PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

[Escriba texto]

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

UNIDAD III. Distribuciones de probabilidad

DISTRIBUCIONESUna variable aleatoria es continua si sus probabilidades estn dadas por reas bajo una curva. La curva se llama funcin de densidad de probabilidad para la variable aleatoria. A veces la funcin de densidad de probabilidad se llama distribucin de probabilidad.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD: Listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado.Proporciona toda la gama de valores que se pueden presentar en un experimento. Es similar a una distribucin de frecuencias relativas; sin embargo, en el futuro. Ejemplo: Supongamos que le interesa el nmero de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, y tres caras. Cul es la distribucin de probabilidad del nmero de caras?Hay ocho posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamientos de la moneda. O puede obtener cruz, cruz y cara, en ese orden. Para obtener los resultados del conteo, aplicamos la frmula de la multiplicacin: (2)(2)(2), es decir, 8 posibles resultados. Estos resultados se listan en la tabla.LANZAMIENTO DE LA MONEDA

RESULTADO POSIBLEPrimeroSegundoTerceroNUMERO DE CARAS

1CCC0

2CCCa1

3CCaC1

4CCaCa2

5CaCC1

6CaCCa2

7CaCaC2

8CaCaCa3

Observa que el resultado cero caras ocurre slo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras, tres veces, y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se present una de ocho veces. Por lo tanto, la probabilidad de cero caras es de un octavo; la probabilidad por una cara es de tres octavos, etc. La distribucin de probabilidad se muestra en la siguiente tabla, como uno de estos resultados debe suceder, el total de las probabilidades de todos los eventos posibles es 1.00. Esto siempre se cumple.Numero de carasProbabilidad del resultado

01/8 = .125

13/8 = .375

23/8 = .375

31/8 = .125

Total 8/8 = 1.00

Las caractersticas ms importantes de una distribucin de probabilidad:1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1.2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.3. La lista es exhaustiva. As, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.

VARIABLES ALEATORIASVARIABLE ALEATORIA: Cantidad que resulta de un experimento que por azar, puede adoptar diferentes valores. Por ejemplo: 1. Si cuentas el nmero de empleados ausentes en el turno matutino el lunes, el nmero puede ser 0, 1, 2, 3.2. Si lanzas dos monedas al aire y cuentas el nmero de caras, puede caer cero, una o dos caras.3. El nmero de focos defectuosos producidos por hora en una compaa.VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Son el resultado de contar algo. Adopta solo valores claramente separados. Asume valores fraccionarios o decimales. Por ejemplo, las calificaciones de los jueces por destreza tcnica y forma artstica en una competencia de patinaje son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7, dichos valores son discretos, pues hay una distancia entre calificaciones de 8.3 y 8.4.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Son el resultado de algn tipo de medicin, por ejemplo, la anchura de una recamara, la estatura de una persona, la presin de una llanta de automvil, etc.Por lgica, si se organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribucin de probabilidad, el resultado es una distribucin de probabilidad.Cul es la diferencia entre una distribucin de probabilidad y una variable aleatoria?. Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribucin representa todos los posibles resultados, as como la correspondiente probabilidad.MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIN ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADMEDIA: Es el valor promedio de larga duracin de la variable aleatoria. Tambin recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrir.

P(x) = probabilidad de un valor particular de x. Se multiplica cada valor x por la probabilidad de que ocurra y enseguida se suman los productos.VARIANZA Y DESVIACIN ESTANDAR: Muestra el grado de dispersin (variacin) en una distribucin. =Los pasos para calcularla son:1. La media resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado.2. Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.3. Se suman los productos que resultan para obtener la varianza.

La desviacin estndar, se determina al extraer la raz cuadrada positiva de la varianza es decir

Ejemplo: Carlos, es un vendedor de autos nuevos, por lo general Carlos vende la mayor cantidad de automviles el sbado. Ide la siguiente distribucin de probabilidad de la cantidad de automviles que espera vender un sbado determinado:Cantidad de autos vendidos, xProbabilidad P(x)

0.10

1.20

2.30

3.30

4.10

Total1.00

1. De qu tipo de distribucin se trata?2. Cuntos automviles espera vender Carlos un sbado normal?3. Cul es la varianza de la distribucin?

1. Se trata de una distribucin de probabilidad discreta para la variable aleatoria denominada nmero de automviles vendidos. Observe que Carlos slo espera vender cierto margen de automviles; no espera vender 5 automviles ni 50. Adems no puede vender medio automvil. Slo puede vender 0, 1, 2, 3 o 4 automviles. Asimismo, los resultados son mutuamente excluyentes: no puede vender un total de 3 y 4 el mismo sbado.

2. La media de la cantidad de automviles vendidos se calcula de multiplicar el nmero de automviles vendidos por la probabilidad de vender dicho nmero, y sumar los productos de acuerdo con:

= 0(0.10) + 1(.20) + 2(.30) + 3(.30) + 4(.10) = 2.1Cantidad de autos vendidos, xProbabilidad P(x)x * P(x)

0.100.00

1.200.20

2.300.60

3.300.90

4.100.40

Total1.002.10

Cmo interpretar una media de 2.1? este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sbados, Carlos espera vender un promedio de 2.1 automviles por da. Por supuesto no es posible vender exactamente 2.1 automviles un sbado en particular. Sin embargo, el valor esperado se utiliza para predecir la media aritmtica de la cantidad de automviles a la larga. Por ejemplo si Carlos trabaja 50 sbados en un ao, puede esperar vender (50)(2.1) o 105 automviles slo los sbados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado.3. De nuevo, una tabla resulta til para sistematizar los clculos de la varianza, que es de 1.290.Cantidad de autos vendidos, xProbabilidad P(x)(x - )(x - )2(x - )2 P(x)

0.100 2.14.410.441

1.20 1 2.11.210.242

2.302 2.10.010.003

3.303 2.10.810.243

4.104 2.13.610.361

1.290

Recordemos que la desviacin estndar, es la raz cuadrada positiva de la varianza.

= 1.136La desviacin es de 1.136. Cmo interpretar la desviacin estndar de 1.136 automviles? Si la vendedora Rita tambin vendi un promedio de 2.1 automviles los sbados y la desviacin estndar en sus ventas fue de 1.91 automviles, concluiramos que hay ms variabilidad en las ventas sabatinas de Rita que en las ventas de Carlos.TALLER 1:1) Calcula la media y la varianza de la siguiente distribucin de probabilidad discreta.

xP(x)

0.2

1.4

2.3

3.1

2) Las tres tablas que aparecen a continuacin muestran variables aleatorias y sus probabilidades, sin embargo slo una constituye en realidad una distribucin de probabilidad.a) Cul de ellas es?xP(x)XP(x)xP(x)

5.35.10.5

10.310.31.3

15.215.22-.2

20.420.43.4

b) Con la distribucin de probabilidad correcta, calcula la probabilidad de que:

1) Exactamente 15 2) No mayor que 103) Mayor que 5

3) La informacin que sigue representa el nmero de llamadas diarias al servicio de emergencias, durante los ltimos 50 das. En otras palabras hubo 22 das en los que se realizaron 2 llamadas de emergencia y 9 das en los que se realizaron 3 llamadas de emergencia.Nmero de llamadasFrecuencia

08

110

222

39

41

Total50

a) Convierte esta informacin sobre el nmero de llamadas en una distribucin de probabilidad.b) Constituye un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta o continua?c) Cul es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al da?d) Cul es la desviacin estndar de la cantidad de llamadas diarias?

4) Una tienda departamental, tiene una venta espacial este fin de semana. Los clientes que registren cargos por compras de ms de $50 en su tarjeta de crdito de la tienda recibirn una tarjeta especial de la lotera. El cliente raspar la tarjeta, la cual indica la cantidad que se retendr del total de compras. A continuacin aparecen la suma de precios y el porcentaje de tiempo que se deducir del total de las compras.

Suma de premiosProbabilidad

10.50

25.40

50.08

100.02

a) Cul es la cantidad media deducida de la compra total?b) Cul fue la desviacin estndar de la cantidad deducida de las compras?

TAREA 1:1) Calcula la media y la varianza de la siguiente distribucin de probabilidad discreta.

xP(x)

2.5

8.3

10.2

2) Cules de las siguientes variables aleatorias son discretas y cules continas?a) El nmero de cuentas abiertas por un vendedor en un ao.b) El tiempo que transcurre entre el turno de cada cliente en un cajero automtico.c) El nmero de clientes que asisten a una esttica.d) La cantidad de combustible que contiene el tanque de gasolina de tu auto.e) La cantidad de miembros del jurado pertenecientes a una minora.f) La temperatura ambiente del da de hoy.

3) El director de admisiones de una universidad, calcul la distribucin de admisiones de estudiantes para el segundo semestre con base en la experiencia pasada. Cul es el nmero de admisiones esperado para el segundo semestre? Calcula la varianza y la desviacin estndar del nmero de admisiones.AdmisionesProbabilidad

1000.6

1200.3

1500.1

4) Una compaa, inform los siguientes datos de una muestra de 250 clientes relacionada con la cantidad de horas que se estacionan automviles y las cantidades que pagan.Nmero de horasFrecuenciaPago

120$ 3

2386

3539

44512

54014

61316

7518

83620

Total250

a) Convierte la informacin relacionada con la cantidad de horas de estacionamiento en una distribucin de probabilidad. Es una distribucin de probabilidad discreta o continua?b) Determina la media y la desviacin estndar del nmero de horas de estacionamiento. Qu responderas si te preguntarn por la cantidad de tiempo que se estaciona un cliente normal?c) Calcula la media y la desviacin estndar del pago.DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIALLa distribucin de probabilidad binomial es una distribucin de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una caracterstica de una distribucin binomial consiste en que solo hay dos posibles resultados en un determinado intento de un experimento. Por ejemplo en un enunciado de verdadero o falso. Los resultados son mutuamente excluyentes. Otro ejemplo podra ser la aceptacin o no aceptacin de un producto.Otra caracterstica de la distribucin binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el nmero de xitos en el nmero total de pruebas, por ejemplo seleccionar 10 trabajadores y listar cuantos tienen ms de 50 aos.Una tercera caracterstica consiste en que la probabilidad de xito es la misma de una prueba a la otra.La ltima caracterstica de una distribucin de probabilidad binomial consiste en que cada prueba es independiente de cualquier otra. Que sean independientes no significa que no existen patrones en las pruebas. El resultado de una prueba en particular no influye en el resultado de otra prueba.CALCULAR UNA PROBABILIDAD BINOMIAL: Para construir una probabilidad binomial en particular se necesita:1) El nmero de pruebas2) La probabilidad de xito de cada prueba.

Por ejemplo, si un examen incluye 20 preguntas de opcin mltiple, el nmero de pruebas es de 20. Si cada pregunta contiene 5 elecciones y slo una de ellas es correcta, la probabilidad de xito en cada prueba es de .20, por consiguiente, la probabilidad de que una persona sin conocimientos del tema d con la respuesta a una pregunta es de .20. De modo que se cumplen las condiciones de la distribucin binomial.Se calcula mediante la siguiente frmula:

En sta:C representa una combinacinn es el nmero de pruebasx es la variable aleatoria definida como el nmero de xitos. = Es la probabilidad de un xito en cada prueba.Se emplea la letra griega (Pi) para representar un parmetro de poblacin binomial, no como la constante matemtica 3.1416

Ejemplo: Una compaa de aviacin tiene cinco vuelos diarios de Mxico a Monterrey. Supongamos que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde ser de 0.20. Cul es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? Cul es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy?

Aplicando la frmula, tenemos que = 0.20, como hay cinco vuelos n = 5 y x la variable aleatoria, se refiere al nmero de xitos. En este caso un xito consiste en que un avin llegue tarde. Como no hay demoras en las llegadas x = 0.

La probabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue tarde hoy es de 0.4096, que se calcula:

Puede utilizarse Excel para calcular las probabilidades, utilizando la frmula, DIST.BINOM

La media y la varianza de una distribucin binomial se calculan con las siguientes frmulas:Media de una distribucin binomial Varianza de una distribucin binomial

Por ejemplo, respecto al nmero de vuelos retrasados, tenemos

Tambin se puede pueden calcular usando la siguiente tabla:

Nmero de vuelos retrasados, xProbabilidad P(x)xP(x)(x - )(x - )2(x - )2 P(x)

0.32770.0000- 110.3277

1.4096 0.4096 000

2.20480.4096110.2048

3.05120.1536240.2048

4.00640.0256390.0576

5.00030.00154160.0048

= 1.000 0.7997

TABLAS DE PROBABILIDAD BINOMIAL: Con la frmula se pueden construir las distribuciones de probabilidad para cualquier valor n y sin embargo si n es muy grande, los clculos consumen ms tiempo. Por lo tanto se utilizan las tablas (ver copias) para verificar las probabilidades.Ejemplo: Cinco por ciento de los engranes de tornillos producidos en una fresadora automtica de alta velocidad, se encuentran defectuosos. Cul es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados, ninguno se encuentre defectuoso? Exactamente uno? Exactamente dos? Exactamente tres? Exactamente cuatro? Exactamente cinco? Exactamente seis de seis?Las condiciones binomiales se cumplen: a) hay solo dos posibles resultados (un engranaje es defectuoso o no defectuoso) b) Existe una cantidad fija de pruebas 6. c) Hay una probabilidad constate de xito (0.05) d) las pruebas son independientes.Consultamos las tablas y localizamos la probabilidad de que exactamente cero engranajes se encuentren defectuosos. Desciende por el margen izquierdo hasta llegar al valor 0 de x. Ahora sigue por la horizontal hasta la columna con un encabezado de 0.05 para determinar la probabilidad. Esta es de 0.735. La probabilidad de que haya exactamente un engranaje defectuoso en una muestra de seis engranes de tornillo es de 0.232. La distribucin de probabilidad completa de n = 6 y = 0.05 es la siguiente:Nmero de engranajes defectuosos, xProbabilidad P(x)Nmero de engranajes defectuosos, xProbabilidad P(x)

0.7354.000

1.232 5.000

2.0316.000

3.002

Por supuesto existe una ligera posibilidad de que salgan cinco engranes defectuosos de seis selecciones aleatorias. sta es de 0.00000178, que determina al sustituir los valores adecuados en la frmula binomial:

En el caso de seis de seis, la probabilidad exacta es de 0.000000016 por consiguiente la probabilidad de seleccionar cinco o seis engranes defectuosos de una muestra de seis es muy pequea.

Es posible calcular la media o valor esperado de la distribucin del nmero de engranes defectuosos.

TALLER 2:1) En una situacin binomial, n = 4 y = 0.25. Determina las probabilidades de los siguientes eventos con la frmula binomial.a) x = 2b) x = 3 2) Supongamos una distribucin binomial en la que n = 3 y = 0.40. a) Consulta la tabla (copias) y elabora una lista de probabilidad de x de 0 a 3b) Determina la media y la desviacin estndar utilizando las frmulas.3) Un estudio descubri que 30% de inversionistas particulares haban utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas cual es la probabilidad de:a) Exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentosb) Exactamente cuatro personas hayan utilizado un agente de descuentos.c) Ninguna persona haya utilizado un agente de descuentos.4) Las normas de la industria sugieren que un 10% de los vehculos nuevos requiere un servicio de garanta durante el primer ao. El da de ayer un agente vendi 12 automviles marca Nissan.a) Cul es la probabilidad de que ningn de estos vehculos requiera servicio de garanta?b) Cul es la probabilidad de que exactamente uno de estos vehculos requiera servicio? c) Determina la probabilidad de que exactamente dos de estos vehculos requiera serviciod) Calcula la media y la desviacin estndar de esta distribucin de probabilidad.

TAREA 2:1) En una situacin binomial, n = 5 y = 0.40. Determina las probabilidades de los siguientes eventos con la frmula binomial.a) x = 1b) x = 2 2) Supongamos una distribucin binomial en la que n = 5 y = 0.30a) Consulta la tabla (copias) y elabora una lista de probabilidad de x de 0 a 3b) Determina la media y la desviacin estndar utilizando las frmulas.3) El servicio postal informa que 95% de la correspondencia de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un periodo de dos das a partir del momento en que se enva. Se enviaron seis cartas de forma aleatoria a distintos lugares.a) Cul es la probabilidad de que las seis lleguen en un plazo de dos das?b) Cul es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen en un plazo de dos das?c) Determina la media del nmero de cartas que llegarn en un plazo de dos dasd) Calcula la varianza y la desviacin estndar del nmero de cartas que llegarn en un plazo de dos das.4) Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas determina:a) La probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas.b) La probabilidad de no realizar ninguna venta.c) La probabilidad de hacer exactamente dos ventasd) La media de la cantidad de ventas durante el periodo de dos horas.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICALa distribucin de probabilidad hipergeomtrica se aplica si:1) Si se selecciona una muestra de una poblacin finita sin reemplazos.2) Si el tamao de la muestra n es mayor que 5% del tamao de la poblacin, se aplica la distribucin hipergeomtrica para determinar la probabilidad de un nmero especfico de xitos o fracasos. Esto resulta especialmente apropiado cuando el tamao de la poblacin es pequeo.

La frmula de la distribucin hipergeomtrica es:

Aqu:N representa el tamao de la poblacinS es el nmero de xitos en la poblacinx es el nmero de xitos en la muestra; ste puede asumir los valores 0, 1, 2, 3n es el tamao de la muestra o el nmero de pruebasC es el smbolo de combinacin

La distribucin hipergeomtrica tiene las siguientes caractersticas:1. Los resultados de cada prueba de un experimento se clasifican en dos categoras exclusivas: xito y fracaso.2. La variable aleatoria es el nmero de xitos de un nmero fijo de pruebas.3. Las pruebas no son independientes.4. Los muestreos se realizan con una poblacin finita, sin reemplazos y n/N > 0.05. Por tanto, la probabilidad de xito cambia en cada prueba.

Ejemplo: Un fbrica de juguetes tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. Cuarenta empleados pertenecen a un sindicato y diez, no. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comit que hablar con la empresa sobre los horarios al inicio de los turnos. Cul es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados elegidos para formar parte del comit pertenezcan a un sindicato?En este caso la poblacin consiste en los 50 empleados del departamento de ensamble. Solo se pude elegir una vez a un empleado para formar parte del comit. De ah que el muestreo se lleve a cabo sin reemplazos. Por tanto, cada prueba cambia la probabilidad de elegir a un empleado sindicalizado. La distribucin hipergeomtrica es adecuada para determinar la probabilidad.N es igual a 50, el nmero de empleados.S tiene un valor de 40, el nmero de empleados sindicalizados.x es igual a 4, el nmero de empleados sindicalizados elegidos.n vale 5 El nmero de empleados elegidos.

Se desea calcular la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comit sean sindicalizados.Al sustituir estos valores en la frmula tenemos:

Por consiguiente, la probabilidad de elegir al azar a 5 trabajadores de ensamble de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 son sindicalizados es de 0.431La tabla muestra las probabilidades hipergeomtricas (n = 5, N = 50, S = 40) del nmero de empleados sindicalizados en el comit:Miembros del sindicatoProbabilidad

0.000

1.004

2.044

3.210

4.431

5.311

1.00

Con el fin de comparar las dos distribuciones de probabilidad la siguiente tabla muestra las probabilidades hipergeomtricas y binomiales del ejemplo de la fbrica de juguetes. Como 40 de los 50 empleados del departamento de ensamble son sindicalizados, establecemos que = .80 para la distribucin binomial. Las probabilidades provienen de la distribucin binomial con n = 5 y = .80.

Miembros del sindicatoProbabilidad hipergeomtricaProbabilidad binomial

0.000.000

1.004.006

2.044.051

3.210.205

4.431.410

5.311.328

1.0001.000

Cuando no es posible satisfacer alguno de los requisitos binomiales de una probabilidad constante de xito, se debe recurrir a la distribucin hipergeomtrica. No obstante, segn lo indica la tabla anterior, es posible, en ciertas condiciones, emplear los resultados de la distribucin binomial para calcular la distribucin hipergeomtrica. Esto conduce a la siguiente regla emprica:Si los elementos seleccionados no se regresan a la poblacin, se puede aplicar la distribucin binomial para calcular la distribucin hipergeomtrica cuando n < 0.05N. Es decir basta la distribucin binomial si el tamao de la muestra es menor que 5% de la poblacin.Puede utilizarse Excel para conocer la distribucin hipergeomtrica.

TALLER 3:1) Una poblacin consta de 10 elementos, 6 de los cuales se encuentran defectuosos. En una muestra de 3 elementos, Cul es la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosos? Supongamos que la muestra se toma sin reemplazo.2) Una tienda acaba de recibir un cargamento con 10 reproductores de Blue Ray. Poco despus de recibirlo, el fabricante se comunic para reportar un envo de tres unidades defectuosas. La propietaria de la tienda, decidi probar 2 de los 10 reproductores que recibi. Cul es la probabilidad de que ninguno de los 2 reproductores que se probaron este defectuoso? Supongamos que las muestras no tienen reemplazo.3) Una florera tiene 15 camiones de entrega, que emplea sobre todo para entregar flores y arreglos florales, en Aguascalientes. De estos 15 camiones, 6 presentan problemas con los frenos. En forma aleatoria se seleccion una muestra de 5 camiones. Cul es la probabilidad de que 2 de los camiones probados presenten frenos defectuosos?

TAREA 3:1) Una poblacin consta de 15 elementos, 4 de los cuales son aceptables. En una muestra de 4 elementos, Cul es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables? Supongamos que las muestras se toman sin reemplazo.2) El departamento de sistemas de computacin cuenta con ocho profesores, de los cuales seis son titulares. La presidenta, desea formar un comit de tres profesores del departamento con el fin de que revisen el plan de estudios. Si selecciona el comit al azar:a) Cul es la probabilidad de que todos los miembros del comit sean titulares?3) Cul es la probabilidad de que por lo menos un miembro del comit no sea titular?

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSONLa distribucin de probabilidad de Poisson describe el nmero de veces que se presenta un evento durante un intervalo especfico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, rea o volumen.La distribucin se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto ms grande sea el intervalo, mayor ser la probabilidad, y el nmero de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los dems intervalos. La distribucin tambin constituye una forma restrictiva de la distribucin binomial cuando la probabilidad de un xito es muy pequea y n es grande. A sta se le conoce por lo general con el nombre de ley de eventos improbables, lo cual significa que la probabilidad, de que ocurra un evento en particular es muy pequea. La distribucin de Poisson es una probabilidad discreta por que se genera contando.Tiene tres caractersticas:1) La variable aleatoria es el nmero de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido.2) La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamao del intervalo.3) Los intervalos no se superponen y son independientes.

La distribucin posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribucin de errores en una entrada de datos, el nmero de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automviles recin pintados, el nmero de partes defectuosas en envos, el nmero de clientes que esperan mesa en un restaurante, el nmero de accidentes en una carretera durante un periodo de tres meses, etc.La distribucin de Poisson se calcula mediante la siguiente frmula:

Donde:P(x) es la probabilidad para un valor especfico de x. es la media de la cantidad de veces (xitos) que se presenta un evento en un intervalo particular.e es la constante 2.71828x es el nmero de veces que se presenta un evento.La media de nmeros de xitos, puede determinarse con n en este caso, n es el nmero total de pruebas y la probabilidad de xito.Media de una distribucin de Poisson La varianza de Poisson tambin es igual a su media. Si por ejemplo, la probabilidad de que un cheque cobrado en un banco rebote es de 0.0003 y se cobran 10,000 cheques, la media y la varianza del nmero de cheques rebotados es de 3.0 que se determina mediante la operacin: Recuerda que, en el caso de una distribucin binomial, existe una cantidad fija de pruebas. Por ejemplo, en una prueba de seleccin mltiple de cuatro preguntas. Slo puede haber cero, uno, dos, tres o cuatro xitos (respuestas correctas). Sin embargo, la variable aleatoria x, para una distribucin de Poisson puede adoptar una infinidad de valores es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Sin embargo las probabilidades se tornan muy bajas despus de las primeras veces que se presenta un evento (xitos).Para ejemplificar, supongamos que pocas veces se pierde equipaje en una lnea area. En la mayora de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Supongamos una muestra aleatoria de 1,000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmtica del nmero de maletas perdidas por vuelo es de 0.3 que se calcula de dividir 300/1000. Si el nmero de maletas perdidas por vuelo se rige por una distribucin de Poisson con = 0.3 las diversas probabilidades se calculan con la frmula:

Por ejemplo, la probabilidad de que no se pierda ninguna maleta es la siguiente:

En otras palabras, en 74% de los vuelos no habr maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda exactamente una maleta es:

Por consiguiente, se espera que se pierda exactamente una maleta en 22% de los vuelos.Las probabilidades de Poisson tambin tiene una tabla (ver copias).

Ejemplo: De acuerdo con el ejemplo anterior, el nmero de maletas se rige por una distribucin de Poisson con una media de 0.3 Consulta la tabla de distribucin para determinar la probabilidad de que ninguna maleta se pierda en un vuelo. Cul es la probabilidad de que se pierda exactamente una maleta en un vuelo? En qu momento debe sospechar el supervisor de en un vuelo estn perdiendo demasiadas maletas?Para determinar la probabilidad de que ninguna maleta se pierda, se localiza la columna en el encabezado 0.3 y se desciende por dicha columna hasta el rengln sealado con 0. La probabilidad es de 0.7408. Esta es la probabilidad de que no haya maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda una maleta es de 0.2222, y est en el siguiente rengln de la tabla, en la misma columna. La probabilidad de que se pierdan dos maletas es de 0.00333 y para cuatro maletas es de 0.0003. Por consiguiente, un supervisor no debera sorprenderse de que se pierda una maleta, pero debera esperar ver con menos frecuencia ms de una maleta perdida.Ya se mencion que la distribucin de Poisson constituye una forma restrictiva de la distribucin binomial. Es decir, se puede calcular una probabilidad binomial con la de Poisson.La distribucin de probabilidad de Poisson se caracteriza por el nmero de veces que se presenta un evento durante un intervalo o contino. Algunos ejemplos son: El nmero de palabras mal escritas por pgina para un peridico, el nmero de llamadas por hora que se recibe en un compaa, el nmero de autos vendidos por da en una distribuidora de automviles, el nmero de anotaciones en un encuentro de futbol, etc.Ejemplo: Una compaa aseguradora, asegura propiedades frente a la playa; el clculo aproximado es que, cualquier ao, la probabilidad de que un huracn categora III (vientos sostenidos de ms de 110 millas por hora) o ms intenso azote una regin de la costa es de 0.05. Si un dueo de casa obtiene un crdito hipotecario de 30 aos por una propiedad recin comprada. Cules son las posibilidades de que el propietario experimente por lo menos un huracn durante el periodo de crdito?Para aplicar la distribucin de Poisson, se comienza por determinar la media o nmero esperado de tormentas que se ajustan al criterio y que azotan la zona donde est la casa durante un periodo de 30 aos, es decir:

Para determinar la probabilidad de que por lo menos una tormenta azote la zona, primero se calcula la probabilidad de que ninguna tormenta azote la costa y reste dicho valor de 1.

As se concluye que las posibilidades de que un huracn de este tipo azote la propiedad, durante el periodo de 30 aos, mientras el crdito se encuentra vigente, son de 0.7769. En otras palabras, la probabilidad es de un poco ms de 75%.Se debe insistir en que el continuo, como antes se explic an existe. Es decir se espera que haya 0.5 tormentas que azotan la costa cada periodo de 30 aos.En el caso anterior se utiliz la distribucin de Poisson como aproximacin binomial. Ntese que se cumpli con las condiciones binomiales: Slo hay dos posibles resultados: un huracn azota al rea de la costa. Hay una cantidad infinita de pruebas, en este caso 30 aos. Existe una probabilidad constante de xito; es decir, la probabilidad de que un huracn azote la zona es de 0.05 cada ao. Los aos son independientes. Esto significa que si una tormenta importante azota en el quinto ao, esto no influye en ningn otro ao.

Para calcular la probabilidad de que por lo menos una tormenta azote el rea en un periodo de 30 aos se aplica la distribucin binomial:

La probabilidad de que por lo menos un huracn azote el rea durante el periodo de 30 aos con la distribucin binomial es de 0.7854.Qu respuesta es correcta? Por qu considerar el problema desde ambos puntos de vista? La respuesta obtenida con la distribucin binomial es la ms correcta tcnicamente. La que se obtuvo con la distribucin de Poisson puede tomarse como una aproximacin de la binomial, cuando n, el nmero de pruebas, es grande, y la probabilidad de un xito, pequea. Considera el problema desde las dos distribuciones para destacar la convergencia de las dos distribuciones discretas.En ocasiones, la aplicacin de la distribucin de Poisson permite una solucin ms rpida y, como se ve, hay poca diferencia entre las respuestas. De hecho, conforme n se tona ms grande y mas pequea, se reducen las diferencias entre ambas distribuciones.La distribucin de Poisson siempre tiene un sesgo positivo, y la variable aleatoria no posee lmite superior especfico.

TALLER 4:1) En una distribucin de Poisson, = 0.4a) Cul es la probabilidad de que x = 0?b) Cul es la probabilidad de que x > 0?2) La ejecutiva de un banco, de acuerdo a su experiencia, calcula que la probabilidad de que un solicitante no page un prstamo inicial es de 0.025. El mes pasado realiz 40 prstamos.a) Cul es la probabilidad de que no se paguen 3 prstamos?b) Cul es la probabilidad de que cuando menos no se paguen 3 prstamos?3) Se calcula que 0.5% de quienes se comunican al departamento de servicio al cliente de Dell Inc. Escuchar un tono de lnea ocupada. Cul es la probabilidad de que las 1200 personas que se comunicaron hoy, por lo menos 5 hayan escuchado un tono de lnea ocupada?

TAREA 4:1) En una distribucin de Poisson =4a) Cul es la probabilidad de que x = 2?b) Cul es la probabilidad de que x < = 2?c) Cul es la probabilidad de que x > 2?2) Un promedio de 2 automviles por minuto ingresan a la caseta de una autopista. La distribucin de ingresos se aproxima a una distribucin Poisson.a) Cul es la probabilidad de que ningn automvil ingrese en un minuto?b) Cul es la probabilidad de que por lo menos ingrese un automvil en un minuto?3) Los autores y editores de libros trabajan mucho para reducir al mnimo la cantidad de errores en un libro. Sin embargo, algunos errores son inevitables. El editor de libros informa que en promedio de errores por captulos es de 0.8 Cul es la probabilidad de que se comentan menos de 2 errores en determinado captulo?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD UNIFORMELa distribucin de probabilidad uniforme es, tal vez, la distribucin ms simple de una variable aleatoria continua. La distribucin tiene forma rectangular y queda definida por valores mnimos y mximos.

Algunos ejemplos son: El tiempo de vuelo de una aerolnea comercial de Monterrey a Guadalajara vara de 80 a 140 minutos. La variable aleatoria es el tiempo de vuelo dentro de este intervalo. Observa que la variable de inters, el tiempo de vuelo en minutos, es continua en el intervalo de 80 a 140 minutos. Otro ejemplo, los voluntarios de una organizacin, elaboran formas para declaraciones de impuestos federales. El tiempo de elaboracin de una forma 1040-Z se rige por una distribucin uniforme en el intervalo de 10 a 30 minutos. La variable aleatoria es la cantidad de minutos que tarda en llenar una forma, y puede tomar valores de entre 10 y 30.

La media de una distribucin uniforme se localiza a la mitad del intervalo entre los valores mnimo y mximo. Se calcula de la siguiente manera:

La desviacin estndar describe la dispersin de una distribucin. En la distribucin uniforme, la desviacin estndar tambin se relaciona con el intervalo entre los valores mnimo y mximo.

La ecuacin de la distribucin de probabilidad uniforme es:

En el caso de la distribucin uniforme, su forma rectangular permite aplicar la frmula del rea de un rectngulo. Recuerda que el rea de un rectngulo se determina al multiplicar la longitud por la altura. En la distribucin uniforme, la altura del rectngulo es P(x) que es 1/(b-a). La longitud de la base de la distribucin es b a. Observa que, si multiplicamos la altura de la distribucin por todo su intervalo para determinar el rea, su resultado siempre ser 1.00.

En general:

De este modo, si una distribucin uniforme va de 10 a 15, la altura es de 0.20, que se determina mediante 1/(15 10). La base es de 5, que se calcula al restar 15 10. El rea total:

Ejemplo: Un autobs llega a la parada cada 30 minutos, entre las 6 de la maana y las 11 de la noche entre semana. Los estudiantes llegan a la parada en tiempos aleatorios. El tiempo que espera un estudiante tiene una distribucin uniforme de 0 a 30 minutos.

1. Demuestra que el rea de distribucin uniforme es de 1.002. Cunto tiempo esperar el autobs normalmente un estudiante? En otras palabras cul es la media del tiempo de espera? Cul es la desviacin estndar de los tiempos de espera?3. Cul es la probabilidad de que un estudiante espere ms de 25 minutos?4. Cul es la probabilidad de que un estudiante espere entre 10 y 20 minutos?

1. El tiempo que los estudiantes esperan el autobs es uniforme a lo largo del intervalo de 0 a 30 minutos; as en este caso, a es 0 y b 30

2. Para determinar la media

La media para la distribucin es de 15 minutos; as, el tiempo de espera habitual en el servicio de autobs ser de 15 minutos.Para determinar la desviacin estndar de los tiempos de espera.

La desviacin estndar de la distribucin es de 8.66 minutos. Es la variacin de los tiempos de espera del estudiante.

3. El rea de la distribucin en el intervalo de 25 a 30 representa esta probabilidad en particular. De acuerdo con la frmula del rea:

As, la probabilidad de que un estudiante espere entre 25 y 30 minutos es de 0.1667

4. El rea dentro de la distribucin en el intervalo de 10 a 20 representan la probabilidad.

TALLER 5:1) Una distribucin uniforme se define en el intervalo de 6 a 10a) Cules son los valores de a y b?b) Cul es la media de esta distribucin uniforme?c) Cul es la desviacin estndar?d) Demuestre que el rea total es de 1.00e) Calcula la probabilidad de un valor mayor que 7f) Calcula la probabilidad de un valor de entre 7 y 92) Una aerolnea informa que el tiempo de vuelo del aeropuerto internacional de Los ngeles a las Vegas es de 1 hora con 5 minutos o de 65 minutos. Supongamos que el tiempo real de vuelo tiene una distribucin uniforme de entre 60 y 70 minutos.a) Cul es el tiempo medio del vuelo? Cul es la varianza de los tiempos de vuelo?b) Cul es la probabilidad de que el tiempo de vuelo sea menor que 68 minutos?c) Cul es la probabilidad de que le tiempo de vuelo sea mayor que 64 minutos?3) Las precipitaciones de abril en Aguascalientes, tiene una distribucin uniforme entre 0.5 y 3.00 pulgadas.a) Cules son los valores para a y b?b) Cul es la precipitacin media del mes? Cul es la desviacin estndar? c) Cul es la probabilidad de que haya menos de una pulgada de precipitacin en el mes?d) Cul es la probabilidad de que haya ms de 1.5 pulgadas de precipitacin en el mes?

TAREA 5:1) Una distribucin uniforme se define en el intervalo de 2 a 5a) Cules son los valores de a y b?b) Cul es la media de esta distribucin uniforme?c) Cul es la desviacin estndar?d) Demuestre que el rea total es de 1.00e) Calcula la probabilidad de un valor mayor que 2.6f) Calcula la probabilidad de un valor de entre 2.9 y 3.72) De acuerdo con una compaa de seguros, una familia de 4 miembros gasta entre $500 y $3800 anuales en toda clase de seguros. Supongamos que el dinero que se gasta tiene una distribucin uniforme entre estas cantidades?a) Cules son los valores de a y b?b) Cul es la desviacin estndar de la suma gastada?c) Si elige una familia al azar, Cul es la probabilidad de que gaste menos de $2000 anuales en seguro?d) Cul es la probabilidad de que una familia gaste ms de $3000 anuales?3) Los clientes con problemas tcnicos en su conexin a internet pueden llamar a un nmero 01 800 para solicitar asistencia tcnica. El tcnico tarda entre 30 y 10 minutos para resolver el problema. La distribucin del tiempo es uniforme.a) Cules son los valores de a y b?b) Cul es el tiempo medio que se requiere para resolver el problema? Cul es la desviacin estndar del tiempo?c) Qu porcentaje de los problemas consumen ms de 5 minutos para resolverse?d) Supongamos que se busca determinar el 50% de los tiempos de resolucin de los problemas. Cules son los puntos extremos de estos tiempos?24Ing. Myriam Gabriela Aguilera Zertuche