Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Unâintroduzione alla meccanica quantisticaper le secondarie
Camillo Imbimbo
Genova, Gen-Feb, 2016
Progetto Lauree ScientificheDipartimento di Fisica dellâUniversitĂ di Genova
https://www.ge.infn.it/ imbimbo/PLS2016/
1 / 253
Il programma delle lezioni
Lezione 1: La crisi della fisica classicaLa stabilitĂ dellâatomoLâeffetto fotoelettricoLâeffetto ComptonGli spettri atomici
Lezione 2: Il dualismo onda-particellaLâ atomo di BohrLa lunghezza dâonda di De BroglieLa diffrazione delle particelleLa regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld
Lezione 3: La Meccanica StatisticaLa distribuzione di BoltzmannIl teorema di equipartizione e i calori specificiLa meccanica statistica quantisticaIl corpo nero e la catastrofe ultraviolettaLa distribuzione di Planck
2 / 253
Il programma delle lezioni
Lezione 4:Il principio di interderminazioneLa funzione dâondaLâequazione di SchrĂśdinger
3 / 253
Quarta lezione
4 / 253
Una teoria di successo ma insoddisfacente
Nonostante il successo della teoria di Bohr-Sommerfeldnello spiegare un gran numero di fatti sperimentali, la teorianon sembra completamente soddisfacente sul piano logico.Quello che abbiamo visto nelle sezioni precedenti è che cisono alcune situazioni fisiche in cui le ondeelettromagnetiche manifestano un comportamentocorpuscolare (effetto fotoelettrico, effetto Compton) ed altresituazioni fisiche in cui le particelle come gli elettroniesibiscono una natura ondulatoria (esperimento di Davissone Germer).
5 / 253
Il dualismo onda-corpuscolo
Ma i due concetti fisici â quello di onda e quello diparticella â sembrano, a prima vista, essere non soltantomolto diversi tra loro, ma per certi versi, incompatibili.Vogliamo approfondire questo apparente conflitto fracomportamento ondulatorio e comportamento corpuscolareper capire in che modo la meccanica quantistica evita unapotenziale contraddizione logica 1.
1La discussione che segue è largamente inspirata da quella in La Fisica diFeynman, Vol. 3, di R. P. Feynman, R. B. Leighton e M. Sands,(1975) InterEuropean Editions, B.V.
6 / 253
Lâesperimento delle due fenditure
Il fenomeno caratteristico delle onde, che piĂš chiaramentene evidenzia la differenza con le particelle, è quello delladiffrazione.Consideriamo pertanto uno schermo con due fenditure A eB ed una sorgente posta da un lato dello schermo ed unrivelatore costituito da un piano posto ad una distanza Ldallâaltro lato dello schermo con le due fenditure.
7 / 253
Lâesperimento con le due fenditure per pallineclassiche
Figura 1: Un esperimento con palline classiche.
8 / 253
Lâesperimento con le due fenditure per delle ondeclassiche
Figura 2: Un esperimento con onde.
9 / 253
Un confronto
Confronteremo tra loro le due situazioni in Fig. 17 in cui lasorgente emette palline e quella in Fig. 18 in cui la sorgenteemette onde.Il rivelatore misurerĂ il flusso il numero di particelle olâintensitĂ dellâonda in arrivo sullo schermo, come funzionedella posizione x lungo il piano.
10 / 253
Energia ed impulso a blocchi
Consideriamo dapprima il caso in cui la sorgente emette intutte le direzioni, in modo casuale, ma ad un ritmo uniformenel tempo, particelle classiche (proiettili di un fucile, peresempio) tutte uguali tra loro ed indistruttibiliParte di queste particelle passeranno attraverso le fenditurenello schermo per essere rivelate sul piano posto a distanzaL dallo schermo con le due fenditure.Il rivelatore misurerĂ lâarrivo di particelle a blocchi, ovvero, orivelerĂ ad un dato istante lâarrivo di una particella (sottoforma di energia e impulso) o non rivelerĂ nulla.
11 / 253
Il flusso di palline sullo schermo
Indichiamo con NA(x) (NB(x)) il numero di particelle chearrivano nel punto x in un certo intervallo di tempo, quandola fenditura A (rispettivamente B) è aperta mentre lafenditura B (rispettivamente, A) è chiusa.Indichiamo con NAB(x) il numero di particelle in arrivo nellostesso intervallo di tempo nella posizione x quandoambedue le fenditure sono aperte. Ci aspettiamo, perpalline classiche del genere descritto, che
NAB(x) = NA(x) + NB(x)
12 / 253
Le palline passano o da A o da B
Infatti le NAB(x) particelle che arrivano in x quandoambedue le fenditure sono aperte possono essere divise trale particelle che sono passate attraverso la fenditura A equelle che sono passate attraverso B.Ma il numero di particelle che sono passate attraverso A èuguale (in media) al numero di palline che passanoattraverso A quando la fenditura B è chiusa, che abbiamodenotato con NA(x).Analogamente il numero di particelle che arrivano in xessendo passate per B quando le due fenditure sono aperteè (in media) uguale a NB(x).
13 / 253
Le palline non interferiscono
Da questo consegue che
NAB(x) = NA(x) + NB(x)
.Un modo di esprimere questa relazione è di dire che ilflusso di particelle classiche attraverso le due fenditure nonmostra interferenza.Si noti che la possibilità di distinguere, in linea di principio,le palline passate da A e da B poggia sul fatto che le pallineseguono delle traiettorie nello spazio, anche se non sempresiamo interessati o in grado di calcolarle.
14 / 253
Il flusso delle onde
Consideriamo ora il caso in cui la sorgente emette delleonde, che supponiamo essere monocromatiche ovvero dilunghezza dâonda Îť fissata.Il rivelatore misurerĂ in questo caso lâintensitĂ del flussoondoso in arrivo in x .Questa grandezza è una grandezza continua e non discreta,diversamente dal caso delle particelle.
15 / 253
Le onde interferiscono
Indichiamo con IA(x) (rispettivamente IB(x)) lâintensitĂ delflusso ondoso in arrivo nel punto x , quando la fenditura A(rispettivamente B) è aperta mentre la fenditura B (A) èchiusa.Indichiamo con IAB(x) lâintensitĂ del flusso ondoso in arrivonel punto x quando ambedue le fenditure sono aperte.Ă caratteristico dei fenomeni ondosi che
IAB(x) 6= IA(x) + IB(x)
16 / 253
La matematica dellâinterferenza
BenchÊ il comportamento ondulatorio differiscamarcatamente da quello corpuscolare la matematica che logoverna non è molto piÚ complicata.La formula per IAB(x) è
IAB(x) = IA(x) + IB(x) + 2â
IA(x) IB(x) cos δAB(x)
17 / 253
Lo sfasamento
Lâangolo δAB(x) è determinato dalla differenza tra i percorsidelle onde emesse da A e da B per arrivare in x .Se chiamiamo LA(x) e LB(x) rispettivamente le lunghezzedei percorsi delle onde che partono da A e da B ed arrivanoin x , allora
δAB(x) = 2Ď(LA(x)â LB(x))
Îť
18 / 253
Una formula complessa
La formula per lâintensitĂ IAB(x) può essere riscritta in unmodo molto conveniente facendo uso dei numeri complessi.Associamo alle onde che passano rispettivamente per A eper B i due numeri complessi
ĎA(x) =â
IA(x) ei δA(x) ĎB(x) =â
IB(x) ei δB(x)
dove
δA(x) = 2ĎLA(x)
ΝδB(x) = 2Ď
LB(x)
Îť
19 / 253
Le ampiezze complesse
ĎA,B(x) sono chiamate le ampiezze (complesse) delle ondepassanti per A e per B rispettivamente.Le intensitĂ corrispondenti si ottengono dalle ampiezzeprendendo i moduli quadri delle ampiezze:
IA(x) =âŁâŁĎA(x)
âŁâŁ2 IB(x) =âŁâŁĎB(x)
âŁâŁ2La relazione di interferenza si riscrive in modo semplice intermini delle ampiezze complesse
IAB(x) =âŁâŁĎA(x) + ĎB(x)|2
20 / 253
Le ampiezze delle onde si sommano
Quindi, se ĎA(x) (rispettivamente ĎB(x)) è lâampiezzadellâonda che arriva in x quando solo la fenditura A(rispettivamente B) è aperta, lâampiezza dellâonda che arrivain x quando ambedue le fenditure sono aperte è
ĎAB(x) = ĎA(x) + ĎB(x)
Possiamo sintetizzare questa discussione dicendo che, perle onde, non si sommano le intensitĂ ma si sommano leampiezze (complesse).
21 / 253
Una variante dellâesperimento di Davisson e Germer
Discutiamo ora quello che succede quandonellâesperimento delle due fenditure descritto nellasottosezione precedente la sorgente emette particellequantistiche: elettroni, protoni, neutroni, fotoni etc.
Figura 3: Un esperimento con particelle quantistiche.
22 / 253
Energia/impulso delle particelle quantistiche a blocchi
Da un lato risulta sperimentalmente che il rivelatore diparticelle quantistiche misura lâarrivo di energia ed impulsoa âblocchiâ, come per le particelle classiche.Ogni particella risulterĂ uguale ad un altra (rilascerĂ lastessa energia e lo stesso impulso) e il rivelatore nonmisurerĂ mai lâarrivo di una frazione o di un multiplo diparticella.Da questo punto di vista le particelle quantistichetrasportano energia ed impulso in maniera discreta, in unitĂ tutte identiche tra loro: sono corpuscoli, come le pallineclassiche considerate nella sottosezione precedente.
23 / 253
Le particelle quantistiche interferiscono
Dâaltro lato, sperimentalmente (esperimento di Davisson eGermer e tutta una serie di esperimenti successivi simili aquesto che stiamo descrivendo), risulta anche che laformula per il numero medio di particelle NAB(x) chearrivano in x quando ambedue le fenditure sono aperte nonè la somma di NA(x) e NB(x).Piuttosto vale una relazione come la seguente
NAB(x) = NA(x) + NB(x) + 2â
NA(x) NB(x) cos δAB(x)
24 / 253
Un paradosso
Per esempio, ci sono punti x dello schermo â quelli per iquali δAB(x) = Ď â dove, quando ambedue le fendituresono aperte, arrivano meno particelle di quando è apertauna sola fenditura!A prima vista questo fatto sperimentale sembra esserelogicamente incoerente.
25 / 253
Per dove passano le particelle
Visto che le particelle quantistiche sono, come abbiamodetto, discrete e che non si dividono in due sembra intuitivopensare che le particelle che arrivano in x , quando sia Ache B sono aperte, passino o per A o per B.Ma se cosĂŹ fosse, per lo stesso ragionamento che abbiamofatto nel caso delle particelle classiche, dovrebbenecessariamente risultare che
NAB(x) = NA(x) + NB(x)
26 / 253
Un flusso di particelle rarefatto
Per esseri sicuri che il numero di particelle che arriva in xpassando per A quando B è aperta è lo stesso (in media) diquello che arriva in x quando B è chiusa, possiamo usareun flusso di particelle molto rarefatto in modo che leparticelle passino attraverso lo schermo, in media, una allavolta.Anche questa variante dellâesperimento è fisicamenterealizzabile (ed è stata realizzata).Il risultato è che, se aspettiamo un tempo sufficientementelungo, risulta che la formula valida, per le particellequantistiche, è ancora quella che mostra interferenza.
27 / 253
Una deduzione logica
La conclusione di questo è che, per le particellequantistiche, non può essere vero che, quando ambedue lefenditure sono aperte, le particelle passino o per A o per B.
Quando ambedue le fenditure sono aperte non si può direesattamente per dove le particelle passino.
28 / 253
Le ampiezze per particelle
Possiamo però dire precisamente in che modo laâsituazione fisicaâ2 delle particelle che arrivano in x quandoambedue le fenditure sono aperte sia collegata alleâsituazione fisicheâ in cui solo una fenditura è aperta.Anche in questo caso possiamo introdurre dei numericomplessi definiti da
ĎA(x) =â
NA(x) ei δA(x) ĎB(x) =â
NB(x) ei δB(x)
δA(x) = 2ĎLA(x)
ΝδB(x) = 2Ď
LB(x)
Îť
Îť =hp
che chiameremo ampiezze.
2In meccanica quantistica questa viene indicata col nome di stato fisico osemplicemente stato.
29 / 253
Ampiezze e flusso di particelle
ĎA(x) e ĎB(x) sono le ampiezze che descrivono lasituazione fisica in cui solo una delle fenditure è aperta.Le ampiezze sono collegate alle grandezze misurabili, inumeri di particelle NA(x), NB(x) e NAB(x), dalle relazionianaloghe a quelle valide per le onde
NA(x) = |ĎA(x)|2 NB(x) = |ĎB(x)|2
30 / 253
Le ampiezze si sommano
La âsituazione fisicaâ â lo stato â delle particelle chearrivano in x quando ambedue le fenditure sono aperte èdescritta dalla ampiezza data da
ĎAB(x) = ĎA(x) + ĎB(x)
Il flusso corrispondente è
NAB(x) = |ĎAB(x)|2 = |ĎA(x) + ĎB(x)|2
Il fatto che le ampiezze della meccanica quantistica sisommino, cioè che le ampiezze siano elementi di unospazio lineare, è la proprietĂ fondamentale sulla quale ècostruito tutto lâedificio matematico della meccanicaquantistica.
31 / 253
Un problema di principio o pratico?
Siamo arrivati alla conclusione che nella situazione fisica(nello stato) in cui le due fenditure sono ambedue apertenon possiamo dire che le particelle che arrivano in xpassano o da A o da B.Può sembrare però che questa impossibilitĂ abbia a chefare con il modo in cui abbiamo costruito lâesperimento epossa essere facilmente superata.
32 / 253
Un esperimento modificato
Supponiamo infatti di porre un rivelatore nelle vicinanzedello schermo forato, posto tra le due fenditure.Supponiamo che questo rivelatore sia una specie dimacchina fotografica, in grado di stabilire attraverso un flashluminoso, al passaggio di una particella attraverso loschermo, la fenditura attraverso la quale la particella èpassata.Uno strumento di questo tipo è fisicamente realizzabile.
33 / 253
Lâesperimento con particelle quantistiche e rivelatore
Figura 4: Lâesperimento quantistico modificato.
34 / 253
Lâinterferenza sparisce
Immaginando di modificare lâesperimento in questo modo,saremmo quindi in grado di stabilire, per ogni particella chearriva in x , per quale delle due fenditure essa sia passata.Come abbiamo giĂ argomentato, ne consegue per meralogica che in questo esperimento modificato dovrĂ valere
NAB(x) = NA(x) + NB(x)
E questo è proprio quello che si verifica sperimentalmente:modificando nel modo descritto lâesperimento, non siosservano piĂš frange di interferenza!
35 / 253
Un esperimento troppo distruttivo
La macchina fotografica che abbiamo utilizzato perosservare attraverso quale fenditura passano le particellaha disturbato, con il suo flash, le particelle al punto dacambiare il risultato dellâesperimento.La domanda che si pone è se sia possibile, in linea diprincipio, utilizzando una macchina fotografica con un flashmeno forte, osservare il passaggio delle particelleattraverso lo schermo in modo sufficientemente delicato danon distruggere le frange di interferenza.
36 / 253
Un rivelatore classico
Se la luce necessaria per far funzionare la nostra macchinafotografica fosse una onda elettromagnetica classica questosarebbe certamente possibile.Per poter osservare da quale apertura una particella passiabbiamo bisogno di una luce con lunghezza dâonda Îťluceminore della separazione d tra le due fenditure:
Îťluce . d
Per una onda elettromagnetica classica è possibile ridurrelâintensitĂ , ovvero lâampiezza dellâ onda, in modo arbitrario,mantenendo fissa Îťluce.
37 / 253
Anche i rivelatori sono quantistici
Pertanto, se la luce fosse descritta dalla fisica classica,potremmo disturbare la particella in modo arbitrariamentepiccolo, pur preservando la possibilità di determinare perquale fenditura essa passi.Se avessimo a nostra disposizione una ondaelettromagnetica classica saremmo quindi in grado diosservare le frange di interferenza e, allo stesso tempo,determinare attraverso quale fenditura le particelle chearrivano in x sono passate, una cosa logicamenteimpossibile.Ma (fortunatamente per la coerenza della teoria quantistica)la luce non è una onda elettromagnetica classica.
38 / 253
Anche i rivelatori sono quantistici
Abbiamo visto, nellâanalisi dellâeffetto fotoelettrico, che laluce è essa stessa composta da particelle quantistiche, ifotoni, il cui impulso è dato dalla formula di Einstein
pfotone =h
Îťluce
Pertanto se Îťluce . d , cosĂŹ da essere in grado dideterminare la fenditura attraverso la quale è passata laparticella, lâimpulso del fotone non può esserearbitrariamente piccolo:
pfotone &hd
39 / 253
Un impulso minimo
Per poter osservare la particella con la nostra macchinafotografica è necessario che essa diffonda un fotone.Per la conservazione del momento, il momento dellaparticella quantistica subirĂ una perturbazione âpparticellache sarĂ dello stesso ordine di grandezza dellâimpuso delfotone diffuso:
âpparticella âź pfotone &hd
40 / 253
Una perturbazione minima allâangolo
Pertanto, affinchĂŠ la nostra macchina fotografica sia ingrado di determinare per quale fenditura passa la particella,essa dovrĂ perturbare la direzione di moto della particella diun angolo âθpert che non può essere arbitrariamentepiccolo
âθpert =âpparticella
pparticella&
hd pparticella
=Îťparticella
d
dove Îťparticella è la lunghezza dâonda di De Broglie dellaparticella.Dimostreremo ora che questa perturbazione è esattamentequella sufficiente a distruggere le frange di interferenza.
41 / 253
Le frange di interferenza
Determiniamo preliminarmente dove si troverebbero lefrange di interferenza se lâ esperimento fosse effettuatosenza la macchina fotografica, ovvero senza poterosservare attaverso quale fenditura passa ciascunaparticella. La situazione è descritta in Fig. 21.
42 / 253
Diffrazione attraverso due fenditure
Figura 5: Diffrazione attraverso due fenditure.
43 / 253
La differenza dei percorsi ottici
L è la distanza tra lo schermo dove riveliamo le frange e loschermo con le due fenditure. x è la posizione del puntodello schermo dove misuriamo lâinterferenza.La differenza tra le lunghezze dei percorsi di due onde chearrivano nello stesso punto dello schermo passandoattraverso due fenditure poste a distanza d è
âL = d sin θxL⥠tan θ
44 / 253
La condizione di interferenza
I massimi delle frange di interferenza sono determinatiquindi dalla condizione che âL sia uguale ad un numerointero n di lunghezze dâonda:
d sin θn = n Νparticella
45 / 253
Unâapprossimazione per schermi lontani
Per L grande e θ piccolo otteniamo la seguente relazioneapprossimata per gli angoli corrispondenti ai massimi diinterferenza
θn ⟠nΝparticella
d
La differenza âθfrange tra gli angoli corrispondenti a duefrange di interferenza contigue è pertanto pari a
âθfrange âźÎťparticella
d
46 / 253
Le frange rovinate
Ricordando la perturbazione minima âθpert âźÎťparticella
dnecessaria per determinare per dove è passata la particella,notiamo che
âθpert & âθfrange
Questo significa che per poter determinare da qualefenditura è passata una particella dobbiamo perturbare lasua direzione di un angolo âθpert che è almeno dello stessoordine di grandezza dellâangolo âθfrange che separa duefrange di intereferenza.
47 / 253
Il principio di indeterminazione
Concludiamo che per poter osservare da che fenditurapassa la particella dobbiamo necessariamente perturbarlain maniera tale da distruggere le frange di interferenza.La conclusione è che non è possibile osservare le frange diinterferenza e, allo stesso tempo, determinare attraversoquale fenditura passano le particelle.Questa impossibilità è conosciuta come principio diindeterminazione di Heisenberg (1927).Come abbiamo visto essa è una conseguenza diretta delfatto che la luce che usiamo per determinare la posizione diuna particella, è essa stessa composta da particellequantistiche e soddisfa la relazione di Einstein.
48 / 253
Una formulazione diversa
Il principio di indeterminazione è equivalentementeformulato come lâimpossibilitĂ di misurare simultaneamenteposizione e momento di una particella con precisionearbitraria.Si consideri infatti di nuovo la relazione
âpparticella âĽhd
In questa relazione d rappresenta la risoluzione âx con cuimisuriamo la posizione della particella.âpparticella è lâindeterminazione âpx nella conoscenza delmomento della particella lungo la stessa direzione di âx .
49 / 253
Osservabili incompatibili
Pertanto pertanto riscrivere la relazione precedente come
âpx âx & h
Questa relazione dice che non possiamo misurare conprecisione arbitraria la coordinata di una particella senzaridurre la precisione con cui possiamo misurare ilcorrispondente momento.E viceversa che non possiamo determinare il momento diuna particella con precisione arbitraria senza perdereprecisione nella determinazione della sua posizione.
50 / 253
Le orbite non esistono
Si dice che momento e posizione sono osservabili noncompatibili in meccanica quantistica.In meccanica quantistica quindi il concetto di traiettoriaperde senso.Esso viene sostituito dal concetto di ampiezza, quei numericomplessi Ď(x) che abbiamo introdotto nella discussioneprecedente.
51 / 253
Un dualismo coerente
Unâaltra implicazione del principio di indeterminazione è ilcarattere inerentemente probabilistico della descrizione deifenomeni fisici della meccanica quantistica. Questacircostanza è uno dei punti di partenza per la formulazionedella teoria quantistica âcompletaâ.In definitiva il principio di indeterminazione è il fatto fisicoche risolve la apparente contraddizione tra lâaspettocorpuscolare e quello ondulatorio delle particellequantistiche, e che quindi, in definitiva, garantisce lacoerenza logica della teoria quantistica.
52 / 253
La funzione dâonda
Nella descrizione dellâesperimento delle due fenditureabbiamo visto che lo stato di una particella quantistica èdescritto da una ampiezza complessa
Ď(x) =â
N(x) e2Ď i L(x)
Îť =â
N(x) e2Ď i L(x) p
h
dove L(x) era il cammino percorso dalla particella e Îť è lalunghezza dâonda di De Broglie.Questo numero complesso come funzione del punto x èchiamata la funzione dâonda della particella.Abbiamo visto che il modulo quadro della funzione dâonda
|Ď(x)|2
ha il significato fisico di (densitĂ ) di probabilitĂ che laparticella si trovi in un dato punto x .
53 / 253
La funzione dâonda di una particella libera
Possiamo riscrivere il fattore che compare nellâesponentedella funzione dâonda in notazione vettoriale
p L(x) = ~p ¡ ~x
il vettore ~x indica il punto nel spazio.Per una particella che si muove liberamente nello spazio,senza incontrare schermi o altro, ci aspettiamo che N(x) siauna costante.In definitiva la funzione dâonda di una particella libera nellospazio che si muove con impulso ~p è
Ď(~x) = Ď0 ei ~p¡~x~
54 / 253
La dipendenza temporale della funzione dâonda
La funzione Ď(x) descrive quindi lâonda associata allaparticella ad un dato istante di tempo.Ma la nostra esperienza con le onde è che queste sipropagano nel tempo oltre che nello spazio: la dipendenzatemporale dellâonda dal tempo è detta la frequenzadellâonda:
Ď(x , t) = Ď(x) eâi Ď t
Quale frequenza quindi dobbiamo associare ad unafunzione dâonda, per descriverne la sua evoluzionetemporale?
55 / 253
La frequenza di una particella
Sappiamo la risposta a questa domanda nel caso dei fotoni:è contenuta nella relazione di Einstein
Ď =E~
Abbiamo visto che fotoni e particelle come elettroni, protonietc. si comportano nello stesso modo.Possiamo quindi supporre che questa relazione abbiavaliditĂ generale e che in definitiva la funzione dâondadipendente dal tempo di una particella che si muove conmomento ~p ed energia E sia
Ď(x , t) = Ď0 ei (~p¡~xâE t)~
56 / 253
Le derivate della funzione dâonda
Confrontiamo le derivate della funzione dâonda appenascritta rispetto a ~x e rispetto al temp
~â2 Ď(x , t) = â~p2
~2 ei (~p¡~xâE t)~ Ď0
â Ď(x , t)ât
= âiE~
ei (~p¡~xâE t)~ Ď0
Per una particella non-relativistica
E =~p2
2 m
57 / 253
Unâequazione differenziale
La funzione dâonda di una particella di momento ~p edenergia E soddisfa pertanto lâ equazione differenziale:
i ~â Ď(x , t)
ât= â~2 ~â2
2 mĎ(x , t)
Questa equazione cattura in definitiva sia la relazione di DeBroglie per la lunghezza dâonda associata ad una particelladi momento ~p che la relazione di Einstein tra frequenza eenergia.
58 / 253
Una particella in un potenziale
Come nel caso della regola di Bohr-Sommerfeld siamointeressati a generalizzare questa equazione al caso di unaparticella non-libera. Per esempio una particella che simuove in un potenziale V (~x).Per una particella libera il secondo membro dellâequazioneottenuta è uguale a
â~2 ~â2
2 mĎ(x , t) =
~p2
2 mĎ(x , t)
59 / 253
Lâequazione di SchrĂśdinger
Osserviamo che nel caso libero ~p2
2 m = E , mentre nel casonon-libero
E =~p2
2 m+ V (~x)
Questa osservazione suggerisce quindi che lâequazione chedetermina la funzione dâonda nel caso di una particella chesi muove in un potenziale sia
i ~â Ď(x , t)
ât=[â~2 ~â2
2 m+ V (~x)
]Ď(x , t)
60 / 253
Le funzioni dâonda con energia definita
Abbiamo detto che la relazione di Einstein Ď = E~ dice che
una particella di energia determinata E ha anche unafrequenza determinata:
ĎE (x , t) = eâi E t~ ĎE (x)
dove ĎE (x) non è il semplice esponenziale di De Brogliequando la particella non è libera.Per questi stati quindi, lâequazione di SchrĂśdinger diventa
E ĎE (x) =[â~2 ~â2
2 m+ V (~x)
]ĎE (x)
61 / 253
I livelli discreti
Lâequazione di SchrĂśdinger per le funzioni dâonda di energiafissata è unâequazione differenziale per ĎE (x).Risulta che questa equazione non ha in generale soluzionifisicamente accettabili per tutti i valori dellâenergia E .Solo per dei valori discreti dellâenergia E esistonoeffettivamente delle soluzioni accettabili.Questo è il modo in cui nella teoria quantistica âcompletaâemerge â e viene corretta â la condizione diquantizzazione dei livelli di Bohr-Sommerfeld.
62 / 253
Particella nella scatola
Nel caso di una particella in una scatola uni-dimensionalelâequazione di SchrĂśdinger per le funzioni dâonda conenergia fissata diventa
~2 Ďâ˛â˛E (x)
2 m+ E ĎE (x) = 0
La soluzione generale di questa equazione è
ĎE (x) = A sinp x~
+ B cosp x~
dove
p =â
2 m E
63 / 253
Le condizioni al contorno
La particella è confinata nella scatola: la probabilitĂ ditrovarla fuori dalla scatola è nulla.La probabilitĂ di trovare la particella è proporzionale almodulo quadro della funzione dâonda.Quindi la funzione dâonda si deve annullare sul bordo dellascatola
ĎE (0) = 0 ĎE (L) = 0
64 / 253
Le soluzioni accettabili
La prima condizione dĂ
ĎE (0) = B = 0
La seconda quindi si riduce a
A sinp L~
= 0
La soluzione di questa equazione è
pn =â
2 m En =n ĎL
n = 1,2, . . .
65 / 253
I livelli ritrovati
Ritroviamo cosĂŹ i livelli della scatola che avevamo ottenutodalla regola di BS
En =n2 Ď2
2 m L2 n = 1,2, . . .
Si noti che abbiamo anche determinato che n parte da 1, inquanto per n = 0 la funzione dâonda sarebbe identicamentenulla.Contrariamente al caso classico, lo stato di energia minimapertanto non ha energia nulla: questo è un risultatogenerale conseguenza del principio di indeterminazione.(Cfr. Problema di autovalutazione).
66 / 253
La distribuzione spaziale
Lâequazione di SchrĂśdinger non si limita a darci i livellienergetici. Abbiamo visto che |Ď(x)|2 è proporzionale alladensitĂ di probabilitĂ spaziale.Una particella con energia En, ha pertanto una probabilitĂ âPn(x) di trovarsi in un intervallo âx intorno al punto x delsegmento pari a
âPn(x) =2L
sin2 Ď n xL
âx
Il fattore di normalizzazione 2L è fissato dalla richiesta che⍠L
0 âx âPn(x)âx = 1.
67 / 253
Gli stati di energia determinata in una scatola
Figura 6: Le funzioni dâonda di energia determinata, le densitĂ diprobabilitĂ spaziale ed i livelli energetici di una particella in una scatola.
68 / 253
Concetti coinvolti
Interferenza.Numeri complessi: fase e modulo di un numero complesso.Equazioni differenziali di una funzione dipendente da 1variabile a coefficienti costanti.
69 / 253
Problemi per lâautovalutazione
Un fascio di elettroni di energia cinetica E = 50eV vienediviso in due raggi paralleli posti a differenze altezze rispettoalla superficie della terra. Se la differenza tra le altezze è did = 1m, e se si fanno interferire i due fasci dopo unpercorso di lunghezza L, per quali valori di L ci sarĂ interferenza distruttiva?Si usi il principio di indeterminazione per avere una stimadello stato di energia minima per un potenziale V (x) = Ď |x |.
70 / 253
Letture consigliate
La Fisica di Feynman, Vol. 3, R. P. Feynman, R. B. Leightone M. Sands, (1975) Inter European Editions, B.V.Lezioni di Meccanica Quantistica, L.E. Picasso, EdizioniETS, (2000) Pisa.
71 / 253
Fine della quarta lezione
72 / 253