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UNIVERSIDADE DA CORUNtildeA
FACULTAD DE INFORMAacuteTICA Departamento de Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y de las Comunicaciones
Tesis Doctoral UNA TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE CONSTRUIDA MEDIANTE
TEacuteCNICAS Y MODELOS DE GESTIOacuteN DEL CONOCIMIENTO
Autor
Ingeniero Mariacutea Aurora Martiacutenez Rey
Directores
Doctor Juan M Ares Casal
Doctor Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten
A Coruntildea mayo del 2008
III
RESUMEN
En esta tesis se muestra y demuestra coacutemo la ecuacioacuten fundamental del conocimiento
aplicada al propio conocimiento mejora eacuteste Naturalmente eacutesta es la forma de trabajar de
los cientiacuteficos en sus investigaciones pero aquiacute se trata de probar que usando teacutecnicas de
gestioacuten del conocimiento cualquier especialista en una materia puede sacar provecho de
dicha ecuacioacuten
En este trabajo se eligioacute el dominio del desarrollo del software como marco donde investigar
la tesis propuesta Asiacute en primer lugar se detectoacute que el conocido ldquogaprdquo entre el desarrollo
del hardwarerdquo y el del software es baacutesicamente consecuencia de que el primero tiene una
verdadera ingenieriacutea que lo soporta y por lo tanto una ciencia que lo avala y fundamente
respectivamente la electroacutenica y la fiacutesica en tanto la segunda es auacuten maacutes un arte que una
ingenieriacutea sin teoriacutea cientiacutefica que la avale
Por ello la propuesta que se hace es presentar una teoriacutea que convierta el desarrollo software
en una verdadera ingenieriacutea Con esto ldquoin menterdquo se han establecido las condiciones formales
y materiales de adecuacioacuten de cualquier teoriacutea A continuacioacuten utilizado el teorema de
Loumlwehim-Skolem y la generacioacuten de los nuacutemeros ordinales a partir del vaciacuteo por von
Neumann se demuestra la factibilidad de dicha teoriacutea Posteriormente y tomando como
dominio la programacioacuten funcional y maacutes en concreto la ldquocurryficacioacutenrdquo se comprueba la
viabilidad de la teoriacutea
Para finalmente proponer una teoriacutea que cumpliendo los requisitos exigibles a cualquier
teoriacutea fundamenta el desarrollo software Maacutes auacuten pues la teoriacutea propuesta es tan amplia y
robusta que pude aplicarse a cualquier sistema de informacioacuten incluido el ADN y el Cerebro
Para contrastarla se proponen en todos estos dominios distintos experimentos cruciales que
supuestamente son capaces de falsarla
Como resultados concretos se han obtenido los siguientes
A) Establecimiento de los liacutemites computacionales en 1050 operaciones por segundo y
1031 bits de memoria para un ldquomentefactordquo de 1kg
B) Que la conjuncioacuten del teorema de Loumlwehim-Skolem y la propuesta de generacioacuten de
ordinales de von Neumann son suficientes para establecer una teoriacutea para el
IV
desarrollo del software De paso y como resultado antildeadido se ve que la expresioacuten de
Kronecker sobre la creacioacuten de los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el
siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo el hombre hizo el resto
C) La idea de la Programacioacuten funcional de Frege y Schoumlfinkel que desarrolloacute Curry
establece la efectividad de una teoriacutea axiomaacutetica para el desarrollo software
D) Se propone una teoriacutea con dos constructos y tres postulados no soacutelo para el desarrollo
software sino tambieacuten para cualquier sistema de informacioacuten
E) Finalmente y como efecto colateral se muestra como Leibniz plagioacute al espantildeol
Caramuel en la creacioacuten del sistema binario de numeracioacuten
V
ABSTRACT
This thesis shows and proves how the elementary knowledge equation applied to knowledge
itself improves knowledge This is of course the way in which scientists pursue their research
Here however we demonstrate that using knowledge management techniques any specialist
in a subject can benefit from the knowledge equation
In this work the domain of software development was chosen as the framework for
researching the proposed thesis First it was found that the well-known gap between
hardware development and software development is basically a consequence of hardware
being underpinned by a genuine engineering discipline mdashand therefore backed and supported
by science respectively electronics and physicsmdash whereas software is still more of an art
than engineering without any underlying scientific theory
The proposal then is to put forward a theory that converts software development into a true
engineering discipline Bearing this in mind the formal and material adequacy conditions have
been established for any theory Then the feasibility of the proposed theory was proved using
the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal number generation from
vacuum Subsequently the theory was tested in the functional programming domain and
specifically on curryfication
Finally we propose a theory that conforming to the requirements placed on any theory
underpins software development Moreover the proposed theory is broad and robust enough
to be applied to any information system including DNA and the brain To prove this a number
of crucial experiments are proposed for all domains which should falsify the theory
The findings are as follows
A) The computational limits for a 1kg mindfact are 1050 operations per second and 1031
bits of memory
B) The combination of the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal
generation proposal are sufficient to establish a software development theory As a
spin-off it was found that what Kronecker said about integer number creation needs
to be restated as ldquoGod made the vacuum all else is the work of manrdquo
VI
C) Frege and Schoumlfinkelrsquos idea of functional programming developed by Curry
establishes the effectiveness of an axiomatic theory for software development
D) The proposed theory which has two constructs and three postulates applies not only
to software development but also to any information system
E) An incidental finding is that Leibniz plagiarized the Spaniard Caramuelrsquos binary
numbering system
VII
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a mi familia el apoyo y comprensioacuten incondicional que me
han dado en todo momento definitivamente sin ellos jamaacutes hubiese llegado hasta aquiacute En
especial quiero destacar el esfuerzo de mis padres a fin de darme una educacioacuten que me
permitiera tener unos cimientos lo suficientemente fuertes para poder alcanzar esta meta A
mi madre por su constante dedicacioacuten carintildeo y lucha para que continuara ldquoal pie del cantildeoacutenrdquo
A mi padre por su ejemplo incasable de trabajo y fortaleza quien hasta en sus uacuteltimos
momentos me ensentildeoacute la importancia de seguir adelante haciendo frente a las adversidades
por grandes que fueran Tambieacuten agradezco muy especialmente a mi hermana porque sin su
ayuda compantildeiacutea y consejos seguramente no hubiese llegado maacutes allaacute de la mitad del camino
Tambieacuten quiero agradecer a mis directores de tesis Profesores Doctores Juan Ares Casal y
Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten Aradas su comprensioacuten y confianza en este trabajo tan arriesgado
sobre todo antes de presentarles resultados concretos Naturalmente sus consejos directos o
indirectos fueron de valiosa ayuda para llevar a buen fin la investigacioacuten Asimismo en sus
opiniones y conocimientos sobre la teoriacutea propuesta en la que ellos habiacutean trabajado
previamente Sin ellos este trabajo no se habriacutea llevado a cabo en el peor de los casos y en el
mejor no de eacutesta manera
Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a Javier Andrade y colegas por permitirme usar
sus propuestas experimentales como piedra de toque de la teoriacutea propuesta
Mencioacuten aparte merece el profesor Juan Pazos Sierra Su apoyo ayuda ideas conocimientos
y criacuteticas fueron esenciales tanto para la eleccioacuten como el desarrollo de la investigacioacuten Soacutelo
voy a citar dos ejemplos de su apoyo criacutetico y sin contemplaciones para con la doctoranda El
primero se produjo cuando al explicarle el objeto de la tesis me dijo ldquoYo en estos casos
siempre le doy a los doctorandos el siguiente consejo Intenta una cosa que no has hecho tres
veces Una para perderle el miedo a hacerlo La segunda para aprender a hacerlo Y la
tercera para ver si te gusta o no iexclAh Y en cuanto veas que sabes hacer algo inmediatamente
ponte a hacer algo que no sepasrdquo Es decir se creativa perseverante y por supuesto la tesis
no estaraacute lista hasta que la escribas y reescribas al menos tres veces
El segundo fue tal vez maacutes descorazonador fue cuando al contarle en que queriacutea trabajar
me soltoacute ldquoHasta que te hayas leiacutedo el Menoacuten de Platoacuten (Platoacuten 1969) y entiendas
VIII
perfectamente lo que es el meacutetodo socraacutetico de la ldquomayeacuteuticardquo es decir el arte de mediante
el diaacutelogo inquisitivo de pregunta-respuesta alumbrar los espiacuteritus no quiero volver a hablar
contigo de este asunto Eso siacute despueacutes en un tono menos perentorio me empezoacute a hablar de
Platoacuten y los filoacutesofos griegos claacutesicos que me hizo aprender maacutes de filosofiacutea y ciencia que
todo lo que me habiacutean explicado y o leiacutedo hasta entonces
Posteriormente y ya como fuente de conocimiento fue una auteacutentica mina No soacutelo me
contestoacute con precisioacuten y erudicioacuten a todo lo que le pregunteacute sino que sus consideraciones me
haciacutean replantear mi investigacioacuten haciendo eacutesta maacutes productiva y eficiente Y esto es de tal
modo asiacute que tanto las ideas aportadas y los resultados obtenidos como los meacutetodos
empleados para conseguirlos son tanto o maacutes de eacutel que miacuteos Naturalmente el trabajo que
implica todo ello es de la doctoranda pero lo que quiero sentildealar es que cuando exponiacutea una
idea absolutamente original para miacute eacutel sin decirlo ya pareciacutea conocerla de toda la vida e
inmediatamente me indicaba los problemas y dificultades que iba a encontrar en su desarrollo
y verificacioacuten
Pero es que ademaacutes Pazos siempre me insistioacute en que la mayeacuteutica debe conducir a la
claridad para que finalmente todo el mundo entendiera el conocimiento aflorado Al respecto
poniacutea el ejemplo del premio Nobel de Fiacutesica de 1965 Richard Philips Feyman (1918-1988) Eacuteste
en cierta ocasioacuten fue requerido por un miembro del claustro del Caltech donde trabajaba
para que le explicase por queacute las partiacuteculas de espiacuten un-medio obedecen a la estadiacutestica de
Fermi-Dirac en vez de la de Bose-Einstein Eacutel despueacutes de calibrar a su audiencia respondioacute
Preparareacute una leccioacuten para este tema para los estudiantes novatos Pero unos diacuteas maacutes tarde
buscoacute puacuteblicamente a su interlocutor y paladinamente dijo Sabes no pude no pude reducirlo
al nivel de los novatos Esto significa que realmente no lo entendemos
IX
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN III
ABSTRACT V
AGRADECIMIENTOS VII
TABLA DE CONTENIDO IX
CAPIacuteTULO I 1
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO 1
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS 2
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE 9
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES 9
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE 11
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN 20
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE 22
II2 TEORIacuteAS 28
II21 INTRODUCCIOacuteN 28
II22 DEFINICIOacuteN 29
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA 32
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS 49
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA 56
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE 61
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA 63
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS 63
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA CASUALIDAD CAUSALIDAD O
ldquoCAUSUALIDADrdquo 67
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL 69
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM 72
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO DEFINICIOacuteN DE
NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN 75
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN 85
III31 INTRODUCCIOacuteN 85
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN 87
III4LOacuteGICA COMBINATORIA 100
X
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo 101
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO 102
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS 110
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA 115
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA 115
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA 115
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS 117
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES Y HOLONES 130
IV31 INFORMOacuteN 130
IV311 DEFINICIOacuteN 130
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN 134
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN 135
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo 138
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN 138
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES 143
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS 146
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA 148
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES 151
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA 154
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN 154
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN 159
V1 RESULTADOS 159
V2 CONCLUSIOacuteN 163
CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA 165
1
CAPIacuteTULO I
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO
Este trabajo tiene por objeto mostrar coacutemo la ldquoGestioacuten del Conocimientordquo en adelante GC
puede emplearse con provecho esto es consiguiendo resultados ldquotangiblesrdquo y evaluables en
la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica En efecto consideacuterese la ecuacioacuten fundamental del
conocimiento que se muestra graacuteficamente en la figura I1 que establece en general que
cualquier cosa maacutes conocimientos implica una mejora de dicha cosa (Moral del 2007) Esta
ecuacioacuten que formula una ley empiacuterica se basa en la multitud de ejemplos de coacutemo materias
primas seres vivos capitales energiacutea y un largo etceacutetera al aplicaacuterseles conocimiento
adecuado obtienen ventajas competitivas Los casos tal vez maacutes paradigmaacuteticos al respecto
sean los del petroacuteleo y los hongos Eacutestos que invadiacutean y corrompiacutean todo lo que tocaban
despueacutes de aplicarles los conocimientos obtenidos a raiacutez del descubrimiento serendiacutepico de
sus propiedades antibacterianas por los por eso galardonados con el premio Nobel Fleming
Flory y Chain se convirtieron en un medicamento eficaz e indispensable la penicilina para
combatir las enfermedades bacterianas Con el petroacuteleo ldquomuntatis muntandisrdquo sucedioacute algo
parecido Hace antildeos el petroacuteleo era un fluido ldquoasquerosordquo que contaminaba campos y
paacuteramos e incordiaba sobre todo a agricultores y ganaderos que no sabiacutean coacutemo quitarse esa
ldquoplagardquo de encima En este caso gracias al conocimiento adecuado en forma de ldquocrackingrdquo en
las refineriacuteas se convirtioacute en un deseado obscuro objeto de deseo el asiacute llamado ldquooro negrordquo
imprescindible para la sociedad actual Sus subproductos en especial gasolinas queroseno y
gasoacuteleos asfalto y plaacutesticos son tan importantes para la sociedad actual que eacutesta no se
entenderiacutea sin ellos Y por supuesto no seriacutea tan coacutemoda y avanzada
Figura I1 Ecuacioacuten Fundamental de los Conocimientos
Pues bien como la ecuacioacuten no plantea excepciones tambieacuten es aplicable a los propios
conocimientos Es decir conocimientos aplicados a los conocimientos producen una mejora
de eacutestos Esta mejora da origen a un proceso de retroalimentacioacuten positiva o por mejor decir
2
a un ldquociacuterculo virtuosordquo o ldquohelicoide de conocimientosrdquo de modo que eacutestos son cada vez
mayores en cantidad y mejores en calidad Sin embargo y esto es lo paradoacutejico y motivante a
medida que se ampliacutea la isla de los conocimientos humanos aumenta como anaacutelogamente lo
muestra la circunferencia el litoral de la ignorancia humana En este tira y afloja hasta ahora
la uacutenica forma que se conoce de aplicacioacuten de la ecuacioacuten es mediante el protagonismo del
cientiacutefico y o investigador que es el protagonista del desarrollo cientiacutefico tecnoloacutegico La
cuestioacuten y eacuteste es el objeto primordial de esta tesis es si y coacutemo las teacutecnicas meacutetodos y
herramientas de la GC pueden crear o cuando menos colaborar efectiva y eficientemente en
aumentar los conocimientos cientiacuteficos
Y esto lleva a resaltar la importancia de esta cuestioacuten Si hubo un tiempo la Grecia Claacutesica en
que un solo ser humano podriacutea acumular todo el conocimiento existente hoy dado su
crecimiento exponencial o casi eso es imposible Por lo cual seriacutea de gran ayuda si la GC
pudiera aplicarse en la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica La hipoacutetesis aquiacute planteada es de
que siacute Pero no soacutelo eso sino que y esto es una evidencia en el sentido galileano del teacutermino
es decir algo que se puede combatir y nunca refutar que en el futuro la GC seraacute condicioacuten
necesaria para la investigacioacuten cientiacutefica Maacutes auacuten y esto soacutelo se menciona especulativamente
y en condicional tal vez si los partidarios de la Inteligencia Artificial dura acaban por tener
razoacuten no soacutelo seraacute condicioacuten necesaria sino suficiente para dicha investigacioacuten
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS
Siguiendo la norma tradicional y convencional de clasificar los objetivos en los tres niveles de
A) Finalidades de caraacutecter filosoacutefico y muy general
B) Fines fundamentalmente cualitativos y en consecuencia difiacutecilmente evaluables y
C) Metas concretas y evaluables
Esta tesis tiene como finalidad analizar el uso efectivo y eficaz de la Gestioacuten del Conocimiento
en el desarrollo software Como fin el contrastar la posibilidad y factibilidad de proponer una
teoriacutea que soporte las ldquoingenieriacuteasrdquo implicadas en el desarrollo software la ingenieriacutea del
software y del conocimiento Y finalmente como meta especiacutefica el proponer una teoriacutea en la
que fundamentar ambas ingenieriacuteas
Para alcanzar dichos objetivos se ha conseguido usando las teacutecnicas de GC de Mapas de
Conocimientos (ldquoSeis Clicksrdquo) importacioacuten de conocimientos ontologiacuteas etc lo siguiente
3
1) Identificar clara y precisamente de forma cuantificable el ldquogaprdquo entre la ingenieriacutea del
hardware (microprocesadores) exponencial y la ingenieriacutea del software en el mejor de
los casos lineal Al tiempo se postula que dicho ldquogaprdquo es sobre todo pero no
exclusivamente consecuencia de la carencia de teoriacutea en la que se apoye el desarrollo
software
2) Demostrar la posibilidad de desarrollar dicha teoriacutea Para lo cual se haraacute uso de varios
resultados conocidos Por una parte la propuesta de von Neumann de la generacioacuten
de los nuacutemeros y el teorema de Loumlwenheim-Skolem que muestra que toda teoriacutea
empiacuterica cientiacutefica es un modelo loacutegico de un sistema axiomaacutetico deductivo
fundamentado en los nuacutemeros naturales
3) Probar la factibilidad de realizacioacuten de dicha teoriacutea ejemplarizado en la
ldquocurryficacioacutenrdquo esto es en la programacioacuten funcional basada en los trabajos de Frege
Schoumlnfinkel y Curry
4) Dar un paso maacutes y proponer realmente una teoriacutea basada en los resultados anteriores
que consta de dos ldquoconstructosrdquo a saber holones e informones y tres postulados
Naturalmente para que dicha teoriacutea sea falsable tambieacuten se daraacuten las pruebas frente
a las cuales mostraraacute su validez
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS
Hablando abstractamente una buena metodologiacutea de solucioacuten de problemas luego de
identificar y formular clara y precisamente el problema debe responder a las tres cuestiones
siguientes iquestEs posible una o maacutes soluciones iquestEs realizable dicha solucioacuten iquestEs deseable En
efecto para queacute intentar resolver un problema si como sucede muchas veces ldquoa priorirdquo se
sabe o puede demostrarse que el problema no tiene solucioacuten Esto es una cuestioacuten de eficacia
La segunda cuestioacuten atantildee maacutes a la eficiencia A veces hay problemas que se sabe que tienen
solucioacuten verbigracia el ajedrez sin embargo hasta hace poco dado que era un problema
exponencial era inviable por el tiempo requerido una solucioacuten de ldquofuerza brutardquo Todos los
problemas NP-Completos caen en este apartado Finalmente en ciertas ocasiones el
problema es resoluble y viable y sin embargo por alguna causa no es deseable por ejemplo
por razones eacuteticas ecoloacutegicas sociales econoacutemicas etc no es deseable ni recomendable
resolverlo simplemente porque seriacutea peor el remedio que la enfermedad La respuesta a las
dos primeras preguntas se daraacuten en el capiacutetulo III de este trabajo
4
Pues bien en el sentido y ejecucioacuten de esta tesis se tuvieron en cuenta estas cuestiones en la
metodologiacutea aplicable a la misma y que esquemaacuteticamente se muestra en la figura I2 Como
puede verse dicho esquema metodoloacutegico se basa por una parte en emplear los seis
honrados servidores del hombre de Rudyard Kipling (Kipling 1990) Queacute Quieacuten Por queacute Para
queacute Cuaacutendo Coacutemo y Doacutende y por otra las cuatro reglas del Meacutetodo Cartesiano (Descartes
1637) a saber De evidencia Anaacutelisis Siacutentesis y Prueba
Figura I2 Esquema de Solucioacuten de Problemas desde una Perspectiva de GC
5
Finalmente sentildealar que la teoriacutea propuesta tiene que constituir un sistema deductivo Para su
buacutesqueda y definicioacuten se hizo uso de la conocida regla heuriacutestica de ldquoanaacutelisis-siacutentesisrdquo y de la
loacutegica experimental En efecto las caracteriacutesticas baacutesicas de los sistemas deductivos son (a)
principio de ldquoretrasmisioacuten de la falsedad desde la base hasta la cuacutespiderdquo esto es mediante
ldquoretroduccioacutenrdquo desde las conclusiones a las premisas Haciendo asiacute un contraejemplo de una
conclusioacuten seraacute un contraejemplo de al menos una de las premisas (b) El ldquoprincipio de
transmisioacuten de la verdadrdquo desde las premisas a las conclusiones Pero y esto es muy
importante a estos sistemas no se les exige que transmitan falsedad o retrasmitan verdad
Para llevar esto a buen puerto los sistemas deductivos hacen uso de la regla de ldquoanaacutelisis-
siacutentesisrdquo que funciona como sigue (Lakatos 1981) Extrae conclusiones de tu conjetura una
tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera si llegas a una conclusioacuten falsa entonces
tu conjetura es falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera entonces tu
conjetura tal vez haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e
intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso es decir desde la verdad indudable
hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado la conjetura Esta regla heuriacutestica
pone de manifiesto por queacute los antiguos griegos teniacutean en tan alta estima la ldquoReductio ad
absurdumrdquo les ahorraba el trabajo de siacutentesis habiendo probado el caso soacutelo con el anaacutelisis
Anaacutelisis que puede ser de dos tipos teoacuterico dirigido a la buacutesqueda de la verdad y
praxeoloacutegico praacutectico o problemaacutetico que de estas tres formas se denomina dirigido a
encontrar lo que se ha dicho que hay que encontrar
La mayoriacutea de los grandes cientiacuteficos Maxwell Einstein Dirac etceacutetera usaron o procedieron
mediante lo que se conoce como ldquoloacutegica experimentalrdquo un aparente oxiacutemoron es decir
teacuterminos contradictorios en siacute mismos pero en este caso soacutelo en apariencia En loacutegica
experimental se formulan hipoacutetesis formalmente a poder ser en forma de ecuaciones y se
experimenta con ellas Esto es se intenta perfeccionar las ecuaciones desde el punto de vista
de su belleza o perfeccioacuten interna y su consistencia Y a continuacioacuten se verifica si las
ecuaciones ldquomejoradasrdquo explican alguacuten aspecto de la naturaleza Las matemaacuteticas utilizaban la
acabada de citar ldquoreduccioacuten al absurdordquo que consiste en que para demostrar A se asume lo
opuesto de A y se llega a una contradiccioacuten con lo que se afirma A Por el contrario la ldquoloacutegica
experimentalrdquo consiste en una ldquovalidacioacuten por fecundidadrdquo que estriba en que para validar A
se asume A y se demuestra que conduce a resultados uacutetiles Frente al ldquomodus operandirdquo de la
loacutegica deductiva la ldquoloacutegica experimentalrdquo se inspira en la maacutexima ampliamente utilizada en
GC siguiente ldquoMaacutes vale pedir perdoacuten que solicitar permisordquo De hecho la ldquoloacutegica
experimentalrdquo no contempla al menos ldquoprima facierdquo la inconsistencia como una cataacutestrofe
6
irremediable sino como una oportunidad esperanzadora Si una liacutenea de investigacioacuten es
fructiacutefera no debiacutea ser abandonada por su inconsistencia o caraacutecter aproximado Por el
contrario hay que buscar el modo de convertirla en correcta En este sentido el premio Nobel
de Fiacutesica Steven Weinberg sentildealoacute que muchas veces se aplican las ideas correctas al problema
equivocado
Para centrar la cuestioacuten cientiacuteficamente y huir de toda especulacioacuten metafiacutesica lo primero que
se hizo fue aplicar la GC en forma de Mapa de Zack y esquema de obtencioacuten del conocimiento
para identificar un problema relevante en el aacuterea en la que la doctoranda teniacutea cualificacioacuten
universitaria el desarrollo software De esto trata el capiacutetulo II en el cual en forma de estado
de la cuestioacuten se considera detalladamente
A) Las bases tecnoloacutegicas de la crisis del software provocada fundamentalmente por una
carencia de teoriacutea del software que soporte las ingenieriacuteas del software y del
conocimiento
B) Naturalmente si lo que se busca es una teoriacutea cientiacutefica previamente debe
establecerse lo que se entiende por tal Ademaacutes como no hay mejor predicador que
fray ejemplo se daraacuten en distintos dominios ejemplos de teoriacuteas cientiacuteficas tanto
formales como empiacutericas o exponenciales
A continuacioacuten en el capiacutetulo III usando conocimiento formal se demuestra no soacutelo que
dicha teoriacutea es posible apartado III1 aportacioacuten de von Neumann y Teorema de Loumlwenheim-
Skolem sino que tambieacuten es viable y realizable viacutea ldquocurryficacioacutenrdquo apartado III2 Para probar
la posibilidad se hizo uso de las teacutecnicas de importacioacuten y de educcioacuten del conocimiento de
acuerdo con la regla de oro de la GC queacute se sabe queacute no se sabe y queacute se deberiacutea saber en
este caso concreto los resultados previos de von Neumann y Loumlwenheim-Skolem Por su
parte para probar la factibilidad apartado III2 se hizo uso viacutea importacioacuten de conocimientos
y inquisicioacuten al experto de algo habitual en el desarrollo software en este caso en el aspecto
concreto de la programacioacuten funcional y su fundamentacioacuten loacutegico-matemaacutetica Por y para lo
cual se usoacute el conocimiento previo de Frege Schoumlnfinkel y Curry En ambos casos la teacutecnica de
GC denominada mapas de conocimientos fueron de absoluta utilidad
Y para completar el triacuteo de cuestiones que exigiacutea el planteamiento de la hipoacutetesis y dentro de
la solucioacuten propuesta en el capiacutetulo IV se muestran los aspectos metodoloacutegicos de dicha
7
solucioacuten apartado IV1 y en el apartado IV2 la teoriacutea propuesta basada soacutelo en dos
ldquoconstructosrdquo o conceptos y tres postulados
Para finalizar en el capiacutetulo V se explicitan apartado V1 los resultados obtenidos las
conclusiones extraiacutedas apartado V2 y las futuras liacuteneas de investigacioacuten apartado V3 Y en
el capiacutetulo VI se da la bibliografiacutea
8
9
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES
En 1947 John Bardeen (1908-1991) y Walter Houser Brattain inventaron el transistor cuyo
nombre es el acroacutenimo de ldquoTransference Resistorrdquo en alusioacuten a su caracteriacutestica maacutes
importante transferir resistencia permitiendo el paso de corriente de una entrada de baja
resistencia a otra de salida de alta resistencia Ahora bien dicho transistor conocido como de
punta de contacto no era muy estable y fue necesario que otro cientiacutefico tambieacuten de los
laboratorios Bell William Bradford Shockley lo mejorara dando lugar al transistor de unioacuten Por
dicho invento y mejora los tres fueron galardonados con el premio Nobel de Fiacutesica del antildeo
1956 Insoacutelitamente John Bardeen esta vez en compantildeiacutea de Leon N Cooper y John Robert
Schrieffer volvioacute a conseguir el premio Nobel de Fiacutesica de 1972 por sus trabajos sobre la
superconductividad del metal proacuteximo al cero absoluto
En 1959 John Kilby de Texas Instruments patentoacute el circuito integrado que conteniacutea
centenares de componentes es decir transistores y resistencias tratadas en bloque que
recibieron el nombre coloquial de ldquochipsrdquo Este nombre alude a las finas lonchas de patatas
fritas cuya forma recuerda a la de los circuitos integrados aunque su procedencia proveniacutea de
las siglas ldquoCircuit High Integrated Processrdquo Siendo eacuteste uno maacutes de los tiacutepicos juegos de
palabras que tan a menudo ocurren en el mundo de la CS Pues bien el chip maacutes importante
es el microprocesador llamado tambieacuten Central Processing Unit (CPU) que se encarga de
controlar a todos los demaacutes y efectuar todas las operaciones
Nombre Antildeo Nordm de Transistores Ancho de bus
(bits) Frecuencia de Reloj
(Herzios)
44004 1971 2300 4 108 KHz 8080 1974 6000 8 2 MHz 8086 1978 29000 16 5 MHz 80286 1982 134000 16 6 MHz 80386 1985 275000 32 16 MHz 80486 1989 1200000 32 25 MHz Pentium 1993 3100000 64 y 32 60 MHz Pentium II 1997 7500000 64 233 MHz Pentium III 1999 9500000 64 500 MHz Pentium 4 2000 42500000 64 13 GHz Pentium M 2003 140000000 64 226 GHz Pentium D 2005 230000000 64 32 GHz Core 2 Duo 2006 291000000 64 266 GHz
Tabla II1 Caracteriacutesticas de los chips desde su creacioacuten
10
El primer microprocesador lo presentoacute Intel empresa fundada en julio de 1968 por Gordon
Moore Robert Nogee y Andrew Growe el 15 de Noviembre de 1971 A partir de ese
momento tal y como se muestra en la tabla II1 la evolucioacuten de los microprocesadores se hizo
vertiginosa En dicha tabla se muestran las caracteriacutesticas de los principales modelos de chips
comercializados por INTEL teniendo en cuenta los tres paraacutemetros fundamentales de un
microprocesador a saber ancho de bus de datos o nuacutemero de bits que puede manejar
simultaacuteneamente la frecuencia del reloj o velocidad de proceso y la cantidad de transistores
que contiene Y en la figura II1 se muestra dicha evolucioacuten hasta el antildeo 2020 pero teniendo
en cuenta soacutelo el nuacutemero de transistores por chip Curiosamente como Intel queriacutea
diferenciarse de otros fabricantes y no podiacutea patentar un nuacutemero al modelo siguiente al
80486 en lugar de 80586 lo denominoacute Pentium Siguiendo este esquema de nomenclatura el
siguiente modelo deberiacutea haberse llamado Sextium pero por las connotaciones que teniacutea con
ldquoSexrdquo a Intel le parecioacute maacutes oportuno numerar los Pentium como asiacute hizo Finalmente en los
uacuteltimos antildeos han denominado a sus modelos Core Duo en mencioacuten del doble nuacutecleo que
poseen
Figura II1 Ley de Moore en teacuterminos de procesadores Intel
Si se compara el ritmo de la evolucioacuten bioloacutegica con la de los instrumentos de coacutemputo
tomando como punto de partida de la primera la aparicioacuten de las ceacutelulas procariotas hace
unos quinientos millones de antildeos y de la segunda el aacutebaco babiloacutenico hace unos cinco mil
antildeos se ve como se muestra en la figura II2 que la evolucioacuten bioloacutegica es lineal en tanto que
la tecnoloacutegica es exponencial En dicha figura la capacidad de proceso estaacute representada en
teacuterminos de lo que puede adquirirse en cada momento por mil doacutelares y no en teacuterminos
absolutos de lo que es capaz de procesar el computador maacutes potente del momento Por su
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parte la capacidad de coacutemputo de los seres vivos se representa en la figura en base al nuacutemero
de neuronas del cerebro y a las posibilidades de conexioacuten sinaacutepticas y considerando que una
neurona es capaz de realizar mil instrucciones por segundo
Figura II2 Evolucioacuten bioloacutegica y tecnoloacutegica
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE
Raymond Kurzweil (Kurzweil 1999) sentildealoacute acertadamente que a lo largo del tiempo operan
dos leyes complementarias La primera conocida como ldquoLey del Aumento del Caosrdquo da cuenta
del hecho empiacuterico de que a medida que el caos se incrementa el tiempo se desacelera Dicho
en otros teacuterminos El intervalo transcurrido entre dos eventos relevantes crece con el tiempo
Esta ley que puede aplicarse tanto al Cosmos como a los organismos bioloacutegicos es la que hace
que los humanos pasen de la juventud a la vejez La segunda que es la que ldquohic et nuncrdquo esto
es aquiacute y ahora maacutes importa concierne baacutesicamente al desarrollo e innovacioacuten tecnoloacutegica y
opera de forma opuesta a la primera recibiendo el nombre de ldquoLey de los Rendimientos
Crecientesrdquo En la tabla II2 se dan dos ejemplos de funcionamiento de esta ley El primero
considera la aceleracioacuten histoacuterica del advenimiento de las distintas sociedades impulsadas por
los continuos y revolucionarios cambios tecnoloacutegicos El segundo muestra el tiempo
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transcurrido desde que se produce un descubrimiento cientiacutefico hasta que se convierte en una
innovacioacuten tecnoloacutegica de aplicacioacuten praacutectica La historia de la civilizacioacuten es la del intento
continuado del ser humano para reducir la brecha entre lo que piensa que sabe y lo que hace
es decir entre ciencia y tecnologiacutea Y lo que impulsa estos avances depende de cada caso Asiacute
en el caso del transporte es la utilidad lo que impulsa los avances Esta ley de los
ldquoRendimientos Crecientesrdquo da cuenta del hecho de que a medida que el orden crece
exponencialmente el tiempo se desacelera tambieacuten exponencialmente Dicho de otro modo
El intervalo transcurrido entre dos eventos importantes relevantes y significativos decrece con
el tiempo Un corolario conocidiacutesimo y ejemplo paradigmaacutetico de esta ley es la ldquoLey de
Moorerdquo aplicada a la tecnologiacutea de los microprocesadores que por su pertinencia y
relevancia se va a considerar maacutes ampliamente a continuacioacuten y que Forrester en 1987
(Forrester 1987) expresoacute como sigue El poder de la tecnologiacutea de la computadora a la misma
unidad de coste se duplica cada dieciocho-veinticuatro meses y tiende a disminuir el periacuteodo
Tipos de Sociedad Tiempo
Transcurrido
Descubrimiento Antildeos Transcurridos
Fotografiacutea 112
Rural Teleacutefono 56
10 Siglos Radio 35
Industrial Radar 15
2 Siglos Bomba Atoacutemica 6
Servicios Transistor 5
30 Antildeos Circuitos Integrados 3
Tecnologiacutea o Digital Enzimas de Restriccioacuten en el ADN recombinante
lt1
(A) Evolucioacuten de las Sociedades (B) Ley de Rendimientos Crecientes para distintos
Descubrimientos
Tabla II2 Ejemplos de la aceleracioacuten histoacuterica
En el antildeo 1965 Gordon E Moore uno de los fundadores de INTEL se percatoacute de que los
circuitos integrados estaban duplicando cada antildeo la densidad de los componentes electroacutenicos
que conteniacutean las distintas obleas de silicio que constituye el chip Y establecioacute dicha
observacioacuten perspicaz en forma de foacutermula empiacuterica que en honor de su descubridor recibe
el nombre de Ley de Moore (Moore 1965) Esta foacutermula empiacuterica que mide estimula y
predice la capacidad humana de innovacioacuten aplicada al progreso de la tecnologiacutea
microelectroacutenica obviamente no es una ley cientiacutefica de la naturaleza y en consecuencia ni es
universal ni menos eterna Esto hace que de vez en cuando haya que retocarla para ajustarla
a la realidad de los hechos En efecto si bien es cierto que el coeficiente multiplicador anual de
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densidad de los componentes electroacutenicos en un chip se mantuvo en el valor 2 desde 1958
hasta 1972 desde entonces se redujo hasta hoy en diacutea a 15 es decir a duplicarse cada
dieciocho meses y se estima que dicha tendencia continuaraacute hasta aproximadamente el antildeo
2020 A partir de ahiacute se cree que se volveraacute a reducir hasta un valor de 116 que continuaraacute
hasta alcanzar los liacutemites de las leyes fiacutesicas que rigen la construccioacuten de los chips actuales
esto es la electroacutenica convencional En efecto si se mantiene la ley de Moore antes de quince
antildeos los componentes electroacutenicos grabados en silicio llegaran a un tamantildeo molecular criacutetico
Por ejemplo en 1972 los chips de memoria tipo DRAM conteniacutean un kilobit esto es mil ceros
o unos Al ritmo multiplicador de 15 anual en el antildeo 2010 pasariacutean a tener una capacidad de
unos 64 gigabits o sea a albergar 64 mil millones de transistores por oblea de silicio Sin
embargo esta previsioacuten fue superada con creces pues ya en 1997 investigadores de la
Universidad de Minnesota anunciaron una teacutecnica para integrar ese mismo nuacutemero de
transistores en un chip de 1 centiacutemetro cuadrado de superficie Lo mismo cabe decir para los
chips microprocesadores aunque en este caso la pauta que siguen hay que restarle un orden
de magnitud En la gran conferencia patrocinada por la Association for Computing Machinery
(ACM) con ocasioacuten del primer cincuentenario de la informaacutetica celebrada del 1 al 5 de marzo
de 1997 y titulada ldquoThe Next Fifty Years of Computingrdquo Gordon Bell estimaba que dentro de
otros cincuenta antildeos los computadores seraacuten como miacutenimo 100000 veces maacutes potentes que
los actuales Por otra parte Raymond Kurzweil estimoacute que la capacidad operativa del cerebro
humano es de 20x1015 operaciones por segundo cifra que de acuerdo con la ley de Moore
alcanzaraacuten los procesadores del antildeo 2020 y duplicada 18 meses despueacutes
Para apreciar el extraordinario aumento de la potencia de los computadores es importante
recordar que desde 1950 hasta el presente dicho aumento es de aproximadamente iexclonce
oacuterdenes de magnitud en otras palabras se ha multiplicado por 1011 o auacuten es cien mil
millones de veces superior Un raacutepido incremento de potencia de esta magnitud apenas tiene
precedentes en la historia de la tecnologiacutea Para valorar por comparacioacuten la magnitud de este
impresionante incremento baste indicar que es mayor que el que supuso en la potencia de
los explosivos el paso de los explosivos quiacutemicos a la bomba termonuclear De hecho si se
retrocede ochenta antildeos la potencia de coacutemputo se ha multiplicado por un billoacuten Para tener
una idea aproximada de lo que esto significa compaacuterese con la velocidad de los medios de
comunicacioacuten a traveacutes de la historia y se ve que el solo aumento de un orden de magnitud fue
debido a un cambio tecnoloacutegico relevante para la humanidad Por ejemplo el paso de la
traccioacuten animal a la mecaacutenica por vapor o explosioacuten y de eacutesta a los aviones a reaccioacuten cohetes
etc Hace ocho mil antildeos el medio maacutes raacutepido de transporte era la caravana de camellos que
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alcanzaba una media de 12 kiloacutemetros por hora Hasta cuatro mil quinientos antildeos despueacutes no
se inventoacute el carro con ruedas que permitiacutea viajar a 30 kiloacutemetros por hora Casi tres mil
quinientos antildeos despueacutes en 1880 el hombre consiguioacute alcanzar los 150 kiloacutemetros por hora
gracias a la locomotora de vapor Los 600 kiloacutemetros por hora no se alcanzaron hasta hace 70
antildeos con los aviones a reaccioacuten Veinte antildeos despueacutes los aviones-cohete superaban los 6000
kiloacutemetros por hora Hoy las caacutepsulas espaciales circunvalan a tierra a maacutes de 35000
kiloacutemetros por hora La espectacular evolucioacuten tecnoloacutegica de los computadores si se le
compara con la evolucioacuten de la industria automoviliacutestica resulta auacuten maacutes ilustrativa En efecto
fue el malogrado psicoacutelogo entusiasta de los computadores Christopher Evans (Evans 1979)
el primero en establecer una analogiacutea de este tipo al plantear la cuestioacuten como sigue El
automoacutevil actual difiere de aquellos de los antildeos inmediatos de la postguerra en varios
aspectos Es maacutes barato y es maacutes econoacutemico y eficiente Pero supoacutengase por un momento
que la industria del automoacutevil se hubiera desarrollado al mismo ritmo que los computadores y
a lo largo del mismo periacuteodo iquestCuaacutento maacutes baratos y eficientes seriacutean los modelos actuales La
respuesta es Hoy se podriacutea comprar un Rolls-Royce por 135 libras esterlinas rendiriacutea 18
millones de kiloacutemetros por litro de gasolina consumido generariacutea suficiente potencia para
impulsar al Queen Elizabeth II y se podriacutea colocar media docena de ellos en la cabeza de un
alfilerrdquo Analogiacutea que posteriormente retomoacute Malcom Forbes (Forbes 1996) con cambios
miacutenimos Aumentando el precio del Rolls Royce rebajando la eficiencia en el consumo
comparando su fortaleza frente al Queen Mary Este Rolls consumiriacutea 1 litro de gasolina cada
milloacuten de kiloacutemetros tendriacutea una potencia superior al Queen Mary y ocupariacutea el volumen de
una cabeza de alfiler Por su parte Goacutemez y colegas (Goacutemez 1997) antildeadieron que tendriacutea
capacidad para 10000 viajeros y viajariacutea a maacutes de 5000 kmhora y redujeron el precio a menos
de un doacutelar Hoy podriacutea antildeadirse que iriacutea al taller cada 500 antildeos casi no contaminariacutea y que
praacutecticamente no hariacutea falta saber nada para conducirlo Es de suponer que en Microsoft no
estaacuten de acuerdo con este enfoque al menos su jefe de tecnologiacutea Nathan Myhrvold quien
establecioacute una ley para el software que dice ldquoLa programacioacuten crece maacutes raacutepido que la Ley de
Moorerdquo (Myhrvold 1998) Naturalmente todos estos datos exclusivamente referentes al
ldquohardwarerdquo se dan sin segunda intencioacuten no vaya a ser que el efecto Gates funcione de
nuevo Usando parte de esos datos y la Ley de Nathan (Myhrvold 1998) hace unos antildeos fuera
de contexto Bill Gates en un CONDEX imprudentemente se burlaba de la industria del
automoacutevil lo que provocoacute la indignacioacuten del presidente de la General Motors que convocoacute una
rueda de prensa en la que contestoacute lo siguiente Si la industria automovilista hubiera
desarrollado una tecnologiacutea como la de Microsoft conduciriacuteamos actualmente automoacuteviles
15
que tendriacutean dos accidentes al diacutea habriacutea que cambiarlos cada vez que se pintaran las liacuteneas
de la carretera se parariacutean sin motivo conocido y habriacutea que arrancarlos de nuevo para
continuar la marcha los asientos exigiriacutean que todos los ocupantes tuvieran el mismo formato
de culo el sistema de airbag preguntariacutea si se aceptaba que se desplegara antes de actuar y
en ocasiones soacutelo podriacutea arrancarse por el conocido truco de tirar de la puerta girar la llave y
sujetar la antena de la radio simultaacuteneamente Y siempre que se presentara un nuevo modelo
de coche todos los conductores deberiacutean aprender a conducir de nuevo porque ninguno de los
mandos funcionariacutea como en los modelos anteriores Como puede verse todas estas criacuteticas se
refieren al software Eacutestas y otras comparaciones que se podriacutean poner como ejemplo no
reflejan otra cosa que la realidad incuestionable del avance espectacular que ha tenido la
industria de los procesadores y de los computadores en su versioacuten ldquohardwarerdquo Ambos
enfoques se encuentran en la Tabla II3
A) HARDWARE
B) SOFTWARE
Microsoft
Accidentes Cambios Deteccioacuten Ergonomiacutea Automatizacioacuten Arranque Conocimiento
Conduccioacuten
2 x diacutea Cada vez
que se
pintaran
las liacuteneas
de la
carrete-
ra
Sin motivo
conocido y
habiacutea que
rearrancarlos
cada vez para
continuar
Los
pasajeros
deben
tener el
mismo
formato de
trasero
El airbag
preguntariacutea
antes de actuar
si se desplegaba
En ocasiones
tirar de la
puerta girar la
llave y sujetar
la antena de la
radio simultaacute-
neamente
Para cada
nuevo modelo
ir de nuevo a la
autoescuela
Tabla II3 Comparativas en Hardware y Software
Kurzweil analiza todo esto en un trabajo (Kurzweil 2005) en donde da su Ley de Aceleracioacuten
de los Retornos que aquiacute se resume como sigue un anaacutelisis de la historia de la tecnologiacutea
muestra que el cambio tecnoloacutegico es exponencial y no como parece indicar el sentido comuacuten
Tipo Precio Kmlitro Potencia Tamantildeo Capacidad Vel Kmh
Fiabilidad Conocimiento Conduccioacuten
Contami-nacioacuten
Rolls Royce
1 euro 18x106
Queen Elizabet II
6 en cabeza de alquiler
104 pasajeros
5x103
Cada 500 antildeos al taller
Praacutecticamente nulo
Cero
200000 euro
033 300CV 420x17060
4 pasajeros 250 Anual Academia Media
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lineal Asiacute los ldquoretornosrdquo tales como la velocidad de los ldquochipsrdquo y el coste-efectividad tambieacuten
se incrementaraacuten exponencialmente Hay incluso un crecimiento exponencial en los ratios de
crecimiento exponencial Dentro de pocas deacutecadas la ldquointeligenciardquo de la maacutequina
sobrepasaraacute la inteligencia humana conduciendo a ldquoLa Singularidadrdquo o cambio tecnoloacutegico tan
raacutepido y profundo que representa una ruptura en la realidad de la historia humana las
implicaciones incluyen la mezcla de inteligencia bioloacutegica y no bioloacutegica humanos inmortales
basados en software y ultraelevados niveles de inteligencia que la expanden en el universo a la
velocidad de la luz
Para Kurzweil el futuro es ampliamente malentendido Las previsiones humanas esperan que
el futuro sea lo maacutes parecido al presente que ha sido lo maacutes parecido al pasado Aunque las
tendencias exponenciales existen desde hace miles de antildeos en sus primeras etapas son tan
llanas que parece que no tengan tendencia en absoluto y eso es lo que ocurrioacute hasta ahora
por eso el futuro seraacute mucho maacutes sorprendente de aquiacute en adelante La mayoriacutea de las
previsiones a largo plazo de las capacidades teacutecnicas en periacuteodos de tiempo futuro subestiman
dramaacuteticamente el poder de la tecnologiacutea del futuro debido a que se basan en la visioacuten
ldquointuitivamente linealrdquo del progreso tecnoloacutegico antes que en la visioacuten ldquohistoacutericamente
exponencialrdquo Para expresarlo de otro modo no es el caso de que se experimentaraacute un
progreso de cien antildeos en el siglo XXI sino que el ser humano seraacute testigo de un progreso a la
ratio actual de 20000 antildeos Debido a que se estaacute duplicando la tasa de progreso cada deacutecada
a la ratio actual se veraacute una centuria de progreso en soacutelo 25 antildeos de calendario
Cuando la gente piensa en un periodo futuro intuitivamente asume que la actual ratio de
progreso continuaraacute en periacuteodos futuros Sin embargo una cuidadosa consideracioacuten de la
marcha de la tecnologiacutea muestra que la ratio de progreso no es constante pero estaacute en la
naturaleza humana adaptarse a la marcha del cambio de modo que la visioacuten intuitiva es que la
marcha continuaraacute a la tasa actual Incluso para incrementos sobre el tiempo la intuicioacuten da la
impresioacuten de que el progreso cambia a la ratio que se experimentoacute recientemente Desde la
perspectiva matemaacutetica una primera razoacuten para eso es que una curva exponencial se
aproxima a una recta cuando se ve durante un breve periacuteodo de tiempo De modo que
aunque la ratio de progreso en el inmediato pasado verbigracia el antildeo pasado fue mucho maacutes
grande de lo que hace dos antildeos la memoria estaacute a pesar de todo dominada por la
experiencia muy reciente Es tiacutepico por lo tanto que incluso personas ldquoexpertasrdquo cuando
consideran el futuro extrapolan la actual marcha del cambio sobre los proacuteximos diez o cien
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antildeos para determinar sus expectativas Por eso a esta visioacuten del futuro se denomina visioacuten
ldquointuitiva linealrdquo
Pero una evaluacioacuten de la historia de la tecnologiacutea maacutes meditada y rigurosa muestra que el
cambio tecnoloacutegico es exponencial En el crecimiento exponencial se encuentra que una
medida clave tal como la potencia computacional se multiplica por un factor constante por
cada unidad de tiempo verbigracia se duplica cada antildeo antes que justo ser sumado
incrementalmente Dicho en otros teacuterminos se estaacute ante una progresioacuten geomeacutetrica no
aritmeacutetica El crecimiento exponencial es caracteriacutestico de cualquier proceso evolutivo del que
la tecnologiacutea es un ejemplo primario Se pueden examinar los datos de diferentes maneras en
diferentes escalas de tiempo y para una amplia variedad de tecnologiacuteas yendo de la
electroacutenica a la bioloacutegica y la aceleracioacuten del progreso y el crecimiento se multiplican Maacutes auacuten
realmente no se encuentra justamente un crecimiento exponencial simple sino ldquodoblerdquo lo
que significa que la ratio del propio crecimiento exponencial es exponencial Estas
observaciones no se basan uacutenicamente en la ley de Moore sino en un modelo que contempla
diversas tecnologiacuteas Lo que claramente muestra eso es que la tecnologiacutea particularmente la
marcha del cambio tecnoloacutegico avanza al menos exponencialmente no linealmente y lo ha
estado haciendo desde el advenimiento de la evolucioacuten a la Tierra Todo esto da lugar a la asiacute
llamada por Kurzweil ldquoLey de Aceleracioacuten de Retornosrdquo (Kurzweil 2005)
Para apreciar la naturaleza y significado de la ldquosingularidadrdquo que se avecina es importante
ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial A este fin permiacutetase usar el caso del
inventor del ajedrez Sessa o por mejor decir su leyenda Esta leyenda de hace maacutes de quince
siglos fue citada por Dante Alighieri (1265-1321) en el apartado del Paraiacuteso de su Divina
Comedia cuando en sus versos refirieacutendose a las luces del cielo dice(Alighieri 1988)
L`incendio suo seguiva ogne scintilla ed eran tante che`l numero loro piuacute che`l doppiar de li scacchi s`inmilla
hellip y eran tantas que su nuacutemero maacutes que al doblar de los escaques asciende
Es decir su nuacutemero era tan grande que superaba al que se obtendriacutea sumando los primeros 64
teacuterminos esto es el nuacutemero de escaques del tablero de ajedrez de la progresioacuten geomeacutetrica
de razoacuten dos a partir del uno El resultado es un nuacutemero enorme de veinte cifras expresado
por la foacutermula 264-1 Dante recuerda en su famosa obra la conocida leyenda oriental en una
de sus versiones Seguacuten Dante el rey persa Shiraz riquiacutesimo y aburrido convocoacute a los sabios y
les prometioacute una recompensa generosa si lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente
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Uno de los sabios de nombre Sessa o Sisa de acuerdo con las distintas foneacuteticas le llevoacute el
juego del ajedrez y le pidioacute un grano de trigo por la primera casilla dos por la segunda cuatro
por la tercera ocho por la cuarta y asiacute sucesivamente Naturalmente no pudo pagarle al sabio
pero seguacuten otra versioacuten maacutes erudita y completa (Pazos J 2008) los matemaacuteticos que
calcularon la enorme cantidad de trigo que teniacutea que abonar el monarca le dieron la ldquorecetardquo
para salir airosamente del trance Hacerle contar al Sessa los granos de trigo que iba
recibiendo
Soacutelo queda por plantearse una cuestioacuten iquestEl nuacutemero de granos que solicitaba el brahmaacuten es
mayor menor o igual que el nuacutemero de posibles jugadas en el juego que descubrioacute La
respuesta es que es mucho menor habida cuenta que el nuacutemero de jugadas posibles en el
ajedrez seguacuten Shannon es de 10120
La ldquoduplicacioacutenrdquo aunque parece un divertimento no es asiacute puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas El caso maacutes paradigmaacutetico es el de las bacterias los seres
vivos hasta el momento con mayor capacidad de reproduccioacuten En efecto si cuentan con
suficiente alimento una bacteria se divide en dos iguales cada veinte minutos A este ritmo
una uacutenica bacteria puede superar a toda la poblacioacuten humana actual en tan soacutelo 11 horas Para
calcularlo bastariacutea con elevar dos a treinta y tres el nuacutemero de divisiones que se produciriacutean
en ese tiempo Afortunadamente para dar ldquoalimentordquo a tan numerosa prole hace falta un
suministro de nutrientes muy elevado asiacute que la poblacioacuten tiende a estabilizarse al llegar a esa
cifra Si no fuera asiacute la poblacioacuten llegariacutea en pocos diacuteas al valor de un Guacutegol que es un uno
seguido de iexcl100 ceros Este nombre se lo dio el matemaacutetico Kasner tomaacutendolo prestado de
su sobrino de nueve antildeos
Dicho lo anterior lo inmediato es establecer lo que significa la singularidad como teacutermino y
como concepto Para empezar hay que decir que con el teacutermino singularidad se quiere decir
un acontecimiento uacutenico con profundas implicaciones Por ejemplo en matemaacuteticas implica el
infinito es decir la ldquoexplosioacutenrdquo de un valor que ocurre cuando se divide un nuacutemero racional
distinto de cero por un nuacutemero tan proacuteximo a cero como se quiere incluido naturalmente el
cero En fiacutesica anaacutelogamente una singularidad denota un evento o posicioacuten de poder infinito
En el centro de un agujero negro la materia es tan densa que su gravedad es infinita Cuanto
maacutes se acercan la materia y la energiacutea para caer en un agujero negro un evento horizonte
separa la regioacuten del resto del Universo Eso constituye una ruptura en la estructura del espacio
y el tiempo El propio Universo seguacuten la ldquoteoriacuteardquo actualmente dominante ldquoel big bangrdquo
comenzoacute justamente con una singularidad
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La singularidad tiene muchas facetas Asiacute representa la cercana fase vertical del crecimiento
exponencial donde la ratio de crecimiento es tan extrema que la tecnologiacutea parece que crece a
una velocidad infinita Naturalmente desde una perspectiva matemaacutetica no hay
discontinuidad ni ruptura y la ratio de crecimiento permanece finita aunque
extraordinariamente grande Pero desde la limitada perspectiva actual este evento inminente
parece ser una aguda y abrupta ruptura en la continuidad del progreso Sin embargo hay que
enfatizar la palabra ldquoactualmenterdquo porque una de las implicaciones conspicuas de la
singularidad seraacute un cambio en la naturaleza de la capacidad humana de entender En otros
teacuterminos el ser humano llegaraacute a ser inmensamente maacutes inteligente cuando se ldquomezclerdquo con
la tecnologiacutea
Volviendo a la historia del ajedrez tanto Sessa como el emperador mientras estaban
considerando la primera mitad del tablero de ajedrez las cosas iban razonablemente bien sin
sobresaltos Sessa recibioacute sucesivamente cucharadas tazones y barriles de grano De este
modo al final de la primera mitad del tablero habiacutea recibido Sessa el equivalente a la cosecha
de un gran campo en total cuatrocientos mil millones de granos y el emperador empezoacute a ser
consciente del problema en el que se habiacutea metido A partir de ahiacute la situacioacuten empezoacute a
deteriorarse para el emperador raacutepidamente hasta el punto de que al final no podiacutea cumplir
su palabra Incidentalmente sentildealar que en lo de duplicar la potencia computacional
actualmente se estaacute ligeramente por encima de doblar 32 veces las prestaciones del primer
computador programable es decir se estaacute empezando a superar el umbral de la singularidad
Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial Aunque la tecnologiacutea crece en el dominio
exponencial los seres humanos viven en un mundo lineal Asiacute las tendencias tecnoloacutegicas no
son notorias cuando se doblan pequentildeos niveles de potencia tecnoloacutegica Luego
aparentemente sin razoacuten alguna una tecnologiacutea explota ante la mirada sorprendida de quien
contempla la singularidad Por ejemplo cuando Internet pasoacute de 20000 a 80000 nodos en un
periacuteodo de dos antildeos allaacute por los 80 este progreso permanecioacute oculto al puacuteblico en general
Una deacutecada despueacutes cuando se pasoacute de 20 millones a 80 millones de nodos en la misma
cantidad de tiempo el impacto fue noticia Pues bien la tasa de crecimiento es la misma
exactamente cuatro veces
Como el crecimiento exponencial continuacutee acelerado en la primera mitad del siglo XXI
pareceraacute explotar en el infinito al menos desde las perspectivas limitadas y lineales de los
humanos contemporaacuteneos Finalmente el progreso llegaraacute a ser tan raacutepido que quebraraacute
20
cualquier posibilidad de seguirlo Estaraacute literalmente fuera de control La ilusioacuten actual de
ldquodesenchufarlordquo se habraacute difuminado
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN
Con todo esto no es sino el principio pues la carrera por la miniaturizacioacuten no ha hecho maacutes
que empezar Apenas se ha llegado a la era de las minimaacutequinas que constan de billones de
aacutetomos y se miden en miliacutemetros y ya se estaacute de hoz y coz en el terreno de las
micromaacutequinas que constan soacutelo de unos pocos millones de aacutetomos y se miden en
microacutemetros Al tiempo ya han comenzado los ensayos con nanomaacutequinas que trabajan con
apenas unos cientos de aacutetomos y soacutelo pueden medirse en milloneacutesimas de miliacutemetro Es lo
que constituye la nanotecnologiacutea cuyo futuro comenzoacute el 29 de diciembre de 1959 Alliacute y
entonces Richard Phillips Feynman posterior premio Nobel de Fiacutesica de 1965 leyoacute el discurso
inagural de la reunioacuten anual de la American Physical Society publicado con posterioridad en
ldquoEngineering amp Sciencerdquo la revista de los estudiantes de CALTECH (Feynman 1960) que deciacutea
Me gustariacutea describir un campo del conocimiento teacutecnico en el que se ha hecho muy poco y en
el que en principio puede hacerse muchiacutesimo (hellip) De lo que voy a hablar es del problema de
manejar y controlar cosas en una escala muy pequentildea (hellip) Esto es desde luego bien conocido
por los bioacutelogos (hellip) El ejemplo bioloacutegico de escribir informacioacuten a escala infinitesimal (el
coacutedigo del ADN) me ha sugerido algo que debe ser posible (hellip) Un sistema bioloacutegico puede ser
extremadamente pequentildeo (hellip) Puede haber una justificacioacuten econoacutemica para hacer las cosas
tan pequentildeas (hellip) Permiacutetanme recordarles algunos de los problemas de los computadores (hellip)
Cuanto maacutes y maacutes raacutepido y maacutes y maacutes elaborado sea el computador maacutes y maacutes pequentildeo lo
fabricamos (hellip) iquesthasta doacutende No lo seacute exactamente pero apenas puedo dudar de que
cuando tengamos el control de la fabricacioacuten a escalas pequentildeiacutesimas seremos capaces de
manejar enormes posibilidades de la materia con la que podemos hacer las cosas nuevas cosas
diferentes a las que ahora fabricamos (hellip) Aacutetomos manejados a esa escala ndashdigamos siete
aacutetomos- no tienen nada que ver con los conjuntos de aacutetomos y moleacuteculas de nuestro mundo
macroscoacutepico esos pocos aacutetomos obedeceraacuten leyes de la mecaacutenica cuaacutentica las leyes del
mundo microscoacutepico (hellip) tendremos por ello que trabajar con leyes diferentes y esperar cosas
diferentes Tendremos que hacer de manera diferente (hellip) A nivel atoacutemico existen nuevas
clases de fuerzas y nuevas clases de posibilidades y nuevas clases de efectos (hellip) Estoy como
dije inspirado por el fenoacutemeno bioloacutegico en el que las fuerzas quiacutemicas se utilizan de modo
repetitivo para producir cualquier clase de efecto fantaacutestico En 2002 se hizo puacuteblico el uacuteltimo
avance en nanotecnologiacutea En un minuacutesculo circuito se colocoacute la memoria electroacutenica maacutes
pequentildea construida hasta la fecha que podriacutea estar en el mercado en menos de diez antildeos En
21
unos antildeos maacutes de 15 a 20 se cree que se podraacuten fabricar computadores cuaacutenticos seis
millones de veces maacutes potentes que los actuales que aprovecharaacuten la simultaneidad de
estados y el entrelazamiento es decir la posibilidad que tienen los aacutetomos de estar en dos
sitios a la vez (bilocacioacuten) en un estado de superposicioacuten Esto es se estaacute trabajando con
maacutequinas cuaacutenticas que trabajan con fragmentos de aacutetomos y se mediraacuten en Amgstrons
equivalente a cien milloneacutesimas de miliacutemetro iquestHasta doacutende iquestHasta cuanto La respuesta a
estas preguntas que conciernen a los liacutemites de la computacioacuten se daraacuten a continuacioacuten
siguiendo a Seth Lloyd (Lloyd 2000)
Para calcular la velocidad de coacutemputo se parte del principio de indeterminacioacuten de
Heisenberg (Heisenberg 1927)
Δp Δxge ħ m con ħ=h2π y m=1rArr Δp Δxgeħ=105x10-34Js
Para el par ΔE y Δt dicho principio queda como sigue
ΔE Δt ge ħ
Esta desigualdad tiene dos interpretaciones a saber una lineal Invertir un tiempo Δt para
medir la energiacutea con una exactitud ΔE que no es correcta La correcta es la siguiente un
estado cuaacutentico con disipacioacuten de energiacutea de ΔE invierte al menos un tiempo Δt= πħ2ΔE en
evolucionar a un estado ortogonal y por tanto distinguible Este resultado se amplioacute como
sigue Un sistema cuaacutentico con energiacutea media E necesita al menos un tiempo Δt= πħ2E para
evolucionar a un estado ortogonal O sea Ege πħ2Δt Siendo E la energiacutea media para efectuar
una operacioacuten elemental en Δt
Ahora bien un sistema con energiacutea media E puede efectuar un maacuteximo de 2E πħ operaciones
loacutegicas por segundo En consecuencia para un computador de un kilogramo de masa su
velocidad seraacute de acuerdo con la ecuacioacuten E=mc2 la siguiente
VM=2Eπħ = 2mc2 πħ = 21 Kg(29979x108)2ms-131416x10545x10-34Js =
2x8987x1016x10545x1034s31416=5425x1050 operaciones loacutegicassegundo
Es decir la cota superior estaacute en 1050 operaciones loacutegicas por segundo
22
En lo que respecta a la capacidad de memoria la cantidad de informacioacuten que se puede
almacenar y procesar en un sistema fiacutesico estaacute relacionada con el nuacutemero de distintos estados
fiacutesicos accesibles al sistema Para M elementos biestables el nuacutemero de estados accesibles es
de 2M y puede registrar M bits de informacioacuten Es decir en general un sistema con N estados
accesibles puede registrar log2N bits de informacioacuten Se sabe que el nuacutemero de estados
accesibles de un sistema fiacutesico F estaacute relacionado con la entropiacutea termodinaacutemica S por la
foacutermula de Plank siguiente
S=kBPnF donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 13805x10-23 Julios por
grado Kelvin
Asiacute la cantidad de informacioacuten que puede registrar un sistema fiacutesico viene dada por
I=S(E)kBLn2
Siendo S(E) la entropiacutea termodinaacutemica de un sistema con valor esperado para la energiacutea E
Combinando esta foacutermula con la dada anteriormente para el nuacutemero de operaciones loacutegicas
por segundo entonces la cantidad de memoria en bits viene dada por
I = k2ln2 EπℏS prop kTℏ siendo T = (partS partE)
la temperatura de un kilogramo de materia en una entropiacutea maacutexima en un litro de volumen
Esto lleva a
I = 204x108JK-113805x10-23JK-1ln2=204x10813805x10-23JK-106931=213x1031bit
Esto es el liacutemite de bits de memoria es 1031
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE
Si ahora se contempla en perspectiva el progreso del software lo que se observa es en primer
lugar que dicho progreso dista mucho de ser exponencial peor auacuten pues si se considera el
conjunto global del software disponible tanto de base Sistemas Operativos Compiladores
interfaces etc como de aplicaciones su desarrollo ademaacutes de lineal no es continuamente
creciente en facilidades para los usuarios ni mucho menos Actualmente en el software se
estaacute dando un fenoacutemeno curioso equivalente a una regresioacuten conceptual que consiste en que
el proceso de construir ciertos programas es maacutes difiacutecil y complejo que el propio programa
Esto es debido a que los lenguajes de programacioacuten de alto nivel actuales no son ni mucho
menos maacutes simples que los antiguos En segundo teacutermino tambieacuten salta a la vista que si el
23
desarrollo hardware es en profundidad es decir pocas empresas (INTEL Motorola etc)
dedicadas intensamente a desarrollar la tecnologiacutea de microprocesadores en el caso del
software ese esfuerzo se llevoacute a cabo en amplitud esto es muchas empresas poniendo en el
mercado muchos productos En la figura II3 se muestra el aacuterbol que contiene a lo largo del
tiempo los distintos lenguajes de programacioacuten maacutes conocidos Como puede verse una
auteacutentica Babel Si como deciacutean los latinos hace maacutes de dos mil antildeos validora sum exempla
cuan verba frase que hizo suya Schiller en magniacuteficos versos
Nur das Beispiel fuumlhrt zum Licht Soacutelo el ejemplo proporciona luz
Vieles Reden tut es nicht La ldquoverborreardquo conduce a la oscuridad
Se van a dar a tiacutetulo de botones de muestra los siguientes ejemplos
A) Si se unidimensionaliza el uso del software por las personas la evolucioacuten del software
puede verse como el paso de ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo En un extremo del espectro que puede
datarse en el inicio de la ldquoComputing Sciencerdquo en adelante CS y que va hasta la
aparicioacuten de los primeros inteacuterpretes y lenguajes de control habiacutea que decirles a
los computadores coacutemo teniacutean que hacer las cosas Y eacutesto con el maacuteximo de detalle
en el lenguaje de la maacutequina y de forma rupestre esto es en forma de
conmutadores encendidos o apagados Es decir en esta fase los humanos debiacutean ser
ldquoliteratosrdquo del lenguaje de la maacutequina Posteriormente con la aparicioacuten de los
lenguajes de ensamblador y el desarrollo de lenguajes de control o sea hasta la
aparicioacuten de los primeros sistemas operativos y compiladores e inteacuterpretes tales
como FORTRAN LISP COBOL etc ya al computador no habiacutea que decirle detallada
y exhaustivamente coacutemo teniacutea que hacer las cosas pues algunas ellos ya sabiacutea coacutemo
hacerlas Bastaba con soacutelo indicarle queacute es lo que se queriacutea que hiciera Ademaacutes tanto
la parte del queacute como la del coacutemo se le deciacutea en un lenguaje maacutes proacuteximo al ser
humano mediante los lenguajes de ensamblador que permitiacutean palabras del
lenguaje natural y sobre todo de una forma maacutes natural al ser humano pues ya no
haciacutea falta poner los conmutadores encendidos y apagados dado que se le
ldquoinstruiacuteardquo escribiendo en unas hojas de codificacioacuten las instrucciones que luego
mediante unas maacutequinas perforadoras se ldquotraduciacuteanrdquo a unas fichas perforadas
que los computadores ldquoleiacuteanrdquo y ejecutaban
Maacutes adelante con el advenimiento de los lenguajes del maacutes alto nivel y del
desarrollo de los actuales sistemas operativos de ventanas los interfaces avanzados la
24
Figura II3 Lenguajes de Alto Nivel
25
iconografiacutea de pantalla los programas avanzados de aplicacioacuten etc cada vez menos
hay que decirle a las computadoras ldquocoacutemordquo tienen que hacer las cosas pues ya saben
ldquocoacutemordquo hacerlas y soacutelo hay que decirles ldquoqueacuterdquo es lo que se quiere que hagan Y todo
esto cada vez maacutes en el lenguaje natural de los seres humanos en este caso como la
tecnologiacutea estaacute desarrollada en ingleacutes pues en ingleacutes y de una forma habitual a coacutemo
lo hacen los humanos esto es por la voz O sea en esta etapa que estaacute cada vez maacutes
cerca son las maacutequinas quienes se convierten en ldquoliteratosrdquo de los humanos Y seraacute en
ese momento cuando empiece a surgir un atisbo de inteligencia en las computadoras
Pues bien toda esta evolucioacuten lenta zigzagueante y trabajosa contrasta con la raacutepida
rectiliacutenea y eficiente del hardware La pregunta ademaacutes de inmediata va de suyo
iquestPor queacute es esto asiacute Naturalmente no debe haber un factor uacutenico pero lo que no
hay duda es que una de las razones fundamentales de este desfase entre el desarrollo
del hardware y del software es el que al primero lo soporta una ingenieriacutea basada en
una ciencia la fiacutesica cuya teoriacutea y experimentacioacuten estaacuten muy consolidadas en tanto
al segundo no
B) El filoacutesofo Joseacute Ortega y Gasset maacutes conocido por su obra de gran impacto socioloacutegico
ldquoLa Rebelioacuten de las Masasrdquo afirmaba refirieacutendose a la Medicina lo siguiente (Ortega
2002) La medicina no es una ciencia Es precisamente una profesioacuten una actividad
praacutectica Se propone curar o mantener la salud de la especie humana A este fin echa
mano de cuanto parezca a propoacutesito entra en la ciencia y toma de sus resultados
cuanto considera eficaz pero deja el resto Deja de la ciencia sobre todo lo que es maacutes
caracteriacutestico la fruicioacuten por lo problemaacuteticohellip La ciencia consiste en un ldquopruritordquo de
plantear problemashellip La medicina estaacute ahiacute para afrontar soluciones Si son cientiacuteficas
mejor Pero no es necesario que lo sean Pueden proceder de una experiencia milenaria
que la ciencia auacuten no ha explicado ni siquiera consagrado ldquoMutatis mutandirdquo o sea
cambiando lo que deba cambiarse medicina por software curar por resolver
problemas etc lo que dijo Ortega puede aplicarse al desarrollo del software Pero la
cuestioacuten es la siguiente iquestdebe esto continuar asiacute Es decir debe el desarrollo software
continuar siendo una labor artesanal de desarrollar una praacutectica empiacuterica o debe
pasar a ser una ingenieriacutea fundamentada en una teoriacutea cientiacutefica contrastada por la
experimentacioacuten crucial La respuesta es naturalmente que debe convertirse en
ingenieriacutea soportada por una ciencia Mientras tanto los desarrollos software se ven
afectados de ldquogolbergizacioacutenrdquo
26
C) Rube Golberg fueacute un caricaturista con muchos seguidores en todo el mundo en
Espantildea fue el profesor Frank de Dinamarca de la eacutepoca de la Dictadura el que
dibujaba complicadiacutesimos artilugios coacutemicos para realizar tareas minias Los
disentildeadores de software cuentan con un teacutermino relacionado ldquoKudgerdquo o ldquoKludgerdquo
para referirse a programas escritos sin previsioacuten que acaban repletos de una
complejidad onerosa e inuacutetil a menudo hasta el punto de volverse incomprensibles
incluso para los programadores que las escribieron
D) Con mucho la manera maacutes comuacuten en la cual se trata con algo nuevo es intentando
relacionar la novedad con lo que es familiar de la experiencia pasada es decir se
piensa en teacuterminos de analogiacutea y metaacutefora En tanto que la historia evolucione a lo
largo de liacuteneas suaves la teacutecnica anterior resulta adecuada e incluso fructiacutefera pero
fracasa estrepitosamente cuando uno se enfrenta repentinamente a algo tan
radicalmente distinto de todo lo que se habiacutea experimentado antes que toda analogiacutea
siendo intriacutensecamente demasiado somera es maacutes un estorbo que crea confusioacuten que
una ayuda Y ya se sabe como deciacutea Francis Bacon la verdad surge antes del error que
de la confusioacuten (Bacon 1984) La uacutenica forma plausible de tratar con novedades
realmente radicales es ortogonal a la manera comuacuten de entendimiento consiste en
conscientemente intentar no relacionar los fenoacutemenos a los que es familiar a partir de
un pasado accidental sino enfocarlo con una mente en blanco y apreciarlo por su
estructura interna Esta uacuteltima forma de pensar es mucho menos popular que la
primera y requiere un esfuerzo mental que muy pocos son capaces de conseguir y
como lo sentildealoacute Bertrand Russell Many people would sooner die that think In fact they
do Ello estaacute fuera del alcance de las capacidades de aquellos y son mayoriacutea para
quienes la evolucioacuten continua es el uacutenico paradigma de la historia incapaces de
afrontar la discontinuidad no pueden verla y la negaraacuten cuando se enfrenten a ella
Pero tales novedades radicales son precisamente el tipo de cosas a las que al menos
en tecnologiacutea uno se enfrenta sin duda el computador fue una de ellas otra fue la
bomba atoacutemica y aunque en menor medida la piacuteldora fue la tercera entre otras
muchas En el caso de los computadores para que tuvieran eacutexito comercial fue
necesario desde el primer momento disociarles tanto como fuera posible de
cualquier forma de matemaacuteticas dada la mala ldquofamardquo de eacutestas en especial al ser
consideradas como el colmo del ldquousuario inamistosordquo El propio teacutermino de ldquoComputer
Sciencerdquo aplicado a la ldquoinformaacuteticardquo seriacutea equivalente a llamar a la cirugiacutea ldquoKnife
Sciencerdquo y estaacute tan arraigado en las mentes de la gente que el ldquoComputing Sciencerdquo es
27
acerca de las maacutequinas y sus equipos perifeacutericos Hoy sin embargo nadie duda de que
el desafiacuteo nuclear para la ciencia del coacutemputo es el conceptual
La complejidad de la informaacutetica frente a las matemaacuteticas viene dada seguacuten Dijkstra (Dijkstra
1986) por la ldquoratiordquo entre verbigracia una hora de tiempo y los nanosegundos o menos en
que se ejecute una instruccioacuten que es menor que 10100 y que tiene que ser tratada por una
uacutenica disciplina A su lado las matemaacuteticas resultan ser casi un juego insulso mayormente
jugado sobre unos pocos niveles semaacutenticos los cuales por otra parte son completamente
familiares La gran profundidad de la jerarquiacutea conceptual en informaacutetica en siacute misma una
consecuencia directa del poder sin precedentes del computador es una de las razones por las
que se considera el advenimiento de los computadores como una aguda discontinuidad en la
historia intelectual de la humanidad
La disciplina conocida como ldquoComputing Sciencerdquo emergioacute soacutelo cuando la gente empezoacute a
buscar lo que era comuacuten al uso de cualquier computador en cualquier aplicacioacuten Por esta
abstraccioacuten la CS inmediata y netamente se divorcioacute ella misma de la ingenieriacutea electroacutenica
al informaacutetico del software le deberiacutea traer al pairo la tecnologiacutea que puede usarse para
construir maacutequinas computadoras sea electroacutenica oacuteptica molecular bioloacutegica o maacutegica
La programacioacuten se veiacutea como una cuestioacuten praacutectica de modo que lo que se conociacutea como
ldquodisentildeo iterativordquo era el paradigma de quien cree que su disentildeo trabajaraacute adecuadamente
mientras no se demuestre lo contrario cuando eso ocurra mejoraraacute el disentildeo y asiacute
sucesivamente Este continuo encontrar y arreglar los malfuncionamientos se denominaba
ldquodepuracioacutenrdquo y la injustificada fe en su uacuteltima convergencia estaba en la amplitud temporal Es
decir se teniacutea todo el tiempo del mundo Como resultado la impotencia de repetir el
ldquoexperimentordquo en el caso de un mal funcionamiento observado asiacute como el identificar su(s)
causa(s) produce un ldquoshockrdquo por el contrario el disentildeador cientiacutefico cree en su disentildeo porque
eacutel sabe por queacute trabajaraacute adecuadamente en todas las circunstancias Es decir al principio los
programas ademaacutes de ldquoinstruirrdquo a las maacutequinas teniacutean el estatus de conjeturas soportadas
por alguna evidencia experimental Actualmente podriacutean y a veces lo hacen alcanzar el
estatus de teoremas demostrados rigurosamente El continuar denominando tanto a la
conjetura como al teorema ldquoprogramardquo es causa de gran confusioacuten
Uacuteltimamente la palabra clave es ldquomodularidadrdquo cuyo impulso original viene de una deseada
flexibilidad en particular en coacutemo subdividir un texto de programa de gran tamantildeo en
28
moacutedulos son eacutestos segmentos de textos claramente configurados que podriacutean ser
reemplazados por otros alternativos sin comprometer la correccioacuten del programa total de una
manera muy similar a coacutemo se puede reemplazar en un teoriacutea matemaacutetica la prueba de uno de
sus teoremas sin afectar a la teoriacutea como conjunto Moacutedulos componentes desprendibles y
simultaacuteneamente engastados Los mentales no estaacuten aislados se comunican a traveacutes de unos
pocos conductos estrechos Se definen por las cosas especiales que hacen con la informacioacuten
que tienen disponible Pero el eacutenfasis se ha desplazado desde el mero reemplazamiento a la
cuestioacuten de coacutemo particionar la tarea global maacutes efectivamente la demanda es tal que la
elegancia ya no es un lujo dispensable sino una cuestioacuten vital que decide entre el eacutexito y el
fracaso He aquiacute lo que es en visioacuten a ojo de paacutejaro la emergencia de la computacioacuten como una
actividad apreciable necesitada de las teacutecnicas del pensamiento cientiacutefico Como las
matemaacuteticas la computacioacuten es uacutenica en la forma en la cual combina generalidad precisioacuten y
ser completamente fidedigna La teoriacutea aquiacute propuesta considera todo esto
II2 Teoriacuteas
II21 INTRODUCCIOacuteN
En CS en general y en el desarrollo software en sus dos apartados de Ingenieriacutea del Software
y del Conocimiento en particular existe una notoria carencia de teoriacutea hasta el punto que
salvo rariacutesimas excepciones ni siquiera hay leyes generales aceptadas Esta carencia da lugar a
las dos consecuencias indeseables siguientes
1 Confusionismo El disentildeo y desarrollo de software (que es lo que se podriacutea denominar
un conjunto polimorfo o polimoacuterfico es decir un conjunto no definido por condiciones
ni necesarias ni suficientes) es en el mejor de los casos una ciencia inmadura en el
medio no es una ciencia pero siacute una ingenieriacutea tal y como lo sentildealaba Brooks
(Brooks 1996) Computer Science is not a science but a synthetic an engineering
discipline y en el peor (Ebert 1997) software engineering should be treated as an
inmature engineering discipline Siendo contundentes pero maacutes precisos el desarrollo
software no pasa de ser una ldquoartesaniacuteardquo Ebert para argumentar su afirmacioacuten
proporciona distintas razones (a) Carencia de vocabulario comuacuten (b) No
consideracioacuten de cuestiones hermeneacuteuticas (c) Existencia de recetas no aplicables
ampliamente (d) Poca o nula experimentacioacuten controlada en especial experimentos
cruciales (e) No existencia de un marco general de paradigmas categoriacuteas o esquemas
29
conceptuales caracteriacutesticos de las ciencias (f) Y finalmente se usan ldquomodelosrdquo sin
una teoriacutea para construirlos y validarlos
2 Nuevo Experimentalismo En CS y maacutes en concreto en disentildeo desarrollo y
construccioacuten del software la no existencia de una teoriacutea provoca una carencia de
fundamentacioacuten Peor auacuten y como consecuencia del punto anterior a veces se llama
teoriacutea a lo que uacutenicamente es una explicacioacuten en una clara sineacutecdoque de tomar la
parte por el todo Al menos eso se desprende de la afirmacioacuten de Basili y colegas
cuando dicen que Una teoriacutea es una explicacioacuten de alguacuten fenoacutemeno (Basili 1999) Lo
que no es correcto puesto que no todas las explicaciones de los fenoacutemenos son
teoriacuteas La carencia de teoriacutea hace que la CS haya derivado regresivamente hacia lo
que puede denominarse ldquonuevo experimentalismordquo (Ackerman 1989) cuyos
proponentes aseveran que los experimentos pueden tener vida propia (Hacking
1983)
Justamente establecer lo que es una teoriacutea es lo que se trata a continuacioacuten esto es de
cuaacuteles son los elementos constituyentes sobre los que fundar una teoriacutea en CS Sin embargo
antes se va a definir lo que es una teoriacutea dando sus condiciones formales y materiales de
adecuacioacuten y asimismo se van a presentar distintas teoriacuteas en dominios tan variados como las
matemaacuteticas la fiacutesica la quiacutemica o la biologiacutea
II22 DEFINICIOacuteN
Cuando se intenta definir algo uno se encuentra como los antiguos navegantes que
atravesaban el estrecho de Mesina entre un ldquoScilardquo y un ldquoCaribdisrdquo es decir dos peligros que
si no se sortean con pericia de navegante de los siete mares haraacuten naufragar el intento Estos
dos peligros son los siguientes Uno de iacutendole intriacutenseca a la propia buacutesqueda de una
definicioacuten idoacutenea que enlaza directamente con el problema filosoacutefico del nominalismo Kant lo
expresoacute muy bien cuando escribioacute (Kant 2002) que en una definicioacuten uno no se limita a
sustituir el nombre de una cosa por otras palabras maacutes comprensibles sino que contiene en siacute
un distintivo claro por el que puede conocerse siempre con seguridad el ldquoobjetordquo (definitum) y
que hace que pueda aplicarse el concepto explicado Popper fue muy expliacutecito al respecto
Para eacutel la accioacuten de definir nunca es inocua pues estaacute cargada de teoriacutea y lo que es maacutes de
valores Popper (Popper 1985) deciacutea que las preguntas ldquoqueacute-esrdquo son siempre inuacutetileshellip y lo
mismo sucede con las respuestas Porque en efecto definir es actuar Por ello en lugar de
ocuparse uacutenicamente del resultado de dicha accioacuten o sea las definiciones es preciso analizar
30
la propia accioacuten de definirhellip pues en definitiva las definiciones son resultado de la accioacuten a
definir Dos de orden praacutectico viene muy bien descrita por un juego que en Galicia se
denomina ldquoCariocardquo y los ingleses e irlandeses llaman ldquoVishrdquo (Syumlnge 1951) Los cariocas dan
nombre a las pescadillas a las que para freiacuterlas se les hace morder la cola El juego consiste en
buscar una palabra en el diccionario y a partir de ella generar un aacuterbol con las palabras que la
definen y eacutestas con las palabras que la definen y asiacute sucesivamente hasta que
inexorablemente aparece una palabra que ya aparecioacute previamente creaacutendose un ldquociacuterculo
viciosordquo Y se dice inexorablemente porque no puede ser de otra manera habida cuenta de
que los diccionarios son autocontenidos es decir todas las palabras en ellos existentes se
expresan en teacuterminos de dichas palabras Sin embargo y como lo sentildealoacute el premio Noacutebel de
Fisiologiacutea y Medicina Andreacute Lwoff Definir es uno de los meacutetodos para descubrir Es como
cuestioacuten de hecho un meacutetodo heuriacutestico excelente pues obliga a condensar lo esencial de una
categoriacutea o de un fenoacutemeno en una foacutermula que contenga todo cuanto ha de contener y
excluya todo cuanto ha de excluir Por ello es uacutetil forjar una buena definicioacuten pues este
ejercicio obliga a considerar de manera criacutetica todos los teacuterminos o aspectos de un
problema(Lwoff 1967)
De hecho la dificultad no proviene de la carencia de ldquodefinicionesrdquo sino todo lo contrario No
seriacutea exagerado decir que hay casi tantas definiciones de ldquoteoriacuteardquo como autores se dedicaron
al asunto Veacuteanse como botoacuten de muestra las que aparecen en dos diccionarios importantes
el de la Real Academia Espantildeola (Rae 2001) y el del Webster`s New World (Guralnik 1986) El
primero para la entrada ldquoteoriacuteardquo dice textualmente (Del gr θεωρία) f Conocimiento
especulativo considerado con independencia de toda aplicacioacuten f Serie de las leyes que
sirven para relacionar determinado orden de fenoacutemenos f Hipoacutetesis cuyas consecuencias se
aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella f Entre los antiguos griegos
procesioacuten religiosaen ~ loc adv Sin haberlo comprobado en la praacutectica El segundo
despueacutes de dar la pronunciacioacuten figurada y coacutemo se dice en franceacutes latiacuten y griego dice
textualmente[a looking at contemplations speculations theory lttheoumlrein see THEOREM]1
Orig a mental viewing contemplation 2 A speculative idea or plan as to how something
might be done 3 A systematic statement of principles involved [the ldquotheoryrdquo of equations in
mathematics] 4 A formulation of apparent phenomena which has been verified to some
degree 5 That branch of an art or science consisting in a knowledge of its principles and
methods rather tan in its practice pure as opposed to applied science etc 6 Popularly a
mere conjeture or guess A continuacioacuten y como sinoacutenimos dice theory as compared here
implies considerable evidence in support of a formulated general principle explaining the
31
operation of certain phenomena [the ldquotheoryrdquo of evolution] hypothesis that is tentatively
inferred often as a basis for further experimentation [the nebular ldquohypothesisrdquo] law implies an
exact formulation of the principle operating in a sequence of events in nature observed to
occur with unvarying uniformity under the same conditions [the ldquolawrdquo of the conservation of
energy]
Es decir etimoloacutegicamente el teacutermino ldquoteoriacuteardquo se deriva del vocablo griego ldquoθεωρίαrdquo que
significa contemplacioacuten o especulacioacuten Entonces en sentido amplio y comuacuten una teoriacutea es
una especulacioacuten acerca de algo por ejemplo es habitual oiacuter a muchos educadores que su
ldquoteoriacuteardquo del fracaso de un alumno es debido a que tiene problemas familiares Sin embargo
este sentido no capta ni mucho menos el sentido teacutecnico o estricto de teoriacutea que tiene
verbigracia la teoriacutea de Maxwell del electromagnetismo Para comenzar desde sus oriacutegenes
hay que remontarse a Aristoacuteteles (384-322 aC) quien diferencioacute clara y niacutetidamente ldquoteoriacuteardquo
como especulacioacuten o contemplacioacuten y ldquopraxisrdquo como actuacioacuten Para eacutel la ldquoteoriacuteardquo consistiacutea
en actividades racionales relativas al conocimiento de los universales mientras que la ldquopraxisrdquo
consistiacutea en actividades racionales relativas a actividades morales ldquoagibiliardquo y artiacutesticas
ldquofactibiliardquo Las actividades artiacutesticas no se limitan a realizar por su propio intereacutes artes finas o
intriacutensecas o auacuten artes plaacutesticas sino que tambieacuten incluye hacer cosas uacutetiles artes funcionales
o instrumentales
Maacutes teacutecnicamente las teoriacuteas se consideran ldquoentidades abstractas que al menos pretenden
describir explicar y mejorar el entendimiento del mundo y en algunos casos hacer
predicciones de lo que en el futuro acaeceraacute Ademaacutes proporcionan una base para viacutea
tecnologiacutea o ciencia aplicada intervenir y actuar sobre el entorno Una teoriacutea pues es ldquoprima
facierdquo una explicacioacuten racional de un cierto aspecto de la realidad basada en lo que se sabe de
ello en el momento presente y que ha sido verificada para establecer su validez Esa
explicacioacuten de algo es tiacutepicamente una clase o categoriacutea de fenoacutemenos antes que un uacutenico
evento especiacutefico Las teoriacuteas deben expresarse a poder ser expliacutecitamente como cadenas
causales del tipo ldquoesto sucede porque esto y eso y aquello sucedioacute y esto a su vez sucedioacute
porquehelliprdquo Es decir la mejor manera de que las teoriacuteas expliquen es proporcionando un sentido
de ldquoprocesordquo o ldquomecanismordquo que indique coacutemo una cosa o fenoacutemeno estaacute relacionado con
otro Por ejemplo la ldquoTeoriacutea de la Gravitacioacutenrdquo de Isaac Newton y la Teoriacutea de la Relatividad
General de Einstein intentan explicar coacutemo funciona la gravedad No proponen que existe esa
cosa que se llama gravedad y luego intentan probarla Nada de eso Para ambos la gravedad
es una observacioacuten empiacuterica esto es informacioacuten recopilada generalmente a partir de los
32
sentidos y por lo tanto es algo que ldquotiene sentidordquo Naturalmente debe poder ser verificada y
contrastada por otros de forma reiterada siempre que se quiera O sea la gravedad es una
observacioacuten empiacuterica Si se deja caer un objeto libremente y en el vaciacuteo siempre cae a 9801
metros dividido por segundos al cuadrado Y esto se produciraacute tantas veces cuantas se repita la
experiencia Las teoriacuteas de hecho intentan explicar el coacutemo y el porqueacute de las observaciones
Pues bien a fin de explicar la gravedad Newton propuso una explicacioacuten esto es una teoriacutea
la atraccioacuten a distancia entre dos cuerpos Einstein otra la curvatura del espacio-tiempo Esta
uacuteltima explicacioacuten es la que estaacute vigente actualmente
A veces las teoriacuteas se confunden con hipoacutetesis porque ambas parecen constar de sentencias
relacionando una variable con otra Ciertamente ocurre con maacutes frecuencia de la deseable
que lo que algunos autodenominan teoriacutea son poco maacutes que hipoacutetesis Pero las buenas teoriacuteas
son un poco diferentes Por ejemplo
a) Son maacutes generales
b) Explican por queacute estaacuten relacionadas las cosas mientras que las hipoacutetesis se limitan a
decir que estaacuten relacionadas
c) Generan hipoacutetesis es decir las hipoacutetesis estaacuten impliacutecitas en las teoriacuteas
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA
Sin embargo el espiacuteritu de Lwoff ldquoobligardquo a buscar aunque soacutelo sea una definicioacuten operativa
En este sentido se va a dar una definicioacuten ldquoinyuctivardquo de teoriacutea en el sentido de Hassenstein
esto es enumerando cierto nuacutemero de propiedades caracteriacutesticas atributos o maacutes
precisamente condiciones que debe cumplir toda teoriacutea (Hassenstein 1966) Esas condiciones
que debe cumplir toda teoriacutea y que permiten discriminar lo que es una teoriacutea de lo que no lo
es se clasifican en dos clases
A) Formales Que vienen a ser como unas condiciones necesarias que por consiguiente
debe cumplir toda teoriacutea Entre eacutestas cabe destacar las siguientes
a) Formalizacioacuten Una teoriacutea debe poder expresarse formalmente mediante
predicados hasta construir un sistema formal axiomaacutetico
b) Consistencia Se dice que una teoriacutea es internamente consistente cuando el
conjunto de afirmaciones que contiene no se contradicen entre siacute Que las
afirmaciones con las cuales se construye una teoriacutea deben ser loacutegicamente
consistentes entre siacute es algo de lo que nadie disiente La cuestioacuten es que
33
aunque los lenguajes formales de la loacutegica y las matemaacuteticas hacen maacutes faacutecil
determinar si las afirmaciones que conforman una teoriacutea son loacutegicamente
consistentes entre siacute a veces como sucede con la teoriacutea de Darwin no se usan
estos formalismos Pero eso que es un hecho no significa que no se pudieran
formalizar y es de eso de lo que trata este punto En este punto es uacutetil y
conveniente establecer una distincioacuten entre inferencias causales y
descriptivas Las primeras conciernen a las relaciones causales entre
conceptos mientras que las segundas buscan describir el mundo empiacuterico
Una explicacioacuten causal es aquella que describe las relaciones entre los
conceptos de una teoriacutea Es decir las primeras causales son expliacutecitamente
teoacutericas mientras que las segundas descriptivas son impliacutecitamente teoacutericas
Se dice que un conjunto de axiomas o sistema axiomaacutetico es consistente
cuando a partir de ellos no pueden deducirse simultaacuteneamente una propiedad
y su negacioacuten En otros teacuterminos un sistema formal se dice que es consistente
si en eacutel no pueden derivarse sintaacutecticamente proposiciones contradictorias
Esto es que no se deacute el caso de una foacutermula A tal que ella y su negacioacuten not A
sean teoremas Obseacutervese que si ocurriese que ⊢ ⊢ (notA) entonces
cualquier foacutermula B es un teorema y la teoriacutea seriacutea banal forallB (A⋀(not A))rArrB o
en otras palabras la sucesioacuten A not A B es una demostracioacuten de B Las teoriacuteas
inconsistentes terminan demostraacutendose inuacutetiles porque en ellas cualquier
afirmacioacuten es un teorema En efecto un argumento estaacute bien construido
cuando por usar la terminologiacutea leibniziana en cualquier mundo posible en el
que se verifiquen las premisas la conclusioacuten tambieacuten es verdadera
Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negacioacuten not M son
teoremas de la teoriacutea el argumento cuyas premisas son M y not M y cuya
conclusioacuten es una cierta propiedad R es vaacutelido sea cual sea R pues siempre
que M y not M son verdaderas se verifica tambieacuten R Ahora como M y not M son
teoremas de la teoriacutea ambos tienen una demostracioacuten es decir una sucesioacuten
finita de afirmaciones tales que cada una de ellas es un axioma o se deduce de
los axiomas aplicando las reglas de inferencia permitidas Si se concatenan las
dos pruebas se habraacute probado que R es un teorema de la teoriacutea
independiente de su valor de verdad Maacutes formalmente
La contradiccioacuten ademaacutes de falsedad segura por la pura forma de su
enunciado tiene efectos desastrosos en contextos de conocimiento
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organizados deductivamente como es el caso de las teoriacuteas cientiacuteficas
Estos efectos indeseables se resumen en la tesis siguiente ldquoDe una
contradiccioacuten se puede deducir cualquier cosardquo Es decir si surge una
contradiccioacuten en una teoriacutea deductiva entonces la relacioacuten de
deduccioacuten permite obtener como teorema a todo enunciado
expresable con los conceptos de tal teoriacutea O sea la deduccioacuten se
convierte en una relacioacuten inuacutetil pues no impone restriccioacuten alguna
Desaparece la racionalidad loacutegica Es faacutecil probar tal resultado a partir
de las tres leyes loacutegicas siguientes
1) ldquoEliminacioacuten de la conjuncioacutenrdquo (E⋀) que afirma que de una
conjuncioacuten se deduce cualquiera de sus conjuntos Simboacutelicamente
Ai ⋀ Aj ⊢ Ai Ai ⋀ Aj ⊢Aj rArr Ai ⋀ Aj ⊢ Ai y Aj
2) ldquoIntroduccioacuten de la disyuncioacutenrdquo (I⋁) que asevera que de un
enunciado se deduce su disyuncioacuten con cualquier otro enunciado En
siacutembolos
Ai ⊢ Ai ⋁ Aj Aj ⊢ Ai ⋁ Aj
3) Silogismo disyuntivo (SD) que de una disyuncioacuten y la negacioacuten de
uno de sus disyuntos se deduce la afirmacioacuten del otro disyunto
Simboacutelicamente
Ai ⋁ Aj y not Ai ⊢Aj Ai ⋁Aj y not Aj ⊢Ai
Pues bien estas tres leyes loacutegicas implican que de una contradiccioacuten Ai ⋀ not Ai
adoptada como premisa se puede obtener como conclusioacuten cualquier
enunciado Aj Simboacutelicamente
forall Ai ⋀ forall Aj Ai ⋀ not Ai ⊢ Aj
Demostracioacuten
j
SDiji
Iii
Eii AAyAAAyAAA aaa notornotnotand
orand
Asiacute partiendo de premisas falsas y o contradictorias puede probarse
cualquier cosa Veacutease un ejemplo de esto Una vez retaron a Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) para que justificase que si 2 + 2 = 5 entonces McTaggart era
el Papa Este matemaacutetico afirmaba que si pueden demostrarse dos enunciados
o teoremas contradictorios entre siacute entonces cabe probar cualquier cosa Eacuteste
fue el razonamiento de Hardy Sea 2 + 2 = 5 como tambieacuten 2 + 2 = 4 resulta
que 5 = 4 Si a esta igualdad se resta 3 se obtiene que 2 = 1 De este modo
puesto que McTaggart y el Papa son dos entonces McTaggart y el Papa son
35
uno Un razonamiento similar serviriacutea para demostrar que usted querido lector
escribioacute estas liacuteneas Finalmente sentildealar que Ian Steward (Steward 1975)
hace protagonista de esta historia a Hardy otros como es el caso del loacutegico y
matemaacutetico Raymond Smullyan (Smullyan 1986) colocan como protagonista
a Bertrand Russell El fiacutesico Max Delbruumlck dio maacutes ejemplos de que basta con
tolerar una sola contradiccioacuten formal para poder demostrar la veracidad de
ldquocualquierrdquo enunciado aplicando las normas del caacutelculo loacutegico El premio
Noacutebel Max Delbruumlck propone el siguiente ejemplo (Delbruumlck 1986)
Supongamos que aceptamos el enunciado ldquoDios es buenordquo llamando p a esta
proposicioacuten y el enunciado ldquoDios no es buenordquo llamando a esta proposicioacuten simp
Ahora llamaremos q a la proposicioacuten ldquoHolywood estaacute en Europardquo El paso
siguiente es la evaluacioacuten del enunciado ldquop o qrdquo que significa ldquoDios es bueno o
Hollywood estaacute en Europardquo (el sentido con que los expertos en loacutegica usan la
conexioacuten o es que al menos uno de los enunciados p y q es verdadero) El
enunciado es indiscutiblemente verdadero ya que previamente hemos
aceptado p como verdadero Sin embargo despueacutes de aceptar que simp tambieacuten
es verdadero que significa que p no es verdadero ldquop o qrdquo implica que q es
verdadero Por tanto en la situacioacuten descrita las reglas del caacutelculo
proposicional nos obligan a aceptar como verdadera la afirmacioacuten de que
ldquoHollywood estaacute en Europardquo o cualquier otro enunciado que sustituya a q La
loacutegica no permite equivocarse
Tambieacuten se puede creer que Dios es bueno y que Dios no es bueno de hecho
esta contradiccioacuten (que es el problema de la teodicea) Puede expresar una
profunda verdad acerca de Dios Niels Bohr dijo que el sello que caracteriza a
las verdades profundas es que su negacioacuten tambieacuten es una verdad profunda
Las verdades que carecen de ambiguumledad en el sentido de que sus negaciones
son falsas suelen ser triviales George Wilhelm Friedrich Hegel llegoacute maacutes lejos
al afirmar ldquoiquestQuieacuten piensa loacutegicamente soacutelo los estuacutepidos y los ignorantesrdquo
La idea de poder demostrar cualquier cosa si se empieza por aceptar como
verdadero un enunciado falso ha llegado incluso a las paacuteginas literarias del
semanario ldquoNew Yorkerrdquo En un relato publicado en 1975 un hombre pasa por
una penosa situacioacuten personal Estaacute totalmente hundido y acaba
planteaacutendose ldquoSi acepto la idea de que despueacutes de todo las cosas no estaacuten
tan mal lo cual no es cierto iquestHabreacute aceptado tambieacuten otras muchas ideas que
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tengan en comuacuten con la primera al ser falsas iquestPor ejemplo que el sentildeor es mi
pastorrdquo
c) Completud Es claro que consistencia y completud apuntan en sentido
contrario La primera es imprescindible para que la teoriacutea merezca alguna
consideracioacuten La segunda es muy deseable si se quiere que toda verdad sea
demostrable Pero la afirmacioacuten de que un sistema sea consistente o completo
es un ejemplo de propiedad matemaacutetica cuyas leyes de demostracioacuten hay que
precisar tambieacuten con cuidado
Una teoriacutea es loacutegicamente completa cuando las conclusiones que se deducen
de ella fluyen loacutegicamente de las suposiciones axiomas principios leyes o
postulados que las conforman No basta un conjunto postulado de relaciones
y o regularidades Es decir las afirmaciones consistentes conducen a
conclusiones hipoacutetesis y otras formas de argumentacioacuten teoacuterica De este
modo conjuntos de afirmaciones que no son loacutegicamente completos son
argumentos incluso pre-teoriacuteas pero no teoriacuteas Maacutes formalmente Un
sistema de axiomas se dice completo si para cada proposicioacuten p de eacuteste se
tiene que bien p es deducible y bien not p es deducible En general se dice que
un sistema axiomaacutetico consistente es completo cuando dada una sentencia A
si A no es demostrable entonces su negacioacuten es un teorema de la teoriacutea Una
foacutermula tal que ni ella ni su negacioacuten son teoremas se denomina indecidible
Asiacute en los sistemas completos no hay foacutermulas indecibles y lo verdadero
coincide con lo demostrable Frege creiacutea que la existencia de modelos
matemaacuteticos de una teoriacutea dependiacutea fundamentalmente de queacute objetos
componen el Universo Otros por el contrario opinaban que la existencia
dependiacutea de la consistencia Una teoriacutea consistente genera objetos que la
verifican En palabras de Hilbert en una carta a Frege Cada teoriacutea no es sino
un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias
entre ellos y sus elementos baacutesicos pueden ser pensados arbitrariamente Si
entiendo por puntos rectas planos Cualquier sistema de cosas por ejemplo
el sistema formado por amor ley deshonillador y considero que todos mis
axiomas resultan vaacutelidos para esas cosas entonces tambieacuten resultan vaacutelidos
para esas cosas mis teoremas como verbigracia el de Pitaacutegoras Cada teoriacutea
puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos baacutesicos Para
explicar estas posiciones antagoacutenicas Ulises Moulines (Moulines 1985)
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distingue los sistemas axiomaacuteticos de estilo ldquoevidencial-concretordquo que
seleccionariacutean unas cuantas verdades prioritarias sobre las que se fundan las
demaacutes proposiciones de los de tipo ldquodemocraacutetico-abstractordquo donde todos los
enunciados de la teoriacutea son candidatos igualmente vaacutelidos para ser tomados
como axiomas siempre que el resto de proposiciones se pueda deducir a
partir de ellos Otros autores diferencian entre sistemas que ponen orden en
estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple hecho de hablar
sobre ellas La completud significa que si A es una foacutermula que no contiene
variables libres entonces |A| o (notA) Es decir que A su negacioacuten notA o ambas
son teoremas demostrables en la teoriacutea Que esta propiedad soacutelo atantildee a
foacutermulas sin variables libres puede ilustrarse viacutea ejemplo La foacutermula x + y = 7
no es ni verdadera ni falsa mientras que forall isin exist y isin ( + = 7) es un
teorema
d) Coherencia y adecuacioacuten Que etimoloacutegicamente viene del latiacuten
ldquocohaerencerdquo significa ldquoadherido ardquo una teoriacutea es coherente a veces aunque
erroacuteneamente tambieacuten se dice que es sistemaacutetica en la medida en que las
sentencias enunciados proposiciones foacutermulas etc a traveacutes de las cuales se
expresa se soportan entre siacute es decir no presentan contradiccioacuten Desde un
punto de vista loacutegico la coherencia significa que las sentencias de la teoriacutea
estaacuten relacionadas por la implicacioacuten Para verificar la coherencia no importa
si la teoriacutea es categoacuterica o hipoteacutetica se debe determinar si se produce
cualquier contradiccioacuten dentro de ellos y la condicioacuten necesaria y suficiente
para que se produzca dicha contradiccioacuten es que una o maacutes conclusiones
consecuencias o teoremas de la teoriacutea no sean consecuencia loacutegica de los
principios postulados o axiomas de la teoriacutea En resumen una teoriacutea se dice
coherente si (a) no contiene contradicciones loacutegicas entre las proposiciones
de una explicacioacuten esto es la coherencia interna Esto es en este contexto la
consistencia (b) La coleccioacuten de explicaciones dadas por la teoriacutea dentro del
cuerpo de conocimientos a lo largo y ancho de las demaacutes disciplinas no
deberiacutean contradecirse entre siacute (c) Las predicciones de la teoriacutea deben ser
correctas esto es las predicciones de las explicaciones de la misma no
deberiacutean ser contradictorias frente a las observaciones o experimentos que se
le planteen A esto se le denomina coherencia empiacuterica Un sistema de
axiomas se dice coherente si las consecuencias sintaacutecticas del mismo son
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tambieacuten consecuencias semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten
de acuerdo con la experiencia Un sistema formal se dice adecuado si todas las
consecuencias semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si
todas las verdades son deducibles Un sistema de axiomas se dice coherente si
las consecuencias sintaacutecticas del mismo son tambieacuten consecuencias
semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten de acuerdo con las
experiencias Un sistema formal se dice adecuado si todas las consecuencias
semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si todas las
verdades son deducibles El criterio de coherencia a su vez puede ser interno
que exige que la teoriacutea propuesta concuerde o maacutes fuerte auacuten no entre en
contradiccioacuten con otras teoriacuteas establecidas Para ello las afirmaciones
teoreacuteticas de la teoriacutea deben pertenecer a un sistema de afirmaciones
ldquoverdaderasrdquo Y en particular no debe entrar en conflicto con los principios de
conservacioacuten de la materia la energiacutea y de miacutenima accioacuten que se presentan a
continuacioacuten y sobre todo con la ley de la entropiacutea creciente
La uacutenica cantidad que cumple las condiciones naturales que se le imponen a
una medida de informacioacuten es la entropiacutea que en termodinaacutemica mide el
grado de aleatoriedad o desorden de una situacioacuten dada y que viene
expresada en teacuterminos de las distintas probabilidades que intervienen Este
concepto es fundamental y profundo para Eddington cuando afirmoacute ldquoCreo
que la ley de la entropiacutea creciente la 2ordf ley de la termodinaacutemica es la maacutes
importante de las leyes de la naturalezardquo
El significado es algo anaacutelogo a una de las cantidades de las que depende la
entropiacutea de un sistema termodinaacutemico A propoacutesito de esto Eddington ha
hecho un comentario muy acertado ldquoSupongamos que se nos pide que
clasifiquemos las palabras distancia masa fuerza eleacutectrica entropiacutea belleza y
melodiacutea en dos categoriacuteas Pienso que existen razones muy fuertes para poner
la entropiacutea al lado de la belleza y la melodiacutea y no con las otras tres El concepto
de entropiacutea soacutelo surge cuando las partes son consideradas como un todo y es
precisamente contemplando o escuchando las partes asociadas entre siacute como
aparecen la belleza y la melodiacutea Las tres dependen de la ordenacioacuten del
conjunto La idea de que una de estas tres candidatas estaacute destinada a
aparecer como un denominador comuacuten de la ciencia se me antoja altamente
significativa La razoacuten de que este individuo extrantildeo pueda escabullirse entre
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los aboriacutegenes del mundo fiacutesico es que habla su propio idioma el de la
aritmeacuteticardquo Ciertamente eacuteste es un argumento maacutes para establecer la
estrecha relacioacuten entre matemaacutetica y mundo fiacutesico
El hecho de que la informacioacuten deba ser medida por medio de la entropiacutea
resulta despueacutes de todo natural si se recuerda que la informacioacuten estaacute
asociada con el margen de la libertad de eleccioacuten de que se dispone a la hora
de construir el mensaje Por tanto de una fuente de informacioacuten podriacutea
decirse lo mismo que de un sistema dinaacutemico ldquoLa situacioacuten posee un grado
muy alto de organizacioacuten y no estaacute caracterizada por un grado elevado de
aleatoriedad o de poder de eleccioacuten es decir que la informacioacuten o la entropiacutea
es pequentildea
En lo concerniente a la ley de la entropiacutea creciente y su papel de juez aacuterbitro
en la coherencia de cualquier teoriacutea nada mejor que la opinioacuten de Sir Arthur
Stanley Eddington al respecto ldquoAcerca de la importancia de la Segunda ley de
la termodinaacutemica mucho se ha escrito y nadie duda de su efectividad
praacutecticardquo Pero por si quedase alguna duda sobre su rango de aplicacioacuten y su
generalidad Eddington lo aclaroacute de forma contundente cuando en una de sus
obras maacutes conocida y citada (Eddington 1948) dijo ldquoThe Law that entrpy
always increase ndashthe second Law of thermodynamics- holds I think the
supreme position among the laws of Nature If someone points cut to you that
your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell`s equations ndash
then so much the worse for Maxwell`s equations- If it is found to be
contradicted by observation well these experimentalist do bungle thnigs
sometimes But if your theory is found to be against the second law of
thermodynamics I can give you no hope there is nothing for it but to collapse
in deepest humiliationrdquo
e) Correccioacuten y falsabilidad Cualquier teoriacutea debe tener implicaciones sobre el
mundo real empiacuterico Pues bien estas implicaciones deben ser ldquofalsablesrdquo La
falsabilidad de las implicaciones concierne por una parte a la circularidad y
por otra a la especifidad de las afirmaciones hipoteacuteticas que hacen
declaraciones acerca del mundo empiacuterico Conjuntos de afirmaciones
circulares o tautoloacutegicas no pueden ser verificadas esto es corroboradas o
refutadas son loacutegicamente vaacutelidas por definicioacuten pero no dicen nada acerca
del mundo empiacuterico y por consiguiente no son teoriacuteas Ademaacutes se exige que
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sean suficientemente especiacuteficas de modo que puedan si es el caso probarse
que estaacuten equivocadas Esto es deberiacutean ser lo suficientemente especiacuteficas
como para que sea claro que evidencia se requiere para determinar si la
evidencia es consistente o inconsistente con las implicaciones Dicho esto no
se deberiacutea exigir que los instrumentos que pueden requerirse para coleccionar
evidencia relevante existan realmente Es decir basta con que las
implicaciones de la teoriacutea sean falsables al menos en principio De esto se
pueden derivar lo dos apartados siguientes
α) Verdad Desgraciadamente las teoriacuteas nunca pueden probarse que
son verdaderas Hay dos razones para esto La primera es que no
importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea frente a los datos
siempre hay la posibilidad de que aparezca un nuevo dato que
contradiga la teoriacutea Justo porque el Sol ha salido todos los diacuteas desde
que se inicioacute su comprobacioacuten eso no prueba la teoriacutea que sugiere
que siempre saldraacute Maacutes bien lo contrario pues cada diacutea que sale es
uno menos que le queda de ldquovidardquo Es decir desgraciadamente nunca
se puede probar que una teoriacutea es correcta Soacutelo se puede probar que
es falsa No importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea no hay
suficiente tiempo en el universo para llevar a cabo todas las
verificaciones posibles Asiacute incluso si una teoriacutea ha sobrevivido a un
milloacuten de pruebas auacuten podriacutea fracasar en la un milloacuten una En alguacuten
modo esta situacioacuten es opuesta a localizar un objeto perdido en una
casa Si se busca el objeto en la casa y se le encuentra bien es
definitivo que el objeto estaba en la casa caso cerrado Pero si se
busca y no se le encuentra eso no significa en absoluto que el objeto
no esteacute en la casa Podriacutea estar alliacute justo donde se perdioacute Lo mismo
pero al reveacutes vale para las teoriacuteas Si se prueba una teoriacutea y se
fracasa esto es ha sido falsada Pero si pasa el test es justo soacutelo un
test Puede haber otros datos u otras situaciones que la hubieran
falsado Sin embargo todaviacutea no se ha accedido a ellos Finalmente
las teoriacuteas son justo descripciones Hay siempre otras maneras de
describir los hechos que son igualmente vaacutelidas En este sentido
verdad no es un concepto razonable De todo lo que se dispone es de
41
descripciones que no se contradicen por los hechos actualmente
disponibles Eso es todo
β) Falsabilidad Una buena teoriacutea es falsable Si no hay una forma
concebible para construir un experimento o coleccionar algunos datos
que potencialmente podriacutean contradecir la teoriacutea eacutesta es inuacutetil
Supoacutengase que se estaacute intentando explicar el patroacuten de caras y cruces
que resultan de lanzar una moneda diez veces La teoriacutea dice que sale
cara cuando quiere un mago invisible y cruces en otro caso iquestCoacutemo se
puede verificar esa teoriacutea Si se lanza la moneda y sale cara eso no
contradice la teoriacutea puesto que eso justo quiere decir que el mago lo
queriacutea No importa coacutemo se realice el experimento los datos no
pueden posiblemente contradecir la teoriacutea Teoriacuteas como eacutesa
realmente no explican nada Se pueden usar para predecir resultados
no para hacer cosas verbigracia construir aviones que vuelen Por
ejemplo el concepto general de que los empleados de una
organizacioacuten trabajan duro porque estaacuten motivados es del mismo tipo
que decir que salen caras porque el mago quiera Volviendo a la
motivacioacuten eacutesta no se puede ver Soacutelo se puede inferir su existencia
por sus efectos en este caso el comportamiento humano De este
modo si una persona trabaja duro se dice que estaacute motivada Si no
se dice que no lo estaacute Sin embargo se dice que la razoacuten para que
trabaje duro o no es debido a la motivacioacuten Y eso es una ldquopetitio
principiirdquo es decir una falacia argumental Si estaacuten motivados
trabajan duro Si trabajan duro estaacuten motivados En general cualquier
teoriacutea que explique el comportamiento humano en teacuterminos de los
deseos humanos estaacuten en un terreno resbaladizo o peor cienagoso
En otras palabras si se estudia el movimiento voluntario del personal
en las organizaciones y se encuentra que la gente deja las
organizaciones ldquoporque quierenrdquo realmente no se ha explicado nada
y nunca podriacutea probarse que se estaacute equivocado En resumen hay dos
maneras en las que las teoriacuteas pueden fracasar en ser falsables Una
porque los datos son imposibles de obtener por su propia naturaleza
Dos porque son circulares
42
B) Materiales Ademaacutes de las condiciones formales de adecuacioacuten que debe cumplir
cualquier teoriacutea en siacute misma es decir independiente del dominio rango o alcance de
la misma existe otro conjunto de condiciones denominadas materiales de
adecuacioacuten que son especiacuteficos del tipo de teoriacutea de su dominio rango o alcance de la
misma Entre eacutestas que podriacutean considerarse como suficientes estaacuten las siguientes
a) Alcance o Provisionalidad La veracidad del conocimiento teoacuterico puede ser
tanto definitiva como provisional En efecto un teorema una vez demostrado
como verdadero lo es para siempre No importa la cantidad de informacioacuten
adicional que se tenga que jamaacutes cambiaraacute el estatus de verdad del mismo
Consideacuterese por ejemplo el teorema de Pitaacutegoras que estaacute demostrado desde
hace maacutes de 25 siglos Ninguna cantidad de nueva informacioacuten cambiaraacute el
estatus de dicho teorema hacieacutendolo falso Por el contrario consideacuterese la
Teoriacutea de Newton que se apoya en la hipoacutetesis de que el espacio y el tiempo
ademaacutes de absolutos no interactuacutean entre siacute es decir son independientes
Auacuten cuando la teoriacutea newtoniana se mantuvo incoacutelume y se consideroacute
correcta durante maacutes de dos siglos informacioacuten obtenida en el siglo XX dio al
traste con ese supuesto El responsable de esa iconoclastia fue la Teoriacutea de la
Relatividad de Einstein que no soacutelo le quitoacute al espacio y al tiempo la condicioacuten
newtoniana de absolutez sino que los interrelacionoacute En este sentido las
teoriacuteas formales pertenecientes a los dominios de la loacutegica y o las
matemaacuteticas son en lo que respecta al paraacutemetro de la provisionalidad
eternas Por su parte las teoriacuteas empiacutericas fiacutesicas quiacutemicas bioloacutegicas y
geoloacutegicas son provisionales es decir una teoriacutea empiacuterica que se juzga
verdadera en base a la informacioacuten actualmente disponible puede volverse
falsa cuando informacioacuten adicional llega a estar disponible En esto de la
provisionalidad de las teoriacuteas rige el principio de Bossuet sobre los imperios
Jacques-Beacutenigne Bossuet profesor del Defiacuten el hijo del rey Sol Luis XIV habiacutea
escrito en 1681 por encargo real su ldquoDiscurso sobre la Historia Universalrdquo
Poincareacute en 1909 en su presentacioacuten en Lille afirmaba la solidez de la fiacutesica
newtoniana y su esperanza de que eacutesta fuera sempiterna Sin embargo en
dicho discurso y contradicieacutendose antildeadioacute ldquoPero las teoriacuteas cientiacuteficas son
como los imperios y si Bossuet estuviera aquiacute no dudariacutea en encontrar acentos
elocuentes con los que denunciar su fragilidadrdquo (Poincareacute 1909) En 1912
Poincareacute con otros colegas de la Academia Francesa recopiloacute en un texto el
43
mensaje de Bossuet que advertiacutea a una humanidad orgullosa sobre su
perennidad como sigue (Fraguet 1927) Asiacute veis pasar ante vuestros ojos
como en un instante no digo reyes emperadores sino esos grandes imperios
que habiacutean hecho temblar el universo entero Viendo como los asirios antiguos
y modernos los medas los persas los griegos los romanos aparecen ante
vosotros unos tras otros para caer unos sobre otros por decirlo asiacute esta
terroriacutefica reyerta os hace sentir que no hay nada soacutelido entre los hombres y
que la inconstancia y la agitacioacuten son el destino natural de los asuntos
humanos Como puede verse para Poincareacute las teoriacuteas cientiacuteficas eran como
los grandes imperios de Bossuet y si la analogiacutea se toma como tal Poincareacute
estaba en lo cierto De este modo cuando alguien da por sentado la
peternidad de las teoriacuteas empiacutericas con probabilidad rayana en la certeza se
equivoca El caso de lord Kelvin es paradigmaacutetico al respecto Hacia 1900 la
fiacutesica claacutesica habiacutea elaborado una descripcioacuten altamente satisfactoria del
mundo totalmente determinista y basada en nociones aparentemente
consistentes consigo mismas Pero sobre ese aparente cielo despejado y claro
Lord Kelvin autor de la escala de temperatura absoluta y uno de los
fundadores de la termodinaacutemica sentildealoacute dos nubarrones Este panorama lo
describioacute lord Kelvin en una conferencia impartida ante la Asociacioacuten Britaacutenica
para el Progreso de la Ciencia en 1900 (Kelvin 1901) El primero de los
nubarrones se referiacutea a la naturaleza paradoacutejica del eacuteter propuesto por la
teoriacutea del campo unificado como el vehiacuteculo de las ondas electromagneacuteticas
Kelvin consideraba posible la existencia de una sustancia tan extrantildea pero
sentildealoacute que si existe deberiacutea poderse medir el movimiento con respecto a ella
Curiosamente y debe resaltarse esta prediccioacuten no surgioacute dentro de la
mecaacutenica newtoniana que suponiacutea la existencia de fuerzas que actuacutean a
distancia sobre las masas sin la intervencioacuten de ninguacuten eacuteter Como los
experimentos para detectar el eacuteter no dieron resultado Kelvin empezoacute a
sospechar que ese fracaso teniacutea una causa importante Fue Einstein con su
relatividad restringida quien envioacute el eacuteter al mundo de lo inuacutetil donde ya se
encontraban el caloacuterico el flogisto los voacutertices etc El segundo nubarroacuten
surgioacute de un problema aparentemente menos serio la discrepancia entre el
calor especiacutefico para voluacutemenes constantes de gases diatoacutemicos realizado por
mediciones precisas 5R2 para el O2 y el H2 etc y el valor predicho a partir de
44
consideraciones de la mecaacutenica estadiacutestica 7R2 Finalmente esos dos
nubarrones dieron lugar a las tormentas o por mejor decir revoluciones tan
espectaculares como la Teoriacutea de la Relatividad y la Fiacutesica Cuaacutentica iexclAhiacute es
nada
b) Simplicidad o Parsimonia La Navaja de Ockham o tambieacuten conocido como
ldquotijera de Ockamrdquo Principio de Parsimoniardquo en el sentido de moderacioacuten o
tambieacuten ldquoPrincipio de simplicidadrdquo o incluso ldquoPrincipio de economiacuteardquo es
considerada como una de las herramientas maacutes potentes y eficaces de la
ciencia Su enunciado habitual expresa que ldquonon sunt multiplicanda entia
praeter necessitatemrdquo aconsejando reducir al miacutenimo el nuacutemero de motivos y
objetos en general entes a los que haya que recurrir para justificar algo Y
maacutes generalmente tambieacuten implica que en el conjunto de teoriacuteas ofrecidas
para explicar un hecho se ha de preferir la maacutes sencilla Esta idea hasta donde
se sabe fue expuesta por primera vez por el filoacutesofo y teoacutelogo dominico
fraacutences Durand de Saint Pourcain fallecido en 1332 y tambieacuten se encuentra
enunciada en la obra del franciscano Duns Scoto (1266-1308) probable
profesor de quien difundioacute ldquourbi et orbirdquo el principio Guillermo de Ockham a
comienzos del siglo XIV Es eacutesta una condicioacuten que indica que las teoriacuteas
deberiacutean ser podadas de suposiciones innecesarias Se trata aquiacute de evitar
proponer como principios relaciones complejas cuando existe una alternativa
maacutes simple Una razoacuten para preferir la sencillez es que la naturaleza parece
hacerlo Las cosas complicadas tienen maacutes formas de romperse y menos
probabilidad por tanto de durar hasta el presente La otra razoacuten es que las
teoriacuteas son inuacutetiles a menos que sean lo suficientemente sencillas como para
que la gente las entienda Las teoriacuteas son a veces aunque inadecuadamente
denominadas modelos y la idea cabal de modelo es que es una versioacuten maacutes
pequentildea maacutes simple de la cosa real Los modelos pretenden resaltar
evidencias y las partes importantes y dejar fuera las irrelevantes El poder de
un modelo puede definirse como la proporcioacuten de reduccioacuten en complejidad
que proporciona sobre la naturaleza Demasiado detalle puede obscurecer las
cosas clave Verdaderamente los modelos complicados no explican realmente
mucho El mejor modelo posible de los patrones meteoroloacutegicos terrestres se
obtendriacutea construyendo un duplicado de la Tierra girando alrededor del Sol
exactamente lo mismo con mucho detalle Deberiacutea predecir todo
45
perfectamente El problema es que el modelo es tan complicado como lo que
se intenta entender Un ejemplo de parsimonia son los modelos aleatorios
Supoacutengase que se quiere entender porqueacute casi todas las sociedades humanas
tienen desigualdades significativas unos son mucho maacutes ricos que otros Se
podriacutean dar un nuacutemero de razones especiales incluidas causas sobrenaturales
del tipo ldquoDios lo quiso asiacuterdquo pero es importante percatarse de que la
desigualdad es lo que deberiacutea esperarse incluso si no hubiera ninguna razoacuten
especial por la que deberiacutea suceder Si se toman 100 euros y se dividen
aleatoriamente entre 10 personas soacutelo hay un puntildeado de formas que dariacutean
un resultado igualitario Sin embargo hay maacutes de 1030 maneras de dividirlos de
modo que se produzcan relevantes desigualdades Es justo como tener la
habitacioacuten ordenada Baacutesicamente hay unas pocas maneras de tener la
habitacioacuten en el espacio tridimensional de modo que pueda decir que todo
estaacute en su sitio Pero hay millones de lo contrario El principio de usar la
parsimonia como un criterio para modelizar la seleccioacuten se conoce como
ldquoNavaja de Ockhamrdquo
Sea como sea la ldquoNavaja de Ockhamrdquo es soacutelo una herramienta o si se quiere
una regla heuriacutestica y como tal en ocasiones se ha mostrado uacutetil para la
ciencia Lo que no es es una cualidad del mundo esto es concierne a la
epistemologiacutea no a la ontologiacutea del mundo Por consiguiente no es necesario
suponer que el universo es sencillo aunque a la hora de enfrentarse y razonar
sobre eacutel se prefiera que se asiacute antes que complejo
John Burdon Sanderson Hodlane (Hodlane 1927) dice ldquoEn el pensamiento
cientiacutefico se adopta la teoriacutea maacutes simple que explique todos los hechos
considerados y que permita anticipar otros nuevos de la misma iacutendole La
trampa de este criterio estriba en la expresioacuten ldquola maacutes simplerdquo en realidad es
un canon esteacutetico como los que se encuentran expliacutecitos en las criacuteticas de
poesiacutea y pintura El profano encuentra mucho maacutes simple el concepto
ldquorezumardquo que su expresioacuten matemaacutetica () = (( ) el fiacutesico
invierte este juicio y por cierto su nocioacuten es la maacutes fructiacutefera por su poder de
prediccioacuten Sin embargo es una descripcioacuten sobre algo muy poco familiar para
el hombre comuacuten ldquola proporcioacuten con que cambia una tasa de variacioacutenrdquo
46
c) Fertilidad y o fecundidad O lo que es lo mismo una teoriacutea debe dar lugar a
nuevos resultados de investigacioacuten es decir debe revelar fenoacutemenos nuevos o
relaciones no observadas antes entre las cosas que ya se saben Este criterio es de
especial importancia para las decisiones cientiacuteficas reales De hecho el segundo
aspecto de la fecundidad de una teoriacutea es que sea fructiacutefera en el sentido de que la
eleccioacuten de una teoriacutea u otra tendraacute influencia ulterior en el desarrollo de la
carrera cientiacutefica de quien hizo la eleccioacuten Por eso los cientiacuteficos se sentiraacuten
atraiacutedos por aquella teoriacutea que prometa el eacutexito concreto por el que suelen ser
recompensados los cientiacuteficos Una teoriacutea feacutertil es aquella que genera multitud de
implicaciones en diferentes aacutereas y dominios Las implicaciones son importantes
porque por una parte son esencialmente perspicacias y o ldquointuicionesrdquo que no
eran obvias antes de establecerse la teoriacutea de este modo potencialmente
representan nuevo conocimiento Por otro lado representan posibilidades de
verificar la teoriacutea Una teoriacutea para ser feacutertil o sea una buena teoriacutea tiene que ser
general
d) Sorpresa Una cualidad de las buenas teoriacuteas es que son interesantes Esto
significa que generan implicaciones no obvias Conducen a entender las cosas de
nuevas maneras La sorpresa se refiere a la capacidad de la teoriacutea para realizar
predicciones inesperadas no obvias Un famoso ejemplo es una teoriacutea que explica
porque ciertos paiacuteses tienen muchas maacutes chicas que chicos La teoriacutea dice que esto
sucede iroacutenicamente cuando como ocurre en la India la gente prefiere tener
chicos En efecto la probabilidad de tener un chico es diferente en las distintas
familias es algo geneacutetico Supoacutengase ahora que la gente lo que hace es tener
nintildeos hasta que tengan maacutes chicos que chicas Asiacute si el primero es un chico no
tienen maacutes Si es una nintildea van a por maacutes hasta que los varones sean maacutes Pero si
es mujer siguen El resultado es que las familias que tienen predisposicioacuten a tener
nintildeos son poco numerosas las otras no Si no hubiera esa preferencia habriacutea
aproximadamente un nuacutemero similar de ambos Este paradoacutejico resultado es
curioso y encantador
e) Amplitud A veces y tal vez con mejor criterio tambieacuten denominada robustez
Esto quiere decir que las consecuencias de la teoriacutea deben extenderse o sea ir
maacutes allaacute de las observaciones leyes o subteoriacuteas particulares para las que se
destinoacute en principio
47
f) Conectividad Este aspecto iacutentimamente relacionado con el anterior quiere
decir que la teoriacutea ordena fenoacutemenos que sin ella y tomados uno a uno estariacutean
aislados y en conjunto seriacutean confusos
g) Independencia Esta condicioacuten exige que ninguno de los axiomas pueda
deducirse de los demaacutes aplicando las reglas fijadas es decir todos y cada uno de
ellos deben antildeadir nueva informacioacuten Para demostrar la independencia de un
axioma respecto a los demaacutes es suficiente con describir un modelo que los
satisfaga todos menos eacutel ya que si fuera posible obtenerlo de los otros
automaacuteticamente seriacutea verdadero en el sistema construido Nada se indica sobre el
nuacutemero de axiomas que pueden elegirse para una teoriacutea pueden ser infinitos
pero seriacutea entonces difiacutecilmente manejable y no tiene sentido en cualquier caso
antildeadir axiomas y axiomas si ya pueden deducirse de unos pocos Por ejemplo a los
axiomas de Peano se les podriacutea antildeadir verbigracia el postulado de que 1 es
distinto de 2 pero seriacutea inuacutetil porque 2 es precisamente el sucesor de 1 y el
axioma III ya indica que 1 no es el sucesor de ninguacuten nuacutemero natural Como se ve
esta propiedad matemaacutetica se trata de una aplicacioacuten del principio de Ockham en
este caso enunciado como sigue ldquoninguacuten axioma o parte de eacutel debe ser
consecuencia de los demaacutesrdquo
Una teoriacutea es pues una construccioacuten simboacutelica en el sentido de que los teacuterminos que utiliza
son siacutembolos que buscan ldquoa tientasrdquo su significado en el mundo real Su valor se apoya tanto
en la estructura de las interconexiones que relacionan sus leyes entre siacute como en las propias
leyes Por eso no soacutelo debe ser un banco de pruebas donde se observa lo que puede
acontecer bajo determinadas condiciones sino que maacutes bien es valga la analogiacutea un territorio
parcialmente explorado De esta forma es con frecuencia heuriacutestica habida cuenta que guiacutea al
ldquoexploradorrdquo hacia nuevos descubrimientos En consecuencia se puede afirmar que tal vez la
mayor importancia de una teoriacutea no estriba en que conteste preguntas sino maacutes bien en que
permita y facilite el plantearlas dirigiendo asiacute la investigacioacuten en el campo que le concierne
Por lo tanto uno de los usos maacutes fructiacuteferos de una teoriacutea es el de preparar las categoriacuteas
conceptuales a partir de las cuales los investigadores formularaacuten sus preguntas y disentildearaacuten sus
experimentos para validar sus hipoacutetesis frente a la contundente realidad de los hechos
Por uacuteltimo una teoriacutea se construye para ponerla en praacutectica Cuando se habla de poner en
praacutectica una teoriacutea lo que se pretende es extraer consecuencias de ella entendiendo por esto
48
la postulacioacuten de una serie de circunstancias que incluyan algunas teacutecnicas de la teoriacutea para
en un paso posterior obtener informacioacuten acerca de lo que la teoriacutea supone sobre las
implicaciones que estas circunstancias particulares tienen para los otros teacuterminos de la teoriacutea
Con frecuencia se llega a las especificaciones seguacuten las cuales se desea someter a verificacioacuten
la teoriacutea interrogando o midiendo alguacuten aspecto del mundo real En otras palabras es preciso
tener alguacuten criterio de validez para determinar el eacutexito de la teoriacutea o del modelo construido
sobre ella Pues si bien una teoriacutea no puede descifrarlo todo los ldquomodelosrdquo que a partir de ella
se construyan deben al menos estar capacitados para descifrar ciertas cuestiones
Einstein apunta la existencia de dos criterios que presiden la seleccioacuten y evaluacioacuten de las
teoriacuteas cientiacuteficas El primero estaacute guiado por la confirmacioacuten externa o comprobacioacuten
experimental de la teoriacutea es decir no debe contradecir los hechos de la experiencia Para eacutel la
experiencia es el alfa y el omega de todo conocimiento cientiacutefico de la realidad Como lo
sentildealoacute eacutel mismo (Heisenberg 1971) El control por medio del experimento es en efecto el
presupuesto normal para la exactitud de una teoriacutea El segundo es el de la ldquoperfeccioacuten interna
naturalrdquo o de la ldquosencillez loacutegicardquo El criterio de perfeccioacuten interna se asemeja muchiacutesimo al
criterio de elegancia matemaacutetica de Poincareacute (Poincareacute 1946) siendo para Einstein esta
elegancia un iacutendice de la verosimilitud de la teoriacutea y de su verdad objetiva pues cuando se
carece de esa elegancia se cae en contradicciones internas Ambos criterios teoacuterico y
experimental expresan en efecto la misma idea pues sirven para determinar el valor
ontoloacutegico de la teoriacutea y su acuerdo con la realidad son como las dos caras de una misma
moneda pues si la teoriacutea debe guiar el experimento eacuteste debe corroborar y enriquecer la
teoriacutea De hecho la experimentacioacuten soacutelo tiene sentido si obedece o estaacute gobernada por un
planteamiento teoacuterico que a veces puede ser falso y siempre acaba resultando ser
provisional Teorizar no consiste simplemente en explicar normas ni en registrar hechos
consiste en ldquoconceptualizarrdquo o ldquoreconstruirrdquo es decir interpretar el material de estudio dentro
de un marco conceptual previamente dado que es precisamente lo que se denomina
ldquoTeoriacuteardquo En este sentido una teoriacutea es un cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se
pueden responder como miacutenimo a las siguientes cuestiones iquestQueacute esto es hacer
predicaciones Y iquestCoacutemo y por queacute es decir dar explicaciones Naturalmente la que debe dar
las respuestas es la teoriacutea y no el teoacuterico
49
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS
Las teoriacuteas como por otra parte cualquier conjunto de elementos pueden catalogarse de
acuerdo con distintos paraacutemetros Esta tipologiacutea en general puede ir desde una simple
clasificacioacuten hasta una taxonomiacutea pasando por una ordenacioacuten
A) La Clasificacioacuten
La clasificacioacuten siempre implica una definicioacuten Un teacutermino clase denota todos los
particulares a los cuales es aplicable el teacutermino es decir es la ldquoextensioacutenrdquo o
denotacioacuten del teacutermino y connota la(s) caracteriacutestica(s) que un particular debe tener a
fin de que el teacutermino le sea aplicable esto es la intensioacuten del teacutermino Ya que la
extensioacuten estaacute determinada por la intensioacuten y una definicioacuten describe la intensioacuten de
un teacutermino la definicioacuten es baacutesica para la clasificacioacuten iquestcuaacuteles son los criterios para
establecer la valiacutea episteacutemica de una clasificacioacuten Son desde el punto de vista
semaacutentico los siguientes
a) Exactitud El criterio de exactitud demanda que la clase de los teacuterminos esteacute
bien definida Una definicioacuten verdadera establece el universo a partir del cual
se establecen las clases y las diferencias o caracteriacutesticas esenciales que
distinguen las clases siendo catalogadas a partir de otras clases en el universo
b) Exclusividad y Exhaustividad Los criterios de exclusividad y exhaustividad
pueden establecerse con precisioacuten mediante conceptos teoreacuteticos En efecto
las clases pueden verse como subconjuntos del universo sometidos a
consideracioacuten esto es el conjunto universal Mientras el contexto de tal
enfoque es decir la exclusividad y exhaustividad pueden establecerse como
sigue
α) Exclusividad todo elemento en el universo dado aparece a lo sumo
en una subclase es decir - cap -0 = empty para todo par de subclases
sometidas a consideracioacuten
β) Exhaustividad todo elemento en un universo dado deberiacutea estar en
alguna clase es decir cup - = 3 donde Si es la coleccioacuten de
subclases y la unioacuten se realiza sobre todas ellas Exclusividad y
50
exhaustividad juntos requiere que cada elemento del universo
aparezca en una subclase
B) Taxonomiacutea
Para que una clasificacioacuten sea una taxonomiacutea debe cumplir el criterio de orden
jeraacuterquico Para que una clasificacioacuten esteacute jeraacuterquicamente ordenada debe cumplir las
siguientes condiciones
a) Los taxones o clases esteacuten ordenados en niveles que estaacuten secuencialmente
ordenados de 1 a n De este modo cada taxoacuten puede designarse por Tij donde
j indica el nivel particular para el taxoacuten o rango e i se asigna arbitrariamente
para diferenciar el taxoacuten en un determinado nivel
b) Cada taxoacuten de nivel j con jltn estaacute incluido en alguacuten taxoacuten de nivel j+1 Dicho
maacutes precisamente para un jltn dado existe alguacuten k tal que Tij estaacute incluido en
Tkm para m=j+1
c) El nuacutemero de taxas de rango j es mayor que el nuacutemero de taxas j+1
d) Las taxas de cada rango son mutuamente exclusivas y exhaustivas Maacutes
precisamente para un rango dado j 40 cap 450 = empty para cualesquiera i y k que
aparecen como subiacutendices en la taxa de rango j y cup 4 = 3
e) El criterio de coherencia interna exige que la clasificacioacuten concuerde con el
conocimiento teoreacutetico existente Para ello las afirmaciones teoreacuteticas deben
ser miembros del sistema actual de afirmaciones teoreacuteticas verdaderas cuyos
elementos estaacuten relacionados mediante la implicacioacuten loacutegica
Si lo que se pretende conseguir es una clasificacioacuten el criterio elegido debe ser exhaustivo y
excluyente es decir que todos y cada uno de los elementos a clasificar caiga en una y soacutelo una
de las clases y eacutestas que son clases de equivalencia son disjuntas entre siacute Por su parte una
ordenacioacuten establece una relacioacuten de precedencia u orden entre los miembros de un conjunto
Esta precedencia puede ser jerarquizada por niveles Pues bien cuando dentro de cada nivel
de jerarquiacutea se establece una clasificacioacuten entonces se obtiene una taxonomiacutea Dicho lo
anterior entre las teoriacuteas se puede establecer la siguiente taxonomiacutea
51
1 Categoacutericas En la descripcioacuten de los conceptos de una teoriacutea las oraciones teoacutericas
esto es las relaciones entre determinantes y resultantes pueden ser necesarias que
son esenciales y surgen de la propia naturaleza de resultantes y determinantes y si no
se cumplen no seriacutean lo que son y contingentes que son accidentales y no se tienen
que cumplir para que los determinantes y resultantes sean lo que son Su diferencia
estriba no en la forma sino en el contenido Las frases cientiacuteficas no tienen contenido
axioloacutegico mientras que las praxeoloacutegicas siacute En estas teoriacuteas o sistemas la verdad de
los teoremas o conclusiones se demuestra o viene dada por la verdad de las premisas
o axiomas es decir no hay calificacioacuten de la verdad de ahiacute el teacutermino ldquocategoacutericordquo En
ellos no hay ninguna suposicioacuten esto es hipoacutetesis de ahiacute su nombre Es decir la
evidencia soportando la verdad de las premisas que no se discute se transfiere a los
teoremas o conclusiones La necesidad reside tanto en la conexioacuten de las premisas con
los teoremas o conclusiones como en lo que postulan las premisas En estas teoriacuteas no
hay ninguna cualificacioacuten con respecto a la verdad no hay suposiciones de ahiacute el
teacutermino categoacuterico Dentro de ellas se inscriben las teoriacuteas filosoacuteficas Las teoriacuteas
filosoacuteficas y la teodicea caeriacutean si se las consideran teoriacuteas Las teoriacuteas filosoacuteficas
justifican sus afirmaciones mostrando que se siguen ldquoracionalmenterdquo no
necesariamente esto es deductivamente de las premisas que se toman como
verdaderas y no son falsables
2 Hipoteacuteticas En estos sistemas no hay certeza absoluta en los axiomas o esquemas de
axiomas es decir no hay evidencia propia De ahiacute que en este caso sea mejor usar el
teacutermino postulado para las premisas En este caso no existe ninguna certidumbre
respecto a los postulados de partida por ello es preciso establecer suposiciones de
partida es decir hipoacutetesis de ahiacute su nombre Existen dos tipos de sistemas
axiomaacuteticos hipoteacuteticos
21 Formales Desarrollados para aacutereas conceptuales muy amplias De hecho son
el sustrato racionador de al menos las teoriacuteas cientiacuteficas Sus afirmaciones se
justifican mediante demostraciones es decir la prueba de las afirmaciones
hechas en forma de teoremas alegados o aducidos o afirmados se sigue
deductivamente de los axiomas Su caracteriacutestica maacutes relevante es la
perennidad de lo demostrado Son de tipo analiacutetico es decir no antildeaden
nuevo conocimiento Las afirmaciones de una teoriacutea formal se justifican
mediante demostraciones en matemaacuteticas y prueba en loacutegica de modo que
52
en ambos casos se siguen como acaba de decirse deductivamente de los
axiomas Es decir no apelan a la evidencia experimental Son abstractas y
estaacuten vaciacuteas de contenido Dentro de ellas estaacuten las teoriacuteas
211 Matemaacuteticas Informalmente son ciertos cuerpos de
conocimientos que consisten en axiomas conectados definiciones
teoremas teacutecnicas computacionales todas relacionadas de alguacuten
modo por tradicioacuten o praacutectica Por ejemplo Teoriacutea de Conjunto
Teoriacutea de Grafos Teoriacutea de Autoacutematas Teoriacutea de Grupos Teoriacutea de
Nuacutemeros etc
212 Loacutegicas En este caso es un conjunto de enunciados en un
lenguaje formal que estaacute cerrado en la aplicacioacuten de ciertos
procedimientos denominados reglas de inferencia Un caso
especial son las teoriacuteas axiomaacuteticas que consisten en axiomas o
esquemas de axiomas y reglas de inferencia De este modo lo que
se obtiene son foacutermulas que se derivan de los axiomas mediante
dichas reglas
22 Materiales sustantivas o justificadas basaacutendose en la experimentacioacuten Estaacuten
formadas por conjuntos de proposiciones conectados que afirman revelar la
verdad de un fenoacutemeno Estaacuten desarrolladas en aacutereas especiacuteficas de
investigacioacuten Son sinteacuteticas esto es antildeaden nuevo conocimiento Entre estas
teoriacuteas estaacuten las concernientes a las ciencias claacutesicas fiacutesica quiacutemica biologiacutea y
geologiacutea y pueden ser
221 Cientiacuteficas naturales o empiacutericas Que buscan entender los
fenoacutemenos recopilando informacioacuten observada y proporcionando
explicacioacuten para ellos Sus afirmaciones se justifican mediante la
evidencia experimental y observacional Y dado que una de las
bases de estas teoriacuteas es el peso de la evidencia por eso reciben
el nombre de empiacutericas De hecho las teoriacuteas empiacutericas se
validan obteniendo las implicaciones de la teoriacutea para hechos
observables es decir generando hipoacutetesis y luego observando o
construyendo situaciones en las que puedan examinar y
contrastar dichas hipoacutetesis Esto exige que se puedan formular las
hipoacutetesis y se puedan efectuar observaciones relevantes Estas
53
teoriacuteas tratan con fenoacutemenos de la naturaleza y a su vez pueden
catalogarse en
2211 Deterministas que de nuevo pueden subdividirse en
A) Con datos incorregibles Paternidad bioloacutegica
B) Corregibles La fiacutesica claacutesica
2212 Indeterministas como la fiacutesica cuaacutentica la termodinaacutemica etc
Las teoriacuteas prototiacutepicas en fiacutesica tales como la teoriacutea de la
gravitacioacuten la de los cuanta de los fenoacutemenos subatoacutemicos
etc tienen seguacuten Mohanan P Karuvannur (Mohanan 2001)
las caracteriacutesticas distinguidas siguientes
A) Contienen un conjunto de proporciones llamadas leyes
B) La mayoriacutea de las proposiciones de la teoriacutea se expresan en
formalismos matemaacuteticos
C) Las observaciones contra las que se comprueban las
teoriacuteas son tiacutepicamente administrativas
D) Dichas observaciones y su contraste se obtienen y realizan
experimentalmente
E) Estos experimentos son reproducibles por otros
Sin embargo no todas las teoriacuteas cientiacuteficas exhiben todas
estas caracteriacutesticas Por ejemplo
a) La teoriacutea cosmoloacutegica del ldquoBig Bangrdquo y la teoriacutea de la
deriva continental en geografiacutea no incluyen ninguna
ley de siacute mismas En lugar de buscar formular leyes es
decir afirmaciones de una relacioacuten sistemaacutetica entre
variables observables o teoacutericas dichas teoriacuteas
54
proporcionan un ldquomodelordquo de los fenoacutemenos que se
pretenden entender
b) Mientras la teoriacutea de la gravitacioacuten de Newton emplea
una geometriacutea eucliacutedea y la de Einstein una
reimaniana la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y
Darwin no usa ninguacuten formalismo matemaacutetico
c) En tanto que las observaciones de la teoriacutea de Newton
son medidas cuantitativas las teoriacuteas topoloacutegicas no
d) Mientras que la fiacutesica y quiacutemica son altamente
experimentales la astronomiacutea lo es si algo muy poco
es puramente observacional
e) Finalmente si algunas observaciones del
funcionamiento normal del cerebro son reproducibles
otras no lo son en absoluto
222 Hominoloacutegicas sociales conductuales o praxeoloacutegicas Caen en
este apartado las teoriacuteas sociales psicoloacutegicas filosofiacutea de la
ciencia esteacuteticas etc Estas ldquoteoriacuteasrdquo buscan entender los
fenoacutemenos las relaciones entre conceptos y entre siacute mismas
reflexionando sobre lo que se da por sentado que son premisas
verdaderas sobre los fenoacutemenos sin dedicarse a entrar en
recopilar nueva informacioacuten Maacutes que teoriacuteas lo que aquiacute se
tiene es el uso del asiacute llamado ldquomeacutetodo cientiacuteficordquo para describir
y si pudiera ser explicar y predecir fenoacutemenos relacionados con
los seres humanos Entre eacutestas se encuentran la psicologiacutea
economiacutea cosmologiacutea etc
Existe una relacioacuten estrecha entre los sistemas ldquoaxiomaacuteticosrdquo y la taxonomiacutea de teoriacuteas que se
muestra en la figura II4 Del mismo modo que tal y como se muestra en la tabla II4 las
teoriacuteas pueden categorizarse en funcioacuten de que sean analiacuteticas o explicativas y sinteacuteticas o
ampliativas del conocimiento
55
Figura II4 Tipos de Sistemas axiomaacuteticos relacionados con la Teoriacutea
Otra distincioacuten importante entre teoriacuteas e incluso ciencias viene dada por las cuestiones que
guiacutean la investigacioacuten Es decir de acuerdo con su ldquoteleologiacuteardquo o paradigma las teoriacuteas
empiacutericas se clasifican en
A) Explicativas Estas teoriacuteas responden o cuando menos intentan responder a
la cuestioacuten iquestCuaacutel es la mejor explicacioacuten para los fenoacutemenos o estados de
cosas observados en el mundo En este caso la finalidad de una buacutesqueda
investigacioacuten ciencia o teoriacutea explicativa como sucede en la fiacutesica quiacutemica
biologiacutea geologiacutea cosmologiacutea etc es uacutenica o cuando menos baacutesica y
principalmente el entendimiento La mejor teoriacutea en un paradigma explicativo
es aquella que produce las mejores predicciones de los fenoacutemenos o estado de
las cosas observadas
B) Normativas Estas teoriacuteas responden o al menos intentan responder a la
siguiente pregunta iquestCuaacutel es el mejor curso de accioacuten para mejorar el estado
de cosas del mundo La finalidad de una buacutesqueda investigacioacuten ciencia o
teoriacutea normativa como sucede con la ingenieriacutea o la tecnologiacutea en general la
medicina el derecho o la sociologiacutea etc es mejorar las condiciones humanas
y maacutes en general de todos los seres vivientes La mejor teoriacutea dentro de este
paradigma normativo es la que produce los mejores cursos de accioacuten para
cambiar a mejor el estado de cosas existentes en el mundo
56
ANALIacuteTICAS O EXPLICATIVAS SINTEacuteTICAS O AMPLIATIVAS
ldquoA PRIORIrdquo ldquoA POSTERIORIrdquo
ldquoA PRIORIrdquo Puros independientes de toda experiencia
ldquoA POSTERIORIrdquo Empiacutericas generalizacioacuten inductiva
CATEGOacuteRICAS Teologiacutea Imposibles Filosofiacutea
HIPOTEacuteTICAS
Formales Loacutegica Matemaacutetica
Materiales Ciencias empiacutericas
Praxeologiacutea antildeade conocimiento axioloacutegico
Tabla II4 Categorizacioacuten de Teoriacuteas
En todo caso caracteriacutestico de toda teoriacutea es su formulacioacuten a partir de unos pocos
postulados Y de nuevo como son maacutes eficaces los ejemplos que las palabras Siguiendo esa
maacutexima claacutesica se van a presentar algunos ejemplos relevantes y significativos de teoriacuteas en
distintos dominios que aparecen resumidas en la tabla II5
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA
Se entiende por ciencia natural al cuerpo de conocimientos relacionados con una cierta clase
de cosas objetos conceptos o fenoacutemenos del mundo las caracteriacutesticas atributos
propiedades y relaciones que poseen coacutemo se comportan y actuacutean en sus interrelaciones La
labor baacutesica de la ciencia natural consiste en convertir lo insoacutelito en corriente es decir
demostrar que la complejidad correctamente enfocada no enmascara maacutes que la sencillez es
encontrar la pauta ley u orden que se oculta tras el caos aparente En resumen las ciencias
naturales se ocupan de coacutemo son las cosas La loacutegica corriente sirve para esto dado que su
preocupacioacuten se centra en aseveraciones declarativas se ajusta a las afirmaciones sobre el
mundo y las inferencias que se desprenden de tales aseveraciones Por su parte el disentildeo
trata de coacutemo debieran ser las cosas esto es de idear artefactos o mejor ldquomentefactosrdquo para
conseguir unos fines Para esto es necesario otras loacutegicas
Cuando se estudia la historia de la ciencia se observa en primer lugar que ninguna disciplina
se hace madura y verdaderamente cientiacutefica hasta que tiene una teoriacutea que la soporta En
segundo lugar tambieacuten salta a la vista como se muestra en la tabla II5 que dichas teoriacuteas
tienen dos caracteriacutesticas fundamentales (Alonso 2004) a saber Constan de pocos elementos
o constructos y se basan en un nuacutemero muy reducido de principios leyes o postulados De
modo que como lo sentildealoacute Peter J Denning (Denning 2003) The game is to define many terms
57
Teoriacutea Autor(es) Datacioacuten Principios Leyes Postulados o Axiomas
1 La
Geometriacutea
Eucliacutedes 330-275 1 Trazar una liacutenea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 2 Prolongar continuamente una recta finita en liacutenea recta 3 Describir un ciacuterculo con cualquier centro y distancia 4 El ser todos los aacutengulos rectos iguales entre siacute 5 Postulado de las Paralelas
2Hidrostaacute-
tica
Arquiacutemedes 287-212 1 El efecto que produce la presioacuten ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente 2 La presioacuten ejercida por un fluido sobre un cuerpo situado en eacutel estaacute dirigida
hacia arriba en la direccioacuten de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo
3 Mecaacutenica Newton 1665- 1666- 1686
1 Principio de Inercia Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectiliacuteneo
2 Principio de fuerza F=ma 3 Principio de Accioacuten y Reaccioacuten Con toda accioacuten ocurre siempre una reaccioacuten
igual y contraria
4 Ley de Gravitacioacuten 6 = 7 889
4 Quiacutemica
Atoacutemica
Dalton Thomson Rutherford Bohr Pauli
1803 1897 1938 1912 1924
1 Toda la materia se compone de aacutetomos Y estos a su vez en nuacutecleo y electrones
2 En cada oacuterbita soacutelo caben dos electrones que giran a la par (Principio de exclusioacuten)
3 Los aacutetomos se combinan entre siacute mediante distintos enlaces (Ioacutenico Covalente etc) para formar moleacuteculas
5Probabili-
dad
Laplace Kolmogorov
1812 1974
1 No negatividad La probabilidad de un evento o suceso siempre es mayor que cero
2 Certidumbre La probabilidad del suceso seguro S es la unidad 3 Aditividad Contable En una sucesioacuten numerable de sucesos mutuamente
excluyentes la probabilidad de su unioacuten es igual a la suma de las probabilidades individuales
6 Evolucioacuten Spencer Wallace Darwin
1852 1858 1859
Herencia de Caracteres y variabilidad y mutacioacuten de los mismos que hace que hijos de los mismos padres no sean ideacutenticos y de que por determinadas causas algunos muten Seleccioacuten natural supervivencia del mejor adaptado al medio
7Electro-
magnetismo
Oersted Faraday Maxwell Hertz
1820 1821-31 1873 1887
1 Ley de Gauss lt ∙ = gt 2 Ausencia de Carga magneacutetica lt ∙ = 0
3 Ley de Ampeacutere B C ∙ D = E FG + HI J
4 Ley de Faraday B lt ∙ D = KL
8Termodinaacute-
mica
Boltzmann Carnot Helmholtz Clausius Kelvin
1850 1850 1847 1829 1852
1 La energiacutea del mundo es constante 2 La entropiacutea del mundo tiende a un maacuteximo
9 Relatividad Einstein 1905 1915
1 Principio de Relatividad Si dos sistemas de coordenadas estaacuten en movimiento relativo de traslacioacuten paralela uniforme las leyes de acuerdo con las cuales cambian los estados de un sistema fiacutesico no dependen de con cuaacutel de los dos sistemas estaacuten relacionados dichos cambios
2 Principio de constancia de la velocidad de la luz Todo rayo luminoso se mueve en el sistema de coordenadas ldquode reposordquo con una velocidad fija independiente de si este rayo luminoso sea emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento
3 3 Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria mi = mg Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse por ecuaciones que sean vaacutelidas para todos los sistemas de coordenadas
10Meacutecanica
Cuaacutentica
Plank Einstein Bohr Schroumldinger Heisenberg Pauli
1900 1905 1907 1925 1926 1927
1 Principio Cuaacutentico La energiacutea no es continua sino que se presenta en paquetes discretos denominados cuantos verbigracia el fotoacuten o cuanto de luz La posibilidad de que un aacutetomo emita o absorba radiacioacuten estaacute condicionada por las posibles variaciones de energiacutea del aacutetomo de modo tal que la frecuencia de la radiacioacuten queda determinada por la diferencia de energiacutea entre los estados inicial y final seguacuten la relacioacuten formalEi-Ef = hv Es decir
2 Principio de la Complementariedad Las partiacuteculas subatoacutemicas tienen propiedades de partiacuteculas y ondas que obedecen a la ecuacioacuten de ondas de Schroumldinger que determina la probabilidad de que ciertos hechos ocurran El cuadrado del valor absoluto de la funcioacuten de onda de Schroumldinger mide la probabilidad de hallar una partiacutecula en un punto concreto de espacio y el tiempo
3 Principio de IndeterminacioacutenΔN ∙ ∆) ge ℏ ∆R∆S ge ℏ 4 Principio de Correspondencia
Tabla II5 Ejemplos de distintas teoriacuteas cientiacuteficas
58
in terms of a few terms and to logically derive many statements from a few statements Es
decir la misioacuten de una teoriacutea de acuerdo con el criterio de economiacutea de Mach consiste en
predecir los resultados del mayor nuacutemero de experimentos partiendo del menor nuacutemero de
hipoacutetesis Por supuesto no se plantea la verdad absoluta sino su operatividad y utilidad en un
campo de aplicacioacuten concreto Bohr fue un poco maacutes lejos y pensaba que la misioacuten de una
teoriacutea es posibilitar nuevas formulaciones
De hecho los progresos decisivos realizados en el campo de las investigaciones cientiacuteficas
conciernen al establecimiento de grandes concatenaciones entre hechos aislados su
generalizacioacuten en forma de leyes y finalmente el desarrollo de una teoriacutea Las ciencias
naturales que fueron hasta hace unos cincuenta antildeos recolectoras de datos hechos objetos y
fenoacutemenos a saber idiograacuteficas son actualmente en esencia ordenadoras o formuladoras de
leyes esto es nomoteacuteticas Es decir las ciencias en el mundo actual estudian el origen las
relaciones y el desarrollo de objetos y fenoacutemenos los procesos que le conciernen y la
concatenacioacuten que hacen de esos procesos naturales un gran todo
Las ciencias empiacuterico-formales conjugan ldquoprima facierdquo dos dimensiones la experimental o
empiacuterica y la teoacuterica o formal Pero al estudiar su gestacioacuten histoacuterica real se descubre en ellas
una tercera dimensioacuten temaacutetica constituida por presupuestos conceptuales o
ldquopreconcepcionesrdquo a la que se adhiere fielmente el cientiacutefico por maacutes que no siempre las
explicite en sus artiacuteculos En efecto todas las disciplinas cientiacuteficas tienen ricas y estrechas
conexiones entre sus ramas teoacuterica y experimental pues la teoriacutea guiacutea o debe guiar el
experimento en tanto que eacuteste enriquece a aquella Ademaacutes la teoriacutea proporciona un lenguaje
en el cual representar experimentalmente el conocimiento derivado de la propia teoriacutea y la
experimentacioacuten y en el cual se puede explorar las consecuencias loacutegicas de ese conocimiento
Las teoriacuteas como cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se puede hacer
predicaciones o dar explicaciones deben responder a los seis honrados servidores que
apuntaba Kipling (Kipling 1990) Quieacuten Queacute Coacutemo Doacutende Cuaacutendo Por y Para queacute Con todo
son soacutelo y con frecuencia deliberadamente aproximaciones que gradualmente por
refinamiento y reformulaciones sucesivas dan cuenta de la realidad puesto que al comienzo
de cualquier elaboracioacuten cientiacutefica no siempre es posible evitar conceptos no claros que soacutelo
adquiriraacuten la condicioacuten de conceptos o se desecharaacuten a medida en que se avance en el
trabajo de investigacioacuten De hecho el saber cientiacutefico no es y no puede ser otra cosa maacutes que
una pretensioacuten de conocimiento de lo que las cosas realmente son Por ello se halla
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intriacutensecamente afectado de insuficiencia es por esencia perfectible y aunque su apariencia
inmediata sea la afirmacioacuten es en definitiva un conocimiento interrogativo una pregunta
taacutecita dirigida a la mente de quieacuten la ha formulado y a los pensadores posteriores a eacutel
Cuando se observa la historia de la ciencia se ve que lo que la hace avanzar es la
compaginacioacuten de teoriacutea y experimentacioacuten La primera para dirigir a la segunda y eacutesta para
validar o falsar la primera Como lo sentildealoacute Einstein en distintos lugares y diferentes momentos
aunque de formas similares las ciencias duras no proceden como deseariacutean los especialistas
por induccioacuten proveniente de la experiencia sino por deduccioacuten a partir de postulados
axiomas o principios que de estas formas se les denomina Asiacute en 1914 afirmaba El meacutetodo
del teoacuterico significa partir de la base de postulados generales o ldquoprincipiosrdquo para deducir de
ellos conclusiones O sea que el trabajo se divide en dos partes En primer lugar ha de descubrir
sus principios y despueacutes tendraacute que extraer sus conclusiones (hellip) La primera de estas tareas es
decir la de establecer los principios que deberaacuten servir como punto de partida de sus
deducciones tiene una naturaleza muy especial En este caso no existe un meacutetodo que pueda
aprenderse y aplicarse sistemaacuteticamente para llegar al objetivo previsto El cientiacutefico debe
extraer con habilidad esos principios de la naturaleza percibiendo a partir de amplios
conjuntos de hechos empiacutericos ciertos rasgos generales que le permitan una formulacioacuten
precisa Posteriormente en 1918 sentildealaba (Einstein 1946) La tarea fundamental de un fiacutesico
consiste en llegar hasta las leyes elementales y universales que permiten construir el cosmos
mediante pura deduccioacuten No hay un camino loacutegico hacia esas leyes soacutelo la intuicioacuten
fundamentada en una comprensioacuten de la experiencia puede conducirnos a ellashellip Finalmente
en su artiacuteculo Fiacutesica y Realidad (Einstein 1936) dijo (hellip) cuaacuten equivocados estaacuten aquellos
teoacutericos que creen que la teoriacutea surge de la experiencia por viacutea inductiva Aun el gran Newton
no pudo librarse de ese error (Hypotheses non fingo) Y maacutes adelante en dicho trabajo
continuaba No existe un meacutetodo inductivo que nos conduzca a los conceptos fundamentales
de la fiacutesica (hellip) El pensamiento loacutegico es necesariamente deductivo se basa en conceptos
hipoteacuteticos y en axiomas iquestCoacutemo seleccionar eacutestos con la esperanza de que se confirmen las
consecuencias que de ellos se derivan La situacioacuten maacutes satisfactoria es evidente se hallaraacute en
los casos en los que las nuevas hipoacutetesis fundamentales sean sugeridas por el propio mundo de
la experiencia Ejemplo de esto son La inexistencia del movimiento perpetuo El principio de
inercia de Galileo La constancia de la velocidad de la luz
Y seguiacutea Einstein Toda teoriacutea es especulativa Cuando los conceptos baacutesicos de una teoriacutea son
comparativamente ldquocercanos a la experienciardquo (hellip) su caraacutecter especulativo no es discernible
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con tanta facilidadhellip Por otra parte se ha de conceder que una teoriacutea tiene una importante
ventaja si sus conceptos baacutesicos y sus hipoacutetesis fundamentales se hallan ldquocercanos a la
experienciardquo Una mayor confianza acorde a estas teoriacuteas estaacute justificada Existe menor riesgo
de coger por mal camino en particular porque exige menor cantidad de tiempo y de esfuerzo
rechazar esas teoriacuteas experimentalmente Sin embargo cada vez maacutes a medida que nuestros
conocimientos ganan profundidad debemos renunciar a esta ventaja en nuestra buacutesqueda de
simplicidad loacutegica y de uniformidad en los fundamentos de la teoriacuteahellip Eacutel termina diciendo que
cuando el procedimiento de derivar de las premisas de la teoriacutea unas conclusiones que puedan
ser confrontadas con los datos empiacutericos sea tan difiacutecil que durante un tiempo no sea posible
obtener esos resultados entonces a favor de esa teoriacutea cuentan su simplicidad loacutegica y su
ldquorigidezrdquo Rigidez en este caso significa que la teoriacutea puede ser verdadera o falsa pero no
modificable
Es decir para tratar con teoriacuteas se necesita por una parte la intuicioacuten para obtenerlas y por
otra parte de loacutegica para sacar consecuencias de ella Como lo sentildealoacute Henri Poincareacute
(Poincareacute 1964) La loacutegica y la intuicioacuten tienen cada una un papel necesario Ambas son
indispensables La loacutegica que puede por siacute misma dar la certeza es el instrumento de la
demostracioacuten la intuicioacuten es el instrumento de la invencioacuten El anaacutelisis puro pone a disposicioacuten
procedimientos de garantizada infalibilidad (hellip) pero quien decide cuaacutel elegir es la intuicioacuten
Unas paacuteginas antes sentildealaba que habiacutea muchas clases de intuicioacuten como sigue Tenemos
pues muchas clases de intuicioacuten primeramente la llamada a los sentidos y a la imaginacioacuten
despueacutes la generalizacioacuten por induccioacuten calcada por decirlo asiacute sobre procedimientos de las
ciencias experimentales tenemos por fin la intuicioacuten del nuacutemero plural (hellip)
Las teoriacuteas pues se construyen como conjeturas o suposiciones especulativas y provisionales
que el intelecto humano crea libremente en un intento de resolver los problemas con que
tropiezan las teoriacuteas anteriores y con el fin de proporcionar una explicacioacuten adecuada de
algunos aspectos del mundo o universo Ahora bien las teoriacuteas han de ser contrastadas
rigurosa e implacablemente mediante la observacioacuten y la experimentacioacuten
Se puede decir que los marcos y los modelos son teoriacuteas subespeciacuteficadas Es decir no se
pueden extraer de ellas predicciones comprobables hasta que se las suplemente con
proposiciones teoacutericas adicionales En este sentido los marcos y los modelos forman parte de
lo que Lakatos denominoacute el nuacutecleo (ldquocorerdquo) de una teoriacutea cientiacutefica comprobable soacutelo cuando
se le antildeade el ldquocinturoacuten perifeacutericordquo
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Un marco es un conjunto de conceptos loacutegica o conceptualmente relacionados Un marco
caracteriacutestico distintivo contiene verbigracia en el caso de la teoriacutea de la gravitacioacuten mecaacutenica
de Newton conceptos tales como tiempo espacio movimiento distancia velocidad
aceleracioacuten masa y fuerza Unos son primitivos espacio tiempo otros derivados velocidad
aceleracioacuten fuerza etc La mayoriacutea de estos conceptos tambieacuten se encuentran en el marco de
la gravitacioacuten de Einstein para su teoriacutea de la Realtividad General pero se reemplaza fuerza
por campo movimiento absoluto por movimiento relativo y no interaccioacuten entre espacio y
tiempo con interaccioacuten entre ambos Un marco se convierte en una teoriacutea cuando es
suplementado con el establecimiento de leyes de modo que se puedan inferir predicciones a
partir de ellas En ausencia de leyes universales el contenido empiacuterico de un marco es la
pretensioacuten y o afirmacioacuten que el marco proporciona la mejor base para la construccioacuten de
una teoriacutea para el fenoacutemeno en cuestioacuten Aquiacute mejor es una cuestioacuten de correccioacuten de las
predicciones generalidad simplicidad etc
Por su parte un modelo es un objeto fiacutesico y abstracto una entidad alrededor de la cual se
pueden construir las leyes Ejemplos son los modelos geo y helioceacutentrico del sistema Solar el
de Rutherford o Bohr del aacutetomo etc Como los marcos los modelos tambieacuten estaacuten
subespeciacuteficados es decir necesitan ser suplementados con las afirmaciones de las leyes El
concepto de modelo es tan importante para la ciencia incluso para la vida cotidiana que sin eacutel
la vida no seriacutea como lo es
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL
DESARROLLO SOFTWARE
A la vista de los abismales resultados obtenidos al observar las evoluciones del hardware
exponencial frente al software en el mejor de los casos lineal No es aventurado sentildealar que
una de las causas tal vez la maacutes importante de este espectacular y diacutea a diacutea creciente
desfase es la carencia de una teoriacutea de soporte para las ingenieriacuteas subyacentes al desarrollo
del software Ingenieriacutea del Software y del Conocimiento Carl Sagan (Sagan 2005) expuso muy
bien esta situacioacuten en relacioacuten a la teoriacutea electromagneacutetica para lo cual dijo lo siguiente
Supongamos que por la gracia de Dios usted es Victoria la reina del Reino Unido de gran
Bretantildea e Irlanda defensora de la fe en la era maacutes proacutespera y triunfante del Imperio Britaacutenico
Sus dominios se extienden por todo el planeta El rojo britaacutenico jalona abundantemente los
mapas del mundo La maacutequina de vapor se perfecciona en Gran Bretantildea principalmente por
parte de ingenieros escoceses que proporcionan asesoriacutea teacutecnica en los ferrocarriles y barcos
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de vapor que unen el imperio Supongamos que en el antildeo 1860 tiene una idea visionaria tan
atrevida que hasta el editor de Julio Verne la habriacutea rechazado Quiere una maacutequina que lleve
su voz y las imaacutegenes de la gloria del imperio a todas las casas del reino Maacutes todaviacutea quiere
que los sonidos e imaacutegenes no lleguen por conductos o por cables sino por el airehellip para que la
gente que trabaje en el campo pueda recibir este don de inspiracioacuten instantaacutenea creado para
promover la lealtad y la eacutetica del trabajo La Palabra de Dios tambieacuten se puede transmitir con
el mismo invento Sin duda se encontraraacuten otras aplicaciones socialmente deseables
Sagan continuacutea Asiacute con el apoyo del primer ministro convoca al gabinete al Estado Mayor y a
los principales cientiacuteficos e ingenieros del reino Les comunica que asignaraacute un milloacuten de libras
al proyecto mucho dinero en 1860 Si necesitan maacutes pueden pedirlo No le importa coacutemo lo
hagan soacutelo que lo consigan Ah por cierto se llamaraacute Proyecto Westminster Probablemente
surgiraacuten algunos inventos uacutetiles de una empresa asiacute Siempre ocurre cuando se gastan grandes
cantidades de dinero en tecnologiacutea Pero casi seguro que el Proyecto Westminster fracasaraacute
iquestPor queacute Porque todaviacutea no se ha creado la ciencia que lo fundamenta En 1860 existiacutea el
teleacutegrafo Era imaginable con un gasto enorme instalar aparatos de telegrafiacutea en todas las
casas para que todos pudieran enviar y recibir mensajes en coacutedigo Morse Pero eso no es lo que
habiacutea pedido la reina Ella pensaba en la radio y la televisioacuten pero eran inalcanzables En el
mundo real los conocimientos de fiacutesica necesarios para inventar la radio y la televisioacuten llegaron
de una direccioacuten que nadie podiacutea haber predicho
Dicho lo anterior queda claro cuaacutel es el problema abierto carencia de teoriacutea para soportar las
ingenieriacuteas implicadas en el desarrollo software que a lo maacutes que llegan es a ser una artesaniacutea
donde la habilidad del artesano es fundamental Sin embargo a lo que hay que llegar es a que
el desarrollo software deje de ser una artesaniacutea manufacturada y se convierta en una
ingenieriacutea ldquomentefacturadardquo incluso de forma industrial En consecuencia este trabajo se
dirige a proporcionar dicha teoriacutea Lo que ocuparaacute los dos capiacutetulos siguientes
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CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS
Por la relevancia de lo que se trataraacute en este capiacutetulo concerniente a por una parte la
posibilidad de crear una teoriacutea que soporte las ingenieriacuteas del software y del conocimiento
implicadas en el desarrollo del software ldquoGeneracioacutenrdquo de los nuacutemeros a partir de la ldquonadardquo
realizada por von Neumann y el teorema de Loumlwenheim-Skolem Y por otra a la factibilidad de
dicha teoriacutea probada por la ldquocurryficacioacutenrdquo es conveniente el introducir aquiacute ahora los
sistemas axiomaacuteticos
Los primeros estudios sistemaacuteticos de las formas de razonamiento vaacutelidos hay que ponerlos en
el haber de Aristoacuteteles El estagirita en efecto clasificoacute los silogismos despueacutes de postular que el
resto de demostraciones podiacutea reducirse a ellos Un silogismo consta de tres afirmaciones o
enunciados de los cuales las dos primeras unidas por un teacutermino medio son las premisas y la
uacuteltima la conclusioacuten donde ya no aparece el enlace entre las anteriores Las sentencias no
pueden ser arbitrarias sino (A) Afirmaciones universales del tipo ldquoTodo A es Brdquo (B) Negaciones
generales tales como ldquoNinguacuten A e Brdquo (C) Afirmaciones particulares verbigracia ldquoExiste un A
que es Brdquo (D) Negaciones concretas ldquoExiste un A que no es Brdquo Combinando estas cuatro
formas pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos de los cuales soacutelo catorce son correctos
Sobre la base de los ldquoAnaliacuteticos primerosrdquo y ldquoposterioresrdquo (Aristoacuteteles 1995) trabajaron los
escolaacutesticos durante la Edad Media con el propoacutesito de mostrar racionalmente la existencia de
Dios Entre todas estas muacuteltiples y variadas tentativas tal vez la maacutes famosa y ldquoprofundardquo sea la
del arzobispo y filoacutesofo de Canterbury San Anselmo conocida como el ldquoArgumento Ontoloacutegicordquo
que Goumldel estudioacute con profundidad en los uacuteltimos antildeos Anselmo consideraba que el ser
humano lleva dentro de siacute la idea de un ser superior tal que ninguacuten otro maacutes perfecto pueda ser
pensado Como quiera que un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el pintor
imaginoacute pero que nunca llegoacute a terminar razonaba si Dios existiese soacutelo en la inteligencia
cabriacutea pensar en un ser superior a eacutel ergo existe Sin embargo estas aportaciones medievales
no son relevantes para lo que aquiacute concierne pues la loacutegica que fundoacute Aristoacuteteles y
ldquodesarrollaronrdquo sus seguidores no era auacuten simboacutelica salvo por las variables A y B los silogismos
se exponiacutean completamente con palabras Fue mucho despueacutes George Boole (Boole 1847
1945) quien se dio cuenta por primera vez de la analogiacutea existente entre las operaciones
aritmeacuteticas de sumar y multiplicar y los conectores ldquoordquo e ldquoyrdquo e introdujo las constantes 0 y 1
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para representar los dos valores de verdad posibles De este modo los cuatro modelos que habiacutea
descrito Aristoacuteteles quedaban matematizados en forma de ecuacioacuten Por ejemplo ldquoTodo X es Yrdquo
se escribiacutea x(1-y) = 0 donde al sustituir X por 1 se obtiene tambieacuten y = 1 En esta liacutenea de
encontrar un algebra para la loacutegica continuaron trabajando Augustus de Morgan Ernst Schroumlder
y Charles Pierce que introdujo los siacutembolos sum y prod antecedentes de los cuantificadores
En efecto Boole desde 1847 y partiendo del quehacer matemaacutetico habiacutea realizado la
construccioacuten de un aacutelgebra loacutegica esto es aplicar el aacutelgebra para fundamentar la loacutegica Para
ello partioacute de las nociones de clase elemento de clase y operaciones con clases El enfoque
estriba en que las leyes del pensamiento las leyes de la loacutegica deben ser del mismo tipo que las
leyes que gobiernan el algebra es decir la validez de los procesos del aacutelgebra no depende de la
interpretacioacuten de los signos sino de las leyes de combinacioacuten de los mismos Con estas ideas
Boole algebriza la loacutegica obteniendo un sistema algebraico que es en teacuterminos actuales un
retiacuteculo booleano Dicho retiacuteculo como algebra loacutegica o aacutelgebra simboacutelica presenta tal y como
se muestra en la Tabla III1 dos interpretaciones un algebra de clases y un algebra
proposicional
ALGEBRA DE BOOLE CAacuteLCULO DE PROPOSICIONES
χ (Conjunto Universo) V (Verdadero)
Oslash (Conjunto Vaciacuteo) F (Falso)
a b c hellip (Conjuntos Subconjuntos Elementos) p q r hellip (Proposiciones)
aχb (Reunioacuten TODO a Y TODO b) pωq (Disyuncioacuten o bien p solo o q solo o ambos son
verdaderos)
a1b (Interseccioacuten lo que a y b tienen en comuacuten) pϖq (Conjuncioacuten ambos p y q son verdaderos)
a=b (Identidad a y b son el mismo conjunto) p = q (Equivalencia si y soacutelo si p es verdadero q es
verdadero) a (Complementario Resto del conjunto Universo que
no es a) not p (Negacioacuten p es falso)
a0b (Inclusioacuten a es elemento de b) pεq (Implicacioacuten Si p es verdadero q es verdadero)
Tabla III1 Algebra de Clases ldquoversusrdquo Algebra Proposicional
Con Hilbert pasando por Frege Cantor y un largo etceacutetera se llegoacute a lo que hoy se conoce como
sistemas axiomaacuteticos deductivos o sistemas formales que son los soportes loacutegico-matemaacuteticos
de toda teoriacutea matemaacutetica o cientiacutefica Un sistema formal consta de los siguientes elementos
a) Alfabeto Un conjunto de signos o siacutembolos primitivos que determina el conjunto de cadenas
o secuencias finitas de siacutembolos con posibles repeticiones con ayuda de estos siacutembolos pueden
escribirse todas las proposiciones
b) Gramaacutetica que determina cual es la forma como debe combinarse los siacutembolos Es decir un
conjunto finito de reglas combinatorias que determinan bajo queacute condiciones se puede afirmar
65
que una cadena de siacutembolos primitivos es o no una foacutermula El conjunto de las foacutermulas recibe
el nombre de lenguaje formal del sistema
c) Reglas de Inferencia Es eacuteste un conjunto tambieacuten finito de reglas combinatorias que sirve
para producir deducciones formales es decir determina que secuencias de foacutermulas
constituyen una deduccioacuten en el sistema o sea las reglas inferenciales que permitan deducir los
teoremas a partir de los axiomas En otros teacuterminos los teoremas se obtienen al escribir todas
las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar cuaacuteles son
las concordes con las reglas de inferencia y por tanto vaacutelidas
d) Axiomas Conjunto de principios adoptados sin demostrar Son un conjunto finito de foacutermulas
sin variables libres o sentencias que se aceptan como verdaderas
Dicho lo anterior una sentencia se dice deducible si es la uacuteltima foacutermula que aparece en una
secuencia de foacutermulas que constituye una deduccioacuten El conjunto de sentencias deducibles
recibe el nombre de ldquoteoriacutea formalizadardquo
Dado un sistema formal S cuyos axiomas estaacuten dados por A si p es deducible en el sistema se
dice que p es una consecuencia sintaacutectica del sistema Por otra parte si p es una afirmacioacuten
verdadera en cualquiera de las interpretaciones posibles del sistema formal se diraacute entonces
que se trata de una consecuencia semaacutentica de A
Al principio de la discusioacuten con que abrioacute Boole ldquoEl Anaacutelisis Matemaacutetico de la Loacutegicardquo (Boole
1854) advirtioacute que los que estaacuten familiarizados con la presente condicioacuten de La Teoriacutea del
Algebra Simboacutelica son conscientes del hecho de que la validez de los procesos del Anaacutelisis
Matemaacutetico no depende de la lectura o interpretacioacuten de los signos en eacutel utilizados sino
solamente de las leyes que gobiernan los posibles modos de unioacuten de esos siacutembolos Cualquier
sistema de lectura interpretacioacuten es tan correcto como pueda serlo cualquier otro si bajo el
sistema en cuestioacuten todas las leyes de la teoriacutea se convierten en enunciados verdaderos que
versan sobre la materia con la cual esa interpretacioacuten las ha puesto en conexioacuten Asiacute un mismo
proceso de anaacutelisis matemaacutetico puede bajo una interpretacioacuten ser representativo de la
respuesta a una pregunta sobre las propiedades de los nuacutemeros bajo otra puede ser
representativo de una respuesta a una cuestioacuten de geometriacutea bajo una tercera puede significar
la respuesta a una cuestioacuten de fiacutesica y bajo una cuarta puede dar cuenta de una cuestioacuten
bioloacutegica etc Por ejemplo el algebra loacutegica de Boole es una uacutenica teoriacutea pero tal y como se
mostroacute en la tabla III1 hay cuando menos dos sistemas de lectura o interpretaciones de la
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misma a saber una que la pone en relacioacuten con clases y otra que la pone en relacioacuten con
enunciados Esto llevoacute a Alfred Tarski ha desarrollar los fundamentos de la semaacutentica de la
loacutegica o la ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo Desde su nacimiento la orientacioacuten sintaacutectica de la loacutegica primoacute
sobre las consideraciones semaacutenticas de la misma llegando a su cliacutemax con la escuela de Hilbert
cuyo trabajo se habiacutea centrado en las demostraciones de consistencia y en el estudio de los
caacutelculos deductivos en definitiva de lo que ha dado en denominarse ldquoteoriacutea de la
demostracioacutenrdquo Si para muestra basta un botoacuten ahiacute van dos Jacques Herbrand en su tesis
doctoral demostroacute que la deducibilidad en loacutegica de primer orden puede reducirse en un cierto
sentido a la proposicional maacutes un procedimiento de sustitucioacuten de teacuterminos Por su parte
Gerhard Gentzen estudiante de Hilbert ideoacute los caacutelculos de deduccioacuten natural y los caacutelculos de
secuentes Y dicho sea de paso ambos prometiacutean ser grandes figuras de la loacutegica matemaacutetica
carrera que frustroacute su prematura muerte Sin embargo las cosas cambiaron gracias a los
trabajos pioneros de Loumlwenheim y sobre todo Goumldel con su teorema de completud al
presuponer una semaacutentica una nocioacuten de interpretacioacuten Ahora bien ambos usaron nociones
semaacutenticas intuitivas y no eran suficientemente expliacutecitos respecto a los detalles Fue
justamente Tarski con sus dos artiacuteculos el de 1933 sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formales y el de 1936 (Tarski 1944) sobre el concepto de consecuencia loacutegica quien sentoacute las
bases de la semaacutentica de la loacutegica de primer orden y culminoacute el edificio de la loacutegica tal y como se
conoce actualmente con su ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo
La relacioacuten de consecuencia loacutegica o semaacutentica dada por Tarski es la que se da entre un
conjunto de enunciados y un enunciado cuando el uacuteltimo es verdadero en cualquier
interpretacioacuten del lenguaje que haga verdaderos simultaacuteneamente a los enunciados del
conjunto El lenguaje es un lenguaje de primer orden y no se admite que se interpreten
libremente los siacutembolos loacutegicos como los cuantificadores los conectores y el siacutembolo de
igualdad Interpretar significa entonces especificar una estructura apropiada al lenguaje que
constaraacute de un universo de discurso en el que tomaraacuten valores las variables y constaraacute ademaacutes
de correlatos en dicho universo para los distintos siacutembolos no loacutegicos objetos nombrados por
las constantes individuales relaciones correspondientes a los distintos siacutembolos predicativos
etc Cuando un enunciado o un conjunto de enunciados resultan ser verdaderos en una
estructura se dice que la estructura es un ldquomodelordquo del enunciado o del conjunto de
enunciados Con esta terminologiacutea un enunciado es consecuencia de un conjunto de enunciados
cuando cada modelo del conjunto es asiacute mismo un modelo del enunciado en cuestioacuten Esta
definicioacuten tienen precedentes en Bernard Bolzano y viene a sustituir a otras maacutes vagas que
estipulan que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusioacuten falsa Aquiacute el
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problema estriba en el significado de la nocioacuten de posibilidad En la definicioacuten de Tarski la
dificultad se presenta en la nocioacuten de modelo iquestqueacute significa que un enunciado sea verdadero en
una estructura
El meacuterito de Tarski estaacute en haber proporcionado una definicioacuten impecable de la relacioacuten que se
da entre un enunciado y una estructura cuando el enunciado es verdadero en un estructura A la
vista de las numerosas paradojas asociadas a la nocioacuten de verdad y en general a los conceptos
semaacutenticos habiacutea razones poderosas para pensar que esa definicioacuten no se podriacutea dar Tarski era
consciente de ello y tratoacute de las paradojas y de su definicioacuten La idea baacutesica subyacente es la de
usar un procedimiento recursivo o inductivo para formalizar la idea de que un enunciado es
verdadero en una estructura cuando las cosas son en la estructura como el enunciado dice que
son el cual coincide con la nocioacuten de verdad de Aristoacuteteles ldquodecir lo que es que es y de lo que
no es que no esrdquo Tarski no obstante no se limitoacute uacutenicamente a proporcionar una definicioacuten
pues desarrolloacute asiacute mismo todos los aspectos baacutesicos de la semaacutentica creando con ello la teoriacutea
de modelos Con ella las cuestiones de axiomatizabilidad y de definibilidad empezaron a poder
ser tratadas con precisioacuten en el marco de una semaacutentica loacutegica precisa La dependencia del
caacutelculo para la presentacioacuten de la consecuencia loacutegica desaparecioacute Uno de los resultados
notorios de la teoriacutea de modelos es la eliminacioacuten de cuantificadores y la decidibilidad de la
teoriacutea del cuerpo ordenado real A diferencia de lo que ocurre con la aritmeacutetica existe un
algoritmo para decidir si un enunciado de primer orden en el lenguaje de la teoriacutea de cuerpos
ordenados es verdadero o falso en el cuerpo ordenado de los nuacutemeros reales
Ademaacutes se dice que una estructura U es un modelo de los axiomas cuando eacutestos son verdaderos
en ella verbigracia el trabajar con el algebra de los nuacutemeros reales un modelo son los propios
nuacutemeros reales aunque no el uacutenico Uno de los resultados maacutes profundos de Goumldel el
ldquoTeorema de Completudrdquo demuestra precisamente que las teoriacuteas inconsistentes no tienen
modelos o lo que es lo mismo no hablan de nada
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA
CASUALIDAD CAUSALIDAD O ldquoCAUSUALIDADrdquo
Desde que Galileo lo explicitoacute en su obra ldquoIl Saggiatorirdquo es decir El Ensayador todos los
cientiacuteficos aceptan como cuestioacuten de hecho la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre la naturaleza y
la matemaacutetica Sin embargo Galileo tuvo predecesores de su planteamiento y por supuesto
seguidores corroboradores del mismo En efecto Pitaacutegoras y sus seguidores los pitagoacutericos
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consideraron como nuacutecleo de su dogma a los nuacutemeros naturales eacutestos constituiacutean la esencia
del Universo de todas las cosas y de cada una de ellas tanto en matemaacuteticas como en la fiacutesica
y en las ciencias experimentales y en la religioacuten El Cosmos se explicaba en teacuterminos de
ldquoarithmoacutesrdquo es decir era expresioacuten de propiedades matemaacuteticas de los nuacutemeros naturales y
sus razones
Para Pitaacutegoras ldquomathematardquo es lo que se aprende lo que se conoce Como ciencia teoacuterica es
un invento Pitogoacuterico Los miembros de su comunidad eran de dos tipos ldquomatemaacuteticos ldquo o
ldquoconocedoresrdquo y ldquoakusmaacuteticosrdquo o ldquoauditoresrdquo esto es ldquooyentesrdquo
Platoacuten epistemoloacutegicamente creiacutea en el conocimiento como reminiscencia es decir todo
conocer es recordar despertar aquello que estaacute en los seres humanos y que ya han visto en
otra vida previa Como los pitagoacutericos de quienes tomoacute muchas de sus ideas iquestplagio Platoacuten
en sus uacuteltimos diaacutelogos concretamente en el Filebo y Timeo (Platoacuten 1992) tiende a ligar
matemaacutetica y teologiacutea hasta el punto de entender que el intelecto divino estaacute
constantemente entregado a la geometriacutea la matemaacutetica de la eacutepoca y que el cuerpo y el
alma del universo estaacuten constituidos matemaacuteticamente Aristoacuteteles en su Metafiacutesica
(Aristoacuteteles 1994) dijo sobre los pitagoacutericos y los nuacutemeros lo siguiente [hellip]supusieron que las
cosas existentes son nuacutemeros pero no nuacutemeros que existen aparte sino que las cosas estaacuten
realmente compuestas de nuacutemeros es decir los elementos de los nuacutemeros son los elementos
de todos los seres existentes y la totalidad del cosmos es armoniacutea y nuacutemero [hellip] Es evidente
que los pitagoacutericos creen tambieacuten que el nuacutemero no soacutelo es el principio material de las cosas
sino tambieacuten el que constituye sus modificaciones y estados permanentes [hellip]Bacon al
respecto escribioacute en la parte 4 de su ldquoDistinctia Primardquo capiacutetulo 1 de su ldquoObra Magnardquo
(Bacon 1928) que la matemaacutetica es la llave y puerta de la ciencia en sus teacuterminos Et harum
scientarum porta et clavis est Mathematica De un modo similar Leonardo da Vinci deciacutea
ldquoNessuna humana investigazione si pio dimandara vera scienzia s`essa non passa por le
matematiche dimostrazionerdquo (Leonardo da Vinci 1452-1519)
Galileo sentildealoacute que los secretos de la naturaleza estaban escritos en el lenguaje de la
matemaacutetica resumido en italiano eacute scritto in lingua mathematica e i caratteri son triangoli
cerchi ed altre figure geometriche Dicho en sus teacuterminos La filosofiacutea estaacute escrita en este vasto
libro que continuamente se muestra a nuestros ojos (me refiero al Universo) el cual sin
embargo no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el
alfabeto en que estaacute escrito Y estaacute escrito en el lenguaje de las matemaacuteticas siendo sus
69
caracteres triaacutengulos ciacuterculos y otras figuras geomeacutetricas sin las cuales es imposible entender
una sola palabra sin ellos soacutelo se conseguiriacutea vagar por oscuros laberintos (Galilei 1623)
Y de la misma manera que tuvo predecesores Galileo tuvo en esta cuestioacuten seguidores El
padre de la teoriacutea electromagneacutetica James Clerk Maxwell (Maxwell 1862) en la Conferencia
Inaugural en el King`s College de Londres con la que tomoacute posesioacuten de su caacutetedra y publicada
poacutestumamente en 1979 (Domb 1979) fue el maacutes contundente al respecto cuando
lacoacutenicamente dijo ldquoNo podemos expresar hechos fiacutesicos salvo en forma matemaacuteticardquo Konrad
Knopp (1882-1957) en la leccioacuten inaugural del curso de la Universidad de Tuumlbingen en 1927
La matemaacutetica es la base de todo el conocimiento y el contenedor de toda la alta cultura
Einstein acerca de esta cuestioacuten sentildealoacute Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de
que la naturaleza es concrecioacuten de las ideas matemaacuteticas maacutes sencillas Sin embargo quien
mejor expresoacute esa adecuacioacuten fue el premio Nobel de Fiacutesica huacutengaro Jeacutenoacute Pagravel o en su
traduccioacuten al ingleacutes Eugene Paul Wigner (1902-1995) quien tanto hizo para formular la teoriacutea
matemaacutetica de la simetriacutea y aplicarla a problemas fiacutesicos Estas fueron sus palabras (Wigner
1960) El milagro de la idoneidad de la matemaacutetica para la formulacioacuten de las leyes fiacutesicas es
un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos Y en otro momento antildeadioacute El
lenguaje de las matemaacuteticas se revela formidablemente efectivo en las ciencias naturales [hellip]
Deberiacuteamos estar agradecidos por ello y esperamos que su validez no soacutelo persista en las
investigaciones futuras sino que se extienda para bien o para mal hasta nuestro ocio e
incluso tambieacuten a nuestro pesar acaso con amplias ramas del aprendizaje
Pues bien ldquohic et nuncrdquo esto es aquiacute y ahora se estaacute en condiciones de afirmar que dicha
idoneidad o armoniacutea preestablecida esa especie de casualidad y causalidad esto es
ldquocausualidadrdquo a partes iguales viene justificada por los hechos siguientes el Teorema de
Loumlwenheim-Skolem y la definicioacuten por von Neumann de los nuacutemeros naturales en teacuterminos
de conjuntos que se van a considerar a continuacioacuten Pero antes se estableceraacute la axiomaacutetica
de Zermelo y Fraenkel basada en la teoriacutea de Conjuntos de Cantor por ser importante para
entender la definicioacuten de von Neumann Adicionalmente como se explicitaraacute en los
resultados hay que modificar un conocido dicho de Leopoldo Kronecker
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL
En la teoriacutea de conjuntos de Cantor (Cantor 1883) es posible formar un conjunto a partir de una
propiedad determinada que deben cumplir sus elementos Es decir dada cualquier propiedad
existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifica P(a)
70
Formalmente dada T UexistV|X isin V| minus T(X)Z Asiacute por ejemplo representando lo anterior por
UX|R(X)Z considerando la foacutermula X = X se obtiene el conjunto 3 = UX|X = XZ A este
conjunto que claramente lo contiene todo no se le pueden aplicar algunos de los resultados de
Cantor ya que conducen a ciertas paradojas Consideacuterese ahora el conjunto X cuyos elementos
son aquellos conjuntos que no se pertenecen a siacute mismo Esto es el conjunto V = UX|X notin XZ
Eacuteste es tambieacuten un conjunto de ldquogran tamantildeordquo que da lugar a la paradoja de Russell siguiente Si
uno se pregunta iquestEs X un elemento de siacute mismo Pueden suceder dos casos Uno que lo sea
esto es si V isin V entonces X no satisface la condicioacuten V notin V lo que es una contradiccioacuten Dos
que no lo sea esto es V notin V entonces X satisface la condicioacuten para ser uno de sus elementos y
asiacute V isin V de nuevo una contradiccioacuten De este modo X no puede ser un elemento de siacute mismo
ni no serlo Russell y Whitehead (Whitehead 1910 1912 1913) desarrollaron la teoriacutea de tipos
para eliminar esta clase de paradojas pero a costa de una complicacioacuten tal que haciacutea muy escaso
su intereacutes
Fue Zermelo quien presentoacute una teoriacutea axiomaacutetica de conjuntos luego completada por Fraenkel
y Skolem mucho maacutes simple y comprehensiva a nivel loacutegico que lograba eliminar tanto la
paradoja de Russell como todas las demaacutes que surgiacutean tanto en el sistema de Cantor como en el
de Frege Los axiomas de la teoriacutea de Zermelo (Zermelo 1908) completada por Fraenkel
(Fraenkel 1922) son los siguientes
1) Extensionalidad forallX(X isin V harr X isin ]) rarr V = ] Es decir dos conjuntos X e Y son
ldquoigualesrdquo lo que se representa por x = y si y soacutelo siacute contienen los mismos elementos En
otros teacuterminos este axioma afirma que un conjunto estaacute determinado por su extensioacuten
esto es dando todos sus elementos
2) Conjunto vaciacuteo existemptyforallX(X isin empty) Esto es existe un conjunto representado por empty sin
elementos Y es uacutenico por el axioma de extensionalidad En efecto Si empty y emptyprime fueran dos
conjuntos vaciacuteos distintos entonces siempre verificariacutean X notin empty y X notin emptyprime para cualquier a
y por tanto tambieacuten X isin empty harr X isin emptyprime para todo a de modo que por el axioma anterior
empty = emptyprime 3) De pares forallV ]existforallX(X isin harr X = V or X = ]) O sea dados cualesquiera conjuntos X e
Y existe otro conjunto representado por U Z cuyos elementos son uacutenicamente X e Y El
conjunto U Z se denomina par desordenado de X e Y Si se aplica el conjunto de pares a
un solo conjunto X se obtiene el par U Z cuyo uacutenico elemento es obviamente x y por
ello puede representarse como U Z A este uacuteltimo conjunto puede aplicaacutersele de nuevo
el axioma de pares dando lugar al conjuntoaU Zb conjunto al cual puede asi mismo
71
aplicaacutersele el axioma de pares obtenieacutendose el conjunto caU Zbd y asiacute sucesivamente
Este proceso de construccioacuten de conjuntos que fue el que siguioacute von Neumann puede
aplicarse al uacutenico conjunto dado y conocido expliacutecitamente empty obtenieacutendose una serie
infinita de conjuntos empty UemptyZ aUemptyZb hellip
4) Unioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr exist( isin V and X isin )) En otros teacuterminos dada cualquier
coleccioacuten o conjunto de conjuntos C existe un conjunto representado por cup N y
denominado ldquounioacuten de Crdquo que contiene todos los elementos de cada conjunto de C
5) Conjunto Potencia forallVexist]forall( isin ] harr forallX(X isin rarr X isin V)) Lo que viene a decir es que
para cualquier conjunto X existe otro conjunto representado por f(V) y denominado
conjunto de las partes de X que contiene todos los subconjuntos de X
6) Esquema axiomaacutetico de especificacioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr X isin V and ((X)) En otras
palabras sea ((or) una foacutermula de un lenguaje de primer orden que contenga una
variable libre or Entonces para cualquier conjunto X existe un conjunto Y cuyos elementos
son aquellos elementos a de X que cumplen φ(a)
7) Esquema axiomaacutetico de reemplazo Este axioma debido a Fraenkel puede expresarse
como sigue Si forallVforall]forallexist or (V isinorand ((V ]) and (((V ) rarr ] = )) entonces existgforall](] ising harr existV(V isinorand ((V ]))) De otro modo si ( (a b) es una sentencia tal que para
cualquier elemento a de un conjunto X el conjunto Y es igual Uh|(((X h)Z y existe
entonces existe una funcioacuten i rarr tal que i(X) = Es decir si or es un conjunto y que
i es una foacutermula con dos variable libres X e Y tales que para cada V isinor existe un uacutenico Y
tal que i(V ]) se cumple entonces existe un conjunto W tal que ] isin g si y soacutelo si
i(V ])
8) Infinitud existV(empty isin V and forall(] isin V rarr ] cup U]Z isin V)) O sea existe un conjunto X tal que el
vaciacuteo empty isin V y tal que si ] isin V entonces ] cup U]Z isin V Este axioma introducido en 1908
por Zermelo permite la obtencioacuten de nuacutemeros naturales como conjuntos dentro de ZF
9) Regularidad o de fundacioacuten forallV(V ne empty rarr exist](] isin V and forall( isin ] rarr ] notin V))) Esto es
para todo conjunto no vaciacuteo X existe un conjunto ] isin V tal que V cap ] = empty Esta
formulacioacuten la dio Zermelo en 1930 Von Neumann en 1929 presentoacute un axioma
equivalente pero maacutes complicado Este axioma prohiacutebe la existencia de (a) Conjuntos
extrantildeos tales como los que cumplan V isin V o V isin ] andisin V (b) La existencia de cadenas
descendentes infinitas hellip isin V isin V isin V Si se excluye este axioma la teoriacutea de conjuntos
resultante recibe el nombre de ldquoTeoriacutea de Conjuntos no bien fundadosrdquo
72
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM
Teorema de Loumlwenheim-Skolem Como es maacutes que sabido la aritmeacutetica estaacute en la base de
toda la matemaacutetica maacutes auacuten de hecho el alcance de la aritmeacutetica va mucho maacutes allaacute de lo
que es la teoriacutea de nuacutemeros y el caacutelculo y sus proyecciones la estadiacutestica el caacutelculo de
variaciones la teoriacutea de grafos y autoacutematas el algebra etc En efecto seguacuten el extraordinario
pero en palabras de Atkins (Atkins 2003) ldquocapcioso teoremitardquo demostrado por primera vez
por el matemaacutetico alemaacuten Leopold Loumlwenheim (1878-1957) en 1915 (Loumlwenheim 1915) y
mejorado por el noruego Albert Thoraf Skolem (1887-1963) en 1920 (Skolem 1920) un
sistema de reglas como las de la aritmeacutetica emulan cualquier campo del conocimiento que
pueda formalizarse seguacuten un conjunto de axiomas Como lo sentildealoacute Atkins se podriacutea haber
aligerado el tedio de aprender a extraer raiacuteces cuadradas y hacer largas divisiones si nos
hubieran dicho en el colegio que seguacuten el ldquoteorema de Loumlwenheim-Skolemrdquo en realidad se
estaba imitando el proceso de extraer conclusiones de la mecaacutenica cuaacutentica la seleccioacuten
natural y la jurisprudencia en la medida en que estas ramas del conocimiento pueden
expresarse como axiomas Dicho teorema puede enunciarse como sigue
Teorema ldquoToda teoriacutea basada en un lenguaje L de primer orden tiene un modelo numerablerdquo
En otros teacuterminos ldquotoda la teoriacutea satisfacible es satisfacible en un universo numerablerdquo
Demostracioacuten
Como consecuencia inmediata del corolario que dice ldquotoda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una
teoriacutea θ es un modelo de θ y de ser numerable el conjunto T de los teacuterminosrdquo En efecto para
demostrar que toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ es un modelo de θ basta
considerar lo siguiente o isin p rArr o(or ( ) hellip or ( q) q) isin p por la regla loacutegica de
sustitucioacuten simultaacutenea r
r(st utfrasl hellipsw)uw) que a su vez se obtiene por aplicacioacuten reiterada de la
ldquoregla de sustitucioacutenrdquo oo(x ) cuya derivacioacuten es
1 α (Hipoacutetesis) 2 and r (Regla de Generalizacioacuten) (1) 3 ((ℸo )(x ) rarror ℸo) (Axioma 4 (o(x ) rarror r) 4 (ℸo(x ) rarr ℸ and o) (3) 5 (and o rarr o(x )) (Regla primera de contraposicioacuten) (4) 6 o(x ) (Regla de separacioacuten) (2) (5)
73
Y por el teorema que dice ldquoPara toda teoriacutea θ el conjunto Fθ con la relacioacuten ltn es un aacutelgebra
de Boole Una clase |o| es el elemento supremo si y soacutelo si αisin θrdquo
Demostracioacuten
Como faacutecilmente puede comprobarse
a) La relacioacuten ltn es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva esto es relacioacuten de orden
b) El par Fθ αθ es un retiacuteculo
c) El retiacuteculo tiene como elemento supremo la clase de todas las foacutermulas de θ y como
elemento iacutenfimo la clase de todas las foacutermulas refutables en θ
d) El retiacuteculo es distributivo
e) El retiacuteculo es complementario
Lo que rArr |o(or ( ) hellip or ( q) q| =n 1
ldquoInterpretacioacuten Canoacutenicardquo Teorema de Skolem
Definicioacuten Sea θ una teoriacutea nabla un Q-filtro en A(θ) y hnabla el homomorfismo engendrado por nabla
Entonces se denominaraacute interpretacioacuten canoacutenica de la teoriacutea θ a toda interpretacioacuten Gnablan en el
conjunto T definida por
A) Gnablan (f
~)(τ hellip τ~) = f~τ hellip τ~ forall f
~ ϵ Φ
B) Gnablan (P
~)(τ hellip τ~) = ℎnabla (P
~τ hellip τ~) forall P~ ϵ π
Teorema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ y toda foacutermula α con las
variables libres x1 hellip xn se verifica que onabla(or) = ℎnabla(|o(or ( ) hellip or ( q) q)|)
Demostracioacuten
Lema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan todo teacutermino τ y toda valoracioacuten v se verifica que
xnabla(or) = x(or ( ) hellip or ( q) q)
donde x1 hellip xn son todas las variables que aparecen en x
74
En efecto
Si τ=x entonces xnabla(or) =or ( ) = x(or ( ) )
Si τ = f~ τ hellip τ~ entonces xnabla
(or) = Gnablan(f
~)(xnabla(or) hellip x5nabla
(or) porque x() =
G(f~(τ(v) hellip τ~ (v)) τ = f
~τ τ hellip τ~ entonces τ(v) = I(f~)(τ(v) hellip τ~ (v))
= f~ x
(or) hellip x5nabla(or) y por la hipoacutetesis de induccioacuten
= f~ x(or ( ) hellip or ( q q) hellip xq(or ( ) hellip or ( q) q
= x(or ( ) hellip or ( q)| q| QED
Ahora soacutelo falta para completar la demostracioacuten definir lo que es un filtro
Definicioacuten Un subconjunto no vaciacuteo nabla de un algebra de Boole A es un filtro si para elementos
cualesquiera a b isin A se verifica que X cap h isin nablahArr (X isin nabla h isin nabla)
Sea ahora h la aplicacioacuten canoacutenica de A en |nabla (el conjunto cociente engendrado por la
relacioacuten de equivalencia sobre A sim) que hace corresponder a cada elemento su clase de
equivalencia entonces se puede establecer el siguiente
Teorema La aplicacioacuten h es un homomorfismo respecto a las operaciones cup cap minus rarr es
decir
a) ℎ( cup ) = ℎ( ) cup ℎ()
b) ℎ( cap ) = ℎ( ) cap ℎ()
c) ℎ( ) = ℎ( )
d) ℎ( ⟶ ) = ℎ( ) ⟶ ℎ()
Para todo elemento xisinA se verifica que ℎ( ) = |1| hArr isin nabla
Demostracioacuten
A) Es consecuencia inmediata de
75
o) |X| cup |h| = |X cup h|
) |X| cap |h| = |X| cap h = X cup h = |X cap h|
) |X| = |X|
) |X| ^ |h| = |X| cup |h| = |X cup h| = |X ^ h|
B) ℎ( ) = |1| hArr | | = |1| hArr ~1 1 cup isin nabla y x cup 1 isin nabla hArr isin nabla 1 isin
nablahArr isinnabla
Finalmente sentildealar que esta demostracioacuten es una presentacioacuten ldquopropiardquo Estaacute basada soacutelo en
cuatro axiomas y dos reglas provenientes de Church (Church 1956) y Shoenfield (Shoenfield
1967) La presentacioacuten es una simplificacioacuten del trabajo de Prida (Prida 1973) que a su vez
mejora la prueba sobresaliente por su sencillez de Rasiowa y Sikorski (Rasiowa 1950) Dicho
trabajo sobre todo evita en la artificiosidad de deducciones formales haciendo uso
sistemaacutetico del teorema de deduccioacuten para obtener reglas derivadas Y su esquema
metodoloacutegico analiacutetico y retroductivo esto es deductivo hacia atraacutes viene dado en la figura
III1
Figura III1 Esquema retroductivo de la demostracioacuten del teorema de Loumlwenheim-Skolen
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO
DEFINICIOacuteN DE NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN
Seguacuten Cantor (Cantor 2006) los ldquonuacutemeros ordinalesrdquo son los tipos de orden de los conjuntos
bien ordenados Se dice que un conjunto X dotado con una relacioacuten R (reflexiva antisimeacutetrica
76
y transitiva) es un ldquobuen ordenrdquo o que el conjunto X estaacute ldquobien ordenadordquo si todo
subconjunto no vaciacuteo sub V tiene un miacutenimo Es decir se dice que X es el miacutenimo de sub V si
X isin y X forall isin Esto implica que el orden es total ya que dados dos elementos distintos
x e y la existencia de un miacutenimo del conjunto xy fuerza que uno de ellos sea anterior al otro
y por lo tanto que esteacuten relacionados Los nuacutemeros ordinales estaacuten asociados precisamente a
los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados De igual manera que los cardinales lo
estaacuten a la relacioacuten de equipotencia de conjuntos
Ahora bien hay que tener en cuidado con la afirmacioacuten de Cantor porque la clase de los
conjuntos bien ordenados no es un conjunto tampoco lo es la de los que tienen el mismo tipo
que un conjunto bien ordenado fijado de antemano lo que dariacutea lugar a otra versioacuten de la
paradoja de Russell de seguir por ese camino Sin embargo John von Neumann tuvo la genial
idea de definir los ordinales escogiendo adecuadamente un elemento en cada clase de
equivalencia como sigue Un conjunto α es un ldquonuacutemero ordinalrdquo o simplemente un ldquoordinalrdquo
si tiene las propiedades siguientes
1) Si isin α entonces sub α
2) ( isin α ) and ( isin α ) rArr ( = ) or ( isin ) or ( isin )
3) Si empty ne sub α entonces existe isin tal que cap ne empty
Obseacutervese que si en (3) (α) se toma A= α entonces
( isin ) and ( cap ne empty) rArr = empty
Luego todo ordinal x distinto del vaciacuteo contiene al vaciacuteo como elemento Janos von
Neumann entonces un jovencito de veinte antildeos preparaba su muy innovadora tesis
conteniendo un nuevo sistema axiomaacutetico para la teoriacutea de conjuntos distinto del de Ernst
Zermelo antiguo ayudante de Max Planck en Berliacuten (Zermelo 1908) En 1923 la seccioacuten
cientiacutefico matemaacutetica de las ldquoActa Litterarum ac Scientiarumrdquo de la Universidad Regia de
Fracisco Joseacute en Hungriacutea publicaba en alemaacuten su artiacuteculo ldquoSobre la introduccioacuten de los
nuacutemeros transfinitosrdquo (von Neumann 1923) La novedad del trabajo de von Neumann fue
establecer un modo de incorporar la idea cantoriana de los nuacutemeros ordinales directamente
sobre la uacutenica base de los axiomas de la teoriacutea de conjuntos En dicho artiacuteculo presentaba la
cuestioacuten al margen de sistemas axiomaacuteticos desde un punto de vista ldquoingenuordquo Sin embargo
era muy consciente de que la importancia del asunto estribaba en su aplicabilidad a dichos
sistemas tanto al de Zermelo-Fraenkel como al original sistema nuevo en el que entonces
trabajaba iquestCuaacutel era la idea clave
77
Cantor en su momento habiacutea llamado la atencioacuten sobre el hecho de que si se toma el 0
como primer nuacutemero de la serie de los ordinales cada ordinal representa el ldquotipo de ordenrdquo
del conjunto de los ordinales que le preceden α es el ordinal de U lt oZ considerado en su
orden natural de magnitud Por ejemplo w+1 es el ordinal de 1 2 3 hellip w Por otra parte
Zermelo habiacutea identificado los nuacutemeros naturales con los conjuntos empty UemptyZ aUemptyZbhellip
Evidentemente con esto no quiere decirse que el nuacutemero 1 es ldquorealmenterdquo el conjunto empty
idea que soacutelo cabriacutea calificar de tonteriacutea Lo que ocurre es que la operacioacuten X ^ UXZ tiene las
propiedades de la funcioacuten sucesor y por consiguiente ldquopuederdquo a los efectos del trabajo
axiomaacutetico identificarse con la funcioacuten sucesor
Pues bien considerando las dos ideas la de Cantor y la de Zermelo conjuntamente surge la
ingeniosa idea de von Neumann En efecto partiendo del ordinal 0 identificando ldquoa la
Zermelordquo con empty y considerando porque asiacute se decide que cada ordinal es el conjunto de
todos los que le preceden uno se ve llevado a la sucesioacuten
0 = empty
1 = UemptyZ
2 = Uempty UemptyZZ
3 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ
helliphelliphelliphellip
w = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ
w+1 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ hellip w
helliphelliphelliphelliphellip
La pequentildea modificacioacuten de von Neumann tiene efectos muy deseables dentro del artificioso
orden axiomaacutetico de las cosas los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien
ordenados siendo su relacioacuten ordenada la simple pertenencia conjuntista ∊ y cada ordinal α
es a su vez un conjunto bien ordenado de tipo α o sea un representante de toda una clase
de conjuntos Conviene antildeadir aquiacute y resaltar que los ordinales de von Neumann habiacutean sido
prefigurados ya unos antildeos antes por el propio Zermelo en trabajos de alrededor de 1915 que
quedaron ineacuteditos y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirimanoff en 1917 (Mirimanoff
1917) (Mirimanoff 1917-1944) A partir de ahiacute lo que se tiene ya no son los viejos nuacutemeros
ordinales de Cantor que eacuteste insistiacutea en concebir como ldquoconceptosrdquo bajo los que ldquocaenrdquo los
distintos tipos de conjuntos bien ordenados Ante lo que se estaacute ahora es frente a los
ldquoordinalesrdquo de la teoriacutea de conjuntos axiomaacutetica a menudo denominados en su honor
ordinales de von Neumann Eacutestos no son otra cosa que conjuntos cuya existencia viene
78
garantizada en cada caso por los axiomas de la teoriacutea especialmente adecuados para
representar al concepto de Cantor por las razones acabadas de indicar
Todo lo anterior lo explicitoacute el propio von Neumann en una carta fechada en Budapest a 15
de agosto de 1923 en la que informaba a Zermelo de las ideas que estaba desarrollando para
su tesis Bueno para ser precisos para una de las dos tesis doctorales que presentariacutea en 1925
La otra en el campo de la ingenieriacutea quiacutemica en la que se habiacutea graduado En ella despueacutes de
exponer el objeto de su trabajo que se basa en los ldquofundamentos de la teoriacutea de conjuntosrdquo de
Zermelo y sentildealar los puntos en los que se separa de eacutel indica los puntos que resultan
ldquonuevosrdquo siguientes
1 La teoriacutea de los nuacutemeros ordinales (parte dos capiacutetulo dos)
He logrado establecer los nuacutemeros ordinales sobre la uacutenica base de los axiomas
de la teoriacutea de conjuntos La idea baacutesica es la siguiente Cada nuacutemero ordinal es
el conjunto de todos los precedentes De modo que (poniendo 0 para el
conjunto vaciacuteo)
0 = 0
1 = 0
2 = 0 0
3 = 0 0 0 0
helliphelliphelliphellip
W = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
W+1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
helliphelliphelliphelliphellip
(Para los nuacutemeros positivos finitos la regla dice pues x+1 = x+x) Esta teoriacutea
tiene sentido tambieacuten dentro de la ldquoteoriacutea de conjuntos ingenuardquo (Tratada
ingenuamente apareceraacute pronto en la revista de la Universidad de
Szegedin)[hellip]
Los otros dos puntos que aquiacute no se explican completan la misiva
Por otra parte es faacutecil demostrar usando el ldquoaxiomardquo de pares que si x es un ordinal entonces
el conjunto cup U Z es tambieacuten un ordinal que seraacute designado por x+1 Por ejemplo el ordinal
0 es simplemente el conjunto vaciacuteo Oslash
0 = Oslash
79
1 = Oslash = 0
2 = Oslash Oslash = 01
3= Oslash OslashOslash Oslash = 012
n+1 = 012hellipn
En otras palabras cada ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a eacutel Tambieacuten en el
caso no finito
w = ℕ
w+1 = ℕℕ = ww
w+2 = ℕℕ ℕℕ = w w+1 hellip
De este modo aparecen los nuacutemeros ordinales en su versioacuten ordinal 1 (uno) primero 2(dos)
segundo 11(once) undeacutecimo 1999 (mil novecientos noventa y nueve) mileacutesimo
noningenteacutesimo nonageacutesimononohellip Mencioacuten aparte merece el cero del que se carece de una
denominacioacuten propiamente ordinal Se suele empezar a contar a partir del uno pero en
matemaacuteticas y tambieacuten en la cronologiacutea como puso de evidencia la poleacutemica sobre el antildeo de
inicio del nuevo milenio a veces resulta conveniente empezar contando por el cero Entonces
el cardinal del conjunto hay que obtenerlo sumando uno al uacuteltimo ordinal adjudicado a sus
elementos Esta carencia de un teacutermino apropiado para designar al ordinal cero es comuacuten a la
mayoriacutea de todos los idiomas Hubo un torero Rafael Guerra ldquoGuerritardquo quien preguntado
por el escalafoacuten de su profesioacuten respondioacute ldquodempueacutes de miacute naide y dempueacutes de naide el
Fuentesrdquo ldquoNaiderdquo o quizaacutes mejor ldquonaiderordquo podriacutea muy bien designar el cero ordinal en
espantildeol de acuerdo con la propuesta de Antonio Coacuterdoba (Coacuterdoba 2006)
El concepto de nuacutemero es el maacutes baacutesico y fundamental en el mundo de las ciencias y en
particular en el de la matemaacutetica Sin embargo una respuesta satisfactoria a lo que es un
nuacutemero soacutelo se alcanzoacute en 1884 por el fundador de la loacutegica matemaacutetica Gottlob Frege (Frege
1884) Dicha respuesta permanecioacute incoacutegnita hasta que Bertrand Russell en su intento de
fundamentar toda la matemaacutetica en teacuterminos del concepto de conjunto redescubrioacute el
concepto de nuacutemero Pero fue como acaba de verse von Neuman (von Neumann 1923)
quien propuso la tal vez maacutes maravillosa y simple construccioacuten de toda la matemaacutetica y de
las ciencias la definicioacuten de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos iexcliexcliexcla partir del
conjunto vaciacuteo En efecto von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean
obtenerse a partir del conjunto vaciacuteo en notacioacuten conjuntista Oslash mediante operaciones
mentales como sigue
80
Oslash =
1 = Oslash =
2 = Oslash 1 =
3 = 0 1 2 =
4 = 0 1 2 =
hellip
Esta construccioacuten muestra ademaacutes por queacute verbigracia 1 es menor que 2 o en general
porque dados los nuacutemeros a y b o altb o blta Este esquema tiene otras muchas propiedades
Sin embargo el uacutenico defecto del esquema es que es un artificio de construccioacuten y no dice queacute
es un nuacutemero excepto en teacuterminos de la construccioacuten Por ejemplo o Oslash es el conjunto
vaciacuteo 1 el conjunto constando del conjunto vaciacuteo 2 es el conjunto cuyos elementos son el
conjunto vaciacuteo y el conjunto constando del conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente Esto lleva a
que para entender el esquema habriacutea que remitirse al concepto integrado en eacutel a saber la
teoriacutea de conceptos de Frege Y ello deberiacutea explicar por queacute von Neumann eligioacute el conjunto
vaciacuteo para representar el cero
Esta construccioacuten estaacutendar de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos es elegante y
potente En efecto para llevarla a cabo se comienza con el conjunto vaciacuteo Oslash y se define el
nuacutemero natural n para que sea la cardinalidad del conjunto Sn(Oslash) siendo S(a) la funcioacuten
sucesor definida por S(a) = acupa para cada conjunto a denotando el superiacutendice la
composicioacuten repetida Expliacutecitamente
1) 0 = S0(Oslash) = Oslash
2) 1 = S1(Oslash) = Oslash
3) 2 = S2(Oslash) = OslashOslash
4) 3 = S3(Oslash) = OslashOslashOslash Oslash
5) 4 = S4(Oslash) = OslashOslashOslash OslashOslashOslashOslashOslash
hellip
Esta construccioacuten es
a) Elegante pues soacutelo usa tres siacutembolos literales a saber Oslash y e incluso con la simbologiacutea
de von Neumann se reduciriacutean a dos los corchetes Es decir es de lo maacutes simple y en
consecuencia como es suficientemente expresiva es elegante
81
b) Potente pues soacutelo usa la recursioacuten simple S(a) = acupa para construir infinitos nuacutemeros
Haacutegase ahora una disgresioacuten filosoacutefica-metafiacutesica de la construccioacuten loacutegico matemaacutetica de von
Neumann De los tres elementos de la construccioacuten Oslash estaacute definitivamente conectado con la
vaciedad y la ldquonadardquo una caracteriacutestica muy baacutesica del Universo Los otros dos siacutembolos los
corchetes de apertura ldquoldquo y cierre ldquordquo estaacuten a su vez a fin de cuentas conectados con las
propiedades de consciencia separacioacuten y clase En un sentido el primer paso de la creacioacuten
es la consciencia o el ldquoreconocimiento de la vasta vaciedad del espaciordquo Tan pronto como
esto sucede la vaciedad se ldquoseparardquo en ldquoalgordquo lo que ha percibido la vaciedad y la propia
vaciedad Tan pronto como se tienen dos cosas se crea un liacutemite el tercer elemento La
secuencia es asiacute
1) Vaciacuteo = Oslash = 0
2) Dios ldquoYo me percato de que existe el vaciacuteordquo (Oslash = 1)
3) Dios ldquoPor lo tanto todo lo que existe por ahora es el ldquoVaciacuteo y Yordquo (Oslash Oslash = 2)
Noacutetese sin embargo que la cardinalidad del conjunto Oslash Oslash = 2 no estaacute incluida en el
Universo de Dios (2 notin U01Z) por consiguiente ello implica una ldquoexistenciardquo separada de la
de 0 y 1 Esta existenciaconsciencia que corresponde a percibir 2 como un todo o si se
quiere la consciencia de que El 2 es ldquoEl Primogeacutenitordquo A continuacioacuten El ldquoPrimogeacutenitordquo
similarmente reivindica lo siguiente ldquoTodo lo que existe hasta ahora es el Vaciacuteo Dios y Yo
(Oslash Oslash Oslash Oslash = 3) Pero de nuevo iexclla cardinalidad del uacuteltimo no estaacute incluido en el
Universo previo Y lo mismo sucede con cada nueva cardinalidad De este modo una vez que
Dios finaliza el paso 3 anterior se produce una explosioacuten o por mejor decir una reaccioacuten en
cadena de existencias la cual genera la primera jerarquiacutea infinita en la existencia el primer Big
Bang iexclLa creacioacuten de los nuacutemeros naturales iexcliexcliexcl Extraordinario iexcliexcliexcl Fabuloso iexcliexcliexcl
Tremendo
A su vez los nuacutemeros naturales se percatan de que su existencia implica la existencia de los
negativos De este modo se crean los enteros Eacutestos a su vez se dan cuenta de que su
existencia implica la existencia de los racionales y asiacute sucesivamente se van creando los
irracionales luego los reales a continuacioacuten los complejos los quaterniones ldquooctonionesrdquo
ldquosedenionesrdquo espacios vectoriales campos aacutelgebras variedades etc Es decir se establece la
existencia de las matemaacuteticas y su reino es sobre el que se asientan los demaacutes reinos El resto
es historia En resumen de esta manera la construccioacuten total estaacute asiacute en uacuteltima instancia
relacionada a tres nuacutemeros 0 1 2 y por lo tanto a la base 3 y el nuacutemero 3 Por consiguiente
estos tres nuacutemeros o si se quiere el 1 2 3 forman el ldquoarquetipordquo sobre el que se basa la
82
realidad Es decir si se denomina V al vaciacuteo D a Dios y P al ldquoPrimogeacutenitordquo la secuencia
anterior se representa graacuteficamente mediante la figura III2
Figura III2 Nacimiento Secuencial de Todo a partir de VD=S(V) P=S(D) 3=S(P) 4=S(3) hellip
En suma von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean ser obtenidos por
emergencia en ingleacutes ldquobootstrapped outrdquo a partir del conjunto vaciacuteo mediante operaciones
mentales como sigue La mente observa el conjunto vaciacuteo El acto de observacioacuten de la mente
provoca la aparicioacuten de otro conjunto el conjunto de los conjuntos vaciacuteos El conjunto de los
conjuntos vaciacuteos obviamente no es vaciacuteo porque contiene una ldquono cosardquo el conjunto vaciacuteo
De este modo la mente genera el nuacutemero 1 al producir un conjunto conteniendo el conjunto
vaciacuteo Del hecho de que soacutelo dos cifras basten para representar todos los nuacutemeros en el
sistema binario Leibniz pretendioacute deducir la existencia de Dios Parafraseando al Geacutenesis y a
propoacutesito del Sistema binario del que se autoproclamoacute autor escribioacute ldquoEx nihilo unum omnia
ducitrdquo (Como se comentaraacute en los resultados y es otra ldquoaportacioacutenrdquo de este trabajo Leibniz
ldquofusiloacuterdquo inmisericorde a un espantildeol Caramuel) A continuacioacuten la mente percibe el conjunto
vaciacuteo y al conjunto que contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute hay dos ldquono cosasrdquo Con ello la mente
genera el nuacutemero 2 a partir del vaciacuteo y asiacute sucesivamente Con lo que es posible establecer lo
siguiente
A) Los nuacutemeros tienen causas Son eacutestas los algoritmos que efectuacutean las operaciones
sobre los conjuntos
83
B) Los nuacutemeros tienen partes y aspectos El nuacutemero 1 se define como el conjunto que
contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente
C) Y en el anaacutelisis final el sistema de nuacutemeros enteros ha sido generado por el fuego de
la mente sobre el vaciacuteo en la completa ausencia de la necesidad de referirse a cualquier
cosa material o cosas que estaacuten siendo contadas
Los nuacutemeros no son fenoacutemenos fiacutesicos y no necesitan hacer referencia alguna a sistemas
fiacutesicos para su existencia Pero siacute son entidades inherentemente existentes de la realidad
platoacutenica Los nuacutemeros son manifestaciones dependientemente relacionadas con el trabajo de
la mente
La irrazonable efectividad de las matemaacuteticas en la ciencia y en la ingenieriacutea era algo
misterioso De acuerdo con la visioacuten fisicalista del mundo la mente incluyendo las mentes de
los matemaacuteticos es un epifenoacutemeno de la materia que ha evolucionado uacutenicamente para
asegurar la supervivencia del gen egoiacutesta que la codifica iquestPor queacute deberiacutea este fenoacutemeno de
ldquoalto nivelrdquo tener tal acceso iacutentimo a fenoacutemenos de ldquobajo nivelrdquo tal como la fiacutesica cuaacutentica
Despueacutes de todo los dos niveles estaacuten seguacuten cabe suponer separados por meros bien
entendidos en algunos casos capas explicativas tales como psicologiacutea evolutiva neurologiacutea
biologiacutea celular geneacutetica biologiacutea molecular o quiacutemica
Un aspecto interesante del fenoacutemeno de la emergencia son las diferentes y distintas
relaciones causales y organizativas que aparecen en los diferentes niveles de investigacioacuten
Por ejemplo la ecologiacutea emerge de la biologiacutea eacutesta lo hace de la quiacutemica que a su vez
emerge de la fiacutesica que emerge de la matemaacutetica quien por uacuteltimo emerge de la mente
contemplando el conjunto vaciacuteo Cada nivel de investigacioacuten tiene sus propias relaciones
explicatorias sin embargo si se comprueba cuidadosamente no se antildeade nada extra
procedente de la parte de los objetos Todo es algoriacutetmicamente comprensible sin resto no
hay ingredientes misteriosos antildeadidos cuando se progresa desde los niveles bajos a los maacutes
altos
Si a esto se antildeade que de acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem toda teoriacutea basada
en un lenguaje L esto es toda teoriacutea axiomaacutetica y las teoriacuteas cientiacuteficas lo son tiene un
modelo numerable ya estaacute justificada la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre matemaacutetica y teoriacuteas
cientiacuteficas QED
84
Como corolario a lo que acaba de mostrarse y demostrarse es claro que Leopoldo Kronecker
(1823-1891) teniacutea parte de razoacuten cuando expresando su conviccioacuten dijo en el libro 2 de
ldquoJahresberichte der Deutschen Mathematiker Vercinigungrdquo y cita Florian Cajori (Cajori 1919)
Die ganze zahe schuf der liebe Gott alles Uumlbrige ist Menschenwerk En espantildeol Dios creoacute los
nuacutemeros enteros la humanidad hizo el resto Sin embargo visto lo anterior Kronecker
empezoacute en el tercer escaloacuten saltaacutendose la creacioacuten de los enteros a partir de los naturales y
eacutestos a partir del vaciacuteo
Y de este modo por decirlo con versos del escritor gallego Joseacute Aacutengel Valente (Valente 1999)
Y todas las cosas para llegar a ser se miran
En el vaciacuteo espejo de su nada
O estos otros (Valente 2000)
ldquoDijo Dios sea la Nada
Y alzoacute su mano derecha
Hasta ocultar la mirada
Y la nada quedo hechardquo
El poeta y matemaacutetico persa Omar Khayyam de los siglos XI y XII que resolvioacute por meacutetodos
geomeacutetricos la ecuacioacuten cuacutebica en poesiacutea con sus ldquoRubaacuteijaacutetrdquo (plural de ldquorobaiacuterdquo estrofa de
cuatro versos dodecasiacutelabos en la que libra el tercero y riman los otros tres) tan socorridos
en otros aacutembitos tambieacuten habla del vaciacuteo y la nada como sucede con el XXVI que dice
(Khayyam 1914)
ldquoEl mundo inabarcable una mota de polvo en el vaciacuteo
Toda la ciencia del hombre palabras
Los pueblos las bestias y las flores de los siete climas sombras
El fruto de tu constante meditacioacuten la nadardquo
O el XXXVIII
ldquoSuentildeo sobre la tierra Suentildeo bajo la tierra
Sobre la tierra y bajo la tierra cuerpos que yacen
Por doquier la nada Desierto de la nada
Seres que llegan seres que se vanrdquo
O este otro el CIII
ldquoEsta es la uacutenica certeza peones somos
85
De la misteriosa partida de ajedrez que juega Dios
Nos mueve nos detiene nos levanta y nos arroja despueacutes
Uno a uno al abismo de la Nadardquo
De un modo similar se refiere a la proposicioacuten de Emily Dickinson en forma de versos
ldquoYo no soy nadie
iquestQuieacuten eres tuacute
iquestTampoco eres nadie
iexclYa somos dos
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN
III31 INTRODUCCIOacuteN
El teacutermino ldquocurryingrdquo fue acuntildeado por Christopher Strachey en 1967 en honor del loacutegico y
matemaacutetico Haskell Brooks Curry nacido el 12 de septiembre de 1900 en Millis Massachusets
y fallecido en State College Pensilvania el 1 de Septiembre de 1982 Curry que estudioacute en la
Universidad de Harvard recibioacute su grado de Doctor en 1930 por la Universidad Goumltingen en
esa eacutepoca el ldquoVaticanordquo de la Matemaacutetica y cuyo director fue el Papa de la Matemaacutetica David
Hilbert Profesor en Harvard y Princeton de 1929 a 1966 tambieacuten lo fue de la Pensilvania State
University Finalmente a partir de 1966 fue profesor de matemaacuteticas en la Universidad van
Amsterdam Curry en 1942 publicoacute la paradoja de su nombre y en 1963 culminoacute sus
ensentildeanzas en el aacuterea de la loacutegica matemaacutetica con la publicacioacuten de su libro ldquoFoundations of
Mathematical Logicrdquo (Curry 1963) Sus preferencias en filosofiacutea de la matemaacutetica fue el
formalismo (Curry 1951) siguiendo a su mentor Hilbert sin embargo sus escritos muestran
una curiosidad filosoacutefica sustancial y una mente muy abierta hacia el intuicionismo La fama le
sobrevino por sus trabajos sobre loacutegica combinatoria (Curry 1958) (Curry 1972) donde
fundamenta la programacioacuten funcional En efecto durante su estancia en Goumlttingen leyoacute la
versioacuten publicada de una leccioacuten dada por Moiseacutes Schoumlnfinkel en 1920 en la que introduciacutea la
loacutegica combinatoria lo que constituyoacute un acontecimiento decisivo para su carrera Despueacutes de
esto trabajoacute en su tesis doctoral sobre programacioacuten loacutegica tema que no abandonoacute en todo
el resto de su vida y del que llegoacute a ser el fundador y maacutes conspicuo representante Pues bien
la loacutegica combinatoria es la base de la programacioacuten funcional El poder y alcance de la loacutegica
combinatoria es bastante similar al del ldquolambda calculusrdquo o ldquoλ-caacutelculordquo de Alonzo Church
(Church 1936) aunque eacuteste uacuteltimo ha tenido maacutes predicamento durante las uacuteltimas deacutecadas
86
Con todo la importancia final de la ldquoloacutegica-combinatoriardquo tal y como lo muestra este trabajo
auacuten estaacute por dilucidar Una visioacuten comprehensiva sobre la misma la proporciona el libro a eacutel
dedicado que incluye un ensayo bibliograacutefico sobre Curry (Seldin 1980) Con todo Curry tuvo
antecesores Frege y Schoumlfinkel
Frege en 1893 observoacute por primera vez que bastaba restringir la atencioacuten a funciones de un
solo argumento Por ejemplo para cualquier funcioacuten de dos paraacutemetros f(xy) hay una funcioacuten
de un paraacutemetro facute tal que facute(x) es una funcioacuten que puede aplicarse a y para dar
(facute(x))(y)=f(xy) Esto se corresponde al bien conocido hecho de que los conjuntos ( times C rarrN) y ( rarr (C rarr N)) son isomorfos donde x representa el producto cartesiano y ldquorarrrdquo es el
espacio de la funcioacuten En otros teacuterminos dada una funcioacuten f del tipo i(V times ]) rarr entonces
ldquocurryficarlardquo la convierte en una funcioacuten ldquocurryrdquo (i) V rarr (] rarr ) Es decir ldquocurryrdquo (i)
toma un argumento de tipo X y devuelve una funcioacuten del tipo YrarrZ Intuitivamente
ldquocurryficarrdquo dice ldquoSi se fijan algunos argumentos se obtiene una funcioacuten de los restantes
argumentosrdquo Por ejemplo si la funcioacuten ldquodivrdquo representa la forma ldquocurryficadardquo de la
operacioacuten divisioacuten xy entonces div con el paraacutemetro x fijado en 1 es otra funcioacuten la misma
que la funcioacuten ldquoinvrdquo que devuelve el inverso multiplicativo de su argumento definida por
ldquoinv(y)=1yrdquo La motivacioacuten praacutectica para la ldquocurryficacioacutenrdquo es que muy frecuentemente las
funciones obtenidas por proporcionar algunos pero no todos los argumentos a una funcioacuten
ldquocurryficadardquo es muy uacutetil La operacioacuten inversa de la ldquocurryficacioacutenrdquo se denomina poco
imaginativamente ldquodescurryficacioacutenrdquo y funciona como sigue dada la funcioacuten
ldquocurryficarrdquo sect(X h) rarr umlcopy rarr (X rarr h rarr uml)
La inversa es
ldquodescurryficarrdquo (X rarr h rarr uml) rarr ((X h) rarr uml)
Aparentemente Frege no continuoacute su idea original Pues fue Schoumlfinkel quien la retomoacute junto
con el resultado de que todas las funciones que tienen que tratar con estructuras de
funciones es decir los funcionales pueden construirse con soacutelo dos ldquocombinadoresrdquo baacutesicos
denominado K y S
Moses Schoumlnfinkel cuyo nombre real en ruso con caracteres latinos es Moisei Isaievich
Sheinfinkel nacioacute el 4 de septiembre de 1889 en Ekatenoslav hoy Dnipropetrovsk Ucrania y
fallecioacute en la eacutepoca tenebrosa del estalinismo en Moscuacute el antildeo 1942 sin que pueda precisarse
87
el diacutea Este loacutegico y matemaacutetico judiacuteo-ldquosovieacuteticordquo esto uacuteltimo ldquomalgreacute luirdquo estudioacute
matemaacuteticas con Samule Osipovich Shatunovskii (1859-1929) quien trabajaba en geometriacutea y
fundamentos de las matemaacuteticas De 1914 a 1924 trabajoacute en la Universidad de Goumlttingen con
el grupo de David Hilbert Justamente alliacute y en una conferencia que impartioacute en 1920
Schoumlnfinkel inventoacute la loacutegica combinatoria posteriormente desarrollada y llevada a su maacuteximo
esplendor por Haskell Brooks Curry Heinrich Behman revisoacute el texto de esta conferencia y la
publicoacute en 1924 Eacutel tambieacuten introdujo la operacioacuten hoy denominada ldquocurryficacioacutenrdquo en honor
de Curry (Schoumlnfinkel 1924) Schoumlfinkell no escribioacute nada maacutes sobre loacutegica combinatoria de
modo que el total desarrollo subsiguiente fue trabajo de otros especialmente Curry De
hecho salvo un artiacuteculo publicado con un disciacutepulo y colaborador de Hilbert Paul Bernays en
1929 no volvioacute a publicar nada despueacutes de que Stalin hubiera consolidado su satrapiacutea en
1929
En suma que la ldquocurryficacioacutenrdquo fue inventada por Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Moiseacutes
Schoumlnfinkell y desarrollada por Haskell Brooks Curry por eso algunos proponen que se
denomine ldquoSchoumlfinkelisationrdquo en espantildeol ldquoSchoumlfinkelizacioacutenrdquo La ldquocurryficacioacutenrdquo es una
teacutecnica que transforma una funcioacuten que tiene muacuteltiples argumentos en una funcioacuten que tiene
un solo argumento Los otros ha sido especificados por el ldquocurryrdquo Es decir el ldquocurringrdquo tiene
su origen en el estudio matemaacutetico de funciones
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN
III321 Introduccioacuten
Un lenguaje de programacioacuten funcional como es el caso de Miranda una marca registrada de
Research Software Ltd estaacute ldquocurryficadordquo Esto significa que se construyen objetos evaluados
con funciones en ingleacutes ldquofunction-valued objetsrdquo por aplicar parcialmente funciones
existentes antes que por usar expliacutecitamente expresiones lambda De hecho Miranda fue
desarrollado en 1985 por David Turner en la Universidad de Kent Posteriormente
emprendioacute en 1987 el disentildeo de un nuevo lenguaje funcional que recibioacute el nombre de
Haskell en honor del inventor de la ldquocurryficacioacutenrdquo Haskell B Curry Su desarrollo fue colectivo
mediante un comiteacute creado al efecto con ocasioacuten del congreso internacional sobre ldquoFuntional
Programming and Computer Architecture celebrado en Portland Oregon en 1987 En este
lenguaje curryficado cuando se escribe una definicioacuten tal como i ordf = hellip se interpreta
exactamente como una funcioacuten de maacutes alto-orden de justo un argumento x El resultado de
aplicar f a un argumento A1 puede escribirse como i que es otra funcioacuten de nuevo de un
88
solo argumento en este caso y El resultado de aplicar esta funcioacuten a un ulterior argumento
A2 es auacuten otra funcioacuten esta vez de un uacutenico argumento z Es decir una aplicacioacuten completa
de f se escribe como ilaquo cuya lectura correcta es (((i))laquo) Esta idea de tratar
una funcioacuten de n argumentos como una concatenacioacuten de n funciones de argumento uacutenico
recibe el nombre de ldquocurryficacioacutenrdquo en honor del matemaacutetico que lo propuso en informaacutetica
Curry (Curry 1958) Ahora bien para llegar ahiacute Curry tuvo que recorrer un largo camino cuyos
hitos maacutes importantes en los que intervienen personajes como Galileo Newton
LeibnizBernouille Frege Casteluovo Kolmogorov Schoumlnfinkel etc que se van a considerar
aunque sinteacuteticamente a continuacioacuten
III322 El Concepto de Funcioacuten De Galileo a Frege
Como lo sentildealoacute Morris Kline (Kline 1992) del estudio del movimiento realizado por Galileo
(1564-1642) obtuvieron las matemaacuteticas un concepto fundamental que fue central en
praacutecticamente todo el trabajo de los dos siglos siguientes el concepto de funcioacuten o relacioacuten
entre variables En efecto dicha nocioacuten se encuentra casi a lo largo de todo su libro ldquoDos
Nuevas Cienciasrdquo con el que se fundoacute la mecaacutenica moderna (Galilei1636) Muchas de las
funciones introducidas a lo largo del siglo XVII fueron estudiadas en primer lugar como curvas
Asiacute sucedioacute en los casos de Evangelista Torricelli (1608-1647) y Giles Persone de Roberval
(1602-1675) Sin embargo la distincioacuten maacutes expliacutecita del concepto de funcioacuten en el siglo XVII
fue dada por James Gregory (1638-1675) en su obra ldquoVera Circuli et Hyperbolae Quadraturardquo
de 1667 Alliacute y entonces Gregory definioacute una funcioacuten como ldquouna cantidad que se obtiene de
otras cantidades mediante un sucesioacuten de operaciones algebraicas o mediante otra operacioacuten
imaginable Con esto se referiacutea de paso al liacutemite Newton (1642-1727) desde 1665 en
adelante utilizoacute el teacutermino ldquofluentrdquo esto es ldquofluyenterdquo para representar cualquier relacioacuten
entre variables (Newton 1736) Sin embargo fue Leibniz quien en un manuscrito de 1673
utilizoacute por primera vez el teacutermino ldquofuncioacutenrdquo en este caso para significar cualquier cantidad
que variacutea de un punto a otro de una curva verbigracia la longitud de la tangente o de la
ordenada La curva misma se deciacutea dada mediante una ecuacioacuten Leibniz tambieacuten introdujo los
teacuterminos ldquoconstanterdquo ldquovariablerdquo y ldquoparaacutemetrordquo este uacuteltimo empleado en conexioacuten con una
familia de curvas (Leibniz 1673) Antildeos despueacutes 1697 Jean Bernouille tratando con funciones
hablaba de una cantidad formada de cualquier manera posible con variables y constantes Con
ldquocualquier manerardquo queriacutea decir mediante expresiones algebraicas y transcendentes Para
dicha cantidad en 1698 adoptoacute la frase de Leibniz ldquofuncioacuten de xrdquo Posteriormente en 1714
en su ldquoHistoriardquo Leibniz utilizoacute el teacutermino funcioacuten para significar cantidades que dependen de
una variable
89
No obstante seguacuten un eminente geoacutemetra italiano del pasado siglo Guido Casteluovo en su
obra ldquoLe Origini del Calcolo Infinitesimale nellrrsquoera Modernardquo de 1938 ya en 1604 el tambieacuten
matemaacutetico italiano Luca Valerio ya habiacutea propuesto un concepto operativo de lo que habiacutea
de ser un funcioacuten Es decir noventa antildeos antes que Leibniz Valerio en un estudio sobre un
trabajo de Arquiacutemedes habiacutea introducido ldquode factordquo la nocioacuten de una clase bastante general
de funciones continuas i( ) en un intervalo cerrado y acotado 0lexle1 Valerio en sus propias
palabras postula que la funcioacuten sea monoacutetonamente creciente desde un valor positivo para
x = 0 hasta el valor 0 para x = 1 sin que haya que suponer nada maacutes
En lo concerniente a la notacioacuten decir que Jean Bernouille escribiacutea Χ o ξ para un funcioacuten
general de x aunque en 1718 cambioacute a ϕx A Leibniz esto le parecioacute bien pero tambieacuten
propuso x1 y x2 para funciones de x utilizando el superiacutendice cuando se tratara con varias
funciones de x La notacioacuten actual fue introducida por Leonhad Euler (1707-1783) en 1734
El concepto de funcioacuten y su uso se extendioacute a partir de Euler a todos los campos de la ciencia
sin embargo poco se aclaroacute respecto a su significado y consecuentemente sus definiciones
cuando se las examinaba con rigor no teniacutean mucho sentido pese a que pareciacutea tenerlo y
ademaacutes no concordaban con el modo en que se las utilizaba A la pregunta iquestqueacute es una
funcioacuten hasta la llegada de Frege la respuesta maacutes comuacuten era responder como el
matemaacutetico alemaacuten Ernst Czuber lo siguiente Si cada valor de la variable numeacuterica x que es
un elemento del dominio de x estaacute unida por alguna relacioacuten fija a un cierto nuacutemero y
entonces generalmente y al igual que x cae bajo la definicioacuten de una variable y se dice que
y es una funcioacuten de la variable numeacuterica x La relacioacuten entre x e y se expresa por una ecuacioacuten
que tiene la forma y=f(x) Esta respuesta fue pronto ldquomasacradardquo por Frege quien era incisivo
en sus ataques maacutexime cuando la posicioacuten atacada era indefendible Eacutestas fueron sus
palabras En seguida cabe reparar en el hecho de que un cierto nuacutemero es denominado y
mientras que por otra parte al ser una variable tendriacutea que ser un nuacutemero indeterminado
Por lo tanto y no es ni un nuacutemero determinado ni tampoco un nuacutemero indeterminado pero se
coloca erroacuteneamente al signo y en conexioacuten con una clase de nuacutemeros el dominio de la
variable y y luego se continuacutea hablando como si hubiera soacutelo un nuacutemero en dicha clase Seriacutea
maacutes simple y maacutes claro decir ldquoCon cada nuacutemero de un dominio-x hay alguna relacioacuten fija por
lo cual ese nuacutemero estaacute unido a otro nuacutemero no necesariamente diferente La clave de todos
estos nuacutemeros resultantes seraacute llamado el dominio-yrdquo Con esto tenemos ciertamente un
dominio-y pero no tenemos ninguacuten y del cual pueda decirse que era una funcioacuten de la variable
numeacuterica x
90
Ahora bien la limitacioacuten del rango no parece tener nada que ver con la cuestioacuten de saber queacute
sea la funcioacuten en siacute iquestPor queacute no tomar como dominio a la clase de todos los nuacutemeros de la
aritmeacutetica o a la clase de todos los nuacutemeros complejos de los cuales la primera clase es una
parte El punto esencial de la cuestioacuten se encuentra en un lugar completamente distinto que
queda oculto a la vista por las palabras ldquoUnido por alguna relacioacuten fijardquo iquestCuaacutel es la prueba de
que el nuacutemero 5 estaacute unido por alguna relacioacuten fija del nuacutemero 4 La cuestioacuten no puede ser
respondida si de alguacuten modo no se la completa Con la explicacioacuten del sentildeor Czuber parece
como si para cualesquiera dos nuacutemeros se retomase desde un principio la decisioacuten de que el
primero estaacute o no unido al segundo por esa relacioacuten Afortunadamente Czuber continuacutea ldquoMi
definicioacuten no establece ninguna afirmacioacuten sobre la ley que controla la unioacuten por esa relacioacuten
esta ley estaacute expresada en su forma maacutes general por la letra f pero no hay liacutemite en cuanto al
nuacutemero de modos diferentes en que tal ley puede ser fijadardquo La unioacuten mediante una relacioacuten
tiene pues lugar de acuerdo con alguna ley y es posible mediante el ejercicio del
pensamiento que sean producidas diferentes leyes de este tipo Pero ahora la frase ldquoy es una
funcioacuten de xrdquo no tiene sentido es necesario que se la complete mediante la adicioacuten de la ley Es
eacuteste un error de la definicioacuten Y sin la menor duda la ley que no estaacute tenida en cuenta es esa
definicioacuten es verdaderamente la cuestioacuten principal Vemos ahora que lo que es variable
cambiante se ha disipado por completo y en su lugar ha cobrado presencia lo general y esto
es lo que buscaba con la palabra ldquoleyrdquo
Y esto que dice Frege se ha convertido en norma de la actual concepcioacuten de la idea de funcioacuten
Dicho esto una funcioacuten f es una regla referente a dos clases X e Y recibiendo X el nombre de
clase definitoria de f e Y el dominio de F y siendo producto de la regla de una clase de
agrupamientos ordenados (xy) donde x a la que se denomina el ldquovalorrdquo de f para x es
aquella seleccioacuten tomada de entre los elementos de Y que se efectuacutea de acuerdo con la regla
la clase de todas las selecciones y de Y recibe el nombre de clase de valores de f Por ejemplo
si la clase definitoria de f es la clase X de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip el dominio de f es esa
misma clase y f es la regla Adjuacutentese a todo elemento x de x su doble 2x entonces la clase de
agrupamientos ordenados producidos por esta regla tiene como elementos a (12) (24)
(36)hellip de modo que la clase de valores de f tiene a 2 4 6 hellip por elementos y asiacute por poner
otro ejemplo la clase definitoria de f1 es la clase X de todos los nuacutemeros -1 -2 -3 hellip el
dominio de f1 es la clase de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip y f1es la regla Adjuacutentese a todo
elemento x de X su cuadrado x2 entonces la clase de agrupamientos ordenados producida por
esta regla tiene por elementos a (-11) (-24) (-39) hellip y la clave de valores de f1 tiene por
elementos a 1 4 9hellip
91
Por ejemplo la expresioacuten ldquo2x2+1rdquo representa una funcioacuten de x que tiene el valor 3 para el
argumento 1 9 para el argumento 2 y asiacute sucesivamente Pero Frege extendioacute este anaacutelisis a
otras funciones que tomaban como argumentos objetos que no eran nuacutemeros De este modo
la proposicioacuten ldquoJulio Ceacutesar conquistoacute la Galiardquo podriacutea descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y la
expresioacuten funcional ldquohellipconquistoacute la Galiardquo Esta uacuteltima expresioacuten es ldquoinsaturadardquo y cuando se
rellena con un argumento produce una expresioacuten con sentido completo que es su ldquovalorrdquo
Pero la oracioacuten anterior tambieacuten puede descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y ldquoLa Galiardquo por un
lado y la expresioacuten funcional de dos argumentos ldquohellipconquistoacutehelliprdquo Hay pues expresiones
funcionales que se completan o se saturan por ldquoun solo argumentordquo ldquopropiedadesrdquo y por
ldquomaacutes de un argumentordquo ldquorelacionesrdquo cuya estructura gramatical oculta esta importante
diferencia esencial para dar cuenta de algunas inferencias Frege aplicoacute este anaacutelisis tanto a
las conectivas proposicionales como a las expresiones de generalidad Por ejemplo
consideacuterese la proposicioacuten ldquoTodos los hombres son mortalesrdquo Frege no la contempla como un
compuesto de una expresioacuten de sujeto ldquoTodos los hombresrdquo y otra de predicado ldquoson
mortalesrdquo sino como una ldquoexpresioacuten funcional compleja de un lugarrdquo Si x es hombre (Hx)
entonces x es mortal (Mx) que ldquosaturardquo el cuantificador universal una ldquofuncioacuten de segundo
nivelrdquo que se representariacutea ahora como _x(Hx_Mx) Del mismo modo ldquoAlgunos fiacutesicos son
cuaacutenticosrdquo se analiza como la expresioacuten funcional compleja de un lugar ldquoNo es cierto que si x
es fiacutesico (Fx) entonces x es cuaacutentico (x)rdquo que satura maacutes una funcioacuten de segundo nivel esto es
x_(Fx_Cx) o lo que es lo mismo _x(Fx_Cx) Una vez liberado de la ldquotiraniacutea que el lenguaje
comuacuten ejerce sobre el pensamiento humanordquo Frege incrementoacute exponencialmente el ldquopoder
expresivordquo de la loacutegica y fue capaz de formalizar de manera sistemaacutetica las proposiciones
esenciales en matemaacutetica que incluyen cuantificacioacuten muacuteltiple
El proyecto de reducir la matemaacutetica a la loacutegica el logicismo presentaba dificultades
instrumentales formidables Por una parte el lenguaje de la silogiacutestica aristoteacutelica teniacutea
ldquolimitacionesrdquo aparentemente insalvables Por otra seguacuten Frege el lenguaje comuacuten no ofreciacutea
garantiacuteas de seguridad para su tarea las ambiguumledades equiacutevocos y vaguedades que lo
aquejaban ldquoenmascarabanrdquo el ldquocontenido conceptualrdquo es decir el soporte de las inferencias
de las oraciones Para eacutel la ldquoConceptografiacuteardquo es un instrumento semejante al microscopio
que permite desnudar las expresiones linguumliacutesticas dejando a la vista los ldquocontenidos
conceptualesrdquo Para explicar ese enmascaramiento usoacute un arma que resultoacute ser muy
fructiacutefera se trata de la idea de que no debe darse por supuesto que las distinciones
gramaticales son siempre pertinentes desde el punto de vista loacutegico Asiacute en vez de analizar las
92
proposiciones como compuestas de sujeto y predicado al modo de los gramaacuteticos o de los
loacutegicos aristoteacutelicos propuso descomponerlas en ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo
Sin embargo los fundamentos semaacutenticos de la ldquoConceptografiacuteardquo estaban aquejados de casi
los mismos defectos que Frege imputaba a los matemaacuteticos de su eacutepoca confusioacuten
conceptual Argumentos y funciones son considerados por Frege como expresiones
linguumliacutesticas y los valores de eacutestas se identificaban unas veces con oraciones y otras con su
contenido conceptual En ldquoFuncioacuten y Conceptordquo intentoacute atajar ese desorden separando
niacutetidamente los ldquosignosrdquo esto es las ldquoexpresiones de argumentosrdquo y las ldquoexpresiones
funcionalesrdquo y lo que esos signos ldquosignificanrdquo objetos y funciones A su vez el valor de la
funcioacuten ldquox conquistoacute la Galiardquo es tambieacuten un objeto si bien un ldquoobjeto loacutegicordquo lo Verdadero
para el argumento Julio Ceacutesar y lo Falso para el argumento Caliacutegula Un concepto pasa a ser
una funcioacuten cuyo valor es siempre un valor de verdad por ejemplo la funcioacuten ldquox conquistoacute la
Galiardquo es un concepto pero no lo es la funcioacuten ldquola capital de xrdquo y las oraciones se consideran
como ldquonombres propiosrdquo de objetos loacutegicos valores de verdad A su vez las ldquoconectivas
loacutegicasrdquo son tambieacuten funciones que ponen en correspondencia valores de verdad con valores
de verdad verbigracia la negacioacuten pone en correspondencia un valor de verdad con su
contrario Los ldquocuantificadoresrdquo son de nuevo funciones de segundo nivel que ponen en
correspondencia conceptos simples o complejos con valores de verdad asiacute ldquoTodo es
materialrdquo (_xMx) pone en correspondencia Mx con lo Verdadero si y soacutelo si Mx nombra lo
Verdadero para todo argumento y con lo Falso si eacuteste no es el caso
Frege en el campo de la loacutegica propiamente dicha generalizoacute el uso de variables
cuantificadores y funciones proposicionales y al proporcionar una fundamentacioacuten axiomaacutetica
de la loacutegica introdujo muchas distinciones que posteriormente adquirieron mucha
importancia Por ejemplo La distincioacuten entre el enunciado de una proposicioacuten y la afirmacioacuten
de que es verdadera La distincioacuten entre un objeto x y el conjunto que contiene al elemento x
solamente y entre la pertenencia a un conjunto y la inclusioacuten Ademaacutes utilizoacute variables y
funciones proposicionales indicando la cuantificacioacuten de sus funciones proposicionales es
decir el dominio de la variable o variables para la que son verdaderas Tambieacuten introdujo en
1879 el concepto de implicacioacuten material A implica B significa que o bien A es verdadera y B
es verdadera o A es falsa y B verdadera o A es falsa y B es falsa Esta interpretacioacuten de la
implicacioacuten es la conveniente para la loacutegica matemaacutetica El punto deacutebil del trabajo de Frege lo
puso en evidencia Russell cuando le sentildealoacute las paradojas de la teoriacutea de conjuntos en los que
se basaba su trabajo
93
Pero Frege fue mucho maacutes allaacute En efecto todos los que habiacutean contribuido a construir la
loacutegica simboacutelica hasta ese momento George Boole (1815-1864) Augusto De Morgan (1806-
1877) Charles Sanders Pierce (1839-1914) Ernst Schroeder (1841-1902) William Hamilton
(1788-1856) William Stanley Jevons (1835-1932) etc estaban interesados principalmente en
la matematizacioacuten de la loacutegica Con la aparicioacuten de Gottlob Frege (1848-1925) la loacutegica
matemaacutetica da un giro copeacuternicano y lo que se pretende es la ldquologizacioacutenrdquo de la matemaacutetica
o mejor auacuten la fundamentacioacuten de la aritmeacutetica y por extensioacuten toda la matemaacutetica en la
loacutegica Frege en 1879 publicoacute su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo (Frege 1879) un libro breve pero
enormenmente innovador donde introduce un lenguaje formal y un caacutelculo loacutegico Consciente
de que todos los conectores loacutegicos andor rArr hellip son expresables a partir del condicional y la
negacioacuten y de que la cuantificacioacuten existencial puede expresarse mediante negaciones y
cuantificacioacuten universal opta por un lenguaje generado por negacioacuten condicional y
cuantificacioacuten universal Frege ostenta la prioridad frente a la escuela algebrista de la
predicacioacuten muacuteltiple y de la cuantificacioacuten Incluso permite la cuantificacioacuten de propiedades y
relaciones de modo y manera que presenta lo que actualmente se denomina la loacutegica de
segundo orden Una desventaja de su lenguaje formal estriba en que es bidimensional la
notacioacuten elegida para representar el condicional exige escribir de izquierda a derecha y de
arriba abajo de forma que una foacutermula puede ocupar faacutecilmente toda una paacutegina La otra
gran novedad de la aportacioacuten de Frege es que no se limita a presentar un lenguaje en el que
representar premisas y conclusiones de razonamientos sino que ademaacutes formula
expliacutecitamente un caacutelculo es decir un sistema de axiomas y reglas de inferencia mediante el
cual el proceso que conduce de las premisas a la conclusioacuten se descompone en una serie de
pasos elementales de cuya legitimidad no se puede dudar Y aunque Frege no pudo
demostrarlo actualmente se sabe que este caacutelculo es completo en lo que respecta a la loacutegica
proposicional y a la loacutegica de primer orden esto es no es necesario antildeadir ninguna nueva
regla ni ninguacuten axioma nuevo para dar cuenta de todos los argumentos vaacutelidos que se pueden
representar en esos lenguajes
Como ya se ha dicho Frege hizo una analogiacutea entre su lenguaje formal y el microscopio
afirmando que ambos deben usarse uacutenicamente para el anaacutelisis de minuacutesculos detalles que
pasan desapercibidos a simple vista Y del mismo modo que el microscopio no sustituye al ojo
sino que lo complementa el lenguaje loacutegico formal no sustituye ni elimina el lenguaje en el
que habitualmente se formulan los razonamientos La necesidad de un anaacutelisis fino es para
Frege especialmente acuciante en lo que respecta al lenguaje matemaacutetico La obra de Frege
se enmarca en la problemaacutetica de la fundamentacioacuten de la matemaacutetica y a este asunto dedicoacute
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dos libros y otros trabajos Los libros son ldquoLos Fundamentos de la Aritmeacuteticardquo (Frege 1884) y
ldquoLas Leyes Fundamentales de la Aritmeacuteticardquo en dos voluacutemenes (Frege 1893) (Frege 1903) El
paso siguiente se centra en la definicioacuten de un nuacutemero cardinal que plasma en su trabajo de
1884 titulado ldquoFundamentos de la Aritmeacutetica un Ensayo Loacutegico-Matemaacutetico del Concepto de
Nuacutemerordquo Y por uacuteltimo coronando su labor los dos voluacutemenes de 1893 y 1903 de ldquoLas Leyes
Fiacutesicas de la Aritmeacuteticardquo Y en medio y al final ensayos de precisioacuten como ldquoFuncioacuten y
Conceptordquo ldquoSobre Sentido y Referenciardquo ldquoSobre Concepto y Objetordquo ldquoiquestQueacute es una funcioacutenrdquo
ldquoSobre la Loacutegica Matemaacuteticardquo ldquoInvestigaciones Loacutegicasrdquo en varias entregas Ensayos que
suelen reunirse bajo la etiqueta de ldquoescritos filosoacuteficos o loacutegico-semaacutenticosrdquo (Frege 1974) Es
ahora donde desarrolla sus maacutes importantes y famosas ideas loacutegico-filosoacuteficas y semaacutenticas
(Frege 1892) Frege es un logicista y como tal pretende reducir la matemaacutetica a la loacutegica De
hecho el proceso de fundamentacioacuten de la matemaacutetica ya estaba bastante avanzado La
geometriacutea se reduciacutea al anaacutelisis y eacuteste tras las sucesivas construcciones de los nuacutemeros
complejos a partir de los reales eacutestos de los racionales que a su vez se obteniacutean de los
enteros los cuales finalmente procediacutean de los naturales por su parte se reduciacutea a la
aritmeacutetica Finalmente quedaba pendiente a partir de que Richard Dedekind y Giuseppe
Peano habiacutean aislado los principios que axiomatizaban la aritmeacutetica la justificacioacuten de esos
principios a partir de leyes loacutegicas Para ello necesitaban el lenguaje y el caacutelculo presentados
en la ldquoConceptografiacuteardquo
Admitiendo a partir de 1872 que todos los conceptos de la matemaacutetica pueden reducirse a
los de la aritmeacutetica y los de eacutesta a los nuacutemeros naturales Frege adoptoacute sobre siacute la tarea de
derivar estos uacuteltimos por medios estrictamente loacutegicos Con ello lograriacutea establecer que toda
la matemaacutetica es reducible a la loacutegica Para lo cual se propone dos objetivos
1) Precisar que entiende por loacutegica y enumerar los conceptos loacutegicos con los que definir los
auteacutenticos
2) Demostrar que los teoremas aritmeacuteticos son derivables de los principios loacutegicos
mediante el uacutenico proceso vaacutelido la deduccioacuten Esto obliga a especificar cuaacuteles son los
primeros principios loacutegicos y cuaacuteles son las reglas de inferencia
A la vista de estos objetivos Frege daraacute un primer paso construir una loacutegica que le sea vaacutelida
para su propoacutesito una loacutegica del pensamiento puro alejada de la influencia de la gramaacutetica y
del lenguaje habitual Este primer paso es el que se contiene en su obra ldquoConceptografiacutea un
lenguaje de Foacutermulas para el Pensamiento Puro Modelado en el Lenguaje de la Aritmeacuteticardquo Es
eacuteste el primer tratado sistemaacutetico de la loacutegica matemaacutetica No es ni pretende ser un mero
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simbolismo del lenguaje ordinario o un caacutelculo sino como dice su tiacutetulo una conceptografiacutea
que permite la traduccioacuten a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos
simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especiacuteficas Es un simbolismo apto
para expresar el pensamiento puro Sentildeala Frege en el prefacio de su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo
que existen dos tipos de juicios los analiacuteticos y los sinteacuteticos Hasta aquiacute ldquoInmanuel Kant dixitrdquo
Pero Frege estima frente a Kant que los aritmeacuteticos son juicios analiacuteticos entendiendo por
tales los que pueden derivarse en forma estrictamente loacutegica de las definiciones No se tiene
en cuenta aquiacute el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad Explica a continuacioacuten que
la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesioacuten al de
consecuencia loacutegica para proceder a partir de ahiacute al concepto de nuacutemero Para realizar esta
tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado y no soacutelo para esta labor Por eso una
actividad importante es la de liberar el espiacuteritu humano de los errores que en cuanto al
concepto presenta el lenguaje ordinario En particular debe eliminarse la confusa
terminologiacutea entre ldquosujetordquo y ldquopredicadordquo en beneficio de ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo Y esto es
transcendental para esta tesis
Para conseguir sus fines dedicoacute su atencioacuten y esfuerzo a construir un lenguaje de foacutermulas a
semejanza del aritmeacutetico pero que permitiera un anaacutelisis loacutegico del razonamiento
matemaacutetico del pensamiento puro Maacutes auacuten aplicado en particular en su obra a la aritmeacutetica
es posible generalizarlo tanto a la geometriacutea como a la fiacutesica y en general a cualquier ciencia
La ldquoConceptografiacuteahelliprdquo debe permitir pues por un lado el que sea un caacutelculo loacutegico al estilo
del ldquoCaacutelculo Ratiotinadorrdquo maacutes auacuten una ldquoLingua Characteristicardquo preconizada por Leibniz
pero tambieacuten que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que el signo es
inseparable pero consecuente al contenido que representa Para Frege y esto hay que
subrayarlo lo primero es el concepto lo segundo el signo con el cual se representa ese
concepto Para Frege el hombre no crea los conceptos los aprende el hombre no crea
sistemas matemaacuteticos sino que eacutestos preexisten conceptualmente al mismo Es decir los
contenidos conceptuales puros son independientes a que el hombre los perciba imagine o
piense En loacutegica y matemaacuteticas lo que importa es el pensamiento puro no la geacutenesis del
mismo
Para la presentacioacuten de su sistema Frege eligioacute tal y como se muestra en la figura III3 un
total de nueve axiomas que junto a las cuatro reglas implican que dicho sistema de axiomas
es completo en el sentido de completud de sistemas formales posterior para la loacutegica de
predicados La eleccioacuten estaacute presidida por el uso de cada una de las cuatro primitivas loacutegicas
96
Figura III3 Sistema de Frege
Como se ve en la figura III3 en el apartado (α) se dan los axiomas que Frege establece con
su numeracioacuten a la derecha simbolizados en notacioacuten no fregeana a la izquierda Junto a las
reglas de separacioacuten o ldquoModus Ponensrdquo y la sustitucioacuten estos axiomas constituyen un sistema
completo para el caacutelculo proposicional En (β) se dan los axiomas de identidad y en (γ) el de
cuantificacioacuten
Frege para poder establecer la nueva constante loacutegica de generalidad la cuantificacioacuten pasa
a elaborar lo que considera uno de los hallazgos fundamentales el de funcioacuten concepto que
adopta del quehacer matemaacutetico asiacute como la notacioacuten empleada pero que estima de un
caraacutecter maacutes general Frege no analiza una proposicioacuten en teacuterminos de sujeto y predicado
sino en argumento y funcioacuten Sea verbigracia una expresioacuten como ldquoPepe come hierbardquo Si en
lugar de ldquoPeperdquo se pone ldquoPacordquo la expresioacuten seguiraacute siendo vaacutelida Se puede pues
97
reemplazar el teacutermino ldquoPeperdquo por otros teacuterminos o con generalidad por un lugar vaciacuteo ldquo( )
como hierbardquo y ello de tal manera que al cubrir ese espacio vaciacuteo por un teacutermino conveniente
se tenga la expresioacuten completa que podraacute o no ser judicable Y lo seraacute cuando el teacutermino sea
conveniente en cuyo caso dicho teacutermino poseeraacute la propiedad de comer hierba Todos
aquellos teacuterminos que permitan cubrir el espacio vaciacuteo constituiraacuten ldquoargumentosrdquo mientras
que la propiedad que los mismos poseen la de ldquocomer hierbardquo constituye la ldquofuncioacutenrdquo para
tales argumentos Si ahora se toma la expresioacuten ldquoPepe ama a Mariacuteardquo en lugar de ldquoPeperdquo y
ldquoMariacuteardquo pueden colocarse otros teacuterminos por argumentos por lo que la expresioacuten general
tendriacutea dos espacios vaciacuteos ldquo( ) ama a ( )rdquo y la funcioacuten ldquoama ardquo seraacute una funcioacuten de dos
argumentos como ldquo( ) es menor que ( )rdquo El proceso puede continuar generalizaacutendose para
obtener funciones pluriargumentales Los espacios vaciacuteos se representan por letras entre
pareacutentesis como indeterminadas mientras que la propia funcioacuten por la letra ϕ Por ejemplo
ϕ(A) para la funcioacuten de un argumento y ϕ(AB) para la de dos Si al reemplazar
ldquoconvenientementerdquo la(s) letra(s) entre pareacutentesis resulta que el contenido obtenido es capaz
de convertirse en un juicio o asercioacuten entonces es que el argumento satisface la funcioacuten esto
es posee la propiedad determinada por la misma Asiacute ldquo⊢ϕ(AB)rdquo puede leerse como ldquoB estaacute
en la relacioacuten ϕ con Ardquo Si en una funcioacuten de dos argumentos se intercambian entre siacute puede
no tenerse una asercioacuten y de tenerse puede no coincidir con el original
Figura III4 Primeras siete foacutermulas demostradas por Frege en su Conceptografiacutea
98
Frege consideroacute tal y como se muestra en la figura III4 cuatro reglas la expliacutecita del ldquomodus
ponensrdquo y la impliacutecita de ldquosustitucioacutenrdquo simultaacutenea de variables proposicionales Y otras dos
para el caacutelculo de predicados La tercera es el paso de la expresioacuten de la generalidad sin
cuantificar a la expresioacuten en cuantificador es la que hoy se denomina ldquoregla de
generalizacioacutenrdquo La cuarta regla la enuncioacute Frege como sigue ldquoEs claro tambieacuten que del
esquema de la figura III5 puede derivarse el esquema de la figura III6
Figura III5 Esquema inicial de la cuarta regla de Frege
Figura III6 Esquema final de la cuarta regla de Frege
Si A es una expresioacuten en la que no ocurre y si A ocupa uacutenicamente posiciones en los lugares
de argumento ϕrdquo Salvo el ldquomodus ponensrdquo las otras tres reglas no estaacuten establecidas como
modos de inferencia pero las mismas se justifican por medio exclusivo en cuanto al uso
simboacutelico Estas reglas unidas a los seis axiomas tres es decir el (1) (2) y (8) para la
condicionalidad a los que hay que antildeadir la negacioacuten (28) y los que regulan ambos
conectivos dados por (31) y (41) regulan el caacutelculo proposicional Si a eacutestas se antildeaden dos
leyes maacutes para la identidad de contenido (52) y (54) siendo esta uacuteltima la ley reflexiva de
identidad mientras que la anterior expresa la ley de sustitucioacuten de la identidad Es una
expresioacuten que manifiesta el caraacutecter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se
pueden reemplazar dos variables de individuo entre siacute en cualquier contexto sin variar el valor
veritativo de las expresiones en que se intercambian Es decir todo lo que se predique de un
siacutembolo de un argumento tiene que predicarse del siacutembolo del argumento al que sea
ideacutentico Por uacuteltimo Frege agregoacute una foacutermula para regular la cuantificacioacuten que constituye su
foacutermula (58) De esta forma se permite excindir su sistema de varias capas que van
superponieacutendose caacutelculo implicacional y afirmativo caacutelculo proposicional caacutelculo de
predicados y loacutegica de primer orden Este sistema es completo pero como lo demostroacute
Lukasiewiz en 1930 la tercera ley de condicionalidad es consecuencia de las dos primeras Por
tanto el sistema proposicional puede reducirse a soacutelo tres axiomas siendo los dos primeros
99
los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma ⊢(ararrb)rarr(-brarr-a) escrito claro estaacute
en notacioacuten moderna
III333 Los Programas como Funciones
Los programas e incluso las partes de los programas son funciones que transforman las
entradas en salidas de modo que cualquier programa puede considerarse como una funcioacuten
definida por el procedimiento que la ejecuta Por lo tanto los programas son funciones que
afectan al estado del sistema Y esto se produce por la sencilla razoacuten de que las sentencias
ejecutables operan sobre las variables y de esta manera cambian el estado En general toda
sentencia ejecutable cambia el estado inicial de la sentencia esto es el estado anterior a su
ejecucioacuten hasta otro estado el siguiente Cuando este siguiente estado es el mismo que el
anterior la sentencia no tiene efecto y es redundante Naturalmente los ldquosegmentos de
coacutedigordquo de un programa o sea cualquier sentencia o grupo de sentencias que afecten al
estado expresan ldquofunciones parcialesrdquo en el sentido de que para cada estado inicial existe
como maacuteximo un estado final No todos los estados iniciales pueden ser manipulados por
todos los segmentos de coacutedigo Por ejemplo la sentencia 1x no puede tratarse si x=0 Sin
embargo si el estado inicial puede ser tratado por el segmento de coacutedigo y si el segmento de
coacutedigo no tropieza con un bucle infinito entonces el estado inicial es determinista Si hay dos
segmentos de coacutedigo A y B que se ejecuten en sucesioacuten el resultado se denomina
ldquoconcatenacioacutenrdquo de A y B En realidad la ldquoconcatenacioacutenrdquo es una composicioacuten de funciones
En efecto sea x el estado inicial de la concatenacioacuten AB esto es el estado antes de ejecutar
A Por definicioacuten el estado despueacutes de haber ejecutado A es A(x) y eacuteste es el estado antes de
ejecutar B Dado que B(y) es el estado final de B dado el estado final y y puesto que es y =
A(x) esto significa que el estado final AB es B(A(x)) De este modo AB = BA
Cuando una funcioacuten f(x) se utiliza estrictamente para definir la imagen correspondiente al
argumento x que es un solo valor se usa la notacioacuten del ldquoλ-caacutelculordquo o ldquocaacutelculo lambdardquo
Teacutecnicamente pues las funciones expresadas en ldquoλ-caacutelculordquo soacutelo pueden tener un argumento
Por consiguiente para traducir una funcioacuten de varias variables o argumentos al ldquoλ-caacutelculordquo se
crean funciones en las cuales el rango consta de funciones Por ejemplo consideacuterese la
expresioacuten x2+y Para cada y dada se puede utilizar esta expresioacuten para encontrar una funcioacuten
para x o sea λx (x2+y) Por consiguiente se puede considerar la nueva funcioacuten i =
U( reg ( + ))Z que tiene un uacutenico argumento y y la imagen para una y dada es
reg ( + ) Asiacute cuando aparecen funciones de dos argumentos del tipo i ( times ) ^ ] se
100
modelan en el ldquoλ-caacutelculordquo como una funcioacuten de X1 en el rango X2rarrY es decir tales funciones
tienen el tipo
i V ^ (V ^ ])
Esta transformacioacuten puede faacutecilmente extenderse a funciones de n argumentos Con lo que
definitivamente se estaacute tratando con funcionales o funciones de funciones de funciones y asiacute
sucesivamente
III4LOacuteGICA COMBINATORIA
La loacutegica combinatoria fue originalmente propuesta como una ldquopreloacutegicardquo que deberiacutea clarificar
el papel de las variables cuantificadas en loacutegica esencialmente por eliminarlas Otra forma de
eliminar las variables cuantificadas es la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo de Quine (Quine
1960) En tanto que el poder expresivo de la loacutegica combinatoria tiacutepicamente excede al de la
loacutegica de primer orden el poder expresivo de la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo es ideacutentico al
de la loacutegica de predicados La ldquoloacutegica combinatoriardquo trata pues de eliminar la necesidad de
variables en loacutegica matemaacutetica Maacutes recientemente se ha utilizado en CS como un modelo
teoacuterico de computacioacuten y sobre todo como la base para el disentildeo de lenguajes de
programacioacuten funcional Estaacute basada en ldquocombinadoresrdquo Un combinador es un funcioacuten de alto
orden o grado que por definir un resultado a partir de sus argumentos uacutenicamente usa la
aplicacioacuten de funciones y combinadores definidos previamente
En CS la loacutegica combinatoria se usa como un modelo simplificado de computacioacuten utilizado en
teoriacutea de la computabilidad y teoriacutea de prueba A pesar de su simplicidad la loacutegica combinatoria
captura muchas caracteriacutesticas esenciales de la computacioacuten La ldquoloacutegica combinatoriardquo puede
verse como una variante del ldquolambda caacutelculordquo en el cual las expresiones lambda representando
abstracciones funcionales se reemplazan por un conjunto limitado de ldquocombinadoresrdquo
funciones primitivas de las cuales estaacuten ausentes las variables libres Es faacutecil transformar
expresiones en expresiones de combinadores y la reduccioacuten de un combinador es mucho maacutes
simple que la reduccioacuten lambda Por consiguiente se ha usado la ldquoloacutegica combinatoriardquo para
modelizar algunos lenguajes de programacioacuten funcional y hardware La forma maacutes pura de esta
visioacuten es el lenguaje de programacioacuten de intereacutes teoacuterico ldquoUnlambdardquo cuyas uacutenicas primitivas son
los combinadores S y K aumentado con caracteres de entradasalida
101
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo
La loacutegica combinatoria es un modelo de computacioacuten equivalente al caacutelculo lambda (Church
1936) pero sin la abstraccioacuten La ventaja de esto es que evaluar expresiones en el caacutelculo
lambda es bastante complicado debido a que debe especificarse la semaacutentica de la
sustitucioacuten con mucho cuidado para evitar problemas de captura de variables Por el
contrario la evaluacioacuten de expresiones en la loacutegica combinatoria es mucho maacutes sencilla pues
no existe la nocioacuten de sustitucioacuten sin perder la potencia computacional del lambda-caacutelculo
Como se sabe el lambda caacutelculo es computacionalmente equivalente en poder a muchos
modelos posibles de computacioacuten incluida la maacutequina de Turing o las funciones recursivas
Es decir cualquier caacutelculo que pueda realizarse en cualquiera de esos otros modelos puede
expresarse en el caacutelculo lambda y viceversa Como de acuerdo con la tesis Church-Turing
(Copeland 1996) el caacutelculo lambda puede expresar cualquier posible computacioacuten la loacutegica
combinatoria tambieacuten Y si es tal vez sorprendente este hecho de que el lambda caacutelculo
pueda representar cualquier combinacioacuten posible usando soacutelo las nociones simples de
funcioacuten de abstraccioacuten y aplicacioacuten basaacutendose en la sencilla sustitucioacuten textual de teacuterminos
por variables maacutes notable resulta auacuten que incluso no es necesaria la abstraccioacuten como se ve
en la loacutegica combinatoria
En efecto el caacutelculo lambda estaacute concernido con objetos denominados ldquoteacuterminos lambdardquo
que son cadenas de siacutembolos de uno de los tipos siguientes
a) v
b) λvE1
c) (E1 E2)
Siendo V es un nombre de variable derivado a partir de un conjunto infinito predefinido de
nombres de variables y E1 y E2 son ldquoteacuterminos lambdardquo Finalmente los teacuterminos de la forma
(b) o sea λvE1 se denominan ldquoabstraccionesrdquo La variable v se llama paraacutemetro formal de la
abstraccioacuten y E1 el ldquocuerpordquo de dicha abstraccioacuten El teacutermino λvE1 representa la funcioacuten que
aplicada a un argumento liga el paraacutemetro formal v al argumento y luego computa el valor
resultante de E1 esto es retorna E1 con cada toda ocurrencia de v reemplazada por el
argumento Los teacuterminos de la forma (c) o sea (E1 E2) se denominan ldquoaplicacionesrdquo que
modelan la llamada invocacioacuten o ejecucioacuten a la funcioacuten la funcioacuten representada por E1 es
invocada con E2 como su argumento y el resultado es computado Si E1 a veces llamado el
ldquoaplicandordquo es una abstraccioacuten el teacutermino puede ldquoreducirserdquo es decir el argumento puede
sustituirse en el cuerpo de E1 en lugar del paraacutemetro formal de E1 y el resultado es un nuevo
102
teacutermino lambda que es ldquoequivalenterdquo a la vieja Si un teacutermino lambda no contiene
subteacuterminos de la forma (λvE1E2) que no puede reducirse se dice que estaacute en forma normal
La expresioacuten Ev ≔ a representa el resultado de tomar el teacutermino E y reemplazar todas las
ocurrencias libres de v con a Asiacute se escribe (λv Ea) rArr Ev ≔ a Por convencioacuten se toma
(abcdhellipz) por ((((ab)c)d)hellipz) es decir una aplicacioacuten asociativa por la izquierda El motivo de
esta definicioacuten de ldquoreduccioacutenrdquo es que captura el comportamiento esencial de todas las
funciones matemaacuteticas Por ejemplo consideacuterese la funcioacuten que computa el cuadrado de un
nuacutemero Se puede escribir El cuadrado de 3 es 33 usando ldquordquo para indicar la multiplicacioacuten
y siendo x el paraacutemetro formal de la funcioacuten para evaluar el cuadrado para un argumento
particular en este caso 3 se lo inserta en la funcioacuten en lugar del paraacutemetro formal de modo
que queda el cuadrado de 3 es 33 Para evaluar la expresioacuten resultante 33 hay que
recurrir al conocimiento que se tiene de la multiplicacioacuten y del nuacutemero 3 Ya que cualquier
computacioacuten es simplemente una composicioacuten de la evaluacioacuten de funciones deseables sobre
argumentos primitivos deseables Este sencillo principio de sustitucioacuten basta para capturar el
mecanismo esencial de la computacioacuten Maacutes auacuten en el caacutelculo lambda nociones tales como
ldquo3rdquo y ldquordquo pueden representarse sin necesidad alguna de definir externamente operadores
primitivos o constantes Es posible identificar teacuterminos en el ldquolambda-caacutelculordquo que cuando
se interpretan adecuadamente se comportan como el nuacutemero 3 y como el operador
multiplicador
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO
Dado que la abstraccioacuten es la uacutenica manera de fabricar funciones en el ldquocaacutelculo lambdardquo
algo debe reemplazarlo en el caacutelculo combinatorio En lugar de la abstraccioacuten el caacutelculo
combinatorio proporciona un conjunto limitado de funciones primitivas a partir de las cuales
pueden construirse otras funciones Los elementos del caacutelculo combinatorio son
A) Teacuterminos combinatorios Un teacutermino combinatorio tiene una de las siguientes
formas
a)
b) T
c) (ltlt)
Donde x es una variable P una de las funciones primitivas y (EE) es la aplicacioacuten
de los teacuterminos combinatorios E1 y E2 Las funciones primitivas son ellas mismas
ldquocombinadoresrdquo o funciones que cuando se ven como teacuterminos lambda no
103
contienen variables libres Para acortar las notaciones una convencioacuten general es
que (E1E2E3hellipEn) o incluso E1E2E3hellipEn denota el teacutermino (hellip((E1E2)E3)hellipEn) Eacutesta es la
misma convencioacuten general que la aplicacioacuten muacuteltiple en el ldquolambda caacutelculordquo En
loacutegica combinatoria cada ldquocombinadorrdquo primitivo viene con una regla de reduccioacuten
de la forma (Px1hellipxn)=E donde E es un teacutermino mencionando soacutelo variables del
conjunto x1hellipxn Es justamente de esta manera como los ldquocombinadoresrdquo primitivos
se comportan como funciones
B) Combinadores I K y S
El ejemplo maacutes sencillo de ldquocombinadorrdquo es el ldquocombinadorrdquo identidad I definido
por (Ix) = x para todos los teacuterminos x Otro ldquocombinadorrdquo simple es K que fabrica
funciones constantes (Kx) es la funcioacuten que para cualquier argumento devuelve x
asiacute para ((Kx)y) = x para todos los teacuterminos x e y O siguiendo la convencioacuten de
aplicacioacuten muacuteltiple (Kxy) = x Un tercer combinador es S que es una versioacuten
generalizada de la aplicacioacuten (Sxyz) = (xz(yz)) S aplica x a y despueacutes de primero
sustituir z en cada uno de ellos En otros teacuterminos x se aplica a y dentro del entorno
z Ahora bien dados S y K el propio I es superfluo ya que puede construirse a partir
de ellos como sigue
((SKK)x)
=(SKKx)
=(Kx(Kx))
=x
para cualquier teacutermino x Noteacutese que aunque (SKK)x = (Ix) para cualquier x el propio
(SKK) no es igual a I Se dice que los teacuterminos son extensionalmente equivalentes La
igualdad extensional captura la nocioacuten matemaacutetica de la igualdad de funciones que
dice dos funciones son ldquoigualesrdquo si siempre producen los mismos resultados para los
mismos argumentos Por el contrario los propios teacuterminos junto con la reduccioacuten
de ldquocombinadoresrdquo primitivos captura la nocioacuten de ldquoigualdad intensionalrdquo de
funciones Aquiacute dos funciones son ldquoigualesrdquo soacutelo si tienen ideacutenticas
implementaciones respecto a la expansioacuten de ldquocombinadoresrdquo primitivos cuando
eacutestos se aplican a bastantes argumentos Hay muchas formas de implementar una
funcioacuten identidad (SKK) e I estaacuten entre ellas (SKS) es tambieacuten otra Se usaraacute la
palabra ldquoequivalenterdquo para indicar la igualdad extensional reservando ldquoigualrdquo para
104
teacuterminos combinatorios ideacutenticos Otro ldquocombinadorrdquo muy interesante es el Y o
ldquocombinadorrdquo de punto fijo que puede usarse para implementar la ldquorecursioacutenrdquo
C) Transformacioacuten T Conversioacuten de teacuterminos λambda en combinadores
Es ldquoprima facierdquo al menos sorpendente el hecho de que S y K puedan componerse
para producir ldquocombinadoresrdquo que son extensionalmente iguales a ldquocualquierrdquo
teacutermino lambda y por lo tanto por la tesis de Church-Turing a cualquier funcioacuten
computable Para probarlo se va a presentar una transformacioacuten T[ ] que convierte
un teacutermino lambda arbitrario en un ldquocombinadorrdquo equivalente T[ ] puede definirse
como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1] T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2])
Este proceso tambieacuten se conoce como ldquoeliminacioacuten de la abstraccioacutenrdquo Ahora hay
que convertir un teacutermino lambda en un teacutermino ldquocombinatoriordquo equivalente Por
ejemplo convertir el teacutermino lambda λxλy(yx) en un combinador
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]] (por 5)
= T[λx(ST[λyy]T[λyx])] (por 6)
= T[λx(SIT[λyx])] (por 4)
= T[λx(SI(Kx))] (por 3 y 1)
= (ST[λx(SI)]T[λx(Kx)]) (por 6)
= (S(K(SI))T[λx(Kx)]) (por3)
= (S(K(SI))(ST[λxK]T[λxx])) (por 6)
= (S(K(SI))(S(KK)T[λxx])) (por 3)
= (S(K(SI))(S(KK)I)) (por 4)
Si se aplica este ldquocombinadorrdquo a cualquiera dos teacuterminos x e y se reduce como
sigue
(S(K(SI))(S(KK)I)xy)
= (K(SI)x(S(KK)Ix)y)
= (SI(S(KK)Ix)y)
= (Iy(S(KK)Ixy))
= (y(S(KK)Ixy))
105
= (y(KKx(Ix)y))
= (y(K(Ix)y))
= (y(Ix))
= (yx)
La representacioacuten combinatoria (S(K(SI))(S(KK)I)) es mucho maacutes larga que la
representacioacuten en un teacutermino lambda λx λy(yx) Esto es normal En general la
construccioacuten T[ ] puede expandir un teacutermino lambda de tamantildeo n en un teacutermino
combinatorio de tamantildeo θ (3n) Sin embargo la transformacioacuten T[ ] viene motivada
por el deseo de eliminar la abstraccioacuten Dos casos especiales las reglas 3 y 4 son
triviales λxx es claramente equivalente a I y λxE es claramente equivalente a
(KT[E]) Si x no aparece libre en E Las dos primeras reglas tambieacuten son simples
Variables convertidas en ellas mismas y aplicaciones que estaacuten permitidas en
teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo se convierten en ldquocombinadoresrdquo simplemente por
convertir el aplicando y el argumento en ldquocombinadoresrdquo Son las reglas 5 y 6 las
interesantes La 5 dice simplemente que para convertir una abstraccioacuten compleja en
un combinador primero se debe convertir su cuerpo en un ldquocombinadorrdquo y luego
eliminar la abstraccioacuten La regla 6 realmente elimina la abstraccioacuten
λx(E1E2) es una funcioacuten que toma un argumento tal como a y lo sustituye en un
teacutermino lambda (E1E2) en lugar de x produciendo (E1E2)[x=a] Pero sustituir a en
(E1E2) en lugar de x es justo lo mismo que sustituirla en ambos E1 y E2 asiacute
(E1E2)[x=a] = (E1[x=a] E2[x=a])
(λx(E1E2)a) = ((λxE1a)( λxE2a))
= (S λxE1 λxE2a)
= ((S λxE1 λxE2)a)
Por la igualdad extensional
λx(E1E2) = (S λxE1 λxE2)
Por lo tanto para encontrar un combinador equivalente a λx(E1E2) es suficiente
encontrar un combinador equivalente a (S λxE1 λxE2) y
(S T[λxE1] T [λxE2])
106
evidentemente cumple las condiciones E1 y E2 cada una contienen estrictamente
menos aplicaciones que (E1E2) asiacute la recursioacuten debe terminar en un teacutermino lambda
sin ninguna aplicacioacuten en absoluto o una variable o un teacutermino de la forma λxE
D) Simplificaciones de la Transformacioacuten
Los combinadores generados por la transformacioacuten T[ ] pueden hacerse menores si
se toma en cuenta la regla de ldquoreduccioacuten-ηrdquo
T[λx(Ex)]=T[E] (si x no estaacute libre en E)
λx(Ex) es la funcioacuten que toma un argumento x y aplica la funcioacuten E a ella esto es
extensionalmente igual a la propia funcioacuten E Es por lo tanto suficiente para
convertir E a forma combinatoria Teniendo en cuenta esta simplificacioacuten el ejemplo
anterior se convierte en
T[λx λy(yx)]
= hellip
= (S(K(SI)) T[λx(Kx)])
= (S(K(SI)) K) (por ldquoreduccioacuten- ηrdquo)
Este combinador es equivalente al anterior maacutes largo
(S(K(SI)) Kxy)
= (K(SI) x(Kx)y)
= (SI(Kx)y)
= (I y(Kxy))
= (y(Kxy))
= (yx)
Similarmente la versioacuten original de la transfromacioacuten T[ ] transforma la funcioacuten
identidad λfλx(fx) en (S(S(KS)(S(KK)I))(KI)) Con la regla de ldquoreduccioacuten- ηrdquo λfλx(fx)
se transforma en I
107
Hay bases de un punto a partir de las cuales cada ldquocombinadorrdquo puede ser
compuesto extensionalmente igual a cualquier teacutermino lambda El ejemplo maacutes
simple de una tal base es X donde
X equiv λx((xS)K)
No es difiacutecil verificar que
X(X(XX)) = ηβK y X(X(X(XX))) = ηβS
Dado que K S es una base de ello se sigue que X tambieacuten es una base Otro ejemplo
simple de una base de un punto es
Xrsquoequiv λx(xKSK) con (Xrsquo Xrsquo )Xrsquo) = ηβK y Xrsquo(Xrsquo Xrsquo) = βS
Xrsquo no necesita η-contraccioacuten a fin de producir K y S X es una base de un punto en CL+ext
pero no en CL sin extensionalidad Xrsquo lo es en ambos
Adicionalmente a S y K el artiacuteculo de Schoumlnfinkel incluyoacute otros dos ldquocombinadoresrdquo que
ahora se denominan B y C con las reducciones siguientes
((Cabc) = (abc) y (Babc) = (a(bc)))
Y tambieacuten explicoacute coacutemo a su vez pueden expresarse usando soacutelo S y K Estos ldquocombinadoresrdquo
son extremadamente uacutetiles cuando se trasladan loacutegica de predicados o caacutelculo lambda en una
expresioacuten ldquocombinadorrdquo Ellos tambieacuten fueron usados por Curry y posteriormente por David
Turner cuyo nombre se ha asociado con su uso computacional Usaacutendolos se pueden
extender las reglas por la transformacioacuten como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1]T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (Si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E1 y E2)
108
7 T[λx(E1E2)] rArr(CT[λxE1]T[E2]) (Si x estaacute libre en E1 pero no en E2)
8 T[λx(E1E2)] rArr(BT[E1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E2 pero no en E1)
Usando los ldquocombinadoresrdquo B y C la transformacioacuten de λxλy(yx) queda como sigue
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]]
= T[λx(CT[λyy]x)] (por la regla 7)
= T[λx(CIx)]
= (CI) (η-reduccioacuten)
= C (notacioacuten canoacutenica tradicional x=XI)
= Irsquo (notacioacuten canoacutenica tradicional X`= CX)
Y verdaderamente (CIxy) se reduce a (yx)
(CIxy)
= (Iyx)
= (yx)
La motivacioacuten aquiacute es que B y C son versiones limitadas de S Mientras que S toma un valor y
lo sustituye tanto en el aplicando como en su argumento antes de ejecutar la aplicacioacuten C
efectuacutea la sustitucioacuten soacutelo en el aplicando y B soacutelo en el argumento
Los nombres modernos para los ldquocombinadoresrdquo proceden de la tesis doctoral de Curry
Schoumlnfinkel en su artiacuteculo original denominaba respectivamente S C I Z y T a lo que hoy se
denomina S K I B C
La conversioacuten L[ ] de teacuterminos combinatorios a teacuterminos lambda es trivial
L[I] = λxx
L[K] = λx λyx
L[C] = λx λy λz(xzy)
L[B] = λx λy λz(x(yz))
109
L[S] = λx λy λz(xz(yz))
L[(E1E2)] = (L[E1] L[E2])
Sin embargo hay que sentildealar que esta transformacioacuten no es la transformacioacuten inversa de
cualquiera de las versiones de T[ ] que se han visto
Finalmente indicar que una forma ldquonormalrdquo es cualquier teacutermino ldquocombinatoriordquo en el cual
los ldquocombinadoresrdquo primitivos que aparecen si alguno no se aplican a suficientes argumentos
como para ser simplificados Es indecidible saber si un teacutermino ldquocombinatoriordquo general tiene
una forma ldquonormalrdquo si dos teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo son equivalentes etc Esto es
equivalente a la indecibilidad del problema correspondiente para los teacuterminos lambda Hay
sin embargo una prueba directa de ello en primer lugar obseacutervese que el teacutermino Ω =
(SII(SII)) no tiene forma normal porque se reduce a siacute mismo despueacutes de tres pasos como
sigue
(SII(SII)) = (I(SII)(I(SII))) = (SII(I(SII))) = (SII(SII))
Y claramente ninguacuten otro orden de reduccioacuten puede hacer la expresioacuten maacutes corta Supoacutengase
ahora que N es un ldquocombinadorrdquo para detectar formas normales tal que
(Nx)rArrT si x tiene una forma normal y F en otro caso
Donde T y F representan verdadero y falso λx λyx y λx λyy transformados en loacutegica
combinatoria Las versiones combinatorias son T = K y F = (KI)
Sea ahora Z = (C(C(BN(SII)) Ω)I)
Consideacuterese a continuacioacuten el teacutermino (SIIZ) iquestTiene dicho teacutermino forma normal La tiene si
y soacutelo si tambieacuten la tiene
(SIIZ) = (IZ(IZ)) = (Z(IZ)) = (ZZ) = (C(C(BN(SII)) Ω)IZ) (definicioacuten de Z)
= (C(BN(SII) ΩZI)) = (BN(SII)Z ΩI) = (N(SIIZ) ΩI)
Ahora se necesita aplicar N a (SIIZ) que dice si tiene forma normal o no Si tiene forma normal
entonces se reduce como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (K ΩI) (definicioacuten de N) lo que significa que la
forma normal de (SIIZ) es simplemente Ω pero Ω no tiene una forma normal de modo que se
produce una contradiccioacuten Pero si (SIIZ) no tiene una forma normal lo anterior se reduce
110
como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (KI ΩI) (definicioacuten de N = (II) = I) lo que significa que la forma
normal de (SIIZ) es simplemente I otra contradiccioacuten Por lo tanto el hipoteacutetico ldquocombinadorrdquo
forma-normal N no puede existir (Wikipedia 2008)
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS
Para Couffignal (Couffignal 1969) una clasificacioacuten cuyas clases tienen definiciones que se
implican entre siacute constituye una teoriacutea Las teoriacuteas se establecen de una de las dos formas
siguientes
A) A partir de seres cuyas caracteriacutesticas han sido observadas e identificadas se construyen
clases cada vez maacutes ldquoabstractasrdquo o ldquogeneralesrdquo dentro de las cuales se dan cabida a
estos seres A estas teoriacuteas se las denomina como ya se ha dicho el el capiacutetulo II
ldquoempiacutericasrdquo y son parecidas a las clasificaciones de los naturalistas y tienen como
fundamento modelos mentales elementales constituidos por seres naturales es decir
no creados por el hombre Eacuteste es el esquema de modelizacioacuten cientiacutefico o ldquogalileanordquo
B) Partiendo de una definicioacuten abstracta de la clase se construyen subclases antildeadiendo a
la definicioacuten de esta clase propiedades arbitrariamente escogidas con la uacutenica condicioacuten
de que no existan contradicciones Estas teoriacuteas reciben el calificativo de axiomaacuteticas
Son parecidas a teoriacuteas matemaacuteticas o loacutegicas y tienen por fundamento modelos
mentales (ldquodialeacutecticosrdquo) de seres inventados por el hombre Eacuteste es el esquema de
modelizacioacuten loacutegico o ldquotarskianordquo
Los atributos que hay que antildeadir a la comprehensioacuten de una clase de seres para obtener la
comprehensioacuten de una subclase constituyen lo que se denomina ldquotecnologiacuteardquo de dicha
subclase en relacioacuten con la clases considerada Normalmente no se considera maacutes que una
sola clasificacioacuten y se define la tecnologiacutea de una subclase en relacioacuten con la clase maacutes
abstracta posible De esta forma el teacutermino tecnologiacutea se emplea en sentido absoluto
En la construccioacuten de una teoriacutea las propiedades ldquotecnoloacutegicasrdquo de un ser no se tienen en
cuenta al considerarlo como perteneciente a una clase determinada ya que dichas
propiedades no se deducen de la definicioacuten de la clase considerada En consecuencia se
puede afirmar que un razonamiento deductivo no puede descubrir las propiedades
ldquotecnoloacutegicasrdquo que han sido ignoradas en la elaboracioacuten de la teoriacutea Por ejemplo la teoriacutea
de la resistencia de materiales que sirven para el caacutelculo de la construccioacuten de un puente
supone que el terreno sobre el cual se va a apoyar el puente es perfectamente riacutegido e
111
infinitamente resistente dejando de lado las propiedades del terreno propias de su
naturaleza fiacutesico-quiacutemica Por lo tanto el caacutelculo de un puente concreto por meacutetodos de
resistencia de materiales no puede incluir estas propiedades y tenerlas en cuenta Por eso se
puede afirmar que las teoriacuteas deductivas que se encuentran en la casi totalidad de las
teoriacuteas cientiacuteficas representan muy imperfectamente los fenoacutemenos observados De aquiacute
que para salvaguardar el armazoacuten de razonamientos que constituye una teoriacutea sea
necesario o bien no tener en cuenta los conceptos que no sean explicables para la teoriacutea lo
que sucedioacute con el ldquoarrastre del eacuteter por la materiardquo o atribuyeacutendole a los seres sometidos
a observacioacuten propiedades que no poseen para permitir su inclusioacuten dentro de la teoriacutea
Esto sucedioacute con el ldquoeacuteterrdquo hasta que lo desterroacute Einstein Una teoriacutea es pues un ldquoedificiordquo o
construccioacuten mental establecida a partir de fenoacutemenos observados pero que no constituye
una imagen absolutamente fiel de dichos fenoacutemenos
Las diversas clases en las que se categorizan los seres naturales constituyen entes nuevos a
los que se les atribuye un siacutembolo En una teoriacutea axiomaacutetica las clases son resultado de
razonamientos deductivos y se les atribuye asimismo un siacutembolo Cuando se trata de
razonamientos cuyas hipoacutetesis son siacutembolos o modelos mentales de seres naturales es maacutes
coacutemodo preferir siacutembolos que hagan referencia a las hipoacutetesis De esta forma estos
siacutembolos evocan al usarlos ldquopatronesrdquo considerados iguales que los de los seres naturales
Estos patrones constituyen una ldquoreificacioacutenrdquo de la definicioacuten de los siacutembolos Por ejemplo
habiendo verificado que todos los gases en condiciones normales verifican de una forma
aproximada PV = RT en donde P V y T son respectivamente la presioacuten el volumen y la
temperatura del gas y R una constante universal se denomina ldquogas perfectordquo al ente fiacutesico
que verifica ldquoexactamenterdquo la ley PV = RT El teacutermino ldquogas perfectordquo evoca el ldquopatroacutenrdquo
corresponde al de un ser existente en la realidad y constituye una ldquoreificacioacutenrdquo de la
foacutermula PV = RT
Una ldquoreificacioacutenrdquo consiste entonces en antildeadir a un resultado teoacuterico una ldquotecnologiacuteardquo
inventada No obstante el ser de esta forma inventado puede no existir fiacutesicamente Por lo
tanto es necesario distinguir entre la ldquoexistencia fiacutesica o realrdquo que es la de un ser cuyos
atributos de definicioacuten son observables por los medios fiacutesicos conocidos y la existencia
ldquoficticiardquo que se puede atribuir a un ser cuyos atributos de definicioacuten no son contradictorios
con las leyes conocidas y aceptadas que se aplican a los seres naturales Asiacute pues una
ldquoreificacioacutenrdquo de una teoriacutea pasa de la existencia ficticia o mental a la existencia fiacutesica a traveacutes
de una ldquocomprobacioacuten experimentalrdquo Habitualmente las ciencias usan ldquoreificacionesrdquo que
112
soacutelo poseen existencia ficticia Tal sucede con los entes o conceptos definidos como
ldquocausasrdquo de los fenoacutemenos fiacutesicos Por ejemplo el calor causa de las variaciones de
temperatura las fuerzas causa de las variaciones de la velocidad la luz causa de los
fenoacutemenos oacutepticos etc una prueba de esto es que verbigracia en 1955 Denis Gabor
presentoacute una teoriacutea oacuteptica en la cual no interveniacutea para nada la ldquosustanciardquo comuacutenmente
llamada luz Estas ldquocausasrdquo consideradas por las ciencias naturales quedan definidas por
atributos comunes a un conjunto de seres de existencia fiacutesica capaces de actuar por
ejemplo en el caso del calor sobre un termoacutemetro Esta accioacuten se expresa diciendo que
salvo en caso de un cambio de estado una aportacioacuten de calor a un cuerpo implica una
elevacioacuten de su temperatura No obstante hay que tener en cuenta que
termodinaacutemicamente el paso del calor de un cuerpo a otro soacutelo es posible si existe una
diferencia de temperatura entre los dos Es maacutes se considera corrientemente el calor como
una energiacutea en traacutensito ldquodebidardquo al gradiente teacutermico En cualquier caso la implicacioacuten
aparece pues como la expresioacuten ldquodialeacutecticardquo de la relacioacuten entre causa y efecto
Olvidar que a efectos praxeoloacutegicos y de realizacioacuten praacutectica una teoriacutea por si sola es decir
sin la tecnologiacutea adecuada para una correcta reificacioacuten puede tener resultados indeseados
incluso dramaacuteticos En efecto una teoriacutea ofrece un conjunto o serie de modelos que se
deducen unos de otros se tienen tambieacuten todos los atributos eliminados para construir los
modelos que pertenecen al campo de predicados de los seres en cuestioacuten Para un ser dado
los atributos que hay que antildeadir a su modelo para reconstruir el original es la ldquotecnologiacuteardquo
de ese modelo Un ejemplo dramaacutetico ocurrido hace antildeos en Francia muestra la
importancia de la tecnologiacutea En una mina hubo necesidad de construir un ascensor para
subir hombres y productos de su interior Se hizo normalmente tal y como se muestra en la
figura III7(a) con un aacuterbol y un manguito sobre el cual se encontraba el tambor del
ascensor Primera fase del razonamiento Despueacutes se aplicoacute el caacutelculo a la determinacioacuten del
diaacutemetro del aacuterbol segunda fase del razonamiento A continuacioacuten se construyoacute el original
con esos datos lo que corresponde a la tercera fase Finalmente se comproboacute tras
distintas pruebas que el ascensor podiacutea soportar toda la carga que se le pondriacutea y mucha
maacutes De ahiacute se concluyoacute que los caacutelculos eran correctos y que el ascensor aguantariacutea sin
problemas es decir el estudio ldquocientiacuteficordquo del ascensor era perfecto Pero sucedioacute la
tragedia Unos antildeos despueacutes de funcionar con toda normalidad el ascensor se rompioacute y
once mineros cayeron a 250 metros de profundidad y murieron iquestQueacute pasoacute Sencillamente
que faltaba un punto de tecnologiacutea En efecto en una construccioacuten mecaacutenica nunca hay que
dejar un aacutengulo entrante agudo La experiencia ensentildea y la tecnologiacutea corrobora que los
113
aacutengulos entrantes son un peligro de ruptura y tal y como se muestra en la figura III7 (b)
deben ser sustituidos por caretos El ingeniero que realizoacute el proyecto del ascensor conociacutea
perfectamente la mecaacutenica racional la elasticidad la resistencia de materiales pero
ignoraba o se olvidoacute de ese aspecto tecnoloacutegico de que no se hace nunca un aacutengulo
entrante
Figura III7 Importancia de la Tecnologiacutea
Es eacuteste un buen ejemplo ademaacutes de que cuando se razonaba sobre un modelo abstracto
en relacioacuten con el original hay que pensar y tener en cuenta toda la tecnologiacutea que se quedoacute
en el tintero Sin contar por supuesto con que muchas veces al hacer la abstraccioacuten con el
agua sucia tambieacuten se arroja el nintildeo pequentildeo Esto lleva a plantearse la cuestioacuten siguiente
Cuando se tiene un modelo verificado un ser ficticio que se espera que exista en la realidad
iquestQueacute se le pide Sencillamente que sea admisible en cierto grado Se pide que le modelo
transformado pueda interpretarse Es decir en este estadio basta con ser admisible pues se
tiene soacutelo un ser admisible y no todaviacutea un ser real o cuando menos un ser cuya existencia
se ha comprobado Es un ser teoacuterico sin experiencia o mejor experimentacioacuten que lo avale
Por eso una futura liacutenea de trabajo seraacute el integrar toda la tecnologiacutea de desarrollo
software existente dentro de la teoriacutea propuesta
114
115
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Cuando uno observa la abundante bibliografiacutea existente para la solucioacuten de problemas se
encuentra con que todas empiezan expliacutecita o impliacutecitamente con el paso conocido como
ldquoidentificacioacuten del problemardquo(Polya 1945) (De Bono 1970) (Wickelgren 1974) (Deutsch
1998) (Marinoff 2000) hellip pero curiosamente ninguna define peor auacuten ni siquiera
describe lo que es un problema Por eso aquiacute siguiendo a Juan Pazos (Pazos 1987) se va a
primero describir y luego definir formalmente queacute se entiende por problema Para
empezar decir que todo el mundo sabe o cree saber queacute es un problema sobre todo
cuando se le presenta uno es decir cuando ya le viene dado La cosa es maacutes peliaguda
cuando de lo que se trata y eso es lo importante de adelantaacutendose a los acontecimientos
identificar situaciones que si no se toman medidas inexorablemente acabaraacuten
convirtieacutendose en problemas Es decir se trata maacutes de prevenir que de curar
Dicho lo cual quizaacutes sea una cuestioacuten a la vez superflua y marginal el preguntarse queacute es
un problema por la sencilla razoacuten de que todo el mundo sabe lo que es un problema sobre
todo cuando se le presenta uno Sin embargo no es asunto baladiacute el definir de modo
preciso lo que se entiende por problema en general En cualquier caso el dar una definicioacuten
de problema es importante como paso previo para obtener una solucioacuten al mismo
Una persona se enfrenta a un problema cuando desea algo y no conoce inmediatamente
queacute accioacuten o serie de acciones debe ejecutar para conseguirlo El objetivo deseado puede
ser algo muy tangible tal como una manzana para comer o abstracto como sucede en la
demostracioacuten de un teorema Puede ser un objetivo fiacutesico o un conjunto de siacutembolos Las
acciones implicadas en la obtencioacuten de los objetos deseados incluyen acciones fiacutesicas
actividades perceptuales y actividades puramente ldquomentalesrdquo como juicios de similaridad
recuerdos y otras Es decir tener alguna idea de en queacute consiste realmente un problema es
lo mismo que especificar cuaacuteles son las condiciones para que exista un problema y cuaacuteles
son sus componentes Estas condiciones en su caso maacutes simple son
1 Debe existir al menos un ldquoindividuordquo hombre o maacutequina la cuestioacuten en principio es
irrelevante dentro de un marco de referencia o medio ambiente a quien se le pueda
116
atribuir el problema Este marco de referencia viene definido por las variables
incontrolables
2 El individuo debe tener por lo menos dos cursos de accioacuten alternativos es decir debe
poder efectuar una seleccioacuten del comportamiento Un curso de accioacuten se define por
uno o maacutes valores cualitativos o cuantitativos de las variables controlables
3 Cuando menos tienen que existir dos resultados posibles de su seleccioacuten uno de los
cuales debe tener mayor aceptacioacuten que el otro Es decir debe haber como miacutenimo un
resultado que eacutel quiera o sea un objetivo o meta
4 La seleccioacuten de cualquiera de las soluciones debe repercutir de una manera diferente
en los objetivos del sistema es decir existe una eficiencia y o efectividad asociadas
con cada solucioacuten que obviamente deben ser diferentes
5 El individuo tiene un problema uacutenicamente si ignora cuaacutel es el mejor curso de accioacuten y
desea conocerlo Ademaacutes debe tener dudas respecto a la solucioacuten
En resumen se puede decir que un individuo tiene un problema si eacutel quiere algo tiene
formas alternativas de perseguir ese algo pero con distintas eficiencias para conseguirlo y
duda acerca del mejor curso de accioacuten a tomar
Ciertamente las situaciones problemaacuteticas pueden ser mucho maacutes complejas que la que se
acaba de describir En efecto es faacutecil ver coacutemo dicha complejidad puede aumentar por una
combinacioacuten de las siguientes condiciones
1 El problema en vez de recaer en el individuo atantildee a un grupo
2 El entorno o marco de referencia donde se encuentra el grupo cambia de forma
dinaacutemica de modo que afecta a la efectividad de los cursos de accioacuten o de los valores
de los resultados
3 El nuacutemero de cursos de accioacuten alternativos puede ser muy grande aunque finito
4 Del mismo modo el nuacutemero de metas tambieacuten puede ser muy grande y
adicionalmente dichas metas pueden no ser necesariamente consistentes
117
5 Las alternativas pueden ser ejecutadas por otro grupo ajeno aunque no
independiente del problema
6 Los efectos de la decisioacuten tomada por el grupo afectan a otros grupos cuya reaccioacuten
puede ser favorable o desfavorable
En otros teacuterminos un problema no estaacute cabalmente definido o no es digno de
consideracioacuten formal a menos que cumpla las condiciones siguientes
A) Estar expresado en una terminologiacutea claramente entendible para el potencial
solucionador del problema
B) La forma y notacioacuten para la solucioacuten debe estar convenida
C) Identificacioacuten de los datos relevantes sobre los que puede basarse una solucioacuten
D) Convencioacuten acerca de alguna de las unidades sobre la validez o aceptabilidad de las
soluciones propuestas
Aunque estas caracteriacutesticas son naturales a cualquier proceso de solucioacuten de problemas
con computador con frecuencia se ignoran faacutecilmente en situaciones de resolucioacuten de
problemas humanos informales Una razoacuten importante del uso de los computadores para
ayudar a las personas a solucionar problemas estriba precisamente en que el proceso de
describir el problema al computador obliga al hombre a dotar al problema de las
caracteriacutesticas anteriores y en consecuencia a clarificar su propio pensamiento difuso El
uso de la GC permitioacute como muestra esta tesis definir cabalmente el problema y lo que
es maacutes importante dilucidar su posibilidad o no de solucioacuten previamente su factibilidad y
eventualmente una propuesta efectiva de solucioacuten
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS
La razoacuten de ser de esta teoriacutea es la informacioacuten En primer teacutermino hay que sentildealar que al
contrario de lo que ocurre con las ciencias tradicionales la informacioacuten como lo sentildealoacute
Wiener no es ni materia ni energiacutea En segundo lugar hay que enfatizar que la informacioacuten es
una abstraccioacuten que soacutelo adquiere realidad cuando tiene una representacioacuten fiacutesica En tercer
lugar es imposible considerar la informacioacuten sin tener en cuenta los dispositivos tanto
118
naturales como artificiales que la procesan Finalmente estaacute el asunto de la gradualidad la
informacioacuten puede presentarse como un simple dato o como una compleja ontologiacutea Todos
estos puntos se explican maacutes detenidamente a continuacioacuten
Antes de pasar a describir los elementos que aquiacute se proponen como fundamento de una
teoriacutea en CS es necesario considerar las caracteriacutesticas y peculiaridades que tiene la CS para
que dicha teoriacutea esteacute bien arraigada y asentada en la realidad y no en meras especulaciones
carentes de base Dicho lo anterior lo primero que hay que sentildealar es que la CS es una nueva
ciencia y en consecuencia es trascendental entender adecuadamente su naturaleza y
caraacutecter Como lo sentildealoacute Hartmanis (Hartmanis 1993) el fracaso de la informaacutetica en
acomodarla a los meacutetodos habituales de las ciencias de la naturaleza viene dado de ese
caraacutecter especial que la conforma haciendo que la teoriacutea y los experimentos en informaacutetica
sean peculiares y jueguen un papel considerablemente distinto Lo que actualmente se
consideran ldquoteoriacuteasrdquo informaacuteticas no compiten entre siacute acerca de cual explica mejor la
naturaleza de la informacioacuten Ni se desarrollan nuevas teoriacuteas para reconciliar la ldquoteoriacuteardquo
existente con los resultados experimentales que revelan anomaliacuteas inexplicadas o nuevos o
inesperados fenoacutemenos De hecho en informaacutetica no existen hasta el presente experimentos
cruciales que decidan acerca de la validez de las ldquoteoriacuteasrdquo existentes entre otras cosas porque
dichas teoriacuteas no existen Esto tiene entre otras una consecuencia al menos a primera vista
indeseable desde el punto de vista cientiacutefico y sin embargo importante cual es que los
avances en informaacutetica son con frecuencia validados y documentados mediante
ldquodemostracionesrdquo (demos) antes que mediante experimentos cruciales como en las ciencias
duras o demostraciones formales como en loacutegica y o matemaacuteticas Y es papel de las ldquodemosrdquo
mostrar la posibilidad o capacidad de lo que se pensaba que era importante o no factible de
modo que influencian y condicionan la agenda y direccioacuten de la investigacioacuten en informaacutetica lo
que estaacute lejos de ser satisfactorio desde el punto de vista del rigor cientiacutefico Esto lleva a
considerar las caracteriacutesticas que hacen tan peculiar esta nueva ciencia y que de forma
sucinta son las siguientes
A) El Objeto de Estudio La Informacioacuten y sus Procesos El objeto de estudio de la CS no es
contra lo que habitualmente se piensa ni exclusiva ni principalmente las computadoras
sino la informacioacuten y sus estructuras y los procesos que actuacutean sobre ella Dichas
estructuras y procesos son ubicuos en la naturaleza de modo que aparecen tanto en los
cerebros de los animales y en particular de los seres humanos como en los procesos
geneacuteticos y maacutes concretamente en el ADN Y de forma no natural la informacioacuten se
119
procesa en las computadoras Lo trascendental aquiacute es que el objeto de estudio la
informacioacuten que es la razoacuten de ser de la CS no es como ocurre en las ciencias
tradicionales y sentildealoacute Wiener ni materia ni energiacutea aunque como lo indicoacute David
Chalmers siguiendo a Wheeler (Horgan 1994) la informacioacuten es una propiedad de la
realidad tan esencial como la materia y la energiacutea Es decir la CS estaacute concernida por una
parte con el tema abstracto de la informacioacuten que adquiere realidad soacutelo cuando tiene
una representacioacuten fiacutesica y por otro con los dispositivos y sistemas tanto hardware como
software artificiales esto es hechos por el ser humano que procesan dichas
representaciones Su meta es dotar a esos dispositivos de procesamiento de tanto
comportamiento inteligente como sea posible En consecuencia una teoriacutea completa debe
abarcar tanto la CS como el ADN o el Cerebro y cualquier otro sistema tanto natural como
artificial que generase o maneje informacioacuten
B) Escalabilidad Gradualidad Ademaacutes de complejos muchos productos software son
enormes En los desarrollos software como por otra parte en muchos otros campos de la
vida lo cuantitativo afecta a lo cualitativo Parte de la habilidad de un buen profesional
estriba en saber que teacutecnicas aumentaraacuten (ldquoscale uprdquo) soacutelo porque el tamantildeo no fue
planificado Con frecuencia un ldquogranrdquo sistema es justo un pequentildeo sistema que crecioacute
De lo anterior se colige que una de las caracteriacutesticas peculiares tal vez la maacutes importante
de la CS es la inmensa diferencia de escala de los fenoacutemenos que trata Dicha escala va
desde unos pocos datos y programas que afectan a los problemas individuales habituales
hasta los billones de operaciones por segundo en los distintos sistemas operativos
compiladores y lenguajes en que se describen los problemas pasando por los millones de
datos y registros de los grandes sistemas de informacioacuten que abordan tanto problemas de
gestioacuten como cientiacuteficos En este uacuteltimo aspecto cabe destacar el uso de sistemas
informaacuteticos para demostracioacuten de conjeturas matemaacuteticas a un nivel similar a la prueba
del uacuteltimo teorema de Fermat El caso paradigmaacutetico en este aspecto es la demostracioacuten de
la conjetura de Kepler que algunos la consideraban como la mejor candidata para
reemplazar al uacuteltimo teorema de Fermat como el mayor enigma actual sin resolver en
matemaacuteticas (Singh 1998) A lo que la doctoranda antildeade la hipoacutetesis de Riemann sin duda
el gran desafiacuteo
C) Prometeo versus Epimeteo La potencia ldquoexponencialmenterdquo creciente de las
computadoras hace que en la consideracioacuten de informacioacuten y su proceso la gente tienda a
120
comportarse maacutes como Epimeteo que como seriacutea lo correcto como Prometeo La
mitologiacutea griega (Seeman 1958) cuenta que en Grecia habiacutea dos hermanos Prometeo el
que primero piensa y luego actuacutea y Epimeteo quien primero actuaba y luego pensaba Si el
primero fue castigado por los dioses por robarle el fuego del conocimiento el segundo
castigoacute a la humanidad al regalarle Pandora la famosa caja de la que cuando
imprudentemente la abrioacute salieron de ella todos los males Asustado ante tanto estropicio
ignorantemente cerroacute la caja cuando lo que quedaba en ella era justamente lo uacutenico
bueno la esperanza La moraleja es que como ha demostrado la historia de la ciencia en
CS lo que a primera vista parece lo maacutes adecuado muchas veces resulta no ser asiacute El caso
de los primeros intentos de emular a los paacutejaros para volar es ejemplar al respecto y hubo
que esperar a las leyes de Bernouille para poder desarrollar la aerodinaacutemica
D) Abstraccioacuten (Meyer 2001) Es la herramienta intelectual clave y en concreto consiste en la
capacidad para separar lo esencial de lo auxiliar para ver la idea que preside sobre la
realidad y que inicialmente puede estar oculta Baacutesicamente el anaacutelisis capaz de hacer
abstracciones es aquel capaz de abandonar el plano del sentido comuacuten de las cualidades
sensibles de la experiencia inmediata La modelizacioacuten informaacutetica de la realidad compleja
ha creado un espacio cada diacutea maacutes relevante para la ldquotercera viacutea del meacutetodo cientiacuteficordquo un
enfoque intermedio entre el procedimiento teoacuterico y el experimental Y es ahiacute justamente
donde nace lo que el premio Nobel Ken Wilson dio en llamar ldquoCiencia Computacionalrdquo o
por mejor decir ciencias y disciplinas computacionales verbigracia la matemaacutetica
computacional la fiacutesica computacional la quiacutemica computacional la biologiacutea
computacional la geologiacutea computacional la medicina computacional etc Todas ellas
trabajan con modelos matemaacuteticos y o informales e informaacuteticos abstractos no con
moleacuteculas sino con modelos de moleacuteculas no con la economiacutea nacional sino con un
montoacuten de matrices y ecuaciones no con un operador humano sino con un modelo de
coordinacioacuten vasomotora no con Pistol Star la mayor luminaria de la Viacutea Lactea una
estrella supuestamente nacida hace tres millones de antildeos que soacutelo se ve con el telescopio
espacial Hubble tal como era hace tres millones de antildeos ya que dista de nosotros 3x106
antildeos-luz sino con unas sentildeales recibidas por el Hubble y unas ecuaciones computacionales
En el laboratorio el centro de ldquoexperimentacioacutenrdquo es el computador La realidad ya no es
material o no exclusivamente material pues lo virtual es igual de real actualmente que lo
material El informaacutetico tienen que generar muchos niveles de abstraccioacuten para tratar con
los problemas que le conciernen y crear herramientas intelectuales para conceptuar
disentildear controlar programar y razonar acerca de las creaciones humanas maacutes
121
complicadas y todo ello realizado con una precisioacuten sin precedentes Los sistemas
hardware subyacentes con el que se efectuacutean las computaciones son maacutequinas universales
y por lo tanto son sistemas caoacuteticos en el sentido de que el maacutes miacutenimo cambio en sus
instrucciones puede originar arbitrariamente diferencias enormes en los resultados
obtenidos Eacutesta como es bien conocido es una propiedad inherente a los sistemas de
coacutemputo universales cuya teoriacutea hace claro que cualquier incremento de universalidad
impone un precio muy alto La precisioacuten teniendo en cuenta las exigencias de dicha
condicioacuten caoacutetica se consigue mediante sucesivas capas de abstraccioacuten implementadas
alrededor de las maacutequinas universales que ayudan a enfrentar los muchos oacuterdenes de
magnitud en la escala de distintos fenoacutemenos que aborden los problemas informaacuteticos
Dada la confusioacuten existente entre abstraccioacuten y generalizacioacuten se va a dar aquiacute un ejemplo
de ambas procedente de la literatura maacutes en concreto de la novela de Miguel de
Unamuno (Unamuno 1969) Niebla que aclaran la cuestioacuten En dicha novela el amigo del
protagonista Viacutector le explica a eacuteste Augusto la diferencia No veraacutes veraacutes si logro
explicaacutertelo Tuacute estabas enamorado sin saberlo por supuesto de la mujer del abstracto no
de eacutesta ni de aquella al ver a Eugenia ese abstracto se concretoacute y la mujer se hizo una
mujer y te enamoraste de ella y ahora vas de ella sin dejarla a casi todas las mujeres y te
enamoras de la colectividad del geacutenero Has pasado pues de lo abstracto a lo concreto y
de lo concreto a lo geneacuterico de la mujer a una mujer y de una mujer a las mujeres
E) Distincioacuten entre especificacioacuten e implementacioacuten Meyer (Meyer 2001) Este problema es
uacutenico al software porque trata con entidades virtuales eteacutereas Nadie confundiriacutea un
puente con el dibujo del puente o un automoacutevil con el plano de un automoacutevil Uno no
coloca el dibujo en el agua ni conduce y se mueve con el plano Pero en software la
distincioacuten con frecuencia estaacute lejos de estar tan clara A diferencia de lo que sucede en el
cuadro de Magritte uno se arriesga en software constantemente a confundir la pipa con
la pintura de la pipa Aprender a centrarse sobre el asunto real es parte de lo que se
necesita para llegar a ser un profesional del software Mantener esta distincioacuten
correctamente es el pan de cada diacutea de las discusiones software
- iexclEsto es soacutelo un detalle de implementacioacuten
- No realmente forma parte de lo que se quiere hacer
- iexclNo es soacutelo una manera de hacerlo
- iexclMuestra otra
122
- iexclNo importa que no se vea otra en este momento alguien lo haraacute
F) Recurrencia La cuestioacuten no estriba en absoluto en usar rutinas recurrentes eso no es maacutes
que una teacutecnica Lo importante es dominar el modo general de razonamiento y disentildeo que
define un concepto por aplicar su propia definicioacuten a alguna de sus partes Al principio es
complicado pero una vez que se ha aprendido a usar la recursioacuten adecuadamente se ha
ganado una potente herramienta intelectual aplicable a traveacutes del campo La poderosa viacutea
de la recursioacuten como teacutecnica de resolucioacuten de problemas es pertinente en multitud de
ocasiones y enunciada como principio general podriacutea rezar maacutes o menos asiacute ldquoSi
consiguiera resolver el problema en un caso algo maacutes sencillo tal vez pudiera utilizar esa
solucioacuten para el caso maacutes complejordquo Tal idea es la nocioacuten de recurrencia expliacutecitamente la
inclusioacuten en un procedimiento del propio procedimiento
Kurt Goumldel en el antildeo 1930 habiacutea enunciado un notorio principio filosoacutefico en el aacutembito de las
matemaacuteticas a partir de lo que se dio en llamar ldquosistemas autorreferencialesrdquo Por ejemplo en
frases del tipo ldquoEsta afirmacioacuten es falsardquo o ldquoYo estoy mintiendordquo tiene lugar un fenoacutemeno
denominado ldquobucle extrantildeordquo consistente en que si se asume que la frase es verdadera
entonces hay que concluir que la frase es falsa y reciacuteprocamente si se decide que es falsa
entonces hay que concluir que es verdadera Goumldel trasladoacute esta paradoja del lenguaje
conocida como ldquoparadoja del mentirosordquo al terreno de las matemaacuteticas en particular al de la
loacutegica dando lugar a numerosos trabajos para superarlas Sin embargo no siempre los
sistemas autorreferenciales son motivo de quebraderos de cabeza En efecto tanto en poesiacutea
como en tecnologiacutea o en juegos de sociedad a veces dan mucho de siacute Empezando por la
poesiacutea veacuteanse estos dos sonetos definiendo al propio soneto El primero debido a Diego
Hurtado de Mendoza que dice asiacute
Pediacutes Reina un soneto ya lo hago Ya tenemos a un cabo los cuartetos
Ya el primer verso y el segundo es hecho iquestQueacute me deciacutes Sentildeora iquestNo ando bravo
Si el tercero me sale de provecho Mas sabe Dios si temo los tercetos
Con otro verso el un cuarteto os pago iexclAy Si con bien este soneto acabo
Ya llego al quinto iexclEspantildea iexclSantiago iexclNunca en toda vida maacutes sonetos
Fuera que entro en el sexto iexclSus buen pecho Mas deste gloria a Dios ya he visto el cabo
Si del seacuteptimo salgo gran derecho
Tengo a salir con vida de este trago
123
El segundo fruto del Proliacutefico numen del Feacutenix de los Ingenios D Felix Lope de Vega y Carpio
aparece en su obra ldquoLa Nintildea de Platardquo y se titula ldquoDe Repenterdquo y puede calificarse de perfecto
Dice asiacute
Un soneto me manda hacer Violante Por el primer terceto voy entrando
Que en mi vida me he visto en tal aprieto Y parece que entreacute con pie derecho
Catorce versos dicen que es soneto Pues fin con este verso le voy dando
Burla burlando van los tres delante Ya estoy en el segundo y aun sospecho
Yo penseacute que no hallara consonante que voy los trece versos acabando
Y estoy en la mitad de otro cuarteto Contad si son catorce y estaacute hecho
Maacutes si me veo en el primer terceto
No hay cosa en los cuartetos que me espante
En el terreno de la tecnologiacutea es notorio el caso como se ve en la figura IV1 de la definicioacuten
de ldquomapa de conocimientordquo en teacuterminos de un mapa de conocimientos (del Moral 2007)
Figura IV1 Autodefinicioacuten de Mapa de Conocimiento
Finalmente estaacute el juego de ldquoWishrdquo que consiste en que uno da una palabra del diccionario
cualquiera luego los demaacutes participantes por turno va estableciendo como en un aacuterbol
todas las palabras del diccionario que la definen y a su vez las palabras que definen a eacutestas
etc hasta que necesariamente (dado que el diccionario es autocontenido o sea todas las
palabras del diccionario se definen en teacuterminos de dichas palabras) aparece una repeticioacuten
124
La autorreferencia es decir la posibilidad de que una cierta entidad linguumliacutestica matemaacutetica o
computacional se refiera a siacute misma da lugar a razonamientos circulares y paradojas
enigmaacuteticas Un ejemplo es la ya citada paradoja del mentiroso de la que existen muacuteltiples
versiones La maacutes simple consististe en una sola frase que afirma su propia falsedad ldquoEsta
frase es falsardquo No puede ser cierta ni falsa sin caer en una contradiccioacuten Consideacuterese otro
ejemplo linguumliacutestico Se clasifican los adjetivos calificativos en dos grupos se llamaraacuten
autoacuteclitos a los adjetivos que pueden aplicarse a siacute mismos y heteroacuteclitos a los que no pueden
aplicarse a siacute mismos Por ejemplo el adjetivo ldquoesdruacutejulordquo es autoacuteclito porque esdruacutejulo es
una palabra esdruacutejula y ldquopentasiacutelabordquo que es una palabra con cinco siacutelabas y por tanto
pentasiacutelaba Es difiacutecil dar maacutes ejemplos puesto que la mayoriacutea de los adjetivos como
ldquoblancordquo ldquofranceacutesrdquo o ldquoestrechordquo son heteroacuteclitos Ahora inteacutentese responder a la siguiente
pregunta iquestes el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo autoacuteclito o heteroacuteclito Si es autoacuteclito entonces se
aplica a siacute mismo y es por tanto heteroacuteclito y siacute es heteroacuteclito entonces no se aplica a siacute
mismo y no puede ser heteroacuteclito De nuevo una frase el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo es heteroacuteclito
afirma su propia falsedad Un curioso juego el Nomic en el que los jugadores cambiaban las
reglas del propio juego a lo largo de la partida (de hecho las reglas iniciales del juego
simplemente estableciacutean los mecanismo para modificarlas) es otro ejemplo Pero la
autorreferencia no soacutelo da lugar a paradojas o a grandes teoremas El maacutes familiar y maacutes
misterioso fenoacutemeno de la Naturaleza la conciencia que los seres humanos tienen de siacute
mismos es en uacuteltima instancia un tipo de autorreferencia
Un nuevo ejemplo de autorreferencia que sin duda atrae mucho la atencioacuten es la foacutermula de
Tupper (Parrondo2007) que tienen la sorprendente propiedad de dibujarse a siacute misma en el
plano La foacutermula es la siguiente
Figura IV2 Autorretrato de la foacutermula de Tupper
125
En ella aparecen dos siacutembolos que quizaacutes algunos no conozcan aunque son habituales en
matemaacuteticas El primero de ellos es x y es la parte entera de x es decir el entero
inmediatamente por debajo de x Por ejemplo 2452 = Como se ve la parte entera de un
nuacutemero es simplemente lo que hay a la izquierda de la coma decimal La otra funcioacuten que
aparece en la foacutermula de Tupper es la funcioacuten ldquomoacutedulordquo mod (xz) que es igual al resto que se
obtiene cuando se divide x entre y Por ejemplo mod(3617)=2
La foacutermula establece una condicioacuten para el par x y Si se colorean de negro en el plano (xy) los
puntos que verifican la condicioacuten se obtendraacute un dibujo una imagen infinitamente grande
puesto que el plano (xy) es infinito Pues bien en un lugar de esa imagen infinita en concreto
en la regioacuten definida por 0ltxlt106 kltyltk+17 en donde k es un nuacutemero enorme de 542 cifras
aparece lo que se muestra en la figura IV2 es un autentico ldquoautorretratordquo matemaacutetico
iquestCoacutemo llegoacute Tupper a concebir algo tan sorprendente y tan extrantildeo En realidad no es tan
difiacutecil porque la foacutermula de Tupper no soacutelo se dibuja a siacute misma sino que dibuja cualquier
imagen de 17 piacutexeles de altura y ancho arbitrario Para convencerse de ello hace falta un
razonamiento un poco complicado aunque soacutelo utiliza matemaacuteticas elementales Analiacutecese la
foacutermula cuando y variacutea desde k hasta k+17 siendo k un muacuteltiplo de 17 es decir k=17r con r
un nuacutemero entero En toda esta regioacuten del plano
r17
y=
es constante Fijaacutendose ahora en el exponente de 2 en la foacutermula (cambiado de signo) es
decir en la expresioacuten
( )17ymodx17n +=
En la figura IV3 se muestra coacutemo este exponente n variacutea en el plano Si se dibuja una trama de
piacutexeles cuadrados de lado unidad n toma un valor distinto en cada uno de ellos tal y como se
indica en la figura Para convencerse de ello basta darse cuenta de que ( )17ymod es un
entero que variacutea de 0 a 16 cuando y va desde k=17r hasta k+17 mientras que el teacutermino
x17 salta de 17 en 17 cuando se avanza de una columna a la siguiente
126
Figura IV3 Variacioacuten del exponente n pixel a pixel
Veacutease ahora el paso crucial para entender la foacutermula de Tupper La desigualdad
( ) 22rmod2
1 nminuslt
se puede analizar de forma sencilla si se expresa r en base 2 Supoacutengase que r es en binario
1011001 y que n=5 Para dividir r entre 25 basta colocar la coma decimal cinco lugares a la
izquierda de la uacuteltima cifra es decir r2-5=1011001 El moacutedulo 2 de este nuacutemero se obtiene
eliminando las cifras a la izquierda de la primer cifra entera mod(r2-52)=011001 Finalmente
la parte entera de este nuacutemero es simplemente la cifra que queda a la izquierda de la coma
decimal en este caso 0 Por lo tanto el miembro de la derecha de la desigualdad no es maacutes
que la cifra n+1 de r empezando por la derecha Si esta cifra es un 0 la foacutermula es falsa Si es
un 1 es verdadera y generaraacute un piacutexel negro en el lugar correspondiente al exponente n
Con todo ello se puede encontrar en queacute regioacuten del plano se dibuja la foacutermula de Tupper de
cualquier imagen Basta escribir un nuacutemero binario entero r con unos y ceros en donde se
quiere que haya piacutexeles negros y blancos respectivamente Si se tiene que escribir r de
derecha a izquierda mientras si sigue los piacutexeles de la imagen en el orden especificado en la
figura IV3 (desde n=0 hasta el valor que se quiera) Una vez que se obtiene r de esta forma se
multiplica por 17 y se obtiene k=17r La imagen buscada estaraacute en la franja que va de y=k hasta
127
y=k+17 y de x=0 hasta el valor de x en el que termina la imagen que puede ser tan ancha
como se quiera (los piacutexeles a la derecha del uacuteltimo codificado en el nuacutemero r seraacuten blancos)
La foacutermula no da lugar a ninguna paradoja pero no es soacutelo autorreferente sino una auteacutentica
Biblioteca de Babel Dibuja todas las posibles imaacutegenes de 17 piacutexeles de altura y de anchura
arbitraria y como en 17 piacutexeles de altura es faacutecil dibujar cualquier letra del abecedario y
cualquier signo de puntuacioacuten entonces la foacutermula ldquoescribiraacuterdquo en alguna remota franja del
plano y como si se tratara de un rudimentario teletipo el Quijote entero desde su primera
hasta su uacuteltima letra o cualquier otro libro escrito o por escribir
G) Informacioacuten oculta Decidir lo que se exporta al resto del mundo y lo que uno guarda para siacute
mismo es una capacidad que los desarrolladores del software adquieren soacutelo a traveacutes de
una combinacioacuten de buenos ejemplos y praacutectica
H) Reutilizacioacuten El buen desarrollador de software se da cuenta de que una clave para dejar la
ldquomarca de faacutebricardquo es saber cuaacutendo se puede contar con alguacuten trabajo anterior para
resolver el problema en curso Reutilizar bien es una habilidad producir resultados para
que otros los empleen es el signo de que se es un maestro El uso de ontologiacuteas es aquiacute
esencial
I) Pleacutectica o coacutemo vencer la complejidad Los sistemas software son ambiciosas empresas
intelectuales verdaderamente alguno de los sistemas maacutes complejos jamaacutes concebidos
por la humanidad y la complejidad amenaza con engullirse el proyecto en cada estadio Los
expertos saben coacutemo reconocer la simplicidad esencial maacutes allaacute de un aparente embrollo A
esta propiedad el Nobel de fiacutesica Gell-Man le denomina ldquoPleacutecticardquo (Gell-Man 1996) que el
mismo define como el estudio de la simplicidad y la complejidad Uno de sus fines es
establecer claramente cuaacutendo la adicioacuten de nuevos elementos (reglas datos etc)
simplemente complica las cosas sin antildeadir nada esencial
J) Disentildeo para el cambio El software puede cambiar debe cambiar y de hecho cambia maacutes
que cualquier artefacto de ingenieriacutea de cualquier otro tipo A menos que los
desarrolladores apliquen minuciosamente principios arquitectoacutenicos estrictos el proceso
de cambio puede ser penoso especialmente para grandes sistemas Mucha de la
justificacioacuten para los modernos meacutetodos lenguajes y herramientas es la expectativa de que
facilitaraacuten este proceso Aprender los principios del disentildeo para el cambio y presentar
claramente sus beneficios es algo esencial
128
K) Clasificacioacuten Una de las ensentildeanzas extraiacutedas de la programacioacuten orientada a objetos POO
es que una manera de atacar la complejidad es organizar lo ldquoenfollonadordquo en embrollos
maacutes pequentildeos y repetir el proceso
L) Tipificacioacuten La nocioacuten de que dando a todo una tipificacioacuten produce elementos software
correctos documentarlos y hacerlos utilizables efectivamente es otra realizacioacuten que puede
afectar profundamente el entendimiento del campo del profesional del software
Cuestiones y teacutecnicas de tipificacioacuten van a traveacutes de la especificacioacuten hasta la
implementacioacuten y documentacioacuten La profesioacuten de desarrollador software tiene a gala
haber tomado el estudio y la construccioacuten de sistemas tipo maacutes que cualquier otra
disciplina dominar su poder es necesario para llegar a ser un buen profesional
M) Constricciones La praacutectica de algoritmos estructuras de datos moacutedulos y sistemas con
restricciones precisas garantiacuteas e invariantes da con mucho un mejor control sobre lo que
se hace Una vez dominada esta habilidad es para siempre
N) Manejo de excepciones La mayoriacutea de la gente en su vida cotidiana y los desarrolladores
de software no son en esto una excepcioacuten considera soacutelo las cosas o situaciones maacutes
comunes y o deseables sin embargo un buen profesional debe preocuparse
constantemente tambieacuten por las situaciones anormales Soacutelo a traveacutes de teacutecnicas
conceptuales sistemaacuteticas puede evitarse el ahogarse en las partes supuestamente
interesantes del razonamiento en miriacuteadas de previsiones y casos excepcionales En este
sentido la CS tiene maacutes que ver con la acutePatafiacutesica que es el estudio y anaacutelisis de las
excepciones que con la Fiacutesica que trata de leyes lo maacutes generales posibles
La lsquoPatafiacutesica palabra que seguacuten Arrabal (debe llevar siempre apoacutestrofe pegado a la
izquierda de la P mayuacutescula) en realidad es la disciplina que sin disciplina alguna propone
soluciones imaginarias En su diacutea se presentoacute en sociedad como ciencia de lo particular sin
dejarse atropellar por la afirmacioacuten positivista de que soacutelo hay ciencia de lo general En
plena iexcllocura estudia las leyes que rigen las excepciones e ilumina o explica el universo
suplementario o supremamente Para Shatuk (Shatuk 1996) Toda ley es por definicioacuten
general en el sentido de que generaliza todos los hechos observados En otro caso se estaacute
ante lo que el movimiento dadaiacutesta denominoacute lsquoPatafiacutesica Para ellos la ciencia de las
soluciones imaginarias no de lo real y ademaacutes es la ldquocienciardquo de lo particular es decir de
las ldquoleyesrdquo que gobiernan las excepciones En un sentido similar Alfred Jarry (Jarry 2003)
dice La lsquoPatafiacutesica cuya etimologiacutea debe escribirse epi (microετατα-ϕυσιχα) y cuya ortografiacutea
129
real es lsquoPatafiacutesica con apoacutestrofo para evitar un faacutecil retruecano es la ciencia que se antildeade
a la metafiacutesica asiacute sea en ella misma como fuera de ella extendieacutendose maacutes allaacute de eacutesta
tanto como ella misma se extiende maacutes allaacute de la fiacutesica Para Jarry los fundamentos de la
lsquoPatafisiacuteca son los siguientes
a) La lsquoPatafiacutesica es la ciencia de lo que se antildeade a la metafiacutesica En consecuencia su
dominio queda por debajo de eacutesta
b) Es la ciencia de las leyes que rigen lo excepcional Un epifenoacutemeno es lo que se antildeade a
un fenoacutemeno puesto que a menudo el epifenoacutemeno es el accidente la lsquoPatafisiacuteca seraacute
sobre todo la ciencia de lo particular por maacutes que suela decirse que soacutelo hay ciencia en
general Estudiaraacute por tanto las leyes que rigen las excepciones y explicaraacute el universo
suplementario de eacuteste O menos ambiciosamente descubriraacute un universo que pueda y
quizaacutes deba verse en lugar del tradicional ya que las leyes del universo tradicional que
se ha creiacutedo descubrir son tambieacuten correlaciones de excepciones aunque maacutes
frecuentes o en todo caso correlaciones de hechos accidentales que reducieacutendose a
excepciones poco excepcionales carecen del atractivo de la singularidad
c) Es la ciencia de las soluciones imaginarias que acuerda simboacutelicamente a los
lineamientos de los objetos las propiedades de eacutestos descritas por su virtualidad La
ciencia actual seguacuten los patafiacutesicos se funda sobre el principio de la induccioacuten lo cual
es falso La mayoriacutea de los hombres ha visto que tal o cual fenoacutemeno precede o sucede a
tal otro y concluye que siempre ocurriraacute asiacute En primer lugar esto es cierto solamente a
menudo depende de un punto de vista y estaacute codificado por la comunidad o por algo
peor En lugar de enunciar la ley de la caiacuteda de los cuerpos hacia un centro iquestpor queacute no
ha de preferirse la ascensioacuten del vacioacute o hacia una periferia tomaacutendose el vaciacuteo como
unidad de no-densidad hipoacutetesis eacutesta mucho menos arbitraria que la eleccioacuten del agua
como unidad concreta de densidad positiva
d) A los ojos de la lsquoPatafisiacuteca todo tiene el mismo valor y es en esencia imperturbable
e) Otros finalmente creen que la lsquoPatafisiacuteca es la ciencia basada en la observacioacuten de lo
inuacutetil y lo absoluto
Naturalmente la doctoranda soacutelo toma de la `Patafiacutesica el que en CS hay que considerar
y tener muy en cuenta las excepciones Lo demaacutes es puro surrealismo
130
O) Efecto Peneacutelope Falsas Maniobras Errores y Depuracioacuten Una parte importante de la vida
de los desarrolladores de software se gasta tratando con cosas que no funcionan coacutemo
deberiacutean De hecho los profesionales del software son los mayores expertos del mundo en
desarreglos Ensentildear a tratar estos desarreglos es fundamental a cualquier profesional del
software En el lenguaje de la construccioacuten se llaman ldquofalsas maniobrasrdquo a todas aquellas
actividades que se realizan en una obra de forma innecesaria bien sea por defectos de
disentildeo desarrollo del proyecto o improvisacioacuten al no haber sido tenidas en cuenta en la
planificacioacuten y programacioacuten de la ejecucioacuten de la obra Este inevitable hacer y deshacer
por improvisacioacuten falta de estudio previo o coordinacioacuten en el desarrollo y ejecucioacuten de un
proyecto en el mejor de los casos concierne a la eficiencia del proceso elevando los costes
del mismo y alargando innecesariamente los plazos de entrega de los productos
terminados pero en el peor lleva a fallos del mismo que inciden en la seguridad del
sistema en el que participan
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES
Y HOLONES
La teoriacutea propuesta se basa en soacutelo dos elementos fundamentales o constructos conceptuales
siguientes
IV31 INFORMOacuteN
IV311 DEFINICIOacuteN
Cualquier teoriacutea acerca de la informaacutetica en general y del disentildeo y desarrollo software maacutes en
concreto tiene que considerar esto es establecer y definir el elemento fundamental de la
misma la informacioacuten y su componente baacutesico el ldquoinformoacutenrdquo Etimoloacutegicamente informacioacuten
procede del teacutermino latino ldquoinformarerdquo cuyo significado de ldquoinformrdquo y ldquoarerdquo es ldquodar formardquo y
del sufijo griego ldquoonrdquo entidad ser partiacuteculas que fusionadas dan ldquoser informacionalrdquo o ldquoser
con formardquo Es decir informoacuten es una entidad informacional Analiacutecese ahora el teacutermino
informacioacuten Si se busca en los diccionarios uno se encuentra que seguacuten el DRAE Informacioacuten
es la accioacuten y efecto de informar e informar es dar noticia de algo (RAE 2001) Por su parte en
el Websterrsquos New World Dictionary (Guralnik 1986) se encuentran entre otros los siguientes
significados noticias conocimiento adquirido de cualquier manera hechos datos etc En
efecto y eso es lo que es trascendental aquiacute la informacioacuten puede presentarse en forma de
131
datos noticias y conocimientos Este enfoque coincide tal y como se muestra en la tabla IV1
con multitud de autores (Lage 2004) salvo que alguno de ellos reducen toda la informacioacuten a
lo que maacutes adecuadamente debe denominarse noticias
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Aamont amp Nygord
Entidades sintaacutecticas es decir Patrones sin significado Entradas a un proceso de interpretacioacuten Paso iniciado de la toma de decisioacuten
Datos interpretados o con significado Salida del proceso de interpretacioacuten Entrada al proceso de decisioacuten basado en conocimientos
Noticias aprendidas o incorporadas a los recursos de los agentes de razonamiento y utilizables de forma activa en los procesos de decisioacuten Salida del proceso de aprendizaje Aspecto pragmaacutetico
Alter Beckman Spek van
der amp Spijkervert
Hechos imaacutegenes o sonidos Datos formateados filtrados interpretados y dotados de significado
Ideas Intuiciones Procedimientos Reglas que guiacutean las acciones y soportan las decisiones es decir las noticias maacutes acciones maacutes aplicaciones
Arsac Nivel sintaacutectico Interesa posibles signos duracioacuten combinaciones
Nivel semaacutentico Comprensioacuten de signos Reglas para asignar sentido a etiquetas Son variables con el tiempo y el entorno o contexto
Nivel pragmaacutetico relativo al valor o utilidad de las noticias Depende fuertemente del tiempo
Bauer Bobrow
Cook Kleer amp Thomson
Nuacutemeros palabras sonidos imaacutegenes desorganizads
Datos ordenados y procesados en palabras significativas
Noticias dotadas de contenido contexto y comunidad de aceptacioacuten Es decir noticias puestas a producir por la gente
Bohn Materia prima Datos estructurados y organizados Algo que prescribe que hacer verbigracia la prediccioacuten
Blum
Elementos dados no interpretados al analista o solucionador del problema Por ejemplo nombre del paciente resultado de un test etc
Coleccioacuten de datos o elementos que contienen significado Por ejemplo registro meacutedico de un paciente que incluye los resultados del laboratorio y la diagnosis En Teoriacutea de Informacioacuten reducen la incertidumbre
Formalizacioacuten de las relaciones experiencia reglas etc por las cuales se forman las noticias a partir de los datos La formulacioacuten puede ser descriptiva o procesable por computadora En el segundo caso los conocimientos pueden expresarse como una foacutermula o como una coleccioacuten de estructuras relaciones y reglas El uso de los conocimientos sugiere generalmente la capacidad de inferir noticias a partir de las que ya estaacuten presentes
Cleveland
Observaciones sin digerir hechos sin pulir Aparecen como nuacutemeros letras palabras sin contexto y o organizacioacuten Tambieacuten pueden ser sentildeales dibujos artefactos
Datos estructurados y o organizados en un contexto Constan de hechos y datos organizados para describir problemas y situaciones Aparecen en forma de frases figuras objetos en un contexto particular
Noticias organizadas uacutetiles interiorizadas por un ente Constan de verdades y creencias perspectivas y conceptos juicios y expectativas metodologiacuteas y ldquosaber coacutemordquo Se acumulan integran y conservan en el tiempo y estaacuten disponibles para que sean aplicables y usables de forma idoacutenea en el momento oportuno y en el sitio adecuado
Davenport y Prusak
Hechos discretos y objetivos sobre acontecimientos Se describen mejor como registros estructurados de transacciones Los datos maacutes significativos transformados por Contextualizacioacuten categorizacioacuten caacutelculo correccioacuten o conclusiones = Noticias
Mensajes en forma de documento o comunicacioacuten audible o visible que tienden a cambiar la manera en que un receptor percibe algo y apunta a modificar su(s) criterio(s) y comportamiento Las noticias transformadas mediante comparacioacuten obtencioacuten de consecuencias conexiones o conversaciones devienen en conocimientos
Comprensioacuten total informada y confiable acerca de algo Es una mezcla fluiacuteda de experiencia estructurada valores informacioacuten contextual e internalizacioacuten experta que proporciona un marco para la evaluacioacuten e incorporacioacuten de nuevas experiencias e informacioacuten No es algo ordenado y simple Puede considerarse como un proceso o un producto Estaacuten muy proacuteximos a la accioacuten
Debenham Los datos son los objetos fundamentales e indivisibles de una aplicacioacuten
Las noticias son las asociaciones funcionales impliacutecitas entre los datos de una aplicacioacuten
Los conocimientos son las asociaciones funcionales expliacutecitas entre las noticias y o los datos de una aplicacioacuten
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores (continua)
132
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Gillette
Hechos organizados Siendo los hechos representaciones de fenoacutemenos y eacutestos lo que parece ser es decir lo que es percibido
Conceptos formados en la conciencia del perceptor Son datos seleccionados filtrados y usados para tomar decisiones o reforzar la posicioacuten de los usuarios Es decir son datos aplicados y uacutetiles Su valor es intriacutensecamente relativo a los usuarios
Noticias en accioacuten y movimiento Capacidad de reconocer comprender y seleccionar noticias y sus implicaciones Dice coacutemo aplicar las noticias y cuaacuteles buscar
Greenes and Shortliffe
Uacutenico punto de observacioacuten no interpretado Es decir el valor de un paraacutemetro especiacutefico Por ejemplo la lectura de la presioacuten arterial para una entidad particular (verbigracia un paciente) en un punto dado del tiempo
Datos organizados de manera que vehiculan significado
Se refiere a verdades generalizadas formadas a partir del anaacutelisis de las noticias utilizables De este modo los conocimientos incluyen ambos los resultados de estudios formales y hechos de sentido comuacuten suposiciones heuriacutesticas y modelos cualquiera de los cuales puede reflejar la experiencia o ldquoprejuiciosrdquo o preferencias de aquellos que interpretan los datos primarios Por ejemplo la noticia de que un paciente tiene hipertensioacuten es el resultado de aplicar una regla o criterio a los datos acerca de ese paciente Observaciones de varios de tales pacientes pueden conducir a nuevos conocimientos acerca de las relaciones entre hipertensioacuten y enfermedad cardiaca Datos y conocimientos son algo relativo en el sentido de que una afirmacioacuten factual (conocimiento) puede servir como dato en un nuevo contexto
Grenwood Materia prima Noticias vaacutelidas para una organizacioacuten especifica
Harris Datos+ ldquosustanciardquo+ propoacutesito Noticias + contexto + experiencia
Juristo y Pazos
Son elementos sintaacutecticos no estructurados y de contexto libre que denotan hechos y conceptos que se refieren al estado de las cosas y que en su forma maacutes simple se traducen en el valor que toma una variable verbigracia T =
11degC
Contienen elementos de datos relacionados y estructurados dentro de un contexto que les aporta significado Es decir es el significado que un ser inteligente atribuye a los datos a partir de las reglas convencionales empleadas para su representacioacuten Las noticias son foacutermulas escritas susceptibles de aportar conocimientos Por ejemplo
la frase ldquoel agua hierve a 100degCrdquo es una noticia
Constan por una parte de generalizaciones y abstracciones a partir de casos particulares y o concretos Por otra los conocimientos formalizan tanto las relaciones como la experiencia y permiten extraer nuevas noticias a partir de los datos y las noticias presentes o en uacuteltima instancia a explicitar noticias que soacutelo de modo impliacutecito estaacuten en los datos y las noticias existentes Los conocimientos sirven baacutesicamente para entender el mundo y resolver problemas En consecuencia los conocimientos conciernen baacutesicamente al aspecto pragmaacutetico o de utilizacioacuten de las noticias en general Asiacute el decir que ldquomuchos microbios perecen cuando se hierven a
100degCrdquo es un conocimiento que sirve para esterilizar agua contaminada y hacerla potable
Knapp Materia prima Noticias uacutetiles seleccionadas para ciertos trabajos
Kock y Moqueen
Vehiacuteculos de noticias y conocimientos
Lo relativo a hechos histoacutericos y descriptivos
Nuevo o modificado discernimiento o entendimiento predictivo
Kogut y Zander
Hechos ldquoamorfosrdquo Sentencias factuales o descriptivas Sentencias de coacutemo hacerlo esto es prescriptivos por ejemplo una receta
St Onge Materia prima Datos patroneados Capacidad para actuar
Vance Datos interpretados Noticias autenticadas
Zack Hechos en observaciones Datos en un contexto significativo Acumulacioacuten de noticias relevantes significativamente organizadas
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores
133
Conceptualmente para que se produzca informacioacuten debe existir alguacuten grado de
incertidumbre Como lo sentildealoacute Bateson (Bateson 1979) Informacioacuten es cualquier diferencia
que produce una diferencia Es decir si algo caracteriza a la informacioacuten es que es o produce
sorpresa (Schank 1996) Todo el mundo espera que la naturaleza o la gente o cualquier otra
entidad del tipo que sea se comporte de una cierta manera es decir sin incertidumbre pero
curiosamente cuando eso sucede asiacute la gente se aburre y hastiacutea Lo que hace que algo sea
digno de intereacutes y consideracioacuten es aquello que aparece organizado alrededor del concepto
de fracaso de expectativas Dicho de otro modo las previsiones cobran intereacutes no cuando se
cumplen sino justamente cuando fallan Por ello informacioacuten es el valor de la sorpresa
medida como el inverso de la probabilidad esperada de un evento o fenoacutemeno Es decir
cuando se habla de cualquier fenoacutemeno no es posible aprender algo vaacutelido de eacutel si estaacute
totalmente determinado
En consecuencia soacutelo hay informacioacuten si existe al menos un elemento de variabilidad Eacutesta
debe presentarse en diferentes estados cuyo nuacutemero debe ser muy finito Esto permite
determinar en queacute estado se encuentra dicho fenoacutemeno Formalmente Sea un fenoacutemeno
variable X que se presenta en un nuacutemero finito de estados infinneE entonces se dice que se
tiene informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando previamente se puede determinar el estado
actual del fenoacutemeno sometido a consideracioacuten Ei Dicho con otros teacuterminos de algo invariable
nada se puede decir que alguien no apostillara ya lo sabiacutea siempre fue y es asiacute En
consecuencia soacutelo puede haber informacioacuten si existe un elemento de variabilidad Eacutesta debe
presentarse como acaba de decirse en un nuacutemero finito de estados distintos pues en otro
caso no seriacutea posible considerarlos todos Entonces iquestcuaacutel seriacutea el significado de los no
considerados Lo uacutenico que se puede decir de ese fenoacutemeno finito es en queacute estado estaacute
actualmente Todo ello permite establecer la siguiente definicioacuten formal de informacioacuten Sea
un fenoacutemeno variable que se presenta en un nuacutemero finito de estados se dice que hay
informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando se determina previamente el estado actual del
fenoacutemeno sometido a consideracioacuten
Esta doctoranda teniendo en cuenta lo anterior define la informacioacuten del modo siguiente
ldquoUna diferencia causada por un proceso subyacente casi siempre dirigido por propuestas y o
intereses capaz de transformar una estructura cognitiva vehiculada por una coleccioacuten de
siacutembolos que tiene el potencial de alterar el estado cognitivo de un agente cognoscitivo que le
dota de significadordquo
134
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN
Los distintos elementos que intervienen en el manejo y transmisioacuten de la informacioacuten (Lage
2004) que establecen una categorizacioacuten en niveles de la misma son los siguientes Soporte
sentildeales signos datos noticias conocimientos y sabiduriacutea
La informacioacuten va desde la infraestructura que la vehicula formada por su soporte sentildeales y
signos a la superestructura que la usa para la accioacuten constituida por conocimientos y
sabiduriacutea pasando por la estructura conteniendo los datos y las noticias (que es lo que
habitualmente se denomina informacioacuten) Es decir los tres primeros elementos conforman la
infraestructura de la informacioacuten los dos del medio la estructura y los dos uacuteltimos la
superestructura Estos cuatro uacuteltimos conforman lo que geneacutericamente se denomina
informacioacuten El paso de unos niveles a otros se puede dar esquemaacuteticamente como sigue
Soporte medio que transmite sentildeales o soporta fenoacutemenos (en griego lo que aparenta ser)
verbigracia Aire Agua ADN canales humo nervios etc son distintos soportes + variaciones
en dicho soporte rArr
Sentildeales + Coacutedigo rArr
Signos + Patroacuten rArr
Datos = Hechos imaacutegenes sonidos valores de variables texto coacutedigo hellip + Interpretacioacuten +
Significado + Estructura + Relevancia + Propoacutesito rArr
Noticias Datos interpretados sumarizados organizados estructurados filtrados formateados
+ Accioacuten + Aplicacioacuten rArr
Conocimientos Ideas normas procedimientos casos reglas modelos intuiciones que guiacutean
las decisiones y actuaciones + Seleccioacuten + Experiencia + Principios + Restricciones +
Aprendizaje + Intuicioacuten rArr
Sabiduriacutea Juicios eacuteticos y esteacuteticos y axioloacutegicos Preferencias Gustos etc
135
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN
Claacutesicamente y teniendo en cuenta la naturaleza triaacutedica de los signos hay tres aspectos a
considerar en el estudio formal de la informacioacuten (Morris 1938) a saber
a) Sintaacutectico que trata sobre coacutemo estaacuten estructurados los siacutembolos
b) Semaacutentico que concierne a lo que denotan o significan
c) Pragmaacutetico que afecta a coacutemo se interpretan o usan
Aspectos que de modo similar tambieacuten considera Arsac (Arsac 1970) y hoy con ligeras
variaciones acepta todo el mundo (Paradela 2003) Sin embargo siendo importante la
informacioacuten en siacute misma no lo es menos la componente de comunicacioacuten que implica
Intuitivamente el significado de una ldquocomunicacioacutenrdquo es una combinacioacuten de semaacutentica y
pragmaacutetica Esta uacuteltima incluye inherentemente consideraciones tales como el entorno y los
estados mentales de los que se comunican que son externos al propio lenguaje Las maacuteximas
ldquoGriceanasrdquo de la comunicacioacuten son la piedra maestra del proceso de discusioacuten y son las
siguientes (Grice 1975)
a) ldquoCantidadrdquo Hacer la contribucioacuten a la conversacioacuten tan informativa como sea necesario
pero no maacutes para reducir la confusioacuten
b) ldquoCalidadrdquo Intentar hacer soacutelo contribuciones verdaderas es decir no decir lo que se cree
que es falso o de lo que se carece de la adecuada evidencia para establecerlo
c) Relacioacuten Emplear soacutelo aquello que sea relevante para el asunto entre manos
d) Modo manera o forma Evitar la oscuridad y la ambiguumledad ser breve y ordenado Es un
anhelo generalizado en casi todos los oacuterdenes de la vida el economizar palabras
naturalmente sin perder nada del significado de lo que se quiere decir Baltasar Graciaacuten
(Graciaacuten 1963) deciacutea Lo bueno si breve dos veces bueno y auacuten lo malo siacute poco no tan
malo maacutes obran quintas esencias que faacuterragos Las foacutermulas tablas etceacutetera ayudan a
este propoacutesito
Las formas maacutes concisas elegantes y potentes de transmisioacuten de ideas y conceptos son las
foacutermulas y ecuaciones matemaacuteticas y la poesiacutea Pues ambas comparten la siguiente cualidad
136
caracteriacutestica La poesiacutea es como las foacutermulas y las ecuaciones la forma del lenguaje maacutes
concisa y cargada de significado La diferencia estaacute en que en las foacutermulas y ecuaciones el
idioma es universal cosa que no sucede en la poesiacutea
La distincioacuten entre datos noticias y conocimientos lleva antildeos intentado dilucidarse sin que
hasta el momento se haya llegado a una conclusioacuten definitiva Una posible razoacuten para esta
falta de consenso estriba en el hecho de que se mezclan distintas perspectivas en las
discusiones acerca de conceptos que como sucede en el caso de ldquoinformacioacutenrdquo resultan ser
ldquopolimorfosrdquo Se dice que un concepto es polimorfo cuando no es posible definirlo como se
hace con las definiciones claacutesicas mediante un conjunto de atributos caracteriacutesticas y o
propiedades y o condiciones necesarias y suficientes universalmente vaacutelidas Un ejemplo
tiacutepico de concepto polimoacuterfico es el de ldquococherdquo que no es lo mismo para un ingeniero
mecaacutenico que para un ecologista o para un planificador de traacutefico Es decir el concepto
ldquococherdquo admite y de hecho tiene distintas definiciones dependiendo del contexto Todo lo
contrario sucede con los conceptos matemaacuteticos formales establecidos que tienen definicioacuten
uacutenica
En general no hay forma de distinguir datos noticias y conocimientos a partir de una base
ldquorepresentacionalrdquo de los mismos es decir vistos aisladamente como elementos y estructuras
en un papel o una maacutequina o cualquier otro sistema pues usan los mismos signos y sentildeales
Por eso cualquier distincioacuten basada en el tamantildeo o complejidad de la representacioacuten estaacute con
probabilidad rayana en la certeza condenada al fracaso Una alternativa estriba en ir maacutes allaacute
de la representacioacuten e identificar coacutemo y con queacute propoacutesito se usan estas estructuras esto es
que papeles juegan en el proceso generalmente de toma de decisioacuten en el que participan En
consecuencia para poder categorizarlos ya que no es posible clasificarlos hay que tener en
cuenta ademaacutes de las estructuras por ellos mismos representadas su ldquointerpretacioacutenrdquo dentro
de los distintos contextos en que se aplican y por quieacuten son interpretados y aplicados Esto
conduce directamente al problema del ldquomarco de referenciardquo de los aspectos de
interpretacioacuten y los ldquoagentesrdquo hombres y o maacutequinas etc ejecutando la interpretacioacuten que
estaacuten interrelacionados Con el teacutermino ldquoagenterdquo se quiere decir un sistema natural y o
artificial con capacidad de inferencia y razonamiento sobre estructuras abstractas y de
ejecutar acciones en base a esas capacidades La cuestioacuten crucial es dilucidar a queacute ldquoagenterdquo
debe asignaacutersele un(os) elemento(s) concreto(s) en forma de dato(s) y o noticia(s) y o
conocimiento(s) o si eacutestos pueden considerarse como objetivos y o elementos
137
independientes de un inteacuterprete particular El concepto de ldquoholoacutenrdquo que se consideraraacute maacutes
adelante permitiraacute superar esas dificultades
De todo lo anterior se deduce que aunque pueda tomar distintas apariencias y usos la
informacioacuten es una y por eso una debe ser abstractamente su elemento baacutesico que a falta de
mejor nombre los autores deciden denominarle ldquoinformoacutenrdquo A modo de inciso aclarativo hay
que sentildealar que dicho teacutermino lo usoacute por primera y uacutenica vez Uttley (Uttley 1970) al aplicar
algunas ideas de la teoriacutea matemaacutetica de la comunicacioacuten de Shannon (Shannon 1948) al
perceptroacuten de Rosenblatt formado por unidades de separacioacuten lineal (ldquoneuronasrdquo) lo que
constituiacutea una fuerte limitacioacuten (Rosenblatt 1958) Para superarla Uttley propuso por una
parte un esquema de aprendizaje no supervisado en el que los pesos sinaacutepticos se definiacutean en
funcioacuten de que una ldquoneuronardquo i se active al tiempo que se activa otra j de la capa anterior y a
la que estaacute conectada por medio de una sinapsis y cuyo peso de conexioacuten asociado vendriacutea
dado por
)nn(P
)n(P)n(PlogkW
ij
ijii
ijsdot
sdotsdot=
Siendo k una constante a valorar por el disentildeador de la red P(nj) la probabilidad de que la
neurona j responda P(ni) la probabilidad de que la neurona i responda Y P(njni) la
probabilidad de que las dos neuronas esteacuten activadas simultaacuteneamente Por otra parte Uttley
tambieacuten reemplazoacute la funcioacuten umbral de activacioacuten del preceptroacuten por otra que proporcionaba
una respuesta maacutes graduada y no solamente de todo o nada Como puede verse el sentido
que se le da aquiacute no tienen nada que ver con la red de Uttley Fin de la aclaracioacuten
Es decir toda informacioacuten con independencia del soporte que se utilice de las sentildeales que
use y de los signos a que deacute lugar y emplee es ni maacutes ni menos un conjunto de informones
Fiacutejese que no se dice que puede representarse es mucho maacutes que eso estaacute constituida por
informones Por otra parte los tres aspectos a considerar en el estudio formal de la
informacioacuten (Morris 1938) Sintaxis o estructura de los signos Semaacutentica o significado de los
mismos y Pragmaacutetica o interpretacioacuten y o uso de dichos signos estaacuten contemplados en el
informoacuten El informoacuten es tanto un dato a nivel sintaacutectico como un registro de un MIS a nivel
semaacutentico como una ontologiacutea a nivel pragmaacuteticoPor ejemplo las bases de datos estaacuten
constituidas por informones tipo datos Los sistemas de informacioacuten proporcionan informones
138
tipo noticias estructuradas Y las bases de conocimiento se estructuran con informones en
forma de ontologiacuteas
Asiacute se define el informoacuten como el elemento baacutesico de la informacioacuten que tiene sentido para
un holoacuten y le permite tomar decisiones y ejecutar acciones adecuadas El informoacuten puede
tomar la forma de un dato de una noticia y de un conocimiento La unioacuten de informones como
datos y los holones correspondientes de informones como noticias y los correspondientes
holones con los que interactuan forman los asiacute aunque inadecuadamente denominados
sistemas de informacioacuten Finalmente la unioacuten de informones en forma de ontologiacuteas como
conceptualizaciones consensuadas de conocimientos y los correspondientes holones en este
caso en forma de motores de inferencia que las manejan y se interrelacionan forman los
Sistemas Basados en Conocimientos en general y los Sistemas Expertos en particular
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN
Como ya se ha dicho no existe informacioacuten sin algo que la procese Dicho lo anterior el
elemento baacutesico del proceso de la informacioacuten que aquiacute se considera es el que para usar el
teacutermino empleado por Koestler (Koestler 1967) basaacutendose en ldquola paraacutebola de los relojerosrdquo de
Simon (Simon 1962) se va a denominar holoacuten
El premio Nobel de economiacutea del antildeo 1978 y uno de los padres de la Inteligencia Artificial
Herbert A Simon planteoacute la paraacutebola de dos relojeros en el sentido de disentildeadores y sobre
todo constructores de relojes En dicha paraacutebola Simon concluiacutea (Simon 1962) que los
sistemas evolucionan mucho maacutes raacutepida y seguramente de un nivel de complejidad
determinado a otros niveles de complejidad significativamente superior si se consiguen
formas intermedias estables que actuacuteen como pasos intermedios hasta ldquoalcanzarrdquo el objetivo
Simon ilustraba el proceso seguacuten el cual era posible ldquocrecerrdquo minimizando riesgos hasta llegar
a sistemas complejos La idea es que un sistema complejo resultariacutea sumamente fraacutegil si no
constara de subsistemas interrelacionados y en la medida conveniente autoacutenomos La
paraacutebola sucintamente es la siguiente Habiacutea una vez dos relojeros Tempus y Hora que
trabajaban naturalmente en Suiza Hora montaba sus relojes como por entenderse se monta
un castillo de naipes Bastaba por tanto que una pieza verbigracia un muelle se saliera de su
sitio o por exagerar le ldquoatacarardquo un golpe de tos al relojero mientras colocaba una tuerca
para que todo se le viniera abajo y se viese forzado a retomar cual Siacutesifo (Seeman 1958) la
139
tarea desde el principio Tempus con maacutes astucia y visioacuten de futuro seguiacutea otro procedimiento
maacutes eficaz Ensamblaba unidades independientes y complementarias hasta que oiacutea el ldquotic tacrdquo
sentildeal que el trabajo estaba felizmente terminado De este modo se precaviacutea de que el golpe de
tos o la pieza rebelde paradigma de la maldad de las cosas inanimadas echaran a perder su
trabajo Pues en el peor de los casos se estropeaba soacutelo una unidad o moacutedulo del sistema
total es decir se malograba una unidad que formaba parte o estaba comprendida en otra
unidad de orden superior lo que era un incordio pero no una tragedia Tempus consiguioacute
fabricar muchos maacutes relojes que Hora y al final se quedoacute con praacutecticamente toda la clientela
Retomando esta hipoacutetesis contrastada Arthur Koestler siguiendo la maacutexima holista
aristoteacutelica de que ldquoel todo es maacutes que la suma de las partesrdquo (Aristoacuteteles 1994) y teniendo
en cuenta la paraacutebola de los dos relojeros acuntildeoacute el neologismo ldquoholoacutenrdquo (Koestler 1967) que
etimoloacutegicamente viene de ldquoholosrdquo es decir totalidad e incorpora el sufijo ldquoonrdquo que como
ya se ha dicho significa ldquoparterdquo o ldquopartiacuteculardquo El concepto de holoacuten estaacute inspirado en las
estructuras recursivas autosimilares presentes en los sistemas organizativos bioloacutegicos De
hecho un holoacuten lo definioacute Koestler como una parte identificable de un sistema que tiene
entidad uacutenica compuesta de partes subordinadas y que a su vez es parte de un todo mayor
Este concepto tiene una larga y respetable historia En efecto la idea de jerarquiacutea y de sus
constituyentes partes-todo u holones puede y debe remontarse a los filoacutesofos presocraacuteticos
padres del atomismo Leucipo y Deomoacutecrito Eacutestos desarrollaron el concepto abstracto de
aacutetomo y lo usaron para desarrollar una filosofiacutea que podriacutea o al menos lo pretendiacutea explicar
todos los eventos observados Aristoacuteteles por su parte al establecer en su metafiacutesica que el
todo era maacutes que la suma de las partes fue el iniciador del holismo Ademaacutes usoacute la jerarquiacutea
como metodologiacutea para acumular y conectar conocimiento bioloacutegico Este concepto de
jerarquiacutea fue quizaacutes la forma dominante de ver la conexioacuten entre los oacuterdenes natural
humano y sobrenatural de los seres durante la edad media En el siglo XVII Leibinz propuso la
moacutenada como unidad irreducible para explicar no soacutelo el mundo material sino tambieacuten el
mundo espiritual
Al comienzo del siglo XX hubo un agitado intereacutes en el holismo y la jerarquiacutea que debe sus
geacutenesis al impacto de la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y Darwin Posteriormente en 1926
Jan Smuts en su obra ldquoEvolution and Holismrdquo vio las profundas conexiones entre los mundos
natural y social y su concepto de holismo influencioacute claramente las ideas de Wilber Eacuteste en
1980 cita a Smuts al comienzo de su principal trabajo ldquoThe Atman Projectrdquo donde usa el
concepto de jerarquiacutea En todas partes se ve en la naturaleza nada maacutes que totalidades
140
Mientras todos estos distintos entramados de ideas incluyen la consideracioacuten de redes
jeraacuterquicas y niveles y oacuterdenes de desarrollo no fue hasta el trabajo de Arthur Koestler donde
se propuso una teoriacutea completa de holarquiacutea y holones
Koestler primero vio la necesidad de alguacuten modelo que pudiera unir e integrar la visioacuten del
mundo reducionista y mecanicista de las sicologiacuteas ldquocientiacuteficardquo y conductista con la visioacuten del
mundo holista y humanista de las sicologiacuteas feudiana rogeriana y de la gestalt En segundo
lugar reconocioacute la importancia y relevancia de los procesos evolutivos en las ciencias sociales y
buscaba proporcionar alguacuten sistema teoreacutetico que pudiera aplicar conceptualizaciones
evolutivas a ambas realidades En tercer teacutermino buscaba desarrollar un modelo de sistemas
sociales humanos que fueran igualmente naturales para analizar el micronivel de la
individualidad y el macronivel de la colectividad Eacutel buscaba proponer alguacuten modelo baacutesico de
explicacioacuten que fuera relevante a lo largo y ancho de todo el rango de al actividad humana y su
entorno Koestler reconocioacute que este constructo ldquoholoacutenrdquo teniacutea de hecho unos muy
venerables y antiguos ancestros en la filosofiacutea occidental Varios e importantes filoacutesofos
incluyendo Leibniz y Hegel habiacutean dirigido su atencioacuten a la importancia de cosas tales como
jerarquiacutea y niveles de desarrollo Koestler se veiacutea a siacute mismo en una liacutenea de pensadores tales
como esos que buscaban presentar juntos diferentes buacutesquedas y escuelas de esfuerzos
cientiacuteficos en lugar de perseguir la continua especializacioacuten en el conocimiento cientiacutefico que
habiacutea caracterizado las modernas escuelas cientiacuteficas La teoriacutea holoacutenica era el intento de
Koestler de conseguir una filosofiacutea de la ciencia integradora y esperaba que esta teoriacutea o algo
similar formariacutean la base de cualquier futura visioacuten del mundo futuro
El teacutermino holoacuten es como ya se ha dicho una combinacioacuten del vocablo griego ldquoholosrdquo que
significa todo o totalidad y el sufijo ldquoonrdquo el cual como en las palabras protoacuten neutroacuten etc
que indica ademaacutes de ser partiacutecula o parte El holoacuten entonces es una parte-todo Es un
punto nodal en una jerarquiacutea que describe las relaciones entre entidades que son totalidades
autocompletas y entidades que pueden verse como partes dependientes de otras Asiacute
dependiendo de coacutemo se centre el foco movieacutendose arriba abajo y o a lo largo y ancho de
los nodos de una estructura ldquojeraacuterquicardquo asiacute la percepcioacuten de lo que es un todo y lo que es una
parte cambiaraacute
Koestler con la paraacutebola de los relojeros de Simon quiso mostrar dos cosas Una que los
sistema complejos evolucionaraacuten desde los sistemas maacutes sencillos mucho maacutes raacutepidamente si
hay formas estables intermedias es decir si estaacuten jeraacuterquicamente organizadas Dos y maacutes
141
importante eacutel buscaba mostrar que los sistemas complejos resultantes seraacuten siempre
jeraacuterquicos y que la jerarquiacutea es el resultado natural y ubicuo del desarrollo de formas
estructurales Despueacutes de establecer la importancia universal de la jerarquiacutea en el desarrollo
de sistemas complejos Koestler continuoacute proponiendo que estas jerarquiacuteas podriacutean analizarse
en teacuterminos de los nodos o formas intermedias estables mediante las cuales se define su
estructura Fue justo a estas formas intermedias a las que Koestler le confirioacute la nueva etiqueta
de ldquoholoacutenrdquo
Koestler vioacute la teoriacutea holoacutenica como una filosofiacutea de la ciencia amplia que mostraba una salida
al interminable debate acerca de los meacuteritos del reducionismo y del holismo Koestler sentildealoacute
que en cualquier y todo orden existente de los sistemas fiacutesicos a los sociales pasando por los
quiacutemicos y los bioloacutegicos enteramente autosoportados no existiacutean entidades no
interactuantes Y lo que es maacutes importante que las entidades pueden verse situadas en una
relacioacuten holaacuterquica entre ellas Eacutel llamaba a los sistemas de tales entidades Open Hierarchical
Systems (OHS) y a eacutestos subsecuentemente se les denominoacute holarquiacuteas Un holoacuten como
Koestler entendiacutea el teacutermino es una parte identificable de un sistema que tiene una identidad
uacutenica sin embargo estaacute hecho de partes subordinadas y a su vez es parte de un todo mayor
Los holones de Koestler no fueron pensados como entidades y objetos sino como una forma
sistemaacutetica de relacionar estructuras teoreacuteticas En otras palabras los holones eran puntos de
referencia arbitrarios para interpretar la realidad En sus palabras Whatever the natura of a
hierachic organization its constituent holons are defined by fixed rules and flexible estrategies
De este modo los holones de Koestler son postulados y ldquodeterminadosrdquo soacutelo fuera de las
reglas relacionales y estrategias que ayudan a dar sentido a la realidad
Dado que los holones se definen por la estructura de una jerarquiacutea cada holoacuten identificado
puede verse el mismo como una serie de subjerarquiacuteas anidadas de la misma manera que las
muntildeecas rusas las matrioscas son una serie inclusiva de muntildeecas dentro de otras muntildeecas
Los holones son entonces simultaacuteneamente partes y todos porque ellos son siempre partes
de jerarquiacuteas maacutes amplias y siempre contienen subjerarquiacuteas Los holones son
simultaacuteneamente todos autocontenidos de sus partes subordinadas y partes dependientes
cuando se ven en la direccioacuten inversa Por consiguiente los holones pueden verse como
puntos de referencia en series jeraacuterquicas u holarquiacuteas
Koestler ha propuesto un conjunto bastante detallado de principios holoacutenicos y mostroacute que el
constructo holoacuten tiene una aplicacioacuten muy amplia A su vez Wilber ha colocado el constructo
142
holoacuten firmemente en el centro de su marco integrador comprehensivo para conectar
conocimiento Wilber ha ampliado la teoriacutea holoacutenica en un nuevo enfoque para entender las
relaciones de muchos dominios de conocimiento diferente Las concordancias entre los
principios holoacutenicos de Koestler y los 20 postulados de Wilder son claras pero no completas En
efecto hay varios aspectos de la teoriacutea de Koestler que hasta ahora no han sido explorados
por nadie incluido Wilber Eacutestos incluyen los conceptos de
a) Cambio holiacutestico Sistemas de entrada-salida que buscan la manera de coacutemo se disparan los
holones y coacutemo eacutestos escudrintildean y filtran las entradas
b) ldquoArborizacioacutenrdquo ldquoreticulacioacutenrdquo y ldquocanales de regulacioacutenrdquo Tanto tener aptitudes como
maneras de ver coacutemo los holones pueden relacionarse entre siacute
c) La ldquosaludrdquo holoacutenica y coacutemo cambian los holones y los principios de Koestler sobre equilibrio
holoacutenico desorden y regeneracioacuten que ofrecen feacutertil terreno para posterior estudio
Por su parte Wilder a estos principios antildeade los siguientes
a) No exclusioacuten que significa que se pueden aceptar las declaraciones vaacutelidas de verdad es
decir las pretensiones de verdad que pasan los test de validez para sus propios paradigmas
en sus propios campos sean eacutestos hermeneuacuteticos cientiacuteficos etc en tal grado que
realizan afirmaciones acerca de la existencia de sus propios fenoacutemenos descubiertos y
realizados pero no cuando hacen afirmaciones acerca de la existencia de fenoacutemenos
realizados por otros paradigmas Este principio se refiere a la aceptacioacuten de conocimiento
parcial pero vaacutelido que ha sido recogido por disciplinas centraacutendose en aspectos
particulares de los holones Mucho de ese conocimiento ha sido el resultado de paradigmas
(matrices disciplinaresmetodologiacuteas) reducionistas
b) PlegadoDesplegado que se define como sigue La no exclusioacuten con frecuencia desvela una
idea que estaba velada En cualquier corriente evolutiva sucesivas olas transcienden e
incluyen a sus predecesoras y asiacute cada ola es adecuada y cada ola sucesiva es maacutes
adecuada En breve cada ola es holista y cada ola sucesiva es maacutes holista Este principio
ldquounfoldmentenfoldmentrdquo se refiere a la aceptacioacuten de la naturaleza holista y evolutiva del
conocimiento y sus meacutetodos Este principio se relaciona con la idea de que todas las bases y
meacutetodos de conocimiento estaacuten conectados y pueden ilustrar a los demaacutes
143
c) ldquoEnactmentrdquo ldquoPromulgacioacutenrdquoPoniendo todos estos modos de inquisicioacuten juntos como un
enactment y descubrimiento de cognicioacuten ldquoturquesardquo resulta en un pluralismo
metodoloacutegico integral Los fenoacutemenos son ldquoenactedrdquo paridos y desvelados por praacutecticas
entonces uno se percata de que lo que parece ser ldquofenoacutemenos o experiencias conflictivasrdquo
son simplemente experiencias diferentes y completamente compatibles paridas por
diferentes praacutecticas De este modo ldquoenactmentrdquo se refiere a la capacidad de situar y
proporcionar un nuevo contexto integrador para que todos los enfoques parciales sean
reduccionistas y holistas Son precisamente estas tres capacidades las que se hacen
disponibles cuando se ve el holoacuten como una unidad de anaacutelisis para una teoriacutea integral
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES
El teacutermino ldquoholoacutenrdquo se emplea entonces para denominar entidades que exhiben
simultaacuteneamente un comportamiento autoacutenomo es decir se comportan como un todo y no
autosuficiente esto es se comportan como una parte de un todo mayor Verbigracia las
moleacuteculas que son simultaacuteneamente todo cuando integran a los aacutetomos que las forman y
parte cuando por ejemplo se integra en una ceacutelula como el ADN que constituye el nivel
inmediatamente superior en tamantildeo y funcionalidad que no en importancia pues todos los
niveles son decisivos e imprescindibles sin aacutetomos no hay moleacuteculas etc Cuando el holoacuten se
siente todo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en los
niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo Una de las principales caracteriacutesticas de los
holones es su autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y le puede
proporcionar la capacidad de autoorganizacioacuten y autopoiesis Esto significa que se precisan
capacidades de cooperacioacuten En consecuencia se puede ldquodefinirrdquo un ldquoholoacutenrdquo como un
elemento con entidad propia que presenta un comportamiento autoacutenomo autoorganizativo
recursivo y cooperativo Autonomiacutea significa que cada holoacuten debe ser capaz de crear controlar
y monitorizar la ejecucioacuten de sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten y realizar
acciones preventivas y o correctivas adecuadas esto es racionales frente a sus propias
disfunciones En 1981 el premio Nobel de Medicina Roger Sperry hizo uso del concepto de
holoacuten en su aacuterea de conocimiento Posteriormente Suda a partir de 1989 aplicoacute el concepto
de holoacuten a los sistemas industriales con lo que el teacutermino se hizo ubicuo En general el holoacuten
es la unidad baacutesica estable y coherente en sistemas complejos tanto naturales (bioloacutegicos y
sociales) como artificiales (informaacuteticos o industriales) Un holoacuten contiene siempre una parte
de procesamiento de informacioacuten y opcionalmente otra de procedimiento fiacutesico Con el
144
teacutermino holoacuten la doctoranda concretamente denomina las entidades de proceso que exhiben
simultaacuteneamente
a) Un comportamiento autoacutenomo esto es se comportan como un todo por lo que requieren
capacidades de cooperacioacuten Entendiendo por autonomiacutea la capacidad de una entidad para
generar su propio comportamiento o sea sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten
y comportamiento en definitiva su ldquoteleologiacuteardquo y controlar su ejecucioacuten asiacute como su propio
estado
b) No autosuficiente es decir se comportan como parte de un todo mayor Cuando el holoacuten
se siente ldquotodordquo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en
los niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo
c) Capacidad de cooperacioacuten Por cooperacioacuten se quiere decir en este contexto un proceso
por el cual un conjunto de dichas entidades desarrolla planes comuacutenmente aceptados que
se ejecutan en forma distribuida Cooperacioacuten significa que los diferentes holones deben
ser capaces de negociar y ejecutar planes mutuamente aceptables ldquojoint intentionsrdquo y
llevar a cabo acciones preventivas y o correctivas frente a disfunciones globales Dicho de
otro modo un holoacuten es el elemento baacutesico de proceso de informacioacuten en cualquiera de sus
niveles con entidad propia capaz de presentar un comportamiento autoacutenomo y
cooperativo
d) Caraacutecter abierto Un sistema holoacutenico debe permitir la inclusioacuten de nuevas unidades
eliminacioacuten de las existentes y modificacioacuten de las capacidades funcionales y
comportamentales de las existentes con intervencioacuten exterior miacutenima Los holones y o
sus funcionalidades pueden venir de distintas ldquomentesrdquo (heterogenidad)
e) ldquoAutorreplicacioacutenrdquo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su
autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y la capacidad de
autoorganizacioacuten y autopoiesis o autoproduccioacuten especiacutefica del nivel celular
f) Estabilidad Todo holoacuten de acuerdo con el contexto y circunstancias posee cuatro impulsos
a saber
1) Actividad o impulso a continuar siendo totalidad
2) ldquoComunioacutenrdquo o impulso para seguir siendo una parte
145
3) Trascendencia o impulso de superacioacuten y ascendencia
4) Disolucioacuten o impulso a descender y descomponerse
Estos impulsos son los que le dan estabilidad al holoacuten y le permiten desarrollar sus
capacidades
Como lo sentildealoacute Octavio Paz en el discurso de recepcioacuten del premio Nobel los seres humanos
han descubierto al finalizar el siglo XX que son parte de un inmenso sistema o ldquoconjunto de
sistemasrdquo que va de las plantas y los animales a las ceacutelulas las moleacuteculas los aacutetomos y las
estrellas Es decir un eslaboacuten maacutes en la ldquocadena del serrdquo como llamaban los antiguos filoacutesofos
al Universo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su granularidad muacuteltiple
que se manifiesta a traveacutes de la replicacioacuten de estructuras autosimilares Esto permite
establecer una descomposicioacuten jeraacuterquica y o heteraacuterquica en forma fractal que se puede
denominar ldquoholarquiacuteardquo Una holarquiacutea puede definirse pues como un sistema de holones
autorregulados que seguacuten las circunstancias cooperan y o compiten y o colaboran
teleoloacutegicamente esto es para alcanzar una meta u objetivo global En suma una holarquiacutea
define las reglas baacutesicas y especiacuteficas de lo que geneacutericamente se puede denominar la
colaboracioacuten de los holones que la forman y en consecuencia limita su autonomiacutea y o
condiciona sus procesos de toma de decisioacuten Dicho en otros teacuterminos el caraacutecter colaborativo
de los holones se manifiesta tanto en los procesos teleoloacutegicos de planificacioacuten y asignacioacuten de
ellos mismos y los recursos que necesitan para la consecucioacuten de las metas globales del
sistema en que se integran como para la superacioacuten de sus carencias en recursos y o
capacidades en la ejecucioacuten de sus propias metas Su fortaleza y oportunidad procede del
hecho de ser unidades independientes es decir moacutedulos en el tratamiento de problemas
cooperativos en entornos heterogeacuteneos Su eficacia proviene de su caracteriacutestica de ser a su
vez elementos subordinados de otros holones de nivel superior que los contienen y en cierta
medida controlan Las formas intermedias proveen la funcionalidad propia de la totalidad
mayor
Obviamente los holones tienen que tomar decisiones racionales y como se aplican a una
nueva disciplina cientiacutefico-tecnoloacutegica dichas decisiones racionales deben ser similares a las
cientiacuteficas Estas decisiones pueden modelizarse con los pares ldquoholoacuten(es)rdquo ldquoinformoacuten(es)rdquo en
los cuales los holones representan dicho mundo Se supone naturalmente que los holones
pueden elegir entre distintas alternativas u opciones Asimismo se supone que el mundo es
como es y que esto se refleja en su representacioacuten mediante los informones y que lo que le
146
ocurre al holoacuten depende por una parte de coacutemo sea el mundo en un momento determinado
y por otra de las opciones episteacutemicas y gnoseoloacutegicas que elija el holoacuten Se acepta tambieacuten
que el holoacuten no conoce el estado actual del mundo pero al menos es capaz de distinguir entre
dos estados posibles del mismo Las valoraciones de los holones no atantildeen directamente a las
opciones o a los estados del mundo sino a los pares ldquoopcioacuten-estadordquo es decir lo que se valora
es haber elegido una opcioacuten particular en un estado definido del mundo
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS
Al igual que los informones pueden tomar la forma de dato noticia o conocimiento los
holones que los manejan presentan estructuras desde las maacutes simples a las maacutes complejas
dependiendo de la complejidad funcional asignada a los mismos Maacutes en concreto la
construccioacuten del software se presenta mediante un modelo computacional holoacutenico formado
por diferentes niveles denominados
1 ldquoInstruccioacutenrdquo Lo constituyen los holones primarios que son entidades propias y
cooperativas que tratan uacutenicamente datos y producen nuevos datos o noticias simples
Estos holones estaacuten especializados y realizan operaciones primitivas baacutesicas Por ejemplo
si a un holoacuten primario operador loacutegico le llegan dos datos que son las edades de dos
individuos el holoacuten pude sacar como noticia que un individuo es mayor igual o menor que
otro
2 ldquoComponenterdquo Un holoacuten componente surge al estructurarse holaacuterquicamente
(jeraacuterquicamenteheteraacuterquicamente) los holones primarios del nivel ldquoinstruccioacutenrdquo
proporcionando un nivel superior al de ldquoinstruccioacutenrdquo Un holoacuten componente tiene una
funcionalidad superior a la suma de sus holones ldquoinstruccioacutenrdquo y tiene capacidad de
producir noticias maacutes elaboradas y o conocimientos
Si los informones que trata el holoacuten componente corresponden a estructuras de datos el
componente proporcionaraacute noticias tiacutepicas de un sistema de informacioacuten En cambio si los
holones tratan estructuras de datos que corresponden a conceptualizaciones de
conocimiento el resultado seraacute informones de conocimiento que proporcionan
informacioacuten propia de los sistemas basados en el conocimiento Por ejemplo un holoacuten
componente puede representar un programa o un subprograma
147
3 ldquoEntidadrdquo El holoacuten ldquoentidadrdquo se forma mediante relaciones holaacuterquicas de holones
componentes Un holoacuten entidad presenta creencias motivaciones e intenciones y cambia
su comportamiento basaacutendose en experiencias previas Incorpora la propiedad de
proactividad es decir actuacutea por su propia iniciativa para alcanzar metas que eacutel mismo es
capaz de generar Los holones ldquoentidadrdquo tratan con informones de noticias y
conocimientos dependiendo de la estructura subyacente de los datos Por ejemplo un
holoacuten entidad puede representar y actuar como un agente software
Los sistemas transacionales son informones tipo datos y holones clase programas Los
sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas y holones tipo
programas y foacutermulas Finalmente los sistemas basados en conocimientos son ni maacutes ni
menos que informones en forma de ontologiacuteas y holones en forma de agentes
4 ldquoOrganizacioacutenrdquo Se denomina organizacioacuten holoacutenica a una holarquiacutea de entidades
colaborativas Un holoacuten organizacioacuten designa una agrupacioacuten formal y estable de holones
entidad y ofrece una interfaz bien definida de comunicacioacuten con el exterior que constituye
en si misma una unidad independiente e identificable (con entidad propia) Las actividades
de cada organizacioacuten vienen determinadas por procesos de cooperacioacuten con otras
entidades u organizaciones Una organizacioacuten presenta una meta comuacuten y los holones
entidad que tienen sus propias metas muestran un comportamiento cooperativo dirigido
por la meta comuacuten de esa ldquoorganizacioacutenrdquo En la ldquoorganizacioacutenrdquo los holones ldquoentidadrdquo son
libres para participar en la misma abandonarla y actuar de forma autoacutenoma como
ldquoentidadrdquo o formar nuevos holones ldquoorganizacioacutenrdquo con otras entidades Una organizacioacuten
holoacutenica precisa en su funcionamiento de los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones ldquoentidadrdquo
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las entidades
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones ldquoentidadrdquo en sus
actividades de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros de la
ldquoorganizacioacutenrdquo
148
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Por ejemplo un sistema multiagente (MAS) es un tipo de holoacuten ldquoorganizacioacutenrdquo Sin
embargo no hay que confundir agentes con holones y en consecuencia sistemas de
agentes con holones Como se veraacute maacutes adelante los holones son maacutes que agentes
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA
Ademaacutes de estos niveles es importante considerar dentro de una estructura holoacutenica el
dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten holoacutenico Se define un tal dominio como un espacio
loacutegico en el que los holones ldquoentidadrdquo u ldquoorganizacioacutenrdquo cada uno con sus propias metas
dentro del dominio operan y se comunican entre siacute proporcionando con ello el contexto en el
que estos holones pueden localizarse contactar e interactuar unos con otros por ejemplo un
dominio en una plataforma de Internet Dentro de un dominio eacutesta puede ser
a) Simple En este caso cualquiera se compromete a cooperar con cualquier otro siguiendo un
conjunto de protocolos de interaccioacuten establecidos Aquiacute se consideran aceptables
respuestas no cooperativas verbigracia ldquorechazordquo ldquono entendimientordquo etc Todos los
holones deben presentar facilidades de cooperacioacuten simple
b) Complejo Esta clase de cooperacioacuten estaacute encaminada a alcanzar una meta compartida por
varios holones por ejemplo el acuerdo de un plan comuacuten para ejecutar las tareas
asociadas a un problema distribuiacutedo
Una organizacioacuten holoacutenica se diferencia de un dominio holoacutenico en que la organizacioacuten estaacute
constituida por holones ldquoentidadrdquo tiene una meta comuacuten a todos los holones y eacutestos
participan voluntariamente en la organizacioacuten para alcanzar las metas de la misma Mientras
que el dominio es un espacio de cooperacioacuten y colaboracioacuten para que los holones ldquoentidadrdquo y
ldquoorganizacioacutenrdquo que participan voluntariamente en el mismo puedan alcanzar cada uno de
ellos su propia meta
En un dominio los holones se conciben como integrantes en una sociedad cuyas actividades
globales deben ser contempladas Estas actividades deben ocurrir de acuerdo con un conjunto
de convenciones y leyes sociales tanto de caraacutecter general como de caraacutecter especiacutefico Estas
leyes regulan las relaciones sociales que es necesario establecer para llevar a cabo dichas
149
actividades La estructura social del dominio viene determinada por los roles las relaciones
sociales identificadas entre eacutestos y las convenciones y leyes sociales que rigen estas relaciones
El dominio define entonces el comportamiento global esperado mediante las metas sociales
que deben contemplarse los roles necesarios para alcanzar dichas metas las relaciones
existentes entre estos roles y un conjunto de convenciones y leyes sociales de caraacutecter global
que regiraacuten dichas relaciones Una forma plausible de caracterizar el dominio es mediante la
identificacioacuten de las relaciones sociales potenciales existentes entre sus actores y maacutes
concretamente entre los diferentes roles identificados
El holoacuten asume la responsabilidad de llevar a cabo sus tareas individuales Ahora bien al estar
en un dominio de cooperacioacuten asume tambieacuten unas responsabilidades sociales La necesidad
de garantizar la realizacioacuten de estas tareas sociales conduce a la necesidad de identificar tanto
las relaciones sociales necesarias para llevar a cabo dichas tareas como las leyes sociales que
regulen dichas relaciones Estas leyes impuestas por el dominio deben ser respetadas por el
holoacuten y forzadas por el dominio con el fin de permitir el funcionamiento correcto del mismo
de acuerdo con el comportamiento global esperado Son por tanto las leyes que regulan las
relaciones sociales las que permiten obtener un comportamiento socialmente responsable a
los holones entidad y organizacioacuten
Plantearse la obtencioacuten de un comportamiento socialmente responsable durante el disentildeo del
holoacuten no seriacutea adecuado en un entorno dinaacutemico y heterogeacuteneo como es un dominio en el
que por ejemplo los patrones de interaccioacuten se establecen dinaacutemicamente Los distintos
modelos de coordinacioacuten y negociacioacuten y la propia estructura social constituyen las
abstracciones conceptuales para establecer las leyes que deberaacuten regir tanto la actuacioacuten de
los holones como sus interrelaciones con el fin de alcanzar un comportamiento socialmente
responsable Los medios de coordinacioacuten y negociacioacuten que soportan dichos modelos
constituyen el mecanismo utilizado por el dominio para este fin
La ldquoconfiguracioacutenrdquo que se crea en un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten es dinaacutemica
Mientras que el holoacuten organizacioacuten forma una configuracioacuten estable los holones de un
dominio son maacutes inestables participan en el dominio de cooperacioacuten para alcanzar sus propias
metas respetando las leyes sociales del dominio y nada maacutes alcanzarlas desaparecen del
mismo Un holoacuten entra a formar parte de un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten
interactuando con un holoacuten interfaz del dominio de modo que pueda participar en el mismo
150
Los holones se incorporan en el dominio para alcanzar sus propias metas El dominio acepta o
rechaza su entrada dependiendo de que el rol con el que desean participar sea apropiado en
ese dominio y acepten las convenciones y leyes sociales En caso afirmativo se incorporan
como holones socialmente responsables acatando las normas del dominio Normalmente el
dominio incorpora una serie de holones sociales cooperativos con la misioacuten de atender a las
necesidades de los holones que participan en el dominio y de hacerles cumplir las leyes
sociales tal y como se muestra en la figura IV4
Dominio 1 Dominio 2
Convenciones y leyes
Sociales
Holoacuten Entidad
Holoacuten Organizacioacuten
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Holoacuten Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Convenciones y leyes
Sociales
Migracioacuten
Agente Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Figura IV4 Dominios de Colaboracioacuten y Cooperacioacuten
La cooperacioacuten entre holones ocurre siempre a traveacutes de sus respectivos dominios de
cooperacioacuten Un dominio de cooperacioacuten comprende los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones miembros
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las organizaciones y el dominio
de cooperacioacuten Si el dominio de cooperacioacuten se localiza en el mismo dispositivo
fiacutesico el paso de mensajes puede conseguirse por memoria compartida En otro
caso los mensajes deben representarse codificarse y enviarse a traveacutes de una
red de comunicaciones Este aspecto se aborda en el modelo de comunicacioacuten
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones en sus actividades
de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
151
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros
del dominio asiacute como facilidades para la planificacioacuten y el control de tareas
dentro de un holoacuten (siacutentesis)
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Un sistema de informacioacuten holoacutenico es pues una holarquiacutea que integra el conjunto de
actividades de informacioacuten desde la identificacioacuten de necesidades la produccioacuten la seleccioacuten y
adquisicioacuten el procesamiento analiacutetico-sinteacutetico y la recuperacioacuten y diseminacioacuten de
informacioacuten para responder de forma dinaacutemica a las necesidades de los usuarios en forma de
organizacioacuten virtual Un tal sistema se sustenta en una red de elementos autoacutenomos y con
capacidad de cooperar La organizacioacuten la determina el propoacutesito y el compartir normas
poliacuteticas y reglas Dentro de una red holoacutenica cada configuracioacuten del proceso puede
identificarse como una empresa institucioacuten etc virtual Una componente software es
cualquier pieza de coacutedigo escrita con anterioridad que define un elemento de
conceptualizacioacuten y puede ser invocada para proveer una funcionalidad que la componente
encapsula Las componentes tiacutepicamente se empaquetan de acuerdo con normas efectivas
de modo que puedan ser invocadas desde lenguajes entornos y ambientes muacuteltiples En este
contexto un ldquowebservicerdquo puede entenderse como un holoacuten
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES
Antes de finalizar y dado el confusionismo existente al respecto se van a dar tal y como se
muestra en la tabla IV2 las diferencias y similaridades entre holones y agentes Lo maacutes
destacable de la misma son las dos situaciones siguientes Con respecto a la autoorganizacioacuten
para unos como es el caso de Barbat los holones y los agentes son distintos sin embargo
para otros como es el caso de Passer So y Durfle y Tambe son iguales Pero la diferencia
sustancial y de verdad discriminatoria es que mientras que los holones tienen capacidad de
recursioacuten e integracioacuten entre varios de ellos que tengan un objetivo comuacuten los agentes ni
tienen recursioacuten ni capacidad de integrarse
Otra caracteriacutestica fundamental de los holones en tanto que operan con un conjunto
restringido de opciones y estados del mundo que les viene dado por la situacioacuten y el problema
sobre el que actuacutean y no les es posible construir una estructura de preferencias completa y
coherente es la de ser elementos satisfacedores (no maximizadores) en el sentido de Simon
152
(Simon 1982) es decir buscan una solucioacuten suficientemente buena en vista a las restricciones
existentes y el coste relativo de hacer algo mejor En este sentido se comportan como los seres
humanos
PROPIEDAD HOLOacuteN AGENTE
1 Autonomiacutea Si Si
2 Reactividad Si Si
3 Proactividad Si Si
4 Habilidad Social Si La interfaz humana es especiacutefica de cada holoacuten
Si La interfaz humana se implementa generalmente por uno o varios agentes especializados
5 Cooperacioacuten Si Los holones nunca rechazan de manera deliberada la cooperacioacuten con otro holoacuten
Si El agente puede competir y cooperar
6 Reorganizacioacuten
Si Holarquiacuteas Las holarquiacuteas aquiacute se pueden implementar utilizando varios enfoques para federaciones en esquemas tales como facilitadores o mediadores
Si jerarquiacuteas organizacioacuten horizontal heterarquiacuteas etc Las holarquiacuteas en este caso se pueden implementar usando SMA o sea sistemas multiagente
7 Racionalidad Si Si
8 Aprendizaje Si Si
9 Benevolencia Si Si
10 Movilidad Los holones raramente necesitan movilidad para la ejecucioacuten de sus tareas Si asiacute fuera la tendriacutean
Si
11 Recursioacuten y Asociacioacuten
Si Eacutesta es la gran diferencia entre un holoacuten y un agente Mientras el holoacuten tiene capacidad de recursioacuten o asociacioacuten entre varios de ellos que posean un objetivo comuacuten los agentes no pueden agruparse ni son recursivos
No existe ninguna arquitectura recursiva como tal pero algunas teacutecnicas son utilizadas para definir federaciones que simularaacuten los diferentes niveles recursivos
12 Procesamiento de la Informacioacuten y Fiacutesico
Si La separacioacuten es expliacutecita aunque la parte de procesamiento fiacutesico es opcional
No existe una separacioacuten expliacutecita
13 Actitudes Mentales
Si Los holones no necesitan razonar acerca de sus propias actitudes mentales o aquellas de otros unidades de control
Si
Tabla IV2 Diferencias y similaridades entre holones y agentes
Evidentemente dichas valoraciones de acuerdo con las distintas situaciones y problemas
deben adoptar distintas formas que van desde la maacutes sencilla ordenacioacuten lineal hasta la
racionalidad acotada o satisfactoria de Simon (Simon 1945) pasando por los holones
bayesianos entre otros En efecto el agente racional claacutesico es un ldquomaximizadorrdquo en tanto que
en la propuesta de Simon donde introduce la nocioacuten de ldquosatisfaccioacutenrdquo (Simoacuten 1982)
retomando la de Tarski (Tarski 1956) es la de un ldquoagenterdquo que funciona en condiciones de
ldquoracionalidad acotadardquo Esto es debido baacutesicamente a que
a) Los holones van a operar con un conjunto suficientemente restringido de opciones y
estados del mundo que le vienen dados por la situacioacuten y el problema sobre el que actuacutean
153
b) Raras veces es posible construir una estructura de preferencias completa y coherente ni
tampoco calcular la utilidad esperada para cada opcioacuten Si eacuteste fuera el caso la cuestioacuten se
resolveriacutea mediante meacutetodos bayesianos sin problema En efecto Thomas Bayes (Bayes
1763) desarrolloacute en su trabajo de 1763 un procedimiento para resolver este tipo de
cuestiones Curiosamente dicho trabajo permanecioacute praacutecticamente ignorado hasta que
Pierre Simon de Laplace lo discutioacute en uno de sus trabajos
c) Es capaz de distinguir entre opciones satisfactorias y aquellas que no lo son
Es decir de acuerdo con Simon los holones son satisfacedores (satisfacer) no maximizadores
y en este sentido se comportan como los seres humanos Seguacuten Simon (Simon 1981) hay que
ir hacia una solucioacuten satisfactoria esto es una solucioacuten suficientemente buena en vista a las
restricciones existentes y el coste relativo de hacer algo mejor antes que una solucioacuten
satisfaciendo Naturalmente los pares holones-informones y las estructuras que sobre ellos se
construyen se enfrentaraacuten inexorablemente tanto a situaciones conflictivas como a otras
concurrentes y cooperativas en las que los esquemas de decisioacuten que usen se fundamentaraacuten
tanto en la teoriacutea de von Neuman y Morgenstern (von Neuman 1953) como en la teoriacutea de
juegos cooperativos de Nash (Nash 1953) y cualquier otra teoriacutea o regla de decisioacuten que
permita a los holones de modo efectivo tomar la decisioacuten maacutes adecuada en el momento maacutes
oportuno y de la forma maacutes eficiente posible
De hecho si no fuera por el caraacutecter continuo que representa el teacutermino que mejor le
cuadraba a lo que Koestler denominoacute holoacuten es el de ldquohomeomeroacutenrdquo en el sentido de
ldquohomeomeriacuteardquo de Anaxaacutegoras (Empeacutedocles 1996) y tal vez al caraacutecter holaacuterquico mejor le
convendriacutea el teacutermino de ldquojerarquiacutea desarraigadardquo en contraposicioacuten al concepto de jerarquiacutea
ldquodionisiacuteacardquo por el ldquooximoroacutenrdquo que representa el hecho de que en una holarquiacutea convivan
simultaacuteneamente dos planteamientos opuestos como son el de jerarquiacutea y la heterarquiacutea En
efecto el filoacutesofo neoplatoacutenico Dionisio Areopagita introdujo el concepto de jerarquiacutea en un
contexto teoloacutegico El teacutermino significa literal y etimoloacutegicamente dominio a traveacutes de lo
sagrado Siguiendo una ldquoloacutegicardquo que probablemente soacutelo eacutel conociera Dionisio llegoacute a la
conclusioacuten de que el cielo estaba organizado jeraacuterquicamente Es maacutes aseguraba que habiacutea
nueve niveles Dios era la cumbre los arcaacutengeles formaban el consejo de direccioacuten y Jesucristo
ocupaba un puesto a la diestra de Dios A continuacioacuten estaban los aacutengeles tronos
dominaciones potestades querubines serafines etc Pero para eacutel tambieacuten el infierno era
jeraacuterquico y la estructura era similar Lo que no determinoacute Dionisio fue si el cielo significaba
154
cooperacioacuten y el infierno confrontacioacuten o iquestqueacute Con los holones se contemplan ambas
alternativas Por eso con los holones se puede representar tanto una simple sentencia de
control hasta un sistema de agentes pasando por un subprograma ldquodemoniosrdquo etceacutetera
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA
Definidos los elementos constitutivos de la teoriacutea propuesta se pasa a presentar los
postulados que la soportan Eacutestos son los siguientes
P1 Complementariedad Todo sistema de informacioacuten bioloacutegico o artificial se compone de
soacutelo dos elementos complementarios Holones e Informones Formalmente
IHSI =
P2 Coacutemputo En todo sistema de informacioacuten se puede establecer la ldquooperacioacutenrdquo de coacutemputo
representada por 0 que consiste en transformar holones e informones de entrada en otro(s)
de salida Es decir los holones e informones se interrelacionan para obtener nuevos
informones y holones de acuerdo con el esquema siguiente
H o H cup I rarr Hrsquo cup Irsquo
P3 Satisfactibilidad Todo sistema de informacioacuten se rige por criterios de satisfactibilidad y no
de optimizacioacuten o maximizacioacuten
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN
Cualquier teoriacutea que se proponga se quedariacutea en mera especulacioacuten si no fuera capaz de
predecir y o explicar ciertos hechos en su dominio de aplicacioacuten Justamente estas
predicciones y o explicaciones constituyen los ldquoexperimentum crucisrdquo que permiten ya que
no corroborar formalmente al menos falsar la teoriacutea En este sentido la teoriacutea aquiacute propuesta
predice lo que a continuacioacuten se explicita en los dominios siguientes
A) Geneacutetica En el dominio del ADN la teoriacutea afirma que habida cuenta de que varios
informones distintos en este caso en forma de codones dan el mismo aminoaacutecido y el
coacutedigo geneacutetico actuacutea como holoacuten entonces dependiendo del codoacuten del que proceda el
aminoaacutecido eacuteste se comportaraacute de una manera o de otra Como consecuencia de ello
155
muchas enfermedades geneacuteticas de etiologiacutea uacutenica tienen ldquoprima facierdquo como causa el
codoacuten del que proceden Para confirmar esto se puede realizar el siguiente experimento
Cojaacutense varios individuos con la enfermedad de etiologiacutea uacutenica X obseacutervese si todos ellos
tienen en la proteiacutena Y el aminoaacutecido Z proveniente del codoacuten o triplete T Y veacuteanse como
contraprueba otros individuos que no presentan dicha enfermedad y comprueacutebese que
tienen codones distintos Si se confirma el supuesto es obvio que queda establecida como
supone la teoriacutea la relacioacuten iacutentima hoy auacuten no aceptada ni siquiera considerada de
tripletes y enfermedades
B) Cerebro El premio Nobel por el descubrimiento de la estructura del ADN Francis Harry
Compton Crick en 1990 y un joven colaborador suyo Christof Koch (Crick 1990)
proclamaron en Seminarios sobre Neurociencias que habiacutea llegado la hora de estudiar el tal
vez maacutes elusivo e ineludible de los fenoacutemenos la consciencia convirtieacutendola asiacute en un tema
legiacutetimo para la investigacioacuten empiacuterica Ambos rechazaban la creencia de muchos de sus
colegas en el sentido de que la consciencia no se podiacutea definir y menos auacuten estudiar Bien
al contrario para Crick y Koch siguiendo a William James la conciencia o consciencia y
todas sus formas dirigidas hacia objetos bien del mundo sensible o altamente abstractos o
internos parecen necesitar el mismo mecanismo subyacente es decir un mecanismo que
combina la atencioacuten con la memoria a corto plazo Sosteniacutean ademaacutes que no se podiacutea
esperar alcanzar una verdadera comprensioacuten de la consciencia ni por otra parte de
cualquier otro fenoacutemeno mental tratando al cerebro como un caja negra Posteriormente
Crick expuso detalladamente sus opiniones sobre la consciencia en un conocido libro
titulado ldquoThe Astronishing Hypothesisrdquo (Crick 1994) Para Crick el componente crucial de su
definicioacuten de consciencia es la palabra atencioacuten y hace hincapieacute en que eacutesta implica algo
maacutes que un simple procesamiento de informacioacuten En sus palabras (Crick 1988) Somos
conscientes de que tomamos una decisioacuten pero no somos conscientes de lo que nos hace
tomar dicha decisioacuten Esto ya lo habiacutea sugerido Sigmund Freud (Freud 1956) cuando
reflejando su inquietud sobre el inconsciente que ya se habiacutea desarrollado en el siglo XIX
planteoacute la hipoacutetesis de que la mayoriacutea de los actos humanos estaban determinados por
impulsos inconscientes Hoy la neurociencia sabe que eso es cierto Efectivamente en la
primavera de 1994 la Universidad de Arizona en Tucson organizoacute un simposio
interdisciplinario sobre la consciencia Alliacute y entonces Benjamiacuten Libet sicoacutelogo de la
Universidad de California en San Francisco realizoacute el siguiente experimento (Norretranders
1998) Pidioacute a los participantes que doblaran un dedo en el momento de haberlo decidido
mientras anotaban el instante de su decisioacuten tal y como indicaba un reloj Los participantes
156
tardaron 02 segundos de media en doblar los dedos tras haber decidido hacerlo pero la
electroencefalografiacutea que registroacute sus ondas cerebrales reveloacute que la maacutexima actividad
cerebral teniacutea lugar 03 segundos ldquoantesrdquo de haber tomado conscientemente la decisioacuten de
doblar el dedo Es decir el cerebro se poniacutea manos a la obra antes de que se fuese
consciente de la decisioacuten Como lo sentildealoacute Francisco J Rubia (Rubia 2002) Catedraacutetico de
Fisiologiacutea Humana de la Universidad Complutense de Madrid No tenemos ni idea de doacutende
parte esa primera actividad pero lo que queda claro es que no es consciente
La consciencia se resolvioacute para los materialistas cuando alguien decidioacute que era un mero
epifenoacutemeno del mundo material Fue el filoacutesofo oxfordiano Gilbert Ryle (Ryle 1949) quien
primero acuntildeoacute la frase the ghost in the machina en los antildeos treinta para mofarse del
dualismo mente-materia afirmando que el dualismo ndashque sosteniacutea que la mente es un
fenoacutemeno separado e independiente de su sustrato fiacutesico y capaz de ejercer influjo sobre
eacutel- violaba el principio de conservacioacuten de la energiacutea y por tanto toda la fiacutesica Seguacuten Ryle
la mente es una propiedad de la materia y soacutelo trazando detalladamente los intricados
meandros de la materia en el cerebro se podraacute explicar la consciencia Claro que en esto
Ryle no fue totalmente original al proponer este paradigma materialista En efecto hace
cuatro siglos Francis Bacon ya instaba a los filoacutesofos de su eacutepoca a que dejaran de
empentildearse en mostrar coacutemo evolucionaba el universo a partir del pensamiento y
empezaran a considerar coacutemo evolucionaba el pensamiento a partir del universo
Para el premio Nobel de Fiacutesica Murray Gell-Mann (Penrose 1996) La consciencia o
autoconocimiento es una propiedad como la inteligencia que puede acabar evolucionando
en los sistemas complejos adaptativos cuando alcanzan ciertos niveles de complejidad [hellip]
En principio no me parece posible que nosotros los humanos podamos construir
computadores con un grado de conocimiento razonable Penrose parece atribuir al
autoconocimiento alguna cualidad especial que hace improbable que surja de las leyes
ordinarias de la ciencia
Sobre la consciencia se ha escrito mucho y poco atinado Como lo sentildealoacute Stuart Kauffman
(Kauffman 2003) Dado lo poco sensato y lo mucho inuacutetil que se ha vertido sobre la
consciencia una hipoacutetesis maacutes no empeoraraacute las cosas Y a continuacioacuten plantea su
hipoacutetesis como sigue La consciencia estaacute asociada a una ldquotoma de decisionesrdquo de alta
resolucioacuten conducente a los comportamientos alternativos en los agentes autoacutenomos
moleculares que abarca los reinos cuaacutentico y claacutesico y equivalente a la persistente
157
propagacioacuten de bucles interconectados y percolados de coherencia cuaacutentica los cuales
simultaacuteneamente y sistemaacuteticamente pierden coherencia trasformaacutendose en claacutesicos El
paso al comportamiento claacutesico representa ldquomenterdquo actuando sobre ldquomateriardquo La
consciencia es la experiencia interna que el agente tiene de esa red percolada de coherencia
cuaacutentica que sostenidamente sufre decoherencia hacia el comportamiento claacutesico
Ciertamente retoacuterico y oscuro Sin embargo es innegable que la consciencia es un
fenoacutemeno emergente del comportamiento del cerebro y que puede entenderse La teoriacutea
aquiacute propuesta afirma que dicho fenoacutemeno es el resultado de observar el proceso de
coacutemputo de holones e informones por holones que los observan y categorizar a otros
holones de maacutes bajo nivel que trabajan sobre ellos Veacutease el siguiente ejemplo dado por la
tabla IV3 En ella se pueden ver los cuatro casos siguientes
1 Se es conciente de lo que se sabe Un grupo de holones trabaja sobre informones de
conocimiento y los holones que los manejan y da cuenta de ese trabajo Es justamente la
consciencia
2 Se es consciente de lo que no se sabe Holones de un cierto nivel quieren trabajar sobre
informones de conocimiento y se percatan de que no existen
3 No se es consciente de lo que se sabe En este caso no se han usado holones de nivel
suficiente para estar en el caso 1
4 No se es consciente de lo que no se sabe No se han usado holones para convertir la
situacioacuten en el caso 2
Todo ello implica que en el cerebro debe haber alguacuten ldquomecanismordquo formado por neuronas
y o gliacutea y sus respectivas actividades que se activen siempre y cuando el cerebro reciba
una actividad que requiera consciencia Dicho mecanismo debe anatoacutemica y fiacutesicamente
tener muchas entradas y pocas salidas es decir debe ser maacutes receptor que emisor El
candidato propuesto por Crick y Koch el 28 de Julio de 2004 pocos diacuteas antes de la muerte
del uacuteltimo es el ldquoclaustrumrdquo Es eacuteste una pequentildea laacutemina de tejido cerebral localizado bajo
el coacutertex Poco se conoce acerca de eacutel salvo que estaacute conectado y cambia informacioacuten con
casi todas las regiones sensoriales y motoras del coacutertex asiacute como la amiacutegdala que juega un
papel trascendental en las emociones Ademaacutes Koch y Crick comparan el ldquoclaustrunrdquo con
un director de orquesta Es decir las conexiones neuroanatoacutemicas del ldquoclaustrumrdquo reuacutenen
las caracteriacutesticas de un verdadero director puesto que pueden enlazar juntas y coordinar
158
las distintas regiones sensoriales y cognitivas necesarias para la unidad de la conciencia En
suma a diacutea de hoy el ldquoclaustrumrdquo tiene todas las rifas para ser el soporte material de la
consciencia de acuerdo con la teoriacutea aquiacute propuesta Actualmente se estaacute llevando a cabo
con el Profesor Ortiacutez de la UCM un trabajo para verificar esta hipoacutetesis
CONOCIMIENTO
CONSCIENCIA
Consciente Inconsciente
Conoce
Se es consciente de lo que se sabe Por ejemplo Al aprobar el carnet de conducir se ldquosaberdquo que se sabe conducir
No se es consciente de lo que uno sabe verbigracia cuando uno es un conductor versado no es consciente de que sabe conducir pues lo hace automaacuteticamente
Ignora
Se es consciente de lo que se ignora Es el caso que ocurre cuando uno quiere tener el carnet de conducir
Uno es inconsciente respecto a su ignorancia Este estadio es habitual en la infancia lo que no es preocupante Lo grave es cuando uno no evoluciona y se queda en este estadio
Tabla IV3 Consciencia Versus Conocimiento
C) Computacioacuten
Toda la computacioacuten puede explicarse con holones e informones de una manera trivial Por
ejemplo los sistemas transacionales son informones tipo datos (Bases de Datos) y holones
clase programas Los sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas
como sistemas de bases de datos y holones tipo programas y foacutermulas Los sistemas
basados en conocimientos son ni maacutes ni menos que informones en forma de ontologiacuteas y
holones en forma de agentes Finalmente las maacutequinas de Turing son un informoacuten en
forma de signos 1 y 0 sobre la cinta y un holoacuten en forma de la tabla de actuacioacuten
Curiosamente una maacutequina de Turing especiacutefica como verbigracia la de la suma descrita
en la cinta como parte de la maacutequina de Turing Universal (MTU) es un informoacuten que trata
como tal la MTU y no un holoacuten como pudiera parecer ldquoprima facierdquo
159
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN
V1 RESULTADOS
1 El primer resultado obtenido con este trabajo ha sido mostrar la viabilidad de una
teoriacutea para el Desarrollo del Software Maacutes auacuten la necesidad de la misma para
rellenar la sima ldquogaprdquo o desfase entre el desarrollo exponencial del hardware
dado por la ley de Moore y el estado actual del desarrollo software caricaturizado
por el ldquokludgerismordquo que en el mejor de los casos es lineal y en el peor
regresivo
2 En segundo lugar se han establecido los liacutemites teoacutericos de la computacioacuten
basaacutendose en leyes y teoriacuteas fiacutesicas consolidadas como son la relatividad la
termodinaacutemica y la fiacutesica cuaacutentica Estos liacutemites fabulosos permiten afirmar de
acuerdo con Kurzweil (Kurzweil 2005) que la tecnologiacutea de los computadores estaacute
acercaacutendose a una singularidad Y si esto es asiacute y eacutesta es una futura liacutenea de
investigacioacuten maacutes el desarrollo de la nanotecnologiacutea augura unas potencialidades
al hardware hasta ahora inigualables pero si vislumbrables como son
a) La computacioacuten ubiacutecua que es la siguiente generacioacuten de la computacioacuten
tambieacuten llamada ldquoVirtualidad Incorporadardquo es lo opuesto a la realidad virtual y
consiste en la impregnacioacuten global de la informaacutetica en todas las actividades
de la vida corriente siendo completamente trasparente para el usuario
b) Los seres hiacutebridos bioloacutegico-tecnoloacutegicos dotados de capacidades
intelectuales etc En algunos aspectos tal y como se muestra en la tabla V1
estos seres superaraacuten a los humanos
OperacionesSegundo Capacidad de Proceso
(Bits)
Computadores Actuales asymp1010 asymp1010
Cuaacutenticos lt1050 lt1031
Humanos 2x1016 28x1020 (Von Neumann)
Tabla V1 Comparacioacuten de las prestaciones de computadores frente al hombre
Humanos Vs
Computadores
Prestaciones
160
c) Ademaacutes se llevaraacute a buen teacutermino el propoacutesito inicial de la ciencia de la
computacioacuten como es el paso del ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo
d) Curiosamente y como efecto colateral que daraacute lugar a otra liacutenea de
investigacioacuten en este caso en linguumliacutestica a la vista del punto anterior y
teniendo en cuenta tal y como se muestra en la tabla V2 seraacute necesario
inventar nuevos teacuterminos para especificar la potencia y capacidad de memoria
de los futuros computadores En efecto de acuerdo con la tabla V2 soacutelo se
tienen teacuterminos para los muacuteltiplos hasta el 10 En consecuencia como el liacutemite
maacuteximo dado por los 1050 de potencia seraacuten necesarios usando intervalos de
103 al menos ocho nuevos teacuterminos
SIacuteMBOLO NOMBRE FACTOR
Y Yota 1024
Z Zeta 1025
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
H Hecto 102
O Deca 101
d deci 10-1
c centi 10-2
m mili 10-3
micro micro 10-6
n nano 10-9
p pico 10-12
f femto 10-15
a atto 10-18
z zepto 10-21
y yocto 10-24
Tabla V2 Oacuterdenes de Magnitud de las Unidades de Medida
3 En tercer lugar y eacuteste es un resultado muy relevante se ha conseguido probar
formalmente de acuerdo con trabajos previos de von Neuman y Loumlwenheim-
Skolem a su vez basados en Cantor Frege Zermelo y Mirimanoff la viabilidad de
161
una teoriacutea para el desarrollo del software tanto baacutesico como aplicado
convencional o avanzado Es decir una teoriacutea tanto para la Ingenieriacutea del Software
como para la Ingenieriacutea del Conocimiento y en general para la ciencia de la
computacioacuten Maacutes auacuten y de ahiacute la relevancia dicha teoriacutea da cuenta tambieacuten de y
explica adecuadamente otros fenoacutemenos en los que interviene la informacioacuten
como son la geneacutetica y la mente Una futura liacutenea de investigacioacuten muy
interesante en este punto seriacutea desarrollar un nuevo teorema que conteniendo los
alcances del de Lowenheim-Skolem elimine formalmente la ldquocapciosidadrdquo que
contiene eacuteste
A la vista de los resultados obtenidos por von Neumann en la construccioacuten de los
nuacutemeros naturales y del corolario citado en el capiacutetulo III apartado III23 se puede
decir sin temor a equivocarse que la expresioacuten de Kronecker sobre la creacioacuten de
los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo
el hombre hizo el resto
Todo ello lleva a pensar y resulta ser otra liacutenea de investigacioacuten en una teoriacutea
maacutes amplia unificada y unificadora que englobe aquellos aacutembitos en los que la
informacioacuten sea una componente baacutesica Esta teoriacutea seriacutea una verdadera teoriacutea de
la informacioacuten de la que la de Shannon seriacutea un caso especial (Shannon 1948) En
este sentido von Neumann en una famosa resentildea del libro de Norbert Wiener
(von Neumann 1949) ldquoCyberneticsrdquo (Wiener 1948) deciacutea La proposicioacuten de que
tanto la ciencia como la tecnologiacutea pasaraacuten cada vez maacutes en el proacuteximo futuro
como en un futuro maacutes lejano de los problemas de intensidad sustancia y
energiacutea a los problemas de estructura organizacioacuten informacioacuten y control
4 El cuarto resultado notable es la fundamentacioacuten formal del software al menos en
su apartado de programacioacuten Para ello soacutelo hace falta y eacutesta es otra futura liacutenea
de investigacioacuten reducir toda la programacioacuten bien a la programacioacuten funcional o
si esto no fuera posible a la propuesta conceptograacutefica de Frege Lo cual no
parece inalcanzable teniendo en cuenta la similitud entre la estructura de
ldquoholonesrdquo ldquoinformonesrdquo y las nociones ldquoontoloacutegicasrdquo baacutesicas de Frege de
ldquofuncioacutenrdquo y ldquoargumentordquo Frege en sus escritos semaacutenticos a las funciones con
argumento las denominaba conceptos y a las de dos relaciones consideraba que
las funciones tomaban sus argumentos en los nuacutemeros y objetos en general para
lo que introdujo el concepto de ldquofuncioacuten proposicionalrdquo Dichos objetos para
Frege era todo aquello que no es una funcioacuten Pues bien la teoriacutea propuesta va
162
maacutes allaacute puesto que permite de acuerdo con el contexto que un holoacuten sea un
informoacuten y viceversa Y a mayor abundancia se permite la recursividad y o
recurrencia entre holones informones y entre ellos
5 Finalmente estaacute el resultado fundamental de este trabajo y es la presentacioacuten de
una teoriacutea que ademaacutes de contemplar el desarrollo software tambieacuten da cuenta
como acaba de indicarse de otros dominios como son la geneacutetica y la mente
Naturalmente esta primera propuesta debe ser y de hecho lo seraacute refinada y
completada con el adecuado desarrollo tecnoloacutegico y eacutesta es una nueva liacutenea de
investigacioacuten propuesta
Finalmente se ha obtenido un resultado que es un ldquoefecto colateralrdquo del trabajo realizado en
esta tesis En efecto en el apartado que trata de los nuacutemeros de von Neumann se comentoacute
como Leibniz se autoproclamoacute ldquocreadorrdquo del sistema binario y asiacute es considerado por la
mayoriacutea de los historiadores de la matemaacutetica y por los propios matemaacuteticos Sin embargo
nada maacutes lejos de la realidad En efecto tras intensas pesquisas usando la teacutecnica de GC de
mapas de conocimientos en forma de ldquovariosrdquo clips se comproboacute que realmente eso no soacutelo
es falso sino que Leibniz una vez maacutes plagioacute esta vez al espantildeol Juan Caramuel de Lekbowiz
nacido en Madrid en 1606 y fallecido en Vigevano en 1682 Estos son los hechos contados por
Juliaacuten Velarde Lombrantildea (Velarde 1989)
A) En 1701 Leibniz afirmoacute que antes incluso de la publicacioacuten de la ldquoTetractysrdquo por su
maestro de matemaacuteticas de la Universidad de Jena Erhard Weigel (1625-1699) en
1673 Aunque documentalmente la fecha de aparicioacuten del sistema binario de Leibniz
hay que datarla en el 15 de marzo de 1679 donde se ve que ya tiene una idea clara de
dicho sistema Idea que plasma en su obra de 1703 ldquoExplication de LacuteArithmeacutetique
Binairehelliprdquo memoria que habiacutea enviado a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1701
B) Caramuel en su ldquoMathesis Audaxrdquo publicado en Lovaina en 1644 y sobre todo en su
gran enciclopedia ldquoMathesis Bicepsrdquo de 1667-1670 donde expone de forma
sistemaacutetica entre otras la aritmeacutetica binaria Alliacute y entonces explica las ventajas e
inconvenientes de la misma y da una muestra de su utilidad aplicaacutendola a la muacutesica
Hasta aquiacute Velarde quien de forma incontestable muestra la prioridad de Caramuel sobre
Leibniz en la invencioacuten del sistema binario La doctoranda da un paso maacutes y estaacute en
condiciones de afirmar que con probabilidad rayana en la certeza Leibniz plagioacute a
Caramuel Estas son las razones aducidas
163
A) Estaacute documentado que Leibniz conociacutea los trabajos de Caramuel tanto de forma
directa pues eran corresponsales viacutea cartas de cuestiones cientiacuteficas como indirecta
ambos se comunicaban epistolarmente con varios contemporaacuteneos
B) La tendencia al plagio intriacutenseca al caraacutecter de Leibniz basada en las siguientes
acusaciones
a) Acusacioacuten de plagio lanzada por John Keill a Leibniz ademaacutes de la acusacioacuten
del propio Newton sobre la prioridad de la invencioacuten del caacutelculo infinitesimal
en su ldquoAn Account of the Book Entituled Commercium Epistolicum D Johannis
Collinij amp Aliorum de Analysi Promotardquo publicado en 1715 en las Philosophical
Transactions de la Royal Society
b) Acusacioacuten de Pell sobre el plagio de Leibniz a Regnaud Pell conocioacute a Leibniz
en casa de la hermana del quiacutemico Robert Boyle en 1673 En ese encuentro
Leibniz le comentoacute a Pell que habiacutea descubierto un meacutetodo general para
representar e interpolar series usando diferencias Pell mostroacute su extrantildeeza
pues dado que Leibniz acababa de llegar de Pariacutes debiacutea conocer que esos
resultados descubiertos por Francois Regnaud habiacutean sido publicados en
1670 por Gabriel Mouton en sus ldquoObservationes Diametrorum Solis et Lunae
Apparentiumrdquo
c) Robert K Merton (Merton 1965) afirma que seguacuten el astroacutenomo Francois
Arago Leibniz plagioacute a Descartes acerca de la observacioacuten de este uacuteltimo
seguacuten la cual ldquola Tierra no difiere del Sol en ninguacuten aspecto salvo en que es
maacutes pequentildeardquo Estas fueron las palabras de Arago ldquoLeibniz otorgoacute a esta
hipoacutetesis el honor de atribuiacutersela a siacute mismordquo
Es decir ldquoverde y con asasrdquo
V2 CONCLUSIOacuteN
La ldquoGestioacuten del Conocimientordquo no es soacutelo vaacutelida para mejorar el funcionamiento y la
competitividad de las organizaciones tanto institucionales como econoacutemico-financieras sino
que como se muestra en este trabajo tambieacuten es eficaz y efectiva en el dominio de la
investigacioacuten cientiacutefica tanto teoacuterica como aplicada a la tecnologiacutea Y esta eficacia y efectividad
se plasma en que siguiendo la terminologiacutea de Francis Bacon aporta tanto ideas luciacuteferas que
iluminan ciertos campos clasificaacutendolos (resultados 1 2 3) como fructiacuteferas que generan
teoriacuteas y sobre todo abren nuevas viacuteas de investigacioacuten (2 3 y 4)
164
165
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III
RESUMEN
En esta tesis se muestra y demuestra coacutemo la ecuacioacuten fundamental del conocimiento
aplicada al propio conocimiento mejora eacuteste Naturalmente eacutesta es la forma de trabajar de
los cientiacuteficos en sus investigaciones pero aquiacute se trata de probar que usando teacutecnicas de
gestioacuten del conocimiento cualquier especialista en una materia puede sacar provecho de
dicha ecuacioacuten
En este trabajo se eligioacute el dominio del desarrollo del software como marco donde investigar
la tesis propuesta Asiacute en primer lugar se detectoacute que el conocido ldquogaprdquo entre el desarrollo
del hardwarerdquo y el del software es baacutesicamente consecuencia de que el primero tiene una
verdadera ingenieriacutea que lo soporta y por lo tanto una ciencia que lo avala y fundamente
respectivamente la electroacutenica y la fiacutesica en tanto la segunda es auacuten maacutes un arte que una
ingenieriacutea sin teoriacutea cientiacutefica que la avale
Por ello la propuesta que se hace es presentar una teoriacutea que convierta el desarrollo software
en una verdadera ingenieriacutea Con esto ldquoin menterdquo se han establecido las condiciones formales
y materiales de adecuacioacuten de cualquier teoriacutea A continuacioacuten utilizado el teorema de
Loumlwehim-Skolem y la generacioacuten de los nuacutemeros ordinales a partir del vaciacuteo por von
Neumann se demuestra la factibilidad de dicha teoriacutea Posteriormente y tomando como
dominio la programacioacuten funcional y maacutes en concreto la ldquocurryficacioacutenrdquo se comprueba la
viabilidad de la teoriacutea
Para finalmente proponer una teoriacutea que cumpliendo los requisitos exigibles a cualquier
teoriacutea fundamenta el desarrollo software Maacutes auacuten pues la teoriacutea propuesta es tan amplia y
robusta que pude aplicarse a cualquier sistema de informacioacuten incluido el ADN y el Cerebro
Para contrastarla se proponen en todos estos dominios distintos experimentos cruciales que
supuestamente son capaces de falsarla
Como resultados concretos se han obtenido los siguientes
A) Establecimiento de los liacutemites computacionales en 1050 operaciones por segundo y
1031 bits de memoria para un ldquomentefactordquo de 1kg
B) Que la conjuncioacuten del teorema de Loumlwehim-Skolem y la propuesta de generacioacuten de
ordinales de von Neumann son suficientes para establecer una teoriacutea para el
IV
desarrollo del software De paso y como resultado antildeadido se ve que la expresioacuten de
Kronecker sobre la creacioacuten de los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el
siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo el hombre hizo el resto
C) La idea de la Programacioacuten funcional de Frege y Schoumlfinkel que desarrolloacute Curry
establece la efectividad de una teoriacutea axiomaacutetica para el desarrollo software
D) Se propone una teoriacutea con dos constructos y tres postulados no soacutelo para el desarrollo
software sino tambieacuten para cualquier sistema de informacioacuten
E) Finalmente y como efecto colateral se muestra como Leibniz plagioacute al espantildeol
Caramuel en la creacioacuten del sistema binario de numeracioacuten
V
ABSTRACT
This thesis shows and proves how the elementary knowledge equation applied to knowledge
itself improves knowledge This is of course the way in which scientists pursue their research
Here however we demonstrate that using knowledge management techniques any specialist
in a subject can benefit from the knowledge equation
In this work the domain of software development was chosen as the framework for
researching the proposed thesis First it was found that the well-known gap between
hardware development and software development is basically a consequence of hardware
being underpinned by a genuine engineering discipline mdashand therefore backed and supported
by science respectively electronics and physicsmdash whereas software is still more of an art
than engineering without any underlying scientific theory
The proposal then is to put forward a theory that converts software development into a true
engineering discipline Bearing this in mind the formal and material adequacy conditions have
been established for any theory Then the feasibility of the proposed theory was proved using
the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal number generation from
vacuum Subsequently the theory was tested in the functional programming domain and
specifically on curryfication
Finally we propose a theory that conforming to the requirements placed on any theory
underpins software development Moreover the proposed theory is broad and robust enough
to be applied to any information system including DNA and the brain To prove this a number
of crucial experiments are proposed for all domains which should falsify the theory
The findings are as follows
A) The computational limits for a 1kg mindfact are 1050 operations per second and 1031
bits of memory
B) The combination of the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal
generation proposal are sufficient to establish a software development theory As a
spin-off it was found that what Kronecker said about integer number creation needs
to be restated as ldquoGod made the vacuum all else is the work of manrdquo
VI
C) Frege and Schoumlfinkelrsquos idea of functional programming developed by Curry
establishes the effectiveness of an axiomatic theory for software development
D) The proposed theory which has two constructs and three postulates applies not only
to software development but also to any information system
E) An incidental finding is that Leibniz plagiarized the Spaniard Caramuelrsquos binary
numbering system
VII
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a mi familia el apoyo y comprensioacuten incondicional que me
han dado en todo momento definitivamente sin ellos jamaacutes hubiese llegado hasta aquiacute En
especial quiero destacar el esfuerzo de mis padres a fin de darme una educacioacuten que me
permitiera tener unos cimientos lo suficientemente fuertes para poder alcanzar esta meta A
mi madre por su constante dedicacioacuten carintildeo y lucha para que continuara ldquoal pie del cantildeoacutenrdquo
A mi padre por su ejemplo incasable de trabajo y fortaleza quien hasta en sus uacuteltimos
momentos me ensentildeoacute la importancia de seguir adelante haciendo frente a las adversidades
por grandes que fueran Tambieacuten agradezco muy especialmente a mi hermana porque sin su
ayuda compantildeiacutea y consejos seguramente no hubiese llegado maacutes allaacute de la mitad del camino
Tambieacuten quiero agradecer a mis directores de tesis Profesores Doctores Juan Ares Casal y
Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten Aradas su comprensioacuten y confianza en este trabajo tan arriesgado
sobre todo antes de presentarles resultados concretos Naturalmente sus consejos directos o
indirectos fueron de valiosa ayuda para llevar a buen fin la investigacioacuten Asimismo en sus
opiniones y conocimientos sobre la teoriacutea propuesta en la que ellos habiacutean trabajado
previamente Sin ellos este trabajo no se habriacutea llevado a cabo en el peor de los casos y en el
mejor no de eacutesta manera
Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a Javier Andrade y colegas por permitirme usar
sus propuestas experimentales como piedra de toque de la teoriacutea propuesta
Mencioacuten aparte merece el profesor Juan Pazos Sierra Su apoyo ayuda ideas conocimientos
y criacuteticas fueron esenciales tanto para la eleccioacuten como el desarrollo de la investigacioacuten Soacutelo
voy a citar dos ejemplos de su apoyo criacutetico y sin contemplaciones para con la doctoranda El
primero se produjo cuando al explicarle el objeto de la tesis me dijo ldquoYo en estos casos
siempre le doy a los doctorandos el siguiente consejo Intenta una cosa que no has hecho tres
veces Una para perderle el miedo a hacerlo La segunda para aprender a hacerlo Y la
tercera para ver si te gusta o no iexclAh Y en cuanto veas que sabes hacer algo inmediatamente
ponte a hacer algo que no sepasrdquo Es decir se creativa perseverante y por supuesto la tesis
no estaraacute lista hasta que la escribas y reescribas al menos tres veces
El segundo fue tal vez maacutes descorazonador fue cuando al contarle en que queriacutea trabajar
me soltoacute ldquoHasta que te hayas leiacutedo el Menoacuten de Platoacuten (Platoacuten 1969) y entiendas
VIII
perfectamente lo que es el meacutetodo socraacutetico de la ldquomayeacuteuticardquo es decir el arte de mediante
el diaacutelogo inquisitivo de pregunta-respuesta alumbrar los espiacuteritus no quiero volver a hablar
contigo de este asunto Eso siacute despueacutes en un tono menos perentorio me empezoacute a hablar de
Platoacuten y los filoacutesofos griegos claacutesicos que me hizo aprender maacutes de filosofiacutea y ciencia que
todo lo que me habiacutean explicado y o leiacutedo hasta entonces
Posteriormente y ya como fuente de conocimiento fue una auteacutentica mina No soacutelo me
contestoacute con precisioacuten y erudicioacuten a todo lo que le pregunteacute sino que sus consideraciones me
haciacutean replantear mi investigacioacuten haciendo eacutesta maacutes productiva y eficiente Y esto es de tal
modo asiacute que tanto las ideas aportadas y los resultados obtenidos como los meacutetodos
empleados para conseguirlos son tanto o maacutes de eacutel que miacuteos Naturalmente el trabajo que
implica todo ello es de la doctoranda pero lo que quiero sentildealar es que cuando exponiacutea una
idea absolutamente original para miacute eacutel sin decirlo ya pareciacutea conocerla de toda la vida e
inmediatamente me indicaba los problemas y dificultades que iba a encontrar en su desarrollo
y verificacioacuten
Pero es que ademaacutes Pazos siempre me insistioacute en que la mayeacuteutica debe conducir a la
claridad para que finalmente todo el mundo entendiera el conocimiento aflorado Al respecto
poniacutea el ejemplo del premio Nobel de Fiacutesica de 1965 Richard Philips Feyman (1918-1988) Eacuteste
en cierta ocasioacuten fue requerido por un miembro del claustro del Caltech donde trabajaba
para que le explicase por queacute las partiacuteculas de espiacuten un-medio obedecen a la estadiacutestica de
Fermi-Dirac en vez de la de Bose-Einstein Eacutel despueacutes de calibrar a su audiencia respondioacute
Preparareacute una leccioacuten para este tema para los estudiantes novatos Pero unos diacuteas maacutes tarde
buscoacute puacuteblicamente a su interlocutor y paladinamente dijo Sabes no pude no pude reducirlo
al nivel de los novatos Esto significa que realmente no lo entendemos
IX
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN III
ABSTRACT V
AGRADECIMIENTOS VII
TABLA DE CONTENIDO IX
CAPIacuteTULO I 1
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO 1
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS 2
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE 9
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES 9
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE 11
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN 20
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE 22
II2 TEORIacuteAS 28
II21 INTRODUCCIOacuteN 28
II22 DEFINICIOacuteN 29
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA 32
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS 49
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA 56
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE 61
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA 63
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS 63
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA CASUALIDAD CAUSALIDAD O
ldquoCAUSUALIDADrdquo 67
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL 69
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM 72
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO DEFINICIOacuteN DE
NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN 75
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN 85
III31 INTRODUCCIOacuteN 85
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN 87
III4LOacuteGICA COMBINATORIA 100
X
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo 101
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO 102
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS 110
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA 115
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA 115
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA 115
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS 117
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES Y HOLONES 130
IV31 INFORMOacuteN 130
IV311 DEFINICIOacuteN 130
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN 134
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN 135
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo 138
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN 138
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES 143
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS 146
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA 148
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES 151
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA 154
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN 154
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN 159
V1 RESULTADOS 159
V2 CONCLUSIOacuteN 163
CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA 165
1
CAPIacuteTULO I
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO
Este trabajo tiene por objeto mostrar coacutemo la ldquoGestioacuten del Conocimientordquo en adelante GC
puede emplearse con provecho esto es consiguiendo resultados ldquotangiblesrdquo y evaluables en
la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica En efecto consideacuterese la ecuacioacuten fundamental del
conocimiento que se muestra graacuteficamente en la figura I1 que establece en general que
cualquier cosa maacutes conocimientos implica una mejora de dicha cosa (Moral del 2007) Esta
ecuacioacuten que formula una ley empiacuterica se basa en la multitud de ejemplos de coacutemo materias
primas seres vivos capitales energiacutea y un largo etceacutetera al aplicaacuterseles conocimiento
adecuado obtienen ventajas competitivas Los casos tal vez maacutes paradigmaacuteticos al respecto
sean los del petroacuteleo y los hongos Eacutestos que invadiacutean y corrompiacutean todo lo que tocaban
despueacutes de aplicarles los conocimientos obtenidos a raiacutez del descubrimiento serendiacutepico de
sus propiedades antibacterianas por los por eso galardonados con el premio Nobel Fleming
Flory y Chain se convirtieron en un medicamento eficaz e indispensable la penicilina para
combatir las enfermedades bacterianas Con el petroacuteleo ldquomuntatis muntandisrdquo sucedioacute algo
parecido Hace antildeos el petroacuteleo era un fluido ldquoasquerosordquo que contaminaba campos y
paacuteramos e incordiaba sobre todo a agricultores y ganaderos que no sabiacutean coacutemo quitarse esa
ldquoplagardquo de encima En este caso gracias al conocimiento adecuado en forma de ldquocrackingrdquo en
las refineriacuteas se convirtioacute en un deseado obscuro objeto de deseo el asiacute llamado ldquooro negrordquo
imprescindible para la sociedad actual Sus subproductos en especial gasolinas queroseno y
gasoacuteleos asfalto y plaacutesticos son tan importantes para la sociedad actual que eacutesta no se
entenderiacutea sin ellos Y por supuesto no seriacutea tan coacutemoda y avanzada
Figura I1 Ecuacioacuten Fundamental de los Conocimientos
Pues bien como la ecuacioacuten no plantea excepciones tambieacuten es aplicable a los propios
conocimientos Es decir conocimientos aplicados a los conocimientos producen una mejora
de eacutestos Esta mejora da origen a un proceso de retroalimentacioacuten positiva o por mejor decir
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a un ldquociacuterculo virtuosordquo o ldquohelicoide de conocimientosrdquo de modo que eacutestos son cada vez
mayores en cantidad y mejores en calidad Sin embargo y esto es lo paradoacutejico y motivante a
medida que se ampliacutea la isla de los conocimientos humanos aumenta como anaacutelogamente lo
muestra la circunferencia el litoral de la ignorancia humana En este tira y afloja hasta ahora
la uacutenica forma que se conoce de aplicacioacuten de la ecuacioacuten es mediante el protagonismo del
cientiacutefico y o investigador que es el protagonista del desarrollo cientiacutefico tecnoloacutegico La
cuestioacuten y eacuteste es el objeto primordial de esta tesis es si y coacutemo las teacutecnicas meacutetodos y
herramientas de la GC pueden crear o cuando menos colaborar efectiva y eficientemente en
aumentar los conocimientos cientiacuteficos
Y esto lleva a resaltar la importancia de esta cuestioacuten Si hubo un tiempo la Grecia Claacutesica en
que un solo ser humano podriacutea acumular todo el conocimiento existente hoy dado su
crecimiento exponencial o casi eso es imposible Por lo cual seriacutea de gran ayuda si la GC
pudiera aplicarse en la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica La hipoacutetesis aquiacute planteada es de
que siacute Pero no soacutelo eso sino que y esto es una evidencia en el sentido galileano del teacutermino
es decir algo que se puede combatir y nunca refutar que en el futuro la GC seraacute condicioacuten
necesaria para la investigacioacuten cientiacutefica Maacutes auacuten y esto soacutelo se menciona especulativamente
y en condicional tal vez si los partidarios de la Inteligencia Artificial dura acaban por tener
razoacuten no soacutelo seraacute condicioacuten necesaria sino suficiente para dicha investigacioacuten
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS
Siguiendo la norma tradicional y convencional de clasificar los objetivos en los tres niveles de
A) Finalidades de caraacutecter filosoacutefico y muy general
B) Fines fundamentalmente cualitativos y en consecuencia difiacutecilmente evaluables y
C) Metas concretas y evaluables
Esta tesis tiene como finalidad analizar el uso efectivo y eficaz de la Gestioacuten del Conocimiento
en el desarrollo software Como fin el contrastar la posibilidad y factibilidad de proponer una
teoriacutea que soporte las ldquoingenieriacuteasrdquo implicadas en el desarrollo software la ingenieriacutea del
software y del conocimiento Y finalmente como meta especiacutefica el proponer una teoriacutea en la
que fundamentar ambas ingenieriacuteas
Para alcanzar dichos objetivos se ha conseguido usando las teacutecnicas de GC de Mapas de
Conocimientos (ldquoSeis Clicksrdquo) importacioacuten de conocimientos ontologiacuteas etc lo siguiente
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1) Identificar clara y precisamente de forma cuantificable el ldquogaprdquo entre la ingenieriacutea del
hardware (microprocesadores) exponencial y la ingenieriacutea del software en el mejor de
los casos lineal Al tiempo se postula que dicho ldquogaprdquo es sobre todo pero no
exclusivamente consecuencia de la carencia de teoriacutea en la que se apoye el desarrollo
software
2) Demostrar la posibilidad de desarrollar dicha teoriacutea Para lo cual se haraacute uso de varios
resultados conocidos Por una parte la propuesta de von Neumann de la generacioacuten
de los nuacutemeros y el teorema de Loumlwenheim-Skolem que muestra que toda teoriacutea
empiacuterica cientiacutefica es un modelo loacutegico de un sistema axiomaacutetico deductivo
fundamentado en los nuacutemeros naturales
3) Probar la factibilidad de realizacioacuten de dicha teoriacutea ejemplarizado en la
ldquocurryficacioacutenrdquo esto es en la programacioacuten funcional basada en los trabajos de Frege
Schoumlnfinkel y Curry
4) Dar un paso maacutes y proponer realmente una teoriacutea basada en los resultados anteriores
que consta de dos ldquoconstructosrdquo a saber holones e informones y tres postulados
Naturalmente para que dicha teoriacutea sea falsable tambieacuten se daraacuten las pruebas frente
a las cuales mostraraacute su validez
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS
Hablando abstractamente una buena metodologiacutea de solucioacuten de problemas luego de
identificar y formular clara y precisamente el problema debe responder a las tres cuestiones
siguientes iquestEs posible una o maacutes soluciones iquestEs realizable dicha solucioacuten iquestEs deseable En
efecto para queacute intentar resolver un problema si como sucede muchas veces ldquoa priorirdquo se
sabe o puede demostrarse que el problema no tiene solucioacuten Esto es una cuestioacuten de eficacia
La segunda cuestioacuten atantildee maacutes a la eficiencia A veces hay problemas que se sabe que tienen
solucioacuten verbigracia el ajedrez sin embargo hasta hace poco dado que era un problema
exponencial era inviable por el tiempo requerido una solucioacuten de ldquofuerza brutardquo Todos los
problemas NP-Completos caen en este apartado Finalmente en ciertas ocasiones el
problema es resoluble y viable y sin embargo por alguna causa no es deseable por ejemplo
por razones eacuteticas ecoloacutegicas sociales econoacutemicas etc no es deseable ni recomendable
resolverlo simplemente porque seriacutea peor el remedio que la enfermedad La respuesta a las
dos primeras preguntas se daraacuten en el capiacutetulo III de este trabajo
4
Pues bien en el sentido y ejecucioacuten de esta tesis se tuvieron en cuenta estas cuestiones en la
metodologiacutea aplicable a la misma y que esquemaacuteticamente se muestra en la figura I2 Como
puede verse dicho esquema metodoloacutegico se basa por una parte en emplear los seis
honrados servidores del hombre de Rudyard Kipling (Kipling 1990) Queacute Quieacuten Por queacute Para
queacute Cuaacutendo Coacutemo y Doacutende y por otra las cuatro reglas del Meacutetodo Cartesiano (Descartes
1637) a saber De evidencia Anaacutelisis Siacutentesis y Prueba
Figura I2 Esquema de Solucioacuten de Problemas desde una Perspectiva de GC
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Finalmente sentildealar que la teoriacutea propuesta tiene que constituir un sistema deductivo Para su
buacutesqueda y definicioacuten se hizo uso de la conocida regla heuriacutestica de ldquoanaacutelisis-siacutentesisrdquo y de la
loacutegica experimental En efecto las caracteriacutesticas baacutesicas de los sistemas deductivos son (a)
principio de ldquoretrasmisioacuten de la falsedad desde la base hasta la cuacutespiderdquo esto es mediante
ldquoretroduccioacutenrdquo desde las conclusiones a las premisas Haciendo asiacute un contraejemplo de una
conclusioacuten seraacute un contraejemplo de al menos una de las premisas (b) El ldquoprincipio de
transmisioacuten de la verdadrdquo desde las premisas a las conclusiones Pero y esto es muy
importante a estos sistemas no se les exige que transmitan falsedad o retrasmitan verdad
Para llevar esto a buen puerto los sistemas deductivos hacen uso de la regla de ldquoanaacutelisis-
siacutentesisrdquo que funciona como sigue (Lakatos 1981) Extrae conclusiones de tu conjetura una
tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera si llegas a una conclusioacuten falsa entonces
tu conjetura es falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera entonces tu
conjetura tal vez haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e
intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso es decir desde la verdad indudable
hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado la conjetura Esta regla heuriacutestica
pone de manifiesto por queacute los antiguos griegos teniacutean en tan alta estima la ldquoReductio ad
absurdumrdquo les ahorraba el trabajo de siacutentesis habiendo probado el caso soacutelo con el anaacutelisis
Anaacutelisis que puede ser de dos tipos teoacuterico dirigido a la buacutesqueda de la verdad y
praxeoloacutegico praacutectico o problemaacutetico que de estas tres formas se denomina dirigido a
encontrar lo que se ha dicho que hay que encontrar
La mayoriacutea de los grandes cientiacuteficos Maxwell Einstein Dirac etceacutetera usaron o procedieron
mediante lo que se conoce como ldquoloacutegica experimentalrdquo un aparente oxiacutemoron es decir
teacuterminos contradictorios en siacute mismos pero en este caso soacutelo en apariencia En loacutegica
experimental se formulan hipoacutetesis formalmente a poder ser en forma de ecuaciones y se
experimenta con ellas Esto es se intenta perfeccionar las ecuaciones desde el punto de vista
de su belleza o perfeccioacuten interna y su consistencia Y a continuacioacuten se verifica si las
ecuaciones ldquomejoradasrdquo explican alguacuten aspecto de la naturaleza Las matemaacuteticas utilizaban la
acabada de citar ldquoreduccioacuten al absurdordquo que consiste en que para demostrar A se asume lo
opuesto de A y se llega a una contradiccioacuten con lo que se afirma A Por el contrario la ldquoloacutegica
experimentalrdquo consiste en una ldquovalidacioacuten por fecundidadrdquo que estriba en que para validar A
se asume A y se demuestra que conduce a resultados uacutetiles Frente al ldquomodus operandirdquo de la
loacutegica deductiva la ldquoloacutegica experimentalrdquo se inspira en la maacutexima ampliamente utilizada en
GC siguiente ldquoMaacutes vale pedir perdoacuten que solicitar permisordquo De hecho la ldquoloacutegica
experimentalrdquo no contempla al menos ldquoprima facierdquo la inconsistencia como una cataacutestrofe
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irremediable sino como una oportunidad esperanzadora Si una liacutenea de investigacioacuten es
fructiacutefera no debiacutea ser abandonada por su inconsistencia o caraacutecter aproximado Por el
contrario hay que buscar el modo de convertirla en correcta En este sentido el premio Nobel
de Fiacutesica Steven Weinberg sentildealoacute que muchas veces se aplican las ideas correctas al problema
equivocado
Para centrar la cuestioacuten cientiacuteficamente y huir de toda especulacioacuten metafiacutesica lo primero que
se hizo fue aplicar la GC en forma de Mapa de Zack y esquema de obtencioacuten del conocimiento
para identificar un problema relevante en el aacuterea en la que la doctoranda teniacutea cualificacioacuten
universitaria el desarrollo software De esto trata el capiacutetulo II en el cual en forma de estado
de la cuestioacuten se considera detalladamente
A) Las bases tecnoloacutegicas de la crisis del software provocada fundamentalmente por una
carencia de teoriacutea del software que soporte las ingenieriacuteas del software y del
conocimiento
B) Naturalmente si lo que se busca es una teoriacutea cientiacutefica previamente debe
establecerse lo que se entiende por tal Ademaacutes como no hay mejor predicador que
fray ejemplo se daraacuten en distintos dominios ejemplos de teoriacuteas cientiacuteficas tanto
formales como empiacutericas o exponenciales
A continuacioacuten en el capiacutetulo III usando conocimiento formal se demuestra no soacutelo que
dicha teoriacutea es posible apartado III1 aportacioacuten de von Neumann y Teorema de Loumlwenheim-
Skolem sino que tambieacuten es viable y realizable viacutea ldquocurryficacioacutenrdquo apartado III2 Para probar
la posibilidad se hizo uso de las teacutecnicas de importacioacuten y de educcioacuten del conocimiento de
acuerdo con la regla de oro de la GC queacute se sabe queacute no se sabe y queacute se deberiacutea saber en
este caso concreto los resultados previos de von Neumann y Loumlwenheim-Skolem Por su
parte para probar la factibilidad apartado III2 se hizo uso viacutea importacioacuten de conocimientos
y inquisicioacuten al experto de algo habitual en el desarrollo software en este caso en el aspecto
concreto de la programacioacuten funcional y su fundamentacioacuten loacutegico-matemaacutetica Por y para lo
cual se usoacute el conocimiento previo de Frege Schoumlnfinkel y Curry En ambos casos la teacutecnica de
GC denominada mapas de conocimientos fueron de absoluta utilidad
Y para completar el triacuteo de cuestiones que exigiacutea el planteamiento de la hipoacutetesis y dentro de
la solucioacuten propuesta en el capiacutetulo IV se muestran los aspectos metodoloacutegicos de dicha
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solucioacuten apartado IV1 y en el apartado IV2 la teoriacutea propuesta basada soacutelo en dos
ldquoconstructosrdquo o conceptos y tres postulados
Para finalizar en el capiacutetulo V se explicitan apartado V1 los resultados obtenidos las
conclusiones extraiacutedas apartado V2 y las futuras liacuteneas de investigacioacuten apartado V3 Y en
el capiacutetulo VI se da la bibliografiacutea
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9
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES
En 1947 John Bardeen (1908-1991) y Walter Houser Brattain inventaron el transistor cuyo
nombre es el acroacutenimo de ldquoTransference Resistorrdquo en alusioacuten a su caracteriacutestica maacutes
importante transferir resistencia permitiendo el paso de corriente de una entrada de baja
resistencia a otra de salida de alta resistencia Ahora bien dicho transistor conocido como de
punta de contacto no era muy estable y fue necesario que otro cientiacutefico tambieacuten de los
laboratorios Bell William Bradford Shockley lo mejorara dando lugar al transistor de unioacuten Por
dicho invento y mejora los tres fueron galardonados con el premio Nobel de Fiacutesica del antildeo
1956 Insoacutelitamente John Bardeen esta vez en compantildeiacutea de Leon N Cooper y John Robert
Schrieffer volvioacute a conseguir el premio Nobel de Fiacutesica de 1972 por sus trabajos sobre la
superconductividad del metal proacuteximo al cero absoluto
En 1959 John Kilby de Texas Instruments patentoacute el circuito integrado que conteniacutea
centenares de componentes es decir transistores y resistencias tratadas en bloque que
recibieron el nombre coloquial de ldquochipsrdquo Este nombre alude a las finas lonchas de patatas
fritas cuya forma recuerda a la de los circuitos integrados aunque su procedencia proveniacutea de
las siglas ldquoCircuit High Integrated Processrdquo Siendo eacuteste uno maacutes de los tiacutepicos juegos de
palabras que tan a menudo ocurren en el mundo de la CS Pues bien el chip maacutes importante
es el microprocesador llamado tambieacuten Central Processing Unit (CPU) que se encarga de
controlar a todos los demaacutes y efectuar todas las operaciones
Nombre Antildeo Nordm de Transistores Ancho de bus
(bits) Frecuencia de Reloj
(Herzios)
44004 1971 2300 4 108 KHz 8080 1974 6000 8 2 MHz 8086 1978 29000 16 5 MHz 80286 1982 134000 16 6 MHz 80386 1985 275000 32 16 MHz 80486 1989 1200000 32 25 MHz Pentium 1993 3100000 64 y 32 60 MHz Pentium II 1997 7500000 64 233 MHz Pentium III 1999 9500000 64 500 MHz Pentium 4 2000 42500000 64 13 GHz Pentium M 2003 140000000 64 226 GHz Pentium D 2005 230000000 64 32 GHz Core 2 Duo 2006 291000000 64 266 GHz
Tabla II1 Caracteriacutesticas de los chips desde su creacioacuten
10
El primer microprocesador lo presentoacute Intel empresa fundada en julio de 1968 por Gordon
Moore Robert Nogee y Andrew Growe el 15 de Noviembre de 1971 A partir de ese
momento tal y como se muestra en la tabla II1 la evolucioacuten de los microprocesadores se hizo
vertiginosa En dicha tabla se muestran las caracteriacutesticas de los principales modelos de chips
comercializados por INTEL teniendo en cuenta los tres paraacutemetros fundamentales de un
microprocesador a saber ancho de bus de datos o nuacutemero de bits que puede manejar
simultaacuteneamente la frecuencia del reloj o velocidad de proceso y la cantidad de transistores
que contiene Y en la figura II1 se muestra dicha evolucioacuten hasta el antildeo 2020 pero teniendo
en cuenta soacutelo el nuacutemero de transistores por chip Curiosamente como Intel queriacutea
diferenciarse de otros fabricantes y no podiacutea patentar un nuacutemero al modelo siguiente al
80486 en lugar de 80586 lo denominoacute Pentium Siguiendo este esquema de nomenclatura el
siguiente modelo deberiacutea haberse llamado Sextium pero por las connotaciones que teniacutea con
ldquoSexrdquo a Intel le parecioacute maacutes oportuno numerar los Pentium como asiacute hizo Finalmente en los
uacuteltimos antildeos han denominado a sus modelos Core Duo en mencioacuten del doble nuacutecleo que
poseen
Figura II1 Ley de Moore en teacuterminos de procesadores Intel
Si se compara el ritmo de la evolucioacuten bioloacutegica con la de los instrumentos de coacutemputo
tomando como punto de partida de la primera la aparicioacuten de las ceacutelulas procariotas hace
unos quinientos millones de antildeos y de la segunda el aacutebaco babiloacutenico hace unos cinco mil
antildeos se ve como se muestra en la figura II2 que la evolucioacuten bioloacutegica es lineal en tanto que
la tecnoloacutegica es exponencial En dicha figura la capacidad de proceso estaacute representada en
teacuterminos de lo que puede adquirirse en cada momento por mil doacutelares y no en teacuterminos
absolutos de lo que es capaz de procesar el computador maacutes potente del momento Por su
11
parte la capacidad de coacutemputo de los seres vivos se representa en la figura en base al nuacutemero
de neuronas del cerebro y a las posibilidades de conexioacuten sinaacutepticas y considerando que una
neurona es capaz de realizar mil instrucciones por segundo
Figura II2 Evolucioacuten bioloacutegica y tecnoloacutegica
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE
Raymond Kurzweil (Kurzweil 1999) sentildealoacute acertadamente que a lo largo del tiempo operan
dos leyes complementarias La primera conocida como ldquoLey del Aumento del Caosrdquo da cuenta
del hecho empiacuterico de que a medida que el caos se incrementa el tiempo se desacelera Dicho
en otros teacuterminos El intervalo transcurrido entre dos eventos relevantes crece con el tiempo
Esta ley que puede aplicarse tanto al Cosmos como a los organismos bioloacutegicos es la que hace
que los humanos pasen de la juventud a la vejez La segunda que es la que ldquohic et nuncrdquo esto
es aquiacute y ahora maacutes importa concierne baacutesicamente al desarrollo e innovacioacuten tecnoloacutegica y
opera de forma opuesta a la primera recibiendo el nombre de ldquoLey de los Rendimientos
Crecientesrdquo En la tabla II2 se dan dos ejemplos de funcionamiento de esta ley El primero
considera la aceleracioacuten histoacuterica del advenimiento de las distintas sociedades impulsadas por
los continuos y revolucionarios cambios tecnoloacutegicos El segundo muestra el tiempo
12
transcurrido desde que se produce un descubrimiento cientiacutefico hasta que se convierte en una
innovacioacuten tecnoloacutegica de aplicacioacuten praacutectica La historia de la civilizacioacuten es la del intento
continuado del ser humano para reducir la brecha entre lo que piensa que sabe y lo que hace
es decir entre ciencia y tecnologiacutea Y lo que impulsa estos avances depende de cada caso Asiacute
en el caso del transporte es la utilidad lo que impulsa los avances Esta ley de los
ldquoRendimientos Crecientesrdquo da cuenta del hecho de que a medida que el orden crece
exponencialmente el tiempo se desacelera tambieacuten exponencialmente Dicho de otro modo
El intervalo transcurrido entre dos eventos importantes relevantes y significativos decrece con
el tiempo Un corolario conocidiacutesimo y ejemplo paradigmaacutetico de esta ley es la ldquoLey de
Moorerdquo aplicada a la tecnologiacutea de los microprocesadores que por su pertinencia y
relevancia se va a considerar maacutes ampliamente a continuacioacuten y que Forrester en 1987
(Forrester 1987) expresoacute como sigue El poder de la tecnologiacutea de la computadora a la misma
unidad de coste se duplica cada dieciocho-veinticuatro meses y tiende a disminuir el periacuteodo
Tipos de Sociedad Tiempo
Transcurrido
Descubrimiento Antildeos Transcurridos
Fotografiacutea 112
Rural Teleacutefono 56
10 Siglos Radio 35
Industrial Radar 15
2 Siglos Bomba Atoacutemica 6
Servicios Transistor 5
30 Antildeos Circuitos Integrados 3
Tecnologiacutea o Digital Enzimas de Restriccioacuten en el ADN recombinante
lt1
(A) Evolucioacuten de las Sociedades (B) Ley de Rendimientos Crecientes para distintos
Descubrimientos
Tabla II2 Ejemplos de la aceleracioacuten histoacuterica
En el antildeo 1965 Gordon E Moore uno de los fundadores de INTEL se percatoacute de que los
circuitos integrados estaban duplicando cada antildeo la densidad de los componentes electroacutenicos
que conteniacutean las distintas obleas de silicio que constituye el chip Y establecioacute dicha
observacioacuten perspicaz en forma de foacutermula empiacuterica que en honor de su descubridor recibe
el nombre de Ley de Moore (Moore 1965) Esta foacutermula empiacuterica que mide estimula y
predice la capacidad humana de innovacioacuten aplicada al progreso de la tecnologiacutea
microelectroacutenica obviamente no es una ley cientiacutefica de la naturaleza y en consecuencia ni es
universal ni menos eterna Esto hace que de vez en cuando haya que retocarla para ajustarla
a la realidad de los hechos En efecto si bien es cierto que el coeficiente multiplicador anual de
13
densidad de los componentes electroacutenicos en un chip se mantuvo en el valor 2 desde 1958
hasta 1972 desde entonces se redujo hasta hoy en diacutea a 15 es decir a duplicarse cada
dieciocho meses y se estima que dicha tendencia continuaraacute hasta aproximadamente el antildeo
2020 A partir de ahiacute se cree que se volveraacute a reducir hasta un valor de 116 que continuaraacute
hasta alcanzar los liacutemites de las leyes fiacutesicas que rigen la construccioacuten de los chips actuales
esto es la electroacutenica convencional En efecto si se mantiene la ley de Moore antes de quince
antildeos los componentes electroacutenicos grabados en silicio llegaran a un tamantildeo molecular criacutetico
Por ejemplo en 1972 los chips de memoria tipo DRAM conteniacutean un kilobit esto es mil ceros
o unos Al ritmo multiplicador de 15 anual en el antildeo 2010 pasariacutean a tener una capacidad de
unos 64 gigabits o sea a albergar 64 mil millones de transistores por oblea de silicio Sin
embargo esta previsioacuten fue superada con creces pues ya en 1997 investigadores de la
Universidad de Minnesota anunciaron una teacutecnica para integrar ese mismo nuacutemero de
transistores en un chip de 1 centiacutemetro cuadrado de superficie Lo mismo cabe decir para los
chips microprocesadores aunque en este caso la pauta que siguen hay que restarle un orden
de magnitud En la gran conferencia patrocinada por la Association for Computing Machinery
(ACM) con ocasioacuten del primer cincuentenario de la informaacutetica celebrada del 1 al 5 de marzo
de 1997 y titulada ldquoThe Next Fifty Years of Computingrdquo Gordon Bell estimaba que dentro de
otros cincuenta antildeos los computadores seraacuten como miacutenimo 100000 veces maacutes potentes que
los actuales Por otra parte Raymond Kurzweil estimoacute que la capacidad operativa del cerebro
humano es de 20x1015 operaciones por segundo cifra que de acuerdo con la ley de Moore
alcanzaraacuten los procesadores del antildeo 2020 y duplicada 18 meses despueacutes
Para apreciar el extraordinario aumento de la potencia de los computadores es importante
recordar que desde 1950 hasta el presente dicho aumento es de aproximadamente iexclonce
oacuterdenes de magnitud en otras palabras se ha multiplicado por 1011 o auacuten es cien mil
millones de veces superior Un raacutepido incremento de potencia de esta magnitud apenas tiene
precedentes en la historia de la tecnologiacutea Para valorar por comparacioacuten la magnitud de este
impresionante incremento baste indicar que es mayor que el que supuso en la potencia de
los explosivos el paso de los explosivos quiacutemicos a la bomba termonuclear De hecho si se
retrocede ochenta antildeos la potencia de coacutemputo se ha multiplicado por un billoacuten Para tener
una idea aproximada de lo que esto significa compaacuterese con la velocidad de los medios de
comunicacioacuten a traveacutes de la historia y se ve que el solo aumento de un orden de magnitud fue
debido a un cambio tecnoloacutegico relevante para la humanidad Por ejemplo el paso de la
traccioacuten animal a la mecaacutenica por vapor o explosioacuten y de eacutesta a los aviones a reaccioacuten cohetes
etc Hace ocho mil antildeos el medio maacutes raacutepido de transporte era la caravana de camellos que
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alcanzaba una media de 12 kiloacutemetros por hora Hasta cuatro mil quinientos antildeos despueacutes no
se inventoacute el carro con ruedas que permitiacutea viajar a 30 kiloacutemetros por hora Casi tres mil
quinientos antildeos despueacutes en 1880 el hombre consiguioacute alcanzar los 150 kiloacutemetros por hora
gracias a la locomotora de vapor Los 600 kiloacutemetros por hora no se alcanzaron hasta hace 70
antildeos con los aviones a reaccioacuten Veinte antildeos despueacutes los aviones-cohete superaban los 6000
kiloacutemetros por hora Hoy las caacutepsulas espaciales circunvalan a tierra a maacutes de 35000
kiloacutemetros por hora La espectacular evolucioacuten tecnoloacutegica de los computadores si se le
compara con la evolucioacuten de la industria automoviliacutestica resulta auacuten maacutes ilustrativa En efecto
fue el malogrado psicoacutelogo entusiasta de los computadores Christopher Evans (Evans 1979)
el primero en establecer una analogiacutea de este tipo al plantear la cuestioacuten como sigue El
automoacutevil actual difiere de aquellos de los antildeos inmediatos de la postguerra en varios
aspectos Es maacutes barato y es maacutes econoacutemico y eficiente Pero supoacutengase por un momento
que la industria del automoacutevil se hubiera desarrollado al mismo ritmo que los computadores y
a lo largo del mismo periacuteodo iquestCuaacutento maacutes baratos y eficientes seriacutean los modelos actuales La
respuesta es Hoy se podriacutea comprar un Rolls-Royce por 135 libras esterlinas rendiriacutea 18
millones de kiloacutemetros por litro de gasolina consumido generariacutea suficiente potencia para
impulsar al Queen Elizabeth II y se podriacutea colocar media docena de ellos en la cabeza de un
alfilerrdquo Analogiacutea que posteriormente retomoacute Malcom Forbes (Forbes 1996) con cambios
miacutenimos Aumentando el precio del Rolls Royce rebajando la eficiencia en el consumo
comparando su fortaleza frente al Queen Mary Este Rolls consumiriacutea 1 litro de gasolina cada
milloacuten de kiloacutemetros tendriacutea una potencia superior al Queen Mary y ocupariacutea el volumen de
una cabeza de alfiler Por su parte Goacutemez y colegas (Goacutemez 1997) antildeadieron que tendriacutea
capacidad para 10000 viajeros y viajariacutea a maacutes de 5000 kmhora y redujeron el precio a menos
de un doacutelar Hoy podriacutea antildeadirse que iriacutea al taller cada 500 antildeos casi no contaminariacutea y que
praacutecticamente no hariacutea falta saber nada para conducirlo Es de suponer que en Microsoft no
estaacuten de acuerdo con este enfoque al menos su jefe de tecnologiacutea Nathan Myhrvold quien
establecioacute una ley para el software que dice ldquoLa programacioacuten crece maacutes raacutepido que la Ley de
Moorerdquo (Myhrvold 1998) Naturalmente todos estos datos exclusivamente referentes al
ldquohardwarerdquo se dan sin segunda intencioacuten no vaya a ser que el efecto Gates funcione de
nuevo Usando parte de esos datos y la Ley de Nathan (Myhrvold 1998) hace unos antildeos fuera
de contexto Bill Gates en un CONDEX imprudentemente se burlaba de la industria del
automoacutevil lo que provocoacute la indignacioacuten del presidente de la General Motors que convocoacute una
rueda de prensa en la que contestoacute lo siguiente Si la industria automovilista hubiera
desarrollado una tecnologiacutea como la de Microsoft conduciriacuteamos actualmente automoacuteviles
15
que tendriacutean dos accidentes al diacutea habriacutea que cambiarlos cada vez que se pintaran las liacuteneas
de la carretera se parariacutean sin motivo conocido y habriacutea que arrancarlos de nuevo para
continuar la marcha los asientos exigiriacutean que todos los ocupantes tuvieran el mismo formato
de culo el sistema de airbag preguntariacutea si se aceptaba que se desplegara antes de actuar y
en ocasiones soacutelo podriacutea arrancarse por el conocido truco de tirar de la puerta girar la llave y
sujetar la antena de la radio simultaacuteneamente Y siempre que se presentara un nuevo modelo
de coche todos los conductores deberiacutean aprender a conducir de nuevo porque ninguno de los
mandos funcionariacutea como en los modelos anteriores Como puede verse todas estas criacuteticas se
refieren al software Eacutestas y otras comparaciones que se podriacutean poner como ejemplo no
reflejan otra cosa que la realidad incuestionable del avance espectacular que ha tenido la
industria de los procesadores y de los computadores en su versioacuten ldquohardwarerdquo Ambos
enfoques se encuentran en la Tabla II3
A) HARDWARE
B) SOFTWARE
Microsoft
Accidentes Cambios Deteccioacuten Ergonomiacutea Automatizacioacuten Arranque Conocimiento
Conduccioacuten
2 x diacutea Cada vez
que se
pintaran
las liacuteneas
de la
carrete-
ra
Sin motivo
conocido y
habiacutea que
rearrancarlos
cada vez para
continuar
Los
pasajeros
deben
tener el
mismo
formato de
trasero
El airbag
preguntariacutea
antes de actuar
si se desplegaba
En ocasiones
tirar de la
puerta girar la
llave y sujetar
la antena de la
radio simultaacute-
neamente
Para cada
nuevo modelo
ir de nuevo a la
autoescuela
Tabla II3 Comparativas en Hardware y Software
Kurzweil analiza todo esto en un trabajo (Kurzweil 2005) en donde da su Ley de Aceleracioacuten
de los Retornos que aquiacute se resume como sigue un anaacutelisis de la historia de la tecnologiacutea
muestra que el cambio tecnoloacutegico es exponencial y no como parece indicar el sentido comuacuten
Tipo Precio Kmlitro Potencia Tamantildeo Capacidad Vel Kmh
Fiabilidad Conocimiento Conduccioacuten
Contami-nacioacuten
Rolls Royce
1 euro 18x106
Queen Elizabet II
6 en cabeza de alquiler
104 pasajeros
5x103
Cada 500 antildeos al taller
Praacutecticamente nulo
Cero
200000 euro
033 300CV 420x17060
4 pasajeros 250 Anual Academia Media
16
lineal Asiacute los ldquoretornosrdquo tales como la velocidad de los ldquochipsrdquo y el coste-efectividad tambieacuten
se incrementaraacuten exponencialmente Hay incluso un crecimiento exponencial en los ratios de
crecimiento exponencial Dentro de pocas deacutecadas la ldquointeligenciardquo de la maacutequina
sobrepasaraacute la inteligencia humana conduciendo a ldquoLa Singularidadrdquo o cambio tecnoloacutegico tan
raacutepido y profundo que representa una ruptura en la realidad de la historia humana las
implicaciones incluyen la mezcla de inteligencia bioloacutegica y no bioloacutegica humanos inmortales
basados en software y ultraelevados niveles de inteligencia que la expanden en el universo a la
velocidad de la luz
Para Kurzweil el futuro es ampliamente malentendido Las previsiones humanas esperan que
el futuro sea lo maacutes parecido al presente que ha sido lo maacutes parecido al pasado Aunque las
tendencias exponenciales existen desde hace miles de antildeos en sus primeras etapas son tan
llanas que parece que no tengan tendencia en absoluto y eso es lo que ocurrioacute hasta ahora
por eso el futuro seraacute mucho maacutes sorprendente de aquiacute en adelante La mayoriacutea de las
previsiones a largo plazo de las capacidades teacutecnicas en periacuteodos de tiempo futuro subestiman
dramaacuteticamente el poder de la tecnologiacutea del futuro debido a que se basan en la visioacuten
ldquointuitivamente linealrdquo del progreso tecnoloacutegico antes que en la visioacuten ldquohistoacutericamente
exponencialrdquo Para expresarlo de otro modo no es el caso de que se experimentaraacute un
progreso de cien antildeos en el siglo XXI sino que el ser humano seraacute testigo de un progreso a la
ratio actual de 20000 antildeos Debido a que se estaacute duplicando la tasa de progreso cada deacutecada
a la ratio actual se veraacute una centuria de progreso en soacutelo 25 antildeos de calendario
Cuando la gente piensa en un periodo futuro intuitivamente asume que la actual ratio de
progreso continuaraacute en periacuteodos futuros Sin embargo una cuidadosa consideracioacuten de la
marcha de la tecnologiacutea muestra que la ratio de progreso no es constante pero estaacute en la
naturaleza humana adaptarse a la marcha del cambio de modo que la visioacuten intuitiva es que la
marcha continuaraacute a la tasa actual Incluso para incrementos sobre el tiempo la intuicioacuten da la
impresioacuten de que el progreso cambia a la ratio que se experimentoacute recientemente Desde la
perspectiva matemaacutetica una primera razoacuten para eso es que una curva exponencial se
aproxima a una recta cuando se ve durante un breve periacuteodo de tiempo De modo que
aunque la ratio de progreso en el inmediato pasado verbigracia el antildeo pasado fue mucho maacutes
grande de lo que hace dos antildeos la memoria estaacute a pesar de todo dominada por la
experiencia muy reciente Es tiacutepico por lo tanto que incluso personas ldquoexpertasrdquo cuando
consideran el futuro extrapolan la actual marcha del cambio sobre los proacuteximos diez o cien
17
antildeos para determinar sus expectativas Por eso a esta visioacuten del futuro se denomina visioacuten
ldquointuitiva linealrdquo
Pero una evaluacioacuten de la historia de la tecnologiacutea maacutes meditada y rigurosa muestra que el
cambio tecnoloacutegico es exponencial En el crecimiento exponencial se encuentra que una
medida clave tal como la potencia computacional se multiplica por un factor constante por
cada unidad de tiempo verbigracia se duplica cada antildeo antes que justo ser sumado
incrementalmente Dicho en otros teacuterminos se estaacute ante una progresioacuten geomeacutetrica no
aritmeacutetica El crecimiento exponencial es caracteriacutestico de cualquier proceso evolutivo del que
la tecnologiacutea es un ejemplo primario Se pueden examinar los datos de diferentes maneras en
diferentes escalas de tiempo y para una amplia variedad de tecnologiacuteas yendo de la
electroacutenica a la bioloacutegica y la aceleracioacuten del progreso y el crecimiento se multiplican Maacutes auacuten
realmente no se encuentra justamente un crecimiento exponencial simple sino ldquodoblerdquo lo
que significa que la ratio del propio crecimiento exponencial es exponencial Estas
observaciones no se basan uacutenicamente en la ley de Moore sino en un modelo que contempla
diversas tecnologiacuteas Lo que claramente muestra eso es que la tecnologiacutea particularmente la
marcha del cambio tecnoloacutegico avanza al menos exponencialmente no linealmente y lo ha
estado haciendo desde el advenimiento de la evolucioacuten a la Tierra Todo esto da lugar a la asiacute
llamada por Kurzweil ldquoLey de Aceleracioacuten de Retornosrdquo (Kurzweil 2005)
Para apreciar la naturaleza y significado de la ldquosingularidadrdquo que se avecina es importante
ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial A este fin permiacutetase usar el caso del
inventor del ajedrez Sessa o por mejor decir su leyenda Esta leyenda de hace maacutes de quince
siglos fue citada por Dante Alighieri (1265-1321) en el apartado del Paraiacuteso de su Divina
Comedia cuando en sus versos refirieacutendose a las luces del cielo dice(Alighieri 1988)
L`incendio suo seguiva ogne scintilla ed eran tante che`l numero loro piuacute che`l doppiar de li scacchi s`inmilla
hellip y eran tantas que su nuacutemero maacutes que al doblar de los escaques asciende
Es decir su nuacutemero era tan grande que superaba al que se obtendriacutea sumando los primeros 64
teacuterminos esto es el nuacutemero de escaques del tablero de ajedrez de la progresioacuten geomeacutetrica
de razoacuten dos a partir del uno El resultado es un nuacutemero enorme de veinte cifras expresado
por la foacutermula 264-1 Dante recuerda en su famosa obra la conocida leyenda oriental en una
de sus versiones Seguacuten Dante el rey persa Shiraz riquiacutesimo y aburrido convocoacute a los sabios y
les prometioacute una recompensa generosa si lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente
18
Uno de los sabios de nombre Sessa o Sisa de acuerdo con las distintas foneacuteticas le llevoacute el
juego del ajedrez y le pidioacute un grano de trigo por la primera casilla dos por la segunda cuatro
por la tercera ocho por la cuarta y asiacute sucesivamente Naturalmente no pudo pagarle al sabio
pero seguacuten otra versioacuten maacutes erudita y completa (Pazos J 2008) los matemaacuteticos que
calcularon la enorme cantidad de trigo que teniacutea que abonar el monarca le dieron la ldquorecetardquo
para salir airosamente del trance Hacerle contar al Sessa los granos de trigo que iba
recibiendo
Soacutelo queda por plantearse una cuestioacuten iquestEl nuacutemero de granos que solicitaba el brahmaacuten es
mayor menor o igual que el nuacutemero de posibles jugadas en el juego que descubrioacute La
respuesta es que es mucho menor habida cuenta que el nuacutemero de jugadas posibles en el
ajedrez seguacuten Shannon es de 10120
La ldquoduplicacioacutenrdquo aunque parece un divertimento no es asiacute puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas El caso maacutes paradigmaacutetico es el de las bacterias los seres
vivos hasta el momento con mayor capacidad de reproduccioacuten En efecto si cuentan con
suficiente alimento una bacteria se divide en dos iguales cada veinte minutos A este ritmo
una uacutenica bacteria puede superar a toda la poblacioacuten humana actual en tan soacutelo 11 horas Para
calcularlo bastariacutea con elevar dos a treinta y tres el nuacutemero de divisiones que se produciriacutean
en ese tiempo Afortunadamente para dar ldquoalimentordquo a tan numerosa prole hace falta un
suministro de nutrientes muy elevado asiacute que la poblacioacuten tiende a estabilizarse al llegar a esa
cifra Si no fuera asiacute la poblacioacuten llegariacutea en pocos diacuteas al valor de un Guacutegol que es un uno
seguido de iexcl100 ceros Este nombre se lo dio el matemaacutetico Kasner tomaacutendolo prestado de
su sobrino de nueve antildeos
Dicho lo anterior lo inmediato es establecer lo que significa la singularidad como teacutermino y
como concepto Para empezar hay que decir que con el teacutermino singularidad se quiere decir
un acontecimiento uacutenico con profundas implicaciones Por ejemplo en matemaacuteticas implica el
infinito es decir la ldquoexplosioacutenrdquo de un valor que ocurre cuando se divide un nuacutemero racional
distinto de cero por un nuacutemero tan proacuteximo a cero como se quiere incluido naturalmente el
cero En fiacutesica anaacutelogamente una singularidad denota un evento o posicioacuten de poder infinito
En el centro de un agujero negro la materia es tan densa que su gravedad es infinita Cuanto
maacutes se acercan la materia y la energiacutea para caer en un agujero negro un evento horizonte
separa la regioacuten del resto del Universo Eso constituye una ruptura en la estructura del espacio
y el tiempo El propio Universo seguacuten la ldquoteoriacuteardquo actualmente dominante ldquoel big bangrdquo
comenzoacute justamente con una singularidad
19
La singularidad tiene muchas facetas Asiacute representa la cercana fase vertical del crecimiento
exponencial donde la ratio de crecimiento es tan extrema que la tecnologiacutea parece que crece a
una velocidad infinita Naturalmente desde una perspectiva matemaacutetica no hay
discontinuidad ni ruptura y la ratio de crecimiento permanece finita aunque
extraordinariamente grande Pero desde la limitada perspectiva actual este evento inminente
parece ser una aguda y abrupta ruptura en la continuidad del progreso Sin embargo hay que
enfatizar la palabra ldquoactualmenterdquo porque una de las implicaciones conspicuas de la
singularidad seraacute un cambio en la naturaleza de la capacidad humana de entender En otros
teacuterminos el ser humano llegaraacute a ser inmensamente maacutes inteligente cuando se ldquomezclerdquo con
la tecnologiacutea
Volviendo a la historia del ajedrez tanto Sessa como el emperador mientras estaban
considerando la primera mitad del tablero de ajedrez las cosas iban razonablemente bien sin
sobresaltos Sessa recibioacute sucesivamente cucharadas tazones y barriles de grano De este
modo al final de la primera mitad del tablero habiacutea recibido Sessa el equivalente a la cosecha
de un gran campo en total cuatrocientos mil millones de granos y el emperador empezoacute a ser
consciente del problema en el que se habiacutea metido A partir de ahiacute la situacioacuten empezoacute a
deteriorarse para el emperador raacutepidamente hasta el punto de que al final no podiacutea cumplir
su palabra Incidentalmente sentildealar que en lo de duplicar la potencia computacional
actualmente se estaacute ligeramente por encima de doblar 32 veces las prestaciones del primer
computador programable es decir se estaacute empezando a superar el umbral de la singularidad
Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial Aunque la tecnologiacutea crece en el dominio
exponencial los seres humanos viven en un mundo lineal Asiacute las tendencias tecnoloacutegicas no
son notorias cuando se doblan pequentildeos niveles de potencia tecnoloacutegica Luego
aparentemente sin razoacuten alguna una tecnologiacutea explota ante la mirada sorprendida de quien
contempla la singularidad Por ejemplo cuando Internet pasoacute de 20000 a 80000 nodos en un
periacuteodo de dos antildeos allaacute por los 80 este progreso permanecioacute oculto al puacuteblico en general
Una deacutecada despueacutes cuando se pasoacute de 20 millones a 80 millones de nodos en la misma
cantidad de tiempo el impacto fue noticia Pues bien la tasa de crecimiento es la misma
exactamente cuatro veces
Como el crecimiento exponencial continuacutee acelerado en la primera mitad del siglo XXI
pareceraacute explotar en el infinito al menos desde las perspectivas limitadas y lineales de los
humanos contemporaacuteneos Finalmente el progreso llegaraacute a ser tan raacutepido que quebraraacute
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cualquier posibilidad de seguirlo Estaraacute literalmente fuera de control La ilusioacuten actual de
ldquodesenchufarlordquo se habraacute difuminado
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN
Con todo esto no es sino el principio pues la carrera por la miniaturizacioacuten no ha hecho maacutes
que empezar Apenas se ha llegado a la era de las minimaacutequinas que constan de billones de
aacutetomos y se miden en miliacutemetros y ya se estaacute de hoz y coz en el terreno de las
micromaacutequinas que constan soacutelo de unos pocos millones de aacutetomos y se miden en
microacutemetros Al tiempo ya han comenzado los ensayos con nanomaacutequinas que trabajan con
apenas unos cientos de aacutetomos y soacutelo pueden medirse en milloneacutesimas de miliacutemetro Es lo
que constituye la nanotecnologiacutea cuyo futuro comenzoacute el 29 de diciembre de 1959 Alliacute y
entonces Richard Phillips Feynman posterior premio Nobel de Fiacutesica de 1965 leyoacute el discurso
inagural de la reunioacuten anual de la American Physical Society publicado con posterioridad en
ldquoEngineering amp Sciencerdquo la revista de los estudiantes de CALTECH (Feynman 1960) que deciacutea
Me gustariacutea describir un campo del conocimiento teacutecnico en el que se ha hecho muy poco y en
el que en principio puede hacerse muchiacutesimo (hellip) De lo que voy a hablar es del problema de
manejar y controlar cosas en una escala muy pequentildea (hellip) Esto es desde luego bien conocido
por los bioacutelogos (hellip) El ejemplo bioloacutegico de escribir informacioacuten a escala infinitesimal (el
coacutedigo del ADN) me ha sugerido algo que debe ser posible (hellip) Un sistema bioloacutegico puede ser
extremadamente pequentildeo (hellip) Puede haber una justificacioacuten econoacutemica para hacer las cosas
tan pequentildeas (hellip) Permiacutetanme recordarles algunos de los problemas de los computadores (hellip)
Cuanto maacutes y maacutes raacutepido y maacutes y maacutes elaborado sea el computador maacutes y maacutes pequentildeo lo
fabricamos (hellip) iquesthasta doacutende No lo seacute exactamente pero apenas puedo dudar de que
cuando tengamos el control de la fabricacioacuten a escalas pequentildeiacutesimas seremos capaces de
manejar enormes posibilidades de la materia con la que podemos hacer las cosas nuevas cosas
diferentes a las que ahora fabricamos (hellip) Aacutetomos manejados a esa escala ndashdigamos siete
aacutetomos- no tienen nada que ver con los conjuntos de aacutetomos y moleacuteculas de nuestro mundo
macroscoacutepico esos pocos aacutetomos obedeceraacuten leyes de la mecaacutenica cuaacutentica las leyes del
mundo microscoacutepico (hellip) tendremos por ello que trabajar con leyes diferentes y esperar cosas
diferentes Tendremos que hacer de manera diferente (hellip) A nivel atoacutemico existen nuevas
clases de fuerzas y nuevas clases de posibilidades y nuevas clases de efectos (hellip) Estoy como
dije inspirado por el fenoacutemeno bioloacutegico en el que las fuerzas quiacutemicas se utilizan de modo
repetitivo para producir cualquier clase de efecto fantaacutestico En 2002 se hizo puacuteblico el uacuteltimo
avance en nanotecnologiacutea En un minuacutesculo circuito se colocoacute la memoria electroacutenica maacutes
pequentildea construida hasta la fecha que podriacutea estar en el mercado en menos de diez antildeos En
21
unos antildeos maacutes de 15 a 20 se cree que se podraacuten fabricar computadores cuaacutenticos seis
millones de veces maacutes potentes que los actuales que aprovecharaacuten la simultaneidad de
estados y el entrelazamiento es decir la posibilidad que tienen los aacutetomos de estar en dos
sitios a la vez (bilocacioacuten) en un estado de superposicioacuten Esto es se estaacute trabajando con
maacutequinas cuaacutenticas que trabajan con fragmentos de aacutetomos y se mediraacuten en Amgstrons
equivalente a cien milloneacutesimas de miliacutemetro iquestHasta doacutende iquestHasta cuanto La respuesta a
estas preguntas que conciernen a los liacutemites de la computacioacuten se daraacuten a continuacioacuten
siguiendo a Seth Lloyd (Lloyd 2000)
Para calcular la velocidad de coacutemputo se parte del principio de indeterminacioacuten de
Heisenberg (Heisenberg 1927)
Δp Δxge ħ m con ħ=h2π y m=1rArr Δp Δxgeħ=105x10-34Js
Para el par ΔE y Δt dicho principio queda como sigue
ΔE Δt ge ħ
Esta desigualdad tiene dos interpretaciones a saber una lineal Invertir un tiempo Δt para
medir la energiacutea con una exactitud ΔE que no es correcta La correcta es la siguiente un
estado cuaacutentico con disipacioacuten de energiacutea de ΔE invierte al menos un tiempo Δt= πħ2ΔE en
evolucionar a un estado ortogonal y por tanto distinguible Este resultado se amplioacute como
sigue Un sistema cuaacutentico con energiacutea media E necesita al menos un tiempo Δt= πħ2E para
evolucionar a un estado ortogonal O sea Ege πħ2Δt Siendo E la energiacutea media para efectuar
una operacioacuten elemental en Δt
Ahora bien un sistema con energiacutea media E puede efectuar un maacuteximo de 2E πħ operaciones
loacutegicas por segundo En consecuencia para un computador de un kilogramo de masa su
velocidad seraacute de acuerdo con la ecuacioacuten E=mc2 la siguiente
VM=2Eπħ = 2mc2 πħ = 21 Kg(29979x108)2ms-131416x10545x10-34Js =
2x8987x1016x10545x1034s31416=5425x1050 operaciones loacutegicassegundo
Es decir la cota superior estaacute en 1050 operaciones loacutegicas por segundo
22
En lo que respecta a la capacidad de memoria la cantidad de informacioacuten que se puede
almacenar y procesar en un sistema fiacutesico estaacute relacionada con el nuacutemero de distintos estados
fiacutesicos accesibles al sistema Para M elementos biestables el nuacutemero de estados accesibles es
de 2M y puede registrar M bits de informacioacuten Es decir en general un sistema con N estados
accesibles puede registrar log2N bits de informacioacuten Se sabe que el nuacutemero de estados
accesibles de un sistema fiacutesico F estaacute relacionado con la entropiacutea termodinaacutemica S por la
foacutermula de Plank siguiente
S=kBPnF donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 13805x10-23 Julios por
grado Kelvin
Asiacute la cantidad de informacioacuten que puede registrar un sistema fiacutesico viene dada por
I=S(E)kBLn2
Siendo S(E) la entropiacutea termodinaacutemica de un sistema con valor esperado para la energiacutea E
Combinando esta foacutermula con la dada anteriormente para el nuacutemero de operaciones loacutegicas
por segundo entonces la cantidad de memoria en bits viene dada por
I = k2ln2 EπℏS prop kTℏ siendo T = (partS partE)
la temperatura de un kilogramo de materia en una entropiacutea maacutexima en un litro de volumen
Esto lleva a
I = 204x108JK-113805x10-23JK-1ln2=204x10813805x10-23JK-106931=213x1031bit
Esto es el liacutemite de bits de memoria es 1031
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE
Si ahora se contempla en perspectiva el progreso del software lo que se observa es en primer
lugar que dicho progreso dista mucho de ser exponencial peor auacuten pues si se considera el
conjunto global del software disponible tanto de base Sistemas Operativos Compiladores
interfaces etc como de aplicaciones su desarrollo ademaacutes de lineal no es continuamente
creciente en facilidades para los usuarios ni mucho menos Actualmente en el software se
estaacute dando un fenoacutemeno curioso equivalente a una regresioacuten conceptual que consiste en que
el proceso de construir ciertos programas es maacutes difiacutecil y complejo que el propio programa
Esto es debido a que los lenguajes de programacioacuten de alto nivel actuales no son ni mucho
menos maacutes simples que los antiguos En segundo teacutermino tambieacuten salta a la vista que si el
23
desarrollo hardware es en profundidad es decir pocas empresas (INTEL Motorola etc)
dedicadas intensamente a desarrollar la tecnologiacutea de microprocesadores en el caso del
software ese esfuerzo se llevoacute a cabo en amplitud esto es muchas empresas poniendo en el
mercado muchos productos En la figura II3 se muestra el aacuterbol que contiene a lo largo del
tiempo los distintos lenguajes de programacioacuten maacutes conocidos Como puede verse una
auteacutentica Babel Si como deciacutean los latinos hace maacutes de dos mil antildeos validora sum exempla
cuan verba frase que hizo suya Schiller en magniacuteficos versos
Nur das Beispiel fuumlhrt zum Licht Soacutelo el ejemplo proporciona luz
Vieles Reden tut es nicht La ldquoverborreardquo conduce a la oscuridad
Se van a dar a tiacutetulo de botones de muestra los siguientes ejemplos
A) Si se unidimensionaliza el uso del software por las personas la evolucioacuten del software
puede verse como el paso de ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo En un extremo del espectro que puede
datarse en el inicio de la ldquoComputing Sciencerdquo en adelante CS y que va hasta la
aparicioacuten de los primeros inteacuterpretes y lenguajes de control habiacutea que decirles a
los computadores coacutemo teniacutean que hacer las cosas Y eacutesto con el maacuteximo de detalle
en el lenguaje de la maacutequina y de forma rupestre esto es en forma de
conmutadores encendidos o apagados Es decir en esta fase los humanos debiacutean ser
ldquoliteratosrdquo del lenguaje de la maacutequina Posteriormente con la aparicioacuten de los
lenguajes de ensamblador y el desarrollo de lenguajes de control o sea hasta la
aparicioacuten de los primeros sistemas operativos y compiladores e inteacuterpretes tales
como FORTRAN LISP COBOL etc ya al computador no habiacutea que decirle detallada
y exhaustivamente coacutemo teniacutea que hacer las cosas pues algunas ellos ya sabiacutea coacutemo
hacerlas Bastaba con soacutelo indicarle queacute es lo que se queriacutea que hiciera Ademaacutes tanto
la parte del queacute como la del coacutemo se le deciacutea en un lenguaje maacutes proacuteximo al ser
humano mediante los lenguajes de ensamblador que permitiacutean palabras del
lenguaje natural y sobre todo de una forma maacutes natural al ser humano pues ya no
haciacutea falta poner los conmutadores encendidos y apagados dado que se le
ldquoinstruiacuteardquo escribiendo en unas hojas de codificacioacuten las instrucciones que luego
mediante unas maacutequinas perforadoras se ldquotraduciacuteanrdquo a unas fichas perforadas
que los computadores ldquoleiacuteanrdquo y ejecutaban
Maacutes adelante con el advenimiento de los lenguajes del maacutes alto nivel y del
desarrollo de los actuales sistemas operativos de ventanas los interfaces avanzados la
24
Figura II3 Lenguajes de Alto Nivel
25
iconografiacutea de pantalla los programas avanzados de aplicacioacuten etc cada vez menos
hay que decirle a las computadoras ldquocoacutemordquo tienen que hacer las cosas pues ya saben
ldquocoacutemordquo hacerlas y soacutelo hay que decirles ldquoqueacuterdquo es lo que se quiere que hagan Y todo
esto cada vez maacutes en el lenguaje natural de los seres humanos en este caso como la
tecnologiacutea estaacute desarrollada en ingleacutes pues en ingleacutes y de una forma habitual a coacutemo
lo hacen los humanos esto es por la voz O sea en esta etapa que estaacute cada vez maacutes
cerca son las maacutequinas quienes se convierten en ldquoliteratosrdquo de los humanos Y seraacute en
ese momento cuando empiece a surgir un atisbo de inteligencia en las computadoras
Pues bien toda esta evolucioacuten lenta zigzagueante y trabajosa contrasta con la raacutepida
rectiliacutenea y eficiente del hardware La pregunta ademaacutes de inmediata va de suyo
iquestPor queacute es esto asiacute Naturalmente no debe haber un factor uacutenico pero lo que no
hay duda es que una de las razones fundamentales de este desfase entre el desarrollo
del hardware y del software es el que al primero lo soporta una ingenieriacutea basada en
una ciencia la fiacutesica cuya teoriacutea y experimentacioacuten estaacuten muy consolidadas en tanto
al segundo no
B) El filoacutesofo Joseacute Ortega y Gasset maacutes conocido por su obra de gran impacto socioloacutegico
ldquoLa Rebelioacuten de las Masasrdquo afirmaba refirieacutendose a la Medicina lo siguiente (Ortega
2002) La medicina no es una ciencia Es precisamente una profesioacuten una actividad
praacutectica Se propone curar o mantener la salud de la especie humana A este fin echa
mano de cuanto parezca a propoacutesito entra en la ciencia y toma de sus resultados
cuanto considera eficaz pero deja el resto Deja de la ciencia sobre todo lo que es maacutes
caracteriacutestico la fruicioacuten por lo problemaacuteticohellip La ciencia consiste en un ldquopruritordquo de
plantear problemashellip La medicina estaacute ahiacute para afrontar soluciones Si son cientiacuteficas
mejor Pero no es necesario que lo sean Pueden proceder de una experiencia milenaria
que la ciencia auacuten no ha explicado ni siquiera consagrado ldquoMutatis mutandirdquo o sea
cambiando lo que deba cambiarse medicina por software curar por resolver
problemas etc lo que dijo Ortega puede aplicarse al desarrollo del software Pero la
cuestioacuten es la siguiente iquestdebe esto continuar asiacute Es decir debe el desarrollo software
continuar siendo una labor artesanal de desarrollar una praacutectica empiacuterica o debe
pasar a ser una ingenieriacutea fundamentada en una teoriacutea cientiacutefica contrastada por la
experimentacioacuten crucial La respuesta es naturalmente que debe convertirse en
ingenieriacutea soportada por una ciencia Mientras tanto los desarrollos software se ven
afectados de ldquogolbergizacioacutenrdquo
26
C) Rube Golberg fueacute un caricaturista con muchos seguidores en todo el mundo en
Espantildea fue el profesor Frank de Dinamarca de la eacutepoca de la Dictadura el que
dibujaba complicadiacutesimos artilugios coacutemicos para realizar tareas minias Los
disentildeadores de software cuentan con un teacutermino relacionado ldquoKudgerdquo o ldquoKludgerdquo
para referirse a programas escritos sin previsioacuten que acaban repletos de una
complejidad onerosa e inuacutetil a menudo hasta el punto de volverse incomprensibles
incluso para los programadores que las escribieron
D) Con mucho la manera maacutes comuacuten en la cual se trata con algo nuevo es intentando
relacionar la novedad con lo que es familiar de la experiencia pasada es decir se
piensa en teacuterminos de analogiacutea y metaacutefora En tanto que la historia evolucione a lo
largo de liacuteneas suaves la teacutecnica anterior resulta adecuada e incluso fructiacutefera pero
fracasa estrepitosamente cuando uno se enfrenta repentinamente a algo tan
radicalmente distinto de todo lo que se habiacutea experimentado antes que toda analogiacutea
siendo intriacutensecamente demasiado somera es maacutes un estorbo que crea confusioacuten que
una ayuda Y ya se sabe como deciacutea Francis Bacon la verdad surge antes del error que
de la confusioacuten (Bacon 1984) La uacutenica forma plausible de tratar con novedades
realmente radicales es ortogonal a la manera comuacuten de entendimiento consiste en
conscientemente intentar no relacionar los fenoacutemenos a los que es familiar a partir de
un pasado accidental sino enfocarlo con una mente en blanco y apreciarlo por su
estructura interna Esta uacuteltima forma de pensar es mucho menos popular que la
primera y requiere un esfuerzo mental que muy pocos son capaces de conseguir y
como lo sentildealoacute Bertrand Russell Many people would sooner die that think In fact they
do Ello estaacute fuera del alcance de las capacidades de aquellos y son mayoriacutea para
quienes la evolucioacuten continua es el uacutenico paradigma de la historia incapaces de
afrontar la discontinuidad no pueden verla y la negaraacuten cuando se enfrenten a ella
Pero tales novedades radicales son precisamente el tipo de cosas a las que al menos
en tecnologiacutea uno se enfrenta sin duda el computador fue una de ellas otra fue la
bomba atoacutemica y aunque en menor medida la piacuteldora fue la tercera entre otras
muchas En el caso de los computadores para que tuvieran eacutexito comercial fue
necesario desde el primer momento disociarles tanto como fuera posible de
cualquier forma de matemaacuteticas dada la mala ldquofamardquo de eacutestas en especial al ser
consideradas como el colmo del ldquousuario inamistosordquo El propio teacutermino de ldquoComputer
Sciencerdquo aplicado a la ldquoinformaacuteticardquo seriacutea equivalente a llamar a la cirugiacutea ldquoKnife
Sciencerdquo y estaacute tan arraigado en las mentes de la gente que el ldquoComputing Sciencerdquo es
27
acerca de las maacutequinas y sus equipos perifeacutericos Hoy sin embargo nadie duda de que
el desafiacuteo nuclear para la ciencia del coacutemputo es el conceptual
La complejidad de la informaacutetica frente a las matemaacuteticas viene dada seguacuten Dijkstra (Dijkstra
1986) por la ldquoratiordquo entre verbigracia una hora de tiempo y los nanosegundos o menos en
que se ejecute una instruccioacuten que es menor que 10100 y que tiene que ser tratada por una
uacutenica disciplina A su lado las matemaacuteticas resultan ser casi un juego insulso mayormente
jugado sobre unos pocos niveles semaacutenticos los cuales por otra parte son completamente
familiares La gran profundidad de la jerarquiacutea conceptual en informaacutetica en siacute misma una
consecuencia directa del poder sin precedentes del computador es una de las razones por las
que se considera el advenimiento de los computadores como una aguda discontinuidad en la
historia intelectual de la humanidad
La disciplina conocida como ldquoComputing Sciencerdquo emergioacute soacutelo cuando la gente empezoacute a
buscar lo que era comuacuten al uso de cualquier computador en cualquier aplicacioacuten Por esta
abstraccioacuten la CS inmediata y netamente se divorcioacute ella misma de la ingenieriacutea electroacutenica
al informaacutetico del software le deberiacutea traer al pairo la tecnologiacutea que puede usarse para
construir maacutequinas computadoras sea electroacutenica oacuteptica molecular bioloacutegica o maacutegica
La programacioacuten se veiacutea como una cuestioacuten praacutectica de modo que lo que se conociacutea como
ldquodisentildeo iterativordquo era el paradigma de quien cree que su disentildeo trabajaraacute adecuadamente
mientras no se demuestre lo contrario cuando eso ocurra mejoraraacute el disentildeo y asiacute
sucesivamente Este continuo encontrar y arreglar los malfuncionamientos se denominaba
ldquodepuracioacutenrdquo y la injustificada fe en su uacuteltima convergencia estaba en la amplitud temporal Es
decir se teniacutea todo el tiempo del mundo Como resultado la impotencia de repetir el
ldquoexperimentordquo en el caso de un mal funcionamiento observado asiacute como el identificar su(s)
causa(s) produce un ldquoshockrdquo por el contrario el disentildeador cientiacutefico cree en su disentildeo porque
eacutel sabe por queacute trabajaraacute adecuadamente en todas las circunstancias Es decir al principio los
programas ademaacutes de ldquoinstruirrdquo a las maacutequinas teniacutean el estatus de conjeturas soportadas
por alguna evidencia experimental Actualmente podriacutean y a veces lo hacen alcanzar el
estatus de teoremas demostrados rigurosamente El continuar denominando tanto a la
conjetura como al teorema ldquoprogramardquo es causa de gran confusioacuten
Uacuteltimamente la palabra clave es ldquomodularidadrdquo cuyo impulso original viene de una deseada
flexibilidad en particular en coacutemo subdividir un texto de programa de gran tamantildeo en
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moacutedulos son eacutestos segmentos de textos claramente configurados que podriacutean ser
reemplazados por otros alternativos sin comprometer la correccioacuten del programa total de una
manera muy similar a coacutemo se puede reemplazar en un teoriacutea matemaacutetica la prueba de uno de
sus teoremas sin afectar a la teoriacutea como conjunto Moacutedulos componentes desprendibles y
simultaacuteneamente engastados Los mentales no estaacuten aislados se comunican a traveacutes de unos
pocos conductos estrechos Se definen por las cosas especiales que hacen con la informacioacuten
que tienen disponible Pero el eacutenfasis se ha desplazado desde el mero reemplazamiento a la
cuestioacuten de coacutemo particionar la tarea global maacutes efectivamente la demanda es tal que la
elegancia ya no es un lujo dispensable sino una cuestioacuten vital que decide entre el eacutexito y el
fracaso He aquiacute lo que es en visioacuten a ojo de paacutejaro la emergencia de la computacioacuten como una
actividad apreciable necesitada de las teacutecnicas del pensamiento cientiacutefico Como las
matemaacuteticas la computacioacuten es uacutenica en la forma en la cual combina generalidad precisioacuten y
ser completamente fidedigna La teoriacutea aquiacute propuesta considera todo esto
II2 Teoriacuteas
II21 INTRODUCCIOacuteN
En CS en general y en el desarrollo software en sus dos apartados de Ingenieriacutea del Software
y del Conocimiento en particular existe una notoria carencia de teoriacutea hasta el punto que
salvo rariacutesimas excepciones ni siquiera hay leyes generales aceptadas Esta carencia da lugar a
las dos consecuencias indeseables siguientes
1 Confusionismo El disentildeo y desarrollo de software (que es lo que se podriacutea denominar
un conjunto polimorfo o polimoacuterfico es decir un conjunto no definido por condiciones
ni necesarias ni suficientes) es en el mejor de los casos una ciencia inmadura en el
medio no es una ciencia pero siacute una ingenieriacutea tal y como lo sentildealaba Brooks
(Brooks 1996) Computer Science is not a science but a synthetic an engineering
discipline y en el peor (Ebert 1997) software engineering should be treated as an
inmature engineering discipline Siendo contundentes pero maacutes precisos el desarrollo
software no pasa de ser una ldquoartesaniacuteardquo Ebert para argumentar su afirmacioacuten
proporciona distintas razones (a) Carencia de vocabulario comuacuten (b) No
consideracioacuten de cuestiones hermeneacuteuticas (c) Existencia de recetas no aplicables
ampliamente (d) Poca o nula experimentacioacuten controlada en especial experimentos
cruciales (e) No existencia de un marco general de paradigmas categoriacuteas o esquemas
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conceptuales caracteriacutesticos de las ciencias (f) Y finalmente se usan ldquomodelosrdquo sin
una teoriacutea para construirlos y validarlos
2 Nuevo Experimentalismo En CS y maacutes en concreto en disentildeo desarrollo y
construccioacuten del software la no existencia de una teoriacutea provoca una carencia de
fundamentacioacuten Peor auacuten y como consecuencia del punto anterior a veces se llama
teoriacutea a lo que uacutenicamente es una explicacioacuten en una clara sineacutecdoque de tomar la
parte por el todo Al menos eso se desprende de la afirmacioacuten de Basili y colegas
cuando dicen que Una teoriacutea es una explicacioacuten de alguacuten fenoacutemeno (Basili 1999) Lo
que no es correcto puesto que no todas las explicaciones de los fenoacutemenos son
teoriacuteas La carencia de teoriacutea hace que la CS haya derivado regresivamente hacia lo
que puede denominarse ldquonuevo experimentalismordquo (Ackerman 1989) cuyos
proponentes aseveran que los experimentos pueden tener vida propia (Hacking
1983)
Justamente establecer lo que es una teoriacutea es lo que se trata a continuacioacuten esto es de
cuaacuteles son los elementos constituyentes sobre los que fundar una teoriacutea en CS Sin embargo
antes se va a definir lo que es una teoriacutea dando sus condiciones formales y materiales de
adecuacioacuten y asimismo se van a presentar distintas teoriacuteas en dominios tan variados como las
matemaacuteticas la fiacutesica la quiacutemica o la biologiacutea
II22 DEFINICIOacuteN
Cuando se intenta definir algo uno se encuentra como los antiguos navegantes que
atravesaban el estrecho de Mesina entre un ldquoScilardquo y un ldquoCaribdisrdquo es decir dos peligros que
si no se sortean con pericia de navegante de los siete mares haraacuten naufragar el intento Estos
dos peligros son los siguientes Uno de iacutendole intriacutenseca a la propia buacutesqueda de una
definicioacuten idoacutenea que enlaza directamente con el problema filosoacutefico del nominalismo Kant lo
expresoacute muy bien cuando escribioacute (Kant 2002) que en una definicioacuten uno no se limita a
sustituir el nombre de una cosa por otras palabras maacutes comprensibles sino que contiene en siacute
un distintivo claro por el que puede conocerse siempre con seguridad el ldquoobjetordquo (definitum) y
que hace que pueda aplicarse el concepto explicado Popper fue muy expliacutecito al respecto
Para eacutel la accioacuten de definir nunca es inocua pues estaacute cargada de teoriacutea y lo que es maacutes de
valores Popper (Popper 1985) deciacutea que las preguntas ldquoqueacute-esrdquo son siempre inuacutetileshellip y lo
mismo sucede con las respuestas Porque en efecto definir es actuar Por ello en lugar de
ocuparse uacutenicamente del resultado de dicha accioacuten o sea las definiciones es preciso analizar
30
la propia accioacuten de definirhellip pues en definitiva las definiciones son resultado de la accioacuten a
definir Dos de orden praacutectico viene muy bien descrita por un juego que en Galicia se
denomina ldquoCariocardquo y los ingleses e irlandeses llaman ldquoVishrdquo (Syumlnge 1951) Los cariocas dan
nombre a las pescadillas a las que para freiacuterlas se les hace morder la cola El juego consiste en
buscar una palabra en el diccionario y a partir de ella generar un aacuterbol con las palabras que la
definen y eacutestas con las palabras que la definen y asiacute sucesivamente hasta que
inexorablemente aparece una palabra que ya aparecioacute previamente creaacutendose un ldquociacuterculo
viciosordquo Y se dice inexorablemente porque no puede ser de otra manera habida cuenta de
que los diccionarios son autocontenidos es decir todas las palabras en ellos existentes se
expresan en teacuterminos de dichas palabras Sin embargo y como lo sentildealoacute el premio Noacutebel de
Fisiologiacutea y Medicina Andreacute Lwoff Definir es uno de los meacutetodos para descubrir Es como
cuestioacuten de hecho un meacutetodo heuriacutestico excelente pues obliga a condensar lo esencial de una
categoriacutea o de un fenoacutemeno en una foacutermula que contenga todo cuanto ha de contener y
excluya todo cuanto ha de excluir Por ello es uacutetil forjar una buena definicioacuten pues este
ejercicio obliga a considerar de manera criacutetica todos los teacuterminos o aspectos de un
problema(Lwoff 1967)
De hecho la dificultad no proviene de la carencia de ldquodefinicionesrdquo sino todo lo contrario No
seriacutea exagerado decir que hay casi tantas definiciones de ldquoteoriacuteardquo como autores se dedicaron
al asunto Veacuteanse como botoacuten de muestra las que aparecen en dos diccionarios importantes
el de la Real Academia Espantildeola (Rae 2001) y el del Webster`s New World (Guralnik 1986) El
primero para la entrada ldquoteoriacuteardquo dice textualmente (Del gr θεωρία) f Conocimiento
especulativo considerado con independencia de toda aplicacioacuten f Serie de las leyes que
sirven para relacionar determinado orden de fenoacutemenos f Hipoacutetesis cuyas consecuencias se
aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella f Entre los antiguos griegos
procesioacuten religiosaen ~ loc adv Sin haberlo comprobado en la praacutectica El segundo
despueacutes de dar la pronunciacioacuten figurada y coacutemo se dice en franceacutes latiacuten y griego dice
textualmente[a looking at contemplations speculations theory lttheoumlrein see THEOREM]1
Orig a mental viewing contemplation 2 A speculative idea or plan as to how something
might be done 3 A systematic statement of principles involved [the ldquotheoryrdquo of equations in
mathematics] 4 A formulation of apparent phenomena which has been verified to some
degree 5 That branch of an art or science consisting in a knowledge of its principles and
methods rather tan in its practice pure as opposed to applied science etc 6 Popularly a
mere conjeture or guess A continuacioacuten y como sinoacutenimos dice theory as compared here
implies considerable evidence in support of a formulated general principle explaining the
31
operation of certain phenomena [the ldquotheoryrdquo of evolution] hypothesis that is tentatively
inferred often as a basis for further experimentation [the nebular ldquohypothesisrdquo] law implies an
exact formulation of the principle operating in a sequence of events in nature observed to
occur with unvarying uniformity under the same conditions [the ldquolawrdquo of the conservation of
energy]
Es decir etimoloacutegicamente el teacutermino ldquoteoriacuteardquo se deriva del vocablo griego ldquoθεωρίαrdquo que
significa contemplacioacuten o especulacioacuten Entonces en sentido amplio y comuacuten una teoriacutea es
una especulacioacuten acerca de algo por ejemplo es habitual oiacuter a muchos educadores que su
ldquoteoriacuteardquo del fracaso de un alumno es debido a que tiene problemas familiares Sin embargo
este sentido no capta ni mucho menos el sentido teacutecnico o estricto de teoriacutea que tiene
verbigracia la teoriacutea de Maxwell del electromagnetismo Para comenzar desde sus oriacutegenes
hay que remontarse a Aristoacuteteles (384-322 aC) quien diferencioacute clara y niacutetidamente ldquoteoriacuteardquo
como especulacioacuten o contemplacioacuten y ldquopraxisrdquo como actuacioacuten Para eacutel la ldquoteoriacuteardquo consistiacutea
en actividades racionales relativas al conocimiento de los universales mientras que la ldquopraxisrdquo
consistiacutea en actividades racionales relativas a actividades morales ldquoagibiliardquo y artiacutesticas
ldquofactibiliardquo Las actividades artiacutesticas no se limitan a realizar por su propio intereacutes artes finas o
intriacutensecas o auacuten artes plaacutesticas sino que tambieacuten incluye hacer cosas uacutetiles artes funcionales
o instrumentales
Maacutes teacutecnicamente las teoriacuteas se consideran ldquoentidades abstractas que al menos pretenden
describir explicar y mejorar el entendimiento del mundo y en algunos casos hacer
predicciones de lo que en el futuro acaeceraacute Ademaacutes proporcionan una base para viacutea
tecnologiacutea o ciencia aplicada intervenir y actuar sobre el entorno Una teoriacutea pues es ldquoprima
facierdquo una explicacioacuten racional de un cierto aspecto de la realidad basada en lo que se sabe de
ello en el momento presente y que ha sido verificada para establecer su validez Esa
explicacioacuten de algo es tiacutepicamente una clase o categoriacutea de fenoacutemenos antes que un uacutenico
evento especiacutefico Las teoriacuteas deben expresarse a poder ser expliacutecitamente como cadenas
causales del tipo ldquoesto sucede porque esto y eso y aquello sucedioacute y esto a su vez sucedioacute
porquehelliprdquo Es decir la mejor manera de que las teoriacuteas expliquen es proporcionando un sentido
de ldquoprocesordquo o ldquomecanismordquo que indique coacutemo una cosa o fenoacutemeno estaacute relacionado con
otro Por ejemplo la ldquoTeoriacutea de la Gravitacioacutenrdquo de Isaac Newton y la Teoriacutea de la Relatividad
General de Einstein intentan explicar coacutemo funciona la gravedad No proponen que existe esa
cosa que se llama gravedad y luego intentan probarla Nada de eso Para ambos la gravedad
es una observacioacuten empiacuterica esto es informacioacuten recopilada generalmente a partir de los
32
sentidos y por lo tanto es algo que ldquotiene sentidordquo Naturalmente debe poder ser verificada y
contrastada por otros de forma reiterada siempre que se quiera O sea la gravedad es una
observacioacuten empiacuterica Si se deja caer un objeto libremente y en el vaciacuteo siempre cae a 9801
metros dividido por segundos al cuadrado Y esto se produciraacute tantas veces cuantas se repita la
experiencia Las teoriacuteas de hecho intentan explicar el coacutemo y el porqueacute de las observaciones
Pues bien a fin de explicar la gravedad Newton propuso una explicacioacuten esto es una teoriacutea
la atraccioacuten a distancia entre dos cuerpos Einstein otra la curvatura del espacio-tiempo Esta
uacuteltima explicacioacuten es la que estaacute vigente actualmente
A veces las teoriacuteas se confunden con hipoacutetesis porque ambas parecen constar de sentencias
relacionando una variable con otra Ciertamente ocurre con maacutes frecuencia de la deseable
que lo que algunos autodenominan teoriacutea son poco maacutes que hipoacutetesis Pero las buenas teoriacuteas
son un poco diferentes Por ejemplo
a) Son maacutes generales
b) Explican por queacute estaacuten relacionadas las cosas mientras que las hipoacutetesis se limitan a
decir que estaacuten relacionadas
c) Generan hipoacutetesis es decir las hipoacutetesis estaacuten impliacutecitas en las teoriacuteas
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA
Sin embargo el espiacuteritu de Lwoff ldquoobligardquo a buscar aunque soacutelo sea una definicioacuten operativa
En este sentido se va a dar una definicioacuten ldquoinyuctivardquo de teoriacutea en el sentido de Hassenstein
esto es enumerando cierto nuacutemero de propiedades caracteriacutesticas atributos o maacutes
precisamente condiciones que debe cumplir toda teoriacutea (Hassenstein 1966) Esas condiciones
que debe cumplir toda teoriacutea y que permiten discriminar lo que es una teoriacutea de lo que no lo
es se clasifican en dos clases
A) Formales Que vienen a ser como unas condiciones necesarias que por consiguiente
debe cumplir toda teoriacutea Entre eacutestas cabe destacar las siguientes
a) Formalizacioacuten Una teoriacutea debe poder expresarse formalmente mediante
predicados hasta construir un sistema formal axiomaacutetico
b) Consistencia Se dice que una teoriacutea es internamente consistente cuando el
conjunto de afirmaciones que contiene no se contradicen entre siacute Que las
afirmaciones con las cuales se construye una teoriacutea deben ser loacutegicamente
consistentes entre siacute es algo de lo que nadie disiente La cuestioacuten es que
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aunque los lenguajes formales de la loacutegica y las matemaacuteticas hacen maacutes faacutecil
determinar si las afirmaciones que conforman una teoriacutea son loacutegicamente
consistentes entre siacute a veces como sucede con la teoriacutea de Darwin no se usan
estos formalismos Pero eso que es un hecho no significa que no se pudieran
formalizar y es de eso de lo que trata este punto En este punto es uacutetil y
conveniente establecer una distincioacuten entre inferencias causales y
descriptivas Las primeras conciernen a las relaciones causales entre
conceptos mientras que las segundas buscan describir el mundo empiacuterico
Una explicacioacuten causal es aquella que describe las relaciones entre los
conceptos de una teoriacutea Es decir las primeras causales son expliacutecitamente
teoacutericas mientras que las segundas descriptivas son impliacutecitamente teoacutericas
Se dice que un conjunto de axiomas o sistema axiomaacutetico es consistente
cuando a partir de ellos no pueden deducirse simultaacuteneamente una propiedad
y su negacioacuten En otros teacuterminos un sistema formal se dice que es consistente
si en eacutel no pueden derivarse sintaacutecticamente proposiciones contradictorias
Esto es que no se deacute el caso de una foacutermula A tal que ella y su negacioacuten not A
sean teoremas Obseacutervese que si ocurriese que ⊢ ⊢ (notA) entonces
cualquier foacutermula B es un teorema y la teoriacutea seriacutea banal forallB (A⋀(not A))rArrB o
en otras palabras la sucesioacuten A not A B es una demostracioacuten de B Las teoriacuteas
inconsistentes terminan demostraacutendose inuacutetiles porque en ellas cualquier
afirmacioacuten es un teorema En efecto un argumento estaacute bien construido
cuando por usar la terminologiacutea leibniziana en cualquier mundo posible en el
que se verifiquen las premisas la conclusioacuten tambieacuten es verdadera
Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negacioacuten not M son
teoremas de la teoriacutea el argumento cuyas premisas son M y not M y cuya
conclusioacuten es una cierta propiedad R es vaacutelido sea cual sea R pues siempre
que M y not M son verdaderas se verifica tambieacuten R Ahora como M y not M son
teoremas de la teoriacutea ambos tienen una demostracioacuten es decir una sucesioacuten
finita de afirmaciones tales que cada una de ellas es un axioma o se deduce de
los axiomas aplicando las reglas de inferencia permitidas Si se concatenan las
dos pruebas se habraacute probado que R es un teorema de la teoriacutea
independiente de su valor de verdad Maacutes formalmente
La contradiccioacuten ademaacutes de falsedad segura por la pura forma de su
enunciado tiene efectos desastrosos en contextos de conocimiento
34
organizados deductivamente como es el caso de las teoriacuteas cientiacuteficas
Estos efectos indeseables se resumen en la tesis siguiente ldquoDe una
contradiccioacuten se puede deducir cualquier cosardquo Es decir si surge una
contradiccioacuten en una teoriacutea deductiva entonces la relacioacuten de
deduccioacuten permite obtener como teorema a todo enunciado
expresable con los conceptos de tal teoriacutea O sea la deduccioacuten se
convierte en una relacioacuten inuacutetil pues no impone restriccioacuten alguna
Desaparece la racionalidad loacutegica Es faacutecil probar tal resultado a partir
de las tres leyes loacutegicas siguientes
1) ldquoEliminacioacuten de la conjuncioacutenrdquo (E⋀) que afirma que de una
conjuncioacuten se deduce cualquiera de sus conjuntos Simboacutelicamente
Ai ⋀ Aj ⊢ Ai Ai ⋀ Aj ⊢Aj rArr Ai ⋀ Aj ⊢ Ai y Aj
2) ldquoIntroduccioacuten de la disyuncioacutenrdquo (I⋁) que asevera que de un
enunciado se deduce su disyuncioacuten con cualquier otro enunciado En
siacutembolos
Ai ⊢ Ai ⋁ Aj Aj ⊢ Ai ⋁ Aj
3) Silogismo disyuntivo (SD) que de una disyuncioacuten y la negacioacuten de
uno de sus disyuntos se deduce la afirmacioacuten del otro disyunto
Simboacutelicamente
Ai ⋁ Aj y not Ai ⊢Aj Ai ⋁Aj y not Aj ⊢Ai
Pues bien estas tres leyes loacutegicas implican que de una contradiccioacuten Ai ⋀ not Ai
adoptada como premisa se puede obtener como conclusioacuten cualquier
enunciado Aj Simboacutelicamente
forall Ai ⋀ forall Aj Ai ⋀ not Ai ⊢ Aj
Demostracioacuten
j
SDiji
Iii
Eii AAyAAAyAAA aaa notornotnotand
orand
Asiacute partiendo de premisas falsas y o contradictorias puede probarse
cualquier cosa Veacutease un ejemplo de esto Una vez retaron a Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) para que justificase que si 2 + 2 = 5 entonces McTaggart era
el Papa Este matemaacutetico afirmaba que si pueden demostrarse dos enunciados
o teoremas contradictorios entre siacute entonces cabe probar cualquier cosa Eacuteste
fue el razonamiento de Hardy Sea 2 + 2 = 5 como tambieacuten 2 + 2 = 4 resulta
que 5 = 4 Si a esta igualdad se resta 3 se obtiene que 2 = 1 De este modo
puesto que McTaggart y el Papa son dos entonces McTaggart y el Papa son
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uno Un razonamiento similar serviriacutea para demostrar que usted querido lector
escribioacute estas liacuteneas Finalmente sentildealar que Ian Steward (Steward 1975)
hace protagonista de esta historia a Hardy otros como es el caso del loacutegico y
matemaacutetico Raymond Smullyan (Smullyan 1986) colocan como protagonista
a Bertrand Russell El fiacutesico Max Delbruumlck dio maacutes ejemplos de que basta con
tolerar una sola contradiccioacuten formal para poder demostrar la veracidad de
ldquocualquierrdquo enunciado aplicando las normas del caacutelculo loacutegico El premio
Noacutebel Max Delbruumlck propone el siguiente ejemplo (Delbruumlck 1986)
Supongamos que aceptamos el enunciado ldquoDios es buenordquo llamando p a esta
proposicioacuten y el enunciado ldquoDios no es buenordquo llamando a esta proposicioacuten simp
Ahora llamaremos q a la proposicioacuten ldquoHolywood estaacute en Europardquo El paso
siguiente es la evaluacioacuten del enunciado ldquop o qrdquo que significa ldquoDios es bueno o
Hollywood estaacute en Europardquo (el sentido con que los expertos en loacutegica usan la
conexioacuten o es que al menos uno de los enunciados p y q es verdadero) El
enunciado es indiscutiblemente verdadero ya que previamente hemos
aceptado p como verdadero Sin embargo despueacutes de aceptar que simp tambieacuten
es verdadero que significa que p no es verdadero ldquop o qrdquo implica que q es
verdadero Por tanto en la situacioacuten descrita las reglas del caacutelculo
proposicional nos obligan a aceptar como verdadera la afirmacioacuten de que
ldquoHollywood estaacute en Europardquo o cualquier otro enunciado que sustituya a q La
loacutegica no permite equivocarse
Tambieacuten se puede creer que Dios es bueno y que Dios no es bueno de hecho
esta contradiccioacuten (que es el problema de la teodicea) Puede expresar una
profunda verdad acerca de Dios Niels Bohr dijo que el sello que caracteriza a
las verdades profundas es que su negacioacuten tambieacuten es una verdad profunda
Las verdades que carecen de ambiguumledad en el sentido de que sus negaciones
son falsas suelen ser triviales George Wilhelm Friedrich Hegel llegoacute maacutes lejos
al afirmar ldquoiquestQuieacuten piensa loacutegicamente soacutelo los estuacutepidos y los ignorantesrdquo
La idea de poder demostrar cualquier cosa si se empieza por aceptar como
verdadero un enunciado falso ha llegado incluso a las paacuteginas literarias del
semanario ldquoNew Yorkerrdquo En un relato publicado en 1975 un hombre pasa por
una penosa situacioacuten personal Estaacute totalmente hundido y acaba
planteaacutendose ldquoSi acepto la idea de que despueacutes de todo las cosas no estaacuten
tan mal lo cual no es cierto iquestHabreacute aceptado tambieacuten otras muchas ideas que
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tengan en comuacuten con la primera al ser falsas iquestPor ejemplo que el sentildeor es mi
pastorrdquo
c) Completud Es claro que consistencia y completud apuntan en sentido
contrario La primera es imprescindible para que la teoriacutea merezca alguna
consideracioacuten La segunda es muy deseable si se quiere que toda verdad sea
demostrable Pero la afirmacioacuten de que un sistema sea consistente o completo
es un ejemplo de propiedad matemaacutetica cuyas leyes de demostracioacuten hay que
precisar tambieacuten con cuidado
Una teoriacutea es loacutegicamente completa cuando las conclusiones que se deducen
de ella fluyen loacutegicamente de las suposiciones axiomas principios leyes o
postulados que las conforman No basta un conjunto postulado de relaciones
y o regularidades Es decir las afirmaciones consistentes conducen a
conclusiones hipoacutetesis y otras formas de argumentacioacuten teoacuterica De este
modo conjuntos de afirmaciones que no son loacutegicamente completos son
argumentos incluso pre-teoriacuteas pero no teoriacuteas Maacutes formalmente Un
sistema de axiomas se dice completo si para cada proposicioacuten p de eacuteste se
tiene que bien p es deducible y bien not p es deducible En general se dice que
un sistema axiomaacutetico consistente es completo cuando dada una sentencia A
si A no es demostrable entonces su negacioacuten es un teorema de la teoriacutea Una
foacutermula tal que ni ella ni su negacioacuten son teoremas se denomina indecidible
Asiacute en los sistemas completos no hay foacutermulas indecibles y lo verdadero
coincide con lo demostrable Frege creiacutea que la existencia de modelos
matemaacuteticos de una teoriacutea dependiacutea fundamentalmente de queacute objetos
componen el Universo Otros por el contrario opinaban que la existencia
dependiacutea de la consistencia Una teoriacutea consistente genera objetos que la
verifican En palabras de Hilbert en una carta a Frege Cada teoriacutea no es sino
un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias
entre ellos y sus elementos baacutesicos pueden ser pensados arbitrariamente Si
entiendo por puntos rectas planos Cualquier sistema de cosas por ejemplo
el sistema formado por amor ley deshonillador y considero que todos mis
axiomas resultan vaacutelidos para esas cosas entonces tambieacuten resultan vaacutelidos
para esas cosas mis teoremas como verbigracia el de Pitaacutegoras Cada teoriacutea
puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos baacutesicos Para
explicar estas posiciones antagoacutenicas Ulises Moulines (Moulines 1985)
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distingue los sistemas axiomaacuteticos de estilo ldquoevidencial-concretordquo que
seleccionariacutean unas cuantas verdades prioritarias sobre las que se fundan las
demaacutes proposiciones de los de tipo ldquodemocraacutetico-abstractordquo donde todos los
enunciados de la teoriacutea son candidatos igualmente vaacutelidos para ser tomados
como axiomas siempre que el resto de proposiciones se pueda deducir a
partir de ellos Otros autores diferencian entre sistemas que ponen orden en
estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple hecho de hablar
sobre ellas La completud significa que si A es una foacutermula que no contiene
variables libres entonces |A| o (notA) Es decir que A su negacioacuten notA o ambas
son teoremas demostrables en la teoriacutea Que esta propiedad soacutelo atantildee a
foacutermulas sin variables libres puede ilustrarse viacutea ejemplo La foacutermula x + y = 7
no es ni verdadera ni falsa mientras que forall isin exist y isin ( + = 7) es un
teorema
d) Coherencia y adecuacioacuten Que etimoloacutegicamente viene del latiacuten
ldquocohaerencerdquo significa ldquoadherido ardquo una teoriacutea es coherente a veces aunque
erroacuteneamente tambieacuten se dice que es sistemaacutetica en la medida en que las
sentencias enunciados proposiciones foacutermulas etc a traveacutes de las cuales se
expresa se soportan entre siacute es decir no presentan contradiccioacuten Desde un
punto de vista loacutegico la coherencia significa que las sentencias de la teoriacutea
estaacuten relacionadas por la implicacioacuten Para verificar la coherencia no importa
si la teoriacutea es categoacuterica o hipoteacutetica se debe determinar si se produce
cualquier contradiccioacuten dentro de ellos y la condicioacuten necesaria y suficiente
para que se produzca dicha contradiccioacuten es que una o maacutes conclusiones
consecuencias o teoremas de la teoriacutea no sean consecuencia loacutegica de los
principios postulados o axiomas de la teoriacutea En resumen una teoriacutea se dice
coherente si (a) no contiene contradicciones loacutegicas entre las proposiciones
de una explicacioacuten esto es la coherencia interna Esto es en este contexto la
consistencia (b) La coleccioacuten de explicaciones dadas por la teoriacutea dentro del
cuerpo de conocimientos a lo largo y ancho de las demaacutes disciplinas no
deberiacutean contradecirse entre siacute (c) Las predicciones de la teoriacutea deben ser
correctas esto es las predicciones de las explicaciones de la misma no
deberiacutean ser contradictorias frente a las observaciones o experimentos que se
le planteen A esto se le denomina coherencia empiacuterica Un sistema de
axiomas se dice coherente si las consecuencias sintaacutecticas del mismo son
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tambieacuten consecuencias semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten
de acuerdo con la experiencia Un sistema formal se dice adecuado si todas las
consecuencias semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si
todas las verdades son deducibles Un sistema de axiomas se dice coherente si
las consecuencias sintaacutecticas del mismo son tambieacuten consecuencias
semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten de acuerdo con las
experiencias Un sistema formal se dice adecuado si todas las consecuencias
semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si todas las
verdades son deducibles El criterio de coherencia a su vez puede ser interno
que exige que la teoriacutea propuesta concuerde o maacutes fuerte auacuten no entre en
contradiccioacuten con otras teoriacuteas establecidas Para ello las afirmaciones
teoreacuteticas de la teoriacutea deben pertenecer a un sistema de afirmaciones
ldquoverdaderasrdquo Y en particular no debe entrar en conflicto con los principios de
conservacioacuten de la materia la energiacutea y de miacutenima accioacuten que se presentan a
continuacioacuten y sobre todo con la ley de la entropiacutea creciente
La uacutenica cantidad que cumple las condiciones naturales que se le imponen a
una medida de informacioacuten es la entropiacutea que en termodinaacutemica mide el
grado de aleatoriedad o desorden de una situacioacuten dada y que viene
expresada en teacuterminos de las distintas probabilidades que intervienen Este
concepto es fundamental y profundo para Eddington cuando afirmoacute ldquoCreo
que la ley de la entropiacutea creciente la 2ordf ley de la termodinaacutemica es la maacutes
importante de las leyes de la naturalezardquo
El significado es algo anaacutelogo a una de las cantidades de las que depende la
entropiacutea de un sistema termodinaacutemico A propoacutesito de esto Eddington ha
hecho un comentario muy acertado ldquoSupongamos que se nos pide que
clasifiquemos las palabras distancia masa fuerza eleacutectrica entropiacutea belleza y
melodiacutea en dos categoriacuteas Pienso que existen razones muy fuertes para poner
la entropiacutea al lado de la belleza y la melodiacutea y no con las otras tres El concepto
de entropiacutea soacutelo surge cuando las partes son consideradas como un todo y es
precisamente contemplando o escuchando las partes asociadas entre siacute como
aparecen la belleza y la melodiacutea Las tres dependen de la ordenacioacuten del
conjunto La idea de que una de estas tres candidatas estaacute destinada a
aparecer como un denominador comuacuten de la ciencia se me antoja altamente
significativa La razoacuten de que este individuo extrantildeo pueda escabullirse entre
39
los aboriacutegenes del mundo fiacutesico es que habla su propio idioma el de la
aritmeacuteticardquo Ciertamente eacuteste es un argumento maacutes para establecer la
estrecha relacioacuten entre matemaacutetica y mundo fiacutesico
El hecho de que la informacioacuten deba ser medida por medio de la entropiacutea
resulta despueacutes de todo natural si se recuerda que la informacioacuten estaacute
asociada con el margen de la libertad de eleccioacuten de que se dispone a la hora
de construir el mensaje Por tanto de una fuente de informacioacuten podriacutea
decirse lo mismo que de un sistema dinaacutemico ldquoLa situacioacuten posee un grado
muy alto de organizacioacuten y no estaacute caracterizada por un grado elevado de
aleatoriedad o de poder de eleccioacuten es decir que la informacioacuten o la entropiacutea
es pequentildea
En lo concerniente a la ley de la entropiacutea creciente y su papel de juez aacuterbitro
en la coherencia de cualquier teoriacutea nada mejor que la opinioacuten de Sir Arthur
Stanley Eddington al respecto ldquoAcerca de la importancia de la Segunda ley de
la termodinaacutemica mucho se ha escrito y nadie duda de su efectividad
praacutecticardquo Pero por si quedase alguna duda sobre su rango de aplicacioacuten y su
generalidad Eddington lo aclaroacute de forma contundente cuando en una de sus
obras maacutes conocida y citada (Eddington 1948) dijo ldquoThe Law that entrpy
always increase ndashthe second Law of thermodynamics- holds I think the
supreme position among the laws of Nature If someone points cut to you that
your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell`s equations ndash
then so much the worse for Maxwell`s equations- If it is found to be
contradicted by observation well these experimentalist do bungle thnigs
sometimes But if your theory is found to be against the second law of
thermodynamics I can give you no hope there is nothing for it but to collapse
in deepest humiliationrdquo
e) Correccioacuten y falsabilidad Cualquier teoriacutea debe tener implicaciones sobre el
mundo real empiacuterico Pues bien estas implicaciones deben ser ldquofalsablesrdquo La
falsabilidad de las implicaciones concierne por una parte a la circularidad y
por otra a la especifidad de las afirmaciones hipoteacuteticas que hacen
declaraciones acerca del mundo empiacuterico Conjuntos de afirmaciones
circulares o tautoloacutegicas no pueden ser verificadas esto es corroboradas o
refutadas son loacutegicamente vaacutelidas por definicioacuten pero no dicen nada acerca
del mundo empiacuterico y por consiguiente no son teoriacuteas Ademaacutes se exige que
40
sean suficientemente especiacuteficas de modo que puedan si es el caso probarse
que estaacuten equivocadas Esto es deberiacutean ser lo suficientemente especiacuteficas
como para que sea claro que evidencia se requiere para determinar si la
evidencia es consistente o inconsistente con las implicaciones Dicho esto no
se deberiacutea exigir que los instrumentos que pueden requerirse para coleccionar
evidencia relevante existan realmente Es decir basta con que las
implicaciones de la teoriacutea sean falsables al menos en principio De esto se
pueden derivar lo dos apartados siguientes
α) Verdad Desgraciadamente las teoriacuteas nunca pueden probarse que
son verdaderas Hay dos razones para esto La primera es que no
importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea frente a los datos
siempre hay la posibilidad de que aparezca un nuevo dato que
contradiga la teoriacutea Justo porque el Sol ha salido todos los diacuteas desde
que se inicioacute su comprobacioacuten eso no prueba la teoriacutea que sugiere
que siempre saldraacute Maacutes bien lo contrario pues cada diacutea que sale es
uno menos que le queda de ldquovidardquo Es decir desgraciadamente nunca
se puede probar que una teoriacutea es correcta Soacutelo se puede probar que
es falsa No importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea no hay
suficiente tiempo en el universo para llevar a cabo todas las
verificaciones posibles Asiacute incluso si una teoriacutea ha sobrevivido a un
milloacuten de pruebas auacuten podriacutea fracasar en la un milloacuten una En alguacuten
modo esta situacioacuten es opuesta a localizar un objeto perdido en una
casa Si se busca el objeto en la casa y se le encuentra bien es
definitivo que el objeto estaba en la casa caso cerrado Pero si se
busca y no se le encuentra eso no significa en absoluto que el objeto
no esteacute en la casa Podriacutea estar alliacute justo donde se perdioacute Lo mismo
pero al reveacutes vale para las teoriacuteas Si se prueba una teoriacutea y se
fracasa esto es ha sido falsada Pero si pasa el test es justo soacutelo un
test Puede haber otros datos u otras situaciones que la hubieran
falsado Sin embargo todaviacutea no se ha accedido a ellos Finalmente
las teoriacuteas son justo descripciones Hay siempre otras maneras de
describir los hechos que son igualmente vaacutelidas En este sentido
verdad no es un concepto razonable De todo lo que se dispone es de
41
descripciones que no se contradicen por los hechos actualmente
disponibles Eso es todo
β) Falsabilidad Una buena teoriacutea es falsable Si no hay una forma
concebible para construir un experimento o coleccionar algunos datos
que potencialmente podriacutean contradecir la teoriacutea eacutesta es inuacutetil
Supoacutengase que se estaacute intentando explicar el patroacuten de caras y cruces
que resultan de lanzar una moneda diez veces La teoriacutea dice que sale
cara cuando quiere un mago invisible y cruces en otro caso iquestCoacutemo se
puede verificar esa teoriacutea Si se lanza la moneda y sale cara eso no
contradice la teoriacutea puesto que eso justo quiere decir que el mago lo
queriacutea No importa coacutemo se realice el experimento los datos no
pueden posiblemente contradecir la teoriacutea Teoriacuteas como eacutesa
realmente no explican nada Se pueden usar para predecir resultados
no para hacer cosas verbigracia construir aviones que vuelen Por
ejemplo el concepto general de que los empleados de una
organizacioacuten trabajan duro porque estaacuten motivados es del mismo tipo
que decir que salen caras porque el mago quiera Volviendo a la
motivacioacuten eacutesta no se puede ver Soacutelo se puede inferir su existencia
por sus efectos en este caso el comportamiento humano De este
modo si una persona trabaja duro se dice que estaacute motivada Si no
se dice que no lo estaacute Sin embargo se dice que la razoacuten para que
trabaje duro o no es debido a la motivacioacuten Y eso es una ldquopetitio
principiirdquo es decir una falacia argumental Si estaacuten motivados
trabajan duro Si trabajan duro estaacuten motivados En general cualquier
teoriacutea que explique el comportamiento humano en teacuterminos de los
deseos humanos estaacuten en un terreno resbaladizo o peor cienagoso
En otras palabras si se estudia el movimiento voluntario del personal
en las organizaciones y se encuentra que la gente deja las
organizaciones ldquoporque quierenrdquo realmente no se ha explicado nada
y nunca podriacutea probarse que se estaacute equivocado En resumen hay dos
maneras en las que las teoriacuteas pueden fracasar en ser falsables Una
porque los datos son imposibles de obtener por su propia naturaleza
Dos porque son circulares
42
B) Materiales Ademaacutes de las condiciones formales de adecuacioacuten que debe cumplir
cualquier teoriacutea en siacute misma es decir independiente del dominio rango o alcance de
la misma existe otro conjunto de condiciones denominadas materiales de
adecuacioacuten que son especiacuteficos del tipo de teoriacutea de su dominio rango o alcance de la
misma Entre eacutestas que podriacutean considerarse como suficientes estaacuten las siguientes
a) Alcance o Provisionalidad La veracidad del conocimiento teoacuterico puede ser
tanto definitiva como provisional En efecto un teorema una vez demostrado
como verdadero lo es para siempre No importa la cantidad de informacioacuten
adicional que se tenga que jamaacutes cambiaraacute el estatus de verdad del mismo
Consideacuterese por ejemplo el teorema de Pitaacutegoras que estaacute demostrado desde
hace maacutes de 25 siglos Ninguna cantidad de nueva informacioacuten cambiaraacute el
estatus de dicho teorema hacieacutendolo falso Por el contrario consideacuterese la
Teoriacutea de Newton que se apoya en la hipoacutetesis de que el espacio y el tiempo
ademaacutes de absolutos no interactuacutean entre siacute es decir son independientes
Auacuten cuando la teoriacutea newtoniana se mantuvo incoacutelume y se consideroacute
correcta durante maacutes de dos siglos informacioacuten obtenida en el siglo XX dio al
traste con ese supuesto El responsable de esa iconoclastia fue la Teoriacutea de la
Relatividad de Einstein que no soacutelo le quitoacute al espacio y al tiempo la condicioacuten
newtoniana de absolutez sino que los interrelacionoacute En este sentido las
teoriacuteas formales pertenecientes a los dominios de la loacutegica y o las
matemaacuteticas son en lo que respecta al paraacutemetro de la provisionalidad
eternas Por su parte las teoriacuteas empiacutericas fiacutesicas quiacutemicas bioloacutegicas y
geoloacutegicas son provisionales es decir una teoriacutea empiacuterica que se juzga
verdadera en base a la informacioacuten actualmente disponible puede volverse
falsa cuando informacioacuten adicional llega a estar disponible En esto de la
provisionalidad de las teoriacuteas rige el principio de Bossuet sobre los imperios
Jacques-Beacutenigne Bossuet profesor del Defiacuten el hijo del rey Sol Luis XIV habiacutea
escrito en 1681 por encargo real su ldquoDiscurso sobre la Historia Universalrdquo
Poincareacute en 1909 en su presentacioacuten en Lille afirmaba la solidez de la fiacutesica
newtoniana y su esperanza de que eacutesta fuera sempiterna Sin embargo en
dicho discurso y contradicieacutendose antildeadioacute ldquoPero las teoriacuteas cientiacuteficas son
como los imperios y si Bossuet estuviera aquiacute no dudariacutea en encontrar acentos
elocuentes con los que denunciar su fragilidadrdquo (Poincareacute 1909) En 1912
Poincareacute con otros colegas de la Academia Francesa recopiloacute en un texto el
43
mensaje de Bossuet que advertiacutea a una humanidad orgullosa sobre su
perennidad como sigue (Fraguet 1927) Asiacute veis pasar ante vuestros ojos
como en un instante no digo reyes emperadores sino esos grandes imperios
que habiacutean hecho temblar el universo entero Viendo como los asirios antiguos
y modernos los medas los persas los griegos los romanos aparecen ante
vosotros unos tras otros para caer unos sobre otros por decirlo asiacute esta
terroriacutefica reyerta os hace sentir que no hay nada soacutelido entre los hombres y
que la inconstancia y la agitacioacuten son el destino natural de los asuntos
humanos Como puede verse para Poincareacute las teoriacuteas cientiacuteficas eran como
los grandes imperios de Bossuet y si la analogiacutea se toma como tal Poincareacute
estaba en lo cierto De este modo cuando alguien da por sentado la
peternidad de las teoriacuteas empiacutericas con probabilidad rayana en la certeza se
equivoca El caso de lord Kelvin es paradigmaacutetico al respecto Hacia 1900 la
fiacutesica claacutesica habiacutea elaborado una descripcioacuten altamente satisfactoria del
mundo totalmente determinista y basada en nociones aparentemente
consistentes consigo mismas Pero sobre ese aparente cielo despejado y claro
Lord Kelvin autor de la escala de temperatura absoluta y uno de los
fundadores de la termodinaacutemica sentildealoacute dos nubarrones Este panorama lo
describioacute lord Kelvin en una conferencia impartida ante la Asociacioacuten Britaacutenica
para el Progreso de la Ciencia en 1900 (Kelvin 1901) El primero de los
nubarrones se referiacutea a la naturaleza paradoacutejica del eacuteter propuesto por la
teoriacutea del campo unificado como el vehiacuteculo de las ondas electromagneacuteticas
Kelvin consideraba posible la existencia de una sustancia tan extrantildea pero
sentildealoacute que si existe deberiacutea poderse medir el movimiento con respecto a ella
Curiosamente y debe resaltarse esta prediccioacuten no surgioacute dentro de la
mecaacutenica newtoniana que suponiacutea la existencia de fuerzas que actuacutean a
distancia sobre las masas sin la intervencioacuten de ninguacuten eacuteter Como los
experimentos para detectar el eacuteter no dieron resultado Kelvin empezoacute a
sospechar que ese fracaso teniacutea una causa importante Fue Einstein con su
relatividad restringida quien envioacute el eacuteter al mundo de lo inuacutetil donde ya se
encontraban el caloacuterico el flogisto los voacutertices etc El segundo nubarroacuten
surgioacute de un problema aparentemente menos serio la discrepancia entre el
calor especiacutefico para voluacutemenes constantes de gases diatoacutemicos realizado por
mediciones precisas 5R2 para el O2 y el H2 etc y el valor predicho a partir de
44
consideraciones de la mecaacutenica estadiacutestica 7R2 Finalmente esos dos
nubarrones dieron lugar a las tormentas o por mejor decir revoluciones tan
espectaculares como la Teoriacutea de la Relatividad y la Fiacutesica Cuaacutentica iexclAhiacute es
nada
b) Simplicidad o Parsimonia La Navaja de Ockham o tambieacuten conocido como
ldquotijera de Ockamrdquo Principio de Parsimoniardquo en el sentido de moderacioacuten o
tambieacuten ldquoPrincipio de simplicidadrdquo o incluso ldquoPrincipio de economiacuteardquo es
considerada como una de las herramientas maacutes potentes y eficaces de la
ciencia Su enunciado habitual expresa que ldquonon sunt multiplicanda entia
praeter necessitatemrdquo aconsejando reducir al miacutenimo el nuacutemero de motivos y
objetos en general entes a los que haya que recurrir para justificar algo Y
maacutes generalmente tambieacuten implica que en el conjunto de teoriacuteas ofrecidas
para explicar un hecho se ha de preferir la maacutes sencilla Esta idea hasta donde
se sabe fue expuesta por primera vez por el filoacutesofo y teoacutelogo dominico
fraacutences Durand de Saint Pourcain fallecido en 1332 y tambieacuten se encuentra
enunciada en la obra del franciscano Duns Scoto (1266-1308) probable
profesor de quien difundioacute ldquourbi et orbirdquo el principio Guillermo de Ockham a
comienzos del siglo XIV Es eacutesta una condicioacuten que indica que las teoriacuteas
deberiacutean ser podadas de suposiciones innecesarias Se trata aquiacute de evitar
proponer como principios relaciones complejas cuando existe una alternativa
maacutes simple Una razoacuten para preferir la sencillez es que la naturaleza parece
hacerlo Las cosas complicadas tienen maacutes formas de romperse y menos
probabilidad por tanto de durar hasta el presente La otra razoacuten es que las
teoriacuteas son inuacutetiles a menos que sean lo suficientemente sencillas como para
que la gente las entienda Las teoriacuteas son a veces aunque inadecuadamente
denominadas modelos y la idea cabal de modelo es que es una versioacuten maacutes
pequentildea maacutes simple de la cosa real Los modelos pretenden resaltar
evidencias y las partes importantes y dejar fuera las irrelevantes El poder de
un modelo puede definirse como la proporcioacuten de reduccioacuten en complejidad
que proporciona sobre la naturaleza Demasiado detalle puede obscurecer las
cosas clave Verdaderamente los modelos complicados no explican realmente
mucho El mejor modelo posible de los patrones meteoroloacutegicos terrestres se
obtendriacutea construyendo un duplicado de la Tierra girando alrededor del Sol
exactamente lo mismo con mucho detalle Deberiacutea predecir todo
45
perfectamente El problema es que el modelo es tan complicado como lo que
se intenta entender Un ejemplo de parsimonia son los modelos aleatorios
Supoacutengase que se quiere entender porqueacute casi todas las sociedades humanas
tienen desigualdades significativas unos son mucho maacutes ricos que otros Se
podriacutean dar un nuacutemero de razones especiales incluidas causas sobrenaturales
del tipo ldquoDios lo quiso asiacuterdquo pero es importante percatarse de que la
desigualdad es lo que deberiacutea esperarse incluso si no hubiera ninguna razoacuten
especial por la que deberiacutea suceder Si se toman 100 euros y se dividen
aleatoriamente entre 10 personas soacutelo hay un puntildeado de formas que dariacutean
un resultado igualitario Sin embargo hay maacutes de 1030 maneras de dividirlos de
modo que se produzcan relevantes desigualdades Es justo como tener la
habitacioacuten ordenada Baacutesicamente hay unas pocas maneras de tener la
habitacioacuten en el espacio tridimensional de modo que pueda decir que todo
estaacute en su sitio Pero hay millones de lo contrario El principio de usar la
parsimonia como un criterio para modelizar la seleccioacuten se conoce como
ldquoNavaja de Ockhamrdquo
Sea como sea la ldquoNavaja de Ockhamrdquo es soacutelo una herramienta o si se quiere
una regla heuriacutestica y como tal en ocasiones se ha mostrado uacutetil para la
ciencia Lo que no es es una cualidad del mundo esto es concierne a la
epistemologiacutea no a la ontologiacutea del mundo Por consiguiente no es necesario
suponer que el universo es sencillo aunque a la hora de enfrentarse y razonar
sobre eacutel se prefiera que se asiacute antes que complejo
John Burdon Sanderson Hodlane (Hodlane 1927) dice ldquoEn el pensamiento
cientiacutefico se adopta la teoriacutea maacutes simple que explique todos los hechos
considerados y que permita anticipar otros nuevos de la misma iacutendole La
trampa de este criterio estriba en la expresioacuten ldquola maacutes simplerdquo en realidad es
un canon esteacutetico como los que se encuentran expliacutecitos en las criacuteticas de
poesiacutea y pintura El profano encuentra mucho maacutes simple el concepto
ldquorezumardquo que su expresioacuten matemaacutetica () = (( ) el fiacutesico
invierte este juicio y por cierto su nocioacuten es la maacutes fructiacutefera por su poder de
prediccioacuten Sin embargo es una descripcioacuten sobre algo muy poco familiar para
el hombre comuacuten ldquola proporcioacuten con que cambia una tasa de variacioacutenrdquo
46
c) Fertilidad y o fecundidad O lo que es lo mismo una teoriacutea debe dar lugar a
nuevos resultados de investigacioacuten es decir debe revelar fenoacutemenos nuevos o
relaciones no observadas antes entre las cosas que ya se saben Este criterio es de
especial importancia para las decisiones cientiacuteficas reales De hecho el segundo
aspecto de la fecundidad de una teoriacutea es que sea fructiacutefera en el sentido de que la
eleccioacuten de una teoriacutea u otra tendraacute influencia ulterior en el desarrollo de la
carrera cientiacutefica de quien hizo la eleccioacuten Por eso los cientiacuteficos se sentiraacuten
atraiacutedos por aquella teoriacutea que prometa el eacutexito concreto por el que suelen ser
recompensados los cientiacuteficos Una teoriacutea feacutertil es aquella que genera multitud de
implicaciones en diferentes aacutereas y dominios Las implicaciones son importantes
porque por una parte son esencialmente perspicacias y o ldquointuicionesrdquo que no
eran obvias antes de establecerse la teoriacutea de este modo potencialmente
representan nuevo conocimiento Por otro lado representan posibilidades de
verificar la teoriacutea Una teoriacutea para ser feacutertil o sea una buena teoriacutea tiene que ser
general
d) Sorpresa Una cualidad de las buenas teoriacuteas es que son interesantes Esto
significa que generan implicaciones no obvias Conducen a entender las cosas de
nuevas maneras La sorpresa se refiere a la capacidad de la teoriacutea para realizar
predicciones inesperadas no obvias Un famoso ejemplo es una teoriacutea que explica
porque ciertos paiacuteses tienen muchas maacutes chicas que chicos La teoriacutea dice que esto
sucede iroacutenicamente cuando como ocurre en la India la gente prefiere tener
chicos En efecto la probabilidad de tener un chico es diferente en las distintas
familias es algo geneacutetico Supoacutengase ahora que la gente lo que hace es tener
nintildeos hasta que tengan maacutes chicos que chicas Asiacute si el primero es un chico no
tienen maacutes Si es una nintildea van a por maacutes hasta que los varones sean maacutes Pero si
es mujer siguen El resultado es que las familias que tienen predisposicioacuten a tener
nintildeos son poco numerosas las otras no Si no hubiera esa preferencia habriacutea
aproximadamente un nuacutemero similar de ambos Este paradoacutejico resultado es
curioso y encantador
e) Amplitud A veces y tal vez con mejor criterio tambieacuten denominada robustez
Esto quiere decir que las consecuencias de la teoriacutea deben extenderse o sea ir
maacutes allaacute de las observaciones leyes o subteoriacuteas particulares para las que se
destinoacute en principio
47
f) Conectividad Este aspecto iacutentimamente relacionado con el anterior quiere
decir que la teoriacutea ordena fenoacutemenos que sin ella y tomados uno a uno estariacutean
aislados y en conjunto seriacutean confusos
g) Independencia Esta condicioacuten exige que ninguno de los axiomas pueda
deducirse de los demaacutes aplicando las reglas fijadas es decir todos y cada uno de
ellos deben antildeadir nueva informacioacuten Para demostrar la independencia de un
axioma respecto a los demaacutes es suficiente con describir un modelo que los
satisfaga todos menos eacutel ya que si fuera posible obtenerlo de los otros
automaacuteticamente seriacutea verdadero en el sistema construido Nada se indica sobre el
nuacutemero de axiomas que pueden elegirse para una teoriacutea pueden ser infinitos
pero seriacutea entonces difiacutecilmente manejable y no tiene sentido en cualquier caso
antildeadir axiomas y axiomas si ya pueden deducirse de unos pocos Por ejemplo a los
axiomas de Peano se les podriacutea antildeadir verbigracia el postulado de que 1 es
distinto de 2 pero seriacutea inuacutetil porque 2 es precisamente el sucesor de 1 y el
axioma III ya indica que 1 no es el sucesor de ninguacuten nuacutemero natural Como se ve
esta propiedad matemaacutetica se trata de una aplicacioacuten del principio de Ockham en
este caso enunciado como sigue ldquoninguacuten axioma o parte de eacutel debe ser
consecuencia de los demaacutesrdquo
Una teoriacutea es pues una construccioacuten simboacutelica en el sentido de que los teacuterminos que utiliza
son siacutembolos que buscan ldquoa tientasrdquo su significado en el mundo real Su valor se apoya tanto
en la estructura de las interconexiones que relacionan sus leyes entre siacute como en las propias
leyes Por eso no soacutelo debe ser un banco de pruebas donde se observa lo que puede
acontecer bajo determinadas condiciones sino que maacutes bien es valga la analogiacutea un territorio
parcialmente explorado De esta forma es con frecuencia heuriacutestica habida cuenta que guiacutea al
ldquoexploradorrdquo hacia nuevos descubrimientos En consecuencia se puede afirmar que tal vez la
mayor importancia de una teoriacutea no estriba en que conteste preguntas sino maacutes bien en que
permita y facilite el plantearlas dirigiendo asiacute la investigacioacuten en el campo que le concierne
Por lo tanto uno de los usos maacutes fructiacuteferos de una teoriacutea es el de preparar las categoriacuteas
conceptuales a partir de las cuales los investigadores formularaacuten sus preguntas y disentildearaacuten sus
experimentos para validar sus hipoacutetesis frente a la contundente realidad de los hechos
Por uacuteltimo una teoriacutea se construye para ponerla en praacutectica Cuando se habla de poner en
praacutectica una teoriacutea lo que se pretende es extraer consecuencias de ella entendiendo por esto
48
la postulacioacuten de una serie de circunstancias que incluyan algunas teacutecnicas de la teoriacutea para
en un paso posterior obtener informacioacuten acerca de lo que la teoriacutea supone sobre las
implicaciones que estas circunstancias particulares tienen para los otros teacuterminos de la teoriacutea
Con frecuencia se llega a las especificaciones seguacuten las cuales se desea someter a verificacioacuten
la teoriacutea interrogando o midiendo alguacuten aspecto del mundo real En otras palabras es preciso
tener alguacuten criterio de validez para determinar el eacutexito de la teoriacutea o del modelo construido
sobre ella Pues si bien una teoriacutea no puede descifrarlo todo los ldquomodelosrdquo que a partir de ella
se construyan deben al menos estar capacitados para descifrar ciertas cuestiones
Einstein apunta la existencia de dos criterios que presiden la seleccioacuten y evaluacioacuten de las
teoriacuteas cientiacuteficas El primero estaacute guiado por la confirmacioacuten externa o comprobacioacuten
experimental de la teoriacutea es decir no debe contradecir los hechos de la experiencia Para eacutel la
experiencia es el alfa y el omega de todo conocimiento cientiacutefico de la realidad Como lo
sentildealoacute eacutel mismo (Heisenberg 1971) El control por medio del experimento es en efecto el
presupuesto normal para la exactitud de una teoriacutea El segundo es el de la ldquoperfeccioacuten interna
naturalrdquo o de la ldquosencillez loacutegicardquo El criterio de perfeccioacuten interna se asemeja muchiacutesimo al
criterio de elegancia matemaacutetica de Poincareacute (Poincareacute 1946) siendo para Einstein esta
elegancia un iacutendice de la verosimilitud de la teoriacutea y de su verdad objetiva pues cuando se
carece de esa elegancia se cae en contradicciones internas Ambos criterios teoacuterico y
experimental expresan en efecto la misma idea pues sirven para determinar el valor
ontoloacutegico de la teoriacutea y su acuerdo con la realidad son como las dos caras de una misma
moneda pues si la teoriacutea debe guiar el experimento eacuteste debe corroborar y enriquecer la
teoriacutea De hecho la experimentacioacuten soacutelo tiene sentido si obedece o estaacute gobernada por un
planteamiento teoacuterico que a veces puede ser falso y siempre acaba resultando ser
provisional Teorizar no consiste simplemente en explicar normas ni en registrar hechos
consiste en ldquoconceptualizarrdquo o ldquoreconstruirrdquo es decir interpretar el material de estudio dentro
de un marco conceptual previamente dado que es precisamente lo que se denomina
ldquoTeoriacuteardquo En este sentido una teoriacutea es un cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se
pueden responder como miacutenimo a las siguientes cuestiones iquestQueacute esto es hacer
predicaciones Y iquestCoacutemo y por queacute es decir dar explicaciones Naturalmente la que debe dar
las respuestas es la teoriacutea y no el teoacuterico
49
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS
Las teoriacuteas como por otra parte cualquier conjunto de elementos pueden catalogarse de
acuerdo con distintos paraacutemetros Esta tipologiacutea en general puede ir desde una simple
clasificacioacuten hasta una taxonomiacutea pasando por una ordenacioacuten
A) La Clasificacioacuten
La clasificacioacuten siempre implica una definicioacuten Un teacutermino clase denota todos los
particulares a los cuales es aplicable el teacutermino es decir es la ldquoextensioacutenrdquo o
denotacioacuten del teacutermino y connota la(s) caracteriacutestica(s) que un particular debe tener a
fin de que el teacutermino le sea aplicable esto es la intensioacuten del teacutermino Ya que la
extensioacuten estaacute determinada por la intensioacuten y una definicioacuten describe la intensioacuten de
un teacutermino la definicioacuten es baacutesica para la clasificacioacuten iquestcuaacuteles son los criterios para
establecer la valiacutea episteacutemica de una clasificacioacuten Son desde el punto de vista
semaacutentico los siguientes
a) Exactitud El criterio de exactitud demanda que la clase de los teacuterminos esteacute
bien definida Una definicioacuten verdadera establece el universo a partir del cual
se establecen las clases y las diferencias o caracteriacutesticas esenciales que
distinguen las clases siendo catalogadas a partir de otras clases en el universo
b) Exclusividad y Exhaustividad Los criterios de exclusividad y exhaustividad
pueden establecerse con precisioacuten mediante conceptos teoreacuteticos En efecto
las clases pueden verse como subconjuntos del universo sometidos a
consideracioacuten esto es el conjunto universal Mientras el contexto de tal
enfoque es decir la exclusividad y exhaustividad pueden establecerse como
sigue
α) Exclusividad todo elemento en el universo dado aparece a lo sumo
en una subclase es decir - cap -0 = empty para todo par de subclases
sometidas a consideracioacuten
β) Exhaustividad todo elemento en un universo dado deberiacutea estar en
alguna clase es decir cup - = 3 donde Si es la coleccioacuten de
subclases y la unioacuten se realiza sobre todas ellas Exclusividad y
50
exhaustividad juntos requiere que cada elemento del universo
aparezca en una subclase
B) Taxonomiacutea
Para que una clasificacioacuten sea una taxonomiacutea debe cumplir el criterio de orden
jeraacuterquico Para que una clasificacioacuten esteacute jeraacuterquicamente ordenada debe cumplir las
siguientes condiciones
a) Los taxones o clases esteacuten ordenados en niveles que estaacuten secuencialmente
ordenados de 1 a n De este modo cada taxoacuten puede designarse por Tij donde
j indica el nivel particular para el taxoacuten o rango e i se asigna arbitrariamente
para diferenciar el taxoacuten en un determinado nivel
b) Cada taxoacuten de nivel j con jltn estaacute incluido en alguacuten taxoacuten de nivel j+1 Dicho
maacutes precisamente para un jltn dado existe alguacuten k tal que Tij estaacute incluido en
Tkm para m=j+1
c) El nuacutemero de taxas de rango j es mayor que el nuacutemero de taxas j+1
d) Las taxas de cada rango son mutuamente exclusivas y exhaustivas Maacutes
precisamente para un rango dado j 40 cap 450 = empty para cualesquiera i y k que
aparecen como subiacutendices en la taxa de rango j y cup 4 = 3
e) El criterio de coherencia interna exige que la clasificacioacuten concuerde con el
conocimiento teoreacutetico existente Para ello las afirmaciones teoreacuteticas deben
ser miembros del sistema actual de afirmaciones teoreacuteticas verdaderas cuyos
elementos estaacuten relacionados mediante la implicacioacuten loacutegica
Si lo que se pretende conseguir es una clasificacioacuten el criterio elegido debe ser exhaustivo y
excluyente es decir que todos y cada uno de los elementos a clasificar caiga en una y soacutelo una
de las clases y eacutestas que son clases de equivalencia son disjuntas entre siacute Por su parte una
ordenacioacuten establece una relacioacuten de precedencia u orden entre los miembros de un conjunto
Esta precedencia puede ser jerarquizada por niveles Pues bien cuando dentro de cada nivel
de jerarquiacutea se establece una clasificacioacuten entonces se obtiene una taxonomiacutea Dicho lo
anterior entre las teoriacuteas se puede establecer la siguiente taxonomiacutea
51
1 Categoacutericas En la descripcioacuten de los conceptos de una teoriacutea las oraciones teoacutericas
esto es las relaciones entre determinantes y resultantes pueden ser necesarias que
son esenciales y surgen de la propia naturaleza de resultantes y determinantes y si no
se cumplen no seriacutean lo que son y contingentes que son accidentales y no se tienen
que cumplir para que los determinantes y resultantes sean lo que son Su diferencia
estriba no en la forma sino en el contenido Las frases cientiacuteficas no tienen contenido
axioloacutegico mientras que las praxeoloacutegicas siacute En estas teoriacuteas o sistemas la verdad de
los teoremas o conclusiones se demuestra o viene dada por la verdad de las premisas
o axiomas es decir no hay calificacioacuten de la verdad de ahiacute el teacutermino ldquocategoacutericordquo En
ellos no hay ninguna suposicioacuten esto es hipoacutetesis de ahiacute su nombre Es decir la
evidencia soportando la verdad de las premisas que no se discute se transfiere a los
teoremas o conclusiones La necesidad reside tanto en la conexioacuten de las premisas con
los teoremas o conclusiones como en lo que postulan las premisas En estas teoriacuteas no
hay ninguna cualificacioacuten con respecto a la verdad no hay suposiciones de ahiacute el
teacutermino categoacuterico Dentro de ellas se inscriben las teoriacuteas filosoacuteficas Las teoriacuteas
filosoacuteficas y la teodicea caeriacutean si se las consideran teoriacuteas Las teoriacuteas filosoacuteficas
justifican sus afirmaciones mostrando que se siguen ldquoracionalmenterdquo no
necesariamente esto es deductivamente de las premisas que se toman como
verdaderas y no son falsables
2 Hipoteacuteticas En estos sistemas no hay certeza absoluta en los axiomas o esquemas de
axiomas es decir no hay evidencia propia De ahiacute que en este caso sea mejor usar el
teacutermino postulado para las premisas En este caso no existe ninguna certidumbre
respecto a los postulados de partida por ello es preciso establecer suposiciones de
partida es decir hipoacutetesis de ahiacute su nombre Existen dos tipos de sistemas
axiomaacuteticos hipoteacuteticos
21 Formales Desarrollados para aacutereas conceptuales muy amplias De hecho son
el sustrato racionador de al menos las teoriacuteas cientiacuteficas Sus afirmaciones se
justifican mediante demostraciones es decir la prueba de las afirmaciones
hechas en forma de teoremas alegados o aducidos o afirmados se sigue
deductivamente de los axiomas Su caracteriacutestica maacutes relevante es la
perennidad de lo demostrado Son de tipo analiacutetico es decir no antildeaden
nuevo conocimiento Las afirmaciones de una teoriacutea formal se justifican
mediante demostraciones en matemaacuteticas y prueba en loacutegica de modo que
52
en ambos casos se siguen como acaba de decirse deductivamente de los
axiomas Es decir no apelan a la evidencia experimental Son abstractas y
estaacuten vaciacuteas de contenido Dentro de ellas estaacuten las teoriacuteas
211 Matemaacuteticas Informalmente son ciertos cuerpos de
conocimientos que consisten en axiomas conectados definiciones
teoremas teacutecnicas computacionales todas relacionadas de alguacuten
modo por tradicioacuten o praacutectica Por ejemplo Teoriacutea de Conjunto
Teoriacutea de Grafos Teoriacutea de Autoacutematas Teoriacutea de Grupos Teoriacutea de
Nuacutemeros etc
212 Loacutegicas En este caso es un conjunto de enunciados en un
lenguaje formal que estaacute cerrado en la aplicacioacuten de ciertos
procedimientos denominados reglas de inferencia Un caso
especial son las teoriacuteas axiomaacuteticas que consisten en axiomas o
esquemas de axiomas y reglas de inferencia De este modo lo que
se obtiene son foacutermulas que se derivan de los axiomas mediante
dichas reglas
22 Materiales sustantivas o justificadas basaacutendose en la experimentacioacuten Estaacuten
formadas por conjuntos de proposiciones conectados que afirman revelar la
verdad de un fenoacutemeno Estaacuten desarrolladas en aacutereas especiacuteficas de
investigacioacuten Son sinteacuteticas esto es antildeaden nuevo conocimiento Entre estas
teoriacuteas estaacuten las concernientes a las ciencias claacutesicas fiacutesica quiacutemica biologiacutea y
geologiacutea y pueden ser
221 Cientiacuteficas naturales o empiacutericas Que buscan entender los
fenoacutemenos recopilando informacioacuten observada y proporcionando
explicacioacuten para ellos Sus afirmaciones se justifican mediante la
evidencia experimental y observacional Y dado que una de las
bases de estas teoriacuteas es el peso de la evidencia por eso reciben
el nombre de empiacutericas De hecho las teoriacuteas empiacutericas se
validan obteniendo las implicaciones de la teoriacutea para hechos
observables es decir generando hipoacutetesis y luego observando o
construyendo situaciones en las que puedan examinar y
contrastar dichas hipoacutetesis Esto exige que se puedan formular las
hipoacutetesis y se puedan efectuar observaciones relevantes Estas
53
teoriacuteas tratan con fenoacutemenos de la naturaleza y a su vez pueden
catalogarse en
2211 Deterministas que de nuevo pueden subdividirse en
A) Con datos incorregibles Paternidad bioloacutegica
B) Corregibles La fiacutesica claacutesica
2212 Indeterministas como la fiacutesica cuaacutentica la termodinaacutemica etc
Las teoriacuteas prototiacutepicas en fiacutesica tales como la teoriacutea de la
gravitacioacuten la de los cuanta de los fenoacutemenos subatoacutemicos
etc tienen seguacuten Mohanan P Karuvannur (Mohanan 2001)
las caracteriacutesticas distinguidas siguientes
A) Contienen un conjunto de proporciones llamadas leyes
B) La mayoriacutea de las proposiciones de la teoriacutea se expresan en
formalismos matemaacuteticos
C) Las observaciones contra las que se comprueban las
teoriacuteas son tiacutepicamente administrativas
D) Dichas observaciones y su contraste se obtienen y realizan
experimentalmente
E) Estos experimentos son reproducibles por otros
Sin embargo no todas las teoriacuteas cientiacuteficas exhiben todas
estas caracteriacutesticas Por ejemplo
a) La teoriacutea cosmoloacutegica del ldquoBig Bangrdquo y la teoriacutea de la
deriva continental en geografiacutea no incluyen ninguna
ley de siacute mismas En lugar de buscar formular leyes es
decir afirmaciones de una relacioacuten sistemaacutetica entre
variables observables o teoacutericas dichas teoriacuteas
54
proporcionan un ldquomodelordquo de los fenoacutemenos que se
pretenden entender
b) Mientras la teoriacutea de la gravitacioacuten de Newton emplea
una geometriacutea eucliacutedea y la de Einstein una
reimaniana la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y
Darwin no usa ninguacuten formalismo matemaacutetico
c) En tanto que las observaciones de la teoriacutea de Newton
son medidas cuantitativas las teoriacuteas topoloacutegicas no
d) Mientras que la fiacutesica y quiacutemica son altamente
experimentales la astronomiacutea lo es si algo muy poco
es puramente observacional
e) Finalmente si algunas observaciones del
funcionamiento normal del cerebro son reproducibles
otras no lo son en absoluto
222 Hominoloacutegicas sociales conductuales o praxeoloacutegicas Caen en
este apartado las teoriacuteas sociales psicoloacutegicas filosofiacutea de la
ciencia esteacuteticas etc Estas ldquoteoriacuteasrdquo buscan entender los
fenoacutemenos las relaciones entre conceptos y entre siacute mismas
reflexionando sobre lo que se da por sentado que son premisas
verdaderas sobre los fenoacutemenos sin dedicarse a entrar en
recopilar nueva informacioacuten Maacutes que teoriacuteas lo que aquiacute se
tiene es el uso del asiacute llamado ldquomeacutetodo cientiacuteficordquo para describir
y si pudiera ser explicar y predecir fenoacutemenos relacionados con
los seres humanos Entre eacutestas se encuentran la psicologiacutea
economiacutea cosmologiacutea etc
Existe una relacioacuten estrecha entre los sistemas ldquoaxiomaacuteticosrdquo y la taxonomiacutea de teoriacuteas que se
muestra en la figura II4 Del mismo modo que tal y como se muestra en la tabla II4 las
teoriacuteas pueden categorizarse en funcioacuten de que sean analiacuteticas o explicativas y sinteacuteticas o
ampliativas del conocimiento
55
Figura II4 Tipos de Sistemas axiomaacuteticos relacionados con la Teoriacutea
Otra distincioacuten importante entre teoriacuteas e incluso ciencias viene dada por las cuestiones que
guiacutean la investigacioacuten Es decir de acuerdo con su ldquoteleologiacuteardquo o paradigma las teoriacuteas
empiacutericas se clasifican en
A) Explicativas Estas teoriacuteas responden o cuando menos intentan responder a
la cuestioacuten iquestCuaacutel es la mejor explicacioacuten para los fenoacutemenos o estados de
cosas observados en el mundo En este caso la finalidad de una buacutesqueda
investigacioacuten ciencia o teoriacutea explicativa como sucede en la fiacutesica quiacutemica
biologiacutea geologiacutea cosmologiacutea etc es uacutenica o cuando menos baacutesica y
principalmente el entendimiento La mejor teoriacutea en un paradigma explicativo
es aquella que produce las mejores predicciones de los fenoacutemenos o estado de
las cosas observadas
B) Normativas Estas teoriacuteas responden o al menos intentan responder a la
siguiente pregunta iquestCuaacutel es el mejor curso de accioacuten para mejorar el estado
de cosas del mundo La finalidad de una buacutesqueda investigacioacuten ciencia o
teoriacutea normativa como sucede con la ingenieriacutea o la tecnologiacutea en general la
medicina el derecho o la sociologiacutea etc es mejorar las condiciones humanas
y maacutes en general de todos los seres vivientes La mejor teoriacutea dentro de este
paradigma normativo es la que produce los mejores cursos de accioacuten para
cambiar a mejor el estado de cosas existentes en el mundo
56
ANALIacuteTICAS O EXPLICATIVAS SINTEacuteTICAS O AMPLIATIVAS
ldquoA PRIORIrdquo ldquoA POSTERIORIrdquo
ldquoA PRIORIrdquo Puros independientes de toda experiencia
ldquoA POSTERIORIrdquo Empiacutericas generalizacioacuten inductiva
CATEGOacuteRICAS Teologiacutea Imposibles Filosofiacutea
HIPOTEacuteTICAS
Formales Loacutegica Matemaacutetica
Materiales Ciencias empiacutericas
Praxeologiacutea antildeade conocimiento axioloacutegico
Tabla II4 Categorizacioacuten de Teoriacuteas
En todo caso caracteriacutestico de toda teoriacutea es su formulacioacuten a partir de unos pocos
postulados Y de nuevo como son maacutes eficaces los ejemplos que las palabras Siguiendo esa
maacutexima claacutesica se van a presentar algunos ejemplos relevantes y significativos de teoriacuteas en
distintos dominios que aparecen resumidas en la tabla II5
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA
Se entiende por ciencia natural al cuerpo de conocimientos relacionados con una cierta clase
de cosas objetos conceptos o fenoacutemenos del mundo las caracteriacutesticas atributos
propiedades y relaciones que poseen coacutemo se comportan y actuacutean en sus interrelaciones La
labor baacutesica de la ciencia natural consiste en convertir lo insoacutelito en corriente es decir
demostrar que la complejidad correctamente enfocada no enmascara maacutes que la sencillez es
encontrar la pauta ley u orden que se oculta tras el caos aparente En resumen las ciencias
naturales se ocupan de coacutemo son las cosas La loacutegica corriente sirve para esto dado que su
preocupacioacuten se centra en aseveraciones declarativas se ajusta a las afirmaciones sobre el
mundo y las inferencias que se desprenden de tales aseveraciones Por su parte el disentildeo
trata de coacutemo debieran ser las cosas esto es de idear artefactos o mejor ldquomentefactosrdquo para
conseguir unos fines Para esto es necesario otras loacutegicas
Cuando se estudia la historia de la ciencia se observa en primer lugar que ninguna disciplina
se hace madura y verdaderamente cientiacutefica hasta que tiene una teoriacutea que la soporta En
segundo lugar tambieacuten salta a la vista como se muestra en la tabla II5 que dichas teoriacuteas
tienen dos caracteriacutesticas fundamentales (Alonso 2004) a saber Constan de pocos elementos
o constructos y se basan en un nuacutemero muy reducido de principios leyes o postulados De
modo que como lo sentildealoacute Peter J Denning (Denning 2003) The game is to define many terms
57
Teoriacutea Autor(es) Datacioacuten Principios Leyes Postulados o Axiomas
1 La
Geometriacutea
Eucliacutedes 330-275 1 Trazar una liacutenea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 2 Prolongar continuamente una recta finita en liacutenea recta 3 Describir un ciacuterculo con cualquier centro y distancia 4 El ser todos los aacutengulos rectos iguales entre siacute 5 Postulado de las Paralelas
2Hidrostaacute-
tica
Arquiacutemedes 287-212 1 El efecto que produce la presioacuten ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente 2 La presioacuten ejercida por un fluido sobre un cuerpo situado en eacutel estaacute dirigida
hacia arriba en la direccioacuten de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo
3 Mecaacutenica Newton 1665- 1666- 1686
1 Principio de Inercia Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectiliacuteneo
2 Principio de fuerza F=ma 3 Principio de Accioacuten y Reaccioacuten Con toda accioacuten ocurre siempre una reaccioacuten
igual y contraria
4 Ley de Gravitacioacuten 6 = 7 889
4 Quiacutemica
Atoacutemica
Dalton Thomson Rutherford Bohr Pauli
1803 1897 1938 1912 1924
1 Toda la materia se compone de aacutetomos Y estos a su vez en nuacutecleo y electrones
2 En cada oacuterbita soacutelo caben dos electrones que giran a la par (Principio de exclusioacuten)
3 Los aacutetomos se combinan entre siacute mediante distintos enlaces (Ioacutenico Covalente etc) para formar moleacuteculas
5Probabili-
dad
Laplace Kolmogorov
1812 1974
1 No negatividad La probabilidad de un evento o suceso siempre es mayor que cero
2 Certidumbre La probabilidad del suceso seguro S es la unidad 3 Aditividad Contable En una sucesioacuten numerable de sucesos mutuamente
excluyentes la probabilidad de su unioacuten es igual a la suma de las probabilidades individuales
6 Evolucioacuten Spencer Wallace Darwin
1852 1858 1859
Herencia de Caracteres y variabilidad y mutacioacuten de los mismos que hace que hijos de los mismos padres no sean ideacutenticos y de que por determinadas causas algunos muten Seleccioacuten natural supervivencia del mejor adaptado al medio
7Electro-
magnetismo
Oersted Faraday Maxwell Hertz
1820 1821-31 1873 1887
1 Ley de Gauss lt ∙ = gt 2 Ausencia de Carga magneacutetica lt ∙ = 0
3 Ley de Ampeacutere B C ∙ D = E FG + HI J
4 Ley de Faraday B lt ∙ D = KL
8Termodinaacute-
mica
Boltzmann Carnot Helmholtz Clausius Kelvin
1850 1850 1847 1829 1852
1 La energiacutea del mundo es constante 2 La entropiacutea del mundo tiende a un maacuteximo
9 Relatividad Einstein 1905 1915
1 Principio de Relatividad Si dos sistemas de coordenadas estaacuten en movimiento relativo de traslacioacuten paralela uniforme las leyes de acuerdo con las cuales cambian los estados de un sistema fiacutesico no dependen de con cuaacutel de los dos sistemas estaacuten relacionados dichos cambios
2 Principio de constancia de la velocidad de la luz Todo rayo luminoso se mueve en el sistema de coordenadas ldquode reposordquo con una velocidad fija independiente de si este rayo luminoso sea emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento
3 3 Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria mi = mg Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse por ecuaciones que sean vaacutelidas para todos los sistemas de coordenadas
10Meacutecanica
Cuaacutentica
Plank Einstein Bohr Schroumldinger Heisenberg Pauli
1900 1905 1907 1925 1926 1927
1 Principio Cuaacutentico La energiacutea no es continua sino que se presenta en paquetes discretos denominados cuantos verbigracia el fotoacuten o cuanto de luz La posibilidad de que un aacutetomo emita o absorba radiacioacuten estaacute condicionada por las posibles variaciones de energiacutea del aacutetomo de modo tal que la frecuencia de la radiacioacuten queda determinada por la diferencia de energiacutea entre los estados inicial y final seguacuten la relacioacuten formalEi-Ef = hv Es decir
2 Principio de la Complementariedad Las partiacuteculas subatoacutemicas tienen propiedades de partiacuteculas y ondas que obedecen a la ecuacioacuten de ondas de Schroumldinger que determina la probabilidad de que ciertos hechos ocurran El cuadrado del valor absoluto de la funcioacuten de onda de Schroumldinger mide la probabilidad de hallar una partiacutecula en un punto concreto de espacio y el tiempo
3 Principio de IndeterminacioacutenΔN ∙ ∆) ge ℏ ∆R∆S ge ℏ 4 Principio de Correspondencia
Tabla II5 Ejemplos de distintas teoriacuteas cientiacuteficas
58
in terms of a few terms and to logically derive many statements from a few statements Es
decir la misioacuten de una teoriacutea de acuerdo con el criterio de economiacutea de Mach consiste en
predecir los resultados del mayor nuacutemero de experimentos partiendo del menor nuacutemero de
hipoacutetesis Por supuesto no se plantea la verdad absoluta sino su operatividad y utilidad en un
campo de aplicacioacuten concreto Bohr fue un poco maacutes lejos y pensaba que la misioacuten de una
teoriacutea es posibilitar nuevas formulaciones
De hecho los progresos decisivos realizados en el campo de las investigaciones cientiacuteficas
conciernen al establecimiento de grandes concatenaciones entre hechos aislados su
generalizacioacuten en forma de leyes y finalmente el desarrollo de una teoriacutea Las ciencias
naturales que fueron hasta hace unos cincuenta antildeos recolectoras de datos hechos objetos y
fenoacutemenos a saber idiograacuteficas son actualmente en esencia ordenadoras o formuladoras de
leyes esto es nomoteacuteticas Es decir las ciencias en el mundo actual estudian el origen las
relaciones y el desarrollo de objetos y fenoacutemenos los procesos que le conciernen y la
concatenacioacuten que hacen de esos procesos naturales un gran todo
Las ciencias empiacuterico-formales conjugan ldquoprima facierdquo dos dimensiones la experimental o
empiacuterica y la teoacuterica o formal Pero al estudiar su gestacioacuten histoacuterica real se descubre en ellas
una tercera dimensioacuten temaacutetica constituida por presupuestos conceptuales o
ldquopreconcepcionesrdquo a la que se adhiere fielmente el cientiacutefico por maacutes que no siempre las
explicite en sus artiacuteculos En efecto todas las disciplinas cientiacuteficas tienen ricas y estrechas
conexiones entre sus ramas teoacuterica y experimental pues la teoriacutea guiacutea o debe guiar el
experimento en tanto que eacuteste enriquece a aquella Ademaacutes la teoriacutea proporciona un lenguaje
en el cual representar experimentalmente el conocimiento derivado de la propia teoriacutea y la
experimentacioacuten y en el cual se puede explorar las consecuencias loacutegicas de ese conocimiento
Las teoriacuteas como cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se puede hacer
predicaciones o dar explicaciones deben responder a los seis honrados servidores que
apuntaba Kipling (Kipling 1990) Quieacuten Queacute Coacutemo Doacutende Cuaacutendo Por y Para queacute Con todo
son soacutelo y con frecuencia deliberadamente aproximaciones que gradualmente por
refinamiento y reformulaciones sucesivas dan cuenta de la realidad puesto que al comienzo
de cualquier elaboracioacuten cientiacutefica no siempre es posible evitar conceptos no claros que soacutelo
adquiriraacuten la condicioacuten de conceptos o se desecharaacuten a medida en que se avance en el
trabajo de investigacioacuten De hecho el saber cientiacutefico no es y no puede ser otra cosa maacutes que
una pretensioacuten de conocimiento de lo que las cosas realmente son Por ello se halla
59
intriacutensecamente afectado de insuficiencia es por esencia perfectible y aunque su apariencia
inmediata sea la afirmacioacuten es en definitiva un conocimiento interrogativo una pregunta
taacutecita dirigida a la mente de quieacuten la ha formulado y a los pensadores posteriores a eacutel
Cuando se observa la historia de la ciencia se ve que lo que la hace avanzar es la
compaginacioacuten de teoriacutea y experimentacioacuten La primera para dirigir a la segunda y eacutesta para
validar o falsar la primera Como lo sentildealoacute Einstein en distintos lugares y diferentes momentos
aunque de formas similares las ciencias duras no proceden como deseariacutean los especialistas
por induccioacuten proveniente de la experiencia sino por deduccioacuten a partir de postulados
axiomas o principios que de estas formas se les denomina Asiacute en 1914 afirmaba El meacutetodo
del teoacuterico significa partir de la base de postulados generales o ldquoprincipiosrdquo para deducir de
ellos conclusiones O sea que el trabajo se divide en dos partes En primer lugar ha de descubrir
sus principios y despueacutes tendraacute que extraer sus conclusiones (hellip) La primera de estas tareas es
decir la de establecer los principios que deberaacuten servir como punto de partida de sus
deducciones tiene una naturaleza muy especial En este caso no existe un meacutetodo que pueda
aprenderse y aplicarse sistemaacuteticamente para llegar al objetivo previsto El cientiacutefico debe
extraer con habilidad esos principios de la naturaleza percibiendo a partir de amplios
conjuntos de hechos empiacutericos ciertos rasgos generales que le permitan una formulacioacuten
precisa Posteriormente en 1918 sentildealaba (Einstein 1946) La tarea fundamental de un fiacutesico
consiste en llegar hasta las leyes elementales y universales que permiten construir el cosmos
mediante pura deduccioacuten No hay un camino loacutegico hacia esas leyes soacutelo la intuicioacuten
fundamentada en una comprensioacuten de la experiencia puede conducirnos a ellashellip Finalmente
en su artiacuteculo Fiacutesica y Realidad (Einstein 1936) dijo (hellip) cuaacuten equivocados estaacuten aquellos
teoacutericos que creen que la teoriacutea surge de la experiencia por viacutea inductiva Aun el gran Newton
no pudo librarse de ese error (Hypotheses non fingo) Y maacutes adelante en dicho trabajo
continuaba No existe un meacutetodo inductivo que nos conduzca a los conceptos fundamentales
de la fiacutesica (hellip) El pensamiento loacutegico es necesariamente deductivo se basa en conceptos
hipoteacuteticos y en axiomas iquestCoacutemo seleccionar eacutestos con la esperanza de que se confirmen las
consecuencias que de ellos se derivan La situacioacuten maacutes satisfactoria es evidente se hallaraacute en
los casos en los que las nuevas hipoacutetesis fundamentales sean sugeridas por el propio mundo de
la experiencia Ejemplo de esto son La inexistencia del movimiento perpetuo El principio de
inercia de Galileo La constancia de la velocidad de la luz
Y seguiacutea Einstein Toda teoriacutea es especulativa Cuando los conceptos baacutesicos de una teoriacutea son
comparativamente ldquocercanos a la experienciardquo (hellip) su caraacutecter especulativo no es discernible
60
con tanta facilidadhellip Por otra parte se ha de conceder que una teoriacutea tiene una importante
ventaja si sus conceptos baacutesicos y sus hipoacutetesis fundamentales se hallan ldquocercanos a la
experienciardquo Una mayor confianza acorde a estas teoriacuteas estaacute justificada Existe menor riesgo
de coger por mal camino en particular porque exige menor cantidad de tiempo y de esfuerzo
rechazar esas teoriacuteas experimentalmente Sin embargo cada vez maacutes a medida que nuestros
conocimientos ganan profundidad debemos renunciar a esta ventaja en nuestra buacutesqueda de
simplicidad loacutegica y de uniformidad en los fundamentos de la teoriacuteahellip Eacutel termina diciendo que
cuando el procedimiento de derivar de las premisas de la teoriacutea unas conclusiones que puedan
ser confrontadas con los datos empiacutericos sea tan difiacutecil que durante un tiempo no sea posible
obtener esos resultados entonces a favor de esa teoriacutea cuentan su simplicidad loacutegica y su
ldquorigidezrdquo Rigidez en este caso significa que la teoriacutea puede ser verdadera o falsa pero no
modificable
Es decir para tratar con teoriacuteas se necesita por una parte la intuicioacuten para obtenerlas y por
otra parte de loacutegica para sacar consecuencias de ella Como lo sentildealoacute Henri Poincareacute
(Poincareacute 1964) La loacutegica y la intuicioacuten tienen cada una un papel necesario Ambas son
indispensables La loacutegica que puede por siacute misma dar la certeza es el instrumento de la
demostracioacuten la intuicioacuten es el instrumento de la invencioacuten El anaacutelisis puro pone a disposicioacuten
procedimientos de garantizada infalibilidad (hellip) pero quien decide cuaacutel elegir es la intuicioacuten
Unas paacuteginas antes sentildealaba que habiacutea muchas clases de intuicioacuten como sigue Tenemos
pues muchas clases de intuicioacuten primeramente la llamada a los sentidos y a la imaginacioacuten
despueacutes la generalizacioacuten por induccioacuten calcada por decirlo asiacute sobre procedimientos de las
ciencias experimentales tenemos por fin la intuicioacuten del nuacutemero plural (hellip)
Las teoriacuteas pues se construyen como conjeturas o suposiciones especulativas y provisionales
que el intelecto humano crea libremente en un intento de resolver los problemas con que
tropiezan las teoriacuteas anteriores y con el fin de proporcionar una explicacioacuten adecuada de
algunos aspectos del mundo o universo Ahora bien las teoriacuteas han de ser contrastadas
rigurosa e implacablemente mediante la observacioacuten y la experimentacioacuten
Se puede decir que los marcos y los modelos son teoriacuteas subespeciacuteficadas Es decir no se
pueden extraer de ellas predicciones comprobables hasta que se las suplemente con
proposiciones teoacutericas adicionales En este sentido los marcos y los modelos forman parte de
lo que Lakatos denominoacute el nuacutecleo (ldquocorerdquo) de una teoriacutea cientiacutefica comprobable soacutelo cuando
se le antildeade el ldquocinturoacuten perifeacutericordquo
61
Un marco es un conjunto de conceptos loacutegica o conceptualmente relacionados Un marco
caracteriacutestico distintivo contiene verbigracia en el caso de la teoriacutea de la gravitacioacuten mecaacutenica
de Newton conceptos tales como tiempo espacio movimiento distancia velocidad
aceleracioacuten masa y fuerza Unos son primitivos espacio tiempo otros derivados velocidad
aceleracioacuten fuerza etc La mayoriacutea de estos conceptos tambieacuten se encuentran en el marco de
la gravitacioacuten de Einstein para su teoriacutea de la Realtividad General pero se reemplaza fuerza
por campo movimiento absoluto por movimiento relativo y no interaccioacuten entre espacio y
tiempo con interaccioacuten entre ambos Un marco se convierte en una teoriacutea cuando es
suplementado con el establecimiento de leyes de modo que se puedan inferir predicciones a
partir de ellas En ausencia de leyes universales el contenido empiacuterico de un marco es la
pretensioacuten y o afirmacioacuten que el marco proporciona la mejor base para la construccioacuten de
una teoriacutea para el fenoacutemeno en cuestioacuten Aquiacute mejor es una cuestioacuten de correccioacuten de las
predicciones generalidad simplicidad etc
Por su parte un modelo es un objeto fiacutesico y abstracto una entidad alrededor de la cual se
pueden construir las leyes Ejemplos son los modelos geo y helioceacutentrico del sistema Solar el
de Rutherford o Bohr del aacutetomo etc Como los marcos los modelos tambieacuten estaacuten
subespeciacuteficados es decir necesitan ser suplementados con las afirmaciones de las leyes El
concepto de modelo es tan importante para la ciencia incluso para la vida cotidiana que sin eacutel
la vida no seriacutea como lo es
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL
DESARROLLO SOFTWARE
A la vista de los abismales resultados obtenidos al observar las evoluciones del hardware
exponencial frente al software en el mejor de los casos lineal No es aventurado sentildealar que
una de las causas tal vez la maacutes importante de este espectacular y diacutea a diacutea creciente
desfase es la carencia de una teoriacutea de soporte para las ingenieriacuteas subyacentes al desarrollo
del software Ingenieriacutea del Software y del Conocimiento Carl Sagan (Sagan 2005) expuso muy
bien esta situacioacuten en relacioacuten a la teoriacutea electromagneacutetica para lo cual dijo lo siguiente
Supongamos que por la gracia de Dios usted es Victoria la reina del Reino Unido de gran
Bretantildea e Irlanda defensora de la fe en la era maacutes proacutespera y triunfante del Imperio Britaacutenico
Sus dominios se extienden por todo el planeta El rojo britaacutenico jalona abundantemente los
mapas del mundo La maacutequina de vapor se perfecciona en Gran Bretantildea principalmente por
parte de ingenieros escoceses que proporcionan asesoriacutea teacutecnica en los ferrocarriles y barcos
62
de vapor que unen el imperio Supongamos que en el antildeo 1860 tiene una idea visionaria tan
atrevida que hasta el editor de Julio Verne la habriacutea rechazado Quiere una maacutequina que lleve
su voz y las imaacutegenes de la gloria del imperio a todas las casas del reino Maacutes todaviacutea quiere
que los sonidos e imaacutegenes no lleguen por conductos o por cables sino por el airehellip para que la
gente que trabaje en el campo pueda recibir este don de inspiracioacuten instantaacutenea creado para
promover la lealtad y la eacutetica del trabajo La Palabra de Dios tambieacuten se puede transmitir con
el mismo invento Sin duda se encontraraacuten otras aplicaciones socialmente deseables
Sagan continuacutea Asiacute con el apoyo del primer ministro convoca al gabinete al Estado Mayor y a
los principales cientiacuteficos e ingenieros del reino Les comunica que asignaraacute un milloacuten de libras
al proyecto mucho dinero en 1860 Si necesitan maacutes pueden pedirlo No le importa coacutemo lo
hagan soacutelo que lo consigan Ah por cierto se llamaraacute Proyecto Westminster Probablemente
surgiraacuten algunos inventos uacutetiles de una empresa asiacute Siempre ocurre cuando se gastan grandes
cantidades de dinero en tecnologiacutea Pero casi seguro que el Proyecto Westminster fracasaraacute
iquestPor queacute Porque todaviacutea no se ha creado la ciencia que lo fundamenta En 1860 existiacutea el
teleacutegrafo Era imaginable con un gasto enorme instalar aparatos de telegrafiacutea en todas las
casas para que todos pudieran enviar y recibir mensajes en coacutedigo Morse Pero eso no es lo que
habiacutea pedido la reina Ella pensaba en la radio y la televisioacuten pero eran inalcanzables En el
mundo real los conocimientos de fiacutesica necesarios para inventar la radio y la televisioacuten llegaron
de una direccioacuten que nadie podiacutea haber predicho
Dicho lo anterior queda claro cuaacutel es el problema abierto carencia de teoriacutea para soportar las
ingenieriacuteas implicadas en el desarrollo software que a lo maacutes que llegan es a ser una artesaniacutea
donde la habilidad del artesano es fundamental Sin embargo a lo que hay que llegar es a que
el desarrollo software deje de ser una artesaniacutea manufacturada y se convierta en una
ingenieriacutea ldquomentefacturadardquo incluso de forma industrial En consecuencia este trabajo se
dirige a proporcionar dicha teoriacutea Lo que ocuparaacute los dos capiacutetulos siguientes
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CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS
Por la relevancia de lo que se trataraacute en este capiacutetulo concerniente a por una parte la
posibilidad de crear una teoriacutea que soporte las ingenieriacuteas del software y del conocimiento
implicadas en el desarrollo del software ldquoGeneracioacutenrdquo de los nuacutemeros a partir de la ldquonadardquo
realizada por von Neumann y el teorema de Loumlwenheim-Skolem Y por otra a la factibilidad de
dicha teoriacutea probada por la ldquocurryficacioacutenrdquo es conveniente el introducir aquiacute ahora los
sistemas axiomaacuteticos
Los primeros estudios sistemaacuteticos de las formas de razonamiento vaacutelidos hay que ponerlos en
el haber de Aristoacuteteles El estagirita en efecto clasificoacute los silogismos despueacutes de postular que el
resto de demostraciones podiacutea reducirse a ellos Un silogismo consta de tres afirmaciones o
enunciados de los cuales las dos primeras unidas por un teacutermino medio son las premisas y la
uacuteltima la conclusioacuten donde ya no aparece el enlace entre las anteriores Las sentencias no
pueden ser arbitrarias sino (A) Afirmaciones universales del tipo ldquoTodo A es Brdquo (B) Negaciones
generales tales como ldquoNinguacuten A e Brdquo (C) Afirmaciones particulares verbigracia ldquoExiste un A
que es Brdquo (D) Negaciones concretas ldquoExiste un A que no es Brdquo Combinando estas cuatro
formas pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos de los cuales soacutelo catorce son correctos
Sobre la base de los ldquoAnaliacuteticos primerosrdquo y ldquoposterioresrdquo (Aristoacuteteles 1995) trabajaron los
escolaacutesticos durante la Edad Media con el propoacutesito de mostrar racionalmente la existencia de
Dios Entre todas estas muacuteltiples y variadas tentativas tal vez la maacutes famosa y ldquoprofundardquo sea la
del arzobispo y filoacutesofo de Canterbury San Anselmo conocida como el ldquoArgumento Ontoloacutegicordquo
que Goumldel estudioacute con profundidad en los uacuteltimos antildeos Anselmo consideraba que el ser
humano lleva dentro de siacute la idea de un ser superior tal que ninguacuten otro maacutes perfecto pueda ser
pensado Como quiera que un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el pintor
imaginoacute pero que nunca llegoacute a terminar razonaba si Dios existiese soacutelo en la inteligencia
cabriacutea pensar en un ser superior a eacutel ergo existe Sin embargo estas aportaciones medievales
no son relevantes para lo que aquiacute concierne pues la loacutegica que fundoacute Aristoacuteteles y
ldquodesarrollaronrdquo sus seguidores no era auacuten simboacutelica salvo por las variables A y B los silogismos
se exponiacutean completamente con palabras Fue mucho despueacutes George Boole (Boole 1847
1945) quien se dio cuenta por primera vez de la analogiacutea existente entre las operaciones
aritmeacuteticas de sumar y multiplicar y los conectores ldquoordquo e ldquoyrdquo e introdujo las constantes 0 y 1
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para representar los dos valores de verdad posibles De este modo los cuatro modelos que habiacutea
descrito Aristoacuteteles quedaban matematizados en forma de ecuacioacuten Por ejemplo ldquoTodo X es Yrdquo
se escribiacutea x(1-y) = 0 donde al sustituir X por 1 se obtiene tambieacuten y = 1 En esta liacutenea de
encontrar un algebra para la loacutegica continuaron trabajando Augustus de Morgan Ernst Schroumlder
y Charles Pierce que introdujo los siacutembolos sum y prod antecedentes de los cuantificadores
En efecto Boole desde 1847 y partiendo del quehacer matemaacutetico habiacutea realizado la
construccioacuten de un aacutelgebra loacutegica esto es aplicar el aacutelgebra para fundamentar la loacutegica Para
ello partioacute de las nociones de clase elemento de clase y operaciones con clases El enfoque
estriba en que las leyes del pensamiento las leyes de la loacutegica deben ser del mismo tipo que las
leyes que gobiernan el algebra es decir la validez de los procesos del aacutelgebra no depende de la
interpretacioacuten de los signos sino de las leyes de combinacioacuten de los mismos Con estas ideas
Boole algebriza la loacutegica obteniendo un sistema algebraico que es en teacuterminos actuales un
retiacuteculo booleano Dicho retiacuteculo como algebra loacutegica o aacutelgebra simboacutelica presenta tal y como
se muestra en la Tabla III1 dos interpretaciones un algebra de clases y un algebra
proposicional
ALGEBRA DE BOOLE CAacuteLCULO DE PROPOSICIONES
χ (Conjunto Universo) V (Verdadero)
Oslash (Conjunto Vaciacuteo) F (Falso)
a b c hellip (Conjuntos Subconjuntos Elementos) p q r hellip (Proposiciones)
aχb (Reunioacuten TODO a Y TODO b) pωq (Disyuncioacuten o bien p solo o q solo o ambos son
verdaderos)
a1b (Interseccioacuten lo que a y b tienen en comuacuten) pϖq (Conjuncioacuten ambos p y q son verdaderos)
a=b (Identidad a y b son el mismo conjunto) p = q (Equivalencia si y soacutelo si p es verdadero q es
verdadero) a (Complementario Resto del conjunto Universo que
no es a) not p (Negacioacuten p es falso)
a0b (Inclusioacuten a es elemento de b) pεq (Implicacioacuten Si p es verdadero q es verdadero)
Tabla III1 Algebra de Clases ldquoversusrdquo Algebra Proposicional
Con Hilbert pasando por Frege Cantor y un largo etceacutetera se llegoacute a lo que hoy se conoce como
sistemas axiomaacuteticos deductivos o sistemas formales que son los soportes loacutegico-matemaacuteticos
de toda teoriacutea matemaacutetica o cientiacutefica Un sistema formal consta de los siguientes elementos
a) Alfabeto Un conjunto de signos o siacutembolos primitivos que determina el conjunto de cadenas
o secuencias finitas de siacutembolos con posibles repeticiones con ayuda de estos siacutembolos pueden
escribirse todas las proposiciones
b) Gramaacutetica que determina cual es la forma como debe combinarse los siacutembolos Es decir un
conjunto finito de reglas combinatorias que determinan bajo queacute condiciones se puede afirmar
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que una cadena de siacutembolos primitivos es o no una foacutermula El conjunto de las foacutermulas recibe
el nombre de lenguaje formal del sistema
c) Reglas de Inferencia Es eacuteste un conjunto tambieacuten finito de reglas combinatorias que sirve
para producir deducciones formales es decir determina que secuencias de foacutermulas
constituyen una deduccioacuten en el sistema o sea las reglas inferenciales que permitan deducir los
teoremas a partir de los axiomas En otros teacuterminos los teoremas se obtienen al escribir todas
las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar cuaacuteles son
las concordes con las reglas de inferencia y por tanto vaacutelidas
d) Axiomas Conjunto de principios adoptados sin demostrar Son un conjunto finito de foacutermulas
sin variables libres o sentencias que se aceptan como verdaderas
Dicho lo anterior una sentencia se dice deducible si es la uacuteltima foacutermula que aparece en una
secuencia de foacutermulas que constituye una deduccioacuten El conjunto de sentencias deducibles
recibe el nombre de ldquoteoriacutea formalizadardquo
Dado un sistema formal S cuyos axiomas estaacuten dados por A si p es deducible en el sistema se
dice que p es una consecuencia sintaacutectica del sistema Por otra parte si p es una afirmacioacuten
verdadera en cualquiera de las interpretaciones posibles del sistema formal se diraacute entonces
que se trata de una consecuencia semaacutentica de A
Al principio de la discusioacuten con que abrioacute Boole ldquoEl Anaacutelisis Matemaacutetico de la Loacutegicardquo (Boole
1854) advirtioacute que los que estaacuten familiarizados con la presente condicioacuten de La Teoriacutea del
Algebra Simboacutelica son conscientes del hecho de que la validez de los procesos del Anaacutelisis
Matemaacutetico no depende de la lectura o interpretacioacuten de los signos en eacutel utilizados sino
solamente de las leyes que gobiernan los posibles modos de unioacuten de esos siacutembolos Cualquier
sistema de lectura interpretacioacuten es tan correcto como pueda serlo cualquier otro si bajo el
sistema en cuestioacuten todas las leyes de la teoriacutea se convierten en enunciados verdaderos que
versan sobre la materia con la cual esa interpretacioacuten las ha puesto en conexioacuten Asiacute un mismo
proceso de anaacutelisis matemaacutetico puede bajo una interpretacioacuten ser representativo de la
respuesta a una pregunta sobre las propiedades de los nuacutemeros bajo otra puede ser
representativo de una respuesta a una cuestioacuten de geometriacutea bajo una tercera puede significar
la respuesta a una cuestioacuten de fiacutesica y bajo una cuarta puede dar cuenta de una cuestioacuten
bioloacutegica etc Por ejemplo el algebra loacutegica de Boole es una uacutenica teoriacutea pero tal y como se
mostroacute en la tabla III1 hay cuando menos dos sistemas de lectura o interpretaciones de la
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misma a saber una que la pone en relacioacuten con clases y otra que la pone en relacioacuten con
enunciados Esto llevoacute a Alfred Tarski ha desarrollar los fundamentos de la semaacutentica de la
loacutegica o la ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo Desde su nacimiento la orientacioacuten sintaacutectica de la loacutegica primoacute
sobre las consideraciones semaacutenticas de la misma llegando a su cliacutemax con la escuela de Hilbert
cuyo trabajo se habiacutea centrado en las demostraciones de consistencia y en el estudio de los
caacutelculos deductivos en definitiva de lo que ha dado en denominarse ldquoteoriacutea de la
demostracioacutenrdquo Si para muestra basta un botoacuten ahiacute van dos Jacques Herbrand en su tesis
doctoral demostroacute que la deducibilidad en loacutegica de primer orden puede reducirse en un cierto
sentido a la proposicional maacutes un procedimiento de sustitucioacuten de teacuterminos Por su parte
Gerhard Gentzen estudiante de Hilbert ideoacute los caacutelculos de deduccioacuten natural y los caacutelculos de
secuentes Y dicho sea de paso ambos prometiacutean ser grandes figuras de la loacutegica matemaacutetica
carrera que frustroacute su prematura muerte Sin embargo las cosas cambiaron gracias a los
trabajos pioneros de Loumlwenheim y sobre todo Goumldel con su teorema de completud al
presuponer una semaacutentica una nocioacuten de interpretacioacuten Ahora bien ambos usaron nociones
semaacutenticas intuitivas y no eran suficientemente expliacutecitos respecto a los detalles Fue
justamente Tarski con sus dos artiacuteculos el de 1933 sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formales y el de 1936 (Tarski 1944) sobre el concepto de consecuencia loacutegica quien sentoacute las
bases de la semaacutentica de la loacutegica de primer orden y culminoacute el edificio de la loacutegica tal y como se
conoce actualmente con su ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo
La relacioacuten de consecuencia loacutegica o semaacutentica dada por Tarski es la que se da entre un
conjunto de enunciados y un enunciado cuando el uacuteltimo es verdadero en cualquier
interpretacioacuten del lenguaje que haga verdaderos simultaacuteneamente a los enunciados del
conjunto El lenguaje es un lenguaje de primer orden y no se admite que se interpreten
libremente los siacutembolos loacutegicos como los cuantificadores los conectores y el siacutembolo de
igualdad Interpretar significa entonces especificar una estructura apropiada al lenguaje que
constaraacute de un universo de discurso en el que tomaraacuten valores las variables y constaraacute ademaacutes
de correlatos en dicho universo para los distintos siacutembolos no loacutegicos objetos nombrados por
las constantes individuales relaciones correspondientes a los distintos siacutembolos predicativos
etc Cuando un enunciado o un conjunto de enunciados resultan ser verdaderos en una
estructura se dice que la estructura es un ldquomodelordquo del enunciado o del conjunto de
enunciados Con esta terminologiacutea un enunciado es consecuencia de un conjunto de enunciados
cuando cada modelo del conjunto es asiacute mismo un modelo del enunciado en cuestioacuten Esta
definicioacuten tienen precedentes en Bernard Bolzano y viene a sustituir a otras maacutes vagas que
estipulan que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusioacuten falsa Aquiacute el
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problema estriba en el significado de la nocioacuten de posibilidad En la definicioacuten de Tarski la
dificultad se presenta en la nocioacuten de modelo iquestqueacute significa que un enunciado sea verdadero en
una estructura
El meacuterito de Tarski estaacute en haber proporcionado una definicioacuten impecable de la relacioacuten que se
da entre un enunciado y una estructura cuando el enunciado es verdadero en un estructura A la
vista de las numerosas paradojas asociadas a la nocioacuten de verdad y en general a los conceptos
semaacutenticos habiacutea razones poderosas para pensar que esa definicioacuten no se podriacutea dar Tarski era
consciente de ello y tratoacute de las paradojas y de su definicioacuten La idea baacutesica subyacente es la de
usar un procedimiento recursivo o inductivo para formalizar la idea de que un enunciado es
verdadero en una estructura cuando las cosas son en la estructura como el enunciado dice que
son el cual coincide con la nocioacuten de verdad de Aristoacuteteles ldquodecir lo que es que es y de lo que
no es que no esrdquo Tarski no obstante no se limitoacute uacutenicamente a proporcionar una definicioacuten
pues desarrolloacute asiacute mismo todos los aspectos baacutesicos de la semaacutentica creando con ello la teoriacutea
de modelos Con ella las cuestiones de axiomatizabilidad y de definibilidad empezaron a poder
ser tratadas con precisioacuten en el marco de una semaacutentica loacutegica precisa La dependencia del
caacutelculo para la presentacioacuten de la consecuencia loacutegica desaparecioacute Uno de los resultados
notorios de la teoriacutea de modelos es la eliminacioacuten de cuantificadores y la decidibilidad de la
teoriacutea del cuerpo ordenado real A diferencia de lo que ocurre con la aritmeacutetica existe un
algoritmo para decidir si un enunciado de primer orden en el lenguaje de la teoriacutea de cuerpos
ordenados es verdadero o falso en el cuerpo ordenado de los nuacutemeros reales
Ademaacutes se dice que una estructura U es un modelo de los axiomas cuando eacutestos son verdaderos
en ella verbigracia el trabajar con el algebra de los nuacutemeros reales un modelo son los propios
nuacutemeros reales aunque no el uacutenico Uno de los resultados maacutes profundos de Goumldel el
ldquoTeorema de Completudrdquo demuestra precisamente que las teoriacuteas inconsistentes no tienen
modelos o lo que es lo mismo no hablan de nada
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA
CASUALIDAD CAUSALIDAD O ldquoCAUSUALIDADrdquo
Desde que Galileo lo explicitoacute en su obra ldquoIl Saggiatorirdquo es decir El Ensayador todos los
cientiacuteficos aceptan como cuestioacuten de hecho la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre la naturaleza y
la matemaacutetica Sin embargo Galileo tuvo predecesores de su planteamiento y por supuesto
seguidores corroboradores del mismo En efecto Pitaacutegoras y sus seguidores los pitagoacutericos
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consideraron como nuacutecleo de su dogma a los nuacutemeros naturales eacutestos constituiacutean la esencia
del Universo de todas las cosas y de cada una de ellas tanto en matemaacuteticas como en la fiacutesica
y en las ciencias experimentales y en la religioacuten El Cosmos se explicaba en teacuterminos de
ldquoarithmoacutesrdquo es decir era expresioacuten de propiedades matemaacuteticas de los nuacutemeros naturales y
sus razones
Para Pitaacutegoras ldquomathematardquo es lo que se aprende lo que se conoce Como ciencia teoacuterica es
un invento Pitogoacuterico Los miembros de su comunidad eran de dos tipos ldquomatemaacuteticos ldquo o
ldquoconocedoresrdquo y ldquoakusmaacuteticosrdquo o ldquoauditoresrdquo esto es ldquooyentesrdquo
Platoacuten epistemoloacutegicamente creiacutea en el conocimiento como reminiscencia es decir todo
conocer es recordar despertar aquello que estaacute en los seres humanos y que ya han visto en
otra vida previa Como los pitagoacutericos de quienes tomoacute muchas de sus ideas iquestplagio Platoacuten
en sus uacuteltimos diaacutelogos concretamente en el Filebo y Timeo (Platoacuten 1992) tiende a ligar
matemaacutetica y teologiacutea hasta el punto de entender que el intelecto divino estaacute
constantemente entregado a la geometriacutea la matemaacutetica de la eacutepoca y que el cuerpo y el
alma del universo estaacuten constituidos matemaacuteticamente Aristoacuteteles en su Metafiacutesica
(Aristoacuteteles 1994) dijo sobre los pitagoacutericos y los nuacutemeros lo siguiente [hellip]supusieron que las
cosas existentes son nuacutemeros pero no nuacutemeros que existen aparte sino que las cosas estaacuten
realmente compuestas de nuacutemeros es decir los elementos de los nuacutemeros son los elementos
de todos los seres existentes y la totalidad del cosmos es armoniacutea y nuacutemero [hellip] Es evidente
que los pitagoacutericos creen tambieacuten que el nuacutemero no soacutelo es el principio material de las cosas
sino tambieacuten el que constituye sus modificaciones y estados permanentes [hellip]Bacon al
respecto escribioacute en la parte 4 de su ldquoDistinctia Primardquo capiacutetulo 1 de su ldquoObra Magnardquo
(Bacon 1928) que la matemaacutetica es la llave y puerta de la ciencia en sus teacuterminos Et harum
scientarum porta et clavis est Mathematica De un modo similar Leonardo da Vinci deciacutea
ldquoNessuna humana investigazione si pio dimandara vera scienzia s`essa non passa por le
matematiche dimostrazionerdquo (Leonardo da Vinci 1452-1519)
Galileo sentildealoacute que los secretos de la naturaleza estaban escritos en el lenguaje de la
matemaacutetica resumido en italiano eacute scritto in lingua mathematica e i caratteri son triangoli
cerchi ed altre figure geometriche Dicho en sus teacuterminos La filosofiacutea estaacute escrita en este vasto
libro que continuamente se muestra a nuestros ojos (me refiero al Universo) el cual sin
embargo no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el
alfabeto en que estaacute escrito Y estaacute escrito en el lenguaje de las matemaacuteticas siendo sus
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caracteres triaacutengulos ciacuterculos y otras figuras geomeacutetricas sin las cuales es imposible entender
una sola palabra sin ellos soacutelo se conseguiriacutea vagar por oscuros laberintos (Galilei 1623)
Y de la misma manera que tuvo predecesores Galileo tuvo en esta cuestioacuten seguidores El
padre de la teoriacutea electromagneacutetica James Clerk Maxwell (Maxwell 1862) en la Conferencia
Inaugural en el King`s College de Londres con la que tomoacute posesioacuten de su caacutetedra y publicada
poacutestumamente en 1979 (Domb 1979) fue el maacutes contundente al respecto cuando
lacoacutenicamente dijo ldquoNo podemos expresar hechos fiacutesicos salvo en forma matemaacuteticardquo Konrad
Knopp (1882-1957) en la leccioacuten inaugural del curso de la Universidad de Tuumlbingen en 1927
La matemaacutetica es la base de todo el conocimiento y el contenedor de toda la alta cultura
Einstein acerca de esta cuestioacuten sentildealoacute Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de
que la naturaleza es concrecioacuten de las ideas matemaacuteticas maacutes sencillas Sin embargo quien
mejor expresoacute esa adecuacioacuten fue el premio Nobel de Fiacutesica huacutengaro Jeacutenoacute Pagravel o en su
traduccioacuten al ingleacutes Eugene Paul Wigner (1902-1995) quien tanto hizo para formular la teoriacutea
matemaacutetica de la simetriacutea y aplicarla a problemas fiacutesicos Estas fueron sus palabras (Wigner
1960) El milagro de la idoneidad de la matemaacutetica para la formulacioacuten de las leyes fiacutesicas es
un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos Y en otro momento antildeadioacute El
lenguaje de las matemaacuteticas se revela formidablemente efectivo en las ciencias naturales [hellip]
Deberiacuteamos estar agradecidos por ello y esperamos que su validez no soacutelo persista en las
investigaciones futuras sino que se extienda para bien o para mal hasta nuestro ocio e
incluso tambieacuten a nuestro pesar acaso con amplias ramas del aprendizaje
Pues bien ldquohic et nuncrdquo esto es aquiacute y ahora se estaacute en condiciones de afirmar que dicha
idoneidad o armoniacutea preestablecida esa especie de casualidad y causalidad esto es
ldquocausualidadrdquo a partes iguales viene justificada por los hechos siguientes el Teorema de
Loumlwenheim-Skolem y la definicioacuten por von Neumann de los nuacutemeros naturales en teacuterminos
de conjuntos que se van a considerar a continuacioacuten Pero antes se estableceraacute la axiomaacutetica
de Zermelo y Fraenkel basada en la teoriacutea de Conjuntos de Cantor por ser importante para
entender la definicioacuten de von Neumann Adicionalmente como se explicitaraacute en los
resultados hay que modificar un conocido dicho de Leopoldo Kronecker
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL
En la teoriacutea de conjuntos de Cantor (Cantor 1883) es posible formar un conjunto a partir de una
propiedad determinada que deben cumplir sus elementos Es decir dada cualquier propiedad
existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifica P(a)
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Formalmente dada T UexistV|X isin V| minus T(X)Z Asiacute por ejemplo representando lo anterior por
UX|R(X)Z considerando la foacutermula X = X se obtiene el conjunto 3 = UX|X = XZ A este
conjunto que claramente lo contiene todo no se le pueden aplicar algunos de los resultados de
Cantor ya que conducen a ciertas paradojas Consideacuterese ahora el conjunto X cuyos elementos
son aquellos conjuntos que no se pertenecen a siacute mismo Esto es el conjunto V = UX|X notin XZ
Eacuteste es tambieacuten un conjunto de ldquogran tamantildeordquo que da lugar a la paradoja de Russell siguiente Si
uno se pregunta iquestEs X un elemento de siacute mismo Pueden suceder dos casos Uno que lo sea
esto es si V isin V entonces X no satisface la condicioacuten V notin V lo que es una contradiccioacuten Dos
que no lo sea esto es V notin V entonces X satisface la condicioacuten para ser uno de sus elementos y
asiacute V isin V de nuevo una contradiccioacuten De este modo X no puede ser un elemento de siacute mismo
ni no serlo Russell y Whitehead (Whitehead 1910 1912 1913) desarrollaron la teoriacutea de tipos
para eliminar esta clase de paradojas pero a costa de una complicacioacuten tal que haciacutea muy escaso
su intereacutes
Fue Zermelo quien presentoacute una teoriacutea axiomaacutetica de conjuntos luego completada por Fraenkel
y Skolem mucho maacutes simple y comprehensiva a nivel loacutegico que lograba eliminar tanto la
paradoja de Russell como todas las demaacutes que surgiacutean tanto en el sistema de Cantor como en el
de Frege Los axiomas de la teoriacutea de Zermelo (Zermelo 1908) completada por Fraenkel
(Fraenkel 1922) son los siguientes
1) Extensionalidad forallX(X isin V harr X isin ]) rarr V = ] Es decir dos conjuntos X e Y son
ldquoigualesrdquo lo que se representa por x = y si y soacutelo siacute contienen los mismos elementos En
otros teacuterminos este axioma afirma que un conjunto estaacute determinado por su extensioacuten
esto es dando todos sus elementos
2) Conjunto vaciacuteo existemptyforallX(X isin empty) Esto es existe un conjunto representado por empty sin
elementos Y es uacutenico por el axioma de extensionalidad En efecto Si empty y emptyprime fueran dos
conjuntos vaciacuteos distintos entonces siempre verificariacutean X notin empty y X notin emptyprime para cualquier a
y por tanto tambieacuten X isin empty harr X isin emptyprime para todo a de modo que por el axioma anterior
empty = emptyprime 3) De pares forallV ]existforallX(X isin harr X = V or X = ]) O sea dados cualesquiera conjuntos X e
Y existe otro conjunto representado por U Z cuyos elementos son uacutenicamente X e Y El
conjunto U Z se denomina par desordenado de X e Y Si se aplica el conjunto de pares a
un solo conjunto X se obtiene el par U Z cuyo uacutenico elemento es obviamente x y por
ello puede representarse como U Z A este uacuteltimo conjunto puede aplicaacutersele de nuevo
el axioma de pares dando lugar al conjuntoaU Zb conjunto al cual puede asi mismo
71
aplicaacutersele el axioma de pares obtenieacutendose el conjunto caU Zbd y asiacute sucesivamente
Este proceso de construccioacuten de conjuntos que fue el que siguioacute von Neumann puede
aplicarse al uacutenico conjunto dado y conocido expliacutecitamente empty obtenieacutendose una serie
infinita de conjuntos empty UemptyZ aUemptyZb hellip
4) Unioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr exist( isin V and X isin )) En otros teacuterminos dada cualquier
coleccioacuten o conjunto de conjuntos C existe un conjunto representado por cup N y
denominado ldquounioacuten de Crdquo que contiene todos los elementos de cada conjunto de C
5) Conjunto Potencia forallVexist]forall( isin ] harr forallX(X isin rarr X isin V)) Lo que viene a decir es que
para cualquier conjunto X existe otro conjunto representado por f(V) y denominado
conjunto de las partes de X que contiene todos los subconjuntos de X
6) Esquema axiomaacutetico de especificacioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr X isin V and ((X)) En otras
palabras sea ((or) una foacutermula de un lenguaje de primer orden que contenga una
variable libre or Entonces para cualquier conjunto X existe un conjunto Y cuyos elementos
son aquellos elementos a de X que cumplen φ(a)
7) Esquema axiomaacutetico de reemplazo Este axioma debido a Fraenkel puede expresarse
como sigue Si forallVforall]forallexist or (V isinorand ((V ]) and (((V ) rarr ] = )) entonces existgforall](] ising harr existV(V isinorand ((V ]))) De otro modo si ( (a b) es una sentencia tal que para
cualquier elemento a de un conjunto X el conjunto Y es igual Uh|(((X h)Z y existe
entonces existe una funcioacuten i rarr tal que i(X) = Es decir si or es un conjunto y que
i es una foacutermula con dos variable libres X e Y tales que para cada V isinor existe un uacutenico Y
tal que i(V ]) se cumple entonces existe un conjunto W tal que ] isin g si y soacutelo si
i(V ])
8) Infinitud existV(empty isin V and forall(] isin V rarr ] cup U]Z isin V)) O sea existe un conjunto X tal que el
vaciacuteo empty isin V y tal que si ] isin V entonces ] cup U]Z isin V Este axioma introducido en 1908
por Zermelo permite la obtencioacuten de nuacutemeros naturales como conjuntos dentro de ZF
9) Regularidad o de fundacioacuten forallV(V ne empty rarr exist](] isin V and forall( isin ] rarr ] notin V))) Esto es
para todo conjunto no vaciacuteo X existe un conjunto ] isin V tal que V cap ] = empty Esta
formulacioacuten la dio Zermelo en 1930 Von Neumann en 1929 presentoacute un axioma
equivalente pero maacutes complicado Este axioma prohiacutebe la existencia de (a) Conjuntos
extrantildeos tales como los que cumplan V isin V o V isin ] andisin V (b) La existencia de cadenas
descendentes infinitas hellip isin V isin V isin V Si se excluye este axioma la teoriacutea de conjuntos
resultante recibe el nombre de ldquoTeoriacutea de Conjuntos no bien fundadosrdquo
72
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM
Teorema de Loumlwenheim-Skolem Como es maacutes que sabido la aritmeacutetica estaacute en la base de
toda la matemaacutetica maacutes auacuten de hecho el alcance de la aritmeacutetica va mucho maacutes allaacute de lo
que es la teoriacutea de nuacutemeros y el caacutelculo y sus proyecciones la estadiacutestica el caacutelculo de
variaciones la teoriacutea de grafos y autoacutematas el algebra etc En efecto seguacuten el extraordinario
pero en palabras de Atkins (Atkins 2003) ldquocapcioso teoremitardquo demostrado por primera vez
por el matemaacutetico alemaacuten Leopold Loumlwenheim (1878-1957) en 1915 (Loumlwenheim 1915) y
mejorado por el noruego Albert Thoraf Skolem (1887-1963) en 1920 (Skolem 1920) un
sistema de reglas como las de la aritmeacutetica emulan cualquier campo del conocimiento que
pueda formalizarse seguacuten un conjunto de axiomas Como lo sentildealoacute Atkins se podriacutea haber
aligerado el tedio de aprender a extraer raiacuteces cuadradas y hacer largas divisiones si nos
hubieran dicho en el colegio que seguacuten el ldquoteorema de Loumlwenheim-Skolemrdquo en realidad se
estaba imitando el proceso de extraer conclusiones de la mecaacutenica cuaacutentica la seleccioacuten
natural y la jurisprudencia en la medida en que estas ramas del conocimiento pueden
expresarse como axiomas Dicho teorema puede enunciarse como sigue
Teorema ldquoToda teoriacutea basada en un lenguaje L de primer orden tiene un modelo numerablerdquo
En otros teacuterminos ldquotoda la teoriacutea satisfacible es satisfacible en un universo numerablerdquo
Demostracioacuten
Como consecuencia inmediata del corolario que dice ldquotoda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una
teoriacutea θ es un modelo de θ y de ser numerable el conjunto T de los teacuterminosrdquo En efecto para
demostrar que toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ es un modelo de θ basta
considerar lo siguiente o isin p rArr o(or ( ) hellip or ( q) q) isin p por la regla loacutegica de
sustitucioacuten simultaacutenea r
r(st utfrasl hellipsw)uw) que a su vez se obtiene por aplicacioacuten reiterada de la
ldquoregla de sustitucioacutenrdquo oo(x ) cuya derivacioacuten es
1 α (Hipoacutetesis) 2 and r (Regla de Generalizacioacuten) (1) 3 ((ℸo )(x ) rarror ℸo) (Axioma 4 (o(x ) rarror r) 4 (ℸo(x ) rarr ℸ and o) (3) 5 (and o rarr o(x )) (Regla primera de contraposicioacuten) (4) 6 o(x ) (Regla de separacioacuten) (2) (5)
73
Y por el teorema que dice ldquoPara toda teoriacutea θ el conjunto Fθ con la relacioacuten ltn es un aacutelgebra
de Boole Una clase |o| es el elemento supremo si y soacutelo si αisin θrdquo
Demostracioacuten
Como faacutecilmente puede comprobarse
a) La relacioacuten ltn es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva esto es relacioacuten de orden
b) El par Fθ αθ es un retiacuteculo
c) El retiacuteculo tiene como elemento supremo la clase de todas las foacutermulas de θ y como
elemento iacutenfimo la clase de todas las foacutermulas refutables en θ
d) El retiacuteculo es distributivo
e) El retiacuteculo es complementario
Lo que rArr |o(or ( ) hellip or ( q) q| =n 1
ldquoInterpretacioacuten Canoacutenicardquo Teorema de Skolem
Definicioacuten Sea θ una teoriacutea nabla un Q-filtro en A(θ) y hnabla el homomorfismo engendrado por nabla
Entonces se denominaraacute interpretacioacuten canoacutenica de la teoriacutea θ a toda interpretacioacuten Gnablan en el
conjunto T definida por
A) Gnablan (f
~)(τ hellip τ~) = f~τ hellip τ~ forall f
~ ϵ Φ
B) Gnablan (P
~)(τ hellip τ~) = ℎnabla (P
~τ hellip τ~) forall P~ ϵ π
Teorema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ y toda foacutermula α con las
variables libres x1 hellip xn se verifica que onabla(or) = ℎnabla(|o(or ( ) hellip or ( q) q)|)
Demostracioacuten
Lema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan todo teacutermino τ y toda valoracioacuten v se verifica que
xnabla(or) = x(or ( ) hellip or ( q) q)
donde x1 hellip xn son todas las variables que aparecen en x
74
En efecto
Si τ=x entonces xnabla(or) =or ( ) = x(or ( ) )
Si τ = f~ τ hellip τ~ entonces xnabla
(or) = Gnablan(f
~)(xnabla(or) hellip x5nabla
(or) porque x() =
G(f~(τ(v) hellip τ~ (v)) τ = f
~τ τ hellip τ~ entonces τ(v) = I(f~)(τ(v) hellip τ~ (v))
= f~ x
(or) hellip x5nabla(or) y por la hipoacutetesis de induccioacuten
= f~ x(or ( ) hellip or ( q q) hellip xq(or ( ) hellip or ( q) q
= x(or ( ) hellip or ( q)| q| QED
Ahora soacutelo falta para completar la demostracioacuten definir lo que es un filtro
Definicioacuten Un subconjunto no vaciacuteo nabla de un algebra de Boole A es un filtro si para elementos
cualesquiera a b isin A se verifica que X cap h isin nablahArr (X isin nabla h isin nabla)
Sea ahora h la aplicacioacuten canoacutenica de A en |nabla (el conjunto cociente engendrado por la
relacioacuten de equivalencia sobre A sim) que hace corresponder a cada elemento su clase de
equivalencia entonces se puede establecer el siguiente
Teorema La aplicacioacuten h es un homomorfismo respecto a las operaciones cup cap minus rarr es
decir
a) ℎ( cup ) = ℎ( ) cup ℎ()
b) ℎ( cap ) = ℎ( ) cap ℎ()
c) ℎ( ) = ℎ( )
d) ℎ( ⟶ ) = ℎ( ) ⟶ ℎ()
Para todo elemento xisinA se verifica que ℎ( ) = |1| hArr isin nabla
Demostracioacuten
A) Es consecuencia inmediata de
75
o) |X| cup |h| = |X cup h|
) |X| cap |h| = |X| cap h = X cup h = |X cap h|
) |X| = |X|
) |X| ^ |h| = |X| cup |h| = |X cup h| = |X ^ h|
B) ℎ( ) = |1| hArr | | = |1| hArr ~1 1 cup isin nabla y x cup 1 isin nabla hArr isin nabla 1 isin
nablahArr isinnabla
Finalmente sentildealar que esta demostracioacuten es una presentacioacuten ldquopropiardquo Estaacute basada soacutelo en
cuatro axiomas y dos reglas provenientes de Church (Church 1956) y Shoenfield (Shoenfield
1967) La presentacioacuten es una simplificacioacuten del trabajo de Prida (Prida 1973) que a su vez
mejora la prueba sobresaliente por su sencillez de Rasiowa y Sikorski (Rasiowa 1950) Dicho
trabajo sobre todo evita en la artificiosidad de deducciones formales haciendo uso
sistemaacutetico del teorema de deduccioacuten para obtener reglas derivadas Y su esquema
metodoloacutegico analiacutetico y retroductivo esto es deductivo hacia atraacutes viene dado en la figura
III1
Figura III1 Esquema retroductivo de la demostracioacuten del teorema de Loumlwenheim-Skolen
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO
DEFINICIOacuteN DE NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN
Seguacuten Cantor (Cantor 2006) los ldquonuacutemeros ordinalesrdquo son los tipos de orden de los conjuntos
bien ordenados Se dice que un conjunto X dotado con una relacioacuten R (reflexiva antisimeacutetrica
76
y transitiva) es un ldquobuen ordenrdquo o que el conjunto X estaacute ldquobien ordenadordquo si todo
subconjunto no vaciacuteo sub V tiene un miacutenimo Es decir se dice que X es el miacutenimo de sub V si
X isin y X forall isin Esto implica que el orden es total ya que dados dos elementos distintos
x e y la existencia de un miacutenimo del conjunto xy fuerza que uno de ellos sea anterior al otro
y por lo tanto que esteacuten relacionados Los nuacutemeros ordinales estaacuten asociados precisamente a
los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados De igual manera que los cardinales lo
estaacuten a la relacioacuten de equipotencia de conjuntos
Ahora bien hay que tener en cuidado con la afirmacioacuten de Cantor porque la clase de los
conjuntos bien ordenados no es un conjunto tampoco lo es la de los que tienen el mismo tipo
que un conjunto bien ordenado fijado de antemano lo que dariacutea lugar a otra versioacuten de la
paradoja de Russell de seguir por ese camino Sin embargo John von Neumann tuvo la genial
idea de definir los ordinales escogiendo adecuadamente un elemento en cada clase de
equivalencia como sigue Un conjunto α es un ldquonuacutemero ordinalrdquo o simplemente un ldquoordinalrdquo
si tiene las propiedades siguientes
1) Si isin α entonces sub α
2) ( isin α ) and ( isin α ) rArr ( = ) or ( isin ) or ( isin )
3) Si empty ne sub α entonces existe isin tal que cap ne empty
Obseacutervese que si en (3) (α) se toma A= α entonces
( isin ) and ( cap ne empty) rArr = empty
Luego todo ordinal x distinto del vaciacuteo contiene al vaciacuteo como elemento Janos von
Neumann entonces un jovencito de veinte antildeos preparaba su muy innovadora tesis
conteniendo un nuevo sistema axiomaacutetico para la teoriacutea de conjuntos distinto del de Ernst
Zermelo antiguo ayudante de Max Planck en Berliacuten (Zermelo 1908) En 1923 la seccioacuten
cientiacutefico matemaacutetica de las ldquoActa Litterarum ac Scientiarumrdquo de la Universidad Regia de
Fracisco Joseacute en Hungriacutea publicaba en alemaacuten su artiacuteculo ldquoSobre la introduccioacuten de los
nuacutemeros transfinitosrdquo (von Neumann 1923) La novedad del trabajo de von Neumann fue
establecer un modo de incorporar la idea cantoriana de los nuacutemeros ordinales directamente
sobre la uacutenica base de los axiomas de la teoriacutea de conjuntos En dicho artiacuteculo presentaba la
cuestioacuten al margen de sistemas axiomaacuteticos desde un punto de vista ldquoingenuordquo Sin embargo
era muy consciente de que la importancia del asunto estribaba en su aplicabilidad a dichos
sistemas tanto al de Zermelo-Fraenkel como al original sistema nuevo en el que entonces
trabajaba iquestCuaacutel era la idea clave
77
Cantor en su momento habiacutea llamado la atencioacuten sobre el hecho de que si se toma el 0
como primer nuacutemero de la serie de los ordinales cada ordinal representa el ldquotipo de ordenrdquo
del conjunto de los ordinales que le preceden α es el ordinal de U lt oZ considerado en su
orden natural de magnitud Por ejemplo w+1 es el ordinal de 1 2 3 hellip w Por otra parte
Zermelo habiacutea identificado los nuacutemeros naturales con los conjuntos empty UemptyZ aUemptyZbhellip
Evidentemente con esto no quiere decirse que el nuacutemero 1 es ldquorealmenterdquo el conjunto empty
idea que soacutelo cabriacutea calificar de tonteriacutea Lo que ocurre es que la operacioacuten X ^ UXZ tiene las
propiedades de la funcioacuten sucesor y por consiguiente ldquopuederdquo a los efectos del trabajo
axiomaacutetico identificarse con la funcioacuten sucesor
Pues bien considerando las dos ideas la de Cantor y la de Zermelo conjuntamente surge la
ingeniosa idea de von Neumann En efecto partiendo del ordinal 0 identificando ldquoa la
Zermelordquo con empty y considerando porque asiacute se decide que cada ordinal es el conjunto de
todos los que le preceden uno se ve llevado a la sucesioacuten
0 = empty
1 = UemptyZ
2 = Uempty UemptyZZ
3 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ
helliphelliphelliphellip
w = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ
w+1 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ hellip w
helliphelliphelliphelliphellip
La pequentildea modificacioacuten de von Neumann tiene efectos muy deseables dentro del artificioso
orden axiomaacutetico de las cosas los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien
ordenados siendo su relacioacuten ordenada la simple pertenencia conjuntista ∊ y cada ordinal α
es a su vez un conjunto bien ordenado de tipo α o sea un representante de toda una clase
de conjuntos Conviene antildeadir aquiacute y resaltar que los ordinales de von Neumann habiacutean sido
prefigurados ya unos antildeos antes por el propio Zermelo en trabajos de alrededor de 1915 que
quedaron ineacuteditos y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirimanoff en 1917 (Mirimanoff
1917) (Mirimanoff 1917-1944) A partir de ahiacute lo que se tiene ya no son los viejos nuacutemeros
ordinales de Cantor que eacuteste insistiacutea en concebir como ldquoconceptosrdquo bajo los que ldquocaenrdquo los
distintos tipos de conjuntos bien ordenados Ante lo que se estaacute ahora es frente a los
ldquoordinalesrdquo de la teoriacutea de conjuntos axiomaacutetica a menudo denominados en su honor
ordinales de von Neumann Eacutestos no son otra cosa que conjuntos cuya existencia viene
78
garantizada en cada caso por los axiomas de la teoriacutea especialmente adecuados para
representar al concepto de Cantor por las razones acabadas de indicar
Todo lo anterior lo explicitoacute el propio von Neumann en una carta fechada en Budapest a 15
de agosto de 1923 en la que informaba a Zermelo de las ideas que estaba desarrollando para
su tesis Bueno para ser precisos para una de las dos tesis doctorales que presentariacutea en 1925
La otra en el campo de la ingenieriacutea quiacutemica en la que se habiacutea graduado En ella despueacutes de
exponer el objeto de su trabajo que se basa en los ldquofundamentos de la teoriacutea de conjuntosrdquo de
Zermelo y sentildealar los puntos en los que se separa de eacutel indica los puntos que resultan
ldquonuevosrdquo siguientes
1 La teoriacutea de los nuacutemeros ordinales (parte dos capiacutetulo dos)
He logrado establecer los nuacutemeros ordinales sobre la uacutenica base de los axiomas
de la teoriacutea de conjuntos La idea baacutesica es la siguiente Cada nuacutemero ordinal es
el conjunto de todos los precedentes De modo que (poniendo 0 para el
conjunto vaciacuteo)
0 = 0
1 = 0
2 = 0 0
3 = 0 0 0 0
helliphelliphelliphellip
W = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
W+1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
helliphelliphelliphelliphellip
(Para los nuacutemeros positivos finitos la regla dice pues x+1 = x+x) Esta teoriacutea
tiene sentido tambieacuten dentro de la ldquoteoriacutea de conjuntos ingenuardquo (Tratada
ingenuamente apareceraacute pronto en la revista de la Universidad de
Szegedin)[hellip]
Los otros dos puntos que aquiacute no se explican completan la misiva
Por otra parte es faacutecil demostrar usando el ldquoaxiomardquo de pares que si x es un ordinal entonces
el conjunto cup U Z es tambieacuten un ordinal que seraacute designado por x+1 Por ejemplo el ordinal
0 es simplemente el conjunto vaciacuteo Oslash
0 = Oslash
79
1 = Oslash = 0
2 = Oslash Oslash = 01
3= Oslash OslashOslash Oslash = 012
n+1 = 012hellipn
En otras palabras cada ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a eacutel Tambieacuten en el
caso no finito
w = ℕ
w+1 = ℕℕ = ww
w+2 = ℕℕ ℕℕ = w w+1 hellip
De este modo aparecen los nuacutemeros ordinales en su versioacuten ordinal 1 (uno) primero 2(dos)
segundo 11(once) undeacutecimo 1999 (mil novecientos noventa y nueve) mileacutesimo
noningenteacutesimo nonageacutesimononohellip Mencioacuten aparte merece el cero del que se carece de una
denominacioacuten propiamente ordinal Se suele empezar a contar a partir del uno pero en
matemaacuteticas y tambieacuten en la cronologiacutea como puso de evidencia la poleacutemica sobre el antildeo de
inicio del nuevo milenio a veces resulta conveniente empezar contando por el cero Entonces
el cardinal del conjunto hay que obtenerlo sumando uno al uacuteltimo ordinal adjudicado a sus
elementos Esta carencia de un teacutermino apropiado para designar al ordinal cero es comuacuten a la
mayoriacutea de todos los idiomas Hubo un torero Rafael Guerra ldquoGuerritardquo quien preguntado
por el escalafoacuten de su profesioacuten respondioacute ldquodempueacutes de miacute naide y dempueacutes de naide el
Fuentesrdquo ldquoNaiderdquo o quizaacutes mejor ldquonaiderordquo podriacutea muy bien designar el cero ordinal en
espantildeol de acuerdo con la propuesta de Antonio Coacuterdoba (Coacuterdoba 2006)
El concepto de nuacutemero es el maacutes baacutesico y fundamental en el mundo de las ciencias y en
particular en el de la matemaacutetica Sin embargo una respuesta satisfactoria a lo que es un
nuacutemero soacutelo se alcanzoacute en 1884 por el fundador de la loacutegica matemaacutetica Gottlob Frege (Frege
1884) Dicha respuesta permanecioacute incoacutegnita hasta que Bertrand Russell en su intento de
fundamentar toda la matemaacutetica en teacuterminos del concepto de conjunto redescubrioacute el
concepto de nuacutemero Pero fue como acaba de verse von Neuman (von Neumann 1923)
quien propuso la tal vez maacutes maravillosa y simple construccioacuten de toda la matemaacutetica y de
las ciencias la definicioacuten de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos iexcliexcliexcla partir del
conjunto vaciacuteo En efecto von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean
obtenerse a partir del conjunto vaciacuteo en notacioacuten conjuntista Oslash mediante operaciones
mentales como sigue
80
Oslash =
1 = Oslash =
2 = Oslash 1 =
3 = 0 1 2 =
4 = 0 1 2 =
hellip
Esta construccioacuten muestra ademaacutes por queacute verbigracia 1 es menor que 2 o en general
porque dados los nuacutemeros a y b o altb o blta Este esquema tiene otras muchas propiedades
Sin embargo el uacutenico defecto del esquema es que es un artificio de construccioacuten y no dice queacute
es un nuacutemero excepto en teacuterminos de la construccioacuten Por ejemplo o Oslash es el conjunto
vaciacuteo 1 el conjunto constando del conjunto vaciacuteo 2 es el conjunto cuyos elementos son el
conjunto vaciacuteo y el conjunto constando del conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente Esto lleva a
que para entender el esquema habriacutea que remitirse al concepto integrado en eacutel a saber la
teoriacutea de conceptos de Frege Y ello deberiacutea explicar por queacute von Neumann eligioacute el conjunto
vaciacuteo para representar el cero
Esta construccioacuten estaacutendar de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos es elegante y
potente En efecto para llevarla a cabo se comienza con el conjunto vaciacuteo Oslash y se define el
nuacutemero natural n para que sea la cardinalidad del conjunto Sn(Oslash) siendo S(a) la funcioacuten
sucesor definida por S(a) = acupa para cada conjunto a denotando el superiacutendice la
composicioacuten repetida Expliacutecitamente
1) 0 = S0(Oslash) = Oslash
2) 1 = S1(Oslash) = Oslash
3) 2 = S2(Oslash) = OslashOslash
4) 3 = S3(Oslash) = OslashOslashOslash Oslash
5) 4 = S4(Oslash) = OslashOslashOslash OslashOslashOslashOslashOslash
hellip
Esta construccioacuten es
a) Elegante pues soacutelo usa tres siacutembolos literales a saber Oslash y e incluso con la simbologiacutea
de von Neumann se reduciriacutean a dos los corchetes Es decir es de lo maacutes simple y en
consecuencia como es suficientemente expresiva es elegante
81
b) Potente pues soacutelo usa la recursioacuten simple S(a) = acupa para construir infinitos nuacutemeros
Haacutegase ahora una disgresioacuten filosoacutefica-metafiacutesica de la construccioacuten loacutegico matemaacutetica de von
Neumann De los tres elementos de la construccioacuten Oslash estaacute definitivamente conectado con la
vaciedad y la ldquonadardquo una caracteriacutestica muy baacutesica del Universo Los otros dos siacutembolos los
corchetes de apertura ldquoldquo y cierre ldquordquo estaacuten a su vez a fin de cuentas conectados con las
propiedades de consciencia separacioacuten y clase En un sentido el primer paso de la creacioacuten
es la consciencia o el ldquoreconocimiento de la vasta vaciedad del espaciordquo Tan pronto como
esto sucede la vaciedad se ldquoseparardquo en ldquoalgordquo lo que ha percibido la vaciedad y la propia
vaciedad Tan pronto como se tienen dos cosas se crea un liacutemite el tercer elemento La
secuencia es asiacute
1) Vaciacuteo = Oslash = 0
2) Dios ldquoYo me percato de que existe el vaciacuteordquo (Oslash = 1)
3) Dios ldquoPor lo tanto todo lo que existe por ahora es el ldquoVaciacuteo y Yordquo (Oslash Oslash = 2)
Noacutetese sin embargo que la cardinalidad del conjunto Oslash Oslash = 2 no estaacute incluida en el
Universo de Dios (2 notin U01Z) por consiguiente ello implica una ldquoexistenciardquo separada de la
de 0 y 1 Esta existenciaconsciencia que corresponde a percibir 2 como un todo o si se
quiere la consciencia de que El 2 es ldquoEl Primogeacutenitordquo A continuacioacuten El ldquoPrimogeacutenitordquo
similarmente reivindica lo siguiente ldquoTodo lo que existe hasta ahora es el Vaciacuteo Dios y Yo
(Oslash Oslash Oslash Oslash = 3) Pero de nuevo iexclla cardinalidad del uacuteltimo no estaacute incluido en el
Universo previo Y lo mismo sucede con cada nueva cardinalidad De este modo una vez que
Dios finaliza el paso 3 anterior se produce una explosioacuten o por mejor decir una reaccioacuten en
cadena de existencias la cual genera la primera jerarquiacutea infinita en la existencia el primer Big
Bang iexclLa creacioacuten de los nuacutemeros naturales iexcliexcliexcl Extraordinario iexcliexcliexcl Fabuloso iexcliexcliexcl
Tremendo
A su vez los nuacutemeros naturales se percatan de que su existencia implica la existencia de los
negativos De este modo se crean los enteros Eacutestos a su vez se dan cuenta de que su
existencia implica la existencia de los racionales y asiacute sucesivamente se van creando los
irracionales luego los reales a continuacioacuten los complejos los quaterniones ldquooctonionesrdquo
ldquosedenionesrdquo espacios vectoriales campos aacutelgebras variedades etc Es decir se establece la
existencia de las matemaacuteticas y su reino es sobre el que se asientan los demaacutes reinos El resto
es historia En resumen de esta manera la construccioacuten total estaacute asiacute en uacuteltima instancia
relacionada a tres nuacutemeros 0 1 2 y por lo tanto a la base 3 y el nuacutemero 3 Por consiguiente
estos tres nuacutemeros o si se quiere el 1 2 3 forman el ldquoarquetipordquo sobre el que se basa la
82
realidad Es decir si se denomina V al vaciacuteo D a Dios y P al ldquoPrimogeacutenitordquo la secuencia
anterior se representa graacuteficamente mediante la figura III2
Figura III2 Nacimiento Secuencial de Todo a partir de VD=S(V) P=S(D) 3=S(P) 4=S(3) hellip
En suma von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean ser obtenidos por
emergencia en ingleacutes ldquobootstrapped outrdquo a partir del conjunto vaciacuteo mediante operaciones
mentales como sigue La mente observa el conjunto vaciacuteo El acto de observacioacuten de la mente
provoca la aparicioacuten de otro conjunto el conjunto de los conjuntos vaciacuteos El conjunto de los
conjuntos vaciacuteos obviamente no es vaciacuteo porque contiene una ldquono cosardquo el conjunto vaciacuteo
De este modo la mente genera el nuacutemero 1 al producir un conjunto conteniendo el conjunto
vaciacuteo Del hecho de que soacutelo dos cifras basten para representar todos los nuacutemeros en el
sistema binario Leibniz pretendioacute deducir la existencia de Dios Parafraseando al Geacutenesis y a
propoacutesito del Sistema binario del que se autoproclamoacute autor escribioacute ldquoEx nihilo unum omnia
ducitrdquo (Como se comentaraacute en los resultados y es otra ldquoaportacioacutenrdquo de este trabajo Leibniz
ldquofusiloacuterdquo inmisericorde a un espantildeol Caramuel) A continuacioacuten la mente percibe el conjunto
vaciacuteo y al conjunto que contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute hay dos ldquono cosasrdquo Con ello la mente
genera el nuacutemero 2 a partir del vaciacuteo y asiacute sucesivamente Con lo que es posible establecer lo
siguiente
A) Los nuacutemeros tienen causas Son eacutestas los algoritmos que efectuacutean las operaciones
sobre los conjuntos
83
B) Los nuacutemeros tienen partes y aspectos El nuacutemero 1 se define como el conjunto que
contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente
C) Y en el anaacutelisis final el sistema de nuacutemeros enteros ha sido generado por el fuego de
la mente sobre el vaciacuteo en la completa ausencia de la necesidad de referirse a cualquier
cosa material o cosas que estaacuten siendo contadas
Los nuacutemeros no son fenoacutemenos fiacutesicos y no necesitan hacer referencia alguna a sistemas
fiacutesicos para su existencia Pero siacute son entidades inherentemente existentes de la realidad
platoacutenica Los nuacutemeros son manifestaciones dependientemente relacionadas con el trabajo de
la mente
La irrazonable efectividad de las matemaacuteticas en la ciencia y en la ingenieriacutea era algo
misterioso De acuerdo con la visioacuten fisicalista del mundo la mente incluyendo las mentes de
los matemaacuteticos es un epifenoacutemeno de la materia que ha evolucionado uacutenicamente para
asegurar la supervivencia del gen egoiacutesta que la codifica iquestPor queacute deberiacutea este fenoacutemeno de
ldquoalto nivelrdquo tener tal acceso iacutentimo a fenoacutemenos de ldquobajo nivelrdquo tal como la fiacutesica cuaacutentica
Despueacutes de todo los dos niveles estaacuten seguacuten cabe suponer separados por meros bien
entendidos en algunos casos capas explicativas tales como psicologiacutea evolutiva neurologiacutea
biologiacutea celular geneacutetica biologiacutea molecular o quiacutemica
Un aspecto interesante del fenoacutemeno de la emergencia son las diferentes y distintas
relaciones causales y organizativas que aparecen en los diferentes niveles de investigacioacuten
Por ejemplo la ecologiacutea emerge de la biologiacutea eacutesta lo hace de la quiacutemica que a su vez
emerge de la fiacutesica que emerge de la matemaacutetica quien por uacuteltimo emerge de la mente
contemplando el conjunto vaciacuteo Cada nivel de investigacioacuten tiene sus propias relaciones
explicatorias sin embargo si se comprueba cuidadosamente no se antildeade nada extra
procedente de la parte de los objetos Todo es algoriacutetmicamente comprensible sin resto no
hay ingredientes misteriosos antildeadidos cuando se progresa desde los niveles bajos a los maacutes
altos
Si a esto se antildeade que de acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem toda teoriacutea basada
en un lenguaje L esto es toda teoriacutea axiomaacutetica y las teoriacuteas cientiacuteficas lo son tiene un
modelo numerable ya estaacute justificada la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre matemaacutetica y teoriacuteas
cientiacuteficas QED
84
Como corolario a lo que acaba de mostrarse y demostrarse es claro que Leopoldo Kronecker
(1823-1891) teniacutea parte de razoacuten cuando expresando su conviccioacuten dijo en el libro 2 de
ldquoJahresberichte der Deutschen Mathematiker Vercinigungrdquo y cita Florian Cajori (Cajori 1919)
Die ganze zahe schuf der liebe Gott alles Uumlbrige ist Menschenwerk En espantildeol Dios creoacute los
nuacutemeros enteros la humanidad hizo el resto Sin embargo visto lo anterior Kronecker
empezoacute en el tercer escaloacuten saltaacutendose la creacioacuten de los enteros a partir de los naturales y
eacutestos a partir del vaciacuteo
Y de este modo por decirlo con versos del escritor gallego Joseacute Aacutengel Valente (Valente 1999)
Y todas las cosas para llegar a ser se miran
En el vaciacuteo espejo de su nada
O estos otros (Valente 2000)
ldquoDijo Dios sea la Nada
Y alzoacute su mano derecha
Hasta ocultar la mirada
Y la nada quedo hechardquo
El poeta y matemaacutetico persa Omar Khayyam de los siglos XI y XII que resolvioacute por meacutetodos
geomeacutetricos la ecuacioacuten cuacutebica en poesiacutea con sus ldquoRubaacuteijaacutetrdquo (plural de ldquorobaiacuterdquo estrofa de
cuatro versos dodecasiacutelabos en la que libra el tercero y riman los otros tres) tan socorridos
en otros aacutembitos tambieacuten habla del vaciacuteo y la nada como sucede con el XXVI que dice
(Khayyam 1914)
ldquoEl mundo inabarcable una mota de polvo en el vaciacuteo
Toda la ciencia del hombre palabras
Los pueblos las bestias y las flores de los siete climas sombras
El fruto de tu constante meditacioacuten la nadardquo
O el XXXVIII
ldquoSuentildeo sobre la tierra Suentildeo bajo la tierra
Sobre la tierra y bajo la tierra cuerpos que yacen
Por doquier la nada Desierto de la nada
Seres que llegan seres que se vanrdquo
O este otro el CIII
ldquoEsta es la uacutenica certeza peones somos
85
De la misteriosa partida de ajedrez que juega Dios
Nos mueve nos detiene nos levanta y nos arroja despueacutes
Uno a uno al abismo de la Nadardquo
De un modo similar se refiere a la proposicioacuten de Emily Dickinson en forma de versos
ldquoYo no soy nadie
iquestQuieacuten eres tuacute
iquestTampoco eres nadie
iexclYa somos dos
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN
III31 INTRODUCCIOacuteN
El teacutermino ldquocurryingrdquo fue acuntildeado por Christopher Strachey en 1967 en honor del loacutegico y
matemaacutetico Haskell Brooks Curry nacido el 12 de septiembre de 1900 en Millis Massachusets
y fallecido en State College Pensilvania el 1 de Septiembre de 1982 Curry que estudioacute en la
Universidad de Harvard recibioacute su grado de Doctor en 1930 por la Universidad Goumltingen en
esa eacutepoca el ldquoVaticanordquo de la Matemaacutetica y cuyo director fue el Papa de la Matemaacutetica David
Hilbert Profesor en Harvard y Princeton de 1929 a 1966 tambieacuten lo fue de la Pensilvania State
University Finalmente a partir de 1966 fue profesor de matemaacuteticas en la Universidad van
Amsterdam Curry en 1942 publicoacute la paradoja de su nombre y en 1963 culminoacute sus
ensentildeanzas en el aacuterea de la loacutegica matemaacutetica con la publicacioacuten de su libro ldquoFoundations of
Mathematical Logicrdquo (Curry 1963) Sus preferencias en filosofiacutea de la matemaacutetica fue el
formalismo (Curry 1951) siguiendo a su mentor Hilbert sin embargo sus escritos muestran
una curiosidad filosoacutefica sustancial y una mente muy abierta hacia el intuicionismo La fama le
sobrevino por sus trabajos sobre loacutegica combinatoria (Curry 1958) (Curry 1972) donde
fundamenta la programacioacuten funcional En efecto durante su estancia en Goumlttingen leyoacute la
versioacuten publicada de una leccioacuten dada por Moiseacutes Schoumlnfinkel en 1920 en la que introduciacutea la
loacutegica combinatoria lo que constituyoacute un acontecimiento decisivo para su carrera Despueacutes de
esto trabajoacute en su tesis doctoral sobre programacioacuten loacutegica tema que no abandonoacute en todo
el resto de su vida y del que llegoacute a ser el fundador y maacutes conspicuo representante Pues bien
la loacutegica combinatoria es la base de la programacioacuten funcional El poder y alcance de la loacutegica
combinatoria es bastante similar al del ldquolambda calculusrdquo o ldquoλ-caacutelculordquo de Alonzo Church
(Church 1936) aunque eacuteste uacuteltimo ha tenido maacutes predicamento durante las uacuteltimas deacutecadas
86
Con todo la importancia final de la ldquoloacutegica-combinatoriardquo tal y como lo muestra este trabajo
auacuten estaacute por dilucidar Una visioacuten comprehensiva sobre la misma la proporciona el libro a eacutel
dedicado que incluye un ensayo bibliograacutefico sobre Curry (Seldin 1980) Con todo Curry tuvo
antecesores Frege y Schoumlfinkel
Frege en 1893 observoacute por primera vez que bastaba restringir la atencioacuten a funciones de un
solo argumento Por ejemplo para cualquier funcioacuten de dos paraacutemetros f(xy) hay una funcioacuten
de un paraacutemetro facute tal que facute(x) es una funcioacuten que puede aplicarse a y para dar
(facute(x))(y)=f(xy) Esto se corresponde al bien conocido hecho de que los conjuntos ( times C rarrN) y ( rarr (C rarr N)) son isomorfos donde x representa el producto cartesiano y ldquorarrrdquo es el
espacio de la funcioacuten En otros teacuterminos dada una funcioacuten f del tipo i(V times ]) rarr entonces
ldquocurryficarlardquo la convierte en una funcioacuten ldquocurryrdquo (i) V rarr (] rarr ) Es decir ldquocurryrdquo (i)
toma un argumento de tipo X y devuelve una funcioacuten del tipo YrarrZ Intuitivamente
ldquocurryficarrdquo dice ldquoSi se fijan algunos argumentos se obtiene una funcioacuten de los restantes
argumentosrdquo Por ejemplo si la funcioacuten ldquodivrdquo representa la forma ldquocurryficadardquo de la
operacioacuten divisioacuten xy entonces div con el paraacutemetro x fijado en 1 es otra funcioacuten la misma
que la funcioacuten ldquoinvrdquo que devuelve el inverso multiplicativo de su argumento definida por
ldquoinv(y)=1yrdquo La motivacioacuten praacutectica para la ldquocurryficacioacutenrdquo es que muy frecuentemente las
funciones obtenidas por proporcionar algunos pero no todos los argumentos a una funcioacuten
ldquocurryficadardquo es muy uacutetil La operacioacuten inversa de la ldquocurryficacioacutenrdquo se denomina poco
imaginativamente ldquodescurryficacioacutenrdquo y funciona como sigue dada la funcioacuten
ldquocurryficarrdquo sect(X h) rarr umlcopy rarr (X rarr h rarr uml)
La inversa es
ldquodescurryficarrdquo (X rarr h rarr uml) rarr ((X h) rarr uml)
Aparentemente Frege no continuoacute su idea original Pues fue Schoumlfinkel quien la retomoacute junto
con el resultado de que todas las funciones que tienen que tratar con estructuras de
funciones es decir los funcionales pueden construirse con soacutelo dos ldquocombinadoresrdquo baacutesicos
denominado K y S
Moses Schoumlnfinkel cuyo nombre real en ruso con caracteres latinos es Moisei Isaievich
Sheinfinkel nacioacute el 4 de septiembre de 1889 en Ekatenoslav hoy Dnipropetrovsk Ucrania y
fallecioacute en la eacutepoca tenebrosa del estalinismo en Moscuacute el antildeo 1942 sin que pueda precisarse
87
el diacutea Este loacutegico y matemaacutetico judiacuteo-ldquosovieacuteticordquo esto uacuteltimo ldquomalgreacute luirdquo estudioacute
matemaacuteticas con Samule Osipovich Shatunovskii (1859-1929) quien trabajaba en geometriacutea y
fundamentos de las matemaacuteticas De 1914 a 1924 trabajoacute en la Universidad de Goumlttingen con
el grupo de David Hilbert Justamente alliacute y en una conferencia que impartioacute en 1920
Schoumlnfinkel inventoacute la loacutegica combinatoria posteriormente desarrollada y llevada a su maacuteximo
esplendor por Haskell Brooks Curry Heinrich Behman revisoacute el texto de esta conferencia y la
publicoacute en 1924 Eacutel tambieacuten introdujo la operacioacuten hoy denominada ldquocurryficacioacutenrdquo en honor
de Curry (Schoumlnfinkel 1924) Schoumlfinkell no escribioacute nada maacutes sobre loacutegica combinatoria de
modo que el total desarrollo subsiguiente fue trabajo de otros especialmente Curry De
hecho salvo un artiacuteculo publicado con un disciacutepulo y colaborador de Hilbert Paul Bernays en
1929 no volvioacute a publicar nada despueacutes de que Stalin hubiera consolidado su satrapiacutea en
1929
En suma que la ldquocurryficacioacutenrdquo fue inventada por Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Moiseacutes
Schoumlnfinkell y desarrollada por Haskell Brooks Curry por eso algunos proponen que se
denomine ldquoSchoumlfinkelisationrdquo en espantildeol ldquoSchoumlfinkelizacioacutenrdquo La ldquocurryficacioacutenrdquo es una
teacutecnica que transforma una funcioacuten que tiene muacuteltiples argumentos en una funcioacuten que tiene
un solo argumento Los otros ha sido especificados por el ldquocurryrdquo Es decir el ldquocurringrdquo tiene
su origen en el estudio matemaacutetico de funciones
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN
III321 Introduccioacuten
Un lenguaje de programacioacuten funcional como es el caso de Miranda una marca registrada de
Research Software Ltd estaacute ldquocurryficadordquo Esto significa que se construyen objetos evaluados
con funciones en ingleacutes ldquofunction-valued objetsrdquo por aplicar parcialmente funciones
existentes antes que por usar expliacutecitamente expresiones lambda De hecho Miranda fue
desarrollado en 1985 por David Turner en la Universidad de Kent Posteriormente
emprendioacute en 1987 el disentildeo de un nuevo lenguaje funcional que recibioacute el nombre de
Haskell en honor del inventor de la ldquocurryficacioacutenrdquo Haskell B Curry Su desarrollo fue colectivo
mediante un comiteacute creado al efecto con ocasioacuten del congreso internacional sobre ldquoFuntional
Programming and Computer Architecture celebrado en Portland Oregon en 1987 En este
lenguaje curryficado cuando se escribe una definicioacuten tal como i ordf = hellip se interpreta
exactamente como una funcioacuten de maacutes alto-orden de justo un argumento x El resultado de
aplicar f a un argumento A1 puede escribirse como i que es otra funcioacuten de nuevo de un
88
solo argumento en este caso y El resultado de aplicar esta funcioacuten a un ulterior argumento
A2 es auacuten otra funcioacuten esta vez de un uacutenico argumento z Es decir una aplicacioacuten completa
de f se escribe como ilaquo cuya lectura correcta es (((i))laquo) Esta idea de tratar
una funcioacuten de n argumentos como una concatenacioacuten de n funciones de argumento uacutenico
recibe el nombre de ldquocurryficacioacutenrdquo en honor del matemaacutetico que lo propuso en informaacutetica
Curry (Curry 1958) Ahora bien para llegar ahiacute Curry tuvo que recorrer un largo camino cuyos
hitos maacutes importantes en los que intervienen personajes como Galileo Newton
LeibnizBernouille Frege Casteluovo Kolmogorov Schoumlnfinkel etc que se van a considerar
aunque sinteacuteticamente a continuacioacuten
III322 El Concepto de Funcioacuten De Galileo a Frege
Como lo sentildealoacute Morris Kline (Kline 1992) del estudio del movimiento realizado por Galileo
(1564-1642) obtuvieron las matemaacuteticas un concepto fundamental que fue central en
praacutecticamente todo el trabajo de los dos siglos siguientes el concepto de funcioacuten o relacioacuten
entre variables En efecto dicha nocioacuten se encuentra casi a lo largo de todo su libro ldquoDos
Nuevas Cienciasrdquo con el que se fundoacute la mecaacutenica moderna (Galilei1636) Muchas de las
funciones introducidas a lo largo del siglo XVII fueron estudiadas en primer lugar como curvas
Asiacute sucedioacute en los casos de Evangelista Torricelli (1608-1647) y Giles Persone de Roberval
(1602-1675) Sin embargo la distincioacuten maacutes expliacutecita del concepto de funcioacuten en el siglo XVII
fue dada por James Gregory (1638-1675) en su obra ldquoVera Circuli et Hyperbolae Quadraturardquo
de 1667 Alliacute y entonces Gregory definioacute una funcioacuten como ldquouna cantidad que se obtiene de
otras cantidades mediante un sucesioacuten de operaciones algebraicas o mediante otra operacioacuten
imaginable Con esto se referiacutea de paso al liacutemite Newton (1642-1727) desde 1665 en
adelante utilizoacute el teacutermino ldquofluentrdquo esto es ldquofluyenterdquo para representar cualquier relacioacuten
entre variables (Newton 1736) Sin embargo fue Leibniz quien en un manuscrito de 1673
utilizoacute por primera vez el teacutermino ldquofuncioacutenrdquo en este caso para significar cualquier cantidad
que variacutea de un punto a otro de una curva verbigracia la longitud de la tangente o de la
ordenada La curva misma se deciacutea dada mediante una ecuacioacuten Leibniz tambieacuten introdujo los
teacuterminos ldquoconstanterdquo ldquovariablerdquo y ldquoparaacutemetrordquo este uacuteltimo empleado en conexioacuten con una
familia de curvas (Leibniz 1673) Antildeos despueacutes 1697 Jean Bernouille tratando con funciones
hablaba de una cantidad formada de cualquier manera posible con variables y constantes Con
ldquocualquier manerardquo queriacutea decir mediante expresiones algebraicas y transcendentes Para
dicha cantidad en 1698 adoptoacute la frase de Leibniz ldquofuncioacuten de xrdquo Posteriormente en 1714
en su ldquoHistoriardquo Leibniz utilizoacute el teacutermino funcioacuten para significar cantidades que dependen de
una variable
89
No obstante seguacuten un eminente geoacutemetra italiano del pasado siglo Guido Casteluovo en su
obra ldquoLe Origini del Calcolo Infinitesimale nellrrsquoera Modernardquo de 1938 ya en 1604 el tambieacuten
matemaacutetico italiano Luca Valerio ya habiacutea propuesto un concepto operativo de lo que habiacutea
de ser un funcioacuten Es decir noventa antildeos antes que Leibniz Valerio en un estudio sobre un
trabajo de Arquiacutemedes habiacutea introducido ldquode factordquo la nocioacuten de una clase bastante general
de funciones continuas i( ) en un intervalo cerrado y acotado 0lexle1 Valerio en sus propias
palabras postula que la funcioacuten sea monoacutetonamente creciente desde un valor positivo para
x = 0 hasta el valor 0 para x = 1 sin que haya que suponer nada maacutes
En lo concerniente a la notacioacuten decir que Jean Bernouille escribiacutea Χ o ξ para un funcioacuten
general de x aunque en 1718 cambioacute a ϕx A Leibniz esto le parecioacute bien pero tambieacuten
propuso x1 y x2 para funciones de x utilizando el superiacutendice cuando se tratara con varias
funciones de x La notacioacuten actual fue introducida por Leonhad Euler (1707-1783) en 1734
El concepto de funcioacuten y su uso se extendioacute a partir de Euler a todos los campos de la ciencia
sin embargo poco se aclaroacute respecto a su significado y consecuentemente sus definiciones
cuando se las examinaba con rigor no teniacutean mucho sentido pese a que pareciacutea tenerlo y
ademaacutes no concordaban con el modo en que se las utilizaba A la pregunta iquestqueacute es una
funcioacuten hasta la llegada de Frege la respuesta maacutes comuacuten era responder como el
matemaacutetico alemaacuten Ernst Czuber lo siguiente Si cada valor de la variable numeacuterica x que es
un elemento del dominio de x estaacute unida por alguna relacioacuten fija a un cierto nuacutemero y
entonces generalmente y al igual que x cae bajo la definicioacuten de una variable y se dice que
y es una funcioacuten de la variable numeacuterica x La relacioacuten entre x e y se expresa por una ecuacioacuten
que tiene la forma y=f(x) Esta respuesta fue pronto ldquomasacradardquo por Frege quien era incisivo
en sus ataques maacutexime cuando la posicioacuten atacada era indefendible Eacutestas fueron sus
palabras En seguida cabe reparar en el hecho de que un cierto nuacutemero es denominado y
mientras que por otra parte al ser una variable tendriacutea que ser un nuacutemero indeterminado
Por lo tanto y no es ni un nuacutemero determinado ni tampoco un nuacutemero indeterminado pero se
coloca erroacuteneamente al signo y en conexioacuten con una clase de nuacutemeros el dominio de la
variable y y luego se continuacutea hablando como si hubiera soacutelo un nuacutemero en dicha clase Seriacutea
maacutes simple y maacutes claro decir ldquoCon cada nuacutemero de un dominio-x hay alguna relacioacuten fija por
lo cual ese nuacutemero estaacute unido a otro nuacutemero no necesariamente diferente La clave de todos
estos nuacutemeros resultantes seraacute llamado el dominio-yrdquo Con esto tenemos ciertamente un
dominio-y pero no tenemos ninguacuten y del cual pueda decirse que era una funcioacuten de la variable
numeacuterica x
90
Ahora bien la limitacioacuten del rango no parece tener nada que ver con la cuestioacuten de saber queacute
sea la funcioacuten en siacute iquestPor queacute no tomar como dominio a la clase de todos los nuacutemeros de la
aritmeacutetica o a la clase de todos los nuacutemeros complejos de los cuales la primera clase es una
parte El punto esencial de la cuestioacuten se encuentra en un lugar completamente distinto que
queda oculto a la vista por las palabras ldquoUnido por alguna relacioacuten fijardquo iquestCuaacutel es la prueba de
que el nuacutemero 5 estaacute unido por alguna relacioacuten fija del nuacutemero 4 La cuestioacuten no puede ser
respondida si de alguacuten modo no se la completa Con la explicacioacuten del sentildeor Czuber parece
como si para cualesquiera dos nuacutemeros se retomase desde un principio la decisioacuten de que el
primero estaacute o no unido al segundo por esa relacioacuten Afortunadamente Czuber continuacutea ldquoMi
definicioacuten no establece ninguna afirmacioacuten sobre la ley que controla la unioacuten por esa relacioacuten
esta ley estaacute expresada en su forma maacutes general por la letra f pero no hay liacutemite en cuanto al
nuacutemero de modos diferentes en que tal ley puede ser fijadardquo La unioacuten mediante una relacioacuten
tiene pues lugar de acuerdo con alguna ley y es posible mediante el ejercicio del
pensamiento que sean producidas diferentes leyes de este tipo Pero ahora la frase ldquoy es una
funcioacuten de xrdquo no tiene sentido es necesario que se la complete mediante la adicioacuten de la ley Es
eacuteste un error de la definicioacuten Y sin la menor duda la ley que no estaacute tenida en cuenta es esa
definicioacuten es verdaderamente la cuestioacuten principal Vemos ahora que lo que es variable
cambiante se ha disipado por completo y en su lugar ha cobrado presencia lo general y esto
es lo que buscaba con la palabra ldquoleyrdquo
Y esto que dice Frege se ha convertido en norma de la actual concepcioacuten de la idea de funcioacuten
Dicho esto una funcioacuten f es una regla referente a dos clases X e Y recibiendo X el nombre de
clase definitoria de f e Y el dominio de F y siendo producto de la regla de una clase de
agrupamientos ordenados (xy) donde x a la que se denomina el ldquovalorrdquo de f para x es
aquella seleccioacuten tomada de entre los elementos de Y que se efectuacutea de acuerdo con la regla
la clase de todas las selecciones y de Y recibe el nombre de clase de valores de f Por ejemplo
si la clase definitoria de f es la clase X de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip el dominio de f es esa
misma clase y f es la regla Adjuacutentese a todo elemento x de x su doble 2x entonces la clase de
agrupamientos ordenados producidos por esta regla tiene como elementos a (12) (24)
(36)hellip de modo que la clase de valores de f tiene a 2 4 6 hellip por elementos y asiacute por poner
otro ejemplo la clase definitoria de f1 es la clase X de todos los nuacutemeros -1 -2 -3 hellip el
dominio de f1 es la clase de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip y f1es la regla Adjuacutentese a todo
elemento x de X su cuadrado x2 entonces la clase de agrupamientos ordenados producida por
esta regla tiene por elementos a (-11) (-24) (-39) hellip y la clave de valores de f1 tiene por
elementos a 1 4 9hellip
91
Por ejemplo la expresioacuten ldquo2x2+1rdquo representa una funcioacuten de x que tiene el valor 3 para el
argumento 1 9 para el argumento 2 y asiacute sucesivamente Pero Frege extendioacute este anaacutelisis a
otras funciones que tomaban como argumentos objetos que no eran nuacutemeros De este modo
la proposicioacuten ldquoJulio Ceacutesar conquistoacute la Galiardquo podriacutea descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y la
expresioacuten funcional ldquohellipconquistoacute la Galiardquo Esta uacuteltima expresioacuten es ldquoinsaturadardquo y cuando se
rellena con un argumento produce una expresioacuten con sentido completo que es su ldquovalorrdquo
Pero la oracioacuten anterior tambieacuten puede descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y ldquoLa Galiardquo por un
lado y la expresioacuten funcional de dos argumentos ldquohellipconquistoacutehelliprdquo Hay pues expresiones
funcionales que se completan o se saturan por ldquoun solo argumentordquo ldquopropiedadesrdquo y por
ldquomaacutes de un argumentordquo ldquorelacionesrdquo cuya estructura gramatical oculta esta importante
diferencia esencial para dar cuenta de algunas inferencias Frege aplicoacute este anaacutelisis tanto a
las conectivas proposicionales como a las expresiones de generalidad Por ejemplo
consideacuterese la proposicioacuten ldquoTodos los hombres son mortalesrdquo Frege no la contempla como un
compuesto de una expresioacuten de sujeto ldquoTodos los hombresrdquo y otra de predicado ldquoson
mortalesrdquo sino como una ldquoexpresioacuten funcional compleja de un lugarrdquo Si x es hombre (Hx)
entonces x es mortal (Mx) que ldquosaturardquo el cuantificador universal una ldquofuncioacuten de segundo
nivelrdquo que se representariacutea ahora como _x(Hx_Mx) Del mismo modo ldquoAlgunos fiacutesicos son
cuaacutenticosrdquo se analiza como la expresioacuten funcional compleja de un lugar ldquoNo es cierto que si x
es fiacutesico (Fx) entonces x es cuaacutentico (x)rdquo que satura maacutes una funcioacuten de segundo nivel esto es
x_(Fx_Cx) o lo que es lo mismo _x(Fx_Cx) Una vez liberado de la ldquotiraniacutea que el lenguaje
comuacuten ejerce sobre el pensamiento humanordquo Frege incrementoacute exponencialmente el ldquopoder
expresivordquo de la loacutegica y fue capaz de formalizar de manera sistemaacutetica las proposiciones
esenciales en matemaacutetica que incluyen cuantificacioacuten muacuteltiple
El proyecto de reducir la matemaacutetica a la loacutegica el logicismo presentaba dificultades
instrumentales formidables Por una parte el lenguaje de la silogiacutestica aristoteacutelica teniacutea
ldquolimitacionesrdquo aparentemente insalvables Por otra seguacuten Frege el lenguaje comuacuten no ofreciacutea
garantiacuteas de seguridad para su tarea las ambiguumledades equiacutevocos y vaguedades que lo
aquejaban ldquoenmascarabanrdquo el ldquocontenido conceptualrdquo es decir el soporte de las inferencias
de las oraciones Para eacutel la ldquoConceptografiacuteardquo es un instrumento semejante al microscopio
que permite desnudar las expresiones linguumliacutesticas dejando a la vista los ldquocontenidos
conceptualesrdquo Para explicar ese enmascaramiento usoacute un arma que resultoacute ser muy
fructiacutefera se trata de la idea de que no debe darse por supuesto que las distinciones
gramaticales son siempre pertinentes desde el punto de vista loacutegico Asiacute en vez de analizar las
92
proposiciones como compuestas de sujeto y predicado al modo de los gramaacuteticos o de los
loacutegicos aristoteacutelicos propuso descomponerlas en ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo
Sin embargo los fundamentos semaacutenticos de la ldquoConceptografiacuteardquo estaban aquejados de casi
los mismos defectos que Frege imputaba a los matemaacuteticos de su eacutepoca confusioacuten
conceptual Argumentos y funciones son considerados por Frege como expresiones
linguumliacutesticas y los valores de eacutestas se identificaban unas veces con oraciones y otras con su
contenido conceptual En ldquoFuncioacuten y Conceptordquo intentoacute atajar ese desorden separando
niacutetidamente los ldquosignosrdquo esto es las ldquoexpresiones de argumentosrdquo y las ldquoexpresiones
funcionalesrdquo y lo que esos signos ldquosignificanrdquo objetos y funciones A su vez el valor de la
funcioacuten ldquox conquistoacute la Galiardquo es tambieacuten un objeto si bien un ldquoobjeto loacutegicordquo lo Verdadero
para el argumento Julio Ceacutesar y lo Falso para el argumento Caliacutegula Un concepto pasa a ser
una funcioacuten cuyo valor es siempre un valor de verdad por ejemplo la funcioacuten ldquox conquistoacute la
Galiardquo es un concepto pero no lo es la funcioacuten ldquola capital de xrdquo y las oraciones se consideran
como ldquonombres propiosrdquo de objetos loacutegicos valores de verdad A su vez las ldquoconectivas
loacutegicasrdquo son tambieacuten funciones que ponen en correspondencia valores de verdad con valores
de verdad verbigracia la negacioacuten pone en correspondencia un valor de verdad con su
contrario Los ldquocuantificadoresrdquo son de nuevo funciones de segundo nivel que ponen en
correspondencia conceptos simples o complejos con valores de verdad asiacute ldquoTodo es
materialrdquo (_xMx) pone en correspondencia Mx con lo Verdadero si y soacutelo si Mx nombra lo
Verdadero para todo argumento y con lo Falso si eacuteste no es el caso
Frege en el campo de la loacutegica propiamente dicha generalizoacute el uso de variables
cuantificadores y funciones proposicionales y al proporcionar una fundamentacioacuten axiomaacutetica
de la loacutegica introdujo muchas distinciones que posteriormente adquirieron mucha
importancia Por ejemplo La distincioacuten entre el enunciado de una proposicioacuten y la afirmacioacuten
de que es verdadera La distincioacuten entre un objeto x y el conjunto que contiene al elemento x
solamente y entre la pertenencia a un conjunto y la inclusioacuten Ademaacutes utilizoacute variables y
funciones proposicionales indicando la cuantificacioacuten de sus funciones proposicionales es
decir el dominio de la variable o variables para la que son verdaderas Tambieacuten introdujo en
1879 el concepto de implicacioacuten material A implica B significa que o bien A es verdadera y B
es verdadera o A es falsa y B verdadera o A es falsa y B es falsa Esta interpretacioacuten de la
implicacioacuten es la conveniente para la loacutegica matemaacutetica El punto deacutebil del trabajo de Frege lo
puso en evidencia Russell cuando le sentildealoacute las paradojas de la teoriacutea de conjuntos en los que
se basaba su trabajo
93
Pero Frege fue mucho maacutes allaacute En efecto todos los que habiacutean contribuido a construir la
loacutegica simboacutelica hasta ese momento George Boole (1815-1864) Augusto De Morgan (1806-
1877) Charles Sanders Pierce (1839-1914) Ernst Schroeder (1841-1902) William Hamilton
(1788-1856) William Stanley Jevons (1835-1932) etc estaban interesados principalmente en
la matematizacioacuten de la loacutegica Con la aparicioacuten de Gottlob Frege (1848-1925) la loacutegica
matemaacutetica da un giro copeacuternicano y lo que se pretende es la ldquologizacioacutenrdquo de la matemaacutetica
o mejor auacuten la fundamentacioacuten de la aritmeacutetica y por extensioacuten toda la matemaacutetica en la
loacutegica Frege en 1879 publicoacute su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo (Frege 1879) un libro breve pero
enormenmente innovador donde introduce un lenguaje formal y un caacutelculo loacutegico Consciente
de que todos los conectores loacutegicos andor rArr hellip son expresables a partir del condicional y la
negacioacuten y de que la cuantificacioacuten existencial puede expresarse mediante negaciones y
cuantificacioacuten universal opta por un lenguaje generado por negacioacuten condicional y
cuantificacioacuten universal Frege ostenta la prioridad frente a la escuela algebrista de la
predicacioacuten muacuteltiple y de la cuantificacioacuten Incluso permite la cuantificacioacuten de propiedades y
relaciones de modo y manera que presenta lo que actualmente se denomina la loacutegica de
segundo orden Una desventaja de su lenguaje formal estriba en que es bidimensional la
notacioacuten elegida para representar el condicional exige escribir de izquierda a derecha y de
arriba abajo de forma que una foacutermula puede ocupar faacutecilmente toda una paacutegina La otra
gran novedad de la aportacioacuten de Frege es que no se limita a presentar un lenguaje en el que
representar premisas y conclusiones de razonamientos sino que ademaacutes formula
expliacutecitamente un caacutelculo es decir un sistema de axiomas y reglas de inferencia mediante el
cual el proceso que conduce de las premisas a la conclusioacuten se descompone en una serie de
pasos elementales de cuya legitimidad no se puede dudar Y aunque Frege no pudo
demostrarlo actualmente se sabe que este caacutelculo es completo en lo que respecta a la loacutegica
proposicional y a la loacutegica de primer orden esto es no es necesario antildeadir ninguna nueva
regla ni ninguacuten axioma nuevo para dar cuenta de todos los argumentos vaacutelidos que se pueden
representar en esos lenguajes
Como ya se ha dicho Frege hizo una analogiacutea entre su lenguaje formal y el microscopio
afirmando que ambos deben usarse uacutenicamente para el anaacutelisis de minuacutesculos detalles que
pasan desapercibidos a simple vista Y del mismo modo que el microscopio no sustituye al ojo
sino que lo complementa el lenguaje loacutegico formal no sustituye ni elimina el lenguaje en el
que habitualmente se formulan los razonamientos La necesidad de un anaacutelisis fino es para
Frege especialmente acuciante en lo que respecta al lenguaje matemaacutetico La obra de Frege
se enmarca en la problemaacutetica de la fundamentacioacuten de la matemaacutetica y a este asunto dedicoacute
94
dos libros y otros trabajos Los libros son ldquoLos Fundamentos de la Aritmeacuteticardquo (Frege 1884) y
ldquoLas Leyes Fundamentales de la Aritmeacuteticardquo en dos voluacutemenes (Frege 1893) (Frege 1903) El
paso siguiente se centra en la definicioacuten de un nuacutemero cardinal que plasma en su trabajo de
1884 titulado ldquoFundamentos de la Aritmeacutetica un Ensayo Loacutegico-Matemaacutetico del Concepto de
Nuacutemerordquo Y por uacuteltimo coronando su labor los dos voluacutemenes de 1893 y 1903 de ldquoLas Leyes
Fiacutesicas de la Aritmeacuteticardquo Y en medio y al final ensayos de precisioacuten como ldquoFuncioacuten y
Conceptordquo ldquoSobre Sentido y Referenciardquo ldquoSobre Concepto y Objetordquo ldquoiquestQueacute es una funcioacutenrdquo
ldquoSobre la Loacutegica Matemaacuteticardquo ldquoInvestigaciones Loacutegicasrdquo en varias entregas Ensayos que
suelen reunirse bajo la etiqueta de ldquoescritos filosoacuteficos o loacutegico-semaacutenticosrdquo (Frege 1974) Es
ahora donde desarrolla sus maacutes importantes y famosas ideas loacutegico-filosoacuteficas y semaacutenticas
(Frege 1892) Frege es un logicista y como tal pretende reducir la matemaacutetica a la loacutegica De
hecho el proceso de fundamentacioacuten de la matemaacutetica ya estaba bastante avanzado La
geometriacutea se reduciacutea al anaacutelisis y eacuteste tras las sucesivas construcciones de los nuacutemeros
complejos a partir de los reales eacutestos de los racionales que a su vez se obteniacutean de los
enteros los cuales finalmente procediacutean de los naturales por su parte se reduciacutea a la
aritmeacutetica Finalmente quedaba pendiente a partir de que Richard Dedekind y Giuseppe
Peano habiacutean aislado los principios que axiomatizaban la aritmeacutetica la justificacioacuten de esos
principios a partir de leyes loacutegicas Para ello necesitaban el lenguaje y el caacutelculo presentados
en la ldquoConceptografiacuteardquo
Admitiendo a partir de 1872 que todos los conceptos de la matemaacutetica pueden reducirse a
los de la aritmeacutetica y los de eacutesta a los nuacutemeros naturales Frege adoptoacute sobre siacute la tarea de
derivar estos uacuteltimos por medios estrictamente loacutegicos Con ello lograriacutea establecer que toda
la matemaacutetica es reducible a la loacutegica Para lo cual se propone dos objetivos
1) Precisar que entiende por loacutegica y enumerar los conceptos loacutegicos con los que definir los
auteacutenticos
2) Demostrar que los teoremas aritmeacuteticos son derivables de los principios loacutegicos
mediante el uacutenico proceso vaacutelido la deduccioacuten Esto obliga a especificar cuaacuteles son los
primeros principios loacutegicos y cuaacuteles son las reglas de inferencia
A la vista de estos objetivos Frege daraacute un primer paso construir una loacutegica que le sea vaacutelida
para su propoacutesito una loacutegica del pensamiento puro alejada de la influencia de la gramaacutetica y
del lenguaje habitual Este primer paso es el que se contiene en su obra ldquoConceptografiacutea un
lenguaje de Foacutermulas para el Pensamiento Puro Modelado en el Lenguaje de la Aritmeacuteticardquo Es
eacuteste el primer tratado sistemaacutetico de la loacutegica matemaacutetica No es ni pretende ser un mero
95
simbolismo del lenguaje ordinario o un caacutelculo sino como dice su tiacutetulo una conceptografiacutea
que permite la traduccioacuten a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos
simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especiacuteficas Es un simbolismo apto
para expresar el pensamiento puro Sentildeala Frege en el prefacio de su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo
que existen dos tipos de juicios los analiacuteticos y los sinteacuteticos Hasta aquiacute ldquoInmanuel Kant dixitrdquo
Pero Frege estima frente a Kant que los aritmeacuteticos son juicios analiacuteticos entendiendo por
tales los que pueden derivarse en forma estrictamente loacutegica de las definiciones No se tiene
en cuenta aquiacute el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad Explica a continuacioacuten que
la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesioacuten al de
consecuencia loacutegica para proceder a partir de ahiacute al concepto de nuacutemero Para realizar esta
tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado y no soacutelo para esta labor Por eso una
actividad importante es la de liberar el espiacuteritu humano de los errores que en cuanto al
concepto presenta el lenguaje ordinario En particular debe eliminarse la confusa
terminologiacutea entre ldquosujetordquo y ldquopredicadordquo en beneficio de ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo Y esto es
transcendental para esta tesis
Para conseguir sus fines dedicoacute su atencioacuten y esfuerzo a construir un lenguaje de foacutermulas a
semejanza del aritmeacutetico pero que permitiera un anaacutelisis loacutegico del razonamiento
matemaacutetico del pensamiento puro Maacutes auacuten aplicado en particular en su obra a la aritmeacutetica
es posible generalizarlo tanto a la geometriacutea como a la fiacutesica y en general a cualquier ciencia
La ldquoConceptografiacuteahelliprdquo debe permitir pues por un lado el que sea un caacutelculo loacutegico al estilo
del ldquoCaacutelculo Ratiotinadorrdquo maacutes auacuten una ldquoLingua Characteristicardquo preconizada por Leibniz
pero tambieacuten que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que el signo es
inseparable pero consecuente al contenido que representa Para Frege y esto hay que
subrayarlo lo primero es el concepto lo segundo el signo con el cual se representa ese
concepto Para Frege el hombre no crea los conceptos los aprende el hombre no crea
sistemas matemaacuteticos sino que eacutestos preexisten conceptualmente al mismo Es decir los
contenidos conceptuales puros son independientes a que el hombre los perciba imagine o
piense En loacutegica y matemaacuteticas lo que importa es el pensamiento puro no la geacutenesis del
mismo
Para la presentacioacuten de su sistema Frege eligioacute tal y como se muestra en la figura III3 un
total de nueve axiomas que junto a las cuatro reglas implican que dicho sistema de axiomas
es completo en el sentido de completud de sistemas formales posterior para la loacutegica de
predicados La eleccioacuten estaacute presidida por el uso de cada una de las cuatro primitivas loacutegicas
96
Figura III3 Sistema de Frege
Como se ve en la figura III3 en el apartado (α) se dan los axiomas que Frege establece con
su numeracioacuten a la derecha simbolizados en notacioacuten no fregeana a la izquierda Junto a las
reglas de separacioacuten o ldquoModus Ponensrdquo y la sustitucioacuten estos axiomas constituyen un sistema
completo para el caacutelculo proposicional En (β) se dan los axiomas de identidad y en (γ) el de
cuantificacioacuten
Frege para poder establecer la nueva constante loacutegica de generalidad la cuantificacioacuten pasa
a elaborar lo que considera uno de los hallazgos fundamentales el de funcioacuten concepto que
adopta del quehacer matemaacutetico asiacute como la notacioacuten empleada pero que estima de un
caraacutecter maacutes general Frege no analiza una proposicioacuten en teacuterminos de sujeto y predicado
sino en argumento y funcioacuten Sea verbigracia una expresioacuten como ldquoPepe come hierbardquo Si en
lugar de ldquoPeperdquo se pone ldquoPacordquo la expresioacuten seguiraacute siendo vaacutelida Se puede pues
97
reemplazar el teacutermino ldquoPeperdquo por otros teacuterminos o con generalidad por un lugar vaciacuteo ldquo( )
como hierbardquo y ello de tal manera que al cubrir ese espacio vaciacuteo por un teacutermino conveniente
se tenga la expresioacuten completa que podraacute o no ser judicable Y lo seraacute cuando el teacutermino sea
conveniente en cuyo caso dicho teacutermino poseeraacute la propiedad de comer hierba Todos
aquellos teacuterminos que permitan cubrir el espacio vaciacuteo constituiraacuten ldquoargumentosrdquo mientras
que la propiedad que los mismos poseen la de ldquocomer hierbardquo constituye la ldquofuncioacutenrdquo para
tales argumentos Si ahora se toma la expresioacuten ldquoPepe ama a Mariacuteardquo en lugar de ldquoPeperdquo y
ldquoMariacuteardquo pueden colocarse otros teacuterminos por argumentos por lo que la expresioacuten general
tendriacutea dos espacios vaciacuteos ldquo( ) ama a ( )rdquo y la funcioacuten ldquoama ardquo seraacute una funcioacuten de dos
argumentos como ldquo( ) es menor que ( )rdquo El proceso puede continuar generalizaacutendose para
obtener funciones pluriargumentales Los espacios vaciacuteos se representan por letras entre
pareacutentesis como indeterminadas mientras que la propia funcioacuten por la letra ϕ Por ejemplo
ϕ(A) para la funcioacuten de un argumento y ϕ(AB) para la de dos Si al reemplazar
ldquoconvenientementerdquo la(s) letra(s) entre pareacutentesis resulta que el contenido obtenido es capaz
de convertirse en un juicio o asercioacuten entonces es que el argumento satisface la funcioacuten esto
es posee la propiedad determinada por la misma Asiacute ldquo⊢ϕ(AB)rdquo puede leerse como ldquoB estaacute
en la relacioacuten ϕ con Ardquo Si en una funcioacuten de dos argumentos se intercambian entre siacute puede
no tenerse una asercioacuten y de tenerse puede no coincidir con el original
Figura III4 Primeras siete foacutermulas demostradas por Frege en su Conceptografiacutea
98
Frege consideroacute tal y como se muestra en la figura III4 cuatro reglas la expliacutecita del ldquomodus
ponensrdquo y la impliacutecita de ldquosustitucioacutenrdquo simultaacutenea de variables proposicionales Y otras dos
para el caacutelculo de predicados La tercera es el paso de la expresioacuten de la generalidad sin
cuantificar a la expresioacuten en cuantificador es la que hoy se denomina ldquoregla de
generalizacioacutenrdquo La cuarta regla la enuncioacute Frege como sigue ldquoEs claro tambieacuten que del
esquema de la figura III5 puede derivarse el esquema de la figura III6
Figura III5 Esquema inicial de la cuarta regla de Frege
Figura III6 Esquema final de la cuarta regla de Frege
Si A es una expresioacuten en la que no ocurre y si A ocupa uacutenicamente posiciones en los lugares
de argumento ϕrdquo Salvo el ldquomodus ponensrdquo las otras tres reglas no estaacuten establecidas como
modos de inferencia pero las mismas se justifican por medio exclusivo en cuanto al uso
simboacutelico Estas reglas unidas a los seis axiomas tres es decir el (1) (2) y (8) para la
condicionalidad a los que hay que antildeadir la negacioacuten (28) y los que regulan ambos
conectivos dados por (31) y (41) regulan el caacutelculo proposicional Si a eacutestas se antildeaden dos
leyes maacutes para la identidad de contenido (52) y (54) siendo esta uacuteltima la ley reflexiva de
identidad mientras que la anterior expresa la ley de sustitucioacuten de la identidad Es una
expresioacuten que manifiesta el caraacutecter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se
pueden reemplazar dos variables de individuo entre siacute en cualquier contexto sin variar el valor
veritativo de las expresiones en que se intercambian Es decir todo lo que se predique de un
siacutembolo de un argumento tiene que predicarse del siacutembolo del argumento al que sea
ideacutentico Por uacuteltimo Frege agregoacute una foacutermula para regular la cuantificacioacuten que constituye su
foacutermula (58) De esta forma se permite excindir su sistema de varias capas que van
superponieacutendose caacutelculo implicacional y afirmativo caacutelculo proposicional caacutelculo de
predicados y loacutegica de primer orden Este sistema es completo pero como lo demostroacute
Lukasiewiz en 1930 la tercera ley de condicionalidad es consecuencia de las dos primeras Por
tanto el sistema proposicional puede reducirse a soacutelo tres axiomas siendo los dos primeros
99
los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma ⊢(ararrb)rarr(-brarr-a) escrito claro estaacute
en notacioacuten moderna
III333 Los Programas como Funciones
Los programas e incluso las partes de los programas son funciones que transforman las
entradas en salidas de modo que cualquier programa puede considerarse como una funcioacuten
definida por el procedimiento que la ejecuta Por lo tanto los programas son funciones que
afectan al estado del sistema Y esto se produce por la sencilla razoacuten de que las sentencias
ejecutables operan sobre las variables y de esta manera cambian el estado En general toda
sentencia ejecutable cambia el estado inicial de la sentencia esto es el estado anterior a su
ejecucioacuten hasta otro estado el siguiente Cuando este siguiente estado es el mismo que el
anterior la sentencia no tiene efecto y es redundante Naturalmente los ldquosegmentos de
coacutedigordquo de un programa o sea cualquier sentencia o grupo de sentencias que afecten al
estado expresan ldquofunciones parcialesrdquo en el sentido de que para cada estado inicial existe
como maacuteximo un estado final No todos los estados iniciales pueden ser manipulados por
todos los segmentos de coacutedigo Por ejemplo la sentencia 1x no puede tratarse si x=0 Sin
embargo si el estado inicial puede ser tratado por el segmento de coacutedigo y si el segmento de
coacutedigo no tropieza con un bucle infinito entonces el estado inicial es determinista Si hay dos
segmentos de coacutedigo A y B que se ejecuten en sucesioacuten el resultado se denomina
ldquoconcatenacioacutenrdquo de A y B En realidad la ldquoconcatenacioacutenrdquo es una composicioacuten de funciones
En efecto sea x el estado inicial de la concatenacioacuten AB esto es el estado antes de ejecutar
A Por definicioacuten el estado despueacutes de haber ejecutado A es A(x) y eacuteste es el estado antes de
ejecutar B Dado que B(y) es el estado final de B dado el estado final y y puesto que es y =
A(x) esto significa que el estado final AB es B(A(x)) De este modo AB = BA
Cuando una funcioacuten f(x) se utiliza estrictamente para definir la imagen correspondiente al
argumento x que es un solo valor se usa la notacioacuten del ldquoλ-caacutelculordquo o ldquocaacutelculo lambdardquo
Teacutecnicamente pues las funciones expresadas en ldquoλ-caacutelculordquo soacutelo pueden tener un argumento
Por consiguiente para traducir una funcioacuten de varias variables o argumentos al ldquoλ-caacutelculordquo se
crean funciones en las cuales el rango consta de funciones Por ejemplo consideacuterese la
expresioacuten x2+y Para cada y dada se puede utilizar esta expresioacuten para encontrar una funcioacuten
para x o sea λx (x2+y) Por consiguiente se puede considerar la nueva funcioacuten i =
U( reg ( + ))Z que tiene un uacutenico argumento y y la imagen para una y dada es
reg ( + ) Asiacute cuando aparecen funciones de dos argumentos del tipo i ( times ) ^ ] se
100
modelan en el ldquoλ-caacutelculordquo como una funcioacuten de X1 en el rango X2rarrY es decir tales funciones
tienen el tipo
i V ^ (V ^ ])
Esta transformacioacuten puede faacutecilmente extenderse a funciones de n argumentos Con lo que
definitivamente se estaacute tratando con funcionales o funciones de funciones de funciones y asiacute
sucesivamente
III4LOacuteGICA COMBINATORIA
La loacutegica combinatoria fue originalmente propuesta como una ldquopreloacutegicardquo que deberiacutea clarificar
el papel de las variables cuantificadas en loacutegica esencialmente por eliminarlas Otra forma de
eliminar las variables cuantificadas es la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo de Quine (Quine
1960) En tanto que el poder expresivo de la loacutegica combinatoria tiacutepicamente excede al de la
loacutegica de primer orden el poder expresivo de la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo es ideacutentico al
de la loacutegica de predicados La ldquoloacutegica combinatoriardquo trata pues de eliminar la necesidad de
variables en loacutegica matemaacutetica Maacutes recientemente se ha utilizado en CS como un modelo
teoacuterico de computacioacuten y sobre todo como la base para el disentildeo de lenguajes de
programacioacuten funcional Estaacute basada en ldquocombinadoresrdquo Un combinador es un funcioacuten de alto
orden o grado que por definir un resultado a partir de sus argumentos uacutenicamente usa la
aplicacioacuten de funciones y combinadores definidos previamente
En CS la loacutegica combinatoria se usa como un modelo simplificado de computacioacuten utilizado en
teoriacutea de la computabilidad y teoriacutea de prueba A pesar de su simplicidad la loacutegica combinatoria
captura muchas caracteriacutesticas esenciales de la computacioacuten La ldquoloacutegica combinatoriardquo puede
verse como una variante del ldquolambda caacutelculordquo en el cual las expresiones lambda representando
abstracciones funcionales se reemplazan por un conjunto limitado de ldquocombinadoresrdquo
funciones primitivas de las cuales estaacuten ausentes las variables libres Es faacutecil transformar
expresiones en expresiones de combinadores y la reduccioacuten de un combinador es mucho maacutes
simple que la reduccioacuten lambda Por consiguiente se ha usado la ldquoloacutegica combinatoriardquo para
modelizar algunos lenguajes de programacioacuten funcional y hardware La forma maacutes pura de esta
visioacuten es el lenguaje de programacioacuten de intereacutes teoacuterico ldquoUnlambdardquo cuyas uacutenicas primitivas son
los combinadores S y K aumentado con caracteres de entradasalida
101
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo
La loacutegica combinatoria es un modelo de computacioacuten equivalente al caacutelculo lambda (Church
1936) pero sin la abstraccioacuten La ventaja de esto es que evaluar expresiones en el caacutelculo
lambda es bastante complicado debido a que debe especificarse la semaacutentica de la
sustitucioacuten con mucho cuidado para evitar problemas de captura de variables Por el
contrario la evaluacioacuten de expresiones en la loacutegica combinatoria es mucho maacutes sencilla pues
no existe la nocioacuten de sustitucioacuten sin perder la potencia computacional del lambda-caacutelculo
Como se sabe el lambda caacutelculo es computacionalmente equivalente en poder a muchos
modelos posibles de computacioacuten incluida la maacutequina de Turing o las funciones recursivas
Es decir cualquier caacutelculo que pueda realizarse en cualquiera de esos otros modelos puede
expresarse en el caacutelculo lambda y viceversa Como de acuerdo con la tesis Church-Turing
(Copeland 1996) el caacutelculo lambda puede expresar cualquier posible computacioacuten la loacutegica
combinatoria tambieacuten Y si es tal vez sorprendente este hecho de que el lambda caacutelculo
pueda representar cualquier combinacioacuten posible usando soacutelo las nociones simples de
funcioacuten de abstraccioacuten y aplicacioacuten basaacutendose en la sencilla sustitucioacuten textual de teacuterminos
por variables maacutes notable resulta auacuten que incluso no es necesaria la abstraccioacuten como se ve
en la loacutegica combinatoria
En efecto el caacutelculo lambda estaacute concernido con objetos denominados ldquoteacuterminos lambdardquo
que son cadenas de siacutembolos de uno de los tipos siguientes
a) v
b) λvE1
c) (E1 E2)
Siendo V es un nombre de variable derivado a partir de un conjunto infinito predefinido de
nombres de variables y E1 y E2 son ldquoteacuterminos lambdardquo Finalmente los teacuterminos de la forma
(b) o sea λvE1 se denominan ldquoabstraccionesrdquo La variable v se llama paraacutemetro formal de la
abstraccioacuten y E1 el ldquocuerpordquo de dicha abstraccioacuten El teacutermino λvE1 representa la funcioacuten que
aplicada a un argumento liga el paraacutemetro formal v al argumento y luego computa el valor
resultante de E1 esto es retorna E1 con cada toda ocurrencia de v reemplazada por el
argumento Los teacuterminos de la forma (c) o sea (E1 E2) se denominan ldquoaplicacionesrdquo que
modelan la llamada invocacioacuten o ejecucioacuten a la funcioacuten la funcioacuten representada por E1 es
invocada con E2 como su argumento y el resultado es computado Si E1 a veces llamado el
ldquoaplicandordquo es una abstraccioacuten el teacutermino puede ldquoreducirserdquo es decir el argumento puede
sustituirse en el cuerpo de E1 en lugar del paraacutemetro formal de E1 y el resultado es un nuevo
102
teacutermino lambda que es ldquoequivalenterdquo a la vieja Si un teacutermino lambda no contiene
subteacuterminos de la forma (λvE1E2) que no puede reducirse se dice que estaacute en forma normal
La expresioacuten Ev ≔ a representa el resultado de tomar el teacutermino E y reemplazar todas las
ocurrencias libres de v con a Asiacute se escribe (λv Ea) rArr Ev ≔ a Por convencioacuten se toma
(abcdhellipz) por ((((ab)c)d)hellipz) es decir una aplicacioacuten asociativa por la izquierda El motivo de
esta definicioacuten de ldquoreduccioacutenrdquo es que captura el comportamiento esencial de todas las
funciones matemaacuteticas Por ejemplo consideacuterese la funcioacuten que computa el cuadrado de un
nuacutemero Se puede escribir El cuadrado de 3 es 33 usando ldquordquo para indicar la multiplicacioacuten
y siendo x el paraacutemetro formal de la funcioacuten para evaluar el cuadrado para un argumento
particular en este caso 3 se lo inserta en la funcioacuten en lugar del paraacutemetro formal de modo
que queda el cuadrado de 3 es 33 Para evaluar la expresioacuten resultante 33 hay que
recurrir al conocimiento que se tiene de la multiplicacioacuten y del nuacutemero 3 Ya que cualquier
computacioacuten es simplemente una composicioacuten de la evaluacioacuten de funciones deseables sobre
argumentos primitivos deseables Este sencillo principio de sustitucioacuten basta para capturar el
mecanismo esencial de la computacioacuten Maacutes auacuten en el caacutelculo lambda nociones tales como
ldquo3rdquo y ldquordquo pueden representarse sin necesidad alguna de definir externamente operadores
primitivos o constantes Es posible identificar teacuterminos en el ldquolambda-caacutelculordquo que cuando
se interpretan adecuadamente se comportan como el nuacutemero 3 y como el operador
multiplicador
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO
Dado que la abstraccioacuten es la uacutenica manera de fabricar funciones en el ldquocaacutelculo lambdardquo
algo debe reemplazarlo en el caacutelculo combinatorio En lugar de la abstraccioacuten el caacutelculo
combinatorio proporciona un conjunto limitado de funciones primitivas a partir de las cuales
pueden construirse otras funciones Los elementos del caacutelculo combinatorio son
A) Teacuterminos combinatorios Un teacutermino combinatorio tiene una de las siguientes
formas
a)
b) T
c) (ltlt)
Donde x es una variable P una de las funciones primitivas y (EE) es la aplicacioacuten
de los teacuterminos combinatorios E1 y E2 Las funciones primitivas son ellas mismas
ldquocombinadoresrdquo o funciones que cuando se ven como teacuterminos lambda no
103
contienen variables libres Para acortar las notaciones una convencioacuten general es
que (E1E2E3hellipEn) o incluso E1E2E3hellipEn denota el teacutermino (hellip((E1E2)E3)hellipEn) Eacutesta es la
misma convencioacuten general que la aplicacioacuten muacuteltiple en el ldquolambda caacutelculordquo En
loacutegica combinatoria cada ldquocombinadorrdquo primitivo viene con una regla de reduccioacuten
de la forma (Px1hellipxn)=E donde E es un teacutermino mencionando soacutelo variables del
conjunto x1hellipxn Es justamente de esta manera como los ldquocombinadoresrdquo primitivos
se comportan como funciones
B) Combinadores I K y S
El ejemplo maacutes sencillo de ldquocombinadorrdquo es el ldquocombinadorrdquo identidad I definido
por (Ix) = x para todos los teacuterminos x Otro ldquocombinadorrdquo simple es K que fabrica
funciones constantes (Kx) es la funcioacuten que para cualquier argumento devuelve x
asiacute para ((Kx)y) = x para todos los teacuterminos x e y O siguiendo la convencioacuten de
aplicacioacuten muacuteltiple (Kxy) = x Un tercer combinador es S que es una versioacuten
generalizada de la aplicacioacuten (Sxyz) = (xz(yz)) S aplica x a y despueacutes de primero
sustituir z en cada uno de ellos En otros teacuterminos x se aplica a y dentro del entorno
z Ahora bien dados S y K el propio I es superfluo ya que puede construirse a partir
de ellos como sigue
((SKK)x)
=(SKKx)
=(Kx(Kx))
=x
para cualquier teacutermino x Noteacutese que aunque (SKK)x = (Ix) para cualquier x el propio
(SKK) no es igual a I Se dice que los teacuterminos son extensionalmente equivalentes La
igualdad extensional captura la nocioacuten matemaacutetica de la igualdad de funciones que
dice dos funciones son ldquoigualesrdquo si siempre producen los mismos resultados para los
mismos argumentos Por el contrario los propios teacuterminos junto con la reduccioacuten
de ldquocombinadoresrdquo primitivos captura la nocioacuten de ldquoigualdad intensionalrdquo de
funciones Aquiacute dos funciones son ldquoigualesrdquo soacutelo si tienen ideacutenticas
implementaciones respecto a la expansioacuten de ldquocombinadoresrdquo primitivos cuando
eacutestos se aplican a bastantes argumentos Hay muchas formas de implementar una
funcioacuten identidad (SKK) e I estaacuten entre ellas (SKS) es tambieacuten otra Se usaraacute la
palabra ldquoequivalenterdquo para indicar la igualdad extensional reservando ldquoigualrdquo para
104
teacuterminos combinatorios ideacutenticos Otro ldquocombinadorrdquo muy interesante es el Y o
ldquocombinadorrdquo de punto fijo que puede usarse para implementar la ldquorecursioacutenrdquo
C) Transformacioacuten T Conversioacuten de teacuterminos λambda en combinadores
Es ldquoprima facierdquo al menos sorpendente el hecho de que S y K puedan componerse
para producir ldquocombinadoresrdquo que son extensionalmente iguales a ldquocualquierrdquo
teacutermino lambda y por lo tanto por la tesis de Church-Turing a cualquier funcioacuten
computable Para probarlo se va a presentar una transformacioacuten T[ ] que convierte
un teacutermino lambda arbitrario en un ldquocombinadorrdquo equivalente T[ ] puede definirse
como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1] T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2])
Este proceso tambieacuten se conoce como ldquoeliminacioacuten de la abstraccioacutenrdquo Ahora hay
que convertir un teacutermino lambda en un teacutermino ldquocombinatoriordquo equivalente Por
ejemplo convertir el teacutermino lambda λxλy(yx) en un combinador
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]] (por 5)
= T[λx(ST[λyy]T[λyx])] (por 6)
= T[λx(SIT[λyx])] (por 4)
= T[λx(SI(Kx))] (por 3 y 1)
= (ST[λx(SI)]T[λx(Kx)]) (por 6)
= (S(K(SI))T[λx(Kx)]) (por3)
= (S(K(SI))(ST[λxK]T[λxx])) (por 6)
= (S(K(SI))(S(KK)T[λxx])) (por 3)
= (S(K(SI))(S(KK)I)) (por 4)
Si se aplica este ldquocombinadorrdquo a cualquiera dos teacuterminos x e y se reduce como
sigue
(S(K(SI))(S(KK)I)xy)
= (K(SI)x(S(KK)Ix)y)
= (SI(S(KK)Ix)y)
= (Iy(S(KK)Ixy))
= (y(S(KK)Ixy))
105
= (y(KKx(Ix)y))
= (y(K(Ix)y))
= (y(Ix))
= (yx)
La representacioacuten combinatoria (S(K(SI))(S(KK)I)) es mucho maacutes larga que la
representacioacuten en un teacutermino lambda λx λy(yx) Esto es normal En general la
construccioacuten T[ ] puede expandir un teacutermino lambda de tamantildeo n en un teacutermino
combinatorio de tamantildeo θ (3n) Sin embargo la transformacioacuten T[ ] viene motivada
por el deseo de eliminar la abstraccioacuten Dos casos especiales las reglas 3 y 4 son
triviales λxx es claramente equivalente a I y λxE es claramente equivalente a
(KT[E]) Si x no aparece libre en E Las dos primeras reglas tambieacuten son simples
Variables convertidas en ellas mismas y aplicaciones que estaacuten permitidas en
teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo se convierten en ldquocombinadoresrdquo simplemente por
convertir el aplicando y el argumento en ldquocombinadoresrdquo Son las reglas 5 y 6 las
interesantes La 5 dice simplemente que para convertir una abstraccioacuten compleja en
un combinador primero se debe convertir su cuerpo en un ldquocombinadorrdquo y luego
eliminar la abstraccioacuten La regla 6 realmente elimina la abstraccioacuten
λx(E1E2) es una funcioacuten que toma un argumento tal como a y lo sustituye en un
teacutermino lambda (E1E2) en lugar de x produciendo (E1E2)[x=a] Pero sustituir a en
(E1E2) en lugar de x es justo lo mismo que sustituirla en ambos E1 y E2 asiacute
(E1E2)[x=a] = (E1[x=a] E2[x=a])
(λx(E1E2)a) = ((λxE1a)( λxE2a))
= (S λxE1 λxE2a)
= ((S λxE1 λxE2)a)
Por la igualdad extensional
λx(E1E2) = (S λxE1 λxE2)
Por lo tanto para encontrar un combinador equivalente a λx(E1E2) es suficiente
encontrar un combinador equivalente a (S λxE1 λxE2) y
(S T[λxE1] T [λxE2])
106
evidentemente cumple las condiciones E1 y E2 cada una contienen estrictamente
menos aplicaciones que (E1E2) asiacute la recursioacuten debe terminar en un teacutermino lambda
sin ninguna aplicacioacuten en absoluto o una variable o un teacutermino de la forma λxE
D) Simplificaciones de la Transformacioacuten
Los combinadores generados por la transformacioacuten T[ ] pueden hacerse menores si
se toma en cuenta la regla de ldquoreduccioacuten-ηrdquo
T[λx(Ex)]=T[E] (si x no estaacute libre en E)
λx(Ex) es la funcioacuten que toma un argumento x y aplica la funcioacuten E a ella esto es
extensionalmente igual a la propia funcioacuten E Es por lo tanto suficiente para
convertir E a forma combinatoria Teniendo en cuenta esta simplificacioacuten el ejemplo
anterior se convierte en
T[λx λy(yx)]
= hellip
= (S(K(SI)) T[λx(Kx)])
= (S(K(SI)) K) (por ldquoreduccioacuten- ηrdquo)
Este combinador es equivalente al anterior maacutes largo
(S(K(SI)) Kxy)
= (K(SI) x(Kx)y)
= (SI(Kx)y)
= (I y(Kxy))
= (y(Kxy))
= (yx)
Similarmente la versioacuten original de la transfromacioacuten T[ ] transforma la funcioacuten
identidad λfλx(fx) en (S(S(KS)(S(KK)I))(KI)) Con la regla de ldquoreduccioacuten- ηrdquo λfλx(fx)
se transforma en I
107
Hay bases de un punto a partir de las cuales cada ldquocombinadorrdquo puede ser
compuesto extensionalmente igual a cualquier teacutermino lambda El ejemplo maacutes
simple de una tal base es X donde
X equiv λx((xS)K)
No es difiacutecil verificar que
X(X(XX)) = ηβK y X(X(X(XX))) = ηβS
Dado que K S es una base de ello se sigue que X tambieacuten es una base Otro ejemplo
simple de una base de un punto es
Xrsquoequiv λx(xKSK) con (Xrsquo Xrsquo )Xrsquo) = ηβK y Xrsquo(Xrsquo Xrsquo) = βS
Xrsquo no necesita η-contraccioacuten a fin de producir K y S X es una base de un punto en CL+ext
pero no en CL sin extensionalidad Xrsquo lo es en ambos
Adicionalmente a S y K el artiacuteculo de Schoumlnfinkel incluyoacute otros dos ldquocombinadoresrdquo que
ahora se denominan B y C con las reducciones siguientes
((Cabc) = (abc) y (Babc) = (a(bc)))
Y tambieacuten explicoacute coacutemo a su vez pueden expresarse usando soacutelo S y K Estos ldquocombinadoresrdquo
son extremadamente uacutetiles cuando se trasladan loacutegica de predicados o caacutelculo lambda en una
expresioacuten ldquocombinadorrdquo Ellos tambieacuten fueron usados por Curry y posteriormente por David
Turner cuyo nombre se ha asociado con su uso computacional Usaacutendolos se pueden
extender las reglas por la transformacioacuten como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1]T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (Si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E1 y E2)
108
7 T[λx(E1E2)] rArr(CT[λxE1]T[E2]) (Si x estaacute libre en E1 pero no en E2)
8 T[λx(E1E2)] rArr(BT[E1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E2 pero no en E1)
Usando los ldquocombinadoresrdquo B y C la transformacioacuten de λxλy(yx) queda como sigue
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]]
= T[λx(CT[λyy]x)] (por la regla 7)
= T[λx(CIx)]
= (CI) (η-reduccioacuten)
= C (notacioacuten canoacutenica tradicional x=XI)
= Irsquo (notacioacuten canoacutenica tradicional X`= CX)
Y verdaderamente (CIxy) se reduce a (yx)
(CIxy)
= (Iyx)
= (yx)
La motivacioacuten aquiacute es que B y C son versiones limitadas de S Mientras que S toma un valor y
lo sustituye tanto en el aplicando como en su argumento antes de ejecutar la aplicacioacuten C
efectuacutea la sustitucioacuten soacutelo en el aplicando y B soacutelo en el argumento
Los nombres modernos para los ldquocombinadoresrdquo proceden de la tesis doctoral de Curry
Schoumlnfinkel en su artiacuteculo original denominaba respectivamente S C I Z y T a lo que hoy se
denomina S K I B C
La conversioacuten L[ ] de teacuterminos combinatorios a teacuterminos lambda es trivial
L[I] = λxx
L[K] = λx λyx
L[C] = λx λy λz(xzy)
L[B] = λx λy λz(x(yz))
109
L[S] = λx λy λz(xz(yz))
L[(E1E2)] = (L[E1] L[E2])
Sin embargo hay que sentildealar que esta transformacioacuten no es la transformacioacuten inversa de
cualquiera de las versiones de T[ ] que se han visto
Finalmente indicar que una forma ldquonormalrdquo es cualquier teacutermino ldquocombinatoriordquo en el cual
los ldquocombinadoresrdquo primitivos que aparecen si alguno no se aplican a suficientes argumentos
como para ser simplificados Es indecidible saber si un teacutermino ldquocombinatoriordquo general tiene
una forma ldquonormalrdquo si dos teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo son equivalentes etc Esto es
equivalente a la indecibilidad del problema correspondiente para los teacuterminos lambda Hay
sin embargo una prueba directa de ello en primer lugar obseacutervese que el teacutermino Ω =
(SII(SII)) no tiene forma normal porque se reduce a siacute mismo despueacutes de tres pasos como
sigue
(SII(SII)) = (I(SII)(I(SII))) = (SII(I(SII))) = (SII(SII))
Y claramente ninguacuten otro orden de reduccioacuten puede hacer la expresioacuten maacutes corta Supoacutengase
ahora que N es un ldquocombinadorrdquo para detectar formas normales tal que
(Nx)rArrT si x tiene una forma normal y F en otro caso
Donde T y F representan verdadero y falso λx λyx y λx λyy transformados en loacutegica
combinatoria Las versiones combinatorias son T = K y F = (KI)
Sea ahora Z = (C(C(BN(SII)) Ω)I)
Consideacuterese a continuacioacuten el teacutermino (SIIZ) iquestTiene dicho teacutermino forma normal La tiene si
y soacutelo si tambieacuten la tiene
(SIIZ) = (IZ(IZ)) = (Z(IZ)) = (ZZ) = (C(C(BN(SII)) Ω)IZ) (definicioacuten de Z)
= (C(BN(SII) ΩZI)) = (BN(SII)Z ΩI) = (N(SIIZ) ΩI)
Ahora se necesita aplicar N a (SIIZ) que dice si tiene forma normal o no Si tiene forma normal
entonces se reduce como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (K ΩI) (definicioacuten de N) lo que significa que la
forma normal de (SIIZ) es simplemente Ω pero Ω no tiene una forma normal de modo que se
produce una contradiccioacuten Pero si (SIIZ) no tiene una forma normal lo anterior se reduce
110
como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (KI ΩI) (definicioacuten de N = (II) = I) lo que significa que la forma
normal de (SIIZ) es simplemente I otra contradiccioacuten Por lo tanto el hipoteacutetico ldquocombinadorrdquo
forma-normal N no puede existir (Wikipedia 2008)
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS
Para Couffignal (Couffignal 1969) una clasificacioacuten cuyas clases tienen definiciones que se
implican entre siacute constituye una teoriacutea Las teoriacuteas se establecen de una de las dos formas
siguientes
A) A partir de seres cuyas caracteriacutesticas han sido observadas e identificadas se construyen
clases cada vez maacutes ldquoabstractasrdquo o ldquogeneralesrdquo dentro de las cuales se dan cabida a
estos seres A estas teoriacuteas se las denomina como ya se ha dicho el el capiacutetulo II
ldquoempiacutericasrdquo y son parecidas a las clasificaciones de los naturalistas y tienen como
fundamento modelos mentales elementales constituidos por seres naturales es decir
no creados por el hombre Eacuteste es el esquema de modelizacioacuten cientiacutefico o ldquogalileanordquo
B) Partiendo de una definicioacuten abstracta de la clase se construyen subclases antildeadiendo a
la definicioacuten de esta clase propiedades arbitrariamente escogidas con la uacutenica condicioacuten
de que no existan contradicciones Estas teoriacuteas reciben el calificativo de axiomaacuteticas
Son parecidas a teoriacuteas matemaacuteticas o loacutegicas y tienen por fundamento modelos
mentales (ldquodialeacutecticosrdquo) de seres inventados por el hombre Eacuteste es el esquema de
modelizacioacuten loacutegico o ldquotarskianordquo
Los atributos que hay que antildeadir a la comprehensioacuten de una clase de seres para obtener la
comprehensioacuten de una subclase constituyen lo que se denomina ldquotecnologiacuteardquo de dicha
subclase en relacioacuten con la clases considerada Normalmente no se considera maacutes que una
sola clasificacioacuten y se define la tecnologiacutea de una subclase en relacioacuten con la clase maacutes
abstracta posible De esta forma el teacutermino tecnologiacutea se emplea en sentido absoluto
En la construccioacuten de una teoriacutea las propiedades ldquotecnoloacutegicasrdquo de un ser no se tienen en
cuenta al considerarlo como perteneciente a una clase determinada ya que dichas
propiedades no se deducen de la definicioacuten de la clase considerada En consecuencia se
puede afirmar que un razonamiento deductivo no puede descubrir las propiedades
ldquotecnoloacutegicasrdquo que han sido ignoradas en la elaboracioacuten de la teoriacutea Por ejemplo la teoriacutea
de la resistencia de materiales que sirven para el caacutelculo de la construccioacuten de un puente
supone que el terreno sobre el cual se va a apoyar el puente es perfectamente riacutegido e
111
infinitamente resistente dejando de lado las propiedades del terreno propias de su
naturaleza fiacutesico-quiacutemica Por lo tanto el caacutelculo de un puente concreto por meacutetodos de
resistencia de materiales no puede incluir estas propiedades y tenerlas en cuenta Por eso se
puede afirmar que las teoriacuteas deductivas que se encuentran en la casi totalidad de las
teoriacuteas cientiacuteficas representan muy imperfectamente los fenoacutemenos observados De aquiacute
que para salvaguardar el armazoacuten de razonamientos que constituye una teoriacutea sea
necesario o bien no tener en cuenta los conceptos que no sean explicables para la teoriacutea lo
que sucedioacute con el ldquoarrastre del eacuteter por la materiardquo o atribuyeacutendole a los seres sometidos
a observacioacuten propiedades que no poseen para permitir su inclusioacuten dentro de la teoriacutea
Esto sucedioacute con el ldquoeacuteterrdquo hasta que lo desterroacute Einstein Una teoriacutea es pues un ldquoedificiordquo o
construccioacuten mental establecida a partir de fenoacutemenos observados pero que no constituye
una imagen absolutamente fiel de dichos fenoacutemenos
Las diversas clases en las que se categorizan los seres naturales constituyen entes nuevos a
los que se les atribuye un siacutembolo En una teoriacutea axiomaacutetica las clases son resultado de
razonamientos deductivos y se les atribuye asimismo un siacutembolo Cuando se trata de
razonamientos cuyas hipoacutetesis son siacutembolos o modelos mentales de seres naturales es maacutes
coacutemodo preferir siacutembolos que hagan referencia a las hipoacutetesis De esta forma estos
siacutembolos evocan al usarlos ldquopatronesrdquo considerados iguales que los de los seres naturales
Estos patrones constituyen una ldquoreificacioacutenrdquo de la definicioacuten de los siacutembolos Por ejemplo
habiendo verificado que todos los gases en condiciones normales verifican de una forma
aproximada PV = RT en donde P V y T son respectivamente la presioacuten el volumen y la
temperatura del gas y R una constante universal se denomina ldquogas perfectordquo al ente fiacutesico
que verifica ldquoexactamenterdquo la ley PV = RT El teacutermino ldquogas perfectordquo evoca el ldquopatroacutenrdquo
corresponde al de un ser existente en la realidad y constituye una ldquoreificacioacutenrdquo de la
foacutermula PV = RT
Una ldquoreificacioacutenrdquo consiste entonces en antildeadir a un resultado teoacuterico una ldquotecnologiacuteardquo
inventada No obstante el ser de esta forma inventado puede no existir fiacutesicamente Por lo
tanto es necesario distinguir entre la ldquoexistencia fiacutesica o realrdquo que es la de un ser cuyos
atributos de definicioacuten son observables por los medios fiacutesicos conocidos y la existencia
ldquoficticiardquo que se puede atribuir a un ser cuyos atributos de definicioacuten no son contradictorios
con las leyes conocidas y aceptadas que se aplican a los seres naturales Asiacute pues una
ldquoreificacioacutenrdquo de una teoriacutea pasa de la existencia ficticia o mental a la existencia fiacutesica a traveacutes
de una ldquocomprobacioacuten experimentalrdquo Habitualmente las ciencias usan ldquoreificacionesrdquo que
112
soacutelo poseen existencia ficticia Tal sucede con los entes o conceptos definidos como
ldquocausasrdquo de los fenoacutemenos fiacutesicos Por ejemplo el calor causa de las variaciones de
temperatura las fuerzas causa de las variaciones de la velocidad la luz causa de los
fenoacutemenos oacutepticos etc una prueba de esto es que verbigracia en 1955 Denis Gabor
presentoacute una teoriacutea oacuteptica en la cual no interveniacutea para nada la ldquosustanciardquo comuacutenmente
llamada luz Estas ldquocausasrdquo consideradas por las ciencias naturales quedan definidas por
atributos comunes a un conjunto de seres de existencia fiacutesica capaces de actuar por
ejemplo en el caso del calor sobre un termoacutemetro Esta accioacuten se expresa diciendo que
salvo en caso de un cambio de estado una aportacioacuten de calor a un cuerpo implica una
elevacioacuten de su temperatura No obstante hay que tener en cuenta que
termodinaacutemicamente el paso del calor de un cuerpo a otro soacutelo es posible si existe una
diferencia de temperatura entre los dos Es maacutes se considera corrientemente el calor como
una energiacutea en traacutensito ldquodebidardquo al gradiente teacutermico En cualquier caso la implicacioacuten
aparece pues como la expresioacuten ldquodialeacutecticardquo de la relacioacuten entre causa y efecto
Olvidar que a efectos praxeoloacutegicos y de realizacioacuten praacutectica una teoriacutea por si sola es decir
sin la tecnologiacutea adecuada para una correcta reificacioacuten puede tener resultados indeseados
incluso dramaacuteticos En efecto una teoriacutea ofrece un conjunto o serie de modelos que se
deducen unos de otros se tienen tambieacuten todos los atributos eliminados para construir los
modelos que pertenecen al campo de predicados de los seres en cuestioacuten Para un ser dado
los atributos que hay que antildeadir a su modelo para reconstruir el original es la ldquotecnologiacuteardquo
de ese modelo Un ejemplo dramaacutetico ocurrido hace antildeos en Francia muestra la
importancia de la tecnologiacutea En una mina hubo necesidad de construir un ascensor para
subir hombres y productos de su interior Se hizo normalmente tal y como se muestra en la
figura III7(a) con un aacuterbol y un manguito sobre el cual se encontraba el tambor del
ascensor Primera fase del razonamiento Despueacutes se aplicoacute el caacutelculo a la determinacioacuten del
diaacutemetro del aacuterbol segunda fase del razonamiento A continuacioacuten se construyoacute el original
con esos datos lo que corresponde a la tercera fase Finalmente se comproboacute tras
distintas pruebas que el ascensor podiacutea soportar toda la carga que se le pondriacutea y mucha
maacutes De ahiacute se concluyoacute que los caacutelculos eran correctos y que el ascensor aguantariacutea sin
problemas es decir el estudio ldquocientiacuteficordquo del ascensor era perfecto Pero sucedioacute la
tragedia Unos antildeos despueacutes de funcionar con toda normalidad el ascensor se rompioacute y
once mineros cayeron a 250 metros de profundidad y murieron iquestQueacute pasoacute Sencillamente
que faltaba un punto de tecnologiacutea En efecto en una construccioacuten mecaacutenica nunca hay que
dejar un aacutengulo entrante agudo La experiencia ensentildea y la tecnologiacutea corrobora que los
113
aacutengulos entrantes son un peligro de ruptura y tal y como se muestra en la figura III7 (b)
deben ser sustituidos por caretos El ingeniero que realizoacute el proyecto del ascensor conociacutea
perfectamente la mecaacutenica racional la elasticidad la resistencia de materiales pero
ignoraba o se olvidoacute de ese aspecto tecnoloacutegico de que no se hace nunca un aacutengulo
entrante
Figura III7 Importancia de la Tecnologiacutea
Es eacuteste un buen ejemplo ademaacutes de que cuando se razonaba sobre un modelo abstracto
en relacioacuten con el original hay que pensar y tener en cuenta toda la tecnologiacutea que se quedoacute
en el tintero Sin contar por supuesto con que muchas veces al hacer la abstraccioacuten con el
agua sucia tambieacuten se arroja el nintildeo pequentildeo Esto lleva a plantearse la cuestioacuten siguiente
Cuando se tiene un modelo verificado un ser ficticio que se espera que exista en la realidad
iquestQueacute se le pide Sencillamente que sea admisible en cierto grado Se pide que le modelo
transformado pueda interpretarse Es decir en este estadio basta con ser admisible pues se
tiene soacutelo un ser admisible y no todaviacutea un ser real o cuando menos un ser cuya existencia
se ha comprobado Es un ser teoacuterico sin experiencia o mejor experimentacioacuten que lo avale
Por eso una futura liacutenea de trabajo seraacute el integrar toda la tecnologiacutea de desarrollo
software existente dentro de la teoriacutea propuesta
114
115
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Cuando uno observa la abundante bibliografiacutea existente para la solucioacuten de problemas se
encuentra con que todas empiezan expliacutecita o impliacutecitamente con el paso conocido como
ldquoidentificacioacuten del problemardquo(Polya 1945) (De Bono 1970) (Wickelgren 1974) (Deutsch
1998) (Marinoff 2000) hellip pero curiosamente ninguna define peor auacuten ni siquiera
describe lo que es un problema Por eso aquiacute siguiendo a Juan Pazos (Pazos 1987) se va a
primero describir y luego definir formalmente queacute se entiende por problema Para
empezar decir que todo el mundo sabe o cree saber queacute es un problema sobre todo
cuando se le presenta uno es decir cuando ya le viene dado La cosa es maacutes peliaguda
cuando de lo que se trata y eso es lo importante de adelantaacutendose a los acontecimientos
identificar situaciones que si no se toman medidas inexorablemente acabaraacuten
convirtieacutendose en problemas Es decir se trata maacutes de prevenir que de curar
Dicho lo cual quizaacutes sea una cuestioacuten a la vez superflua y marginal el preguntarse queacute es
un problema por la sencilla razoacuten de que todo el mundo sabe lo que es un problema sobre
todo cuando se le presenta uno Sin embargo no es asunto baladiacute el definir de modo
preciso lo que se entiende por problema en general En cualquier caso el dar una definicioacuten
de problema es importante como paso previo para obtener una solucioacuten al mismo
Una persona se enfrenta a un problema cuando desea algo y no conoce inmediatamente
queacute accioacuten o serie de acciones debe ejecutar para conseguirlo El objetivo deseado puede
ser algo muy tangible tal como una manzana para comer o abstracto como sucede en la
demostracioacuten de un teorema Puede ser un objetivo fiacutesico o un conjunto de siacutembolos Las
acciones implicadas en la obtencioacuten de los objetos deseados incluyen acciones fiacutesicas
actividades perceptuales y actividades puramente ldquomentalesrdquo como juicios de similaridad
recuerdos y otras Es decir tener alguna idea de en queacute consiste realmente un problema es
lo mismo que especificar cuaacuteles son las condiciones para que exista un problema y cuaacuteles
son sus componentes Estas condiciones en su caso maacutes simple son
1 Debe existir al menos un ldquoindividuordquo hombre o maacutequina la cuestioacuten en principio es
irrelevante dentro de un marco de referencia o medio ambiente a quien se le pueda
116
atribuir el problema Este marco de referencia viene definido por las variables
incontrolables
2 El individuo debe tener por lo menos dos cursos de accioacuten alternativos es decir debe
poder efectuar una seleccioacuten del comportamiento Un curso de accioacuten se define por
uno o maacutes valores cualitativos o cuantitativos de las variables controlables
3 Cuando menos tienen que existir dos resultados posibles de su seleccioacuten uno de los
cuales debe tener mayor aceptacioacuten que el otro Es decir debe haber como miacutenimo un
resultado que eacutel quiera o sea un objetivo o meta
4 La seleccioacuten de cualquiera de las soluciones debe repercutir de una manera diferente
en los objetivos del sistema es decir existe una eficiencia y o efectividad asociadas
con cada solucioacuten que obviamente deben ser diferentes
5 El individuo tiene un problema uacutenicamente si ignora cuaacutel es el mejor curso de accioacuten y
desea conocerlo Ademaacutes debe tener dudas respecto a la solucioacuten
En resumen se puede decir que un individuo tiene un problema si eacutel quiere algo tiene
formas alternativas de perseguir ese algo pero con distintas eficiencias para conseguirlo y
duda acerca del mejor curso de accioacuten a tomar
Ciertamente las situaciones problemaacuteticas pueden ser mucho maacutes complejas que la que se
acaba de describir En efecto es faacutecil ver coacutemo dicha complejidad puede aumentar por una
combinacioacuten de las siguientes condiciones
1 El problema en vez de recaer en el individuo atantildee a un grupo
2 El entorno o marco de referencia donde se encuentra el grupo cambia de forma
dinaacutemica de modo que afecta a la efectividad de los cursos de accioacuten o de los valores
de los resultados
3 El nuacutemero de cursos de accioacuten alternativos puede ser muy grande aunque finito
4 Del mismo modo el nuacutemero de metas tambieacuten puede ser muy grande y
adicionalmente dichas metas pueden no ser necesariamente consistentes
117
5 Las alternativas pueden ser ejecutadas por otro grupo ajeno aunque no
independiente del problema
6 Los efectos de la decisioacuten tomada por el grupo afectan a otros grupos cuya reaccioacuten
puede ser favorable o desfavorable
En otros teacuterminos un problema no estaacute cabalmente definido o no es digno de
consideracioacuten formal a menos que cumpla las condiciones siguientes
A) Estar expresado en una terminologiacutea claramente entendible para el potencial
solucionador del problema
B) La forma y notacioacuten para la solucioacuten debe estar convenida
C) Identificacioacuten de los datos relevantes sobre los que puede basarse una solucioacuten
D) Convencioacuten acerca de alguna de las unidades sobre la validez o aceptabilidad de las
soluciones propuestas
Aunque estas caracteriacutesticas son naturales a cualquier proceso de solucioacuten de problemas
con computador con frecuencia se ignoran faacutecilmente en situaciones de resolucioacuten de
problemas humanos informales Una razoacuten importante del uso de los computadores para
ayudar a las personas a solucionar problemas estriba precisamente en que el proceso de
describir el problema al computador obliga al hombre a dotar al problema de las
caracteriacutesticas anteriores y en consecuencia a clarificar su propio pensamiento difuso El
uso de la GC permitioacute como muestra esta tesis definir cabalmente el problema y lo que
es maacutes importante dilucidar su posibilidad o no de solucioacuten previamente su factibilidad y
eventualmente una propuesta efectiva de solucioacuten
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS
La razoacuten de ser de esta teoriacutea es la informacioacuten En primer teacutermino hay que sentildealar que al
contrario de lo que ocurre con las ciencias tradicionales la informacioacuten como lo sentildealoacute
Wiener no es ni materia ni energiacutea En segundo lugar hay que enfatizar que la informacioacuten es
una abstraccioacuten que soacutelo adquiere realidad cuando tiene una representacioacuten fiacutesica En tercer
lugar es imposible considerar la informacioacuten sin tener en cuenta los dispositivos tanto
118
naturales como artificiales que la procesan Finalmente estaacute el asunto de la gradualidad la
informacioacuten puede presentarse como un simple dato o como una compleja ontologiacutea Todos
estos puntos se explican maacutes detenidamente a continuacioacuten
Antes de pasar a describir los elementos que aquiacute se proponen como fundamento de una
teoriacutea en CS es necesario considerar las caracteriacutesticas y peculiaridades que tiene la CS para
que dicha teoriacutea esteacute bien arraigada y asentada en la realidad y no en meras especulaciones
carentes de base Dicho lo anterior lo primero que hay que sentildealar es que la CS es una nueva
ciencia y en consecuencia es trascendental entender adecuadamente su naturaleza y
caraacutecter Como lo sentildealoacute Hartmanis (Hartmanis 1993) el fracaso de la informaacutetica en
acomodarla a los meacutetodos habituales de las ciencias de la naturaleza viene dado de ese
caraacutecter especial que la conforma haciendo que la teoriacutea y los experimentos en informaacutetica
sean peculiares y jueguen un papel considerablemente distinto Lo que actualmente se
consideran ldquoteoriacuteasrdquo informaacuteticas no compiten entre siacute acerca de cual explica mejor la
naturaleza de la informacioacuten Ni se desarrollan nuevas teoriacuteas para reconciliar la ldquoteoriacuteardquo
existente con los resultados experimentales que revelan anomaliacuteas inexplicadas o nuevos o
inesperados fenoacutemenos De hecho en informaacutetica no existen hasta el presente experimentos
cruciales que decidan acerca de la validez de las ldquoteoriacuteasrdquo existentes entre otras cosas porque
dichas teoriacuteas no existen Esto tiene entre otras una consecuencia al menos a primera vista
indeseable desde el punto de vista cientiacutefico y sin embargo importante cual es que los
avances en informaacutetica son con frecuencia validados y documentados mediante
ldquodemostracionesrdquo (demos) antes que mediante experimentos cruciales como en las ciencias
duras o demostraciones formales como en loacutegica y o matemaacuteticas Y es papel de las ldquodemosrdquo
mostrar la posibilidad o capacidad de lo que se pensaba que era importante o no factible de
modo que influencian y condicionan la agenda y direccioacuten de la investigacioacuten en informaacutetica lo
que estaacute lejos de ser satisfactorio desde el punto de vista del rigor cientiacutefico Esto lleva a
considerar las caracteriacutesticas que hacen tan peculiar esta nueva ciencia y que de forma
sucinta son las siguientes
A) El Objeto de Estudio La Informacioacuten y sus Procesos El objeto de estudio de la CS no es
contra lo que habitualmente se piensa ni exclusiva ni principalmente las computadoras
sino la informacioacuten y sus estructuras y los procesos que actuacutean sobre ella Dichas
estructuras y procesos son ubicuos en la naturaleza de modo que aparecen tanto en los
cerebros de los animales y en particular de los seres humanos como en los procesos
geneacuteticos y maacutes concretamente en el ADN Y de forma no natural la informacioacuten se
119
procesa en las computadoras Lo trascendental aquiacute es que el objeto de estudio la
informacioacuten que es la razoacuten de ser de la CS no es como ocurre en las ciencias
tradicionales y sentildealoacute Wiener ni materia ni energiacutea aunque como lo indicoacute David
Chalmers siguiendo a Wheeler (Horgan 1994) la informacioacuten es una propiedad de la
realidad tan esencial como la materia y la energiacutea Es decir la CS estaacute concernida por una
parte con el tema abstracto de la informacioacuten que adquiere realidad soacutelo cuando tiene
una representacioacuten fiacutesica y por otro con los dispositivos y sistemas tanto hardware como
software artificiales esto es hechos por el ser humano que procesan dichas
representaciones Su meta es dotar a esos dispositivos de procesamiento de tanto
comportamiento inteligente como sea posible En consecuencia una teoriacutea completa debe
abarcar tanto la CS como el ADN o el Cerebro y cualquier otro sistema tanto natural como
artificial que generase o maneje informacioacuten
B) Escalabilidad Gradualidad Ademaacutes de complejos muchos productos software son
enormes En los desarrollos software como por otra parte en muchos otros campos de la
vida lo cuantitativo afecta a lo cualitativo Parte de la habilidad de un buen profesional
estriba en saber que teacutecnicas aumentaraacuten (ldquoscale uprdquo) soacutelo porque el tamantildeo no fue
planificado Con frecuencia un ldquogranrdquo sistema es justo un pequentildeo sistema que crecioacute
De lo anterior se colige que una de las caracteriacutesticas peculiares tal vez la maacutes importante
de la CS es la inmensa diferencia de escala de los fenoacutemenos que trata Dicha escala va
desde unos pocos datos y programas que afectan a los problemas individuales habituales
hasta los billones de operaciones por segundo en los distintos sistemas operativos
compiladores y lenguajes en que se describen los problemas pasando por los millones de
datos y registros de los grandes sistemas de informacioacuten que abordan tanto problemas de
gestioacuten como cientiacuteficos En este uacuteltimo aspecto cabe destacar el uso de sistemas
informaacuteticos para demostracioacuten de conjeturas matemaacuteticas a un nivel similar a la prueba
del uacuteltimo teorema de Fermat El caso paradigmaacutetico en este aspecto es la demostracioacuten de
la conjetura de Kepler que algunos la consideraban como la mejor candidata para
reemplazar al uacuteltimo teorema de Fermat como el mayor enigma actual sin resolver en
matemaacuteticas (Singh 1998) A lo que la doctoranda antildeade la hipoacutetesis de Riemann sin duda
el gran desafiacuteo
C) Prometeo versus Epimeteo La potencia ldquoexponencialmenterdquo creciente de las
computadoras hace que en la consideracioacuten de informacioacuten y su proceso la gente tienda a
120
comportarse maacutes como Epimeteo que como seriacutea lo correcto como Prometeo La
mitologiacutea griega (Seeman 1958) cuenta que en Grecia habiacutea dos hermanos Prometeo el
que primero piensa y luego actuacutea y Epimeteo quien primero actuaba y luego pensaba Si el
primero fue castigado por los dioses por robarle el fuego del conocimiento el segundo
castigoacute a la humanidad al regalarle Pandora la famosa caja de la que cuando
imprudentemente la abrioacute salieron de ella todos los males Asustado ante tanto estropicio
ignorantemente cerroacute la caja cuando lo que quedaba en ella era justamente lo uacutenico
bueno la esperanza La moraleja es que como ha demostrado la historia de la ciencia en
CS lo que a primera vista parece lo maacutes adecuado muchas veces resulta no ser asiacute El caso
de los primeros intentos de emular a los paacutejaros para volar es ejemplar al respecto y hubo
que esperar a las leyes de Bernouille para poder desarrollar la aerodinaacutemica
D) Abstraccioacuten (Meyer 2001) Es la herramienta intelectual clave y en concreto consiste en la
capacidad para separar lo esencial de lo auxiliar para ver la idea que preside sobre la
realidad y que inicialmente puede estar oculta Baacutesicamente el anaacutelisis capaz de hacer
abstracciones es aquel capaz de abandonar el plano del sentido comuacuten de las cualidades
sensibles de la experiencia inmediata La modelizacioacuten informaacutetica de la realidad compleja
ha creado un espacio cada diacutea maacutes relevante para la ldquotercera viacutea del meacutetodo cientiacuteficordquo un
enfoque intermedio entre el procedimiento teoacuterico y el experimental Y es ahiacute justamente
donde nace lo que el premio Nobel Ken Wilson dio en llamar ldquoCiencia Computacionalrdquo o
por mejor decir ciencias y disciplinas computacionales verbigracia la matemaacutetica
computacional la fiacutesica computacional la quiacutemica computacional la biologiacutea
computacional la geologiacutea computacional la medicina computacional etc Todas ellas
trabajan con modelos matemaacuteticos y o informales e informaacuteticos abstractos no con
moleacuteculas sino con modelos de moleacuteculas no con la economiacutea nacional sino con un
montoacuten de matrices y ecuaciones no con un operador humano sino con un modelo de
coordinacioacuten vasomotora no con Pistol Star la mayor luminaria de la Viacutea Lactea una
estrella supuestamente nacida hace tres millones de antildeos que soacutelo se ve con el telescopio
espacial Hubble tal como era hace tres millones de antildeos ya que dista de nosotros 3x106
antildeos-luz sino con unas sentildeales recibidas por el Hubble y unas ecuaciones computacionales
En el laboratorio el centro de ldquoexperimentacioacutenrdquo es el computador La realidad ya no es
material o no exclusivamente material pues lo virtual es igual de real actualmente que lo
material El informaacutetico tienen que generar muchos niveles de abstraccioacuten para tratar con
los problemas que le conciernen y crear herramientas intelectuales para conceptuar
disentildear controlar programar y razonar acerca de las creaciones humanas maacutes
121
complicadas y todo ello realizado con una precisioacuten sin precedentes Los sistemas
hardware subyacentes con el que se efectuacutean las computaciones son maacutequinas universales
y por lo tanto son sistemas caoacuteticos en el sentido de que el maacutes miacutenimo cambio en sus
instrucciones puede originar arbitrariamente diferencias enormes en los resultados
obtenidos Eacutesta como es bien conocido es una propiedad inherente a los sistemas de
coacutemputo universales cuya teoriacutea hace claro que cualquier incremento de universalidad
impone un precio muy alto La precisioacuten teniendo en cuenta las exigencias de dicha
condicioacuten caoacutetica se consigue mediante sucesivas capas de abstraccioacuten implementadas
alrededor de las maacutequinas universales que ayudan a enfrentar los muchos oacuterdenes de
magnitud en la escala de distintos fenoacutemenos que aborden los problemas informaacuteticos
Dada la confusioacuten existente entre abstraccioacuten y generalizacioacuten se va a dar aquiacute un ejemplo
de ambas procedente de la literatura maacutes en concreto de la novela de Miguel de
Unamuno (Unamuno 1969) Niebla que aclaran la cuestioacuten En dicha novela el amigo del
protagonista Viacutector le explica a eacuteste Augusto la diferencia No veraacutes veraacutes si logro
explicaacutertelo Tuacute estabas enamorado sin saberlo por supuesto de la mujer del abstracto no
de eacutesta ni de aquella al ver a Eugenia ese abstracto se concretoacute y la mujer se hizo una
mujer y te enamoraste de ella y ahora vas de ella sin dejarla a casi todas las mujeres y te
enamoras de la colectividad del geacutenero Has pasado pues de lo abstracto a lo concreto y
de lo concreto a lo geneacuterico de la mujer a una mujer y de una mujer a las mujeres
E) Distincioacuten entre especificacioacuten e implementacioacuten Meyer (Meyer 2001) Este problema es
uacutenico al software porque trata con entidades virtuales eteacutereas Nadie confundiriacutea un
puente con el dibujo del puente o un automoacutevil con el plano de un automoacutevil Uno no
coloca el dibujo en el agua ni conduce y se mueve con el plano Pero en software la
distincioacuten con frecuencia estaacute lejos de estar tan clara A diferencia de lo que sucede en el
cuadro de Magritte uno se arriesga en software constantemente a confundir la pipa con
la pintura de la pipa Aprender a centrarse sobre el asunto real es parte de lo que se
necesita para llegar a ser un profesional del software Mantener esta distincioacuten
correctamente es el pan de cada diacutea de las discusiones software
- iexclEsto es soacutelo un detalle de implementacioacuten
- No realmente forma parte de lo que se quiere hacer
- iexclNo es soacutelo una manera de hacerlo
- iexclMuestra otra
122
- iexclNo importa que no se vea otra en este momento alguien lo haraacute
F) Recurrencia La cuestioacuten no estriba en absoluto en usar rutinas recurrentes eso no es maacutes
que una teacutecnica Lo importante es dominar el modo general de razonamiento y disentildeo que
define un concepto por aplicar su propia definicioacuten a alguna de sus partes Al principio es
complicado pero una vez que se ha aprendido a usar la recursioacuten adecuadamente se ha
ganado una potente herramienta intelectual aplicable a traveacutes del campo La poderosa viacutea
de la recursioacuten como teacutecnica de resolucioacuten de problemas es pertinente en multitud de
ocasiones y enunciada como principio general podriacutea rezar maacutes o menos asiacute ldquoSi
consiguiera resolver el problema en un caso algo maacutes sencillo tal vez pudiera utilizar esa
solucioacuten para el caso maacutes complejordquo Tal idea es la nocioacuten de recurrencia expliacutecitamente la
inclusioacuten en un procedimiento del propio procedimiento
Kurt Goumldel en el antildeo 1930 habiacutea enunciado un notorio principio filosoacutefico en el aacutembito de las
matemaacuteticas a partir de lo que se dio en llamar ldquosistemas autorreferencialesrdquo Por ejemplo en
frases del tipo ldquoEsta afirmacioacuten es falsardquo o ldquoYo estoy mintiendordquo tiene lugar un fenoacutemeno
denominado ldquobucle extrantildeordquo consistente en que si se asume que la frase es verdadera
entonces hay que concluir que la frase es falsa y reciacuteprocamente si se decide que es falsa
entonces hay que concluir que es verdadera Goumldel trasladoacute esta paradoja del lenguaje
conocida como ldquoparadoja del mentirosordquo al terreno de las matemaacuteticas en particular al de la
loacutegica dando lugar a numerosos trabajos para superarlas Sin embargo no siempre los
sistemas autorreferenciales son motivo de quebraderos de cabeza En efecto tanto en poesiacutea
como en tecnologiacutea o en juegos de sociedad a veces dan mucho de siacute Empezando por la
poesiacutea veacuteanse estos dos sonetos definiendo al propio soneto El primero debido a Diego
Hurtado de Mendoza que dice asiacute
Pediacutes Reina un soneto ya lo hago Ya tenemos a un cabo los cuartetos
Ya el primer verso y el segundo es hecho iquestQueacute me deciacutes Sentildeora iquestNo ando bravo
Si el tercero me sale de provecho Mas sabe Dios si temo los tercetos
Con otro verso el un cuarteto os pago iexclAy Si con bien este soneto acabo
Ya llego al quinto iexclEspantildea iexclSantiago iexclNunca en toda vida maacutes sonetos
Fuera que entro en el sexto iexclSus buen pecho Mas deste gloria a Dios ya he visto el cabo
Si del seacuteptimo salgo gran derecho
Tengo a salir con vida de este trago
123
El segundo fruto del Proliacutefico numen del Feacutenix de los Ingenios D Felix Lope de Vega y Carpio
aparece en su obra ldquoLa Nintildea de Platardquo y se titula ldquoDe Repenterdquo y puede calificarse de perfecto
Dice asiacute
Un soneto me manda hacer Violante Por el primer terceto voy entrando
Que en mi vida me he visto en tal aprieto Y parece que entreacute con pie derecho
Catorce versos dicen que es soneto Pues fin con este verso le voy dando
Burla burlando van los tres delante Ya estoy en el segundo y aun sospecho
Yo penseacute que no hallara consonante que voy los trece versos acabando
Y estoy en la mitad de otro cuarteto Contad si son catorce y estaacute hecho
Maacutes si me veo en el primer terceto
No hay cosa en los cuartetos que me espante
En el terreno de la tecnologiacutea es notorio el caso como se ve en la figura IV1 de la definicioacuten
de ldquomapa de conocimientordquo en teacuterminos de un mapa de conocimientos (del Moral 2007)
Figura IV1 Autodefinicioacuten de Mapa de Conocimiento
Finalmente estaacute el juego de ldquoWishrdquo que consiste en que uno da una palabra del diccionario
cualquiera luego los demaacutes participantes por turno va estableciendo como en un aacuterbol
todas las palabras del diccionario que la definen y a su vez las palabras que definen a eacutestas
etc hasta que necesariamente (dado que el diccionario es autocontenido o sea todas las
palabras del diccionario se definen en teacuterminos de dichas palabras) aparece una repeticioacuten
124
La autorreferencia es decir la posibilidad de que una cierta entidad linguumliacutestica matemaacutetica o
computacional se refiera a siacute misma da lugar a razonamientos circulares y paradojas
enigmaacuteticas Un ejemplo es la ya citada paradoja del mentiroso de la que existen muacuteltiples
versiones La maacutes simple consististe en una sola frase que afirma su propia falsedad ldquoEsta
frase es falsardquo No puede ser cierta ni falsa sin caer en una contradiccioacuten Consideacuterese otro
ejemplo linguumliacutestico Se clasifican los adjetivos calificativos en dos grupos se llamaraacuten
autoacuteclitos a los adjetivos que pueden aplicarse a siacute mismos y heteroacuteclitos a los que no pueden
aplicarse a siacute mismos Por ejemplo el adjetivo ldquoesdruacutejulordquo es autoacuteclito porque esdruacutejulo es
una palabra esdruacutejula y ldquopentasiacutelabordquo que es una palabra con cinco siacutelabas y por tanto
pentasiacutelaba Es difiacutecil dar maacutes ejemplos puesto que la mayoriacutea de los adjetivos como
ldquoblancordquo ldquofranceacutesrdquo o ldquoestrechordquo son heteroacuteclitos Ahora inteacutentese responder a la siguiente
pregunta iquestes el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo autoacuteclito o heteroacuteclito Si es autoacuteclito entonces se
aplica a siacute mismo y es por tanto heteroacuteclito y siacute es heteroacuteclito entonces no se aplica a siacute
mismo y no puede ser heteroacuteclito De nuevo una frase el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo es heteroacuteclito
afirma su propia falsedad Un curioso juego el Nomic en el que los jugadores cambiaban las
reglas del propio juego a lo largo de la partida (de hecho las reglas iniciales del juego
simplemente estableciacutean los mecanismo para modificarlas) es otro ejemplo Pero la
autorreferencia no soacutelo da lugar a paradojas o a grandes teoremas El maacutes familiar y maacutes
misterioso fenoacutemeno de la Naturaleza la conciencia que los seres humanos tienen de siacute
mismos es en uacuteltima instancia un tipo de autorreferencia
Un nuevo ejemplo de autorreferencia que sin duda atrae mucho la atencioacuten es la foacutermula de
Tupper (Parrondo2007) que tienen la sorprendente propiedad de dibujarse a siacute misma en el
plano La foacutermula es la siguiente
Figura IV2 Autorretrato de la foacutermula de Tupper
125
En ella aparecen dos siacutembolos que quizaacutes algunos no conozcan aunque son habituales en
matemaacuteticas El primero de ellos es x y es la parte entera de x es decir el entero
inmediatamente por debajo de x Por ejemplo 2452 = Como se ve la parte entera de un
nuacutemero es simplemente lo que hay a la izquierda de la coma decimal La otra funcioacuten que
aparece en la foacutermula de Tupper es la funcioacuten ldquomoacutedulordquo mod (xz) que es igual al resto que se
obtiene cuando se divide x entre y Por ejemplo mod(3617)=2
La foacutermula establece una condicioacuten para el par x y Si se colorean de negro en el plano (xy) los
puntos que verifican la condicioacuten se obtendraacute un dibujo una imagen infinitamente grande
puesto que el plano (xy) es infinito Pues bien en un lugar de esa imagen infinita en concreto
en la regioacuten definida por 0ltxlt106 kltyltk+17 en donde k es un nuacutemero enorme de 542 cifras
aparece lo que se muestra en la figura IV2 es un autentico ldquoautorretratordquo matemaacutetico
iquestCoacutemo llegoacute Tupper a concebir algo tan sorprendente y tan extrantildeo En realidad no es tan
difiacutecil porque la foacutermula de Tupper no soacutelo se dibuja a siacute misma sino que dibuja cualquier
imagen de 17 piacutexeles de altura y ancho arbitrario Para convencerse de ello hace falta un
razonamiento un poco complicado aunque soacutelo utiliza matemaacuteticas elementales Analiacutecese la
foacutermula cuando y variacutea desde k hasta k+17 siendo k un muacuteltiplo de 17 es decir k=17r con r
un nuacutemero entero En toda esta regioacuten del plano
r17
y=
es constante Fijaacutendose ahora en el exponente de 2 en la foacutermula (cambiado de signo) es
decir en la expresioacuten
( )17ymodx17n +=
En la figura IV3 se muestra coacutemo este exponente n variacutea en el plano Si se dibuja una trama de
piacutexeles cuadrados de lado unidad n toma un valor distinto en cada uno de ellos tal y como se
indica en la figura Para convencerse de ello basta darse cuenta de que ( )17ymod es un
entero que variacutea de 0 a 16 cuando y va desde k=17r hasta k+17 mientras que el teacutermino
x17 salta de 17 en 17 cuando se avanza de una columna a la siguiente
126
Figura IV3 Variacioacuten del exponente n pixel a pixel
Veacutease ahora el paso crucial para entender la foacutermula de Tupper La desigualdad
( ) 22rmod2
1 nminuslt
se puede analizar de forma sencilla si se expresa r en base 2 Supoacutengase que r es en binario
1011001 y que n=5 Para dividir r entre 25 basta colocar la coma decimal cinco lugares a la
izquierda de la uacuteltima cifra es decir r2-5=1011001 El moacutedulo 2 de este nuacutemero se obtiene
eliminando las cifras a la izquierda de la primer cifra entera mod(r2-52)=011001 Finalmente
la parte entera de este nuacutemero es simplemente la cifra que queda a la izquierda de la coma
decimal en este caso 0 Por lo tanto el miembro de la derecha de la desigualdad no es maacutes
que la cifra n+1 de r empezando por la derecha Si esta cifra es un 0 la foacutermula es falsa Si es
un 1 es verdadera y generaraacute un piacutexel negro en el lugar correspondiente al exponente n
Con todo ello se puede encontrar en queacute regioacuten del plano se dibuja la foacutermula de Tupper de
cualquier imagen Basta escribir un nuacutemero binario entero r con unos y ceros en donde se
quiere que haya piacutexeles negros y blancos respectivamente Si se tiene que escribir r de
derecha a izquierda mientras si sigue los piacutexeles de la imagen en el orden especificado en la
figura IV3 (desde n=0 hasta el valor que se quiera) Una vez que se obtiene r de esta forma se
multiplica por 17 y se obtiene k=17r La imagen buscada estaraacute en la franja que va de y=k hasta
127
y=k+17 y de x=0 hasta el valor de x en el que termina la imagen que puede ser tan ancha
como se quiera (los piacutexeles a la derecha del uacuteltimo codificado en el nuacutemero r seraacuten blancos)
La foacutermula no da lugar a ninguna paradoja pero no es soacutelo autorreferente sino una auteacutentica
Biblioteca de Babel Dibuja todas las posibles imaacutegenes de 17 piacutexeles de altura y de anchura
arbitraria y como en 17 piacutexeles de altura es faacutecil dibujar cualquier letra del abecedario y
cualquier signo de puntuacioacuten entonces la foacutermula ldquoescribiraacuterdquo en alguna remota franja del
plano y como si se tratara de un rudimentario teletipo el Quijote entero desde su primera
hasta su uacuteltima letra o cualquier otro libro escrito o por escribir
G) Informacioacuten oculta Decidir lo que se exporta al resto del mundo y lo que uno guarda para siacute
mismo es una capacidad que los desarrolladores del software adquieren soacutelo a traveacutes de
una combinacioacuten de buenos ejemplos y praacutectica
H) Reutilizacioacuten El buen desarrollador de software se da cuenta de que una clave para dejar la
ldquomarca de faacutebricardquo es saber cuaacutendo se puede contar con alguacuten trabajo anterior para
resolver el problema en curso Reutilizar bien es una habilidad producir resultados para
que otros los empleen es el signo de que se es un maestro El uso de ontologiacuteas es aquiacute
esencial
I) Pleacutectica o coacutemo vencer la complejidad Los sistemas software son ambiciosas empresas
intelectuales verdaderamente alguno de los sistemas maacutes complejos jamaacutes concebidos
por la humanidad y la complejidad amenaza con engullirse el proyecto en cada estadio Los
expertos saben coacutemo reconocer la simplicidad esencial maacutes allaacute de un aparente embrollo A
esta propiedad el Nobel de fiacutesica Gell-Man le denomina ldquoPleacutecticardquo (Gell-Man 1996) que el
mismo define como el estudio de la simplicidad y la complejidad Uno de sus fines es
establecer claramente cuaacutendo la adicioacuten de nuevos elementos (reglas datos etc)
simplemente complica las cosas sin antildeadir nada esencial
J) Disentildeo para el cambio El software puede cambiar debe cambiar y de hecho cambia maacutes
que cualquier artefacto de ingenieriacutea de cualquier otro tipo A menos que los
desarrolladores apliquen minuciosamente principios arquitectoacutenicos estrictos el proceso
de cambio puede ser penoso especialmente para grandes sistemas Mucha de la
justificacioacuten para los modernos meacutetodos lenguajes y herramientas es la expectativa de que
facilitaraacuten este proceso Aprender los principios del disentildeo para el cambio y presentar
claramente sus beneficios es algo esencial
128
K) Clasificacioacuten Una de las ensentildeanzas extraiacutedas de la programacioacuten orientada a objetos POO
es que una manera de atacar la complejidad es organizar lo ldquoenfollonadordquo en embrollos
maacutes pequentildeos y repetir el proceso
L) Tipificacioacuten La nocioacuten de que dando a todo una tipificacioacuten produce elementos software
correctos documentarlos y hacerlos utilizables efectivamente es otra realizacioacuten que puede
afectar profundamente el entendimiento del campo del profesional del software
Cuestiones y teacutecnicas de tipificacioacuten van a traveacutes de la especificacioacuten hasta la
implementacioacuten y documentacioacuten La profesioacuten de desarrollador software tiene a gala
haber tomado el estudio y la construccioacuten de sistemas tipo maacutes que cualquier otra
disciplina dominar su poder es necesario para llegar a ser un buen profesional
M) Constricciones La praacutectica de algoritmos estructuras de datos moacutedulos y sistemas con
restricciones precisas garantiacuteas e invariantes da con mucho un mejor control sobre lo que
se hace Una vez dominada esta habilidad es para siempre
N) Manejo de excepciones La mayoriacutea de la gente en su vida cotidiana y los desarrolladores
de software no son en esto una excepcioacuten considera soacutelo las cosas o situaciones maacutes
comunes y o deseables sin embargo un buen profesional debe preocuparse
constantemente tambieacuten por las situaciones anormales Soacutelo a traveacutes de teacutecnicas
conceptuales sistemaacuteticas puede evitarse el ahogarse en las partes supuestamente
interesantes del razonamiento en miriacuteadas de previsiones y casos excepcionales En este
sentido la CS tiene maacutes que ver con la acutePatafiacutesica que es el estudio y anaacutelisis de las
excepciones que con la Fiacutesica que trata de leyes lo maacutes generales posibles
La lsquoPatafiacutesica palabra que seguacuten Arrabal (debe llevar siempre apoacutestrofe pegado a la
izquierda de la P mayuacutescula) en realidad es la disciplina que sin disciplina alguna propone
soluciones imaginarias En su diacutea se presentoacute en sociedad como ciencia de lo particular sin
dejarse atropellar por la afirmacioacuten positivista de que soacutelo hay ciencia de lo general En
plena iexcllocura estudia las leyes que rigen las excepciones e ilumina o explica el universo
suplementario o supremamente Para Shatuk (Shatuk 1996) Toda ley es por definicioacuten
general en el sentido de que generaliza todos los hechos observados En otro caso se estaacute
ante lo que el movimiento dadaiacutesta denominoacute lsquoPatafiacutesica Para ellos la ciencia de las
soluciones imaginarias no de lo real y ademaacutes es la ldquocienciardquo de lo particular es decir de
las ldquoleyesrdquo que gobiernan las excepciones En un sentido similar Alfred Jarry (Jarry 2003)
dice La lsquoPatafiacutesica cuya etimologiacutea debe escribirse epi (microετατα-ϕυσιχα) y cuya ortografiacutea
129
real es lsquoPatafiacutesica con apoacutestrofo para evitar un faacutecil retruecano es la ciencia que se antildeade
a la metafiacutesica asiacute sea en ella misma como fuera de ella extendieacutendose maacutes allaacute de eacutesta
tanto como ella misma se extiende maacutes allaacute de la fiacutesica Para Jarry los fundamentos de la
lsquoPatafisiacuteca son los siguientes
a) La lsquoPatafiacutesica es la ciencia de lo que se antildeade a la metafiacutesica En consecuencia su
dominio queda por debajo de eacutesta
b) Es la ciencia de las leyes que rigen lo excepcional Un epifenoacutemeno es lo que se antildeade a
un fenoacutemeno puesto que a menudo el epifenoacutemeno es el accidente la lsquoPatafisiacuteca seraacute
sobre todo la ciencia de lo particular por maacutes que suela decirse que soacutelo hay ciencia en
general Estudiaraacute por tanto las leyes que rigen las excepciones y explicaraacute el universo
suplementario de eacuteste O menos ambiciosamente descubriraacute un universo que pueda y
quizaacutes deba verse en lugar del tradicional ya que las leyes del universo tradicional que
se ha creiacutedo descubrir son tambieacuten correlaciones de excepciones aunque maacutes
frecuentes o en todo caso correlaciones de hechos accidentales que reducieacutendose a
excepciones poco excepcionales carecen del atractivo de la singularidad
c) Es la ciencia de las soluciones imaginarias que acuerda simboacutelicamente a los
lineamientos de los objetos las propiedades de eacutestos descritas por su virtualidad La
ciencia actual seguacuten los patafiacutesicos se funda sobre el principio de la induccioacuten lo cual
es falso La mayoriacutea de los hombres ha visto que tal o cual fenoacutemeno precede o sucede a
tal otro y concluye que siempre ocurriraacute asiacute En primer lugar esto es cierto solamente a
menudo depende de un punto de vista y estaacute codificado por la comunidad o por algo
peor En lugar de enunciar la ley de la caiacuteda de los cuerpos hacia un centro iquestpor queacute no
ha de preferirse la ascensioacuten del vacioacute o hacia una periferia tomaacutendose el vaciacuteo como
unidad de no-densidad hipoacutetesis eacutesta mucho menos arbitraria que la eleccioacuten del agua
como unidad concreta de densidad positiva
d) A los ojos de la lsquoPatafisiacuteca todo tiene el mismo valor y es en esencia imperturbable
e) Otros finalmente creen que la lsquoPatafisiacuteca es la ciencia basada en la observacioacuten de lo
inuacutetil y lo absoluto
Naturalmente la doctoranda soacutelo toma de la `Patafiacutesica el que en CS hay que considerar
y tener muy en cuenta las excepciones Lo demaacutes es puro surrealismo
130
O) Efecto Peneacutelope Falsas Maniobras Errores y Depuracioacuten Una parte importante de la vida
de los desarrolladores de software se gasta tratando con cosas que no funcionan coacutemo
deberiacutean De hecho los profesionales del software son los mayores expertos del mundo en
desarreglos Ensentildear a tratar estos desarreglos es fundamental a cualquier profesional del
software En el lenguaje de la construccioacuten se llaman ldquofalsas maniobrasrdquo a todas aquellas
actividades que se realizan en una obra de forma innecesaria bien sea por defectos de
disentildeo desarrollo del proyecto o improvisacioacuten al no haber sido tenidas en cuenta en la
planificacioacuten y programacioacuten de la ejecucioacuten de la obra Este inevitable hacer y deshacer
por improvisacioacuten falta de estudio previo o coordinacioacuten en el desarrollo y ejecucioacuten de un
proyecto en el mejor de los casos concierne a la eficiencia del proceso elevando los costes
del mismo y alargando innecesariamente los plazos de entrega de los productos
terminados pero en el peor lleva a fallos del mismo que inciden en la seguridad del
sistema en el que participan
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES
Y HOLONES
La teoriacutea propuesta se basa en soacutelo dos elementos fundamentales o constructos conceptuales
siguientes
IV31 INFORMOacuteN
IV311 DEFINICIOacuteN
Cualquier teoriacutea acerca de la informaacutetica en general y del disentildeo y desarrollo software maacutes en
concreto tiene que considerar esto es establecer y definir el elemento fundamental de la
misma la informacioacuten y su componente baacutesico el ldquoinformoacutenrdquo Etimoloacutegicamente informacioacuten
procede del teacutermino latino ldquoinformarerdquo cuyo significado de ldquoinformrdquo y ldquoarerdquo es ldquodar formardquo y
del sufijo griego ldquoonrdquo entidad ser partiacuteculas que fusionadas dan ldquoser informacionalrdquo o ldquoser
con formardquo Es decir informoacuten es una entidad informacional Analiacutecese ahora el teacutermino
informacioacuten Si se busca en los diccionarios uno se encuentra que seguacuten el DRAE Informacioacuten
es la accioacuten y efecto de informar e informar es dar noticia de algo (RAE 2001) Por su parte en
el Websterrsquos New World Dictionary (Guralnik 1986) se encuentran entre otros los siguientes
significados noticias conocimiento adquirido de cualquier manera hechos datos etc En
efecto y eso es lo que es trascendental aquiacute la informacioacuten puede presentarse en forma de
131
datos noticias y conocimientos Este enfoque coincide tal y como se muestra en la tabla IV1
con multitud de autores (Lage 2004) salvo que alguno de ellos reducen toda la informacioacuten a
lo que maacutes adecuadamente debe denominarse noticias
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Aamont amp Nygord
Entidades sintaacutecticas es decir Patrones sin significado Entradas a un proceso de interpretacioacuten Paso iniciado de la toma de decisioacuten
Datos interpretados o con significado Salida del proceso de interpretacioacuten Entrada al proceso de decisioacuten basado en conocimientos
Noticias aprendidas o incorporadas a los recursos de los agentes de razonamiento y utilizables de forma activa en los procesos de decisioacuten Salida del proceso de aprendizaje Aspecto pragmaacutetico
Alter Beckman Spek van
der amp Spijkervert
Hechos imaacutegenes o sonidos Datos formateados filtrados interpretados y dotados de significado
Ideas Intuiciones Procedimientos Reglas que guiacutean las acciones y soportan las decisiones es decir las noticias maacutes acciones maacutes aplicaciones
Arsac Nivel sintaacutectico Interesa posibles signos duracioacuten combinaciones
Nivel semaacutentico Comprensioacuten de signos Reglas para asignar sentido a etiquetas Son variables con el tiempo y el entorno o contexto
Nivel pragmaacutetico relativo al valor o utilidad de las noticias Depende fuertemente del tiempo
Bauer Bobrow
Cook Kleer amp Thomson
Nuacutemeros palabras sonidos imaacutegenes desorganizads
Datos ordenados y procesados en palabras significativas
Noticias dotadas de contenido contexto y comunidad de aceptacioacuten Es decir noticias puestas a producir por la gente
Bohn Materia prima Datos estructurados y organizados Algo que prescribe que hacer verbigracia la prediccioacuten
Blum
Elementos dados no interpretados al analista o solucionador del problema Por ejemplo nombre del paciente resultado de un test etc
Coleccioacuten de datos o elementos que contienen significado Por ejemplo registro meacutedico de un paciente que incluye los resultados del laboratorio y la diagnosis En Teoriacutea de Informacioacuten reducen la incertidumbre
Formalizacioacuten de las relaciones experiencia reglas etc por las cuales se forman las noticias a partir de los datos La formulacioacuten puede ser descriptiva o procesable por computadora En el segundo caso los conocimientos pueden expresarse como una foacutermula o como una coleccioacuten de estructuras relaciones y reglas El uso de los conocimientos sugiere generalmente la capacidad de inferir noticias a partir de las que ya estaacuten presentes
Cleveland
Observaciones sin digerir hechos sin pulir Aparecen como nuacutemeros letras palabras sin contexto y o organizacioacuten Tambieacuten pueden ser sentildeales dibujos artefactos
Datos estructurados y o organizados en un contexto Constan de hechos y datos organizados para describir problemas y situaciones Aparecen en forma de frases figuras objetos en un contexto particular
Noticias organizadas uacutetiles interiorizadas por un ente Constan de verdades y creencias perspectivas y conceptos juicios y expectativas metodologiacuteas y ldquosaber coacutemordquo Se acumulan integran y conservan en el tiempo y estaacuten disponibles para que sean aplicables y usables de forma idoacutenea en el momento oportuno y en el sitio adecuado
Davenport y Prusak
Hechos discretos y objetivos sobre acontecimientos Se describen mejor como registros estructurados de transacciones Los datos maacutes significativos transformados por Contextualizacioacuten categorizacioacuten caacutelculo correccioacuten o conclusiones = Noticias
Mensajes en forma de documento o comunicacioacuten audible o visible que tienden a cambiar la manera en que un receptor percibe algo y apunta a modificar su(s) criterio(s) y comportamiento Las noticias transformadas mediante comparacioacuten obtencioacuten de consecuencias conexiones o conversaciones devienen en conocimientos
Comprensioacuten total informada y confiable acerca de algo Es una mezcla fluiacuteda de experiencia estructurada valores informacioacuten contextual e internalizacioacuten experta que proporciona un marco para la evaluacioacuten e incorporacioacuten de nuevas experiencias e informacioacuten No es algo ordenado y simple Puede considerarse como un proceso o un producto Estaacuten muy proacuteximos a la accioacuten
Debenham Los datos son los objetos fundamentales e indivisibles de una aplicacioacuten
Las noticias son las asociaciones funcionales impliacutecitas entre los datos de una aplicacioacuten
Los conocimientos son las asociaciones funcionales expliacutecitas entre las noticias y o los datos de una aplicacioacuten
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores (continua)
132
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Gillette
Hechos organizados Siendo los hechos representaciones de fenoacutemenos y eacutestos lo que parece ser es decir lo que es percibido
Conceptos formados en la conciencia del perceptor Son datos seleccionados filtrados y usados para tomar decisiones o reforzar la posicioacuten de los usuarios Es decir son datos aplicados y uacutetiles Su valor es intriacutensecamente relativo a los usuarios
Noticias en accioacuten y movimiento Capacidad de reconocer comprender y seleccionar noticias y sus implicaciones Dice coacutemo aplicar las noticias y cuaacuteles buscar
Greenes and Shortliffe
Uacutenico punto de observacioacuten no interpretado Es decir el valor de un paraacutemetro especiacutefico Por ejemplo la lectura de la presioacuten arterial para una entidad particular (verbigracia un paciente) en un punto dado del tiempo
Datos organizados de manera que vehiculan significado
Se refiere a verdades generalizadas formadas a partir del anaacutelisis de las noticias utilizables De este modo los conocimientos incluyen ambos los resultados de estudios formales y hechos de sentido comuacuten suposiciones heuriacutesticas y modelos cualquiera de los cuales puede reflejar la experiencia o ldquoprejuiciosrdquo o preferencias de aquellos que interpretan los datos primarios Por ejemplo la noticia de que un paciente tiene hipertensioacuten es el resultado de aplicar una regla o criterio a los datos acerca de ese paciente Observaciones de varios de tales pacientes pueden conducir a nuevos conocimientos acerca de las relaciones entre hipertensioacuten y enfermedad cardiaca Datos y conocimientos son algo relativo en el sentido de que una afirmacioacuten factual (conocimiento) puede servir como dato en un nuevo contexto
Grenwood Materia prima Noticias vaacutelidas para una organizacioacuten especifica
Harris Datos+ ldquosustanciardquo+ propoacutesito Noticias + contexto + experiencia
Juristo y Pazos
Son elementos sintaacutecticos no estructurados y de contexto libre que denotan hechos y conceptos que se refieren al estado de las cosas y que en su forma maacutes simple se traducen en el valor que toma una variable verbigracia T =
11degC
Contienen elementos de datos relacionados y estructurados dentro de un contexto que les aporta significado Es decir es el significado que un ser inteligente atribuye a los datos a partir de las reglas convencionales empleadas para su representacioacuten Las noticias son foacutermulas escritas susceptibles de aportar conocimientos Por ejemplo
la frase ldquoel agua hierve a 100degCrdquo es una noticia
Constan por una parte de generalizaciones y abstracciones a partir de casos particulares y o concretos Por otra los conocimientos formalizan tanto las relaciones como la experiencia y permiten extraer nuevas noticias a partir de los datos y las noticias presentes o en uacuteltima instancia a explicitar noticias que soacutelo de modo impliacutecito estaacuten en los datos y las noticias existentes Los conocimientos sirven baacutesicamente para entender el mundo y resolver problemas En consecuencia los conocimientos conciernen baacutesicamente al aspecto pragmaacutetico o de utilizacioacuten de las noticias en general Asiacute el decir que ldquomuchos microbios perecen cuando se hierven a
100degCrdquo es un conocimiento que sirve para esterilizar agua contaminada y hacerla potable
Knapp Materia prima Noticias uacutetiles seleccionadas para ciertos trabajos
Kock y Moqueen
Vehiacuteculos de noticias y conocimientos
Lo relativo a hechos histoacutericos y descriptivos
Nuevo o modificado discernimiento o entendimiento predictivo
Kogut y Zander
Hechos ldquoamorfosrdquo Sentencias factuales o descriptivas Sentencias de coacutemo hacerlo esto es prescriptivos por ejemplo una receta
St Onge Materia prima Datos patroneados Capacidad para actuar
Vance Datos interpretados Noticias autenticadas
Zack Hechos en observaciones Datos en un contexto significativo Acumulacioacuten de noticias relevantes significativamente organizadas
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores
133
Conceptualmente para que se produzca informacioacuten debe existir alguacuten grado de
incertidumbre Como lo sentildealoacute Bateson (Bateson 1979) Informacioacuten es cualquier diferencia
que produce una diferencia Es decir si algo caracteriza a la informacioacuten es que es o produce
sorpresa (Schank 1996) Todo el mundo espera que la naturaleza o la gente o cualquier otra
entidad del tipo que sea se comporte de una cierta manera es decir sin incertidumbre pero
curiosamente cuando eso sucede asiacute la gente se aburre y hastiacutea Lo que hace que algo sea
digno de intereacutes y consideracioacuten es aquello que aparece organizado alrededor del concepto
de fracaso de expectativas Dicho de otro modo las previsiones cobran intereacutes no cuando se
cumplen sino justamente cuando fallan Por ello informacioacuten es el valor de la sorpresa
medida como el inverso de la probabilidad esperada de un evento o fenoacutemeno Es decir
cuando se habla de cualquier fenoacutemeno no es posible aprender algo vaacutelido de eacutel si estaacute
totalmente determinado
En consecuencia soacutelo hay informacioacuten si existe al menos un elemento de variabilidad Eacutesta
debe presentarse en diferentes estados cuyo nuacutemero debe ser muy finito Esto permite
determinar en queacute estado se encuentra dicho fenoacutemeno Formalmente Sea un fenoacutemeno
variable X que se presenta en un nuacutemero finito de estados infinneE entonces se dice que se
tiene informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando previamente se puede determinar el estado
actual del fenoacutemeno sometido a consideracioacuten Ei Dicho con otros teacuterminos de algo invariable
nada se puede decir que alguien no apostillara ya lo sabiacutea siempre fue y es asiacute En
consecuencia soacutelo puede haber informacioacuten si existe un elemento de variabilidad Eacutesta debe
presentarse como acaba de decirse en un nuacutemero finito de estados distintos pues en otro
caso no seriacutea posible considerarlos todos Entonces iquestcuaacutel seriacutea el significado de los no
considerados Lo uacutenico que se puede decir de ese fenoacutemeno finito es en queacute estado estaacute
actualmente Todo ello permite establecer la siguiente definicioacuten formal de informacioacuten Sea
un fenoacutemeno variable que se presenta en un nuacutemero finito de estados se dice que hay
informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando se determina previamente el estado actual del
fenoacutemeno sometido a consideracioacuten
Esta doctoranda teniendo en cuenta lo anterior define la informacioacuten del modo siguiente
ldquoUna diferencia causada por un proceso subyacente casi siempre dirigido por propuestas y o
intereses capaz de transformar una estructura cognitiva vehiculada por una coleccioacuten de
siacutembolos que tiene el potencial de alterar el estado cognitivo de un agente cognoscitivo que le
dota de significadordquo
134
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN
Los distintos elementos que intervienen en el manejo y transmisioacuten de la informacioacuten (Lage
2004) que establecen una categorizacioacuten en niveles de la misma son los siguientes Soporte
sentildeales signos datos noticias conocimientos y sabiduriacutea
La informacioacuten va desde la infraestructura que la vehicula formada por su soporte sentildeales y
signos a la superestructura que la usa para la accioacuten constituida por conocimientos y
sabiduriacutea pasando por la estructura conteniendo los datos y las noticias (que es lo que
habitualmente se denomina informacioacuten) Es decir los tres primeros elementos conforman la
infraestructura de la informacioacuten los dos del medio la estructura y los dos uacuteltimos la
superestructura Estos cuatro uacuteltimos conforman lo que geneacutericamente se denomina
informacioacuten El paso de unos niveles a otros se puede dar esquemaacuteticamente como sigue
Soporte medio que transmite sentildeales o soporta fenoacutemenos (en griego lo que aparenta ser)
verbigracia Aire Agua ADN canales humo nervios etc son distintos soportes + variaciones
en dicho soporte rArr
Sentildeales + Coacutedigo rArr
Signos + Patroacuten rArr
Datos = Hechos imaacutegenes sonidos valores de variables texto coacutedigo hellip + Interpretacioacuten +
Significado + Estructura + Relevancia + Propoacutesito rArr
Noticias Datos interpretados sumarizados organizados estructurados filtrados formateados
+ Accioacuten + Aplicacioacuten rArr
Conocimientos Ideas normas procedimientos casos reglas modelos intuiciones que guiacutean
las decisiones y actuaciones + Seleccioacuten + Experiencia + Principios + Restricciones +
Aprendizaje + Intuicioacuten rArr
Sabiduriacutea Juicios eacuteticos y esteacuteticos y axioloacutegicos Preferencias Gustos etc
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IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN
Claacutesicamente y teniendo en cuenta la naturaleza triaacutedica de los signos hay tres aspectos a
considerar en el estudio formal de la informacioacuten (Morris 1938) a saber
a) Sintaacutectico que trata sobre coacutemo estaacuten estructurados los siacutembolos
b) Semaacutentico que concierne a lo que denotan o significan
c) Pragmaacutetico que afecta a coacutemo se interpretan o usan
Aspectos que de modo similar tambieacuten considera Arsac (Arsac 1970) y hoy con ligeras
variaciones acepta todo el mundo (Paradela 2003) Sin embargo siendo importante la
informacioacuten en siacute misma no lo es menos la componente de comunicacioacuten que implica
Intuitivamente el significado de una ldquocomunicacioacutenrdquo es una combinacioacuten de semaacutentica y
pragmaacutetica Esta uacuteltima incluye inherentemente consideraciones tales como el entorno y los
estados mentales de los que se comunican que son externos al propio lenguaje Las maacuteximas
ldquoGriceanasrdquo de la comunicacioacuten son la piedra maestra del proceso de discusioacuten y son las
siguientes (Grice 1975)
a) ldquoCantidadrdquo Hacer la contribucioacuten a la conversacioacuten tan informativa como sea necesario
pero no maacutes para reducir la confusioacuten
b) ldquoCalidadrdquo Intentar hacer soacutelo contribuciones verdaderas es decir no decir lo que se cree
que es falso o de lo que se carece de la adecuada evidencia para establecerlo
c) Relacioacuten Emplear soacutelo aquello que sea relevante para el asunto entre manos
d) Modo manera o forma Evitar la oscuridad y la ambiguumledad ser breve y ordenado Es un
anhelo generalizado en casi todos los oacuterdenes de la vida el economizar palabras
naturalmente sin perder nada del significado de lo que se quiere decir Baltasar Graciaacuten
(Graciaacuten 1963) deciacutea Lo bueno si breve dos veces bueno y auacuten lo malo siacute poco no tan
malo maacutes obran quintas esencias que faacuterragos Las foacutermulas tablas etceacutetera ayudan a
este propoacutesito
Las formas maacutes concisas elegantes y potentes de transmisioacuten de ideas y conceptos son las
foacutermulas y ecuaciones matemaacuteticas y la poesiacutea Pues ambas comparten la siguiente cualidad
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caracteriacutestica La poesiacutea es como las foacutermulas y las ecuaciones la forma del lenguaje maacutes
concisa y cargada de significado La diferencia estaacute en que en las foacutermulas y ecuaciones el
idioma es universal cosa que no sucede en la poesiacutea
La distincioacuten entre datos noticias y conocimientos lleva antildeos intentado dilucidarse sin que
hasta el momento se haya llegado a una conclusioacuten definitiva Una posible razoacuten para esta
falta de consenso estriba en el hecho de que se mezclan distintas perspectivas en las
discusiones acerca de conceptos que como sucede en el caso de ldquoinformacioacutenrdquo resultan ser
ldquopolimorfosrdquo Se dice que un concepto es polimorfo cuando no es posible definirlo como se
hace con las definiciones claacutesicas mediante un conjunto de atributos caracteriacutesticas y o
propiedades y o condiciones necesarias y suficientes universalmente vaacutelidas Un ejemplo
tiacutepico de concepto polimoacuterfico es el de ldquococherdquo que no es lo mismo para un ingeniero
mecaacutenico que para un ecologista o para un planificador de traacutefico Es decir el concepto
ldquococherdquo admite y de hecho tiene distintas definiciones dependiendo del contexto Todo lo
contrario sucede con los conceptos matemaacuteticos formales establecidos que tienen definicioacuten
uacutenica
En general no hay forma de distinguir datos noticias y conocimientos a partir de una base
ldquorepresentacionalrdquo de los mismos es decir vistos aisladamente como elementos y estructuras
en un papel o una maacutequina o cualquier otro sistema pues usan los mismos signos y sentildeales
Por eso cualquier distincioacuten basada en el tamantildeo o complejidad de la representacioacuten estaacute con
probabilidad rayana en la certeza condenada al fracaso Una alternativa estriba en ir maacutes allaacute
de la representacioacuten e identificar coacutemo y con queacute propoacutesito se usan estas estructuras esto es
que papeles juegan en el proceso generalmente de toma de decisioacuten en el que participan En
consecuencia para poder categorizarlos ya que no es posible clasificarlos hay que tener en
cuenta ademaacutes de las estructuras por ellos mismos representadas su ldquointerpretacioacutenrdquo dentro
de los distintos contextos en que se aplican y por quieacuten son interpretados y aplicados Esto
conduce directamente al problema del ldquomarco de referenciardquo de los aspectos de
interpretacioacuten y los ldquoagentesrdquo hombres y o maacutequinas etc ejecutando la interpretacioacuten que
estaacuten interrelacionados Con el teacutermino ldquoagenterdquo se quiere decir un sistema natural y o
artificial con capacidad de inferencia y razonamiento sobre estructuras abstractas y de
ejecutar acciones en base a esas capacidades La cuestioacuten crucial es dilucidar a queacute ldquoagenterdquo
debe asignaacutersele un(os) elemento(s) concreto(s) en forma de dato(s) y o noticia(s) y o
conocimiento(s) o si eacutestos pueden considerarse como objetivos y o elementos
137
independientes de un inteacuterprete particular El concepto de ldquoholoacutenrdquo que se consideraraacute maacutes
adelante permitiraacute superar esas dificultades
De todo lo anterior se deduce que aunque pueda tomar distintas apariencias y usos la
informacioacuten es una y por eso una debe ser abstractamente su elemento baacutesico que a falta de
mejor nombre los autores deciden denominarle ldquoinformoacutenrdquo A modo de inciso aclarativo hay
que sentildealar que dicho teacutermino lo usoacute por primera y uacutenica vez Uttley (Uttley 1970) al aplicar
algunas ideas de la teoriacutea matemaacutetica de la comunicacioacuten de Shannon (Shannon 1948) al
perceptroacuten de Rosenblatt formado por unidades de separacioacuten lineal (ldquoneuronasrdquo) lo que
constituiacutea una fuerte limitacioacuten (Rosenblatt 1958) Para superarla Uttley propuso por una
parte un esquema de aprendizaje no supervisado en el que los pesos sinaacutepticos se definiacutean en
funcioacuten de que una ldquoneuronardquo i se active al tiempo que se activa otra j de la capa anterior y a
la que estaacute conectada por medio de una sinapsis y cuyo peso de conexioacuten asociado vendriacutea
dado por
)nn(P
)n(P)n(PlogkW
ij
ijii
ijsdot
sdotsdot=
Siendo k una constante a valorar por el disentildeador de la red P(nj) la probabilidad de que la
neurona j responda P(ni) la probabilidad de que la neurona i responda Y P(njni) la
probabilidad de que las dos neuronas esteacuten activadas simultaacuteneamente Por otra parte Uttley
tambieacuten reemplazoacute la funcioacuten umbral de activacioacuten del preceptroacuten por otra que proporcionaba
una respuesta maacutes graduada y no solamente de todo o nada Como puede verse el sentido
que se le da aquiacute no tienen nada que ver con la red de Uttley Fin de la aclaracioacuten
Es decir toda informacioacuten con independencia del soporte que se utilice de las sentildeales que
use y de los signos a que deacute lugar y emplee es ni maacutes ni menos un conjunto de informones
Fiacutejese que no se dice que puede representarse es mucho maacutes que eso estaacute constituida por
informones Por otra parte los tres aspectos a considerar en el estudio formal de la
informacioacuten (Morris 1938) Sintaxis o estructura de los signos Semaacutentica o significado de los
mismos y Pragmaacutetica o interpretacioacuten y o uso de dichos signos estaacuten contemplados en el
informoacuten El informoacuten es tanto un dato a nivel sintaacutectico como un registro de un MIS a nivel
semaacutentico como una ontologiacutea a nivel pragmaacuteticoPor ejemplo las bases de datos estaacuten
constituidas por informones tipo datos Los sistemas de informacioacuten proporcionan informones
138
tipo noticias estructuradas Y las bases de conocimiento se estructuran con informones en
forma de ontologiacuteas
Asiacute se define el informoacuten como el elemento baacutesico de la informacioacuten que tiene sentido para
un holoacuten y le permite tomar decisiones y ejecutar acciones adecuadas El informoacuten puede
tomar la forma de un dato de una noticia y de un conocimiento La unioacuten de informones como
datos y los holones correspondientes de informones como noticias y los correspondientes
holones con los que interactuan forman los asiacute aunque inadecuadamente denominados
sistemas de informacioacuten Finalmente la unioacuten de informones en forma de ontologiacuteas como
conceptualizaciones consensuadas de conocimientos y los correspondientes holones en este
caso en forma de motores de inferencia que las manejan y se interrelacionan forman los
Sistemas Basados en Conocimientos en general y los Sistemas Expertos en particular
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN
Como ya se ha dicho no existe informacioacuten sin algo que la procese Dicho lo anterior el
elemento baacutesico del proceso de la informacioacuten que aquiacute se considera es el que para usar el
teacutermino empleado por Koestler (Koestler 1967) basaacutendose en ldquola paraacutebola de los relojerosrdquo de
Simon (Simon 1962) se va a denominar holoacuten
El premio Nobel de economiacutea del antildeo 1978 y uno de los padres de la Inteligencia Artificial
Herbert A Simon planteoacute la paraacutebola de dos relojeros en el sentido de disentildeadores y sobre
todo constructores de relojes En dicha paraacutebola Simon concluiacutea (Simon 1962) que los
sistemas evolucionan mucho maacutes raacutepida y seguramente de un nivel de complejidad
determinado a otros niveles de complejidad significativamente superior si se consiguen
formas intermedias estables que actuacuteen como pasos intermedios hasta ldquoalcanzarrdquo el objetivo
Simon ilustraba el proceso seguacuten el cual era posible ldquocrecerrdquo minimizando riesgos hasta llegar
a sistemas complejos La idea es que un sistema complejo resultariacutea sumamente fraacutegil si no
constara de subsistemas interrelacionados y en la medida conveniente autoacutenomos La
paraacutebola sucintamente es la siguiente Habiacutea una vez dos relojeros Tempus y Hora que
trabajaban naturalmente en Suiza Hora montaba sus relojes como por entenderse se monta
un castillo de naipes Bastaba por tanto que una pieza verbigracia un muelle se saliera de su
sitio o por exagerar le ldquoatacarardquo un golpe de tos al relojero mientras colocaba una tuerca
para que todo se le viniera abajo y se viese forzado a retomar cual Siacutesifo (Seeman 1958) la
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tarea desde el principio Tempus con maacutes astucia y visioacuten de futuro seguiacutea otro procedimiento
maacutes eficaz Ensamblaba unidades independientes y complementarias hasta que oiacutea el ldquotic tacrdquo
sentildeal que el trabajo estaba felizmente terminado De este modo se precaviacutea de que el golpe de
tos o la pieza rebelde paradigma de la maldad de las cosas inanimadas echaran a perder su
trabajo Pues en el peor de los casos se estropeaba soacutelo una unidad o moacutedulo del sistema
total es decir se malograba una unidad que formaba parte o estaba comprendida en otra
unidad de orden superior lo que era un incordio pero no una tragedia Tempus consiguioacute
fabricar muchos maacutes relojes que Hora y al final se quedoacute con praacutecticamente toda la clientela
Retomando esta hipoacutetesis contrastada Arthur Koestler siguiendo la maacutexima holista
aristoteacutelica de que ldquoel todo es maacutes que la suma de las partesrdquo (Aristoacuteteles 1994) y teniendo
en cuenta la paraacutebola de los dos relojeros acuntildeoacute el neologismo ldquoholoacutenrdquo (Koestler 1967) que
etimoloacutegicamente viene de ldquoholosrdquo es decir totalidad e incorpora el sufijo ldquoonrdquo que como
ya se ha dicho significa ldquoparterdquo o ldquopartiacuteculardquo El concepto de holoacuten estaacute inspirado en las
estructuras recursivas autosimilares presentes en los sistemas organizativos bioloacutegicos De
hecho un holoacuten lo definioacute Koestler como una parte identificable de un sistema que tiene
entidad uacutenica compuesta de partes subordinadas y que a su vez es parte de un todo mayor
Este concepto tiene una larga y respetable historia En efecto la idea de jerarquiacutea y de sus
constituyentes partes-todo u holones puede y debe remontarse a los filoacutesofos presocraacuteticos
padres del atomismo Leucipo y Deomoacutecrito Eacutestos desarrollaron el concepto abstracto de
aacutetomo y lo usaron para desarrollar una filosofiacutea que podriacutea o al menos lo pretendiacutea explicar
todos los eventos observados Aristoacuteteles por su parte al establecer en su metafiacutesica que el
todo era maacutes que la suma de las partes fue el iniciador del holismo Ademaacutes usoacute la jerarquiacutea
como metodologiacutea para acumular y conectar conocimiento bioloacutegico Este concepto de
jerarquiacutea fue quizaacutes la forma dominante de ver la conexioacuten entre los oacuterdenes natural
humano y sobrenatural de los seres durante la edad media En el siglo XVII Leibinz propuso la
moacutenada como unidad irreducible para explicar no soacutelo el mundo material sino tambieacuten el
mundo espiritual
Al comienzo del siglo XX hubo un agitado intereacutes en el holismo y la jerarquiacutea que debe sus
geacutenesis al impacto de la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y Darwin Posteriormente en 1926
Jan Smuts en su obra ldquoEvolution and Holismrdquo vio las profundas conexiones entre los mundos
natural y social y su concepto de holismo influencioacute claramente las ideas de Wilber Eacuteste en
1980 cita a Smuts al comienzo de su principal trabajo ldquoThe Atman Projectrdquo donde usa el
concepto de jerarquiacutea En todas partes se ve en la naturaleza nada maacutes que totalidades
140
Mientras todos estos distintos entramados de ideas incluyen la consideracioacuten de redes
jeraacuterquicas y niveles y oacuterdenes de desarrollo no fue hasta el trabajo de Arthur Koestler donde
se propuso una teoriacutea completa de holarquiacutea y holones
Koestler primero vio la necesidad de alguacuten modelo que pudiera unir e integrar la visioacuten del
mundo reducionista y mecanicista de las sicologiacuteas ldquocientiacuteficardquo y conductista con la visioacuten del
mundo holista y humanista de las sicologiacuteas feudiana rogeriana y de la gestalt En segundo
lugar reconocioacute la importancia y relevancia de los procesos evolutivos en las ciencias sociales y
buscaba proporcionar alguacuten sistema teoreacutetico que pudiera aplicar conceptualizaciones
evolutivas a ambas realidades En tercer teacutermino buscaba desarrollar un modelo de sistemas
sociales humanos que fueran igualmente naturales para analizar el micronivel de la
individualidad y el macronivel de la colectividad Eacutel buscaba proponer alguacuten modelo baacutesico de
explicacioacuten que fuera relevante a lo largo y ancho de todo el rango de al actividad humana y su
entorno Koestler reconocioacute que este constructo ldquoholoacutenrdquo teniacutea de hecho unos muy
venerables y antiguos ancestros en la filosofiacutea occidental Varios e importantes filoacutesofos
incluyendo Leibniz y Hegel habiacutean dirigido su atencioacuten a la importancia de cosas tales como
jerarquiacutea y niveles de desarrollo Koestler se veiacutea a siacute mismo en una liacutenea de pensadores tales
como esos que buscaban presentar juntos diferentes buacutesquedas y escuelas de esfuerzos
cientiacuteficos en lugar de perseguir la continua especializacioacuten en el conocimiento cientiacutefico que
habiacutea caracterizado las modernas escuelas cientiacuteficas La teoriacutea holoacutenica era el intento de
Koestler de conseguir una filosofiacutea de la ciencia integradora y esperaba que esta teoriacutea o algo
similar formariacutean la base de cualquier futura visioacuten del mundo futuro
El teacutermino holoacuten es como ya se ha dicho una combinacioacuten del vocablo griego ldquoholosrdquo que
significa todo o totalidad y el sufijo ldquoonrdquo el cual como en las palabras protoacuten neutroacuten etc
que indica ademaacutes de ser partiacutecula o parte El holoacuten entonces es una parte-todo Es un
punto nodal en una jerarquiacutea que describe las relaciones entre entidades que son totalidades
autocompletas y entidades que pueden verse como partes dependientes de otras Asiacute
dependiendo de coacutemo se centre el foco movieacutendose arriba abajo y o a lo largo y ancho de
los nodos de una estructura ldquojeraacuterquicardquo asiacute la percepcioacuten de lo que es un todo y lo que es una
parte cambiaraacute
Koestler con la paraacutebola de los relojeros de Simon quiso mostrar dos cosas Una que los
sistema complejos evolucionaraacuten desde los sistemas maacutes sencillos mucho maacutes raacutepidamente si
hay formas estables intermedias es decir si estaacuten jeraacuterquicamente organizadas Dos y maacutes
141
importante eacutel buscaba mostrar que los sistemas complejos resultantes seraacuten siempre
jeraacuterquicos y que la jerarquiacutea es el resultado natural y ubicuo del desarrollo de formas
estructurales Despueacutes de establecer la importancia universal de la jerarquiacutea en el desarrollo
de sistemas complejos Koestler continuoacute proponiendo que estas jerarquiacuteas podriacutean analizarse
en teacuterminos de los nodos o formas intermedias estables mediante las cuales se define su
estructura Fue justo a estas formas intermedias a las que Koestler le confirioacute la nueva etiqueta
de ldquoholoacutenrdquo
Koestler vioacute la teoriacutea holoacutenica como una filosofiacutea de la ciencia amplia que mostraba una salida
al interminable debate acerca de los meacuteritos del reducionismo y del holismo Koestler sentildealoacute
que en cualquier y todo orden existente de los sistemas fiacutesicos a los sociales pasando por los
quiacutemicos y los bioloacutegicos enteramente autosoportados no existiacutean entidades no
interactuantes Y lo que es maacutes importante que las entidades pueden verse situadas en una
relacioacuten holaacuterquica entre ellas Eacutel llamaba a los sistemas de tales entidades Open Hierarchical
Systems (OHS) y a eacutestos subsecuentemente se les denominoacute holarquiacuteas Un holoacuten como
Koestler entendiacutea el teacutermino es una parte identificable de un sistema que tiene una identidad
uacutenica sin embargo estaacute hecho de partes subordinadas y a su vez es parte de un todo mayor
Los holones de Koestler no fueron pensados como entidades y objetos sino como una forma
sistemaacutetica de relacionar estructuras teoreacuteticas En otras palabras los holones eran puntos de
referencia arbitrarios para interpretar la realidad En sus palabras Whatever the natura of a
hierachic organization its constituent holons are defined by fixed rules and flexible estrategies
De este modo los holones de Koestler son postulados y ldquodeterminadosrdquo soacutelo fuera de las
reglas relacionales y estrategias que ayudan a dar sentido a la realidad
Dado que los holones se definen por la estructura de una jerarquiacutea cada holoacuten identificado
puede verse el mismo como una serie de subjerarquiacuteas anidadas de la misma manera que las
muntildeecas rusas las matrioscas son una serie inclusiva de muntildeecas dentro de otras muntildeecas
Los holones son entonces simultaacuteneamente partes y todos porque ellos son siempre partes
de jerarquiacuteas maacutes amplias y siempre contienen subjerarquiacuteas Los holones son
simultaacuteneamente todos autocontenidos de sus partes subordinadas y partes dependientes
cuando se ven en la direccioacuten inversa Por consiguiente los holones pueden verse como
puntos de referencia en series jeraacuterquicas u holarquiacuteas
Koestler ha propuesto un conjunto bastante detallado de principios holoacutenicos y mostroacute que el
constructo holoacuten tiene una aplicacioacuten muy amplia A su vez Wilber ha colocado el constructo
142
holoacuten firmemente en el centro de su marco integrador comprehensivo para conectar
conocimiento Wilber ha ampliado la teoriacutea holoacutenica en un nuevo enfoque para entender las
relaciones de muchos dominios de conocimiento diferente Las concordancias entre los
principios holoacutenicos de Koestler y los 20 postulados de Wilder son claras pero no completas En
efecto hay varios aspectos de la teoriacutea de Koestler que hasta ahora no han sido explorados
por nadie incluido Wilber Eacutestos incluyen los conceptos de
a) Cambio holiacutestico Sistemas de entrada-salida que buscan la manera de coacutemo se disparan los
holones y coacutemo eacutestos escudrintildean y filtran las entradas
b) ldquoArborizacioacutenrdquo ldquoreticulacioacutenrdquo y ldquocanales de regulacioacutenrdquo Tanto tener aptitudes como
maneras de ver coacutemo los holones pueden relacionarse entre siacute
c) La ldquosaludrdquo holoacutenica y coacutemo cambian los holones y los principios de Koestler sobre equilibrio
holoacutenico desorden y regeneracioacuten que ofrecen feacutertil terreno para posterior estudio
Por su parte Wilder a estos principios antildeade los siguientes
a) No exclusioacuten que significa que se pueden aceptar las declaraciones vaacutelidas de verdad es
decir las pretensiones de verdad que pasan los test de validez para sus propios paradigmas
en sus propios campos sean eacutestos hermeneuacuteticos cientiacuteficos etc en tal grado que
realizan afirmaciones acerca de la existencia de sus propios fenoacutemenos descubiertos y
realizados pero no cuando hacen afirmaciones acerca de la existencia de fenoacutemenos
realizados por otros paradigmas Este principio se refiere a la aceptacioacuten de conocimiento
parcial pero vaacutelido que ha sido recogido por disciplinas centraacutendose en aspectos
particulares de los holones Mucho de ese conocimiento ha sido el resultado de paradigmas
(matrices disciplinaresmetodologiacuteas) reducionistas
b) PlegadoDesplegado que se define como sigue La no exclusioacuten con frecuencia desvela una
idea que estaba velada En cualquier corriente evolutiva sucesivas olas transcienden e
incluyen a sus predecesoras y asiacute cada ola es adecuada y cada ola sucesiva es maacutes
adecuada En breve cada ola es holista y cada ola sucesiva es maacutes holista Este principio
ldquounfoldmentenfoldmentrdquo se refiere a la aceptacioacuten de la naturaleza holista y evolutiva del
conocimiento y sus meacutetodos Este principio se relaciona con la idea de que todas las bases y
meacutetodos de conocimiento estaacuten conectados y pueden ilustrar a los demaacutes
143
c) ldquoEnactmentrdquo ldquoPromulgacioacutenrdquoPoniendo todos estos modos de inquisicioacuten juntos como un
enactment y descubrimiento de cognicioacuten ldquoturquesardquo resulta en un pluralismo
metodoloacutegico integral Los fenoacutemenos son ldquoenactedrdquo paridos y desvelados por praacutecticas
entonces uno se percata de que lo que parece ser ldquofenoacutemenos o experiencias conflictivasrdquo
son simplemente experiencias diferentes y completamente compatibles paridas por
diferentes praacutecticas De este modo ldquoenactmentrdquo se refiere a la capacidad de situar y
proporcionar un nuevo contexto integrador para que todos los enfoques parciales sean
reduccionistas y holistas Son precisamente estas tres capacidades las que se hacen
disponibles cuando se ve el holoacuten como una unidad de anaacutelisis para una teoriacutea integral
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES
El teacutermino ldquoholoacutenrdquo se emplea entonces para denominar entidades que exhiben
simultaacuteneamente un comportamiento autoacutenomo es decir se comportan como un todo y no
autosuficiente esto es se comportan como una parte de un todo mayor Verbigracia las
moleacuteculas que son simultaacuteneamente todo cuando integran a los aacutetomos que las forman y
parte cuando por ejemplo se integra en una ceacutelula como el ADN que constituye el nivel
inmediatamente superior en tamantildeo y funcionalidad que no en importancia pues todos los
niveles son decisivos e imprescindibles sin aacutetomos no hay moleacuteculas etc Cuando el holoacuten se
siente todo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en los
niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo Una de las principales caracteriacutesticas de los
holones es su autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y le puede
proporcionar la capacidad de autoorganizacioacuten y autopoiesis Esto significa que se precisan
capacidades de cooperacioacuten En consecuencia se puede ldquodefinirrdquo un ldquoholoacutenrdquo como un
elemento con entidad propia que presenta un comportamiento autoacutenomo autoorganizativo
recursivo y cooperativo Autonomiacutea significa que cada holoacuten debe ser capaz de crear controlar
y monitorizar la ejecucioacuten de sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten y realizar
acciones preventivas y o correctivas adecuadas esto es racionales frente a sus propias
disfunciones En 1981 el premio Nobel de Medicina Roger Sperry hizo uso del concepto de
holoacuten en su aacuterea de conocimiento Posteriormente Suda a partir de 1989 aplicoacute el concepto
de holoacuten a los sistemas industriales con lo que el teacutermino se hizo ubicuo En general el holoacuten
es la unidad baacutesica estable y coherente en sistemas complejos tanto naturales (bioloacutegicos y
sociales) como artificiales (informaacuteticos o industriales) Un holoacuten contiene siempre una parte
de procesamiento de informacioacuten y opcionalmente otra de procedimiento fiacutesico Con el
144
teacutermino holoacuten la doctoranda concretamente denomina las entidades de proceso que exhiben
simultaacuteneamente
a) Un comportamiento autoacutenomo esto es se comportan como un todo por lo que requieren
capacidades de cooperacioacuten Entendiendo por autonomiacutea la capacidad de una entidad para
generar su propio comportamiento o sea sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten
y comportamiento en definitiva su ldquoteleologiacuteardquo y controlar su ejecucioacuten asiacute como su propio
estado
b) No autosuficiente es decir se comportan como parte de un todo mayor Cuando el holoacuten
se siente ldquotodordquo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en
los niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo
c) Capacidad de cooperacioacuten Por cooperacioacuten se quiere decir en este contexto un proceso
por el cual un conjunto de dichas entidades desarrolla planes comuacutenmente aceptados que
se ejecutan en forma distribuida Cooperacioacuten significa que los diferentes holones deben
ser capaces de negociar y ejecutar planes mutuamente aceptables ldquojoint intentionsrdquo y
llevar a cabo acciones preventivas y o correctivas frente a disfunciones globales Dicho de
otro modo un holoacuten es el elemento baacutesico de proceso de informacioacuten en cualquiera de sus
niveles con entidad propia capaz de presentar un comportamiento autoacutenomo y
cooperativo
d) Caraacutecter abierto Un sistema holoacutenico debe permitir la inclusioacuten de nuevas unidades
eliminacioacuten de las existentes y modificacioacuten de las capacidades funcionales y
comportamentales de las existentes con intervencioacuten exterior miacutenima Los holones y o
sus funcionalidades pueden venir de distintas ldquomentesrdquo (heterogenidad)
e) ldquoAutorreplicacioacutenrdquo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su
autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y la capacidad de
autoorganizacioacuten y autopoiesis o autoproduccioacuten especiacutefica del nivel celular
f) Estabilidad Todo holoacuten de acuerdo con el contexto y circunstancias posee cuatro impulsos
a saber
1) Actividad o impulso a continuar siendo totalidad
2) ldquoComunioacutenrdquo o impulso para seguir siendo una parte
145
3) Trascendencia o impulso de superacioacuten y ascendencia
4) Disolucioacuten o impulso a descender y descomponerse
Estos impulsos son los que le dan estabilidad al holoacuten y le permiten desarrollar sus
capacidades
Como lo sentildealoacute Octavio Paz en el discurso de recepcioacuten del premio Nobel los seres humanos
han descubierto al finalizar el siglo XX que son parte de un inmenso sistema o ldquoconjunto de
sistemasrdquo que va de las plantas y los animales a las ceacutelulas las moleacuteculas los aacutetomos y las
estrellas Es decir un eslaboacuten maacutes en la ldquocadena del serrdquo como llamaban los antiguos filoacutesofos
al Universo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su granularidad muacuteltiple
que se manifiesta a traveacutes de la replicacioacuten de estructuras autosimilares Esto permite
establecer una descomposicioacuten jeraacuterquica y o heteraacuterquica en forma fractal que se puede
denominar ldquoholarquiacuteardquo Una holarquiacutea puede definirse pues como un sistema de holones
autorregulados que seguacuten las circunstancias cooperan y o compiten y o colaboran
teleoloacutegicamente esto es para alcanzar una meta u objetivo global En suma una holarquiacutea
define las reglas baacutesicas y especiacuteficas de lo que geneacutericamente se puede denominar la
colaboracioacuten de los holones que la forman y en consecuencia limita su autonomiacutea y o
condiciona sus procesos de toma de decisioacuten Dicho en otros teacuterminos el caraacutecter colaborativo
de los holones se manifiesta tanto en los procesos teleoloacutegicos de planificacioacuten y asignacioacuten de
ellos mismos y los recursos que necesitan para la consecucioacuten de las metas globales del
sistema en que se integran como para la superacioacuten de sus carencias en recursos y o
capacidades en la ejecucioacuten de sus propias metas Su fortaleza y oportunidad procede del
hecho de ser unidades independientes es decir moacutedulos en el tratamiento de problemas
cooperativos en entornos heterogeacuteneos Su eficacia proviene de su caracteriacutestica de ser a su
vez elementos subordinados de otros holones de nivel superior que los contienen y en cierta
medida controlan Las formas intermedias proveen la funcionalidad propia de la totalidad
mayor
Obviamente los holones tienen que tomar decisiones racionales y como se aplican a una
nueva disciplina cientiacutefico-tecnoloacutegica dichas decisiones racionales deben ser similares a las
cientiacuteficas Estas decisiones pueden modelizarse con los pares ldquoholoacuten(es)rdquo ldquoinformoacuten(es)rdquo en
los cuales los holones representan dicho mundo Se supone naturalmente que los holones
pueden elegir entre distintas alternativas u opciones Asimismo se supone que el mundo es
como es y que esto se refleja en su representacioacuten mediante los informones y que lo que le
146
ocurre al holoacuten depende por una parte de coacutemo sea el mundo en un momento determinado
y por otra de las opciones episteacutemicas y gnoseoloacutegicas que elija el holoacuten Se acepta tambieacuten
que el holoacuten no conoce el estado actual del mundo pero al menos es capaz de distinguir entre
dos estados posibles del mismo Las valoraciones de los holones no atantildeen directamente a las
opciones o a los estados del mundo sino a los pares ldquoopcioacuten-estadordquo es decir lo que se valora
es haber elegido una opcioacuten particular en un estado definido del mundo
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS
Al igual que los informones pueden tomar la forma de dato noticia o conocimiento los
holones que los manejan presentan estructuras desde las maacutes simples a las maacutes complejas
dependiendo de la complejidad funcional asignada a los mismos Maacutes en concreto la
construccioacuten del software se presenta mediante un modelo computacional holoacutenico formado
por diferentes niveles denominados
1 ldquoInstruccioacutenrdquo Lo constituyen los holones primarios que son entidades propias y
cooperativas que tratan uacutenicamente datos y producen nuevos datos o noticias simples
Estos holones estaacuten especializados y realizan operaciones primitivas baacutesicas Por ejemplo
si a un holoacuten primario operador loacutegico le llegan dos datos que son las edades de dos
individuos el holoacuten pude sacar como noticia que un individuo es mayor igual o menor que
otro
2 ldquoComponenterdquo Un holoacuten componente surge al estructurarse holaacuterquicamente
(jeraacuterquicamenteheteraacuterquicamente) los holones primarios del nivel ldquoinstruccioacutenrdquo
proporcionando un nivel superior al de ldquoinstruccioacutenrdquo Un holoacuten componente tiene una
funcionalidad superior a la suma de sus holones ldquoinstruccioacutenrdquo y tiene capacidad de
producir noticias maacutes elaboradas y o conocimientos
Si los informones que trata el holoacuten componente corresponden a estructuras de datos el
componente proporcionaraacute noticias tiacutepicas de un sistema de informacioacuten En cambio si los
holones tratan estructuras de datos que corresponden a conceptualizaciones de
conocimiento el resultado seraacute informones de conocimiento que proporcionan
informacioacuten propia de los sistemas basados en el conocimiento Por ejemplo un holoacuten
componente puede representar un programa o un subprograma
147
3 ldquoEntidadrdquo El holoacuten ldquoentidadrdquo se forma mediante relaciones holaacuterquicas de holones
componentes Un holoacuten entidad presenta creencias motivaciones e intenciones y cambia
su comportamiento basaacutendose en experiencias previas Incorpora la propiedad de
proactividad es decir actuacutea por su propia iniciativa para alcanzar metas que eacutel mismo es
capaz de generar Los holones ldquoentidadrdquo tratan con informones de noticias y
conocimientos dependiendo de la estructura subyacente de los datos Por ejemplo un
holoacuten entidad puede representar y actuar como un agente software
Los sistemas transacionales son informones tipo datos y holones clase programas Los
sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas y holones tipo
programas y foacutermulas Finalmente los sistemas basados en conocimientos son ni maacutes ni
menos que informones en forma de ontologiacuteas y holones en forma de agentes
4 ldquoOrganizacioacutenrdquo Se denomina organizacioacuten holoacutenica a una holarquiacutea de entidades
colaborativas Un holoacuten organizacioacuten designa una agrupacioacuten formal y estable de holones
entidad y ofrece una interfaz bien definida de comunicacioacuten con el exterior que constituye
en si misma una unidad independiente e identificable (con entidad propia) Las actividades
de cada organizacioacuten vienen determinadas por procesos de cooperacioacuten con otras
entidades u organizaciones Una organizacioacuten presenta una meta comuacuten y los holones
entidad que tienen sus propias metas muestran un comportamiento cooperativo dirigido
por la meta comuacuten de esa ldquoorganizacioacutenrdquo En la ldquoorganizacioacutenrdquo los holones ldquoentidadrdquo son
libres para participar en la misma abandonarla y actuar de forma autoacutenoma como
ldquoentidadrdquo o formar nuevos holones ldquoorganizacioacutenrdquo con otras entidades Una organizacioacuten
holoacutenica precisa en su funcionamiento de los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones ldquoentidadrdquo
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las entidades
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones ldquoentidadrdquo en sus
actividades de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros de la
ldquoorganizacioacutenrdquo
148
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Por ejemplo un sistema multiagente (MAS) es un tipo de holoacuten ldquoorganizacioacutenrdquo Sin
embargo no hay que confundir agentes con holones y en consecuencia sistemas de
agentes con holones Como se veraacute maacutes adelante los holones son maacutes que agentes
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA
Ademaacutes de estos niveles es importante considerar dentro de una estructura holoacutenica el
dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten holoacutenico Se define un tal dominio como un espacio
loacutegico en el que los holones ldquoentidadrdquo u ldquoorganizacioacutenrdquo cada uno con sus propias metas
dentro del dominio operan y se comunican entre siacute proporcionando con ello el contexto en el
que estos holones pueden localizarse contactar e interactuar unos con otros por ejemplo un
dominio en una plataforma de Internet Dentro de un dominio eacutesta puede ser
a) Simple En este caso cualquiera se compromete a cooperar con cualquier otro siguiendo un
conjunto de protocolos de interaccioacuten establecidos Aquiacute se consideran aceptables
respuestas no cooperativas verbigracia ldquorechazordquo ldquono entendimientordquo etc Todos los
holones deben presentar facilidades de cooperacioacuten simple
b) Complejo Esta clase de cooperacioacuten estaacute encaminada a alcanzar una meta compartida por
varios holones por ejemplo el acuerdo de un plan comuacuten para ejecutar las tareas
asociadas a un problema distribuiacutedo
Una organizacioacuten holoacutenica se diferencia de un dominio holoacutenico en que la organizacioacuten estaacute
constituida por holones ldquoentidadrdquo tiene una meta comuacuten a todos los holones y eacutestos
participan voluntariamente en la organizacioacuten para alcanzar las metas de la misma Mientras
que el dominio es un espacio de cooperacioacuten y colaboracioacuten para que los holones ldquoentidadrdquo y
ldquoorganizacioacutenrdquo que participan voluntariamente en el mismo puedan alcanzar cada uno de
ellos su propia meta
En un dominio los holones se conciben como integrantes en una sociedad cuyas actividades
globales deben ser contempladas Estas actividades deben ocurrir de acuerdo con un conjunto
de convenciones y leyes sociales tanto de caraacutecter general como de caraacutecter especiacutefico Estas
leyes regulan las relaciones sociales que es necesario establecer para llevar a cabo dichas
149
actividades La estructura social del dominio viene determinada por los roles las relaciones
sociales identificadas entre eacutestos y las convenciones y leyes sociales que rigen estas relaciones
El dominio define entonces el comportamiento global esperado mediante las metas sociales
que deben contemplarse los roles necesarios para alcanzar dichas metas las relaciones
existentes entre estos roles y un conjunto de convenciones y leyes sociales de caraacutecter global
que regiraacuten dichas relaciones Una forma plausible de caracterizar el dominio es mediante la
identificacioacuten de las relaciones sociales potenciales existentes entre sus actores y maacutes
concretamente entre los diferentes roles identificados
El holoacuten asume la responsabilidad de llevar a cabo sus tareas individuales Ahora bien al estar
en un dominio de cooperacioacuten asume tambieacuten unas responsabilidades sociales La necesidad
de garantizar la realizacioacuten de estas tareas sociales conduce a la necesidad de identificar tanto
las relaciones sociales necesarias para llevar a cabo dichas tareas como las leyes sociales que
regulen dichas relaciones Estas leyes impuestas por el dominio deben ser respetadas por el
holoacuten y forzadas por el dominio con el fin de permitir el funcionamiento correcto del mismo
de acuerdo con el comportamiento global esperado Son por tanto las leyes que regulan las
relaciones sociales las que permiten obtener un comportamiento socialmente responsable a
los holones entidad y organizacioacuten
Plantearse la obtencioacuten de un comportamiento socialmente responsable durante el disentildeo del
holoacuten no seriacutea adecuado en un entorno dinaacutemico y heterogeacuteneo como es un dominio en el
que por ejemplo los patrones de interaccioacuten se establecen dinaacutemicamente Los distintos
modelos de coordinacioacuten y negociacioacuten y la propia estructura social constituyen las
abstracciones conceptuales para establecer las leyes que deberaacuten regir tanto la actuacioacuten de
los holones como sus interrelaciones con el fin de alcanzar un comportamiento socialmente
responsable Los medios de coordinacioacuten y negociacioacuten que soportan dichos modelos
constituyen el mecanismo utilizado por el dominio para este fin
La ldquoconfiguracioacutenrdquo que se crea en un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten es dinaacutemica
Mientras que el holoacuten organizacioacuten forma una configuracioacuten estable los holones de un
dominio son maacutes inestables participan en el dominio de cooperacioacuten para alcanzar sus propias
metas respetando las leyes sociales del dominio y nada maacutes alcanzarlas desaparecen del
mismo Un holoacuten entra a formar parte de un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten
interactuando con un holoacuten interfaz del dominio de modo que pueda participar en el mismo
150
Los holones se incorporan en el dominio para alcanzar sus propias metas El dominio acepta o
rechaza su entrada dependiendo de que el rol con el que desean participar sea apropiado en
ese dominio y acepten las convenciones y leyes sociales En caso afirmativo se incorporan
como holones socialmente responsables acatando las normas del dominio Normalmente el
dominio incorpora una serie de holones sociales cooperativos con la misioacuten de atender a las
necesidades de los holones que participan en el dominio y de hacerles cumplir las leyes
sociales tal y como se muestra en la figura IV4
Dominio 1 Dominio 2
Convenciones y leyes
Sociales
Holoacuten Entidad
Holoacuten Organizacioacuten
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Holoacuten Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Convenciones y leyes
Sociales
Migracioacuten
Agente Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Figura IV4 Dominios de Colaboracioacuten y Cooperacioacuten
La cooperacioacuten entre holones ocurre siempre a traveacutes de sus respectivos dominios de
cooperacioacuten Un dominio de cooperacioacuten comprende los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones miembros
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las organizaciones y el dominio
de cooperacioacuten Si el dominio de cooperacioacuten se localiza en el mismo dispositivo
fiacutesico el paso de mensajes puede conseguirse por memoria compartida En otro
caso los mensajes deben representarse codificarse y enviarse a traveacutes de una
red de comunicaciones Este aspecto se aborda en el modelo de comunicacioacuten
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones en sus actividades
de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
151
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros
del dominio asiacute como facilidades para la planificacioacuten y el control de tareas
dentro de un holoacuten (siacutentesis)
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Un sistema de informacioacuten holoacutenico es pues una holarquiacutea que integra el conjunto de
actividades de informacioacuten desde la identificacioacuten de necesidades la produccioacuten la seleccioacuten y
adquisicioacuten el procesamiento analiacutetico-sinteacutetico y la recuperacioacuten y diseminacioacuten de
informacioacuten para responder de forma dinaacutemica a las necesidades de los usuarios en forma de
organizacioacuten virtual Un tal sistema se sustenta en una red de elementos autoacutenomos y con
capacidad de cooperar La organizacioacuten la determina el propoacutesito y el compartir normas
poliacuteticas y reglas Dentro de una red holoacutenica cada configuracioacuten del proceso puede
identificarse como una empresa institucioacuten etc virtual Una componente software es
cualquier pieza de coacutedigo escrita con anterioridad que define un elemento de
conceptualizacioacuten y puede ser invocada para proveer una funcionalidad que la componente
encapsula Las componentes tiacutepicamente se empaquetan de acuerdo con normas efectivas
de modo que puedan ser invocadas desde lenguajes entornos y ambientes muacuteltiples En este
contexto un ldquowebservicerdquo puede entenderse como un holoacuten
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES
Antes de finalizar y dado el confusionismo existente al respecto se van a dar tal y como se
muestra en la tabla IV2 las diferencias y similaridades entre holones y agentes Lo maacutes
destacable de la misma son las dos situaciones siguientes Con respecto a la autoorganizacioacuten
para unos como es el caso de Barbat los holones y los agentes son distintos sin embargo
para otros como es el caso de Passer So y Durfle y Tambe son iguales Pero la diferencia
sustancial y de verdad discriminatoria es que mientras que los holones tienen capacidad de
recursioacuten e integracioacuten entre varios de ellos que tengan un objetivo comuacuten los agentes ni
tienen recursioacuten ni capacidad de integrarse
Otra caracteriacutestica fundamental de los holones en tanto que operan con un conjunto
restringido de opciones y estados del mundo que les viene dado por la situacioacuten y el problema
sobre el que actuacutean y no les es posible construir una estructura de preferencias completa y
coherente es la de ser elementos satisfacedores (no maximizadores) en el sentido de Simon
152
(Simon 1982) es decir buscan una solucioacuten suficientemente buena en vista a las restricciones
existentes y el coste relativo de hacer algo mejor En este sentido se comportan como los seres
humanos
PROPIEDAD HOLOacuteN AGENTE
1 Autonomiacutea Si Si
2 Reactividad Si Si
3 Proactividad Si Si
4 Habilidad Social Si La interfaz humana es especiacutefica de cada holoacuten
Si La interfaz humana se implementa generalmente por uno o varios agentes especializados
5 Cooperacioacuten Si Los holones nunca rechazan de manera deliberada la cooperacioacuten con otro holoacuten
Si El agente puede competir y cooperar
6 Reorganizacioacuten
Si Holarquiacuteas Las holarquiacuteas aquiacute se pueden implementar utilizando varios enfoques para federaciones en esquemas tales como facilitadores o mediadores
Si jerarquiacuteas organizacioacuten horizontal heterarquiacuteas etc Las holarquiacuteas en este caso se pueden implementar usando SMA o sea sistemas multiagente
7 Racionalidad Si Si
8 Aprendizaje Si Si
9 Benevolencia Si Si
10 Movilidad Los holones raramente necesitan movilidad para la ejecucioacuten de sus tareas Si asiacute fuera la tendriacutean
Si
11 Recursioacuten y Asociacioacuten
Si Eacutesta es la gran diferencia entre un holoacuten y un agente Mientras el holoacuten tiene capacidad de recursioacuten o asociacioacuten entre varios de ellos que posean un objetivo comuacuten los agentes no pueden agruparse ni son recursivos
No existe ninguna arquitectura recursiva como tal pero algunas teacutecnicas son utilizadas para definir federaciones que simularaacuten los diferentes niveles recursivos
12 Procesamiento de la Informacioacuten y Fiacutesico
Si La separacioacuten es expliacutecita aunque la parte de procesamiento fiacutesico es opcional
No existe una separacioacuten expliacutecita
13 Actitudes Mentales
Si Los holones no necesitan razonar acerca de sus propias actitudes mentales o aquellas de otros unidades de control
Si
Tabla IV2 Diferencias y similaridades entre holones y agentes
Evidentemente dichas valoraciones de acuerdo con las distintas situaciones y problemas
deben adoptar distintas formas que van desde la maacutes sencilla ordenacioacuten lineal hasta la
racionalidad acotada o satisfactoria de Simon (Simon 1945) pasando por los holones
bayesianos entre otros En efecto el agente racional claacutesico es un ldquomaximizadorrdquo en tanto que
en la propuesta de Simon donde introduce la nocioacuten de ldquosatisfaccioacutenrdquo (Simoacuten 1982)
retomando la de Tarski (Tarski 1956) es la de un ldquoagenterdquo que funciona en condiciones de
ldquoracionalidad acotadardquo Esto es debido baacutesicamente a que
a) Los holones van a operar con un conjunto suficientemente restringido de opciones y
estados del mundo que le vienen dados por la situacioacuten y el problema sobre el que actuacutean
153
b) Raras veces es posible construir una estructura de preferencias completa y coherente ni
tampoco calcular la utilidad esperada para cada opcioacuten Si eacuteste fuera el caso la cuestioacuten se
resolveriacutea mediante meacutetodos bayesianos sin problema En efecto Thomas Bayes (Bayes
1763) desarrolloacute en su trabajo de 1763 un procedimiento para resolver este tipo de
cuestiones Curiosamente dicho trabajo permanecioacute praacutecticamente ignorado hasta que
Pierre Simon de Laplace lo discutioacute en uno de sus trabajos
c) Es capaz de distinguir entre opciones satisfactorias y aquellas que no lo son
Es decir de acuerdo con Simon los holones son satisfacedores (satisfacer) no maximizadores
y en este sentido se comportan como los seres humanos Seguacuten Simon (Simon 1981) hay que
ir hacia una solucioacuten satisfactoria esto es una solucioacuten suficientemente buena en vista a las
restricciones existentes y el coste relativo de hacer algo mejor antes que una solucioacuten
satisfaciendo Naturalmente los pares holones-informones y las estructuras que sobre ellos se
construyen se enfrentaraacuten inexorablemente tanto a situaciones conflictivas como a otras
concurrentes y cooperativas en las que los esquemas de decisioacuten que usen se fundamentaraacuten
tanto en la teoriacutea de von Neuman y Morgenstern (von Neuman 1953) como en la teoriacutea de
juegos cooperativos de Nash (Nash 1953) y cualquier otra teoriacutea o regla de decisioacuten que
permita a los holones de modo efectivo tomar la decisioacuten maacutes adecuada en el momento maacutes
oportuno y de la forma maacutes eficiente posible
De hecho si no fuera por el caraacutecter continuo que representa el teacutermino que mejor le
cuadraba a lo que Koestler denominoacute holoacuten es el de ldquohomeomeroacutenrdquo en el sentido de
ldquohomeomeriacuteardquo de Anaxaacutegoras (Empeacutedocles 1996) y tal vez al caraacutecter holaacuterquico mejor le
convendriacutea el teacutermino de ldquojerarquiacutea desarraigadardquo en contraposicioacuten al concepto de jerarquiacutea
ldquodionisiacuteacardquo por el ldquooximoroacutenrdquo que representa el hecho de que en una holarquiacutea convivan
simultaacuteneamente dos planteamientos opuestos como son el de jerarquiacutea y la heterarquiacutea En
efecto el filoacutesofo neoplatoacutenico Dionisio Areopagita introdujo el concepto de jerarquiacutea en un
contexto teoloacutegico El teacutermino significa literal y etimoloacutegicamente dominio a traveacutes de lo
sagrado Siguiendo una ldquoloacutegicardquo que probablemente soacutelo eacutel conociera Dionisio llegoacute a la
conclusioacuten de que el cielo estaba organizado jeraacuterquicamente Es maacutes aseguraba que habiacutea
nueve niveles Dios era la cumbre los arcaacutengeles formaban el consejo de direccioacuten y Jesucristo
ocupaba un puesto a la diestra de Dios A continuacioacuten estaban los aacutengeles tronos
dominaciones potestades querubines serafines etc Pero para eacutel tambieacuten el infierno era
jeraacuterquico y la estructura era similar Lo que no determinoacute Dionisio fue si el cielo significaba
154
cooperacioacuten y el infierno confrontacioacuten o iquestqueacute Con los holones se contemplan ambas
alternativas Por eso con los holones se puede representar tanto una simple sentencia de
control hasta un sistema de agentes pasando por un subprograma ldquodemoniosrdquo etceacutetera
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA
Definidos los elementos constitutivos de la teoriacutea propuesta se pasa a presentar los
postulados que la soportan Eacutestos son los siguientes
P1 Complementariedad Todo sistema de informacioacuten bioloacutegico o artificial se compone de
soacutelo dos elementos complementarios Holones e Informones Formalmente
IHSI =
P2 Coacutemputo En todo sistema de informacioacuten se puede establecer la ldquooperacioacutenrdquo de coacutemputo
representada por 0 que consiste en transformar holones e informones de entrada en otro(s)
de salida Es decir los holones e informones se interrelacionan para obtener nuevos
informones y holones de acuerdo con el esquema siguiente
H o H cup I rarr Hrsquo cup Irsquo
P3 Satisfactibilidad Todo sistema de informacioacuten se rige por criterios de satisfactibilidad y no
de optimizacioacuten o maximizacioacuten
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN
Cualquier teoriacutea que se proponga se quedariacutea en mera especulacioacuten si no fuera capaz de
predecir y o explicar ciertos hechos en su dominio de aplicacioacuten Justamente estas
predicciones y o explicaciones constituyen los ldquoexperimentum crucisrdquo que permiten ya que
no corroborar formalmente al menos falsar la teoriacutea En este sentido la teoriacutea aquiacute propuesta
predice lo que a continuacioacuten se explicita en los dominios siguientes
A) Geneacutetica En el dominio del ADN la teoriacutea afirma que habida cuenta de que varios
informones distintos en este caso en forma de codones dan el mismo aminoaacutecido y el
coacutedigo geneacutetico actuacutea como holoacuten entonces dependiendo del codoacuten del que proceda el
aminoaacutecido eacuteste se comportaraacute de una manera o de otra Como consecuencia de ello
155
muchas enfermedades geneacuteticas de etiologiacutea uacutenica tienen ldquoprima facierdquo como causa el
codoacuten del que proceden Para confirmar esto se puede realizar el siguiente experimento
Cojaacutense varios individuos con la enfermedad de etiologiacutea uacutenica X obseacutervese si todos ellos
tienen en la proteiacutena Y el aminoaacutecido Z proveniente del codoacuten o triplete T Y veacuteanse como
contraprueba otros individuos que no presentan dicha enfermedad y comprueacutebese que
tienen codones distintos Si se confirma el supuesto es obvio que queda establecida como
supone la teoriacutea la relacioacuten iacutentima hoy auacuten no aceptada ni siquiera considerada de
tripletes y enfermedades
B) Cerebro El premio Nobel por el descubrimiento de la estructura del ADN Francis Harry
Compton Crick en 1990 y un joven colaborador suyo Christof Koch (Crick 1990)
proclamaron en Seminarios sobre Neurociencias que habiacutea llegado la hora de estudiar el tal
vez maacutes elusivo e ineludible de los fenoacutemenos la consciencia convirtieacutendola asiacute en un tema
legiacutetimo para la investigacioacuten empiacuterica Ambos rechazaban la creencia de muchos de sus
colegas en el sentido de que la consciencia no se podiacutea definir y menos auacuten estudiar Bien
al contrario para Crick y Koch siguiendo a William James la conciencia o consciencia y
todas sus formas dirigidas hacia objetos bien del mundo sensible o altamente abstractos o
internos parecen necesitar el mismo mecanismo subyacente es decir un mecanismo que
combina la atencioacuten con la memoria a corto plazo Sosteniacutean ademaacutes que no se podiacutea
esperar alcanzar una verdadera comprensioacuten de la consciencia ni por otra parte de
cualquier otro fenoacutemeno mental tratando al cerebro como un caja negra Posteriormente
Crick expuso detalladamente sus opiniones sobre la consciencia en un conocido libro
titulado ldquoThe Astronishing Hypothesisrdquo (Crick 1994) Para Crick el componente crucial de su
definicioacuten de consciencia es la palabra atencioacuten y hace hincapieacute en que eacutesta implica algo
maacutes que un simple procesamiento de informacioacuten En sus palabras (Crick 1988) Somos
conscientes de que tomamos una decisioacuten pero no somos conscientes de lo que nos hace
tomar dicha decisioacuten Esto ya lo habiacutea sugerido Sigmund Freud (Freud 1956) cuando
reflejando su inquietud sobre el inconsciente que ya se habiacutea desarrollado en el siglo XIX
planteoacute la hipoacutetesis de que la mayoriacutea de los actos humanos estaban determinados por
impulsos inconscientes Hoy la neurociencia sabe que eso es cierto Efectivamente en la
primavera de 1994 la Universidad de Arizona en Tucson organizoacute un simposio
interdisciplinario sobre la consciencia Alliacute y entonces Benjamiacuten Libet sicoacutelogo de la
Universidad de California en San Francisco realizoacute el siguiente experimento (Norretranders
1998) Pidioacute a los participantes que doblaran un dedo en el momento de haberlo decidido
mientras anotaban el instante de su decisioacuten tal y como indicaba un reloj Los participantes
156
tardaron 02 segundos de media en doblar los dedos tras haber decidido hacerlo pero la
electroencefalografiacutea que registroacute sus ondas cerebrales reveloacute que la maacutexima actividad
cerebral teniacutea lugar 03 segundos ldquoantesrdquo de haber tomado conscientemente la decisioacuten de
doblar el dedo Es decir el cerebro se poniacutea manos a la obra antes de que se fuese
consciente de la decisioacuten Como lo sentildealoacute Francisco J Rubia (Rubia 2002) Catedraacutetico de
Fisiologiacutea Humana de la Universidad Complutense de Madrid No tenemos ni idea de doacutende
parte esa primera actividad pero lo que queda claro es que no es consciente
La consciencia se resolvioacute para los materialistas cuando alguien decidioacute que era un mero
epifenoacutemeno del mundo material Fue el filoacutesofo oxfordiano Gilbert Ryle (Ryle 1949) quien
primero acuntildeoacute la frase the ghost in the machina en los antildeos treinta para mofarse del
dualismo mente-materia afirmando que el dualismo ndashque sosteniacutea que la mente es un
fenoacutemeno separado e independiente de su sustrato fiacutesico y capaz de ejercer influjo sobre
eacutel- violaba el principio de conservacioacuten de la energiacutea y por tanto toda la fiacutesica Seguacuten Ryle
la mente es una propiedad de la materia y soacutelo trazando detalladamente los intricados
meandros de la materia en el cerebro se podraacute explicar la consciencia Claro que en esto
Ryle no fue totalmente original al proponer este paradigma materialista En efecto hace
cuatro siglos Francis Bacon ya instaba a los filoacutesofos de su eacutepoca a que dejaran de
empentildearse en mostrar coacutemo evolucionaba el universo a partir del pensamiento y
empezaran a considerar coacutemo evolucionaba el pensamiento a partir del universo
Para el premio Nobel de Fiacutesica Murray Gell-Mann (Penrose 1996) La consciencia o
autoconocimiento es una propiedad como la inteligencia que puede acabar evolucionando
en los sistemas complejos adaptativos cuando alcanzan ciertos niveles de complejidad [hellip]
En principio no me parece posible que nosotros los humanos podamos construir
computadores con un grado de conocimiento razonable Penrose parece atribuir al
autoconocimiento alguna cualidad especial que hace improbable que surja de las leyes
ordinarias de la ciencia
Sobre la consciencia se ha escrito mucho y poco atinado Como lo sentildealoacute Stuart Kauffman
(Kauffman 2003) Dado lo poco sensato y lo mucho inuacutetil que se ha vertido sobre la
consciencia una hipoacutetesis maacutes no empeoraraacute las cosas Y a continuacioacuten plantea su
hipoacutetesis como sigue La consciencia estaacute asociada a una ldquotoma de decisionesrdquo de alta
resolucioacuten conducente a los comportamientos alternativos en los agentes autoacutenomos
moleculares que abarca los reinos cuaacutentico y claacutesico y equivalente a la persistente
157
propagacioacuten de bucles interconectados y percolados de coherencia cuaacutentica los cuales
simultaacuteneamente y sistemaacuteticamente pierden coherencia trasformaacutendose en claacutesicos El
paso al comportamiento claacutesico representa ldquomenterdquo actuando sobre ldquomateriardquo La
consciencia es la experiencia interna que el agente tiene de esa red percolada de coherencia
cuaacutentica que sostenidamente sufre decoherencia hacia el comportamiento claacutesico
Ciertamente retoacuterico y oscuro Sin embargo es innegable que la consciencia es un
fenoacutemeno emergente del comportamiento del cerebro y que puede entenderse La teoriacutea
aquiacute propuesta afirma que dicho fenoacutemeno es el resultado de observar el proceso de
coacutemputo de holones e informones por holones que los observan y categorizar a otros
holones de maacutes bajo nivel que trabajan sobre ellos Veacutease el siguiente ejemplo dado por la
tabla IV3 En ella se pueden ver los cuatro casos siguientes
1 Se es conciente de lo que se sabe Un grupo de holones trabaja sobre informones de
conocimiento y los holones que los manejan y da cuenta de ese trabajo Es justamente la
consciencia
2 Se es consciente de lo que no se sabe Holones de un cierto nivel quieren trabajar sobre
informones de conocimiento y se percatan de que no existen
3 No se es consciente de lo que se sabe En este caso no se han usado holones de nivel
suficiente para estar en el caso 1
4 No se es consciente de lo que no se sabe No se han usado holones para convertir la
situacioacuten en el caso 2
Todo ello implica que en el cerebro debe haber alguacuten ldquomecanismordquo formado por neuronas
y o gliacutea y sus respectivas actividades que se activen siempre y cuando el cerebro reciba
una actividad que requiera consciencia Dicho mecanismo debe anatoacutemica y fiacutesicamente
tener muchas entradas y pocas salidas es decir debe ser maacutes receptor que emisor El
candidato propuesto por Crick y Koch el 28 de Julio de 2004 pocos diacuteas antes de la muerte
del uacuteltimo es el ldquoclaustrumrdquo Es eacuteste una pequentildea laacutemina de tejido cerebral localizado bajo
el coacutertex Poco se conoce acerca de eacutel salvo que estaacute conectado y cambia informacioacuten con
casi todas las regiones sensoriales y motoras del coacutertex asiacute como la amiacutegdala que juega un
papel trascendental en las emociones Ademaacutes Koch y Crick comparan el ldquoclaustrunrdquo con
un director de orquesta Es decir las conexiones neuroanatoacutemicas del ldquoclaustrumrdquo reuacutenen
las caracteriacutesticas de un verdadero director puesto que pueden enlazar juntas y coordinar
158
las distintas regiones sensoriales y cognitivas necesarias para la unidad de la conciencia En
suma a diacutea de hoy el ldquoclaustrumrdquo tiene todas las rifas para ser el soporte material de la
consciencia de acuerdo con la teoriacutea aquiacute propuesta Actualmente se estaacute llevando a cabo
con el Profesor Ortiacutez de la UCM un trabajo para verificar esta hipoacutetesis
CONOCIMIENTO
CONSCIENCIA
Consciente Inconsciente
Conoce
Se es consciente de lo que se sabe Por ejemplo Al aprobar el carnet de conducir se ldquosaberdquo que se sabe conducir
No se es consciente de lo que uno sabe verbigracia cuando uno es un conductor versado no es consciente de que sabe conducir pues lo hace automaacuteticamente
Ignora
Se es consciente de lo que se ignora Es el caso que ocurre cuando uno quiere tener el carnet de conducir
Uno es inconsciente respecto a su ignorancia Este estadio es habitual en la infancia lo que no es preocupante Lo grave es cuando uno no evoluciona y se queda en este estadio
Tabla IV3 Consciencia Versus Conocimiento
C) Computacioacuten
Toda la computacioacuten puede explicarse con holones e informones de una manera trivial Por
ejemplo los sistemas transacionales son informones tipo datos (Bases de Datos) y holones
clase programas Los sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas
como sistemas de bases de datos y holones tipo programas y foacutermulas Los sistemas
basados en conocimientos son ni maacutes ni menos que informones en forma de ontologiacuteas y
holones en forma de agentes Finalmente las maacutequinas de Turing son un informoacuten en
forma de signos 1 y 0 sobre la cinta y un holoacuten en forma de la tabla de actuacioacuten
Curiosamente una maacutequina de Turing especiacutefica como verbigracia la de la suma descrita
en la cinta como parte de la maacutequina de Turing Universal (MTU) es un informoacuten que trata
como tal la MTU y no un holoacuten como pudiera parecer ldquoprima facierdquo
159
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN
V1 RESULTADOS
1 El primer resultado obtenido con este trabajo ha sido mostrar la viabilidad de una
teoriacutea para el Desarrollo del Software Maacutes auacuten la necesidad de la misma para
rellenar la sima ldquogaprdquo o desfase entre el desarrollo exponencial del hardware
dado por la ley de Moore y el estado actual del desarrollo software caricaturizado
por el ldquokludgerismordquo que en el mejor de los casos es lineal y en el peor
regresivo
2 En segundo lugar se han establecido los liacutemites teoacutericos de la computacioacuten
basaacutendose en leyes y teoriacuteas fiacutesicas consolidadas como son la relatividad la
termodinaacutemica y la fiacutesica cuaacutentica Estos liacutemites fabulosos permiten afirmar de
acuerdo con Kurzweil (Kurzweil 2005) que la tecnologiacutea de los computadores estaacute
acercaacutendose a una singularidad Y si esto es asiacute y eacutesta es una futura liacutenea de
investigacioacuten maacutes el desarrollo de la nanotecnologiacutea augura unas potencialidades
al hardware hasta ahora inigualables pero si vislumbrables como son
a) La computacioacuten ubiacutecua que es la siguiente generacioacuten de la computacioacuten
tambieacuten llamada ldquoVirtualidad Incorporadardquo es lo opuesto a la realidad virtual y
consiste en la impregnacioacuten global de la informaacutetica en todas las actividades
de la vida corriente siendo completamente trasparente para el usuario
b) Los seres hiacutebridos bioloacutegico-tecnoloacutegicos dotados de capacidades
intelectuales etc En algunos aspectos tal y como se muestra en la tabla V1
estos seres superaraacuten a los humanos
OperacionesSegundo Capacidad de Proceso
(Bits)
Computadores Actuales asymp1010 asymp1010
Cuaacutenticos lt1050 lt1031
Humanos 2x1016 28x1020 (Von Neumann)
Tabla V1 Comparacioacuten de las prestaciones de computadores frente al hombre
Humanos Vs
Computadores
Prestaciones
160
c) Ademaacutes se llevaraacute a buen teacutermino el propoacutesito inicial de la ciencia de la
computacioacuten como es el paso del ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo
d) Curiosamente y como efecto colateral que daraacute lugar a otra liacutenea de
investigacioacuten en este caso en linguumliacutestica a la vista del punto anterior y
teniendo en cuenta tal y como se muestra en la tabla V2 seraacute necesario
inventar nuevos teacuterminos para especificar la potencia y capacidad de memoria
de los futuros computadores En efecto de acuerdo con la tabla V2 soacutelo se
tienen teacuterminos para los muacuteltiplos hasta el 10 En consecuencia como el liacutemite
maacuteximo dado por los 1050 de potencia seraacuten necesarios usando intervalos de
103 al menos ocho nuevos teacuterminos
SIacuteMBOLO NOMBRE FACTOR
Y Yota 1024
Z Zeta 1025
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
H Hecto 102
O Deca 101
d deci 10-1
c centi 10-2
m mili 10-3
micro micro 10-6
n nano 10-9
p pico 10-12
f femto 10-15
a atto 10-18
z zepto 10-21
y yocto 10-24
Tabla V2 Oacuterdenes de Magnitud de las Unidades de Medida
3 En tercer lugar y eacuteste es un resultado muy relevante se ha conseguido probar
formalmente de acuerdo con trabajos previos de von Neuman y Loumlwenheim-
Skolem a su vez basados en Cantor Frege Zermelo y Mirimanoff la viabilidad de
161
una teoriacutea para el desarrollo del software tanto baacutesico como aplicado
convencional o avanzado Es decir una teoriacutea tanto para la Ingenieriacutea del Software
como para la Ingenieriacutea del Conocimiento y en general para la ciencia de la
computacioacuten Maacutes auacuten y de ahiacute la relevancia dicha teoriacutea da cuenta tambieacuten de y
explica adecuadamente otros fenoacutemenos en los que interviene la informacioacuten
como son la geneacutetica y la mente Una futura liacutenea de investigacioacuten muy
interesante en este punto seriacutea desarrollar un nuevo teorema que conteniendo los
alcances del de Lowenheim-Skolem elimine formalmente la ldquocapciosidadrdquo que
contiene eacuteste
A la vista de los resultados obtenidos por von Neumann en la construccioacuten de los
nuacutemeros naturales y del corolario citado en el capiacutetulo III apartado III23 se puede
decir sin temor a equivocarse que la expresioacuten de Kronecker sobre la creacioacuten de
los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo
el hombre hizo el resto
Todo ello lleva a pensar y resulta ser otra liacutenea de investigacioacuten en una teoriacutea
maacutes amplia unificada y unificadora que englobe aquellos aacutembitos en los que la
informacioacuten sea una componente baacutesica Esta teoriacutea seriacutea una verdadera teoriacutea de
la informacioacuten de la que la de Shannon seriacutea un caso especial (Shannon 1948) En
este sentido von Neumann en una famosa resentildea del libro de Norbert Wiener
(von Neumann 1949) ldquoCyberneticsrdquo (Wiener 1948) deciacutea La proposicioacuten de que
tanto la ciencia como la tecnologiacutea pasaraacuten cada vez maacutes en el proacuteximo futuro
como en un futuro maacutes lejano de los problemas de intensidad sustancia y
energiacutea a los problemas de estructura organizacioacuten informacioacuten y control
4 El cuarto resultado notable es la fundamentacioacuten formal del software al menos en
su apartado de programacioacuten Para ello soacutelo hace falta y eacutesta es otra futura liacutenea
de investigacioacuten reducir toda la programacioacuten bien a la programacioacuten funcional o
si esto no fuera posible a la propuesta conceptograacutefica de Frege Lo cual no
parece inalcanzable teniendo en cuenta la similitud entre la estructura de
ldquoholonesrdquo ldquoinformonesrdquo y las nociones ldquoontoloacutegicasrdquo baacutesicas de Frege de
ldquofuncioacutenrdquo y ldquoargumentordquo Frege en sus escritos semaacutenticos a las funciones con
argumento las denominaba conceptos y a las de dos relaciones consideraba que
las funciones tomaban sus argumentos en los nuacutemeros y objetos en general para
lo que introdujo el concepto de ldquofuncioacuten proposicionalrdquo Dichos objetos para
Frege era todo aquello que no es una funcioacuten Pues bien la teoriacutea propuesta va
162
maacutes allaacute puesto que permite de acuerdo con el contexto que un holoacuten sea un
informoacuten y viceversa Y a mayor abundancia se permite la recursividad y o
recurrencia entre holones informones y entre ellos
5 Finalmente estaacute el resultado fundamental de este trabajo y es la presentacioacuten de
una teoriacutea que ademaacutes de contemplar el desarrollo software tambieacuten da cuenta
como acaba de indicarse de otros dominios como son la geneacutetica y la mente
Naturalmente esta primera propuesta debe ser y de hecho lo seraacute refinada y
completada con el adecuado desarrollo tecnoloacutegico y eacutesta es una nueva liacutenea de
investigacioacuten propuesta
Finalmente se ha obtenido un resultado que es un ldquoefecto colateralrdquo del trabajo realizado en
esta tesis En efecto en el apartado que trata de los nuacutemeros de von Neumann se comentoacute
como Leibniz se autoproclamoacute ldquocreadorrdquo del sistema binario y asiacute es considerado por la
mayoriacutea de los historiadores de la matemaacutetica y por los propios matemaacuteticos Sin embargo
nada maacutes lejos de la realidad En efecto tras intensas pesquisas usando la teacutecnica de GC de
mapas de conocimientos en forma de ldquovariosrdquo clips se comproboacute que realmente eso no soacutelo
es falso sino que Leibniz una vez maacutes plagioacute esta vez al espantildeol Juan Caramuel de Lekbowiz
nacido en Madrid en 1606 y fallecido en Vigevano en 1682 Estos son los hechos contados por
Juliaacuten Velarde Lombrantildea (Velarde 1989)
A) En 1701 Leibniz afirmoacute que antes incluso de la publicacioacuten de la ldquoTetractysrdquo por su
maestro de matemaacuteticas de la Universidad de Jena Erhard Weigel (1625-1699) en
1673 Aunque documentalmente la fecha de aparicioacuten del sistema binario de Leibniz
hay que datarla en el 15 de marzo de 1679 donde se ve que ya tiene una idea clara de
dicho sistema Idea que plasma en su obra de 1703 ldquoExplication de LacuteArithmeacutetique
Binairehelliprdquo memoria que habiacutea enviado a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1701
B) Caramuel en su ldquoMathesis Audaxrdquo publicado en Lovaina en 1644 y sobre todo en su
gran enciclopedia ldquoMathesis Bicepsrdquo de 1667-1670 donde expone de forma
sistemaacutetica entre otras la aritmeacutetica binaria Alliacute y entonces explica las ventajas e
inconvenientes de la misma y da una muestra de su utilidad aplicaacutendola a la muacutesica
Hasta aquiacute Velarde quien de forma incontestable muestra la prioridad de Caramuel sobre
Leibniz en la invencioacuten del sistema binario La doctoranda da un paso maacutes y estaacute en
condiciones de afirmar que con probabilidad rayana en la certeza Leibniz plagioacute a
Caramuel Estas son las razones aducidas
163
A) Estaacute documentado que Leibniz conociacutea los trabajos de Caramuel tanto de forma
directa pues eran corresponsales viacutea cartas de cuestiones cientiacuteficas como indirecta
ambos se comunicaban epistolarmente con varios contemporaacuteneos
B) La tendencia al plagio intriacutenseca al caraacutecter de Leibniz basada en las siguientes
acusaciones
a) Acusacioacuten de plagio lanzada por John Keill a Leibniz ademaacutes de la acusacioacuten
del propio Newton sobre la prioridad de la invencioacuten del caacutelculo infinitesimal
en su ldquoAn Account of the Book Entituled Commercium Epistolicum D Johannis
Collinij amp Aliorum de Analysi Promotardquo publicado en 1715 en las Philosophical
Transactions de la Royal Society
b) Acusacioacuten de Pell sobre el plagio de Leibniz a Regnaud Pell conocioacute a Leibniz
en casa de la hermana del quiacutemico Robert Boyle en 1673 En ese encuentro
Leibniz le comentoacute a Pell que habiacutea descubierto un meacutetodo general para
representar e interpolar series usando diferencias Pell mostroacute su extrantildeeza
pues dado que Leibniz acababa de llegar de Pariacutes debiacutea conocer que esos
resultados descubiertos por Francois Regnaud habiacutean sido publicados en
1670 por Gabriel Mouton en sus ldquoObservationes Diametrorum Solis et Lunae
Apparentiumrdquo
c) Robert K Merton (Merton 1965) afirma que seguacuten el astroacutenomo Francois
Arago Leibniz plagioacute a Descartes acerca de la observacioacuten de este uacuteltimo
seguacuten la cual ldquola Tierra no difiere del Sol en ninguacuten aspecto salvo en que es
maacutes pequentildeardquo Estas fueron las palabras de Arago ldquoLeibniz otorgoacute a esta
hipoacutetesis el honor de atribuiacutersela a siacute mismordquo
Es decir ldquoverde y con asasrdquo
V2 CONCLUSIOacuteN
La ldquoGestioacuten del Conocimientordquo no es soacutelo vaacutelida para mejorar el funcionamiento y la
competitividad de las organizaciones tanto institucionales como econoacutemico-financieras sino
que como se muestra en este trabajo tambieacuten es eficaz y efectiva en el dominio de la
investigacioacuten cientiacutefica tanto teoacuterica como aplicada a la tecnologiacutea Y esta eficacia y efectividad
se plasma en que siguiendo la terminologiacutea de Francis Bacon aporta tanto ideas luciacuteferas que
iluminan ciertos campos clasificaacutendolos (resultados 1 2 3) como fructiacuteferas que generan
teoriacuteas y sobre todo abren nuevas viacuteas de investigacioacuten (2 3 y 4)
164
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CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA
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IV
desarrollo del software De paso y como resultado antildeadido se ve que la expresioacuten de
Kronecker sobre la creacioacuten de los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el
siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo el hombre hizo el resto
C) La idea de la Programacioacuten funcional de Frege y Schoumlfinkel que desarrolloacute Curry
establece la efectividad de una teoriacutea axiomaacutetica para el desarrollo software
D) Se propone una teoriacutea con dos constructos y tres postulados no soacutelo para el desarrollo
software sino tambieacuten para cualquier sistema de informacioacuten
E) Finalmente y como efecto colateral se muestra como Leibniz plagioacute al espantildeol
Caramuel en la creacioacuten del sistema binario de numeracioacuten
V
ABSTRACT
This thesis shows and proves how the elementary knowledge equation applied to knowledge
itself improves knowledge This is of course the way in which scientists pursue their research
Here however we demonstrate that using knowledge management techniques any specialist
in a subject can benefit from the knowledge equation
In this work the domain of software development was chosen as the framework for
researching the proposed thesis First it was found that the well-known gap between
hardware development and software development is basically a consequence of hardware
being underpinned by a genuine engineering discipline mdashand therefore backed and supported
by science respectively electronics and physicsmdash whereas software is still more of an art
than engineering without any underlying scientific theory
The proposal then is to put forward a theory that converts software development into a true
engineering discipline Bearing this in mind the formal and material adequacy conditions have
been established for any theory Then the feasibility of the proposed theory was proved using
the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal number generation from
vacuum Subsequently the theory was tested in the functional programming domain and
specifically on curryfication
Finally we propose a theory that conforming to the requirements placed on any theory
underpins software development Moreover the proposed theory is broad and robust enough
to be applied to any information system including DNA and the brain To prove this a number
of crucial experiments are proposed for all domains which should falsify the theory
The findings are as follows
A) The computational limits for a 1kg mindfact are 1050 operations per second and 1031
bits of memory
B) The combination of the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal
generation proposal are sufficient to establish a software development theory As a
spin-off it was found that what Kronecker said about integer number creation needs
to be restated as ldquoGod made the vacuum all else is the work of manrdquo
VI
C) Frege and Schoumlfinkelrsquos idea of functional programming developed by Curry
establishes the effectiveness of an axiomatic theory for software development
D) The proposed theory which has two constructs and three postulates applies not only
to software development but also to any information system
E) An incidental finding is that Leibniz plagiarized the Spaniard Caramuelrsquos binary
numbering system
VII
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a mi familia el apoyo y comprensioacuten incondicional que me
han dado en todo momento definitivamente sin ellos jamaacutes hubiese llegado hasta aquiacute En
especial quiero destacar el esfuerzo de mis padres a fin de darme una educacioacuten que me
permitiera tener unos cimientos lo suficientemente fuertes para poder alcanzar esta meta A
mi madre por su constante dedicacioacuten carintildeo y lucha para que continuara ldquoal pie del cantildeoacutenrdquo
A mi padre por su ejemplo incasable de trabajo y fortaleza quien hasta en sus uacuteltimos
momentos me ensentildeoacute la importancia de seguir adelante haciendo frente a las adversidades
por grandes que fueran Tambieacuten agradezco muy especialmente a mi hermana porque sin su
ayuda compantildeiacutea y consejos seguramente no hubiese llegado maacutes allaacute de la mitad del camino
Tambieacuten quiero agradecer a mis directores de tesis Profesores Doctores Juan Ares Casal y
Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten Aradas su comprensioacuten y confianza en este trabajo tan arriesgado
sobre todo antes de presentarles resultados concretos Naturalmente sus consejos directos o
indirectos fueron de valiosa ayuda para llevar a buen fin la investigacioacuten Asimismo en sus
opiniones y conocimientos sobre la teoriacutea propuesta en la que ellos habiacutean trabajado
previamente Sin ellos este trabajo no se habriacutea llevado a cabo en el peor de los casos y en el
mejor no de eacutesta manera
Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a Javier Andrade y colegas por permitirme usar
sus propuestas experimentales como piedra de toque de la teoriacutea propuesta
Mencioacuten aparte merece el profesor Juan Pazos Sierra Su apoyo ayuda ideas conocimientos
y criacuteticas fueron esenciales tanto para la eleccioacuten como el desarrollo de la investigacioacuten Soacutelo
voy a citar dos ejemplos de su apoyo criacutetico y sin contemplaciones para con la doctoranda El
primero se produjo cuando al explicarle el objeto de la tesis me dijo ldquoYo en estos casos
siempre le doy a los doctorandos el siguiente consejo Intenta una cosa que no has hecho tres
veces Una para perderle el miedo a hacerlo La segunda para aprender a hacerlo Y la
tercera para ver si te gusta o no iexclAh Y en cuanto veas que sabes hacer algo inmediatamente
ponte a hacer algo que no sepasrdquo Es decir se creativa perseverante y por supuesto la tesis
no estaraacute lista hasta que la escribas y reescribas al menos tres veces
El segundo fue tal vez maacutes descorazonador fue cuando al contarle en que queriacutea trabajar
me soltoacute ldquoHasta que te hayas leiacutedo el Menoacuten de Platoacuten (Platoacuten 1969) y entiendas
VIII
perfectamente lo que es el meacutetodo socraacutetico de la ldquomayeacuteuticardquo es decir el arte de mediante
el diaacutelogo inquisitivo de pregunta-respuesta alumbrar los espiacuteritus no quiero volver a hablar
contigo de este asunto Eso siacute despueacutes en un tono menos perentorio me empezoacute a hablar de
Platoacuten y los filoacutesofos griegos claacutesicos que me hizo aprender maacutes de filosofiacutea y ciencia que
todo lo que me habiacutean explicado y o leiacutedo hasta entonces
Posteriormente y ya como fuente de conocimiento fue una auteacutentica mina No soacutelo me
contestoacute con precisioacuten y erudicioacuten a todo lo que le pregunteacute sino que sus consideraciones me
haciacutean replantear mi investigacioacuten haciendo eacutesta maacutes productiva y eficiente Y esto es de tal
modo asiacute que tanto las ideas aportadas y los resultados obtenidos como los meacutetodos
empleados para conseguirlos son tanto o maacutes de eacutel que miacuteos Naturalmente el trabajo que
implica todo ello es de la doctoranda pero lo que quiero sentildealar es que cuando exponiacutea una
idea absolutamente original para miacute eacutel sin decirlo ya pareciacutea conocerla de toda la vida e
inmediatamente me indicaba los problemas y dificultades que iba a encontrar en su desarrollo
y verificacioacuten
Pero es que ademaacutes Pazos siempre me insistioacute en que la mayeacuteutica debe conducir a la
claridad para que finalmente todo el mundo entendiera el conocimiento aflorado Al respecto
poniacutea el ejemplo del premio Nobel de Fiacutesica de 1965 Richard Philips Feyman (1918-1988) Eacuteste
en cierta ocasioacuten fue requerido por un miembro del claustro del Caltech donde trabajaba
para que le explicase por queacute las partiacuteculas de espiacuten un-medio obedecen a la estadiacutestica de
Fermi-Dirac en vez de la de Bose-Einstein Eacutel despueacutes de calibrar a su audiencia respondioacute
Preparareacute una leccioacuten para este tema para los estudiantes novatos Pero unos diacuteas maacutes tarde
buscoacute puacuteblicamente a su interlocutor y paladinamente dijo Sabes no pude no pude reducirlo
al nivel de los novatos Esto significa que realmente no lo entendemos
IX
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN III
ABSTRACT V
AGRADECIMIENTOS VII
TABLA DE CONTENIDO IX
CAPIacuteTULO I 1
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO 1
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS 2
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE 9
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES 9
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE 11
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN 20
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE 22
II2 TEORIacuteAS 28
II21 INTRODUCCIOacuteN 28
II22 DEFINICIOacuteN 29
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA 32
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS 49
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA 56
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE 61
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA 63
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS 63
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA CASUALIDAD CAUSALIDAD O
ldquoCAUSUALIDADrdquo 67
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL 69
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM 72
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO DEFINICIOacuteN DE
NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN 75
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN 85
III31 INTRODUCCIOacuteN 85
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN 87
III4LOacuteGICA COMBINATORIA 100
X
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo 101
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO 102
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS 110
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA 115
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA 115
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA 115
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS 117
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES Y HOLONES 130
IV31 INFORMOacuteN 130
IV311 DEFINICIOacuteN 130
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN 134
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN 135
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo 138
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN 138
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES 143
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS 146
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA 148
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES 151
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA 154
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN 154
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN 159
V1 RESULTADOS 159
V2 CONCLUSIOacuteN 163
CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA 165
1
CAPIacuteTULO I
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO
Este trabajo tiene por objeto mostrar coacutemo la ldquoGestioacuten del Conocimientordquo en adelante GC
puede emplearse con provecho esto es consiguiendo resultados ldquotangiblesrdquo y evaluables en
la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica En efecto consideacuterese la ecuacioacuten fundamental del
conocimiento que se muestra graacuteficamente en la figura I1 que establece en general que
cualquier cosa maacutes conocimientos implica una mejora de dicha cosa (Moral del 2007) Esta
ecuacioacuten que formula una ley empiacuterica se basa en la multitud de ejemplos de coacutemo materias
primas seres vivos capitales energiacutea y un largo etceacutetera al aplicaacuterseles conocimiento
adecuado obtienen ventajas competitivas Los casos tal vez maacutes paradigmaacuteticos al respecto
sean los del petroacuteleo y los hongos Eacutestos que invadiacutean y corrompiacutean todo lo que tocaban
despueacutes de aplicarles los conocimientos obtenidos a raiacutez del descubrimiento serendiacutepico de
sus propiedades antibacterianas por los por eso galardonados con el premio Nobel Fleming
Flory y Chain se convirtieron en un medicamento eficaz e indispensable la penicilina para
combatir las enfermedades bacterianas Con el petroacuteleo ldquomuntatis muntandisrdquo sucedioacute algo
parecido Hace antildeos el petroacuteleo era un fluido ldquoasquerosordquo que contaminaba campos y
paacuteramos e incordiaba sobre todo a agricultores y ganaderos que no sabiacutean coacutemo quitarse esa
ldquoplagardquo de encima En este caso gracias al conocimiento adecuado en forma de ldquocrackingrdquo en
las refineriacuteas se convirtioacute en un deseado obscuro objeto de deseo el asiacute llamado ldquooro negrordquo
imprescindible para la sociedad actual Sus subproductos en especial gasolinas queroseno y
gasoacuteleos asfalto y plaacutesticos son tan importantes para la sociedad actual que eacutesta no se
entenderiacutea sin ellos Y por supuesto no seriacutea tan coacutemoda y avanzada
Figura I1 Ecuacioacuten Fundamental de los Conocimientos
Pues bien como la ecuacioacuten no plantea excepciones tambieacuten es aplicable a los propios
conocimientos Es decir conocimientos aplicados a los conocimientos producen una mejora
de eacutestos Esta mejora da origen a un proceso de retroalimentacioacuten positiva o por mejor decir
2
a un ldquociacuterculo virtuosordquo o ldquohelicoide de conocimientosrdquo de modo que eacutestos son cada vez
mayores en cantidad y mejores en calidad Sin embargo y esto es lo paradoacutejico y motivante a
medida que se ampliacutea la isla de los conocimientos humanos aumenta como anaacutelogamente lo
muestra la circunferencia el litoral de la ignorancia humana En este tira y afloja hasta ahora
la uacutenica forma que se conoce de aplicacioacuten de la ecuacioacuten es mediante el protagonismo del
cientiacutefico y o investigador que es el protagonista del desarrollo cientiacutefico tecnoloacutegico La
cuestioacuten y eacuteste es el objeto primordial de esta tesis es si y coacutemo las teacutecnicas meacutetodos y
herramientas de la GC pueden crear o cuando menos colaborar efectiva y eficientemente en
aumentar los conocimientos cientiacuteficos
Y esto lleva a resaltar la importancia de esta cuestioacuten Si hubo un tiempo la Grecia Claacutesica en
que un solo ser humano podriacutea acumular todo el conocimiento existente hoy dado su
crecimiento exponencial o casi eso es imposible Por lo cual seriacutea de gran ayuda si la GC
pudiera aplicarse en la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica La hipoacutetesis aquiacute planteada es de
que siacute Pero no soacutelo eso sino que y esto es una evidencia en el sentido galileano del teacutermino
es decir algo que se puede combatir y nunca refutar que en el futuro la GC seraacute condicioacuten
necesaria para la investigacioacuten cientiacutefica Maacutes auacuten y esto soacutelo se menciona especulativamente
y en condicional tal vez si los partidarios de la Inteligencia Artificial dura acaban por tener
razoacuten no soacutelo seraacute condicioacuten necesaria sino suficiente para dicha investigacioacuten
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS
Siguiendo la norma tradicional y convencional de clasificar los objetivos en los tres niveles de
A) Finalidades de caraacutecter filosoacutefico y muy general
B) Fines fundamentalmente cualitativos y en consecuencia difiacutecilmente evaluables y
C) Metas concretas y evaluables
Esta tesis tiene como finalidad analizar el uso efectivo y eficaz de la Gestioacuten del Conocimiento
en el desarrollo software Como fin el contrastar la posibilidad y factibilidad de proponer una
teoriacutea que soporte las ldquoingenieriacuteasrdquo implicadas en el desarrollo software la ingenieriacutea del
software y del conocimiento Y finalmente como meta especiacutefica el proponer una teoriacutea en la
que fundamentar ambas ingenieriacuteas
Para alcanzar dichos objetivos se ha conseguido usando las teacutecnicas de GC de Mapas de
Conocimientos (ldquoSeis Clicksrdquo) importacioacuten de conocimientos ontologiacuteas etc lo siguiente
3
1) Identificar clara y precisamente de forma cuantificable el ldquogaprdquo entre la ingenieriacutea del
hardware (microprocesadores) exponencial y la ingenieriacutea del software en el mejor de
los casos lineal Al tiempo se postula que dicho ldquogaprdquo es sobre todo pero no
exclusivamente consecuencia de la carencia de teoriacutea en la que se apoye el desarrollo
software
2) Demostrar la posibilidad de desarrollar dicha teoriacutea Para lo cual se haraacute uso de varios
resultados conocidos Por una parte la propuesta de von Neumann de la generacioacuten
de los nuacutemeros y el teorema de Loumlwenheim-Skolem que muestra que toda teoriacutea
empiacuterica cientiacutefica es un modelo loacutegico de un sistema axiomaacutetico deductivo
fundamentado en los nuacutemeros naturales
3) Probar la factibilidad de realizacioacuten de dicha teoriacutea ejemplarizado en la
ldquocurryficacioacutenrdquo esto es en la programacioacuten funcional basada en los trabajos de Frege
Schoumlnfinkel y Curry
4) Dar un paso maacutes y proponer realmente una teoriacutea basada en los resultados anteriores
que consta de dos ldquoconstructosrdquo a saber holones e informones y tres postulados
Naturalmente para que dicha teoriacutea sea falsable tambieacuten se daraacuten las pruebas frente
a las cuales mostraraacute su validez
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS
Hablando abstractamente una buena metodologiacutea de solucioacuten de problemas luego de
identificar y formular clara y precisamente el problema debe responder a las tres cuestiones
siguientes iquestEs posible una o maacutes soluciones iquestEs realizable dicha solucioacuten iquestEs deseable En
efecto para queacute intentar resolver un problema si como sucede muchas veces ldquoa priorirdquo se
sabe o puede demostrarse que el problema no tiene solucioacuten Esto es una cuestioacuten de eficacia
La segunda cuestioacuten atantildee maacutes a la eficiencia A veces hay problemas que se sabe que tienen
solucioacuten verbigracia el ajedrez sin embargo hasta hace poco dado que era un problema
exponencial era inviable por el tiempo requerido una solucioacuten de ldquofuerza brutardquo Todos los
problemas NP-Completos caen en este apartado Finalmente en ciertas ocasiones el
problema es resoluble y viable y sin embargo por alguna causa no es deseable por ejemplo
por razones eacuteticas ecoloacutegicas sociales econoacutemicas etc no es deseable ni recomendable
resolverlo simplemente porque seriacutea peor el remedio que la enfermedad La respuesta a las
dos primeras preguntas se daraacuten en el capiacutetulo III de este trabajo
4
Pues bien en el sentido y ejecucioacuten de esta tesis se tuvieron en cuenta estas cuestiones en la
metodologiacutea aplicable a la misma y que esquemaacuteticamente se muestra en la figura I2 Como
puede verse dicho esquema metodoloacutegico se basa por una parte en emplear los seis
honrados servidores del hombre de Rudyard Kipling (Kipling 1990) Queacute Quieacuten Por queacute Para
queacute Cuaacutendo Coacutemo y Doacutende y por otra las cuatro reglas del Meacutetodo Cartesiano (Descartes
1637) a saber De evidencia Anaacutelisis Siacutentesis y Prueba
Figura I2 Esquema de Solucioacuten de Problemas desde una Perspectiva de GC
5
Finalmente sentildealar que la teoriacutea propuesta tiene que constituir un sistema deductivo Para su
buacutesqueda y definicioacuten se hizo uso de la conocida regla heuriacutestica de ldquoanaacutelisis-siacutentesisrdquo y de la
loacutegica experimental En efecto las caracteriacutesticas baacutesicas de los sistemas deductivos son (a)
principio de ldquoretrasmisioacuten de la falsedad desde la base hasta la cuacutespiderdquo esto es mediante
ldquoretroduccioacutenrdquo desde las conclusiones a las premisas Haciendo asiacute un contraejemplo de una
conclusioacuten seraacute un contraejemplo de al menos una de las premisas (b) El ldquoprincipio de
transmisioacuten de la verdadrdquo desde las premisas a las conclusiones Pero y esto es muy
importante a estos sistemas no se les exige que transmitan falsedad o retrasmitan verdad
Para llevar esto a buen puerto los sistemas deductivos hacen uso de la regla de ldquoanaacutelisis-
siacutentesisrdquo que funciona como sigue (Lakatos 1981) Extrae conclusiones de tu conjetura una
tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera si llegas a una conclusioacuten falsa entonces
tu conjetura es falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera entonces tu
conjetura tal vez haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e
intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso es decir desde la verdad indudable
hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado la conjetura Esta regla heuriacutestica
pone de manifiesto por queacute los antiguos griegos teniacutean en tan alta estima la ldquoReductio ad
absurdumrdquo les ahorraba el trabajo de siacutentesis habiendo probado el caso soacutelo con el anaacutelisis
Anaacutelisis que puede ser de dos tipos teoacuterico dirigido a la buacutesqueda de la verdad y
praxeoloacutegico praacutectico o problemaacutetico que de estas tres formas se denomina dirigido a
encontrar lo que se ha dicho que hay que encontrar
La mayoriacutea de los grandes cientiacuteficos Maxwell Einstein Dirac etceacutetera usaron o procedieron
mediante lo que se conoce como ldquoloacutegica experimentalrdquo un aparente oxiacutemoron es decir
teacuterminos contradictorios en siacute mismos pero en este caso soacutelo en apariencia En loacutegica
experimental se formulan hipoacutetesis formalmente a poder ser en forma de ecuaciones y se
experimenta con ellas Esto es se intenta perfeccionar las ecuaciones desde el punto de vista
de su belleza o perfeccioacuten interna y su consistencia Y a continuacioacuten se verifica si las
ecuaciones ldquomejoradasrdquo explican alguacuten aspecto de la naturaleza Las matemaacuteticas utilizaban la
acabada de citar ldquoreduccioacuten al absurdordquo que consiste en que para demostrar A se asume lo
opuesto de A y se llega a una contradiccioacuten con lo que se afirma A Por el contrario la ldquoloacutegica
experimentalrdquo consiste en una ldquovalidacioacuten por fecundidadrdquo que estriba en que para validar A
se asume A y se demuestra que conduce a resultados uacutetiles Frente al ldquomodus operandirdquo de la
loacutegica deductiva la ldquoloacutegica experimentalrdquo se inspira en la maacutexima ampliamente utilizada en
GC siguiente ldquoMaacutes vale pedir perdoacuten que solicitar permisordquo De hecho la ldquoloacutegica
experimentalrdquo no contempla al menos ldquoprima facierdquo la inconsistencia como una cataacutestrofe
6
irremediable sino como una oportunidad esperanzadora Si una liacutenea de investigacioacuten es
fructiacutefera no debiacutea ser abandonada por su inconsistencia o caraacutecter aproximado Por el
contrario hay que buscar el modo de convertirla en correcta En este sentido el premio Nobel
de Fiacutesica Steven Weinberg sentildealoacute que muchas veces se aplican las ideas correctas al problema
equivocado
Para centrar la cuestioacuten cientiacuteficamente y huir de toda especulacioacuten metafiacutesica lo primero que
se hizo fue aplicar la GC en forma de Mapa de Zack y esquema de obtencioacuten del conocimiento
para identificar un problema relevante en el aacuterea en la que la doctoranda teniacutea cualificacioacuten
universitaria el desarrollo software De esto trata el capiacutetulo II en el cual en forma de estado
de la cuestioacuten se considera detalladamente
A) Las bases tecnoloacutegicas de la crisis del software provocada fundamentalmente por una
carencia de teoriacutea del software que soporte las ingenieriacuteas del software y del
conocimiento
B) Naturalmente si lo que se busca es una teoriacutea cientiacutefica previamente debe
establecerse lo que se entiende por tal Ademaacutes como no hay mejor predicador que
fray ejemplo se daraacuten en distintos dominios ejemplos de teoriacuteas cientiacuteficas tanto
formales como empiacutericas o exponenciales
A continuacioacuten en el capiacutetulo III usando conocimiento formal se demuestra no soacutelo que
dicha teoriacutea es posible apartado III1 aportacioacuten de von Neumann y Teorema de Loumlwenheim-
Skolem sino que tambieacuten es viable y realizable viacutea ldquocurryficacioacutenrdquo apartado III2 Para probar
la posibilidad se hizo uso de las teacutecnicas de importacioacuten y de educcioacuten del conocimiento de
acuerdo con la regla de oro de la GC queacute se sabe queacute no se sabe y queacute se deberiacutea saber en
este caso concreto los resultados previos de von Neumann y Loumlwenheim-Skolem Por su
parte para probar la factibilidad apartado III2 se hizo uso viacutea importacioacuten de conocimientos
y inquisicioacuten al experto de algo habitual en el desarrollo software en este caso en el aspecto
concreto de la programacioacuten funcional y su fundamentacioacuten loacutegico-matemaacutetica Por y para lo
cual se usoacute el conocimiento previo de Frege Schoumlnfinkel y Curry En ambos casos la teacutecnica de
GC denominada mapas de conocimientos fueron de absoluta utilidad
Y para completar el triacuteo de cuestiones que exigiacutea el planteamiento de la hipoacutetesis y dentro de
la solucioacuten propuesta en el capiacutetulo IV se muestran los aspectos metodoloacutegicos de dicha
7
solucioacuten apartado IV1 y en el apartado IV2 la teoriacutea propuesta basada soacutelo en dos
ldquoconstructosrdquo o conceptos y tres postulados
Para finalizar en el capiacutetulo V se explicitan apartado V1 los resultados obtenidos las
conclusiones extraiacutedas apartado V2 y las futuras liacuteneas de investigacioacuten apartado V3 Y en
el capiacutetulo VI se da la bibliografiacutea
8
9
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES
En 1947 John Bardeen (1908-1991) y Walter Houser Brattain inventaron el transistor cuyo
nombre es el acroacutenimo de ldquoTransference Resistorrdquo en alusioacuten a su caracteriacutestica maacutes
importante transferir resistencia permitiendo el paso de corriente de una entrada de baja
resistencia a otra de salida de alta resistencia Ahora bien dicho transistor conocido como de
punta de contacto no era muy estable y fue necesario que otro cientiacutefico tambieacuten de los
laboratorios Bell William Bradford Shockley lo mejorara dando lugar al transistor de unioacuten Por
dicho invento y mejora los tres fueron galardonados con el premio Nobel de Fiacutesica del antildeo
1956 Insoacutelitamente John Bardeen esta vez en compantildeiacutea de Leon N Cooper y John Robert
Schrieffer volvioacute a conseguir el premio Nobel de Fiacutesica de 1972 por sus trabajos sobre la
superconductividad del metal proacuteximo al cero absoluto
En 1959 John Kilby de Texas Instruments patentoacute el circuito integrado que conteniacutea
centenares de componentes es decir transistores y resistencias tratadas en bloque que
recibieron el nombre coloquial de ldquochipsrdquo Este nombre alude a las finas lonchas de patatas
fritas cuya forma recuerda a la de los circuitos integrados aunque su procedencia proveniacutea de
las siglas ldquoCircuit High Integrated Processrdquo Siendo eacuteste uno maacutes de los tiacutepicos juegos de
palabras que tan a menudo ocurren en el mundo de la CS Pues bien el chip maacutes importante
es el microprocesador llamado tambieacuten Central Processing Unit (CPU) que se encarga de
controlar a todos los demaacutes y efectuar todas las operaciones
Nombre Antildeo Nordm de Transistores Ancho de bus
(bits) Frecuencia de Reloj
(Herzios)
44004 1971 2300 4 108 KHz 8080 1974 6000 8 2 MHz 8086 1978 29000 16 5 MHz 80286 1982 134000 16 6 MHz 80386 1985 275000 32 16 MHz 80486 1989 1200000 32 25 MHz Pentium 1993 3100000 64 y 32 60 MHz Pentium II 1997 7500000 64 233 MHz Pentium III 1999 9500000 64 500 MHz Pentium 4 2000 42500000 64 13 GHz Pentium M 2003 140000000 64 226 GHz Pentium D 2005 230000000 64 32 GHz Core 2 Duo 2006 291000000 64 266 GHz
Tabla II1 Caracteriacutesticas de los chips desde su creacioacuten
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El primer microprocesador lo presentoacute Intel empresa fundada en julio de 1968 por Gordon
Moore Robert Nogee y Andrew Growe el 15 de Noviembre de 1971 A partir de ese
momento tal y como se muestra en la tabla II1 la evolucioacuten de los microprocesadores se hizo
vertiginosa En dicha tabla se muestran las caracteriacutesticas de los principales modelos de chips
comercializados por INTEL teniendo en cuenta los tres paraacutemetros fundamentales de un
microprocesador a saber ancho de bus de datos o nuacutemero de bits que puede manejar
simultaacuteneamente la frecuencia del reloj o velocidad de proceso y la cantidad de transistores
que contiene Y en la figura II1 se muestra dicha evolucioacuten hasta el antildeo 2020 pero teniendo
en cuenta soacutelo el nuacutemero de transistores por chip Curiosamente como Intel queriacutea
diferenciarse de otros fabricantes y no podiacutea patentar un nuacutemero al modelo siguiente al
80486 en lugar de 80586 lo denominoacute Pentium Siguiendo este esquema de nomenclatura el
siguiente modelo deberiacutea haberse llamado Sextium pero por las connotaciones que teniacutea con
ldquoSexrdquo a Intel le parecioacute maacutes oportuno numerar los Pentium como asiacute hizo Finalmente en los
uacuteltimos antildeos han denominado a sus modelos Core Duo en mencioacuten del doble nuacutecleo que
poseen
Figura II1 Ley de Moore en teacuterminos de procesadores Intel
Si se compara el ritmo de la evolucioacuten bioloacutegica con la de los instrumentos de coacutemputo
tomando como punto de partida de la primera la aparicioacuten de las ceacutelulas procariotas hace
unos quinientos millones de antildeos y de la segunda el aacutebaco babiloacutenico hace unos cinco mil
antildeos se ve como se muestra en la figura II2 que la evolucioacuten bioloacutegica es lineal en tanto que
la tecnoloacutegica es exponencial En dicha figura la capacidad de proceso estaacute representada en
teacuterminos de lo que puede adquirirse en cada momento por mil doacutelares y no en teacuterminos
absolutos de lo que es capaz de procesar el computador maacutes potente del momento Por su
11
parte la capacidad de coacutemputo de los seres vivos se representa en la figura en base al nuacutemero
de neuronas del cerebro y a las posibilidades de conexioacuten sinaacutepticas y considerando que una
neurona es capaz de realizar mil instrucciones por segundo
Figura II2 Evolucioacuten bioloacutegica y tecnoloacutegica
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE
Raymond Kurzweil (Kurzweil 1999) sentildealoacute acertadamente que a lo largo del tiempo operan
dos leyes complementarias La primera conocida como ldquoLey del Aumento del Caosrdquo da cuenta
del hecho empiacuterico de que a medida que el caos se incrementa el tiempo se desacelera Dicho
en otros teacuterminos El intervalo transcurrido entre dos eventos relevantes crece con el tiempo
Esta ley que puede aplicarse tanto al Cosmos como a los organismos bioloacutegicos es la que hace
que los humanos pasen de la juventud a la vejez La segunda que es la que ldquohic et nuncrdquo esto
es aquiacute y ahora maacutes importa concierne baacutesicamente al desarrollo e innovacioacuten tecnoloacutegica y
opera de forma opuesta a la primera recibiendo el nombre de ldquoLey de los Rendimientos
Crecientesrdquo En la tabla II2 se dan dos ejemplos de funcionamiento de esta ley El primero
considera la aceleracioacuten histoacuterica del advenimiento de las distintas sociedades impulsadas por
los continuos y revolucionarios cambios tecnoloacutegicos El segundo muestra el tiempo
12
transcurrido desde que se produce un descubrimiento cientiacutefico hasta que se convierte en una
innovacioacuten tecnoloacutegica de aplicacioacuten praacutectica La historia de la civilizacioacuten es la del intento
continuado del ser humano para reducir la brecha entre lo que piensa que sabe y lo que hace
es decir entre ciencia y tecnologiacutea Y lo que impulsa estos avances depende de cada caso Asiacute
en el caso del transporte es la utilidad lo que impulsa los avances Esta ley de los
ldquoRendimientos Crecientesrdquo da cuenta del hecho de que a medida que el orden crece
exponencialmente el tiempo se desacelera tambieacuten exponencialmente Dicho de otro modo
El intervalo transcurrido entre dos eventos importantes relevantes y significativos decrece con
el tiempo Un corolario conocidiacutesimo y ejemplo paradigmaacutetico de esta ley es la ldquoLey de
Moorerdquo aplicada a la tecnologiacutea de los microprocesadores que por su pertinencia y
relevancia se va a considerar maacutes ampliamente a continuacioacuten y que Forrester en 1987
(Forrester 1987) expresoacute como sigue El poder de la tecnologiacutea de la computadora a la misma
unidad de coste se duplica cada dieciocho-veinticuatro meses y tiende a disminuir el periacuteodo
Tipos de Sociedad Tiempo
Transcurrido
Descubrimiento Antildeos Transcurridos
Fotografiacutea 112
Rural Teleacutefono 56
10 Siglos Radio 35
Industrial Radar 15
2 Siglos Bomba Atoacutemica 6
Servicios Transistor 5
30 Antildeos Circuitos Integrados 3
Tecnologiacutea o Digital Enzimas de Restriccioacuten en el ADN recombinante
lt1
(A) Evolucioacuten de las Sociedades (B) Ley de Rendimientos Crecientes para distintos
Descubrimientos
Tabla II2 Ejemplos de la aceleracioacuten histoacuterica
En el antildeo 1965 Gordon E Moore uno de los fundadores de INTEL se percatoacute de que los
circuitos integrados estaban duplicando cada antildeo la densidad de los componentes electroacutenicos
que conteniacutean las distintas obleas de silicio que constituye el chip Y establecioacute dicha
observacioacuten perspicaz en forma de foacutermula empiacuterica que en honor de su descubridor recibe
el nombre de Ley de Moore (Moore 1965) Esta foacutermula empiacuterica que mide estimula y
predice la capacidad humana de innovacioacuten aplicada al progreso de la tecnologiacutea
microelectroacutenica obviamente no es una ley cientiacutefica de la naturaleza y en consecuencia ni es
universal ni menos eterna Esto hace que de vez en cuando haya que retocarla para ajustarla
a la realidad de los hechos En efecto si bien es cierto que el coeficiente multiplicador anual de
13
densidad de los componentes electroacutenicos en un chip se mantuvo en el valor 2 desde 1958
hasta 1972 desde entonces se redujo hasta hoy en diacutea a 15 es decir a duplicarse cada
dieciocho meses y se estima que dicha tendencia continuaraacute hasta aproximadamente el antildeo
2020 A partir de ahiacute se cree que se volveraacute a reducir hasta un valor de 116 que continuaraacute
hasta alcanzar los liacutemites de las leyes fiacutesicas que rigen la construccioacuten de los chips actuales
esto es la electroacutenica convencional En efecto si se mantiene la ley de Moore antes de quince
antildeos los componentes electroacutenicos grabados en silicio llegaran a un tamantildeo molecular criacutetico
Por ejemplo en 1972 los chips de memoria tipo DRAM conteniacutean un kilobit esto es mil ceros
o unos Al ritmo multiplicador de 15 anual en el antildeo 2010 pasariacutean a tener una capacidad de
unos 64 gigabits o sea a albergar 64 mil millones de transistores por oblea de silicio Sin
embargo esta previsioacuten fue superada con creces pues ya en 1997 investigadores de la
Universidad de Minnesota anunciaron una teacutecnica para integrar ese mismo nuacutemero de
transistores en un chip de 1 centiacutemetro cuadrado de superficie Lo mismo cabe decir para los
chips microprocesadores aunque en este caso la pauta que siguen hay que restarle un orden
de magnitud En la gran conferencia patrocinada por la Association for Computing Machinery
(ACM) con ocasioacuten del primer cincuentenario de la informaacutetica celebrada del 1 al 5 de marzo
de 1997 y titulada ldquoThe Next Fifty Years of Computingrdquo Gordon Bell estimaba que dentro de
otros cincuenta antildeos los computadores seraacuten como miacutenimo 100000 veces maacutes potentes que
los actuales Por otra parte Raymond Kurzweil estimoacute que la capacidad operativa del cerebro
humano es de 20x1015 operaciones por segundo cifra que de acuerdo con la ley de Moore
alcanzaraacuten los procesadores del antildeo 2020 y duplicada 18 meses despueacutes
Para apreciar el extraordinario aumento de la potencia de los computadores es importante
recordar que desde 1950 hasta el presente dicho aumento es de aproximadamente iexclonce
oacuterdenes de magnitud en otras palabras se ha multiplicado por 1011 o auacuten es cien mil
millones de veces superior Un raacutepido incremento de potencia de esta magnitud apenas tiene
precedentes en la historia de la tecnologiacutea Para valorar por comparacioacuten la magnitud de este
impresionante incremento baste indicar que es mayor que el que supuso en la potencia de
los explosivos el paso de los explosivos quiacutemicos a la bomba termonuclear De hecho si se
retrocede ochenta antildeos la potencia de coacutemputo se ha multiplicado por un billoacuten Para tener
una idea aproximada de lo que esto significa compaacuterese con la velocidad de los medios de
comunicacioacuten a traveacutes de la historia y se ve que el solo aumento de un orden de magnitud fue
debido a un cambio tecnoloacutegico relevante para la humanidad Por ejemplo el paso de la
traccioacuten animal a la mecaacutenica por vapor o explosioacuten y de eacutesta a los aviones a reaccioacuten cohetes
etc Hace ocho mil antildeos el medio maacutes raacutepido de transporte era la caravana de camellos que
14
alcanzaba una media de 12 kiloacutemetros por hora Hasta cuatro mil quinientos antildeos despueacutes no
se inventoacute el carro con ruedas que permitiacutea viajar a 30 kiloacutemetros por hora Casi tres mil
quinientos antildeos despueacutes en 1880 el hombre consiguioacute alcanzar los 150 kiloacutemetros por hora
gracias a la locomotora de vapor Los 600 kiloacutemetros por hora no se alcanzaron hasta hace 70
antildeos con los aviones a reaccioacuten Veinte antildeos despueacutes los aviones-cohete superaban los 6000
kiloacutemetros por hora Hoy las caacutepsulas espaciales circunvalan a tierra a maacutes de 35000
kiloacutemetros por hora La espectacular evolucioacuten tecnoloacutegica de los computadores si se le
compara con la evolucioacuten de la industria automoviliacutestica resulta auacuten maacutes ilustrativa En efecto
fue el malogrado psicoacutelogo entusiasta de los computadores Christopher Evans (Evans 1979)
el primero en establecer una analogiacutea de este tipo al plantear la cuestioacuten como sigue El
automoacutevil actual difiere de aquellos de los antildeos inmediatos de la postguerra en varios
aspectos Es maacutes barato y es maacutes econoacutemico y eficiente Pero supoacutengase por un momento
que la industria del automoacutevil se hubiera desarrollado al mismo ritmo que los computadores y
a lo largo del mismo periacuteodo iquestCuaacutento maacutes baratos y eficientes seriacutean los modelos actuales La
respuesta es Hoy se podriacutea comprar un Rolls-Royce por 135 libras esterlinas rendiriacutea 18
millones de kiloacutemetros por litro de gasolina consumido generariacutea suficiente potencia para
impulsar al Queen Elizabeth II y se podriacutea colocar media docena de ellos en la cabeza de un
alfilerrdquo Analogiacutea que posteriormente retomoacute Malcom Forbes (Forbes 1996) con cambios
miacutenimos Aumentando el precio del Rolls Royce rebajando la eficiencia en el consumo
comparando su fortaleza frente al Queen Mary Este Rolls consumiriacutea 1 litro de gasolina cada
milloacuten de kiloacutemetros tendriacutea una potencia superior al Queen Mary y ocupariacutea el volumen de
una cabeza de alfiler Por su parte Goacutemez y colegas (Goacutemez 1997) antildeadieron que tendriacutea
capacidad para 10000 viajeros y viajariacutea a maacutes de 5000 kmhora y redujeron el precio a menos
de un doacutelar Hoy podriacutea antildeadirse que iriacutea al taller cada 500 antildeos casi no contaminariacutea y que
praacutecticamente no hariacutea falta saber nada para conducirlo Es de suponer que en Microsoft no
estaacuten de acuerdo con este enfoque al menos su jefe de tecnologiacutea Nathan Myhrvold quien
establecioacute una ley para el software que dice ldquoLa programacioacuten crece maacutes raacutepido que la Ley de
Moorerdquo (Myhrvold 1998) Naturalmente todos estos datos exclusivamente referentes al
ldquohardwarerdquo se dan sin segunda intencioacuten no vaya a ser que el efecto Gates funcione de
nuevo Usando parte de esos datos y la Ley de Nathan (Myhrvold 1998) hace unos antildeos fuera
de contexto Bill Gates en un CONDEX imprudentemente se burlaba de la industria del
automoacutevil lo que provocoacute la indignacioacuten del presidente de la General Motors que convocoacute una
rueda de prensa en la que contestoacute lo siguiente Si la industria automovilista hubiera
desarrollado una tecnologiacutea como la de Microsoft conduciriacuteamos actualmente automoacuteviles
15
que tendriacutean dos accidentes al diacutea habriacutea que cambiarlos cada vez que se pintaran las liacuteneas
de la carretera se parariacutean sin motivo conocido y habriacutea que arrancarlos de nuevo para
continuar la marcha los asientos exigiriacutean que todos los ocupantes tuvieran el mismo formato
de culo el sistema de airbag preguntariacutea si se aceptaba que se desplegara antes de actuar y
en ocasiones soacutelo podriacutea arrancarse por el conocido truco de tirar de la puerta girar la llave y
sujetar la antena de la radio simultaacuteneamente Y siempre que se presentara un nuevo modelo
de coche todos los conductores deberiacutean aprender a conducir de nuevo porque ninguno de los
mandos funcionariacutea como en los modelos anteriores Como puede verse todas estas criacuteticas se
refieren al software Eacutestas y otras comparaciones que se podriacutean poner como ejemplo no
reflejan otra cosa que la realidad incuestionable del avance espectacular que ha tenido la
industria de los procesadores y de los computadores en su versioacuten ldquohardwarerdquo Ambos
enfoques se encuentran en la Tabla II3
A) HARDWARE
B) SOFTWARE
Microsoft
Accidentes Cambios Deteccioacuten Ergonomiacutea Automatizacioacuten Arranque Conocimiento
Conduccioacuten
2 x diacutea Cada vez
que se
pintaran
las liacuteneas
de la
carrete-
ra
Sin motivo
conocido y
habiacutea que
rearrancarlos
cada vez para
continuar
Los
pasajeros
deben
tener el
mismo
formato de
trasero
El airbag
preguntariacutea
antes de actuar
si se desplegaba
En ocasiones
tirar de la
puerta girar la
llave y sujetar
la antena de la
radio simultaacute-
neamente
Para cada
nuevo modelo
ir de nuevo a la
autoescuela
Tabla II3 Comparativas en Hardware y Software
Kurzweil analiza todo esto en un trabajo (Kurzweil 2005) en donde da su Ley de Aceleracioacuten
de los Retornos que aquiacute se resume como sigue un anaacutelisis de la historia de la tecnologiacutea
muestra que el cambio tecnoloacutegico es exponencial y no como parece indicar el sentido comuacuten
Tipo Precio Kmlitro Potencia Tamantildeo Capacidad Vel Kmh
Fiabilidad Conocimiento Conduccioacuten
Contami-nacioacuten
Rolls Royce
1 euro 18x106
Queen Elizabet II
6 en cabeza de alquiler
104 pasajeros
5x103
Cada 500 antildeos al taller
Praacutecticamente nulo
Cero
200000 euro
033 300CV 420x17060
4 pasajeros 250 Anual Academia Media
16
lineal Asiacute los ldquoretornosrdquo tales como la velocidad de los ldquochipsrdquo y el coste-efectividad tambieacuten
se incrementaraacuten exponencialmente Hay incluso un crecimiento exponencial en los ratios de
crecimiento exponencial Dentro de pocas deacutecadas la ldquointeligenciardquo de la maacutequina
sobrepasaraacute la inteligencia humana conduciendo a ldquoLa Singularidadrdquo o cambio tecnoloacutegico tan
raacutepido y profundo que representa una ruptura en la realidad de la historia humana las
implicaciones incluyen la mezcla de inteligencia bioloacutegica y no bioloacutegica humanos inmortales
basados en software y ultraelevados niveles de inteligencia que la expanden en el universo a la
velocidad de la luz
Para Kurzweil el futuro es ampliamente malentendido Las previsiones humanas esperan que
el futuro sea lo maacutes parecido al presente que ha sido lo maacutes parecido al pasado Aunque las
tendencias exponenciales existen desde hace miles de antildeos en sus primeras etapas son tan
llanas que parece que no tengan tendencia en absoluto y eso es lo que ocurrioacute hasta ahora
por eso el futuro seraacute mucho maacutes sorprendente de aquiacute en adelante La mayoriacutea de las
previsiones a largo plazo de las capacidades teacutecnicas en periacuteodos de tiempo futuro subestiman
dramaacuteticamente el poder de la tecnologiacutea del futuro debido a que se basan en la visioacuten
ldquointuitivamente linealrdquo del progreso tecnoloacutegico antes que en la visioacuten ldquohistoacutericamente
exponencialrdquo Para expresarlo de otro modo no es el caso de que se experimentaraacute un
progreso de cien antildeos en el siglo XXI sino que el ser humano seraacute testigo de un progreso a la
ratio actual de 20000 antildeos Debido a que se estaacute duplicando la tasa de progreso cada deacutecada
a la ratio actual se veraacute una centuria de progreso en soacutelo 25 antildeos de calendario
Cuando la gente piensa en un periodo futuro intuitivamente asume que la actual ratio de
progreso continuaraacute en periacuteodos futuros Sin embargo una cuidadosa consideracioacuten de la
marcha de la tecnologiacutea muestra que la ratio de progreso no es constante pero estaacute en la
naturaleza humana adaptarse a la marcha del cambio de modo que la visioacuten intuitiva es que la
marcha continuaraacute a la tasa actual Incluso para incrementos sobre el tiempo la intuicioacuten da la
impresioacuten de que el progreso cambia a la ratio que se experimentoacute recientemente Desde la
perspectiva matemaacutetica una primera razoacuten para eso es que una curva exponencial se
aproxima a una recta cuando se ve durante un breve periacuteodo de tiempo De modo que
aunque la ratio de progreso en el inmediato pasado verbigracia el antildeo pasado fue mucho maacutes
grande de lo que hace dos antildeos la memoria estaacute a pesar de todo dominada por la
experiencia muy reciente Es tiacutepico por lo tanto que incluso personas ldquoexpertasrdquo cuando
consideran el futuro extrapolan la actual marcha del cambio sobre los proacuteximos diez o cien
17
antildeos para determinar sus expectativas Por eso a esta visioacuten del futuro se denomina visioacuten
ldquointuitiva linealrdquo
Pero una evaluacioacuten de la historia de la tecnologiacutea maacutes meditada y rigurosa muestra que el
cambio tecnoloacutegico es exponencial En el crecimiento exponencial se encuentra que una
medida clave tal como la potencia computacional se multiplica por un factor constante por
cada unidad de tiempo verbigracia se duplica cada antildeo antes que justo ser sumado
incrementalmente Dicho en otros teacuterminos se estaacute ante una progresioacuten geomeacutetrica no
aritmeacutetica El crecimiento exponencial es caracteriacutestico de cualquier proceso evolutivo del que
la tecnologiacutea es un ejemplo primario Se pueden examinar los datos de diferentes maneras en
diferentes escalas de tiempo y para una amplia variedad de tecnologiacuteas yendo de la
electroacutenica a la bioloacutegica y la aceleracioacuten del progreso y el crecimiento se multiplican Maacutes auacuten
realmente no se encuentra justamente un crecimiento exponencial simple sino ldquodoblerdquo lo
que significa que la ratio del propio crecimiento exponencial es exponencial Estas
observaciones no se basan uacutenicamente en la ley de Moore sino en un modelo que contempla
diversas tecnologiacuteas Lo que claramente muestra eso es que la tecnologiacutea particularmente la
marcha del cambio tecnoloacutegico avanza al menos exponencialmente no linealmente y lo ha
estado haciendo desde el advenimiento de la evolucioacuten a la Tierra Todo esto da lugar a la asiacute
llamada por Kurzweil ldquoLey de Aceleracioacuten de Retornosrdquo (Kurzweil 2005)
Para apreciar la naturaleza y significado de la ldquosingularidadrdquo que se avecina es importante
ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial A este fin permiacutetase usar el caso del
inventor del ajedrez Sessa o por mejor decir su leyenda Esta leyenda de hace maacutes de quince
siglos fue citada por Dante Alighieri (1265-1321) en el apartado del Paraiacuteso de su Divina
Comedia cuando en sus versos refirieacutendose a las luces del cielo dice(Alighieri 1988)
L`incendio suo seguiva ogne scintilla ed eran tante che`l numero loro piuacute che`l doppiar de li scacchi s`inmilla
hellip y eran tantas que su nuacutemero maacutes que al doblar de los escaques asciende
Es decir su nuacutemero era tan grande que superaba al que se obtendriacutea sumando los primeros 64
teacuterminos esto es el nuacutemero de escaques del tablero de ajedrez de la progresioacuten geomeacutetrica
de razoacuten dos a partir del uno El resultado es un nuacutemero enorme de veinte cifras expresado
por la foacutermula 264-1 Dante recuerda en su famosa obra la conocida leyenda oriental en una
de sus versiones Seguacuten Dante el rey persa Shiraz riquiacutesimo y aburrido convocoacute a los sabios y
les prometioacute una recompensa generosa si lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente
18
Uno de los sabios de nombre Sessa o Sisa de acuerdo con las distintas foneacuteticas le llevoacute el
juego del ajedrez y le pidioacute un grano de trigo por la primera casilla dos por la segunda cuatro
por la tercera ocho por la cuarta y asiacute sucesivamente Naturalmente no pudo pagarle al sabio
pero seguacuten otra versioacuten maacutes erudita y completa (Pazos J 2008) los matemaacuteticos que
calcularon la enorme cantidad de trigo que teniacutea que abonar el monarca le dieron la ldquorecetardquo
para salir airosamente del trance Hacerle contar al Sessa los granos de trigo que iba
recibiendo
Soacutelo queda por plantearse una cuestioacuten iquestEl nuacutemero de granos que solicitaba el brahmaacuten es
mayor menor o igual que el nuacutemero de posibles jugadas en el juego que descubrioacute La
respuesta es que es mucho menor habida cuenta que el nuacutemero de jugadas posibles en el
ajedrez seguacuten Shannon es de 10120
La ldquoduplicacioacutenrdquo aunque parece un divertimento no es asiacute puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas El caso maacutes paradigmaacutetico es el de las bacterias los seres
vivos hasta el momento con mayor capacidad de reproduccioacuten En efecto si cuentan con
suficiente alimento una bacteria se divide en dos iguales cada veinte minutos A este ritmo
una uacutenica bacteria puede superar a toda la poblacioacuten humana actual en tan soacutelo 11 horas Para
calcularlo bastariacutea con elevar dos a treinta y tres el nuacutemero de divisiones que se produciriacutean
en ese tiempo Afortunadamente para dar ldquoalimentordquo a tan numerosa prole hace falta un
suministro de nutrientes muy elevado asiacute que la poblacioacuten tiende a estabilizarse al llegar a esa
cifra Si no fuera asiacute la poblacioacuten llegariacutea en pocos diacuteas al valor de un Guacutegol que es un uno
seguido de iexcl100 ceros Este nombre se lo dio el matemaacutetico Kasner tomaacutendolo prestado de
su sobrino de nueve antildeos
Dicho lo anterior lo inmediato es establecer lo que significa la singularidad como teacutermino y
como concepto Para empezar hay que decir que con el teacutermino singularidad se quiere decir
un acontecimiento uacutenico con profundas implicaciones Por ejemplo en matemaacuteticas implica el
infinito es decir la ldquoexplosioacutenrdquo de un valor que ocurre cuando se divide un nuacutemero racional
distinto de cero por un nuacutemero tan proacuteximo a cero como se quiere incluido naturalmente el
cero En fiacutesica anaacutelogamente una singularidad denota un evento o posicioacuten de poder infinito
En el centro de un agujero negro la materia es tan densa que su gravedad es infinita Cuanto
maacutes se acercan la materia y la energiacutea para caer en un agujero negro un evento horizonte
separa la regioacuten del resto del Universo Eso constituye una ruptura en la estructura del espacio
y el tiempo El propio Universo seguacuten la ldquoteoriacuteardquo actualmente dominante ldquoel big bangrdquo
comenzoacute justamente con una singularidad
19
La singularidad tiene muchas facetas Asiacute representa la cercana fase vertical del crecimiento
exponencial donde la ratio de crecimiento es tan extrema que la tecnologiacutea parece que crece a
una velocidad infinita Naturalmente desde una perspectiva matemaacutetica no hay
discontinuidad ni ruptura y la ratio de crecimiento permanece finita aunque
extraordinariamente grande Pero desde la limitada perspectiva actual este evento inminente
parece ser una aguda y abrupta ruptura en la continuidad del progreso Sin embargo hay que
enfatizar la palabra ldquoactualmenterdquo porque una de las implicaciones conspicuas de la
singularidad seraacute un cambio en la naturaleza de la capacidad humana de entender En otros
teacuterminos el ser humano llegaraacute a ser inmensamente maacutes inteligente cuando se ldquomezclerdquo con
la tecnologiacutea
Volviendo a la historia del ajedrez tanto Sessa como el emperador mientras estaban
considerando la primera mitad del tablero de ajedrez las cosas iban razonablemente bien sin
sobresaltos Sessa recibioacute sucesivamente cucharadas tazones y barriles de grano De este
modo al final de la primera mitad del tablero habiacutea recibido Sessa el equivalente a la cosecha
de un gran campo en total cuatrocientos mil millones de granos y el emperador empezoacute a ser
consciente del problema en el que se habiacutea metido A partir de ahiacute la situacioacuten empezoacute a
deteriorarse para el emperador raacutepidamente hasta el punto de que al final no podiacutea cumplir
su palabra Incidentalmente sentildealar que en lo de duplicar la potencia computacional
actualmente se estaacute ligeramente por encima de doblar 32 veces las prestaciones del primer
computador programable es decir se estaacute empezando a superar el umbral de la singularidad
Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial Aunque la tecnologiacutea crece en el dominio
exponencial los seres humanos viven en un mundo lineal Asiacute las tendencias tecnoloacutegicas no
son notorias cuando se doblan pequentildeos niveles de potencia tecnoloacutegica Luego
aparentemente sin razoacuten alguna una tecnologiacutea explota ante la mirada sorprendida de quien
contempla la singularidad Por ejemplo cuando Internet pasoacute de 20000 a 80000 nodos en un
periacuteodo de dos antildeos allaacute por los 80 este progreso permanecioacute oculto al puacuteblico en general
Una deacutecada despueacutes cuando se pasoacute de 20 millones a 80 millones de nodos en la misma
cantidad de tiempo el impacto fue noticia Pues bien la tasa de crecimiento es la misma
exactamente cuatro veces
Como el crecimiento exponencial continuacutee acelerado en la primera mitad del siglo XXI
pareceraacute explotar en el infinito al menos desde las perspectivas limitadas y lineales de los
humanos contemporaacuteneos Finalmente el progreso llegaraacute a ser tan raacutepido que quebraraacute
20
cualquier posibilidad de seguirlo Estaraacute literalmente fuera de control La ilusioacuten actual de
ldquodesenchufarlordquo se habraacute difuminado
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN
Con todo esto no es sino el principio pues la carrera por la miniaturizacioacuten no ha hecho maacutes
que empezar Apenas se ha llegado a la era de las minimaacutequinas que constan de billones de
aacutetomos y se miden en miliacutemetros y ya se estaacute de hoz y coz en el terreno de las
micromaacutequinas que constan soacutelo de unos pocos millones de aacutetomos y se miden en
microacutemetros Al tiempo ya han comenzado los ensayos con nanomaacutequinas que trabajan con
apenas unos cientos de aacutetomos y soacutelo pueden medirse en milloneacutesimas de miliacutemetro Es lo
que constituye la nanotecnologiacutea cuyo futuro comenzoacute el 29 de diciembre de 1959 Alliacute y
entonces Richard Phillips Feynman posterior premio Nobel de Fiacutesica de 1965 leyoacute el discurso
inagural de la reunioacuten anual de la American Physical Society publicado con posterioridad en
ldquoEngineering amp Sciencerdquo la revista de los estudiantes de CALTECH (Feynman 1960) que deciacutea
Me gustariacutea describir un campo del conocimiento teacutecnico en el que se ha hecho muy poco y en
el que en principio puede hacerse muchiacutesimo (hellip) De lo que voy a hablar es del problema de
manejar y controlar cosas en una escala muy pequentildea (hellip) Esto es desde luego bien conocido
por los bioacutelogos (hellip) El ejemplo bioloacutegico de escribir informacioacuten a escala infinitesimal (el
coacutedigo del ADN) me ha sugerido algo que debe ser posible (hellip) Un sistema bioloacutegico puede ser
extremadamente pequentildeo (hellip) Puede haber una justificacioacuten econoacutemica para hacer las cosas
tan pequentildeas (hellip) Permiacutetanme recordarles algunos de los problemas de los computadores (hellip)
Cuanto maacutes y maacutes raacutepido y maacutes y maacutes elaborado sea el computador maacutes y maacutes pequentildeo lo
fabricamos (hellip) iquesthasta doacutende No lo seacute exactamente pero apenas puedo dudar de que
cuando tengamos el control de la fabricacioacuten a escalas pequentildeiacutesimas seremos capaces de
manejar enormes posibilidades de la materia con la que podemos hacer las cosas nuevas cosas
diferentes a las que ahora fabricamos (hellip) Aacutetomos manejados a esa escala ndashdigamos siete
aacutetomos- no tienen nada que ver con los conjuntos de aacutetomos y moleacuteculas de nuestro mundo
macroscoacutepico esos pocos aacutetomos obedeceraacuten leyes de la mecaacutenica cuaacutentica las leyes del
mundo microscoacutepico (hellip) tendremos por ello que trabajar con leyes diferentes y esperar cosas
diferentes Tendremos que hacer de manera diferente (hellip) A nivel atoacutemico existen nuevas
clases de fuerzas y nuevas clases de posibilidades y nuevas clases de efectos (hellip) Estoy como
dije inspirado por el fenoacutemeno bioloacutegico en el que las fuerzas quiacutemicas se utilizan de modo
repetitivo para producir cualquier clase de efecto fantaacutestico En 2002 se hizo puacuteblico el uacuteltimo
avance en nanotecnologiacutea En un minuacutesculo circuito se colocoacute la memoria electroacutenica maacutes
pequentildea construida hasta la fecha que podriacutea estar en el mercado en menos de diez antildeos En
21
unos antildeos maacutes de 15 a 20 se cree que se podraacuten fabricar computadores cuaacutenticos seis
millones de veces maacutes potentes que los actuales que aprovecharaacuten la simultaneidad de
estados y el entrelazamiento es decir la posibilidad que tienen los aacutetomos de estar en dos
sitios a la vez (bilocacioacuten) en un estado de superposicioacuten Esto es se estaacute trabajando con
maacutequinas cuaacutenticas que trabajan con fragmentos de aacutetomos y se mediraacuten en Amgstrons
equivalente a cien milloneacutesimas de miliacutemetro iquestHasta doacutende iquestHasta cuanto La respuesta a
estas preguntas que conciernen a los liacutemites de la computacioacuten se daraacuten a continuacioacuten
siguiendo a Seth Lloyd (Lloyd 2000)
Para calcular la velocidad de coacutemputo se parte del principio de indeterminacioacuten de
Heisenberg (Heisenberg 1927)
Δp Δxge ħ m con ħ=h2π y m=1rArr Δp Δxgeħ=105x10-34Js
Para el par ΔE y Δt dicho principio queda como sigue
ΔE Δt ge ħ
Esta desigualdad tiene dos interpretaciones a saber una lineal Invertir un tiempo Δt para
medir la energiacutea con una exactitud ΔE que no es correcta La correcta es la siguiente un
estado cuaacutentico con disipacioacuten de energiacutea de ΔE invierte al menos un tiempo Δt= πħ2ΔE en
evolucionar a un estado ortogonal y por tanto distinguible Este resultado se amplioacute como
sigue Un sistema cuaacutentico con energiacutea media E necesita al menos un tiempo Δt= πħ2E para
evolucionar a un estado ortogonal O sea Ege πħ2Δt Siendo E la energiacutea media para efectuar
una operacioacuten elemental en Δt
Ahora bien un sistema con energiacutea media E puede efectuar un maacuteximo de 2E πħ operaciones
loacutegicas por segundo En consecuencia para un computador de un kilogramo de masa su
velocidad seraacute de acuerdo con la ecuacioacuten E=mc2 la siguiente
VM=2Eπħ = 2mc2 πħ = 21 Kg(29979x108)2ms-131416x10545x10-34Js =
2x8987x1016x10545x1034s31416=5425x1050 operaciones loacutegicassegundo
Es decir la cota superior estaacute en 1050 operaciones loacutegicas por segundo
22
En lo que respecta a la capacidad de memoria la cantidad de informacioacuten que se puede
almacenar y procesar en un sistema fiacutesico estaacute relacionada con el nuacutemero de distintos estados
fiacutesicos accesibles al sistema Para M elementos biestables el nuacutemero de estados accesibles es
de 2M y puede registrar M bits de informacioacuten Es decir en general un sistema con N estados
accesibles puede registrar log2N bits de informacioacuten Se sabe que el nuacutemero de estados
accesibles de un sistema fiacutesico F estaacute relacionado con la entropiacutea termodinaacutemica S por la
foacutermula de Plank siguiente
S=kBPnF donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 13805x10-23 Julios por
grado Kelvin
Asiacute la cantidad de informacioacuten que puede registrar un sistema fiacutesico viene dada por
I=S(E)kBLn2
Siendo S(E) la entropiacutea termodinaacutemica de un sistema con valor esperado para la energiacutea E
Combinando esta foacutermula con la dada anteriormente para el nuacutemero de operaciones loacutegicas
por segundo entonces la cantidad de memoria en bits viene dada por
I = k2ln2 EπℏS prop kTℏ siendo T = (partS partE)
la temperatura de un kilogramo de materia en una entropiacutea maacutexima en un litro de volumen
Esto lleva a
I = 204x108JK-113805x10-23JK-1ln2=204x10813805x10-23JK-106931=213x1031bit
Esto es el liacutemite de bits de memoria es 1031
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE
Si ahora se contempla en perspectiva el progreso del software lo que se observa es en primer
lugar que dicho progreso dista mucho de ser exponencial peor auacuten pues si se considera el
conjunto global del software disponible tanto de base Sistemas Operativos Compiladores
interfaces etc como de aplicaciones su desarrollo ademaacutes de lineal no es continuamente
creciente en facilidades para los usuarios ni mucho menos Actualmente en el software se
estaacute dando un fenoacutemeno curioso equivalente a una regresioacuten conceptual que consiste en que
el proceso de construir ciertos programas es maacutes difiacutecil y complejo que el propio programa
Esto es debido a que los lenguajes de programacioacuten de alto nivel actuales no son ni mucho
menos maacutes simples que los antiguos En segundo teacutermino tambieacuten salta a la vista que si el
23
desarrollo hardware es en profundidad es decir pocas empresas (INTEL Motorola etc)
dedicadas intensamente a desarrollar la tecnologiacutea de microprocesadores en el caso del
software ese esfuerzo se llevoacute a cabo en amplitud esto es muchas empresas poniendo en el
mercado muchos productos En la figura II3 se muestra el aacuterbol que contiene a lo largo del
tiempo los distintos lenguajes de programacioacuten maacutes conocidos Como puede verse una
auteacutentica Babel Si como deciacutean los latinos hace maacutes de dos mil antildeos validora sum exempla
cuan verba frase que hizo suya Schiller en magniacuteficos versos
Nur das Beispiel fuumlhrt zum Licht Soacutelo el ejemplo proporciona luz
Vieles Reden tut es nicht La ldquoverborreardquo conduce a la oscuridad
Se van a dar a tiacutetulo de botones de muestra los siguientes ejemplos
A) Si se unidimensionaliza el uso del software por las personas la evolucioacuten del software
puede verse como el paso de ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo En un extremo del espectro que puede
datarse en el inicio de la ldquoComputing Sciencerdquo en adelante CS y que va hasta la
aparicioacuten de los primeros inteacuterpretes y lenguajes de control habiacutea que decirles a
los computadores coacutemo teniacutean que hacer las cosas Y eacutesto con el maacuteximo de detalle
en el lenguaje de la maacutequina y de forma rupestre esto es en forma de
conmutadores encendidos o apagados Es decir en esta fase los humanos debiacutean ser
ldquoliteratosrdquo del lenguaje de la maacutequina Posteriormente con la aparicioacuten de los
lenguajes de ensamblador y el desarrollo de lenguajes de control o sea hasta la
aparicioacuten de los primeros sistemas operativos y compiladores e inteacuterpretes tales
como FORTRAN LISP COBOL etc ya al computador no habiacutea que decirle detallada
y exhaustivamente coacutemo teniacutea que hacer las cosas pues algunas ellos ya sabiacutea coacutemo
hacerlas Bastaba con soacutelo indicarle queacute es lo que se queriacutea que hiciera Ademaacutes tanto
la parte del queacute como la del coacutemo se le deciacutea en un lenguaje maacutes proacuteximo al ser
humano mediante los lenguajes de ensamblador que permitiacutean palabras del
lenguaje natural y sobre todo de una forma maacutes natural al ser humano pues ya no
haciacutea falta poner los conmutadores encendidos y apagados dado que se le
ldquoinstruiacuteardquo escribiendo en unas hojas de codificacioacuten las instrucciones que luego
mediante unas maacutequinas perforadoras se ldquotraduciacuteanrdquo a unas fichas perforadas
que los computadores ldquoleiacuteanrdquo y ejecutaban
Maacutes adelante con el advenimiento de los lenguajes del maacutes alto nivel y del
desarrollo de los actuales sistemas operativos de ventanas los interfaces avanzados la
24
Figura II3 Lenguajes de Alto Nivel
25
iconografiacutea de pantalla los programas avanzados de aplicacioacuten etc cada vez menos
hay que decirle a las computadoras ldquocoacutemordquo tienen que hacer las cosas pues ya saben
ldquocoacutemordquo hacerlas y soacutelo hay que decirles ldquoqueacuterdquo es lo que se quiere que hagan Y todo
esto cada vez maacutes en el lenguaje natural de los seres humanos en este caso como la
tecnologiacutea estaacute desarrollada en ingleacutes pues en ingleacutes y de una forma habitual a coacutemo
lo hacen los humanos esto es por la voz O sea en esta etapa que estaacute cada vez maacutes
cerca son las maacutequinas quienes se convierten en ldquoliteratosrdquo de los humanos Y seraacute en
ese momento cuando empiece a surgir un atisbo de inteligencia en las computadoras
Pues bien toda esta evolucioacuten lenta zigzagueante y trabajosa contrasta con la raacutepida
rectiliacutenea y eficiente del hardware La pregunta ademaacutes de inmediata va de suyo
iquestPor queacute es esto asiacute Naturalmente no debe haber un factor uacutenico pero lo que no
hay duda es que una de las razones fundamentales de este desfase entre el desarrollo
del hardware y del software es el que al primero lo soporta una ingenieriacutea basada en
una ciencia la fiacutesica cuya teoriacutea y experimentacioacuten estaacuten muy consolidadas en tanto
al segundo no
B) El filoacutesofo Joseacute Ortega y Gasset maacutes conocido por su obra de gran impacto socioloacutegico
ldquoLa Rebelioacuten de las Masasrdquo afirmaba refirieacutendose a la Medicina lo siguiente (Ortega
2002) La medicina no es una ciencia Es precisamente una profesioacuten una actividad
praacutectica Se propone curar o mantener la salud de la especie humana A este fin echa
mano de cuanto parezca a propoacutesito entra en la ciencia y toma de sus resultados
cuanto considera eficaz pero deja el resto Deja de la ciencia sobre todo lo que es maacutes
caracteriacutestico la fruicioacuten por lo problemaacuteticohellip La ciencia consiste en un ldquopruritordquo de
plantear problemashellip La medicina estaacute ahiacute para afrontar soluciones Si son cientiacuteficas
mejor Pero no es necesario que lo sean Pueden proceder de una experiencia milenaria
que la ciencia auacuten no ha explicado ni siquiera consagrado ldquoMutatis mutandirdquo o sea
cambiando lo que deba cambiarse medicina por software curar por resolver
problemas etc lo que dijo Ortega puede aplicarse al desarrollo del software Pero la
cuestioacuten es la siguiente iquestdebe esto continuar asiacute Es decir debe el desarrollo software
continuar siendo una labor artesanal de desarrollar una praacutectica empiacuterica o debe
pasar a ser una ingenieriacutea fundamentada en una teoriacutea cientiacutefica contrastada por la
experimentacioacuten crucial La respuesta es naturalmente que debe convertirse en
ingenieriacutea soportada por una ciencia Mientras tanto los desarrollos software se ven
afectados de ldquogolbergizacioacutenrdquo
26
C) Rube Golberg fueacute un caricaturista con muchos seguidores en todo el mundo en
Espantildea fue el profesor Frank de Dinamarca de la eacutepoca de la Dictadura el que
dibujaba complicadiacutesimos artilugios coacutemicos para realizar tareas minias Los
disentildeadores de software cuentan con un teacutermino relacionado ldquoKudgerdquo o ldquoKludgerdquo
para referirse a programas escritos sin previsioacuten que acaban repletos de una
complejidad onerosa e inuacutetil a menudo hasta el punto de volverse incomprensibles
incluso para los programadores que las escribieron
D) Con mucho la manera maacutes comuacuten en la cual se trata con algo nuevo es intentando
relacionar la novedad con lo que es familiar de la experiencia pasada es decir se
piensa en teacuterminos de analogiacutea y metaacutefora En tanto que la historia evolucione a lo
largo de liacuteneas suaves la teacutecnica anterior resulta adecuada e incluso fructiacutefera pero
fracasa estrepitosamente cuando uno se enfrenta repentinamente a algo tan
radicalmente distinto de todo lo que se habiacutea experimentado antes que toda analogiacutea
siendo intriacutensecamente demasiado somera es maacutes un estorbo que crea confusioacuten que
una ayuda Y ya se sabe como deciacutea Francis Bacon la verdad surge antes del error que
de la confusioacuten (Bacon 1984) La uacutenica forma plausible de tratar con novedades
realmente radicales es ortogonal a la manera comuacuten de entendimiento consiste en
conscientemente intentar no relacionar los fenoacutemenos a los que es familiar a partir de
un pasado accidental sino enfocarlo con una mente en blanco y apreciarlo por su
estructura interna Esta uacuteltima forma de pensar es mucho menos popular que la
primera y requiere un esfuerzo mental que muy pocos son capaces de conseguir y
como lo sentildealoacute Bertrand Russell Many people would sooner die that think In fact they
do Ello estaacute fuera del alcance de las capacidades de aquellos y son mayoriacutea para
quienes la evolucioacuten continua es el uacutenico paradigma de la historia incapaces de
afrontar la discontinuidad no pueden verla y la negaraacuten cuando se enfrenten a ella
Pero tales novedades radicales son precisamente el tipo de cosas a las que al menos
en tecnologiacutea uno se enfrenta sin duda el computador fue una de ellas otra fue la
bomba atoacutemica y aunque en menor medida la piacuteldora fue la tercera entre otras
muchas En el caso de los computadores para que tuvieran eacutexito comercial fue
necesario desde el primer momento disociarles tanto como fuera posible de
cualquier forma de matemaacuteticas dada la mala ldquofamardquo de eacutestas en especial al ser
consideradas como el colmo del ldquousuario inamistosordquo El propio teacutermino de ldquoComputer
Sciencerdquo aplicado a la ldquoinformaacuteticardquo seriacutea equivalente a llamar a la cirugiacutea ldquoKnife
Sciencerdquo y estaacute tan arraigado en las mentes de la gente que el ldquoComputing Sciencerdquo es
27
acerca de las maacutequinas y sus equipos perifeacutericos Hoy sin embargo nadie duda de que
el desafiacuteo nuclear para la ciencia del coacutemputo es el conceptual
La complejidad de la informaacutetica frente a las matemaacuteticas viene dada seguacuten Dijkstra (Dijkstra
1986) por la ldquoratiordquo entre verbigracia una hora de tiempo y los nanosegundos o menos en
que se ejecute una instruccioacuten que es menor que 10100 y que tiene que ser tratada por una
uacutenica disciplina A su lado las matemaacuteticas resultan ser casi un juego insulso mayormente
jugado sobre unos pocos niveles semaacutenticos los cuales por otra parte son completamente
familiares La gran profundidad de la jerarquiacutea conceptual en informaacutetica en siacute misma una
consecuencia directa del poder sin precedentes del computador es una de las razones por las
que se considera el advenimiento de los computadores como una aguda discontinuidad en la
historia intelectual de la humanidad
La disciplina conocida como ldquoComputing Sciencerdquo emergioacute soacutelo cuando la gente empezoacute a
buscar lo que era comuacuten al uso de cualquier computador en cualquier aplicacioacuten Por esta
abstraccioacuten la CS inmediata y netamente se divorcioacute ella misma de la ingenieriacutea electroacutenica
al informaacutetico del software le deberiacutea traer al pairo la tecnologiacutea que puede usarse para
construir maacutequinas computadoras sea electroacutenica oacuteptica molecular bioloacutegica o maacutegica
La programacioacuten se veiacutea como una cuestioacuten praacutectica de modo que lo que se conociacutea como
ldquodisentildeo iterativordquo era el paradigma de quien cree que su disentildeo trabajaraacute adecuadamente
mientras no se demuestre lo contrario cuando eso ocurra mejoraraacute el disentildeo y asiacute
sucesivamente Este continuo encontrar y arreglar los malfuncionamientos se denominaba
ldquodepuracioacutenrdquo y la injustificada fe en su uacuteltima convergencia estaba en la amplitud temporal Es
decir se teniacutea todo el tiempo del mundo Como resultado la impotencia de repetir el
ldquoexperimentordquo en el caso de un mal funcionamiento observado asiacute como el identificar su(s)
causa(s) produce un ldquoshockrdquo por el contrario el disentildeador cientiacutefico cree en su disentildeo porque
eacutel sabe por queacute trabajaraacute adecuadamente en todas las circunstancias Es decir al principio los
programas ademaacutes de ldquoinstruirrdquo a las maacutequinas teniacutean el estatus de conjeturas soportadas
por alguna evidencia experimental Actualmente podriacutean y a veces lo hacen alcanzar el
estatus de teoremas demostrados rigurosamente El continuar denominando tanto a la
conjetura como al teorema ldquoprogramardquo es causa de gran confusioacuten
Uacuteltimamente la palabra clave es ldquomodularidadrdquo cuyo impulso original viene de una deseada
flexibilidad en particular en coacutemo subdividir un texto de programa de gran tamantildeo en
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moacutedulos son eacutestos segmentos de textos claramente configurados que podriacutean ser
reemplazados por otros alternativos sin comprometer la correccioacuten del programa total de una
manera muy similar a coacutemo se puede reemplazar en un teoriacutea matemaacutetica la prueba de uno de
sus teoremas sin afectar a la teoriacutea como conjunto Moacutedulos componentes desprendibles y
simultaacuteneamente engastados Los mentales no estaacuten aislados se comunican a traveacutes de unos
pocos conductos estrechos Se definen por las cosas especiales que hacen con la informacioacuten
que tienen disponible Pero el eacutenfasis se ha desplazado desde el mero reemplazamiento a la
cuestioacuten de coacutemo particionar la tarea global maacutes efectivamente la demanda es tal que la
elegancia ya no es un lujo dispensable sino una cuestioacuten vital que decide entre el eacutexito y el
fracaso He aquiacute lo que es en visioacuten a ojo de paacutejaro la emergencia de la computacioacuten como una
actividad apreciable necesitada de las teacutecnicas del pensamiento cientiacutefico Como las
matemaacuteticas la computacioacuten es uacutenica en la forma en la cual combina generalidad precisioacuten y
ser completamente fidedigna La teoriacutea aquiacute propuesta considera todo esto
II2 Teoriacuteas
II21 INTRODUCCIOacuteN
En CS en general y en el desarrollo software en sus dos apartados de Ingenieriacutea del Software
y del Conocimiento en particular existe una notoria carencia de teoriacutea hasta el punto que
salvo rariacutesimas excepciones ni siquiera hay leyes generales aceptadas Esta carencia da lugar a
las dos consecuencias indeseables siguientes
1 Confusionismo El disentildeo y desarrollo de software (que es lo que se podriacutea denominar
un conjunto polimorfo o polimoacuterfico es decir un conjunto no definido por condiciones
ni necesarias ni suficientes) es en el mejor de los casos una ciencia inmadura en el
medio no es una ciencia pero siacute una ingenieriacutea tal y como lo sentildealaba Brooks
(Brooks 1996) Computer Science is not a science but a synthetic an engineering
discipline y en el peor (Ebert 1997) software engineering should be treated as an
inmature engineering discipline Siendo contundentes pero maacutes precisos el desarrollo
software no pasa de ser una ldquoartesaniacuteardquo Ebert para argumentar su afirmacioacuten
proporciona distintas razones (a) Carencia de vocabulario comuacuten (b) No
consideracioacuten de cuestiones hermeneacuteuticas (c) Existencia de recetas no aplicables
ampliamente (d) Poca o nula experimentacioacuten controlada en especial experimentos
cruciales (e) No existencia de un marco general de paradigmas categoriacuteas o esquemas
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conceptuales caracteriacutesticos de las ciencias (f) Y finalmente se usan ldquomodelosrdquo sin
una teoriacutea para construirlos y validarlos
2 Nuevo Experimentalismo En CS y maacutes en concreto en disentildeo desarrollo y
construccioacuten del software la no existencia de una teoriacutea provoca una carencia de
fundamentacioacuten Peor auacuten y como consecuencia del punto anterior a veces se llama
teoriacutea a lo que uacutenicamente es una explicacioacuten en una clara sineacutecdoque de tomar la
parte por el todo Al menos eso se desprende de la afirmacioacuten de Basili y colegas
cuando dicen que Una teoriacutea es una explicacioacuten de alguacuten fenoacutemeno (Basili 1999) Lo
que no es correcto puesto que no todas las explicaciones de los fenoacutemenos son
teoriacuteas La carencia de teoriacutea hace que la CS haya derivado regresivamente hacia lo
que puede denominarse ldquonuevo experimentalismordquo (Ackerman 1989) cuyos
proponentes aseveran que los experimentos pueden tener vida propia (Hacking
1983)
Justamente establecer lo que es una teoriacutea es lo que se trata a continuacioacuten esto es de
cuaacuteles son los elementos constituyentes sobre los que fundar una teoriacutea en CS Sin embargo
antes se va a definir lo que es una teoriacutea dando sus condiciones formales y materiales de
adecuacioacuten y asimismo se van a presentar distintas teoriacuteas en dominios tan variados como las
matemaacuteticas la fiacutesica la quiacutemica o la biologiacutea
II22 DEFINICIOacuteN
Cuando se intenta definir algo uno se encuentra como los antiguos navegantes que
atravesaban el estrecho de Mesina entre un ldquoScilardquo y un ldquoCaribdisrdquo es decir dos peligros que
si no se sortean con pericia de navegante de los siete mares haraacuten naufragar el intento Estos
dos peligros son los siguientes Uno de iacutendole intriacutenseca a la propia buacutesqueda de una
definicioacuten idoacutenea que enlaza directamente con el problema filosoacutefico del nominalismo Kant lo
expresoacute muy bien cuando escribioacute (Kant 2002) que en una definicioacuten uno no se limita a
sustituir el nombre de una cosa por otras palabras maacutes comprensibles sino que contiene en siacute
un distintivo claro por el que puede conocerse siempre con seguridad el ldquoobjetordquo (definitum) y
que hace que pueda aplicarse el concepto explicado Popper fue muy expliacutecito al respecto
Para eacutel la accioacuten de definir nunca es inocua pues estaacute cargada de teoriacutea y lo que es maacutes de
valores Popper (Popper 1985) deciacutea que las preguntas ldquoqueacute-esrdquo son siempre inuacutetileshellip y lo
mismo sucede con las respuestas Porque en efecto definir es actuar Por ello en lugar de
ocuparse uacutenicamente del resultado de dicha accioacuten o sea las definiciones es preciso analizar
30
la propia accioacuten de definirhellip pues en definitiva las definiciones son resultado de la accioacuten a
definir Dos de orden praacutectico viene muy bien descrita por un juego que en Galicia se
denomina ldquoCariocardquo y los ingleses e irlandeses llaman ldquoVishrdquo (Syumlnge 1951) Los cariocas dan
nombre a las pescadillas a las que para freiacuterlas se les hace morder la cola El juego consiste en
buscar una palabra en el diccionario y a partir de ella generar un aacuterbol con las palabras que la
definen y eacutestas con las palabras que la definen y asiacute sucesivamente hasta que
inexorablemente aparece una palabra que ya aparecioacute previamente creaacutendose un ldquociacuterculo
viciosordquo Y se dice inexorablemente porque no puede ser de otra manera habida cuenta de
que los diccionarios son autocontenidos es decir todas las palabras en ellos existentes se
expresan en teacuterminos de dichas palabras Sin embargo y como lo sentildealoacute el premio Noacutebel de
Fisiologiacutea y Medicina Andreacute Lwoff Definir es uno de los meacutetodos para descubrir Es como
cuestioacuten de hecho un meacutetodo heuriacutestico excelente pues obliga a condensar lo esencial de una
categoriacutea o de un fenoacutemeno en una foacutermula que contenga todo cuanto ha de contener y
excluya todo cuanto ha de excluir Por ello es uacutetil forjar una buena definicioacuten pues este
ejercicio obliga a considerar de manera criacutetica todos los teacuterminos o aspectos de un
problema(Lwoff 1967)
De hecho la dificultad no proviene de la carencia de ldquodefinicionesrdquo sino todo lo contrario No
seriacutea exagerado decir que hay casi tantas definiciones de ldquoteoriacuteardquo como autores se dedicaron
al asunto Veacuteanse como botoacuten de muestra las que aparecen en dos diccionarios importantes
el de la Real Academia Espantildeola (Rae 2001) y el del Webster`s New World (Guralnik 1986) El
primero para la entrada ldquoteoriacuteardquo dice textualmente (Del gr θεωρία) f Conocimiento
especulativo considerado con independencia de toda aplicacioacuten f Serie de las leyes que
sirven para relacionar determinado orden de fenoacutemenos f Hipoacutetesis cuyas consecuencias se
aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella f Entre los antiguos griegos
procesioacuten religiosaen ~ loc adv Sin haberlo comprobado en la praacutectica El segundo
despueacutes de dar la pronunciacioacuten figurada y coacutemo se dice en franceacutes latiacuten y griego dice
textualmente[a looking at contemplations speculations theory lttheoumlrein see THEOREM]1
Orig a mental viewing contemplation 2 A speculative idea or plan as to how something
might be done 3 A systematic statement of principles involved [the ldquotheoryrdquo of equations in
mathematics] 4 A formulation of apparent phenomena which has been verified to some
degree 5 That branch of an art or science consisting in a knowledge of its principles and
methods rather tan in its practice pure as opposed to applied science etc 6 Popularly a
mere conjeture or guess A continuacioacuten y como sinoacutenimos dice theory as compared here
implies considerable evidence in support of a formulated general principle explaining the
31
operation of certain phenomena [the ldquotheoryrdquo of evolution] hypothesis that is tentatively
inferred often as a basis for further experimentation [the nebular ldquohypothesisrdquo] law implies an
exact formulation of the principle operating in a sequence of events in nature observed to
occur with unvarying uniformity under the same conditions [the ldquolawrdquo of the conservation of
energy]
Es decir etimoloacutegicamente el teacutermino ldquoteoriacuteardquo se deriva del vocablo griego ldquoθεωρίαrdquo que
significa contemplacioacuten o especulacioacuten Entonces en sentido amplio y comuacuten una teoriacutea es
una especulacioacuten acerca de algo por ejemplo es habitual oiacuter a muchos educadores que su
ldquoteoriacuteardquo del fracaso de un alumno es debido a que tiene problemas familiares Sin embargo
este sentido no capta ni mucho menos el sentido teacutecnico o estricto de teoriacutea que tiene
verbigracia la teoriacutea de Maxwell del electromagnetismo Para comenzar desde sus oriacutegenes
hay que remontarse a Aristoacuteteles (384-322 aC) quien diferencioacute clara y niacutetidamente ldquoteoriacuteardquo
como especulacioacuten o contemplacioacuten y ldquopraxisrdquo como actuacioacuten Para eacutel la ldquoteoriacuteardquo consistiacutea
en actividades racionales relativas al conocimiento de los universales mientras que la ldquopraxisrdquo
consistiacutea en actividades racionales relativas a actividades morales ldquoagibiliardquo y artiacutesticas
ldquofactibiliardquo Las actividades artiacutesticas no se limitan a realizar por su propio intereacutes artes finas o
intriacutensecas o auacuten artes plaacutesticas sino que tambieacuten incluye hacer cosas uacutetiles artes funcionales
o instrumentales
Maacutes teacutecnicamente las teoriacuteas se consideran ldquoentidades abstractas que al menos pretenden
describir explicar y mejorar el entendimiento del mundo y en algunos casos hacer
predicciones de lo que en el futuro acaeceraacute Ademaacutes proporcionan una base para viacutea
tecnologiacutea o ciencia aplicada intervenir y actuar sobre el entorno Una teoriacutea pues es ldquoprima
facierdquo una explicacioacuten racional de un cierto aspecto de la realidad basada en lo que se sabe de
ello en el momento presente y que ha sido verificada para establecer su validez Esa
explicacioacuten de algo es tiacutepicamente una clase o categoriacutea de fenoacutemenos antes que un uacutenico
evento especiacutefico Las teoriacuteas deben expresarse a poder ser expliacutecitamente como cadenas
causales del tipo ldquoesto sucede porque esto y eso y aquello sucedioacute y esto a su vez sucedioacute
porquehelliprdquo Es decir la mejor manera de que las teoriacuteas expliquen es proporcionando un sentido
de ldquoprocesordquo o ldquomecanismordquo que indique coacutemo una cosa o fenoacutemeno estaacute relacionado con
otro Por ejemplo la ldquoTeoriacutea de la Gravitacioacutenrdquo de Isaac Newton y la Teoriacutea de la Relatividad
General de Einstein intentan explicar coacutemo funciona la gravedad No proponen que existe esa
cosa que se llama gravedad y luego intentan probarla Nada de eso Para ambos la gravedad
es una observacioacuten empiacuterica esto es informacioacuten recopilada generalmente a partir de los
32
sentidos y por lo tanto es algo que ldquotiene sentidordquo Naturalmente debe poder ser verificada y
contrastada por otros de forma reiterada siempre que se quiera O sea la gravedad es una
observacioacuten empiacuterica Si se deja caer un objeto libremente y en el vaciacuteo siempre cae a 9801
metros dividido por segundos al cuadrado Y esto se produciraacute tantas veces cuantas se repita la
experiencia Las teoriacuteas de hecho intentan explicar el coacutemo y el porqueacute de las observaciones
Pues bien a fin de explicar la gravedad Newton propuso una explicacioacuten esto es una teoriacutea
la atraccioacuten a distancia entre dos cuerpos Einstein otra la curvatura del espacio-tiempo Esta
uacuteltima explicacioacuten es la que estaacute vigente actualmente
A veces las teoriacuteas se confunden con hipoacutetesis porque ambas parecen constar de sentencias
relacionando una variable con otra Ciertamente ocurre con maacutes frecuencia de la deseable
que lo que algunos autodenominan teoriacutea son poco maacutes que hipoacutetesis Pero las buenas teoriacuteas
son un poco diferentes Por ejemplo
a) Son maacutes generales
b) Explican por queacute estaacuten relacionadas las cosas mientras que las hipoacutetesis se limitan a
decir que estaacuten relacionadas
c) Generan hipoacutetesis es decir las hipoacutetesis estaacuten impliacutecitas en las teoriacuteas
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA
Sin embargo el espiacuteritu de Lwoff ldquoobligardquo a buscar aunque soacutelo sea una definicioacuten operativa
En este sentido se va a dar una definicioacuten ldquoinyuctivardquo de teoriacutea en el sentido de Hassenstein
esto es enumerando cierto nuacutemero de propiedades caracteriacutesticas atributos o maacutes
precisamente condiciones que debe cumplir toda teoriacutea (Hassenstein 1966) Esas condiciones
que debe cumplir toda teoriacutea y que permiten discriminar lo que es una teoriacutea de lo que no lo
es se clasifican en dos clases
A) Formales Que vienen a ser como unas condiciones necesarias que por consiguiente
debe cumplir toda teoriacutea Entre eacutestas cabe destacar las siguientes
a) Formalizacioacuten Una teoriacutea debe poder expresarse formalmente mediante
predicados hasta construir un sistema formal axiomaacutetico
b) Consistencia Se dice que una teoriacutea es internamente consistente cuando el
conjunto de afirmaciones que contiene no se contradicen entre siacute Que las
afirmaciones con las cuales se construye una teoriacutea deben ser loacutegicamente
consistentes entre siacute es algo de lo que nadie disiente La cuestioacuten es que
33
aunque los lenguajes formales de la loacutegica y las matemaacuteticas hacen maacutes faacutecil
determinar si las afirmaciones que conforman una teoriacutea son loacutegicamente
consistentes entre siacute a veces como sucede con la teoriacutea de Darwin no se usan
estos formalismos Pero eso que es un hecho no significa que no se pudieran
formalizar y es de eso de lo que trata este punto En este punto es uacutetil y
conveniente establecer una distincioacuten entre inferencias causales y
descriptivas Las primeras conciernen a las relaciones causales entre
conceptos mientras que las segundas buscan describir el mundo empiacuterico
Una explicacioacuten causal es aquella que describe las relaciones entre los
conceptos de una teoriacutea Es decir las primeras causales son expliacutecitamente
teoacutericas mientras que las segundas descriptivas son impliacutecitamente teoacutericas
Se dice que un conjunto de axiomas o sistema axiomaacutetico es consistente
cuando a partir de ellos no pueden deducirse simultaacuteneamente una propiedad
y su negacioacuten En otros teacuterminos un sistema formal se dice que es consistente
si en eacutel no pueden derivarse sintaacutecticamente proposiciones contradictorias
Esto es que no se deacute el caso de una foacutermula A tal que ella y su negacioacuten not A
sean teoremas Obseacutervese que si ocurriese que ⊢ ⊢ (notA) entonces
cualquier foacutermula B es un teorema y la teoriacutea seriacutea banal forallB (A⋀(not A))rArrB o
en otras palabras la sucesioacuten A not A B es una demostracioacuten de B Las teoriacuteas
inconsistentes terminan demostraacutendose inuacutetiles porque en ellas cualquier
afirmacioacuten es un teorema En efecto un argumento estaacute bien construido
cuando por usar la terminologiacutea leibniziana en cualquier mundo posible en el
que se verifiquen las premisas la conclusioacuten tambieacuten es verdadera
Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negacioacuten not M son
teoremas de la teoriacutea el argumento cuyas premisas son M y not M y cuya
conclusioacuten es una cierta propiedad R es vaacutelido sea cual sea R pues siempre
que M y not M son verdaderas se verifica tambieacuten R Ahora como M y not M son
teoremas de la teoriacutea ambos tienen una demostracioacuten es decir una sucesioacuten
finita de afirmaciones tales que cada una de ellas es un axioma o se deduce de
los axiomas aplicando las reglas de inferencia permitidas Si se concatenan las
dos pruebas se habraacute probado que R es un teorema de la teoriacutea
independiente de su valor de verdad Maacutes formalmente
La contradiccioacuten ademaacutes de falsedad segura por la pura forma de su
enunciado tiene efectos desastrosos en contextos de conocimiento
34
organizados deductivamente como es el caso de las teoriacuteas cientiacuteficas
Estos efectos indeseables se resumen en la tesis siguiente ldquoDe una
contradiccioacuten se puede deducir cualquier cosardquo Es decir si surge una
contradiccioacuten en una teoriacutea deductiva entonces la relacioacuten de
deduccioacuten permite obtener como teorema a todo enunciado
expresable con los conceptos de tal teoriacutea O sea la deduccioacuten se
convierte en una relacioacuten inuacutetil pues no impone restriccioacuten alguna
Desaparece la racionalidad loacutegica Es faacutecil probar tal resultado a partir
de las tres leyes loacutegicas siguientes
1) ldquoEliminacioacuten de la conjuncioacutenrdquo (E⋀) que afirma que de una
conjuncioacuten se deduce cualquiera de sus conjuntos Simboacutelicamente
Ai ⋀ Aj ⊢ Ai Ai ⋀ Aj ⊢Aj rArr Ai ⋀ Aj ⊢ Ai y Aj
2) ldquoIntroduccioacuten de la disyuncioacutenrdquo (I⋁) que asevera que de un
enunciado se deduce su disyuncioacuten con cualquier otro enunciado En
siacutembolos
Ai ⊢ Ai ⋁ Aj Aj ⊢ Ai ⋁ Aj
3) Silogismo disyuntivo (SD) que de una disyuncioacuten y la negacioacuten de
uno de sus disyuntos se deduce la afirmacioacuten del otro disyunto
Simboacutelicamente
Ai ⋁ Aj y not Ai ⊢Aj Ai ⋁Aj y not Aj ⊢Ai
Pues bien estas tres leyes loacutegicas implican que de una contradiccioacuten Ai ⋀ not Ai
adoptada como premisa se puede obtener como conclusioacuten cualquier
enunciado Aj Simboacutelicamente
forall Ai ⋀ forall Aj Ai ⋀ not Ai ⊢ Aj
Demostracioacuten
j
SDiji
Iii
Eii AAyAAAyAAA aaa notornotnotand
orand
Asiacute partiendo de premisas falsas y o contradictorias puede probarse
cualquier cosa Veacutease un ejemplo de esto Una vez retaron a Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) para que justificase que si 2 + 2 = 5 entonces McTaggart era
el Papa Este matemaacutetico afirmaba que si pueden demostrarse dos enunciados
o teoremas contradictorios entre siacute entonces cabe probar cualquier cosa Eacuteste
fue el razonamiento de Hardy Sea 2 + 2 = 5 como tambieacuten 2 + 2 = 4 resulta
que 5 = 4 Si a esta igualdad se resta 3 se obtiene que 2 = 1 De este modo
puesto que McTaggart y el Papa son dos entonces McTaggart y el Papa son
35
uno Un razonamiento similar serviriacutea para demostrar que usted querido lector
escribioacute estas liacuteneas Finalmente sentildealar que Ian Steward (Steward 1975)
hace protagonista de esta historia a Hardy otros como es el caso del loacutegico y
matemaacutetico Raymond Smullyan (Smullyan 1986) colocan como protagonista
a Bertrand Russell El fiacutesico Max Delbruumlck dio maacutes ejemplos de que basta con
tolerar una sola contradiccioacuten formal para poder demostrar la veracidad de
ldquocualquierrdquo enunciado aplicando las normas del caacutelculo loacutegico El premio
Noacutebel Max Delbruumlck propone el siguiente ejemplo (Delbruumlck 1986)
Supongamos que aceptamos el enunciado ldquoDios es buenordquo llamando p a esta
proposicioacuten y el enunciado ldquoDios no es buenordquo llamando a esta proposicioacuten simp
Ahora llamaremos q a la proposicioacuten ldquoHolywood estaacute en Europardquo El paso
siguiente es la evaluacioacuten del enunciado ldquop o qrdquo que significa ldquoDios es bueno o
Hollywood estaacute en Europardquo (el sentido con que los expertos en loacutegica usan la
conexioacuten o es que al menos uno de los enunciados p y q es verdadero) El
enunciado es indiscutiblemente verdadero ya que previamente hemos
aceptado p como verdadero Sin embargo despueacutes de aceptar que simp tambieacuten
es verdadero que significa que p no es verdadero ldquop o qrdquo implica que q es
verdadero Por tanto en la situacioacuten descrita las reglas del caacutelculo
proposicional nos obligan a aceptar como verdadera la afirmacioacuten de que
ldquoHollywood estaacute en Europardquo o cualquier otro enunciado que sustituya a q La
loacutegica no permite equivocarse
Tambieacuten se puede creer que Dios es bueno y que Dios no es bueno de hecho
esta contradiccioacuten (que es el problema de la teodicea) Puede expresar una
profunda verdad acerca de Dios Niels Bohr dijo que el sello que caracteriza a
las verdades profundas es que su negacioacuten tambieacuten es una verdad profunda
Las verdades que carecen de ambiguumledad en el sentido de que sus negaciones
son falsas suelen ser triviales George Wilhelm Friedrich Hegel llegoacute maacutes lejos
al afirmar ldquoiquestQuieacuten piensa loacutegicamente soacutelo los estuacutepidos y los ignorantesrdquo
La idea de poder demostrar cualquier cosa si se empieza por aceptar como
verdadero un enunciado falso ha llegado incluso a las paacuteginas literarias del
semanario ldquoNew Yorkerrdquo En un relato publicado en 1975 un hombre pasa por
una penosa situacioacuten personal Estaacute totalmente hundido y acaba
planteaacutendose ldquoSi acepto la idea de que despueacutes de todo las cosas no estaacuten
tan mal lo cual no es cierto iquestHabreacute aceptado tambieacuten otras muchas ideas que
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tengan en comuacuten con la primera al ser falsas iquestPor ejemplo que el sentildeor es mi
pastorrdquo
c) Completud Es claro que consistencia y completud apuntan en sentido
contrario La primera es imprescindible para que la teoriacutea merezca alguna
consideracioacuten La segunda es muy deseable si se quiere que toda verdad sea
demostrable Pero la afirmacioacuten de que un sistema sea consistente o completo
es un ejemplo de propiedad matemaacutetica cuyas leyes de demostracioacuten hay que
precisar tambieacuten con cuidado
Una teoriacutea es loacutegicamente completa cuando las conclusiones que se deducen
de ella fluyen loacutegicamente de las suposiciones axiomas principios leyes o
postulados que las conforman No basta un conjunto postulado de relaciones
y o regularidades Es decir las afirmaciones consistentes conducen a
conclusiones hipoacutetesis y otras formas de argumentacioacuten teoacuterica De este
modo conjuntos de afirmaciones que no son loacutegicamente completos son
argumentos incluso pre-teoriacuteas pero no teoriacuteas Maacutes formalmente Un
sistema de axiomas se dice completo si para cada proposicioacuten p de eacuteste se
tiene que bien p es deducible y bien not p es deducible En general se dice que
un sistema axiomaacutetico consistente es completo cuando dada una sentencia A
si A no es demostrable entonces su negacioacuten es un teorema de la teoriacutea Una
foacutermula tal que ni ella ni su negacioacuten son teoremas se denomina indecidible
Asiacute en los sistemas completos no hay foacutermulas indecibles y lo verdadero
coincide con lo demostrable Frege creiacutea que la existencia de modelos
matemaacuteticos de una teoriacutea dependiacutea fundamentalmente de queacute objetos
componen el Universo Otros por el contrario opinaban que la existencia
dependiacutea de la consistencia Una teoriacutea consistente genera objetos que la
verifican En palabras de Hilbert en una carta a Frege Cada teoriacutea no es sino
un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias
entre ellos y sus elementos baacutesicos pueden ser pensados arbitrariamente Si
entiendo por puntos rectas planos Cualquier sistema de cosas por ejemplo
el sistema formado por amor ley deshonillador y considero que todos mis
axiomas resultan vaacutelidos para esas cosas entonces tambieacuten resultan vaacutelidos
para esas cosas mis teoremas como verbigracia el de Pitaacutegoras Cada teoriacutea
puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos baacutesicos Para
explicar estas posiciones antagoacutenicas Ulises Moulines (Moulines 1985)
37
distingue los sistemas axiomaacuteticos de estilo ldquoevidencial-concretordquo que
seleccionariacutean unas cuantas verdades prioritarias sobre las que se fundan las
demaacutes proposiciones de los de tipo ldquodemocraacutetico-abstractordquo donde todos los
enunciados de la teoriacutea son candidatos igualmente vaacutelidos para ser tomados
como axiomas siempre que el resto de proposiciones se pueda deducir a
partir de ellos Otros autores diferencian entre sistemas que ponen orden en
estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple hecho de hablar
sobre ellas La completud significa que si A es una foacutermula que no contiene
variables libres entonces |A| o (notA) Es decir que A su negacioacuten notA o ambas
son teoremas demostrables en la teoriacutea Que esta propiedad soacutelo atantildee a
foacutermulas sin variables libres puede ilustrarse viacutea ejemplo La foacutermula x + y = 7
no es ni verdadera ni falsa mientras que forall isin exist y isin ( + = 7) es un
teorema
d) Coherencia y adecuacioacuten Que etimoloacutegicamente viene del latiacuten
ldquocohaerencerdquo significa ldquoadherido ardquo una teoriacutea es coherente a veces aunque
erroacuteneamente tambieacuten se dice que es sistemaacutetica en la medida en que las
sentencias enunciados proposiciones foacutermulas etc a traveacutes de las cuales se
expresa se soportan entre siacute es decir no presentan contradiccioacuten Desde un
punto de vista loacutegico la coherencia significa que las sentencias de la teoriacutea
estaacuten relacionadas por la implicacioacuten Para verificar la coherencia no importa
si la teoriacutea es categoacuterica o hipoteacutetica se debe determinar si se produce
cualquier contradiccioacuten dentro de ellos y la condicioacuten necesaria y suficiente
para que se produzca dicha contradiccioacuten es que una o maacutes conclusiones
consecuencias o teoremas de la teoriacutea no sean consecuencia loacutegica de los
principios postulados o axiomas de la teoriacutea En resumen una teoriacutea se dice
coherente si (a) no contiene contradicciones loacutegicas entre las proposiciones
de una explicacioacuten esto es la coherencia interna Esto es en este contexto la
consistencia (b) La coleccioacuten de explicaciones dadas por la teoriacutea dentro del
cuerpo de conocimientos a lo largo y ancho de las demaacutes disciplinas no
deberiacutean contradecirse entre siacute (c) Las predicciones de la teoriacutea deben ser
correctas esto es las predicciones de las explicaciones de la misma no
deberiacutean ser contradictorias frente a las observaciones o experimentos que se
le planteen A esto se le denomina coherencia empiacuterica Un sistema de
axiomas se dice coherente si las consecuencias sintaacutecticas del mismo son
38
tambieacuten consecuencias semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten
de acuerdo con la experiencia Un sistema formal se dice adecuado si todas las
consecuencias semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si
todas las verdades son deducibles Un sistema de axiomas se dice coherente si
las consecuencias sintaacutecticas del mismo son tambieacuten consecuencias
semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten de acuerdo con las
experiencias Un sistema formal se dice adecuado si todas las consecuencias
semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si todas las
verdades son deducibles El criterio de coherencia a su vez puede ser interno
que exige que la teoriacutea propuesta concuerde o maacutes fuerte auacuten no entre en
contradiccioacuten con otras teoriacuteas establecidas Para ello las afirmaciones
teoreacuteticas de la teoriacutea deben pertenecer a un sistema de afirmaciones
ldquoverdaderasrdquo Y en particular no debe entrar en conflicto con los principios de
conservacioacuten de la materia la energiacutea y de miacutenima accioacuten que se presentan a
continuacioacuten y sobre todo con la ley de la entropiacutea creciente
La uacutenica cantidad que cumple las condiciones naturales que se le imponen a
una medida de informacioacuten es la entropiacutea que en termodinaacutemica mide el
grado de aleatoriedad o desorden de una situacioacuten dada y que viene
expresada en teacuterminos de las distintas probabilidades que intervienen Este
concepto es fundamental y profundo para Eddington cuando afirmoacute ldquoCreo
que la ley de la entropiacutea creciente la 2ordf ley de la termodinaacutemica es la maacutes
importante de las leyes de la naturalezardquo
El significado es algo anaacutelogo a una de las cantidades de las que depende la
entropiacutea de un sistema termodinaacutemico A propoacutesito de esto Eddington ha
hecho un comentario muy acertado ldquoSupongamos que se nos pide que
clasifiquemos las palabras distancia masa fuerza eleacutectrica entropiacutea belleza y
melodiacutea en dos categoriacuteas Pienso que existen razones muy fuertes para poner
la entropiacutea al lado de la belleza y la melodiacutea y no con las otras tres El concepto
de entropiacutea soacutelo surge cuando las partes son consideradas como un todo y es
precisamente contemplando o escuchando las partes asociadas entre siacute como
aparecen la belleza y la melodiacutea Las tres dependen de la ordenacioacuten del
conjunto La idea de que una de estas tres candidatas estaacute destinada a
aparecer como un denominador comuacuten de la ciencia se me antoja altamente
significativa La razoacuten de que este individuo extrantildeo pueda escabullirse entre
39
los aboriacutegenes del mundo fiacutesico es que habla su propio idioma el de la
aritmeacuteticardquo Ciertamente eacuteste es un argumento maacutes para establecer la
estrecha relacioacuten entre matemaacutetica y mundo fiacutesico
El hecho de que la informacioacuten deba ser medida por medio de la entropiacutea
resulta despueacutes de todo natural si se recuerda que la informacioacuten estaacute
asociada con el margen de la libertad de eleccioacuten de que se dispone a la hora
de construir el mensaje Por tanto de una fuente de informacioacuten podriacutea
decirse lo mismo que de un sistema dinaacutemico ldquoLa situacioacuten posee un grado
muy alto de organizacioacuten y no estaacute caracterizada por un grado elevado de
aleatoriedad o de poder de eleccioacuten es decir que la informacioacuten o la entropiacutea
es pequentildea
En lo concerniente a la ley de la entropiacutea creciente y su papel de juez aacuterbitro
en la coherencia de cualquier teoriacutea nada mejor que la opinioacuten de Sir Arthur
Stanley Eddington al respecto ldquoAcerca de la importancia de la Segunda ley de
la termodinaacutemica mucho se ha escrito y nadie duda de su efectividad
praacutecticardquo Pero por si quedase alguna duda sobre su rango de aplicacioacuten y su
generalidad Eddington lo aclaroacute de forma contundente cuando en una de sus
obras maacutes conocida y citada (Eddington 1948) dijo ldquoThe Law that entrpy
always increase ndashthe second Law of thermodynamics- holds I think the
supreme position among the laws of Nature If someone points cut to you that
your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell`s equations ndash
then so much the worse for Maxwell`s equations- If it is found to be
contradicted by observation well these experimentalist do bungle thnigs
sometimes But if your theory is found to be against the second law of
thermodynamics I can give you no hope there is nothing for it but to collapse
in deepest humiliationrdquo
e) Correccioacuten y falsabilidad Cualquier teoriacutea debe tener implicaciones sobre el
mundo real empiacuterico Pues bien estas implicaciones deben ser ldquofalsablesrdquo La
falsabilidad de las implicaciones concierne por una parte a la circularidad y
por otra a la especifidad de las afirmaciones hipoteacuteticas que hacen
declaraciones acerca del mundo empiacuterico Conjuntos de afirmaciones
circulares o tautoloacutegicas no pueden ser verificadas esto es corroboradas o
refutadas son loacutegicamente vaacutelidas por definicioacuten pero no dicen nada acerca
del mundo empiacuterico y por consiguiente no son teoriacuteas Ademaacutes se exige que
40
sean suficientemente especiacuteficas de modo que puedan si es el caso probarse
que estaacuten equivocadas Esto es deberiacutean ser lo suficientemente especiacuteficas
como para que sea claro que evidencia se requiere para determinar si la
evidencia es consistente o inconsistente con las implicaciones Dicho esto no
se deberiacutea exigir que los instrumentos que pueden requerirse para coleccionar
evidencia relevante existan realmente Es decir basta con que las
implicaciones de la teoriacutea sean falsables al menos en principio De esto se
pueden derivar lo dos apartados siguientes
α) Verdad Desgraciadamente las teoriacuteas nunca pueden probarse que
son verdaderas Hay dos razones para esto La primera es que no
importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea frente a los datos
siempre hay la posibilidad de que aparezca un nuevo dato que
contradiga la teoriacutea Justo porque el Sol ha salido todos los diacuteas desde
que se inicioacute su comprobacioacuten eso no prueba la teoriacutea que sugiere
que siempre saldraacute Maacutes bien lo contrario pues cada diacutea que sale es
uno menos que le queda de ldquovidardquo Es decir desgraciadamente nunca
se puede probar que una teoriacutea es correcta Soacutelo se puede probar que
es falsa No importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea no hay
suficiente tiempo en el universo para llevar a cabo todas las
verificaciones posibles Asiacute incluso si una teoriacutea ha sobrevivido a un
milloacuten de pruebas auacuten podriacutea fracasar en la un milloacuten una En alguacuten
modo esta situacioacuten es opuesta a localizar un objeto perdido en una
casa Si se busca el objeto en la casa y se le encuentra bien es
definitivo que el objeto estaba en la casa caso cerrado Pero si se
busca y no se le encuentra eso no significa en absoluto que el objeto
no esteacute en la casa Podriacutea estar alliacute justo donde se perdioacute Lo mismo
pero al reveacutes vale para las teoriacuteas Si se prueba una teoriacutea y se
fracasa esto es ha sido falsada Pero si pasa el test es justo soacutelo un
test Puede haber otros datos u otras situaciones que la hubieran
falsado Sin embargo todaviacutea no se ha accedido a ellos Finalmente
las teoriacuteas son justo descripciones Hay siempre otras maneras de
describir los hechos que son igualmente vaacutelidas En este sentido
verdad no es un concepto razonable De todo lo que se dispone es de
41
descripciones que no se contradicen por los hechos actualmente
disponibles Eso es todo
β) Falsabilidad Una buena teoriacutea es falsable Si no hay una forma
concebible para construir un experimento o coleccionar algunos datos
que potencialmente podriacutean contradecir la teoriacutea eacutesta es inuacutetil
Supoacutengase que se estaacute intentando explicar el patroacuten de caras y cruces
que resultan de lanzar una moneda diez veces La teoriacutea dice que sale
cara cuando quiere un mago invisible y cruces en otro caso iquestCoacutemo se
puede verificar esa teoriacutea Si se lanza la moneda y sale cara eso no
contradice la teoriacutea puesto que eso justo quiere decir que el mago lo
queriacutea No importa coacutemo se realice el experimento los datos no
pueden posiblemente contradecir la teoriacutea Teoriacuteas como eacutesa
realmente no explican nada Se pueden usar para predecir resultados
no para hacer cosas verbigracia construir aviones que vuelen Por
ejemplo el concepto general de que los empleados de una
organizacioacuten trabajan duro porque estaacuten motivados es del mismo tipo
que decir que salen caras porque el mago quiera Volviendo a la
motivacioacuten eacutesta no se puede ver Soacutelo se puede inferir su existencia
por sus efectos en este caso el comportamiento humano De este
modo si una persona trabaja duro se dice que estaacute motivada Si no
se dice que no lo estaacute Sin embargo se dice que la razoacuten para que
trabaje duro o no es debido a la motivacioacuten Y eso es una ldquopetitio
principiirdquo es decir una falacia argumental Si estaacuten motivados
trabajan duro Si trabajan duro estaacuten motivados En general cualquier
teoriacutea que explique el comportamiento humano en teacuterminos de los
deseos humanos estaacuten en un terreno resbaladizo o peor cienagoso
En otras palabras si se estudia el movimiento voluntario del personal
en las organizaciones y se encuentra que la gente deja las
organizaciones ldquoporque quierenrdquo realmente no se ha explicado nada
y nunca podriacutea probarse que se estaacute equivocado En resumen hay dos
maneras en las que las teoriacuteas pueden fracasar en ser falsables Una
porque los datos son imposibles de obtener por su propia naturaleza
Dos porque son circulares
42
B) Materiales Ademaacutes de las condiciones formales de adecuacioacuten que debe cumplir
cualquier teoriacutea en siacute misma es decir independiente del dominio rango o alcance de
la misma existe otro conjunto de condiciones denominadas materiales de
adecuacioacuten que son especiacuteficos del tipo de teoriacutea de su dominio rango o alcance de la
misma Entre eacutestas que podriacutean considerarse como suficientes estaacuten las siguientes
a) Alcance o Provisionalidad La veracidad del conocimiento teoacuterico puede ser
tanto definitiva como provisional En efecto un teorema una vez demostrado
como verdadero lo es para siempre No importa la cantidad de informacioacuten
adicional que se tenga que jamaacutes cambiaraacute el estatus de verdad del mismo
Consideacuterese por ejemplo el teorema de Pitaacutegoras que estaacute demostrado desde
hace maacutes de 25 siglos Ninguna cantidad de nueva informacioacuten cambiaraacute el
estatus de dicho teorema hacieacutendolo falso Por el contrario consideacuterese la
Teoriacutea de Newton que se apoya en la hipoacutetesis de que el espacio y el tiempo
ademaacutes de absolutos no interactuacutean entre siacute es decir son independientes
Auacuten cuando la teoriacutea newtoniana se mantuvo incoacutelume y se consideroacute
correcta durante maacutes de dos siglos informacioacuten obtenida en el siglo XX dio al
traste con ese supuesto El responsable de esa iconoclastia fue la Teoriacutea de la
Relatividad de Einstein que no soacutelo le quitoacute al espacio y al tiempo la condicioacuten
newtoniana de absolutez sino que los interrelacionoacute En este sentido las
teoriacuteas formales pertenecientes a los dominios de la loacutegica y o las
matemaacuteticas son en lo que respecta al paraacutemetro de la provisionalidad
eternas Por su parte las teoriacuteas empiacutericas fiacutesicas quiacutemicas bioloacutegicas y
geoloacutegicas son provisionales es decir una teoriacutea empiacuterica que se juzga
verdadera en base a la informacioacuten actualmente disponible puede volverse
falsa cuando informacioacuten adicional llega a estar disponible En esto de la
provisionalidad de las teoriacuteas rige el principio de Bossuet sobre los imperios
Jacques-Beacutenigne Bossuet profesor del Defiacuten el hijo del rey Sol Luis XIV habiacutea
escrito en 1681 por encargo real su ldquoDiscurso sobre la Historia Universalrdquo
Poincareacute en 1909 en su presentacioacuten en Lille afirmaba la solidez de la fiacutesica
newtoniana y su esperanza de que eacutesta fuera sempiterna Sin embargo en
dicho discurso y contradicieacutendose antildeadioacute ldquoPero las teoriacuteas cientiacuteficas son
como los imperios y si Bossuet estuviera aquiacute no dudariacutea en encontrar acentos
elocuentes con los que denunciar su fragilidadrdquo (Poincareacute 1909) En 1912
Poincareacute con otros colegas de la Academia Francesa recopiloacute en un texto el
43
mensaje de Bossuet que advertiacutea a una humanidad orgullosa sobre su
perennidad como sigue (Fraguet 1927) Asiacute veis pasar ante vuestros ojos
como en un instante no digo reyes emperadores sino esos grandes imperios
que habiacutean hecho temblar el universo entero Viendo como los asirios antiguos
y modernos los medas los persas los griegos los romanos aparecen ante
vosotros unos tras otros para caer unos sobre otros por decirlo asiacute esta
terroriacutefica reyerta os hace sentir que no hay nada soacutelido entre los hombres y
que la inconstancia y la agitacioacuten son el destino natural de los asuntos
humanos Como puede verse para Poincareacute las teoriacuteas cientiacuteficas eran como
los grandes imperios de Bossuet y si la analogiacutea se toma como tal Poincareacute
estaba en lo cierto De este modo cuando alguien da por sentado la
peternidad de las teoriacuteas empiacutericas con probabilidad rayana en la certeza se
equivoca El caso de lord Kelvin es paradigmaacutetico al respecto Hacia 1900 la
fiacutesica claacutesica habiacutea elaborado una descripcioacuten altamente satisfactoria del
mundo totalmente determinista y basada en nociones aparentemente
consistentes consigo mismas Pero sobre ese aparente cielo despejado y claro
Lord Kelvin autor de la escala de temperatura absoluta y uno de los
fundadores de la termodinaacutemica sentildealoacute dos nubarrones Este panorama lo
describioacute lord Kelvin en una conferencia impartida ante la Asociacioacuten Britaacutenica
para el Progreso de la Ciencia en 1900 (Kelvin 1901) El primero de los
nubarrones se referiacutea a la naturaleza paradoacutejica del eacuteter propuesto por la
teoriacutea del campo unificado como el vehiacuteculo de las ondas electromagneacuteticas
Kelvin consideraba posible la existencia de una sustancia tan extrantildea pero
sentildealoacute que si existe deberiacutea poderse medir el movimiento con respecto a ella
Curiosamente y debe resaltarse esta prediccioacuten no surgioacute dentro de la
mecaacutenica newtoniana que suponiacutea la existencia de fuerzas que actuacutean a
distancia sobre las masas sin la intervencioacuten de ninguacuten eacuteter Como los
experimentos para detectar el eacuteter no dieron resultado Kelvin empezoacute a
sospechar que ese fracaso teniacutea una causa importante Fue Einstein con su
relatividad restringida quien envioacute el eacuteter al mundo de lo inuacutetil donde ya se
encontraban el caloacuterico el flogisto los voacutertices etc El segundo nubarroacuten
surgioacute de un problema aparentemente menos serio la discrepancia entre el
calor especiacutefico para voluacutemenes constantes de gases diatoacutemicos realizado por
mediciones precisas 5R2 para el O2 y el H2 etc y el valor predicho a partir de
44
consideraciones de la mecaacutenica estadiacutestica 7R2 Finalmente esos dos
nubarrones dieron lugar a las tormentas o por mejor decir revoluciones tan
espectaculares como la Teoriacutea de la Relatividad y la Fiacutesica Cuaacutentica iexclAhiacute es
nada
b) Simplicidad o Parsimonia La Navaja de Ockham o tambieacuten conocido como
ldquotijera de Ockamrdquo Principio de Parsimoniardquo en el sentido de moderacioacuten o
tambieacuten ldquoPrincipio de simplicidadrdquo o incluso ldquoPrincipio de economiacuteardquo es
considerada como una de las herramientas maacutes potentes y eficaces de la
ciencia Su enunciado habitual expresa que ldquonon sunt multiplicanda entia
praeter necessitatemrdquo aconsejando reducir al miacutenimo el nuacutemero de motivos y
objetos en general entes a los que haya que recurrir para justificar algo Y
maacutes generalmente tambieacuten implica que en el conjunto de teoriacuteas ofrecidas
para explicar un hecho se ha de preferir la maacutes sencilla Esta idea hasta donde
se sabe fue expuesta por primera vez por el filoacutesofo y teoacutelogo dominico
fraacutences Durand de Saint Pourcain fallecido en 1332 y tambieacuten se encuentra
enunciada en la obra del franciscano Duns Scoto (1266-1308) probable
profesor de quien difundioacute ldquourbi et orbirdquo el principio Guillermo de Ockham a
comienzos del siglo XIV Es eacutesta una condicioacuten que indica que las teoriacuteas
deberiacutean ser podadas de suposiciones innecesarias Se trata aquiacute de evitar
proponer como principios relaciones complejas cuando existe una alternativa
maacutes simple Una razoacuten para preferir la sencillez es que la naturaleza parece
hacerlo Las cosas complicadas tienen maacutes formas de romperse y menos
probabilidad por tanto de durar hasta el presente La otra razoacuten es que las
teoriacuteas son inuacutetiles a menos que sean lo suficientemente sencillas como para
que la gente las entienda Las teoriacuteas son a veces aunque inadecuadamente
denominadas modelos y la idea cabal de modelo es que es una versioacuten maacutes
pequentildea maacutes simple de la cosa real Los modelos pretenden resaltar
evidencias y las partes importantes y dejar fuera las irrelevantes El poder de
un modelo puede definirse como la proporcioacuten de reduccioacuten en complejidad
que proporciona sobre la naturaleza Demasiado detalle puede obscurecer las
cosas clave Verdaderamente los modelos complicados no explican realmente
mucho El mejor modelo posible de los patrones meteoroloacutegicos terrestres se
obtendriacutea construyendo un duplicado de la Tierra girando alrededor del Sol
exactamente lo mismo con mucho detalle Deberiacutea predecir todo
45
perfectamente El problema es que el modelo es tan complicado como lo que
se intenta entender Un ejemplo de parsimonia son los modelos aleatorios
Supoacutengase que se quiere entender porqueacute casi todas las sociedades humanas
tienen desigualdades significativas unos son mucho maacutes ricos que otros Se
podriacutean dar un nuacutemero de razones especiales incluidas causas sobrenaturales
del tipo ldquoDios lo quiso asiacuterdquo pero es importante percatarse de que la
desigualdad es lo que deberiacutea esperarse incluso si no hubiera ninguna razoacuten
especial por la que deberiacutea suceder Si se toman 100 euros y se dividen
aleatoriamente entre 10 personas soacutelo hay un puntildeado de formas que dariacutean
un resultado igualitario Sin embargo hay maacutes de 1030 maneras de dividirlos de
modo que se produzcan relevantes desigualdades Es justo como tener la
habitacioacuten ordenada Baacutesicamente hay unas pocas maneras de tener la
habitacioacuten en el espacio tridimensional de modo que pueda decir que todo
estaacute en su sitio Pero hay millones de lo contrario El principio de usar la
parsimonia como un criterio para modelizar la seleccioacuten se conoce como
ldquoNavaja de Ockhamrdquo
Sea como sea la ldquoNavaja de Ockhamrdquo es soacutelo una herramienta o si se quiere
una regla heuriacutestica y como tal en ocasiones se ha mostrado uacutetil para la
ciencia Lo que no es es una cualidad del mundo esto es concierne a la
epistemologiacutea no a la ontologiacutea del mundo Por consiguiente no es necesario
suponer que el universo es sencillo aunque a la hora de enfrentarse y razonar
sobre eacutel se prefiera que se asiacute antes que complejo
John Burdon Sanderson Hodlane (Hodlane 1927) dice ldquoEn el pensamiento
cientiacutefico se adopta la teoriacutea maacutes simple que explique todos los hechos
considerados y que permita anticipar otros nuevos de la misma iacutendole La
trampa de este criterio estriba en la expresioacuten ldquola maacutes simplerdquo en realidad es
un canon esteacutetico como los que se encuentran expliacutecitos en las criacuteticas de
poesiacutea y pintura El profano encuentra mucho maacutes simple el concepto
ldquorezumardquo que su expresioacuten matemaacutetica () = (( ) el fiacutesico
invierte este juicio y por cierto su nocioacuten es la maacutes fructiacutefera por su poder de
prediccioacuten Sin embargo es una descripcioacuten sobre algo muy poco familiar para
el hombre comuacuten ldquola proporcioacuten con que cambia una tasa de variacioacutenrdquo
46
c) Fertilidad y o fecundidad O lo que es lo mismo una teoriacutea debe dar lugar a
nuevos resultados de investigacioacuten es decir debe revelar fenoacutemenos nuevos o
relaciones no observadas antes entre las cosas que ya se saben Este criterio es de
especial importancia para las decisiones cientiacuteficas reales De hecho el segundo
aspecto de la fecundidad de una teoriacutea es que sea fructiacutefera en el sentido de que la
eleccioacuten de una teoriacutea u otra tendraacute influencia ulterior en el desarrollo de la
carrera cientiacutefica de quien hizo la eleccioacuten Por eso los cientiacuteficos se sentiraacuten
atraiacutedos por aquella teoriacutea que prometa el eacutexito concreto por el que suelen ser
recompensados los cientiacuteficos Una teoriacutea feacutertil es aquella que genera multitud de
implicaciones en diferentes aacutereas y dominios Las implicaciones son importantes
porque por una parte son esencialmente perspicacias y o ldquointuicionesrdquo que no
eran obvias antes de establecerse la teoriacutea de este modo potencialmente
representan nuevo conocimiento Por otro lado representan posibilidades de
verificar la teoriacutea Una teoriacutea para ser feacutertil o sea una buena teoriacutea tiene que ser
general
d) Sorpresa Una cualidad de las buenas teoriacuteas es que son interesantes Esto
significa que generan implicaciones no obvias Conducen a entender las cosas de
nuevas maneras La sorpresa se refiere a la capacidad de la teoriacutea para realizar
predicciones inesperadas no obvias Un famoso ejemplo es una teoriacutea que explica
porque ciertos paiacuteses tienen muchas maacutes chicas que chicos La teoriacutea dice que esto
sucede iroacutenicamente cuando como ocurre en la India la gente prefiere tener
chicos En efecto la probabilidad de tener un chico es diferente en las distintas
familias es algo geneacutetico Supoacutengase ahora que la gente lo que hace es tener
nintildeos hasta que tengan maacutes chicos que chicas Asiacute si el primero es un chico no
tienen maacutes Si es una nintildea van a por maacutes hasta que los varones sean maacutes Pero si
es mujer siguen El resultado es que las familias que tienen predisposicioacuten a tener
nintildeos son poco numerosas las otras no Si no hubiera esa preferencia habriacutea
aproximadamente un nuacutemero similar de ambos Este paradoacutejico resultado es
curioso y encantador
e) Amplitud A veces y tal vez con mejor criterio tambieacuten denominada robustez
Esto quiere decir que las consecuencias de la teoriacutea deben extenderse o sea ir
maacutes allaacute de las observaciones leyes o subteoriacuteas particulares para las que se
destinoacute en principio
47
f) Conectividad Este aspecto iacutentimamente relacionado con el anterior quiere
decir que la teoriacutea ordena fenoacutemenos que sin ella y tomados uno a uno estariacutean
aislados y en conjunto seriacutean confusos
g) Independencia Esta condicioacuten exige que ninguno de los axiomas pueda
deducirse de los demaacutes aplicando las reglas fijadas es decir todos y cada uno de
ellos deben antildeadir nueva informacioacuten Para demostrar la independencia de un
axioma respecto a los demaacutes es suficiente con describir un modelo que los
satisfaga todos menos eacutel ya que si fuera posible obtenerlo de los otros
automaacuteticamente seriacutea verdadero en el sistema construido Nada se indica sobre el
nuacutemero de axiomas que pueden elegirse para una teoriacutea pueden ser infinitos
pero seriacutea entonces difiacutecilmente manejable y no tiene sentido en cualquier caso
antildeadir axiomas y axiomas si ya pueden deducirse de unos pocos Por ejemplo a los
axiomas de Peano se les podriacutea antildeadir verbigracia el postulado de que 1 es
distinto de 2 pero seriacutea inuacutetil porque 2 es precisamente el sucesor de 1 y el
axioma III ya indica que 1 no es el sucesor de ninguacuten nuacutemero natural Como se ve
esta propiedad matemaacutetica se trata de una aplicacioacuten del principio de Ockham en
este caso enunciado como sigue ldquoninguacuten axioma o parte de eacutel debe ser
consecuencia de los demaacutesrdquo
Una teoriacutea es pues una construccioacuten simboacutelica en el sentido de que los teacuterminos que utiliza
son siacutembolos que buscan ldquoa tientasrdquo su significado en el mundo real Su valor se apoya tanto
en la estructura de las interconexiones que relacionan sus leyes entre siacute como en las propias
leyes Por eso no soacutelo debe ser un banco de pruebas donde se observa lo que puede
acontecer bajo determinadas condiciones sino que maacutes bien es valga la analogiacutea un territorio
parcialmente explorado De esta forma es con frecuencia heuriacutestica habida cuenta que guiacutea al
ldquoexploradorrdquo hacia nuevos descubrimientos En consecuencia se puede afirmar que tal vez la
mayor importancia de una teoriacutea no estriba en que conteste preguntas sino maacutes bien en que
permita y facilite el plantearlas dirigiendo asiacute la investigacioacuten en el campo que le concierne
Por lo tanto uno de los usos maacutes fructiacuteferos de una teoriacutea es el de preparar las categoriacuteas
conceptuales a partir de las cuales los investigadores formularaacuten sus preguntas y disentildearaacuten sus
experimentos para validar sus hipoacutetesis frente a la contundente realidad de los hechos
Por uacuteltimo una teoriacutea se construye para ponerla en praacutectica Cuando se habla de poner en
praacutectica una teoriacutea lo que se pretende es extraer consecuencias de ella entendiendo por esto
48
la postulacioacuten de una serie de circunstancias que incluyan algunas teacutecnicas de la teoriacutea para
en un paso posterior obtener informacioacuten acerca de lo que la teoriacutea supone sobre las
implicaciones que estas circunstancias particulares tienen para los otros teacuterminos de la teoriacutea
Con frecuencia se llega a las especificaciones seguacuten las cuales se desea someter a verificacioacuten
la teoriacutea interrogando o midiendo alguacuten aspecto del mundo real En otras palabras es preciso
tener alguacuten criterio de validez para determinar el eacutexito de la teoriacutea o del modelo construido
sobre ella Pues si bien una teoriacutea no puede descifrarlo todo los ldquomodelosrdquo que a partir de ella
se construyan deben al menos estar capacitados para descifrar ciertas cuestiones
Einstein apunta la existencia de dos criterios que presiden la seleccioacuten y evaluacioacuten de las
teoriacuteas cientiacuteficas El primero estaacute guiado por la confirmacioacuten externa o comprobacioacuten
experimental de la teoriacutea es decir no debe contradecir los hechos de la experiencia Para eacutel la
experiencia es el alfa y el omega de todo conocimiento cientiacutefico de la realidad Como lo
sentildealoacute eacutel mismo (Heisenberg 1971) El control por medio del experimento es en efecto el
presupuesto normal para la exactitud de una teoriacutea El segundo es el de la ldquoperfeccioacuten interna
naturalrdquo o de la ldquosencillez loacutegicardquo El criterio de perfeccioacuten interna se asemeja muchiacutesimo al
criterio de elegancia matemaacutetica de Poincareacute (Poincareacute 1946) siendo para Einstein esta
elegancia un iacutendice de la verosimilitud de la teoriacutea y de su verdad objetiva pues cuando se
carece de esa elegancia se cae en contradicciones internas Ambos criterios teoacuterico y
experimental expresan en efecto la misma idea pues sirven para determinar el valor
ontoloacutegico de la teoriacutea y su acuerdo con la realidad son como las dos caras de una misma
moneda pues si la teoriacutea debe guiar el experimento eacuteste debe corroborar y enriquecer la
teoriacutea De hecho la experimentacioacuten soacutelo tiene sentido si obedece o estaacute gobernada por un
planteamiento teoacuterico que a veces puede ser falso y siempre acaba resultando ser
provisional Teorizar no consiste simplemente en explicar normas ni en registrar hechos
consiste en ldquoconceptualizarrdquo o ldquoreconstruirrdquo es decir interpretar el material de estudio dentro
de un marco conceptual previamente dado que es precisamente lo que se denomina
ldquoTeoriacuteardquo En este sentido una teoriacutea es un cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se
pueden responder como miacutenimo a las siguientes cuestiones iquestQueacute esto es hacer
predicaciones Y iquestCoacutemo y por queacute es decir dar explicaciones Naturalmente la que debe dar
las respuestas es la teoriacutea y no el teoacuterico
49
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS
Las teoriacuteas como por otra parte cualquier conjunto de elementos pueden catalogarse de
acuerdo con distintos paraacutemetros Esta tipologiacutea en general puede ir desde una simple
clasificacioacuten hasta una taxonomiacutea pasando por una ordenacioacuten
A) La Clasificacioacuten
La clasificacioacuten siempre implica una definicioacuten Un teacutermino clase denota todos los
particulares a los cuales es aplicable el teacutermino es decir es la ldquoextensioacutenrdquo o
denotacioacuten del teacutermino y connota la(s) caracteriacutestica(s) que un particular debe tener a
fin de que el teacutermino le sea aplicable esto es la intensioacuten del teacutermino Ya que la
extensioacuten estaacute determinada por la intensioacuten y una definicioacuten describe la intensioacuten de
un teacutermino la definicioacuten es baacutesica para la clasificacioacuten iquestcuaacuteles son los criterios para
establecer la valiacutea episteacutemica de una clasificacioacuten Son desde el punto de vista
semaacutentico los siguientes
a) Exactitud El criterio de exactitud demanda que la clase de los teacuterminos esteacute
bien definida Una definicioacuten verdadera establece el universo a partir del cual
se establecen las clases y las diferencias o caracteriacutesticas esenciales que
distinguen las clases siendo catalogadas a partir de otras clases en el universo
b) Exclusividad y Exhaustividad Los criterios de exclusividad y exhaustividad
pueden establecerse con precisioacuten mediante conceptos teoreacuteticos En efecto
las clases pueden verse como subconjuntos del universo sometidos a
consideracioacuten esto es el conjunto universal Mientras el contexto de tal
enfoque es decir la exclusividad y exhaustividad pueden establecerse como
sigue
α) Exclusividad todo elemento en el universo dado aparece a lo sumo
en una subclase es decir - cap -0 = empty para todo par de subclases
sometidas a consideracioacuten
β) Exhaustividad todo elemento en un universo dado deberiacutea estar en
alguna clase es decir cup - = 3 donde Si es la coleccioacuten de
subclases y la unioacuten se realiza sobre todas ellas Exclusividad y
50
exhaustividad juntos requiere que cada elemento del universo
aparezca en una subclase
B) Taxonomiacutea
Para que una clasificacioacuten sea una taxonomiacutea debe cumplir el criterio de orden
jeraacuterquico Para que una clasificacioacuten esteacute jeraacuterquicamente ordenada debe cumplir las
siguientes condiciones
a) Los taxones o clases esteacuten ordenados en niveles que estaacuten secuencialmente
ordenados de 1 a n De este modo cada taxoacuten puede designarse por Tij donde
j indica el nivel particular para el taxoacuten o rango e i se asigna arbitrariamente
para diferenciar el taxoacuten en un determinado nivel
b) Cada taxoacuten de nivel j con jltn estaacute incluido en alguacuten taxoacuten de nivel j+1 Dicho
maacutes precisamente para un jltn dado existe alguacuten k tal que Tij estaacute incluido en
Tkm para m=j+1
c) El nuacutemero de taxas de rango j es mayor que el nuacutemero de taxas j+1
d) Las taxas de cada rango son mutuamente exclusivas y exhaustivas Maacutes
precisamente para un rango dado j 40 cap 450 = empty para cualesquiera i y k que
aparecen como subiacutendices en la taxa de rango j y cup 4 = 3
e) El criterio de coherencia interna exige que la clasificacioacuten concuerde con el
conocimiento teoreacutetico existente Para ello las afirmaciones teoreacuteticas deben
ser miembros del sistema actual de afirmaciones teoreacuteticas verdaderas cuyos
elementos estaacuten relacionados mediante la implicacioacuten loacutegica
Si lo que se pretende conseguir es una clasificacioacuten el criterio elegido debe ser exhaustivo y
excluyente es decir que todos y cada uno de los elementos a clasificar caiga en una y soacutelo una
de las clases y eacutestas que son clases de equivalencia son disjuntas entre siacute Por su parte una
ordenacioacuten establece una relacioacuten de precedencia u orden entre los miembros de un conjunto
Esta precedencia puede ser jerarquizada por niveles Pues bien cuando dentro de cada nivel
de jerarquiacutea se establece una clasificacioacuten entonces se obtiene una taxonomiacutea Dicho lo
anterior entre las teoriacuteas se puede establecer la siguiente taxonomiacutea
51
1 Categoacutericas En la descripcioacuten de los conceptos de una teoriacutea las oraciones teoacutericas
esto es las relaciones entre determinantes y resultantes pueden ser necesarias que
son esenciales y surgen de la propia naturaleza de resultantes y determinantes y si no
se cumplen no seriacutean lo que son y contingentes que son accidentales y no se tienen
que cumplir para que los determinantes y resultantes sean lo que son Su diferencia
estriba no en la forma sino en el contenido Las frases cientiacuteficas no tienen contenido
axioloacutegico mientras que las praxeoloacutegicas siacute En estas teoriacuteas o sistemas la verdad de
los teoremas o conclusiones se demuestra o viene dada por la verdad de las premisas
o axiomas es decir no hay calificacioacuten de la verdad de ahiacute el teacutermino ldquocategoacutericordquo En
ellos no hay ninguna suposicioacuten esto es hipoacutetesis de ahiacute su nombre Es decir la
evidencia soportando la verdad de las premisas que no se discute se transfiere a los
teoremas o conclusiones La necesidad reside tanto en la conexioacuten de las premisas con
los teoremas o conclusiones como en lo que postulan las premisas En estas teoriacuteas no
hay ninguna cualificacioacuten con respecto a la verdad no hay suposiciones de ahiacute el
teacutermino categoacuterico Dentro de ellas se inscriben las teoriacuteas filosoacuteficas Las teoriacuteas
filosoacuteficas y la teodicea caeriacutean si se las consideran teoriacuteas Las teoriacuteas filosoacuteficas
justifican sus afirmaciones mostrando que se siguen ldquoracionalmenterdquo no
necesariamente esto es deductivamente de las premisas que se toman como
verdaderas y no son falsables
2 Hipoteacuteticas En estos sistemas no hay certeza absoluta en los axiomas o esquemas de
axiomas es decir no hay evidencia propia De ahiacute que en este caso sea mejor usar el
teacutermino postulado para las premisas En este caso no existe ninguna certidumbre
respecto a los postulados de partida por ello es preciso establecer suposiciones de
partida es decir hipoacutetesis de ahiacute su nombre Existen dos tipos de sistemas
axiomaacuteticos hipoteacuteticos
21 Formales Desarrollados para aacutereas conceptuales muy amplias De hecho son
el sustrato racionador de al menos las teoriacuteas cientiacuteficas Sus afirmaciones se
justifican mediante demostraciones es decir la prueba de las afirmaciones
hechas en forma de teoremas alegados o aducidos o afirmados se sigue
deductivamente de los axiomas Su caracteriacutestica maacutes relevante es la
perennidad de lo demostrado Son de tipo analiacutetico es decir no antildeaden
nuevo conocimiento Las afirmaciones de una teoriacutea formal se justifican
mediante demostraciones en matemaacuteticas y prueba en loacutegica de modo que
52
en ambos casos se siguen como acaba de decirse deductivamente de los
axiomas Es decir no apelan a la evidencia experimental Son abstractas y
estaacuten vaciacuteas de contenido Dentro de ellas estaacuten las teoriacuteas
211 Matemaacuteticas Informalmente son ciertos cuerpos de
conocimientos que consisten en axiomas conectados definiciones
teoremas teacutecnicas computacionales todas relacionadas de alguacuten
modo por tradicioacuten o praacutectica Por ejemplo Teoriacutea de Conjunto
Teoriacutea de Grafos Teoriacutea de Autoacutematas Teoriacutea de Grupos Teoriacutea de
Nuacutemeros etc
212 Loacutegicas En este caso es un conjunto de enunciados en un
lenguaje formal que estaacute cerrado en la aplicacioacuten de ciertos
procedimientos denominados reglas de inferencia Un caso
especial son las teoriacuteas axiomaacuteticas que consisten en axiomas o
esquemas de axiomas y reglas de inferencia De este modo lo que
se obtiene son foacutermulas que se derivan de los axiomas mediante
dichas reglas
22 Materiales sustantivas o justificadas basaacutendose en la experimentacioacuten Estaacuten
formadas por conjuntos de proposiciones conectados que afirman revelar la
verdad de un fenoacutemeno Estaacuten desarrolladas en aacutereas especiacuteficas de
investigacioacuten Son sinteacuteticas esto es antildeaden nuevo conocimiento Entre estas
teoriacuteas estaacuten las concernientes a las ciencias claacutesicas fiacutesica quiacutemica biologiacutea y
geologiacutea y pueden ser
221 Cientiacuteficas naturales o empiacutericas Que buscan entender los
fenoacutemenos recopilando informacioacuten observada y proporcionando
explicacioacuten para ellos Sus afirmaciones se justifican mediante la
evidencia experimental y observacional Y dado que una de las
bases de estas teoriacuteas es el peso de la evidencia por eso reciben
el nombre de empiacutericas De hecho las teoriacuteas empiacutericas se
validan obteniendo las implicaciones de la teoriacutea para hechos
observables es decir generando hipoacutetesis y luego observando o
construyendo situaciones en las que puedan examinar y
contrastar dichas hipoacutetesis Esto exige que se puedan formular las
hipoacutetesis y se puedan efectuar observaciones relevantes Estas
53
teoriacuteas tratan con fenoacutemenos de la naturaleza y a su vez pueden
catalogarse en
2211 Deterministas que de nuevo pueden subdividirse en
A) Con datos incorregibles Paternidad bioloacutegica
B) Corregibles La fiacutesica claacutesica
2212 Indeterministas como la fiacutesica cuaacutentica la termodinaacutemica etc
Las teoriacuteas prototiacutepicas en fiacutesica tales como la teoriacutea de la
gravitacioacuten la de los cuanta de los fenoacutemenos subatoacutemicos
etc tienen seguacuten Mohanan P Karuvannur (Mohanan 2001)
las caracteriacutesticas distinguidas siguientes
A) Contienen un conjunto de proporciones llamadas leyes
B) La mayoriacutea de las proposiciones de la teoriacutea se expresan en
formalismos matemaacuteticos
C) Las observaciones contra las que se comprueban las
teoriacuteas son tiacutepicamente administrativas
D) Dichas observaciones y su contraste se obtienen y realizan
experimentalmente
E) Estos experimentos son reproducibles por otros
Sin embargo no todas las teoriacuteas cientiacuteficas exhiben todas
estas caracteriacutesticas Por ejemplo
a) La teoriacutea cosmoloacutegica del ldquoBig Bangrdquo y la teoriacutea de la
deriva continental en geografiacutea no incluyen ninguna
ley de siacute mismas En lugar de buscar formular leyes es
decir afirmaciones de una relacioacuten sistemaacutetica entre
variables observables o teoacutericas dichas teoriacuteas
54
proporcionan un ldquomodelordquo de los fenoacutemenos que se
pretenden entender
b) Mientras la teoriacutea de la gravitacioacuten de Newton emplea
una geometriacutea eucliacutedea y la de Einstein una
reimaniana la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y
Darwin no usa ninguacuten formalismo matemaacutetico
c) En tanto que las observaciones de la teoriacutea de Newton
son medidas cuantitativas las teoriacuteas topoloacutegicas no
d) Mientras que la fiacutesica y quiacutemica son altamente
experimentales la astronomiacutea lo es si algo muy poco
es puramente observacional
e) Finalmente si algunas observaciones del
funcionamiento normal del cerebro son reproducibles
otras no lo son en absoluto
222 Hominoloacutegicas sociales conductuales o praxeoloacutegicas Caen en
este apartado las teoriacuteas sociales psicoloacutegicas filosofiacutea de la
ciencia esteacuteticas etc Estas ldquoteoriacuteasrdquo buscan entender los
fenoacutemenos las relaciones entre conceptos y entre siacute mismas
reflexionando sobre lo que se da por sentado que son premisas
verdaderas sobre los fenoacutemenos sin dedicarse a entrar en
recopilar nueva informacioacuten Maacutes que teoriacuteas lo que aquiacute se
tiene es el uso del asiacute llamado ldquomeacutetodo cientiacuteficordquo para describir
y si pudiera ser explicar y predecir fenoacutemenos relacionados con
los seres humanos Entre eacutestas se encuentran la psicologiacutea
economiacutea cosmologiacutea etc
Existe una relacioacuten estrecha entre los sistemas ldquoaxiomaacuteticosrdquo y la taxonomiacutea de teoriacuteas que se
muestra en la figura II4 Del mismo modo que tal y como se muestra en la tabla II4 las
teoriacuteas pueden categorizarse en funcioacuten de que sean analiacuteticas o explicativas y sinteacuteticas o
ampliativas del conocimiento
55
Figura II4 Tipos de Sistemas axiomaacuteticos relacionados con la Teoriacutea
Otra distincioacuten importante entre teoriacuteas e incluso ciencias viene dada por las cuestiones que
guiacutean la investigacioacuten Es decir de acuerdo con su ldquoteleologiacuteardquo o paradigma las teoriacuteas
empiacutericas se clasifican en
A) Explicativas Estas teoriacuteas responden o cuando menos intentan responder a
la cuestioacuten iquestCuaacutel es la mejor explicacioacuten para los fenoacutemenos o estados de
cosas observados en el mundo En este caso la finalidad de una buacutesqueda
investigacioacuten ciencia o teoriacutea explicativa como sucede en la fiacutesica quiacutemica
biologiacutea geologiacutea cosmologiacutea etc es uacutenica o cuando menos baacutesica y
principalmente el entendimiento La mejor teoriacutea en un paradigma explicativo
es aquella que produce las mejores predicciones de los fenoacutemenos o estado de
las cosas observadas
B) Normativas Estas teoriacuteas responden o al menos intentan responder a la
siguiente pregunta iquestCuaacutel es el mejor curso de accioacuten para mejorar el estado
de cosas del mundo La finalidad de una buacutesqueda investigacioacuten ciencia o
teoriacutea normativa como sucede con la ingenieriacutea o la tecnologiacutea en general la
medicina el derecho o la sociologiacutea etc es mejorar las condiciones humanas
y maacutes en general de todos los seres vivientes La mejor teoriacutea dentro de este
paradigma normativo es la que produce los mejores cursos de accioacuten para
cambiar a mejor el estado de cosas existentes en el mundo
56
ANALIacuteTICAS O EXPLICATIVAS SINTEacuteTICAS O AMPLIATIVAS
ldquoA PRIORIrdquo ldquoA POSTERIORIrdquo
ldquoA PRIORIrdquo Puros independientes de toda experiencia
ldquoA POSTERIORIrdquo Empiacutericas generalizacioacuten inductiva
CATEGOacuteRICAS Teologiacutea Imposibles Filosofiacutea
HIPOTEacuteTICAS
Formales Loacutegica Matemaacutetica
Materiales Ciencias empiacutericas
Praxeologiacutea antildeade conocimiento axioloacutegico
Tabla II4 Categorizacioacuten de Teoriacuteas
En todo caso caracteriacutestico de toda teoriacutea es su formulacioacuten a partir de unos pocos
postulados Y de nuevo como son maacutes eficaces los ejemplos que las palabras Siguiendo esa
maacutexima claacutesica se van a presentar algunos ejemplos relevantes y significativos de teoriacuteas en
distintos dominios que aparecen resumidas en la tabla II5
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA
Se entiende por ciencia natural al cuerpo de conocimientos relacionados con una cierta clase
de cosas objetos conceptos o fenoacutemenos del mundo las caracteriacutesticas atributos
propiedades y relaciones que poseen coacutemo se comportan y actuacutean en sus interrelaciones La
labor baacutesica de la ciencia natural consiste en convertir lo insoacutelito en corriente es decir
demostrar que la complejidad correctamente enfocada no enmascara maacutes que la sencillez es
encontrar la pauta ley u orden que se oculta tras el caos aparente En resumen las ciencias
naturales se ocupan de coacutemo son las cosas La loacutegica corriente sirve para esto dado que su
preocupacioacuten se centra en aseveraciones declarativas se ajusta a las afirmaciones sobre el
mundo y las inferencias que se desprenden de tales aseveraciones Por su parte el disentildeo
trata de coacutemo debieran ser las cosas esto es de idear artefactos o mejor ldquomentefactosrdquo para
conseguir unos fines Para esto es necesario otras loacutegicas
Cuando se estudia la historia de la ciencia se observa en primer lugar que ninguna disciplina
se hace madura y verdaderamente cientiacutefica hasta que tiene una teoriacutea que la soporta En
segundo lugar tambieacuten salta a la vista como se muestra en la tabla II5 que dichas teoriacuteas
tienen dos caracteriacutesticas fundamentales (Alonso 2004) a saber Constan de pocos elementos
o constructos y se basan en un nuacutemero muy reducido de principios leyes o postulados De
modo que como lo sentildealoacute Peter J Denning (Denning 2003) The game is to define many terms
57
Teoriacutea Autor(es) Datacioacuten Principios Leyes Postulados o Axiomas
1 La
Geometriacutea
Eucliacutedes 330-275 1 Trazar una liacutenea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 2 Prolongar continuamente una recta finita en liacutenea recta 3 Describir un ciacuterculo con cualquier centro y distancia 4 El ser todos los aacutengulos rectos iguales entre siacute 5 Postulado de las Paralelas
2Hidrostaacute-
tica
Arquiacutemedes 287-212 1 El efecto que produce la presioacuten ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente 2 La presioacuten ejercida por un fluido sobre un cuerpo situado en eacutel estaacute dirigida
hacia arriba en la direccioacuten de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo
3 Mecaacutenica Newton 1665- 1666- 1686
1 Principio de Inercia Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectiliacuteneo
2 Principio de fuerza F=ma 3 Principio de Accioacuten y Reaccioacuten Con toda accioacuten ocurre siempre una reaccioacuten
igual y contraria
4 Ley de Gravitacioacuten 6 = 7 889
4 Quiacutemica
Atoacutemica
Dalton Thomson Rutherford Bohr Pauli
1803 1897 1938 1912 1924
1 Toda la materia se compone de aacutetomos Y estos a su vez en nuacutecleo y electrones
2 En cada oacuterbita soacutelo caben dos electrones que giran a la par (Principio de exclusioacuten)
3 Los aacutetomos se combinan entre siacute mediante distintos enlaces (Ioacutenico Covalente etc) para formar moleacuteculas
5Probabili-
dad
Laplace Kolmogorov
1812 1974
1 No negatividad La probabilidad de un evento o suceso siempre es mayor que cero
2 Certidumbre La probabilidad del suceso seguro S es la unidad 3 Aditividad Contable En una sucesioacuten numerable de sucesos mutuamente
excluyentes la probabilidad de su unioacuten es igual a la suma de las probabilidades individuales
6 Evolucioacuten Spencer Wallace Darwin
1852 1858 1859
Herencia de Caracteres y variabilidad y mutacioacuten de los mismos que hace que hijos de los mismos padres no sean ideacutenticos y de que por determinadas causas algunos muten Seleccioacuten natural supervivencia del mejor adaptado al medio
7Electro-
magnetismo
Oersted Faraday Maxwell Hertz
1820 1821-31 1873 1887
1 Ley de Gauss lt ∙ = gt 2 Ausencia de Carga magneacutetica lt ∙ = 0
3 Ley de Ampeacutere B C ∙ D = E FG + HI J
4 Ley de Faraday B lt ∙ D = KL
8Termodinaacute-
mica
Boltzmann Carnot Helmholtz Clausius Kelvin
1850 1850 1847 1829 1852
1 La energiacutea del mundo es constante 2 La entropiacutea del mundo tiende a un maacuteximo
9 Relatividad Einstein 1905 1915
1 Principio de Relatividad Si dos sistemas de coordenadas estaacuten en movimiento relativo de traslacioacuten paralela uniforme las leyes de acuerdo con las cuales cambian los estados de un sistema fiacutesico no dependen de con cuaacutel de los dos sistemas estaacuten relacionados dichos cambios
2 Principio de constancia de la velocidad de la luz Todo rayo luminoso se mueve en el sistema de coordenadas ldquode reposordquo con una velocidad fija independiente de si este rayo luminoso sea emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento
3 3 Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria mi = mg Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse por ecuaciones que sean vaacutelidas para todos los sistemas de coordenadas
10Meacutecanica
Cuaacutentica
Plank Einstein Bohr Schroumldinger Heisenberg Pauli
1900 1905 1907 1925 1926 1927
1 Principio Cuaacutentico La energiacutea no es continua sino que se presenta en paquetes discretos denominados cuantos verbigracia el fotoacuten o cuanto de luz La posibilidad de que un aacutetomo emita o absorba radiacioacuten estaacute condicionada por las posibles variaciones de energiacutea del aacutetomo de modo tal que la frecuencia de la radiacioacuten queda determinada por la diferencia de energiacutea entre los estados inicial y final seguacuten la relacioacuten formalEi-Ef = hv Es decir
2 Principio de la Complementariedad Las partiacuteculas subatoacutemicas tienen propiedades de partiacuteculas y ondas que obedecen a la ecuacioacuten de ondas de Schroumldinger que determina la probabilidad de que ciertos hechos ocurran El cuadrado del valor absoluto de la funcioacuten de onda de Schroumldinger mide la probabilidad de hallar una partiacutecula en un punto concreto de espacio y el tiempo
3 Principio de IndeterminacioacutenΔN ∙ ∆) ge ℏ ∆R∆S ge ℏ 4 Principio de Correspondencia
Tabla II5 Ejemplos de distintas teoriacuteas cientiacuteficas
58
in terms of a few terms and to logically derive many statements from a few statements Es
decir la misioacuten de una teoriacutea de acuerdo con el criterio de economiacutea de Mach consiste en
predecir los resultados del mayor nuacutemero de experimentos partiendo del menor nuacutemero de
hipoacutetesis Por supuesto no se plantea la verdad absoluta sino su operatividad y utilidad en un
campo de aplicacioacuten concreto Bohr fue un poco maacutes lejos y pensaba que la misioacuten de una
teoriacutea es posibilitar nuevas formulaciones
De hecho los progresos decisivos realizados en el campo de las investigaciones cientiacuteficas
conciernen al establecimiento de grandes concatenaciones entre hechos aislados su
generalizacioacuten en forma de leyes y finalmente el desarrollo de una teoriacutea Las ciencias
naturales que fueron hasta hace unos cincuenta antildeos recolectoras de datos hechos objetos y
fenoacutemenos a saber idiograacuteficas son actualmente en esencia ordenadoras o formuladoras de
leyes esto es nomoteacuteticas Es decir las ciencias en el mundo actual estudian el origen las
relaciones y el desarrollo de objetos y fenoacutemenos los procesos que le conciernen y la
concatenacioacuten que hacen de esos procesos naturales un gran todo
Las ciencias empiacuterico-formales conjugan ldquoprima facierdquo dos dimensiones la experimental o
empiacuterica y la teoacuterica o formal Pero al estudiar su gestacioacuten histoacuterica real se descubre en ellas
una tercera dimensioacuten temaacutetica constituida por presupuestos conceptuales o
ldquopreconcepcionesrdquo a la que se adhiere fielmente el cientiacutefico por maacutes que no siempre las
explicite en sus artiacuteculos En efecto todas las disciplinas cientiacuteficas tienen ricas y estrechas
conexiones entre sus ramas teoacuterica y experimental pues la teoriacutea guiacutea o debe guiar el
experimento en tanto que eacuteste enriquece a aquella Ademaacutes la teoriacutea proporciona un lenguaje
en el cual representar experimentalmente el conocimiento derivado de la propia teoriacutea y la
experimentacioacuten y en el cual se puede explorar las consecuencias loacutegicas de ese conocimiento
Las teoriacuteas como cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se puede hacer
predicaciones o dar explicaciones deben responder a los seis honrados servidores que
apuntaba Kipling (Kipling 1990) Quieacuten Queacute Coacutemo Doacutende Cuaacutendo Por y Para queacute Con todo
son soacutelo y con frecuencia deliberadamente aproximaciones que gradualmente por
refinamiento y reformulaciones sucesivas dan cuenta de la realidad puesto que al comienzo
de cualquier elaboracioacuten cientiacutefica no siempre es posible evitar conceptos no claros que soacutelo
adquiriraacuten la condicioacuten de conceptos o se desecharaacuten a medida en que se avance en el
trabajo de investigacioacuten De hecho el saber cientiacutefico no es y no puede ser otra cosa maacutes que
una pretensioacuten de conocimiento de lo que las cosas realmente son Por ello se halla
59
intriacutensecamente afectado de insuficiencia es por esencia perfectible y aunque su apariencia
inmediata sea la afirmacioacuten es en definitiva un conocimiento interrogativo una pregunta
taacutecita dirigida a la mente de quieacuten la ha formulado y a los pensadores posteriores a eacutel
Cuando se observa la historia de la ciencia se ve que lo que la hace avanzar es la
compaginacioacuten de teoriacutea y experimentacioacuten La primera para dirigir a la segunda y eacutesta para
validar o falsar la primera Como lo sentildealoacute Einstein en distintos lugares y diferentes momentos
aunque de formas similares las ciencias duras no proceden como deseariacutean los especialistas
por induccioacuten proveniente de la experiencia sino por deduccioacuten a partir de postulados
axiomas o principios que de estas formas se les denomina Asiacute en 1914 afirmaba El meacutetodo
del teoacuterico significa partir de la base de postulados generales o ldquoprincipiosrdquo para deducir de
ellos conclusiones O sea que el trabajo se divide en dos partes En primer lugar ha de descubrir
sus principios y despueacutes tendraacute que extraer sus conclusiones (hellip) La primera de estas tareas es
decir la de establecer los principios que deberaacuten servir como punto de partida de sus
deducciones tiene una naturaleza muy especial En este caso no existe un meacutetodo que pueda
aprenderse y aplicarse sistemaacuteticamente para llegar al objetivo previsto El cientiacutefico debe
extraer con habilidad esos principios de la naturaleza percibiendo a partir de amplios
conjuntos de hechos empiacutericos ciertos rasgos generales que le permitan una formulacioacuten
precisa Posteriormente en 1918 sentildealaba (Einstein 1946) La tarea fundamental de un fiacutesico
consiste en llegar hasta las leyes elementales y universales que permiten construir el cosmos
mediante pura deduccioacuten No hay un camino loacutegico hacia esas leyes soacutelo la intuicioacuten
fundamentada en una comprensioacuten de la experiencia puede conducirnos a ellashellip Finalmente
en su artiacuteculo Fiacutesica y Realidad (Einstein 1936) dijo (hellip) cuaacuten equivocados estaacuten aquellos
teoacutericos que creen que la teoriacutea surge de la experiencia por viacutea inductiva Aun el gran Newton
no pudo librarse de ese error (Hypotheses non fingo) Y maacutes adelante en dicho trabajo
continuaba No existe un meacutetodo inductivo que nos conduzca a los conceptos fundamentales
de la fiacutesica (hellip) El pensamiento loacutegico es necesariamente deductivo se basa en conceptos
hipoteacuteticos y en axiomas iquestCoacutemo seleccionar eacutestos con la esperanza de que se confirmen las
consecuencias que de ellos se derivan La situacioacuten maacutes satisfactoria es evidente se hallaraacute en
los casos en los que las nuevas hipoacutetesis fundamentales sean sugeridas por el propio mundo de
la experiencia Ejemplo de esto son La inexistencia del movimiento perpetuo El principio de
inercia de Galileo La constancia de la velocidad de la luz
Y seguiacutea Einstein Toda teoriacutea es especulativa Cuando los conceptos baacutesicos de una teoriacutea son
comparativamente ldquocercanos a la experienciardquo (hellip) su caraacutecter especulativo no es discernible
60
con tanta facilidadhellip Por otra parte se ha de conceder que una teoriacutea tiene una importante
ventaja si sus conceptos baacutesicos y sus hipoacutetesis fundamentales se hallan ldquocercanos a la
experienciardquo Una mayor confianza acorde a estas teoriacuteas estaacute justificada Existe menor riesgo
de coger por mal camino en particular porque exige menor cantidad de tiempo y de esfuerzo
rechazar esas teoriacuteas experimentalmente Sin embargo cada vez maacutes a medida que nuestros
conocimientos ganan profundidad debemos renunciar a esta ventaja en nuestra buacutesqueda de
simplicidad loacutegica y de uniformidad en los fundamentos de la teoriacuteahellip Eacutel termina diciendo que
cuando el procedimiento de derivar de las premisas de la teoriacutea unas conclusiones que puedan
ser confrontadas con los datos empiacutericos sea tan difiacutecil que durante un tiempo no sea posible
obtener esos resultados entonces a favor de esa teoriacutea cuentan su simplicidad loacutegica y su
ldquorigidezrdquo Rigidez en este caso significa que la teoriacutea puede ser verdadera o falsa pero no
modificable
Es decir para tratar con teoriacuteas se necesita por una parte la intuicioacuten para obtenerlas y por
otra parte de loacutegica para sacar consecuencias de ella Como lo sentildealoacute Henri Poincareacute
(Poincareacute 1964) La loacutegica y la intuicioacuten tienen cada una un papel necesario Ambas son
indispensables La loacutegica que puede por siacute misma dar la certeza es el instrumento de la
demostracioacuten la intuicioacuten es el instrumento de la invencioacuten El anaacutelisis puro pone a disposicioacuten
procedimientos de garantizada infalibilidad (hellip) pero quien decide cuaacutel elegir es la intuicioacuten
Unas paacuteginas antes sentildealaba que habiacutea muchas clases de intuicioacuten como sigue Tenemos
pues muchas clases de intuicioacuten primeramente la llamada a los sentidos y a la imaginacioacuten
despueacutes la generalizacioacuten por induccioacuten calcada por decirlo asiacute sobre procedimientos de las
ciencias experimentales tenemos por fin la intuicioacuten del nuacutemero plural (hellip)
Las teoriacuteas pues se construyen como conjeturas o suposiciones especulativas y provisionales
que el intelecto humano crea libremente en un intento de resolver los problemas con que
tropiezan las teoriacuteas anteriores y con el fin de proporcionar una explicacioacuten adecuada de
algunos aspectos del mundo o universo Ahora bien las teoriacuteas han de ser contrastadas
rigurosa e implacablemente mediante la observacioacuten y la experimentacioacuten
Se puede decir que los marcos y los modelos son teoriacuteas subespeciacuteficadas Es decir no se
pueden extraer de ellas predicciones comprobables hasta que se las suplemente con
proposiciones teoacutericas adicionales En este sentido los marcos y los modelos forman parte de
lo que Lakatos denominoacute el nuacutecleo (ldquocorerdquo) de una teoriacutea cientiacutefica comprobable soacutelo cuando
se le antildeade el ldquocinturoacuten perifeacutericordquo
61
Un marco es un conjunto de conceptos loacutegica o conceptualmente relacionados Un marco
caracteriacutestico distintivo contiene verbigracia en el caso de la teoriacutea de la gravitacioacuten mecaacutenica
de Newton conceptos tales como tiempo espacio movimiento distancia velocidad
aceleracioacuten masa y fuerza Unos son primitivos espacio tiempo otros derivados velocidad
aceleracioacuten fuerza etc La mayoriacutea de estos conceptos tambieacuten se encuentran en el marco de
la gravitacioacuten de Einstein para su teoriacutea de la Realtividad General pero se reemplaza fuerza
por campo movimiento absoluto por movimiento relativo y no interaccioacuten entre espacio y
tiempo con interaccioacuten entre ambos Un marco se convierte en una teoriacutea cuando es
suplementado con el establecimiento de leyes de modo que se puedan inferir predicciones a
partir de ellas En ausencia de leyes universales el contenido empiacuterico de un marco es la
pretensioacuten y o afirmacioacuten que el marco proporciona la mejor base para la construccioacuten de
una teoriacutea para el fenoacutemeno en cuestioacuten Aquiacute mejor es una cuestioacuten de correccioacuten de las
predicciones generalidad simplicidad etc
Por su parte un modelo es un objeto fiacutesico y abstracto una entidad alrededor de la cual se
pueden construir las leyes Ejemplos son los modelos geo y helioceacutentrico del sistema Solar el
de Rutherford o Bohr del aacutetomo etc Como los marcos los modelos tambieacuten estaacuten
subespeciacuteficados es decir necesitan ser suplementados con las afirmaciones de las leyes El
concepto de modelo es tan importante para la ciencia incluso para la vida cotidiana que sin eacutel
la vida no seriacutea como lo es
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL
DESARROLLO SOFTWARE
A la vista de los abismales resultados obtenidos al observar las evoluciones del hardware
exponencial frente al software en el mejor de los casos lineal No es aventurado sentildealar que
una de las causas tal vez la maacutes importante de este espectacular y diacutea a diacutea creciente
desfase es la carencia de una teoriacutea de soporte para las ingenieriacuteas subyacentes al desarrollo
del software Ingenieriacutea del Software y del Conocimiento Carl Sagan (Sagan 2005) expuso muy
bien esta situacioacuten en relacioacuten a la teoriacutea electromagneacutetica para lo cual dijo lo siguiente
Supongamos que por la gracia de Dios usted es Victoria la reina del Reino Unido de gran
Bretantildea e Irlanda defensora de la fe en la era maacutes proacutespera y triunfante del Imperio Britaacutenico
Sus dominios se extienden por todo el planeta El rojo britaacutenico jalona abundantemente los
mapas del mundo La maacutequina de vapor se perfecciona en Gran Bretantildea principalmente por
parte de ingenieros escoceses que proporcionan asesoriacutea teacutecnica en los ferrocarriles y barcos
62
de vapor que unen el imperio Supongamos que en el antildeo 1860 tiene una idea visionaria tan
atrevida que hasta el editor de Julio Verne la habriacutea rechazado Quiere una maacutequina que lleve
su voz y las imaacutegenes de la gloria del imperio a todas las casas del reino Maacutes todaviacutea quiere
que los sonidos e imaacutegenes no lleguen por conductos o por cables sino por el airehellip para que la
gente que trabaje en el campo pueda recibir este don de inspiracioacuten instantaacutenea creado para
promover la lealtad y la eacutetica del trabajo La Palabra de Dios tambieacuten se puede transmitir con
el mismo invento Sin duda se encontraraacuten otras aplicaciones socialmente deseables
Sagan continuacutea Asiacute con el apoyo del primer ministro convoca al gabinete al Estado Mayor y a
los principales cientiacuteficos e ingenieros del reino Les comunica que asignaraacute un milloacuten de libras
al proyecto mucho dinero en 1860 Si necesitan maacutes pueden pedirlo No le importa coacutemo lo
hagan soacutelo que lo consigan Ah por cierto se llamaraacute Proyecto Westminster Probablemente
surgiraacuten algunos inventos uacutetiles de una empresa asiacute Siempre ocurre cuando se gastan grandes
cantidades de dinero en tecnologiacutea Pero casi seguro que el Proyecto Westminster fracasaraacute
iquestPor queacute Porque todaviacutea no se ha creado la ciencia que lo fundamenta En 1860 existiacutea el
teleacutegrafo Era imaginable con un gasto enorme instalar aparatos de telegrafiacutea en todas las
casas para que todos pudieran enviar y recibir mensajes en coacutedigo Morse Pero eso no es lo que
habiacutea pedido la reina Ella pensaba en la radio y la televisioacuten pero eran inalcanzables En el
mundo real los conocimientos de fiacutesica necesarios para inventar la radio y la televisioacuten llegaron
de una direccioacuten que nadie podiacutea haber predicho
Dicho lo anterior queda claro cuaacutel es el problema abierto carencia de teoriacutea para soportar las
ingenieriacuteas implicadas en el desarrollo software que a lo maacutes que llegan es a ser una artesaniacutea
donde la habilidad del artesano es fundamental Sin embargo a lo que hay que llegar es a que
el desarrollo software deje de ser una artesaniacutea manufacturada y se convierta en una
ingenieriacutea ldquomentefacturadardquo incluso de forma industrial En consecuencia este trabajo se
dirige a proporcionar dicha teoriacutea Lo que ocuparaacute los dos capiacutetulos siguientes
63
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS
Por la relevancia de lo que se trataraacute en este capiacutetulo concerniente a por una parte la
posibilidad de crear una teoriacutea que soporte las ingenieriacuteas del software y del conocimiento
implicadas en el desarrollo del software ldquoGeneracioacutenrdquo de los nuacutemeros a partir de la ldquonadardquo
realizada por von Neumann y el teorema de Loumlwenheim-Skolem Y por otra a la factibilidad de
dicha teoriacutea probada por la ldquocurryficacioacutenrdquo es conveniente el introducir aquiacute ahora los
sistemas axiomaacuteticos
Los primeros estudios sistemaacuteticos de las formas de razonamiento vaacutelidos hay que ponerlos en
el haber de Aristoacuteteles El estagirita en efecto clasificoacute los silogismos despueacutes de postular que el
resto de demostraciones podiacutea reducirse a ellos Un silogismo consta de tres afirmaciones o
enunciados de los cuales las dos primeras unidas por un teacutermino medio son las premisas y la
uacuteltima la conclusioacuten donde ya no aparece el enlace entre las anteriores Las sentencias no
pueden ser arbitrarias sino (A) Afirmaciones universales del tipo ldquoTodo A es Brdquo (B) Negaciones
generales tales como ldquoNinguacuten A e Brdquo (C) Afirmaciones particulares verbigracia ldquoExiste un A
que es Brdquo (D) Negaciones concretas ldquoExiste un A que no es Brdquo Combinando estas cuatro
formas pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos de los cuales soacutelo catorce son correctos
Sobre la base de los ldquoAnaliacuteticos primerosrdquo y ldquoposterioresrdquo (Aristoacuteteles 1995) trabajaron los
escolaacutesticos durante la Edad Media con el propoacutesito de mostrar racionalmente la existencia de
Dios Entre todas estas muacuteltiples y variadas tentativas tal vez la maacutes famosa y ldquoprofundardquo sea la
del arzobispo y filoacutesofo de Canterbury San Anselmo conocida como el ldquoArgumento Ontoloacutegicordquo
que Goumldel estudioacute con profundidad en los uacuteltimos antildeos Anselmo consideraba que el ser
humano lleva dentro de siacute la idea de un ser superior tal que ninguacuten otro maacutes perfecto pueda ser
pensado Como quiera que un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el pintor
imaginoacute pero que nunca llegoacute a terminar razonaba si Dios existiese soacutelo en la inteligencia
cabriacutea pensar en un ser superior a eacutel ergo existe Sin embargo estas aportaciones medievales
no son relevantes para lo que aquiacute concierne pues la loacutegica que fundoacute Aristoacuteteles y
ldquodesarrollaronrdquo sus seguidores no era auacuten simboacutelica salvo por las variables A y B los silogismos
se exponiacutean completamente con palabras Fue mucho despueacutes George Boole (Boole 1847
1945) quien se dio cuenta por primera vez de la analogiacutea existente entre las operaciones
aritmeacuteticas de sumar y multiplicar y los conectores ldquoordquo e ldquoyrdquo e introdujo las constantes 0 y 1
64
para representar los dos valores de verdad posibles De este modo los cuatro modelos que habiacutea
descrito Aristoacuteteles quedaban matematizados en forma de ecuacioacuten Por ejemplo ldquoTodo X es Yrdquo
se escribiacutea x(1-y) = 0 donde al sustituir X por 1 se obtiene tambieacuten y = 1 En esta liacutenea de
encontrar un algebra para la loacutegica continuaron trabajando Augustus de Morgan Ernst Schroumlder
y Charles Pierce que introdujo los siacutembolos sum y prod antecedentes de los cuantificadores
En efecto Boole desde 1847 y partiendo del quehacer matemaacutetico habiacutea realizado la
construccioacuten de un aacutelgebra loacutegica esto es aplicar el aacutelgebra para fundamentar la loacutegica Para
ello partioacute de las nociones de clase elemento de clase y operaciones con clases El enfoque
estriba en que las leyes del pensamiento las leyes de la loacutegica deben ser del mismo tipo que las
leyes que gobiernan el algebra es decir la validez de los procesos del aacutelgebra no depende de la
interpretacioacuten de los signos sino de las leyes de combinacioacuten de los mismos Con estas ideas
Boole algebriza la loacutegica obteniendo un sistema algebraico que es en teacuterminos actuales un
retiacuteculo booleano Dicho retiacuteculo como algebra loacutegica o aacutelgebra simboacutelica presenta tal y como
se muestra en la Tabla III1 dos interpretaciones un algebra de clases y un algebra
proposicional
ALGEBRA DE BOOLE CAacuteLCULO DE PROPOSICIONES
χ (Conjunto Universo) V (Verdadero)
Oslash (Conjunto Vaciacuteo) F (Falso)
a b c hellip (Conjuntos Subconjuntos Elementos) p q r hellip (Proposiciones)
aχb (Reunioacuten TODO a Y TODO b) pωq (Disyuncioacuten o bien p solo o q solo o ambos son
verdaderos)
a1b (Interseccioacuten lo que a y b tienen en comuacuten) pϖq (Conjuncioacuten ambos p y q son verdaderos)
a=b (Identidad a y b son el mismo conjunto) p = q (Equivalencia si y soacutelo si p es verdadero q es
verdadero) a (Complementario Resto del conjunto Universo que
no es a) not p (Negacioacuten p es falso)
a0b (Inclusioacuten a es elemento de b) pεq (Implicacioacuten Si p es verdadero q es verdadero)
Tabla III1 Algebra de Clases ldquoversusrdquo Algebra Proposicional
Con Hilbert pasando por Frege Cantor y un largo etceacutetera se llegoacute a lo que hoy se conoce como
sistemas axiomaacuteticos deductivos o sistemas formales que son los soportes loacutegico-matemaacuteticos
de toda teoriacutea matemaacutetica o cientiacutefica Un sistema formal consta de los siguientes elementos
a) Alfabeto Un conjunto de signos o siacutembolos primitivos que determina el conjunto de cadenas
o secuencias finitas de siacutembolos con posibles repeticiones con ayuda de estos siacutembolos pueden
escribirse todas las proposiciones
b) Gramaacutetica que determina cual es la forma como debe combinarse los siacutembolos Es decir un
conjunto finito de reglas combinatorias que determinan bajo queacute condiciones se puede afirmar
65
que una cadena de siacutembolos primitivos es o no una foacutermula El conjunto de las foacutermulas recibe
el nombre de lenguaje formal del sistema
c) Reglas de Inferencia Es eacuteste un conjunto tambieacuten finito de reglas combinatorias que sirve
para producir deducciones formales es decir determina que secuencias de foacutermulas
constituyen una deduccioacuten en el sistema o sea las reglas inferenciales que permitan deducir los
teoremas a partir de los axiomas En otros teacuterminos los teoremas se obtienen al escribir todas
las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar cuaacuteles son
las concordes con las reglas de inferencia y por tanto vaacutelidas
d) Axiomas Conjunto de principios adoptados sin demostrar Son un conjunto finito de foacutermulas
sin variables libres o sentencias que se aceptan como verdaderas
Dicho lo anterior una sentencia se dice deducible si es la uacuteltima foacutermula que aparece en una
secuencia de foacutermulas que constituye una deduccioacuten El conjunto de sentencias deducibles
recibe el nombre de ldquoteoriacutea formalizadardquo
Dado un sistema formal S cuyos axiomas estaacuten dados por A si p es deducible en el sistema se
dice que p es una consecuencia sintaacutectica del sistema Por otra parte si p es una afirmacioacuten
verdadera en cualquiera de las interpretaciones posibles del sistema formal se diraacute entonces
que se trata de una consecuencia semaacutentica de A
Al principio de la discusioacuten con que abrioacute Boole ldquoEl Anaacutelisis Matemaacutetico de la Loacutegicardquo (Boole
1854) advirtioacute que los que estaacuten familiarizados con la presente condicioacuten de La Teoriacutea del
Algebra Simboacutelica son conscientes del hecho de que la validez de los procesos del Anaacutelisis
Matemaacutetico no depende de la lectura o interpretacioacuten de los signos en eacutel utilizados sino
solamente de las leyes que gobiernan los posibles modos de unioacuten de esos siacutembolos Cualquier
sistema de lectura interpretacioacuten es tan correcto como pueda serlo cualquier otro si bajo el
sistema en cuestioacuten todas las leyes de la teoriacutea se convierten en enunciados verdaderos que
versan sobre la materia con la cual esa interpretacioacuten las ha puesto en conexioacuten Asiacute un mismo
proceso de anaacutelisis matemaacutetico puede bajo una interpretacioacuten ser representativo de la
respuesta a una pregunta sobre las propiedades de los nuacutemeros bajo otra puede ser
representativo de una respuesta a una cuestioacuten de geometriacutea bajo una tercera puede significar
la respuesta a una cuestioacuten de fiacutesica y bajo una cuarta puede dar cuenta de una cuestioacuten
bioloacutegica etc Por ejemplo el algebra loacutegica de Boole es una uacutenica teoriacutea pero tal y como se
mostroacute en la tabla III1 hay cuando menos dos sistemas de lectura o interpretaciones de la
66
misma a saber una que la pone en relacioacuten con clases y otra que la pone en relacioacuten con
enunciados Esto llevoacute a Alfred Tarski ha desarrollar los fundamentos de la semaacutentica de la
loacutegica o la ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo Desde su nacimiento la orientacioacuten sintaacutectica de la loacutegica primoacute
sobre las consideraciones semaacutenticas de la misma llegando a su cliacutemax con la escuela de Hilbert
cuyo trabajo se habiacutea centrado en las demostraciones de consistencia y en el estudio de los
caacutelculos deductivos en definitiva de lo que ha dado en denominarse ldquoteoriacutea de la
demostracioacutenrdquo Si para muestra basta un botoacuten ahiacute van dos Jacques Herbrand en su tesis
doctoral demostroacute que la deducibilidad en loacutegica de primer orden puede reducirse en un cierto
sentido a la proposicional maacutes un procedimiento de sustitucioacuten de teacuterminos Por su parte
Gerhard Gentzen estudiante de Hilbert ideoacute los caacutelculos de deduccioacuten natural y los caacutelculos de
secuentes Y dicho sea de paso ambos prometiacutean ser grandes figuras de la loacutegica matemaacutetica
carrera que frustroacute su prematura muerte Sin embargo las cosas cambiaron gracias a los
trabajos pioneros de Loumlwenheim y sobre todo Goumldel con su teorema de completud al
presuponer una semaacutentica una nocioacuten de interpretacioacuten Ahora bien ambos usaron nociones
semaacutenticas intuitivas y no eran suficientemente expliacutecitos respecto a los detalles Fue
justamente Tarski con sus dos artiacuteculos el de 1933 sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formales y el de 1936 (Tarski 1944) sobre el concepto de consecuencia loacutegica quien sentoacute las
bases de la semaacutentica de la loacutegica de primer orden y culminoacute el edificio de la loacutegica tal y como se
conoce actualmente con su ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo
La relacioacuten de consecuencia loacutegica o semaacutentica dada por Tarski es la que se da entre un
conjunto de enunciados y un enunciado cuando el uacuteltimo es verdadero en cualquier
interpretacioacuten del lenguaje que haga verdaderos simultaacuteneamente a los enunciados del
conjunto El lenguaje es un lenguaje de primer orden y no se admite que se interpreten
libremente los siacutembolos loacutegicos como los cuantificadores los conectores y el siacutembolo de
igualdad Interpretar significa entonces especificar una estructura apropiada al lenguaje que
constaraacute de un universo de discurso en el que tomaraacuten valores las variables y constaraacute ademaacutes
de correlatos en dicho universo para los distintos siacutembolos no loacutegicos objetos nombrados por
las constantes individuales relaciones correspondientes a los distintos siacutembolos predicativos
etc Cuando un enunciado o un conjunto de enunciados resultan ser verdaderos en una
estructura se dice que la estructura es un ldquomodelordquo del enunciado o del conjunto de
enunciados Con esta terminologiacutea un enunciado es consecuencia de un conjunto de enunciados
cuando cada modelo del conjunto es asiacute mismo un modelo del enunciado en cuestioacuten Esta
definicioacuten tienen precedentes en Bernard Bolzano y viene a sustituir a otras maacutes vagas que
estipulan que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusioacuten falsa Aquiacute el
67
problema estriba en el significado de la nocioacuten de posibilidad En la definicioacuten de Tarski la
dificultad se presenta en la nocioacuten de modelo iquestqueacute significa que un enunciado sea verdadero en
una estructura
El meacuterito de Tarski estaacute en haber proporcionado una definicioacuten impecable de la relacioacuten que se
da entre un enunciado y una estructura cuando el enunciado es verdadero en un estructura A la
vista de las numerosas paradojas asociadas a la nocioacuten de verdad y en general a los conceptos
semaacutenticos habiacutea razones poderosas para pensar que esa definicioacuten no se podriacutea dar Tarski era
consciente de ello y tratoacute de las paradojas y de su definicioacuten La idea baacutesica subyacente es la de
usar un procedimiento recursivo o inductivo para formalizar la idea de que un enunciado es
verdadero en una estructura cuando las cosas son en la estructura como el enunciado dice que
son el cual coincide con la nocioacuten de verdad de Aristoacuteteles ldquodecir lo que es que es y de lo que
no es que no esrdquo Tarski no obstante no se limitoacute uacutenicamente a proporcionar una definicioacuten
pues desarrolloacute asiacute mismo todos los aspectos baacutesicos de la semaacutentica creando con ello la teoriacutea
de modelos Con ella las cuestiones de axiomatizabilidad y de definibilidad empezaron a poder
ser tratadas con precisioacuten en el marco de una semaacutentica loacutegica precisa La dependencia del
caacutelculo para la presentacioacuten de la consecuencia loacutegica desaparecioacute Uno de los resultados
notorios de la teoriacutea de modelos es la eliminacioacuten de cuantificadores y la decidibilidad de la
teoriacutea del cuerpo ordenado real A diferencia de lo que ocurre con la aritmeacutetica existe un
algoritmo para decidir si un enunciado de primer orden en el lenguaje de la teoriacutea de cuerpos
ordenados es verdadero o falso en el cuerpo ordenado de los nuacutemeros reales
Ademaacutes se dice que una estructura U es un modelo de los axiomas cuando eacutestos son verdaderos
en ella verbigracia el trabajar con el algebra de los nuacutemeros reales un modelo son los propios
nuacutemeros reales aunque no el uacutenico Uno de los resultados maacutes profundos de Goumldel el
ldquoTeorema de Completudrdquo demuestra precisamente que las teoriacuteas inconsistentes no tienen
modelos o lo que es lo mismo no hablan de nada
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA
CASUALIDAD CAUSALIDAD O ldquoCAUSUALIDADrdquo
Desde que Galileo lo explicitoacute en su obra ldquoIl Saggiatorirdquo es decir El Ensayador todos los
cientiacuteficos aceptan como cuestioacuten de hecho la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre la naturaleza y
la matemaacutetica Sin embargo Galileo tuvo predecesores de su planteamiento y por supuesto
seguidores corroboradores del mismo En efecto Pitaacutegoras y sus seguidores los pitagoacutericos
68
consideraron como nuacutecleo de su dogma a los nuacutemeros naturales eacutestos constituiacutean la esencia
del Universo de todas las cosas y de cada una de ellas tanto en matemaacuteticas como en la fiacutesica
y en las ciencias experimentales y en la religioacuten El Cosmos se explicaba en teacuterminos de
ldquoarithmoacutesrdquo es decir era expresioacuten de propiedades matemaacuteticas de los nuacutemeros naturales y
sus razones
Para Pitaacutegoras ldquomathematardquo es lo que se aprende lo que se conoce Como ciencia teoacuterica es
un invento Pitogoacuterico Los miembros de su comunidad eran de dos tipos ldquomatemaacuteticos ldquo o
ldquoconocedoresrdquo y ldquoakusmaacuteticosrdquo o ldquoauditoresrdquo esto es ldquooyentesrdquo
Platoacuten epistemoloacutegicamente creiacutea en el conocimiento como reminiscencia es decir todo
conocer es recordar despertar aquello que estaacute en los seres humanos y que ya han visto en
otra vida previa Como los pitagoacutericos de quienes tomoacute muchas de sus ideas iquestplagio Platoacuten
en sus uacuteltimos diaacutelogos concretamente en el Filebo y Timeo (Platoacuten 1992) tiende a ligar
matemaacutetica y teologiacutea hasta el punto de entender que el intelecto divino estaacute
constantemente entregado a la geometriacutea la matemaacutetica de la eacutepoca y que el cuerpo y el
alma del universo estaacuten constituidos matemaacuteticamente Aristoacuteteles en su Metafiacutesica
(Aristoacuteteles 1994) dijo sobre los pitagoacutericos y los nuacutemeros lo siguiente [hellip]supusieron que las
cosas existentes son nuacutemeros pero no nuacutemeros que existen aparte sino que las cosas estaacuten
realmente compuestas de nuacutemeros es decir los elementos de los nuacutemeros son los elementos
de todos los seres existentes y la totalidad del cosmos es armoniacutea y nuacutemero [hellip] Es evidente
que los pitagoacutericos creen tambieacuten que el nuacutemero no soacutelo es el principio material de las cosas
sino tambieacuten el que constituye sus modificaciones y estados permanentes [hellip]Bacon al
respecto escribioacute en la parte 4 de su ldquoDistinctia Primardquo capiacutetulo 1 de su ldquoObra Magnardquo
(Bacon 1928) que la matemaacutetica es la llave y puerta de la ciencia en sus teacuterminos Et harum
scientarum porta et clavis est Mathematica De un modo similar Leonardo da Vinci deciacutea
ldquoNessuna humana investigazione si pio dimandara vera scienzia s`essa non passa por le
matematiche dimostrazionerdquo (Leonardo da Vinci 1452-1519)
Galileo sentildealoacute que los secretos de la naturaleza estaban escritos en el lenguaje de la
matemaacutetica resumido en italiano eacute scritto in lingua mathematica e i caratteri son triangoli
cerchi ed altre figure geometriche Dicho en sus teacuterminos La filosofiacutea estaacute escrita en este vasto
libro que continuamente se muestra a nuestros ojos (me refiero al Universo) el cual sin
embargo no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el
alfabeto en que estaacute escrito Y estaacute escrito en el lenguaje de las matemaacuteticas siendo sus
69
caracteres triaacutengulos ciacuterculos y otras figuras geomeacutetricas sin las cuales es imposible entender
una sola palabra sin ellos soacutelo se conseguiriacutea vagar por oscuros laberintos (Galilei 1623)
Y de la misma manera que tuvo predecesores Galileo tuvo en esta cuestioacuten seguidores El
padre de la teoriacutea electromagneacutetica James Clerk Maxwell (Maxwell 1862) en la Conferencia
Inaugural en el King`s College de Londres con la que tomoacute posesioacuten de su caacutetedra y publicada
poacutestumamente en 1979 (Domb 1979) fue el maacutes contundente al respecto cuando
lacoacutenicamente dijo ldquoNo podemos expresar hechos fiacutesicos salvo en forma matemaacuteticardquo Konrad
Knopp (1882-1957) en la leccioacuten inaugural del curso de la Universidad de Tuumlbingen en 1927
La matemaacutetica es la base de todo el conocimiento y el contenedor de toda la alta cultura
Einstein acerca de esta cuestioacuten sentildealoacute Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de
que la naturaleza es concrecioacuten de las ideas matemaacuteticas maacutes sencillas Sin embargo quien
mejor expresoacute esa adecuacioacuten fue el premio Nobel de Fiacutesica huacutengaro Jeacutenoacute Pagravel o en su
traduccioacuten al ingleacutes Eugene Paul Wigner (1902-1995) quien tanto hizo para formular la teoriacutea
matemaacutetica de la simetriacutea y aplicarla a problemas fiacutesicos Estas fueron sus palabras (Wigner
1960) El milagro de la idoneidad de la matemaacutetica para la formulacioacuten de las leyes fiacutesicas es
un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos Y en otro momento antildeadioacute El
lenguaje de las matemaacuteticas se revela formidablemente efectivo en las ciencias naturales [hellip]
Deberiacuteamos estar agradecidos por ello y esperamos que su validez no soacutelo persista en las
investigaciones futuras sino que se extienda para bien o para mal hasta nuestro ocio e
incluso tambieacuten a nuestro pesar acaso con amplias ramas del aprendizaje
Pues bien ldquohic et nuncrdquo esto es aquiacute y ahora se estaacute en condiciones de afirmar que dicha
idoneidad o armoniacutea preestablecida esa especie de casualidad y causalidad esto es
ldquocausualidadrdquo a partes iguales viene justificada por los hechos siguientes el Teorema de
Loumlwenheim-Skolem y la definicioacuten por von Neumann de los nuacutemeros naturales en teacuterminos
de conjuntos que se van a considerar a continuacioacuten Pero antes se estableceraacute la axiomaacutetica
de Zermelo y Fraenkel basada en la teoriacutea de Conjuntos de Cantor por ser importante para
entender la definicioacuten de von Neumann Adicionalmente como se explicitaraacute en los
resultados hay que modificar un conocido dicho de Leopoldo Kronecker
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL
En la teoriacutea de conjuntos de Cantor (Cantor 1883) es posible formar un conjunto a partir de una
propiedad determinada que deben cumplir sus elementos Es decir dada cualquier propiedad
existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifica P(a)
70
Formalmente dada T UexistV|X isin V| minus T(X)Z Asiacute por ejemplo representando lo anterior por
UX|R(X)Z considerando la foacutermula X = X se obtiene el conjunto 3 = UX|X = XZ A este
conjunto que claramente lo contiene todo no se le pueden aplicar algunos de los resultados de
Cantor ya que conducen a ciertas paradojas Consideacuterese ahora el conjunto X cuyos elementos
son aquellos conjuntos que no se pertenecen a siacute mismo Esto es el conjunto V = UX|X notin XZ
Eacuteste es tambieacuten un conjunto de ldquogran tamantildeordquo que da lugar a la paradoja de Russell siguiente Si
uno se pregunta iquestEs X un elemento de siacute mismo Pueden suceder dos casos Uno que lo sea
esto es si V isin V entonces X no satisface la condicioacuten V notin V lo que es una contradiccioacuten Dos
que no lo sea esto es V notin V entonces X satisface la condicioacuten para ser uno de sus elementos y
asiacute V isin V de nuevo una contradiccioacuten De este modo X no puede ser un elemento de siacute mismo
ni no serlo Russell y Whitehead (Whitehead 1910 1912 1913) desarrollaron la teoriacutea de tipos
para eliminar esta clase de paradojas pero a costa de una complicacioacuten tal que haciacutea muy escaso
su intereacutes
Fue Zermelo quien presentoacute una teoriacutea axiomaacutetica de conjuntos luego completada por Fraenkel
y Skolem mucho maacutes simple y comprehensiva a nivel loacutegico que lograba eliminar tanto la
paradoja de Russell como todas las demaacutes que surgiacutean tanto en el sistema de Cantor como en el
de Frege Los axiomas de la teoriacutea de Zermelo (Zermelo 1908) completada por Fraenkel
(Fraenkel 1922) son los siguientes
1) Extensionalidad forallX(X isin V harr X isin ]) rarr V = ] Es decir dos conjuntos X e Y son
ldquoigualesrdquo lo que se representa por x = y si y soacutelo siacute contienen los mismos elementos En
otros teacuterminos este axioma afirma que un conjunto estaacute determinado por su extensioacuten
esto es dando todos sus elementos
2) Conjunto vaciacuteo existemptyforallX(X isin empty) Esto es existe un conjunto representado por empty sin
elementos Y es uacutenico por el axioma de extensionalidad En efecto Si empty y emptyprime fueran dos
conjuntos vaciacuteos distintos entonces siempre verificariacutean X notin empty y X notin emptyprime para cualquier a
y por tanto tambieacuten X isin empty harr X isin emptyprime para todo a de modo que por el axioma anterior
empty = emptyprime 3) De pares forallV ]existforallX(X isin harr X = V or X = ]) O sea dados cualesquiera conjuntos X e
Y existe otro conjunto representado por U Z cuyos elementos son uacutenicamente X e Y El
conjunto U Z se denomina par desordenado de X e Y Si se aplica el conjunto de pares a
un solo conjunto X se obtiene el par U Z cuyo uacutenico elemento es obviamente x y por
ello puede representarse como U Z A este uacuteltimo conjunto puede aplicaacutersele de nuevo
el axioma de pares dando lugar al conjuntoaU Zb conjunto al cual puede asi mismo
71
aplicaacutersele el axioma de pares obtenieacutendose el conjunto caU Zbd y asiacute sucesivamente
Este proceso de construccioacuten de conjuntos que fue el que siguioacute von Neumann puede
aplicarse al uacutenico conjunto dado y conocido expliacutecitamente empty obtenieacutendose una serie
infinita de conjuntos empty UemptyZ aUemptyZb hellip
4) Unioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr exist( isin V and X isin )) En otros teacuterminos dada cualquier
coleccioacuten o conjunto de conjuntos C existe un conjunto representado por cup N y
denominado ldquounioacuten de Crdquo que contiene todos los elementos de cada conjunto de C
5) Conjunto Potencia forallVexist]forall( isin ] harr forallX(X isin rarr X isin V)) Lo que viene a decir es que
para cualquier conjunto X existe otro conjunto representado por f(V) y denominado
conjunto de las partes de X que contiene todos los subconjuntos de X
6) Esquema axiomaacutetico de especificacioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr X isin V and ((X)) En otras
palabras sea ((or) una foacutermula de un lenguaje de primer orden que contenga una
variable libre or Entonces para cualquier conjunto X existe un conjunto Y cuyos elementos
son aquellos elementos a de X que cumplen φ(a)
7) Esquema axiomaacutetico de reemplazo Este axioma debido a Fraenkel puede expresarse
como sigue Si forallVforall]forallexist or (V isinorand ((V ]) and (((V ) rarr ] = )) entonces existgforall](] ising harr existV(V isinorand ((V ]))) De otro modo si ( (a b) es una sentencia tal que para
cualquier elemento a de un conjunto X el conjunto Y es igual Uh|(((X h)Z y existe
entonces existe una funcioacuten i rarr tal que i(X) = Es decir si or es un conjunto y que
i es una foacutermula con dos variable libres X e Y tales que para cada V isinor existe un uacutenico Y
tal que i(V ]) se cumple entonces existe un conjunto W tal que ] isin g si y soacutelo si
i(V ])
8) Infinitud existV(empty isin V and forall(] isin V rarr ] cup U]Z isin V)) O sea existe un conjunto X tal que el
vaciacuteo empty isin V y tal que si ] isin V entonces ] cup U]Z isin V Este axioma introducido en 1908
por Zermelo permite la obtencioacuten de nuacutemeros naturales como conjuntos dentro de ZF
9) Regularidad o de fundacioacuten forallV(V ne empty rarr exist](] isin V and forall( isin ] rarr ] notin V))) Esto es
para todo conjunto no vaciacuteo X existe un conjunto ] isin V tal que V cap ] = empty Esta
formulacioacuten la dio Zermelo en 1930 Von Neumann en 1929 presentoacute un axioma
equivalente pero maacutes complicado Este axioma prohiacutebe la existencia de (a) Conjuntos
extrantildeos tales como los que cumplan V isin V o V isin ] andisin V (b) La existencia de cadenas
descendentes infinitas hellip isin V isin V isin V Si se excluye este axioma la teoriacutea de conjuntos
resultante recibe el nombre de ldquoTeoriacutea de Conjuntos no bien fundadosrdquo
72
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM
Teorema de Loumlwenheim-Skolem Como es maacutes que sabido la aritmeacutetica estaacute en la base de
toda la matemaacutetica maacutes auacuten de hecho el alcance de la aritmeacutetica va mucho maacutes allaacute de lo
que es la teoriacutea de nuacutemeros y el caacutelculo y sus proyecciones la estadiacutestica el caacutelculo de
variaciones la teoriacutea de grafos y autoacutematas el algebra etc En efecto seguacuten el extraordinario
pero en palabras de Atkins (Atkins 2003) ldquocapcioso teoremitardquo demostrado por primera vez
por el matemaacutetico alemaacuten Leopold Loumlwenheim (1878-1957) en 1915 (Loumlwenheim 1915) y
mejorado por el noruego Albert Thoraf Skolem (1887-1963) en 1920 (Skolem 1920) un
sistema de reglas como las de la aritmeacutetica emulan cualquier campo del conocimiento que
pueda formalizarse seguacuten un conjunto de axiomas Como lo sentildealoacute Atkins se podriacutea haber
aligerado el tedio de aprender a extraer raiacuteces cuadradas y hacer largas divisiones si nos
hubieran dicho en el colegio que seguacuten el ldquoteorema de Loumlwenheim-Skolemrdquo en realidad se
estaba imitando el proceso de extraer conclusiones de la mecaacutenica cuaacutentica la seleccioacuten
natural y la jurisprudencia en la medida en que estas ramas del conocimiento pueden
expresarse como axiomas Dicho teorema puede enunciarse como sigue
Teorema ldquoToda teoriacutea basada en un lenguaje L de primer orden tiene un modelo numerablerdquo
En otros teacuterminos ldquotoda la teoriacutea satisfacible es satisfacible en un universo numerablerdquo
Demostracioacuten
Como consecuencia inmediata del corolario que dice ldquotoda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una
teoriacutea θ es un modelo de θ y de ser numerable el conjunto T de los teacuterminosrdquo En efecto para
demostrar que toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ es un modelo de θ basta
considerar lo siguiente o isin p rArr o(or ( ) hellip or ( q) q) isin p por la regla loacutegica de
sustitucioacuten simultaacutenea r
r(st utfrasl hellipsw)uw) que a su vez se obtiene por aplicacioacuten reiterada de la
ldquoregla de sustitucioacutenrdquo oo(x ) cuya derivacioacuten es
1 α (Hipoacutetesis) 2 and r (Regla de Generalizacioacuten) (1) 3 ((ℸo )(x ) rarror ℸo) (Axioma 4 (o(x ) rarror r) 4 (ℸo(x ) rarr ℸ and o) (3) 5 (and o rarr o(x )) (Regla primera de contraposicioacuten) (4) 6 o(x ) (Regla de separacioacuten) (2) (5)
73
Y por el teorema que dice ldquoPara toda teoriacutea θ el conjunto Fθ con la relacioacuten ltn es un aacutelgebra
de Boole Una clase |o| es el elemento supremo si y soacutelo si αisin θrdquo
Demostracioacuten
Como faacutecilmente puede comprobarse
a) La relacioacuten ltn es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva esto es relacioacuten de orden
b) El par Fθ αθ es un retiacuteculo
c) El retiacuteculo tiene como elemento supremo la clase de todas las foacutermulas de θ y como
elemento iacutenfimo la clase de todas las foacutermulas refutables en θ
d) El retiacuteculo es distributivo
e) El retiacuteculo es complementario
Lo que rArr |o(or ( ) hellip or ( q) q| =n 1
ldquoInterpretacioacuten Canoacutenicardquo Teorema de Skolem
Definicioacuten Sea θ una teoriacutea nabla un Q-filtro en A(θ) y hnabla el homomorfismo engendrado por nabla
Entonces se denominaraacute interpretacioacuten canoacutenica de la teoriacutea θ a toda interpretacioacuten Gnablan en el
conjunto T definida por
A) Gnablan (f
~)(τ hellip τ~) = f~τ hellip τ~ forall f
~ ϵ Φ
B) Gnablan (P
~)(τ hellip τ~) = ℎnabla (P
~τ hellip τ~) forall P~ ϵ π
Teorema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ y toda foacutermula α con las
variables libres x1 hellip xn se verifica que onabla(or) = ℎnabla(|o(or ( ) hellip or ( q) q)|)
Demostracioacuten
Lema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan todo teacutermino τ y toda valoracioacuten v se verifica que
xnabla(or) = x(or ( ) hellip or ( q) q)
donde x1 hellip xn son todas las variables que aparecen en x
74
En efecto
Si τ=x entonces xnabla(or) =or ( ) = x(or ( ) )
Si τ = f~ τ hellip τ~ entonces xnabla
(or) = Gnablan(f
~)(xnabla(or) hellip x5nabla
(or) porque x() =
G(f~(τ(v) hellip τ~ (v)) τ = f
~τ τ hellip τ~ entonces τ(v) = I(f~)(τ(v) hellip τ~ (v))
= f~ x
(or) hellip x5nabla(or) y por la hipoacutetesis de induccioacuten
= f~ x(or ( ) hellip or ( q q) hellip xq(or ( ) hellip or ( q) q
= x(or ( ) hellip or ( q)| q| QED
Ahora soacutelo falta para completar la demostracioacuten definir lo que es un filtro
Definicioacuten Un subconjunto no vaciacuteo nabla de un algebra de Boole A es un filtro si para elementos
cualesquiera a b isin A se verifica que X cap h isin nablahArr (X isin nabla h isin nabla)
Sea ahora h la aplicacioacuten canoacutenica de A en |nabla (el conjunto cociente engendrado por la
relacioacuten de equivalencia sobre A sim) que hace corresponder a cada elemento su clase de
equivalencia entonces se puede establecer el siguiente
Teorema La aplicacioacuten h es un homomorfismo respecto a las operaciones cup cap minus rarr es
decir
a) ℎ( cup ) = ℎ( ) cup ℎ()
b) ℎ( cap ) = ℎ( ) cap ℎ()
c) ℎ( ) = ℎ( )
d) ℎ( ⟶ ) = ℎ( ) ⟶ ℎ()
Para todo elemento xisinA se verifica que ℎ( ) = |1| hArr isin nabla
Demostracioacuten
A) Es consecuencia inmediata de
75
o) |X| cup |h| = |X cup h|
) |X| cap |h| = |X| cap h = X cup h = |X cap h|
) |X| = |X|
) |X| ^ |h| = |X| cup |h| = |X cup h| = |X ^ h|
B) ℎ( ) = |1| hArr | | = |1| hArr ~1 1 cup isin nabla y x cup 1 isin nabla hArr isin nabla 1 isin
nablahArr isinnabla
Finalmente sentildealar que esta demostracioacuten es una presentacioacuten ldquopropiardquo Estaacute basada soacutelo en
cuatro axiomas y dos reglas provenientes de Church (Church 1956) y Shoenfield (Shoenfield
1967) La presentacioacuten es una simplificacioacuten del trabajo de Prida (Prida 1973) que a su vez
mejora la prueba sobresaliente por su sencillez de Rasiowa y Sikorski (Rasiowa 1950) Dicho
trabajo sobre todo evita en la artificiosidad de deducciones formales haciendo uso
sistemaacutetico del teorema de deduccioacuten para obtener reglas derivadas Y su esquema
metodoloacutegico analiacutetico y retroductivo esto es deductivo hacia atraacutes viene dado en la figura
III1
Figura III1 Esquema retroductivo de la demostracioacuten del teorema de Loumlwenheim-Skolen
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO
DEFINICIOacuteN DE NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN
Seguacuten Cantor (Cantor 2006) los ldquonuacutemeros ordinalesrdquo son los tipos de orden de los conjuntos
bien ordenados Se dice que un conjunto X dotado con una relacioacuten R (reflexiva antisimeacutetrica
76
y transitiva) es un ldquobuen ordenrdquo o que el conjunto X estaacute ldquobien ordenadordquo si todo
subconjunto no vaciacuteo sub V tiene un miacutenimo Es decir se dice que X es el miacutenimo de sub V si
X isin y X forall isin Esto implica que el orden es total ya que dados dos elementos distintos
x e y la existencia de un miacutenimo del conjunto xy fuerza que uno de ellos sea anterior al otro
y por lo tanto que esteacuten relacionados Los nuacutemeros ordinales estaacuten asociados precisamente a
los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados De igual manera que los cardinales lo
estaacuten a la relacioacuten de equipotencia de conjuntos
Ahora bien hay que tener en cuidado con la afirmacioacuten de Cantor porque la clase de los
conjuntos bien ordenados no es un conjunto tampoco lo es la de los que tienen el mismo tipo
que un conjunto bien ordenado fijado de antemano lo que dariacutea lugar a otra versioacuten de la
paradoja de Russell de seguir por ese camino Sin embargo John von Neumann tuvo la genial
idea de definir los ordinales escogiendo adecuadamente un elemento en cada clase de
equivalencia como sigue Un conjunto α es un ldquonuacutemero ordinalrdquo o simplemente un ldquoordinalrdquo
si tiene las propiedades siguientes
1) Si isin α entonces sub α
2) ( isin α ) and ( isin α ) rArr ( = ) or ( isin ) or ( isin )
3) Si empty ne sub α entonces existe isin tal que cap ne empty
Obseacutervese que si en (3) (α) se toma A= α entonces
( isin ) and ( cap ne empty) rArr = empty
Luego todo ordinal x distinto del vaciacuteo contiene al vaciacuteo como elemento Janos von
Neumann entonces un jovencito de veinte antildeos preparaba su muy innovadora tesis
conteniendo un nuevo sistema axiomaacutetico para la teoriacutea de conjuntos distinto del de Ernst
Zermelo antiguo ayudante de Max Planck en Berliacuten (Zermelo 1908) En 1923 la seccioacuten
cientiacutefico matemaacutetica de las ldquoActa Litterarum ac Scientiarumrdquo de la Universidad Regia de
Fracisco Joseacute en Hungriacutea publicaba en alemaacuten su artiacuteculo ldquoSobre la introduccioacuten de los
nuacutemeros transfinitosrdquo (von Neumann 1923) La novedad del trabajo de von Neumann fue
establecer un modo de incorporar la idea cantoriana de los nuacutemeros ordinales directamente
sobre la uacutenica base de los axiomas de la teoriacutea de conjuntos En dicho artiacuteculo presentaba la
cuestioacuten al margen de sistemas axiomaacuteticos desde un punto de vista ldquoingenuordquo Sin embargo
era muy consciente de que la importancia del asunto estribaba en su aplicabilidad a dichos
sistemas tanto al de Zermelo-Fraenkel como al original sistema nuevo en el que entonces
trabajaba iquestCuaacutel era la idea clave
77
Cantor en su momento habiacutea llamado la atencioacuten sobre el hecho de que si se toma el 0
como primer nuacutemero de la serie de los ordinales cada ordinal representa el ldquotipo de ordenrdquo
del conjunto de los ordinales que le preceden α es el ordinal de U lt oZ considerado en su
orden natural de magnitud Por ejemplo w+1 es el ordinal de 1 2 3 hellip w Por otra parte
Zermelo habiacutea identificado los nuacutemeros naturales con los conjuntos empty UemptyZ aUemptyZbhellip
Evidentemente con esto no quiere decirse que el nuacutemero 1 es ldquorealmenterdquo el conjunto empty
idea que soacutelo cabriacutea calificar de tonteriacutea Lo que ocurre es que la operacioacuten X ^ UXZ tiene las
propiedades de la funcioacuten sucesor y por consiguiente ldquopuederdquo a los efectos del trabajo
axiomaacutetico identificarse con la funcioacuten sucesor
Pues bien considerando las dos ideas la de Cantor y la de Zermelo conjuntamente surge la
ingeniosa idea de von Neumann En efecto partiendo del ordinal 0 identificando ldquoa la
Zermelordquo con empty y considerando porque asiacute se decide que cada ordinal es el conjunto de
todos los que le preceden uno se ve llevado a la sucesioacuten
0 = empty
1 = UemptyZ
2 = Uempty UemptyZZ
3 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ
helliphelliphelliphellip
w = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ
w+1 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ hellip w
helliphelliphelliphelliphellip
La pequentildea modificacioacuten de von Neumann tiene efectos muy deseables dentro del artificioso
orden axiomaacutetico de las cosas los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien
ordenados siendo su relacioacuten ordenada la simple pertenencia conjuntista ∊ y cada ordinal α
es a su vez un conjunto bien ordenado de tipo α o sea un representante de toda una clase
de conjuntos Conviene antildeadir aquiacute y resaltar que los ordinales de von Neumann habiacutean sido
prefigurados ya unos antildeos antes por el propio Zermelo en trabajos de alrededor de 1915 que
quedaron ineacuteditos y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirimanoff en 1917 (Mirimanoff
1917) (Mirimanoff 1917-1944) A partir de ahiacute lo que se tiene ya no son los viejos nuacutemeros
ordinales de Cantor que eacuteste insistiacutea en concebir como ldquoconceptosrdquo bajo los que ldquocaenrdquo los
distintos tipos de conjuntos bien ordenados Ante lo que se estaacute ahora es frente a los
ldquoordinalesrdquo de la teoriacutea de conjuntos axiomaacutetica a menudo denominados en su honor
ordinales de von Neumann Eacutestos no son otra cosa que conjuntos cuya existencia viene
78
garantizada en cada caso por los axiomas de la teoriacutea especialmente adecuados para
representar al concepto de Cantor por las razones acabadas de indicar
Todo lo anterior lo explicitoacute el propio von Neumann en una carta fechada en Budapest a 15
de agosto de 1923 en la que informaba a Zermelo de las ideas que estaba desarrollando para
su tesis Bueno para ser precisos para una de las dos tesis doctorales que presentariacutea en 1925
La otra en el campo de la ingenieriacutea quiacutemica en la que se habiacutea graduado En ella despueacutes de
exponer el objeto de su trabajo que se basa en los ldquofundamentos de la teoriacutea de conjuntosrdquo de
Zermelo y sentildealar los puntos en los que se separa de eacutel indica los puntos que resultan
ldquonuevosrdquo siguientes
1 La teoriacutea de los nuacutemeros ordinales (parte dos capiacutetulo dos)
He logrado establecer los nuacutemeros ordinales sobre la uacutenica base de los axiomas
de la teoriacutea de conjuntos La idea baacutesica es la siguiente Cada nuacutemero ordinal es
el conjunto de todos los precedentes De modo que (poniendo 0 para el
conjunto vaciacuteo)
0 = 0
1 = 0
2 = 0 0
3 = 0 0 0 0
helliphelliphelliphellip
W = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
W+1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
helliphelliphelliphelliphellip
(Para los nuacutemeros positivos finitos la regla dice pues x+1 = x+x) Esta teoriacutea
tiene sentido tambieacuten dentro de la ldquoteoriacutea de conjuntos ingenuardquo (Tratada
ingenuamente apareceraacute pronto en la revista de la Universidad de
Szegedin)[hellip]
Los otros dos puntos que aquiacute no se explican completan la misiva
Por otra parte es faacutecil demostrar usando el ldquoaxiomardquo de pares que si x es un ordinal entonces
el conjunto cup U Z es tambieacuten un ordinal que seraacute designado por x+1 Por ejemplo el ordinal
0 es simplemente el conjunto vaciacuteo Oslash
0 = Oslash
79
1 = Oslash = 0
2 = Oslash Oslash = 01
3= Oslash OslashOslash Oslash = 012
n+1 = 012hellipn
En otras palabras cada ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a eacutel Tambieacuten en el
caso no finito
w = ℕ
w+1 = ℕℕ = ww
w+2 = ℕℕ ℕℕ = w w+1 hellip
De este modo aparecen los nuacutemeros ordinales en su versioacuten ordinal 1 (uno) primero 2(dos)
segundo 11(once) undeacutecimo 1999 (mil novecientos noventa y nueve) mileacutesimo
noningenteacutesimo nonageacutesimononohellip Mencioacuten aparte merece el cero del que se carece de una
denominacioacuten propiamente ordinal Se suele empezar a contar a partir del uno pero en
matemaacuteticas y tambieacuten en la cronologiacutea como puso de evidencia la poleacutemica sobre el antildeo de
inicio del nuevo milenio a veces resulta conveniente empezar contando por el cero Entonces
el cardinal del conjunto hay que obtenerlo sumando uno al uacuteltimo ordinal adjudicado a sus
elementos Esta carencia de un teacutermino apropiado para designar al ordinal cero es comuacuten a la
mayoriacutea de todos los idiomas Hubo un torero Rafael Guerra ldquoGuerritardquo quien preguntado
por el escalafoacuten de su profesioacuten respondioacute ldquodempueacutes de miacute naide y dempueacutes de naide el
Fuentesrdquo ldquoNaiderdquo o quizaacutes mejor ldquonaiderordquo podriacutea muy bien designar el cero ordinal en
espantildeol de acuerdo con la propuesta de Antonio Coacuterdoba (Coacuterdoba 2006)
El concepto de nuacutemero es el maacutes baacutesico y fundamental en el mundo de las ciencias y en
particular en el de la matemaacutetica Sin embargo una respuesta satisfactoria a lo que es un
nuacutemero soacutelo se alcanzoacute en 1884 por el fundador de la loacutegica matemaacutetica Gottlob Frege (Frege
1884) Dicha respuesta permanecioacute incoacutegnita hasta que Bertrand Russell en su intento de
fundamentar toda la matemaacutetica en teacuterminos del concepto de conjunto redescubrioacute el
concepto de nuacutemero Pero fue como acaba de verse von Neuman (von Neumann 1923)
quien propuso la tal vez maacutes maravillosa y simple construccioacuten de toda la matemaacutetica y de
las ciencias la definicioacuten de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos iexcliexcliexcla partir del
conjunto vaciacuteo En efecto von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean
obtenerse a partir del conjunto vaciacuteo en notacioacuten conjuntista Oslash mediante operaciones
mentales como sigue
80
Oslash =
1 = Oslash =
2 = Oslash 1 =
3 = 0 1 2 =
4 = 0 1 2 =
hellip
Esta construccioacuten muestra ademaacutes por queacute verbigracia 1 es menor que 2 o en general
porque dados los nuacutemeros a y b o altb o blta Este esquema tiene otras muchas propiedades
Sin embargo el uacutenico defecto del esquema es que es un artificio de construccioacuten y no dice queacute
es un nuacutemero excepto en teacuterminos de la construccioacuten Por ejemplo o Oslash es el conjunto
vaciacuteo 1 el conjunto constando del conjunto vaciacuteo 2 es el conjunto cuyos elementos son el
conjunto vaciacuteo y el conjunto constando del conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente Esto lleva a
que para entender el esquema habriacutea que remitirse al concepto integrado en eacutel a saber la
teoriacutea de conceptos de Frege Y ello deberiacutea explicar por queacute von Neumann eligioacute el conjunto
vaciacuteo para representar el cero
Esta construccioacuten estaacutendar de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos es elegante y
potente En efecto para llevarla a cabo se comienza con el conjunto vaciacuteo Oslash y se define el
nuacutemero natural n para que sea la cardinalidad del conjunto Sn(Oslash) siendo S(a) la funcioacuten
sucesor definida por S(a) = acupa para cada conjunto a denotando el superiacutendice la
composicioacuten repetida Expliacutecitamente
1) 0 = S0(Oslash) = Oslash
2) 1 = S1(Oslash) = Oslash
3) 2 = S2(Oslash) = OslashOslash
4) 3 = S3(Oslash) = OslashOslashOslash Oslash
5) 4 = S4(Oslash) = OslashOslashOslash OslashOslashOslashOslashOslash
hellip
Esta construccioacuten es
a) Elegante pues soacutelo usa tres siacutembolos literales a saber Oslash y e incluso con la simbologiacutea
de von Neumann se reduciriacutean a dos los corchetes Es decir es de lo maacutes simple y en
consecuencia como es suficientemente expresiva es elegante
81
b) Potente pues soacutelo usa la recursioacuten simple S(a) = acupa para construir infinitos nuacutemeros
Haacutegase ahora una disgresioacuten filosoacutefica-metafiacutesica de la construccioacuten loacutegico matemaacutetica de von
Neumann De los tres elementos de la construccioacuten Oslash estaacute definitivamente conectado con la
vaciedad y la ldquonadardquo una caracteriacutestica muy baacutesica del Universo Los otros dos siacutembolos los
corchetes de apertura ldquoldquo y cierre ldquordquo estaacuten a su vez a fin de cuentas conectados con las
propiedades de consciencia separacioacuten y clase En un sentido el primer paso de la creacioacuten
es la consciencia o el ldquoreconocimiento de la vasta vaciedad del espaciordquo Tan pronto como
esto sucede la vaciedad se ldquoseparardquo en ldquoalgordquo lo que ha percibido la vaciedad y la propia
vaciedad Tan pronto como se tienen dos cosas se crea un liacutemite el tercer elemento La
secuencia es asiacute
1) Vaciacuteo = Oslash = 0
2) Dios ldquoYo me percato de que existe el vaciacuteordquo (Oslash = 1)
3) Dios ldquoPor lo tanto todo lo que existe por ahora es el ldquoVaciacuteo y Yordquo (Oslash Oslash = 2)
Noacutetese sin embargo que la cardinalidad del conjunto Oslash Oslash = 2 no estaacute incluida en el
Universo de Dios (2 notin U01Z) por consiguiente ello implica una ldquoexistenciardquo separada de la
de 0 y 1 Esta existenciaconsciencia que corresponde a percibir 2 como un todo o si se
quiere la consciencia de que El 2 es ldquoEl Primogeacutenitordquo A continuacioacuten El ldquoPrimogeacutenitordquo
similarmente reivindica lo siguiente ldquoTodo lo que existe hasta ahora es el Vaciacuteo Dios y Yo
(Oslash Oslash Oslash Oslash = 3) Pero de nuevo iexclla cardinalidad del uacuteltimo no estaacute incluido en el
Universo previo Y lo mismo sucede con cada nueva cardinalidad De este modo una vez que
Dios finaliza el paso 3 anterior se produce una explosioacuten o por mejor decir una reaccioacuten en
cadena de existencias la cual genera la primera jerarquiacutea infinita en la existencia el primer Big
Bang iexclLa creacioacuten de los nuacutemeros naturales iexcliexcliexcl Extraordinario iexcliexcliexcl Fabuloso iexcliexcliexcl
Tremendo
A su vez los nuacutemeros naturales se percatan de que su existencia implica la existencia de los
negativos De este modo se crean los enteros Eacutestos a su vez se dan cuenta de que su
existencia implica la existencia de los racionales y asiacute sucesivamente se van creando los
irracionales luego los reales a continuacioacuten los complejos los quaterniones ldquooctonionesrdquo
ldquosedenionesrdquo espacios vectoriales campos aacutelgebras variedades etc Es decir se establece la
existencia de las matemaacuteticas y su reino es sobre el que se asientan los demaacutes reinos El resto
es historia En resumen de esta manera la construccioacuten total estaacute asiacute en uacuteltima instancia
relacionada a tres nuacutemeros 0 1 2 y por lo tanto a la base 3 y el nuacutemero 3 Por consiguiente
estos tres nuacutemeros o si se quiere el 1 2 3 forman el ldquoarquetipordquo sobre el que se basa la
82
realidad Es decir si se denomina V al vaciacuteo D a Dios y P al ldquoPrimogeacutenitordquo la secuencia
anterior se representa graacuteficamente mediante la figura III2
Figura III2 Nacimiento Secuencial de Todo a partir de VD=S(V) P=S(D) 3=S(P) 4=S(3) hellip
En suma von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean ser obtenidos por
emergencia en ingleacutes ldquobootstrapped outrdquo a partir del conjunto vaciacuteo mediante operaciones
mentales como sigue La mente observa el conjunto vaciacuteo El acto de observacioacuten de la mente
provoca la aparicioacuten de otro conjunto el conjunto de los conjuntos vaciacuteos El conjunto de los
conjuntos vaciacuteos obviamente no es vaciacuteo porque contiene una ldquono cosardquo el conjunto vaciacuteo
De este modo la mente genera el nuacutemero 1 al producir un conjunto conteniendo el conjunto
vaciacuteo Del hecho de que soacutelo dos cifras basten para representar todos los nuacutemeros en el
sistema binario Leibniz pretendioacute deducir la existencia de Dios Parafraseando al Geacutenesis y a
propoacutesito del Sistema binario del que se autoproclamoacute autor escribioacute ldquoEx nihilo unum omnia
ducitrdquo (Como se comentaraacute en los resultados y es otra ldquoaportacioacutenrdquo de este trabajo Leibniz
ldquofusiloacuterdquo inmisericorde a un espantildeol Caramuel) A continuacioacuten la mente percibe el conjunto
vaciacuteo y al conjunto que contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute hay dos ldquono cosasrdquo Con ello la mente
genera el nuacutemero 2 a partir del vaciacuteo y asiacute sucesivamente Con lo que es posible establecer lo
siguiente
A) Los nuacutemeros tienen causas Son eacutestas los algoritmos que efectuacutean las operaciones
sobre los conjuntos
83
B) Los nuacutemeros tienen partes y aspectos El nuacutemero 1 se define como el conjunto que
contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente
C) Y en el anaacutelisis final el sistema de nuacutemeros enteros ha sido generado por el fuego de
la mente sobre el vaciacuteo en la completa ausencia de la necesidad de referirse a cualquier
cosa material o cosas que estaacuten siendo contadas
Los nuacutemeros no son fenoacutemenos fiacutesicos y no necesitan hacer referencia alguna a sistemas
fiacutesicos para su existencia Pero siacute son entidades inherentemente existentes de la realidad
platoacutenica Los nuacutemeros son manifestaciones dependientemente relacionadas con el trabajo de
la mente
La irrazonable efectividad de las matemaacuteticas en la ciencia y en la ingenieriacutea era algo
misterioso De acuerdo con la visioacuten fisicalista del mundo la mente incluyendo las mentes de
los matemaacuteticos es un epifenoacutemeno de la materia que ha evolucionado uacutenicamente para
asegurar la supervivencia del gen egoiacutesta que la codifica iquestPor queacute deberiacutea este fenoacutemeno de
ldquoalto nivelrdquo tener tal acceso iacutentimo a fenoacutemenos de ldquobajo nivelrdquo tal como la fiacutesica cuaacutentica
Despueacutes de todo los dos niveles estaacuten seguacuten cabe suponer separados por meros bien
entendidos en algunos casos capas explicativas tales como psicologiacutea evolutiva neurologiacutea
biologiacutea celular geneacutetica biologiacutea molecular o quiacutemica
Un aspecto interesante del fenoacutemeno de la emergencia son las diferentes y distintas
relaciones causales y organizativas que aparecen en los diferentes niveles de investigacioacuten
Por ejemplo la ecologiacutea emerge de la biologiacutea eacutesta lo hace de la quiacutemica que a su vez
emerge de la fiacutesica que emerge de la matemaacutetica quien por uacuteltimo emerge de la mente
contemplando el conjunto vaciacuteo Cada nivel de investigacioacuten tiene sus propias relaciones
explicatorias sin embargo si se comprueba cuidadosamente no se antildeade nada extra
procedente de la parte de los objetos Todo es algoriacutetmicamente comprensible sin resto no
hay ingredientes misteriosos antildeadidos cuando se progresa desde los niveles bajos a los maacutes
altos
Si a esto se antildeade que de acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem toda teoriacutea basada
en un lenguaje L esto es toda teoriacutea axiomaacutetica y las teoriacuteas cientiacuteficas lo son tiene un
modelo numerable ya estaacute justificada la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre matemaacutetica y teoriacuteas
cientiacuteficas QED
84
Como corolario a lo que acaba de mostrarse y demostrarse es claro que Leopoldo Kronecker
(1823-1891) teniacutea parte de razoacuten cuando expresando su conviccioacuten dijo en el libro 2 de
ldquoJahresberichte der Deutschen Mathematiker Vercinigungrdquo y cita Florian Cajori (Cajori 1919)
Die ganze zahe schuf der liebe Gott alles Uumlbrige ist Menschenwerk En espantildeol Dios creoacute los
nuacutemeros enteros la humanidad hizo el resto Sin embargo visto lo anterior Kronecker
empezoacute en el tercer escaloacuten saltaacutendose la creacioacuten de los enteros a partir de los naturales y
eacutestos a partir del vaciacuteo
Y de este modo por decirlo con versos del escritor gallego Joseacute Aacutengel Valente (Valente 1999)
Y todas las cosas para llegar a ser se miran
En el vaciacuteo espejo de su nada
O estos otros (Valente 2000)
ldquoDijo Dios sea la Nada
Y alzoacute su mano derecha
Hasta ocultar la mirada
Y la nada quedo hechardquo
El poeta y matemaacutetico persa Omar Khayyam de los siglos XI y XII que resolvioacute por meacutetodos
geomeacutetricos la ecuacioacuten cuacutebica en poesiacutea con sus ldquoRubaacuteijaacutetrdquo (plural de ldquorobaiacuterdquo estrofa de
cuatro versos dodecasiacutelabos en la que libra el tercero y riman los otros tres) tan socorridos
en otros aacutembitos tambieacuten habla del vaciacuteo y la nada como sucede con el XXVI que dice
(Khayyam 1914)
ldquoEl mundo inabarcable una mota de polvo en el vaciacuteo
Toda la ciencia del hombre palabras
Los pueblos las bestias y las flores de los siete climas sombras
El fruto de tu constante meditacioacuten la nadardquo
O el XXXVIII
ldquoSuentildeo sobre la tierra Suentildeo bajo la tierra
Sobre la tierra y bajo la tierra cuerpos que yacen
Por doquier la nada Desierto de la nada
Seres que llegan seres que se vanrdquo
O este otro el CIII
ldquoEsta es la uacutenica certeza peones somos
85
De la misteriosa partida de ajedrez que juega Dios
Nos mueve nos detiene nos levanta y nos arroja despueacutes
Uno a uno al abismo de la Nadardquo
De un modo similar se refiere a la proposicioacuten de Emily Dickinson en forma de versos
ldquoYo no soy nadie
iquestQuieacuten eres tuacute
iquestTampoco eres nadie
iexclYa somos dos
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN
III31 INTRODUCCIOacuteN
El teacutermino ldquocurryingrdquo fue acuntildeado por Christopher Strachey en 1967 en honor del loacutegico y
matemaacutetico Haskell Brooks Curry nacido el 12 de septiembre de 1900 en Millis Massachusets
y fallecido en State College Pensilvania el 1 de Septiembre de 1982 Curry que estudioacute en la
Universidad de Harvard recibioacute su grado de Doctor en 1930 por la Universidad Goumltingen en
esa eacutepoca el ldquoVaticanordquo de la Matemaacutetica y cuyo director fue el Papa de la Matemaacutetica David
Hilbert Profesor en Harvard y Princeton de 1929 a 1966 tambieacuten lo fue de la Pensilvania State
University Finalmente a partir de 1966 fue profesor de matemaacuteticas en la Universidad van
Amsterdam Curry en 1942 publicoacute la paradoja de su nombre y en 1963 culminoacute sus
ensentildeanzas en el aacuterea de la loacutegica matemaacutetica con la publicacioacuten de su libro ldquoFoundations of
Mathematical Logicrdquo (Curry 1963) Sus preferencias en filosofiacutea de la matemaacutetica fue el
formalismo (Curry 1951) siguiendo a su mentor Hilbert sin embargo sus escritos muestran
una curiosidad filosoacutefica sustancial y una mente muy abierta hacia el intuicionismo La fama le
sobrevino por sus trabajos sobre loacutegica combinatoria (Curry 1958) (Curry 1972) donde
fundamenta la programacioacuten funcional En efecto durante su estancia en Goumlttingen leyoacute la
versioacuten publicada de una leccioacuten dada por Moiseacutes Schoumlnfinkel en 1920 en la que introduciacutea la
loacutegica combinatoria lo que constituyoacute un acontecimiento decisivo para su carrera Despueacutes de
esto trabajoacute en su tesis doctoral sobre programacioacuten loacutegica tema que no abandonoacute en todo
el resto de su vida y del que llegoacute a ser el fundador y maacutes conspicuo representante Pues bien
la loacutegica combinatoria es la base de la programacioacuten funcional El poder y alcance de la loacutegica
combinatoria es bastante similar al del ldquolambda calculusrdquo o ldquoλ-caacutelculordquo de Alonzo Church
(Church 1936) aunque eacuteste uacuteltimo ha tenido maacutes predicamento durante las uacuteltimas deacutecadas
86
Con todo la importancia final de la ldquoloacutegica-combinatoriardquo tal y como lo muestra este trabajo
auacuten estaacute por dilucidar Una visioacuten comprehensiva sobre la misma la proporciona el libro a eacutel
dedicado que incluye un ensayo bibliograacutefico sobre Curry (Seldin 1980) Con todo Curry tuvo
antecesores Frege y Schoumlfinkel
Frege en 1893 observoacute por primera vez que bastaba restringir la atencioacuten a funciones de un
solo argumento Por ejemplo para cualquier funcioacuten de dos paraacutemetros f(xy) hay una funcioacuten
de un paraacutemetro facute tal que facute(x) es una funcioacuten que puede aplicarse a y para dar
(facute(x))(y)=f(xy) Esto se corresponde al bien conocido hecho de que los conjuntos ( times C rarrN) y ( rarr (C rarr N)) son isomorfos donde x representa el producto cartesiano y ldquorarrrdquo es el
espacio de la funcioacuten En otros teacuterminos dada una funcioacuten f del tipo i(V times ]) rarr entonces
ldquocurryficarlardquo la convierte en una funcioacuten ldquocurryrdquo (i) V rarr (] rarr ) Es decir ldquocurryrdquo (i)
toma un argumento de tipo X y devuelve una funcioacuten del tipo YrarrZ Intuitivamente
ldquocurryficarrdquo dice ldquoSi se fijan algunos argumentos se obtiene una funcioacuten de los restantes
argumentosrdquo Por ejemplo si la funcioacuten ldquodivrdquo representa la forma ldquocurryficadardquo de la
operacioacuten divisioacuten xy entonces div con el paraacutemetro x fijado en 1 es otra funcioacuten la misma
que la funcioacuten ldquoinvrdquo que devuelve el inverso multiplicativo de su argumento definida por
ldquoinv(y)=1yrdquo La motivacioacuten praacutectica para la ldquocurryficacioacutenrdquo es que muy frecuentemente las
funciones obtenidas por proporcionar algunos pero no todos los argumentos a una funcioacuten
ldquocurryficadardquo es muy uacutetil La operacioacuten inversa de la ldquocurryficacioacutenrdquo se denomina poco
imaginativamente ldquodescurryficacioacutenrdquo y funciona como sigue dada la funcioacuten
ldquocurryficarrdquo sect(X h) rarr umlcopy rarr (X rarr h rarr uml)
La inversa es
ldquodescurryficarrdquo (X rarr h rarr uml) rarr ((X h) rarr uml)
Aparentemente Frege no continuoacute su idea original Pues fue Schoumlfinkel quien la retomoacute junto
con el resultado de que todas las funciones que tienen que tratar con estructuras de
funciones es decir los funcionales pueden construirse con soacutelo dos ldquocombinadoresrdquo baacutesicos
denominado K y S
Moses Schoumlnfinkel cuyo nombre real en ruso con caracteres latinos es Moisei Isaievich
Sheinfinkel nacioacute el 4 de septiembre de 1889 en Ekatenoslav hoy Dnipropetrovsk Ucrania y
fallecioacute en la eacutepoca tenebrosa del estalinismo en Moscuacute el antildeo 1942 sin que pueda precisarse
87
el diacutea Este loacutegico y matemaacutetico judiacuteo-ldquosovieacuteticordquo esto uacuteltimo ldquomalgreacute luirdquo estudioacute
matemaacuteticas con Samule Osipovich Shatunovskii (1859-1929) quien trabajaba en geometriacutea y
fundamentos de las matemaacuteticas De 1914 a 1924 trabajoacute en la Universidad de Goumlttingen con
el grupo de David Hilbert Justamente alliacute y en una conferencia que impartioacute en 1920
Schoumlnfinkel inventoacute la loacutegica combinatoria posteriormente desarrollada y llevada a su maacuteximo
esplendor por Haskell Brooks Curry Heinrich Behman revisoacute el texto de esta conferencia y la
publicoacute en 1924 Eacutel tambieacuten introdujo la operacioacuten hoy denominada ldquocurryficacioacutenrdquo en honor
de Curry (Schoumlnfinkel 1924) Schoumlfinkell no escribioacute nada maacutes sobre loacutegica combinatoria de
modo que el total desarrollo subsiguiente fue trabajo de otros especialmente Curry De
hecho salvo un artiacuteculo publicado con un disciacutepulo y colaborador de Hilbert Paul Bernays en
1929 no volvioacute a publicar nada despueacutes de que Stalin hubiera consolidado su satrapiacutea en
1929
En suma que la ldquocurryficacioacutenrdquo fue inventada por Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Moiseacutes
Schoumlnfinkell y desarrollada por Haskell Brooks Curry por eso algunos proponen que se
denomine ldquoSchoumlfinkelisationrdquo en espantildeol ldquoSchoumlfinkelizacioacutenrdquo La ldquocurryficacioacutenrdquo es una
teacutecnica que transforma una funcioacuten que tiene muacuteltiples argumentos en una funcioacuten que tiene
un solo argumento Los otros ha sido especificados por el ldquocurryrdquo Es decir el ldquocurringrdquo tiene
su origen en el estudio matemaacutetico de funciones
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN
III321 Introduccioacuten
Un lenguaje de programacioacuten funcional como es el caso de Miranda una marca registrada de
Research Software Ltd estaacute ldquocurryficadordquo Esto significa que se construyen objetos evaluados
con funciones en ingleacutes ldquofunction-valued objetsrdquo por aplicar parcialmente funciones
existentes antes que por usar expliacutecitamente expresiones lambda De hecho Miranda fue
desarrollado en 1985 por David Turner en la Universidad de Kent Posteriormente
emprendioacute en 1987 el disentildeo de un nuevo lenguaje funcional que recibioacute el nombre de
Haskell en honor del inventor de la ldquocurryficacioacutenrdquo Haskell B Curry Su desarrollo fue colectivo
mediante un comiteacute creado al efecto con ocasioacuten del congreso internacional sobre ldquoFuntional
Programming and Computer Architecture celebrado en Portland Oregon en 1987 En este
lenguaje curryficado cuando se escribe una definicioacuten tal como i ordf = hellip se interpreta
exactamente como una funcioacuten de maacutes alto-orden de justo un argumento x El resultado de
aplicar f a un argumento A1 puede escribirse como i que es otra funcioacuten de nuevo de un
88
solo argumento en este caso y El resultado de aplicar esta funcioacuten a un ulterior argumento
A2 es auacuten otra funcioacuten esta vez de un uacutenico argumento z Es decir una aplicacioacuten completa
de f se escribe como ilaquo cuya lectura correcta es (((i))laquo) Esta idea de tratar
una funcioacuten de n argumentos como una concatenacioacuten de n funciones de argumento uacutenico
recibe el nombre de ldquocurryficacioacutenrdquo en honor del matemaacutetico que lo propuso en informaacutetica
Curry (Curry 1958) Ahora bien para llegar ahiacute Curry tuvo que recorrer un largo camino cuyos
hitos maacutes importantes en los que intervienen personajes como Galileo Newton
LeibnizBernouille Frege Casteluovo Kolmogorov Schoumlnfinkel etc que se van a considerar
aunque sinteacuteticamente a continuacioacuten
III322 El Concepto de Funcioacuten De Galileo a Frege
Como lo sentildealoacute Morris Kline (Kline 1992) del estudio del movimiento realizado por Galileo
(1564-1642) obtuvieron las matemaacuteticas un concepto fundamental que fue central en
praacutecticamente todo el trabajo de los dos siglos siguientes el concepto de funcioacuten o relacioacuten
entre variables En efecto dicha nocioacuten se encuentra casi a lo largo de todo su libro ldquoDos
Nuevas Cienciasrdquo con el que se fundoacute la mecaacutenica moderna (Galilei1636) Muchas de las
funciones introducidas a lo largo del siglo XVII fueron estudiadas en primer lugar como curvas
Asiacute sucedioacute en los casos de Evangelista Torricelli (1608-1647) y Giles Persone de Roberval
(1602-1675) Sin embargo la distincioacuten maacutes expliacutecita del concepto de funcioacuten en el siglo XVII
fue dada por James Gregory (1638-1675) en su obra ldquoVera Circuli et Hyperbolae Quadraturardquo
de 1667 Alliacute y entonces Gregory definioacute una funcioacuten como ldquouna cantidad que se obtiene de
otras cantidades mediante un sucesioacuten de operaciones algebraicas o mediante otra operacioacuten
imaginable Con esto se referiacutea de paso al liacutemite Newton (1642-1727) desde 1665 en
adelante utilizoacute el teacutermino ldquofluentrdquo esto es ldquofluyenterdquo para representar cualquier relacioacuten
entre variables (Newton 1736) Sin embargo fue Leibniz quien en un manuscrito de 1673
utilizoacute por primera vez el teacutermino ldquofuncioacutenrdquo en este caso para significar cualquier cantidad
que variacutea de un punto a otro de una curva verbigracia la longitud de la tangente o de la
ordenada La curva misma se deciacutea dada mediante una ecuacioacuten Leibniz tambieacuten introdujo los
teacuterminos ldquoconstanterdquo ldquovariablerdquo y ldquoparaacutemetrordquo este uacuteltimo empleado en conexioacuten con una
familia de curvas (Leibniz 1673) Antildeos despueacutes 1697 Jean Bernouille tratando con funciones
hablaba de una cantidad formada de cualquier manera posible con variables y constantes Con
ldquocualquier manerardquo queriacutea decir mediante expresiones algebraicas y transcendentes Para
dicha cantidad en 1698 adoptoacute la frase de Leibniz ldquofuncioacuten de xrdquo Posteriormente en 1714
en su ldquoHistoriardquo Leibniz utilizoacute el teacutermino funcioacuten para significar cantidades que dependen de
una variable
89
No obstante seguacuten un eminente geoacutemetra italiano del pasado siglo Guido Casteluovo en su
obra ldquoLe Origini del Calcolo Infinitesimale nellrrsquoera Modernardquo de 1938 ya en 1604 el tambieacuten
matemaacutetico italiano Luca Valerio ya habiacutea propuesto un concepto operativo de lo que habiacutea
de ser un funcioacuten Es decir noventa antildeos antes que Leibniz Valerio en un estudio sobre un
trabajo de Arquiacutemedes habiacutea introducido ldquode factordquo la nocioacuten de una clase bastante general
de funciones continuas i( ) en un intervalo cerrado y acotado 0lexle1 Valerio en sus propias
palabras postula que la funcioacuten sea monoacutetonamente creciente desde un valor positivo para
x = 0 hasta el valor 0 para x = 1 sin que haya que suponer nada maacutes
En lo concerniente a la notacioacuten decir que Jean Bernouille escribiacutea Χ o ξ para un funcioacuten
general de x aunque en 1718 cambioacute a ϕx A Leibniz esto le parecioacute bien pero tambieacuten
propuso x1 y x2 para funciones de x utilizando el superiacutendice cuando se tratara con varias
funciones de x La notacioacuten actual fue introducida por Leonhad Euler (1707-1783) en 1734
El concepto de funcioacuten y su uso se extendioacute a partir de Euler a todos los campos de la ciencia
sin embargo poco se aclaroacute respecto a su significado y consecuentemente sus definiciones
cuando se las examinaba con rigor no teniacutean mucho sentido pese a que pareciacutea tenerlo y
ademaacutes no concordaban con el modo en que se las utilizaba A la pregunta iquestqueacute es una
funcioacuten hasta la llegada de Frege la respuesta maacutes comuacuten era responder como el
matemaacutetico alemaacuten Ernst Czuber lo siguiente Si cada valor de la variable numeacuterica x que es
un elemento del dominio de x estaacute unida por alguna relacioacuten fija a un cierto nuacutemero y
entonces generalmente y al igual que x cae bajo la definicioacuten de una variable y se dice que
y es una funcioacuten de la variable numeacuterica x La relacioacuten entre x e y se expresa por una ecuacioacuten
que tiene la forma y=f(x) Esta respuesta fue pronto ldquomasacradardquo por Frege quien era incisivo
en sus ataques maacutexime cuando la posicioacuten atacada era indefendible Eacutestas fueron sus
palabras En seguida cabe reparar en el hecho de que un cierto nuacutemero es denominado y
mientras que por otra parte al ser una variable tendriacutea que ser un nuacutemero indeterminado
Por lo tanto y no es ni un nuacutemero determinado ni tampoco un nuacutemero indeterminado pero se
coloca erroacuteneamente al signo y en conexioacuten con una clase de nuacutemeros el dominio de la
variable y y luego se continuacutea hablando como si hubiera soacutelo un nuacutemero en dicha clase Seriacutea
maacutes simple y maacutes claro decir ldquoCon cada nuacutemero de un dominio-x hay alguna relacioacuten fija por
lo cual ese nuacutemero estaacute unido a otro nuacutemero no necesariamente diferente La clave de todos
estos nuacutemeros resultantes seraacute llamado el dominio-yrdquo Con esto tenemos ciertamente un
dominio-y pero no tenemos ninguacuten y del cual pueda decirse que era una funcioacuten de la variable
numeacuterica x
90
Ahora bien la limitacioacuten del rango no parece tener nada que ver con la cuestioacuten de saber queacute
sea la funcioacuten en siacute iquestPor queacute no tomar como dominio a la clase de todos los nuacutemeros de la
aritmeacutetica o a la clase de todos los nuacutemeros complejos de los cuales la primera clase es una
parte El punto esencial de la cuestioacuten se encuentra en un lugar completamente distinto que
queda oculto a la vista por las palabras ldquoUnido por alguna relacioacuten fijardquo iquestCuaacutel es la prueba de
que el nuacutemero 5 estaacute unido por alguna relacioacuten fija del nuacutemero 4 La cuestioacuten no puede ser
respondida si de alguacuten modo no se la completa Con la explicacioacuten del sentildeor Czuber parece
como si para cualesquiera dos nuacutemeros se retomase desde un principio la decisioacuten de que el
primero estaacute o no unido al segundo por esa relacioacuten Afortunadamente Czuber continuacutea ldquoMi
definicioacuten no establece ninguna afirmacioacuten sobre la ley que controla la unioacuten por esa relacioacuten
esta ley estaacute expresada en su forma maacutes general por la letra f pero no hay liacutemite en cuanto al
nuacutemero de modos diferentes en que tal ley puede ser fijadardquo La unioacuten mediante una relacioacuten
tiene pues lugar de acuerdo con alguna ley y es posible mediante el ejercicio del
pensamiento que sean producidas diferentes leyes de este tipo Pero ahora la frase ldquoy es una
funcioacuten de xrdquo no tiene sentido es necesario que se la complete mediante la adicioacuten de la ley Es
eacuteste un error de la definicioacuten Y sin la menor duda la ley que no estaacute tenida en cuenta es esa
definicioacuten es verdaderamente la cuestioacuten principal Vemos ahora que lo que es variable
cambiante se ha disipado por completo y en su lugar ha cobrado presencia lo general y esto
es lo que buscaba con la palabra ldquoleyrdquo
Y esto que dice Frege se ha convertido en norma de la actual concepcioacuten de la idea de funcioacuten
Dicho esto una funcioacuten f es una regla referente a dos clases X e Y recibiendo X el nombre de
clase definitoria de f e Y el dominio de F y siendo producto de la regla de una clase de
agrupamientos ordenados (xy) donde x a la que se denomina el ldquovalorrdquo de f para x es
aquella seleccioacuten tomada de entre los elementos de Y que se efectuacutea de acuerdo con la regla
la clase de todas las selecciones y de Y recibe el nombre de clase de valores de f Por ejemplo
si la clase definitoria de f es la clase X de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip el dominio de f es esa
misma clase y f es la regla Adjuacutentese a todo elemento x de x su doble 2x entonces la clase de
agrupamientos ordenados producidos por esta regla tiene como elementos a (12) (24)
(36)hellip de modo que la clase de valores de f tiene a 2 4 6 hellip por elementos y asiacute por poner
otro ejemplo la clase definitoria de f1 es la clase X de todos los nuacutemeros -1 -2 -3 hellip el
dominio de f1 es la clase de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip y f1es la regla Adjuacutentese a todo
elemento x de X su cuadrado x2 entonces la clase de agrupamientos ordenados producida por
esta regla tiene por elementos a (-11) (-24) (-39) hellip y la clave de valores de f1 tiene por
elementos a 1 4 9hellip
91
Por ejemplo la expresioacuten ldquo2x2+1rdquo representa una funcioacuten de x que tiene el valor 3 para el
argumento 1 9 para el argumento 2 y asiacute sucesivamente Pero Frege extendioacute este anaacutelisis a
otras funciones que tomaban como argumentos objetos que no eran nuacutemeros De este modo
la proposicioacuten ldquoJulio Ceacutesar conquistoacute la Galiardquo podriacutea descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y la
expresioacuten funcional ldquohellipconquistoacute la Galiardquo Esta uacuteltima expresioacuten es ldquoinsaturadardquo y cuando se
rellena con un argumento produce una expresioacuten con sentido completo que es su ldquovalorrdquo
Pero la oracioacuten anterior tambieacuten puede descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y ldquoLa Galiardquo por un
lado y la expresioacuten funcional de dos argumentos ldquohellipconquistoacutehelliprdquo Hay pues expresiones
funcionales que se completan o se saturan por ldquoun solo argumentordquo ldquopropiedadesrdquo y por
ldquomaacutes de un argumentordquo ldquorelacionesrdquo cuya estructura gramatical oculta esta importante
diferencia esencial para dar cuenta de algunas inferencias Frege aplicoacute este anaacutelisis tanto a
las conectivas proposicionales como a las expresiones de generalidad Por ejemplo
consideacuterese la proposicioacuten ldquoTodos los hombres son mortalesrdquo Frege no la contempla como un
compuesto de una expresioacuten de sujeto ldquoTodos los hombresrdquo y otra de predicado ldquoson
mortalesrdquo sino como una ldquoexpresioacuten funcional compleja de un lugarrdquo Si x es hombre (Hx)
entonces x es mortal (Mx) que ldquosaturardquo el cuantificador universal una ldquofuncioacuten de segundo
nivelrdquo que se representariacutea ahora como _x(Hx_Mx) Del mismo modo ldquoAlgunos fiacutesicos son
cuaacutenticosrdquo se analiza como la expresioacuten funcional compleja de un lugar ldquoNo es cierto que si x
es fiacutesico (Fx) entonces x es cuaacutentico (x)rdquo que satura maacutes una funcioacuten de segundo nivel esto es
x_(Fx_Cx) o lo que es lo mismo _x(Fx_Cx) Una vez liberado de la ldquotiraniacutea que el lenguaje
comuacuten ejerce sobre el pensamiento humanordquo Frege incrementoacute exponencialmente el ldquopoder
expresivordquo de la loacutegica y fue capaz de formalizar de manera sistemaacutetica las proposiciones
esenciales en matemaacutetica que incluyen cuantificacioacuten muacuteltiple
El proyecto de reducir la matemaacutetica a la loacutegica el logicismo presentaba dificultades
instrumentales formidables Por una parte el lenguaje de la silogiacutestica aristoteacutelica teniacutea
ldquolimitacionesrdquo aparentemente insalvables Por otra seguacuten Frege el lenguaje comuacuten no ofreciacutea
garantiacuteas de seguridad para su tarea las ambiguumledades equiacutevocos y vaguedades que lo
aquejaban ldquoenmascarabanrdquo el ldquocontenido conceptualrdquo es decir el soporte de las inferencias
de las oraciones Para eacutel la ldquoConceptografiacuteardquo es un instrumento semejante al microscopio
que permite desnudar las expresiones linguumliacutesticas dejando a la vista los ldquocontenidos
conceptualesrdquo Para explicar ese enmascaramiento usoacute un arma que resultoacute ser muy
fructiacutefera se trata de la idea de que no debe darse por supuesto que las distinciones
gramaticales son siempre pertinentes desde el punto de vista loacutegico Asiacute en vez de analizar las
92
proposiciones como compuestas de sujeto y predicado al modo de los gramaacuteticos o de los
loacutegicos aristoteacutelicos propuso descomponerlas en ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo
Sin embargo los fundamentos semaacutenticos de la ldquoConceptografiacuteardquo estaban aquejados de casi
los mismos defectos que Frege imputaba a los matemaacuteticos de su eacutepoca confusioacuten
conceptual Argumentos y funciones son considerados por Frege como expresiones
linguumliacutesticas y los valores de eacutestas se identificaban unas veces con oraciones y otras con su
contenido conceptual En ldquoFuncioacuten y Conceptordquo intentoacute atajar ese desorden separando
niacutetidamente los ldquosignosrdquo esto es las ldquoexpresiones de argumentosrdquo y las ldquoexpresiones
funcionalesrdquo y lo que esos signos ldquosignificanrdquo objetos y funciones A su vez el valor de la
funcioacuten ldquox conquistoacute la Galiardquo es tambieacuten un objeto si bien un ldquoobjeto loacutegicordquo lo Verdadero
para el argumento Julio Ceacutesar y lo Falso para el argumento Caliacutegula Un concepto pasa a ser
una funcioacuten cuyo valor es siempre un valor de verdad por ejemplo la funcioacuten ldquox conquistoacute la
Galiardquo es un concepto pero no lo es la funcioacuten ldquola capital de xrdquo y las oraciones se consideran
como ldquonombres propiosrdquo de objetos loacutegicos valores de verdad A su vez las ldquoconectivas
loacutegicasrdquo son tambieacuten funciones que ponen en correspondencia valores de verdad con valores
de verdad verbigracia la negacioacuten pone en correspondencia un valor de verdad con su
contrario Los ldquocuantificadoresrdquo son de nuevo funciones de segundo nivel que ponen en
correspondencia conceptos simples o complejos con valores de verdad asiacute ldquoTodo es
materialrdquo (_xMx) pone en correspondencia Mx con lo Verdadero si y soacutelo si Mx nombra lo
Verdadero para todo argumento y con lo Falso si eacuteste no es el caso
Frege en el campo de la loacutegica propiamente dicha generalizoacute el uso de variables
cuantificadores y funciones proposicionales y al proporcionar una fundamentacioacuten axiomaacutetica
de la loacutegica introdujo muchas distinciones que posteriormente adquirieron mucha
importancia Por ejemplo La distincioacuten entre el enunciado de una proposicioacuten y la afirmacioacuten
de que es verdadera La distincioacuten entre un objeto x y el conjunto que contiene al elemento x
solamente y entre la pertenencia a un conjunto y la inclusioacuten Ademaacutes utilizoacute variables y
funciones proposicionales indicando la cuantificacioacuten de sus funciones proposicionales es
decir el dominio de la variable o variables para la que son verdaderas Tambieacuten introdujo en
1879 el concepto de implicacioacuten material A implica B significa que o bien A es verdadera y B
es verdadera o A es falsa y B verdadera o A es falsa y B es falsa Esta interpretacioacuten de la
implicacioacuten es la conveniente para la loacutegica matemaacutetica El punto deacutebil del trabajo de Frege lo
puso en evidencia Russell cuando le sentildealoacute las paradojas de la teoriacutea de conjuntos en los que
se basaba su trabajo
93
Pero Frege fue mucho maacutes allaacute En efecto todos los que habiacutean contribuido a construir la
loacutegica simboacutelica hasta ese momento George Boole (1815-1864) Augusto De Morgan (1806-
1877) Charles Sanders Pierce (1839-1914) Ernst Schroeder (1841-1902) William Hamilton
(1788-1856) William Stanley Jevons (1835-1932) etc estaban interesados principalmente en
la matematizacioacuten de la loacutegica Con la aparicioacuten de Gottlob Frege (1848-1925) la loacutegica
matemaacutetica da un giro copeacuternicano y lo que se pretende es la ldquologizacioacutenrdquo de la matemaacutetica
o mejor auacuten la fundamentacioacuten de la aritmeacutetica y por extensioacuten toda la matemaacutetica en la
loacutegica Frege en 1879 publicoacute su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo (Frege 1879) un libro breve pero
enormenmente innovador donde introduce un lenguaje formal y un caacutelculo loacutegico Consciente
de que todos los conectores loacutegicos andor rArr hellip son expresables a partir del condicional y la
negacioacuten y de que la cuantificacioacuten existencial puede expresarse mediante negaciones y
cuantificacioacuten universal opta por un lenguaje generado por negacioacuten condicional y
cuantificacioacuten universal Frege ostenta la prioridad frente a la escuela algebrista de la
predicacioacuten muacuteltiple y de la cuantificacioacuten Incluso permite la cuantificacioacuten de propiedades y
relaciones de modo y manera que presenta lo que actualmente se denomina la loacutegica de
segundo orden Una desventaja de su lenguaje formal estriba en que es bidimensional la
notacioacuten elegida para representar el condicional exige escribir de izquierda a derecha y de
arriba abajo de forma que una foacutermula puede ocupar faacutecilmente toda una paacutegina La otra
gran novedad de la aportacioacuten de Frege es que no se limita a presentar un lenguaje en el que
representar premisas y conclusiones de razonamientos sino que ademaacutes formula
expliacutecitamente un caacutelculo es decir un sistema de axiomas y reglas de inferencia mediante el
cual el proceso que conduce de las premisas a la conclusioacuten se descompone en una serie de
pasos elementales de cuya legitimidad no se puede dudar Y aunque Frege no pudo
demostrarlo actualmente se sabe que este caacutelculo es completo en lo que respecta a la loacutegica
proposicional y a la loacutegica de primer orden esto es no es necesario antildeadir ninguna nueva
regla ni ninguacuten axioma nuevo para dar cuenta de todos los argumentos vaacutelidos que se pueden
representar en esos lenguajes
Como ya se ha dicho Frege hizo una analogiacutea entre su lenguaje formal y el microscopio
afirmando que ambos deben usarse uacutenicamente para el anaacutelisis de minuacutesculos detalles que
pasan desapercibidos a simple vista Y del mismo modo que el microscopio no sustituye al ojo
sino que lo complementa el lenguaje loacutegico formal no sustituye ni elimina el lenguaje en el
que habitualmente se formulan los razonamientos La necesidad de un anaacutelisis fino es para
Frege especialmente acuciante en lo que respecta al lenguaje matemaacutetico La obra de Frege
se enmarca en la problemaacutetica de la fundamentacioacuten de la matemaacutetica y a este asunto dedicoacute
94
dos libros y otros trabajos Los libros son ldquoLos Fundamentos de la Aritmeacuteticardquo (Frege 1884) y
ldquoLas Leyes Fundamentales de la Aritmeacuteticardquo en dos voluacutemenes (Frege 1893) (Frege 1903) El
paso siguiente se centra en la definicioacuten de un nuacutemero cardinal que plasma en su trabajo de
1884 titulado ldquoFundamentos de la Aritmeacutetica un Ensayo Loacutegico-Matemaacutetico del Concepto de
Nuacutemerordquo Y por uacuteltimo coronando su labor los dos voluacutemenes de 1893 y 1903 de ldquoLas Leyes
Fiacutesicas de la Aritmeacuteticardquo Y en medio y al final ensayos de precisioacuten como ldquoFuncioacuten y
Conceptordquo ldquoSobre Sentido y Referenciardquo ldquoSobre Concepto y Objetordquo ldquoiquestQueacute es una funcioacutenrdquo
ldquoSobre la Loacutegica Matemaacuteticardquo ldquoInvestigaciones Loacutegicasrdquo en varias entregas Ensayos que
suelen reunirse bajo la etiqueta de ldquoescritos filosoacuteficos o loacutegico-semaacutenticosrdquo (Frege 1974) Es
ahora donde desarrolla sus maacutes importantes y famosas ideas loacutegico-filosoacuteficas y semaacutenticas
(Frege 1892) Frege es un logicista y como tal pretende reducir la matemaacutetica a la loacutegica De
hecho el proceso de fundamentacioacuten de la matemaacutetica ya estaba bastante avanzado La
geometriacutea se reduciacutea al anaacutelisis y eacuteste tras las sucesivas construcciones de los nuacutemeros
complejos a partir de los reales eacutestos de los racionales que a su vez se obteniacutean de los
enteros los cuales finalmente procediacutean de los naturales por su parte se reduciacutea a la
aritmeacutetica Finalmente quedaba pendiente a partir de que Richard Dedekind y Giuseppe
Peano habiacutean aislado los principios que axiomatizaban la aritmeacutetica la justificacioacuten de esos
principios a partir de leyes loacutegicas Para ello necesitaban el lenguaje y el caacutelculo presentados
en la ldquoConceptografiacuteardquo
Admitiendo a partir de 1872 que todos los conceptos de la matemaacutetica pueden reducirse a
los de la aritmeacutetica y los de eacutesta a los nuacutemeros naturales Frege adoptoacute sobre siacute la tarea de
derivar estos uacuteltimos por medios estrictamente loacutegicos Con ello lograriacutea establecer que toda
la matemaacutetica es reducible a la loacutegica Para lo cual se propone dos objetivos
1) Precisar que entiende por loacutegica y enumerar los conceptos loacutegicos con los que definir los
auteacutenticos
2) Demostrar que los teoremas aritmeacuteticos son derivables de los principios loacutegicos
mediante el uacutenico proceso vaacutelido la deduccioacuten Esto obliga a especificar cuaacuteles son los
primeros principios loacutegicos y cuaacuteles son las reglas de inferencia
A la vista de estos objetivos Frege daraacute un primer paso construir una loacutegica que le sea vaacutelida
para su propoacutesito una loacutegica del pensamiento puro alejada de la influencia de la gramaacutetica y
del lenguaje habitual Este primer paso es el que se contiene en su obra ldquoConceptografiacutea un
lenguaje de Foacutermulas para el Pensamiento Puro Modelado en el Lenguaje de la Aritmeacuteticardquo Es
eacuteste el primer tratado sistemaacutetico de la loacutegica matemaacutetica No es ni pretende ser un mero
95
simbolismo del lenguaje ordinario o un caacutelculo sino como dice su tiacutetulo una conceptografiacutea
que permite la traduccioacuten a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos
simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especiacuteficas Es un simbolismo apto
para expresar el pensamiento puro Sentildeala Frege en el prefacio de su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo
que existen dos tipos de juicios los analiacuteticos y los sinteacuteticos Hasta aquiacute ldquoInmanuel Kant dixitrdquo
Pero Frege estima frente a Kant que los aritmeacuteticos son juicios analiacuteticos entendiendo por
tales los que pueden derivarse en forma estrictamente loacutegica de las definiciones No se tiene
en cuenta aquiacute el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad Explica a continuacioacuten que
la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesioacuten al de
consecuencia loacutegica para proceder a partir de ahiacute al concepto de nuacutemero Para realizar esta
tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado y no soacutelo para esta labor Por eso una
actividad importante es la de liberar el espiacuteritu humano de los errores que en cuanto al
concepto presenta el lenguaje ordinario En particular debe eliminarse la confusa
terminologiacutea entre ldquosujetordquo y ldquopredicadordquo en beneficio de ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo Y esto es
transcendental para esta tesis
Para conseguir sus fines dedicoacute su atencioacuten y esfuerzo a construir un lenguaje de foacutermulas a
semejanza del aritmeacutetico pero que permitiera un anaacutelisis loacutegico del razonamiento
matemaacutetico del pensamiento puro Maacutes auacuten aplicado en particular en su obra a la aritmeacutetica
es posible generalizarlo tanto a la geometriacutea como a la fiacutesica y en general a cualquier ciencia
La ldquoConceptografiacuteahelliprdquo debe permitir pues por un lado el que sea un caacutelculo loacutegico al estilo
del ldquoCaacutelculo Ratiotinadorrdquo maacutes auacuten una ldquoLingua Characteristicardquo preconizada por Leibniz
pero tambieacuten que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que el signo es
inseparable pero consecuente al contenido que representa Para Frege y esto hay que
subrayarlo lo primero es el concepto lo segundo el signo con el cual se representa ese
concepto Para Frege el hombre no crea los conceptos los aprende el hombre no crea
sistemas matemaacuteticos sino que eacutestos preexisten conceptualmente al mismo Es decir los
contenidos conceptuales puros son independientes a que el hombre los perciba imagine o
piense En loacutegica y matemaacuteticas lo que importa es el pensamiento puro no la geacutenesis del
mismo
Para la presentacioacuten de su sistema Frege eligioacute tal y como se muestra en la figura III3 un
total de nueve axiomas que junto a las cuatro reglas implican que dicho sistema de axiomas
es completo en el sentido de completud de sistemas formales posterior para la loacutegica de
predicados La eleccioacuten estaacute presidida por el uso de cada una de las cuatro primitivas loacutegicas
96
Figura III3 Sistema de Frege
Como se ve en la figura III3 en el apartado (α) se dan los axiomas que Frege establece con
su numeracioacuten a la derecha simbolizados en notacioacuten no fregeana a la izquierda Junto a las
reglas de separacioacuten o ldquoModus Ponensrdquo y la sustitucioacuten estos axiomas constituyen un sistema
completo para el caacutelculo proposicional En (β) se dan los axiomas de identidad y en (γ) el de
cuantificacioacuten
Frege para poder establecer la nueva constante loacutegica de generalidad la cuantificacioacuten pasa
a elaborar lo que considera uno de los hallazgos fundamentales el de funcioacuten concepto que
adopta del quehacer matemaacutetico asiacute como la notacioacuten empleada pero que estima de un
caraacutecter maacutes general Frege no analiza una proposicioacuten en teacuterminos de sujeto y predicado
sino en argumento y funcioacuten Sea verbigracia una expresioacuten como ldquoPepe come hierbardquo Si en
lugar de ldquoPeperdquo se pone ldquoPacordquo la expresioacuten seguiraacute siendo vaacutelida Se puede pues
97
reemplazar el teacutermino ldquoPeperdquo por otros teacuterminos o con generalidad por un lugar vaciacuteo ldquo( )
como hierbardquo y ello de tal manera que al cubrir ese espacio vaciacuteo por un teacutermino conveniente
se tenga la expresioacuten completa que podraacute o no ser judicable Y lo seraacute cuando el teacutermino sea
conveniente en cuyo caso dicho teacutermino poseeraacute la propiedad de comer hierba Todos
aquellos teacuterminos que permitan cubrir el espacio vaciacuteo constituiraacuten ldquoargumentosrdquo mientras
que la propiedad que los mismos poseen la de ldquocomer hierbardquo constituye la ldquofuncioacutenrdquo para
tales argumentos Si ahora se toma la expresioacuten ldquoPepe ama a Mariacuteardquo en lugar de ldquoPeperdquo y
ldquoMariacuteardquo pueden colocarse otros teacuterminos por argumentos por lo que la expresioacuten general
tendriacutea dos espacios vaciacuteos ldquo( ) ama a ( )rdquo y la funcioacuten ldquoama ardquo seraacute una funcioacuten de dos
argumentos como ldquo( ) es menor que ( )rdquo El proceso puede continuar generalizaacutendose para
obtener funciones pluriargumentales Los espacios vaciacuteos se representan por letras entre
pareacutentesis como indeterminadas mientras que la propia funcioacuten por la letra ϕ Por ejemplo
ϕ(A) para la funcioacuten de un argumento y ϕ(AB) para la de dos Si al reemplazar
ldquoconvenientementerdquo la(s) letra(s) entre pareacutentesis resulta que el contenido obtenido es capaz
de convertirse en un juicio o asercioacuten entonces es que el argumento satisface la funcioacuten esto
es posee la propiedad determinada por la misma Asiacute ldquo⊢ϕ(AB)rdquo puede leerse como ldquoB estaacute
en la relacioacuten ϕ con Ardquo Si en una funcioacuten de dos argumentos se intercambian entre siacute puede
no tenerse una asercioacuten y de tenerse puede no coincidir con el original
Figura III4 Primeras siete foacutermulas demostradas por Frege en su Conceptografiacutea
98
Frege consideroacute tal y como se muestra en la figura III4 cuatro reglas la expliacutecita del ldquomodus
ponensrdquo y la impliacutecita de ldquosustitucioacutenrdquo simultaacutenea de variables proposicionales Y otras dos
para el caacutelculo de predicados La tercera es el paso de la expresioacuten de la generalidad sin
cuantificar a la expresioacuten en cuantificador es la que hoy se denomina ldquoregla de
generalizacioacutenrdquo La cuarta regla la enuncioacute Frege como sigue ldquoEs claro tambieacuten que del
esquema de la figura III5 puede derivarse el esquema de la figura III6
Figura III5 Esquema inicial de la cuarta regla de Frege
Figura III6 Esquema final de la cuarta regla de Frege
Si A es una expresioacuten en la que no ocurre y si A ocupa uacutenicamente posiciones en los lugares
de argumento ϕrdquo Salvo el ldquomodus ponensrdquo las otras tres reglas no estaacuten establecidas como
modos de inferencia pero las mismas se justifican por medio exclusivo en cuanto al uso
simboacutelico Estas reglas unidas a los seis axiomas tres es decir el (1) (2) y (8) para la
condicionalidad a los que hay que antildeadir la negacioacuten (28) y los que regulan ambos
conectivos dados por (31) y (41) regulan el caacutelculo proposicional Si a eacutestas se antildeaden dos
leyes maacutes para la identidad de contenido (52) y (54) siendo esta uacuteltima la ley reflexiva de
identidad mientras que la anterior expresa la ley de sustitucioacuten de la identidad Es una
expresioacuten que manifiesta el caraacutecter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se
pueden reemplazar dos variables de individuo entre siacute en cualquier contexto sin variar el valor
veritativo de las expresiones en que se intercambian Es decir todo lo que se predique de un
siacutembolo de un argumento tiene que predicarse del siacutembolo del argumento al que sea
ideacutentico Por uacuteltimo Frege agregoacute una foacutermula para regular la cuantificacioacuten que constituye su
foacutermula (58) De esta forma se permite excindir su sistema de varias capas que van
superponieacutendose caacutelculo implicacional y afirmativo caacutelculo proposicional caacutelculo de
predicados y loacutegica de primer orden Este sistema es completo pero como lo demostroacute
Lukasiewiz en 1930 la tercera ley de condicionalidad es consecuencia de las dos primeras Por
tanto el sistema proposicional puede reducirse a soacutelo tres axiomas siendo los dos primeros
99
los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma ⊢(ararrb)rarr(-brarr-a) escrito claro estaacute
en notacioacuten moderna
III333 Los Programas como Funciones
Los programas e incluso las partes de los programas son funciones que transforman las
entradas en salidas de modo que cualquier programa puede considerarse como una funcioacuten
definida por el procedimiento que la ejecuta Por lo tanto los programas son funciones que
afectan al estado del sistema Y esto se produce por la sencilla razoacuten de que las sentencias
ejecutables operan sobre las variables y de esta manera cambian el estado En general toda
sentencia ejecutable cambia el estado inicial de la sentencia esto es el estado anterior a su
ejecucioacuten hasta otro estado el siguiente Cuando este siguiente estado es el mismo que el
anterior la sentencia no tiene efecto y es redundante Naturalmente los ldquosegmentos de
coacutedigordquo de un programa o sea cualquier sentencia o grupo de sentencias que afecten al
estado expresan ldquofunciones parcialesrdquo en el sentido de que para cada estado inicial existe
como maacuteximo un estado final No todos los estados iniciales pueden ser manipulados por
todos los segmentos de coacutedigo Por ejemplo la sentencia 1x no puede tratarse si x=0 Sin
embargo si el estado inicial puede ser tratado por el segmento de coacutedigo y si el segmento de
coacutedigo no tropieza con un bucle infinito entonces el estado inicial es determinista Si hay dos
segmentos de coacutedigo A y B que se ejecuten en sucesioacuten el resultado se denomina
ldquoconcatenacioacutenrdquo de A y B En realidad la ldquoconcatenacioacutenrdquo es una composicioacuten de funciones
En efecto sea x el estado inicial de la concatenacioacuten AB esto es el estado antes de ejecutar
A Por definicioacuten el estado despueacutes de haber ejecutado A es A(x) y eacuteste es el estado antes de
ejecutar B Dado que B(y) es el estado final de B dado el estado final y y puesto que es y =
A(x) esto significa que el estado final AB es B(A(x)) De este modo AB = BA
Cuando una funcioacuten f(x) se utiliza estrictamente para definir la imagen correspondiente al
argumento x que es un solo valor se usa la notacioacuten del ldquoλ-caacutelculordquo o ldquocaacutelculo lambdardquo
Teacutecnicamente pues las funciones expresadas en ldquoλ-caacutelculordquo soacutelo pueden tener un argumento
Por consiguiente para traducir una funcioacuten de varias variables o argumentos al ldquoλ-caacutelculordquo se
crean funciones en las cuales el rango consta de funciones Por ejemplo consideacuterese la
expresioacuten x2+y Para cada y dada se puede utilizar esta expresioacuten para encontrar una funcioacuten
para x o sea λx (x2+y) Por consiguiente se puede considerar la nueva funcioacuten i =
U( reg ( + ))Z que tiene un uacutenico argumento y y la imagen para una y dada es
reg ( + ) Asiacute cuando aparecen funciones de dos argumentos del tipo i ( times ) ^ ] se
100
modelan en el ldquoλ-caacutelculordquo como una funcioacuten de X1 en el rango X2rarrY es decir tales funciones
tienen el tipo
i V ^ (V ^ ])
Esta transformacioacuten puede faacutecilmente extenderse a funciones de n argumentos Con lo que
definitivamente se estaacute tratando con funcionales o funciones de funciones de funciones y asiacute
sucesivamente
III4LOacuteGICA COMBINATORIA
La loacutegica combinatoria fue originalmente propuesta como una ldquopreloacutegicardquo que deberiacutea clarificar
el papel de las variables cuantificadas en loacutegica esencialmente por eliminarlas Otra forma de
eliminar las variables cuantificadas es la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo de Quine (Quine
1960) En tanto que el poder expresivo de la loacutegica combinatoria tiacutepicamente excede al de la
loacutegica de primer orden el poder expresivo de la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo es ideacutentico al
de la loacutegica de predicados La ldquoloacutegica combinatoriardquo trata pues de eliminar la necesidad de
variables en loacutegica matemaacutetica Maacutes recientemente se ha utilizado en CS como un modelo
teoacuterico de computacioacuten y sobre todo como la base para el disentildeo de lenguajes de
programacioacuten funcional Estaacute basada en ldquocombinadoresrdquo Un combinador es un funcioacuten de alto
orden o grado que por definir un resultado a partir de sus argumentos uacutenicamente usa la
aplicacioacuten de funciones y combinadores definidos previamente
En CS la loacutegica combinatoria se usa como un modelo simplificado de computacioacuten utilizado en
teoriacutea de la computabilidad y teoriacutea de prueba A pesar de su simplicidad la loacutegica combinatoria
captura muchas caracteriacutesticas esenciales de la computacioacuten La ldquoloacutegica combinatoriardquo puede
verse como una variante del ldquolambda caacutelculordquo en el cual las expresiones lambda representando
abstracciones funcionales se reemplazan por un conjunto limitado de ldquocombinadoresrdquo
funciones primitivas de las cuales estaacuten ausentes las variables libres Es faacutecil transformar
expresiones en expresiones de combinadores y la reduccioacuten de un combinador es mucho maacutes
simple que la reduccioacuten lambda Por consiguiente se ha usado la ldquoloacutegica combinatoriardquo para
modelizar algunos lenguajes de programacioacuten funcional y hardware La forma maacutes pura de esta
visioacuten es el lenguaje de programacioacuten de intereacutes teoacuterico ldquoUnlambdardquo cuyas uacutenicas primitivas son
los combinadores S y K aumentado con caracteres de entradasalida
101
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo
La loacutegica combinatoria es un modelo de computacioacuten equivalente al caacutelculo lambda (Church
1936) pero sin la abstraccioacuten La ventaja de esto es que evaluar expresiones en el caacutelculo
lambda es bastante complicado debido a que debe especificarse la semaacutentica de la
sustitucioacuten con mucho cuidado para evitar problemas de captura de variables Por el
contrario la evaluacioacuten de expresiones en la loacutegica combinatoria es mucho maacutes sencilla pues
no existe la nocioacuten de sustitucioacuten sin perder la potencia computacional del lambda-caacutelculo
Como se sabe el lambda caacutelculo es computacionalmente equivalente en poder a muchos
modelos posibles de computacioacuten incluida la maacutequina de Turing o las funciones recursivas
Es decir cualquier caacutelculo que pueda realizarse en cualquiera de esos otros modelos puede
expresarse en el caacutelculo lambda y viceversa Como de acuerdo con la tesis Church-Turing
(Copeland 1996) el caacutelculo lambda puede expresar cualquier posible computacioacuten la loacutegica
combinatoria tambieacuten Y si es tal vez sorprendente este hecho de que el lambda caacutelculo
pueda representar cualquier combinacioacuten posible usando soacutelo las nociones simples de
funcioacuten de abstraccioacuten y aplicacioacuten basaacutendose en la sencilla sustitucioacuten textual de teacuterminos
por variables maacutes notable resulta auacuten que incluso no es necesaria la abstraccioacuten como se ve
en la loacutegica combinatoria
En efecto el caacutelculo lambda estaacute concernido con objetos denominados ldquoteacuterminos lambdardquo
que son cadenas de siacutembolos de uno de los tipos siguientes
a) v
b) λvE1
c) (E1 E2)
Siendo V es un nombre de variable derivado a partir de un conjunto infinito predefinido de
nombres de variables y E1 y E2 son ldquoteacuterminos lambdardquo Finalmente los teacuterminos de la forma
(b) o sea λvE1 se denominan ldquoabstraccionesrdquo La variable v se llama paraacutemetro formal de la
abstraccioacuten y E1 el ldquocuerpordquo de dicha abstraccioacuten El teacutermino λvE1 representa la funcioacuten que
aplicada a un argumento liga el paraacutemetro formal v al argumento y luego computa el valor
resultante de E1 esto es retorna E1 con cada toda ocurrencia de v reemplazada por el
argumento Los teacuterminos de la forma (c) o sea (E1 E2) se denominan ldquoaplicacionesrdquo que
modelan la llamada invocacioacuten o ejecucioacuten a la funcioacuten la funcioacuten representada por E1 es
invocada con E2 como su argumento y el resultado es computado Si E1 a veces llamado el
ldquoaplicandordquo es una abstraccioacuten el teacutermino puede ldquoreducirserdquo es decir el argumento puede
sustituirse en el cuerpo de E1 en lugar del paraacutemetro formal de E1 y el resultado es un nuevo
102
teacutermino lambda que es ldquoequivalenterdquo a la vieja Si un teacutermino lambda no contiene
subteacuterminos de la forma (λvE1E2) que no puede reducirse se dice que estaacute en forma normal
La expresioacuten Ev ≔ a representa el resultado de tomar el teacutermino E y reemplazar todas las
ocurrencias libres de v con a Asiacute se escribe (λv Ea) rArr Ev ≔ a Por convencioacuten se toma
(abcdhellipz) por ((((ab)c)d)hellipz) es decir una aplicacioacuten asociativa por la izquierda El motivo de
esta definicioacuten de ldquoreduccioacutenrdquo es que captura el comportamiento esencial de todas las
funciones matemaacuteticas Por ejemplo consideacuterese la funcioacuten que computa el cuadrado de un
nuacutemero Se puede escribir El cuadrado de 3 es 33 usando ldquordquo para indicar la multiplicacioacuten
y siendo x el paraacutemetro formal de la funcioacuten para evaluar el cuadrado para un argumento
particular en este caso 3 se lo inserta en la funcioacuten en lugar del paraacutemetro formal de modo
que queda el cuadrado de 3 es 33 Para evaluar la expresioacuten resultante 33 hay que
recurrir al conocimiento que se tiene de la multiplicacioacuten y del nuacutemero 3 Ya que cualquier
computacioacuten es simplemente una composicioacuten de la evaluacioacuten de funciones deseables sobre
argumentos primitivos deseables Este sencillo principio de sustitucioacuten basta para capturar el
mecanismo esencial de la computacioacuten Maacutes auacuten en el caacutelculo lambda nociones tales como
ldquo3rdquo y ldquordquo pueden representarse sin necesidad alguna de definir externamente operadores
primitivos o constantes Es posible identificar teacuterminos en el ldquolambda-caacutelculordquo que cuando
se interpretan adecuadamente se comportan como el nuacutemero 3 y como el operador
multiplicador
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO
Dado que la abstraccioacuten es la uacutenica manera de fabricar funciones en el ldquocaacutelculo lambdardquo
algo debe reemplazarlo en el caacutelculo combinatorio En lugar de la abstraccioacuten el caacutelculo
combinatorio proporciona un conjunto limitado de funciones primitivas a partir de las cuales
pueden construirse otras funciones Los elementos del caacutelculo combinatorio son
A) Teacuterminos combinatorios Un teacutermino combinatorio tiene una de las siguientes
formas
a)
b) T
c) (ltlt)
Donde x es una variable P una de las funciones primitivas y (EE) es la aplicacioacuten
de los teacuterminos combinatorios E1 y E2 Las funciones primitivas son ellas mismas
ldquocombinadoresrdquo o funciones que cuando se ven como teacuterminos lambda no
103
contienen variables libres Para acortar las notaciones una convencioacuten general es
que (E1E2E3hellipEn) o incluso E1E2E3hellipEn denota el teacutermino (hellip((E1E2)E3)hellipEn) Eacutesta es la
misma convencioacuten general que la aplicacioacuten muacuteltiple en el ldquolambda caacutelculordquo En
loacutegica combinatoria cada ldquocombinadorrdquo primitivo viene con una regla de reduccioacuten
de la forma (Px1hellipxn)=E donde E es un teacutermino mencionando soacutelo variables del
conjunto x1hellipxn Es justamente de esta manera como los ldquocombinadoresrdquo primitivos
se comportan como funciones
B) Combinadores I K y S
El ejemplo maacutes sencillo de ldquocombinadorrdquo es el ldquocombinadorrdquo identidad I definido
por (Ix) = x para todos los teacuterminos x Otro ldquocombinadorrdquo simple es K que fabrica
funciones constantes (Kx) es la funcioacuten que para cualquier argumento devuelve x
asiacute para ((Kx)y) = x para todos los teacuterminos x e y O siguiendo la convencioacuten de
aplicacioacuten muacuteltiple (Kxy) = x Un tercer combinador es S que es una versioacuten
generalizada de la aplicacioacuten (Sxyz) = (xz(yz)) S aplica x a y despueacutes de primero
sustituir z en cada uno de ellos En otros teacuterminos x se aplica a y dentro del entorno
z Ahora bien dados S y K el propio I es superfluo ya que puede construirse a partir
de ellos como sigue
((SKK)x)
=(SKKx)
=(Kx(Kx))
=x
para cualquier teacutermino x Noteacutese que aunque (SKK)x = (Ix) para cualquier x el propio
(SKK) no es igual a I Se dice que los teacuterminos son extensionalmente equivalentes La
igualdad extensional captura la nocioacuten matemaacutetica de la igualdad de funciones que
dice dos funciones son ldquoigualesrdquo si siempre producen los mismos resultados para los
mismos argumentos Por el contrario los propios teacuterminos junto con la reduccioacuten
de ldquocombinadoresrdquo primitivos captura la nocioacuten de ldquoigualdad intensionalrdquo de
funciones Aquiacute dos funciones son ldquoigualesrdquo soacutelo si tienen ideacutenticas
implementaciones respecto a la expansioacuten de ldquocombinadoresrdquo primitivos cuando
eacutestos se aplican a bastantes argumentos Hay muchas formas de implementar una
funcioacuten identidad (SKK) e I estaacuten entre ellas (SKS) es tambieacuten otra Se usaraacute la
palabra ldquoequivalenterdquo para indicar la igualdad extensional reservando ldquoigualrdquo para
104
teacuterminos combinatorios ideacutenticos Otro ldquocombinadorrdquo muy interesante es el Y o
ldquocombinadorrdquo de punto fijo que puede usarse para implementar la ldquorecursioacutenrdquo
C) Transformacioacuten T Conversioacuten de teacuterminos λambda en combinadores
Es ldquoprima facierdquo al menos sorpendente el hecho de que S y K puedan componerse
para producir ldquocombinadoresrdquo que son extensionalmente iguales a ldquocualquierrdquo
teacutermino lambda y por lo tanto por la tesis de Church-Turing a cualquier funcioacuten
computable Para probarlo se va a presentar una transformacioacuten T[ ] que convierte
un teacutermino lambda arbitrario en un ldquocombinadorrdquo equivalente T[ ] puede definirse
como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1] T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2])
Este proceso tambieacuten se conoce como ldquoeliminacioacuten de la abstraccioacutenrdquo Ahora hay
que convertir un teacutermino lambda en un teacutermino ldquocombinatoriordquo equivalente Por
ejemplo convertir el teacutermino lambda λxλy(yx) en un combinador
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]] (por 5)
= T[λx(ST[λyy]T[λyx])] (por 6)
= T[λx(SIT[λyx])] (por 4)
= T[λx(SI(Kx))] (por 3 y 1)
= (ST[λx(SI)]T[λx(Kx)]) (por 6)
= (S(K(SI))T[λx(Kx)]) (por3)
= (S(K(SI))(ST[λxK]T[λxx])) (por 6)
= (S(K(SI))(S(KK)T[λxx])) (por 3)
= (S(K(SI))(S(KK)I)) (por 4)
Si se aplica este ldquocombinadorrdquo a cualquiera dos teacuterminos x e y se reduce como
sigue
(S(K(SI))(S(KK)I)xy)
= (K(SI)x(S(KK)Ix)y)
= (SI(S(KK)Ix)y)
= (Iy(S(KK)Ixy))
= (y(S(KK)Ixy))
105
= (y(KKx(Ix)y))
= (y(K(Ix)y))
= (y(Ix))
= (yx)
La representacioacuten combinatoria (S(K(SI))(S(KK)I)) es mucho maacutes larga que la
representacioacuten en un teacutermino lambda λx λy(yx) Esto es normal En general la
construccioacuten T[ ] puede expandir un teacutermino lambda de tamantildeo n en un teacutermino
combinatorio de tamantildeo θ (3n) Sin embargo la transformacioacuten T[ ] viene motivada
por el deseo de eliminar la abstraccioacuten Dos casos especiales las reglas 3 y 4 son
triviales λxx es claramente equivalente a I y λxE es claramente equivalente a
(KT[E]) Si x no aparece libre en E Las dos primeras reglas tambieacuten son simples
Variables convertidas en ellas mismas y aplicaciones que estaacuten permitidas en
teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo se convierten en ldquocombinadoresrdquo simplemente por
convertir el aplicando y el argumento en ldquocombinadoresrdquo Son las reglas 5 y 6 las
interesantes La 5 dice simplemente que para convertir una abstraccioacuten compleja en
un combinador primero se debe convertir su cuerpo en un ldquocombinadorrdquo y luego
eliminar la abstraccioacuten La regla 6 realmente elimina la abstraccioacuten
λx(E1E2) es una funcioacuten que toma un argumento tal como a y lo sustituye en un
teacutermino lambda (E1E2) en lugar de x produciendo (E1E2)[x=a] Pero sustituir a en
(E1E2) en lugar de x es justo lo mismo que sustituirla en ambos E1 y E2 asiacute
(E1E2)[x=a] = (E1[x=a] E2[x=a])
(λx(E1E2)a) = ((λxE1a)( λxE2a))
= (S λxE1 λxE2a)
= ((S λxE1 λxE2)a)
Por la igualdad extensional
λx(E1E2) = (S λxE1 λxE2)
Por lo tanto para encontrar un combinador equivalente a λx(E1E2) es suficiente
encontrar un combinador equivalente a (S λxE1 λxE2) y
(S T[λxE1] T [λxE2])
106
evidentemente cumple las condiciones E1 y E2 cada una contienen estrictamente
menos aplicaciones que (E1E2) asiacute la recursioacuten debe terminar en un teacutermino lambda
sin ninguna aplicacioacuten en absoluto o una variable o un teacutermino de la forma λxE
D) Simplificaciones de la Transformacioacuten
Los combinadores generados por la transformacioacuten T[ ] pueden hacerse menores si
se toma en cuenta la regla de ldquoreduccioacuten-ηrdquo
T[λx(Ex)]=T[E] (si x no estaacute libre en E)
λx(Ex) es la funcioacuten que toma un argumento x y aplica la funcioacuten E a ella esto es
extensionalmente igual a la propia funcioacuten E Es por lo tanto suficiente para
convertir E a forma combinatoria Teniendo en cuenta esta simplificacioacuten el ejemplo
anterior se convierte en
T[λx λy(yx)]
= hellip
= (S(K(SI)) T[λx(Kx)])
= (S(K(SI)) K) (por ldquoreduccioacuten- ηrdquo)
Este combinador es equivalente al anterior maacutes largo
(S(K(SI)) Kxy)
= (K(SI) x(Kx)y)
= (SI(Kx)y)
= (I y(Kxy))
= (y(Kxy))
= (yx)
Similarmente la versioacuten original de la transfromacioacuten T[ ] transforma la funcioacuten
identidad λfλx(fx) en (S(S(KS)(S(KK)I))(KI)) Con la regla de ldquoreduccioacuten- ηrdquo λfλx(fx)
se transforma en I
107
Hay bases de un punto a partir de las cuales cada ldquocombinadorrdquo puede ser
compuesto extensionalmente igual a cualquier teacutermino lambda El ejemplo maacutes
simple de una tal base es X donde
X equiv λx((xS)K)
No es difiacutecil verificar que
X(X(XX)) = ηβK y X(X(X(XX))) = ηβS
Dado que K S es una base de ello se sigue que X tambieacuten es una base Otro ejemplo
simple de una base de un punto es
Xrsquoequiv λx(xKSK) con (Xrsquo Xrsquo )Xrsquo) = ηβK y Xrsquo(Xrsquo Xrsquo) = βS
Xrsquo no necesita η-contraccioacuten a fin de producir K y S X es una base de un punto en CL+ext
pero no en CL sin extensionalidad Xrsquo lo es en ambos
Adicionalmente a S y K el artiacuteculo de Schoumlnfinkel incluyoacute otros dos ldquocombinadoresrdquo que
ahora se denominan B y C con las reducciones siguientes
((Cabc) = (abc) y (Babc) = (a(bc)))
Y tambieacuten explicoacute coacutemo a su vez pueden expresarse usando soacutelo S y K Estos ldquocombinadoresrdquo
son extremadamente uacutetiles cuando se trasladan loacutegica de predicados o caacutelculo lambda en una
expresioacuten ldquocombinadorrdquo Ellos tambieacuten fueron usados por Curry y posteriormente por David
Turner cuyo nombre se ha asociado con su uso computacional Usaacutendolos se pueden
extender las reglas por la transformacioacuten como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1]T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (Si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E1 y E2)
108
7 T[λx(E1E2)] rArr(CT[λxE1]T[E2]) (Si x estaacute libre en E1 pero no en E2)
8 T[λx(E1E2)] rArr(BT[E1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E2 pero no en E1)
Usando los ldquocombinadoresrdquo B y C la transformacioacuten de λxλy(yx) queda como sigue
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]]
= T[λx(CT[λyy]x)] (por la regla 7)
= T[λx(CIx)]
= (CI) (η-reduccioacuten)
= C (notacioacuten canoacutenica tradicional x=XI)
= Irsquo (notacioacuten canoacutenica tradicional X`= CX)
Y verdaderamente (CIxy) se reduce a (yx)
(CIxy)
= (Iyx)
= (yx)
La motivacioacuten aquiacute es que B y C son versiones limitadas de S Mientras que S toma un valor y
lo sustituye tanto en el aplicando como en su argumento antes de ejecutar la aplicacioacuten C
efectuacutea la sustitucioacuten soacutelo en el aplicando y B soacutelo en el argumento
Los nombres modernos para los ldquocombinadoresrdquo proceden de la tesis doctoral de Curry
Schoumlnfinkel en su artiacuteculo original denominaba respectivamente S C I Z y T a lo que hoy se
denomina S K I B C
La conversioacuten L[ ] de teacuterminos combinatorios a teacuterminos lambda es trivial
L[I] = λxx
L[K] = λx λyx
L[C] = λx λy λz(xzy)
L[B] = λx λy λz(x(yz))
109
L[S] = λx λy λz(xz(yz))
L[(E1E2)] = (L[E1] L[E2])
Sin embargo hay que sentildealar que esta transformacioacuten no es la transformacioacuten inversa de
cualquiera de las versiones de T[ ] que se han visto
Finalmente indicar que una forma ldquonormalrdquo es cualquier teacutermino ldquocombinatoriordquo en el cual
los ldquocombinadoresrdquo primitivos que aparecen si alguno no se aplican a suficientes argumentos
como para ser simplificados Es indecidible saber si un teacutermino ldquocombinatoriordquo general tiene
una forma ldquonormalrdquo si dos teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo son equivalentes etc Esto es
equivalente a la indecibilidad del problema correspondiente para los teacuterminos lambda Hay
sin embargo una prueba directa de ello en primer lugar obseacutervese que el teacutermino Ω =
(SII(SII)) no tiene forma normal porque se reduce a siacute mismo despueacutes de tres pasos como
sigue
(SII(SII)) = (I(SII)(I(SII))) = (SII(I(SII))) = (SII(SII))
Y claramente ninguacuten otro orden de reduccioacuten puede hacer la expresioacuten maacutes corta Supoacutengase
ahora que N es un ldquocombinadorrdquo para detectar formas normales tal que
(Nx)rArrT si x tiene una forma normal y F en otro caso
Donde T y F representan verdadero y falso λx λyx y λx λyy transformados en loacutegica
combinatoria Las versiones combinatorias son T = K y F = (KI)
Sea ahora Z = (C(C(BN(SII)) Ω)I)
Consideacuterese a continuacioacuten el teacutermino (SIIZ) iquestTiene dicho teacutermino forma normal La tiene si
y soacutelo si tambieacuten la tiene
(SIIZ) = (IZ(IZ)) = (Z(IZ)) = (ZZ) = (C(C(BN(SII)) Ω)IZ) (definicioacuten de Z)
= (C(BN(SII) ΩZI)) = (BN(SII)Z ΩI) = (N(SIIZ) ΩI)
Ahora se necesita aplicar N a (SIIZ) que dice si tiene forma normal o no Si tiene forma normal
entonces se reduce como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (K ΩI) (definicioacuten de N) lo que significa que la
forma normal de (SIIZ) es simplemente Ω pero Ω no tiene una forma normal de modo que se
produce una contradiccioacuten Pero si (SIIZ) no tiene una forma normal lo anterior se reduce
110
como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (KI ΩI) (definicioacuten de N = (II) = I) lo que significa que la forma
normal de (SIIZ) es simplemente I otra contradiccioacuten Por lo tanto el hipoteacutetico ldquocombinadorrdquo
forma-normal N no puede existir (Wikipedia 2008)
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS
Para Couffignal (Couffignal 1969) una clasificacioacuten cuyas clases tienen definiciones que se
implican entre siacute constituye una teoriacutea Las teoriacuteas se establecen de una de las dos formas
siguientes
A) A partir de seres cuyas caracteriacutesticas han sido observadas e identificadas se construyen
clases cada vez maacutes ldquoabstractasrdquo o ldquogeneralesrdquo dentro de las cuales se dan cabida a
estos seres A estas teoriacuteas se las denomina como ya se ha dicho el el capiacutetulo II
ldquoempiacutericasrdquo y son parecidas a las clasificaciones de los naturalistas y tienen como
fundamento modelos mentales elementales constituidos por seres naturales es decir
no creados por el hombre Eacuteste es el esquema de modelizacioacuten cientiacutefico o ldquogalileanordquo
B) Partiendo de una definicioacuten abstracta de la clase se construyen subclases antildeadiendo a
la definicioacuten de esta clase propiedades arbitrariamente escogidas con la uacutenica condicioacuten
de que no existan contradicciones Estas teoriacuteas reciben el calificativo de axiomaacuteticas
Son parecidas a teoriacuteas matemaacuteticas o loacutegicas y tienen por fundamento modelos
mentales (ldquodialeacutecticosrdquo) de seres inventados por el hombre Eacuteste es el esquema de
modelizacioacuten loacutegico o ldquotarskianordquo
Los atributos que hay que antildeadir a la comprehensioacuten de una clase de seres para obtener la
comprehensioacuten de una subclase constituyen lo que se denomina ldquotecnologiacuteardquo de dicha
subclase en relacioacuten con la clases considerada Normalmente no se considera maacutes que una
sola clasificacioacuten y se define la tecnologiacutea de una subclase en relacioacuten con la clase maacutes
abstracta posible De esta forma el teacutermino tecnologiacutea se emplea en sentido absoluto
En la construccioacuten de una teoriacutea las propiedades ldquotecnoloacutegicasrdquo de un ser no se tienen en
cuenta al considerarlo como perteneciente a una clase determinada ya que dichas
propiedades no se deducen de la definicioacuten de la clase considerada En consecuencia se
puede afirmar que un razonamiento deductivo no puede descubrir las propiedades
ldquotecnoloacutegicasrdquo que han sido ignoradas en la elaboracioacuten de la teoriacutea Por ejemplo la teoriacutea
de la resistencia de materiales que sirven para el caacutelculo de la construccioacuten de un puente
supone que el terreno sobre el cual se va a apoyar el puente es perfectamente riacutegido e
111
infinitamente resistente dejando de lado las propiedades del terreno propias de su
naturaleza fiacutesico-quiacutemica Por lo tanto el caacutelculo de un puente concreto por meacutetodos de
resistencia de materiales no puede incluir estas propiedades y tenerlas en cuenta Por eso se
puede afirmar que las teoriacuteas deductivas que se encuentran en la casi totalidad de las
teoriacuteas cientiacuteficas representan muy imperfectamente los fenoacutemenos observados De aquiacute
que para salvaguardar el armazoacuten de razonamientos que constituye una teoriacutea sea
necesario o bien no tener en cuenta los conceptos que no sean explicables para la teoriacutea lo
que sucedioacute con el ldquoarrastre del eacuteter por la materiardquo o atribuyeacutendole a los seres sometidos
a observacioacuten propiedades que no poseen para permitir su inclusioacuten dentro de la teoriacutea
Esto sucedioacute con el ldquoeacuteterrdquo hasta que lo desterroacute Einstein Una teoriacutea es pues un ldquoedificiordquo o
construccioacuten mental establecida a partir de fenoacutemenos observados pero que no constituye
una imagen absolutamente fiel de dichos fenoacutemenos
Las diversas clases en las que se categorizan los seres naturales constituyen entes nuevos a
los que se les atribuye un siacutembolo En una teoriacutea axiomaacutetica las clases son resultado de
razonamientos deductivos y se les atribuye asimismo un siacutembolo Cuando se trata de
razonamientos cuyas hipoacutetesis son siacutembolos o modelos mentales de seres naturales es maacutes
coacutemodo preferir siacutembolos que hagan referencia a las hipoacutetesis De esta forma estos
siacutembolos evocan al usarlos ldquopatronesrdquo considerados iguales que los de los seres naturales
Estos patrones constituyen una ldquoreificacioacutenrdquo de la definicioacuten de los siacutembolos Por ejemplo
habiendo verificado que todos los gases en condiciones normales verifican de una forma
aproximada PV = RT en donde P V y T son respectivamente la presioacuten el volumen y la
temperatura del gas y R una constante universal se denomina ldquogas perfectordquo al ente fiacutesico
que verifica ldquoexactamenterdquo la ley PV = RT El teacutermino ldquogas perfectordquo evoca el ldquopatroacutenrdquo
corresponde al de un ser existente en la realidad y constituye una ldquoreificacioacutenrdquo de la
foacutermula PV = RT
Una ldquoreificacioacutenrdquo consiste entonces en antildeadir a un resultado teoacuterico una ldquotecnologiacuteardquo
inventada No obstante el ser de esta forma inventado puede no existir fiacutesicamente Por lo
tanto es necesario distinguir entre la ldquoexistencia fiacutesica o realrdquo que es la de un ser cuyos
atributos de definicioacuten son observables por los medios fiacutesicos conocidos y la existencia
ldquoficticiardquo que se puede atribuir a un ser cuyos atributos de definicioacuten no son contradictorios
con las leyes conocidas y aceptadas que se aplican a los seres naturales Asiacute pues una
ldquoreificacioacutenrdquo de una teoriacutea pasa de la existencia ficticia o mental a la existencia fiacutesica a traveacutes
de una ldquocomprobacioacuten experimentalrdquo Habitualmente las ciencias usan ldquoreificacionesrdquo que
112
soacutelo poseen existencia ficticia Tal sucede con los entes o conceptos definidos como
ldquocausasrdquo de los fenoacutemenos fiacutesicos Por ejemplo el calor causa de las variaciones de
temperatura las fuerzas causa de las variaciones de la velocidad la luz causa de los
fenoacutemenos oacutepticos etc una prueba de esto es que verbigracia en 1955 Denis Gabor
presentoacute una teoriacutea oacuteptica en la cual no interveniacutea para nada la ldquosustanciardquo comuacutenmente
llamada luz Estas ldquocausasrdquo consideradas por las ciencias naturales quedan definidas por
atributos comunes a un conjunto de seres de existencia fiacutesica capaces de actuar por
ejemplo en el caso del calor sobre un termoacutemetro Esta accioacuten se expresa diciendo que
salvo en caso de un cambio de estado una aportacioacuten de calor a un cuerpo implica una
elevacioacuten de su temperatura No obstante hay que tener en cuenta que
termodinaacutemicamente el paso del calor de un cuerpo a otro soacutelo es posible si existe una
diferencia de temperatura entre los dos Es maacutes se considera corrientemente el calor como
una energiacutea en traacutensito ldquodebidardquo al gradiente teacutermico En cualquier caso la implicacioacuten
aparece pues como la expresioacuten ldquodialeacutecticardquo de la relacioacuten entre causa y efecto
Olvidar que a efectos praxeoloacutegicos y de realizacioacuten praacutectica una teoriacutea por si sola es decir
sin la tecnologiacutea adecuada para una correcta reificacioacuten puede tener resultados indeseados
incluso dramaacuteticos En efecto una teoriacutea ofrece un conjunto o serie de modelos que se
deducen unos de otros se tienen tambieacuten todos los atributos eliminados para construir los
modelos que pertenecen al campo de predicados de los seres en cuestioacuten Para un ser dado
los atributos que hay que antildeadir a su modelo para reconstruir el original es la ldquotecnologiacuteardquo
de ese modelo Un ejemplo dramaacutetico ocurrido hace antildeos en Francia muestra la
importancia de la tecnologiacutea En una mina hubo necesidad de construir un ascensor para
subir hombres y productos de su interior Se hizo normalmente tal y como se muestra en la
figura III7(a) con un aacuterbol y un manguito sobre el cual se encontraba el tambor del
ascensor Primera fase del razonamiento Despueacutes se aplicoacute el caacutelculo a la determinacioacuten del
diaacutemetro del aacuterbol segunda fase del razonamiento A continuacioacuten se construyoacute el original
con esos datos lo que corresponde a la tercera fase Finalmente se comproboacute tras
distintas pruebas que el ascensor podiacutea soportar toda la carga que se le pondriacutea y mucha
maacutes De ahiacute se concluyoacute que los caacutelculos eran correctos y que el ascensor aguantariacutea sin
problemas es decir el estudio ldquocientiacuteficordquo del ascensor era perfecto Pero sucedioacute la
tragedia Unos antildeos despueacutes de funcionar con toda normalidad el ascensor se rompioacute y
once mineros cayeron a 250 metros de profundidad y murieron iquestQueacute pasoacute Sencillamente
que faltaba un punto de tecnologiacutea En efecto en una construccioacuten mecaacutenica nunca hay que
dejar un aacutengulo entrante agudo La experiencia ensentildea y la tecnologiacutea corrobora que los
113
aacutengulos entrantes son un peligro de ruptura y tal y como se muestra en la figura III7 (b)
deben ser sustituidos por caretos El ingeniero que realizoacute el proyecto del ascensor conociacutea
perfectamente la mecaacutenica racional la elasticidad la resistencia de materiales pero
ignoraba o se olvidoacute de ese aspecto tecnoloacutegico de que no se hace nunca un aacutengulo
entrante
Figura III7 Importancia de la Tecnologiacutea
Es eacuteste un buen ejemplo ademaacutes de que cuando se razonaba sobre un modelo abstracto
en relacioacuten con el original hay que pensar y tener en cuenta toda la tecnologiacutea que se quedoacute
en el tintero Sin contar por supuesto con que muchas veces al hacer la abstraccioacuten con el
agua sucia tambieacuten se arroja el nintildeo pequentildeo Esto lleva a plantearse la cuestioacuten siguiente
Cuando se tiene un modelo verificado un ser ficticio que se espera que exista en la realidad
iquestQueacute se le pide Sencillamente que sea admisible en cierto grado Se pide que le modelo
transformado pueda interpretarse Es decir en este estadio basta con ser admisible pues se
tiene soacutelo un ser admisible y no todaviacutea un ser real o cuando menos un ser cuya existencia
se ha comprobado Es un ser teoacuterico sin experiencia o mejor experimentacioacuten que lo avale
Por eso una futura liacutenea de trabajo seraacute el integrar toda la tecnologiacutea de desarrollo
software existente dentro de la teoriacutea propuesta
114
115
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Cuando uno observa la abundante bibliografiacutea existente para la solucioacuten de problemas se
encuentra con que todas empiezan expliacutecita o impliacutecitamente con el paso conocido como
ldquoidentificacioacuten del problemardquo(Polya 1945) (De Bono 1970) (Wickelgren 1974) (Deutsch
1998) (Marinoff 2000) hellip pero curiosamente ninguna define peor auacuten ni siquiera
describe lo que es un problema Por eso aquiacute siguiendo a Juan Pazos (Pazos 1987) se va a
primero describir y luego definir formalmente queacute se entiende por problema Para
empezar decir que todo el mundo sabe o cree saber queacute es un problema sobre todo
cuando se le presenta uno es decir cuando ya le viene dado La cosa es maacutes peliaguda
cuando de lo que se trata y eso es lo importante de adelantaacutendose a los acontecimientos
identificar situaciones que si no se toman medidas inexorablemente acabaraacuten
convirtieacutendose en problemas Es decir se trata maacutes de prevenir que de curar
Dicho lo cual quizaacutes sea una cuestioacuten a la vez superflua y marginal el preguntarse queacute es
un problema por la sencilla razoacuten de que todo el mundo sabe lo que es un problema sobre
todo cuando se le presenta uno Sin embargo no es asunto baladiacute el definir de modo
preciso lo que se entiende por problema en general En cualquier caso el dar una definicioacuten
de problema es importante como paso previo para obtener una solucioacuten al mismo
Una persona se enfrenta a un problema cuando desea algo y no conoce inmediatamente
queacute accioacuten o serie de acciones debe ejecutar para conseguirlo El objetivo deseado puede
ser algo muy tangible tal como una manzana para comer o abstracto como sucede en la
demostracioacuten de un teorema Puede ser un objetivo fiacutesico o un conjunto de siacutembolos Las
acciones implicadas en la obtencioacuten de los objetos deseados incluyen acciones fiacutesicas
actividades perceptuales y actividades puramente ldquomentalesrdquo como juicios de similaridad
recuerdos y otras Es decir tener alguna idea de en queacute consiste realmente un problema es
lo mismo que especificar cuaacuteles son las condiciones para que exista un problema y cuaacuteles
son sus componentes Estas condiciones en su caso maacutes simple son
1 Debe existir al menos un ldquoindividuordquo hombre o maacutequina la cuestioacuten en principio es
irrelevante dentro de un marco de referencia o medio ambiente a quien se le pueda
116
atribuir el problema Este marco de referencia viene definido por las variables
incontrolables
2 El individuo debe tener por lo menos dos cursos de accioacuten alternativos es decir debe
poder efectuar una seleccioacuten del comportamiento Un curso de accioacuten se define por
uno o maacutes valores cualitativos o cuantitativos de las variables controlables
3 Cuando menos tienen que existir dos resultados posibles de su seleccioacuten uno de los
cuales debe tener mayor aceptacioacuten que el otro Es decir debe haber como miacutenimo un
resultado que eacutel quiera o sea un objetivo o meta
4 La seleccioacuten de cualquiera de las soluciones debe repercutir de una manera diferente
en los objetivos del sistema es decir existe una eficiencia y o efectividad asociadas
con cada solucioacuten que obviamente deben ser diferentes
5 El individuo tiene un problema uacutenicamente si ignora cuaacutel es el mejor curso de accioacuten y
desea conocerlo Ademaacutes debe tener dudas respecto a la solucioacuten
En resumen se puede decir que un individuo tiene un problema si eacutel quiere algo tiene
formas alternativas de perseguir ese algo pero con distintas eficiencias para conseguirlo y
duda acerca del mejor curso de accioacuten a tomar
Ciertamente las situaciones problemaacuteticas pueden ser mucho maacutes complejas que la que se
acaba de describir En efecto es faacutecil ver coacutemo dicha complejidad puede aumentar por una
combinacioacuten de las siguientes condiciones
1 El problema en vez de recaer en el individuo atantildee a un grupo
2 El entorno o marco de referencia donde se encuentra el grupo cambia de forma
dinaacutemica de modo que afecta a la efectividad de los cursos de accioacuten o de los valores
de los resultados
3 El nuacutemero de cursos de accioacuten alternativos puede ser muy grande aunque finito
4 Del mismo modo el nuacutemero de metas tambieacuten puede ser muy grande y
adicionalmente dichas metas pueden no ser necesariamente consistentes
117
5 Las alternativas pueden ser ejecutadas por otro grupo ajeno aunque no
independiente del problema
6 Los efectos de la decisioacuten tomada por el grupo afectan a otros grupos cuya reaccioacuten
puede ser favorable o desfavorable
En otros teacuterminos un problema no estaacute cabalmente definido o no es digno de
consideracioacuten formal a menos que cumpla las condiciones siguientes
A) Estar expresado en una terminologiacutea claramente entendible para el potencial
solucionador del problema
B) La forma y notacioacuten para la solucioacuten debe estar convenida
C) Identificacioacuten de los datos relevantes sobre los que puede basarse una solucioacuten
D) Convencioacuten acerca de alguna de las unidades sobre la validez o aceptabilidad de las
soluciones propuestas
Aunque estas caracteriacutesticas son naturales a cualquier proceso de solucioacuten de problemas
con computador con frecuencia se ignoran faacutecilmente en situaciones de resolucioacuten de
problemas humanos informales Una razoacuten importante del uso de los computadores para
ayudar a las personas a solucionar problemas estriba precisamente en que el proceso de
describir el problema al computador obliga al hombre a dotar al problema de las
caracteriacutesticas anteriores y en consecuencia a clarificar su propio pensamiento difuso El
uso de la GC permitioacute como muestra esta tesis definir cabalmente el problema y lo que
es maacutes importante dilucidar su posibilidad o no de solucioacuten previamente su factibilidad y
eventualmente una propuesta efectiva de solucioacuten
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS
La razoacuten de ser de esta teoriacutea es la informacioacuten En primer teacutermino hay que sentildealar que al
contrario de lo que ocurre con las ciencias tradicionales la informacioacuten como lo sentildealoacute
Wiener no es ni materia ni energiacutea En segundo lugar hay que enfatizar que la informacioacuten es
una abstraccioacuten que soacutelo adquiere realidad cuando tiene una representacioacuten fiacutesica En tercer
lugar es imposible considerar la informacioacuten sin tener en cuenta los dispositivos tanto
118
naturales como artificiales que la procesan Finalmente estaacute el asunto de la gradualidad la
informacioacuten puede presentarse como un simple dato o como una compleja ontologiacutea Todos
estos puntos se explican maacutes detenidamente a continuacioacuten
Antes de pasar a describir los elementos que aquiacute se proponen como fundamento de una
teoriacutea en CS es necesario considerar las caracteriacutesticas y peculiaridades que tiene la CS para
que dicha teoriacutea esteacute bien arraigada y asentada en la realidad y no en meras especulaciones
carentes de base Dicho lo anterior lo primero que hay que sentildealar es que la CS es una nueva
ciencia y en consecuencia es trascendental entender adecuadamente su naturaleza y
caraacutecter Como lo sentildealoacute Hartmanis (Hartmanis 1993) el fracaso de la informaacutetica en
acomodarla a los meacutetodos habituales de las ciencias de la naturaleza viene dado de ese
caraacutecter especial que la conforma haciendo que la teoriacutea y los experimentos en informaacutetica
sean peculiares y jueguen un papel considerablemente distinto Lo que actualmente se
consideran ldquoteoriacuteasrdquo informaacuteticas no compiten entre siacute acerca de cual explica mejor la
naturaleza de la informacioacuten Ni se desarrollan nuevas teoriacuteas para reconciliar la ldquoteoriacuteardquo
existente con los resultados experimentales que revelan anomaliacuteas inexplicadas o nuevos o
inesperados fenoacutemenos De hecho en informaacutetica no existen hasta el presente experimentos
cruciales que decidan acerca de la validez de las ldquoteoriacuteasrdquo existentes entre otras cosas porque
dichas teoriacuteas no existen Esto tiene entre otras una consecuencia al menos a primera vista
indeseable desde el punto de vista cientiacutefico y sin embargo importante cual es que los
avances en informaacutetica son con frecuencia validados y documentados mediante
ldquodemostracionesrdquo (demos) antes que mediante experimentos cruciales como en las ciencias
duras o demostraciones formales como en loacutegica y o matemaacuteticas Y es papel de las ldquodemosrdquo
mostrar la posibilidad o capacidad de lo que se pensaba que era importante o no factible de
modo que influencian y condicionan la agenda y direccioacuten de la investigacioacuten en informaacutetica lo
que estaacute lejos de ser satisfactorio desde el punto de vista del rigor cientiacutefico Esto lleva a
considerar las caracteriacutesticas que hacen tan peculiar esta nueva ciencia y que de forma
sucinta son las siguientes
A) El Objeto de Estudio La Informacioacuten y sus Procesos El objeto de estudio de la CS no es
contra lo que habitualmente se piensa ni exclusiva ni principalmente las computadoras
sino la informacioacuten y sus estructuras y los procesos que actuacutean sobre ella Dichas
estructuras y procesos son ubicuos en la naturaleza de modo que aparecen tanto en los
cerebros de los animales y en particular de los seres humanos como en los procesos
geneacuteticos y maacutes concretamente en el ADN Y de forma no natural la informacioacuten se
119
procesa en las computadoras Lo trascendental aquiacute es que el objeto de estudio la
informacioacuten que es la razoacuten de ser de la CS no es como ocurre en las ciencias
tradicionales y sentildealoacute Wiener ni materia ni energiacutea aunque como lo indicoacute David
Chalmers siguiendo a Wheeler (Horgan 1994) la informacioacuten es una propiedad de la
realidad tan esencial como la materia y la energiacutea Es decir la CS estaacute concernida por una
parte con el tema abstracto de la informacioacuten que adquiere realidad soacutelo cuando tiene
una representacioacuten fiacutesica y por otro con los dispositivos y sistemas tanto hardware como
software artificiales esto es hechos por el ser humano que procesan dichas
representaciones Su meta es dotar a esos dispositivos de procesamiento de tanto
comportamiento inteligente como sea posible En consecuencia una teoriacutea completa debe
abarcar tanto la CS como el ADN o el Cerebro y cualquier otro sistema tanto natural como
artificial que generase o maneje informacioacuten
B) Escalabilidad Gradualidad Ademaacutes de complejos muchos productos software son
enormes En los desarrollos software como por otra parte en muchos otros campos de la
vida lo cuantitativo afecta a lo cualitativo Parte de la habilidad de un buen profesional
estriba en saber que teacutecnicas aumentaraacuten (ldquoscale uprdquo) soacutelo porque el tamantildeo no fue
planificado Con frecuencia un ldquogranrdquo sistema es justo un pequentildeo sistema que crecioacute
De lo anterior se colige que una de las caracteriacutesticas peculiares tal vez la maacutes importante
de la CS es la inmensa diferencia de escala de los fenoacutemenos que trata Dicha escala va
desde unos pocos datos y programas que afectan a los problemas individuales habituales
hasta los billones de operaciones por segundo en los distintos sistemas operativos
compiladores y lenguajes en que se describen los problemas pasando por los millones de
datos y registros de los grandes sistemas de informacioacuten que abordan tanto problemas de
gestioacuten como cientiacuteficos En este uacuteltimo aspecto cabe destacar el uso de sistemas
informaacuteticos para demostracioacuten de conjeturas matemaacuteticas a un nivel similar a la prueba
del uacuteltimo teorema de Fermat El caso paradigmaacutetico en este aspecto es la demostracioacuten de
la conjetura de Kepler que algunos la consideraban como la mejor candidata para
reemplazar al uacuteltimo teorema de Fermat como el mayor enigma actual sin resolver en
matemaacuteticas (Singh 1998) A lo que la doctoranda antildeade la hipoacutetesis de Riemann sin duda
el gran desafiacuteo
C) Prometeo versus Epimeteo La potencia ldquoexponencialmenterdquo creciente de las
computadoras hace que en la consideracioacuten de informacioacuten y su proceso la gente tienda a
120
comportarse maacutes como Epimeteo que como seriacutea lo correcto como Prometeo La
mitologiacutea griega (Seeman 1958) cuenta que en Grecia habiacutea dos hermanos Prometeo el
que primero piensa y luego actuacutea y Epimeteo quien primero actuaba y luego pensaba Si el
primero fue castigado por los dioses por robarle el fuego del conocimiento el segundo
castigoacute a la humanidad al regalarle Pandora la famosa caja de la que cuando
imprudentemente la abrioacute salieron de ella todos los males Asustado ante tanto estropicio
ignorantemente cerroacute la caja cuando lo que quedaba en ella era justamente lo uacutenico
bueno la esperanza La moraleja es que como ha demostrado la historia de la ciencia en
CS lo que a primera vista parece lo maacutes adecuado muchas veces resulta no ser asiacute El caso
de los primeros intentos de emular a los paacutejaros para volar es ejemplar al respecto y hubo
que esperar a las leyes de Bernouille para poder desarrollar la aerodinaacutemica
D) Abstraccioacuten (Meyer 2001) Es la herramienta intelectual clave y en concreto consiste en la
capacidad para separar lo esencial de lo auxiliar para ver la idea que preside sobre la
realidad y que inicialmente puede estar oculta Baacutesicamente el anaacutelisis capaz de hacer
abstracciones es aquel capaz de abandonar el plano del sentido comuacuten de las cualidades
sensibles de la experiencia inmediata La modelizacioacuten informaacutetica de la realidad compleja
ha creado un espacio cada diacutea maacutes relevante para la ldquotercera viacutea del meacutetodo cientiacuteficordquo un
enfoque intermedio entre el procedimiento teoacuterico y el experimental Y es ahiacute justamente
donde nace lo que el premio Nobel Ken Wilson dio en llamar ldquoCiencia Computacionalrdquo o
por mejor decir ciencias y disciplinas computacionales verbigracia la matemaacutetica
computacional la fiacutesica computacional la quiacutemica computacional la biologiacutea
computacional la geologiacutea computacional la medicina computacional etc Todas ellas
trabajan con modelos matemaacuteticos y o informales e informaacuteticos abstractos no con
moleacuteculas sino con modelos de moleacuteculas no con la economiacutea nacional sino con un
montoacuten de matrices y ecuaciones no con un operador humano sino con un modelo de
coordinacioacuten vasomotora no con Pistol Star la mayor luminaria de la Viacutea Lactea una
estrella supuestamente nacida hace tres millones de antildeos que soacutelo se ve con el telescopio
espacial Hubble tal como era hace tres millones de antildeos ya que dista de nosotros 3x106
antildeos-luz sino con unas sentildeales recibidas por el Hubble y unas ecuaciones computacionales
En el laboratorio el centro de ldquoexperimentacioacutenrdquo es el computador La realidad ya no es
material o no exclusivamente material pues lo virtual es igual de real actualmente que lo
material El informaacutetico tienen que generar muchos niveles de abstraccioacuten para tratar con
los problemas que le conciernen y crear herramientas intelectuales para conceptuar
disentildear controlar programar y razonar acerca de las creaciones humanas maacutes
121
complicadas y todo ello realizado con una precisioacuten sin precedentes Los sistemas
hardware subyacentes con el que se efectuacutean las computaciones son maacutequinas universales
y por lo tanto son sistemas caoacuteticos en el sentido de que el maacutes miacutenimo cambio en sus
instrucciones puede originar arbitrariamente diferencias enormes en los resultados
obtenidos Eacutesta como es bien conocido es una propiedad inherente a los sistemas de
coacutemputo universales cuya teoriacutea hace claro que cualquier incremento de universalidad
impone un precio muy alto La precisioacuten teniendo en cuenta las exigencias de dicha
condicioacuten caoacutetica se consigue mediante sucesivas capas de abstraccioacuten implementadas
alrededor de las maacutequinas universales que ayudan a enfrentar los muchos oacuterdenes de
magnitud en la escala de distintos fenoacutemenos que aborden los problemas informaacuteticos
Dada la confusioacuten existente entre abstraccioacuten y generalizacioacuten se va a dar aquiacute un ejemplo
de ambas procedente de la literatura maacutes en concreto de la novela de Miguel de
Unamuno (Unamuno 1969) Niebla que aclaran la cuestioacuten En dicha novela el amigo del
protagonista Viacutector le explica a eacuteste Augusto la diferencia No veraacutes veraacutes si logro
explicaacutertelo Tuacute estabas enamorado sin saberlo por supuesto de la mujer del abstracto no
de eacutesta ni de aquella al ver a Eugenia ese abstracto se concretoacute y la mujer se hizo una
mujer y te enamoraste de ella y ahora vas de ella sin dejarla a casi todas las mujeres y te
enamoras de la colectividad del geacutenero Has pasado pues de lo abstracto a lo concreto y
de lo concreto a lo geneacuterico de la mujer a una mujer y de una mujer a las mujeres
E) Distincioacuten entre especificacioacuten e implementacioacuten Meyer (Meyer 2001) Este problema es
uacutenico al software porque trata con entidades virtuales eteacutereas Nadie confundiriacutea un
puente con el dibujo del puente o un automoacutevil con el plano de un automoacutevil Uno no
coloca el dibujo en el agua ni conduce y se mueve con el plano Pero en software la
distincioacuten con frecuencia estaacute lejos de estar tan clara A diferencia de lo que sucede en el
cuadro de Magritte uno se arriesga en software constantemente a confundir la pipa con
la pintura de la pipa Aprender a centrarse sobre el asunto real es parte de lo que se
necesita para llegar a ser un profesional del software Mantener esta distincioacuten
correctamente es el pan de cada diacutea de las discusiones software
- iexclEsto es soacutelo un detalle de implementacioacuten
- No realmente forma parte de lo que se quiere hacer
- iexclNo es soacutelo una manera de hacerlo
- iexclMuestra otra
122
- iexclNo importa que no se vea otra en este momento alguien lo haraacute
F) Recurrencia La cuestioacuten no estriba en absoluto en usar rutinas recurrentes eso no es maacutes
que una teacutecnica Lo importante es dominar el modo general de razonamiento y disentildeo que
define un concepto por aplicar su propia definicioacuten a alguna de sus partes Al principio es
complicado pero una vez que se ha aprendido a usar la recursioacuten adecuadamente se ha
ganado una potente herramienta intelectual aplicable a traveacutes del campo La poderosa viacutea
de la recursioacuten como teacutecnica de resolucioacuten de problemas es pertinente en multitud de
ocasiones y enunciada como principio general podriacutea rezar maacutes o menos asiacute ldquoSi
consiguiera resolver el problema en un caso algo maacutes sencillo tal vez pudiera utilizar esa
solucioacuten para el caso maacutes complejordquo Tal idea es la nocioacuten de recurrencia expliacutecitamente la
inclusioacuten en un procedimiento del propio procedimiento
Kurt Goumldel en el antildeo 1930 habiacutea enunciado un notorio principio filosoacutefico en el aacutembito de las
matemaacuteticas a partir de lo que se dio en llamar ldquosistemas autorreferencialesrdquo Por ejemplo en
frases del tipo ldquoEsta afirmacioacuten es falsardquo o ldquoYo estoy mintiendordquo tiene lugar un fenoacutemeno
denominado ldquobucle extrantildeordquo consistente en que si se asume que la frase es verdadera
entonces hay que concluir que la frase es falsa y reciacuteprocamente si se decide que es falsa
entonces hay que concluir que es verdadera Goumldel trasladoacute esta paradoja del lenguaje
conocida como ldquoparadoja del mentirosordquo al terreno de las matemaacuteticas en particular al de la
loacutegica dando lugar a numerosos trabajos para superarlas Sin embargo no siempre los
sistemas autorreferenciales son motivo de quebraderos de cabeza En efecto tanto en poesiacutea
como en tecnologiacutea o en juegos de sociedad a veces dan mucho de siacute Empezando por la
poesiacutea veacuteanse estos dos sonetos definiendo al propio soneto El primero debido a Diego
Hurtado de Mendoza que dice asiacute
Pediacutes Reina un soneto ya lo hago Ya tenemos a un cabo los cuartetos
Ya el primer verso y el segundo es hecho iquestQueacute me deciacutes Sentildeora iquestNo ando bravo
Si el tercero me sale de provecho Mas sabe Dios si temo los tercetos
Con otro verso el un cuarteto os pago iexclAy Si con bien este soneto acabo
Ya llego al quinto iexclEspantildea iexclSantiago iexclNunca en toda vida maacutes sonetos
Fuera que entro en el sexto iexclSus buen pecho Mas deste gloria a Dios ya he visto el cabo
Si del seacuteptimo salgo gran derecho
Tengo a salir con vida de este trago
123
El segundo fruto del Proliacutefico numen del Feacutenix de los Ingenios D Felix Lope de Vega y Carpio
aparece en su obra ldquoLa Nintildea de Platardquo y se titula ldquoDe Repenterdquo y puede calificarse de perfecto
Dice asiacute
Un soneto me manda hacer Violante Por el primer terceto voy entrando
Que en mi vida me he visto en tal aprieto Y parece que entreacute con pie derecho
Catorce versos dicen que es soneto Pues fin con este verso le voy dando
Burla burlando van los tres delante Ya estoy en el segundo y aun sospecho
Yo penseacute que no hallara consonante que voy los trece versos acabando
Y estoy en la mitad de otro cuarteto Contad si son catorce y estaacute hecho
Maacutes si me veo en el primer terceto
No hay cosa en los cuartetos que me espante
En el terreno de la tecnologiacutea es notorio el caso como se ve en la figura IV1 de la definicioacuten
de ldquomapa de conocimientordquo en teacuterminos de un mapa de conocimientos (del Moral 2007)
Figura IV1 Autodefinicioacuten de Mapa de Conocimiento
Finalmente estaacute el juego de ldquoWishrdquo que consiste en que uno da una palabra del diccionario
cualquiera luego los demaacutes participantes por turno va estableciendo como en un aacuterbol
todas las palabras del diccionario que la definen y a su vez las palabras que definen a eacutestas
etc hasta que necesariamente (dado que el diccionario es autocontenido o sea todas las
palabras del diccionario se definen en teacuterminos de dichas palabras) aparece una repeticioacuten
124
La autorreferencia es decir la posibilidad de que una cierta entidad linguumliacutestica matemaacutetica o
computacional se refiera a siacute misma da lugar a razonamientos circulares y paradojas
enigmaacuteticas Un ejemplo es la ya citada paradoja del mentiroso de la que existen muacuteltiples
versiones La maacutes simple consististe en una sola frase que afirma su propia falsedad ldquoEsta
frase es falsardquo No puede ser cierta ni falsa sin caer en una contradiccioacuten Consideacuterese otro
ejemplo linguumliacutestico Se clasifican los adjetivos calificativos en dos grupos se llamaraacuten
autoacuteclitos a los adjetivos que pueden aplicarse a siacute mismos y heteroacuteclitos a los que no pueden
aplicarse a siacute mismos Por ejemplo el adjetivo ldquoesdruacutejulordquo es autoacuteclito porque esdruacutejulo es
una palabra esdruacutejula y ldquopentasiacutelabordquo que es una palabra con cinco siacutelabas y por tanto
pentasiacutelaba Es difiacutecil dar maacutes ejemplos puesto que la mayoriacutea de los adjetivos como
ldquoblancordquo ldquofranceacutesrdquo o ldquoestrechordquo son heteroacuteclitos Ahora inteacutentese responder a la siguiente
pregunta iquestes el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo autoacuteclito o heteroacuteclito Si es autoacuteclito entonces se
aplica a siacute mismo y es por tanto heteroacuteclito y siacute es heteroacuteclito entonces no se aplica a siacute
mismo y no puede ser heteroacuteclito De nuevo una frase el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo es heteroacuteclito
afirma su propia falsedad Un curioso juego el Nomic en el que los jugadores cambiaban las
reglas del propio juego a lo largo de la partida (de hecho las reglas iniciales del juego
simplemente estableciacutean los mecanismo para modificarlas) es otro ejemplo Pero la
autorreferencia no soacutelo da lugar a paradojas o a grandes teoremas El maacutes familiar y maacutes
misterioso fenoacutemeno de la Naturaleza la conciencia que los seres humanos tienen de siacute
mismos es en uacuteltima instancia un tipo de autorreferencia
Un nuevo ejemplo de autorreferencia que sin duda atrae mucho la atencioacuten es la foacutermula de
Tupper (Parrondo2007) que tienen la sorprendente propiedad de dibujarse a siacute misma en el
plano La foacutermula es la siguiente
Figura IV2 Autorretrato de la foacutermula de Tupper
125
En ella aparecen dos siacutembolos que quizaacutes algunos no conozcan aunque son habituales en
matemaacuteticas El primero de ellos es x y es la parte entera de x es decir el entero
inmediatamente por debajo de x Por ejemplo 2452 = Como se ve la parte entera de un
nuacutemero es simplemente lo que hay a la izquierda de la coma decimal La otra funcioacuten que
aparece en la foacutermula de Tupper es la funcioacuten ldquomoacutedulordquo mod (xz) que es igual al resto que se
obtiene cuando se divide x entre y Por ejemplo mod(3617)=2
La foacutermula establece una condicioacuten para el par x y Si se colorean de negro en el plano (xy) los
puntos que verifican la condicioacuten se obtendraacute un dibujo una imagen infinitamente grande
puesto que el plano (xy) es infinito Pues bien en un lugar de esa imagen infinita en concreto
en la regioacuten definida por 0ltxlt106 kltyltk+17 en donde k es un nuacutemero enorme de 542 cifras
aparece lo que se muestra en la figura IV2 es un autentico ldquoautorretratordquo matemaacutetico
iquestCoacutemo llegoacute Tupper a concebir algo tan sorprendente y tan extrantildeo En realidad no es tan
difiacutecil porque la foacutermula de Tupper no soacutelo se dibuja a siacute misma sino que dibuja cualquier
imagen de 17 piacutexeles de altura y ancho arbitrario Para convencerse de ello hace falta un
razonamiento un poco complicado aunque soacutelo utiliza matemaacuteticas elementales Analiacutecese la
foacutermula cuando y variacutea desde k hasta k+17 siendo k un muacuteltiplo de 17 es decir k=17r con r
un nuacutemero entero En toda esta regioacuten del plano
r17
y=
es constante Fijaacutendose ahora en el exponente de 2 en la foacutermula (cambiado de signo) es
decir en la expresioacuten
( )17ymodx17n +=
En la figura IV3 se muestra coacutemo este exponente n variacutea en el plano Si se dibuja una trama de
piacutexeles cuadrados de lado unidad n toma un valor distinto en cada uno de ellos tal y como se
indica en la figura Para convencerse de ello basta darse cuenta de que ( )17ymod es un
entero que variacutea de 0 a 16 cuando y va desde k=17r hasta k+17 mientras que el teacutermino
x17 salta de 17 en 17 cuando se avanza de una columna a la siguiente
126
Figura IV3 Variacioacuten del exponente n pixel a pixel
Veacutease ahora el paso crucial para entender la foacutermula de Tupper La desigualdad
( ) 22rmod2
1 nminuslt
se puede analizar de forma sencilla si se expresa r en base 2 Supoacutengase que r es en binario
1011001 y que n=5 Para dividir r entre 25 basta colocar la coma decimal cinco lugares a la
izquierda de la uacuteltima cifra es decir r2-5=1011001 El moacutedulo 2 de este nuacutemero se obtiene
eliminando las cifras a la izquierda de la primer cifra entera mod(r2-52)=011001 Finalmente
la parte entera de este nuacutemero es simplemente la cifra que queda a la izquierda de la coma
decimal en este caso 0 Por lo tanto el miembro de la derecha de la desigualdad no es maacutes
que la cifra n+1 de r empezando por la derecha Si esta cifra es un 0 la foacutermula es falsa Si es
un 1 es verdadera y generaraacute un piacutexel negro en el lugar correspondiente al exponente n
Con todo ello se puede encontrar en queacute regioacuten del plano se dibuja la foacutermula de Tupper de
cualquier imagen Basta escribir un nuacutemero binario entero r con unos y ceros en donde se
quiere que haya piacutexeles negros y blancos respectivamente Si se tiene que escribir r de
derecha a izquierda mientras si sigue los piacutexeles de la imagen en el orden especificado en la
figura IV3 (desde n=0 hasta el valor que se quiera) Una vez que se obtiene r de esta forma se
multiplica por 17 y se obtiene k=17r La imagen buscada estaraacute en la franja que va de y=k hasta
127
y=k+17 y de x=0 hasta el valor de x en el que termina la imagen que puede ser tan ancha
como se quiera (los piacutexeles a la derecha del uacuteltimo codificado en el nuacutemero r seraacuten blancos)
La foacutermula no da lugar a ninguna paradoja pero no es soacutelo autorreferente sino una auteacutentica
Biblioteca de Babel Dibuja todas las posibles imaacutegenes de 17 piacutexeles de altura y de anchura
arbitraria y como en 17 piacutexeles de altura es faacutecil dibujar cualquier letra del abecedario y
cualquier signo de puntuacioacuten entonces la foacutermula ldquoescribiraacuterdquo en alguna remota franja del
plano y como si se tratara de un rudimentario teletipo el Quijote entero desde su primera
hasta su uacuteltima letra o cualquier otro libro escrito o por escribir
G) Informacioacuten oculta Decidir lo que se exporta al resto del mundo y lo que uno guarda para siacute
mismo es una capacidad que los desarrolladores del software adquieren soacutelo a traveacutes de
una combinacioacuten de buenos ejemplos y praacutectica
H) Reutilizacioacuten El buen desarrollador de software se da cuenta de que una clave para dejar la
ldquomarca de faacutebricardquo es saber cuaacutendo se puede contar con alguacuten trabajo anterior para
resolver el problema en curso Reutilizar bien es una habilidad producir resultados para
que otros los empleen es el signo de que se es un maestro El uso de ontologiacuteas es aquiacute
esencial
I) Pleacutectica o coacutemo vencer la complejidad Los sistemas software son ambiciosas empresas
intelectuales verdaderamente alguno de los sistemas maacutes complejos jamaacutes concebidos
por la humanidad y la complejidad amenaza con engullirse el proyecto en cada estadio Los
expertos saben coacutemo reconocer la simplicidad esencial maacutes allaacute de un aparente embrollo A
esta propiedad el Nobel de fiacutesica Gell-Man le denomina ldquoPleacutecticardquo (Gell-Man 1996) que el
mismo define como el estudio de la simplicidad y la complejidad Uno de sus fines es
establecer claramente cuaacutendo la adicioacuten de nuevos elementos (reglas datos etc)
simplemente complica las cosas sin antildeadir nada esencial
J) Disentildeo para el cambio El software puede cambiar debe cambiar y de hecho cambia maacutes
que cualquier artefacto de ingenieriacutea de cualquier otro tipo A menos que los
desarrolladores apliquen minuciosamente principios arquitectoacutenicos estrictos el proceso
de cambio puede ser penoso especialmente para grandes sistemas Mucha de la
justificacioacuten para los modernos meacutetodos lenguajes y herramientas es la expectativa de que
facilitaraacuten este proceso Aprender los principios del disentildeo para el cambio y presentar
claramente sus beneficios es algo esencial
128
K) Clasificacioacuten Una de las ensentildeanzas extraiacutedas de la programacioacuten orientada a objetos POO
es que una manera de atacar la complejidad es organizar lo ldquoenfollonadordquo en embrollos
maacutes pequentildeos y repetir el proceso
L) Tipificacioacuten La nocioacuten de que dando a todo una tipificacioacuten produce elementos software
correctos documentarlos y hacerlos utilizables efectivamente es otra realizacioacuten que puede
afectar profundamente el entendimiento del campo del profesional del software
Cuestiones y teacutecnicas de tipificacioacuten van a traveacutes de la especificacioacuten hasta la
implementacioacuten y documentacioacuten La profesioacuten de desarrollador software tiene a gala
haber tomado el estudio y la construccioacuten de sistemas tipo maacutes que cualquier otra
disciplina dominar su poder es necesario para llegar a ser un buen profesional
M) Constricciones La praacutectica de algoritmos estructuras de datos moacutedulos y sistemas con
restricciones precisas garantiacuteas e invariantes da con mucho un mejor control sobre lo que
se hace Una vez dominada esta habilidad es para siempre
N) Manejo de excepciones La mayoriacutea de la gente en su vida cotidiana y los desarrolladores
de software no son en esto una excepcioacuten considera soacutelo las cosas o situaciones maacutes
comunes y o deseables sin embargo un buen profesional debe preocuparse
constantemente tambieacuten por las situaciones anormales Soacutelo a traveacutes de teacutecnicas
conceptuales sistemaacuteticas puede evitarse el ahogarse en las partes supuestamente
interesantes del razonamiento en miriacuteadas de previsiones y casos excepcionales En este
sentido la CS tiene maacutes que ver con la acutePatafiacutesica que es el estudio y anaacutelisis de las
excepciones que con la Fiacutesica que trata de leyes lo maacutes generales posibles
La lsquoPatafiacutesica palabra que seguacuten Arrabal (debe llevar siempre apoacutestrofe pegado a la
izquierda de la P mayuacutescula) en realidad es la disciplina que sin disciplina alguna propone
soluciones imaginarias En su diacutea se presentoacute en sociedad como ciencia de lo particular sin
dejarse atropellar por la afirmacioacuten positivista de que soacutelo hay ciencia de lo general En
plena iexcllocura estudia las leyes que rigen las excepciones e ilumina o explica el universo
suplementario o supremamente Para Shatuk (Shatuk 1996) Toda ley es por definicioacuten
general en el sentido de que generaliza todos los hechos observados En otro caso se estaacute
ante lo que el movimiento dadaiacutesta denominoacute lsquoPatafiacutesica Para ellos la ciencia de las
soluciones imaginarias no de lo real y ademaacutes es la ldquocienciardquo de lo particular es decir de
las ldquoleyesrdquo que gobiernan las excepciones En un sentido similar Alfred Jarry (Jarry 2003)
dice La lsquoPatafiacutesica cuya etimologiacutea debe escribirse epi (microετατα-ϕυσιχα) y cuya ortografiacutea
129
real es lsquoPatafiacutesica con apoacutestrofo para evitar un faacutecil retruecano es la ciencia que se antildeade
a la metafiacutesica asiacute sea en ella misma como fuera de ella extendieacutendose maacutes allaacute de eacutesta
tanto como ella misma se extiende maacutes allaacute de la fiacutesica Para Jarry los fundamentos de la
lsquoPatafisiacuteca son los siguientes
a) La lsquoPatafiacutesica es la ciencia de lo que se antildeade a la metafiacutesica En consecuencia su
dominio queda por debajo de eacutesta
b) Es la ciencia de las leyes que rigen lo excepcional Un epifenoacutemeno es lo que se antildeade a
un fenoacutemeno puesto que a menudo el epifenoacutemeno es el accidente la lsquoPatafisiacuteca seraacute
sobre todo la ciencia de lo particular por maacutes que suela decirse que soacutelo hay ciencia en
general Estudiaraacute por tanto las leyes que rigen las excepciones y explicaraacute el universo
suplementario de eacuteste O menos ambiciosamente descubriraacute un universo que pueda y
quizaacutes deba verse en lugar del tradicional ya que las leyes del universo tradicional que
se ha creiacutedo descubrir son tambieacuten correlaciones de excepciones aunque maacutes
frecuentes o en todo caso correlaciones de hechos accidentales que reducieacutendose a
excepciones poco excepcionales carecen del atractivo de la singularidad
c) Es la ciencia de las soluciones imaginarias que acuerda simboacutelicamente a los
lineamientos de los objetos las propiedades de eacutestos descritas por su virtualidad La
ciencia actual seguacuten los patafiacutesicos se funda sobre el principio de la induccioacuten lo cual
es falso La mayoriacutea de los hombres ha visto que tal o cual fenoacutemeno precede o sucede a
tal otro y concluye que siempre ocurriraacute asiacute En primer lugar esto es cierto solamente a
menudo depende de un punto de vista y estaacute codificado por la comunidad o por algo
peor En lugar de enunciar la ley de la caiacuteda de los cuerpos hacia un centro iquestpor queacute no
ha de preferirse la ascensioacuten del vacioacute o hacia una periferia tomaacutendose el vaciacuteo como
unidad de no-densidad hipoacutetesis eacutesta mucho menos arbitraria que la eleccioacuten del agua
como unidad concreta de densidad positiva
d) A los ojos de la lsquoPatafisiacuteca todo tiene el mismo valor y es en esencia imperturbable
e) Otros finalmente creen que la lsquoPatafisiacuteca es la ciencia basada en la observacioacuten de lo
inuacutetil y lo absoluto
Naturalmente la doctoranda soacutelo toma de la `Patafiacutesica el que en CS hay que considerar
y tener muy en cuenta las excepciones Lo demaacutes es puro surrealismo
130
O) Efecto Peneacutelope Falsas Maniobras Errores y Depuracioacuten Una parte importante de la vida
de los desarrolladores de software se gasta tratando con cosas que no funcionan coacutemo
deberiacutean De hecho los profesionales del software son los mayores expertos del mundo en
desarreglos Ensentildear a tratar estos desarreglos es fundamental a cualquier profesional del
software En el lenguaje de la construccioacuten se llaman ldquofalsas maniobrasrdquo a todas aquellas
actividades que se realizan en una obra de forma innecesaria bien sea por defectos de
disentildeo desarrollo del proyecto o improvisacioacuten al no haber sido tenidas en cuenta en la
planificacioacuten y programacioacuten de la ejecucioacuten de la obra Este inevitable hacer y deshacer
por improvisacioacuten falta de estudio previo o coordinacioacuten en el desarrollo y ejecucioacuten de un
proyecto en el mejor de los casos concierne a la eficiencia del proceso elevando los costes
del mismo y alargando innecesariamente los plazos de entrega de los productos
terminados pero en el peor lleva a fallos del mismo que inciden en la seguridad del
sistema en el que participan
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES
Y HOLONES
La teoriacutea propuesta se basa en soacutelo dos elementos fundamentales o constructos conceptuales
siguientes
IV31 INFORMOacuteN
IV311 DEFINICIOacuteN
Cualquier teoriacutea acerca de la informaacutetica en general y del disentildeo y desarrollo software maacutes en
concreto tiene que considerar esto es establecer y definir el elemento fundamental de la
misma la informacioacuten y su componente baacutesico el ldquoinformoacutenrdquo Etimoloacutegicamente informacioacuten
procede del teacutermino latino ldquoinformarerdquo cuyo significado de ldquoinformrdquo y ldquoarerdquo es ldquodar formardquo y
del sufijo griego ldquoonrdquo entidad ser partiacuteculas que fusionadas dan ldquoser informacionalrdquo o ldquoser
con formardquo Es decir informoacuten es una entidad informacional Analiacutecese ahora el teacutermino
informacioacuten Si se busca en los diccionarios uno se encuentra que seguacuten el DRAE Informacioacuten
es la accioacuten y efecto de informar e informar es dar noticia de algo (RAE 2001) Por su parte en
el Websterrsquos New World Dictionary (Guralnik 1986) se encuentran entre otros los siguientes
significados noticias conocimiento adquirido de cualquier manera hechos datos etc En
efecto y eso es lo que es trascendental aquiacute la informacioacuten puede presentarse en forma de
131
datos noticias y conocimientos Este enfoque coincide tal y como se muestra en la tabla IV1
con multitud de autores (Lage 2004) salvo que alguno de ellos reducen toda la informacioacuten a
lo que maacutes adecuadamente debe denominarse noticias
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Aamont amp Nygord
Entidades sintaacutecticas es decir Patrones sin significado Entradas a un proceso de interpretacioacuten Paso iniciado de la toma de decisioacuten
Datos interpretados o con significado Salida del proceso de interpretacioacuten Entrada al proceso de decisioacuten basado en conocimientos
Noticias aprendidas o incorporadas a los recursos de los agentes de razonamiento y utilizables de forma activa en los procesos de decisioacuten Salida del proceso de aprendizaje Aspecto pragmaacutetico
Alter Beckman Spek van
der amp Spijkervert
Hechos imaacutegenes o sonidos Datos formateados filtrados interpretados y dotados de significado
Ideas Intuiciones Procedimientos Reglas que guiacutean las acciones y soportan las decisiones es decir las noticias maacutes acciones maacutes aplicaciones
Arsac Nivel sintaacutectico Interesa posibles signos duracioacuten combinaciones
Nivel semaacutentico Comprensioacuten de signos Reglas para asignar sentido a etiquetas Son variables con el tiempo y el entorno o contexto
Nivel pragmaacutetico relativo al valor o utilidad de las noticias Depende fuertemente del tiempo
Bauer Bobrow
Cook Kleer amp Thomson
Nuacutemeros palabras sonidos imaacutegenes desorganizads
Datos ordenados y procesados en palabras significativas
Noticias dotadas de contenido contexto y comunidad de aceptacioacuten Es decir noticias puestas a producir por la gente
Bohn Materia prima Datos estructurados y organizados Algo que prescribe que hacer verbigracia la prediccioacuten
Blum
Elementos dados no interpretados al analista o solucionador del problema Por ejemplo nombre del paciente resultado de un test etc
Coleccioacuten de datos o elementos que contienen significado Por ejemplo registro meacutedico de un paciente que incluye los resultados del laboratorio y la diagnosis En Teoriacutea de Informacioacuten reducen la incertidumbre
Formalizacioacuten de las relaciones experiencia reglas etc por las cuales se forman las noticias a partir de los datos La formulacioacuten puede ser descriptiva o procesable por computadora En el segundo caso los conocimientos pueden expresarse como una foacutermula o como una coleccioacuten de estructuras relaciones y reglas El uso de los conocimientos sugiere generalmente la capacidad de inferir noticias a partir de las que ya estaacuten presentes
Cleveland
Observaciones sin digerir hechos sin pulir Aparecen como nuacutemeros letras palabras sin contexto y o organizacioacuten Tambieacuten pueden ser sentildeales dibujos artefactos
Datos estructurados y o organizados en un contexto Constan de hechos y datos organizados para describir problemas y situaciones Aparecen en forma de frases figuras objetos en un contexto particular
Noticias organizadas uacutetiles interiorizadas por un ente Constan de verdades y creencias perspectivas y conceptos juicios y expectativas metodologiacuteas y ldquosaber coacutemordquo Se acumulan integran y conservan en el tiempo y estaacuten disponibles para que sean aplicables y usables de forma idoacutenea en el momento oportuno y en el sitio adecuado
Davenport y Prusak
Hechos discretos y objetivos sobre acontecimientos Se describen mejor como registros estructurados de transacciones Los datos maacutes significativos transformados por Contextualizacioacuten categorizacioacuten caacutelculo correccioacuten o conclusiones = Noticias
Mensajes en forma de documento o comunicacioacuten audible o visible que tienden a cambiar la manera en que un receptor percibe algo y apunta a modificar su(s) criterio(s) y comportamiento Las noticias transformadas mediante comparacioacuten obtencioacuten de consecuencias conexiones o conversaciones devienen en conocimientos
Comprensioacuten total informada y confiable acerca de algo Es una mezcla fluiacuteda de experiencia estructurada valores informacioacuten contextual e internalizacioacuten experta que proporciona un marco para la evaluacioacuten e incorporacioacuten de nuevas experiencias e informacioacuten No es algo ordenado y simple Puede considerarse como un proceso o un producto Estaacuten muy proacuteximos a la accioacuten
Debenham Los datos son los objetos fundamentales e indivisibles de una aplicacioacuten
Las noticias son las asociaciones funcionales impliacutecitas entre los datos de una aplicacioacuten
Los conocimientos son las asociaciones funcionales expliacutecitas entre las noticias y o los datos de una aplicacioacuten
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores (continua)
132
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Gillette
Hechos organizados Siendo los hechos representaciones de fenoacutemenos y eacutestos lo que parece ser es decir lo que es percibido
Conceptos formados en la conciencia del perceptor Son datos seleccionados filtrados y usados para tomar decisiones o reforzar la posicioacuten de los usuarios Es decir son datos aplicados y uacutetiles Su valor es intriacutensecamente relativo a los usuarios
Noticias en accioacuten y movimiento Capacidad de reconocer comprender y seleccionar noticias y sus implicaciones Dice coacutemo aplicar las noticias y cuaacuteles buscar
Greenes and Shortliffe
Uacutenico punto de observacioacuten no interpretado Es decir el valor de un paraacutemetro especiacutefico Por ejemplo la lectura de la presioacuten arterial para una entidad particular (verbigracia un paciente) en un punto dado del tiempo
Datos organizados de manera que vehiculan significado
Se refiere a verdades generalizadas formadas a partir del anaacutelisis de las noticias utilizables De este modo los conocimientos incluyen ambos los resultados de estudios formales y hechos de sentido comuacuten suposiciones heuriacutesticas y modelos cualquiera de los cuales puede reflejar la experiencia o ldquoprejuiciosrdquo o preferencias de aquellos que interpretan los datos primarios Por ejemplo la noticia de que un paciente tiene hipertensioacuten es el resultado de aplicar una regla o criterio a los datos acerca de ese paciente Observaciones de varios de tales pacientes pueden conducir a nuevos conocimientos acerca de las relaciones entre hipertensioacuten y enfermedad cardiaca Datos y conocimientos son algo relativo en el sentido de que una afirmacioacuten factual (conocimiento) puede servir como dato en un nuevo contexto
Grenwood Materia prima Noticias vaacutelidas para una organizacioacuten especifica
Harris Datos+ ldquosustanciardquo+ propoacutesito Noticias + contexto + experiencia
Juristo y Pazos
Son elementos sintaacutecticos no estructurados y de contexto libre que denotan hechos y conceptos que se refieren al estado de las cosas y que en su forma maacutes simple se traducen en el valor que toma una variable verbigracia T =
11degC
Contienen elementos de datos relacionados y estructurados dentro de un contexto que les aporta significado Es decir es el significado que un ser inteligente atribuye a los datos a partir de las reglas convencionales empleadas para su representacioacuten Las noticias son foacutermulas escritas susceptibles de aportar conocimientos Por ejemplo
la frase ldquoel agua hierve a 100degCrdquo es una noticia
Constan por una parte de generalizaciones y abstracciones a partir de casos particulares y o concretos Por otra los conocimientos formalizan tanto las relaciones como la experiencia y permiten extraer nuevas noticias a partir de los datos y las noticias presentes o en uacuteltima instancia a explicitar noticias que soacutelo de modo impliacutecito estaacuten en los datos y las noticias existentes Los conocimientos sirven baacutesicamente para entender el mundo y resolver problemas En consecuencia los conocimientos conciernen baacutesicamente al aspecto pragmaacutetico o de utilizacioacuten de las noticias en general Asiacute el decir que ldquomuchos microbios perecen cuando se hierven a
100degCrdquo es un conocimiento que sirve para esterilizar agua contaminada y hacerla potable
Knapp Materia prima Noticias uacutetiles seleccionadas para ciertos trabajos
Kock y Moqueen
Vehiacuteculos de noticias y conocimientos
Lo relativo a hechos histoacutericos y descriptivos
Nuevo o modificado discernimiento o entendimiento predictivo
Kogut y Zander
Hechos ldquoamorfosrdquo Sentencias factuales o descriptivas Sentencias de coacutemo hacerlo esto es prescriptivos por ejemplo una receta
St Onge Materia prima Datos patroneados Capacidad para actuar
Vance Datos interpretados Noticias autenticadas
Zack Hechos en observaciones Datos en un contexto significativo Acumulacioacuten de noticias relevantes significativamente organizadas
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores
133
Conceptualmente para que se produzca informacioacuten debe existir alguacuten grado de
incertidumbre Como lo sentildealoacute Bateson (Bateson 1979) Informacioacuten es cualquier diferencia
que produce una diferencia Es decir si algo caracteriza a la informacioacuten es que es o produce
sorpresa (Schank 1996) Todo el mundo espera que la naturaleza o la gente o cualquier otra
entidad del tipo que sea se comporte de una cierta manera es decir sin incertidumbre pero
curiosamente cuando eso sucede asiacute la gente se aburre y hastiacutea Lo que hace que algo sea
digno de intereacutes y consideracioacuten es aquello que aparece organizado alrededor del concepto
de fracaso de expectativas Dicho de otro modo las previsiones cobran intereacutes no cuando se
cumplen sino justamente cuando fallan Por ello informacioacuten es el valor de la sorpresa
medida como el inverso de la probabilidad esperada de un evento o fenoacutemeno Es decir
cuando se habla de cualquier fenoacutemeno no es posible aprender algo vaacutelido de eacutel si estaacute
totalmente determinado
En consecuencia soacutelo hay informacioacuten si existe al menos un elemento de variabilidad Eacutesta
debe presentarse en diferentes estados cuyo nuacutemero debe ser muy finito Esto permite
determinar en queacute estado se encuentra dicho fenoacutemeno Formalmente Sea un fenoacutemeno
variable X que se presenta en un nuacutemero finito de estados infinneE entonces se dice que se
tiene informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando previamente se puede determinar el estado
actual del fenoacutemeno sometido a consideracioacuten Ei Dicho con otros teacuterminos de algo invariable
nada se puede decir que alguien no apostillara ya lo sabiacutea siempre fue y es asiacute En
consecuencia soacutelo puede haber informacioacuten si existe un elemento de variabilidad Eacutesta debe
presentarse como acaba de decirse en un nuacutemero finito de estados distintos pues en otro
caso no seriacutea posible considerarlos todos Entonces iquestcuaacutel seriacutea el significado de los no
considerados Lo uacutenico que se puede decir de ese fenoacutemeno finito es en queacute estado estaacute
actualmente Todo ello permite establecer la siguiente definicioacuten formal de informacioacuten Sea
un fenoacutemeno variable que se presenta en un nuacutemero finito de estados se dice que hay
informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando se determina previamente el estado actual del
fenoacutemeno sometido a consideracioacuten
Esta doctoranda teniendo en cuenta lo anterior define la informacioacuten del modo siguiente
ldquoUna diferencia causada por un proceso subyacente casi siempre dirigido por propuestas y o
intereses capaz de transformar una estructura cognitiva vehiculada por una coleccioacuten de
siacutembolos que tiene el potencial de alterar el estado cognitivo de un agente cognoscitivo que le
dota de significadordquo
134
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN
Los distintos elementos que intervienen en el manejo y transmisioacuten de la informacioacuten (Lage
2004) que establecen una categorizacioacuten en niveles de la misma son los siguientes Soporte
sentildeales signos datos noticias conocimientos y sabiduriacutea
La informacioacuten va desde la infraestructura que la vehicula formada por su soporte sentildeales y
signos a la superestructura que la usa para la accioacuten constituida por conocimientos y
sabiduriacutea pasando por la estructura conteniendo los datos y las noticias (que es lo que
habitualmente se denomina informacioacuten) Es decir los tres primeros elementos conforman la
infraestructura de la informacioacuten los dos del medio la estructura y los dos uacuteltimos la
superestructura Estos cuatro uacuteltimos conforman lo que geneacutericamente se denomina
informacioacuten El paso de unos niveles a otros se puede dar esquemaacuteticamente como sigue
Soporte medio que transmite sentildeales o soporta fenoacutemenos (en griego lo que aparenta ser)
verbigracia Aire Agua ADN canales humo nervios etc son distintos soportes + variaciones
en dicho soporte rArr
Sentildeales + Coacutedigo rArr
Signos + Patroacuten rArr
Datos = Hechos imaacutegenes sonidos valores de variables texto coacutedigo hellip + Interpretacioacuten +
Significado + Estructura + Relevancia + Propoacutesito rArr
Noticias Datos interpretados sumarizados organizados estructurados filtrados formateados
+ Accioacuten + Aplicacioacuten rArr
Conocimientos Ideas normas procedimientos casos reglas modelos intuiciones que guiacutean
las decisiones y actuaciones + Seleccioacuten + Experiencia + Principios + Restricciones +
Aprendizaje + Intuicioacuten rArr
Sabiduriacutea Juicios eacuteticos y esteacuteticos y axioloacutegicos Preferencias Gustos etc
135
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN
Claacutesicamente y teniendo en cuenta la naturaleza triaacutedica de los signos hay tres aspectos a
considerar en el estudio formal de la informacioacuten (Morris 1938) a saber
a) Sintaacutectico que trata sobre coacutemo estaacuten estructurados los siacutembolos
b) Semaacutentico que concierne a lo que denotan o significan
c) Pragmaacutetico que afecta a coacutemo se interpretan o usan
Aspectos que de modo similar tambieacuten considera Arsac (Arsac 1970) y hoy con ligeras
variaciones acepta todo el mundo (Paradela 2003) Sin embargo siendo importante la
informacioacuten en siacute misma no lo es menos la componente de comunicacioacuten que implica
Intuitivamente el significado de una ldquocomunicacioacutenrdquo es una combinacioacuten de semaacutentica y
pragmaacutetica Esta uacuteltima incluye inherentemente consideraciones tales como el entorno y los
estados mentales de los que se comunican que son externos al propio lenguaje Las maacuteximas
ldquoGriceanasrdquo de la comunicacioacuten son la piedra maestra del proceso de discusioacuten y son las
siguientes (Grice 1975)
a) ldquoCantidadrdquo Hacer la contribucioacuten a la conversacioacuten tan informativa como sea necesario
pero no maacutes para reducir la confusioacuten
b) ldquoCalidadrdquo Intentar hacer soacutelo contribuciones verdaderas es decir no decir lo que se cree
que es falso o de lo que se carece de la adecuada evidencia para establecerlo
c) Relacioacuten Emplear soacutelo aquello que sea relevante para el asunto entre manos
d) Modo manera o forma Evitar la oscuridad y la ambiguumledad ser breve y ordenado Es un
anhelo generalizado en casi todos los oacuterdenes de la vida el economizar palabras
naturalmente sin perder nada del significado de lo que se quiere decir Baltasar Graciaacuten
(Graciaacuten 1963) deciacutea Lo bueno si breve dos veces bueno y auacuten lo malo siacute poco no tan
malo maacutes obran quintas esencias que faacuterragos Las foacutermulas tablas etceacutetera ayudan a
este propoacutesito
Las formas maacutes concisas elegantes y potentes de transmisioacuten de ideas y conceptos son las
foacutermulas y ecuaciones matemaacuteticas y la poesiacutea Pues ambas comparten la siguiente cualidad
136
caracteriacutestica La poesiacutea es como las foacutermulas y las ecuaciones la forma del lenguaje maacutes
concisa y cargada de significado La diferencia estaacute en que en las foacutermulas y ecuaciones el
idioma es universal cosa que no sucede en la poesiacutea
La distincioacuten entre datos noticias y conocimientos lleva antildeos intentado dilucidarse sin que
hasta el momento se haya llegado a una conclusioacuten definitiva Una posible razoacuten para esta
falta de consenso estriba en el hecho de que se mezclan distintas perspectivas en las
discusiones acerca de conceptos que como sucede en el caso de ldquoinformacioacutenrdquo resultan ser
ldquopolimorfosrdquo Se dice que un concepto es polimorfo cuando no es posible definirlo como se
hace con las definiciones claacutesicas mediante un conjunto de atributos caracteriacutesticas y o
propiedades y o condiciones necesarias y suficientes universalmente vaacutelidas Un ejemplo
tiacutepico de concepto polimoacuterfico es el de ldquococherdquo que no es lo mismo para un ingeniero
mecaacutenico que para un ecologista o para un planificador de traacutefico Es decir el concepto
ldquococherdquo admite y de hecho tiene distintas definiciones dependiendo del contexto Todo lo
contrario sucede con los conceptos matemaacuteticos formales establecidos que tienen definicioacuten
uacutenica
En general no hay forma de distinguir datos noticias y conocimientos a partir de una base
ldquorepresentacionalrdquo de los mismos es decir vistos aisladamente como elementos y estructuras
en un papel o una maacutequina o cualquier otro sistema pues usan los mismos signos y sentildeales
Por eso cualquier distincioacuten basada en el tamantildeo o complejidad de la representacioacuten estaacute con
probabilidad rayana en la certeza condenada al fracaso Una alternativa estriba en ir maacutes allaacute
de la representacioacuten e identificar coacutemo y con queacute propoacutesito se usan estas estructuras esto es
que papeles juegan en el proceso generalmente de toma de decisioacuten en el que participan En
consecuencia para poder categorizarlos ya que no es posible clasificarlos hay que tener en
cuenta ademaacutes de las estructuras por ellos mismos representadas su ldquointerpretacioacutenrdquo dentro
de los distintos contextos en que se aplican y por quieacuten son interpretados y aplicados Esto
conduce directamente al problema del ldquomarco de referenciardquo de los aspectos de
interpretacioacuten y los ldquoagentesrdquo hombres y o maacutequinas etc ejecutando la interpretacioacuten que
estaacuten interrelacionados Con el teacutermino ldquoagenterdquo se quiere decir un sistema natural y o
artificial con capacidad de inferencia y razonamiento sobre estructuras abstractas y de
ejecutar acciones en base a esas capacidades La cuestioacuten crucial es dilucidar a queacute ldquoagenterdquo
debe asignaacutersele un(os) elemento(s) concreto(s) en forma de dato(s) y o noticia(s) y o
conocimiento(s) o si eacutestos pueden considerarse como objetivos y o elementos
137
independientes de un inteacuterprete particular El concepto de ldquoholoacutenrdquo que se consideraraacute maacutes
adelante permitiraacute superar esas dificultades
De todo lo anterior se deduce que aunque pueda tomar distintas apariencias y usos la
informacioacuten es una y por eso una debe ser abstractamente su elemento baacutesico que a falta de
mejor nombre los autores deciden denominarle ldquoinformoacutenrdquo A modo de inciso aclarativo hay
que sentildealar que dicho teacutermino lo usoacute por primera y uacutenica vez Uttley (Uttley 1970) al aplicar
algunas ideas de la teoriacutea matemaacutetica de la comunicacioacuten de Shannon (Shannon 1948) al
perceptroacuten de Rosenblatt formado por unidades de separacioacuten lineal (ldquoneuronasrdquo) lo que
constituiacutea una fuerte limitacioacuten (Rosenblatt 1958) Para superarla Uttley propuso por una
parte un esquema de aprendizaje no supervisado en el que los pesos sinaacutepticos se definiacutean en
funcioacuten de que una ldquoneuronardquo i se active al tiempo que se activa otra j de la capa anterior y a
la que estaacute conectada por medio de una sinapsis y cuyo peso de conexioacuten asociado vendriacutea
dado por
)nn(P
)n(P)n(PlogkW
ij
ijii
ijsdot
sdotsdot=
Siendo k una constante a valorar por el disentildeador de la red P(nj) la probabilidad de que la
neurona j responda P(ni) la probabilidad de que la neurona i responda Y P(njni) la
probabilidad de que las dos neuronas esteacuten activadas simultaacuteneamente Por otra parte Uttley
tambieacuten reemplazoacute la funcioacuten umbral de activacioacuten del preceptroacuten por otra que proporcionaba
una respuesta maacutes graduada y no solamente de todo o nada Como puede verse el sentido
que se le da aquiacute no tienen nada que ver con la red de Uttley Fin de la aclaracioacuten
Es decir toda informacioacuten con independencia del soporte que se utilice de las sentildeales que
use y de los signos a que deacute lugar y emplee es ni maacutes ni menos un conjunto de informones
Fiacutejese que no se dice que puede representarse es mucho maacutes que eso estaacute constituida por
informones Por otra parte los tres aspectos a considerar en el estudio formal de la
informacioacuten (Morris 1938) Sintaxis o estructura de los signos Semaacutentica o significado de los
mismos y Pragmaacutetica o interpretacioacuten y o uso de dichos signos estaacuten contemplados en el
informoacuten El informoacuten es tanto un dato a nivel sintaacutectico como un registro de un MIS a nivel
semaacutentico como una ontologiacutea a nivel pragmaacuteticoPor ejemplo las bases de datos estaacuten
constituidas por informones tipo datos Los sistemas de informacioacuten proporcionan informones
138
tipo noticias estructuradas Y las bases de conocimiento se estructuran con informones en
forma de ontologiacuteas
Asiacute se define el informoacuten como el elemento baacutesico de la informacioacuten que tiene sentido para
un holoacuten y le permite tomar decisiones y ejecutar acciones adecuadas El informoacuten puede
tomar la forma de un dato de una noticia y de un conocimiento La unioacuten de informones como
datos y los holones correspondientes de informones como noticias y los correspondientes
holones con los que interactuan forman los asiacute aunque inadecuadamente denominados
sistemas de informacioacuten Finalmente la unioacuten de informones en forma de ontologiacuteas como
conceptualizaciones consensuadas de conocimientos y los correspondientes holones en este
caso en forma de motores de inferencia que las manejan y se interrelacionan forman los
Sistemas Basados en Conocimientos en general y los Sistemas Expertos en particular
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN
Como ya se ha dicho no existe informacioacuten sin algo que la procese Dicho lo anterior el
elemento baacutesico del proceso de la informacioacuten que aquiacute se considera es el que para usar el
teacutermino empleado por Koestler (Koestler 1967) basaacutendose en ldquola paraacutebola de los relojerosrdquo de
Simon (Simon 1962) se va a denominar holoacuten
El premio Nobel de economiacutea del antildeo 1978 y uno de los padres de la Inteligencia Artificial
Herbert A Simon planteoacute la paraacutebola de dos relojeros en el sentido de disentildeadores y sobre
todo constructores de relojes En dicha paraacutebola Simon concluiacutea (Simon 1962) que los
sistemas evolucionan mucho maacutes raacutepida y seguramente de un nivel de complejidad
determinado a otros niveles de complejidad significativamente superior si se consiguen
formas intermedias estables que actuacuteen como pasos intermedios hasta ldquoalcanzarrdquo el objetivo
Simon ilustraba el proceso seguacuten el cual era posible ldquocrecerrdquo minimizando riesgos hasta llegar
a sistemas complejos La idea es que un sistema complejo resultariacutea sumamente fraacutegil si no
constara de subsistemas interrelacionados y en la medida conveniente autoacutenomos La
paraacutebola sucintamente es la siguiente Habiacutea una vez dos relojeros Tempus y Hora que
trabajaban naturalmente en Suiza Hora montaba sus relojes como por entenderse se monta
un castillo de naipes Bastaba por tanto que una pieza verbigracia un muelle se saliera de su
sitio o por exagerar le ldquoatacarardquo un golpe de tos al relojero mientras colocaba una tuerca
para que todo se le viniera abajo y se viese forzado a retomar cual Siacutesifo (Seeman 1958) la
139
tarea desde el principio Tempus con maacutes astucia y visioacuten de futuro seguiacutea otro procedimiento
maacutes eficaz Ensamblaba unidades independientes y complementarias hasta que oiacutea el ldquotic tacrdquo
sentildeal que el trabajo estaba felizmente terminado De este modo se precaviacutea de que el golpe de
tos o la pieza rebelde paradigma de la maldad de las cosas inanimadas echaran a perder su
trabajo Pues en el peor de los casos se estropeaba soacutelo una unidad o moacutedulo del sistema
total es decir se malograba una unidad que formaba parte o estaba comprendida en otra
unidad de orden superior lo que era un incordio pero no una tragedia Tempus consiguioacute
fabricar muchos maacutes relojes que Hora y al final se quedoacute con praacutecticamente toda la clientela
Retomando esta hipoacutetesis contrastada Arthur Koestler siguiendo la maacutexima holista
aristoteacutelica de que ldquoel todo es maacutes que la suma de las partesrdquo (Aristoacuteteles 1994) y teniendo
en cuenta la paraacutebola de los dos relojeros acuntildeoacute el neologismo ldquoholoacutenrdquo (Koestler 1967) que
etimoloacutegicamente viene de ldquoholosrdquo es decir totalidad e incorpora el sufijo ldquoonrdquo que como
ya se ha dicho significa ldquoparterdquo o ldquopartiacuteculardquo El concepto de holoacuten estaacute inspirado en las
estructuras recursivas autosimilares presentes en los sistemas organizativos bioloacutegicos De
hecho un holoacuten lo definioacute Koestler como una parte identificable de un sistema que tiene
entidad uacutenica compuesta de partes subordinadas y que a su vez es parte de un todo mayor
Este concepto tiene una larga y respetable historia En efecto la idea de jerarquiacutea y de sus
constituyentes partes-todo u holones puede y debe remontarse a los filoacutesofos presocraacuteticos
padres del atomismo Leucipo y Deomoacutecrito Eacutestos desarrollaron el concepto abstracto de
aacutetomo y lo usaron para desarrollar una filosofiacutea que podriacutea o al menos lo pretendiacutea explicar
todos los eventos observados Aristoacuteteles por su parte al establecer en su metafiacutesica que el
todo era maacutes que la suma de las partes fue el iniciador del holismo Ademaacutes usoacute la jerarquiacutea
como metodologiacutea para acumular y conectar conocimiento bioloacutegico Este concepto de
jerarquiacutea fue quizaacutes la forma dominante de ver la conexioacuten entre los oacuterdenes natural
humano y sobrenatural de los seres durante la edad media En el siglo XVII Leibinz propuso la
moacutenada como unidad irreducible para explicar no soacutelo el mundo material sino tambieacuten el
mundo espiritual
Al comienzo del siglo XX hubo un agitado intereacutes en el holismo y la jerarquiacutea que debe sus
geacutenesis al impacto de la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y Darwin Posteriormente en 1926
Jan Smuts en su obra ldquoEvolution and Holismrdquo vio las profundas conexiones entre los mundos
natural y social y su concepto de holismo influencioacute claramente las ideas de Wilber Eacuteste en
1980 cita a Smuts al comienzo de su principal trabajo ldquoThe Atman Projectrdquo donde usa el
concepto de jerarquiacutea En todas partes se ve en la naturaleza nada maacutes que totalidades
140
Mientras todos estos distintos entramados de ideas incluyen la consideracioacuten de redes
jeraacuterquicas y niveles y oacuterdenes de desarrollo no fue hasta el trabajo de Arthur Koestler donde
se propuso una teoriacutea completa de holarquiacutea y holones
Koestler primero vio la necesidad de alguacuten modelo que pudiera unir e integrar la visioacuten del
mundo reducionista y mecanicista de las sicologiacuteas ldquocientiacuteficardquo y conductista con la visioacuten del
mundo holista y humanista de las sicologiacuteas feudiana rogeriana y de la gestalt En segundo
lugar reconocioacute la importancia y relevancia de los procesos evolutivos en las ciencias sociales y
buscaba proporcionar alguacuten sistema teoreacutetico que pudiera aplicar conceptualizaciones
evolutivas a ambas realidades En tercer teacutermino buscaba desarrollar un modelo de sistemas
sociales humanos que fueran igualmente naturales para analizar el micronivel de la
individualidad y el macronivel de la colectividad Eacutel buscaba proponer alguacuten modelo baacutesico de
explicacioacuten que fuera relevante a lo largo y ancho de todo el rango de al actividad humana y su
entorno Koestler reconocioacute que este constructo ldquoholoacutenrdquo teniacutea de hecho unos muy
venerables y antiguos ancestros en la filosofiacutea occidental Varios e importantes filoacutesofos
incluyendo Leibniz y Hegel habiacutean dirigido su atencioacuten a la importancia de cosas tales como
jerarquiacutea y niveles de desarrollo Koestler se veiacutea a siacute mismo en una liacutenea de pensadores tales
como esos que buscaban presentar juntos diferentes buacutesquedas y escuelas de esfuerzos
cientiacuteficos en lugar de perseguir la continua especializacioacuten en el conocimiento cientiacutefico que
habiacutea caracterizado las modernas escuelas cientiacuteficas La teoriacutea holoacutenica era el intento de
Koestler de conseguir una filosofiacutea de la ciencia integradora y esperaba que esta teoriacutea o algo
similar formariacutean la base de cualquier futura visioacuten del mundo futuro
El teacutermino holoacuten es como ya se ha dicho una combinacioacuten del vocablo griego ldquoholosrdquo que
significa todo o totalidad y el sufijo ldquoonrdquo el cual como en las palabras protoacuten neutroacuten etc
que indica ademaacutes de ser partiacutecula o parte El holoacuten entonces es una parte-todo Es un
punto nodal en una jerarquiacutea que describe las relaciones entre entidades que son totalidades
autocompletas y entidades que pueden verse como partes dependientes de otras Asiacute
dependiendo de coacutemo se centre el foco movieacutendose arriba abajo y o a lo largo y ancho de
los nodos de una estructura ldquojeraacuterquicardquo asiacute la percepcioacuten de lo que es un todo y lo que es una
parte cambiaraacute
Koestler con la paraacutebola de los relojeros de Simon quiso mostrar dos cosas Una que los
sistema complejos evolucionaraacuten desde los sistemas maacutes sencillos mucho maacutes raacutepidamente si
hay formas estables intermedias es decir si estaacuten jeraacuterquicamente organizadas Dos y maacutes
141
importante eacutel buscaba mostrar que los sistemas complejos resultantes seraacuten siempre
jeraacuterquicos y que la jerarquiacutea es el resultado natural y ubicuo del desarrollo de formas
estructurales Despueacutes de establecer la importancia universal de la jerarquiacutea en el desarrollo
de sistemas complejos Koestler continuoacute proponiendo que estas jerarquiacuteas podriacutean analizarse
en teacuterminos de los nodos o formas intermedias estables mediante las cuales se define su
estructura Fue justo a estas formas intermedias a las que Koestler le confirioacute la nueva etiqueta
de ldquoholoacutenrdquo
Koestler vioacute la teoriacutea holoacutenica como una filosofiacutea de la ciencia amplia que mostraba una salida
al interminable debate acerca de los meacuteritos del reducionismo y del holismo Koestler sentildealoacute
que en cualquier y todo orden existente de los sistemas fiacutesicos a los sociales pasando por los
quiacutemicos y los bioloacutegicos enteramente autosoportados no existiacutean entidades no
interactuantes Y lo que es maacutes importante que las entidades pueden verse situadas en una
relacioacuten holaacuterquica entre ellas Eacutel llamaba a los sistemas de tales entidades Open Hierarchical
Systems (OHS) y a eacutestos subsecuentemente se les denominoacute holarquiacuteas Un holoacuten como
Koestler entendiacutea el teacutermino es una parte identificable de un sistema que tiene una identidad
uacutenica sin embargo estaacute hecho de partes subordinadas y a su vez es parte de un todo mayor
Los holones de Koestler no fueron pensados como entidades y objetos sino como una forma
sistemaacutetica de relacionar estructuras teoreacuteticas En otras palabras los holones eran puntos de
referencia arbitrarios para interpretar la realidad En sus palabras Whatever the natura of a
hierachic organization its constituent holons are defined by fixed rules and flexible estrategies
De este modo los holones de Koestler son postulados y ldquodeterminadosrdquo soacutelo fuera de las
reglas relacionales y estrategias que ayudan a dar sentido a la realidad
Dado que los holones se definen por la estructura de una jerarquiacutea cada holoacuten identificado
puede verse el mismo como una serie de subjerarquiacuteas anidadas de la misma manera que las
muntildeecas rusas las matrioscas son una serie inclusiva de muntildeecas dentro de otras muntildeecas
Los holones son entonces simultaacuteneamente partes y todos porque ellos son siempre partes
de jerarquiacuteas maacutes amplias y siempre contienen subjerarquiacuteas Los holones son
simultaacuteneamente todos autocontenidos de sus partes subordinadas y partes dependientes
cuando se ven en la direccioacuten inversa Por consiguiente los holones pueden verse como
puntos de referencia en series jeraacuterquicas u holarquiacuteas
Koestler ha propuesto un conjunto bastante detallado de principios holoacutenicos y mostroacute que el
constructo holoacuten tiene una aplicacioacuten muy amplia A su vez Wilber ha colocado el constructo
142
holoacuten firmemente en el centro de su marco integrador comprehensivo para conectar
conocimiento Wilber ha ampliado la teoriacutea holoacutenica en un nuevo enfoque para entender las
relaciones de muchos dominios de conocimiento diferente Las concordancias entre los
principios holoacutenicos de Koestler y los 20 postulados de Wilder son claras pero no completas En
efecto hay varios aspectos de la teoriacutea de Koestler que hasta ahora no han sido explorados
por nadie incluido Wilber Eacutestos incluyen los conceptos de
a) Cambio holiacutestico Sistemas de entrada-salida que buscan la manera de coacutemo se disparan los
holones y coacutemo eacutestos escudrintildean y filtran las entradas
b) ldquoArborizacioacutenrdquo ldquoreticulacioacutenrdquo y ldquocanales de regulacioacutenrdquo Tanto tener aptitudes como
maneras de ver coacutemo los holones pueden relacionarse entre siacute
c) La ldquosaludrdquo holoacutenica y coacutemo cambian los holones y los principios de Koestler sobre equilibrio
holoacutenico desorden y regeneracioacuten que ofrecen feacutertil terreno para posterior estudio
Por su parte Wilder a estos principios antildeade los siguientes
a) No exclusioacuten que significa que se pueden aceptar las declaraciones vaacutelidas de verdad es
decir las pretensiones de verdad que pasan los test de validez para sus propios paradigmas
en sus propios campos sean eacutestos hermeneuacuteticos cientiacuteficos etc en tal grado que
realizan afirmaciones acerca de la existencia de sus propios fenoacutemenos descubiertos y
realizados pero no cuando hacen afirmaciones acerca de la existencia de fenoacutemenos
realizados por otros paradigmas Este principio se refiere a la aceptacioacuten de conocimiento
parcial pero vaacutelido que ha sido recogido por disciplinas centraacutendose en aspectos
particulares de los holones Mucho de ese conocimiento ha sido el resultado de paradigmas
(matrices disciplinaresmetodologiacuteas) reducionistas
b) PlegadoDesplegado que se define como sigue La no exclusioacuten con frecuencia desvela una
idea que estaba velada En cualquier corriente evolutiva sucesivas olas transcienden e
incluyen a sus predecesoras y asiacute cada ola es adecuada y cada ola sucesiva es maacutes
adecuada En breve cada ola es holista y cada ola sucesiva es maacutes holista Este principio
ldquounfoldmentenfoldmentrdquo se refiere a la aceptacioacuten de la naturaleza holista y evolutiva del
conocimiento y sus meacutetodos Este principio se relaciona con la idea de que todas las bases y
meacutetodos de conocimiento estaacuten conectados y pueden ilustrar a los demaacutes
143
c) ldquoEnactmentrdquo ldquoPromulgacioacutenrdquoPoniendo todos estos modos de inquisicioacuten juntos como un
enactment y descubrimiento de cognicioacuten ldquoturquesardquo resulta en un pluralismo
metodoloacutegico integral Los fenoacutemenos son ldquoenactedrdquo paridos y desvelados por praacutecticas
entonces uno se percata de que lo que parece ser ldquofenoacutemenos o experiencias conflictivasrdquo
son simplemente experiencias diferentes y completamente compatibles paridas por
diferentes praacutecticas De este modo ldquoenactmentrdquo se refiere a la capacidad de situar y
proporcionar un nuevo contexto integrador para que todos los enfoques parciales sean
reduccionistas y holistas Son precisamente estas tres capacidades las que se hacen
disponibles cuando se ve el holoacuten como una unidad de anaacutelisis para una teoriacutea integral
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES
El teacutermino ldquoholoacutenrdquo se emplea entonces para denominar entidades que exhiben
simultaacuteneamente un comportamiento autoacutenomo es decir se comportan como un todo y no
autosuficiente esto es se comportan como una parte de un todo mayor Verbigracia las
moleacuteculas que son simultaacuteneamente todo cuando integran a los aacutetomos que las forman y
parte cuando por ejemplo se integra en una ceacutelula como el ADN que constituye el nivel
inmediatamente superior en tamantildeo y funcionalidad que no en importancia pues todos los
niveles son decisivos e imprescindibles sin aacutetomos no hay moleacuteculas etc Cuando el holoacuten se
siente todo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en los
niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo Una de las principales caracteriacutesticas de los
holones es su autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y le puede
proporcionar la capacidad de autoorganizacioacuten y autopoiesis Esto significa que se precisan
capacidades de cooperacioacuten En consecuencia se puede ldquodefinirrdquo un ldquoholoacutenrdquo como un
elemento con entidad propia que presenta un comportamiento autoacutenomo autoorganizativo
recursivo y cooperativo Autonomiacutea significa que cada holoacuten debe ser capaz de crear controlar
y monitorizar la ejecucioacuten de sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten y realizar
acciones preventivas y o correctivas adecuadas esto es racionales frente a sus propias
disfunciones En 1981 el premio Nobel de Medicina Roger Sperry hizo uso del concepto de
holoacuten en su aacuterea de conocimiento Posteriormente Suda a partir de 1989 aplicoacute el concepto
de holoacuten a los sistemas industriales con lo que el teacutermino se hizo ubicuo En general el holoacuten
es la unidad baacutesica estable y coherente en sistemas complejos tanto naturales (bioloacutegicos y
sociales) como artificiales (informaacuteticos o industriales) Un holoacuten contiene siempre una parte
de procesamiento de informacioacuten y opcionalmente otra de procedimiento fiacutesico Con el
144
teacutermino holoacuten la doctoranda concretamente denomina las entidades de proceso que exhiben
simultaacuteneamente
a) Un comportamiento autoacutenomo esto es se comportan como un todo por lo que requieren
capacidades de cooperacioacuten Entendiendo por autonomiacutea la capacidad de una entidad para
generar su propio comportamiento o sea sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten
y comportamiento en definitiva su ldquoteleologiacuteardquo y controlar su ejecucioacuten asiacute como su propio
estado
b) No autosuficiente es decir se comportan como parte de un todo mayor Cuando el holoacuten
se siente ldquotodordquo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en
los niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo
c) Capacidad de cooperacioacuten Por cooperacioacuten se quiere decir en este contexto un proceso
por el cual un conjunto de dichas entidades desarrolla planes comuacutenmente aceptados que
se ejecutan en forma distribuida Cooperacioacuten significa que los diferentes holones deben
ser capaces de negociar y ejecutar planes mutuamente aceptables ldquojoint intentionsrdquo y
llevar a cabo acciones preventivas y o correctivas frente a disfunciones globales Dicho de
otro modo un holoacuten es el elemento baacutesico de proceso de informacioacuten en cualquiera de sus
niveles con entidad propia capaz de presentar un comportamiento autoacutenomo y
cooperativo
d) Caraacutecter abierto Un sistema holoacutenico debe permitir la inclusioacuten de nuevas unidades
eliminacioacuten de las existentes y modificacioacuten de las capacidades funcionales y
comportamentales de las existentes con intervencioacuten exterior miacutenima Los holones y o
sus funcionalidades pueden venir de distintas ldquomentesrdquo (heterogenidad)
e) ldquoAutorreplicacioacutenrdquo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su
autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y la capacidad de
autoorganizacioacuten y autopoiesis o autoproduccioacuten especiacutefica del nivel celular
f) Estabilidad Todo holoacuten de acuerdo con el contexto y circunstancias posee cuatro impulsos
a saber
1) Actividad o impulso a continuar siendo totalidad
2) ldquoComunioacutenrdquo o impulso para seguir siendo una parte
145
3) Trascendencia o impulso de superacioacuten y ascendencia
4) Disolucioacuten o impulso a descender y descomponerse
Estos impulsos son los que le dan estabilidad al holoacuten y le permiten desarrollar sus
capacidades
Como lo sentildealoacute Octavio Paz en el discurso de recepcioacuten del premio Nobel los seres humanos
han descubierto al finalizar el siglo XX que son parte de un inmenso sistema o ldquoconjunto de
sistemasrdquo que va de las plantas y los animales a las ceacutelulas las moleacuteculas los aacutetomos y las
estrellas Es decir un eslaboacuten maacutes en la ldquocadena del serrdquo como llamaban los antiguos filoacutesofos
al Universo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su granularidad muacuteltiple
que se manifiesta a traveacutes de la replicacioacuten de estructuras autosimilares Esto permite
establecer una descomposicioacuten jeraacuterquica y o heteraacuterquica en forma fractal que se puede
denominar ldquoholarquiacuteardquo Una holarquiacutea puede definirse pues como un sistema de holones
autorregulados que seguacuten las circunstancias cooperan y o compiten y o colaboran
teleoloacutegicamente esto es para alcanzar una meta u objetivo global En suma una holarquiacutea
define las reglas baacutesicas y especiacuteficas de lo que geneacutericamente se puede denominar la
colaboracioacuten de los holones que la forman y en consecuencia limita su autonomiacutea y o
condiciona sus procesos de toma de decisioacuten Dicho en otros teacuterminos el caraacutecter colaborativo
de los holones se manifiesta tanto en los procesos teleoloacutegicos de planificacioacuten y asignacioacuten de
ellos mismos y los recursos que necesitan para la consecucioacuten de las metas globales del
sistema en que se integran como para la superacioacuten de sus carencias en recursos y o
capacidades en la ejecucioacuten de sus propias metas Su fortaleza y oportunidad procede del
hecho de ser unidades independientes es decir moacutedulos en el tratamiento de problemas
cooperativos en entornos heterogeacuteneos Su eficacia proviene de su caracteriacutestica de ser a su
vez elementos subordinados de otros holones de nivel superior que los contienen y en cierta
medida controlan Las formas intermedias proveen la funcionalidad propia de la totalidad
mayor
Obviamente los holones tienen que tomar decisiones racionales y como se aplican a una
nueva disciplina cientiacutefico-tecnoloacutegica dichas decisiones racionales deben ser similares a las
cientiacuteficas Estas decisiones pueden modelizarse con los pares ldquoholoacuten(es)rdquo ldquoinformoacuten(es)rdquo en
los cuales los holones representan dicho mundo Se supone naturalmente que los holones
pueden elegir entre distintas alternativas u opciones Asimismo se supone que el mundo es
como es y que esto se refleja en su representacioacuten mediante los informones y que lo que le
146
ocurre al holoacuten depende por una parte de coacutemo sea el mundo en un momento determinado
y por otra de las opciones episteacutemicas y gnoseoloacutegicas que elija el holoacuten Se acepta tambieacuten
que el holoacuten no conoce el estado actual del mundo pero al menos es capaz de distinguir entre
dos estados posibles del mismo Las valoraciones de los holones no atantildeen directamente a las
opciones o a los estados del mundo sino a los pares ldquoopcioacuten-estadordquo es decir lo que se valora
es haber elegido una opcioacuten particular en un estado definido del mundo
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS
Al igual que los informones pueden tomar la forma de dato noticia o conocimiento los
holones que los manejan presentan estructuras desde las maacutes simples a las maacutes complejas
dependiendo de la complejidad funcional asignada a los mismos Maacutes en concreto la
construccioacuten del software se presenta mediante un modelo computacional holoacutenico formado
por diferentes niveles denominados
1 ldquoInstruccioacutenrdquo Lo constituyen los holones primarios que son entidades propias y
cooperativas que tratan uacutenicamente datos y producen nuevos datos o noticias simples
Estos holones estaacuten especializados y realizan operaciones primitivas baacutesicas Por ejemplo
si a un holoacuten primario operador loacutegico le llegan dos datos que son las edades de dos
individuos el holoacuten pude sacar como noticia que un individuo es mayor igual o menor que
otro
2 ldquoComponenterdquo Un holoacuten componente surge al estructurarse holaacuterquicamente
(jeraacuterquicamenteheteraacuterquicamente) los holones primarios del nivel ldquoinstruccioacutenrdquo
proporcionando un nivel superior al de ldquoinstruccioacutenrdquo Un holoacuten componente tiene una
funcionalidad superior a la suma de sus holones ldquoinstruccioacutenrdquo y tiene capacidad de
producir noticias maacutes elaboradas y o conocimientos
Si los informones que trata el holoacuten componente corresponden a estructuras de datos el
componente proporcionaraacute noticias tiacutepicas de un sistema de informacioacuten En cambio si los
holones tratan estructuras de datos que corresponden a conceptualizaciones de
conocimiento el resultado seraacute informones de conocimiento que proporcionan
informacioacuten propia de los sistemas basados en el conocimiento Por ejemplo un holoacuten
componente puede representar un programa o un subprograma
147
3 ldquoEntidadrdquo El holoacuten ldquoentidadrdquo se forma mediante relaciones holaacuterquicas de holones
componentes Un holoacuten entidad presenta creencias motivaciones e intenciones y cambia
su comportamiento basaacutendose en experiencias previas Incorpora la propiedad de
proactividad es decir actuacutea por su propia iniciativa para alcanzar metas que eacutel mismo es
capaz de generar Los holones ldquoentidadrdquo tratan con informones de noticias y
conocimientos dependiendo de la estructura subyacente de los datos Por ejemplo un
holoacuten entidad puede representar y actuar como un agente software
Los sistemas transacionales son informones tipo datos y holones clase programas Los
sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas y holones tipo
programas y foacutermulas Finalmente los sistemas basados en conocimientos son ni maacutes ni
menos que informones en forma de ontologiacuteas y holones en forma de agentes
4 ldquoOrganizacioacutenrdquo Se denomina organizacioacuten holoacutenica a una holarquiacutea de entidades
colaborativas Un holoacuten organizacioacuten designa una agrupacioacuten formal y estable de holones
entidad y ofrece una interfaz bien definida de comunicacioacuten con el exterior que constituye
en si misma una unidad independiente e identificable (con entidad propia) Las actividades
de cada organizacioacuten vienen determinadas por procesos de cooperacioacuten con otras
entidades u organizaciones Una organizacioacuten presenta una meta comuacuten y los holones
entidad que tienen sus propias metas muestran un comportamiento cooperativo dirigido
por la meta comuacuten de esa ldquoorganizacioacutenrdquo En la ldquoorganizacioacutenrdquo los holones ldquoentidadrdquo son
libres para participar en la misma abandonarla y actuar de forma autoacutenoma como
ldquoentidadrdquo o formar nuevos holones ldquoorganizacioacutenrdquo con otras entidades Una organizacioacuten
holoacutenica precisa en su funcionamiento de los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones ldquoentidadrdquo
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las entidades
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones ldquoentidadrdquo en sus
actividades de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros de la
ldquoorganizacioacutenrdquo
148
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Por ejemplo un sistema multiagente (MAS) es un tipo de holoacuten ldquoorganizacioacutenrdquo Sin
embargo no hay que confundir agentes con holones y en consecuencia sistemas de
agentes con holones Como se veraacute maacutes adelante los holones son maacutes que agentes
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA
Ademaacutes de estos niveles es importante considerar dentro de una estructura holoacutenica el
dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten holoacutenico Se define un tal dominio como un espacio
loacutegico en el que los holones ldquoentidadrdquo u ldquoorganizacioacutenrdquo cada uno con sus propias metas
dentro del dominio operan y se comunican entre siacute proporcionando con ello el contexto en el
que estos holones pueden localizarse contactar e interactuar unos con otros por ejemplo un
dominio en una plataforma de Internet Dentro de un dominio eacutesta puede ser
a) Simple En este caso cualquiera se compromete a cooperar con cualquier otro siguiendo un
conjunto de protocolos de interaccioacuten establecidos Aquiacute se consideran aceptables
respuestas no cooperativas verbigracia ldquorechazordquo ldquono entendimientordquo etc Todos los
holones deben presentar facilidades de cooperacioacuten simple
b) Complejo Esta clase de cooperacioacuten estaacute encaminada a alcanzar una meta compartida por
varios holones por ejemplo el acuerdo de un plan comuacuten para ejecutar las tareas
asociadas a un problema distribuiacutedo
Una organizacioacuten holoacutenica se diferencia de un dominio holoacutenico en que la organizacioacuten estaacute
constituida por holones ldquoentidadrdquo tiene una meta comuacuten a todos los holones y eacutestos
participan voluntariamente en la organizacioacuten para alcanzar las metas de la misma Mientras
que el dominio es un espacio de cooperacioacuten y colaboracioacuten para que los holones ldquoentidadrdquo y
ldquoorganizacioacutenrdquo que participan voluntariamente en el mismo puedan alcanzar cada uno de
ellos su propia meta
En un dominio los holones se conciben como integrantes en una sociedad cuyas actividades
globales deben ser contempladas Estas actividades deben ocurrir de acuerdo con un conjunto
de convenciones y leyes sociales tanto de caraacutecter general como de caraacutecter especiacutefico Estas
leyes regulan las relaciones sociales que es necesario establecer para llevar a cabo dichas
149
actividades La estructura social del dominio viene determinada por los roles las relaciones
sociales identificadas entre eacutestos y las convenciones y leyes sociales que rigen estas relaciones
El dominio define entonces el comportamiento global esperado mediante las metas sociales
que deben contemplarse los roles necesarios para alcanzar dichas metas las relaciones
existentes entre estos roles y un conjunto de convenciones y leyes sociales de caraacutecter global
que regiraacuten dichas relaciones Una forma plausible de caracterizar el dominio es mediante la
identificacioacuten de las relaciones sociales potenciales existentes entre sus actores y maacutes
concretamente entre los diferentes roles identificados
El holoacuten asume la responsabilidad de llevar a cabo sus tareas individuales Ahora bien al estar
en un dominio de cooperacioacuten asume tambieacuten unas responsabilidades sociales La necesidad
de garantizar la realizacioacuten de estas tareas sociales conduce a la necesidad de identificar tanto
las relaciones sociales necesarias para llevar a cabo dichas tareas como las leyes sociales que
regulen dichas relaciones Estas leyes impuestas por el dominio deben ser respetadas por el
holoacuten y forzadas por el dominio con el fin de permitir el funcionamiento correcto del mismo
de acuerdo con el comportamiento global esperado Son por tanto las leyes que regulan las
relaciones sociales las que permiten obtener un comportamiento socialmente responsable a
los holones entidad y organizacioacuten
Plantearse la obtencioacuten de un comportamiento socialmente responsable durante el disentildeo del
holoacuten no seriacutea adecuado en un entorno dinaacutemico y heterogeacuteneo como es un dominio en el
que por ejemplo los patrones de interaccioacuten se establecen dinaacutemicamente Los distintos
modelos de coordinacioacuten y negociacioacuten y la propia estructura social constituyen las
abstracciones conceptuales para establecer las leyes que deberaacuten regir tanto la actuacioacuten de
los holones como sus interrelaciones con el fin de alcanzar un comportamiento socialmente
responsable Los medios de coordinacioacuten y negociacioacuten que soportan dichos modelos
constituyen el mecanismo utilizado por el dominio para este fin
La ldquoconfiguracioacutenrdquo que se crea en un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten es dinaacutemica
Mientras que el holoacuten organizacioacuten forma una configuracioacuten estable los holones de un
dominio son maacutes inestables participan en el dominio de cooperacioacuten para alcanzar sus propias
metas respetando las leyes sociales del dominio y nada maacutes alcanzarlas desaparecen del
mismo Un holoacuten entra a formar parte de un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten
interactuando con un holoacuten interfaz del dominio de modo que pueda participar en el mismo
150
Los holones se incorporan en el dominio para alcanzar sus propias metas El dominio acepta o
rechaza su entrada dependiendo de que el rol con el que desean participar sea apropiado en
ese dominio y acepten las convenciones y leyes sociales En caso afirmativo se incorporan
como holones socialmente responsables acatando las normas del dominio Normalmente el
dominio incorpora una serie de holones sociales cooperativos con la misioacuten de atender a las
necesidades de los holones que participan en el dominio y de hacerles cumplir las leyes
sociales tal y como se muestra en la figura IV4
Dominio 1 Dominio 2
Convenciones y leyes
Sociales
Holoacuten Entidad
Holoacuten Organizacioacuten
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Holoacuten Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Convenciones y leyes
Sociales
Migracioacuten
Agente Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Figura IV4 Dominios de Colaboracioacuten y Cooperacioacuten
La cooperacioacuten entre holones ocurre siempre a traveacutes de sus respectivos dominios de
cooperacioacuten Un dominio de cooperacioacuten comprende los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones miembros
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las organizaciones y el dominio
de cooperacioacuten Si el dominio de cooperacioacuten se localiza en el mismo dispositivo
fiacutesico el paso de mensajes puede conseguirse por memoria compartida En otro
caso los mensajes deben representarse codificarse y enviarse a traveacutes de una
red de comunicaciones Este aspecto se aborda en el modelo de comunicacioacuten
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones en sus actividades
de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
151
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros
del dominio asiacute como facilidades para la planificacioacuten y el control de tareas
dentro de un holoacuten (siacutentesis)
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Un sistema de informacioacuten holoacutenico es pues una holarquiacutea que integra el conjunto de
actividades de informacioacuten desde la identificacioacuten de necesidades la produccioacuten la seleccioacuten y
adquisicioacuten el procesamiento analiacutetico-sinteacutetico y la recuperacioacuten y diseminacioacuten de
informacioacuten para responder de forma dinaacutemica a las necesidades de los usuarios en forma de
organizacioacuten virtual Un tal sistema se sustenta en una red de elementos autoacutenomos y con
capacidad de cooperar La organizacioacuten la determina el propoacutesito y el compartir normas
poliacuteticas y reglas Dentro de una red holoacutenica cada configuracioacuten del proceso puede
identificarse como una empresa institucioacuten etc virtual Una componente software es
cualquier pieza de coacutedigo escrita con anterioridad que define un elemento de
conceptualizacioacuten y puede ser invocada para proveer una funcionalidad que la componente
encapsula Las componentes tiacutepicamente se empaquetan de acuerdo con normas efectivas
de modo que puedan ser invocadas desde lenguajes entornos y ambientes muacuteltiples En este
contexto un ldquowebservicerdquo puede entenderse como un holoacuten
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES
Antes de finalizar y dado el confusionismo existente al respecto se van a dar tal y como se
muestra en la tabla IV2 las diferencias y similaridades entre holones y agentes Lo maacutes
destacable de la misma son las dos situaciones siguientes Con respecto a la autoorganizacioacuten
para unos como es el caso de Barbat los holones y los agentes son distintos sin embargo
para otros como es el caso de Passer So y Durfle y Tambe son iguales Pero la diferencia
sustancial y de verdad discriminatoria es que mientras que los holones tienen capacidad de
recursioacuten e integracioacuten entre varios de ellos que tengan un objetivo comuacuten los agentes ni
tienen recursioacuten ni capacidad de integrarse
Otra caracteriacutestica fundamental de los holones en tanto que operan con un conjunto
restringido de opciones y estados del mundo que les viene dado por la situacioacuten y el problema
sobre el que actuacutean y no les es posible construir una estructura de preferencias completa y
coherente es la de ser elementos satisfacedores (no maximizadores) en el sentido de Simon
152
(Simon 1982) es decir buscan una solucioacuten suficientemente buena en vista a las restricciones
existentes y el coste relativo de hacer algo mejor En este sentido se comportan como los seres
humanos
PROPIEDAD HOLOacuteN AGENTE
1 Autonomiacutea Si Si
2 Reactividad Si Si
3 Proactividad Si Si
4 Habilidad Social Si La interfaz humana es especiacutefica de cada holoacuten
Si La interfaz humana se implementa generalmente por uno o varios agentes especializados
5 Cooperacioacuten Si Los holones nunca rechazan de manera deliberada la cooperacioacuten con otro holoacuten
Si El agente puede competir y cooperar
6 Reorganizacioacuten
Si Holarquiacuteas Las holarquiacuteas aquiacute se pueden implementar utilizando varios enfoques para federaciones en esquemas tales como facilitadores o mediadores
Si jerarquiacuteas organizacioacuten horizontal heterarquiacuteas etc Las holarquiacuteas en este caso se pueden implementar usando SMA o sea sistemas multiagente
7 Racionalidad Si Si
8 Aprendizaje Si Si
9 Benevolencia Si Si
10 Movilidad Los holones raramente necesitan movilidad para la ejecucioacuten de sus tareas Si asiacute fuera la tendriacutean
Si
11 Recursioacuten y Asociacioacuten
Si Eacutesta es la gran diferencia entre un holoacuten y un agente Mientras el holoacuten tiene capacidad de recursioacuten o asociacioacuten entre varios de ellos que posean un objetivo comuacuten los agentes no pueden agruparse ni son recursivos
No existe ninguna arquitectura recursiva como tal pero algunas teacutecnicas son utilizadas para definir federaciones que simularaacuten los diferentes niveles recursivos
12 Procesamiento de la Informacioacuten y Fiacutesico
Si La separacioacuten es expliacutecita aunque la parte de procesamiento fiacutesico es opcional
No existe una separacioacuten expliacutecita
13 Actitudes Mentales
Si Los holones no necesitan razonar acerca de sus propias actitudes mentales o aquellas de otros unidades de control
Si
Tabla IV2 Diferencias y similaridades entre holones y agentes
Evidentemente dichas valoraciones de acuerdo con las distintas situaciones y problemas
deben adoptar distintas formas que van desde la maacutes sencilla ordenacioacuten lineal hasta la
racionalidad acotada o satisfactoria de Simon (Simon 1945) pasando por los holones
bayesianos entre otros En efecto el agente racional claacutesico es un ldquomaximizadorrdquo en tanto que
en la propuesta de Simon donde introduce la nocioacuten de ldquosatisfaccioacutenrdquo (Simoacuten 1982)
retomando la de Tarski (Tarski 1956) es la de un ldquoagenterdquo que funciona en condiciones de
ldquoracionalidad acotadardquo Esto es debido baacutesicamente a que
a) Los holones van a operar con un conjunto suficientemente restringido de opciones y
estados del mundo que le vienen dados por la situacioacuten y el problema sobre el que actuacutean
153
b) Raras veces es posible construir una estructura de preferencias completa y coherente ni
tampoco calcular la utilidad esperada para cada opcioacuten Si eacuteste fuera el caso la cuestioacuten se
resolveriacutea mediante meacutetodos bayesianos sin problema En efecto Thomas Bayes (Bayes
1763) desarrolloacute en su trabajo de 1763 un procedimiento para resolver este tipo de
cuestiones Curiosamente dicho trabajo permanecioacute praacutecticamente ignorado hasta que
Pierre Simon de Laplace lo discutioacute en uno de sus trabajos
c) Es capaz de distinguir entre opciones satisfactorias y aquellas que no lo son
Es decir de acuerdo con Simon los holones son satisfacedores (satisfacer) no maximizadores
y en este sentido se comportan como los seres humanos Seguacuten Simon (Simon 1981) hay que
ir hacia una solucioacuten satisfactoria esto es una solucioacuten suficientemente buena en vista a las
restricciones existentes y el coste relativo de hacer algo mejor antes que una solucioacuten
satisfaciendo Naturalmente los pares holones-informones y las estructuras que sobre ellos se
construyen se enfrentaraacuten inexorablemente tanto a situaciones conflictivas como a otras
concurrentes y cooperativas en las que los esquemas de decisioacuten que usen se fundamentaraacuten
tanto en la teoriacutea de von Neuman y Morgenstern (von Neuman 1953) como en la teoriacutea de
juegos cooperativos de Nash (Nash 1953) y cualquier otra teoriacutea o regla de decisioacuten que
permita a los holones de modo efectivo tomar la decisioacuten maacutes adecuada en el momento maacutes
oportuno y de la forma maacutes eficiente posible
De hecho si no fuera por el caraacutecter continuo que representa el teacutermino que mejor le
cuadraba a lo que Koestler denominoacute holoacuten es el de ldquohomeomeroacutenrdquo en el sentido de
ldquohomeomeriacuteardquo de Anaxaacutegoras (Empeacutedocles 1996) y tal vez al caraacutecter holaacuterquico mejor le
convendriacutea el teacutermino de ldquojerarquiacutea desarraigadardquo en contraposicioacuten al concepto de jerarquiacutea
ldquodionisiacuteacardquo por el ldquooximoroacutenrdquo que representa el hecho de que en una holarquiacutea convivan
simultaacuteneamente dos planteamientos opuestos como son el de jerarquiacutea y la heterarquiacutea En
efecto el filoacutesofo neoplatoacutenico Dionisio Areopagita introdujo el concepto de jerarquiacutea en un
contexto teoloacutegico El teacutermino significa literal y etimoloacutegicamente dominio a traveacutes de lo
sagrado Siguiendo una ldquoloacutegicardquo que probablemente soacutelo eacutel conociera Dionisio llegoacute a la
conclusioacuten de que el cielo estaba organizado jeraacuterquicamente Es maacutes aseguraba que habiacutea
nueve niveles Dios era la cumbre los arcaacutengeles formaban el consejo de direccioacuten y Jesucristo
ocupaba un puesto a la diestra de Dios A continuacioacuten estaban los aacutengeles tronos
dominaciones potestades querubines serafines etc Pero para eacutel tambieacuten el infierno era
jeraacuterquico y la estructura era similar Lo que no determinoacute Dionisio fue si el cielo significaba
154
cooperacioacuten y el infierno confrontacioacuten o iquestqueacute Con los holones se contemplan ambas
alternativas Por eso con los holones se puede representar tanto una simple sentencia de
control hasta un sistema de agentes pasando por un subprograma ldquodemoniosrdquo etceacutetera
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA
Definidos los elementos constitutivos de la teoriacutea propuesta se pasa a presentar los
postulados que la soportan Eacutestos son los siguientes
P1 Complementariedad Todo sistema de informacioacuten bioloacutegico o artificial se compone de
soacutelo dos elementos complementarios Holones e Informones Formalmente
IHSI =
P2 Coacutemputo En todo sistema de informacioacuten se puede establecer la ldquooperacioacutenrdquo de coacutemputo
representada por 0 que consiste en transformar holones e informones de entrada en otro(s)
de salida Es decir los holones e informones se interrelacionan para obtener nuevos
informones y holones de acuerdo con el esquema siguiente
H o H cup I rarr Hrsquo cup Irsquo
P3 Satisfactibilidad Todo sistema de informacioacuten se rige por criterios de satisfactibilidad y no
de optimizacioacuten o maximizacioacuten
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN
Cualquier teoriacutea que se proponga se quedariacutea en mera especulacioacuten si no fuera capaz de
predecir y o explicar ciertos hechos en su dominio de aplicacioacuten Justamente estas
predicciones y o explicaciones constituyen los ldquoexperimentum crucisrdquo que permiten ya que
no corroborar formalmente al menos falsar la teoriacutea En este sentido la teoriacutea aquiacute propuesta
predice lo que a continuacioacuten se explicita en los dominios siguientes
A) Geneacutetica En el dominio del ADN la teoriacutea afirma que habida cuenta de que varios
informones distintos en este caso en forma de codones dan el mismo aminoaacutecido y el
coacutedigo geneacutetico actuacutea como holoacuten entonces dependiendo del codoacuten del que proceda el
aminoaacutecido eacuteste se comportaraacute de una manera o de otra Como consecuencia de ello
155
muchas enfermedades geneacuteticas de etiologiacutea uacutenica tienen ldquoprima facierdquo como causa el
codoacuten del que proceden Para confirmar esto se puede realizar el siguiente experimento
Cojaacutense varios individuos con la enfermedad de etiologiacutea uacutenica X obseacutervese si todos ellos
tienen en la proteiacutena Y el aminoaacutecido Z proveniente del codoacuten o triplete T Y veacuteanse como
contraprueba otros individuos que no presentan dicha enfermedad y comprueacutebese que
tienen codones distintos Si se confirma el supuesto es obvio que queda establecida como
supone la teoriacutea la relacioacuten iacutentima hoy auacuten no aceptada ni siquiera considerada de
tripletes y enfermedades
B) Cerebro El premio Nobel por el descubrimiento de la estructura del ADN Francis Harry
Compton Crick en 1990 y un joven colaborador suyo Christof Koch (Crick 1990)
proclamaron en Seminarios sobre Neurociencias que habiacutea llegado la hora de estudiar el tal
vez maacutes elusivo e ineludible de los fenoacutemenos la consciencia convirtieacutendola asiacute en un tema
legiacutetimo para la investigacioacuten empiacuterica Ambos rechazaban la creencia de muchos de sus
colegas en el sentido de que la consciencia no se podiacutea definir y menos auacuten estudiar Bien
al contrario para Crick y Koch siguiendo a William James la conciencia o consciencia y
todas sus formas dirigidas hacia objetos bien del mundo sensible o altamente abstractos o
internos parecen necesitar el mismo mecanismo subyacente es decir un mecanismo que
combina la atencioacuten con la memoria a corto plazo Sosteniacutean ademaacutes que no se podiacutea
esperar alcanzar una verdadera comprensioacuten de la consciencia ni por otra parte de
cualquier otro fenoacutemeno mental tratando al cerebro como un caja negra Posteriormente
Crick expuso detalladamente sus opiniones sobre la consciencia en un conocido libro
titulado ldquoThe Astronishing Hypothesisrdquo (Crick 1994) Para Crick el componente crucial de su
definicioacuten de consciencia es la palabra atencioacuten y hace hincapieacute en que eacutesta implica algo
maacutes que un simple procesamiento de informacioacuten En sus palabras (Crick 1988) Somos
conscientes de que tomamos una decisioacuten pero no somos conscientes de lo que nos hace
tomar dicha decisioacuten Esto ya lo habiacutea sugerido Sigmund Freud (Freud 1956) cuando
reflejando su inquietud sobre el inconsciente que ya se habiacutea desarrollado en el siglo XIX
planteoacute la hipoacutetesis de que la mayoriacutea de los actos humanos estaban determinados por
impulsos inconscientes Hoy la neurociencia sabe que eso es cierto Efectivamente en la
primavera de 1994 la Universidad de Arizona en Tucson organizoacute un simposio
interdisciplinario sobre la consciencia Alliacute y entonces Benjamiacuten Libet sicoacutelogo de la
Universidad de California en San Francisco realizoacute el siguiente experimento (Norretranders
1998) Pidioacute a los participantes que doblaran un dedo en el momento de haberlo decidido
mientras anotaban el instante de su decisioacuten tal y como indicaba un reloj Los participantes
156
tardaron 02 segundos de media en doblar los dedos tras haber decidido hacerlo pero la
electroencefalografiacutea que registroacute sus ondas cerebrales reveloacute que la maacutexima actividad
cerebral teniacutea lugar 03 segundos ldquoantesrdquo de haber tomado conscientemente la decisioacuten de
doblar el dedo Es decir el cerebro se poniacutea manos a la obra antes de que se fuese
consciente de la decisioacuten Como lo sentildealoacute Francisco J Rubia (Rubia 2002) Catedraacutetico de
Fisiologiacutea Humana de la Universidad Complutense de Madrid No tenemos ni idea de doacutende
parte esa primera actividad pero lo que queda claro es que no es consciente
La consciencia se resolvioacute para los materialistas cuando alguien decidioacute que era un mero
epifenoacutemeno del mundo material Fue el filoacutesofo oxfordiano Gilbert Ryle (Ryle 1949) quien
primero acuntildeoacute la frase the ghost in the machina en los antildeos treinta para mofarse del
dualismo mente-materia afirmando que el dualismo ndashque sosteniacutea que la mente es un
fenoacutemeno separado e independiente de su sustrato fiacutesico y capaz de ejercer influjo sobre
eacutel- violaba el principio de conservacioacuten de la energiacutea y por tanto toda la fiacutesica Seguacuten Ryle
la mente es una propiedad de la materia y soacutelo trazando detalladamente los intricados
meandros de la materia en el cerebro se podraacute explicar la consciencia Claro que en esto
Ryle no fue totalmente original al proponer este paradigma materialista En efecto hace
cuatro siglos Francis Bacon ya instaba a los filoacutesofos de su eacutepoca a que dejaran de
empentildearse en mostrar coacutemo evolucionaba el universo a partir del pensamiento y
empezaran a considerar coacutemo evolucionaba el pensamiento a partir del universo
Para el premio Nobel de Fiacutesica Murray Gell-Mann (Penrose 1996) La consciencia o
autoconocimiento es una propiedad como la inteligencia que puede acabar evolucionando
en los sistemas complejos adaptativos cuando alcanzan ciertos niveles de complejidad [hellip]
En principio no me parece posible que nosotros los humanos podamos construir
computadores con un grado de conocimiento razonable Penrose parece atribuir al
autoconocimiento alguna cualidad especial que hace improbable que surja de las leyes
ordinarias de la ciencia
Sobre la consciencia se ha escrito mucho y poco atinado Como lo sentildealoacute Stuart Kauffman
(Kauffman 2003) Dado lo poco sensato y lo mucho inuacutetil que se ha vertido sobre la
consciencia una hipoacutetesis maacutes no empeoraraacute las cosas Y a continuacioacuten plantea su
hipoacutetesis como sigue La consciencia estaacute asociada a una ldquotoma de decisionesrdquo de alta
resolucioacuten conducente a los comportamientos alternativos en los agentes autoacutenomos
moleculares que abarca los reinos cuaacutentico y claacutesico y equivalente a la persistente
157
propagacioacuten de bucles interconectados y percolados de coherencia cuaacutentica los cuales
simultaacuteneamente y sistemaacuteticamente pierden coherencia trasformaacutendose en claacutesicos El
paso al comportamiento claacutesico representa ldquomenterdquo actuando sobre ldquomateriardquo La
consciencia es la experiencia interna que el agente tiene de esa red percolada de coherencia
cuaacutentica que sostenidamente sufre decoherencia hacia el comportamiento claacutesico
Ciertamente retoacuterico y oscuro Sin embargo es innegable que la consciencia es un
fenoacutemeno emergente del comportamiento del cerebro y que puede entenderse La teoriacutea
aquiacute propuesta afirma que dicho fenoacutemeno es el resultado de observar el proceso de
coacutemputo de holones e informones por holones que los observan y categorizar a otros
holones de maacutes bajo nivel que trabajan sobre ellos Veacutease el siguiente ejemplo dado por la
tabla IV3 En ella se pueden ver los cuatro casos siguientes
1 Se es conciente de lo que se sabe Un grupo de holones trabaja sobre informones de
conocimiento y los holones que los manejan y da cuenta de ese trabajo Es justamente la
consciencia
2 Se es consciente de lo que no se sabe Holones de un cierto nivel quieren trabajar sobre
informones de conocimiento y se percatan de que no existen
3 No se es consciente de lo que se sabe En este caso no se han usado holones de nivel
suficiente para estar en el caso 1
4 No se es consciente de lo que no se sabe No se han usado holones para convertir la
situacioacuten en el caso 2
Todo ello implica que en el cerebro debe haber alguacuten ldquomecanismordquo formado por neuronas
y o gliacutea y sus respectivas actividades que se activen siempre y cuando el cerebro reciba
una actividad que requiera consciencia Dicho mecanismo debe anatoacutemica y fiacutesicamente
tener muchas entradas y pocas salidas es decir debe ser maacutes receptor que emisor El
candidato propuesto por Crick y Koch el 28 de Julio de 2004 pocos diacuteas antes de la muerte
del uacuteltimo es el ldquoclaustrumrdquo Es eacuteste una pequentildea laacutemina de tejido cerebral localizado bajo
el coacutertex Poco se conoce acerca de eacutel salvo que estaacute conectado y cambia informacioacuten con
casi todas las regiones sensoriales y motoras del coacutertex asiacute como la amiacutegdala que juega un
papel trascendental en las emociones Ademaacutes Koch y Crick comparan el ldquoclaustrunrdquo con
un director de orquesta Es decir las conexiones neuroanatoacutemicas del ldquoclaustrumrdquo reuacutenen
las caracteriacutesticas de un verdadero director puesto que pueden enlazar juntas y coordinar
158
las distintas regiones sensoriales y cognitivas necesarias para la unidad de la conciencia En
suma a diacutea de hoy el ldquoclaustrumrdquo tiene todas las rifas para ser el soporte material de la
consciencia de acuerdo con la teoriacutea aquiacute propuesta Actualmente se estaacute llevando a cabo
con el Profesor Ortiacutez de la UCM un trabajo para verificar esta hipoacutetesis
CONOCIMIENTO
CONSCIENCIA
Consciente Inconsciente
Conoce
Se es consciente de lo que se sabe Por ejemplo Al aprobar el carnet de conducir se ldquosaberdquo que se sabe conducir
No se es consciente de lo que uno sabe verbigracia cuando uno es un conductor versado no es consciente de que sabe conducir pues lo hace automaacuteticamente
Ignora
Se es consciente de lo que se ignora Es el caso que ocurre cuando uno quiere tener el carnet de conducir
Uno es inconsciente respecto a su ignorancia Este estadio es habitual en la infancia lo que no es preocupante Lo grave es cuando uno no evoluciona y se queda en este estadio
Tabla IV3 Consciencia Versus Conocimiento
C) Computacioacuten
Toda la computacioacuten puede explicarse con holones e informones de una manera trivial Por
ejemplo los sistemas transacionales son informones tipo datos (Bases de Datos) y holones
clase programas Los sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas
como sistemas de bases de datos y holones tipo programas y foacutermulas Los sistemas
basados en conocimientos son ni maacutes ni menos que informones en forma de ontologiacuteas y
holones en forma de agentes Finalmente las maacutequinas de Turing son un informoacuten en
forma de signos 1 y 0 sobre la cinta y un holoacuten en forma de la tabla de actuacioacuten
Curiosamente una maacutequina de Turing especiacutefica como verbigracia la de la suma descrita
en la cinta como parte de la maacutequina de Turing Universal (MTU) es un informoacuten que trata
como tal la MTU y no un holoacuten como pudiera parecer ldquoprima facierdquo
159
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN
V1 RESULTADOS
1 El primer resultado obtenido con este trabajo ha sido mostrar la viabilidad de una
teoriacutea para el Desarrollo del Software Maacutes auacuten la necesidad de la misma para
rellenar la sima ldquogaprdquo o desfase entre el desarrollo exponencial del hardware
dado por la ley de Moore y el estado actual del desarrollo software caricaturizado
por el ldquokludgerismordquo que en el mejor de los casos es lineal y en el peor
regresivo
2 En segundo lugar se han establecido los liacutemites teoacutericos de la computacioacuten
basaacutendose en leyes y teoriacuteas fiacutesicas consolidadas como son la relatividad la
termodinaacutemica y la fiacutesica cuaacutentica Estos liacutemites fabulosos permiten afirmar de
acuerdo con Kurzweil (Kurzweil 2005) que la tecnologiacutea de los computadores estaacute
acercaacutendose a una singularidad Y si esto es asiacute y eacutesta es una futura liacutenea de
investigacioacuten maacutes el desarrollo de la nanotecnologiacutea augura unas potencialidades
al hardware hasta ahora inigualables pero si vislumbrables como son
a) La computacioacuten ubiacutecua que es la siguiente generacioacuten de la computacioacuten
tambieacuten llamada ldquoVirtualidad Incorporadardquo es lo opuesto a la realidad virtual y
consiste en la impregnacioacuten global de la informaacutetica en todas las actividades
de la vida corriente siendo completamente trasparente para el usuario
b) Los seres hiacutebridos bioloacutegico-tecnoloacutegicos dotados de capacidades
intelectuales etc En algunos aspectos tal y como se muestra en la tabla V1
estos seres superaraacuten a los humanos
OperacionesSegundo Capacidad de Proceso
(Bits)
Computadores Actuales asymp1010 asymp1010
Cuaacutenticos lt1050 lt1031
Humanos 2x1016 28x1020 (Von Neumann)
Tabla V1 Comparacioacuten de las prestaciones de computadores frente al hombre
Humanos Vs
Computadores
Prestaciones
160
c) Ademaacutes se llevaraacute a buen teacutermino el propoacutesito inicial de la ciencia de la
computacioacuten como es el paso del ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo
d) Curiosamente y como efecto colateral que daraacute lugar a otra liacutenea de
investigacioacuten en este caso en linguumliacutestica a la vista del punto anterior y
teniendo en cuenta tal y como se muestra en la tabla V2 seraacute necesario
inventar nuevos teacuterminos para especificar la potencia y capacidad de memoria
de los futuros computadores En efecto de acuerdo con la tabla V2 soacutelo se
tienen teacuterminos para los muacuteltiplos hasta el 10 En consecuencia como el liacutemite
maacuteximo dado por los 1050 de potencia seraacuten necesarios usando intervalos de
103 al menos ocho nuevos teacuterminos
SIacuteMBOLO NOMBRE FACTOR
Y Yota 1024
Z Zeta 1025
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
H Hecto 102
O Deca 101
d deci 10-1
c centi 10-2
m mili 10-3
micro micro 10-6
n nano 10-9
p pico 10-12
f femto 10-15
a atto 10-18
z zepto 10-21
y yocto 10-24
Tabla V2 Oacuterdenes de Magnitud de las Unidades de Medida
3 En tercer lugar y eacuteste es un resultado muy relevante se ha conseguido probar
formalmente de acuerdo con trabajos previos de von Neuman y Loumlwenheim-
Skolem a su vez basados en Cantor Frege Zermelo y Mirimanoff la viabilidad de
161
una teoriacutea para el desarrollo del software tanto baacutesico como aplicado
convencional o avanzado Es decir una teoriacutea tanto para la Ingenieriacutea del Software
como para la Ingenieriacutea del Conocimiento y en general para la ciencia de la
computacioacuten Maacutes auacuten y de ahiacute la relevancia dicha teoriacutea da cuenta tambieacuten de y
explica adecuadamente otros fenoacutemenos en los que interviene la informacioacuten
como son la geneacutetica y la mente Una futura liacutenea de investigacioacuten muy
interesante en este punto seriacutea desarrollar un nuevo teorema que conteniendo los
alcances del de Lowenheim-Skolem elimine formalmente la ldquocapciosidadrdquo que
contiene eacuteste
A la vista de los resultados obtenidos por von Neumann en la construccioacuten de los
nuacutemeros naturales y del corolario citado en el capiacutetulo III apartado III23 se puede
decir sin temor a equivocarse que la expresioacuten de Kronecker sobre la creacioacuten de
los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo
el hombre hizo el resto
Todo ello lleva a pensar y resulta ser otra liacutenea de investigacioacuten en una teoriacutea
maacutes amplia unificada y unificadora que englobe aquellos aacutembitos en los que la
informacioacuten sea una componente baacutesica Esta teoriacutea seriacutea una verdadera teoriacutea de
la informacioacuten de la que la de Shannon seriacutea un caso especial (Shannon 1948) En
este sentido von Neumann en una famosa resentildea del libro de Norbert Wiener
(von Neumann 1949) ldquoCyberneticsrdquo (Wiener 1948) deciacutea La proposicioacuten de que
tanto la ciencia como la tecnologiacutea pasaraacuten cada vez maacutes en el proacuteximo futuro
como en un futuro maacutes lejano de los problemas de intensidad sustancia y
energiacutea a los problemas de estructura organizacioacuten informacioacuten y control
4 El cuarto resultado notable es la fundamentacioacuten formal del software al menos en
su apartado de programacioacuten Para ello soacutelo hace falta y eacutesta es otra futura liacutenea
de investigacioacuten reducir toda la programacioacuten bien a la programacioacuten funcional o
si esto no fuera posible a la propuesta conceptograacutefica de Frege Lo cual no
parece inalcanzable teniendo en cuenta la similitud entre la estructura de
ldquoholonesrdquo ldquoinformonesrdquo y las nociones ldquoontoloacutegicasrdquo baacutesicas de Frege de
ldquofuncioacutenrdquo y ldquoargumentordquo Frege en sus escritos semaacutenticos a las funciones con
argumento las denominaba conceptos y a las de dos relaciones consideraba que
las funciones tomaban sus argumentos en los nuacutemeros y objetos en general para
lo que introdujo el concepto de ldquofuncioacuten proposicionalrdquo Dichos objetos para
Frege era todo aquello que no es una funcioacuten Pues bien la teoriacutea propuesta va
162
maacutes allaacute puesto que permite de acuerdo con el contexto que un holoacuten sea un
informoacuten y viceversa Y a mayor abundancia se permite la recursividad y o
recurrencia entre holones informones y entre ellos
5 Finalmente estaacute el resultado fundamental de este trabajo y es la presentacioacuten de
una teoriacutea que ademaacutes de contemplar el desarrollo software tambieacuten da cuenta
como acaba de indicarse de otros dominios como son la geneacutetica y la mente
Naturalmente esta primera propuesta debe ser y de hecho lo seraacute refinada y
completada con el adecuado desarrollo tecnoloacutegico y eacutesta es una nueva liacutenea de
investigacioacuten propuesta
Finalmente se ha obtenido un resultado que es un ldquoefecto colateralrdquo del trabajo realizado en
esta tesis En efecto en el apartado que trata de los nuacutemeros de von Neumann se comentoacute
como Leibniz se autoproclamoacute ldquocreadorrdquo del sistema binario y asiacute es considerado por la
mayoriacutea de los historiadores de la matemaacutetica y por los propios matemaacuteticos Sin embargo
nada maacutes lejos de la realidad En efecto tras intensas pesquisas usando la teacutecnica de GC de
mapas de conocimientos en forma de ldquovariosrdquo clips se comproboacute que realmente eso no soacutelo
es falso sino que Leibniz una vez maacutes plagioacute esta vez al espantildeol Juan Caramuel de Lekbowiz
nacido en Madrid en 1606 y fallecido en Vigevano en 1682 Estos son los hechos contados por
Juliaacuten Velarde Lombrantildea (Velarde 1989)
A) En 1701 Leibniz afirmoacute que antes incluso de la publicacioacuten de la ldquoTetractysrdquo por su
maestro de matemaacuteticas de la Universidad de Jena Erhard Weigel (1625-1699) en
1673 Aunque documentalmente la fecha de aparicioacuten del sistema binario de Leibniz
hay que datarla en el 15 de marzo de 1679 donde se ve que ya tiene una idea clara de
dicho sistema Idea que plasma en su obra de 1703 ldquoExplication de LacuteArithmeacutetique
Binairehelliprdquo memoria que habiacutea enviado a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1701
B) Caramuel en su ldquoMathesis Audaxrdquo publicado en Lovaina en 1644 y sobre todo en su
gran enciclopedia ldquoMathesis Bicepsrdquo de 1667-1670 donde expone de forma
sistemaacutetica entre otras la aritmeacutetica binaria Alliacute y entonces explica las ventajas e
inconvenientes de la misma y da una muestra de su utilidad aplicaacutendola a la muacutesica
Hasta aquiacute Velarde quien de forma incontestable muestra la prioridad de Caramuel sobre
Leibniz en la invencioacuten del sistema binario La doctoranda da un paso maacutes y estaacute en
condiciones de afirmar que con probabilidad rayana en la certeza Leibniz plagioacute a
Caramuel Estas son las razones aducidas
163
A) Estaacute documentado que Leibniz conociacutea los trabajos de Caramuel tanto de forma
directa pues eran corresponsales viacutea cartas de cuestiones cientiacuteficas como indirecta
ambos se comunicaban epistolarmente con varios contemporaacuteneos
B) La tendencia al plagio intriacutenseca al caraacutecter de Leibniz basada en las siguientes
acusaciones
a) Acusacioacuten de plagio lanzada por John Keill a Leibniz ademaacutes de la acusacioacuten
del propio Newton sobre la prioridad de la invencioacuten del caacutelculo infinitesimal
en su ldquoAn Account of the Book Entituled Commercium Epistolicum D Johannis
Collinij amp Aliorum de Analysi Promotardquo publicado en 1715 en las Philosophical
Transactions de la Royal Society
b) Acusacioacuten de Pell sobre el plagio de Leibniz a Regnaud Pell conocioacute a Leibniz
en casa de la hermana del quiacutemico Robert Boyle en 1673 En ese encuentro
Leibniz le comentoacute a Pell que habiacutea descubierto un meacutetodo general para
representar e interpolar series usando diferencias Pell mostroacute su extrantildeeza
pues dado que Leibniz acababa de llegar de Pariacutes debiacutea conocer que esos
resultados descubiertos por Francois Regnaud habiacutean sido publicados en
1670 por Gabriel Mouton en sus ldquoObservationes Diametrorum Solis et Lunae
Apparentiumrdquo
c) Robert K Merton (Merton 1965) afirma que seguacuten el astroacutenomo Francois
Arago Leibniz plagioacute a Descartes acerca de la observacioacuten de este uacuteltimo
seguacuten la cual ldquola Tierra no difiere del Sol en ninguacuten aspecto salvo en que es
maacutes pequentildeardquo Estas fueron las palabras de Arago ldquoLeibniz otorgoacute a esta
hipoacutetesis el honor de atribuiacutersela a siacute mismordquo
Es decir ldquoverde y con asasrdquo
V2 CONCLUSIOacuteN
La ldquoGestioacuten del Conocimientordquo no es soacutelo vaacutelida para mejorar el funcionamiento y la
competitividad de las organizaciones tanto institucionales como econoacutemico-financieras sino
que como se muestra en este trabajo tambieacuten es eficaz y efectiva en el dominio de la
investigacioacuten cientiacutefica tanto teoacuterica como aplicada a la tecnologiacutea Y esta eficacia y efectividad
se plasma en que siguiendo la terminologiacutea de Francis Bacon aporta tanto ideas luciacuteferas que
iluminan ciertos campos clasificaacutendolos (resultados 1 2 3) como fructiacuteferas que generan
teoriacuteas y sobre todo abren nuevas viacuteas de investigacioacuten (2 3 y 4)
164
165
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V
ABSTRACT
This thesis shows and proves how the elementary knowledge equation applied to knowledge
itself improves knowledge This is of course the way in which scientists pursue their research
Here however we demonstrate that using knowledge management techniques any specialist
in a subject can benefit from the knowledge equation
In this work the domain of software development was chosen as the framework for
researching the proposed thesis First it was found that the well-known gap between
hardware development and software development is basically a consequence of hardware
being underpinned by a genuine engineering discipline mdashand therefore backed and supported
by science respectively electronics and physicsmdash whereas software is still more of an art
than engineering without any underlying scientific theory
The proposal then is to put forward a theory that converts software development into a true
engineering discipline Bearing this in mind the formal and material adequacy conditions have
been established for any theory Then the feasibility of the proposed theory was proved using
the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal number generation from
vacuum Subsequently the theory was tested in the functional programming domain and
specifically on curryfication
Finally we propose a theory that conforming to the requirements placed on any theory
underpins software development Moreover the proposed theory is broad and robust enough
to be applied to any information system including DNA and the brain To prove this a number
of crucial experiments are proposed for all domains which should falsify the theory
The findings are as follows
A) The computational limits for a 1kg mindfact are 1050 operations per second and 1031
bits of memory
B) The combination of the Loumlwenheim-Skolem theorem and von Neumannrsquos ordinal
generation proposal are sufficient to establish a software development theory As a
spin-off it was found that what Kronecker said about integer number creation needs
to be restated as ldquoGod made the vacuum all else is the work of manrdquo
VI
C) Frege and Schoumlfinkelrsquos idea of functional programming developed by Curry
establishes the effectiveness of an axiomatic theory for software development
D) The proposed theory which has two constructs and three postulates applies not only
to software development but also to any information system
E) An incidental finding is that Leibniz plagiarized the Spaniard Caramuelrsquos binary
numbering system
VII
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a mi familia el apoyo y comprensioacuten incondicional que me
han dado en todo momento definitivamente sin ellos jamaacutes hubiese llegado hasta aquiacute En
especial quiero destacar el esfuerzo de mis padres a fin de darme una educacioacuten que me
permitiera tener unos cimientos lo suficientemente fuertes para poder alcanzar esta meta A
mi madre por su constante dedicacioacuten carintildeo y lucha para que continuara ldquoal pie del cantildeoacutenrdquo
A mi padre por su ejemplo incasable de trabajo y fortaleza quien hasta en sus uacuteltimos
momentos me ensentildeoacute la importancia de seguir adelante haciendo frente a las adversidades
por grandes que fueran Tambieacuten agradezco muy especialmente a mi hermana porque sin su
ayuda compantildeiacutea y consejos seguramente no hubiese llegado maacutes allaacute de la mitad del camino
Tambieacuten quiero agradecer a mis directores de tesis Profesores Doctores Juan Ares Casal y
Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten Aradas su comprensioacuten y confianza en este trabajo tan arriesgado
sobre todo antes de presentarles resultados concretos Naturalmente sus consejos directos o
indirectos fueron de valiosa ayuda para llevar a buen fin la investigacioacuten Asimismo en sus
opiniones y conocimientos sobre la teoriacutea propuesta en la que ellos habiacutean trabajado
previamente Sin ellos este trabajo no se habriacutea llevado a cabo en el peor de los casos y en el
mejor no de eacutesta manera
Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a Javier Andrade y colegas por permitirme usar
sus propuestas experimentales como piedra de toque de la teoriacutea propuesta
Mencioacuten aparte merece el profesor Juan Pazos Sierra Su apoyo ayuda ideas conocimientos
y criacuteticas fueron esenciales tanto para la eleccioacuten como el desarrollo de la investigacioacuten Soacutelo
voy a citar dos ejemplos de su apoyo criacutetico y sin contemplaciones para con la doctoranda El
primero se produjo cuando al explicarle el objeto de la tesis me dijo ldquoYo en estos casos
siempre le doy a los doctorandos el siguiente consejo Intenta una cosa que no has hecho tres
veces Una para perderle el miedo a hacerlo La segunda para aprender a hacerlo Y la
tercera para ver si te gusta o no iexclAh Y en cuanto veas que sabes hacer algo inmediatamente
ponte a hacer algo que no sepasrdquo Es decir se creativa perseverante y por supuesto la tesis
no estaraacute lista hasta que la escribas y reescribas al menos tres veces
El segundo fue tal vez maacutes descorazonador fue cuando al contarle en que queriacutea trabajar
me soltoacute ldquoHasta que te hayas leiacutedo el Menoacuten de Platoacuten (Platoacuten 1969) y entiendas
VIII
perfectamente lo que es el meacutetodo socraacutetico de la ldquomayeacuteuticardquo es decir el arte de mediante
el diaacutelogo inquisitivo de pregunta-respuesta alumbrar los espiacuteritus no quiero volver a hablar
contigo de este asunto Eso siacute despueacutes en un tono menos perentorio me empezoacute a hablar de
Platoacuten y los filoacutesofos griegos claacutesicos que me hizo aprender maacutes de filosofiacutea y ciencia que
todo lo que me habiacutean explicado y o leiacutedo hasta entonces
Posteriormente y ya como fuente de conocimiento fue una auteacutentica mina No soacutelo me
contestoacute con precisioacuten y erudicioacuten a todo lo que le pregunteacute sino que sus consideraciones me
haciacutean replantear mi investigacioacuten haciendo eacutesta maacutes productiva y eficiente Y esto es de tal
modo asiacute que tanto las ideas aportadas y los resultados obtenidos como los meacutetodos
empleados para conseguirlos son tanto o maacutes de eacutel que miacuteos Naturalmente el trabajo que
implica todo ello es de la doctoranda pero lo que quiero sentildealar es que cuando exponiacutea una
idea absolutamente original para miacute eacutel sin decirlo ya pareciacutea conocerla de toda la vida e
inmediatamente me indicaba los problemas y dificultades que iba a encontrar en su desarrollo
y verificacioacuten
Pero es que ademaacutes Pazos siempre me insistioacute en que la mayeacuteutica debe conducir a la
claridad para que finalmente todo el mundo entendiera el conocimiento aflorado Al respecto
poniacutea el ejemplo del premio Nobel de Fiacutesica de 1965 Richard Philips Feyman (1918-1988) Eacuteste
en cierta ocasioacuten fue requerido por un miembro del claustro del Caltech donde trabajaba
para que le explicase por queacute las partiacuteculas de espiacuten un-medio obedecen a la estadiacutestica de
Fermi-Dirac en vez de la de Bose-Einstein Eacutel despueacutes de calibrar a su audiencia respondioacute
Preparareacute una leccioacuten para este tema para los estudiantes novatos Pero unos diacuteas maacutes tarde
buscoacute puacuteblicamente a su interlocutor y paladinamente dijo Sabes no pude no pude reducirlo
al nivel de los novatos Esto significa que realmente no lo entendemos
IX
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN III
ABSTRACT V
AGRADECIMIENTOS VII
TABLA DE CONTENIDO IX
CAPIacuteTULO I 1
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO 1
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS 2
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE 9
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES 9
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE 11
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN 20
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE 22
II2 TEORIacuteAS 28
II21 INTRODUCCIOacuteN 28
II22 DEFINICIOacuteN 29
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA 32
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS 49
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA 56
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE 61
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA 63
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS 63
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA CASUALIDAD CAUSALIDAD O
ldquoCAUSUALIDADrdquo 67
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL 69
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM 72
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO DEFINICIOacuteN DE
NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN 75
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN 85
III31 INTRODUCCIOacuteN 85
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN 87
III4LOacuteGICA COMBINATORIA 100
X
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo 101
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO 102
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS 110
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA 115
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA 115
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA 115
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS 117
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES Y HOLONES 130
IV31 INFORMOacuteN 130
IV311 DEFINICIOacuteN 130
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN 134
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN 135
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo 138
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN 138
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES 143
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS 146
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA 148
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES 151
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA 154
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN 154
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN 159
V1 RESULTADOS 159
V2 CONCLUSIOacuteN 163
CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA 165
1
CAPIacuteTULO I
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO
Este trabajo tiene por objeto mostrar coacutemo la ldquoGestioacuten del Conocimientordquo en adelante GC
puede emplearse con provecho esto es consiguiendo resultados ldquotangiblesrdquo y evaluables en
la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica En efecto consideacuterese la ecuacioacuten fundamental del
conocimiento que se muestra graacuteficamente en la figura I1 que establece en general que
cualquier cosa maacutes conocimientos implica una mejora de dicha cosa (Moral del 2007) Esta
ecuacioacuten que formula una ley empiacuterica se basa en la multitud de ejemplos de coacutemo materias
primas seres vivos capitales energiacutea y un largo etceacutetera al aplicaacuterseles conocimiento
adecuado obtienen ventajas competitivas Los casos tal vez maacutes paradigmaacuteticos al respecto
sean los del petroacuteleo y los hongos Eacutestos que invadiacutean y corrompiacutean todo lo que tocaban
despueacutes de aplicarles los conocimientos obtenidos a raiacutez del descubrimiento serendiacutepico de
sus propiedades antibacterianas por los por eso galardonados con el premio Nobel Fleming
Flory y Chain se convirtieron en un medicamento eficaz e indispensable la penicilina para
combatir las enfermedades bacterianas Con el petroacuteleo ldquomuntatis muntandisrdquo sucedioacute algo
parecido Hace antildeos el petroacuteleo era un fluido ldquoasquerosordquo que contaminaba campos y
paacuteramos e incordiaba sobre todo a agricultores y ganaderos que no sabiacutean coacutemo quitarse esa
ldquoplagardquo de encima En este caso gracias al conocimiento adecuado en forma de ldquocrackingrdquo en
las refineriacuteas se convirtioacute en un deseado obscuro objeto de deseo el asiacute llamado ldquooro negrordquo
imprescindible para la sociedad actual Sus subproductos en especial gasolinas queroseno y
gasoacuteleos asfalto y plaacutesticos son tan importantes para la sociedad actual que eacutesta no se
entenderiacutea sin ellos Y por supuesto no seriacutea tan coacutemoda y avanzada
Figura I1 Ecuacioacuten Fundamental de los Conocimientos
Pues bien como la ecuacioacuten no plantea excepciones tambieacuten es aplicable a los propios
conocimientos Es decir conocimientos aplicados a los conocimientos producen una mejora
de eacutestos Esta mejora da origen a un proceso de retroalimentacioacuten positiva o por mejor decir
2
a un ldquociacuterculo virtuosordquo o ldquohelicoide de conocimientosrdquo de modo que eacutestos son cada vez
mayores en cantidad y mejores en calidad Sin embargo y esto es lo paradoacutejico y motivante a
medida que se ampliacutea la isla de los conocimientos humanos aumenta como anaacutelogamente lo
muestra la circunferencia el litoral de la ignorancia humana En este tira y afloja hasta ahora
la uacutenica forma que se conoce de aplicacioacuten de la ecuacioacuten es mediante el protagonismo del
cientiacutefico y o investigador que es el protagonista del desarrollo cientiacutefico tecnoloacutegico La
cuestioacuten y eacuteste es el objeto primordial de esta tesis es si y coacutemo las teacutecnicas meacutetodos y
herramientas de la GC pueden crear o cuando menos colaborar efectiva y eficientemente en
aumentar los conocimientos cientiacuteficos
Y esto lleva a resaltar la importancia de esta cuestioacuten Si hubo un tiempo la Grecia Claacutesica en
que un solo ser humano podriacutea acumular todo el conocimiento existente hoy dado su
crecimiento exponencial o casi eso es imposible Por lo cual seriacutea de gran ayuda si la GC
pudiera aplicarse en la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica La hipoacutetesis aquiacute planteada es de
que siacute Pero no soacutelo eso sino que y esto es una evidencia en el sentido galileano del teacutermino
es decir algo que se puede combatir y nunca refutar que en el futuro la GC seraacute condicioacuten
necesaria para la investigacioacuten cientiacutefica Maacutes auacuten y esto soacutelo se menciona especulativamente
y en condicional tal vez si los partidarios de la Inteligencia Artificial dura acaban por tener
razoacuten no soacutelo seraacute condicioacuten necesaria sino suficiente para dicha investigacioacuten
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS
Siguiendo la norma tradicional y convencional de clasificar los objetivos en los tres niveles de
A) Finalidades de caraacutecter filosoacutefico y muy general
B) Fines fundamentalmente cualitativos y en consecuencia difiacutecilmente evaluables y
C) Metas concretas y evaluables
Esta tesis tiene como finalidad analizar el uso efectivo y eficaz de la Gestioacuten del Conocimiento
en el desarrollo software Como fin el contrastar la posibilidad y factibilidad de proponer una
teoriacutea que soporte las ldquoingenieriacuteasrdquo implicadas en el desarrollo software la ingenieriacutea del
software y del conocimiento Y finalmente como meta especiacutefica el proponer una teoriacutea en la
que fundamentar ambas ingenieriacuteas
Para alcanzar dichos objetivos se ha conseguido usando las teacutecnicas de GC de Mapas de
Conocimientos (ldquoSeis Clicksrdquo) importacioacuten de conocimientos ontologiacuteas etc lo siguiente
3
1) Identificar clara y precisamente de forma cuantificable el ldquogaprdquo entre la ingenieriacutea del
hardware (microprocesadores) exponencial y la ingenieriacutea del software en el mejor de
los casos lineal Al tiempo se postula que dicho ldquogaprdquo es sobre todo pero no
exclusivamente consecuencia de la carencia de teoriacutea en la que se apoye el desarrollo
software
2) Demostrar la posibilidad de desarrollar dicha teoriacutea Para lo cual se haraacute uso de varios
resultados conocidos Por una parte la propuesta de von Neumann de la generacioacuten
de los nuacutemeros y el teorema de Loumlwenheim-Skolem que muestra que toda teoriacutea
empiacuterica cientiacutefica es un modelo loacutegico de un sistema axiomaacutetico deductivo
fundamentado en los nuacutemeros naturales
3) Probar la factibilidad de realizacioacuten de dicha teoriacutea ejemplarizado en la
ldquocurryficacioacutenrdquo esto es en la programacioacuten funcional basada en los trabajos de Frege
Schoumlnfinkel y Curry
4) Dar un paso maacutes y proponer realmente una teoriacutea basada en los resultados anteriores
que consta de dos ldquoconstructosrdquo a saber holones e informones y tres postulados
Naturalmente para que dicha teoriacutea sea falsable tambieacuten se daraacuten las pruebas frente
a las cuales mostraraacute su validez
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS
Hablando abstractamente una buena metodologiacutea de solucioacuten de problemas luego de
identificar y formular clara y precisamente el problema debe responder a las tres cuestiones
siguientes iquestEs posible una o maacutes soluciones iquestEs realizable dicha solucioacuten iquestEs deseable En
efecto para queacute intentar resolver un problema si como sucede muchas veces ldquoa priorirdquo se
sabe o puede demostrarse que el problema no tiene solucioacuten Esto es una cuestioacuten de eficacia
La segunda cuestioacuten atantildee maacutes a la eficiencia A veces hay problemas que se sabe que tienen
solucioacuten verbigracia el ajedrez sin embargo hasta hace poco dado que era un problema
exponencial era inviable por el tiempo requerido una solucioacuten de ldquofuerza brutardquo Todos los
problemas NP-Completos caen en este apartado Finalmente en ciertas ocasiones el
problema es resoluble y viable y sin embargo por alguna causa no es deseable por ejemplo
por razones eacuteticas ecoloacutegicas sociales econoacutemicas etc no es deseable ni recomendable
resolverlo simplemente porque seriacutea peor el remedio que la enfermedad La respuesta a las
dos primeras preguntas se daraacuten en el capiacutetulo III de este trabajo
4
Pues bien en el sentido y ejecucioacuten de esta tesis se tuvieron en cuenta estas cuestiones en la
metodologiacutea aplicable a la misma y que esquemaacuteticamente se muestra en la figura I2 Como
puede verse dicho esquema metodoloacutegico se basa por una parte en emplear los seis
honrados servidores del hombre de Rudyard Kipling (Kipling 1990) Queacute Quieacuten Por queacute Para
queacute Cuaacutendo Coacutemo y Doacutende y por otra las cuatro reglas del Meacutetodo Cartesiano (Descartes
1637) a saber De evidencia Anaacutelisis Siacutentesis y Prueba
Figura I2 Esquema de Solucioacuten de Problemas desde una Perspectiva de GC
5
Finalmente sentildealar que la teoriacutea propuesta tiene que constituir un sistema deductivo Para su
buacutesqueda y definicioacuten se hizo uso de la conocida regla heuriacutestica de ldquoanaacutelisis-siacutentesisrdquo y de la
loacutegica experimental En efecto las caracteriacutesticas baacutesicas de los sistemas deductivos son (a)
principio de ldquoretrasmisioacuten de la falsedad desde la base hasta la cuacutespiderdquo esto es mediante
ldquoretroduccioacutenrdquo desde las conclusiones a las premisas Haciendo asiacute un contraejemplo de una
conclusioacuten seraacute un contraejemplo de al menos una de las premisas (b) El ldquoprincipio de
transmisioacuten de la verdadrdquo desde las premisas a las conclusiones Pero y esto es muy
importante a estos sistemas no se les exige que transmitan falsedad o retrasmitan verdad
Para llevar esto a buen puerto los sistemas deductivos hacen uso de la regla de ldquoanaacutelisis-
siacutentesisrdquo que funciona como sigue (Lakatos 1981) Extrae conclusiones de tu conjetura una
tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera si llegas a una conclusioacuten falsa entonces
tu conjetura es falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera entonces tu
conjetura tal vez haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e
intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso es decir desde la verdad indudable
hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado la conjetura Esta regla heuriacutestica
pone de manifiesto por queacute los antiguos griegos teniacutean en tan alta estima la ldquoReductio ad
absurdumrdquo les ahorraba el trabajo de siacutentesis habiendo probado el caso soacutelo con el anaacutelisis
Anaacutelisis que puede ser de dos tipos teoacuterico dirigido a la buacutesqueda de la verdad y
praxeoloacutegico praacutectico o problemaacutetico que de estas tres formas se denomina dirigido a
encontrar lo que se ha dicho que hay que encontrar
La mayoriacutea de los grandes cientiacuteficos Maxwell Einstein Dirac etceacutetera usaron o procedieron
mediante lo que se conoce como ldquoloacutegica experimentalrdquo un aparente oxiacutemoron es decir
teacuterminos contradictorios en siacute mismos pero en este caso soacutelo en apariencia En loacutegica
experimental se formulan hipoacutetesis formalmente a poder ser en forma de ecuaciones y se
experimenta con ellas Esto es se intenta perfeccionar las ecuaciones desde el punto de vista
de su belleza o perfeccioacuten interna y su consistencia Y a continuacioacuten se verifica si las
ecuaciones ldquomejoradasrdquo explican alguacuten aspecto de la naturaleza Las matemaacuteticas utilizaban la
acabada de citar ldquoreduccioacuten al absurdordquo que consiste en que para demostrar A se asume lo
opuesto de A y se llega a una contradiccioacuten con lo que se afirma A Por el contrario la ldquoloacutegica
experimentalrdquo consiste en una ldquovalidacioacuten por fecundidadrdquo que estriba en que para validar A
se asume A y se demuestra que conduce a resultados uacutetiles Frente al ldquomodus operandirdquo de la
loacutegica deductiva la ldquoloacutegica experimentalrdquo se inspira en la maacutexima ampliamente utilizada en
GC siguiente ldquoMaacutes vale pedir perdoacuten que solicitar permisordquo De hecho la ldquoloacutegica
experimentalrdquo no contempla al menos ldquoprima facierdquo la inconsistencia como una cataacutestrofe
6
irremediable sino como una oportunidad esperanzadora Si una liacutenea de investigacioacuten es
fructiacutefera no debiacutea ser abandonada por su inconsistencia o caraacutecter aproximado Por el
contrario hay que buscar el modo de convertirla en correcta En este sentido el premio Nobel
de Fiacutesica Steven Weinberg sentildealoacute que muchas veces se aplican las ideas correctas al problema
equivocado
Para centrar la cuestioacuten cientiacuteficamente y huir de toda especulacioacuten metafiacutesica lo primero que
se hizo fue aplicar la GC en forma de Mapa de Zack y esquema de obtencioacuten del conocimiento
para identificar un problema relevante en el aacuterea en la que la doctoranda teniacutea cualificacioacuten
universitaria el desarrollo software De esto trata el capiacutetulo II en el cual en forma de estado
de la cuestioacuten se considera detalladamente
A) Las bases tecnoloacutegicas de la crisis del software provocada fundamentalmente por una
carencia de teoriacutea del software que soporte las ingenieriacuteas del software y del
conocimiento
B) Naturalmente si lo que se busca es una teoriacutea cientiacutefica previamente debe
establecerse lo que se entiende por tal Ademaacutes como no hay mejor predicador que
fray ejemplo se daraacuten en distintos dominios ejemplos de teoriacuteas cientiacuteficas tanto
formales como empiacutericas o exponenciales
A continuacioacuten en el capiacutetulo III usando conocimiento formal se demuestra no soacutelo que
dicha teoriacutea es posible apartado III1 aportacioacuten de von Neumann y Teorema de Loumlwenheim-
Skolem sino que tambieacuten es viable y realizable viacutea ldquocurryficacioacutenrdquo apartado III2 Para probar
la posibilidad se hizo uso de las teacutecnicas de importacioacuten y de educcioacuten del conocimiento de
acuerdo con la regla de oro de la GC queacute se sabe queacute no se sabe y queacute se deberiacutea saber en
este caso concreto los resultados previos de von Neumann y Loumlwenheim-Skolem Por su
parte para probar la factibilidad apartado III2 se hizo uso viacutea importacioacuten de conocimientos
y inquisicioacuten al experto de algo habitual en el desarrollo software en este caso en el aspecto
concreto de la programacioacuten funcional y su fundamentacioacuten loacutegico-matemaacutetica Por y para lo
cual se usoacute el conocimiento previo de Frege Schoumlnfinkel y Curry En ambos casos la teacutecnica de
GC denominada mapas de conocimientos fueron de absoluta utilidad
Y para completar el triacuteo de cuestiones que exigiacutea el planteamiento de la hipoacutetesis y dentro de
la solucioacuten propuesta en el capiacutetulo IV se muestran los aspectos metodoloacutegicos de dicha
7
solucioacuten apartado IV1 y en el apartado IV2 la teoriacutea propuesta basada soacutelo en dos
ldquoconstructosrdquo o conceptos y tres postulados
Para finalizar en el capiacutetulo V se explicitan apartado V1 los resultados obtenidos las
conclusiones extraiacutedas apartado V2 y las futuras liacuteneas de investigacioacuten apartado V3 Y en
el capiacutetulo VI se da la bibliografiacutea
8
9
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES
En 1947 John Bardeen (1908-1991) y Walter Houser Brattain inventaron el transistor cuyo
nombre es el acroacutenimo de ldquoTransference Resistorrdquo en alusioacuten a su caracteriacutestica maacutes
importante transferir resistencia permitiendo el paso de corriente de una entrada de baja
resistencia a otra de salida de alta resistencia Ahora bien dicho transistor conocido como de
punta de contacto no era muy estable y fue necesario que otro cientiacutefico tambieacuten de los
laboratorios Bell William Bradford Shockley lo mejorara dando lugar al transistor de unioacuten Por
dicho invento y mejora los tres fueron galardonados con el premio Nobel de Fiacutesica del antildeo
1956 Insoacutelitamente John Bardeen esta vez en compantildeiacutea de Leon N Cooper y John Robert
Schrieffer volvioacute a conseguir el premio Nobel de Fiacutesica de 1972 por sus trabajos sobre la
superconductividad del metal proacuteximo al cero absoluto
En 1959 John Kilby de Texas Instruments patentoacute el circuito integrado que conteniacutea
centenares de componentes es decir transistores y resistencias tratadas en bloque que
recibieron el nombre coloquial de ldquochipsrdquo Este nombre alude a las finas lonchas de patatas
fritas cuya forma recuerda a la de los circuitos integrados aunque su procedencia proveniacutea de
las siglas ldquoCircuit High Integrated Processrdquo Siendo eacuteste uno maacutes de los tiacutepicos juegos de
palabras que tan a menudo ocurren en el mundo de la CS Pues bien el chip maacutes importante
es el microprocesador llamado tambieacuten Central Processing Unit (CPU) que se encarga de
controlar a todos los demaacutes y efectuar todas las operaciones
Nombre Antildeo Nordm de Transistores Ancho de bus
(bits) Frecuencia de Reloj
(Herzios)
44004 1971 2300 4 108 KHz 8080 1974 6000 8 2 MHz 8086 1978 29000 16 5 MHz 80286 1982 134000 16 6 MHz 80386 1985 275000 32 16 MHz 80486 1989 1200000 32 25 MHz Pentium 1993 3100000 64 y 32 60 MHz Pentium II 1997 7500000 64 233 MHz Pentium III 1999 9500000 64 500 MHz Pentium 4 2000 42500000 64 13 GHz Pentium M 2003 140000000 64 226 GHz Pentium D 2005 230000000 64 32 GHz Core 2 Duo 2006 291000000 64 266 GHz
Tabla II1 Caracteriacutesticas de los chips desde su creacioacuten
10
El primer microprocesador lo presentoacute Intel empresa fundada en julio de 1968 por Gordon
Moore Robert Nogee y Andrew Growe el 15 de Noviembre de 1971 A partir de ese
momento tal y como se muestra en la tabla II1 la evolucioacuten de los microprocesadores se hizo
vertiginosa En dicha tabla se muestran las caracteriacutesticas de los principales modelos de chips
comercializados por INTEL teniendo en cuenta los tres paraacutemetros fundamentales de un
microprocesador a saber ancho de bus de datos o nuacutemero de bits que puede manejar
simultaacuteneamente la frecuencia del reloj o velocidad de proceso y la cantidad de transistores
que contiene Y en la figura II1 se muestra dicha evolucioacuten hasta el antildeo 2020 pero teniendo
en cuenta soacutelo el nuacutemero de transistores por chip Curiosamente como Intel queriacutea
diferenciarse de otros fabricantes y no podiacutea patentar un nuacutemero al modelo siguiente al
80486 en lugar de 80586 lo denominoacute Pentium Siguiendo este esquema de nomenclatura el
siguiente modelo deberiacutea haberse llamado Sextium pero por las connotaciones que teniacutea con
ldquoSexrdquo a Intel le parecioacute maacutes oportuno numerar los Pentium como asiacute hizo Finalmente en los
uacuteltimos antildeos han denominado a sus modelos Core Duo en mencioacuten del doble nuacutecleo que
poseen
Figura II1 Ley de Moore en teacuterminos de procesadores Intel
Si se compara el ritmo de la evolucioacuten bioloacutegica con la de los instrumentos de coacutemputo
tomando como punto de partida de la primera la aparicioacuten de las ceacutelulas procariotas hace
unos quinientos millones de antildeos y de la segunda el aacutebaco babiloacutenico hace unos cinco mil
antildeos se ve como se muestra en la figura II2 que la evolucioacuten bioloacutegica es lineal en tanto que
la tecnoloacutegica es exponencial En dicha figura la capacidad de proceso estaacute representada en
teacuterminos de lo que puede adquirirse en cada momento por mil doacutelares y no en teacuterminos
absolutos de lo que es capaz de procesar el computador maacutes potente del momento Por su
11
parte la capacidad de coacutemputo de los seres vivos se representa en la figura en base al nuacutemero
de neuronas del cerebro y a las posibilidades de conexioacuten sinaacutepticas y considerando que una
neurona es capaz de realizar mil instrucciones por segundo
Figura II2 Evolucioacuten bioloacutegica y tecnoloacutegica
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE
Raymond Kurzweil (Kurzweil 1999) sentildealoacute acertadamente que a lo largo del tiempo operan
dos leyes complementarias La primera conocida como ldquoLey del Aumento del Caosrdquo da cuenta
del hecho empiacuterico de que a medida que el caos se incrementa el tiempo se desacelera Dicho
en otros teacuterminos El intervalo transcurrido entre dos eventos relevantes crece con el tiempo
Esta ley que puede aplicarse tanto al Cosmos como a los organismos bioloacutegicos es la que hace
que los humanos pasen de la juventud a la vejez La segunda que es la que ldquohic et nuncrdquo esto
es aquiacute y ahora maacutes importa concierne baacutesicamente al desarrollo e innovacioacuten tecnoloacutegica y
opera de forma opuesta a la primera recibiendo el nombre de ldquoLey de los Rendimientos
Crecientesrdquo En la tabla II2 se dan dos ejemplos de funcionamiento de esta ley El primero
considera la aceleracioacuten histoacuterica del advenimiento de las distintas sociedades impulsadas por
los continuos y revolucionarios cambios tecnoloacutegicos El segundo muestra el tiempo
12
transcurrido desde que se produce un descubrimiento cientiacutefico hasta que se convierte en una
innovacioacuten tecnoloacutegica de aplicacioacuten praacutectica La historia de la civilizacioacuten es la del intento
continuado del ser humano para reducir la brecha entre lo que piensa que sabe y lo que hace
es decir entre ciencia y tecnologiacutea Y lo que impulsa estos avances depende de cada caso Asiacute
en el caso del transporte es la utilidad lo que impulsa los avances Esta ley de los
ldquoRendimientos Crecientesrdquo da cuenta del hecho de que a medida que el orden crece
exponencialmente el tiempo se desacelera tambieacuten exponencialmente Dicho de otro modo
El intervalo transcurrido entre dos eventos importantes relevantes y significativos decrece con
el tiempo Un corolario conocidiacutesimo y ejemplo paradigmaacutetico de esta ley es la ldquoLey de
Moorerdquo aplicada a la tecnologiacutea de los microprocesadores que por su pertinencia y
relevancia se va a considerar maacutes ampliamente a continuacioacuten y que Forrester en 1987
(Forrester 1987) expresoacute como sigue El poder de la tecnologiacutea de la computadora a la misma
unidad de coste se duplica cada dieciocho-veinticuatro meses y tiende a disminuir el periacuteodo
Tipos de Sociedad Tiempo
Transcurrido
Descubrimiento Antildeos Transcurridos
Fotografiacutea 112
Rural Teleacutefono 56
10 Siglos Radio 35
Industrial Radar 15
2 Siglos Bomba Atoacutemica 6
Servicios Transistor 5
30 Antildeos Circuitos Integrados 3
Tecnologiacutea o Digital Enzimas de Restriccioacuten en el ADN recombinante
lt1
(A) Evolucioacuten de las Sociedades (B) Ley de Rendimientos Crecientes para distintos
Descubrimientos
Tabla II2 Ejemplos de la aceleracioacuten histoacuterica
En el antildeo 1965 Gordon E Moore uno de los fundadores de INTEL se percatoacute de que los
circuitos integrados estaban duplicando cada antildeo la densidad de los componentes electroacutenicos
que conteniacutean las distintas obleas de silicio que constituye el chip Y establecioacute dicha
observacioacuten perspicaz en forma de foacutermula empiacuterica que en honor de su descubridor recibe
el nombre de Ley de Moore (Moore 1965) Esta foacutermula empiacuterica que mide estimula y
predice la capacidad humana de innovacioacuten aplicada al progreso de la tecnologiacutea
microelectroacutenica obviamente no es una ley cientiacutefica de la naturaleza y en consecuencia ni es
universal ni menos eterna Esto hace que de vez en cuando haya que retocarla para ajustarla
a la realidad de los hechos En efecto si bien es cierto que el coeficiente multiplicador anual de
13
densidad de los componentes electroacutenicos en un chip se mantuvo en el valor 2 desde 1958
hasta 1972 desde entonces se redujo hasta hoy en diacutea a 15 es decir a duplicarse cada
dieciocho meses y se estima que dicha tendencia continuaraacute hasta aproximadamente el antildeo
2020 A partir de ahiacute se cree que se volveraacute a reducir hasta un valor de 116 que continuaraacute
hasta alcanzar los liacutemites de las leyes fiacutesicas que rigen la construccioacuten de los chips actuales
esto es la electroacutenica convencional En efecto si se mantiene la ley de Moore antes de quince
antildeos los componentes electroacutenicos grabados en silicio llegaran a un tamantildeo molecular criacutetico
Por ejemplo en 1972 los chips de memoria tipo DRAM conteniacutean un kilobit esto es mil ceros
o unos Al ritmo multiplicador de 15 anual en el antildeo 2010 pasariacutean a tener una capacidad de
unos 64 gigabits o sea a albergar 64 mil millones de transistores por oblea de silicio Sin
embargo esta previsioacuten fue superada con creces pues ya en 1997 investigadores de la
Universidad de Minnesota anunciaron una teacutecnica para integrar ese mismo nuacutemero de
transistores en un chip de 1 centiacutemetro cuadrado de superficie Lo mismo cabe decir para los
chips microprocesadores aunque en este caso la pauta que siguen hay que restarle un orden
de magnitud En la gran conferencia patrocinada por la Association for Computing Machinery
(ACM) con ocasioacuten del primer cincuentenario de la informaacutetica celebrada del 1 al 5 de marzo
de 1997 y titulada ldquoThe Next Fifty Years of Computingrdquo Gordon Bell estimaba que dentro de
otros cincuenta antildeos los computadores seraacuten como miacutenimo 100000 veces maacutes potentes que
los actuales Por otra parte Raymond Kurzweil estimoacute que la capacidad operativa del cerebro
humano es de 20x1015 operaciones por segundo cifra que de acuerdo con la ley de Moore
alcanzaraacuten los procesadores del antildeo 2020 y duplicada 18 meses despueacutes
Para apreciar el extraordinario aumento de la potencia de los computadores es importante
recordar que desde 1950 hasta el presente dicho aumento es de aproximadamente iexclonce
oacuterdenes de magnitud en otras palabras se ha multiplicado por 1011 o auacuten es cien mil
millones de veces superior Un raacutepido incremento de potencia de esta magnitud apenas tiene
precedentes en la historia de la tecnologiacutea Para valorar por comparacioacuten la magnitud de este
impresionante incremento baste indicar que es mayor que el que supuso en la potencia de
los explosivos el paso de los explosivos quiacutemicos a la bomba termonuclear De hecho si se
retrocede ochenta antildeos la potencia de coacutemputo se ha multiplicado por un billoacuten Para tener
una idea aproximada de lo que esto significa compaacuterese con la velocidad de los medios de
comunicacioacuten a traveacutes de la historia y se ve que el solo aumento de un orden de magnitud fue
debido a un cambio tecnoloacutegico relevante para la humanidad Por ejemplo el paso de la
traccioacuten animal a la mecaacutenica por vapor o explosioacuten y de eacutesta a los aviones a reaccioacuten cohetes
etc Hace ocho mil antildeos el medio maacutes raacutepido de transporte era la caravana de camellos que
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alcanzaba una media de 12 kiloacutemetros por hora Hasta cuatro mil quinientos antildeos despueacutes no
se inventoacute el carro con ruedas que permitiacutea viajar a 30 kiloacutemetros por hora Casi tres mil
quinientos antildeos despueacutes en 1880 el hombre consiguioacute alcanzar los 150 kiloacutemetros por hora
gracias a la locomotora de vapor Los 600 kiloacutemetros por hora no se alcanzaron hasta hace 70
antildeos con los aviones a reaccioacuten Veinte antildeos despueacutes los aviones-cohete superaban los 6000
kiloacutemetros por hora Hoy las caacutepsulas espaciales circunvalan a tierra a maacutes de 35000
kiloacutemetros por hora La espectacular evolucioacuten tecnoloacutegica de los computadores si se le
compara con la evolucioacuten de la industria automoviliacutestica resulta auacuten maacutes ilustrativa En efecto
fue el malogrado psicoacutelogo entusiasta de los computadores Christopher Evans (Evans 1979)
el primero en establecer una analogiacutea de este tipo al plantear la cuestioacuten como sigue El
automoacutevil actual difiere de aquellos de los antildeos inmediatos de la postguerra en varios
aspectos Es maacutes barato y es maacutes econoacutemico y eficiente Pero supoacutengase por un momento
que la industria del automoacutevil se hubiera desarrollado al mismo ritmo que los computadores y
a lo largo del mismo periacuteodo iquestCuaacutento maacutes baratos y eficientes seriacutean los modelos actuales La
respuesta es Hoy se podriacutea comprar un Rolls-Royce por 135 libras esterlinas rendiriacutea 18
millones de kiloacutemetros por litro de gasolina consumido generariacutea suficiente potencia para
impulsar al Queen Elizabeth II y se podriacutea colocar media docena de ellos en la cabeza de un
alfilerrdquo Analogiacutea que posteriormente retomoacute Malcom Forbes (Forbes 1996) con cambios
miacutenimos Aumentando el precio del Rolls Royce rebajando la eficiencia en el consumo
comparando su fortaleza frente al Queen Mary Este Rolls consumiriacutea 1 litro de gasolina cada
milloacuten de kiloacutemetros tendriacutea una potencia superior al Queen Mary y ocupariacutea el volumen de
una cabeza de alfiler Por su parte Goacutemez y colegas (Goacutemez 1997) antildeadieron que tendriacutea
capacidad para 10000 viajeros y viajariacutea a maacutes de 5000 kmhora y redujeron el precio a menos
de un doacutelar Hoy podriacutea antildeadirse que iriacutea al taller cada 500 antildeos casi no contaminariacutea y que
praacutecticamente no hariacutea falta saber nada para conducirlo Es de suponer que en Microsoft no
estaacuten de acuerdo con este enfoque al menos su jefe de tecnologiacutea Nathan Myhrvold quien
establecioacute una ley para el software que dice ldquoLa programacioacuten crece maacutes raacutepido que la Ley de
Moorerdquo (Myhrvold 1998) Naturalmente todos estos datos exclusivamente referentes al
ldquohardwarerdquo se dan sin segunda intencioacuten no vaya a ser que el efecto Gates funcione de
nuevo Usando parte de esos datos y la Ley de Nathan (Myhrvold 1998) hace unos antildeos fuera
de contexto Bill Gates en un CONDEX imprudentemente se burlaba de la industria del
automoacutevil lo que provocoacute la indignacioacuten del presidente de la General Motors que convocoacute una
rueda de prensa en la que contestoacute lo siguiente Si la industria automovilista hubiera
desarrollado una tecnologiacutea como la de Microsoft conduciriacuteamos actualmente automoacuteviles
15
que tendriacutean dos accidentes al diacutea habriacutea que cambiarlos cada vez que se pintaran las liacuteneas
de la carretera se parariacutean sin motivo conocido y habriacutea que arrancarlos de nuevo para
continuar la marcha los asientos exigiriacutean que todos los ocupantes tuvieran el mismo formato
de culo el sistema de airbag preguntariacutea si se aceptaba que se desplegara antes de actuar y
en ocasiones soacutelo podriacutea arrancarse por el conocido truco de tirar de la puerta girar la llave y
sujetar la antena de la radio simultaacuteneamente Y siempre que se presentara un nuevo modelo
de coche todos los conductores deberiacutean aprender a conducir de nuevo porque ninguno de los
mandos funcionariacutea como en los modelos anteriores Como puede verse todas estas criacuteticas se
refieren al software Eacutestas y otras comparaciones que se podriacutean poner como ejemplo no
reflejan otra cosa que la realidad incuestionable del avance espectacular que ha tenido la
industria de los procesadores y de los computadores en su versioacuten ldquohardwarerdquo Ambos
enfoques se encuentran en la Tabla II3
A) HARDWARE
B) SOFTWARE
Microsoft
Accidentes Cambios Deteccioacuten Ergonomiacutea Automatizacioacuten Arranque Conocimiento
Conduccioacuten
2 x diacutea Cada vez
que se
pintaran
las liacuteneas
de la
carrete-
ra
Sin motivo
conocido y
habiacutea que
rearrancarlos
cada vez para
continuar
Los
pasajeros
deben
tener el
mismo
formato de
trasero
El airbag
preguntariacutea
antes de actuar
si se desplegaba
En ocasiones
tirar de la
puerta girar la
llave y sujetar
la antena de la
radio simultaacute-
neamente
Para cada
nuevo modelo
ir de nuevo a la
autoescuela
Tabla II3 Comparativas en Hardware y Software
Kurzweil analiza todo esto en un trabajo (Kurzweil 2005) en donde da su Ley de Aceleracioacuten
de los Retornos que aquiacute se resume como sigue un anaacutelisis de la historia de la tecnologiacutea
muestra que el cambio tecnoloacutegico es exponencial y no como parece indicar el sentido comuacuten
Tipo Precio Kmlitro Potencia Tamantildeo Capacidad Vel Kmh
Fiabilidad Conocimiento Conduccioacuten
Contami-nacioacuten
Rolls Royce
1 euro 18x106
Queen Elizabet II
6 en cabeza de alquiler
104 pasajeros
5x103
Cada 500 antildeos al taller
Praacutecticamente nulo
Cero
200000 euro
033 300CV 420x17060
4 pasajeros 250 Anual Academia Media
16
lineal Asiacute los ldquoretornosrdquo tales como la velocidad de los ldquochipsrdquo y el coste-efectividad tambieacuten
se incrementaraacuten exponencialmente Hay incluso un crecimiento exponencial en los ratios de
crecimiento exponencial Dentro de pocas deacutecadas la ldquointeligenciardquo de la maacutequina
sobrepasaraacute la inteligencia humana conduciendo a ldquoLa Singularidadrdquo o cambio tecnoloacutegico tan
raacutepido y profundo que representa una ruptura en la realidad de la historia humana las
implicaciones incluyen la mezcla de inteligencia bioloacutegica y no bioloacutegica humanos inmortales
basados en software y ultraelevados niveles de inteligencia que la expanden en el universo a la
velocidad de la luz
Para Kurzweil el futuro es ampliamente malentendido Las previsiones humanas esperan que
el futuro sea lo maacutes parecido al presente que ha sido lo maacutes parecido al pasado Aunque las
tendencias exponenciales existen desde hace miles de antildeos en sus primeras etapas son tan
llanas que parece que no tengan tendencia en absoluto y eso es lo que ocurrioacute hasta ahora
por eso el futuro seraacute mucho maacutes sorprendente de aquiacute en adelante La mayoriacutea de las
previsiones a largo plazo de las capacidades teacutecnicas en periacuteodos de tiempo futuro subestiman
dramaacuteticamente el poder de la tecnologiacutea del futuro debido a que se basan en la visioacuten
ldquointuitivamente linealrdquo del progreso tecnoloacutegico antes que en la visioacuten ldquohistoacutericamente
exponencialrdquo Para expresarlo de otro modo no es el caso de que se experimentaraacute un
progreso de cien antildeos en el siglo XXI sino que el ser humano seraacute testigo de un progreso a la
ratio actual de 20000 antildeos Debido a que se estaacute duplicando la tasa de progreso cada deacutecada
a la ratio actual se veraacute una centuria de progreso en soacutelo 25 antildeos de calendario
Cuando la gente piensa en un periodo futuro intuitivamente asume que la actual ratio de
progreso continuaraacute en periacuteodos futuros Sin embargo una cuidadosa consideracioacuten de la
marcha de la tecnologiacutea muestra que la ratio de progreso no es constante pero estaacute en la
naturaleza humana adaptarse a la marcha del cambio de modo que la visioacuten intuitiva es que la
marcha continuaraacute a la tasa actual Incluso para incrementos sobre el tiempo la intuicioacuten da la
impresioacuten de que el progreso cambia a la ratio que se experimentoacute recientemente Desde la
perspectiva matemaacutetica una primera razoacuten para eso es que una curva exponencial se
aproxima a una recta cuando se ve durante un breve periacuteodo de tiempo De modo que
aunque la ratio de progreso en el inmediato pasado verbigracia el antildeo pasado fue mucho maacutes
grande de lo que hace dos antildeos la memoria estaacute a pesar de todo dominada por la
experiencia muy reciente Es tiacutepico por lo tanto que incluso personas ldquoexpertasrdquo cuando
consideran el futuro extrapolan la actual marcha del cambio sobre los proacuteximos diez o cien
17
antildeos para determinar sus expectativas Por eso a esta visioacuten del futuro se denomina visioacuten
ldquointuitiva linealrdquo
Pero una evaluacioacuten de la historia de la tecnologiacutea maacutes meditada y rigurosa muestra que el
cambio tecnoloacutegico es exponencial En el crecimiento exponencial se encuentra que una
medida clave tal como la potencia computacional se multiplica por un factor constante por
cada unidad de tiempo verbigracia se duplica cada antildeo antes que justo ser sumado
incrementalmente Dicho en otros teacuterminos se estaacute ante una progresioacuten geomeacutetrica no
aritmeacutetica El crecimiento exponencial es caracteriacutestico de cualquier proceso evolutivo del que
la tecnologiacutea es un ejemplo primario Se pueden examinar los datos de diferentes maneras en
diferentes escalas de tiempo y para una amplia variedad de tecnologiacuteas yendo de la
electroacutenica a la bioloacutegica y la aceleracioacuten del progreso y el crecimiento se multiplican Maacutes auacuten
realmente no se encuentra justamente un crecimiento exponencial simple sino ldquodoblerdquo lo
que significa que la ratio del propio crecimiento exponencial es exponencial Estas
observaciones no se basan uacutenicamente en la ley de Moore sino en un modelo que contempla
diversas tecnologiacuteas Lo que claramente muestra eso es que la tecnologiacutea particularmente la
marcha del cambio tecnoloacutegico avanza al menos exponencialmente no linealmente y lo ha
estado haciendo desde el advenimiento de la evolucioacuten a la Tierra Todo esto da lugar a la asiacute
llamada por Kurzweil ldquoLey de Aceleracioacuten de Retornosrdquo (Kurzweil 2005)
Para apreciar la naturaleza y significado de la ldquosingularidadrdquo que se avecina es importante
ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial A este fin permiacutetase usar el caso del
inventor del ajedrez Sessa o por mejor decir su leyenda Esta leyenda de hace maacutes de quince
siglos fue citada por Dante Alighieri (1265-1321) en el apartado del Paraiacuteso de su Divina
Comedia cuando en sus versos refirieacutendose a las luces del cielo dice(Alighieri 1988)
L`incendio suo seguiva ogne scintilla ed eran tante che`l numero loro piuacute che`l doppiar de li scacchi s`inmilla
hellip y eran tantas que su nuacutemero maacutes que al doblar de los escaques asciende
Es decir su nuacutemero era tan grande que superaba al que se obtendriacutea sumando los primeros 64
teacuterminos esto es el nuacutemero de escaques del tablero de ajedrez de la progresioacuten geomeacutetrica
de razoacuten dos a partir del uno El resultado es un nuacutemero enorme de veinte cifras expresado
por la foacutermula 264-1 Dante recuerda en su famosa obra la conocida leyenda oriental en una
de sus versiones Seguacuten Dante el rey persa Shiraz riquiacutesimo y aburrido convocoacute a los sabios y
les prometioacute una recompensa generosa si lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente
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Uno de los sabios de nombre Sessa o Sisa de acuerdo con las distintas foneacuteticas le llevoacute el
juego del ajedrez y le pidioacute un grano de trigo por la primera casilla dos por la segunda cuatro
por la tercera ocho por la cuarta y asiacute sucesivamente Naturalmente no pudo pagarle al sabio
pero seguacuten otra versioacuten maacutes erudita y completa (Pazos J 2008) los matemaacuteticos que
calcularon la enorme cantidad de trigo que teniacutea que abonar el monarca le dieron la ldquorecetardquo
para salir airosamente del trance Hacerle contar al Sessa los granos de trigo que iba
recibiendo
Soacutelo queda por plantearse una cuestioacuten iquestEl nuacutemero de granos que solicitaba el brahmaacuten es
mayor menor o igual que el nuacutemero de posibles jugadas en el juego que descubrioacute La
respuesta es que es mucho menor habida cuenta que el nuacutemero de jugadas posibles en el
ajedrez seguacuten Shannon es de 10120
La ldquoduplicacioacutenrdquo aunque parece un divertimento no es asiacute puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas El caso maacutes paradigmaacutetico es el de las bacterias los seres
vivos hasta el momento con mayor capacidad de reproduccioacuten En efecto si cuentan con
suficiente alimento una bacteria se divide en dos iguales cada veinte minutos A este ritmo
una uacutenica bacteria puede superar a toda la poblacioacuten humana actual en tan soacutelo 11 horas Para
calcularlo bastariacutea con elevar dos a treinta y tres el nuacutemero de divisiones que se produciriacutean
en ese tiempo Afortunadamente para dar ldquoalimentordquo a tan numerosa prole hace falta un
suministro de nutrientes muy elevado asiacute que la poblacioacuten tiende a estabilizarse al llegar a esa
cifra Si no fuera asiacute la poblacioacuten llegariacutea en pocos diacuteas al valor de un Guacutegol que es un uno
seguido de iexcl100 ceros Este nombre se lo dio el matemaacutetico Kasner tomaacutendolo prestado de
su sobrino de nueve antildeos
Dicho lo anterior lo inmediato es establecer lo que significa la singularidad como teacutermino y
como concepto Para empezar hay que decir que con el teacutermino singularidad se quiere decir
un acontecimiento uacutenico con profundas implicaciones Por ejemplo en matemaacuteticas implica el
infinito es decir la ldquoexplosioacutenrdquo de un valor que ocurre cuando se divide un nuacutemero racional
distinto de cero por un nuacutemero tan proacuteximo a cero como se quiere incluido naturalmente el
cero En fiacutesica anaacutelogamente una singularidad denota un evento o posicioacuten de poder infinito
En el centro de un agujero negro la materia es tan densa que su gravedad es infinita Cuanto
maacutes se acercan la materia y la energiacutea para caer en un agujero negro un evento horizonte
separa la regioacuten del resto del Universo Eso constituye una ruptura en la estructura del espacio
y el tiempo El propio Universo seguacuten la ldquoteoriacuteardquo actualmente dominante ldquoel big bangrdquo
comenzoacute justamente con una singularidad
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La singularidad tiene muchas facetas Asiacute representa la cercana fase vertical del crecimiento
exponencial donde la ratio de crecimiento es tan extrema que la tecnologiacutea parece que crece a
una velocidad infinita Naturalmente desde una perspectiva matemaacutetica no hay
discontinuidad ni ruptura y la ratio de crecimiento permanece finita aunque
extraordinariamente grande Pero desde la limitada perspectiva actual este evento inminente
parece ser una aguda y abrupta ruptura en la continuidad del progreso Sin embargo hay que
enfatizar la palabra ldquoactualmenterdquo porque una de las implicaciones conspicuas de la
singularidad seraacute un cambio en la naturaleza de la capacidad humana de entender En otros
teacuterminos el ser humano llegaraacute a ser inmensamente maacutes inteligente cuando se ldquomezclerdquo con
la tecnologiacutea
Volviendo a la historia del ajedrez tanto Sessa como el emperador mientras estaban
considerando la primera mitad del tablero de ajedrez las cosas iban razonablemente bien sin
sobresaltos Sessa recibioacute sucesivamente cucharadas tazones y barriles de grano De este
modo al final de la primera mitad del tablero habiacutea recibido Sessa el equivalente a la cosecha
de un gran campo en total cuatrocientos mil millones de granos y el emperador empezoacute a ser
consciente del problema en el que se habiacutea metido A partir de ahiacute la situacioacuten empezoacute a
deteriorarse para el emperador raacutepidamente hasta el punto de que al final no podiacutea cumplir
su palabra Incidentalmente sentildealar que en lo de duplicar la potencia computacional
actualmente se estaacute ligeramente por encima de doblar 32 veces las prestaciones del primer
computador programable es decir se estaacute empezando a superar el umbral de la singularidad
Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial Aunque la tecnologiacutea crece en el dominio
exponencial los seres humanos viven en un mundo lineal Asiacute las tendencias tecnoloacutegicas no
son notorias cuando se doblan pequentildeos niveles de potencia tecnoloacutegica Luego
aparentemente sin razoacuten alguna una tecnologiacutea explota ante la mirada sorprendida de quien
contempla la singularidad Por ejemplo cuando Internet pasoacute de 20000 a 80000 nodos en un
periacuteodo de dos antildeos allaacute por los 80 este progreso permanecioacute oculto al puacuteblico en general
Una deacutecada despueacutes cuando se pasoacute de 20 millones a 80 millones de nodos en la misma
cantidad de tiempo el impacto fue noticia Pues bien la tasa de crecimiento es la misma
exactamente cuatro veces
Como el crecimiento exponencial continuacutee acelerado en la primera mitad del siglo XXI
pareceraacute explotar en el infinito al menos desde las perspectivas limitadas y lineales de los
humanos contemporaacuteneos Finalmente el progreso llegaraacute a ser tan raacutepido que quebraraacute
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cualquier posibilidad de seguirlo Estaraacute literalmente fuera de control La ilusioacuten actual de
ldquodesenchufarlordquo se habraacute difuminado
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN
Con todo esto no es sino el principio pues la carrera por la miniaturizacioacuten no ha hecho maacutes
que empezar Apenas se ha llegado a la era de las minimaacutequinas que constan de billones de
aacutetomos y se miden en miliacutemetros y ya se estaacute de hoz y coz en el terreno de las
micromaacutequinas que constan soacutelo de unos pocos millones de aacutetomos y se miden en
microacutemetros Al tiempo ya han comenzado los ensayos con nanomaacutequinas que trabajan con
apenas unos cientos de aacutetomos y soacutelo pueden medirse en milloneacutesimas de miliacutemetro Es lo
que constituye la nanotecnologiacutea cuyo futuro comenzoacute el 29 de diciembre de 1959 Alliacute y
entonces Richard Phillips Feynman posterior premio Nobel de Fiacutesica de 1965 leyoacute el discurso
inagural de la reunioacuten anual de la American Physical Society publicado con posterioridad en
ldquoEngineering amp Sciencerdquo la revista de los estudiantes de CALTECH (Feynman 1960) que deciacutea
Me gustariacutea describir un campo del conocimiento teacutecnico en el que se ha hecho muy poco y en
el que en principio puede hacerse muchiacutesimo (hellip) De lo que voy a hablar es del problema de
manejar y controlar cosas en una escala muy pequentildea (hellip) Esto es desde luego bien conocido
por los bioacutelogos (hellip) El ejemplo bioloacutegico de escribir informacioacuten a escala infinitesimal (el
coacutedigo del ADN) me ha sugerido algo que debe ser posible (hellip) Un sistema bioloacutegico puede ser
extremadamente pequentildeo (hellip) Puede haber una justificacioacuten econoacutemica para hacer las cosas
tan pequentildeas (hellip) Permiacutetanme recordarles algunos de los problemas de los computadores (hellip)
Cuanto maacutes y maacutes raacutepido y maacutes y maacutes elaborado sea el computador maacutes y maacutes pequentildeo lo
fabricamos (hellip) iquesthasta doacutende No lo seacute exactamente pero apenas puedo dudar de que
cuando tengamos el control de la fabricacioacuten a escalas pequentildeiacutesimas seremos capaces de
manejar enormes posibilidades de la materia con la que podemos hacer las cosas nuevas cosas
diferentes a las que ahora fabricamos (hellip) Aacutetomos manejados a esa escala ndashdigamos siete
aacutetomos- no tienen nada que ver con los conjuntos de aacutetomos y moleacuteculas de nuestro mundo
macroscoacutepico esos pocos aacutetomos obedeceraacuten leyes de la mecaacutenica cuaacutentica las leyes del
mundo microscoacutepico (hellip) tendremos por ello que trabajar con leyes diferentes y esperar cosas
diferentes Tendremos que hacer de manera diferente (hellip) A nivel atoacutemico existen nuevas
clases de fuerzas y nuevas clases de posibilidades y nuevas clases de efectos (hellip) Estoy como
dije inspirado por el fenoacutemeno bioloacutegico en el que las fuerzas quiacutemicas se utilizan de modo
repetitivo para producir cualquier clase de efecto fantaacutestico En 2002 se hizo puacuteblico el uacuteltimo
avance en nanotecnologiacutea En un minuacutesculo circuito se colocoacute la memoria electroacutenica maacutes
pequentildea construida hasta la fecha que podriacutea estar en el mercado en menos de diez antildeos En
21
unos antildeos maacutes de 15 a 20 se cree que se podraacuten fabricar computadores cuaacutenticos seis
millones de veces maacutes potentes que los actuales que aprovecharaacuten la simultaneidad de
estados y el entrelazamiento es decir la posibilidad que tienen los aacutetomos de estar en dos
sitios a la vez (bilocacioacuten) en un estado de superposicioacuten Esto es se estaacute trabajando con
maacutequinas cuaacutenticas que trabajan con fragmentos de aacutetomos y se mediraacuten en Amgstrons
equivalente a cien milloneacutesimas de miliacutemetro iquestHasta doacutende iquestHasta cuanto La respuesta a
estas preguntas que conciernen a los liacutemites de la computacioacuten se daraacuten a continuacioacuten
siguiendo a Seth Lloyd (Lloyd 2000)
Para calcular la velocidad de coacutemputo se parte del principio de indeterminacioacuten de
Heisenberg (Heisenberg 1927)
Δp Δxge ħ m con ħ=h2π y m=1rArr Δp Δxgeħ=105x10-34Js
Para el par ΔE y Δt dicho principio queda como sigue
ΔE Δt ge ħ
Esta desigualdad tiene dos interpretaciones a saber una lineal Invertir un tiempo Δt para
medir la energiacutea con una exactitud ΔE que no es correcta La correcta es la siguiente un
estado cuaacutentico con disipacioacuten de energiacutea de ΔE invierte al menos un tiempo Δt= πħ2ΔE en
evolucionar a un estado ortogonal y por tanto distinguible Este resultado se amplioacute como
sigue Un sistema cuaacutentico con energiacutea media E necesita al menos un tiempo Δt= πħ2E para
evolucionar a un estado ortogonal O sea Ege πħ2Δt Siendo E la energiacutea media para efectuar
una operacioacuten elemental en Δt
Ahora bien un sistema con energiacutea media E puede efectuar un maacuteximo de 2E πħ operaciones
loacutegicas por segundo En consecuencia para un computador de un kilogramo de masa su
velocidad seraacute de acuerdo con la ecuacioacuten E=mc2 la siguiente
VM=2Eπħ = 2mc2 πħ = 21 Kg(29979x108)2ms-131416x10545x10-34Js =
2x8987x1016x10545x1034s31416=5425x1050 operaciones loacutegicassegundo
Es decir la cota superior estaacute en 1050 operaciones loacutegicas por segundo
22
En lo que respecta a la capacidad de memoria la cantidad de informacioacuten que se puede
almacenar y procesar en un sistema fiacutesico estaacute relacionada con el nuacutemero de distintos estados
fiacutesicos accesibles al sistema Para M elementos biestables el nuacutemero de estados accesibles es
de 2M y puede registrar M bits de informacioacuten Es decir en general un sistema con N estados
accesibles puede registrar log2N bits de informacioacuten Se sabe que el nuacutemero de estados
accesibles de un sistema fiacutesico F estaacute relacionado con la entropiacutea termodinaacutemica S por la
foacutermula de Plank siguiente
S=kBPnF donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 13805x10-23 Julios por
grado Kelvin
Asiacute la cantidad de informacioacuten que puede registrar un sistema fiacutesico viene dada por
I=S(E)kBLn2
Siendo S(E) la entropiacutea termodinaacutemica de un sistema con valor esperado para la energiacutea E
Combinando esta foacutermula con la dada anteriormente para el nuacutemero de operaciones loacutegicas
por segundo entonces la cantidad de memoria en bits viene dada por
I = k2ln2 EπℏS prop kTℏ siendo T = (partS partE)
la temperatura de un kilogramo de materia en una entropiacutea maacutexima en un litro de volumen
Esto lleva a
I = 204x108JK-113805x10-23JK-1ln2=204x10813805x10-23JK-106931=213x1031bit
Esto es el liacutemite de bits de memoria es 1031
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE
Si ahora se contempla en perspectiva el progreso del software lo que se observa es en primer
lugar que dicho progreso dista mucho de ser exponencial peor auacuten pues si se considera el
conjunto global del software disponible tanto de base Sistemas Operativos Compiladores
interfaces etc como de aplicaciones su desarrollo ademaacutes de lineal no es continuamente
creciente en facilidades para los usuarios ni mucho menos Actualmente en el software se
estaacute dando un fenoacutemeno curioso equivalente a una regresioacuten conceptual que consiste en que
el proceso de construir ciertos programas es maacutes difiacutecil y complejo que el propio programa
Esto es debido a que los lenguajes de programacioacuten de alto nivel actuales no son ni mucho
menos maacutes simples que los antiguos En segundo teacutermino tambieacuten salta a la vista que si el
23
desarrollo hardware es en profundidad es decir pocas empresas (INTEL Motorola etc)
dedicadas intensamente a desarrollar la tecnologiacutea de microprocesadores en el caso del
software ese esfuerzo se llevoacute a cabo en amplitud esto es muchas empresas poniendo en el
mercado muchos productos En la figura II3 se muestra el aacuterbol que contiene a lo largo del
tiempo los distintos lenguajes de programacioacuten maacutes conocidos Como puede verse una
auteacutentica Babel Si como deciacutean los latinos hace maacutes de dos mil antildeos validora sum exempla
cuan verba frase que hizo suya Schiller en magniacuteficos versos
Nur das Beispiel fuumlhrt zum Licht Soacutelo el ejemplo proporciona luz
Vieles Reden tut es nicht La ldquoverborreardquo conduce a la oscuridad
Se van a dar a tiacutetulo de botones de muestra los siguientes ejemplos
A) Si se unidimensionaliza el uso del software por las personas la evolucioacuten del software
puede verse como el paso de ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo En un extremo del espectro que puede
datarse en el inicio de la ldquoComputing Sciencerdquo en adelante CS y que va hasta la
aparicioacuten de los primeros inteacuterpretes y lenguajes de control habiacutea que decirles a
los computadores coacutemo teniacutean que hacer las cosas Y eacutesto con el maacuteximo de detalle
en el lenguaje de la maacutequina y de forma rupestre esto es en forma de
conmutadores encendidos o apagados Es decir en esta fase los humanos debiacutean ser
ldquoliteratosrdquo del lenguaje de la maacutequina Posteriormente con la aparicioacuten de los
lenguajes de ensamblador y el desarrollo de lenguajes de control o sea hasta la
aparicioacuten de los primeros sistemas operativos y compiladores e inteacuterpretes tales
como FORTRAN LISP COBOL etc ya al computador no habiacutea que decirle detallada
y exhaustivamente coacutemo teniacutea que hacer las cosas pues algunas ellos ya sabiacutea coacutemo
hacerlas Bastaba con soacutelo indicarle queacute es lo que se queriacutea que hiciera Ademaacutes tanto
la parte del queacute como la del coacutemo se le deciacutea en un lenguaje maacutes proacuteximo al ser
humano mediante los lenguajes de ensamblador que permitiacutean palabras del
lenguaje natural y sobre todo de una forma maacutes natural al ser humano pues ya no
haciacutea falta poner los conmutadores encendidos y apagados dado que se le
ldquoinstruiacuteardquo escribiendo en unas hojas de codificacioacuten las instrucciones que luego
mediante unas maacutequinas perforadoras se ldquotraduciacuteanrdquo a unas fichas perforadas
que los computadores ldquoleiacuteanrdquo y ejecutaban
Maacutes adelante con el advenimiento de los lenguajes del maacutes alto nivel y del
desarrollo de los actuales sistemas operativos de ventanas los interfaces avanzados la
24
Figura II3 Lenguajes de Alto Nivel
25
iconografiacutea de pantalla los programas avanzados de aplicacioacuten etc cada vez menos
hay que decirle a las computadoras ldquocoacutemordquo tienen que hacer las cosas pues ya saben
ldquocoacutemordquo hacerlas y soacutelo hay que decirles ldquoqueacuterdquo es lo que se quiere que hagan Y todo
esto cada vez maacutes en el lenguaje natural de los seres humanos en este caso como la
tecnologiacutea estaacute desarrollada en ingleacutes pues en ingleacutes y de una forma habitual a coacutemo
lo hacen los humanos esto es por la voz O sea en esta etapa que estaacute cada vez maacutes
cerca son las maacutequinas quienes se convierten en ldquoliteratosrdquo de los humanos Y seraacute en
ese momento cuando empiece a surgir un atisbo de inteligencia en las computadoras
Pues bien toda esta evolucioacuten lenta zigzagueante y trabajosa contrasta con la raacutepida
rectiliacutenea y eficiente del hardware La pregunta ademaacutes de inmediata va de suyo
iquestPor queacute es esto asiacute Naturalmente no debe haber un factor uacutenico pero lo que no
hay duda es que una de las razones fundamentales de este desfase entre el desarrollo
del hardware y del software es el que al primero lo soporta una ingenieriacutea basada en
una ciencia la fiacutesica cuya teoriacutea y experimentacioacuten estaacuten muy consolidadas en tanto
al segundo no
B) El filoacutesofo Joseacute Ortega y Gasset maacutes conocido por su obra de gran impacto socioloacutegico
ldquoLa Rebelioacuten de las Masasrdquo afirmaba refirieacutendose a la Medicina lo siguiente (Ortega
2002) La medicina no es una ciencia Es precisamente una profesioacuten una actividad
praacutectica Se propone curar o mantener la salud de la especie humana A este fin echa
mano de cuanto parezca a propoacutesito entra en la ciencia y toma de sus resultados
cuanto considera eficaz pero deja el resto Deja de la ciencia sobre todo lo que es maacutes
caracteriacutestico la fruicioacuten por lo problemaacuteticohellip La ciencia consiste en un ldquopruritordquo de
plantear problemashellip La medicina estaacute ahiacute para afrontar soluciones Si son cientiacuteficas
mejor Pero no es necesario que lo sean Pueden proceder de una experiencia milenaria
que la ciencia auacuten no ha explicado ni siquiera consagrado ldquoMutatis mutandirdquo o sea
cambiando lo que deba cambiarse medicina por software curar por resolver
problemas etc lo que dijo Ortega puede aplicarse al desarrollo del software Pero la
cuestioacuten es la siguiente iquestdebe esto continuar asiacute Es decir debe el desarrollo software
continuar siendo una labor artesanal de desarrollar una praacutectica empiacuterica o debe
pasar a ser una ingenieriacutea fundamentada en una teoriacutea cientiacutefica contrastada por la
experimentacioacuten crucial La respuesta es naturalmente que debe convertirse en
ingenieriacutea soportada por una ciencia Mientras tanto los desarrollos software se ven
afectados de ldquogolbergizacioacutenrdquo
26
C) Rube Golberg fueacute un caricaturista con muchos seguidores en todo el mundo en
Espantildea fue el profesor Frank de Dinamarca de la eacutepoca de la Dictadura el que
dibujaba complicadiacutesimos artilugios coacutemicos para realizar tareas minias Los
disentildeadores de software cuentan con un teacutermino relacionado ldquoKudgerdquo o ldquoKludgerdquo
para referirse a programas escritos sin previsioacuten que acaban repletos de una
complejidad onerosa e inuacutetil a menudo hasta el punto de volverse incomprensibles
incluso para los programadores que las escribieron
D) Con mucho la manera maacutes comuacuten en la cual se trata con algo nuevo es intentando
relacionar la novedad con lo que es familiar de la experiencia pasada es decir se
piensa en teacuterminos de analogiacutea y metaacutefora En tanto que la historia evolucione a lo
largo de liacuteneas suaves la teacutecnica anterior resulta adecuada e incluso fructiacutefera pero
fracasa estrepitosamente cuando uno se enfrenta repentinamente a algo tan
radicalmente distinto de todo lo que se habiacutea experimentado antes que toda analogiacutea
siendo intriacutensecamente demasiado somera es maacutes un estorbo que crea confusioacuten que
una ayuda Y ya se sabe como deciacutea Francis Bacon la verdad surge antes del error que
de la confusioacuten (Bacon 1984) La uacutenica forma plausible de tratar con novedades
realmente radicales es ortogonal a la manera comuacuten de entendimiento consiste en
conscientemente intentar no relacionar los fenoacutemenos a los que es familiar a partir de
un pasado accidental sino enfocarlo con una mente en blanco y apreciarlo por su
estructura interna Esta uacuteltima forma de pensar es mucho menos popular que la
primera y requiere un esfuerzo mental que muy pocos son capaces de conseguir y
como lo sentildealoacute Bertrand Russell Many people would sooner die that think In fact they
do Ello estaacute fuera del alcance de las capacidades de aquellos y son mayoriacutea para
quienes la evolucioacuten continua es el uacutenico paradigma de la historia incapaces de
afrontar la discontinuidad no pueden verla y la negaraacuten cuando se enfrenten a ella
Pero tales novedades radicales son precisamente el tipo de cosas a las que al menos
en tecnologiacutea uno se enfrenta sin duda el computador fue una de ellas otra fue la
bomba atoacutemica y aunque en menor medida la piacuteldora fue la tercera entre otras
muchas En el caso de los computadores para que tuvieran eacutexito comercial fue
necesario desde el primer momento disociarles tanto como fuera posible de
cualquier forma de matemaacuteticas dada la mala ldquofamardquo de eacutestas en especial al ser
consideradas como el colmo del ldquousuario inamistosordquo El propio teacutermino de ldquoComputer
Sciencerdquo aplicado a la ldquoinformaacuteticardquo seriacutea equivalente a llamar a la cirugiacutea ldquoKnife
Sciencerdquo y estaacute tan arraigado en las mentes de la gente que el ldquoComputing Sciencerdquo es
27
acerca de las maacutequinas y sus equipos perifeacutericos Hoy sin embargo nadie duda de que
el desafiacuteo nuclear para la ciencia del coacutemputo es el conceptual
La complejidad de la informaacutetica frente a las matemaacuteticas viene dada seguacuten Dijkstra (Dijkstra
1986) por la ldquoratiordquo entre verbigracia una hora de tiempo y los nanosegundos o menos en
que se ejecute una instruccioacuten que es menor que 10100 y que tiene que ser tratada por una
uacutenica disciplina A su lado las matemaacuteticas resultan ser casi un juego insulso mayormente
jugado sobre unos pocos niveles semaacutenticos los cuales por otra parte son completamente
familiares La gran profundidad de la jerarquiacutea conceptual en informaacutetica en siacute misma una
consecuencia directa del poder sin precedentes del computador es una de las razones por las
que se considera el advenimiento de los computadores como una aguda discontinuidad en la
historia intelectual de la humanidad
La disciplina conocida como ldquoComputing Sciencerdquo emergioacute soacutelo cuando la gente empezoacute a
buscar lo que era comuacuten al uso de cualquier computador en cualquier aplicacioacuten Por esta
abstraccioacuten la CS inmediata y netamente se divorcioacute ella misma de la ingenieriacutea electroacutenica
al informaacutetico del software le deberiacutea traer al pairo la tecnologiacutea que puede usarse para
construir maacutequinas computadoras sea electroacutenica oacuteptica molecular bioloacutegica o maacutegica
La programacioacuten se veiacutea como una cuestioacuten praacutectica de modo que lo que se conociacutea como
ldquodisentildeo iterativordquo era el paradigma de quien cree que su disentildeo trabajaraacute adecuadamente
mientras no se demuestre lo contrario cuando eso ocurra mejoraraacute el disentildeo y asiacute
sucesivamente Este continuo encontrar y arreglar los malfuncionamientos se denominaba
ldquodepuracioacutenrdquo y la injustificada fe en su uacuteltima convergencia estaba en la amplitud temporal Es
decir se teniacutea todo el tiempo del mundo Como resultado la impotencia de repetir el
ldquoexperimentordquo en el caso de un mal funcionamiento observado asiacute como el identificar su(s)
causa(s) produce un ldquoshockrdquo por el contrario el disentildeador cientiacutefico cree en su disentildeo porque
eacutel sabe por queacute trabajaraacute adecuadamente en todas las circunstancias Es decir al principio los
programas ademaacutes de ldquoinstruirrdquo a las maacutequinas teniacutean el estatus de conjeturas soportadas
por alguna evidencia experimental Actualmente podriacutean y a veces lo hacen alcanzar el
estatus de teoremas demostrados rigurosamente El continuar denominando tanto a la
conjetura como al teorema ldquoprogramardquo es causa de gran confusioacuten
Uacuteltimamente la palabra clave es ldquomodularidadrdquo cuyo impulso original viene de una deseada
flexibilidad en particular en coacutemo subdividir un texto de programa de gran tamantildeo en
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moacutedulos son eacutestos segmentos de textos claramente configurados que podriacutean ser
reemplazados por otros alternativos sin comprometer la correccioacuten del programa total de una
manera muy similar a coacutemo se puede reemplazar en un teoriacutea matemaacutetica la prueba de uno de
sus teoremas sin afectar a la teoriacutea como conjunto Moacutedulos componentes desprendibles y
simultaacuteneamente engastados Los mentales no estaacuten aislados se comunican a traveacutes de unos
pocos conductos estrechos Se definen por las cosas especiales que hacen con la informacioacuten
que tienen disponible Pero el eacutenfasis se ha desplazado desde el mero reemplazamiento a la
cuestioacuten de coacutemo particionar la tarea global maacutes efectivamente la demanda es tal que la
elegancia ya no es un lujo dispensable sino una cuestioacuten vital que decide entre el eacutexito y el
fracaso He aquiacute lo que es en visioacuten a ojo de paacutejaro la emergencia de la computacioacuten como una
actividad apreciable necesitada de las teacutecnicas del pensamiento cientiacutefico Como las
matemaacuteticas la computacioacuten es uacutenica en la forma en la cual combina generalidad precisioacuten y
ser completamente fidedigna La teoriacutea aquiacute propuesta considera todo esto
II2 Teoriacuteas
II21 INTRODUCCIOacuteN
En CS en general y en el desarrollo software en sus dos apartados de Ingenieriacutea del Software
y del Conocimiento en particular existe una notoria carencia de teoriacutea hasta el punto que
salvo rariacutesimas excepciones ni siquiera hay leyes generales aceptadas Esta carencia da lugar a
las dos consecuencias indeseables siguientes
1 Confusionismo El disentildeo y desarrollo de software (que es lo que se podriacutea denominar
un conjunto polimorfo o polimoacuterfico es decir un conjunto no definido por condiciones
ni necesarias ni suficientes) es en el mejor de los casos una ciencia inmadura en el
medio no es una ciencia pero siacute una ingenieriacutea tal y como lo sentildealaba Brooks
(Brooks 1996) Computer Science is not a science but a synthetic an engineering
discipline y en el peor (Ebert 1997) software engineering should be treated as an
inmature engineering discipline Siendo contundentes pero maacutes precisos el desarrollo
software no pasa de ser una ldquoartesaniacuteardquo Ebert para argumentar su afirmacioacuten
proporciona distintas razones (a) Carencia de vocabulario comuacuten (b) No
consideracioacuten de cuestiones hermeneacuteuticas (c) Existencia de recetas no aplicables
ampliamente (d) Poca o nula experimentacioacuten controlada en especial experimentos
cruciales (e) No existencia de un marco general de paradigmas categoriacuteas o esquemas
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conceptuales caracteriacutesticos de las ciencias (f) Y finalmente se usan ldquomodelosrdquo sin
una teoriacutea para construirlos y validarlos
2 Nuevo Experimentalismo En CS y maacutes en concreto en disentildeo desarrollo y
construccioacuten del software la no existencia de una teoriacutea provoca una carencia de
fundamentacioacuten Peor auacuten y como consecuencia del punto anterior a veces se llama
teoriacutea a lo que uacutenicamente es una explicacioacuten en una clara sineacutecdoque de tomar la
parte por el todo Al menos eso se desprende de la afirmacioacuten de Basili y colegas
cuando dicen que Una teoriacutea es una explicacioacuten de alguacuten fenoacutemeno (Basili 1999) Lo
que no es correcto puesto que no todas las explicaciones de los fenoacutemenos son
teoriacuteas La carencia de teoriacutea hace que la CS haya derivado regresivamente hacia lo
que puede denominarse ldquonuevo experimentalismordquo (Ackerman 1989) cuyos
proponentes aseveran que los experimentos pueden tener vida propia (Hacking
1983)
Justamente establecer lo que es una teoriacutea es lo que se trata a continuacioacuten esto es de
cuaacuteles son los elementos constituyentes sobre los que fundar una teoriacutea en CS Sin embargo
antes se va a definir lo que es una teoriacutea dando sus condiciones formales y materiales de
adecuacioacuten y asimismo se van a presentar distintas teoriacuteas en dominios tan variados como las
matemaacuteticas la fiacutesica la quiacutemica o la biologiacutea
II22 DEFINICIOacuteN
Cuando se intenta definir algo uno se encuentra como los antiguos navegantes que
atravesaban el estrecho de Mesina entre un ldquoScilardquo y un ldquoCaribdisrdquo es decir dos peligros que
si no se sortean con pericia de navegante de los siete mares haraacuten naufragar el intento Estos
dos peligros son los siguientes Uno de iacutendole intriacutenseca a la propia buacutesqueda de una
definicioacuten idoacutenea que enlaza directamente con el problema filosoacutefico del nominalismo Kant lo
expresoacute muy bien cuando escribioacute (Kant 2002) que en una definicioacuten uno no se limita a
sustituir el nombre de una cosa por otras palabras maacutes comprensibles sino que contiene en siacute
un distintivo claro por el que puede conocerse siempre con seguridad el ldquoobjetordquo (definitum) y
que hace que pueda aplicarse el concepto explicado Popper fue muy expliacutecito al respecto
Para eacutel la accioacuten de definir nunca es inocua pues estaacute cargada de teoriacutea y lo que es maacutes de
valores Popper (Popper 1985) deciacutea que las preguntas ldquoqueacute-esrdquo son siempre inuacutetileshellip y lo
mismo sucede con las respuestas Porque en efecto definir es actuar Por ello en lugar de
ocuparse uacutenicamente del resultado de dicha accioacuten o sea las definiciones es preciso analizar
30
la propia accioacuten de definirhellip pues en definitiva las definiciones son resultado de la accioacuten a
definir Dos de orden praacutectico viene muy bien descrita por un juego que en Galicia se
denomina ldquoCariocardquo y los ingleses e irlandeses llaman ldquoVishrdquo (Syumlnge 1951) Los cariocas dan
nombre a las pescadillas a las que para freiacuterlas se les hace morder la cola El juego consiste en
buscar una palabra en el diccionario y a partir de ella generar un aacuterbol con las palabras que la
definen y eacutestas con las palabras que la definen y asiacute sucesivamente hasta que
inexorablemente aparece una palabra que ya aparecioacute previamente creaacutendose un ldquociacuterculo
viciosordquo Y se dice inexorablemente porque no puede ser de otra manera habida cuenta de
que los diccionarios son autocontenidos es decir todas las palabras en ellos existentes se
expresan en teacuterminos de dichas palabras Sin embargo y como lo sentildealoacute el premio Noacutebel de
Fisiologiacutea y Medicina Andreacute Lwoff Definir es uno de los meacutetodos para descubrir Es como
cuestioacuten de hecho un meacutetodo heuriacutestico excelente pues obliga a condensar lo esencial de una
categoriacutea o de un fenoacutemeno en una foacutermula que contenga todo cuanto ha de contener y
excluya todo cuanto ha de excluir Por ello es uacutetil forjar una buena definicioacuten pues este
ejercicio obliga a considerar de manera criacutetica todos los teacuterminos o aspectos de un
problema(Lwoff 1967)
De hecho la dificultad no proviene de la carencia de ldquodefinicionesrdquo sino todo lo contrario No
seriacutea exagerado decir que hay casi tantas definiciones de ldquoteoriacuteardquo como autores se dedicaron
al asunto Veacuteanse como botoacuten de muestra las que aparecen en dos diccionarios importantes
el de la Real Academia Espantildeola (Rae 2001) y el del Webster`s New World (Guralnik 1986) El
primero para la entrada ldquoteoriacuteardquo dice textualmente (Del gr θεωρία) f Conocimiento
especulativo considerado con independencia de toda aplicacioacuten f Serie de las leyes que
sirven para relacionar determinado orden de fenoacutemenos f Hipoacutetesis cuyas consecuencias se
aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella f Entre los antiguos griegos
procesioacuten religiosaen ~ loc adv Sin haberlo comprobado en la praacutectica El segundo
despueacutes de dar la pronunciacioacuten figurada y coacutemo se dice en franceacutes latiacuten y griego dice
textualmente[a looking at contemplations speculations theory lttheoumlrein see THEOREM]1
Orig a mental viewing contemplation 2 A speculative idea or plan as to how something
might be done 3 A systematic statement of principles involved [the ldquotheoryrdquo of equations in
mathematics] 4 A formulation of apparent phenomena which has been verified to some
degree 5 That branch of an art or science consisting in a knowledge of its principles and
methods rather tan in its practice pure as opposed to applied science etc 6 Popularly a
mere conjeture or guess A continuacioacuten y como sinoacutenimos dice theory as compared here
implies considerable evidence in support of a formulated general principle explaining the
31
operation of certain phenomena [the ldquotheoryrdquo of evolution] hypothesis that is tentatively
inferred often as a basis for further experimentation [the nebular ldquohypothesisrdquo] law implies an
exact formulation of the principle operating in a sequence of events in nature observed to
occur with unvarying uniformity under the same conditions [the ldquolawrdquo of the conservation of
energy]
Es decir etimoloacutegicamente el teacutermino ldquoteoriacuteardquo se deriva del vocablo griego ldquoθεωρίαrdquo que
significa contemplacioacuten o especulacioacuten Entonces en sentido amplio y comuacuten una teoriacutea es
una especulacioacuten acerca de algo por ejemplo es habitual oiacuter a muchos educadores que su
ldquoteoriacuteardquo del fracaso de un alumno es debido a que tiene problemas familiares Sin embargo
este sentido no capta ni mucho menos el sentido teacutecnico o estricto de teoriacutea que tiene
verbigracia la teoriacutea de Maxwell del electromagnetismo Para comenzar desde sus oriacutegenes
hay que remontarse a Aristoacuteteles (384-322 aC) quien diferencioacute clara y niacutetidamente ldquoteoriacuteardquo
como especulacioacuten o contemplacioacuten y ldquopraxisrdquo como actuacioacuten Para eacutel la ldquoteoriacuteardquo consistiacutea
en actividades racionales relativas al conocimiento de los universales mientras que la ldquopraxisrdquo
consistiacutea en actividades racionales relativas a actividades morales ldquoagibiliardquo y artiacutesticas
ldquofactibiliardquo Las actividades artiacutesticas no se limitan a realizar por su propio intereacutes artes finas o
intriacutensecas o auacuten artes plaacutesticas sino que tambieacuten incluye hacer cosas uacutetiles artes funcionales
o instrumentales
Maacutes teacutecnicamente las teoriacuteas se consideran ldquoentidades abstractas que al menos pretenden
describir explicar y mejorar el entendimiento del mundo y en algunos casos hacer
predicciones de lo que en el futuro acaeceraacute Ademaacutes proporcionan una base para viacutea
tecnologiacutea o ciencia aplicada intervenir y actuar sobre el entorno Una teoriacutea pues es ldquoprima
facierdquo una explicacioacuten racional de un cierto aspecto de la realidad basada en lo que se sabe de
ello en el momento presente y que ha sido verificada para establecer su validez Esa
explicacioacuten de algo es tiacutepicamente una clase o categoriacutea de fenoacutemenos antes que un uacutenico
evento especiacutefico Las teoriacuteas deben expresarse a poder ser expliacutecitamente como cadenas
causales del tipo ldquoesto sucede porque esto y eso y aquello sucedioacute y esto a su vez sucedioacute
porquehelliprdquo Es decir la mejor manera de que las teoriacuteas expliquen es proporcionando un sentido
de ldquoprocesordquo o ldquomecanismordquo que indique coacutemo una cosa o fenoacutemeno estaacute relacionado con
otro Por ejemplo la ldquoTeoriacutea de la Gravitacioacutenrdquo de Isaac Newton y la Teoriacutea de la Relatividad
General de Einstein intentan explicar coacutemo funciona la gravedad No proponen que existe esa
cosa que se llama gravedad y luego intentan probarla Nada de eso Para ambos la gravedad
es una observacioacuten empiacuterica esto es informacioacuten recopilada generalmente a partir de los
32
sentidos y por lo tanto es algo que ldquotiene sentidordquo Naturalmente debe poder ser verificada y
contrastada por otros de forma reiterada siempre que se quiera O sea la gravedad es una
observacioacuten empiacuterica Si se deja caer un objeto libremente y en el vaciacuteo siempre cae a 9801
metros dividido por segundos al cuadrado Y esto se produciraacute tantas veces cuantas se repita la
experiencia Las teoriacuteas de hecho intentan explicar el coacutemo y el porqueacute de las observaciones
Pues bien a fin de explicar la gravedad Newton propuso una explicacioacuten esto es una teoriacutea
la atraccioacuten a distancia entre dos cuerpos Einstein otra la curvatura del espacio-tiempo Esta
uacuteltima explicacioacuten es la que estaacute vigente actualmente
A veces las teoriacuteas se confunden con hipoacutetesis porque ambas parecen constar de sentencias
relacionando una variable con otra Ciertamente ocurre con maacutes frecuencia de la deseable
que lo que algunos autodenominan teoriacutea son poco maacutes que hipoacutetesis Pero las buenas teoriacuteas
son un poco diferentes Por ejemplo
a) Son maacutes generales
b) Explican por queacute estaacuten relacionadas las cosas mientras que las hipoacutetesis se limitan a
decir que estaacuten relacionadas
c) Generan hipoacutetesis es decir las hipoacutetesis estaacuten impliacutecitas en las teoriacuteas
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA
Sin embargo el espiacuteritu de Lwoff ldquoobligardquo a buscar aunque soacutelo sea una definicioacuten operativa
En este sentido se va a dar una definicioacuten ldquoinyuctivardquo de teoriacutea en el sentido de Hassenstein
esto es enumerando cierto nuacutemero de propiedades caracteriacutesticas atributos o maacutes
precisamente condiciones que debe cumplir toda teoriacutea (Hassenstein 1966) Esas condiciones
que debe cumplir toda teoriacutea y que permiten discriminar lo que es una teoriacutea de lo que no lo
es se clasifican en dos clases
A) Formales Que vienen a ser como unas condiciones necesarias que por consiguiente
debe cumplir toda teoriacutea Entre eacutestas cabe destacar las siguientes
a) Formalizacioacuten Una teoriacutea debe poder expresarse formalmente mediante
predicados hasta construir un sistema formal axiomaacutetico
b) Consistencia Se dice que una teoriacutea es internamente consistente cuando el
conjunto de afirmaciones que contiene no se contradicen entre siacute Que las
afirmaciones con las cuales se construye una teoriacutea deben ser loacutegicamente
consistentes entre siacute es algo de lo que nadie disiente La cuestioacuten es que
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aunque los lenguajes formales de la loacutegica y las matemaacuteticas hacen maacutes faacutecil
determinar si las afirmaciones que conforman una teoriacutea son loacutegicamente
consistentes entre siacute a veces como sucede con la teoriacutea de Darwin no se usan
estos formalismos Pero eso que es un hecho no significa que no se pudieran
formalizar y es de eso de lo que trata este punto En este punto es uacutetil y
conveniente establecer una distincioacuten entre inferencias causales y
descriptivas Las primeras conciernen a las relaciones causales entre
conceptos mientras que las segundas buscan describir el mundo empiacuterico
Una explicacioacuten causal es aquella que describe las relaciones entre los
conceptos de una teoriacutea Es decir las primeras causales son expliacutecitamente
teoacutericas mientras que las segundas descriptivas son impliacutecitamente teoacutericas
Se dice que un conjunto de axiomas o sistema axiomaacutetico es consistente
cuando a partir de ellos no pueden deducirse simultaacuteneamente una propiedad
y su negacioacuten En otros teacuterminos un sistema formal se dice que es consistente
si en eacutel no pueden derivarse sintaacutecticamente proposiciones contradictorias
Esto es que no se deacute el caso de una foacutermula A tal que ella y su negacioacuten not A
sean teoremas Obseacutervese que si ocurriese que ⊢ ⊢ (notA) entonces
cualquier foacutermula B es un teorema y la teoriacutea seriacutea banal forallB (A⋀(not A))rArrB o
en otras palabras la sucesioacuten A not A B es una demostracioacuten de B Las teoriacuteas
inconsistentes terminan demostraacutendose inuacutetiles porque en ellas cualquier
afirmacioacuten es un teorema En efecto un argumento estaacute bien construido
cuando por usar la terminologiacutea leibniziana en cualquier mundo posible en el
que se verifiquen las premisas la conclusioacuten tambieacuten es verdadera
Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negacioacuten not M son
teoremas de la teoriacutea el argumento cuyas premisas son M y not M y cuya
conclusioacuten es una cierta propiedad R es vaacutelido sea cual sea R pues siempre
que M y not M son verdaderas se verifica tambieacuten R Ahora como M y not M son
teoremas de la teoriacutea ambos tienen una demostracioacuten es decir una sucesioacuten
finita de afirmaciones tales que cada una de ellas es un axioma o se deduce de
los axiomas aplicando las reglas de inferencia permitidas Si se concatenan las
dos pruebas se habraacute probado que R es un teorema de la teoriacutea
independiente de su valor de verdad Maacutes formalmente
La contradiccioacuten ademaacutes de falsedad segura por la pura forma de su
enunciado tiene efectos desastrosos en contextos de conocimiento
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organizados deductivamente como es el caso de las teoriacuteas cientiacuteficas
Estos efectos indeseables se resumen en la tesis siguiente ldquoDe una
contradiccioacuten se puede deducir cualquier cosardquo Es decir si surge una
contradiccioacuten en una teoriacutea deductiva entonces la relacioacuten de
deduccioacuten permite obtener como teorema a todo enunciado
expresable con los conceptos de tal teoriacutea O sea la deduccioacuten se
convierte en una relacioacuten inuacutetil pues no impone restriccioacuten alguna
Desaparece la racionalidad loacutegica Es faacutecil probar tal resultado a partir
de las tres leyes loacutegicas siguientes
1) ldquoEliminacioacuten de la conjuncioacutenrdquo (E⋀) que afirma que de una
conjuncioacuten se deduce cualquiera de sus conjuntos Simboacutelicamente
Ai ⋀ Aj ⊢ Ai Ai ⋀ Aj ⊢Aj rArr Ai ⋀ Aj ⊢ Ai y Aj
2) ldquoIntroduccioacuten de la disyuncioacutenrdquo (I⋁) que asevera que de un
enunciado se deduce su disyuncioacuten con cualquier otro enunciado En
siacutembolos
Ai ⊢ Ai ⋁ Aj Aj ⊢ Ai ⋁ Aj
3) Silogismo disyuntivo (SD) que de una disyuncioacuten y la negacioacuten de
uno de sus disyuntos se deduce la afirmacioacuten del otro disyunto
Simboacutelicamente
Ai ⋁ Aj y not Ai ⊢Aj Ai ⋁Aj y not Aj ⊢Ai
Pues bien estas tres leyes loacutegicas implican que de una contradiccioacuten Ai ⋀ not Ai
adoptada como premisa se puede obtener como conclusioacuten cualquier
enunciado Aj Simboacutelicamente
forall Ai ⋀ forall Aj Ai ⋀ not Ai ⊢ Aj
Demostracioacuten
j
SDiji
Iii
Eii AAyAAAyAAA aaa notornotnotand
orand
Asiacute partiendo de premisas falsas y o contradictorias puede probarse
cualquier cosa Veacutease un ejemplo de esto Una vez retaron a Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) para que justificase que si 2 + 2 = 5 entonces McTaggart era
el Papa Este matemaacutetico afirmaba que si pueden demostrarse dos enunciados
o teoremas contradictorios entre siacute entonces cabe probar cualquier cosa Eacuteste
fue el razonamiento de Hardy Sea 2 + 2 = 5 como tambieacuten 2 + 2 = 4 resulta
que 5 = 4 Si a esta igualdad se resta 3 se obtiene que 2 = 1 De este modo
puesto que McTaggart y el Papa son dos entonces McTaggart y el Papa son
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uno Un razonamiento similar serviriacutea para demostrar que usted querido lector
escribioacute estas liacuteneas Finalmente sentildealar que Ian Steward (Steward 1975)
hace protagonista de esta historia a Hardy otros como es el caso del loacutegico y
matemaacutetico Raymond Smullyan (Smullyan 1986) colocan como protagonista
a Bertrand Russell El fiacutesico Max Delbruumlck dio maacutes ejemplos de que basta con
tolerar una sola contradiccioacuten formal para poder demostrar la veracidad de
ldquocualquierrdquo enunciado aplicando las normas del caacutelculo loacutegico El premio
Noacutebel Max Delbruumlck propone el siguiente ejemplo (Delbruumlck 1986)
Supongamos que aceptamos el enunciado ldquoDios es buenordquo llamando p a esta
proposicioacuten y el enunciado ldquoDios no es buenordquo llamando a esta proposicioacuten simp
Ahora llamaremos q a la proposicioacuten ldquoHolywood estaacute en Europardquo El paso
siguiente es la evaluacioacuten del enunciado ldquop o qrdquo que significa ldquoDios es bueno o
Hollywood estaacute en Europardquo (el sentido con que los expertos en loacutegica usan la
conexioacuten o es que al menos uno de los enunciados p y q es verdadero) El
enunciado es indiscutiblemente verdadero ya que previamente hemos
aceptado p como verdadero Sin embargo despueacutes de aceptar que simp tambieacuten
es verdadero que significa que p no es verdadero ldquop o qrdquo implica que q es
verdadero Por tanto en la situacioacuten descrita las reglas del caacutelculo
proposicional nos obligan a aceptar como verdadera la afirmacioacuten de que
ldquoHollywood estaacute en Europardquo o cualquier otro enunciado que sustituya a q La
loacutegica no permite equivocarse
Tambieacuten se puede creer que Dios es bueno y que Dios no es bueno de hecho
esta contradiccioacuten (que es el problema de la teodicea) Puede expresar una
profunda verdad acerca de Dios Niels Bohr dijo que el sello que caracteriza a
las verdades profundas es que su negacioacuten tambieacuten es una verdad profunda
Las verdades que carecen de ambiguumledad en el sentido de que sus negaciones
son falsas suelen ser triviales George Wilhelm Friedrich Hegel llegoacute maacutes lejos
al afirmar ldquoiquestQuieacuten piensa loacutegicamente soacutelo los estuacutepidos y los ignorantesrdquo
La idea de poder demostrar cualquier cosa si se empieza por aceptar como
verdadero un enunciado falso ha llegado incluso a las paacuteginas literarias del
semanario ldquoNew Yorkerrdquo En un relato publicado en 1975 un hombre pasa por
una penosa situacioacuten personal Estaacute totalmente hundido y acaba
planteaacutendose ldquoSi acepto la idea de que despueacutes de todo las cosas no estaacuten
tan mal lo cual no es cierto iquestHabreacute aceptado tambieacuten otras muchas ideas que
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tengan en comuacuten con la primera al ser falsas iquestPor ejemplo que el sentildeor es mi
pastorrdquo
c) Completud Es claro que consistencia y completud apuntan en sentido
contrario La primera es imprescindible para que la teoriacutea merezca alguna
consideracioacuten La segunda es muy deseable si se quiere que toda verdad sea
demostrable Pero la afirmacioacuten de que un sistema sea consistente o completo
es un ejemplo de propiedad matemaacutetica cuyas leyes de demostracioacuten hay que
precisar tambieacuten con cuidado
Una teoriacutea es loacutegicamente completa cuando las conclusiones que se deducen
de ella fluyen loacutegicamente de las suposiciones axiomas principios leyes o
postulados que las conforman No basta un conjunto postulado de relaciones
y o regularidades Es decir las afirmaciones consistentes conducen a
conclusiones hipoacutetesis y otras formas de argumentacioacuten teoacuterica De este
modo conjuntos de afirmaciones que no son loacutegicamente completos son
argumentos incluso pre-teoriacuteas pero no teoriacuteas Maacutes formalmente Un
sistema de axiomas se dice completo si para cada proposicioacuten p de eacuteste se
tiene que bien p es deducible y bien not p es deducible En general se dice que
un sistema axiomaacutetico consistente es completo cuando dada una sentencia A
si A no es demostrable entonces su negacioacuten es un teorema de la teoriacutea Una
foacutermula tal que ni ella ni su negacioacuten son teoremas se denomina indecidible
Asiacute en los sistemas completos no hay foacutermulas indecibles y lo verdadero
coincide con lo demostrable Frege creiacutea que la existencia de modelos
matemaacuteticos de una teoriacutea dependiacutea fundamentalmente de queacute objetos
componen el Universo Otros por el contrario opinaban que la existencia
dependiacutea de la consistencia Una teoriacutea consistente genera objetos que la
verifican En palabras de Hilbert en una carta a Frege Cada teoriacutea no es sino
un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias
entre ellos y sus elementos baacutesicos pueden ser pensados arbitrariamente Si
entiendo por puntos rectas planos Cualquier sistema de cosas por ejemplo
el sistema formado por amor ley deshonillador y considero que todos mis
axiomas resultan vaacutelidos para esas cosas entonces tambieacuten resultan vaacutelidos
para esas cosas mis teoremas como verbigracia el de Pitaacutegoras Cada teoriacutea
puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos baacutesicos Para
explicar estas posiciones antagoacutenicas Ulises Moulines (Moulines 1985)
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distingue los sistemas axiomaacuteticos de estilo ldquoevidencial-concretordquo que
seleccionariacutean unas cuantas verdades prioritarias sobre las que se fundan las
demaacutes proposiciones de los de tipo ldquodemocraacutetico-abstractordquo donde todos los
enunciados de la teoriacutea son candidatos igualmente vaacutelidos para ser tomados
como axiomas siempre que el resto de proposiciones se pueda deducir a
partir de ellos Otros autores diferencian entre sistemas que ponen orden en
estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple hecho de hablar
sobre ellas La completud significa que si A es una foacutermula que no contiene
variables libres entonces |A| o (notA) Es decir que A su negacioacuten notA o ambas
son teoremas demostrables en la teoriacutea Que esta propiedad soacutelo atantildee a
foacutermulas sin variables libres puede ilustrarse viacutea ejemplo La foacutermula x + y = 7
no es ni verdadera ni falsa mientras que forall isin exist y isin ( + = 7) es un
teorema
d) Coherencia y adecuacioacuten Que etimoloacutegicamente viene del latiacuten
ldquocohaerencerdquo significa ldquoadherido ardquo una teoriacutea es coherente a veces aunque
erroacuteneamente tambieacuten se dice que es sistemaacutetica en la medida en que las
sentencias enunciados proposiciones foacutermulas etc a traveacutes de las cuales se
expresa se soportan entre siacute es decir no presentan contradiccioacuten Desde un
punto de vista loacutegico la coherencia significa que las sentencias de la teoriacutea
estaacuten relacionadas por la implicacioacuten Para verificar la coherencia no importa
si la teoriacutea es categoacuterica o hipoteacutetica se debe determinar si se produce
cualquier contradiccioacuten dentro de ellos y la condicioacuten necesaria y suficiente
para que se produzca dicha contradiccioacuten es que una o maacutes conclusiones
consecuencias o teoremas de la teoriacutea no sean consecuencia loacutegica de los
principios postulados o axiomas de la teoriacutea En resumen una teoriacutea se dice
coherente si (a) no contiene contradicciones loacutegicas entre las proposiciones
de una explicacioacuten esto es la coherencia interna Esto es en este contexto la
consistencia (b) La coleccioacuten de explicaciones dadas por la teoriacutea dentro del
cuerpo de conocimientos a lo largo y ancho de las demaacutes disciplinas no
deberiacutean contradecirse entre siacute (c) Las predicciones de la teoriacutea deben ser
correctas esto es las predicciones de las explicaciones de la misma no
deberiacutean ser contradictorias frente a las observaciones o experimentos que se
le planteen A esto se le denomina coherencia empiacuterica Un sistema de
axiomas se dice coherente si las consecuencias sintaacutecticas del mismo son
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tambieacuten consecuencias semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten
de acuerdo con la experiencia Un sistema formal se dice adecuado si todas las
consecuencias semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si
todas las verdades son deducibles Un sistema de axiomas se dice coherente si
las consecuencias sintaacutecticas del mismo son tambieacuten consecuencias
semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten de acuerdo con las
experiencias Un sistema formal se dice adecuado si todas las consecuencias
semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si todas las
verdades son deducibles El criterio de coherencia a su vez puede ser interno
que exige que la teoriacutea propuesta concuerde o maacutes fuerte auacuten no entre en
contradiccioacuten con otras teoriacuteas establecidas Para ello las afirmaciones
teoreacuteticas de la teoriacutea deben pertenecer a un sistema de afirmaciones
ldquoverdaderasrdquo Y en particular no debe entrar en conflicto con los principios de
conservacioacuten de la materia la energiacutea y de miacutenima accioacuten que se presentan a
continuacioacuten y sobre todo con la ley de la entropiacutea creciente
La uacutenica cantidad que cumple las condiciones naturales que se le imponen a
una medida de informacioacuten es la entropiacutea que en termodinaacutemica mide el
grado de aleatoriedad o desorden de una situacioacuten dada y que viene
expresada en teacuterminos de las distintas probabilidades que intervienen Este
concepto es fundamental y profundo para Eddington cuando afirmoacute ldquoCreo
que la ley de la entropiacutea creciente la 2ordf ley de la termodinaacutemica es la maacutes
importante de las leyes de la naturalezardquo
El significado es algo anaacutelogo a una de las cantidades de las que depende la
entropiacutea de un sistema termodinaacutemico A propoacutesito de esto Eddington ha
hecho un comentario muy acertado ldquoSupongamos que se nos pide que
clasifiquemos las palabras distancia masa fuerza eleacutectrica entropiacutea belleza y
melodiacutea en dos categoriacuteas Pienso que existen razones muy fuertes para poner
la entropiacutea al lado de la belleza y la melodiacutea y no con las otras tres El concepto
de entropiacutea soacutelo surge cuando las partes son consideradas como un todo y es
precisamente contemplando o escuchando las partes asociadas entre siacute como
aparecen la belleza y la melodiacutea Las tres dependen de la ordenacioacuten del
conjunto La idea de que una de estas tres candidatas estaacute destinada a
aparecer como un denominador comuacuten de la ciencia se me antoja altamente
significativa La razoacuten de que este individuo extrantildeo pueda escabullirse entre
39
los aboriacutegenes del mundo fiacutesico es que habla su propio idioma el de la
aritmeacuteticardquo Ciertamente eacuteste es un argumento maacutes para establecer la
estrecha relacioacuten entre matemaacutetica y mundo fiacutesico
El hecho de que la informacioacuten deba ser medida por medio de la entropiacutea
resulta despueacutes de todo natural si se recuerda que la informacioacuten estaacute
asociada con el margen de la libertad de eleccioacuten de que se dispone a la hora
de construir el mensaje Por tanto de una fuente de informacioacuten podriacutea
decirse lo mismo que de un sistema dinaacutemico ldquoLa situacioacuten posee un grado
muy alto de organizacioacuten y no estaacute caracterizada por un grado elevado de
aleatoriedad o de poder de eleccioacuten es decir que la informacioacuten o la entropiacutea
es pequentildea
En lo concerniente a la ley de la entropiacutea creciente y su papel de juez aacuterbitro
en la coherencia de cualquier teoriacutea nada mejor que la opinioacuten de Sir Arthur
Stanley Eddington al respecto ldquoAcerca de la importancia de la Segunda ley de
la termodinaacutemica mucho se ha escrito y nadie duda de su efectividad
praacutecticardquo Pero por si quedase alguna duda sobre su rango de aplicacioacuten y su
generalidad Eddington lo aclaroacute de forma contundente cuando en una de sus
obras maacutes conocida y citada (Eddington 1948) dijo ldquoThe Law that entrpy
always increase ndashthe second Law of thermodynamics- holds I think the
supreme position among the laws of Nature If someone points cut to you that
your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell`s equations ndash
then so much the worse for Maxwell`s equations- If it is found to be
contradicted by observation well these experimentalist do bungle thnigs
sometimes But if your theory is found to be against the second law of
thermodynamics I can give you no hope there is nothing for it but to collapse
in deepest humiliationrdquo
e) Correccioacuten y falsabilidad Cualquier teoriacutea debe tener implicaciones sobre el
mundo real empiacuterico Pues bien estas implicaciones deben ser ldquofalsablesrdquo La
falsabilidad de las implicaciones concierne por una parte a la circularidad y
por otra a la especifidad de las afirmaciones hipoteacuteticas que hacen
declaraciones acerca del mundo empiacuterico Conjuntos de afirmaciones
circulares o tautoloacutegicas no pueden ser verificadas esto es corroboradas o
refutadas son loacutegicamente vaacutelidas por definicioacuten pero no dicen nada acerca
del mundo empiacuterico y por consiguiente no son teoriacuteas Ademaacutes se exige que
40
sean suficientemente especiacuteficas de modo que puedan si es el caso probarse
que estaacuten equivocadas Esto es deberiacutean ser lo suficientemente especiacuteficas
como para que sea claro que evidencia se requiere para determinar si la
evidencia es consistente o inconsistente con las implicaciones Dicho esto no
se deberiacutea exigir que los instrumentos que pueden requerirse para coleccionar
evidencia relevante existan realmente Es decir basta con que las
implicaciones de la teoriacutea sean falsables al menos en principio De esto se
pueden derivar lo dos apartados siguientes
α) Verdad Desgraciadamente las teoriacuteas nunca pueden probarse que
son verdaderas Hay dos razones para esto La primera es que no
importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea frente a los datos
siempre hay la posibilidad de que aparezca un nuevo dato que
contradiga la teoriacutea Justo porque el Sol ha salido todos los diacuteas desde
que se inicioacute su comprobacioacuten eso no prueba la teoriacutea que sugiere
que siempre saldraacute Maacutes bien lo contrario pues cada diacutea que sale es
uno menos que le queda de ldquovidardquo Es decir desgraciadamente nunca
se puede probar que una teoriacutea es correcta Soacutelo se puede probar que
es falsa No importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea no hay
suficiente tiempo en el universo para llevar a cabo todas las
verificaciones posibles Asiacute incluso si una teoriacutea ha sobrevivido a un
milloacuten de pruebas auacuten podriacutea fracasar en la un milloacuten una En alguacuten
modo esta situacioacuten es opuesta a localizar un objeto perdido en una
casa Si se busca el objeto en la casa y se le encuentra bien es
definitivo que el objeto estaba en la casa caso cerrado Pero si se
busca y no se le encuentra eso no significa en absoluto que el objeto
no esteacute en la casa Podriacutea estar alliacute justo donde se perdioacute Lo mismo
pero al reveacutes vale para las teoriacuteas Si se prueba una teoriacutea y se
fracasa esto es ha sido falsada Pero si pasa el test es justo soacutelo un
test Puede haber otros datos u otras situaciones que la hubieran
falsado Sin embargo todaviacutea no se ha accedido a ellos Finalmente
las teoriacuteas son justo descripciones Hay siempre otras maneras de
describir los hechos que son igualmente vaacutelidas En este sentido
verdad no es un concepto razonable De todo lo que se dispone es de
41
descripciones que no se contradicen por los hechos actualmente
disponibles Eso es todo
β) Falsabilidad Una buena teoriacutea es falsable Si no hay una forma
concebible para construir un experimento o coleccionar algunos datos
que potencialmente podriacutean contradecir la teoriacutea eacutesta es inuacutetil
Supoacutengase que se estaacute intentando explicar el patroacuten de caras y cruces
que resultan de lanzar una moneda diez veces La teoriacutea dice que sale
cara cuando quiere un mago invisible y cruces en otro caso iquestCoacutemo se
puede verificar esa teoriacutea Si se lanza la moneda y sale cara eso no
contradice la teoriacutea puesto que eso justo quiere decir que el mago lo
queriacutea No importa coacutemo se realice el experimento los datos no
pueden posiblemente contradecir la teoriacutea Teoriacuteas como eacutesa
realmente no explican nada Se pueden usar para predecir resultados
no para hacer cosas verbigracia construir aviones que vuelen Por
ejemplo el concepto general de que los empleados de una
organizacioacuten trabajan duro porque estaacuten motivados es del mismo tipo
que decir que salen caras porque el mago quiera Volviendo a la
motivacioacuten eacutesta no se puede ver Soacutelo se puede inferir su existencia
por sus efectos en este caso el comportamiento humano De este
modo si una persona trabaja duro se dice que estaacute motivada Si no
se dice que no lo estaacute Sin embargo se dice que la razoacuten para que
trabaje duro o no es debido a la motivacioacuten Y eso es una ldquopetitio
principiirdquo es decir una falacia argumental Si estaacuten motivados
trabajan duro Si trabajan duro estaacuten motivados En general cualquier
teoriacutea que explique el comportamiento humano en teacuterminos de los
deseos humanos estaacuten en un terreno resbaladizo o peor cienagoso
En otras palabras si se estudia el movimiento voluntario del personal
en las organizaciones y se encuentra que la gente deja las
organizaciones ldquoporque quierenrdquo realmente no se ha explicado nada
y nunca podriacutea probarse que se estaacute equivocado En resumen hay dos
maneras en las que las teoriacuteas pueden fracasar en ser falsables Una
porque los datos son imposibles de obtener por su propia naturaleza
Dos porque son circulares
42
B) Materiales Ademaacutes de las condiciones formales de adecuacioacuten que debe cumplir
cualquier teoriacutea en siacute misma es decir independiente del dominio rango o alcance de
la misma existe otro conjunto de condiciones denominadas materiales de
adecuacioacuten que son especiacuteficos del tipo de teoriacutea de su dominio rango o alcance de la
misma Entre eacutestas que podriacutean considerarse como suficientes estaacuten las siguientes
a) Alcance o Provisionalidad La veracidad del conocimiento teoacuterico puede ser
tanto definitiva como provisional En efecto un teorema una vez demostrado
como verdadero lo es para siempre No importa la cantidad de informacioacuten
adicional que se tenga que jamaacutes cambiaraacute el estatus de verdad del mismo
Consideacuterese por ejemplo el teorema de Pitaacutegoras que estaacute demostrado desde
hace maacutes de 25 siglos Ninguna cantidad de nueva informacioacuten cambiaraacute el
estatus de dicho teorema hacieacutendolo falso Por el contrario consideacuterese la
Teoriacutea de Newton que se apoya en la hipoacutetesis de que el espacio y el tiempo
ademaacutes de absolutos no interactuacutean entre siacute es decir son independientes
Auacuten cuando la teoriacutea newtoniana se mantuvo incoacutelume y se consideroacute
correcta durante maacutes de dos siglos informacioacuten obtenida en el siglo XX dio al
traste con ese supuesto El responsable de esa iconoclastia fue la Teoriacutea de la
Relatividad de Einstein que no soacutelo le quitoacute al espacio y al tiempo la condicioacuten
newtoniana de absolutez sino que los interrelacionoacute En este sentido las
teoriacuteas formales pertenecientes a los dominios de la loacutegica y o las
matemaacuteticas son en lo que respecta al paraacutemetro de la provisionalidad
eternas Por su parte las teoriacuteas empiacutericas fiacutesicas quiacutemicas bioloacutegicas y
geoloacutegicas son provisionales es decir una teoriacutea empiacuterica que se juzga
verdadera en base a la informacioacuten actualmente disponible puede volverse
falsa cuando informacioacuten adicional llega a estar disponible En esto de la
provisionalidad de las teoriacuteas rige el principio de Bossuet sobre los imperios
Jacques-Beacutenigne Bossuet profesor del Defiacuten el hijo del rey Sol Luis XIV habiacutea
escrito en 1681 por encargo real su ldquoDiscurso sobre la Historia Universalrdquo
Poincareacute en 1909 en su presentacioacuten en Lille afirmaba la solidez de la fiacutesica
newtoniana y su esperanza de que eacutesta fuera sempiterna Sin embargo en
dicho discurso y contradicieacutendose antildeadioacute ldquoPero las teoriacuteas cientiacuteficas son
como los imperios y si Bossuet estuviera aquiacute no dudariacutea en encontrar acentos
elocuentes con los que denunciar su fragilidadrdquo (Poincareacute 1909) En 1912
Poincareacute con otros colegas de la Academia Francesa recopiloacute en un texto el
43
mensaje de Bossuet que advertiacutea a una humanidad orgullosa sobre su
perennidad como sigue (Fraguet 1927) Asiacute veis pasar ante vuestros ojos
como en un instante no digo reyes emperadores sino esos grandes imperios
que habiacutean hecho temblar el universo entero Viendo como los asirios antiguos
y modernos los medas los persas los griegos los romanos aparecen ante
vosotros unos tras otros para caer unos sobre otros por decirlo asiacute esta
terroriacutefica reyerta os hace sentir que no hay nada soacutelido entre los hombres y
que la inconstancia y la agitacioacuten son el destino natural de los asuntos
humanos Como puede verse para Poincareacute las teoriacuteas cientiacuteficas eran como
los grandes imperios de Bossuet y si la analogiacutea se toma como tal Poincareacute
estaba en lo cierto De este modo cuando alguien da por sentado la
peternidad de las teoriacuteas empiacutericas con probabilidad rayana en la certeza se
equivoca El caso de lord Kelvin es paradigmaacutetico al respecto Hacia 1900 la
fiacutesica claacutesica habiacutea elaborado una descripcioacuten altamente satisfactoria del
mundo totalmente determinista y basada en nociones aparentemente
consistentes consigo mismas Pero sobre ese aparente cielo despejado y claro
Lord Kelvin autor de la escala de temperatura absoluta y uno de los
fundadores de la termodinaacutemica sentildealoacute dos nubarrones Este panorama lo
describioacute lord Kelvin en una conferencia impartida ante la Asociacioacuten Britaacutenica
para el Progreso de la Ciencia en 1900 (Kelvin 1901) El primero de los
nubarrones se referiacutea a la naturaleza paradoacutejica del eacuteter propuesto por la
teoriacutea del campo unificado como el vehiacuteculo de las ondas electromagneacuteticas
Kelvin consideraba posible la existencia de una sustancia tan extrantildea pero
sentildealoacute que si existe deberiacutea poderse medir el movimiento con respecto a ella
Curiosamente y debe resaltarse esta prediccioacuten no surgioacute dentro de la
mecaacutenica newtoniana que suponiacutea la existencia de fuerzas que actuacutean a
distancia sobre las masas sin la intervencioacuten de ninguacuten eacuteter Como los
experimentos para detectar el eacuteter no dieron resultado Kelvin empezoacute a
sospechar que ese fracaso teniacutea una causa importante Fue Einstein con su
relatividad restringida quien envioacute el eacuteter al mundo de lo inuacutetil donde ya se
encontraban el caloacuterico el flogisto los voacutertices etc El segundo nubarroacuten
surgioacute de un problema aparentemente menos serio la discrepancia entre el
calor especiacutefico para voluacutemenes constantes de gases diatoacutemicos realizado por
mediciones precisas 5R2 para el O2 y el H2 etc y el valor predicho a partir de
44
consideraciones de la mecaacutenica estadiacutestica 7R2 Finalmente esos dos
nubarrones dieron lugar a las tormentas o por mejor decir revoluciones tan
espectaculares como la Teoriacutea de la Relatividad y la Fiacutesica Cuaacutentica iexclAhiacute es
nada
b) Simplicidad o Parsimonia La Navaja de Ockham o tambieacuten conocido como
ldquotijera de Ockamrdquo Principio de Parsimoniardquo en el sentido de moderacioacuten o
tambieacuten ldquoPrincipio de simplicidadrdquo o incluso ldquoPrincipio de economiacuteardquo es
considerada como una de las herramientas maacutes potentes y eficaces de la
ciencia Su enunciado habitual expresa que ldquonon sunt multiplicanda entia
praeter necessitatemrdquo aconsejando reducir al miacutenimo el nuacutemero de motivos y
objetos en general entes a los que haya que recurrir para justificar algo Y
maacutes generalmente tambieacuten implica que en el conjunto de teoriacuteas ofrecidas
para explicar un hecho se ha de preferir la maacutes sencilla Esta idea hasta donde
se sabe fue expuesta por primera vez por el filoacutesofo y teoacutelogo dominico
fraacutences Durand de Saint Pourcain fallecido en 1332 y tambieacuten se encuentra
enunciada en la obra del franciscano Duns Scoto (1266-1308) probable
profesor de quien difundioacute ldquourbi et orbirdquo el principio Guillermo de Ockham a
comienzos del siglo XIV Es eacutesta una condicioacuten que indica que las teoriacuteas
deberiacutean ser podadas de suposiciones innecesarias Se trata aquiacute de evitar
proponer como principios relaciones complejas cuando existe una alternativa
maacutes simple Una razoacuten para preferir la sencillez es que la naturaleza parece
hacerlo Las cosas complicadas tienen maacutes formas de romperse y menos
probabilidad por tanto de durar hasta el presente La otra razoacuten es que las
teoriacuteas son inuacutetiles a menos que sean lo suficientemente sencillas como para
que la gente las entienda Las teoriacuteas son a veces aunque inadecuadamente
denominadas modelos y la idea cabal de modelo es que es una versioacuten maacutes
pequentildea maacutes simple de la cosa real Los modelos pretenden resaltar
evidencias y las partes importantes y dejar fuera las irrelevantes El poder de
un modelo puede definirse como la proporcioacuten de reduccioacuten en complejidad
que proporciona sobre la naturaleza Demasiado detalle puede obscurecer las
cosas clave Verdaderamente los modelos complicados no explican realmente
mucho El mejor modelo posible de los patrones meteoroloacutegicos terrestres se
obtendriacutea construyendo un duplicado de la Tierra girando alrededor del Sol
exactamente lo mismo con mucho detalle Deberiacutea predecir todo
45
perfectamente El problema es que el modelo es tan complicado como lo que
se intenta entender Un ejemplo de parsimonia son los modelos aleatorios
Supoacutengase que se quiere entender porqueacute casi todas las sociedades humanas
tienen desigualdades significativas unos son mucho maacutes ricos que otros Se
podriacutean dar un nuacutemero de razones especiales incluidas causas sobrenaturales
del tipo ldquoDios lo quiso asiacuterdquo pero es importante percatarse de que la
desigualdad es lo que deberiacutea esperarse incluso si no hubiera ninguna razoacuten
especial por la que deberiacutea suceder Si se toman 100 euros y se dividen
aleatoriamente entre 10 personas soacutelo hay un puntildeado de formas que dariacutean
un resultado igualitario Sin embargo hay maacutes de 1030 maneras de dividirlos de
modo que se produzcan relevantes desigualdades Es justo como tener la
habitacioacuten ordenada Baacutesicamente hay unas pocas maneras de tener la
habitacioacuten en el espacio tridimensional de modo que pueda decir que todo
estaacute en su sitio Pero hay millones de lo contrario El principio de usar la
parsimonia como un criterio para modelizar la seleccioacuten se conoce como
ldquoNavaja de Ockhamrdquo
Sea como sea la ldquoNavaja de Ockhamrdquo es soacutelo una herramienta o si se quiere
una regla heuriacutestica y como tal en ocasiones se ha mostrado uacutetil para la
ciencia Lo que no es es una cualidad del mundo esto es concierne a la
epistemologiacutea no a la ontologiacutea del mundo Por consiguiente no es necesario
suponer que el universo es sencillo aunque a la hora de enfrentarse y razonar
sobre eacutel se prefiera que se asiacute antes que complejo
John Burdon Sanderson Hodlane (Hodlane 1927) dice ldquoEn el pensamiento
cientiacutefico se adopta la teoriacutea maacutes simple que explique todos los hechos
considerados y que permita anticipar otros nuevos de la misma iacutendole La
trampa de este criterio estriba en la expresioacuten ldquola maacutes simplerdquo en realidad es
un canon esteacutetico como los que se encuentran expliacutecitos en las criacuteticas de
poesiacutea y pintura El profano encuentra mucho maacutes simple el concepto
ldquorezumardquo que su expresioacuten matemaacutetica () = (( ) el fiacutesico
invierte este juicio y por cierto su nocioacuten es la maacutes fructiacutefera por su poder de
prediccioacuten Sin embargo es una descripcioacuten sobre algo muy poco familiar para
el hombre comuacuten ldquola proporcioacuten con que cambia una tasa de variacioacutenrdquo
46
c) Fertilidad y o fecundidad O lo que es lo mismo una teoriacutea debe dar lugar a
nuevos resultados de investigacioacuten es decir debe revelar fenoacutemenos nuevos o
relaciones no observadas antes entre las cosas que ya se saben Este criterio es de
especial importancia para las decisiones cientiacuteficas reales De hecho el segundo
aspecto de la fecundidad de una teoriacutea es que sea fructiacutefera en el sentido de que la
eleccioacuten de una teoriacutea u otra tendraacute influencia ulterior en el desarrollo de la
carrera cientiacutefica de quien hizo la eleccioacuten Por eso los cientiacuteficos se sentiraacuten
atraiacutedos por aquella teoriacutea que prometa el eacutexito concreto por el que suelen ser
recompensados los cientiacuteficos Una teoriacutea feacutertil es aquella que genera multitud de
implicaciones en diferentes aacutereas y dominios Las implicaciones son importantes
porque por una parte son esencialmente perspicacias y o ldquointuicionesrdquo que no
eran obvias antes de establecerse la teoriacutea de este modo potencialmente
representan nuevo conocimiento Por otro lado representan posibilidades de
verificar la teoriacutea Una teoriacutea para ser feacutertil o sea una buena teoriacutea tiene que ser
general
d) Sorpresa Una cualidad de las buenas teoriacuteas es que son interesantes Esto
significa que generan implicaciones no obvias Conducen a entender las cosas de
nuevas maneras La sorpresa se refiere a la capacidad de la teoriacutea para realizar
predicciones inesperadas no obvias Un famoso ejemplo es una teoriacutea que explica
porque ciertos paiacuteses tienen muchas maacutes chicas que chicos La teoriacutea dice que esto
sucede iroacutenicamente cuando como ocurre en la India la gente prefiere tener
chicos En efecto la probabilidad de tener un chico es diferente en las distintas
familias es algo geneacutetico Supoacutengase ahora que la gente lo que hace es tener
nintildeos hasta que tengan maacutes chicos que chicas Asiacute si el primero es un chico no
tienen maacutes Si es una nintildea van a por maacutes hasta que los varones sean maacutes Pero si
es mujer siguen El resultado es que las familias que tienen predisposicioacuten a tener
nintildeos son poco numerosas las otras no Si no hubiera esa preferencia habriacutea
aproximadamente un nuacutemero similar de ambos Este paradoacutejico resultado es
curioso y encantador
e) Amplitud A veces y tal vez con mejor criterio tambieacuten denominada robustez
Esto quiere decir que las consecuencias de la teoriacutea deben extenderse o sea ir
maacutes allaacute de las observaciones leyes o subteoriacuteas particulares para las que se
destinoacute en principio
47
f) Conectividad Este aspecto iacutentimamente relacionado con el anterior quiere
decir que la teoriacutea ordena fenoacutemenos que sin ella y tomados uno a uno estariacutean
aislados y en conjunto seriacutean confusos
g) Independencia Esta condicioacuten exige que ninguno de los axiomas pueda
deducirse de los demaacutes aplicando las reglas fijadas es decir todos y cada uno de
ellos deben antildeadir nueva informacioacuten Para demostrar la independencia de un
axioma respecto a los demaacutes es suficiente con describir un modelo que los
satisfaga todos menos eacutel ya que si fuera posible obtenerlo de los otros
automaacuteticamente seriacutea verdadero en el sistema construido Nada se indica sobre el
nuacutemero de axiomas que pueden elegirse para una teoriacutea pueden ser infinitos
pero seriacutea entonces difiacutecilmente manejable y no tiene sentido en cualquier caso
antildeadir axiomas y axiomas si ya pueden deducirse de unos pocos Por ejemplo a los
axiomas de Peano se les podriacutea antildeadir verbigracia el postulado de que 1 es
distinto de 2 pero seriacutea inuacutetil porque 2 es precisamente el sucesor de 1 y el
axioma III ya indica que 1 no es el sucesor de ninguacuten nuacutemero natural Como se ve
esta propiedad matemaacutetica se trata de una aplicacioacuten del principio de Ockham en
este caso enunciado como sigue ldquoninguacuten axioma o parte de eacutel debe ser
consecuencia de los demaacutesrdquo
Una teoriacutea es pues una construccioacuten simboacutelica en el sentido de que los teacuterminos que utiliza
son siacutembolos que buscan ldquoa tientasrdquo su significado en el mundo real Su valor se apoya tanto
en la estructura de las interconexiones que relacionan sus leyes entre siacute como en las propias
leyes Por eso no soacutelo debe ser un banco de pruebas donde se observa lo que puede
acontecer bajo determinadas condiciones sino que maacutes bien es valga la analogiacutea un territorio
parcialmente explorado De esta forma es con frecuencia heuriacutestica habida cuenta que guiacutea al
ldquoexploradorrdquo hacia nuevos descubrimientos En consecuencia se puede afirmar que tal vez la
mayor importancia de una teoriacutea no estriba en que conteste preguntas sino maacutes bien en que
permita y facilite el plantearlas dirigiendo asiacute la investigacioacuten en el campo que le concierne
Por lo tanto uno de los usos maacutes fructiacuteferos de una teoriacutea es el de preparar las categoriacuteas
conceptuales a partir de las cuales los investigadores formularaacuten sus preguntas y disentildearaacuten sus
experimentos para validar sus hipoacutetesis frente a la contundente realidad de los hechos
Por uacuteltimo una teoriacutea se construye para ponerla en praacutectica Cuando se habla de poner en
praacutectica una teoriacutea lo que se pretende es extraer consecuencias de ella entendiendo por esto
48
la postulacioacuten de una serie de circunstancias que incluyan algunas teacutecnicas de la teoriacutea para
en un paso posterior obtener informacioacuten acerca de lo que la teoriacutea supone sobre las
implicaciones que estas circunstancias particulares tienen para los otros teacuterminos de la teoriacutea
Con frecuencia se llega a las especificaciones seguacuten las cuales se desea someter a verificacioacuten
la teoriacutea interrogando o midiendo alguacuten aspecto del mundo real En otras palabras es preciso
tener alguacuten criterio de validez para determinar el eacutexito de la teoriacutea o del modelo construido
sobre ella Pues si bien una teoriacutea no puede descifrarlo todo los ldquomodelosrdquo que a partir de ella
se construyan deben al menos estar capacitados para descifrar ciertas cuestiones
Einstein apunta la existencia de dos criterios que presiden la seleccioacuten y evaluacioacuten de las
teoriacuteas cientiacuteficas El primero estaacute guiado por la confirmacioacuten externa o comprobacioacuten
experimental de la teoriacutea es decir no debe contradecir los hechos de la experiencia Para eacutel la
experiencia es el alfa y el omega de todo conocimiento cientiacutefico de la realidad Como lo
sentildealoacute eacutel mismo (Heisenberg 1971) El control por medio del experimento es en efecto el
presupuesto normal para la exactitud de una teoriacutea El segundo es el de la ldquoperfeccioacuten interna
naturalrdquo o de la ldquosencillez loacutegicardquo El criterio de perfeccioacuten interna se asemeja muchiacutesimo al
criterio de elegancia matemaacutetica de Poincareacute (Poincareacute 1946) siendo para Einstein esta
elegancia un iacutendice de la verosimilitud de la teoriacutea y de su verdad objetiva pues cuando se
carece de esa elegancia se cae en contradicciones internas Ambos criterios teoacuterico y
experimental expresan en efecto la misma idea pues sirven para determinar el valor
ontoloacutegico de la teoriacutea y su acuerdo con la realidad son como las dos caras de una misma
moneda pues si la teoriacutea debe guiar el experimento eacuteste debe corroborar y enriquecer la
teoriacutea De hecho la experimentacioacuten soacutelo tiene sentido si obedece o estaacute gobernada por un
planteamiento teoacuterico que a veces puede ser falso y siempre acaba resultando ser
provisional Teorizar no consiste simplemente en explicar normas ni en registrar hechos
consiste en ldquoconceptualizarrdquo o ldquoreconstruirrdquo es decir interpretar el material de estudio dentro
de un marco conceptual previamente dado que es precisamente lo que se denomina
ldquoTeoriacuteardquo En este sentido una teoriacutea es un cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se
pueden responder como miacutenimo a las siguientes cuestiones iquestQueacute esto es hacer
predicaciones Y iquestCoacutemo y por queacute es decir dar explicaciones Naturalmente la que debe dar
las respuestas es la teoriacutea y no el teoacuterico
49
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS
Las teoriacuteas como por otra parte cualquier conjunto de elementos pueden catalogarse de
acuerdo con distintos paraacutemetros Esta tipologiacutea en general puede ir desde una simple
clasificacioacuten hasta una taxonomiacutea pasando por una ordenacioacuten
A) La Clasificacioacuten
La clasificacioacuten siempre implica una definicioacuten Un teacutermino clase denota todos los
particulares a los cuales es aplicable el teacutermino es decir es la ldquoextensioacutenrdquo o
denotacioacuten del teacutermino y connota la(s) caracteriacutestica(s) que un particular debe tener a
fin de que el teacutermino le sea aplicable esto es la intensioacuten del teacutermino Ya que la
extensioacuten estaacute determinada por la intensioacuten y una definicioacuten describe la intensioacuten de
un teacutermino la definicioacuten es baacutesica para la clasificacioacuten iquestcuaacuteles son los criterios para
establecer la valiacutea episteacutemica de una clasificacioacuten Son desde el punto de vista
semaacutentico los siguientes
a) Exactitud El criterio de exactitud demanda que la clase de los teacuterminos esteacute
bien definida Una definicioacuten verdadera establece el universo a partir del cual
se establecen las clases y las diferencias o caracteriacutesticas esenciales que
distinguen las clases siendo catalogadas a partir de otras clases en el universo
b) Exclusividad y Exhaustividad Los criterios de exclusividad y exhaustividad
pueden establecerse con precisioacuten mediante conceptos teoreacuteticos En efecto
las clases pueden verse como subconjuntos del universo sometidos a
consideracioacuten esto es el conjunto universal Mientras el contexto de tal
enfoque es decir la exclusividad y exhaustividad pueden establecerse como
sigue
α) Exclusividad todo elemento en el universo dado aparece a lo sumo
en una subclase es decir - cap -0 = empty para todo par de subclases
sometidas a consideracioacuten
β) Exhaustividad todo elemento en un universo dado deberiacutea estar en
alguna clase es decir cup - = 3 donde Si es la coleccioacuten de
subclases y la unioacuten se realiza sobre todas ellas Exclusividad y
50
exhaustividad juntos requiere que cada elemento del universo
aparezca en una subclase
B) Taxonomiacutea
Para que una clasificacioacuten sea una taxonomiacutea debe cumplir el criterio de orden
jeraacuterquico Para que una clasificacioacuten esteacute jeraacuterquicamente ordenada debe cumplir las
siguientes condiciones
a) Los taxones o clases esteacuten ordenados en niveles que estaacuten secuencialmente
ordenados de 1 a n De este modo cada taxoacuten puede designarse por Tij donde
j indica el nivel particular para el taxoacuten o rango e i se asigna arbitrariamente
para diferenciar el taxoacuten en un determinado nivel
b) Cada taxoacuten de nivel j con jltn estaacute incluido en alguacuten taxoacuten de nivel j+1 Dicho
maacutes precisamente para un jltn dado existe alguacuten k tal que Tij estaacute incluido en
Tkm para m=j+1
c) El nuacutemero de taxas de rango j es mayor que el nuacutemero de taxas j+1
d) Las taxas de cada rango son mutuamente exclusivas y exhaustivas Maacutes
precisamente para un rango dado j 40 cap 450 = empty para cualesquiera i y k que
aparecen como subiacutendices en la taxa de rango j y cup 4 = 3
e) El criterio de coherencia interna exige que la clasificacioacuten concuerde con el
conocimiento teoreacutetico existente Para ello las afirmaciones teoreacuteticas deben
ser miembros del sistema actual de afirmaciones teoreacuteticas verdaderas cuyos
elementos estaacuten relacionados mediante la implicacioacuten loacutegica
Si lo que se pretende conseguir es una clasificacioacuten el criterio elegido debe ser exhaustivo y
excluyente es decir que todos y cada uno de los elementos a clasificar caiga en una y soacutelo una
de las clases y eacutestas que son clases de equivalencia son disjuntas entre siacute Por su parte una
ordenacioacuten establece una relacioacuten de precedencia u orden entre los miembros de un conjunto
Esta precedencia puede ser jerarquizada por niveles Pues bien cuando dentro de cada nivel
de jerarquiacutea se establece una clasificacioacuten entonces se obtiene una taxonomiacutea Dicho lo
anterior entre las teoriacuteas se puede establecer la siguiente taxonomiacutea
51
1 Categoacutericas En la descripcioacuten de los conceptos de una teoriacutea las oraciones teoacutericas
esto es las relaciones entre determinantes y resultantes pueden ser necesarias que
son esenciales y surgen de la propia naturaleza de resultantes y determinantes y si no
se cumplen no seriacutean lo que son y contingentes que son accidentales y no se tienen
que cumplir para que los determinantes y resultantes sean lo que son Su diferencia
estriba no en la forma sino en el contenido Las frases cientiacuteficas no tienen contenido
axioloacutegico mientras que las praxeoloacutegicas siacute En estas teoriacuteas o sistemas la verdad de
los teoremas o conclusiones se demuestra o viene dada por la verdad de las premisas
o axiomas es decir no hay calificacioacuten de la verdad de ahiacute el teacutermino ldquocategoacutericordquo En
ellos no hay ninguna suposicioacuten esto es hipoacutetesis de ahiacute su nombre Es decir la
evidencia soportando la verdad de las premisas que no se discute se transfiere a los
teoremas o conclusiones La necesidad reside tanto en la conexioacuten de las premisas con
los teoremas o conclusiones como en lo que postulan las premisas En estas teoriacuteas no
hay ninguna cualificacioacuten con respecto a la verdad no hay suposiciones de ahiacute el
teacutermino categoacuterico Dentro de ellas se inscriben las teoriacuteas filosoacuteficas Las teoriacuteas
filosoacuteficas y la teodicea caeriacutean si se las consideran teoriacuteas Las teoriacuteas filosoacuteficas
justifican sus afirmaciones mostrando que se siguen ldquoracionalmenterdquo no
necesariamente esto es deductivamente de las premisas que se toman como
verdaderas y no son falsables
2 Hipoteacuteticas En estos sistemas no hay certeza absoluta en los axiomas o esquemas de
axiomas es decir no hay evidencia propia De ahiacute que en este caso sea mejor usar el
teacutermino postulado para las premisas En este caso no existe ninguna certidumbre
respecto a los postulados de partida por ello es preciso establecer suposiciones de
partida es decir hipoacutetesis de ahiacute su nombre Existen dos tipos de sistemas
axiomaacuteticos hipoteacuteticos
21 Formales Desarrollados para aacutereas conceptuales muy amplias De hecho son
el sustrato racionador de al menos las teoriacuteas cientiacuteficas Sus afirmaciones se
justifican mediante demostraciones es decir la prueba de las afirmaciones
hechas en forma de teoremas alegados o aducidos o afirmados se sigue
deductivamente de los axiomas Su caracteriacutestica maacutes relevante es la
perennidad de lo demostrado Son de tipo analiacutetico es decir no antildeaden
nuevo conocimiento Las afirmaciones de una teoriacutea formal se justifican
mediante demostraciones en matemaacuteticas y prueba en loacutegica de modo que
52
en ambos casos se siguen como acaba de decirse deductivamente de los
axiomas Es decir no apelan a la evidencia experimental Son abstractas y
estaacuten vaciacuteas de contenido Dentro de ellas estaacuten las teoriacuteas
211 Matemaacuteticas Informalmente son ciertos cuerpos de
conocimientos que consisten en axiomas conectados definiciones
teoremas teacutecnicas computacionales todas relacionadas de alguacuten
modo por tradicioacuten o praacutectica Por ejemplo Teoriacutea de Conjunto
Teoriacutea de Grafos Teoriacutea de Autoacutematas Teoriacutea de Grupos Teoriacutea de
Nuacutemeros etc
212 Loacutegicas En este caso es un conjunto de enunciados en un
lenguaje formal que estaacute cerrado en la aplicacioacuten de ciertos
procedimientos denominados reglas de inferencia Un caso
especial son las teoriacuteas axiomaacuteticas que consisten en axiomas o
esquemas de axiomas y reglas de inferencia De este modo lo que
se obtiene son foacutermulas que se derivan de los axiomas mediante
dichas reglas
22 Materiales sustantivas o justificadas basaacutendose en la experimentacioacuten Estaacuten
formadas por conjuntos de proposiciones conectados que afirman revelar la
verdad de un fenoacutemeno Estaacuten desarrolladas en aacutereas especiacuteficas de
investigacioacuten Son sinteacuteticas esto es antildeaden nuevo conocimiento Entre estas
teoriacuteas estaacuten las concernientes a las ciencias claacutesicas fiacutesica quiacutemica biologiacutea y
geologiacutea y pueden ser
221 Cientiacuteficas naturales o empiacutericas Que buscan entender los
fenoacutemenos recopilando informacioacuten observada y proporcionando
explicacioacuten para ellos Sus afirmaciones se justifican mediante la
evidencia experimental y observacional Y dado que una de las
bases de estas teoriacuteas es el peso de la evidencia por eso reciben
el nombre de empiacutericas De hecho las teoriacuteas empiacutericas se
validan obteniendo las implicaciones de la teoriacutea para hechos
observables es decir generando hipoacutetesis y luego observando o
construyendo situaciones en las que puedan examinar y
contrastar dichas hipoacutetesis Esto exige que se puedan formular las
hipoacutetesis y se puedan efectuar observaciones relevantes Estas
53
teoriacuteas tratan con fenoacutemenos de la naturaleza y a su vez pueden
catalogarse en
2211 Deterministas que de nuevo pueden subdividirse en
A) Con datos incorregibles Paternidad bioloacutegica
B) Corregibles La fiacutesica claacutesica
2212 Indeterministas como la fiacutesica cuaacutentica la termodinaacutemica etc
Las teoriacuteas prototiacutepicas en fiacutesica tales como la teoriacutea de la
gravitacioacuten la de los cuanta de los fenoacutemenos subatoacutemicos
etc tienen seguacuten Mohanan P Karuvannur (Mohanan 2001)
las caracteriacutesticas distinguidas siguientes
A) Contienen un conjunto de proporciones llamadas leyes
B) La mayoriacutea de las proposiciones de la teoriacutea se expresan en
formalismos matemaacuteticos
C) Las observaciones contra las que se comprueban las
teoriacuteas son tiacutepicamente administrativas
D) Dichas observaciones y su contraste se obtienen y realizan
experimentalmente
E) Estos experimentos son reproducibles por otros
Sin embargo no todas las teoriacuteas cientiacuteficas exhiben todas
estas caracteriacutesticas Por ejemplo
a) La teoriacutea cosmoloacutegica del ldquoBig Bangrdquo y la teoriacutea de la
deriva continental en geografiacutea no incluyen ninguna
ley de siacute mismas En lugar de buscar formular leyes es
decir afirmaciones de una relacioacuten sistemaacutetica entre
variables observables o teoacutericas dichas teoriacuteas
54
proporcionan un ldquomodelordquo de los fenoacutemenos que se
pretenden entender
b) Mientras la teoriacutea de la gravitacioacuten de Newton emplea
una geometriacutea eucliacutedea y la de Einstein una
reimaniana la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y
Darwin no usa ninguacuten formalismo matemaacutetico
c) En tanto que las observaciones de la teoriacutea de Newton
son medidas cuantitativas las teoriacuteas topoloacutegicas no
d) Mientras que la fiacutesica y quiacutemica son altamente
experimentales la astronomiacutea lo es si algo muy poco
es puramente observacional
e) Finalmente si algunas observaciones del
funcionamiento normal del cerebro son reproducibles
otras no lo son en absoluto
222 Hominoloacutegicas sociales conductuales o praxeoloacutegicas Caen en
este apartado las teoriacuteas sociales psicoloacutegicas filosofiacutea de la
ciencia esteacuteticas etc Estas ldquoteoriacuteasrdquo buscan entender los
fenoacutemenos las relaciones entre conceptos y entre siacute mismas
reflexionando sobre lo que se da por sentado que son premisas
verdaderas sobre los fenoacutemenos sin dedicarse a entrar en
recopilar nueva informacioacuten Maacutes que teoriacuteas lo que aquiacute se
tiene es el uso del asiacute llamado ldquomeacutetodo cientiacuteficordquo para describir
y si pudiera ser explicar y predecir fenoacutemenos relacionados con
los seres humanos Entre eacutestas se encuentran la psicologiacutea
economiacutea cosmologiacutea etc
Existe una relacioacuten estrecha entre los sistemas ldquoaxiomaacuteticosrdquo y la taxonomiacutea de teoriacuteas que se
muestra en la figura II4 Del mismo modo que tal y como se muestra en la tabla II4 las
teoriacuteas pueden categorizarse en funcioacuten de que sean analiacuteticas o explicativas y sinteacuteticas o
ampliativas del conocimiento
55
Figura II4 Tipos de Sistemas axiomaacuteticos relacionados con la Teoriacutea
Otra distincioacuten importante entre teoriacuteas e incluso ciencias viene dada por las cuestiones que
guiacutean la investigacioacuten Es decir de acuerdo con su ldquoteleologiacuteardquo o paradigma las teoriacuteas
empiacutericas se clasifican en
A) Explicativas Estas teoriacuteas responden o cuando menos intentan responder a
la cuestioacuten iquestCuaacutel es la mejor explicacioacuten para los fenoacutemenos o estados de
cosas observados en el mundo En este caso la finalidad de una buacutesqueda
investigacioacuten ciencia o teoriacutea explicativa como sucede en la fiacutesica quiacutemica
biologiacutea geologiacutea cosmologiacutea etc es uacutenica o cuando menos baacutesica y
principalmente el entendimiento La mejor teoriacutea en un paradigma explicativo
es aquella que produce las mejores predicciones de los fenoacutemenos o estado de
las cosas observadas
B) Normativas Estas teoriacuteas responden o al menos intentan responder a la
siguiente pregunta iquestCuaacutel es el mejor curso de accioacuten para mejorar el estado
de cosas del mundo La finalidad de una buacutesqueda investigacioacuten ciencia o
teoriacutea normativa como sucede con la ingenieriacutea o la tecnologiacutea en general la
medicina el derecho o la sociologiacutea etc es mejorar las condiciones humanas
y maacutes en general de todos los seres vivientes La mejor teoriacutea dentro de este
paradigma normativo es la que produce los mejores cursos de accioacuten para
cambiar a mejor el estado de cosas existentes en el mundo
56
ANALIacuteTICAS O EXPLICATIVAS SINTEacuteTICAS O AMPLIATIVAS
ldquoA PRIORIrdquo ldquoA POSTERIORIrdquo
ldquoA PRIORIrdquo Puros independientes de toda experiencia
ldquoA POSTERIORIrdquo Empiacutericas generalizacioacuten inductiva
CATEGOacuteRICAS Teologiacutea Imposibles Filosofiacutea
HIPOTEacuteTICAS
Formales Loacutegica Matemaacutetica
Materiales Ciencias empiacutericas
Praxeologiacutea antildeade conocimiento axioloacutegico
Tabla II4 Categorizacioacuten de Teoriacuteas
En todo caso caracteriacutestico de toda teoriacutea es su formulacioacuten a partir de unos pocos
postulados Y de nuevo como son maacutes eficaces los ejemplos que las palabras Siguiendo esa
maacutexima claacutesica se van a presentar algunos ejemplos relevantes y significativos de teoriacuteas en
distintos dominios que aparecen resumidas en la tabla II5
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA
Se entiende por ciencia natural al cuerpo de conocimientos relacionados con una cierta clase
de cosas objetos conceptos o fenoacutemenos del mundo las caracteriacutesticas atributos
propiedades y relaciones que poseen coacutemo se comportan y actuacutean en sus interrelaciones La
labor baacutesica de la ciencia natural consiste en convertir lo insoacutelito en corriente es decir
demostrar que la complejidad correctamente enfocada no enmascara maacutes que la sencillez es
encontrar la pauta ley u orden que se oculta tras el caos aparente En resumen las ciencias
naturales se ocupan de coacutemo son las cosas La loacutegica corriente sirve para esto dado que su
preocupacioacuten se centra en aseveraciones declarativas se ajusta a las afirmaciones sobre el
mundo y las inferencias que se desprenden de tales aseveraciones Por su parte el disentildeo
trata de coacutemo debieran ser las cosas esto es de idear artefactos o mejor ldquomentefactosrdquo para
conseguir unos fines Para esto es necesario otras loacutegicas
Cuando se estudia la historia de la ciencia se observa en primer lugar que ninguna disciplina
se hace madura y verdaderamente cientiacutefica hasta que tiene una teoriacutea que la soporta En
segundo lugar tambieacuten salta a la vista como se muestra en la tabla II5 que dichas teoriacuteas
tienen dos caracteriacutesticas fundamentales (Alonso 2004) a saber Constan de pocos elementos
o constructos y se basan en un nuacutemero muy reducido de principios leyes o postulados De
modo que como lo sentildealoacute Peter J Denning (Denning 2003) The game is to define many terms
57
Teoriacutea Autor(es) Datacioacuten Principios Leyes Postulados o Axiomas
1 La
Geometriacutea
Eucliacutedes 330-275 1 Trazar una liacutenea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 2 Prolongar continuamente una recta finita en liacutenea recta 3 Describir un ciacuterculo con cualquier centro y distancia 4 El ser todos los aacutengulos rectos iguales entre siacute 5 Postulado de las Paralelas
2Hidrostaacute-
tica
Arquiacutemedes 287-212 1 El efecto que produce la presioacuten ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente 2 La presioacuten ejercida por un fluido sobre un cuerpo situado en eacutel estaacute dirigida
hacia arriba en la direccioacuten de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo
3 Mecaacutenica Newton 1665- 1666- 1686
1 Principio de Inercia Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectiliacuteneo
2 Principio de fuerza F=ma 3 Principio de Accioacuten y Reaccioacuten Con toda accioacuten ocurre siempre una reaccioacuten
igual y contraria
4 Ley de Gravitacioacuten 6 = 7 889
4 Quiacutemica
Atoacutemica
Dalton Thomson Rutherford Bohr Pauli
1803 1897 1938 1912 1924
1 Toda la materia se compone de aacutetomos Y estos a su vez en nuacutecleo y electrones
2 En cada oacuterbita soacutelo caben dos electrones que giran a la par (Principio de exclusioacuten)
3 Los aacutetomos se combinan entre siacute mediante distintos enlaces (Ioacutenico Covalente etc) para formar moleacuteculas
5Probabili-
dad
Laplace Kolmogorov
1812 1974
1 No negatividad La probabilidad de un evento o suceso siempre es mayor que cero
2 Certidumbre La probabilidad del suceso seguro S es la unidad 3 Aditividad Contable En una sucesioacuten numerable de sucesos mutuamente
excluyentes la probabilidad de su unioacuten es igual a la suma de las probabilidades individuales
6 Evolucioacuten Spencer Wallace Darwin
1852 1858 1859
Herencia de Caracteres y variabilidad y mutacioacuten de los mismos que hace que hijos de los mismos padres no sean ideacutenticos y de que por determinadas causas algunos muten Seleccioacuten natural supervivencia del mejor adaptado al medio
7Electro-
magnetismo
Oersted Faraday Maxwell Hertz
1820 1821-31 1873 1887
1 Ley de Gauss lt ∙ = gt 2 Ausencia de Carga magneacutetica lt ∙ = 0
3 Ley de Ampeacutere B C ∙ D = E FG + HI J
4 Ley de Faraday B lt ∙ D = KL
8Termodinaacute-
mica
Boltzmann Carnot Helmholtz Clausius Kelvin
1850 1850 1847 1829 1852
1 La energiacutea del mundo es constante 2 La entropiacutea del mundo tiende a un maacuteximo
9 Relatividad Einstein 1905 1915
1 Principio de Relatividad Si dos sistemas de coordenadas estaacuten en movimiento relativo de traslacioacuten paralela uniforme las leyes de acuerdo con las cuales cambian los estados de un sistema fiacutesico no dependen de con cuaacutel de los dos sistemas estaacuten relacionados dichos cambios
2 Principio de constancia de la velocidad de la luz Todo rayo luminoso se mueve en el sistema de coordenadas ldquode reposordquo con una velocidad fija independiente de si este rayo luminoso sea emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento
3 3 Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria mi = mg Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse por ecuaciones que sean vaacutelidas para todos los sistemas de coordenadas
10Meacutecanica
Cuaacutentica
Plank Einstein Bohr Schroumldinger Heisenberg Pauli
1900 1905 1907 1925 1926 1927
1 Principio Cuaacutentico La energiacutea no es continua sino que se presenta en paquetes discretos denominados cuantos verbigracia el fotoacuten o cuanto de luz La posibilidad de que un aacutetomo emita o absorba radiacioacuten estaacute condicionada por las posibles variaciones de energiacutea del aacutetomo de modo tal que la frecuencia de la radiacioacuten queda determinada por la diferencia de energiacutea entre los estados inicial y final seguacuten la relacioacuten formalEi-Ef = hv Es decir
2 Principio de la Complementariedad Las partiacuteculas subatoacutemicas tienen propiedades de partiacuteculas y ondas que obedecen a la ecuacioacuten de ondas de Schroumldinger que determina la probabilidad de que ciertos hechos ocurran El cuadrado del valor absoluto de la funcioacuten de onda de Schroumldinger mide la probabilidad de hallar una partiacutecula en un punto concreto de espacio y el tiempo
3 Principio de IndeterminacioacutenΔN ∙ ∆) ge ℏ ∆R∆S ge ℏ 4 Principio de Correspondencia
Tabla II5 Ejemplos de distintas teoriacuteas cientiacuteficas
58
in terms of a few terms and to logically derive many statements from a few statements Es
decir la misioacuten de una teoriacutea de acuerdo con el criterio de economiacutea de Mach consiste en
predecir los resultados del mayor nuacutemero de experimentos partiendo del menor nuacutemero de
hipoacutetesis Por supuesto no se plantea la verdad absoluta sino su operatividad y utilidad en un
campo de aplicacioacuten concreto Bohr fue un poco maacutes lejos y pensaba que la misioacuten de una
teoriacutea es posibilitar nuevas formulaciones
De hecho los progresos decisivos realizados en el campo de las investigaciones cientiacuteficas
conciernen al establecimiento de grandes concatenaciones entre hechos aislados su
generalizacioacuten en forma de leyes y finalmente el desarrollo de una teoriacutea Las ciencias
naturales que fueron hasta hace unos cincuenta antildeos recolectoras de datos hechos objetos y
fenoacutemenos a saber idiograacuteficas son actualmente en esencia ordenadoras o formuladoras de
leyes esto es nomoteacuteticas Es decir las ciencias en el mundo actual estudian el origen las
relaciones y el desarrollo de objetos y fenoacutemenos los procesos que le conciernen y la
concatenacioacuten que hacen de esos procesos naturales un gran todo
Las ciencias empiacuterico-formales conjugan ldquoprima facierdquo dos dimensiones la experimental o
empiacuterica y la teoacuterica o formal Pero al estudiar su gestacioacuten histoacuterica real se descubre en ellas
una tercera dimensioacuten temaacutetica constituida por presupuestos conceptuales o
ldquopreconcepcionesrdquo a la que se adhiere fielmente el cientiacutefico por maacutes que no siempre las
explicite en sus artiacuteculos En efecto todas las disciplinas cientiacuteficas tienen ricas y estrechas
conexiones entre sus ramas teoacuterica y experimental pues la teoriacutea guiacutea o debe guiar el
experimento en tanto que eacuteste enriquece a aquella Ademaacutes la teoriacutea proporciona un lenguaje
en el cual representar experimentalmente el conocimiento derivado de la propia teoriacutea y la
experimentacioacuten y en el cual se puede explorar las consecuencias loacutegicas de ese conocimiento
Las teoriacuteas como cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se puede hacer
predicaciones o dar explicaciones deben responder a los seis honrados servidores que
apuntaba Kipling (Kipling 1990) Quieacuten Queacute Coacutemo Doacutende Cuaacutendo Por y Para queacute Con todo
son soacutelo y con frecuencia deliberadamente aproximaciones que gradualmente por
refinamiento y reformulaciones sucesivas dan cuenta de la realidad puesto que al comienzo
de cualquier elaboracioacuten cientiacutefica no siempre es posible evitar conceptos no claros que soacutelo
adquiriraacuten la condicioacuten de conceptos o se desecharaacuten a medida en que se avance en el
trabajo de investigacioacuten De hecho el saber cientiacutefico no es y no puede ser otra cosa maacutes que
una pretensioacuten de conocimiento de lo que las cosas realmente son Por ello se halla
59
intriacutensecamente afectado de insuficiencia es por esencia perfectible y aunque su apariencia
inmediata sea la afirmacioacuten es en definitiva un conocimiento interrogativo una pregunta
taacutecita dirigida a la mente de quieacuten la ha formulado y a los pensadores posteriores a eacutel
Cuando se observa la historia de la ciencia se ve que lo que la hace avanzar es la
compaginacioacuten de teoriacutea y experimentacioacuten La primera para dirigir a la segunda y eacutesta para
validar o falsar la primera Como lo sentildealoacute Einstein en distintos lugares y diferentes momentos
aunque de formas similares las ciencias duras no proceden como deseariacutean los especialistas
por induccioacuten proveniente de la experiencia sino por deduccioacuten a partir de postulados
axiomas o principios que de estas formas se les denomina Asiacute en 1914 afirmaba El meacutetodo
del teoacuterico significa partir de la base de postulados generales o ldquoprincipiosrdquo para deducir de
ellos conclusiones O sea que el trabajo se divide en dos partes En primer lugar ha de descubrir
sus principios y despueacutes tendraacute que extraer sus conclusiones (hellip) La primera de estas tareas es
decir la de establecer los principios que deberaacuten servir como punto de partida de sus
deducciones tiene una naturaleza muy especial En este caso no existe un meacutetodo que pueda
aprenderse y aplicarse sistemaacuteticamente para llegar al objetivo previsto El cientiacutefico debe
extraer con habilidad esos principios de la naturaleza percibiendo a partir de amplios
conjuntos de hechos empiacutericos ciertos rasgos generales que le permitan una formulacioacuten
precisa Posteriormente en 1918 sentildealaba (Einstein 1946) La tarea fundamental de un fiacutesico
consiste en llegar hasta las leyes elementales y universales que permiten construir el cosmos
mediante pura deduccioacuten No hay un camino loacutegico hacia esas leyes soacutelo la intuicioacuten
fundamentada en una comprensioacuten de la experiencia puede conducirnos a ellashellip Finalmente
en su artiacuteculo Fiacutesica y Realidad (Einstein 1936) dijo (hellip) cuaacuten equivocados estaacuten aquellos
teoacutericos que creen que la teoriacutea surge de la experiencia por viacutea inductiva Aun el gran Newton
no pudo librarse de ese error (Hypotheses non fingo) Y maacutes adelante en dicho trabajo
continuaba No existe un meacutetodo inductivo que nos conduzca a los conceptos fundamentales
de la fiacutesica (hellip) El pensamiento loacutegico es necesariamente deductivo se basa en conceptos
hipoteacuteticos y en axiomas iquestCoacutemo seleccionar eacutestos con la esperanza de que se confirmen las
consecuencias que de ellos se derivan La situacioacuten maacutes satisfactoria es evidente se hallaraacute en
los casos en los que las nuevas hipoacutetesis fundamentales sean sugeridas por el propio mundo de
la experiencia Ejemplo de esto son La inexistencia del movimiento perpetuo El principio de
inercia de Galileo La constancia de la velocidad de la luz
Y seguiacutea Einstein Toda teoriacutea es especulativa Cuando los conceptos baacutesicos de una teoriacutea son
comparativamente ldquocercanos a la experienciardquo (hellip) su caraacutecter especulativo no es discernible
60
con tanta facilidadhellip Por otra parte se ha de conceder que una teoriacutea tiene una importante
ventaja si sus conceptos baacutesicos y sus hipoacutetesis fundamentales se hallan ldquocercanos a la
experienciardquo Una mayor confianza acorde a estas teoriacuteas estaacute justificada Existe menor riesgo
de coger por mal camino en particular porque exige menor cantidad de tiempo y de esfuerzo
rechazar esas teoriacuteas experimentalmente Sin embargo cada vez maacutes a medida que nuestros
conocimientos ganan profundidad debemos renunciar a esta ventaja en nuestra buacutesqueda de
simplicidad loacutegica y de uniformidad en los fundamentos de la teoriacuteahellip Eacutel termina diciendo que
cuando el procedimiento de derivar de las premisas de la teoriacutea unas conclusiones que puedan
ser confrontadas con los datos empiacutericos sea tan difiacutecil que durante un tiempo no sea posible
obtener esos resultados entonces a favor de esa teoriacutea cuentan su simplicidad loacutegica y su
ldquorigidezrdquo Rigidez en este caso significa que la teoriacutea puede ser verdadera o falsa pero no
modificable
Es decir para tratar con teoriacuteas se necesita por una parte la intuicioacuten para obtenerlas y por
otra parte de loacutegica para sacar consecuencias de ella Como lo sentildealoacute Henri Poincareacute
(Poincareacute 1964) La loacutegica y la intuicioacuten tienen cada una un papel necesario Ambas son
indispensables La loacutegica que puede por siacute misma dar la certeza es el instrumento de la
demostracioacuten la intuicioacuten es el instrumento de la invencioacuten El anaacutelisis puro pone a disposicioacuten
procedimientos de garantizada infalibilidad (hellip) pero quien decide cuaacutel elegir es la intuicioacuten
Unas paacuteginas antes sentildealaba que habiacutea muchas clases de intuicioacuten como sigue Tenemos
pues muchas clases de intuicioacuten primeramente la llamada a los sentidos y a la imaginacioacuten
despueacutes la generalizacioacuten por induccioacuten calcada por decirlo asiacute sobre procedimientos de las
ciencias experimentales tenemos por fin la intuicioacuten del nuacutemero plural (hellip)
Las teoriacuteas pues se construyen como conjeturas o suposiciones especulativas y provisionales
que el intelecto humano crea libremente en un intento de resolver los problemas con que
tropiezan las teoriacuteas anteriores y con el fin de proporcionar una explicacioacuten adecuada de
algunos aspectos del mundo o universo Ahora bien las teoriacuteas han de ser contrastadas
rigurosa e implacablemente mediante la observacioacuten y la experimentacioacuten
Se puede decir que los marcos y los modelos son teoriacuteas subespeciacuteficadas Es decir no se
pueden extraer de ellas predicciones comprobables hasta que se las suplemente con
proposiciones teoacutericas adicionales En este sentido los marcos y los modelos forman parte de
lo que Lakatos denominoacute el nuacutecleo (ldquocorerdquo) de una teoriacutea cientiacutefica comprobable soacutelo cuando
se le antildeade el ldquocinturoacuten perifeacutericordquo
61
Un marco es un conjunto de conceptos loacutegica o conceptualmente relacionados Un marco
caracteriacutestico distintivo contiene verbigracia en el caso de la teoriacutea de la gravitacioacuten mecaacutenica
de Newton conceptos tales como tiempo espacio movimiento distancia velocidad
aceleracioacuten masa y fuerza Unos son primitivos espacio tiempo otros derivados velocidad
aceleracioacuten fuerza etc La mayoriacutea de estos conceptos tambieacuten se encuentran en el marco de
la gravitacioacuten de Einstein para su teoriacutea de la Realtividad General pero se reemplaza fuerza
por campo movimiento absoluto por movimiento relativo y no interaccioacuten entre espacio y
tiempo con interaccioacuten entre ambos Un marco se convierte en una teoriacutea cuando es
suplementado con el establecimiento de leyes de modo que se puedan inferir predicciones a
partir de ellas En ausencia de leyes universales el contenido empiacuterico de un marco es la
pretensioacuten y o afirmacioacuten que el marco proporciona la mejor base para la construccioacuten de
una teoriacutea para el fenoacutemeno en cuestioacuten Aquiacute mejor es una cuestioacuten de correccioacuten de las
predicciones generalidad simplicidad etc
Por su parte un modelo es un objeto fiacutesico y abstracto una entidad alrededor de la cual se
pueden construir las leyes Ejemplos son los modelos geo y helioceacutentrico del sistema Solar el
de Rutherford o Bohr del aacutetomo etc Como los marcos los modelos tambieacuten estaacuten
subespeciacuteficados es decir necesitan ser suplementados con las afirmaciones de las leyes El
concepto de modelo es tan importante para la ciencia incluso para la vida cotidiana que sin eacutel
la vida no seriacutea como lo es
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL
DESARROLLO SOFTWARE
A la vista de los abismales resultados obtenidos al observar las evoluciones del hardware
exponencial frente al software en el mejor de los casos lineal No es aventurado sentildealar que
una de las causas tal vez la maacutes importante de este espectacular y diacutea a diacutea creciente
desfase es la carencia de una teoriacutea de soporte para las ingenieriacuteas subyacentes al desarrollo
del software Ingenieriacutea del Software y del Conocimiento Carl Sagan (Sagan 2005) expuso muy
bien esta situacioacuten en relacioacuten a la teoriacutea electromagneacutetica para lo cual dijo lo siguiente
Supongamos que por la gracia de Dios usted es Victoria la reina del Reino Unido de gran
Bretantildea e Irlanda defensora de la fe en la era maacutes proacutespera y triunfante del Imperio Britaacutenico
Sus dominios se extienden por todo el planeta El rojo britaacutenico jalona abundantemente los
mapas del mundo La maacutequina de vapor se perfecciona en Gran Bretantildea principalmente por
parte de ingenieros escoceses que proporcionan asesoriacutea teacutecnica en los ferrocarriles y barcos
62
de vapor que unen el imperio Supongamos que en el antildeo 1860 tiene una idea visionaria tan
atrevida que hasta el editor de Julio Verne la habriacutea rechazado Quiere una maacutequina que lleve
su voz y las imaacutegenes de la gloria del imperio a todas las casas del reino Maacutes todaviacutea quiere
que los sonidos e imaacutegenes no lleguen por conductos o por cables sino por el airehellip para que la
gente que trabaje en el campo pueda recibir este don de inspiracioacuten instantaacutenea creado para
promover la lealtad y la eacutetica del trabajo La Palabra de Dios tambieacuten se puede transmitir con
el mismo invento Sin duda se encontraraacuten otras aplicaciones socialmente deseables
Sagan continuacutea Asiacute con el apoyo del primer ministro convoca al gabinete al Estado Mayor y a
los principales cientiacuteficos e ingenieros del reino Les comunica que asignaraacute un milloacuten de libras
al proyecto mucho dinero en 1860 Si necesitan maacutes pueden pedirlo No le importa coacutemo lo
hagan soacutelo que lo consigan Ah por cierto se llamaraacute Proyecto Westminster Probablemente
surgiraacuten algunos inventos uacutetiles de una empresa asiacute Siempre ocurre cuando se gastan grandes
cantidades de dinero en tecnologiacutea Pero casi seguro que el Proyecto Westminster fracasaraacute
iquestPor queacute Porque todaviacutea no se ha creado la ciencia que lo fundamenta En 1860 existiacutea el
teleacutegrafo Era imaginable con un gasto enorme instalar aparatos de telegrafiacutea en todas las
casas para que todos pudieran enviar y recibir mensajes en coacutedigo Morse Pero eso no es lo que
habiacutea pedido la reina Ella pensaba en la radio y la televisioacuten pero eran inalcanzables En el
mundo real los conocimientos de fiacutesica necesarios para inventar la radio y la televisioacuten llegaron
de una direccioacuten que nadie podiacutea haber predicho
Dicho lo anterior queda claro cuaacutel es el problema abierto carencia de teoriacutea para soportar las
ingenieriacuteas implicadas en el desarrollo software que a lo maacutes que llegan es a ser una artesaniacutea
donde la habilidad del artesano es fundamental Sin embargo a lo que hay que llegar es a que
el desarrollo software deje de ser una artesaniacutea manufacturada y se convierta en una
ingenieriacutea ldquomentefacturadardquo incluso de forma industrial En consecuencia este trabajo se
dirige a proporcionar dicha teoriacutea Lo que ocuparaacute los dos capiacutetulos siguientes
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CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS
Por la relevancia de lo que se trataraacute en este capiacutetulo concerniente a por una parte la
posibilidad de crear una teoriacutea que soporte las ingenieriacuteas del software y del conocimiento
implicadas en el desarrollo del software ldquoGeneracioacutenrdquo de los nuacutemeros a partir de la ldquonadardquo
realizada por von Neumann y el teorema de Loumlwenheim-Skolem Y por otra a la factibilidad de
dicha teoriacutea probada por la ldquocurryficacioacutenrdquo es conveniente el introducir aquiacute ahora los
sistemas axiomaacuteticos
Los primeros estudios sistemaacuteticos de las formas de razonamiento vaacutelidos hay que ponerlos en
el haber de Aristoacuteteles El estagirita en efecto clasificoacute los silogismos despueacutes de postular que el
resto de demostraciones podiacutea reducirse a ellos Un silogismo consta de tres afirmaciones o
enunciados de los cuales las dos primeras unidas por un teacutermino medio son las premisas y la
uacuteltima la conclusioacuten donde ya no aparece el enlace entre las anteriores Las sentencias no
pueden ser arbitrarias sino (A) Afirmaciones universales del tipo ldquoTodo A es Brdquo (B) Negaciones
generales tales como ldquoNinguacuten A e Brdquo (C) Afirmaciones particulares verbigracia ldquoExiste un A
que es Brdquo (D) Negaciones concretas ldquoExiste un A que no es Brdquo Combinando estas cuatro
formas pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos de los cuales soacutelo catorce son correctos
Sobre la base de los ldquoAnaliacuteticos primerosrdquo y ldquoposterioresrdquo (Aristoacuteteles 1995) trabajaron los
escolaacutesticos durante la Edad Media con el propoacutesito de mostrar racionalmente la existencia de
Dios Entre todas estas muacuteltiples y variadas tentativas tal vez la maacutes famosa y ldquoprofundardquo sea la
del arzobispo y filoacutesofo de Canterbury San Anselmo conocida como el ldquoArgumento Ontoloacutegicordquo
que Goumldel estudioacute con profundidad en los uacuteltimos antildeos Anselmo consideraba que el ser
humano lleva dentro de siacute la idea de un ser superior tal que ninguacuten otro maacutes perfecto pueda ser
pensado Como quiera que un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el pintor
imaginoacute pero que nunca llegoacute a terminar razonaba si Dios existiese soacutelo en la inteligencia
cabriacutea pensar en un ser superior a eacutel ergo existe Sin embargo estas aportaciones medievales
no son relevantes para lo que aquiacute concierne pues la loacutegica que fundoacute Aristoacuteteles y
ldquodesarrollaronrdquo sus seguidores no era auacuten simboacutelica salvo por las variables A y B los silogismos
se exponiacutean completamente con palabras Fue mucho despueacutes George Boole (Boole 1847
1945) quien se dio cuenta por primera vez de la analogiacutea existente entre las operaciones
aritmeacuteticas de sumar y multiplicar y los conectores ldquoordquo e ldquoyrdquo e introdujo las constantes 0 y 1
64
para representar los dos valores de verdad posibles De este modo los cuatro modelos que habiacutea
descrito Aristoacuteteles quedaban matematizados en forma de ecuacioacuten Por ejemplo ldquoTodo X es Yrdquo
se escribiacutea x(1-y) = 0 donde al sustituir X por 1 se obtiene tambieacuten y = 1 En esta liacutenea de
encontrar un algebra para la loacutegica continuaron trabajando Augustus de Morgan Ernst Schroumlder
y Charles Pierce que introdujo los siacutembolos sum y prod antecedentes de los cuantificadores
En efecto Boole desde 1847 y partiendo del quehacer matemaacutetico habiacutea realizado la
construccioacuten de un aacutelgebra loacutegica esto es aplicar el aacutelgebra para fundamentar la loacutegica Para
ello partioacute de las nociones de clase elemento de clase y operaciones con clases El enfoque
estriba en que las leyes del pensamiento las leyes de la loacutegica deben ser del mismo tipo que las
leyes que gobiernan el algebra es decir la validez de los procesos del aacutelgebra no depende de la
interpretacioacuten de los signos sino de las leyes de combinacioacuten de los mismos Con estas ideas
Boole algebriza la loacutegica obteniendo un sistema algebraico que es en teacuterminos actuales un
retiacuteculo booleano Dicho retiacuteculo como algebra loacutegica o aacutelgebra simboacutelica presenta tal y como
se muestra en la Tabla III1 dos interpretaciones un algebra de clases y un algebra
proposicional
ALGEBRA DE BOOLE CAacuteLCULO DE PROPOSICIONES
χ (Conjunto Universo) V (Verdadero)
Oslash (Conjunto Vaciacuteo) F (Falso)
a b c hellip (Conjuntos Subconjuntos Elementos) p q r hellip (Proposiciones)
aχb (Reunioacuten TODO a Y TODO b) pωq (Disyuncioacuten o bien p solo o q solo o ambos son
verdaderos)
a1b (Interseccioacuten lo que a y b tienen en comuacuten) pϖq (Conjuncioacuten ambos p y q son verdaderos)
a=b (Identidad a y b son el mismo conjunto) p = q (Equivalencia si y soacutelo si p es verdadero q es
verdadero) a (Complementario Resto del conjunto Universo que
no es a) not p (Negacioacuten p es falso)
a0b (Inclusioacuten a es elemento de b) pεq (Implicacioacuten Si p es verdadero q es verdadero)
Tabla III1 Algebra de Clases ldquoversusrdquo Algebra Proposicional
Con Hilbert pasando por Frege Cantor y un largo etceacutetera se llegoacute a lo que hoy se conoce como
sistemas axiomaacuteticos deductivos o sistemas formales que son los soportes loacutegico-matemaacuteticos
de toda teoriacutea matemaacutetica o cientiacutefica Un sistema formal consta de los siguientes elementos
a) Alfabeto Un conjunto de signos o siacutembolos primitivos que determina el conjunto de cadenas
o secuencias finitas de siacutembolos con posibles repeticiones con ayuda de estos siacutembolos pueden
escribirse todas las proposiciones
b) Gramaacutetica que determina cual es la forma como debe combinarse los siacutembolos Es decir un
conjunto finito de reglas combinatorias que determinan bajo queacute condiciones se puede afirmar
65
que una cadena de siacutembolos primitivos es o no una foacutermula El conjunto de las foacutermulas recibe
el nombre de lenguaje formal del sistema
c) Reglas de Inferencia Es eacuteste un conjunto tambieacuten finito de reglas combinatorias que sirve
para producir deducciones formales es decir determina que secuencias de foacutermulas
constituyen una deduccioacuten en el sistema o sea las reglas inferenciales que permitan deducir los
teoremas a partir de los axiomas En otros teacuterminos los teoremas se obtienen al escribir todas
las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar cuaacuteles son
las concordes con las reglas de inferencia y por tanto vaacutelidas
d) Axiomas Conjunto de principios adoptados sin demostrar Son un conjunto finito de foacutermulas
sin variables libres o sentencias que se aceptan como verdaderas
Dicho lo anterior una sentencia se dice deducible si es la uacuteltima foacutermula que aparece en una
secuencia de foacutermulas que constituye una deduccioacuten El conjunto de sentencias deducibles
recibe el nombre de ldquoteoriacutea formalizadardquo
Dado un sistema formal S cuyos axiomas estaacuten dados por A si p es deducible en el sistema se
dice que p es una consecuencia sintaacutectica del sistema Por otra parte si p es una afirmacioacuten
verdadera en cualquiera de las interpretaciones posibles del sistema formal se diraacute entonces
que se trata de una consecuencia semaacutentica de A
Al principio de la discusioacuten con que abrioacute Boole ldquoEl Anaacutelisis Matemaacutetico de la Loacutegicardquo (Boole
1854) advirtioacute que los que estaacuten familiarizados con la presente condicioacuten de La Teoriacutea del
Algebra Simboacutelica son conscientes del hecho de que la validez de los procesos del Anaacutelisis
Matemaacutetico no depende de la lectura o interpretacioacuten de los signos en eacutel utilizados sino
solamente de las leyes que gobiernan los posibles modos de unioacuten de esos siacutembolos Cualquier
sistema de lectura interpretacioacuten es tan correcto como pueda serlo cualquier otro si bajo el
sistema en cuestioacuten todas las leyes de la teoriacutea se convierten en enunciados verdaderos que
versan sobre la materia con la cual esa interpretacioacuten las ha puesto en conexioacuten Asiacute un mismo
proceso de anaacutelisis matemaacutetico puede bajo una interpretacioacuten ser representativo de la
respuesta a una pregunta sobre las propiedades de los nuacutemeros bajo otra puede ser
representativo de una respuesta a una cuestioacuten de geometriacutea bajo una tercera puede significar
la respuesta a una cuestioacuten de fiacutesica y bajo una cuarta puede dar cuenta de una cuestioacuten
bioloacutegica etc Por ejemplo el algebra loacutegica de Boole es una uacutenica teoriacutea pero tal y como se
mostroacute en la tabla III1 hay cuando menos dos sistemas de lectura o interpretaciones de la
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misma a saber una que la pone en relacioacuten con clases y otra que la pone en relacioacuten con
enunciados Esto llevoacute a Alfred Tarski ha desarrollar los fundamentos de la semaacutentica de la
loacutegica o la ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo Desde su nacimiento la orientacioacuten sintaacutectica de la loacutegica primoacute
sobre las consideraciones semaacutenticas de la misma llegando a su cliacutemax con la escuela de Hilbert
cuyo trabajo se habiacutea centrado en las demostraciones de consistencia y en el estudio de los
caacutelculos deductivos en definitiva de lo que ha dado en denominarse ldquoteoriacutea de la
demostracioacutenrdquo Si para muestra basta un botoacuten ahiacute van dos Jacques Herbrand en su tesis
doctoral demostroacute que la deducibilidad en loacutegica de primer orden puede reducirse en un cierto
sentido a la proposicional maacutes un procedimiento de sustitucioacuten de teacuterminos Por su parte
Gerhard Gentzen estudiante de Hilbert ideoacute los caacutelculos de deduccioacuten natural y los caacutelculos de
secuentes Y dicho sea de paso ambos prometiacutean ser grandes figuras de la loacutegica matemaacutetica
carrera que frustroacute su prematura muerte Sin embargo las cosas cambiaron gracias a los
trabajos pioneros de Loumlwenheim y sobre todo Goumldel con su teorema de completud al
presuponer una semaacutentica una nocioacuten de interpretacioacuten Ahora bien ambos usaron nociones
semaacutenticas intuitivas y no eran suficientemente expliacutecitos respecto a los detalles Fue
justamente Tarski con sus dos artiacuteculos el de 1933 sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formales y el de 1936 (Tarski 1944) sobre el concepto de consecuencia loacutegica quien sentoacute las
bases de la semaacutentica de la loacutegica de primer orden y culminoacute el edificio de la loacutegica tal y como se
conoce actualmente con su ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo
La relacioacuten de consecuencia loacutegica o semaacutentica dada por Tarski es la que se da entre un
conjunto de enunciados y un enunciado cuando el uacuteltimo es verdadero en cualquier
interpretacioacuten del lenguaje que haga verdaderos simultaacuteneamente a los enunciados del
conjunto El lenguaje es un lenguaje de primer orden y no se admite que se interpreten
libremente los siacutembolos loacutegicos como los cuantificadores los conectores y el siacutembolo de
igualdad Interpretar significa entonces especificar una estructura apropiada al lenguaje que
constaraacute de un universo de discurso en el que tomaraacuten valores las variables y constaraacute ademaacutes
de correlatos en dicho universo para los distintos siacutembolos no loacutegicos objetos nombrados por
las constantes individuales relaciones correspondientes a los distintos siacutembolos predicativos
etc Cuando un enunciado o un conjunto de enunciados resultan ser verdaderos en una
estructura se dice que la estructura es un ldquomodelordquo del enunciado o del conjunto de
enunciados Con esta terminologiacutea un enunciado es consecuencia de un conjunto de enunciados
cuando cada modelo del conjunto es asiacute mismo un modelo del enunciado en cuestioacuten Esta
definicioacuten tienen precedentes en Bernard Bolzano y viene a sustituir a otras maacutes vagas que
estipulan que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusioacuten falsa Aquiacute el
67
problema estriba en el significado de la nocioacuten de posibilidad En la definicioacuten de Tarski la
dificultad se presenta en la nocioacuten de modelo iquestqueacute significa que un enunciado sea verdadero en
una estructura
El meacuterito de Tarski estaacute en haber proporcionado una definicioacuten impecable de la relacioacuten que se
da entre un enunciado y una estructura cuando el enunciado es verdadero en un estructura A la
vista de las numerosas paradojas asociadas a la nocioacuten de verdad y en general a los conceptos
semaacutenticos habiacutea razones poderosas para pensar que esa definicioacuten no se podriacutea dar Tarski era
consciente de ello y tratoacute de las paradojas y de su definicioacuten La idea baacutesica subyacente es la de
usar un procedimiento recursivo o inductivo para formalizar la idea de que un enunciado es
verdadero en una estructura cuando las cosas son en la estructura como el enunciado dice que
son el cual coincide con la nocioacuten de verdad de Aristoacuteteles ldquodecir lo que es que es y de lo que
no es que no esrdquo Tarski no obstante no se limitoacute uacutenicamente a proporcionar una definicioacuten
pues desarrolloacute asiacute mismo todos los aspectos baacutesicos de la semaacutentica creando con ello la teoriacutea
de modelos Con ella las cuestiones de axiomatizabilidad y de definibilidad empezaron a poder
ser tratadas con precisioacuten en el marco de una semaacutentica loacutegica precisa La dependencia del
caacutelculo para la presentacioacuten de la consecuencia loacutegica desaparecioacute Uno de los resultados
notorios de la teoriacutea de modelos es la eliminacioacuten de cuantificadores y la decidibilidad de la
teoriacutea del cuerpo ordenado real A diferencia de lo que ocurre con la aritmeacutetica existe un
algoritmo para decidir si un enunciado de primer orden en el lenguaje de la teoriacutea de cuerpos
ordenados es verdadero o falso en el cuerpo ordenado de los nuacutemeros reales
Ademaacutes se dice que una estructura U es un modelo de los axiomas cuando eacutestos son verdaderos
en ella verbigracia el trabajar con el algebra de los nuacutemeros reales un modelo son los propios
nuacutemeros reales aunque no el uacutenico Uno de los resultados maacutes profundos de Goumldel el
ldquoTeorema de Completudrdquo demuestra precisamente que las teoriacuteas inconsistentes no tienen
modelos o lo que es lo mismo no hablan de nada
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA
CASUALIDAD CAUSALIDAD O ldquoCAUSUALIDADrdquo
Desde que Galileo lo explicitoacute en su obra ldquoIl Saggiatorirdquo es decir El Ensayador todos los
cientiacuteficos aceptan como cuestioacuten de hecho la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre la naturaleza y
la matemaacutetica Sin embargo Galileo tuvo predecesores de su planteamiento y por supuesto
seguidores corroboradores del mismo En efecto Pitaacutegoras y sus seguidores los pitagoacutericos
68
consideraron como nuacutecleo de su dogma a los nuacutemeros naturales eacutestos constituiacutean la esencia
del Universo de todas las cosas y de cada una de ellas tanto en matemaacuteticas como en la fiacutesica
y en las ciencias experimentales y en la religioacuten El Cosmos se explicaba en teacuterminos de
ldquoarithmoacutesrdquo es decir era expresioacuten de propiedades matemaacuteticas de los nuacutemeros naturales y
sus razones
Para Pitaacutegoras ldquomathematardquo es lo que se aprende lo que se conoce Como ciencia teoacuterica es
un invento Pitogoacuterico Los miembros de su comunidad eran de dos tipos ldquomatemaacuteticos ldquo o
ldquoconocedoresrdquo y ldquoakusmaacuteticosrdquo o ldquoauditoresrdquo esto es ldquooyentesrdquo
Platoacuten epistemoloacutegicamente creiacutea en el conocimiento como reminiscencia es decir todo
conocer es recordar despertar aquello que estaacute en los seres humanos y que ya han visto en
otra vida previa Como los pitagoacutericos de quienes tomoacute muchas de sus ideas iquestplagio Platoacuten
en sus uacuteltimos diaacutelogos concretamente en el Filebo y Timeo (Platoacuten 1992) tiende a ligar
matemaacutetica y teologiacutea hasta el punto de entender que el intelecto divino estaacute
constantemente entregado a la geometriacutea la matemaacutetica de la eacutepoca y que el cuerpo y el
alma del universo estaacuten constituidos matemaacuteticamente Aristoacuteteles en su Metafiacutesica
(Aristoacuteteles 1994) dijo sobre los pitagoacutericos y los nuacutemeros lo siguiente [hellip]supusieron que las
cosas existentes son nuacutemeros pero no nuacutemeros que existen aparte sino que las cosas estaacuten
realmente compuestas de nuacutemeros es decir los elementos de los nuacutemeros son los elementos
de todos los seres existentes y la totalidad del cosmos es armoniacutea y nuacutemero [hellip] Es evidente
que los pitagoacutericos creen tambieacuten que el nuacutemero no soacutelo es el principio material de las cosas
sino tambieacuten el que constituye sus modificaciones y estados permanentes [hellip]Bacon al
respecto escribioacute en la parte 4 de su ldquoDistinctia Primardquo capiacutetulo 1 de su ldquoObra Magnardquo
(Bacon 1928) que la matemaacutetica es la llave y puerta de la ciencia en sus teacuterminos Et harum
scientarum porta et clavis est Mathematica De un modo similar Leonardo da Vinci deciacutea
ldquoNessuna humana investigazione si pio dimandara vera scienzia s`essa non passa por le
matematiche dimostrazionerdquo (Leonardo da Vinci 1452-1519)
Galileo sentildealoacute que los secretos de la naturaleza estaban escritos en el lenguaje de la
matemaacutetica resumido en italiano eacute scritto in lingua mathematica e i caratteri son triangoli
cerchi ed altre figure geometriche Dicho en sus teacuterminos La filosofiacutea estaacute escrita en este vasto
libro que continuamente se muestra a nuestros ojos (me refiero al Universo) el cual sin
embargo no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el
alfabeto en que estaacute escrito Y estaacute escrito en el lenguaje de las matemaacuteticas siendo sus
69
caracteres triaacutengulos ciacuterculos y otras figuras geomeacutetricas sin las cuales es imposible entender
una sola palabra sin ellos soacutelo se conseguiriacutea vagar por oscuros laberintos (Galilei 1623)
Y de la misma manera que tuvo predecesores Galileo tuvo en esta cuestioacuten seguidores El
padre de la teoriacutea electromagneacutetica James Clerk Maxwell (Maxwell 1862) en la Conferencia
Inaugural en el King`s College de Londres con la que tomoacute posesioacuten de su caacutetedra y publicada
poacutestumamente en 1979 (Domb 1979) fue el maacutes contundente al respecto cuando
lacoacutenicamente dijo ldquoNo podemos expresar hechos fiacutesicos salvo en forma matemaacuteticardquo Konrad
Knopp (1882-1957) en la leccioacuten inaugural del curso de la Universidad de Tuumlbingen en 1927
La matemaacutetica es la base de todo el conocimiento y el contenedor de toda la alta cultura
Einstein acerca de esta cuestioacuten sentildealoacute Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de
que la naturaleza es concrecioacuten de las ideas matemaacuteticas maacutes sencillas Sin embargo quien
mejor expresoacute esa adecuacioacuten fue el premio Nobel de Fiacutesica huacutengaro Jeacutenoacute Pagravel o en su
traduccioacuten al ingleacutes Eugene Paul Wigner (1902-1995) quien tanto hizo para formular la teoriacutea
matemaacutetica de la simetriacutea y aplicarla a problemas fiacutesicos Estas fueron sus palabras (Wigner
1960) El milagro de la idoneidad de la matemaacutetica para la formulacioacuten de las leyes fiacutesicas es
un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos Y en otro momento antildeadioacute El
lenguaje de las matemaacuteticas se revela formidablemente efectivo en las ciencias naturales [hellip]
Deberiacuteamos estar agradecidos por ello y esperamos que su validez no soacutelo persista en las
investigaciones futuras sino que se extienda para bien o para mal hasta nuestro ocio e
incluso tambieacuten a nuestro pesar acaso con amplias ramas del aprendizaje
Pues bien ldquohic et nuncrdquo esto es aquiacute y ahora se estaacute en condiciones de afirmar que dicha
idoneidad o armoniacutea preestablecida esa especie de casualidad y causalidad esto es
ldquocausualidadrdquo a partes iguales viene justificada por los hechos siguientes el Teorema de
Loumlwenheim-Skolem y la definicioacuten por von Neumann de los nuacutemeros naturales en teacuterminos
de conjuntos que se van a considerar a continuacioacuten Pero antes se estableceraacute la axiomaacutetica
de Zermelo y Fraenkel basada en la teoriacutea de Conjuntos de Cantor por ser importante para
entender la definicioacuten de von Neumann Adicionalmente como se explicitaraacute en los
resultados hay que modificar un conocido dicho de Leopoldo Kronecker
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL
En la teoriacutea de conjuntos de Cantor (Cantor 1883) es posible formar un conjunto a partir de una
propiedad determinada que deben cumplir sus elementos Es decir dada cualquier propiedad
existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifica P(a)
70
Formalmente dada T UexistV|X isin V| minus T(X)Z Asiacute por ejemplo representando lo anterior por
UX|R(X)Z considerando la foacutermula X = X se obtiene el conjunto 3 = UX|X = XZ A este
conjunto que claramente lo contiene todo no se le pueden aplicar algunos de los resultados de
Cantor ya que conducen a ciertas paradojas Consideacuterese ahora el conjunto X cuyos elementos
son aquellos conjuntos que no se pertenecen a siacute mismo Esto es el conjunto V = UX|X notin XZ
Eacuteste es tambieacuten un conjunto de ldquogran tamantildeordquo que da lugar a la paradoja de Russell siguiente Si
uno se pregunta iquestEs X un elemento de siacute mismo Pueden suceder dos casos Uno que lo sea
esto es si V isin V entonces X no satisface la condicioacuten V notin V lo que es una contradiccioacuten Dos
que no lo sea esto es V notin V entonces X satisface la condicioacuten para ser uno de sus elementos y
asiacute V isin V de nuevo una contradiccioacuten De este modo X no puede ser un elemento de siacute mismo
ni no serlo Russell y Whitehead (Whitehead 1910 1912 1913) desarrollaron la teoriacutea de tipos
para eliminar esta clase de paradojas pero a costa de una complicacioacuten tal que haciacutea muy escaso
su intereacutes
Fue Zermelo quien presentoacute una teoriacutea axiomaacutetica de conjuntos luego completada por Fraenkel
y Skolem mucho maacutes simple y comprehensiva a nivel loacutegico que lograba eliminar tanto la
paradoja de Russell como todas las demaacutes que surgiacutean tanto en el sistema de Cantor como en el
de Frege Los axiomas de la teoriacutea de Zermelo (Zermelo 1908) completada por Fraenkel
(Fraenkel 1922) son los siguientes
1) Extensionalidad forallX(X isin V harr X isin ]) rarr V = ] Es decir dos conjuntos X e Y son
ldquoigualesrdquo lo que se representa por x = y si y soacutelo siacute contienen los mismos elementos En
otros teacuterminos este axioma afirma que un conjunto estaacute determinado por su extensioacuten
esto es dando todos sus elementos
2) Conjunto vaciacuteo existemptyforallX(X isin empty) Esto es existe un conjunto representado por empty sin
elementos Y es uacutenico por el axioma de extensionalidad En efecto Si empty y emptyprime fueran dos
conjuntos vaciacuteos distintos entonces siempre verificariacutean X notin empty y X notin emptyprime para cualquier a
y por tanto tambieacuten X isin empty harr X isin emptyprime para todo a de modo que por el axioma anterior
empty = emptyprime 3) De pares forallV ]existforallX(X isin harr X = V or X = ]) O sea dados cualesquiera conjuntos X e
Y existe otro conjunto representado por U Z cuyos elementos son uacutenicamente X e Y El
conjunto U Z se denomina par desordenado de X e Y Si se aplica el conjunto de pares a
un solo conjunto X se obtiene el par U Z cuyo uacutenico elemento es obviamente x y por
ello puede representarse como U Z A este uacuteltimo conjunto puede aplicaacutersele de nuevo
el axioma de pares dando lugar al conjuntoaU Zb conjunto al cual puede asi mismo
71
aplicaacutersele el axioma de pares obtenieacutendose el conjunto caU Zbd y asiacute sucesivamente
Este proceso de construccioacuten de conjuntos que fue el que siguioacute von Neumann puede
aplicarse al uacutenico conjunto dado y conocido expliacutecitamente empty obtenieacutendose una serie
infinita de conjuntos empty UemptyZ aUemptyZb hellip
4) Unioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr exist( isin V and X isin )) En otros teacuterminos dada cualquier
coleccioacuten o conjunto de conjuntos C existe un conjunto representado por cup N y
denominado ldquounioacuten de Crdquo que contiene todos los elementos de cada conjunto de C
5) Conjunto Potencia forallVexist]forall( isin ] harr forallX(X isin rarr X isin V)) Lo que viene a decir es que
para cualquier conjunto X existe otro conjunto representado por f(V) y denominado
conjunto de las partes de X que contiene todos los subconjuntos de X
6) Esquema axiomaacutetico de especificacioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr X isin V and ((X)) En otras
palabras sea ((or) una foacutermula de un lenguaje de primer orden que contenga una
variable libre or Entonces para cualquier conjunto X existe un conjunto Y cuyos elementos
son aquellos elementos a de X que cumplen φ(a)
7) Esquema axiomaacutetico de reemplazo Este axioma debido a Fraenkel puede expresarse
como sigue Si forallVforall]forallexist or (V isinorand ((V ]) and (((V ) rarr ] = )) entonces existgforall](] ising harr existV(V isinorand ((V ]))) De otro modo si ( (a b) es una sentencia tal que para
cualquier elemento a de un conjunto X el conjunto Y es igual Uh|(((X h)Z y existe
entonces existe una funcioacuten i rarr tal que i(X) = Es decir si or es un conjunto y que
i es una foacutermula con dos variable libres X e Y tales que para cada V isinor existe un uacutenico Y
tal que i(V ]) se cumple entonces existe un conjunto W tal que ] isin g si y soacutelo si
i(V ])
8) Infinitud existV(empty isin V and forall(] isin V rarr ] cup U]Z isin V)) O sea existe un conjunto X tal que el
vaciacuteo empty isin V y tal que si ] isin V entonces ] cup U]Z isin V Este axioma introducido en 1908
por Zermelo permite la obtencioacuten de nuacutemeros naturales como conjuntos dentro de ZF
9) Regularidad o de fundacioacuten forallV(V ne empty rarr exist](] isin V and forall( isin ] rarr ] notin V))) Esto es
para todo conjunto no vaciacuteo X existe un conjunto ] isin V tal que V cap ] = empty Esta
formulacioacuten la dio Zermelo en 1930 Von Neumann en 1929 presentoacute un axioma
equivalente pero maacutes complicado Este axioma prohiacutebe la existencia de (a) Conjuntos
extrantildeos tales como los que cumplan V isin V o V isin ] andisin V (b) La existencia de cadenas
descendentes infinitas hellip isin V isin V isin V Si se excluye este axioma la teoriacutea de conjuntos
resultante recibe el nombre de ldquoTeoriacutea de Conjuntos no bien fundadosrdquo
72
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM
Teorema de Loumlwenheim-Skolem Como es maacutes que sabido la aritmeacutetica estaacute en la base de
toda la matemaacutetica maacutes auacuten de hecho el alcance de la aritmeacutetica va mucho maacutes allaacute de lo
que es la teoriacutea de nuacutemeros y el caacutelculo y sus proyecciones la estadiacutestica el caacutelculo de
variaciones la teoriacutea de grafos y autoacutematas el algebra etc En efecto seguacuten el extraordinario
pero en palabras de Atkins (Atkins 2003) ldquocapcioso teoremitardquo demostrado por primera vez
por el matemaacutetico alemaacuten Leopold Loumlwenheim (1878-1957) en 1915 (Loumlwenheim 1915) y
mejorado por el noruego Albert Thoraf Skolem (1887-1963) en 1920 (Skolem 1920) un
sistema de reglas como las de la aritmeacutetica emulan cualquier campo del conocimiento que
pueda formalizarse seguacuten un conjunto de axiomas Como lo sentildealoacute Atkins se podriacutea haber
aligerado el tedio de aprender a extraer raiacuteces cuadradas y hacer largas divisiones si nos
hubieran dicho en el colegio que seguacuten el ldquoteorema de Loumlwenheim-Skolemrdquo en realidad se
estaba imitando el proceso de extraer conclusiones de la mecaacutenica cuaacutentica la seleccioacuten
natural y la jurisprudencia en la medida en que estas ramas del conocimiento pueden
expresarse como axiomas Dicho teorema puede enunciarse como sigue
Teorema ldquoToda teoriacutea basada en un lenguaje L de primer orden tiene un modelo numerablerdquo
En otros teacuterminos ldquotoda la teoriacutea satisfacible es satisfacible en un universo numerablerdquo
Demostracioacuten
Como consecuencia inmediata del corolario que dice ldquotoda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una
teoriacutea θ es un modelo de θ y de ser numerable el conjunto T de los teacuterminosrdquo En efecto para
demostrar que toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ es un modelo de θ basta
considerar lo siguiente o isin p rArr o(or ( ) hellip or ( q) q) isin p por la regla loacutegica de
sustitucioacuten simultaacutenea r
r(st utfrasl hellipsw)uw) que a su vez se obtiene por aplicacioacuten reiterada de la
ldquoregla de sustitucioacutenrdquo oo(x ) cuya derivacioacuten es
1 α (Hipoacutetesis) 2 and r (Regla de Generalizacioacuten) (1) 3 ((ℸo )(x ) rarror ℸo) (Axioma 4 (o(x ) rarror r) 4 (ℸo(x ) rarr ℸ and o) (3) 5 (and o rarr o(x )) (Regla primera de contraposicioacuten) (4) 6 o(x ) (Regla de separacioacuten) (2) (5)
73
Y por el teorema que dice ldquoPara toda teoriacutea θ el conjunto Fθ con la relacioacuten ltn es un aacutelgebra
de Boole Una clase |o| es el elemento supremo si y soacutelo si αisin θrdquo
Demostracioacuten
Como faacutecilmente puede comprobarse
a) La relacioacuten ltn es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva esto es relacioacuten de orden
b) El par Fθ αθ es un retiacuteculo
c) El retiacuteculo tiene como elemento supremo la clase de todas las foacutermulas de θ y como
elemento iacutenfimo la clase de todas las foacutermulas refutables en θ
d) El retiacuteculo es distributivo
e) El retiacuteculo es complementario
Lo que rArr |o(or ( ) hellip or ( q) q| =n 1
ldquoInterpretacioacuten Canoacutenicardquo Teorema de Skolem
Definicioacuten Sea θ una teoriacutea nabla un Q-filtro en A(θ) y hnabla el homomorfismo engendrado por nabla
Entonces se denominaraacute interpretacioacuten canoacutenica de la teoriacutea θ a toda interpretacioacuten Gnablan en el
conjunto T definida por
A) Gnablan (f
~)(τ hellip τ~) = f~τ hellip τ~ forall f
~ ϵ Φ
B) Gnablan (P
~)(τ hellip τ~) = ℎnabla (P
~τ hellip τ~) forall P~ ϵ π
Teorema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ y toda foacutermula α con las
variables libres x1 hellip xn se verifica que onabla(or) = ℎnabla(|o(or ( ) hellip or ( q) q)|)
Demostracioacuten
Lema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan todo teacutermino τ y toda valoracioacuten v se verifica que
xnabla(or) = x(or ( ) hellip or ( q) q)
donde x1 hellip xn son todas las variables que aparecen en x
74
En efecto
Si τ=x entonces xnabla(or) =or ( ) = x(or ( ) )
Si τ = f~ τ hellip τ~ entonces xnabla
(or) = Gnablan(f
~)(xnabla(or) hellip x5nabla
(or) porque x() =
G(f~(τ(v) hellip τ~ (v)) τ = f
~τ τ hellip τ~ entonces τ(v) = I(f~)(τ(v) hellip τ~ (v))
= f~ x
(or) hellip x5nabla(or) y por la hipoacutetesis de induccioacuten
= f~ x(or ( ) hellip or ( q q) hellip xq(or ( ) hellip or ( q) q
= x(or ( ) hellip or ( q)| q| QED
Ahora soacutelo falta para completar la demostracioacuten definir lo que es un filtro
Definicioacuten Un subconjunto no vaciacuteo nabla de un algebra de Boole A es un filtro si para elementos
cualesquiera a b isin A se verifica que X cap h isin nablahArr (X isin nabla h isin nabla)
Sea ahora h la aplicacioacuten canoacutenica de A en |nabla (el conjunto cociente engendrado por la
relacioacuten de equivalencia sobre A sim) que hace corresponder a cada elemento su clase de
equivalencia entonces se puede establecer el siguiente
Teorema La aplicacioacuten h es un homomorfismo respecto a las operaciones cup cap minus rarr es
decir
a) ℎ( cup ) = ℎ( ) cup ℎ()
b) ℎ( cap ) = ℎ( ) cap ℎ()
c) ℎ( ) = ℎ( )
d) ℎ( ⟶ ) = ℎ( ) ⟶ ℎ()
Para todo elemento xisinA se verifica que ℎ( ) = |1| hArr isin nabla
Demostracioacuten
A) Es consecuencia inmediata de
75
o) |X| cup |h| = |X cup h|
) |X| cap |h| = |X| cap h = X cup h = |X cap h|
) |X| = |X|
) |X| ^ |h| = |X| cup |h| = |X cup h| = |X ^ h|
B) ℎ( ) = |1| hArr | | = |1| hArr ~1 1 cup isin nabla y x cup 1 isin nabla hArr isin nabla 1 isin
nablahArr isinnabla
Finalmente sentildealar que esta demostracioacuten es una presentacioacuten ldquopropiardquo Estaacute basada soacutelo en
cuatro axiomas y dos reglas provenientes de Church (Church 1956) y Shoenfield (Shoenfield
1967) La presentacioacuten es una simplificacioacuten del trabajo de Prida (Prida 1973) que a su vez
mejora la prueba sobresaliente por su sencillez de Rasiowa y Sikorski (Rasiowa 1950) Dicho
trabajo sobre todo evita en la artificiosidad de deducciones formales haciendo uso
sistemaacutetico del teorema de deduccioacuten para obtener reglas derivadas Y su esquema
metodoloacutegico analiacutetico y retroductivo esto es deductivo hacia atraacutes viene dado en la figura
III1
Figura III1 Esquema retroductivo de la demostracioacuten del teorema de Loumlwenheim-Skolen
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO
DEFINICIOacuteN DE NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN
Seguacuten Cantor (Cantor 2006) los ldquonuacutemeros ordinalesrdquo son los tipos de orden de los conjuntos
bien ordenados Se dice que un conjunto X dotado con una relacioacuten R (reflexiva antisimeacutetrica
76
y transitiva) es un ldquobuen ordenrdquo o que el conjunto X estaacute ldquobien ordenadordquo si todo
subconjunto no vaciacuteo sub V tiene un miacutenimo Es decir se dice que X es el miacutenimo de sub V si
X isin y X forall isin Esto implica que el orden es total ya que dados dos elementos distintos
x e y la existencia de un miacutenimo del conjunto xy fuerza que uno de ellos sea anterior al otro
y por lo tanto que esteacuten relacionados Los nuacutemeros ordinales estaacuten asociados precisamente a
los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados De igual manera que los cardinales lo
estaacuten a la relacioacuten de equipotencia de conjuntos
Ahora bien hay que tener en cuidado con la afirmacioacuten de Cantor porque la clase de los
conjuntos bien ordenados no es un conjunto tampoco lo es la de los que tienen el mismo tipo
que un conjunto bien ordenado fijado de antemano lo que dariacutea lugar a otra versioacuten de la
paradoja de Russell de seguir por ese camino Sin embargo John von Neumann tuvo la genial
idea de definir los ordinales escogiendo adecuadamente un elemento en cada clase de
equivalencia como sigue Un conjunto α es un ldquonuacutemero ordinalrdquo o simplemente un ldquoordinalrdquo
si tiene las propiedades siguientes
1) Si isin α entonces sub α
2) ( isin α ) and ( isin α ) rArr ( = ) or ( isin ) or ( isin )
3) Si empty ne sub α entonces existe isin tal que cap ne empty
Obseacutervese que si en (3) (α) se toma A= α entonces
( isin ) and ( cap ne empty) rArr = empty
Luego todo ordinal x distinto del vaciacuteo contiene al vaciacuteo como elemento Janos von
Neumann entonces un jovencito de veinte antildeos preparaba su muy innovadora tesis
conteniendo un nuevo sistema axiomaacutetico para la teoriacutea de conjuntos distinto del de Ernst
Zermelo antiguo ayudante de Max Planck en Berliacuten (Zermelo 1908) En 1923 la seccioacuten
cientiacutefico matemaacutetica de las ldquoActa Litterarum ac Scientiarumrdquo de la Universidad Regia de
Fracisco Joseacute en Hungriacutea publicaba en alemaacuten su artiacuteculo ldquoSobre la introduccioacuten de los
nuacutemeros transfinitosrdquo (von Neumann 1923) La novedad del trabajo de von Neumann fue
establecer un modo de incorporar la idea cantoriana de los nuacutemeros ordinales directamente
sobre la uacutenica base de los axiomas de la teoriacutea de conjuntos En dicho artiacuteculo presentaba la
cuestioacuten al margen de sistemas axiomaacuteticos desde un punto de vista ldquoingenuordquo Sin embargo
era muy consciente de que la importancia del asunto estribaba en su aplicabilidad a dichos
sistemas tanto al de Zermelo-Fraenkel como al original sistema nuevo en el que entonces
trabajaba iquestCuaacutel era la idea clave
77
Cantor en su momento habiacutea llamado la atencioacuten sobre el hecho de que si se toma el 0
como primer nuacutemero de la serie de los ordinales cada ordinal representa el ldquotipo de ordenrdquo
del conjunto de los ordinales que le preceden α es el ordinal de U lt oZ considerado en su
orden natural de magnitud Por ejemplo w+1 es el ordinal de 1 2 3 hellip w Por otra parte
Zermelo habiacutea identificado los nuacutemeros naturales con los conjuntos empty UemptyZ aUemptyZbhellip
Evidentemente con esto no quiere decirse que el nuacutemero 1 es ldquorealmenterdquo el conjunto empty
idea que soacutelo cabriacutea calificar de tonteriacutea Lo que ocurre es que la operacioacuten X ^ UXZ tiene las
propiedades de la funcioacuten sucesor y por consiguiente ldquopuederdquo a los efectos del trabajo
axiomaacutetico identificarse con la funcioacuten sucesor
Pues bien considerando las dos ideas la de Cantor y la de Zermelo conjuntamente surge la
ingeniosa idea de von Neumann En efecto partiendo del ordinal 0 identificando ldquoa la
Zermelordquo con empty y considerando porque asiacute se decide que cada ordinal es el conjunto de
todos los que le preceden uno se ve llevado a la sucesioacuten
0 = empty
1 = UemptyZ
2 = Uempty UemptyZZ
3 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ
helliphelliphelliphellip
w = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ
w+1 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ hellip w
helliphelliphelliphelliphellip
La pequentildea modificacioacuten de von Neumann tiene efectos muy deseables dentro del artificioso
orden axiomaacutetico de las cosas los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien
ordenados siendo su relacioacuten ordenada la simple pertenencia conjuntista ∊ y cada ordinal α
es a su vez un conjunto bien ordenado de tipo α o sea un representante de toda una clase
de conjuntos Conviene antildeadir aquiacute y resaltar que los ordinales de von Neumann habiacutean sido
prefigurados ya unos antildeos antes por el propio Zermelo en trabajos de alrededor de 1915 que
quedaron ineacuteditos y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirimanoff en 1917 (Mirimanoff
1917) (Mirimanoff 1917-1944) A partir de ahiacute lo que se tiene ya no son los viejos nuacutemeros
ordinales de Cantor que eacuteste insistiacutea en concebir como ldquoconceptosrdquo bajo los que ldquocaenrdquo los
distintos tipos de conjuntos bien ordenados Ante lo que se estaacute ahora es frente a los
ldquoordinalesrdquo de la teoriacutea de conjuntos axiomaacutetica a menudo denominados en su honor
ordinales de von Neumann Eacutestos no son otra cosa que conjuntos cuya existencia viene
78
garantizada en cada caso por los axiomas de la teoriacutea especialmente adecuados para
representar al concepto de Cantor por las razones acabadas de indicar
Todo lo anterior lo explicitoacute el propio von Neumann en una carta fechada en Budapest a 15
de agosto de 1923 en la que informaba a Zermelo de las ideas que estaba desarrollando para
su tesis Bueno para ser precisos para una de las dos tesis doctorales que presentariacutea en 1925
La otra en el campo de la ingenieriacutea quiacutemica en la que se habiacutea graduado En ella despueacutes de
exponer el objeto de su trabajo que se basa en los ldquofundamentos de la teoriacutea de conjuntosrdquo de
Zermelo y sentildealar los puntos en los que se separa de eacutel indica los puntos que resultan
ldquonuevosrdquo siguientes
1 La teoriacutea de los nuacutemeros ordinales (parte dos capiacutetulo dos)
He logrado establecer los nuacutemeros ordinales sobre la uacutenica base de los axiomas
de la teoriacutea de conjuntos La idea baacutesica es la siguiente Cada nuacutemero ordinal es
el conjunto de todos los precedentes De modo que (poniendo 0 para el
conjunto vaciacuteo)
0 = 0
1 = 0
2 = 0 0
3 = 0 0 0 0
helliphelliphelliphellip
W = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
W+1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
helliphelliphelliphelliphellip
(Para los nuacutemeros positivos finitos la regla dice pues x+1 = x+x) Esta teoriacutea
tiene sentido tambieacuten dentro de la ldquoteoriacutea de conjuntos ingenuardquo (Tratada
ingenuamente apareceraacute pronto en la revista de la Universidad de
Szegedin)[hellip]
Los otros dos puntos que aquiacute no se explican completan la misiva
Por otra parte es faacutecil demostrar usando el ldquoaxiomardquo de pares que si x es un ordinal entonces
el conjunto cup U Z es tambieacuten un ordinal que seraacute designado por x+1 Por ejemplo el ordinal
0 es simplemente el conjunto vaciacuteo Oslash
0 = Oslash
79
1 = Oslash = 0
2 = Oslash Oslash = 01
3= Oslash OslashOslash Oslash = 012
n+1 = 012hellipn
En otras palabras cada ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a eacutel Tambieacuten en el
caso no finito
w = ℕ
w+1 = ℕℕ = ww
w+2 = ℕℕ ℕℕ = w w+1 hellip
De este modo aparecen los nuacutemeros ordinales en su versioacuten ordinal 1 (uno) primero 2(dos)
segundo 11(once) undeacutecimo 1999 (mil novecientos noventa y nueve) mileacutesimo
noningenteacutesimo nonageacutesimononohellip Mencioacuten aparte merece el cero del que se carece de una
denominacioacuten propiamente ordinal Se suele empezar a contar a partir del uno pero en
matemaacuteticas y tambieacuten en la cronologiacutea como puso de evidencia la poleacutemica sobre el antildeo de
inicio del nuevo milenio a veces resulta conveniente empezar contando por el cero Entonces
el cardinal del conjunto hay que obtenerlo sumando uno al uacuteltimo ordinal adjudicado a sus
elementos Esta carencia de un teacutermino apropiado para designar al ordinal cero es comuacuten a la
mayoriacutea de todos los idiomas Hubo un torero Rafael Guerra ldquoGuerritardquo quien preguntado
por el escalafoacuten de su profesioacuten respondioacute ldquodempueacutes de miacute naide y dempueacutes de naide el
Fuentesrdquo ldquoNaiderdquo o quizaacutes mejor ldquonaiderordquo podriacutea muy bien designar el cero ordinal en
espantildeol de acuerdo con la propuesta de Antonio Coacuterdoba (Coacuterdoba 2006)
El concepto de nuacutemero es el maacutes baacutesico y fundamental en el mundo de las ciencias y en
particular en el de la matemaacutetica Sin embargo una respuesta satisfactoria a lo que es un
nuacutemero soacutelo se alcanzoacute en 1884 por el fundador de la loacutegica matemaacutetica Gottlob Frege (Frege
1884) Dicha respuesta permanecioacute incoacutegnita hasta que Bertrand Russell en su intento de
fundamentar toda la matemaacutetica en teacuterminos del concepto de conjunto redescubrioacute el
concepto de nuacutemero Pero fue como acaba de verse von Neuman (von Neumann 1923)
quien propuso la tal vez maacutes maravillosa y simple construccioacuten de toda la matemaacutetica y de
las ciencias la definicioacuten de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos iexcliexcliexcla partir del
conjunto vaciacuteo En efecto von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean
obtenerse a partir del conjunto vaciacuteo en notacioacuten conjuntista Oslash mediante operaciones
mentales como sigue
80
Oslash =
1 = Oslash =
2 = Oslash 1 =
3 = 0 1 2 =
4 = 0 1 2 =
hellip
Esta construccioacuten muestra ademaacutes por queacute verbigracia 1 es menor que 2 o en general
porque dados los nuacutemeros a y b o altb o blta Este esquema tiene otras muchas propiedades
Sin embargo el uacutenico defecto del esquema es que es un artificio de construccioacuten y no dice queacute
es un nuacutemero excepto en teacuterminos de la construccioacuten Por ejemplo o Oslash es el conjunto
vaciacuteo 1 el conjunto constando del conjunto vaciacuteo 2 es el conjunto cuyos elementos son el
conjunto vaciacuteo y el conjunto constando del conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente Esto lleva a
que para entender el esquema habriacutea que remitirse al concepto integrado en eacutel a saber la
teoriacutea de conceptos de Frege Y ello deberiacutea explicar por queacute von Neumann eligioacute el conjunto
vaciacuteo para representar el cero
Esta construccioacuten estaacutendar de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos es elegante y
potente En efecto para llevarla a cabo se comienza con el conjunto vaciacuteo Oslash y se define el
nuacutemero natural n para que sea la cardinalidad del conjunto Sn(Oslash) siendo S(a) la funcioacuten
sucesor definida por S(a) = acupa para cada conjunto a denotando el superiacutendice la
composicioacuten repetida Expliacutecitamente
1) 0 = S0(Oslash) = Oslash
2) 1 = S1(Oslash) = Oslash
3) 2 = S2(Oslash) = OslashOslash
4) 3 = S3(Oslash) = OslashOslashOslash Oslash
5) 4 = S4(Oslash) = OslashOslashOslash OslashOslashOslashOslashOslash
hellip
Esta construccioacuten es
a) Elegante pues soacutelo usa tres siacutembolos literales a saber Oslash y e incluso con la simbologiacutea
de von Neumann se reduciriacutean a dos los corchetes Es decir es de lo maacutes simple y en
consecuencia como es suficientemente expresiva es elegante
81
b) Potente pues soacutelo usa la recursioacuten simple S(a) = acupa para construir infinitos nuacutemeros
Haacutegase ahora una disgresioacuten filosoacutefica-metafiacutesica de la construccioacuten loacutegico matemaacutetica de von
Neumann De los tres elementos de la construccioacuten Oslash estaacute definitivamente conectado con la
vaciedad y la ldquonadardquo una caracteriacutestica muy baacutesica del Universo Los otros dos siacutembolos los
corchetes de apertura ldquoldquo y cierre ldquordquo estaacuten a su vez a fin de cuentas conectados con las
propiedades de consciencia separacioacuten y clase En un sentido el primer paso de la creacioacuten
es la consciencia o el ldquoreconocimiento de la vasta vaciedad del espaciordquo Tan pronto como
esto sucede la vaciedad se ldquoseparardquo en ldquoalgordquo lo que ha percibido la vaciedad y la propia
vaciedad Tan pronto como se tienen dos cosas se crea un liacutemite el tercer elemento La
secuencia es asiacute
1) Vaciacuteo = Oslash = 0
2) Dios ldquoYo me percato de que existe el vaciacuteordquo (Oslash = 1)
3) Dios ldquoPor lo tanto todo lo que existe por ahora es el ldquoVaciacuteo y Yordquo (Oslash Oslash = 2)
Noacutetese sin embargo que la cardinalidad del conjunto Oslash Oslash = 2 no estaacute incluida en el
Universo de Dios (2 notin U01Z) por consiguiente ello implica una ldquoexistenciardquo separada de la
de 0 y 1 Esta existenciaconsciencia que corresponde a percibir 2 como un todo o si se
quiere la consciencia de que El 2 es ldquoEl Primogeacutenitordquo A continuacioacuten El ldquoPrimogeacutenitordquo
similarmente reivindica lo siguiente ldquoTodo lo que existe hasta ahora es el Vaciacuteo Dios y Yo
(Oslash Oslash Oslash Oslash = 3) Pero de nuevo iexclla cardinalidad del uacuteltimo no estaacute incluido en el
Universo previo Y lo mismo sucede con cada nueva cardinalidad De este modo una vez que
Dios finaliza el paso 3 anterior se produce una explosioacuten o por mejor decir una reaccioacuten en
cadena de existencias la cual genera la primera jerarquiacutea infinita en la existencia el primer Big
Bang iexclLa creacioacuten de los nuacutemeros naturales iexcliexcliexcl Extraordinario iexcliexcliexcl Fabuloso iexcliexcliexcl
Tremendo
A su vez los nuacutemeros naturales se percatan de que su existencia implica la existencia de los
negativos De este modo se crean los enteros Eacutestos a su vez se dan cuenta de que su
existencia implica la existencia de los racionales y asiacute sucesivamente se van creando los
irracionales luego los reales a continuacioacuten los complejos los quaterniones ldquooctonionesrdquo
ldquosedenionesrdquo espacios vectoriales campos aacutelgebras variedades etc Es decir se establece la
existencia de las matemaacuteticas y su reino es sobre el que se asientan los demaacutes reinos El resto
es historia En resumen de esta manera la construccioacuten total estaacute asiacute en uacuteltima instancia
relacionada a tres nuacutemeros 0 1 2 y por lo tanto a la base 3 y el nuacutemero 3 Por consiguiente
estos tres nuacutemeros o si se quiere el 1 2 3 forman el ldquoarquetipordquo sobre el que se basa la
82
realidad Es decir si se denomina V al vaciacuteo D a Dios y P al ldquoPrimogeacutenitordquo la secuencia
anterior se representa graacuteficamente mediante la figura III2
Figura III2 Nacimiento Secuencial de Todo a partir de VD=S(V) P=S(D) 3=S(P) 4=S(3) hellip
En suma von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean ser obtenidos por
emergencia en ingleacutes ldquobootstrapped outrdquo a partir del conjunto vaciacuteo mediante operaciones
mentales como sigue La mente observa el conjunto vaciacuteo El acto de observacioacuten de la mente
provoca la aparicioacuten de otro conjunto el conjunto de los conjuntos vaciacuteos El conjunto de los
conjuntos vaciacuteos obviamente no es vaciacuteo porque contiene una ldquono cosardquo el conjunto vaciacuteo
De este modo la mente genera el nuacutemero 1 al producir un conjunto conteniendo el conjunto
vaciacuteo Del hecho de que soacutelo dos cifras basten para representar todos los nuacutemeros en el
sistema binario Leibniz pretendioacute deducir la existencia de Dios Parafraseando al Geacutenesis y a
propoacutesito del Sistema binario del que se autoproclamoacute autor escribioacute ldquoEx nihilo unum omnia
ducitrdquo (Como se comentaraacute en los resultados y es otra ldquoaportacioacutenrdquo de este trabajo Leibniz
ldquofusiloacuterdquo inmisericorde a un espantildeol Caramuel) A continuacioacuten la mente percibe el conjunto
vaciacuteo y al conjunto que contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute hay dos ldquono cosasrdquo Con ello la mente
genera el nuacutemero 2 a partir del vaciacuteo y asiacute sucesivamente Con lo que es posible establecer lo
siguiente
A) Los nuacutemeros tienen causas Son eacutestas los algoritmos que efectuacutean las operaciones
sobre los conjuntos
83
B) Los nuacutemeros tienen partes y aspectos El nuacutemero 1 se define como el conjunto que
contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente
C) Y en el anaacutelisis final el sistema de nuacutemeros enteros ha sido generado por el fuego de
la mente sobre el vaciacuteo en la completa ausencia de la necesidad de referirse a cualquier
cosa material o cosas que estaacuten siendo contadas
Los nuacutemeros no son fenoacutemenos fiacutesicos y no necesitan hacer referencia alguna a sistemas
fiacutesicos para su existencia Pero siacute son entidades inherentemente existentes de la realidad
platoacutenica Los nuacutemeros son manifestaciones dependientemente relacionadas con el trabajo de
la mente
La irrazonable efectividad de las matemaacuteticas en la ciencia y en la ingenieriacutea era algo
misterioso De acuerdo con la visioacuten fisicalista del mundo la mente incluyendo las mentes de
los matemaacuteticos es un epifenoacutemeno de la materia que ha evolucionado uacutenicamente para
asegurar la supervivencia del gen egoiacutesta que la codifica iquestPor queacute deberiacutea este fenoacutemeno de
ldquoalto nivelrdquo tener tal acceso iacutentimo a fenoacutemenos de ldquobajo nivelrdquo tal como la fiacutesica cuaacutentica
Despueacutes de todo los dos niveles estaacuten seguacuten cabe suponer separados por meros bien
entendidos en algunos casos capas explicativas tales como psicologiacutea evolutiva neurologiacutea
biologiacutea celular geneacutetica biologiacutea molecular o quiacutemica
Un aspecto interesante del fenoacutemeno de la emergencia son las diferentes y distintas
relaciones causales y organizativas que aparecen en los diferentes niveles de investigacioacuten
Por ejemplo la ecologiacutea emerge de la biologiacutea eacutesta lo hace de la quiacutemica que a su vez
emerge de la fiacutesica que emerge de la matemaacutetica quien por uacuteltimo emerge de la mente
contemplando el conjunto vaciacuteo Cada nivel de investigacioacuten tiene sus propias relaciones
explicatorias sin embargo si se comprueba cuidadosamente no se antildeade nada extra
procedente de la parte de los objetos Todo es algoriacutetmicamente comprensible sin resto no
hay ingredientes misteriosos antildeadidos cuando se progresa desde los niveles bajos a los maacutes
altos
Si a esto se antildeade que de acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem toda teoriacutea basada
en un lenguaje L esto es toda teoriacutea axiomaacutetica y las teoriacuteas cientiacuteficas lo son tiene un
modelo numerable ya estaacute justificada la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre matemaacutetica y teoriacuteas
cientiacuteficas QED
84
Como corolario a lo que acaba de mostrarse y demostrarse es claro que Leopoldo Kronecker
(1823-1891) teniacutea parte de razoacuten cuando expresando su conviccioacuten dijo en el libro 2 de
ldquoJahresberichte der Deutschen Mathematiker Vercinigungrdquo y cita Florian Cajori (Cajori 1919)
Die ganze zahe schuf der liebe Gott alles Uumlbrige ist Menschenwerk En espantildeol Dios creoacute los
nuacutemeros enteros la humanidad hizo el resto Sin embargo visto lo anterior Kronecker
empezoacute en el tercer escaloacuten saltaacutendose la creacioacuten de los enteros a partir de los naturales y
eacutestos a partir del vaciacuteo
Y de este modo por decirlo con versos del escritor gallego Joseacute Aacutengel Valente (Valente 1999)
Y todas las cosas para llegar a ser se miran
En el vaciacuteo espejo de su nada
O estos otros (Valente 2000)
ldquoDijo Dios sea la Nada
Y alzoacute su mano derecha
Hasta ocultar la mirada
Y la nada quedo hechardquo
El poeta y matemaacutetico persa Omar Khayyam de los siglos XI y XII que resolvioacute por meacutetodos
geomeacutetricos la ecuacioacuten cuacutebica en poesiacutea con sus ldquoRubaacuteijaacutetrdquo (plural de ldquorobaiacuterdquo estrofa de
cuatro versos dodecasiacutelabos en la que libra el tercero y riman los otros tres) tan socorridos
en otros aacutembitos tambieacuten habla del vaciacuteo y la nada como sucede con el XXVI que dice
(Khayyam 1914)
ldquoEl mundo inabarcable una mota de polvo en el vaciacuteo
Toda la ciencia del hombre palabras
Los pueblos las bestias y las flores de los siete climas sombras
El fruto de tu constante meditacioacuten la nadardquo
O el XXXVIII
ldquoSuentildeo sobre la tierra Suentildeo bajo la tierra
Sobre la tierra y bajo la tierra cuerpos que yacen
Por doquier la nada Desierto de la nada
Seres que llegan seres que se vanrdquo
O este otro el CIII
ldquoEsta es la uacutenica certeza peones somos
85
De la misteriosa partida de ajedrez que juega Dios
Nos mueve nos detiene nos levanta y nos arroja despueacutes
Uno a uno al abismo de la Nadardquo
De un modo similar se refiere a la proposicioacuten de Emily Dickinson en forma de versos
ldquoYo no soy nadie
iquestQuieacuten eres tuacute
iquestTampoco eres nadie
iexclYa somos dos
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN
III31 INTRODUCCIOacuteN
El teacutermino ldquocurryingrdquo fue acuntildeado por Christopher Strachey en 1967 en honor del loacutegico y
matemaacutetico Haskell Brooks Curry nacido el 12 de septiembre de 1900 en Millis Massachusets
y fallecido en State College Pensilvania el 1 de Septiembre de 1982 Curry que estudioacute en la
Universidad de Harvard recibioacute su grado de Doctor en 1930 por la Universidad Goumltingen en
esa eacutepoca el ldquoVaticanordquo de la Matemaacutetica y cuyo director fue el Papa de la Matemaacutetica David
Hilbert Profesor en Harvard y Princeton de 1929 a 1966 tambieacuten lo fue de la Pensilvania State
University Finalmente a partir de 1966 fue profesor de matemaacuteticas en la Universidad van
Amsterdam Curry en 1942 publicoacute la paradoja de su nombre y en 1963 culminoacute sus
ensentildeanzas en el aacuterea de la loacutegica matemaacutetica con la publicacioacuten de su libro ldquoFoundations of
Mathematical Logicrdquo (Curry 1963) Sus preferencias en filosofiacutea de la matemaacutetica fue el
formalismo (Curry 1951) siguiendo a su mentor Hilbert sin embargo sus escritos muestran
una curiosidad filosoacutefica sustancial y una mente muy abierta hacia el intuicionismo La fama le
sobrevino por sus trabajos sobre loacutegica combinatoria (Curry 1958) (Curry 1972) donde
fundamenta la programacioacuten funcional En efecto durante su estancia en Goumlttingen leyoacute la
versioacuten publicada de una leccioacuten dada por Moiseacutes Schoumlnfinkel en 1920 en la que introduciacutea la
loacutegica combinatoria lo que constituyoacute un acontecimiento decisivo para su carrera Despueacutes de
esto trabajoacute en su tesis doctoral sobre programacioacuten loacutegica tema que no abandonoacute en todo
el resto de su vida y del que llegoacute a ser el fundador y maacutes conspicuo representante Pues bien
la loacutegica combinatoria es la base de la programacioacuten funcional El poder y alcance de la loacutegica
combinatoria es bastante similar al del ldquolambda calculusrdquo o ldquoλ-caacutelculordquo de Alonzo Church
(Church 1936) aunque eacuteste uacuteltimo ha tenido maacutes predicamento durante las uacuteltimas deacutecadas
86
Con todo la importancia final de la ldquoloacutegica-combinatoriardquo tal y como lo muestra este trabajo
auacuten estaacute por dilucidar Una visioacuten comprehensiva sobre la misma la proporciona el libro a eacutel
dedicado que incluye un ensayo bibliograacutefico sobre Curry (Seldin 1980) Con todo Curry tuvo
antecesores Frege y Schoumlfinkel
Frege en 1893 observoacute por primera vez que bastaba restringir la atencioacuten a funciones de un
solo argumento Por ejemplo para cualquier funcioacuten de dos paraacutemetros f(xy) hay una funcioacuten
de un paraacutemetro facute tal que facute(x) es una funcioacuten que puede aplicarse a y para dar
(facute(x))(y)=f(xy) Esto se corresponde al bien conocido hecho de que los conjuntos ( times C rarrN) y ( rarr (C rarr N)) son isomorfos donde x representa el producto cartesiano y ldquorarrrdquo es el
espacio de la funcioacuten En otros teacuterminos dada una funcioacuten f del tipo i(V times ]) rarr entonces
ldquocurryficarlardquo la convierte en una funcioacuten ldquocurryrdquo (i) V rarr (] rarr ) Es decir ldquocurryrdquo (i)
toma un argumento de tipo X y devuelve una funcioacuten del tipo YrarrZ Intuitivamente
ldquocurryficarrdquo dice ldquoSi se fijan algunos argumentos se obtiene una funcioacuten de los restantes
argumentosrdquo Por ejemplo si la funcioacuten ldquodivrdquo representa la forma ldquocurryficadardquo de la
operacioacuten divisioacuten xy entonces div con el paraacutemetro x fijado en 1 es otra funcioacuten la misma
que la funcioacuten ldquoinvrdquo que devuelve el inverso multiplicativo de su argumento definida por
ldquoinv(y)=1yrdquo La motivacioacuten praacutectica para la ldquocurryficacioacutenrdquo es que muy frecuentemente las
funciones obtenidas por proporcionar algunos pero no todos los argumentos a una funcioacuten
ldquocurryficadardquo es muy uacutetil La operacioacuten inversa de la ldquocurryficacioacutenrdquo se denomina poco
imaginativamente ldquodescurryficacioacutenrdquo y funciona como sigue dada la funcioacuten
ldquocurryficarrdquo sect(X h) rarr umlcopy rarr (X rarr h rarr uml)
La inversa es
ldquodescurryficarrdquo (X rarr h rarr uml) rarr ((X h) rarr uml)
Aparentemente Frege no continuoacute su idea original Pues fue Schoumlfinkel quien la retomoacute junto
con el resultado de que todas las funciones que tienen que tratar con estructuras de
funciones es decir los funcionales pueden construirse con soacutelo dos ldquocombinadoresrdquo baacutesicos
denominado K y S
Moses Schoumlnfinkel cuyo nombre real en ruso con caracteres latinos es Moisei Isaievich
Sheinfinkel nacioacute el 4 de septiembre de 1889 en Ekatenoslav hoy Dnipropetrovsk Ucrania y
fallecioacute en la eacutepoca tenebrosa del estalinismo en Moscuacute el antildeo 1942 sin que pueda precisarse
87
el diacutea Este loacutegico y matemaacutetico judiacuteo-ldquosovieacuteticordquo esto uacuteltimo ldquomalgreacute luirdquo estudioacute
matemaacuteticas con Samule Osipovich Shatunovskii (1859-1929) quien trabajaba en geometriacutea y
fundamentos de las matemaacuteticas De 1914 a 1924 trabajoacute en la Universidad de Goumlttingen con
el grupo de David Hilbert Justamente alliacute y en una conferencia que impartioacute en 1920
Schoumlnfinkel inventoacute la loacutegica combinatoria posteriormente desarrollada y llevada a su maacuteximo
esplendor por Haskell Brooks Curry Heinrich Behman revisoacute el texto de esta conferencia y la
publicoacute en 1924 Eacutel tambieacuten introdujo la operacioacuten hoy denominada ldquocurryficacioacutenrdquo en honor
de Curry (Schoumlnfinkel 1924) Schoumlfinkell no escribioacute nada maacutes sobre loacutegica combinatoria de
modo que el total desarrollo subsiguiente fue trabajo de otros especialmente Curry De
hecho salvo un artiacuteculo publicado con un disciacutepulo y colaborador de Hilbert Paul Bernays en
1929 no volvioacute a publicar nada despueacutes de que Stalin hubiera consolidado su satrapiacutea en
1929
En suma que la ldquocurryficacioacutenrdquo fue inventada por Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Moiseacutes
Schoumlnfinkell y desarrollada por Haskell Brooks Curry por eso algunos proponen que se
denomine ldquoSchoumlfinkelisationrdquo en espantildeol ldquoSchoumlfinkelizacioacutenrdquo La ldquocurryficacioacutenrdquo es una
teacutecnica que transforma una funcioacuten que tiene muacuteltiples argumentos en una funcioacuten que tiene
un solo argumento Los otros ha sido especificados por el ldquocurryrdquo Es decir el ldquocurringrdquo tiene
su origen en el estudio matemaacutetico de funciones
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN
III321 Introduccioacuten
Un lenguaje de programacioacuten funcional como es el caso de Miranda una marca registrada de
Research Software Ltd estaacute ldquocurryficadordquo Esto significa que se construyen objetos evaluados
con funciones en ingleacutes ldquofunction-valued objetsrdquo por aplicar parcialmente funciones
existentes antes que por usar expliacutecitamente expresiones lambda De hecho Miranda fue
desarrollado en 1985 por David Turner en la Universidad de Kent Posteriormente
emprendioacute en 1987 el disentildeo de un nuevo lenguaje funcional que recibioacute el nombre de
Haskell en honor del inventor de la ldquocurryficacioacutenrdquo Haskell B Curry Su desarrollo fue colectivo
mediante un comiteacute creado al efecto con ocasioacuten del congreso internacional sobre ldquoFuntional
Programming and Computer Architecture celebrado en Portland Oregon en 1987 En este
lenguaje curryficado cuando se escribe una definicioacuten tal como i ordf = hellip se interpreta
exactamente como una funcioacuten de maacutes alto-orden de justo un argumento x El resultado de
aplicar f a un argumento A1 puede escribirse como i que es otra funcioacuten de nuevo de un
88
solo argumento en este caso y El resultado de aplicar esta funcioacuten a un ulterior argumento
A2 es auacuten otra funcioacuten esta vez de un uacutenico argumento z Es decir una aplicacioacuten completa
de f se escribe como ilaquo cuya lectura correcta es (((i))laquo) Esta idea de tratar
una funcioacuten de n argumentos como una concatenacioacuten de n funciones de argumento uacutenico
recibe el nombre de ldquocurryficacioacutenrdquo en honor del matemaacutetico que lo propuso en informaacutetica
Curry (Curry 1958) Ahora bien para llegar ahiacute Curry tuvo que recorrer un largo camino cuyos
hitos maacutes importantes en los que intervienen personajes como Galileo Newton
LeibnizBernouille Frege Casteluovo Kolmogorov Schoumlnfinkel etc que se van a considerar
aunque sinteacuteticamente a continuacioacuten
III322 El Concepto de Funcioacuten De Galileo a Frege
Como lo sentildealoacute Morris Kline (Kline 1992) del estudio del movimiento realizado por Galileo
(1564-1642) obtuvieron las matemaacuteticas un concepto fundamental que fue central en
praacutecticamente todo el trabajo de los dos siglos siguientes el concepto de funcioacuten o relacioacuten
entre variables En efecto dicha nocioacuten se encuentra casi a lo largo de todo su libro ldquoDos
Nuevas Cienciasrdquo con el que se fundoacute la mecaacutenica moderna (Galilei1636) Muchas de las
funciones introducidas a lo largo del siglo XVII fueron estudiadas en primer lugar como curvas
Asiacute sucedioacute en los casos de Evangelista Torricelli (1608-1647) y Giles Persone de Roberval
(1602-1675) Sin embargo la distincioacuten maacutes expliacutecita del concepto de funcioacuten en el siglo XVII
fue dada por James Gregory (1638-1675) en su obra ldquoVera Circuli et Hyperbolae Quadraturardquo
de 1667 Alliacute y entonces Gregory definioacute una funcioacuten como ldquouna cantidad que se obtiene de
otras cantidades mediante un sucesioacuten de operaciones algebraicas o mediante otra operacioacuten
imaginable Con esto se referiacutea de paso al liacutemite Newton (1642-1727) desde 1665 en
adelante utilizoacute el teacutermino ldquofluentrdquo esto es ldquofluyenterdquo para representar cualquier relacioacuten
entre variables (Newton 1736) Sin embargo fue Leibniz quien en un manuscrito de 1673
utilizoacute por primera vez el teacutermino ldquofuncioacutenrdquo en este caso para significar cualquier cantidad
que variacutea de un punto a otro de una curva verbigracia la longitud de la tangente o de la
ordenada La curva misma se deciacutea dada mediante una ecuacioacuten Leibniz tambieacuten introdujo los
teacuterminos ldquoconstanterdquo ldquovariablerdquo y ldquoparaacutemetrordquo este uacuteltimo empleado en conexioacuten con una
familia de curvas (Leibniz 1673) Antildeos despueacutes 1697 Jean Bernouille tratando con funciones
hablaba de una cantidad formada de cualquier manera posible con variables y constantes Con
ldquocualquier manerardquo queriacutea decir mediante expresiones algebraicas y transcendentes Para
dicha cantidad en 1698 adoptoacute la frase de Leibniz ldquofuncioacuten de xrdquo Posteriormente en 1714
en su ldquoHistoriardquo Leibniz utilizoacute el teacutermino funcioacuten para significar cantidades que dependen de
una variable
89
No obstante seguacuten un eminente geoacutemetra italiano del pasado siglo Guido Casteluovo en su
obra ldquoLe Origini del Calcolo Infinitesimale nellrrsquoera Modernardquo de 1938 ya en 1604 el tambieacuten
matemaacutetico italiano Luca Valerio ya habiacutea propuesto un concepto operativo de lo que habiacutea
de ser un funcioacuten Es decir noventa antildeos antes que Leibniz Valerio en un estudio sobre un
trabajo de Arquiacutemedes habiacutea introducido ldquode factordquo la nocioacuten de una clase bastante general
de funciones continuas i( ) en un intervalo cerrado y acotado 0lexle1 Valerio en sus propias
palabras postula que la funcioacuten sea monoacutetonamente creciente desde un valor positivo para
x = 0 hasta el valor 0 para x = 1 sin que haya que suponer nada maacutes
En lo concerniente a la notacioacuten decir que Jean Bernouille escribiacutea Χ o ξ para un funcioacuten
general de x aunque en 1718 cambioacute a ϕx A Leibniz esto le parecioacute bien pero tambieacuten
propuso x1 y x2 para funciones de x utilizando el superiacutendice cuando se tratara con varias
funciones de x La notacioacuten actual fue introducida por Leonhad Euler (1707-1783) en 1734
El concepto de funcioacuten y su uso se extendioacute a partir de Euler a todos los campos de la ciencia
sin embargo poco se aclaroacute respecto a su significado y consecuentemente sus definiciones
cuando se las examinaba con rigor no teniacutean mucho sentido pese a que pareciacutea tenerlo y
ademaacutes no concordaban con el modo en que se las utilizaba A la pregunta iquestqueacute es una
funcioacuten hasta la llegada de Frege la respuesta maacutes comuacuten era responder como el
matemaacutetico alemaacuten Ernst Czuber lo siguiente Si cada valor de la variable numeacuterica x que es
un elemento del dominio de x estaacute unida por alguna relacioacuten fija a un cierto nuacutemero y
entonces generalmente y al igual que x cae bajo la definicioacuten de una variable y se dice que
y es una funcioacuten de la variable numeacuterica x La relacioacuten entre x e y se expresa por una ecuacioacuten
que tiene la forma y=f(x) Esta respuesta fue pronto ldquomasacradardquo por Frege quien era incisivo
en sus ataques maacutexime cuando la posicioacuten atacada era indefendible Eacutestas fueron sus
palabras En seguida cabe reparar en el hecho de que un cierto nuacutemero es denominado y
mientras que por otra parte al ser una variable tendriacutea que ser un nuacutemero indeterminado
Por lo tanto y no es ni un nuacutemero determinado ni tampoco un nuacutemero indeterminado pero se
coloca erroacuteneamente al signo y en conexioacuten con una clase de nuacutemeros el dominio de la
variable y y luego se continuacutea hablando como si hubiera soacutelo un nuacutemero en dicha clase Seriacutea
maacutes simple y maacutes claro decir ldquoCon cada nuacutemero de un dominio-x hay alguna relacioacuten fija por
lo cual ese nuacutemero estaacute unido a otro nuacutemero no necesariamente diferente La clave de todos
estos nuacutemeros resultantes seraacute llamado el dominio-yrdquo Con esto tenemos ciertamente un
dominio-y pero no tenemos ninguacuten y del cual pueda decirse que era una funcioacuten de la variable
numeacuterica x
90
Ahora bien la limitacioacuten del rango no parece tener nada que ver con la cuestioacuten de saber queacute
sea la funcioacuten en siacute iquestPor queacute no tomar como dominio a la clase de todos los nuacutemeros de la
aritmeacutetica o a la clase de todos los nuacutemeros complejos de los cuales la primera clase es una
parte El punto esencial de la cuestioacuten se encuentra en un lugar completamente distinto que
queda oculto a la vista por las palabras ldquoUnido por alguna relacioacuten fijardquo iquestCuaacutel es la prueba de
que el nuacutemero 5 estaacute unido por alguna relacioacuten fija del nuacutemero 4 La cuestioacuten no puede ser
respondida si de alguacuten modo no se la completa Con la explicacioacuten del sentildeor Czuber parece
como si para cualesquiera dos nuacutemeros se retomase desde un principio la decisioacuten de que el
primero estaacute o no unido al segundo por esa relacioacuten Afortunadamente Czuber continuacutea ldquoMi
definicioacuten no establece ninguna afirmacioacuten sobre la ley que controla la unioacuten por esa relacioacuten
esta ley estaacute expresada en su forma maacutes general por la letra f pero no hay liacutemite en cuanto al
nuacutemero de modos diferentes en que tal ley puede ser fijadardquo La unioacuten mediante una relacioacuten
tiene pues lugar de acuerdo con alguna ley y es posible mediante el ejercicio del
pensamiento que sean producidas diferentes leyes de este tipo Pero ahora la frase ldquoy es una
funcioacuten de xrdquo no tiene sentido es necesario que se la complete mediante la adicioacuten de la ley Es
eacuteste un error de la definicioacuten Y sin la menor duda la ley que no estaacute tenida en cuenta es esa
definicioacuten es verdaderamente la cuestioacuten principal Vemos ahora que lo que es variable
cambiante se ha disipado por completo y en su lugar ha cobrado presencia lo general y esto
es lo que buscaba con la palabra ldquoleyrdquo
Y esto que dice Frege se ha convertido en norma de la actual concepcioacuten de la idea de funcioacuten
Dicho esto una funcioacuten f es una regla referente a dos clases X e Y recibiendo X el nombre de
clase definitoria de f e Y el dominio de F y siendo producto de la regla de una clase de
agrupamientos ordenados (xy) donde x a la que se denomina el ldquovalorrdquo de f para x es
aquella seleccioacuten tomada de entre los elementos de Y que se efectuacutea de acuerdo con la regla
la clase de todas las selecciones y de Y recibe el nombre de clase de valores de f Por ejemplo
si la clase definitoria de f es la clase X de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip el dominio de f es esa
misma clase y f es la regla Adjuacutentese a todo elemento x de x su doble 2x entonces la clase de
agrupamientos ordenados producidos por esta regla tiene como elementos a (12) (24)
(36)hellip de modo que la clase de valores de f tiene a 2 4 6 hellip por elementos y asiacute por poner
otro ejemplo la clase definitoria de f1 es la clase X de todos los nuacutemeros -1 -2 -3 hellip el
dominio de f1 es la clase de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip y f1es la regla Adjuacutentese a todo
elemento x de X su cuadrado x2 entonces la clase de agrupamientos ordenados producida por
esta regla tiene por elementos a (-11) (-24) (-39) hellip y la clave de valores de f1 tiene por
elementos a 1 4 9hellip
91
Por ejemplo la expresioacuten ldquo2x2+1rdquo representa una funcioacuten de x que tiene el valor 3 para el
argumento 1 9 para el argumento 2 y asiacute sucesivamente Pero Frege extendioacute este anaacutelisis a
otras funciones que tomaban como argumentos objetos que no eran nuacutemeros De este modo
la proposicioacuten ldquoJulio Ceacutesar conquistoacute la Galiardquo podriacutea descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y la
expresioacuten funcional ldquohellipconquistoacute la Galiardquo Esta uacuteltima expresioacuten es ldquoinsaturadardquo y cuando se
rellena con un argumento produce una expresioacuten con sentido completo que es su ldquovalorrdquo
Pero la oracioacuten anterior tambieacuten puede descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y ldquoLa Galiardquo por un
lado y la expresioacuten funcional de dos argumentos ldquohellipconquistoacutehelliprdquo Hay pues expresiones
funcionales que se completan o se saturan por ldquoun solo argumentordquo ldquopropiedadesrdquo y por
ldquomaacutes de un argumentordquo ldquorelacionesrdquo cuya estructura gramatical oculta esta importante
diferencia esencial para dar cuenta de algunas inferencias Frege aplicoacute este anaacutelisis tanto a
las conectivas proposicionales como a las expresiones de generalidad Por ejemplo
consideacuterese la proposicioacuten ldquoTodos los hombres son mortalesrdquo Frege no la contempla como un
compuesto de una expresioacuten de sujeto ldquoTodos los hombresrdquo y otra de predicado ldquoson
mortalesrdquo sino como una ldquoexpresioacuten funcional compleja de un lugarrdquo Si x es hombre (Hx)
entonces x es mortal (Mx) que ldquosaturardquo el cuantificador universal una ldquofuncioacuten de segundo
nivelrdquo que se representariacutea ahora como _x(Hx_Mx) Del mismo modo ldquoAlgunos fiacutesicos son
cuaacutenticosrdquo se analiza como la expresioacuten funcional compleja de un lugar ldquoNo es cierto que si x
es fiacutesico (Fx) entonces x es cuaacutentico (x)rdquo que satura maacutes una funcioacuten de segundo nivel esto es
x_(Fx_Cx) o lo que es lo mismo _x(Fx_Cx) Una vez liberado de la ldquotiraniacutea que el lenguaje
comuacuten ejerce sobre el pensamiento humanordquo Frege incrementoacute exponencialmente el ldquopoder
expresivordquo de la loacutegica y fue capaz de formalizar de manera sistemaacutetica las proposiciones
esenciales en matemaacutetica que incluyen cuantificacioacuten muacuteltiple
El proyecto de reducir la matemaacutetica a la loacutegica el logicismo presentaba dificultades
instrumentales formidables Por una parte el lenguaje de la silogiacutestica aristoteacutelica teniacutea
ldquolimitacionesrdquo aparentemente insalvables Por otra seguacuten Frege el lenguaje comuacuten no ofreciacutea
garantiacuteas de seguridad para su tarea las ambiguumledades equiacutevocos y vaguedades que lo
aquejaban ldquoenmascarabanrdquo el ldquocontenido conceptualrdquo es decir el soporte de las inferencias
de las oraciones Para eacutel la ldquoConceptografiacuteardquo es un instrumento semejante al microscopio
que permite desnudar las expresiones linguumliacutesticas dejando a la vista los ldquocontenidos
conceptualesrdquo Para explicar ese enmascaramiento usoacute un arma que resultoacute ser muy
fructiacutefera se trata de la idea de que no debe darse por supuesto que las distinciones
gramaticales son siempre pertinentes desde el punto de vista loacutegico Asiacute en vez de analizar las
92
proposiciones como compuestas de sujeto y predicado al modo de los gramaacuteticos o de los
loacutegicos aristoteacutelicos propuso descomponerlas en ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo
Sin embargo los fundamentos semaacutenticos de la ldquoConceptografiacuteardquo estaban aquejados de casi
los mismos defectos que Frege imputaba a los matemaacuteticos de su eacutepoca confusioacuten
conceptual Argumentos y funciones son considerados por Frege como expresiones
linguumliacutesticas y los valores de eacutestas se identificaban unas veces con oraciones y otras con su
contenido conceptual En ldquoFuncioacuten y Conceptordquo intentoacute atajar ese desorden separando
niacutetidamente los ldquosignosrdquo esto es las ldquoexpresiones de argumentosrdquo y las ldquoexpresiones
funcionalesrdquo y lo que esos signos ldquosignificanrdquo objetos y funciones A su vez el valor de la
funcioacuten ldquox conquistoacute la Galiardquo es tambieacuten un objeto si bien un ldquoobjeto loacutegicordquo lo Verdadero
para el argumento Julio Ceacutesar y lo Falso para el argumento Caliacutegula Un concepto pasa a ser
una funcioacuten cuyo valor es siempre un valor de verdad por ejemplo la funcioacuten ldquox conquistoacute la
Galiardquo es un concepto pero no lo es la funcioacuten ldquola capital de xrdquo y las oraciones se consideran
como ldquonombres propiosrdquo de objetos loacutegicos valores de verdad A su vez las ldquoconectivas
loacutegicasrdquo son tambieacuten funciones que ponen en correspondencia valores de verdad con valores
de verdad verbigracia la negacioacuten pone en correspondencia un valor de verdad con su
contrario Los ldquocuantificadoresrdquo son de nuevo funciones de segundo nivel que ponen en
correspondencia conceptos simples o complejos con valores de verdad asiacute ldquoTodo es
materialrdquo (_xMx) pone en correspondencia Mx con lo Verdadero si y soacutelo si Mx nombra lo
Verdadero para todo argumento y con lo Falso si eacuteste no es el caso
Frege en el campo de la loacutegica propiamente dicha generalizoacute el uso de variables
cuantificadores y funciones proposicionales y al proporcionar una fundamentacioacuten axiomaacutetica
de la loacutegica introdujo muchas distinciones que posteriormente adquirieron mucha
importancia Por ejemplo La distincioacuten entre el enunciado de una proposicioacuten y la afirmacioacuten
de que es verdadera La distincioacuten entre un objeto x y el conjunto que contiene al elemento x
solamente y entre la pertenencia a un conjunto y la inclusioacuten Ademaacutes utilizoacute variables y
funciones proposicionales indicando la cuantificacioacuten de sus funciones proposicionales es
decir el dominio de la variable o variables para la que son verdaderas Tambieacuten introdujo en
1879 el concepto de implicacioacuten material A implica B significa que o bien A es verdadera y B
es verdadera o A es falsa y B verdadera o A es falsa y B es falsa Esta interpretacioacuten de la
implicacioacuten es la conveniente para la loacutegica matemaacutetica El punto deacutebil del trabajo de Frege lo
puso en evidencia Russell cuando le sentildealoacute las paradojas de la teoriacutea de conjuntos en los que
se basaba su trabajo
93
Pero Frege fue mucho maacutes allaacute En efecto todos los que habiacutean contribuido a construir la
loacutegica simboacutelica hasta ese momento George Boole (1815-1864) Augusto De Morgan (1806-
1877) Charles Sanders Pierce (1839-1914) Ernst Schroeder (1841-1902) William Hamilton
(1788-1856) William Stanley Jevons (1835-1932) etc estaban interesados principalmente en
la matematizacioacuten de la loacutegica Con la aparicioacuten de Gottlob Frege (1848-1925) la loacutegica
matemaacutetica da un giro copeacuternicano y lo que se pretende es la ldquologizacioacutenrdquo de la matemaacutetica
o mejor auacuten la fundamentacioacuten de la aritmeacutetica y por extensioacuten toda la matemaacutetica en la
loacutegica Frege en 1879 publicoacute su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo (Frege 1879) un libro breve pero
enormenmente innovador donde introduce un lenguaje formal y un caacutelculo loacutegico Consciente
de que todos los conectores loacutegicos andor rArr hellip son expresables a partir del condicional y la
negacioacuten y de que la cuantificacioacuten existencial puede expresarse mediante negaciones y
cuantificacioacuten universal opta por un lenguaje generado por negacioacuten condicional y
cuantificacioacuten universal Frege ostenta la prioridad frente a la escuela algebrista de la
predicacioacuten muacuteltiple y de la cuantificacioacuten Incluso permite la cuantificacioacuten de propiedades y
relaciones de modo y manera que presenta lo que actualmente se denomina la loacutegica de
segundo orden Una desventaja de su lenguaje formal estriba en que es bidimensional la
notacioacuten elegida para representar el condicional exige escribir de izquierda a derecha y de
arriba abajo de forma que una foacutermula puede ocupar faacutecilmente toda una paacutegina La otra
gran novedad de la aportacioacuten de Frege es que no se limita a presentar un lenguaje en el que
representar premisas y conclusiones de razonamientos sino que ademaacutes formula
expliacutecitamente un caacutelculo es decir un sistema de axiomas y reglas de inferencia mediante el
cual el proceso que conduce de las premisas a la conclusioacuten se descompone en una serie de
pasos elementales de cuya legitimidad no se puede dudar Y aunque Frege no pudo
demostrarlo actualmente se sabe que este caacutelculo es completo en lo que respecta a la loacutegica
proposicional y a la loacutegica de primer orden esto es no es necesario antildeadir ninguna nueva
regla ni ninguacuten axioma nuevo para dar cuenta de todos los argumentos vaacutelidos que se pueden
representar en esos lenguajes
Como ya se ha dicho Frege hizo una analogiacutea entre su lenguaje formal y el microscopio
afirmando que ambos deben usarse uacutenicamente para el anaacutelisis de minuacutesculos detalles que
pasan desapercibidos a simple vista Y del mismo modo que el microscopio no sustituye al ojo
sino que lo complementa el lenguaje loacutegico formal no sustituye ni elimina el lenguaje en el
que habitualmente se formulan los razonamientos La necesidad de un anaacutelisis fino es para
Frege especialmente acuciante en lo que respecta al lenguaje matemaacutetico La obra de Frege
se enmarca en la problemaacutetica de la fundamentacioacuten de la matemaacutetica y a este asunto dedicoacute
94
dos libros y otros trabajos Los libros son ldquoLos Fundamentos de la Aritmeacuteticardquo (Frege 1884) y
ldquoLas Leyes Fundamentales de la Aritmeacuteticardquo en dos voluacutemenes (Frege 1893) (Frege 1903) El
paso siguiente se centra en la definicioacuten de un nuacutemero cardinal que plasma en su trabajo de
1884 titulado ldquoFundamentos de la Aritmeacutetica un Ensayo Loacutegico-Matemaacutetico del Concepto de
Nuacutemerordquo Y por uacuteltimo coronando su labor los dos voluacutemenes de 1893 y 1903 de ldquoLas Leyes
Fiacutesicas de la Aritmeacuteticardquo Y en medio y al final ensayos de precisioacuten como ldquoFuncioacuten y
Conceptordquo ldquoSobre Sentido y Referenciardquo ldquoSobre Concepto y Objetordquo ldquoiquestQueacute es una funcioacutenrdquo
ldquoSobre la Loacutegica Matemaacuteticardquo ldquoInvestigaciones Loacutegicasrdquo en varias entregas Ensayos que
suelen reunirse bajo la etiqueta de ldquoescritos filosoacuteficos o loacutegico-semaacutenticosrdquo (Frege 1974) Es
ahora donde desarrolla sus maacutes importantes y famosas ideas loacutegico-filosoacuteficas y semaacutenticas
(Frege 1892) Frege es un logicista y como tal pretende reducir la matemaacutetica a la loacutegica De
hecho el proceso de fundamentacioacuten de la matemaacutetica ya estaba bastante avanzado La
geometriacutea se reduciacutea al anaacutelisis y eacuteste tras las sucesivas construcciones de los nuacutemeros
complejos a partir de los reales eacutestos de los racionales que a su vez se obteniacutean de los
enteros los cuales finalmente procediacutean de los naturales por su parte se reduciacutea a la
aritmeacutetica Finalmente quedaba pendiente a partir de que Richard Dedekind y Giuseppe
Peano habiacutean aislado los principios que axiomatizaban la aritmeacutetica la justificacioacuten de esos
principios a partir de leyes loacutegicas Para ello necesitaban el lenguaje y el caacutelculo presentados
en la ldquoConceptografiacuteardquo
Admitiendo a partir de 1872 que todos los conceptos de la matemaacutetica pueden reducirse a
los de la aritmeacutetica y los de eacutesta a los nuacutemeros naturales Frege adoptoacute sobre siacute la tarea de
derivar estos uacuteltimos por medios estrictamente loacutegicos Con ello lograriacutea establecer que toda
la matemaacutetica es reducible a la loacutegica Para lo cual se propone dos objetivos
1) Precisar que entiende por loacutegica y enumerar los conceptos loacutegicos con los que definir los
auteacutenticos
2) Demostrar que los teoremas aritmeacuteticos son derivables de los principios loacutegicos
mediante el uacutenico proceso vaacutelido la deduccioacuten Esto obliga a especificar cuaacuteles son los
primeros principios loacutegicos y cuaacuteles son las reglas de inferencia
A la vista de estos objetivos Frege daraacute un primer paso construir una loacutegica que le sea vaacutelida
para su propoacutesito una loacutegica del pensamiento puro alejada de la influencia de la gramaacutetica y
del lenguaje habitual Este primer paso es el que se contiene en su obra ldquoConceptografiacutea un
lenguaje de Foacutermulas para el Pensamiento Puro Modelado en el Lenguaje de la Aritmeacuteticardquo Es
eacuteste el primer tratado sistemaacutetico de la loacutegica matemaacutetica No es ni pretende ser un mero
95
simbolismo del lenguaje ordinario o un caacutelculo sino como dice su tiacutetulo una conceptografiacutea
que permite la traduccioacuten a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos
simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especiacuteficas Es un simbolismo apto
para expresar el pensamiento puro Sentildeala Frege en el prefacio de su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo
que existen dos tipos de juicios los analiacuteticos y los sinteacuteticos Hasta aquiacute ldquoInmanuel Kant dixitrdquo
Pero Frege estima frente a Kant que los aritmeacuteticos son juicios analiacuteticos entendiendo por
tales los que pueden derivarse en forma estrictamente loacutegica de las definiciones No se tiene
en cuenta aquiacute el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad Explica a continuacioacuten que
la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesioacuten al de
consecuencia loacutegica para proceder a partir de ahiacute al concepto de nuacutemero Para realizar esta
tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado y no soacutelo para esta labor Por eso una
actividad importante es la de liberar el espiacuteritu humano de los errores que en cuanto al
concepto presenta el lenguaje ordinario En particular debe eliminarse la confusa
terminologiacutea entre ldquosujetordquo y ldquopredicadordquo en beneficio de ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo Y esto es
transcendental para esta tesis
Para conseguir sus fines dedicoacute su atencioacuten y esfuerzo a construir un lenguaje de foacutermulas a
semejanza del aritmeacutetico pero que permitiera un anaacutelisis loacutegico del razonamiento
matemaacutetico del pensamiento puro Maacutes auacuten aplicado en particular en su obra a la aritmeacutetica
es posible generalizarlo tanto a la geometriacutea como a la fiacutesica y en general a cualquier ciencia
La ldquoConceptografiacuteahelliprdquo debe permitir pues por un lado el que sea un caacutelculo loacutegico al estilo
del ldquoCaacutelculo Ratiotinadorrdquo maacutes auacuten una ldquoLingua Characteristicardquo preconizada por Leibniz
pero tambieacuten que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que el signo es
inseparable pero consecuente al contenido que representa Para Frege y esto hay que
subrayarlo lo primero es el concepto lo segundo el signo con el cual se representa ese
concepto Para Frege el hombre no crea los conceptos los aprende el hombre no crea
sistemas matemaacuteticos sino que eacutestos preexisten conceptualmente al mismo Es decir los
contenidos conceptuales puros son independientes a que el hombre los perciba imagine o
piense En loacutegica y matemaacuteticas lo que importa es el pensamiento puro no la geacutenesis del
mismo
Para la presentacioacuten de su sistema Frege eligioacute tal y como se muestra en la figura III3 un
total de nueve axiomas que junto a las cuatro reglas implican que dicho sistema de axiomas
es completo en el sentido de completud de sistemas formales posterior para la loacutegica de
predicados La eleccioacuten estaacute presidida por el uso de cada una de las cuatro primitivas loacutegicas
96
Figura III3 Sistema de Frege
Como se ve en la figura III3 en el apartado (α) se dan los axiomas que Frege establece con
su numeracioacuten a la derecha simbolizados en notacioacuten no fregeana a la izquierda Junto a las
reglas de separacioacuten o ldquoModus Ponensrdquo y la sustitucioacuten estos axiomas constituyen un sistema
completo para el caacutelculo proposicional En (β) se dan los axiomas de identidad y en (γ) el de
cuantificacioacuten
Frege para poder establecer la nueva constante loacutegica de generalidad la cuantificacioacuten pasa
a elaborar lo que considera uno de los hallazgos fundamentales el de funcioacuten concepto que
adopta del quehacer matemaacutetico asiacute como la notacioacuten empleada pero que estima de un
caraacutecter maacutes general Frege no analiza una proposicioacuten en teacuterminos de sujeto y predicado
sino en argumento y funcioacuten Sea verbigracia una expresioacuten como ldquoPepe come hierbardquo Si en
lugar de ldquoPeperdquo se pone ldquoPacordquo la expresioacuten seguiraacute siendo vaacutelida Se puede pues
97
reemplazar el teacutermino ldquoPeperdquo por otros teacuterminos o con generalidad por un lugar vaciacuteo ldquo( )
como hierbardquo y ello de tal manera que al cubrir ese espacio vaciacuteo por un teacutermino conveniente
se tenga la expresioacuten completa que podraacute o no ser judicable Y lo seraacute cuando el teacutermino sea
conveniente en cuyo caso dicho teacutermino poseeraacute la propiedad de comer hierba Todos
aquellos teacuterminos que permitan cubrir el espacio vaciacuteo constituiraacuten ldquoargumentosrdquo mientras
que la propiedad que los mismos poseen la de ldquocomer hierbardquo constituye la ldquofuncioacutenrdquo para
tales argumentos Si ahora se toma la expresioacuten ldquoPepe ama a Mariacuteardquo en lugar de ldquoPeperdquo y
ldquoMariacuteardquo pueden colocarse otros teacuterminos por argumentos por lo que la expresioacuten general
tendriacutea dos espacios vaciacuteos ldquo( ) ama a ( )rdquo y la funcioacuten ldquoama ardquo seraacute una funcioacuten de dos
argumentos como ldquo( ) es menor que ( )rdquo El proceso puede continuar generalizaacutendose para
obtener funciones pluriargumentales Los espacios vaciacuteos se representan por letras entre
pareacutentesis como indeterminadas mientras que la propia funcioacuten por la letra ϕ Por ejemplo
ϕ(A) para la funcioacuten de un argumento y ϕ(AB) para la de dos Si al reemplazar
ldquoconvenientementerdquo la(s) letra(s) entre pareacutentesis resulta que el contenido obtenido es capaz
de convertirse en un juicio o asercioacuten entonces es que el argumento satisface la funcioacuten esto
es posee la propiedad determinada por la misma Asiacute ldquo⊢ϕ(AB)rdquo puede leerse como ldquoB estaacute
en la relacioacuten ϕ con Ardquo Si en una funcioacuten de dos argumentos se intercambian entre siacute puede
no tenerse una asercioacuten y de tenerse puede no coincidir con el original
Figura III4 Primeras siete foacutermulas demostradas por Frege en su Conceptografiacutea
98
Frege consideroacute tal y como se muestra en la figura III4 cuatro reglas la expliacutecita del ldquomodus
ponensrdquo y la impliacutecita de ldquosustitucioacutenrdquo simultaacutenea de variables proposicionales Y otras dos
para el caacutelculo de predicados La tercera es el paso de la expresioacuten de la generalidad sin
cuantificar a la expresioacuten en cuantificador es la que hoy se denomina ldquoregla de
generalizacioacutenrdquo La cuarta regla la enuncioacute Frege como sigue ldquoEs claro tambieacuten que del
esquema de la figura III5 puede derivarse el esquema de la figura III6
Figura III5 Esquema inicial de la cuarta regla de Frege
Figura III6 Esquema final de la cuarta regla de Frege
Si A es una expresioacuten en la que no ocurre y si A ocupa uacutenicamente posiciones en los lugares
de argumento ϕrdquo Salvo el ldquomodus ponensrdquo las otras tres reglas no estaacuten establecidas como
modos de inferencia pero las mismas se justifican por medio exclusivo en cuanto al uso
simboacutelico Estas reglas unidas a los seis axiomas tres es decir el (1) (2) y (8) para la
condicionalidad a los que hay que antildeadir la negacioacuten (28) y los que regulan ambos
conectivos dados por (31) y (41) regulan el caacutelculo proposicional Si a eacutestas se antildeaden dos
leyes maacutes para la identidad de contenido (52) y (54) siendo esta uacuteltima la ley reflexiva de
identidad mientras que la anterior expresa la ley de sustitucioacuten de la identidad Es una
expresioacuten que manifiesta el caraacutecter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se
pueden reemplazar dos variables de individuo entre siacute en cualquier contexto sin variar el valor
veritativo de las expresiones en que se intercambian Es decir todo lo que se predique de un
siacutembolo de un argumento tiene que predicarse del siacutembolo del argumento al que sea
ideacutentico Por uacuteltimo Frege agregoacute una foacutermula para regular la cuantificacioacuten que constituye su
foacutermula (58) De esta forma se permite excindir su sistema de varias capas que van
superponieacutendose caacutelculo implicacional y afirmativo caacutelculo proposicional caacutelculo de
predicados y loacutegica de primer orden Este sistema es completo pero como lo demostroacute
Lukasiewiz en 1930 la tercera ley de condicionalidad es consecuencia de las dos primeras Por
tanto el sistema proposicional puede reducirse a soacutelo tres axiomas siendo los dos primeros
99
los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma ⊢(ararrb)rarr(-brarr-a) escrito claro estaacute
en notacioacuten moderna
III333 Los Programas como Funciones
Los programas e incluso las partes de los programas son funciones que transforman las
entradas en salidas de modo que cualquier programa puede considerarse como una funcioacuten
definida por el procedimiento que la ejecuta Por lo tanto los programas son funciones que
afectan al estado del sistema Y esto se produce por la sencilla razoacuten de que las sentencias
ejecutables operan sobre las variables y de esta manera cambian el estado En general toda
sentencia ejecutable cambia el estado inicial de la sentencia esto es el estado anterior a su
ejecucioacuten hasta otro estado el siguiente Cuando este siguiente estado es el mismo que el
anterior la sentencia no tiene efecto y es redundante Naturalmente los ldquosegmentos de
coacutedigordquo de un programa o sea cualquier sentencia o grupo de sentencias que afecten al
estado expresan ldquofunciones parcialesrdquo en el sentido de que para cada estado inicial existe
como maacuteximo un estado final No todos los estados iniciales pueden ser manipulados por
todos los segmentos de coacutedigo Por ejemplo la sentencia 1x no puede tratarse si x=0 Sin
embargo si el estado inicial puede ser tratado por el segmento de coacutedigo y si el segmento de
coacutedigo no tropieza con un bucle infinito entonces el estado inicial es determinista Si hay dos
segmentos de coacutedigo A y B que se ejecuten en sucesioacuten el resultado se denomina
ldquoconcatenacioacutenrdquo de A y B En realidad la ldquoconcatenacioacutenrdquo es una composicioacuten de funciones
En efecto sea x el estado inicial de la concatenacioacuten AB esto es el estado antes de ejecutar
A Por definicioacuten el estado despueacutes de haber ejecutado A es A(x) y eacuteste es el estado antes de
ejecutar B Dado que B(y) es el estado final de B dado el estado final y y puesto que es y =
A(x) esto significa que el estado final AB es B(A(x)) De este modo AB = BA
Cuando una funcioacuten f(x) se utiliza estrictamente para definir la imagen correspondiente al
argumento x que es un solo valor se usa la notacioacuten del ldquoλ-caacutelculordquo o ldquocaacutelculo lambdardquo
Teacutecnicamente pues las funciones expresadas en ldquoλ-caacutelculordquo soacutelo pueden tener un argumento
Por consiguiente para traducir una funcioacuten de varias variables o argumentos al ldquoλ-caacutelculordquo se
crean funciones en las cuales el rango consta de funciones Por ejemplo consideacuterese la
expresioacuten x2+y Para cada y dada se puede utilizar esta expresioacuten para encontrar una funcioacuten
para x o sea λx (x2+y) Por consiguiente se puede considerar la nueva funcioacuten i =
U( reg ( + ))Z que tiene un uacutenico argumento y y la imagen para una y dada es
reg ( + ) Asiacute cuando aparecen funciones de dos argumentos del tipo i ( times ) ^ ] se
100
modelan en el ldquoλ-caacutelculordquo como una funcioacuten de X1 en el rango X2rarrY es decir tales funciones
tienen el tipo
i V ^ (V ^ ])
Esta transformacioacuten puede faacutecilmente extenderse a funciones de n argumentos Con lo que
definitivamente se estaacute tratando con funcionales o funciones de funciones de funciones y asiacute
sucesivamente
III4LOacuteGICA COMBINATORIA
La loacutegica combinatoria fue originalmente propuesta como una ldquopreloacutegicardquo que deberiacutea clarificar
el papel de las variables cuantificadas en loacutegica esencialmente por eliminarlas Otra forma de
eliminar las variables cuantificadas es la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo de Quine (Quine
1960) En tanto que el poder expresivo de la loacutegica combinatoria tiacutepicamente excede al de la
loacutegica de primer orden el poder expresivo de la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo es ideacutentico al
de la loacutegica de predicados La ldquoloacutegica combinatoriardquo trata pues de eliminar la necesidad de
variables en loacutegica matemaacutetica Maacutes recientemente se ha utilizado en CS como un modelo
teoacuterico de computacioacuten y sobre todo como la base para el disentildeo de lenguajes de
programacioacuten funcional Estaacute basada en ldquocombinadoresrdquo Un combinador es un funcioacuten de alto
orden o grado que por definir un resultado a partir de sus argumentos uacutenicamente usa la
aplicacioacuten de funciones y combinadores definidos previamente
En CS la loacutegica combinatoria se usa como un modelo simplificado de computacioacuten utilizado en
teoriacutea de la computabilidad y teoriacutea de prueba A pesar de su simplicidad la loacutegica combinatoria
captura muchas caracteriacutesticas esenciales de la computacioacuten La ldquoloacutegica combinatoriardquo puede
verse como una variante del ldquolambda caacutelculordquo en el cual las expresiones lambda representando
abstracciones funcionales se reemplazan por un conjunto limitado de ldquocombinadoresrdquo
funciones primitivas de las cuales estaacuten ausentes las variables libres Es faacutecil transformar
expresiones en expresiones de combinadores y la reduccioacuten de un combinador es mucho maacutes
simple que la reduccioacuten lambda Por consiguiente se ha usado la ldquoloacutegica combinatoriardquo para
modelizar algunos lenguajes de programacioacuten funcional y hardware La forma maacutes pura de esta
visioacuten es el lenguaje de programacioacuten de intereacutes teoacuterico ldquoUnlambdardquo cuyas uacutenicas primitivas son
los combinadores S y K aumentado con caracteres de entradasalida
101
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo
La loacutegica combinatoria es un modelo de computacioacuten equivalente al caacutelculo lambda (Church
1936) pero sin la abstraccioacuten La ventaja de esto es que evaluar expresiones en el caacutelculo
lambda es bastante complicado debido a que debe especificarse la semaacutentica de la
sustitucioacuten con mucho cuidado para evitar problemas de captura de variables Por el
contrario la evaluacioacuten de expresiones en la loacutegica combinatoria es mucho maacutes sencilla pues
no existe la nocioacuten de sustitucioacuten sin perder la potencia computacional del lambda-caacutelculo
Como se sabe el lambda caacutelculo es computacionalmente equivalente en poder a muchos
modelos posibles de computacioacuten incluida la maacutequina de Turing o las funciones recursivas
Es decir cualquier caacutelculo que pueda realizarse en cualquiera de esos otros modelos puede
expresarse en el caacutelculo lambda y viceversa Como de acuerdo con la tesis Church-Turing
(Copeland 1996) el caacutelculo lambda puede expresar cualquier posible computacioacuten la loacutegica
combinatoria tambieacuten Y si es tal vez sorprendente este hecho de que el lambda caacutelculo
pueda representar cualquier combinacioacuten posible usando soacutelo las nociones simples de
funcioacuten de abstraccioacuten y aplicacioacuten basaacutendose en la sencilla sustitucioacuten textual de teacuterminos
por variables maacutes notable resulta auacuten que incluso no es necesaria la abstraccioacuten como se ve
en la loacutegica combinatoria
En efecto el caacutelculo lambda estaacute concernido con objetos denominados ldquoteacuterminos lambdardquo
que son cadenas de siacutembolos de uno de los tipos siguientes
a) v
b) λvE1
c) (E1 E2)
Siendo V es un nombre de variable derivado a partir de un conjunto infinito predefinido de
nombres de variables y E1 y E2 son ldquoteacuterminos lambdardquo Finalmente los teacuterminos de la forma
(b) o sea λvE1 se denominan ldquoabstraccionesrdquo La variable v se llama paraacutemetro formal de la
abstraccioacuten y E1 el ldquocuerpordquo de dicha abstraccioacuten El teacutermino λvE1 representa la funcioacuten que
aplicada a un argumento liga el paraacutemetro formal v al argumento y luego computa el valor
resultante de E1 esto es retorna E1 con cada toda ocurrencia de v reemplazada por el
argumento Los teacuterminos de la forma (c) o sea (E1 E2) se denominan ldquoaplicacionesrdquo que
modelan la llamada invocacioacuten o ejecucioacuten a la funcioacuten la funcioacuten representada por E1 es
invocada con E2 como su argumento y el resultado es computado Si E1 a veces llamado el
ldquoaplicandordquo es una abstraccioacuten el teacutermino puede ldquoreducirserdquo es decir el argumento puede
sustituirse en el cuerpo de E1 en lugar del paraacutemetro formal de E1 y el resultado es un nuevo
102
teacutermino lambda que es ldquoequivalenterdquo a la vieja Si un teacutermino lambda no contiene
subteacuterminos de la forma (λvE1E2) que no puede reducirse se dice que estaacute en forma normal
La expresioacuten Ev ≔ a representa el resultado de tomar el teacutermino E y reemplazar todas las
ocurrencias libres de v con a Asiacute se escribe (λv Ea) rArr Ev ≔ a Por convencioacuten se toma
(abcdhellipz) por ((((ab)c)d)hellipz) es decir una aplicacioacuten asociativa por la izquierda El motivo de
esta definicioacuten de ldquoreduccioacutenrdquo es que captura el comportamiento esencial de todas las
funciones matemaacuteticas Por ejemplo consideacuterese la funcioacuten que computa el cuadrado de un
nuacutemero Se puede escribir El cuadrado de 3 es 33 usando ldquordquo para indicar la multiplicacioacuten
y siendo x el paraacutemetro formal de la funcioacuten para evaluar el cuadrado para un argumento
particular en este caso 3 se lo inserta en la funcioacuten en lugar del paraacutemetro formal de modo
que queda el cuadrado de 3 es 33 Para evaluar la expresioacuten resultante 33 hay que
recurrir al conocimiento que se tiene de la multiplicacioacuten y del nuacutemero 3 Ya que cualquier
computacioacuten es simplemente una composicioacuten de la evaluacioacuten de funciones deseables sobre
argumentos primitivos deseables Este sencillo principio de sustitucioacuten basta para capturar el
mecanismo esencial de la computacioacuten Maacutes auacuten en el caacutelculo lambda nociones tales como
ldquo3rdquo y ldquordquo pueden representarse sin necesidad alguna de definir externamente operadores
primitivos o constantes Es posible identificar teacuterminos en el ldquolambda-caacutelculordquo que cuando
se interpretan adecuadamente se comportan como el nuacutemero 3 y como el operador
multiplicador
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO
Dado que la abstraccioacuten es la uacutenica manera de fabricar funciones en el ldquocaacutelculo lambdardquo
algo debe reemplazarlo en el caacutelculo combinatorio En lugar de la abstraccioacuten el caacutelculo
combinatorio proporciona un conjunto limitado de funciones primitivas a partir de las cuales
pueden construirse otras funciones Los elementos del caacutelculo combinatorio son
A) Teacuterminos combinatorios Un teacutermino combinatorio tiene una de las siguientes
formas
a)
b) T
c) (ltlt)
Donde x es una variable P una de las funciones primitivas y (EE) es la aplicacioacuten
de los teacuterminos combinatorios E1 y E2 Las funciones primitivas son ellas mismas
ldquocombinadoresrdquo o funciones que cuando se ven como teacuterminos lambda no
103
contienen variables libres Para acortar las notaciones una convencioacuten general es
que (E1E2E3hellipEn) o incluso E1E2E3hellipEn denota el teacutermino (hellip((E1E2)E3)hellipEn) Eacutesta es la
misma convencioacuten general que la aplicacioacuten muacuteltiple en el ldquolambda caacutelculordquo En
loacutegica combinatoria cada ldquocombinadorrdquo primitivo viene con una regla de reduccioacuten
de la forma (Px1hellipxn)=E donde E es un teacutermino mencionando soacutelo variables del
conjunto x1hellipxn Es justamente de esta manera como los ldquocombinadoresrdquo primitivos
se comportan como funciones
B) Combinadores I K y S
El ejemplo maacutes sencillo de ldquocombinadorrdquo es el ldquocombinadorrdquo identidad I definido
por (Ix) = x para todos los teacuterminos x Otro ldquocombinadorrdquo simple es K que fabrica
funciones constantes (Kx) es la funcioacuten que para cualquier argumento devuelve x
asiacute para ((Kx)y) = x para todos los teacuterminos x e y O siguiendo la convencioacuten de
aplicacioacuten muacuteltiple (Kxy) = x Un tercer combinador es S que es una versioacuten
generalizada de la aplicacioacuten (Sxyz) = (xz(yz)) S aplica x a y despueacutes de primero
sustituir z en cada uno de ellos En otros teacuterminos x se aplica a y dentro del entorno
z Ahora bien dados S y K el propio I es superfluo ya que puede construirse a partir
de ellos como sigue
((SKK)x)
=(SKKx)
=(Kx(Kx))
=x
para cualquier teacutermino x Noteacutese que aunque (SKK)x = (Ix) para cualquier x el propio
(SKK) no es igual a I Se dice que los teacuterminos son extensionalmente equivalentes La
igualdad extensional captura la nocioacuten matemaacutetica de la igualdad de funciones que
dice dos funciones son ldquoigualesrdquo si siempre producen los mismos resultados para los
mismos argumentos Por el contrario los propios teacuterminos junto con la reduccioacuten
de ldquocombinadoresrdquo primitivos captura la nocioacuten de ldquoigualdad intensionalrdquo de
funciones Aquiacute dos funciones son ldquoigualesrdquo soacutelo si tienen ideacutenticas
implementaciones respecto a la expansioacuten de ldquocombinadoresrdquo primitivos cuando
eacutestos se aplican a bastantes argumentos Hay muchas formas de implementar una
funcioacuten identidad (SKK) e I estaacuten entre ellas (SKS) es tambieacuten otra Se usaraacute la
palabra ldquoequivalenterdquo para indicar la igualdad extensional reservando ldquoigualrdquo para
104
teacuterminos combinatorios ideacutenticos Otro ldquocombinadorrdquo muy interesante es el Y o
ldquocombinadorrdquo de punto fijo que puede usarse para implementar la ldquorecursioacutenrdquo
C) Transformacioacuten T Conversioacuten de teacuterminos λambda en combinadores
Es ldquoprima facierdquo al menos sorpendente el hecho de que S y K puedan componerse
para producir ldquocombinadoresrdquo que son extensionalmente iguales a ldquocualquierrdquo
teacutermino lambda y por lo tanto por la tesis de Church-Turing a cualquier funcioacuten
computable Para probarlo se va a presentar una transformacioacuten T[ ] que convierte
un teacutermino lambda arbitrario en un ldquocombinadorrdquo equivalente T[ ] puede definirse
como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1] T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2])
Este proceso tambieacuten se conoce como ldquoeliminacioacuten de la abstraccioacutenrdquo Ahora hay
que convertir un teacutermino lambda en un teacutermino ldquocombinatoriordquo equivalente Por
ejemplo convertir el teacutermino lambda λxλy(yx) en un combinador
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]] (por 5)
= T[λx(ST[λyy]T[λyx])] (por 6)
= T[λx(SIT[λyx])] (por 4)
= T[λx(SI(Kx))] (por 3 y 1)
= (ST[λx(SI)]T[λx(Kx)]) (por 6)
= (S(K(SI))T[λx(Kx)]) (por3)
= (S(K(SI))(ST[λxK]T[λxx])) (por 6)
= (S(K(SI))(S(KK)T[λxx])) (por 3)
= (S(K(SI))(S(KK)I)) (por 4)
Si se aplica este ldquocombinadorrdquo a cualquiera dos teacuterminos x e y se reduce como
sigue
(S(K(SI))(S(KK)I)xy)
= (K(SI)x(S(KK)Ix)y)
= (SI(S(KK)Ix)y)
= (Iy(S(KK)Ixy))
= (y(S(KK)Ixy))
105
= (y(KKx(Ix)y))
= (y(K(Ix)y))
= (y(Ix))
= (yx)
La representacioacuten combinatoria (S(K(SI))(S(KK)I)) es mucho maacutes larga que la
representacioacuten en un teacutermino lambda λx λy(yx) Esto es normal En general la
construccioacuten T[ ] puede expandir un teacutermino lambda de tamantildeo n en un teacutermino
combinatorio de tamantildeo θ (3n) Sin embargo la transformacioacuten T[ ] viene motivada
por el deseo de eliminar la abstraccioacuten Dos casos especiales las reglas 3 y 4 son
triviales λxx es claramente equivalente a I y λxE es claramente equivalente a
(KT[E]) Si x no aparece libre en E Las dos primeras reglas tambieacuten son simples
Variables convertidas en ellas mismas y aplicaciones que estaacuten permitidas en
teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo se convierten en ldquocombinadoresrdquo simplemente por
convertir el aplicando y el argumento en ldquocombinadoresrdquo Son las reglas 5 y 6 las
interesantes La 5 dice simplemente que para convertir una abstraccioacuten compleja en
un combinador primero se debe convertir su cuerpo en un ldquocombinadorrdquo y luego
eliminar la abstraccioacuten La regla 6 realmente elimina la abstraccioacuten
λx(E1E2) es una funcioacuten que toma un argumento tal como a y lo sustituye en un
teacutermino lambda (E1E2) en lugar de x produciendo (E1E2)[x=a] Pero sustituir a en
(E1E2) en lugar de x es justo lo mismo que sustituirla en ambos E1 y E2 asiacute
(E1E2)[x=a] = (E1[x=a] E2[x=a])
(λx(E1E2)a) = ((λxE1a)( λxE2a))
= (S λxE1 λxE2a)
= ((S λxE1 λxE2)a)
Por la igualdad extensional
λx(E1E2) = (S λxE1 λxE2)
Por lo tanto para encontrar un combinador equivalente a λx(E1E2) es suficiente
encontrar un combinador equivalente a (S λxE1 λxE2) y
(S T[λxE1] T [λxE2])
106
evidentemente cumple las condiciones E1 y E2 cada una contienen estrictamente
menos aplicaciones que (E1E2) asiacute la recursioacuten debe terminar en un teacutermino lambda
sin ninguna aplicacioacuten en absoluto o una variable o un teacutermino de la forma λxE
D) Simplificaciones de la Transformacioacuten
Los combinadores generados por la transformacioacuten T[ ] pueden hacerse menores si
se toma en cuenta la regla de ldquoreduccioacuten-ηrdquo
T[λx(Ex)]=T[E] (si x no estaacute libre en E)
λx(Ex) es la funcioacuten que toma un argumento x y aplica la funcioacuten E a ella esto es
extensionalmente igual a la propia funcioacuten E Es por lo tanto suficiente para
convertir E a forma combinatoria Teniendo en cuenta esta simplificacioacuten el ejemplo
anterior se convierte en
T[λx λy(yx)]
= hellip
= (S(K(SI)) T[λx(Kx)])
= (S(K(SI)) K) (por ldquoreduccioacuten- ηrdquo)
Este combinador es equivalente al anterior maacutes largo
(S(K(SI)) Kxy)
= (K(SI) x(Kx)y)
= (SI(Kx)y)
= (I y(Kxy))
= (y(Kxy))
= (yx)
Similarmente la versioacuten original de la transfromacioacuten T[ ] transforma la funcioacuten
identidad λfλx(fx) en (S(S(KS)(S(KK)I))(KI)) Con la regla de ldquoreduccioacuten- ηrdquo λfλx(fx)
se transforma en I
107
Hay bases de un punto a partir de las cuales cada ldquocombinadorrdquo puede ser
compuesto extensionalmente igual a cualquier teacutermino lambda El ejemplo maacutes
simple de una tal base es X donde
X equiv λx((xS)K)
No es difiacutecil verificar que
X(X(XX)) = ηβK y X(X(X(XX))) = ηβS
Dado que K S es una base de ello se sigue que X tambieacuten es una base Otro ejemplo
simple de una base de un punto es
Xrsquoequiv λx(xKSK) con (Xrsquo Xrsquo )Xrsquo) = ηβK y Xrsquo(Xrsquo Xrsquo) = βS
Xrsquo no necesita η-contraccioacuten a fin de producir K y S X es una base de un punto en CL+ext
pero no en CL sin extensionalidad Xrsquo lo es en ambos
Adicionalmente a S y K el artiacuteculo de Schoumlnfinkel incluyoacute otros dos ldquocombinadoresrdquo que
ahora se denominan B y C con las reducciones siguientes
((Cabc) = (abc) y (Babc) = (a(bc)))
Y tambieacuten explicoacute coacutemo a su vez pueden expresarse usando soacutelo S y K Estos ldquocombinadoresrdquo
son extremadamente uacutetiles cuando se trasladan loacutegica de predicados o caacutelculo lambda en una
expresioacuten ldquocombinadorrdquo Ellos tambieacuten fueron usados por Curry y posteriormente por David
Turner cuyo nombre se ha asociado con su uso computacional Usaacutendolos se pueden
extender las reglas por la transformacioacuten como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1]T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (Si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E1 y E2)
108
7 T[λx(E1E2)] rArr(CT[λxE1]T[E2]) (Si x estaacute libre en E1 pero no en E2)
8 T[λx(E1E2)] rArr(BT[E1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E2 pero no en E1)
Usando los ldquocombinadoresrdquo B y C la transformacioacuten de λxλy(yx) queda como sigue
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]]
= T[λx(CT[λyy]x)] (por la regla 7)
= T[λx(CIx)]
= (CI) (η-reduccioacuten)
= C (notacioacuten canoacutenica tradicional x=XI)
= Irsquo (notacioacuten canoacutenica tradicional X`= CX)
Y verdaderamente (CIxy) se reduce a (yx)
(CIxy)
= (Iyx)
= (yx)
La motivacioacuten aquiacute es que B y C son versiones limitadas de S Mientras que S toma un valor y
lo sustituye tanto en el aplicando como en su argumento antes de ejecutar la aplicacioacuten C
efectuacutea la sustitucioacuten soacutelo en el aplicando y B soacutelo en el argumento
Los nombres modernos para los ldquocombinadoresrdquo proceden de la tesis doctoral de Curry
Schoumlnfinkel en su artiacuteculo original denominaba respectivamente S C I Z y T a lo que hoy se
denomina S K I B C
La conversioacuten L[ ] de teacuterminos combinatorios a teacuterminos lambda es trivial
L[I] = λxx
L[K] = λx λyx
L[C] = λx λy λz(xzy)
L[B] = λx λy λz(x(yz))
109
L[S] = λx λy λz(xz(yz))
L[(E1E2)] = (L[E1] L[E2])
Sin embargo hay que sentildealar que esta transformacioacuten no es la transformacioacuten inversa de
cualquiera de las versiones de T[ ] que se han visto
Finalmente indicar que una forma ldquonormalrdquo es cualquier teacutermino ldquocombinatoriordquo en el cual
los ldquocombinadoresrdquo primitivos que aparecen si alguno no se aplican a suficientes argumentos
como para ser simplificados Es indecidible saber si un teacutermino ldquocombinatoriordquo general tiene
una forma ldquonormalrdquo si dos teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo son equivalentes etc Esto es
equivalente a la indecibilidad del problema correspondiente para los teacuterminos lambda Hay
sin embargo una prueba directa de ello en primer lugar obseacutervese que el teacutermino Ω =
(SII(SII)) no tiene forma normal porque se reduce a siacute mismo despueacutes de tres pasos como
sigue
(SII(SII)) = (I(SII)(I(SII))) = (SII(I(SII))) = (SII(SII))
Y claramente ninguacuten otro orden de reduccioacuten puede hacer la expresioacuten maacutes corta Supoacutengase
ahora que N es un ldquocombinadorrdquo para detectar formas normales tal que
(Nx)rArrT si x tiene una forma normal y F en otro caso
Donde T y F representan verdadero y falso λx λyx y λx λyy transformados en loacutegica
combinatoria Las versiones combinatorias son T = K y F = (KI)
Sea ahora Z = (C(C(BN(SII)) Ω)I)
Consideacuterese a continuacioacuten el teacutermino (SIIZ) iquestTiene dicho teacutermino forma normal La tiene si
y soacutelo si tambieacuten la tiene
(SIIZ) = (IZ(IZ)) = (Z(IZ)) = (ZZ) = (C(C(BN(SII)) Ω)IZ) (definicioacuten de Z)
= (C(BN(SII) ΩZI)) = (BN(SII)Z ΩI) = (N(SIIZ) ΩI)
Ahora se necesita aplicar N a (SIIZ) que dice si tiene forma normal o no Si tiene forma normal
entonces se reduce como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (K ΩI) (definicioacuten de N) lo que significa que la
forma normal de (SIIZ) es simplemente Ω pero Ω no tiene una forma normal de modo que se
produce una contradiccioacuten Pero si (SIIZ) no tiene una forma normal lo anterior se reduce
110
como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (KI ΩI) (definicioacuten de N = (II) = I) lo que significa que la forma
normal de (SIIZ) es simplemente I otra contradiccioacuten Por lo tanto el hipoteacutetico ldquocombinadorrdquo
forma-normal N no puede existir (Wikipedia 2008)
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS
Para Couffignal (Couffignal 1969) una clasificacioacuten cuyas clases tienen definiciones que se
implican entre siacute constituye una teoriacutea Las teoriacuteas se establecen de una de las dos formas
siguientes
A) A partir de seres cuyas caracteriacutesticas han sido observadas e identificadas se construyen
clases cada vez maacutes ldquoabstractasrdquo o ldquogeneralesrdquo dentro de las cuales se dan cabida a
estos seres A estas teoriacuteas se las denomina como ya se ha dicho el el capiacutetulo II
ldquoempiacutericasrdquo y son parecidas a las clasificaciones de los naturalistas y tienen como
fundamento modelos mentales elementales constituidos por seres naturales es decir
no creados por el hombre Eacuteste es el esquema de modelizacioacuten cientiacutefico o ldquogalileanordquo
B) Partiendo de una definicioacuten abstracta de la clase se construyen subclases antildeadiendo a
la definicioacuten de esta clase propiedades arbitrariamente escogidas con la uacutenica condicioacuten
de que no existan contradicciones Estas teoriacuteas reciben el calificativo de axiomaacuteticas
Son parecidas a teoriacuteas matemaacuteticas o loacutegicas y tienen por fundamento modelos
mentales (ldquodialeacutecticosrdquo) de seres inventados por el hombre Eacuteste es el esquema de
modelizacioacuten loacutegico o ldquotarskianordquo
Los atributos que hay que antildeadir a la comprehensioacuten de una clase de seres para obtener la
comprehensioacuten de una subclase constituyen lo que se denomina ldquotecnologiacuteardquo de dicha
subclase en relacioacuten con la clases considerada Normalmente no se considera maacutes que una
sola clasificacioacuten y se define la tecnologiacutea de una subclase en relacioacuten con la clase maacutes
abstracta posible De esta forma el teacutermino tecnologiacutea se emplea en sentido absoluto
En la construccioacuten de una teoriacutea las propiedades ldquotecnoloacutegicasrdquo de un ser no se tienen en
cuenta al considerarlo como perteneciente a una clase determinada ya que dichas
propiedades no se deducen de la definicioacuten de la clase considerada En consecuencia se
puede afirmar que un razonamiento deductivo no puede descubrir las propiedades
ldquotecnoloacutegicasrdquo que han sido ignoradas en la elaboracioacuten de la teoriacutea Por ejemplo la teoriacutea
de la resistencia de materiales que sirven para el caacutelculo de la construccioacuten de un puente
supone que el terreno sobre el cual se va a apoyar el puente es perfectamente riacutegido e
111
infinitamente resistente dejando de lado las propiedades del terreno propias de su
naturaleza fiacutesico-quiacutemica Por lo tanto el caacutelculo de un puente concreto por meacutetodos de
resistencia de materiales no puede incluir estas propiedades y tenerlas en cuenta Por eso se
puede afirmar que las teoriacuteas deductivas que se encuentran en la casi totalidad de las
teoriacuteas cientiacuteficas representan muy imperfectamente los fenoacutemenos observados De aquiacute
que para salvaguardar el armazoacuten de razonamientos que constituye una teoriacutea sea
necesario o bien no tener en cuenta los conceptos que no sean explicables para la teoriacutea lo
que sucedioacute con el ldquoarrastre del eacuteter por la materiardquo o atribuyeacutendole a los seres sometidos
a observacioacuten propiedades que no poseen para permitir su inclusioacuten dentro de la teoriacutea
Esto sucedioacute con el ldquoeacuteterrdquo hasta que lo desterroacute Einstein Una teoriacutea es pues un ldquoedificiordquo o
construccioacuten mental establecida a partir de fenoacutemenos observados pero que no constituye
una imagen absolutamente fiel de dichos fenoacutemenos
Las diversas clases en las que se categorizan los seres naturales constituyen entes nuevos a
los que se les atribuye un siacutembolo En una teoriacutea axiomaacutetica las clases son resultado de
razonamientos deductivos y se les atribuye asimismo un siacutembolo Cuando se trata de
razonamientos cuyas hipoacutetesis son siacutembolos o modelos mentales de seres naturales es maacutes
coacutemodo preferir siacutembolos que hagan referencia a las hipoacutetesis De esta forma estos
siacutembolos evocan al usarlos ldquopatronesrdquo considerados iguales que los de los seres naturales
Estos patrones constituyen una ldquoreificacioacutenrdquo de la definicioacuten de los siacutembolos Por ejemplo
habiendo verificado que todos los gases en condiciones normales verifican de una forma
aproximada PV = RT en donde P V y T son respectivamente la presioacuten el volumen y la
temperatura del gas y R una constante universal se denomina ldquogas perfectordquo al ente fiacutesico
que verifica ldquoexactamenterdquo la ley PV = RT El teacutermino ldquogas perfectordquo evoca el ldquopatroacutenrdquo
corresponde al de un ser existente en la realidad y constituye una ldquoreificacioacutenrdquo de la
foacutermula PV = RT
Una ldquoreificacioacutenrdquo consiste entonces en antildeadir a un resultado teoacuterico una ldquotecnologiacuteardquo
inventada No obstante el ser de esta forma inventado puede no existir fiacutesicamente Por lo
tanto es necesario distinguir entre la ldquoexistencia fiacutesica o realrdquo que es la de un ser cuyos
atributos de definicioacuten son observables por los medios fiacutesicos conocidos y la existencia
ldquoficticiardquo que se puede atribuir a un ser cuyos atributos de definicioacuten no son contradictorios
con las leyes conocidas y aceptadas que se aplican a los seres naturales Asiacute pues una
ldquoreificacioacutenrdquo de una teoriacutea pasa de la existencia ficticia o mental a la existencia fiacutesica a traveacutes
de una ldquocomprobacioacuten experimentalrdquo Habitualmente las ciencias usan ldquoreificacionesrdquo que
112
soacutelo poseen existencia ficticia Tal sucede con los entes o conceptos definidos como
ldquocausasrdquo de los fenoacutemenos fiacutesicos Por ejemplo el calor causa de las variaciones de
temperatura las fuerzas causa de las variaciones de la velocidad la luz causa de los
fenoacutemenos oacutepticos etc una prueba de esto es que verbigracia en 1955 Denis Gabor
presentoacute una teoriacutea oacuteptica en la cual no interveniacutea para nada la ldquosustanciardquo comuacutenmente
llamada luz Estas ldquocausasrdquo consideradas por las ciencias naturales quedan definidas por
atributos comunes a un conjunto de seres de existencia fiacutesica capaces de actuar por
ejemplo en el caso del calor sobre un termoacutemetro Esta accioacuten se expresa diciendo que
salvo en caso de un cambio de estado una aportacioacuten de calor a un cuerpo implica una
elevacioacuten de su temperatura No obstante hay que tener en cuenta que
termodinaacutemicamente el paso del calor de un cuerpo a otro soacutelo es posible si existe una
diferencia de temperatura entre los dos Es maacutes se considera corrientemente el calor como
una energiacutea en traacutensito ldquodebidardquo al gradiente teacutermico En cualquier caso la implicacioacuten
aparece pues como la expresioacuten ldquodialeacutecticardquo de la relacioacuten entre causa y efecto
Olvidar que a efectos praxeoloacutegicos y de realizacioacuten praacutectica una teoriacutea por si sola es decir
sin la tecnologiacutea adecuada para una correcta reificacioacuten puede tener resultados indeseados
incluso dramaacuteticos En efecto una teoriacutea ofrece un conjunto o serie de modelos que se
deducen unos de otros se tienen tambieacuten todos los atributos eliminados para construir los
modelos que pertenecen al campo de predicados de los seres en cuestioacuten Para un ser dado
los atributos que hay que antildeadir a su modelo para reconstruir el original es la ldquotecnologiacuteardquo
de ese modelo Un ejemplo dramaacutetico ocurrido hace antildeos en Francia muestra la
importancia de la tecnologiacutea En una mina hubo necesidad de construir un ascensor para
subir hombres y productos de su interior Se hizo normalmente tal y como se muestra en la
figura III7(a) con un aacuterbol y un manguito sobre el cual se encontraba el tambor del
ascensor Primera fase del razonamiento Despueacutes se aplicoacute el caacutelculo a la determinacioacuten del
diaacutemetro del aacuterbol segunda fase del razonamiento A continuacioacuten se construyoacute el original
con esos datos lo que corresponde a la tercera fase Finalmente se comproboacute tras
distintas pruebas que el ascensor podiacutea soportar toda la carga que se le pondriacutea y mucha
maacutes De ahiacute se concluyoacute que los caacutelculos eran correctos y que el ascensor aguantariacutea sin
problemas es decir el estudio ldquocientiacuteficordquo del ascensor era perfecto Pero sucedioacute la
tragedia Unos antildeos despueacutes de funcionar con toda normalidad el ascensor se rompioacute y
once mineros cayeron a 250 metros de profundidad y murieron iquestQueacute pasoacute Sencillamente
que faltaba un punto de tecnologiacutea En efecto en una construccioacuten mecaacutenica nunca hay que
dejar un aacutengulo entrante agudo La experiencia ensentildea y la tecnologiacutea corrobora que los
113
aacutengulos entrantes son un peligro de ruptura y tal y como se muestra en la figura III7 (b)
deben ser sustituidos por caretos El ingeniero que realizoacute el proyecto del ascensor conociacutea
perfectamente la mecaacutenica racional la elasticidad la resistencia de materiales pero
ignoraba o se olvidoacute de ese aspecto tecnoloacutegico de que no se hace nunca un aacutengulo
entrante
Figura III7 Importancia de la Tecnologiacutea
Es eacuteste un buen ejemplo ademaacutes de que cuando se razonaba sobre un modelo abstracto
en relacioacuten con el original hay que pensar y tener en cuenta toda la tecnologiacutea que se quedoacute
en el tintero Sin contar por supuesto con que muchas veces al hacer la abstraccioacuten con el
agua sucia tambieacuten se arroja el nintildeo pequentildeo Esto lleva a plantearse la cuestioacuten siguiente
Cuando se tiene un modelo verificado un ser ficticio que se espera que exista en la realidad
iquestQueacute se le pide Sencillamente que sea admisible en cierto grado Se pide que le modelo
transformado pueda interpretarse Es decir en este estadio basta con ser admisible pues se
tiene soacutelo un ser admisible y no todaviacutea un ser real o cuando menos un ser cuya existencia
se ha comprobado Es un ser teoacuterico sin experiencia o mejor experimentacioacuten que lo avale
Por eso una futura liacutenea de trabajo seraacute el integrar toda la tecnologiacutea de desarrollo
software existente dentro de la teoriacutea propuesta
114
115
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Cuando uno observa la abundante bibliografiacutea existente para la solucioacuten de problemas se
encuentra con que todas empiezan expliacutecita o impliacutecitamente con el paso conocido como
ldquoidentificacioacuten del problemardquo(Polya 1945) (De Bono 1970) (Wickelgren 1974) (Deutsch
1998) (Marinoff 2000) hellip pero curiosamente ninguna define peor auacuten ni siquiera
describe lo que es un problema Por eso aquiacute siguiendo a Juan Pazos (Pazos 1987) se va a
primero describir y luego definir formalmente queacute se entiende por problema Para
empezar decir que todo el mundo sabe o cree saber queacute es un problema sobre todo
cuando se le presenta uno es decir cuando ya le viene dado La cosa es maacutes peliaguda
cuando de lo que se trata y eso es lo importante de adelantaacutendose a los acontecimientos
identificar situaciones que si no se toman medidas inexorablemente acabaraacuten
convirtieacutendose en problemas Es decir se trata maacutes de prevenir que de curar
Dicho lo cual quizaacutes sea una cuestioacuten a la vez superflua y marginal el preguntarse queacute es
un problema por la sencilla razoacuten de que todo el mundo sabe lo que es un problema sobre
todo cuando se le presenta uno Sin embargo no es asunto baladiacute el definir de modo
preciso lo que se entiende por problema en general En cualquier caso el dar una definicioacuten
de problema es importante como paso previo para obtener una solucioacuten al mismo
Una persona se enfrenta a un problema cuando desea algo y no conoce inmediatamente
queacute accioacuten o serie de acciones debe ejecutar para conseguirlo El objetivo deseado puede
ser algo muy tangible tal como una manzana para comer o abstracto como sucede en la
demostracioacuten de un teorema Puede ser un objetivo fiacutesico o un conjunto de siacutembolos Las
acciones implicadas en la obtencioacuten de los objetos deseados incluyen acciones fiacutesicas
actividades perceptuales y actividades puramente ldquomentalesrdquo como juicios de similaridad
recuerdos y otras Es decir tener alguna idea de en queacute consiste realmente un problema es
lo mismo que especificar cuaacuteles son las condiciones para que exista un problema y cuaacuteles
son sus componentes Estas condiciones en su caso maacutes simple son
1 Debe existir al menos un ldquoindividuordquo hombre o maacutequina la cuestioacuten en principio es
irrelevante dentro de un marco de referencia o medio ambiente a quien se le pueda
116
atribuir el problema Este marco de referencia viene definido por las variables
incontrolables
2 El individuo debe tener por lo menos dos cursos de accioacuten alternativos es decir debe
poder efectuar una seleccioacuten del comportamiento Un curso de accioacuten se define por
uno o maacutes valores cualitativos o cuantitativos de las variables controlables
3 Cuando menos tienen que existir dos resultados posibles de su seleccioacuten uno de los
cuales debe tener mayor aceptacioacuten que el otro Es decir debe haber como miacutenimo un
resultado que eacutel quiera o sea un objetivo o meta
4 La seleccioacuten de cualquiera de las soluciones debe repercutir de una manera diferente
en los objetivos del sistema es decir existe una eficiencia y o efectividad asociadas
con cada solucioacuten que obviamente deben ser diferentes
5 El individuo tiene un problema uacutenicamente si ignora cuaacutel es el mejor curso de accioacuten y
desea conocerlo Ademaacutes debe tener dudas respecto a la solucioacuten
En resumen se puede decir que un individuo tiene un problema si eacutel quiere algo tiene
formas alternativas de perseguir ese algo pero con distintas eficiencias para conseguirlo y
duda acerca del mejor curso de accioacuten a tomar
Ciertamente las situaciones problemaacuteticas pueden ser mucho maacutes complejas que la que se
acaba de describir En efecto es faacutecil ver coacutemo dicha complejidad puede aumentar por una
combinacioacuten de las siguientes condiciones
1 El problema en vez de recaer en el individuo atantildee a un grupo
2 El entorno o marco de referencia donde se encuentra el grupo cambia de forma
dinaacutemica de modo que afecta a la efectividad de los cursos de accioacuten o de los valores
de los resultados
3 El nuacutemero de cursos de accioacuten alternativos puede ser muy grande aunque finito
4 Del mismo modo el nuacutemero de metas tambieacuten puede ser muy grande y
adicionalmente dichas metas pueden no ser necesariamente consistentes
117
5 Las alternativas pueden ser ejecutadas por otro grupo ajeno aunque no
independiente del problema
6 Los efectos de la decisioacuten tomada por el grupo afectan a otros grupos cuya reaccioacuten
puede ser favorable o desfavorable
En otros teacuterminos un problema no estaacute cabalmente definido o no es digno de
consideracioacuten formal a menos que cumpla las condiciones siguientes
A) Estar expresado en una terminologiacutea claramente entendible para el potencial
solucionador del problema
B) La forma y notacioacuten para la solucioacuten debe estar convenida
C) Identificacioacuten de los datos relevantes sobre los que puede basarse una solucioacuten
D) Convencioacuten acerca de alguna de las unidades sobre la validez o aceptabilidad de las
soluciones propuestas
Aunque estas caracteriacutesticas son naturales a cualquier proceso de solucioacuten de problemas
con computador con frecuencia se ignoran faacutecilmente en situaciones de resolucioacuten de
problemas humanos informales Una razoacuten importante del uso de los computadores para
ayudar a las personas a solucionar problemas estriba precisamente en que el proceso de
describir el problema al computador obliga al hombre a dotar al problema de las
caracteriacutesticas anteriores y en consecuencia a clarificar su propio pensamiento difuso El
uso de la GC permitioacute como muestra esta tesis definir cabalmente el problema y lo que
es maacutes importante dilucidar su posibilidad o no de solucioacuten previamente su factibilidad y
eventualmente una propuesta efectiva de solucioacuten
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS
La razoacuten de ser de esta teoriacutea es la informacioacuten En primer teacutermino hay que sentildealar que al
contrario de lo que ocurre con las ciencias tradicionales la informacioacuten como lo sentildealoacute
Wiener no es ni materia ni energiacutea En segundo lugar hay que enfatizar que la informacioacuten es
una abstraccioacuten que soacutelo adquiere realidad cuando tiene una representacioacuten fiacutesica En tercer
lugar es imposible considerar la informacioacuten sin tener en cuenta los dispositivos tanto
118
naturales como artificiales que la procesan Finalmente estaacute el asunto de la gradualidad la
informacioacuten puede presentarse como un simple dato o como una compleja ontologiacutea Todos
estos puntos se explican maacutes detenidamente a continuacioacuten
Antes de pasar a describir los elementos que aquiacute se proponen como fundamento de una
teoriacutea en CS es necesario considerar las caracteriacutesticas y peculiaridades que tiene la CS para
que dicha teoriacutea esteacute bien arraigada y asentada en la realidad y no en meras especulaciones
carentes de base Dicho lo anterior lo primero que hay que sentildealar es que la CS es una nueva
ciencia y en consecuencia es trascendental entender adecuadamente su naturaleza y
caraacutecter Como lo sentildealoacute Hartmanis (Hartmanis 1993) el fracaso de la informaacutetica en
acomodarla a los meacutetodos habituales de las ciencias de la naturaleza viene dado de ese
caraacutecter especial que la conforma haciendo que la teoriacutea y los experimentos en informaacutetica
sean peculiares y jueguen un papel considerablemente distinto Lo que actualmente se
consideran ldquoteoriacuteasrdquo informaacuteticas no compiten entre siacute acerca de cual explica mejor la
naturaleza de la informacioacuten Ni se desarrollan nuevas teoriacuteas para reconciliar la ldquoteoriacuteardquo
existente con los resultados experimentales que revelan anomaliacuteas inexplicadas o nuevos o
inesperados fenoacutemenos De hecho en informaacutetica no existen hasta el presente experimentos
cruciales que decidan acerca de la validez de las ldquoteoriacuteasrdquo existentes entre otras cosas porque
dichas teoriacuteas no existen Esto tiene entre otras una consecuencia al menos a primera vista
indeseable desde el punto de vista cientiacutefico y sin embargo importante cual es que los
avances en informaacutetica son con frecuencia validados y documentados mediante
ldquodemostracionesrdquo (demos) antes que mediante experimentos cruciales como en las ciencias
duras o demostraciones formales como en loacutegica y o matemaacuteticas Y es papel de las ldquodemosrdquo
mostrar la posibilidad o capacidad de lo que se pensaba que era importante o no factible de
modo que influencian y condicionan la agenda y direccioacuten de la investigacioacuten en informaacutetica lo
que estaacute lejos de ser satisfactorio desde el punto de vista del rigor cientiacutefico Esto lleva a
considerar las caracteriacutesticas que hacen tan peculiar esta nueva ciencia y que de forma
sucinta son las siguientes
A) El Objeto de Estudio La Informacioacuten y sus Procesos El objeto de estudio de la CS no es
contra lo que habitualmente se piensa ni exclusiva ni principalmente las computadoras
sino la informacioacuten y sus estructuras y los procesos que actuacutean sobre ella Dichas
estructuras y procesos son ubicuos en la naturaleza de modo que aparecen tanto en los
cerebros de los animales y en particular de los seres humanos como en los procesos
geneacuteticos y maacutes concretamente en el ADN Y de forma no natural la informacioacuten se
119
procesa en las computadoras Lo trascendental aquiacute es que el objeto de estudio la
informacioacuten que es la razoacuten de ser de la CS no es como ocurre en las ciencias
tradicionales y sentildealoacute Wiener ni materia ni energiacutea aunque como lo indicoacute David
Chalmers siguiendo a Wheeler (Horgan 1994) la informacioacuten es una propiedad de la
realidad tan esencial como la materia y la energiacutea Es decir la CS estaacute concernida por una
parte con el tema abstracto de la informacioacuten que adquiere realidad soacutelo cuando tiene
una representacioacuten fiacutesica y por otro con los dispositivos y sistemas tanto hardware como
software artificiales esto es hechos por el ser humano que procesan dichas
representaciones Su meta es dotar a esos dispositivos de procesamiento de tanto
comportamiento inteligente como sea posible En consecuencia una teoriacutea completa debe
abarcar tanto la CS como el ADN o el Cerebro y cualquier otro sistema tanto natural como
artificial que generase o maneje informacioacuten
B) Escalabilidad Gradualidad Ademaacutes de complejos muchos productos software son
enormes En los desarrollos software como por otra parte en muchos otros campos de la
vida lo cuantitativo afecta a lo cualitativo Parte de la habilidad de un buen profesional
estriba en saber que teacutecnicas aumentaraacuten (ldquoscale uprdquo) soacutelo porque el tamantildeo no fue
planificado Con frecuencia un ldquogranrdquo sistema es justo un pequentildeo sistema que crecioacute
De lo anterior se colige que una de las caracteriacutesticas peculiares tal vez la maacutes importante
de la CS es la inmensa diferencia de escala de los fenoacutemenos que trata Dicha escala va
desde unos pocos datos y programas que afectan a los problemas individuales habituales
hasta los billones de operaciones por segundo en los distintos sistemas operativos
compiladores y lenguajes en que se describen los problemas pasando por los millones de
datos y registros de los grandes sistemas de informacioacuten que abordan tanto problemas de
gestioacuten como cientiacuteficos En este uacuteltimo aspecto cabe destacar el uso de sistemas
informaacuteticos para demostracioacuten de conjeturas matemaacuteticas a un nivel similar a la prueba
del uacuteltimo teorema de Fermat El caso paradigmaacutetico en este aspecto es la demostracioacuten de
la conjetura de Kepler que algunos la consideraban como la mejor candidata para
reemplazar al uacuteltimo teorema de Fermat como el mayor enigma actual sin resolver en
matemaacuteticas (Singh 1998) A lo que la doctoranda antildeade la hipoacutetesis de Riemann sin duda
el gran desafiacuteo
C) Prometeo versus Epimeteo La potencia ldquoexponencialmenterdquo creciente de las
computadoras hace que en la consideracioacuten de informacioacuten y su proceso la gente tienda a
120
comportarse maacutes como Epimeteo que como seriacutea lo correcto como Prometeo La
mitologiacutea griega (Seeman 1958) cuenta que en Grecia habiacutea dos hermanos Prometeo el
que primero piensa y luego actuacutea y Epimeteo quien primero actuaba y luego pensaba Si el
primero fue castigado por los dioses por robarle el fuego del conocimiento el segundo
castigoacute a la humanidad al regalarle Pandora la famosa caja de la que cuando
imprudentemente la abrioacute salieron de ella todos los males Asustado ante tanto estropicio
ignorantemente cerroacute la caja cuando lo que quedaba en ella era justamente lo uacutenico
bueno la esperanza La moraleja es que como ha demostrado la historia de la ciencia en
CS lo que a primera vista parece lo maacutes adecuado muchas veces resulta no ser asiacute El caso
de los primeros intentos de emular a los paacutejaros para volar es ejemplar al respecto y hubo
que esperar a las leyes de Bernouille para poder desarrollar la aerodinaacutemica
D) Abstraccioacuten (Meyer 2001) Es la herramienta intelectual clave y en concreto consiste en la
capacidad para separar lo esencial de lo auxiliar para ver la idea que preside sobre la
realidad y que inicialmente puede estar oculta Baacutesicamente el anaacutelisis capaz de hacer
abstracciones es aquel capaz de abandonar el plano del sentido comuacuten de las cualidades
sensibles de la experiencia inmediata La modelizacioacuten informaacutetica de la realidad compleja
ha creado un espacio cada diacutea maacutes relevante para la ldquotercera viacutea del meacutetodo cientiacuteficordquo un
enfoque intermedio entre el procedimiento teoacuterico y el experimental Y es ahiacute justamente
donde nace lo que el premio Nobel Ken Wilson dio en llamar ldquoCiencia Computacionalrdquo o
por mejor decir ciencias y disciplinas computacionales verbigracia la matemaacutetica
computacional la fiacutesica computacional la quiacutemica computacional la biologiacutea
computacional la geologiacutea computacional la medicina computacional etc Todas ellas
trabajan con modelos matemaacuteticos y o informales e informaacuteticos abstractos no con
moleacuteculas sino con modelos de moleacuteculas no con la economiacutea nacional sino con un
montoacuten de matrices y ecuaciones no con un operador humano sino con un modelo de
coordinacioacuten vasomotora no con Pistol Star la mayor luminaria de la Viacutea Lactea una
estrella supuestamente nacida hace tres millones de antildeos que soacutelo se ve con el telescopio
espacial Hubble tal como era hace tres millones de antildeos ya que dista de nosotros 3x106
antildeos-luz sino con unas sentildeales recibidas por el Hubble y unas ecuaciones computacionales
En el laboratorio el centro de ldquoexperimentacioacutenrdquo es el computador La realidad ya no es
material o no exclusivamente material pues lo virtual es igual de real actualmente que lo
material El informaacutetico tienen que generar muchos niveles de abstraccioacuten para tratar con
los problemas que le conciernen y crear herramientas intelectuales para conceptuar
disentildear controlar programar y razonar acerca de las creaciones humanas maacutes
121
complicadas y todo ello realizado con una precisioacuten sin precedentes Los sistemas
hardware subyacentes con el que se efectuacutean las computaciones son maacutequinas universales
y por lo tanto son sistemas caoacuteticos en el sentido de que el maacutes miacutenimo cambio en sus
instrucciones puede originar arbitrariamente diferencias enormes en los resultados
obtenidos Eacutesta como es bien conocido es una propiedad inherente a los sistemas de
coacutemputo universales cuya teoriacutea hace claro que cualquier incremento de universalidad
impone un precio muy alto La precisioacuten teniendo en cuenta las exigencias de dicha
condicioacuten caoacutetica se consigue mediante sucesivas capas de abstraccioacuten implementadas
alrededor de las maacutequinas universales que ayudan a enfrentar los muchos oacuterdenes de
magnitud en la escala de distintos fenoacutemenos que aborden los problemas informaacuteticos
Dada la confusioacuten existente entre abstraccioacuten y generalizacioacuten se va a dar aquiacute un ejemplo
de ambas procedente de la literatura maacutes en concreto de la novela de Miguel de
Unamuno (Unamuno 1969) Niebla que aclaran la cuestioacuten En dicha novela el amigo del
protagonista Viacutector le explica a eacuteste Augusto la diferencia No veraacutes veraacutes si logro
explicaacutertelo Tuacute estabas enamorado sin saberlo por supuesto de la mujer del abstracto no
de eacutesta ni de aquella al ver a Eugenia ese abstracto se concretoacute y la mujer se hizo una
mujer y te enamoraste de ella y ahora vas de ella sin dejarla a casi todas las mujeres y te
enamoras de la colectividad del geacutenero Has pasado pues de lo abstracto a lo concreto y
de lo concreto a lo geneacuterico de la mujer a una mujer y de una mujer a las mujeres
E) Distincioacuten entre especificacioacuten e implementacioacuten Meyer (Meyer 2001) Este problema es
uacutenico al software porque trata con entidades virtuales eteacutereas Nadie confundiriacutea un
puente con el dibujo del puente o un automoacutevil con el plano de un automoacutevil Uno no
coloca el dibujo en el agua ni conduce y se mueve con el plano Pero en software la
distincioacuten con frecuencia estaacute lejos de estar tan clara A diferencia de lo que sucede en el
cuadro de Magritte uno se arriesga en software constantemente a confundir la pipa con
la pintura de la pipa Aprender a centrarse sobre el asunto real es parte de lo que se
necesita para llegar a ser un profesional del software Mantener esta distincioacuten
correctamente es el pan de cada diacutea de las discusiones software
- iexclEsto es soacutelo un detalle de implementacioacuten
- No realmente forma parte de lo que se quiere hacer
- iexclNo es soacutelo una manera de hacerlo
- iexclMuestra otra
122
- iexclNo importa que no se vea otra en este momento alguien lo haraacute
F) Recurrencia La cuestioacuten no estriba en absoluto en usar rutinas recurrentes eso no es maacutes
que una teacutecnica Lo importante es dominar el modo general de razonamiento y disentildeo que
define un concepto por aplicar su propia definicioacuten a alguna de sus partes Al principio es
complicado pero una vez que se ha aprendido a usar la recursioacuten adecuadamente se ha
ganado una potente herramienta intelectual aplicable a traveacutes del campo La poderosa viacutea
de la recursioacuten como teacutecnica de resolucioacuten de problemas es pertinente en multitud de
ocasiones y enunciada como principio general podriacutea rezar maacutes o menos asiacute ldquoSi
consiguiera resolver el problema en un caso algo maacutes sencillo tal vez pudiera utilizar esa
solucioacuten para el caso maacutes complejordquo Tal idea es la nocioacuten de recurrencia expliacutecitamente la
inclusioacuten en un procedimiento del propio procedimiento
Kurt Goumldel en el antildeo 1930 habiacutea enunciado un notorio principio filosoacutefico en el aacutembito de las
matemaacuteticas a partir de lo que se dio en llamar ldquosistemas autorreferencialesrdquo Por ejemplo en
frases del tipo ldquoEsta afirmacioacuten es falsardquo o ldquoYo estoy mintiendordquo tiene lugar un fenoacutemeno
denominado ldquobucle extrantildeordquo consistente en que si se asume que la frase es verdadera
entonces hay que concluir que la frase es falsa y reciacuteprocamente si se decide que es falsa
entonces hay que concluir que es verdadera Goumldel trasladoacute esta paradoja del lenguaje
conocida como ldquoparadoja del mentirosordquo al terreno de las matemaacuteticas en particular al de la
loacutegica dando lugar a numerosos trabajos para superarlas Sin embargo no siempre los
sistemas autorreferenciales son motivo de quebraderos de cabeza En efecto tanto en poesiacutea
como en tecnologiacutea o en juegos de sociedad a veces dan mucho de siacute Empezando por la
poesiacutea veacuteanse estos dos sonetos definiendo al propio soneto El primero debido a Diego
Hurtado de Mendoza que dice asiacute
Pediacutes Reina un soneto ya lo hago Ya tenemos a un cabo los cuartetos
Ya el primer verso y el segundo es hecho iquestQueacute me deciacutes Sentildeora iquestNo ando bravo
Si el tercero me sale de provecho Mas sabe Dios si temo los tercetos
Con otro verso el un cuarteto os pago iexclAy Si con bien este soneto acabo
Ya llego al quinto iexclEspantildea iexclSantiago iexclNunca en toda vida maacutes sonetos
Fuera que entro en el sexto iexclSus buen pecho Mas deste gloria a Dios ya he visto el cabo
Si del seacuteptimo salgo gran derecho
Tengo a salir con vida de este trago
123
El segundo fruto del Proliacutefico numen del Feacutenix de los Ingenios D Felix Lope de Vega y Carpio
aparece en su obra ldquoLa Nintildea de Platardquo y se titula ldquoDe Repenterdquo y puede calificarse de perfecto
Dice asiacute
Un soneto me manda hacer Violante Por el primer terceto voy entrando
Que en mi vida me he visto en tal aprieto Y parece que entreacute con pie derecho
Catorce versos dicen que es soneto Pues fin con este verso le voy dando
Burla burlando van los tres delante Ya estoy en el segundo y aun sospecho
Yo penseacute que no hallara consonante que voy los trece versos acabando
Y estoy en la mitad de otro cuarteto Contad si son catorce y estaacute hecho
Maacutes si me veo en el primer terceto
No hay cosa en los cuartetos que me espante
En el terreno de la tecnologiacutea es notorio el caso como se ve en la figura IV1 de la definicioacuten
de ldquomapa de conocimientordquo en teacuterminos de un mapa de conocimientos (del Moral 2007)
Figura IV1 Autodefinicioacuten de Mapa de Conocimiento
Finalmente estaacute el juego de ldquoWishrdquo que consiste en que uno da una palabra del diccionario
cualquiera luego los demaacutes participantes por turno va estableciendo como en un aacuterbol
todas las palabras del diccionario que la definen y a su vez las palabras que definen a eacutestas
etc hasta que necesariamente (dado que el diccionario es autocontenido o sea todas las
palabras del diccionario se definen en teacuterminos de dichas palabras) aparece una repeticioacuten
124
La autorreferencia es decir la posibilidad de que una cierta entidad linguumliacutestica matemaacutetica o
computacional se refiera a siacute misma da lugar a razonamientos circulares y paradojas
enigmaacuteticas Un ejemplo es la ya citada paradoja del mentiroso de la que existen muacuteltiples
versiones La maacutes simple consististe en una sola frase que afirma su propia falsedad ldquoEsta
frase es falsardquo No puede ser cierta ni falsa sin caer en una contradiccioacuten Consideacuterese otro
ejemplo linguumliacutestico Se clasifican los adjetivos calificativos en dos grupos se llamaraacuten
autoacuteclitos a los adjetivos que pueden aplicarse a siacute mismos y heteroacuteclitos a los que no pueden
aplicarse a siacute mismos Por ejemplo el adjetivo ldquoesdruacutejulordquo es autoacuteclito porque esdruacutejulo es
una palabra esdruacutejula y ldquopentasiacutelabordquo que es una palabra con cinco siacutelabas y por tanto
pentasiacutelaba Es difiacutecil dar maacutes ejemplos puesto que la mayoriacutea de los adjetivos como
ldquoblancordquo ldquofranceacutesrdquo o ldquoestrechordquo son heteroacuteclitos Ahora inteacutentese responder a la siguiente
pregunta iquestes el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo autoacuteclito o heteroacuteclito Si es autoacuteclito entonces se
aplica a siacute mismo y es por tanto heteroacuteclito y siacute es heteroacuteclito entonces no se aplica a siacute
mismo y no puede ser heteroacuteclito De nuevo una frase el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo es heteroacuteclito
afirma su propia falsedad Un curioso juego el Nomic en el que los jugadores cambiaban las
reglas del propio juego a lo largo de la partida (de hecho las reglas iniciales del juego
simplemente estableciacutean los mecanismo para modificarlas) es otro ejemplo Pero la
autorreferencia no soacutelo da lugar a paradojas o a grandes teoremas El maacutes familiar y maacutes
misterioso fenoacutemeno de la Naturaleza la conciencia que los seres humanos tienen de siacute
mismos es en uacuteltima instancia un tipo de autorreferencia
Un nuevo ejemplo de autorreferencia que sin duda atrae mucho la atencioacuten es la foacutermula de
Tupper (Parrondo2007) que tienen la sorprendente propiedad de dibujarse a siacute misma en el
plano La foacutermula es la siguiente
Figura IV2 Autorretrato de la foacutermula de Tupper
125
En ella aparecen dos siacutembolos que quizaacutes algunos no conozcan aunque son habituales en
matemaacuteticas El primero de ellos es x y es la parte entera de x es decir el entero
inmediatamente por debajo de x Por ejemplo 2452 = Como se ve la parte entera de un
nuacutemero es simplemente lo que hay a la izquierda de la coma decimal La otra funcioacuten que
aparece en la foacutermula de Tupper es la funcioacuten ldquomoacutedulordquo mod (xz) que es igual al resto que se
obtiene cuando se divide x entre y Por ejemplo mod(3617)=2
La foacutermula establece una condicioacuten para el par x y Si se colorean de negro en el plano (xy) los
puntos que verifican la condicioacuten se obtendraacute un dibujo una imagen infinitamente grande
puesto que el plano (xy) es infinito Pues bien en un lugar de esa imagen infinita en concreto
en la regioacuten definida por 0ltxlt106 kltyltk+17 en donde k es un nuacutemero enorme de 542 cifras
aparece lo que se muestra en la figura IV2 es un autentico ldquoautorretratordquo matemaacutetico
iquestCoacutemo llegoacute Tupper a concebir algo tan sorprendente y tan extrantildeo En realidad no es tan
difiacutecil porque la foacutermula de Tupper no soacutelo se dibuja a siacute misma sino que dibuja cualquier
imagen de 17 piacutexeles de altura y ancho arbitrario Para convencerse de ello hace falta un
razonamiento un poco complicado aunque soacutelo utiliza matemaacuteticas elementales Analiacutecese la
foacutermula cuando y variacutea desde k hasta k+17 siendo k un muacuteltiplo de 17 es decir k=17r con r
un nuacutemero entero En toda esta regioacuten del plano
r17
y=
es constante Fijaacutendose ahora en el exponente de 2 en la foacutermula (cambiado de signo) es
decir en la expresioacuten
( )17ymodx17n +=
En la figura IV3 se muestra coacutemo este exponente n variacutea en el plano Si se dibuja una trama de
piacutexeles cuadrados de lado unidad n toma un valor distinto en cada uno de ellos tal y como se
indica en la figura Para convencerse de ello basta darse cuenta de que ( )17ymod es un
entero que variacutea de 0 a 16 cuando y va desde k=17r hasta k+17 mientras que el teacutermino
x17 salta de 17 en 17 cuando se avanza de una columna a la siguiente
126
Figura IV3 Variacioacuten del exponente n pixel a pixel
Veacutease ahora el paso crucial para entender la foacutermula de Tupper La desigualdad
( ) 22rmod2
1 nminuslt
se puede analizar de forma sencilla si se expresa r en base 2 Supoacutengase que r es en binario
1011001 y que n=5 Para dividir r entre 25 basta colocar la coma decimal cinco lugares a la
izquierda de la uacuteltima cifra es decir r2-5=1011001 El moacutedulo 2 de este nuacutemero se obtiene
eliminando las cifras a la izquierda de la primer cifra entera mod(r2-52)=011001 Finalmente
la parte entera de este nuacutemero es simplemente la cifra que queda a la izquierda de la coma
decimal en este caso 0 Por lo tanto el miembro de la derecha de la desigualdad no es maacutes
que la cifra n+1 de r empezando por la derecha Si esta cifra es un 0 la foacutermula es falsa Si es
un 1 es verdadera y generaraacute un piacutexel negro en el lugar correspondiente al exponente n
Con todo ello se puede encontrar en queacute regioacuten del plano se dibuja la foacutermula de Tupper de
cualquier imagen Basta escribir un nuacutemero binario entero r con unos y ceros en donde se
quiere que haya piacutexeles negros y blancos respectivamente Si se tiene que escribir r de
derecha a izquierda mientras si sigue los piacutexeles de la imagen en el orden especificado en la
figura IV3 (desde n=0 hasta el valor que se quiera) Una vez que se obtiene r de esta forma se
multiplica por 17 y se obtiene k=17r La imagen buscada estaraacute en la franja que va de y=k hasta
127
y=k+17 y de x=0 hasta el valor de x en el que termina la imagen que puede ser tan ancha
como se quiera (los piacutexeles a la derecha del uacuteltimo codificado en el nuacutemero r seraacuten blancos)
La foacutermula no da lugar a ninguna paradoja pero no es soacutelo autorreferente sino una auteacutentica
Biblioteca de Babel Dibuja todas las posibles imaacutegenes de 17 piacutexeles de altura y de anchura
arbitraria y como en 17 piacutexeles de altura es faacutecil dibujar cualquier letra del abecedario y
cualquier signo de puntuacioacuten entonces la foacutermula ldquoescribiraacuterdquo en alguna remota franja del
plano y como si se tratara de un rudimentario teletipo el Quijote entero desde su primera
hasta su uacuteltima letra o cualquier otro libro escrito o por escribir
G) Informacioacuten oculta Decidir lo que se exporta al resto del mundo y lo que uno guarda para siacute
mismo es una capacidad que los desarrolladores del software adquieren soacutelo a traveacutes de
una combinacioacuten de buenos ejemplos y praacutectica
H) Reutilizacioacuten El buen desarrollador de software se da cuenta de que una clave para dejar la
ldquomarca de faacutebricardquo es saber cuaacutendo se puede contar con alguacuten trabajo anterior para
resolver el problema en curso Reutilizar bien es una habilidad producir resultados para
que otros los empleen es el signo de que se es un maestro El uso de ontologiacuteas es aquiacute
esencial
I) Pleacutectica o coacutemo vencer la complejidad Los sistemas software son ambiciosas empresas
intelectuales verdaderamente alguno de los sistemas maacutes complejos jamaacutes concebidos
por la humanidad y la complejidad amenaza con engullirse el proyecto en cada estadio Los
expertos saben coacutemo reconocer la simplicidad esencial maacutes allaacute de un aparente embrollo A
esta propiedad el Nobel de fiacutesica Gell-Man le denomina ldquoPleacutecticardquo (Gell-Man 1996) que el
mismo define como el estudio de la simplicidad y la complejidad Uno de sus fines es
establecer claramente cuaacutendo la adicioacuten de nuevos elementos (reglas datos etc)
simplemente complica las cosas sin antildeadir nada esencial
J) Disentildeo para el cambio El software puede cambiar debe cambiar y de hecho cambia maacutes
que cualquier artefacto de ingenieriacutea de cualquier otro tipo A menos que los
desarrolladores apliquen minuciosamente principios arquitectoacutenicos estrictos el proceso
de cambio puede ser penoso especialmente para grandes sistemas Mucha de la
justificacioacuten para los modernos meacutetodos lenguajes y herramientas es la expectativa de que
facilitaraacuten este proceso Aprender los principios del disentildeo para el cambio y presentar
claramente sus beneficios es algo esencial
128
K) Clasificacioacuten Una de las ensentildeanzas extraiacutedas de la programacioacuten orientada a objetos POO
es que una manera de atacar la complejidad es organizar lo ldquoenfollonadordquo en embrollos
maacutes pequentildeos y repetir el proceso
L) Tipificacioacuten La nocioacuten de que dando a todo una tipificacioacuten produce elementos software
correctos documentarlos y hacerlos utilizables efectivamente es otra realizacioacuten que puede
afectar profundamente el entendimiento del campo del profesional del software
Cuestiones y teacutecnicas de tipificacioacuten van a traveacutes de la especificacioacuten hasta la
implementacioacuten y documentacioacuten La profesioacuten de desarrollador software tiene a gala
haber tomado el estudio y la construccioacuten de sistemas tipo maacutes que cualquier otra
disciplina dominar su poder es necesario para llegar a ser un buen profesional
M) Constricciones La praacutectica de algoritmos estructuras de datos moacutedulos y sistemas con
restricciones precisas garantiacuteas e invariantes da con mucho un mejor control sobre lo que
se hace Una vez dominada esta habilidad es para siempre
N) Manejo de excepciones La mayoriacutea de la gente en su vida cotidiana y los desarrolladores
de software no son en esto una excepcioacuten considera soacutelo las cosas o situaciones maacutes
comunes y o deseables sin embargo un buen profesional debe preocuparse
constantemente tambieacuten por las situaciones anormales Soacutelo a traveacutes de teacutecnicas
conceptuales sistemaacuteticas puede evitarse el ahogarse en las partes supuestamente
interesantes del razonamiento en miriacuteadas de previsiones y casos excepcionales En este
sentido la CS tiene maacutes que ver con la acutePatafiacutesica que es el estudio y anaacutelisis de las
excepciones que con la Fiacutesica que trata de leyes lo maacutes generales posibles
La lsquoPatafiacutesica palabra que seguacuten Arrabal (debe llevar siempre apoacutestrofe pegado a la
izquierda de la P mayuacutescula) en realidad es la disciplina que sin disciplina alguna propone
soluciones imaginarias En su diacutea se presentoacute en sociedad como ciencia de lo particular sin
dejarse atropellar por la afirmacioacuten positivista de que soacutelo hay ciencia de lo general En
plena iexcllocura estudia las leyes que rigen las excepciones e ilumina o explica el universo
suplementario o supremamente Para Shatuk (Shatuk 1996) Toda ley es por definicioacuten
general en el sentido de que generaliza todos los hechos observados En otro caso se estaacute
ante lo que el movimiento dadaiacutesta denominoacute lsquoPatafiacutesica Para ellos la ciencia de las
soluciones imaginarias no de lo real y ademaacutes es la ldquocienciardquo de lo particular es decir de
las ldquoleyesrdquo que gobiernan las excepciones En un sentido similar Alfred Jarry (Jarry 2003)
dice La lsquoPatafiacutesica cuya etimologiacutea debe escribirse epi (microετατα-ϕυσιχα) y cuya ortografiacutea
129
real es lsquoPatafiacutesica con apoacutestrofo para evitar un faacutecil retruecano es la ciencia que se antildeade
a la metafiacutesica asiacute sea en ella misma como fuera de ella extendieacutendose maacutes allaacute de eacutesta
tanto como ella misma se extiende maacutes allaacute de la fiacutesica Para Jarry los fundamentos de la
lsquoPatafisiacuteca son los siguientes
a) La lsquoPatafiacutesica es la ciencia de lo que se antildeade a la metafiacutesica En consecuencia su
dominio queda por debajo de eacutesta
b) Es la ciencia de las leyes que rigen lo excepcional Un epifenoacutemeno es lo que se antildeade a
un fenoacutemeno puesto que a menudo el epifenoacutemeno es el accidente la lsquoPatafisiacuteca seraacute
sobre todo la ciencia de lo particular por maacutes que suela decirse que soacutelo hay ciencia en
general Estudiaraacute por tanto las leyes que rigen las excepciones y explicaraacute el universo
suplementario de eacuteste O menos ambiciosamente descubriraacute un universo que pueda y
quizaacutes deba verse en lugar del tradicional ya que las leyes del universo tradicional que
se ha creiacutedo descubrir son tambieacuten correlaciones de excepciones aunque maacutes
frecuentes o en todo caso correlaciones de hechos accidentales que reducieacutendose a
excepciones poco excepcionales carecen del atractivo de la singularidad
c) Es la ciencia de las soluciones imaginarias que acuerda simboacutelicamente a los
lineamientos de los objetos las propiedades de eacutestos descritas por su virtualidad La
ciencia actual seguacuten los patafiacutesicos se funda sobre el principio de la induccioacuten lo cual
es falso La mayoriacutea de los hombres ha visto que tal o cual fenoacutemeno precede o sucede a
tal otro y concluye que siempre ocurriraacute asiacute En primer lugar esto es cierto solamente a
menudo depende de un punto de vista y estaacute codificado por la comunidad o por algo
peor En lugar de enunciar la ley de la caiacuteda de los cuerpos hacia un centro iquestpor queacute no
ha de preferirse la ascensioacuten del vacioacute o hacia una periferia tomaacutendose el vaciacuteo como
unidad de no-densidad hipoacutetesis eacutesta mucho menos arbitraria que la eleccioacuten del agua
como unidad concreta de densidad positiva
d) A los ojos de la lsquoPatafisiacuteca todo tiene el mismo valor y es en esencia imperturbable
e) Otros finalmente creen que la lsquoPatafisiacuteca es la ciencia basada en la observacioacuten de lo
inuacutetil y lo absoluto
Naturalmente la doctoranda soacutelo toma de la `Patafiacutesica el que en CS hay que considerar
y tener muy en cuenta las excepciones Lo demaacutes es puro surrealismo
130
O) Efecto Peneacutelope Falsas Maniobras Errores y Depuracioacuten Una parte importante de la vida
de los desarrolladores de software se gasta tratando con cosas que no funcionan coacutemo
deberiacutean De hecho los profesionales del software son los mayores expertos del mundo en
desarreglos Ensentildear a tratar estos desarreglos es fundamental a cualquier profesional del
software En el lenguaje de la construccioacuten se llaman ldquofalsas maniobrasrdquo a todas aquellas
actividades que se realizan en una obra de forma innecesaria bien sea por defectos de
disentildeo desarrollo del proyecto o improvisacioacuten al no haber sido tenidas en cuenta en la
planificacioacuten y programacioacuten de la ejecucioacuten de la obra Este inevitable hacer y deshacer
por improvisacioacuten falta de estudio previo o coordinacioacuten en el desarrollo y ejecucioacuten de un
proyecto en el mejor de los casos concierne a la eficiencia del proceso elevando los costes
del mismo y alargando innecesariamente los plazos de entrega de los productos
terminados pero en el peor lleva a fallos del mismo que inciden en la seguridad del
sistema en el que participan
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES
Y HOLONES
La teoriacutea propuesta se basa en soacutelo dos elementos fundamentales o constructos conceptuales
siguientes
IV31 INFORMOacuteN
IV311 DEFINICIOacuteN
Cualquier teoriacutea acerca de la informaacutetica en general y del disentildeo y desarrollo software maacutes en
concreto tiene que considerar esto es establecer y definir el elemento fundamental de la
misma la informacioacuten y su componente baacutesico el ldquoinformoacutenrdquo Etimoloacutegicamente informacioacuten
procede del teacutermino latino ldquoinformarerdquo cuyo significado de ldquoinformrdquo y ldquoarerdquo es ldquodar formardquo y
del sufijo griego ldquoonrdquo entidad ser partiacuteculas que fusionadas dan ldquoser informacionalrdquo o ldquoser
con formardquo Es decir informoacuten es una entidad informacional Analiacutecese ahora el teacutermino
informacioacuten Si se busca en los diccionarios uno se encuentra que seguacuten el DRAE Informacioacuten
es la accioacuten y efecto de informar e informar es dar noticia de algo (RAE 2001) Por su parte en
el Websterrsquos New World Dictionary (Guralnik 1986) se encuentran entre otros los siguientes
significados noticias conocimiento adquirido de cualquier manera hechos datos etc En
efecto y eso es lo que es trascendental aquiacute la informacioacuten puede presentarse en forma de
131
datos noticias y conocimientos Este enfoque coincide tal y como se muestra en la tabla IV1
con multitud de autores (Lage 2004) salvo que alguno de ellos reducen toda la informacioacuten a
lo que maacutes adecuadamente debe denominarse noticias
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Aamont amp Nygord
Entidades sintaacutecticas es decir Patrones sin significado Entradas a un proceso de interpretacioacuten Paso iniciado de la toma de decisioacuten
Datos interpretados o con significado Salida del proceso de interpretacioacuten Entrada al proceso de decisioacuten basado en conocimientos
Noticias aprendidas o incorporadas a los recursos de los agentes de razonamiento y utilizables de forma activa en los procesos de decisioacuten Salida del proceso de aprendizaje Aspecto pragmaacutetico
Alter Beckman Spek van
der amp Spijkervert
Hechos imaacutegenes o sonidos Datos formateados filtrados interpretados y dotados de significado
Ideas Intuiciones Procedimientos Reglas que guiacutean las acciones y soportan las decisiones es decir las noticias maacutes acciones maacutes aplicaciones
Arsac Nivel sintaacutectico Interesa posibles signos duracioacuten combinaciones
Nivel semaacutentico Comprensioacuten de signos Reglas para asignar sentido a etiquetas Son variables con el tiempo y el entorno o contexto
Nivel pragmaacutetico relativo al valor o utilidad de las noticias Depende fuertemente del tiempo
Bauer Bobrow
Cook Kleer amp Thomson
Nuacutemeros palabras sonidos imaacutegenes desorganizads
Datos ordenados y procesados en palabras significativas
Noticias dotadas de contenido contexto y comunidad de aceptacioacuten Es decir noticias puestas a producir por la gente
Bohn Materia prima Datos estructurados y organizados Algo que prescribe que hacer verbigracia la prediccioacuten
Blum
Elementos dados no interpretados al analista o solucionador del problema Por ejemplo nombre del paciente resultado de un test etc
Coleccioacuten de datos o elementos que contienen significado Por ejemplo registro meacutedico de un paciente que incluye los resultados del laboratorio y la diagnosis En Teoriacutea de Informacioacuten reducen la incertidumbre
Formalizacioacuten de las relaciones experiencia reglas etc por las cuales se forman las noticias a partir de los datos La formulacioacuten puede ser descriptiva o procesable por computadora En el segundo caso los conocimientos pueden expresarse como una foacutermula o como una coleccioacuten de estructuras relaciones y reglas El uso de los conocimientos sugiere generalmente la capacidad de inferir noticias a partir de las que ya estaacuten presentes
Cleveland
Observaciones sin digerir hechos sin pulir Aparecen como nuacutemeros letras palabras sin contexto y o organizacioacuten Tambieacuten pueden ser sentildeales dibujos artefactos
Datos estructurados y o organizados en un contexto Constan de hechos y datos organizados para describir problemas y situaciones Aparecen en forma de frases figuras objetos en un contexto particular
Noticias organizadas uacutetiles interiorizadas por un ente Constan de verdades y creencias perspectivas y conceptos juicios y expectativas metodologiacuteas y ldquosaber coacutemordquo Se acumulan integran y conservan en el tiempo y estaacuten disponibles para que sean aplicables y usables de forma idoacutenea en el momento oportuno y en el sitio adecuado
Davenport y Prusak
Hechos discretos y objetivos sobre acontecimientos Se describen mejor como registros estructurados de transacciones Los datos maacutes significativos transformados por Contextualizacioacuten categorizacioacuten caacutelculo correccioacuten o conclusiones = Noticias
Mensajes en forma de documento o comunicacioacuten audible o visible que tienden a cambiar la manera en que un receptor percibe algo y apunta a modificar su(s) criterio(s) y comportamiento Las noticias transformadas mediante comparacioacuten obtencioacuten de consecuencias conexiones o conversaciones devienen en conocimientos
Comprensioacuten total informada y confiable acerca de algo Es una mezcla fluiacuteda de experiencia estructurada valores informacioacuten contextual e internalizacioacuten experta que proporciona un marco para la evaluacioacuten e incorporacioacuten de nuevas experiencias e informacioacuten No es algo ordenado y simple Puede considerarse como un proceso o un producto Estaacuten muy proacuteximos a la accioacuten
Debenham Los datos son los objetos fundamentales e indivisibles de una aplicacioacuten
Las noticias son las asociaciones funcionales impliacutecitas entre los datos de una aplicacioacuten
Los conocimientos son las asociaciones funcionales expliacutecitas entre las noticias y o los datos de una aplicacioacuten
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores (continua)
132
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Gillette
Hechos organizados Siendo los hechos representaciones de fenoacutemenos y eacutestos lo que parece ser es decir lo que es percibido
Conceptos formados en la conciencia del perceptor Son datos seleccionados filtrados y usados para tomar decisiones o reforzar la posicioacuten de los usuarios Es decir son datos aplicados y uacutetiles Su valor es intriacutensecamente relativo a los usuarios
Noticias en accioacuten y movimiento Capacidad de reconocer comprender y seleccionar noticias y sus implicaciones Dice coacutemo aplicar las noticias y cuaacuteles buscar
Greenes and Shortliffe
Uacutenico punto de observacioacuten no interpretado Es decir el valor de un paraacutemetro especiacutefico Por ejemplo la lectura de la presioacuten arterial para una entidad particular (verbigracia un paciente) en un punto dado del tiempo
Datos organizados de manera que vehiculan significado
Se refiere a verdades generalizadas formadas a partir del anaacutelisis de las noticias utilizables De este modo los conocimientos incluyen ambos los resultados de estudios formales y hechos de sentido comuacuten suposiciones heuriacutesticas y modelos cualquiera de los cuales puede reflejar la experiencia o ldquoprejuiciosrdquo o preferencias de aquellos que interpretan los datos primarios Por ejemplo la noticia de que un paciente tiene hipertensioacuten es el resultado de aplicar una regla o criterio a los datos acerca de ese paciente Observaciones de varios de tales pacientes pueden conducir a nuevos conocimientos acerca de las relaciones entre hipertensioacuten y enfermedad cardiaca Datos y conocimientos son algo relativo en el sentido de que una afirmacioacuten factual (conocimiento) puede servir como dato en un nuevo contexto
Grenwood Materia prima Noticias vaacutelidas para una organizacioacuten especifica
Harris Datos+ ldquosustanciardquo+ propoacutesito Noticias + contexto + experiencia
Juristo y Pazos
Son elementos sintaacutecticos no estructurados y de contexto libre que denotan hechos y conceptos que se refieren al estado de las cosas y que en su forma maacutes simple se traducen en el valor que toma una variable verbigracia T =
11degC
Contienen elementos de datos relacionados y estructurados dentro de un contexto que les aporta significado Es decir es el significado que un ser inteligente atribuye a los datos a partir de las reglas convencionales empleadas para su representacioacuten Las noticias son foacutermulas escritas susceptibles de aportar conocimientos Por ejemplo
la frase ldquoel agua hierve a 100degCrdquo es una noticia
Constan por una parte de generalizaciones y abstracciones a partir de casos particulares y o concretos Por otra los conocimientos formalizan tanto las relaciones como la experiencia y permiten extraer nuevas noticias a partir de los datos y las noticias presentes o en uacuteltima instancia a explicitar noticias que soacutelo de modo impliacutecito estaacuten en los datos y las noticias existentes Los conocimientos sirven baacutesicamente para entender el mundo y resolver problemas En consecuencia los conocimientos conciernen baacutesicamente al aspecto pragmaacutetico o de utilizacioacuten de las noticias en general Asiacute el decir que ldquomuchos microbios perecen cuando se hierven a
100degCrdquo es un conocimiento que sirve para esterilizar agua contaminada y hacerla potable
Knapp Materia prima Noticias uacutetiles seleccionadas para ciertos trabajos
Kock y Moqueen
Vehiacuteculos de noticias y conocimientos
Lo relativo a hechos histoacutericos y descriptivos
Nuevo o modificado discernimiento o entendimiento predictivo
Kogut y Zander
Hechos ldquoamorfosrdquo Sentencias factuales o descriptivas Sentencias de coacutemo hacerlo esto es prescriptivos por ejemplo una receta
St Onge Materia prima Datos patroneados Capacidad para actuar
Vance Datos interpretados Noticias autenticadas
Zack Hechos en observaciones Datos en un contexto significativo Acumulacioacuten de noticias relevantes significativamente organizadas
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores
133
Conceptualmente para que se produzca informacioacuten debe existir alguacuten grado de
incertidumbre Como lo sentildealoacute Bateson (Bateson 1979) Informacioacuten es cualquier diferencia
que produce una diferencia Es decir si algo caracteriza a la informacioacuten es que es o produce
sorpresa (Schank 1996) Todo el mundo espera que la naturaleza o la gente o cualquier otra
entidad del tipo que sea se comporte de una cierta manera es decir sin incertidumbre pero
curiosamente cuando eso sucede asiacute la gente se aburre y hastiacutea Lo que hace que algo sea
digno de intereacutes y consideracioacuten es aquello que aparece organizado alrededor del concepto
de fracaso de expectativas Dicho de otro modo las previsiones cobran intereacutes no cuando se
cumplen sino justamente cuando fallan Por ello informacioacuten es el valor de la sorpresa
medida como el inverso de la probabilidad esperada de un evento o fenoacutemeno Es decir
cuando se habla de cualquier fenoacutemeno no es posible aprender algo vaacutelido de eacutel si estaacute
totalmente determinado
En consecuencia soacutelo hay informacioacuten si existe al menos un elemento de variabilidad Eacutesta
debe presentarse en diferentes estados cuyo nuacutemero debe ser muy finito Esto permite
determinar en queacute estado se encuentra dicho fenoacutemeno Formalmente Sea un fenoacutemeno
variable X que se presenta en un nuacutemero finito de estados infinneE entonces se dice que se
tiene informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando previamente se puede determinar el estado
actual del fenoacutemeno sometido a consideracioacuten Ei Dicho con otros teacuterminos de algo invariable
nada se puede decir que alguien no apostillara ya lo sabiacutea siempre fue y es asiacute En
consecuencia soacutelo puede haber informacioacuten si existe un elemento de variabilidad Eacutesta debe
presentarse como acaba de decirse en un nuacutemero finito de estados distintos pues en otro
caso no seriacutea posible considerarlos todos Entonces iquestcuaacutel seriacutea el significado de los no
considerados Lo uacutenico que se puede decir de ese fenoacutemeno finito es en queacute estado estaacute
actualmente Todo ello permite establecer la siguiente definicioacuten formal de informacioacuten Sea
un fenoacutemeno variable que se presenta en un nuacutemero finito de estados se dice que hay
informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando se determina previamente el estado actual del
fenoacutemeno sometido a consideracioacuten
Esta doctoranda teniendo en cuenta lo anterior define la informacioacuten del modo siguiente
ldquoUna diferencia causada por un proceso subyacente casi siempre dirigido por propuestas y o
intereses capaz de transformar una estructura cognitiva vehiculada por una coleccioacuten de
siacutembolos que tiene el potencial de alterar el estado cognitivo de un agente cognoscitivo que le
dota de significadordquo
134
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN
Los distintos elementos que intervienen en el manejo y transmisioacuten de la informacioacuten (Lage
2004) que establecen una categorizacioacuten en niveles de la misma son los siguientes Soporte
sentildeales signos datos noticias conocimientos y sabiduriacutea
La informacioacuten va desde la infraestructura que la vehicula formada por su soporte sentildeales y
signos a la superestructura que la usa para la accioacuten constituida por conocimientos y
sabiduriacutea pasando por la estructura conteniendo los datos y las noticias (que es lo que
habitualmente se denomina informacioacuten) Es decir los tres primeros elementos conforman la
infraestructura de la informacioacuten los dos del medio la estructura y los dos uacuteltimos la
superestructura Estos cuatro uacuteltimos conforman lo que geneacutericamente se denomina
informacioacuten El paso de unos niveles a otros se puede dar esquemaacuteticamente como sigue
Soporte medio que transmite sentildeales o soporta fenoacutemenos (en griego lo que aparenta ser)
verbigracia Aire Agua ADN canales humo nervios etc son distintos soportes + variaciones
en dicho soporte rArr
Sentildeales + Coacutedigo rArr
Signos + Patroacuten rArr
Datos = Hechos imaacutegenes sonidos valores de variables texto coacutedigo hellip + Interpretacioacuten +
Significado + Estructura + Relevancia + Propoacutesito rArr
Noticias Datos interpretados sumarizados organizados estructurados filtrados formateados
+ Accioacuten + Aplicacioacuten rArr
Conocimientos Ideas normas procedimientos casos reglas modelos intuiciones que guiacutean
las decisiones y actuaciones + Seleccioacuten + Experiencia + Principios + Restricciones +
Aprendizaje + Intuicioacuten rArr
Sabiduriacutea Juicios eacuteticos y esteacuteticos y axioloacutegicos Preferencias Gustos etc
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IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN
Claacutesicamente y teniendo en cuenta la naturaleza triaacutedica de los signos hay tres aspectos a
considerar en el estudio formal de la informacioacuten (Morris 1938) a saber
a) Sintaacutectico que trata sobre coacutemo estaacuten estructurados los siacutembolos
b) Semaacutentico que concierne a lo que denotan o significan
c) Pragmaacutetico que afecta a coacutemo se interpretan o usan
Aspectos que de modo similar tambieacuten considera Arsac (Arsac 1970) y hoy con ligeras
variaciones acepta todo el mundo (Paradela 2003) Sin embargo siendo importante la
informacioacuten en siacute misma no lo es menos la componente de comunicacioacuten que implica
Intuitivamente el significado de una ldquocomunicacioacutenrdquo es una combinacioacuten de semaacutentica y
pragmaacutetica Esta uacuteltima incluye inherentemente consideraciones tales como el entorno y los
estados mentales de los que se comunican que son externos al propio lenguaje Las maacuteximas
ldquoGriceanasrdquo de la comunicacioacuten son la piedra maestra del proceso de discusioacuten y son las
siguientes (Grice 1975)
a) ldquoCantidadrdquo Hacer la contribucioacuten a la conversacioacuten tan informativa como sea necesario
pero no maacutes para reducir la confusioacuten
b) ldquoCalidadrdquo Intentar hacer soacutelo contribuciones verdaderas es decir no decir lo que se cree
que es falso o de lo que se carece de la adecuada evidencia para establecerlo
c) Relacioacuten Emplear soacutelo aquello que sea relevante para el asunto entre manos
d) Modo manera o forma Evitar la oscuridad y la ambiguumledad ser breve y ordenado Es un
anhelo generalizado en casi todos los oacuterdenes de la vida el economizar palabras
naturalmente sin perder nada del significado de lo que se quiere decir Baltasar Graciaacuten
(Graciaacuten 1963) deciacutea Lo bueno si breve dos veces bueno y auacuten lo malo siacute poco no tan
malo maacutes obran quintas esencias que faacuterragos Las foacutermulas tablas etceacutetera ayudan a
este propoacutesito
Las formas maacutes concisas elegantes y potentes de transmisioacuten de ideas y conceptos son las
foacutermulas y ecuaciones matemaacuteticas y la poesiacutea Pues ambas comparten la siguiente cualidad
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caracteriacutestica La poesiacutea es como las foacutermulas y las ecuaciones la forma del lenguaje maacutes
concisa y cargada de significado La diferencia estaacute en que en las foacutermulas y ecuaciones el
idioma es universal cosa que no sucede en la poesiacutea
La distincioacuten entre datos noticias y conocimientos lleva antildeos intentado dilucidarse sin que
hasta el momento se haya llegado a una conclusioacuten definitiva Una posible razoacuten para esta
falta de consenso estriba en el hecho de que se mezclan distintas perspectivas en las
discusiones acerca de conceptos que como sucede en el caso de ldquoinformacioacutenrdquo resultan ser
ldquopolimorfosrdquo Se dice que un concepto es polimorfo cuando no es posible definirlo como se
hace con las definiciones claacutesicas mediante un conjunto de atributos caracteriacutesticas y o
propiedades y o condiciones necesarias y suficientes universalmente vaacutelidas Un ejemplo
tiacutepico de concepto polimoacuterfico es el de ldquococherdquo que no es lo mismo para un ingeniero
mecaacutenico que para un ecologista o para un planificador de traacutefico Es decir el concepto
ldquococherdquo admite y de hecho tiene distintas definiciones dependiendo del contexto Todo lo
contrario sucede con los conceptos matemaacuteticos formales establecidos que tienen definicioacuten
uacutenica
En general no hay forma de distinguir datos noticias y conocimientos a partir de una base
ldquorepresentacionalrdquo de los mismos es decir vistos aisladamente como elementos y estructuras
en un papel o una maacutequina o cualquier otro sistema pues usan los mismos signos y sentildeales
Por eso cualquier distincioacuten basada en el tamantildeo o complejidad de la representacioacuten estaacute con
probabilidad rayana en la certeza condenada al fracaso Una alternativa estriba en ir maacutes allaacute
de la representacioacuten e identificar coacutemo y con queacute propoacutesito se usan estas estructuras esto es
que papeles juegan en el proceso generalmente de toma de decisioacuten en el que participan En
consecuencia para poder categorizarlos ya que no es posible clasificarlos hay que tener en
cuenta ademaacutes de las estructuras por ellos mismos representadas su ldquointerpretacioacutenrdquo dentro
de los distintos contextos en que se aplican y por quieacuten son interpretados y aplicados Esto
conduce directamente al problema del ldquomarco de referenciardquo de los aspectos de
interpretacioacuten y los ldquoagentesrdquo hombres y o maacutequinas etc ejecutando la interpretacioacuten que
estaacuten interrelacionados Con el teacutermino ldquoagenterdquo se quiere decir un sistema natural y o
artificial con capacidad de inferencia y razonamiento sobre estructuras abstractas y de
ejecutar acciones en base a esas capacidades La cuestioacuten crucial es dilucidar a queacute ldquoagenterdquo
debe asignaacutersele un(os) elemento(s) concreto(s) en forma de dato(s) y o noticia(s) y o
conocimiento(s) o si eacutestos pueden considerarse como objetivos y o elementos
137
independientes de un inteacuterprete particular El concepto de ldquoholoacutenrdquo que se consideraraacute maacutes
adelante permitiraacute superar esas dificultades
De todo lo anterior se deduce que aunque pueda tomar distintas apariencias y usos la
informacioacuten es una y por eso una debe ser abstractamente su elemento baacutesico que a falta de
mejor nombre los autores deciden denominarle ldquoinformoacutenrdquo A modo de inciso aclarativo hay
que sentildealar que dicho teacutermino lo usoacute por primera y uacutenica vez Uttley (Uttley 1970) al aplicar
algunas ideas de la teoriacutea matemaacutetica de la comunicacioacuten de Shannon (Shannon 1948) al
perceptroacuten de Rosenblatt formado por unidades de separacioacuten lineal (ldquoneuronasrdquo) lo que
constituiacutea una fuerte limitacioacuten (Rosenblatt 1958) Para superarla Uttley propuso por una
parte un esquema de aprendizaje no supervisado en el que los pesos sinaacutepticos se definiacutean en
funcioacuten de que una ldquoneuronardquo i se active al tiempo que se activa otra j de la capa anterior y a
la que estaacute conectada por medio de una sinapsis y cuyo peso de conexioacuten asociado vendriacutea
dado por
)nn(P
)n(P)n(PlogkW
ij
ijii
ijsdot
sdotsdot=
Siendo k una constante a valorar por el disentildeador de la red P(nj) la probabilidad de que la
neurona j responda P(ni) la probabilidad de que la neurona i responda Y P(njni) la
probabilidad de que las dos neuronas esteacuten activadas simultaacuteneamente Por otra parte Uttley
tambieacuten reemplazoacute la funcioacuten umbral de activacioacuten del preceptroacuten por otra que proporcionaba
una respuesta maacutes graduada y no solamente de todo o nada Como puede verse el sentido
que se le da aquiacute no tienen nada que ver con la red de Uttley Fin de la aclaracioacuten
Es decir toda informacioacuten con independencia del soporte que se utilice de las sentildeales que
use y de los signos a que deacute lugar y emplee es ni maacutes ni menos un conjunto de informones
Fiacutejese que no se dice que puede representarse es mucho maacutes que eso estaacute constituida por
informones Por otra parte los tres aspectos a considerar en el estudio formal de la
informacioacuten (Morris 1938) Sintaxis o estructura de los signos Semaacutentica o significado de los
mismos y Pragmaacutetica o interpretacioacuten y o uso de dichos signos estaacuten contemplados en el
informoacuten El informoacuten es tanto un dato a nivel sintaacutectico como un registro de un MIS a nivel
semaacutentico como una ontologiacutea a nivel pragmaacuteticoPor ejemplo las bases de datos estaacuten
constituidas por informones tipo datos Los sistemas de informacioacuten proporcionan informones
138
tipo noticias estructuradas Y las bases de conocimiento se estructuran con informones en
forma de ontologiacuteas
Asiacute se define el informoacuten como el elemento baacutesico de la informacioacuten que tiene sentido para
un holoacuten y le permite tomar decisiones y ejecutar acciones adecuadas El informoacuten puede
tomar la forma de un dato de una noticia y de un conocimiento La unioacuten de informones como
datos y los holones correspondientes de informones como noticias y los correspondientes
holones con los que interactuan forman los asiacute aunque inadecuadamente denominados
sistemas de informacioacuten Finalmente la unioacuten de informones en forma de ontologiacuteas como
conceptualizaciones consensuadas de conocimientos y los correspondientes holones en este
caso en forma de motores de inferencia que las manejan y se interrelacionan forman los
Sistemas Basados en Conocimientos en general y los Sistemas Expertos en particular
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN
Como ya se ha dicho no existe informacioacuten sin algo que la procese Dicho lo anterior el
elemento baacutesico del proceso de la informacioacuten que aquiacute se considera es el que para usar el
teacutermino empleado por Koestler (Koestler 1967) basaacutendose en ldquola paraacutebola de los relojerosrdquo de
Simon (Simon 1962) se va a denominar holoacuten
El premio Nobel de economiacutea del antildeo 1978 y uno de los padres de la Inteligencia Artificial
Herbert A Simon planteoacute la paraacutebola de dos relojeros en el sentido de disentildeadores y sobre
todo constructores de relojes En dicha paraacutebola Simon concluiacutea (Simon 1962) que los
sistemas evolucionan mucho maacutes raacutepida y seguramente de un nivel de complejidad
determinado a otros niveles de complejidad significativamente superior si se consiguen
formas intermedias estables que actuacuteen como pasos intermedios hasta ldquoalcanzarrdquo el objetivo
Simon ilustraba el proceso seguacuten el cual era posible ldquocrecerrdquo minimizando riesgos hasta llegar
a sistemas complejos La idea es que un sistema complejo resultariacutea sumamente fraacutegil si no
constara de subsistemas interrelacionados y en la medida conveniente autoacutenomos La
paraacutebola sucintamente es la siguiente Habiacutea una vez dos relojeros Tempus y Hora que
trabajaban naturalmente en Suiza Hora montaba sus relojes como por entenderse se monta
un castillo de naipes Bastaba por tanto que una pieza verbigracia un muelle se saliera de su
sitio o por exagerar le ldquoatacarardquo un golpe de tos al relojero mientras colocaba una tuerca
para que todo se le viniera abajo y se viese forzado a retomar cual Siacutesifo (Seeman 1958) la
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tarea desde el principio Tempus con maacutes astucia y visioacuten de futuro seguiacutea otro procedimiento
maacutes eficaz Ensamblaba unidades independientes y complementarias hasta que oiacutea el ldquotic tacrdquo
sentildeal que el trabajo estaba felizmente terminado De este modo se precaviacutea de que el golpe de
tos o la pieza rebelde paradigma de la maldad de las cosas inanimadas echaran a perder su
trabajo Pues en el peor de los casos se estropeaba soacutelo una unidad o moacutedulo del sistema
total es decir se malograba una unidad que formaba parte o estaba comprendida en otra
unidad de orden superior lo que era un incordio pero no una tragedia Tempus consiguioacute
fabricar muchos maacutes relojes que Hora y al final se quedoacute con praacutecticamente toda la clientela
Retomando esta hipoacutetesis contrastada Arthur Koestler siguiendo la maacutexima holista
aristoteacutelica de que ldquoel todo es maacutes que la suma de las partesrdquo (Aristoacuteteles 1994) y teniendo
en cuenta la paraacutebola de los dos relojeros acuntildeoacute el neologismo ldquoholoacutenrdquo (Koestler 1967) que
etimoloacutegicamente viene de ldquoholosrdquo es decir totalidad e incorpora el sufijo ldquoonrdquo que como
ya se ha dicho significa ldquoparterdquo o ldquopartiacuteculardquo El concepto de holoacuten estaacute inspirado en las
estructuras recursivas autosimilares presentes en los sistemas organizativos bioloacutegicos De
hecho un holoacuten lo definioacute Koestler como una parte identificable de un sistema que tiene
entidad uacutenica compuesta de partes subordinadas y que a su vez es parte de un todo mayor
Este concepto tiene una larga y respetable historia En efecto la idea de jerarquiacutea y de sus
constituyentes partes-todo u holones puede y debe remontarse a los filoacutesofos presocraacuteticos
padres del atomismo Leucipo y Deomoacutecrito Eacutestos desarrollaron el concepto abstracto de
aacutetomo y lo usaron para desarrollar una filosofiacutea que podriacutea o al menos lo pretendiacutea explicar
todos los eventos observados Aristoacuteteles por su parte al establecer en su metafiacutesica que el
todo era maacutes que la suma de las partes fue el iniciador del holismo Ademaacutes usoacute la jerarquiacutea
como metodologiacutea para acumular y conectar conocimiento bioloacutegico Este concepto de
jerarquiacutea fue quizaacutes la forma dominante de ver la conexioacuten entre los oacuterdenes natural
humano y sobrenatural de los seres durante la edad media En el siglo XVII Leibinz propuso la
moacutenada como unidad irreducible para explicar no soacutelo el mundo material sino tambieacuten el
mundo espiritual
Al comienzo del siglo XX hubo un agitado intereacutes en el holismo y la jerarquiacutea que debe sus
geacutenesis al impacto de la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y Darwin Posteriormente en 1926
Jan Smuts en su obra ldquoEvolution and Holismrdquo vio las profundas conexiones entre los mundos
natural y social y su concepto de holismo influencioacute claramente las ideas de Wilber Eacuteste en
1980 cita a Smuts al comienzo de su principal trabajo ldquoThe Atman Projectrdquo donde usa el
concepto de jerarquiacutea En todas partes se ve en la naturaleza nada maacutes que totalidades
140
Mientras todos estos distintos entramados de ideas incluyen la consideracioacuten de redes
jeraacuterquicas y niveles y oacuterdenes de desarrollo no fue hasta el trabajo de Arthur Koestler donde
se propuso una teoriacutea completa de holarquiacutea y holones
Koestler primero vio la necesidad de alguacuten modelo que pudiera unir e integrar la visioacuten del
mundo reducionista y mecanicista de las sicologiacuteas ldquocientiacuteficardquo y conductista con la visioacuten del
mundo holista y humanista de las sicologiacuteas feudiana rogeriana y de la gestalt En segundo
lugar reconocioacute la importancia y relevancia de los procesos evolutivos en las ciencias sociales y
buscaba proporcionar alguacuten sistema teoreacutetico que pudiera aplicar conceptualizaciones
evolutivas a ambas realidades En tercer teacutermino buscaba desarrollar un modelo de sistemas
sociales humanos que fueran igualmente naturales para analizar el micronivel de la
individualidad y el macronivel de la colectividad Eacutel buscaba proponer alguacuten modelo baacutesico de
explicacioacuten que fuera relevante a lo largo y ancho de todo el rango de al actividad humana y su
entorno Koestler reconocioacute que este constructo ldquoholoacutenrdquo teniacutea de hecho unos muy
venerables y antiguos ancestros en la filosofiacutea occidental Varios e importantes filoacutesofos
incluyendo Leibniz y Hegel habiacutean dirigido su atencioacuten a la importancia de cosas tales como
jerarquiacutea y niveles de desarrollo Koestler se veiacutea a siacute mismo en una liacutenea de pensadores tales
como esos que buscaban presentar juntos diferentes buacutesquedas y escuelas de esfuerzos
cientiacuteficos en lugar de perseguir la continua especializacioacuten en el conocimiento cientiacutefico que
habiacutea caracterizado las modernas escuelas cientiacuteficas La teoriacutea holoacutenica era el intento de
Koestler de conseguir una filosofiacutea de la ciencia integradora y esperaba que esta teoriacutea o algo
similar formariacutean la base de cualquier futura visioacuten del mundo futuro
El teacutermino holoacuten es como ya se ha dicho una combinacioacuten del vocablo griego ldquoholosrdquo que
significa todo o totalidad y el sufijo ldquoonrdquo el cual como en las palabras protoacuten neutroacuten etc
que indica ademaacutes de ser partiacutecula o parte El holoacuten entonces es una parte-todo Es un
punto nodal en una jerarquiacutea que describe las relaciones entre entidades que son totalidades
autocompletas y entidades que pueden verse como partes dependientes de otras Asiacute
dependiendo de coacutemo se centre el foco movieacutendose arriba abajo y o a lo largo y ancho de
los nodos de una estructura ldquojeraacuterquicardquo asiacute la percepcioacuten de lo que es un todo y lo que es una
parte cambiaraacute
Koestler con la paraacutebola de los relojeros de Simon quiso mostrar dos cosas Una que los
sistema complejos evolucionaraacuten desde los sistemas maacutes sencillos mucho maacutes raacutepidamente si
hay formas estables intermedias es decir si estaacuten jeraacuterquicamente organizadas Dos y maacutes
141
importante eacutel buscaba mostrar que los sistemas complejos resultantes seraacuten siempre
jeraacuterquicos y que la jerarquiacutea es el resultado natural y ubicuo del desarrollo de formas
estructurales Despueacutes de establecer la importancia universal de la jerarquiacutea en el desarrollo
de sistemas complejos Koestler continuoacute proponiendo que estas jerarquiacuteas podriacutean analizarse
en teacuterminos de los nodos o formas intermedias estables mediante las cuales se define su
estructura Fue justo a estas formas intermedias a las que Koestler le confirioacute la nueva etiqueta
de ldquoholoacutenrdquo
Koestler vioacute la teoriacutea holoacutenica como una filosofiacutea de la ciencia amplia que mostraba una salida
al interminable debate acerca de los meacuteritos del reducionismo y del holismo Koestler sentildealoacute
que en cualquier y todo orden existente de los sistemas fiacutesicos a los sociales pasando por los
quiacutemicos y los bioloacutegicos enteramente autosoportados no existiacutean entidades no
interactuantes Y lo que es maacutes importante que las entidades pueden verse situadas en una
relacioacuten holaacuterquica entre ellas Eacutel llamaba a los sistemas de tales entidades Open Hierarchical
Systems (OHS) y a eacutestos subsecuentemente se les denominoacute holarquiacuteas Un holoacuten como
Koestler entendiacutea el teacutermino es una parte identificable de un sistema que tiene una identidad
uacutenica sin embargo estaacute hecho de partes subordinadas y a su vez es parte de un todo mayor
Los holones de Koestler no fueron pensados como entidades y objetos sino como una forma
sistemaacutetica de relacionar estructuras teoreacuteticas En otras palabras los holones eran puntos de
referencia arbitrarios para interpretar la realidad En sus palabras Whatever the natura of a
hierachic organization its constituent holons are defined by fixed rules and flexible estrategies
De este modo los holones de Koestler son postulados y ldquodeterminadosrdquo soacutelo fuera de las
reglas relacionales y estrategias que ayudan a dar sentido a la realidad
Dado que los holones se definen por la estructura de una jerarquiacutea cada holoacuten identificado
puede verse el mismo como una serie de subjerarquiacuteas anidadas de la misma manera que las
muntildeecas rusas las matrioscas son una serie inclusiva de muntildeecas dentro de otras muntildeecas
Los holones son entonces simultaacuteneamente partes y todos porque ellos son siempre partes
de jerarquiacuteas maacutes amplias y siempre contienen subjerarquiacuteas Los holones son
simultaacuteneamente todos autocontenidos de sus partes subordinadas y partes dependientes
cuando se ven en la direccioacuten inversa Por consiguiente los holones pueden verse como
puntos de referencia en series jeraacuterquicas u holarquiacuteas
Koestler ha propuesto un conjunto bastante detallado de principios holoacutenicos y mostroacute que el
constructo holoacuten tiene una aplicacioacuten muy amplia A su vez Wilber ha colocado el constructo
142
holoacuten firmemente en el centro de su marco integrador comprehensivo para conectar
conocimiento Wilber ha ampliado la teoriacutea holoacutenica en un nuevo enfoque para entender las
relaciones de muchos dominios de conocimiento diferente Las concordancias entre los
principios holoacutenicos de Koestler y los 20 postulados de Wilder son claras pero no completas En
efecto hay varios aspectos de la teoriacutea de Koestler que hasta ahora no han sido explorados
por nadie incluido Wilber Eacutestos incluyen los conceptos de
a) Cambio holiacutestico Sistemas de entrada-salida que buscan la manera de coacutemo se disparan los
holones y coacutemo eacutestos escudrintildean y filtran las entradas
b) ldquoArborizacioacutenrdquo ldquoreticulacioacutenrdquo y ldquocanales de regulacioacutenrdquo Tanto tener aptitudes como
maneras de ver coacutemo los holones pueden relacionarse entre siacute
c) La ldquosaludrdquo holoacutenica y coacutemo cambian los holones y los principios de Koestler sobre equilibrio
holoacutenico desorden y regeneracioacuten que ofrecen feacutertil terreno para posterior estudio
Por su parte Wilder a estos principios antildeade los siguientes
a) No exclusioacuten que significa que se pueden aceptar las declaraciones vaacutelidas de verdad es
decir las pretensiones de verdad que pasan los test de validez para sus propios paradigmas
en sus propios campos sean eacutestos hermeneuacuteticos cientiacuteficos etc en tal grado que
realizan afirmaciones acerca de la existencia de sus propios fenoacutemenos descubiertos y
realizados pero no cuando hacen afirmaciones acerca de la existencia de fenoacutemenos
realizados por otros paradigmas Este principio se refiere a la aceptacioacuten de conocimiento
parcial pero vaacutelido que ha sido recogido por disciplinas centraacutendose en aspectos
particulares de los holones Mucho de ese conocimiento ha sido el resultado de paradigmas
(matrices disciplinaresmetodologiacuteas) reducionistas
b) PlegadoDesplegado que se define como sigue La no exclusioacuten con frecuencia desvela una
idea que estaba velada En cualquier corriente evolutiva sucesivas olas transcienden e
incluyen a sus predecesoras y asiacute cada ola es adecuada y cada ola sucesiva es maacutes
adecuada En breve cada ola es holista y cada ola sucesiva es maacutes holista Este principio
ldquounfoldmentenfoldmentrdquo se refiere a la aceptacioacuten de la naturaleza holista y evolutiva del
conocimiento y sus meacutetodos Este principio se relaciona con la idea de que todas las bases y
meacutetodos de conocimiento estaacuten conectados y pueden ilustrar a los demaacutes
143
c) ldquoEnactmentrdquo ldquoPromulgacioacutenrdquoPoniendo todos estos modos de inquisicioacuten juntos como un
enactment y descubrimiento de cognicioacuten ldquoturquesardquo resulta en un pluralismo
metodoloacutegico integral Los fenoacutemenos son ldquoenactedrdquo paridos y desvelados por praacutecticas
entonces uno se percata de que lo que parece ser ldquofenoacutemenos o experiencias conflictivasrdquo
son simplemente experiencias diferentes y completamente compatibles paridas por
diferentes praacutecticas De este modo ldquoenactmentrdquo se refiere a la capacidad de situar y
proporcionar un nuevo contexto integrador para que todos los enfoques parciales sean
reduccionistas y holistas Son precisamente estas tres capacidades las que se hacen
disponibles cuando se ve el holoacuten como una unidad de anaacutelisis para una teoriacutea integral
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES
El teacutermino ldquoholoacutenrdquo se emplea entonces para denominar entidades que exhiben
simultaacuteneamente un comportamiento autoacutenomo es decir se comportan como un todo y no
autosuficiente esto es se comportan como una parte de un todo mayor Verbigracia las
moleacuteculas que son simultaacuteneamente todo cuando integran a los aacutetomos que las forman y
parte cuando por ejemplo se integra en una ceacutelula como el ADN que constituye el nivel
inmediatamente superior en tamantildeo y funcionalidad que no en importancia pues todos los
niveles son decisivos e imprescindibles sin aacutetomos no hay moleacuteculas etc Cuando el holoacuten se
siente todo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en los
niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo Una de las principales caracteriacutesticas de los
holones es su autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y le puede
proporcionar la capacidad de autoorganizacioacuten y autopoiesis Esto significa que se precisan
capacidades de cooperacioacuten En consecuencia se puede ldquodefinirrdquo un ldquoholoacutenrdquo como un
elemento con entidad propia que presenta un comportamiento autoacutenomo autoorganizativo
recursivo y cooperativo Autonomiacutea significa que cada holoacuten debe ser capaz de crear controlar
y monitorizar la ejecucioacuten de sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten y realizar
acciones preventivas y o correctivas adecuadas esto es racionales frente a sus propias
disfunciones En 1981 el premio Nobel de Medicina Roger Sperry hizo uso del concepto de
holoacuten en su aacuterea de conocimiento Posteriormente Suda a partir de 1989 aplicoacute el concepto
de holoacuten a los sistemas industriales con lo que el teacutermino se hizo ubicuo En general el holoacuten
es la unidad baacutesica estable y coherente en sistemas complejos tanto naturales (bioloacutegicos y
sociales) como artificiales (informaacuteticos o industriales) Un holoacuten contiene siempre una parte
de procesamiento de informacioacuten y opcionalmente otra de procedimiento fiacutesico Con el
144
teacutermino holoacuten la doctoranda concretamente denomina las entidades de proceso que exhiben
simultaacuteneamente
a) Un comportamiento autoacutenomo esto es se comportan como un todo por lo que requieren
capacidades de cooperacioacuten Entendiendo por autonomiacutea la capacidad de una entidad para
generar su propio comportamiento o sea sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten
y comportamiento en definitiva su ldquoteleologiacuteardquo y controlar su ejecucioacuten asiacute como su propio
estado
b) No autosuficiente es decir se comportan como parte de un todo mayor Cuando el holoacuten
se siente ldquotodordquo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en
los niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo
c) Capacidad de cooperacioacuten Por cooperacioacuten se quiere decir en este contexto un proceso
por el cual un conjunto de dichas entidades desarrolla planes comuacutenmente aceptados que
se ejecutan en forma distribuida Cooperacioacuten significa que los diferentes holones deben
ser capaces de negociar y ejecutar planes mutuamente aceptables ldquojoint intentionsrdquo y
llevar a cabo acciones preventivas y o correctivas frente a disfunciones globales Dicho de
otro modo un holoacuten es el elemento baacutesico de proceso de informacioacuten en cualquiera de sus
niveles con entidad propia capaz de presentar un comportamiento autoacutenomo y
cooperativo
d) Caraacutecter abierto Un sistema holoacutenico debe permitir la inclusioacuten de nuevas unidades
eliminacioacuten de las existentes y modificacioacuten de las capacidades funcionales y
comportamentales de las existentes con intervencioacuten exterior miacutenima Los holones y o
sus funcionalidades pueden venir de distintas ldquomentesrdquo (heterogenidad)
e) ldquoAutorreplicacioacutenrdquo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su
autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y la capacidad de
autoorganizacioacuten y autopoiesis o autoproduccioacuten especiacutefica del nivel celular
f) Estabilidad Todo holoacuten de acuerdo con el contexto y circunstancias posee cuatro impulsos
a saber
1) Actividad o impulso a continuar siendo totalidad
2) ldquoComunioacutenrdquo o impulso para seguir siendo una parte
145
3) Trascendencia o impulso de superacioacuten y ascendencia
4) Disolucioacuten o impulso a descender y descomponerse
Estos impulsos son los que le dan estabilidad al holoacuten y le permiten desarrollar sus
capacidades
Como lo sentildealoacute Octavio Paz en el discurso de recepcioacuten del premio Nobel los seres humanos
han descubierto al finalizar el siglo XX que son parte de un inmenso sistema o ldquoconjunto de
sistemasrdquo que va de las plantas y los animales a las ceacutelulas las moleacuteculas los aacutetomos y las
estrellas Es decir un eslaboacuten maacutes en la ldquocadena del serrdquo como llamaban los antiguos filoacutesofos
al Universo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su granularidad muacuteltiple
que se manifiesta a traveacutes de la replicacioacuten de estructuras autosimilares Esto permite
establecer una descomposicioacuten jeraacuterquica y o heteraacuterquica en forma fractal que se puede
denominar ldquoholarquiacuteardquo Una holarquiacutea puede definirse pues como un sistema de holones
autorregulados que seguacuten las circunstancias cooperan y o compiten y o colaboran
teleoloacutegicamente esto es para alcanzar una meta u objetivo global En suma una holarquiacutea
define las reglas baacutesicas y especiacuteficas de lo que geneacutericamente se puede denominar la
colaboracioacuten de los holones que la forman y en consecuencia limita su autonomiacutea y o
condiciona sus procesos de toma de decisioacuten Dicho en otros teacuterminos el caraacutecter colaborativo
de los holones se manifiesta tanto en los procesos teleoloacutegicos de planificacioacuten y asignacioacuten de
ellos mismos y los recursos que necesitan para la consecucioacuten de las metas globales del
sistema en que se integran como para la superacioacuten de sus carencias en recursos y o
capacidades en la ejecucioacuten de sus propias metas Su fortaleza y oportunidad procede del
hecho de ser unidades independientes es decir moacutedulos en el tratamiento de problemas
cooperativos en entornos heterogeacuteneos Su eficacia proviene de su caracteriacutestica de ser a su
vez elementos subordinados de otros holones de nivel superior que los contienen y en cierta
medida controlan Las formas intermedias proveen la funcionalidad propia de la totalidad
mayor
Obviamente los holones tienen que tomar decisiones racionales y como se aplican a una
nueva disciplina cientiacutefico-tecnoloacutegica dichas decisiones racionales deben ser similares a las
cientiacuteficas Estas decisiones pueden modelizarse con los pares ldquoholoacuten(es)rdquo ldquoinformoacuten(es)rdquo en
los cuales los holones representan dicho mundo Se supone naturalmente que los holones
pueden elegir entre distintas alternativas u opciones Asimismo se supone que el mundo es
como es y que esto se refleja en su representacioacuten mediante los informones y que lo que le
146
ocurre al holoacuten depende por una parte de coacutemo sea el mundo en un momento determinado
y por otra de las opciones episteacutemicas y gnoseoloacutegicas que elija el holoacuten Se acepta tambieacuten
que el holoacuten no conoce el estado actual del mundo pero al menos es capaz de distinguir entre
dos estados posibles del mismo Las valoraciones de los holones no atantildeen directamente a las
opciones o a los estados del mundo sino a los pares ldquoopcioacuten-estadordquo es decir lo que se valora
es haber elegido una opcioacuten particular en un estado definido del mundo
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS
Al igual que los informones pueden tomar la forma de dato noticia o conocimiento los
holones que los manejan presentan estructuras desde las maacutes simples a las maacutes complejas
dependiendo de la complejidad funcional asignada a los mismos Maacutes en concreto la
construccioacuten del software se presenta mediante un modelo computacional holoacutenico formado
por diferentes niveles denominados
1 ldquoInstruccioacutenrdquo Lo constituyen los holones primarios que son entidades propias y
cooperativas que tratan uacutenicamente datos y producen nuevos datos o noticias simples
Estos holones estaacuten especializados y realizan operaciones primitivas baacutesicas Por ejemplo
si a un holoacuten primario operador loacutegico le llegan dos datos que son las edades de dos
individuos el holoacuten pude sacar como noticia que un individuo es mayor igual o menor que
otro
2 ldquoComponenterdquo Un holoacuten componente surge al estructurarse holaacuterquicamente
(jeraacuterquicamenteheteraacuterquicamente) los holones primarios del nivel ldquoinstruccioacutenrdquo
proporcionando un nivel superior al de ldquoinstruccioacutenrdquo Un holoacuten componente tiene una
funcionalidad superior a la suma de sus holones ldquoinstruccioacutenrdquo y tiene capacidad de
producir noticias maacutes elaboradas y o conocimientos
Si los informones que trata el holoacuten componente corresponden a estructuras de datos el
componente proporcionaraacute noticias tiacutepicas de un sistema de informacioacuten En cambio si los
holones tratan estructuras de datos que corresponden a conceptualizaciones de
conocimiento el resultado seraacute informones de conocimiento que proporcionan
informacioacuten propia de los sistemas basados en el conocimiento Por ejemplo un holoacuten
componente puede representar un programa o un subprograma
147
3 ldquoEntidadrdquo El holoacuten ldquoentidadrdquo se forma mediante relaciones holaacuterquicas de holones
componentes Un holoacuten entidad presenta creencias motivaciones e intenciones y cambia
su comportamiento basaacutendose en experiencias previas Incorpora la propiedad de
proactividad es decir actuacutea por su propia iniciativa para alcanzar metas que eacutel mismo es
capaz de generar Los holones ldquoentidadrdquo tratan con informones de noticias y
conocimientos dependiendo de la estructura subyacente de los datos Por ejemplo un
holoacuten entidad puede representar y actuar como un agente software
Los sistemas transacionales son informones tipo datos y holones clase programas Los
sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas y holones tipo
programas y foacutermulas Finalmente los sistemas basados en conocimientos son ni maacutes ni
menos que informones en forma de ontologiacuteas y holones en forma de agentes
4 ldquoOrganizacioacutenrdquo Se denomina organizacioacuten holoacutenica a una holarquiacutea de entidades
colaborativas Un holoacuten organizacioacuten designa una agrupacioacuten formal y estable de holones
entidad y ofrece una interfaz bien definida de comunicacioacuten con el exterior que constituye
en si misma una unidad independiente e identificable (con entidad propia) Las actividades
de cada organizacioacuten vienen determinadas por procesos de cooperacioacuten con otras
entidades u organizaciones Una organizacioacuten presenta una meta comuacuten y los holones
entidad que tienen sus propias metas muestran un comportamiento cooperativo dirigido
por la meta comuacuten de esa ldquoorganizacioacutenrdquo En la ldquoorganizacioacutenrdquo los holones ldquoentidadrdquo son
libres para participar en la misma abandonarla y actuar de forma autoacutenoma como
ldquoentidadrdquo o formar nuevos holones ldquoorganizacioacutenrdquo con otras entidades Una organizacioacuten
holoacutenica precisa en su funcionamiento de los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones ldquoentidadrdquo
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las entidades
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones ldquoentidadrdquo en sus
actividades de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros de la
ldquoorganizacioacutenrdquo
148
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Por ejemplo un sistema multiagente (MAS) es un tipo de holoacuten ldquoorganizacioacutenrdquo Sin
embargo no hay que confundir agentes con holones y en consecuencia sistemas de
agentes con holones Como se veraacute maacutes adelante los holones son maacutes que agentes
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA
Ademaacutes de estos niveles es importante considerar dentro de una estructura holoacutenica el
dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten holoacutenico Se define un tal dominio como un espacio
loacutegico en el que los holones ldquoentidadrdquo u ldquoorganizacioacutenrdquo cada uno con sus propias metas
dentro del dominio operan y se comunican entre siacute proporcionando con ello el contexto en el
que estos holones pueden localizarse contactar e interactuar unos con otros por ejemplo un
dominio en una plataforma de Internet Dentro de un dominio eacutesta puede ser
a) Simple En este caso cualquiera se compromete a cooperar con cualquier otro siguiendo un
conjunto de protocolos de interaccioacuten establecidos Aquiacute se consideran aceptables
respuestas no cooperativas verbigracia ldquorechazordquo ldquono entendimientordquo etc Todos los
holones deben presentar facilidades de cooperacioacuten simple
b) Complejo Esta clase de cooperacioacuten estaacute encaminada a alcanzar una meta compartida por
varios holones por ejemplo el acuerdo de un plan comuacuten para ejecutar las tareas
asociadas a un problema distribuiacutedo
Una organizacioacuten holoacutenica se diferencia de un dominio holoacutenico en que la organizacioacuten estaacute
constituida por holones ldquoentidadrdquo tiene una meta comuacuten a todos los holones y eacutestos
participan voluntariamente en la organizacioacuten para alcanzar las metas de la misma Mientras
que el dominio es un espacio de cooperacioacuten y colaboracioacuten para que los holones ldquoentidadrdquo y
ldquoorganizacioacutenrdquo que participan voluntariamente en el mismo puedan alcanzar cada uno de
ellos su propia meta
En un dominio los holones se conciben como integrantes en una sociedad cuyas actividades
globales deben ser contempladas Estas actividades deben ocurrir de acuerdo con un conjunto
de convenciones y leyes sociales tanto de caraacutecter general como de caraacutecter especiacutefico Estas
leyes regulan las relaciones sociales que es necesario establecer para llevar a cabo dichas
149
actividades La estructura social del dominio viene determinada por los roles las relaciones
sociales identificadas entre eacutestos y las convenciones y leyes sociales que rigen estas relaciones
El dominio define entonces el comportamiento global esperado mediante las metas sociales
que deben contemplarse los roles necesarios para alcanzar dichas metas las relaciones
existentes entre estos roles y un conjunto de convenciones y leyes sociales de caraacutecter global
que regiraacuten dichas relaciones Una forma plausible de caracterizar el dominio es mediante la
identificacioacuten de las relaciones sociales potenciales existentes entre sus actores y maacutes
concretamente entre los diferentes roles identificados
El holoacuten asume la responsabilidad de llevar a cabo sus tareas individuales Ahora bien al estar
en un dominio de cooperacioacuten asume tambieacuten unas responsabilidades sociales La necesidad
de garantizar la realizacioacuten de estas tareas sociales conduce a la necesidad de identificar tanto
las relaciones sociales necesarias para llevar a cabo dichas tareas como las leyes sociales que
regulen dichas relaciones Estas leyes impuestas por el dominio deben ser respetadas por el
holoacuten y forzadas por el dominio con el fin de permitir el funcionamiento correcto del mismo
de acuerdo con el comportamiento global esperado Son por tanto las leyes que regulan las
relaciones sociales las que permiten obtener un comportamiento socialmente responsable a
los holones entidad y organizacioacuten
Plantearse la obtencioacuten de un comportamiento socialmente responsable durante el disentildeo del
holoacuten no seriacutea adecuado en un entorno dinaacutemico y heterogeacuteneo como es un dominio en el
que por ejemplo los patrones de interaccioacuten se establecen dinaacutemicamente Los distintos
modelos de coordinacioacuten y negociacioacuten y la propia estructura social constituyen las
abstracciones conceptuales para establecer las leyes que deberaacuten regir tanto la actuacioacuten de
los holones como sus interrelaciones con el fin de alcanzar un comportamiento socialmente
responsable Los medios de coordinacioacuten y negociacioacuten que soportan dichos modelos
constituyen el mecanismo utilizado por el dominio para este fin
La ldquoconfiguracioacutenrdquo que se crea en un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten es dinaacutemica
Mientras que el holoacuten organizacioacuten forma una configuracioacuten estable los holones de un
dominio son maacutes inestables participan en el dominio de cooperacioacuten para alcanzar sus propias
metas respetando las leyes sociales del dominio y nada maacutes alcanzarlas desaparecen del
mismo Un holoacuten entra a formar parte de un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten
interactuando con un holoacuten interfaz del dominio de modo que pueda participar en el mismo
150
Los holones se incorporan en el dominio para alcanzar sus propias metas El dominio acepta o
rechaza su entrada dependiendo de que el rol con el que desean participar sea apropiado en
ese dominio y acepten las convenciones y leyes sociales En caso afirmativo se incorporan
como holones socialmente responsables acatando las normas del dominio Normalmente el
dominio incorpora una serie de holones sociales cooperativos con la misioacuten de atender a las
necesidades de los holones que participan en el dominio y de hacerles cumplir las leyes
sociales tal y como se muestra en la figura IV4
Dominio 1 Dominio 2
Convenciones y leyes
Sociales
Holoacuten Entidad
Holoacuten Organizacioacuten
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Holoacuten Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Convenciones y leyes
Sociales
Migracioacuten
Agente Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Figura IV4 Dominios de Colaboracioacuten y Cooperacioacuten
La cooperacioacuten entre holones ocurre siempre a traveacutes de sus respectivos dominios de
cooperacioacuten Un dominio de cooperacioacuten comprende los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones miembros
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las organizaciones y el dominio
de cooperacioacuten Si el dominio de cooperacioacuten se localiza en el mismo dispositivo
fiacutesico el paso de mensajes puede conseguirse por memoria compartida En otro
caso los mensajes deben representarse codificarse y enviarse a traveacutes de una
red de comunicaciones Este aspecto se aborda en el modelo de comunicacioacuten
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones en sus actividades
de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
151
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros
del dominio asiacute como facilidades para la planificacioacuten y el control de tareas
dentro de un holoacuten (siacutentesis)
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Un sistema de informacioacuten holoacutenico es pues una holarquiacutea que integra el conjunto de
actividades de informacioacuten desde la identificacioacuten de necesidades la produccioacuten la seleccioacuten y
adquisicioacuten el procesamiento analiacutetico-sinteacutetico y la recuperacioacuten y diseminacioacuten de
informacioacuten para responder de forma dinaacutemica a las necesidades de los usuarios en forma de
organizacioacuten virtual Un tal sistema se sustenta en una red de elementos autoacutenomos y con
capacidad de cooperar La organizacioacuten la determina el propoacutesito y el compartir normas
poliacuteticas y reglas Dentro de una red holoacutenica cada configuracioacuten del proceso puede
identificarse como una empresa institucioacuten etc virtual Una componente software es
cualquier pieza de coacutedigo escrita con anterioridad que define un elemento de
conceptualizacioacuten y puede ser invocada para proveer una funcionalidad que la componente
encapsula Las componentes tiacutepicamente se empaquetan de acuerdo con normas efectivas
de modo que puedan ser invocadas desde lenguajes entornos y ambientes muacuteltiples En este
contexto un ldquowebservicerdquo puede entenderse como un holoacuten
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES
Antes de finalizar y dado el confusionismo existente al respecto se van a dar tal y como se
muestra en la tabla IV2 las diferencias y similaridades entre holones y agentes Lo maacutes
destacable de la misma son las dos situaciones siguientes Con respecto a la autoorganizacioacuten
para unos como es el caso de Barbat los holones y los agentes son distintos sin embargo
para otros como es el caso de Passer So y Durfle y Tambe son iguales Pero la diferencia
sustancial y de verdad discriminatoria es que mientras que los holones tienen capacidad de
recursioacuten e integracioacuten entre varios de ellos que tengan un objetivo comuacuten los agentes ni
tienen recursioacuten ni capacidad de integrarse
Otra caracteriacutestica fundamental de los holones en tanto que operan con un conjunto
restringido de opciones y estados del mundo que les viene dado por la situacioacuten y el problema
sobre el que actuacutean y no les es posible construir una estructura de preferencias completa y
coherente es la de ser elementos satisfacedores (no maximizadores) en el sentido de Simon
152
(Simon 1982) es decir buscan una solucioacuten suficientemente buena en vista a las restricciones
existentes y el coste relativo de hacer algo mejor En este sentido se comportan como los seres
humanos
PROPIEDAD HOLOacuteN AGENTE
1 Autonomiacutea Si Si
2 Reactividad Si Si
3 Proactividad Si Si
4 Habilidad Social Si La interfaz humana es especiacutefica de cada holoacuten
Si La interfaz humana se implementa generalmente por uno o varios agentes especializados
5 Cooperacioacuten Si Los holones nunca rechazan de manera deliberada la cooperacioacuten con otro holoacuten
Si El agente puede competir y cooperar
6 Reorganizacioacuten
Si Holarquiacuteas Las holarquiacuteas aquiacute se pueden implementar utilizando varios enfoques para federaciones en esquemas tales como facilitadores o mediadores
Si jerarquiacuteas organizacioacuten horizontal heterarquiacuteas etc Las holarquiacuteas en este caso se pueden implementar usando SMA o sea sistemas multiagente
7 Racionalidad Si Si
8 Aprendizaje Si Si
9 Benevolencia Si Si
10 Movilidad Los holones raramente necesitan movilidad para la ejecucioacuten de sus tareas Si asiacute fuera la tendriacutean
Si
11 Recursioacuten y Asociacioacuten
Si Eacutesta es la gran diferencia entre un holoacuten y un agente Mientras el holoacuten tiene capacidad de recursioacuten o asociacioacuten entre varios de ellos que posean un objetivo comuacuten los agentes no pueden agruparse ni son recursivos
No existe ninguna arquitectura recursiva como tal pero algunas teacutecnicas son utilizadas para definir federaciones que simularaacuten los diferentes niveles recursivos
12 Procesamiento de la Informacioacuten y Fiacutesico
Si La separacioacuten es expliacutecita aunque la parte de procesamiento fiacutesico es opcional
No existe una separacioacuten expliacutecita
13 Actitudes Mentales
Si Los holones no necesitan razonar acerca de sus propias actitudes mentales o aquellas de otros unidades de control
Si
Tabla IV2 Diferencias y similaridades entre holones y agentes
Evidentemente dichas valoraciones de acuerdo con las distintas situaciones y problemas
deben adoptar distintas formas que van desde la maacutes sencilla ordenacioacuten lineal hasta la
racionalidad acotada o satisfactoria de Simon (Simon 1945) pasando por los holones
bayesianos entre otros En efecto el agente racional claacutesico es un ldquomaximizadorrdquo en tanto que
en la propuesta de Simon donde introduce la nocioacuten de ldquosatisfaccioacutenrdquo (Simoacuten 1982)
retomando la de Tarski (Tarski 1956) es la de un ldquoagenterdquo que funciona en condiciones de
ldquoracionalidad acotadardquo Esto es debido baacutesicamente a que
a) Los holones van a operar con un conjunto suficientemente restringido de opciones y
estados del mundo que le vienen dados por la situacioacuten y el problema sobre el que actuacutean
153
b) Raras veces es posible construir una estructura de preferencias completa y coherente ni
tampoco calcular la utilidad esperada para cada opcioacuten Si eacuteste fuera el caso la cuestioacuten se
resolveriacutea mediante meacutetodos bayesianos sin problema En efecto Thomas Bayes (Bayes
1763) desarrolloacute en su trabajo de 1763 un procedimiento para resolver este tipo de
cuestiones Curiosamente dicho trabajo permanecioacute praacutecticamente ignorado hasta que
Pierre Simon de Laplace lo discutioacute en uno de sus trabajos
c) Es capaz de distinguir entre opciones satisfactorias y aquellas que no lo son
Es decir de acuerdo con Simon los holones son satisfacedores (satisfacer) no maximizadores
y en este sentido se comportan como los seres humanos Seguacuten Simon (Simon 1981) hay que
ir hacia una solucioacuten satisfactoria esto es una solucioacuten suficientemente buena en vista a las
restricciones existentes y el coste relativo de hacer algo mejor antes que una solucioacuten
satisfaciendo Naturalmente los pares holones-informones y las estructuras que sobre ellos se
construyen se enfrentaraacuten inexorablemente tanto a situaciones conflictivas como a otras
concurrentes y cooperativas en las que los esquemas de decisioacuten que usen se fundamentaraacuten
tanto en la teoriacutea de von Neuman y Morgenstern (von Neuman 1953) como en la teoriacutea de
juegos cooperativos de Nash (Nash 1953) y cualquier otra teoriacutea o regla de decisioacuten que
permita a los holones de modo efectivo tomar la decisioacuten maacutes adecuada en el momento maacutes
oportuno y de la forma maacutes eficiente posible
De hecho si no fuera por el caraacutecter continuo que representa el teacutermino que mejor le
cuadraba a lo que Koestler denominoacute holoacuten es el de ldquohomeomeroacutenrdquo en el sentido de
ldquohomeomeriacuteardquo de Anaxaacutegoras (Empeacutedocles 1996) y tal vez al caraacutecter holaacuterquico mejor le
convendriacutea el teacutermino de ldquojerarquiacutea desarraigadardquo en contraposicioacuten al concepto de jerarquiacutea
ldquodionisiacuteacardquo por el ldquooximoroacutenrdquo que representa el hecho de que en una holarquiacutea convivan
simultaacuteneamente dos planteamientos opuestos como son el de jerarquiacutea y la heterarquiacutea En
efecto el filoacutesofo neoplatoacutenico Dionisio Areopagita introdujo el concepto de jerarquiacutea en un
contexto teoloacutegico El teacutermino significa literal y etimoloacutegicamente dominio a traveacutes de lo
sagrado Siguiendo una ldquoloacutegicardquo que probablemente soacutelo eacutel conociera Dionisio llegoacute a la
conclusioacuten de que el cielo estaba organizado jeraacuterquicamente Es maacutes aseguraba que habiacutea
nueve niveles Dios era la cumbre los arcaacutengeles formaban el consejo de direccioacuten y Jesucristo
ocupaba un puesto a la diestra de Dios A continuacioacuten estaban los aacutengeles tronos
dominaciones potestades querubines serafines etc Pero para eacutel tambieacuten el infierno era
jeraacuterquico y la estructura era similar Lo que no determinoacute Dionisio fue si el cielo significaba
154
cooperacioacuten y el infierno confrontacioacuten o iquestqueacute Con los holones se contemplan ambas
alternativas Por eso con los holones se puede representar tanto una simple sentencia de
control hasta un sistema de agentes pasando por un subprograma ldquodemoniosrdquo etceacutetera
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA
Definidos los elementos constitutivos de la teoriacutea propuesta se pasa a presentar los
postulados que la soportan Eacutestos son los siguientes
P1 Complementariedad Todo sistema de informacioacuten bioloacutegico o artificial se compone de
soacutelo dos elementos complementarios Holones e Informones Formalmente
IHSI =
P2 Coacutemputo En todo sistema de informacioacuten se puede establecer la ldquooperacioacutenrdquo de coacutemputo
representada por 0 que consiste en transformar holones e informones de entrada en otro(s)
de salida Es decir los holones e informones se interrelacionan para obtener nuevos
informones y holones de acuerdo con el esquema siguiente
H o H cup I rarr Hrsquo cup Irsquo
P3 Satisfactibilidad Todo sistema de informacioacuten se rige por criterios de satisfactibilidad y no
de optimizacioacuten o maximizacioacuten
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN
Cualquier teoriacutea que se proponga se quedariacutea en mera especulacioacuten si no fuera capaz de
predecir y o explicar ciertos hechos en su dominio de aplicacioacuten Justamente estas
predicciones y o explicaciones constituyen los ldquoexperimentum crucisrdquo que permiten ya que
no corroborar formalmente al menos falsar la teoriacutea En este sentido la teoriacutea aquiacute propuesta
predice lo que a continuacioacuten se explicita en los dominios siguientes
A) Geneacutetica En el dominio del ADN la teoriacutea afirma que habida cuenta de que varios
informones distintos en este caso en forma de codones dan el mismo aminoaacutecido y el
coacutedigo geneacutetico actuacutea como holoacuten entonces dependiendo del codoacuten del que proceda el
aminoaacutecido eacuteste se comportaraacute de una manera o de otra Como consecuencia de ello
155
muchas enfermedades geneacuteticas de etiologiacutea uacutenica tienen ldquoprima facierdquo como causa el
codoacuten del que proceden Para confirmar esto se puede realizar el siguiente experimento
Cojaacutense varios individuos con la enfermedad de etiologiacutea uacutenica X obseacutervese si todos ellos
tienen en la proteiacutena Y el aminoaacutecido Z proveniente del codoacuten o triplete T Y veacuteanse como
contraprueba otros individuos que no presentan dicha enfermedad y comprueacutebese que
tienen codones distintos Si se confirma el supuesto es obvio que queda establecida como
supone la teoriacutea la relacioacuten iacutentima hoy auacuten no aceptada ni siquiera considerada de
tripletes y enfermedades
B) Cerebro El premio Nobel por el descubrimiento de la estructura del ADN Francis Harry
Compton Crick en 1990 y un joven colaborador suyo Christof Koch (Crick 1990)
proclamaron en Seminarios sobre Neurociencias que habiacutea llegado la hora de estudiar el tal
vez maacutes elusivo e ineludible de los fenoacutemenos la consciencia convirtieacutendola asiacute en un tema
legiacutetimo para la investigacioacuten empiacuterica Ambos rechazaban la creencia de muchos de sus
colegas en el sentido de que la consciencia no se podiacutea definir y menos auacuten estudiar Bien
al contrario para Crick y Koch siguiendo a William James la conciencia o consciencia y
todas sus formas dirigidas hacia objetos bien del mundo sensible o altamente abstractos o
internos parecen necesitar el mismo mecanismo subyacente es decir un mecanismo que
combina la atencioacuten con la memoria a corto plazo Sosteniacutean ademaacutes que no se podiacutea
esperar alcanzar una verdadera comprensioacuten de la consciencia ni por otra parte de
cualquier otro fenoacutemeno mental tratando al cerebro como un caja negra Posteriormente
Crick expuso detalladamente sus opiniones sobre la consciencia en un conocido libro
titulado ldquoThe Astronishing Hypothesisrdquo (Crick 1994) Para Crick el componente crucial de su
definicioacuten de consciencia es la palabra atencioacuten y hace hincapieacute en que eacutesta implica algo
maacutes que un simple procesamiento de informacioacuten En sus palabras (Crick 1988) Somos
conscientes de que tomamos una decisioacuten pero no somos conscientes de lo que nos hace
tomar dicha decisioacuten Esto ya lo habiacutea sugerido Sigmund Freud (Freud 1956) cuando
reflejando su inquietud sobre el inconsciente que ya se habiacutea desarrollado en el siglo XIX
planteoacute la hipoacutetesis de que la mayoriacutea de los actos humanos estaban determinados por
impulsos inconscientes Hoy la neurociencia sabe que eso es cierto Efectivamente en la
primavera de 1994 la Universidad de Arizona en Tucson organizoacute un simposio
interdisciplinario sobre la consciencia Alliacute y entonces Benjamiacuten Libet sicoacutelogo de la
Universidad de California en San Francisco realizoacute el siguiente experimento (Norretranders
1998) Pidioacute a los participantes que doblaran un dedo en el momento de haberlo decidido
mientras anotaban el instante de su decisioacuten tal y como indicaba un reloj Los participantes
156
tardaron 02 segundos de media en doblar los dedos tras haber decidido hacerlo pero la
electroencefalografiacutea que registroacute sus ondas cerebrales reveloacute que la maacutexima actividad
cerebral teniacutea lugar 03 segundos ldquoantesrdquo de haber tomado conscientemente la decisioacuten de
doblar el dedo Es decir el cerebro se poniacutea manos a la obra antes de que se fuese
consciente de la decisioacuten Como lo sentildealoacute Francisco J Rubia (Rubia 2002) Catedraacutetico de
Fisiologiacutea Humana de la Universidad Complutense de Madrid No tenemos ni idea de doacutende
parte esa primera actividad pero lo que queda claro es que no es consciente
La consciencia se resolvioacute para los materialistas cuando alguien decidioacute que era un mero
epifenoacutemeno del mundo material Fue el filoacutesofo oxfordiano Gilbert Ryle (Ryle 1949) quien
primero acuntildeoacute la frase the ghost in the machina en los antildeos treinta para mofarse del
dualismo mente-materia afirmando que el dualismo ndashque sosteniacutea que la mente es un
fenoacutemeno separado e independiente de su sustrato fiacutesico y capaz de ejercer influjo sobre
eacutel- violaba el principio de conservacioacuten de la energiacutea y por tanto toda la fiacutesica Seguacuten Ryle
la mente es una propiedad de la materia y soacutelo trazando detalladamente los intricados
meandros de la materia en el cerebro se podraacute explicar la consciencia Claro que en esto
Ryle no fue totalmente original al proponer este paradigma materialista En efecto hace
cuatro siglos Francis Bacon ya instaba a los filoacutesofos de su eacutepoca a que dejaran de
empentildearse en mostrar coacutemo evolucionaba el universo a partir del pensamiento y
empezaran a considerar coacutemo evolucionaba el pensamiento a partir del universo
Para el premio Nobel de Fiacutesica Murray Gell-Mann (Penrose 1996) La consciencia o
autoconocimiento es una propiedad como la inteligencia que puede acabar evolucionando
en los sistemas complejos adaptativos cuando alcanzan ciertos niveles de complejidad [hellip]
En principio no me parece posible que nosotros los humanos podamos construir
computadores con un grado de conocimiento razonable Penrose parece atribuir al
autoconocimiento alguna cualidad especial que hace improbable que surja de las leyes
ordinarias de la ciencia
Sobre la consciencia se ha escrito mucho y poco atinado Como lo sentildealoacute Stuart Kauffman
(Kauffman 2003) Dado lo poco sensato y lo mucho inuacutetil que se ha vertido sobre la
consciencia una hipoacutetesis maacutes no empeoraraacute las cosas Y a continuacioacuten plantea su
hipoacutetesis como sigue La consciencia estaacute asociada a una ldquotoma de decisionesrdquo de alta
resolucioacuten conducente a los comportamientos alternativos en los agentes autoacutenomos
moleculares que abarca los reinos cuaacutentico y claacutesico y equivalente a la persistente
157
propagacioacuten de bucles interconectados y percolados de coherencia cuaacutentica los cuales
simultaacuteneamente y sistemaacuteticamente pierden coherencia trasformaacutendose en claacutesicos El
paso al comportamiento claacutesico representa ldquomenterdquo actuando sobre ldquomateriardquo La
consciencia es la experiencia interna que el agente tiene de esa red percolada de coherencia
cuaacutentica que sostenidamente sufre decoherencia hacia el comportamiento claacutesico
Ciertamente retoacuterico y oscuro Sin embargo es innegable que la consciencia es un
fenoacutemeno emergente del comportamiento del cerebro y que puede entenderse La teoriacutea
aquiacute propuesta afirma que dicho fenoacutemeno es el resultado de observar el proceso de
coacutemputo de holones e informones por holones que los observan y categorizar a otros
holones de maacutes bajo nivel que trabajan sobre ellos Veacutease el siguiente ejemplo dado por la
tabla IV3 En ella se pueden ver los cuatro casos siguientes
1 Se es conciente de lo que se sabe Un grupo de holones trabaja sobre informones de
conocimiento y los holones que los manejan y da cuenta de ese trabajo Es justamente la
consciencia
2 Se es consciente de lo que no se sabe Holones de un cierto nivel quieren trabajar sobre
informones de conocimiento y se percatan de que no existen
3 No se es consciente de lo que se sabe En este caso no se han usado holones de nivel
suficiente para estar en el caso 1
4 No se es consciente de lo que no se sabe No se han usado holones para convertir la
situacioacuten en el caso 2
Todo ello implica que en el cerebro debe haber alguacuten ldquomecanismordquo formado por neuronas
y o gliacutea y sus respectivas actividades que se activen siempre y cuando el cerebro reciba
una actividad que requiera consciencia Dicho mecanismo debe anatoacutemica y fiacutesicamente
tener muchas entradas y pocas salidas es decir debe ser maacutes receptor que emisor El
candidato propuesto por Crick y Koch el 28 de Julio de 2004 pocos diacuteas antes de la muerte
del uacuteltimo es el ldquoclaustrumrdquo Es eacuteste una pequentildea laacutemina de tejido cerebral localizado bajo
el coacutertex Poco se conoce acerca de eacutel salvo que estaacute conectado y cambia informacioacuten con
casi todas las regiones sensoriales y motoras del coacutertex asiacute como la amiacutegdala que juega un
papel trascendental en las emociones Ademaacutes Koch y Crick comparan el ldquoclaustrunrdquo con
un director de orquesta Es decir las conexiones neuroanatoacutemicas del ldquoclaustrumrdquo reuacutenen
las caracteriacutesticas de un verdadero director puesto que pueden enlazar juntas y coordinar
158
las distintas regiones sensoriales y cognitivas necesarias para la unidad de la conciencia En
suma a diacutea de hoy el ldquoclaustrumrdquo tiene todas las rifas para ser el soporte material de la
consciencia de acuerdo con la teoriacutea aquiacute propuesta Actualmente se estaacute llevando a cabo
con el Profesor Ortiacutez de la UCM un trabajo para verificar esta hipoacutetesis
CONOCIMIENTO
CONSCIENCIA
Consciente Inconsciente
Conoce
Se es consciente de lo que se sabe Por ejemplo Al aprobar el carnet de conducir se ldquosaberdquo que se sabe conducir
No se es consciente de lo que uno sabe verbigracia cuando uno es un conductor versado no es consciente de que sabe conducir pues lo hace automaacuteticamente
Ignora
Se es consciente de lo que se ignora Es el caso que ocurre cuando uno quiere tener el carnet de conducir
Uno es inconsciente respecto a su ignorancia Este estadio es habitual en la infancia lo que no es preocupante Lo grave es cuando uno no evoluciona y se queda en este estadio
Tabla IV3 Consciencia Versus Conocimiento
C) Computacioacuten
Toda la computacioacuten puede explicarse con holones e informones de una manera trivial Por
ejemplo los sistemas transacionales son informones tipo datos (Bases de Datos) y holones
clase programas Los sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas
como sistemas de bases de datos y holones tipo programas y foacutermulas Los sistemas
basados en conocimientos son ni maacutes ni menos que informones en forma de ontologiacuteas y
holones en forma de agentes Finalmente las maacutequinas de Turing son un informoacuten en
forma de signos 1 y 0 sobre la cinta y un holoacuten en forma de la tabla de actuacioacuten
Curiosamente una maacutequina de Turing especiacutefica como verbigracia la de la suma descrita
en la cinta como parte de la maacutequina de Turing Universal (MTU) es un informoacuten que trata
como tal la MTU y no un holoacuten como pudiera parecer ldquoprima facierdquo
159
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN
V1 RESULTADOS
1 El primer resultado obtenido con este trabajo ha sido mostrar la viabilidad de una
teoriacutea para el Desarrollo del Software Maacutes auacuten la necesidad de la misma para
rellenar la sima ldquogaprdquo o desfase entre el desarrollo exponencial del hardware
dado por la ley de Moore y el estado actual del desarrollo software caricaturizado
por el ldquokludgerismordquo que en el mejor de los casos es lineal y en el peor
regresivo
2 En segundo lugar se han establecido los liacutemites teoacutericos de la computacioacuten
basaacutendose en leyes y teoriacuteas fiacutesicas consolidadas como son la relatividad la
termodinaacutemica y la fiacutesica cuaacutentica Estos liacutemites fabulosos permiten afirmar de
acuerdo con Kurzweil (Kurzweil 2005) que la tecnologiacutea de los computadores estaacute
acercaacutendose a una singularidad Y si esto es asiacute y eacutesta es una futura liacutenea de
investigacioacuten maacutes el desarrollo de la nanotecnologiacutea augura unas potencialidades
al hardware hasta ahora inigualables pero si vislumbrables como son
a) La computacioacuten ubiacutecua que es la siguiente generacioacuten de la computacioacuten
tambieacuten llamada ldquoVirtualidad Incorporadardquo es lo opuesto a la realidad virtual y
consiste en la impregnacioacuten global de la informaacutetica en todas las actividades
de la vida corriente siendo completamente trasparente para el usuario
b) Los seres hiacutebridos bioloacutegico-tecnoloacutegicos dotados de capacidades
intelectuales etc En algunos aspectos tal y como se muestra en la tabla V1
estos seres superaraacuten a los humanos
OperacionesSegundo Capacidad de Proceso
(Bits)
Computadores Actuales asymp1010 asymp1010
Cuaacutenticos lt1050 lt1031
Humanos 2x1016 28x1020 (Von Neumann)
Tabla V1 Comparacioacuten de las prestaciones de computadores frente al hombre
Humanos Vs
Computadores
Prestaciones
160
c) Ademaacutes se llevaraacute a buen teacutermino el propoacutesito inicial de la ciencia de la
computacioacuten como es el paso del ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo
d) Curiosamente y como efecto colateral que daraacute lugar a otra liacutenea de
investigacioacuten en este caso en linguumliacutestica a la vista del punto anterior y
teniendo en cuenta tal y como se muestra en la tabla V2 seraacute necesario
inventar nuevos teacuterminos para especificar la potencia y capacidad de memoria
de los futuros computadores En efecto de acuerdo con la tabla V2 soacutelo se
tienen teacuterminos para los muacuteltiplos hasta el 10 En consecuencia como el liacutemite
maacuteximo dado por los 1050 de potencia seraacuten necesarios usando intervalos de
103 al menos ocho nuevos teacuterminos
SIacuteMBOLO NOMBRE FACTOR
Y Yota 1024
Z Zeta 1025
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
H Hecto 102
O Deca 101
d deci 10-1
c centi 10-2
m mili 10-3
micro micro 10-6
n nano 10-9
p pico 10-12
f femto 10-15
a atto 10-18
z zepto 10-21
y yocto 10-24
Tabla V2 Oacuterdenes de Magnitud de las Unidades de Medida
3 En tercer lugar y eacuteste es un resultado muy relevante se ha conseguido probar
formalmente de acuerdo con trabajos previos de von Neuman y Loumlwenheim-
Skolem a su vez basados en Cantor Frege Zermelo y Mirimanoff la viabilidad de
161
una teoriacutea para el desarrollo del software tanto baacutesico como aplicado
convencional o avanzado Es decir una teoriacutea tanto para la Ingenieriacutea del Software
como para la Ingenieriacutea del Conocimiento y en general para la ciencia de la
computacioacuten Maacutes auacuten y de ahiacute la relevancia dicha teoriacutea da cuenta tambieacuten de y
explica adecuadamente otros fenoacutemenos en los que interviene la informacioacuten
como son la geneacutetica y la mente Una futura liacutenea de investigacioacuten muy
interesante en este punto seriacutea desarrollar un nuevo teorema que conteniendo los
alcances del de Lowenheim-Skolem elimine formalmente la ldquocapciosidadrdquo que
contiene eacuteste
A la vista de los resultados obtenidos por von Neumann en la construccioacuten de los
nuacutemeros naturales y del corolario citado en el capiacutetulo III apartado III23 se puede
decir sin temor a equivocarse que la expresioacuten de Kronecker sobre la creacioacuten de
los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo
el hombre hizo el resto
Todo ello lleva a pensar y resulta ser otra liacutenea de investigacioacuten en una teoriacutea
maacutes amplia unificada y unificadora que englobe aquellos aacutembitos en los que la
informacioacuten sea una componente baacutesica Esta teoriacutea seriacutea una verdadera teoriacutea de
la informacioacuten de la que la de Shannon seriacutea un caso especial (Shannon 1948) En
este sentido von Neumann en una famosa resentildea del libro de Norbert Wiener
(von Neumann 1949) ldquoCyberneticsrdquo (Wiener 1948) deciacutea La proposicioacuten de que
tanto la ciencia como la tecnologiacutea pasaraacuten cada vez maacutes en el proacuteximo futuro
como en un futuro maacutes lejano de los problemas de intensidad sustancia y
energiacutea a los problemas de estructura organizacioacuten informacioacuten y control
4 El cuarto resultado notable es la fundamentacioacuten formal del software al menos en
su apartado de programacioacuten Para ello soacutelo hace falta y eacutesta es otra futura liacutenea
de investigacioacuten reducir toda la programacioacuten bien a la programacioacuten funcional o
si esto no fuera posible a la propuesta conceptograacutefica de Frege Lo cual no
parece inalcanzable teniendo en cuenta la similitud entre la estructura de
ldquoholonesrdquo ldquoinformonesrdquo y las nociones ldquoontoloacutegicasrdquo baacutesicas de Frege de
ldquofuncioacutenrdquo y ldquoargumentordquo Frege en sus escritos semaacutenticos a las funciones con
argumento las denominaba conceptos y a las de dos relaciones consideraba que
las funciones tomaban sus argumentos en los nuacutemeros y objetos en general para
lo que introdujo el concepto de ldquofuncioacuten proposicionalrdquo Dichos objetos para
Frege era todo aquello que no es una funcioacuten Pues bien la teoriacutea propuesta va
162
maacutes allaacute puesto que permite de acuerdo con el contexto que un holoacuten sea un
informoacuten y viceversa Y a mayor abundancia se permite la recursividad y o
recurrencia entre holones informones y entre ellos
5 Finalmente estaacute el resultado fundamental de este trabajo y es la presentacioacuten de
una teoriacutea que ademaacutes de contemplar el desarrollo software tambieacuten da cuenta
como acaba de indicarse de otros dominios como son la geneacutetica y la mente
Naturalmente esta primera propuesta debe ser y de hecho lo seraacute refinada y
completada con el adecuado desarrollo tecnoloacutegico y eacutesta es una nueva liacutenea de
investigacioacuten propuesta
Finalmente se ha obtenido un resultado que es un ldquoefecto colateralrdquo del trabajo realizado en
esta tesis En efecto en el apartado que trata de los nuacutemeros de von Neumann se comentoacute
como Leibniz se autoproclamoacute ldquocreadorrdquo del sistema binario y asiacute es considerado por la
mayoriacutea de los historiadores de la matemaacutetica y por los propios matemaacuteticos Sin embargo
nada maacutes lejos de la realidad En efecto tras intensas pesquisas usando la teacutecnica de GC de
mapas de conocimientos en forma de ldquovariosrdquo clips se comproboacute que realmente eso no soacutelo
es falso sino que Leibniz una vez maacutes plagioacute esta vez al espantildeol Juan Caramuel de Lekbowiz
nacido en Madrid en 1606 y fallecido en Vigevano en 1682 Estos son los hechos contados por
Juliaacuten Velarde Lombrantildea (Velarde 1989)
A) En 1701 Leibniz afirmoacute que antes incluso de la publicacioacuten de la ldquoTetractysrdquo por su
maestro de matemaacuteticas de la Universidad de Jena Erhard Weigel (1625-1699) en
1673 Aunque documentalmente la fecha de aparicioacuten del sistema binario de Leibniz
hay que datarla en el 15 de marzo de 1679 donde se ve que ya tiene una idea clara de
dicho sistema Idea que plasma en su obra de 1703 ldquoExplication de LacuteArithmeacutetique
Binairehelliprdquo memoria que habiacutea enviado a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1701
B) Caramuel en su ldquoMathesis Audaxrdquo publicado en Lovaina en 1644 y sobre todo en su
gran enciclopedia ldquoMathesis Bicepsrdquo de 1667-1670 donde expone de forma
sistemaacutetica entre otras la aritmeacutetica binaria Alliacute y entonces explica las ventajas e
inconvenientes de la misma y da una muestra de su utilidad aplicaacutendola a la muacutesica
Hasta aquiacute Velarde quien de forma incontestable muestra la prioridad de Caramuel sobre
Leibniz en la invencioacuten del sistema binario La doctoranda da un paso maacutes y estaacute en
condiciones de afirmar que con probabilidad rayana en la certeza Leibniz plagioacute a
Caramuel Estas son las razones aducidas
163
A) Estaacute documentado que Leibniz conociacutea los trabajos de Caramuel tanto de forma
directa pues eran corresponsales viacutea cartas de cuestiones cientiacuteficas como indirecta
ambos se comunicaban epistolarmente con varios contemporaacuteneos
B) La tendencia al plagio intriacutenseca al caraacutecter de Leibniz basada en las siguientes
acusaciones
a) Acusacioacuten de plagio lanzada por John Keill a Leibniz ademaacutes de la acusacioacuten
del propio Newton sobre la prioridad de la invencioacuten del caacutelculo infinitesimal
en su ldquoAn Account of the Book Entituled Commercium Epistolicum D Johannis
Collinij amp Aliorum de Analysi Promotardquo publicado en 1715 en las Philosophical
Transactions de la Royal Society
b) Acusacioacuten de Pell sobre el plagio de Leibniz a Regnaud Pell conocioacute a Leibniz
en casa de la hermana del quiacutemico Robert Boyle en 1673 En ese encuentro
Leibniz le comentoacute a Pell que habiacutea descubierto un meacutetodo general para
representar e interpolar series usando diferencias Pell mostroacute su extrantildeeza
pues dado que Leibniz acababa de llegar de Pariacutes debiacutea conocer que esos
resultados descubiertos por Francois Regnaud habiacutean sido publicados en
1670 por Gabriel Mouton en sus ldquoObservationes Diametrorum Solis et Lunae
Apparentiumrdquo
c) Robert K Merton (Merton 1965) afirma que seguacuten el astroacutenomo Francois
Arago Leibniz plagioacute a Descartes acerca de la observacioacuten de este uacuteltimo
seguacuten la cual ldquola Tierra no difiere del Sol en ninguacuten aspecto salvo en que es
maacutes pequentildeardquo Estas fueron las palabras de Arago ldquoLeibniz otorgoacute a esta
hipoacutetesis el honor de atribuiacutersela a siacute mismordquo
Es decir ldquoverde y con asasrdquo
V2 CONCLUSIOacuteN
La ldquoGestioacuten del Conocimientordquo no es soacutelo vaacutelida para mejorar el funcionamiento y la
competitividad de las organizaciones tanto institucionales como econoacutemico-financieras sino
que como se muestra en este trabajo tambieacuten es eficaz y efectiva en el dominio de la
investigacioacuten cientiacutefica tanto teoacuterica como aplicada a la tecnologiacutea Y esta eficacia y efectividad
se plasma en que siguiendo la terminologiacutea de Francis Bacon aporta tanto ideas luciacuteferas que
iluminan ciertos campos clasificaacutendolos (resultados 1 2 3) como fructiacuteferas que generan
teoriacuteas y sobre todo abren nuevas viacuteas de investigacioacuten (2 3 y 4)
164
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CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA
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VI
C) Frege and Schoumlfinkelrsquos idea of functional programming developed by Curry
establishes the effectiveness of an axiomatic theory for software development
D) The proposed theory which has two constructs and three postulates applies not only
to software development but also to any information system
E) An incidental finding is that Leibniz plagiarized the Spaniard Caramuelrsquos binary
numbering system
VII
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a mi familia el apoyo y comprensioacuten incondicional que me
han dado en todo momento definitivamente sin ellos jamaacutes hubiese llegado hasta aquiacute En
especial quiero destacar el esfuerzo de mis padres a fin de darme una educacioacuten que me
permitiera tener unos cimientos lo suficientemente fuertes para poder alcanzar esta meta A
mi madre por su constante dedicacioacuten carintildeo y lucha para que continuara ldquoal pie del cantildeoacutenrdquo
A mi padre por su ejemplo incasable de trabajo y fortaleza quien hasta en sus uacuteltimos
momentos me ensentildeoacute la importancia de seguir adelante haciendo frente a las adversidades
por grandes que fueran Tambieacuten agradezco muy especialmente a mi hermana porque sin su
ayuda compantildeiacutea y consejos seguramente no hubiese llegado maacutes allaacute de la mitad del camino
Tambieacuten quiero agradecer a mis directores de tesis Profesores Doctores Juan Ares Casal y
Alfonso Rodriacuteguez-Patoacuten Aradas su comprensioacuten y confianza en este trabajo tan arriesgado
sobre todo antes de presentarles resultados concretos Naturalmente sus consejos directos o
indirectos fueron de valiosa ayuda para llevar a buen fin la investigacioacuten Asimismo en sus
opiniones y conocimientos sobre la teoriacutea propuesta en la que ellos habiacutean trabajado
previamente Sin ellos este trabajo no se habriacutea llevado a cabo en el peor de los casos y en el
mejor no de eacutesta manera
Asimismo quisiera mostrar mi reconocimiento a Javier Andrade y colegas por permitirme usar
sus propuestas experimentales como piedra de toque de la teoriacutea propuesta
Mencioacuten aparte merece el profesor Juan Pazos Sierra Su apoyo ayuda ideas conocimientos
y criacuteticas fueron esenciales tanto para la eleccioacuten como el desarrollo de la investigacioacuten Soacutelo
voy a citar dos ejemplos de su apoyo criacutetico y sin contemplaciones para con la doctoranda El
primero se produjo cuando al explicarle el objeto de la tesis me dijo ldquoYo en estos casos
siempre le doy a los doctorandos el siguiente consejo Intenta una cosa que no has hecho tres
veces Una para perderle el miedo a hacerlo La segunda para aprender a hacerlo Y la
tercera para ver si te gusta o no iexclAh Y en cuanto veas que sabes hacer algo inmediatamente
ponte a hacer algo que no sepasrdquo Es decir se creativa perseverante y por supuesto la tesis
no estaraacute lista hasta que la escribas y reescribas al menos tres veces
El segundo fue tal vez maacutes descorazonador fue cuando al contarle en que queriacutea trabajar
me soltoacute ldquoHasta que te hayas leiacutedo el Menoacuten de Platoacuten (Platoacuten 1969) y entiendas
VIII
perfectamente lo que es el meacutetodo socraacutetico de la ldquomayeacuteuticardquo es decir el arte de mediante
el diaacutelogo inquisitivo de pregunta-respuesta alumbrar los espiacuteritus no quiero volver a hablar
contigo de este asunto Eso siacute despueacutes en un tono menos perentorio me empezoacute a hablar de
Platoacuten y los filoacutesofos griegos claacutesicos que me hizo aprender maacutes de filosofiacutea y ciencia que
todo lo que me habiacutean explicado y o leiacutedo hasta entonces
Posteriormente y ya como fuente de conocimiento fue una auteacutentica mina No soacutelo me
contestoacute con precisioacuten y erudicioacuten a todo lo que le pregunteacute sino que sus consideraciones me
haciacutean replantear mi investigacioacuten haciendo eacutesta maacutes productiva y eficiente Y esto es de tal
modo asiacute que tanto las ideas aportadas y los resultados obtenidos como los meacutetodos
empleados para conseguirlos son tanto o maacutes de eacutel que miacuteos Naturalmente el trabajo que
implica todo ello es de la doctoranda pero lo que quiero sentildealar es que cuando exponiacutea una
idea absolutamente original para miacute eacutel sin decirlo ya pareciacutea conocerla de toda la vida e
inmediatamente me indicaba los problemas y dificultades que iba a encontrar en su desarrollo
y verificacioacuten
Pero es que ademaacutes Pazos siempre me insistioacute en que la mayeacuteutica debe conducir a la
claridad para que finalmente todo el mundo entendiera el conocimiento aflorado Al respecto
poniacutea el ejemplo del premio Nobel de Fiacutesica de 1965 Richard Philips Feyman (1918-1988) Eacuteste
en cierta ocasioacuten fue requerido por un miembro del claustro del Caltech donde trabajaba
para que le explicase por queacute las partiacuteculas de espiacuten un-medio obedecen a la estadiacutestica de
Fermi-Dirac en vez de la de Bose-Einstein Eacutel despueacutes de calibrar a su audiencia respondioacute
Preparareacute una leccioacuten para este tema para los estudiantes novatos Pero unos diacuteas maacutes tarde
buscoacute puacuteblicamente a su interlocutor y paladinamente dijo Sabes no pude no pude reducirlo
al nivel de los novatos Esto significa que realmente no lo entendemos
IX
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN III
ABSTRACT V
AGRADECIMIENTOS VII
TABLA DE CONTENIDO IX
CAPIacuteTULO I 1
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO 1
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS 2
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE 9
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES 9
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE 11
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN 20
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE 22
II2 TEORIacuteAS 28
II21 INTRODUCCIOacuteN 28
II22 DEFINICIOacuteN 29
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA 32
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS 49
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA 56
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL DESARROLLO SOFTWARE 61
CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA 63
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS 63
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA CASUALIDAD CAUSALIDAD O
ldquoCAUSUALIDADrdquo 67
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL 69
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM 72
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO DEFINICIOacuteN DE
NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN 75
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN 85
III31 INTRODUCCIOacuteN 85
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN 87
III4LOacuteGICA COMBINATORIA 100
X
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo 101
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO 102
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS 110
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA 115
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA 115
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA 115
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS 117
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES Y HOLONES 130
IV31 INFORMOacuteN 130
IV311 DEFINICIOacuteN 130
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN 134
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN 135
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo 138
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN 138
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES 143
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS 146
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA 148
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES 151
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA 154
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN 154
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN 159
V1 RESULTADOS 159
V2 CONCLUSIOacuteN 163
CAPIacuteTULO VI BIBLIOGRAFIacuteA 165
1
CAPIacuteTULO I
I1 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA ABORDADO
Este trabajo tiene por objeto mostrar coacutemo la ldquoGestioacuten del Conocimientordquo en adelante GC
puede emplearse con provecho esto es consiguiendo resultados ldquotangiblesrdquo y evaluables en
la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica En efecto consideacuterese la ecuacioacuten fundamental del
conocimiento que se muestra graacuteficamente en la figura I1 que establece en general que
cualquier cosa maacutes conocimientos implica una mejora de dicha cosa (Moral del 2007) Esta
ecuacioacuten que formula una ley empiacuterica se basa en la multitud de ejemplos de coacutemo materias
primas seres vivos capitales energiacutea y un largo etceacutetera al aplicaacuterseles conocimiento
adecuado obtienen ventajas competitivas Los casos tal vez maacutes paradigmaacuteticos al respecto
sean los del petroacuteleo y los hongos Eacutestos que invadiacutean y corrompiacutean todo lo que tocaban
despueacutes de aplicarles los conocimientos obtenidos a raiacutez del descubrimiento serendiacutepico de
sus propiedades antibacterianas por los por eso galardonados con el premio Nobel Fleming
Flory y Chain se convirtieron en un medicamento eficaz e indispensable la penicilina para
combatir las enfermedades bacterianas Con el petroacuteleo ldquomuntatis muntandisrdquo sucedioacute algo
parecido Hace antildeos el petroacuteleo era un fluido ldquoasquerosordquo que contaminaba campos y
paacuteramos e incordiaba sobre todo a agricultores y ganaderos que no sabiacutean coacutemo quitarse esa
ldquoplagardquo de encima En este caso gracias al conocimiento adecuado en forma de ldquocrackingrdquo en
las refineriacuteas se convirtioacute en un deseado obscuro objeto de deseo el asiacute llamado ldquooro negrordquo
imprescindible para la sociedad actual Sus subproductos en especial gasolinas queroseno y
gasoacuteleos asfalto y plaacutesticos son tan importantes para la sociedad actual que eacutesta no se
entenderiacutea sin ellos Y por supuesto no seriacutea tan coacutemoda y avanzada
Figura I1 Ecuacioacuten Fundamental de los Conocimientos
Pues bien como la ecuacioacuten no plantea excepciones tambieacuten es aplicable a los propios
conocimientos Es decir conocimientos aplicados a los conocimientos producen una mejora
de eacutestos Esta mejora da origen a un proceso de retroalimentacioacuten positiva o por mejor decir
2
a un ldquociacuterculo virtuosordquo o ldquohelicoide de conocimientosrdquo de modo que eacutestos son cada vez
mayores en cantidad y mejores en calidad Sin embargo y esto es lo paradoacutejico y motivante a
medida que se ampliacutea la isla de los conocimientos humanos aumenta como anaacutelogamente lo
muestra la circunferencia el litoral de la ignorancia humana En este tira y afloja hasta ahora
la uacutenica forma que se conoce de aplicacioacuten de la ecuacioacuten es mediante el protagonismo del
cientiacutefico y o investigador que es el protagonista del desarrollo cientiacutefico tecnoloacutegico La
cuestioacuten y eacuteste es el objeto primordial de esta tesis es si y coacutemo las teacutecnicas meacutetodos y
herramientas de la GC pueden crear o cuando menos colaborar efectiva y eficientemente en
aumentar los conocimientos cientiacuteficos
Y esto lleva a resaltar la importancia de esta cuestioacuten Si hubo un tiempo la Grecia Claacutesica en
que un solo ser humano podriacutea acumular todo el conocimiento existente hoy dado su
crecimiento exponencial o casi eso es imposible Por lo cual seriacutea de gran ayuda si la GC
pudiera aplicarse en la investigacioacuten cientiacutefico tecnoloacutegica La hipoacutetesis aquiacute planteada es de
que siacute Pero no soacutelo eso sino que y esto es una evidencia en el sentido galileano del teacutermino
es decir algo que se puede combatir y nunca refutar que en el futuro la GC seraacute condicioacuten
necesaria para la investigacioacuten cientiacutefica Maacutes auacuten y esto soacutelo se menciona especulativamente
y en condicional tal vez si los partidarios de la Inteligencia Artificial dura acaban por tener
razoacuten no soacutelo seraacute condicioacuten necesaria sino suficiente para dicha investigacioacuten
I2 OBJETIVOS DE LA TESIS
Siguiendo la norma tradicional y convencional de clasificar los objetivos en los tres niveles de
A) Finalidades de caraacutecter filosoacutefico y muy general
B) Fines fundamentalmente cualitativos y en consecuencia difiacutecilmente evaluables y
C) Metas concretas y evaluables
Esta tesis tiene como finalidad analizar el uso efectivo y eficaz de la Gestioacuten del Conocimiento
en el desarrollo software Como fin el contrastar la posibilidad y factibilidad de proponer una
teoriacutea que soporte las ldquoingenieriacuteasrdquo implicadas en el desarrollo software la ingenieriacutea del
software y del conocimiento Y finalmente como meta especiacutefica el proponer una teoriacutea en la
que fundamentar ambas ingenieriacuteas
Para alcanzar dichos objetivos se ha conseguido usando las teacutecnicas de GC de Mapas de
Conocimientos (ldquoSeis Clicksrdquo) importacioacuten de conocimientos ontologiacuteas etc lo siguiente
3
1) Identificar clara y precisamente de forma cuantificable el ldquogaprdquo entre la ingenieriacutea del
hardware (microprocesadores) exponencial y la ingenieriacutea del software en el mejor de
los casos lineal Al tiempo se postula que dicho ldquogaprdquo es sobre todo pero no
exclusivamente consecuencia de la carencia de teoriacutea en la que se apoye el desarrollo
software
2) Demostrar la posibilidad de desarrollar dicha teoriacutea Para lo cual se haraacute uso de varios
resultados conocidos Por una parte la propuesta de von Neumann de la generacioacuten
de los nuacutemeros y el teorema de Loumlwenheim-Skolem que muestra que toda teoriacutea
empiacuterica cientiacutefica es un modelo loacutegico de un sistema axiomaacutetico deductivo
fundamentado en los nuacutemeros naturales
3) Probar la factibilidad de realizacioacuten de dicha teoriacutea ejemplarizado en la
ldquocurryficacioacutenrdquo esto es en la programacioacuten funcional basada en los trabajos de Frege
Schoumlnfinkel y Curry
4) Dar un paso maacutes y proponer realmente una teoriacutea basada en los resultados anteriores
que consta de dos ldquoconstructosrdquo a saber holones e informones y tres postulados
Naturalmente para que dicha teoriacutea sea falsable tambieacuten se daraacuten las pruebas frente
a las cuales mostraraacute su validez
I3 METODOLOGIacuteA Y ESTRUCTURA DE LA TESIS
Hablando abstractamente una buena metodologiacutea de solucioacuten de problemas luego de
identificar y formular clara y precisamente el problema debe responder a las tres cuestiones
siguientes iquestEs posible una o maacutes soluciones iquestEs realizable dicha solucioacuten iquestEs deseable En
efecto para queacute intentar resolver un problema si como sucede muchas veces ldquoa priorirdquo se
sabe o puede demostrarse que el problema no tiene solucioacuten Esto es una cuestioacuten de eficacia
La segunda cuestioacuten atantildee maacutes a la eficiencia A veces hay problemas que se sabe que tienen
solucioacuten verbigracia el ajedrez sin embargo hasta hace poco dado que era un problema
exponencial era inviable por el tiempo requerido una solucioacuten de ldquofuerza brutardquo Todos los
problemas NP-Completos caen en este apartado Finalmente en ciertas ocasiones el
problema es resoluble y viable y sin embargo por alguna causa no es deseable por ejemplo
por razones eacuteticas ecoloacutegicas sociales econoacutemicas etc no es deseable ni recomendable
resolverlo simplemente porque seriacutea peor el remedio que la enfermedad La respuesta a las
dos primeras preguntas se daraacuten en el capiacutetulo III de este trabajo
4
Pues bien en el sentido y ejecucioacuten de esta tesis se tuvieron en cuenta estas cuestiones en la
metodologiacutea aplicable a la misma y que esquemaacuteticamente se muestra en la figura I2 Como
puede verse dicho esquema metodoloacutegico se basa por una parte en emplear los seis
honrados servidores del hombre de Rudyard Kipling (Kipling 1990) Queacute Quieacuten Por queacute Para
queacute Cuaacutendo Coacutemo y Doacutende y por otra las cuatro reglas del Meacutetodo Cartesiano (Descartes
1637) a saber De evidencia Anaacutelisis Siacutentesis y Prueba
Figura I2 Esquema de Solucioacuten de Problemas desde una Perspectiva de GC
5
Finalmente sentildealar que la teoriacutea propuesta tiene que constituir un sistema deductivo Para su
buacutesqueda y definicioacuten se hizo uso de la conocida regla heuriacutestica de ldquoanaacutelisis-siacutentesisrdquo y de la
loacutegica experimental En efecto las caracteriacutesticas baacutesicas de los sistemas deductivos son (a)
principio de ldquoretrasmisioacuten de la falsedad desde la base hasta la cuacutespiderdquo esto es mediante
ldquoretroduccioacutenrdquo desde las conclusiones a las premisas Haciendo asiacute un contraejemplo de una
conclusioacuten seraacute un contraejemplo de al menos una de las premisas (b) El ldquoprincipio de
transmisioacuten de la verdadrdquo desde las premisas a las conclusiones Pero y esto es muy
importante a estos sistemas no se les exige que transmitan falsedad o retrasmitan verdad
Para llevar esto a buen puerto los sistemas deductivos hacen uso de la regla de ldquoanaacutelisis-
siacutentesisrdquo que funciona como sigue (Lakatos 1981) Extrae conclusiones de tu conjetura una
tras otra suponiendo que la conjetura es verdadera si llegas a una conclusioacuten falsa entonces
tu conjetura es falsa Si llegas a una conclusioacuten indudablemente verdadera entonces tu
conjetura tal vez haya sido verdadera En este caso invierte el proceso trabaja hacia atraacutes e
intenta deducir tu conjetura original por el camino inverso es decir desde la verdad indudable
hasta la conjetura dudosa Si tienes eacutexito habraacutes probado la conjetura Esta regla heuriacutestica
pone de manifiesto por queacute los antiguos griegos teniacutean en tan alta estima la ldquoReductio ad
absurdumrdquo les ahorraba el trabajo de siacutentesis habiendo probado el caso soacutelo con el anaacutelisis
Anaacutelisis que puede ser de dos tipos teoacuterico dirigido a la buacutesqueda de la verdad y
praxeoloacutegico praacutectico o problemaacutetico que de estas tres formas se denomina dirigido a
encontrar lo que se ha dicho que hay que encontrar
La mayoriacutea de los grandes cientiacuteficos Maxwell Einstein Dirac etceacutetera usaron o procedieron
mediante lo que se conoce como ldquoloacutegica experimentalrdquo un aparente oxiacutemoron es decir
teacuterminos contradictorios en siacute mismos pero en este caso soacutelo en apariencia En loacutegica
experimental se formulan hipoacutetesis formalmente a poder ser en forma de ecuaciones y se
experimenta con ellas Esto es se intenta perfeccionar las ecuaciones desde el punto de vista
de su belleza o perfeccioacuten interna y su consistencia Y a continuacioacuten se verifica si las
ecuaciones ldquomejoradasrdquo explican alguacuten aspecto de la naturaleza Las matemaacuteticas utilizaban la
acabada de citar ldquoreduccioacuten al absurdordquo que consiste en que para demostrar A se asume lo
opuesto de A y se llega a una contradiccioacuten con lo que se afirma A Por el contrario la ldquoloacutegica
experimentalrdquo consiste en una ldquovalidacioacuten por fecundidadrdquo que estriba en que para validar A
se asume A y se demuestra que conduce a resultados uacutetiles Frente al ldquomodus operandirdquo de la
loacutegica deductiva la ldquoloacutegica experimentalrdquo se inspira en la maacutexima ampliamente utilizada en
GC siguiente ldquoMaacutes vale pedir perdoacuten que solicitar permisordquo De hecho la ldquoloacutegica
experimentalrdquo no contempla al menos ldquoprima facierdquo la inconsistencia como una cataacutestrofe
6
irremediable sino como una oportunidad esperanzadora Si una liacutenea de investigacioacuten es
fructiacutefera no debiacutea ser abandonada por su inconsistencia o caraacutecter aproximado Por el
contrario hay que buscar el modo de convertirla en correcta En este sentido el premio Nobel
de Fiacutesica Steven Weinberg sentildealoacute que muchas veces se aplican las ideas correctas al problema
equivocado
Para centrar la cuestioacuten cientiacuteficamente y huir de toda especulacioacuten metafiacutesica lo primero que
se hizo fue aplicar la GC en forma de Mapa de Zack y esquema de obtencioacuten del conocimiento
para identificar un problema relevante en el aacuterea en la que la doctoranda teniacutea cualificacioacuten
universitaria el desarrollo software De esto trata el capiacutetulo II en el cual en forma de estado
de la cuestioacuten se considera detalladamente
A) Las bases tecnoloacutegicas de la crisis del software provocada fundamentalmente por una
carencia de teoriacutea del software que soporte las ingenieriacuteas del software y del
conocimiento
B) Naturalmente si lo que se busca es una teoriacutea cientiacutefica previamente debe
establecerse lo que se entiende por tal Ademaacutes como no hay mejor predicador que
fray ejemplo se daraacuten en distintos dominios ejemplos de teoriacuteas cientiacuteficas tanto
formales como empiacutericas o exponenciales
A continuacioacuten en el capiacutetulo III usando conocimiento formal se demuestra no soacutelo que
dicha teoriacutea es posible apartado III1 aportacioacuten de von Neumann y Teorema de Loumlwenheim-
Skolem sino que tambieacuten es viable y realizable viacutea ldquocurryficacioacutenrdquo apartado III2 Para probar
la posibilidad se hizo uso de las teacutecnicas de importacioacuten y de educcioacuten del conocimiento de
acuerdo con la regla de oro de la GC queacute se sabe queacute no se sabe y queacute se deberiacutea saber en
este caso concreto los resultados previos de von Neumann y Loumlwenheim-Skolem Por su
parte para probar la factibilidad apartado III2 se hizo uso viacutea importacioacuten de conocimientos
y inquisicioacuten al experto de algo habitual en el desarrollo software en este caso en el aspecto
concreto de la programacioacuten funcional y su fundamentacioacuten loacutegico-matemaacutetica Por y para lo
cual se usoacute el conocimiento previo de Frege Schoumlnfinkel y Curry En ambos casos la teacutecnica de
GC denominada mapas de conocimientos fueron de absoluta utilidad
Y para completar el triacuteo de cuestiones que exigiacutea el planteamiento de la hipoacutetesis y dentro de
la solucioacuten propuesta en el capiacutetulo IV se muestran los aspectos metodoloacutegicos de dicha
7
solucioacuten apartado IV1 y en el apartado IV2 la teoriacutea propuesta basada soacutelo en dos
ldquoconstructosrdquo o conceptos y tres postulados
Para finalizar en el capiacutetulo V se explicitan apartado V1 los resultados obtenidos las
conclusiones extraiacutedas apartado V2 y las futuras liacuteneas de investigacioacuten apartado V3 Y en
el capiacutetulo VI se da la bibliografiacutea
8
9
CAPIacuteTULO II ESTADO DE LA CUESTIOacuteN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
II1 HARDWARE ldquoVERSUSrdquo SOFTWARE
II11 EVOLUCIOacuteN DE LOS MICROPROCESADORES
En 1947 John Bardeen (1908-1991) y Walter Houser Brattain inventaron el transistor cuyo
nombre es el acroacutenimo de ldquoTransference Resistorrdquo en alusioacuten a su caracteriacutestica maacutes
importante transferir resistencia permitiendo el paso de corriente de una entrada de baja
resistencia a otra de salida de alta resistencia Ahora bien dicho transistor conocido como de
punta de contacto no era muy estable y fue necesario que otro cientiacutefico tambieacuten de los
laboratorios Bell William Bradford Shockley lo mejorara dando lugar al transistor de unioacuten Por
dicho invento y mejora los tres fueron galardonados con el premio Nobel de Fiacutesica del antildeo
1956 Insoacutelitamente John Bardeen esta vez en compantildeiacutea de Leon N Cooper y John Robert
Schrieffer volvioacute a conseguir el premio Nobel de Fiacutesica de 1972 por sus trabajos sobre la
superconductividad del metal proacuteximo al cero absoluto
En 1959 John Kilby de Texas Instruments patentoacute el circuito integrado que conteniacutea
centenares de componentes es decir transistores y resistencias tratadas en bloque que
recibieron el nombre coloquial de ldquochipsrdquo Este nombre alude a las finas lonchas de patatas
fritas cuya forma recuerda a la de los circuitos integrados aunque su procedencia proveniacutea de
las siglas ldquoCircuit High Integrated Processrdquo Siendo eacuteste uno maacutes de los tiacutepicos juegos de
palabras que tan a menudo ocurren en el mundo de la CS Pues bien el chip maacutes importante
es el microprocesador llamado tambieacuten Central Processing Unit (CPU) que se encarga de
controlar a todos los demaacutes y efectuar todas las operaciones
Nombre Antildeo Nordm de Transistores Ancho de bus
(bits) Frecuencia de Reloj
(Herzios)
44004 1971 2300 4 108 KHz 8080 1974 6000 8 2 MHz 8086 1978 29000 16 5 MHz 80286 1982 134000 16 6 MHz 80386 1985 275000 32 16 MHz 80486 1989 1200000 32 25 MHz Pentium 1993 3100000 64 y 32 60 MHz Pentium II 1997 7500000 64 233 MHz Pentium III 1999 9500000 64 500 MHz Pentium 4 2000 42500000 64 13 GHz Pentium M 2003 140000000 64 226 GHz Pentium D 2005 230000000 64 32 GHz Core 2 Duo 2006 291000000 64 266 GHz
Tabla II1 Caracteriacutesticas de los chips desde su creacioacuten
10
El primer microprocesador lo presentoacute Intel empresa fundada en julio de 1968 por Gordon
Moore Robert Nogee y Andrew Growe el 15 de Noviembre de 1971 A partir de ese
momento tal y como se muestra en la tabla II1 la evolucioacuten de los microprocesadores se hizo
vertiginosa En dicha tabla se muestran las caracteriacutesticas de los principales modelos de chips
comercializados por INTEL teniendo en cuenta los tres paraacutemetros fundamentales de un
microprocesador a saber ancho de bus de datos o nuacutemero de bits que puede manejar
simultaacuteneamente la frecuencia del reloj o velocidad de proceso y la cantidad de transistores
que contiene Y en la figura II1 se muestra dicha evolucioacuten hasta el antildeo 2020 pero teniendo
en cuenta soacutelo el nuacutemero de transistores por chip Curiosamente como Intel queriacutea
diferenciarse de otros fabricantes y no podiacutea patentar un nuacutemero al modelo siguiente al
80486 en lugar de 80586 lo denominoacute Pentium Siguiendo este esquema de nomenclatura el
siguiente modelo deberiacutea haberse llamado Sextium pero por las connotaciones que teniacutea con
ldquoSexrdquo a Intel le parecioacute maacutes oportuno numerar los Pentium como asiacute hizo Finalmente en los
uacuteltimos antildeos han denominado a sus modelos Core Duo en mencioacuten del doble nuacutecleo que
poseen
Figura II1 Ley de Moore en teacuterminos de procesadores Intel
Si se compara el ritmo de la evolucioacuten bioloacutegica con la de los instrumentos de coacutemputo
tomando como punto de partida de la primera la aparicioacuten de las ceacutelulas procariotas hace
unos quinientos millones de antildeos y de la segunda el aacutebaco babiloacutenico hace unos cinco mil
antildeos se ve como se muestra en la figura II2 que la evolucioacuten bioloacutegica es lineal en tanto que
la tecnoloacutegica es exponencial En dicha figura la capacidad de proceso estaacute representada en
teacuterminos de lo que puede adquirirse en cada momento por mil doacutelares y no en teacuterminos
absolutos de lo que es capaz de procesar el computador maacutes potente del momento Por su
11
parte la capacidad de coacutemputo de los seres vivos se representa en la figura en base al nuacutemero
de neuronas del cerebro y a las posibilidades de conexioacuten sinaacutepticas y considerando que una
neurona es capaz de realizar mil instrucciones por segundo
Figura II2 Evolucioacuten bioloacutegica y tecnoloacutegica
II12 LEY DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES LEY DE MOORE
Raymond Kurzweil (Kurzweil 1999) sentildealoacute acertadamente que a lo largo del tiempo operan
dos leyes complementarias La primera conocida como ldquoLey del Aumento del Caosrdquo da cuenta
del hecho empiacuterico de que a medida que el caos se incrementa el tiempo se desacelera Dicho
en otros teacuterminos El intervalo transcurrido entre dos eventos relevantes crece con el tiempo
Esta ley que puede aplicarse tanto al Cosmos como a los organismos bioloacutegicos es la que hace
que los humanos pasen de la juventud a la vejez La segunda que es la que ldquohic et nuncrdquo esto
es aquiacute y ahora maacutes importa concierne baacutesicamente al desarrollo e innovacioacuten tecnoloacutegica y
opera de forma opuesta a la primera recibiendo el nombre de ldquoLey de los Rendimientos
Crecientesrdquo En la tabla II2 se dan dos ejemplos de funcionamiento de esta ley El primero
considera la aceleracioacuten histoacuterica del advenimiento de las distintas sociedades impulsadas por
los continuos y revolucionarios cambios tecnoloacutegicos El segundo muestra el tiempo
12
transcurrido desde que se produce un descubrimiento cientiacutefico hasta que se convierte en una
innovacioacuten tecnoloacutegica de aplicacioacuten praacutectica La historia de la civilizacioacuten es la del intento
continuado del ser humano para reducir la brecha entre lo que piensa que sabe y lo que hace
es decir entre ciencia y tecnologiacutea Y lo que impulsa estos avances depende de cada caso Asiacute
en el caso del transporte es la utilidad lo que impulsa los avances Esta ley de los
ldquoRendimientos Crecientesrdquo da cuenta del hecho de que a medida que el orden crece
exponencialmente el tiempo se desacelera tambieacuten exponencialmente Dicho de otro modo
El intervalo transcurrido entre dos eventos importantes relevantes y significativos decrece con
el tiempo Un corolario conocidiacutesimo y ejemplo paradigmaacutetico de esta ley es la ldquoLey de
Moorerdquo aplicada a la tecnologiacutea de los microprocesadores que por su pertinencia y
relevancia se va a considerar maacutes ampliamente a continuacioacuten y que Forrester en 1987
(Forrester 1987) expresoacute como sigue El poder de la tecnologiacutea de la computadora a la misma
unidad de coste se duplica cada dieciocho-veinticuatro meses y tiende a disminuir el periacuteodo
Tipos de Sociedad Tiempo
Transcurrido
Descubrimiento Antildeos Transcurridos
Fotografiacutea 112
Rural Teleacutefono 56
10 Siglos Radio 35
Industrial Radar 15
2 Siglos Bomba Atoacutemica 6
Servicios Transistor 5
30 Antildeos Circuitos Integrados 3
Tecnologiacutea o Digital Enzimas de Restriccioacuten en el ADN recombinante
lt1
(A) Evolucioacuten de las Sociedades (B) Ley de Rendimientos Crecientes para distintos
Descubrimientos
Tabla II2 Ejemplos de la aceleracioacuten histoacuterica
En el antildeo 1965 Gordon E Moore uno de los fundadores de INTEL se percatoacute de que los
circuitos integrados estaban duplicando cada antildeo la densidad de los componentes electroacutenicos
que conteniacutean las distintas obleas de silicio que constituye el chip Y establecioacute dicha
observacioacuten perspicaz en forma de foacutermula empiacuterica que en honor de su descubridor recibe
el nombre de Ley de Moore (Moore 1965) Esta foacutermula empiacuterica que mide estimula y
predice la capacidad humana de innovacioacuten aplicada al progreso de la tecnologiacutea
microelectroacutenica obviamente no es una ley cientiacutefica de la naturaleza y en consecuencia ni es
universal ni menos eterna Esto hace que de vez en cuando haya que retocarla para ajustarla
a la realidad de los hechos En efecto si bien es cierto que el coeficiente multiplicador anual de
13
densidad de los componentes electroacutenicos en un chip se mantuvo en el valor 2 desde 1958
hasta 1972 desde entonces se redujo hasta hoy en diacutea a 15 es decir a duplicarse cada
dieciocho meses y se estima que dicha tendencia continuaraacute hasta aproximadamente el antildeo
2020 A partir de ahiacute se cree que se volveraacute a reducir hasta un valor de 116 que continuaraacute
hasta alcanzar los liacutemites de las leyes fiacutesicas que rigen la construccioacuten de los chips actuales
esto es la electroacutenica convencional En efecto si se mantiene la ley de Moore antes de quince
antildeos los componentes electroacutenicos grabados en silicio llegaran a un tamantildeo molecular criacutetico
Por ejemplo en 1972 los chips de memoria tipo DRAM conteniacutean un kilobit esto es mil ceros
o unos Al ritmo multiplicador de 15 anual en el antildeo 2010 pasariacutean a tener una capacidad de
unos 64 gigabits o sea a albergar 64 mil millones de transistores por oblea de silicio Sin
embargo esta previsioacuten fue superada con creces pues ya en 1997 investigadores de la
Universidad de Minnesota anunciaron una teacutecnica para integrar ese mismo nuacutemero de
transistores en un chip de 1 centiacutemetro cuadrado de superficie Lo mismo cabe decir para los
chips microprocesadores aunque en este caso la pauta que siguen hay que restarle un orden
de magnitud En la gran conferencia patrocinada por la Association for Computing Machinery
(ACM) con ocasioacuten del primer cincuentenario de la informaacutetica celebrada del 1 al 5 de marzo
de 1997 y titulada ldquoThe Next Fifty Years of Computingrdquo Gordon Bell estimaba que dentro de
otros cincuenta antildeos los computadores seraacuten como miacutenimo 100000 veces maacutes potentes que
los actuales Por otra parte Raymond Kurzweil estimoacute que la capacidad operativa del cerebro
humano es de 20x1015 operaciones por segundo cifra que de acuerdo con la ley de Moore
alcanzaraacuten los procesadores del antildeo 2020 y duplicada 18 meses despueacutes
Para apreciar el extraordinario aumento de la potencia de los computadores es importante
recordar que desde 1950 hasta el presente dicho aumento es de aproximadamente iexclonce
oacuterdenes de magnitud en otras palabras se ha multiplicado por 1011 o auacuten es cien mil
millones de veces superior Un raacutepido incremento de potencia de esta magnitud apenas tiene
precedentes en la historia de la tecnologiacutea Para valorar por comparacioacuten la magnitud de este
impresionante incremento baste indicar que es mayor que el que supuso en la potencia de
los explosivos el paso de los explosivos quiacutemicos a la bomba termonuclear De hecho si se
retrocede ochenta antildeos la potencia de coacutemputo se ha multiplicado por un billoacuten Para tener
una idea aproximada de lo que esto significa compaacuterese con la velocidad de los medios de
comunicacioacuten a traveacutes de la historia y se ve que el solo aumento de un orden de magnitud fue
debido a un cambio tecnoloacutegico relevante para la humanidad Por ejemplo el paso de la
traccioacuten animal a la mecaacutenica por vapor o explosioacuten y de eacutesta a los aviones a reaccioacuten cohetes
etc Hace ocho mil antildeos el medio maacutes raacutepido de transporte era la caravana de camellos que
14
alcanzaba una media de 12 kiloacutemetros por hora Hasta cuatro mil quinientos antildeos despueacutes no
se inventoacute el carro con ruedas que permitiacutea viajar a 30 kiloacutemetros por hora Casi tres mil
quinientos antildeos despueacutes en 1880 el hombre consiguioacute alcanzar los 150 kiloacutemetros por hora
gracias a la locomotora de vapor Los 600 kiloacutemetros por hora no se alcanzaron hasta hace 70
antildeos con los aviones a reaccioacuten Veinte antildeos despueacutes los aviones-cohete superaban los 6000
kiloacutemetros por hora Hoy las caacutepsulas espaciales circunvalan a tierra a maacutes de 35000
kiloacutemetros por hora La espectacular evolucioacuten tecnoloacutegica de los computadores si se le
compara con la evolucioacuten de la industria automoviliacutestica resulta auacuten maacutes ilustrativa En efecto
fue el malogrado psicoacutelogo entusiasta de los computadores Christopher Evans (Evans 1979)
el primero en establecer una analogiacutea de este tipo al plantear la cuestioacuten como sigue El
automoacutevil actual difiere de aquellos de los antildeos inmediatos de la postguerra en varios
aspectos Es maacutes barato y es maacutes econoacutemico y eficiente Pero supoacutengase por un momento
que la industria del automoacutevil se hubiera desarrollado al mismo ritmo que los computadores y
a lo largo del mismo periacuteodo iquestCuaacutento maacutes baratos y eficientes seriacutean los modelos actuales La
respuesta es Hoy se podriacutea comprar un Rolls-Royce por 135 libras esterlinas rendiriacutea 18
millones de kiloacutemetros por litro de gasolina consumido generariacutea suficiente potencia para
impulsar al Queen Elizabeth II y se podriacutea colocar media docena de ellos en la cabeza de un
alfilerrdquo Analogiacutea que posteriormente retomoacute Malcom Forbes (Forbes 1996) con cambios
miacutenimos Aumentando el precio del Rolls Royce rebajando la eficiencia en el consumo
comparando su fortaleza frente al Queen Mary Este Rolls consumiriacutea 1 litro de gasolina cada
milloacuten de kiloacutemetros tendriacutea una potencia superior al Queen Mary y ocupariacutea el volumen de
una cabeza de alfiler Por su parte Goacutemez y colegas (Goacutemez 1997) antildeadieron que tendriacutea
capacidad para 10000 viajeros y viajariacutea a maacutes de 5000 kmhora y redujeron el precio a menos
de un doacutelar Hoy podriacutea antildeadirse que iriacutea al taller cada 500 antildeos casi no contaminariacutea y que
praacutecticamente no hariacutea falta saber nada para conducirlo Es de suponer que en Microsoft no
estaacuten de acuerdo con este enfoque al menos su jefe de tecnologiacutea Nathan Myhrvold quien
establecioacute una ley para el software que dice ldquoLa programacioacuten crece maacutes raacutepido que la Ley de
Moorerdquo (Myhrvold 1998) Naturalmente todos estos datos exclusivamente referentes al
ldquohardwarerdquo se dan sin segunda intencioacuten no vaya a ser que el efecto Gates funcione de
nuevo Usando parte de esos datos y la Ley de Nathan (Myhrvold 1998) hace unos antildeos fuera
de contexto Bill Gates en un CONDEX imprudentemente se burlaba de la industria del
automoacutevil lo que provocoacute la indignacioacuten del presidente de la General Motors que convocoacute una
rueda de prensa en la que contestoacute lo siguiente Si la industria automovilista hubiera
desarrollado una tecnologiacutea como la de Microsoft conduciriacuteamos actualmente automoacuteviles
15
que tendriacutean dos accidentes al diacutea habriacutea que cambiarlos cada vez que se pintaran las liacuteneas
de la carretera se parariacutean sin motivo conocido y habriacutea que arrancarlos de nuevo para
continuar la marcha los asientos exigiriacutean que todos los ocupantes tuvieran el mismo formato
de culo el sistema de airbag preguntariacutea si se aceptaba que se desplegara antes de actuar y
en ocasiones soacutelo podriacutea arrancarse por el conocido truco de tirar de la puerta girar la llave y
sujetar la antena de la radio simultaacuteneamente Y siempre que se presentara un nuevo modelo
de coche todos los conductores deberiacutean aprender a conducir de nuevo porque ninguno de los
mandos funcionariacutea como en los modelos anteriores Como puede verse todas estas criacuteticas se
refieren al software Eacutestas y otras comparaciones que se podriacutean poner como ejemplo no
reflejan otra cosa que la realidad incuestionable del avance espectacular que ha tenido la
industria de los procesadores y de los computadores en su versioacuten ldquohardwarerdquo Ambos
enfoques se encuentran en la Tabla II3
A) HARDWARE
B) SOFTWARE
Microsoft
Accidentes Cambios Deteccioacuten Ergonomiacutea Automatizacioacuten Arranque Conocimiento
Conduccioacuten
2 x diacutea Cada vez
que se
pintaran
las liacuteneas
de la
carrete-
ra
Sin motivo
conocido y
habiacutea que
rearrancarlos
cada vez para
continuar
Los
pasajeros
deben
tener el
mismo
formato de
trasero
El airbag
preguntariacutea
antes de actuar
si se desplegaba
En ocasiones
tirar de la
puerta girar la
llave y sujetar
la antena de la
radio simultaacute-
neamente
Para cada
nuevo modelo
ir de nuevo a la
autoescuela
Tabla II3 Comparativas en Hardware y Software
Kurzweil analiza todo esto en un trabajo (Kurzweil 2005) en donde da su Ley de Aceleracioacuten
de los Retornos que aquiacute se resume como sigue un anaacutelisis de la historia de la tecnologiacutea
muestra que el cambio tecnoloacutegico es exponencial y no como parece indicar el sentido comuacuten
Tipo Precio Kmlitro Potencia Tamantildeo Capacidad Vel Kmh
Fiabilidad Conocimiento Conduccioacuten
Contami-nacioacuten
Rolls Royce
1 euro 18x106
Queen Elizabet II
6 en cabeza de alquiler
104 pasajeros
5x103
Cada 500 antildeos al taller
Praacutecticamente nulo
Cero
200000 euro
033 300CV 420x17060
4 pasajeros 250 Anual Academia Media
16
lineal Asiacute los ldquoretornosrdquo tales como la velocidad de los ldquochipsrdquo y el coste-efectividad tambieacuten
se incrementaraacuten exponencialmente Hay incluso un crecimiento exponencial en los ratios de
crecimiento exponencial Dentro de pocas deacutecadas la ldquointeligenciardquo de la maacutequina
sobrepasaraacute la inteligencia humana conduciendo a ldquoLa Singularidadrdquo o cambio tecnoloacutegico tan
raacutepido y profundo que representa una ruptura en la realidad de la historia humana las
implicaciones incluyen la mezcla de inteligencia bioloacutegica y no bioloacutegica humanos inmortales
basados en software y ultraelevados niveles de inteligencia que la expanden en el universo a la
velocidad de la luz
Para Kurzweil el futuro es ampliamente malentendido Las previsiones humanas esperan que
el futuro sea lo maacutes parecido al presente que ha sido lo maacutes parecido al pasado Aunque las
tendencias exponenciales existen desde hace miles de antildeos en sus primeras etapas son tan
llanas que parece que no tengan tendencia en absoluto y eso es lo que ocurrioacute hasta ahora
por eso el futuro seraacute mucho maacutes sorprendente de aquiacute en adelante La mayoriacutea de las
previsiones a largo plazo de las capacidades teacutecnicas en periacuteodos de tiempo futuro subestiman
dramaacuteticamente el poder de la tecnologiacutea del futuro debido a que se basan en la visioacuten
ldquointuitivamente linealrdquo del progreso tecnoloacutegico antes que en la visioacuten ldquohistoacutericamente
exponencialrdquo Para expresarlo de otro modo no es el caso de que se experimentaraacute un
progreso de cien antildeos en el siglo XXI sino que el ser humano seraacute testigo de un progreso a la
ratio actual de 20000 antildeos Debido a que se estaacute duplicando la tasa de progreso cada deacutecada
a la ratio actual se veraacute una centuria de progreso en soacutelo 25 antildeos de calendario
Cuando la gente piensa en un periodo futuro intuitivamente asume que la actual ratio de
progreso continuaraacute en periacuteodos futuros Sin embargo una cuidadosa consideracioacuten de la
marcha de la tecnologiacutea muestra que la ratio de progreso no es constante pero estaacute en la
naturaleza humana adaptarse a la marcha del cambio de modo que la visioacuten intuitiva es que la
marcha continuaraacute a la tasa actual Incluso para incrementos sobre el tiempo la intuicioacuten da la
impresioacuten de que el progreso cambia a la ratio que se experimentoacute recientemente Desde la
perspectiva matemaacutetica una primera razoacuten para eso es que una curva exponencial se
aproxima a una recta cuando se ve durante un breve periacuteodo de tiempo De modo que
aunque la ratio de progreso en el inmediato pasado verbigracia el antildeo pasado fue mucho maacutes
grande de lo que hace dos antildeos la memoria estaacute a pesar de todo dominada por la
experiencia muy reciente Es tiacutepico por lo tanto que incluso personas ldquoexpertasrdquo cuando
consideran el futuro extrapolan la actual marcha del cambio sobre los proacuteximos diez o cien
17
antildeos para determinar sus expectativas Por eso a esta visioacuten del futuro se denomina visioacuten
ldquointuitiva linealrdquo
Pero una evaluacioacuten de la historia de la tecnologiacutea maacutes meditada y rigurosa muestra que el
cambio tecnoloacutegico es exponencial En el crecimiento exponencial se encuentra que una
medida clave tal como la potencia computacional se multiplica por un factor constante por
cada unidad de tiempo verbigracia se duplica cada antildeo antes que justo ser sumado
incrementalmente Dicho en otros teacuterminos se estaacute ante una progresioacuten geomeacutetrica no
aritmeacutetica El crecimiento exponencial es caracteriacutestico de cualquier proceso evolutivo del que
la tecnologiacutea es un ejemplo primario Se pueden examinar los datos de diferentes maneras en
diferentes escalas de tiempo y para una amplia variedad de tecnologiacuteas yendo de la
electroacutenica a la bioloacutegica y la aceleracioacuten del progreso y el crecimiento se multiplican Maacutes auacuten
realmente no se encuentra justamente un crecimiento exponencial simple sino ldquodoblerdquo lo
que significa que la ratio del propio crecimiento exponencial es exponencial Estas
observaciones no se basan uacutenicamente en la ley de Moore sino en un modelo que contempla
diversas tecnologiacuteas Lo que claramente muestra eso es que la tecnologiacutea particularmente la
marcha del cambio tecnoloacutegico avanza al menos exponencialmente no linealmente y lo ha
estado haciendo desde el advenimiento de la evolucioacuten a la Tierra Todo esto da lugar a la asiacute
llamada por Kurzweil ldquoLey de Aceleracioacuten de Retornosrdquo (Kurzweil 2005)
Para apreciar la naturaleza y significado de la ldquosingularidadrdquo que se avecina es importante
ponderar la naturaleza del crecimiento exponencial A este fin permiacutetase usar el caso del
inventor del ajedrez Sessa o por mejor decir su leyenda Esta leyenda de hace maacutes de quince
siglos fue citada por Dante Alighieri (1265-1321) en el apartado del Paraiacuteso de su Divina
Comedia cuando en sus versos refirieacutendose a las luces del cielo dice(Alighieri 1988)
L`incendio suo seguiva ogne scintilla ed eran tante che`l numero loro piuacute che`l doppiar de li scacchi s`inmilla
hellip y eran tantas que su nuacutemero maacutes que al doblar de los escaques asciende
Es decir su nuacutemero era tan grande que superaba al que se obtendriacutea sumando los primeros 64
teacuterminos esto es el nuacutemero de escaques del tablero de ajedrez de la progresioacuten geomeacutetrica
de razoacuten dos a partir del uno El resultado es un nuacutemero enorme de veinte cifras expresado
por la foacutermula 264-1 Dante recuerda en su famosa obra la conocida leyenda oriental en una
de sus versiones Seguacuten Dante el rey persa Shiraz riquiacutesimo y aburrido convocoacute a los sabios y
les prometioacute una recompensa generosa si lograban hacerle pasar el tiempo placenteramente
18
Uno de los sabios de nombre Sessa o Sisa de acuerdo con las distintas foneacuteticas le llevoacute el
juego del ajedrez y le pidioacute un grano de trigo por la primera casilla dos por la segunda cuatro
por la tercera ocho por la cuarta y asiacute sucesivamente Naturalmente no pudo pagarle al sabio
pero seguacuten otra versioacuten maacutes erudita y completa (Pazos J 2008) los matemaacuteticos que
calcularon la enorme cantidad de trigo que teniacutea que abonar el monarca le dieron la ldquorecetardquo
para salir airosamente del trance Hacerle contar al Sessa los granos de trigo que iba
recibiendo
Soacutelo queda por plantearse una cuestioacuten iquestEl nuacutemero de granos que solicitaba el brahmaacuten es
mayor menor o igual que el nuacutemero de posibles jugadas en el juego que descubrioacute La
respuesta es que es mucho menor habida cuenta que el nuacutemero de jugadas posibles en el
ajedrez seguacuten Shannon es de 10120
La ldquoduplicacioacutenrdquo aunque parece un divertimento no es asiacute puesto que en la naturaleza hay
situaciones que siguen estas pautas El caso maacutes paradigmaacutetico es el de las bacterias los seres
vivos hasta el momento con mayor capacidad de reproduccioacuten En efecto si cuentan con
suficiente alimento una bacteria se divide en dos iguales cada veinte minutos A este ritmo
una uacutenica bacteria puede superar a toda la poblacioacuten humana actual en tan soacutelo 11 horas Para
calcularlo bastariacutea con elevar dos a treinta y tres el nuacutemero de divisiones que se produciriacutean
en ese tiempo Afortunadamente para dar ldquoalimentordquo a tan numerosa prole hace falta un
suministro de nutrientes muy elevado asiacute que la poblacioacuten tiende a estabilizarse al llegar a esa
cifra Si no fuera asiacute la poblacioacuten llegariacutea en pocos diacuteas al valor de un Guacutegol que es un uno
seguido de iexcl100 ceros Este nombre se lo dio el matemaacutetico Kasner tomaacutendolo prestado de
su sobrino de nueve antildeos
Dicho lo anterior lo inmediato es establecer lo que significa la singularidad como teacutermino y
como concepto Para empezar hay que decir que con el teacutermino singularidad se quiere decir
un acontecimiento uacutenico con profundas implicaciones Por ejemplo en matemaacuteticas implica el
infinito es decir la ldquoexplosioacutenrdquo de un valor que ocurre cuando se divide un nuacutemero racional
distinto de cero por un nuacutemero tan proacuteximo a cero como se quiere incluido naturalmente el
cero En fiacutesica anaacutelogamente una singularidad denota un evento o posicioacuten de poder infinito
En el centro de un agujero negro la materia es tan densa que su gravedad es infinita Cuanto
maacutes se acercan la materia y la energiacutea para caer en un agujero negro un evento horizonte
separa la regioacuten del resto del Universo Eso constituye una ruptura en la estructura del espacio
y el tiempo El propio Universo seguacuten la ldquoteoriacuteardquo actualmente dominante ldquoel big bangrdquo
comenzoacute justamente con una singularidad
19
La singularidad tiene muchas facetas Asiacute representa la cercana fase vertical del crecimiento
exponencial donde la ratio de crecimiento es tan extrema que la tecnologiacutea parece que crece a
una velocidad infinita Naturalmente desde una perspectiva matemaacutetica no hay
discontinuidad ni ruptura y la ratio de crecimiento permanece finita aunque
extraordinariamente grande Pero desde la limitada perspectiva actual este evento inminente
parece ser una aguda y abrupta ruptura en la continuidad del progreso Sin embargo hay que
enfatizar la palabra ldquoactualmenterdquo porque una de las implicaciones conspicuas de la
singularidad seraacute un cambio en la naturaleza de la capacidad humana de entender En otros
teacuterminos el ser humano llegaraacute a ser inmensamente maacutes inteligente cuando se ldquomezclerdquo con
la tecnologiacutea
Volviendo a la historia del ajedrez tanto Sessa como el emperador mientras estaban
considerando la primera mitad del tablero de ajedrez las cosas iban razonablemente bien sin
sobresaltos Sessa recibioacute sucesivamente cucharadas tazones y barriles de grano De este
modo al final de la primera mitad del tablero habiacutea recibido Sessa el equivalente a la cosecha
de un gran campo en total cuatrocientos mil millones de granos y el emperador empezoacute a ser
consciente del problema en el que se habiacutea metido A partir de ahiacute la situacioacuten empezoacute a
deteriorarse para el emperador raacutepidamente hasta el punto de que al final no podiacutea cumplir
su palabra Incidentalmente sentildealar que en lo de duplicar la potencia computacional
actualmente se estaacute ligeramente por encima de doblar 32 veces las prestaciones del primer
computador programable es decir se estaacute empezando a superar el umbral de la singularidad
Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial Aunque la tecnologiacutea crece en el dominio
exponencial los seres humanos viven en un mundo lineal Asiacute las tendencias tecnoloacutegicas no
son notorias cuando se doblan pequentildeos niveles de potencia tecnoloacutegica Luego
aparentemente sin razoacuten alguna una tecnologiacutea explota ante la mirada sorprendida de quien
contempla la singularidad Por ejemplo cuando Internet pasoacute de 20000 a 80000 nodos en un
periacuteodo de dos antildeos allaacute por los 80 este progreso permanecioacute oculto al puacuteblico en general
Una deacutecada despueacutes cuando se pasoacute de 20 millones a 80 millones de nodos en la misma
cantidad de tiempo el impacto fue noticia Pues bien la tasa de crecimiento es la misma
exactamente cuatro veces
Como el crecimiento exponencial continuacutee acelerado en la primera mitad del siglo XXI
pareceraacute explotar en el infinito al menos desde las perspectivas limitadas y lineales de los
humanos contemporaacuteneos Finalmente el progreso llegaraacute a ser tan raacutepido que quebraraacute
20
cualquier posibilidad de seguirlo Estaraacute literalmente fuera de control La ilusioacuten actual de
ldquodesenchufarlordquo se habraacute difuminado
II13 LIacuteMITES DE LA COMPUTACIOacuteN
Con todo esto no es sino el principio pues la carrera por la miniaturizacioacuten no ha hecho maacutes
que empezar Apenas se ha llegado a la era de las minimaacutequinas que constan de billones de
aacutetomos y se miden en miliacutemetros y ya se estaacute de hoz y coz en el terreno de las
micromaacutequinas que constan soacutelo de unos pocos millones de aacutetomos y se miden en
microacutemetros Al tiempo ya han comenzado los ensayos con nanomaacutequinas que trabajan con
apenas unos cientos de aacutetomos y soacutelo pueden medirse en milloneacutesimas de miliacutemetro Es lo
que constituye la nanotecnologiacutea cuyo futuro comenzoacute el 29 de diciembre de 1959 Alliacute y
entonces Richard Phillips Feynman posterior premio Nobel de Fiacutesica de 1965 leyoacute el discurso
inagural de la reunioacuten anual de la American Physical Society publicado con posterioridad en
ldquoEngineering amp Sciencerdquo la revista de los estudiantes de CALTECH (Feynman 1960) que deciacutea
Me gustariacutea describir un campo del conocimiento teacutecnico en el que se ha hecho muy poco y en
el que en principio puede hacerse muchiacutesimo (hellip) De lo que voy a hablar es del problema de
manejar y controlar cosas en una escala muy pequentildea (hellip) Esto es desde luego bien conocido
por los bioacutelogos (hellip) El ejemplo bioloacutegico de escribir informacioacuten a escala infinitesimal (el
coacutedigo del ADN) me ha sugerido algo que debe ser posible (hellip) Un sistema bioloacutegico puede ser
extremadamente pequentildeo (hellip) Puede haber una justificacioacuten econoacutemica para hacer las cosas
tan pequentildeas (hellip) Permiacutetanme recordarles algunos de los problemas de los computadores (hellip)
Cuanto maacutes y maacutes raacutepido y maacutes y maacutes elaborado sea el computador maacutes y maacutes pequentildeo lo
fabricamos (hellip) iquesthasta doacutende No lo seacute exactamente pero apenas puedo dudar de que
cuando tengamos el control de la fabricacioacuten a escalas pequentildeiacutesimas seremos capaces de
manejar enormes posibilidades de la materia con la que podemos hacer las cosas nuevas cosas
diferentes a las que ahora fabricamos (hellip) Aacutetomos manejados a esa escala ndashdigamos siete
aacutetomos- no tienen nada que ver con los conjuntos de aacutetomos y moleacuteculas de nuestro mundo
macroscoacutepico esos pocos aacutetomos obedeceraacuten leyes de la mecaacutenica cuaacutentica las leyes del
mundo microscoacutepico (hellip) tendremos por ello que trabajar con leyes diferentes y esperar cosas
diferentes Tendremos que hacer de manera diferente (hellip) A nivel atoacutemico existen nuevas
clases de fuerzas y nuevas clases de posibilidades y nuevas clases de efectos (hellip) Estoy como
dije inspirado por el fenoacutemeno bioloacutegico en el que las fuerzas quiacutemicas se utilizan de modo
repetitivo para producir cualquier clase de efecto fantaacutestico En 2002 se hizo puacuteblico el uacuteltimo
avance en nanotecnologiacutea En un minuacutesculo circuito se colocoacute la memoria electroacutenica maacutes
pequentildea construida hasta la fecha que podriacutea estar en el mercado en menos de diez antildeos En
21
unos antildeos maacutes de 15 a 20 se cree que se podraacuten fabricar computadores cuaacutenticos seis
millones de veces maacutes potentes que los actuales que aprovecharaacuten la simultaneidad de
estados y el entrelazamiento es decir la posibilidad que tienen los aacutetomos de estar en dos
sitios a la vez (bilocacioacuten) en un estado de superposicioacuten Esto es se estaacute trabajando con
maacutequinas cuaacutenticas que trabajan con fragmentos de aacutetomos y se mediraacuten en Amgstrons
equivalente a cien milloneacutesimas de miliacutemetro iquestHasta doacutende iquestHasta cuanto La respuesta a
estas preguntas que conciernen a los liacutemites de la computacioacuten se daraacuten a continuacioacuten
siguiendo a Seth Lloyd (Lloyd 2000)
Para calcular la velocidad de coacutemputo se parte del principio de indeterminacioacuten de
Heisenberg (Heisenberg 1927)
Δp Δxge ħ m con ħ=h2π y m=1rArr Δp Δxgeħ=105x10-34Js
Para el par ΔE y Δt dicho principio queda como sigue
ΔE Δt ge ħ
Esta desigualdad tiene dos interpretaciones a saber una lineal Invertir un tiempo Δt para
medir la energiacutea con una exactitud ΔE que no es correcta La correcta es la siguiente un
estado cuaacutentico con disipacioacuten de energiacutea de ΔE invierte al menos un tiempo Δt= πħ2ΔE en
evolucionar a un estado ortogonal y por tanto distinguible Este resultado se amplioacute como
sigue Un sistema cuaacutentico con energiacutea media E necesita al menos un tiempo Δt= πħ2E para
evolucionar a un estado ortogonal O sea Ege πħ2Δt Siendo E la energiacutea media para efectuar
una operacioacuten elemental en Δt
Ahora bien un sistema con energiacutea media E puede efectuar un maacuteximo de 2E πħ operaciones
loacutegicas por segundo En consecuencia para un computador de un kilogramo de masa su
velocidad seraacute de acuerdo con la ecuacioacuten E=mc2 la siguiente
VM=2Eπħ = 2mc2 πħ = 21 Kg(29979x108)2ms-131416x10545x10-34Js =
2x8987x1016x10545x1034s31416=5425x1050 operaciones loacutegicassegundo
Es decir la cota superior estaacute en 1050 operaciones loacutegicas por segundo
22
En lo que respecta a la capacidad de memoria la cantidad de informacioacuten que se puede
almacenar y procesar en un sistema fiacutesico estaacute relacionada con el nuacutemero de distintos estados
fiacutesicos accesibles al sistema Para M elementos biestables el nuacutemero de estados accesibles es
de 2M y puede registrar M bits de informacioacuten Es decir en general un sistema con N estados
accesibles puede registrar log2N bits de informacioacuten Se sabe que el nuacutemero de estados
accesibles de un sistema fiacutesico F estaacute relacionado con la entropiacutea termodinaacutemica S por la
foacutermula de Plank siguiente
S=kBPnF donde kB es la constante de Boltzmann cuyo valor es 13805x10-23 Julios por
grado Kelvin
Asiacute la cantidad de informacioacuten que puede registrar un sistema fiacutesico viene dada por
I=S(E)kBLn2
Siendo S(E) la entropiacutea termodinaacutemica de un sistema con valor esperado para la energiacutea E
Combinando esta foacutermula con la dada anteriormente para el nuacutemero de operaciones loacutegicas
por segundo entonces la cantidad de memoria en bits viene dada por
I = k2ln2 EπℏS prop kTℏ siendo T = (partS partE)
la temperatura de un kilogramo de materia en una entropiacutea maacutexima en un litro de volumen
Esto lleva a
I = 204x108JK-113805x10-23JK-1ln2=204x10813805x10-23JK-106931=213x1031bit
Esto es el liacutemite de bits de memoria es 1031
II14 DESARROLLO DEL SOFTWARE
Si ahora se contempla en perspectiva el progreso del software lo que se observa es en primer
lugar que dicho progreso dista mucho de ser exponencial peor auacuten pues si se considera el
conjunto global del software disponible tanto de base Sistemas Operativos Compiladores
interfaces etc como de aplicaciones su desarrollo ademaacutes de lineal no es continuamente
creciente en facilidades para los usuarios ni mucho menos Actualmente en el software se
estaacute dando un fenoacutemeno curioso equivalente a una regresioacuten conceptual que consiste en que
el proceso de construir ciertos programas es maacutes difiacutecil y complejo que el propio programa
Esto es debido a que los lenguajes de programacioacuten de alto nivel actuales no son ni mucho
menos maacutes simples que los antiguos En segundo teacutermino tambieacuten salta a la vista que si el
23
desarrollo hardware es en profundidad es decir pocas empresas (INTEL Motorola etc)
dedicadas intensamente a desarrollar la tecnologiacutea de microprocesadores en el caso del
software ese esfuerzo se llevoacute a cabo en amplitud esto es muchas empresas poniendo en el
mercado muchos productos En la figura II3 se muestra el aacuterbol que contiene a lo largo del
tiempo los distintos lenguajes de programacioacuten maacutes conocidos Como puede verse una
auteacutentica Babel Si como deciacutean los latinos hace maacutes de dos mil antildeos validora sum exempla
cuan verba frase que hizo suya Schiller en magniacuteficos versos
Nur das Beispiel fuumlhrt zum Licht Soacutelo el ejemplo proporciona luz
Vieles Reden tut es nicht La ldquoverborreardquo conduce a la oscuridad
Se van a dar a tiacutetulo de botones de muestra los siguientes ejemplos
A) Si se unidimensionaliza el uso del software por las personas la evolucioacuten del software
puede verse como el paso de ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo En un extremo del espectro que puede
datarse en el inicio de la ldquoComputing Sciencerdquo en adelante CS y que va hasta la
aparicioacuten de los primeros inteacuterpretes y lenguajes de control habiacutea que decirles a
los computadores coacutemo teniacutean que hacer las cosas Y eacutesto con el maacuteximo de detalle
en el lenguaje de la maacutequina y de forma rupestre esto es en forma de
conmutadores encendidos o apagados Es decir en esta fase los humanos debiacutean ser
ldquoliteratosrdquo del lenguaje de la maacutequina Posteriormente con la aparicioacuten de los
lenguajes de ensamblador y el desarrollo de lenguajes de control o sea hasta la
aparicioacuten de los primeros sistemas operativos y compiladores e inteacuterpretes tales
como FORTRAN LISP COBOL etc ya al computador no habiacutea que decirle detallada
y exhaustivamente coacutemo teniacutea que hacer las cosas pues algunas ellos ya sabiacutea coacutemo
hacerlas Bastaba con soacutelo indicarle queacute es lo que se queriacutea que hiciera Ademaacutes tanto
la parte del queacute como la del coacutemo se le deciacutea en un lenguaje maacutes proacuteximo al ser
humano mediante los lenguajes de ensamblador que permitiacutean palabras del
lenguaje natural y sobre todo de una forma maacutes natural al ser humano pues ya no
haciacutea falta poner los conmutadores encendidos y apagados dado que se le
ldquoinstruiacuteardquo escribiendo en unas hojas de codificacioacuten las instrucciones que luego
mediante unas maacutequinas perforadoras se ldquotraduciacuteanrdquo a unas fichas perforadas
que los computadores ldquoleiacuteanrdquo y ejecutaban
Maacutes adelante con el advenimiento de los lenguajes del maacutes alto nivel y del
desarrollo de los actuales sistemas operativos de ventanas los interfaces avanzados la
24
Figura II3 Lenguajes de Alto Nivel
25
iconografiacutea de pantalla los programas avanzados de aplicacioacuten etc cada vez menos
hay que decirle a las computadoras ldquocoacutemordquo tienen que hacer las cosas pues ya saben
ldquocoacutemordquo hacerlas y soacutelo hay que decirles ldquoqueacuterdquo es lo que se quiere que hagan Y todo
esto cada vez maacutes en el lenguaje natural de los seres humanos en este caso como la
tecnologiacutea estaacute desarrollada en ingleacutes pues en ingleacutes y de una forma habitual a coacutemo
lo hacen los humanos esto es por la voz O sea en esta etapa que estaacute cada vez maacutes
cerca son las maacutequinas quienes se convierten en ldquoliteratosrdquo de los humanos Y seraacute en
ese momento cuando empiece a surgir un atisbo de inteligencia en las computadoras
Pues bien toda esta evolucioacuten lenta zigzagueante y trabajosa contrasta con la raacutepida
rectiliacutenea y eficiente del hardware La pregunta ademaacutes de inmediata va de suyo
iquestPor queacute es esto asiacute Naturalmente no debe haber un factor uacutenico pero lo que no
hay duda es que una de las razones fundamentales de este desfase entre el desarrollo
del hardware y del software es el que al primero lo soporta una ingenieriacutea basada en
una ciencia la fiacutesica cuya teoriacutea y experimentacioacuten estaacuten muy consolidadas en tanto
al segundo no
B) El filoacutesofo Joseacute Ortega y Gasset maacutes conocido por su obra de gran impacto socioloacutegico
ldquoLa Rebelioacuten de las Masasrdquo afirmaba refirieacutendose a la Medicina lo siguiente (Ortega
2002) La medicina no es una ciencia Es precisamente una profesioacuten una actividad
praacutectica Se propone curar o mantener la salud de la especie humana A este fin echa
mano de cuanto parezca a propoacutesito entra en la ciencia y toma de sus resultados
cuanto considera eficaz pero deja el resto Deja de la ciencia sobre todo lo que es maacutes
caracteriacutestico la fruicioacuten por lo problemaacuteticohellip La ciencia consiste en un ldquopruritordquo de
plantear problemashellip La medicina estaacute ahiacute para afrontar soluciones Si son cientiacuteficas
mejor Pero no es necesario que lo sean Pueden proceder de una experiencia milenaria
que la ciencia auacuten no ha explicado ni siquiera consagrado ldquoMutatis mutandirdquo o sea
cambiando lo que deba cambiarse medicina por software curar por resolver
problemas etc lo que dijo Ortega puede aplicarse al desarrollo del software Pero la
cuestioacuten es la siguiente iquestdebe esto continuar asiacute Es decir debe el desarrollo software
continuar siendo una labor artesanal de desarrollar una praacutectica empiacuterica o debe
pasar a ser una ingenieriacutea fundamentada en una teoriacutea cientiacutefica contrastada por la
experimentacioacuten crucial La respuesta es naturalmente que debe convertirse en
ingenieriacutea soportada por una ciencia Mientras tanto los desarrollos software se ven
afectados de ldquogolbergizacioacutenrdquo
26
C) Rube Golberg fueacute un caricaturista con muchos seguidores en todo el mundo en
Espantildea fue el profesor Frank de Dinamarca de la eacutepoca de la Dictadura el que
dibujaba complicadiacutesimos artilugios coacutemicos para realizar tareas minias Los
disentildeadores de software cuentan con un teacutermino relacionado ldquoKudgerdquo o ldquoKludgerdquo
para referirse a programas escritos sin previsioacuten que acaban repletos de una
complejidad onerosa e inuacutetil a menudo hasta el punto de volverse incomprensibles
incluso para los programadores que las escribieron
D) Con mucho la manera maacutes comuacuten en la cual se trata con algo nuevo es intentando
relacionar la novedad con lo que es familiar de la experiencia pasada es decir se
piensa en teacuterminos de analogiacutea y metaacutefora En tanto que la historia evolucione a lo
largo de liacuteneas suaves la teacutecnica anterior resulta adecuada e incluso fructiacutefera pero
fracasa estrepitosamente cuando uno se enfrenta repentinamente a algo tan
radicalmente distinto de todo lo que se habiacutea experimentado antes que toda analogiacutea
siendo intriacutensecamente demasiado somera es maacutes un estorbo que crea confusioacuten que
una ayuda Y ya se sabe como deciacutea Francis Bacon la verdad surge antes del error que
de la confusioacuten (Bacon 1984) La uacutenica forma plausible de tratar con novedades
realmente radicales es ortogonal a la manera comuacuten de entendimiento consiste en
conscientemente intentar no relacionar los fenoacutemenos a los que es familiar a partir de
un pasado accidental sino enfocarlo con una mente en blanco y apreciarlo por su
estructura interna Esta uacuteltima forma de pensar es mucho menos popular que la
primera y requiere un esfuerzo mental que muy pocos son capaces de conseguir y
como lo sentildealoacute Bertrand Russell Many people would sooner die that think In fact they
do Ello estaacute fuera del alcance de las capacidades de aquellos y son mayoriacutea para
quienes la evolucioacuten continua es el uacutenico paradigma de la historia incapaces de
afrontar la discontinuidad no pueden verla y la negaraacuten cuando se enfrenten a ella
Pero tales novedades radicales son precisamente el tipo de cosas a las que al menos
en tecnologiacutea uno se enfrenta sin duda el computador fue una de ellas otra fue la
bomba atoacutemica y aunque en menor medida la piacuteldora fue la tercera entre otras
muchas En el caso de los computadores para que tuvieran eacutexito comercial fue
necesario desde el primer momento disociarles tanto como fuera posible de
cualquier forma de matemaacuteticas dada la mala ldquofamardquo de eacutestas en especial al ser
consideradas como el colmo del ldquousuario inamistosordquo El propio teacutermino de ldquoComputer
Sciencerdquo aplicado a la ldquoinformaacuteticardquo seriacutea equivalente a llamar a la cirugiacutea ldquoKnife
Sciencerdquo y estaacute tan arraigado en las mentes de la gente que el ldquoComputing Sciencerdquo es
27
acerca de las maacutequinas y sus equipos perifeacutericos Hoy sin embargo nadie duda de que
el desafiacuteo nuclear para la ciencia del coacutemputo es el conceptual
La complejidad de la informaacutetica frente a las matemaacuteticas viene dada seguacuten Dijkstra (Dijkstra
1986) por la ldquoratiordquo entre verbigracia una hora de tiempo y los nanosegundos o menos en
que se ejecute una instruccioacuten que es menor que 10100 y que tiene que ser tratada por una
uacutenica disciplina A su lado las matemaacuteticas resultan ser casi un juego insulso mayormente
jugado sobre unos pocos niveles semaacutenticos los cuales por otra parte son completamente
familiares La gran profundidad de la jerarquiacutea conceptual en informaacutetica en siacute misma una
consecuencia directa del poder sin precedentes del computador es una de las razones por las
que se considera el advenimiento de los computadores como una aguda discontinuidad en la
historia intelectual de la humanidad
La disciplina conocida como ldquoComputing Sciencerdquo emergioacute soacutelo cuando la gente empezoacute a
buscar lo que era comuacuten al uso de cualquier computador en cualquier aplicacioacuten Por esta
abstraccioacuten la CS inmediata y netamente se divorcioacute ella misma de la ingenieriacutea electroacutenica
al informaacutetico del software le deberiacutea traer al pairo la tecnologiacutea que puede usarse para
construir maacutequinas computadoras sea electroacutenica oacuteptica molecular bioloacutegica o maacutegica
La programacioacuten se veiacutea como una cuestioacuten praacutectica de modo que lo que se conociacutea como
ldquodisentildeo iterativordquo era el paradigma de quien cree que su disentildeo trabajaraacute adecuadamente
mientras no se demuestre lo contrario cuando eso ocurra mejoraraacute el disentildeo y asiacute
sucesivamente Este continuo encontrar y arreglar los malfuncionamientos se denominaba
ldquodepuracioacutenrdquo y la injustificada fe en su uacuteltima convergencia estaba en la amplitud temporal Es
decir se teniacutea todo el tiempo del mundo Como resultado la impotencia de repetir el
ldquoexperimentordquo en el caso de un mal funcionamiento observado asiacute como el identificar su(s)
causa(s) produce un ldquoshockrdquo por el contrario el disentildeador cientiacutefico cree en su disentildeo porque
eacutel sabe por queacute trabajaraacute adecuadamente en todas las circunstancias Es decir al principio los
programas ademaacutes de ldquoinstruirrdquo a las maacutequinas teniacutean el estatus de conjeturas soportadas
por alguna evidencia experimental Actualmente podriacutean y a veces lo hacen alcanzar el
estatus de teoremas demostrados rigurosamente El continuar denominando tanto a la
conjetura como al teorema ldquoprogramardquo es causa de gran confusioacuten
Uacuteltimamente la palabra clave es ldquomodularidadrdquo cuyo impulso original viene de una deseada
flexibilidad en particular en coacutemo subdividir un texto de programa de gran tamantildeo en
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moacutedulos son eacutestos segmentos de textos claramente configurados que podriacutean ser
reemplazados por otros alternativos sin comprometer la correccioacuten del programa total de una
manera muy similar a coacutemo se puede reemplazar en un teoriacutea matemaacutetica la prueba de uno de
sus teoremas sin afectar a la teoriacutea como conjunto Moacutedulos componentes desprendibles y
simultaacuteneamente engastados Los mentales no estaacuten aislados se comunican a traveacutes de unos
pocos conductos estrechos Se definen por las cosas especiales que hacen con la informacioacuten
que tienen disponible Pero el eacutenfasis se ha desplazado desde el mero reemplazamiento a la
cuestioacuten de coacutemo particionar la tarea global maacutes efectivamente la demanda es tal que la
elegancia ya no es un lujo dispensable sino una cuestioacuten vital que decide entre el eacutexito y el
fracaso He aquiacute lo que es en visioacuten a ojo de paacutejaro la emergencia de la computacioacuten como una
actividad apreciable necesitada de las teacutecnicas del pensamiento cientiacutefico Como las
matemaacuteticas la computacioacuten es uacutenica en la forma en la cual combina generalidad precisioacuten y
ser completamente fidedigna La teoriacutea aquiacute propuesta considera todo esto
II2 Teoriacuteas
II21 INTRODUCCIOacuteN
En CS en general y en el desarrollo software en sus dos apartados de Ingenieriacutea del Software
y del Conocimiento en particular existe una notoria carencia de teoriacutea hasta el punto que
salvo rariacutesimas excepciones ni siquiera hay leyes generales aceptadas Esta carencia da lugar a
las dos consecuencias indeseables siguientes
1 Confusionismo El disentildeo y desarrollo de software (que es lo que se podriacutea denominar
un conjunto polimorfo o polimoacuterfico es decir un conjunto no definido por condiciones
ni necesarias ni suficientes) es en el mejor de los casos una ciencia inmadura en el
medio no es una ciencia pero siacute una ingenieriacutea tal y como lo sentildealaba Brooks
(Brooks 1996) Computer Science is not a science but a synthetic an engineering
discipline y en el peor (Ebert 1997) software engineering should be treated as an
inmature engineering discipline Siendo contundentes pero maacutes precisos el desarrollo
software no pasa de ser una ldquoartesaniacuteardquo Ebert para argumentar su afirmacioacuten
proporciona distintas razones (a) Carencia de vocabulario comuacuten (b) No
consideracioacuten de cuestiones hermeneacuteuticas (c) Existencia de recetas no aplicables
ampliamente (d) Poca o nula experimentacioacuten controlada en especial experimentos
cruciales (e) No existencia de un marco general de paradigmas categoriacuteas o esquemas
29
conceptuales caracteriacutesticos de las ciencias (f) Y finalmente se usan ldquomodelosrdquo sin
una teoriacutea para construirlos y validarlos
2 Nuevo Experimentalismo En CS y maacutes en concreto en disentildeo desarrollo y
construccioacuten del software la no existencia de una teoriacutea provoca una carencia de
fundamentacioacuten Peor auacuten y como consecuencia del punto anterior a veces se llama
teoriacutea a lo que uacutenicamente es una explicacioacuten en una clara sineacutecdoque de tomar la
parte por el todo Al menos eso se desprende de la afirmacioacuten de Basili y colegas
cuando dicen que Una teoriacutea es una explicacioacuten de alguacuten fenoacutemeno (Basili 1999) Lo
que no es correcto puesto que no todas las explicaciones de los fenoacutemenos son
teoriacuteas La carencia de teoriacutea hace que la CS haya derivado regresivamente hacia lo
que puede denominarse ldquonuevo experimentalismordquo (Ackerman 1989) cuyos
proponentes aseveran que los experimentos pueden tener vida propia (Hacking
1983)
Justamente establecer lo que es una teoriacutea es lo que se trata a continuacioacuten esto es de
cuaacuteles son los elementos constituyentes sobre los que fundar una teoriacutea en CS Sin embargo
antes se va a definir lo que es una teoriacutea dando sus condiciones formales y materiales de
adecuacioacuten y asimismo se van a presentar distintas teoriacuteas en dominios tan variados como las
matemaacuteticas la fiacutesica la quiacutemica o la biologiacutea
II22 DEFINICIOacuteN
Cuando se intenta definir algo uno se encuentra como los antiguos navegantes que
atravesaban el estrecho de Mesina entre un ldquoScilardquo y un ldquoCaribdisrdquo es decir dos peligros que
si no se sortean con pericia de navegante de los siete mares haraacuten naufragar el intento Estos
dos peligros son los siguientes Uno de iacutendole intriacutenseca a la propia buacutesqueda de una
definicioacuten idoacutenea que enlaza directamente con el problema filosoacutefico del nominalismo Kant lo
expresoacute muy bien cuando escribioacute (Kant 2002) que en una definicioacuten uno no se limita a
sustituir el nombre de una cosa por otras palabras maacutes comprensibles sino que contiene en siacute
un distintivo claro por el que puede conocerse siempre con seguridad el ldquoobjetordquo (definitum) y
que hace que pueda aplicarse el concepto explicado Popper fue muy expliacutecito al respecto
Para eacutel la accioacuten de definir nunca es inocua pues estaacute cargada de teoriacutea y lo que es maacutes de
valores Popper (Popper 1985) deciacutea que las preguntas ldquoqueacute-esrdquo son siempre inuacutetileshellip y lo
mismo sucede con las respuestas Porque en efecto definir es actuar Por ello en lugar de
ocuparse uacutenicamente del resultado de dicha accioacuten o sea las definiciones es preciso analizar
30
la propia accioacuten de definirhellip pues en definitiva las definiciones son resultado de la accioacuten a
definir Dos de orden praacutectico viene muy bien descrita por un juego que en Galicia se
denomina ldquoCariocardquo y los ingleses e irlandeses llaman ldquoVishrdquo (Syumlnge 1951) Los cariocas dan
nombre a las pescadillas a las que para freiacuterlas se les hace morder la cola El juego consiste en
buscar una palabra en el diccionario y a partir de ella generar un aacuterbol con las palabras que la
definen y eacutestas con las palabras que la definen y asiacute sucesivamente hasta que
inexorablemente aparece una palabra que ya aparecioacute previamente creaacutendose un ldquociacuterculo
viciosordquo Y se dice inexorablemente porque no puede ser de otra manera habida cuenta de
que los diccionarios son autocontenidos es decir todas las palabras en ellos existentes se
expresan en teacuterminos de dichas palabras Sin embargo y como lo sentildealoacute el premio Noacutebel de
Fisiologiacutea y Medicina Andreacute Lwoff Definir es uno de los meacutetodos para descubrir Es como
cuestioacuten de hecho un meacutetodo heuriacutestico excelente pues obliga a condensar lo esencial de una
categoriacutea o de un fenoacutemeno en una foacutermula que contenga todo cuanto ha de contener y
excluya todo cuanto ha de excluir Por ello es uacutetil forjar una buena definicioacuten pues este
ejercicio obliga a considerar de manera criacutetica todos los teacuterminos o aspectos de un
problema(Lwoff 1967)
De hecho la dificultad no proviene de la carencia de ldquodefinicionesrdquo sino todo lo contrario No
seriacutea exagerado decir que hay casi tantas definiciones de ldquoteoriacuteardquo como autores se dedicaron
al asunto Veacuteanse como botoacuten de muestra las que aparecen en dos diccionarios importantes
el de la Real Academia Espantildeola (Rae 2001) y el del Webster`s New World (Guralnik 1986) El
primero para la entrada ldquoteoriacuteardquo dice textualmente (Del gr θεωρία) f Conocimiento
especulativo considerado con independencia de toda aplicacioacuten f Serie de las leyes que
sirven para relacionar determinado orden de fenoacutemenos f Hipoacutetesis cuyas consecuencias se
aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella f Entre los antiguos griegos
procesioacuten religiosaen ~ loc adv Sin haberlo comprobado en la praacutectica El segundo
despueacutes de dar la pronunciacioacuten figurada y coacutemo se dice en franceacutes latiacuten y griego dice
textualmente[a looking at contemplations speculations theory lttheoumlrein see THEOREM]1
Orig a mental viewing contemplation 2 A speculative idea or plan as to how something
might be done 3 A systematic statement of principles involved [the ldquotheoryrdquo of equations in
mathematics] 4 A formulation of apparent phenomena which has been verified to some
degree 5 That branch of an art or science consisting in a knowledge of its principles and
methods rather tan in its practice pure as opposed to applied science etc 6 Popularly a
mere conjeture or guess A continuacioacuten y como sinoacutenimos dice theory as compared here
implies considerable evidence in support of a formulated general principle explaining the
31
operation of certain phenomena [the ldquotheoryrdquo of evolution] hypothesis that is tentatively
inferred often as a basis for further experimentation [the nebular ldquohypothesisrdquo] law implies an
exact formulation of the principle operating in a sequence of events in nature observed to
occur with unvarying uniformity under the same conditions [the ldquolawrdquo of the conservation of
energy]
Es decir etimoloacutegicamente el teacutermino ldquoteoriacuteardquo se deriva del vocablo griego ldquoθεωρίαrdquo que
significa contemplacioacuten o especulacioacuten Entonces en sentido amplio y comuacuten una teoriacutea es
una especulacioacuten acerca de algo por ejemplo es habitual oiacuter a muchos educadores que su
ldquoteoriacuteardquo del fracaso de un alumno es debido a que tiene problemas familiares Sin embargo
este sentido no capta ni mucho menos el sentido teacutecnico o estricto de teoriacutea que tiene
verbigracia la teoriacutea de Maxwell del electromagnetismo Para comenzar desde sus oriacutegenes
hay que remontarse a Aristoacuteteles (384-322 aC) quien diferencioacute clara y niacutetidamente ldquoteoriacuteardquo
como especulacioacuten o contemplacioacuten y ldquopraxisrdquo como actuacioacuten Para eacutel la ldquoteoriacuteardquo consistiacutea
en actividades racionales relativas al conocimiento de los universales mientras que la ldquopraxisrdquo
consistiacutea en actividades racionales relativas a actividades morales ldquoagibiliardquo y artiacutesticas
ldquofactibiliardquo Las actividades artiacutesticas no se limitan a realizar por su propio intereacutes artes finas o
intriacutensecas o auacuten artes plaacutesticas sino que tambieacuten incluye hacer cosas uacutetiles artes funcionales
o instrumentales
Maacutes teacutecnicamente las teoriacuteas se consideran ldquoentidades abstractas que al menos pretenden
describir explicar y mejorar el entendimiento del mundo y en algunos casos hacer
predicciones de lo que en el futuro acaeceraacute Ademaacutes proporcionan una base para viacutea
tecnologiacutea o ciencia aplicada intervenir y actuar sobre el entorno Una teoriacutea pues es ldquoprima
facierdquo una explicacioacuten racional de un cierto aspecto de la realidad basada en lo que se sabe de
ello en el momento presente y que ha sido verificada para establecer su validez Esa
explicacioacuten de algo es tiacutepicamente una clase o categoriacutea de fenoacutemenos antes que un uacutenico
evento especiacutefico Las teoriacuteas deben expresarse a poder ser expliacutecitamente como cadenas
causales del tipo ldquoesto sucede porque esto y eso y aquello sucedioacute y esto a su vez sucedioacute
porquehelliprdquo Es decir la mejor manera de que las teoriacuteas expliquen es proporcionando un sentido
de ldquoprocesordquo o ldquomecanismordquo que indique coacutemo una cosa o fenoacutemeno estaacute relacionado con
otro Por ejemplo la ldquoTeoriacutea de la Gravitacioacutenrdquo de Isaac Newton y la Teoriacutea de la Relatividad
General de Einstein intentan explicar coacutemo funciona la gravedad No proponen que existe esa
cosa que se llama gravedad y luego intentan probarla Nada de eso Para ambos la gravedad
es una observacioacuten empiacuterica esto es informacioacuten recopilada generalmente a partir de los
32
sentidos y por lo tanto es algo que ldquotiene sentidordquo Naturalmente debe poder ser verificada y
contrastada por otros de forma reiterada siempre que se quiera O sea la gravedad es una
observacioacuten empiacuterica Si se deja caer un objeto libremente y en el vaciacuteo siempre cae a 9801
metros dividido por segundos al cuadrado Y esto se produciraacute tantas veces cuantas se repita la
experiencia Las teoriacuteas de hecho intentan explicar el coacutemo y el porqueacute de las observaciones
Pues bien a fin de explicar la gravedad Newton propuso una explicacioacuten esto es una teoriacutea
la atraccioacuten a distancia entre dos cuerpos Einstein otra la curvatura del espacio-tiempo Esta
uacuteltima explicacioacuten es la que estaacute vigente actualmente
A veces las teoriacuteas se confunden con hipoacutetesis porque ambas parecen constar de sentencias
relacionando una variable con otra Ciertamente ocurre con maacutes frecuencia de la deseable
que lo que algunos autodenominan teoriacutea son poco maacutes que hipoacutetesis Pero las buenas teoriacuteas
son un poco diferentes Por ejemplo
a) Son maacutes generales
b) Explican por queacute estaacuten relacionadas las cosas mientras que las hipoacutetesis se limitan a
decir que estaacuten relacionadas
c) Generan hipoacutetesis es decir las hipoacutetesis estaacuten impliacutecitas en las teoriacuteas
II23 CONDICIONES FORMALES Y MATERIALES DE ADECUACIOacuteN DE UNA TEORIacuteA
Sin embargo el espiacuteritu de Lwoff ldquoobligardquo a buscar aunque soacutelo sea una definicioacuten operativa
En este sentido se va a dar una definicioacuten ldquoinyuctivardquo de teoriacutea en el sentido de Hassenstein
esto es enumerando cierto nuacutemero de propiedades caracteriacutesticas atributos o maacutes
precisamente condiciones que debe cumplir toda teoriacutea (Hassenstein 1966) Esas condiciones
que debe cumplir toda teoriacutea y que permiten discriminar lo que es una teoriacutea de lo que no lo
es se clasifican en dos clases
A) Formales Que vienen a ser como unas condiciones necesarias que por consiguiente
debe cumplir toda teoriacutea Entre eacutestas cabe destacar las siguientes
a) Formalizacioacuten Una teoriacutea debe poder expresarse formalmente mediante
predicados hasta construir un sistema formal axiomaacutetico
b) Consistencia Se dice que una teoriacutea es internamente consistente cuando el
conjunto de afirmaciones que contiene no se contradicen entre siacute Que las
afirmaciones con las cuales se construye una teoriacutea deben ser loacutegicamente
consistentes entre siacute es algo de lo que nadie disiente La cuestioacuten es que
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aunque los lenguajes formales de la loacutegica y las matemaacuteticas hacen maacutes faacutecil
determinar si las afirmaciones que conforman una teoriacutea son loacutegicamente
consistentes entre siacute a veces como sucede con la teoriacutea de Darwin no se usan
estos formalismos Pero eso que es un hecho no significa que no se pudieran
formalizar y es de eso de lo que trata este punto En este punto es uacutetil y
conveniente establecer una distincioacuten entre inferencias causales y
descriptivas Las primeras conciernen a las relaciones causales entre
conceptos mientras que las segundas buscan describir el mundo empiacuterico
Una explicacioacuten causal es aquella que describe las relaciones entre los
conceptos de una teoriacutea Es decir las primeras causales son expliacutecitamente
teoacutericas mientras que las segundas descriptivas son impliacutecitamente teoacutericas
Se dice que un conjunto de axiomas o sistema axiomaacutetico es consistente
cuando a partir de ellos no pueden deducirse simultaacuteneamente una propiedad
y su negacioacuten En otros teacuterminos un sistema formal se dice que es consistente
si en eacutel no pueden derivarse sintaacutecticamente proposiciones contradictorias
Esto es que no se deacute el caso de una foacutermula A tal que ella y su negacioacuten not A
sean teoremas Obseacutervese que si ocurriese que ⊢ ⊢ (notA) entonces
cualquier foacutermula B es un teorema y la teoriacutea seriacutea banal forallB (A⋀(not A))rArrB o
en otras palabras la sucesioacuten A not A B es una demostracioacuten de B Las teoriacuteas
inconsistentes terminan demostraacutendose inuacutetiles porque en ellas cualquier
afirmacioacuten es un teorema En efecto un argumento estaacute bien construido
cuando por usar la terminologiacutea leibniziana en cualquier mundo posible en el
que se verifiquen las premisas la conclusioacuten tambieacuten es verdadera
Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negacioacuten not M son
teoremas de la teoriacutea el argumento cuyas premisas son M y not M y cuya
conclusioacuten es una cierta propiedad R es vaacutelido sea cual sea R pues siempre
que M y not M son verdaderas se verifica tambieacuten R Ahora como M y not M son
teoremas de la teoriacutea ambos tienen una demostracioacuten es decir una sucesioacuten
finita de afirmaciones tales que cada una de ellas es un axioma o se deduce de
los axiomas aplicando las reglas de inferencia permitidas Si se concatenan las
dos pruebas se habraacute probado que R es un teorema de la teoriacutea
independiente de su valor de verdad Maacutes formalmente
La contradiccioacuten ademaacutes de falsedad segura por la pura forma de su
enunciado tiene efectos desastrosos en contextos de conocimiento
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organizados deductivamente como es el caso de las teoriacuteas cientiacuteficas
Estos efectos indeseables se resumen en la tesis siguiente ldquoDe una
contradiccioacuten se puede deducir cualquier cosardquo Es decir si surge una
contradiccioacuten en una teoriacutea deductiva entonces la relacioacuten de
deduccioacuten permite obtener como teorema a todo enunciado
expresable con los conceptos de tal teoriacutea O sea la deduccioacuten se
convierte en una relacioacuten inuacutetil pues no impone restriccioacuten alguna
Desaparece la racionalidad loacutegica Es faacutecil probar tal resultado a partir
de las tres leyes loacutegicas siguientes
1) ldquoEliminacioacuten de la conjuncioacutenrdquo (E⋀) que afirma que de una
conjuncioacuten se deduce cualquiera de sus conjuntos Simboacutelicamente
Ai ⋀ Aj ⊢ Ai Ai ⋀ Aj ⊢Aj rArr Ai ⋀ Aj ⊢ Ai y Aj
2) ldquoIntroduccioacuten de la disyuncioacutenrdquo (I⋁) que asevera que de un
enunciado se deduce su disyuncioacuten con cualquier otro enunciado En
siacutembolos
Ai ⊢ Ai ⋁ Aj Aj ⊢ Ai ⋁ Aj
3) Silogismo disyuntivo (SD) que de una disyuncioacuten y la negacioacuten de
uno de sus disyuntos se deduce la afirmacioacuten del otro disyunto
Simboacutelicamente
Ai ⋁ Aj y not Ai ⊢Aj Ai ⋁Aj y not Aj ⊢Ai
Pues bien estas tres leyes loacutegicas implican que de una contradiccioacuten Ai ⋀ not Ai
adoptada como premisa se puede obtener como conclusioacuten cualquier
enunciado Aj Simboacutelicamente
forall Ai ⋀ forall Aj Ai ⋀ not Ai ⊢ Aj
Demostracioacuten
j
SDiji
Iii
Eii AAyAAAyAAA aaa notornotnotand
orand
Asiacute partiendo de premisas falsas y o contradictorias puede probarse
cualquier cosa Veacutease un ejemplo de esto Una vez retaron a Godfrey Harold
Hardy (1877-1947) para que justificase que si 2 + 2 = 5 entonces McTaggart era
el Papa Este matemaacutetico afirmaba que si pueden demostrarse dos enunciados
o teoremas contradictorios entre siacute entonces cabe probar cualquier cosa Eacuteste
fue el razonamiento de Hardy Sea 2 + 2 = 5 como tambieacuten 2 + 2 = 4 resulta
que 5 = 4 Si a esta igualdad se resta 3 se obtiene que 2 = 1 De este modo
puesto que McTaggart y el Papa son dos entonces McTaggart y el Papa son
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uno Un razonamiento similar serviriacutea para demostrar que usted querido lector
escribioacute estas liacuteneas Finalmente sentildealar que Ian Steward (Steward 1975)
hace protagonista de esta historia a Hardy otros como es el caso del loacutegico y
matemaacutetico Raymond Smullyan (Smullyan 1986) colocan como protagonista
a Bertrand Russell El fiacutesico Max Delbruumlck dio maacutes ejemplos de que basta con
tolerar una sola contradiccioacuten formal para poder demostrar la veracidad de
ldquocualquierrdquo enunciado aplicando las normas del caacutelculo loacutegico El premio
Noacutebel Max Delbruumlck propone el siguiente ejemplo (Delbruumlck 1986)
Supongamos que aceptamos el enunciado ldquoDios es buenordquo llamando p a esta
proposicioacuten y el enunciado ldquoDios no es buenordquo llamando a esta proposicioacuten simp
Ahora llamaremos q a la proposicioacuten ldquoHolywood estaacute en Europardquo El paso
siguiente es la evaluacioacuten del enunciado ldquop o qrdquo que significa ldquoDios es bueno o
Hollywood estaacute en Europardquo (el sentido con que los expertos en loacutegica usan la
conexioacuten o es que al menos uno de los enunciados p y q es verdadero) El
enunciado es indiscutiblemente verdadero ya que previamente hemos
aceptado p como verdadero Sin embargo despueacutes de aceptar que simp tambieacuten
es verdadero que significa que p no es verdadero ldquop o qrdquo implica que q es
verdadero Por tanto en la situacioacuten descrita las reglas del caacutelculo
proposicional nos obligan a aceptar como verdadera la afirmacioacuten de que
ldquoHollywood estaacute en Europardquo o cualquier otro enunciado que sustituya a q La
loacutegica no permite equivocarse
Tambieacuten se puede creer que Dios es bueno y que Dios no es bueno de hecho
esta contradiccioacuten (que es el problema de la teodicea) Puede expresar una
profunda verdad acerca de Dios Niels Bohr dijo que el sello que caracteriza a
las verdades profundas es que su negacioacuten tambieacuten es una verdad profunda
Las verdades que carecen de ambiguumledad en el sentido de que sus negaciones
son falsas suelen ser triviales George Wilhelm Friedrich Hegel llegoacute maacutes lejos
al afirmar ldquoiquestQuieacuten piensa loacutegicamente soacutelo los estuacutepidos y los ignorantesrdquo
La idea de poder demostrar cualquier cosa si se empieza por aceptar como
verdadero un enunciado falso ha llegado incluso a las paacuteginas literarias del
semanario ldquoNew Yorkerrdquo En un relato publicado en 1975 un hombre pasa por
una penosa situacioacuten personal Estaacute totalmente hundido y acaba
planteaacutendose ldquoSi acepto la idea de que despueacutes de todo las cosas no estaacuten
tan mal lo cual no es cierto iquestHabreacute aceptado tambieacuten otras muchas ideas que
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tengan en comuacuten con la primera al ser falsas iquestPor ejemplo que el sentildeor es mi
pastorrdquo
c) Completud Es claro que consistencia y completud apuntan en sentido
contrario La primera es imprescindible para que la teoriacutea merezca alguna
consideracioacuten La segunda es muy deseable si se quiere que toda verdad sea
demostrable Pero la afirmacioacuten de que un sistema sea consistente o completo
es un ejemplo de propiedad matemaacutetica cuyas leyes de demostracioacuten hay que
precisar tambieacuten con cuidado
Una teoriacutea es loacutegicamente completa cuando las conclusiones que se deducen
de ella fluyen loacutegicamente de las suposiciones axiomas principios leyes o
postulados que las conforman No basta un conjunto postulado de relaciones
y o regularidades Es decir las afirmaciones consistentes conducen a
conclusiones hipoacutetesis y otras formas de argumentacioacuten teoacuterica De este
modo conjuntos de afirmaciones que no son loacutegicamente completos son
argumentos incluso pre-teoriacuteas pero no teoriacuteas Maacutes formalmente Un
sistema de axiomas se dice completo si para cada proposicioacuten p de eacuteste se
tiene que bien p es deducible y bien not p es deducible En general se dice que
un sistema axiomaacutetico consistente es completo cuando dada una sentencia A
si A no es demostrable entonces su negacioacuten es un teorema de la teoriacutea Una
foacutermula tal que ni ella ni su negacioacuten son teoremas se denomina indecidible
Asiacute en los sistemas completos no hay foacutermulas indecibles y lo verdadero
coincide con lo demostrable Frege creiacutea que la existencia de modelos
matemaacuteticos de una teoriacutea dependiacutea fundamentalmente de queacute objetos
componen el Universo Otros por el contrario opinaban que la existencia
dependiacutea de la consistencia Una teoriacutea consistente genera objetos que la
verifican En palabras de Hilbert en una carta a Frege Cada teoriacutea no es sino
un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias
entre ellos y sus elementos baacutesicos pueden ser pensados arbitrariamente Si
entiendo por puntos rectas planos Cualquier sistema de cosas por ejemplo
el sistema formado por amor ley deshonillador y considero que todos mis
axiomas resultan vaacutelidos para esas cosas entonces tambieacuten resultan vaacutelidos
para esas cosas mis teoremas como verbigracia el de Pitaacutegoras Cada teoriacutea
puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos baacutesicos Para
explicar estas posiciones antagoacutenicas Ulises Moulines (Moulines 1985)
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distingue los sistemas axiomaacuteticos de estilo ldquoevidencial-concretordquo que
seleccionariacutean unas cuantas verdades prioritarias sobre las que se fundan las
demaacutes proposiciones de los de tipo ldquodemocraacutetico-abstractordquo donde todos los
enunciados de la teoriacutea son candidatos igualmente vaacutelidos para ser tomados
como axiomas siempre que el resto de proposiciones se pueda deducir a
partir de ellos Otros autores diferencian entre sistemas que ponen orden en
estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple hecho de hablar
sobre ellas La completud significa que si A es una foacutermula que no contiene
variables libres entonces |A| o (notA) Es decir que A su negacioacuten notA o ambas
son teoremas demostrables en la teoriacutea Que esta propiedad soacutelo atantildee a
foacutermulas sin variables libres puede ilustrarse viacutea ejemplo La foacutermula x + y = 7
no es ni verdadera ni falsa mientras que forall isin exist y isin ( + = 7) es un
teorema
d) Coherencia y adecuacioacuten Que etimoloacutegicamente viene del latiacuten
ldquocohaerencerdquo significa ldquoadherido ardquo una teoriacutea es coherente a veces aunque
erroacuteneamente tambieacuten se dice que es sistemaacutetica en la medida en que las
sentencias enunciados proposiciones foacutermulas etc a traveacutes de las cuales se
expresa se soportan entre siacute es decir no presentan contradiccioacuten Desde un
punto de vista loacutegico la coherencia significa que las sentencias de la teoriacutea
estaacuten relacionadas por la implicacioacuten Para verificar la coherencia no importa
si la teoriacutea es categoacuterica o hipoteacutetica se debe determinar si se produce
cualquier contradiccioacuten dentro de ellos y la condicioacuten necesaria y suficiente
para que se produzca dicha contradiccioacuten es que una o maacutes conclusiones
consecuencias o teoremas de la teoriacutea no sean consecuencia loacutegica de los
principios postulados o axiomas de la teoriacutea En resumen una teoriacutea se dice
coherente si (a) no contiene contradicciones loacutegicas entre las proposiciones
de una explicacioacuten esto es la coherencia interna Esto es en este contexto la
consistencia (b) La coleccioacuten de explicaciones dadas por la teoriacutea dentro del
cuerpo de conocimientos a lo largo y ancho de las demaacutes disciplinas no
deberiacutean contradecirse entre siacute (c) Las predicciones de la teoriacutea deben ser
correctas esto es las predicciones de las explicaciones de la misma no
deberiacutean ser contradictorias frente a las observaciones o experimentos que se
le planteen A esto se le denomina coherencia empiacuterica Un sistema de
axiomas se dice coherente si las consecuencias sintaacutecticas del mismo son
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tambieacuten consecuencias semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten
de acuerdo con la experiencia Un sistema formal se dice adecuado si todas las
consecuencias semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si
todas las verdades son deducibles Un sistema de axiomas se dice coherente si
las consecuencias sintaacutecticas del mismo son tambieacuten consecuencias
semaacutenticas Es decir si los resultados obtenidos estaacuten de acuerdo con las
experiencias Un sistema formal se dice adecuado si todas las consecuencias
semaacutenticas son a su vez consecuencias sintaacutecticas es decir si todas las
verdades son deducibles El criterio de coherencia a su vez puede ser interno
que exige que la teoriacutea propuesta concuerde o maacutes fuerte auacuten no entre en
contradiccioacuten con otras teoriacuteas establecidas Para ello las afirmaciones
teoreacuteticas de la teoriacutea deben pertenecer a un sistema de afirmaciones
ldquoverdaderasrdquo Y en particular no debe entrar en conflicto con los principios de
conservacioacuten de la materia la energiacutea y de miacutenima accioacuten que se presentan a
continuacioacuten y sobre todo con la ley de la entropiacutea creciente
La uacutenica cantidad que cumple las condiciones naturales que se le imponen a
una medida de informacioacuten es la entropiacutea que en termodinaacutemica mide el
grado de aleatoriedad o desorden de una situacioacuten dada y que viene
expresada en teacuterminos de las distintas probabilidades que intervienen Este
concepto es fundamental y profundo para Eddington cuando afirmoacute ldquoCreo
que la ley de la entropiacutea creciente la 2ordf ley de la termodinaacutemica es la maacutes
importante de las leyes de la naturalezardquo
El significado es algo anaacutelogo a una de las cantidades de las que depende la
entropiacutea de un sistema termodinaacutemico A propoacutesito de esto Eddington ha
hecho un comentario muy acertado ldquoSupongamos que se nos pide que
clasifiquemos las palabras distancia masa fuerza eleacutectrica entropiacutea belleza y
melodiacutea en dos categoriacuteas Pienso que existen razones muy fuertes para poner
la entropiacutea al lado de la belleza y la melodiacutea y no con las otras tres El concepto
de entropiacutea soacutelo surge cuando las partes son consideradas como un todo y es
precisamente contemplando o escuchando las partes asociadas entre siacute como
aparecen la belleza y la melodiacutea Las tres dependen de la ordenacioacuten del
conjunto La idea de que una de estas tres candidatas estaacute destinada a
aparecer como un denominador comuacuten de la ciencia se me antoja altamente
significativa La razoacuten de que este individuo extrantildeo pueda escabullirse entre
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los aboriacutegenes del mundo fiacutesico es que habla su propio idioma el de la
aritmeacuteticardquo Ciertamente eacuteste es un argumento maacutes para establecer la
estrecha relacioacuten entre matemaacutetica y mundo fiacutesico
El hecho de que la informacioacuten deba ser medida por medio de la entropiacutea
resulta despueacutes de todo natural si se recuerda que la informacioacuten estaacute
asociada con el margen de la libertad de eleccioacuten de que se dispone a la hora
de construir el mensaje Por tanto de una fuente de informacioacuten podriacutea
decirse lo mismo que de un sistema dinaacutemico ldquoLa situacioacuten posee un grado
muy alto de organizacioacuten y no estaacute caracterizada por un grado elevado de
aleatoriedad o de poder de eleccioacuten es decir que la informacioacuten o la entropiacutea
es pequentildea
En lo concerniente a la ley de la entropiacutea creciente y su papel de juez aacuterbitro
en la coherencia de cualquier teoriacutea nada mejor que la opinioacuten de Sir Arthur
Stanley Eddington al respecto ldquoAcerca de la importancia de la Segunda ley de
la termodinaacutemica mucho se ha escrito y nadie duda de su efectividad
praacutecticardquo Pero por si quedase alguna duda sobre su rango de aplicacioacuten y su
generalidad Eddington lo aclaroacute de forma contundente cuando en una de sus
obras maacutes conocida y citada (Eddington 1948) dijo ldquoThe Law that entrpy
always increase ndashthe second Law of thermodynamics- holds I think the
supreme position among the laws of Nature If someone points cut to you that
your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell`s equations ndash
then so much the worse for Maxwell`s equations- If it is found to be
contradicted by observation well these experimentalist do bungle thnigs
sometimes But if your theory is found to be against the second law of
thermodynamics I can give you no hope there is nothing for it but to collapse
in deepest humiliationrdquo
e) Correccioacuten y falsabilidad Cualquier teoriacutea debe tener implicaciones sobre el
mundo real empiacuterico Pues bien estas implicaciones deben ser ldquofalsablesrdquo La
falsabilidad de las implicaciones concierne por una parte a la circularidad y
por otra a la especifidad de las afirmaciones hipoteacuteticas que hacen
declaraciones acerca del mundo empiacuterico Conjuntos de afirmaciones
circulares o tautoloacutegicas no pueden ser verificadas esto es corroboradas o
refutadas son loacutegicamente vaacutelidas por definicioacuten pero no dicen nada acerca
del mundo empiacuterico y por consiguiente no son teoriacuteas Ademaacutes se exige que
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sean suficientemente especiacuteficas de modo que puedan si es el caso probarse
que estaacuten equivocadas Esto es deberiacutean ser lo suficientemente especiacuteficas
como para que sea claro que evidencia se requiere para determinar si la
evidencia es consistente o inconsistente con las implicaciones Dicho esto no
se deberiacutea exigir que los instrumentos que pueden requerirse para coleccionar
evidencia relevante existan realmente Es decir basta con que las
implicaciones de la teoriacutea sean falsables al menos en principio De esto se
pueden derivar lo dos apartados siguientes
α) Verdad Desgraciadamente las teoriacuteas nunca pueden probarse que
son verdaderas Hay dos razones para esto La primera es que no
importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea frente a los datos
siempre hay la posibilidad de que aparezca un nuevo dato que
contradiga la teoriacutea Justo porque el Sol ha salido todos los diacuteas desde
que se inicioacute su comprobacioacuten eso no prueba la teoriacutea que sugiere
que siempre saldraacute Maacutes bien lo contrario pues cada diacutea que sale es
uno menos que le queda de ldquovidardquo Es decir desgraciadamente nunca
se puede probar que una teoriacutea es correcta Soacutelo se puede probar que
es falsa No importa cuaacutentas veces se verifique la teoriacutea no hay
suficiente tiempo en el universo para llevar a cabo todas las
verificaciones posibles Asiacute incluso si una teoriacutea ha sobrevivido a un
milloacuten de pruebas auacuten podriacutea fracasar en la un milloacuten una En alguacuten
modo esta situacioacuten es opuesta a localizar un objeto perdido en una
casa Si se busca el objeto en la casa y se le encuentra bien es
definitivo que el objeto estaba en la casa caso cerrado Pero si se
busca y no se le encuentra eso no significa en absoluto que el objeto
no esteacute en la casa Podriacutea estar alliacute justo donde se perdioacute Lo mismo
pero al reveacutes vale para las teoriacuteas Si se prueba una teoriacutea y se
fracasa esto es ha sido falsada Pero si pasa el test es justo soacutelo un
test Puede haber otros datos u otras situaciones que la hubieran
falsado Sin embargo todaviacutea no se ha accedido a ellos Finalmente
las teoriacuteas son justo descripciones Hay siempre otras maneras de
describir los hechos que son igualmente vaacutelidas En este sentido
verdad no es un concepto razonable De todo lo que se dispone es de
41
descripciones que no se contradicen por los hechos actualmente
disponibles Eso es todo
β) Falsabilidad Una buena teoriacutea es falsable Si no hay una forma
concebible para construir un experimento o coleccionar algunos datos
que potencialmente podriacutean contradecir la teoriacutea eacutesta es inuacutetil
Supoacutengase que se estaacute intentando explicar el patroacuten de caras y cruces
que resultan de lanzar una moneda diez veces La teoriacutea dice que sale
cara cuando quiere un mago invisible y cruces en otro caso iquestCoacutemo se
puede verificar esa teoriacutea Si se lanza la moneda y sale cara eso no
contradice la teoriacutea puesto que eso justo quiere decir que el mago lo
queriacutea No importa coacutemo se realice el experimento los datos no
pueden posiblemente contradecir la teoriacutea Teoriacuteas como eacutesa
realmente no explican nada Se pueden usar para predecir resultados
no para hacer cosas verbigracia construir aviones que vuelen Por
ejemplo el concepto general de que los empleados de una
organizacioacuten trabajan duro porque estaacuten motivados es del mismo tipo
que decir que salen caras porque el mago quiera Volviendo a la
motivacioacuten eacutesta no se puede ver Soacutelo se puede inferir su existencia
por sus efectos en este caso el comportamiento humano De este
modo si una persona trabaja duro se dice que estaacute motivada Si no
se dice que no lo estaacute Sin embargo se dice que la razoacuten para que
trabaje duro o no es debido a la motivacioacuten Y eso es una ldquopetitio
principiirdquo es decir una falacia argumental Si estaacuten motivados
trabajan duro Si trabajan duro estaacuten motivados En general cualquier
teoriacutea que explique el comportamiento humano en teacuterminos de los
deseos humanos estaacuten en un terreno resbaladizo o peor cienagoso
En otras palabras si se estudia el movimiento voluntario del personal
en las organizaciones y se encuentra que la gente deja las
organizaciones ldquoporque quierenrdquo realmente no se ha explicado nada
y nunca podriacutea probarse que se estaacute equivocado En resumen hay dos
maneras en las que las teoriacuteas pueden fracasar en ser falsables Una
porque los datos son imposibles de obtener por su propia naturaleza
Dos porque son circulares
42
B) Materiales Ademaacutes de las condiciones formales de adecuacioacuten que debe cumplir
cualquier teoriacutea en siacute misma es decir independiente del dominio rango o alcance de
la misma existe otro conjunto de condiciones denominadas materiales de
adecuacioacuten que son especiacuteficos del tipo de teoriacutea de su dominio rango o alcance de la
misma Entre eacutestas que podriacutean considerarse como suficientes estaacuten las siguientes
a) Alcance o Provisionalidad La veracidad del conocimiento teoacuterico puede ser
tanto definitiva como provisional En efecto un teorema una vez demostrado
como verdadero lo es para siempre No importa la cantidad de informacioacuten
adicional que se tenga que jamaacutes cambiaraacute el estatus de verdad del mismo
Consideacuterese por ejemplo el teorema de Pitaacutegoras que estaacute demostrado desde
hace maacutes de 25 siglos Ninguna cantidad de nueva informacioacuten cambiaraacute el
estatus de dicho teorema hacieacutendolo falso Por el contrario consideacuterese la
Teoriacutea de Newton que se apoya en la hipoacutetesis de que el espacio y el tiempo
ademaacutes de absolutos no interactuacutean entre siacute es decir son independientes
Auacuten cuando la teoriacutea newtoniana se mantuvo incoacutelume y se consideroacute
correcta durante maacutes de dos siglos informacioacuten obtenida en el siglo XX dio al
traste con ese supuesto El responsable de esa iconoclastia fue la Teoriacutea de la
Relatividad de Einstein que no soacutelo le quitoacute al espacio y al tiempo la condicioacuten
newtoniana de absolutez sino que los interrelacionoacute En este sentido las
teoriacuteas formales pertenecientes a los dominios de la loacutegica y o las
matemaacuteticas son en lo que respecta al paraacutemetro de la provisionalidad
eternas Por su parte las teoriacuteas empiacutericas fiacutesicas quiacutemicas bioloacutegicas y
geoloacutegicas son provisionales es decir una teoriacutea empiacuterica que se juzga
verdadera en base a la informacioacuten actualmente disponible puede volverse
falsa cuando informacioacuten adicional llega a estar disponible En esto de la
provisionalidad de las teoriacuteas rige el principio de Bossuet sobre los imperios
Jacques-Beacutenigne Bossuet profesor del Defiacuten el hijo del rey Sol Luis XIV habiacutea
escrito en 1681 por encargo real su ldquoDiscurso sobre la Historia Universalrdquo
Poincareacute en 1909 en su presentacioacuten en Lille afirmaba la solidez de la fiacutesica
newtoniana y su esperanza de que eacutesta fuera sempiterna Sin embargo en
dicho discurso y contradicieacutendose antildeadioacute ldquoPero las teoriacuteas cientiacuteficas son
como los imperios y si Bossuet estuviera aquiacute no dudariacutea en encontrar acentos
elocuentes con los que denunciar su fragilidadrdquo (Poincareacute 1909) En 1912
Poincareacute con otros colegas de la Academia Francesa recopiloacute en un texto el
43
mensaje de Bossuet que advertiacutea a una humanidad orgullosa sobre su
perennidad como sigue (Fraguet 1927) Asiacute veis pasar ante vuestros ojos
como en un instante no digo reyes emperadores sino esos grandes imperios
que habiacutean hecho temblar el universo entero Viendo como los asirios antiguos
y modernos los medas los persas los griegos los romanos aparecen ante
vosotros unos tras otros para caer unos sobre otros por decirlo asiacute esta
terroriacutefica reyerta os hace sentir que no hay nada soacutelido entre los hombres y
que la inconstancia y la agitacioacuten son el destino natural de los asuntos
humanos Como puede verse para Poincareacute las teoriacuteas cientiacuteficas eran como
los grandes imperios de Bossuet y si la analogiacutea se toma como tal Poincareacute
estaba en lo cierto De este modo cuando alguien da por sentado la
peternidad de las teoriacuteas empiacutericas con probabilidad rayana en la certeza se
equivoca El caso de lord Kelvin es paradigmaacutetico al respecto Hacia 1900 la
fiacutesica claacutesica habiacutea elaborado una descripcioacuten altamente satisfactoria del
mundo totalmente determinista y basada en nociones aparentemente
consistentes consigo mismas Pero sobre ese aparente cielo despejado y claro
Lord Kelvin autor de la escala de temperatura absoluta y uno de los
fundadores de la termodinaacutemica sentildealoacute dos nubarrones Este panorama lo
describioacute lord Kelvin en una conferencia impartida ante la Asociacioacuten Britaacutenica
para el Progreso de la Ciencia en 1900 (Kelvin 1901) El primero de los
nubarrones se referiacutea a la naturaleza paradoacutejica del eacuteter propuesto por la
teoriacutea del campo unificado como el vehiacuteculo de las ondas electromagneacuteticas
Kelvin consideraba posible la existencia de una sustancia tan extrantildea pero
sentildealoacute que si existe deberiacutea poderse medir el movimiento con respecto a ella
Curiosamente y debe resaltarse esta prediccioacuten no surgioacute dentro de la
mecaacutenica newtoniana que suponiacutea la existencia de fuerzas que actuacutean a
distancia sobre las masas sin la intervencioacuten de ninguacuten eacuteter Como los
experimentos para detectar el eacuteter no dieron resultado Kelvin empezoacute a
sospechar que ese fracaso teniacutea una causa importante Fue Einstein con su
relatividad restringida quien envioacute el eacuteter al mundo de lo inuacutetil donde ya se
encontraban el caloacuterico el flogisto los voacutertices etc El segundo nubarroacuten
surgioacute de un problema aparentemente menos serio la discrepancia entre el
calor especiacutefico para voluacutemenes constantes de gases diatoacutemicos realizado por
mediciones precisas 5R2 para el O2 y el H2 etc y el valor predicho a partir de
44
consideraciones de la mecaacutenica estadiacutestica 7R2 Finalmente esos dos
nubarrones dieron lugar a las tormentas o por mejor decir revoluciones tan
espectaculares como la Teoriacutea de la Relatividad y la Fiacutesica Cuaacutentica iexclAhiacute es
nada
b) Simplicidad o Parsimonia La Navaja de Ockham o tambieacuten conocido como
ldquotijera de Ockamrdquo Principio de Parsimoniardquo en el sentido de moderacioacuten o
tambieacuten ldquoPrincipio de simplicidadrdquo o incluso ldquoPrincipio de economiacuteardquo es
considerada como una de las herramientas maacutes potentes y eficaces de la
ciencia Su enunciado habitual expresa que ldquonon sunt multiplicanda entia
praeter necessitatemrdquo aconsejando reducir al miacutenimo el nuacutemero de motivos y
objetos en general entes a los que haya que recurrir para justificar algo Y
maacutes generalmente tambieacuten implica que en el conjunto de teoriacuteas ofrecidas
para explicar un hecho se ha de preferir la maacutes sencilla Esta idea hasta donde
se sabe fue expuesta por primera vez por el filoacutesofo y teoacutelogo dominico
fraacutences Durand de Saint Pourcain fallecido en 1332 y tambieacuten se encuentra
enunciada en la obra del franciscano Duns Scoto (1266-1308) probable
profesor de quien difundioacute ldquourbi et orbirdquo el principio Guillermo de Ockham a
comienzos del siglo XIV Es eacutesta una condicioacuten que indica que las teoriacuteas
deberiacutean ser podadas de suposiciones innecesarias Se trata aquiacute de evitar
proponer como principios relaciones complejas cuando existe una alternativa
maacutes simple Una razoacuten para preferir la sencillez es que la naturaleza parece
hacerlo Las cosas complicadas tienen maacutes formas de romperse y menos
probabilidad por tanto de durar hasta el presente La otra razoacuten es que las
teoriacuteas son inuacutetiles a menos que sean lo suficientemente sencillas como para
que la gente las entienda Las teoriacuteas son a veces aunque inadecuadamente
denominadas modelos y la idea cabal de modelo es que es una versioacuten maacutes
pequentildea maacutes simple de la cosa real Los modelos pretenden resaltar
evidencias y las partes importantes y dejar fuera las irrelevantes El poder de
un modelo puede definirse como la proporcioacuten de reduccioacuten en complejidad
que proporciona sobre la naturaleza Demasiado detalle puede obscurecer las
cosas clave Verdaderamente los modelos complicados no explican realmente
mucho El mejor modelo posible de los patrones meteoroloacutegicos terrestres se
obtendriacutea construyendo un duplicado de la Tierra girando alrededor del Sol
exactamente lo mismo con mucho detalle Deberiacutea predecir todo
45
perfectamente El problema es que el modelo es tan complicado como lo que
se intenta entender Un ejemplo de parsimonia son los modelos aleatorios
Supoacutengase que se quiere entender porqueacute casi todas las sociedades humanas
tienen desigualdades significativas unos son mucho maacutes ricos que otros Se
podriacutean dar un nuacutemero de razones especiales incluidas causas sobrenaturales
del tipo ldquoDios lo quiso asiacuterdquo pero es importante percatarse de que la
desigualdad es lo que deberiacutea esperarse incluso si no hubiera ninguna razoacuten
especial por la que deberiacutea suceder Si se toman 100 euros y se dividen
aleatoriamente entre 10 personas soacutelo hay un puntildeado de formas que dariacutean
un resultado igualitario Sin embargo hay maacutes de 1030 maneras de dividirlos de
modo que se produzcan relevantes desigualdades Es justo como tener la
habitacioacuten ordenada Baacutesicamente hay unas pocas maneras de tener la
habitacioacuten en el espacio tridimensional de modo que pueda decir que todo
estaacute en su sitio Pero hay millones de lo contrario El principio de usar la
parsimonia como un criterio para modelizar la seleccioacuten se conoce como
ldquoNavaja de Ockhamrdquo
Sea como sea la ldquoNavaja de Ockhamrdquo es soacutelo una herramienta o si se quiere
una regla heuriacutestica y como tal en ocasiones se ha mostrado uacutetil para la
ciencia Lo que no es es una cualidad del mundo esto es concierne a la
epistemologiacutea no a la ontologiacutea del mundo Por consiguiente no es necesario
suponer que el universo es sencillo aunque a la hora de enfrentarse y razonar
sobre eacutel se prefiera que se asiacute antes que complejo
John Burdon Sanderson Hodlane (Hodlane 1927) dice ldquoEn el pensamiento
cientiacutefico se adopta la teoriacutea maacutes simple que explique todos los hechos
considerados y que permita anticipar otros nuevos de la misma iacutendole La
trampa de este criterio estriba en la expresioacuten ldquola maacutes simplerdquo en realidad es
un canon esteacutetico como los que se encuentran expliacutecitos en las criacuteticas de
poesiacutea y pintura El profano encuentra mucho maacutes simple el concepto
ldquorezumardquo que su expresioacuten matemaacutetica () = (( ) el fiacutesico
invierte este juicio y por cierto su nocioacuten es la maacutes fructiacutefera por su poder de
prediccioacuten Sin embargo es una descripcioacuten sobre algo muy poco familiar para
el hombre comuacuten ldquola proporcioacuten con que cambia una tasa de variacioacutenrdquo
46
c) Fertilidad y o fecundidad O lo que es lo mismo una teoriacutea debe dar lugar a
nuevos resultados de investigacioacuten es decir debe revelar fenoacutemenos nuevos o
relaciones no observadas antes entre las cosas que ya se saben Este criterio es de
especial importancia para las decisiones cientiacuteficas reales De hecho el segundo
aspecto de la fecundidad de una teoriacutea es que sea fructiacutefera en el sentido de que la
eleccioacuten de una teoriacutea u otra tendraacute influencia ulterior en el desarrollo de la
carrera cientiacutefica de quien hizo la eleccioacuten Por eso los cientiacuteficos se sentiraacuten
atraiacutedos por aquella teoriacutea que prometa el eacutexito concreto por el que suelen ser
recompensados los cientiacuteficos Una teoriacutea feacutertil es aquella que genera multitud de
implicaciones en diferentes aacutereas y dominios Las implicaciones son importantes
porque por una parte son esencialmente perspicacias y o ldquointuicionesrdquo que no
eran obvias antes de establecerse la teoriacutea de este modo potencialmente
representan nuevo conocimiento Por otro lado representan posibilidades de
verificar la teoriacutea Una teoriacutea para ser feacutertil o sea una buena teoriacutea tiene que ser
general
d) Sorpresa Una cualidad de las buenas teoriacuteas es que son interesantes Esto
significa que generan implicaciones no obvias Conducen a entender las cosas de
nuevas maneras La sorpresa se refiere a la capacidad de la teoriacutea para realizar
predicciones inesperadas no obvias Un famoso ejemplo es una teoriacutea que explica
porque ciertos paiacuteses tienen muchas maacutes chicas que chicos La teoriacutea dice que esto
sucede iroacutenicamente cuando como ocurre en la India la gente prefiere tener
chicos En efecto la probabilidad de tener un chico es diferente en las distintas
familias es algo geneacutetico Supoacutengase ahora que la gente lo que hace es tener
nintildeos hasta que tengan maacutes chicos que chicas Asiacute si el primero es un chico no
tienen maacutes Si es una nintildea van a por maacutes hasta que los varones sean maacutes Pero si
es mujer siguen El resultado es que las familias que tienen predisposicioacuten a tener
nintildeos son poco numerosas las otras no Si no hubiera esa preferencia habriacutea
aproximadamente un nuacutemero similar de ambos Este paradoacutejico resultado es
curioso y encantador
e) Amplitud A veces y tal vez con mejor criterio tambieacuten denominada robustez
Esto quiere decir que las consecuencias de la teoriacutea deben extenderse o sea ir
maacutes allaacute de las observaciones leyes o subteoriacuteas particulares para las que se
destinoacute en principio
47
f) Conectividad Este aspecto iacutentimamente relacionado con el anterior quiere
decir que la teoriacutea ordena fenoacutemenos que sin ella y tomados uno a uno estariacutean
aislados y en conjunto seriacutean confusos
g) Independencia Esta condicioacuten exige que ninguno de los axiomas pueda
deducirse de los demaacutes aplicando las reglas fijadas es decir todos y cada uno de
ellos deben antildeadir nueva informacioacuten Para demostrar la independencia de un
axioma respecto a los demaacutes es suficiente con describir un modelo que los
satisfaga todos menos eacutel ya que si fuera posible obtenerlo de los otros
automaacuteticamente seriacutea verdadero en el sistema construido Nada se indica sobre el
nuacutemero de axiomas que pueden elegirse para una teoriacutea pueden ser infinitos
pero seriacutea entonces difiacutecilmente manejable y no tiene sentido en cualquier caso
antildeadir axiomas y axiomas si ya pueden deducirse de unos pocos Por ejemplo a los
axiomas de Peano se les podriacutea antildeadir verbigracia el postulado de que 1 es
distinto de 2 pero seriacutea inuacutetil porque 2 es precisamente el sucesor de 1 y el
axioma III ya indica que 1 no es el sucesor de ninguacuten nuacutemero natural Como se ve
esta propiedad matemaacutetica se trata de una aplicacioacuten del principio de Ockham en
este caso enunciado como sigue ldquoninguacuten axioma o parte de eacutel debe ser
consecuencia de los demaacutesrdquo
Una teoriacutea es pues una construccioacuten simboacutelica en el sentido de que los teacuterminos que utiliza
son siacutembolos que buscan ldquoa tientasrdquo su significado en el mundo real Su valor se apoya tanto
en la estructura de las interconexiones que relacionan sus leyes entre siacute como en las propias
leyes Por eso no soacutelo debe ser un banco de pruebas donde se observa lo que puede
acontecer bajo determinadas condiciones sino que maacutes bien es valga la analogiacutea un territorio
parcialmente explorado De esta forma es con frecuencia heuriacutestica habida cuenta que guiacutea al
ldquoexploradorrdquo hacia nuevos descubrimientos En consecuencia se puede afirmar que tal vez la
mayor importancia de una teoriacutea no estriba en que conteste preguntas sino maacutes bien en que
permita y facilite el plantearlas dirigiendo asiacute la investigacioacuten en el campo que le concierne
Por lo tanto uno de los usos maacutes fructiacuteferos de una teoriacutea es el de preparar las categoriacuteas
conceptuales a partir de las cuales los investigadores formularaacuten sus preguntas y disentildearaacuten sus
experimentos para validar sus hipoacutetesis frente a la contundente realidad de los hechos
Por uacuteltimo una teoriacutea se construye para ponerla en praacutectica Cuando se habla de poner en
praacutectica una teoriacutea lo que se pretende es extraer consecuencias de ella entendiendo por esto
48
la postulacioacuten de una serie de circunstancias que incluyan algunas teacutecnicas de la teoriacutea para
en un paso posterior obtener informacioacuten acerca de lo que la teoriacutea supone sobre las
implicaciones que estas circunstancias particulares tienen para los otros teacuterminos de la teoriacutea
Con frecuencia se llega a las especificaciones seguacuten las cuales se desea someter a verificacioacuten
la teoriacutea interrogando o midiendo alguacuten aspecto del mundo real En otras palabras es preciso
tener alguacuten criterio de validez para determinar el eacutexito de la teoriacutea o del modelo construido
sobre ella Pues si bien una teoriacutea no puede descifrarlo todo los ldquomodelosrdquo que a partir de ella
se construyan deben al menos estar capacitados para descifrar ciertas cuestiones
Einstein apunta la existencia de dos criterios que presiden la seleccioacuten y evaluacioacuten de las
teoriacuteas cientiacuteficas El primero estaacute guiado por la confirmacioacuten externa o comprobacioacuten
experimental de la teoriacutea es decir no debe contradecir los hechos de la experiencia Para eacutel la
experiencia es el alfa y el omega de todo conocimiento cientiacutefico de la realidad Como lo
sentildealoacute eacutel mismo (Heisenberg 1971) El control por medio del experimento es en efecto el
presupuesto normal para la exactitud de una teoriacutea El segundo es el de la ldquoperfeccioacuten interna
naturalrdquo o de la ldquosencillez loacutegicardquo El criterio de perfeccioacuten interna se asemeja muchiacutesimo al
criterio de elegancia matemaacutetica de Poincareacute (Poincareacute 1946) siendo para Einstein esta
elegancia un iacutendice de la verosimilitud de la teoriacutea y de su verdad objetiva pues cuando se
carece de esa elegancia se cae en contradicciones internas Ambos criterios teoacuterico y
experimental expresan en efecto la misma idea pues sirven para determinar el valor
ontoloacutegico de la teoriacutea y su acuerdo con la realidad son como las dos caras de una misma
moneda pues si la teoriacutea debe guiar el experimento eacuteste debe corroborar y enriquecer la
teoriacutea De hecho la experimentacioacuten soacutelo tiene sentido si obedece o estaacute gobernada por un
planteamiento teoacuterico que a veces puede ser falso y siempre acaba resultando ser
provisional Teorizar no consiste simplemente en explicar normas ni en registrar hechos
consiste en ldquoconceptualizarrdquo o ldquoreconstruirrdquo es decir interpretar el material de estudio dentro
de un marco conceptual previamente dado que es precisamente lo que se denomina
ldquoTeoriacuteardquo En este sentido una teoriacutea es un cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se
pueden responder como miacutenimo a las siguientes cuestiones iquestQueacute esto es hacer
predicaciones Y iquestCoacutemo y por queacute es decir dar explicaciones Naturalmente la que debe dar
las respuestas es la teoriacutea y no el teoacuterico
49
II24TAXONOMIacuteA DE TEORIacuteAS
Las teoriacuteas como por otra parte cualquier conjunto de elementos pueden catalogarse de
acuerdo con distintos paraacutemetros Esta tipologiacutea en general puede ir desde una simple
clasificacioacuten hasta una taxonomiacutea pasando por una ordenacioacuten
A) La Clasificacioacuten
La clasificacioacuten siempre implica una definicioacuten Un teacutermino clase denota todos los
particulares a los cuales es aplicable el teacutermino es decir es la ldquoextensioacutenrdquo o
denotacioacuten del teacutermino y connota la(s) caracteriacutestica(s) que un particular debe tener a
fin de que el teacutermino le sea aplicable esto es la intensioacuten del teacutermino Ya que la
extensioacuten estaacute determinada por la intensioacuten y una definicioacuten describe la intensioacuten de
un teacutermino la definicioacuten es baacutesica para la clasificacioacuten iquestcuaacuteles son los criterios para
establecer la valiacutea episteacutemica de una clasificacioacuten Son desde el punto de vista
semaacutentico los siguientes
a) Exactitud El criterio de exactitud demanda que la clase de los teacuterminos esteacute
bien definida Una definicioacuten verdadera establece el universo a partir del cual
se establecen las clases y las diferencias o caracteriacutesticas esenciales que
distinguen las clases siendo catalogadas a partir de otras clases en el universo
b) Exclusividad y Exhaustividad Los criterios de exclusividad y exhaustividad
pueden establecerse con precisioacuten mediante conceptos teoreacuteticos En efecto
las clases pueden verse como subconjuntos del universo sometidos a
consideracioacuten esto es el conjunto universal Mientras el contexto de tal
enfoque es decir la exclusividad y exhaustividad pueden establecerse como
sigue
α) Exclusividad todo elemento en el universo dado aparece a lo sumo
en una subclase es decir - cap -0 = empty para todo par de subclases
sometidas a consideracioacuten
β) Exhaustividad todo elemento en un universo dado deberiacutea estar en
alguna clase es decir cup - = 3 donde Si es la coleccioacuten de
subclases y la unioacuten se realiza sobre todas ellas Exclusividad y
50
exhaustividad juntos requiere que cada elemento del universo
aparezca en una subclase
B) Taxonomiacutea
Para que una clasificacioacuten sea una taxonomiacutea debe cumplir el criterio de orden
jeraacuterquico Para que una clasificacioacuten esteacute jeraacuterquicamente ordenada debe cumplir las
siguientes condiciones
a) Los taxones o clases esteacuten ordenados en niveles que estaacuten secuencialmente
ordenados de 1 a n De este modo cada taxoacuten puede designarse por Tij donde
j indica el nivel particular para el taxoacuten o rango e i se asigna arbitrariamente
para diferenciar el taxoacuten en un determinado nivel
b) Cada taxoacuten de nivel j con jltn estaacute incluido en alguacuten taxoacuten de nivel j+1 Dicho
maacutes precisamente para un jltn dado existe alguacuten k tal que Tij estaacute incluido en
Tkm para m=j+1
c) El nuacutemero de taxas de rango j es mayor que el nuacutemero de taxas j+1
d) Las taxas de cada rango son mutuamente exclusivas y exhaustivas Maacutes
precisamente para un rango dado j 40 cap 450 = empty para cualesquiera i y k que
aparecen como subiacutendices en la taxa de rango j y cup 4 = 3
e) El criterio de coherencia interna exige que la clasificacioacuten concuerde con el
conocimiento teoreacutetico existente Para ello las afirmaciones teoreacuteticas deben
ser miembros del sistema actual de afirmaciones teoreacuteticas verdaderas cuyos
elementos estaacuten relacionados mediante la implicacioacuten loacutegica
Si lo que se pretende conseguir es una clasificacioacuten el criterio elegido debe ser exhaustivo y
excluyente es decir que todos y cada uno de los elementos a clasificar caiga en una y soacutelo una
de las clases y eacutestas que son clases de equivalencia son disjuntas entre siacute Por su parte una
ordenacioacuten establece una relacioacuten de precedencia u orden entre los miembros de un conjunto
Esta precedencia puede ser jerarquizada por niveles Pues bien cuando dentro de cada nivel
de jerarquiacutea se establece una clasificacioacuten entonces se obtiene una taxonomiacutea Dicho lo
anterior entre las teoriacuteas se puede establecer la siguiente taxonomiacutea
51
1 Categoacutericas En la descripcioacuten de los conceptos de una teoriacutea las oraciones teoacutericas
esto es las relaciones entre determinantes y resultantes pueden ser necesarias que
son esenciales y surgen de la propia naturaleza de resultantes y determinantes y si no
se cumplen no seriacutean lo que son y contingentes que son accidentales y no se tienen
que cumplir para que los determinantes y resultantes sean lo que son Su diferencia
estriba no en la forma sino en el contenido Las frases cientiacuteficas no tienen contenido
axioloacutegico mientras que las praxeoloacutegicas siacute En estas teoriacuteas o sistemas la verdad de
los teoremas o conclusiones se demuestra o viene dada por la verdad de las premisas
o axiomas es decir no hay calificacioacuten de la verdad de ahiacute el teacutermino ldquocategoacutericordquo En
ellos no hay ninguna suposicioacuten esto es hipoacutetesis de ahiacute su nombre Es decir la
evidencia soportando la verdad de las premisas que no se discute se transfiere a los
teoremas o conclusiones La necesidad reside tanto en la conexioacuten de las premisas con
los teoremas o conclusiones como en lo que postulan las premisas En estas teoriacuteas no
hay ninguna cualificacioacuten con respecto a la verdad no hay suposiciones de ahiacute el
teacutermino categoacuterico Dentro de ellas se inscriben las teoriacuteas filosoacuteficas Las teoriacuteas
filosoacuteficas y la teodicea caeriacutean si se las consideran teoriacuteas Las teoriacuteas filosoacuteficas
justifican sus afirmaciones mostrando que se siguen ldquoracionalmenterdquo no
necesariamente esto es deductivamente de las premisas que se toman como
verdaderas y no son falsables
2 Hipoteacuteticas En estos sistemas no hay certeza absoluta en los axiomas o esquemas de
axiomas es decir no hay evidencia propia De ahiacute que en este caso sea mejor usar el
teacutermino postulado para las premisas En este caso no existe ninguna certidumbre
respecto a los postulados de partida por ello es preciso establecer suposiciones de
partida es decir hipoacutetesis de ahiacute su nombre Existen dos tipos de sistemas
axiomaacuteticos hipoteacuteticos
21 Formales Desarrollados para aacutereas conceptuales muy amplias De hecho son
el sustrato racionador de al menos las teoriacuteas cientiacuteficas Sus afirmaciones se
justifican mediante demostraciones es decir la prueba de las afirmaciones
hechas en forma de teoremas alegados o aducidos o afirmados se sigue
deductivamente de los axiomas Su caracteriacutestica maacutes relevante es la
perennidad de lo demostrado Son de tipo analiacutetico es decir no antildeaden
nuevo conocimiento Las afirmaciones de una teoriacutea formal se justifican
mediante demostraciones en matemaacuteticas y prueba en loacutegica de modo que
52
en ambos casos se siguen como acaba de decirse deductivamente de los
axiomas Es decir no apelan a la evidencia experimental Son abstractas y
estaacuten vaciacuteas de contenido Dentro de ellas estaacuten las teoriacuteas
211 Matemaacuteticas Informalmente son ciertos cuerpos de
conocimientos que consisten en axiomas conectados definiciones
teoremas teacutecnicas computacionales todas relacionadas de alguacuten
modo por tradicioacuten o praacutectica Por ejemplo Teoriacutea de Conjunto
Teoriacutea de Grafos Teoriacutea de Autoacutematas Teoriacutea de Grupos Teoriacutea de
Nuacutemeros etc
212 Loacutegicas En este caso es un conjunto de enunciados en un
lenguaje formal que estaacute cerrado en la aplicacioacuten de ciertos
procedimientos denominados reglas de inferencia Un caso
especial son las teoriacuteas axiomaacuteticas que consisten en axiomas o
esquemas de axiomas y reglas de inferencia De este modo lo que
se obtiene son foacutermulas que se derivan de los axiomas mediante
dichas reglas
22 Materiales sustantivas o justificadas basaacutendose en la experimentacioacuten Estaacuten
formadas por conjuntos de proposiciones conectados que afirman revelar la
verdad de un fenoacutemeno Estaacuten desarrolladas en aacutereas especiacuteficas de
investigacioacuten Son sinteacuteticas esto es antildeaden nuevo conocimiento Entre estas
teoriacuteas estaacuten las concernientes a las ciencias claacutesicas fiacutesica quiacutemica biologiacutea y
geologiacutea y pueden ser
221 Cientiacuteficas naturales o empiacutericas Que buscan entender los
fenoacutemenos recopilando informacioacuten observada y proporcionando
explicacioacuten para ellos Sus afirmaciones se justifican mediante la
evidencia experimental y observacional Y dado que una de las
bases de estas teoriacuteas es el peso de la evidencia por eso reciben
el nombre de empiacutericas De hecho las teoriacuteas empiacutericas se
validan obteniendo las implicaciones de la teoriacutea para hechos
observables es decir generando hipoacutetesis y luego observando o
construyendo situaciones en las que puedan examinar y
contrastar dichas hipoacutetesis Esto exige que se puedan formular las
hipoacutetesis y se puedan efectuar observaciones relevantes Estas
53
teoriacuteas tratan con fenoacutemenos de la naturaleza y a su vez pueden
catalogarse en
2211 Deterministas que de nuevo pueden subdividirse en
A) Con datos incorregibles Paternidad bioloacutegica
B) Corregibles La fiacutesica claacutesica
2212 Indeterministas como la fiacutesica cuaacutentica la termodinaacutemica etc
Las teoriacuteas prototiacutepicas en fiacutesica tales como la teoriacutea de la
gravitacioacuten la de los cuanta de los fenoacutemenos subatoacutemicos
etc tienen seguacuten Mohanan P Karuvannur (Mohanan 2001)
las caracteriacutesticas distinguidas siguientes
A) Contienen un conjunto de proporciones llamadas leyes
B) La mayoriacutea de las proposiciones de la teoriacutea se expresan en
formalismos matemaacuteticos
C) Las observaciones contra las que se comprueban las
teoriacuteas son tiacutepicamente administrativas
D) Dichas observaciones y su contraste se obtienen y realizan
experimentalmente
E) Estos experimentos son reproducibles por otros
Sin embargo no todas las teoriacuteas cientiacuteficas exhiben todas
estas caracteriacutesticas Por ejemplo
a) La teoriacutea cosmoloacutegica del ldquoBig Bangrdquo y la teoriacutea de la
deriva continental en geografiacutea no incluyen ninguna
ley de siacute mismas En lugar de buscar formular leyes es
decir afirmaciones de una relacioacuten sistemaacutetica entre
variables observables o teoacutericas dichas teoriacuteas
54
proporcionan un ldquomodelordquo de los fenoacutemenos que se
pretenden entender
b) Mientras la teoriacutea de la gravitacioacuten de Newton emplea
una geometriacutea eucliacutedea y la de Einstein una
reimaniana la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y
Darwin no usa ninguacuten formalismo matemaacutetico
c) En tanto que las observaciones de la teoriacutea de Newton
son medidas cuantitativas las teoriacuteas topoloacutegicas no
d) Mientras que la fiacutesica y quiacutemica son altamente
experimentales la astronomiacutea lo es si algo muy poco
es puramente observacional
e) Finalmente si algunas observaciones del
funcionamiento normal del cerebro son reproducibles
otras no lo son en absoluto
222 Hominoloacutegicas sociales conductuales o praxeoloacutegicas Caen en
este apartado las teoriacuteas sociales psicoloacutegicas filosofiacutea de la
ciencia esteacuteticas etc Estas ldquoteoriacuteasrdquo buscan entender los
fenoacutemenos las relaciones entre conceptos y entre siacute mismas
reflexionando sobre lo que se da por sentado que son premisas
verdaderas sobre los fenoacutemenos sin dedicarse a entrar en
recopilar nueva informacioacuten Maacutes que teoriacuteas lo que aquiacute se
tiene es el uso del asiacute llamado ldquomeacutetodo cientiacuteficordquo para describir
y si pudiera ser explicar y predecir fenoacutemenos relacionados con
los seres humanos Entre eacutestas se encuentran la psicologiacutea
economiacutea cosmologiacutea etc
Existe una relacioacuten estrecha entre los sistemas ldquoaxiomaacuteticosrdquo y la taxonomiacutea de teoriacuteas que se
muestra en la figura II4 Del mismo modo que tal y como se muestra en la tabla II4 las
teoriacuteas pueden categorizarse en funcioacuten de que sean analiacuteticas o explicativas y sinteacuteticas o
ampliativas del conocimiento
55
Figura II4 Tipos de Sistemas axiomaacuteticos relacionados con la Teoriacutea
Otra distincioacuten importante entre teoriacuteas e incluso ciencias viene dada por las cuestiones que
guiacutean la investigacioacuten Es decir de acuerdo con su ldquoteleologiacuteardquo o paradigma las teoriacuteas
empiacutericas se clasifican en
A) Explicativas Estas teoriacuteas responden o cuando menos intentan responder a
la cuestioacuten iquestCuaacutel es la mejor explicacioacuten para los fenoacutemenos o estados de
cosas observados en el mundo En este caso la finalidad de una buacutesqueda
investigacioacuten ciencia o teoriacutea explicativa como sucede en la fiacutesica quiacutemica
biologiacutea geologiacutea cosmologiacutea etc es uacutenica o cuando menos baacutesica y
principalmente el entendimiento La mejor teoriacutea en un paradigma explicativo
es aquella que produce las mejores predicciones de los fenoacutemenos o estado de
las cosas observadas
B) Normativas Estas teoriacuteas responden o al menos intentan responder a la
siguiente pregunta iquestCuaacutel es el mejor curso de accioacuten para mejorar el estado
de cosas del mundo La finalidad de una buacutesqueda investigacioacuten ciencia o
teoriacutea normativa como sucede con la ingenieriacutea o la tecnologiacutea en general la
medicina el derecho o la sociologiacutea etc es mejorar las condiciones humanas
y maacutes en general de todos los seres vivientes La mejor teoriacutea dentro de este
paradigma normativo es la que produce los mejores cursos de accioacuten para
cambiar a mejor el estado de cosas existentes en el mundo
56
ANALIacuteTICAS O EXPLICATIVAS SINTEacuteTICAS O AMPLIATIVAS
ldquoA PRIORIrdquo ldquoA POSTERIORIrdquo
ldquoA PRIORIrdquo Puros independientes de toda experiencia
ldquoA POSTERIORIrdquo Empiacutericas generalizacioacuten inductiva
CATEGOacuteRICAS Teologiacutea Imposibles Filosofiacutea
HIPOTEacuteTICAS
Formales Loacutegica Matemaacutetica
Materiales Ciencias empiacutericas
Praxeologiacutea antildeade conocimiento axioloacutegico
Tabla II4 Categorizacioacuten de Teoriacuteas
En todo caso caracteriacutestico de toda teoriacutea es su formulacioacuten a partir de unos pocos
postulados Y de nuevo como son maacutes eficaces los ejemplos que las palabras Siguiendo esa
maacutexima claacutesica se van a presentar algunos ejemplos relevantes y significativos de teoriacuteas en
distintos dominios que aparecen resumidas en la tabla II5
II25 LAS TEORIacuteAS EN LA CIENCIA
Se entiende por ciencia natural al cuerpo de conocimientos relacionados con una cierta clase
de cosas objetos conceptos o fenoacutemenos del mundo las caracteriacutesticas atributos
propiedades y relaciones que poseen coacutemo se comportan y actuacutean en sus interrelaciones La
labor baacutesica de la ciencia natural consiste en convertir lo insoacutelito en corriente es decir
demostrar que la complejidad correctamente enfocada no enmascara maacutes que la sencillez es
encontrar la pauta ley u orden que se oculta tras el caos aparente En resumen las ciencias
naturales se ocupan de coacutemo son las cosas La loacutegica corriente sirve para esto dado que su
preocupacioacuten se centra en aseveraciones declarativas se ajusta a las afirmaciones sobre el
mundo y las inferencias que se desprenden de tales aseveraciones Por su parte el disentildeo
trata de coacutemo debieran ser las cosas esto es de idear artefactos o mejor ldquomentefactosrdquo para
conseguir unos fines Para esto es necesario otras loacutegicas
Cuando se estudia la historia de la ciencia se observa en primer lugar que ninguna disciplina
se hace madura y verdaderamente cientiacutefica hasta que tiene una teoriacutea que la soporta En
segundo lugar tambieacuten salta a la vista como se muestra en la tabla II5 que dichas teoriacuteas
tienen dos caracteriacutesticas fundamentales (Alonso 2004) a saber Constan de pocos elementos
o constructos y se basan en un nuacutemero muy reducido de principios leyes o postulados De
modo que como lo sentildealoacute Peter J Denning (Denning 2003) The game is to define many terms
57
Teoriacutea Autor(es) Datacioacuten Principios Leyes Postulados o Axiomas
1 La
Geometriacutea
Eucliacutedes 330-275 1 Trazar una liacutenea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera 2 Prolongar continuamente una recta finita en liacutenea recta 3 Describir un ciacuterculo con cualquier centro y distancia 4 El ser todos los aacutengulos rectos iguales entre siacute 5 Postulado de las Paralelas
2Hidrostaacute-
tica
Arquiacutemedes 287-212 1 El efecto que produce la presioacuten ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente 2 La presioacuten ejercida por un fluido sobre un cuerpo situado en eacutel estaacute dirigida
hacia arriba en la direccioacuten de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo
3 Mecaacutenica Newton 1665- 1666- 1686
1 Principio de Inercia Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectiliacuteneo
2 Principio de fuerza F=ma 3 Principio de Accioacuten y Reaccioacuten Con toda accioacuten ocurre siempre una reaccioacuten
igual y contraria
4 Ley de Gravitacioacuten 6 = 7 889
4 Quiacutemica
Atoacutemica
Dalton Thomson Rutherford Bohr Pauli
1803 1897 1938 1912 1924
1 Toda la materia se compone de aacutetomos Y estos a su vez en nuacutecleo y electrones
2 En cada oacuterbita soacutelo caben dos electrones que giran a la par (Principio de exclusioacuten)
3 Los aacutetomos se combinan entre siacute mediante distintos enlaces (Ioacutenico Covalente etc) para formar moleacuteculas
5Probabili-
dad
Laplace Kolmogorov
1812 1974
1 No negatividad La probabilidad de un evento o suceso siempre es mayor que cero
2 Certidumbre La probabilidad del suceso seguro S es la unidad 3 Aditividad Contable En una sucesioacuten numerable de sucesos mutuamente
excluyentes la probabilidad de su unioacuten es igual a la suma de las probabilidades individuales
6 Evolucioacuten Spencer Wallace Darwin
1852 1858 1859
Herencia de Caracteres y variabilidad y mutacioacuten de los mismos que hace que hijos de los mismos padres no sean ideacutenticos y de que por determinadas causas algunos muten Seleccioacuten natural supervivencia del mejor adaptado al medio
7Electro-
magnetismo
Oersted Faraday Maxwell Hertz
1820 1821-31 1873 1887
1 Ley de Gauss lt ∙ = gt 2 Ausencia de Carga magneacutetica lt ∙ = 0
3 Ley de Ampeacutere B C ∙ D = E FG + HI J
4 Ley de Faraday B lt ∙ D = KL
8Termodinaacute-
mica
Boltzmann Carnot Helmholtz Clausius Kelvin
1850 1850 1847 1829 1852
1 La energiacutea del mundo es constante 2 La entropiacutea del mundo tiende a un maacuteximo
9 Relatividad Einstein 1905 1915
1 Principio de Relatividad Si dos sistemas de coordenadas estaacuten en movimiento relativo de traslacioacuten paralela uniforme las leyes de acuerdo con las cuales cambian los estados de un sistema fiacutesico no dependen de con cuaacutel de los dos sistemas estaacuten relacionados dichos cambios
2 Principio de constancia de la velocidad de la luz Todo rayo luminoso se mueve en el sistema de coordenadas ldquode reposordquo con una velocidad fija independiente de si este rayo luminoso sea emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento
3 3 Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria mi = mg Las leyes generales de la naturaleza deben expresarse por ecuaciones que sean vaacutelidas para todos los sistemas de coordenadas
10Meacutecanica
Cuaacutentica
Plank Einstein Bohr Schroumldinger Heisenberg Pauli
1900 1905 1907 1925 1926 1927
1 Principio Cuaacutentico La energiacutea no es continua sino que se presenta en paquetes discretos denominados cuantos verbigracia el fotoacuten o cuanto de luz La posibilidad de que un aacutetomo emita o absorba radiacioacuten estaacute condicionada por las posibles variaciones de energiacutea del aacutetomo de modo tal que la frecuencia de la radiacioacuten queda determinada por la diferencia de energiacutea entre los estados inicial y final seguacuten la relacioacuten formalEi-Ef = hv Es decir
2 Principio de la Complementariedad Las partiacuteculas subatoacutemicas tienen propiedades de partiacuteculas y ondas que obedecen a la ecuacioacuten de ondas de Schroumldinger que determina la probabilidad de que ciertos hechos ocurran El cuadrado del valor absoluto de la funcioacuten de onda de Schroumldinger mide la probabilidad de hallar una partiacutecula en un punto concreto de espacio y el tiempo
3 Principio de IndeterminacioacutenΔN ∙ ∆) ge ℏ ∆R∆S ge ℏ 4 Principio de Correspondencia
Tabla II5 Ejemplos de distintas teoriacuteas cientiacuteficas
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in terms of a few terms and to logically derive many statements from a few statements Es
decir la misioacuten de una teoriacutea de acuerdo con el criterio de economiacutea de Mach consiste en
predecir los resultados del mayor nuacutemero de experimentos partiendo del menor nuacutemero de
hipoacutetesis Por supuesto no se plantea la verdad absoluta sino su operatividad y utilidad en un
campo de aplicacioacuten concreto Bohr fue un poco maacutes lejos y pensaba que la misioacuten de una
teoriacutea es posibilitar nuevas formulaciones
De hecho los progresos decisivos realizados en el campo de las investigaciones cientiacuteficas
conciernen al establecimiento de grandes concatenaciones entre hechos aislados su
generalizacioacuten en forma de leyes y finalmente el desarrollo de una teoriacutea Las ciencias
naturales que fueron hasta hace unos cincuenta antildeos recolectoras de datos hechos objetos y
fenoacutemenos a saber idiograacuteficas son actualmente en esencia ordenadoras o formuladoras de
leyes esto es nomoteacuteticas Es decir las ciencias en el mundo actual estudian el origen las
relaciones y el desarrollo de objetos y fenoacutemenos los procesos que le conciernen y la
concatenacioacuten que hacen de esos procesos naturales un gran todo
Las ciencias empiacuterico-formales conjugan ldquoprima facierdquo dos dimensiones la experimental o
empiacuterica y la teoacuterica o formal Pero al estudiar su gestacioacuten histoacuterica real se descubre en ellas
una tercera dimensioacuten temaacutetica constituida por presupuestos conceptuales o
ldquopreconcepcionesrdquo a la que se adhiere fielmente el cientiacutefico por maacutes que no siempre las
explicite en sus artiacuteculos En efecto todas las disciplinas cientiacuteficas tienen ricas y estrechas
conexiones entre sus ramas teoacuterica y experimental pues la teoriacutea guiacutea o debe guiar el
experimento en tanto que eacuteste enriquece a aquella Ademaacutes la teoriacutea proporciona un lenguaje
en el cual representar experimentalmente el conocimiento derivado de la propia teoriacutea y la
experimentacioacuten y en el cual se puede explorar las consecuencias loacutegicas de ese conocimiento
Las teoriacuteas como cuerpo especiacutefico de conocimientos desde el que se puede hacer
predicaciones o dar explicaciones deben responder a los seis honrados servidores que
apuntaba Kipling (Kipling 1990) Quieacuten Queacute Coacutemo Doacutende Cuaacutendo Por y Para queacute Con todo
son soacutelo y con frecuencia deliberadamente aproximaciones que gradualmente por
refinamiento y reformulaciones sucesivas dan cuenta de la realidad puesto que al comienzo
de cualquier elaboracioacuten cientiacutefica no siempre es posible evitar conceptos no claros que soacutelo
adquiriraacuten la condicioacuten de conceptos o se desecharaacuten a medida en que se avance en el
trabajo de investigacioacuten De hecho el saber cientiacutefico no es y no puede ser otra cosa maacutes que
una pretensioacuten de conocimiento de lo que las cosas realmente son Por ello se halla
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intriacutensecamente afectado de insuficiencia es por esencia perfectible y aunque su apariencia
inmediata sea la afirmacioacuten es en definitiva un conocimiento interrogativo una pregunta
taacutecita dirigida a la mente de quieacuten la ha formulado y a los pensadores posteriores a eacutel
Cuando se observa la historia de la ciencia se ve que lo que la hace avanzar es la
compaginacioacuten de teoriacutea y experimentacioacuten La primera para dirigir a la segunda y eacutesta para
validar o falsar la primera Como lo sentildealoacute Einstein en distintos lugares y diferentes momentos
aunque de formas similares las ciencias duras no proceden como deseariacutean los especialistas
por induccioacuten proveniente de la experiencia sino por deduccioacuten a partir de postulados
axiomas o principios que de estas formas se les denomina Asiacute en 1914 afirmaba El meacutetodo
del teoacuterico significa partir de la base de postulados generales o ldquoprincipiosrdquo para deducir de
ellos conclusiones O sea que el trabajo se divide en dos partes En primer lugar ha de descubrir
sus principios y despueacutes tendraacute que extraer sus conclusiones (hellip) La primera de estas tareas es
decir la de establecer los principios que deberaacuten servir como punto de partida de sus
deducciones tiene una naturaleza muy especial En este caso no existe un meacutetodo que pueda
aprenderse y aplicarse sistemaacuteticamente para llegar al objetivo previsto El cientiacutefico debe
extraer con habilidad esos principios de la naturaleza percibiendo a partir de amplios
conjuntos de hechos empiacutericos ciertos rasgos generales que le permitan una formulacioacuten
precisa Posteriormente en 1918 sentildealaba (Einstein 1946) La tarea fundamental de un fiacutesico
consiste en llegar hasta las leyes elementales y universales que permiten construir el cosmos
mediante pura deduccioacuten No hay un camino loacutegico hacia esas leyes soacutelo la intuicioacuten
fundamentada en una comprensioacuten de la experiencia puede conducirnos a ellashellip Finalmente
en su artiacuteculo Fiacutesica y Realidad (Einstein 1936) dijo (hellip) cuaacuten equivocados estaacuten aquellos
teoacutericos que creen que la teoriacutea surge de la experiencia por viacutea inductiva Aun el gran Newton
no pudo librarse de ese error (Hypotheses non fingo) Y maacutes adelante en dicho trabajo
continuaba No existe un meacutetodo inductivo que nos conduzca a los conceptos fundamentales
de la fiacutesica (hellip) El pensamiento loacutegico es necesariamente deductivo se basa en conceptos
hipoteacuteticos y en axiomas iquestCoacutemo seleccionar eacutestos con la esperanza de que se confirmen las
consecuencias que de ellos se derivan La situacioacuten maacutes satisfactoria es evidente se hallaraacute en
los casos en los que las nuevas hipoacutetesis fundamentales sean sugeridas por el propio mundo de
la experiencia Ejemplo de esto son La inexistencia del movimiento perpetuo El principio de
inercia de Galileo La constancia de la velocidad de la luz
Y seguiacutea Einstein Toda teoriacutea es especulativa Cuando los conceptos baacutesicos de una teoriacutea son
comparativamente ldquocercanos a la experienciardquo (hellip) su caraacutecter especulativo no es discernible
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con tanta facilidadhellip Por otra parte se ha de conceder que una teoriacutea tiene una importante
ventaja si sus conceptos baacutesicos y sus hipoacutetesis fundamentales se hallan ldquocercanos a la
experienciardquo Una mayor confianza acorde a estas teoriacuteas estaacute justificada Existe menor riesgo
de coger por mal camino en particular porque exige menor cantidad de tiempo y de esfuerzo
rechazar esas teoriacuteas experimentalmente Sin embargo cada vez maacutes a medida que nuestros
conocimientos ganan profundidad debemos renunciar a esta ventaja en nuestra buacutesqueda de
simplicidad loacutegica y de uniformidad en los fundamentos de la teoriacuteahellip Eacutel termina diciendo que
cuando el procedimiento de derivar de las premisas de la teoriacutea unas conclusiones que puedan
ser confrontadas con los datos empiacutericos sea tan difiacutecil que durante un tiempo no sea posible
obtener esos resultados entonces a favor de esa teoriacutea cuentan su simplicidad loacutegica y su
ldquorigidezrdquo Rigidez en este caso significa que la teoriacutea puede ser verdadera o falsa pero no
modificable
Es decir para tratar con teoriacuteas se necesita por una parte la intuicioacuten para obtenerlas y por
otra parte de loacutegica para sacar consecuencias de ella Como lo sentildealoacute Henri Poincareacute
(Poincareacute 1964) La loacutegica y la intuicioacuten tienen cada una un papel necesario Ambas son
indispensables La loacutegica que puede por siacute misma dar la certeza es el instrumento de la
demostracioacuten la intuicioacuten es el instrumento de la invencioacuten El anaacutelisis puro pone a disposicioacuten
procedimientos de garantizada infalibilidad (hellip) pero quien decide cuaacutel elegir es la intuicioacuten
Unas paacuteginas antes sentildealaba que habiacutea muchas clases de intuicioacuten como sigue Tenemos
pues muchas clases de intuicioacuten primeramente la llamada a los sentidos y a la imaginacioacuten
despueacutes la generalizacioacuten por induccioacuten calcada por decirlo asiacute sobre procedimientos de las
ciencias experimentales tenemos por fin la intuicioacuten del nuacutemero plural (hellip)
Las teoriacuteas pues se construyen como conjeturas o suposiciones especulativas y provisionales
que el intelecto humano crea libremente en un intento de resolver los problemas con que
tropiezan las teoriacuteas anteriores y con el fin de proporcionar una explicacioacuten adecuada de
algunos aspectos del mundo o universo Ahora bien las teoriacuteas han de ser contrastadas
rigurosa e implacablemente mediante la observacioacuten y la experimentacioacuten
Se puede decir que los marcos y los modelos son teoriacuteas subespeciacuteficadas Es decir no se
pueden extraer de ellas predicciones comprobables hasta que se las suplemente con
proposiciones teoacutericas adicionales En este sentido los marcos y los modelos forman parte de
lo que Lakatos denominoacute el nuacutecleo (ldquocorerdquo) de una teoriacutea cientiacutefica comprobable soacutelo cuando
se le antildeade el ldquocinturoacuten perifeacutericordquo
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Un marco es un conjunto de conceptos loacutegica o conceptualmente relacionados Un marco
caracteriacutestico distintivo contiene verbigracia en el caso de la teoriacutea de la gravitacioacuten mecaacutenica
de Newton conceptos tales como tiempo espacio movimiento distancia velocidad
aceleracioacuten masa y fuerza Unos son primitivos espacio tiempo otros derivados velocidad
aceleracioacuten fuerza etc La mayoriacutea de estos conceptos tambieacuten se encuentran en el marco de
la gravitacioacuten de Einstein para su teoriacutea de la Realtividad General pero se reemplaza fuerza
por campo movimiento absoluto por movimiento relativo y no interaccioacuten entre espacio y
tiempo con interaccioacuten entre ambos Un marco se convierte en una teoriacutea cuando es
suplementado con el establecimiento de leyes de modo que se puedan inferir predicciones a
partir de ellas En ausencia de leyes universales el contenido empiacuterico de un marco es la
pretensioacuten y o afirmacioacuten que el marco proporciona la mejor base para la construccioacuten de
una teoriacutea para el fenoacutemeno en cuestioacuten Aquiacute mejor es una cuestioacuten de correccioacuten de las
predicciones generalidad simplicidad etc
Por su parte un modelo es un objeto fiacutesico y abstracto una entidad alrededor de la cual se
pueden construir las leyes Ejemplos son los modelos geo y helioceacutentrico del sistema Solar el
de Rutherford o Bohr del aacutetomo etc Como los marcos los modelos tambieacuten estaacuten
subespeciacuteficados es decir necesitan ser suplementados con las afirmaciones de las leyes El
concepto de modelo es tan importante para la ciencia incluso para la vida cotidiana que sin eacutel
la vida no seriacutea como lo es
II3 EL PROBLEMA ABIERTO CARENCIA DE TEORIacuteA PARA EL
DESARROLLO SOFTWARE
A la vista de los abismales resultados obtenidos al observar las evoluciones del hardware
exponencial frente al software en el mejor de los casos lineal No es aventurado sentildealar que
una de las causas tal vez la maacutes importante de este espectacular y diacutea a diacutea creciente
desfase es la carencia de una teoriacutea de soporte para las ingenieriacuteas subyacentes al desarrollo
del software Ingenieriacutea del Software y del Conocimiento Carl Sagan (Sagan 2005) expuso muy
bien esta situacioacuten en relacioacuten a la teoriacutea electromagneacutetica para lo cual dijo lo siguiente
Supongamos que por la gracia de Dios usted es Victoria la reina del Reino Unido de gran
Bretantildea e Irlanda defensora de la fe en la era maacutes proacutespera y triunfante del Imperio Britaacutenico
Sus dominios se extienden por todo el planeta El rojo britaacutenico jalona abundantemente los
mapas del mundo La maacutequina de vapor se perfecciona en Gran Bretantildea principalmente por
parte de ingenieros escoceses que proporcionan asesoriacutea teacutecnica en los ferrocarriles y barcos
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de vapor que unen el imperio Supongamos que en el antildeo 1860 tiene una idea visionaria tan
atrevida que hasta el editor de Julio Verne la habriacutea rechazado Quiere una maacutequina que lleve
su voz y las imaacutegenes de la gloria del imperio a todas las casas del reino Maacutes todaviacutea quiere
que los sonidos e imaacutegenes no lleguen por conductos o por cables sino por el airehellip para que la
gente que trabaje en el campo pueda recibir este don de inspiracioacuten instantaacutenea creado para
promover la lealtad y la eacutetica del trabajo La Palabra de Dios tambieacuten se puede transmitir con
el mismo invento Sin duda se encontraraacuten otras aplicaciones socialmente deseables
Sagan continuacutea Asiacute con el apoyo del primer ministro convoca al gabinete al Estado Mayor y a
los principales cientiacuteficos e ingenieros del reino Les comunica que asignaraacute un milloacuten de libras
al proyecto mucho dinero en 1860 Si necesitan maacutes pueden pedirlo No le importa coacutemo lo
hagan soacutelo que lo consigan Ah por cierto se llamaraacute Proyecto Westminster Probablemente
surgiraacuten algunos inventos uacutetiles de una empresa asiacute Siempre ocurre cuando se gastan grandes
cantidades de dinero en tecnologiacutea Pero casi seguro que el Proyecto Westminster fracasaraacute
iquestPor queacute Porque todaviacutea no se ha creado la ciencia que lo fundamenta En 1860 existiacutea el
teleacutegrafo Era imaginable con un gasto enorme instalar aparatos de telegrafiacutea en todas las
casas para que todos pudieran enviar y recibir mensajes en coacutedigo Morse Pero eso no es lo que
habiacutea pedido la reina Ella pensaba en la radio y la televisioacuten pero eran inalcanzables En el
mundo real los conocimientos de fiacutesica necesarios para inventar la radio y la televisioacuten llegaron
de una direccioacuten que nadie podiacutea haber predicho
Dicho lo anterior queda claro cuaacutel es el problema abierto carencia de teoriacutea para soportar las
ingenieriacuteas implicadas en el desarrollo software que a lo maacutes que llegan es a ser una artesaniacutea
donde la habilidad del artesano es fundamental Sin embargo a lo que hay que llegar es a que
el desarrollo software deje de ser una artesaniacutea manufacturada y se convierta en una
ingenieriacutea ldquomentefacturadardquo incluso de forma industrial En consecuencia este trabajo se
dirige a proporcionar dicha teoriacutea Lo que ocuparaacute los dos capiacutetulos siguientes
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CAPIacuteTULO III SOLUCIOacuteN PROPUESTA
III1 INTRODUCCIOacuteN SISTEMAS AXIOMAacuteTICOS
Por la relevancia de lo que se trataraacute en este capiacutetulo concerniente a por una parte la
posibilidad de crear una teoriacutea que soporte las ingenieriacuteas del software y del conocimiento
implicadas en el desarrollo del software ldquoGeneracioacutenrdquo de los nuacutemeros a partir de la ldquonadardquo
realizada por von Neumann y el teorema de Loumlwenheim-Skolem Y por otra a la factibilidad de
dicha teoriacutea probada por la ldquocurryficacioacutenrdquo es conveniente el introducir aquiacute ahora los
sistemas axiomaacuteticos
Los primeros estudios sistemaacuteticos de las formas de razonamiento vaacutelidos hay que ponerlos en
el haber de Aristoacuteteles El estagirita en efecto clasificoacute los silogismos despueacutes de postular que el
resto de demostraciones podiacutea reducirse a ellos Un silogismo consta de tres afirmaciones o
enunciados de los cuales las dos primeras unidas por un teacutermino medio son las premisas y la
uacuteltima la conclusioacuten donde ya no aparece el enlace entre las anteriores Las sentencias no
pueden ser arbitrarias sino (A) Afirmaciones universales del tipo ldquoTodo A es Brdquo (B) Negaciones
generales tales como ldquoNinguacuten A e Brdquo (C) Afirmaciones particulares verbigracia ldquoExiste un A
que es Brdquo (D) Negaciones concretas ldquoExiste un A que no es Brdquo Combinando estas cuatro
formas pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos de los cuales soacutelo catorce son correctos
Sobre la base de los ldquoAnaliacuteticos primerosrdquo y ldquoposterioresrdquo (Aristoacuteteles 1995) trabajaron los
escolaacutesticos durante la Edad Media con el propoacutesito de mostrar racionalmente la existencia de
Dios Entre todas estas muacuteltiples y variadas tentativas tal vez la maacutes famosa y ldquoprofundardquo sea la
del arzobispo y filoacutesofo de Canterbury San Anselmo conocida como el ldquoArgumento Ontoloacutegicordquo
que Goumldel estudioacute con profundidad en los uacuteltimos antildeos Anselmo consideraba que el ser
humano lleva dentro de siacute la idea de un ser superior tal que ninguacuten otro maacutes perfecto pueda ser
pensado Como quiera que un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el pintor
imaginoacute pero que nunca llegoacute a terminar razonaba si Dios existiese soacutelo en la inteligencia
cabriacutea pensar en un ser superior a eacutel ergo existe Sin embargo estas aportaciones medievales
no son relevantes para lo que aquiacute concierne pues la loacutegica que fundoacute Aristoacuteteles y
ldquodesarrollaronrdquo sus seguidores no era auacuten simboacutelica salvo por las variables A y B los silogismos
se exponiacutean completamente con palabras Fue mucho despueacutes George Boole (Boole 1847
1945) quien se dio cuenta por primera vez de la analogiacutea existente entre las operaciones
aritmeacuteticas de sumar y multiplicar y los conectores ldquoordquo e ldquoyrdquo e introdujo las constantes 0 y 1
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para representar los dos valores de verdad posibles De este modo los cuatro modelos que habiacutea
descrito Aristoacuteteles quedaban matematizados en forma de ecuacioacuten Por ejemplo ldquoTodo X es Yrdquo
se escribiacutea x(1-y) = 0 donde al sustituir X por 1 se obtiene tambieacuten y = 1 En esta liacutenea de
encontrar un algebra para la loacutegica continuaron trabajando Augustus de Morgan Ernst Schroumlder
y Charles Pierce que introdujo los siacutembolos sum y prod antecedentes de los cuantificadores
En efecto Boole desde 1847 y partiendo del quehacer matemaacutetico habiacutea realizado la
construccioacuten de un aacutelgebra loacutegica esto es aplicar el aacutelgebra para fundamentar la loacutegica Para
ello partioacute de las nociones de clase elemento de clase y operaciones con clases El enfoque
estriba en que las leyes del pensamiento las leyes de la loacutegica deben ser del mismo tipo que las
leyes que gobiernan el algebra es decir la validez de los procesos del aacutelgebra no depende de la
interpretacioacuten de los signos sino de las leyes de combinacioacuten de los mismos Con estas ideas
Boole algebriza la loacutegica obteniendo un sistema algebraico que es en teacuterminos actuales un
retiacuteculo booleano Dicho retiacuteculo como algebra loacutegica o aacutelgebra simboacutelica presenta tal y como
se muestra en la Tabla III1 dos interpretaciones un algebra de clases y un algebra
proposicional
ALGEBRA DE BOOLE CAacuteLCULO DE PROPOSICIONES
χ (Conjunto Universo) V (Verdadero)
Oslash (Conjunto Vaciacuteo) F (Falso)
a b c hellip (Conjuntos Subconjuntos Elementos) p q r hellip (Proposiciones)
aχb (Reunioacuten TODO a Y TODO b) pωq (Disyuncioacuten o bien p solo o q solo o ambos son
verdaderos)
a1b (Interseccioacuten lo que a y b tienen en comuacuten) pϖq (Conjuncioacuten ambos p y q son verdaderos)
a=b (Identidad a y b son el mismo conjunto) p = q (Equivalencia si y soacutelo si p es verdadero q es
verdadero) a (Complementario Resto del conjunto Universo que
no es a) not p (Negacioacuten p es falso)
a0b (Inclusioacuten a es elemento de b) pεq (Implicacioacuten Si p es verdadero q es verdadero)
Tabla III1 Algebra de Clases ldquoversusrdquo Algebra Proposicional
Con Hilbert pasando por Frege Cantor y un largo etceacutetera se llegoacute a lo que hoy se conoce como
sistemas axiomaacuteticos deductivos o sistemas formales que son los soportes loacutegico-matemaacuteticos
de toda teoriacutea matemaacutetica o cientiacutefica Un sistema formal consta de los siguientes elementos
a) Alfabeto Un conjunto de signos o siacutembolos primitivos que determina el conjunto de cadenas
o secuencias finitas de siacutembolos con posibles repeticiones con ayuda de estos siacutembolos pueden
escribirse todas las proposiciones
b) Gramaacutetica que determina cual es la forma como debe combinarse los siacutembolos Es decir un
conjunto finito de reglas combinatorias que determinan bajo queacute condiciones se puede afirmar
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que una cadena de siacutembolos primitivos es o no una foacutermula El conjunto de las foacutermulas recibe
el nombre de lenguaje formal del sistema
c) Reglas de Inferencia Es eacuteste un conjunto tambieacuten finito de reglas combinatorias que sirve
para producir deducciones formales es decir determina que secuencias de foacutermulas
constituyen una deduccioacuten en el sistema o sea las reglas inferenciales que permitan deducir los
teoremas a partir de los axiomas En otros teacuterminos los teoremas se obtienen al escribir todas
las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar cuaacuteles son
las concordes con las reglas de inferencia y por tanto vaacutelidas
d) Axiomas Conjunto de principios adoptados sin demostrar Son un conjunto finito de foacutermulas
sin variables libres o sentencias que se aceptan como verdaderas
Dicho lo anterior una sentencia se dice deducible si es la uacuteltima foacutermula que aparece en una
secuencia de foacutermulas que constituye una deduccioacuten El conjunto de sentencias deducibles
recibe el nombre de ldquoteoriacutea formalizadardquo
Dado un sistema formal S cuyos axiomas estaacuten dados por A si p es deducible en el sistema se
dice que p es una consecuencia sintaacutectica del sistema Por otra parte si p es una afirmacioacuten
verdadera en cualquiera de las interpretaciones posibles del sistema formal se diraacute entonces
que se trata de una consecuencia semaacutentica de A
Al principio de la discusioacuten con que abrioacute Boole ldquoEl Anaacutelisis Matemaacutetico de la Loacutegicardquo (Boole
1854) advirtioacute que los que estaacuten familiarizados con la presente condicioacuten de La Teoriacutea del
Algebra Simboacutelica son conscientes del hecho de que la validez de los procesos del Anaacutelisis
Matemaacutetico no depende de la lectura o interpretacioacuten de los signos en eacutel utilizados sino
solamente de las leyes que gobiernan los posibles modos de unioacuten de esos siacutembolos Cualquier
sistema de lectura interpretacioacuten es tan correcto como pueda serlo cualquier otro si bajo el
sistema en cuestioacuten todas las leyes de la teoriacutea se convierten en enunciados verdaderos que
versan sobre la materia con la cual esa interpretacioacuten las ha puesto en conexioacuten Asiacute un mismo
proceso de anaacutelisis matemaacutetico puede bajo una interpretacioacuten ser representativo de la
respuesta a una pregunta sobre las propiedades de los nuacutemeros bajo otra puede ser
representativo de una respuesta a una cuestioacuten de geometriacutea bajo una tercera puede significar
la respuesta a una cuestioacuten de fiacutesica y bajo una cuarta puede dar cuenta de una cuestioacuten
bioloacutegica etc Por ejemplo el algebra loacutegica de Boole es una uacutenica teoriacutea pero tal y como se
mostroacute en la tabla III1 hay cuando menos dos sistemas de lectura o interpretaciones de la
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misma a saber una que la pone en relacioacuten con clases y otra que la pone en relacioacuten con
enunciados Esto llevoacute a Alfred Tarski ha desarrollar los fundamentos de la semaacutentica de la
loacutegica o la ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo Desde su nacimiento la orientacioacuten sintaacutectica de la loacutegica primoacute
sobre las consideraciones semaacutenticas de la misma llegando a su cliacutemax con la escuela de Hilbert
cuyo trabajo se habiacutea centrado en las demostraciones de consistencia y en el estudio de los
caacutelculos deductivos en definitiva de lo que ha dado en denominarse ldquoteoriacutea de la
demostracioacutenrdquo Si para muestra basta un botoacuten ahiacute van dos Jacques Herbrand en su tesis
doctoral demostroacute que la deducibilidad en loacutegica de primer orden puede reducirse en un cierto
sentido a la proposicional maacutes un procedimiento de sustitucioacuten de teacuterminos Por su parte
Gerhard Gentzen estudiante de Hilbert ideoacute los caacutelculos de deduccioacuten natural y los caacutelculos de
secuentes Y dicho sea de paso ambos prometiacutean ser grandes figuras de la loacutegica matemaacutetica
carrera que frustroacute su prematura muerte Sin embargo las cosas cambiaron gracias a los
trabajos pioneros de Loumlwenheim y sobre todo Goumldel con su teorema de completud al
presuponer una semaacutentica una nocioacuten de interpretacioacuten Ahora bien ambos usaron nociones
semaacutenticas intuitivas y no eran suficientemente expliacutecitos respecto a los detalles Fue
justamente Tarski con sus dos artiacuteculos el de 1933 sobre el concepto de verdad en los lenguajes
formales y el de 1936 (Tarski 1944) sobre el concepto de consecuencia loacutegica quien sentoacute las
bases de la semaacutentica de la loacutegica de primer orden y culminoacute el edificio de la loacutegica tal y como se
conoce actualmente con su ldquoTeoriacutea de Modelosrdquo
La relacioacuten de consecuencia loacutegica o semaacutentica dada por Tarski es la que se da entre un
conjunto de enunciados y un enunciado cuando el uacuteltimo es verdadero en cualquier
interpretacioacuten del lenguaje que haga verdaderos simultaacuteneamente a los enunciados del
conjunto El lenguaje es un lenguaje de primer orden y no se admite que se interpreten
libremente los siacutembolos loacutegicos como los cuantificadores los conectores y el siacutembolo de
igualdad Interpretar significa entonces especificar una estructura apropiada al lenguaje que
constaraacute de un universo de discurso en el que tomaraacuten valores las variables y constaraacute ademaacutes
de correlatos en dicho universo para los distintos siacutembolos no loacutegicos objetos nombrados por
las constantes individuales relaciones correspondientes a los distintos siacutembolos predicativos
etc Cuando un enunciado o un conjunto de enunciados resultan ser verdaderos en una
estructura se dice que la estructura es un ldquomodelordquo del enunciado o del conjunto de
enunciados Con esta terminologiacutea un enunciado es consecuencia de un conjunto de enunciados
cuando cada modelo del conjunto es asiacute mismo un modelo del enunciado en cuestioacuten Esta
definicioacuten tienen precedentes en Bernard Bolzano y viene a sustituir a otras maacutes vagas que
estipulan que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusioacuten falsa Aquiacute el
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problema estriba en el significado de la nocioacuten de posibilidad En la definicioacuten de Tarski la
dificultad se presenta en la nocioacuten de modelo iquestqueacute significa que un enunciado sea verdadero en
una estructura
El meacuterito de Tarski estaacute en haber proporcionado una definicioacuten impecable de la relacioacuten que se
da entre un enunciado y una estructura cuando el enunciado es verdadero en un estructura A la
vista de las numerosas paradojas asociadas a la nocioacuten de verdad y en general a los conceptos
semaacutenticos habiacutea razones poderosas para pensar que esa definicioacuten no se podriacutea dar Tarski era
consciente de ello y tratoacute de las paradojas y de su definicioacuten La idea baacutesica subyacente es la de
usar un procedimiento recursivo o inductivo para formalizar la idea de que un enunciado es
verdadero en una estructura cuando las cosas son en la estructura como el enunciado dice que
son el cual coincide con la nocioacuten de verdad de Aristoacuteteles ldquodecir lo que es que es y de lo que
no es que no esrdquo Tarski no obstante no se limitoacute uacutenicamente a proporcionar una definicioacuten
pues desarrolloacute asiacute mismo todos los aspectos baacutesicos de la semaacutentica creando con ello la teoriacutea
de modelos Con ella las cuestiones de axiomatizabilidad y de definibilidad empezaron a poder
ser tratadas con precisioacuten en el marco de una semaacutentica loacutegica precisa La dependencia del
caacutelculo para la presentacioacuten de la consecuencia loacutegica desaparecioacute Uno de los resultados
notorios de la teoriacutea de modelos es la eliminacioacuten de cuantificadores y la decidibilidad de la
teoriacutea del cuerpo ordenado real A diferencia de lo que ocurre con la aritmeacutetica existe un
algoritmo para decidir si un enunciado de primer orden en el lenguaje de la teoriacutea de cuerpos
ordenados es verdadero o falso en el cuerpo ordenado de los nuacutemeros reales
Ademaacutes se dice que una estructura U es un modelo de los axiomas cuando eacutestos son verdaderos
en ella verbigracia el trabajar con el algebra de los nuacutemeros reales un modelo son los propios
nuacutemeros reales aunque no el uacutenico Uno de los resultados maacutes profundos de Goumldel el
ldquoTeorema de Completudrdquo demuestra precisamente que las teoriacuteas inconsistentes no tienen
modelos o lo que es lo mismo no hablan de nada
III2 LA ARMONIacuteA MATEMAacuteTICA DE LA NATURALEZA
CASUALIDAD CAUSALIDAD O ldquoCAUSUALIDADrdquo
Desde que Galileo lo explicitoacute en su obra ldquoIl Saggiatorirdquo es decir El Ensayador todos los
cientiacuteficos aceptan como cuestioacuten de hecho la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre la naturaleza y
la matemaacutetica Sin embargo Galileo tuvo predecesores de su planteamiento y por supuesto
seguidores corroboradores del mismo En efecto Pitaacutegoras y sus seguidores los pitagoacutericos
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consideraron como nuacutecleo de su dogma a los nuacutemeros naturales eacutestos constituiacutean la esencia
del Universo de todas las cosas y de cada una de ellas tanto en matemaacuteticas como en la fiacutesica
y en las ciencias experimentales y en la religioacuten El Cosmos se explicaba en teacuterminos de
ldquoarithmoacutesrdquo es decir era expresioacuten de propiedades matemaacuteticas de los nuacutemeros naturales y
sus razones
Para Pitaacutegoras ldquomathematardquo es lo que se aprende lo que se conoce Como ciencia teoacuterica es
un invento Pitogoacuterico Los miembros de su comunidad eran de dos tipos ldquomatemaacuteticos ldquo o
ldquoconocedoresrdquo y ldquoakusmaacuteticosrdquo o ldquoauditoresrdquo esto es ldquooyentesrdquo
Platoacuten epistemoloacutegicamente creiacutea en el conocimiento como reminiscencia es decir todo
conocer es recordar despertar aquello que estaacute en los seres humanos y que ya han visto en
otra vida previa Como los pitagoacutericos de quienes tomoacute muchas de sus ideas iquestplagio Platoacuten
en sus uacuteltimos diaacutelogos concretamente en el Filebo y Timeo (Platoacuten 1992) tiende a ligar
matemaacutetica y teologiacutea hasta el punto de entender que el intelecto divino estaacute
constantemente entregado a la geometriacutea la matemaacutetica de la eacutepoca y que el cuerpo y el
alma del universo estaacuten constituidos matemaacuteticamente Aristoacuteteles en su Metafiacutesica
(Aristoacuteteles 1994) dijo sobre los pitagoacutericos y los nuacutemeros lo siguiente [hellip]supusieron que las
cosas existentes son nuacutemeros pero no nuacutemeros que existen aparte sino que las cosas estaacuten
realmente compuestas de nuacutemeros es decir los elementos de los nuacutemeros son los elementos
de todos los seres existentes y la totalidad del cosmos es armoniacutea y nuacutemero [hellip] Es evidente
que los pitagoacutericos creen tambieacuten que el nuacutemero no soacutelo es el principio material de las cosas
sino tambieacuten el que constituye sus modificaciones y estados permanentes [hellip]Bacon al
respecto escribioacute en la parte 4 de su ldquoDistinctia Primardquo capiacutetulo 1 de su ldquoObra Magnardquo
(Bacon 1928) que la matemaacutetica es la llave y puerta de la ciencia en sus teacuterminos Et harum
scientarum porta et clavis est Mathematica De un modo similar Leonardo da Vinci deciacutea
ldquoNessuna humana investigazione si pio dimandara vera scienzia s`essa non passa por le
matematiche dimostrazionerdquo (Leonardo da Vinci 1452-1519)
Galileo sentildealoacute que los secretos de la naturaleza estaban escritos en el lenguaje de la
matemaacutetica resumido en italiano eacute scritto in lingua mathematica e i caratteri son triangoli
cerchi ed altre figure geometriche Dicho en sus teacuterminos La filosofiacutea estaacute escrita en este vasto
libro que continuamente se muestra a nuestros ojos (me refiero al Universo) el cual sin
embargo no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el
alfabeto en que estaacute escrito Y estaacute escrito en el lenguaje de las matemaacuteticas siendo sus
69
caracteres triaacutengulos ciacuterculos y otras figuras geomeacutetricas sin las cuales es imposible entender
una sola palabra sin ellos soacutelo se conseguiriacutea vagar por oscuros laberintos (Galilei 1623)
Y de la misma manera que tuvo predecesores Galileo tuvo en esta cuestioacuten seguidores El
padre de la teoriacutea electromagneacutetica James Clerk Maxwell (Maxwell 1862) en la Conferencia
Inaugural en el King`s College de Londres con la que tomoacute posesioacuten de su caacutetedra y publicada
poacutestumamente en 1979 (Domb 1979) fue el maacutes contundente al respecto cuando
lacoacutenicamente dijo ldquoNo podemos expresar hechos fiacutesicos salvo en forma matemaacuteticardquo Konrad
Knopp (1882-1957) en la leccioacuten inaugural del curso de la Universidad de Tuumlbingen en 1927
La matemaacutetica es la base de todo el conocimiento y el contenedor de toda la alta cultura
Einstein acerca de esta cuestioacuten sentildealoacute Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de
que la naturaleza es concrecioacuten de las ideas matemaacuteticas maacutes sencillas Sin embargo quien
mejor expresoacute esa adecuacioacuten fue el premio Nobel de Fiacutesica huacutengaro Jeacutenoacute Pagravel o en su
traduccioacuten al ingleacutes Eugene Paul Wigner (1902-1995) quien tanto hizo para formular la teoriacutea
matemaacutetica de la simetriacutea y aplicarla a problemas fiacutesicos Estas fueron sus palabras (Wigner
1960) El milagro de la idoneidad de la matemaacutetica para la formulacioacuten de las leyes fiacutesicas es
un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos Y en otro momento antildeadioacute El
lenguaje de las matemaacuteticas se revela formidablemente efectivo en las ciencias naturales [hellip]
Deberiacuteamos estar agradecidos por ello y esperamos que su validez no soacutelo persista en las
investigaciones futuras sino que se extienda para bien o para mal hasta nuestro ocio e
incluso tambieacuten a nuestro pesar acaso con amplias ramas del aprendizaje
Pues bien ldquohic et nuncrdquo esto es aquiacute y ahora se estaacute en condiciones de afirmar que dicha
idoneidad o armoniacutea preestablecida esa especie de casualidad y causalidad esto es
ldquocausualidadrdquo a partes iguales viene justificada por los hechos siguientes el Teorema de
Loumlwenheim-Skolem y la definicioacuten por von Neumann de los nuacutemeros naturales en teacuterminos
de conjuntos que se van a considerar a continuacioacuten Pero antes se estableceraacute la axiomaacutetica
de Zermelo y Fraenkel basada en la teoriacutea de Conjuntos de Cantor por ser importante para
entender la definicioacuten de von Neumann Adicionalmente como se explicitaraacute en los
resultados hay que modificar un conocido dicho de Leopoldo Kronecker
III21 AXIOMAacuteTICA DE ZERMELO-FRAENKEL
En la teoriacutea de conjuntos de Cantor (Cantor 1883) es posible formar un conjunto a partir de una
propiedad determinada que deben cumplir sus elementos Es decir dada cualquier propiedad
existe un conjunto X cuyos elementos son precisamente los objetos que verifica P(a)
70
Formalmente dada T UexistV|X isin V| minus T(X)Z Asiacute por ejemplo representando lo anterior por
UX|R(X)Z considerando la foacutermula X = X se obtiene el conjunto 3 = UX|X = XZ A este
conjunto que claramente lo contiene todo no se le pueden aplicar algunos de los resultados de
Cantor ya que conducen a ciertas paradojas Consideacuterese ahora el conjunto X cuyos elementos
son aquellos conjuntos que no se pertenecen a siacute mismo Esto es el conjunto V = UX|X notin XZ
Eacuteste es tambieacuten un conjunto de ldquogran tamantildeordquo que da lugar a la paradoja de Russell siguiente Si
uno se pregunta iquestEs X un elemento de siacute mismo Pueden suceder dos casos Uno que lo sea
esto es si V isin V entonces X no satisface la condicioacuten V notin V lo que es una contradiccioacuten Dos
que no lo sea esto es V notin V entonces X satisface la condicioacuten para ser uno de sus elementos y
asiacute V isin V de nuevo una contradiccioacuten De este modo X no puede ser un elemento de siacute mismo
ni no serlo Russell y Whitehead (Whitehead 1910 1912 1913) desarrollaron la teoriacutea de tipos
para eliminar esta clase de paradojas pero a costa de una complicacioacuten tal que haciacutea muy escaso
su intereacutes
Fue Zermelo quien presentoacute una teoriacutea axiomaacutetica de conjuntos luego completada por Fraenkel
y Skolem mucho maacutes simple y comprehensiva a nivel loacutegico que lograba eliminar tanto la
paradoja de Russell como todas las demaacutes que surgiacutean tanto en el sistema de Cantor como en el
de Frege Los axiomas de la teoriacutea de Zermelo (Zermelo 1908) completada por Fraenkel
(Fraenkel 1922) son los siguientes
1) Extensionalidad forallX(X isin V harr X isin ]) rarr V = ] Es decir dos conjuntos X e Y son
ldquoigualesrdquo lo que se representa por x = y si y soacutelo siacute contienen los mismos elementos En
otros teacuterminos este axioma afirma que un conjunto estaacute determinado por su extensioacuten
esto es dando todos sus elementos
2) Conjunto vaciacuteo existemptyforallX(X isin empty) Esto es existe un conjunto representado por empty sin
elementos Y es uacutenico por el axioma de extensionalidad En efecto Si empty y emptyprime fueran dos
conjuntos vaciacuteos distintos entonces siempre verificariacutean X notin empty y X notin emptyprime para cualquier a
y por tanto tambieacuten X isin empty harr X isin emptyprime para todo a de modo que por el axioma anterior
empty = emptyprime 3) De pares forallV ]existforallX(X isin harr X = V or X = ]) O sea dados cualesquiera conjuntos X e
Y existe otro conjunto representado por U Z cuyos elementos son uacutenicamente X e Y El
conjunto U Z se denomina par desordenado de X e Y Si se aplica el conjunto de pares a
un solo conjunto X se obtiene el par U Z cuyo uacutenico elemento es obviamente x y por
ello puede representarse como U Z A este uacuteltimo conjunto puede aplicaacutersele de nuevo
el axioma de pares dando lugar al conjuntoaU Zb conjunto al cual puede asi mismo
71
aplicaacutersele el axioma de pares obtenieacutendose el conjunto caU Zbd y asiacute sucesivamente
Este proceso de construccioacuten de conjuntos que fue el que siguioacute von Neumann puede
aplicarse al uacutenico conjunto dado y conocido expliacutecitamente empty obtenieacutendose una serie
infinita de conjuntos empty UemptyZ aUemptyZb hellip
4) Unioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr exist( isin V and X isin )) En otros teacuterminos dada cualquier
coleccioacuten o conjunto de conjuntos C existe un conjunto representado por cup N y
denominado ldquounioacuten de Crdquo que contiene todos los elementos de cada conjunto de C
5) Conjunto Potencia forallVexist]forall( isin ] harr forallX(X isin rarr X isin V)) Lo que viene a decir es que
para cualquier conjunto X existe otro conjunto representado por f(V) y denominado
conjunto de las partes de X que contiene todos los subconjuntos de X
6) Esquema axiomaacutetico de especificacioacuten forallVexist]forallX(X isin ] harr X isin V and ((X)) En otras
palabras sea ((or) una foacutermula de un lenguaje de primer orden que contenga una
variable libre or Entonces para cualquier conjunto X existe un conjunto Y cuyos elementos
son aquellos elementos a de X que cumplen φ(a)
7) Esquema axiomaacutetico de reemplazo Este axioma debido a Fraenkel puede expresarse
como sigue Si forallVforall]forallexist or (V isinorand ((V ]) and (((V ) rarr ] = )) entonces existgforall](] ising harr existV(V isinorand ((V ]))) De otro modo si ( (a b) es una sentencia tal que para
cualquier elemento a de un conjunto X el conjunto Y es igual Uh|(((X h)Z y existe
entonces existe una funcioacuten i rarr tal que i(X) = Es decir si or es un conjunto y que
i es una foacutermula con dos variable libres X e Y tales que para cada V isinor existe un uacutenico Y
tal que i(V ]) se cumple entonces existe un conjunto W tal que ] isin g si y soacutelo si
i(V ])
8) Infinitud existV(empty isin V and forall(] isin V rarr ] cup U]Z isin V)) O sea existe un conjunto X tal que el
vaciacuteo empty isin V y tal que si ] isin V entonces ] cup U]Z isin V Este axioma introducido en 1908
por Zermelo permite la obtencioacuten de nuacutemeros naturales como conjuntos dentro de ZF
9) Regularidad o de fundacioacuten forallV(V ne empty rarr exist](] isin V and forall( isin ] rarr ] notin V))) Esto es
para todo conjunto no vaciacuteo X existe un conjunto ] isin V tal que V cap ] = empty Esta
formulacioacuten la dio Zermelo en 1930 Von Neumann en 1929 presentoacute un axioma
equivalente pero maacutes complicado Este axioma prohiacutebe la existencia de (a) Conjuntos
extrantildeos tales como los que cumplan V isin V o V isin ] andisin V (b) La existencia de cadenas
descendentes infinitas hellip isin V isin V isin V Si se excluye este axioma la teoriacutea de conjuntos
resultante recibe el nombre de ldquoTeoriacutea de Conjuntos no bien fundadosrdquo
72
III22 TEOREMA DE LOumlWENHEIM-SKOLEM
Teorema de Loumlwenheim-Skolem Como es maacutes que sabido la aritmeacutetica estaacute en la base de
toda la matemaacutetica maacutes auacuten de hecho el alcance de la aritmeacutetica va mucho maacutes allaacute de lo
que es la teoriacutea de nuacutemeros y el caacutelculo y sus proyecciones la estadiacutestica el caacutelculo de
variaciones la teoriacutea de grafos y autoacutematas el algebra etc En efecto seguacuten el extraordinario
pero en palabras de Atkins (Atkins 2003) ldquocapcioso teoremitardquo demostrado por primera vez
por el matemaacutetico alemaacuten Leopold Loumlwenheim (1878-1957) en 1915 (Loumlwenheim 1915) y
mejorado por el noruego Albert Thoraf Skolem (1887-1963) en 1920 (Skolem 1920) un
sistema de reglas como las de la aritmeacutetica emulan cualquier campo del conocimiento que
pueda formalizarse seguacuten un conjunto de axiomas Como lo sentildealoacute Atkins se podriacutea haber
aligerado el tedio de aprender a extraer raiacuteces cuadradas y hacer largas divisiones si nos
hubieran dicho en el colegio que seguacuten el ldquoteorema de Loumlwenheim-Skolemrdquo en realidad se
estaba imitando el proceso de extraer conclusiones de la mecaacutenica cuaacutentica la seleccioacuten
natural y la jurisprudencia en la medida en que estas ramas del conocimiento pueden
expresarse como axiomas Dicho teorema puede enunciarse como sigue
Teorema ldquoToda teoriacutea basada en un lenguaje L de primer orden tiene un modelo numerablerdquo
En otros teacuterminos ldquotoda la teoriacutea satisfacible es satisfacible en un universo numerablerdquo
Demostracioacuten
Como consecuencia inmediata del corolario que dice ldquotoda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una
teoriacutea θ es un modelo de θ y de ser numerable el conjunto T de los teacuterminosrdquo En efecto para
demostrar que toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ es un modelo de θ basta
considerar lo siguiente o isin p rArr o(or ( ) hellip or ( q) q) isin p por la regla loacutegica de
sustitucioacuten simultaacutenea r
r(st utfrasl hellipsw)uw) que a su vez se obtiene por aplicacioacuten reiterada de la
ldquoregla de sustitucioacutenrdquo oo(x ) cuya derivacioacuten es
1 α (Hipoacutetesis) 2 and r (Regla de Generalizacioacuten) (1) 3 ((ℸo )(x ) rarror ℸo) (Axioma 4 (o(x ) rarror r) 4 (ℸo(x ) rarr ℸ and o) (3) 5 (and o rarr o(x )) (Regla primera de contraposicioacuten) (4) 6 o(x ) (Regla de separacioacuten) (2) (5)
73
Y por el teorema que dice ldquoPara toda teoriacutea θ el conjunto Fθ con la relacioacuten ltn es un aacutelgebra
de Boole Una clase |o| es el elemento supremo si y soacutelo si αisin θrdquo
Demostracioacuten
Como faacutecilmente puede comprobarse
a) La relacioacuten ltn es reflexiva antisimeacutetrica y transitiva esto es relacioacuten de orden
b) El par Fθ αθ es un retiacuteculo
c) El retiacuteculo tiene como elemento supremo la clase de todas las foacutermulas de θ y como
elemento iacutenfimo la clase de todas las foacutermulas refutables en θ
d) El retiacuteculo es distributivo
e) El retiacuteculo es complementario
Lo que rArr |o(or ( ) hellip or ( q) q| =n 1
ldquoInterpretacioacuten Canoacutenicardquo Teorema de Skolem
Definicioacuten Sea θ una teoriacutea nabla un Q-filtro en A(θ) y hnabla el homomorfismo engendrado por nabla
Entonces se denominaraacute interpretacioacuten canoacutenica de la teoriacutea θ a toda interpretacioacuten Gnablan en el
conjunto T definida por
A) Gnablan (f
~)(τ hellip τ~) = f~τ hellip τ~ forall f
~ ϵ Φ
B) Gnablan (P
~)(τ hellip τ~) = ℎnabla (P
~τ hellip τ~) forall P~ ϵ π
Teorema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan de una teoriacutea θ y toda foacutermula α con las
variables libres x1 hellip xn se verifica que onabla(or) = ℎnabla(|o(or ( ) hellip or ( q) q)|)
Demostracioacuten
Lema Para toda interpretacioacuten canoacutenica Gnablan todo teacutermino τ y toda valoracioacuten v se verifica que
xnabla(or) = x(or ( ) hellip or ( q) q)
donde x1 hellip xn son todas las variables que aparecen en x
74
En efecto
Si τ=x entonces xnabla(or) =or ( ) = x(or ( ) )
Si τ = f~ τ hellip τ~ entonces xnabla
(or) = Gnablan(f
~)(xnabla(or) hellip x5nabla
(or) porque x() =
G(f~(τ(v) hellip τ~ (v)) τ = f
~τ τ hellip τ~ entonces τ(v) = I(f~)(τ(v) hellip τ~ (v))
= f~ x
(or) hellip x5nabla(or) y por la hipoacutetesis de induccioacuten
= f~ x(or ( ) hellip or ( q q) hellip xq(or ( ) hellip or ( q) q
= x(or ( ) hellip or ( q)| q| QED
Ahora soacutelo falta para completar la demostracioacuten definir lo que es un filtro
Definicioacuten Un subconjunto no vaciacuteo nabla de un algebra de Boole A es un filtro si para elementos
cualesquiera a b isin A se verifica que X cap h isin nablahArr (X isin nabla h isin nabla)
Sea ahora h la aplicacioacuten canoacutenica de A en |nabla (el conjunto cociente engendrado por la
relacioacuten de equivalencia sobre A sim) que hace corresponder a cada elemento su clase de
equivalencia entonces se puede establecer el siguiente
Teorema La aplicacioacuten h es un homomorfismo respecto a las operaciones cup cap minus rarr es
decir
a) ℎ( cup ) = ℎ( ) cup ℎ()
b) ℎ( cap ) = ℎ( ) cap ℎ()
c) ℎ( ) = ℎ( )
d) ℎ( ⟶ ) = ℎ( ) ⟶ ℎ()
Para todo elemento xisinA se verifica que ℎ( ) = |1| hArr isin nabla
Demostracioacuten
A) Es consecuencia inmediata de
75
o) |X| cup |h| = |X cup h|
) |X| cap |h| = |X| cap h = X cup h = |X cap h|
) |X| = |X|
) |X| ^ |h| = |X| cup |h| = |X cup h| = |X ^ h|
B) ℎ( ) = |1| hArr | | = |1| hArr ~1 1 cup isin nabla y x cup 1 isin nabla hArr isin nabla 1 isin
nablahArr isinnabla
Finalmente sentildealar que esta demostracioacuten es una presentacioacuten ldquopropiardquo Estaacute basada soacutelo en
cuatro axiomas y dos reglas provenientes de Church (Church 1956) y Shoenfield (Shoenfield
1967) La presentacioacuten es una simplificacioacuten del trabajo de Prida (Prida 1973) que a su vez
mejora la prueba sobresaliente por su sencillez de Rasiowa y Sikorski (Rasiowa 1950) Dicho
trabajo sobre todo evita en la artificiosidad de deducciones formales haciendo uso
sistemaacutetico del teorema de deduccioacuten para obtener reglas derivadas Y su esquema
metodoloacutegico analiacutetico y retroductivo esto es deductivo hacia atraacutes viene dado en la figura
III1
Figura III1 Esquema retroductivo de la demostracioacuten del teorema de Loumlwenheim-Skolen
III23 FUNDAMENTACIOacuteN DE LA MATEMAacuteTICA A PARTIR DEL CONJUNTO VACIacuteO
DEFINICIOacuteN DE NUacuteMEROS NATURALES POR VON NEUMANN
Seguacuten Cantor (Cantor 2006) los ldquonuacutemeros ordinalesrdquo son los tipos de orden de los conjuntos
bien ordenados Se dice que un conjunto X dotado con una relacioacuten R (reflexiva antisimeacutetrica
76
y transitiva) es un ldquobuen ordenrdquo o que el conjunto X estaacute ldquobien ordenadordquo si todo
subconjunto no vaciacuteo sub V tiene un miacutenimo Es decir se dice que X es el miacutenimo de sub V si
X isin y X forall isin Esto implica que el orden es total ya que dados dos elementos distintos
x e y la existencia de un miacutenimo del conjunto xy fuerza que uno de ellos sea anterior al otro
y por lo tanto que esteacuten relacionados Los nuacutemeros ordinales estaacuten asociados precisamente a
los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados De igual manera que los cardinales lo
estaacuten a la relacioacuten de equipotencia de conjuntos
Ahora bien hay que tener en cuidado con la afirmacioacuten de Cantor porque la clase de los
conjuntos bien ordenados no es un conjunto tampoco lo es la de los que tienen el mismo tipo
que un conjunto bien ordenado fijado de antemano lo que dariacutea lugar a otra versioacuten de la
paradoja de Russell de seguir por ese camino Sin embargo John von Neumann tuvo la genial
idea de definir los ordinales escogiendo adecuadamente un elemento en cada clase de
equivalencia como sigue Un conjunto α es un ldquonuacutemero ordinalrdquo o simplemente un ldquoordinalrdquo
si tiene las propiedades siguientes
1) Si isin α entonces sub α
2) ( isin α ) and ( isin α ) rArr ( = ) or ( isin ) or ( isin )
3) Si empty ne sub α entonces existe isin tal que cap ne empty
Obseacutervese que si en (3) (α) se toma A= α entonces
( isin ) and ( cap ne empty) rArr = empty
Luego todo ordinal x distinto del vaciacuteo contiene al vaciacuteo como elemento Janos von
Neumann entonces un jovencito de veinte antildeos preparaba su muy innovadora tesis
conteniendo un nuevo sistema axiomaacutetico para la teoriacutea de conjuntos distinto del de Ernst
Zermelo antiguo ayudante de Max Planck en Berliacuten (Zermelo 1908) En 1923 la seccioacuten
cientiacutefico matemaacutetica de las ldquoActa Litterarum ac Scientiarumrdquo de la Universidad Regia de
Fracisco Joseacute en Hungriacutea publicaba en alemaacuten su artiacuteculo ldquoSobre la introduccioacuten de los
nuacutemeros transfinitosrdquo (von Neumann 1923) La novedad del trabajo de von Neumann fue
establecer un modo de incorporar la idea cantoriana de los nuacutemeros ordinales directamente
sobre la uacutenica base de los axiomas de la teoriacutea de conjuntos En dicho artiacuteculo presentaba la
cuestioacuten al margen de sistemas axiomaacuteticos desde un punto de vista ldquoingenuordquo Sin embargo
era muy consciente de que la importancia del asunto estribaba en su aplicabilidad a dichos
sistemas tanto al de Zermelo-Fraenkel como al original sistema nuevo en el que entonces
trabajaba iquestCuaacutel era la idea clave
77
Cantor en su momento habiacutea llamado la atencioacuten sobre el hecho de que si se toma el 0
como primer nuacutemero de la serie de los ordinales cada ordinal representa el ldquotipo de ordenrdquo
del conjunto de los ordinales que le preceden α es el ordinal de U lt oZ considerado en su
orden natural de magnitud Por ejemplo w+1 es el ordinal de 1 2 3 hellip w Por otra parte
Zermelo habiacutea identificado los nuacutemeros naturales con los conjuntos empty UemptyZ aUemptyZbhellip
Evidentemente con esto no quiere decirse que el nuacutemero 1 es ldquorealmenterdquo el conjunto empty
idea que soacutelo cabriacutea calificar de tonteriacutea Lo que ocurre es que la operacioacuten X ^ UXZ tiene las
propiedades de la funcioacuten sucesor y por consiguiente ldquopuederdquo a los efectos del trabajo
axiomaacutetico identificarse con la funcioacuten sucesor
Pues bien considerando las dos ideas la de Cantor y la de Zermelo conjuntamente surge la
ingeniosa idea de von Neumann En efecto partiendo del ordinal 0 identificando ldquoa la
Zermelordquo con empty y considerando porque asiacute se decide que cada ordinal es el conjunto de
todos los que le preceden uno se ve llevado a la sucesioacuten
0 = empty
1 = UemptyZ
2 = Uempty UemptyZZ
3 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ
helliphelliphelliphellip
w = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ
w+1 = Uempty UemptyZ Uempty UemptyZZ UUempty UemptyZ Uempty UemptyZZZ hellipZ hellip w
helliphelliphelliphelliphellip
La pequentildea modificacioacuten de von Neumann tiene efectos muy deseables dentro del artificioso
orden axiomaacutetico de las cosas los ordinales pueden considerarse como conjuntos bien
ordenados siendo su relacioacuten ordenada la simple pertenencia conjuntista ∊ y cada ordinal α
es a su vez un conjunto bien ordenado de tipo α o sea un representante de toda una clase
de conjuntos Conviene antildeadir aquiacute y resaltar que los ordinales de von Neumann habiacutean sido
prefigurados ya unos antildeos antes por el propio Zermelo en trabajos de alrededor de 1915 que
quedaron ineacuteditos y por el ruso afincado en Suiza Dimitry Mirimanoff en 1917 (Mirimanoff
1917) (Mirimanoff 1917-1944) A partir de ahiacute lo que se tiene ya no son los viejos nuacutemeros
ordinales de Cantor que eacuteste insistiacutea en concebir como ldquoconceptosrdquo bajo los que ldquocaenrdquo los
distintos tipos de conjuntos bien ordenados Ante lo que se estaacute ahora es frente a los
ldquoordinalesrdquo de la teoriacutea de conjuntos axiomaacutetica a menudo denominados en su honor
ordinales de von Neumann Eacutestos no son otra cosa que conjuntos cuya existencia viene
78
garantizada en cada caso por los axiomas de la teoriacutea especialmente adecuados para
representar al concepto de Cantor por las razones acabadas de indicar
Todo lo anterior lo explicitoacute el propio von Neumann en una carta fechada en Budapest a 15
de agosto de 1923 en la que informaba a Zermelo de las ideas que estaba desarrollando para
su tesis Bueno para ser precisos para una de las dos tesis doctorales que presentariacutea en 1925
La otra en el campo de la ingenieriacutea quiacutemica en la que se habiacutea graduado En ella despueacutes de
exponer el objeto de su trabajo que se basa en los ldquofundamentos de la teoriacutea de conjuntosrdquo de
Zermelo y sentildealar los puntos en los que se separa de eacutel indica los puntos que resultan
ldquonuevosrdquo siguientes
1 La teoriacutea de los nuacutemeros ordinales (parte dos capiacutetulo dos)
He logrado establecer los nuacutemeros ordinales sobre la uacutenica base de los axiomas
de la teoriacutea de conjuntos La idea baacutesica es la siguiente Cada nuacutemero ordinal es
el conjunto de todos los precedentes De modo que (poniendo 0 para el
conjunto vaciacuteo)
0 = 0
1 = 0
2 = 0 0
3 = 0 0 0 0
helliphelliphelliphellip
W = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
W+1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip 0 0 0 0 0 0 0 0 hellip
helliphelliphelliphelliphellip
(Para los nuacutemeros positivos finitos la regla dice pues x+1 = x+x) Esta teoriacutea
tiene sentido tambieacuten dentro de la ldquoteoriacutea de conjuntos ingenuardquo (Tratada
ingenuamente apareceraacute pronto en la revista de la Universidad de
Szegedin)[hellip]
Los otros dos puntos que aquiacute no se explican completan la misiva
Por otra parte es faacutecil demostrar usando el ldquoaxiomardquo de pares que si x es un ordinal entonces
el conjunto cup U Z es tambieacuten un ordinal que seraacute designado por x+1 Por ejemplo el ordinal
0 es simplemente el conjunto vaciacuteo Oslash
0 = Oslash
79
1 = Oslash = 0
2 = Oslash Oslash = 01
3= Oslash OslashOslash Oslash = 012
n+1 = 012hellipn
En otras palabras cada ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a eacutel Tambieacuten en el
caso no finito
w = ℕ
w+1 = ℕℕ = ww
w+2 = ℕℕ ℕℕ = w w+1 hellip
De este modo aparecen los nuacutemeros ordinales en su versioacuten ordinal 1 (uno) primero 2(dos)
segundo 11(once) undeacutecimo 1999 (mil novecientos noventa y nueve) mileacutesimo
noningenteacutesimo nonageacutesimononohellip Mencioacuten aparte merece el cero del que se carece de una
denominacioacuten propiamente ordinal Se suele empezar a contar a partir del uno pero en
matemaacuteticas y tambieacuten en la cronologiacutea como puso de evidencia la poleacutemica sobre el antildeo de
inicio del nuevo milenio a veces resulta conveniente empezar contando por el cero Entonces
el cardinal del conjunto hay que obtenerlo sumando uno al uacuteltimo ordinal adjudicado a sus
elementos Esta carencia de un teacutermino apropiado para designar al ordinal cero es comuacuten a la
mayoriacutea de todos los idiomas Hubo un torero Rafael Guerra ldquoGuerritardquo quien preguntado
por el escalafoacuten de su profesioacuten respondioacute ldquodempueacutes de miacute naide y dempueacutes de naide el
Fuentesrdquo ldquoNaiderdquo o quizaacutes mejor ldquonaiderordquo podriacutea muy bien designar el cero ordinal en
espantildeol de acuerdo con la propuesta de Antonio Coacuterdoba (Coacuterdoba 2006)
El concepto de nuacutemero es el maacutes baacutesico y fundamental en el mundo de las ciencias y en
particular en el de la matemaacutetica Sin embargo una respuesta satisfactoria a lo que es un
nuacutemero soacutelo se alcanzoacute en 1884 por el fundador de la loacutegica matemaacutetica Gottlob Frege (Frege
1884) Dicha respuesta permanecioacute incoacutegnita hasta que Bertrand Russell en su intento de
fundamentar toda la matemaacutetica en teacuterminos del concepto de conjunto redescubrioacute el
concepto de nuacutemero Pero fue como acaba de verse von Neuman (von Neumann 1923)
quien propuso la tal vez maacutes maravillosa y simple construccioacuten de toda la matemaacutetica y de
las ciencias la definicioacuten de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos iexcliexcliexcla partir del
conjunto vaciacuteo En efecto von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean
obtenerse a partir del conjunto vaciacuteo en notacioacuten conjuntista Oslash mediante operaciones
mentales como sigue
80
Oslash =
1 = Oslash =
2 = Oslash 1 =
3 = 0 1 2 =
4 = 0 1 2 =
hellip
Esta construccioacuten muestra ademaacutes por queacute verbigracia 1 es menor que 2 o en general
porque dados los nuacutemeros a y b o altb o blta Este esquema tiene otras muchas propiedades
Sin embargo el uacutenico defecto del esquema es que es un artificio de construccioacuten y no dice queacute
es un nuacutemero excepto en teacuterminos de la construccioacuten Por ejemplo o Oslash es el conjunto
vaciacuteo 1 el conjunto constando del conjunto vaciacuteo 2 es el conjunto cuyos elementos son el
conjunto vaciacuteo y el conjunto constando del conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente Esto lleva a
que para entender el esquema habriacutea que remitirse al concepto integrado en eacutel a saber la
teoriacutea de conceptos de Frege Y ello deberiacutea explicar por queacute von Neumann eligioacute el conjunto
vaciacuteo para representar el cero
Esta construccioacuten estaacutendar de los nuacutemeros naturales en teacuterminos de conjuntos es elegante y
potente En efecto para llevarla a cabo se comienza con el conjunto vaciacuteo Oslash y se define el
nuacutemero natural n para que sea la cardinalidad del conjunto Sn(Oslash) siendo S(a) la funcioacuten
sucesor definida por S(a) = acupa para cada conjunto a denotando el superiacutendice la
composicioacuten repetida Expliacutecitamente
1) 0 = S0(Oslash) = Oslash
2) 1 = S1(Oslash) = Oslash
3) 2 = S2(Oslash) = OslashOslash
4) 3 = S3(Oslash) = OslashOslashOslash Oslash
5) 4 = S4(Oslash) = OslashOslashOslash OslashOslashOslashOslashOslash
hellip
Esta construccioacuten es
a) Elegante pues soacutelo usa tres siacutembolos literales a saber Oslash y e incluso con la simbologiacutea
de von Neumann se reduciriacutean a dos los corchetes Es decir es de lo maacutes simple y en
consecuencia como es suficientemente expresiva es elegante
81
b) Potente pues soacutelo usa la recursioacuten simple S(a) = acupa para construir infinitos nuacutemeros
Haacutegase ahora una disgresioacuten filosoacutefica-metafiacutesica de la construccioacuten loacutegico matemaacutetica de von
Neumann De los tres elementos de la construccioacuten Oslash estaacute definitivamente conectado con la
vaciedad y la ldquonadardquo una caracteriacutestica muy baacutesica del Universo Los otros dos siacutembolos los
corchetes de apertura ldquoldquo y cierre ldquordquo estaacuten a su vez a fin de cuentas conectados con las
propiedades de consciencia separacioacuten y clase En un sentido el primer paso de la creacioacuten
es la consciencia o el ldquoreconocimiento de la vasta vaciedad del espaciordquo Tan pronto como
esto sucede la vaciedad se ldquoseparardquo en ldquoalgordquo lo que ha percibido la vaciedad y la propia
vaciedad Tan pronto como se tienen dos cosas se crea un liacutemite el tercer elemento La
secuencia es asiacute
1) Vaciacuteo = Oslash = 0
2) Dios ldquoYo me percato de que existe el vaciacuteordquo (Oslash = 1)
3) Dios ldquoPor lo tanto todo lo que existe por ahora es el ldquoVaciacuteo y Yordquo (Oslash Oslash = 2)
Noacutetese sin embargo que la cardinalidad del conjunto Oslash Oslash = 2 no estaacute incluida en el
Universo de Dios (2 notin U01Z) por consiguiente ello implica una ldquoexistenciardquo separada de la
de 0 y 1 Esta existenciaconsciencia que corresponde a percibir 2 como un todo o si se
quiere la consciencia de que El 2 es ldquoEl Primogeacutenitordquo A continuacioacuten El ldquoPrimogeacutenitordquo
similarmente reivindica lo siguiente ldquoTodo lo que existe hasta ahora es el Vaciacuteo Dios y Yo
(Oslash Oslash Oslash Oslash = 3) Pero de nuevo iexclla cardinalidad del uacuteltimo no estaacute incluido en el
Universo previo Y lo mismo sucede con cada nueva cardinalidad De este modo una vez que
Dios finaliza el paso 3 anterior se produce una explosioacuten o por mejor decir una reaccioacuten en
cadena de existencias la cual genera la primera jerarquiacutea infinita en la existencia el primer Big
Bang iexclLa creacioacuten de los nuacutemeros naturales iexcliexcliexcl Extraordinario iexcliexcliexcl Fabuloso iexcliexcliexcl
Tremendo
A su vez los nuacutemeros naturales se percatan de que su existencia implica la existencia de los
negativos De este modo se crean los enteros Eacutestos a su vez se dan cuenta de que su
existencia implica la existencia de los racionales y asiacute sucesivamente se van creando los
irracionales luego los reales a continuacioacuten los complejos los quaterniones ldquooctonionesrdquo
ldquosedenionesrdquo espacios vectoriales campos aacutelgebras variedades etc Es decir se establece la
existencia de las matemaacuteticas y su reino es sobre el que se asientan los demaacutes reinos El resto
es historia En resumen de esta manera la construccioacuten total estaacute asiacute en uacuteltima instancia
relacionada a tres nuacutemeros 0 1 2 y por lo tanto a la base 3 y el nuacutemero 3 Por consiguiente
estos tres nuacutemeros o si se quiere el 1 2 3 forman el ldquoarquetipordquo sobre el que se basa la
82
realidad Es decir si se denomina V al vaciacuteo D a Dios y P al ldquoPrimogeacutenitordquo la secuencia
anterior se representa graacuteficamente mediante la figura III2
Figura III2 Nacimiento Secuencial de Todo a partir de VD=S(V) P=S(D) 3=S(P) 4=S(3) hellip
En suma von Neumann propuso que todos los nuacutemeros podriacutean ser obtenidos por
emergencia en ingleacutes ldquobootstrapped outrdquo a partir del conjunto vaciacuteo mediante operaciones
mentales como sigue La mente observa el conjunto vaciacuteo El acto de observacioacuten de la mente
provoca la aparicioacuten de otro conjunto el conjunto de los conjuntos vaciacuteos El conjunto de los
conjuntos vaciacuteos obviamente no es vaciacuteo porque contiene una ldquono cosardquo el conjunto vaciacuteo
De este modo la mente genera el nuacutemero 1 al producir un conjunto conteniendo el conjunto
vaciacuteo Del hecho de que soacutelo dos cifras basten para representar todos los nuacutemeros en el
sistema binario Leibniz pretendioacute deducir la existencia de Dios Parafraseando al Geacutenesis y a
propoacutesito del Sistema binario del que se autoproclamoacute autor escribioacute ldquoEx nihilo unum omnia
ducitrdquo (Como se comentaraacute en los resultados y es otra ldquoaportacioacutenrdquo de este trabajo Leibniz
ldquofusiloacuterdquo inmisericorde a un espantildeol Caramuel) A continuacioacuten la mente percibe el conjunto
vaciacuteo y al conjunto que contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute hay dos ldquono cosasrdquo Con ello la mente
genera el nuacutemero 2 a partir del vaciacuteo y asiacute sucesivamente Con lo que es posible establecer lo
siguiente
A) Los nuacutemeros tienen causas Son eacutestas los algoritmos que efectuacutean las operaciones
sobre los conjuntos
83
B) Los nuacutemeros tienen partes y aspectos El nuacutemero 1 se define como el conjunto que
contiene al conjunto vaciacuteo y asiacute sucesivamente
C) Y en el anaacutelisis final el sistema de nuacutemeros enteros ha sido generado por el fuego de
la mente sobre el vaciacuteo en la completa ausencia de la necesidad de referirse a cualquier
cosa material o cosas que estaacuten siendo contadas
Los nuacutemeros no son fenoacutemenos fiacutesicos y no necesitan hacer referencia alguna a sistemas
fiacutesicos para su existencia Pero siacute son entidades inherentemente existentes de la realidad
platoacutenica Los nuacutemeros son manifestaciones dependientemente relacionadas con el trabajo de
la mente
La irrazonable efectividad de las matemaacuteticas en la ciencia y en la ingenieriacutea era algo
misterioso De acuerdo con la visioacuten fisicalista del mundo la mente incluyendo las mentes de
los matemaacuteticos es un epifenoacutemeno de la materia que ha evolucionado uacutenicamente para
asegurar la supervivencia del gen egoiacutesta que la codifica iquestPor queacute deberiacutea este fenoacutemeno de
ldquoalto nivelrdquo tener tal acceso iacutentimo a fenoacutemenos de ldquobajo nivelrdquo tal como la fiacutesica cuaacutentica
Despueacutes de todo los dos niveles estaacuten seguacuten cabe suponer separados por meros bien
entendidos en algunos casos capas explicativas tales como psicologiacutea evolutiva neurologiacutea
biologiacutea celular geneacutetica biologiacutea molecular o quiacutemica
Un aspecto interesante del fenoacutemeno de la emergencia son las diferentes y distintas
relaciones causales y organizativas que aparecen en los diferentes niveles de investigacioacuten
Por ejemplo la ecologiacutea emerge de la biologiacutea eacutesta lo hace de la quiacutemica que a su vez
emerge de la fiacutesica que emerge de la matemaacutetica quien por uacuteltimo emerge de la mente
contemplando el conjunto vaciacuteo Cada nivel de investigacioacuten tiene sus propias relaciones
explicatorias sin embargo si se comprueba cuidadosamente no se antildeade nada extra
procedente de la parte de los objetos Todo es algoriacutetmicamente comprensible sin resto no
hay ingredientes misteriosos antildeadidos cuando se progresa desde los niveles bajos a los maacutes
altos
Si a esto se antildeade que de acuerdo con el teorema de Lowenheim-Skolem toda teoriacutea basada
en un lenguaje L esto es toda teoriacutea axiomaacutetica y las teoriacuteas cientiacuteficas lo son tiene un
modelo numerable ya estaacute justificada la ldquoarmoniacutea preestablecidardquo entre matemaacutetica y teoriacuteas
cientiacuteficas QED
84
Como corolario a lo que acaba de mostrarse y demostrarse es claro que Leopoldo Kronecker
(1823-1891) teniacutea parte de razoacuten cuando expresando su conviccioacuten dijo en el libro 2 de
ldquoJahresberichte der Deutschen Mathematiker Vercinigungrdquo y cita Florian Cajori (Cajori 1919)
Die ganze zahe schuf der liebe Gott alles Uumlbrige ist Menschenwerk En espantildeol Dios creoacute los
nuacutemeros enteros la humanidad hizo el resto Sin embargo visto lo anterior Kronecker
empezoacute en el tercer escaloacuten saltaacutendose la creacioacuten de los enteros a partir de los naturales y
eacutestos a partir del vaciacuteo
Y de este modo por decirlo con versos del escritor gallego Joseacute Aacutengel Valente (Valente 1999)
Y todas las cosas para llegar a ser se miran
En el vaciacuteo espejo de su nada
O estos otros (Valente 2000)
ldquoDijo Dios sea la Nada
Y alzoacute su mano derecha
Hasta ocultar la mirada
Y la nada quedo hechardquo
El poeta y matemaacutetico persa Omar Khayyam de los siglos XI y XII que resolvioacute por meacutetodos
geomeacutetricos la ecuacioacuten cuacutebica en poesiacutea con sus ldquoRubaacuteijaacutetrdquo (plural de ldquorobaiacuterdquo estrofa de
cuatro versos dodecasiacutelabos en la que libra el tercero y riman los otros tres) tan socorridos
en otros aacutembitos tambieacuten habla del vaciacuteo y la nada como sucede con el XXVI que dice
(Khayyam 1914)
ldquoEl mundo inabarcable una mota de polvo en el vaciacuteo
Toda la ciencia del hombre palabras
Los pueblos las bestias y las flores de los siete climas sombras
El fruto de tu constante meditacioacuten la nadardquo
O el XXXVIII
ldquoSuentildeo sobre la tierra Suentildeo bajo la tierra
Sobre la tierra y bajo la tierra cuerpos que yacen
Por doquier la nada Desierto de la nada
Seres que llegan seres que se vanrdquo
O este otro el CIII
ldquoEsta es la uacutenica certeza peones somos
85
De la misteriosa partida de ajedrez que juega Dios
Nos mueve nos detiene nos levanta y nos arroja despueacutes
Uno a uno al abismo de la Nadardquo
De un modo similar se refiere a la proposicioacuten de Emily Dickinson en forma de versos
ldquoYo no soy nadie
iquestQuieacuten eres tuacute
iquestTampoco eres nadie
iexclYa somos dos
III3 CURRIFICACIOacuteN O SCHOumlFINKELIZACIOacuteN
III31 INTRODUCCIOacuteN
El teacutermino ldquocurryingrdquo fue acuntildeado por Christopher Strachey en 1967 en honor del loacutegico y
matemaacutetico Haskell Brooks Curry nacido el 12 de septiembre de 1900 en Millis Massachusets
y fallecido en State College Pensilvania el 1 de Septiembre de 1982 Curry que estudioacute en la
Universidad de Harvard recibioacute su grado de Doctor en 1930 por la Universidad Goumltingen en
esa eacutepoca el ldquoVaticanordquo de la Matemaacutetica y cuyo director fue el Papa de la Matemaacutetica David
Hilbert Profesor en Harvard y Princeton de 1929 a 1966 tambieacuten lo fue de la Pensilvania State
University Finalmente a partir de 1966 fue profesor de matemaacuteticas en la Universidad van
Amsterdam Curry en 1942 publicoacute la paradoja de su nombre y en 1963 culminoacute sus
ensentildeanzas en el aacuterea de la loacutegica matemaacutetica con la publicacioacuten de su libro ldquoFoundations of
Mathematical Logicrdquo (Curry 1963) Sus preferencias en filosofiacutea de la matemaacutetica fue el
formalismo (Curry 1951) siguiendo a su mentor Hilbert sin embargo sus escritos muestran
una curiosidad filosoacutefica sustancial y una mente muy abierta hacia el intuicionismo La fama le
sobrevino por sus trabajos sobre loacutegica combinatoria (Curry 1958) (Curry 1972) donde
fundamenta la programacioacuten funcional En efecto durante su estancia en Goumlttingen leyoacute la
versioacuten publicada de una leccioacuten dada por Moiseacutes Schoumlnfinkel en 1920 en la que introduciacutea la
loacutegica combinatoria lo que constituyoacute un acontecimiento decisivo para su carrera Despueacutes de
esto trabajoacute en su tesis doctoral sobre programacioacuten loacutegica tema que no abandonoacute en todo
el resto de su vida y del que llegoacute a ser el fundador y maacutes conspicuo representante Pues bien
la loacutegica combinatoria es la base de la programacioacuten funcional El poder y alcance de la loacutegica
combinatoria es bastante similar al del ldquolambda calculusrdquo o ldquoλ-caacutelculordquo de Alonzo Church
(Church 1936) aunque eacuteste uacuteltimo ha tenido maacutes predicamento durante las uacuteltimas deacutecadas
86
Con todo la importancia final de la ldquoloacutegica-combinatoriardquo tal y como lo muestra este trabajo
auacuten estaacute por dilucidar Una visioacuten comprehensiva sobre la misma la proporciona el libro a eacutel
dedicado que incluye un ensayo bibliograacutefico sobre Curry (Seldin 1980) Con todo Curry tuvo
antecesores Frege y Schoumlfinkel
Frege en 1893 observoacute por primera vez que bastaba restringir la atencioacuten a funciones de un
solo argumento Por ejemplo para cualquier funcioacuten de dos paraacutemetros f(xy) hay una funcioacuten
de un paraacutemetro facute tal que facute(x) es una funcioacuten que puede aplicarse a y para dar
(facute(x))(y)=f(xy) Esto se corresponde al bien conocido hecho de que los conjuntos ( times C rarrN) y ( rarr (C rarr N)) son isomorfos donde x representa el producto cartesiano y ldquorarrrdquo es el
espacio de la funcioacuten En otros teacuterminos dada una funcioacuten f del tipo i(V times ]) rarr entonces
ldquocurryficarlardquo la convierte en una funcioacuten ldquocurryrdquo (i) V rarr (] rarr ) Es decir ldquocurryrdquo (i)
toma un argumento de tipo X y devuelve una funcioacuten del tipo YrarrZ Intuitivamente
ldquocurryficarrdquo dice ldquoSi se fijan algunos argumentos se obtiene una funcioacuten de los restantes
argumentosrdquo Por ejemplo si la funcioacuten ldquodivrdquo representa la forma ldquocurryficadardquo de la
operacioacuten divisioacuten xy entonces div con el paraacutemetro x fijado en 1 es otra funcioacuten la misma
que la funcioacuten ldquoinvrdquo que devuelve el inverso multiplicativo de su argumento definida por
ldquoinv(y)=1yrdquo La motivacioacuten praacutectica para la ldquocurryficacioacutenrdquo es que muy frecuentemente las
funciones obtenidas por proporcionar algunos pero no todos los argumentos a una funcioacuten
ldquocurryficadardquo es muy uacutetil La operacioacuten inversa de la ldquocurryficacioacutenrdquo se denomina poco
imaginativamente ldquodescurryficacioacutenrdquo y funciona como sigue dada la funcioacuten
ldquocurryficarrdquo sect(X h) rarr umlcopy rarr (X rarr h rarr uml)
La inversa es
ldquodescurryficarrdquo (X rarr h rarr uml) rarr ((X h) rarr uml)
Aparentemente Frege no continuoacute su idea original Pues fue Schoumlfinkel quien la retomoacute junto
con el resultado de que todas las funciones que tienen que tratar con estructuras de
funciones es decir los funcionales pueden construirse con soacutelo dos ldquocombinadoresrdquo baacutesicos
denominado K y S
Moses Schoumlnfinkel cuyo nombre real en ruso con caracteres latinos es Moisei Isaievich
Sheinfinkel nacioacute el 4 de septiembre de 1889 en Ekatenoslav hoy Dnipropetrovsk Ucrania y
fallecioacute en la eacutepoca tenebrosa del estalinismo en Moscuacute el antildeo 1942 sin que pueda precisarse
87
el diacutea Este loacutegico y matemaacutetico judiacuteo-ldquosovieacuteticordquo esto uacuteltimo ldquomalgreacute luirdquo estudioacute
matemaacuteticas con Samule Osipovich Shatunovskii (1859-1929) quien trabajaba en geometriacutea y
fundamentos de las matemaacuteticas De 1914 a 1924 trabajoacute en la Universidad de Goumlttingen con
el grupo de David Hilbert Justamente alliacute y en una conferencia que impartioacute en 1920
Schoumlnfinkel inventoacute la loacutegica combinatoria posteriormente desarrollada y llevada a su maacuteximo
esplendor por Haskell Brooks Curry Heinrich Behman revisoacute el texto de esta conferencia y la
publicoacute en 1924 Eacutel tambieacuten introdujo la operacioacuten hoy denominada ldquocurryficacioacutenrdquo en honor
de Curry (Schoumlnfinkel 1924) Schoumlfinkell no escribioacute nada maacutes sobre loacutegica combinatoria de
modo que el total desarrollo subsiguiente fue trabajo de otros especialmente Curry De
hecho salvo un artiacuteculo publicado con un disciacutepulo y colaborador de Hilbert Paul Bernays en
1929 no volvioacute a publicar nada despueacutes de que Stalin hubiera consolidado su satrapiacutea en
1929
En suma que la ldquocurryficacioacutenrdquo fue inventada por Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Moiseacutes
Schoumlnfinkell y desarrollada por Haskell Brooks Curry por eso algunos proponen que se
denomine ldquoSchoumlfinkelisationrdquo en espantildeol ldquoSchoumlfinkelizacioacutenrdquo La ldquocurryficacioacutenrdquo es una
teacutecnica que transforma una funcioacuten que tiene muacuteltiples argumentos en una funcioacuten que tiene
un solo argumento Los otros ha sido especificados por el ldquocurryrdquo Es decir el ldquocurringrdquo tiene
su origen en el estudio matemaacutetico de funciones
III32 EL CONCEPTO DE FUNCIOacuteN
III321 Introduccioacuten
Un lenguaje de programacioacuten funcional como es el caso de Miranda una marca registrada de
Research Software Ltd estaacute ldquocurryficadordquo Esto significa que se construyen objetos evaluados
con funciones en ingleacutes ldquofunction-valued objetsrdquo por aplicar parcialmente funciones
existentes antes que por usar expliacutecitamente expresiones lambda De hecho Miranda fue
desarrollado en 1985 por David Turner en la Universidad de Kent Posteriormente
emprendioacute en 1987 el disentildeo de un nuevo lenguaje funcional que recibioacute el nombre de
Haskell en honor del inventor de la ldquocurryficacioacutenrdquo Haskell B Curry Su desarrollo fue colectivo
mediante un comiteacute creado al efecto con ocasioacuten del congreso internacional sobre ldquoFuntional
Programming and Computer Architecture celebrado en Portland Oregon en 1987 En este
lenguaje curryficado cuando se escribe una definicioacuten tal como i ordf = hellip se interpreta
exactamente como una funcioacuten de maacutes alto-orden de justo un argumento x El resultado de
aplicar f a un argumento A1 puede escribirse como i que es otra funcioacuten de nuevo de un
88
solo argumento en este caso y El resultado de aplicar esta funcioacuten a un ulterior argumento
A2 es auacuten otra funcioacuten esta vez de un uacutenico argumento z Es decir una aplicacioacuten completa
de f se escribe como ilaquo cuya lectura correcta es (((i))laquo) Esta idea de tratar
una funcioacuten de n argumentos como una concatenacioacuten de n funciones de argumento uacutenico
recibe el nombre de ldquocurryficacioacutenrdquo en honor del matemaacutetico que lo propuso en informaacutetica
Curry (Curry 1958) Ahora bien para llegar ahiacute Curry tuvo que recorrer un largo camino cuyos
hitos maacutes importantes en los que intervienen personajes como Galileo Newton
LeibnizBernouille Frege Casteluovo Kolmogorov Schoumlnfinkel etc que se van a considerar
aunque sinteacuteticamente a continuacioacuten
III322 El Concepto de Funcioacuten De Galileo a Frege
Como lo sentildealoacute Morris Kline (Kline 1992) del estudio del movimiento realizado por Galileo
(1564-1642) obtuvieron las matemaacuteticas un concepto fundamental que fue central en
praacutecticamente todo el trabajo de los dos siglos siguientes el concepto de funcioacuten o relacioacuten
entre variables En efecto dicha nocioacuten se encuentra casi a lo largo de todo su libro ldquoDos
Nuevas Cienciasrdquo con el que se fundoacute la mecaacutenica moderna (Galilei1636) Muchas de las
funciones introducidas a lo largo del siglo XVII fueron estudiadas en primer lugar como curvas
Asiacute sucedioacute en los casos de Evangelista Torricelli (1608-1647) y Giles Persone de Roberval
(1602-1675) Sin embargo la distincioacuten maacutes expliacutecita del concepto de funcioacuten en el siglo XVII
fue dada por James Gregory (1638-1675) en su obra ldquoVera Circuli et Hyperbolae Quadraturardquo
de 1667 Alliacute y entonces Gregory definioacute una funcioacuten como ldquouna cantidad que se obtiene de
otras cantidades mediante un sucesioacuten de operaciones algebraicas o mediante otra operacioacuten
imaginable Con esto se referiacutea de paso al liacutemite Newton (1642-1727) desde 1665 en
adelante utilizoacute el teacutermino ldquofluentrdquo esto es ldquofluyenterdquo para representar cualquier relacioacuten
entre variables (Newton 1736) Sin embargo fue Leibniz quien en un manuscrito de 1673
utilizoacute por primera vez el teacutermino ldquofuncioacutenrdquo en este caso para significar cualquier cantidad
que variacutea de un punto a otro de una curva verbigracia la longitud de la tangente o de la
ordenada La curva misma se deciacutea dada mediante una ecuacioacuten Leibniz tambieacuten introdujo los
teacuterminos ldquoconstanterdquo ldquovariablerdquo y ldquoparaacutemetrordquo este uacuteltimo empleado en conexioacuten con una
familia de curvas (Leibniz 1673) Antildeos despueacutes 1697 Jean Bernouille tratando con funciones
hablaba de una cantidad formada de cualquier manera posible con variables y constantes Con
ldquocualquier manerardquo queriacutea decir mediante expresiones algebraicas y transcendentes Para
dicha cantidad en 1698 adoptoacute la frase de Leibniz ldquofuncioacuten de xrdquo Posteriormente en 1714
en su ldquoHistoriardquo Leibniz utilizoacute el teacutermino funcioacuten para significar cantidades que dependen de
una variable
89
No obstante seguacuten un eminente geoacutemetra italiano del pasado siglo Guido Casteluovo en su
obra ldquoLe Origini del Calcolo Infinitesimale nellrrsquoera Modernardquo de 1938 ya en 1604 el tambieacuten
matemaacutetico italiano Luca Valerio ya habiacutea propuesto un concepto operativo de lo que habiacutea
de ser un funcioacuten Es decir noventa antildeos antes que Leibniz Valerio en un estudio sobre un
trabajo de Arquiacutemedes habiacutea introducido ldquode factordquo la nocioacuten de una clase bastante general
de funciones continuas i( ) en un intervalo cerrado y acotado 0lexle1 Valerio en sus propias
palabras postula que la funcioacuten sea monoacutetonamente creciente desde un valor positivo para
x = 0 hasta el valor 0 para x = 1 sin que haya que suponer nada maacutes
En lo concerniente a la notacioacuten decir que Jean Bernouille escribiacutea Χ o ξ para un funcioacuten
general de x aunque en 1718 cambioacute a ϕx A Leibniz esto le parecioacute bien pero tambieacuten
propuso x1 y x2 para funciones de x utilizando el superiacutendice cuando se tratara con varias
funciones de x La notacioacuten actual fue introducida por Leonhad Euler (1707-1783) en 1734
El concepto de funcioacuten y su uso se extendioacute a partir de Euler a todos los campos de la ciencia
sin embargo poco se aclaroacute respecto a su significado y consecuentemente sus definiciones
cuando se las examinaba con rigor no teniacutean mucho sentido pese a que pareciacutea tenerlo y
ademaacutes no concordaban con el modo en que se las utilizaba A la pregunta iquestqueacute es una
funcioacuten hasta la llegada de Frege la respuesta maacutes comuacuten era responder como el
matemaacutetico alemaacuten Ernst Czuber lo siguiente Si cada valor de la variable numeacuterica x que es
un elemento del dominio de x estaacute unida por alguna relacioacuten fija a un cierto nuacutemero y
entonces generalmente y al igual que x cae bajo la definicioacuten de una variable y se dice que
y es una funcioacuten de la variable numeacuterica x La relacioacuten entre x e y se expresa por una ecuacioacuten
que tiene la forma y=f(x) Esta respuesta fue pronto ldquomasacradardquo por Frege quien era incisivo
en sus ataques maacutexime cuando la posicioacuten atacada era indefendible Eacutestas fueron sus
palabras En seguida cabe reparar en el hecho de que un cierto nuacutemero es denominado y
mientras que por otra parte al ser una variable tendriacutea que ser un nuacutemero indeterminado
Por lo tanto y no es ni un nuacutemero determinado ni tampoco un nuacutemero indeterminado pero se
coloca erroacuteneamente al signo y en conexioacuten con una clase de nuacutemeros el dominio de la
variable y y luego se continuacutea hablando como si hubiera soacutelo un nuacutemero en dicha clase Seriacutea
maacutes simple y maacutes claro decir ldquoCon cada nuacutemero de un dominio-x hay alguna relacioacuten fija por
lo cual ese nuacutemero estaacute unido a otro nuacutemero no necesariamente diferente La clave de todos
estos nuacutemeros resultantes seraacute llamado el dominio-yrdquo Con esto tenemos ciertamente un
dominio-y pero no tenemos ninguacuten y del cual pueda decirse que era una funcioacuten de la variable
numeacuterica x
90
Ahora bien la limitacioacuten del rango no parece tener nada que ver con la cuestioacuten de saber queacute
sea la funcioacuten en siacute iquestPor queacute no tomar como dominio a la clase de todos los nuacutemeros de la
aritmeacutetica o a la clase de todos los nuacutemeros complejos de los cuales la primera clase es una
parte El punto esencial de la cuestioacuten se encuentra en un lugar completamente distinto que
queda oculto a la vista por las palabras ldquoUnido por alguna relacioacuten fijardquo iquestCuaacutel es la prueba de
que el nuacutemero 5 estaacute unido por alguna relacioacuten fija del nuacutemero 4 La cuestioacuten no puede ser
respondida si de alguacuten modo no se la completa Con la explicacioacuten del sentildeor Czuber parece
como si para cualesquiera dos nuacutemeros se retomase desde un principio la decisioacuten de que el
primero estaacute o no unido al segundo por esa relacioacuten Afortunadamente Czuber continuacutea ldquoMi
definicioacuten no establece ninguna afirmacioacuten sobre la ley que controla la unioacuten por esa relacioacuten
esta ley estaacute expresada en su forma maacutes general por la letra f pero no hay liacutemite en cuanto al
nuacutemero de modos diferentes en que tal ley puede ser fijadardquo La unioacuten mediante una relacioacuten
tiene pues lugar de acuerdo con alguna ley y es posible mediante el ejercicio del
pensamiento que sean producidas diferentes leyes de este tipo Pero ahora la frase ldquoy es una
funcioacuten de xrdquo no tiene sentido es necesario que se la complete mediante la adicioacuten de la ley Es
eacuteste un error de la definicioacuten Y sin la menor duda la ley que no estaacute tenida en cuenta es esa
definicioacuten es verdaderamente la cuestioacuten principal Vemos ahora que lo que es variable
cambiante se ha disipado por completo y en su lugar ha cobrado presencia lo general y esto
es lo que buscaba con la palabra ldquoleyrdquo
Y esto que dice Frege se ha convertido en norma de la actual concepcioacuten de la idea de funcioacuten
Dicho esto una funcioacuten f es una regla referente a dos clases X e Y recibiendo X el nombre de
clase definitoria de f e Y el dominio de F y siendo producto de la regla de una clase de
agrupamientos ordenados (xy) donde x a la que se denomina el ldquovalorrdquo de f para x es
aquella seleccioacuten tomada de entre los elementos de Y que se efectuacutea de acuerdo con la regla
la clase de todas las selecciones y de Y recibe el nombre de clase de valores de f Por ejemplo
si la clase definitoria de f es la clase X de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip el dominio de f es esa
misma clase y f es la regla Adjuacutentese a todo elemento x de x su doble 2x entonces la clase de
agrupamientos ordenados producidos por esta regla tiene como elementos a (12) (24)
(36)hellip de modo que la clase de valores de f tiene a 2 4 6 hellip por elementos y asiacute por poner
otro ejemplo la clase definitoria de f1 es la clase X de todos los nuacutemeros -1 -2 -3 hellip el
dominio de f1 es la clase de todos los nuacutemeros 1 2 3 hellip y f1es la regla Adjuacutentese a todo
elemento x de X su cuadrado x2 entonces la clase de agrupamientos ordenados producida por
esta regla tiene por elementos a (-11) (-24) (-39) hellip y la clave de valores de f1 tiene por
elementos a 1 4 9hellip
91
Por ejemplo la expresioacuten ldquo2x2+1rdquo representa una funcioacuten de x que tiene el valor 3 para el
argumento 1 9 para el argumento 2 y asiacute sucesivamente Pero Frege extendioacute este anaacutelisis a
otras funciones que tomaban como argumentos objetos que no eran nuacutemeros De este modo
la proposicioacuten ldquoJulio Ceacutesar conquistoacute la Galiardquo podriacutea descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y la
expresioacuten funcional ldquohellipconquistoacute la Galiardquo Esta uacuteltima expresioacuten es ldquoinsaturadardquo y cuando se
rellena con un argumento produce una expresioacuten con sentido completo que es su ldquovalorrdquo
Pero la oracioacuten anterior tambieacuten puede descomponerse en ldquoJulio Ceacutesarrdquo y ldquoLa Galiardquo por un
lado y la expresioacuten funcional de dos argumentos ldquohellipconquistoacutehelliprdquo Hay pues expresiones
funcionales que se completan o se saturan por ldquoun solo argumentordquo ldquopropiedadesrdquo y por
ldquomaacutes de un argumentordquo ldquorelacionesrdquo cuya estructura gramatical oculta esta importante
diferencia esencial para dar cuenta de algunas inferencias Frege aplicoacute este anaacutelisis tanto a
las conectivas proposicionales como a las expresiones de generalidad Por ejemplo
consideacuterese la proposicioacuten ldquoTodos los hombres son mortalesrdquo Frege no la contempla como un
compuesto de una expresioacuten de sujeto ldquoTodos los hombresrdquo y otra de predicado ldquoson
mortalesrdquo sino como una ldquoexpresioacuten funcional compleja de un lugarrdquo Si x es hombre (Hx)
entonces x es mortal (Mx) que ldquosaturardquo el cuantificador universal una ldquofuncioacuten de segundo
nivelrdquo que se representariacutea ahora como _x(Hx_Mx) Del mismo modo ldquoAlgunos fiacutesicos son
cuaacutenticosrdquo se analiza como la expresioacuten funcional compleja de un lugar ldquoNo es cierto que si x
es fiacutesico (Fx) entonces x es cuaacutentico (x)rdquo que satura maacutes una funcioacuten de segundo nivel esto es
x_(Fx_Cx) o lo que es lo mismo _x(Fx_Cx) Una vez liberado de la ldquotiraniacutea que el lenguaje
comuacuten ejerce sobre el pensamiento humanordquo Frege incrementoacute exponencialmente el ldquopoder
expresivordquo de la loacutegica y fue capaz de formalizar de manera sistemaacutetica las proposiciones
esenciales en matemaacutetica que incluyen cuantificacioacuten muacuteltiple
El proyecto de reducir la matemaacutetica a la loacutegica el logicismo presentaba dificultades
instrumentales formidables Por una parte el lenguaje de la silogiacutestica aristoteacutelica teniacutea
ldquolimitacionesrdquo aparentemente insalvables Por otra seguacuten Frege el lenguaje comuacuten no ofreciacutea
garantiacuteas de seguridad para su tarea las ambiguumledades equiacutevocos y vaguedades que lo
aquejaban ldquoenmascarabanrdquo el ldquocontenido conceptualrdquo es decir el soporte de las inferencias
de las oraciones Para eacutel la ldquoConceptografiacuteardquo es un instrumento semejante al microscopio
que permite desnudar las expresiones linguumliacutesticas dejando a la vista los ldquocontenidos
conceptualesrdquo Para explicar ese enmascaramiento usoacute un arma que resultoacute ser muy
fructiacutefera se trata de la idea de que no debe darse por supuesto que las distinciones
gramaticales son siempre pertinentes desde el punto de vista loacutegico Asiacute en vez de analizar las
92
proposiciones como compuestas de sujeto y predicado al modo de los gramaacuteticos o de los
loacutegicos aristoteacutelicos propuso descomponerlas en ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo
Sin embargo los fundamentos semaacutenticos de la ldquoConceptografiacuteardquo estaban aquejados de casi
los mismos defectos que Frege imputaba a los matemaacuteticos de su eacutepoca confusioacuten
conceptual Argumentos y funciones son considerados por Frege como expresiones
linguumliacutesticas y los valores de eacutestas se identificaban unas veces con oraciones y otras con su
contenido conceptual En ldquoFuncioacuten y Conceptordquo intentoacute atajar ese desorden separando
niacutetidamente los ldquosignosrdquo esto es las ldquoexpresiones de argumentosrdquo y las ldquoexpresiones
funcionalesrdquo y lo que esos signos ldquosignificanrdquo objetos y funciones A su vez el valor de la
funcioacuten ldquox conquistoacute la Galiardquo es tambieacuten un objeto si bien un ldquoobjeto loacutegicordquo lo Verdadero
para el argumento Julio Ceacutesar y lo Falso para el argumento Caliacutegula Un concepto pasa a ser
una funcioacuten cuyo valor es siempre un valor de verdad por ejemplo la funcioacuten ldquox conquistoacute la
Galiardquo es un concepto pero no lo es la funcioacuten ldquola capital de xrdquo y las oraciones se consideran
como ldquonombres propiosrdquo de objetos loacutegicos valores de verdad A su vez las ldquoconectivas
loacutegicasrdquo son tambieacuten funciones que ponen en correspondencia valores de verdad con valores
de verdad verbigracia la negacioacuten pone en correspondencia un valor de verdad con su
contrario Los ldquocuantificadoresrdquo son de nuevo funciones de segundo nivel que ponen en
correspondencia conceptos simples o complejos con valores de verdad asiacute ldquoTodo es
materialrdquo (_xMx) pone en correspondencia Mx con lo Verdadero si y soacutelo si Mx nombra lo
Verdadero para todo argumento y con lo Falso si eacuteste no es el caso
Frege en el campo de la loacutegica propiamente dicha generalizoacute el uso de variables
cuantificadores y funciones proposicionales y al proporcionar una fundamentacioacuten axiomaacutetica
de la loacutegica introdujo muchas distinciones que posteriormente adquirieron mucha
importancia Por ejemplo La distincioacuten entre el enunciado de una proposicioacuten y la afirmacioacuten
de que es verdadera La distincioacuten entre un objeto x y el conjunto que contiene al elemento x
solamente y entre la pertenencia a un conjunto y la inclusioacuten Ademaacutes utilizoacute variables y
funciones proposicionales indicando la cuantificacioacuten de sus funciones proposicionales es
decir el dominio de la variable o variables para la que son verdaderas Tambieacuten introdujo en
1879 el concepto de implicacioacuten material A implica B significa que o bien A es verdadera y B
es verdadera o A es falsa y B verdadera o A es falsa y B es falsa Esta interpretacioacuten de la
implicacioacuten es la conveniente para la loacutegica matemaacutetica El punto deacutebil del trabajo de Frege lo
puso en evidencia Russell cuando le sentildealoacute las paradojas de la teoriacutea de conjuntos en los que
se basaba su trabajo
93
Pero Frege fue mucho maacutes allaacute En efecto todos los que habiacutean contribuido a construir la
loacutegica simboacutelica hasta ese momento George Boole (1815-1864) Augusto De Morgan (1806-
1877) Charles Sanders Pierce (1839-1914) Ernst Schroeder (1841-1902) William Hamilton
(1788-1856) William Stanley Jevons (1835-1932) etc estaban interesados principalmente en
la matematizacioacuten de la loacutegica Con la aparicioacuten de Gottlob Frege (1848-1925) la loacutegica
matemaacutetica da un giro copeacuternicano y lo que se pretende es la ldquologizacioacutenrdquo de la matemaacutetica
o mejor auacuten la fundamentacioacuten de la aritmeacutetica y por extensioacuten toda la matemaacutetica en la
loacutegica Frege en 1879 publicoacute su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo (Frege 1879) un libro breve pero
enormenmente innovador donde introduce un lenguaje formal y un caacutelculo loacutegico Consciente
de que todos los conectores loacutegicos andor rArr hellip son expresables a partir del condicional y la
negacioacuten y de que la cuantificacioacuten existencial puede expresarse mediante negaciones y
cuantificacioacuten universal opta por un lenguaje generado por negacioacuten condicional y
cuantificacioacuten universal Frege ostenta la prioridad frente a la escuela algebrista de la
predicacioacuten muacuteltiple y de la cuantificacioacuten Incluso permite la cuantificacioacuten de propiedades y
relaciones de modo y manera que presenta lo que actualmente se denomina la loacutegica de
segundo orden Una desventaja de su lenguaje formal estriba en que es bidimensional la
notacioacuten elegida para representar el condicional exige escribir de izquierda a derecha y de
arriba abajo de forma que una foacutermula puede ocupar faacutecilmente toda una paacutegina La otra
gran novedad de la aportacioacuten de Frege es que no se limita a presentar un lenguaje en el que
representar premisas y conclusiones de razonamientos sino que ademaacutes formula
expliacutecitamente un caacutelculo es decir un sistema de axiomas y reglas de inferencia mediante el
cual el proceso que conduce de las premisas a la conclusioacuten se descompone en una serie de
pasos elementales de cuya legitimidad no se puede dudar Y aunque Frege no pudo
demostrarlo actualmente se sabe que este caacutelculo es completo en lo que respecta a la loacutegica
proposicional y a la loacutegica de primer orden esto es no es necesario antildeadir ninguna nueva
regla ni ninguacuten axioma nuevo para dar cuenta de todos los argumentos vaacutelidos que se pueden
representar en esos lenguajes
Como ya se ha dicho Frege hizo una analogiacutea entre su lenguaje formal y el microscopio
afirmando que ambos deben usarse uacutenicamente para el anaacutelisis de minuacutesculos detalles que
pasan desapercibidos a simple vista Y del mismo modo que el microscopio no sustituye al ojo
sino que lo complementa el lenguaje loacutegico formal no sustituye ni elimina el lenguaje en el
que habitualmente se formulan los razonamientos La necesidad de un anaacutelisis fino es para
Frege especialmente acuciante en lo que respecta al lenguaje matemaacutetico La obra de Frege
se enmarca en la problemaacutetica de la fundamentacioacuten de la matemaacutetica y a este asunto dedicoacute
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dos libros y otros trabajos Los libros son ldquoLos Fundamentos de la Aritmeacuteticardquo (Frege 1884) y
ldquoLas Leyes Fundamentales de la Aritmeacuteticardquo en dos voluacutemenes (Frege 1893) (Frege 1903) El
paso siguiente se centra en la definicioacuten de un nuacutemero cardinal que plasma en su trabajo de
1884 titulado ldquoFundamentos de la Aritmeacutetica un Ensayo Loacutegico-Matemaacutetico del Concepto de
Nuacutemerordquo Y por uacuteltimo coronando su labor los dos voluacutemenes de 1893 y 1903 de ldquoLas Leyes
Fiacutesicas de la Aritmeacuteticardquo Y en medio y al final ensayos de precisioacuten como ldquoFuncioacuten y
Conceptordquo ldquoSobre Sentido y Referenciardquo ldquoSobre Concepto y Objetordquo ldquoiquestQueacute es una funcioacutenrdquo
ldquoSobre la Loacutegica Matemaacuteticardquo ldquoInvestigaciones Loacutegicasrdquo en varias entregas Ensayos que
suelen reunirse bajo la etiqueta de ldquoescritos filosoacuteficos o loacutegico-semaacutenticosrdquo (Frege 1974) Es
ahora donde desarrolla sus maacutes importantes y famosas ideas loacutegico-filosoacuteficas y semaacutenticas
(Frege 1892) Frege es un logicista y como tal pretende reducir la matemaacutetica a la loacutegica De
hecho el proceso de fundamentacioacuten de la matemaacutetica ya estaba bastante avanzado La
geometriacutea se reduciacutea al anaacutelisis y eacuteste tras las sucesivas construcciones de los nuacutemeros
complejos a partir de los reales eacutestos de los racionales que a su vez se obteniacutean de los
enteros los cuales finalmente procediacutean de los naturales por su parte se reduciacutea a la
aritmeacutetica Finalmente quedaba pendiente a partir de que Richard Dedekind y Giuseppe
Peano habiacutean aislado los principios que axiomatizaban la aritmeacutetica la justificacioacuten de esos
principios a partir de leyes loacutegicas Para ello necesitaban el lenguaje y el caacutelculo presentados
en la ldquoConceptografiacuteardquo
Admitiendo a partir de 1872 que todos los conceptos de la matemaacutetica pueden reducirse a
los de la aritmeacutetica y los de eacutesta a los nuacutemeros naturales Frege adoptoacute sobre siacute la tarea de
derivar estos uacuteltimos por medios estrictamente loacutegicos Con ello lograriacutea establecer que toda
la matemaacutetica es reducible a la loacutegica Para lo cual se propone dos objetivos
1) Precisar que entiende por loacutegica y enumerar los conceptos loacutegicos con los que definir los
auteacutenticos
2) Demostrar que los teoremas aritmeacuteticos son derivables de los principios loacutegicos
mediante el uacutenico proceso vaacutelido la deduccioacuten Esto obliga a especificar cuaacuteles son los
primeros principios loacutegicos y cuaacuteles son las reglas de inferencia
A la vista de estos objetivos Frege daraacute un primer paso construir una loacutegica que le sea vaacutelida
para su propoacutesito una loacutegica del pensamiento puro alejada de la influencia de la gramaacutetica y
del lenguaje habitual Este primer paso es el que se contiene en su obra ldquoConceptografiacutea un
lenguaje de Foacutermulas para el Pensamiento Puro Modelado en el Lenguaje de la Aritmeacuteticardquo Es
eacuteste el primer tratado sistemaacutetico de la loacutegica matemaacutetica No es ni pretende ser un mero
95
simbolismo del lenguaje ordinario o un caacutelculo sino como dice su tiacutetulo una conceptografiacutea
que permite la traduccioacuten a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos
simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especiacuteficas Es un simbolismo apto
para expresar el pensamiento puro Sentildeala Frege en el prefacio de su ldquoConceptografiacuteahelliprdquo
que existen dos tipos de juicios los analiacuteticos y los sinteacuteticos Hasta aquiacute ldquoInmanuel Kant dixitrdquo
Pero Frege estima frente a Kant que los aritmeacuteticos son juicios analiacuteticos entendiendo por
tales los que pueden derivarse en forma estrictamente loacutegica de las definiciones No se tiene
en cuenta aquiacute el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad Explica a continuacioacuten que
la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesioacuten al de
consecuencia loacutegica para proceder a partir de ahiacute al concepto de nuacutemero Para realizar esta
tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado y no soacutelo para esta labor Por eso una
actividad importante es la de liberar el espiacuteritu humano de los errores que en cuanto al
concepto presenta el lenguaje ordinario En particular debe eliminarse la confusa
terminologiacutea entre ldquosujetordquo y ldquopredicadordquo en beneficio de ldquoargumentordquo y ldquofuncioacutenrdquo Y esto es
transcendental para esta tesis
Para conseguir sus fines dedicoacute su atencioacuten y esfuerzo a construir un lenguaje de foacutermulas a
semejanza del aritmeacutetico pero que permitiera un anaacutelisis loacutegico del razonamiento
matemaacutetico del pensamiento puro Maacutes auacuten aplicado en particular en su obra a la aritmeacutetica
es posible generalizarlo tanto a la geometriacutea como a la fiacutesica y en general a cualquier ciencia
La ldquoConceptografiacuteahelliprdquo debe permitir pues por un lado el que sea un caacutelculo loacutegico al estilo
del ldquoCaacutelculo Ratiotinadorrdquo maacutes auacuten una ldquoLingua Characteristicardquo preconizada por Leibniz
pero tambieacuten que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que el signo es
inseparable pero consecuente al contenido que representa Para Frege y esto hay que
subrayarlo lo primero es el concepto lo segundo el signo con el cual se representa ese
concepto Para Frege el hombre no crea los conceptos los aprende el hombre no crea
sistemas matemaacuteticos sino que eacutestos preexisten conceptualmente al mismo Es decir los
contenidos conceptuales puros son independientes a que el hombre los perciba imagine o
piense En loacutegica y matemaacuteticas lo que importa es el pensamiento puro no la geacutenesis del
mismo
Para la presentacioacuten de su sistema Frege eligioacute tal y como se muestra en la figura III3 un
total de nueve axiomas que junto a las cuatro reglas implican que dicho sistema de axiomas
es completo en el sentido de completud de sistemas formales posterior para la loacutegica de
predicados La eleccioacuten estaacute presidida por el uso de cada una de las cuatro primitivas loacutegicas
96
Figura III3 Sistema de Frege
Como se ve en la figura III3 en el apartado (α) se dan los axiomas que Frege establece con
su numeracioacuten a la derecha simbolizados en notacioacuten no fregeana a la izquierda Junto a las
reglas de separacioacuten o ldquoModus Ponensrdquo y la sustitucioacuten estos axiomas constituyen un sistema
completo para el caacutelculo proposicional En (β) se dan los axiomas de identidad y en (γ) el de
cuantificacioacuten
Frege para poder establecer la nueva constante loacutegica de generalidad la cuantificacioacuten pasa
a elaborar lo que considera uno de los hallazgos fundamentales el de funcioacuten concepto que
adopta del quehacer matemaacutetico asiacute como la notacioacuten empleada pero que estima de un
caraacutecter maacutes general Frege no analiza una proposicioacuten en teacuterminos de sujeto y predicado
sino en argumento y funcioacuten Sea verbigracia una expresioacuten como ldquoPepe come hierbardquo Si en
lugar de ldquoPeperdquo se pone ldquoPacordquo la expresioacuten seguiraacute siendo vaacutelida Se puede pues
97
reemplazar el teacutermino ldquoPeperdquo por otros teacuterminos o con generalidad por un lugar vaciacuteo ldquo( )
como hierbardquo y ello de tal manera que al cubrir ese espacio vaciacuteo por un teacutermino conveniente
se tenga la expresioacuten completa que podraacute o no ser judicable Y lo seraacute cuando el teacutermino sea
conveniente en cuyo caso dicho teacutermino poseeraacute la propiedad de comer hierba Todos
aquellos teacuterminos que permitan cubrir el espacio vaciacuteo constituiraacuten ldquoargumentosrdquo mientras
que la propiedad que los mismos poseen la de ldquocomer hierbardquo constituye la ldquofuncioacutenrdquo para
tales argumentos Si ahora se toma la expresioacuten ldquoPepe ama a Mariacuteardquo en lugar de ldquoPeperdquo y
ldquoMariacuteardquo pueden colocarse otros teacuterminos por argumentos por lo que la expresioacuten general
tendriacutea dos espacios vaciacuteos ldquo( ) ama a ( )rdquo y la funcioacuten ldquoama ardquo seraacute una funcioacuten de dos
argumentos como ldquo( ) es menor que ( )rdquo El proceso puede continuar generalizaacutendose para
obtener funciones pluriargumentales Los espacios vaciacuteos se representan por letras entre
pareacutentesis como indeterminadas mientras que la propia funcioacuten por la letra ϕ Por ejemplo
ϕ(A) para la funcioacuten de un argumento y ϕ(AB) para la de dos Si al reemplazar
ldquoconvenientementerdquo la(s) letra(s) entre pareacutentesis resulta que el contenido obtenido es capaz
de convertirse en un juicio o asercioacuten entonces es que el argumento satisface la funcioacuten esto
es posee la propiedad determinada por la misma Asiacute ldquo⊢ϕ(AB)rdquo puede leerse como ldquoB estaacute
en la relacioacuten ϕ con Ardquo Si en una funcioacuten de dos argumentos se intercambian entre siacute puede
no tenerse una asercioacuten y de tenerse puede no coincidir con el original
Figura III4 Primeras siete foacutermulas demostradas por Frege en su Conceptografiacutea
98
Frege consideroacute tal y como se muestra en la figura III4 cuatro reglas la expliacutecita del ldquomodus
ponensrdquo y la impliacutecita de ldquosustitucioacutenrdquo simultaacutenea de variables proposicionales Y otras dos
para el caacutelculo de predicados La tercera es el paso de la expresioacuten de la generalidad sin
cuantificar a la expresioacuten en cuantificador es la que hoy se denomina ldquoregla de
generalizacioacutenrdquo La cuarta regla la enuncioacute Frege como sigue ldquoEs claro tambieacuten que del
esquema de la figura III5 puede derivarse el esquema de la figura III6
Figura III5 Esquema inicial de la cuarta regla de Frege
Figura III6 Esquema final de la cuarta regla de Frege
Si A es una expresioacuten en la que no ocurre y si A ocupa uacutenicamente posiciones en los lugares
de argumento ϕrdquo Salvo el ldquomodus ponensrdquo las otras tres reglas no estaacuten establecidas como
modos de inferencia pero las mismas se justifican por medio exclusivo en cuanto al uso
simboacutelico Estas reglas unidas a los seis axiomas tres es decir el (1) (2) y (8) para la
condicionalidad a los que hay que antildeadir la negacioacuten (28) y los que regulan ambos
conectivos dados por (31) y (41) regulan el caacutelculo proposicional Si a eacutestas se antildeaden dos
leyes maacutes para la identidad de contenido (52) y (54) siendo esta uacuteltima la ley reflexiva de
identidad mientras que la anterior expresa la ley de sustitucioacuten de la identidad Es una
expresioacuten que manifiesta el caraacutecter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se
pueden reemplazar dos variables de individuo entre siacute en cualquier contexto sin variar el valor
veritativo de las expresiones en que se intercambian Es decir todo lo que se predique de un
siacutembolo de un argumento tiene que predicarse del siacutembolo del argumento al que sea
ideacutentico Por uacuteltimo Frege agregoacute una foacutermula para regular la cuantificacioacuten que constituye su
foacutermula (58) De esta forma se permite excindir su sistema de varias capas que van
superponieacutendose caacutelculo implicacional y afirmativo caacutelculo proposicional caacutelculo de
predicados y loacutegica de primer orden Este sistema es completo pero como lo demostroacute
Lukasiewiz en 1930 la tercera ley de condicionalidad es consecuencia de las dos primeras Por
tanto el sistema proposicional puede reducirse a soacutelo tres axiomas siendo los dos primeros
99
los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma ⊢(ararrb)rarr(-brarr-a) escrito claro estaacute
en notacioacuten moderna
III333 Los Programas como Funciones
Los programas e incluso las partes de los programas son funciones que transforman las
entradas en salidas de modo que cualquier programa puede considerarse como una funcioacuten
definida por el procedimiento que la ejecuta Por lo tanto los programas son funciones que
afectan al estado del sistema Y esto se produce por la sencilla razoacuten de que las sentencias
ejecutables operan sobre las variables y de esta manera cambian el estado En general toda
sentencia ejecutable cambia el estado inicial de la sentencia esto es el estado anterior a su
ejecucioacuten hasta otro estado el siguiente Cuando este siguiente estado es el mismo que el
anterior la sentencia no tiene efecto y es redundante Naturalmente los ldquosegmentos de
coacutedigordquo de un programa o sea cualquier sentencia o grupo de sentencias que afecten al
estado expresan ldquofunciones parcialesrdquo en el sentido de que para cada estado inicial existe
como maacuteximo un estado final No todos los estados iniciales pueden ser manipulados por
todos los segmentos de coacutedigo Por ejemplo la sentencia 1x no puede tratarse si x=0 Sin
embargo si el estado inicial puede ser tratado por el segmento de coacutedigo y si el segmento de
coacutedigo no tropieza con un bucle infinito entonces el estado inicial es determinista Si hay dos
segmentos de coacutedigo A y B que se ejecuten en sucesioacuten el resultado se denomina
ldquoconcatenacioacutenrdquo de A y B En realidad la ldquoconcatenacioacutenrdquo es una composicioacuten de funciones
En efecto sea x el estado inicial de la concatenacioacuten AB esto es el estado antes de ejecutar
A Por definicioacuten el estado despueacutes de haber ejecutado A es A(x) y eacuteste es el estado antes de
ejecutar B Dado que B(y) es el estado final de B dado el estado final y y puesto que es y =
A(x) esto significa que el estado final AB es B(A(x)) De este modo AB = BA
Cuando una funcioacuten f(x) se utiliza estrictamente para definir la imagen correspondiente al
argumento x que es un solo valor se usa la notacioacuten del ldquoλ-caacutelculordquo o ldquocaacutelculo lambdardquo
Teacutecnicamente pues las funciones expresadas en ldquoλ-caacutelculordquo soacutelo pueden tener un argumento
Por consiguiente para traducir una funcioacuten de varias variables o argumentos al ldquoλ-caacutelculordquo se
crean funciones en las cuales el rango consta de funciones Por ejemplo consideacuterese la
expresioacuten x2+y Para cada y dada se puede utilizar esta expresioacuten para encontrar una funcioacuten
para x o sea λx (x2+y) Por consiguiente se puede considerar la nueva funcioacuten i =
U( reg ( + ))Z que tiene un uacutenico argumento y y la imagen para una y dada es
reg ( + ) Asiacute cuando aparecen funciones de dos argumentos del tipo i ( times ) ^ ] se
100
modelan en el ldquoλ-caacutelculordquo como una funcioacuten de X1 en el rango X2rarrY es decir tales funciones
tienen el tipo
i V ^ (V ^ ])
Esta transformacioacuten puede faacutecilmente extenderse a funciones de n argumentos Con lo que
definitivamente se estaacute tratando con funcionales o funciones de funciones de funciones y asiacute
sucesivamente
III4LOacuteGICA COMBINATORIA
La loacutegica combinatoria fue originalmente propuesta como una ldquopreloacutegicardquo que deberiacutea clarificar
el papel de las variables cuantificadas en loacutegica esencialmente por eliminarlas Otra forma de
eliminar las variables cuantificadas es la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo de Quine (Quine
1960) En tanto que el poder expresivo de la loacutegica combinatoria tiacutepicamente excede al de la
loacutegica de primer orden el poder expresivo de la ldquoloacutegica de predicados functoresrdquo es ideacutentico al
de la loacutegica de predicados La ldquoloacutegica combinatoriardquo trata pues de eliminar la necesidad de
variables en loacutegica matemaacutetica Maacutes recientemente se ha utilizado en CS como un modelo
teoacuterico de computacioacuten y sobre todo como la base para el disentildeo de lenguajes de
programacioacuten funcional Estaacute basada en ldquocombinadoresrdquo Un combinador es un funcioacuten de alto
orden o grado que por definir un resultado a partir de sus argumentos uacutenicamente usa la
aplicacioacuten de funciones y combinadores definidos previamente
En CS la loacutegica combinatoria se usa como un modelo simplificado de computacioacuten utilizado en
teoriacutea de la computabilidad y teoriacutea de prueba A pesar de su simplicidad la loacutegica combinatoria
captura muchas caracteriacutesticas esenciales de la computacioacuten La ldquoloacutegica combinatoriardquo puede
verse como una variante del ldquolambda caacutelculordquo en el cual las expresiones lambda representando
abstracciones funcionales se reemplazan por un conjunto limitado de ldquocombinadoresrdquo
funciones primitivas de las cuales estaacuten ausentes las variables libres Es faacutecil transformar
expresiones en expresiones de combinadores y la reduccioacuten de un combinador es mucho maacutes
simple que la reduccioacuten lambda Por consiguiente se ha usado la ldquoloacutegica combinatoriardquo para
modelizar algunos lenguajes de programacioacuten funcional y hardware La forma maacutes pura de esta
visioacuten es el lenguaje de programacioacuten de intereacutes teoacuterico ldquoUnlambdardquo cuyas uacutenicas primitivas son
los combinadores S y K aumentado con caracteres de entradasalida
101
III41 EL ldquoλ-CAacuteLCULOrdquo
La loacutegica combinatoria es un modelo de computacioacuten equivalente al caacutelculo lambda (Church
1936) pero sin la abstraccioacuten La ventaja de esto es que evaluar expresiones en el caacutelculo
lambda es bastante complicado debido a que debe especificarse la semaacutentica de la
sustitucioacuten con mucho cuidado para evitar problemas de captura de variables Por el
contrario la evaluacioacuten de expresiones en la loacutegica combinatoria es mucho maacutes sencilla pues
no existe la nocioacuten de sustitucioacuten sin perder la potencia computacional del lambda-caacutelculo
Como se sabe el lambda caacutelculo es computacionalmente equivalente en poder a muchos
modelos posibles de computacioacuten incluida la maacutequina de Turing o las funciones recursivas
Es decir cualquier caacutelculo que pueda realizarse en cualquiera de esos otros modelos puede
expresarse en el caacutelculo lambda y viceversa Como de acuerdo con la tesis Church-Turing
(Copeland 1996) el caacutelculo lambda puede expresar cualquier posible computacioacuten la loacutegica
combinatoria tambieacuten Y si es tal vez sorprendente este hecho de que el lambda caacutelculo
pueda representar cualquier combinacioacuten posible usando soacutelo las nociones simples de
funcioacuten de abstraccioacuten y aplicacioacuten basaacutendose en la sencilla sustitucioacuten textual de teacuterminos
por variables maacutes notable resulta auacuten que incluso no es necesaria la abstraccioacuten como se ve
en la loacutegica combinatoria
En efecto el caacutelculo lambda estaacute concernido con objetos denominados ldquoteacuterminos lambdardquo
que son cadenas de siacutembolos de uno de los tipos siguientes
a) v
b) λvE1
c) (E1 E2)
Siendo V es un nombre de variable derivado a partir de un conjunto infinito predefinido de
nombres de variables y E1 y E2 son ldquoteacuterminos lambdardquo Finalmente los teacuterminos de la forma
(b) o sea λvE1 se denominan ldquoabstraccionesrdquo La variable v se llama paraacutemetro formal de la
abstraccioacuten y E1 el ldquocuerpordquo de dicha abstraccioacuten El teacutermino λvE1 representa la funcioacuten que
aplicada a un argumento liga el paraacutemetro formal v al argumento y luego computa el valor
resultante de E1 esto es retorna E1 con cada toda ocurrencia de v reemplazada por el
argumento Los teacuterminos de la forma (c) o sea (E1 E2) se denominan ldquoaplicacionesrdquo que
modelan la llamada invocacioacuten o ejecucioacuten a la funcioacuten la funcioacuten representada por E1 es
invocada con E2 como su argumento y el resultado es computado Si E1 a veces llamado el
ldquoaplicandordquo es una abstraccioacuten el teacutermino puede ldquoreducirserdquo es decir el argumento puede
sustituirse en el cuerpo de E1 en lugar del paraacutemetro formal de E1 y el resultado es un nuevo
102
teacutermino lambda que es ldquoequivalenterdquo a la vieja Si un teacutermino lambda no contiene
subteacuterminos de la forma (λvE1E2) que no puede reducirse se dice que estaacute en forma normal
La expresioacuten Ev ≔ a representa el resultado de tomar el teacutermino E y reemplazar todas las
ocurrencias libres de v con a Asiacute se escribe (λv Ea) rArr Ev ≔ a Por convencioacuten se toma
(abcdhellipz) por ((((ab)c)d)hellipz) es decir una aplicacioacuten asociativa por la izquierda El motivo de
esta definicioacuten de ldquoreduccioacutenrdquo es que captura el comportamiento esencial de todas las
funciones matemaacuteticas Por ejemplo consideacuterese la funcioacuten que computa el cuadrado de un
nuacutemero Se puede escribir El cuadrado de 3 es 33 usando ldquordquo para indicar la multiplicacioacuten
y siendo x el paraacutemetro formal de la funcioacuten para evaluar el cuadrado para un argumento
particular en este caso 3 se lo inserta en la funcioacuten en lugar del paraacutemetro formal de modo
que queda el cuadrado de 3 es 33 Para evaluar la expresioacuten resultante 33 hay que
recurrir al conocimiento que se tiene de la multiplicacioacuten y del nuacutemero 3 Ya que cualquier
computacioacuten es simplemente una composicioacuten de la evaluacioacuten de funciones deseables sobre
argumentos primitivos deseables Este sencillo principio de sustitucioacuten basta para capturar el
mecanismo esencial de la computacioacuten Maacutes auacuten en el caacutelculo lambda nociones tales como
ldquo3rdquo y ldquordquo pueden representarse sin necesidad alguna de definir externamente operadores
primitivos o constantes Es posible identificar teacuterminos en el ldquolambda-caacutelculordquo que cuando
se interpretan adecuadamente se comportan como el nuacutemero 3 y como el operador
multiplicador
III42 CAacuteLCULO COMBINATORIO
Dado que la abstraccioacuten es la uacutenica manera de fabricar funciones en el ldquocaacutelculo lambdardquo
algo debe reemplazarlo en el caacutelculo combinatorio En lugar de la abstraccioacuten el caacutelculo
combinatorio proporciona un conjunto limitado de funciones primitivas a partir de las cuales
pueden construirse otras funciones Los elementos del caacutelculo combinatorio son
A) Teacuterminos combinatorios Un teacutermino combinatorio tiene una de las siguientes
formas
a)
b) T
c) (ltlt)
Donde x es una variable P una de las funciones primitivas y (EE) es la aplicacioacuten
de los teacuterminos combinatorios E1 y E2 Las funciones primitivas son ellas mismas
ldquocombinadoresrdquo o funciones que cuando se ven como teacuterminos lambda no
103
contienen variables libres Para acortar las notaciones una convencioacuten general es
que (E1E2E3hellipEn) o incluso E1E2E3hellipEn denota el teacutermino (hellip((E1E2)E3)hellipEn) Eacutesta es la
misma convencioacuten general que la aplicacioacuten muacuteltiple en el ldquolambda caacutelculordquo En
loacutegica combinatoria cada ldquocombinadorrdquo primitivo viene con una regla de reduccioacuten
de la forma (Px1hellipxn)=E donde E es un teacutermino mencionando soacutelo variables del
conjunto x1hellipxn Es justamente de esta manera como los ldquocombinadoresrdquo primitivos
se comportan como funciones
B) Combinadores I K y S
El ejemplo maacutes sencillo de ldquocombinadorrdquo es el ldquocombinadorrdquo identidad I definido
por (Ix) = x para todos los teacuterminos x Otro ldquocombinadorrdquo simple es K que fabrica
funciones constantes (Kx) es la funcioacuten que para cualquier argumento devuelve x
asiacute para ((Kx)y) = x para todos los teacuterminos x e y O siguiendo la convencioacuten de
aplicacioacuten muacuteltiple (Kxy) = x Un tercer combinador es S que es una versioacuten
generalizada de la aplicacioacuten (Sxyz) = (xz(yz)) S aplica x a y despueacutes de primero
sustituir z en cada uno de ellos En otros teacuterminos x se aplica a y dentro del entorno
z Ahora bien dados S y K el propio I es superfluo ya que puede construirse a partir
de ellos como sigue
((SKK)x)
=(SKKx)
=(Kx(Kx))
=x
para cualquier teacutermino x Noteacutese que aunque (SKK)x = (Ix) para cualquier x el propio
(SKK) no es igual a I Se dice que los teacuterminos son extensionalmente equivalentes La
igualdad extensional captura la nocioacuten matemaacutetica de la igualdad de funciones que
dice dos funciones son ldquoigualesrdquo si siempre producen los mismos resultados para los
mismos argumentos Por el contrario los propios teacuterminos junto con la reduccioacuten
de ldquocombinadoresrdquo primitivos captura la nocioacuten de ldquoigualdad intensionalrdquo de
funciones Aquiacute dos funciones son ldquoigualesrdquo soacutelo si tienen ideacutenticas
implementaciones respecto a la expansioacuten de ldquocombinadoresrdquo primitivos cuando
eacutestos se aplican a bastantes argumentos Hay muchas formas de implementar una
funcioacuten identidad (SKK) e I estaacuten entre ellas (SKS) es tambieacuten otra Se usaraacute la
palabra ldquoequivalenterdquo para indicar la igualdad extensional reservando ldquoigualrdquo para
104
teacuterminos combinatorios ideacutenticos Otro ldquocombinadorrdquo muy interesante es el Y o
ldquocombinadorrdquo de punto fijo que puede usarse para implementar la ldquorecursioacutenrdquo
C) Transformacioacuten T Conversioacuten de teacuterminos λambda en combinadores
Es ldquoprima facierdquo al menos sorpendente el hecho de que S y K puedan componerse
para producir ldquocombinadoresrdquo que son extensionalmente iguales a ldquocualquierrdquo
teacutermino lambda y por lo tanto por la tesis de Church-Turing a cualquier funcioacuten
computable Para probarlo se va a presentar una transformacioacuten T[ ] que convierte
un teacutermino lambda arbitrario en un ldquocombinadorrdquo equivalente T[ ] puede definirse
como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1] T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2])
Este proceso tambieacuten se conoce como ldquoeliminacioacuten de la abstraccioacutenrdquo Ahora hay
que convertir un teacutermino lambda en un teacutermino ldquocombinatoriordquo equivalente Por
ejemplo convertir el teacutermino lambda λxλy(yx) en un combinador
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]] (por 5)
= T[λx(ST[λyy]T[λyx])] (por 6)
= T[λx(SIT[λyx])] (por 4)
= T[λx(SI(Kx))] (por 3 y 1)
= (ST[λx(SI)]T[λx(Kx)]) (por 6)
= (S(K(SI))T[λx(Kx)]) (por3)
= (S(K(SI))(ST[λxK]T[λxx])) (por 6)
= (S(K(SI))(S(KK)T[λxx])) (por 3)
= (S(K(SI))(S(KK)I)) (por 4)
Si se aplica este ldquocombinadorrdquo a cualquiera dos teacuterminos x e y se reduce como
sigue
(S(K(SI))(S(KK)I)xy)
= (K(SI)x(S(KK)Ix)y)
= (SI(S(KK)Ix)y)
= (Iy(S(KK)Ixy))
= (y(S(KK)Ixy))
105
= (y(KKx(Ix)y))
= (y(K(Ix)y))
= (y(Ix))
= (yx)
La representacioacuten combinatoria (S(K(SI))(S(KK)I)) es mucho maacutes larga que la
representacioacuten en un teacutermino lambda λx λy(yx) Esto es normal En general la
construccioacuten T[ ] puede expandir un teacutermino lambda de tamantildeo n en un teacutermino
combinatorio de tamantildeo θ (3n) Sin embargo la transformacioacuten T[ ] viene motivada
por el deseo de eliminar la abstraccioacuten Dos casos especiales las reglas 3 y 4 son
triviales λxx es claramente equivalente a I y λxE es claramente equivalente a
(KT[E]) Si x no aparece libre en E Las dos primeras reglas tambieacuten son simples
Variables convertidas en ellas mismas y aplicaciones que estaacuten permitidas en
teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo se convierten en ldquocombinadoresrdquo simplemente por
convertir el aplicando y el argumento en ldquocombinadoresrdquo Son las reglas 5 y 6 las
interesantes La 5 dice simplemente que para convertir una abstraccioacuten compleja en
un combinador primero se debe convertir su cuerpo en un ldquocombinadorrdquo y luego
eliminar la abstraccioacuten La regla 6 realmente elimina la abstraccioacuten
λx(E1E2) es una funcioacuten que toma un argumento tal como a y lo sustituye en un
teacutermino lambda (E1E2) en lugar de x produciendo (E1E2)[x=a] Pero sustituir a en
(E1E2) en lugar de x es justo lo mismo que sustituirla en ambos E1 y E2 asiacute
(E1E2)[x=a] = (E1[x=a] E2[x=a])
(λx(E1E2)a) = ((λxE1a)( λxE2a))
= (S λxE1 λxE2a)
= ((S λxE1 λxE2)a)
Por la igualdad extensional
λx(E1E2) = (S λxE1 λxE2)
Por lo tanto para encontrar un combinador equivalente a λx(E1E2) es suficiente
encontrar un combinador equivalente a (S λxE1 λxE2) y
(S T[λxE1] T [λxE2])
106
evidentemente cumple las condiciones E1 y E2 cada una contienen estrictamente
menos aplicaciones que (E1E2) asiacute la recursioacuten debe terminar en un teacutermino lambda
sin ninguna aplicacioacuten en absoluto o una variable o un teacutermino de la forma λxE
D) Simplificaciones de la Transformacioacuten
Los combinadores generados por la transformacioacuten T[ ] pueden hacerse menores si
se toma en cuenta la regla de ldquoreduccioacuten-ηrdquo
T[λx(Ex)]=T[E] (si x no estaacute libre en E)
λx(Ex) es la funcioacuten que toma un argumento x y aplica la funcioacuten E a ella esto es
extensionalmente igual a la propia funcioacuten E Es por lo tanto suficiente para
convertir E a forma combinatoria Teniendo en cuenta esta simplificacioacuten el ejemplo
anterior se convierte en
T[λx λy(yx)]
= hellip
= (S(K(SI)) T[λx(Kx)])
= (S(K(SI)) K) (por ldquoreduccioacuten- ηrdquo)
Este combinador es equivalente al anterior maacutes largo
(S(K(SI)) Kxy)
= (K(SI) x(Kx)y)
= (SI(Kx)y)
= (I y(Kxy))
= (y(Kxy))
= (yx)
Similarmente la versioacuten original de la transfromacioacuten T[ ] transforma la funcioacuten
identidad λfλx(fx) en (S(S(KS)(S(KK)I))(KI)) Con la regla de ldquoreduccioacuten- ηrdquo λfλx(fx)
se transforma en I
107
Hay bases de un punto a partir de las cuales cada ldquocombinadorrdquo puede ser
compuesto extensionalmente igual a cualquier teacutermino lambda El ejemplo maacutes
simple de una tal base es X donde
X equiv λx((xS)K)
No es difiacutecil verificar que
X(X(XX)) = ηβK y X(X(X(XX))) = ηβS
Dado que K S es una base de ello se sigue que X tambieacuten es una base Otro ejemplo
simple de una base de un punto es
Xrsquoequiv λx(xKSK) con (Xrsquo Xrsquo )Xrsquo) = ηβK y Xrsquo(Xrsquo Xrsquo) = βS
Xrsquo no necesita η-contraccioacuten a fin de producir K y S X es una base de un punto en CL+ext
pero no en CL sin extensionalidad Xrsquo lo es en ambos
Adicionalmente a S y K el artiacuteculo de Schoumlnfinkel incluyoacute otros dos ldquocombinadoresrdquo que
ahora se denominan B y C con las reducciones siguientes
((Cabc) = (abc) y (Babc) = (a(bc)))
Y tambieacuten explicoacute coacutemo a su vez pueden expresarse usando soacutelo S y K Estos ldquocombinadoresrdquo
son extremadamente uacutetiles cuando se trasladan loacutegica de predicados o caacutelculo lambda en una
expresioacuten ldquocombinadorrdquo Ellos tambieacuten fueron usados por Curry y posteriormente por David
Turner cuyo nombre se ha asociado con su uso computacional Usaacutendolos se pueden
extender las reglas por la transformacioacuten como sigue
1 T[x]rArrx
2 T[(E1E2)] rArr(T[E1]T[E2])
3 T[λxE] rArr(KT[E]) (si x no estaacute libre en E)
4 T[λxx] rArrI
5 T[λxλyE] rArrT[λxT[λyE]] (Si x estaacute libre en E)
6 T[λx(E1E2)] rArr(ST[λxE1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E1 y E2)
108
7 T[λx(E1E2)] rArr(CT[λxE1]T[E2]) (Si x estaacute libre en E1 pero no en E2)
8 T[λx(E1E2)] rArr(BT[E1]T[λxE2]) (Si x estaacute libre en E2 pero no en E1)
Usando los ldquocombinadoresrdquo B y C la transformacioacuten de λxλy(yx) queda como sigue
T[λxλy(yx)]
= T[λxT[λy(yx)]]
= T[λx(CT[λyy]x)] (por la regla 7)
= T[λx(CIx)]
= (CI) (η-reduccioacuten)
= C (notacioacuten canoacutenica tradicional x=XI)
= Irsquo (notacioacuten canoacutenica tradicional X`= CX)
Y verdaderamente (CIxy) se reduce a (yx)
(CIxy)
= (Iyx)
= (yx)
La motivacioacuten aquiacute es que B y C son versiones limitadas de S Mientras que S toma un valor y
lo sustituye tanto en el aplicando como en su argumento antes de ejecutar la aplicacioacuten C
efectuacutea la sustitucioacuten soacutelo en el aplicando y B soacutelo en el argumento
Los nombres modernos para los ldquocombinadoresrdquo proceden de la tesis doctoral de Curry
Schoumlnfinkel en su artiacuteculo original denominaba respectivamente S C I Z y T a lo que hoy se
denomina S K I B C
La conversioacuten L[ ] de teacuterminos combinatorios a teacuterminos lambda es trivial
L[I] = λxx
L[K] = λx λyx
L[C] = λx λy λz(xzy)
L[B] = λx λy λz(x(yz))
109
L[S] = λx λy λz(xz(yz))
L[(E1E2)] = (L[E1] L[E2])
Sin embargo hay que sentildealar que esta transformacioacuten no es la transformacioacuten inversa de
cualquiera de las versiones de T[ ] que se han visto
Finalmente indicar que una forma ldquonormalrdquo es cualquier teacutermino ldquocombinatoriordquo en el cual
los ldquocombinadoresrdquo primitivos que aparecen si alguno no se aplican a suficientes argumentos
como para ser simplificados Es indecidible saber si un teacutermino ldquocombinatoriordquo general tiene
una forma ldquonormalrdquo si dos teacuterminos ldquocombinatoriosrdquo son equivalentes etc Esto es
equivalente a la indecibilidad del problema correspondiente para los teacuterminos lambda Hay
sin embargo una prueba directa de ello en primer lugar obseacutervese que el teacutermino Ω =
(SII(SII)) no tiene forma normal porque se reduce a siacute mismo despueacutes de tres pasos como
sigue
(SII(SII)) = (I(SII)(I(SII))) = (SII(I(SII))) = (SII(SII))
Y claramente ninguacuten otro orden de reduccioacuten puede hacer la expresioacuten maacutes corta Supoacutengase
ahora que N es un ldquocombinadorrdquo para detectar formas normales tal que
(Nx)rArrT si x tiene una forma normal y F en otro caso
Donde T y F representan verdadero y falso λx λyx y λx λyy transformados en loacutegica
combinatoria Las versiones combinatorias son T = K y F = (KI)
Sea ahora Z = (C(C(BN(SII)) Ω)I)
Consideacuterese a continuacioacuten el teacutermino (SIIZ) iquestTiene dicho teacutermino forma normal La tiene si
y soacutelo si tambieacuten la tiene
(SIIZ) = (IZ(IZ)) = (Z(IZ)) = (ZZ) = (C(C(BN(SII)) Ω)IZ) (definicioacuten de Z)
= (C(BN(SII) ΩZI)) = (BN(SII)Z ΩI) = (N(SIIZ) ΩI)
Ahora se necesita aplicar N a (SIIZ) que dice si tiene forma normal o no Si tiene forma normal
entonces se reduce como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (K ΩI) (definicioacuten de N) lo que significa que la
forma normal de (SIIZ) es simplemente Ω pero Ω no tiene una forma normal de modo que se
produce una contradiccioacuten Pero si (SIIZ) no tiene una forma normal lo anterior se reduce
110
como sigue (N(SIIZ) ΩI) = (KI ΩI) (definicioacuten de N = (II) = I) lo que significa que la forma
normal de (SIIZ) es simplemente I otra contradiccioacuten Por lo tanto el hipoteacutetico ldquocombinadorrdquo
forma-normal N no puede existir (Wikipedia 2008)
III5 TEORIacuteAS VERSUS TECNOLOGIacuteAS
Para Couffignal (Couffignal 1969) una clasificacioacuten cuyas clases tienen definiciones que se
implican entre siacute constituye una teoriacutea Las teoriacuteas se establecen de una de las dos formas
siguientes
A) A partir de seres cuyas caracteriacutesticas han sido observadas e identificadas se construyen
clases cada vez maacutes ldquoabstractasrdquo o ldquogeneralesrdquo dentro de las cuales se dan cabida a
estos seres A estas teoriacuteas se las denomina como ya se ha dicho el el capiacutetulo II
ldquoempiacutericasrdquo y son parecidas a las clasificaciones de los naturalistas y tienen como
fundamento modelos mentales elementales constituidos por seres naturales es decir
no creados por el hombre Eacuteste es el esquema de modelizacioacuten cientiacutefico o ldquogalileanordquo
B) Partiendo de una definicioacuten abstracta de la clase se construyen subclases antildeadiendo a
la definicioacuten de esta clase propiedades arbitrariamente escogidas con la uacutenica condicioacuten
de que no existan contradicciones Estas teoriacuteas reciben el calificativo de axiomaacuteticas
Son parecidas a teoriacuteas matemaacuteticas o loacutegicas y tienen por fundamento modelos
mentales (ldquodialeacutecticosrdquo) de seres inventados por el hombre Eacuteste es el esquema de
modelizacioacuten loacutegico o ldquotarskianordquo
Los atributos que hay que antildeadir a la comprehensioacuten de una clase de seres para obtener la
comprehensioacuten de una subclase constituyen lo que se denomina ldquotecnologiacuteardquo de dicha
subclase en relacioacuten con la clases considerada Normalmente no se considera maacutes que una
sola clasificacioacuten y se define la tecnologiacutea de una subclase en relacioacuten con la clase maacutes
abstracta posible De esta forma el teacutermino tecnologiacutea se emplea en sentido absoluto
En la construccioacuten de una teoriacutea las propiedades ldquotecnoloacutegicasrdquo de un ser no se tienen en
cuenta al considerarlo como perteneciente a una clase determinada ya que dichas
propiedades no se deducen de la definicioacuten de la clase considerada En consecuencia se
puede afirmar que un razonamiento deductivo no puede descubrir las propiedades
ldquotecnoloacutegicasrdquo que han sido ignoradas en la elaboracioacuten de la teoriacutea Por ejemplo la teoriacutea
de la resistencia de materiales que sirven para el caacutelculo de la construccioacuten de un puente
supone que el terreno sobre el cual se va a apoyar el puente es perfectamente riacutegido e
111
infinitamente resistente dejando de lado las propiedades del terreno propias de su
naturaleza fiacutesico-quiacutemica Por lo tanto el caacutelculo de un puente concreto por meacutetodos de
resistencia de materiales no puede incluir estas propiedades y tenerlas en cuenta Por eso se
puede afirmar que las teoriacuteas deductivas que se encuentran en la casi totalidad de las
teoriacuteas cientiacuteficas representan muy imperfectamente los fenoacutemenos observados De aquiacute
que para salvaguardar el armazoacuten de razonamientos que constituye una teoriacutea sea
necesario o bien no tener en cuenta los conceptos que no sean explicables para la teoriacutea lo
que sucedioacute con el ldquoarrastre del eacuteter por la materiardquo o atribuyeacutendole a los seres sometidos
a observacioacuten propiedades que no poseen para permitir su inclusioacuten dentro de la teoriacutea
Esto sucedioacute con el ldquoeacuteterrdquo hasta que lo desterroacute Einstein Una teoriacutea es pues un ldquoedificiordquo o
construccioacuten mental establecida a partir de fenoacutemenos observados pero que no constituye
una imagen absolutamente fiel de dichos fenoacutemenos
Las diversas clases en las que se categorizan los seres naturales constituyen entes nuevos a
los que se les atribuye un siacutembolo En una teoriacutea axiomaacutetica las clases son resultado de
razonamientos deductivos y se les atribuye asimismo un siacutembolo Cuando se trata de
razonamientos cuyas hipoacutetesis son siacutembolos o modelos mentales de seres naturales es maacutes
coacutemodo preferir siacutembolos que hagan referencia a las hipoacutetesis De esta forma estos
siacutembolos evocan al usarlos ldquopatronesrdquo considerados iguales que los de los seres naturales
Estos patrones constituyen una ldquoreificacioacutenrdquo de la definicioacuten de los siacutembolos Por ejemplo
habiendo verificado que todos los gases en condiciones normales verifican de una forma
aproximada PV = RT en donde P V y T son respectivamente la presioacuten el volumen y la
temperatura del gas y R una constante universal se denomina ldquogas perfectordquo al ente fiacutesico
que verifica ldquoexactamenterdquo la ley PV = RT El teacutermino ldquogas perfectordquo evoca el ldquopatroacutenrdquo
corresponde al de un ser existente en la realidad y constituye una ldquoreificacioacutenrdquo de la
foacutermula PV = RT
Una ldquoreificacioacutenrdquo consiste entonces en antildeadir a un resultado teoacuterico una ldquotecnologiacuteardquo
inventada No obstante el ser de esta forma inventado puede no existir fiacutesicamente Por lo
tanto es necesario distinguir entre la ldquoexistencia fiacutesica o realrdquo que es la de un ser cuyos
atributos de definicioacuten son observables por los medios fiacutesicos conocidos y la existencia
ldquoficticiardquo que se puede atribuir a un ser cuyos atributos de definicioacuten no son contradictorios
con las leyes conocidas y aceptadas que se aplican a los seres naturales Asiacute pues una
ldquoreificacioacutenrdquo de una teoriacutea pasa de la existencia ficticia o mental a la existencia fiacutesica a traveacutes
de una ldquocomprobacioacuten experimentalrdquo Habitualmente las ciencias usan ldquoreificacionesrdquo que
112
soacutelo poseen existencia ficticia Tal sucede con los entes o conceptos definidos como
ldquocausasrdquo de los fenoacutemenos fiacutesicos Por ejemplo el calor causa de las variaciones de
temperatura las fuerzas causa de las variaciones de la velocidad la luz causa de los
fenoacutemenos oacutepticos etc una prueba de esto es que verbigracia en 1955 Denis Gabor
presentoacute una teoriacutea oacuteptica en la cual no interveniacutea para nada la ldquosustanciardquo comuacutenmente
llamada luz Estas ldquocausasrdquo consideradas por las ciencias naturales quedan definidas por
atributos comunes a un conjunto de seres de existencia fiacutesica capaces de actuar por
ejemplo en el caso del calor sobre un termoacutemetro Esta accioacuten se expresa diciendo que
salvo en caso de un cambio de estado una aportacioacuten de calor a un cuerpo implica una
elevacioacuten de su temperatura No obstante hay que tener en cuenta que
termodinaacutemicamente el paso del calor de un cuerpo a otro soacutelo es posible si existe una
diferencia de temperatura entre los dos Es maacutes se considera corrientemente el calor como
una energiacutea en traacutensito ldquodebidardquo al gradiente teacutermico En cualquier caso la implicacioacuten
aparece pues como la expresioacuten ldquodialeacutecticardquo de la relacioacuten entre causa y efecto
Olvidar que a efectos praxeoloacutegicos y de realizacioacuten praacutectica una teoriacutea por si sola es decir
sin la tecnologiacutea adecuada para una correcta reificacioacuten puede tener resultados indeseados
incluso dramaacuteticos En efecto una teoriacutea ofrece un conjunto o serie de modelos que se
deducen unos de otros se tienen tambieacuten todos los atributos eliminados para construir los
modelos que pertenecen al campo de predicados de los seres en cuestioacuten Para un ser dado
los atributos que hay que antildeadir a su modelo para reconstruir el original es la ldquotecnologiacuteardquo
de ese modelo Un ejemplo dramaacutetico ocurrido hace antildeos en Francia muestra la
importancia de la tecnologiacutea En una mina hubo necesidad de construir un ascensor para
subir hombres y productos de su interior Se hizo normalmente tal y como se muestra en la
figura III7(a) con un aacuterbol y un manguito sobre el cual se encontraba el tambor del
ascensor Primera fase del razonamiento Despueacutes se aplicoacute el caacutelculo a la determinacioacuten del
diaacutemetro del aacuterbol segunda fase del razonamiento A continuacioacuten se construyoacute el original
con esos datos lo que corresponde a la tercera fase Finalmente se comproboacute tras
distintas pruebas que el ascensor podiacutea soportar toda la carga que se le pondriacutea y mucha
maacutes De ahiacute se concluyoacute que los caacutelculos eran correctos y que el ascensor aguantariacutea sin
problemas es decir el estudio ldquocientiacuteficordquo del ascensor era perfecto Pero sucedioacute la
tragedia Unos antildeos despueacutes de funcionar con toda normalidad el ascensor se rompioacute y
once mineros cayeron a 250 metros de profundidad y murieron iquestQueacute pasoacute Sencillamente
que faltaba un punto de tecnologiacutea En efecto en una construccioacuten mecaacutenica nunca hay que
dejar un aacutengulo entrante agudo La experiencia ensentildea y la tecnologiacutea corrobora que los
113
aacutengulos entrantes son un peligro de ruptura y tal y como se muestra en la figura III7 (b)
deben ser sustituidos por caretos El ingeniero que realizoacute el proyecto del ascensor conociacutea
perfectamente la mecaacutenica racional la elasticidad la resistencia de materiales pero
ignoraba o se olvidoacute de ese aspecto tecnoloacutegico de que no se hace nunca un aacutengulo
entrante
Figura III7 Importancia de la Tecnologiacutea
Es eacuteste un buen ejemplo ademaacutes de que cuando se razonaba sobre un modelo abstracto
en relacioacuten con el original hay que pensar y tener en cuenta toda la tecnologiacutea que se quedoacute
en el tintero Sin contar por supuesto con que muchas veces al hacer la abstraccioacuten con el
agua sucia tambieacuten se arroja el nintildeo pequentildeo Esto lleva a plantearse la cuestioacuten siguiente
Cuando se tiene un modelo verificado un ser ficticio que se espera que exista en la realidad
iquestQueacute se le pide Sencillamente que sea admisible en cierto grado Se pide que le modelo
transformado pueda interpretarse Es decir en este estadio basta con ser admisible pues se
tiene soacutelo un ser admisible y no todaviacutea un ser real o cuando menos un ser cuya existencia
se ha comprobado Es un ser teoacuterico sin experiencia o mejor experimentacioacuten que lo avale
Por eso una futura liacutenea de trabajo seraacute el integrar toda la tecnologiacutea de desarrollo
software existente dentro de la teoriacutea propuesta
114
115
CAPIacuteTULO IV TEORIacuteA PROPUESTA
IV1METODOLOGIacuteA PROPUESTA
IV11DEFINICIOacuteN Y FORMULACIOacuteN DEL PROBLEMA
Cuando uno observa la abundante bibliografiacutea existente para la solucioacuten de problemas se
encuentra con que todas empiezan expliacutecita o impliacutecitamente con el paso conocido como
ldquoidentificacioacuten del problemardquo(Polya 1945) (De Bono 1970) (Wickelgren 1974) (Deutsch
1998) (Marinoff 2000) hellip pero curiosamente ninguna define peor auacuten ni siquiera
describe lo que es un problema Por eso aquiacute siguiendo a Juan Pazos (Pazos 1987) se va a
primero describir y luego definir formalmente queacute se entiende por problema Para
empezar decir que todo el mundo sabe o cree saber queacute es un problema sobre todo
cuando se le presenta uno es decir cuando ya le viene dado La cosa es maacutes peliaguda
cuando de lo que se trata y eso es lo importante de adelantaacutendose a los acontecimientos
identificar situaciones que si no se toman medidas inexorablemente acabaraacuten
convirtieacutendose en problemas Es decir se trata maacutes de prevenir que de curar
Dicho lo cual quizaacutes sea una cuestioacuten a la vez superflua y marginal el preguntarse queacute es
un problema por la sencilla razoacuten de que todo el mundo sabe lo que es un problema sobre
todo cuando se le presenta uno Sin embargo no es asunto baladiacute el definir de modo
preciso lo que se entiende por problema en general En cualquier caso el dar una definicioacuten
de problema es importante como paso previo para obtener una solucioacuten al mismo
Una persona se enfrenta a un problema cuando desea algo y no conoce inmediatamente
queacute accioacuten o serie de acciones debe ejecutar para conseguirlo El objetivo deseado puede
ser algo muy tangible tal como una manzana para comer o abstracto como sucede en la
demostracioacuten de un teorema Puede ser un objetivo fiacutesico o un conjunto de siacutembolos Las
acciones implicadas en la obtencioacuten de los objetos deseados incluyen acciones fiacutesicas
actividades perceptuales y actividades puramente ldquomentalesrdquo como juicios de similaridad
recuerdos y otras Es decir tener alguna idea de en queacute consiste realmente un problema es
lo mismo que especificar cuaacuteles son las condiciones para que exista un problema y cuaacuteles
son sus componentes Estas condiciones en su caso maacutes simple son
1 Debe existir al menos un ldquoindividuordquo hombre o maacutequina la cuestioacuten en principio es
irrelevante dentro de un marco de referencia o medio ambiente a quien se le pueda
116
atribuir el problema Este marco de referencia viene definido por las variables
incontrolables
2 El individuo debe tener por lo menos dos cursos de accioacuten alternativos es decir debe
poder efectuar una seleccioacuten del comportamiento Un curso de accioacuten se define por
uno o maacutes valores cualitativos o cuantitativos de las variables controlables
3 Cuando menos tienen que existir dos resultados posibles de su seleccioacuten uno de los
cuales debe tener mayor aceptacioacuten que el otro Es decir debe haber como miacutenimo un
resultado que eacutel quiera o sea un objetivo o meta
4 La seleccioacuten de cualquiera de las soluciones debe repercutir de una manera diferente
en los objetivos del sistema es decir existe una eficiencia y o efectividad asociadas
con cada solucioacuten que obviamente deben ser diferentes
5 El individuo tiene un problema uacutenicamente si ignora cuaacutel es el mejor curso de accioacuten y
desea conocerlo Ademaacutes debe tener dudas respecto a la solucioacuten
En resumen se puede decir que un individuo tiene un problema si eacutel quiere algo tiene
formas alternativas de perseguir ese algo pero con distintas eficiencias para conseguirlo y
duda acerca del mejor curso de accioacuten a tomar
Ciertamente las situaciones problemaacuteticas pueden ser mucho maacutes complejas que la que se
acaba de describir En efecto es faacutecil ver coacutemo dicha complejidad puede aumentar por una
combinacioacuten de las siguientes condiciones
1 El problema en vez de recaer en el individuo atantildee a un grupo
2 El entorno o marco de referencia donde se encuentra el grupo cambia de forma
dinaacutemica de modo que afecta a la efectividad de los cursos de accioacuten o de los valores
de los resultados
3 El nuacutemero de cursos de accioacuten alternativos puede ser muy grande aunque finito
4 Del mismo modo el nuacutemero de metas tambieacuten puede ser muy grande y
adicionalmente dichas metas pueden no ser necesariamente consistentes
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5 Las alternativas pueden ser ejecutadas por otro grupo ajeno aunque no
independiente del problema
6 Los efectos de la decisioacuten tomada por el grupo afectan a otros grupos cuya reaccioacuten
puede ser favorable o desfavorable
En otros teacuterminos un problema no estaacute cabalmente definido o no es digno de
consideracioacuten formal a menos que cumpla las condiciones siguientes
A) Estar expresado en una terminologiacutea claramente entendible para el potencial
solucionador del problema
B) La forma y notacioacuten para la solucioacuten debe estar convenida
C) Identificacioacuten de los datos relevantes sobre los que puede basarse una solucioacuten
D) Convencioacuten acerca de alguna de las unidades sobre la validez o aceptabilidad de las
soluciones propuestas
Aunque estas caracteriacutesticas son naturales a cualquier proceso de solucioacuten de problemas
con computador con frecuencia se ignoran faacutecilmente en situaciones de resolucioacuten de
problemas humanos informales Una razoacuten importante del uso de los computadores para
ayudar a las personas a solucionar problemas estriba precisamente en que el proceso de
describir el problema al computador obliga al hombre a dotar al problema de las
caracteriacutesticas anteriores y en consecuencia a clarificar su propio pensamiento difuso El
uso de la GC permitioacute como muestra esta tesis definir cabalmente el problema y lo que
es maacutes importante dilucidar su posibilidad o no de solucioacuten previamente su factibilidad y
eventualmente una propuesta efectiva de solucioacuten
IV2 CARACTERIacuteSTICAS DE UNA TEORIacuteA EN CS
La razoacuten de ser de esta teoriacutea es la informacioacuten En primer teacutermino hay que sentildealar que al
contrario de lo que ocurre con las ciencias tradicionales la informacioacuten como lo sentildealoacute
Wiener no es ni materia ni energiacutea En segundo lugar hay que enfatizar que la informacioacuten es
una abstraccioacuten que soacutelo adquiere realidad cuando tiene una representacioacuten fiacutesica En tercer
lugar es imposible considerar la informacioacuten sin tener en cuenta los dispositivos tanto
118
naturales como artificiales que la procesan Finalmente estaacute el asunto de la gradualidad la
informacioacuten puede presentarse como un simple dato o como una compleja ontologiacutea Todos
estos puntos se explican maacutes detenidamente a continuacioacuten
Antes de pasar a describir los elementos que aquiacute se proponen como fundamento de una
teoriacutea en CS es necesario considerar las caracteriacutesticas y peculiaridades que tiene la CS para
que dicha teoriacutea esteacute bien arraigada y asentada en la realidad y no en meras especulaciones
carentes de base Dicho lo anterior lo primero que hay que sentildealar es que la CS es una nueva
ciencia y en consecuencia es trascendental entender adecuadamente su naturaleza y
caraacutecter Como lo sentildealoacute Hartmanis (Hartmanis 1993) el fracaso de la informaacutetica en
acomodarla a los meacutetodos habituales de las ciencias de la naturaleza viene dado de ese
caraacutecter especial que la conforma haciendo que la teoriacutea y los experimentos en informaacutetica
sean peculiares y jueguen un papel considerablemente distinto Lo que actualmente se
consideran ldquoteoriacuteasrdquo informaacuteticas no compiten entre siacute acerca de cual explica mejor la
naturaleza de la informacioacuten Ni se desarrollan nuevas teoriacuteas para reconciliar la ldquoteoriacuteardquo
existente con los resultados experimentales que revelan anomaliacuteas inexplicadas o nuevos o
inesperados fenoacutemenos De hecho en informaacutetica no existen hasta el presente experimentos
cruciales que decidan acerca de la validez de las ldquoteoriacuteasrdquo existentes entre otras cosas porque
dichas teoriacuteas no existen Esto tiene entre otras una consecuencia al menos a primera vista
indeseable desde el punto de vista cientiacutefico y sin embargo importante cual es que los
avances en informaacutetica son con frecuencia validados y documentados mediante
ldquodemostracionesrdquo (demos) antes que mediante experimentos cruciales como en las ciencias
duras o demostraciones formales como en loacutegica y o matemaacuteticas Y es papel de las ldquodemosrdquo
mostrar la posibilidad o capacidad de lo que se pensaba que era importante o no factible de
modo que influencian y condicionan la agenda y direccioacuten de la investigacioacuten en informaacutetica lo
que estaacute lejos de ser satisfactorio desde el punto de vista del rigor cientiacutefico Esto lleva a
considerar las caracteriacutesticas que hacen tan peculiar esta nueva ciencia y que de forma
sucinta son las siguientes
A) El Objeto de Estudio La Informacioacuten y sus Procesos El objeto de estudio de la CS no es
contra lo que habitualmente se piensa ni exclusiva ni principalmente las computadoras
sino la informacioacuten y sus estructuras y los procesos que actuacutean sobre ella Dichas
estructuras y procesos son ubicuos en la naturaleza de modo que aparecen tanto en los
cerebros de los animales y en particular de los seres humanos como en los procesos
geneacuteticos y maacutes concretamente en el ADN Y de forma no natural la informacioacuten se
119
procesa en las computadoras Lo trascendental aquiacute es que el objeto de estudio la
informacioacuten que es la razoacuten de ser de la CS no es como ocurre en las ciencias
tradicionales y sentildealoacute Wiener ni materia ni energiacutea aunque como lo indicoacute David
Chalmers siguiendo a Wheeler (Horgan 1994) la informacioacuten es una propiedad de la
realidad tan esencial como la materia y la energiacutea Es decir la CS estaacute concernida por una
parte con el tema abstracto de la informacioacuten que adquiere realidad soacutelo cuando tiene
una representacioacuten fiacutesica y por otro con los dispositivos y sistemas tanto hardware como
software artificiales esto es hechos por el ser humano que procesan dichas
representaciones Su meta es dotar a esos dispositivos de procesamiento de tanto
comportamiento inteligente como sea posible En consecuencia una teoriacutea completa debe
abarcar tanto la CS como el ADN o el Cerebro y cualquier otro sistema tanto natural como
artificial que generase o maneje informacioacuten
B) Escalabilidad Gradualidad Ademaacutes de complejos muchos productos software son
enormes En los desarrollos software como por otra parte en muchos otros campos de la
vida lo cuantitativo afecta a lo cualitativo Parte de la habilidad de un buen profesional
estriba en saber que teacutecnicas aumentaraacuten (ldquoscale uprdquo) soacutelo porque el tamantildeo no fue
planificado Con frecuencia un ldquogranrdquo sistema es justo un pequentildeo sistema que crecioacute
De lo anterior se colige que una de las caracteriacutesticas peculiares tal vez la maacutes importante
de la CS es la inmensa diferencia de escala de los fenoacutemenos que trata Dicha escala va
desde unos pocos datos y programas que afectan a los problemas individuales habituales
hasta los billones de operaciones por segundo en los distintos sistemas operativos
compiladores y lenguajes en que se describen los problemas pasando por los millones de
datos y registros de los grandes sistemas de informacioacuten que abordan tanto problemas de
gestioacuten como cientiacuteficos En este uacuteltimo aspecto cabe destacar el uso de sistemas
informaacuteticos para demostracioacuten de conjeturas matemaacuteticas a un nivel similar a la prueba
del uacuteltimo teorema de Fermat El caso paradigmaacutetico en este aspecto es la demostracioacuten de
la conjetura de Kepler que algunos la consideraban como la mejor candidata para
reemplazar al uacuteltimo teorema de Fermat como el mayor enigma actual sin resolver en
matemaacuteticas (Singh 1998) A lo que la doctoranda antildeade la hipoacutetesis de Riemann sin duda
el gran desafiacuteo
C) Prometeo versus Epimeteo La potencia ldquoexponencialmenterdquo creciente de las
computadoras hace que en la consideracioacuten de informacioacuten y su proceso la gente tienda a
120
comportarse maacutes como Epimeteo que como seriacutea lo correcto como Prometeo La
mitologiacutea griega (Seeman 1958) cuenta que en Grecia habiacutea dos hermanos Prometeo el
que primero piensa y luego actuacutea y Epimeteo quien primero actuaba y luego pensaba Si el
primero fue castigado por los dioses por robarle el fuego del conocimiento el segundo
castigoacute a la humanidad al regalarle Pandora la famosa caja de la que cuando
imprudentemente la abrioacute salieron de ella todos los males Asustado ante tanto estropicio
ignorantemente cerroacute la caja cuando lo que quedaba en ella era justamente lo uacutenico
bueno la esperanza La moraleja es que como ha demostrado la historia de la ciencia en
CS lo que a primera vista parece lo maacutes adecuado muchas veces resulta no ser asiacute El caso
de los primeros intentos de emular a los paacutejaros para volar es ejemplar al respecto y hubo
que esperar a las leyes de Bernouille para poder desarrollar la aerodinaacutemica
D) Abstraccioacuten (Meyer 2001) Es la herramienta intelectual clave y en concreto consiste en la
capacidad para separar lo esencial de lo auxiliar para ver la idea que preside sobre la
realidad y que inicialmente puede estar oculta Baacutesicamente el anaacutelisis capaz de hacer
abstracciones es aquel capaz de abandonar el plano del sentido comuacuten de las cualidades
sensibles de la experiencia inmediata La modelizacioacuten informaacutetica de la realidad compleja
ha creado un espacio cada diacutea maacutes relevante para la ldquotercera viacutea del meacutetodo cientiacuteficordquo un
enfoque intermedio entre el procedimiento teoacuterico y el experimental Y es ahiacute justamente
donde nace lo que el premio Nobel Ken Wilson dio en llamar ldquoCiencia Computacionalrdquo o
por mejor decir ciencias y disciplinas computacionales verbigracia la matemaacutetica
computacional la fiacutesica computacional la quiacutemica computacional la biologiacutea
computacional la geologiacutea computacional la medicina computacional etc Todas ellas
trabajan con modelos matemaacuteticos y o informales e informaacuteticos abstractos no con
moleacuteculas sino con modelos de moleacuteculas no con la economiacutea nacional sino con un
montoacuten de matrices y ecuaciones no con un operador humano sino con un modelo de
coordinacioacuten vasomotora no con Pistol Star la mayor luminaria de la Viacutea Lactea una
estrella supuestamente nacida hace tres millones de antildeos que soacutelo se ve con el telescopio
espacial Hubble tal como era hace tres millones de antildeos ya que dista de nosotros 3x106
antildeos-luz sino con unas sentildeales recibidas por el Hubble y unas ecuaciones computacionales
En el laboratorio el centro de ldquoexperimentacioacutenrdquo es el computador La realidad ya no es
material o no exclusivamente material pues lo virtual es igual de real actualmente que lo
material El informaacutetico tienen que generar muchos niveles de abstraccioacuten para tratar con
los problemas que le conciernen y crear herramientas intelectuales para conceptuar
disentildear controlar programar y razonar acerca de las creaciones humanas maacutes
121
complicadas y todo ello realizado con una precisioacuten sin precedentes Los sistemas
hardware subyacentes con el que se efectuacutean las computaciones son maacutequinas universales
y por lo tanto son sistemas caoacuteticos en el sentido de que el maacutes miacutenimo cambio en sus
instrucciones puede originar arbitrariamente diferencias enormes en los resultados
obtenidos Eacutesta como es bien conocido es una propiedad inherente a los sistemas de
coacutemputo universales cuya teoriacutea hace claro que cualquier incremento de universalidad
impone un precio muy alto La precisioacuten teniendo en cuenta las exigencias de dicha
condicioacuten caoacutetica se consigue mediante sucesivas capas de abstraccioacuten implementadas
alrededor de las maacutequinas universales que ayudan a enfrentar los muchos oacuterdenes de
magnitud en la escala de distintos fenoacutemenos que aborden los problemas informaacuteticos
Dada la confusioacuten existente entre abstraccioacuten y generalizacioacuten se va a dar aquiacute un ejemplo
de ambas procedente de la literatura maacutes en concreto de la novela de Miguel de
Unamuno (Unamuno 1969) Niebla que aclaran la cuestioacuten En dicha novela el amigo del
protagonista Viacutector le explica a eacuteste Augusto la diferencia No veraacutes veraacutes si logro
explicaacutertelo Tuacute estabas enamorado sin saberlo por supuesto de la mujer del abstracto no
de eacutesta ni de aquella al ver a Eugenia ese abstracto se concretoacute y la mujer se hizo una
mujer y te enamoraste de ella y ahora vas de ella sin dejarla a casi todas las mujeres y te
enamoras de la colectividad del geacutenero Has pasado pues de lo abstracto a lo concreto y
de lo concreto a lo geneacuterico de la mujer a una mujer y de una mujer a las mujeres
E) Distincioacuten entre especificacioacuten e implementacioacuten Meyer (Meyer 2001) Este problema es
uacutenico al software porque trata con entidades virtuales eteacutereas Nadie confundiriacutea un
puente con el dibujo del puente o un automoacutevil con el plano de un automoacutevil Uno no
coloca el dibujo en el agua ni conduce y se mueve con el plano Pero en software la
distincioacuten con frecuencia estaacute lejos de estar tan clara A diferencia de lo que sucede en el
cuadro de Magritte uno se arriesga en software constantemente a confundir la pipa con
la pintura de la pipa Aprender a centrarse sobre el asunto real es parte de lo que se
necesita para llegar a ser un profesional del software Mantener esta distincioacuten
correctamente es el pan de cada diacutea de las discusiones software
- iexclEsto es soacutelo un detalle de implementacioacuten
- No realmente forma parte de lo que se quiere hacer
- iexclNo es soacutelo una manera de hacerlo
- iexclMuestra otra
122
- iexclNo importa que no se vea otra en este momento alguien lo haraacute
F) Recurrencia La cuestioacuten no estriba en absoluto en usar rutinas recurrentes eso no es maacutes
que una teacutecnica Lo importante es dominar el modo general de razonamiento y disentildeo que
define un concepto por aplicar su propia definicioacuten a alguna de sus partes Al principio es
complicado pero una vez que se ha aprendido a usar la recursioacuten adecuadamente se ha
ganado una potente herramienta intelectual aplicable a traveacutes del campo La poderosa viacutea
de la recursioacuten como teacutecnica de resolucioacuten de problemas es pertinente en multitud de
ocasiones y enunciada como principio general podriacutea rezar maacutes o menos asiacute ldquoSi
consiguiera resolver el problema en un caso algo maacutes sencillo tal vez pudiera utilizar esa
solucioacuten para el caso maacutes complejordquo Tal idea es la nocioacuten de recurrencia expliacutecitamente la
inclusioacuten en un procedimiento del propio procedimiento
Kurt Goumldel en el antildeo 1930 habiacutea enunciado un notorio principio filosoacutefico en el aacutembito de las
matemaacuteticas a partir de lo que se dio en llamar ldquosistemas autorreferencialesrdquo Por ejemplo en
frases del tipo ldquoEsta afirmacioacuten es falsardquo o ldquoYo estoy mintiendordquo tiene lugar un fenoacutemeno
denominado ldquobucle extrantildeordquo consistente en que si se asume que la frase es verdadera
entonces hay que concluir que la frase es falsa y reciacuteprocamente si se decide que es falsa
entonces hay que concluir que es verdadera Goumldel trasladoacute esta paradoja del lenguaje
conocida como ldquoparadoja del mentirosordquo al terreno de las matemaacuteticas en particular al de la
loacutegica dando lugar a numerosos trabajos para superarlas Sin embargo no siempre los
sistemas autorreferenciales son motivo de quebraderos de cabeza En efecto tanto en poesiacutea
como en tecnologiacutea o en juegos de sociedad a veces dan mucho de siacute Empezando por la
poesiacutea veacuteanse estos dos sonetos definiendo al propio soneto El primero debido a Diego
Hurtado de Mendoza que dice asiacute
Pediacutes Reina un soneto ya lo hago Ya tenemos a un cabo los cuartetos
Ya el primer verso y el segundo es hecho iquestQueacute me deciacutes Sentildeora iquestNo ando bravo
Si el tercero me sale de provecho Mas sabe Dios si temo los tercetos
Con otro verso el un cuarteto os pago iexclAy Si con bien este soneto acabo
Ya llego al quinto iexclEspantildea iexclSantiago iexclNunca en toda vida maacutes sonetos
Fuera que entro en el sexto iexclSus buen pecho Mas deste gloria a Dios ya he visto el cabo
Si del seacuteptimo salgo gran derecho
Tengo a salir con vida de este trago
123
El segundo fruto del Proliacutefico numen del Feacutenix de los Ingenios D Felix Lope de Vega y Carpio
aparece en su obra ldquoLa Nintildea de Platardquo y se titula ldquoDe Repenterdquo y puede calificarse de perfecto
Dice asiacute
Un soneto me manda hacer Violante Por el primer terceto voy entrando
Que en mi vida me he visto en tal aprieto Y parece que entreacute con pie derecho
Catorce versos dicen que es soneto Pues fin con este verso le voy dando
Burla burlando van los tres delante Ya estoy en el segundo y aun sospecho
Yo penseacute que no hallara consonante que voy los trece versos acabando
Y estoy en la mitad de otro cuarteto Contad si son catorce y estaacute hecho
Maacutes si me veo en el primer terceto
No hay cosa en los cuartetos que me espante
En el terreno de la tecnologiacutea es notorio el caso como se ve en la figura IV1 de la definicioacuten
de ldquomapa de conocimientordquo en teacuterminos de un mapa de conocimientos (del Moral 2007)
Figura IV1 Autodefinicioacuten de Mapa de Conocimiento
Finalmente estaacute el juego de ldquoWishrdquo que consiste en que uno da una palabra del diccionario
cualquiera luego los demaacutes participantes por turno va estableciendo como en un aacuterbol
todas las palabras del diccionario que la definen y a su vez las palabras que definen a eacutestas
etc hasta que necesariamente (dado que el diccionario es autocontenido o sea todas las
palabras del diccionario se definen en teacuterminos de dichas palabras) aparece una repeticioacuten
124
La autorreferencia es decir la posibilidad de que una cierta entidad linguumliacutestica matemaacutetica o
computacional se refiera a siacute misma da lugar a razonamientos circulares y paradojas
enigmaacuteticas Un ejemplo es la ya citada paradoja del mentiroso de la que existen muacuteltiples
versiones La maacutes simple consististe en una sola frase que afirma su propia falsedad ldquoEsta
frase es falsardquo No puede ser cierta ni falsa sin caer en una contradiccioacuten Consideacuterese otro
ejemplo linguumliacutestico Se clasifican los adjetivos calificativos en dos grupos se llamaraacuten
autoacuteclitos a los adjetivos que pueden aplicarse a siacute mismos y heteroacuteclitos a los que no pueden
aplicarse a siacute mismos Por ejemplo el adjetivo ldquoesdruacutejulordquo es autoacuteclito porque esdruacutejulo es
una palabra esdruacutejula y ldquopentasiacutelabordquo que es una palabra con cinco siacutelabas y por tanto
pentasiacutelaba Es difiacutecil dar maacutes ejemplos puesto que la mayoriacutea de los adjetivos como
ldquoblancordquo ldquofranceacutesrdquo o ldquoestrechordquo son heteroacuteclitos Ahora inteacutentese responder a la siguiente
pregunta iquestes el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo autoacuteclito o heteroacuteclito Si es autoacuteclito entonces se
aplica a siacute mismo y es por tanto heteroacuteclito y siacute es heteroacuteclito entonces no se aplica a siacute
mismo y no puede ser heteroacuteclito De nuevo una frase el adjetivo ldquoheteroacuteclitordquo es heteroacuteclito
afirma su propia falsedad Un curioso juego el Nomic en el que los jugadores cambiaban las
reglas del propio juego a lo largo de la partida (de hecho las reglas iniciales del juego
simplemente estableciacutean los mecanismo para modificarlas) es otro ejemplo Pero la
autorreferencia no soacutelo da lugar a paradojas o a grandes teoremas El maacutes familiar y maacutes
misterioso fenoacutemeno de la Naturaleza la conciencia que los seres humanos tienen de siacute
mismos es en uacuteltima instancia un tipo de autorreferencia
Un nuevo ejemplo de autorreferencia que sin duda atrae mucho la atencioacuten es la foacutermula de
Tupper (Parrondo2007) que tienen la sorprendente propiedad de dibujarse a siacute misma en el
plano La foacutermula es la siguiente
Figura IV2 Autorretrato de la foacutermula de Tupper
125
En ella aparecen dos siacutembolos que quizaacutes algunos no conozcan aunque son habituales en
matemaacuteticas El primero de ellos es x y es la parte entera de x es decir el entero
inmediatamente por debajo de x Por ejemplo 2452 = Como se ve la parte entera de un
nuacutemero es simplemente lo que hay a la izquierda de la coma decimal La otra funcioacuten que
aparece en la foacutermula de Tupper es la funcioacuten ldquomoacutedulordquo mod (xz) que es igual al resto que se
obtiene cuando se divide x entre y Por ejemplo mod(3617)=2
La foacutermula establece una condicioacuten para el par x y Si se colorean de negro en el plano (xy) los
puntos que verifican la condicioacuten se obtendraacute un dibujo una imagen infinitamente grande
puesto que el plano (xy) es infinito Pues bien en un lugar de esa imagen infinita en concreto
en la regioacuten definida por 0ltxlt106 kltyltk+17 en donde k es un nuacutemero enorme de 542 cifras
aparece lo que se muestra en la figura IV2 es un autentico ldquoautorretratordquo matemaacutetico
iquestCoacutemo llegoacute Tupper a concebir algo tan sorprendente y tan extrantildeo En realidad no es tan
difiacutecil porque la foacutermula de Tupper no soacutelo se dibuja a siacute misma sino que dibuja cualquier
imagen de 17 piacutexeles de altura y ancho arbitrario Para convencerse de ello hace falta un
razonamiento un poco complicado aunque soacutelo utiliza matemaacuteticas elementales Analiacutecese la
foacutermula cuando y variacutea desde k hasta k+17 siendo k un muacuteltiplo de 17 es decir k=17r con r
un nuacutemero entero En toda esta regioacuten del plano
r17
y=
es constante Fijaacutendose ahora en el exponente de 2 en la foacutermula (cambiado de signo) es
decir en la expresioacuten
( )17ymodx17n +=
En la figura IV3 se muestra coacutemo este exponente n variacutea en el plano Si se dibuja una trama de
piacutexeles cuadrados de lado unidad n toma un valor distinto en cada uno de ellos tal y como se
indica en la figura Para convencerse de ello basta darse cuenta de que ( )17ymod es un
entero que variacutea de 0 a 16 cuando y va desde k=17r hasta k+17 mientras que el teacutermino
x17 salta de 17 en 17 cuando se avanza de una columna a la siguiente
126
Figura IV3 Variacioacuten del exponente n pixel a pixel
Veacutease ahora el paso crucial para entender la foacutermula de Tupper La desigualdad
( ) 22rmod2
1 nminuslt
se puede analizar de forma sencilla si se expresa r en base 2 Supoacutengase que r es en binario
1011001 y que n=5 Para dividir r entre 25 basta colocar la coma decimal cinco lugares a la
izquierda de la uacuteltima cifra es decir r2-5=1011001 El moacutedulo 2 de este nuacutemero se obtiene
eliminando las cifras a la izquierda de la primer cifra entera mod(r2-52)=011001 Finalmente
la parte entera de este nuacutemero es simplemente la cifra que queda a la izquierda de la coma
decimal en este caso 0 Por lo tanto el miembro de la derecha de la desigualdad no es maacutes
que la cifra n+1 de r empezando por la derecha Si esta cifra es un 0 la foacutermula es falsa Si es
un 1 es verdadera y generaraacute un piacutexel negro en el lugar correspondiente al exponente n
Con todo ello se puede encontrar en queacute regioacuten del plano se dibuja la foacutermula de Tupper de
cualquier imagen Basta escribir un nuacutemero binario entero r con unos y ceros en donde se
quiere que haya piacutexeles negros y blancos respectivamente Si se tiene que escribir r de
derecha a izquierda mientras si sigue los piacutexeles de la imagen en el orden especificado en la
figura IV3 (desde n=0 hasta el valor que se quiera) Una vez que se obtiene r de esta forma se
multiplica por 17 y se obtiene k=17r La imagen buscada estaraacute en la franja que va de y=k hasta
127
y=k+17 y de x=0 hasta el valor de x en el que termina la imagen que puede ser tan ancha
como se quiera (los piacutexeles a la derecha del uacuteltimo codificado en el nuacutemero r seraacuten blancos)
La foacutermula no da lugar a ninguna paradoja pero no es soacutelo autorreferente sino una auteacutentica
Biblioteca de Babel Dibuja todas las posibles imaacutegenes de 17 piacutexeles de altura y de anchura
arbitraria y como en 17 piacutexeles de altura es faacutecil dibujar cualquier letra del abecedario y
cualquier signo de puntuacioacuten entonces la foacutermula ldquoescribiraacuterdquo en alguna remota franja del
plano y como si se tratara de un rudimentario teletipo el Quijote entero desde su primera
hasta su uacuteltima letra o cualquier otro libro escrito o por escribir
G) Informacioacuten oculta Decidir lo que se exporta al resto del mundo y lo que uno guarda para siacute
mismo es una capacidad que los desarrolladores del software adquieren soacutelo a traveacutes de
una combinacioacuten de buenos ejemplos y praacutectica
H) Reutilizacioacuten El buen desarrollador de software se da cuenta de que una clave para dejar la
ldquomarca de faacutebricardquo es saber cuaacutendo se puede contar con alguacuten trabajo anterior para
resolver el problema en curso Reutilizar bien es una habilidad producir resultados para
que otros los empleen es el signo de que se es un maestro El uso de ontologiacuteas es aquiacute
esencial
I) Pleacutectica o coacutemo vencer la complejidad Los sistemas software son ambiciosas empresas
intelectuales verdaderamente alguno de los sistemas maacutes complejos jamaacutes concebidos
por la humanidad y la complejidad amenaza con engullirse el proyecto en cada estadio Los
expertos saben coacutemo reconocer la simplicidad esencial maacutes allaacute de un aparente embrollo A
esta propiedad el Nobel de fiacutesica Gell-Man le denomina ldquoPleacutecticardquo (Gell-Man 1996) que el
mismo define como el estudio de la simplicidad y la complejidad Uno de sus fines es
establecer claramente cuaacutendo la adicioacuten de nuevos elementos (reglas datos etc)
simplemente complica las cosas sin antildeadir nada esencial
J) Disentildeo para el cambio El software puede cambiar debe cambiar y de hecho cambia maacutes
que cualquier artefacto de ingenieriacutea de cualquier otro tipo A menos que los
desarrolladores apliquen minuciosamente principios arquitectoacutenicos estrictos el proceso
de cambio puede ser penoso especialmente para grandes sistemas Mucha de la
justificacioacuten para los modernos meacutetodos lenguajes y herramientas es la expectativa de que
facilitaraacuten este proceso Aprender los principios del disentildeo para el cambio y presentar
claramente sus beneficios es algo esencial
128
K) Clasificacioacuten Una de las ensentildeanzas extraiacutedas de la programacioacuten orientada a objetos POO
es que una manera de atacar la complejidad es organizar lo ldquoenfollonadordquo en embrollos
maacutes pequentildeos y repetir el proceso
L) Tipificacioacuten La nocioacuten de que dando a todo una tipificacioacuten produce elementos software
correctos documentarlos y hacerlos utilizables efectivamente es otra realizacioacuten que puede
afectar profundamente el entendimiento del campo del profesional del software
Cuestiones y teacutecnicas de tipificacioacuten van a traveacutes de la especificacioacuten hasta la
implementacioacuten y documentacioacuten La profesioacuten de desarrollador software tiene a gala
haber tomado el estudio y la construccioacuten de sistemas tipo maacutes que cualquier otra
disciplina dominar su poder es necesario para llegar a ser un buen profesional
M) Constricciones La praacutectica de algoritmos estructuras de datos moacutedulos y sistemas con
restricciones precisas garantiacuteas e invariantes da con mucho un mejor control sobre lo que
se hace Una vez dominada esta habilidad es para siempre
N) Manejo de excepciones La mayoriacutea de la gente en su vida cotidiana y los desarrolladores
de software no son en esto una excepcioacuten considera soacutelo las cosas o situaciones maacutes
comunes y o deseables sin embargo un buen profesional debe preocuparse
constantemente tambieacuten por las situaciones anormales Soacutelo a traveacutes de teacutecnicas
conceptuales sistemaacuteticas puede evitarse el ahogarse en las partes supuestamente
interesantes del razonamiento en miriacuteadas de previsiones y casos excepcionales En este
sentido la CS tiene maacutes que ver con la acutePatafiacutesica que es el estudio y anaacutelisis de las
excepciones que con la Fiacutesica que trata de leyes lo maacutes generales posibles
La lsquoPatafiacutesica palabra que seguacuten Arrabal (debe llevar siempre apoacutestrofe pegado a la
izquierda de la P mayuacutescula) en realidad es la disciplina que sin disciplina alguna propone
soluciones imaginarias En su diacutea se presentoacute en sociedad como ciencia de lo particular sin
dejarse atropellar por la afirmacioacuten positivista de que soacutelo hay ciencia de lo general En
plena iexcllocura estudia las leyes que rigen las excepciones e ilumina o explica el universo
suplementario o supremamente Para Shatuk (Shatuk 1996) Toda ley es por definicioacuten
general en el sentido de que generaliza todos los hechos observados En otro caso se estaacute
ante lo que el movimiento dadaiacutesta denominoacute lsquoPatafiacutesica Para ellos la ciencia de las
soluciones imaginarias no de lo real y ademaacutes es la ldquocienciardquo de lo particular es decir de
las ldquoleyesrdquo que gobiernan las excepciones En un sentido similar Alfred Jarry (Jarry 2003)
dice La lsquoPatafiacutesica cuya etimologiacutea debe escribirse epi (microετατα-ϕυσιχα) y cuya ortografiacutea
129
real es lsquoPatafiacutesica con apoacutestrofo para evitar un faacutecil retruecano es la ciencia que se antildeade
a la metafiacutesica asiacute sea en ella misma como fuera de ella extendieacutendose maacutes allaacute de eacutesta
tanto como ella misma se extiende maacutes allaacute de la fiacutesica Para Jarry los fundamentos de la
lsquoPatafisiacuteca son los siguientes
a) La lsquoPatafiacutesica es la ciencia de lo que se antildeade a la metafiacutesica En consecuencia su
dominio queda por debajo de eacutesta
b) Es la ciencia de las leyes que rigen lo excepcional Un epifenoacutemeno es lo que se antildeade a
un fenoacutemeno puesto que a menudo el epifenoacutemeno es el accidente la lsquoPatafisiacuteca seraacute
sobre todo la ciencia de lo particular por maacutes que suela decirse que soacutelo hay ciencia en
general Estudiaraacute por tanto las leyes que rigen las excepciones y explicaraacute el universo
suplementario de eacuteste O menos ambiciosamente descubriraacute un universo que pueda y
quizaacutes deba verse en lugar del tradicional ya que las leyes del universo tradicional que
se ha creiacutedo descubrir son tambieacuten correlaciones de excepciones aunque maacutes
frecuentes o en todo caso correlaciones de hechos accidentales que reducieacutendose a
excepciones poco excepcionales carecen del atractivo de la singularidad
c) Es la ciencia de las soluciones imaginarias que acuerda simboacutelicamente a los
lineamientos de los objetos las propiedades de eacutestos descritas por su virtualidad La
ciencia actual seguacuten los patafiacutesicos se funda sobre el principio de la induccioacuten lo cual
es falso La mayoriacutea de los hombres ha visto que tal o cual fenoacutemeno precede o sucede a
tal otro y concluye que siempre ocurriraacute asiacute En primer lugar esto es cierto solamente a
menudo depende de un punto de vista y estaacute codificado por la comunidad o por algo
peor En lugar de enunciar la ley de la caiacuteda de los cuerpos hacia un centro iquestpor queacute no
ha de preferirse la ascensioacuten del vacioacute o hacia una periferia tomaacutendose el vaciacuteo como
unidad de no-densidad hipoacutetesis eacutesta mucho menos arbitraria que la eleccioacuten del agua
como unidad concreta de densidad positiva
d) A los ojos de la lsquoPatafisiacuteca todo tiene el mismo valor y es en esencia imperturbable
e) Otros finalmente creen que la lsquoPatafisiacuteca es la ciencia basada en la observacioacuten de lo
inuacutetil y lo absoluto
Naturalmente la doctoranda soacutelo toma de la `Patafiacutesica el que en CS hay que considerar
y tener muy en cuenta las excepciones Lo demaacutes es puro surrealismo
130
O) Efecto Peneacutelope Falsas Maniobras Errores y Depuracioacuten Una parte importante de la vida
de los desarrolladores de software se gasta tratando con cosas que no funcionan coacutemo
deberiacutean De hecho los profesionales del software son los mayores expertos del mundo en
desarreglos Ensentildear a tratar estos desarreglos es fundamental a cualquier profesional del
software En el lenguaje de la construccioacuten se llaman ldquofalsas maniobrasrdquo a todas aquellas
actividades que se realizan en una obra de forma innecesaria bien sea por defectos de
disentildeo desarrollo del proyecto o improvisacioacuten al no haber sido tenidas en cuenta en la
planificacioacuten y programacioacuten de la ejecucioacuten de la obra Este inevitable hacer y deshacer
por improvisacioacuten falta de estudio previo o coordinacioacuten en el desarrollo y ejecucioacuten de un
proyecto en el mejor de los casos concierne a la eficiencia del proceso elevando los costes
del mismo y alargando innecesariamente los plazos de entrega de los productos
terminados pero en el peor lleva a fallos del mismo que inciden en la seguridad del
sistema en el que participan
IV 3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORIacuteA INFORMONES
Y HOLONES
La teoriacutea propuesta se basa en soacutelo dos elementos fundamentales o constructos conceptuales
siguientes
IV31 INFORMOacuteN
IV311 DEFINICIOacuteN
Cualquier teoriacutea acerca de la informaacutetica en general y del disentildeo y desarrollo software maacutes en
concreto tiene que considerar esto es establecer y definir el elemento fundamental de la
misma la informacioacuten y su componente baacutesico el ldquoinformoacutenrdquo Etimoloacutegicamente informacioacuten
procede del teacutermino latino ldquoinformarerdquo cuyo significado de ldquoinformrdquo y ldquoarerdquo es ldquodar formardquo y
del sufijo griego ldquoonrdquo entidad ser partiacuteculas que fusionadas dan ldquoser informacionalrdquo o ldquoser
con formardquo Es decir informoacuten es una entidad informacional Analiacutecese ahora el teacutermino
informacioacuten Si se busca en los diccionarios uno se encuentra que seguacuten el DRAE Informacioacuten
es la accioacuten y efecto de informar e informar es dar noticia de algo (RAE 2001) Por su parte en
el Websterrsquos New World Dictionary (Guralnik 1986) se encuentran entre otros los siguientes
significados noticias conocimiento adquirido de cualquier manera hechos datos etc En
efecto y eso es lo que es trascendental aquiacute la informacioacuten puede presentarse en forma de
131
datos noticias y conocimientos Este enfoque coincide tal y como se muestra en la tabla IV1
con multitud de autores (Lage 2004) salvo que alguno de ellos reducen toda la informacioacuten a
lo que maacutes adecuadamente debe denominarse noticias
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Aamont amp Nygord
Entidades sintaacutecticas es decir Patrones sin significado Entradas a un proceso de interpretacioacuten Paso iniciado de la toma de decisioacuten
Datos interpretados o con significado Salida del proceso de interpretacioacuten Entrada al proceso de decisioacuten basado en conocimientos
Noticias aprendidas o incorporadas a los recursos de los agentes de razonamiento y utilizables de forma activa en los procesos de decisioacuten Salida del proceso de aprendizaje Aspecto pragmaacutetico
Alter Beckman Spek van
der amp Spijkervert
Hechos imaacutegenes o sonidos Datos formateados filtrados interpretados y dotados de significado
Ideas Intuiciones Procedimientos Reglas que guiacutean las acciones y soportan las decisiones es decir las noticias maacutes acciones maacutes aplicaciones
Arsac Nivel sintaacutectico Interesa posibles signos duracioacuten combinaciones
Nivel semaacutentico Comprensioacuten de signos Reglas para asignar sentido a etiquetas Son variables con el tiempo y el entorno o contexto
Nivel pragmaacutetico relativo al valor o utilidad de las noticias Depende fuertemente del tiempo
Bauer Bobrow
Cook Kleer amp Thomson
Nuacutemeros palabras sonidos imaacutegenes desorganizads
Datos ordenados y procesados en palabras significativas
Noticias dotadas de contenido contexto y comunidad de aceptacioacuten Es decir noticias puestas a producir por la gente
Bohn Materia prima Datos estructurados y organizados Algo que prescribe que hacer verbigracia la prediccioacuten
Blum
Elementos dados no interpretados al analista o solucionador del problema Por ejemplo nombre del paciente resultado de un test etc
Coleccioacuten de datos o elementos que contienen significado Por ejemplo registro meacutedico de un paciente que incluye los resultados del laboratorio y la diagnosis En Teoriacutea de Informacioacuten reducen la incertidumbre
Formalizacioacuten de las relaciones experiencia reglas etc por las cuales se forman las noticias a partir de los datos La formulacioacuten puede ser descriptiva o procesable por computadora En el segundo caso los conocimientos pueden expresarse como una foacutermula o como una coleccioacuten de estructuras relaciones y reglas El uso de los conocimientos sugiere generalmente la capacidad de inferir noticias a partir de las que ya estaacuten presentes
Cleveland
Observaciones sin digerir hechos sin pulir Aparecen como nuacutemeros letras palabras sin contexto y o organizacioacuten Tambieacuten pueden ser sentildeales dibujos artefactos
Datos estructurados y o organizados en un contexto Constan de hechos y datos organizados para describir problemas y situaciones Aparecen en forma de frases figuras objetos en un contexto particular
Noticias organizadas uacutetiles interiorizadas por un ente Constan de verdades y creencias perspectivas y conceptos juicios y expectativas metodologiacuteas y ldquosaber coacutemordquo Se acumulan integran y conservan en el tiempo y estaacuten disponibles para que sean aplicables y usables de forma idoacutenea en el momento oportuno y en el sitio adecuado
Davenport y Prusak
Hechos discretos y objetivos sobre acontecimientos Se describen mejor como registros estructurados de transacciones Los datos maacutes significativos transformados por Contextualizacioacuten categorizacioacuten caacutelculo correccioacuten o conclusiones = Noticias
Mensajes en forma de documento o comunicacioacuten audible o visible que tienden a cambiar la manera en que un receptor percibe algo y apunta a modificar su(s) criterio(s) y comportamiento Las noticias transformadas mediante comparacioacuten obtencioacuten de consecuencias conexiones o conversaciones devienen en conocimientos
Comprensioacuten total informada y confiable acerca de algo Es una mezcla fluiacuteda de experiencia estructurada valores informacioacuten contextual e internalizacioacuten experta que proporciona un marco para la evaluacioacuten e incorporacioacuten de nuevas experiencias e informacioacuten No es algo ordenado y simple Puede considerarse como un proceso o un producto Estaacuten muy proacuteximos a la accioacuten
Debenham Los datos son los objetos fundamentales e indivisibles de una aplicacioacuten
Las noticias son las asociaciones funcionales impliacutecitas entre los datos de una aplicacioacuten
Los conocimientos son las asociaciones funcionales expliacutecitas entre las noticias y o los datos de una aplicacioacuten
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores (continua)
132
AUTOR DATOS NOTICIAS CONOCIMIENTOS
Gillette
Hechos organizados Siendo los hechos representaciones de fenoacutemenos y eacutestos lo que parece ser es decir lo que es percibido
Conceptos formados en la conciencia del perceptor Son datos seleccionados filtrados y usados para tomar decisiones o reforzar la posicioacuten de los usuarios Es decir son datos aplicados y uacutetiles Su valor es intriacutensecamente relativo a los usuarios
Noticias en accioacuten y movimiento Capacidad de reconocer comprender y seleccionar noticias y sus implicaciones Dice coacutemo aplicar las noticias y cuaacuteles buscar
Greenes and Shortliffe
Uacutenico punto de observacioacuten no interpretado Es decir el valor de un paraacutemetro especiacutefico Por ejemplo la lectura de la presioacuten arterial para una entidad particular (verbigracia un paciente) en un punto dado del tiempo
Datos organizados de manera que vehiculan significado
Se refiere a verdades generalizadas formadas a partir del anaacutelisis de las noticias utilizables De este modo los conocimientos incluyen ambos los resultados de estudios formales y hechos de sentido comuacuten suposiciones heuriacutesticas y modelos cualquiera de los cuales puede reflejar la experiencia o ldquoprejuiciosrdquo o preferencias de aquellos que interpretan los datos primarios Por ejemplo la noticia de que un paciente tiene hipertensioacuten es el resultado de aplicar una regla o criterio a los datos acerca de ese paciente Observaciones de varios de tales pacientes pueden conducir a nuevos conocimientos acerca de las relaciones entre hipertensioacuten y enfermedad cardiaca Datos y conocimientos son algo relativo en el sentido de que una afirmacioacuten factual (conocimiento) puede servir como dato en un nuevo contexto
Grenwood Materia prima Noticias vaacutelidas para una organizacioacuten especifica
Harris Datos+ ldquosustanciardquo+ propoacutesito Noticias + contexto + experiencia
Juristo y Pazos
Son elementos sintaacutecticos no estructurados y de contexto libre que denotan hechos y conceptos que se refieren al estado de las cosas y que en su forma maacutes simple se traducen en el valor que toma una variable verbigracia T =
11degC
Contienen elementos de datos relacionados y estructurados dentro de un contexto que les aporta significado Es decir es el significado que un ser inteligente atribuye a los datos a partir de las reglas convencionales empleadas para su representacioacuten Las noticias son foacutermulas escritas susceptibles de aportar conocimientos Por ejemplo
la frase ldquoel agua hierve a 100degCrdquo es una noticia
Constan por una parte de generalizaciones y abstracciones a partir de casos particulares y o concretos Por otra los conocimientos formalizan tanto las relaciones como la experiencia y permiten extraer nuevas noticias a partir de los datos y las noticias presentes o en uacuteltima instancia a explicitar noticias que soacutelo de modo impliacutecito estaacuten en los datos y las noticias existentes Los conocimientos sirven baacutesicamente para entender el mundo y resolver problemas En consecuencia los conocimientos conciernen baacutesicamente al aspecto pragmaacutetico o de utilizacioacuten de las noticias en general Asiacute el decir que ldquomuchos microbios perecen cuando se hierven a
100degCrdquo es un conocimiento que sirve para esterilizar agua contaminada y hacerla potable
Knapp Materia prima Noticias uacutetiles seleccionadas para ciertos trabajos
Kock y Moqueen
Vehiacuteculos de noticias y conocimientos
Lo relativo a hechos histoacutericos y descriptivos
Nuevo o modificado discernimiento o entendimiento predictivo
Kogut y Zander
Hechos ldquoamorfosrdquo Sentencias factuales o descriptivas Sentencias de coacutemo hacerlo esto es prescriptivos por ejemplo una receta
St Onge Materia prima Datos patroneados Capacidad para actuar
Vance Datos interpretados Noticias autenticadas
Zack Hechos en observaciones Datos en un contexto significativo Acumulacioacuten de noticias relevantes significativamente organizadas
Tabla IV1 Datos noticias y conocimientos seguacuten varios autores
133
Conceptualmente para que se produzca informacioacuten debe existir alguacuten grado de
incertidumbre Como lo sentildealoacute Bateson (Bateson 1979) Informacioacuten es cualquier diferencia
que produce una diferencia Es decir si algo caracteriza a la informacioacuten es que es o produce
sorpresa (Schank 1996) Todo el mundo espera que la naturaleza o la gente o cualquier otra
entidad del tipo que sea se comporte de una cierta manera es decir sin incertidumbre pero
curiosamente cuando eso sucede asiacute la gente se aburre y hastiacutea Lo que hace que algo sea
digno de intereacutes y consideracioacuten es aquello que aparece organizado alrededor del concepto
de fracaso de expectativas Dicho de otro modo las previsiones cobran intereacutes no cuando se
cumplen sino justamente cuando fallan Por ello informacioacuten es el valor de la sorpresa
medida como el inverso de la probabilidad esperada de un evento o fenoacutemeno Es decir
cuando se habla de cualquier fenoacutemeno no es posible aprender algo vaacutelido de eacutel si estaacute
totalmente determinado
En consecuencia soacutelo hay informacioacuten si existe al menos un elemento de variabilidad Eacutesta
debe presentarse en diferentes estados cuyo nuacutemero debe ser muy finito Esto permite
determinar en queacute estado se encuentra dicho fenoacutemeno Formalmente Sea un fenoacutemeno
variable X que se presenta en un nuacutemero finito de estados infinneE entonces se dice que se
tiene informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando previamente se puede determinar el estado
actual del fenoacutemeno sometido a consideracioacuten Ei Dicho con otros teacuterminos de algo invariable
nada se puede decir que alguien no apostillara ya lo sabiacutea siempre fue y es asiacute En
consecuencia soacutelo puede haber informacioacuten si existe un elemento de variabilidad Eacutesta debe
presentarse como acaba de decirse en un nuacutemero finito de estados distintos pues en otro
caso no seriacutea posible considerarlos todos Entonces iquestcuaacutel seriacutea el significado de los no
considerados Lo uacutenico que se puede decir de ese fenoacutemeno finito es en queacute estado estaacute
actualmente Todo ello permite establecer la siguiente definicioacuten formal de informacioacuten Sea
un fenoacutemeno variable que se presenta en un nuacutemero finito de estados se dice que hay
informacioacuten sobre dicho fenoacutemeno cuando se determina previamente el estado actual del
fenoacutemeno sometido a consideracioacuten
Esta doctoranda teniendo en cuenta lo anterior define la informacioacuten del modo siguiente
ldquoUna diferencia causada por un proceso subyacente casi siempre dirigido por propuestas y o
intereses capaz de transformar una estructura cognitiva vehiculada por una coleccioacuten de
siacutembolos que tiene el potencial de alterar el estado cognitivo de un agente cognoscitivo que le
dota de significadordquo
134
IV312 NIVELES Y ELEMENTOS DE INFORMACIOacuteN
Los distintos elementos que intervienen en el manejo y transmisioacuten de la informacioacuten (Lage
2004) que establecen una categorizacioacuten en niveles de la misma son los siguientes Soporte
sentildeales signos datos noticias conocimientos y sabiduriacutea
La informacioacuten va desde la infraestructura que la vehicula formada por su soporte sentildeales y
signos a la superestructura que la usa para la accioacuten constituida por conocimientos y
sabiduriacutea pasando por la estructura conteniendo los datos y las noticias (que es lo que
habitualmente se denomina informacioacuten) Es decir los tres primeros elementos conforman la
infraestructura de la informacioacuten los dos del medio la estructura y los dos uacuteltimos la
superestructura Estos cuatro uacuteltimos conforman lo que geneacutericamente se denomina
informacioacuten El paso de unos niveles a otros se puede dar esquemaacuteticamente como sigue
Soporte medio que transmite sentildeales o soporta fenoacutemenos (en griego lo que aparenta ser)
verbigracia Aire Agua ADN canales humo nervios etc son distintos soportes + variaciones
en dicho soporte rArr
Sentildeales + Coacutedigo rArr
Signos + Patroacuten rArr
Datos = Hechos imaacutegenes sonidos valores de variables texto coacutedigo hellip + Interpretacioacuten +
Significado + Estructura + Relevancia + Propoacutesito rArr
Noticias Datos interpretados sumarizados organizados estructurados filtrados formateados
+ Accioacuten + Aplicacioacuten rArr
Conocimientos Ideas normas procedimientos casos reglas modelos intuiciones que guiacutean
las decisiones y actuaciones + Seleccioacuten + Experiencia + Principios + Restricciones +
Aprendizaje + Intuicioacuten rArr
Sabiduriacutea Juicios eacuteticos y esteacuteticos y axioloacutegicos Preferencias Gustos etc
135
IV313 ASPECTOS DE LA INFORMACIOacuteN
Claacutesicamente y teniendo en cuenta la naturaleza triaacutedica de los signos hay tres aspectos a
considerar en el estudio formal de la informacioacuten (Morris 1938) a saber
a) Sintaacutectico que trata sobre coacutemo estaacuten estructurados los siacutembolos
b) Semaacutentico que concierne a lo que denotan o significan
c) Pragmaacutetico que afecta a coacutemo se interpretan o usan
Aspectos que de modo similar tambieacuten considera Arsac (Arsac 1970) y hoy con ligeras
variaciones acepta todo el mundo (Paradela 2003) Sin embargo siendo importante la
informacioacuten en siacute misma no lo es menos la componente de comunicacioacuten que implica
Intuitivamente el significado de una ldquocomunicacioacutenrdquo es una combinacioacuten de semaacutentica y
pragmaacutetica Esta uacuteltima incluye inherentemente consideraciones tales como el entorno y los
estados mentales de los que se comunican que son externos al propio lenguaje Las maacuteximas
ldquoGriceanasrdquo de la comunicacioacuten son la piedra maestra del proceso de discusioacuten y son las
siguientes (Grice 1975)
a) ldquoCantidadrdquo Hacer la contribucioacuten a la conversacioacuten tan informativa como sea necesario
pero no maacutes para reducir la confusioacuten
b) ldquoCalidadrdquo Intentar hacer soacutelo contribuciones verdaderas es decir no decir lo que se cree
que es falso o de lo que se carece de la adecuada evidencia para establecerlo
c) Relacioacuten Emplear soacutelo aquello que sea relevante para el asunto entre manos
d) Modo manera o forma Evitar la oscuridad y la ambiguumledad ser breve y ordenado Es un
anhelo generalizado en casi todos los oacuterdenes de la vida el economizar palabras
naturalmente sin perder nada del significado de lo que se quiere decir Baltasar Graciaacuten
(Graciaacuten 1963) deciacutea Lo bueno si breve dos veces bueno y auacuten lo malo siacute poco no tan
malo maacutes obran quintas esencias que faacuterragos Las foacutermulas tablas etceacutetera ayudan a
este propoacutesito
Las formas maacutes concisas elegantes y potentes de transmisioacuten de ideas y conceptos son las
foacutermulas y ecuaciones matemaacuteticas y la poesiacutea Pues ambas comparten la siguiente cualidad
136
caracteriacutestica La poesiacutea es como las foacutermulas y las ecuaciones la forma del lenguaje maacutes
concisa y cargada de significado La diferencia estaacute en que en las foacutermulas y ecuaciones el
idioma es universal cosa que no sucede en la poesiacutea
La distincioacuten entre datos noticias y conocimientos lleva antildeos intentado dilucidarse sin que
hasta el momento se haya llegado a una conclusioacuten definitiva Una posible razoacuten para esta
falta de consenso estriba en el hecho de que se mezclan distintas perspectivas en las
discusiones acerca de conceptos que como sucede en el caso de ldquoinformacioacutenrdquo resultan ser
ldquopolimorfosrdquo Se dice que un concepto es polimorfo cuando no es posible definirlo como se
hace con las definiciones claacutesicas mediante un conjunto de atributos caracteriacutesticas y o
propiedades y o condiciones necesarias y suficientes universalmente vaacutelidas Un ejemplo
tiacutepico de concepto polimoacuterfico es el de ldquococherdquo que no es lo mismo para un ingeniero
mecaacutenico que para un ecologista o para un planificador de traacutefico Es decir el concepto
ldquococherdquo admite y de hecho tiene distintas definiciones dependiendo del contexto Todo lo
contrario sucede con los conceptos matemaacuteticos formales establecidos que tienen definicioacuten
uacutenica
En general no hay forma de distinguir datos noticias y conocimientos a partir de una base
ldquorepresentacionalrdquo de los mismos es decir vistos aisladamente como elementos y estructuras
en un papel o una maacutequina o cualquier otro sistema pues usan los mismos signos y sentildeales
Por eso cualquier distincioacuten basada en el tamantildeo o complejidad de la representacioacuten estaacute con
probabilidad rayana en la certeza condenada al fracaso Una alternativa estriba en ir maacutes allaacute
de la representacioacuten e identificar coacutemo y con queacute propoacutesito se usan estas estructuras esto es
que papeles juegan en el proceso generalmente de toma de decisioacuten en el que participan En
consecuencia para poder categorizarlos ya que no es posible clasificarlos hay que tener en
cuenta ademaacutes de las estructuras por ellos mismos representadas su ldquointerpretacioacutenrdquo dentro
de los distintos contextos en que se aplican y por quieacuten son interpretados y aplicados Esto
conduce directamente al problema del ldquomarco de referenciardquo de los aspectos de
interpretacioacuten y los ldquoagentesrdquo hombres y o maacutequinas etc ejecutando la interpretacioacuten que
estaacuten interrelacionados Con el teacutermino ldquoagenterdquo se quiere decir un sistema natural y o
artificial con capacidad de inferencia y razonamiento sobre estructuras abstractas y de
ejecutar acciones en base a esas capacidades La cuestioacuten crucial es dilucidar a queacute ldquoagenterdquo
debe asignaacutersele un(os) elemento(s) concreto(s) en forma de dato(s) y o noticia(s) y o
conocimiento(s) o si eacutestos pueden considerarse como objetivos y o elementos
137
independientes de un inteacuterprete particular El concepto de ldquoholoacutenrdquo que se consideraraacute maacutes
adelante permitiraacute superar esas dificultades
De todo lo anterior se deduce que aunque pueda tomar distintas apariencias y usos la
informacioacuten es una y por eso una debe ser abstractamente su elemento baacutesico que a falta de
mejor nombre los autores deciden denominarle ldquoinformoacutenrdquo A modo de inciso aclarativo hay
que sentildealar que dicho teacutermino lo usoacute por primera y uacutenica vez Uttley (Uttley 1970) al aplicar
algunas ideas de la teoriacutea matemaacutetica de la comunicacioacuten de Shannon (Shannon 1948) al
perceptroacuten de Rosenblatt formado por unidades de separacioacuten lineal (ldquoneuronasrdquo) lo que
constituiacutea una fuerte limitacioacuten (Rosenblatt 1958) Para superarla Uttley propuso por una
parte un esquema de aprendizaje no supervisado en el que los pesos sinaacutepticos se definiacutean en
funcioacuten de que una ldquoneuronardquo i se active al tiempo que se activa otra j de la capa anterior y a
la que estaacute conectada por medio de una sinapsis y cuyo peso de conexioacuten asociado vendriacutea
dado por
)nn(P
)n(P)n(PlogkW
ij
ijii
ijsdot
sdotsdot=
Siendo k una constante a valorar por el disentildeador de la red P(nj) la probabilidad de que la
neurona j responda P(ni) la probabilidad de que la neurona i responda Y P(njni) la
probabilidad de que las dos neuronas esteacuten activadas simultaacuteneamente Por otra parte Uttley
tambieacuten reemplazoacute la funcioacuten umbral de activacioacuten del preceptroacuten por otra que proporcionaba
una respuesta maacutes graduada y no solamente de todo o nada Como puede verse el sentido
que se le da aquiacute no tienen nada que ver con la red de Uttley Fin de la aclaracioacuten
Es decir toda informacioacuten con independencia del soporte que se utilice de las sentildeales que
use y de los signos a que deacute lugar y emplee es ni maacutes ni menos un conjunto de informones
Fiacutejese que no se dice que puede representarse es mucho maacutes que eso estaacute constituida por
informones Por otra parte los tres aspectos a considerar en el estudio formal de la
informacioacuten (Morris 1938) Sintaxis o estructura de los signos Semaacutentica o significado de los
mismos y Pragmaacutetica o interpretacioacuten y o uso de dichos signos estaacuten contemplados en el
informoacuten El informoacuten es tanto un dato a nivel sintaacutectico como un registro de un MIS a nivel
semaacutentico como una ontologiacutea a nivel pragmaacuteticoPor ejemplo las bases de datos estaacuten
constituidas por informones tipo datos Los sistemas de informacioacuten proporcionan informones
138
tipo noticias estructuradas Y las bases de conocimiento se estructuran con informones en
forma de ontologiacuteas
Asiacute se define el informoacuten como el elemento baacutesico de la informacioacuten que tiene sentido para
un holoacuten y le permite tomar decisiones y ejecutar acciones adecuadas El informoacuten puede
tomar la forma de un dato de una noticia y de un conocimiento La unioacuten de informones como
datos y los holones correspondientes de informones como noticias y los correspondientes
holones con los que interactuan forman los asiacute aunque inadecuadamente denominados
sistemas de informacioacuten Finalmente la unioacuten de informones en forma de ontologiacuteas como
conceptualizaciones consensuadas de conocimientos y los correspondientes holones en este
caso en forma de motores de inferencia que las manejan y se interrelacionan forman los
Sistemas Basados en Conocimientos en general y los Sistemas Expertos en particular
IV32 EL ldquoHOLOacuteNrdquo
IV321 LA PARAacuteBOLA DE LOS RELOJEROS DEFINICIOacuteN DE HOLOacuteN
Como ya se ha dicho no existe informacioacuten sin algo que la procese Dicho lo anterior el
elemento baacutesico del proceso de la informacioacuten que aquiacute se considera es el que para usar el
teacutermino empleado por Koestler (Koestler 1967) basaacutendose en ldquola paraacutebola de los relojerosrdquo de
Simon (Simon 1962) se va a denominar holoacuten
El premio Nobel de economiacutea del antildeo 1978 y uno de los padres de la Inteligencia Artificial
Herbert A Simon planteoacute la paraacutebola de dos relojeros en el sentido de disentildeadores y sobre
todo constructores de relojes En dicha paraacutebola Simon concluiacutea (Simon 1962) que los
sistemas evolucionan mucho maacutes raacutepida y seguramente de un nivel de complejidad
determinado a otros niveles de complejidad significativamente superior si se consiguen
formas intermedias estables que actuacuteen como pasos intermedios hasta ldquoalcanzarrdquo el objetivo
Simon ilustraba el proceso seguacuten el cual era posible ldquocrecerrdquo minimizando riesgos hasta llegar
a sistemas complejos La idea es que un sistema complejo resultariacutea sumamente fraacutegil si no
constara de subsistemas interrelacionados y en la medida conveniente autoacutenomos La
paraacutebola sucintamente es la siguiente Habiacutea una vez dos relojeros Tempus y Hora que
trabajaban naturalmente en Suiza Hora montaba sus relojes como por entenderse se monta
un castillo de naipes Bastaba por tanto que una pieza verbigracia un muelle se saliera de su
sitio o por exagerar le ldquoatacarardquo un golpe de tos al relojero mientras colocaba una tuerca
para que todo se le viniera abajo y se viese forzado a retomar cual Siacutesifo (Seeman 1958) la
139
tarea desde el principio Tempus con maacutes astucia y visioacuten de futuro seguiacutea otro procedimiento
maacutes eficaz Ensamblaba unidades independientes y complementarias hasta que oiacutea el ldquotic tacrdquo
sentildeal que el trabajo estaba felizmente terminado De este modo se precaviacutea de que el golpe de
tos o la pieza rebelde paradigma de la maldad de las cosas inanimadas echaran a perder su
trabajo Pues en el peor de los casos se estropeaba soacutelo una unidad o moacutedulo del sistema
total es decir se malograba una unidad que formaba parte o estaba comprendida en otra
unidad de orden superior lo que era un incordio pero no una tragedia Tempus consiguioacute
fabricar muchos maacutes relojes que Hora y al final se quedoacute con praacutecticamente toda la clientela
Retomando esta hipoacutetesis contrastada Arthur Koestler siguiendo la maacutexima holista
aristoteacutelica de que ldquoel todo es maacutes que la suma de las partesrdquo (Aristoacuteteles 1994) y teniendo
en cuenta la paraacutebola de los dos relojeros acuntildeoacute el neologismo ldquoholoacutenrdquo (Koestler 1967) que
etimoloacutegicamente viene de ldquoholosrdquo es decir totalidad e incorpora el sufijo ldquoonrdquo que como
ya se ha dicho significa ldquoparterdquo o ldquopartiacuteculardquo El concepto de holoacuten estaacute inspirado en las
estructuras recursivas autosimilares presentes en los sistemas organizativos bioloacutegicos De
hecho un holoacuten lo definioacute Koestler como una parte identificable de un sistema que tiene
entidad uacutenica compuesta de partes subordinadas y que a su vez es parte de un todo mayor
Este concepto tiene una larga y respetable historia En efecto la idea de jerarquiacutea y de sus
constituyentes partes-todo u holones puede y debe remontarse a los filoacutesofos presocraacuteticos
padres del atomismo Leucipo y Deomoacutecrito Eacutestos desarrollaron el concepto abstracto de
aacutetomo y lo usaron para desarrollar una filosofiacutea que podriacutea o al menos lo pretendiacutea explicar
todos los eventos observados Aristoacuteteles por su parte al establecer en su metafiacutesica que el
todo era maacutes que la suma de las partes fue el iniciador del holismo Ademaacutes usoacute la jerarquiacutea
como metodologiacutea para acumular y conectar conocimiento bioloacutegico Este concepto de
jerarquiacutea fue quizaacutes la forma dominante de ver la conexioacuten entre los oacuterdenes natural
humano y sobrenatural de los seres durante la edad media En el siglo XVII Leibinz propuso la
moacutenada como unidad irreducible para explicar no soacutelo el mundo material sino tambieacuten el
mundo espiritual
Al comienzo del siglo XX hubo un agitado intereacutes en el holismo y la jerarquiacutea que debe sus
geacutenesis al impacto de la teoriacutea de la evolucioacuten de Wallace y Darwin Posteriormente en 1926
Jan Smuts en su obra ldquoEvolution and Holismrdquo vio las profundas conexiones entre los mundos
natural y social y su concepto de holismo influencioacute claramente las ideas de Wilber Eacuteste en
1980 cita a Smuts al comienzo de su principal trabajo ldquoThe Atman Projectrdquo donde usa el
concepto de jerarquiacutea En todas partes se ve en la naturaleza nada maacutes que totalidades
140
Mientras todos estos distintos entramados de ideas incluyen la consideracioacuten de redes
jeraacuterquicas y niveles y oacuterdenes de desarrollo no fue hasta el trabajo de Arthur Koestler donde
se propuso una teoriacutea completa de holarquiacutea y holones
Koestler primero vio la necesidad de alguacuten modelo que pudiera unir e integrar la visioacuten del
mundo reducionista y mecanicista de las sicologiacuteas ldquocientiacuteficardquo y conductista con la visioacuten del
mundo holista y humanista de las sicologiacuteas feudiana rogeriana y de la gestalt En segundo
lugar reconocioacute la importancia y relevancia de los procesos evolutivos en las ciencias sociales y
buscaba proporcionar alguacuten sistema teoreacutetico que pudiera aplicar conceptualizaciones
evolutivas a ambas realidades En tercer teacutermino buscaba desarrollar un modelo de sistemas
sociales humanos que fueran igualmente naturales para analizar el micronivel de la
individualidad y el macronivel de la colectividad Eacutel buscaba proponer alguacuten modelo baacutesico de
explicacioacuten que fuera relevante a lo largo y ancho de todo el rango de al actividad humana y su
entorno Koestler reconocioacute que este constructo ldquoholoacutenrdquo teniacutea de hecho unos muy
venerables y antiguos ancestros en la filosofiacutea occidental Varios e importantes filoacutesofos
incluyendo Leibniz y Hegel habiacutean dirigido su atencioacuten a la importancia de cosas tales como
jerarquiacutea y niveles de desarrollo Koestler se veiacutea a siacute mismo en una liacutenea de pensadores tales
como esos que buscaban presentar juntos diferentes buacutesquedas y escuelas de esfuerzos
cientiacuteficos en lugar de perseguir la continua especializacioacuten en el conocimiento cientiacutefico que
habiacutea caracterizado las modernas escuelas cientiacuteficas La teoriacutea holoacutenica era el intento de
Koestler de conseguir una filosofiacutea de la ciencia integradora y esperaba que esta teoriacutea o algo
similar formariacutean la base de cualquier futura visioacuten del mundo futuro
El teacutermino holoacuten es como ya se ha dicho una combinacioacuten del vocablo griego ldquoholosrdquo que
significa todo o totalidad y el sufijo ldquoonrdquo el cual como en las palabras protoacuten neutroacuten etc
que indica ademaacutes de ser partiacutecula o parte El holoacuten entonces es una parte-todo Es un
punto nodal en una jerarquiacutea que describe las relaciones entre entidades que son totalidades
autocompletas y entidades que pueden verse como partes dependientes de otras Asiacute
dependiendo de coacutemo se centre el foco movieacutendose arriba abajo y o a lo largo y ancho de
los nodos de una estructura ldquojeraacuterquicardquo asiacute la percepcioacuten de lo que es un todo y lo que es una
parte cambiaraacute
Koestler con la paraacutebola de los relojeros de Simon quiso mostrar dos cosas Una que los
sistema complejos evolucionaraacuten desde los sistemas maacutes sencillos mucho maacutes raacutepidamente si
hay formas estables intermedias es decir si estaacuten jeraacuterquicamente organizadas Dos y maacutes
141
importante eacutel buscaba mostrar que los sistemas complejos resultantes seraacuten siempre
jeraacuterquicos y que la jerarquiacutea es el resultado natural y ubicuo del desarrollo de formas
estructurales Despueacutes de establecer la importancia universal de la jerarquiacutea en el desarrollo
de sistemas complejos Koestler continuoacute proponiendo que estas jerarquiacuteas podriacutean analizarse
en teacuterminos de los nodos o formas intermedias estables mediante las cuales se define su
estructura Fue justo a estas formas intermedias a las que Koestler le confirioacute la nueva etiqueta
de ldquoholoacutenrdquo
Koestler vioacute la teoriacutea holoacutenica como una filosofiacutea de la ciencia amplia que mostraba una salida
al interminable debate acerca de los meacuteritos del reducionismo y del holismo Koestler sentildealoacute
que en cualquier y todo orden existente de los sistemas fiacutesicos a los sociales pasando por los
quiacutemicos y los bioloacutegicos enteramente autosoportados no existiacutean entidades no
interactuantes Y lo que es maacutes importante que las entidades pueden verse situadas en una
relacioacuten holaacuterquica entre ellas Eacutel llamaba a los sistemas de tales entidades Open Hierarchical
Systems (OHS) y a eacutestos subsecuentemente se les denominoacute holarquiacuteas Un holoacuten como
Koestler entendiacutea el teacutermino es una parte identificable de un sistema que tiene una identidad
uacutenica sin embargo estaacute hecho de partes subordinadas y a su vez es parte de un todo mayor
Los holones de Koestler no fueron pensados como entidades y objetos sino como una forma
sistemaacutetica de relacionar estructuras teoreacuteticas En otras palabras los holones eran puntos de
referencia arbitrarios para interpretar la realidad En sus palabras Whatever the natura of a
hierachic organization its constituent holons are defined by fixed rules and flexible estrategies
De este modo los holones de Koestler son postulados y ldquodeterminadosrdquo soacutelo fuera de las
reglas relacionales y estrategias que ayudan a dar sentido a la realidad
Dado que los holones se definen por la estructura de una jerarquiacutea cada holoacuten identificado
puede verse el mismo como una serie de subjerarquiacuteas anidadas de la misma manera que las
muntildeecas rusas las matrioscas son una serie inclusiva de muntildeecas dentro de otras muntildeecas
Los holones son entonces simultaacuteneamente partes y todos porque ellos son siempre partes
de jerarquiacuteas maacutes amplias y siempre contienen subjerarquiacuteas Los holones son
simultaacuteneamente todos autocontenidos de sus partes subordinadas y partes dependientes
cuando se ven en la direccioacuten inversa Por consiguiente los holones pueden verse como
puntos de referencia en series jeraacuterquicas u holarquiacuteas
Koestler ha propuesto un conjunto bastante detallado de principios holoacutenicos y mostroacute que el
constructo holoacuten tiene una aplicacioacuten muy amplia A su vez Wilber ha colocado el constructo
142
holoacuten firmemente en el centro de su marco integrador comprehensivo para conectar
conocimiento Wilber ha ampliado la teoriacutea holoacutenica en un nuevo enfoque para entender las
relaciones de muchos dominios de conocimiento diferente Las concordancias entre los
principios holoacutenicos de Koestler y los 20 postulados de Wilder son claras pero no completas En
efecto hay varios aspectos de la teoriacutea de Koestler que hasta ahora no han sido explorados
por nadie incluido Wilber Eacutestos incluyen los conceptos de
a) Cambio holiacutestico Sistemas de entrada-salida que buscan la manera de coacutemo se disparan los
holones y coacutemo eacutestos escudrintildean y filtran las entradas
b) ldquoArborizacioacutenrdquo ldquoreticulacioacutenrdquo y ldquocanales de regulacioacutenrdquo Tanto tener aptitudes como
maneras de ver coacutemo los holones pueden relacionarse entre siacute
c) La ldquosaludrdquo holoacutenica y coacutemo cambian los holones y los principios de Koestler sobre equilibrio
holoacutenico desorden y regeneracioacuten que ofrecen feacutertil terreno para posterior estudio
Por su parte Wilder a estos principios antildeade los siguientes
a) No exclusioacuten que significa que se pueden aceptar las declaraciones vaacutelidas de verdad es
decir las pretensiones de verdad que pasan los test de validez para sus propios paradigmas
en sus propios campos sean eacutestos hermeneuacuteticos cientiacuteficos etc en tal grado que
realizan afirmaciones acerca de la existencia de sus propios fenoacutemenos descubiertos y
realizados pero no cuando hacen afirmaciones acerca de la existencia de fenoacutemenos
realizados por otros paradigmas Este principio se refiere a la aceptacioacuten de conocimiento
parcial pero vaacutelido que ha sido recogido por disciplinas centraacutendose en aspectos
particulares de los holones Mucho de ese conocimiento ha sido el resultado de paradigmas
(matrices disciplinaresmetodologiacuteas) reducionistas
b) PlegadoDesplegado que se define como sigue La no exclusioacuten con frecuencia desvela una
idea que estaba velada En cualquier corriente evolutiva sucesivas olas transcienden e
incluyen a sus predecesoras y asiacute cada ola es adecuada y cada ola sucesiva es maacutes
adecuada En breve cada ola es holista y cada ola sucesiva es maacutes holista Este principio
ldquounfoldmentenfoldmentrdquo se refiere a la aceptacioacuten de la naturaleza holista y evolutiva del
conocimiento y sus meacutetodos Este principio se relaciona con la idea de que todas las bases y
meacutetodos de conocimiento estaacuten conectados y pueden ilustrar a los demaacutes
143
c) ldquoEnactmentrdquo ldquoPromulgacioacutenrdquoPoniendo todos estos modos de inquisicioacuten juntos como un
enactment y descubrimiento de cognicioacuten ldquoturquesardquo resulta en un pluralismo
metodoloacutegico integral Los fenoacutemenos son ldquoenactedrdquo paridos y desvelados por praacutecticas
entonces uno se percata de que lo que parece ser ldquofenoacutemenos o experiencias conflictivasrdquo
son simplemente experiencias diferentes y completamente compatibles paridas por
diferentes praacutecticas De este modo ldquoenactmentrdquo se refiere a la capacidad de situar y
proporcionar un nuevo contexto integrador para que todos los enfoques parciales sean
reduccionistas y holistas Son precisamente estas tres capacidades las que se hacen
disponibles cuando se ve el holoacuten como una unidad de anaacutelisis para una teoriacutea integral
IV322 CARACTERIacuteSTICAS DE LOS HOLONES
El teacutermino ldquoholoacutenrdquo se emplea entonces para denominar entidades que exhiben
simultaacuteneamente un comportamiento autoacutenomo es decir se comportan como un todo y no
autosuficiente esto es se comportan como una parte de un todo mayor Verbigracia las
moleacuteculas que son simultaacuteneamente todo cuando integran a los aacutetomos que las forman y
parte cuando por ejemplo se integra en una ceacutelula como el ADN que constituye el nivel
inmediatamente superior en tamantildeo y funcionalidad que no en importancia pues todos los
niveles son decisivos e imprescindibles sin aacutetomos no hay moleacuteculas etc Cuando el holoacuten se
siente todo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en los
niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo Una de las principales caracteriacutesticas de los
holones es su autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y le puede
proporcionar la capacidad de autoorganizacioacuten y autopoiesis Esto significa que se precisan
capacidades de cooperacioacuten En consecuencia se puede ldquodefinirrdquo un ldquoholoacutenrdquo como un
elemento con entidad propia que presenta un comportamiento autoacutenomo autoorganizativo
recursivo y cooperativo Autonomiacutea significa que cada holoacuten debe ser capaz de crear controlar
y monitorizar la ejecucioacuten de sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten y realizar
acciones preventivas y o correctivas adecuadas esto es racionales frente a sus propias
disfunciones En 1981 el premio Nobel de Medicina Roger Sperry hizo uso del concepto de
holoacuten en su aacuterea de conocimiento Posteriormente Suda a partir de 1989 aplicoacute el concepto
de holoacuten a los sistemas industriales con lo que el teacutermino se hizo ubicuo En general el holoacuten
es la unidad baacutesica estable y coherente en sistemas complejos tanto naturales (bioloacutegicos y
sociales) como artificiales (informaacuteticos o industriales) Un holoacuten contiene siempre una parte
de procesamiento de informacioacuten y opcionalmente otra de procedimiento fiacutesico Con el
144
teacutermino holoacuten la doctoranda concretamente denomina las entidades de proceso que exhiben
simultaacuteneamente
a) Un comportamiento autoacutenomo esto es se comportan como un todo por lo que requieren
capacidades de cooperacioacuten Entendiendo por autonomiacutea la capacidad de una entidad para
generar su propio comportamiento o sea sus propios planes y o estrategias de actuacioacuten
y comportamiento en definitiva su ldquoteleologiacuteardquo y controlar su ejecucioacuten asiacute como su propio
estado
b) No autosuficiente es decir se comportan como parte de un todo mayor Cuando el holoacuten
se siente ldquotodordquo afirma su autonomiacutea ldquoidentidadrdquo etc con lo que adquiere al menos en
los niveles maacutes elaborados seguridad ldquosicoloacutegicardquo
c) Capacidad de cooperacioacuten Por cooperacioacuten se quiere decir en este contexto un proceso
por el cual un conjunto de dichas entidades desarrolla planes comuacutenmente aceptados que
se ejecutan en forma distribuida Cooperacioacuten significa que los diferentes holones deben
ser capaces de negociar y ejecutar planes mutuamente aceptables ldquojoint intentionsrdquo y
llevar a cabo acciones preventivas y o correctivas frente a disfunciones globales Dicho de
otro modo un holoacuten es el elemento baacutesico de proceso de informacioacuten en cualquiera de sus
niveles con entidad propia capaz de presentar un comportamiento autoacutenomo y
cooperativo
d) Caraacutecter abierto Un sistema holoacutenico debe permitir la inclusioacuten de nuevas unidades
eliminacioacuten de las existentes y modificacioacuten de las capacidades funcionales y
comportamentales de las existentes con intervencioacuten exterior miacutenima Los holones y o
sus funcionalidades pueden venir de distintas ldquomentesrdquo (heterogenidad)
e) ldquoAutorreplicacioacutenrdquo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su
autorreplicacioacuten lo que proporciona la funcionalidad de recursioacuten y la capacidad de
autoorganizacioacuten y autopoiesis o autoproduccioacuten especiacutefica del nivel celular
f) Estabilidad Todo holoacuten de acuerdo con el contexto y circunstancias posee cuatro impulsos
a saber
1) Actividad o impulso a continuar siendo totalidad
2) ldquoComunioacutenrdquo o impulso para seguir siendo una parte
145
3) Trascendencia o impulso de superacioacuten y ascendencia
4) Disolucioacuten o impulso a descender y descomponerse
Estos impulsos son los que le dan estabilidad al holoacuten y le permiten desarrollar sus
capacidades
Como lo sentildealoacute Octavio Paz en el discurso de recepcioacuten del premio Nobel los seres humanos
han descubierto al finalizar el siglo XX que son parte de un inmenso sistema o ldquoconjunto de
sistemasrdquo que va de las plantas y los animales a las ceacutelulas las moleacuteculas los aacutetomos y las
estrellas Es decir un eslaboacuten maacutes en la ldquocadena del serrdquo como llamaban los antiguos filoacutesofos
al Universo Una de las principales caracteriacutesticas de los holones es su granularidad muacuteltiple
que se manifiesta a traveacutes de la replicacioacuten de estructuras autosimilares Esto permite
establecer una descomposicioacuten jeraacuterquica y o heteraacuterquica en forma fractal que se puede
denominar ldquoholarquiacuteardquo Una holarquiacutea puede definirse pues como un sistema de holones
autorregulados que seguacuten las circunstancias cooperan y o compiten y o colaboran
teleoloacutegicamente esto es para alcanzar una meta u objetivo global En suma una holarquiacutea
define las reglas baacutesicas y especiacuteficas de lo que geneacutericamente se puede denominar la
colaboracioacuten de los holones que la forman y en consecuencia limita su autonomiacutea y o
condiciona sus procesos de toma de decisioacuten Dicho en otros teacuterminos el caraacutecter colaborativo
de los holones se manifiesta tanto en los procesos teleoloacutegicos de planificacioacuten y asignacioacuten de
ellos mismos y los recursos que necesitan para la consecucioacuten de las metas globales del
sistema en que se integran como para la superacioacuten de sus carencias en recursos y o
capacidades en la ejecucioacuten de sus propias metas Su fortaleza y oportunidad procede del
hecho de ser unidades independientes es decir moacutedulos en el tratamiento de problemas
cooperativos en entornos heterogeacuteneos Su eficacia proviene de su caracteriacutestica de ser a su
vez elementos subordinados de otros holones de nivel superior que los contienen y en cierta
medida controlan Las formas intermedias proveen la funcionalidad propia de la totalidad
mayor
Obviamente los holones tienen que tomar decisiones racionales y como se aplican a una
nueva disciplina cientiacutefico-tecnoloacutegica dichas decisiones racionales deben ser similares a las
cientiacuteficas Estas decisiones pueden modelizarse con los pares ldquoholoacuten(es)rdquo ldquoinformoacuten(es)rdquo en
los cuales los holones representan dicho mundo Se supone naturalmente que los holones
pueden elegir entre distintas alternativas u opciones Asimismo se supone que el mundo es
como es y que esto se refleja en su representacioacuten mediante los informones y que lo que le
146
ocurre al holoacuten depende por una parte de coacutemo sea el mundo en un momento determinado
y por otra de las opciones episteacutemicas y gnoseoloacutegicas que elija el holoacuten Se acepta tambieacuten
que el holoacuten no conoce el estado actual del mundo pero al menos es capaz de distinguir entre
dos estados posibles del mismo Las valoraciones de los holones no atantildeen directamente a las
opciones o a los estados del mundo sino a los pares ldquoopcioacuten-estadordquo es decir lo que se valora
es haber elegido una opcioacuten particular en un estado definido del mundo
IV323 NIVELES HOLOacuteNICOS
Al igual que los informones pueden tomar la forma de dato noticia o conocimiento los
holones que los manejan presentan estructuras desde las maacutes simples a las maacutes complejas
dependiendo de la complejidad funcional asignada a los mismos Maacutes en concreto la
construccioacuten del software se presenta mediante un modelo computacional holoacutenico formado
por diferentes niveles denominados
1 ldquoInstruccioacutenrdquo Lo constituyen los holones primarios que son entidades propias y
cooperativas que tratan uacutenicamente datos y producen nuevos datos o noticias simples
Estos holones estaacuten especializados y realizan operaciones primitivas baacutesicas Por ejemplo
si a un holoacuten primario operador loacutegico le llegan dos datos que son las edades de dos
individuos el holoacuten pude sacar como noticia que un individuo es mayor igual o menor que
otro
2 ldquoComponenterdquo Un holoacuten componente surge al estructurarse holaacuterquicamente
(jeraacuterquicamenteheteraacuterquicamente) los holones primarios del nivel ldquoinstruccioacutenrdquo
proporcionando un nivel superior al de ldquoinstruccioacutenrdquo Un holoacuten componente tiene una
funcionalidad superior a la suma de sus holones ldquoinstruccioacutenrdquo y tiene capacidad de
producir noticias maacutes elaboradas y o conocimientos
Si los informones que trata el holoacuten componente corresponden a estructuras de datos el
componente proporcionaraacute noticias tiacutepicas de un sistema de informacioacuten En cambio si los
holones tratan estructuras de datos que corresponden a conceptualizaciones de
conocimiento el resultado seraacute informones de conocimiento que proporcionan
informacioacuten propia de los sistemas basados en el conocimiento Por ejemplo un holoacuten
componente puede representar un programa o un subprograma
147
3 ldquoEntidadrdquo El holoacuten ldquoentidadrdquo se forma mediante relaciones holaacuterquicas de holones
componentes Un holoacuten entidad presenta creencias motivaciones e intenciones y cambia
su comportamiento basaacutendose en experiencias previas Incorpora la propiedad de
proactividad es decir actuacutea por su propia iniciativa para alcanzar metas que eacutel mismo es
capaz de generar Los holones ldquoentidadrdquo tratan con informones de noticias y
conocimientos dependiendo de la estructura subyacente de los datos Por ejemplo un
holoacuten entidad puede representar y actuar como un agente software
Los sistemas transacionales son informones tipo datos y holones clase programas Los
sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas y holones tipo
programas y foacutermulas Finalmente los sistemas basados en conocimientos son ni maacutes ni
menos que informones en forma de ontologiacuteas y holones en forma de agentes
4 ldquoOrganizacioacutenrdquo Se denomina organizacioacuten holoacutenica a una holarquiacutea de entidades
colaborativas Un holoacuten organizacioacuten designa una agrupacioacuten formal y estable de holones
entidad y ofrece una interfaz bien definida de comunicacioacuten con el exterior que constituye
en si misma una unidad independiente e identificable (con entidad propia) Las actividades
de cada organizacioacuten vienen determinadas por procesos de cooperacioacuten con otras
entidades u organizaciones Una organizacioacuten presenta una meta comuacuten y los holones
entidad que tienen sus propias metas muestran un comportamiento cooperativo dirigido
por la meta comuacuten de esa ldquoorganizacioacutenrdquo En la ldquoorganizacioacutenrdquo los holones ldquoentidadrdquo son
libres para participar en la misma abandonarla y actuar de forma autoacutenoma como
ldquoentidadrdquo o formar nuevos holones ldquoorganizacioacutenrdquo con otras entidades Una organizacioacuten
holoacutenica precisa en su funcionamiento de los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones ldquoentidadrdquo
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las entidades
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones ldquoentidadrdquo en sus
actividades de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros de la
ldquoorganizacioacutenrdquo
148
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Por ejemplo un sistema multiagente (MAS) es un tipo de holoacuten ldquoorganizacioacutenrdquo Sin
embargo no hay que confundir agentes con holones y en consecuencia sistemas de
agentes con holones Como se veraacute maacutes adelante los holones son maacutes que agentes
IV324 DOMINIOS DE COOPERACIOacuteN Y COLABORACIOacuteN HOLOacuteNICA
Ademaacutes de estos niveles es importante considerar dentro de una estructura holoacutenica el
dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten holoacutenico Se define un tal dominio como un espacio
loacutegico en el que los holones ldquoentidadrdquo u ldquoorganizacioacutenrdquo cada uno con sus propias metas
dentro del dominio operan y se comunican entre siacute proporcionando con ello el contexto en el
que estos holones pueden localizarse contactar e interactuar unos con otros por ejemplo un
dominio en una plataforma de Internet Dentro de un dominio eacutesta puede ser
a) Simple En este caso cualquiera se compromete a cooperar con cualquier otro siguiendo un
conjunto de protocolos de interaccioacuten establecidos Aquiacute se consideran aceptables
respuestas no cooperativas verbigracia ldquorechazordquo ldquono entendimientordquo etc Todos los
holones deben presentar facilidades de cooperacioacuten simple
b) Complejo Esta clase de cooperacioacuten estaacute encaminada a alcanzar una meta compartida por
varios holones por ejemplo el acuerdo de un plan comuacuten para ejecutar las tareas
asociadas a un problema distribuiacutedo
Una organizacioacuten holoacutenica se diferencia de un dominio holoacutenico en que la organizacioacuten estaacute
constituida por holones ldquoentidadrdquo tiene una meta comuacuten a todos los holones y eacutestos
participan voluntariamente en la organizacioacuten para alcanzar las metas de la misma Mientras
que el dominio es un espacio de cooperacioacuten y colaboracioacuten para que los holones ldquoentidadrdquo y
ldquoorganizacioacutenrdquo que participan voluntariamente en el mismo puedan alcanzar cada uno de
ellos su propia meta
En un dominio los holones se conciben como integrantes en una sociedad cuyas actividades
globales deben ser contempladas Estas actividades deben ocurrir de acuerdo con un conjunto
de convenciones y leyes sociales tanto de caraacutecter general como de caraacutecter especiacutefico Estas
leyes regulan las relaciones sociales que es necesario establecer para llevar a cabo dichas
149
actividades La estructura social del dominio viene determinada por los roles las relaciones
sociales identificadas entre eacutestos y las convenciones y leyes sociales que rigen estas relaciones
El dominio define entonces el comportamiento global esperado mediante las metas sociales
que deben contemplarse los roles necesarios para alcanzar dichas metas las relaciones
existentes entre estos roles y un conjunto de convenciones y leyes sociales de caraacutecter global
que regiraacuten dichas relaciones Una forma plausible de caracterizar el dominio es mediante la
identificacioacuten de las relaciones sociales potenciales existentes entre sus actores y maacutes
concretamente entre los diferentes roles identificados
El holoacuten asume la responsabilidad de llevar a cabo sus tareas individuales Ahora bien al estar
en un dominio de cooperacioacuten asume tambieacuten unas responsabilidades sociales La necesidad
de garantizar la realizacioacuten de estas tareas sociales conduce a la necesidad de identificar tanto
las relaciones sociales necesarias para llevar a cabo dichas tareas como las leyes sociales que
regulen dichas relaciones Estas leyes impuestas por el dominio deben ser respetadas por el
holoacuten y forzadas por el dominio con el fin de permitir el funcionamiento correcto del mismo
de acuerdo con el comportamiento global esperado Son por tanto las leyes que regulan las
relaciones sociales las que permiten obtener un comportamiento socialmente responsable a
los holones entidad y organizacioacuten
Plantearse la obtencioacuten de un comportamiento socialmente responsable durante el disentildeo del
holoacuten no seriacutea adecuado en un entorno dinaacutemico y heterogeacuteneo como es un dominio en el
que por ejemplo los patrones de interaccioacuten se establecen dinaacutemicamente Los distintos
modelos de coordinacioacuten y negociacioacuten y la propia estructura social constituyen las
abstracciones conceptuales para establecer las leyes que deberaacuten regir tanto la actuacioacuten de
los holones como sus interrelaciones con el fin de alcanzar un comportamiento socialmente
responsable Los medios de coordinacioacuten y negociacioacuten que soportan dichos modelos
constituyen el mecanismo utilizado por el dominio para este fin
La ldquoconfiguracioacutenrdquo que se crea en un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten es dinaacutemica
Mientras que el holoacuten organizacioacuten forma una configuracioacuten estable los holones de un
dominio son maacutes inestables participan en el dominio de cooperacioacuten para alcanzar sus propias
metas respetando las leyes sociales del dominio y nada maacutes alcanzarlas desaparecen del
mismo Un holoacuten entra a formar parte de un dominio de cooperacioacuten y colaboracioacuten
interactuando con un holoacuten interfaz del dominio de modo que pueda participar en el mismo
150
Los holones se incorporan en el dominio para alcanzar sus propias metas El dominio acepta o
rechaza su entrada dependiendo de que el rol con el que desean participar sea apropiado en
ese dominio y acepten las convenciones y leyes sociales En caso afirmativo se incorporan
como holones socialmente responsables acatando las normas del dominio Normalmente el
dominio incorpora una serie de holones sociales cooperativos con la misioacuten de atender a las
necesidades de los holones que participan en el dominio y de hacerles cumplir las leyes
sociales tal y como se muestra en la figura IV4
Dominio 1 Dominio 2
Convenciones y leyes
Sociales
Holoacuten Entidad
Holoacuten Organizacioacuten
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Holoacuten Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Convenciones y leyes
Sociales
Migracioacuten
Agente Social Cooperativo
Holoacuten Organizacioacuten
Socialmente
Responsable
Holoacuten Entidad
Socialmente
Responsable
Figura IV4 Dominios de Colaboracioacuten y Cooperacioacuten
La cooperacioacuten entre holones ocurre siempre a traveacutes de sus respectivos dominios de
cooperacioacuten Un dominio de cooperacioacuten comprende los siguientes elementos
a) Estructuras de informacioacuten y ontologiacuteas compartidas por sus holones miembros
b) Interfaces de cooperacioacuten basadas en protocolos de interaccioacuten
c) Infraestructura para el paso de mensajes entre las organizaciones y el dominio
de cooperacioacuten Si el dominio de cooperacioacuten se localiza en el mismo dispositivo
fiacutesico el paso de mensajes puede conseguirse por memoria compartida En otro
caso los mensajes deben representarse codificarse y enviarse a traveacutes de una
red de comunicaciones Este aspecto se aborda en el modelo de comunicacioacuten
d) Mecanismos de toma de decisiones que ayuden a los holones en sus actividades
de planificacioacuten de tareas negociacioacuten intercambio de informacioacuten etc
151
e) Teacutecnicas y reglas de descomposicioacuten y asignacioacuten de tareas entre los miembros
del dominio asiacute como facilidades para la planificacioacuten y el control de tareas
dentro de un holoacuten (siacutentesis)
f) Facilidades para la monitorizacioacuten del estado de una tarea distribuida y la
planificacioacuten y control de todas las acciones que conforman la tarea
Un sistema de informacioacuten holoacutenico es pues una holarquiacutea que integra el conjunto de
actividades de informacioacuten desde la identificacioacuten de necesidades la produccioacuten la seleccioacuten y
adquisicioacuten el procesamiento analiacutetico-sinteacutetico y la recuperacioacuten y diseminacioacuten de
informacioacuten para responder de forma dinaacutemica a las necesidades de los usuarios en forma de
organizacioacuten virtual Un tal sistema se sustenta en una red de elementos autoacutenomos y con
capacidad de cooperar La organizacioacuten la determina el propoacutesito y el compartir normas
poliacuteticas y reglas Dentro de una red holoacutenica cada configuracioacuten del proceso puede
identificarse como una empresa institucioacuten etc virtual Una componente software es
cualquier pieza de coacutedigo escrita con anterioridad que define un elemento de
conceptualizacioacuten y puede ser invocada para proveer una funcionalidad que la componente
encapsula Las componentes tiacutepicamente se empaquetan de acuerdo con normas efectivas
de modo que puedan ser invocadas desde lenguajes entornos y ambientes muacuteltiples En este
contexto un ldquowebservicerdquo puede entenderse como un holoacuten
IV325 HOLONES VERSUS AGENTES
Antes de finalizar y dado el confusionismo existente al respecto se van a dar tal y como se
muestra en la tabla IV2 las diferencias y similaridades entre holones y agentes Lo maacutes
destacable de la misma son las dos situaciones siguientes Con respecto a la autoorganizacioacuten
para unos como es el caso de Barbat los holones y los agentes son distintos sin embargo
para otros como es el caso de Passer So y Durfle y Tambe son iguales Pero la diferencia
sustancial y de verdad discriminatoria es que mientras que los holones tienen capacidad de
recursioacuten e integracioacuten entre varios de ellos que tengan un objetivo comuacuten los agentes ni
tienen recursioacuten ni capacidad de integrarse
Otra caracteriacutestica fundamental de los holones en tanto que operan con un conjunto
restringido de opciones y estados del mundo que les viene dado por la situacioacuten y el problema
sobre el que actuacutean y no les es posible construir una estructura de preferencias completa y
coherente es la de ser elementos satisfacedores (no maximizadores) en el sentido de Simon
152
(Simon 1982) es decir buscan una solucioacuten suficientemente buena en vista a las restricciones
existentes y el coste relativo de hacer algo mejor En este sentido se comportan como los seres
humanos
PROPIEDAD HOLOacuteN AGENTE
1 Autonomiacutea Si Si
2 Reactividad Si Si
3 Proactividad Si Si
4 Habilidad Social Si La interfaz humana es especiacutefica de cada holoacuten
Si La interfaz humana se implementa generalmente por uno o varios agentes especializados
5 Cooperacioacuten Si Los holones nunca rechazan de manera deliberada la cooperacioacuten con otro holoacuten
Si El agente puede competir y cooperar
6 Reorganizacioacuten
Si Holarquiacuteas Las holarquiacuteas aquiacute se pueden implementar utilizando varios enfoques para federaciones en esquemas tales como facilitadores o mediadores
Si jerarquiacuteas organizacioacuten horizontal heterarquiacuteas etc Las holarquiacuteas en este caso se pueden implementar usando SMA o sea sistemas multiagente
7 Racionalidad Si Si
8 Aprendizaje Si Si
9 Benevolencia Si Si
10 Movilidad Los holones raramente necesitan movilidad para la ejecucioacuten de sus tareas Si asiacute fuera la tendriacutean
Si
11 Recursioacuten y Asociacioacuten
Si Eacutesta es la gran diferencia entre un holoacuten y un agente Mientras el holoacuten tiene capacidad de recursioacuten o asociacioacuten entre varios de ellos que posean un objetivo comuacuten los agentes no pueden agruparse ni son recursivos
No existe ninguna arquitectura recursiva como tal pero algunas teacutecnicas son utilizadas para definir federaciones que simularaacuten los diferentes niveles recursivos
12 Procesamiento de la Informacioacuten y Fiacutesico
Si La separacioacuten es expliacutecita aunque la parte de procesamiento fiacutesico es opcional
No existe una separacioacuten expliacutecita
13 Actitudes Mentales
Si Los holones no necesitan razonar acerca de sus propias actitudes mentales o aquellas de otros unidades de control
Si
Tabla IV2 Diferencias y similaridades entre holones y agentes
Evidentemente dichas valoraciones de acuerdo con las distintas situaciones y problemas
deben adoptar distintas formas que van desde la maacutes sencilla ordenacioacuten lineal hasta la
racionalidad acotada o satisfactoria de Simon (Simon 1945) pasando por los holones
bayesianos entre otros En efecto el agente racional claacutesico es un ldquomaximizadorrdquo en tanto que
en la propuesta de Simon donde introduce la nocioacuten de ldquosatisfaccioacutenrdquo (Simoacuten 1982)
retomando la de Tarski (Tarski 1956) es la de un ldquoagenterdquo que funciona en condiciones de
ldquoracionalidad acotadardquo Esto es debido baacutesicamente a que
a) Los holones van a operar con un conjunto suficientemente restringido de opciones y
estados del mundo que le vienen dados por la situacioacuten y el problema sobre el que actuacutean
153
b) Raras veces es posible construir una estructura de preferencias completa y coherente ni
tampoco calcular la utilidad esperada para cada opcioacuten Si eacuteste fuera el caso la cuestioacuten se
resolveriacutea mediante meacutetodos bayesianos sin problema En efecto Thomas Bayes (Bayes
1763) desarrolloacute en su trabajo de 1763 un procedimiento para resolver este tipo de
cuestiones Curiosamente dicho trabajo permanecioacute praacutecticamente ignorado hasta que
Pierre Simon de Laplace lo discutioacute en uno de sus trabajos
c) Es capaz de distinguir entre opciones satisfactorias y aquellas que no lo son
Es decir de acuerdo con Simon los holones son satisfacedores (satisfacer) no maximizadores
y en este sentido se comportan como los seres humanos Seguacuten Simon (Simon 1981) hay que
ir hacia una solucioacuten satisfactoria esto es una solucioacuten suficientemente buena en vista a las
restricciones existentes y el coste relativo de hacer algo mejor antes que una solucioacuten
satisfaciendo Naturalmente los pares holones-informones y las estructuras que sobre ellos se
construyen se enfrentaraacuten inexorablemente tanto a situaciones conflictivas como a otras
concurrentes y cooperativas en las que los esquemas de decisioacuten que usen se fundamentaraacuten
tanto en la teoriacutea de von Neuman y Morgenstern (von Neuman 1953) como en la teoriacutea de
juegos cooperativos de Nash (Nash 1953) y cualquier otra teoriacutea o regla de decisioacuten que
permita a los holones de modo efectivo tomar la decisioacuten maacutes adecuada en el momento maacutes
oportuno y de la forma maacutes eficiente posible
De hecho si no fuera por el caraacutecter continuo que representa el teacutermino que mejor le
cuadraba a lo que Koestler denominoacute holoacuten es el de ldquohomeomeroacutenrdquo en el sentido de
ldquohomeomeriacuteardquo de Anaxaacutegoras (Empeacutedocles 1996) y tal vez al caraacutecter holaacuterquico mejor le
convendriacutea el teacutermino de ldquojerarquiacutea desarraigadardquo en contraposicioacuten al concepto de jerarquiacutea
ldquodionisiacuteacardquo por el ldquooximoroacutenrdquo que representa el hecho de que en una holarquiacutea convivan
simultaacuteneamente dos planteamientos opuestos como son el de jerarquiacutea y la heterarquiacutea En
efecto el filoacutesofo neoplatoacutenico Dionisio Areopagita introdujo el concepto de jerarquiacutea en un
contexto teoloacutegico El teacutermino significa literal y etimoloacutegicamente dominio a traveacutes de lo
sagrado Siguiendo una ldquoloacutegicardquo que probablemente soacutelo eacutel conociera Dionisio llegoacute a la
conclusioacuten de que el cielo estaba organizado jeraacuterquicamente Es maacutes aseguraba que habiacutea
nueve niveles Dios era la cumbre los arcaacutengeles formaban el consejo de direccioacuten y Jesucristo
ocupaba un puesto a la diestra de Dios A continuacioacuten estaban los aacutengeles tronos
dominaciones potestades querubines serafines etc Pero para eacutel tambieacuten el infierno era
jeraacuterquico y la estructura era similar Lo que no determinoacute Dionisio fue si el cielo significaba
154
cooperacioacuten y el infierno confrontacioacuten o iquestqueacute Con los holones se contemplan ambas
alternativas Por eso con los holones se puede representar tanto una simple sentencia de
control hasta un sistema de agentes pasando por un subprograma ldquodemoniosrdquo etceacutetera
IV4 POSTULADOS DE LA TEORIacuteA
Definidos los elementos constitutivos de la teoriacutea propuesta se pasa a presentar los
postulados que la soportan Eacutestos son los siguientes
P1 Complementariedad Todo sistema de informacioacuten bioloacutegico o artificial se compone de
soacutelo dos elementos complementarios Holones e Informones Formalmente
IHSI =
P2 Coacutemputo En todo sistema de informacioacuten se puede establecer la ldquooperacioacutenrdquo de coacutemputo
representada por 0 que consiste en transformar holones e informones de entrada en otro(s)
de salida Es decir los holones e informones se interrelacionan para obtener nuevos
informones y holones de acuerdo con el esquema siguiente
H o H cup I rarr Hrsquo cup Irsquo
P3 Satisfactibilidad Todo sistema de informacioacuten se rige por criterios de satisfactibilidad y no
de optimizacioacuten o maximizacioacuten
IV5 EXPERIMENTACIOacuteN
Cualquier teoriacutea que se proponga se quedariacutea en mera especulacioacuten si no fuera capaz de
predecir y o explicar ciertos hechos en su dominio de aplicacioacuten Justamente estas
predicciones y o explicaciones constituyen los ldquoexperimentum crucisrdquo que permiten ya que
no corroborar formalmente al menos falsar la teoriacutea En este sentido la teoriacutea aquiacute propuesta
predice lo que a continuacioacuten se explicita en los dominios siguientes
A) Geneacutetica En el dominio del ADN la teoriacutea afirma que habida cuenta de que varios
informones distintos en este caso en forma de codones dan el mismo aminoaacutecido y el
coacutedigo geneacutetico actuacutea como holoacuten entonces dependiendo del codoacuten del que proceda el
aminoaacutecido eacuteste se comportaraacute de una manera o de otra Como consecuencia de ello
155
muchas enfermedades geneacuteticas de etiologiacutea uacutenica tienen ldquoprima facierdquo como causa el
codoacuten del que proceden Para confirmar esto se puede realizar el siguiente experimento
Cojaacutense varios individuos con la enfermedad de etiologiacutea uacutenica X obseacutervese si todos ellos
tienen en la proteiacutena Y el aminoaacutecido Z proveniente del codoacuten o triplete T Y veacuteanse como
contraprueba otros individuos que no presentan dicha enfermedad y comprueacutebese que
tienen codones distintos Si se confirma el supuesto es obvio que queda establecida como
supone la teoriacutea la relacioacuten iacutentima hoy auacuten no aceptada ni siquiera considerada de
tripletes y enfermedades
B) Cerebro El premio Nobel por el descubrimiento de la estructura del ADN Francis Harry
Compton Crick en 1990 y un joven colaborador suyo Christof Koch (Crick 1990)
proclamaron en Seminarios sobre Neurociencias que habiacutea llegado la hora de estudiar el tal
vez maacutes elusivo e ineludible de los fenoacutemenos la consciencia convirtieacutendola asiacute en un tema
legiacutetimo para la investigacioacuten empiacuterica Ambos rechazaban la creencia de muchos de sus
colegas en el sentido de que la consciencia no se podiacutea definir y menos auacuten estudiar Bien
al contrario para Crick y Koch siguiendo a William James la conciencia o consciencia y
todas sus formas dirigidas hacia objetos bien del mundo sensible o altamente abstractos o
internos parecen necesitar el mismo mecanismo subyacente es decir un mecanismo que
combina la atencioacuten con la memoria a corto plazo Sosteniacutean ademaacutes que no se podiacutea
esperar alcanzar una verdadera comprensioacuten de la consciencia ni por otra parte de
cualquier otro fenoacutemeno mental tratando al cerebro como un caja negra Posteriormente
Crick expuso detalladamente sus opiniones sobre la consciencia en un conocido libro
titulado ldquoThe Astronishing Hypothesisrdquo (Crick 1994) Para Crick el componente crucial de su
definicioacuten de consciencia es la palabra atencioacuten y hace hincapieacute en que eacutesta implica algo
maacutes que un simple procesamiento de informacioacuten En sus palabras (Crick 1988) Somos
conscientes de que tomamos una decisioacuten pero no somos conscientes de lo que nos hace
tomar dicha decisioacuten Esto ya lo habiacutea sugerido Sigmund Freud (Freud 1956) cuando
reflejando su inquietud sobre el inconsciente que ya se habiacutea desarrollado en el siglo XIX
planteoacute la hipoacutetesis de que la mayoriacutea de los actos humanos estaban determinados por
impulsos inconscientes Hoy la neurociencia sabe que eso es cierto Efectivamente en la
primavera de 1994 la Universidad de Arizona en Tucson organizoacute un simposio
interdisciplinario sobre la consciencia Alliacute y entonces Benjamiacuten Libet sicoacutelogo de la
Universidad de California en San Francisco realizoacute el siguiente experimento (Norretranders
1998) Pidioacute a los participantes que doblaran un dedo en el momento de haberlo decidido
mientras anotaban el instante de su decisioacuten tal y como indicaba un reloj Los participantes
156
tardaron 02 segundos de media en doblar los dedos tras haber decidido hacerlo pero la
electroencefalografiacutea que registroacute sus ondas cerebrales reveloacute que la maacutexima actividad
cerebral teniacutea lugar 03 segundos ldquoantesrdquo de haber tomado conscientemente la decisioacuten de
doblar el dedo Es decir el cerebro se poniacutea manos a la obra antes de que se fuese
consciente de la decisioacuten Como lo sentildealoacute Francisco J Rubia (Rubia 2002) Catedraacutetico de
Fisiologiacutea Humana de la Universidad Complutense de Madrid No tenemos ni idea de doacutende
parte esa primera actividad pero lo que queda claro es que no es consciente
La consciencia se resolvioacute para los materialistas cuando alguien decidioacute que era un mero
epifenoacutemeno del mundo material Fue el filoacutesofo oxfordiano Gilbert Ryle (Ryle 1949) quien
primero acuntildeoacute la frase the ghost in the machina en los antildeos treinta para mofarse del
dualismo mente-materia afirmando que el dualismo ndashque sosteniacutea que la mente es un
fenoacutemeno separado e independiente de su sustrato fiacutesico y capaz de ejercer influjo sobre
eacutel- violaba el principio de conservacioacuten de la energiacutea y por tanto toda la fiacutesica Seguacuten Ryle
la mente es una propiedad de la materia y soacutelo trazando detalladamente los intricados
meandros de la materia en el cerebro se podraacute explicar la consciencia Claro que en esto
Ryle no fue totalmente original al proponer este paradigma materialista En efecto hace
cuatro siglos Francis Bacon ya instaba a los filoacutesofos de su eacutepoca a que dejaran de
empentildearse en mostrar coacutemo evolucionaba el universo a partir del pensamiento y
empezaran a considerar coacutemo evolucionaba el pensamiento a partir del universo
Para el premio Nobel de Fiacutesica Murray Gell-Mann (Penrose 1996) La consciencia o
autoconocimiento es una propiedad como la inteligencia que puede acabar evolucionando
en los sistemas complejos adaptativos cuando alcanzan ciertos niveles de complejidad [hellip]
En principio no me parece posible que nosotros los humanos podamos construir
computadores con un grado de conocimiento razonable Penrose parece atribuir al
autoconocimiento alguna cualidad especial que hace improbable que surja de las leyes
ordinarias de la ciencia
Sobre la consciencia se ha escrito mucho y poco atinado Como lo sentildealoacute Stuart Kauffman
(Kauffman 2003) Dado lo poco sensato y lo mucho inuacutetil que se ha vertido sobre la
consciencia una hipoacutetesis maacutes no empeoraraacute las cosas Y a continuacioacuten plantea su
hipoacutetesis como sigue La consciencia estaacute asociada a una ldquotoma de decisionesrdquo de alta
resolucioacuten conducente a los comportamientos alternativos en los agentes autoacutenomos
moleculares que abarca los reinos cuaacutentico y claacutesico y equivalente a la persistente
157
propagacioacuten de bucles interconectados y percolados de coherencia cuaacutentica los cuales
simultaacuteneamente y sistemaacuteticamente pierden coherencia trasformaacutendose en claacutesicos El
paso al comportamiento claacutesico representa ldquomenterdquo actuando sobre ldquomateriardquo La
consciencia es la experiencia interna que el agente tiene de esa red percolada de coherencia
cuaacutentica que sostenidamente sufre decoherencia hacia el comportamiento claacutesico
Ciertamente retoacuterico y oscuro Sin embargo es innegable que la consciencia es un
fenoacutemeno emergente del comportamiento del cerebro y que puede entenderse La teoriacutea
aquiacute propuesta afirma que dicho fenoacutemeno es el resultado de observar el proceso de
coacutemputo de holones e informones por holones que los observan y categorizar a otros
holones de maacutes bajo nivel que trabajan sobre ellos Veacutease el siguiente ejemplo dado por la
tabla IV3 En ella se pueden ver los cuatro casos siguientes
1 Se es conciente de lo que se sabe Un grupo de holones trabaja sobre informones de
conocimiento y los holones que los manejan y da cuenta de ese trabajo Es justamente la
consciencia
2 Se es consciente de lo que no se sabe Holones de un cierto nivel quieren trabajar sobre
informones de conocimiento y se percatan de que no existen
3 No se es consciente de lo que se sabe En este caso no se han usado holones de nivel
suficiente para estar en el caso 1
4 No se es consciente de lo que no se sabe No se han usado holones para convertir la
situacioacuten en el caso 2
Todo ello implica que en el cerebro debe haber alguacuten ldquomecanismordquo formado por neuronas
y o gliacutea y sus respectivas actividades que se activen siempre y cuando el cerebro reciba
una actividad que requiera consciencia Dicho mecanismo debe anatoacutemica y fiacutesicamente
tener muchas entradas y pocas salidas es decir debe ser maacutes receptor que emisor El
candidato propuesto por Crick y Koch el 28 de Julio de 2004 pocos diacuteas antes de la muerte
del uacuteltimo es el ldquoclaustrumrdquo Es eacuteste una pequentildea laacutemina de tejido cerebral localizado bajo
el coacutertex Poco se conoce acerca de eacutel salvo que estaacute conectado y cambia informacioacuten con
casi todas las regiones sensoriales y motoras del coacutertex asiacute como la amiacutegdala que juega un
papel trascendental en las emociones Ademaacutes Koch y Crick comparan el ldquoclaustrunrdquo con
un director de orquesta Es decir las conexiones neuroanatoacutemicas del ldquoclaustrumrdquo reuacutenen
las caracteriacutesticas de un verdadero director puesto que pueden enlazar juntas y coordinar
158
las distintas regiones sensoriales y cognitivas necesarias para la unidad de la conciencia En
suma a diacutea de hoy el ldquoclaustrumrdquo tiene todas las rifas para ser el soporte material de la
consciencia de acuerdo con la teoriacutea aquiacute propuesta Actualmente se estaacute llevando a cabo
con el Profesor Ortiacutez de la UCM un trabajo para verificar esta hipoacutetesis
CONOCIMIENTO
CONSCIENCIA
Consciente Inconsciente
Conoce
Se es consciente de lo que se sabe Por ejemplo Al aprobar el carnet de conducir se ldquosaberdquo que se sabe conducir
No se es consciente de lo que uno sabe verbigracia cuando uno es un conductor versado no es consciente de que sabe conducir pues lo hace automaacuteticamente
Ignora
Se es consciente de lo que se ignora Es el caso que ocurre cuando uno quiere tener el carnet de conducir
Uno es inconsciente respecto a su ignorancia Este estadio es habitual en la infancia lo que no es preocupante Lo grave es cuando uno no evoluciona y se queda en este estadio
Tabla IV3 Consciencia Versus Conocimiento
C) Computacioacuten
Toda la computacioacuten puede explicarse con holones e informones de una manera trivial Por
ejemplo los sistemas transacionales son informones tipo datos (Bases de Datos) y holones
clase programas Los sistemas de informacioacuten son informones tipo noticias estructuradas
como sistemas de bases de datos y holones tipo programas y foacutermulas Los sistemas
basados en conocimientos son ni maacutes ni menos que informones en forma de ontologiacuteas y
holones en forma de agentes Finalmente las maacutequinas de Turing son un informoacuten en
forma de signos 1 y 0 sobre la cinta y un holoacuten en forma de la tabla de actuacioacuten
Curiosamente una maacutequina de Turing especiacutefica como verbigracia la de la suma descrita
en la cinta como parte de la maacutequina de Turing Universal (MTU) es un informoacuten que trata
como tal la MTU y no un holoacuten como pudiera parecer ldquoprima facierdquo
159
CAPIacuteTULO V RESULTADOS CONCLUSIONES Y FUTURAS LIacuteNEAS DE INVESTIGACIOacuteN
V1 RESULTADOS
1 El primer resultado obtenido con este trabajo ha sido mostrar la viabilidad de una
teoriacutea para el Desarrollo del Software Maacutes auacuten la necesidad de la misma para
rellenar la sima ldquogaprdquo o desfase entre el desarrollo exponencial del hardware
dado por la ley de Moore y el estado actual del desarrollo software caricaturizado
por el ldquokludgerismordquo que en el mejor de los casos es lineal y en el peor
regresivo
2 En segundo lugar se han establecido los liacutemites teoacutericos de la computacioacuten
basaacutendose en leyes y teoriacuteas fiacutesicas consolidadas como son la relatividad la
termodinaacutemica y la fiacutesica cuaacutentica Estos liacutemites fabulosos permiten afirmar de
acuerdo con Kurzweil (Kurzweil 2005) que la tecnologiacutea de los computadores estaacute
acercaacutendose a una singularidad Y si esto es asiacute y eacutesta es una futura liacutenea de
investigacioacuten maacutes el desarrollo de la nanotecnologiacutea augura unas potencialidades
al hardware hasta ahora inigualables pero si vislumbrables como son
a) La computacioacuten ubiacutecua que es la siguiente generacioacuten de la computacioacuten
tambieacuten llamada ldquoVirtualidad Incorporadardquo es lo opuesto a la realidad virtual y
consiste en la impregnacioacuten global de la informaacutetica en todas las actividades
de la vida corriente siendo completamente trasparente para el usuario
b) Los seres hiacutebridos bioloacutegico-tecnoloacutegicos dotados de capacidades
intelectuales etc En algunos aspectos tal y como se muestra en la tabla V1
estos seres superaraacuten a los humanos
OperacionesSegundo Capacidad de Proceso
(Bits)
Computadores Actuales asymp1010 asymp1010
Cuaacutenticos lt1050 lt1031
Humanos 2x1016 28x1020 (Von Neumann)
Tabla V1 Comparacioacuten de las prestaciones de computadores frente al hombre
Humanos Vs
Computadores
Prestaciones
160
c) Ademaacutes se llevaraacute a buen teacutermino el propoacutesito inicial de la ciencia de la
computacioacuten como es el paso del ldquocoacutemordquo al ldquoqueacuterdquo
d) Curiosamente y como efecto colateral que daraacute lugar a otra liacutenea de
investigacioacuten en este caso en linguumliacutestica a la vista del punto anterior y
teniendo en cuenta tal y como se muestra en la tabla V2 seraacute necesario
inventar nuevos teacuterminos para especificar la potencia y capacidad de memoria
de los futuros computadores En efecto de acuerdo con la tabla V2 soacutelo se
tienen teacuterminos para los muacuteltiplos hasta el 10 En consecuencia como el liacutemite
maacuteximo dado por los 1050 de potencia seraacuten necesarios usando intervalos de
103 al menos ocho nuevos teacuterminos
SIacuteMBOLO NOMBRE FACTOR
Y Yota 1024
Z Zeta 1025
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
H Hecto 102
O Deca 101
d deci 10-1
c centi 10-2
m mili 10-3
micro micro 10-6
n nano 10-9
p pico 10-12
f femto 10-15
a atto 10-18
z zepto 10-21
y yocto 10-24
Tabla V2 Oacuterdenes de Magnitud de las Unidades de Medida
3 En tercer lugar y eacuteste es un resultado muy relevante se ha conseguido probar
formalmente de acuerdo con trabajos previos de von Neuman y Loumlwenheim-
Skolem a su vez basados en Cantor Frege Zermelo y Mirimanoff la viabilidad de
161
una teoriacutea para el desarrollo del software tanto baacutesico como aplicado
convencional o avanzado Es decir una teoriacutea tanto para la Ingenieriacutea del Software
como para la Ingenieriacutea del Conocimiento y en general para la ciencia de la
computacioacuten Maacutes auacuten y de ahiacute la relevancia dicha teoriacutea da cuenta tambieacuten de y
explica adecuadamente otros fenoacutemenos en los que interviene la informacioacuten
como son la geneacutetica y la mente Una futura liacutenea de investigacioacuten muy
interesante en este punto seriacutea desarrollar un nuevo teorema que conteniendo los
alcances del de Lowenheim-Skolem elimine formalmente la ldquocapciosidadrdquo que
contiene eacuteste
A la vista de los resultados obtenidos por von Neumann en la construccioacuten de los
nuacutemeros naturales y del corolario citado en el capiacutetulo III apartado III23 se puede
decir sin temor a equivocarse que la expresioacuten de Kronecker sobre la creacioacuten de
los nuacutemeros enteros hay que modificarla en el siguiente sentido Dios creoacute el vaciacuteo
el hombre hizo el resto
Todo ello lleva a pensar y resulta ser otra liacutenea de investigacioacuten en una teoriacutea
maacutes amplia unificada y unificadora que englobe aquellos aacutembitos en los que la
informacioacuten sea una componente baacutesica Esta teoriacutea seriacutea una verdadera teoriacutea de
la informacioacuten de la que la de Shannon seriacutea un caso especial (Shannon 1948) En
este sentido von Neumann en una famosa resentildea del libro de Norbert Wiener
(von Neumann 1949) ldquoCyberneticsrdquo (Wiener 1948) deciacutea La proposicioacuten de que
tanto la ciencia como la tecnologiacutea pasaraacuten cada vez maacutes en el proacuteximo futuro
como en un futuro maacutes lejano de los problemas de intensidad sustancia y
energiacutea a los problemas de estructura organizacioacuten informacioacuten y control
4 El cuarto resultado notable es la fundamentacioacuten formal del software al menos en
su apartado de programacioacuten Para ello soacutelo hace falta y eacutesta es otra futura liacutenea
de investigacioacuten reducir toda la programacioacuten bien a la programacioacuten funcional o
si esto no fuera posible a la propuesta conceptograacutefica de Frege Lo cual no
parece inalcanzable teniendo en cuenta la similitud entre la estructura de
ldquoholonesrdquo ldquoinformonesrdquo y las nociones ldquoontoloacutegicasrdquo baacutesicas de Frege de
ldquofuncioacutenrdquo y ldquoargumentordquo Frege en sus escritos semaacutenticos a las funciones con
argumento las denominaba conceptos y a las de dos relaciones consideraba que
las funciones tomaban sus argumentos en los nuacutemeros y objetos en general para
lo que introdujo el concepto de ldquofuncioacuten proposicionalrdquo Dichos objetos para
Frege era todo aquello que no es una funcioacuten Pues bien la teoriacutea propuesta va
162
maacutes allaacute puesto que permite de acuerdo con el contexto que un holoacuten sea un
informoacuten y viceversa Y a mayor abundancia se permite la recursividad y o
recurrencia entre holones informones y entre ellos
5 Finalmente estaacute el resultado fundamental de este trabajo y es la presentacioacuten de
una teoriacutea que ademaacutes de contemplar el desarrollo software tambieacuten da cuenta
como acaba de indicarse de otros dominios como son la geneacutetica y la mente
Naturalmente esta primera propuesta debe ser y de hecho lo seraacute refinada y
completada con el adecuado desarrollo tecnoloacutegico y eacutesta es una nueva liacutenea de
investigacioacuten propuesta
Finalmente se ha obtenido un resultado que es un ldquoefecto colateralrdquo del trabajo realizado en
esta tesis En efecto en el apartado que trata de los nuacutemeros de von Neumann se comentoacute
como Leibniz se autoproclamoacute ldquocreadorrdquo del sistema binario y asiacute es considerado por la
mayoriacutea de los historiadores de la matemaacutetica y por los propios matemaacuteticos Sin embargo
nada maacutes lejos de la realidad En efecto tras intensas pesquisas usando la teacutecnica de GC de
mapas de conocimientos en forma de ldquovariosrdquo clips se comproboacute que realmente eso no soacutelo
es falso sino que Leibniz una vez maacutes plagioacute esta vez al espantildeol Juan Caramuel de Lekbowiz
nacido en Madrid en 1606 y fallecido en Vigevano en 1682 Estos son los hechos contados por
Juliaacuten Velarde Lombrantildea (Velarde 1989)
A) En 1701 Leibniz afirmoacute que antes incluso de la publicacioacuten de la ldquoTetractysrdquo por su
maestro de matemaacuteticas de la Universidad de Jena Erhard Weigel (1625-1699) en
1673 Aunque documentalmente la fecha de aparicioacuten del sistema binario de Leibniz
hay que datarla en el 15 de marzo de 1679 donde se ve que ya tiene una idea clara de
dicho sistema Idea que plasma en su obra de 1703 ldquoExplication de LacuteArithmeacutetique
Binairehelliprdquo memoria que habiacutea enviado a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1701
B) Caramuel en su ldquoMathesis Audaxrdquo publicado en Lovaina en 1644 y sobre todo en su
gran enciclopedia ldquoMathesis Bicepsrdquo de 1667-1670 donde expone de forma
sistemaacutetica entre otras la aritmeacutetica binaria Alliacute y entonces explica las ventajas e
inconvenientes de la misma y da una muestra de su utilidad aplicaacutendola a la muacutesica
Hasta aquiacute Velarde quien de forma incontestable muestra la prioridad de Caramuel sobre
Leibniz en la invencioacuten del sistema binario La doctoranda da un paso maacutes y estaacute en
condiciones de afirmar que con probabilidad rayana en la certeza Leibniz plagioacute a
Caramuel Estas son las razones aducidas
163
A) Estaacute documentado que Leibniz conociacutea los trabajos de Caramuel tanto de forma
directa pues eran corresponsales viacutea cartas de cuestiones cientiacuteficas como indirecta
ambos se comunicaban epistolarmente con varios contemporaacuteneos
B) La tendencia al plagio intriacutenseca al caraacutecter de Leibniz basada en las siguientes
acusaciones
a) Acusacioacuten de plagio lanzada por John Keill a Leibniz ademaacutes de la acusacioacuten
del propio Newton sobre la prioridad de la invencioacuten del caacutelculo infinitesimal
en su ldquoAn Account of the Book Entituled Commercium Epistolicum D Johannis
Collinij amp Aliorum de Analysi Promotardquo publicado en 1715 en las Philosophical
Transactions de la Royal Society
b) Acusacioacuten de Pell sobre el plagio de Leibniz a Regnaud Pell conocioacute a Leibniz
en casa de la hermana del quiacutemico Robert Boyle en 1673 En ese encuentro
Leibniz le comentoacute a Pell que habiacutea descubierto un meacutetodo general para
representar e interpolar series usando diferencias Pell mostroacute su extrantildeeza
pues dado que Leibniz acababa de llegar de Pariacutes debiacutea conocer que esos
resultados descubiertos por Francois Regnaud habiacutean sido publicados en
1670 por Gabriel Mouton en sus ldquoObservationes Diametrorum Solis et Lunae
Apparentiumrdquo
c) Robert K Merton (Merton 1965) afirma que seguacuten el astroacutenomo Francois
Arago Leibniz plagioacute a Descartes acerca de la observacioacuten de este uacuteltimo
seguacuten la cual ldquola Tierra no difiere del Sol en ninguacuten aspecto salvo en que es
maacutes pequentildeardquo Estas fueron las palabras de Arago ldquoLeibniz otorgoacute a esta
hipoacutetesis el honor de atribuiacutersela a siacute mismordquo
Es decir ldquoverde y con asasrdquo
V2 CONCLUSIOacuteN
La ldquoGestioacuten del Conocimientordquo no es soacutelo vaacutelida para mejorar el funcionamiento y la
competitividad de las organizaciones tanto institucionales como econoacutemico-financieras sino
que como se muestra en este trabajo tambieacuten es eficaz y efectiva en el dominio de la
investigacioacuten cientiacutefica tanto teoacuterica como aplicada a la tecnologiacutea Y esta eficacia y efectividad
se plasma en que siguiendo la terminologiacutea de Francis Bacon aporta tanto ideas luciacuteferas que
iluminan ciertos campos clasificaacutendolos (resultados 1 2 3) como fructiacuteferas que generan
teoriacuteas y sobre todo abren nuevas viacuteas de investigacioacuten (2 3 y 4)
164
165
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