18 Prof. Jesús Calixto Suárez

UNIDAD II.- SISTEMAS DE NUMERACIO N

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, los cuales tienen dos valores diferentes: 1) lo que

representan por su forma y 2) lo que representan por la posición en la que se encuentran.

Sistema decimal

Nuestro sistema tiene este nombre, ya que son diez los símbolos utilizados, a saber

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Estos símbolos representan un valor por su forma:

Pero por su posición representa otro valor:

Los diez símbolos antes mencionados reciben el nombre de dígitos o guarismos del sistema decimal. Con éstos

símbolos y sus posiciones del sistema decimal se pueden realizar operaciones, como son la suma, la resta, la

multiplicación y la división.

Sistema Quinario

Éste sistema utiliza cinco símbolos a saber: 0, 1, 2, 3, 4. Y en éste caso los ORDENES del sistema base cinco

son:

Etc. 54 5

3 5

2 5

1 5

0

Claramente sabemos

Ahora bien, por ejemplo, la numeración en base “cinco” es:

5 éste símbolo no existe para el sistema base “cinco”,

por lo tanto sería el cinco en base cinco = 10, el cuál

nosotros lo conocemos como el número “diez”, sin

embargo 10 en base cinco lo tenemos que representar

como:

5 cinco

Etc. 104

103 10

2 10

1 10

0

Etc. 10000 1000 100 10 1

5 3 8

Por su posición representa

5 centenas, o sea, quinientos

Etc. 54

53 5

2 5

1 5

0

Etc. 625 125 25 5 1 órdenes en base cinco

Etc. 53 5

2 5

1 5

0

Etc. 125 25 5 1

0 cero

1 uno

2 dos

3 tres

4 cuatro

10cinco se lee “uno cero en base cinco”

Nombre de la base

en la que está escrito www.ca

lixto.

com.m

x

Matemáticas IV.- Álgebra 19

Por lo anterior tenemos ahora que:

5 1

1 2cinco = 7

Bien, ahora aplicarás lo anterior para operaciones con números en base cinco.

Suma y resta en base cinco Realizar las siguientes operaciones:

a)

2 1 22 5 7

1 5 5

1 1*

2 34323

1112

cinco

cinco

cinco

Etc. 53 5

2 5

1 5

0

Etc. 125 25 5 1

0

1

2

3

4

1 0 cinco Representa al número 5

1 1 cinco Representa al número 6

1 2 cinco Representa al número 7

2 4 cinco Representa al número 14

3 0 cinco Representa al número 15

etc.

El número siete en base cinco es 12cinco, se pone por eso el

2 y llevamos 1*

25 5 1

1 2cinco = 7

1 1 cinco = 6

4+3=

7

1+3+2=

6

El número seis en base cinco se escribe 11cinco, se

pone el uno y llevamos

1+2+3=

6

Como es la última operación se escribe el seis en base

cinco completo.

234cinco+323cinco = 1112cinco www.calix

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20 Prof. Jesús Calixto Suárez

b)

4432444

cinco

cinco

1

443 244 4

3

cinco

cinco

cinco

1

44 324 44

33

cinco

cinco

cinco

1

4 432444

433

cinco

cinco

cinco

25 5 1

1 2cinco = 7

1 3 cinco = 8

1 4 cinco = 9

Al 2 no le puedo quitar 4, por lo tanto, el 2 “pide” 1 y se

convierte en 12cinco o sea 7

Si a 7 le resto 4 quedan 3

El uno que llevamos se lo sumaremos a 4, o sea, tendremos 5

Al 3 no le puedo restar 5, por lo tanto, el 3 “pide” y se

convierte en 13cinco, o sea 8.

Si a 8 le resto 5, quedan 3 y llevo 1

Al 4 no le puedo restar 5=4+1, entonces “pide” 1 y se

convierte en 14cinco, o sea 9.

Al 9 le resto 5 y quedan 4, llevando uno

Si al 4 le resto uno quedan 3

Resultado: www.calix

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Matemáticas IV.- Álgebra 21

Multiplicación y División

c)

Ahora multiplicamos 2 por cada uno de los elementos de 324

2

32 423

2

cinco

cinco

cinco

2

3 2 42 3

2

cinco

cinco

cinco

1*

324

23

32

cinco

cinco

cinco

32423

2032

cinco

cinco

cinco

32423

2032

cinco

cinco

cinco

*1

32 423

20323

cinco

cinco

cinco

cinco

3 por 4 = 12, el 12 en base cinco es: 5 1

2 2cinco 12

2×3=6 más 2 que llevamos dan 8 el ocho en base 5 es:

5 1

1 3cinco 8

Se pone 3 y se lleva 1*

3×3=9 más uno que llevamos, nos da 10, o sea 20cinco

2×4=8, que se escribe 13cinco, ponemos 3 y llevamos 1*

2×2=4, más 1 que llevamos 5=10cinco

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22 Prof. Jesús Calixto Suárez

Finalmente 2×3=6, más uno que llevamos: 7=12cinco

Para concluir, realizamos la suma. Recuerda que es en base cinco:

El 2 baja tal cual

3+3=6 que se escribe como 11cinco, se pone 1 y llevo 1

0+0 = 0+1 (que llevaba) =1

Ésta última suma es sencilla, pues no necesita transformación a base cinco

1

32 423

203203

cinco

cinco

cinco

cinco

32 423

20321203

cinco

cinco

cinco

cinco

32 423

20321203

2

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

32 423

20321203

12

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

32 423

20321203

1 12

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

32 423

20321203

141 12

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

324cinco×23cinco = 14112cinco www.ca

lixto.

com.m

x

Matemáticas IV.- Álgebra 23

d) 13 2241cinco cinco

Recordemos rápidamente como dividimos en nuestro sistema decimal

14 2314

114 2314

91

1614 2314

9174

al final tenemos

16514 2314

9174

4

Ahora hagamos lo mismo pero en base cinco

13 2241cinco cinco

1

13 224144

cinco cinco

13

13 22414401

cinco cinco

cociente

dividendo divisor

se toman 2 dígitos, pués el divisor tiene 2, si “no

alcanza” se tomaría un dígito más para tener 3

por

84 para 91

el proceso empieza a ser repetitivo 74 entre 14 toca a 5 y sobran 4

residuo

por

para 12

se baja el 4

por

para 24 se baja el 1

25 5 1

2 2cinco = 12

1 3 cinco = 8

4 4 cinco = 24

dos dígitos se toman dos dígitos

por

para 23 se baja el uno

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24 Prof. Jesús Calixto Suárez

Finalmente

130

13 224144011

cinco

cinco cinco

al realizar 13 2241cinco cinco , cociente: 130, reisduo: 1

Comprobación:

130

13 224144011

cinco

cinco cinco

**1

*

13013

4 4 0

cinco

cinco

cinco

**1

*

13013

4 4 0130

2 2 40

cinco

cinco

cinco

cinco

cinco

ahora le sumamos el residuo, 1

22401

2241

cinco

cinco

cinco

no alcanza, toca a cero y sobra uno

por

más resulta

se pone 4* y se lleva 1

**

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Matemáticas IV.- Álgebra 25

Ejemplos de operaciones con distintas bases a) 231 233cuatro cuatro

1

231233

0

cuatro

cuatro

cuatro

1 1

231233

30

cuatro

cuatro

cuatro

finalmente

1 1

231233

1130

cuatro

cuatro

cuatro

b) 562 423siete siete

562423

siete

siete

1

5 6 2

4 2 3

6

siete

siete

siete

1

5 6 2

4 2 3

3 6

siete

siete

siete

y finalmente

1

5 6 2

4 2 3

1 3 6

siete

siete

siete

64 16 4 1

1 0cuatro = 4

1 3cuatro = 7

, o sea, , se pone

cero y llevo uno

1+3+3=siete, en base 4: 13cuatro

1+2+2=cinco, 11cuatro = 5

al 2 no le puedo quitar 3, el 2 entonces

“pide” uno y se convierte en 12siete = nueve

343 49 7 1

2+1=3 para 6, 3 y no llevamos nada

3 para nueve (12siete) = 6 y llevamos uno que

se lo sumamos al 2

porque el 2 pidió

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26 Prof. Jesús Calixto Suárez

c) 11 10111dos dos

11 10111dos dos

1

11 10111

10dos dos

1

11 10111101

dos dos

11

11 10111101

10

dos dos

y finalmente

111

11 10111101

10110

dos

dos dos

dos

111

11 10111101

10110

dos

dos dos

dos

2 entre 3 no alcanza, se

toma un tercer dígito

10dos = dos

8 4 2 1

1 1dos = tres

1 0 1dos = cinco

1 0dos = dos

por

1×3=3 para cinco es dos = 10dos

101dos = cinco

se baja el 1

101dos = cinco otra vez,

entre 11dos = tres

por

1×3=3 para cinco es dos = 10dos

baja

1×3=3 para cinco es dos = 10dos

por

cociente

residuo

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Matemáticas IV.- Álgebra 27

Ejercicios de operaciones con distintas bases Realiza las siguientes operaciones en la base que se indica

1)

232

23

cuatro

cuatro 2)

1022

32

cuatro

cuatro 3)

20113

21cuatro

cuatro

4)

31002

22cuatro

cuatro 5)

1011011

101111

dos

dos 6)

1001101

101111

dos

dos

7)

2 2

63

H

H

A

8)

7 2

63

H

H

BA

CD 9)

7456

863 3

H

H

E

B

10)

74 3

463 5

H

H

CF

B 11)

1 1

7 3

H

H

AAA

BB 12)

5 32

23

H

H

CD

13)

2 754

124

H

H

B

14)

24 13

21H

H

A

15)

2 15

1H

H

BC

A

16)

5 12

14H

H

DF

17) 3234

334

cinco

cinco 18)

4534

232

seis

seis

19) 12 4566sietesiete 20) 7654

654

ocho

ocho 21)

3234

3334

5626

ocho

ocho

ocho

22) 13 34 7docedoce A 23) 7564

6334

nueve

nueve 24)

4534

4123

7756

siete

siete

siete

25) 101 1101101101dosdos 26) 110 110010101101dosdos 27) 3 4

245

trece

trece

AB

28) 4534

232

seis

seis 29) 120 220110221trestres 30)

1 2

6 3

catorce

catorce

AAA

BB

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28 Prof. Jesús Calixto Suárez

CONVERSIONES DE BASES

Conversiones de cualquier base a decimal Para convertir un número en cierta base hacia el sistema decimal, sólo hay que observar la base en la cual está

escrito y poner los órdenes de dicha base sobre cada dígito para hacer posteriormente las multiplicaciones y

sumas correspondientes.

Ejemplo 1.- Convertir 432seis a decimal

o sea: 432seis = 164 (decimal)

Ejemplo 2.- Convertir 653ocho a decimal

Conversiones de decimal a cualquier base Para convertir un número decimal a cualquier otra base, se realizan divisiones sucesivas hasta que el cociente sea

cero.

Ejemplo 1.- Convertir 85 a base 6

Se empieza dividiendo 85 por 6 y se toma al residuo como el primer dígito de derecha a izquierda del

número buscado.

14

6 85251

2

6 142

0

6 22

2 2 1seis

85 = 221seis

la comprobación se puede hacer convirtiendo 221seis a decimal, que ya se sabe hacer.

512 64 8 1

6 5 3ocho

por 8 por 8 por 8

ordenes en base 8

216 36 6 1

4 3 2seis

por 6 por 6 por 6

ordenes en base 6 (siempre empezar en uno)

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Matemáticas IV.- Álgebra 29

Ejemplo 2.- Convertir 132 a base 9

14

9 132426

1

9 145

0

9 11

1 5 6nueve

132 = 156nueve

Conversiones de cualquier base a cualquier base de un sistema de numeración Para convertir un número escrito en cualquier base que no sea decimal a otra base, primero convertimos a

decmal (esto ya se estudió) y posteriormente ya en decimal lo convertimos a la segunda base que se desea llegar,

lo cual también ya se estudió.

Ejemplo 1.- Convertir 431cinco a base 2

Primero convertimos al número 431cinco a decimal

431cinco = 116

ahora convertimos el 116 a base 2

58

2 11616

0

29

2 58180

14

2 29091

7

2 140

3

2 71

1

2 31

2 11

cero

1 1 1 0 1 0 0dos

es decir: 431 1110100cinco dos

Ejercicios Convertir los siguientes número a la base que se indica

a) 121 a base 5

b) 3211cuatro a decimal

c) 3030seis a decimal

d) 328 a base 3

e) 245seis a base 9

f) 4225ocho a base 6

g) 110110dos a base 3

125 25 5 1

4 3 1cinco

por 5 por 5 por 5 ordenes en base 5

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