Unidad VI: PRUEBAS DE HIPOTESIS

Propósito de la Inferencia de estadística

Estimación de parámetros Pruebas de Hipótesis

Puntual Intervalar

Métodos de Estimación

Momentos

Máximo Verosímil

Propiedades

Método del Pivote

Nivel de Confianza

Pruebas de Hipótesis Concepto

Tipos de erroresHipótesis NulaHipótesis alternativa

UnilateralBilateral

Nivel de Confianza

Valor-p

Región Crítica

Decisión

6. PRUEBAS DE HIPÓTESIS

En muchos aspectos, el procedimiento para probar hipótesis es similar al método científico: Un científico observa la naturaleza de un fenómeno, formula una teoría y a continuación, confronta esta teoría con la evidencia observada. Si lo observado no está de acuerdo con la teoría, se rechaza la hipótesis. En caso contrario, se pueden obtener dos conclusiones: la teoría es verdadera o bien la muestra no detectó diferencias importantes o significativas entre los valores reales y los postulados en la hipótesis planteada, lo que podría considerarse como un rechazo de la teoría.

Por ejemplo, un ingeniero podría formular la hipótesis que cierto tratamiento puede eliminar las fallas de un determinado material. Para probar su hipótesis, selecciona aleatoriamente cierto número de elementos defectuosos dividiéndolos al azar en dos grupos. El tratamiento nuevo es aplicado al primer grupo y otro tratamiento es aplicado al segundo. A continuación, basándose en el número de unidades recuperadas, deberá decidir si el nuevo tratamiento es mejor que el anterior.

Contrastando una hipótesis

Creo que la edad media es 40

años...

Son demasiados...

años 20X

¡Gran diferencia!

Rechazo la hipótesis

Muestra aleatoria

¿Qué es una hipótesis?

Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros:

– Media– Varianza– Proporción/Tasa

OJO: Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis.

Creo que el porcentaje de

elementos defectuosos será el

5%

6.1 Elementos de una prueba de hipótesis

Hipótesis estadística: es una afirmación o conjetura acerca de los parámetros de la distribución de probabilidades de una población. Si la hipótesis estadística específica completamente la distribución, entonces ella se llama Hipótesis Simple, de otra manera se llama Hipótesis Compuesta.

Elementos de una prueba de hipótesis:

Hipótesis nula: Ho

– La que contrastamos

– Los datos pueden refutarla

– No debería ser rechazada sin una buena razón.

Hipótesis alternativa: H1

– Niega a H0

– Los datos pueden mostrar evidencia a favor

– No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

El estadístico de prueba, T(X), (lo mismo que un estimador) es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre la hipótesis nula planteada ya que, en base a la información contenida en esta función, se tomará la decisión respecto de la aceptación o rechazo de la hipótesis, H0, planteada.

Elementos de una prueba de hipótesis:

La zona de rechazo, o región crítica (RC), define los valores del estadístico de prueba para los cuales la información muestral contradice la hipótesis nula. Estos valores nos permitirán adoptar una regla de decisión consistente.

Una prueba de una hipótesis estadística es una regla o procedimiento que permite decidir el rechazo de la hipótesis nula. De esta manera, como una regla de decisión, si para una muestra particular el estadístico de prueba (valor calculado) cae dentro de la región crítica, rechazaremos la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. En cambio, si el valor calculado no cae dentro de la RC, no podremos rechazar la hipótesis nula.

Región crítica y nivel de significación

Región críticaValores ‘improbables’ si...Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H0

Nivel de significación: Número pequeño: 1% , 5%Fijado de antemano por el investigadorEs la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta

No rechazo H0

Reg. Crit.Reg. Crit.

=5%

=

Contrastes: unilateral y bilateral

La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

Unilateral

H1: <

Unilateral

H1: >

Bilateral H1:

Significación: p

H0: =40

Significación: p

43X

No se rechazaH0: =40

H0: =40

Significación: p

43X

No se rechazaH0: =40

Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra. Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la obtenida.p es conocido después de realizar el experimento aleatorioEl contraste es no significativo cuando p>

P

P

Significación : p

50X

Se rechaza H0: =40

Se acepta H1: >40

Significación : p

P

P

50X

Se rechaza H0: =40

Se acepta H1: >40

El contraste es estadísticamente significativo cuando p<Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

Resumen: , p y criterio de rechazo

Sobre – Es número pequeño, preelegido

al diseñar el experimento

– Conocido sabemos todo sobre la región crítica

Sobre p– Es conocido tras realizar el

experimento

– Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento

Sobre el criterio de rechazo

– Contraste significativo = p menor que

Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultadosEjemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados

Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normalEjemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal

H0: Hipótesis nula– (Ej.1) Es inocente– (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto– (Ej.3) No hay nada que destacar

H1: Hipótesis alternativa– (Ej.1) Es culpable– (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil– (Ej. 3) Hay una situación anormal

Riesgos al contrastar hipótesis

No especulativa

Especulativa

Tipos de error al tomar una decisión

Realidad

Inocente Culpable

veredicto Inocente OK Error

Menos grave

Culpable Error

Muy grave

OK

Tipos de error al contrastar hipótesis

Realidad

H0 cierta H0 Falsa

No Rechazo H0 CorrectoEl tratamiento no tiene efecto y así se decide.

Error de tipo IIEl tratamiento si tiene efecto pero no lo percibimos.

Probabilidad β

Rechazo H0

Acepto H1

Error de tipo IEl tratamiento no tiene efecto pero se decide que sí.

Probabilidad α

CorrectoEl tratamiento tiene efecto y el experimento lo confirma.

No se puede tener todo

Para un tamaño muestral fijo, no se pueden reducir a la vez ambos tipos de error.

Para reducir , hay que aumentar el tamaño muestral.

Recordad lo que pasaba con

sensiblidad y especificidad

ConclusionesLas hipótesis no se plantean después de observar los datos.

En ciencia, las hipótesis nula y alternativa no tienen el mismo papel:

– H0 : Hipótesis científicamente más simple.– H1 : El peso de la prueba recae en ella.

α debe ser pequeño

Rechazar una hipótesis consiste en observar si p<α

Rechazar una hipótesis no prueba que sea falsa. Podemos cometer error de tipo I

No rechazar una hipótesis no prueba que sea cierta. Podemos cometer error de tipo II

Si decidimos rechazar una hipótesis debemos mostrar la probabilidad de equivocarnos.

utilizando las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos

6318.0)3159.0(2)3.0( YP

Así, la probabilidad que la media muestral esté dentro de +/- 0.3 de la media poblacional es 0.6318.

)9/1,(NY distribuye se

La probabilidad que deseamos determinar es

]9.09.0[]3.0)(3.0[)3.0( ZPYPYP

5.6 Distribución de la varianza muestral S2

Teorema 5.4 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una

distribución con media y varianza 2, entonces la varianza muestral S2 tiene valor esperado igual a 2.

Teorema 5.5 Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de una

población X cuya distribución es normal de media y varianza 2, entonces:

libertad. de grados con cuadrado-Chi

óndistribuci con aleatoria variable una es b)

ntes.independie aleatoria

variables son muestral varianza la y muestral media La a)

1

)1()(2

2

2

2

2

n

SnXX

SX

i

Ejemplo

Consideremos nuevamente el Ejemplo anterior y supongamos que extraemos una muestra aleatoria de tamaño n = 10. si estas observaciones son utilizadas para calcular S2, podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluya a S2 con alta probabilidad; esto es, encontrar por ejemplo los números b1 y

b2 tales que:

y 95.0)(05.0)( 22

12 bSPbSP

Para así tener

9.0)( 22

1 bSbP

Teorema 5.6 Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una

población normal con media y varianza 2, entonces

libertad. de grados con student-t óndistribuci tiene 1)(

nS

Xn

Para aclarar confusiones con respecto al uso de la distribución Normal (estándar) y la distribución t-student, en relación a expresiones del tipo

)()(

X

ZS

XT y

• Si el valor de es conocido y el tamaño de n es suficientemente grande, entonces Z tendrá distribución normal estándar.

Si es desconocida y la población de donde está muestreando es normal, entonces la distribución de T será la de una t – student con (n-1) grados de libertad.

o en el caso de la media

n

XZ

nS

XT

/

)(

/

)(

y

Ejemplo La resistencia a la tracción de un cable se distribuye normalmente con media y varianza 2 ambas desconocidas. Se seleccionan al azar 6 trozos de alambre y se mide la resistencia Xi de cada uno de ellos.

. lpoblaciona media verdaderala veces/2/ entre esté

que adprobabilid la Encuentre mente.respectiva ,y mediante

estimadasser pueden lpoblaciona varianzala como media la Tanto2

nS

XSX

Deseamos encontrar la probabilidad

n

SX

n

SP

2)(

2

que es equivalente a calcular

)22(2)(

2

TP

S

XnP

Donde

g.l. con estudent-t óndistribuci tiene 51)(

nS

XnT

Esta probabilidad corresponde aproximadamente a

90.0)015.2015.2( TP

media. verdadera la de estándar esdesviacion dos-/ entre esté que de 0.90 de adprobabilid unahay tanto, lo Por X

5.7 Propiedades de los estimadores puntuales

Es interesante establecer algunos criterios bajo los cuales la calidad de un estimador puede ser evaluada. Estos criterios definen, en general, propiedades deseables de los estimadores que nos sirven para compararlos.

sesgado. es que dice

se contrario caso En . todo para si. sólo y si insesgado

es que dice Se . parámetro un de puntual estimador un Sea

ˆ)ˆ(

ˆˆ

E

Sesgo:

)ˆ(

ˆ

EB

B expresión la por dado está puntual estimador un de sesgo El

Estimadores Insesgados:

.

ˆ,1

)(1

ˆ

22

22

2

2

2

2

de

sesgado estimador un sería tanto por y es media su que

sencontramo varianza la de estimador como usamos Si

.insesgados serán estos , lpoblaciona varianza

la y lpoblaciona media la de sestimadore como y utilizamos Si

n

n

XXn

SX

i

:que tiene se de insesgado

estimador otro cualquier si ,estimador un es que Decimos . de insesgado estimador un Sea

*

,)()ˆ(

ˆˆ

*VarVar

θ para varianza mínima de insesgado

Por lo tanto, dados dos estimadores para el parámetro θ, y siendo todo el resto de las condiciones equivalentes para ambos, se elegirá siempre aquel de menor varianza.

Ejemplo

ones?distribuci estas para varianza, mínima y ntoinsesgamie de términos en ,

de distinto , para mejor estimador otro encontrar ¿Podríamos , tamaño de fija muestra una en basándonos :es formular de natural pregunta Una

crece. cuando mejora de estimador como de calidad la varianza, mínima de

criterio un en basándose que, entonces claro Es aumenta. cuando decrece pero ; de depende no que crece. cuando mejora de

calidad la si averiguar interesa Nos Bernoulli. óndistribuci una de parámetro de y )( Poisson óndistribuci una de media la de Normal; óndistribuci unade parámetro , de insesgado estimador un es tanto, lo Por l.poblaciona

media la de insesgado estimador un es muestral media la que Sabemos

Xn

nXn

nXVnXEnX

p

XX

/)()( 2

La respuesta está en la desigualdad de Cramer-Rao que proporciona una cota inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado del parámetro de una distribución de probabilidades, bajo condiciones de regularidad que incluyen:

i. El espacio de valores de la variable aleatoria involucrada debe ser independiente del parámetro.

ii. La función de densidad (o función de probabilidad) debe ser una función continua y diferenciable del parámetro.

Teorema 5.7 (Cramer-Rao). Sea X1,…,Xn una muestra

aleatoria de tamaño n de una población X con función de densidad (o función de probabilidad) f(x,θ), que depende de un parámetro θ desconocido, y satisface las condiciones de regularidad.

2

1

),(ln

1)ˆ(

),,(ˆ

xfnE

Var

XXT n

Entonces . para insesgado estimador un Sea

)(

))ˆ(1(

));(ln(

))ˆ(1(

ˆ

2

2

2

ˆ

I

B

xfnE

B

2

expresión. la por dada está Rao-Cramerde cota la que probar puede se , de insesgado estimador un es no Si

La cantidad I(θ) es conocida como cantidad de información o Información de Fisher. De aquí que la CCR también se conoce con el nombre de Desigualdad de Información.

En la clase de estimadores insesgados, la cota inferior en la desigualdad de información es 1/I(θ), independientemente del estimador que estemos considerando.

La desigualdad de Cramer-Rao se puede escribir como:

}/);(ln{

1)ˆ(

22

XfnE

Var

La CCR puede extenderse fácilmente para ciertas transformaciones del parámetro. Específicamente, si φ = g(θ) es una transformación uno a uno y diferenciable, entonces:

de insesgado estimador un es donde

para para

ˆ

)ˆ()(

)ˆ(2

VarCCRd

dgVarCCR

.ˆ llama se a,su varianz a Rao-Cramer de

cotasu derazón la , de ˆ insesgadoestimador un Dado

θ de eficiencia

2)ˆ()ˆ(

ˆ

ECME

:por define

se puntual estimador un de (CME) error del Medio Cuadrado El

)ˆ()ˆ(

ˆ

VarCME

entonces , parámetro del insesgado estimador un es Si

Ejemplo

Sea X1, X2 una muestra aleatoria de tamaño 2 de X con

distribución Exponencial de parámetro desconocido.

mejor? es dos los de ¿cuál medio, cuadrático error del

términos En de sestimadore a y a osConsiderem ./1ˆˆ2121 XXX

)()()((

)((ˆ(

2/(1ˆ(ˆ(

212121

221212

211

XEXEXXEXXVar

XXEXXVarCME

XVarCME

)

donde de

))

Ahora,

. de insesgado estimador un ser por ),)) El

22

4

2

442

21

2

2222

21

2/12/10

2/1

)ˆ(

ˆ

)/1)/)(4/1(()(

16

16)16/(/1)(

2/)/()2/3(

)(

)(

2

2

por dado está de Medio Cuadrático Error el aquí, De

y

tanto lo Por

. parámetro de lexponencia con Calculemos

CME

XXB

XXVar

dxexXE

XXE

x

0)ˆ(lim

1)ˆ(lim

ˆ

nn

nn

n

P

P

ementeequivalent o

:que tiene se

0, cualquier para si, para econsistent dice se estimador El

Teorema 5.8

0)ˆ(lim

ˆ

nn

n

Var

si econsistent es de insesgado estimador Un

Ejemplo

Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con

distribución de probabilidades con media y varianza 2 < .

. la como conocido también es hecho

Este . a adprobabilid en converge que decir puede se ementeEquivalent

te.directamen aplica se

anterior teorema el crece, cuando , como y , para insesgado

estimador un es que Dado . y que Sabemos

Números Grandes los de Ley

X

nXVar

XnXVarXE

0)(

/)()( 2

. de econsistent estimador un es que osVerifiquem X

Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución de

probabilidades con parámetro desconocido θ. T = T(X1,

…,Xn) es un estadístico suficiente para θ, si y sólo si, la

distribución condicional de (X1,…,Xn) dado T = t, para todo

valor de t, es independiente de θ.

Ejemplo

Consideremos los resultados observados de n ensayos Bernoulli independientes X1,…,Xn donde Xi = 1 con

probabilidad p y es 0 con probabilidad 1 – p.

? de funciones

otras observando , de acerca adicional ninformació ganar ¿Podemos

, de valor el conocemos Si ensayos. los en éxitos de Nº Sea

n

n

ii

XX

p

TnXT

,,1

1

Una manera de responder es observar la distribución condicional de X1,…,Xn dado T = t; esto es:

t

ntnptpt

n

tnptpnn tTxXxXP 1

)1(

)1(11 ),...,(

. de función es no y , y de sólo función una es donde

forma la de tivas,

-nega no funciones dos en afactorizad ser puede ), tudverosimili

de función (la de conjunta densidad la si, sólo y si para suficiente

oestadístic un es . aleatoria muestra la en basado

oestadístic un Sea

hTg

XhxTgxL

xL

X

XTXXX

XT

n

)()),((),(

),(

)(),...,(

),(

1

Fisher) de iónFactorizac (de 5.9 Teorema

Ejemplo

Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con

distribución exponencial con media ; esto es, Xi posee

función de densidad.

nixxxf iii ,1,0)/exp(/1),( ,

La función de verosimilitud de la muestra es la densidad conjunta

nn xnxxfL /)]/[exp(),...,,( 1

. para suficiente oestadístic otro es que también Notemos

. para suficiente estimador un es que concluir podemos

) y con iónfactorizac de teorema

el aplicando , y de sólo depende que función una es Como

j

n

X

X

xhxnxg

xL

,1(/)]/[exp(),(

Ejemplo Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución uniforme en

(0,θ) y determinemos un estadístico suficiente para θ.

La función de verosimilitud de la muestra aleatoria es

nixxL in ,,1),0()/1(),( todo para ,

lo que es equivalente a escribir

),,,(;)/1(),( 21)()( nnnn xxxmáxxxxL donde para ,

Así, tenemos la factorización

),)()(),0( ,()()/1(),( nnn XgxIxL

donde

Ax

AxxI A

si

si

0

1)(

es la función indicadora de un conjunto A.

Prob.: Se registraron los siguientes datos, en días, que representan el tiempo de fabricación de un determinado producto con dos procesos distintos.

Proceso 1 34 17 2.5Proceso 2 56 19 1.8a) Encuentre un I. de C del 95% para el tiempo promedio de fabricación

del proceso 1.b) Se cree que la persona que tomó los datos en el proceso 1 no lo hizo

correctamente, ya que experiencias anteriores indican que la varianza es de 12,9683. Para demostrar que S obtenida anteriormente estaba errada, se considera una nueva muestra aleatoria de 10 tiempos. ¿Cuál es la probabilidad que la varianza muestral de esta nueva muestra, supere el valor obtenido anteriormente?.

Ejemplos:

Prob.: Se registraron los tiempos utilizados en la compra para 64 clientes seleccionados al azar en un supermercado local. La media y la varianza de los 64 tiempos de compra fueron 33 minutos y 256, respectivamente. Encuentre un I. de C. del 95 % para el verdadero tiempo promedio.

Ejemplos: