Unidad 1. Ecuaciones de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

Ingeniería en Telemática

6° cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Ecuaciones diferenciales

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Clave:

220920624 / 210920624

Universidad Abierta y a Distancia de México


Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática 1

Índice

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden ......................................................................... 2

Presentación de la unidad ......................................................................................... 2

Propósitos ................................................................................................................. 2

Competencia específica ............................................................................................ 2

1.1. Identificación de una ecuación diferencial .......................................................... 3

1.1.1. Clasificación de ecuaciones generales (orden y grado) ............................... 3

1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales ........................................... 4

Actividad 1. Relación de columnas ............................................................................ 5

1.1.3. Solución de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y unicidad) .... 5

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solución única ....................................... 10

1.1.4. Casos particulares (generalidades) ............................................................ 10

1.2. Clasificación de ecuaciones diferenciales lineales ............................................ 11

1.2.1. Separación de variables ............................................................................. 11

1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante ....................................................... 12

Actividad 3. Clasificación de ecuaciones diferenciales ............................................ 16

1.3. Ecuación de Bernoulli ....................................................................................... 17

1.3.1. Definición ................................................................................................... 18

1.3.2. Ejemplos y su representación gráfica ......................................................... 18

Actividad 4. Representación de un modelo matemático .......................................... 20

Autoevaluación ........................................................................................................ 21

Autorreflexión .......................................................................................................... 22

Para saber más ....................................................................................................... 22

Cierre de la unidad .................................................................................................. 22

Fuentes de consulta ................................................................................................ 22



Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Presentación de la unidad

Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea físicas, químicas o astronómicas,

por ejemplo, pueden ser analizadas mediante modelos matemáticos. Estos modelos

son, generalmente, funciones matemáticas.

Recuerda que si y f x es una función, su derivada se puede interpretar como la

razón de cambio de y con respecto a x . En cualquier proceso natural, las variables

involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de las

leyes que gobiernan dicho proceso. Por ello, al expresar tal conexión en el lenguaje

matemático, el resultado con frecuencia es una ecuación diferencial.

Propósitos

Al finalizar esta unidad, serás capaz de:

Identificar una ecuación diferencial por medio de su orden, grado y linealidad.

Resolver una ecuación diferencial por medio del teorema de existencia y unicidad.

Resolver ecuaciones diferenciales en campos de soluciones vectoriales y multivariables.

Resolver una ecuación exacta, no exacta, factor integrante y separación de variables.

Competencia específica

Determinar el método de solución de una ecuación diferencial a través de su orden, grado y linealidad para establecer su resultado o conjunto de resultados.



1.1. Identificación de una ecuación diferencial

Una ecuación es una igualdad con incógnitas, por ejemplo:

2 3 2 0xx

Es una ecuación de 2º grado donde las soluciones 1 1x

,2 2x satisfacen la

ecuación.

En cambio, la siguiente ecuación también es una igualdad pero las incógnitas son

funciones:

2

20

d yy

dx

(1)

En este caso:

es una solución de la ecuación diferencial

2

20

d yy

dx

(2)

ya que al sustituir hace que se cumpla la igualdad:

2

2

( )0

d sen xsen x

dx

0sen x sen x

1.1.1. Clasificación de ecuaciones generales (orden y grado)

Nuestro estudio se centrará en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas

ecuaciones donde y es la variable dependiente y x la variable independiente; en

general, se acostumbra expresar una ecuación diferencial de la siguiente manera:

1 2

( , , , ,... ) 0n

F x y y y y

(3)

El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de orden más alto. Por

ejemplo:

2

20

d yy

dx

(4)

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

y sen x



2

20

d yy

dx

(5)

El grado de una ecuación diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se

eleva la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:

32

20

d yy

dx

(6)

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado

1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si se puede escribir de la forma:

1 1

1 01.....n n

n nx y x y x xa a a y a y g x

(7)

donde los coeficientes kxa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con

0n xa . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta

forma es no lineal.

Se dice una ecuación diferencial (7) es lineal con coeficientes constantes si las

funciones kxa son constantes para cualquier valor de k ; en caso contrario,

decimos que la ecuación diferencial es de coeficientes variables.

Por otro lado, si la función g x es cero, decimos que la ecuación diferencial

es homogénea, y en caso contrario la ecuación será no homogénea.

Por ejemplo:

2

25 2 0

d yy

dx

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, homogénea de

coeficientes constantes. En cambio:



2

25 2 9

d yy x

dx

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, no homogénea de

coeficientes constantes.

Actividad 1. Relación de columnas

A través de este ejercicio podrás analizar una serie de ecuaciones, definir su orden, grado y linealidad y clasificarlas.

1. Lee y analiza la información que te hará llegar tu Facilitador(a).

2. Observa la tabla que se te presenta.

3. Relaciona cada una de las ecuaciones con su clasificación, anotando la letra correcta dentro del paréntesis.

4. Envía tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A1_XXYZ. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

1.1.3. Solución de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y

unicidad)

En la mayoría de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estamos interesados

no solamente en la solución general de una Ecuación Diferencial, sino en una solución

particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de

valor inicial o de frontera.

Ejemplo 1:

Un móvil se desplaza a lo largo del eje x de manera tal que su aceleración en

cualquier tiempo 0t está dada por la ecuación 21 2a t t t . Encuentra la

ecuación que determine la posición x t de la partícula en cualquier tiempo, t

suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en 1x y está viajando a una

velocidad de 3v

Por el cálculo elemental, sabemos que la primera derivada nos da la velocidad y la

segunda derivada la aceleración. De donde los datos del problema de valor inicial

serían:

21 2a t t t

22

21 2

d xt t

dt

(1)



0 1x

' 0 3x

Integrando la Ecuación (1) con respecto a x obtenemos la velocidad:

32

13

dx tv t t c

dt

Y usando la condición ' 0 3x podemos hallar que1 3c , con lo cual la velocidad

en cualquier tiempo t sería:

32 3

3

dx tv t t

dt

Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento:

2 3 4

2

1 1 13

2 3 12x t t t t t c

y usando la condición 0 1x podemos determinar que

2 1c y obtener la posición

de la partícula en cualquier tiempo t :

2 3 41 1 13 1

2 3 12x t t t t t

En la figura1 se muestra la gráfica del movimiento:

Figura 1. Gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. (Grafica obtenida con Derive)

Al considerar un problema de valor inicial es natural hacer las siguientes preguntas:

1. Existencia: ¿Existirá una solución que satisfaga al problema?

2. Unicidad: ¿La solución, será única?

3. Determinación: En caso de que exista solución, ¿cómo la determinamos?

Para poder contestar estas preguntas, analizaremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2:

Dado el problema de valor inicial 1

22dy

xydx

(2)



0 0y

podemos obtener fácilmente la solución mediante separación de variables: 1

22dy

xydx

(3)

1

2

2dy

xdx

y

Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos que:

1

2

2dy

xdx

y

(4)

La solución general será: 1

222y x c (5)

Si usamos la condición inicial:

0 0y

0c

Por lo tanto, una solución particular de la ecuación será: 1

222y x

Elevamos al cuadrado para despejar “y”: 4

4

xy

(6)

Al observar la ecuación (4) vemos que no está definida para y=0 (no se puede dividir

entre cero); sin embargo, y=0 también es una solución de la ecuación diferencial, esta

solución recibe el nombre de solución singular porque no se obtiene a partir de la

solución general (5).

Al sustituir las condiciones iniciales obtenemos distintos valores para la constante,

cada solución representa una solución particular. En la figura 2 se muestran algunas

de las soluciones.



Figura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la

Ecuación (5) (Gráfica generada con DERIVE)

Ejemplo 3:

La familia de rectas: 22y c cx

representa la solución general de la ecuación diferencial:

2

2dy dy

x ydx dx

Sin embargo, la parábola: 2 8x y

representa la solución singular porque no se obtuvo a partir de la solución general.

Observa la figura 3:

Figura 3. En la imagen se muestran las soluciones particulares representadas por la familia de



rectas del ejemplo (3) y la solución singular representada por la parábola.(Gráfica generada

con Derive).

Teorema de existencia y unicidad

Este teorema nos permite saber si existe solución única sin necesidad de resolver la

ecuación diferencial ya que solamente se toman en cuenta las condiciones dadas,

aunque el teorema no garantiza que exista solución. En caso de no existir solución, la

única opción que tenemos es por aproximaciones (método de Euler):

Sea 2, ,R a b c d R tal que 0 0,x y R . Si ,f x y y f

v

son continuas en

R, entonces existe un intervalo abierto I , que contiene0x en su interior y una función

y x definida en I , que satisface el problema de valor inicial:

0 0

,dy

f x ydx

y x y

Ejemplo 4:

Si tenemos la siguiente ecuación con condiciones iniciales:

1

22dy

xydx

1 4y

al aplicar el teorema tenemos que:

1

2, 2f x y xy

Al determinar la parcial tenemos que:

1

2

f x

vy

Observamos que las funciones ,f x y yf

v

son continuas en 1 4y (porque

1

2 0y ) por lo tanto no necesitamos resolver la ecuación para concluir que

existe solución única. Mientras que para los valores de condiciones iniciales



0 0y el teorema no garantiza nada, porque las funciones ,f x y y

f

v

no son

continuas en 0 0y . (Porque no se puede dividir entre cero

1

2 0y ).

En estos casos puede haber solución única, varias soluciones o que la ecuación no

tenga solución.

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solución única

Mediante este ejercicio podrás identificar una ecuación diferencial, analizar su estructura para conocer su categoría y, de esta manera, diferenciar entre una ecuación de una solución o más.

1. De la información que te hará llegar tu Facilitador(a).

2. Observa detenidamente las ecuaciones diferenciales que se te presentan.

3. Determina si se trata de una ecuación diferencial con solución única o no.

4. Selecciona la respuesta correcta anotando dentro del cuadro una .

5. Envía tu documento con la nomenclatura KED1_U1_A2_XXYZ. El peso del

archivo no debe exceder los 4 MB.

1.1.4. Casos particulares (generalidades)

Ecuaciones diferenciales lineales

Ahora analizaremos como obtener la solución general de una ecuación diferencial

lineal de primer orden dy

p x y g xdx

.

Podemos obtener la solución general la mediante la siguiente fórmula:

1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

Ejemplo 5:

Hallar la solución general de la siguiente ecuación:

2dy

xy xdx



En este caso, vemos que:

2p x x

g x x

Sustituyendo obtenemos:

22p x dx xdx xe e e

Sustituyendo en la fórmula:

2

2

1 x

xy x e xdx C

e

2

2

1 1

2

x

xy x e C

e

2

1

2 x

Cy x

e

Finalmente obtenemos:

21

2

xy x Ce

1.2. Clasificación de ecuaciones diferenciales lineales

A continuación estudiaremos los distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias

y el método mas adecuado para su solución.

1.2.1. Separación de variables

Son ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser expresadas de la

siguiente forma:

g xdy

dx h y

Reacomodando obtenemos que:

h y dy g x dx

Separadas las variables procederemos a integrar ambos miembros. La solución, por lo

general, es una función implícita es decir la variable y no está despejada.

Ejemplo 6:



Resuelve la siguiente ecuación:

2

3

2

3

dy x

dx y

Solución:

Separando variables:

3 23 2y dy x dx

Integrando ambos miembros de la igualdad:

3 23 2y dy x dx

4 33 2

4 3y x c

4 33 2

4 3y x c

Ejemplo 7:


1dy y

dx x

Solución:

Separando variables:

1

dy dx

y x

Integrando ambos miembros de la igualdad:

1

dy dx

y x

ln( 1) lny x c

1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se expresa de la forma:

, , 0M x y dx N x y

Se dice que es exacta si se cumple que:



M N

y x

Ejemplo 8:

Determina si la siguiente ecuación es exacta:

2

dy y

dx x y x

2( ) 0ydx x y x dy

1M

y

2 1N

xyx

M N

y x

La ecuación no es exacta, pero si multiplicamos por el término2

1:

x

2

2 2

( )0

ydx x y xdy

x x

2

1M

y x

2

1N

x x

M N

y x



La ecuación es ahora exacta y el término2

1

x recibe el nombre de factor integrante.

El problema radica en poder encontrar una función ,x y tal que:

, , , 0x y M x y dx N x y

M N

y x

Si

M N

y x

N

Es continua y depende solamente de “x”, entonces:

exp

M N

y xx dx

N

Es un factor integrante de la Ecuación.

Si

N M

x y

M

Es continua y depende solamente de y entonces:

exp

N M

x yy dy

M

Es un factor integrante de la Ecuación.

Ejemplo 9:


2 3

21

dy xy y

dx xy

2 3 2(1 ) 0xy y dx xy dy



Obtenemos M N

yy x

22 3M

xy yy

2Ny

x

Determinamos un factor integrante que dependa únicamente de x o de y ; en este

caso probaremos con uno que depende de y .

2 2 2

2 3 2 2 2

2 22 3 2 2 2

N M

y y x y x yy xy y y xyx yy

M xy y y x y y x y y x y y

Con lo cual el factor integrante esta dado por:

2 2

1ln2

2ln ln1 2ln ln1 ln 2

2

1exp

dy

y y yy y

N M

x yy dy e e e e e y

M y

Recordemos que ln 1 0 ln ln lna

y a bb

y al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante:

2 2 3 2(1 ) 0y xy y dx xy dy

obtenemos la ecuación que ahora es exacta:

2( ) 0x y dx y x dy

Por ahora daremos los pasos para resolver una ecuación exacta:

Paso 1: Se busca una función ,f x y c tal que:

2f fx y y y x

x y

Paso 2: integramos la primer parcial con respecto a x tomando a y como constante:



2

2

xf x y dx yx g y

21,

2f x y x yx g y

Paso 3: Obtenemos la parcial con respecto a y de la segunda expresión y luego se

iguala con ,N x y :

,

'x y

x g xy

2'x g x y x

Paso 4: Despejando 'g x :

2'g x y

Integrando obtenemos que:

2 1g x y dy y

Como 21,

2f x y x yx g y

Sustituyendo:

2 11,

2f x y x yx y

Obtenemos finalmente:

2 11

2x yx y c

Actividad 3. Clasificación de ecuaciones diferenciales

¿Cómo se pueden clasificar las ecuaciones lineales para poder separar una ecuación



diferencial exacta de una no exacta?

Mediante este ejercicio podrás responder la pregunta que se te ha planteado, rara ello:

Compartir con los compañeros la forma en que se categorizan las ecuaciones diferenciales.

Comentar la diferencia encontrada entre una ecuación diferencial exacta y una no exacta.

Comparar los conocimientos de los compañeros con los propios para reforzar el aprendizaje obtenido. 1. Entra en la sección del Foro llamado “Clasificación de ecuaciones diferenciales.”

2. Lee la pregunta que ahí se plantea.

3. Redacta tus conclusiones y súbelas al Foro.

4. Comenta la respuesta de tres de tus compañeros.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

1.3. Ecuación de Bernoulli

Existen algunas ecuaciones diferenciales que no son lineales pero que empleando

artificios matemáticos podemos transformarlas en ecuaciones lineales. Un caso muy

importante y que aquí desarrollamos, lo tenemos mediante las Ecuaciones de

Bernoulli, pero también, podemos resolver una ecuación diferencial no lineal a través

de las ecuaciones de Riccati.

Riccati



Bernoulli

1.3.1. Definición

Se dice que una ecuación es de Bernoulli si se puede expresar de la forma:

ndyp x y g x y

dx

Donde 0,1n

Para encontrar la solución de este tipo de ecuaciones se siguen los pasos siguientes:

Paso 1: Dividimos la Ecuación entre ny

Paso 2: Efectuamos un cambio de variable 1 nv y y hallamos dv

dx

Paso 3: Resolvemos la Ecuación Lineal resultante para obtener el valor de v

Paso 4. Obtenemos el valor de y x despejando del cambio de variable 1 nv y

1.3.2. Ejemplos y su representación gráfica

A continuación se resolverá una Ecuación de Bernoulli paso por paso.

Ejemplo 10:


2 32dy

x xy ydx

Primero veremos si se puede expresar como una Ecuación de Bernoulli, para esto



dividiremos toda la ecuación entre 2x :

23

2 2 2

2 1x dy xyy

x dx x x

Simplificando nos queda una Ecuación de Bernoulli:

ndyp x y g x y

dx

3

2

2 1dy yy

dx x x donde 12p x x y

2g x x

Paso 1: Dividimos entre 3y :

3

3 3 2 3

1 2 1dy y y

y dx xy x y

Simplificando tenemos que:

2

3 2

1 2 1dy y

y dx x x

Paso 2: Efectuamos el cambio de variable, en este caso 1 3 2v y y

Si derivamos con respecto a x :

32dv dy

ydx dx

Despejando dy

dxobtenemos que:

3

2

dy y dv

dx dx

Sustituyendo dy

dxy 2v y en la ecuación

2

3 2

1 2 1dy y

y dx x x

tenemos que:

3

3 2

1 2 1

2

y dv v

y dx x x

Simplificando obtenemos:

2

1 2 1

2

dv v

dx x x

Multiplicando por 2 :

242

dv vx

dx x

Paso 3: Obtenemos el valor de v utilizando el proceso para resolver una ecuación



lineal mediante la fórmula para ecuaciones lineales dv

p x y g xdx

vista

anteriormente:

1 p x dx

p x dxv x e g x dx C

e

En este caso 242p x y g x x

x

44

4ln ln 4dx

x xxe e e x

Sustituyendo nos queda:

4 2

4

12v x x x dx C

x

6

4

12v x x dx C

x

42

5v x Cx

x

Por último, usamos nuevamente el cambio de variable 2v y :

2 42

5y Cx

x

Actividad 4. Representación de un modelo matemático

Al finalizar esta actividad podrás:

Analizar un problema de aplicación de ecuaciones diferenciales.

Resolver las ecuaciones necesarias para obtener un resultado.

Graficar el resultado obtenido.

1. Lee el planteamiento que te hará llegar tu Facilitador(a).

2. Resuelve la ecuación que se te presenta para obtener el valor de la población en función del tiempo.

3. Grafica la solución correspondiente con un software (puede ser en línea como el Wolfram Alpha).

*Para ejecutar este software en línea visita: http://www.wolframalpha.com/. En Material de apoyo de la unidad puedes consultar el archivo Tutorial Wolfram que pretende ser una guía básica para su uso.

4. Anexa las capturas de pantalla al documento, en caso de requerir gráficos o alguna otra especificación de tu Facilitador(a).

http://www.wolframalpha.com/



5. Envía tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A4_XXYZ. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

Autoevaluación

¡Muy bien! Haz llegado al final de la unidad.

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean. La calificación obtenida quedará registrada en el portafolio de evidencias.

Para ingresar a la autoevaluación: Verifica el enlistado de las actividades y da clic en Autoevaluación.

Evidencia de aprendizaje. Sistemas algebraicos de computación (SAC)

Al finalizar serás capaz de:

Identificar algunos tipos de software como herramientas en la solución de ecuaciones diferenciales.

Manejar el software elegido para la solución de ecuaciones diferenciales.

Solucionar ecuaciones diferenciales por medio de aplicaciones informáticas. Para realizar la actividad:

1. Utiliza el programa recomendado u otro que conozcas. 2. Consulta las instrucciones con que te de tu Facilitador(a). 3. Utiliza el programa elegido para encontrar la solución al problema propuesto. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura KEDI_U1_EA_XXYZ. 5. Envía tu reporte al portafolio de evidencias, espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 6. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.



Autorreflexión

Con el propósito de ayudarte a poner en contexto lo que has aprendido en esta unidad, es conveniente que respondas realices las siguientes actividades: 1. Investiga acerca de las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli. 2. Responde las siguientes preguntas:

¿Es posible convertir una ecuación de Riccati a una ecuación de Bernoulli?

¿Cuál es el cambio de variable necesario para realizar dicho cambio?

Para saber más

Consulta en cualquier texto de los sugeridos en la bibliografía básica o específica el

tema “Familia de soluciones.” Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Familia de soluciones

Cierre de la unidad

En esta unidad se inició el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. De

acuerdo al tipo de ecuación, se implementaron los métodos más adecuados para su

solución; además, se sentaron las bases necesarias para el estudio de ecuaciones

diferenciales de orden superior. De esta manera, has adquirido los conocimientos

mínimos necesarios para la solución de problemas en distintas aéreas, por lo que se te

invita a continuar con tus estudios sin olvidar que la práctica constante te dará el

dominio de un tema tan fascinante como lo son las ecuaciones diferenciales.

Fuentes de consulta

Bosch, C., (2006), Cálculo diferencial e integra, México: Publicaciones Cultural.

Larson, R., (2009), Matemáticas II Cálculo integra,. México: Mc Graw Hill.

Picón, P., (2006), Análisis conjunto, México: Porrúa.

Zill, D., (2008), Ecuaciones diferenciales, México: Mc Graw Hill.

http://mat.izt.uam.mx/notas_de_clase/edo.pdf

http://books.google.com.mx/books?id=MipvfE1JLT8C&pg=PA7&lpg=PA7&dq=familia+de+soluciones+ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=fpIPIIFH8O&sig=S6wzIZkSOgrJz1lXNZkd8kbqgEw&hl=es#v=onepage&q=familia%20de%20soluciones%20ecuaciones%20diferenciales&f=false

Pablo

Resaltado

Pablo

Resaltado

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