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UNA APROXIMACIÓN A LA CARACTERIZACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS ACERCA DE LA
ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD: EL CASO DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL.
ANGEL RICARDO VARGAS PEÑA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ, COLOMBIA
2016
3
UNA APROXIMACIÓN A LA CARACTERIZACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS ACERCA DE LA
ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD: EL CASO DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL.
ANGEL RICARDO VARGAS PEÑA
DIRECTORA: DIANA GIL CHAVES
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ, COLOMBIA
2016
4
TABLA DE CONTENIDO 1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................. 10
1.1. Contextualización de la Investigación ...................................................................................... 10 1.2. Problema de Investigación ........................................................................................................ 11
1.2.1. Pregunta de investigación ..................................................................................................... 13 1.2.2. Preguntas Orientadoras ......................................................................................................... 14
1.3. Objetivos ..................................................................................................................................... 14 1.3.1. General .................................................................................................................................. 14 1.3.2. Específicos ............................................................................................................................ 14
1.4. Antecedentes ............................................................................................................................... 15 1.4.1. El conocimiento didáctico del contenido .............................................................................. 15 1.4.2. Investigaciones sobre concepciones en la formación de profesores de matemáticas ........... 17 1.4.3. Investigaciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad .................................................. 18
1.5. Aspectos Metodológicos ............................................................................................................. 20 1.5.1. Tipo de investigación ............................................................................................................ 20 1.5.2. Análisis cualitativo de contenido .......................................................................................... 21 1.5.3. Teoría fundamentada en los datos (TFD) ............................................................................. 21 1.5.4. Fases y Etapas ....................................................................................................................... 22
1.6. Delimitación del Estudio ............................................................................................................ 23 2. REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS ..................................................... 26
2.1. Referentes Teóricos .................................................................................................................... 26 2.1.1. El Conocimiento didáctico del Contenido ............................................................................ 26 2.1.2. Aproximación teórica al concepto de concepciones ............................................................. 31 2.1.3. El sentido de la práctica al interior del proyecto curricular LEBEM .................................... 34 2.1.4. La proporcionalidad como objeto de enseñanza ................................................................... 38
2.2. Referentes Metodológicos .......................................................................................................... 44 2.2.1. Identificación Organizativa de los textos .............................................................................. 44 2.2.2. Identificación y descripción de expresiones escritas sobre la enseñanza de la proporcionalidad en los textos ............................................................................................................ 45 2.2.3. Caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas ............. 46
2.3. Fuentes de Recolección de Información ................................................................................... 47 2.3.1. Unidades Didácticas del espacio de formación de la práctica intensiva ............................... 47 2.3.2. Syllabus espacios de formación LEBEM .............................................................................. 47
2.4. Categorías de Análisis ................................................................................................................ 48 3. DESARROLLO METODOLÓGICO ................................................................................ 50
3.1. Selección de Unidades de Análisis ............................................................................................ 50 3.1.1. Recolección y Organización de las Unidades de Análisis .................................................... 50 3.1.2. Criterios de selección y reducción de la información. .......................................................... 51
3.2. Identificación y descripción de expresiones escritas en las unidades de contexto seleccionadas .......................................................................................................................................... 61
4. ANÁLISIS ............................................................................................................................ 64 4.1. Descripción general de las unidades estudiadas ...................................................................... 64 4.2. Concepciones locales-subjetivas ............................................................................................... 72
4.2.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la proporcionalidad [EE]. .... 73 4.2.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad. ........... 79 4.2.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad. .......................... 85 4.2.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad. .................................................... 88
5
4.2.5. Aspectos generales concepciones locales-subjetivas ............................................................ 93 4.3. Concepciones locales-epistemológicas ...................................................................................... 96
4.3.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la proporcionalidad. ............. 96 4.3.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad ............ 98 4.3.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad. ........................ 101 4.3.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad ................................................... 102 4.3.5. Aspectos generales concepciones locales-epistemológicas ................................................ 104
5. CONCLUSIONES Y REFLEXIONES ............................................................................ 107 5.1. Aproximación a la caracterización de las concepciones globales ........................................ 107 5.2. Conclusiones sobre el proceso de investigación ..................................................................... 113
6. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS .............................................................................. 117
6
INDICE DE TABLAS
Tabla No. 1: Descripción de las categorías y sub-categorías para el análisis de la información. ............................. 49 Tabla No. 2: Resultados sobre valoración realizada por apartados de las unidades didácticas. ............................... 56 Tabla No. 3: Organización Espacios de Formación Proyecto Curricular LEBEM. ................................................... 57 Tabla No. 4: Resultados sobre valoración realizada por apartados de los syllabus de formación. ........................... 61 Tabla No. 5: Tabla de identificación por colores y códigos de las sub-categorías ..................................................... 63
INDICE DE GRÁFICOS
Gráfico No. 1: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][D] ....................... 65 Gráfico No. 2: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][G] ....................... 65 Gráfico No. 3: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][E] ........................ 66 Gráfico No. 4: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08] .................. 66 Gráfico No. 5: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][D] ....................... 67 Gráfico No. 6: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][E] ........................ 67 Gráfico No. 7: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09] .................. 68 Gráfico No. 8: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][D] ....................... 68 Gráfico No. 9: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][G] ....................... 69 Gráfico No. 10: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][E] ...................... 69 Gráfico No. 11: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10] ................ 70 Gráfico No. 12: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-02][D] ....................... 71 Gráfico No. 13: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-03][D] ....................... 72 Gráfico No. 14: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [PPMA-03][D] ................. 72
INDICE DE IMÁGENES
Imagen No. 1: Esquema selección de unidades de análisis. ___________________________________________ 51 Imagen No. 2: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de las unidades didácticas. __________ 52 Imagen No. 3: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de justificación de las unidades didácticas. ______ 53 Imagen No. 4: Ejemplo de valoración realizada por apartados de las unidades didácticas. __________________ 54 Imagen No. 5: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de los syllabus de los espacios de formación. __________________________________________________________________________________ 58 Imagen No. 6: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de temáticas de los syllabus de formación. ______ 59 Imagen No. 7: Ejemplo de valoración realizada por apartados de los syllabus de formación. _________________ 59 Imagen No. 8: Ejemplo de identificación de expresiones en las unidades de contexto según las sub-categorías estipuladas. _________________________________________________________________________________ 63 Imagen No. 9: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] ___________________ 74 Imagen No. 10: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] ________________ 75 Imagen No. 11: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [ud-08][EE-D] ___________________ 76 Imagen No. 12: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] __________________ 76 Imagen No. 13: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 77 Imagen No. 14: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] _________________ 78 Imagen No. 15: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 78 Imagen No. 16: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 79 Imagen No. 17: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] __________________ 80
7
Imagen No. 18: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] _________________ 81 Imagen No. 19: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] __________________ 81 Imagen No. 20: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] ___________________ 82 Imagen No. 21: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G] __________________ 82 Imagen No. 22: Ejemplos segundo y tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G] __________ 83 Imagen No. 23: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] __________________ 84 Imagen No. 24: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] _________________ 84 Imagen No. 25: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] ___________________ 85 Imagen No. 26: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] __________________ 86 Imagen No. 27: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ ES-D] ________________ 86 Imagen No. 28: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] ___________________ 87 Imagen No. 29: Ejemplos cuatro y quinto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] ___________ 87 Imagen No. 30: Ejemplo conjunto des descripciones sub-categoría [UD-08][ES-G] ________________________ 88 Imagen No. 31: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] __________________ 89 Imagen No. 32: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] _________________ 90 Imagen No. 33: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] ___________________ 90 Imagen No. 34: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] ___________________ 91 Imagen No. 35: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] __________________ 91 Imagen No. 36: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] _________________ 92 Imagen No. 37: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] ___________________ 93 Imagen No. 38:Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] ____________________ 97 Imagen No. 39: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] __________________ 97 Imagen No. 40: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] ____________________ 98 Imagen No. 41: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-D] ___________________ 99 Imagen No. 42: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D] ____________________ 99 Imagen No. 43: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D] _____________________ 99 Imagen No. 44: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-E] __________________ 100 Imagen No. 45: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E] ___________________ 100 Imagen No. 46: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E] _____________________ 101 Imagen No. 47: Ejemplo primer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D] ____________________ 101 Imagen No. 48:Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D] ___________________ 102 Imagen No. 49: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] __________________ 103 Imagen No. 50: ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] _________________ 103 Imagen No. 51: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] ___________________ 103 Imagen No. 52: Ejemplo cuarto conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ER-D] ____________________ 104
8
AGRADECIMIENTOS
Al Dios creativo y Todopoderoso por la vida y cada oportunidad
de crecimiento personal y profesional que me ha brindado.
A mis padres y hermanos por su apoyo incondicional
y constante acompañamiento en el proceso.
A Dianita Gil por todo su tiempo invertido,
colaboración, apoyo, comprensión y conocimiento
para lograr culminar este trabajo.
9
INTRODUCCIÓN
La presente de investigación se encuentra enmarcada dentro del campo de la educación
matemática y fue desarrollada en el marco de la Maestría en Educación, de la Universidad
Distrital Francisco José de Caldas. El proceso de investigación fue llevado a cabo en los períodos
académicos 2014-II a 2016-I, a partir del análisis de contenido de documentos de tipo
institucional (syllabus de espacios de formación) del proyecto curricular de Licenciatura en
Educación Básica con Énfasis en Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco
José de Caldas y las producciones escritas de la práctica docente de último año de estudiantes
para profesor de matemáticas pertenecientes al programa de formación de LEBEM de Bogotá,
Colombia.
La investigación presenta un reporte sobre un estudio referido a la caracterización de las
concepciones respecto a la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad que poseen los
estudiantes que iniciaron sus estudios en la LEBEM entre el semestre 2009-1 y 2010-3; se toma
como referente teórico y conceptual las perspectivas desarrolladas por Ruíz (1994) y Ponte
(1994). Así mismo, este trabajo tiene una metodología enmarcada en un enfoque cualitativo
encaminado hacia la realización de un estudio descriptivo–interpretativo de las concepciones
como uno de los aspectos que compone el CDC (conocimiento didáctico del contenido), a partir
de un análisis cualitativo de acuerdo a las herramientas comunes que presentan dos técnicas de
investigación documental: El Análisis Cualitativo de Contenido (ACC) y la Teoría
Fundamentada en los Datos (TFD) propuestas por Abella (2003) y Glaser & Strauss, citados por
Vasilachis (2006) respectivamente.
El presente reporte de investigación se estructura en cinco capítulos: El primero describe el
diseño de la investigación, el segundo abarca el marco teórico y metodológico referencia del
estudio, en tercero hace alusión al desarrollo metodológico, el cuatro presenta el análisis de la
información y, por último, el quinto destaca las conclusiones y reflexiones del proceso
investigativo.
10
1 . DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
1.1. Contextualización de la Investigación
Dentro del proceso de formación inicial de profesores de matemáticas se estipulan algunos
elementos como la reflexión de la práctica docente, el estudio de los objetos matemáticos que se
abordan en la escuela, el estudio de la didáctica de las matemáticas, entre otros; que hacen que el
estudiante para profesor genere, transforme y/o reflexione frente a sus concepciones sobre la
enseñanza y el aprendizaje de un objeto matemático.
Desde la década de los 90 podemos evidenciar una gran cantidad de estudios en el campo de la
educación matemática que se han interesado por indagar acerca de las concepciones y creencias
que tienen los estudiantes para profesor de matemáticas [EPM] (Ruiz, 1994; Flores, 1998;
Godino, 2009; Llinares, 2004, 2007; Flores, Moreno y Sánchez, 2006; Lupiañez, 2009; Blanco,
Camacho y Zapata, 2012; Pino, 2013, entre otros) como factor fundamental para el desarrollo de
habilidades y destrezas que aportan a su práctica profesional como docente e investigador. Una
característica común en algunos estudios está relacionada con la indagación sobre las
concepciones que tienen los profesores y los EPM sobre los objetos matemáticos y su naturaleza
dejando cuestionamientos importantes frente a las formas en las que se conciben los procesos de
enseñanza de dichos objetos.
Carrillo, citado por Zapata, Blanco & Contreras (2008) destaca la importancia del estudio de las
concepciones de los profesores y/o EPM porque ayuda a desarrollar y mejorar su desempeño
profesional:
11
Las concepciones del profesor son uno de los operadores que actúan en el proceso de transformación del conocimiento a la situación didáctica y en el propio control alumno de la interacción alumno- situación. Por ello resulta natural pensar en las concepciones como eje transversal de la evolución profesional del profesor. (Carrillo, citado por Zapata et al., 2008, p. 110)
De este modo, la actividad que los profesores y/o EPM realizan en sus prácticas, parece estar
orientada por sus concepciones acerca del contenido, la metodología, la enseñanza, el
aprendizaje y la evaluación de los objetos que aborda, postura que comparte Moreno & Azcárate
(2003).
En Colombia, por ejemplo, se han abordado diversos estudios e investigaciones relacionadas
con la indagación de las concepciones de EPM y cómo estas se movilizan en el proceso inicial
de aprendizaje a lo largo de los primeros espacios de formación que ofrecen instituciones
universitarias, por ejemplo la investigación realizada por el grupo MESCUD (2002) permite
determinar la influencia que tiene la formación inicial de profesores de matemáticas en la
transformación de las concepciones sobre la enseñanza de los objetos matemáticos y las
matemáticas mismas.
En este sentido, las concepciones juegan un papel importante para la formación de conocimiento
en futuros profesores de matemáticas. Por ende se plantea realizar una indagación frente a las
concepciones que poseen los estudiantes que se encuentran en el último semestre de práctica de
su proceso de formación inicial como profesores de matemáticas en el programa de Licenciatura
en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas con relación a la proporcionalidad.
1.2. Problema de Investigación
Cuando una persona, después de haber cursado la educación básica y la media, entra como
estudiante a un programa de formación inicial de profesores de matemáticas, posee unas
concepciones y creencias sobre lo que es ser profesor, ser estudiante, sus formas de actuación en
el aula, la forma de enseñar y aprender matemáticas, las formas de relación del profesor con los
estudiantes y con el saber matemático, todas construidas a lo largo de su escolaridad. Se espera
que durante su proceso de formación inicial se logre reflexionar, cuestionar y construir nuevas
concepciones.
12
Por tanto, se considera importante la investigación que contribuya a conocer e indagar sobre las
permanencias, los cambios y las transformaciones de las concepciones de los EPM, durante su
proceso de formación.
En el mismo sentido Ernest, citado por MESCUD (2002), afirma que las diferencias en las
concepciones de los estudiantes para profesor pueden depender más de sus modelos mentales de
enseñanza y aprendizaje, que del conocimiento matemático. En éste sentido, dichas formas de
pensamiento son influenciadas, según Ruíz (1994), por aspectos de tipo institucional que hacen
parte de la concepción epistemológica del programa de formación inicial de profesores de
matemáticas en el que se encuentren los estudiantes. De esta forma su sistema de creencias,
nombradas por Ruíz (1994) como concepciones subjetivas, respecto a los procesos de
enseñanza, aprendizaje y sobre los objetos matemáticos en sí, van transformándose según su
proceso de formación.
Dentro de las investigaciones realizadas al respecto, encontramos la de Zapata, Blanco &
Camacho (2012) que se realiza en un programa de formación de profesores de matemáticas en
Perú en el cual se reporta un estudio sobre las concepciones de los EPM entorno a las
matemáticas, sus formas de enseñanza y aprendizaje, retomando el cuestionario de Camacho,
Hernández y Socas (1995) utilizado en una investigación realizada en España sobre el mismo
aspecto. En este estudio, al hacer la comparación entre las dos investigaciones, se concluye que
no existen diferencias importantes en sus concepciones a pesar de la distinta formación de los
profesores de matemáticas en ambos países. Éste tipo de reportes genera algunos
cuestionamientos sobre los aspectos que hacen que las concepciones de los EPM cambien o no.
Otra investigación es la realizada por Llinares y Sánchez (1990) quienes afirman que las
creencias (uno de los elementos que caracteriza a las concepciones) de tipo epistemológico que
un determinado estudiante para profesor tiene sobre la naturaleza de los objetos que enseña, así
como la forma en que comprende las nociones escolares que va a enseñar, pueden constituirse en
variables que ayudan a caracterizar parte de las diferentes interacciones y traslaciones que tienen
lugar durante el período de prácticas de enseñanza, considerándose como una fase en el proceso
de aprender a enseñar o proceso de llegar a ser un profesor. Este proceso forma parte de la
“génesis” del futuro conocimiento profesional del profesor.
13
En el contexto colombiano se encuentra la investigación realizada por el grupo MESCUD
(2002), en ella se realizó un estudio de caso, para establecer una aproximación a las
concepciones iniciales que poseen los EPM que comienzan su proceso de formación inicial y los
cambios que se pudieron identificar al terminar los dos primeros semestres de su formación
inicial, sobre el sentido de la profesión y de las matemáticas; se concluyo que sí existe
movilización del sistema de creencias personales al transformar las metodologías de formación
de los EPM.
La presente investigación desea indagar sobre la relación entre el programa de formación de
profesores de matemáticas y las concepciones de los estudiantes para profesor hacia el final de la
carrera, relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de un objeto matemático específico.
Por otra parte, uno de los elementos didácticos presentes a lo largo del desarrollo curricular a
nivel básico y medio en la escuela es la proporcionalidad. Wheeler (1983) establece un
acercamiento sobre las dificultades que tienen los estudiantes para profesor en cuanto al
tratamiento y profundización sobre los objetos matemáticos y didácticos propios en
matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Al respecto, Valverde y Castro (2009)
nombran diversas investigaciones donde se afirma que
El conocimiento matemático de los maestros en formación frecuentemente es descrito como insuficiente (Ball, 1990; Even 1990; Graeber, Tirosh, y Glover, 1989; Reys, 1974; Simon, 1993; Wheeler, 1983) Investigaciones en el contexto de los números racionales (Graeber, Tirosh y Glover, 1989; Harel, Behr, Post y Lesh, 1994, citados en Lamon 2007) han mostrado que el conocimiento que los maestros en formación poseen acerca de este tópico es procedimental y escasamente conectado. (p.2)
Con base en lo anteriormente sustentado, se establece la pertinencia de la realización de una
indagación sobre las concepciones que los EPM tienen al finalizar su proceso de formación
inicial en la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemática [LEBEM] de la
Universidad Distrital, sobre la enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica.
1.2.1. Pregunta de investigación
A continuación se plantea la pregunta general de la presente propuesta de investigación:
14
¿Cuáles son las concepciones que expresan los estudiantes para profesor de matemáticas
[EPM] de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas [LEBEM] en las
unidades didácticas durante la práctica intensiva docente sobre la enseñanza y el aprendizaje
de la proporcionalidad en la educación básica?
1.2.2. Preguntas Orientadoras
Algunas preguntas orientadoras del cuestionamiento anterior hacen referencia a:
• ¿Cuáles son los aspectos que se presentan como elementos de reflexión didáctica en
torno a la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en los documentos y/o
escritos referidos a los espacios de formación que propone el proyecto curricular de
Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en matemáticas?
• ¿Cuáles son las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la
proporcionalidad que se pueden identificar en las unidades didácticas que construyen
los estudiantes de la práctica intensiva (última práctica docente) que iniciaron sus
estudios entre el semestre 2009-1 y 2010-3?
1.3. Objetivos
1.3.1. General
Reportar un estudio referido a la caracterización de las concepciones sobre la enseñanza y
aprendizaje de la proporcionalidad que poseen los estudiantes que iniciaron sus estudios en la
LEBEM entre el semestre 2009-1 y 2010-3.
1.3.2. Específicos
• Identificar y describir las expresiones de reflexión didáctica en torno a la enseñanza y el
aprendizaje de la proporcionalidad en los syllabus oficiales de los espacios de formación
que propone el proyecto curricular de LEBEM de la Universidad Distrital.
• Identificar y describir las expresiones escritas que puedan dar cuenta de concepciones sobre
la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad, presentes en las unidades didácticas
15
elaboradas durante la última práctica por los EPM que iniciaron sus estudios entre el
semestre 2009-1 y 2010-3.
• Describir la relación entre las expresiones que los EPM manifiestan en las unidades
didácticas y las expresiones encontradas en los syllabus oficiales de los espacios de
formación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad.
1.4. Antecedentes
Los antecedentes de la investigación darán cuenta de los trabajos desarrollados en torno a la
caracterización de las dimensiones y estudios realizados con relación al conocimiento didáctico
del contenido (CDC), una revisión de las investigaciones realizadas sobre las concepciones y
finalmente trabajos e investigaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la
proporcionalidad.
1.4.1. El conocimiento didáctico del contenido
Shulman (1986a) es considerado un investigador pionero en el desarrollo teórico frente a la
caracterización del conocimiento profesional del profesor a nivel general. En sus desarrollos
teóricos establece que, dentro de los siete tipos de conocimiento que se deben desarrollar en los
procesos de formación inicial y/o continua de profesores, se encuentra el llamado Pedagogical
Content Knowlege, traducido al castellano como Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC).
Al respecto, éste se considera un tipo de conocimiento específico del profesor que le permite
entender aspectos que facilitan o dificultan el aprendizaje de los objetos y/o contenidos; conocer
las creencias que los estudiantes poseen acerca de un contenido particular y hacer uso de
estrategias didácticas o formas para hacer posible que otros comprendan los contenidos de
enseñanza.
Aunque el Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) ha recibido algunas críticas (Bolívar,
1993; Llinares, 2000 entre otros) frente a la falta de conexión entre los aspectos teóricos que se
desarrollan en su investigación y la experiencia de la práctica profesional docente, la
caracterización que realiza Shulman sobre dicho tipo de conocimiento permite situar las
concepciones de los profesores como uno de los componentes de dicho conocimiento.
16
Al respecto, en la investigación elaborada por Bolívar (1993, 2005), al realizar un análisis a
profundidad de los estudios realizados por Shulman, el autor contextualiza y describe dicho
enfoque y realiza un análisis para determinar en qué medida puede servir para fundamentar la
conformación de las didácticas específicas en las diferentes ciencias y disciplinas del
conocimiento. Un aporte importante de ésta investigación se encuentra en la forma en la que
Bolívar reporta los componentes del CDC, dentro de los que se encuentran las concepciones.
Éste referente se constituye como elemento que permite construir el soporte teórico de la
investigación sobre el CDC y su relación con las concepciones de los EPM.
Lurduy (2013) realiza una investigación alrededor de la identificación, conceptualización,
caracterización y evaluación de las competencias de reflexión, semiosis y análisis didáctico
expresadas en los textos que dan cuenta del proceso de investigación de un estudio didáctico, en
el programa de formación de profesores de matemáticas la LEBEM en la Universidad Distrital a
partir de una investigación documental en la cual se realiza un análisis de contenido de las
unidades didácticas que desarrollan los EPM en sus prácticas docentes. En éste estudio se
reportan aquellos aspectos referidos a los objetos didácticos de diseño, gestión y evaluación de
los procesos de enseñanza y aprendizaje de un objeto matemático. Este referente utiliza
herramientas del proceso metodológico que permite, a partir de varias lecturas (intensiva,
extensiva) de los textos, codificar la información de tal manera que se analiza a profundidad el
significado incluido en las expresiones textuales definidas en cada unidad de análisis, así como
la definición de criterios de selección, sistematización y reducción de la información.
Otro reporte que se encuentra como antecedente es el trabajo de grado de maestría desarrollado
por Cruz (2015) “Una aproximación al conocimiento del contenido didáctico en la formación
inicial de docentes de matemáticas: El caso de dos licenciaturas” se reporta un proceso de
investigación alrededor del estudio de los significados institucionales de tipo referencial y
pretendido en dos syllabus de formación inicial de docentes de matemáticas desde los cuales se
caracteriza el enfoque del CDC (conocimiento didáctico del contenido), para ello se realiza una
investigación documental de los syllabus de estudio de los espacios de formación del eje de
didáctica y los documentos de acreditación como referentes de tipo curricular que permiten
establecer una conceptualización de los objetos didácticos de diseño, gestión y evaluación en
términos de los sistemas de prácticas de tipo discursivo, operativo y normativo que se expresan
17
en estos documentos dando cuenta de elementos que conceptualizan el ser, el actuar y el saber
del docente de matemáticas desde lo declarado en estos syllabus de formación.
1.4.2. Investigaciones sobre concepciones en la formación de profesores de
matemáticas
Una de las investigaciones que se constituyen en un antecedente frente a los trabajos realizados
al interior del proyecto curricular LEBEM de la Universidad Distrital es la desarrollada por el
grupo MESCUD (2002). En ella se reporta un proceso de investigación frente al sentido de la
profesión docente con relación a la forma en la que se movilizan las concepciones y/o sistemas
de creencias de los EPM que ingresan al proyecto inicial de formación de profesores de
LEBEM. Se realiza un análisis de las concepciones iniciales de los EPM y se estudia lo que
ocurre con ellas una vez transcurren los EPM por dos espacios de formación. Se concluye que
las concepciones de los estudiantes cambian al participar de espacios de formación que
posibilitan la reflexión frente a las matemáticas escolares, aspecto que permite argumentan la
importancia que tienen los espacios de formación en un programa de formación inicial de
profesores de matemáticas en la consolidación de las concepciones de los EPM.
Por su parte Llinares (1994) realiza un reporte sobre una de las investigaciones desarrolladas
frente al conocimiento profesional del profesor de matemáticas y las relaciones entre creencias,
concepciones y conocimiento frente a la función. En dicho reporte, se pueden encontrar algunas
aproximaciones teóricas sobre los trabajos realizados por Thompson (1992), Ponte (2012),
Pajares (1992) y Fenstermacher & Soltis (1989), para lograr establecer la relación entre
creencias y conocimiento., Llinares concluye que “[…] las concepciones son entendidas como
un plano organizador de conceptos y se ven condicionando la forma en que se abordan la
realización de las tareas.” (p. 12).
En otra investigación, Becerra (2010) reporta en su trabajo de grado de maestría titulado
“Concepciones sobre Didáctica de las Matemáticas en Profesores de Educación Básica y Media”
un estudio donde se describen las formas en las que conciben las matemáticas en general y las
matemáticas escolares profesores en ejercicio de un colegio de Bogotá, Colombia tomando como
instrumentos de recolección de información un cuestionario y una serie de entrevistas semi-
estructuradas. A manera de recomendación, el autor establece la importancia sobre el desarrollo
18
de futuras investigaciones que estén encaminadas a realizar aportes significativos frente a las
concepciones de los profesores con relación a la enseñanza de las matemáticas, ya que en
muchos casos solo se determinan cierto tipo de indagaciones frente a los objetos matemáticos o
las matemáticas en general, sin profundizar sobre las formas de concebir los procesos de
enseñanza y aprendizaje de los mismos.
Por otra parte, Zapata, Blanco & Camacho (2012) reportan un proceso investigativo llevado
acabo con estudiantes para profesores de matemáticas de la Universidad de Piura, en Perú frente
a sus concepciones sobre las matemáticas En éste reporte se retoma el cuestionario propuesto en
la investigación desarrollada por Camacho, Hernández y Socas (1995) para indagar las
concepciones de EPM sobre las matemáticas en general. En este estudio, al hacer la
comparación entre la investigación realizada en España y Perú, se concluye que no existen
diferencias importantes en las concepciones a pesar de los distintos contextos en los que se
realiza la formación de los profesores de matemáticas en ambos países.
En las investigaciones y trabajos expuestos anteriormente se puede identificar que predomina, a
nivel metodológico, el uso del cuestionario como estrategia para recolectar información sobre
las concepciones de profesores y/o EPM sobre las matemáticas y/o la didáctica de las
matemáticas. En la mayoría hay una preocupación común por identificar y describir
concepciones sobre las matemáticas más que identificar las concepciones sobre los procesos de
enseñanza y aprendizaje en el ámbito escolar. Éste hecho permite justificar la importancia de
desarrollar trabajos de indagación en torno al análisis, descripción y caracterización de la forma
en la que los EPM o los profesores en ejercicio conciben dichos procesos.
1.4.3. Enfoques en la investigación sobre la enseñanza de la proporcionalidad
Para el caso de la enseñanza de la proporcionalidad existe una gran cantidad de trabajos que
abordan éste tema de investigación. A continuación se presentan algunos referentes como
antecedentes que permiten justificar la propuesta de investigación sobre las concepciones de los
EPM frente a la enseñanza de la proporcionalidad sin desconocer que se puede encontrar otro
tipo de reportes al respecto.
Existen investigaciones como las presentadas por Ball, Even, Graeber, Tirosh, y Glover, Reys,
Simon, Wheeler, citadas por Valverde & Castro (2009) en torno a las dificultades que tienen los
19
estudiantes para profesor en cuanto al tratamiento y profundización sobre los objetos
matemáticos y didácticos propios en matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Ante
este objeto de reflexión didáctica, Valverde et al. (2009) establece la necesidad de tener una
consciencia clara frente a la relevancia que tiene el análisis de las actuaciones de los EPM en
cualquier tópico de las matemáticas. Para tal caso, la autora expresa la importancia que tiene
establecer una reflexión didáctica y pedagógica entorno a la proporcionalidad dado que es parte
relevante del currículo, tanto por su uso en la resolución de problemas de la vida cotidiana, como
por las relaciones que se pueden establecer con el desarrollo de otros objetos matemáticos
escolares.
Ahora bien, estudios recientes como los presentados por Obando, Vasco y Arboleda (2013)
donde se presenta un estado del arte en el que se encuentran algunas investigaciones recientes
sobre razón, proporción y proporcionalidad frente a la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas en la escuela.
En este sentido, el recorrido que proponen dichos autores a manera de revisión sobre las
investigaciones de esta temática se centra en tres aspectos: el aspecto cognitivo, el epistémico y
el semiótico antropológico. Dichos aspectos son tomados en cuenta como elementos en el
apartado destinado al marco teórico de la presente investigación.
Los aportes que se logran establecer a través del reporte anterior estan relacionados con la forma
en la que se han llevado acabo las investigaciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en
la escuela, pero llama la atención que en dicho proceso de revisión documental, no se establece
una aproximación a trabajos donde se aborde el tratamiento de dicho objeto matemático en la
formación de profesores. Lo que si es claro es que la forma en la que se conciba la enseñanza de
la proporcionalidad determina desicivamente la práctica profesional docente.
Ante tal caso, se han encontrado reportes de investigaciones realizadas por Guacaneme, Perry,
Escobar & Hernandez (2003) donde desarrollan un proyecto de formación de profesores de
matemáticas frente a la enseñanza de la proporcionalidad en Colombia. Se presentan detalles de
la tercera versión de una estrategia de desarrollo profesional, utilizada para involucrar a
profesores de matemáticas en una experiencia de aprendizaje y acción sobre su práctica que se
aleja de lo que es habitual en el quehacer docente y en la formación de maestros. Tal estrategia
20
compromete a los profesores en acciones tales como diseñar, planear, observar, analizar,
reportar, socializar, acciones que les permiten comprender mejor su práctica y reconceptualizar
su conocimiento matemático y didáctico. Los autores afirman que haber enfocado el trabajo en
un mismo tema matemático, como lo es la proporcionalidad, para todos los participantes ayudó a
sacar mejor provecho de la experiencia. Dentro de los resultados, se establece que es importante
generar espacios de reflexión sobre los procesos de diseño, gestión y evaluación de secuencias
de actividades frente a la proporcionalidad en los profesores en ejercicio, pero se afirma que ésta
fue solo una etapa inicial en el proceso de formación continua de profesores. Ante ello, se
estblece la pertinencia en que, desde los procesos de formacion inicial, sean objeto de estudio las
deferentes reflexiones que los EPM pueden establecer al diseñar, planear y evaluar una
determinada secuencia de actividade frente a la proporcionalidad.
1.5. Aspectos Metodológicos
1.5.1. Tipo de investigación
El presente trabajo se enmarca dentro de la investigación cualitativa. Es decir, se busca como lo
plantea Vasilachis (2006), indagar en contextos naturales, “intentando dar sentido o interpretar
los fenómenos en los términos del significado que las personas les otorgan” (p, 24). Ésta se
caracteriza porque:
• Su objetivo es la comprensión de los fenómenos sociales a profundidad con base en la
indagación de hechos.
• Describe e interpreta fenómenos educativos como parte de los fenómenos sociales.
• Intenta estudiar los sujetos como un todo e el contexto de su pasado y de las situaciones
en las que se hallan.
Desde la perspectiva de Vasilachis (2006), citando a Strauss y Corbin, los tres componentes
principales de éste tipo de investigación son: “Los datos…; los diferentes procedimientos
analíticos e interpretativos de estos datos para arribar a resultados o teorías; y, por último, los
informes escritos o verbales” (p. 29)
La investigación presenta una metodología enmarcada en un enfoque cualitativo encaminado
hacia la realización de un estudio descriptivo–interpretativo de las concepciones sobre la
21
enseñanza de la proporcionalidad a partir de un tipo de análisis cualitativo de acuerdo a las
herramientas comunes que presentan dos técnicas de investigación documental como el Análisis
Cualitativo de Contenido (ACC) y la Teoría Fundamentada en los Datos (TFD) propuestas por
Lurduy (2013).
Para ello se realiza una descripción de cada una de estas técnicas de investigación documental:
1.5.2. Análisis cualitativo de contenido
Inmerso en el enfoque de tipo cualitativo una de las técnicas de investigación documental es el
análisis cualitativo de contenido (ACC) según la posturas de Abela (2003) es entendido como
[…] una técnica de interpretación de textos, ya sean escritos, grabados, pintados, filmados,…,u otra forma diferente donde puedan existir toda clase de registros de datos, transcripción de entrevistas discursos, protocolos de observación, documentos, videos,…, el denominador común de todos estos materiales es su capacidad para albergar un contenido que leído e interpretado adecuadamente nos abre las puertas al conocimiento de diversos aspectos y fenómenos de la vida social. (p. 2)
Es a partir de ésta técnica que se pueden determinar indicadores, describir situaciones y hacer
inferencias asociadas con el propósito de la investigación. Por su parte Pérez (1994) plantea que
existen dos tipos de análisis de contenido: El primero está relacionado a lo que el sujeto
manifiesta sin realizar ningún tipo de suposición, denominado manifisesto; el segundo, donde el
investigador trata de inferir el significado implícito de la respuesta o del texto, denominado
como latente. De acuerdo a este tipo de clasificación, el análisis de contenido que se realiza en
éste proceso de investigación es el manifiesto a nivel semántico, ya que se empelan categorías
para codificar lo que los EPM expresan por escrito en sus unidades didáctica en la última
práctica dentro del proceso de formación inicial en el programa de la LEBEM.
1.5.3. Teoría fundamentada en los datos (TFD)
Es una metodología de análisis, unida a la recolección de datos, que utiliza un conjunto de
métodos, sistemáticamente aplicados, para generar una teoría inductiva sobre un área sustantiva.
El producto de investigación final constituye una formulación teórica, o un conjunto integrado
de hipótesis conceptuales, sobre el área substantiva que es objeto de estudio. (Glaser, citado por
22
Torre et al, s.f). Este tipo de técnica permite generar desde los datos categorías que se pueden
relacionar con la teoría y permite definir relaciones entre las mismas.
1.5.4. Fases y Etapas
A continuación se presentarán las diferentes fases que comprenden el desarrollo de la
investigación teniendo en cuenta los aspectos estipulados anteriormente:
Fase 1: Revisión teórica y selección de las unidades de análisis
Realización de una revisión documental acerca de la formación de docentes de matemáticas
sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad. La forma de registro de la
información se realizará a partir de las fichas bibliográficas y descriptivas desde la perspectiva
de Abela (2003).
Selección de las unidades de análisis de acuerdo a los siguientes criterios.
• Las unidades didácticas, realizadas por los estudiantes, que iniciaron sus estudios entre el
semestre 2009-1 y 2010-3, relacionadas con proporcionalidad en el espacio de formación
de la práctica intensiva.
Serán tenidas en cuenta las producciones finales (unidades didácticas) de los estudiantes del
programa de formación de docentes de matemáticas LEBEM de la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas que hayan tomado el espacio académico de formación “Práctica
intensiva” en el primer y segundo semestre de 2009, primer y segundo semestre de 2010. Se
seleccionaran todas las unidades didácticas que realicen su práctica intensiva con estudiantes de
la educación básica sobre la proporcionalidad.
• Los syllabus de los espacios de formación que hacen parte del documento de
Acreditación y Autoevaluación del proyecto curricular de LEBEM del año 2010. Serán
tenidos en cuenta los syllabus entregados como anexo.
Fase 2: Diseño de la estrategia para la recolección de la información en las unidades de
análisis seleccionadas
Construcción de categorías iniciales de análisis teniendo en cuenta la fase anterior.
23
• Revisión de las siguientes unidades de análisis desde la propuesta curricular LEBEM de
acuerdo a las categorías de análisis definidas.
o Unidades didácticas seleccionadas. Se elaborará una matriz con la información de las
expresiones que hagan referencia a la enseñanza de la proporcionalidad.
o Los syllabus de los espacios de formación que plantea el proyecto curricular de
LEBEM que hacen parte del documento de acreditación y autoevaluación del año
2010. Se elaborará una matriz de organización de la información sobre los elementos
de reflexión didáctica en torno a la enseñanza de la proporcionalidad.
o Las producciones de los EPM ya seleccionados. Se elaborará una matriz con la
información sobre las expresiones que hagan referencia a la enseñanza de la
proporcionalidad.
Fase 3: Análisis de la información.
De acuerdo a la organización de la información recolectada y con base en las categorías y sub-
categorías de análisis elaboradas, se realiza el respectivo análisis de los datos.
Fase 4: Elaboración de informe final
Conclusiones y reflexiones frente a los resultados encontrados y analizados dando respuesta a
los objetivos propuestos y elaboración de informe final.
Con la culminación a cabalidad de estas seis fases metodológicas se espera lograr responder a
los objetivos propuestos y generar aportes significativos a la pregunta de investigación
planteada, preguntas orientadoras y problema de investigación.
1.6. Delimitación del Estudio
Se plantea el estudio de las producciones escritas de los EPM pertenecientes al proyecto
curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas que participaron del
espacio de formación de práctica intensiva durante los semestres comprendidos entre 2013-1 y
2014-2.
24
Los criterios que permitieron focalizar el estudio en el programa LEBEM de la Universidad
Distrital fueron:
• Uno de los referentes públicos en la ciudad de Bogotá que más educadores ha formado.
• Carácter público.
• Acreditación de Alta Calidad de programa de formación otorgada inicialmente por cinco
años, en el año 2005, y renovada por siete años más, en el año 2011.
• Propuesta educativa concebida como proyecto de investigación innovador frente a la
formación inicial de profesores de matemáticas escolares para población infante y juvenil
(Aguilar, 2005). Está sustentada por cuatro núcleos problémicos entendidos como “El
conjunto de conocimientos afines que posibiliten definir líneas de investigación en torno
al objeto de transformación, estrategias metodológicas que garanticen la relación teoría -
práctica y actividades de participación comunitaria” (López, citado en Documento Re-
acreditación y Autoevaluación, 2010, p. 8). Estos núcleos se justifican desde los procesos
administrativos curricularmente en cuatro ejes de formación: El eje de problemas y
pensamiento matemático avanzado, eje de didáctica de las matemáticas, eje de práctica y
el eje de contextos profesionales.
Los criterios que permitieron focalizar el estudio en el espacio de formación de práctica
intensiva fueron:
• El eje articulador de todo el proceso de formación está centrado en la práctica docente.
En ella se propende por la contribución al desarrollo del CDC de los EPM en contextos
de aprender a enseñar matemáticas para la educación básica en forma de conocimiento
práctico y razonamiento pedagógico. Así mismo, apoya la construcción de un modelo de
profesor reflexivo y crítico de su práctica docente y, desde lo que se declara en el
Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010), contribuye a la transformación
de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática
a partir de la integración que se hace en la práctica docente de los distintos saberes
pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del profesor de
matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e
investigación en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de
enseñanza.
25
• La aproximación teórica argumentada por Ruiz (1994) y Pajares (1992) frente a la
conceptualización de concepciones. En éste caso, son descritas como uno de los
elementos que caracterizan y conforman, según Bolívar (2005), el CDC; a su vez, son
consideradas como un plano organizador de conceptos y condicionan la forma en que se
abordan las tareas, son esencialmente de tipo cognitivo y no son estáticas sino que se
movilizan (MESCUD, 2002) o transforman a medida que el sujeto aprende y/o adquiere
conocimiento.
• Según Artigue, El Bouazoui y Vergnaud, citados por Flores (1998), existen concepciones
de tipo subjetivo (ligadas al sistema de creencias de los sujetos) y de tipo epistemológico
(tipologías de conocimiento existente en un cierto período histórico, o circunscrito a los
syllabus de cierto nivel de enseñanza).
En este orden de ideas, el estudio de las producciones escritas como producto de todo un proceso
de reflexión teórica, didáctica y matemática por parte de los EPM permitirá un acercamiento a la
caracterización de las concepciones frente a la enseñanza de la proporcionalidad. No se
desconocen diferentes posibilidades de recolección de información para poder analizar las
concepciones, pero el estudio reduce sus alcances al reporte sobre las concepciones globales que
se pueden identificar y describir en las producciones escritas mencionadas anteriormente.
26
2 . REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS
2.1. Referentes Teóricos
2.1.1. El Conocimiento didáctico del Contenido
En el contexto de la formación inicial de profesores de matemáticas, existen diversas
investigaciones y reflexiones realizadas por Lupiañez (2009), Gómez (2007), Llinares (2004,
2007), Godino (2009), Flores (1998), Flores, Moreno y Sánchez (2006), Shulman (2001), entre
otros, que destacan la importancia sobre el desarrollo de trabajos sobre el conocimiento
profesional que debe tener el profesor de matemáticas. Ruiz (2010) afirma que “La formación de
profesores de Matemáticas es un tema central dentro de la comunidad de la Educación
Matemática” (p.2).
Uno de los autores mayormente citado y analizado en el campo de la formación de profesores y
del conocimiento profesional del profesor es Lee Shulman. El proyecto de investigación
realizado por Shulman (1986) pretendía desarrollar un marco teórico que permitiera explicar y
describir los componentes del “conocimiento base” de la enseñanza, entre los cuales destaca: El
conocimiento del contenido, conocimiento pedagógico, conocimiento del curriculum,
conocimiento de los alumnos y el aprendizaje, conocimiento del contexto de enseñanza y el
conocimiento didáctico del contenido (CDC). Dentro del reporte, se realiza una caracterización
sobre el PCK (Pedagogical Content Knowlege) el llamado “conocimiento didáctico del
contenido” (CDC) aceptado en algunos casos como la traducción del término.
27
Al respecto, Marcelo, citado por Valbuena (2007), plantean que el CDC “se configura como una
de las contribuciones más poderosas y actuales de la investigación didáctica para la formación
del profesorado” (p.34). En este sentido, como lo señalan Marks (1989) y Shulman (1986), es
necesario desarrollar más investigaciones sobre los diferentes componentes, categorías,
características, dimensiones e indicadores del CDC para seguir generando un cuerpo de
conocimientos que fundamente y oriente la formación inicial y permanente de los docentes de
matemáticas.
Shulman (1986) caracterizó el CDC en tres aspectos: la comprensión de los aspectos que
facilitan el aprendizaje del contenido de un tópico específico; el conocimiento de las
concepciones de los alumnos de diversas edades y procedencia acerca de un contenido particular;
y la utilización de estratégicas por parte del profesor “analogías, ejemplos, explicaciones,
demostraciones, es decir, formas de representación y formulación para facilitar el aprendizaje de
un contenido” (1986, p. 9)
En éste sentido, Marks (1989) y Grossman (1990), determina cuatro componentes que
caracterizan al CDC partiendo de las ideas expuestas por Shulman (1986):
1) conocimiento de la comprensión de los alumnos: modo cómo los alumnos comprenden un tópico disciplinar, sus posibles malentendidos y grado de dificultad; 2) Conocimiento de los materiales curriculares y medios de enseñanza en relación con los contenidos y alumnos; 3) Estrategias didácticas y procesos instructivos: representaciones para la enseñanza de tópicos particulares y posibles actividades/tareas; y 4) Conocimiento de los propósitos o fines de la enseñanza de la materia: concepciones de lo que significa enseñar un determinado tema (ideas relevantes, prerrequisitos, justificación, etc.) (p. 7)
Dichos componentes se originan, según Grossman (1990), a partir de los preconceptos sobre el
conocimiento que tiene el profesor a través de su experiencia en la enseñanza de un determinado
contenido, aspecto que genera resistencia en una formación posterior del profesor. Otra fuente de
origen es el manejo disciplinar que tiene el profesor, especialmente válido para los profesores
que se encuentran en ejercicio. Finalmente, otras fuentes donde emerge este tipo de componentes
están asociadas a la formación inicial del profesor, aspecto que compete directamente a la
presente investigación, ya que es en esta primera etapa de formación donde los estudiantes
construyen este tipo de conocimiento, bajo el seno de un programa de formación determinado.
28
Por su parte, Bolívar (2005) caracteriza al CDC partiendo de la idea de interrelación existente
entre los siete tipos de conocimiento mencionados anteriormente, ya que no se debe interpretar
como un listado de tipos de conocimiento que se deben desarrollar; por el contrario, se
establecen como todo un conjunto de relaciones entre los siete tipos de conocimiento. Al
interpretar a Shulman, afirma que este tipo de conocimiento se construye con y sobre el
conocimiento del contenido, conocimiento pedagógico general y conocimiento de los alumnos,
éste último, a través de sus concepciones sobre los procesos de enseñanza, procesos de
aprendizaje y formas de concebir los objetos matemáticos.
Al continuar profundizando sobre los componentes y estructuración del CDC, hay contribuciones
frente a las formas en las que se pueden interrelacionar los diferentes tipos de conocimiento
profesional del profesor en la formación inicial y permanente, como en el caso de la contribución
teórica realizada por Magnusson, Krajcik y Borko (1999) donde se argumenta que es necesario
trabajar en la formación y desarrollo de un conocimiento que le permita al profesor transformar e
integrar diferentes tipos de conocimiento con el fin de abordar de forma adecuada aspectos
asociados a las dificultades en el aprendizaje de los alumnos, las formas de evaluar, la
planificación y organización curricular de actividades de enseñanza, entre otros.
Magnusson et al. (1999) identifica cinco dominios del CDC entre los que se encuentran: Las
orientaciones de la enseñanza del contenido, el conocimiento curricular que debe desarrollar el
profesor, el conocimiento de la evaluación y de las estratégicas metodológicas para la enseñanza.
Finalmente, llama la atención que para los autores no solo es necesario conocer las ideas de los
alumnos sobre un tema en particular, sino además es necesario profundizar acerca de las
dificultades en el aprendizaje y proponer alternativas de solución.
En este mismo sentido, Mellado (1998) realiza una aproximación a la definición del CDC como
conocimiento que es desarrollado únicamente por los profesores sobre la forma en la que se
enseña un determinado objeto matemático. Según el autor, el CDC se desarrolla a partir de la
relación entre el conocimiento de la materia y el conocimiento pedagógico con el fin de que el
profesor diseñe diversas formas de representación que sean comprensibles para los estudiantes.
Para tal caso, determina dos componentes del CDC: Dinámicos (surgen y evolucionan a parir de
concepciones y creencias, conocimientos y actitudes del profesor a partir de la experiencia) y
29
estáticos (contenidos teóricos aprendidos sobre las matemáticas, las didácticas específicas y la
psicopedagogía).
La investigación reportada por Climent (2002) realiza una acercamiento a la categorización del
CDC en profesores de matemáticas y genera aportes sobre la distinción clara respecto al
conocimiento disciplinar “de” y “sobre” las matemáticas. Al respecto, la autora establece dos
categorías fundamentales para la caracterización del CDC: El conocimiento didáctico del
contenido respecto a la enseñanza (CDC-E) y el conocimiento didáctico respecto al aprendizaje
(CDC-A). En el conocimiento relativo al aprendizaje y la enseñanza de los contenidos
matemáticos se debe incluir el conocimiento de modos de representación más adecuados para
facilitar su comprensión y el conocimiento de las características del aprendizaje de los
contenidos. La autora termina concluyendo sobre la importancia que se debe dar al conocimiento
sobre el contenido ya que, desde el trabajo abordado y reportado, es necesario trabajar en el
desarrollo de las concepciones particulares sobre los contenidos dado que estas permean en gran
medida el desarrollo del CDC sobre la enseñanza y sobre el aprendizaje.
Por su parte, Lurduy (2012, 2013) introduce el término de conocimiento de contenido didáctico
(CCD). Este tipo de conocimiento es entendido como aquel que permite la conceptualización de
los objetos de tipo didáctico dando cuenta de las relaciones de complejidad presentes en lo que
denomina “sistema didáctico” (profesor, estudiante, saber y entorno) y meta-didáctico que se
desarrollan en la formación de EPM y dan cuenta de los procesos de enseñanza relativos a la
profesión ser profesor. Una contribución importante al trabajo de investigación se asocia a la
importancia y relevancia que se le da a la práctica docente como centro de interés y análisis del
CCD y la definición de los procesos-objetos didácticos invariantes en ella como lo son el diseño,
la gestión y la evaluación.
La presente investigación, si bien considera la existencia de objetos en el ámbito matemático,
también se encuentran objetos en el ámbito didáctico pero éstos se abordarán desde la
perspectiva de Llinares (2000) como procesos, actividades en las fases que hacen parte de la
práctica del profesor como lo son el diseño (en la fase pre-activa) la gestión (en la fase
interactiva) y la evaluación (en la fase pos-activa).
Al presentar algunas aproximaciones teóricas frente a la definición y componentes del CDC, se
30
llega a las siguientes conclusiones: Primero, el desarrollo del CDC se da en profesores
experimentados que tienen un bagaje profesional; segundo, el desarrollo de dicho conocimiento
se puede originar en EPM a partir del proceso de formación inicial, aspecto en el que se centra la
presente investigación. Tercero, el CDC le da identidad a la labor profesional de educar, pues es
un tipo de conocimiento propio de la profesión y permite diferenciar la labor de otros
profesionales de la del educador matemático. Cuarto, el CDC involucra la reflexión permanente
sobre el diseño, la gestión y la evaluación en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas pues es un tipo de conocimiento que se dinamiza a través de la práctica, la reflexión
y la transformación. Como última conclusión, las concepciones de los EPM y/o profesores en
ejercicio son un aspecto que permite estudiar el origen y el desarrollo de dicho tipo de
conocimiento; postura que comparten Climent (2002), Bolívar (2005), Grossman (1990) entre
otros.
Por lo tanto, como lo plantean Pinto y González (2008), para estudiar el CDC es necesario
trabajar sobre las “fuentes de información como creencias y concepciones de los profesores, la
reflexión de la acción…” (p.94) aspectos que son tenidos en cuenta en el desarrollo del presente
trabajo.
Finalmente, las concepciones son un referente conceptual y teórico que define en gran parte el
CDC de los EPM, base para la conformación de marcos organizacionales de conceptos respecto
a cuatro aspectos importantes que derivan de su constitución. Finalmente, las concepciones son
un referente conceptual y teórico que define en gran parte el CDC de los EPM y se constituyen
en la base fundamental en el marco conceptual de actuación, reflexión y transformación de la
práctica como profesor de matemáticas entorno a los siguientes aspectos:
• En primer lugar, respecto a las formas en las que se conciben los procesos de
enseñanza de un determinado objeto matemático, teniendo presentes los estudios de
Bolívar (2005), Grossman (1990) Marks (1989) y Climent (2002)
• En segundo lugar, las formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje, ideas
que los profesores en formación contemplan frente a las posibilidades de acción y
expresión que podrían tener los estudiantes en el aprendizaje acerca de un objeto
matemático, posibles dificultades y formas de tratamiento de las mismas en el aula.
31
Haciendo alusión a las investigaciones realizadas por Climent (2002) y Magnusson et al.
(1999).
• En tercer lugar, las situaciones, problemas, ejercicios y/o ambientes que dispone el
EPM con el fin de llevar acabo una práctica de enseñanza alrededor de un objeto
matemático según una perspectiva teórica y/o didáctica. Desde las ideas que desarrolla
Shulman (2001) y Bolívar (2005).
• En cuarto lugar, los referentes teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares,
desde los cuales el EPM argumenta su posicionamiento frente a las tres anteriores
formas de concebir los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula. Desde las ideas
desarrolladas por Bolívar (2005), Mellado (1998) y Grossman (1990).
Estas categorías se constituyen como referente fundamental para el estudio de las concepciones
de los EPM cuando enseñan la proporcionalidad.
2.1.2. Aproximación teórica al concepto de concepciones
Al hacer alusión a concepciones en la formación de profesores, se destacan las investigaciones
realizadas Thompson (1992), Blanco, Camacho & Zapata (2012), Pino (2013), Ruíz (1994),
Vergnaud (1990) entre otros; en las que se manifiesta una preocupación común asociada a las
concepciones y sistemas de creencias que poseen y/o desarrollan los EPM a lo largo de su
proceso de formación inicial. Éste aspecto constituye un elemento de gran importancia frente al
análisis del CDC, desde las ideas expuestas por Grossman (1990) y Bolívar (1993, 2005), dado
que según las formas en las que el estudiante para profesor conciba los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, así mismo se reflejará dicha concepción en su práctica
profesional.
Con el fin de lograr esclarecer las diferencias entre concepción y creencias, varios autores
coinciden en afirmar que al hablar de concepciones implícitamente se está haciendo referencia a
un sistema de creencias de los sujetos, postura que comparte Pino (2013), D’Amore y Fandiño
(2004). Por su parte Flores (1998) afirma que aunque varios autores como Ruíz, Ponte, Sfard y
otros han tratado de hallar las diferencias terminológicas y epistemológicas, aun no es posible
clarificar dichas diferencias. En las investigaciones anglosajonas, la palabra “beliefs” hace
alusión a creencias y concepciones, tomándolas como sinónimos, mientras que en las
32
investigaciones de corte español y latinoamericano si se hace la distinción. Al respecto Ponte
estipula que:
Creencias son las "verdades" personales indiscutibles llevadas por cada uno, derivadas de la experiencia o de la fantasía, teniendo una fuerte componente evaluativa y afectiva (Pajares 1992). Concepciones son los marcos organizadores implícitos de conceptos, con una naturaleza esencialmente cognitiva. Ambos, creencias y concepciones forman parte del conocimiento. (Ponte, 1994, pp. 199)
Ponte (1994) permite determinar el interés por el estudio de las concepciones en la aceptación de
que, como un substrato conceptual, ellas juegan un papel esencial en el pensamiento y la acción.
En vez de referirse a conceptos específicos, constituyen una forma de ver el mundo y organizar
el pensamiento. Sin embargo, no pueden ser reducidas a los aspectos más inmediatamente
observables de conducta y no se revelan fácilmente.
Con el fin de realizar una caracterización sobre los elementos y/o componentes que se pueden
estudiar en las concepciones, Ruiz presenta tres aspectos importantes al respecto:
• Los invariantes que el sujeto reconoce como notas esenciales que determinan el objeto;
• El conjunto de representaciones simbólicas que le asocia y utiliza para resolver las situaciones y problemas ligados al concepto;
• El conjunto de situaciones, problemas, etc. que el sujeto asocia al objeto, es decir para las cuales encuentra apropiado su uso como herramienta. (Ruiz, 1994, p. 72)
Azcárate, García y Moreno (2006) realizan un trabajo de investigación sobre las concepciones
afirmando que están vinculadas a la estructura que cada profesor de matemáticas da a sus
conocimientos y juegan un papel fundamental en la enseñanza y el aprendizaje. Así mismo, los
autores destacan algunas características como son: forman parte del conocimiento, son producto
del entendimiento y actúan como filtros en la toma de decisiones e influyen en las formas de
razonamiento.
Por su parte, Bohórquez (2013) presenta a manera de comunicación breve un reporte sobre el
estudio de concepciones de EPM de la Universidad Distrital sobre la resolución de problemas. Al
respecto, realiza una revisión conceptual sobre algunas de las investigaciones evocadas hasta el
momento y plantea la identificación y caracterización de cambios en las concepciones de los
estudiantes para profesor sobre su gestión del proceso de enseñanza aprendizaje en un ambiente
33
de resolución de problemas. Al implementar un instrumento de recolección e información
propuesto por D’Amore y Fandiño (2004) Titulado “invitación a declarar sobre las concepciones
de la gestión en el aula” en un curso de didáctica de la variación al comenzar y al terminar dicho
curso, se pudo establecer que los resultados permiten evidenciar que los EPM tienen una idea de
gestión del profesor en un ambiente fundamentado en la resolución de problemas como aquella
en donde se debe orientar el proceso de aprendizaje, pero sin establecer de qué manera debe
hacerlo o cómo. Para tal caso, los EPM afirman que es necesario que se conozca plena y
conscientemente el objeto matemático en cuestión que se desea abordar a través de un ambiente
de resolución de problemas y el EPM debe ser mediador del proceso de aprendizaje a través de la
elaboración de preguntas conducentes al desarrollo del objeto en los estudiantes. Finalmente, en
el reporte no se logra evidenciar el cambio de concepciones de los EPM al finalizar el curso dado
que solamente se presenta una etapa inicial del proceso de análisis de la información.
Por otra parte, en la investigación realizada por Lurduy (2013) al interior del proyecto curricular
LEBEM se afirma que las concepciones y creencias sobre el profesor, sobre su conocimiento de
las matemáticas y sobre su conocimiento profesional, “…caracterizan en gran medida la
actuación como docente de los estudiantes para profesor.” (p. 32). Así mismo, define unos tipos
de prácticas sobre objetos didácticos como los son: las prácticas discursivas, normativas y
evaluativas. Al describirlas, afirma que estos sistemas dinámicos dependen de las creencias,
percepciones, afectividades; actuaciones, funciones, relaciones; concepciones, saberes,
conocimientos.
En la revisión de antecedentes de su tesis doctoral, Flores (1998) hace un análisis de las
investigaciones realizadas por Pajares (1992), Ruíz (1994) y Thompson (1992) en las que se
hace alusión a dos dimensiones para situar las concepciones: En primera medida, diferencia las
concepciones subjetivas o cognitivas de las epistemológicas, y en segunda medida, las
concepciones locales de las globales. Las concepciones subjetivas según Ruíz, citado por Flores
(1998), “[…] se refieren al conocimiento y creencias de los sujetos… las concepciones
epistemológicas se refieren a tipologías de conocimiento existente en un cierto período histórico,
o circunscrito a los textos o syllabus de cierto nivel de enseñanza.” (p. 29). Al hacer referencia a
las concepciones locales y globales, se afirma que “Las concepciones globales describen
34
holísticamente las concepciones ligadas a un concepto u otro objeto, y las locales tienen en
cuenta aspectos parciales de los sistemas anteriores". (Ruiz, 1994, p. 45).
Esta revisión presentada hasta el momento permite situar este trabajo de investigación en el
campo del estudio, de uno de los elementos que hace parte y permite el desarrollo del CDC en la
formación inicial de los EPM, como son las concepciones no vistas desde una perspectiva de
sistema de creencias de tipo afectivo, actitudinal y emocional, como lo propone MCleod (1992),
sino desde la perspectiva que propone Ponte (1994) al definirlas como:“…los marcos
organizadores implícitos de conceptos, con una naturaleza esencialmente cognitiva.” (p. 199) y
que así mismo, forman un elemento fundamental para el desarrollo del conocimiento. Desde esta
perspectiva adquiere un sentido muy valioso los aportes que presenta Thompson (1992) y Flores
(1998) en cuanto a las ideas respecto a las concepciones de tipo local-subjetivo, las cuales
conforman los sistemas de creencias en los sujetos (Ponte, 1994) y las de tipo local-
epistemológico, las cuales hacen parte de los aspectos curriculares que se declaran en los
syllabus de formación e influyen directamente en las formas en las que los estudiantes para
profesor conciben los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
2.1.3. El sentido de la práctica al interior del proyecto curricular LEBEM
El proyecto curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas
(LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas (UD), en Bogotá Colombia; es un
programa de formación inicial de profesores de matemáticas con una duración de diez semestres
en modalidad presencial; cuenta con el reconocimiento de ser un programa Acreditado de alta
calidad en los años 2005 y 2011 (por seis años) otorgada por la Comisión Nacional de
Acreditación (CNA). Según el documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010)
elaborado por LEBEM, se asume como propósito fundamental la formación de profesores de
matemáticas que
[…] se desempeñen en la educación básica, a partir de la consideración del profesor como un profesional que investiga su práctica y que reflexiona sobre ella, aspecto que le permite contribuir a la formación de los niños, niñas y jóvenes en el marco del ingreso a una cultura matemática no segregacionista, que promueva un aula en que el hacer matemáticas reemplace las prácticas pedagógicas escolares predominantes, caracterizadas por un hacer repetitivo y sin sentido. (Documento de Re-acreditación y Autoevaluación,
35
2010, p. 5)
La propuesta curricular está sustentada por cuatro núcleos problémicos entendidos como “El
conjunto de conocimientos afines que posibiliten definir líneas de investigación en torno al
objeto de transformación, estrategias metodológicas que garanticen la relación teoría - práctica y
actividades de participación comunitaria” (López, citado en Documento Re-acreditación y
Autoevaluación, 2010, p. 8). Estos núcleos se justifican desde los procesos administrativos
curricularmente en cuatro ejes de formación: El eje de problemas y pensamiento matemático
avanzado, eje de didáctica de las matemáticas, eje de práctica docente y el eje de contextos
profesionales.
El eje de práctica docente, articula el proceso de formación en la que se propende por la
contribución al desarrollo del CDC de los EPM en contextos de aprender a enseñar matemáticas
para la educación básica en forma de conocimiento práctico y razonamiento pedagógico. Así
mismo, apoya la construcción de un modelo de profesor reflexivo y crítico de su práctica docente
y, desde lo que se declara en el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010),
contribuye a la transformación de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y
aprendizaje de la matemática a partir de la integración que se hace en la práctica docente de los
distintos saberes pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del
profesor de matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e
investigación en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de enseñanza. De
esta forma, se pone en manifiesto que es en la práctica educativa donde convergen los diferentes
ejes de formación en la puesta en escena y análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de
un determinado objeto matemático, elementos de reflexión teórica que han sugerido
constantemente diversos autores como Llinares (2000), Guerrero, Lurduy y Sánchez (2009),
Escudero & Sánchez (1999), Lurduy (2013), entre otros.
En concordancia con lo planteado en los principios orientadores al interior del proyecto
curricular LEBEM, los espacios de formación del eje de práctica docente, parten de un proceso
práctico y formativo inicial, de primero a cuarto semestre, luego se realizan las prácticas
intermedias desde cuarto hasta octavo semestre (cuyos énfasis son respectivamente el diseño y
planeación, recursos didácticos, gestión en el aula, evaluación y referentes curriculares) y una
práctica docente estipulada como intensiva en noveno semestre en la que se evidencia la puesta
36
en escena de todos los aspectos aprendidos y profundizados en las prácticas anteriores. Todo el
conjunto de prácticas dirigen sus secuencias de actividades a niños, niñas y jóvenes de la
educación básica en colegios públicos de Bogotá. Al respecto Lurduy (2014) afirma que al
interior del proyecto LEBEM se interpreta
[…] la formación de profesores de matemáticas como el sistema de creencias, acciones, conceptualizaciones y sus relaciones sobre la naturaleza de la escolarización, la educación, la pedagogía, las didácticas (generales, regionales y locales), que conforman prácticas específicas de configuración, identidad y valoración, como profesores de matemáticas para los diferentes niveles de la educación y en relación con los procesos de estudio didáctico-matemático (p. 15).
De acuerdo con Lurduy (2009; 2012), la práctica docente se concibe como el proceso en que
interviene un sistemas de actividades didácticas, una reflexión sobre ellas y el compromiso por la
apropiación y transformación de las prácticas realizadas; la resolución de problemas abordados
con los objetos didácticos, matemáticos escolares, y la descripción y reflexión de las
implicaciones tanto personales como colectivas de los procesos de enseñanza. De este modo, la
práctica docente adquiere una importancia fundamental en la formación de capacidades,
destrezas, habilidades, saberes didácticos y pedagógicos, en términos de los conocimientos,
acciones y hábitos apropiados por los EPM. Así mismo,
[…] se entiende como el contexto en que se pone en juego la profesionalización, la investigación y la formación, que se aborda frente a diversos temas matemáticos, didácticos, sociales, políticos, pedagógicos, y que es direccionada a la infancia y la juventud niños y niñas entre 5 a 16 años de edad. (p. 61)
Como resultado del proceso llevado acabo en cada uno de las prácticas, los EPM generan un
documento titulado como “Unidad Didáctica” en el que se da cuenta de todo el proceso de diseño
de secuencias de actividades, gestión de las mismas y sistematización de lo ocurrido a través de
protocolos y reflexiones sobre el proceso de evaluación formativo, constante y sumativo llevado
acabo a lo largo del proceso (Lurduy, 2013). En dicho informe final se presentan, los problemas
derivados de la implementación de actividades, las soluciones dadas y sus significados
construidos para/en/sobre la acción. Es decir una Unidad es:
[…] un modelo de informe del diseño, gestión y evaluación de la secuencia de actividades llevada a cabo en los espacios de la práctica docente en los grados de 0 a 9o y
37
en los que están implicados infantes y jóvenes de la educación básica. Es el resultado de la intervención didáctica que los EPM registrarán en el diseño de instrumentos y evidencias de la gestión de la clase y del trabajo de los alumnos, que posteriormente se analizan y evalúan. (Lurduy, 2013, p. 62)
De esta manera, la guía del profesor estipulada en el diseño de las secuencias de actividades, los
protocolos de gestión de la clase y las reflexiones pedagógicas son un elemento constitutivo de la
unidad didáctica.
Finalmente, el último espacio de formación del eje de práctica tipificado como la práctica
intensiva reúne todos los elementos abordados y profundizados en las prácticas anteriores
(diseño y planeación, recursos didácticos, gestión en el aula, evaluación y referentes curriculares)
y posibilita el proceso de recolección de información frente a las propuestas de trabajos de grado
que los EPM abordan como proceso final de formación.
Del mismo modo, según Lurduy, Guerrero y Sánchez (2009) la práctica intensiva constituye el
cierre del proceso de reflexión al interior de los demás espacios de formación y pone en juego los
conocimientos disciplinares, curriculares, didácticos y pedagógicos abordados a lo largo de todo
el proceso de formación inicial por medio de la resolución de problemas estipulada como
herramienta metodológica al interior del proyecto LEBEM. De este modo el proceso de
indagación sobre las concepciones locales-subjetivas que poseen los EPM sobre la enseñanza de
la proporcionalidad evidenciada en las Unidades Didácticas del último semestre de práctica que
ofrece el programa de formación permite determinar. Es por estas razones que hay una
pertinencia clara y definida frente al análisis de las expresiones escritas que los EPM realizan en
las unidades didácticas sobre la enseñanza de la proporcionalidad al interior del espacio de
formación de la práctica intensiva, dado que se fundamenta como un punto de partida para la
identificación, descripción y caracterización de las concepciones subjetivas (desde la perspectiva
de Ruíz, 1994) por parte de los EPM.
Conforme a lo anteriormente mencionado, se evidencia una concepción local-epistemológica
(desde la perspectiva de Ruíz, 1994) innovadora con relación a la manera en la que se desarrollan
los procesos de formación inicial de profesores partiendo de las formas de concebir las
matemáticas, sus procesos de enseñanza y aprendizaje, la práctica docente profesional y la
reflexión sobre el ser profesor como profesional de la educación. Llama la atención la
38
importancia constante que, desde lo declarado, se le da a la transformación de las concepciones
de los EPM en su proceso de formación, aspecto importante en el proceso de indagación sobre
las concepciones que los EPM expresan sobre la enseñanza de la proporcionalidad.
2.1.4. La proporcionalidad como objeto de enseñanza
El presente apartado expone un acercamiento a los planteamientos teóricos que fundamentan y
caracterizan el presente trabajo de investigación en torno a la enseñanza de la proporcionalidad
en dos sentidos: respecto al estudio del objeto proporcionalidad en la enseñanza de las
matemáticas escolares y en la formación de profesores de matemáticas.
Estudios recientes como los presentados por Obando, Vasco & Arboleda (2014) establecen un
estado del arte donde se revisan y comentan algunas investigaciones recientes sobre razón,
proporción y proporcionalidad frente a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la
escuela. Al respecto afirman que
A pesar de los importantes avances logrados en la investigación en didáctica de las matemáticas (caracterizaciones finas de los problemas cognitivos y didácticos) aún no se logran consolidar propuestas que modifiquen la forma como las razones, proporciones y la proporcionalidad se abordan en los contextos escolares (p. 61).
En este sentido, el recorrido que proponen dichos autores a manera de revisión sobre las
investigaciones alrededor de esta temática se han centrado desde tres aspectos particularmente: el
aspecto cognitivo, epistémico y semiótico antropológico.
En el aspecto cognitivo, los trabajos iniciales se centraron sobre la idea del desarrollo del
pensamiento entorno a la proporcionalidad, entendiéndose como razonamiento proporcional
(Piaget & Inhelder, citados por Obando et al., 2014). Este tipo de trabajos e investigaciones
iniciales se fundamentaron sobre las ideas desarrolladas por Piaget frente a la proporcionalidad
como elemento que determina el paso de las operaciones concretas a las formales en los
individuos en dos sentidos: El primero como aspecto lógico, donde la proporcionalidad es
entendida como un esquema en el que se establecen relaciones entre relaciones, aspecto que
implica una lógica de segundo orden. El segundo a nivel matemático, la comprensión de la
proporcionalidad establece un conjunto de compensaciones cuantitativas que asumen una forma
39
de esquemas proposicionales de equivalencia que permiten garantizar, según Obando et al.
(2014), que el proceso de variación se conserve invariante entre cociente o producto.
De esta manera, sobre las bases anteriormente mencionadas, se empieza un desarrollo
investigativo alrededor de la forma en que se deben enseñar las razones, proporciones y
proporcionalidad en la escuela. Al respecto Obando et al. (2014) cita investigaciones como las
desarrolladas por Karplus, Pulos, & Stage; Noelting; Pulos & Tourniaire; Tourniaire, entre otros;
donde se privilegian estrategias para el desarrollo del razonamiento proporcional, los tipos de
situaciones que implican dicho tipo de razonamiento, las variables de tarea centradas en las
acciones de los estudiantes y/o las situaciones a usar en su enseñanza. Según Obando et al.
(2014) estas investigaciones permitieron identificar elementos importantes para comprender los
procesos de enseñanza y aprendizaje en la escuela pero no realizaron un cuestionamiento sobre el
conocimiento matemático que se enseña.
En cuanto al aspecto epistémico, Obando et al. (2014) establece que, durante los años 90, las
investigaciones frente al razonamiento proporcional empiezan a considerar otras de tipo
epistémico relativas a la estructura, organización y naturaleza del conocimiento matemático, en
este caso frente a la proporcionalidad. Según los autores, los aportes en este periodo se
caracterizaron por el estudio de los procesos cognitivos que están presentes en el aprendizaje de
los números racionales (Behr, Harel, & Post; Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh; Kieren;
Ohlsson, citados por Obando et al., 2014), el razonamiento proporcional en los procesos de
aprendizaje en niños de edad escolar (Confrey & Smith; Harel, Behr, Lesh, & Post; Hart;
Lamon; Schliemann, Carraher, & Brizuela; Steffe, citados por Obando et al., 2014), la aritmética
de cantidades (Schwartz, citado por Obando et al., 2014), la estructura cognitiva, didáctica del
pensamiento multiplicativo (Kaput & West; Spinillo & Bryant, citados por Obando et al., 2014)
y el campo conceptual de estudio sobre las estructuras multiplicativas (Vergnaud, citado por
Obando et al., 2014).
Uno de los aportes significativos en este segundo aspecto mencionado en el estado del arte
presentado por Obando et al. (2014) está relacionado con la precisión que se logra a través de
éste tipo de investigaciones frente al paso de la comprensión del razonamiento proporcional
“[…] como la habilidad para utilizar significativamente conceptos propios de las razones y las
40
proporciones en la solución de situaciones típicas de proporcionalidad directa a definir aspectos
cognitivos y metacognitivos implicados en este tipo de razonamiento” (p. 68)
Frente al aspecto semiótico antropológico, los autores hacen alusión a la primera mitad de la
década de los años novena como tiempo en el que se destacan dos tipos de enfoques teóricos que
proporcionan nuevas formas de abordar la investigación en didáctica de las matemáticas. Se
destaca el enfoque titulado “Teoría Antropológica de lo Didáctico” (TAD) en el que las razones,
proporciones, proporcionalidad y los números racionales se comprenden en términos de
organizaciones matemáticas complejas, aspectos propios de la teoría, las cuales están definidas
por tipos de situaciones, prácticas matemáticas, técnicas, tecnologías y teorías que estructuradas
alrededor de praxeologías. Obando et al. (2014) mencionan investigaciones realizadas por Bosch,
García y Hersant frente a la proporcionalidad dentro de la TAD.
Al respecto, los trabajos de Bosch y García, citados por Obando et al. (2014), hacen alusión a
dos elementos que desencadenan algunas problemáticas causantes de dificultades en estudiantes
de la básica frente a la comprensión de la proporcionalidad: por una parte se encuentra la
homogenidad de las propuestas para su enseñanza, centrándose en el estudio netamente numérico
y separándola de las relaciones funcionales y otras área curriculares; por otra parte se han
realizado estudios frente a la acción de los sujetos alrededor de la proporcionalidad inversa,
compuesta y directa pero no se integran estudios globales con mayor coherencia teórica, es decir,
se consideran como elementos aislados con un bajo nivel de algebrización.
Investigaciones realizadas por Hersent, citado por Obando et al. (2014) determinan dos tipos de
teorías que han permitido hacer un acercamiento a las razones, proporciones y la
proporcionalidad: Una permite describir la proporcionalidad en términos de razones y
proporciones y la otra en términos de funciones lineales. Para tal caso se evidencia una crítica
por parte de esta autora frente al hecho de que los modelos de aproximación a este objeto en la
escuela sean más aritméticos que algebraicos. Aquí es donde cobra sentido a idea de las
representaciones semióticas pues, según Hersent, se deben propiciar espacios de aprendizaje
donde se establezcan diferentes tipos de situaciones físico-empíricas a partir de marcos de
representaciones diversos (gráficos y notacionales) con el fin de que los estudiantes doten
sentido al objeto en cuestión.
41
Finalmente, Obando, et al. (2014) presenta a manera de conclusiones la importancia que debe
tener el estudios de las diferentes rupturas entre el desarrollo de la estructura aditiva y la
multiplicativa dado que “esta complejidad se evidencia en la diversidad de marcos conceptuales
elaborados para intentar comprender los conceptos, las situaciones y los procedimientos…, y en
la falta de orientaciones claras a los docentes para su acción en el aula.” (p. 72)
Por otra parte, se destacan las investigaciones realizadas por Valverde & Castro (2008, 2009,
2013), frente al empleo del análisis didáctico en un experimento de enseñanza con futuros
maestros de educación primaria, donde se establecen los conocimientos puestos en juego durante
la enseñanza de la proporcionalidad en estudiantes para profesor de primaria de la Universidad
de Costa Rica.
Al respecto, Valverde & Castro (2013) destacan la necesidad de analizar los procesos didácticos
que se generan al interior de los syllabus de formación con relación a la proporcionalidad, dado
que, este es un objeto matemático que se aborda en muchos espacios de la escuela primaria y se
establece como un punto de referencia para el desarrollo de otro tipo de objetos matemáticos
como las relaciones funcionales directas, co-variaciones, entre otros.
Existen investigaciones como las expuestas por Ball, Even, Graeber, Tirosh, y Glover, Reys,
Simon, Wheeler, citadas por Valverde et al. (2009) en torno a las dificultades que tienen los
EPM en cuanto al tratamiento y profundización sobre los objetos matemáticos y didácticos
propios en matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Ante este objeto de reflexión
didáctica, las autoras establecen la necesidad de tener una consciencia clara frente a la relevancia
que tiene el análisis de las actuaciones de los EPM en cualquier tópico de las matemáticas.
Para tal caso, Valverde et al. (2008) expresa la importancia que tiene establecer una reflexión
didáctica y pedagógica sobre la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad en el contexto
escolar, dado que es importante dentro del currículo de matemáticas, puesto que permite, la
resolución de problemas de la vida cotidiana y la construcción y desarrollo de otros objetos
matemáticos escolares. Por ende, se considera que este tipo de análisis debe ser aspecto
fundamental dentro de los procesos de formación inicial de los EPM de matemáticas.
Del mismo modo, las investigaciones realizadas por el grupo MESCUD (2005) sobre las rutas de
42
estudio y aprendizaje de las matemáticas, muestran la relación directa entre el desarrollo de la
estructura multiplicativa y el razonamiento proporcional. Al respecto, tomando como referente la
teoría de los campos conceptuales desarrollada por Vergnaud (1994), se construye y analiza una
ruta de estudio para el desarrollo de al estructura multiplicativa en estudiantes de grado séptimo
de la educación básica del Distrito Capital, cuyo motivo fundamental de análisis fueron las
interacciones entre estudiantes y docentes a propósito de las prácticas pedagógicas como
espacios dinámicos donde se llevan acabo los procesos de enseñanza y aprendizaje. Un aspecto
importante que permite nutrir el referente teórico del presente estudio está asociado con la
reflexión sobre la práctica pedagógica y didáctica al desarrollar secuencias de actividades sobre
la proporcionalidad.
De forma complementaria al estudio, el proyecto curricular LEBEM ha realizado constantes
reflexiones frente a la coherencia, conexión y complejidad entre los ejes que fundamentan la
propuesta. Al respecto se encuentran algunas reflexiones del grupo de profesores del eje de
problemas y pensamiento matemático avanzado presentadas en el Encuentro Colombiano de
Matemática Educativa (2012) sobre la forma en la que se evidencian los tres aspectos
mencionados con relación a la medida y la proporción. Al respecto, Mancera, González &
Fonseca (2012) establecen como fin fundamental del proceso de reflexión sobre la relación de
horizontalidad del eje
[…] hacer evidente las diferentes relaciones entre los espacios de formación y la progresión de los mismos a partir de los conceptos de proporcionalidad y medida, que permiten no sólo ver la relación entre los propósitos de cada espacio de formación con los del eje, sino también ver reflejados estos propósitos en acciones concretas que posibilitan el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes, a la vez que les permite reflexionar sobre la actividad matemática a través de la resolución de problemas. (p. 6)
Para tal caso, se establecen tres grandes conjuntos de espacios de formación con el fin de
analizar la forma en la que se conecta y se complejiza el desarrollo del objeto de estudio “la
medida” y “la proporcionalidad” en la formación de EPM a propósito de la correlación de los
propósitos de formación y las temáticas: Conjunto I, integrado por los EF de problemas
aritméticos I, problemas aritméticos II, problemas aritméticos III y problemas de álgebra
geométrica; Conjunto II, conformado por matemática del movimiento I, matemática del
movimiento II, matemática del movimiento III y taller de ciencias; Conjunto III: integrado por
43
problemas del continuo, problemas de aleatoriedad, extensiones numéricas y validez y modelos.
Con relación a las reflexiones que Mancera et al. (2012) presentan sobre cada conjunto de
espacios de formación, se contempla lo siguiente: En el conjunto I, según el grupo de profesores,
se apunta a consolidar algunas nociones, significados y representaciones que fundamentan la
construcción de la proporcionalidad y la elaboración de significados en torno a la medida. En el
Conjunto II se lleva a que los EPM reflexionen sobre la proporcionalidad y a la medida desde el
estudio complejo de la razón de cambio donde emergen las relaciones variacionales dándole
dinamicidad a los objetos y sus relaciones. En cuanto al conjunto III, la determinante está
asociada al tratamiento que se da al objeto “medida” y “proporción” desde su extrapolación
abstracta a otro tipo de objetos como es estudio de los espacios métricos, topológicos,
vectoriales, entre otros.
Desde la construcción, elaboración de estructuras, relaciones entre los mismos, formalización del
lenguaje presente se propende por el desarrollo del pensamiento avanzado a partir del conjunto
III, entendido como el pensamiento encargado de generalizar, demostrar, formalizar, aplicar y
modelar matemáticamente situaciones que conviven con elementos de un cierto grado de
abstracción, donde se estudian otro tipo de representaciones a las ya conocidas por los EPM,
cognitivamente hablando, que complejizan tanto el objeto matemático como su comprensión.
Finalmente, a manera de conclusión Mancera et al. (2012) afirman que los objetos matemáticos a
medida que se van abordando en los EF del eje se van robusteciendo gracias a la relación con
otros y a su fenomenología en distintos contextos, por ejemplo, el tratamiento del número ½, que
se puede ver como fracción, como número racional (clase de equivalencia), como expresión
equivalente a 50%, como la probabilidad de ocurrencia de un evento, como razón, como
operador escalar o funcional, como elemento geométrico, entre otros; y en cada representación se
requiere de otros elementos que lo van haciendo cada vez más complejo, como es el caso de la
medida y la proporción.
En cuanto a la reflexión al interior del proyecto LEBEM sobre la enseñanza de la
proporcionalidad, según el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010), a través del
los diferentes espacios de formación (EF) del eje de didáctica, los EPM realizan un acercamiento
al análisis de elementos, estrategias, dificultades, estudio de obstáculos epistemológicos y de tipo
44
didáctico frente a los objetos matemáticos que se han abordado desde el eje de problemas y
pensamiento matemático avanzado, de tal forma que la reflexión permanente sobre el quehacer
en el aula frente a los procesos de diseño, gestión y evaluación de actividades, secuencias y/o
tipos de problemas para el tratamiento de un determinado objeto, hace parte del propósito de
formación del eje en cuestión. Por ende, se esperará que los EPM implementen todo un
constructo de conocimientos pedagógicos, didácticos y matemáticos desarrollados,
comprendidos y reflexionados al interior de los diferentes espacios de formación de los ejes de
didáctica, problemas y pensamiento matemático avanzado y contextos profesionales en los
espacios articuladores e integradores de la práctica docente.
2.2. Referentes Metodológicos
La propuesta metodológica utiliza dos técnicas de investigación documental y de contenido
textual como son: el Análisis Cualitativo de Contenido (ACC) y Teoría Fundamentada en los
Datos (TFD). Combinadas y articuladas ellas permiten la identificación, descripción y
caracterización de las concepciones que tienen los EPM sobre la enseñanza de la
proporcionalidad.
Esta investigación realiza el estudio en la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en
Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Centra el estudio en
el análisis de: las producciones encontradas en las unidades didácticas que son elaboradas por los
EPM cuando cursaron el espacio de formación de práctica intensiva durante los semestres 2013-
1 y 2014-2; las producciones de los docentes de la LEBEM encontradas en los syllabus de los
espacios de formación (EF) cuando hacen referencia a la enseñanza de la proporcionalidad; y las
producciones orales de los profesores y los EPM que construyeron dichos documentos.
A continuación se realiza una descripción de los procesos que se llevarán a cabo relacionando las
técnicas de investigación documental nombradas anteriormente:
2.2.1. Identificación Organizativa de los textos
Para el estudio de los documentos se establece una relación entre las técnicas de Teoría
Fundamentada en los Datos y le Análisis Cualitativo de Contenido ya que a partir de una primera
lectura de los documentos recolectados se realiza una codificación abierta de unidades de
45
muestreo entendidas como “porciones de la realidad observada o de la secuencia de expresiones
de la lengua fuente, que se consideran independientes unas de otras” (Kripendorff, 1990, p. 82)
en las cuales se evidencia una estructura organizativa de los textos y se define por tanto la
existencia de información pertinente y suficiente para el desarrollo de la investigación.
Lo anterior permite definir las unidades de muestreo que corresponde, de acuerdo a los
planteamientos de Kripendorff (1990) y Abela (2003), al conjunto total de textos disponibles y
pertinentes para el proceso de investigación. Este proceso implica una lectura extensiva
(gramática-descriptiva del contenido de los textos) en la que es posible una identificación y
descripción primaria de la estructura organizativa de los textos, el hallazgo de planos de análisis,
niveles de rangos de expresión didáctica y rasgos comunes y la definición de los documentos
estudiados.
2.2.2. Identificación y descripción de expresiones escritas sobre la enseñanza de la
proporcionalidad en los textos
Para la identificación de los elementos asociados a expresiones explícitas que se puedan
encontrar en los textos que apunten a la descripción y caracterización de las concepciones de los
EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad, se realiza una focalización de la información a
partir de los procesos didácticos diseño, gestión y evaluación, como los aspectos esenciales en el
análisis de los documentos escogidos en la primera fase, para ello se plantea una codificación
axial de los textos.
En esta fase se definen unidades de registro entendidas como “partes de una unidad de muestreo
que es posible analizar de forma aislada. Son resultado de un trabajo descriptivo”. De éste modo,
resulta un subconjunto de unidades de análisis de la primera reducción de la información. Ellas
son descritas como referidas a la determinación de elementos focalizados y característicos del
contenido de los textos que están relacionados al contexto de la investigación: Unidades
didácticas de la práctica intensiva elaboradas entre los semestre 2013-1 y 2014-2 que abordan y/o
privilegian en su informe la enseñanza de la proporcionalidad y los syllabus de los espacios de
formación del proyecto curricular LEBEM que abordan el objeto proporcionalidad; determinadas
a través de una lectura descriptiva y global sobre su estructura.
46
Una vez seleccionadas las unidades de registro, se realiza la identificación de citas (expresiones
escritas) en cada uno de los apartados de la unidad de registro (documentos seleccionados como
unidades que brindan información suficiente y pertinente respecto al foco de estudio) con el fin
de determinar una serie de nuevas unidades, tipificadas como unidades de contexto. Éstas son
entendidas como “aquella porción del material simbólico que debe examinarse para caracterizar
a la unidad de registro… permiten extraer significados” (Kripendorff, 1990, p. 85) estipuladas
por medio de corchetes y definidas como “citas”. Así mismo, estas unidades no necesitan ser
independientes ni descriptibles de forma aislada, pueden superponerse.
Según la categoría y sub-categoría a la que pertenezcan con el color asociado a la misma se
realiza la respectiva identificación de expresiones, se comienza con una descripción particular de
cada una y finalmente, se realiza una descripción global agrupándolas por conjuntos. Este
segundo proceso conformará la descripción global sobre las expresiones encontradas a lo largo
del diseño, gestión y evaluación para cada categoría.
2.2.3. Caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-
epistemológicas
Finalmente, en la última fase, con base a la teoría fundamentada en los datos, se plantea una
comparación entre los conjuntos de descripciones de cada sub-categoría que se generaron para
las unidades didácticas seleccionadas (expresiones que hacen alusión a las concepciones
subjetivas) y los syllabus de los espacios de formación seleccionados (expresiones que hacen
alusión a las concepciones epistemológicas). Nuevamente se realiza una comparación de los
conjuntos de descripción entre las dos fuentes de información con el fin de establecer aspectos
comunes y no comunes de las mismas, lo que permitirá una aproximación a las concepciones
globales que los EPM tienen sobre la enseñanza de la proporcionalidad.
Este proceso de relación entre los datos emergentes del proceso de codificación y agrupamiento
de descripciones apuntará a la caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-
epistemológicas sobre la enseñanza de la proporcionalidad.
47
2.3. Fuentes de Recolección de Información
Teniendo en cuenta que en esta investigación se realiza un análisis de contenido textual en torno
a las concepciones de los EPM alrededor de los procesos didácticos (diseño, gestión y
evaluación), se indagan los siguientes textos que permiten dar cuenta de las expresiones que
hacen referencia a concepciones subjetivas y epistemológicas sobre la enseñanza de la
proporcionalidad.
El proceso de recolección de datos se realizó teniendo presentes las fuentes de información antes
mencionadas, la implementación y selección de registros de cada una de ellas. A continuación se
describe el proceso desarrollado:
2.3.1. Unidades Didácticas del espacio de formación de la práctica intensiva
Para el proceso de investigación son considerados los productos finales del EF de práctica
intensiva estipulada en la organización curricular del proyecto LEBEM como la última práctica
propuesta en la formación inicial del EPM. Dichos productos finales son llamados unidades
didácticas, en las cuales se evidencia un reporte sobre el diseño, gestión y evaluación de una
secuencia de actividades realizada en una institución de carácter público con el fin de desarrollar
la enseñanza de un(os) objeto(s) matemático(s) específico(s). Se ha determinado seleccionar el
conjunto de unidades didácticas elaboradas durante la práctica intensiva entre los semestre 2013-
1 y 2014-2 ya que dichos estudiantes fueron los primeros en ser formados bajo la figura de
créditos académicos. Cada unidad Didáctica está codificada como [UD] precedida de una
numeración estipulada para la investigación.
2.3.2. Syllabus espacios de formación LEBEM
Los syllabus de los espacios de formación considerados como planes para un curso completo.
Este plan suele incluir las metas y justificaciones del curso, los temas cubiertos, los recursos
utilizados, las tareas asignadas y las estrategias de evaluación recomendadas. En ocasiones los
syllabus de los espacios de formación también incluyen los objetivos y las actividades de
aprendizaje y las preguntas de estudio. En consecuencia el syllabus representa el plan para un
curso con elementos de los fines y los medios del curso. (Posner, 2005)
48
En este sentido, se recolectan un total de 40 syllabus de los espacios de formación que hacen
referencia a los cuatro ejes de formación que sustentan la propuesta. El código de descripción
global de dichos textos comienza por el código [LEBEM] precedido de la letra que constituye la
asignación del eje: Problemas y pensamiento matemático avanzado [PPMA], didáctica [DI],
práctica [PR] y contextos profesionales [CO]. Para cada texto se le asigna un número que
permite la organización de los documentos.
2.4. Categorías de Análisis
Con el fin de identificar, describir y caracterizar las concepciones que tienen los EPM sobre la
enseñanza de la proporcionalidad, se utilizan dos categorías que surgen del proceso de revisión
teórica, para cada una se determinan cuatro sub-categorías como se muestra en la siguiente tabla:
CATEGORÍA SUB-CATEGORÍA UNIDADES DE ANÁLISIS
CO
NC
EPC
ION
ES L
OC
ALE
S-SU
BJE
TIV
AS
Comprensión de los estudiantes: Modo cómo los estudiantes aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en la UD.
Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre la enseñanza de la proporcionalidad en la UD.
Tipos de situaciones y/o problemas que propone el EPM en su unidad didáctica para enseñar proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre situaciones, ejercicios, problemas emergentes y/ó prediseñadas para enseñar proporcionalidad en la UD.
Referentes bibliográficos que usan los EPM asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre el uso de referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad en la UD.
CO
NC
EPC
ION
ES L
OC
ALE
S-EP
ISTE
MO
LÓG
ICA
S
Comprensión de los EPM: Modo cómo los EPM aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión al aprendizaje de la proporcionalidad en el EF.
Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el docente del EF asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión a la enseñanza de la proporcionalidad en el programa del EF.
Actividades, tipos de situaciones y/o problemas que propone el docente del EF en su programa de formación para enseñar proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión a situaciones, ejercicios, problemas para enseñar proporcionalidad en el programa del EF.
49
Referentes bibliográficos que usan los docentes de los espacios de formación asociados a la enseñanza de la proporcionalidad.
Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen uso de referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad en el programa del EF.
Tabla No. 1: Descripción de las categorías y sub-categorías para el análisis de la información.
Dicha tabla de categorías será tomada en cuenta a lo largo del proceso de análisis de la
información con el fin de lograr caracterizar las concepciones de los EPM sobre la enseñanza de
la proporcionalidad.
50
3 . DESARROLLO METODOLÓGICO
3.1. Selección de Unidades de Análisis
3.1.1. Recolección y Organización de las Unidades de Análisis
Los criterios de selección de información y recolección de los textos que se tuvieron en cuenta
toman algunos aspectos mencionados por Krippendorff (1990), quien plantea que los
documentos deben ser seleccionados de acuerdo a criterios temporales y estructurales como los
definidos en el capítulo No. 1 del presente trabajo de investigación. En este sentido, las
concepciones que tienen los EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad, desde la
perspectiva de Ruíz (1994), están compuestas por dos tipos: Concepciones locales-subjetivas y
concepciones locales-epistemológicas.
Para recolectar y seleccionar los documentos que permiten analizar las concepciones locales-
subjetivas (conforman los sistemas de creencias en los sujetos) se toman en cuenta las Unidades
Didácticas (UD) escritas por los EPM entre los semestres 2013-1 y 2014-2 que se encuentran en
el laboratorio de didáctica del proyecto curricular LEBEM de la Facultad de Ciencias y
Educación de la Universidad Distrital. Para el caso de las concepciones locales-epistemológicas
(aspectos curriculares que se declaran en los syllabus de formación) se toman en cuenta los
documentos escritos de tipo curricular del programa de formación LEBEM, en éste caso, los
syllabus de los espacios de formación declarados como básicos obligatorios dentro del plan de
estudios del proyecto curricular de formación inicial presentados para el último proceso de
acreditación, año 2010. De ésta manera, se define cada documento como unidad de análisis que
51
permitirá identificar y describir las concepciones locales (epistemológicas y subjetivas) con el fin
de llegar a la caracterización de las concepciones globales, a través del análisis comparativo de
ambos tipos de concepciones como se muestra en el Esquema No. 1.
Los documentos fueron organizados a través de un proceso de codificación inicial. Se definen los
códigos de identificación de los documentos de la siguiente manera: para las unidades didácticas,
entre corchetes se usa la sigla UD, precedida de un número que designa un orden conforme al
semestre en el cual fue presentada cada una. En cuanto a los documentos asociados a los syllabus
de los diferentes espacios de formación del proyecto curricular LEBEM, se asigna una sigla entre
corchetes que identifica al programa de formación con el respectivo eje al que pertenece
precedido por un número conforme al orden estipulado por el documento de Acreditación y
Autoevaluación (2010).
Imagen No. 1: Esquema selección de unidades de análisis.
3.1.2. Criterios de selección y reducción de la información.
A continuación se realiza una descripción detallada de los documentos recopilados:
Para el caso de las concepciones locales-subjetivas, se compilan las Unidades didácticas [UD]
elaboradas por los EPM como informe final en el espacio de formación de Práctica intensiva (IX
52
semestre). Se establece como parámetro de reducción de información temporal, las [UD]
realizadas entre los semestres 2013-1 y 2014-2.
Para la reducción y selección inicial de los documentos se realiza una organización en unidades
de muestreo (Ver Anexo No. 1) que corresponde, de acuerdo a los planteamientos de Lurduy
(2013), al conjunto total de textos disponibles. A partir de una lectura extensiva (gramática-
descriptiva del contenido) se realiza una identificación y descripción de la estructura organizativa
común de los textos y la definición de los documentos a estudiar, en éste caso, de 19 unidades
didácticas preseleccionadas por el criterio de reducción temporal. (Ver Imagen No. 2).
Imagen No. 2: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de las unidades didácticas.
Al realizar una lectura global y determinar la estructura organizativa, se encontraron los
siguientes apartados comunes: Justificación de la unidad, objetivos (generales y específicos),
problema motivo de investigación, pregunta(s) orientadora(s), matriz o malla de planeación de
actividades, ideograma y/o ruta de aprendizaje, marco teórico, diseño secuencia de actividades,
protocolos reportes de lo acontecido en el aula, evaluación de la secuencia y/o unidad,
reflexiones finales, conclusiones finales.
Con el fin de reducir el número de unidades didácticas para poder hacer un análisis más profundo
sobre aquellas que trabajen la enseñanza de la proporcionalidad, entendidas como unidades de
contexto, se definen dos criterios: Criterio de suficiencia y criterio de pertinencia, desde los
planteamientos metodológicos desarrollados por Lurduy (2013) así:
53
• Criterio de suficiencia (Cantidad de información apta): Dicho criterio hace alusión a las
unidades de análisis que, en sus diferentes apartados hagan una mayor alusión explícita a
la proporcionalidad, los procesos de enseñanza y/o aprendizaje de la misma, dificultades
en su tratamiento en el aula, entre otros.
• Criterio de pertinencia (Información adecuada): Este criterio hace referencia al nivel de
generalidad, coherencia y expresión gramática que se evidencia al interior de los
apartados de la unidad de análisis sobre la proporcionalidad, los procesos de enseñanza
y/o aprendizaje de la misma, dificultades en su tratamiento en el aula, entre otros.
De este modo, se construye una matriz de valoración (ver imagen No. 3) para cada uno de los
doce apartados que componen la UD tomando en cuenta los dos criterios mencionados
anteriormente.
Imagen No. 3: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de justificación de las unidades didácticas.
Luego se procede a realizar una lectura intensiva para cada uno de los apartados que componen
las unidades preseleccionadas haciendo uso de la matriz de valoración que se muestra en la
imagen No. 2. A continuación se explica el significado de la valoración cuantitativa para cada
apartado del documento:
• Valoración NA: la sigla refiere a que la unidad de muestreo no contiene el apartado a ser
evaluado, por ende no aplica para una valoración.
• Valoración de 1: No se evidencian expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de
enseñanza y/o aprendizaje de un objeto matemático ó las matemáticas en general. No
54
cumple el criterio de suficiencia, por lo tanto no hay posibilidad de valoración sobre la
pertinencia de la información en el apartado.
• Valoración de 2: Hay expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza
y/o aprendizaje de un objeto matemático ó las matemáticas en general y, en cuanto la
pertinencia, no hay claridad respecto a la coherencia del apartado con relación a la
enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.
• Valoración de 3: Hay expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza ó
aprendizaje de la proporcionalidad, por lo tanto cumple con el criterio de suficiencia
pero en cuanto al criterio de pertinencia, solamente hace referencia a la enseñanza ó al
aprendizaje manteniendo una coherencia frente a la relación directa entre el nombre del
apartado y su contenido textual.
• Valoración de 4: Cumple el criterio de suficiencia en cuanto se evidencian expresiones
escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza y/ó aprendizaje de la
proporcionalidad. Respecto al criterio de pertinencia, las expresiones hacen referencia a
la enseñanza y al aprendizaje manteniendo una coherencia frente a la relación directa
entre el nombre del apartado y su contenido textual.
De esta manera, se le asigna una puntuación a cada apartado y se promedian dichos valores como
se muestra en la imagen No. 4.
Imagen No. 4: Ejemplo de valoración realizada por apartados de las unidades didácticas.
55
Una vez valoradas las 19 unidades preseleccionadas (ver Tabla No. 2), se escogen las unidades
de muestreo que mayor puntaje obtuvieron, definiéndose tres unidades de contexto: La unidades
con códigos [UD-08] [UD-09] [UD-10] con puntajes de 2.8, 2.5 y 2.7 respectivamente.
• [UD-08] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con
estudiantes de quinto de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento variacional,
geométrico-espacial, estadístico y usa como modelo de secuencia didáctica la teoría de
situaciones didácticas (TSD). Los contenidos centrales de la unidad están asociados a
polígonos y poliedros, área y volumen, recolección de datos, representaciones y medidas
de tendencia central, multiplicación y división de números decimales, fracción como
parte-todo.
• [UD-09] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con
estudiantes de tercero de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento numérico,
geométrico, estadístico y usa como modelo de secuencia didáctica la teoría de situaciones
didácticas (TSD). Los contenidos centrales de la unidad están asociados a división de
números naturales, razones y proporciones, proporcionalidad directa e inversa,
fracciones, adición y sustracción de fracciones, recolección y organización de datos,
gráficos estadísticos.
• [UD- 10] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con
estudiantes de quinto de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento numérico,
variacional, espacial y usa como modelo de secuencia didáctica al grupo DECA. Los
contenidos centrales de la unidad están asociados a sólidos geométricos, volumen,
adición, sustracción, producto y división de decimales, regla de tres simple e inversa,
recolección y organización de datos, gráficos estadísticos.
CODIGO
ASIGNADO CÓDIGO
LABORATORIO PUNTAJE CODIGO ASIGNADO
CÓDIGO LABORATORIO PUNTAJE
[UD-4] 210 2,2 [UD-15] 212 2,0
[UD-5] 213 2,5 [UD-16] 214 2,0
[UD-8] 429 2,8 [UD-17] 427 2,0
[UD-9] 430 2,7 [UD-18] 433 2,0
[UD-10] 432 2,5 [UD-19] 446 2,0
56
[UD-11] 441 2,0 [UD-20] 449 2,0
[UD-12] 452 2,0 [UD-21] 455 2,0
[UD-13] 459 2,1 [UD-22] 456 2,0
[UD-14] 21 2,0 [UD-23] 457 2,0
[UD-24] 458 2,0 Tabla No. 2: Resultados sobre valoración realizada por apartados de las unidades didácticas.
Por otra parte, para el caso de las concepciones locales-epistemológicas, se compilan los syllabus
de los espacios de formación del proyecto curricular de LEBEM, declarados como básicos
obligatorios dentro del plan de estudios del proyecto curricular presentados para el proceso de re-
acreditación, año 2010, puesto que en ellos se fundamentan los propósitos y los objetivos con los
cuales se organizan y desarrollan los espacios de formación correspondientes a cada uno de los
ejes de formación.
La reducción y selección inicial de los documentos se realiza con base en una revisión del
pensum del programa de formación (Ver Anexo No. 5). Al interior del proyecto curricular
LEBEM se oferta un total de 40 EF considerados como espacios obligatorios referidos a la
formación profesional de un profesor de matemáticas. Estos espacios están organizados en cuatro
ejes de formación: Problemas y Pensamiento Matemático Avanzado, Didáctica, Práctica docente
y Contextos Profesionales (Ver Tabla No.3).
ESPACIOS DE FORMACION PROYECTO CURRICULAR LEBEM
SEM.
EJE DE PROBLEMAS
EJE DE DIDACTICA EJE DE PRACTICA EJE DE
CONTEXTOS Código
Espacio de Formación
No. Créd.
Código Espacio de Formación
No. Créd.
Código Espacio de Formación
No. Créd.
Código Espacio de Formación
No. Créd.
I [PPMA-01] 4 [DI-01] 4 [PR-01] 2 [CO-01] 3 II [PPMA-02] 4 [DI-02] 4 [PR-02] 2 [CO-02] 3
III [PPMA-03] 3 [DI-03] 4 [PR-03] 2 [CO-03] [CO-04]
3 2
IV [PPMA-04] 4 [DI-04] 4 [PR-04] 3 [CO-05] 3
V [PPMA-05] [PPMA-06]
4 1 [DI-05] 5 [PR-05] 3 [CO-06] 3
VI [PPMA-07] [PPMA-08]
3 3 [DI-06] 5 [PR-06] 3 [CO-07] 3
VII [PPMA-09] [PPMA-10]
2 3 [DI-07] 4 [PR-07] 3
57
VIII [PPMA-11] [PPMA-12]
2 3
[PR-08] 4 [CO-08] 2
IX [PR-09] [PR-10]
4 2
X [PPMA-13] 3 [DI-08] 3 [PR-11] 3 TOT. 39 33 31 22
Tabla No. 3: Organización Espacios de Formación Proyecto Curricular LEBEM.
Cada uno de estos ejes es descrito en el documento de reacreditación (2010) de la siguiente
manera:
• Eje de problemas y pensamiento matemático avanzado: Se busca que el EPM esté en
capacidad de “conocer, cuestionar y transformar las concepciones reduccionistas sobre las
matemáticas escolares, hacia presupuestos abiertos y de resolución de problemas” (Polya,
citado en Documento de Re-acreditación y Autoevaluación, 2010, p. 8). Así mismo, el interés
de los diferentes EF del eje propenden por el desarrollo de la reflexión sobre su práctica
como resolutor de problemas de matemáticas. Estas reflexiones deben ir no solo sobre las
matemáticas y la naturaleza de las mismas, sino que también sobre en la capacidad de
entender, interpretar y complejizar las producciones propias, de sus compañeros y por
supuesto de sus estudiantes de la práctica docente y sus futuros estudiantes como profesores
en ejercicio.
• Eje de didáctica: Considera como objeto de estudio y reflexión distintas perspectivas teóricas
que intentan explicar, describir y/o comprender los procesos de enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas. Al interior del eje, cada uno de los EF se desarrollan sobre el trabajo en
torno a la conceptualización sobre los procesos que intervienen para el aprendizaje, la
enseñanza y la evaluación del conocimiento matemático en un determinado espacio escolar.
Si bien aborda la didáctica de las matemáticas desde didácticas específicas (de la aritmética,
del álgebra, de la geometría, de la variación, de la estadística, entre otras).
• Eje de práctica docente: Propende por la contribución al desarrollo del CDC de los EPM en
contextos de aprender a enseñar matemáticas para la educación básica en forma de
conocimiento práctico y razonamiento pedagógico. Así mismo, apoya la construcción de un
el modelo de profesor reflexivo y crítico de su práctica docente y, desde lo que se declara en
el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010,) contribuye a la transformación
58
de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática a
partir de la integración que se hace en la práctica docente de los distintos saberes
pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del profesor de
matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e investigación
en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de enseñanza.
• Eje de contextos profesionales se orienta a los EPM frente a sus acciones en la constitución
del ellos profesores, con identidad profesional construida a partir de: conocer los saberes y
relaciones propios de la pedagogía, el reconocimiento del compromiso ético, social, cultural,
económico y político que tiene la profesión docente, conocer la política educativa nacional e
internacional como una forma de elaborar posturas propias sobre las perspectivas educativas
y la visión de futuro en nuestra sociedad, y el reconocimiento de las características,
complejidades y particularidades del contexto escolar, como espacio de realización de la
práctica pedagógica.
A partir de una lectura extensiva (gramática-descriptiva del contenido de los textos) se realiza
una identificación y descripción de la estructura organizativa común de las 40 unidades de
muestreo y la definición de los documentos a estudiar, como se muestra en la imagen No. 5.
Imagen No. 5: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de los syllabus de los espacios de
formación.
Al realizar una lectura global y determinar la estructura organizativa, se encontraron los
siguientes apartados comunes en los syllabus: Introducción/presentación, propósitos de
formación y/o objetivos, justificación, problema y/o preguntas, marco de referencia, núcleos
temáticos y/o contenidos, metodología, evaluación general, referencias bibliográficas. Con el fin
59
de reducir la información obtenida por los unidades de muestreo para seleccionar los syllabus de
formación que aborden la enseñanza de la proporcionalidad, entendidos como unidades de
contexto, se recurre a los criterios de suficiencia y pertinencia definidos anteriormente. Así
mismo, se construye una matriz de valoración (ver imagen No. 6) para cada uno de los nueve
apartados que componen los syllabus de los espacios de formación.
Imagen No. 6: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de temáticas de los syllabus de formación.
Luego se procede a realizar una lectura a profundidad para cada uno de los apartados que
componen las unidades de muestreo haciendo uso de la matriz de valoración que se muestra en la
imagen No. 6. De esta manera se le asigna una puntuación promedio a cada unidad de muestreo
conforme a la valoración efectuada por apartado como se muestra en la imagen No. 7.
Imagen No. 7: Ejemplo de valoración realizada por apartados de los syllabus de formación.
Finalmente, una vez valoradas las 40 unidades de muestreo (ver Tabla No. 4), se escogen las
unidades que mayor puntaje obtuvieron, definiéndose tres unidades de contexto: La unidades con
códigos [DI-02] [DI-03] y [PPMA-02] con puntajes de 2.5, 2.3 y 2.8 respectivamente.
60
• [DI-02] Está asociado al eje de didáctica, hace referencia al programa del espacio de
formación de “Didáctica de la Aritmética II”. Las temáticas estipuladas en el documento
son: Clasificación y evolución de los juegos. El juego y el desarrollo del pensamiento del
niño. Los juegos estructurados y el desarrollo de sentido numérico. Las situaciones
aditivas y sus demandas cognitivas. Las situaciones multiplicativas y sus demandas
cognitivas. La proporcionalidad y el desarrollo de las magnitudes. Las operaciones
aritméticas. Las propiedades de los números y la construcción de sistemas numéricos.
Etapas en el aprendizaje de las operaciones. La modelación y las situaciones
multiplicativas y aditivas. El desarrollo de los algoritmos. El razonamiento inductivo. Los
procesos de generalización. Reformas curriculares 1903 -1950. Situaciones y recursos
didácticos. Los problemas aritméticos. Los materiales didácticos: Potencialidades y
limitaciones. Abaco, regletas, calculadora, pentominos. Los diseños didácticos.
• [DI-03] Está asociado al eje de didáctica, hace referencia al programa del espacio de
formación de “Transición Aritmética- Álgebra”. Las temáticas estipuladas en el
documento son: La letra como incógnita (simbolización y manipulación de la incógnita y
formulación de ecuaciones), sistemas de ecuaciones, sucesiones y series. Ecuaciones de
variable entera. Requerimientos epistemológicos, cognitivos e interacciónales para el
desarrollo de pensamiento algebraico desde pensamiento multiplicativo ligado a unidades
múltiples, Universos densos, desarrollo de pensamiento algebraico desde pensamiento
multiplicativo ligado a unidades similares. Sistemas de ecuaciones lineales; Locus,
cónicas y su algebraización; algunos aspectos de linealidad; problemas de transporte.
• [PPMA-03] Está asociado al eje de problemas y pensamiento matemático avanzado, hace
referencia al programa del espacio de formación de “Problemas Aritméticos II”. Las
temáticas estipuladas en el documento son: Bases para los números racionales, problemas
de medición de áreas, razón, proporción y proporcionalidad, teorema de Thales, teorema
de Pitágoras, construcción conjuntista de los números enteros y racionales.
PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. [PPMA-01] 2,0 [PPMA-11] 2,0 [DI-08] NA [PR-02] 1,2 [PPMA-02] 2,0 [PPMA-12] 2,0 [CO-01] 1,0 [PR-03] NA [PPMA-03] 2,8 [PPMA-13] 2,0 [CO-02] 1,0 [PR-04] 2,0
61
[PPMA-04] 2,0 [DI-01] 2,0 [CO-03] 1,0 [PR-05] 2,0 [PPMA-05] 2,0 [DI-02] 2,5 [CO-04] 1,0 [PR-06] 2,0 [PPMA-06] NA [DI-03] 2,3 [CO-05] 1,0 [PR-08] 2,0 PPMA-07] 2,0 [DI-04] 2,0 [CO-06] 1,0 [PR-09] 2,0 [PPMA-08] 2,1 [DI-05] 2,0 [CO-07] 1,0 [PR-10] NA [PPMA-09] 2,0 [DI-06] NA [CO-08] 1,0 [PR-11] NA [PPMA-07] 2,0 [DI-07] 2,0 [PR-01] 1,0
Tabla No. 4: Resultados sobre valoración realizada por apartados de los syllabus de formación.
3.2. Identificación y descripción de expresiones escritas en las unidades de contexto
seleccionadas
Una vez identificadas las unidades de contexto de la investigación a tener en cuenta para el
análisis de las concepciones locales-subjetivas, [UD-08], [UD-09], [UD-10], y locales-
epistemológicas, [DI-02] [DI-03] y [PPMA-03]; se realiza una codificación por colores según las
cuatro sub-categorías, definidas desde la revisión teórica que se planteó en el capítulo anterior,
con el fin de realizar una identificación de expresiones textuales que están asociadas a dichas
sub-categorías respecto al reporte declarado sobre el diseño, la gestión y evaluación de
actividades para cada uno de los apartados de los documentos seleccionados.
Para el caso de la identificación de expresiones textuales presentadas en la unidades didácticas
seleccionadas, las sub-categorías que se relacionan con el diseño se determinaron desde el
apartado declarado como “diseño de actividades”, las que se asocian a la gestión desde el
apartado declarado como “reporte de protocolos sobre actividades implementadas” y, para el
caso de la evaluación, se recurrió a la observación de los apartados titulados como evaluación en
el diseño de las actividades, el apartado de evaluación en el reporte de los protocolos y la
evaluación final de la unidad didáctica (Ver Anexo No. 2, No. 3 y No. 4).
Respecto a la identificación de las expresiones textuales presentadas en los syllabus de los
espacios de formación seleccionados, las sub-categorías que se asocian al diseño se determinaron
a partir de los apartados declarados como objetivos/presentación, justificación, metodología,
temáticas/contendidos y recursos; las que se relaciona con evaluación se determinaron desde el
apartado declarado como evaluación (Ver Anexo No. 6, No. 7 y No. 8).
62
Así mismo, los criterios que permitieron identificar las expresiones textuales, denominadas como
citas, en cada una de las unidades de contexto se establecen desde el análisis gramático-textual
de las expresiones: Aquellas que hacen alusión al aprendizaje de los estudiantes, desde lo
textualmente declarado, están catalogadas con el código [EA]; aquellas que están relacionadas
con la enseñanza, acciones que el profesor realizó o realizará con el fin de promover un
ambiente de aprendizaje sobre la proporcionalidad estarán catalogadas con el código [EE]; las
expresiones que describen textualmente problemas y/o situaciones que el docente propone o
que surgen en el contexto de la clase para trabajar proporcionalidad están etiquetadas con el
código [ES] y, finalmente, las expresiones textualmente declaradas donde se hace uso de algún
tipo de referente teórico, didáctico y/o matemático para justificar, argumentar, reportar y/o
ejemplificar alguna situación referida a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad están
etiquetadas con el código [ER].
Todas las citas identificadas con el respectivo código según la sub-categoría a la que pertenezcan
están precedidas por una letra mayúscula según su ubicación en el documento: si hacen parte del
apartado de diseño de actividades tendrán la letra [D], gestión a través del reporte de los
protocolos sobre lo acontecido en la clase tendrán la letra [G] y sobre la evaluación, tendrán la
letra [E] (Ver tabla No. 5). Finalmente, se hace una asignación numérica ordinal conforme a la
lectura a profundidad del documento, el código completo se estipula en corchetes.
SUB-CATEGORÍA CÓDIGO
Comprensión de los estudiantes: Modo cómo los estudiantes aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.
Diseño [EA-D- ]
Gestión [EA-G- ]
Evaluación [EA-E- ]
Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.
Diseño [EE-D- ]
Gestión [EE-G- ]
Evaluación [EE-E- ]
Tipos de situaciones y/o problemas que propone el EPM en su unidad didáctica para enseñar proporcionalidad.
Diseño [ES-D- ]
Gestión [ES-G- ]
Evaluación [ES-E- ]
Referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.
Diseño [ER-D- ]
Gestión [ER-G- ]
63
Evaluación [ER-E- ]
Tabla No. 5: Tabla de identificación por colores y códigos de las sub-categorías
A manera de ejemplo, en la Imagen No. 8, se presenta una cita identificada en la unidad de
contexto [UD-08] que corresponde a la sub-categoría relacionada con las expresiones asociadas a
las estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de
enseñanza de la proporcionalidad observada en el diseño de actividades con la asignación
numérica respectiva.
[Inicialmente se llevaran unas pelotas y unos frijoles, se hará la simulación de que se “venderán” las pelotas o frijoles, a cualquier estudiante, con el fin de involucrarlos en la actividad, se buscaran ejemplos, para que puedan comprender la regla tres simple después se darán a resolver dos ejercicios con la regla de tres simple a partir de la actividad realizada.] (p. 15, descripción de la actividad 1)
[UD-08][EE-D-03] Imagen No. 8: Ejemplo de identificación de expresiones en las unidades de contexto según las sub-categorías
estipuladas.
Una vez se realiza la identificación de las expresiones según las sub-categorías en cada una de
las unidades de contexto, se procede a la realización de la(s) descripción(es) en cada sub-
categoría según el diseño, la gestión y/o la evaluación. Dichos tipos de descripciones permitirán
realizar una agrupación de códigos con el fin de generar conjuntos de descripción. Dichas
agrupaciones se realizarán con base en la coherencia y puntos comunes a nivel gramatical y
textual que presentan las expresiones referidas a una misma forma de acción declarada sobre
cada una de las sub-categorías, proceso que será reportado en el capítulo de análisis de la
información.
Así mismo, se tomarán en cuenta descripciones desde un análisis de tipo cuantitativo (frecuencia
de aparición de cada sub-categoría codificada en cada unidad de contexto) y un análisis
cualitativo (información dispuesta en cada unidad de contexto de acuerdo al tipo de
descripciones en cada sub-categoría). Finalmente, la comparación entre los conjuntos de
descripción de cada unidad de contexto referida a las concepciones locales-subjetivas, con los
conjuntos de descripción de cada unidad de contexto referida a las concepciones locales-
epistemológicas permitirá una caracterización de las concepciones globales sobre la enseñanza
de la proporcionalidad que poseen los EPM al interior del proyecto curricular LEBEM.
64
4. ANÁLISIS
4.1. Descripción general de las unidades estudiadas
Una vez identificadas las expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, con
base en la lectura a profundidad de las unidades de contexto, para la caracterización de las
concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas, a continuación se realiza un análisis
cuantitativo respecto a las expresiones asociadas a los procesos didácticos de diseño, gestión y
evaluación.
A continuación se presenta una primera descripción cuantitativa de para el caso del estudio de las
concepciones locales-subjetivas a través de las unidades de contexto [UD-08], [UD-09] y [UD-
10] se encontró lo siguiente:
En la [UD-08] (ver Gráfico No. 1) se puede apreciar que el 37,2% de las expresiones encontradas
sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la proporcionalidad y las
instrucciones que los EPM prevén ejecutar con el fin de implementar actividades para trabajar
proporcionalidad en el aula. El 16,3% de las expresiones están relacionadas con el rol que los
estudiantes tendrán a lo largo de cada una de las actividades planeadas. El 12,4% de las
expresiones hace mención de las situaciones específicas que se usarán para abordar el tema de
proporcionalidad y el 11% de las expresiones hacen referencia al uso específico de referentes
didácticos y teóricos que argumentan, justifican y/o sustentan el trabajo previsto para ser
implementado respecto al objeto proporcionalidad.
65
Gráfico No. 1: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][D]
Con relación al proceso didáctico de gestión (Ver Gráfico No. 2) se puede determinar que se
encontró mayor cantidad de expresiones asociadas a la enseñanza de la proporcionalidad, ya que
el 56,7% de estas expresiones hacen referencia a la forma en la que el EPM ejecutó las acciones
previstas y no previstas al trabajar proporcionalidad. El 24,3% de las expresiones hace uso de
referentes bibliográficos que son usados como contraste comparativo entre los desarrollos
teóricos mencionados respecto al desarrollo del objeto proporcionalidad en la escuela y lo que
efectivamente sucedió en el aula. Finalmente, las expresiones sobre las situaciones y sobre el
aprendizaje de los estudiantes fueron poco identificadas a lo largo de los reportes de la gestión.
Las expresiones indican que hubo mayores reflexiones sobre las acciones del profesor que
posibilitaron el aprendizaje de la proporcionalidad que sobre las acciones del estudiante para
aprender.
Gráfico No. 2: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][G]
Para el proceso de evaluación, el 88% de las expresiones se asocian a la evaluación de los
estudiantes a partir de los niveles de desarrollo procedimental, conceptual y actitudinal sobre el
aprendizaje de la proporcionalidad. El 12% de las expresiones hacen referencia a la enseñanza de
la proporcionalidad como se puede identificar en el gráfico No. 3.
66
Gráfico No. 3: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][E]
Se puede afirmar que la [UD-08] se caracteriza por: el 68,75% de las expresiones hacen
referencia al diseño de actividades relacionadas con la enseñanza de la proporcionalidad, en el
reporte respectivo de los diseños de las actividades se identificó el 25,7% de las para las cuatro
sub-categorías están ubicadas en la gestión que el EPM realizó. Finalmente, el 8% de las
expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la evaluación frente al proceso de
aprendizaje de la proporcionalidad (Ver gráfico No. 4).
Gráfico No. 4: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08]
Para el caso de la unidad [UD-09], a través del gráfico No. 5 se puede apreciar que el 44,45% de
las expresiones sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la
proporcionalidad. El 26,67% están asociadas al rol que los estudiantes tendrán a lo largo de cada
una de las actividades planeadas. El 2,3% de las expresiones hace referencia a las situaciones
que se usarán para abordar el tema de proporcionalidad en el aula. El 26,67% refieren al uso de
referentes didácticos y teóricos que argumentan, justifican y/o sustentan el trabajo previsto para
ser implementado respecto al objeto proporcionalidad.
67
Gráfico No. 5: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][D]
Respecto al proceso didáctico de gestión en el aula no hay expresiones identificadas acerca de la
enseñanza, el aprendizaje, el uso de referentes y/o situaciones que se abordaron a la hora de
implementar el trabajo propuesto sobre proporcionalidad en el aula. Se evidencia que la unidad
de contexto no posee todos los protocolos sobre los diseños de las actividades implementadas.
Gráfico No. 6: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][E]
En cuanto al proceso de evaluación, (Ver gráfico No. 6) se puede afirmar que el 40% de las
expresiones hacen referencia a la reflexión sobre la enseñanza de la proporcionalidad desde lo
acontecido en la práctica docente. El 60% de las expresiones hacen referencia al proceso
evaluativo del aprendizaje de los estudiantes a nivel procedimental, conceptual y actitudinal en el
cual el EPM propone niveles de desarrollo para cada uno. No se encontraron expresiones
relacionadas con el uso de referentes teóricos para argumentar las reflexiones realizadas por el
EPM sobre el proceso de general de evaluación. Tampoco se encontraron expresiones sobre las
situaciones y/o problemas que podría haber propuesto el EPM para evaluar el proceso llevado a
cabo en la práctica sobre proporcionalidad.
68
Gráfico No. 7: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09]
Finalmente, a manera de descripción general (Ver gráfico No. 7) de los datos encontrados en la
unidad de contexto [UD-09], se pudo determinar que el 75% de las expresiones están asociadas
al diseño de actividades relacionadas con la enseñanza de la proporcionalidad no se encontraron
expresiones que permitieran conocer las actividades diseñadas para abordar la proporcionalidad
en el aula de clase. El 25% de las expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la
evaluación. De esta manera, para el EPM hay una mayor descripción y trabajo sobre la
proporcionalidad a través del diseño de las actividades, aspecto que también se evidenció en la
unidad [UD-08].
Gráfico No. 8: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][D]
Con relación a la unidad [UD-10], (Ver gráfico No. 8) se pudo encontrar que el 50% de las
expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a la enseñanza de la
proporcionalidad; estas se enmarcan en los objetivos que los EPM diseñan con el fin de
implementar actividades para trabajar dicho objeto en el aula. El 50% restante de las expresiones
69
está asociado a la identificación del uso de soportes teóricos que usan los estudiantes como base
para argumentar ideas y supuestos de enseñanza y aprendizaje sobre proporcionalidad. No se
identificaron expresiones que hicieran alusión al aprendizaje por parte de los estudiantes, ni se
encuentran expresiones que permitan conocer las situaciones que se planearon para abordar la
proporcionalidad en el aula.
Gráfico No. 9: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][G]
Frente al proceso didáctico de gestión en el aula (Ver gráfico No. 9), se encontró que el 32% de
las expresiones están asociadas a las afirmaciones y/o declaraciones que el EPM hizo frente a los
procesos instructivos y acciones previstas con el fin de abordar la proporcionalidad en el aula de
clase. El 28% de las expresiones identificadas hacen alusión a las formas en las que el EPM
considera aprenden los estudiantes sobre el objeto en cuestión, haciendo énfasis en las acciones y
los roles previstos del estudiante que posibilitan el aprendizaje. El 20% de las expresiones hacen
referencia al uso de soportes didácticos usados para justificar la importancia sobre el desarrollo
del trabajo enfocado hacia a proporcionalidad en la escuela y la forma en la que se considera, se
aborda el objeto a nivel matemático en el aula. El restante 20% de las expresiones están
asociadas a las situaciones que implementaron para el trabajo diseñado.
Gráfico No. 10: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][E]
70
Frente al proceso de evaluación, la unidad de contexto [UD-10] (Ver gráfico No. 10) se
encuentra que el 58,4% de las expresiones hace referencia a la enseñanza de la proporcionalidad
desde lo acontecido en la práctica docente, destacando acciones a mejorar por parte del EPM. El
33,3% de las expresiones están asociadas al proceso evaluativo del aprendizaje de los estudiantes
a nivel procedimental, conceptual y actitudinal en el cual el EPM propone niveles de desarrollo
para cada uno. No se encontraron expresiones que hagan referencia a: las situaciones diseñadas,
las situaciones implementadas en las clases y las situaciones utilizadas para evaluar los saberes
en los estudiantes.
Gráfico No. 11: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10]
Finalmente, a manera de descripción general (Ver Gráfico No. 11) de los datos encontrados en la
unidad de contexto, se pudo determinar que el 13,9% de las expresiones encontradas están
asociadas al diseño de actividades para la enseñanza de la proporcionalidad y el 58,13% de las
expresiones fueron identificadas en el reporte sobre la gestión en el aula. El 23% de las
expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la evaluación. De esta manera, para el
EPM hay una mayor descripción y trabajo sobre la proporcionalidad a través del reporte de la
gestión de las actividades, aspecto que no se evidencia en las anteriores unidades de contexto.
Finalmente, a continuación se presenta una primera descripción cuantitativa para el caso del
estudio de las concepciones locales-epistemológicas a través de las unidades de contexto [DI-
02], [DI-03] y [PPMA-03] se encontró lo siguiente:
En la unidad [DI-02] (Ver gráfico No. 12) se puede apreciar que el 24% de las expresiones
encontradas sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la
proporcionalidad desde el estudio de la estructura aditiva y multiplicativa en el espacio de
71
formación. El 16% de las expresiones están relacionadas con el rol que los EPM tendrán a lo
largo de cada una de las actividades planeadas en el espacio de formación. El 6% de las
expresiones hace mención sobre las situaciones específicas que se usarán por parte del docente
titular del espacio de formación y el 54% de las expresiones hacen referencia a la identificación y
descripción de referentes bibliográficos que se propone abordar con el EPM a lo largo del
desarrollo del espacio de formación.
Gráfico No. 12: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-02][D]
Con relación a las sub-categorías asociadas a la gestión del espacio de formación, no se
identificaron expresiones en ninguno de los syllabus ya que en los documentos únicamente se
aborda el diseño del espacio de formación mas no reflexiones sobre lo acontecido en el mismo.
En cuanto al proceso de evaluación, el 100% de las expresiones se asocian a la evaluación de los
EPM a partir de rangos de desarrollo cognitivo “bajo”, “medio” y “alto” con relación a la
apropiación y manejo de conceptos y objetos matemáticos y didácticos frente a la
proporcionalidad dentro del desarrollo y reflexión de la estructura aditiva y multiplicativa a nivel
escolar.
Con relación a la unidad [DI-03], (Ver gráfico No. 13) se pudo encontrar que el 21% de las
expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a: la enseñanza de los objetos
matemáticos y su reflexión didáctica por parte del docente titular de espacio de formación. El
15% de las expresiones hacen alusión al aprendizaje de la proporcionalidad en el EPM y los
procesos de reflexión didáctica sobre la misma. El 12% hace alusión a las actividades y
situaciones vinculadas a la metodología del espacio de formación y el restante 54% hace
mención a los referentes bibliográficos del syllabus de formación.
72
Gráfico No. 13: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-03][D]
En cuanto al proceso de evaluación, el 100% de las expresiones se asocian a la evaluación de los
EPM a partir de categorías de valoración cognitivas, comunicativas y epistemológicas con el fin
de medir el desarrollo y reflexión de la estructura aditiva y multiplicativa a nivel escolar.
Finalmente, respecto a la unidad [PPMA-03] (Ver gráfico No. 14) se pudo encontrar que el 31%
de las expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a: la enseñanza de los objetos
matemáticos y su reflexión didáctica por parte del docente titular de espacio de formación. El
25% hace alusión a las actividades y situaciones vinculadas a la metodología del espacio de
formación y el restante 44% hace mención a los referentes bibliográficos del programa de
formación. No se identificaron expresiones relacionadas con procesos de aprendizaje de los EPM
sobre proporcionalidad; así mismo para las sub-categorías relacionadas con el proceso didáctico
de gestión y evaluación.
Gráfico No. 14: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [PPMA-03][D]
4.2. Concepciones locales-subjetivas
A continuación se presentan las descripciones de las sub-categorías que permitirán conocer las
concepciones locales subjetivas en cada una de las unidades [UD-08], [UD-09] y [UD-10] a
73
partir del estudio de las expresiones encontradas en ellas. Éste ejercicio permitió determinar
conjuntos de descripción comunes a cierto grupo de expresiones respecto a una sub-categoría
determinada, aspecto que, desde la TFD propuesta por Glaser & Strauss, citados por Vasilachis
(2006), se conoce como el proceso de saturación de la información. De esta manera, dichas
expresiones, palabras y frases reiterativas permiten realizar una aproximación a la
caracterización de las concepciones locales-subjetivas que poseen los EPM que realizaron dichas
unidades didácticas sobre la enseñanza de la proporcionalidad, desde los planteamientos
propuestos por Ruíz (1994).
4.2.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la
proporcionalidad [EE].
Una vez descritas cada una de las expresiones encontradas para la sub-categoría [EE] (Ver anexo
No. 9, No. 10 y No. 11), se estipularon conjuntos de expresiones que pertenecían a un mismo
tipo de descripción. A continuación se presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de
descripción encontrados tomando como ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las
expresiones identificadas en las unidades [UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15
titulado “Consolidado de los conjuntos de descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
Para el caso de la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [EE-D] (Expresiones sobre la
enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cuatro
grandes conjuntos de descripciones respecto a las citas identificadas frente a la enseñanza de la
proporcionalidad:
El primer conjunto de descripciones está asociado a las explicaciones que contempla hará el
EPM en el diseño de las actividades. Como se puede evidenciar en la imagen No. 9, las citas
declaran un proceso instructivo y unidireccional de la enseñanza hacia los estudiantes; se puede
dimensionar un rol activo en dicho proceso por parte del EPM. Algunas de las acciones
declaradas como “explicaciones” se estipulan dentro del momento de institucionalización de la
enseñanza desde la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD), ya que es el modelo de secuencia
de actividades declarado en la Unidad. De igual forma, desde lo declarativo en la unidad, el EPM
se describe como aquel que “introduce”, “fortalece”, “guía” y “refuerza” el conocimiento a los
estudiantes mediante su gestión en el aula evidenciado en las expresiones. Se identifica un ciclo
74
de explicación de la temática, ejemplificación y solución de situaciones similares a las explicadas
en las citas [EE-D-3], [EE-D-38] y [EE-D-39]. 22 de las 48 expresiones componen este conjunto
y representan el 46% de las citas para esta sub-categoría.
Imagen No. 9: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]
El segundo conjunto de expresiones (Ver Imagen No. 10) describen un posible ciclo de clase que
el EPM expresa en el diseño de las actividades. Dicho ciclo está asociado a rutinas reiterativas
para cada una de las sesiones planeadas como por ejemplo: Organización del aula de clase,
determinación de objetivos para cada sesión, un momento de desarrollo de la clase sobre lo
planeado por el EPM y un momento de cierre de la actividad que por lo general es descrito como
proceso de “validación” y/o “socialización” sobre el trabajo desarrollado por los estudiantes. 7
de las 48 expresiones componen este conjunto y representa el 14,6% de las citas para esta sub-
categoría.
75
Imagen No. 10: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]
En el tercer conjunto de expresiones (ver imagen No. 11) se evidencian expresiones relacionadas
con las interacciones que el EPM describe en su planeación de actividades entre: estudiante -
EPM, estudiante – estudiante y estudiante – saber; aspectos que aborda la TSD a nivel teórico.
Las interacciones estudiante – EPM hacen alusión a la solución de preguntas que propone el
EPM hacia el estudiante a propósito de una situación sobre proporcionalidad directa y/o inversa
y al rol de observador que tiene el EPM respecto a las estrategias de solución de los estudiantes.
Las interacciones entre estudiantes son expresadas desde la conformación de grupos de trabajo
que el EPM describe como “colaborativos” en el que los estudiantes se apoyan mutuamente a la
hora de la solución de alguna situación propuesta por el EPM. Las interacciones entre estudiante
– saber se describen en las expresiones a partir de un medio o recurso; éste es mencionado por el
EPM como “la(s) situación(es), la(s) guía(s) y los instrumentos manipulativos tangibles. 17 de
las 48 expresiones componen este conjunto y representa el 35,4% de las citas para esta sub-
categoría.
76
Imagen No. 11: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [ud-08][EE-D]
En el cuarto conjunto de expresiones (ver Imagen No. 12) se describen citas en las que el EPM
enfatiza en el uso de contextos acercanos a los estudiantes para enseñar proporcionalidad y se
eviencia que el EPM reconoce un contexto global como situación fundamental. El EPM afirma
que la resolución de problemas constituye una ayuda para posibilitar la comprensión en los
estudiantes sobre la proporcionalidad. 2 de las 48 citas componen este conjunto y representa el
4% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 12: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]
Por otra parte, se encontraron cuatro conjuntos de descripciones respecto a las expresiones
identificadas para la sub-categoría [EE-G] (Expresiones sobre la enseñanza de la
proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión):
77
El primer conjunto de expresiones está asociado a las explicaciones que el EPM reporta en los
protocolos sobre la gestión de las actividades planeadas. Como se puede evidenciar en la imagen
No. 13, en las expresiones se reporta un proceso instructivo y unidireccional de la enseñanza
hacia los estudiantes; se puede identificar un rol activo en dicho proceso por parte del EPM. Se
declaran pasos explicados por el EPM para la solución de situaciones que permitieron abordar la
proporcionalidad directa. Las descripciones sobre las expresiones identificadas para esta
subcategoria guardan una relación directa con el primer conjunto de expresiones evidenciado en
el proceso de diseño de las actividades. 13 de las 21 expresiones componen este conjunto y
representan el 62% de las citas para esta sub-categoría.
Imagen No. 13: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]
El segundo conjunto de citas (ver Imagen No. 14) se agrupa bajo las mismas descripciones
realizadas para el segundo conjunto de expresiones sobre el proceso de diseño de las actividades.
En éste caso, el EPM realiza un reporte sobre el ciclo de clase propuesto en el respectivo diseño
de las actividades; se dimensiona el reporte operativo sobre las acciones del EPM a lo largo de
las sesiones como por ejemplo: Reportar la cantidad de estudiantes para la sesión de clase, hora
de inicio de la sesión, brindar las situaciones, problemas y/o ejercicios a los estudiantes. 2 de las
21 expresiones componen este conjunto y representan el 9,5% de las citas para esta sub-
categoría.
78
Imagen No. 14: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]
En el tercer conjunto de expresiones (ver Imagen No. 15) se evidencian citas relacionadas con
los reportes sobre las actitudes de los estudiantes frente a las actividades propuestas por el EPM
ausando como recurso las resolución de problemas, dialogos entre el EPM y los estudiantes a
propósito de preguntas que emergieron de la actividad propuesta, las afirmaciones textuales que
hicieron los estudiantes en las actividades propuestas por el EPM y reflexiones sobre el uso de
recursos que sean manipulados por los estudiantes dado que, según el EPM permite desarrollar
un proceso de enseñanza eficaz. 5 de las 21 expresiones componen este conjunto y representan el
23,8% de las citas para esta sub-categoría.
Imagen No. 15: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]
79
En el cuarto conjunto de expresiones (ver Imagen No. 16) unicamente se identifica una
expresión. En ella el EPM reporta en su gestión de la actividad que es necesario tomar contextos
familiares a los estudiantes con el fin de generar un proceso de enseñanza eficaz sobre la
proporcionalidad. 1 de las 21 citas componen este conjunto y representa el 4,7% de las
expresiones para esta subcategoria.
Imagen No. 16: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]
Finalmente, se encontró una única expresión identificada para la sub-categoría [EE-E]
(Expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación).
En dicha expresión, el EPM reporta, a manera de reflexión sobre el proceso de enseñanza, que es
necesario explicar por su parte las relaciones de variación directamente proporcional e
inversamente proporcional porque así permite una comprensión adecuada sobre dicho fenómeno
en los estudiantes.
4.2.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la
proporcionalidad.
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [EA] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como
ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [EA-D] (Expresiones sobre el aprendizaje de la
proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cuatro grandes conjuntos de
descripciones.
80
El primer conjunto de descripciones está asociado a las acciones que el EPM contempla hará el
estudiante en el diseño de las actividades. Como se puede evidenciar en la imagen No. 17, las
expresiones declaran un proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM, el
estudiante es observador de las acciones del EPM para el desarrollo del aprendizaje sobre la
proporcionalidad directa; se puede identificar un rol pasivo en dicho proceso por parte del
estudiante. En éste sentido, el estudiante se describe como aquel que responde adecuadamente a
las preguntas que realiza el EPM. De igual forma, desde lo declarativo en la unidad, el estudiante
es descrito por el EPM como aquel que “escucha”, “observa”, “responde” y “ejecuta” lo que el
EPM propone para la clase respecto al trabajo sobre proporcionalidad. 14 de las 21 expresiones
componen este conjunto y representan el 66,67% de las citas para esta sub-categoría.
Imagen No. 17: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]
El segundo conjunto de expresiones (Ver Imagen 18) describen un posible ciclo de clase donde
se describen los objetivos que el EPM expresa para los estudiantes en el diseño de las
actividades. Uno de ellos es que los estudiantes se involucren en el problema y el otro es que
diferencien proporcionalidad directa e inversa. Únicamente 1 de las 21 expresiones componen
este conjunto y representa el 4,7% de las citas para esta sub-categoría.
81
Imagen No. 18: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]
En el tercer conjunto de expresiones (Ver Imagen No. 19) estan relacionadas con las
interacciones que el EPM describe en su planeación de actividades entre: estudiante – estudiante
y estudiante – saber; aspectos que aborda la TSD a nivel teórico. El EPM describe en el diseño
las actitudes deseables en los estudiantes frente a la sesión de clase para generar un ambiente de
aprendizaje y él mismo se describe como “ayuda” en dicho proceso. En éste conjunto de
expresiones el EPM acude a la valoración cuantitativa sobre la participación de los estudiantes
con el fin de generar interés por exteriorizar sus ideas sobre las situaciones propuestas y propone
un guía como herramienta para desarrollar aprendizaje en el proceso de solución. 4 de las 21
expresiones componen este conjunto y representa el 28,6% de las citas para esta sub-categoría.
Imagen No. 19: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]
En el cuarto conjunto (Ver Imagen No. 20) se describen expresiones en las que el EPM afirma
que la resolución de problemas constituye una herramienta para posibilitar el aprendizaje sobre
82
la proporcionalidad. 2 de las 21 citas componen este conjunto y representa el 9,52% de las
expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 20: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]
Con relación a la sub-categoría [EA-G] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad
en el proceso didáctico de gestión), se encontraron tres conjuntos de descripciones respecto a las
expresiones identificadas: El primer conjunto de descripciones (Ver imagen No. 21) se
identificaron expresiones en dos sentidos: citas en las que el EPM reporta la forma en la que los
estudiantes proceden a la hora de solucionar una situaciones donde se comparan dos espacios de
medida diferentes (cantidad de galletas que una persona come en un determinado tiempo medido
en horas); expresiones en las que el EPM reporta la comprensión de los estudiantes al interpretar
las relaciones inversamente proporcionales entre dos magnitudes diferentes. Este aspecto lo
institucionaliza a través de las respuestas brindadas por los estudiantes a las preguntas como:
“¿que sucede con ésta magnitud si aumenta?”. 3 de las 5 citas componen este conjunto y
representa el 60% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 21: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G]
En el caso del segundo y tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 22) se identificó
únicamente una expresión en cada uno. Para el segundo conjunto hay una expresión en la que el
83
EPM reporta que un estudiante posee “baja comprensión” sobre las relaciones de
proporcionalidad directa e inversa y explica que aplica un algoritmo en cualquier contexto sin
examinar las relaciones entre los diferentes espacios de medida que se comparan. La baja
comprensión se atribuye a una ausencia de conocimiento, no se hace reflexión obre el proceso
del estudiante. En el tercer conjunto se sitúa una expresión donde el EPM reporta las expresiones
que los estudiantes exteriorizan frente a una situación que propone respecto a dos espacios de
medida: días y frijoles. Cada conjunto representa el 20% de las expresiones encontradas para esta
sub-categoría.
Imagen No. 22: Ejemplos segundo y tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G]
Finalmente, con relación a la sub-categoría [EA-E] (Expresiones sobre el aprendizaje de la
proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación), se encontraron tres conjuntos de
descripciones respecto a las expresiones identificadas: En el primer conjunto de descripciones
(Ver Imagen No. 23) se identificaron expresiones en las que el EPM describe niveles de
evaluación conceptual. En ellas siempre se describen dos niveles conceptuales de evaluación en
los que el EPM hace alusión a que los estudiantes fortalecen los conceptos y/o nociones
asociadas a la proporcionalidad. La diferencia entre ambos niveles radica en lo que el EPM
declara “se realiza con dificultad” y lo que no por parte del estudiante. 3 de las 7 citas componen
este conjunto y representa el 42,8% de las expresiones para esta sub-categoría.
84
Imagen No. 23: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 24) se identificaron expresiones en las
que el EPM describe niveles de evaluación procedimental. Se describen dos niveles
procedimentales de evaluación en los que el EPM hace alusión a que los estudiantes desarrollan
procesos de razonamiento e identificación de estrategias para resolver situaciones problema que
se proponen para la sesión de clase. La diferencia entre ambos niveles radica en lo que el EPM
declara como “la solución de la mayoría de los procesos” para dar respuesta a una problema y
establece un juicio de valor “aceptable” para el razonamiento de los mismos. 3 de las 7 citas
componen este conjunto y representa el 42,8% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 24: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]
En el tercer conjunto de descripción (Ver Imagen No. 25) se identificó una expresión en la que el
EPM realiza una reflexión sobre la importancia del trabajo colaborativo entre estudiantes y sobre
el uso de contextos en los que los estudiantes estén familiarizados para desarrollar el trabajo
85
sobre proporcionalidad en el aula. Esta expresión representa el 14,4% de las citas para esta sub-
categoría.
Imagen No. 25: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]
4.2.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad.
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [ES] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como
ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [ES-D] (Expresiones sobre situaciones para
enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cinco grandes
conjuntos de descripciones:
En el primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 26) se identificaron expresiones en las
que el EPM estipula que un recurso y/o herramienta de aprendizaje se basa en las situaciones que
permite que los estudiantes formulen sobre proporcionalidad o aquellas que el EPM lleva
preparadas con antelación. Así mismo el EPM describe la situación fundamental, planteada
desde la TSD, como un contexto sobre el cual se desarrollan diferentes situaciones, problemas
y/o ejercicios para trabajar la proporcionalidad; en ella se toman en cuenta los intereses de los
estudiantes. 6 de las 16 citas componen este conjunto y representa el 37,5% de las expresiones
para esta sub-categoría.
86
Imagen No. 26: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 27) se identificaron expresiones en las
que el EPM menciona situaciones contextualizadas en las que se plantean dos espacios de
medida comparados y se realizan preguntas sobre la unidad de medida o una tercera cantidad.
Los espacios de medida comparados son: cantidad de pelotas y cantidad de frijoles que se
entregan a un estudiante, cantidad de fríjoles que se venden en un determinado tiempo medido
en horas, cantidad de pelotas que se entregan en un determinado tiempo medido en días. 4 de las
16 citas componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 27: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ ES-D]
87
En el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 28) se identificaron expresiones en las
que el EPM menciona situaciones contextualizadas de repartición en las que intervienen dos o
más espacios de medida comparados. Los espacios de medida usados son: cantidad de personas
para repartir cantidad de chocolatinas y cada chocolatina contiene cierta cantidad de cuadros. 4
de las 16 citas componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta sub-
categoría.
Imagen No. 28: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]
En el caso del cuarto y quinto conjunto (Ver Imagen No. 29) de descripciones se identificó
únicamente una expresión en cada uno. Para el cuarto conjunto hay una expresión en la que el
EPM propone "ejercicios" para trabajar la proporcionalidad en el aula. En el quinto conjunto se
sitúa una expresión donde la situación que plantea el EPM es la discusión sobre cambios de
medida que se presentan a través de una tabla. Cada conjunto representa el 6,25% de las
expresiones encontradas para esta sub-categoría respectivamente.
Imagen No. 29: Ejemplos cuatro y quinto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]
Con relación a la sub-categoría [ES-G] (Expresiones sobre situaciones para enseñar la
proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión), se encontró un conjunto de descripciones
88
respecto a las expresiones identificadas. Dicho conjunto (Ver Imagen No. 30) hace alusión a dos
expresiones en las que el EPM reporta en su gestión la situación problema que asocia el tiempo
en días y la cantidad de frijoles al igual que aquella que relaciona el tiempo en horas y la
cantidad de galletas que se come una persona.
Imagen No. 30: Ejemplo conjunto des descripciones sub-categoría [UD-08][ES-G]
Finalmente, para el caso de la sub-categoría [ES-E] (expresiones sobre situaciones para enseñar
la proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron expresiones
asociadas a esta categoría en la unidad [UD-08] al igual que en las unidades [UD-09] Y [UD-10].
4.2.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad.
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [ER] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados, tomando como
ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [ER-D] (expresiones sobre referentes teóricos
usados por el EPM sobre proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron
cuatro grandes conjuntos de descripciones:
En el primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 31) se identificaron expresiones en las
que el EPM hace uso de autores como Vergnaud, Godino, el grupo Edumat-Maestros, Martínez,
Parra y Kieren con el fin de justificar y/o argumentar la importancia y/o necesidad sobre el
tratamiento de la proporcionalidad en el aula. Uno de los autores mayormente citado fue
Vergnaud; el EPM toma su perspectiva con el fin de argumentar la forma en la que se debe
89
abordar la proporcionalidad en el aula enumerando tres orientaciones que ayudan a los
estudiantes a desarrollar el pensamiento proporcional; otros autores son mencionados con el fin
de destacar la importancia de cierto tipo de situaciones para enseñar proporcionalidad y formas
de aprendizaje por parte de los estudiantes. 8 de las 14 citas componen este conjunto y representa
el 57,14% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 31: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 32) se identificaron expresiones en las
que el EPM realiza afirmaciones relacionadas como formas de abordar la proporcionalidad en el
aula, aspectos fundamentales sobre la comprensión de los estudiantes sobre la proporcionalidad y
la importancia del juego en los procesos de enseñanza. No hay ningún autor evocado para
realizar dichas afirmaciones pero es notoria la relación entre las ideas planteadas por el EPM y
los autores citados en el primer conjunto de expresiones. 3 de las 14 citas componen este
conjunto y representa el 21,42% de las expresiones para esta sub-categoría.
90
Imagen No. 32: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]
En el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 33) se identificaron expresiones en las
que el EPM cita a autores como Armando Meza y Antonio Barrios con el fin de mencionar los
obstáculos y formas de enseñanza en el paso del conjunto numérico Natural al Racional. Se
evidencian citas que destacan ideas asociadas a la comprensión de la división de la unidad y el
concepto de fracción en los estudiantes. 2 de las 14 citas componen este conjunto y representa el
14,3% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 33: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]
Finalmente, en el cuarto conjunto se ubica una expresión realizada por el EPM en el que cita a
Gheverghese como referente histórico usado para describir ideas asociadas al desarrollo de la
proporcionalidad en China, aspecto que le permite concluir que “[…] la regla de tres es un
proceso matemático que tiene unas reglas a seguir, por ello, se deben explicar estos pasos a los
estudiantes y hacerles entender porque van los pasos que se deben seguir para que nos de la
respuesta correcta, de acuerdo al problema específico que se asigne” (Expresión textual
encontrada en UD-08). 1 de las 14 citas componen este conjunto y representa el 7,14% de las
expresiones para esta sub-categoría.
91
Imagen No. 34: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]
Con relación a la sub-categoría [ER-G] (expresiones sobre referentes teóricos usados por el EPM
sobre proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión), se encontraron tres conjuntos de
descripciones respecto a las expresiones identificadas: Para el primer conjunto de descripciones
(Ver Imagen 35) se identificaron expresiones en las que el EPM evoca autores como Horacio
Itzcovich y Claudia Broitman, Castaño, Brousseau y Espinosa con el fin de contrastar los
aspectos evidenciados en la gestión de actividades sobre la comunicación de ideas por parte de
los estudiantes, las conexiones que se generaron con otros contextos a los trabajados en los que
se usa proporcionalidad y una comparación entre las dificultades en el aprendizaje reportadas por
algunos de los autores citados y las evidenciadas en la(s) sesión(es) de clase. 4 de las 9 citas
componen este conjunto y representa el 44,4% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 35: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]
92
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 36) se identificaron expresiones en las
que el EPM cita autores como Gheverghese, Euclides citado por Gómez. En el caso particular de
las ideas propuestas por Gheverghese que menciona el EPM, se evidencia la misma cita textual
mencionada en el diseño de las actividades pero, para el reporte de la gestión en el aula, el EPM
la usa para afirmar que “Por eso los estudiantes debían seguir los pasos que el EPM titular había
informado, se utilizan objetos tangibles con el fin de familiarizar más al estudiante con la
situación de la comida para los integrantes del circo que visitan su colegio” (Expresión textual
encontrada en UD-08). 3 de las 9 citas componen este conjunto y representa el 33,34% de las
expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 36: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]
En el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 37) se identificaron expresiones en las
que el EPM cita a dos autores: A Brousseau para determinar el respectivo reporte sobre los
errores o dificultades en el aprendizaje del concepto de la proporcionalidad evidenciando en
procedimientos tipificados como erróneos de los estudiantes y a Vigotsky para comparar el
estadio de desarrollo real y potencial, a propósito de la interacción entre los estudiantes, y el
proceso de movilización cognitivo del estudiante de una hacia la otra. 2 de las 9 expresiones
componen este conjunto y representa el 22,23% de las expresiones para esta sub-categoría.
93
Imagen No. 37: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]
Finalmente, para el caso de la sub-categoría [ER-E] (expresiones sobre referentes teóricos usados
por el EPM sobre proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron
expresiones asociadas a esta categoría en la unidad [UD-08] al igual que en la unidad [UD-09].
Para el caso de la unidad [UD-10], se identificó una expresión únicamente.
4.2.5. Aspectos generales concepciones locales-subjetivas
Con base en los conjuntos de descripción identificados en el proceso de análisis de las
expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, respecto a las concepciones
locales-subjetivas; a continuación se presentan algunos aspectos generales de las tres unidades de
contexto estudiadas:
Para el caso de las expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en los procesos
didácticos de diseño, gestión y evaluación de actividades, ([EE-D], [EE-G] y [EE-E]) se pudo
determinar que: se privilegia en las tres unidades de contexto conjuntos de descripciones
asociados a los procesos instructivos y unidireccionales por parte de los EPM, aspecto que
conduce a una concepción tradicional de la enseñanza de la proporcionalidad con una mayor
porcentaje de expresiones encontradas. Así mismo, fueron reiterativos los conjuntos de
descripciones asociados a aspectos de ciclo de clase (rutinas de llamado a lista, expresar
objetivos de las sesiones de clase y cierre de las mismas a través de la recolección de las
producciones de los estudiantes, entre otras); aspecto que permite concebir y dimensionar, en los
EPM, que el proceso de enseñanza se sitúa dentro de un esquema organizativo y/o operativo
invariante usado durante las sesiones de clase que se describe en el diseño y en los reportes de la
gestión en el aula. Finalmente, hay conjuntos de descripción comunes para las unidades [UD-08]
94
y [UD-09] en el que se realiza una énfasis a lo largo del proceso de diseño y gestión de
actividades enfocado hacia el uso de contextos, recursos y/o situaciones cotidianas a los
estudiantes para enseñar proporcionalidad; de éste modo se concibe al proceso de enseñanza
como aquel en el que el saber matemático debe ser contextualizado por el EPM tomando en
cuenta diferentes recursos como medios de enseñanza. Esta concepción está asociada a la
perspectiva didáctica que en efecto se describe a lo largo de las tres unidades de contexto desde
la teoría de situaciones didácticas desarrollada por Brousseau.
Con relación a las expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en los procesos
didácticos de diseño, gestión y evaluación de actividades, ([EA-D], [EA-G] y [EA-E]) se pudo
determinar que: Para las unidades [UD-08] y [UD-09] hay una concepción de las acciones de los
estudiantes encaminada hacia un proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM
dimensionado con mayor frecuencia en la expresiones identificadas. Así mismo, en dichas
unidades se encuentra un conjunto común de descripciones asociado a las interacciones que el
EPM describe en la planeación de las actividades entre estudiante-estudiante, estudiante-saber y
se destacan expresiones asociadas a las actitudes deseables en los estudiantes previstas por el
EPM. En el caso del proceso didáctico de gestión hay conjuntos de descripción que realizan
énfasis en dos aspectos: La resolución de problemas como herramienta que posibilita el
aprendizaje de la proporcionalidad y el reporte sobre las producciones verbales y escritas
efectuadas por los estudiantes y analizadas por el EPM en las que se determinan niveles de
compresión sobre la proporcionalidad que logran desarrollar los estudiantes. En cuanto al
proceso de evaluación se dimensiona a partir de juicios valorativos sobre las producciones
tangibles y susceptibles a verificación realizadas por los estudiantes a lo largo de las sesiones de
clase; se establecen niveles de evaluación conceptual y procedimental que valoran la
comprensión cognitiva en los estudiantes sobre la proporcionalidad y un nivel actitudinal
enfocado hacia la valoración cualitativa del desempeño del estudiante sobre el seguimiento de
instrucciones y las interacciones entre sus compañeros.
Para el caso de las expresiones sobre el uso de situaciones, problemas y/o contextos para la
enseñanza de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y evaluación de
actividades, ([ES-D], [ES-G] y [ES-E]) se pudo determinar que: En primer lugar, los EPM en las
tres unidades de contexto conciben a los contextos familiares a los estudiantes como situaciones
95
fundamentales desde la teoría de situaciones didácticas. En segundo lugar, en los conjuntos de
descripciones de las tres unidades se privilegian las situaciones donde se evidencia una
comparación entre espacios de medida como parte de situaciones problema contextualizadas y
presentadas a los estudiantes a lo largo de las sesiones de clase. No hay en los tres documentos
expresiones que hagan alusión a situaciones, problemas y/o ejercicios que desarrollen el
razonamiento proporcional desde tipos de pensamiento diferente al numérico-variacional. Hay
conjuntos de descripción en los que el EPM reporta el uso de “ejercicios”, entendido como
situaciones descontextualizadas y que privilegian el uso de algoritmos para encontrar valores
desconocidos que permitan determinar proporcionalidad entre dos razones. Por otra parte, no
hubo identificación de situaciones, problemas y/o ejercicios usados por el EPM para enseñar
proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación.
Finalmente, para el caso de las expresiones sobre el uso de referentes bibliográficos usados por
el EPM para la enseñanza de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y
evaluación de actividades, ([ER-D], [ER-G] y [ER-E]) se pudo determinar que: En las tres
unidades de contexto se toma como referente central y primario a Vergnaud con el fin de
justificar y/o argumentar la importancia de trabajar la proporcionalidad en el aula. Así mismo, se
evidencia el uso de autores para reportar dificultades en el aprendizaje de la proporcionalidad en
el proceso didáctico de gestión; se identifican conjuntos de descripción comunes en los que se
reportan las observaciones y desarrollos realizados durante las sesiones de clase por parte de los
estudiantes. En las tres unidades hay un uso reiterativo de las mismas expresiones en otros
apartados de la unidad didáctica para justificar diferentes actividades enfocadas al tratamiento de
la proporcionalidad en el aula. Por otra parte, hay expresiones encontradas en las tres unidades
donde se define la proporcionalidad sin hacer el uso respectivo del referente sobre el cual se está
tomando dicha definición. Finalmente, se pudo de terminar que, si bien los referentes usados por
los EPM a lo largo de las unidades didácticas permiten fundamentar la concepción sobre la
proporcionalidad, su proceso de enseñanza y aprendizaje a nivel escolar, son las ideas y
expresiones desarrolladas por los EPM que se ajustan a la búsqueda y lectura de referentes
bibliográficos que las respaldan, sustentan y/o argumentan, aspecto que permite determinar que
los referentes bibliográficos inciden de forma directa en las expresiones que conducen a las
concepciones de los EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad.
96
4.3. Concepciones locales-epistemológicas
A continuación se presentan las descripciones de las sub-categorías que permitirán conocer las
concepciones locales-epistemológicas en cada una de las unidades [DI-02], [DI-03] y [PPMA-
03] a partir del estudio de las expresiones encontradas en ellas. Éste ejercicio permitió
determinar conjuntos de descripción comunes a cierto grupo de expresiones respecto a una sub-
categoría determinada, aspecto que, desde la TFD propuesta por Glaser & Strauss, citados por
Vasilachis (2006), se conoce como el proceso de saturación de la información. De esta manera,
dichas expresiones, palabras y frases reiterativas permiten realizar una aproximación a la
caracterización de las concepciones locales-epistemológicas que poseen los EPM que cursaron
los espacios de formación en los que se abordo y reflexionó sobre la enseñanza de la
proporcionalidad, desde los planteamientos propuestos por Ruíz (1994).
4.3.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la
proporcionalidad.
Una vez descritas cada una de las expresiones encontradas para la sub-categoría [EE] (Ver anexo
No. 12, No. 13 y No. 14), se estipularon conjuntos de expresiones que pertenecían a un mismo
tipo de descripción. A continuación se presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de
descripción encontrados tomando como ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las
expresiones identificadas en las unidades de contexto [DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el
anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de descripciones en las unidades de
contexto estudiadas”.
Para el caso de la unidad de contexto [DI-02] frente a la sub-categoría [EE-D] (Expresiones
sobre la enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron tres
conjuntos de descripciones respecto a las expresiones identificadas referidas a la enseñanza de la
proporcionalidad.
El primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 38) está asociado a expresiones
conducentes a la reflexión didáctica sobre la aritmética. En ellas se establece una construcción de
sentido numérico en las personas, lo que permite consolidar lo que en el programa de formación
se llama "competencia numérica" para el EPM. De esta forma, según lo declarado, se entiende
que la cualificación de la acción didáctica que se aborda en el espacio de formación sobre la
97
aritmética parte de dos aspectos fundamentales: el sentido de lo numérico y el sentido simbólico
por parte de los EPM; de igual forma, se plantean tres rutas de entrada para profundizar en la
formación didáctica de la aritmética. 2 de las 9 expresiones componen este conjunto y
representan el 22,23% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 38:Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 39) se identificaron expresiones en las
que el programa de formación hace alusión al desarrollo de habilidades respecto a los objetos
propiamente matemáticos a través de la resolución de problemas aritméticos. 3 de las 9 citas
componen este conjunto y representa el 33,34% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 39: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]
Finalmente, en el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 40) se determinaron
expresiones relacionadas con la identificación, caracterización y reflexión de instrumentos,
dispositivos didácticos y/o recursos para la enseñanza de la aritmética, en este caso, la enseñanza
de la proporcionalidad. 4 de las 9 citas componen este conjunto y representa el 44,44% de las
expresiones para esta sub-categoría.
98
Imagen No. 40: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]
Con relación a las sub-categorías [EE-G] (Expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad
en el proceso didáctico de gestión) y [EE-E] (Expresiones sobre la enseñanza de la
proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron expresiones
asociadas a las mismas en ninguna de las unidades estudiadas. Esto debido a que la identificación
y descripción de expresiones en los syllabus de los espacios de formación se refieren únicamente
al proceso didáctico de diseño y evaluación.
4.3.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la
proporcionalidad
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [EA] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como
ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [EA-D] (Expresiones sobre el aprendizaje de la
proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron tres grandes conjuntos de
descripciones.
El primer conjunto de descripciones (ver Imagen No. 41) está asociado a las expresiones donde
se hacen reflexiones didácticas respecto al aprendizaje de las matemáticas, el desarrollo del
pensamiento variacional y el razonamiento proporcional en los EPM; así mismo, se pone de
manifiesto necesidades básicas de desarrollo intelectual que le exigen al EPM aprender sobre los
fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla
como un saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento
99
aritmético en la escuela. 4 de las 6 expresiones identificadas componen este conjunto y
representan el 66,67% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 41: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 42) se identificaron expresiones en las
que se hace alusión al aprendizaje y desarrollo de objetos matemáticos asociados a la
proporcionalidad en el espacio de formación; de esta forma se plantea que el EPM realice
procesos con el fin de adquirir habilidades para contar, ordenar, estimar, calcular, medir y
resolver problemas en el campo aditivo. 1 de las 6 expresiones componen este conjunto y
representa el 16,67% de las expresiones para esta sub-categoría.
[En este semestre además de continuar con la cualificación de la acción didáctica a partir de un espacio de formación y reflexión sobre: Los procesos que permiten el desarrollo de habilidades para contar, ordenar, calcular, estimar, medir, resolver problemas aritméticos en el campo aditivo.] (apartado de Justificación p. 412)
[DI-02][EA-D-01] Imagen No. 42: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D]
Finalmente, en el tercer conjunto de descripciones (ver Imagen No. 43) se determinaron
expresiones que hacen mención a la reflexión sobre los instrumentos, dispositivos didácticos y/o
recursos que se analizan y generan aprendizaje de tipo didáctico en los EPM. 1 de las 6
expresiones componen este conjunto y representa el 16,67% de las expresiones para esta sub-
categoría.
[En este semestre además de continuar con la cualificación de la acción didáctica a partir de un espacio de formación y reflexión sobre: Los diseños que dinamizan el desarrollo de estructuras aditivas.] (apartado de Justificación p. 412)
[DI-02][EA-D-02] Imagen No. 43: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D]
Con relación a la sub-categoría [EA-G] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad
en el proceso didáctico de gestión) no se identificaron expresiones asociadas a la misma.
100
En cuanto a la sub-categoría [EA-E] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en
el proceso didáctico de evaluación) se identificaron tres conjuntos de descripción:
En el primer conjunto de descripciones (ver imagen No. 44) se encuentran expresiones que hacen
alusión a la evaluación desde el desarrollo de habilidades cognitivas en el EPM. Para ello, en el
programa de formación se describen niveles de desarrollo por rangos etiquetados como “alto”,
“medio” y “bajo”. 2 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 50% de las
expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 44: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-E]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 45) se identificaron expresiones en las
que se hace mención de las actividades generales en las que se describe el desarrollo del espacio
de formación, como por ejemplo: tareas orales y escritas, construcción de mapas conceptuales,
resolución de problemas propuestos por el docente titular y cuestionarios con preguntas abiertas.
1 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta
sub-categoría.
¿Como se evalúa? Con: i) la aplicación de instrumentos de evaluación como: tareas orales y escritas, elaboración de mapas conceptuales, resolución de problemas, cuestionarios de preguntas abiertas, autor reguladores de los estudiantes. ii) la valoración de los resultados según criterios de corrección, adecuación y pertinencia.] (apartado de evaluación del programa de formación, p. 415
[DI-02][EA-E-02] Imagen No. 45: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E]
Para el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 46) se identificaron expresiones en las
que el programa de formación estipula criterios de evaluación de los instrumentos o medios
usados, como por ejemplo: la corrección, adecuación y pertinencia de los trabajos que
desarrollen los EPM. 1 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 25% de las
expresiones para esta sub-categoría.
101
[¿Como se evalúa? Con:... ii) la valoración de los resultados según criterios de corrección, adecuación y pertinencia.] (apartado de evaluación del syllabus de formación, p. 415)
[DI-02][EA-E-03] Imagen No. 46: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E]
4.3.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad.
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [ES] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como
ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [ES-D] (Expresiones sobre situaciones para
enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron dos conjuntos de
descripciones:
En el primer conjunto de descripciones (ver imagen No. 47) se encuentra una expresión que hace
alusión a cuatro grandes tipos de actividades en el espacio: El taller, el seminario, el panel y la
exposición magistral por parte del docente que dirija el espacio. 1 de las 2 expresiones componen
este conjunto y representa el 50% de las expresiones para esta sub-categoría.
[Las estrategias didácticas que se desarrollaran en la asignatura son el taller, el seminario, el panel y la exposición magistral. En el cronograma de actividades se detalla, la forma de organización de las estrategias según necesidades de desarrollo de los contenidos de formación.] (Apartado de metodología del espacio de formación, p. 414)
[DI-02][ES-D-01] Imagen No. 47: Ejemplo primer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 48) se identificó una expresión en la
que se hace mención de cuatro situaciones didácticas a lo largo de las sesiones de formación de
los EPM: situaciones de exploración, de cuestionamiento de identificación de problemas, las
situaciones de elaboración que pasan de la elaboración individual a la de grupos pequeños y a la
colectiva, las situaciones de validación de saberes elaborados y finalmente las situaciones de
Institucionalización. Dichas situaciones son tomadas desde la perspectiva de Brousseau. 1 de las
2 expresiones componen este conjunto y representa el 50% de las expresiones para esta sub-
categoría.
102
[Las anteriores estrategias estarán fundamentadas en cuatro situaciones didácticas: La situaciones de exploración, de cuestionamiento de identificación de problemas, las situaciones de elaboración que pasan de la elaboración individual a la de grupos pequeños y a la colectiva, las situaciones de validación de saberes elaborados y finalmente las situaciones de Institucionalización.] (Apartado de metodología del espacio de formación, p. 415)
[DI-02][ES-D-02] Imagen No. 48:Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D]
Con relación a la sub-categoría [ES-G] (Expresiones sobre situaciones para enseñar la
proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión) y [ES-E] (Expresiones sobre situaciones
para enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico evaluación), no se identificaron
expresiones asociadas a la misma.
4.3.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad
Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de
descripción para la sub-categoría [ER] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se
presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como
ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades
[DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de
descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.
En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [ER-D] (Expresiones relacionadas con el uso de
referentes teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares sobre proporcionalidad en el
diseño) se encontraron cuatro conjuntos de descripciones: En el primer conjunto de descripciones
(ver imagen No. 49) se encuentras expresiones en las que se describen referentes bibliográficos
cuya característica común se encuentra en que abordan, algunos desde diferentes perspectivas,
reflexiones y desarrollos didácticos con relación a diversos objetos matemáticos, entre ellos la
proporcionalidad. 12 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa el 60% de las
expresiones para esta sub-categoría.
103
Imagen No. 49: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]
En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 50) se identificaron expresiones en la
que se hace mención a reflexiones y desarrollos de tipo didáctico enfocados a los recursos,
instrumentos y/o dispositivos didácticos para la enseñanza y el aprendizaje de la
proporcionalidad. 4 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa el 20% de las
expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 50: ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]
Para el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 51) se identificaron expresiones
asociadas a referentes bibliográficos que abordan el desarrollo de objetos matemáticos frente a la
estructura aditiva y multiplicativa. 3 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa
el 15% de las expresiones para esta sub-categoría.
Imagen No. 51: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]
Finalmente, en el cuarto conjunto de descripción (Ver Imagen No. 52) se identificó una
expresión que, si bien no hace uso de referentes bibliográficos, se determina como postura
teórica respecto a la justificación sobre la pertinencia de la asignatura de didáctica de la
aritmética; en ella se argumenta "…porque los sistemas de números y las magnitudes. son
herramientas básicas para dar sentido al mundo, por cuanto el sentido del mundo se construye
desde la acción en él, su comprensión y su transformación.". Ésta es considerada una postura
104
filosófica sobre el mundo, y la comprensión del mismo por parte del hombre. Dicha expresión
representa el 5% de las expresiones encontradas para esta sub-categoría.
[Por todo lo anterior (hablando de las tres rutas de entrada a la aritmética) la respuesta a ¿por qué una didáctica de la aritmética?, es precisamente: porque los sistemas de números y las magnitudes. son herramientas básicas para dar sentido al mundo, por cuanto el sentido del mundo se construye desde la acción en él, su comprensión y su transformación.] (apartado de Justificación p. 413)
[ER-D-01] Imagen No. 52: Ejemplo cuarto conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ER-D]
Con relación a la sub-categoría [ER-G] (Expresiones relacionadas con el uso de referentes
teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares sobre proporcionalidad en gestión) y [ER-E]
(Expresiones relacionadas con el uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad en
evaluación), no se identificaron expresiones asociadas a la misma.
4.3.5. Aspectos generales concepciones locales-epistemológicas
Con base en los conjuntos de descripción identificados en el proceso de análisis de las
expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, respecto a las concepciones
locales-epistemológicas; a continuación se presentan algunos aspectos generales de las tres
unidades de contexto estudiadas:
Para el caso de las expresiones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en el
proceso didáctico de diseño, [EE-D] y [EA-D], al igual que en las expresiones en las que se hace
uso de referentes bibliográficos, [ER-D], se pudo determinar que: para las tres unidades de
contexto estudiadas hay un mismo conjunto de descripción basado en la identificación de
expresiones donde se hace referencia al tratamiento y/o desarrollo de objetos matemáticos
asociados a la proporcionalidad, habilidades de pensamiento a través de la resolución de
problemas aritméticos y referentes teóricos como ayudas al estudio. Así mismo, hay otro
conjunto de descripciones comunes asociado a expresiones conducentes a la reflexión didáctica
sobre la aritmética en las que se establece una construcción de sentido numérico, lo que permite
consolidar lo que en los syllabus de formación se llama "competencia numérica" y expresiones
donde se hace referencia al desarrollo del saber didáctico en los EPM precedido por referentes
bibliográficos propuestos como ayudas al estudio. Así mismo, se ponen de manifiesto
necesidades básicas de desarrollo intelectual que le exigen al EPM aprender sobre los fenómenos
de la enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla como un
105
saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento aritmético
en la escuela.
Por último, se establece un conjunto común de descripciones asociado a expresiones que hacen
alusión a la resolución de problemas como metodología de enseñanza al interior del espacio de
formación y expresiones relacionadas con la identificación, caracterización y reflexión de
instrumentos, dispositivos didácticos y/o recursos para la enseñanza de la proporcionalidad.
Éstos tres aspectos comunes encontrados en las unidades de contexto permiten determinar que
los tres espacios de formación, donde se abordan objetos y reflexiones asociadas a la
proporcionalidad, conciben que el desarrollo de los objetos matemáticos y la reflexión y
desarrollo del saber didáctico sobre éstos constituye un aspecto importante para la conformación
del conocimiento didáctico del contenido en los EPM que será implementado a lo largo de las
prácticas y en su desarrollo profesional. Así mismo, se concibe una necesidad común sobre el
reconocimiento y reflexión de los recursos, dispositivos didácticos y la resolución de problemas
como elementos que deben estar presentes en los espacios de formación. No se evidencian
afirmaciones donde se privilegie o sea prerrequisito el desarrollo del objeto matemático en los
EPM para poder desarrollar un saber didáctico determinado.
En cuanto a las expresiones encontradas sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en el espacio
de formación para el proceso didáctico de evaluación [EA-E], se identificaron dos conjuntos
comunes de descripciones: el primero se asocia a los aspectos operativos sobre la distribución de
porcentajes de valoración cuantitativa por cortes en los que se dimensiona un proceso de
evaluación sumativa por medio de parciales, exposiciones, entrega de trabajos e informes
escritos, ensayos, quices y exámenes finales. En el segundo está relacionado con las expresiones
donde se proponen niveles de desarrollo de habilidades de tipo cognitivo, comunicativo,
epistemológico e interaccional (según la unidad de contexto) aspecto que comporta una
evaluación desde lo formativo en los EPM que promueve el desarrollo de habilidades de
pensamiento y razonamiento proporcional.
Para el caso particular de las expresiones relacionadas con las situaciones, problemas y/o
actividades que los syllabus de formación proponen en el proceso didáctico del diseño, [ES-D] se
pudo determinar que: En primer lugar, hay un conjunto común de descripciones en las tres
106
unidades de contexto asociado a expresiones que hace alusión a cuatro grandes tipos de
actividades en el espacio: El taller, el seminario, el panel y la exposición magistral por parte del
docente que dirija el espacio como también se detallan exposiciones, trabajos, exámenes
parciales, quices y examen conjunto. En segundo lugar, se identificó un conjunto de
descripciones común asociado a expresiones en la que se hace mención de cuatro situaciones
didácticas a lo largo de las sesiones de formación de los EPM similares a las que se proponen en
la TSD y expresiones en las que se hace referencia a las técnicas y nociones que emergen en el
proceso de resolución de problemas y las actitudes que los EPM deben adoptar como resolutores.
En tercer lugar, se identificó un conjunto de descripciones en el que se encuentran expresiones
que hacen alusión problemas y situaciones para el desarrollo de objetos matemáticos
relacionados con la proporcionalidad, desde la unidad [DI-02] se abordan tres miradas:
Situaciones problema, el aspecto histórico desde los Babilonios y desde Euclides. De esta forma,
se concibe que en el desarrollo de los espacios de formación, aunque se desarrollan desde la
resolución de problemas como metodología de clase, no hay un desconocimiento sobre el
desarrollo de sesiones de clase magistrales que enriquecen los espacios de formación y si se
establece una participación activa por parte de los EPM a lo largo de los seminarios que se
plantean.
107
5 . CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
La presentación de las conclusiones se organizan a partir de dos partes: En la primera parte, se
presentan los alcances del proceso investigativo a partir de los objetivos y la pregunta de
investigación; en la segunda parte, se muestran algunas inferencias sobre el proceso investigativo
llevado acabo y los aportes de la investigación al problema de investigación y al campo de la
formación inicial de profesores de matemáticas.
5.1. Aproximación a la caracterización de las concepciones
Con el fin de dar cumplimiento a los objetivos propuestos en la investigación, se hace necesario
retomar dos aspectos orientadores del estudio: En primer lugar, se planteó la pregunta de
investigación: ¿Cuáles son las concepciones que expresan los estudiantes para profesor de
matemáticas [EPM] de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas
[LEBEM] en las unidades didácticas durante la práctica intensiva docente sobre la
enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en la educación básica? Y las siguientes
preguntas orientadoras:
• ¿Cuáles son los aspectos que se presentan como elementos de reflexión didáctica en
torno a la enseñanza de la proporcionalidad en los documentos y/o escritos referidos a
los espacios de formación que propone el proyecto curricular de Licenciatura en
Educación Básica con Énfasis en matemáticas?
• ¿Cuáles son las concepciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad que se pueden
identificar en las unidades didácticas que construyen los estudiantes de la práctica
108
intensiva (última práctica docente) que iniciaron sus estudios entre el semestre 2009-1 y
2010-3?
En segundo lugar, definición de concepciones asumida en esta investigación desde la perspectiva
de Ponte (1994): “las concepciones son marcos organizadores implícitos de conceptos, con una
naturaleza esencialmente cognitiva…” (p. 199). Así mismo, se evoca la perspectiva de Ruíz
(1994) donde se afirma que, para determinar las concepciones globales de los sujetos, es
necesario analizar dos tipos de concepciones locales: las subjetivas y las epistemológicas
(descritas en la página 32).
Con esta visión teórica, se diseñaron cuatro sub-categorías dimensionadas en los procesos
didácticos de diseño, gestión y evaluación tomando como punto de partida la revisión teórica y
conceptual de la investigación: Expresiones asociadas a estratégicas didácticas relacionadas con
el proceso de enseñanza, expresiones sobre la comprensión de los estudiantes que hacen alusión
con el proceso de aprendizaje, expresiones relacionadas con tipos de situaciones y/o problemas
que se proponen para enseñar proporcionalidad y, por último, expresiones donde se hace uso de
referentes bibliográficos asociados a la enseñanza de la proporcionalidad. En las secciones 4.2.5
y 4.3.5 del capítulo anterior se muestra una descripción de los resultados para cada tipo de
concepción local determinando unos conjuntos de descripciones generales para las unidades de
contexto analizadas para cada sub-categoría. Tras un análisis de éstos resultados, a continuación
se presenta un esbozo de las concepciones globales de los EPM desde las producciones escritas
estudiadas.
Con relación a las formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la
proporcionalidad:
• Hay una concepción organizativa del proceso de enseñanza dimensionado en los
conjuntos comunes de descripciones sobre las expresiones encontradas en las unidades
[UD-08], [UD-09] y [UD-10]. Se le llama ciclo de clase, a manera de interpretación sobre
rutinas y acciones invariantes que el EPM describe a lo largo del diseño de actividades y
reporta en los protocolos sobre su gestión. Éste aspecto no es descrito para los conjuntos
de expresiones identificados en los syllabus de formación, de esta manera no hay una
109
incidencia y/o relación desde dichos syllabus estudiados con lo que se dimensiona en la
unidades didácticas para éste aspecto particular.
• Se puede determinar que hay una concepción de enseñanza como proceso instructivo y
unidireccional en el que el EPM es aquel que posee el control de la actividad de clase y
da las explicaciones necesarias para que se origine una comprensión en los estudiantes,
fortalece y/o guía procesos de reconocimiento del objeto proporcionalidad. Este aspecto
guarda estrecha relación con lo que se propone en los conjuntos de expresiones
encontradas en los syllabus de formación, ya que en ellos se establece una necesidad
básica de desarrollo intelectual en el EPM quien aprende sobre los fenómenos de la
enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla como un
saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento
aritmético en la escuela. Si bien no se desconoce un proceso de transmisión de
conocimiento en uno de los syllabus de formación estudiados, se privilegia la resolución
de problemas como metodología de clase en la que se plantea al profesor como guía u
orientador en el proceso de enseñanza y lo sitúa como mediador entre los estudiantes y un
saber matemático y/o didáctico específico. Ahora bien, se determina la importancia, en
los syllabus de formación, sobre la reflexión y desarrollo de los objetos matemáticos y su
mirada desde aspectos didácticos asociados con su enseñanza, aspecto que se dimensiona
claramente en las unidades didácticas estudiadas, ya que se encuentran expresiones
orientadas hacia la reflexión sobre las acciones que el EPM realizó y sus implicaciones en
el proceso de aprendizaje. Finalmente, tanto en las concepciones locales-subjetivas como
en las locales-epistemológicas se concibe a la enseñanza como proceso separado al del
aprendizaje donde una no necesariamente implica la otra, aunque no se reconoce el
proceso de enseñanza sin el de aprendizaje.
• Se concibe que el proceso de enseñanza no se da por si sólo con las acciones,
declaraciones, explicaciones y/o intervenciones del EPM sino que en él intervienen
contextos, recursos, dispositivos didácticos que son puestos en juego como mediadores
para lograr un proceso de enseñanza efectivo. En las unidades didácticas estudiadas se
concibe al proceso de enseñanza como aquel en el que el saber matemático debe ser
contextualizado por el EPM. Esta concepción está asociada a la perspectiva didáctica que
110
en efecto se describe a lo largo de las tres unidades didácticas desde la teoría de
situaciones didácticas desarrollada por Brousseau. En este mismo sentido, en los syllabus
de los espacios de formación [DI-02] y [DI-03] se dimensionan expresiones enfocadas
hacia el estudio de diferentes recursos para la enseñanza de la aritmética desde la
reflexión y los contextos de aplicabilidad de los mismos. No hay afirmaciones en los
syllabus de formación donde se manifieste la necesidad de desarrollar un estudio inicial
sobre los objetos matemáticos asociados a la proporcionalidad para luego poder
desarrollar un tipo de saber didáctico sobre los mismos; por el contrario, los desarrollos
son a la par y se identifican en los objetivos de los syllabus estudiados.
Respecto a las formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad:
• Se identifica una concepción de las acciones de los estudiantes encaminada hacia un
proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM dimensionado con mayor
frecuencia en las expresiones identificadas en las unidades [UD-08] y [UD-09]. Este
aspecto guarda coherencia con la concepción de enseñanza descrita anteriormente. Por su
parte, en los syllabus de formación estudiados no se logra identificar al aprendizaje en
dicho sentido, por el contrario, se asocia al proceso de adquisición de habilidades a través
de las resolución de problemas como metodología de los espacios de formación. Se
describe al EPM en el rol de resolutor de situaciones problemas propuestas por el docente
titular; de este modo, hay un rol activo del EPM en el proceso de aprendizaje pero no se
dimensiona con mayor frecuencia en las expresiones identificadas y descritas en las
unidades didácticas.
• Para los EPM, hay una concepción común del proceso de aprendizaje como aquel que
permite determinar dificultades en los estudiantes y estudiar las interacciones entre
estudiantes-estudiante, estudiante-saber. Estos aspectos son previstos en el diseño de las
actividades y son reportados como oportunidades para el ajuste de la planeación y las
secuencias de actividades. La observación y reflexión sobre las acciones, discusiones y
producciones de los estudiantes es una determinante a lo largo de las unidades didácticas
estudiadas y, en los syllabus de formación se identifica a partir de las expresiones
111
orientadas a la reflexión didáctica sobre los objetos matemáticos asociados a la
proporcionalidad, los recursos y dispositivos didácticos.
• La evaluación se concibe como la estructuración de niveles de desarrollo cognitivo a
nivel conceptual y procedimental sobre las producciones de los estudiantes a nivel
individual y grupal según la actividad propuesta por el EPM; se encontraron expresiones
en las tres unidades didácticas donde se reconoce un proceso de evaluación formativo y
constante pero para todas las actividades no habían unos criterios de evaluación
estructurados y tampoco se encontraron expresiones sobre las acciones realizadas por los
EPM respecto a la forma en la que se llevaron acabo dichos procesos alternos de
evaluación. Por su parte, en los syllabus de formación hay dos concepciones de
evaluación: la primera se asocia a las expresiones donde se describen niveles de
desarrollo cognitivo y comunicativo de los EPM, aspecto evidenciado en las unidades
didácticas; la segunda se basa en aquellas expresiones asociadas a procesos de evaluación
sumativa, por cortes de tiempo, donde se evalúa la producción y comprensión que van
adquiriendo los EPM en los espacios de formación sobre los objetos matemáticos y
saberes didácticos.
Frente al uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad:
• Se determina una concepción de situación fundamental como un contexto o un grupo de
contextos familiares a los estudiantes desde la teoría de situaciones didácticas que se
dimensionan, para el caso de la proporcionalidad, únicamente para el desarrollo del
pensamiento numérico-variacional. En cambio, en los syllabus de formación se menciona
un trabajo constante sobre situaciones problema propuestas por el docente titular que, en
algunos casos, son descritas dentro del contexto histórico y evolutivo con el fin de
analizar desarrollos matemáticos de civilizaciones como los babilonios, estudio de los
elementos de Euclides, entre otros.
• En los conjuntos de descripciones de las tres unidades didácticas se privilegian las
situaciones donde se evidencia una comparación entre espacios de medida como parte de
situaciones problema contextualizadas y presentadas a los estudiantes a lo largo de las
sesiones de clase. Se identifica una concepción de “ejercicios” usados como situaciones
112
descontextualizadas y que privilegian el uso de algoritmos para encontrar valores
desconocidos que permitan determinar proporcionalidad entre dos razones. En cuanto a
los syllabus de formación, se identificaron expresiones que se asocian a actividades
generales comunes que estructuran los tres espacios de formación: Talleres, exposiciones
magistrales por parte del docente titular, exposiciones que realizan los EPM, panales y
seminarios; de esta forma, no se encontraron descripciones particulares acerca de las
situaciones problema propuestas para ser abordadas en los espacios de formación.
Únicamente la unidad [DI-02] menciona tres contextos centrales para el desarrollo del
espacio: Trabajo sobre el libro de los elementos de Euclides, documento sobre desarrollos
históricos de los Babilonios y situaciones problema propuestas por el docente titular. En
las unidades didácticas no se describen situaciones y/o problemas a nivel histórico para la
enseñanza de la proporcionalidad.
Con relación al uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad:
• Algunos de los referentes sugeridos en los syllabus de formación fueron usados por los
EPM con el fin de: justificar, argumentar la importancia de trabajar la proporcionalidad
en el aula y reportar dificultades en el aprendizaje de la proporcionalidad en el proceso
didáctico de gestión. Uno de los referentes mayormente usado es Vergnaud y su libro “El
niño, las matemáticas y a realidad”, al igual se encuentran referentes comunes en los
syllabus de formación y las unidades didácticas como lo son: Gómez, Dickson,
Brousseau y Euclides. Este aspecto permite determinar que, para los EPM, hay una
necesidad de documentar su proceso de diseño, gestión y evaluación de actividades para
la enseñanza de la proporcionalidad, a través de referentes validados por la comunidad
científica de educación matemática. Así mismo, los referentes son ajustados a los
discursos y producciones que efectúan los EPM en las unidades didácticas; de esta forma,
la indagación de perspectivas y autores a nivel bibliográfico no se reflejan en las
concepciones de enseñanza encontradas pero sí se dimensionan al reportar los procesos
de aprendizaje que emergieron a lo largo de las sesiones de clase reportadas en las
unidades didácticas.
113
• En las tres unidades didácticas estudiadas aunque se define la forma en la que se
comprende la proporcionalidad, entendida por los EPM como “igualdad entre dos
razones”, no hay uso de referentes teóricos que desarrollen y/o sustenten a profundidad
dicha definición; aspecto que implica una concepción sobre la definición del objeto
matemático construida a lo largo de su proceso de aprendizaje, a través de los espacios de
formación del proyecto LEBEM, y las pre-concepciones construidas desde su formación
escolar. En cuanto a las expresiones encontradas en los syllabus de formación, hay
expresiones en las tres unidades de contexto estudiadas donde se dimensionan posturas
teóricas sobre las implicaciones del estudio y desarrollo del razonamiento proporcional
en los EPM, pero no hay sustentos teóricos mencionados que las respalden.
• Finalmente, en los syllabus de formación se dimensiona, en los referentes bibliográficos
propuestos y usados, una necesidad sobre el estudio y reflexión del desarrollo histórico de
los objetos matemáticos asociados a la proporcionalidad, análisis de aportes de otras
culturas y las implicaciones que se pueden determinar para el desarrollo de los procesos
de enseñanza y aprendizaje a nivel escolar. Éste aspecto no se evidencia en las unidades
didácticas [UD-09] y [UD-10] ya que no se toma en cuenta el desarrollo epistemológico
del objeto proporcionalidad y sus implicaciones en los procesos de enseñanza y
aprendizaje a nivel escolar.
De esta manera, se da respuesta a los cuestionamientos orientadores y los objetivos de la
investigación.
5.2. Conclusiones sobre el proceso de investigación
Con el fin de dar respuesta a la pregunta general, a las preguntas orientados mencionadas
anteriormente y cumplimiento a los objetivos de investigación propuestos, se determinaron
cuatro fases para el desarrollo metodológico de la investigación: Fase de revisión teórica y
selección de unidades de análisis, fase de diseño de la estrategia metodológica para la
recolección de la información en las unidades seleccionadas, fase de análisis de la información y
la fase asociada a la elaboración del informe final. A continuación se presentan las conclusiones
y principales aportes sobre dicho proceso de investigación implementado:
114
En primera instancia, a través del proceso de revisión teórica se construyó una red categorial que
se pudo validar a través del proceso de identificación y descripción de: Expresiones de reflexión
didáctica en torno a la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en los syllabus
oficiales de los espacios de formación que propone el proyecto curricular de LEBEM de la
Universidad Distrital y, las expresiones escritas que pudieron dar cuenta de concepciones sobre
la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad, presentes en las unidades didácticas
elaboradas durante la última práctica por los EPM que iniciaron sus estudios entre el semestre
2009-1 y 2010-3. De esta forma se lograron cumplir con los objetivos específicos de la
investigación.
En segunda instancia, a través de la implementación de dos técnicas de investigación
documental como lo son el análisis cualitativo de contenido (ACC) y la teoría fundamentada en
los datos (TFD) se pudo determinar: El conjunto total de unidades disponibles para el análisis de
las concepciones locales-subjetivas y locales epistemológicas, realización de una lectura
extensiva de cada documento e intensiva respecto a cada una de las partes de los mismos,
reducción y delimitación de las unidades que mayor información tuviesen respecto al
tratamiento de la proporcionalidad y, realización de un proceso de codificación abierta y
aproximación a un proceso de codificación axial dimensionando las sub-categorías en cada uno
de los documentos seleccionados.
En tercera instancia, a través del proceso de agrupamiento de las expresiones que tenían
descripciones similares, se logró realizar una descripción de los aspectos generales de las
concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas efectuada en los apartados 4.2.5 y
4.3.5 del presente informe. Este aspecto permitió realizar una aproximación a las concepciones
globales, a partir de la comparación de los elementos descriptivos generales de cada tipo de
concepción, estableciendo aspectos comunes y diferenciadores que son descritos en el apartado
5.1 de éste capítulo. De esta forma, se da solución a la pregunta general, las preguntas
orientadoras y el tercer objetivo específico de la investigación.
Por otra parte, a lo largo del proceso de investigación se determinó la importancia sobre el
estudio de las concepciones que poseen los EPM sobre la proporcionalidad porque:
• Son un elemento fundamental para la construcción del CDC en los procesos de formación
inicial de profesores de matemáticas.
115
• Hay estudios encontrados como los reportados por Zapata Blanco & Camacho (2012) en
los que las concepciones no dependen del programa de formación sino de otros factores
como la comprensión sobre los objetos matemáticos y su trabajo en el aula de clase.
• Hay una necesidad, reportada en los estudios de Valverde (2009), por estudiar y
profundizar sobre la formación que están teniendo los EPM sobre la proporcionalidad ya
que se ha catalogado como superficial, algorítmica, procedimental y poco conectada.
• Hay una hipótesis determinada en las investigaciones realizadas por Llinares & Sánchez
(1990) donde se afirma que la génesis del conocimiento profesional del profesor se
encuentra en las creencias de tipo epistemológico que tienen los EPM sobre los objetos
matemáticos y su comprensión sobre las nociones escolares que enseñan a través del
periodo de prácticas.
Al respecto, el proceso de investigación llevado a cabo sobre las concepciones que poseen los
EPM acerca de la enseñanza de la proporcionalidad permite aportar al campo de la formación de
profesores de matemáticas y problema de investigación algunas reflexiones:
• Si bien la concepción de profesor de matemáticas que propone el programa de formación
influye en las concepciones que los estudiantes van generando sobre los objetos
matemáticos, sus procesos de enseñanza y aprendizaje, hay un fuerte componente ligado al
sistema de creencias de los EPM que determina la forma en la que se actúa en la práctica. La
reflexión sobre la acción y la necesidad de generar espacios de enseñanza y a aprendizaje
basados en la resolución de problemas son aspectos que son de resaltar en el proyecto
LEBEM. Sin embargo, hay una serie de cuestionamientos que surgen desde los resultados
encontrados, como por ejemplo: ¿De qué forma se establecen procesos de articulación entre
los diferentes ejes de formación para poder evidenciar en la práctica docente una puesta
innovadora para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares? ¿Cómo se
establece el acompañamiento del proyecto curricular para la consecución de las prácticas que
posibilite la reflexión de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
escolares y cómo incide en las concepciones de los EPM? ¿De qué forma se surgen las
concepciones locales-subjetivas en el proceso de gestión del diseño de actividades en
116
ambientes escolares dispuestos en el espacio de práctica y cómo se relacionan con las
unidades didácticas que se plantean al final del espacio de formación?.
• Con relación a los planteamientos de Llinares (1990) presentados en el problema de
investigación, se evidencia que los desarrollos, trabajos y reflexiones que se construyen a
través de los espacios de formación que plantea el proyecto LEBEM proponen el aprendizaje
de los objetos matemáticos de la mano con la construcción y reflexión de saberes didácticos
en los EPM, aspecto que posibilita una visión amplia y complementaria a la que plantea
Llinares.
• Como contribución al campo de estudio sobre las concepciones, a través de técnicas de
análisis documental diferentes a las conocidas y reportadas en estudios anteriores sobre
concepciones, se pudo identificar, describir y comparar las expresiones sobre la enseñanza y
el aprendizaje de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y
evaluación, siendo este último el de menor información encontrada ya que en las unidades
didácticas y en los syllabus de formación se realiza un énfasis sobre los procesos de
evaluación del aprendizaje. Así mismo, las concepciones, más allá de considerarse marcos
organizadores implícitos de conceptos, son aspectos determinantes que modelan y
estructuran la acción del profesor, son una amalgama entre el sistema de creencias de los
sujetos derivado de la experiencia de aprendizaje en las instituciones de formación inicial
superior y la experiencia de la práctica en instituciones escolares básicas y secundarias.
Finalmente, los resultados encontrados en la presente investigación abren paso al estudio de las
concepciones que se pueden evidenciar a través de una red categorial construida y validada tanto
teórica como metodológicamente en el campo. El análisis de las acciones, gestos y expresiones
que emergen en la práctica a través de la observación directa del proceso de gestión del profesor
o EPM en el aula de clase se traduce en posibilidades para nuevos estudios; ya que, por aspectos
logísticos del trabajo, no fue posible dicha observación aunque se logró analizar el proceso
didáctico de gestión reportado en los protocolos que se encuentran en las unidades didácticas y
se encontraron aspectos importantes. Se reconoce la existencia de otro tipo de trabajos que
estudian las concepciones desde las acciones del profesor y están siendo desarrollados al interior
del proyecto curricular de LEBEM; los resultados de este trabajo podrían generar aportes a
dichos estudios sobre las concepciones y la reflexión sobre los programas de formación de EPM.
117
6. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS
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