Upload
norlie-lieya
View
363
Download
16
Embed Size (px)
DESCRIPTION
akademik
Citation preview
Unit 6 Teknik Pembezaan |145
UNIT PELAJARAN 6
TEKNIK PEMBEZAAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menentukan terbitan pertama untuk sesuatu fungsi yang merupakan hasil
tambah atau hasil tolak dua sebutan algebra.
2. Menentukan terbitan pertama hasil darab atau hasil bahagi dua fungsi.
3. Menentukan terbitan pertama fungsi gubahan dengan menggunakan petua
rantai.
4. Menentukan terbitan pertama untuk fungsi tersirat.
5. Mencari terbitan peringkat lebih tinggi untuk fungsi .
Kalkulus Asas|146
PENGENALAN
nit ini akan membincangkan teknik pembezaan hasil tambah, darab dan bahagi
fungsi algebra. Selain itu, teknik untuk mendapatkan terbitan bagi fungsi gubahan
yang melibatkan petua rantai juga akan di bincangkan dalam unit ini. Sebelum ini
pelajar hanya didedahkan dengan terbitan pertama sesuatu fungsi, maka di sini
pelajar akan mempelajari bagaimana untuk mencari terbitan kedua dan
seterusnya terbitan peringkat lebih tinggi bagi fungsi tersebut. Pengetahuan mengenai pembezaan
suatu fungsi amat penting dalam kehidupan seharian kita dan perkara ini akan dibincangkan dalam
Unit 7 nanti.
6.1 Pembezaan hasil tambah dan hasil tolak fungsi
Jika fungsi dan boleh dibezakan, maka fungsi juga boleh dibezakan.
Contoh 6.1
Bezakan persamaan-persamaan berikut:
a) c)
b)
d)
U Layari Laman Web untuk mengetahui lebih lanjut teknik pembezaan:
http://www.sosmath.com/calculus/diff/der02/der02.html
Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka 𝐸′ 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥
Unit 6 Teknik Pembezaan |147
Penyelesaian:
a)
b)
c)
d)
6.2 Pembezaan hasil darab fungsi
Jika fungsi dan boleh dibezakan, maka hasil darab fungsi, , juga boleh dibezakan.
Latihan Formatif 6.1
Bezakan setiap persamaan berikut:
a) 𝑦
𝑥 𝑥 d) 𝑦
𝑥2:6𝑥;8
𝑥2
b) 𝑠
𝑡
𝑡3 e) 𝑟
𝜃 ta 𝜃
c) 𝑝 𝑞 𝑞 f) 𝑦 l 𝑥5 𝑥
Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka 𝐸′ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥
𝑦′ 𝑢𝑣′ 𝑣𝑢′
Secara mudahnya, petua hasil darab boleh ditulis seperti berikut:
Jika 𝑦 𝑢𝑣 dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi-fungsi bagi 𝑥, maka
Kalkulus Asas|148
Contoh 6.2
Bezakan persamaan-persamaan berikut terhadap :
a)
b) ta
Penyelesaian:
a) Andaikan dan
Maka ′ ′
Seterusnya, masukkan ke dalam rumus pembezaan:
′ ′ ′
′
′
b) Andaikan dan ta
Maka ′ ′
Masukkan , , dan ke dalam rumus pembezaan:
′ ′ ′
′ ta
′ ta
Unit 6 Teknik Pembezaan |149
6.3 Pembezaan hasil bahagi fungsi
Jika fungsi dan boleh dibezakan di mana , maka
juga boleh dibezakan.
Contoh 6.3
Bezakan setiap fungsi berikut:
a) 3
; 4 b)
5 3: 2
4:
Latihan Formatif 6.2
Carikan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 bagi setiap persamaan berikut:
a) 𝑦 𝑥 𝑥5 d) 𝑦
𝑥 𝑥 𝑥
b) 𝑦
𝑥
𝑥2 e) 𝑦 𝑥 𝑒 𝑥
2
c) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑥 𝑥 7
Jika 𝐸 𝑥 𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 maka 𝐸′ 𝑥
𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 ;𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
𝑦′ 𝑣𝑢′ 𝑢𝑣′
𝑣
Secara mudahnya, petua hasil bahagi boleh ditulis seperti berikut:
Jika 𝑦 𝑢
𝑣 dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi-fungsi bagi 𝑥, maka
Kalkulus Asas|150
Penyelesaian:
a) Andaikan dan
Maka ′ ′
Seterusnya, masukkan ke dalam rumus pembezaan:
′
′ ′
′
′
6
6
b) Andaikan dan
Maka ′ ′
Seterusnya,
′
′ ′
′
′
6 5 6 5
′
6 5
Unit 6 Teknik Pembezaan |151
6.4 Pembezaan fungsi gubahan
Jika fungsi boleh dibezakan terhadap dan juga boleh dibezakan terhadap , maka
fungsi gubahan juga boleh dibezakan terhadap . Ringkasnya,
Contoh 6.4
Bezakan terhadap .
Penyelesaian:
Ambil , maka
Seterusnya,
9
Latihan Formatif 6.3
Dapatkan terbitan bagi setiap persamaan berikut:
a) 𝑦 𝑥;5
𝑥: c) 𝑟
𝑡;2
𝑡
sin 5𝑡
b) 𝑣 𝑡3
;𝑡4 d) 𝑦
𝑒5𝑥;𝑒−5𝑥
𝑒5𝑥:𝑒−5𝑥
Jika 𝑢 𝑔 𝑥 da 𝑦 𝑓 𝑢 , maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
Rumus ini juga dikenali sebagai Petua Rantai.
Kalkulus Asas|152
Sekarang, cuba bezakan persamaan di atas dengan menggunakan rumus
′ ′ ( ) ;
Diberi , , , a a
Seterusnya,
′ 9
Contoh 6.5
Dapatkan
untuk
5; 3:6 .
Penyelesaian:
a) Menggunakan petua rantai
Ambil 5 , maka ;
Seterusnya,
;
5
Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘(𝑔 𝑥 )𝑛
di mana 𝑘
adalah pemalar, maka 𝑦′ 𝑘𝑛𝑔′ 𝑥 (𝑔 𝑥 )𝑛;
Unit 6 Teknik Pembezaan |153
b) Menggunakan rumus ′ ′ ( ) ;
Tulis 5 ;
Maka, , , 5 ,
Seterusnya, ′ 5 ;
Contoh 6.6
Bezakan l 5 terhadap .
Penyelesaian:
Ambil 5, maka l .
Menggunakan Petua Rantai:
5
Contoh 6.7
Dapatkan
jika (
3: ).
Sekarang, cuba selesaikan Contoh 6.6 ini
menggunakan rumus di atas.
𝑦′ 𝑘𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥
Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘l (𝑔 𝑥 ) di mana 𝑘 adalah
pemalar, maka
Kalkulus Asas|154
Penyelesaian:
Ambil , maka .
Menggunakan Petua Rantai:
3:
Contoh 6.8
Dapatkan terbitan bagi .
Penyelesaian:
Persamaan yang diberi boleh ditulis sebagai
Ambil , , maka .
Menggunakan Petua Rantai:
Sekarang, cuba selesaikan Contoh 6.7 ini
menggunakan rumus di atas.
𝑦′ 𝑘𝑔′ 𝑥 𝑒𝑔 𝑥
Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk 𝑦 𝑘𝑒𝑔 𝑥 di mana 𝑘 adalah
pemalar, maka
Kadangkala petua rantai melibatkan
lebih dari dua fungsi. Contohnya, 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑤 𝑑𝑤
𝑑𝑣 𝑑𝑣
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
Unit 6 Teknik Pembezaan |155
Latihan Formatif 6.4
1. Bezakan setiap persamaan berikut:
a) 𝑦 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑡 𝑡
b) 𝑦 8
𝑥2; 3 f) 𝑦
𝑥: 3
𝑥:
c) 𝑟 ta 𝜃 𝜃 g) 𝑦 l :𝑥
;𝑥
d) 𝑠 𝑡 𝑡 h) 𝑦 𝑒 𝑡3 𝑡7 𝑡
2. Diberi 𝑦 𝑡 𝑡 da 𝑥 𝑡 𝑡 Carikan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dalam sebutan 𝑡.
𝑦′ 𝑐𝑛𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑛; (𝑔 𝑥 )
𝑦′ 𝑐𝑛𝑔′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑛; (𝑔 𝑥 )
Umumnya, jika diberi persamaan berbentuk:
𝑦 𝑐 𝑛(𝑔 𝑥 ) di mana 𝑐 adalah pemalar, maka
𝑦 𝑐 𝑛(𝑔 𝑥 ) di mana 𝑐 adalah pemalar, maka
Sekarang, cuba selesaikan Contoh 6.8 ini
menggunakan rumus di atas.
Kalkulus Asas|156
6.5 Pembezaan fungsi tersirat
Setakat ini kita hanya membincangkan teknik pembezaan yang melibatkan persamaan atau
fungsi yang boleh diungkapkan secara langsung dalam sebutan iaitu . Akan
tetapi, tidak semua persamaan boleh diungkapkan secara langsung dalam sebutan .
Sebagai contoh,
i)
ii) l
Persamaan-persamaan ini dikenali sebagai fungsi tersirat. Oleh itu, bahagian ini
membincangkan bagaimana untuk membezakan fungsi tersirat, di mana ia boleh
dilaksanakan dengan membezakan sebutan demi sebutan dengan menganggap sebagai
suatu fungsi untuk .
Contoh 6.9
Dapatkan
bagi persamaan-persamaan berikut:
a)
b) pada titik (4, 0)
Penyelesaian:
a)
Bezakan sebutan demi sebutan,
Unit 6 Teknik Pembezaan |157
b)
[
]
Maka,
di titik (4, 0) ialah
Latihan Formatif 6.5
1. Bezakan setiap fungsi berikut terhadap 𝑥:
a) 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 c) 𝑦 𝑦 l 𝑥 𝑥 l 𝑦
b) 𝑥5 𝑦5 𝑎𝑥 𝑦 d) 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥
2. Diberi 𝑥 𝑦 . Dapatkan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 untuk titik (4, 3) pada lengkung tersebut.
Kalkulus Asas|158
6.6 Peringkat pembezaan lebih tinggi
Terbitan kedua bagi fungsi ialah terbitan bagi fungsi ′ , dan ia ditanda sebagai
′′ Secara matematiknya,
′′
′
[
]
Seterusnya, jika ′′ mempunyai terbitan maka terbitan itu ditulis sebagai ′′′ dan
dinamakan terbitan ketiga bagi iaitu
′′′
′′
[
]
Proses ini boleh diteruskan untuk mendapatkan terbitan yang lebih tinggi. Secara amnya,
, dengan ialah suatu integer positif, bermaksud terbitan ke bagi fungsi di
mana terbitan tersebut diperolehi dengan membezakan fungsi berturut-turut sebanyak
kali. Umumnya, terbitan-terbitan bagi ditandakan dengan
′
, ′′
, ′′′
,
, ,
,
dan simbol-simbol berikut menandakan nilai terbitan di suatu titik tertentu, ,
′′ , 5 ,
| <
,
| <
Contoh 6.10
Jika 5 , cari tiga terbitan pertama bagi persamaan tersebut.
Penyelesaian:
′
′′
′′′
Unit 6 Teknik Pembezaan |159
Contoh 6.11
Cari 2
2| <
jika .
Penyelesaian:
| <
Latihan Formatif 6.6
1. Cari 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 bagi setiap persamaan berikut:
a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑥 𝑥
b) 𝑦
𝑥: f) 𝑦
:𝑥3
𝑥2
c) 𝑦 𝑥
𝑥: g) 𝑦 𝑥
3
𝑥2
d) 𝑦 𝑥
𝑥
h) 𝑦 𝑥
2. Cari semua terbitan bukan sifar untuk 𝑦 𝑥6 𝑥 𝑥 .
3. Diberi 𝑓 𝑥 𝑥;
𝑥: dapatkan 𝑓′′′ .
Kalkulus Asas|160
RUMUSAN
Unit ini adalah lanjutan dari unit sebelum ini di mana ia melibatkan pembezaan fungsi yang lebih
kompleks di samping pembezaan di peringkat yang lebih tinggi. Berikut adalah kesimpulan yang
boleh dibuat:
1. Jika di mana dan adalah fungsi dalam sebutan , maka
.
2. Jika
di mana dan adalah fungsi dalam sebutan , maka
;
2 .
3. Terbitan bagi fungsi gubahan ialah
; .
4. Jika di mana , maka
. Ini dikenali sebagai petua rantai.
5. Terbitan peringkat kedua fungsi ialah terbitan pertama bagi fungsi .
KATA KUNCI
Petua hasil darab fungsi, Petua hasil bahagi fungsi, Fungsi tersirat, Fungsi gubahan, Petua rantai,
Pembezaan peringkat tinggi.
Latihan Sumatif
1. Dapatkan terbitan pertama bagi persamaan-persamaan berikut:
a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑟 (𝑠 𝑠 𝑠 )
b) 𝑦 𝑥 ta 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑒𝑥 𝑥 𝑥
c) 𝑦 kos 𝜃;5
sin𝜃:5 g) 𝑦 𝑥 𝑥
d) 𝑦 l 𝑥 𝑒𝑥 𝑥3
h) 𝑦 𝑒𝑥 ta 𝑥
2. Bezakan fungsi-fungsi berikut:
a) 𝑓 𝑥
𝑥2; 𝑥: e) 𝑓 𝑥
𝑒2𝑥:
𝑒2𝑥;
Unit 6 Teknik Pembezaan |161
b) 𝑔 𝑥 𝑥 3
f) 𝑓 𝑥 𝑥
c) 𝑓 𝑥 𝑒(𝑥2: ) g) 𝑓 𝜃 𝜃 𝜃
d) ℎ 𝑥 l 𝑥 h) 𝑔 𝑥 𝑒 𝑥; 𝑥
3. Diberi
a) 𝑦 𝑢 𝑢 , 𝑢 𝑥 𝑥
b) 𝑦 𝑢 , 𝑢 𝑥 𝑥
Dapatkan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 bagi persamaan-persamaan tersebut.
4. Dapatkan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 bagi setiap fungsi berikut:
a) 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 e) 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦
b) 𝑦 𝑥 𝑦 f) 𝑥 𝑦 𝑦
c) 𝑥𝑦 𝑒 𝑥:𝑦 g) 𝑦 𝑥 𝑥
d) 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 h) 𝑥 𝑦6 𝑥𝑦
5. Dapatkan 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 bagi yang berikut:
a) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 e) 𝑦 𝑥
𝑥:
b) 𝑦 𝑥 𝑥 f) 𝑦 𝑥 𝑒; 𝑥 l 𝑥
c) 𝑦 𝑒 𝑥 𝑥 𝑥 g) 𝑦 𝑒( ; 𝑥3)
d) 𝑦 𝑥 𝑥 h) 𝑦
𝑥;
6. Cari 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3|𝑥<
jika 𝑦 𝑥3
7. Dapatkan 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 bagi 𝑦 𝑥𝑦 .
Kalkulus Asas|162
RUJUKAN
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 6.1
a) b) ; ; c)
d) 6
2 6
3 e)
f)
5
Latihan Formatif 6.2
a) 5 b) 6
4
3
2 c)
d) ; sin ; : kos
2 e)
2 f) 6
Latihan Formatif 6.3
a)
: 2 b)
2 ; 4 : 6
; 4 2
c) :
2
2 sin 5 ; ;
2
kos 5
sin 5 2 d)
: 2
Latihan Formatif 6.4
1. a) b) ; 6
2; 4
c) d)
Unit 6 Teknik Pembezaan |163
e) f) : 2 :5
: 2
g)
; 2 h)
3 9 6
2. 2;
: .
Latihan Formatif 6.5
1. a) sin2 :
; sin kos ; b)
2; 3
2; 3
c) ; ; n
: n d)
5: 2
: 3
2.
Latihan Formatif 6.6
1. a) b) 6
: 3 c)
;8
: 3
d) 7
4 e) f) 8
4
g)
9 ;5 ; h) ( )
;
2. ′ 5 ′′
′′′
5 6
3. 2.3203
Kalkulus Asas|164
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. a) b)
c) 5 kos ;sin ;
sin :5 2 d)
2 3
e) f)
g) h) ta
2. a) ;
2; : 2 b)
2: 2 3 c) (
2: )
d) ta e) ; 2
2 ; 2 f)
: 2 : : 2
g) h) ;
3. a) b)
4. a) :
: b)
;kos
:sin c)
;
;
d) kos
: ; kos e)
:6
2: f)
kos :
;kos :
g) 2:6
h)
( : 6): − 2 2
6 2 5: 2 − 2
5. a) b) c)
d) e)
: 2
: 3
f) ; ; g) 8 ;
6 4; 3: 2:8 :
6. -209.4
7. 2;
; 3