153

UNIDAD 10. TRIÁNGULOS   

ACTIVIDADES PAG. 172  

  

 

1.   

a)

b)

 

 

 

 

Paso 3

m

Paso 2

m Â

n

 m

Paso 1

m = 6 cm n = 4 cm

 = 70º

m

np

Paso 3

m

p

Paso 2

m

n

Paso 1

m = 6' 5 cm n = 5 cm

p = 3 cm

154

ACTIVIDADES PAG. 173  

  

2.  

a) 

 

 

 

 

 

 

b) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = 6 cm n = 5 cm

p = 4 cm

m

n

Paso 1 m

p

Paso 2m

n p

Paso 3

m = 8 cm n = 5 cm

 = 60°

Paso 1 Â m

Paso 2mÂ

n

Paso 3m

155

m

 Ê

m  Ê

c)  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

3.  

 

a)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 

 

 

 

Ê Â

Paso 2

mÂ

Paso 1

m

Â

Paso 1

ÊÂ

Paso 2

m n p

m

n

Paso 1m

p

Paso 2m

np

Paso 3

156

ACTIVIDADES PAG. 174

 4.  

a) Equilátero      b) Escaleno      c) Isósceles 

 

5.  

a) Acutángulo      b) Obtusángulo     c) Rectángulo 

 

ACTIVIDADES PAG. 175

  

6. 

  

 

 

 

 

 

 

 

a) b) c)

157

 

7.  

  

ACTIVIDADES PAG. 176  

  

8.  

 9.  

 

   

 

 

 

 

 

a) b) c)

10 cm8 cm

7 cmMediatrices

Circunferencia

Circuncentro

A B

C

D

10 cm

8 cm

7 cmBisectrices Circunferencia Incentro

158

ACTIVIDADES PAG. 177  

  

10.  

 

 

 

 

 

 

 

11.  

 

ACTIVIDADES PAG. 178

  

12.  

La hipotenusa mide:  32 + 42 = h2;  h = 5 cm 

5 cm

Alturas

159

 

 

13.  

La  diagonal  es  la  hipotenusa  del  triángulo  rectángulo  que  queda  junto  con  los  lados  del rectángulo. Por tanto, 62  + 82 = h2 ;  h = 10 cm 

 

14.  

Para  ir de una esquina a  la opuesta  tiene que  recorre  la diagonal del  campo de  fútbol. Por tanto, recorrerá:  502 + 1202 = d2; d = 130 m 

 

ACTIVIDADES PAG. 179

  

15.  

La hipotenusa mide 82  + 62 = h2 ;  h = 10 cm  

 

16.  

Utilizando  el  teorema  de  Pitágoras  a2  =  b2  +  c2  se  pueden  resolver  todos  los  apartados, quedando: 

a) c = 3    b) b = 12   c) a = 13    d) c = 6 

 

160

ACTIVIDADES FINALES PAG. 181

  

 

 

 

 

 

 

161

5 cm

6 cm

35° 7 cm 35°

17.  

 

 

 

 

18.  

 

 

 

 

 

 

 

 

19.  

 

 

 

 

 

 

20.  

 

 

 

m = 15 cm n = 10 cm

p = 8 cm

m

n

Paso 1m

p

Paso 2m

np

Paso 3

m n

p

m

n

Paso 1 m

p

Paso 2 m

n p

Paso 3

162

m  Ê

21.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

22.  

No se puede construir porque 12 > 4 + 6 y  la suma de cualesquiera dos  lados  tiene que  ser mayor que el tercero. 

 

23.  

No  se  puede  construir  porque  98°  +  88°  >  180°  y  la  suma  de  los  ángulos  interiores  de  un triángulo debe ser 180°. 

 

24.  

a) Sí    b) No, porque 14 >7 + 6   c) Sí     

d) No, porque 70° + 100° + 40° > 180°    e) Sí 

 

25.  

a) Isósceles    b) Equilátero    c) Escaleno 

 

26.  

a) Isósceles    b) Escaleno    c) Equilátero    d) Isósceles 

 

27.  

  Ê  Π30°  50°  100° 30°  60°  90° 70°  10°  100° 70°  80°  30° 

 

28.  

a) Acutángulo    b) Acutángulo    c) Obtusángulo   d) Rectángulo 

 

Â

Paso 1

ÊÂ

Paso 2

163

29.  

 

 

  

 

30.   

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 cm8 cm

7 cmMediatrices

Circuncentro

Circunferencia

164

  

 

165

31.  

  

 

32.  

 33.  

 

12 cm

10 cm

40º

12 cm

10 cm

40º

Medianas Baricentro

Alturas

Ortocentro

8 cm

6 cm 3 cm

166

34.  

 

  

 

35.  

a) Mediana    b) Altura    c) Bisectriz    c) Mediatriz 

 

36.  

Utilizando el teorema de Pitágoras: cateto2 + cateto2 = hipotenusa2 , calculamos los datos que faltan. 

 

Cateto Cateto Hipotenusa

3 4 5

5 12 13

7 24 25

12 35 37

15 112 113  

37.  

 

  

 

5 cm

4 cm

a) Medianas

Alturas

b) Medianas

Alturas

167

38.  

a) 92 + 122 = h2 ; h = 15 cm     

b) x2 + 132 = 252 ; x = 21’35 m     

c) 122 + 352 = h2 ; h = 37 m     

d) x2 + 92 = 202 ; x =17’86 cm 

 

39.  

Tenemos un triángulo rectángulo con los siguientes datos: 

Hipotenusa = hilo 20m 

Cateto = distancia entre los dos niños 15m 

Altura de la cometa =  el otro cateto 

202 = 152 + altura2,altura = 13’23 m 

 

40.  

Primero  tenemos  que  calcular  cuanto mide  la  diagonal  de  la  base  que  será  el  cateto  del triángulo rectángulo que debemos resolver. 

D2 = 102 + 102; D = 14’14 cm 

La distancia entre  los dos vértices más alejados es  la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos: la arista y la diagonal de la base que acabo de calcular. 

Distancia2 = D2 + a2 ;  Distancia2 = 14’142 + 102 

Se encuentran a 17’32 cm de distancia 

 

41.  

Tendremos  que  calcular  la  diagonal  de  la  base  (ver  ejercicio  40)  y  la  semidiagonal  será  un cateto del triángulo rectángulo que tengo que resolver. Siendo la arista lateral la hipotenusa y el otro cateto la altura que debo calcular. 

D2 = 1002 + 1002; D = 141’42 m 

Arista2 = D2 + altura2 ; 1502 =   + altura2 ; altura = 132’29 m 

 

42.  

a) a2 + 32 = 62 ; a = 5’2 cm    b) a2 + 32 = 82 ; a = 7’42 cm 

 

43.  

c2 + 142 = 502 ; El otro cateto mide 48 cm 

 

44.  

Los dos lados iguales miden:  62 + 82 = l2 ;  l = 10 cm 

 

 

168

  

45.  

Los otros ángulos miden: 

 90° por rectángulo y 30° para sumar 180° 

 

46.  

La longitud entre sus esquinas es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los lados del cuadrado que son iguales. 

l2 + l2 = 502 ;  l =35’35 

La longitud de cada lado es 35’35 m, por tanto necesitará:   35’35 ∙ 4 = 141’4 m de valla 

 

 

47.  

 

 

 

 

 

 

 

La altura del tejado es:  122 + a2 = 132 ;  l = 5 m 

 

48.  

Cada proyección es un cateto de los triángulos rectángulos formados por los lados y la altura: 

P12 + 42 = 62 ; P1 = 4’47 cm  ;   P2

2 + 42 = 82 ; P1 = 6’93 cm   

La longitud total será la suma  de las dos proyecciones, 4’47 cm + 6’93 cm = 11’4 cm 

 

 

24

13

169

49.  

Esto ocurre en todos los triángulos rectángulos. 

 

  

 

 

50.  

Donde se corten las mediatrices, es decir, en el circuncentro 

 

51.  

Donde se corten las bisectrices, es decir, en el incentro 

 

52.  

La máxima distancia será la diagonal, que mide:  1002 + 502 = D2 ; D = 111’80 m 

   

170

DESAFÍO MATEMÁTICO PAG. 185

  

171

 

1. 

El punto M(2,1) 

 

2. 

El segmento   mide 1 unidad.  

 es la mediatriz de  , pues es perpendicular en el punto medio. 

 

3. 

Hemos conseguido un triángulo rectángulo de catetos   y   y de hipotenusa  . 

 

4. 

 =  12 + 12 ;   =  1’41 unidades 

 

5. 

P = 1 + 1 + 1’41 = 3’41 unidades 

A =  u2  

 

6. 

El triángulo   es un triángulo rectángulo isósceles.