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328
UNIDAD I. RECONOCES LUGARES
GEOMÉTRICOS 1.1 El plano Cartesiano.
El plano cartesiano es la herramienta principal de la geometría analítica. En este campo aparece
relacionado lo geométrico (puntos) y lo analítico (lo algebraico o numérico).
1.2 El sistema de coordenada rectangular.
El sistema coordenado rectangular es la representación gráfica del plano cartesiano. Cualquier
punto del plano cartesiano posee dos coordenadas: una abscisa x y una ordenada y. El punto de
cruce es el origen (o) que representa el cero para las dos coordenadas. A partir de él, los signos de
éstas son positivos en el sentido de las flechas y negativos en el sentido opuesto.
El plano queda dividido por los ejes en cuatro partes llamadas cuadrantes, éstos se ordenan
comenzando por el que tiene sus dos coordenadas positivas, el primer cuadrante, siguiendo para los
restantes el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Así, cada punto en el plano cartesiano tiene solamente una pareja ordenada asociada y,
recíprocamente, a cada pareja ordenada de números reales se le puede asociar únicamente un
punto.
1.3 Puntos, segmentos y polígonos en el plano.
Una vez que se trazan puntos en el plano cartesiano, se descubre que cualquier figura sólo es un
conjunto de éstos. El empleo de coordenadas es una representación para la construcción de figuras
geométricas, tal y como se muestra en la siguiente figura.
329
ACTIVIDADES
Realiza y contesta en cada caso según se indique.
1. En relación con el triángulo ABC de la siguiente figura:
a. Determina las coordenadas de sus vértices.
b. ¿Cuánto mide cada uno de sus catetos?
c. Determina la longitud de su hipotenusa (emplea el Teorema de Pitágoras).
Y
X
y
x
330
2. En relación con el cuadrilátero DEFG:
a. Determina las coordenadas de sus vértices.
b. ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?
c. ¿Cuánto mide cada una de sus bases?
d. ¿Cuánto mide su altura?
3. En relación con el cuadrilátero HIJK:
a. Determina las coordenadas de sus vértices.
b. ¿Cómo lo clasificas de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos interiores?
c. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
d. ¿Cuál es su perímetro?
e. Determina el valor de su área.
4. En relación con el polígono OPQRS:
a. Determina las coordenadas de sus vértices.
b. Su perímetro y área.
5. En el siguiente plano cartesiano, traza lo siguiente:
a. Triángulo ( ) ( ) ( )
b. El cuadrilátero ( ) ( ) ( ) ( )
331
1.4 Lugar geométrico.
El lugar geométrico es la trayectoria que se visualiza cuando un objeto está en movimiento, por lo
tanto, representa una serie de puntos que poseen cierta regularidad y se representa de diversas
formas.
1.5 El problema fundamental de la geometría analítica.
El problema de la geometría analítica es relacionar las gráficas con las ecuaciones.
1.5.1 La geometría analítica en lo cotidiano.
En la economía:
La ventaja disciplinar de la geometría analítica aparece cuando se lleva al campo de lo cotidiano o
como lenguaje de otras ciencias como la física y la química, o en la administración, contabilidad y
economía.
332
ACTIVIDADES
I. Realiza un esbozo de la gráfica del lugar geométrico representado por la tabla en cada uno de
los siguientes casos.
x y
-2 -5
-1 -4
0 -3
1 -2
2 -1
3 0
4 1
x y
-2 5
-1 4
0 3
1 2
2 1
3 0
4 1
x y
-2 0.0
-1 2.8
0 3.0
1 2.8
2 2.2
3 0.0
333
II. Construye una tabulación en el intervalo indicado y con ella grafica cada una de las
siguientes ecuaciones.
x y
-1
0
1
2
3
4
x Y
-4
-3
-3
-1
0
1
2
3
4
( )
x Y
-4
-3
-3
-1
0
1
2
334
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
Un ama de casa se ayuda económicamente lavando ropa ajena los fines de semana. Para ello
dispone de una máquina lavadora que procesa un máximo de 8 kg por cada lavada y el tiempo
empleado para lavar la ropa de una “carga” es aproximadamente de una hora. A las ocho de la
mañana ha procesado ya 16 kg.
a. Considerando el tiempo t=0 a las 8:00 horas, midiendo el tiempo en minutos y el peso p (kg9 de
ropa lavada, completa la siguiente tabla:
t (horas) p (kilogramos)
0
1
2
3
b. Utilizando la información de la tabla construye el gráfico correspondiente e identifica el tipo de
curva que se genera.
c. Escribe una ecuación algebraica que relacione el peso p (kg) de ropa lavada con el tiempo t (h).
d. A las 15:00 horas el trabajo de lavado ha concluido. Si cada kilogramo de ropa lavada se cobra
a $8.00, ¿qué ingreso le representa este trabajo a la ama de casa? Describe tu razonamiento.
p (kg)
t (h)
335
UNIDAD II. APLICAS LAS PROPIEDADES DE
SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS.
2.1 Segmento Rectilíneo.
El segmento rectilíneo queda determinado en la geometría analítica si se conocen sus dos puntos
extremos. La idea de proporcionarle además una dirección al segmento resulta ser útil en una
diversidad de situaciones, como en la representación de desplazamientos, velocidades, fuerzas y, en
general, todo aquello que puede manejarse con vectores.
2.2 Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos siempre se podrá calcular desde las coordenadas de éstos. El proceso
es bastante sencillo, por lo que puede establecerse una fórmula que nos permita proceder sin realizar
cada vez todo el proceso.
Consideremos dos puntos A y B como se muestra
en la figura, para hallar la distancia entre éstos es
necesario conocer las coordenadas de ambos;
entonces, para calcular la distancia entre estos dos
puntos se requiere la siguiente fórmula:
√( ) ( )
√( ) ( )
√( ) ( )
√
√
336
ACTIVIDADES
Determina la distancia entre los puntos proporcionados.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
337
Determina la coordenada faltante en cada caso.
( ) ( )
( ) ( )
( ) √ ( )
( ) ( )
338
2.3 Perímetro y Área de Polígonos.
Un polígono es una recta quebrada y cerrada; es una figura cerrada formada por segmentos. Para
calcular su área, sólo se necesitan tres elementos primordiales: la representación gráfica de la figura
cuya área se busca, la determinación de la distancia entre dos puntos de un sistema unidimensional
y el conocimiento de obtención de las áreas de un cuadrilátero rectangular, el que tiene ángulos
rectos y de un triángulo.
Encontrar el triángulo cuyos vértices son P (0,6), Q (-3,0) y R (3,0)
Se trazan paralelas a los ejes coordenados por P, Q y R, para que el triángulo quede inscrito en un
cuadrilátero; en ese caso, en un rectángulo cuyos vértices se les llamará S, Q, R y U. Las
coordenadas de cada uno de los puntos sería: S (-3,6), Q (-3,0), R (3,0) y U (3,6). Construido el
rectángulo, aparecen en su interior varios triángulos rectángulos cuyas áreas son muy fáciles de
calcular.
Si la longitud de la base del rectángulo es la distancia de Q a R, y la de la altura la distancia de Q a
S, entonces, por la definición de distancia de un segmento se obtiene:
( )
De donde:
El área del rectángulo ( )
Observando el conjunto gráfico, salta a la vista que si de esta área se resta la suma de las
correspondientes a los triángulos PSQ y PUR, se llega al número que representa la superficie del
triángulo PQR:
( )( )
( )( )
Área del
339
( )
ACTIVIDADES
Calcula las áreas de los triángulos con vértices en los puntos dados.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2.4 División de un segmento.
El punto razón puede obtenerse a través de la
semejanza de triángulos, en la práctica se hace
este proceso para determinar una fórmula que lo
establece sin necesidad de plantear el proceso
completo en cada ocasión.
El punto razón ( ) divide al segmento
dirigido de extremos: inicial ( ) y final
( ) en una razón r conocida.
La razón r que se ilustra es positiva.
El punto medio es un caso especial, en donde r=1.
( ) (
)
ACTIVIDADES
Determina el punto razón (P) para cada uno de los casos propuestos e identifica aquellos que
corresponden al punto medio del segmento.
( ) ( )
( ) ( )
340
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
341
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
Para pintar una pared Luis emplea una pequeña escalera que apoya a 80 cm de ella sobre el piso; la
separación entre el pie de la escalera y cada peldaño es de 40 cm. La situación se presenta en el
esquema siguiente, estando el piso sobre el eje y la pared sobre el eje .
a. Escribe las coordenadas de los puntos extremos de la escalera.
b. Utiliza las coordenadas de los puntos extremos para determinar la longitud de la escalera.
c. Contando desde la parte baja de la escalera, ¿a qué peldaño le corresponde el punto medio de la
misma?; ¿cuáles son sus coordenadas?
40
80
Y (cm)
x (cm)
342
d. Luis ha colocado el bote de pintura en el penúltimo peldaño (contando desde abajo). Utiliza el
punto razón para determinar las coordenadas que representan a este peldaño.
e. En la posición de la escalera. Luis alcanza a pintar con sus brazos hasta 2 m de altura con
relación a la posición de sus pies. Por seguridad sólo puede colocar éstos en el peldaño de en
medio. En estas condiciones, ¿hasta qué altura puede pintar Luis?
343
UNIDAD III APLICAS LOS ELEMENTOS DE
UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
3.1 La recta como lugar geométrico.
Las tablas de valores, las ecuaciones y los gráficos son diferentes objetos matemáticos que ayudan a
visualizar situaciones reales. El resultado son ecuaciones lineales (primer grado) con dos variables,
cuya representación es una recta. Comienzan a observarse las relaciones que se van construyendo
entre las diversas formas de representación.
La recta es un lugar geométrico y el plano cartesiano es un conjunto definido de puntos. Tales
puntos pueden generarse desde una ecuación algebraica al quedar establecido en ésta la
correspondencia entre abscisas y ordenadas. También puede establecerse tal lugar geométrico
directamente desde el ámbito de la geometría, formando la recta que pasa por dos puntos dados, o
por un punto y con cierta pendiente específica. Una tabla, aún con sus limitaciones, también puede
dar lugar a establecer el lugar geométrico de una recta.
Definición de recta:
Un lugar geométrico es una recta si dados dos puntos diferentes: ( ) y ( ) de este
conjunto, y estableciendo el valor de su pendiente con ellos, encontramos que para cualquier otra
pareja de puntos del mismo lugar geométrico la pendiente es siempre la misma.
3.2 Pendiente de una recta.
En el sistema coordenado cartesiano la inclinación de una recta es una de sus características. Ésta
puede medirse directamente a través de su ángulo de inclinación y
a través de su pendiente.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación
de esta; .
El ángulo de inclinación de una recta es el que forma ésta con el
eje de las abscisas, desde los positivos.
La ventaja que tiene emplear a la pendiente como unidad de
medida de la inclinación, es que ésta es un número real, coincidiendo en esto con el sistema
numérico decimal, con la notación posicional característica con la que se opera. El ángulo de
inclinación emplea la notación sexagesimal (grados, minutos y segundos).
La pendiente toma valores positivos, negativos y cero, lo cual proporciona información sobre su
orientación.
344
En el plano cartesiano, la pendiente de una recta puede calcularse si se conoce un par de puntos de
ella, para ello, se establece una relación o fórmula que permita abreviarlo.
Partiendo de ,sustituyendo el cambio de cada variable en la ecuación, la fórmula para
calcular la pendiente quedaría de la siguiente forma:
345
ACTIVIDADES
Determina la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados; encuentra además el
ángulo de inclinación con aproximación hasta minutos.
a. (1,5) y (0,0)
b. (-1,-1) y (1,1)
c. (3,5) y (1,-1)
3.3 Determinación del ángulo entre dos rectas.
El ángulo entre dos rectas está asociado a la inclinación de cada una de ellas, es decir, a sus
pendientes. Si y son las pendientes de las rectas dadas, entonces se puede probar que el
ángulo entre las rectas está dado por la expresión:
Ejemplo:
{
Se calcula la pendiente de cada recta:
346
La tangente del ángulo entre rectas es:
( )( )
O bien,
( )
El ángulo agudo es entonces: 48.37°
ACTIVIDADES
Encuentra el ángulo entre cada pareja de rectas dadas, con una aproximación a dos décimas de
grado.
{
{
{
{
{
3.4 Paralelismo y perpendicularidad.
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, tal y como se muestra en la figura; mientras que el
producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es -1 (una es la recíproca negativa de la
otra).
347
3.5 Obtención de la ecuación de la recta.
Existen diversas formas algebraicas en que puede ser representada una recta. Cada una permite ver
algunas de sus características específicas, como sus intercepciones con los ejes, su pendiente, su
distancia al origen, etc. Dos son operativas, ya que a partir de ellas es posible hallar su ecuación
cuando se conocen dos puntos o un punto y la pendiente.
Dos puntos:
Si se conocen los puntos A y B por donde pasa la recta, y ( ) es cualquier otro punto de ella:
(
)( )
Donde y representan cualquier punto de la recta (son las variables).
Forma: Punto pendiente.
Si se conoce un punto ( ) y la pendiente de la recta, y ( ) es cualquier otro punto de
ella:
( )
Donde y representan cualquier punto de la recta (son las variables).
ACTIVIDADES
Determina la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados.
a. ( ) ( )
b. (-1,3), (0,0)
c. (-4,-1(, (-1,2)
d. (6,-4), (2, -3)
e. (-7,7), (2, -1)
f. (-2,2), (5,0)
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tienen la pendiente que se indica.
a. (0,0), m=2
b. (0,0), m=-1
c. (1, -2), m=-2
d. (-2,3), m=5
348
e. (3,1),
f. (-4,0),
3.6 Forma pendiente y ordenada en el origen.
La forma de la recta pendiente y ordenada en el origen se construye en primera instancia para
conocer, desde la ecuación, la pendiente de la recta y la intersección con el eje .
Partiendo de la ecuación de la recta, se tiene:
Donde m es el coeficiente de cuando está despejada; b es el término independiente cuando
está despejada.
349
ACTIVIDADES
Utiliza la información de la ecuación para graficarla en el esquema sin calcular puntos
adicionales.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
350
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema. Su solución será evaluada mediante la escala de rangos
correspondientes.
Un conductor, al recorrer 100km, observa que el tanque de gasolina (30 litros) de su vehículo sólo
contiene la mitad de su capacidad, y sabe que recorre aproximadamente 10km/litro. Establece una
ecuación que proporcione la distancia total s (km) que recorrerá (incluyendo la que lleva al
momento) en términos del volumen de consumo V (litros). Para ello:
a. Establece un par de puntos (V,s) considerando que para el consumo cero desde los 30 litros, la
distancia es de 100 km. Y si el consumo es de un litro, ¿cuál es la distancia recorrida? Determina
la ecuación de la recta bajo las condiciones proporcionadas.
b. Existe una forma diferente de visualizar el problema; la pendiente y la ordenada al origen de la
recta que representa la situación están a la vista. Identifica estos parámetros y escribe la relación
solicitada.
c. ¿Qué cantidad de combustible, de los 30 litros, habrá gastado cuando la distancia recorrida sea
de 240 km? ¿Cuánto quedará en el tanque para entonces?
351
UNIDAD IV. UTILIZAS DISTINTAS FORMAS
DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
4.1 Forma general.
La ecuación lineal de dos variables tiene por gráfica una recta. Una recta puede expresarse
analíticamente (algebraicamente) como una ecuación lineal de dos variables.
4.2 Relación entre las formas general y pendiente y ordenada en el origen.
La forma general de la ecuación de la recta es:
Y la forma pendiente y ordenada en el origen de la recta es:
Sustituyendo los valores de la forma general en la forma pendiente tenemos:
(
) (
)
La forma pendiente y ordenada en el origen tiene dos propósitos:
Conocer la pendiente y la ordenada en el origen de una recta desde su ecuación.
Es una notación apropiada para representar a la función lineal.
4.3 Forma simétrica.
La forma simétrica tiene como finalidad dejar a la vista en la ecuación la ordenada y la abscisa,
ambas en el origen. Una forma rápida de hacerlo es recordar que en ambos casos la coordenada
restante es cero. Otra es transformar la ecuación a la forma simétrica, la cual se construye desde la
forma dos puntos considerando la recta que pasa por (a, 0) y (0, b). Así:
352
Emplea la forma de dos puntos
( )
( )
Se divide ambos miembros de la igualdad por
b y se hacen las cancelaciones de los factores
en numerador y denominador del segundo
miembro
( )
( )
Se multiplican los factores en el segundo
miembro y se acomoda la ecuación para llegar
finalmente a la forma simétrica. En ella, la
abscisa en el origen aparece debajo de x y la
ordenada en el origen, debajo de y.
Siguiendo el proceso descrito desde la forma general es posible establecer una relación entre las
constantes A, B y C, con la ordenada y la abscisa en el origen.
La construcción de la forma simétrica se emplea para la determinación, desde la ecuación, de las
intersecciones con los ejes.
ACTIVIDADES
Determina la ecuación de la recta con los datos proporcionados y preséntala en su forma
general, pendientes y ordenada en el origen, así como simétrica.
P(2, -1), Q(0, 1)
P(-1, 3), Q(1,-3)
P(3, -6), Q(-1, -3)
P(-3, 0), Q(0, 2)
P(2, 0), Q(0, 3)
353
4.4 Intersección de rectas.
ACTIVIDADES
Grafica cada recta según las condiciones que se proporcionan y determina su punto de
intersección desde la gráfica.
Determina el punto de intersección de cada pareja de rectas empleando el método analítico
(reducción, sustitución, igualación, determinantes) de tu preferencia.
4.5 Forma normal.
El empleo que se le da a la forma normal es básicamente la determinación de la distancia entre dos
rectas paralelas y la distancia de una recta a un punto.
Partiendo de la ecuación donde
es el radiovector; representa la diferencia (más corta) de la
recta al origen. Por ello es perpendicular a la recta.
es el ángulo que hace el radiovector con el eje .
La forma normal emplea el ángulo del radiovector y la
longitud de éste como las constantes de identificación de
una recta.
La representación normal de una recta es útil porque hace
visible en la ecuación la distancia de la recta al origen en el valor de .
La forma normal de la ecuación de la recta se obtiene también desde la forma general. El proceso es
relativamente simple.
354
√
√
√
Precisiones sobre el signo
En ocasiones se presentarán rectas en cuyas ecuaciones algunos de sus términos no aparecen. Esto
se debe a que sus constantes pudieran tomar el valor cero (simultáneamente A y B no pueden ser
cero). Para estos casos se respetan las siguientes reglas:
4.5.1 Distancia entre una recta y un punto.
La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto ( ) hasta la recta
, es:
√
4.6 Distancia entre dos rectas paralelas.
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera P de cada una de
ellas y se calcula su distancia a la otra recta.
( ) ( )
Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas:
{
355
Primero se calculan las pendientes:
Sustituyendo 0 en la primera ecuación tenemos:
( )
( )
( ) | ( ) ( ) |
√
ACTIVIDADES
Escribe la ecuación de la recta en la forma normal.
Escribe la forma normal de las siguientes rectas y determina su distancia al origen
356
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
Aprovechando un “aventón”, Carlos se bajará del auto sobre el camino en diagonal L1 para ir a la
fuente F en la glorieta, caminando a campo traviesa los 50 m que le separan de ella en la avenida
principal L2 para esperar a Jazmin, quien viene de la escuela E situada a 100 m de la fuente, muy
cerca del cruce de los dos caminos.
a. Determina el ángulo de inclinación de la recta L1.
b. Determina la ecuación de L1 en sus formas general y normal.
c. En relación con el esquema, ¿cuáles son las coordenadas de la fuente F? Utiliza para ello la
relación de distancia no dirigida de una recta a un punto.
d. Encuentra la ecuación de L2 en sus formas general y normal.
e. Determinas las coordenadas de la escuela E.
357
UNIDAD V. APLICAS ELEMENTOS Y
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
5.1 La circunferencia como lugar geométrico.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a un
punto fijo llamado centro.
El radio es la distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.
5.2 Elementos asociados con una circunferencia.
Asociado a las curvas, particularmente a la circunferencia, existen rectas, segmentos y otros
elementos que es conveniente tener presentes.
Elemento Característica Figura
Radio Es la distancia que existe
desde el centro de la
circunferencia a cualquier
punto de ella
Cuerda Es el segmento limitado por
dos puntos de la
circunferencia
358
Diámetro Es la cuerda mayor de una
circunferencia. Pasa por el
centro del círculo limitado por
éste y su longitud equivale a
dos radios.
Tangente Es la recta que “toca” a la
circunferencia en un solo
punto; a éste se le llama punto
de tangencia.
Secante El efecto secante se relaciona
con el corte de las dos curvas
(recta y circunferencia, en este
caso). Como la circunferencia
es una curva cerrada, una recta
que la corta hace el “efecto
secante” con dos puntos de
ella.
Arco Es la porción de
circunferencia comprendida
entre dos de sus puntos. Así,
una secante divide siempre a
la circunferencia en dos arcos,
y si pasa por el centro los
arcos son congruentes (tienen
igual medida)
Propiedad Figura
Si L es la longitud de la circunferencia de radio
r, entonces:
359
La longitud L de un arco de circunferencia de
radio r es:
El área A de un círculo de radio r, es:
El área A de una sección circular, cuyo ángulo
central es (en radianes), está dado por:
La medida de un ángulo inscrito en un círculo
es la mitad del ángulo central subtendido sobre
el mismo arco. Para el caso ilustrado en la
figura:
360
ACTIVIDADES
Completa la siguiente tabla. Considera a r el radio de la circunferencia, y es un ángulo central
de la misma, expresado en radianes. A representa el área de la sección circular y L es su
longitud.
r (Rad) A L Operaciones
5
(
) ( )
(
)
2
1
7
12
5.3 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
361
ACTIVIDADES
Determina centro, radio, longitud de la circunferencia y área del círculo delimitado por las
circunferencias siguientes.
362
5.4 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
( ) ( )
5.5 Forma general de la ecuación de la circunferencia.
La ecuación general de la circunferencia es la siguiente:
Donde los coeficientes son números reales.
5.5.1 Transformación de la forma ordinaria a la forma general.
( ) ( )
Se desarrolla la forma ordinaria (binomio al cuadrado)
Si se conoce el centro de la circunferencia C (h, k) y su radio r, se puede fácilmente convertir de la
forma ordinaria a la forma general usando las siguientes definiciones;
5.6. Circunferencia que pasa por tres puntos.
Para calcular la circunferencia que pasa por tres puntos, es necesario realizar lo siguiente:
Calcular los puntos medios y la pendiente de por lo menos dos de las rectas que contienen a los
lados del triángulo; sus vértices son cuerdas de la circunferencia buscada.
363
Con la pendiente de cada lado del triángulo se construye la pendiente de la mediatriz asociada; son
recíprocas y de signo opuesto, pues existe perpendicularidad entre los segmentos y rectas
involucradas ( con AB, y así para el resto).
Se construye las ecuaciones de por lo menos dos de las rectas mediatrices empleando la forma de la
ecuación de la recta punto pendiente.
Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales generado con las dos mediatrices. Tal punto es el
centro de la circunferencia buscada.
Con el centro que se determinó y cualquiera de los puntos iniciales, se encuentra la magnitud del
radio. Se emplean estos valores para escribir la ecuación de la circunferencia.
De acuerdo a la metodología presentada, se resolverá el ejercicio mostrado en la gráfica.
Se calcula el punto medio entre los puntos A y B:
( )
(
)
Encontrando las nuevas ecuaciones.
{
B (8,8)
A (4,0)
C (-1,5)
M1
M2
M3
364
Solucionando con cualquier método algebraico tenemos que:
( )
El radio equivale a 5
ACTIVIDADES
Para cada uno de los siguientes casos determina la forma general de la ecuación de la
circunferencia.
C (4, 5), r=5
C (-2, 0), r= 4
C (3,-1), r=7
C (0, 1), r=6
C (4, 2), r=8
C (-1, -5), r=3
C (3, -1), r=1
Determina la forma canónica de la ecuación de las siguientes circunferencias empleando el
método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5.7 Secciones Cónicas.
La sección cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya relación de distancias a un
punto fijo (llamado foco) y a una recta fija (la directriz) es constante. A tal relación o cociente se le
denomina excentricidad de la cónica.
365
La excentricidad de la hipérbola es igual a 2 y se obtiene al dividir la distancia de tal punto a la
directriz; para todos los casos el valor siempre será 2.
La hipérbole es una curva simétrica y posee dos ramas o partes. Tiene también dos vértices, dos
focos y desde luego un par de rectas llamadas directrices, ya que lo mismo que se realiza con el
foco y la directriz de la derecha, se obtiene con el de la izquierda.
Para el cálculo de este se utiliza el nivel de excentricidad usado en la parábola:
366
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
Rupertino, Gervasio y Aurelio se encuentran en la estancia del asilo de ancianos disfrutando un
programa de televisión, pero el fuerte calor los obliga a emplear un ventilador. Surge en esto un
problema, pues cada uno de ellos solicita que el aparato se coloque más cerca de su lugar, y
finalmente llegan al acuerdo de ponerlo de manera que quede a la misma distancia de cada uno. La
situación se representa en un sistema coordenado, siendo (en metros) R(5, 8), G(-7,0) y A(-8, -5) las
posiciones respectivas de los ancianos, según la letra inicial de su nombre, y V la del ventilador.
Determina las coordenadas de V y la distancia a la que queda el ventilador de cada anciano. Para
ello:
a. Describe un proceso que te lleve a encontrar la respuesta.
b. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por R, G y A en su forma canónica o
estándar.
c. Encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio.
d. ¿Cuáles son las coordendas de la posición del ventilador V? ¿A qué distancia se encuentra el
ventilador de cada anciano?
367
UNIDAD VI. APLICAS LOS ELEMENTOS Y
LAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
6.1 La parábola como lugar geométrico
Un punto ( ) se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto ( ) sea
siempre la misma que la distancia a la recta . Algebraicamente, las condiciones del
problema son:
√( ) ( ) √( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Simplificando se obtiene:
( ) ( )
Es la ecuación ordinaria que presenta al lugar geométrico.
A la ecuación de la parábola de la siguiente forma, le corresponde una sola gráfica.
368
La parábola, de acuerdo a su ecuación abre en el sentido positivo del eje y ( )
6.2 Elementos de la parábola.
En el siguiente gráfico se observan los elementos de una parábola:
369
El lado recto es el segmento de recta con extremos sobre la parábola y que es perpendicular al eje y
pasa por el foco.
La distancia foco-directriz es la que determina la forma de parábola. Si establecemos distancias
iguales se obtendrán parábolas tal vez con orientaciones distintas, pero siempre se podrán hacer
coincidir sus puntos con las debidas traslaciones y rotaciones. Podemos también cuantificar la
abertura de la parábola. Conforme la distancia entre el foco y la directriz aumente, la parábola se
observará más abierta, y viceversa. En realidad, la cuantificación de la abertura de la parábola no
emplea precisamente la distancia foco-directriz, pero si una cantidad derivada de ésta. Se trata de la
distancia foco-vértice.
Aunque la parábola se construye desde la directriz y el foco, el empleo de p como un elemento para
cuantificar la forma de ésta.
6.3 Ecuación de la parábola con vértice en el origen.
La ecuación de la parábola con vértice en el origen es entonces:
Esta es aplicada para la forma de la parábola que presenta en la siguiente figura:
370
La ecuación de la directriz en este tipo de parábola es:
La ecuación de esta parábola es:
( ) ( )
371
Y su directriz:
ACTIVIDADES
Construye para cada uno de los siguientes casos la ecuación de la parábola con los elementos
que se proporcionan, considerando para todos ellos que el vértice es el origen y grafica.
F (-1, 0)
F (0, 1)
Directriz x=2
F (0, 3)
LR=32 y se extiende hacia abajo.
LR=16 y se extiende hacia abajo.
Directriz x=-6
6.4 Forma ordinaria o canónica de la ecuación de la parábola.
El análisis para la determinación de la parábola con centro fuera del origen muestra ciertas
regularidades que existen entre los puntos importantes de ésta: el vértice y el foco. La parábola es
una figura geométrica que puede manejarse desde la geometría y la geometría analítica.
372
⌈ ( )⌉ ( ) ⌈ ( )⌉ ( )
⌈ ( )⌉ ⌈ ( )⌉ ( )
( ) ⌈ ( )⌉ ⌈ ( )⌉
Resolviendo y simplificando:
( ) ( )
6.5 Forma general de la ecuación de la parábola.
El desarrollo de las formas ordinarias tipo 1 y 2 llevan necesariamente a una ecuación de segundo
grado con dos variables, con la particularidad de que sólo una de ellas posee el término cuadrático.
Parábola tipo 1
( ) ( )
( )
Forma general tipo 1:
Parábola tipo 2
( ) ( )
373
( )
Forma general tipo 2:
ACTIVIDADES
Determina la ecuación de la parábola en su forma general y ordinaria, según los elementos que
se proporcionan en cada caso, y realiza el esbozo de su gráfica.
(
) (
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Determina, desde las ecuaciones de la parábola, su forma ordinaria, las coordenadas de su
vértice y foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de su directriz y grafica la figura.
374
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
La cubierta del techo de un auditorio tiene la forma de arco parabólico, tal como se observa en el
siguiente esquema:
a. Determina las coordenadas del vértice.
b. Determina el valor de p, las coordenadas del foco, la longitud de su lado recto y la ecuación de
la directriz. Describe el proceso seguido.
c. Encuentra la ecuación de la parábola que contiene a la cubierta de acuerdo con el sistema
coordenado proporcionado.
d. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos soporte sobre las paredes verticales de la cubierta?
375
UNIDAD VII. APLICAS LOS ELEMENTOS Y
LAS ECUACIONES DE LA ELIPSE
7.1 La Elipse como lugar geométrico.
La elipse es una curva plana, cerrada y simétrica en relación al origen, pues para cada punto que se
observe en ella se podrá encontrar otro, prolongando la recta que pasa por él y el origen.
Entre sus elementos se encuentran sus focos y la distancia entre ellos, denominada eje focal. La
elipse también posee vértices; éstos se ubican sobre la misma recta que los focos, el diámetro mayor
de la curva es la distancia entre los dos vértices, conocido como el eje mayor de la elipse. Existe un
diámetro menor al que se le conoce como eje menor de la elipse y siempre es perpendicular al eje
mayor.
7.2 Elementos de la elipse.
El radio focal es el segmento de recta dirigido que va desde un foco F de la elipse hasta un punto
( ) que esté sobre ella.
376
El vértice es cada uno de los puntos de intersección de la elipse con la recta sobre la cual se
encuentran los focos de la elipse.
El eje mayor es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el otro , también se le conoce
como eje transverso.
El centro es el punto medio del eje mayor de una elipse; el eje menor de una elipse es el segmento
de recta que es perpendicular al eje mayor, que pasa por el centro de la elipse y cuyos extremos son
las intersecciones de este segmento con la elipse, también es conocido como el eje conjugado.
Es importante mencionar, que no siempre los ejes de la elipse son como se muestran en la figura.
El lado recto (LR) de una elipse es el segmento de recta que pasa por uno de sus focos, es
perpendicular al eje mayor y cuyos extremos están sobre la elipse.
Teorema:
La longitud del eje mayor de una elipse es igual a la suma de las distancias de un punto cualquiera
( ) que está sobre la elipse a los focos. Es decir, la longitud el eje mayor es: .
7.3 Ecuación de la elipse con centro en el origen.
Partiendo del teorema presentado en la sección anterior se tiene:
.
Si se tiene a la elipse como se muestra en la siguiente figura:
377
La ecuación sería de la siguiente forma con el eje coincidente en x:
√( ) √( )
Cuando el eje mayor coincide en y, tal y como se muestra en la figura:
La ecuación sería:
√ ( ) √ ( )
Para poder resolver este tipo de ejercicios es necesario tener estas propiedades:
( )
378
ACTIVIDADES
Determina la ecuación de la elipse y grafica.
Un vértice V (10,0) y uno de sus focos es F (8,0)
Un vértice es V (0,4) y uno de sus focos es F (0, √ ).
Un vértice es V (0,3) y uno de sus focos es F (0, √ ).
Un vértice es V (0,5) y su excentricidad es
Uno de sus focos es F (-8, 0) y su excentricidad es √
Uno de sus vértices es F (6,0) y su excentricidad es √
7.4 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen.
Partiendo de la condición para cualquier punto ( ) de la elipse es:
Para el tipo 1 de la ecuación con eje mayor paralelo a x como se muestra en la figura se tiene:
√[ ( )] ( )
Resolviendo y simplificando se tiene:
( )
( )
379
Para el tipo 2 de la ecuación con eje mayor paralelo a y como se muestra en la siguiente figura, se
tiene:
√( ) [ ( )]
Resolviendo y simplificando:
( )
( )
7.5 Forma general de la ecuación de la elipse.
La ecuación general es una forma de establecer un acercamiento al álgebra. Tal forma permite
representar la elipse con una ecuación específica; la ecuación general con dos variables de segundo
grado.
ACTIVIDADES
Transforma las ecuaciones a la forma ordinaria, determina cada uno de los elementos solicitados
y realiza el gráfico de la elipse.
( )
( )
( )
380
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
381
AUTOEVALUACIÓN
Resuelve el siguiente problema.
En el Medievo algunos reyes empleaban los principios geométricos de la reflexión de la elipse para
obtener información, sobre todo de aquellos vasallos de los cuales desconfiaban. La cubierta del
salón de fiestas del palacio tenía una sección elíptica, de manera que lo que dijera una persona
situada en uno de los focos era perfectamente escuchada por quien se colocara en el segundo foco,
independientemente del ruido general de la fiesta. La nitidez era tal que incluso lo que se susurrara
podía ser oído. ¡Ay de aquel vasallo que sin conocer que las paredes podían oír, se atreviera a
expresar opiniones en contra del monarca! El precio era su vida. Esta situación se presenta en el
siguiente esquema.
a. Sitúa un eje de coordenadas de manera que el origen se ubique en el lugar del monarca y el eje
mayor coincida con el eje x.
b. Determina las coordenadas de los vértices y focos.
c. Encuentra la ecuación de la elipse.
d. ¿A qué distancia se ubica el monarca del vasallo sospechoso?
382
Bibliografía Apolinar, E. S. (2010). Geometría Analítica. En Matemáticas para Bachillerato. Tercer Semestre
(pág. 274).
Vasquez, P. S. (2010). Matemáticas 3 (Primera Edición ed.). Xalapa Veracruz, México: Nueva
Imagen.