unidad 3 de mate.docx

7/29/2019 unidad 3 de mate.docx

1/19

3.1. La derivada. El modelado de los procesos

econmico-administrativos, est asociado a la identificacin del valor que optimiza a una funcin,

esto es, que si se trata de un problema de costos se requiere conocer el costo mnimo y el valor

para el que se produce, as como para ingresos y utilidades nos interesa saber cmo alcanzamos

los valores mximos que podemos tener a partir de una produccin o venta ya sea de producto oservicio.

As es como se ve la importancia de la derivada dentro de los problemas de optimizacin, sus

aplicaciones en las situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.

Se presenta un cuadro interactivo con cuatro botones, cada uno contiene informacin acerca de

la derivada. Sus ttulos son respectivamente: La derivada, Frmula, En donde:, y La

notacin para la derivada es:.

Concretamente, presentan la siguiente informacin: La derivada es la representacin del cambio

infinitesimal de una funcin a medida que va cambiando el valor de la variable independiente, as,la derivada de una funcin f(x), se representa como f(x), que se lee: f prima y se define para

cualquier funcin f(x) de la siguiente manera:

F (x) = lim y

x0 x

Que se lee La derivada de una funcin de x, f(x) es el lmite cuando el incremento (delta x) de x

tiende a ser cero, del cociente entre el incremento de y y el incremento de x (delta y y delta x

respectivamente). Cabe mencionar que y es otra forma de referirnos a f(x).Aclarando ms los

conceptos involucrados, se tiene que: 1. x y y: incrementos de las variables x, y,

respectivamente.

x = f ( x 2 )- f ( x 1 )

y ( x 2 )- ( x 1 )

2. representa a la razn o tasa promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo (x1, x2),

esto es que tanto vara el valor de y por cada unidad de cambio en x.

y

F (x) = lim x0 x

3. se interpreta como la razn o tasa instantnea de cambio de y con respecto a x, en el punto x1.La notacin para la derivada es: dy

dx

Que se lee: la derivada de y con respecto a x.


2/19

Para complementar tus conocimientos te sugerimos descargar los siguientes archivos para que los

tengas a la mano, ya que te ayudarn de gua.

Descarga el PDF llamado Reglas y frmulas de derivacin. En ese documento encontrars las reglas

y las frmulas que se utilizan para hacer una derivada.

En el documento PDF llamado Ejemplos de la derivada te proporcionamos ejemplos de cmo se

resuelven las derivadas de algunas funciones retomando las frmulas y reglas de la derivacin.

3.1.2. Razn o tasa promedio e instantnea de cambio e incertidumbre

Como se vio anteriormente, la razn o tasa promedio de cambio, se define como:

x = f ( x 2 ) f ( x 1 )

y x 2 x 1

Ejemplo:

Se presenta un cuadro interactivo, en el que se plantea un ejemplo de derivacin, con su

respectiva solucin. En seguida se presenta la informacin:

Ejemplo: Tomando en cuenta los datos del problema anterior, determina cul es ser la razn de

cambio en la oferta con respecto al precio de venta cuando p = 10, (cambio instantneo)?Solucin:

De acuerdo a la definicin de razn o tasa cambio instantnea, tenemos que calcular la derivada

de la funcin de oferta: 0 (x)= 7 p2

0x = 14 p


3/19

Por lo que cuando el precio de venta es: p = 10, la razn de cambio

instantneo ser: 0 10= 14 (10) = 140

Conclusin: Es decir que cuando el precio es de 10, la oferta cambia en 140 unidades cuando el

precio cambia una unidad.

3.1.3. Derivadas de orden superior

Hasta ahora hemos estado calculando la primera derivada de una funcin, sin embargo, tambin

es posible, siempre que no lleguemos a un valor de cero, obtener la segunda, tercera, cuarta,

quinta, y n-sima derivada de una funcin. Veamos en qu consiste.

Se presenta el dibujo de una escalera. Cada escaln tiene un letrero: el primero dice Primera

derivada; el segundo, Segunda derivada, y el tercero, Tercera derivada. Al dar click a cada

escaln, se despliega la siguiente informacin:

Primera derivada. Se representa o denota como:

f (x) o : dy

dx

Segunda derivada. Se representa o denota como:

f (x) o dy

dx

Tercera derivada. Se representa o denota como:f (x) o dy

dx

Y as sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una funcin.

f (x) = x - 2x- x +3

Revisa el siguiente ejemplo, determine la tercera derivada de la Solucin:

la primera derivada estar dada por:

f (x) = 4x - 6x- 2x

As, la segunda derivada ser:


4/19

f (x) = 12x - 12x- 2

3.1.4. Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal

El Ingreso Marginal describe el cmo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se

produce o se vende y se determina como la derivada de la funcin de ingresos, lo que representa

una aproximacin del ingreso real cuando se vende una unidad ms de cierto producto o servicio.

As, considerando que I (X) representa a los ingresos obtenidos al vender x nmero de artculos, el

ingreso marginal nos muestra cul ser el ingreso que se obtiene al vender el artculox + 1, esto

es: I (X-1) - : I (X)

Es decir, los ingresos de venta de x nmero de artculos incrementada en 1, menos los ingresos de

la venta de x artculos.

Finalmente, como se considera el incremento de unidades de artculos, esto Es:

lo que implica una razn de cambio de los ingresos cuando aumenta la produccin enuna unidad; es decir:

I = I(X+1) 1 (X)x

Lo que corresponde a la derivada de la funcin de ingreso, la cual representaal Ingreso marginal.

I (X) I (X+1)I (X)

Veamos un ejemplo de Ingreso Marginal en la siguiente pantalla.

Se presenta un cuadro interactivo, en el que se plantea un ejemplo de ingresoMarginal, con su respectiva solucin. En seguida se presenta la informacin:

Ejemplo: Una compaa turstica, tiene un ingreso mensual en la venta de sus

Paquetes regionales representado por la siguiente

funcin: I (X) = 45000x 5.7 x Pesos cuando produce y vende x unidades pormes.

Hasta el da de hoy, la compaa ofrece 20 paquetes vacacionales, sin embargoplanea aumentar a 21 el nmero de paquetes que ofrece. Cul ser el ingreso quegenerar la implementacin y venta del paquete vacacional nmero 21?


5/19

Solucin: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementacin y venta delpaquete turstico nmero 21, con la funcin de ingreso marginal que es la derivada dela funcin de ingreso, se tiene que:

I (X) = 45000x 11.4 x

Y para el caso particular del paquete nmero 20, se obtiene que:

I (20) = 45000 11.4 (20)

= 45000-228

= 44,772 PESOS

Este valor sera una aproximacin al ingreso que generara por incorporar en suspaquetes tursticos regionales el paquete 21.

Sin embargo si se desea conocer cul sera el ingreso exacto al incorporar y vender elpaquete 21, se tiene que:

Ya que dentro de esta operacin ya est incorporado el paquete 21, en (x + 1),entonces se sustituye x por 20 en la expresin encontrada:

1(20+ 1)- I (20)= 45005.7 11.4x

1(21)i (20) = 45005.7-11.4 (20)

= 44 777.7 pesos

Que representara el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista depaquetes tursticos regionales en la compaa turstica. Se muestra una imagen quecontiene las frmulas para el ingreso marginal.

3.1.4. Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal

Costo marginal: Es la derivada de la funcin de costo: el valor que se obtiene es una

aproximacin al costo verdadero cuando se produce o genera una unidad ms decierto producto o servicio.

As, s se requiere saber el costo que implica el producir x unidades de un artculoms una unidad, es recomendable recurrir a la derivada del costo y de manera similaral ingreso marginal se tiene que para los costos marginales se cumple:


6/19

C(X) C ( X + I ) C (X)

Para que conozcas mejor como es el procedimiento de Costo marginal, te Invitamos aque descargues el archivo llamado Ejemplo de costo marginal.

Costo promedio o medio marginal: es la derivada de la funcin de costo promedio:el valorque se obtiene es una medida de la razn de cambio de la funcin de costo promedio enfuncin del nmero de unidades o servicios producidos/ vendidos.

Cm (x) = C(x)x

Utilidad marginal: es la derivada de la funcin de utilidad: y es una aproximacin ala utilidad obtenida de la produccin y venta de una unidad ms de cierto productoo servicio.

As, s se requiere saber cules son las utilidades que generar el producir xunidades de un artculo ms una unidad, es recomendable recurrir a la derivadade las utilidades, con lo que se demuestra que:

U (x) U (X + 1) U (X)

Para entender cmo se implementa la utilidad marginal, te invitamos a que veas elsiguiente Ejemplo de utilidad marginal.

3.1.5. Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad

La elasticidad de la demanda, , es una aproximacin del cambio porcentual de lademanda y es originado por un incremento del 1% en el precio y estrepresentada por la siguiente frmula:

p = precio

Elasticidad de la demanda n = p dq Cambio de la demanda en funcin delq dp precio de venta y/o produccin

q = demanda


7/19

3.2. Clculo de Mximos y mnimos

Generalmente en nuestra vida estamos buscando formas para resolver problemas.Las matemticas y en particular el clculo diferencial nos ayudan a encontrar lasrespuestas que estamos buscando.

Entre los valores que puede tener una funcin (y) puede haber uno que sea el msgrande y otro que pueda ser ms pequeo. A esto valores se le pueden llamar punto

mximo y punto mnimo.

En qu consisten?

.2.1. Funciones crecientes y decrecientes

A continuacin te explicaremos cmo es una funcin creciente y decreciente. Ponmucha atencin en la animacin que se presenta en la siguiente pantalla.

3.2.2. Criterio de la primera y segunda derivada

Los criterios de la primera y segunda derivada, nos ayudan a determinar elcomportamiento de una funcin mediante un clculo exacto y analtico.

Criterio de la Primera Derivada


8/19

Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la primera derivada semuestran en la animacin de la siguiente pantalla:

Se presentan los pasos de una con el criterio de la primera derivada:

1. Obtener la derivada de la funcin.

2. Determinar los valores crticos, esto es los valores de x en la

derivada de la funcin cuando f x = 0

3. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada

intervalo, se aplica el siguiente criterio:

a. Si los signos son (+)( -), se tiene un mximo local.

b. Si los signos son ( - ) ( - ) , se tiene un mnimo local.

c. Si los signos son o ( - )( -), ( - ) ( - ) , no hay extremo local.


9/19

Se presentan los pasos de una con el criterio de la segunda derivada:

1. Obtener la segunda derivada de la funcin.

2. Determinar los puntos de inflexin, esto es los valores de x en la segunda derivada

de la funcin cuando f (x) = 03. Se marcan los puntos de inflexin en la recta numrica y se escoge un valorcualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segundaderivada, con lo que se determinar el signo de la segunda derivada en esos puntos.Esto se realiza en los intervalos antes y despus de los puntos de inflexin.

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, seaplica el siguiente criterio:

a. Si f (x) 0 , entonces la funcin es cncava hacia arriba en ese intervalo.

b. Si f (x) 0 , entonces la funcin es cncava hacia abajo en ese intervalo.

Para que conozcas como se implementa la segunda derivada descarga el PDF

3.2.3. Interpretacin del concepto de ingreso y costo marginal

Dentro de la prctica profesional en las reas econmico-administrativas, el muyimportante la determinacin de maximizacin de la ganancia o la utilidad, as como el


10/19

minimizar los costos de venta y produccin, esto es en general optimizar los recursosde la empresa, es decir, maximizar los beneficios y minimizar los costos.

Al maximizar el beneficio en cualquier empresa, se puede lograr lo siguiente:

Ahora bien, ya que para determinar el valor mximo en una funcin, se requiere laprimera derivada de la funcin, al igual que se requiere obtener la segunda derivadapara determinar el comportamiento de dicha funcin, esto es que si hablamos deutilidades U(x), ingresosI(x) y costos C(x), entonces estamos trabajando con losvalores marginales de las funciones, los cuales se muestran representados acontinuacin:


11/19

En la grfica observamos que:

La utilidad mxima se obtiene cuando. C(x) =1 (x)

O bien cuando 1 (x) < C (x).

Se puede observar que los valores marginales de una funcin son muy tiles, no slopara conocer los niveles de utilidad, sino para determinar el impacto de las utilidadescuando se presentan variaciones en los insumos.


12/19

3.2.4. Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y costos en problemas dmaximizacin

Hasta aqu hemos estudiado la interpretacin del concepto de ingreso y costo marginal, ahora veremose aplican la funcin de ingresos, beneficios (utilidades) y costos para la maximizacin de stas funcio

Para esto descarga el PDF Problemas de Maximizacin.

3.3. La diferencial

3.3.1. Incremento de una funcin

Al considerar los cambios en los valores de las variables, la diferencial llega a tener una relacincon la derivada como razn o tasa de cambio.

Si se considera que y= f(x), se observa que se ver afectada la variable y, ya que se encuentra de los valores que tome x.

As, cuando la variable x cambia desde un valor inicial x inicial , hasta un valor final x final, el cadetermina calculando la diferencia

(x final X inicial), lo que se conoce como cambio o incremento de una variable y se representa c


13/19

Esta representacin sirve para determinar los cambios ente una y otra variable y de manera genedeterminar los cambios en una funcin ya sea de ingreso, costo, demanda o utilidad, evaluando iniciales y finales en la funcin correspondiente:

Imprimir archivo en pdf de incremento de una funcin


14/19


15/19

3.3.5. Elasticidad

La elasticidad, es un indicador de la magnitud que cambiar la variable dependiente si la variableindependiente se modifica en una unidad y se representa como:

Actividad 2. Incremento de utilidad y elasticidad de la demanda


16/19

Para que practiques y refuerces tus conocimientos de este tema, realiza el siguienteejercicio.

1. Descarga el archivo Cuadernillo de ejercicios: La derivada y las funcionesmarginales.

2. Resuelve el ejercicio 3Incremento de utilidady el ejercicio 4 Elasticidad de lademanda. El en el documento encontrars un formulario y un ejemplo que te podrnorientar para elaborar el Ejercicio. Lee con mucha atencin el planteamiento que se te

proporciona.

3. Guarda tu documento como MA_U3_A2_XXYZ, en formato Word 97-2003, yenvaselo al (a la) Facilitador(a) a travs de la seccin de Base de datos. Sustituye

las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu

apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Evidencia de aprendizaje: Anlisis marginal

Para evaluar la unidad, realiza lo siguiente:

1. Descarga el documento en Word llamado Anlisis marginal.

2. Resuelve los dos ejercicios:

o Ejercicio 1: Aplicacin de reglas de derivacin el cual consiste endesarrollar las derivadas utilizando las formulas y reglas de derivacin.

o Ejercicio 2: Ingreso real a partir del ingreso marginal, en el que

debersanalizar y elaborar el problema que se te presenta en el

documento. Apyate del editor de frmulas que tienes en tu computadora.

3. Guarda tu trabajo como MA_U3_EV_XXYZ, en formato Word 97-2003, ycolcalo en el Portafolio de evidencias para que el (la) Facilitador(a) lo revise y te

retroalimente. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Ypor la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.


17/19

Cierre de la unidad

En esta unidad estudiaste el concepto de la derivada, las frmulas y los mtodos de derivacicomo el concepto de la diferencial, el cual te permitir tener los conocimientos necesarios parcomprender el anlisis marginal y sus implicaciones en los procesos econmicos y administrauna empresa.

Para saber ms

Si deseas saber ms de estos temas te sugerimos las siguientes ligas:

Aplicaciones: clculo de mximos y mnimos. Recuperado el 12 de octubre de 2010,de:http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

Introduccin al Clculo Diferencial de una variable. Recuperado el 12 de octubre de 2010,de:http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html

Calculo diferencial e integral. Recuperado el 12 de octubre de 2010,de:http://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQ
http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htmhttp://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htmhttp://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htmhttp://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.htmlhttp://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.htmlhttp://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQhttp://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQhttp://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQhttp://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQhttp://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.htmlhttp://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm


18/19


19/19

Documents

unidad 3 de mate.docx