ihren Erwartungen und beurteilen sie

klassifizieren Daten in Messdaten mit denen Rechnungen durchgefuumlhrt werden

koumlnnen in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen

bestimmen den Median einer Haumlufigkeitsverteilung ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und

begruumlnden ihre Entscheidungen und Konsequenzen104875510487551048755 planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten

Darstellungen kritisch

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Thema Wahrscheinlichkeit

41 Fuumlhren Sie in der Klassenstufe 78 die Begriffe Ergebnis Ergebnismenge und Ereignis ein und konzipieren Sie vielfaumlltige Uumlbungen zum Verstaumlndnis und zur Festigung dieser Begriffe im Zusammenhang mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit und demSchaumltzen von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe relativer HaumlufigkeitenSchaumltzen Sie den Zeitbedarf fuumlr Ihre Vorschlaumlge ab

RahmenlehrplanRahmenlehrplan

42 Doppeljahrgangsstufe 78421 PflichtbereichP1 78 Daten erheben und verstehen

Zentrale Leitideen Daten und Zufall Zahl Schuumllerinnen und Schuumller verstehen Statistiken und gehen

kritisch mit ihnen um Dabei ist es wichtig selbst Daten zu sammeln diese zweckmaumlszligig darzustellen und geeignet zu interpretieren Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft

Kompetenzbezug Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von

Darstellungen und zu den Leitideen Daten und Zufall und Zahl bilden den Schwerpunkt dieses Moduls

bull Planen und Durchfuumlhren statistischer Datenerhebungen bull Erfassen Darstellen und Bewerten von Daten bull Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte bull Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale

Zahlen

Die folgenden Schuumllertaumltigkeiten dienen dem Erwerb dieser KompetenzenDie Schuumllerinnen und Schuumller

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten Strichlisten und Haumlufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis- Linien- und Balkendiagrammen dar

bestimmen das Maximum das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes

bestimmen absolute und relative Haumlufigkeiten interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen vergleichen diese mit

ihren Erwartungen und beurteilen sie

klassifizieren Daten in Messdaten mit denen Rechnungen durchgefuumlhrt werden

koumlnnen in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen

bestimmen den Median einer Haumlufigkeitsverteilung ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und

begruumlnden ihre Entscheidungen und Konsequenzen104875510487551048755 planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten

Darstellungen kritisch

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

RahmenlehrplanRahmenlehrplan

42 Doppeljahrgangsstufe 78421 PflichtbereichP1 78 Daten erheben und verstehen

Zentrale Leitideen Daten und Zufall Zahl Schuumllerinnen und Schuumller verstehen Statistiken und gehen

kritisch mit ihnen um Dabei ist es wichtig selbst Daten zu sammeln diese zweckmaumlszligig darzustellen und geeignet zu interpretieren Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft

Kompetenzbezug Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von

Darstellungen und zu den Leitideen Daten und Zufall und Zahl bilden den Schwerpunkt dieses Moduls

bull Planen und Durchfuumlhren statistischer Datenerhebungen bull Erfassen Darstellen und Bewerten von Daten bull Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte bull Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale

Zahlen

Die folgenden Schuumllertaumltigkeiten dienen dem Erwerb dieser KompetenzenDie Schuumllerinnen und Schuumller

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten Strichlisten und Haumlufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis- Linien- und Balkendiagrammen dar

bestimmen das Maximum das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes

bestimmen absolute und relative Haumlufigkeiten interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen vergleichen diese mit

ihren Erwartungen und beurteilen sie

klassifizieren Daten in Messdaten mit denen Rechnungen durchgefuumlhrt werden

koumlnnen in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen

bestimmen den Median einer Haumlufigkeitsverteilung ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und

begruumlnden ihre Entscheidungen und Konsequenzen104875510487551048755 planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten

Darstellungen kritisch

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

42 Doppeljahrgangsstufe 78421 PflichtbereichP1 78 Daten erheben und verstehen

Zentrale Leitideen Daten und Zufall Zahl Schuumllerinnen und Schuumller verstehen Statistiken und gehen

kritisch mit ihnen um Dabei ist es wichtig selbst Daten zu sammeln diese zweckmaumlszligig darzustellen und geeignet zu interpretieren Die Grundbegriffe aus der Grundschule werden aufgegriffen und vertieft

Kompetenzbezug Die folgenden Kompetenzen zur Verwendung von

Darstellungen und zu den Leitideen Daten und Zufall und Zahl bilden den Schwerpunkt dieses Moduls

bull Planen und Durchfuumlhren statistischer Datenerhebungen bull Erfassen Darstellen und Bewerten von Daten bull Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte bull Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale

Zahlen

Die folgenden Schuumllertaumltigkeiten dienen dem Erwerb dieser KompetenzenDie Schuumllerinnen und Schuumller

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten Strichlisten und Haumlufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis- Linien- und Balkendiagrammen dar

bestimmen das Maximum das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes

bestimmen absolute und relative Haumlufigkeiten interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen vergleichen diese mit

ihren Erwartungen und beurteilen sie

klassifizieren Daten in Messdaten mit denen Rechnungen durchgefuumlhrt werden

koumlnnen in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen

bestimmen den Median einer Haumlufigkeitsverteilung ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und

begruumlnden ihre Entscheidungen und Konsequenzen104875510487551048755 planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten

Darstellungen kritisch

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Die folgenden Schuumllertaumltigkeiten dienen dem Erwerb dieser KompetenzenDie Schuumllerinnen und Schuumller

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten Strichlisten und Haumlufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis- Linien- und Balkendiagrammen dar

bestimmen das Maximum das Minimum und berechnen das arithmetische Mittel eines Datensatzes

bestimmen absolute und relative Haumlufigkeiten interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen vergleichen diese mit

ihren Erwartungen und beurteilen sie

klassifizieren Daten in Messdaten mit denen Rechnungen durchgefuumlhrt werden

koumlnnen in Daten mit qualitativen Merkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen

bestimmen den Median einer Haumlufigkeitsverteilung ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistische Ergebnisse und

begruumlnden ihre Entscheidungen und Konsequenzen104875510487551048755 planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) und bewerten

Darstellungen kritisch

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Taumltigkeiten

verwenden die Begriffe Ergebnis Ereignis und Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten

schaumltzen Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer Haumlufigkeiten

beschreiben einfache Zufallsexperimente durch die Angabe einer angemessenen Ergebnismenge

begruumlnden die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ergebnissen aufgrund von Symmetrien

beschreiben Zufallsexperimente durch die Angabe einer der

Problemstellung angemessenen Ergebnismenge begruumlnden das verwendete Abzaumlhlverfahren

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

1 Lehreinheit1 Lehreinheit

Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch Klaumlrung des Begriffes Zufallsversuch anhand von Beispielaufgaben (12 anhand von Beispielaufgaben (12 Minuten)Minuten)

Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge Einfuumlhrung der Begriffe Ergebnismenge und Ergebnis anhand von und Ergebnis anhand von Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Beispielaufgaben + Uumlbungen (18 Minuten)Minuten)

Definition des Begriffes Ereignis + Definition des Begriffes Ereignis + Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)Verstaumlndnisaufgaben (12 Minuten)

Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)Hausaufgabenverteilung (3 Minuten)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ZufallsversuchZufallsversuch

Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Lehreraktivitaumlt (Kugelschreiber drehen Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller Licht an und aus schaltenhellip) gt Schuumller sollen entscheiden ob Zufallsversuch sollen entscheiden ob Zufallsversuch vorliegtvorliegt

Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen Schuumller erklaumlren den Begriff mit eigenen WortenWorten

Lehrer gibt DefinitionLehrer gibt Definition Schuumller nennen Beispiele Schuumller nennen Beispiele

(Verstaumlndniskontrolle)(Verstaumlndniskontrolle)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Definition-ZufallsversuchDefinition-Zufallsversuch

Experimente oder Vorgaumlnge deren Experimente oder Vorgaumlnge deren Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt Ergebnis nicht vorhersehbar ist nennt man Zufallsversuche man Zufallsversuche ZufallsexperimentZufallsexperiment

Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist Ein Vorgang mit zufaumllligem Ergebnis ist durch folgende Eigenschaften durch folgende Eigenschaften gekennzeichnetgekennzeichnet Er besitzt mehrere moumlgliche ErgebnisseEr besitzt mehrere moumlgliche Ergebnisse Das Ergebnis kann vor Ablauf des Das Ergebnis kann vor Ablauf des

Experiments nicht vorhergesagt werdenExperiments nicht vorhergesagt werden

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Definition ErgebnisDefinition Ergebnis

Den Ausgang eines Den Ausgang eines Zufallsexperiments bezeichnet man Zufallsexperiments bezeichnet man als Ergebnis (Ausfall)als Ergebnis (Ausfall)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ErgebnisErgebnis

Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist Aufgaben zum Verstaumlndnis Was ist ein Ergebnisein Ergebnis Nenne moumlgliche Ergebnisse beim Nenne moumlgliche Ergebnisse beim

MuumlnzwurfMuumlnzwurf Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten Ich ziehe aus einer Urne mit zwei roten

zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei schwarzen und einer weiszligen Kugel zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis zwei hinaus Wie koumlnnte das Ergebnis aussehenaussehen

Nenne weitere Ergebnisse von Nenne weitere Ergebnisse von ZufallsversuchenZufallsversuchen

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ErgebnismengeErgebnismenge

Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Aufgabe Schreibt fuumlr folgende Vorgaumlnge Vorgaumlnge alle moumlglichenalle moumlglichen Ergebnisse Ergebnisse aufauf Einmaliges WuumlrfelnEinmaliges Wuumlrfeln Drei Mal hintereinander eine Muumlnze Drei Mal hintereinander eine Muumlnze

werfen (Kopf Zahl)werfen (Kopf Zahl)

gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen gt Aus wie viel verschiedenen Ergebnissen (Elementen) besteht der jeweilige (Elementen) besteht der jeweilige ZufallsversuchZufallsversuch

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Quellehttpwwwgoogledesearchq=stochastik+ergebnis+elementampsourceid=navclient-ffampie=UTF-8amprlz=1B3GGGL_deDE240DE250

Der Ergebnisraum eines Zufallsversuches und seine Darstellung

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Ergebnismenge dreimaliger Ergebnismenge dreimaliger MuumlnzwurfMuumlnzwurf

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Definition Definition ErgebnismengeErgebnismenge

Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) Alle moumlglichen Ergebnisse (Ausfaumllle) zusammen bilden die zusammen bilden die Ergebnismenge (Grundmenge) des Ergebnismenge (Grundmenge) des ZufallsversuchesZufallsversuches

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ErgebnismengeErgebnismenge

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Nenne die Ergebnismenge beim Nenne die Ergebnismenge beim

zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein zweimaligen Wuumlrfeln Zeichne dazu ein BaumdiagrammBaumdiagramm

Eine Familie hat drei Kinder Welche Eine Familie hat drei Kinder Welche Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)Moumlglichkeiten gibt es (Junge Maumldchen)

Stell dein Ergebnis anschaulich im Stell dein Ergebnis anschaulich im Baumdiagramm darBaumdiagramm dar

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

EreignisEreignis

Bsp Bsp bdquoMensch-Aumlrger-Dich-NichtldquobdquoMensch-Aumlrger-Dich-Nichtldquo

Ergebnismenge 123456Ergebnismenge 123456

Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder Es interessiert aber nur ob eine 6 faumlllt oder nichtnicht

Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Dh man will wissen ob die gewuumlrfelte Zahl zur Menge EZahl zur Menge E11= 12345 oder zur = 12345 oder zur Menge Menge

EE2 2 = 6 gehoumlrt Wobei E= 6 gehoumlrt Wobei E11 (es wird keine 6 (es wird keine 6 geworfen) eine Teilmenge der geworfen) eine Teilmenge der Ergebnismenge istErgebnismenge ist

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Definition EreignisDefinition Ereignis

Teilmengen der Ergebnismenge Teilmengen der Ergebnismenge (Grundmenge) heiszligen Ereignisse(Grundmenge) heiszligen Ereignisse

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

EreignisEreignis

UumlbungsaufgabeUumlbungsaufgabe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe Ein Wuumlrfel wird geworfen Beschreibe

folgende Ereignissefolgende Ereignisse

a)a) Eine ungerade Zahl faumllltEine ungerade Zahl faumlllt

b)b) Ein Primzahl wird gewuumlrfeltEin Primzahl wird gewuumlrfelt

c)c) Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat Es faumlllt eine Zahl deren Quadrat kleiner 20 istkleiner 20 ist

d)d) Uumlberlege dir weitere EreignisseUumlberlege dir weitere Ereignisse

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ZielZiel

Die Schuumller kennen die Begriffe Die Schuumller kennen die Begriffe Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge und Ereignisund Ereignis

Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe Die Schuumller koumlnnen diese Begriffe differenziert voneinander wahrnehmen differenziert voneinander wahrnehmen und diese aus verschiedenen und diese aus verschiedenen Anwendungsaufgaben herausarbeitenAnwendungsaufgaben herausarbeiten

Die Schuumller sind in der Lage eigene Die Schuumller sind in der Lage eigene Beispiele zu oben genannten Begriffen zu Beispiele zu oben genannten Begriffen zu findenfinden

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

HausaufgabenHausaufgaben

1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen 1 Zwei Wuumlrfel werden geworfen und die Augenzahlen und die Augenzahlen zusammengezaumlhlt zusammengezaumlhlt

a)Wie lautet die Grundmenge dieses a)Wie lautet die Grundmenge dieses ZufallsversuchesZufallsversuches

b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse b) Nenne zwei moumlgliche Ereignisse fuumlr diesen Zufallsversuchfuumlr diesen Zufallsversuch

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

HausaufgabenHausaufgaben

2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-2 Tina und Paul knobeln bdquoSchere-Stein-PapierldquoPapierldquo

(Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber (Schere siegt uumlber Papier Stein uumlber Schere und Papier uumlber Stein)Stein)

a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von a) Schreibe die Ergebnismenge als Menge von

Paaren auf Paaren auf [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein [(SteinPapier) meint Tina zeigt Stein Paul Paul

zeigt Papier]zeigt Papier]

b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als b) Schreibe das Ergebnis bdquoTina gewinntldquo als

Teilmenge der GrundmengeTeilmenge der Grundmenge

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

2 Lehreinheit2 Lehreinheit

Kontrollieren der Hausaufgaben (10 Kontrollieren der Hausaufgaben (10 min)min)

Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Einfuumlhren der Begriffe Laplace-Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 Experiment-Wahrscheinlichkeit (10 min)min)

Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Aufgaben zum Verstaumlndnis dieser Begriffe (25 min)Begriffe (25 min)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Wahrscheinlichkeiten

Fuumlr jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann

Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Laplace-Experiment-Laplace-Experiment-WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Es handelt sich dabei um ein Experiment bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen

Beispiel - Muumlnzwurf- Wuumlrfeln- Gluumlcksrad

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Ihr seid auf einem Fest und Ihr seid auf einem Fest und

entdeckt folgendes Gluumlcksradentdeckt folgendes Gluumlcksrad Was ist die ErgebnismengeWas ist die Ergebnismenge Ist das ein Laplace-ExperimentIst das ein Laplace-Experiment

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Ein weiteres GluumlcksradEin weiteres Gluumlcksrad Was ist hier die Was ist hier die

ErgebnismengeErgebnismenge Kann ich hier auch die Kann ich hier auch die

Laplace-Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit anwendenanwenden

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

11 Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Uumlberlege dir jeweils 2 Experimente mit Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Laplace-Wahrscheinlichkeit und ohne Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Welche Ereignisse koumlnnen eintreten Gib die jeweiligen Ergebnismengen anGib die jeweiligen Ergebnismengen an

2 2 Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Ist das Spiel Schere-Stein-Papier ein Laplace-Experiment Warum ist es Laplace-Experiment Warum ist es unfair den Brunnen mit ins Spiel zu unfair den Brunnen mit ins Spiel zu nehmennehmen

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Relative Relative HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

SchuumllertaumltigkeitenSchuumllertaumltigkeiten

Beschreiben die wiederholte Beschreiben die wiederholte Durchfuumlhrung einfacher Durchfuumlhrung einfacher Zufallsexperimente mit absoluter Zufallsexperimente mit absoluter und relativer Haumlufigkeitenund relativer Haumlufigkeiten

Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten Schaumltzen die Wahrscheinlichkeiten durch Bestimmen relativer durch Bestimmen relativer HaumlufigkeitenHaumlufigkeiten

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

3 Lehreinheit3 Lehreinheit

Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten)Einfuumlhrung des Begriffes (5 Minuten) Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben Uumlben mit Hilfe von Beispielaufgaben

(15 Minuten)(15 Minuten) Wichtige Merkmale herausarbeiten Wichtige Merkmale herausarbeiten

(5 Minuten)(5 Minuten) Kleiner Ausblick Was bringen uns Kleiner Ausblick Was bringen uns

relative Haumlufigkeiten (10 Minuten)relative Haumlufigkeiten (10 Minuten) Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)Hausaufgabenverteilung (5 Minuten)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

EinfuumlhrungEinfuumlhrung

Die relative Haumlufigkeit ist ein Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit mit der das Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintrittEreignis eintritt

Wie berechnet man diesen Wie berechnet man diesen SchaumltzwertSchaumltzwert

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Betrachten wir folgendes WuumlrfelergebnisBetrachten wir folgendes Wuumlrfelergebnis Ein Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfeltEin Wuumlrfel wurde 100 mal gewuumlrfelt

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Hieraus sollen nun die relativen Hieraus sollen nun die relativen Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo Haumlufigkeiten fuumlr die Ereignisse bdquo1ldquo und bdquo6ldquo errechnet werdenund bdquo6ldquo errechnet werden

Dabei bedeutet die Angabe der Dabei bedeutet die Angabe der absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile absoluten Haumlufigkeit in der 2 Zeile wie oft die einzelne Zahl geworfen wie oft die einzelne Zahl geworfen wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal wurde (zB die bdquo1ldquo wurde 21 mal geworfen) geworfen)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun Die relative Haumlufigkeit laumlsst sich nun mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit mit Hilfe der absoluten Haumlufigkeit und der Anzahl aller Versuche und der Anzahl aller Versuche ausrechnen indem man den ausrechnen indem man den folgenden Bruch bildetfolgenden Bruch bildet

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Dies bedeutet fuumlr unser BeispielDies bedeutet fuumlr unser Beispiel

AugenzahlAugenzahl 11 22 33 44 55 66

AbsoluteAbsoluteHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

2121 1717 99 2929 1313 1111

RelativeRelativeHaumlufigkeiteHaumlufigkeite

nn

21100=21100=021021

1110011100==

011011

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

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httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Neu eingefuumlhrter Begriff Neu eingefuumlhrter Begriff durch Uumlben verfestigendurch Uumlben verfestigen

Im 7 Jahrgang einer Schule (insgesamt 100 Schuumller und Schuumllerinnen) wurde eine Umfrage zum Thema bdquoLieblingssportartenldquo durchgefuumlhrt Die Ergebnisse findest du in der Tabelle Vervollstaumlndige die Tabelle

SportartSportart Anzahl der Anzahl der NennungenNennungen

Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

FuszligballFuszligball 2121

HandballHandball 1212

SkatenSkaten 4444

TurnenTurnen 1010

SchwimmenSchwimmen 1313

SummeSumme 100100

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

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httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Was passiert wenn man die relativen Was passiert wenn man die relativen Haumlufigkeiten aller Ereignisse addiertHaumlufigkeiten aller Ereignisse addiert

Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft Was laumlsst sich aus dieser Eigenschaft fuumlr uns gewinnenfuumlr uns gewinnen

rarrrarrDient der Dient der Kontrolle ob wir die Kontrolle ob wir die relativen Haumlufigkeiten richtig relativen Haumlufigkeiten richtig berechnet haben berechnet haben

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

MerkeMerke

Die Summe aller relativen Die Summe aller relativen Haumlufigkeiten ergibt 1Haumlufigkeiten ergibt 1

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Beispiel Muumlnzwurf mit den Beispiel Muumlnzwurf mit den Ereignissen Kopf und Zahl Ereignissen Kopf und Zahl

StichprobenumfangStichprobenumfang

n=5 10 20 30 hellip300n=5 10 20 30 hellip300 Vergleich der relativen Haumlufigkeiten Vergleich der relativen Haumlufigkeiten

mit Zunahme der Stichprobemit Zunahme der Stichprobe Was faumlllt auf bzw was sollte Was faumlllt auf bzw was sollte

auffallenauffallen

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Gesetz der groszligen Gesetz der groszligen ZahlenZahlen

Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen Nach einer groszligen Anzahl von Versuchen aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch aumlndert sich die relative Haumlufigkeit durch weitere Versuche nur noch wenigweitere Versuche nur noch wenig

(Mit Grafiken und Simulationen den (Mit Grafiken und Simulationen den Schuumllern veranschaulichen)Schuumllern veranschaulichen)

rarrrarrDie relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert Die relative Haumlufigkeit ist ein Schaumltzwert fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines fuumlr die Wahrscheinlichkeit eines EreignissesEreignisses

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ErfahrungsweltErfahrungswelt Wenn Anna in einem Schuljahr ihr Wenn Anna in einem Schuljahr ihr

Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden Sportzeug 25 Mal bei 30 Sportstunden vergisst wird sich keiner wundern vergisst wird sich keiner wundern wenn sie im neuen Jahr in der ersten wenn sie im neuen Jahr in der ersten Sportstunde kein Sportzeug dabei hatSportstunde kein Sportzeug dabei hat

Doch wenn Paul einmal in seinem Leben Doch wenn Paul einmal in seinem Leben zu spaumlt in den Unterricht erscheint zu spaumlt in den Unterricht erscheint dann ist nicht nur jeder uumlberrascht dann ist nicht nur jeder uumlberrascht sondern wird Paul womoumlglich gleich sondern wird Paul womoumlglich gleich nachdem bdquowarumldquo fragennachdem bdquowarumldquo fragen

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

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Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

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httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

ZielZiel

Die Schuumller wissen und koumlnnen mit Die Schuumller wissen und koumlnnen mit dem Begriff relativer Haumlufigkeiten dem Begriff relativer Haumlufigkeiten umgehen und es auf verschiedene umgehen und es auf verschiedene Zufallsversuche anwendenZufallsversuche anwenden

Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der Die Schuumller koumlnnen mit Hilfe der relativen Haumlufigkeiten die relativen Haumlufigkeiten die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Wahrscheinlichkeiten bestimmter Versuchsreihen abschaumltzen und Versuchsreihen abschaumltzen und somit Voraussagen treffensomit Voraussagen treffen

HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

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Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

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Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

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HausaufgabenHausaufgaben

An der Bude Kartenziehen traten folgende An der Bude Kartenziehen traten folgende Ergebnisse einErgebnisse ein

Fuumllle die Luumlcken in der Tabelle ausFuumllle die Luumlcken in der Tabelle aus

KartenKarten Absolute Absolute HaumlufigkeitHaumlufigkeit

Relative Relative HaumlufigkeitHaumlufigkeit

AsAs 77 740740

BilderBilder

Zahlen(7- 10)Zahlen(7- 10) 1919

SummeSumme

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

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Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

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Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

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Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

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httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo Fuumlr ein Projekt zum Thema bdquoVerkehrldquo fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der fuumlhrte die 7a an einer Kreuzung der Hauptverkehrstraszlige eine Hauptverkehrstraszlige eine Verkehrszaumlhlung durch An einem Verkehrszaumlhlung durch An einem Montagvormittag zwischen 1000 Uhr Montagvormittag zwischen 1000 Uhr und 1030Uhr wurden folgende und 1030Uhr wurden folgende Verkehrsteilnehmer gezaumlhltVerkehrsteilnehmer gezaumlhlt

FahrzeugartFahrzeugart PKWPKW LKWLKW MotorraumlderMotorraumlder Fahrrad Fahrrad MofasMofas

Gezaumlhlte Gezaumlhlte FahrzeugeFahrzeuge

9292 4646 3232 3030

HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

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Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

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Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

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HausaufgabenHausaufgaben

A) Bestimme jeweils die absolute A) Bestimme jeweils die absolute und relative Haumlufigkeit der und relative Haumlufigkeit der einzelnen Verkehrsteilnehmereinzelnen Verkehrsteilnehmer

B) Zeichne zu den relativen B) Zeichne zu den relativen Haumlufigkeiten ein BalkendiagrammHaumlufigkeiten ein Balkendiagramm

C)Zusatz Zeichne zu den C)Zusatz Zeichne zu den absoluten Haumlufigkeiten ein absoluten Haumlufigkeiten ein KreisdiagrammKreisdiagramm

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

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Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

Entscheide dann Kann man diesen Entscheide dann Kann man diesen Reiszlignagel fuumlr ein faires Reiszlignagel fuumlr ein faires Losverfahren benuumltzenLosverfahren benuumltzen

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe Schneide 5 Papierzettel aus und schreibe

auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die auf jeden ein bdquoXldquo oder ein bdquoOldquo Falte die Zettel zusammen und mische diese Dein Zettel zusammen und mische diese Dein Nachbar zieht nun blind einen Zettel und Nachbar zieht nun blind einen Zettel und notiert sich die gezogene Zahl notiert sich die gezogene Zahl Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder Anschlieszligend faltet er den Zettel wieder zusammen und legt ihn zuruumlck Der zusammen und legt ihn zuruumlck Der Vorgang wird 10 Mal wiederholtVorgang wird 10 Mal wiederholt Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen Dein Nachbar soll angeben auf wie vielen

Zetteln ein bdquoXldquo stehtZetteln ein bdquoXldquo steht Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl Wie nahe kommt er der wirklichen Anzahl

LiteraturLiteratur Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN Schmitt Wohlfahrt bsv mathematik buch 8 GN

Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989Bayrischer Schulbuch-Verlag 3Auflage 1989 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208 httpwwwstrobl-fdem8nhtml (Zugriff 51208

1700)1700) sinuslernnetzdeaufgaben1materialiensinuslernnetzdeaufgaben1materialien

mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc mathematiksek_Iab_absolute_relativehaeufigdoc (Zugang 51208 2111)(Zugang 51208 2111)

httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-httpwwwberlindeimperiamdcontentsen-bildungschulorganisationlehrplaenebildungschulorganisationlehrplaenesek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)sek1_mathematikpdf (Zugriff 61208 1000)

httpwwwmathhu-berlinde~warmuthhttpwwwmathhu-berlinde~warmuthModellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)Modellierung_1_08_09pdf (Zugriff 51208 1630)

httpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialhttpwwwkeepschooldeunterrichtsmaterialmathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf mathematikergebnisraum_ereignisse_laplacepdf (Zugriff 071208 2100)(Zugriff 071208 2100)

4 Lehreinheit4 Lehreinheit

Kontrolle der HausaufgabenKontrolle der Hausaufgaben

Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Uumlbungsaufgaben zur Festigung und Verinnerlichung des GelerntenVerinnerlichung des Gelernten

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Zufallsversuchs indem du alle moumlglichen Buchstabenfolgen notierstBuchstabenfolgen notierst

b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat b) Notiere das Ereignis bdquoDie Ziehung hat ein sinnvolles Wort ergebenldquo als ein sinnvolles Wort ergebenldquo als Teilmenge der Ergebnismenge Teilmenge der Ergebnismenge

Aufgaben fuumlr die 4 Aufgaben fuumlr die 4 StundeStunde

Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

1 Warum ist zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Aufzaumlhlung der Fach-Nummern Ω = 0 1 2 3 4 eher unguumlnstig Wie muss Ω gewaumlhlt werden damit es ein Laplace-Raum ist

UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und Wirf einen Reiszlignagel 50 mal und notiere jedes Mal wie er liegen notiere jedes Mal wie er liegen bleibtbleibt

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UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

In einem Korb liegen 3 Zettel auf In einem Korb liegen 3 Zettel auf denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und denen die Buchstaben bdquoOldquo bdquoRldquo und bdquoTldquo stehen Die Zettel werden bdquoTldquo stehen Die Zettel werden nacheinander blind gezogen und der nacheinander blind gezogen und der Reihe nach auf den Tisch gelegtReihe nach auf den Tisch gelegt a) Notiere die Ergebnismenge dieses a) Notiere die Ergebnismenge dieses

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Ein Galton-Brett ist ein vertikal aufgestelltes Brett mit einem Gitter von Naumlgeln Die auf den ersten Nagel oben fallende Kugel wird dort nach rechts oder links abgelenkt und trifft dann auf die Naumlgel der naumlchsten Reihe Schlieszliglich faumlllt sie unten in eines der Faumlcher Die Abbildung rechts zeigt ein 4-stufiges Galton-Brett

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UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

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UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

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UumlbungsaufgabenUumlbungsaufgaben

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