Título: UMA TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

Autor Sonia Pontes Dutra Yadnak

Escola de Atuação Colégio Estadual Sagrada Família – Ensino Fundamental e Médio

Município da escola Londrina

Núcleo Regional de Educação

Londrina

Orientador Magna Natalia Marin Pires

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual de Londrina

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica

Unidade Didático-Pedagógica

Público Alvo Alunos da 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental

Localização

Colégio Estadual Sagrada Família – E. F. M.

Rua Saturno, 303 – Jardim do Sol – Londrina-PR.

Apresentação

Esta Produção Didático-Pedagógica é produto da elaboração do material didático que pretende servir aos propósitos de meu Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola. Foi preparado e organizado com detalhes para torná-lo articulado com o Projeto de Intervenção. São sugestões de atividades e encaminhamentos metodológicos que buscam alternativas de superação dos problemas identificados no Projeto, voltados para a realidade da educação básica em nosso Estado. A ação aqui proposta pretende possibilitar aos alunos o entendimento da sociedade por meio dos conhecimentos mediados pelas questões pedagógicas. Com a perspectiva de contribuir na superação dos problemas relacionados ao processo ensino-aprendizagem, esta unidade didática busca alternativas na Educação Matemática Realística com Trajetórias de Ensino e Aprendizagem de três problemas que permitem explorar diversos conteúdos.

Palavras-chave Trajetória de Ensino e Aprendizagem; Educação Matemática Realística; Pensamento Algébrico; Resolução de Problemas.

PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - D PPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UMA TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

1 APRESENTAÇÃO

Ao nos propormos responder “o que é que queremos que os alunos aprendam nas aulas de matemática?”1, a reflexão nos remete à lembrança do que pensa D’Ambrósio (2004, p.1) “educador é aquele que promove a educação integral do ser humano”. Queremos que os alunos aprendam a ser curiosos, criativos, que estejam preparados para perceberem problemas e construírem seus próprios instrumentos ao resolvê-los; que saibam argumentar nas discussões, apropriem-se de conceitos e sejam capazes de formular ideias, pois, assim, poderão contribuir para o desenvolvimento da sociedade como cidadãos construtivos, comprometidos, críticos e reflexivos.

A Educação Matemática Realística pode ser uma alternativa para tornar o ensino da Matemática mais atrativo e prazeroso para os alunos, levando-os “a construir um novo conhecimento matemático, construído sobre o que eles já sabem” (Gravemeijer, 2005).

A ideia deste projeto surgiu na sala de aula, oriunda da curiosidade de entender como se processa a aprendizagem. A criança não faz a relação do conhecimento construído no cotidiano com as informações obtidas na escola e vice-versa. Os dados colhidos nesta implementação subsidiarão reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem na área de Matemática nas séries finais do ensino Fundamental e, com base nesses dados, serão analisadas as contribuições das estratégias de Resolução de Problemas e Investigação Matemática em sala de aula.

O objetivo geral deste trabalho é implementar uma Trajetória de Ensino e Aprendizagem utilizando a estratégia de Resolução de Problemas e Investigação Matemática. A Trajetória de Ensino e Aprendizagem foi construída utilizando problemas e questões investigativas, com a intenção de explorar questões do Pensamento Algébrico. Nesta etapa desenvolveremos a

1 Pergunta elaborada no Curso de Especialização de Educação Matemática – UEL pela Profa. Dra. Regina

Luzia Corio de Buriasco em 2011.

trajetória projetada com alunos da 8ª. Série e, as reações dos alunos e professor, durante o desenvolvimento da Trajetória de Ensino e Aprendizagem, servirão de subsídio para a reconstrução da Trajetória de Ensino e Aprendizagem, tendo por base as reflexões feitas durante os estudos e o desenvolvimento com os alunos.

2. AS TAREFAS As tarefas aqui propostas têm a intenção de provocar os alunos a explorarem situações-problema, construírem e testarem conjecturas para em seguida validá-las. As tarefas podem ser apresentadas impressas e seus textos precisam ser claros e coesos para que o aluno os interprete corretamente. O professor evita dar respostas ao aluno, sua atitude é de questionador. Com questionamentos o professor orienta as duplas em dificuldade para que percebam possíveis erros. Ao final os alunos devem fazer um retrospecto de toda a resolução do problema, o que permitirá que as ideias se tornem mais claras validando os resultados, construindo assim, novos conhecimentos. 3. OS ALUNOS O trabalho em duplas ou pequenos grupos permite a troca de ideias, o aprimoramento da argumentação e da comunicação. Planejando e elaborando estratégias variadas aos pares, os alunos exercitam a cooperação permitindo que aceitem diversas soluções dos colegas e compreendam a lógica de outras soluções. A apresentação das soluções ao grande grupo é o momento da partilha, é importante que seja de maneira clara e precisa, permitindo o esclarecimento de dúvidas, correção de erros, sistematização de conceitos e construção de novos conhecimentos. 4. O PROFESSOR O papel do professor é de orientador, muitas vezes respondendo uma pergunta com outra, obrigando o aluno a pensar e ao mesmo tempo dando-lhe apoio nas tarefas.

O professor pode auxiliar seus alunos na resolução de problemas, sugerindo-lhes algumas etapas:

• ler várias vezes o problema, é preciso compreendê-lo, identificando seus dados e o que significam, é preciso entender o que o problema está pedindo, qual a pergunta do problema. O aluno pode estabelecer um “diálogo” com o problema;

• encontrar uma conexão entre os dados do problema, pode-se construir uma tabela, ou um esquema que possibilite traçar um plano de resolução;

• colocar o plano estabelecido em ação, executá-lo com cuidado, verificando se cada passo está correto;

• analisar o resultado, verificar se a resposta respeita todas as condições do problema;

• analisar a resolução completa, por inteiro e questionar-se a respeito de outro modo para chegar ao resultado.

Conduzir as aulas de Matemática por meio da resolução de problemas pode propiciar a criatividade, a curiosidade e o desenvolvimento do raciocínio matemático em nossos alunos. 5. PROCEDIMENTOS/MATERIAL DIDÁTICO TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM Um bom plano de aula precisa ter como prioridade clareza, organização, consistência e apresentar: a) identificação da disciplina, da escola, do professor e da série/turma; b) objetivos; c) conteúdo/tema; d) desenvolvimento ou estratégias ou procedimentos ou dinâmica da aula; e) recursos; f) formas e critérios de avaliação; g) cronograma (opcional); h) referências. Traçar uma trajetória de ensino e aprendizagem assemelha-se a elaborar um plano de aula, porém mais detalhado, prevendo as ações dos alunos e supondo ou até sugerindo as ações de resposta do professor.

A partir dos seus conhecimentos, o professor traça a Trajetória de Ensino e Aprendizagem. Primeiramente, o foco deve ser nos objetivos, ou seja, o que se quer que os alunos aprendam ou o que se deseja que eles façam. O próximo passo é planejar o trabalho a ser realizado, nesse trabalho utilizaremos a estratégia de Resolução de Problemas e Investigação Matemática. Nesta etapa, conjecturam-se hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos alunos, partindo do diagnóstico que o professor tem da turma. Na sequência, ocorre a projeção das tarefas de sala de aula. No decorrer destas tarefas, simulam-se perguntas e caminhos que possam nortear a construção de conhecimentos. Ato contínuo, devemos avaliar o trabalho para que a trajetória seja reescrita, retomando os conteúdos cujos objetivos não foram atingidos.

Neste trabalho, é oportuno esclarecer em que sentido usam-se estes vocábulos:

• Intenção “s.f. o que se pretende fazer ou alcançar; propósito, plano, desejo” (HOUAISS, 2010, p. 444). Refere à ação do professor.

• Objetivo “s.m. o que se quer alcançar; propósito” (HOUAISS, 2010, p. 554). Refere-se à ação do aluno.

• Conteúdo “s.m. tópico abrangido em livro, anúncio etc.; assunto .”

(Houaiss, 2010, p. 194).

As trajetórias contidas neste trabalho priorizam as seguintes intenções: - possibilitar a boa convivência em sala de aula e fora dela; - incentivar o compartilhamento de ideias; - possibilitar o desenvolvimento da capacidade de planejar e elaborar estratégias variadas; - estimular os alunos a aceitarem diversas soluções dos colegas e a compreenderem a lógica de outras soluções; - possibilitar a demonstração de iniciativa e capacidade; - possibilitar o relacionamento do conhecimento adquirido em experiências anteriores com os conhecimentos necessários na elaboração das tarefas; - promover a intuição e confiança; - possibilitar o desenvolvimento do raciocínio, do entendimento, da criatividade e do senso crítico. 5.1 O problema dos ovos A presente trajetória será desenvolvida com alunos de 8ª. série do ensino fundamental de 8 anos no período matutino de uma escola pública na cidade de Londrina - PR. Dentre os 28 alunos da turma, 19 fazem a 8ª. série pela primeira vez, a faixa etária varia de 13 a 17 anos. É uma turma heterogênea, obrigando a professora a rever conteúdos de séries anteriores para melhorar o desempenho. Acredita-se que esta tarefa possa ser realizada em duas aulas, cada uma de 50 minutos, destinando os primeiros 50 minutos para a realização da tarefa em duplas e no segundo tempo a apresentação e justificação de resultados e a discussão de outras estratégias. Objetivos - Interpretação de pequenos textos. - Conjecturar e testar possíveis soluções. - Identificar múltiplos e divisores de um número. - Utilizar os critérios de divisibilidade. - Realizar as 4 operações analisando os resultados e identificando possíveis erros. - Compreender a importância da escrita da resposta de um problema. Conteúdos - Múltiplos e Divisores - Operações Fundamentais - MMC – Mínimo múltiplo comum - Critérios de divisibilidade Desenvolvimento A professora combina com os alunos algumas regras a serem respeitadas durante esta tarefa, uma espécie de contrato didático. É relevante neste momento que a professora obtenha o comprometimento da turma, partilhando suas expectativas. As regras podem partir da professora, mas sugestões dos

alunos, também podem ser acatadas, dentre essas regras temos: - observância das normas de boa convivência; - a tarefa será executada por duplas de alunos, a comunicação é permitida só dentro da dupla, uma dupla não se comunica com outra; - os alunos devem fazer anotações detalhadas de tudo que se refere a resolução do problema, seja esquemas, tabelas, operações, diálogo da dupla; - as anotações serão úteis na redação de um relatório que a dupla entregará ao final da aula, este relatório é um instrumento de avaliação (neste momento a professora sugere um valor e solicita a anuência da turma). É de suma importância que o aluno saiba como se constitui um bom relatório que “deve incluir uma descrição o mais detalhadamente possível do trabalho que realizou.”(PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2009, p.111) O relatório precisa conter anotações acerca dos procedimentos e estratégias que utilizou para a resolução da tarefa proposta, com explicações claras e organizadas de suas ações, relato de suas dificuldades e de outras particularidades que achar interessante. É importante que no final ele registre uma crítica pessoal, revelando as contribuições que aquela tarefa lhe proporcionou e como se desenvolveu o trabalho no grupo. A turma já organizada em duplas recebe o problema digitado em papel sulfite: PROBLEMA DOS OVOS A professora deixa que leiam o problema sem fazer qualquer interferência. Após alguns minutos faz questionamentos que auxiliem uma melhor compreensão do texto, direcionando os alunos para que respondam acertadamente. A professora pode perguntar-lhes:

• Quais são os personagens deste texto, desta “pequena história”? A resposta deve ser a doceira e o vendedor.

• O que significa o número 43? A resposta esperada é que o número 43

significa o número de bolos que a doceira pretende fazer, se houver alguma resposta diferente ou dúvida, é preciso que se faça nova leitura do problema.

• Qual o objetivo do problema? É preciso compreendê-lo. Qual é a

pergunta do problema?

• Espera-se que respondam quantos ovos serão gastos em cada bolo e o total de ovos utilizados para fazer os 43 bolos. É de grande importância

“Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos, todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos?”

e necessidade que os alunos tenham bem claro o questionamento do problema. É preciso que compreendam o problema.

A partir do momento que os alunos sabem o que estão procurando, eles começam, intuitivamente, traçar um plano para a resolução, e o primeiro passo é encontrar uma conexão entre os dados do problema. As indagações da professora pode ajudá-los nesta busca.

• Quantos ovos podem ser usados em cada bolo? A expectativa é que respondam menos de 9. Pode ser 1? Pode ser 2? E 3? E 4? E 5? E 6? E 7? E 8? Por que não pode ser 9? Porque o problema “diz” menos de 9? É preciso que o aluno entenda que entre o problema e o “resolvedor” existe um diálogo.

• Vamos analisar a importância da ação do vendedor ao embrulhar os

ovos, o que ela nos revela? Algum aluno pode perguntar o que é revela. Recorrendo ao dicionário (Houaiss, 2010, p. 680) “revelar v. t. d. i. tornar-se visível, mostrar-se”.

• O que podemos descobrir quando o vendedor tenta embrulhar os ovos? Podem surgir respostas como: o vendedor não pode embrulhar os ovos de 2 em 2.

• Por quê? Porque sobra 1.

• E de 3 em 3, ele pode embrulhá-los? Espera-se que respondam não, pois também sobraria 1. É provável que surjam afirmações do tipo: não é por 4, não é por 5 e não é por 6, porque nesses casos sobraria sempre 1. Não ocorrendo uma resposta assim, a professora continua questionando uma a uma cada situação.

• Sabemos que o vendedor não pode embrulhar os ovos de 2 em 2, pois há sobra de um ovo. O que podemos deduzir com essa informação? Supõe-se que alguém diga que o número de ovos não é par, não havendo essa resposta, a professora pode insistir:

• Será que o número de ovos é um número par ou ímpar? É quase certo que respondam ímpar. Não havendo certeza na turma toda, convém lembrar:

Números pares são os números 0, 2, 4, 6, 8, 10... Todo número par é o dobro de um número natural. Todo número par é divisível por 2. Todo número par é da forma 2n, n € N. (É possível estender a noção de número par a todos os números inteiros. Dessa forma, seriam pares também os números -2, -4, -6, etc. (IMENES & LELLIS, 1998, p. 209)

“Um número é par quando é divisível por 2. Isso significa que, dividindo o número por 2, encontra-se quociente inteiro e resto 0.”(JAKUBOVIC, 1995, p.10)”

“Par é todo número inteiro que termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.”(JAKUBOVIC, 1995, p. 12)

“Os números pares “saltam” de 2 em 2”.(JAKUBOVIC, 1995, p.12)

“Ímpar é todo número inteiro que não é par.”(JAKUBOVIC, 1995, p.18)

“Ímpar é todo número inteiro que termina em 1, 3, 5, 7 ou 9.”(JAKUBOVIC, 1995, p. 44)

Às vezes achamos certas informações irrelevantes, mas mesmo assim devemos citá-las, pode ser que algum aluno não se lembre. Voltando ao problema e aos questionamentos:

• Os ovos não podem ser embrulhados de 2 em 2 porque sobre 1, portanto o número total de ovos é ímpar, isto significa que este número não é múltiplo de 2. Aproveitamos a oportunidade para explorar o significado da palavra múltiplo.

Um número natural m, é múltiplo de um número natural a se m é o resultado da multiplicação de a por algum número natural. Exemplo: 18 é múltiplo de 6 porque 6.3 = 18. De um modo geral, os múltiplos de 6 são números na forma 6n, com n natural. O número 0 é múltiplo de qualquer número natural. Pode-se estender a ideia de múltiplo aos números inteiros. Exemplo: -20 é múltiplo de -5. (IMENES & LELLIS, 1998, p. 201-202)

Solicitar que os alunos organizem alguns múltiplos. Espera-se que a turma faça uma tabela com múltiplo de 2 até 8, porque no problema cada bolo gasta menos de 9 ovos, é viável que se volte sempre a leitura do problema. Acredita-se que a turma chegue a conclusão de que o número de ovos gastos em cada bolo não deva ser 2, não é 3, não é 4, não é 5, não é 6 porque se assim fosse não haveria sobra ao embrulhá-los, é provável que também excluam o 8, pois se fosse 8 o total de ovos seria um número par e portanto possível embrulhá-los de 2 em 2. Com essa troca de informações, é provável que os alunos consigam apresentar alguma solução. Resoluções possíveis Resolução 1

Considerando que é possível separar os ovos em grupos de 2, 3, 4, 5 ou 6 ovos, então essa quantidade deve ser no mínimo múltiplo de 60. 2, 3, 4, 5, 6 2 1, 3, 2, 5, 3 2 2 x 2 x 3 x 5 = 60 ( para garantir que seja divisível 1, 3, 1, 5, 3 3 por todos) 1, 1, 1, 5, 1 5 1, 1, 1, 1, 1 Como sempre sobra 1, então essa quantidade pode ser: 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, 481... Buscando os múltiplos de 43 temos: 43, 86, 129, 172, 215, 258, 301, 344... Portanto 301 : 43 = 7 Resposta : A doceira utiliza 7 ovos em cada bolo. Para os 43 bolos serão necessários 301 ovos. Resolução 2 Caso 1 � se fossem necessários 8 ovos para cada bolo Assim, precisaria de 344 ovos para todos os bolos. Como 344 dividido por 2 tem resto zero, não podem ser 8 ovos. Caso 2 � se fossem necessários 7 ovos para cada bolo Assim, precisaria de 301 ovos para todos os bolos. Como 301 : 2, 301 : 3, 301 : 4, 301 : 5 e 301 : 6 tem resto 1 e 301 : 7 tem resto zero, portanto, utiliza-se 7 ovos por receita. Resposta: A doceira gastará 301 ovos para fazer os 43 bolos e 7 ovos por receita. Resolução 3 Dicas sobre o total de ovos utilizados nos 43 bolos: - não é um número par, porque se os embrulhar de 2 em 2 sobra 1. - não é um número múltiplo de 2, não é de 3, não é de 4, não é de 5 e não é de 6, porque ao tentar embalá-los destas formas, sempre sobra 1. Dicas sobre o número de ovos utilizados em cada bolo: - é menor do que 9. - não é 8, porque se fosse 8, o total de ovos seria 344, produto de 43x8, e 344 é um número par e esse total de ovos poderia ser embrulhados de 2 em 2. Conclusão: O número de ovos utilizados em cada bolo só pode ser 7. 43 x 7 = 301 Esta solução satisfaz a condição de sobrar 1 ovos ao embrulhá-los: 301 : 2 = 150 e sobra 1 301 : 3 = 100 e sobra 1 301 : 4 = 75 e sobra 1 301 : 5 = 60 e sobra 1 301 : 6 = 50 e sobra 1

Resposta : A doceira usa 7 ovos em cada bolo. O menor número de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos é 301 ovos. No momento da socialização cada dupla coloca no quadro de giz a sua resolução, procurando explicar como chegou aquele resultado, os outros alunos copiam em seus cadernos as maneiras diferentes da sua de resolver o problema. A professora usa as resoluções dos alunos para rever conteúdos já vistos e introduzir novos. Pode-se solicitar o significado da palavra divisor. Por exemplo o número 18 , ele é produto de 18x1; 9x2; 6x3; portanto os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18 são fatores ou divisores de 18. Dizemos que 18 é divisível por seus fatores ou por seus divisores.

Divisível adj. Que pode ser dividido de modo exato (diz-se de número ou quantia). (HOUAISS, 2010, p.268)

A professora procura reforçar esta afirmação: que pode ser dividido de modo exato implica que o resto da divisão deve ser zero. Pedir aos alunos que encontrem os divisores de alguns números do problema. Questionar acerca do que é ser divisível por 2, procurando enunciar o critério de divisibilidade por 2.

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Observação: Todo número par é um número divisível por 2. (MORI, ONAGA, 1996, p. 92)

É bem provável que alguns alunos lembrem o critério de divisibilidade por 3, sugere-se que estes o coloquem no quadro para que compartilhem com aqueles que não se lembram.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de sua escrita numérica for divisível por 3. (MORI, ONAGA, 1996, p. 93)

É interessante testar o critério com alguns números, por exemplo : 324 � 3 + 2 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3. Fazendo a divisão encontramos quociente 108 e resto zero. Portanto, 324 é divisível por 3. Podemos testar o número 43 que aparece no problema. 43 � 4 + 3 = 7 e 7 não é divisível por 3, então 43 não é divisível por 3. Fazendo a divisão encontramos quociente 14 e resto 1. A professora procura despertar nos alunos o interesse para que cheguem sozinhos aos critérios de divisibilidade por 4, por 5 e por 6. Os alunos podem usar estratégias diferentes para “reinventarem” esses critérios, mas é fundamental que partilhem essas estratégias entre si.

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Também será divisível por 4 todo

número terminado em 00. Exemplos: 5936 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4 2318 não é divisível por 4 pois 18 não é divisível por 4. A professora sugere: comprovem esses resultados fazendo as operações.

Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 105 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5 200 também, é divisível por 5 porque termina em zero 413 não é divisível por 5 porque o último algarismo não é 5 e não zero.

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3, ou seja, se ele for divisível por 2 e por 3.

Exemplos: 528 é divisível por 6, porque 528 é um número par e a soma de seus algarismos: 5 + 2 + 8 = 15 é divisível por 3 441 não é divisível por 6, pois não é par 926 apesar de ser par, não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 9 + 2 + 6 = 17 não é divisível por 3. A cada critério “redescoberto” é interessante testá-lo com vários números. O critério de divisibilidade por 7 é pouco utilizado por ser trabalhoso, convém incentivar um breve debate com a intenção de descobrir se vale a pena aplicar o critério ou fazer a divisão. Em Matemática Essencial, Fundamental, Critérios de divisibilidade, Ulysses Sodré apresenta um roteiro para divisibilidade por 7.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo -16 Dobro de 8 (último algarismo) 16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo -12 Dobro de 6 (último algarismo) 1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo -10 Dobro de 5 (último algarismo) 154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número se o último algarismo -8 Dobro de 4 (último algarismo) 7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426 Número sem o último algarismo -2 Dobro do último algarismo 424 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42 Número sem o último algarismo -8 Dobro do último algarismo 34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7. É bom que os alunos testem o critério de divisibilidade por 7 com alguns números para que concluam se vale a pena aplicar o critério ou fazer a divisão, qual dá menos trabalho? É a “lei do menor esforço”. - Vamos ver o critério de divisibilidade por 8.

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. Também são divisíveis por 8 todos os números terminados em 000.

Exemplo: 67344 é divisível por 8 porque 344 dividido por 8 dá 43 e o resto é zero 67314 não é divisível por 8 pois na divisão de 314 por 8, o quociente é 39 e o resto é 2, portanto se 314 não é divisível por 8 o número dado inicialmente 67314 também não é divisível por 8. Notando o interesse da turma pelos critérios de divisibilidade, a professora pode solicitar um ensaio às duplas a respeito dos critérios de divisibilidade por 9, por 10, por 11, por 13 e outro que julgar conveniente.

Ao final desta etapa os conteúdos podem ser retomados para que se faça um retrospecto do que foi estudado para depois solicitar que escrevam seus relatórios. É interessante que a professora entregue aos alunos um roteiro para facilitar a elaboração do relatório, explicando cada item.

ROTEIRO PARA CONFECÇÃO DO RELATÓRIO

● Nome dos alunos que compõe a dupla ● Nome do colégio ● Data ● Disciplina ● Turma e série ● Título ● Texto: descrever suas ações explicando-as (incluir tabelas, esquemas, operações, diálogos da dupla, etc.). Relatar suas dificuldades e outras particularidades que achar interessante. Registrar uma crítica pessoal revelando as contribuições que a tarefa lhe proporcionou e como se desenvolveu o trabalho em grupo ● Referências Sendo este o primeiro relatório que os alunos fazem de uma atividade matemática, o ideal seria que o façam em sala de aula para que a professora os oriente durante a elaboração, “será necessário dialogar com os alunos ao longo do processo da sua elaboração, ajudando a clarificar o que é pretendido e dando-lhes hipótese de colocarem as suas questões.” (PONTE et al, 2009, p. 117) O relatório como avaliação obriga o aluno a “refletir globalmente sobre o problema, sobre as razões por que o abordou de uma certa maneira e as relações entre as principais ideias matemáticas envolvidas.”(BURIASCO, 2011, p. 48) Propiciando experienciar a avaliação como uma oportunidade de aprendizagem. Ao avaliar o relatório, a professora deve definir “parâmetros que considerem a natureza do problema em estudo e o modo como a atividade foi orientada”(BURIASCO, 2011, p.53). A professora pode deixar alguns questionamentos no relatório do aluno que o auxilie melhorar suas ideias ou até dissipar dúvidas e solicitar-lhe que o reescreva. 5.2 O problema Caminhando Este problema pode ser trabalhado a partir do 7º. ano do Ensino Fundamental, quando os alunos iniciam o estudo de equações do 1º grau. É um problema que permite explorar diversos conteúdos, pois com ele pode-se tratar de assuntos referentes à álgebra, como variáveis, incógnitas, equações e também,

rever conteúdos de séries anteriores. A previsão para o desenvolvimento deste problema é de duas aulas de 50 minutos cada, podendo prolongar-se por mais uma aula ou com tarefa para casa. A trajetória pode tomar outros rumos, não previstos pela professora dependendo dos alunos, suas ações e questionamentos. O professor é o condutor, ele traça a rota e procura manter o direcionamento para alcançar as metas que definiu, mas pode redefinir a rota, aproveitar os questionamentos ou uma curiosidade de um aluno para rever conteúdos ou até introduzir novos. Objetivos - Interpretar pequenos textos. - Conjecturar e testar possíveis soluções. - Utilizar a propriedade fundamental das proporções na resolução de problemas. - Realizar as 4 operações, analisando os resultados e identificando possíveis erros. - Identificar, usar e operar com medidas de tempo e de comprimento. - Resolver equações de 1º grau. - Compreender a importância da escrita da resposta de um problema. Conteúdos - Números racionais; - Operações: multiplicação e divisão; - Razão e proporção; - Medidas de tempo; - Medidas de comprimento. Desenvolvimento A professora informa aos alunos que esta tarefa será feita em duplas e combina com eles como vão ser avaliados e distribui uma folha de papel sulfite com o problema impresso. CAMINHANDO 2

2 Essa questão é uma dos itens liberados da prova do PISA – Programa Internacional de Avaliação de

Alunos (em inglês Programe for International Student Assessment). Acesso em maio de 2011:

http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf

CAMINHANDO – QUESTÃO 1 Se a fórmula se aplica ao andar de Heitor e ele anda 70 passos por minuto, qual é o comprimento do passo de Heitor? Mostre como você resolveu. CAMINHANDO – QUESTÃO 2 Bernardo sabe que o comprimento do seu passo é de 0.80 metros. A fórmula se aplica ao andar de Bernardo. Calcule a velocidade do andar de Bernardo em metros por minuto e em quilômetros por hora. Mostre como você resolveu. Os alunos organizam-se em duplas e após uma primeira leitura do problema tentam resolvê-lo. A professora interfere, lembrando que um bom entendimento do problema é fundamental: ler várias vezes, identificar os dados fornecidos compreendendo os seus significados, identificar uma conexão entre esses dados para depois traçar um plano de resolução e colocá-lo em prática e finalmente analisar os resultados obtidos. Desta forma, a professora vai ilustrando as técnicas de resolução de problemas, discutindo-as com os alunos e as praticando de maneira compreendida e não mecanizada. É interessante deixar claro o significado da fórmula que aparece no problema. Pode desencadear-se a seguinte discussão: A professora pode iniciar a aula questionando os alunos.

• O que é uma fórmula? Alguém conhece uma fórmula ou já ouviu falar em fórmula? Podem surgir respostas como a fórmula de um remédio. Com esta resposta a professora esclarece que na fórmula de um remédio aparecem as substâncias que o compõe e quantidade de cada uma. Algum aluno pode dizer que se lembra da fórmula da área do

quadrado que é A = l² ou a área do quadrado é igual a lado vezes lado, isto é lado ao quadrado.

A professora aproveita para colocar algumas ideias: “Na Matemática, estudamos números e formas. Os números são estudados pela aritmética e as formas pela Geometria. Além dos números e formas, trabalhamos também com letras que representam números. Isso acontece nas fórmulas e equações.” (IMENES; LELLIS, 1998, p. 139)

• Um exemplo de fórmula é esta da área do quadrado. A letra l de lado pode representar o número 1 ou 5 ou 7,5 ou 100. É uma variável . A

letra A de área, também é uma variável: varia em função de l. • Um exemplo de equação: se a área do quadrado for 36 cm², podemos

escrever a equação l² = 36 . A letra l é uma incógnita , um número desconhecido. Descobrimos este número ao resolvermos a equação.

“Desde os tempos dos faraós no antigo Egito, há mais de 3000 anos, o homem já se preocupava com algumas questões matemáticas que iam além da Aritmética “simples”, a Aritmética utilizada para resolver problemas do cotidiano.” (MORI e ONAGA, 1996, p. 26)

• Existe um papiro (documento manuscrito antigo) chamado papiro de Rhind que foi encontrado por Henry Rhind, em 1858 que “mostra o registro da resolução de um problema, de mais ou menos 1700 anos antes de Cristo”(MORI e ONAGA, 1996, p.26) . E nesta resolução percebe-se a presença da Álgebra.

“A Álgebra, como ferramenta de trabalho da Matemática e de outras ciências, pode ser descrita como um conjunto de conceitos e procedimentos matemáticos que permite representar diversas situações e problemas numa linguagem própria. Em muitas delas, a Álgebra fornece métodos para resolvê-las.” (MOR I e ONAGA, 1996, p. 23)

Na álgebra aparecem expressões com letras que são chamadas expressões algébricas que não são fórmulas e também não são equações. “Expressão algébrica – sequência de operações indicadas mas não efetuadas, envolvendo variáveis e números. As variáveis são representadas por letras. Exemplos: 3x; 2x + 7; x² + x³; 4x – 3y + z³; 3x/2y; etc. As expressões algébricas e as expressões numéricas são muito parecidas, com a diferença de que nas primeiras, alguns números são representados por letras.” (IMENES; LELLIS, 1998, p. 124)

A professora ressalta que fórmulas são generalizações. Os alunos precisam perceber a álgebra como uma forma de linguagem matemática que representa fatos gerais, relações de grandezas, entre outros. A professora volta a trabalhar a compreensão dos termos variáveis, incógnitas, fórmulas, equações e expressões algébricas.

Em relação as informações do problema, a professora questiona:

• O que expressam as letras n e P? O problema traz o significado bem claro destas letras, a professora quer dar ênfase a esta significação procurando focá-la. É certo que responderão: n é o número de passos por minuto, e P é o comprimento do passo em metros.

• Podemos dizer que esta fórmula serve para todas as pessoas? Alguns

alunos na pressa de resolverem o problema e ficarem livres da tarefa podem não ter assimilado que esta é uma relação aproximada para homens (adultos), portanto não se aplica a todas as pessoas.

Este, também, seria o momento de ressaltar a diferença entre variáveis e incógnitas.

• O que vocês poderiam me dizer a respeito destas letras, são varáveis ou incógnitas? Alguns alunos que não assimilaram a diferença vão ficar em silêncio, pois estão em dúvida, mas, com certeza a resposta: variáveis, surgirá.

• Isso mesmo, n e P são variáveis, pois podem assumir vários, diversos

valores. A partir do momento que a uma delas for atribuído um valor a outra passa a ser incógnita , um termo desconhecido a ser calculado.

Os alunos se dedicam a resolução da primeira questão. Resolução possível da primeira questão

• Se n é o número de passos por minuto e Heitor anda 70 passos por minuto, então n = 70. O problema quer saber o comprimento do passo de Heitor, então P é nossa incógnita.

• Nesta operação temos 70 dividido por um valor desconhecido, cujo

resultado é 140. Analisando esta operação notamos que o dividendo, o valor que se quer dividir, 70 é menor que o quociente, resultado da divisão; é exatamente a metade. Quantas metades tem o valor 70, ele tem 140 metades. Podemos concluir que:

Então P = 0,5 metros ou 50 centímetros Aproveitar para lembrar que o metro é nossa unidade de medida padrão. Os submúltiplos do metro são: o decímetro (10 dm = 1 m); o centímetro (100 cm = 1 m) e o milímetro (1000 mm = 1m). Os múltiplos do metro são: o decâmetro (1 dam = 10 m); hectômetro (1 hm = 100 m) e o quilômetro (1km = 1000 m).

• Outra maneira de resolver esta questão é por meio de proporção.

“Proporção 1. Relação multiplicativa entre duas grandezas, dois números ou duas medidas. Exemplo: a proporção de 3 para 1 entre duas medidas indica que a primeira é o triplo da outra. Também se diz razão de 3 para 1 no lugar de proporção de 3 para 1. 2. Também se define proporção como igualdade entre duas razões. Assim,

é uma proporção e uma equação, assim como .

A proporção anterior pode ser lida assim: 2 está para 3, assim como x está para 6. Por isso, os termos que estão nas pontas da sentença, 2 e 6, são chamados extremos e os termos 3 e x, de meios. Além disso, os termos 2 e x são chamados de antecedentes e os termos 3 e 6, de consequentes.” (IMENES; LELLIS, 1998, p. 252) “PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” (MORI E ONAGA, 1996, p. 169)

• O denominador do 140 é 1. Usando a propriedade fundamental das proporções temos:

• Que número (no caso, o P) multiplicado por 140, resulta 70, esse

número é o resultado da divisão de 70 por 140. Pedir que algum aluno faça esta divisão no quadro, auxiliando-o se precisar. Rever a operação divisão quando o quociente não é um número inteiro.

Resposta: O comprimento do passo de Heitor é de aproximadamente 0,5 m (meio metro) ou 50 centímetros. Enfatizar a importância da escrita da resposta de um problema. Analisar toda a resolução e questionar-se se poderia ser resolvido de outra forma. A professora poderá detectar possíveis dificuldades dos alunos questionando- os ou analisando o que escreveram no “mostre como você resolveu”. Resolução possível da questão 2

• Nesta questão o problema quer saber a velocidade do caminhar de

Bernardo em metros por segundo e em quilômetros por hora. Então, a nossa incógnita agora é n; ao encontrarmos o valor de n, teremos o número de passos que Bernardo caminha em um minuto. O valor de P, o comprimento do passo de Bernardo é 0,80 m.

Evidenciar que 0,80 é igual a 0,8. A esquerda da vírgula está a parte inteira do número que no caso é zero. A direita da vírgula está a parte decimal do número. Partindo da vírgula indo para a direita, cada casa representada é dez vezes menor:

� a primeira casa a direita da vírgula é a casa dos décimos, dez vezes menor que o inteiro (no caso, o metro);

� a segunda casa a direita da vírgula é a casa dos centésimos, cem vezes menor que o inteiro e dez vezes menor que os décimos;

� a terceira casa a direita da vírgula é a casa dos milésimos, mil vezes menor que o inteiro, cem vezes menor que os décimos e dez vezes menor que os centésimos.

O nosso número 0,80 representa: zero inteiros, oito décimos e zero centésimos, é a mesma coisa que 0,8: zero inteiros, oito décimos e nenhum centésimo. Usando a propriedade fundamental das proporções, temos: 1n = 140 . 0,8 n = 112 Alguns alunos quando fazem esta operação colocam como resposta 112,0. Podemos explicar que como a parte decimal do número é zero não há necessidade de escrevê-la.

• 112 é o número de passos que Bernardo caminha em um minuto, o problema questiona a velocidade do caminhar de Bernardo. Sabemos que o comprimento de seu passo é 0,80 metros. Assim:

112 x 0,8 = 89,6 89,6 metros por minuto = 89,6 m/min. Evidenciar as abreviaturas.

• Encontramos a velocidade do caminhar de Bernardo em metros por minuto, o problema questiona também a velocidade em quilômetros por hora.

A professora pode questionar: sabemos a velocidade dele em um minuto, o que precisamos fazer para encontrar a velocidade em uma hora? Quantos minutos tem em uma hora? Espera-se que os alunos respondam que uma hora tem sessenta minutos, então basta multiplicar essa velocidade por 60.

89,6 m/min x 60 = 5376 metros por hora Algum aluno pode questionar que encontramos a velocidade do caminhar de Bernardo em metros por hora, mas essa resposta não satisfaz a pergunta do problema que era em quilômetros por hora.

• O que é preciso fazer para termos essa velocidade em quilômetros por hora? Precisamos transformar os metros em quilômetros. Um quilômetro equivale a mil metros, se temos um valor em metros como podemos transformá-lo em quilômetros? A resposta esperada é dividir esse valor por 1000. Havendo respostas diferentes, voltar a explicar as relações existentes entre o metro e seus múltiplos e submúltiplos.

5376 m/h : 1000 = 5,376 quilômetros por hora Pode-se aproveitar esta operação para rever multiplicação e divisão por 10, 100 e 1000. O número 5376 pode ser decomposto para se efetuar a divisão:

Na operação 5000 dividido por 1000 o resultado é 5 e a fração decimal pode ser transformada em número decimal de modo que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Quanto à resposta desta segunda questão do problema é o momento de se falar em aproximações.

• 5,376 km/h é quase 5,4 km/h, então podemos dizer que a velocidade aproximada do caminhar de Bernardo é 5,4 km/h.

A professora pode retomar alguns momentos da aula em que notou que alguns alunos ficaram com dúvidas; pode pedir que os alunos apontassem suas dúvidas, e solicitar que façam um retrospecto em toda a resolução do problema, para depois elaborarem seus relatórios. 5.3 O problema das moedas Este problema pode ser trabalhado em qualquer série da Educação Básica. É um problema que desperta a curiosidade e a criatividade dos alunos. Nestes 28 anos de magistério constatei que os problemas que envolvem dinheiro têm esta particularidade, os alunos sentem-se atraídos a solucioná-los. Vivemos num mundo capitalista e no imaginário do aluno estes problemas propiciam o manipular de algo essencial para suas vidas. O tempo previsto para o desenvolvimento deste problema em sala de aula é de duas aulas de 50 minutos cada, podendo se prolongar devido o interesse e

questionamento dos alunos. Objetivos - Interpretar pequenos textos. - Construir a noção de valores das coisas e a importância de economizar. - Conjecturar e testar possíveis soluções. - Perceber as tabelas como recurso para organizar informações. - Explorar a situação apresentada, organizando o pensamento algébrico, generalizando e formalizando o conceito de equação. - Resolver sistema de equações de 1º grau. - Realizar as 4 operações fundamentais, analisando os resultados e identificando possíveis erros. - Compreender a importância da escrita da resposta de um problema. Conteúdos - Tratamento da informação: construção de tabelas. - Números racionais. - Sistema Monetário Brasileiro. - Sistema de equações do 1º grau (método da substituição e método da adição). - Operações fundamentais. Desenvolvimento O trabalho pode ser desenvolvido em duplas. A professora combina com os alunos como serão avaliados. Sugere-se que a avaliação desta tarefa seja a reunião organizada das diversas maneiras de resolver o problema, incluindo as reflexões da dupla. Pode-se solicitar um ensaio a respeito das vantagens de se economizar e poupar dinheiro. “É bom que os alunos percebam o que se lhes está pedindo e que saibam, desde o início, os aspectos que irão ser considerados na sua avaliação.” (PONTE, et al, 2009, p. 116) É feita a distribuição de uma folha de papel sulfite com o problema impresso. PROBLEMA DAS MOEDAS Tenho 410 centavos em moedas de 10 e de 50 centavos, num total de 13 moedas. Quantas são as moedas de 10 centavos? E as de 50 centavos? A professora enfatiza a importância da leitura para a compreensão do texto, para que isso aconteça uma só leitura não basta. Muitos alunos acham que uma breve passagem dos olhos sobre o texto lhes permite a compreensão, esta é uma falsa impressão. Assim, a professora auxilia os alunos na compreensão do texto do problema, aproveitando para lembrar alguns conceitos.

• Qual é a quantia de dinheiro que possuo de acordo com o problema? 410 centavos.

• Em nosso dia a dia costumamos dizer 410 centavos? Eu nunca ouvi alguém dizer desta forma.

• Como costumamos dizer?

Os alunos podem ficar em silêncio, porque não têm certeza do que responder e podem temer retaliações dos colegas. Para evitar constrangimentos a professora reformula a pergunta, encaminhando os alunos para uma resposta certa.

• Quantos centavos tem 1 real?

Se ainda assim, eles não souberem, o professor volta a questionar. • Quantas moedas de 10 centavos preciso ter para completar 1 real? Com

10 moedas de 10 centavos tenho 1 real. • Certo. Com 10 moedas de 10 centavos tenho 1 real. 10 vezes 10.

Quantos centavos tem 1 real? Um real tem 100 centavos. A palavra já está dizendo: cen tavos.

O aluno evidencia a primeira sílaba da palavra centavo. • Isso mesmo, 1 real é igual a 100 centavos.

Algum aluno pode concluir que: • É por isso que as pessoas quando têm, por exemplo, 11 moedas de 10

centavos não dizem 110 centavos e sim, 1 real e 10 centavos. • Correto, no problema o valor que possuo é 410 centavos, como

costumamos dizer esse valor? Bom, se 1 real é igual a 100 centavos, 410 centavos são 4 reais e 10 centavos.

A professora pode fazer algumas colocações sobre o nosso sistema monetário. Ao conjunto de normas que define a moeda vigente em nosso país, os parâmetros para sua emissão e conversão chamamos de SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO. Nosso dinheiro já teve vários nomes: real, réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzado, cruzado novo, voltou a ser cruzeiro depois cruzeiro real e hoje o REAL. Temos cédulas de papel com valores: 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 reais e temos moedas com valores: 1, 5, 10, 25, 50 centavos e 1 real. A professora pode mostrar algumas cédulas de papel. Em relação a cédula de dois reais:

• notem que o verso desta cédula de dois reais possui a figura de um animal, é uma tartaruga marinha. Será que as cédulas com outros valores também têm figuras de animais? Como tarefas de casa pesquisem que gravuras estão nas cédulas de outros valores.

Um aluno pode fazer uma observação interessante. • Em cada valor aparece um animal diferente, não me lembro quais são.

Só lembro-me da cédula de 20 reais que é o mico leão dourado.

• No momento dessa discussão o professor pode ainda abordar outros aspectos importante a utilização do dinheiro. Pode ainda lembrar de um ditado que diz: o dinheiro não traz felicidade, mas é necessário que saibamos usá-lo com responsabilidade. Poupar é uma atitude que pode trazer muitos benefícios. Muitas pessoas fazem compras para pagar em longo prazo, não têm noção de que estão pagando juros altíssimos. É importante adquirir o hábito de economizar, de juntar dinheiro para depois realizar um sonho.

Havendo interesse por parte dos alunos, a professora pode prolongar esse assunto, mostrando encartes promocionais de lojas que trazem o preço a vista e o preço a prazo, levando o aluno a perceber que a diferença são juros exorbitantes. Pode-se ainda, expor as vantagens da poupança. • Agora vamos voltar ao nosso problema. Quantos tipos de moedas são

citados? Moedas de 10 e 50 centavos. • Quantas moedas são ao todo? O problema fala em 13 moedas.

Por intermédio da fala do aluno percebe-se que ele trava um diálogo com o problema.

• Qual é a pergunta do problema? Quantas são as moedas de 10 centavos? E as de 50 centavos?

• Exatamente, quantas são as moedas de 10 centavos e quantas são as moedas de 50 centavos para se ter 410 centavos com 13 moedas.

Algum aluno pode achar complicado e mostrar desinteresse. • Não é complicado. Agora sabemos o que estamos procurando.

Escrevam as diferentes maneiras de se ter 410 centavos com moedas de 10 e 50 centavos. Organizem estes dados em um quadro.

• Quadro? • Quadro. Podem fazer uma coluna com a quantidade de moedas de 10

centavos e outra coluna com a quantidade de moedas de 50 centavos que somadas daria 410 centavos.

Após algum tempo as duplas são convidadas a colocarem seus quadro no quadro de giz. Segue um exemplo.

Quantidade de moedas de 10 centavos

Quantidade de moedas de 50 centavos

Soma dos valores das moedas

1 8 1x10 + 8x50 = 410 2 7 2x10 + 7x50 = 370 3 7 3x10 + 7x50 = 380 4 7 4x10 + 7x50 = 390 5 7 5x10 + 7x50 = 400 6 7 6x10 + 7x50 = 410 11 6 11x10 + 6x50 = 410 16 5 16x10 + 5x50 = 410 21 4 21x10 + 4x50 = 410

26 3 26x10 + 3x50 = 410 31 2 31x10 + 2x50 = 410 36 1 36x10 + 1x50 = 410

• Analisando a tabela encontramos a solução para o problema. Só há uma

maneira de se ter 410 centavos com 13 moedas sendo elas de 10 e 50 centavos.

A professora faz uma solicitação. • Escrevam detalhadamente como chegaram a esta solução.

Trabalhando com alunos que cursam até o 6º ano a resolução do problema pode se encerrar aqui. Para alunos de 7º ano em diante, a continuidade seria por meio da álgebra.

• Poderíamos resolver este problema de outra forma? Utilizando a álgebra?

• Usando letras? • Exatamente, usando letras. Queremos saber a quantidade de moedas

de dez centavos e a quantidade de moedas de cinquenta centavos. Teremos duas incógnitas. Que letras podem ser usadas?

• Podemos usar qualquer letra, não é mesmo? Então que tal usar a letra d para as moedas de dez centavos e a letra c para as moedas de cinquenta centavos?

• Tudo bem. Vamos anotar.

d ���� número de moedas de dez centavos c ���� número de moedas de cinquenta centavos

• Qual é o número total de moedas? São 13 moedas ao todo. • Como podemos escrever algebricamente que a soma do número de

moedas de dez centavos com o número de moedas de cinquenta centavos é igual a 13. Pode ser assim?

No quadro o aluno escreve: d + c = 13

• Quero que vocês analisem o texto do problema e me digam que outra informação, ou outro dado que o problema traz? A outra informação é que são 410 centavos.

• Os valores das moedas somam 410 centavos. Vamos pensar: o número das moedas de dez centavos vezes dez somados ao número de moedas de cinquenta centavos vezes cinquenta é igual a 410. Vou escrever no quadro (um aluno pode se oferecer).

10d + 50c = 410 • Temos um sistema de equações. Precisamos encontrar dois números

cuja soma seja 13 e o primeiro multiplicado por dez, somado ao produto do outro com cinquenta seja 410.

• Temos um sistema de equações com duas incógnitas, para encontrar os seus valores precisamos encontrar primeiro o valor de uma e depois será fácil encontrar o valor da outra incógnita. Podemos encontrar o valor de uma letra usando o método da substituição?

• Existem outros métodos para encontrar os valores das incógnitas, o método da substituição é um deles.

A professora escreve o sistema no quadro e explica o início da resolução deixando que eles façam sozinhos.

� 10d

• Isolamos uma das incógnitas na primeira equação e vamos substituí-la na segunda equação: 10 (13 – c) + 50c = 410

• Lembrem-se o 10 está multiplicando tudo que está dentro dos parênteses: 10 vezes o 13 e 10 vezes o menos c. Encontrem o valor de c e depois o valor de d.

c

c = 7 Se d = 13 – c , então d = 13 – 7 d = 6 Resposta: São 7 moedas de cinquenta centavos e 6 moedas de dez centavos, pois 7 x 50 = 350 6 x 10 = 60, 350 + 60 são 410, solução que satisfaz todas as condições do problema.

• Podemos ainda, resolver esse sistema pelo método da adição. Neste método, somamos as duas equações do sistema, mas para que possamos encontrar os valores das incógnitas, uma delas deve ser nula após a soma. Nas equações se multiplicarmos ou dividirmos todos os seus termos, ela não se modifica, a igualdade permanece. Assim:

c + d = 13 multiplicando todos os termos por (-10), temos:

somando estas duas equações, temos: 0c + 40 d = 280 d = 7

Dessa forma, chega-se ao mesmo resultado da resolução anterior, se alguma dupla não conseguir, a professora precisa descobrir quais suas dificuldades. 6. REFERÊNCIAS

BURIASCO, R. L. C. Disciplina avaliação da aprendizagem matemática . Universidade Estadual de Londrina, 2011. BURIASCO, R. L. C. Didática da Matemática 2Mat035 – Universidade Estadual de Londrina, 2011.66p.

D’AMBROSIO, U. Por que se ensina Matemática? Disciplina à distância, oferecida pela SBEM. http://www.ciadaescola.com.br/eventos/reuniao2004/natureza/pos/por-que-se-ensina-matematica.pdf

GRAVEMEIJER, K.P.E. What makes mathematics so difficult, and what can we do about it? In SANTOS, L., CANAVARRO, A.P. e BROCARDO, J. (Eds.), Educação matemática: Caminhos e encruzilhadas (pp. 83-101). Lisboa: APM, 2005. HOUAISS, A. Minidicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 2010, 4ª. edição, 956 p. IMENES, L. M., LELLIS, M. Microdicionário de Matemática . São Paulo: Editora Scipione, 1998, 351 p. JAKUBOVIC, J. Par ou Ímpar. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Editora Scipione Ltda, 1995, 48 p. MORI, I., ONAGA, D. S. Matemática Ideias e Desafios. São Paulo: Editora Saraiva, 1996, 5ª. série, 28p. PONTE, J. P., BROCARDO, J., OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009. 157p.

SODRÉ, U. Matemática Essencial: Fundamental: Criterios de d ivisibilidade http://pessoal.sercontel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm#

m103b04 – Atualizada em 24/mar/2005