UNDÉCIMO GRADO

TALLER GUÍA No. 3

ÁREA: MATEMÁTICAS ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

UNIDAD: No. 3 NOMBRE: FUNCIONES EN LOS REALES OBJETIVO: Adquirir la capacidad de comprensión mediante la traducción, interpretación y extrapolación de los

elementos y reglas básicas que constituyen el estudio de las funciones tomando como base los

números reales. INDICADORES DE DESEMPEÑO

DESARROLLO INTELECTUAL Posee la capacidad para reconocer funciones mediante diagramas sagitales y plano cartesiano..

Es capaz de reconocer el dominio, rango y codominio como elementos de una función.

Posee capacidad para diferenciar cada una de las clases de funciones y además establecer el dominio y

rango.

DESARROLLO PSICOMOTOR Es hábil en el desarrollo de ejercicios y representación gráfica sobre funciones con base al conjunto de los

números reales.

DESARROLLO AFECTIVO Realiza con agrado las actividades propuestas para la comprensión de la unidad.

DESARROLLO VOLITIVO

Trabaja con esfuerzo al realizar la comprensión de la unidad.

DESARROLLO ESPIRITUAL

Aplica su capacidad de comprensión para ayudar a sus compañeros que presentan dificultad.

ORIENTACIÓN DIDÁCTICA.

Al desarrollar la guía - taller, tenga presente las siguientes orientaciones:

Lee con atención la reseña histórica sobre las aplicaciones de David Hilbert y formula las características

que tuvo en cuenta al conjunto de los números reales.

Leo el objetivo y los indicadores para que tome conciencia de lo que se espera que alcance con el desarrollo

de la guía.

Contesto la Exploración o Conducta de entrada en el cuaderno .

Resalto las ideas importantes del tema en la guía.

Subrayo en la guía las palabras de las cuales duda su interpretación y haz un glosario con ellas en el

cuaderno.

Elaboro una lista de interrogantes para discutirlos en grupo.

Consulto varios libros de matemáticas y páginas en internet para profundizar en los temas tratados.

Soluciona en el tablero los ejercicios propuestos en la guía en el menor tiempo posible.

Realizo la transferencia (valoración) o formación psicomotriz en hojas de papel cuadriculado tamaño carta. EXPLORACIÓN O CONDUCTA DE ENTRADA

Responde en el cuaderno las siguientes preguntas: 1. ¿ Qué es una función matemática?

2. ¿Los diagramas representados son funciones o relaciones?

Relación Relación

Función Función 3. ¿Qué diferencia una relación de una función?

1

2

3

4

A

a

b

c

B

x

y

z

A

a

B

si no

si no

si no

si no

ESTRUCTURACIÓ O FORMACIÓN INTELECTUAL. PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B, diferentes de vacío, se define el producto cartesiano de A y B, denotado A X B, como el

conjunto de todas las parejas ordenadas (a,b), tales que la primera componente a, pertenece al conjunto A, y la

segunda componente b, pertenece al conjunto B.

Simbólicamente:

A X B = {(a,b)/ a A, , b B } Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B ={3,4,5}, podemos establecer combinaciones entre los elementos del

conjunto A (conjunto de partida) con los elementos del conjunto B (conjunto de llegada), y formar un nuevo

conjunto , así: - Parejas ordenadas A X B = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)} - Plano cartesiano - Diagrama sagital

RELACIONES Dados los conjuntos A y B, diferentes de vacío, se define una relación de A en B como subconjunto del producto

cartesiano A X B, de tal manera que entre las componentes de cada pareja ordenada (a,b), se cumple una regla de

correspondencia. Luego R es una relación de A en B, si y solamente sí R (A X B)

Ejemplo. Sean los conjuntos A = {x / 0 x 3} y B = {x / 3 x 5}; hallar las reglas o relaciones :

a) R1 = {(a,b)/a < b}

b) R2 = {(a,b)/a = b}

c) R3 = {(a,b)/b = 2a}

SOLUCION

De A = {x / 0 x 3}, obtenemos: A = {0,1,2,3}

De B = {x / 3 x 5}, obtenemos: B = {3,4,5} Entonces: A X B = {(0,3),(0,4),(0,5),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5)} (Parejas ordenadas)

1.

2.

3.

A

3.

4.

5.

B

A X B

X

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

A

B

A X B

•

•

•

•

•

•

•

•

•

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

A

B

A X B

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

A X B

3.

4.

5.

B

X

A

0.

1.

2.

3.

a) La relación (o regla) R1 nos dice que la primera componente es menor que la segunda componente; por lo

tanto de A x B, tomamos las parejas que cumplen esta condición:

S1 = {(0,3),(0,4),(0,5),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

b) La relación (o regla) R2 nos dice que la primera componente es igual que la segunda componente; por lo tanto

de A x B, tomamos las parejas que cumplen esta condición:

S2 = {(3,3)}

c) La relación (o regla) R3 nos dice que la segunda componente es el doble de la primera componente; por lo

tanto de A x B, tomamos las parejas que cumplen esta condición:

S3 = {(2,4)}

Es posible definir relaciones en un mismo conjunto y estas relaciones tienen sentido.

Ejemplo: Sea G = {(x,y)/ y = x + 1; x,y R} Como x,y R, G es una relación de R en R y podemos determinar parejas ordenadas que pertenezcan a G. Para

hallar algunos elementos que pertenecen a su conjunto solución S, basta reemplazar a x por cualquier número real

y obtenemos así el respectivo valor de y, o sea: Sí:

S = {…, (-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2).(2,3),(3,4),…}

Observa también que: S (R X R) DOMINIO DE UNA RELACION Dada una relación H de A en B, se define dominio de H como el conjunto formado por las primeras componentes

de cada pareja ordenada de H. Se cumple que, D (H) A.

En el ejemplo anterior el dominio de la relación G es: D (G) = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

RANGO DE UNA RELACION

Dada una relación H de A en B, se define el rango de H como el conjunto formado por las segundas componentes

de cada pareja ordenada de H. Se cumple que, R (H) B.

En el ejemplo anterior el rango de la relación G es: R (G) = {…,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

METODO PARA HALLAR EL DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION

- EL DOMINIO

Para hallar los valores de x (dominio) que pueden ser relacionados con los valores de y en una relación de la

forma H(x,y) = 0, se procede así:

Despejamos y en la expresión H(x,y) = 0 para analizar los posibles valores de x que cumplen con la condición

dada.

- EL RANGO

Para hallar los valores de y (rango) que pueden ser relacionados con los valores de x en una relación de la forma

H(x,y) = 0, se procede así:

Despejamos x en la expresión H(x,y) = 0 para analizar los posibles valores de y que cumplen con la condición

dada.

x = -3

Y = x + 1

Y = (-3) + 1

Y = -3 + 1

Y = -2

x = -2

Y = x + 1

Y = (-2) + 1

Y = -2 + 1

Y = -1

x = -1

Y = x + 1

Y = (-1) + 1

Y = -1 + 1

Y = 0

x = 0

Y = x + 1

Y = (0) + 1

Y = 0 + 1

Y = 1

x = 1

Y = x + 1

Y = (1) + 1

Y = 1 + 1

Y = 2

x = 2

Y = x + 1

Y = (2) + 1

Y = 2 + 1

Y = 3

x = 3

Y = x + 1

Y = (3) + 1

Y = 3 + 1

Y = 4

El dominio y el rango pueden presentarse tres casos. Caso 1. Que la variable x o y pertenezcan al denominador de una fracción. Ejemplo: Determinar el dominio y rango de la relación H = {(x,y)/ xy + 4y – 3 = 0, con x,y R} Solución.

Caso 2. Que la variable x o y pertenezcan a un radical de índice par. Ejemplo 1: Determinar el dominio y rango de la relación G = {(x,y)/ 2x + y

2 – 1 = 0, con x,y R}

Solución.

DOMINIO

Relación dada: xy + 4y – 3 = 0

Despejamos el valor de y: y(x + 4) – 3 = 0

y(x + 4) = 3

Luego 4

3

xy

CASO 1.

Observemos que la variable x esta en el

denominador de la expresión. La división por

cero (0), no esta definida (no existe). Analicemos

para qué valor o valores de x el denominador se

hace cero.

4

3

xy , el denominador 04 x

404 xx El denominador se hace cero

cuando x = -4, pues, -4+4 = 0. Por lo tanto el

valor de x = -4 no puede relacionarse con ningún

valor de y.

Este resultado nos indica que todos los reales

hacen parte del dominio de H, excepto el real -4.

Entonces: D (H) = {x/ xR, , 4x }

D (H) = R – {-4}

RANGO

Relación dada: xy + 4y – 3 = 0

Despejamos el valor de x: yx = -4y + 3

Luego

y

yx

34

CASO 1.

Observemos que la variable y esta en el

denominador de la expresión. La división por

cero (0), no esta definida (no existe).

Analicemos para qué valor o valores de y el

denominador se hace cero.

y

yx

34 , el denominador 0y

0y El denominador se hace cero cuando

y = 0, pues, 0 = 0. Por lo tanto el valor de y = 0

no puede relacionarse con ningún valor de x.

Este resultado nos indica que todos los reales

hacen parte del rango de H, excepto el real 0.

Entonces: R (H) = {y/ yR, , 0y }

R (H) = R – {0}

DOMINIO

Relación dada: 2x + y2 – 1 = 0

Despejamos el valor de y: y2 = -2x + 1

Luego 12 xy CASO 2.

La variable x está dentro de un radical de índice

par. Se sabe que una cantidad subradical de

índice par, solo tiene raíces reales si su radicando

es positivo o cero. Entonces debemos buscar

aquellos valores de la variable x, donde la

cantidad subradical resulte positiva o cero, y

descartar los valores donde resulte negativa.

Por lo tanto se procede así:

012 x , entonces, 22

012 x

012 x 12 x

2

1

x

2

1x

Este resultado nos indica que únicamente a los

reales menores o iguales que 2

1 les podemos

asignar una imagen.

Luego: D (G) = {x/2

1x , xR}

D (G) = ( ,2

1]

RANGO

Relación dada: 2x + y2 – 1 = 0

Despejamos el valor de x: 2x = – y2 + 1

Luego 2

12

yx

CASO 3.

Como la variable y no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el rango de y son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: R (G) = {y/ yR}

R (G) = R

R (G) = ( , )

Ejemplo 2: Determinar el dominio y rango de la relación P = {(x,y)/ 4x2 - 3y – 1 = 0, con x,y R}

Solución.

Caso 3.

Que la variable x o y no pertenezcan a un denominador ni a un radical de índice par.

Ejemplo : Determinar el dominio y rango de la relación F = {(x,y)/ -3x + 2y + 1 = 0, con x,y R}

Solución.

DOMINIO

Relación dada: 4x2 - 3y – 1 = 0

Despejamos el valor de y: 4x2 - 1= 3y

3y = 4x2 - 1

Luego 3

14 2

xy

CASO 3.

Como la variable x no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el dominio de x son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: D (P) = {x/ xR}

D (P) = R

D (P) = ( , )

RANGO

Relación dada: 4x2 - 3y – 1 = 0

Despejamos el valor de x: 4x2 = 3y + 1

Luego 4

132

yx

4

13

yx

CASO 2.

La variable y está dentro de un radical de

índice par. Se sabe que una cantidad subradical

de índice par, solo tiene raíces reales si su

radicando es positivo o cero. Entonces

debemos buscar aquellos valores de la variable

y, donde la cantidad subradical resulte positiva

o cero, y descartar los valores donde resulte

negativa.

Por lo tanto se procede así:

04

13

y,entonces, 2

2

013 y

013 y 13 y

Luego, 3

1y

Este resultado nos indica que únicamente a los

reales mayores o iguales que 3

1 les podemos

asignar una imagen.

Luego: D (G) = {x/3

1y , xR}

D (G) = [3

1, )

RANGO

Relación dada: -3x + 2y + 1 = 0

Despejamos el valor de x: 2y + 1 = 3x

Luego 3

12

yx

CASO 3.

Como la variable y no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el rango de y son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: R (F) = {y/ yR}

R (F) = R

R (F) = ( , )

DOMINIO

Relación dada: -3x + 2y + 1 = 0

Despejamos el valor de y: 2y =3x + 1

Luego 2

13

xy

CASO 3.

Como la variable x no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el dominio de x son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: D (P) = {x/ xR}

D (P) = R

D (P) = ( , )

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS RELACIONES

Las relaciones, en algunos casos, es conveniente representarlas gráficamente. Hasta ahora hemos estudiado los

conceptos de Dominio y Rango de una relación desde un punto de vista analítico. Pero muchas veces resulta más

práctico y conveniente hacerlo gráficamente.

EJEMPLO 1.

Determina analítica y gráficamente el dominio y el rango de la relación: B = {(x,y)/ 2x + y - 1 = 0}

Solución de forma analítica:

Solución de forma gráfica

Relación dada: 2x + y - 1 = 0

Despejamos el valor de y: y =-2x + 1

Y = f(x)

Sí:

FUNCIONES

OBSERVA a. De acuerdo con el diagrama sagital: expresa por extensión el conjunto de parejas

en la relación que se gráfica en el margen izquierdo.

b. Determina si esta relación es una relación de equivalencia; es decir reflexiva,

simétrica y transitiva.

Una relación entre dos conjuntos A y B, tal que todo elemento de A tiene una y sólo

una imagen en B es una función. En otras palabras, una función es una relación

funcional y totalmente definida.

DOMINIO

Relación dada: 2x + y - 1 = 0

Despejamos el valor de y: y =-2x + 1

Luego y =-2x + 1

CASO 3.

Como la variable x no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el dominio de x son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: D (P) = {x/ xR}

D (P) = R

D (P) = ( , )

RANGO

Relación dada: 2x + y - 1 = 0

Despejamos el valor de x: 2x = -y + 1

Luego 2

1

yx

CASO 3.

Como la variable y no aparece como

denominador ni como un subradical de índice

par, podemos asegurar que el rango de y son

todos los números reales, o sea, no hay

restricción.

Entonces: R (F) = {y/ yR}

R (F) = R

R (F) = ( , )

x -1 0 1

y 3 1 -1

x = -1

Y = -2x + 1

F(x) = -2x + 1

F(-1)= -2(-1) + 1

F(-1) = 2 + 1

F(-1) = 3

x = 0

Y = -2x + 1

F(x) = -2x + 1

F(0) = -(0) + 1

F(0) = 0 + 1

F(0) = 1

x = 1

Y = -2x + 1

F(x) = -2x + 1

F(1) = -2(1) + 1

F(1) = -2 + 1

F(1) = -1

x

y

•

•

•

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ejemplo

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y f una relación de A en B, que asigna a cada elemento x

A, un elemento y e B, en donde «y es el doble de x», lo cual se notará así:

f: A —————> B

x ^—————>. 2x

Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función.

Solución

Las parejas que pertenecen a la relación son:

f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

El diagrama sagital correspondiente es el adjunto. Como se puede observar todos los elementos de A tienen imagen; además, a ninguno de los elementos de A le

corresponde más de una imagen en B. Por lo tanto, la relación fes una función. Ejemplo Sean A = [\ 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y g una relación de A en B, que asigna a cada elemento x e.

A, un elemento y e B, en donde «y es el doble de x aumentado en I», lo cual se notará así:

g: A B

x . 2x + 1

Realizar un diagrama sagital de la relación y determinar si es o no una función.

Solución

Las parejas que pertenecen a la relación son:

f = {1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

El diagrama sagital correspondiente es el adjunto:

Se puede observar que ninguno de los elementos de -4 tiene más de una imagen en 8, pero no todos los elementos

de A tienen imagen: el elemento x = 5 no tiene imagen en B porque 11 e. B. Por lo tanto, la relación g no es una

función.- Determina para cada uno de los siguientes diagramas sagitales, si representa una función o no. Justifica tu

respuesta:

Diagrama sagital

de la relación 2x +1

Representación cartesiana de una función Representar una función en el plano cartesiano consiste en ubicar las parejas (x, y) que pertenecen a ella.

Ejemplo

Dados: M = {x/0 x 2} ,N = {x/0 x 5 } donde x e R, representar en el plano cartesiano la función:

f : M N

x x2

Solución

Para ello hacemos una tabla de valores:

x 0 0,5 1 1.5 2

y 0 0,25 1 2,25 4

Ubicamos en el plano los puntos P1 = (0,5: 0,25),

P2 = (1, 1), P3 = (1,5; 2,25) y P4 = (2, 4) y unámoslos por medio de una

línea continua.

Ejemplo

La curva que se muestra a la izquierda representa una relación h definida

del intervalo [-5, 5] en el intervalo [-3, 3]:

h: [-5, 5] [-3, 3]

Analizar la curva y decidir si representa una función:

Solución Como se puede observar para cualquier punto x comprendido entre -5 y 5

es posible encontrar su imagen h(x). Sólo x = 5 posee una única imagen,

los otros valores x [-5, 5] tienen dos imágenes. Por lo tanto la curva no

representa una función.

Observación Si la relación h estuviera definida:

h: [-5, 5] [0, 3]

sí sería una función, puesto que todos los elementos entre -5 y 5 tendrían

imagen en [0, 3], y ésta sería única.

Dominio: es el conjunto de valores que toma la variable independiente x.

Codominio: es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y.

Rango: es el conjunto de valores que efectivamente toma la variable dependiente

y.

Dominio

Rango

Codominio

Ejemplo

Establecer el dominio, el codominio y el rango de la función:

g: R R

x . X 2

Solución

El dominio de la función g es el conjuntó de los números reales; a todo número

real se le puede asignar su cuadrado.

El codominio de g es el conjunto de números reales puesto que el cuadrado de

cualquier real pertenece a los números reales.

El rango de la función g es el conjunto de los números reales no negativos.

Dominio de g : R

Codominio de g: R

Rango de g: R+ {0} CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES Función inyectiva: una función es inyectiva cuando a elementos distintos del domino le corresponden imágenes

distintas en el codominio.

Ejemplo: Sea la función:

f: N |R

x . x

1

Algunos puntos de la función son:

x 3

1

2

1 1 2 3 4 5 6

f(x) 3 2 1 2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

Como se puede observar la imagen de cada x particular es única; puesto

que a números naturales distintos les corresponde inversos

multiplicativos distintos. Por lo tanto, la función f(x) = x

1 es inyectiva.

Función sobreyectiva: una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio pertenecen al rango

de la función. En tal caso, cada uno de los elementos del conjunto de llegada es imagen de por lo menos un

elemento del dominio.

Ejemplo Sea la función g:

g: [-5, 2] [0,25]

x . x2

Algunos de los elementos del codominio son imágenes de uno de los

valores de x. Otros elementos del codominio son imagen de dos

elementos de x.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

g(x) 25 16 9 4 1 0 1 4

En general todos los valores de la variable independiente son imágenes

de algún x del dominio, es decir que todos los elementos del codominio

pertenecen al rango de g(x).

Por lo tanto g(x) = x2 es una función sobreyectiva.

Función biyectiva: una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Es decir, cuando todos los

elementos del codominio son imágenes, y cada uno de ellos es imagen de solamente un elemento del dominio.

Ejemplo Sea la función h:

h: R R

x . x3

Algunos puntos de la función son:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

h(x) -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64

Como puedes observar en la función h(x) todos los elementos del

codominio, R, son cubos de algún elemento del dominio, y

únicamente de uno de ellos.

Por lo tanto la función f(x) = x3 es una función biyectiva. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Función creciente

Dada una función f(x) cuya representación gráfica se ilustra a la izquierda:

Al tomar dos elementos del dominio: 2,1 , xx ; tales que 2,1 xx , y comparar

sus respectivas imágenes, se cumple que f( 1x ) < f( 2x ), se dice que es una

función creciente.

Una función es creciente si en la medida en que crece el valor de los

elementos del dominio también crece el valor de las imágenes.

Ejemplo

Determinar si la función y == 32

x es o no es creciente.

Solución

Grafiquemos la función y = 32

x:

x -8 -4 -2 -1 0 1 2 4

f(x) -1 1 2 2,5 3 3,5 4 5

Observa que en la medida en que la variable independiente aumenta su valor,

la variable dependiente también aumenta. Así que las dos variables crecen

simultáneamente.

La función es creciente en el conjunto de los números reales, que es

su dominio.

Función decreciente

Dada una función cuya representación gráfica se presenta a la izquierda:

Al tomar dos elementos cualesquiera del dominio: 2,1 , xx ; tales que

2,1 xx , y al comparar sus respectivas imágenes se cumple que f( 1x ) >

f( 2x ), se dice que f es una función decreciente.

Una función es decreciente si en la medida en que crece el valor de los

elementos del dominio, las imágenes decrecen en valor.

Gráfica de la

función

Y = 32

x

Función decreciente.

Función creciente.

Ejemplo

Determinar si la función f(x) =

x

2

1, es creciente o decreciente.

Solución

La función {(x, y) / y =

x

2

1 es una exponencial.

Construyamos la tabla para realizar su gráfica:

x -4 -2,5 -2 0 1 2 3

f{x) 16 5,6 4 1 0,5 0,25 0,125

Observa cómo mientras los valores de la variable independiente crecen, los

valores de la variable dependiente decrecen.

Por este motivo la función y =

x

2

1 es decreciente.

Ejemplo

Determinar si la función g{x) = |x| es creciente o decreciente.

Solución

Construiremos la tabla para trazar la gráfica de g(x):

x -4,2 -2 -1,3 0 0,8 2 3,5

g(x) 4,2 2 1,3 0 0,8 2 3,5

Observa que en los valores de x menores que 0, la función es decreciente; y

para los valores de x mayores que 0 la función es creciente.

FUNCIÓN PAR E IMPAR

Función par

Sabemos que la gráfica de la función {(x, y) / y = x2 – 4 es la parábola que se

observa a lado izquierdo:

A tal función pertenecen las parejas:

(1, -3), (2. 0), (3, 5), (-1, -3), (-2, 0), (-3, 5), etc.

Analiza las parejas (1, -3) y (-1, -3).

a. ¿Qué relación hay entre las abscisas de las dos parejas?

b. ¿Cómo son sus ordenadas?

c. Con las otras parejas que pertenecen a la función, ¿se presenta la misma

relación entre las abscisas y entre las ordenadas?

En esta función se cumple que las parejas cuyas abscisas son opuestos aditivos

poseen ordenadas iguales.

Es decir, cada punto de la gráfica se puede aparear con otro punto que esté a la misma distancia respecto Al eje de

ordenadas. Por eso se le denomina función par.

Una función f(x), es par, si a elementos opuestos aditivos del dominio

corresponden elementos iguales en el rango.

Es decir f es par si f(-x} = f(x).

La gráfica de una función par es simétrica respeto a una recta.

Gráfica de la función g(x) = |x|

x Crece

Gráfica de la función

y =-x2 - 4

Función impar

La gráfica de la función {(x, y) / y = 2x} es una recta de pendiente 2, cuya intersección con el eje de las ordenadas

es el punto que representa la pareja (0, 0).

Algunas de las parejas son:

(-3, -6), (2, 4), (1,2), (3, 6), (-2, -4), (-1, -2), etc.

Analiza las parejas (-3, -6) y (3, 6).

a. ¿Qué relación hay entre las abscisas de las dos parejas?

b. ¿Cómo son sus ordenadas?

c. Con las otras parejas, ¿se presenta la misma relación entre las abscisas y entre

las ordenadas?

Tomando pares de elementos de la función se puede observar que hay parejas en

las que tanto sus abscisas como sus ordenadas son opuestos aditivos.

La función f(x) es impar, si a elementos opuestos aditivos del dominio

corresponden también elementos opuestos aditivos en el rango.

Una función f es impar si f(x) = -f(-x).

La gráfica de una función impar es simétrica respecto a un punto.

SIMETRÍAS DE UNA FUNCIÓN

Simetría respecto a una recta

La curva de una función es simétrica respecto a una recta L si para cada punto P de la curva, es posible encontrar

al otro lado de la recta, otro punto P', también perteneciente a la curva, tal que P y P' equidistan de la recta L.

Ejemplo

Verificar que la curva de la función y = (x - 3)2 es simétrica y respecto a la

recta x = 3.

Solución

Como se puede observar, el punto (2, 1) y el punto (4, 1) equidistan de la

recta x = 3.

La distancia del punto (2, 1) a la recta es:

La distancia del punto (4, 1) a la recta es:

De la misma forma los puntos (1, 4) y (5, 4) equidistan de la recta; y los

puntos (O, 9) y (6, 9) equidistan de la recta.

Simetría respecto a un punto

La curva de una función es simétrica respecto a un punto O, si dado un punto P, se puede encontrar

otro punto P' sobre la recta OP , tal que P y P' equidistan en el punto O.

1101)11()23( 22

1 d

1101)11()34( 22

1 dGráfica de la función

y =(x -3)2 es

simétrica respecto a x = 3

Ejemplo

Verificar que la función f(x) = x3 es simétrica respecto al origen del sistema

coordenado.

Solución

Se puede comprobar que, los puntos (-3, -27) y (3, 27) son equidistantes del

punto (0, 0).

La distancia de (-3, -27) al punto (O, 0) es:

17387299)027()03( 22

1 d

La distancia de (3, 27) al punto (O, 0) es:

17387299)027()03( 22

1 d

Análogamente se puede verificar que:

Los puntos (-2,-8) y (2,8) equidistan del punto (0, 0)

Los puntos (-1, -1) y (1, 1) equidistan del punto (0, 0).

En general, cualquier pareja de puntos de la curva: P (-x, -x3) y P' (x, x

3) equidistan del punto O (0, 0).

Función constante

y = k es la función constante

f: R R

x k

Se define la función:

a. ¿Cuál es la imagen de x = 5?

b. ¿Pertenece al dominio el número 7?

c. Si 4 es un elemento del codominio y k 4, ¿puede 4 ser un elemento del rango?

d. Considera k = 8; determina por extensión el rango de la función.

e. La representación gráfica de la función constante es una recta horizontal.

f. ¿Qué puedes afirmar acerca del crecimiento o decrecimiento de la función?

En la función y = 3 el dominio es el conjunto de números reales, el

codominio también son los reales, el rango es el número 3.

y = 3 es un ejemplo de función constante.

Para que la función f (x) = - 5 sea sobreyectiva, ¿cuál debe ser el codominio

de la función?

La función idéntica

y = x es la función idéntica

Gráfica de la función f(x) = x3

f: R R

x x

El dominio de la función y = x es el conjunto de los números reales, porque la

variable x puede tomar cualquier valor en dicho conjunto.

La función formada por el conjunto de parejas en las cuales la abscisa es igual

a la ordenada se llama función idéntica y su gráfica es una recta que es

bisectriz del primero y tercer cuadrante.

Dicha función se determina por comprensión.

F={(x, y)/y = x}

La función lineal

Son ejemplos de funciones lineales:

y = 5x, y = x, y = 2x, y = x7

1;

El dominio de la función y = 5x es el conjunto de los números reales

porque 5 veces un número real es otro número real.

Observa la gráfica de la función.

Recuerda que la función lineal tiene la forma y = mx. Su gráfica es una

recta que pasa por el punto P = (0, 0) y la pendiente es el número m.

La función idéntica y = x es un caso particular de la función lineal.

El dominio de la función lineal es el conjunto de los números reales.

Recuerda que para que una función sea lineal debe cumplir las siguientes

condiciones, llamadas «condiciones de linealidad»:

f ( x + y ) = f (x) + f {y)

f (x . y) = x . f (y) = y . f (x)

Función de gráfica lineal

Las funciones y = k, y = x, y = mx y y = mx + b, tienen por representación gráfica una línea recta, por ello se

denominan funciones de gráfica lineal.

Ejemplo Representar gráficamente y hallar el dominio y el recorrido de la función y = -3x

+ 5

1

Solución

Como la función y =: - 3x + 5

1 es una función de gráfica lineal, la intersección

con el eje y es:

y = 3 (0) + 5

1

y = 5

1

Obtenemos el punto P = (0, 5

1)

Gráfica de la función idéntica.

Gráfica de la función lineal y = 5x

La intersección con el eje x se obtiene al hacer: y = 0

0 = -3x + 5

1

x = 15

1

3

5

1

x

Obtenemos el punto P = .0,5

1

Dominio:

Para todo x real se pueden calcular: y = -3x + 5

1. Por lo tanto, el dominio de la función es R.

Recorrido:

Para todo real y. es posible calcular x = 15

1

3

1

y. Por lo tanto, el recorrido de la función es R.

TRANSFERENCIA, VALORACIÓN O FORMACIÓN PSICOMOTRIZ

1. Desarrollo intelectual

Elabora una sopa de letras con los términos: relación, función dominio, rango, codominio, pareja ordenada,

función par, función impar, función lineal, función constante, simetría, función inyectiva, función biyectiva y

función sobreyectiva.

2. Desarrollo Psicomotor

1. Dados los conjuntos : A = {1,3,5}, B ={2,5,6}, C = {1,2,7} y D ={3,5,8} Determina:

a) A X B c) A X D e) B X D g) B X A

b) A X C d) B X C f) C X D h) C X B

2. Determina el dominio y rango de las siguientes relaciones, definidas en el conjunto de los números reales (R)

a) H = {(x,y)/ 4xy - 5y + 2 = 0} c) P = {(x,y)/ 5x – y2 - 3 = 0} e) A = {(x,y)/ - x + 5y - 2 = 0}

b) E = {(x,y)/ 3xy + 2y - 1 = 0} d) S = {(x,y)/ -3x + 5y2 + 2 = 0} f) B = {(x,y)/ 3x - 2y - 6 = 0}

3. Realiza la representación cartesiana de cada una de las siguientes elaciones y decide cuáles de ellas son

funciones:

4. Observa las gráficas y determina cuáles de éstas representan funciones:

5. Los conjuntos dados a continuación corresponden a una función. Identifica el dominio y el rango de cada

función.

a. {(-2, 2), (0, 0), (1 2). ( 2 2 ,2 )} c. {(- 3 , -1), (-1, -1), ( 2 , -1), (2. -1)}

b. {(1, 1/2), (2, 1), (3, 3/2), (4, 2)} d. {(-2, -8), (-1 -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)}

6. Para cada función dada, construye una tabla de valores y realiza la gráfica:

a. f (x)=2x - 5 b. f (x) = 5 - x c) f (x) = 12

12

x

,

7. Encuentra el dominio, el codominio y el rango de cada una de las funciones graficadas:

8. Representa en el plano cartesiano las siguientes relaciones y determina cuál de ellas es una relación idéntica:

R1 = {(1. 3), (1, 2), (1, 5), (1, 7)}

R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (8, 8)}

R3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}

9. De las gráficas que se ¡lustran a continuación, selecciona las que representan una función constante:

10. Clasifica las siguientes funciones de gráfica lineal en crecientes y decrecientes:

a. y = 2x + 4 b. y = -7x - 3 c. y = -5x - 9 d. y = 3x +- 1

11. Una función de gráfica lineal de pendiente negativa, ¿será creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.

12. Determina la pendiente de las siguientes funciones de gráfica lineal:

a. 3x + 5y - 8 = 0 d. y = -3x + 1

b. -3x + 8y - 9 = 0 e. -11x - 7y - 8 = 0

c. x = 3y + 7 f. 4x + 7y - 8 = 0

13. Determina la verdad o la falsedad de la afirmación y la razón del enunciado siguiente. Di si esta última es

explicación de la primera.

«La función y = -x3 es par porque las parejas (-2,8), (2,8), (-4,64) y (4,-64) pertenecen a ella y los valores

absolutos de sus componentes son números pares".

14. Halla el dominio de cada función:

a. y = 3x

b. y = 2x - 1

c. y = -2x

d..y =-4x + 2

e. y = -x

f. y = x2 + 1

9. y = x3

h. y = 3

5

x

i. y = 4 x

j. y = 4x

k. y = 1

12 x

l. y = 3

2

x

m. y = 92 x

n. y = 3

1

2 xx

o. y = 9

1

2 x

15. Halla el rango de cada función:

a. y = 4x

b. y = 3x - 2

c. y =-3x

d. y = x2 + 2

e. y = x3

f. y = 5

1

x

g. y = 22

1

x

h. y = - 21 x

i. y = - 29 x

Desarrollo afectivo

Prepara con tus compañeros de grupo la exposición de la unidad utilizando el material necesario.

Desarrollo Volitivo

Presenta a tus compañeros del salón una lectura sobre la importancia de las funciones.

Desarrollo Espiritual

Asesora a tus compañeros de grupo ante dificultades de la formación psicomotriz.

AUTOEVALUACIÓN

Desarrollo intelectual

¿Alcanzaste la capacidad de comprensión en el desarrollo de la unidad?

Desarrollo Psicomotriz

¿Cómo fue el desempeño alcanzado en la resolución de ejercicios propuestos?

Desarrollo afectivo

¿Disfrutaste de las actividades para el desarrollo de la capacidad de comprensión?

Desarrollo volitivo

¿Hubo acompañamiento del grupo en el desarrollo de la guía?

Desarrollo espiritual

¿Colaboraste con tus compañeros que presentaron dificultad en el desarrollo de la capacidad?