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Rev. Fac. Agron. (LUZ). 2012, 29: 124-137

Una aplicación del test de solapamiento en un modelode clasificación de dos vias reparametrizado

An application of the overlapping test in a two-wayclassification reparameterized model

A.E. Darghan Contreras1, P. Sinha Surendra2 y A. Goitia Acosta2

1 Universidad Nacional Experimental del Táchira, Departamento deAgronomía. P.O. BOX 436. San Cristóbal, Táchira, Venezuela.2Universidad de los Andes. Instituto de Estadística Aplicada y Com-putación. Mérida, Venezuela.

Resumen

En este artículo se presenta una aplicación del score test de Rao para elcoeficiente de solapamiento en el modelo de Draper y Guttman utilizando unmodelo de clasificación de dos vías y la imposición de restricciones sobre losparámetros para completar el rango de la matriz de diseño. El test score de Raoen este artículo involucra la teoría asociada a los operadores de proyección per-pendicular y usa los estimadores máximo-verosímiles restringidos por funcionesno estimables. El test puede aplicarse con diferentes patrones de vecindad siem-pre y cuando se considere al vecino más cercano como la unidad experimentaldirectamente afectada por los tratamientos. El método es de fácil implementacióny puede aplicarse en el campo de la agronomía o en temas afines con otras áreas,tal como en el manejo de pastos y forrajes en la producción animal y veterinaria,pues la naturaleza asintótica del test está en concordancia con el gran número deunidades experimentales presentes comúnmente en esta área.Palabras clave: Solapamiento, Operador de proyección perpendicular, ScoreTest, Funciones No Estimables, Modelo Reparametrizado.

Abstract

In this article, an application of the score test of Rao is presented for theoverlap coefficient in the Draper and Guttman´s model using a two-wayclassification model and the imposition of restrictions on the parameters to com-plete the rank of the design matrix. The score test of Rao in this article involves

Recibido el 7-2-2010 Aceptado el 6-10-2011Autor de correspondencia e-mail: e_darghan@unet.edu.ve

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the theory associated with the perpendicular projection operators and uses themaximum likelihood estimators restricted by non estimable functions. The testcan be applied with different neighborhood patterns whenever the closest neighborcan be considered as the experimental unit directly affected by the treatments.The method is simple to implement and can be applied in the field of Agronomyor in similar studies in other areas such as pasture and forage management inanimal and veterinary production since the asymptotic nature of the test is inagreement with the large number of experimental units commonly present inthis area.Key words: Overlapping, Perpendicular projection operator, Score test, Nonestimable functions, Reparameterized model.

Introducción

En la investigación agropecuariaes común encontrar que en ciertos ex-perimentos la aplicación de un trata-miento sobre una unidad experimen-tal algunas veces se dispersa a unida-des experimentales adyacentes pudien-do afectar su respuesta, es decir quepodría presentarse un solapamientomutuo en el uso de los tratamientos.Por ejemplo, en ensayos de variedades,el efecto de la vecindad puede ser atri-buido a diferencias morfológicas intrín-secas entre las plantas de diferentesvariedades o a diferencias en la fechade germinación inherente a las semi-llas o inducidas por el ambiente. Lostratamientos aplicados a los cultivostales como planes de fertilización, rie-go, pesticidas, uso de controladores bio-lógicos, agentes inoculantes, entreotros, pudieran dispersarse a las par-celas vecinas con lo cual puede afec-tarse la variable respuesta que estásiendo medida en un momento dado.Ejemplos de estas situaciones puedenleerse en Bhalli et al. (1964) y en Hidey Read (1990).

El fenómeno de solapamiento hasido modelado por varios investigado-

Introduction

In an agroindustrial research iscommon finding that in someexperiments the application of atreatment on an experimental unitsometimes scatter to adjacent experi-mental units which might affect theanswers, that is, there may be a mu-tual overlapping in the usage oftreatments. For example, in essays ofvarieties, the neighborhood effectmight be attributing to intrinsicmorphological differences betweenplants of different varieties, or indifferences in the germination dateinherent to the seeds or induced by theenvironment. The treatments appliedto the crops such as fertilization plans,irrigation, pesticides, use of biologicalcontrollers, inoculants agents, amongothers, may disperse to the neighborplots, thus affecting the response va-riable, which is measured on a specificmoment. Examples of these situationscan be read in Bhalli et al (1964) andHide and Read (1990).

The overlap phenomenon hasbeen modeled by different authors, forexample, Pearce (1957) considered amodel where each treatment has a

Darghan et al.

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res, por ejemplo, Pearce (1957) consi-deró un modelo donde cada tratamien-to tiene un efecto directo en la parcelaen la cual es aplicado y un efecto desolapamiento sobre las unidades expe-rimentales vecinas. Draper y Guttman(1980) estudiaron el solapamiento ensuperficies de respuesta,específicamente cuando se considera alvecino más próximo (horizontal , ver-tical o diagonal) como la fuente deltraslapo, además, discutieron algunosmétodos de prueba aproximados parael coeficiente de solapamiento y usa-ron el modelo no lineal

Y=Xβ + αWXβ + ε, (1)

donde Y es un vector aleatorio dedimensión n x 1 que denota la respues-ta de n unidades experimentales, X esuna matriz de diseño conocida de dimen-sión n x p, β es un vector de parámetrosdesconocidos de dimensión p x 1 que con-siste de los efectos a considerar en el ex-perimento, que en el caso de un modelode clasificación de dos vías constará delefecto de los tratamientos y el efecto delos bloques, α representa el efecto desco-nocido del solapamiento, W=(wijr ) es unamatriz de pesos conocida de dimensiónn x n donde wijr denota el efecto de launidad j sobre la unidad i en la réplicar; con la condición de que ,r; ∑j= 1wijr= 1A i,r; wijr=0 y wijr ≥ 0 A i, j, r. Finalmen-te, para el vector de errores ε se asumiódistribución normal e independencia convector de medias cero y varianza σ2 I,donde I es una matriz identidad de di-mensión n x n. (Shukla ySubrahmanyan, 1999).

Recientemente, Darghan et al.,(2009) propuso el test de solapamientoen modelos de superficies de respuesta

direct effect on the plot where it isapplied, and overlapping effect on theneighbors’ experimental units. Draperand Guttman (1989) studied theoverlapping in response’s surfaces,specifically when the nearest neighboris considered (horizontal, vertical ordiagonal) as the overlap’s source; also,they have discussed some approximatetests’ methods for the overlappingcoefficient and used the non linealmethod.

Y=Xβ + αWXβ + ε, (1)

Where Y is a random dimensionvector n x 1 which implies the responseof n experimental units, X is a knowndesign matrix of dimensions n x p, βis an unknown parameter vector ofdimension p x 1 hich consists on theeffects to be considered on theexperiment, and on the case of a two-way classification model will have thetreatments’ effect and the blocks’effect, α represents the unknownoverlapping effect, W=(wijr ) is a weightknown matrix of dimensions n x nwhere wijr indicates the unit’s effect jon the unit i and on the replication r;with the condition that ,r; ∑j= 1wijr= 1 Ai,r; wijr=0 and wijr ≥ 0 A i, j, r.

Finally, for the mistakes' vector "e",it was assumed a normal distribution andindependence with vector of zero meansand variance "σ2 I", where I is an identitymatrix of dimension n x n (Shukla andSubrahmanyan, 1999).

Recently, Darghan et al., (2009)proposed the overlapping test insurfaces response’s model of first andsecond order, and Sinha et al. (2009)proposed the overlapping test in two-way classification models restricted by

AA

A A

n

n

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de primer y segundo orden y Sinha etal, (2009) propuso el test desolapamiento en modelos de clasifica-ción de dos vías restringido por unafunción no estimable basándose en laprueba fundamental de hipótesis de-sarrollada por Rao (1948) y conocidaactualmente como el Test Score de Rao.El test se desarrolló sobre el modeloreparametrizado

Y=X*γ + αWX*γ + ε, (2)

donde X*=XZ, es de rango comple-to por columnas a diferencia de X , y (la última expresión signi-fica que el espació de columnas de lamatriz Z es igual al perpendicular delespacio de columnas de la matriz , loque a su vez implica que ).

La reparametrización anteriorpermite completar el rango de X y asu vez la obtención de estimadores úni-cos máximo-verosímiles a través deluso de funciones no estimables donde

, es decir, involucrasolamente el uso de condiciones late-rales que no afectan al modelo (1),(Christensen, 2002).

En este artículo se mostrarámediante una aplicación agronómicael uso del Test de Sinha parasolapamiento haciendo uso del métodode estimación máximo-verosímil con elmodelo reparametrizado. En la aplica-ción del test se usará como ejemploilustrativo la misma matriz de datosproporcionada por el autor pero paraun patrón de vecinos más cercanos dis-tinto al expuesto en su artículo origi-nal, además, se mostrarán con ciertodetalle los pasos para lareparametrización del modelo (1). Elejemplo utilizado condujo al rechazo de

a non estimable function based on thehypothesis fundamental testdeveloped by Rao (1948) and currentlyknown as Rao Test Score. The testwas developed on the reparameterizedmodel.

Y=X*γ + αWX*γ + ε, (2)

Where X*=XZ, is a complete rankby columns different from X, y

(the last expressionmeans that the column’s space of thematrix Z is equal to the perpendicularspace of column of the matrix , whichat the same time implies that ).

The latter reparameterizationallows completing the rank X and atthe same time the obtaining ofmaximum-reliability estimators usingnon estimable functions where

, that is, it onlyinvolves the usage of lateral conditionsthat do not affect the model (1),(Christensen, 2002).

In this research, will be shownthrough an agronomic application theusage of the Sinha test for overlapping,using the maximum-reliabilityestimation method with thereparameterized model. On theapplication of the test, will be used asillustrative example the same datamatrix provided by the author but fora nearest neighbor pattern differentthan the exposed on the original article,also, will be shown with some detailsthe steps for the reparameterization ofthe model (1). The example used carriedto the reject of the null hypothesisassociated to the absence of overlappingbetween treatments, thus, a commonvariance analysis in the tow-wayclassification model will bequestionable.

Darghan et al.

128

la hipótesis nula asociada a la ausen-cia de solapamiento entre tratamien-tos, por lo cual, un análisis de varianzausual en el modelo de clasificación dedos vías sería cuestionable.

Metodología

Estimación de Parámetros ytest de solapamiento de Sinha

Sinha et al. (2009) desarrollaronun test de solapamiento usando elmétodo de construcción de pruebas dehipótesis desarrollado por Rao (1948).Este test usa al modelo (2) y el hechode que en este modelo se tiene tam-bién que , de este modo, lafunción logaritmo de la verosimilitudviene dada por

, (3)

donde Q=I+αW.Bajo H0: α=0, la función

logaritmo de la verosimilitud para lavariable aleatoria rinde los siguientesestimadores:

(4)

y

, (5)

donde X*, es la matriz de diseñodel modelo reparametrizado de modoque se pueda garantizarse la existen-cia de (X* X*)-1.

Rao (1948) introdujo un princi-pio de prueba basado en la función descore como un método alternativo y conmejores propiedades que el de la razónde la verosimilitud y el método deWald. (Chandra, 1985). El desarrollo

Methods

Estimation of parametersand overlapping test of Sinha

Sinha et al. (2009) developed anoverlapping test using the constructionmethod of hypothesis’s test developed byRao (1948). This test used the model (2)and the fact that in this model there isalso , therefore, the logarithmfunction of reliability comes by

, (3)

Where Q=I+αW.On H0: α=0, the logarithm

function of reliability for the randomvariable has the following estimators

(4)

y

, (5)

Where X* is the designed matrixof the reparameterized model so can beguaranteed the existance of (X* X*)-1.

Rao (1948) introduced a test’sprinciple based on the score’s functionas an alternative method and with betterproperties than reliability and theWald’s method (Chandra, 1985). Thedevelopment of the method for the model(2) starts with the definition of (3), inorder to obtain the vector’s factor.

(6)

With θ =(α,γr,σ2), which is knownas score’s function. For a θ given anda randomized variable Y the expectedvalue and the variance of (6) arerespectively zero and the Fisher’s

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information matrix is marked as T(θ).To prove the null hypothesis Ho:

θ =θ 0, the statistics of Rao is

Rst=s(γ; θr)T-1(θr)s(γ; θr), (7)

Where θr is the vector ofparameters restricted by the nullhypothesis. Under Ho this statistic hasan asymptotic distribution central-squared Chi with g freedom grades undergeneral conditions, where g representsthe dimension of the interest’s parameter(Maddala et al., 1993).

If the hypothesis that wants tobe contrasted is

Ho: α=0 against Ha: α = 0, (8)

Therefore, the statistical scores forthe contrast in (8) is represented by

RST0=sα(0, γr, σr)T-1(0, γr, σr)s(0, γr, σr) (9)

where γr is the restrictedestimator for (4), σr is the restrictedvariance (5) y T -1 is the inversecomponent of the information matrixexpected from Fisher associated to theparameter of interest α and evaluatedon the estimators γr y σr, which is nonsingular in the reparameterized model.The score function associated to theparameter of interest and alreadyevaluated (0, γr, σr) is

(10)

The inverse of the informationmatrix expected T-1 (0,γr,σr) is

(11)

del método para el modelo (2) comien-za con la definición de (3) para poste-riormente obtener la función del vector

(6)

con θ =(α,γr,σ2), la cual es conoci-da como la función de score . Para unθθθθθ dado y una variable aleatoria Ytenemos que el valor esperado y lavarianza de (6) son respectivamentecero y la matriz de información deFisher, esta última denotada con T(θ).

Para probar la hipótesis nula Ho:θ =θ 0, el estadístico de Rao viene dadopor

Rst=s(γ; θr)T-1(θr)s(γ; θr), (7)

donde θr es el vector deparámetros restringido por la hipóte-sis nula. Bajo Ho este estadístico tie-ne distribución asintótica Chi-cuadra-do central con g grados de libertad bajocondiciones generales, donde g repre-senta la dimensionalidad del parámetrode interés (Maddala et al., 1993).

Si la hipótesis que deseamos con-trastar es

Ho: α=0 contra Ha: α = 0, (8)

entonces el estadístico score parael contraste en (8) viene dado por

RST0=sα(0, γr, σr)T-1(0, γr, σr)s(0, γr, σr) (9)

donde γr es el estimador restrin-gido para (4), σr es la varianza restrin-gida (5) y T-1 es el componente de lainversa de la matriz de información es-perada de Fisher asociado alparámetro de interés α y evaluada enlos estimadores γr y σr, la cual es no

2

α

2

2

2

2Sα(0,γr,σr)= aa (Y-X*γr) (WX*γr).σr

12

2 2 2α

2 2 2α

2

α

2

Hr -2 + Hr

-2 Hr X*GX* Hr Hr -2

- Hr -2 GX* Hr

0

0

0

- Hr -2 Hr X*G

G

02δr

2

n

δr2( )

Darghan et al.

130

Where M=X*(X*X*)-1X* and M2=WM γ ((WM γ)WM γ)-1(WM γ).

The statistical (12) hasdistribution χ2 with liberty degreecorresponding to the overlappingcoefficient dimension in the Draper andGuttman model.

The development of theweight matrix in the sow patternof the experiment

The experiment consisted on theyield’s evaluation (weight in grams ofeach plant) of the lettuce’s crop (Latucasativa L) submitted to three treatmentlevels and two blocks’ levels, On thisessay was used a line-sow pattern oflettuce with same distance betweenplants and lines by the convenient atthe moment of constructing the weightmatrix W. The treatments werelabeled as (t1) the absence of thefertilizer, (t2) the one which usedchemical fertilizer (3 g/plant of the for-mula 15:15:15) and (t3) the one whichused organic fertilizer (200 g ofGallinanza per plant. The block reasonwas attributed to the precedence of thecommercial seed, where (b1)represented the seed with nationalprecedence and (b2) the imported seedof the same species, using this factorto minimize the variability that mightbe attributable to the precedence of theseed. In the essay were used 5replications for the combinations of

(11)

con Hr=WX* γr, MHr=Hr Hr -2 Hr

y G=(X*(I-MHr)X*)-1. Seleccionando de(11) solamente T-1 (expresión dentro dedd ) podemos construir el Test Scorede Rao para solapamiento, resultandoser

donde M=X*(X*X*)-1X* y M2= WMγ ((WM γ)WM γ)-1(WM γ).

El estadístico (12) posee distribu-ción χ2 con 1 grado de libertad, corres-pondiente a la dimensión del coeficien-te de solapamiento en el modelo deDraper y Guttman.

Desarrollo de la matriz depesos en el patrón de siembra delexperimento

El experimento consistió en laevaluación del rendimiento (peso engramos de cada planta) del cultivo delechuga (Lactuca sativa L) sometido atres niveles de tratamientos y a dos

with Hr=WX* γr, MHr=Hr Hr -2 Hr

and G=(X*(I-MHr)X*)-1. Selecting from(11) only T-1 (expression on dd) can bebuilt the Rao test score for overlapping,resulting to be

singular en el modelo reparametrizado.La función de score asociada alparámetro de interés y ya evaluada en(0, γr, σr) viene dada por

(10)

La inversa de la matriz de infor-mación esperada T-1 (0,γr,σr) viene dadapor

2

2

2

α

δr2sα (0,γr,σr)= (γ - X*γr) (WX*γr)2 1

…..

…..…..

…..

Hr -2 + Hr

-2 Hr X*GX* Hr Hr -2

- Hr -2 GX* Hr

0

0

0

- Hr -2 Hr X*G

G

02δr

2

n

δr2( )

, (12)

RST0=n y (I-M) WMy 2

WMy 2 (I-M)y 2

(WMy) X(X (I-M2)X)-1 X (WMy) WMy 2

1 +( ).

, (12)

RST0=n y (I-M) WMy 2

WMy 2 (I-M)y 2

(WMy) X(X (I-M2)X)-1 X (WMy) WMy 2

1 +( ).

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treatments and block. Each plant wasconsidered as an experimental unit andyield was measured as response.

The model (2) and using thisillustrative essay for the explanationof the test, is a randomized vector thatimplies the response of n =30 experi-mental units, X*is a known matrix(the reparameterized of the designmatrix X ), y is a known parametervector of dimension 4x1 (βreparameterized), W=( wijr) is a knownweight matrix, implies the unit effectj on the unit i in the replication r;∑j= 1wijr=1 A i,r; wijr=0 and wijr ≥ 0 A i, j, r.

For the line-sow pattern of thefigure 2, the matrix W builds onceassigned the weights wijr, therefore,is necessary to know the neighbor’sstructure that the different experi-mental units will have. On the line-sow there is an equal price butbetween plants and lines (wh, wv) anda different one between diagonalplants (wd), all proportional to thesow’s distance which varies fromproducer to producer, also,assuming that only the nearestneighbor ((h; among plants), verti-cal (v; among lines) and diagonal (d;among lines)) might be the experi-mental unit directly affected, will beobtained the neighbor’s modelsshown in figure 1.

The previous pattern differs fromthe presented by Sinha et al. (2009) whereare only considered horizontal, verticaland non diagonal neighbors. In this casethe consideration is due to the intereston having a non singular weight matrix.

In figure 2 are shown the twosow-lines of lettuce along to the datamatrix with the aim of facilitating theweight matrix generated by the

niveles de bloques. En este ensayo seutilizó un patrón de siembra por hile-ras de lechuga con igual distancia en-tre plantas e hileras por lo convenien-te al momento de construir la matrizde pesos W. Los tratamientos se eti-quetaron como (t1) la ausencia de fer-tilizante, (t2) al que usó fertilizante quí-mico (3 g/planta de fórmula 15:15:15)y (t3) al que usó el fertilizante orgánico(200 g de Gallinaza por planta). Larazón de bloqueo se atribuyó a la pro-cedencia de la semilla comercial, endonde (b1) representó la semilla de pro-cedencia nacional y (b2) la semilla im-portada de la misma especie, usandoeste factor para minimizar la variabi-lidad que pudiera ser atribuible a laprocedencia de la semilla. En el ensa-yo se utilizaron 5 repeticiones para lascombinaciones de tratamiento y bloque.Cada planta fue considerada como unaunidad experimental y se midió comorespuesta el rendimiento.

En el modelo (2) y utilizando esteensayo ilustrativo para la aplicacióndel test, Y es un vector aleatorio quedenota la respuesta de n =30 unidadesexperimentales, X* es una matriz co-nocida (la reparametrización de la ma-triz de diseño X),γ es un vector deparámetros desconocidos de dimensión4 x 1 (β reparametrizado), wijr es unamatriz de pesos conocida, donde wijr de-nota el efecto de la unidad j sobre launidad i en la réplica r; ∑j= 1wijr= 1 Ai,r; wijr=0 and wijr ≥ 0 A i, j, r.

Para el patrón de siembra en hi-leras de la figura 2, la matriz W seconstruye una vez se hayan asignadolos pesos , por lo cual es necesario co-nocer la estructura de vecindad quetendrán las diferentes unidades expe-rimentales. En la siembra por hileras

AA

n

AA

n

Darghan et al.

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Figura 1. Modelos de vecindad para el cálculo de los pesos en el patrónde siembra en hileras.

Figure 1. Neighborhood model for the calculation of weight in the sow-line pattern.

vw dw

hw hw hw

dwvw

dw

randomized of the treatments. On each

bracket are presented the pair thatmention the treatment t and the blockb (t=1,2,3;b=1,2) for each replicationin the two sow lines.

Following will be illustrated theconstruction of the first line of W . Onthe response vector γijr, the first linecorresponds to γ111, which on figure 2corresponds to the second line andconsists on the first treatment, firstblock and first replication. In this caseγ111=135. This unit has as nearestneighbors the previously mentionedunits with the signs. The weightscorresponding to the diagrams areobtained from:

(a) wh + wv + wd=1= w + w + w/√2=1= w=(4-√2)/7

(b) 2wh + wv + 2wd=1= 2w + w +2w/√2=1= w=(3-√2)/7

With these values can already beshown the general way of the linenumber one of the W matrix, since theexperimental unit surrounded withsigns in the figure 2 corresponds to themodel (b) of the neighborhood patternin figure 1, thus resulting

It can be verified that theaddition of the elements of this line is

se tiene igual peso entre plantas e hi-leras (wh, wv) y uno diferente entreplantas diagonales (wd) , todos propor-cionales a la distancia de siembra quevaria de productor a productor, ade-más, asumiendo que solo el vecino máscercano (horizontal (h; entre plantas),vertical(v; entre hileras) y diagonal(d;entre hileras)) puede ser la unidad ex-perimental directamente afectada, ten-dremos los modelos de vecindad que semuestran en la figura 1.

El patrón anterior difiere del pre-sentado por Sinha et al. (2009) en elque solo se consideran vecinos horizon-tales y verticales y no diagonales. Eneste caso la consideración se debe alinterés en tener una matriz de pesosno singular.

En la figura 2 se muestran lasdos hileras de la siembra de lechugajunto con la matriz de datos con la in-tención de facilitar la construcción dela matriz de pesos generados por laaleatorización de los tratamientos. En

cada corchete se presenta el par que señala al tratamiento t y al blo-que b (t=1,2,3;b=1,2) para cada répli-ca en las dos hileras de siembra.

A continuación se ilustrará laconstrucción de la primera fila de W .

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Figura 2. Rendimiento (g.planta-1) en dos hileras (h1,h2) y cinco réplicas(rep.) de los tratamientos.

Figure 2. Yield (g/plant) in two lines (h1,h2) and five replications (rep.)of treatments.

the unit and there are only non nullvalues in the neighbors pointed in fi-gure 2.

Development of therestrictions’ matrix

The restriction can beformulated in a finite number of ways,

En el vector de respuestas γijr, la pri-mera fila se corresponde con γ111, lacual en la figura 2 se corresponde conla segunda hilera y consiste del pri-mer tratamiento, primer bloque y laprimera réplica. En este casoγ111=135. Esta unidad tiene como ve-cinos más cercanos a las unidades se-ñaladas con las flechas. Los pesos co-rrespondientes a los diagramas se ob-tienen de:

(a) wh + wv + wd=1= w + w + w/√2=1= w=(4-√2)/7

(b) 2wh + wv + 2wd=1= 2w + w +2w/√2=1= w=(3-√2)/7

Con estos valores ya podemosmostrar la forma general de la fila 1de la matriz W, ya que la unidad expe-rimental rodeada de flechas en la figu-ra 2 se corresponde con el modelo (b)del patrón de vecindad en la figura 1,resultando entonces.

Puede verificarse que la suma delos elementos de esta fila es la unidady que solo existen valores no nulos enlos vecinos señalados en la figura 2.

since only if , therefore, if thereis any matrix Γ with , therestriction might be writtenadditionally as o . Toidentify the reparameterized model wasselected the matrix Z thus ,implying that if if

, which happens if and only iffor any vector γγγγγ, .

is a two-way classification model with threetreatments and two blocks. A non es-timable restriction for this model is theone that yields the same lateralconditions in usual experimental units,

that is, and . A

selection of Z that satisfies might be

Darghan et al.

134

Since the Z rank is equal to therank for X and .

With the matrix Z is obtainedX*=XZ, to which is guaranteed theexistence thus the nonsingularity of the information matrixexpected.

Returning to the original

Desarrollo de la matriz deRestricciones

La restricción puede for-mularse en un número infinito de for-mas, ya que si y solo si ,de modo que si tenemos cualquier otramatriz Γ con , la restricciónpodría escribirse adicionalmente como

o . Para identificar elmodelo reparametrizado seleccionamosla matriz Z de modo tal que

, implicando que si ysolo si si y solo si , locual ocurre si y solo si para algúnvector , .

Sea en unmodelo de clasificación de dos vías contres tratamientos y dos bloques. Unarestricción no estimable para este mo-delo es aquella que rinde las mismascondiciones laterales usuales en estediseño experimental, es decir,

y . Una elección

de Z que satisface podríaser

,

ya que el rango de Z es igual alrango de X y .

Con la matriz Z obtenemosX*=XZ, con lo cual garantizamos laexistencia de y por ende la nosingularidad de la matriz de informa-ción esperada.

Retornando al vector deparámetros original tenemos que

given in (8), that is, null hypotheses ofthe “overlapping absence” yields theestimated parameters and , which areobtained thanks to the use of a simplealgorithm done with the statisticalpackage SAS, on the module SAS/IMLand the appropriate substitution of thedata presented in figure 2.

Of the vector is also obtainedthat

The Rao score test for overlappingevaluated on the estimatorsmaximum-accuracy of the

parameters’ vector

Which takes to τ1 + τ2 + τ3 = 0 andδ1 + δ2 = 0 .

Results

The maximum-accuracyestimation of the reparameterizedmodel with the contrast of hypotheses

,

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reparameterized model resulted in5.081, which compared to the squared-Chi distribution with a freedom degreegenerates a significance of 0.0242(2.42%), to which is rejected a null

,

lo cual conduce a τ1 + τ2 + τ3 = 0 yδ1 + δ2 = 0.

Resultados

La estimación máximo-verosímildel modelo reparametrizado con el con-traste de hipótesis dado en (8), es de-cir, la hipótesis nula de “ausencia desolapamiento” rinde los parámetrosestimados

los cuales se obtienen gracias aluso de un simple algoritmo hecho conel sistema estadístico SAS, dentro delmódulo SAS/IML y a la apropiada sus-titución de los datos presentados en lafigura 2.

Del vector también se obtieneque

El Score Test de Rao parasolapamiento evaluado en losestimadores máximo-verosímiles delmodelo reparametrizado resultó en5.081, el cual comparado con la distri-bución Chi-cuadrado con un grado delibertad genera una significación de0.0242 (2.42%), con lo cual se rechazala hipótesis nula de ausencia de

,,

,,

.

hypothesis of overlapping absence fora trustable level of 95%.

It is important to highlight thatany other matrix that fulfill thespecifications mentioned in the lattersection, will yield a low equivalentmodel (8) but with differentparametrization and in both cases willfulfill the lateral imposed conditions.

Conclusions

It has been illustrated carefullythe statistical overlapping test basedon the Rao test score using operationswith perpendicular projections andnon estimable functions developed bySinha et al. The test requires that thestructure of the experimental designinvolves a model like the one of Draperand Guttman, using as entrance va-riables the different factors of two-wayclassification model.

The asymptotic nature of the testrequires the use of big-sized samples,for such reason it is very useful in theagronomic and animal productionareas, since these areas normally workwith a big replication number of theexperimental units, which might

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Darghan et al.

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assure the fulfillment of the supposenecessary for the analysis.

It is important to know thedifficulty associated in the assignationof weights of the W matrix, only onthe application example was necessarya dimension matrix 30 x 30, whichcannot be systematized because theassignation of treatments is totally atrandom and the conformation dependson each randomized activity.

Finally, and though the essaydone in the field was just used toillustrate the application of the test,the detection of overlapping presencemay suggests the presence of externalfactors that might significantly scatterthe treatments or part of these in theclosest units. The overlapping absence,from the model point of view,establishes as definite model the nonlineal model (2), thus, the comparisontechnique of treatments posterior to thevariance analysis might be based onthe non lineal model (1), on the nonlineal reparameterized model (2) orjust on an usual lineal model where isknown the overlapping coefficientvalue.

solapamiento para un nivel de confian-za del 95%..

Es importante destacar que cual-quier otra matriz que cumpla las es-pecificaciones señaladas en la seccióninmediatamente anterior, rendirá unmodelo equivalente bajo la hipótesis (8)pero con diferente parametrización yen ambos casos se cumplirán las con-diciones laterales impuestas.

Conclusiones

Se ha ilustrado detalladamentela prueba estadística para elsolapamiento basado en el test Scorede Rao con el uso de operadores de pro-yección perpendicular y funciones noestimables desarrollada por Sinha etal. La prueba requiere que la estruc-tura del diseño experimental involucreun modelo como el de Draper yGuttman utilizando como variables deentrada los diferentes factores de unmodelo de clasificación en dos vías.

La naturaleza asintótica del testrequiere del uso de tamaños de mues-tras grandes, por tal motivo suele serbastante útil en el área de la agrono-mía y en la producción animal, puesen dichas áreas suele trabajarse conun número grande de repeticiones delas unidades experimentales, lo cualprobablemente asegurará el cumpli-miento de los supuestos necesario parael análisis.

Es importante reconocer la di-ficultad asociada en la asignaciónde pesos de la matriz , solo en elejemplo de aplicación fue necesa-ria una matriz de dimensión , lacual no puede sistematizarse puesla asignación de los tratamientoses totalmente aleatoria y su con-

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formación depende de cadaaleatorización.

Finalmente, y aunque el ensayorealizado en campo fue solo para ilus-trar la aplicación del test, la detecciónde presencia de solapamiento sugiereprobablemente la presencia de facto-res externos que pudieransignificativamente dispersar los trata-mientos o parte de estos en las unida-des más próximas. La ausencia de

Rev. Fac. Agron. (LUZ). 2012, 29: 124-137

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solapamiento desde el punto de vistadel modelo establece como modelo defi-nitivo al modelo no lineal (2), de modoque la técnica de comparación de tra-tamientos posterior al análisis devarianza pudiera basarse en el modelono lineal (1), en el modelo no linealreparametrizado (2) o simplemente enun modelo lineal usual donde se conoz-ca el valor del coeficiente desolapamiento.

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