SERIE DI POTENZE

una semi della formaJ

Sexy as Cx Xo si dice serie di patenteo il

6

Centrale in

Sex converge sempre in Xo

1 Esistono sere di potenze che convergono

SOLO un X X esistono sere che contiV ER

Possiamo sempre ipotizzare che x so

altrimenti cambiamo la variabile

X No X

a

2 afx x.fm Sa ÈJ o Joo

poi la richiamo x

Caso semplificato

Hp esiste GIÙ L

TEORIAcosa 1 L i az converge

solo per o

Caso 2 L E converge

ASSOLUTAMENTE per ogni c IR

a converge totalmente in tognicontatto di TT

JCaso 3 c 2 a a X

0 converge per 1 1 e

più precisamente converge totalmentein 1 15 la Volga

quindi anche in ogni campettocontenuta in C

diverse per 1 1 SÌ

per non posso dire

nullaDimostrazioneBasta applicare il catene dellaradice

Empia Il s Eia è1 159

quindi si ha convergenza totale se

Giotto ci

quinta ci

5

EL li fa ÈCASO GENERALE

Teoremi 1 se Zoe converge in un

punto Xo o allora converge totemun C f 9 per ogni opera

DI sanno converge inm

cioè 2am e

allora sicuramente an È ondain particolare 1am XII cm km

quindi per 1 159 Noin

an santin

sired 7 tanti Isnt

che mise1am olio m f

quindisupini sms ca c aiHis fi

e la serri converge totalmente

Doti raggio di convergenza

sugo x ER te Eaux converge mio

equivalentemente per il

µteorema 1

r sup zo te Zani converge mC 9,9

Le seguenti affermazioni seguono direttamente

se 1 1 E far converge Totalmentese 1 1 non convergere 1 1 DIPENDE DALLA SERIE

Nel caso speciale GIÀ sl

né esiste né limite

L cioè se le reoL

re so sse e alla L

LSe o la sera definisce una

funzione pongo fa an

per Xe Kr

Teorema f è Cam C vir

NOTA BENEM

Jfix lui E a x lui sì

ans a J D

DI STRATEGIA

calcolo le derivate di 5nA

1 nostro che Snc SIAè la somma parziale di una sene

J l

m J 1di potenze S'ng a I

Da mostro che la semi di potenze

anni s'mix ha

Lo stesso RAGGIO DI CONVERGENZA

che ha chiamato r di fax3 Sm f uniformemente in 1 159

fer

sin g di nuovo limite uniformeper 1 15 far

4 Applico i teoremi sulla convergenza

uniforme per scambiare le derivate

con il lumima a

J II'Cx lessi Shin a

n a Joo

V xee.hr

ora fix ÉGJÉ è una semi

L potenza con raggio di convergenza r

quindi applicando l'argomento di sopracon frà f ottengo che finè c e

Ipc È a È pde

quindi per induzione feciquindi basta dimostrare che

aj È ha lostesso RAGGIO DI conti

A J 1dato che E a J è una

O

seme di potenza basta che dimostra

che converge in p kg

caso semplificato 3 fuga L

e i

È l

ne criterio della radice

ka.se Éà éF FL 1 f 21

CASO GENERALE

sia r né raggio di convergenza

di Ecg meno g y due numeri

positivi te acqayerDato che yer Elogi yJ converge e

quindi lady s m a

a dimostriamo chea solJay converge per pJ L

J

infatti 1579 daII Èsnailyma per il criterio della radice

1la serie 25 Fg è convergente

IJ i

anni di Ja Xp converge tt per

r è

il raggio di convergenza è r

a J 1quindi gli I Jag X

J 1

è ben defunta e continua in Ehre fini gu

In conclusione fa e È

1 è CTC r.rs i

2 se 1 1 la semi NON CONVERGE

neanche puntualmente

3 Se misti dipende dalla particolare

seni

P esempn.si

E converge 1 1 1 diverse altrimenti

conti tot in ES SI Versai

2 È converge totalmente miC 1,1

E È converge per e Eli

converge tot in ES SI Versai

NON converge assolutamente

di che 1 talmente

e quindi neanche totalmente in

1,5

Prop data Sa na r o il

raggio di convergenzasi era conte tot in f virse e solo se µ È a

Dim è la definizione di conti.tt

La convergenza Unito è complicato

sicuramente conti tot cosi turfperò per esempio

In mi c 1,8 convergenoi non assolutemi

DOMANDA c'è convergenza UNIFORME

Criterio di Abel serve di potenze

p

se ante con raggio di convergenzar

converge in 2 allora

converge umf.in Elia V offer

converge in 2 allora

converge umf.in C rip offer

se converge ma in r che in

allora conti unf in C iii

Sega dimostrazione