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ADMINISTRACIÓN BANCARIA Y
FINANCIERA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS
INTERNACIONALES
MATEMÁTICA
UNIDAD 3 – FUNCIONES
PROFESOR:
FREDDY BEGAZO ZEGARRA
AREQUIPA - 2014
Números Reales Unidad II
2
CONTENIDOS
Introducción
………………………. 03
Definición de función
………………………. 04
Dominio y rango de una función ………………………. 05
Funciones elementales ………………………. 07
Operaciones con funciones ………………………. 12
Composición de funciones ………………………. 12
Modelación de funciones ………………………. 15
Bibliografía ………………………. 16
Números Reales Unidad II
3
INTRODUCCIÓN
En esta tercera unidad, desarrollamos el tema de funciones, concepto fundamental
para las matemáticas ya que cualquier problema de aplicación o de análisis más
profundos requiere del concepto de función.
Una función expresa la dependencia de una cantidad en relación a otra, lo que
determina la modelación de funciones que no es más que interpretar un problema en
lenguaje matemático.
En esta unidad estudiamos los conceptos de función dominio y rango, luego definimos
una función de variable real, definimos y graficamos las funciones elementales
reconociendo su regla de correspondencia y facilitar su representación gráfica.
Las operaciones con funciones serán fundamentales para el planteamiento y solución
de problemas de aplicación.
Números Reales Unidad II
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FUNCIONES
1. Definición
Dados dos conjuntos no vacíos A y B , una función de A en B es una regla de
correspondencia donde para cada elemento x de A le corresponde un único elemento y en
B .
Notación BAf : ; se lee: f es la función de A en B
La regla de correspondencia de una función tiene la notación: )(xfy
El conjunto A es llamado el conjunto de partida y el conjunto B el conjunto de llegada.
Una función se representa como un conjunto de pares ordenados, donde la primera componente pertenece al conjunto A , y la segunda componente, al conjunto B , es
decir: ByAxyxf /),(
La variable x es la variable independiente (pre imagen de la función), mientras que la
variable y es la variable dependiente (imagen de la función)
1.1. Función de variable real: Una función es de variable real si RRf : , donde
el conjunto de partida y el conjunto de llegada son los números reales.
Ejemplo: Sean las funciones de variable real:
3
12)()
143)() 2
x
xxfb
xxxfa
1.2. Valor numérico de una función: Es el valor de la función, cuando se le asigna
un valor a la variable independiente.
Ejemplo: En las siguientes funciones, evaluarla según los valores dados:
32)() 2 xxxfa Calcule:
2
3)1(21)1(.1 2
f
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18
3)3(2)3()3(.2 2
f
6
32)()
x
xxgb Calcule:
2
1
60
3)0(2)0(.1
f
11
8
2
11
4
62
1
32
12
2
1.2
f
1.3. Dominio y rango de una función:
El dominio de una función BAf : es el conjunto de las primeras componentes
(pre imágenes) de la función, se denotará como fD
fyxAxD f ),(/
El rango de una función BAf : es el conjunto de las imágenes de la función,
se denotará como fR
fyxByR f ),(/
Se determina que una función está bien definida si se conoce la regla de correspondencia y se tiene bien determinado su dominio.
Números Reales Unidad II
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Ejemplo:
Determine el dominio de las siguientes funciones:
32)() 2 xxxfa
RD f
La función es polinómica, por lo cual la variable x puede tomar cualquier valor
real
23
7)()
2
x
xxxfb
3
2RD f
La función es racional, por lo cual el denominador no puede ser cero
23)() xxfc
;
3
2fD
La función es raíz cuadrada, por lo cual la parte sub radical debe ser mayor o igual a cero.
4
1)()
2
x
xxfd
022
042
xx
x
;22;fD
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2. Funciones elementales:
2.1. Función Constante:
Es una función cuya regla de correspondencia es cxf )( , donde Rc
2.2. Función Identidad:
Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )(
Números Reales Unidad II
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2.3. Función lineal:
Es una función cuya regla de correspondencia es baxxf )( , donde Rba ;
Ejemplo:
Grafique la siguiente función lineal 32)( xxf
Tabulamos dos valores y los ubicamos en el sistema de coordenadas y luego trazamos
la recta que pasa por ambos puntos
x y -1 -5
2 1
Números Reales Unidad II
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2.4. Función cuadrática:
Es una función cuya regla de correspondencia es cbxaxxf 2)( , donde
Rcba ;;0
Ejemplo:
Grafique la siguiente función cuadrática 14)( 2 xxxf
El vértice de la parábola es );( khV , donde; )(;2
hfka
bh
i. Determinamos el vértice:
)3;2(
3)2(
22
4
2
V
fk
a
bh
ii. El coeficiente de 2x , luego
la parábola se abre hacia
arriba.
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2.5. Función raíz cuadrada:
Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )( , donde 0x
Ejemplo:
Grafique la siguiente función 32)( xxf
El vértice de la función se determina usando la siguiente relación );( khV , donde;
khxxf )(
i. Se determina el vértice de
la función:
3;2V
ii. El grafico es hacia la derecha, por su dominio
2x
iii. El signo negativo que antecede a la raíz cuadrada indica que la gráfica se dirige hacia abajo
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2.6. Función valor absoluto:
Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )(
Ejemplo:
Grafique la siguiente función 23)( xxf
El vértice de la función se determina usando la siguiente relación );( khV , donde;
khxxf )(
i. Se determina el vértice de la función:
2;3V
ii. El signo positivo que
antecede al valor absoluto indica que la gráfica se
dirige hacia arriba.
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3. Operaciones con funciones:
Dadas las funciones de variable real f y g con sus dominios fD y gD respectivamente, se
definen las funciones:
3.1. Suma de funciones:
gfgf DDD
xgxfxgf
)()()(
3.2. Resta de funciones:
gfgf DDD
xgxfxgf
)()()(
3.3. Multiplicación de funciones:
gfgf DDD
xgxfxgf
)()()(
3.4. División de funciones:
0)(/
)(
)()(
/
xgxDDD
xg
xfx
g
f
gfgf
4. Composición de funciones:
Dadas las funciones f y g , tales que:
CBg
BAf
:
:
Entonces la función compuesta gf es aquella función definida por:
fggf DxgDxxD
xgfxgf
)(/
)(
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Ejemplo:
Sean las funciones:
8;142)(
6,314)( 2
g
f
Dxxg
Dxxxf
Halle:
a) xgf y su dominio
b) xgf / y su dominio
Solución:
a) xgf y su dominio
18
)42(14
)()(
2
2
xx
xxx
xgxfxgf
6;1
8;16;3
gfgf DDD
b) xgf / y su dominio
x
xx
xg
xfxgf
42
14
)(
)(/
2
2
16;1
042/8;16;3
0)(//
xx
xgxDDD gfgf
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Ejemplo:
Sean las funciones:
3)(
32)( 2
xxg
xxxf
Halle:
a) xgf
b) xfg
Solución:
a) xgf
188
36296
3323
)3(
2
2
2
xx
xxx
xx
xf
xgfxgf
b) xfg
62
332
)32(
2
2
2
xx
xx
xxg
xfgxfg
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5. Modelación matemática: Es la representación en lenguaje matemático de la formulación de problemas de aplicación.
Ejemplo: Un comerciante tiene costos fijos de 2 000 nuevos soles, cada uno de sus productos tiene un precio de costo de 20 nuevos soles. Determine la función de
costo )(xC que da el costo total de producir ""x unidades de su producto.
a) Se tiene que la función lineal de costo total es la suma del costo fijo más el costo variable:
iablefijototal CCC var
b) Luego el costo variable es el producto del precio de costo "" p y del número
de unidades producidas ""x .
xpC iable var
c) Finalmente se reemplaza los datos en la ecuación de la parte a)
xxC 202000)(
Lo que nos determina el modelo matemático de la función de costo total.
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BIBLIOGRAFÍA
- Matemáticas aplicadas a la Administración – Arya / Lardner / Ibarra – 5ª Edición
2009
- Matemática Básica – Eduardo Espinoza Ramos – 2º edición 2005
- Matemática Básica – Ricardo Figueroa García – 9ª Edición 2006
- Introducción al Análisis Matemático – Armando Venero – 1987
- Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica - Swokowski, Earl W. 2006
México, Internacional Thomson.