UNIDAD II - Descuentos

UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFILIAL JAEN

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESAIALESESCUELA PROFESIONAL DE

ADMINISTRACIÓNY NEGOCIOS INTERNACIONALES

MATEMATICAFINANCIERA

UNIDAD III: DESCUENTOS SIMPLE Y COMPUESTO

1. Descuento Racional, matemático o verdadero : el descuento racional aplicado a un título de crédito que vence en el futuro es el

interés deducido anticipadamente calculado con la tasa i sobre el importe que verdaderamente recibe el descontante; este importe

es el respectivo valor actual del monto del título. De este modo el interés y el descuento racional calculados para el mismo plazo

producen iguales resultados.

Descuento racional simple : sabemos qué interés y descuento racional producen el mismo resultado, entonces:

Dr=monto−valor ac tual⇛D r=M−C ,comoC= M1+¿

⇛Dr=M− M1+¿

⇛ Dr=M (1− 11+¿ )

En el descuento racional, al igual que para el cálculo del valor actual, pueden darse dos tipos de problemas: cuando el

documento no gana intereses desde la emisión, esto es, cuando el valor nominal coincide con el monto; y cuando es necesario

calcular el monto, pues el documento genera intereses desde la emisión.

Ejemplo 3.1: calcular el descuento racional de un documento de $ 250 000 suscripto el 30 de junio a 180 días de plazo, si se

descontó el 30 de noviembre del mismo año con una tasa de interés del 24% anual.

Solución: en este ejemplo el valor nominal es igual a monto, puesto que no gana intereses.

M = 250 000, fecha de vencimiento: 27 de diciembre, fecha de descuento: 30 de noviembre.

Días que faltan para el vencimiento: 30 de noviembre al 27 de diciembre = 27 días

C= 250000

1+0.24 ∙27360

=245579.57

C = $ 245579.57 M = 250000

30 de junio 30 de noviembre 27 de diciembre

Dr=250000−245579.57=$4420.43

O también:

Dr=250000(1− 1

1+0.24 ∙27360 )=$4420.43

Ejemplo 3.2: calcular el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de $ 100 000 a 180 días de plazo, suscripta

el 31 de marzo de 2003 al 18% desde su suscripción, si se descuenta el 29 de julio del mismo año al 21% anual.

Solución: en este ejemplo hallamos el monto, puesto que la letra de cambio genera intereses.

M=100000(1+0.18 ∙ 180360 )=$109000Fecha de vencimiento: 27 de septiembre, fecha de descuento: 29 de julio.

Días que faltan para el vencimiento de la letra de cambio: 60 días

C= 109000

1+0.21∙60360

=$105314.01(valor actual del descuento racional)

C = $ 105314.01 M = 109000

Lic. Mat. Javier F. Saldarriaga Herrera 1

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓNY NEGOCIOS INTERNACIONALES DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO MATEMATICA

FINANCIERA

31 de marzo de 2003 29 de julio 27 de septiembre de 2003

F. de suscripción F. de descuento o negociación F. de vencimiento

Dr=109000−245579.57=$3685.99

O también:

Dr=109000(1− 1

1+0.21 ∙60360 )=$3685.99

Nota: el descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capital que en fecha futura dará el monto de la

deuda. Del ejemplo anterior calcularemos el interés simple del valor actual:

I=(105314.01 ) (0.21 ) 60360

=$3685.99=D r

Ejemplo 3.3: calcule el valor actual de una letra de cambio suscrita por $ 50 000 a 180 días de plazo, si se descontó 30 días

antes de su vencimiento a una tasa de interés del 18% anual.

Ejemplo 3.4: calcule el descuento racional en el problema anterior.

Ejemplo 3.5: calcule el descuento racional de letra de cambio suscrita por $ 14000 el 2 de mayo a 180 días de plazo, si se

descontó el 2 de agosto del mismo año al 2% de interés mensual.

Ejemplo 3.6: ¿cuál es el descuento racional de una letra de cambio de $ 10000, suscrita el día de hoy a 210 días de plazo y al

1.8% mensual, si se descontó 60 días antes de su vencimiento al 1.9% mensual?

Ejemplo 3.7: ¿cuál es el descuento racional de una letra de cambio de $ 20000, suscrita el día de hoy a 240 días de plazo y al

1.2% mensual, si se descontó 70 días antes de su vencimiento al 17% anual?

Ejemplo 3.8: una letra de S/. 3800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de interés simple

anual del 24%. Calcule el importe del descuento racional.

Ejemplo 3.9: una letra de S/. 20000 con vencimiento dentro 60 días se descuenta hoy a una tasa nominal anual del 24%.

Calcule: a) el descuento racional simple, b) su valor actual, c) el interés que se cobrará sobre el importe realmente

desembolsado.

Descuento racional compuesto : el descuento compuesto, al igual descuento simple es la diferencia entre el monto y el valor

actual de un documento, deuda, etc. mismo resultado, entonces:

Dr=monto−valor actual⇛Dr=M−C ,comoC=M (1+i )−n

⇛Dr=M−M (1+ i )−n⇛ Dr=M [1−(1+i )−n ]

Ejemplo 3.10: calcular el descuento racional compuesto a practicarse a un pagaré con valor al vencimiento de S/. 10000 y

vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%.

Solución:

C M = 10000

0 60

Dr=10000 [1−(1+0.04 )−2 ]=S / .754.44



FINANCIERA

Ejemplo 3.11: calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de $ 9000000, luego de 10 años, si se

descontó, 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva.

Solución:

Dr=9000000 [1−(1+0.15 )−3 ]=$3082353.91

Ejemplo 3.12: calcule el descuento compuesto de un documento cuyo monto al final de 7 años es de $ 7000000, si fue

descontado 3 años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés del 18% efectiva.

Ejemplo 3.13: Se desea anticipar el pago de una deuda de 24000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el

momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual

compuesto? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

Ejemplo 3.14: Tenemos que pagar una deuda de 2.400 euros dentro de 3 años. Si se adelanta su pago al momento presente.

Determina que cantidad tendremos que pagar si se efectúa un descuento racional compuesto del 5%.

Ejemplo 3.15: ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 8% de interés compuesto, capitalizable

trimestralmente, sobre $5 000.00 a pagar dentro de 5 años?

Ejemplo 3.19: ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 12% de interés compuesto, capitalizable

semestralmente, sobre $2 500.00 a pagar dentro de 10 años?

Ejemplo 3.20: ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 12% de interés anual compuesto,

capitalizable bimestralmente, sobre $15 000.00 a pagar dentro de 15 años?

Ejemplo 3.21: ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 18% de interés anual compuesto,

capitalizable trimestralmente, sobre $8 500.00 a pagar dentro de 12 años?

2. Descuento Bancario o Bursátil : el descuento bancario constituye el interés calculado sobre el valor de vencimiento S de un título-

valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor líquido, el cual va a representar el verdadero importe

financiado. La tasa de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de descuento “d”, la cual se diferencia de la tasa

vencida “i”, en que ésta se aplica sobre C, y aquella sobre S, lo que origina un importe líquido menor al valor nominal del

documento.

Descuento bancario simple : es el producto del monto del documento, la tasa de descuento y el número de días

comprendidos entre la fecha del descuento y la fecha de vencimiento de la operación:

Db=Mdt

Ejemplo 4.1: calcular el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagaré de $ 80000 en el día de

hoy, a 120 días de plazo, considerándose una tasa de descuento del 12% anual.

Solución:

Db=80000 (0.12 )( 120360 )=$3200Ejemplo 4.2: calcular el descuento bancario de un documento de $ 35000, suscrito el 15 de marzo a 180 días de plazo, si se

descuenta el 15 de junio del mismo año a una tasa del 18% anual.

Solución: primero se representa el problema gráficamente:

15 de marzo 15 de junio 11 de septiembre

F. de suscripción F. de descuento F. de vencimiento

Fecha de vencimiento: 11 de septiembre, fecha de descuento: 15 de junio.

Días entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento: 88 días



FINANCIERA

Db=35000 (0.18 )( 88360 )=$1540Ejemplo 4.3: calcular el descuento racional y el descuento bancario de una letra de cambio de $ 240000 a 210 días de plazo,

si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa del 1.8% mensual.

Solución: gráficamente:

C = $ $231660.23 M = 240000

150 60 días 210

a)

C= 240000

1+0.018 ∙6030

=$231660.23

Dr=240000−231660.23=$8339.77

Se comprueba que corresponde al interés simple del valor actual:

I=Dr=(231660.23 ) (0.018 ) 6030

=$8339.77

b)

Db=240000 (0.018 )( 6030 )=$ 8640En el descuento bancario, el interés se calcula sobre el monto o valor al vencimiento.

Como puede notarse, el descuento bancario es siempre mayor que el descuento racional aplicado antes de la fecha de

vencimiento de un documento financiero

Ejemplo 4.4: una persona realiza el descuento bancario de una letra de cambio, suscrita a 210 días de plazo, por el valor de $

100000; 60 días antes de su vencimiento, con una tasa de descuento del 12% anual.

Ejemplo 4.5: calcular el descuento racional y el descuento bancario de una letra de cambio de $ 240000 a 210 días de plazo,

si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa del 1.8% mensual.

Ejemplo 4.6: una persona solicita un préstamo de $ 3000 a 180 días de plazo en una institución financiera que cobra una tasa

de interés del 24% anual. Calcular el valor que debe pagar el cliente de dicha institución al vencimiento. Hallar el valor actual, el

descuento racional y el descuento bancario si se desea descontar 30 días antes de la fecha de vencimiento.

Ejemplo 4.7: calcule el descuento bancario de un pagaré de $ 85000 suscrito a 180 días de plazo, si se descuenta 30 días

antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 12% anual.

Ejemplo 4.8: ¿cuál es el descuento bancario de una letra de cambio de $ 250000 suscrito a 120 días de plazo, si fue

descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 2% mensual.

Ejemplo 4.9: calcule el valor actual de un pagaré de $ 80000 suscrito a 120 días de plazo, si se descuenta el día de hoy a una

tasa de descuento del 18% anual.

Ejemplo 4.10: en el problema anterior, calcule el descuento bancario.

Descuento bancario compuesto : consiste en una serie de cálculos de descuentos simples donde, en primer término, se

aplica el descuento por un período sobre el monto, encontrando su valor líquido al final del primer período (evaluado de

derecha a izquierda), o al comienzo del segundo período. A este valor obtenido se aplica el segundo descuento encontrando su



FINANCIERA

valor líquido pagadero dentro de dos periodos y así sucesivamente para todos los períodos del horizonte temporal

comprendido entre la fecha en que se hace efectivo el abono del importe liquido del documento y la fecha del vencimiento de la

deuda:

Db=M [1− (1−d )n ]

Ejemplo 4.11: halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor al vencimiento es S/. 7000 y vence dentro de

45 días. La tasa nominal anual es 36% con período de descuento mensual.

Solución:

Db=7000 [1−(1−0.03 )1.5 ]=S/ .312.63

Ejemplo 4.12: calcular el descuento bancario compuesto cuyo valor al vencimiento es de S/. 9000000 luego de 10 años si se

descontó 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva.

Ejemplo 4.13: Calcular los intereses de descuento racional que aplica el banco Interfip por una letra de cambio que asciende a

$ 4250, faltando un año su vencimiento. El banco cobra una TES del 12% capitalizable mensualmente. Calcular también el

valor descontado o valor presente de la letra de cambio.

Ejemplo 4.14: Una letra de cambio que tiene un valor nominal de $3750 fue descontada por el BCP, cuando faltaba cinco

meses para su vencimiento, se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectuó el banco que aplicó

una tasa efectiva trimestral de 8,5% capitalizable mensualmente. Calcular también el valor descontado o valor presente del al

letra de cambio.

Ejemplo 4.15: Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $ 8820 fue descontada por el BCP, cuando faltaba 136

días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectuó el banco que aplico

una tasa efectiva quincenal de 1,25% capitalizable quincenalmente. Calcular el valor descontado o valor presente de la letra de

cambio.

Ejemplo 4.16: calcule el descuento racional y bancario compuesto de un documento cuyo valor al vencimiento es de S/.

7000000 luego de 7 años si se descontó 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 14% efectiva.

3. Descuento Comercial : es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un artículo.

Simbología

Dc: Descuento comercial d : Tasa de descuento expresada en tanto por uno

PV : Precio de venta PR: Precio rebajado

Descuento comercial unitario : Es el resultado de aplicar por una sola vez una determinada tasa sobre el precio de venta de

un determinado artículo.

Ejemplo 5.1: el descuento de un artículo cuyo precio de venta es S/. 1 000 al que se le aplica una tasa del 10%, será de S/.

100 y el precio rebajado será S/. 900.

Designamos los importes en el siguiente cuadro, tenemos:

PV d Dc=PV ×dPR=PV (1−d)1

0000.1 100 900

De donde obtenemos las siguientes fórmulas:

Descuento comercial:Dc=PV ×dPrecio rebajado: PR=PV (1−d)



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Descuento comercial sucesivo : Cuando se aplican diferentes tasas sucesivas de descuento comercial, el primero sobre el

precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados, entonces se tienen descuentos sucesivos.

Ejemplo 5.2: suponga que un artículo tiene un precio de venta de S/. 1 000 a los que se aplican sucesivamente descuentos del

10% y 5%, entonces los cálculos serían:

PV d1 Dc1=PV ×d1PR1=PV (1−d1)d2 Dc2=PV ×d2P R2=PV (1−d2)

1

000

0.1 100 900 0.0

545 855

El descuento comercial sucesivo total es igual a la diferencia del precio de venta original y el último precio rebajado:

Dc=PV−P Rn

Dc=PV−PV (1−d1 ) (1−d2 )……(1−dn)

Ejemplo 5.3: por campaña de quincena, una tienda de autoservicios ofrece el descuento del 20% +15% en todos los artículos

para automóviles. Si un cliente compra una batería cuyo precio de lista es S/. 120, calcule: a) el descuento total; b) la tasa de

descuento acumulada; c) el precio rebajado a pagar; d) efectúe la liquidación de la facturación.

Ejemplo 5.4: un equipo electrodoméstico comercializado por SIGA S.A tiene un precio de S/. 2 500. En la fecha que el cliente

X acude para su compra encuentra que el equipo se ha incremento en 25%, pero sobre este precio se otorga una rebaja en

10% a) ¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en qué porcentaje total?; b) ¿cuál será el importe de la facturación?; c)

efectúe la liquidación con los incrementos y rebajas.


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