GEOMETRI

PAGE 27GEOMETRI B 1001 / UNIT 6/

GEOMETRI

(Sudut & Teorem Pythagoras)

Objektif Am :Menyelesaikan masalah pengiraan sudut dan sisi segitiga bersudut tegak.Objektif Khusus :Di penghujung unit ini pelajar seharusnya boleh :-

Mendefinisikan jenis sudut. Mengira nilai sudut pada garis selari. Mengira nilai sudut bagi satu putaran lengkap. Mengira nilai sudut pada segitiga bersudut tegak. Mengira nilai sudut dalam bulatan.

Menggunakan Teorem Pythagoras bagi mencari sisi segitiga bersudut tegak.

6.0 PENGENALAN

Geometri adalah kajian secara matematik mengenai kedudukan titik, garisan, dan permukaan sesuatu rajah.

6.1 SUDUT

Sudut adalah had putaran yang dibuat oleh satu lurus daripada satu posisi kepada satu posisi yang lain. Lihat rajah berikut:

Paksi putaran

Rajah 6.1: Arah Putaran Sudut

Unit bagi sudut ialah darjah dan radian. Sudut 35 darjah dinyatakan sebagai . Sudut 2 radian ditulis sebagai 2 rad.

Jumlah sudut bagi satu garislurus ialah atau rad. Jumlah sudut bagi satu putaran lengkap ialah 360( atau 2( rad. Nilai ialah 3.142 atau .

6.2 JENIS SUDUT

Kurang daripada 90(Sudut tirus ( 0 ( ( ( 90( )

Sudut lurus

180( atau putaran lengkap.

( 180( ( ( ( 360( )

Sudut refleks

Lebih daripada 180( dan kurang daripada

360(Sudut satu putaran 360( atau 1 putaran lengkap.

Rajah 6.2: Jenis Sudut

6.3 PENAMBAHAN SUDUT

a

b

(a + (b = 1800

Sudut satu putaran = 360(

2 sudut lurus = 360( 4 sudut tegak = 360(

(a +(b +(c =360(Rajah 6.3: Penambahan Sudut

6.4 JUMLAH SUDUT

Pada sudut tegak, PQ berserenjang dengan RS.

Jarak tegak dari titik P ke garis lurus RS ialah

panjang garis serenjang PQ.

Sudut bersebelahan

(a + (b = 180(

6.5 SUDUT SAMA ATAU BERLAINAN

Dua garis lurus yang tidak akan bersilang

dan jarak kedua-duanya sentiasa sama

Sudut berselang - seli

(a = (c

(b= (d

a b

Sudut bersebelahan

(a + (d = 180( d c

(b + (c = 180(

a

Sudut bertentangan bucu

(a = (b c d

(c = (d

b

Rajah 6.5: Sudut Sama Atau Berlainan

6.6 SUDUT PADA PUSAT BULATAN

Sudut pada pusat bulatan adalah dua kali sudut pada lilitan.

Rajah 6.6: Sudut Pada Pusat Bulatan

6.7 SUDUT SEGIEMPAT DALAM BULATAN

Rajah 6.7: Sudut Segiempat Dalam Bulatan

6.8 SUDUT DALAM BULATAN

di mana,

CAF = CBF

CDF = CEF

A

Sudut pada semi bulatan = 90

dimana

A= B =C = 90

Jika panjang lengkok JL = panjang lengkok PR,

Maka JKL = PQR

K

Q

J

P

L

R

Rajah 6.8: Sudut Dalam Bulatan

6.9 GARIS TANGEN DAN NORMAL

Rajah 6.9: Garis Tangen Dan Normal

O adalah pusat bulatan. Garis lurus PQ yang menyentuh bulatan dipanggil garis tangen. Garis lurus yang bersudut tegak garis tangen dipanggil garis normal. Maka OS adalah garis normal kepada garis tangen PQ.

6.10 PERENTAS

D

A C

Jika OD berseranjang dengan AB

maka AB = BC.

C

A

Jika garis AB dan CD perentas,

AE = EB, CF =FD,

Maka EO dan OF bertemu

di pusat bulatan O.

W

Y

Jika garis WX = YZ,

maka AO = OB atau,

Jika AO = OB,

maka WX = YZ

XZ

A

C

Jika garis AB = garis CD,

maka lengkok minor AB =

lengkok minor CD.

B

D

Rajah 6.10: Perentas

Contoh 6.1:

Nyatakan sudut-sudut berikut sebagai pecahan satu putaran lengkap.

a) 45( b) 120( c) 200(

Penyelesaian

a) 45( = = putaran lengkap b) 120( = =putaran lengkap

c) 200( = = putaran lengkap

Contoh 6.2:

Nyatakan sudut, dalam darjah, yang terhasil bagi setiap yang berikut:

a) putaran lengkap b) 2 putaran lengkap

c) putaran lengkap

Penyelesaian

a) putaran lengkap = ( 360( = 240( b) 2 putaran lengkap = ( 360( = 768( c) putaran lengkap = ( 360( = 315(Contoh 6.3:

Diberi AB dan CD ialah garis lurus. Cari sudut x dan y.

25(

61(Penyelesaian

x + 25( + 61( = 180(x = 180( - 86( = 94(x = 94(x + y = 180(94( + y = 180(y = 180( - 94( = 86(

y = 86(Contoh 6.4:

Dalam rajah berikut, PQ adalah satu garis lurus. Kira nilai x:

Penyelesaian

2x + 4x + 3x = 180(9x = 180(x = = 40(x = 40(Contoh 6.5:

Dalam rajah berikut, cari nilai x:

Penyelesaian

3x + 79( + 37( + 88( = 360(3x = 360( - 204( =156(x = = 52(Contoh 6.6:

Nilaikan sudut x bagi rajah berikut , jika garis PQ selari dengan RS.

Penyelesaian

(x = (PRS = 63(Contoh 6.7:

Dalam rajah berikut, garis lurus JK selari dengan LM. AB ialah garis lurus. Cari x dan y.

Penyelesaian

y + 25( = 73( x + 73( = 180(y = 73( - 25( = 48(x = 180( - 73( = 107(Contoh 6.8:

Dalam rajah berikut, AB selari dengan CD. Dapatkan nilai x.

A

B

45(

O

25(

C

D

Penyelesaian

A

B

45(

OaM

b

25(

C

D

Lukis satu garis lurus OM melalui O. Di dapati;

a = 45( dan b = 25(

Maka x = a + b

= 45( + 25( = 70(Contoh 6.9:

Diberi OA = OB = 5 cm. OJ = 13 cm. Hitung panjang perentas LM.

L

KM

Penyelesaian

AJ2 = 132 52 = 144 JK = 2 x 12 = 24 cm

AJ = = 12 cm LM = JK = 24 cm.

Contoh 6.10

Dapatkan nilai a dalam bulatan berikut:

PR

Penyelesaian

Sudut refleks POR = 2 ( PSR = 2 x 120( = 240(Sudut a = 360( - 240( = 120(

6.1 Nyatakan sudut sudut berikut sebagai pecahan satu putaran lengkap.

a) 48( c) 210(b) 160( d) 320(6.2 Tukarkan setiap berikut kepada sudut dalam darjah.

a) putaran lengkap

b) putaran lengkap

c) 1 putaran lengkap

d) 3 putaran lengkap

6.3 Nilaikan sudut sudut berikut:

a) b)

6.4 Kirakan sudutsudut yang bertanda huruf kecil bagi setiap rajah berikut:

a)

b)

6.5 Hitungkan nilai x dalam setiap rajah di bawah:

a)

b)

6.6 Dapatkan nilai nilai x:

a)

b)

6.7 Hitungkan nilai-nilai x berikut:

a)

b)

6.8 Dapatkan nilai nilai sudut yang bertanda huruf kecil:

a)

b)

6.9 Hitungkan sudut a bagi rajah berikut:

a) b)

6.10 Kirakan nilai - nilai m bagi rajah dibawah:

a)

b)

6.11 Dalam setiap rajah berikut, O ialah pusat bulatan. Cari nilai x dan y.

a)

b)

6.12 Kirakan nilai nilai x bagi sudut berikut:

a)

b)

6.1 a) b) c) d)

6.2 a) 60 b) 240 c) 408 d) 1215

6.3 a) a = 99 b) x = 75, z = 75

6.4 a) a = 43 , b = 90 b) x = 50

6.5 a) x = 60 b) x = 31

6.6 a) x = 115 b) x = 18

6.7 a) x = 4 b) x = 25

6.8 a) x = 108 b) x = 47, y = 47

6.9 a) a = 50 b) a = 95

6.10 a) m = 82 b) m = 135

6.11 a) x = 28, y = 62

b) x = 72.5, y = 55

6.12 a) x = 27

b) x = 112

Pertimbangkan sebuah segitiga bersudut tegak mempunyai;

Sisi bertentangan sepanjang a unit, sisi bersebelahan sepanja b unit, dan sisi hipotenus sepanjang c unit seperti di bawah:

Maka Teorem Pithagoras menyatakan, bagi sebuah segitiga bersudut tegak,

c2 = a2 + b2Contoh 6.11:

Kira sisi AC rajah di sebelah:

Penyelesaian:

Daripada Teorem Pithagoras,

AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25

AC = = 5 cm.

6.13 Kira sisi-sisi segitiga bersudut tegak berikut:

x

a)10b)

w5

13

8

15

d)

z7

c)8

y

25

6.14 Dalam rajah berikut, cari nilai a dan b.

24 cm

b cm

a cm

8 cm

6 cm

6.15 Kirakan nilai y dan z bagi setiap rajah berikut:

11y 4

b) z

a)

y5

513

z

6.16 Dalam rajah berikut, Z ialah titik tengah XY. Cari panjang XW.

V

15 cm

9 cm

X

Y

8 cm

6.17 Sebuah bas bergerak sejauh 70 km ke utara dan kemudian 240 km ke barat. Berapa

jauhkah bas itu dari titik permulaan?

6.18 Pepenjuru segiempat tepat ialah 100 cm dan lebarnya ialah 60 cm. Berapakah

panjang segiempat tepat itu?

6.19 Muthu menyeberangi sebuah sungai selebar 24 meter mengikut arah AB manakala

Ali mengambil arah AC. Berapakah beza jarak yang dilalui oleh Muthu dan Ali?

B7 mC

6.20 Seorang penunggang motorsikal bergerak sejauh15 km ke timur dan 8 km ke

selatan. Berapa jauhkan dia bergerak dari tempat permulaan?

6.21 Pepenjuru-pepenjuru sebuah rombus ialah 12 cm dan 16 cm. Apakah panjang setiap sisinya?

6.22 Seorang budak menaikkan layang-layang dengan seutas tali yang panjangnya 149 m. Anggaran tinggi tegak layang-layang itu dari tanah ialah 140 m. Berapakah jarak

mendatar dari budak itu kelayang-layangnya?

6.13 a) w = 6 unit b) x = 12 unit c) y = 17 unit d) z = 24 unit

6.14 a = 10, b = 26

6.15 a) y = 20 unit, z = 12 unit b) y = 4 unit, z = 10 unit

6.16 XZ = 6 unit, XW = 10 unit

6.17 250 km

6.18 80 cm

6.19 1 m

6.20 17 km

6.21 10 cm

6.22 51 m

6.1 Kirakan sudut sudut yang bertanda huruf kecil bagi setiap rajah berikut:

a)

b)

6.2 Hitungkan nilai x dalam setiap rajah di bawah:

a)

b)

6.3 Dapatkan nilai nilai x:

a) b)

6.4 Hitungkan nilai-nilai x berikut:

a) b)

6.5 Dapatkan nilai nilai sudut yang bertanda huruf kecil:

a) b)

6.6 Hitungkan nilai a dan b bagi rajah - rajah berikut:

a)

b)

6.7 Kirakan nilai - nilai k bagi rajah dibawah:

a)b)

6.8 Dalam setiap rajah berikut, O ialah pusat bulatan. Cari nilai - nilai x .

a) b)

6.9 Kirakan nilai nilai x bagi sudut berikut:

a)

b)

6.10 Hitungkan nilai x dan y bagi rajah dibawah:

a) b )

6.11 Dalam rajah berikut, diberi AB = BC = CD = DE = 2 cm.

a) Kirakan panjang AC.

b) Kirakan panjang AE.

6.12Pepenjuru pepenjuru sebuah rombus ialah 10 cm dan 24 cm. Apakah panjang

setiap sisinya?

6.13 Sebuah kapal belayar sejauh 39 km ke timur. Kemudian, ia belayar sejauh 9 km

ke selatan dan diikuti dengan 27 km ke barat. Berapa jauhkah kapal itu sekarang

dari tempat permulaanya?

6.1 a) a = 35 , b = 55 b) x = 75, y = 15

6.2. a) x = 20 b) x = 25

6.3 a) x = 137 b) x = 9

6.4 a) x = 6 b) x = 10

6.5 a) x = 82 b) x = 53, y = 53

6.6 a) a = 51, b = 51 b) a = 103

6.7 a) k = 78 b) k = 120

6.8 a) x = 24 cm, y = 62 b) x = 6 cm, y = 20, z = 70

6.9 a) x = 32.5 b) x = 125

6.10 a) x = 15 unit, y = 12 unit b) x = 16 unit, y = 9 unit

6.11 a) AC = 2.83 cm b) AE = 4 cm

6.12 13 cm

6.13 15 km

A -

EMBED Word.Picture.8

35(

A+

(

(

(

(

a

c

b

P

Q

R

a

2x

x

2x

x

O

O

2x

x

O

x

2x

O

A

B

C

D

E

F

O

A

B

C

w

x

z

y

O

B

D

x

y

C

A

4x

3x

2x

Q

P

88

37

79

3x

x

63

Q

S

P

R

A

K

J

x

y

L

M

25

B

73

B

A

O

O

a

120(

S

BR

O

O

F

E

D

B

B

O

A

O

a

105

x

z

a

47

b

x

140

2x

4x

4x

56

155

x

2x

3x

77

33

11x

3x

2x

35

36

36

x

133

x

y

50

a

85

a

56

26

m

105

120

m

O

y

28(

x

O

y

x

215

O

x

54(

75(

68(

x

27(

6

a

c

b

A

B

C

3cm

4 cm

4x

3x

2x

165

y

x

55 EMBED Equation.3

a

b

2x

55

3x

x

y

127

b

a

51

77

a

63

15

k

110

130

k

O

25 sm

y

7

28(

x

110(

x

6 cm

y

O

x

65(

83(

55(

x

30(

y

x

9

8

17

x

y

15

12

20

E

A

D

C

B

3

A

PENILAIAN KENDIRI

Tahniah ! Anda telah menghampiri kejayaan. Sebelum anda berpuas hati dengan pencapaian anda, sila cuba semua soalan dalam bahagian ini dan semak jawapannya pada maklum balas yang telah disediakan. Sekiranya terdapat sebarang kemusykilan, sila dapatkan khidmat nasihat pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!.

UNIT 6

OBJEKTIF

INPUT

Sudut pada garis lurus = 180(

2 sudut tegak = 90( + 90( = 180(

b

Rajah 6.4: Jumlah Sudut

Arah sudut putaran positif (+)

Arah sudut putaran negatif (-)

Sudut tegak

(Sudut tepat)

(=900

Sudut tegak bernilai 900 atau EMBED Equation.3 putaran

lengkap

Sudut cakah

Lebih daipada 900 dan kurang daripada

1800

( 90( ( ( ( 180( )

Sudut 0(

Tiada putaran berlaku

Jarak

S

R

Q

P

K

EMBED Equation.3 x + EMBED Equation.3 y = 180 EMBED Equation.3 w + EMBED Equation.3 z = 180

N

J

M

L

Sudut luaran JML = sudut dalaman JKN

A

P

Q

S

J

AKTIVITI 6a

46(

MAKLUM BALAS

INPUT

AKTIVITI 6b

W

Z

MAKLUM BALAS

133(

x

6x

4x

5x

50(

20(

4x

9x

60(

44(

54(

x

MAKLUM BALAS

_1061988260.unknown

_1061988729.unknown

_1062045239.unknown

_1062449343.unknown

_1062449392.unknown

_1062487041.unknown

_1062510285.unknown

_1062510336.unknown

_1092055508.doc

_1062510310.unknown

_1062510212.unknown

_1062450922.unknown

_1062450946.unknown

_1062450960.unknown

_1062450906.unknown

_1062449367.unknown

_1062449384.unknown

_1062078738.unknown

_1062078905.unknown

_1062161330.unknown

_1062078781.unknown

_1062078683.unknown

_1061988835.unknown

_1062044659.unknown

_1061988817.unknown

_1061988540.unknown

_1061988612.unknown

_1061988682.unknown

_1061988594.unknown

_1061988456.unknown

_1061988483.unknown

_1061988342.unknown

_1061987296.unknown

_1061988142.unknown

_1061988201.unknown

_1061988014.unknown

_1061661538.unknown

_1061840352.unknown

_1061840370.unknown

_1061665208.unknown

_1061665250.unknown

_1061662398.unknown

_1061661436.unknown

_1061661537.unknown

_1061661262.unknown