Upload
faye
View
566
Download
24
Embed Size (px)
Citation preview
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
1/23
Unit 10 Nombor Kompleks |271
UNIT PELAJARAN 10
NOMBOR KOMPLEKS
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengenal pasti dan membezakan nombor khayalan dan nombor kompleks.
2.
Melakukan operasi terhadap nombor kompleks.
3. Menyatakan konjugat nombor kompleks dan melakukan operasi; penambahan,
pengurangan, pendaraban dan pembahagian (operasi yang melibatkan
konjugat).
4. Menyelesaikan persamaan yang melibatkan nombor kompleks.
.
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
2/23
Matematik Asas|272
PENGENALAN
ernahkah anda berhadapan dengan persamaan seperti x22x + 5, yang mempunyai
punca kuasa dua nombor negatif? Kewujudan nombor kompleks adalah sangat
penting dalam bidang kejuruteraan, hidrodinamik dan aerodinamik, di mana
persamaan seperti ini selalu timbul dan memerlukan penyelesaian yang bukan
sahaja melibatkan nombor nyata tetapi juga nombor khayalan. Contoh persamaan kuadratik yang
tidak mempunyai punca nyata ialah seperti berikut:
2
162
2
4(1)(5)42x .
Euler telah memperkenalkan nombor-nombor khayalan pada 1748 M. Mari kita lihat pada nombor-
nombor seperti 4 dan 8 . Nombor-nombor ini dengan mudahnya boleh ditulis jika kita
wujudkan satu nombor di mana nilai kuasa duanya ialah -1. Inilah yang dinamakan nombor khayalan.
P
Layari Laman Web berikut untuk mengetahui mengenai nombor kompleks:
http://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.html
http://www.purplemath.com/modules/complex.htm
http://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.htmlhttp://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.htmlhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.html7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
3/23
Unit 10 Nombor Kompleks |273
10.1 NOMBOR KHAYALAN DAN NOMBOR KOMPLEKS
a) Nombor Khayalan
Takrif
i 2= 1 atau i = 1
Kuasa bagi iboleh diungkapkan dalam sebutan 1 dan juga I, seperti di bawah:
i2=1
i3= i2 (i) =i
i4= i2( i2) = (1)(1) = 1
i5= i4( i) = (1)(i) = i
Kuasa dua nombor nyata ialah satu nombor positif.
22= 4 (3)2= 9
Tetapi jika
1x2
Maka 1x
Tiada nombor nyata yang memenuhi persamaan di atas . Maka, 1 bukan nombor nyata.
Contoh 10.1
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
4/23
Matematik Asas|274
2i14)14(4
Takrif 1
Nombor khayalan adalah dalam nombor dalam bentuk ai atau ia,
di mana a ialah nombor nyata.
3i, i, i2
i0= 1)1( 0
i2=1
i3= i2i= -1i=i
i4= i2i2=1 1 = 1
Hasil tambah dan hasil tolak nombor khayalan menghasilkan nombor khayalan.
9i+ 6i= 15i, 9i4i= 5i (memberikan nombor khayalan)
Hasil darab dan hasil bahagi nombor khayalan menghasilkan nombor nyata.
Contoh 10.2
Contoh 10.3
Cuba cipta satu jadual
pendaraban untuk i agar
anda boleh gunakan nanti.
Contoh 10.4
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
5/23
Unit 10 Nombor Kompleks |275
i 4n= 1
i4n+3= i
i 4n+1= i
i 4n+2= i
3i 2i= 6i2= 6(1) = 6.
42i
8i
b) Kitaran Nombor Khayalan
Perhatikan untuk integer positif n, boleh diringkaskan dalam bentuk kitaran seperti berikut:
Kepentingan nombor khayalan adalah untuk mencari pensifar bagi polinomial, khasnya
persamaan kuadratik berikut:
ax2+ bx + c = 0
Di mana punca-puncanya ialah:2a
4acbib-x
2
Apabila b2< 4ac
Contoh 10.5
(menghasilkan nombor nyata)
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
6/23
Matematik Asas|276
Sebagai contoh , persamaan( x - 2 )2=1 tidak mempunyai punca nyata kerana tiada nombor nyata
yang kuasa dua nombor tersebut bersamaan dengan 1 . Tetapi dengan memperkenalkan i= 1 ,
maka x = 2 i adalah penyelesaiannya.
i17 = i16+i = (i2)8 i
= (-1)8 i = i
Cari semua punca bagi persamaan x2 + 2x + 5 = 0
Penyelesaian:
Diberi persamaan x2+ 2x + 5 = 0
Maka, a = 1, b = 2, c = 5, dan menggunakan2a
4acbbx
2
, maka
2
162
2(1)
4(1)(5)42x
Penyelesaian ini boleh ditulis dalam bentuk
2i1
2
4i2
2
16i2
Contoh 10.6
Contoh 10.7
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
7/23
Unit 10 Nombor Kompleks |277
Takrif 2
Nombor Kompleks, ( C ) ialah nombor berbentuk a + bi, di mana a, b adalah nombor nyata
dan i = 1.
Kes-kes khas untuk a + bi.
i) Apabila b = 0, a + bi nombor nyata..
ii) Apabila a = 0, a + bi nombor khayalan.
iii)
Apabila a = 0, b = 0, a + bi nombor kompleks sifar.
a + bi = 0 a = 0 and b = 0
iv) Apabila a + bi = c + di a=c, b=d
Jika diberi nombor kompleks z = a + bi, bahagian nombor nyatanya ialah N(z) = a dan
Bahagian nombor khayalannya ialah Kha(z) = b
Ny(z) = a
Kha(z) = b
Diberi z1 = 2 + (3y + 1)i = 2x + 7iand z2 = 2x+7i dengan z1 = z2.
Cari nilai x dan y.
Penyelesaian:
Diberi z1 = z2
2 + (3y +1)i = 2x + 7i
2x = 2 dan 3y + 1 = 7
x = 1 dan y = 2
Contoh 10.8
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
8/23
Matematik Asas|278
Takrif 3
Bagi nombor kompleks, z = a + bi ,konjugat z ditandakan dengan z* atau z dan ditakrifkan
sebagai z*= z= abi.
Setiap nombor kompleks mempunyai pasangan konjugatnya. Misalnya z1=2+3i, z*=2-3idan z2=33i ,
z2*=3 + 3i.
10.2 OPERASI ALJABAR NOMBOR KOMPLEKS
Operasi Huraian Contoh
Penambahan z+w = (a + bi)+(cdi)
= (a + c) + (b + d)i
(3 + 4i) + (3i)
= (3 + 3)+ (41)i
= 6 + 3i
Penolakan z-w = (a + bi)(c + di)
= (ac)(bd)i
(43i)(23i)
= (42) +(3 + 3)i
= 6
Pendaraban z(w) = (a + bi)(c + di)
= (ac + bd)+(bc +
ad)i
(2 + i)(33i)
= 6(3) + (36)i
= 93i
Pembahagian
w
z
w
z .*w
*z
i2
i1
i2
i1 .i2
i2
=5
3i1
Contoh 10.9
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
9/23
Unit 10 Nombor Kompleks |279
a) Penambahan dan Penolakan
i) (2 + 3i) + (3i)
= 2 + 3 + (3ii)
= 5 + 2i
ii) (5 + 4i)(2 + 3i)
= (52) + (4i3i)
= 3 + i
b) Pendaraban
(2 + 3i)(42i) = 8 + 12i4i6i2 = 8 + 6 + 8i = 14 + 8i
(2 + 4i)(24i) = 4 + 8i8i16i2
= 20 (nombor nyata)
(a + bi)(abi) = a2+ b2
c) Pembahagian
22
2
11
i3ii3
i1
i1
i1
i3
i1
i3
22i4 = 2i
Bagaimana dengan
penolakan? Adakah ianya
memenuhi sifat tutupan?
Bincangkan.
Darab dengan konjugat
penyebut untuk
menisbahkan penyebut.
Contoh 10.10
Penambahan nombor
kompleks mematuhi
sifat tutupan
penambahan, Kenapa?
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
10/23
Matematik Asas|280
10.3 KESAMAAN DUA NOMBOR KOMPLEKS
Jika z1= z2 maka (z1) = Re (z2) dan Im (z1) = Im (z2) bermaksud nilai nyata z1= nyata z2dan
nilai khayalan z1= khayalan z2.
Diberi a + bi= c + di
maka (ac) = 0 dan bd = 0
a = c b = d
Jika z1 = 2x3ydan z2= 4 6dan z1= z 2 , carikan nilai x dan y.
Penyelesaian:
Diberi z1= z2maka 2x3y= 4 6
2x = 4 dan 3y = 6
x = 2 3y = 6
y = 2
1. Selesaikan persamaan (x + yi)(3i) = 1 + 2idi mana x dan y adalah nombor nyata.
2. Jika (a + bi)(2i) = i dengan a dan b sebagai nombor nyata, tentukan nilai a dan b.
Re = real dan Im = Imaginary
= khayalan. Simbol ini boleh
juga digunakan
Contoh 10.11
Contoh 10.12
Contoh 10.13
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
11/23
Unit 10 Nombor Kompleks |281
Penyelesaian:
1. (x + yi)(3i) = 1 + 2i
3x + 3yixiyi2= 1 + 2i
3x + y + (3yx)i= 1 + 2i
3x + y = 1 (1)
x + 3y = 2 (2)
x (2) dengan 3, -3x + 9y = 6 (3)
(1) + (3) 10y = 7 y10
7
Masukkan nilai y (2), maka
10
1
10
212-x
2. (a + bi)(2 i) =i
2aai + 2bibi2= i
2aai + 2bi + b = i
2a + b + (2ba)i = i
Samakan bahagian nyata;
2a + b = 0 (1)
Samakan bahagian khayalan;
2ba = 1 (2)
Daripada (2),
a = 2b1 (3)
kerana i 2= -1
Samakan bahagian
nombor nyata dan
nombor khayalan untuk
menghasilkan (1) dan (2).
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
12/23
Matematik Asas|282
Gantikan (3) dalam (1);
2(2b1) + b = 0
4b2 + b = 0
5b2 = 0
5b = 2 b =5
2
Gantikan b =5
2 dalam (3);
511
541
522a
Cari punca kuasa bagi nombor kompleks 3 + 4i di mana x dan y adalah nombor nyata.
Penyelesaian:
Katakan,
iyx4i3
2yi)(x4i3
2y2xyix4i3 2
Oleh itu,
3yx 22 (1)
42xy (2)
Daripada (2);x
2y (3)
Contoh 10.14
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
13/23
Unit 10 Nombor Kompleks |283
Latihan Formatif 10.1
Masukkan (3) dalam (1) 3x
2x
2
2
3x
4x
2
2 24 3x4x
043xx 24
01)4)(xx 22(
4x2 1x2 (tidak memberi nilai nyata)
2x
Bilax= 2 Bilax=2
y= 1 y= 1
Oleh itu, i)24i3 (
1. Lengkapkan bagi semua yang berikut:
a) (3 + 2i)3 b))2)(44-(3
)3)(2-(1
ii
ii c) (x + yi)(25i) = (1 + 5i)
d) (2 + i)(x +3i) = (1i)
2. Jika z1= 3 + 5idan z2 = 23i, maka tentukan
a) z1+ z2 b) z1z2 c) z1z2 d)2
1
z
z
3. Cari punca kuasa dua bagi nombor kompleks 6 + 8i.
Anda juga boleh
gantikan y = x2
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
14/23
Matematik Asas|284
4. Dapatkan nilai x dan y jika (x + iy)(3iy) = 1 + 2i).
5.
Lengkapkan setiap yang berikut dalam sebutan a + bi
a) 323722 c) (1 + i)4
b) 5 i(1 + 3i)(2 +i) d)ii 34
10
43
5
6. Cari punca kuasa dua bagi nombor kompleks:
a)
724 i b) 1 + 3 i c) 2120 i
Takrif 4
Sifat konjugat bagi z , w , C
i) (z*)* = z
ii) z* + w* = (z + w)*
iii) (zw)* = (z*)(w*)
iv) z* = z z R
10.4 GAMBARAJAH ARGAND
Nombor kompleks boleh diwakili secara geometri
dalam koordinat Cartesian dengan menggunakan
dua paksi iaitu paksi x (paksi nyata) dan paksi y
(paksi khayalan). Kedua-dua paksi ini membentuk
satah kompleks yang dinamakan Gambarajah Argand.
Khayalan z (Kh z)
iy
x + iy
x
Nyata z (Ny z)
P
O
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
15/23
Unit 10 Nombor Kompleks |285
Penerangan Gambarajah Argand
a) Titik P(x,y)menggambarkan nombor kompleks z = x + iy
b)
Modulus z ialah panjang OP atau r,ditandakan sebagai | z| dan adalah sentiasa positif.
c) Hujah z ditandakan sebagai Hujah (z), ialah sudut yang dilalui dari ke OP. Nilainya dalam
julat < < dan dinamakan nilai prinsipal.
d) Dalam Gambarajah Argand di bawah, x =r kos ;y = rsin
Maka, z = x + iy= r(kos + sin )
r = |z| = 22 yx
= hujah(z) = tan-1(x
y)
e) Bentuk r (kos + i sin ) dipangil bentuk kutub (r, )
atau Bentuk Modulus Hujah bagi nombor kompleks.
f) Nombor kompleks z = x + iy boleh diwakili secara geometri oleh satu titik P dengan koordinat
Cartesian (x,y).
g) Panjang rditentukan dengan menggunakan Teorem Phitagoras: r = |z| =22 yx
h) Nilai ini r, disebut Modulus bagi nombor kompleks z dan ditandakan seperti:
|z| =22 yx
i) Dengan menggunakan hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Cartesian, diperolehi
nilai x dan y:
x = r kos , y = r sin
-y
Kh z
Ny zx
(x,-y)
P(x,y)
ry
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
16/23
Matematik Asas|286
j) Nombor kompleks z = x + iy boleh ditulis semula dalam bentuk
z = r (kos + i sin )
k) Nilai hujah z memenuhi syarat di bawah dan disebut nilai Prinsipal Hujah (huj z)
180o < huj z 2, maka
(r (kos + isin ))n= rn (kos n + i sin ) Rumus De Moivre
Sekiranya vektor z (yang mewakili nombor kompleks)
Pada sukuan I ; = tan-1x
y
Pada sukuan II ; = tan-1x
y+ 180o
Pada sukuan III ; = tan-1x
y180o
Pada sukuan IV ; = tan-1x
y
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
17/23
Unit 10 Nombor Kompleks |287
Cari modulus dan hujah bagi nombor-nombor kompleks berikut;
a) 2 + i b) 54i c) 4 + 2i d) 1 - i 3
Penyelesaian:
a) z1 = 2 + i
|z1|= 122
= 5
Hujah z1= tan-12
1= 26.6 (pada sukuan I)
b) z2= 54 i
|z2| = 22 4)5 (
= 41
Hujah z2= tan-15
4z = = 38.6 (pada sukuan IV)
c) z3= 4 + 2 i
|z3| = 20416
tan -14
2= 26.6 (pada sukuan II)
Hujah z3= 180 26.6 = 153.4
d) z4 =1i 3
|z4| = 31 = 2
tan-11
3= 60 (pada sukuan III)
Hujah z4= 60 180 =120
(5,-4)-4
(-4,2) 2
Contoh 10.15
2
1
5
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
18/23
Matematik Asas|288
Diberi z1= 3 + i dan z2= 23i, cari;
a) 2 z1z2 b) z1z2 c)1
2
z
z
Penyelesaian:
a) )() ii 322(3z2z 21 = ii 3226 = i54
b) 221 3296323zz iiiii ))(( = 1)3(76 i = 376 i = i79
c)1
2
z
z =
i
i
3
32.
i
i
3
3=
1)(9
1)(3926 iii=
10
113 i
Tentukan pewakilan kutub bagi:
a) z = i322 b) z = i55
Penyelesaian:
a) Nilai modulus bagi z ialah:
z = 322 I = 4124
Nilai prinsipal bagi hujah z ialah;
= huj z = tan-12
32= 60, maka perwakilan kutub z ialah
i322 = 4 (kos 60 + i sin 60)
Contoh 10.16
Contoh 10.17
60
2
(2 , 32 )
4
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
19/23
Unit 10 Nombor Kompleks |289
b) Nilai modulus bagi z ialah:
z = 55 I = 252x25502525
Nilai prinsipal bagi hujah z ialah;
= huj z = tan-15
5+ 180 = 135, maka perwakilan kutub z ialah
i55 = 4 (kos 135 + i sin 135)
Sila layari laman sesawang berikut untuk mengetahui lebih lanjut
mengenai Teorem De Moivre
1. Dapatkan modulus dan hujah bagi
a) 32i b) (1 + i)(4 + 5i)
c) (32i)2 d)i
i
73
5
2. Jika z1= 3 + 4i, z2= 23idan z3= 2i,ungkapkan dalam sebutan x+ yi.
a) (z1+ z2* )
2 b)
3
1
z1z
1 c)
i2
21
z1
zz
2. Jika z = 1i dan w = 2 + i,ungkapkan dalam sebutan x + yi.
a) (w*)* b) z* + w* c) z*w* d)*w
z
4. Nyatakan yang berikut dalam bentuk a + b
a)i23
1 b)
i1
3- c)
i
i
5
23 -
5. Cari nilai bagi a dan b dalam setiap persamaan berikut.
a) a + b + (ab) = 6 + 4 b) a + 2b + (ab) = 9
(-5,5) 5
45
-5
Latihan Formatif 10.2
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
20/23
Matematik Asas|290
RUMUSAN
1. Nombor khayalanadalah dalam nombor dalam bentuk ai atau ia, di mana a ialah nombor
nyata dan i
2
= 1 atau i = .
2. Hasil tambah dan hasil tolaknombor khayalan menghasilkan nombor khayalan.
3. Hasil darab dan hasil bahagi nombor khayalan menghasilkan nombor nyata.
4. Hasil tambah nombor nyata dan nombor khayalanmenghasilkan nombor kompleks.
5. Nombor Kompleks, ( C ) ialah nombor berbentuk a + bi , di mana a, b adalah nombor
nyata dan i = 1.
6. Maka, jika diberi nombor kompleks z = a + bi, bahagian nombor nyatanya ialah N(z) = a dan
Bahagian nombor khayalannya ialah Kha(z) = b
Ny(z) = a Kha(z) = b
7. Bagi nombor kompleks, z = a + bi ,konjugat zditandakan dengan z* or z dan ditakrifkan
sebagai z*= z= abi.
8. Jika z1= z2 maka (z1) = Re (z2) dan Im (z1) = Im (z2)bermaksud nilai nyata z1= nyata z2
dan nilai khayalan z1= khayalan z2.
9. Sifat konjugat bagi z , w , C
i) (z*)* = z ii) z* + w* = (z + w)*
iii) (zw)* = (z*)(w*) iv) z* = z z R
10. Nombor kompleks boleh diwakili secara geometri dalam koordinat Cartesian yang dinamakan
Gambarajah Argand.
11. Teorem De Moivredigunakan dalam pengiraan yang melibatkan nombor kompleks kuasa
melebihi dua. Jika Zn di mana n >2, maka (r (kos + isin ))n= rn (kos n + i sin )
KATA KUNCI
Nombor Kompleks, Gambarajah Argand, nilai prinsipal, nombor khayalan, hujah, modulus.
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
21/23
Unit 10 Nombor Kompleks |291
1. Diberi bahawa z = 2 + 3, ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk a + b.
(a) (z)(z + 1) (b)z
z
-1
2. Cari nilai-nilai nyata x dan y yang memenuhi persamaan iii
32
y
-1
2x
3. Jika z = 12, nyatakan z + 1 dalam bentuk a + b.
4. Tentukan modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:
a) 6 + 8 b) 3 c) 2 + 2 d)2
3
2
1i
5. Cari modulus dan hujah untuk i) z1 + z2 ii) z1z2 untuk setiap kes.
a) z 1 = 1 + 2; z 2 = 2 + b) z 1 = 32; z 2 = 1 +
6. Nyatakan yang berikut dalam bentuk r(kos + sin ).
a) 1 + 2 b) 3 c) i3
7. Jika z 2 =i
i
1
1
z
z1 dan z 3 =i
i
2
2
z
z1 buktikan bahawa z1z3 = 1
8. Tunjukkan bahawa punca-punca persamaan z 416 = 0 diwakil dalam Gambarajah Argand
oleh empat bucu suatu segi empat sama.
9. Jika z= 3 + i , ungkapkan berikut dalam bentuk a + ib, di mana a, b R.
i) (z + 2i)(z 1) ii) 21 z
z
10. Cari nilai punca kuasa bagi nombor kompleks 3 + 4i dalam bentuka + ib.
Latihan Sumatif
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
22/23
Matematik Asas|292
RUJUKAN
Marzita Puteh. 2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.
Marzita Puteh. 2002. Matematik PermulaanSiri 1.Kuala Lumpur: Prentice Hall.
Marzita Puteh. 2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.
McGregor, C. 1994. Fundamentals of University Mathematics: Albion Publishing, Chichester.
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 10.1
1. a) 46i9 b)50
79 i c)
29
2315i d)
5
31 i
2. a) 5 + 2i b) 21 + i c) 1 + 8i d)13
21 i
3. ( 222 i ), 26.57
4. x =10
1 y =
10
7
5. a) i224 b) 5i35 c)4 d) 527
950-1025 i
6. a) ( 3i)4 b) ( )i232
1 c) ( )2i5
Latihan Formatif 10.2
1. a) ; 33.7o(sukuan I) b) 5; -53.1o(sukuan II)
c) 13; -67.3o(sukuan II) d) 0.97; -78.1o (sukuan II)
2. a) i7024 b)10
311 i c)
50
336 i
3. a) i2 b) 3 c) i21 d)5
2 i
4. a)13
23 i b)
2
33 i c) )( i1
13
1
5. a) a = 5, b =1 b) a =3, b = 3
7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks
23/23
Unit 10 Nombor Kompleks |293
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. a) i12 b)10
311 i
2. x = 2; y = 5 3. i22
4. a) 10; 53.1o (sukuan I) b) 3; 71.6o(sukuan I)
c) ; 45o (sukuan II) d) 1; 60o (sukuan I)
5. a) 18 ; 45o (sukuan I) b) 5 ; 26.6o (sukuan II)
6. a) 5 b) 10
c) 2
9. i) i93 ii)85
1127 i
10. )i(2