Unidad II Teoria de Colas Ing Ind (1)

INVESTIGACION DE OPERACIONES II INGENIERIA INDUSTRIAL

UNIDAD II. TEORA DE COLAS pag. 1 ISC. JOSE AURELIO RAMIREZ GONZALEZ

2.1 INTRODUCCIN Y CASOS DE APLICACIN. ............................................................................................................. 1

2.2 DEFINICIONES, CARACTERSTICAS Y SUPOSICIONES. .............................................................................................. 3

2.3 TERMINOLOGA Y NOTACIN. ............................................................................................................................... 6

2.4 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. MODELOS POISSON. ................................................................................. 8

2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA. ........................................................................................................ 9

2.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA. ............................................................................................... 11

2.7 SERVIDORES MLTIPLES, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA ................................................................................ 13

2.8 SERVIDORES MLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE INFINITA .................................................................................... 15

2.9 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIN ......................................................... ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

2.1 Introduccin y casos de aplicacin.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE COLAS.

La teora de las colas es un estudio matemtico de las filas o lneas de espera. La formacin de lneas de espera es, un fenmeno comn que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia, deben de tomarse decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse.

Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cundo llegarn las unidades que buscan el servicio y/o cuanto tiempo ser necesario para dar ese servicio. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos.

Las lneas de espera largas tambin son costosas en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la prdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algn otro costo importante. Entonces, la meta final es lograr un balance econmico entre el costo de servicio y el asociado con la espera por ese servicio. La teora de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la informacin vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas caractersticas sobre la lnea de espera como el tiempo de espera promedio.



La teora de las colas proporciona un gran nmero de modelos matemticos para describir una situacin de lnea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados matemticos que predicen algunas de las caractersticas de estos modelos. Despus de una introduccin general se analiza la manera en que puede usarse la informacin que proporciona la teora colas para la toma de decisiones.

El origen de la Teora de Colas est en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestin de trfico telefnico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefnico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teora llamada teora de colas o de lneas de espera. Esta teora es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestin llegada-partida.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base terica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy til el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las caractersticas que tiene un determinado modelo de colas. La Teora de Colas es un formulacin matemtica para la optimizacin de sistemas en que interactan dos procesos normalmente aleatorios: un proceso de llegada de clientes y un proceso de servicio a los clientes, en los que existen fenmenos de acumulacin de clientes en espera del servicio, y donde existen reglas definidas (prioridades) para la prestacin del servicio. La Teora de Colas es una aproximacin matemtica potente para la optimizacin del problema, y tiene aplicaciones (crecientes) en sistemas donde las llegadas y el servicio admiten una representacin matemtica (probabilstica)

CASOS DE APLICACION

En muchas ocasiones en la vida real, un fenmeno muy comn es la formacin de colas o lneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio.

Ejemplos reales de esa situacin son:

los cruces de dos vas de circulacin los semforos el peaje de una autopista los cajeros automticos la atencin a clientes en un establecimiento comercial la avera de electrodomsticos u otro tipo de aparatos que deben ser

reparados por un servicio tcnico



Todava ms frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informtica, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologas.

Algunas aplicaciones tpicas se listan a continuacin

2.2 Definiciones, caractersticas y suposiciones.

LA TEORA DE COLAS es el estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un servidor, el cual tiene una cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la lnea de espera.

Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen sistemas de lnea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado. En la figura de abajo observamos un esquema tpico generalizado de un sistema de cola.



Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algn tipo y salen despus de que dicho servicio haya sido atendido. El problema es determinar qu capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarn los clientes. Tambin el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Los problemas de colas se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluy que, por trmino medio, un ciudadano medio pasa cinco aos de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semforos.

CONCEPTOS BASICOS

Teora de colas: Estudio matemtico del comportamiento de la lnea de espera.

Clientes: Es todo individuo o elemento que solicita un estudio. Capacidad de la cola: Es el nmero mximo de clientes que pueden

estar haciendo una cola. Mecanismo de servicio: Son uno o ms canales paralelos de

servicios (servidores). Redes de cola: Sistema donde existen varias colas y los trabajos

fluyen de una a otra. Prioridad: Se atiende a los clientes por jerarqua. Cola: Una fila de clientes esperando un servicio. Canales mltiples: Son servidores en paralelos. Disciplina de servicios: Es el orden en el que se atienden a los

clientes. o PEPS: Primer cliente en entrar, primer cliente en salir. o UEPS: Ultimo cliente en entrar, primer cliente en salir. o SOA: Selecciona a los clientes de manera aleatoria.

Distribucin exponencial: til para describir el patrn de los tiempos de servicio.

Distribucin de Poisson: Describe procesos aleatorios. Tasa promedio de llegadas: Promedio de clientes que llegan en un

tiempo determinado. Tasa promedio de servicio: Promedio de clientes que reciben

servicios en un tiempo determinado. Bloqueo: Es cuando no se pueden agregar ms clientes a la cola.

CARACTERSTICAS CLAVES.

Existen dos clases bsicas de tiempo entre llegadas:



1. Determinstico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clsico es el de una lnea de ensamble, en donde los artculos llegan a una estacin en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo)

2. Probabilstico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilsticos se describen mediante una distribucin de probabilidad. En el caso probabilstico, la determinacin de la distribucin real, a menudo, resulta difcil. Sin embargo, una distribucin, la distribucin exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prcticos.

EL PROCESO DE SERVICIO.

El proceso de servicio define cmo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir ms de una estacin en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal mltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idnticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idnticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idnticos.

Al contrario de un sistema de canal mltiple, considere un proceso de produccin con una estacin de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estacin de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automviles, que es una sola estacin, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simultnea

Otra caracterstica del proceso de servicio es el nmero de clientes atendidos al mismo tiempo en una estacin. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobs son atendidos en grupo, segn la capacidad del autobs que llegue. Otra caracterstica ms de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es puede un servidor detener el proceso con el cliente que est atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar?. Por ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se presenta cuando un mdico, que est atendiendo un caso que no es crtico es llamado a atender un caso ms crtico.



Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cunto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto ms dure el servicio, ms tendrn que esperar los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser determinstico o probabilstico. Con un tiempo de servicio determinstico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilstico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilsticos se describen matemticamente mediante una distribucin de probabilidad.

SUPUESTOS

El modelo simple de teora de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones:

Un solo prestador del servicio y una sola fase. Distribucin de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de

llegadas. Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del

servicio. Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas

las llegadas esperan en lnea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.

2.3 Terminologa y notacin.

Caractersticas operativas.- Medidas de desempeo para una lnea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la lnea, el tiempo de espera promedio, etc.

Operacin de estado estable.- Operacin normal de la lnea de espera despus de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las caractersticas operativas de las lneas de espera se calculan para condiciones de estado estable.

Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado.

Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalacin de servicio en un periodo dado.

Lnea de espera de canales mltiples.- Lnea de espera con dos o ms instalaciones de servicio paralelas.

Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la lnea de espera debido a que el sistema est lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las lneas de espera o cuando las lneas de espera tienen una capacidad finita.



Poblacin infinita.- Poblacin de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un lmite superior especificado.

Poblacin finita.- Poblacin de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito.

Usualmente siempre es comn utilizar la siguiente notacin y terminologa estndar:

NOTACIN KENDALL (A/b/C/): (D/E/F)

A: proceso de llegada M: markoniano (sigue una distribucin exponencial

aleatoria) D: deterministas (constantes y sin cambios) G: general (cualqueir otro distinto de probabilidad)

B: tiempo que dura el servicio C: numero de servidores D: capacidad del sistema E: disciplina del servicio F: tamao de la poblacin

Datos conocidos

Debemos Calcular:



2.4 Proceso de nacimiento y muerte. Modelos Poisson.

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teora de probabilidad tiene aplicaciones en varias reas. Sin embrago en el contexto de la teora de colas, el trmino nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el trmino muerte se refiere a la salida del cliente servido.

El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el nmero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en trminos probabilsticos cmo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

De manera ms precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

SUPOSICIN 1. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para el prximo nacimiento (llegada) es exponencial con parmetro (n=0,1,2,.).

SUPOSICIN 2. Dado N (t) = n, la distribucin de probabilidad actual del tiempo que falta para la prxima muerte (terminacin de servicio) es exponencial con parmetro (n=1,2,.).

Formulas Generales Utilizacin del sistema

Nm. Promedio de clientes en el sistema

Tiempo promedio de espera en la cola

Tiempo total de espera



SUPOSICIN 3. La variable aleatoria de la suposicin 1 (el tiempo que falta hasta el prximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposicin 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Excepto por algunos casos especiales, el anlisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condicin transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribucin de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso prctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribucin despus de que el sistema ha alcanzado la condicin de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla).

DISTRIBUCIN DE LLEGADAS.

Definir el proceso de llegada para una lnea de espera implica determinar la distribucin de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de lnea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrir. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribucin de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripcin del patrn de llegadas.

La funcin de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo especfico. La funcin de probabilidad es como sigue:

2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita.

Para los modelos de lnea de espera introducidos hasta ahora, la poblacin de unidades o clientes que llegan para servicio se han considerado ilimitadas. En trminos tcnicos, cuando no se pone lmite respecto a cuntas unidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una poblacin infinita. Bajo esta suposicin, la tasa media de llegada permanece constante sin importar cuntas unidades hay en el sistema de lnea de espera. Esta suposicin de una poblacin infinita se hace en la mayora de los modelos de lnea de espera.

En otros casos, se asume que la cantidad mxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finita. En esta situacin, la tasa media de llegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la lnea de espera y se dice que el modelo de lnea de espera tiene una poblacin finita. Las frmulas para las caractersticas operativas de los modelos de lnea de espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la poblacin finita.



El modelo de poblacin finita que se expone en esta seccin se basa en las siguientes suposiciones.

1. Las llegadas para cada unidad siguen una distribucin de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada .

2. Los tiempos de servicio siguen una distribucin deprobabilidad exponencial, con una tasa media de servicio .

3. La poblacin de unidades que pueden buscar servicio es finita.

Con un solo canal, el modelo de lnea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una poblacin finita.

La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una poblacin finita se define en funcin de cun a menudo llega o busca servicio cada unidad. Esta situacin difiere de la de modelos de lnea de espera anteriores en los que denotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una poblacin finita, la tasa media de llegada para el sistema vara, dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cambiante, en el modelo de poblacin finita indica la tasa media de llegada para cada unidad.

CARACTERSTICAS OPERATIVAS PARA, EL MODELO M/M/1 CON UNA POBLACIN FINITA DE DEMANDANTES.

Las siguientes formulas se usan para determinar las caractersticas operativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una poblacin finita donde:

= la tasa media de llegada para cada unidad = la tasa media de servicio

N = el tamao de la poblacin

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

2. Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:



4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

7. Probabilidad de n unidades en el sistema:

2.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita.

Las frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal se citarn ms adelante. Las frmulas son aplicables si las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial. Mostramos cmo pueden usarse las frmulas para determinar las caractersticas de operacin de un sistema de un servidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a la administracin informacin til para la toma de decisiones.

La metodologa matemtica usada para derivar las frmulas para las caractersticas operativas de las lneas de espera es bastante compleja. Sin embargo, el propsito no es proporcionar el desarrollo terico de estos modelos, sino mostrar cmo las frmulas que se han elaborado pueden dar informacin acerca de las caractersticas operativas de la lnea de espera.

CARACTERSTICAS OPERATIVAS.

Las frmulas siguientes pueden usarse para calcular las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde:



= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada).

= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio).

Po= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera:

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que estn siendo atendidos):

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera:

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.



2.7 Servidores mltiples, cola infinita, fuente infinita

Una lnea de espera con canales mltiples consiste en dos o ms canales de servicio que se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales mltiples, las unidades que llegan esperan en una sola lnea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operacin de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la lnea de espera de dos canales de Burger Dome.

En esta seccin presentamos frmulas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas de estado estable para una lnea de espera de varios canales. Estas frmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones.

1. Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson.

2. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial.

3. La tasa media de servicio es la misma para cada canal. 4. Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y luego

pasan al primer canal disponible para el servicio.



CARACTERSTICAS OPERATIVAS

Pueden usarse las siguientes frmulas para calcular las caractersticas operativas de estado estable para lneas de espera con canales mltiples, donde:

.- la tasa media de llegada para el sistema. .- la tasa media de servicio para cada canal. k.- la cantidad de canales.

P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

Lq= Nmero de clientes promedio en una lnea de espera

L= Nmero de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que estn siendo atendidos).

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la lnea de espera.

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.



Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio:

Debido a que es la tasa media de servicio para cada canal, k es la tasa media de servicio para el sistema de canales mltiples. Como sucedi con el modelo de lnea de espera de un solo canal, las frmulas para las caractersticas operativas de las lneas de espera con mltiples canales slo pueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para el sistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras, las frmulas son aplicables slo si k es mayor que .

2.8 Servidores mltiples, cola finita, fuente infinita

Este tipo de modelo es el M/M/c : DG//, donde el lmite del sistema es finito igual a N; eso quiere decir que el tamao mximo de la cola es N c. Las tasas de llegada y de servicio son y .

Las caractersticas operativas para este sistema se calculan como sigue:

Probabilidad de n unidades en el sistema:



Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:



Cantidad de unidades promedio en la lnea de espera:

Para determinar Wq, W y L, se calcula el valor de ef como sigue:

Documents

Unidad II Teoria de Colas Ing Ind (1)