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MAP 3.º ESO
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Unidad 1 Conjuntos Numéricos
1. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 22, 48 y 14.
2. Un terreno de 600 metros de largo por 240 metros de ancho se quiere dividir en parcelas cuadradas
iguales del mayor tamaño posible. ¿Qué dimensiones tendrán dichas parcelas? ¿Cuántas parcelas obtendremos?
3. Jerónimo es gaditano y estudia en Bilbao. Va a su casa en tren cada 30 días. Aitana es de Bilbao pero
trabaja en Cádiz y vuelve a su casa en tren cada 18 días. Si hoy se han visto cuando sus trenes se han cruzado en Madrid, ¿cuándo volverán a coincidir?
4. “Este verano, mientras jugaba con mi cometa en la playa vi un ultraligero volando a 55 metros de altura, pero Ana no lo vio porque estaba buceando a 7 metros de profundidad”.
a) Haz un esquema representando la escena.
b) ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el ultraligero y Ana?
c) Si mi cometa está a la mitad de distancia entre el ultraligero y Ana, ¿a qué altura se encuentra?
5. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) El opuesto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.
b) El valor absoluto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.
c) Al representar un número y su opuesto en la recta, ambos quedan a la misma distancia del cero.
6. Realiza las siguientes sumas y restas. Puedes ayudarte representándolas en la recta real.
a) –7 5 c) –7 – (–4) e) –4 – 8 g) 3 (–4) – (–2) (6)
b) 7 (–7) d) 3 – (–6) f) 5 (–9) h) 9 (–7) 8 – (–3)
7. Resuelve y compara los resultados:
a) 6 8 – 5 · 3 – 2 3 · 4 c) 6 8 – (5 · 3 – 2) 3 · 4
b) (6 8 – 5) · 3 – 2 3 · 4 d) 6 8 – 5 · 3 – (2 3) · 4
8. Pedro quiere comprarse un DVD que cuesta 23 euros, pero solo tiene ahorrados 14. Su madre le
presta el dinero que le falta con la condición de que cada semana le devuelva 1,50 euros. ¿Cuántas
semanas tarda en devolver la deuda?
Para calcular la deuda que le queda pendiente cada semana, debes sumar la deuda inicial con la cantidad
que devuelve (ten en cuenta que las cantidades que debe se consideran negativas).
Deuda inicial Devolución Deuda
Inicio 14 + (–23) = –9
1.ª semana –9 1,5 –9 + (1,5) =
2.ª semana 1,5
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1. ¿Cuántos minutos tiene un cuarto de hora? ¿Y un doceavo de hora? ¿Y cinco doceavos de hora?
2. Después de la fiesta de cumpleaños de Andrés han quedado 3
8 de tarta sin comer. ¿En cuántos
trozos se dividió la tarta? ¿Cuántos trozos se han comido? Andrés quería llevar a su abuela un cuarto de tarta con lo que sobrase. ¿Puede hacerlo?
3. Salta en este laberinto desde una fracción irreducible a la siguiente para responder a la pregunta:
¿qué le ocurre a una fracción irreducible?.
4. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:
a) 3 1 5 1
:5 2 6 3
b)
3 1 5 1:
5 2 6 3 c)
3 1 5 1:
5 2 6 3 d)
3 1 5 1:
5 2 6 3
5. Al mediodía me he comido la mitad de una tortilla de patatas. A la hora de la merienda, Ana ha tomado
un tercio de la tortilla original, y para cenar, Luis se ha tomado tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Qué porción de la tortilla queda al final del día? Representa con dibujos cada paso del problema.
6. Mi hermano pequeño ha terminado su colección de cromos de la liga, y le han sobrado 200 cromos.
Los ha repartido entre sus tres amigos de la siguiente forma:
A Diego le ha dado 2
5 de los cromos que le han sobrado
A Sergio, 5
12 de lo que queda
A Patricia, el resto
¿Qué amigo recibe más cromos? ¿Qué amigo recibe menos?
7. Vamos a realizar operaciones con fracciones de forma gráfica sobre la recta real
a) Representa estas fracciones en la recta real: 5
6,
4
3 y
7
4
b) Con la ayuda de un compás realiza gráficamente la suma
5 4 7
6 3 4. Para eso sigue estos pasos:
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3
Empieza situando en la recta real 5
6 desde el 0 y llama a ese punto A.
Abre el compás una apertura de 4
3 (mídela del apartado anterior) y avanza
4
3 desde A. Ten en
cuenta que el avance tiene que ser hacia la izquierda, por ser un número negativo. Llama B al punto en el que caes.
Abre ahora el compás una apertura de 7
4 (mídela en el primer apartado), y avanza
7
4 desde el punto
B. Llama C al punto en el que caes.
c) Realiza la suma
5 4 7
6 3 4 numéricamente y comprueba que el resultado coincide con el punto C en
la recta real.
8. Representa en la recta real los conjuntos de números que se deducen de los siguientes enunciados:
b) Leire, Enrique y Víctor son tres hermanos. Leire tiene 12 años y Víctor 7. ¿Cuál puede ser la edad de Enrique, que es el mediano?
c) La edad mínima para votar en España es 18 años. ¿Qué edades tienen los votantes?
d) En este parque infantil no permiten la entrada a mayores de 10 años. ¿Quiénes pueden entrar?
e) En la contabilidad de una empresa las deudas se anotan como cantidades negativas. ¿Qué valores pueden tener?
9. Seguro que sabes escribir un número irracional; al fin y al cabo, solo se trata de poner una coma y luego un número indefinido de cifras a lo loco, y que nunca aparezca un periodo. ¿Serías capaz de escribir un número irracional utilizando solo dos cifras? ¿Y solo una cifra?
10. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. En caso de que sean racionales halla su fracción generatriz.
f) 12,323232… c) 0,1010010001… e) -3,33333… g) 6,54321
g) 3,12345678… d) -4,24344444…. f) 66,001 h) -23,232323232…
11. Realiza estas operaciones, pasando primero las expresiones decimales a fracción y, a continuación, operando con fracciones.
h) 6,41 5,2 b) 1,51 0,63 c) 7,520 :1,035
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Unidad 2 Potencias y raíces
1. Calcula.
a) 30
b)
01
5
c) (–1024)0
d)
04
3
e) (–1)–6
f) (–1)–25
2. Expresa como una potencia de exponente positivo los siguientes números.
a) 3–5
d) 1
1
9 g) (–7)
–3 j)
41
5
m)
4
1
5
p)
32
3
b)
51
2
e) (–5)–2
h)
51
7
k) 2
1
6 n)
3
1
5
q)
42
5
c) 4–1
f)
21
7
i) (–5)–4
l) 6
1
5 o)
32
3
r)
42
5
3. Expresa como una única potencia el resultado de las siguientes operaciones.
a) 5 7 2 6
5 3 4
3 3 3 3
3 3 3 3
b)
10 1 7
3 2
4 4 4
4 4 4
c)
2 5 4
1 2
( 5) ( 5) ( 5)
( 5) ( 5)
d)
2 3
5
( 2) (2)
2 ( 2)
e)
2 3
4
( ) ( )
( )
x x
x x
4. Reduce a una sola potencia.
a) 4 43 5 b) 3
3
2
8
c)
2
2
( 4)
5
d)
5
5
( 1)
( 3)
5. Expresa como una potencia de exponente positivo.
a) 432 b)
315
c)
323
4
d) 42
10
e)
511
10
6. Descompón en forma de potencia o producto de potencias de exponentes positivos cuyas bases sean
números primos.
a) 15–3
b)
21
10
c) 8–2
d) (–24)–5
e) 100–3
7. Simplifica las siguientes expresiones. Da el resultado en forma de potencia o producto de potencias de
exponente positivo.
a) 3 3
6
2 3
6
b)
3 5
9
8 5
10
c)
1 2
2 3 2
10 14
7 2 5
d)
4 4 2
2 1
100 2 5 3
6 15
e)
31 2
5 4
6 3
1 2
8. Contesta, de forma razonada, a las siguientes preguntas sabiendo que x es un número entero.
a) ¿ 4( )x es siempre positivo?
b) ¿ 5( )x es siempre negativo?
c) ¿ ( 1) 1x ?
d) ¿3x 1 siempre?
e) ¿1
1
x es negativo?
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9. Completa los pasos para expresar las siguientes magnitudes en notación científica.
a) 5 942 000 000 000 000 000 000 000 = 5,942 10
b) 0,000 012 = 1,2 10
c) 13 835 000 000 = ...,........ 10
d) 0,000 000 000 066 7 = 10
10. Expresa las siguientes magnitudes en notación científica.
a) 69 900 d) 0,000 000 000 025
b) 602 200 000 000 000 000 000 000 e) 0,000 000 0302 5
c) 778 500 000 f) 0,000 002 001
11. Completa los pasos para transformar las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal.
a) 153,25 10 3,25 10000000000000000 .......................................
b) 71,99 10 1,99 ............................. .......................................
c) 5 9,339,33 10 ...............................
100000
d) 12 5,65,6 10 .......................................
.............................
12. Expresa las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal.
a) 57,28 10 d) 75,13 10
b) 138,012 10 e) 113,021 10
c) 107,14 10 f) 44,0025 10
Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.
Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.
Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.
Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.
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1. Ordena mentalmente los siguientes números de menor a mayor.
a) 2 5
5 33 4
b) 7 1
2 0,13 4
2. Utiliza la calculadora para calcular 2 3 y comprueba que el resultado no coincide con 5 .
3. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales.
a) 72 c) 1215 e) 4 7 1332a b c
b) 192 d) 3 432 f) 3 8 15 49a b c
4. Simplifica estas sumas y restas con radicales.
a) 8 2 98
b) 147 27 12
c) 32 6 24 200
d) 3 3 316 2000 250
5. Realiza estas operaciones con radicales del mismo índice, extrayendo factores cuando sea posible.
a) 2 12
b) 3 318 45
c) 4 424 : 2
d) 3 32 26 4a b a
6. Reduce estos radicales a índice común y simplifica.
a) 32 4
b) 64 3 6
c) 8
4
54
3
d) 3 42 3 2ab a b
7. Simplifica las siguientes expresiones.
a)
600 2 24
3 12
b) 18 50 3 27
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Unidad 3 Polinomios
1. Llamamos x a la edad de Juan. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.
a) La edad de Juan dentro de 10 años
b) El doble de la edad de Juan hace 5 años
c) La tercera parte de la edad de Juan dentro de 2 años
d) La tercera parte de la mitad de la edad de Juan
2. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.
i) Tengo un número indeterminado de billetes de 5 € y de 10 €. Expresa algebraicamente que tengo 225 € juntando todos los billetes.
j) En un garaje hay coches y motocicletas. Expresa algebraicamente el número de ruedas que tienen los vehículos del garaje en total.
k) En un teatro hay butacas de patio que cuestan 20 € y butacas de entresuelo que cuestan 10 €. Expresa el dinero recaudado para una representación en función de las localidades vendidas de cada tipo.
l) Tres números pares consecutivos.
m)
3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de x que se indican.
x 1 x 3 1
2x x 0
2 2x
2 5x
2 5 8x
22 7
5 7
x
x
3 2 6x x
x
2
3x
4. Identifica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes monomios
n) 2x c) 23x y e) 5x g) 312
3xy
o) 2x d) 3 f) 35
4
x h)
4
7
xy
5. Calcula.
p) 2 5x x c) 3 3 33 4 10x x x e) 5 5 54 6x x x
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q) 2 27x x d)
3 35
4 4
x x
6. Opera.
r) 2 5x c) 33 4 10x x x e) 4 5 54 6x x x g) 1 3
23 2
xx
h) 2 37x x
7. Responde justificando tus respuestas.
a) ¿Puedo sumar los monomios 3x2 y 3x?
b) ¿El grado del resultado de sumar varios monomios semejantes es el mismo que el grado de cada uno de los monomios?
c) ¿Cuál es el coeficiente de x2 en el monomio
22
5
x?
d) Un número, ¿es un monomio? Si lo es, ¿de qué grado?
8. Identifica el coeficiente principal, el término independiente y el grado de los siguientes polinomios.
e) 2 3x c) 2 43 5 8x x e) 5 22 3x x x g) 4
3 65 3 7 74
3 2 2 2
xx x x
f) 2 5x x d) 7 f) 3 25 8 1
4
x x x h)
4 3
7
x
9. Dados los polinomios 3 2( ) 2 5 3 1P x x x x , 3 2( ) 5 6 3Q x x x y 2( ) 3 2R x x x , calcula:
g) P x Q x c) P x R x e) 3P x Q x g) 5 2P x Q x
h) P x Q x d) Q x R x f) 2 5P x R x h) 1 1
2 2P x R x
10. Sea 4 2( ) 6 3 9 3P x x x x . Calcula:
i) x P x b) 2x P x c) 1
3x P x d)
32
3
xP x
11. Dados los polinomios: 2( ) 3 1P x x x , ( ) 2 3Q x x y ( ) 3 2R x x , calcula:
j) P x Q x c) Q x R x e) 2
Q x
k) P x R x d) 2
P x P x P x f) 2
R x
12. Extrae factor común en las siguientes expresiones.
l) 6 4 22 5x x x c) 5 4 33 6 9x x x e) 2 2 2 23 18 9xy x y x y g) 4 4 3 3 24x y x y x y
m) 4 3 22 5x x x x d) 6 210 5 5x x f) 3 2 2 2 35 7 3x y xy x y h) 6 3 4 2 22 8x y x y x y
13. Contesta de forma razonada a las siguientes preguntas.
n) ¿Qué podemos decir del grado del polinomio suma de otros dos?
o) ¿El grado de la suma de dos polinomios es el mayor de los grados de los polinomios?
p) ¿Cuál es el grado del producto de tres polinomios?
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q) ¿Se puede extraer factor común de un polinomio que tiene término independiente?
14. Desarrolla, usando las identidades notables, las siguientes potencias.
r) 2
5x c) 22 2x e)
235 x g) 2
4 a
s) 2
3x d) 25 4x f)
222 x h) 258 y
15. Efectúa las siguientes operaciones.
t) 2
2 1x c) 233 1x e)
224 3y x
u) 2
5 3x d) 224 3x f)
223 3a b
16. Escribe el término que falta para que la expresión sea una identidad notable.
v) 4 24 ___x x c) 2 2 ___y xy g) 8 24 ___ 81a b
w) 236 ___ 25x d) 4 481 ___ 25x y h) 2 310 ___a ab
17. Identifica las identidades notables que hay entre las siguientes expresiones.
a) 4 210 25x x b) 2 24 4x xy y c) 225 25 25x x g) 236 25x
d) 22 25 9y x e) 49 1x f) 4 29 12 16x x
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1. Realiza las siguientes divisiones de monomios.
a) 32 :x x c) 4 35 : 2x x e) 5 3: 2x x g) 6 614 : 7x x
b) 5 2:x x d) 2 27 :x x f) 35 : 4x x h) 7 74 : 4x x
2. Dados los polinomios 5 4 32 6 3P x x x x , 3 25 10Q x x x y 2 33 6R x x x calcula:
a) 3:P x x c) 3: 3P x x e) : 5Q x x g) 2:R x x
b) 2: 2P x x d) 2x : 5xQ f) 2: 3R x x h) : 6xR x
3. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) 3 2 22 5 1 : 1x x x x c) 3 2 23 : 1x x x x x
b) 4 3 2 32 2 2 2 :x x x x x x d) 7 6 5 4 3 2 22 2 2 : 2x x x x x x x x x
4. Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto.
a) 5 4 3 24 5 3 2 3 : 3x x x x x x d) 4 16 : 1x x
b) 3 1 : 1x x e) 32 2 4 : 3x x x
c) 32 3 2 : 2x x x f) 2 4 4 : 2x x x
5. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente.
a) 3 3 2 : 2x x x e) 6 55 5 : 5x x x x
b) 4 3 23 2 7 3 : 3x x x x x f) 2 36 : 6x x
c) 4 34 4 : 4x x x x g) 2 6 9 : 3x x x
d) 3 24 6 5 : 5x x x x h) 2 20 100 : 10x x x
6. Contesta justificando tus respuestas.
a) ¿Qué podemos decir del grado del cociente de dividir dos polinomios?
b) ¿Qué podemos decir del grado del resto de dividir dos polinomios?
c) Si el resto de una división entre polinomios es cero, ¿qué relación hay entre ellos?
d) ¿Qué relación hay entre el grado del dividendo y el grado del cociente en una división por Ruffini?
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1. Realiza las siguientes divisiones de monomios.
a) 32 :x x c) 4 35 : 2x x e) 5 3: 2x x g) 6 614 : 7x x
b) 5 2:x x d) 2 27 :x x f) 35 : 4x x h) 7 74 : 4x x
2. Dados los polinomios 5 4 32 6 3P x x x x , 3 25 10Q x x x y 2 33 6R x x x calcula:
a) 3:P x x c) 3: 3P x x e) : 5Q x x g) 2:R x x
b) 2: 2P x x d) 2x : 5xQ f) 2: 3R x x h) : 6xR x
3. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) 3 2 22 5 1 : 1x x x x c) 3 2 23 : 1x x x x x
b) 4 3 2 32 2 2 2 :x x x x x x d) 7 6 5 4 3 2 22 2 2 : 2x x x x x x x x x
4. Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto.
a) 5 4 3 24 5 3 2 3 : 3x x x x x x d) 4 16 : 1x x
b) 3 1 : 1x x e) 32 2 4 : 3x x x
c) 32 3 2 : 2x x x f) 2 4 4 : 2x x x
5. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente.
a) 3 3 2 : 2x x x e) 6 55 5 : 5x x x x
b) 4 3 23 2 7 3 : 3x x x x x f) 2 36 : 6x x
c) 4 34 4 : 4x x x x g) 2 6 9 : 3x x x
d) 3 24 6 5 : 5x x x x h) 2 20 100 : 10x x x
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Unidad 4 Ecuaciones 1.Halla el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas, cuando sea posible, para x = 1 y
x = −2.
a) 1
3
x
x
b)
2 1
1
x
x
c)
3
2
x
x
d)
2 2
x
x x
2.Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
a) 2
2 2
x x
x x
d)
2
2
3 2
1
x x
x
b) 3 2
2
3
3
x x
x x
e)
2
5
10 25
x
x x
c) 4 3 2
2
6 9
2 6
x x x
x x
f)
2
1x
x x
3.Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas.
a) 2 5 2 4 4x x x b) 4
42 3
x xx
4.Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
x) 2 5 2 4 4x x x e) 3 1 5 2 5 4x x x
y) 3 5 2 7 3 5x x x f) 2
105 2
x x
z) 5 1 3
2 22 2 2
xx x
g) 21 4 20x x x x
aa) 1
3 43
xx x
h) 2 2 23 1 4 2 5x x x x
5. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 966.
6. Halla la edad de Juan sabiendo que el doble de la edad que tenía hace 5 años es 30.
7. Halla la edad de María sabiendo que la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años es 15.
8. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es el triple que uno de los otros dos. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?
9. Cuatro amigos se han comido una tarta que han repartido de la siguiente forma: Daniel se ha comido la mitad que María, Pedro la tercera parte que Daniel, y Silvia se ha comido tanta tarta como Daniel y Pedro juntos. ¿Qué parte de la tarta se ha comido cada uno?
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10. Andrea está jugando a un juego con las siguientes reglas: cada vez que gana se lleva 7 puntos, cada vez que pierde se lleva 3 puntos, y no puede empatar. Ha jugado 15 partidas y tiene 65 puntos. ¿Cuántas partidas ha ganado y cuántas ha perdido?
11. Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas.
a) 2 3 2 0x x b) 22 5 3x x x
12. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado y comprueba el resultado. Para resolverlas, fíjate si son completas o incompletas.
bb) 2 22 4 2x x x x e) 2 2 1 10x x x x
cc) 2 1 5 0x x f) 23 1 5 12x x x
dd) 2 21 2 24x x g) 2 1 2 1 2 3x x x
ee) 1 2
2 4
x x x h)
21 5
4 3
x x x
13. Encuentra el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una única solución real.
ff) 218 12 0x x k c) 2 23 2x kx x
gg) 2 4 1 2kx x d) 25 5 4k x k
14. Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 51075.
15. Halla dos números múltiplos de 3 consecutivos cuyo producto sea 1188.
16. Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la que tenía hace 13 años. Calcula cuántos años tiene Pedro ahora.
17. Un marco mide 10 cm de alto que de ancho. Halla sus dimensiones si sabemos que su área es de 256 cm
2.
18. Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los lados que forma el ángulo recto es la mitad que el otro, y que el lado opuesto al ángulo recto mide 500 m.
hh) Haz un dibujo de la finca
ii) ¿Cuánto mide el área de la finca?
jj) ¿Qué cantidad de valla se necesita para cercarla?
19.Resuelve de forma mental las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando las relaciones entre los coeficientes de las ecuaciones y sus soluciones.
a) 2 3 2 0x x d) 2 12 0x x
b) 2 4 3 0x x e) 2 6 0x x
c) 2 4 3 0x x f) 2 4 4 0x x
MAP 3.º ESO
14
19. Utiliza las relaciones anteriores para hallar una ecuación de segundo grado con coeficientes
enteros con las siguientes soluciones.
a) 2 y 3 c) 5 doble
b) 4 y −2 d) 1 1
y 2 4
20. Busca la relación entre las soluciones y los coeficientes de una ecuación de segundo grado en el
caso en que el coeficiente del término de segundo grado, a, pueda tomar cualquier valor distinto de 1.
Unidad 5 Ecuaciones y sistemas
1.- Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones.
a) 2 5( 2) 4 4x x x
b) 2 3 2 0x x c) 3 24 5 2x x x
2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
kk) 2( 1) 5 3 1x x x e) 3( 1) 5(2 5) 4x x x
ll) 3 5( 2) 7( 3) 5x x x f)
2
105 2
x x
h) 2 2 23( 1) 4(2 ) 5x x x x
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 incompletas.
a) 2 22 4 2( )x x x x c) 2 3 2 ( 1)x x x x
b) 2 21 2 24x x d) 2 1 2( 1)( 2) 3x x x
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 completas.
a) (2 1)( 5) 0x x b)( 1) 2
2 4
x x x c) 25( 3)(4 20) 0x x
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que 2.
a) 3 2 0x x x b) 4 24 0x x c) 3 25 6x x x d) 3 22 5 6 0x x x
6.- Contesta, de forma razonada, las siguientes preguntas.
a) Si una ecuación de grado dos es incompleta con c = 0, ¿cuál es una de sus soluciones?
b) P(x) es un polinomio de grado 2, P(x) = 0 tiene una única solución 2
3x . ¿Qué se puede decir de P(x)?
c) Un polinomio P(x) tiene grado 3 y tiene como raíces x = 1, x = –2 y x = 5 ¿Cuáles son las soluciones de la
ecuación P(x) = 0?
d) ¿Cuál es el número máximo de soluciones reales de una ecuación bicuadrada? ¿Y el mínimo?
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15
1.- Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 966.
2.- Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 51075.
3.- Halla dos números múltiplos de 3 consecutivos cuyo producto sea 1188.
4.- Halla la edad de Juan sabiendo que el doble de la edad que tenía hace 5 años es 30.
5.- Halla la edad de María sabiendo que la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años es 15.
6.- El espacio recorrido por un coche a velocidad constante durante 2 horas es 100 km. Halla la velocidad a la que circula.
7.-La madre de Daniel tiene 30 años más que él y entre los dos suman 42 años. Calcula la edad de Daniel.
8.- Un marco mide 10 cm más de alto que de ancho. Halla sus dimensiones si sabemos que su área es de 264 cm
2.
9.- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 12 m y la hipotenusa mide 4 m más que el otro cateto. Calcula el otro cateto y la hipotenusa.
10.- En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es el triple que uno de los otros dos. ¿Cúanto miden los ángulos del triángulo?
11.- Cuatro amigos se han comido una tarta que han repartido de la siguiente forma: Daniel se ha comido la mitad que María, Pedro, la tercera parte que Daniel y Silvia se ha comido tanta tarta como Daniel y Pedro juntos. ¿Qué parte de la tarta se ha comido cada uno?
12.- Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los lados que forma el ángulo recto es la mitad que el otro y que el lado opuesto al ángulo recto mide 500 m. Indica las dimensiones de la finca y la cantidad de cerca que se necesita.
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1.- Comprueba si la pareja de números 2x e 3y es solución de los siguientes sistemas.
2 1
2 8
x y
x y
2 1
5
x y
x y
2.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.
a)
2 1
2 4
x y
x y c)
2 2 12
3 4 18
x y
x y e)
2( 1) 3 11
5 2( 4) 2
x y
x y f)
2 3 2
36
2
x y
x y
b)
2 7
4 1
x y
x y d)
2 3 3
5 2 9
x y
x y
3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.
a)
2 1
3 2
x y
x y c)
2 2 12
4 6
x y
x y
b)
2 5
4 1
x y
x y d)
2 3 5
5 2 18
x y
x y
4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.
a)
1
5
x y
x y c)
2 2 12
3 4 6
x y
x y
b)
2 5
2 3 1
x y
x y d)
2 3 9
5 5 15
x y
x y
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1.-Clara ha comprado en una tienda 5 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 25 €. Enrique ha comprado en la misma tienda 3 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 18 €. ¿Qué precio tienen los bocadillos de jamón y los refrescos?
2.- Las edades de una madre y su hija se diferencian en 26 años, hace 10 años la madre tenía el triple que su hija. ¿Cuáles son las edades actuales de las dos?
3.- David tiene billetes de 5 € y de 10 €. En total tiene 215 €. Si tiene 25 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?
4.- En un hotel hay habitaciones con dos camas y habitaciones con cinco camas. En total se pueden alojar 500 personas. Si hay 106 habitaciones, ¿cuántas habitaciones hay de cada clase?
5.- En una tienda alquilan bicicletas y triciclos. Todos usan las mismas ruedas. En total hay 42 vehículos y las ruedas que se necesitan para tenerlos todos funcionando son 100. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?
6.- Se ha mezclado leche de 1 €/l con leche de 0,75 €/l y se han obtenido 150 l de leche a un precio de 0,8 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se han usado?
7.- Una finca de forma rectangular tiene 25 m más de largo que de ancho. Para vallarla se necesitan 1000 m de cerca ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?
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18
Unidad 6 Proporcionalidad
1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son o no directamente proporcionales.
a) Un estanque está vacío. Abrimos una manguera para llenarlo. El tiempo que está abierta la manguera y la cantidad de agua que hay en el estanque.
b) La edad de una persona y su altura.
c) La cantidad de naranjas que hemos comprado y el precio que hemos pagado por ellas.
d) El número de entradas de cine que compramos y el IVA que hemos pagado.
e) En un cumpleaños hay una tarta. El número de amigos que van al cumpleaños y la cantidad de tarta a la que
tocan.
2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes directamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de proporcionalidad directa.
a)
x 2 4 5 600
y 5 10 12,5 1500
b)
x 3 4 5 10
y 9 16 15 30
3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean directamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad de y sobre x.
a)
x 2 4 120 600
y 18 300 900
b)
x 2 50 150 25 000
y 15 60 120
4.- Una empresa destina parte de sus beneficios a una ONG. Este mes ha tenido unos beneficios de 350 000 € y ha destinado 28 000 € a la ONG. Si hemos comprado un artículo que vale 25 €. ¿Qué cantidad de nuestro dinero ha sido para la ONG?
5.- Una fotografía de 2,4 MB se ha descargado en nuestro móvil en 5 s. ¿Cuánto tardará en descargarse un vídeo de 1200 MB?
6.-Tres amigos han recibido un premio de 1500 € por un trabajo realizado. Para repartirlo deciden hacerlo proporcionalmente al tiempo dedicado al mismo por cada uno de ellos. El primero le ha dedicado 18 h, el segundo 26 h y el tercero 16 h. ¿Cuánto recibirá cada uno?
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1.- Completa la siguiente tabla como en el ejemplo.
Ejemplo a) b) c) d) e) f)
% 15 24 45 50 2
de 2500 1200 1540 3500 12 000
es 375 1800 77 315 60
2.-El 18% de los alumnos de un centro de Secundaria está cursando 3º de ESO. Si en el centro hay 1350 alumnos, ¿cuántos alumnos están en 3º?
3.- Diego tiene 42 libros de novela negra, que son el 26% de sus libros. ¿Cuántos libros tiene en su biblioteca?
4.- En una Ciudad hay 254 hoteles, 24 de ellos son de 4 estrellas. ¿Qué porcentaje del total representan los hoteles de 4 estrellas en la ciudad?
5.-Indica en cada caso qué ocurre al multiplicar una cantidad por los siguientes números (di si es aumento o disminución porcentual) y di el porcentaje en que aumenta o disminuye la cantidad.
a) 1,5 c) 1,3 e) 2 g) 0,06
b) 1,02 d) 0,4 f) 0,75 h) 0,99
6.- Un becario ganaba 300 € al mes. Ha tenido un aumento del 0,5% durante tres meses seguidos. ¿Cuánto ganará ahora?
7.- En las rebajas de enero ha bajado el precio de un ordenador un 6%. En febrero ha vuelto a bajar un 20%. Ahora vale 710,64 € ¿Cuánto valía antes de los descuentos?
8.- La venta de aceite en el mes de enero ha sido de 25 millones de toneladas. En el mes de febrero ha sufrido una disminución del 5%, pero en el mes de marzo ha subido un 5% respecto a febrero. ¿Cuántas toneladas de aceite se han vendido en marzo?
9.- Halla el capital final en que se convierten 500 € durante 10 años a un interés simple y compuesto del:
a) 1,5 % b) 10% c) 2% d) 5%
10.- Se colocan 3000 € a interés simple del 3% anual.
a) ¿Qué beneficios nos darán cada año?
b) Si los tenemos durante 4 años, calcula los beneficios totales y el capital final que retiramos.
c) Compara cómo varían los beneficios totales y el capital final si se colocasen esos 3000 € a un interés compuesto del 3% anual durante 4 años.
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20
1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas.
a) En una obra, el número de albañiles y la duración de la obra.
b) En la construcción de una carretera. La cantidad de alquitrán y los kilómetros asfaltados.
c) Tenemos un balón lleno de aire. Los días que pasan y la presión del balón.
d) El caudal de agua de una manguera y el tiempo que tarda en llenar un estanque.
e) El número de hijos y el dinero que reciben de una herencia que se reparte a partes iguales.
2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes inversamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de proporcionalidad inversa
a)
x 2 4 1 20
y 50 25 100 5
b)
x 12 4 6 60
y 10 30 5 2
3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean inversamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad inversa.
a)
x 2 4 120 600
y 18 300 3
b)
x 2 50 150 25 000
y 15 60 120
4.- Tenemos que pagar un autobús para hacer una excursión. Si vamos 20 alumnos, a cada uno de corresponde pagar 15 €, ¿cuánto tendremos que pagar si vamos 50?
5.- Realiza los siguientes repartos:
a) 14000 inversamente proporcional a 2 y 5.
b) 460000 inversamente proporcional a 2,6 y 10.
6.-Seis personas consumen 63 barras de pan en una semana. ¿Cuántas barras consumirán 8 personas en 10 días?
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21
1.- Estudia la semejanza de los siguientes polígonos. En caso de que sean semejantes, calcula la razón de semejanza.
a) b)
2.- Calcula las medidas desconocidas:
3.- Indica la razón de semejanza entre los lados de los siguientes polígonos, entre sus perímetros y entre sus áreas respectivas.
MAP 3.º ESO
22
1.- En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg de pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses?
2.- A un teatro con 2 sesiones diarias, pueden asistir 18 000 personas en 30 días. ¿Cuántas personas podrán asistir en 45 días si el teatro aumenta una sesión diaria?
3.- Las 5 vacas de una granja consumen 60 kg de pienso en 4 días. ¿Cuántos días se podrán alimentar 8 vacas con 360 kg de pienso?
4.- Los 10 trabajadores de una fábrica han necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar 3000 piezas si trabajan 10 horas diarias?
5.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de distancia?
6.- Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm, con un caudal de 20 litros por minuto (l/min), se ha necesitado 1 h y 20 min. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar otro depósito hasta una altura de 90 cm con un caudal de 15 l/min?
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23
Unidad 7 Figuras planas
1.- Halla la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos convexos.
a) Cuadrilátero
b) Heptágono
c) Octógono
2.- Halla la medida de los ángulos interiores de:
a) Un octógono regular.
b) Un polígono regular de 15 lados.
c) Un polígono regular de 30 lados.
3.- Indica el número de lados que tienen los polígonos convexos sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es:
a) 2520 c) 4500
b) 3240 d) 7200
4.- Indica el número de lados que tiene un polígono regular si cada uno de sus ángulos interiores mide:
a) 108 c) 140
b) 120 d) 157,5
5.- Se conocen cuatro ángulos interiores de un pentágono convexo: 87, 96, 100 y 160. ¿Cuánto mide el ángulo que falta?
MAP 3.º ESO
24
1.- Estudia si existe algún triángulo cuyos lados midan.
a) 5 cm,11 cm y 7 cm.
b) 14 cm,6 cm y 8 cm.
c) 10 cm, 2 cm y 4 cm.
2.- Dibuja el ortocentro, el circuncentro y la circunferencia circunscrita de los siguientes triángulos.
3.- Dibuja el baricentro, el incentro y la circunferencia inscrita de los siguientes triángulos.
4.-En un triángulo isósceles, la distancia del baricentro al vértice desigual es de 5 cm, ¿cuánto mide la altura del lado desigual?
5.- Contesta razonadamente las siguientes preguntas
a) El baricentro de un triángulo siempre está en el interior del triángulo.
b) ¿Dónde se sitúa el ortocentro de un triángulo rectángulo?
c) ¿Qué ocurre con las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices en un triángulo equilátero?
d) ¿Cuál es el punto que equidista de tres puntos dados no alineados?
MAP 3.º ESO
25
1.- Completa la siguiente tabla en la que tenemos datos de dos de los lados de un triángulo rectángulo.
Cateto b Cateto c Hipotenusa a
45 cm 60 cm
8 dm 15 dm
20 m 80 m
6 m 6 m
2.- Estudia si los triángulos cuyas medidas de lados se indican son rectángulos.
a) 40 cm, 30 cm y 50 cm
b) 25 dm, 18 dm y 40 dm
c) 4 cm, 4 cm y 6 cm
d) 20 m, 16 m y 12 m
3.- Sabemos que los cuadrados de la cuadrícula siguiente tienen 1 cm de lado. ¿Cuánto miden los segmentos dibujados?
4.- Un triángulo equilátero tiene 10 cm de lado, ¿cuánto mide su altura?
5.- La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles mide 8cm. El lado desigual mide 4 cm, ¿cuánto mide cada uno de los otros lados?
6.-Se quiere sujetar una antena de 25 m de altura mediante un cable al suelo. El punto de sujeción está a 8m de la base de la antena. ¿Cuánto mide el cable?
7.- La diagonal de un rectángulo mide 14 dm. Si un lado mide 7 dm, ¿cuánto mide su perímetro?
MAP 3.º ESO
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8.- Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 8 cm. ¿Es única la solución? 9.- Responde de forma razonada a las siguientes preguntas.
a) ¿Los ángulos inscritos correspondientes al mismo arco tienen la misma medida?
b) ¿Un ángulo inscrito en una circunferencia puede ser mayor que 180º?
c) ¿Cómo se puede calcular el ángulo interior de cualquier polígono regular a partir del número de lados usando las propiedades de los ángulos inscritos en una circunferencia?
MAP 3.º ESO
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1.- Calcula los perímetros de las siguientes figuras. Las medidas están en centímetros.
2.- Calcula las áreas de las siguientes figuras. Las medidas están en metros.
3.- Calcula las longitudes marcadas en rojo. Las medidas están en decímetros.
a) b) c) d)
4.- Calcula las áreas sombreadas en las siguientes figuras. Las medidas están en decímetros.
5.- Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de 13 cm, y un cateto, de 12 cm.
6.-La diagonal menor de un rombo mide 8 m y su área es 48 m2 Calcula su perímetro.
7.- Calcula el área de las figuras sombreadas en verde. Las medidas están en metros.
a) b)
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Unidad 9 Cuerpos Geométricos
1. Identifica los poliedros entre los siguientes cuerpos.
a) b) c) d) e)
2. Clasifica los siguientes poliedros en cóncavos y convexos.
a) b) c) d) e)
3. Identifica los nombres de los poliedros regulares y la forma de las caras. Cuenta el número de caras de cada uno.
a) b) c) d) e)
4. Cuenta número de caras, vértices y aristas de un hexaedro y un dodecaedro. Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.
5. Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en prismas o pirámides, di si son regulares o no y si son oblicuos o rectos.
a) b) c) d) e)
6. Dibuja un cono, un cilindro y una esfera. Identifica el eje de giro y la generatriz de cada uno de ellos.
7. Indica, de forma razonada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
mm)Los poliedros que tienen todas sus caras regulares se llaman poliedros regulares.
nn) La fórmula de Euler se cumple en todos los poliedros aunque no sean regulares.
oo) Una pirámide triangular regular es un tetraedro.
pp) La Tierra es un cuerpo de revolución.
MAP 3.º ESO
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8. Calcula el área total de un cubo de 5 cm de lado.
9. Calcula la cantidad de cartón que se necesita para hacer una caja de cartón sin tapadera cuya base tiene 25 cm de ancho y 30cm de largo, y cuya altura es de 50 cm.
10. Calcula el área lateral de un prisma triangular regular de 10 dm de altura, cuya base tiene un lado de 6 dm.
11. Calcula el área total de una pirámide triangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm.
12. Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 7 cm.
13. Calcula el volumen de un prisma triangular cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 6 cm y cuya altura es de 20 cm.
14. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene 10 m de lado y que tiene una altura de 25 m.
15. Identifica los siguientes poliedros. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
a) b)
MAP 3.º ESO
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16. Calcula el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 10 cm de altura.
17. Calcula la cantidad de hojalata que se necesita para hacer una lata cilíndrica sin tapadera, cuya base tiene 20 cm de diámetro, y su altura, 50 cm.
18. Calcula el área lateral de un cono de 10 dm de altura, cuya base tiene 6 dm de radio.
19. Calcula el área total de un cono cuya base tiene 8 cm de radio y cuya generatriz mide 10 cm.
20. Calcula el área de una superficie esférica de 8 cm de diámetro.
21. Calcula el volumen de un cilindro cuya base tiene 6 m de diámetro y que mide 15 m de altura.
22. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 cm de radio y cuya altura es de 20 cm.
23. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 m de radio con una generatriz de 25 m.
24. Calcula el volumen de una esfera de radio 4 dm.
25. Identifica los siguientes cuerpos. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.
a) b)
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Unidad 10 Sucesiones
1. Escribe los cuatro primeros términos y el décimo término de las siguientes sucesiones.
a) an = 3n – 2 c) cn = n3 – 1 e) en = (–1)
n + 1
b) bn = 5 – 2n d) dn = 3
2n f) fn = 2 · 3
n – 2
2. Escribe los tres términos siguientes de estas sucesiones.
a) 3 4 5 6
, , , ...2 3 4 5
c) 2, 6, 12, 20, 30…
b) –1, 8, –27, 64… d) 4, 8, 12, 16, 20…
3. Escribe los términos generales de las sucesiones del ejercicio anterior.
4. Escribe los términos generales y los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones.
a) A cada número natural le corresponde el cuadrado de su mitad.
b) A cada número natural le corresponde la mitad de su cuadrado.
c) A cada número natural le corresponde la suma de los cuadrados de sí mismo y de su siguiente.
5. Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia.
a) a1 = 1; an = an – 1 + 3 c) c1 = 1; c2 = 7; cn = 1 2
2n nc c
b) b1 = 1
12; bn = 2bn – 1 d) d1 = 5; d2 = 7; dn = 2 · (dn – 1 + dn – 2)
6. Encuentra la ley de recurrencia de las siguientes sucesiones en función de los dos términos
anteriores.
a) (an) = (2, 5, 10, 50, 500, 25 000…) para n > 2
b) 1 1 1
2,16, 8, , , , 2...2 16 8
nb
para n > 2
c) (cn) = (1, 2, 9, 121, 16 900…) para n > 2
7. Encuentra la ley de recurrencia de los números triangulares que se obtienen como se observa en la
siguiente ilustración.
MAP 3.º ESO
32
Unidad 11 Funciones
1.Indica, de forma razonada, si las siguientes gráficas corresponden a funciones.
a) b) c)
2.Representa las funciones dadas a partir de las siguientes tablas.
a) b) c)
x –3 –1 0 2 4 x –4 –1 0 1 5 x –6 –3 0 1 3
y 7 –1 –2 2 14 y –6 –3 –2 –1 3 y 3 3 3 3 3
3.Una función está definida por la siguiente expresión: f(x) = x
2 + 3.
a) Calcula f(–2), f(0), f(2) y f(3).
b) Con los valores obtenidos representa la función.
4.María sale de casa para ir a clase a las 8 de la mañana. Va a una velocidad constante al principio, pero se encuentra con una amiga y se para con ella. Después, aumenta su velocidad porque, si no, no llega a tiempo. Cuando está cerca del instituto, se da cuenta de que tiene que comprar un bolígrafo y se ha pasado la papelería, vuelve a la papelería y cuando tiene el bolígrafo, se va rápidamente a clase.
La siguiente gráfica representa la distancia (en metros) de María a su casa, en función del tiempo (en minutos).
Contesta a las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto tiempo tarda María en llegar a clase?
b) ¿Cuánto tiempo está parada con la amiga?, ¿a qué hora se encuentra con ella?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en volver a la papelería?
d) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que deja a la amiga hasta que llega a clase?
e) ¿A qué distancia de su casa se encuentra con la amiga?
MAP 3.º ESO
33
f) ¿Qué distancia hay de su casa al centro?
5. Representa las siguientes funciones definidas a trozos.
a) 2 si 02 si 0 5
xf x
x x
b) 2 2 si 3 11 si 1 2
x xf x
x x
c) 3 si 2 22 si 2
x xf x
x
6. En las siguientes funciones indica el dominio y el recorrido.
a) b)
7. Identifica las funciones continuas entre las siguientes. Indica, en su caso, los puntos de
discontinuidad.
a) b) c)
8. En la siguiente gráfica estudia el dominio y la continuidad. Calcula f(0), f(2) y f(4).
9. Dibuja la gráfica de la siguiente función y estudia su continuidad.
2 8 si 4 2
4 si 2 04 si 0
x xf x x
x x
10. Calcula el valor de a en la función f(x) para que la función sea continua.
2 8 si 4 2si 2 10
x xf x
x a x
11. Estudia la simetría de las siguientes funciones.
a) b) c)
MAP 3.º ESO
34
12. Di si las siguientes funciones son periódicas. En caso afirmativo, halla su periodo.
a) b) c)
13. Identifica las funciones continuas entre las siguientes. Indica, en su caso, los puntos de discontinuidad.
b) b) c)
14. En la siguiente gráfica estudia el dominio y la continuidad. Calcula f(0), f(2) y f(4).
15. Dibuja la gráfica de la siguiente función y estudia su continuidad.
2 8 si 4 2
4 si 2 04 si 0
x xf x x
x x
16. Calcula el valor de a en la función f(x) para que la función sea continua.
2 8 si 4 2si 2 10
x xf x
x a x
17. Estudia la simetría de las siguientes funciones.
b) b) c)
MAP 3.º ESO
35
18. Di si las siguientes funciones son periódicas. En caso afirmativo, halla su periodo.
a) b) c)
Unidad 12 Funciones lineales y cuadráticas 19. Indica la pendiente de las siguientes rectas.
c) b) c) d)
20. Calcula la pendiente de las rectas que pasan por los puntos A y B.
a) A(1, 3) y B(2, 6) b) A(–2, 3) y B(2, 1) c) A(2, 5) y B(–2, 9) d) A(0, –2) y B(2, 5)
21. Indica la pendiente y la ordenada de las siguientes rectas.
a) b) c) d)
MAP 3.º ESO
36
22. Asocia cada recta con su ecuación.
a) b) c) d)
I. y = 1 – x II. y = –x – 1 III. y = –3x – 1 IV. 2
13
xy
23. Halla la ecuación explícita de las rectas de las siguientes rectas.
a) Tiene pendiente 2 y ordenada en el origen 1
3 .
b) Pasa por los puntos A (1, 1) y B(–1, 2).
c) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4, –1).
d) Pasa por el origen y tiene pendiente –4.
e) Pasa por el punto (0, –2) y tiene pendiente 1
2 .
24. Halla la ecuación implícita de las siguientes rectas.
g) y = 3x – 2 b) y – 2 = 4 · (x – 1) c) 2
13
y x
25. Escribe la ecuación de las siguientes rectas.
26. Escribe tres rectas paralelas a y = 3x – 2.
27. Dadas las rectas r: x – 3y = 2, s: –2x + 6y + 4 = 0:
c) Calcula la pendiente de cada una de ellas.
d) Represéntalas gráficamente.
e) ¿Cuál es su posición relativa?
MAP 3.º ESO
37
28. Calcula la ecuación punto - pendiente de las siguientes rectas.
a) Es paralela a y = 2x – 3 y pasa por el punto (4, 3).
b) Es paralela a 2x – 3y + 2 = 0 y pasa por el punto (–3, 0).
c) Es paralela a y – 2 = 0 y pasa por el punto (0, –2).
29. Escribe la ecuación de dos rectas que se corten en el punto A(1, 1).
30. Indica cuál de las siguientes expresiones representan parábolas.
d) f(x) = –x2 – x – 1 b) f(x) = –1 + (x + 3)2 – 2x c) f(x) = x2 – (x – 2)2
31. Identifica las parábolas entres las siguientes gráficas.
b) b) c)
32. De las siguientes parábolas, calcula el vértice, el eje de simetría, los puntos de corte con los ejes, y el signo del coeficiente de x
2.
a) b)
33. Asocia a cada gráfica su expresión.
a) b) c)
I. f(x) = x2 – 4x + 4 II. f(x) = –x2 – 2x III. f(x) = –x2 + 2x + 3
34. Comprueba si el punto (–1, 6) pertenece a las siguientes parábolas.
a) f(x) = 2x2 – 6x – 2 b) f(x) = 5 – 2x2 c) f(x) = –(x + 3)2
La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c se representa mediante parábolas.
Vamos a ver cómo se puede representar una parábola a partir de su expresión algebraica.
Paso 1: Orientación de la parábola.
Si a > 0 entonces la parábola tendrá las ramas hacia arriba. Si a < 0, las tendrá hacia abajo.
MAP 3.º ESO
38
Paso 2: Vértice de la parábola.
La coordenada x del vértice de una parábola es 2
bx
a
. Para calcular la ordenada del vértice, se
sustituye el valor obtenido en la expresión de la parábola.
Paso 3: Eje de simetría.
El eje de simetría de la parábola es 2
bx
a
Paso 4: Puntos de corte con los ejes coordenados.
Corte con el eje X: y = 0 Corte con el eje Y: x = 0
Paso 5: Obtención de algunos valores próximos al vértice.
Se pueden obtener las imágenes de puntos próximos al vértice.
Veámoslo con un ejemplo:
Representa gráficamente la función cuadrática f(x) = –2x2 – 4x – 4.
1.- a = –2 < 0. La parábola tiene las ramas hacia abajo.
2.- Vértice:
24
1 2 1 4 1 4 22 2 2
V v
bx y
a
3.- Eje de simetría:
41
2 2 2
bx
a
4.- Corte Eje X: y = 0
2 4 16 320 2 4 4 No tiene solución No corta al eje
2 2x x x X
.
Corte Eje Y: x = 0 y = –4. La parábola corta al eje Y en el punto (0, –4).
Teniendo en cuenta los resultados anteriores, se puede representar la parábola:
36. Representa las siguientes parábolas.
h) f(x) = x2 – x – 2 b) f(x) = –2x
2 + 6x
MAP 3.º ESO
39
Unidad 13 Estadística unidimensional
1.- ¿De qué tipo son las siguientes variables estadísticas?
a) Marca del móvil de los estudiantes de secundaria del Instituto.
b) Número de personas que conviven en la residencia familiar.
c) Gasto mensual en móvil.
d) Nota de la 2ª evaluación en Lengua de los alumnos de 3º A.
e) Tiempo que tarda una persona en llegar desde su casa al trabajo.
2.- En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido:
N.º asignaturas aprobadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8
N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1
a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
3.- Un profesor ha preguntado a sus alumnos acerca de sus preferencias sobre el tipo de exámenes. Las respuestas han sido las siguientes.
Tipo test 12
Preguntas cortas 5
Preguntas de desarrollo 3
Haz un diagrama de sectores y otro de barras que representen la información.
4.- Se ha preguntado a 30 asistentes a un curso de formación su impresión acerca de la preparación del ponente del curso. Las respuestas han sido:
Muy mala 2
Mala 5
regular 8
Buena 10
Muy buena 5
Haz un diagrama de sectores y otro de barras que representen la información.
5.- La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.
Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45
N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1
a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
MAP 3.º ESO
40
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
1.- El tiempo, en minutos, que dedican los trabajadores de una empresa a buscar datos en Internet viene dado por la siguiente tabla.
Tiempo en minutos [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) [180,210) [210,240)
N.º de empleados 50 65 70 45 10 5 5
a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
2.- Se ha preguntado a 30 personas de una empresa el número de tweets que escriben al día. Las respuestas han sido:
a) Agrupa en número de tweets en intervalos de 5 en 5. Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y
acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
3.- Se han recogido las temperaturas mínimas de las capitales de provincia durante el mes de junio, obteniendo los siguientes datos.
Temperaturas [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20) [20,22) [22,24) [24,26)
N.º de capitales 3 5 12 10 12 5 3 1
a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
4.- Se han recogido los litros por metro cuadrado de lluvia que han caído de diferentes observatorios de España a lo largo de un mes, obteniendo los siguientes datos.
5 40 32 25 92 45 77 99 53 42
49 33 26 39 42 30 72 81 78 35
19 33 25 28 41 32 85 55 71 59
82 22 18 25 37 21 80 58 81 61
17 45 19 27 28 16 66 54 92 70
a) Agrupa los resultados en intervalos de 10 l/m
2 y construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y
acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
5.- La duración de las llamadas telefónicas de una persona a lo largo de un día vienen recogidas en la siguiente tabla:
Duración [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)
N.º de llamadas 25 10 12 15 12 3 4 1
a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.
5 40 32 25 12 45
49 33 26 39 42 30
1 33 25 28 41 32
8 22 18 25 37 21
17 4 19 27 28 16
MAP 3.º ESO
41
MAP 3.º ESO
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1.- En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido.
N.º asignaturas aprobadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8
N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1
a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.
b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
2.- La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.
Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45
N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1
a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.
b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
3.- El tiempo, en minutos, que dedican los trabajadores de una empresa a buscar datos en Internet viene dado por la siguiente tabla.
Tiempo en minutos [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) [180,210) [210,240)
N.º de empleados 50 65 70 45 10 5 5
a) Halla la media.
b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
4.- La duración de las llamadas telefónicas de una persona a lo largo de un día vienen recogidas en la siguiente tabla.
Duración [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)
N.º de llamadas 25 10 12 15 12 3 4 1
a) Halla la media.
b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
5.- Se han recogido los litros por metro cuadrado de lluvia que han caído de diferentes observatorios de España a lo largo de un mes, obteniendo los siguientes datos.
5 40 32 25 92 45 77 99 53 42
49 33 26 39 42 30 72 81 78 35
19 33 25 28 41 32 85 55 71 59
82 22 18 25 37 21 80 58 81 61
17 45 19 27 28 16 66 54 92 70
a) Agrupa los resultados en intervalos de 10 l/m
2 y calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de
variación.
b) Los datos de los mismos observatorios durante el mes de junio nos dan una media de 47,8 l/m2 con s = 10.
¿Qué podemos deducir del reparto de las lluvias en mayo, en relación con las de julio?
MAP 3.º ESO
43
