4.1- Costo Capital

El costo de capital  es el rendimiento requerido sobre los distintos tipos de financiamiento.

Este costo puede ser explícito o implícito y ser expresado como el costo de oportunidad para

una alternativa equivalente de inversión.

De la misma forma, podemos establecer, por tanto, que el costo de capital es el rendimiento

que una empresa debe obtener sobre las inversiones que ha realizado con el claro objetivo de

que esta manera pueda mantener, de forma inalterable, su valor en el mercado financiero.

En cualquier tipo de entidad, ya sea física o moral, siempre se presenta el movimiento de

dinero. Una persona física que es económicamente activa, percibirá dinero por su trabajo y

gastará todo o parte de este monto para comprar satisfactores que le permitan vivir

4.2 Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Existen dos variantes del

interés: el interés pagado y el interés ganado. El interés se paga cuando una persona u

organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. El

interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe

una cantidad mayor.

El interés que se paga por fondos que se piden prestados (préstamo) se determina mediante la

relación:

Interés = cantidad que se debe ahora – cantidad original

Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo específica se expresa como

porcentaje de la suma original (principal), el resultado recibe el nombre de tasa de interés.

Tasa de interes (% )= interes acumulado porunidad de tiemposuma original

x100 %

4.2.1 Ejemplo: Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de $10 000 el 1 de

mayo y debe pagar un total de $10 700 exactamente un año después. Determine el interés y

la tasa de interés pagada.

Interés=$10 700−$10 000=$ 700

Tasa porcentual de interés= $ 700$ 10 000

x 100 %=7 %

4.2.2 Ejemplo: Stereophonics, Inc., tiene planes de solicitar un préstamo bancario de $20

000 durante un año al 9% de interés para adquirir un equipo nuevo de grabación. a) Calcule

el interés y la cantidad total debida después de un año.

interés=$20 000 (0.09 )=$ 1800

Total a pagar=$ 20 000+1800=$21 800

Interés Ganado

Es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.

Tasa derendimiento (% )= Interes acumulado por unidad de tiempocantidad original

x 100 %

4.2.3 Ejemplo: a) Calcule la cantidad depositada hace un año si ahora se tienen $1 000 a una

tasa de interés del 5% anual. b) Determine la cantidad por intereses ganados durante este

periodo.

Total acumulado=original+original(tasa de interés)

$ 1000=x+x (0.05 )=x (1+0.05 )=1.05 x

x=10001.05

=$ 952.38

Interés ganado: Interés=$1 000−$ 952.38=$ 47.62

4.3 Interés Simple

El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier

interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios

periodos se calcula de la siguiente manera:

Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés) o i = pni

Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal.

4.3.1 Ejemplo: La empresa Green Tree Financing hizo un préstamo de $ 100,000 a una

compañía para un edificio ecológico. El préstamo es de tres años con una tasa de interés

simple de 10 % anual ¿Cuánto dinero pagará la compañía al final de los tres años?

El interés para cada uno de los tres años es:

Interés anual = 100,000 (0.10) = $10,000.

El interés total de los tres años de acuerdo con la siguiente ecuación:

Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés)

Interés total = (100,000) (3) (0.10) = $ 30,000

El monto adecuado después de tres años es:

Adeudo total = $ 100,000 + $ 30,000 = $130,000

4.4 Interés Compuesto

El interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto

total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un

interés sobre el interés.

Interés=( principal+todos los interesesacumulados )( tasade interes)

Su expresión matemática es la siguiente:

I t=¿

4.4.1 Ejemplo: Una compañía de ingeniería pide un préstamo de $100,000 con un interés de

10% compuesto anual, cuyo principal y todos los intereses los pagará después de tres años.

Calcule el interés anual y el adeudo total después de tres años.

Para incluir la naturaleza compuesta del interés, el interés anual y el adeudo total de cada

año se calculan mediante la siguiente ecuación:

Interés compuesto = (Principal + todos los intereses acumulados) (tasa de interés)

Interés, año 1: 100,000 (0.10) = $10,000.Adeudo total, año 1: 100,000 + 10,000 = $110,000.Interés, año 2: 110,000 (0.10) = $ 11,000.Adeudo total, año 2: 110,000 + 11,000 = $121,000.Interés, año 3: 121,000 (0.10) = $12,100.Adeudo total, año 3: 121,000 +12,100 = $ 133,100.

4.5 Conceptos Básicos y Equivalencia del Dinero a través del Tiempo.

El gran problema que siempre ha existido con el manejo del dinero es que su valor cambia

con el paso del tiempo debido al fenómeno denominado inflación lo que provoca la pérdida

del valor adquisitivo. A partir del hecho de que el dinero cambia su valor con el paso del

tiempo, es preciso contar con técnicas, para representar los flujos de efectivo en diferentes

periodos de tiempo, y posteriormente se requieren técnicas para calcular el cambio del valor

del dinero a través del tiempo.

Entendiéndose por equivalencia del valor del dinero a través del tiempo que cantidades

distintas de dinero en diferentes momentos del tiempo tienen el mismo poder adquisitivo

(valor), si las tasas de interés o la inflación son mayores que cero.

Los términos “equivalentes” se utilizan muy a menudo para pasar de una escala a otra.

Cuando se consideran juntos el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés permiten

formular el concepto de “equivalencia económica”, que implica que dos sumas diferentes de

dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor económico.

4.5.1 Ejemplo: Si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) equivalen a $106 un año después.

Cantidad acumulada= 100 + 100(0.06) = 100 (1+0.06) = $106

Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para calcular la equivalencia para años anteriores. Un total de $100 ahora equivale a $100/1.06 = $94.34 hace un año a una tasa de interés de 6% anual. De estos ejemplos se firma lo siguiente: $94.34 el año pasado, $100 ahora y $106 un año después son equivalentes a una tasa de interés de 6 % anual.

La equivalencia de estas cantidades se verifica calculando las dos tasas de interés para periodos de interés de un año.

Hace un año:

$ 106$ 100

=1.06(6 % anual)

$ 100$ 94.34

=1.06 (6 %anual )

Desarrollo de la fórmula que rige a la ingeniería económica

Para resolver cualquier tipo de problema planteado por la ingeniería económica, se requiere

de una fórmula que considere el cambio del valor del dinero a través del tiempo.

Ejemplo para determinar la fórmula del interés capitalizado:

Una persona deposita $100 en un banco que paga un interés de 10% anual. No hace ningún

retiro de dinero. ¿Cuánto tendrá acumulado en el banco después de tres años?

Se representan los valores con variables.

i = 10%

P = $100

n = 3 años

F 1=P+Pi=P (1+i )1

La cantidad acumulada al final del periodo 1 es (P+Pi) y sobre esa cantidad se gana un interés:

F 2=P+ Pi∗i ( P+Pi )=P+Pi+Pi+P i2=P (1+2 i+i2 )=P (1+i2)

De manera similar para el tercer periodo se tiene:

F 3=P+Pi+Pi+P i2+i(P+Pi+Pi+P i2)

¿ P (1+3 i+3 i2+i3 )=P (1+ i )3

Por lo que se obtiene una generalización:

F=P (1+ i )nó P= F

(1+i )n

Por lo que aplicando la formula se obtiene un resultado de: $133.1

Terminología y Símbolos.

Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y símbolos.

P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0.

F = valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro.

A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo.

A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente.

n = número de periodos de interés; años, meses, días

i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo.

t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días

Los símbolos “P” y “F” indican valores que presentan una sola vez en el tiempo. “A” tiene el

mismo valor una vez cada periodo de interés durante un número específico de periodos. El

valor de “P” representa una sola suma de dinero en algún momento anterior a un valor futuro

“F”, o antes de que se presente por primera vez un monto equivalente de la serie “A”.

Es importante notar que el símbolo “A” siempre representa una cantidad uniforme (es decir, la

misma cantidad cada periodo), la cual se extiende a través de periodos de interés

consecutivos. Ambas condiciones deben darse antes de que la serie pueda quedar

representada por “A”.

4.6 Futuro dado un presente y presente dado un futuro (F/P y P/F):

La ecuación siguiente se conoce como la fórmula de presente dado un futuro. La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor presente, pago único (FVPPU), o el factor P/F. Dicha expresión determina el valor presente “P” de una cantidad futura dada, “F”, después de “n” años a una tasa de interés.

P=F ¿

F=P (1+ i )n

Es importante observar que los dos factores y las fórmulas derivadas de aquí son fórmulas de pago único, es decir, son utilizadas para encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo involucrado.

4.6.1 Ejemplo: La señora Carla piensa obtener un préstamo de $20 000.00 ahora para la compra de un terreno, y reembolsar la totalidad del préstamo más el interés causado al 10 % anual en 4 años. ¿A cuánto asciende?

Datos:

P= $20 000.00

i= 10% = 0.10

n= 4 años.

F=P ¿

F=20 000¿

4.6.2 Ejemplo: El señor Gutiérrez quiere saber cuánto necesita de dinero para depositar en

una cuenta bancaria, para obtener $15 000 en 5 años, si su banco ofrece la tasa del 6%

anualmente.

P=F ¿

P=15 000¿

4.7 Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes (P/A y A/P)

El valor presente “P” equivalente de una serie uniforme “A” de flujo de efectivo al final del

periodo se muestra en la siguiente figura.

Puede determinarse una expresión para el valor presente considerando cada valor de “A” como un valor futuro “F”, calculando su valor presente con el factor P/F para luego sumar los resultados:

P=A [ 1

(1+i)1 ]+ A [ 1

(1+i)2 ]+ A[ 1

(1+i)3 ]+…+ A [ 1

(1+i)n−1 ]+A [ 1

(1+i)n ]Simplificando esta ecuación se debe obtener la expresión “P” cuando i ≠0. Entonces la expresión queda:

P=A ¿

Si despejamos “A” de la ecuación de presente dado un pago uniforme, llegamos a la siguiente ecuación:

A=P[ i(1+ i)n

(1+i)n−1 ]El término entre corchetes se denomina factor de recuperación del capital (FRC), o factor

A/P, que es pago uniforme dado un presente. Con él se calcula el valor anual uniforme

equivalente “A” durante “n” años de una “P” dada en el año 0, cuando la tasa de interés es

“i”.

4.7.1 Ejemplo: Suponga que obtiene un préstamo de $25 000 al 7% anualmente durante 4

años, y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. ¿A cuánto haciende el monto?

P = $25 000 A =? anualmente durante 4 años i= 7% anual n = 10 años

A=P[ i(1+ i)n

(1+i)n−1 ]

A=25 000[ 0.07 (1+0.07 )4

(1+0.07 ) 4−1 ]=$ 7380.7

4.7.2 Ejemplo: Usted planea hacer un depósito anual de $5 000 en una cuenta de inversión

que paga el 6% anual, y desea retirar su dinero a fin del año 5, comenzando el siguiente año.

¿Cuánto dinero obtendrá al retirar su dinero?

A= $5 000 F =? al final del año 5 i= 6% anual n = 5 años para la serie A.

F=A[ (1+i )n−1i ]

F=5 000[ (1+0.06 )5−10.06 ]=$ 28 , 185.46

4.8 Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta serie uniforme (A/F y F/A).

La expresión entre corchetes de la ecuación es el factor de fondo de amortización o A/F, el

cual determina la serie de valor anual uniforme que sería equivalente a un valor futuro

determinado F.

A=F[ i

(1+i )n−1 ]La ecuación puede reordenarse para encontrar F para una serie A dada en los periodos 1 a n.

F=A[ (1+i )n−1i ]

El término entre corchetes se denomina el factor de cantidad compuesta, serie uniforme

(FCCSU), o factor F/A. Cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme A dada, produce

el valor futuro de la serie uniforme. Es importante recordar que la cantidad futura F ocurre

durante el mismo periodo que la última A.

4.8.1 Ejemplo: Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong

Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de

capital de $1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El

capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.

F = ? A = 1 000 000 n = 8 años i = 14%

F=A[ (1+i )n−1i ]

F=1 000 000[ (1+0.14 )8−10.14 ]=13 232760.16

4.8.2 Ejemplo: ¿Cuánto dinero necesita depositar Carol cada año, empezando un año a

partir de ahora, a 5.5% por año, para que pueda acumular $6 000 en siete años?

A=? F = $6 000 n = 7años i = 5.5%

A=F[ i

(1+i )n−1 ]

A=$ 6 000[ 0.055

(1+0.055 )7−1 ]=$ 725.786

4.9 Factores de Gradiente Aritmético (P/G y A/G)

Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una

cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la

misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o de la disminución es el

gradiente.

G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsosde un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivo generalizado

de gradiente aritmético (creciente), como se muestra en la figura 2.11. Observe que el

gradiente empieza entre los años 1 y 2. A éste se le denomina gradiente convencional.

El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como:

CFn = Cantidad base + (n – 1) G

4.9.1 Ejemplo: Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa

para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por

derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los

ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un

nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y

construya el diagrama de flujo de efectivo.

Cantidad base es $80 000

Aumento en9años=200000−80 000=120 000

Gradiente=aumenton−1

¿ 120 0009−1

=$15 000 por año

Fig.1 Diagrama de flujo del ejemplo 4.9.1

Para determinar los diferentes factores que intervienen en el gradiente

aritmético se uso el factor de valor presente con pago único (P/F,i,n);

auqnue se llega al mismo resultado utilizando los factores F/P, F/A o P/A.

Después de un análisis algebraico con los diferentes factores se

simplifican a las siguientes formulas.

P=Gi [ (1+i )n−1

i (1+i )n−

n

(1+i )n ]La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se calcula con la formula siguiente:

A=G [ 1i−

n

(1+ i )n−1 ]La expresión entre corchetes en la ecuación [2.17] se denomina el factor de gradiente

aritmético de una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n). Este factor convierte la figura

2.14a en la figura 2.14b.

4.9.2 Ejemplo: Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales

ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta

reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año, se

depositará un total de $500 000 en una cuenta para la reparación de los viejos

puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados. Además,

estiman que los depósitos aumentarán en $100 000 por año durante 9 años a partir de

ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor

presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa del

5% anual.

Solución:

a) El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva del condado se muestra en la

siguiente figura.

Se deben realizar dos cálculos y luego se tiene que sumar: el primero para el valor presente

de la cantidad base PA, y el segundo para el valor presente del gradiente PG. El valor

presente total PT ocurre en el año 0, lo cual se indica mediante la partición del diagrama de

flujo de efectivo. En unidades de $1 000, el valor presente, a partir de la ecuación es:

PT=500( PA

, 5 % ,10)+100( PG

, 5 % ,9)

¿500 (7.7217 )+100(31.652)

¿ $7 026.05

b) También aquí es necesario considerar por separado al gradiente y a

la cantidad base.

AT=500+100( AG

,5% , 9)=500+100 (4.0991 )

¿ $909.91 por año

Recuerde: los factores P/G y A/G determinan el valor presente y la serie anual sólo del

gradiente. Cualquier otro flujo de efectivo debe considerarse por separado.

Ejercicios en clase resueltos:

Javier Charrez compro un pequeño terreno por $5000 de pago inicial y pagos anuales

diferidos de $500 al año durante 6 años, empezando en 3 años a partir de la fecha de la

compra. ¿Cuál es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es del 8% anual?

Realiza el diagrama de flujo.

VPN=−5000−A [ (1+i )n−1i ]=−500−3667.96=−4167.97

Una pareja piensa empezar ahorrar, depositando $500 en su cuenta de ahorro dentro de un

año, ellos estiman que los depósitos, aumentaran, en $100, cada año, durante 9 años. ¿Cuál

es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es del 5% anual?

A=$500$5000 6 años

i= 8%

Una pareja es dueña de 50 hectáreas de tierra y han decidido vender, los derechos sobre los

minerales para poder financiar la educación de sus hijos dado que los niños empezaran la

universidad dentro de 6 y 16 años por lo tanto proponen que la compañía minera pague 20

000 anualmente durante 20 años, empezando dentro de 16 años. ¿Cuánto debe de pagar

ahora la compañía minera si la inversión podría generar 16% anual y la compañía desea

cancelar su arrendamiento?

Una persona compra una propiedad con un pago inicial de $5000 y pagos anuales diferidos

de 500 durante 6 años. ¿De cuánto es su pago total en el año 6, si se maneja una tasa del

6%?

Una familia decide comprar a crédito una nueva nevera. El plan de pagos exige 100 pesos

ahora y 55 pesos mensuales de Junio – Noviembre con interés de 1.5% mensual. Construya

diagrama de flujo y ¿Cuánto tendrá que pagar al final del mes de Noviembre?