Una, nessuna e centomila (parallele)

Alberto SaraccoDipartimento di

Matematica e InformaticaUniversità di Parma

Notte dei ricercatori, Parma 27 settembre 2013

Approvato dalla rete!

Il V postulato (1)

Dati r e P, quante parallele a r per

P?

Nessuna Una Infinite

Il V postulato (2)

Una! E’ il famoso V postulato di Euclide! (sarebbe l’ assioma di Playfair)

I primi IV postulati…

•Per due punti passa una retta

I

•Una retta finita si può prolungare indefinitamente

II

•Dati un centro e un raggio si può descrivere un cerchio

III

•Angoli retti sono uguali tra loro

IV

e il V

Se una retta incidente ad altre due rette forma due

angoli interni la cui somma sia minore di due

retti

ALLORA

Le due rette prolungate indefinitamente si

incontreranno dalla parte dei due angoli minori di

due retti

Cosa non va nel V postulato?

1

•Non piaceva ad Euclide

•Le prime 28 proposizioni non lo usano

2

•Sembra un teorema

•Il suo inverso è la Prop. 17

3

•La Proposizione 32 implica le proposizioni 16 e 17

•Perchè Euclide le enuncia?

La geometria assoluta

Occorre dimostrare il V

postulato

Oppure sostituirlo con

un altro assioma

Studiare la geometria

assoluta, dove valgono I, II, III e IV

Teoremi della geometria assoluta• In ogni triangolo la somma di due

angoli è minore di due retti

17

• Dati un punto P e una retta r non passante per P, esiste (almeno) una parallela a r passante per P31

Almeno una!

Dati r e P, quante parallele a r per

P?

Nessuna Una Infinite

Proprietà equivalenti a V

P = V

P teorema della g. euclidea

V teorema della g. assoluta + P

Proprietà equivalenti a V

Rette parallele alla stessa retta sono

parallele

Luogo dei punti equidistanti da una

retta: retta

Esiste una coppia di rette

equidistanti

Esistono due triangoli simili ma

non congruenti

Somma degli angoli interni di un

triangolo: 180

Esiste un triangolo con somma degli angoli interni 180

Esiste un rettangolo

Per un punto esterno a una retta

passa una e una sola parallela

…

Girolamo Saccheri

ASSURDO!

non V

Geometria assoluta

Euclides ab omni naevo vindicatus (1733)

Nei quadrilateri birettangoli isosceli

sono acuti• Equivalente a infinite parallele

sono retti• Equivalente a 1 parallela (V postulato)

sono ottusi• Equivalente a nessuna parallela

gli altri due angoli

Le ipotesi

Dell’angolo acuto

Dell’angolo retto

Dell’angolo ottuso

L’ipotesi dell’angolo ottuso

Ipotesi dell’angolo ottuso

V postulato

Assurdo!

L’ipotesi dell’angolo

ottuso distrugge sé stessa

L’ipotesi dell’angolo acuto

Ipotesi dell’angolo acuto

Esistono rette asintotiche

Non bello (???)

L’ipotesi dell’angolo

acuto ripugna all’idea di linea

retta

La geometria iperbolica

Saccheri aveva semplicemente trovato la geometria iperbolica

Geometria assoluta +

Negazione V postulato =

Geometria iperbolica

Nella geometria iperbolica

Ci sono infinite parallele ad r passanti per P

Esistono rette asintotiche

Somma degli angoli interni di un

triangolo: <180°

Somma degli angoli interni di un

triangolo: non costante

Triangoli simili sono

congruenti

Somma degli angoli interni + area del

triangolo = costante!

L’area dei triangoli è

limitata

Esistono rette incidenti parallele

alla stessa retta …

Un modello del piano iperbolicoPiano = disco

aperto D

Rette = diametri e circonferenze

perpendicolari al bordo di D

Angoli tra rette = angoli tra le

tangenti

Distanza = complicata. Man mano che ci si avvicina al bordo la distanza tra punti

aumenta

Limite del cerchio, M. C. Escher

Altre geometrie…

Negando il V postulato

• Abbiamo ottenuto la geometria iperbolica

Cosa succede se cambiamo altri postulati?

• Si trovano altre geometrie…

La geometria sfericaPiano = sfera S

Rette = circonferenze

massime

Angoli tra rette = angoli tra le

tangenti

Distanza = misurata sulle circonferenze

come nella geometria euclidea

Geometria sferica

Tutte le rette si intersecano

Vale il V postulato

Somma degli angoli interni di un

triangolo: >180 °

Somma degli angoli interni di un

triangolo: non costante

Triangoli simili sono

congruenti

Somma degli angoli interni - area del

triangolo = costante!

L’area dei triangoli è

limitata

Vale l’ipotesi dell’angolo

ottuso…

E l’assurdo?

Qualcosa non torna, ma cosa?

• Nella geometria sferica non vale il I postulato (se interpretato come “per due punti passa una e una sola retta”) e non vale il II postulato (le rette sono finite)

• Nella geometria sferica dati tre punti su una retta non ha senso chiedersi quale sta tra gli altri due

I postulati non postulati

Euclide usa anche delle “verità” che non

enuncia esplicitamente

Per parlare correttamente di “geometria euclidea”,

dovremmo enunciare tutti gli assiomi

Gli assiomi di Hilbert (20)•Due punti distinti dello spazio individuano una retta.•Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.•Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano.•Qualsiasi terna di punti non allineati di un piano individua tale piano•Se due punti di una retta giacciono su un piano tutti i punti della retta giacciono su quel piano•Se due piani hanno un punto in comune avranno almeno un secondo punto in comune•Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, ed esistono almeno quattro punti non complanari

Assiomi di collegamento

•Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati•Dati due punti distinti A e B, esistono un terzo e un quarto punto C e D sulla retta passante per A e Btali che A sta tra C e B e B sta tra A e D•Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due•Assioma di Pasch: siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta dcontenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC. (Intuitivamente l'assioma potrebbe essere espresso così: se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri due.)

Assiomi di ordinamento

•Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B'. In simboli: AB ≡ A'B'.

•La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A B′ ′ e A B′′ ′′ sono congruenti ad AB, alloraA B′ ′ ≡ A B′′ ′′.•Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A B e B C segmenti su una retta ′ ′ ′ ′ r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A B′ ′ e BC ≡ B C′ ′, allora AC ≡ A C′ ′.•Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC.•La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A B C′ ′ ′ e A B C′′ ′′ ′′ sono congruenti ad ABC, allora A B C′ ′ ′ ≡ A B C′′ ′′ ′′.•Se per due triangoli ABC e A B C′ ′ ′ si ha che AB ≡ A B′ ′, AC ≡ A C′ ′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B A C′ ′ ′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A B C′ ′ ′.

Assiomi di congruenza

•(Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.

Assioma delle parallele

•(Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenenteAB una famiglia di punti A₁, A₂, …,An tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, An-1An, sono congruenti a CD e tali che B giace tra A e An.

•(Assioma di completezza ). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi geometrici in modo che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria obbediente a tutti i venti assiomi precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema assiomatico di Hilbert.

Assiomi di continuità

E quindi?

Dati r e P, quante parallele a r per P?

Una,

(geometria euclidea)

nessuna

(geometria sferica)

e centomila!

(geometria iperbolica)

Sitografia / Bibliografia

• www2.unipr.it/~saralb74/divulgazione• Wikipedia• http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_g

eometrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/seconda_parte.htm

• http://www.dmf.unicatt.it/~bibsoft/provatesi/modello_iperbolico.htm

• Le geometrie non euclidee, D. Palladino e C. Palladino

• Geometrie non euclidee, S. Benvenuti