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Unidad 3 – ProporcionalidadPÁGINA 42
SOLUCIONES
Magnitudes directamente proporcionales.
Magnitud A 5 10 15 20
Magnitud B 8 16 24 32
Cada valor se encuentra manteniendo la relación de proporcionalidad (directa) inicial:
Magnitudes inversamente proporcionales.
Magnitud A 20 10 5 4
Magnitud B 8 16 32 40
Cada valor se encuentra manteniendo la relación de proporcionalidad (indirecta) inicial:
Porcentajes.
a) b) c)
63
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SOLUCIONES
1. a) Directa b) Inversa c) Inversa d) Directa e) Directa f) Inversa g) Directa
64
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SOLUCIONES
2.
3.
4.
Primer amigo:
Segundo amigo:
Tercer amigo:
65
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SOLUCIONES
5.
6.
7.
66
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SOLUCIONES
8.
b) c)
9.
a) b)
c) d)
10.
a) b)
c) d)
11.
12.
13.
67
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SOLUCIONES
14.
15.
16.
17.
18.
68
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SOLUCIONES
19. La fórmula utilizada es , siendo ‘’i’’ el interés, ‘’r’’ el rédito (4’5%), ‘’t’’ el tiempo en años y ‘’c’’ el capital (3500 €)
a)
b)
c)
d)
69
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SOLUCIONES
Magnitudes proporcionales.
20.a) Directa
b) Indirecta
c) No son proporcionales
d) No son proporcionales *
e) No son proporcionales
f) Directa
g) Indirecta
h) Indirecta
i) Directa
* Siendo rigurosos el concepto de proporcionalidad no lo sigue, aunque en primera aproximación podría ser suficiente
21.
Magnitud A 3 6 9 12 15 18 21
Magnitud B 5 10 15 20 25 30 35
Siguiendo la ley de proporcionalidad directa:
22.
Magnitud A 8 4 2 8 24 48
Magnitud B 48 96 192 48 16 8
Siguiendo la ley de proporcionalidad indirecta:
23.- Área de un rectángulo variando un lado y manteniendo el otro constante
- Precio total y cantidad de unidades
24.- Velocidad de movimiento y tiempo en recorrer para mismo espacio
- Tipo de interés en un préstamo y tiempo para devolverlo
71
Regla de tres directa e inversa.
25.
Magnitud A 3 4 5 6 7 8 9
Magnitud B 12 16 20 24 24 32 36
Siguiendo la ley de proporcionalidad directa:
26.
Magnitud A 12 10 18 15 18
Magnitud B 60 72 40 48 40
Siguiendo la ley de proporcionalidad indirecta:
Regla de tres compuesta.
27.
28.
29.
Porcentajes.
30.
a) b) c)
d) e) f)
31.
a) b) c)
d) e) f)
72
32.
a) b)
c) d)
33.a) b) c) d)
34.a) b)
c) d)
e) f)
73
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SOLUCIONES
35.
a) b) n
c) d)
36.
a)
b)
c)
d)
e)
f) 35 24
3500 294100 100
� � �
37.Es igual, debido a la propiedad conmutativa del producto:
Siendo “a” el primer porcentaje, “b” el segundo y “c” el número sobre el que hay que actuar.
38.
a) b)
39.a) 0’035 b) 0’235 c) 1’230 d) 0’003 e) 0’2354 f) 0’0235
40.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
75
41.
a) b) c)
d) e) f)
42.
a) b)
c) d)
Porcentaje de descuento y aumento.
43.
Lo rebajan €
44.
Habrá que pagar un 88% del artículo, esto es €
45.
El porcentaje corresponde a , luego 16%
46.Llamando “x” al precio buscado, sabemos que 36’96 es el 88% (0’88 en tantos por 1) de esa
cantidad: €
47.El resultado del aumento salarial, en tantos por cien será de un 112% luego en tantos por uno
corresponde a un 1’12. Así pues el nuevo salario corresponde a: 48.
es decir, aumentó un 7%
76
77
49.
En este caso la incógnita es el salario inicial:
50.
La evolución del precio es la siguiente:
51.
Evolución del precio:
Interés simple. 52.Siguiendo la fórmula el interés generado será de
53.
54.
55.
56.
57.
78
58.
59.
60.
61.
79
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SOLUCIONES
62.
El coste de un gramo de chorizo es de: por lo que el precio de 350g de chorizo es de:
63.Tendrá que fabricar igualmente 24000 ladrillos pero el tiempo se reduce a 30 días, así pues los
ladrillos por día producidos son:
64.El total de litros de agua es luego embasados en botellas de 3l habrá un total
de de 3 litros
65.La relación entre maletas y empleados es de proporcionalidad directa. La constante de
proporcionalidad es: luego con 3 empleados el número de maletas
clasificadas es de
66.Relación directa de proporcionalidad entre el azúcar y el caramelo obtenido, cuya constante de
proporcionalidad es por lo que
67.
68.
Aplicando la proporcionalidad indirecta:
81
69.Aplicando la proporcionalidad indirecta:
70.Hay una relación de proporcionalidad directa entre litros consumidos y distancia recorrida
luego:
71.La velocidad y el tiempo están en relación indirecta: luego el tiempo que tardará será
de
72.Existe una relación de proporcionalidad indirecta entre el número de pintores y el tiempo que
tardan: 73.Según la relación indirecta de proporcionalidad:
74.Existe relación directa de proporcionalidad entre el tiempo que tarda el grifo en llenar el
depósito y su capacidad:
75.Basta con escribir las magnitudes conservando la relación (directa o indirecta) que tienen con respecto a una de ellas, en este caso se ha tomado la distancia total:
Km y Obreros: directa
Km y tiempo: directa
82
76.Se ha escogido “vacas” como magnitud referencia para tomar las demás relaciones:
Vacas y pienso: directa
Vacas y días: indirecta
77.Se toma “grifos” como magnitud referencia:
Grifos y litros: directa
Grifos y tiempo: indirecta
78.Masa total:
Relación entre los datos iniciales y la nueva masa:
Utilizando dicha relación con las antiguas cantidades:
Harina:
Agua:
Levadura:
79.
Chicos: Chicas :
80.
81.
Llamando “x” al total de las ventas:
83
82.
luego mejor el de 0’087 por uno
83.
84.
paga el seguro
85.
Llamando “x” al total de lanzamientos: lanzamientos
86.
Llamando “x” al total del precio:
87.El gravamen que se ha de pagar es de un 1’5% luego el dinero devuelto será de un 100%+1’5%
= 101’5%. Así pues:
84
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SOLUCIONES
88.
Si la rebaja es del 20%, el coste será del 80%, luego: es el nuevo precio
89.
90.
Siendo “x” el número total de sacos: sacos
91.
92.
Peso de azúcar: Peso de agua:
93.Siendo “x” el total inicial y teniendo en cuenta que si le descuentan el 14% le queda un 86%:
94.
Llamando “x” al importe total:
95.
Siendo “x” el número total de ovejas: ovejas en total
96.Siendo “x” la longitud inicial y considerando que si pierde el 6% le queda un 94%:
86
97.
es lo que ha encogido
98.Llamando “x” al porcentaje que se ha incrementado:
99.
100. Siguiendo la fórmula de interés simple tomando unidades de tiempo en años:
101.
60 mensualidades hacen años.
Los intereses sobre el préstamo a pagar son :
Por tanto, según la fórmula del interés simple:
Es decir, el rédito será de 3’61%
102.
Según la fórmula de interés simple:
103.
Siguiendo la fórmula de interés simple:
87
104.
No, pues llamando “x” al sueldo inicial: . Es decir, tras la
primera deducción ( ) si se aplica un incremento del 2’5%, obteniendo un 102’5%, pierde un del sueldo inicial
1.
2.Existe relación directa de proporcionalidad entre el peso de la liebre y el coste total de la misma,
luego, teniendo en cuenta que entonces aplicando la ley de proporcionalidad:
3.Proporcionalidad indirecta:
4.Se toma “albañiles” como magnitud referencia:
Albañiles y horas: indirecta
Albañiles y ventanas: directa
5.
Llamando “x” al precio del artículo sin rebajar:
6.
a) b)
88
c) d)
7.
El porcentaje de descuento es:
8.
El nuevo precio será un 100% + 7%, es decir un 107%:
9.
Llamando “x” al porcentaje de aumento: , es decir aumentó
un 8%
10.
Según la fórmula de interés:
89
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SOLUCIONES
El hexágono es un polígono regular que se puede dividir en 6 triángulos equiláteros. El área de cada uno de estos triángulos en el hexágono inscrito es:
Observando la figura se deduce trivialmente que el lado de cualquiera de los triángulos del hexágono inscrito coincide con la apotema del hexágono circunscrito o con la altura de cualquiera de los triángulos del mismo.
Según la fórmula del área del triángulo, aplicada a los triángulos del hexágono inscrito:
En la que la altura “h” se puede poner en función de la base utilizando el teorema de Pitágoras y sabiendo que los triángulos son equiláteros (fácilmente demostrable observando los ángulos):
Por tanto la fórmula del área queda:
Despejando el lado y utilizando el valor obtenido del área de cada triángulo inscrito obtenemos el valor del lado de los triángulos:
90
Aplicando el teorema de Pitágoras esta vez a los triángulos del hexágono circunscrito, obtenemos la siguiente relación que nos permite encontrar la longitud del lado:
Utilizando la relación anterior en la fórmula del área aplicada a los triángulos del hexágono circunscrito:
Así pues el área del hexágono circunscrito será seis veces el área de uno de sus triángulos.
91
