Umjetna inteligencija - Neizrazita logika – Skupovi

Umjetna inteligencija- Neizrazita logika –

Skupovi

47895/47816 UMINTELIHG/2008-2009

Sveučilište u ZagrebuFakultet prometnih znanosti

Diplomski studij

Neizrazita logika - Skupovi 1-2

Pojam skupa

Skup je cijelina općenito sastavljena odnekih za tu cijelinu osnovnih dijelova, kojise zovu članovi, elementi skupa.

Između skupa i njegovih članova postoji određeni odnos pripadnosti, članstva, elemenata skupu.

a ∈ Xb ∉ X


Izraziti (klasični) skup

Aristotel: Zakon isključenja trećega

Kretanje

Ponedjeljak

ČetvrtakSubota

Zrakoplov

ModemDani u tjednu


Neizraziti (fuzzy) skup

Približno članstvo

Kretanje

Ponedjeljak PetakSubota

Zrakoplov

ModemDani vikenda

Nedjelja

Neizraziti iskazi

Da li je subota dan vikenda?– Da (istina, 1)

Da li je utorak dan vikenda?– Ne (laž, 0)

Da li je petak dan vikenda?– Većim dijelom da, ali ne potpuno (0.8)

Da li je nedjelja dan vikenda?– Da, ali ne toliko koliko je to subota (0.95)



Prikaz izrazitih i neizrazitih podataka P

rip

ad

no

st v

iken

du

Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti Dani vikenda – viševaljane vrijednosti

Pri

pad

no

st v

iken

du

Pri

pad

no

st v

iken

du

Pri

pad

no

st v

iken

du

Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti

Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak

Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak


Izraziti skupovi

Univerzalni skup X – područje vrijednosti:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Podskupovi univerzalnog skupa:

A = { 2, 4, 6, 8, 10 } a ∈ X → A ⊂ X

B = { -3, 0, 3 } b ∉ X → B ⊄ X


Nabrajanjem članova

Univerzalni skup X: Članovi društvaSkup A: Ženski članovi društvaSkup B: Članovi studenti

X = {Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka}A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }

Zadavanje skupa s malim brojemčlanova


A = { 1, 2, 3, ... , 98, 99, 100 }

A = { x ⏐ 1 ≤ x ≤ 100 i x je cijeli broj }

Navođenjem zajedničkog svojstva članova

Zadavanje skupa s velikim brojemčlanova


Osnovne operacije sa skupovima (1)

Unija skupova A i B:A ∪ B = { x⏐x ∈ A ili x ∈ B }

A B

X


Presjek skupova A i B:A ∩ B = { x⏐x ∈ A i x ∈ B }

A B

X



Komplement skupa A:¬ A = { x⏐x ∉ A }

A

X

¬ A



X = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka }A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }

A ∪ B = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna }A ∩ B = { Vesna }

¬A = { Ivan, Matija, Luka }¬B = { Ana, Jana, Luka }

Primjeri operacija sa skupovima


Zakon idempotentnosti:A ∪ A = AA ∩ A = A

Zakon zamjene:A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

Zakon pridruživanja:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Svojstva operacija sa skupovima (1)


Zakon distribucije:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Zakon involutivnosti:A = ¬ ¬A

De Morgan-ovi zakoni:¬ (A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B¬ (A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B

Svojstva operacija sa skupovima (2)


⎩⎨⎧

∉∈

=XxXx

xA 01

)(χ

Element x pripada ili ne pripada skupu A

Stupanj pripadnosti elementaizrazitom skupu

Binarna vrijednost karakteristične funkcije


Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 1 0 0171 cm 0 1 0179 cm 0 1 0

Visina [cm]

χ

179168 171

Funkcija pripadnosti izrazitom skupu

x1 = 168 cmx2 = 171 cmx3 = 179 cm


Funkcija pripadnosti neizrazitom skupu

Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 0.8 0.3 0.0171 cm 0.4 0.7 0.0179 cm 0.0 0.7 0.4

μ

Visina [cm]

179

168

1710.8

0.3

x1 = relativno malax2 = niža srednjax3 = viša srednja


Neizraziti (fuzzy, n-) skupovi

Stupanj pripadnosti elementa x neizrazitom skupu A je zadan realnom vrijednošću između 0 i 1.

Izričaju stupnja pripadnosti odgovara funkcija članstva neizrazitog skupa.

( ) [ ]1,0: →AxAμ


ISTINA

STUPNJEVI CELSIUSA

LAŽ

VRUČI MOTOR

Funkcija istinitosti

Uglavnomneistinito

Uglavnomistinito

Općenitoistinito


Zavisnost neizrazitog skupa o okolnostima

60 Brzina [km/h]

1

070 80 90 100 120

Brzo(Cesta )

Brzo(Autoput )

Japanka Japanac Hrvat

160 170 Visina [cm]

1

0180

μ

μ


Označavanje n-skupova (Zadeh)

Univerzalni skup X je diskretan skup:

∑=

=

+++=n

iiiA

nnAAA

xx

xxxxxxA

1

2211

/)(

/)(/)(/)(

μ

μμμ L

Univerzalni skup X je neprekidan skup:

( ) iiA xxA /∫= μ


Najčešći oblici funkcije članstva

• Trokutna funkcija

• Trapezna funkcija

• Eksponencijalna funkcija


Trokutna funkcija članstva (1)

-2

1

0

0 2

A

x

AμNeprekidni skup

∫ ∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=0

2

2

0 22

22 xxxxA


Trokutna funkcija članstva (2)

-2

1

0

0 2

A

x

AμDiskretan skup

0.5

X = { -2, -1, 0, 1, 2 }A = 0.5/-1 + 1.0/0 + 0.5/1


Trapezna funkcija članstva

-4

1

0

0 4

B

x

Bμ

0.5

-2 2

X = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

B = 0.5/-3 + 1/-2 + 1/-1 + 1/0 + 1/1 +1/2 + 0.5/3

∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−

−

−

4

2

2

2

2

4 241

24 xxxxxB


Eksponencijalna funkcija članstva

1

0

DDμ

X = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

B = 0.11/2 + 0.607/4 + 0.607/6 + 0.11/8

μD(0) = μD(10) = 3.73 x 10-6 ≈ 0

∫ −−=X

x xeD2)5(5.0

4 8 x2 6


Ostali oblici funkcije članstva INTENZITET PROMETA

STAROST

NESIGURNOST U VOŽNJI

DOBA DANA


Normalni neizraziti skup

1

0

E

x

Eμ1)(max =

∈xA

Xxμ

1

0

F

x

Fμ


Konveksni neizraziti skup

1

0

K

xx1 x2 x3

1

0

N

xx1 x2 x3

Konveksni Nekonveksni

[ ]( ))(),(min

,,,

21

2121

xxxxxXxXx

AAA μμμ ≥∈∈∀∈∀

Kμ Nμ


Kardinalnost neizrazitog skupa

∑∈

=Xx

A xA )(μ

XA

A =

Apsolutna

Relativna

1

1

0

3

A

x

Aμ

0.7

2 4

0.2

{ }

32.06/9.19.12.00.17.04/2.03/0.12/7.0

5,4,3,2,1,0

==

=++=

++==

AAAx

50


Unija neizrazitih skupova (1)

LOGIČKA OPERACIJA ILI (OR) - DISJUNKCIJA

A ILI B

max(A, B)


Unija neizrazitih skupova (2)

dvovaljanalogika

viševaljanalogika

A ILI B

ILI

A ILI B


S - norma (T - konorma)

Graničnost:

Monotonost:

Komutativnost:

Asocijativnost:


{ })(),(max)(

)()()()()()(

)()(

)()()(

xxx

xxxxxx

xx

xxx

BABA

BAB

BAABA

BABA

μμμ

μμμμμμ

μμ

μμμ

=

⎩⎨⎧

<≥

=∨

∨=

∪

∪

S - norma (unija)


Unija neizrazitih skupova - primjer

{ })(),(max)( xxx BABA μμμ =∪

1

0

A

x

μ

B1

0

A

x

χB


Presjek neizrazitih skupova (1) LOGIČKA OPERACIJA I (AND) - KONJUNKCIJA

A ILI B

min(A, B)


Presjek neizrazitih skupova (2)

dvovaljanalogika

viševaljanalogika

A I B

A I B

I


T - norma (trokutna norma)

Graničnost:

Monotonost:

Komutativnost:

Asocijativnost:


{ })(),(min)(

)()()()()()(

)()(

)()()(

xxx

xxxxxx

xx

xxx

BABA

BAB

BAABA

BABA

μμμ

μμμμμμ

μμ

μμμ

=

⎩⎨⎧

>≤

=∧

∧=

∩

∩

T – norma (presjek)


Presjek neizrazitih skupova - primjer

1

0

A

x

μ

B1

0

A

x

χB

{ })(),(min)( xxx BABA μμμ =∩


Komplement neizrazitog skupa (1)

LOGIČKA OPERACIJA NE (NOT)

ne A



dvovaljanalogika

viševaljanalogika

ne A

ne A

NE


)(1)( xx AA μμ −=¬

1

0A

x

Aμ

¬A1

0

A

x

χ

0.5

¬A



Za neizrazite skupove općenito ne vrijede:

Zakon isključenja trećega:A ∪ ¬ A ≠ X

Zakon protuslovlja:A ∩ ¬ A ≠ ∅

Svojstva operacija sa n-skupovima


Zakon isključenja trećega

1

0

A ¬A1

0

A ∪ ¬ A = X

1

0

A ¬A

0

A ∪ ¬ A ≠ X

IZRAZITI SKUPOVI

NEIZRAZITI SKUPOVI


Zakon protuslovlja

1

0

A ¬A1

0

A ∩ ¬ A = ∅

1

0

A ¬A

0

A ∩ ¬ A ≠ ∅

IZRAZITI SKUPOVI

NEIZRAZITI SKUPOVI


Jednakost neizrazitih skupova

A = B ⇔ μA(x) = μB(x), ∀x ∈ X

1

0

A

B

A = B

x

μ


Podskup neizrazitog skupa

A ⊂ B ⇔ μA(x) ≤ μB(x), ∀x ∈ X

1

0

A

B

A ⊂ B

Skup B obuhvaća, sadrži skup A

x

μ


α (λ) prerezi

Aα = { x | μA(x) > α }, α ∈ [ 0, 1]

Aα = { x | μA(x) ≥ α }, α ∈ [ 0, 1]

Jaki α prerez (skup α razine):

Slabi α prerez:

1

0

A

Aα

α

μA


Načelo raščlanjivanja

Funkcija pripadnosti μA(x) neizrazitog skupa seprimejnom α prereza raščlanjuje na beskonačnibroj funkcija pripadnosti pravokutnog oblika

α ∧ χAα (x) ili α ∧ χAα(x)

χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα


Načelo združivanja

μA(x) = max[ α ∧ χAα (x)] ili max[ α ∧ χAα (x)]α ∈ [0, 1) α ∈ (0, 1]

Združivanjem funkcija pripadnosti pravokutnogoblika i primjenom operacije utvrđivanja najvećevrijednosti (max) slijedi početni neizraziti skup A.

χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα


1

0

A

Aα1

α3

μA

Načela raščlanjivanja i združivanja

α2

α1

Aα2

Aα3


Pojam načela proširenja (1)

y = 3x + 2

Izraziti skupovi

x = 4

y = 3 ⋅ 4 + 2 = 14

Neizraziti skupovi

x = “oko 4”

y = 3 ⋅ “oko 4” + 2 = “oko 12” + 2 = “oko 14”


y = 3x + 2

2 4 6μ

x

x

yy

20

14

8

“oko 4"

“oko 14”

μ

Pojam načela proširenja (2)


Preslikavanje izrazitih skupova

f : X → Y

A ⊂ X f (A) = { y | y = f (x), x ∈ A}

f -1 : Y → X

B ⊂ Y f -1 (B) = { x | f (x) = y, y ∈ B}


Načelo proširenja

Preslikavanje neizrazitih skupova

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

−

−

=

0)(0

0)()(sup)(

1

1

)()(yf

yfxy xfy

AAf

μμ

f : X → X )()()( xy AAf μμ =

f : X → Y

sup je najniža gornja granica


Primjer primjene načela proširenja (1)

y = 3x + 2

3 * “oko 4” + 2 = “oko 12” + 2 = “oko 14”

A = 0.5/3 + 1.0/4 + 0.5/5

x1 = 3, x2= 4, x3 = 5

yi = 3xi + 2, i = 1, 2, 3


"14"17/5.014/0.111/5.0

)253/(5.0)243/(0.1)233/(5.0

)23/()(

/)()(

3

1

3

1)(

oko

xx

yyAf

iiiA

iiiAf

=++=

+⋅++⋅++⋅=

+=

=

∑

∑

=

=

μ

μ

Primjer primjene načela proširenja (2)


Kartezijev produkt neizrazitih skupova

Neka je x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn. Kartezijev produkt izrazitih skupova X1,..., Xn je skup svih (x1,..., xn) i označava se X1 × ... × Xn.

Neka je X1 × ... × Xn Kartezijev produkt X1, ..., Xn, a A1, ..., An su neizraziti skupovi od X1, ..., Xn. Kartezijev produkt neizrazitih skupova A1, ..., An glasi

( ) ( )∫ ××=×

211

,,)(,),(min 1121 XX nnAAn xxxxAAAnL

LLL μμ


Načelo proširenja na prostoruKartezijevog produkta

Neka je f preslikavanje iz X1 × ... × Xn u Y koje zadovoljava y = f(x1, ..., xn). Proširenjem funkcije f : X1 × ... × Xn → Y slijedi relacija između Kartezijevog produkta A1 × ... × Anneizrazitih skupova A1, ..., An iz X i neizrazitog skupa B = f(A1 × ... × An) na Y tako da je

f -1(y) označava inverznu sliku od y

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

−

−

××∈

0)(0

0)()(,),(minsup)(

1

11

),,(1

11

yf

yfxxy

nAAXXxxB

nnn

μμμ

LLL


Neizraziti i ravni neizraziti brojevi

Neizraziti broj je neizraziti skup A na skupu realnih brojeva ℜ koji zadovoljava sljedeće uvjete• A je konveksan skup• postoji samo jedan x0 sa svojstvom μA(x0) = 1• μA je neprekidna u određenom intervalu

Ravni neizraziti broj je neizraziti broj A koji zadovoljava sljedeće dodatne uvjete

(m1, m2) ∈ ℜ m1 < m2μA(x) = 1 ∀x ∈ [m1, m2]


Neizraziti i ravni neizraziti brojevi

1

0

AμA B D E

m1 m2

C

A, B, D - Neizraziti brojeviE - Ravni neizraziti brojC - Nije neizraziti broj


Aritmetika neizrazitih brojeva (1)

Proširenjem binarne operacije na neizrazite brojeve A i B univerzalnog skupa X

μAΘB(z) = sup [μA(x) ∧ μB(y)]

↓

x, y, z ∈ X

xθy

[ ] ( )∫ ×∧=Θ

XX BA yxyxBA θ)()( μμ



Zbrajanje: [ ])()(sup)( yxz BAyxz

BA μμμ ∧=+=

+

Oduzimanje:

Množenje:

Dijeljenje:

[ ])()(sup)( yxz BAyxz

BA μμμ ∧=−=

−


BA μμμ ∧=⋅=

⋅


BA μμμ ∧=÷=

÷


Ako α-prerez neizrazitog skupa tvori zatvoreniinterval granica p i q, operacije sa neizrazitimbrojevima se izvode na intervalima

[a, b] Θ [c, d] ={z | z = x Θ y, x ∈ [a, b] , y ∈ [c, d]}

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]

[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]



Ako je a, b, c, d > 0

[a, b] ⋅ [c, d] = [a ⋅ c, b ⋅ d]

[a, b] ÷ [c, d] = [a ÷ d, b ÷ c]

•Oduzimanje i dijeljenje nisu suprotne operacijeod zbrajanja odnosno množenja.

•Rezultat oduzimanja dva ista broja nije 0, većneizraziti broj “oko 0”.



Aritmetika neizrazitih brojeva Primjeri

Zbrajanje: [3, 5] + [4, 8] = [7, 13]

Oduzimanje: [3, 5] - [4, 8] = [-5, 1]

Množenje: [3, 5] ⋅ [4, 8] = [12, 40]

Dijeljenje: [3, 5] ÷ [4, 8] = [0.375, 1.25]


Primjer zbrajanja neizrazitih brojeva

2

1

0

6 10

oko 5

x4 80

oko 2 oko 3

Zbrajanje: “oko 2” + “oko 3”

μx


Primjer oduzimanja n-brojeva (1)

2

1

06 10

oko 5

x4 80

oko 2 oko 3

Oduzimanje: “oko 5” - “oko 3”

-2-4

oko 5 - 3

μx


Primjer oduzimanja n-brojeva (2)

2

1

06 10

oko 3

x4 80

Oduzimanje: “oko 3” - “oko 3”

-2-4

oko 0μx

Documents

Umjetna inteligencija - Neizrazita logika – Skupovi