1E

A.S. 12/13

Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a

due un lato in comune

Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici, tre angoli, e tre lati.

Esso rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa; oltre a questo il triangolo è anche importante per molte sue altre proprietà e caratteristiche geometriche, su cui si fondano le basi della geometria.

Inoltre è una figura indeformabile ed è l'unico poligono a cui è sempre circoscrivibile e in cui è sempre inscrivibile una circonferenza.

A

C

B

In un triangolo chiameremo angolo opposto ad un lato l'angolo che sta di fronte al lato.

Esempio :

di fronte al lato AB sta l'angolo BCA

Si definisce angolo esterno ognuno dei due angoli

adiacenti a un suo angolo interno rispetto ai prolungamenti dei lati

dell'angolo, ogni angolo interno ha quindi due angoli esterni che poiché opposti al vertice risultano congruenti.

Si definisce angolo interno l’angolo formato da due lati consecutivi

Fra le caratteristiche salienti può essere menzionato il fatto che la somma dei suoi angoli interni è pari a 180° (un angolo piatto).

In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente

Ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti

In ogni triangolo a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore

In ogni triangolo

La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato

c

a

b

a + b > c

a + c > b

b + c > a

In ogni triangolo

La differenza delle lunghezze di due lati è sempre minore del terzo lato

c

a

b

a - b < c

a - c < b

b - c < a

In ogni triangolo

La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato

5 u

3 u

7 u

5 + 3 > 7

5 + 7 > 3

7 + 3 > 5

5 u

3 u

7 u

Vero

Vero

Vero

ALTRIMENTI

2 u

3 u

7 u

2 + 3 > 7

2 + 7 > 3

7 + 3 > 2

2 u

3 u

7 u

Falso

Vero

Vero

3 lati congruenti

2 lati congruenti

3 lati non congruenti

3 angoli acuti

1 angolo ottuso

1 angolo retto

Un punto comune

BARICENTRO

Un punto comune

ORTOCENTRO

Un punto comune

INCENTRO

Un punto comune

CIRCOCENTRO

EQUILATERO

ISOSCELE

SCALENO

Rispetto ai lati si dividono in

TRIANGOLI

Rispetto agli angoli si dividono in

ACUTANGOLO

OTTUSANGOLO

RETTANGOLO

Hanno ognuno

3 mediane

3 altezze

3 bisettrici

3 assi

ISOSCELI

EQUILATERI

SCALENI

ottusangolo

acutangolo rettangolo

acutangolo

rettangolo

acutangolo

ottusangoloIn base ai LATI

3 LATI CONGRUENTI

2 LATI CONGRUENTI

3 LATI NON CONGRUENTI

l l

a al

a

EQUILATERO

3 lati congruenti

3 angoli congruenti

l l

a a

b

b

ISOSCELE

2 lati congruenti

2 angoli congruenti

c

a

a

g

b

b

SCALENO

3 lati non congruenti

3 angoli non congruenti

In base agli ANGOLI

ACUTANGOLI

OTTUSANGOLI

RETTANGOLI

isoscele

equilatero

scalenoisoscele

scaleno

isoscele

scaleno

3 ANGOLI ACUTILa somma dei tre angoli è 180°

1 ANGOLO OTTUSOLa somma degli altri due è

minore di 90°

1 ANGOLO RETTOLa somma degli altri due

è di 90°

C

IPOTENUSA

CATETO

MAGGIORE

CATETO

MINORE 2

1

i

C

Nel TRIANGOLO RETTANGOLO i lati hanno un proprio nome:

CATETI e IPOTENUSA

CATETI

sono i lati del triangolo che formano l’angolo retto

IPOTENUSA

è il lato opposto all’angolo retto.

ANGOLO RETTO

In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o

lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre.

In matematica si chiamano  postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati

dimostrati, sono considerati veri

In matematica per teorema si intende un enunciato che viene dimostrato

nell'ambito

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso

Trasporto l'angolo B sopra l'angolo B' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in

due modi diversi: o facendo scivolare l'angolo o ribaltandolo; devo dire che lo porto sopra senza

ribaltarlo) in modo che il lato AB vada sopra il lato A'B' ed il lato BC vada sopra B'C'; in questo modo i due triangoli hanno A su A', B su B' e C su C' quindi

sono sovrapposti e coincidono punto per punto C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare)

Ipotesi''BAAB ''CBBC

''' ˆˆ CBACBA

''' CBAABC Tesi

Dimostrazione

Vedi il VIDEOhttp://www.youtube.com/watch?v=sHd2Ul8Bcl0&feature=player_embedded

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato compreso

Trasporto il lato BC sopra il lato B'C' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo;

devo dire che lo porto sopra senza ruotarlo) in modo che l'angolo ABC vada sopra l'angolo A'B'C' e

l'angolo BCA vada sopra B'C'A'; in questo modo i due triangoli hanno AB su A'B', BC su B'C' e CA su C'A' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per

punto come volevamo dimostrare

Ipotesi

''CBBC

''' ˆˆ CBACBA

''' CBAABC Tesi

Dimostrazione

''' ˆˆ ACBACB

Vedi il VIDEOhttp://www.youtube.com/watch?v=scKlfy4NUMI&feature=related

Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti

Trasporto il triangolo ABC da banda opposta rispetto al triangolo A'B'C' in modo che il lato BC vada sopra il lato B'C'; allora il punto A va in A''. 

Considero il triangolo A'B'A'': esso ha due lati uguali (A'B'=A''B') quindi ha anche due angoli uguali cioe' B'A'H=B'A''H (quelli indicati in azzurro)

Considero ora il triangolo A'C'A'': esso ha due lati uguali (A'C'=A''C') quindi ha anche due angoli uguali cioe' C'A'H=C'A''H(quelli indicati in viola)

Considero ora i triangoli A'B'C' ed A''B'C' essi hanno:A'B' = A''B' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi)

A'C' = A''C' sempre per ipotesi (come sopra)Gli angoli B'A'C'=B'A''C' sono uguali perche' somme di angoli uguali (quelli colorati)Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare.

Ipotesi

''' CBAABC Tesi

Dimostrazione

''CAAC

''BAAB ''CBBC

Vedi il VIDEOhttp://www.youtube.com/watch?v=vGOsIAPTKTE&feature=player_embedded#!

L'altezza del triangolo, relativa ad un lato, è il segmento perpendicolare al lato uscente dal vertice opposto.

Ogni triangolo ha tre altezze, ognuna

relativa ad ogni lato, il punto di incontro di

esse si chiama ORTOCENTRO

Altezze nel triangolo acutangolo

Altezze nel triangolo ottusangolo

Altezze nel triangolo rettangolo

L'altezza del triangolo è la distanza, misurata da uno dei vertici al lato opposto (o del suo prolungamento).

La mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto, dividendo il triangolo in due parti di area uguale.

Le tre mediane di un triangolo si intersecano nel

suo BARICENTRO o centro di massa.

Ogni mediana giace per due terzi della propria

lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro

terzo si trova fra il baricentro e il punto medio

del lato opposto.

Mediane nel triangolo acutangolo

Mediane nel triangolo ottusangolo

Mediane nel triangolo rettangolo

Nel triangolo, per bisettrice, relativa ad un angolo, si intende il tratto di semiretta che lo divide in due angoli congruenti e congiunge il vertice col lato opposto.

Bisettrici nel triangolo acutangolo

Bisettrici nel triangolo ottusangolo

Bisettrici nel triangolo rettangolo

In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto,

INCENTRO, interno al poligono e equidistante dai lati del triangolo.

COSTRUZIONE DI BISETTRICI

Gli assi di un triangolo sono rette ortogonali ai lati passanti per il punto medio .

Il punto di incontro delle assi si chiama CIRCOCENTRO ed è il centro della circonferenza circoscritta

Assi nel triangolo acutangolo

Bisettrici nel triangolo rettangolo

Bisettrici nel triangolo rettangolo

costruzione

b

ll

l

l l

b

l1l2

isoscele

scaleno

equilatero

P = 2 x l + b

P = 3 x l

P =

l1

+ l2 + b

Somma delle lunghezze dei lati

?

l primo triangolo è effettivamente un triangolo rettangolo di base 13, altezza 5.

Il secondo non è invece un triangolo rettangolo, come si può notare nel punto cerchiato.

ALTROhttp://www.youtube.com/watch?v=4jc5oWWMr8k&feature=player_embedded