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Estadistica descriptiva
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Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
Docente: MTI. Ulises Girn Jimnez Pgina | 7
Unidad 1
1 Estadstica aplicada
Competencia especfica a desarrollar: Aplicar conceptos bsicos estadsticos a casos
reales.
Contenido
1.1 Conceptos bsicos de Estadstica
1.2 Medidas de Tendencia central y dispersin (media, moda, varianza y
desviacin estndar).
1.3 Distribuciones de frecuencias
1.3.1 Distribuciones numricas.
1.3.2 Distribuciones categricas.
1.3.3 Distribuciones acumuladas.
1.3.4 Distribuciones porcentuales.
1.3.5 Distribuciones porcentuales acumuladas.
1.4 Histogramas
1.5 Polgono de Frecuencias
1.6 Diagrama de Pareto.
1.7 Diagrama de Dispersin.
Actividades de
aprendizaje
Investigacin bibliogrfica de conceptos bsicos de estadstica
De un conjunto de datos, hacer agrupaciones, calcular medidas de
tendencia central y dispersin.
Realizacin de ejercicios en clase y extra-clase de clculo de
distribuciones as como la elaboracin de grficos sobre la toma
de datos de un caso real
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1.1 Conceptos bsicos de Estadstica
Estadstica
Qu es la
estadstica?
Segn Allen (1996), Chao (1996), Yule y Kendal ( 1986) y Rivas Gonzlez
( 1993) la estadstica es una ciencia ( otros investigadores la consideran
como un conjunto de mtodos) que se encarga de la recoleccin,
clasificacin, presentacin, organizacin, anlisis e interpretacin de un
conjunto de fenmenos, (naturales, econmicos, polticos o sociales) de
manera metdica y numrica, que permitan extraer conclusiones de un
hecho, en un momento determinado y as poder tomar decisiones
valederas. De acuerdo con la definicin anterior la estadstica se encarga
de la recoleccin, clasificacin, anlisis e interpretacin de un conjunto
de datos en una investigacin determinada.
Etimologa Etimologa de la palabra estadstica
La nocin de estadstica procedi primitivamente del vocablo estado,
porque ha sido ocupacin tradicional de todos los gobiernos de la
civilizacin llevar registros de las poblaciones que dominaban o
gobernaban, entre esos registros se pueden mencionar: los nacimientos,
las defunciones, los censos poblacionales, cosechas, impuestos y muchas
otras clases de cosas y actividades que eran y son de importancia para un
gobernante. Contar y medir estos hechos generan muchas clases de datos
numricos. Esta se ha convertido en un instrumento cotidiano de todos
los tipos de profesionales que se ponen en contacto con datos
cuantitativos o extraen conclusiones de ellos. Tales tcnicos requieren
con urgencia familiarizarse con los principios bsicos de los mtodos
estadsticos para poder evaluar los informes numricos y otro gran
cmulo de informacin para as evitar malos usos comunes de la
estadstica como lo es la generalizacin e inferencia que es bsica en el
razonamiento estadstico. Los estudiantes de diversas reas del
conocimiento deberan tener un conocimiento prctico de los mtodos
estadsticos.
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Son heterogneos los vocablos que se citan como antecedentes del
trmino estadstica. Sin intentar ser exhaustivos, pero si indagando para
describir los de mayor mencin, se pueden nombrar los siguientes:
STATUS (latn), que significa situacin, posicin, estado.
STATERA (griego), que quiere decir balanza, ya que la estadstica mide o
pesa hechos.
STAAT (alemn), que se refiere a estado como expresin de unidad
poltica superior.
Finalidad Finalidad de la estadstica
La estadstica es una ciencia o mtodo cientfico que en la actualidad es
considerada como un poderoso auxiliar en las investigaciones cientficas,
que le permite a sta aprovechar el material cuantitativo. No existen
ciencias cuyos fenmenos no puedan ser tratados estadsticamente; por
tal razn, la estadstica la denominan algunos investigadores (Rivas
Gonzlez) como el lenguaje cientfico. La misma es indispensable en la
formacin de cualquier profesional universitario o tcnico medio, ya que,
por medio de esta se pueden realizar diagnsticos de cualquiera
investigacin que se desee realizar. Esta es indispensable para realizar
cualquier trabajo de investigacin que requiera una recoleccin de
informacin. Ella permite resumir los resultados de una investigacin en
una forma significativa y cmoda. La misma permite deducir
conclusiones generales y as afirmar hasta donde se puede ampliar una
generalizacin de una investigacin determinada. De la misma forma
permite predecir qu suceder algo tomando en cuenta ciertas
condiciones que se han analizado con datos anteriores.
En las ciencias sociales, administrativas, polticas, medicas, en educacin
y en otras ciencias permite analizar algunos de los factores casuales en
sucesos complejos y que de alguna manera confundiran a un
investigador determinado. De acuerdo a lo antes planteado los mtodos
estadsticos son por lo tanto los compaeros constantes de los que
realizan investigacin. La estadstica y su aplicacin, ha avanzado de tal
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forma en los ltimos aos, que hoy da se ha hecho imprescindible en
todas las investigaciones cientficas sea cual fuere el carcter de esta
ltima.
Historia Historia de la estadstica
Desde el inicio de la civilizacin han existido formas sencillas de
estadstica, puesto que en la antigedad se utilizaban representaciones
grficas y otros smbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de
cuevas para contar el nmero de personas, animales o ciertas cosas que
eran de importancia en aquellas civilizaciones. El trmino estadstico es
ampliamente percibido y pronunciado a diario desde diversos sectores
activos de la sociedad. No obstante, hay una gran diferencia entre el
sentido del trmino cuando se utiliza en el lenguaje corriente,
generalmente al anteceder una citacin de carcter numrico, y lo que la
estadstica significa como ciencia.
La razn o razones que motivaron al hombre en un momento de su
desarrollo a tomar en cuenta datos con propsitos estadsticos,
posiblemente se encuentra si se toma en cuenta que es difcil suponer un
organismo social, sea cual fuere la poca, sin la necesidad, casi instintiva,
de recoger aquellos hechos que aparecen como actos esenciales de la
vida; y as, al ubicarnos en una etapa del desarrollo de la estadstica
podemos especular que se convirti en una aritmtica estatal para asistir
al gobernante que necesitaba conocer la riqueza y el nmero de los
sbditos entre otros, con el objeto de recaudar impuestos o presupuestar
la guerra.
Hay evidencias del uso de la estadstica a un nivel rudimentario por
organizaciones sociales antiguas. As por ejemplo, en los monumentos
egipcios hay testimonios de que los movimientos de poblaciones eran
seguidos por medio de censos. La Biblia cita que Moiss hizo un censo
de los Israelita en el desierto, como tambin que David llev un censo.
En China, Confucio narra como un rey llamado Yao, unos 3.000 aos a.C.,
hizo levantar un recuento agrcola, industrial y comercial del pas.
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Desde los comienzos de la civilizacin han existido formas sencillas de
estadstica, pues ya se utilizaban representaciones grficas y otros
smbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para
contar el nmero de personas, animales o cosas. Hacia el ao 3000 a.C.
los babilonios usaban pequeas tablillas de arcilla para recopilar datos
sobre la produccin agrcola y sobre las especies vendidas o cambiadas
mediante trueque.
La estadstica en
nuestros das
Hoy en da, la estadstica se ha convertido en un mtodo efectivo para
describir con exactitud los valores de datos econmicos, polticos,
sociales, psicolgicos, biolgicos o fsicos, y sirve como herramienta para
relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadstico no
consiste ya slo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el
proceso de interpretacin de esa informacin. El desarrollo de la
teora de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de
la estadstica. La Probabilidad, es una rama de las matemticas que se
ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que
ocurra un determinado suceso. La probabilidad est basada en el estudio
de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadstica.
Numerosas colecciones de datos se pueden aproximar con gran
exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilsticas; los
resultados de stas se pueden utilizar para analizar datos estadsticos. La
probabilidad es til para comprobar la fiabilidad de las inferencias
estadsticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en
un determinado estudio estadstico. En la actualidad la estadstica ha
alcanzado tal grado de perfeccionamiento y especializacin, que podra
decirse, que no existe disciplina cientfica en la cual no se apliquen los
mtodos estadsticos como herramienta indispensable para iniciar
cualquiera investigacin de envergadura.
Todo lo que hasta apartadamente tiene que ver con la recoleccin,
procesamiento, anlisis e interpretacin de datos numricos pertenece al
dominio de la estadstica, comprende, por ejemplo, el clculo del
aumento, en promedio, de las utilidades de una importante compaa de
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ventas de artculos por Internet los ltimos tres aos; la recoleccin y
presentacin anual de la deuda a corto plazo de tres compaas de
electricidad, as como un porcentaje de su deuda a largo plazo; la
evaluacin de la eficacia de dos diferentes programas de computacin,
destinado reducir el nmero de accidentes personales en una empresa,
el tiempo perdido en trabajo de alto riesgo; y el anlisis de las variaciones
que ocurren de cuando en cuando en serie de datos econmicos, ventas
al menudeo, precios al consumidor y al mayoristas, y distribucin de
dinero, precios de productos comunes, productividad del sector agrcola,
etctera.
Definiciones
fundamentales
La Estadstica Descriptiva se ocupa de la descripcin de datos
experimentales, ms especficamente de la recopilacin, organizacin y
anlisis de datos sobre alguna caractersticas de ciertos individuos
pertenecientes a la poblacin o universo.
El papel ms destacado de la Estadstica es la recopilacin, presentacin,
anlisis y uso de datos experimentales, a partir de los cuales obtener unas
conclusiones y tomar decisiones. En este sentido, el conocimiento de la
Estadstica puede resultar de gran utilidad en cualquier campo y en
particular en la Ingeniera. Por ejemplo, en el diseo, desarrollo y mejora
de los procesos de produccin (control de la variabilidad en el proceso,
control de la calidad, etc...). Otros mbitos de aplicacin podran ser: el
estudio de materiales (duracin, dureza, elasticidad, etc...), anlisis de
rendimientos en procesos qumicos segn empleo de catalizadores,
anlisis de procesos hidrolgicos (clculo de avenidas, caudales
generados por cuencas hidrogrficas, etc...), anlisis de
dimensionamiento de estructuras y obras basados en el anlisis de
riesgo, etc...
Estadstica. La Estadstica Descriptiva se encarga de resumir (grfica y
numricamente) la informacin contenida en un conjunto de datos,
destacando sus rasgos ms relevantes.
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La Inferencia Estadstica permite obtener conclusiones y tomar
decisiones en una poblacin (no observable completamente) analizando
solamente una parte representativa de ella a la que llamamos muestra.
La Probabilidad sirve de puente entre ambas ramas, que constituye la
base terica para poder hacer inferencias en la poblacin a partir de lo
observado y crear modelos para problemas concretos.
El objetivo bsico de la Estadstica es extraer la informacin contenida en
un conjunto de observaciones. Resumir los datos es un procedimiento
til para conseguirlo y puede hacerse mediante tablas, grficos o valores
numricos. A lo largo de este tema veremos las principales tcnicas
numricas y grficas que nos permiten describir una caracterstica de
inters observada en una poblacin, poniendo en relieve sus rasgos ms
importantes.
Conceptos
bsicos
Conceptos bsicos. Poblacin y variable.
El universo de objetos al cual se refiere el estudio que se pretende
realizar recibe el nombre de poblacin. Por ejemplo, todas las piezas
terminadas en una cadena de montaje, los nacidos en un da determinado,
los coches de una determinada marca, etc. Las poblaciones pueden ser
finitas e infinitas (p.e. poblacin de bacterias). En general, estudiar todos
los individuos de una poblacin (an siendo finita) es difcil,
fundamentalmente por cuestiones de tiempo y costo. Se suele entonces
analizar nicamente una parte representativa de ella a la que llamamos
muestra.
A las caractersticas objeto de estudio en la poblacin se les llama
variables, ya que pueden variar de un individuo a otro. Por ejemplo, el
grosor de una pieza, peso al nacer, consumo de gasolina, partido al que
va a votar un individuo, etc. Segn los valores que puedan tomar las
variables, se clasifican en:
Cualitativas (categricas): No toman valores numricos. Por
ejemplo, causa de fallo de un componente elctrico, tipo de
defecto presente en un material, partido al que se va a votar.
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Supongamos que se distinguen tres causas de fallo para los
componentes en estudio: A, B y C. Estas son entonces las
modalidades de la variable causa de fallo". Las modalidades han
de ser exhaustivas e incompatibles. Eso significa en este caso que
en A, B y C estn recogidas todas las posibles causas de fallo
(exhaustivas), y cualquier componente ha de presentar slo una
de esas causas de fallo (incompatibles).
Cuantitativas (numricas): Toman valores numricos. Por
ejemplo, tiempo de fallo de un componente, grosor de una pieza,
altura, peso, etc. Estas a su vez se clasifican en:
o Discretas: Toman un nmero finito o infinito numerable
de valores (toman valores enteros). Por ejemplo, nmero
de piezas defectuosas en un lote, nmero de hijos, etc.
o Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de uno o
varios intervalos de la recta real (pueden tomar valores
con decimales). Por ejemplo, altura, temperatura, tiempo
de fallo, etc.
Variables
estadsticas
Variable estadstica. Definicin y ejemplos.
Consideramos un experimento o muestra de una poblacin cualquiera y
realizamos 'n' pruebas o 'n' observaciones, de esta forma obtenemos un
conjunto de observaciones que llamaremos muestra aleatoria de tamao
'n'. Los valores o cualidades que representan los 'n' resultados de las 'n'
pruebas realizadas le llamaremos variable estadstica.
Clasificacin de las variables estadsticas: cualitativas y cuantitativas
(discretas y continuas).
Hemos visto que un carcter estadstico es una propiedad que permite
clasificar a los individuos de la poblacin.
Hay dos tipos:
a) Caracteres estadsticos cuantitativos: Se dice que un carcter
estadstico es cuantitativo cuando sus modalidades son medibles
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(expresables como nmeros y cumpliendo unas propiedades de
medida.). Ejemplos: peso, talla, pulso, edad, etc.
b) Caracteres estadsticos cualitativos: Se dice que un carcter
estadstico es cualitativo cuando sus modalidades no pueden ser
medidas. Ejemplos: raza, sexo, profesin, estado civil, etc.
Nota: Es evidente, por ejemplo, que si el carcter es el estado civil,
podamos asignarle a sus modalidades los siguientes nmeros: a los
casados 1 , solteros 0 , viudos un 2, etc, pero este carcter no es medible
en el sentido de que el 1>0 por ejemplo , expresin que no tiene sentido.
Continuas o
discretas
Las variables estadsticas cuantitativas pueden ser: continuas o discretas.
Discreta: es aquella que solo puede tomar un nmero finito o
infinito numerable de valores. Dicho con otras palabras: cuando
no puede tomar cualquier valor entre dos valores dados. O bien
solo toma valores aislados, generalmente enteros.
Ejemplo: el nmero de libros en una estantera, las tiradas de un
dado, el nmero de ptalos de una flor, etc.
Continua: cuando puede tomar, al menos tericamente, todos los
valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplo: la temperatura de los enfermos entre 35 y 40 grados,
aunque en la prctica sea imposible medir temperaturas
aproximando hasta la cuarta o quinta cifra decimal. En la prctica
son variables estadsticas continuas aquellas que fijamos como
suceso elemental las que entren en un intervalo.
Experimento
comparativo
Experimento comparativo. Es una investigacin cuya finalidad es
comparar los efectos de dos o ms tratamientos aplicadas a ciertas
unidades de experimentacin.
Encuesta por
muestreo
Encuensta por muestreo. Es una investigacion que tiene por objetivo la
descripcion de cieratas caracteristicas de una poblacion mediante el
examen de una parte de ella.
Estudio
observacional
Estudio observacional. Es una investigacin comparativa sin la
asignacin aleatoria que se hace en los experimentos, cuya finalidad es
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tambien comparar los efectos de dos o mas condiciones que tiene sobre
las unidades observadas.
Modelos
estadstico
Construccin de un modelo estadstico. Es una investigacin para
identificar un modelo que represente un aspecto de la realidad, estimar
sus parmetros y validad sus ajustes a la realidad.
Divisin de la
estadstica
Descriptiva o
deductiva
Estadstica Descriptiva o deductiva: Es la parte de la Estadstica que se
ocupa de recopilar, representar y condensar los datos obtenidos del
sistema en estudio, utilizar representaciones grficas de los datos
tabulados. Esta utiliza el siguiente mtodo:
Seleccin de caracteres: Dignos de estudio.
Anlisis de cada carcter. Este anlisis consiste en:
o Examinar cada individuo y anotar el valor de cada carcter.
o Establecer las clases de individuos que se desean distinguir
respecto a ese carcter.
o Clasificar y contar los individuos incluidos en cada clase
o Calcular determinados valores numricos (los parmetros
estadsticos) a partir de los datos contenidos en las
distribuciones anteriores.
o
Inferencial Estadstica Inferencial: Es la parte de la Estadstica dedicada a la
formulacin de supuestos y estimaciones, para hacer predicciones y
poder sacar conclusiones de los datos obtenidos con el estudio de las
muestras. Y as, poder tomar decisiones con base cientfica. La Estadstica
se emplea en el estudio de los fenmenos naturales, tanto los generados
en los laboratorios por los cientficos como aquellos ms all del control
humano. Es una herramienta de uso tan amplio y general que hoy da es
difcil imaginar un lugar donde no pueda emplearse.
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Formas de observar una poblacin
La estadstica se ha convertido en una disciplina formidable que ha
colaborado con la mayor parte de las ciencias, las tecnologas y las
humanidades en la produccin de nuevo conocimiento sobre el mundo
en que vivimos.
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Recopilacin de
datos
Etapas de la recopilacin de datos
Etapa 1 - Objetivos de la Recopilacin: esta primera etapa consiste en
determinar con claridad qu es lo que se quiere lograr con la
recopilacin. No siempre es fcil saber lo que se quiere y menos
determinarlo en detalle. Por eso, se deben definir primero los objetivos
generales del trabajo estadstico. Y a partir de ellos se conocern las
variables a medir y as saber cules elementos se necesitarn. Con esto
se tiene una primera idea de los alcances y limitaciones de la tarea a
realizar, segn sea el tipo de informacin a obtener de la poblacin en
estudio. Los objetivos deben redactarse concisos, breves y claros.
Normalmente, la persona a cargo de la investigacin es la responsable de
esta etapa pues tiene una visin ms completa y actualizada del tema en
estudio. Por ejemplo, si se necesita la distribucin de la poblacin por
edades y sexo, no es lo mismo disponer de la informacin del ltimo
censo realizado que hacerlo uno mismo.
Etapa 2 - Relevamientos: esta etapa consiste en determinar lo que se
tiene para alcanzar los objetivos definidos en la etapa anterior. Se trata
de listar los bienes necesarios para poder hacer el trabajo, y el listado de
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los disponibles. Conviene tener en cuenta la siguiente clasificacin de los
bienes: Tangibles e Intangibles.
Por su parte, los bienes tangibles son dos:
Los materiales incluyen los de vidrio, de limpieza, drogas,
reactivos, etc.
Por equipamiento se entiende no slo los aparatos de medicin,
sino los accesorios como muebles y tiles de laboratorio y para
oficina.
El dinero o los recursos monetarios deben ser determinados con
mucho detalle para afrontar gastos e inversiones durante la
investigacin. Adems, hay que determinar los fondos
disponibles y las posibles fuentes financieras adonde poder
recurrir.
La infraestructura incluye a los edificios, laboratorios,
electricidad, agua, etc.
El personal es todo el necesario en sus diferentes niveles, como
ser: profesionales, tcnicos, ayudantes, consultores externos, de
servicio, etc. Este relevamiento de los bienes tangibles
disponibles y de los necesarios para la recopilacin condiciona de
alguna manera los objetivos. Puede ser que se disponga de bienes
sobrados para alcanzar los objetivos, por lo que se pueden
plantear metas ms ambiciosas. Por otra parte, puede ocurrir que
los bienes disponibles estn lejos de cubrir los necesarios, y por
lo tanto se debern resignar los objetivos planteados por otros
ms modestos.
Por su parte, los bienes intangibles son dos:
la organizacin de los bienes tangibles, de manera tal de alcanzar
los objetivos, y los conocimientos para saber cmo usarlos. Esto
es el know how de cada profesin. Y tambin lo es la bsqueda
bibliogrfica de trabajos similares en revistas especializadas,
textos y otras fuentes de informacin. Una vez terminada esta
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etapa, que seguramente habr ayudado a depurar la anterior, se
debe comenzar a pensar en las diferentes maneras de hacerlo.
Etapa 3 - Creacin de alternativas: esta etapa consiste en saber cmo
hacerlo. O sea, generar distintas alternativas de sistemas de recopilacin
de datos, de acuerdo con los objetivos adoptados y los bienes disponibles.
Se debe hacer un listado con todas las formas posibles de efectuar la
recopilacin a fin de tener un panorama completo. En sntesis, se habla
de fuente propia cuando se decide extraer los datos mediante
mediciones. Fuente Primaria es cuando se toman los datos de otros
investigadores que publican los resultados de sus propias mediciones.
Fuente Secundaria es cuando los datos se extraen de publicaciones que
usan como referencia a fuentes primarias.
Etapa 4 - Seleccin de alternativas: consiste en determinar cul es la
mejor entre las n alternativas planteadas en la etapa anterior. Se necesita
de un mtodo para la adopcin de un criterio de seleccin.
Etapa 5 - Prueba piloto: existe una diferencia entre el diseo en los
papeles y la realidad. Es por eso que siempre es aconsejable hacer una
prueba piloto antes de la puesta en marcha para poder juzgar cmo
trabaja el sistema de recopilacin de datos. Se sacan unos pocos datos y
se analizan las dificultades no previstas, junto con los resultados.
Comparando los valores obtenidos con los que se esperaba tener, se hace
una especie de control previo del sistema.
Etapa 6 - Ajustes: Lo normal es tener que hacer pequeos ajustes que
permitan optimizar al sistema. De las diferencias detectadas en el control
de la etapa anterior se sacan indicios. Estos muestran qu tpicos retocar
y surgen nuevas ideas de cmo hacer mejor las cosas. Bsicamente,
usando el sentido comn se corrigen los principales defectos, como ser:
mejorar el entrenamiento y conocimientos del personal, redisear
formularios, calibrar equipos de medicin, estimacin de la magnitud del
error de medicin, etc. Pero tambin hay tcnicas de optimizacin
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especiales como son los distintos modelos de la Investigacin Operativa.
Esta es una disciplina muy emparentada con estadstica y sus modelos
ms conocidos son: Teora de Lneas de Espera, Programacin por
Camino Crtico (PERT), Programacin Dinmica y Lineal, Reemplazos,
Simulaciones, etc. Una vez hechos los ajustes, se vuelve a la etapa anterior
y se efecta una nueva prueba piloto. Este ensayo permite decidir si se
contina adelante, o si son necesarios ms ajustes. Hay que continuar
hasta que todo sea satisfactorio y recin entonces pasar a la etapa
siguiente.
Etapa 7 - Puesta en marcha: una vez optimizado y ajustado el mtodo
de obtencin de datos solo resta ponerlo en marcha. De esa manera, se
logra la cantidad de datos necesarios para alcanzar los objetivos
previstos. El resultado final es la obtencin de un volumen grande de
informacin que debe ser presentada en forma ms resumida y
comprensible usando tablas, grficos y otras formas, como se ver ms
adelante.
1.2 Medidas de Tendencia central y dispersin (media, moda,
varianza y desviacin estndar).
Tratamientos para datos no agrupados
A qu se refiere esto? Cuando la muestra que se ha tomado de la
poblacin o proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de
20 elementos en la muestra, entonces estos datos son analizados sin
necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama
tratamiento de datos no agrupados.
Medidas de
tendencia central
Se les llama medidas de tendencia central a la media aritmtica, la
mediana, la media geomtrica, la moda, etc. debido a que al observar la
distribucin de los datos, estas tienden a estar localizadas generalmente
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en su parte central. A continuacin definiremos algunas medidas de
tendencia central y la forma de calcular su valor.
Media aritmtica Media aritmtica (x ). Tambin se le conoce como promedio ya que es
el promedio de las lecturas o mediciones individuales que se tienen en la
muestra, se determina con la frmula siguiente:
donde:
x = media aritmtica
xi = dato i
n = nmero de datos en la muestra
Problema Se han tomado como muestra las medidas de seis cables usados en un
arns para lavadora, las cuales son; 15.2 cm, 15.0, 15.1, 15.2, 15.1 y 15.0,
determine su media aritmtica.
Solucin:
Problema Se toman varias muestras de cierto tipo de queso y se determina la
cantidad de protena por cada 100 gramos de queso, encontrndose lo
siguiente: 26.5 gramos, 24.8, 25.3, 30.5, 21.4, determine la cantidad
promedio de protena encontrada en la muestra por cada 100 gramos de
queso que se elabora.
Solucin:
problema Se hacen varias lecturas de una muestra que contiene cobre, las lecturas
se hacen en un espectrofotmetro de absorcin atmica y son la
siguientes: 12.3%, 12.28, 12.27, 12.3, 12.24, 15.01, determine la
concentracin promedio de Cu en la muestra.
Solucin:
n
x
x
n
i
i
1
cm.......
x 1156
015115215115015215
grs......
x_
7255
421530325824526
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Docente: MTI. Ulises Girn Jimnez Pgina | 23
Problema Si observamos las lecturas del espectrofotmetro nos damos cuenta que
el valor de 15.01% es un valor diferente al de las lecturas anteriores, por
lo que se descarta el valor ya que se considera un valor atpico, es decir
un valor que es debido a circunstancias especiales, en este caso puede ser
que se deba al hecho de que se est descalibrando el aparato de absorcin
atmica o simplemente que se ha equivocado el operador del aparato al
tomar la lectura, por lo que la media se debe calcular con las primeras
cinco lecturas; como se muestra a continuacin:
Solucin:
y esta sera la media correcta
Problema Si deseamos determinar la edad promedio de los estudiantes de una
escuela de nivel superior al iniciar sus estudios, suponga que se toman
las edades de algunos de los alumnos de cierta clase y estas son las que
siguen: 20, 18, 18, 19, 18, 19, 35, 20, 18, 18, 19.
Solucin:
Luego, la media se determinar con solo 10 de las edades ya que es
necesario descartar la edad de 35 aos, que es un dato atpico o un caso
especial, por lo que;
Nota: Cuando es necesario determinar aquellas medidas de tendencia
central que hagan uso de todos los datos de la muestra se recomienda
descartar todos aquellos datos atpicos que se encuentren en la muestra
o muestras tomadas.
Media
geomtrica
Media geomtrica (G). Es la raz en ensima del producto de los valores
de los elementos de la muestra, es usada cuando los valores de los datos
Cu%........
x_
73126
476
6
0115241231227122812312
Cu%.......
x_
278125
3961
5
241231227122812312
aos.x_
71810
187
10
19181820191819181820
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Docente: MTI. Ulises Girn Jimnez Pgina | 24
de la muestra no son lineales, es decir que su valor depende de varios
factores a la vez, se determina de la siguiente forma:
Donde:
G = media geomtrica
xi = dato i
n = nmero de datos en la muestra
Problema Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso qumico,
13.4oC, 12.8, 11.9, 13.6, determine la temperatura promedio de este
proceso.
Solucin:
G = = 12.9077 oC
Problema Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso para
fabricar queso chihuahua, 21.4oC, 23.1, 20.2, 19.7, 21.0, determine la
temperatura promedio de este proceso.
Solucin:
G = = 21.048 oC
Media aritmtica
ponderada
Media aritmtica ponderada ( xw ). Esta media se usa cuando el peso
que tiene cada uno de los datos de la muestra es diferente, se calcula de
la siguiente manera:
Donde:
xw = media aritmtica ponderada
xi = dato i
wi = peso del dato i
Problema A continuacin se mencionan las materias que Luis Prez llev en el
primer semestre de Ingeniera Qumica, el nmero de crditos y la
calificacin obtenida;
nn x*...*x*xG 21
44 796827758613911812413 ..x.x.x.
55 8524131070021719220123421 ..x.x.x.x.
k
i
i
k
i
ii
w
xwwx
1
1
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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Materia Numero crditos Calificacin
Metodologa de la investigacin 8 90.5
Matemticas I 10 100.0
Programacin 8 81.0
Qumica 10 78.0
Dibujo 4 100.0
Economa 8 84.0
Determine la calificacin promedio que obtuvo Luis Prez en su primer
semestre.
Solucin:
=
Nota: S comparamos este promedio con el que se obtiene usando
simplemente la media aritmtica, que es un 88.91, nos damos cuenta de
que este ltimo es mayor, por no tomar en cuenta el peso o nmero de
crditos que aporta cada materia a la carrera que se estudia, el promedio
de esta persona es menor al de la media aritmtica debido a que obtiene
una calificacin baja es Qumica que es una de las materias que aporta
ms crditos.
Media armnica Media armnica (H). La media armnica se define como el recproco del
promedio de los recprocos de cada uno de los datos que se tienen en la
muestra, y se determina de la siguiente manera:
Problema Determine la media armnica de los siguientes datos, 3.1, 2.8, 2.84, 3.05,
3.09
84108108
084810040781008180100105908
).x()x().x().x().x().x(X w
08848
4224
48
6724007806481000724.
n
i
n
i
xi/
n
xi/n/
H
11
111
1
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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Solucin:
Mediana Mediana (xmed). La mediana es aquel valor que se encuentra en la parte
central de los datos que se tienen en la muestra una vez que estos han
sido ordenados segn su valor o magnitud. Para calcular la mediana se
presentan dos casos:
a) Cuando el nmero de datos en la muestra es impar.- En este
caso despus de ordenar los datos de la muestra en cuanto a
su magnitud, es decir de mayor a menor valor o de menor a
mayor valor, se procede a localizar aquel dato que se
encuentra justo en el centro de los datos o en la parte central
de los mismos, el valor de este dato ser el que d valor a la
mediana.
Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado
en un arns de lavadora; se toman como muestra siete circuitos y sus
mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.4, 11.5 cm.
Solucin:
Ordenando los datos de menor a mayor valor;
11.2, 11.2, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.5
Se observa que el dato 11.3 es el que queda en la parte central, por lo que
este es el que dar valor a la mediana; entonces,
xmed = 11.3 cm.
b) Cuando el nmero de datos en la muestra es par.- En este caso
despus de ordenar los datos en cuanto a su magnitud,
observamos que en la parte central de los datos no se
encuentra dato alguno, en este caso, la mediana tomar el
093105318421821131
5
./././././H
9703268331
5
3236032790352103571032260
5.
......
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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valor del promedio de dos datos; el que se encuentra antes de
la parte central y el que se encuentra despus de la parte
central.
Problema Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado
en un arns de lavadora; se toman como muestra ocho circuitos y sus
mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.4, 11.5, 11.4 cm.
Solucin:
Ordenando los datos de mayor a menor valor,
11.5, 11.4, 11.4, 11.3, 11.2, 11.2, 11.2, 11,1 cm.
Se observa que en la parte central de los datos no hay dato alguno por lo
que la mediana se determina con el promedio de los datos subrayados,
entonces,
Nota: Es imprescindible para calcular el valor de la mediana el que
primero se ordenen los datos en cuanto a su magnitud, ya que de no
hacerlo, se incurrira en un grave error.
Moda Moda (xmod). La moda se define como aquel valor o valores que ms se
repiten o que tienen mayor frecuencia entre los datos que se han
obtenido en una muestra, la muestra de una poblacin nos genera la
distribucin de los datos una vez que estos se han graficado y en esta
grfica es posible observar la moda o modas de la misma, es por esto que
una distribucin de datos puede ser amodal (carece de moda), unimodal
(tiene una sola moda), bimodal (tiene dos modas) o polimodal (tiene ms
de dos modas).
Problema Determine la moda de los datos que se muestran a continuacin, se
refieren a la estatura de un grupo de jvenes; 1.60m, 1.65, 1.70, 1.71, 1.70,
1.70, 1.70, 1.71, 1.70, 1.93, 1.87, 1.85
Solucin:
Estatura Frecuencia
1.60 1
cm...
Xmed 25112
211311
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1.65 1
1.70 5*
1.71 2
1.85 1
1.87 1
1.93 1
La tabla muestra la distribucin de frecuencias de los datos o el
nmero de veces que estos se repiten, la mayor frecuencia que es 5
corresponde a una estatura de 1.70m, por lo que esta sera la moda.
Luego, xmod = 1.70m
Determine la moda de los siguientes datos que se refieren a la edad de
alumnos de primer semestre del tecnolgico de Chihuahua, 18 aos, 17,
19, 21, 19, 18, 22, 22, 18, 18, 17, 19, 19, 19, 18, 20, 21, 20, 18, 19, 18, 19,
18,19, 22, 35
Solucin:
Edad Frecuencia
17 2
18 8*
19 8*
20 2
21 2
22 3
35 1
En este caso se observa que las edades que ms frecuencia tienen son las
de 18 y 19 aos, por lo que se concluye que existen dos modas,
Xmod1= 18 aos , Xmod2= 19aos
Hay que hacer notar que la frecuencia para ambas modas puede ser de
igual magnitud o diferente, como en el caso que se ilustra.
Medidas de dispersin
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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Cuando se tiene una muestra de datos obtenida de una poblacin
cualquiera, es importante determinar sus medidas de tendencia central
as como tambin es bsico el determinar que tan dispersos estn los
datos en la muestra, por lo que se hace necesario determinar su rango, la
varianza, la desviacin estndar, etc., ya que una excesiva variabilidad o
dispersin en los datos indica la inestabilidad del proceso en anlisis en
la mayora de los casos.
Rango Rango o recorrido. El rango es la diferencia entre el valor mayor y el
valor menor encontrado en la muestra, tambin se le denomina recorrido
ya que nos dice entre que valores hace su recorrido la variable de inters;
y se determina de la siguiente manera:
R = VM Vm
Donde:
R = rango o recorrido
VM = valor mayor en la muestra
Vm = valor menor en la muestra
Problema Se han tomado como muestras las mediciones de la resistencia a la
tensin de la soldadura usada para unir dos cables, estas son: 78.5kg,
82.4, 87.3, 78.0, 90.0, 86.5, 77.9, 92.4, 75.9, determine su rango o
recorrido.
Solucin:
VM = 92.4 kg
Vm = 75.9 kg
R = VM Vm = 92.4 75.9 = 16.5 kg
Problema Se toman las mediciones de la cantidad de grasa de la leche en gramos
por cada 100 ml de leche que entra a un proceso de pasteurizacin, a
continuacin se enumeran; 14.85, 15.32, 12.76, 16.29, 15.84, 17.3, 17.61,
16.33, determine el rango o recorrido de la cantidad de grasa de la leche.
Solucin:
VM = 17.61
Vm = 12.76
R = 17.61 12.76 = 4.85gramos
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Desviacin
absoluta media Desviacin absoluta media ( ). Esta medida de dispersin nos
representa la diferencia absoluta promedio que existe entre cada dato
que se encuentra en la muestra y la media de los datos y se determina de
la siguiente manera:
Donde:
xi = dato i
= media aritmtica de la muestra
n = nmero de datos en la muestra
Determine la desviacin absoluta media de los siguientes datos que son
las concentraciones de plomo de algunas muestras, las que a
continuacin se enumeran: 18gr, 12, 21, 19, 16, 20, 22
Solucin:
Para determinar la desviacin absoluta media o promedio, lo primero
que hay que hacer es calcular la media aritmtica de los datos de la
muestra, la que es 128/7 =18.286, luego se procede a calcular el
promedio de las diferencias absolutas entre cada dato y la media
calculada.
_
d
n
xxi
d
n
i
_
_
1
_
x
7
2861822286182028618122861818 .........d_
gr.........
d_
530527
71417
7
7143714128627140714228662860
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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La interpretacin de este resultado sera que el grado de alejamiento
absoluto promedio de los datos con respecto a su media es de 2.5305
gramos.
Por qu sacar el valor absoluto de las diferencias entre cada dato y la
media aritmtica? Si solo se hicieran diferencias entre cada dato y la
media aritmtica, estas tendran signos positivos y negativos ya que
algunos datos son menores que la media y otros son mayores que la
media, luego al sumar las diferencias, con sus signos correspondientes,
stas se iran anulando unas con otras y no sera posible medir el grado
de alejamiento promedio de los datos en la muestra.
Varianza Varianza o variancia (s2). Es el promedio de las diferencias elevadas al
cuadrado entre cada valor que se tiene en la muestra (xi) y la media
aritmtica ( ) de los datos y se determina de la siguiente manera:
Donde n es el nmero de datos en la muestra.
Los siguientes datos es la cantidad de glucosa en miligramos encontrada
en muestras de sangre de algunos pacientes, 14.2, 12.1, 15.6, 18.1, 14.3,
determine su varianza.
Solucin:
Lo primero que hay que calcular es la media aritmtica de la muestra
como ya se ha hecho anteriormente.
_
x
1
1
2
2
n
xxi
S
n
i
_
mg.......
x 86145
374
5
314118615112214
15
861431486141128614214222
2 )..(....)..()..(s
22 8534
4
41219
4
31360497610547606176743560mg.
......s
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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Nota: Dentro de la inferencia estadstica se plantea la deferencia entre
una variancia muestral s2 y una poblacional, representada por 2.
Desviacin estndar (s). Es la desviacin o diferencia promedio que
existe entre cada dato de la muestra y la media aritmtica de la muestra.
Y se obtiene a partir de la varianza, sacndole raz cuadrada.
Donde:
s2= varianza o variancia
Por tanto la desviacin estndar de la muestra anterior sera;
s =
La interpretacin de este resultado sera, que la cantidad de glucosa
encontrada en la muestra es en promedio de 14.86 miligramos y que la
cantidad de glucosa en la muestra se aleja o dispersa en promedio 1.9704
mg alrededor de la media.
En este caso solo nos interesa conocer el significado de la desviacin
estndar, aunque es necesario decir que s es la desviacin de la muestra
y que es la desviacin de la poblacin, as como s2 es la varianza de la
muestra y 2 es la varianza de la poblacin.
1.3 Distribuciones de frecuencias
Distribucin de frecuencia
Una distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin
en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su
frecuenci a correspondiente.
Tipos de
frecuencia
Frecuencia absoluta. La frecuencia absoluta es el nmero de veces que
aparece un determinado valor en un estudio estadstico. Se representa
2
ss
mg.mg. 2029285342
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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por f i . La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero total de
datos, que se representa por N .
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega (sigma
mayscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia
relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el nmero total de datos. Se puede expresar en tantos
por ciento y se representa por n i .
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Ejemplo:
Frecuencia
acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos
los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.
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Ejemplo Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes
temperaturas mximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29,
29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de
menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera
anotamos la frecuencia absoluta.
Elemento,
xi
Recuento Frecuencia,
fi
Frecuencia
acumulada,
FA
Frecuencia
relativa,
FR
27 I 1 1 0.032
28 II 2 3 0.065
29
6 9 0.194
30
7 16 0.226
31
8 24 0.258
32 III 3 27 0.097
33 III 3 30 0.097
34 I 1 31 0.032
31 1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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Distribuciones Distribucin de frecuencias agrupadas
La distribucin de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se
emplea si las variables toman un nmero grande de valores o la variable
es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud
denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia
correspondiente.
Lmites de clase Lmites de la clase
Cada clase est delimitada por el lmite inferior de la clase y el lmite
superior de la clase.
Amplitud de la
clase
Amplitud de la clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el lmite superior e inferior
de la clase.
Marca de clase Marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que
representa a todo el intervalo para el clculo de algunos parmetros.
Construccin de
tabla
Construccin de una tabla de datos agrupados
Pasos para agrupar datos.
a) Determinar el rango o recorrido de los datos.
Rango = Valor mayor Valor menor
b) Establecer el nmero de clases (k) en que se van a agrupar los
datos tomando como base para esto la siguiente tabla.
Tamao de muestra o No. De datos Nmero de clases
Menos de 50 5 a 7
50 a 99 6 a 10
100 a 250 7 a 12
250 en adelante 10 a 20
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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El uso de esta tabla es uno de los criterios que se puede tomar en cuenta
para establecer el nmero de clases en las que se van a agrupar los datos,
existen otros para hacerlo.
Determinar la amplitud de clase para agrupar (C).
a) Formar clases y agrupar datos.
Para formar la primera clase, se pone como lmite inferior de la primera
clase un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra
y posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el
lmite superior de la primera clase, luego se procede a obtener los lmites
de la clase siguiente y as sucesivamente.
Ejemplo Los siguientes datos se refieren al dimetro en pulgadas de un engrane.
6.75 7.00 7.00 6.75 6.50 6.50 7.15 7.00
6.50 6.50 6.50 6.25 6.25 6.50 6.65 7.00
7.25 6.70 6.00 6.75 6.00 6.75 6.75 7.10
7.00 6.70 6.50 6.75 6.25 6.65 6.75 7.10
7.25 6.75 6.25 6.25 7.00 6.75 7.00 7.15
Agrupe datos, considere k = 6.
Solucin:
Agrupando datos;
R= VM - Vm = 7.25 6.00 = 1.25
k = 6
Para formar la primera clase se toma un valor un poco menor que el valor
menor encontrado en la muestra; luego,
k
RangoC
210208306
251..
.
k
RC
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1.3.1 Distribuciones numricas.
Distribuciones numricas
Es aquella distribucin en la que la disposicin tabular de los datos
estadsticos se encuentra ordenandos en clases y con la frecuencia de
cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del
conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen
normas establecidas para determinar cundo es apropiado utilizar datos
o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el nmero
total de datos (N) es igual o superior 50 y adems el rango o recorrido de
la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizara la distribucin de
frecuencia para datos agrupados, tambin se utilizara este tipo de
distribucin cuando se requiera elaborar grficos lineales como el
histograma, el polgono de frecuencia o la ojiva.
Para calcular el lmite inferior o superior conocido tambin como
fronteras inferior o superior se realiza lo siguiente:
Cantidad de dgitos Tolerancia
1 = 1 /2 = 0.5
0.1 = 0.1 / 2 = 0.05
0.01 = 0.01/2 = 0.005
0.001 = 0.001 = 0.0005
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0.0001 = 0.0001 = 0.00005
Media ( ).
=
Donde:
k = nmero de clases
xi = marca de clase i
fi = frecuencia de la clase i
n = nmero de datos en la muestra
c) Media ( ).
_
x
40
0543475311512
40
6175752956207561 ......))(.(...))(.())(.(
n
f*x
x
k
i
ii
adaslgpu..
713640
52268
k
i
if1
_
x
Estadstica y control de calidad / MTC - 1014
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=
Donde:
k = nmero de clases
xi = marca de clase i
fi = frecuencia de la clase i
n = nmero de datos en la muestra
Mediana (Xmed).
Donde:
Li = lmite real inferior de la clase que contiene a la mediana
Fme-1 = sumatoria de las frecuencias anteriores a la clase en donde se
encuentra la mediana
fme = frecuencia de la clase en donde se encuentra la mediana
A = amplitud real de la clase en donde se encuentra la mediana
A = LRS-LRI
LRS = lmite real superior de la clase que contiene a la mediana
LRI = lmite real inferior de la clase que contiene a la mediana
N = nmero de datos en la muestra
Moda (Xmod).
40
0543475311512
40
6175752956207561 ......))(.(...))(.())(.(
n
f*x
x
k
i
ii
adaslgpu..
713640
52268
k
i
if1
Afme
Fme/nLiXmed
12
7265622013
142406256 .).(
/.
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Donde:
Li = lmite real inferior de la clase que contiene a la moda
d1 = =
d2 = =
fmo = frecuencia de la clase que contiene a la moda
fmo-1= frecuencia de la clase anterior a la que contiene a la moda
fmo+1= frecuencia de la clase posterior a la que contiene a la moda
A = amplitud real de la clase que contiene a la moda
A = LRS LRI
LRS = lmite real superior de la clase que contiene a la moda
LRI = lmite real inferior de la clase que contiene a la moda
Desviacin estndar (S).
=
Add
dLimodX
21
1
adaslgpu.).(. 735622066
66256
1 fmofmo 6713
1 fmofmo 6713
11
1
2
1
1
2
n
fi)xxi(
fi
fi)xxi(
s
k
i
_
k
i
k
i
_
140
671361757571362956271360756 222 )()..(...)()..()()..(
adaslgpu........
3063039
659043
39
28066418736208140880
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Donde:
xi = marca de clase i
= media aritmtica
fi = frecuencia de la clase i
= nmero total de datos en la muestra
1.3.2 Distribuciones categricas.
Si las distribuciones se hallan agrupadas de acuerdo con alguna cualidad o
atributo denominaremos distribucin categrica a esa distribucin.
Ejemplo Prctico:
Una empresa quiere evaluar el grado de satisfaccin que sus clientes tienen
respecto de los productos adquiridos recientemente. Se toma una encuesta
sobre 30 clientes.
Cliente Numero de integrantes del grupo familiar
Edad jefe
Ingresos Mensuales
Grado de satisfaccin del cliente
1 3 30 3.91 Completamente satisfecho
2 2 26 3.64 Satisfecho
3 4 35 4.12 Satisfecho
4 3 27 3.56 Completamente satisfecho
5 6 29 3.23 Completamente satisfecho
6 3 45 5.97 Completamente satisfecho
7 7 32 3.25 Insatisfecho
8 4 33 3.62 Satisfecho
9 1 36 4.54 Completamente satisfecho
10 4 50 4.66 Completamente satisfecho
_
x
k
i
nfi1
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11 5 34 5.14 Insatisfecho
12 3 49 4.22 Completamente satisfecho
13 6 54 3.65 Completamente satisfecho
14 3 48 3.48 Completamente insatisfecho
15 8 35 4.25 Satisfecho
16 2 25 2.40 Satisfecho
17 4 37 3.36 Satisfecho
18 3 29 4.42 Completamente satisfecho
19 2 36 4.25 Insatisfecho
20 5 42 4.03 Satisfecho
21 3 60 4.23 Satisfecho
22 2 39 3.65 Completamente satisfecho
23 4 45 3.38 Satisfecho
24 5 30 2.83 Completamente insatisfecho
25 1 37 4.25 Satisfecho
26 2 43 3.62 Satisfecho
27 5 57 3.86 Completamente satisfecho
28 3 36 3.23 Completamente satisfecho
29 4 41 4.25 Satisfecho
30 3 48 3.66 Completamente satisfecho
Variable
categrica
Variable categrica
Organizacin de datos. Los datos se pueden organizar en una tabla que
muestre las frecuencias absolutas de cada categora de la variable, esto es la
cantidad de veces que se presentan cada una de estas.
Esta tabla se conoce como una distribucin de frecuencias absolutas y tiene
un formato como sigue:
Formato de distribucin de frecuencias de una variable categrica.
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1.3.3 Distribuciones acumuladas.
Distribuciones acumuladas
Una distribucin de frecuencia acumulada (ojiva) se usa para
determinar cuntos o que proporcin de los valores de los datos
es menor o mayor que cierto valor.
Una distribucin de frecuencias acumuladas identifica el nmero
acumulado de observaciones incluidas bajo el lmite exacto
superior de cada clase de la distribucin. Las frecuencias
acumuladas de una clase pueden determinarse sumando las
frecuencias observadas de esa clase a las frecuencias acumuladas
de la clase anterior.
La grafica de una distribucin de frecuencias acumuladas se
llama ojiva. En el caso de distribuciones acumuladas del tipo y
menor que, esta grafica indica las frecuencias acumuladas bajo
cada limite exacto de clase de la distribucin de frecuencias. Si
esa grafica de lneas se suaviza, se obtiene la curva llamada ojiva.
Si la variable categrica se mide en una escala ordinal, entonces tiene
sentido obtener las frecuencias acumuladas:
Formato de distribucin de frecuencias de una variable categrica de
nivel ordinal.
Ejemplo de variable categrica.
Organizacin de Datos
Variable Categrica
Si la variable categrica se mide con una escala ordinal, entonces tiene sentido obtener las frecuencias acumuladas:
Formato de Distribucin de Frecuencias de una
variable categrica de nivel ordinal
Variable
X
Frecuencias
fi
Porcentaje
hi%
Frec.
Acumuladas Fi%
Porcentajes
Acumulados Hi%
Categora 1 f1 h1% F1% H1%
Categora 2 f2 h2% F2% H2%
... ... ... Categora k fk hk% Fk%= n Hk%= 100%
Total n 100
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Satisfaccin del
cliente
Numero de
clientes
Porcentajes Frecuencias
acumuladas
Porcentajes
acumulados
Completamente
satisfecho
13 43.3 13 43.3
Satisfecho 12 40.0 25 83.3
Insatisfecho 3 10.0 28 93.3
Completamente
insatisfecho
2 6.7 30 100
Total 30 100.0
Distribucin de frecuencias de la variable Satisfaccin del cliente.
Representaciones grficas.
En el eje horizontal se representan las categoras de la variable y sobre el
eje vertical las frecuencias respectivas de cada categora.
caso satisfaccin caso satisfaccin
1 Compl. Satisfecho 16 Satisfecho
2 Satisfecho 17 Satisfecho
3 Satisfecho 18 Compl. Satisfecho
4 Compl. Satisfecho 19 Insatisfecho
5 Compl. Satisfecho 20 Satisfecho
6 Compl. Satisfecho 21 Satisfecho
7 Insatisfecho 22 Compl. Satisfecho
8 Satisfecho 23 Satisfecho
9 Compl. Satisfecho 24 Compl. Insatisfecho
10 Compl. Satisfecho 25 Satisfecho
11 Insatisfecho 26 Satisfecho
12 Compl. Satisfecho 27 Compl. Satisfecho
13 Compl. Satisfecho 28 Compl. Satisfecho
14 Compl. Insatisfecho 29 Satisfecho
15 Satisfecho 30 Compl. Satisfecho
Distribucin de Frecuencias de la variable Satisfaccin del Cliente
Ejemplo
Variable Categrica
Satisfaccin del Cliente N de clientes Porcentajes Frecuencias
Acumuladas
Porcentajes
Acumulados
Completamente Satisfecho 13 43,3 13 43,3
Satisfecho 12 40,0 25 83,3
Insatisfecho 3 10,0 28 93,3
Completamente Insatisfecho 2 6,7 30 100
Total 30 100,0
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Grafico de pastel (Pie Chart)
Consta de un crculo que se divide en tantos sectores circulares como
categoras tenga la variable, cuyas reas son proporcionales a las
frecuencias correspondientes.
Medidas estadsticas descriptivas
Con escalas nominales: la nica medida descriptiva que puede
considerarse en el caso de variables categricas es la categora modal.
Categora modal: se define como aquella que tiene asociada la
frecuencia de ocurrencia mas alta.
Representaciones Grficas
Variable Categrica
Grfico de Barras
En el eje horizontal se representan las categoras de la variable y sobre el eje vertical las frecuencias respectivas de cada categora.
Grfico de Barras de la variable Satisfaccin del Cliente
Satisfaccin del Cliente
Comp Sat isfSatisfechoInsatisf fechoComp I nsatisfFre
cuen
cias
14
12
10
8
6
4
2
0
Porcentajes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Grfico de Pastel (Pie Chart)
Consta de un crculo que se divide en tantos sectores circulares como categoras tenga la variable, cuyas reas son proporcionales a las frecuencias correspondientes
43,3%
40,0% 10,0%
6,7%
Compl. Satisfecho
SatisfechoInsatisfecho
Compl. Insatisfecho
Grfico de Pastel de la variable
Satisfaccin del Cliente
Representaciones Grficas
Variable Categrica
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En el ejemplo anterior se trata de l categora completamente satisfecho,
mencionad por 13 encuestados de un total de 30.
Con Escalas ordinales: Adems de la categora modal se puede obtener
la categora mediana.
Categora Mediana: es aquella que se sita en el centro de la serie al
ordenar los datos, es decir en la posicin dada por O(Me) = (n + 1) /2
Satisfaccin del cliente Numero de clientes Frecuencias acumuladas
Completamente satisfecho 13 13
Satisfecho 12 25
Insatisfecho 3 28
Completamente insatisfecho 2 30
30
1.3.4 Distribuciones porcentuales.
Distribuciones porcentuales
1.3.5 Distribuciones porcentuales acumuladas.
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Distribuciones porcentuales acumuladas.
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1.4 Histogramas
Histograma
El histograma es una grfica de barras que permite describir el
comportamiento de un conjunto de datos en cuanto a su tendencia central,
forma y dispersin. El histograma permite que de un vistazo se pueda tener
una idea objetiva sobre la calidad de un producto, el desempeo de un
proceso o el impacto de una accin de mejora. La correcta utilizacin del
histograma permite tomar decisiones no solo con base en la media, sino
tambin con base en la dispersin y formas especiales de
comportamiento de los datos. Su uso cotidiano facilita el entendimiento de
la variabilidad y favorece la cultura de los datos y los hechos objetivos
Construccin de un histograma.
Para decidir correctamente y detectar posibles anormalidades en los datos
se procede a lo siguiente para construir un histograma:
Paso 1. Determinar el rango de datos. La diferencia entre el dato
mximo y el dato mnimo.
Paso 2. Obtener el nmero de clases (NC) o barras. Ninguno de ellos
es exacto, esto depende de cmo sean los datos y cuantos sean. Un
criterio usado es del nmero de clases, debe ser aprox. Igual a la raz
cuadrada del nmero de datos.
Paso3. Establecer la longitud de clase (LC).Se establece de tal
manera que el rango pueda ser cubierto en su totalidad por NC. Una
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forma directa de obtener la LC es dividiendo el rango entre el
numero de clases, LC= R/NC.
Paso 4. Construir los intervalos de clase. Resultan de dividir el rango
(original o ampliado) en NC e intervalos de longitud LC.
Paso 5. Obtener la frecuencia de cada clase. Se cuentan los datos que
caen en cada intervalo de clase.
Paso 6.Graficar el histograma.
Se grafican en barras, en las que su base es el intervalo de clase y
la altura sean las frecuencias de las clases.
Interpretaci
n
Interpretacin del histograma.
Lo que se aprecia en el histograma como tendencia central, variabilidad y
comportamientos especiales ser una informacin valiosa. Observndolo se
pueden contestar varias preguntas tales como:
Hay un comportamiento simtrico?, Hay Sesgo?, Hacia que lado?
Para esto basta que se observe la forma del histograma; cuando es
resultado de una muestra grande, hay un sesgo significativo pude ser
que haya algn problema, como calentamiento de los equipos o
instrumentos de medicin descalibrados.
Esta centrado el proceso? Con un tamao de muestra grande es muy
fcil ver mediante un histograma si un proceso esta centrado o no,
ya que basta observar la posicin del cuerpo del
histograma respecto a la calidad optima y a las especificaciones,
si no esta centrado la calidad que se produce no es adecuada.
Hay acantilados? Las posibles causas que motivan la presencia de
acantilados estn: un lote de articulo previamente
inspeccionados al 100% donde se excluyo a los artculos que no
cumplen con alguna medida mnima o que exceden una medida
mxima, problemas con el equipo de medicin y errores en la
inspeccin. Un acantilado es anormal y debe buscarse la causa del
mismo.
Estratificacin. Cuando se obtienen datos que proceden de
diferentes maquinas, proveedores u operadores, se hace un
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histograma por cada fuente y as se podr encontrar la maquina o
proveedor ms problemtico.
A una fbrica de envases de vidrio, un cliente le est exigiendo que la
capacidad de cierto tipo de botella sea de13 ml., con una tolerancia de ms
menos 1 ml. La fbrica establece un programa de mejora de calidad para que
las botellas que se fabriquen cumplan con los requisitos del cliente.
Muestreo =
11,12,13,12,13,14,14,15,11,12,13,12,14,15,11,12,16,16,14,13,14,14,13,15,1
5
1. Rango : 16 11 = 5
25 = 5
3. 5/5 = 1
Clase Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa
1 11.12 3 0.12
2 12.13 5 0.25
3 13.14 5 0.25
4 14.15 6 0.24
5 15.16 6 0.24
1.5 Polgono de Frecuencias
Polgono de frecuencia
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1.6 Diagrama de Pareto.
Diagrama de Pareto
Qu es el diagrama de Pareto?
Es una representacin grfica de los datos obtenidos sobre un
problema, que ayuda a identificar cules son los aspectos
prioritarios que hay que tratar.
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Tambin se conoce como Diagrama ABC o Diagrama 20-80.
Su fundamento parte de considerar que un pequeo porcentaje
de las causas, el 20%, producen la mayora de los efectos, el
80%. Se tratara pues de identificar ese pequeo porcentaje de
causas vitales para actuar prioritariamente sobre l.
Cmo se utiliza?
Los pasos para realizar un Diagrama de Pareto son:
1. Determinar el problema o efecto a estudiar.
2. Investigar los factores o causas que provocan ese problema y
como recoger los datos referentes a ellos.
3. Anotar la magnitud (por ejemplo: euros, nmero de Defectos,
etc.) De cada factor. En el caso de factores cuya magnitud es Muy
pequea comparada con la de los otros factores incluirlos dentro
de la categora otros.
Ejemplo En una empresa textil se desea analizar el nmero de defectos en los
tejidos que fabrica. En la tabla siguiente se muestran los factores que se
han identificado como causantes de los mismos as como el nmero de
defectos asociado a ellos:
4. Ordenar los factores de mayor a menor en funcin de la Magnitud
de cada uno de ellos.
5. Calcular la magnitud total del conjunto de factores.
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6. Calcular el porcentaje total que representa cada factor, as como
el porcentaje acumulado. El primero de ellos se calcula como:
% = (magnitud del factor / magnitud total de los factores) x 100
el porcentaje acumulado para cada uno de los factores se obtiene
sumando los porcentajes de los factores anteriores de la lista ms
el porcentaje del propio factor del que se trate.
7. Dibujar dos ejes verticales y un eje horizontal. Situar en el eje
vertical izquierdo la magnitud de cada factor. La escala del eje
est comprendida entre cero y la magnitud total de los factores.
En el derecho se representan el porcentaje acumulado de los
factores, por tanto, la escala es de cero a 100. El punto que
representa a 100 en el eje derecho est alineado con el que
muestra la magnitud total de los factores detectados en el eje
izquierdo. Por ltimo, el eje horizontal muestra los factores
empezando por el de mayor importancia.
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8. Se trazan las barras correspondientes a cada factor. La altura de
cada barra representa su magnitud por medio del eje vertical
izquierdo.
9. Se representa el grfico lineal que representa el porcentaje
acumulado calculado anteriormente. Este grfico se rige por el
eje vertical derecho.
10. Escribir junto al diagrama cualquier informacin necesaria, sea
sobre el diagrama o sobre los datos.
En el grfico obtenido se observa que un 20% de los tejidos (Algodn y
Tul) representan aproximadamente un 80% de los defectos, por lo tanto
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centrndose la empresa solo en esos 2 productos reducira en un 80% el
nmero de defectos.
Tipos de
diagrama de
Pareto
Existen dos tipos de diagramas de Pareto:
Diagramas de fenmenos. Se utilizan para determinar cul es el
principal problema que origina el resultado no deseado. Estos
problemas pueden ser de calidad, coste, entrega, seguridad u
otros.
Diagramas de causas. Se emplean para, una vez encontrados los
problemas importantes, descubrir cules son las causas ms
relevantes que los producen.
Ejercicio Utilizando como herramienta el diagrama de Pareto, analice las prdidas
por rechazos en una fbrica de papel, teniendo en cuenta que se han
detectado los conceptos que se muestran e en la tabla siguiente, en la que
tambin se indican los costes asociados a cada concepto.
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1.7 Diagrama de Dispersin.
Se entiende por correlacin el grado de relacin existente entre dos
variables.
Cuando entre dos variables existe una correlacin total, se cumple que a
cada valor de una, le corresponde un nico valor de la otra (funcin
matemtica).
Es frecuente que dos variables estn relacionadas de forma que a cada
valor de una de ellas le correspondan varios valores de la otra.
En este caso es interesante investigar el grado de correlacin existente
entre ambas para ellos es til el diagrama de dispersin.
El diagrama de dispersin es la representacin grfica del grado de
relacin entre dos variables cuantitativas.
Caractersticas.
Usado para estudiar la posible relacin entre dos variables.
Se usa para probar relaciones entre causa y efecto.
No prueba que una variable causa la otra.
Aclara si existe relacin y la intensidad que pudiera tener la
misma.
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Es muy til para:
Determinacin de causas.
Diseo de soluciones y controles.
Priorizacin de causas.
Pasos para
elaborar un
diagrama de
dispersin
Pasos a seguir para elaborar un diagrama de dispersin.
1. Elaborar una teora admisible y relevante sobre la supuesta
relacin entre dos variables.
2. Obtener los pares de datos correspondientes a las dos variables.
3. Determinar los valores mximo y mnimo para cada una de las
variables.
4. Decidir sobre qu eje se representar a cada una de las variables.
5. Trazar y rotular los ejes horizontal y vertical.
6. Marcar sobre el diagrama los pares de datos.
7. Rotular el grfico.
Paso 1: Elaborar una teora admisible y relevante sobre la supuesta
relacin entre dos variables.
Este paso previo es de gran importancia, puesto que el anlisis de un
diagrama de Dispersin permite obtener conclusiones sobre la existencia
de una relacin entre dos variables, no sobre la naturaleza de dicha
relacin.
Paso 2: Obtener los pares de datos correspondientes a las dos variables.
Al igual que en cualquier otra herramienta de anlisis de datos, estos son
la base de las conclusiones obtenidas, por tanto cumplirn las siguientes
condiciones:
En cantidad suficiente: Se consideran necesarios al menos 40
pares de datos para construir un Diagrama de Dispersin.
Datos correctamente emparejados: Se estudiar la relacin entre
ambos.
Datos exactos: Las inexactitudes afectan a su situacin en el
diagrama desvirtuando su apariencia visual.
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Datos representativos: Asegrese de que cubren todas las
condiciones operativas del proceso.
Informacin completa: Anotar las condiciones en que han sido
obtenidos los datos.
Paso 3: Determinar los valores mximo y mnimo para cada una de las
variables.
Paso 4: Decidir sobre qu eje representar a cada una de las variables. Si
se est estudiando una posible relacin causa-efecto, el eje horizontal
representar la supuesta causa.
Paso 5: Trazar y rotular los ejes horizontal y vertical.
La construccin de los ejes afecta al aspecto y a la consiguiente
Interpretacin del diagrama.
a) Los ejes han de ser aproximadamente de la misma longitud,
determinando un rea cuadrada.
b) La numeracin de los ejes ha de ir desde un valor ligeramente
menor que el valor mnimo de cada variable hasta un valor
ligeramente superior al valor mximo de las mismas. Esto
permite que los puntos abarquen toda el rea de registro de los
datos.
c) Numerar los ejes a intervalos iguales y con incrementos de la
variable constantes.
d) Los valores crecientes han de ir de abajo a arriba y de izquierda
a derecha en los ejes vertical y horizontal respectivamente.
e) Rotular cada eje con la descripcin de la variable
correspondiente y con su unidad de medida.
Paso 6: Marcar sobre el diagrama los pares de datos
a) Para cada par de datos localizar la interseccin de las lecturas
de los ejes correspondientes y sealarlo con un punto o smbolo.
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Si algn punto coincide con otro ya existente, se traza un crculo
concntrico a este ltimo.
b) Cuando coinciden muchos pares de puntos, el Diagrama de
Dispersin puede hacerse confuso. En este caso es recomendable
utilizar una "Tabla de Correlacin" para representar la
correlacin.
Paso 7: Rotular el grfico. Se rotula el ttulo del grfico y toda aquella
informacin necesaria para su correcta comprensin.
Interpretacin.
Relaciones causa-efecto.
Este es el caso ms comn en su utilizacin para la mejora de la calidad.
Se utiliza el diagrama a partir de la medicin del efecto observado y de su
posible causa.
Pautas tpicas de correlacin
Correlacin Fuerte.
Los puntos se agrupan claramente alrededor de una lnea imaginaria que
pasa por el centro de la masa de los mismos. Estos casos sugieren que el
control de una de las variables lleva al control de la otra.
Los datos parecen confirmar la teora estudiada, pero hay que analizar la
existencia de otras posibles explicaciones admisibles y relevantes para
dicha relacin.
Correlacin Fuerte, Positiva: El valor de la variable "Y" (eje vertical)
aumenta claramente con el valor de la variable "X" (eje horizontal).
Correlacin Fuerte, Negativa: El valor de "Y" disminuye claramente
cuando "X" aumenta.
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Correlacin Dbil
Los puntos no estn suficientemente agrupados, como para asegurar que
existe la relacin. El control de una de las variables no necesariamente
nos llevar al control de la otra.
Si lo que se busca es determinar las causas de un problema, se deben
buscar otras variables con una relacin mayor o ms relevante sobre el
efecto.
Correlacin Dbil, Positiva: El valor de la variable "Y" (eje vertical)
tiende a aumentar cuando aumenta el valor de la variable "X" (eje
horizontal) Correlacin Dbil, Negativa: El valor de "Y" tiende a disminuir
cuando aumenta el valor de "X".
Correlacin compleja
El valor de la variable "Y" parece estar relacionado con el de la variable
"X", pero esta relacin no es simple o lineal.
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En este caso se estudia la relacin ms profundamente (Hay alguna ley
no lineal que explique esta relacin ?. Es esta relacin el resultado de
componer varias relaciones ?).
Sin correlacin
Para cualquier valor de la variable "X", "Y" puede tener cualquier valor.
No aparece ninguna relacin especial entre ambas variables.
En este caso, nuestra teora no es correcta y se deben buscar otros tipos
de relaciones.
Ejemplo 1 Error de facturas
Se procede a investigar en primer lugar la teora, en la cual observamos
que el nmero de errores en una factura dependa de la cantidad de datos
a incluir en la misma. Se obtienen los datos.
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Conclusin
Con el Diagrama de Dispersin no se confirma la teora de una relacin
entre el nmero de datos a incluir en la factura y la cantidad de errores
en la misma.
Ejemplo Temperatura en almacn
En una empresa se produce un producto alimenticio, se detect un
aumento en la cantidad de productos deteriorados despus de una noche
de almacenaje, antes del transporte al cliente.
La teora sobre la posible causa, es que el nuevo sistema de climatizacin
del almacn no es suficientemente preciso y la temperatura superaba la
mxima que el producto soportaba (temperatura mxima 5 grados
centgrados).
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Conclusin
Como se puede ver, la temperatura mxima de 5 grados centgrados se
super en 21 de 40 noches.
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El Diagrama muestra una fuerte correlacin entre la temperatura
mxima de la noche y la cantidad de productos deteriorados, que se
consigui bajar casi a cero con otro nuevo sistema de refrigeracin que
garantizaba constantemente una temperatura menor de 5 grados
centgrados.