C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, !%rie I, p. 225-230, 1997 Probabilit6s/Probabfy Theory (Statistique/Stafistics)

Une formule pour calculer la distribution du maximum d’un processus stochastique

Jean-Marc AZAk et Mario WSCHEBOR

J.-M. A. : Laboratoire de Statistique et Probabiliths, UMR-CNRS, C55830, Universith Paul-Sabatier, 31062 Toulouse, France ;

M. W. : Centro de Matem&tica, Facultad de Ciencias,

Universidad de la Rephblica, Montevideo, Uruguay.

R&urn& Nous donnons une formule pour la distribution du supremum sur un intervalle d’un processus alkatoire & paramttre Gel. La mkthode est baste sur les franchissements de niveaux. Deux expressions diffkentes sont obtenues selon que le processus a des trajectoires de classe C” ou seulement des trajectoires continues. Nous donnons un exemple d’application aux processus gaussiens stationnaires.

A formula to compute the distribution

of the maximum of a random process

Abstract. We give a formula for the distribution of the supremum on an interval of a random process with a real parameter. Our method is based on the number of crossings of a level. Two procedures are described: 1) for processes having Cm paths; 2) for processes having only continuous paths. The example of stationary Gaussian processes is considered.

A bridged English Version

Let X = {Xt : t E [O, 11) b e a stochastic process taking values in W and with continuous paths, and let us set A4 = max {X, : t E [0, 11). Our aim is to give a formula to compute the function G(u) = P(M > u), PL E W, reasonably adapted to numerical calculation. Exact closed formulae are known only in very special cases according to [l].

Let U;t’ be the number of upcrossings of level u E R by the process X on the interval [0, 11; we will say that the process X satisfies Rice’s formulae-adapted to our particular case-if the m-th factorial moment urn of the variable < = li~~<~,) UT? is given by

m,tl, . . . . t, (x, u, . . .T u)dh . . . dtmdx

Note prksentke par Jean-Pierre KAHANE.

0764.4442/97/03240225 0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris 225

J.-M. Azak et M. Wschebor

where PM l , t.,, is the joint density of X0, XI,. . . . . XtV,L; X’ is the derivative of X and ( )+ is the positive part.

THEOREM I. - Let us suppose the random process X has C” paths, and that pt(:c) is bounded by a constant I3 for t = 112 and :I: in the neighbourhood of u.

(i) If there exists a sequence of positive numbers {ch}k=l, 2, ,,, such that:

then:

(2) P(M > 1L) = P(X,, > IL) + 2 (-l)m+l 2. ?PlZl

(ii) In ,formula (2) the error when one replaces the sum of the series by its 7no-th partial sum is bounded by T,*,,,,+~ where.,

Y* m = sup (2k+1’y.k). k) 11,

Theorem I shall have numerical interest only if we can compute v,,, by means of Rice’s formulae.

Example. - Let X be a stationary Gaussian process with finite rrt,-th spectral moment rrt,A. for all h:. Assume that

a) rt1’+2 5 Lj”,rrt,k for some D > 0 and 1: = 0, 1, 2, . . . b) rr,,zk = (+)‘“0(1) (X. -+ 8x). c.) The spectral measure is not purely discrete.

Then the process .Y satisfies the conditions in theorem 1 with the sequence CA. = (L?1k:~rr4~-z)~ and Br sufficiently large. Moreover the factorial moments v,,, may be obtained by means of Rice’s formulae.

When Y i has no (7% paths. the idea is to approximate the distribution of M by means of the distribution of the supremum &F of X’, where the process X” is obtained by convolution of X with a &USSian density 6.: with zero expectation and variance E’. Xc. 1 is extended to the whole line by means of ,Ti, = X0 for t < 0 and Xt = X1 for f > 1). We denote by ;o’ and I& the quantities corresponding to y, I/,,, for SF.

THEOREM 2. - Let X be a random process with continuous paths and X’ defined as above. Assume that.

a) pf (x:) is bounded by a constant DI ,for t E [O. l], E is small enough, and u: in a neighbourhood of u lel~el ‘7~;

17) E( IIXllw} < xc; c) The distribution of M has no atoms. Then. (i) I’(,%4 > 71) = P(Xo > (1,) + !im,,a Cr=, (-l)lrl+l 2; (ii) the error w’hen one renlaces the limit by a,fied E > 0 and the infinite sum by the rnO-th partial

~14771 is bounded b?

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Theorem 2 can be applied to general Gaussian processes and to some Brownian semi-martingales. These results are not presented here.

RCsultats

Soient X = {X, : t E [O, l]} un processus stochastique a valeurs reelles et $ trajectoires continues et M = 1IlilX {X, : t E [0, 11). 0 n ne connait pas de formules fermees pour calculer la fonction de repartition de M, sauf pour un ensemble t&s restreint de processus particuliers et de fonction triviales de ceux-ci (le mouvement brownien, le pont brownien U(t), B(t) - & Z?( I/,)&, le processus de Wiener integrt, une classe de processus gaussiens a covariance en dents de scie et la sinusoi’de aleatoire, voir [ 11).

Nous donnons des formules qui s’adaptent au calcul effectif de I’(hZ > (1) et ce, dans un cadre gCnCra1. Un premier r&&at (thkorkme 1) concerne les processus B trajectoires de classe CT%. 11 est base. sur une serie analogue a celle que l’on trouve dans la litterature sous le nom de Rice ou de Longuett-Higgins (171, 141).

Le theoreme 2 contient une methode pour calculer la fonction de repartition de M lorsque les trajectoires ne sont plus de classe C”. On approxime X par une famille de processus X’ de fac;on a pouvoir majorer I’crreur sur la loi du sup en fonction de E et ce a partir des proprieds des tra,jectoires de X. On applique ensuite le theoreme I a X,. Les approximations usuelles seront soit des lissees de X par convolution avec un noyau deterministe, soit des polygonales inscrites dans le graphe de S.

Pour des processus a trajectoires regulieres le schema est le suivant : soient f : [O. l] + iw une fonction de classe C1 et Uj le nombre de franchissements de f vers le ham du niveau II - les (C upcrossings D - c’est-a-dire

u; = #{r; : f E [O, I]. f(i) = ‘U, f’(t) > 0).

On a bien :

(11 P(M > 11,) = P(X(, > 11) + P(l(~y,,<*LJu;~ > 1).

Le deuxieme terme de (1) peut &tre calcule a l’aide du lemme suivant

LEMME 1. - Sent [ une variahlr ale’atoire d valeurs duns fW, pk = P(< = X:), (A: = 0. 1. . . ,), u rll = E{<(< - 1) . (< - 711+ 1)) son m-i&w moment ,fac.toriel. ,suppo.sP,fini. Notons

S(, = 0 Iv

*s,y = c (-l)“‘+l 3 (iv = 1, 2: . . .). m=l

A1or.v : (i) pour 44 = 0, 1. .

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(ii) lu suite {Shf} converge si et seulement si um - 7rL!

--to quand rn --) 33,

et on a alors

Le processus X a trajectoires de classe C1 est dit satisfaire les formules de Rice - adapttes au problbme que nous traitons ici - si le m-ieme moment factoriel V, de < = l~A~0171) U;: est donnt par :

OG PQ.fl,..., t,, est la densit jointe de &I, Xi, + . . , X,,,< ; X’ est la deride de X et ( )+ est la partie positive.

Le cas u = +cc correspond aux formules de Rice classiques. Pour des conditions sur X permettant d’assurer la validite de formules du type (2) on pourra consulter [9]. La finitude des V, a et6 I’objet de nombreuses etudes dans le cas de processus gaussiens stationnaires a partir de [2]. Pour des processus generaux non gaussiens, on peut utiliser la proposition de [5], p. 85.

THBORLME 1. - Soit Xt un processus h trajectoires C’” tel que pt(z) soit born&e par une constante D pour t = l/2 et % au voisinage de u,.

(i) S’il existe une suite de nombres positifs {ck}k=l, 2, .,, v&rifiant

alors :

(4) P(A.4 > u) = P(X, > u) + E (-1)“+13. m=l

(ii) Dans la formule (4) l’erreur quand on remplace la se’rie par sa somme partielle jusqu’ri rno est born&e par y,Tlu+l avec

Tl”, = sup (2”+lyk). k>m

L’utiiisation du theoreme 1 sur un exemple p&is demande un choix judicieux de la suite {Q}, choix qui doit &tre fait en fonction de certaines proprietes du processus. Le resultat n’aura d’interet pratique que si I’on sait calculer les v,,, par les formules de Rice.

Soient, par exemple, X un processus gaussien stationnaire, cent&, p sa mesure sepctrale et VL~ son k-i&me moment spectral suppose fini pour tout k:. On suppose de plus que

a) 771~~k+~ _< B’nrzk pour un certain B > 0 et k = 0, 1, 2, . . 6) VQ/,. = (+)2”~(1) (k: --? cc). c) /A n’est pas purement atomique.

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Alors X satisfait les hypothhses du thCor&me 1. La suite Ck = (Blkm4k--2) i avec BI suffisamment grand vtrifie (3) et on obtient des majorations pour 72. La condition c) implique la validitk des formules de Rice [3].

L’utilisation de la formule (4) pour un calcul numkrique effectif demande le calcul d’intkgrales multiples de dimension croissante, ce qui peut p&enter des difficult&. Nous montrons ci-dessous sur un exemple qu’elle conduit cependant B des aIgorithmes de complexit infkieure B celle de la mkthode par simulation.

Exemple. - Soit un processus gaussien stationnaire centrC g spectre born6 et non purement atomique et supposons vouloir calculer P(IM > u) B 5 prts. Le thCor$me 1 appliqu& dans ce cas montre qu’il faut calculer (Cte) log (l/n) termes de la sCrie (4). Si chacun est CvaluC par la mCthode de Monte-Carlo, il est nkessaire de faire 5-’ rkpktitions. Cela donne une complexitt en (F2) log (l/S).

Si on veut utiliser la mkthode de simulation, il faut d’abord chercher une discrktisation du temps telle que l’erreur sur la distribution du supremum soit de l’ordre de S, ce qui demande en g&&al rr, = d-1/2 points. Ensuite il faut simuler fp2 trajectoires. Les meilleurs algorithmes de simulation de processus gaussiens stationnaires ont une complexitk en 7~ log (n) [S]. Cela donne au total une complexitk en (a-“/‘) log (l/n), done supCrieure 2 la pr&zCdente.

La borne (Cte) log (l/h) sur le nombre de termes de (4) est une borne g&kale qui peut etre largement amkliorde. En effet, la propriCtC enveloppante de la sCrie de Rice permet de profiter des valeurs numkriques obtenues dans le calcul de a p our dkterminer le nombre de termes de la sCrie qu’il faut calculer et ceci dans le cadre g&&al des processus qui satisfont les hypotheses du thkorbme 1. Plus prCcisCment, si la valeur numkrique dans le calcul de i~~“~I\! est plus petite que S et si les moments factoriels v,, ont &d calculks g une erreur 6 pres, alors en prenant nhO termes dans la sCrie, l’erreur dans le calcul de P(n/;r > 1~) est bomCe par (e + 2)6.

Un argument suppkmentaire pour montrer que le nombre de termes g calculer dans la s&e (4) n’a pas besoin d’&re important est de remarquer que les deux premiers termes de (4) permettent de retrouver les bomes de Piterbarg [6] pour p(A4 > 1~). Par exemple, si on suppose rn4 fini (et si on pose pour simplifier ‘rr/,o = l), en utilisant les formules de Rice on peut montrer que

0 < d- 2 C+(U) - u1 < (Cte) c+ -us (1+6)

23 < (Cte) e 2

pour un certain 5 > 0, 4 dksignant la densitk gaussienne standard. On obtient done

Dans le cas oti les trajectoires de X ne sont plus de classe C”, nous allons exposer ici le cas du lissage par un noyau gaussien. D’autres types d’approximations seront Ctudiks ailleurs.

Plus prkiskment, soient E > 0, et

xc(t) = ($6, *x,. ,)Q) = /+m &(t - s)X,ds, c-2

oti Xc. ) est prolong6 par les valeurs XO (resp. XI) B gauche (resp. g droite) de l’intervalle [0, l] et &(t) = (2~)-1/2(E)-1e-*z/2’~. On note pt, M” et V& les analogues 2 p, M et V, pour le processus X’.

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THBOR~~ME 2. - Soient X un processus stochastique B prtke’demment. On suppose que :

u) ~F(:J:) est borne’e par une constunte D1 pour t E [o,

trajectoires continues et X’ d@ini comme

11, E petit et z au voisinage de IL.

c) La loi de M est corltinue. Alors :

(i) I’(M > ,(I) = P(,Y 0 > .IJ) + lini,,” Cz=, (-l)“‘+l $, (ii) 1 ‘erreur due & la troncmture de ICI sPrir 6 ‘rr/,() et ci l’utilisation d’un E > 0 est born&e pour

tout 71 > 0 par :

h(E) = F(-21og (E))?

sr/ est B dkterminer de fac;on 2 rendre la borne petite.

Quelques remarques : 1. Les mkthodes des thkokmes 1 et 2 peuvent s’appliquer B la variable M* = suptE,,,, 1I IX,1 au

lieu de M au prix de modifications mineures. 2. Le thCokme 2 s’applique aux processus gaussiens B trajectoires continues avec la seule restriction

‘L’;tr (X,) > 0 pour f E [O. 11. 11 s’applique Cgalement aux semi-martingales browniennes vkifiant certaines conditions techniques. Cependant, dans ce dernier cas, le calcul effectif des u& demande de bonnes approximations des densit& jointes de (Xc. XL) ce qui est un problkme non rksolu.

3. Bien que les approximations polygonales ne soient pas Cl, on vCrifie qu’elles satisfont les formules de Rice. Pour ces approximations, le nombre de termes de la sCrie de Rice (4) est fini.

Note remise le I I septembre 1996, acceptke le 8 octobre 1996.

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