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contenidos de introduccion al algebra superior UNADM
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Introducción al álgebra superior
Unidad 3. Combinatoria y polinomios
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en matemáticas
Primer semestre
Introducción al álgebra superior
Unidad 3
Combinatoria y polinomios
Clave:
05141106/06141106
Introducción al álgebra superior
Unidad 3. Combinatoria y polinomios
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
2
Índice
Unidad 3. Combinatoria y polinomios ................................................................................................. 3
Presentación de la unidad ................................................................................................................... 3
Propósitos de la unidad ....................................................................................................................... 3
Competencia específica ...................................................................................................................... 3
Combinatoria ................................................................................................................................... 4
Ordenaciones, permutaciones y combinaciones ........................................................................ 4
Actividad 1. Ordenaciones y permutaciones ...................................................................................... 6
Teorema del binomio de Newton ............................................................................................... 6
Triángulo de Pascal ...................................................................................................................... 7
Actividad 2. Combinaciones ............................................................................................................... 8
Aprende observando .................................................................................................................... 8
Polinomios ....................................................................................................................................... 8
Conceptos básicos ....................................................................................................................... 9
Suma y producto de polinomios ............................................................................................... 10
Raíces de polinomios ................................................................................................................. 11
Teorema del residuo ................................................................................................................. 12
Teorema de la raíz y del factor .................................................................................................. 14
Teorema Fundamental del Álgebra ........................................................................................... 15
Factorización de un polinomio .................................................................................................. 15
Actividad 3. Polinomios ..................................................................................................................... 16
Actividad 4. Polinomios ..................................................................................................................... 16
Evidencia de aprendizaje. Polinomios y Combinatoria ..................................................................... 16
Cierre de la unidad ............................................................................................................................ 16
Para saber más .................................................................................................................................. 17
Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 17
Introducción al álgebra superior
Unidad 3. Combinatoria y polinomios
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
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Unidad 3. Combinatoria y polinomios
Presentación de la unidad
En esta unidad aprenderás a resolver problemas básicos de conteo, a partir de los
principios del producto y la suma, mediante estrategias que se adapten a ciertas
situaciones de conteo agrupándolas en tres tipos básicos: ordenaciones, permutaciones y
combinaciones. A partir de estos tipos, se probará el Teorema del Binomio de Newton,
observándolo desde un punto de vista combinatorio.
Conocerás el conjunto de polinomios con coeficientes en un conjunto de números dado,
junto con sus operaciones básicas: suma y producto y las propiedades de las operaciones
análogas a las de los números enteros y usarlas para resolver problemas.
Propósitos de la unidad
Mediante el estudio de esta unidad podrás:
Diferenciar las ordenaciones de las permutaciones y de las combinaciones.
Resolver problemas de conteo.
Utilizar el álgebra de los polinomios.
Competencia específica
Utilizar la combinatoria y las propiedades de los polinomios para resolver problemas de
conteo y funciones polinomiales, aplicando los conceptos de combinaciones,
ordenaciones y permutaciones, además de la estructura algebraica de los polinomios.
Introducción al álgebra superior
Unidad 3. Combinatoria y polinomios
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
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Combinatoria
En este tema estudiarás los conceptos básicos para resolver problemas de conteo, Jakob
Bernoulli (Matemático suizo, 1654-1705) publicó el primer libro de texto donde se trata
parte del material de esta unidad, en donde se explica el teorema del binomio, el cual se
estudió en casos pequeños hasta de grado 17 en el siglo XVI. Jakob Bernoulli demostró la
forma general del teorema del binomio en forma combinatoria, y Blas Pascal (Matemático
francés, 1623-1662) publicó un tratado acerca de las relaciones entre los coeficientes
binomiales, las combinaciones y los polinomios.
La forma en que se abordan estos problemas es mediante los conceptos de conjuntos, los
cuales estudiaste a lo largo de la primera unidad de la asignatura, por lo que se te pide
tenerlos presentes.
Ordenaciones, permutaciones y combinaciones
Principios fundamentales de conteo
Partiendo de la observación trivial de que si tengo un conjunto con 𝑛 objetos, y selecciono
uno entonces lo podemos hacer de 𝑛 formas, formulamos el Principio de la suma: Si una
primera tarea se puede hacer de 𝑚 formas, una segunda tarea puede hacerse de 𝑛
formas y no es posible hacer ambas tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo
una sola de las tareas es posible hacerlo de 𝑚 + 𝑛 formas. Más generalmente, si
tenemos 𝑘 tareas y cada tarea se puede hacer de 𝑛𝑗 , 𝑗 = 1,2,… , 𝑘 formas y no es posible
realizar dos tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo una sola de las tareas es
posible hacerlo de ∑ 𝑛𝑗𝑘𝑗=1 formas. Por ejemplo, si queremos elegir un producto de la
paletería La sonriente y sabemos que hay paletas de 24 sabores, aguas frescas de 6
sabores y helados sencillos de 12 sabores, entonces podemos elegir un producto de
24+6+12=42 diferentes.
El segundo principio llamado Principio del producto se formula de manera parecida: Si
un procedimiento se puede descomponer en 𝑘 tareas donde existen n1 formas de hacer la
tarea 1, después de que se ha realizado la tarea 1, hay n2 formas de hacer la tarea 2, n3
formas de hacer las tareas 1 y 2, y así en general nk-1 formas de hacer la tarea 𝑘, después
de que se han realizado las tareas 1,2,… , 𝑘 − 1 . Por ejemplo: ¿Cuántos números pares
de tres dígitos sin que se repitan se pueden construir usando los dígitos 2, 3, 4 y 5?
Escribir el número de tres dígitos (es decir, cada dígito se puede usar a lo más una vez)
se puede descomponer en tres tareas: escribir el dígito de las centenas: c, escribir el
dígito de las decenas: d, y escribir el dígito de las unidades: u, por la condición del
problema el dígito de las unidades tiene que ser par, así sólo hay dos formas de
escogerlo, d se puede escribir de 3 formas, pues ya se usó un número en las unidades, y
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Unidad 3. Combinatoria y polinomios
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para c sólo quedan 2 dígitos, pues ya se usaron dos, así por el principio del producto hay
2 × 3 × 2 = 12 números distintos que cumplen la condición pedida. Para resolver los
problemas de conteo de la sección de combinatoria será siempre básico el uso de estos
principios.
Si tomamos un conjunto con n elementos, y tomamos sucesivamente m objetos y los
acomodamos uno tras otro, hablaremos de un arreglo o un acomodo, así una pregunta
natural es ¿cuántos arreglos diferentes podemos hallar de m objetos de un conjunto dado
de n elementos? Para el primer elemento hay n formas de escogerlo, para el segundo hay
n-1 formas de escogerlo,…, para el m-ésimo hay (𝑛 − 𝑚 + 1) formas de elegirlo, así por el
principio del producto hay 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)⋯ (𝑛 −𝑚 + 1) acomodos con la condición
pedida, llamaremos a estos arreglos ordenaciones de n elementos tomados de m en m y
denotaremos por 𝑂𝑛𝑚 el número de ordenaciones de n elementos tomados de m en m.
Ejemplo: Tres personas suben a un autobús en el cual hay seis asientos libres, ¿de
cuántas maneras pueden ocuparlos? La solución de este problema corresponde a
ordenaciones de seis elementos (los asientos) tomados de 3 en 3 (las personas que los
ocupan), así la respuesta es 𝑂63 = 6 × 5 × 4 = 120.
Si en 𝑂𝑛𝑚 m=n, entonces 𝑂𝑛
𝑛 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × …× (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 𝑛 × (𝑛 − 1) × …× (3) ×
(2) × (1), llamaremos a uno de estos arreglos permutación y denotaremos 𝑂𝑛𝑛 por 𝑃𝑛 y
definirá el número de permutaciones de n objetos. Si n es un número natural denotamos
por 𝑛! el factorial de n y lo definimos como 0! = 1 𝑦 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)! Así 𝑃𝑛 = 𝑛! Un
problema clásico sobre ajedrez es el siguiente ¿de cuántas formas podemos colocar 8
torres idénticas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen? Ya que debemos colocar una
torre por columna, para la torre que va en la columna a tenemos 8 posibilidades, una vez
colocada la primera colocaremos la segunda en la columna b, ya que la anterior torre
domina un renglón del tablero (del 1 al 8) tenemos solo 7 lugares para colocar la segunda,
si proseguimos de la misma forma tenemos 6 lugares para colocar la tercera torre, así
hasta llegar a un lugar para la octava torre, usando el principio del producto, la solución es
8 × 7 × 6 × …× 1 = 8! es decir, el número de permutaciones de 8 objetos. Para establecer
la correspondencia observemos que cada torre queda en un lugar del tablero, las
coordenadas de cada torre son (𝑎, 𝐹(𝑎)),…,(𝑔, 𝐹(𝑔)) con {𝐹(𝑎), …𝐹(𝑔)} = {1,… ,8} a cada
una de estas formas le asociamos una permutación del conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑔}, la imagen
de cada letra es la posición que ocupa en la permutación, ya que la función 𝐹 es biyectiva,
la asignación es única, por lo que 𝑃𝑛 cuenta el número de funciones biyectivas de un
conjunto de n elementos sobre otro conjunto de n elementos. Ahora observemos que
𝑂𝑛𝑚(𝑛 − 𝑚)! = 𝑛(𝑛 − 1) × …× (𝑛 −𝑚 + 1)(𝑛 −𝑚)! = 𝑛! por lo que podemos escribir 𝑂𝑛
𝑚 =𝑛!
(𝑛−𝑚)! .
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Unidad 3. Combinatoria y polinomios
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Si al elegir un subconjunto de tamaño m de un conjunto dado de tamaño n el orden no
importa, entonces estaremos hablando de una combinación. Por ejemplo, queremos elegir
2 estudiantes de un grupo de 30 para participar en un concurso de matemáticas, si
importara el orden la respuesta sería 𝑂302 , pero cada pareja pudo elegirse de 2 maneras,
así la respuesta es 𝑂302
2, en general ya que no importa el orden sino sólo el conjunto, cada
subconjunto de tamaño m pudo elegirse de m! formas. Denotamos por 𝐶𝑛𝑚 el número de
combinaciones de n en m ó número de subconjuntos de tamaño m de un conjunto de
tamaño n, también lo denotaremos por (𝑛𝑚) por lo que 𝐶𝑛
𝑚 = (𝑛𝑚) =
𝑛!
(𝑛−𝑚)!𝑚!.
Un comité formado por dos mujeres y tres hombres es elegido de un grupo de cinco
hombres y cuatro mujeres, ¿de cuántas formas se puede elegir el comité? Los tres
hombres pueden ser elegidos de (53) formas y las dos mujeres de (4
2) formas, por el
principio del producto el comité puede ser elegido de (53)(42) formas.
Otro problema de ajedrez es el siguiente: ¿De cuántas formas se pueden acomodar dos
torres, una blanca y una negra, sin que se ataquen? Si colocamos primero la torre blanca
tenemos 64 casillas para colocarla, esta torre domina una columna y un renglón
transverso, lo que da 15 casillas. La torre negra se puede colocar en las 49 casillas
restantes, por el principio del producto se pueden colocar de 64∙49=3136 formas.
Actividad 1. Ordenaciones y permutaciones
Teorema del binomio de Newton
Dado un elemento 𝑥 de un conjunto de números con dos operaciones de suma y
producto, definimos 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ⋯ ∙ 𝑥, n veces. Un binomio es una expresión de la
forma 𝑎 + 𝑏. El teorema del binomio de Newton nos da una expresión para (𝑎 + 𝑏)𝑛 en
términos de combinaciones. Explícitamente nos dice que si 𝑎 y 𝑏 son variables (elementos
de un conjunto numérico) y 𝑛 es un número entero. Entonces
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛
0)𝑎0𝑏𝑛 + (
𝑛
1)𝑎1𝑏𝑛−1 + (
𝑛
2)𝑎2𝑏𝑛−2 +⋯+ (
𝑛
𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑏𝑛 + (
𝑛
𝑛)𝑎𝑛𝑏0.
Antes de dar la demostración general usando combinatoria observemos el caso particular
𝑛 = 4. Queremos hallar el coeficiente de 𝑎2𝑏2 del desarrollo de (𝑎 + 𝑏)4=(𝑎 + 𝑏)(𝑎 +
𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏), para obtener 𝑎2𝑏2 se deben tomar dos a´s y dos b´s de los factores,
Es momento de utilizar lo aprendido para hacer algunas distinciones entre ordenaciones y
permutaciones y así resolver problemas de conteo en algunas situaciones cotidianas.
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Unidad 3. Combinatoria y polinomios
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dado que hay cuatro factores, nombramos 1 al primero, 2 al segundo, 3 al tercero y 4 al
cuarto, escogiendo un subconjunto de dos números del conjunto {1, 2, 3, 4}, por ejemplo
si elegimos {1,3}, le asociamos un término que da 𝑎2𝑏2 , el término (sin tomar en cuenta
conmutatividad) es 𝑎𝑏𝑎𝑏, así el coeficiente de 𝑎2𝑏2 es (42). En general el coeficiente de
𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 corresponde a todas las cadenas de 𝑘 𝑎´𝑠 𝑦 𝑛 − 𝑘 𝑏´𝑠 que con la observación
anterior corresponde al número de subconjuntos de tamaño k de un conjunto de tamaño n
dado, es decir (𝑛𝑘).
Triángulo de Pascal
Un problema que aparece en muchos libros de combinatoria es el siguiente: tenemos una
abeja reina y diez abejas obreras, ¿cuántos enjambres de 6 abejas se pueden formar, si
la abeja reina pertenece al enjambre y cuántos si la abeja reina no está en el enjambre?
Si la abeja está en el enjambre entonces sólo necesito 5 abejas más para formar el
enjambre, esto se puede hacer de (105) formas y si no está en el enjambre entonces sólo
es un subconjunto de tamaño 6 del subconjunto de las obreras y de estos hay (106), así el
número total de enjambres de tamaño 6 del conjunto de las 11 abejas es la suma de los
anteriores, es decir se tiene (116) = (10
5) + (10
6).
En general, la fórmula de Pascal es:
(𝑛 + 1
𝑟 + 1) = (
𝑛
𝑟) + (
𝑛
𝑟 + 1)
Para r y n números enteros con 0 ≤ 𝑟 < 𝑛.
Ahora bien, el triángulo de Pascal está definido como el triángulo de números en el que en
el renglón número n aparecen los n+1 números
(𝑛
0) , (
𝑛
1) , (
𝑛
2) , … (
𝑛
𝑛 − 1) , (
𝑛
𝑛)
Los cuatro primeros renglones son:
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Se obtienen a partir del segundo renglón usando (𝑛0) = (𝑛
𝑛) = 1 y la fórmula de Pascal, es
mediante este método que se calculan todos los coeficientes de un binomio a la n-ésima
potencia.
Actividad 2. Combinaciones
Aprende observando
Teoría de conjuntos
En este vídeo se dan los principios combinaciones
Combinaciones
Polinomios
Los polinomios son el primer nivel de abstracción al que se enfrenta un estudiante durante
su educación, se da el salto cognitivo del uso de números al uso mezclado de letras y
números operándolos con las propiedades de conjuntos numéricos. Su uso en las
expresiones de aplicación en otras áreas, hace que su estudio sea obligatorio en el nivel
Para esta actividad resolverás problemas de situaciones reales y reforzarás tus
conocimientos en el tema de combinatoria.
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Unidad 3. Combinatoria y polinomios
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medio superior. Históricamente son los árabes, en el siglo IX, los que inician el estudio de
los polinomios al resolver casos de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones lineales,
de hecho la palabra álgebra tiene su origen del árabe.
En este tema estudiarás los polinomios como un conjunto con dos operaciones básicas y
las propiedades que se deriven de ellas, que incluyen los teoremas básicos: Teorema del
residuo, Teorema de la raíz y el Teorema Fundamental de la Aritmética.
Conceptos básicos
Conocemos de nuestra experiencia escolar previa que los polinomios son expresiones del
tipo: 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 y sabemos cómo operar con ellas, si observamos esta
expresión, los coeficientes se caracterizan por subíndices en los naturales, así que es
natural identificar estas expresiones con sucesiones del conjunto numérico al que
pertenezcan los coeficientes.
Se dará una definición de sucesión y luego la de polinomio.
Definición. Una sucesión de elementos de un conjunto 𝑋 es una función del conjunto de
los números naturales 𝑆:ℕ → 𝑋, por ejemplo 𝑆(𝑛) =1−𝑛
1+𝑛 es la sucesión:(1,0,
−1
3,−2
4,−3
5, ⋯ )
esta sucesión tiene un número infinito de elementos distintos de cero, nuestro interés se
centra en las sucesiones que a partir de un elemento son todas cero, estas sucesiones
son las que nos servirán.
Cuando queremos resolver ecuaciones del tipo 2𝑥 + 3 = 0, que no tienen solución en los
enteros, nos obliga a ampliar nuestro sistema numérico, e introducimos el sistema de los
números racionales ℚ construido a partir de los números enteros, como parejas
ordenadas de enteros 𝑛/𝑚 con 𝑚 ≠ 0 con dos operaciones definidas, la suma y el
producto definidos como (𝑛
𝑚) + (
𝑝
𝑞) = (𝑛𝑞 +𝑚𝑝)/𝑚𝑞 y (
𝑛
𝑚) × (
𝑝
𝑞) = (𝑛𝑝)/(𝑚𝑞). Se puede
verificar que estas dos operaciones satisfacen las propiedades: asociativa para la suma y
el producto, existencia de identidades para las dos operaciones, existencia de inversos
para las dos operaciones, leyes conmutativas y propiedad distributiva del producto con
respecto a la suma. Con este sistema numérico podemos resolver ecuaciones como con
la que iniciamos el párrafo.
De manera similar a los racionales se construye el sistema de los números reales, que
pueden ser construidos a partir de los números racionales con el fin, entre otros, de incluir
soluciones de ecuaciones de la forma 𝑥2 − 2 = 0. Los números reales contienen una
copia de los racionales, satisfacen las mismas propiedades con sus operaciones y otra
propiedad adicional: el supremo. Los números reales contienen a los números
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irracionales, es decir, aquellos números que no se pueden expresar como el cociente de
dos números naturales. Denotaremos por ℝ a este conjunto.
Por último, al querer resolver ecuaciones como 𝑥2 + 1 = 0, que no tienen soluciones en
los reales, extendemos nuestro sistema numérico a los números complejos que
denotaremos como ℂ, estos son definidos como parejas (𝑎, 𝑏) ordenadas de reales en los
que se definen dos operaciones: la suma definida por (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) y el
producto definido por (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐), con las operaciones así definidas
se puede probar que satisfacen las mismas propiedades que las de los reales y los
racionales.
Estos sistemas numéricos reciben el nombre de campos, así se habla del campo de los
números racionales, del campo de los números reales o del campo de los números
complejos. Los números complejos también se denotan como 𝑎 + 𝑏𝑖 con 𝑎 𝑦 𝑏 números
reales y 𝑖2 = −1.
ℝ[𝒙] = ℝ(ℕ) = {𝑓 ∈ ℝℕ|𝑓(𝑛) ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 ℕ}, los elementos deℝ[𝑥]
son sucesiones de casi puros ceros.
Definición. Los elementos de ℝ[𝑥] se llaman polinomios con coeficientes reales.
Por ejemplo, 𝑓 ∈ ℝ[𝑥], {𝑓(𝑛)} = (1,7,8,12, √2, 0, 𝜋, 0,0,0,… ,0,… ) , lo representamos con
1 + 7𝑥 + 8𝑥2 + 12𝑥3 + √2𝑥4 + 𝜋𝑥6, así nuestra definición corresponde con nuestro
conocimiento intuitivo. Sabemos sumar polinomios, daremos una definición que nos
servirá para definir la suma de polinomios.
Cambiando ℝ por otro conjunto 𝐷 de números obtenemos otro conjunto de polinomios
𝐷[𝑥].
Definición. Si 𝑓 ∈ ℝ[𝑥], denotaremos 𝑠𝑜𝑝(𝑓):= {𝑛 ∈ ℕ|𝑓(𝑛) ≠ 0}.
Definimos el grado de f como el máximo 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑛) ≠ 0.
Del ejemplo anterior el soporte de 𝑓 es igual a {0,1,7,12, 𝜋, 8}.
Suma y producto de polinomios
Definición. La suma de polinomios se define como ∔:ℝ[𝑥] × ℝ[𝑥] → ℝ[𝑥], dada por
(𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛).
Ejemplo: la suma de los polinomios (12,−45, 32,0, 78,0,19,0,… ) ∔
(−23, 32,0, 39,0,0,9,0,… ) = (−23,−13,32,39,78, 0,19,0, … ).
Observación: ∔ cumple las siguientes propiedades:
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(𝑓 ∔ (𝑔 ∔ ℎ))(𝑛) = 𝑓(𝑛) + (𝑔(𝑛) + ℎ(𝑛)) = (𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛)) + ℎ(𝑛) = ((𝑓 ∔ 𝑔) ∔
ℎ)(𝑛) (propiedad asociativa).
(𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑛) + 𝑓(𝑛) = (𝑓 ∔ 𝑔)(𝑛) (propiedad conmutativa).
Existe el neutro: 0̂: ℕ → ℝ, 0̂(𝑛) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ∈ ℕ.
Existe el inverso respecto a ∔: ((−𝑓))(𝑛) = −𝑓(𝑛).
El grado de f∔ 𝑔 es igual al máximo de n tal que 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) ≠ 0.
La definición de producto también es la formalización de nuestra idea intuitiva.
Definición. Definimos el producto en ℝ[𝑥] como *:ℝ[𝑥] × ℝ[𝑥] → ℝ[𝑥] como (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) =
∑ 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗)𝑖+𝑗=𝑛 .
El producto * está bien definido, ya que si 𝑛 ∈ 𝑠𝑜𝑝(𝑓 ∗ 𝑔) ⇒ (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗) ⇒𝑖+𝑗=𝑛
𝑖 ∈ 𝑠𝑜𝑝(𝑓) ∧ 𝑠𝑜𝑝(𝑔) para alguna i y alguna j tal que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛, ya que 𝑠𝑜𝑝(𝑓)𝑦 𝑠𝑜𝑝(𝑔) son
finitos, también es finito el conjunto de productos 𝑓(𝑖)𝑔(𝑗), por tanto 𝑠𝑜𝑝(𝑓 ∗ 𝑔) es finito.
El producto de polinomios satisface propiedades heredadas de los números reales.
Teorema. El producto en ℝ[𝑥] satisface:
1. * es una operación asociativa.
2. Existe en neutro multiplicativo.
3. * es conmutativo.
4. * se distribuye sobre la suma.
Demostración:
1) ((𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ)(𝑛) = ∑ (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑖)ℎ(𝑗)𝑖+𝑗=𝑛 = ∑ [(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑖)]ℎ(𝑗) =𝑖+𝑗=𝑛
∑ [∑ 𝑓(𝑘)𝑔(𝑙)𝑘+𝑙=𝑖 ]ℎ(𝑗) = ∑ (𝑓(𝑘)𝑔(𝑙))ℎ(𝑗)𝑘+𝑙+𝑗=𝑛𝑖+𝑘=𝑛 . Si hacemos lo mismo para
(𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ))(𝑛) se obtiene ∑ 𝑓(𝑘)(𝑔(𝑙)ℎ(𝑗))𝑘+𝑙+𝑗 .
2) El neutro es la función1̂: ℕ → ℝ, definida como 1̂(0) = 1 𝑦 1̂(𝑛) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 >
0. (1̂ ∗ 𝑔)(𝑛) = ∑ 1̂(𝑖)𝑔(𝑗) = 1̂(0)𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑛) = (𝑔 ∗ 1̂)(𝑛)𝑖+𝑗=𝑛 .
Las partes 3 y 4 se prueban de manera análoga.
Definición. 𝑥 ≔ (0,1,0,… ).
Como consecuencia de la anterior definición se tiene:
𝑥2 = (0,1,0,… ), …,𝑥𝑛 = (0,… ,0,1⏟ , 0,… )𝑛+1 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟𝑒𝑠
. Además 𝑥0 = 1̂ ≔ (1,0, … ).
Sea 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥], entonces 𝑓 = 𝑓(0)1̂ + 𝑓(1)𝑥 +⋯+ 𝑓(𝑛)𝑥𝑛. Así podemos escribir
𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛.
Raíces de polinomios
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Dado un polinomio 𝑓 ∈ ℝ[𝑥] con grado ≥ 1 podemos igualarlo a cero para obtener una
ecuación algebraica: 𝑓(𝑥) = 0. En esta ecuación la x representa un número desconocido,
a menudo llamado incógnita, a los números c que satisfacen la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 los
llamamos raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa hallar todas las raíces de
la ecuación. Ejemplo: 3 es raíz de 𝑥4 − 5𝑥2 − 10𝑥 − 6 = 0, pues 34 − 5 ∙ 32 − 10 ∙ 3 − 6 =
0.
Teorema del residuo
Divisibilidad de polinomios
Consideraremos polinomios en un conjunto de números dados, que pueden ser los
números enteros, los racionales, los números reales o incluso los números complejos. Así
consideraremos los polinomios en 𝐾[𝑥], con 𝐾 el conjunto de números dados
dependiendo de las operaciones que se indiquen. Daremos en esta sección una definición
de divisibilidad que generalice la de los números enteros.
Definición. Dados 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥], decimos que 𝑔 divide a 𝑓 o que 𝑔 es factor de 𝑓, si existe
𝑞 ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑓 = 𝑞 ∗ 𝑔 (abusando del lenguaje, algunas veces no escribiremos*).
Se escribirá 𝑔|𝑓 para indicar que 𝑔 divide a 𝑓.
Ejemplo: 𝑔 = (−1,1,0,… )[𝑥 − 1] divide a 𝑓 = (−1,0,1,0,… )[𝑥2 − 1], pues (−1,0,1,0,… ) =
(1,1,0,… )(−1,1,0,… ). El concepto de divisibilidad depende del conjunto numérico en el
que se definan los coeficientes. Por costumbre escribiremos 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] para 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥], si
es necesario. La divisibilidad satisface propiedades análogas a la divisibilidad de los
números enteros.
Proposición. En 𝐾[𝑥]:
1) 𝑔(𝑥)|𝑔(𝑥) para cualquier 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥].
2) Si 𝑔(𝑥) = 0 y 𝑔(𝑥)|𝑔(𝑥), entonces 𝑓(𝑥) = 0.
3) Si 𝑔(𝑥) = 𝑐 con 𝑐 ∈ 𝐾, 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥) para cualquier 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].
4) Si 𝑓(𝑥) = 0, entonces 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥), para todo 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].
5) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑐, con 𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 𝑐 ≠ 0. Si 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥), entonces 𝑔(𝑥) = 𝑎 con 𝑎 ∈ 𝐾 𝑦 𝑎 ≠
0.
6) Si 𝑔|𝑓 y 𝑓|ℎ, entonces 𝑔|ℎ.
7) Si 𝑔|𝑓 y 𝑔|ℎ, entonces 𝑔|𝑓 + ℎ y 𝑔|𝑓 − ℎ.
8) Si 𝑔|𝑓, entonces 𝑔|𝑓ℎ para cualquierℎ ∈ 𝐾[𝑥].
9) Sean 𝑓 ≠ 0 𝑦 𝑔 ≠ 0. Si 𝑔|𝑓 y 𝑓|𝑔, entonces 𝑓 = 𝑐𝑔 para alguna 𝑐 ∈ 𝐾, 𝑐 ≠ 0.
10) 𝑔|𝑓 ⟺ 𝑐𝑔|𝑓, con 𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 𝑐 ≠ 0.
De la definición de divisibilidad se obtiene la siguiente proposición:
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Proposición. Sean 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝑥], con 𝑔 ≠ 0. Si 𝑔|𝑓, entonces 𝑓 = 0 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔) ≤
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓).
Demostración. Si 𝑔|𝑓, implica que existe 𝑞 ∈ 𝐾[𝑥] tal que 𝑓 = 𝑞𝑔, si 𝑓 ≠ 0, entonces 𝑞 ≠ 0,
lo que implica que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑞) + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), por tanto 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔) ≤ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓).
Si le pedimos a 𝐾 que sea campo, es decir que para cada elemento distinto de cero tenga
inverso como los números racionales, reales o complejos, entonces se tiene un algoritmo
de la división análogo al de los enteros.
En 𝐾[𝑥] tenemos algoritmo de la división.
Proposición. Si 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] y 𝑔(𝑥) ≠ 0, entonces existe un único 𝑞(𝑥) y un único
𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tales que 0 = 𝑟(𝑥)𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟(𝑥)) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔(𝑥)),y 𝑓 = 𝑞𝑔 + 𝑟.
Demostración.
Si 𝑓 = 0̂ entonces 𝑞 = 𝑟 = 0̂.
Demostraremos por inducción sobre 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓)
Base. Supongase que 𝑓 ≠ 0̂. Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) = 0 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑔 ∗ (𝑓
𝑔) 𝑦 𝑟 = 0̂.
Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑟, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).
Paso inductivo:
Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), entonces 𝑓 = 𝑟, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).
Si 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), escribamos 𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛, 𝑔 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 +⋯+ 𝑏𝑚𝑥
𝑚
𝑛 ≥ 𝑚. Multipliquemos 𝑔 por 𝑥𝑛−𝑚. Entonces 𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔 = 0̂ o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔) <
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑓). En el primer caso se tiene 𝑓 = 𝑥𝑛−𝑚𝑔 + 0̂ es decir 𝑟 = 0̂, en el segundo caso
tenemos que por hipótesis de inducción 𝑓 − 𝑥𝑛−𝑚𝑔 = 𝑞𝑔 + 𝑟, con 0̂ = 𝑟 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟) <
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔), lo que implica que 𝑓 = (𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞)𝑔 + 𝑟 y �̂� = 0 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑔).
Definición. Sea 𝑎 ∈ ℝ, dado 𝑓(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] existe una única función llamada la evaluación
de f en a denotada por:
1. 𝐸𝑣𝑎(�̂�) = 𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑟 𝑒𝑛 ℝ.
2. 𝐸𝑣𝑎(𝑥) = 𝑎.
3. 𝐸𝑣𝑎 respeta la suma, el producto y el uno.
Ejemplo: 𝐸𝑣𝑎(1 + 4𝑥3 + 7𝑥5) = 𝐸𝑣𝑎(1) + 𝐸𝑣𝑎(4𝑥
3) + 𝐸𝑣𝑎(7𝑥5) = 1 + 𝐸𝑣𝑎(4)𝐸𝑣𝑎(𝑥
3) +
𝐸𝑣𝑎(7)𝐸𝑣𝑎(𝑥5)=1 + 4𝑎3 + 7𝑎5.
Notación: Escribiremos 𝑓(𝑎) en lugar de 𝐸𝑣𝑎(𝑓(𝑥)).
Ahora tenemos todos los elementos para enunciar:
Teorema. Teorema del residuo. Sea 𝑓(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] y 𝑐 ∈ ℝ, el residuo de dividir 𝑓(𝑥) entre
(𝑥 − 𝑐) ∈ ℝ[𝑥] es 𝑓(𝑐). Es decir 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐).
Demostración:
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Por el algoritmo de la división existen 𝑞(𝑥) 𝑦 𝑟(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟(𝑥), donde
𝑟(𝑥) = 0 o 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑟(𝑥)) = 0 < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑥 − 𝑐). Por tanto 𝑟(𝑥) = 𝑟 constante. Por lo tanto
𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟, si evaluamos en c se obtiene 𝑓(𝑐) = 𝑞(𝑐)(𝑐 − 𝑐) + 𝑟 de donde se
obtiene 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐).
Teorema de la raíz y del factor
Un interesante corolario del Teorema del residuo es el siguiente:
Corolario (Teorema de la raíz y el factor). 𝑓(𝑐) = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑐|𝑓(𝑥). Este corolario
nos será muy útil para factorizar polinomios.
Definición.
Se dice que 𝑎 es una raíz de multiplicidad 𝑚 (𝑚 ∈ ℕ) del polinomio 𝑓(𝑥) si
(𝑥 − 𝑎)𝑚|𝑓(𝑥) pero (𝑥 − 𝑎)𝑚 ∤ 𝑓(𝑥).
Se dice que a es una raíz múltiple de 𝑓 si la multiplicidad de 𝑎 es > 1.
Se dice que una raíz es simple si su multiplicidad es 1.
Ejemplos:
1. 1 es raíz del polinomio 𝑥4 − 1, su multiplicidad es 2 ya que 𝑥4 − 1 = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1)2 es
decir (𝑥 − 1)2|𝑥4 − 1 pero (𝑥 − 1)3 ∤ 𝑥4 − 1, la multiplicidad de -1 también es dos.
2. -3 es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 , pues 𝑓(−3) = 0, su multiplicidad es uno.
Un teorema muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz requiere definir su
derivada formal.
Definición. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 polinomio en ℝ[𝑥], su derivada es 𝑓´(𝑥) =
𝑎1 + 2𝑎2𝑥 +⋯+ 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1.
Otra definición muy útil que se generaliza de la propiedad del producto de los enteros es
la siguiente:
Definición. Sean 𝑓 𝑦 𝑔 ∈ ℝ[𝑥] 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝜑(𝑥) se llama divisor común de 𝑓 𝑦 𝑔, si es
divisor de cada uno de estos polinomios, todos los polinomios tienen a las constantes
como divisores comunes, si dos polinomios solo tienen a las constantes decimos que son
primos entre sí.
Para definir el análogo de máximo común divisor se necesita adaptar la definición al caso
de polinomios, como se verá en la siguiente:
Definición. Se llama máximo común divisor de los polinomios 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) diferentes de
cero al polinomio 𝑑(𝑥) que es común divisor y que a la vez es divisible por cualquier otro
divisor común de estos polinomios. El máximo común divisor de los polinomios
𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se denota por (𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)).
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Ejemplo: El máximo común divisor de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 − 3 y
𝑔(𝑥) = 3𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 − 3, es el polinomio 𝑑(𝑥) = 𝑥 + 3.
Aunque se puede ahondar en algoritmos para hallar el máximo común divisor de dos
polinomios, nuestro interés es el siguiente teorema:
Teorema. Si el número 𝑐 es una raíz de multiplicidad 𝑚 del polinomio 𝑓(𝑥), entonces para
𝑚 > 1, éste será una raíz de multiplicidad 𝑚 − 1 de la primera derivada del polinomio; si
𝑚 = 1, el número 𝑐 no será raíz de 𝑓´(𝑥).
Demostración. Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚𝜑(𝑥), 𝑘 ≥ 1, donde 𝜑(𝑥) ya no es divisible por (𝑥 − 𝑐),
derivando 𝑓(𝑥) se obtiene 𝑓´(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚𝜑´(𝑥) + 𝑚(𝑥 − 𝑐)𝑚−1𝜑(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑚−1[(𝑥 −
𝑐)𝜑´(𝑥) + 𝑚𝜑(𝑥)]. Se observa que el primer término de la suma entre corchetes es
divisible por (𝑥 − 𝑐) mientras que el segundo no, así la suma no puede ser divisible por
(𝑥 − 𝑐). Por lo tanto aplicando el teorema de la raíz y el residuo (𝑥 − 𝑐)𝑚−1 es la máxima
potencia de (𝑥 − 𝑐) que divide a 𝑓´(𝑥).
Un resultado muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz es el siguiente:
Corolario. 𝑐 es una raíz múltiple de 𝑓(𝑥) ⇔ (𝑥 − 𝑐)|(𝑓, 𝑓´).
Ejemplo: 3 es raíz del polinomio de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3, 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 pero
𝑓´(3) ≠ 0. Así la multiplicidad de 3 es uno.
Teorema Fundamental del Álgebra
Hay polinomios que no tienen raíces reales como 𝑥2 + 1, pero tienen como raíz al número
complejo 𝑖, de hecho esta es una forma de ampliar el sistema de los números reales, la
introducción de este conjunto garantiza que cualquier polinomio tenga raíces aunque no
sean números reales.
El siguiente es un teorema de existencia, no es constructivo:
Teorema Fundamental del Álgebra de los números complejos. Todo polinomio con
coeficientes reales, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz,
generalmente compleja.
La prueba de este teorema se estudia en los cursos de Variable compleja.
Factorización de un polinomio
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En el subtema 3.2.5. Teorema de la raíz y del factor, se dio la definición de cuando dos
polinomios son primos relativos. Ahora se dará una definición de primos como en los
enteros.
Definición. Sea 𝜋(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥](𝑐𝑜𝑛 𝐾 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜) decimos que 𝜋(𝑥) es primo o irreducible en
𝐾[𝑥] si siempre que se tenga 𝜋(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) en 𝐾[𝑥], entonces 𝑓 𝑜 𝑔 son polinomios
constantes. Se dice que 𝜋(𝑥) es reducible si se puede factorizar como producto de dos
polinomios no constantes.
Ejemplo: Todos los polinomios de primer grado en cualquier campo son irreducibles.
Actividad 3. Polinomios
Actividad 4. Polinomios
Evidencia de aprendizaje. Polinomios y Combinatoria
Cierre de la unidad
En esta unidad has conocido las definiciones formales de los números naturales y los
números enteros, la formalidad es importante porque da certeza en la existencia de estos
objetos matemáticos como producto de la mente humana en relación con el conocimiento
intuitivo que de ellos se tiene. Los números naturales son la base de los sistemas
numéricos, porque a partir de ellos se van construyendo todos los demás sistemas
numéricos, y de vital importancia para el programador de computadoras. Las propiedades
de los números enteros conocidas desde los antiguos griegos, adquieren importancia en
nuestro tiempo para los sistemas de seguridad de datos en la Criptografía. La
combinatoria hará uso de las propiedades operativas de estos sistemas numéricos para
resolver problemas de conteo. Es importante conocer la estructura de los enteros, pues se
hallará una similitud de la estructura de los polinomios con sus dos operaciones de suma
y producto, se encontrarán generalizaciones del teorema fundamental de la aritmética y el
algoritmo de la división.
Es momento de utilizar las propiedades de los polinomios, al plantear y resolver algunos
problemas.
La siguiente actividad te ayudará a reforzar el álgebra de los polinomios, para ello realiza
lo siguiente:
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En esta unidad se abordaron los conceptos básicos para los polinomios y se presentó el
teorema del residuo para la identificación de las raíces en los polinomios. Asimismo, se
revisaron cuestiones generales sobre la teoría de la combinatoria para tratar los
conceptos de ordenaciones, permutaciones y combinaciones, los cuales son útiles en la
probabilidad, la estadística y el muestreo. Además, se presentó el teorema del binomio de
Newton, que muestra que todo binomio puede ser elevado a cualquier potencia natural.
Con ello, estás listo(a) para continuar con la siguiente unidad, en donde estudiarás el
plano cartesiano desde un punto de vista algebraico. Este plano cartesiano será retomado
en Geometría analítica I y II, mediante vectores expresados como parejas ordenadas de
números reales.
Para saber más
Para fortalecer y complementar los conocimientos adquiridos en esta unidad, se te
sugiere la lectura y revisión de los siguientes materiales:
Interesante página sobre la aplicación de la aritmética en la Criptografía:
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/clock.html
Historia de las matemáticas del siglo XVII a los comienzos del siglo XX, incluye
unas secciones dedicadas a los trabajos de Peano sobre los números naturales:
Collete, Jean Paul (2007). Historia de las Matemáticas II. México: Siglo XXI.
Una historia completa sobre aritmética desde sus orígenes hasta la primera mitad
del siglo XX: Ore, Oystein (1976). Number Theory and its History. USA: Dover
Publications Inc.
Interesante libro que incluye reflexiones sobre la idea de número en los
pitagóricos: Livio, Mario (2009). ¿Es Dios un matemático? España: Ariel.
Fuentes de consulta
Básica:
Bravo Mójica, A., Rincón Mejía, H., Rincón Orta, C. (2011). Álgebra superior.
México: Las Prensas de Ciencias.
Cárdenas Trigos, Humberto, Lluis, Emilio, Raggi, Francisco, (1973). Algebra
Superior. México: Trillas.
Fregoso, Arturo (1980). Los elementos del lenguaje de la matemática 3. México:
Trillas.
Complementaria:
Gentile, Enzo R. (1985). Aritmética elemental. USA: OEA.
Pérez Seguí, María Luisa. (2004). Combinatoria. México: UNAM.