Unidad 1.Conceptos Generales CVV

PROGRAMA DESARROLLADO Clculo de Varias Variables

Educacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas

1

Clculo de varias variables

UNIDAD 1 Conceptos generales

4 cuatrimestre

Clave:

50920414

Octubre de 2011



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I. Desarrollo de contenidos de la unidad

UNIDAD 1. Conceptos Generales

Presentacin de la unidad

En esta unidad adquirirs los fundamentos para identificar y comprender las sucesiones como una

herramienta para calcular grandes valores. Podrs analizar en qu consiste una Variable real como parte

de una funcin y posteriormente, considerar funciones de ms de una variable. A travs de los ejercicios

abordaremos las funciones elementales que permiten desarrollar una funcin de Variable real para

representarla dentro de un plano y poder aproximar resultados de sucesiones mediante el uso de series

numricas.

Por ltimo, logrars habilidades para obtener la derivada de una funcin de variable real mediante la

utilizacin de frmulas de derivacin y aprenders a utilizar la frmula de Taylor para determinar series de

potencias tomando como herramienta las sucesiones numricas.

Propsito de la unidad

Mediante el estudio de esta Unidad podrs:

Manejar series numricas

Identificar la relacin entre las funciones de Variable real y las series de Potencias

Representar funciones mediante Series y Polinomios de Taylor

Competencia especfica

Utilizar la recta y el plano complejo para crear sucesiones mediante la derivada de funciones de variable

real.



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1.1. La recta real y el plano complejo

En este tema estudiars el concepto de sucesin y su relacin con las funciones matemticas, as como la

forma de representar una funcin en trminos de sucesiones y su comportamiento convergente o

divergente.

Tambin se analizar el concepto de derivada de orden superior, donde se muestra cmo una funcin

derivada puede tomarse para calcular su derivada.

1.1.1. Sucesiones. Continuidad de funciones de variable real

Una sucesin es una serie de nmeros de la forma siguiente: a1,a2, a3, ,an , donde cada letra

representa un nmero.

Consideramos a cada elemento de la lista como un nmero de la sucesin. Por ejemplo:

3,6,9,12,,3n

Los trminos pueden ser obtenidos por el trmino general del final de la expresin anterior, donde n a su

vez es una sucesin de uno en uno 1,2,3,n. Entonces, los trminos a1, a2, a3, ,an se obtienen de 1(3),

23, 33,,n3

Tambin se puede ver una sucesin como una funcin, por ejemplo, en la expresin anterior, existe una

relacin de los valores 1 y 3, 2 y 6, y en general n(3) para cada valor de n. En otras palabras:

an=3(n)

De acuerdo a los conceptos vistos arriba, podemos afirmar que:

Una sucesin infinita de nmeros es una relacin uno a uno donde

los elementos relacionados son, para el dominio, el conjunto de

los enteros positivos y para el contra dominio es el nmero de la

resultante de la expresin matemtica de la funcin.



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Las sucesiones pueden ser escritas por reglas, de la siguiente forma:

Analizando la ltima expresin, cuando n tiene un valor de 1, la

=1, en general para valores de n:

1,2,3,4,,n los valores de la funcin sobre n son 1,3,6,10,,

respectivamente.

En algunas sucesiones, los nmeros que la componen, se aproximan a un valor especfico cuando el n

se incrementa, por ejemplo

. Aqu el valor al que se aproxima la funcin cuando n se

incrementa, es 0.

Se dice entonces que la sucesin converge a 0. Se utilizan llaves para referirnos a los trminos de la

sucesin.

{ , , , ,,

}



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En otras ocasiones, el valor al que se aproxima una sucesin se hace ms grande conforme el valor de

n crece, o bien, flucta entre dos nmeros, como por ejemplo:

En este caso, los valores son 1 y -1 siempre aunque el valor de n se incremente. A este

comportamiento se le llama divergencia, es decir, los valores n se aproximan a un valor nico.

Si a todo nmero positivo le corresponde un entero N, entonces una sucesin {an} converge a un

nmero L que, para toda n:

n > N | an L| <

La sucesin {an} diverge si no existe tal nmero L.

Si {an} converge a L, entonces podemos afirmar que:

=L

o simplemente

{an}L,

Donde L es el lmite de la sucesin.

1.1.2. Derivadas de funciones de variable real

Si las funciones son derivables, es posible obtener la primera, segunda, tercer, etc. derivadas. Esto se

conoce como derivadas de orden superior.

Si una funcin en tiene derivada, entonces podemos afirmar que:

| para x en el dominio M de f.

{1, -1, 1, -1, 1,,(-1)n+1}

{ , , , ,,

}



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Si existe el

para algunos valores de x M, entonces se puede puntualizar que

existe la segunda derivada de la funcin , es decir, o . Estas expresiones, en otras

palabras representan la segunda derivada de la funcin .

Ejemplo:

Obtengamos la segunda derivada de la funcin que aparece a continuacin:

Primera derivada:

Segunda derivada:

Ahora obtengamos las derivadas de orden superior de la funcin

En general:

para



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1.2 Series

El uso de las series en muchos problemas matemticos, permite hacer un

tratamiento sencillo y simplificado de los problemas complejos.

Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita de nmeros:

Una serie finita solamente tiene n trminos:

Al hacer crecer el valor de n la suma tender a ser una suma infinita de

trminos llegando a ser una serie infinita la cual nos da un valor ms exacto que una serie con menor

cantidad de trminos.

Normalmente tenemos una expresin matemtica que representa al n-simo elemento de una serie. Por

ejemplo para saber cul es el n-simo trmino de la serie:

La expresin

nos da ese trmino.

La suma de los primeros k elementos se representa como:

Entonces tenemos las siguientes sumas parciales:

1.2.1 Series Numricas

Tal y como vimos anteriormente, una serie numrica es aquella que slo tiene valores numricos como

elementos de la sumatoria (suma de todos los elementos). Ahora,

podemos preguntarnos cmo saber cul es el valor de la suma total o

sumatoria de una serie?



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Algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir aumentando la cantidad de trminos de la suma. A

esto se le llama convergencia de la serie o que la serie converge.

Cuando el nmero de trminos de la serie aumenta pero no se llega a ningn valor definido o la sumatoria

se va haciendo ms y ms grande, entonces decimos que la serie no converge.

Cuando una serie es convergente, es posible obtener mediante una frmula el valor de la sumatoria. As

por ejemplo, supongamos que tenemos la serie:

Entonces, la suma parcial de los primeros k trminos de la serie est dada por la expresin:

Si observas de manera adecuada te dars cuenta que conforme aumenta el nmero de trminos de la

serie, el valor de la sumatoria tiende a 2, pues el segundo trmino tiende a 0. Entonces escribimos la serie

anterior y su valor exacto, al considerar todos los trminos posibles (cuando k tiende a infinito) como:

Una serie en la cual los trminos van alternando de signo (positivo y negativo), se llama serie alternante.

Veamos los siguientes ejemplos de series alternantes:

Actividad 1. Qu relacin hay entre la sucesin y las series numricas?

A travs de esta actividad podrs:

Identificar las sucesiones, las series y su relacin



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Expresar en una serie lo observado en un ejemplo concreto

Discutir con argumentos los resultados obtenidos por su dems compaeros. Para ello:

1. Observa la animacin de la pelota de basquetbol que se encuentra en la pestaa de la unidad 1

2. Identifica la sucesin con una serie, la cual, proporciona la distancia de todos los rebotes.

3. Redacta tus conclusiones en el Foro y expresa la distancia total de los rebotes como una serie.

4. Comenta la respuesta de tres de compaeros argumentando la postura de tu respuesta.

Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin Material de

apoyo.

1.2.2 Series de potencias

Cuando los trminos de una serie numrica tienen exponentes que se van modificando, decimos que es

una serie de potencias.

Es un ejemplo de una serie de potencias.

Observa la siguiente serie, que es un polinomio en la variable x.

Actividad 2. Representacin de Funciones de Variable real mediante el uso de

series

Al finalizar el ejercicio podrs:

Identificar las series como una forma de representar las funciones

Analizar el comportamiento de las series propuestas

Expresar una funcin en trminos de una serie

1. Resuelve el ejercicio que a continuacin se te presenta.

2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio.

a.



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b.

c.

3. Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.

4. Enva el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.

1.2.3. Frmula de Taylor

En este tema se representar una funcin, que sea derivable n-veces, mediante una serie de potencias, en

donde suponemos que la funcin y todas sus derivadas existen en un intervalo determinado.

El poder representar a una funcin en trminos de una aproximacin de tipo polinomial (serie de potencias)

llega a ser una herramienta muy til para resolver problemas de funciones.

Sabemos que las series numricas pueden converger hacia un valor si cumplen con determinadas

condiciones. Una de ellas es que los valores de los trminos se encuentren dentro de un rango o intervalo.

Si existen las derivadas de todos los rdenes de una funcin de variable real dentro de un intervalo, se

podr expresar a dicha funcin como una serie de potencias dentro de ese intervalo? y entonces cules

seran los coeficientes de los trminos de la serie?

Supongamos que podemos representar a f(x) como una serie de potencias de la siguiente forma:

Y supongamos tambin que la serie converge dentro de un intervalo y obtenemos las diferentes derivadas

de todos los rdenes:

La n-sima derivada tiene la siguiente expresin:

una suma de trminos con como factor

Ya que todas estas expresiones se cumplen para cuando , entonces tenemos que:



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Y en general tenemos:

Si observa el desarrollo anterior podemos distinguir un patrn en los coeficientes de la serie original de

. Si existe la convergencia de esta serie dentro del intervalo en donde est a, entonces cada uno de los

coeficientes de la serie estn dados por la siguiente expresin:

Y entonces la funcin quedara expresada, por medio de su serie:

Podemos ver entonces que si una funcin es derivable n veces dentro de un intervalo centrado en

y que su serie de potencias es convergente para ese valor de a, entonces la funcin se puede

representar por medio de la serie mostrada en la ecuacin anterior.

En el caso muy particular en el que , tenemos que la Serie de Taylor toma la forma:

A esta forma particular de la serie de Taylor se le llama Serie de Maclaurin.

1.2.4. Series de potencias de las funciones elementales

Este subtema vers cmo aplicar las series de Taylor para representar en forma de un polinomio de Taylor

(serie de potencias) algunas funciones que aparecen frecuentemente en los problemas matemticos. Esto

Esta serie es llamada Serie de Taylor de la funcin en .



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nos permite tener un manejo ms eficaz de dichas funciones para su uso y anlisis dentro de los problemas

en donde aparecen dichas funciones.

Consideremos en primer lugar la funcin exponencial y vamos a ver cul es su representacin

polinomial o en una serie de potencias en el punto .

Esta funcin tiene sus k derivadas, dadas por:

,

Tenemos que en

,

Por lo tanto, la Serie de Taylor generada en est dada por:

En particular esta representacin es la Serie de Maclaurin para

Ahora, para un nmero finito de trminos N de la Serie de Taylor, tenemos que el Polinomio de Taylor para

la funcin en es:

En la grfica siguiente notars que se muestran varios Polinomios de Taylor para la funcin y la propia

funcin. Nota como al ir aumentando el valor de N, las curvas se van pareciendo ms a la funcin original.



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Grfica de la funcin y sus Polinomios de Taylor

(

)

(

) (

)

Actividad 3. Derivadas de una funcin y su representacin por medio de la Serie de

Taylor

Al finalizar este ejercicio podrs:

Identificar las variables de una funcin

Analizar y aplicar las frmulas de las derivadas

Expresar la funcin en Series y Polinomios de Taylor. Para ello:

1. Resuelve los dos problemas que a continuacin se plantean

a. Considera la funcin cos(x) y desarrolla su representacin en Series y Polinomio de Taylor

alrededor del punto x=0.

b. Obtn la representacin en trminos de los Polinomios de Taylor, para la funcin log(x)

alrededor del punto x=1 usando la metodologa vista en esta leccin.

2. Enva el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.



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1.3. Integracin rea e integral

Durante este tema vers la relacin que existe entre una funcin y la derivada de otra, es decir del clculo

de primitivas. Cuando existe esta relacin, las funciones que con primitivas de otra tienen algo en comn, la

diferencia es una constante. Tambin se ver cmo realizar el clculo de longitudes de curvas, volmenes

y superficies a travs de ejercicios de integracin.

1.3.1. Clculo de primitivas

Una funcin F(x) es una primitiva de otra funcin , en el intervalo (a,b), si para todo valor de x en el

intervalo mencionado (a, b), se cumple que .

Como ejemplo considera la funcin es una primitiva de en todo ya que .

Teorema:

Sean F1(x) y F2(x) funciones primitivas de la funcin f(x) en el intervalo (a, b). Se cumple que para todo x

en el intervalo (a, b), En otras palabras, dada una funcin , de acuerdo a

las condiciones anteriores, sus primitivas difieren en una constante.

El conjunto de todas las primitivas de una funcin definida en (a,b) se denomina

Integral Indefinida de

y se denota por

de forma tal que si es una primitiva de ,

Entonces

Donde C es una constante.

Por ejemplo, si tomamos la funcin y la representamos con , la derivada de , es

Como vimos anteriormente, si dos funciones son primitivas de otra funcin, entonces deber suceder que

la diferencia entre ambas es una constante, es decir, si F y G son primitivas de f, entonces:

As comprobamos que y son primitivas de .

La derivada de la funcin f es .



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Como la derivada de la primera funcin es y la derivada de la segunda es

podemos ver que la diferencia entre estas dos derivadas es la constante 5.

Por lo tanto, podemos concluir que las funciones F y G son primitivas de f.

1.3.2. Aplicaciones reas, longitudes de curvas, volumen y superficies

El clculo diferencial e integral con una variable, nos permiti resolver una amplia gama de problemas

matemticos sobre distintas reas del conocimiento humano.

Ahora, cuando consideramos ms de una variable podremos tratar y analizar un espectro muchsimo ms

amplio de problemas de todo tipo, en particular, podremos considerar problemas tridimensionales, tales

como: trayectorias, superficies y volmenes en tres dimensiones.

En las siguientes figuras se muestran ejemplos:

Trayectorias Superficies Volmenes

Autoevaluacin

Felicidades, Haz llegado al final de la Unidad.

Para terminar resuelve la actividad de autoevaluacin que corresponde a un conjunto de reactivos en

forma de relacin de columnas.

Instrucciones: anota en parntesis de la pregunta, la opcin que corresponda a la respuesta de la

pregunta planteada.

1.- ( ) Cual es la condicin para que una F(x) sea una primitiva de f(x)



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a.

b.

c.

d.

2.- ( ) Se le denomina al conjunto de todas las primitivas de una funcin f(x) en un intervalo (a,b)

a. Derivada de una funcin

b. Funcin primitiva

c. Primitiva

d. Integral indefinida de la funcin

3.- ( ) Es el resultado de obtener la primitiva de la funcin f(x)=6x

a.

b.

c. +4

d.

4.- ( ) Representa la funcin para la siguiente serie 1+2+..+n

a. 2n

b.

c. 2n+1

d.

5.- ( ) Es una caracterstica de dos funciones que son primitivas de f(x) en un intervalo (a,b).

a. Su suma es igual a

b. La diferencia entre las los funciones es una constante

c. La diferencia entre las dos funciones es cero

d. La suma de las dos funciones es una constante

Retroalimentacin

1-3 Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de

la unidad

4-5 Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Representaciones de funciones por medio de Series de



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Taylor

Al finalizar sers capaz de:

Comprender que una funcin que tiene todas sus derivadas dentro de un intervalo, se puede

representar como una serie de potencias llamada Polinomios de Taylor.

Analizar el comportamiento de las funciones expresado por medio de series.

Resolver problemas complejos donde las funciones matemticas se pueden representar por medio

de Polinomios, reducindolos a una forma ms simple de manejar. Para ello:

1. Calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la funcin en el punto x=0

2. Grafica cada uno de los Polinomios anteriores en el mismo sistema de coordenadas.

3. Observa la forma que van teniendo los Polinomios

4. Qu conclusin puedes obtener cuando el grado de los Polinomios va aumentando?

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura LYN_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las

dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de

tu apellido materno.

6. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende

sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.

7. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio y enviarlo a travs de la

herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio correspondiente y

enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la

calificacin final.



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Para saber ms

Ver el video Sucesiones y progresiones en la direccin: http://www.youtube.com/watch?v=cMDIXK9W7zo

Fuentes de consulta

Bosch, C. (2006). Clculo diferencial e integral. Mxico: Publicaciones cultural S.A.

Picn, P. E. (2006). Anlisis conjunto. Mxico: Porra.

Thomas (2006). Clculo de varias variables. Mxico: Pearson.

Documents

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