C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skrie I, p. 99-104, 1999 A@brelAlgebra (Equations diff6rentielleslOrdinary Differential Equations)

Une Gponse rkgative au probl&me de Noether diff&entiel

Fraqois OLLIVIER

CNRS et GAGE, centre de mathkmatiques, kcole polytechnique, 91128 Palaiseau w&x, France Court-id : ollivier@gage.polytechnique.fr http://medicis.polytrrhniclue.fr/gagr/ollivier.html

(Rqu 1~ 12 novrmbre 1998, accrptt la 16 novrmhrr 1998)

RCsumC. Selon un theoreme classique, le groupe de Cremona du plan est engendre par les transformations de Jonquieres. J.F. Ritt a pose la question d’une gCnCralisation dans le cadre differentiel. Nous donnons a ce probleme une reponse negative, qui repose sur une condition necessaire de monotonie, et sur un contre-exemple inspin? d’un systeme plat de Rouchon. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

A negative answer to the diflerential Noether’s problem

Abstract. According to a theorem jirst stuted by Clifford, Noether [S] and Rosaries [ 121, which later received a complete proof by Custelnuovo [2], the Cremona group of the plane is generated by de Jonquitres trun.@rmations. J.F. Ritt [IO] asked whether such a result could be generalized to the differential plane. We give a negutive answer, relying on a jat system of Rouchon. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

Abridged English Version

De Jonquieres transformations of the differential affme plane AZ are defined by (CC, y) H (x> F(z,:d, . ,:&‘)~ y)), w h ere F is a differential fraction. Let the differential field k: be a subfield of R(t), then such a transformation induces a local isomorphism (bijective Lie-Blcklund mapping) of the trivial diffiety T2 (see [7] and [ 13]), i.e. R x RN x RN equipped with the derivation

d - := c1t We call tame any local Lie-Backlund isomorphism, admitting a decomposition in Backlund-de Jonquitres mappings (TBJ), and symmetries 7 : (x. y) H (:q, :c). We may characterize tame morphisms as follows:

Note pr&enGe par Bernard MALGRANGE.

0764-4442/99/03280099 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 99

F. Ollivier

THEOREM 1. - Let C$ : CJ H V be a tame dtfjety morphism. There exists an open subset U’ dense in U such that on a neighborood 0, of every point 21 of U’ there exists a decomposition 4 = ‘$“+I 0 ,?/!I,, 0 7- 0 ?/I,,-1 0 7 . . . r o $1 o $i,~, such that the transformations &, 1 < i 2 s, are TBJ of locally constant and positive order; a transformation r operates between $1; and &+I, 1 5 1; < v - 1; $0 and i,,,+l are locally invertible order zero tranformations.

COROLLARY 3. - Let C/I : U --+ V, (:r ,:y) +-+ (X, Y) be a tame transformation, then there exists an open set LJ’ dense in U such that on some neighborood qf every point of U’:

1) $0 < ordX = ordY, there exists a,function G of order 0 such that ordG(X, Y) < ordX; 2) if 0 < ordX < ordY (resp. 0 = ordX < ordY), then there exists a ,function G(z, 1~) of order

0 in y and positive order in :I: such that ord,.G(X, Y) < o&.X, and ord,G(X:Y) < ord,X : (resp. ordG(X,Y) = 0);

3) if $J = dr o . . . o ~$1 and (b = ,J/,? o . . o JQ are two decompositions of 4 defined on the same open neighborood and satisfying the theorem conditions, then s = 1‘.

We can test the condition 2) of the above corollary by using the following criterion.

THEOREM 4. - Let A(zl, x2) und B(:cl, ~2) be two differential functions of respective orders 7’13 Q and ~1, s2 in x1 and :r2. The following propositions are equivalent:

A) there exists C = F(A, B: . . , B(‘)) such that i)F/i)A # 0 and ord,,., F(A, B) < ord,, B, % = 1,2 ;

B) there exists a locally unique,fonction H(zl, . . . , :I:~‘-‘), :1:2,. . . , :t:tLP1), B, . . . , B(‘)) such that

A(sl: x2) = H(rcl: 52, B(xI, ~2)) and H satisfies =a= = 0 ; 0 < p < s1,

0 5 g < s2, i,j E [1,2], 0 < m 5 P.

Consider now the Rouchon [ 1 11 flat system 2:; = x:.r&. It admits the linearizing output Z,(x) = Xl,Z2(X) = xi52 - x3. Flatness means that we can parametrize the genera1 solution,

using Z1 and Z2, by taking X,(z) = zr,Xz(z) =: $,X3(i) = 9 - z2. By symmetry, we could have chosen as linearizing output Tl(:r) = ~2, Tz( :r)‘= .&,x1 -- :c3. ‘From this, we deduce that

defines an automorphism: the Rouchon involution. Using the above results, it is easily seen that it is not tame. We have indeed: A = B’zl - z:B + z2 = F(B, B’,zl: z:,za), and (dF/dzi)/(8F/dz2) # 0 which contradicts the proposition.

Selon Godeaux [5], Clifford, Noether [9] et Rosanes [ 121 furent les premiers a Cnoncer le theoreme selon lequel toute transformation birationnelle du plan se decompose en une suite de transformations quadratiques, ces deux derniers en ayant donne de premieres preuves partielles. Ce resultat ne fut dCmontr6 complktement qu’en 1901 par Castelnuovo [2]. Dans son ouvrage [lo], Ritt a soulevk la question d’un Cventuel analogue differentiel, qui semble impossible a Cnoncer sous cette forme.

Une version equivalente de ce resultat est que le groupe de Cremona du plan est engendre par les transformations de Jonquieres et la symetrie (:c: ‘y) ++ (;t/, x). Les transformations de Jonquibres du

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Une reponse negative au probkme de Noether diff&entiel

plan affine sont les transformations birationnelles de la forme

(:c, y) ++ 5. P(x)?/ + Q(x)

> R(x)!/ + S(x) ’

oti I’; Q, R et S sont des polyn6mes. Elles sont en fait dt5jA dans Cremona [3], Jonqui&res [6] ne faisant que titer ce dernier avant de dCfinir des transformations plus complexes, qui existent pour tout ordre n, non premier.

Nous allons montrer que la rCponse au problkme de Ritt est negative, du moins si l’on tente de gCnCraliser le thCor&me alg&brique en prenant pour P: Q, R et S des polyn6mes diffh-entiels. En fait, nous allons donner une rCponse nCgative A un problkme plus g&&al dans le cadre de la gComCtrie des diffi&Cs (voir [7] ou [13] pour une introduction plus abordable qui a le mCrite de faire le lien avec l’algkbre diff&entielle). Soit T2 la diffi&C correspondant A R x RN x R.N muni de la dkrivation dCfinie par

d - := dt

Cette diffiCtC correspond B l’espace des jets J”(R, R2). On munit une telle diffiCtC de la topologie de Fr&zhet, qui est la topologie la plus gross&e telle que les projections sur I’espace des jets d’ordre r’ soient continues pour tout 1’. Les fonctions sur la diffiCtC sont les fonctions C” qui ne dCpendent que d’un nombre fini de coordonnCes. L’ordre de f(z, 5’). . .) au point 5 est le plus grand entier r tel que Bf/dz(“) # 0.

Un morphisme de diffiCtC est une application C” telle que $4 = C$-&, mais on se restreindra . . ICI au cas oti $4 = 4%. Une telle transformation d’un ouvert de T2 dans un ouvert de T2 est dCfinie par la donnCe des fonctions diffkrentielles A;(z, . . .x(“), y9 . . . ycV2)) - par la suite, on notera simplement A~(x.,y) - telles que $(t,:z:z’, . . . ,y,y’, . . .) = (t,Al,A:, . . ,Az,A/2:. . .). Parmi ces morphismes, figurent les transformations de Biicklund-de JonquiZres, dCfinies par (2, y) H (:c! F(x,z’,x”, . . . ,.z(‘), y)), oti F est une fonction C” d’ordre 0 en y et telle que dF/dy # 0. Cette dernikre condition implique l’existence d’un inverse local, en utilisant le thCor&me des fonctions implicites.

I1 est clair que toute transformation (bi)rationnelle du plan diffkrentiel A&,) induit sur l’ouvert oti elle est dCfinie un morphisme de diffiCtC (bijectif), et que toute transformation de Jonqu2res induit une transformation de Bticklund-Jonquikres. Pour alleger l’kcriture, nous noterons TBJ les transformations de Backlund-Jonqui&es, 7 le morphisme dCfini par (x, y) I-+ (y, z). Nous appelerons Gmentaires, les morphismes qui sont des TBJ ou T, et monotones les morphismes qui se dCcomposent en morphismes ClCmentaires.

Nous allons dans une premikre section donner une condition ndcessaire de monotonie locale, qui repose sur l’existence d’une dCcomposition ClCmentaire canonique, puis exhiber une transformation birationnelle, telle que le morphisme localement bijectif de diffiiCtC associC ne soit pas monotone.

1. Une condition nkessaire

Nous allons Ctablir une condition simple de monotonie. Elle est un corollaire du thCor&me qui suit, Ctablissant l’existence d’une d&omposition ClCmentaire canonique pour tout morphisme de diffiM monotone. Dans sa dCmonstration, nous utiliserons les propriCtCs suivantes.

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F. Oliivier

Si $1 : (GY) +-+ (2:) FI(z,Y)) et $2 : (x,Y) H (~,Fz(TY)) sont deux TBJ d’ordres respectifs ri et r2 en 5, alors $2 0 C$Q : (5,~) H (~,F~(z,Fi(z,y)) es une TBJ d’ordre en I: inferieur ou Cgal t au maximum de r-1 et 73. D’autre part, si C#Q : (z, y) H (2, F,(z) y)) est une TBJ, alors elle est localement inversible en tout point de son domaine de definition, et son inverse est une TBJ dtfinie

par (x,Y) H (~,G(~:,Y/)), oti G(z, .) = F(z: .)‘-’ localement. Enfin, toute application localement inversible d’ordre nul est monotone au voisinage de tout point de son domaine.

TH~OR~ME 1. - Soit 41 = &. o &i o . . . o $1 :: U -+ V un morphisme de d$fkW, tel que les +$ soient elementaires. Alors il existe un ouvert lJ’ dense dans Cr tel que 4 admet, sur un voisinage 0, de tout point .7: de U’, une decomposition de la forme 4 = $v+l o $lv o r o li,v-l o r . . . r o $jl o & telle que les transformations $i, 1 < i 2 u, sont des TBJ d’ordre positif localement constant ; une transposition IT est optMe entre 111; et li,i+t, 1 5 i 5 v - 1 ; $0 et &+I sent des transformations d ‘ordre nul localement inversibles.

Demonstration. - Supposons le rtkltat faux : on peut choisir dans l’ensemble des contre-exemples un morphisme 4 : U + V realid par une chaine de longueur r minimale. Done, sur un voisinage IV, de tout point n: d’un ouvert dense dans U, 9 := &i o . . o & restreinte a IV, admet une decomposition Ij/s+i 3 . . . o It’/0 satisfaisant les hypotheses. Le cas oti s = 0 se traite simplement, car alors ‘p est d’ordre 0 et l’on peut prendre comme decomposition Id o c,&. o cp. On supposera done par la suite que s > 0. On peut restreindre cet ouvert pour que $,. y soit d’ordre localement constant. Si c#+ est d’ordre nul, il suffit de poser 11 = s, 7rs+1 = &. o 1/1,+i et 7r; = $;, 0 5 % 5 s, pour obtenir une decomposition conforme de 4 sur IV,.

Reste a ttudier le cas oti $r(z:,y) = (z, F(:c, y)) : t es une TBJ d’ordre positif. Posons 1/I,7+1(X, Y) = (G(X, Y), H(X, Y)). Soient Wi l’ouvert constitue des points (2, y) tels que BG/aY ne s’annule pas en (X, Y) = djs 0. . . o $a(~, y), et IV2 l’intCri.eur du complementaire de W1 dans W. La reunion I+‘; de IV1 et IV2 etant dense dans IV, et UrEU IV: dense dans U, il suffit de montrer qu’une decomposition conforme existe au voisinage de tout point d’un ouvert dense dans IV:.

Si (:t’,y) E IV,, alors l’application y : (:G: y) H (CC> G(:c, y)) admet un inverse local (z,y) H (z,L(z,y)). Posant alors v = s + 1, 7ri = 40i, 0 5 i < s, ~,(z,y) = 7 0 tis,

~.5+1(~, Y) = (:z, qz, H(Y; L(Y! XI))) e rV+2 = Id, on obtient une decomposition conforme. t

Si (z:,y) E Wa, G(z!y) = G(z). P osons ~$~(z~y) = (z,E(z,y)). On restreint Wa au sous-ouvert dense ou ordF(G(e)! H(z, E(:I:, y))) est localement constant. Si ordF(G(z), H(:c, E(z, y))) > 0, alors on posera 11 = s, K, = IJ/&, 0 < i < s, K,(:G, y) = (z, F(G(x): H(.x, E(z, y))) et li/s+l(x, Y) = (G(z), y). E n revanche, si ordF(G(:c), H(z, E( z, y))) = 0, alors on prendra 11 = s - 1, TX; = h, 0 i 1: < -9, et T,(x! y) = (G(Y), F(G(y), H(Y! E(y, .r))). 0

Remarque 2. - Sons les hypotheses du theoreme, si l’on pose (Xi? Yi) = T& o T o . . . o ii/i o $a(~, y), alors on a ordYi > ordXi pour 1 2 i 5 I/. Pour 2 5 i ~5 V, on a en outre ord,Y, > ord,Xi et ord,Y, > ord,Xi.

En effet, les $i sent des TBJ d’ordre localement constant et positif, ce qui implique en raison de la structure de la chaine et de la presence d’une transposition entre gi et &+i (1 5 i 5 v), que l’ordre de X; en Xa est Cgal B cf=i ord$j, d’oti l’inegalite (en constatant que Xi = K-i). Si dXe/&~ = 0, ru = 3; ou w = y, alors l’inegalite n’est vraie que pour l’ordre total quant i = 1. En revanche, X1

depend necessairement des deux variables .7: et y ou de leurs d&iv&s, ce qui implique pour 2 < 1; 5 v une inegalite pour l’ordre en z et l’ordre en y.

Remarquons enfin que si 0 < ordX,,+i < ordY,,+l, alors v 2 2. En effet, pour v = 1, soit ordX,+i = ordY,+i , soit ordX,+l = 0.

On peut completer cet Cnonce par le corollaire suivant.

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Une rCponse negative au probkme de Noether diffkrentiel

COROLLAIRE 3. - Soit C#J : U -+ V,(z,y) w (X, Y) une transformation monotone, alors il existe un ouvert U’ dense dans U tel que, au voisinage de tout point de U’, X et Y sont d’ordre constant en x et y et l’on a :

1) si 0 < ordX = ordY, il existe une fonction G d’ordre 0 telle que ordG(X, Y) < ordX- ; 2) si 0 < ordX < ordY (resp. 0 = ordX < ordY), alors il existe une fonction G(x, 9) d’ordre

nul en y et positif en 5 telle que ord,G(X, Y) < ord,X, et ord,G(X, Y) < ord,X (resp. ordG(z,y) = 0) ;

3) si~=~s+lo...o~Oet~=Ij/v+lo... o $JO sont deux de’compositions de 4 dkjnies au voisinage d’un me^me point et satisfaisant les trois conditions du thbo+me, alors, s = r.

Dkmonstration. - On prend un ouvert U’ satisfaisant les conditions du thCor?me 1. 11 existe alors au voisinage de tout point x une dkomposition 4 = 1/1,+1 o . . . o $0 conforme aux conditions du thCorkme 1. L’application TJ”+~ est localement inversible et son inverse est une application d’ordre nul dkfinie au voisinage de (X, Y) par (x, y) ++ (L(z, y), &1(x, y)). Si 0 < ordX = ordY, alors L(X, Y) est bien d’ordre total en xJ y infkieur B X, d’aprbs la remarque 2.

Si 0 < ordX < ordY, alors L(x, y) = L(s:). D’autre part, $;‘(z, y) = (z, N(z, y)) est bien d’ordre positif en 3: et nul en y, ainsi que l’application G : (2, y) H N(L(x)? M(z, y)). D’aprks la remarque 2, on a bien ord,G(X, Y) < ord,,X oti w = x7y. Si 0 = ordX < ordY, alors v = 1. Dans ce cas, G(X, Y) est bien d’ordre nul. Ceci assure 1) et 2).

Le 3) provient du fait qu’en appliquant de man&e r6pCtte le 1) puis le 2) exactement v fois, on dkcompose 4 en une chaine conforme aux hypothkses du thCor&me 1 en prenant pour 4” l’inverse de (x, y) w (x, G(x, y)). La fonction G &ant unique h composition p&s par une fonction inversible, la suite des Xi, 1 5 i 2 V, est igalement fonctionnellement unique, d’oti 1’unicitC de la longueur v de la chdne. 0

2. Le systGme de Rouchon

Le contre-exemple est bhti ?I partir du sysdme de Rouchon [ 1 l] xj = xix;, qui est plat, c’est-g-dire tel que sa solution g&kale s’exprime au moyen de deux fonctions arbitraires, ou sorties plates (CT [4]) : Z,(x) = x+,22(x) = $$2 - x3. On s’assure qu’on a bien xi = xi(Z(x)), en posant

Xl(Z) = Zl,X2(Z) = 2, x3(z) = y - 22. Par symktrie, on aurait aussi pu choisir pour sortie plate

TV = x2,7’..(x) = x/2x1 - .Q. & en dCduit que

difinit un automorphisme 4 du plan affine diffkrentiel, l’involution de Rouchon (le caractkre symktrique de la dkfinition de 4 implique que 42 = Id).

11 nous faut maintenant prouver que 4 ne satisfait pas le corollaire. Posons B = TI(x(z)) et A = Tz(x(z)). C omme A est d’ordre 3 et B d’ordre 2, nous allons montrer, g&e au thCorkme suivant qu’il n’existe pas de fonction F(A, 13, B’) d’ordre infkieur a 2 (on peut se restreindre g ce cas, car si F ktait d’ordre T > 1 en B, F(A, B, . . . : B(‘)) serait d’ordre 2 + T > 2, car 3F/8zi2+‘) serait alors Cgal 2 8F/dB(‘)i)B/3x” # 0).

THI?OR!?ME 4. - Soient A(x 1, ~2) et B(zl! x2) deux fonctions d$t+entielles, d’ordres respectifs ~1, r2 et 81, s2 en 51 et x2. Les propositions suivantes sont kquivalentes :

A) il existe une fonction C = F(A, B, . ! B(‘)) telle que dF/dA # 0 et ord,* F(A, B) < ord,? B, 1: = I,2 ;

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F. Ollivier

B) il existe localement une uniquefonction H(zl,. . . , :c(~S’--~), x2, . . . ZIJ~‘-~): B, . . . Bee)) telle que

A(~~,22) = H( z~,x~,B(z~,z~)) et H est telle que && = 0 ; 0 2 p < Sl,

0 5 q < s2, i;j E [l, 21, 0 < rrl 5 e.

Dkmonstration. - A) + B). - L’existence et l’unicite locales sont immediates. Comme 8H/Z)dP ac/a.P) ’ ’ 1 = j cette quantite ne depend pas de B et de ses derivees. i)Hli?!X(~’ i)C/&.(4) -

R) $ A). - Le feuilletage de RS1+SL localement defini par H(z, y, b) = Cste est independant de b. Toute fonction (7 dependant effectivement de 5; et const,ante sur les hypersurfaces du feuilletage &pond au probleme. 0

Venons-en a l’involution de Rouchon. On a : A = B’zr - z;B + z2 = F(B, B’, ~1, zi, x2). D’apres le theoreme, la quantite (3F/84)/(dF/8~2) d evrait done &tre independante de B, ce qui est faux.

Conclusion

Le groupe de Cremona du plan affine differentiel et celui de la diffiete triviale de dimension differentielle 2 ne sont done pas engendres par des applications de Jonquieres generalisees. Nous conjecturons qu’on peut, en toute dimension, engendrer ce groupe en completant le groupe des transformations monotones par des transformations inspirees de l’involution de Rouchon, c’est-a-dire obtenues a partir de systemes plats admettant deux vecteurs de sorties plates non equivalents par des transformations monotones.

Remerciements. L’auteur remercie son ami Pierre Rouchon, :sans qui le pays plat serait privC de ses personnalites les plus saillantes.

Rkfkences bibliographiques

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