Pág. 51Unidad 1Conceptos básicos de álgebra

3. Resolvamos el siguiente sistema:(1) x – 2y = 1

(2) 3x – 6y = 4Paso a) Para eliminar x, multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por -1:

3x + 6y = 3-3x + 6y = -4

AL sumar estas ecuaciones tenemos:0 = -1

Lo cual equivale a escribir:0y= -1

Paso b) Observamos que la ecuación obtenida no tiene solución, ya que no existe un valor de y que la satisfaga. (Recuerda las observaciones del tema 4, subtema 2Ecuaciones lineales con una variable”).Paso c) Por tanto, el sistema no tiene solución de decir: El conjunto solución es { } = 0.4. Resolvamos el siguiente sistema:

(1) 2x – 4y = 6(2) 3x – 6y = 9

Para eliminar x multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por -2:6x – 12y = 18

-6x + 12y = -18Al sumar estas ecuaciones resulta 0y = 0.Observamos que la ecuación obtenida se satisface con cualquier valor de y; esto significa que tiene una infinidad de soluciones, para cada una de las ecuaciones existe el correspondiente valor para x, obtenido al sustituir el valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas.Por tanto, el conjunto solución = { (x,y) | 2x – 4y = 6}.

Método de sustitución

Este método consiste en:a) Despejar una variable cualquiera de una de las ecuaciones dadas.b) Sustituir la variable despejada en la otra ecuación, con lo cual se obtiene una ecuación

lineal con una variable.c) Resolver la ecuación obtenida en el paso b).d) Sustituir el valor obtenido del paso c) en la relación de paso a).e) Escribir la solución como conjunto solución = {(x,y)}.

Ejemplos:1. Resolvamos el siguiente sistema:

(1) 3x + 8y = 1(2) 2x + 7y = 4

Paso a) De acuerdo la ecuación (2):x = 4 – 7y / 2

Paso b) Al sustituir en la ecuación (1) tenemos:3 ( 4 – 7y / 2 ) + 8y = 1

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Paso c) 12 – 21y / 2 + 8y = 112 – 21y + 16y = 2

-5y = -10Y = 2

Paso d) Al sustituir y = 2, en x = 4 – 7y / 2, obtenemos:X = 4 – 7y (2) / 2 = 4 – 12 / 2 = -10 / 2 = -5

Paso e) Por tanto, el conjunto solución = {( -5,2 )}.2. Resolvamos el siguiente sistema:

(1) X + 2y = 9(2) 2x + 3y =1

Paso a) De la ecuación (1): x = 9 – 2y.Paso b) Al sustituir la ecuación (2), tenemos:

4 ( 9 – 2y ) + 3y = 136 – 8y + 3y =1

Paso c) -5y = -35Y = 7

Paso d) Al sustituir y = 7 en x = 9 – 2y, obtenemos:X = 9 – 2(7) = 9 – 14

X = -5Paso e) Por tanto, el conjunto solución = {(-5,7)}.

3. Resolvamos el siguiente sistema:(1) 3x – 6y = 4(2) 2x – 4y = 3

Paso a) De acuerdo a la solución (1) y = 3x – 4 / 6Paso b) Al sustituir en la ecuación (2), tenemos:

2x – 4 ( 3x – 4 / 6) = 312x 4 ( 2x – 4 ) = 1812x – 12x + 16 = 18

Paso c) 0x = 2Observamos que en la ecuación obtenida ningún valor de x la satisface.

Pag.53Paso d) por tanto, el sistema no tiene solución, o bien,

Conjunto solución =₍ ₎= Ǿ.

4.- resolvamos el siguiente sistema:(1) 3x – 9y =6(2) 2x- 9y= 4Paso a) de la ecuación (1) y= 3x- 6 9 Paso b) al sustituir en la ecuación (2) tenemos: 2x – 6 3x - 6 9 =4

18x-6 (3x-6)=36 18x-18x+36=36 0x=0

Paso c) observamos que la ecuación obtenida se satisface con cualquier valor de x; por tanto, al sustituir cada uno de estos valores en y= 3x- 6 , se obtiene un valor correspondiente para y.

9 Paso d) el conjunto solución = (x,y) I 3x – 9y = 6

O bien, conjunto solución = (x , y ) / y == 3x- 6 , x ԑ R 9 Observación: En los ejemplos anteriores vemos que un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tienen una solución única o una infinidad de soluciones o no tiene solución (en la siguiente unidad veremos la interpretación geométrica de dichos sistemas).Sin embargo, existen sistemas que no tienen estos tres tipos, los llamados sistemas homogéneos, aquellos en los cuales los términos independientes son iguales a cero, es decir, de la forma siguiente:

a₁ x + b₁ y= 0a₂ x +b₂ y =0

Estos sistemas siempre tienen solución, ya que (0,0) satisfacen ambas ecuaciones, pero pueden tener una infinidad; sin embargo, el caso de no solución no se presenta. De nuevo, geométricamente es más claro, y será visto en el tema 4 de la unidad 2.A continuación veremos algunos ejemplos cuyo planteamiento genera un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, y su solución será obtenida por alguno de los métodos anteriores, aun cuando la solución no sea escrita de la forma (α₁, α₂) por que estaremos en contextos diversos.

Pag.54Ejemplos:

1.- un parque de diversiones cobra 180 pesos por persona, pero tiene boletos con descuento a un costo de 155 pesos. Si obtuvieron 63,590 pesos al vender 363 boletos, ¿Cuántos boletos con descuento vendieron? Solución:Sean: x= numero de boletos con descuento Y = numero de boletos sin descuentoEntonces: (1) x + y = 363 (2) x(155) + y (180)= 63,590 Para la solución del sistema de ecuaciones (1) y (2) utilizaremos el método de sustitución:

De (1): y=363 – x al sustituir(2): 155x – 180 (363 – x)= 63,590

155x – 180x= 63,590 – 65,340-25x= - 1,750

X= 70Por tanto, el número de boletos con descuento es 70.

2.- un ganadero vendió 40 terneras y 180 ovejas en 12,240 pesos. Determinemos el precio por cabeza de cada una de las especies vendidas.Solución: sea: x= a precio de cada ternera Y = a precio de cada oveja Entonces: 60x+240y=17,160

40x+180y=12,240Al simplificar estas ecuaciones tenemos

1) x+4y=2862) 2x + 9y =612

Para solución de este sistema utilicemos el método de eliminación: -2x – 8 y =-572

2x+9y = 612Y=40

D (1) x=286 – 4 (40) =286 – 160 = 126Por tanto, el precio de cada ternera es de 126 pesos y el de la oveja 40

3.-se vendieron 240 pares de zapatos de dos modelos, uno se vendió a 669.50 pesos y el otro a 849.50 pesos si los recibos sumaron 176520 y la caja registradora fallo calculemos el numero de zapatos vendidos de cada modelo.Solución Sean:

x= numero de zapatos de un modeloY = numero de zapatos del otro modelo

Unidad 1 Conceptos básicos de álgebra 55

Entonces: (1) x + y= 240

(2) (669.5)(x) + (849.5)(y)= 176,520.

Para la solución del sistema de ecuaciones (1) y (2) utilizamos el método de sustitución:

De (1): x = 240 – y

Al sustituir en (2) tenemos:

(669.5)(240 – y) + (849.5)(y) = 176,520

Y= 176,520- (669.5)(240) 849.5 – 669.5

= 15.840 =88 180

De (1) x = 240 – y = 240 – 88 = 152

Por tanto, se vendieron 88 de un modelo y 152 del otro.

4. el perímetro de un terreno rectangular es de 72 metros. La longitud del terreno es 9 metros más grande que el ancho. ¿Cuál es la longitud y el ancho del terreno?

Solución:

Sean x = longitud del terreno y Y = ancho del terreno XComo el terreno es rectangular su perímetro esta dado por 2x + 2y

De manera que, de la información proporcionada 2x + 2y = 72

Luego, la longitud es 9 metros más que el ancho, por tanto X = y + 9El sistema generado es: 2x + 2y = 72 X – y = 9O bien x + y = 36 X – y = 9El cual resolveremos por el método de suma y resta: sumando las ecuaciones tenemos: X= 45 = 22.5 2

Luego, y= 36 – x Y=36 – 22.5 = 13.5

Por tanto, la longitud es 22.5 metros y el ancho 13.5 metros.

Matemáticas 56

EJERCICIOSI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

1. 4x + y = -1 9. 4x + 2y = 5 X + 3y = 8 6x + 3y = -7

X= 7 = 1.75 x = -2 = -0.5 4 4 Y=-1-4x y = 5-4x-2 Y= -1-4(1.75)=-8 y=5-2-2= 1 2. 4x + 5y = 13 10. 2x + 3y = 18 3x + y = -4 5x – y = 11 X= 9 = 2.25 x=29 = 14.5 4 2 Y=13-4x-5 y=18-2x-3 Y=13-4(2.25)-5 y=18-29-3= -14 Y=13-9-5=-1 3. 2x – 3y = 5 11. X + 3 + y – 1 = 1 - 6x + 9y = 12 4 3 2x – y = 12 X= 17 = 8.5 x=13 2 y=1-x+3 - -1 = Y= 5-2x+3 4 3 Y=5-2(8.5) +3 y=1 -13+3 – 0.33 Y= 5-17+3= -9 y=1-4-0.33= 3.33 4. 3x + 2y = 3 12. 2x + y + 3 = 0 5x + 4y = 4 x – 3y + 5 = 0 X=7 = 2.33 x=0 3 y=0-2x-3 Y= 3-3x-2 y=0-0-3=-3 Y= 3-3(2.33)-2 Y= 3-6.99-2= -5.99 5. 4x – 5y = 0 13. 5x + 4y = 30 2x + 4y = 0 x + 6y = 19

X=0 = 0 x=49 = 9.8 4 5 Y= 0-4x+5 y=30-5x-4 Y=0-4(0) +5 y=30-49-4= -23 Y=-0-0+5=5

6. 5x – y = 4 14. 9x + 3y = 1 3x + 7y = 8 15x + 5y = 7

X=12 = 2.4 x=8 = 0.88 5 9 Y= 4-5x y=1-9x-3 Y=4-12= -8 y=1-7.92-3= -9.92

7. 2x – 4y = 8 15. 3x – 9y = 6 -3x + 6y = -12 2x – 6y =4

X= 20 = 10 x=10 = 3.33 2 3 Y=8-2x+4 y=6-3x+9 Y=8-20+4= -8 y=6-9.99+9=5.01 8. 4x – 2y = -1 5 x + 3y = 20 2

X= 19 = 4.75 4 Y= -1-4x + 2 Y=-1-19+2=-18

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Una familia consta de varios niños y niñas. Si alguien les preguntó cuántos eran y la niña mayor respondió que tenía tantas hermanas como hermanos, pero el niño mayor dijo que tenía dos veces más hermanas que hermanos, ¿cuántos niños y niñas son?

R= 4 niñas y 3 niños 2. Un crayón de 8 cm de longitud y 1 cm de diámetro se fabricara con 5 cm3 de cera de color.

Si el crayón debe tener la forma de cilindro rematado en una punta cónica, calcula la longitud del cilindro y la altura del cono.

R= 18

3. Un hombre quiere cercar un lote rectangular. Si emplea el material que cuesta 170 pesos el metro lineal para el frente del lote, y un cuyo costo es de 140 pesos para los tres lados restantes, la cerca le costaría 89,000 pesos. En cambio, si emplea material mas barato para los cuatro lados y la cerca tiene un costo de 85,400 pesos, calcula las dimensiones del lote.

R= 200 + 105 + 200 + 105

4. en una escuela primaria la colecta de la Cruz roja fue de 4,500 pesos; si había 650 niños y cada uno aporto una moneda de 5 pesos o una moneda de 10 pesos, ¿Cuántas monedas de cada valor se colectaron?

X+(X-650)=4500 X+X-650 = 4500 2X=5150 X+X=4500 +650 X=5150 = 2575 2X= 5150 2 X=2575-650= 1925 5. la suma de las edades de Paty y su mamá es de 51 años si la diferencia entre ellas es de 33

años, ¿que edad tiene cada una? R= X+(X-33) =51 X-33= 42-33= 9 2X= 84 EDAD PATY 9 AÑOS X=84 = 42 EDAD MAMA 42 AÑOS 2 X+X-33=51 X+X= 51+33 2X= 84

6. Un comerciante desea obtener 100 litros de aceite mixto para venderlos en 8.40 pesos cada uno; para esto mezcla cierta cantidad de aceite de 10 pesos el litro con otra cantidad de 6 pesos. ¿Cuántos litros de cada clase mezcló?

10X+6X= 100 LITROS 62.5 DE 10 PESOS 16X=100 LITROS 37.5 DE 6 PESOS X= 100 =6.25 TOTAL 100 LITROS 16 X= 10(6.25)+6(6.25)

Aritmética

Naturales(N)

Enteros (Z)

Negativos

Positivos

cero

Racionales

Reales Irracionales

OperacionesPropiedades

Cerradura

Conmutativa

Distributiva Elemento inverso

Asociativa

Elemento neutro

PAG.59

Se extiende

Se amplia

Poseen Bajo

Entre ellas