Unidad - La Salle Conocoto€¦ · Web viewCalcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380 2. Se han comprado gomas de borrar por un total de $60. Si se hubieran comprado

La Función Cuadrática TAREA DE MATEMATICA PARA PRIMEROS DE

BACHILLERATO

ESTA TAREA DEBERÁ PRESENTARLA EL PRIMER DIA DE

CLASE Y ENTREGARLA A SU PROFESOR DE MATEMATICA

TAREA: LEER ESTA GUÍA Y RESOLVER LOS EJERCICIOS

PROPUESTOS

2

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA

Fecha de Inicio: agosto Fecha de Término: 5 de septiembre

Tiempo estimado: 4 semanas Tiempo real utilizado:

APRENDIZAJES ESPERADOSLos alumnos:

1. Asociarán las propiedades de potencia de base real y exponente fraccionario con las de raíces.

2. Realizan ejercicios varios aplicando las propiedades de las raíces.3. Dominarán el concepto de función cuadrática.4. Utilizarán los elementos de la función cuadrática en la construcción y estudio

de su gráfica.5. Asociarán el concepto de raíz y el de función cuadrática con la ecuación de

segundo grado.6. Reconocerán y aplicarán los diferentes tipos de ecuación de segundo grado.7. Resolverán ecuaciones de segundo grado, irracionales y exponenciales.

LOGROS ACTIVIDADES SUGERIDAS1. Concepto de raíz asociado a

potencias de exponente fraccionario, operaciones y propiedades.

2. Función cuadrática, expresión analítica. Representación gráfica.

3. Características de la función cuadrática, concavidad, eje de simetría, intersección con los ejes, vértice.

4. Dominio y recorrido de una función cuadrática.

5. Ecuación cuadrática o de segundo grado, estudio de su forma, resolución y aplicaciones.

6. Ecuaciones Irracionales y Exponenciales.

1. Deducen propiedades de la potencias y raíces. Resuelven diferentes tipos de ejercicios. Taller Nº6.

2. Describen hechos de la vida diaria y fenómenos que están expresados por una función cuya gráfica es una parábola.

3. Obtienen la gráfica de una función cuadrática a partir de su expresión analítica.

4. Obtienen la expresión analítica asociada a una función cuya representación gráfica es una parábola.

5. Localizan el vértice de la parábola e interpretan el mismo en términos de mínimo y máximo de una función.

6. Relacionan las características de la representación gráfica de la función cuadrática con los coeficientes de su expresión analítica.

7. Asocian la gráfica de una función cuadrática con el discriminante de ella.

Taller Nº78. Estudian la ecuación que compone la

función cuadrática.9. Reconocen la ecuación de 2º grado, la

resuelven y la aplican a problemas. Taller Nº 8.

10. Reconocen y resuelven ecuaciones irracionales y exponenciales.

CONTENIDOS DE ESTA UNIDADSUB-UNIDAD 2.1: NÚMEROS IRRACIONALES

Repaso de Potencias. Historia y Propiedades de las raíces. Racionalización. Taller.

SUB-UNIDAD 2.2: FUNCIÓN CUADRÁTICA Historia. Dominio y Recorrido. Gráfica y propiedades de la gráfica.

SUB-UNIDAD 2.3: ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Tipos de Ecuación de 2° grado. Resolución de las ecuaciones. Problemas. Taller

SUB-UNIDAD 2.4: FUNCIONES IRRACIONALES Y EXPONENCIALES Ecuaciones Irracionales. Ecuaciones Exponenciales. Funciones Irracionales y Exponenciales. Taller Control Formativo

Sub-Unidad 2.1: ”NÚMEROS IRRACIONALES”

POTENCIAS

REPASO DE POTENCIASPOTENCIAS DE IGUAL BASE

Multiplicación División

POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTEMultiplicación División

POTENCIA DE UN PRODUCTO POTENCIA DE UN CUOCIENTE

POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

;

POTENCIAS DE LA FORMA

¿Sabes cómo calcular ? ¿Sabes lo que significa?

Para resolver lo que podemos hacer es:

Lo que significa el exponente significa la raíz séptima de 81.Por lo tanto esto queda:

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando tu calculadora, resuelve:

DE DONDE VIENEN?, CÓMO SON?

RAICES DE NUMEROS REALES

CONTEXTOLas raíces nacen de la siguiente expresión: , ¿por qué?

Considera las siguientes situaciones:a) Si, , cuánto vale x = ?

Al hacer el cálculo llegamos a que x = 8

b) Si, , cuánto vale x = ?Qué cálculo deberías hacer para encontrar el valor de x. Si aplicamos a toda la expresión , al igual que como elevamos al cuadrado en una ecuación, nos queda.

pero, ¿qué son las raíces? O que significan las raíces?

; y , ¿qué sacas por conclusión?

EJERCICOS RESUELTOS

a) , por que b) , por que c) , por que d) Que pasa con

EJERCICOS PROPUESTOS

I. Calcula las siguientes raíces de los siguientes números (sin usar calculadora), si no existe, justifica por qué.

Como se habrán dado cuenta la radicación es una propiedad inversa a la potenciación, y todas las propiedades de las potencias son aplicables a las raíces, así tenemos lo siguiente:

La raíz cuadrada , cúbica y de índice cualquiera:

La raíz cuadrada de un número “a” es otro número “b” que elevado al cuadrado nos da el primero. Consecuencias :a) Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas.b) Los números negativos no tienen raíz cuadrada.c) La obtención de la raíz cuadrada es la inversa de elevar al cuadrado . Así :

La raíz cúbica de un número “a” es otro número ”b” que elevado al cubo nos da el primero. Consecuencias :a) Todo número positivo tiene una única raíz cúbica.b) Los números negativos si tienen raíz cúbica c) La obtención de la raíz cúbica es la inversa de elevar al cubo . Así :

La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” que elevado a n nos da el primero.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1. Suma y resta de raíces:

Solo se pueden sumar y restar raíces del mismo índice y mismo radicando: Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces:

2. Producto y división de raíces:

Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice:

También se puede decir al revés, es decir, la raíz de un producto es el producto de raíces (lo mismo para el cociente):

Por otro lado veamos el siguiente ejemplo:

índice

radicando

Del este ejemplo se puede obtener que el exponente de una potencia y el índice de una raíz se pueden simplificar si son iguales y también que el exponente de una raíz se puede pasar dentro de ella.


Aplica las propiedades de suma, multiplicación y división:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Propiedad fundamental de las raíces:

Si se multiplican o dividen el índice de una raíz y el exponente del radicando por el mismo número, el valor de la raíz no varía. Esta propiedad nos permite multiplicar y dividir raíces de distinto índice.

EJERCICOS RESUELTOS


Amplifica el índice de la raíz y el exponente del radicando por 4, -5, y 14 en cada uno de los siguientes ejercicios:

1. 2. 3.

8. Raíz de una raíz:

Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices.

EJERCICOS RESUELTOS

Calcular:


Calcula las siguientes raíces:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

9. Potencia de una raíz:

La potencia de una raíz es la raíz de la potencia.Ejemplo: Calcular,


Resuelve los siguientes casos.

1. 2. 3.

10. Otras operaciones con raíces:

En algunas ocasiones se puede simplificar las raíces convirtiendo el radicando en producto de potencias:

En otras ocasiones lo que se intenta es introducir números dentro de una raíz, para lo cual debemos de elevarlos al índice de la raíz:

11. RACIONALIZAR:

“Consiste en quitar las raíces que puedan aparecer en el denominador.” Pueden ocurrir dos casos:

1º Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz.

2º Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que haga desaparecer la raíz del denominador.

3º Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado.

EJERCICIOS PROPUESTOSRacionaliza las siguientes expresiones con raíces:

a) A) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

Contenido: Raíces Cuadradas y Cúbicas

1. Si a = 3 y b = 4 entonces el valor de es:

A) 1 B) 5 C) D) 7 E) -7

2. Si a = 1, b = 6, c = 3, entonces es igual a :

A) 2 B) 5 C) 3 D) E) 0

3. = ?

A) 2 B) C) D) E)

4. = ?

A) abc B) a2bc2 C) abc D) abc2 E) abc2

5. Al simplificar se obtiene:

A) a12b6 B) a5b3 C) D) E) a12b9

6. = ?

A) B) C) D) E) am

7. = ?

A) B) C) 3 D) 1 E) otro

8. = ?

A) 6 B) 36 C) 12 D) 6 E) 6

9. =

A) B) C) D) E) 5

RACIONALIZAR:

Utiliza el Libro de 3º Medio de Matemática Aplicada,

para reforzar todo lo aprendido

Páginas 14 a la 41

Yo voy a hacer los

ejercicios del Libro y tú?

Sub-Unidad 2.2: ”FUNCIÓN CUADRÁTICA” FUNCIÓN CUADRÁTICA

INTRODUCCIÓN :Salimos a pasear en un día radiante, de repente cae una lluvia torrencial.

Nuevamente sale el sol y al mirar hacia el cielo observamos la formación de una gama de colores, cuya figura nos llama la atención.

En la presenta sub-unidad estudiaremos las características que presentan estas figuras.

Si recuerdas, en la primera unidad estudiamos la función lineal como f(x) = 3x + 2 .

¿Recuerdas que tipo de figura resulta esta función?

¿Qué nombre recibe esta figura?

Actividad 1 de análisis:

¿ Qué sucede si f(x) = 3x2 + 2 ? . Haz el gráfico en tu cuaderno.

Veamos ahora una nueva figura, haz el gráfico de f(x) = – x2 + 9, dibuja en el I y II cuadrante.

¿No te parece conocida esta figura? . Nómbrala.

Para el presente caso la curva llega al eje de las X en dos puntos ¿Cuáles son?

A esos puntos los llamaremos INTERSECCIONES CON EL EJE X o también INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ABSCISAS ó CEROS DE LA FUNCIÓN.

Actividad 2 de INVESTIGACION:

- ¿ Podrías encontrar el punto más alto de la curva (parábola)?

¿ Qué figura geométrica nos regala

la naturaleza?

¿ Dónde encuentras figuras similares a

esta?

- ¿ En qué parte del plano se ubica?- ¿ Cómo podrías encontrar más fácilmente ese punto, mirando la función?- ¿ Siempre existirá un punto más alto?- ¿ En qué caso crees tú que podría presentarse otra situación?- ¿ De qué factor depende el punto más alto o más bajo?

El punto más bajo o más alto lo llamaremos VÉRTICE.

Para clarificar conclusiones, grafica en tu cuaderno las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 b) f(x) = x2 – 4x c) f(x) = – x2 + x

¿Cuáles son los factores que intervienen para las diferentes posiciones del vértice?

DEFINICIÓN:

Una función cuadrática es una función definida por: f : IR IR x y = f(x) = ax2 + bx + c donde a , b y c IR , a 0

INVESTIGA:

¿CÓMO PODRÍAS DETERMINAR ANALÍTICAMENTE DICHO PUNTO?

¿CÓMO DETERMINO EL DOMINIO Y RECORRIDO DE ESTAS FUNCIONES?

Dada la siguiente función: Debes encontrar el conjunto de la pre-imágenes y de las imágenes. Esto se logra (en un principio) a través de la gráfica:

xf(x)-4-3-2-10123

620026

1220

Ahora pregúntate ¿Qué valores pueden darle a x? Y ¿Qué valores vas a obtener de y?

Si te das cuenta puedes darle cualquier valor a x, por lo tanto Dom f = IR.Pero que valores vas a obtener de y, si te fijas en la flecha sólo toman valores de –0,5 a +, por lo tanto el Rec f = [-0,5; +].

-0,5


Encuentra el dominio y recorrido de las siguientes funciones cuadráticas:

1. f(x) = x2+7x+10 2. f(x) = x2-4x+4 3. f(x) = x2-5x-6

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En Física se demuestra que la distancia d recorrida por un cuerpo en su caída en el vacío está dada por la fórmula: d = v0 t + g t2 donde v0 es la velocidad inicial del cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es la aceleración constante debida a la gravedad. Calcula el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es 18 m/s y g es 9,8m/s2.

2. Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal y se le empezó a atacar la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley f(t) = -t2 + 30t + 99 donde t son días y f(t) muertes diarias.

a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal?.b) ¿En qué día se produjo la mortalidad máxima? ¿Cuánto fue?.c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día que se detectó? d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado ¿qué día se

supone que empezó la epidemia?.

3. Supongamos que el número (aproximado) de bacteria en un cultivo en un tiempo t (medido en horas) está dado por: N(t) = 5000 + 3000 t – 2000t2.

a) ¿ Cuál es el número inicial de bacteria?b) ¿ Cuánta bacteria hay luego de una hora?c) ¿ En qué tiempo desaparece la población?d) ¿ En qué tiempo la población de bacteria es máxima?

4. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática:


¿CUÁNTO DEMORARÉ

EN LLEGAR AL SUELO?

MIS GALLINAS…. HE QUEDADO EN

LA RUINA….

¿Cuánto demora en caer desde que alcanza

su máxima altura?

ESTA FUNCIÓN ESTÁ DADA EN FUNCIÓN DEL

TIEMPIO

¿A partir de qué instante la pelota comienza a caer?

¿Cuál es la altura máxima (K) que alcanza y en qué

instante (T1)?

¿Cuál será la altura que alcanza la pelota a los 3

segundos de haberla lanzado?

Grafica las siguientes funciones cuadráticas:

1. y = 3x2 2. y - x2 - 2x = 0 3. y = x2 + 4 x + 3

Dados los siguientes gráficos, determina el signo de coeficiente a ( concavidad) y tipos de soluciones, según la forma del gráfico:

4. 5. y y

x x

6. 7. y y

x

x

Determina la concavidad de las siguientes parábolas , el número de intersecciones con el eje x y su punto máximo o mínimo.

8. y = 5x2 - 3 9. y = x2 + 3 10 . y = -2x2 - 3x + 1

En las siguientes funciones cuadráticas determina: Dominio y Recorrido.

11 . y = 4x2 – 8 12 . y = x2 + x + 1 13 . y = -x2

Dados los datos de las gráficas de las parábolas, determina la función cuadrática:

14 . 15 . y y

-2 4 x -3 3 x

-8

16 . 17 . y y -4 x

5 -8

x 2 5

Sub-Unidad 2.3: ”ECUACIÓN DE 2° GRADO”

Ecuación Cuadrática o de 2O grado

Aquí se estudiará la ecuación que compone la función cuadrática, es decir las expresiones de la forma:

, donde a, b, c IR

Ejemplos:

1. 2. 3. 4.

TIPOS DE ECUACIONES DE 2º GRADO

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

La expresión de una ecuación de segundo grado completa es:ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

ax2 + bx = 0; si c = 0.

ax2 + c = 0; si b = 0.


Reconoce el tipo de ecuación de 2º grado, indicando los valores de los coeficientes a, b y c:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO A LA FORMA

ax2 + bx + c = 0

EJERCICIO RESUELTO

Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación

Resolución:

1. Se quitan paréntesis:

2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30

15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2);

45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12);

45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0.

3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 04. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 = 0.

Esta ecuación también puede expresarse así: 6x2 - 7x - 53 = 0.


Escribe las siguientes ecuaciones de 2º grado de la forma ax2 + bx + c = 0

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:

A. ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.B. ax2 + bx = 0; si c = 0.C. ax2 + c = 0; si b = 0.

A. ax2 = 0.

Despejando x2 se tiene:

Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución única x = 0.

B. ax2 + bx = 0.

Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0.

Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:

En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen dos soluciones:

C. ax2 + c = 0.

Despejando x2, se tiene:

Si el radicando, es negativo, no tiene solución, pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Si el radicando es positivo, la ecuación tiene dos soluciones:


1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) b)

Resolución:

a)

b)

2. Resolver las ecuaciones:a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0; c) x2 - x = 0

Resolución:

a) 2x2 + 4x = 0

Sacando factor común x, resulta:

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = -2.

b) -3x2 + 2x = 0


La ecuación tiene dos soluciones c) x2 - x = 0


La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = 1.

3. Resolver las ecuaciones:a) 3x2 - 27 = 0; b) 3x2 + 27 = 0; c) -25x2 + 4 = 0

Resolución:

a) 3x2 - 27 = 0

La ecuación tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3.

b) 3x2 + 27 = 0

El radicando, -9, es un número negativo, luego no tiene raíz. La ecuación, por lo tanto, no tiene solución.

c) -25x2 + 4 = 0

La ecuación tiene dos soluciones


Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero.

Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:

DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b2 - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, .

= b2 - 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

A. Si > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:

B. = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble:

Por lo tanto, x1 = x2.

C. < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe.

> 0 Dos soluciones distintas

= 0 Solución única doble

< 0 No hay solución


1. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.

Resolución:

a = 1; b = -5; c = 6.

La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.

2. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0

Resolución:

Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:

x2 + x - 6 = 0

a = 1; b = 1; c = -6

Las soluciones son:

3. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0

Resolución:

En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.

Aplicando la fórmula:

La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.

4. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0

Resolución:

Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo en 10:

x2 + 2x + 1 = 0a = 1, b = 2, c = 1

Se aplica la fórmula:

Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:

x1 = x2 = -1


Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas:1. 2.3. 4.5. 6.7. 8. 9. 10.

11. 12.

SUMA Y PRODUCTO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:

1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es:

Demostración:

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es:

Demostración:

El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:

Ejemplo: suma y producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:

Resolución:

a) 2x2 + 7x - 15 = 0; a = 2; b = 7; c = -15

b)

Se pasa esta ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0:

20 = x(9 - x) 20 = 9x - x2 x2 - 9x + 20 = 0

a = 1; b = -9; c = 20

DETERMINACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO A PARTIR DE LA SUMA Y PRODUCTO DE SUS SOLUCIONES

Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.

Sea S la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:

Sea P el producto de la raíces de la ecuación:

La ecuación de segundo grado se escribe como ax2 + bx + c = 0. Sustituyendo b y c por su valor: ax2 - aSx + aP = 0

Dividiendo toda la ecuación entre a: x2 - Sx + P = 0

Conociendo la suma S, y el producto, P, de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir como:

x2 - Sx + P = 0


1. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.

Resolución:

S = 5; P = 6

La ecuación es x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo S y P por sus valores, se obtiene:

x2 - 5x + 6 = 0

Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.

Las soluciones son: S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6

Luego, efectivamente la ecuación es x2 - 5x + 6 = 0.


1. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x1 = - 2,x2 = 3.

2. Determinar la ecuación de 2º grado cuyas raíces son:a) 3 y 4b) –1 y 3c) –2 y

3. Encontrar la ecuación de 2º grado cuyas raíces cumplen con:a) La suma es 11 y el producto es 30b) La suma es –33 y el producto es 260c) La suma es 1 y el producto es -

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

Resolución:

Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.

El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

2x(2x + 2) = 168 Þ 4x2 + 4x - 168 = 0.Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.

Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14

Una solución es 12 y 14.

Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.

El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.


1. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380

2. Se han comprado gomas de borrar por un total de $60. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

3. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

4. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.

Resolución:

Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma (x - 3) (x - x2) = 0, donde x2 es la segunda solución de la ecuación.

Desarrollando el producto: x2 - x · x2 - 3x + 3x2 = 0.

El término independiente es 3x2, y vale 15.

La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 Þ x2 - 8x + 15 = 0.

5. Determina el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz doble.

6. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calcula el área y perímetro del cuadrado inicial.

En esto me peino!!

Contenido: Ecuación de 2 grado

1. Visita las siguientes páginas:www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/representacion_fun_cuadratica.htm, www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/funciones_polinomicas_segundo_grado.htm

Realiza las actividades que se proponen en ese sitio. Anótalas en tu cuaderno y saca conclusiones.Usa los apuntes que se encuentran en:

www.pntic.mec.es/Descartes/Analisis/Funciones_cuadraticas/Funciones_cuadraticas.htm

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

3. En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1cm. Cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. Calcula las dimensiones y el área del rectángulo inicial.

Sol. Base = 12 cm. Altura = 4 cm.

4. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

Sol. 5, 7 y 9

5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la de su hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno?.

Sol. 6 y 366. Dada la ecuación:

a) Resuelve aplicando la fórmula.b) Verifica gráficamente los resultados.c) Indica el vértice y los puntos en que la parábola corta al eje X.

7. Encuentra los valores de k para que las raíces coincidan (x1 = x2) en la ecuación:

8.

Realiza el control formativo que se

encuentra al final de la unidad, página 60.

Sub-Unidad 2.4: ”ECUACIONES IRRACIONALES Y EXPONENCIALES”Ecuaciones Irracionales

Definición:Se llama ecuación irracional a toda ecuación que presenta alguna incógnita en forma de radicando.

Ejemplos:1. 2. 3.

ECUACIÓN IRRACIONAL REDUCIBLE A ECUACIÓN DE 1° GRADO

El método consiste en despejar la incógnita y como se encuentra dentro de una raíz, se aplica la potencia correspondiente y luego se intenta encontrar el valor de la incógnita.


1. Resolvamos la ecuación: Elevando al cuadrado para eliminar la raíz,

Comprobamos:Si x = 24 entonces:

Por lo tanto x = 24 es la solución de la ecuación.

2. Resolvamos la ecuación: Para resolver esta ecuación deberemos elevar al cuadrado dos veces, pero primero se debe aislar una raíz.

Ordenando( )2

16 = x + 7 x = 9

Comprobando:Si x = 9 entonces:

Tengo que estudiar para hacer el control

formativo!!!

Por lo tanto x = 9 es la solución de la ecuación.


Resuelve cada una de las siguientes Ecuaciones Irracionales:

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9.

ECUACIÓN IRRACIONAL REDUCIBLE A ECUACIÓN DE 2° GRADO


1. Resolvamos la ecuación: Solución:

(elevando al cuadrado)

Las soluciones de la ecuación (*) son: Observación: Debemos verificar si los valores satisfacen la ecuación original, pues al elevar al cuadrado es posible alterar las soluciones.

Entonces, comprobemos si las soluciones garantizan la igualdad, pero de la ecuación inicial .

1) Para tenemos:

Por lo tanto x1 es solución de la ecuación.

2) Para tenemos:

Por lo tanto x2 no es solución de la ecuación inicial. (aunque sí de la ecuación de segundo grado)

2. Resolvamos la ecuación:

Solución: / elevando al cuadrado/ igualando a cero/ simplificando por 2

Aplicando la fórmula de ecuación de segundo grado se obtiene:

Comprobando cual solución corresponde a la ecuación inicial

1) Para x1 = 1, se tiene:

Por lo tanto x1 es solución de la ecuación inicial.2) Para x2 = , se tiene que:

Por lo tanto x2 también es solución de la ecuación inicial.

Observación: Siempre debes comprobar las soluciones ya que no siempre estas coinciden ser soluciones de la ecuación inicial, aunque sean soluciones de la ecuación de 2º grado.


Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones irracionales:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Función Exponencial

Son todas las funciones donde la incógnita (variable independiente) se encuentra en el exponente de la expresión.

, donde a IR+

Ejemplos:

1. 2. 3.

GRÁFICA

Deben construir una tabla de valores con aproximadamente 7 valores para poder tener una gráfica más real.

Sea

x f(x)

-3

-1

0

1

3

1

9

DOMINIO Y RECORRIDO

Ya sabemos por capítulos anteriores, como encontrar el dominio y el recorrido de una función. Para este tipo tenemos las siguientes deducciones que se obtienen del gráfico anterior:

Dom f = IR Rec f = IR+

Ya que el exponente de la función puede ser cualquier número real, este puede ser

positivo negativo, cero, decimal, fracción, etc.

Como vemos en la tabla de valores todas las imágenes son positivas, ya que no hay ningún

exponente con base positiva que nos dé una imagen negativa. Lo podemos

comprobar en el gráfico, donde el conjunto de las imágenes

nunca toca valores negativos del eje Y.

Nota:Cuando a>1, la función es creciente y siempre positiva.

Cuando a<1, la función es decreciente y siempre positiva. EJERCICIOS PROPUESTOS

Grafica y encuentra el dominio y recorrido de las siguientes funciones exponenciales:

1. 2.

3. 4.

Ecuaciones Exponenciales

Son las ecuaciones en la que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo:

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

Conviene, por tanto siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

Observación: Usa las propiedades de potencias entregadas al inicio de la segunda unidad.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES1) Resolver :

Primero igualamos las bases:

Entonces:

Por lo tanto la solución de la ecuación es x = 4

2) Resolver :

Primero, aplicamos las propiedades de las potencias:

Por lo tanto la ecuación queda:

Así la ecuación queda:

Aplicando la fórmula de ecuación de 2º grado:

Así las soluciones son:


Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. 2.

3. 4.

5.

ES HORA DE REALIZAR EL TALLER

Contenidos: Ecuación Irracional, Ecuación y Función exponencial

I. Resuelve las siguientes ecuaciones Irracionales, encontrando la(s) solución(es) correcta(s).

+

II. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

III. Grafica (en un mismo plano) y encuentra dominio y recorrido de las siguientes funciones:

IV. Encuentra la gráfica inversa, en base al eje Y, de las siguientes funciones:

1. Grafica, encuentra el vértice, Dominio y Recorrido y las intersecciones con los ejes coordenados de las siguientes funciones cuadráticas:

¿Tengo que hacer el control

formativo?

a) f(x) = -x2 + 3x – 6

b) g(x) = (x+5)2

Nota: Adecua el gráfico al espacio que se te indica.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:

a) b)

c) d)

3. Escribe la ecuación de 2º grado que tiene las siguientes raíces:

a) b)

4. Halla el valor mínimo de la expresión:

5. Gustavo dispara un proyectil cuya altura en función del tiempo “t” está dada por la expresión cuadrática: ¿Cuál es la altura máxima que alcanza dicho proyectil?

¿En qué instante vuelve al suelo?

6. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces x1 y x2 satisfacen:

En esta me salvo, jejeje!!

Porcentaje de Respuestas correctas:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

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Unidad - La Salle Conocoto€¦ · Web viewCalcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380 2. Se han comprado gomas de borrar por un total de $60. Si se hubieran comprado