UKURAN PENYEBARAN DATAMata kuliah : Statistika Terapan

Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc

Semester : II

Pertemuan : VII

Pokok Bahasan : Ukuran Penyebaran Data

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS HORTIKULTURA

Sub Pembahasan

1. Skor Baku

2. Koefisien Variasi

3. Kemiringan

4. Kurtosis

0.2898

-0,4-1.6

SKOR BAKU • Skor baku merupakan suatu ukuran relatif yang

menyatakan penyimpangan data dari nilai rata-ratayang diukur berdasarkan nilai standar deviasi.

• Skor baku digunakan untuk menghitung luas kurvanormal baku dan untuk membandingkan datapengamatan dari dua atau lebih populasi berbedadalam rangka menentukan tingkat atau rankingrelatifnya.

• Formula untuk populasi: z =𝑥 − 𝜇

𝜎

• Formula untuk sampel: z =𝑥 − ҧ𝑥

𝑠

Contoh 1:

Diketahui 𝜇 = 0,6140 𝜎 = 0,0025. Tentukanlah luaskurva normal yang dibatasi x = 0,610 dan x = 0,613

Penyelesaian:Untuk x = 0,610, didapat z =

0,610 −0,614

0,0025= −1,6

Untuk x = 0,613, didapat z =0,613 −0,614

0,0025= −0,4

• Lihat tabel Z negatif (-0,4) = 0,3446

0,5 – 0,3446 = 0,1554

• Lihat tabel Z negatif (-1,6) = 0,0548

0,5 – 0,0548 = 0,4452

Luas daerah antara x = 0,610 dan x = 0,613adalah P (-1,6 ≤ z ≤ -0,4)

P (-1,6 ≤ z ≤ -0,4) = P (-1,6 ≤ z ≤ 0) – P (-0,4 ≤ z≤ 0) = 0,4452 – 0,1554 = 0,2898

Jadi luas kurva normal yang dibatasi oleh x =0,610 dan x =0613 adalah 0,2898 satuan luas(=28.98%)

Contoh 2:• Seorang wiraniaga mampu menjual produk sebanyak 86 unit ketika yang

bersangkutan ditempatkan di wilayah Bogor. Adapun rata-rata dan standardeviasi penjualan wiraniaga di bogor adalah 78 unit dan 10 unit. Wiraniagayang sama mampu menjual 92 unit produk dalam interval waktu yang sama,ketika yang bersangkutan ditugaskan ke Bandung. Rata-rata dan standardeviasi penjualan seluruh wiraniaga di Bandung adalah 84 unit dan 18 unit.Di kota manakah wiraniaga tersebut secara relatif lebih berhasil?

Penyelesaian:Karena untuk kedua daerah penjualan tersebut nilai rata-rata dan standardeviasi produknya berbeda, maka untuk melihat relativitas kemampuanwiraniaga tersebut dapat dibandingkan skor bakunya.

𝑧𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟 =86 −78

10= 0,8 𝑧𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 =

92 −84

18= 0,44

Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa ZBogor lebih besar dari ZBandungdengan demikian prestasi wiraniaga tersebut lebih baik ketika ditempakan diBogor.

KOEFISIEN VARIASI

• Koefisien variasi merupakan ukuran variasi relatif yang bertujuan membandingkan variasi dari beberapa gugus data yang mempunyai satuan berbeda.

• Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula: 𝐾𝑉 =𝜎

𝜇× 100%

• Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula: KV =𝑠

ҧ𝑥× 100%

Contoh:

Sekumpulan data memiliki rata-rata 400 dan standar deviasi 80. Maka koefisien varians dari data tersebut adalah:

𝐾𝑉 =80

400× 100% = 20%

KEMIRINGAN

• Ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untukmenentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Kecondongan suatudistribusi data, selain dapat dilihat tampilan secara visual, tingkatkecondongan distribusi dapat diketahui melalui besarnya koefisienkecondongan (𝑆𝑘) dan memalui besarnya koefisien moment ketiga (𝛼3)

• Kecondongan menunjukkan penyimpangan dari bentuk distribusi simetris.

• Jika distribusi frekuensi mempunyai ekor ke kanan yang lebih panjangdibanding ekor kiri, maka dikatakan distribusi condong ke kanan ataumempunyai kecondongan positif. Jika sebaliknya dikatakan condong ke kiriatau memiliki kecondongan negatif.

• Untuk distribusi yang tidak simetris, rata-rata, median dan modusnyamempunyai nilai yang bebeda.

1. Koefisien Kecondongan (Metode Pearson):

𝑆𝑘 =3. ( ҧ𝑥 − 𝑀𝑒)

𝜎𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑘 =

ҧ𝑥 − 𝑀𝑂

𝜎

• Jika distribusi simetris, maka Sk=0 karena 𝜎 = Me = Mo. Jika distribusinya tidak simetris, maka koefisien kecondongan akan berkisar antara -1 dan +1, kadang-kadang melebih 1. Makin dekat dengan 0 berarti makin simetris.

• Sk = 0 Distribusi data simetris

• Sk > 0 Distribusi data condong ke kanan

• Sk < 0 Distribusi data condong ke kiri

2. Koefisien kecondongan dengan Metode(𝛼3)

• Koefisien alpha ketiga merupakan rata-rata penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, di bagi dengan simpangan baku pangkat tiga.

• Rumus untuk data yang belum dikelompokkan:

• Rumus untuk data yang dikelompokkan:

𝛼3 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛𝑓. (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)3

𝑠3

𝛼3 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑠3

Di mana:

𝛼3 = Koefisien alpha ketiga

ҧ𝑥 = Rata-rata sampel

𝑥𝑖 = Nilai data ke-i

n = Jumlah data

s = simpangan baku

Ketentuan:𝛼3 = 0 distribusi data simetris

𝛼3 > 0 distribusi data condong ke kanan (+)

𝛼3 < 0 distribusi data condong ke kiri (-)

Contoh:• Diketahui distribusi frekuensi sebagai

berikut:

Tentukanlah koefisien kecondongannya!

Kelas Interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

Ʃf=80

Penyelesaian dengan Metode Pearson

Berdasarkan data di atas diperoleh:

ҧ𝑥 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖σ𝑓𝑖

=6180

80= 77,25

𝑀𝑒 = 70,5 + 1040 − 23

20= 79

Kelas Interval fi Xi fi.Xi (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟐 𝒇𝒊. (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟐

31 – 40 1 35,5 35,5 1743,06 1743,06

41 – 50 2 45,5 91 1008,06 2016,13

51 – 60 5 55,5 277,5 473,06 2365,31

61 – 70 15 65,5 982,5 138,06 2070,94

71 – 80 20 75,5 1510 3,06 61,25

81 – 90 25 85,5 2137,5 68,06 1701,56

91 – 100 12 95,5 1146 333,06 3996,75

Ʃf=80 Ʃ=6180 Ʃ=13955

𝑠 =σ𝑓 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1=

13955

79= 176,6456 = 13,29081

𝑆𝑘 =3. ( ҧ𝑥 − 𝑀𝑒)

𝜎=

3. (77,25 − 79)

13,29= −0,395

(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖)

Penyelesaian dengan Metode (𝛼3)

Berdasarkan data di atas diperoleh:

ҧ𝑥 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖σ𝑓𝑖

=6180

80= 77,25

𝑀𝑒 = 70,5 + 1040 − 23

20= 79

Kelas Interval fi Xi (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟑 𝒇𝒊. (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟑

31 – 40 1 35,5 -72772,9 -72772,9

41 – 50 2 45,5 -32006 -64012

51 – 60 5 55,5 -10289,1 -51445,5

61 – 70 15 65,5 -1622,23 -24333,5

71 – 80 20 75,5 -5,35938 -107,188

81 – 90 25 85,5 561,5156 14037,89

91 – 100 12 95,5 6078,391 72940,69

Ʃf=80

𝑠 =σ𝑓 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1=

13955

79= 176,6456 = 13,29081

𝑆𝑘 =3. ( ҧ𝑥 − 𝑀𝑒)

𝜎=

3. (77,25 − 79)

13,29= −0,395

(𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖)

KURTOSIS• Kurtosis merupakan tingkat

menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal. Bentuk-bentuk kurtosis, yaitu:

1. Leptokurtik yaitu distribusi yang berpuncak tinggi dan ekornya relatif panjang.

2. Platikurtik yaitu distribusi yang berpuncak agak mendatar dan ekornya relatif pendek.

3. Mesokurtik yaitu distribusi normal, puncaknya tidak begitu tinggi dan tidak begitu mendatar.

Leptokurtik

Mesokurtik

Platikurtik

• Rumus kurtosis untuk data belum dikelompokkan:

Di mana:

𝛼4 = Koefisien kurtosis

ҧ𝑥 = Rata-rata sampel

𝑥𝑖 = Nilai data ke-i

n = Jumlah data

s = Simpangan baku

• Rumus kurtosis untuk data dikelompokkan:

Di mana:

fi = Frekuensi kelas ke-i

Ketentuan:𝛼4 = 3 atau mendekati 3 Bentuk Mesokurtik

𝛼4 > 3 Bentuk Leptokurtik

𝛼4 < 3 Bentuk Platikurtik

𝛼4 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑥𝑖− ҧ𝑥)2

𝑠4𝛼4 =

1

𝑛

𝑖=1

𝑛𝑓. (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)4

𝑠4

Contoh Soal:

• Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah ini:

• Tentukan lah jenis kurtosisnya!

Kelas Interval f

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

Ʃf=80

Penyelesaian

Berdasarkan data di atas diperoleh:

ҧ𝑥 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖σ𝑓𝑖

=6180

80= 77,25

Kelas Interval fi Xi (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟒 𝐟𝐢. (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟒 𝐟𝐢. (𝑿𝒊 − ഥ𝑿)𝟒

𝒔𝟒

31 – 40 1 35,5 3038267 3038267 97,3639

41 – 50 2 45,5 1016190 2032380 65,1327

51 – 60 5 55,5 223788 1118941 35,8593

61 – 70 15 65,5 19061,3 285919 9,1630

71 – 80 20 75,5 9,37891 187,578 0,0060

81 – 90 25 85,5 4632,5 115813 3,7115

91 – 100 12 95,5 110931 1331168 42,6606

Ʃf=80 Ʃ=253,9020

𝑠 =σ𝑓 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1=

13955

79= 176,6456 = 13,29081

𝛼4 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛𝑓. (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)4

𝑠4=

1

80253,9020 = 3,1738

Latihan Soal:

• Soal 1

Tentukan:

a. Koefisien variasi

b. Kemiringan

c. Jenis kurtosis

• Soal 2

Tentukan:

a. Koefisien kecondongan dengan pendekatan Pearson

b. Koefisien kecondongan dengan pendekatan 𝛼3

Interval Kelas fi

20 – 29 1

30 – 39 4

40 – 49 7

50 – 59 13

60 – 69 25

70 – 79 15

80 – 89 5

Interval Kelas fi

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

100

Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam

Penelitian.Bandung:Pustaka Setia

• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia