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UNITA’ 3. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE.
1. Generalità sulle equazioni goniometriche.
2. Equazioni goniometriche elementari con seno, coseno, tangente e cotangente.
3. Altri tipi di equazioni goniometriche elementari.
4. Le funzioni inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.
5. Equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche elementari.
6. Equazioni lineari in seno e coseno.
7. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.
8. Equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche omogenee di secondo grado.
9. Equazioni che si risolvono con le formule di prostaferesi.
10. Sistemi di equazioni goniometriche.
11. Calcolo del dominio di alcune funzioni goniometriche.
12. Calcolo del periodo delle funzioni goniometriche.
13. Le intersezioni delle funzioni goniometriche con gli assi cartesiani.
14. Esercizi vari e problemi di applicazione.
1. Generalità sulle equazioni goniometriche.
Le equazioni goniometriche sono equazioni che contengono l’incognita all’interno di qualche funzione
goniometrica (seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente).
Risolvere l’equazione goniometrica significa ricavare l’angolo incognito x (in radianti) oppure x° (in gradi)
che verifica l’uguaglianza tra il primo membro e il secondo membro.
Le equazioni goniometriche servono per risolvere problemi di Geometria o di Fisica in cui le incognite sono
degli angoli.
Ci sono vari tipi di equazioni goniometriche; le più frequenti sono le seguenti:
a- equazioni goniometriche elementari;
b- equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche elementari;
c- equazioni lineari in seno e coseno;
d- equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno;
e- equazioni riconducibili ad equazioni omogenee di secondo grado;
f- equazioni che si risolvono con le formule di prostaferesi.
2. Equazioni goniometriche elementari con seno, coseno, tangente e cotangente.
Sono equazioni goniometriche molto semplici che si possono risolvere in due modi:
a- ricordando i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari e ricordando la periodicità
di queste funzioni goniometriche. Può essere utile usare la circonferenza goniometrica.
b- utilizzando la calcolatrice scientifica, in particolare i tasti sin-1, cos-1, tan-1.
Esempio 1 2
1senx
Osservando la circonferenza goniometrica si può notare che il seno di un angolo è uguale ad 2
1 quando
l’angolo vale
k26 oppure quando l’angolo vale k2
6
5 . Le soluzioni pertanto si possono scrivere in
questo modo:
kxkx 26
52
6
Esempio 2 2
13cos x
Osservando la circonferenza goniometrica si può notare che il coseno di un angolo è uguale a 2
1 quando
l’angolo vale k23
2 oppure quando l’angolo vale k2
3
4 . Le soluzioni pertanto si possono scrivere
in questo modo:
kxkxkxkx3
2
9
4
3
2
9
22
3
432
3
23
Esempio 3 16
2
xtg
Osservando la circonferenza goniometrica si può notare che la tangente di un angolo è uguale ad 1 quando
l’angolo vale
k4
. Le soluzioni pertanto si possono scrivere in questo modo:
224
5 ;
12
52 ;
12
232 ;
642 ;
462
kxkxkxkxkx
Esempio 4 3122
cot
x
g
Osservando la circonferenza goniometrica si può notare che la cotangente di un angolo è uguale a 3
quando l’angolo vale k6
5. Le soluzioni pertanto si possono scrivere in questo modo:
kxkkkkx
26
11 ;
12
11
2
x ;
12
10
2
x ;
6
5
122
x ;
6
5
122
3. Altri tipi di equazioni goniometriche elementari.
Sono equazioni del tipo:
gytgxysenxgygxtgytgxyxsenysenx cot cos cotcot coscos
Esempio 1 xsenxsen 23
Il seno di un angolo è uguale al seno di un altro angolo quando:
il secondo angolo è uguale al primo, a meno di multipli di 2;
oppure quando:
il secondo angolo è uguale al supplementare del primo, a meno di multipli di 2;
Imponendo che gli angoli siano uguali si ottiene:
kxx 23
2 ;
kx 23 prima soluzione;
Imponendo che gli angoli siano supplementari si ottiene:
kxx 23
2
;
kxx 2
32 ;
kx 2
33 ;
kx 23
43 ; kx
3
2
9
4 seconda soluzione.
Esempio 2
3cos
122cos
xx
Il coseno di un angolo è uguale al coseno di un altro angolo quando:
il secondo angolo è uguale al primo, a meno di multipli di 2;
oppure quando:
il secondo angolo è uguale all’opposto del primo, a meno di multipli di 2;
Imponendo che gli angoli siano uguali si ottiene:
kkkxxkxx 212
5 x;2
12
5x ;2
1232 ;2
122
3 prima soluzione;
Imponendo che gli angoli siano opposti si ottiene:
kxkxkxkxx3
2
12 ;2
12
33 ;2
1233 ;2
122
3 seconda soluzione.
Esempio 3
362
xtgxtg
Affinché l’equazione abbia significato devono esistere le tangenti e perciò deve risultare:
per l’esistenza della prima tangente: 26
;6
22x ;
622x ;
262
kxkkkx
per l’esistenza della seconda tangente:
kxkxkx 6
5 ;
32 ;
23
Se le soluzioni dell’equazione goniometrica coincidono con questi valori, tali soluzioni non sono accettabili e
pertanto l’equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile.
Per risolvere l’equazione osserviamo che la tangente di un angolo è uguale alla tangente di un altro angolo se
i due angoli sono uguali, a meno di multipli di . Quindi deve risultare:
kxkxkxxkxx 2
;6
3 ;
362 ;
62
3 Soluzione accettabile.
Esempio 4
xgxg
2cot
3cot
Affinché l’equazione abbia significato devono esistere le cotangenti e perciò deve risultare:
per l’esistenza della prima cotangente: 3
;03
kxkx
per l’esistenza della seconda tangente:
kxkxkx 2
;2
;02
Se le soluzioni dell’equazione goniometrica coincidono con questi valori, tali soluzioni non sono accettabili e
pertanto l’equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile.
Per risolvere l’equazione osserviamo che la cotangente di un angolo è uguale alla cotangente di un altro
angolo se i due angoli sono uguali, a meno di multipli di . Quindi deve risultare:
212
;6
2 ;32
2 ;23
kxkxkxkxx Soluzione accettabile.
Esempio 5
6cos
62
xxsen
Il secondo membro si può trasformare in seno, poiché il coseno di un angolo α è uguale al seno dell’angolo
complementare
2. Perciò l’equazione diventa:
6262
xsenxsen e si riconduce ad un tipo di equazione precedente.
Imponendo che gli angoli siano uguali si ottiene:
kxkxkxkxx3
2
6 ;2
23 ;2
23 ;2
62
62 ; prima soluzione;
Imponendo che gli angoli siano supplementari si ottiene:
;26
36 ;2
626 ;2
62
62
kxkxkxx
kx 26
5 seconda soluzione.
Esempio 6
3cot
3
xgxtg
Il secondo membro si può trasformare in tangente, poiché la cotangente di un angolo α è uguale alla tangente
dell’angolo complementare
2. Perciò l’equazione diventa:
323
xtgxtg e si riconduce ad un tipo di equazione precedente.
Affinché l’equazione abbia significato devono esistere le tangenti e perciò deve risultare:
per l’esistenza della prima tangente:
kxkxkxkx
3
2 ;
6
3 ;
62 ;
26
per l’esistenza della seconda tangente:
kxkx 3
;232
Se le soluzioni dell’equazione goniometrica coincidono con questi valori, tali soluzioni non sono accettabili e
pertanto l’equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile.
Per risolvere l’equazione osserviamo che la tangente di un angolo è uguale alla tangente di un altro angolo se
i due angoli sono uguali, a meno di multipli di . Quindi deve risultare:
24
;2
2 ;323
kxkxkxx Soluzione accettabile.
4. Le funzioni inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.
5. Equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche elementari.
Queste equazioni si risolvono trasformando tutte le funzioni goniometriche in funzione di una sola di esse,
portando tutti i termini al primo membro e scomponendo il primo membro nel prodotto di più fattori di primo
grado o di secondo grado.
Applicando la legge di annullamento del prodotto si può uguagliare a zero ciascun fattore ottenendo varie
equazioni goniometriche elementari che si risolvono singolarmente.
A volte, prima di risolvere l’equazione, è necessario imporre alcune condizioni di accettabilità.
Esempio 1 ;1cos2 senxx
;11 2 senxxsen ;02 senxxsen ;02 senxxsen
;01 senxsenx
kxkxsenx ;00
kxsenxsenx 22
101
Esempio 2 ;0cos22 senxxxsen
012 ;01 ;01 22222 senxxsensenxxsenxsensenxxsenxsen
9811241
4
31senx
kxsenx 22
31
kxkxsenx 22
52
62
1
14
4
4
31
2
1
4
2
4
31
6. Equazioni lineari in seno e coseno.
Sono equazioni in cui si trovano sia il seno che il coseno di un angolo come funzioni di primo grado, e perciò
si dicono lineari. Hanno questa forma:
0cos cxbsenxa
dove a,b,c sono numeri reali qualsiasi.
Nel caso particolare in cui 0c l’equazione diventa:
0cos xbsenxa
che si può risolvere dividendo ambo i membri per cosx (che è certamente diverso da zero) ottenendo:
0 btgxa ; a
btgx
che è un’equazione goniometrica elementare con la funzione tangente.
Esempio 1. 0cos3 xsenx ;
03cos
x
senx; 3tgx ;
kx
3
Se invece 0c l’equazione risulta completa: 0cos cxbsenxa
e si può risolvere utilizzando le formule parametriche razionali trasformando senx e cosx in 2
xtgt ,
ipotizzando che 2
xtg esista, cioè ipotizzando che
k
x
22 e quindi kx 2 .
Se invece 2
xtgt non esiste, cioè
k
x
22, e quindi kx 2 , non si possono usare le formule
parametriche. Si deve allora sostituire l’angolo kx 2 nell’equazione data e controllare se anche
questo angolo è soluzione dell’equazione.
Esempio 2 01cos xsenx
Se 2
xtgt esiste, cioè
k
x
22 e quindi kx 2 , si possono usare le formule parametriche
razionali e l’equazione diventa:
011
1
1
22
2
2
t
t
t
t; 0
1
1122
22
t
ttt; 022 2 tt ;
02 tt ; 0)1( tt
0t 02
xtg ; k
x 0
2 kx 2
01t ;1t ;12
x
tg ;42
kx
kx 22
Se invece 2
xtgt non esiste, cioè
k
x
22 e quindi kx 2 , non si possono usare le formule
parametriche ma bisogna sostituire questo valore di x nell’equazione data e si ottiene:
01)2cos()2( kksen cioè 01)cos()( sen ; 01)1(0 ; 02
L’uguaglianza non è verificata per cui l’angolo kx 2 non è soluzione dell’equazione.
0t
01t
Esempio 3. 01cos xsenx
Se 2
xtgt esiste, cioè se
k
x
22 e quindi kx 2 , si possono usare le formule parametriche
razionali e l’equazione diventa: 011
1
1
22
2
2
t
t
t
t; 0
1
1122
22
t
ttt; 022 t ;
01t ; 1t ; ;12
xtg ;
42
k
x
kx 2
2
Se invece 2
xtgt non esiste, cioè
k
x
22 e quindi kx 2 non si possono usare le formule
parametriche razionali ma bisogna sostituire questo valore di x nell’equazione data e si ottiene:
01)2cos()2( kksen cioè 01)cos()( sen ; 01)1(0 ; 011 ; 00 .
L’uguaglianza è verificata per cui l’angolo kx 2 è anche soluzione dell’equazione.
7. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.
Sono equazioni in seno e coseno che hanno tutti i termini di secondo grado e perciò si dicono omogenee.
In generale hanno la forma:
0coscos 22 xcxsenxbxsena
Si possono risolvere dividendo ambo i membri per x2cos , che è sicuramente diverso da zero, ottenendo
un’equazione del tipo: 02 ctgxbxtga che è riconducibile ad equazioni elementari.
Esempio 1. 0cos3cos)31( 22 xxsenxxsen
0cos
cos3
cos
cos31
cos 2
2
22
2
x
x
x
xsenx
x
xsen
03312 tgxxtg
22
31323134323131431
2
3131tgx
1 tgx
k4
x
3 tgx
k3
x
12
2
2
3131
32
32
2
3131
8. Equazioni riconducibili ad equazioni goniometriche omogenee di secondo grado.
Sono equazioni del tipo: 0coscos 22 dxcxsenxbxsena
che non sono omogenee per la presenza del termine d che non è di secondo grado.
Tuttavia si possono ricondurre ad equazioni omogenee di secondo grado moltiplicando il termine d per il
numero xxsen 22 cos1 ottenendo:
0)cos(coscos 2222 xxsendxcxbsenxxasen
0cos)(cos)( 22 xdcxbsenxxsenda
che è un’equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno.
Esempio 1 03cos2cos)13()33( 22 xxsenxxsen
0cos33cos2cos)13()33( 2222 xxsenxxsenxxsen
0coscos)13(3 22 xxsenxxsen
01133 2 tgxxtg
22
133213343213)1(3413
32
1313tgx
ktgx 4
x 1
ktgx 6
x 3
3
132
32
32
1313
3
3
3
1
32
2
32
1313
02 xsen
01cos2 x
9. Equazioni che si risolvono con le formule di prostaferesi.
Queste equazioni si risolvono applicando le formule di prostaferesi e riducendole ad equazoni goniometriche
elementari.
Esempio 1. xsensenxxsen 23 ;
xsenxxxx
sen 22
3cos
2
32
;
xsenxxsen 2cos22 ;
02cos22 xsenxxsen ;
0)1cos2(2 xxsen
02 xsen ; kx 2 ; 2
kx
01cos2 x ; 1cos2 x ; 2
1cos x ;
kxkx 2
6
5 2
3
10. Sistemi di equazioni goniometriche.
Sono sistemi che contengono più equazioni, di cui almeno una è goniometrica. Si risolvono generalmente col
metodo di sostituzione.
Esempio
1cos2
4
ysenx
yx
Risolviamo a parte la seconda equazione:
01cos22
2cos
2
2 ysenyy si moltiplica per 2;
02cos222cos2 ysenyy si sommano i termini simili;
02cos232 yseny si divide per 2 ;
02
2cos3 yseny si razionalizza il denominatore;
02cos3 yseny
Si possono usare le formule parametriche se 2
ytgt esiste, cioè se
k
y
22 cioè se ky 2
In tal caso l’equazione diventa: 021
13
1
22
2
2
t
t
t
t; 012132 22 ttt ;
01cos24
4
yysen
yx
01cos24
coscos4
4
ysenyysen
yx
022332 22 ttt ; 023223 2 tt ; 023223 2 tt ;
22432284744)29(44232344
23
221
232
2212
232
242
t
Prima soluzione: 217
277
29
42623
)23)(23(
)23)(221(
23
2211
t
cioè karctgyy
tg 212
212
Dalla tabella pag 309 si vede che alla tangente 12 corrisponde l’angolo 8
e quindi possiamo dedurre
che alla tangente 21 corrisponde l’angolo 8
.
Quindi avremo:
kykkarctgy
248
212
e yx 4
cioè kx 2
Seconda soluzione: 7
125
7
251
29
42623
)23)(23(
)23)(221(
23
2212
t
cioè 7
125
2
ytg
Dalla tabella a pag 309 si vede che questo valore di tangente non corrisponde ad alcun angolo noto, per cui la
soluzione rimane scritta così.
karctgykarctgy
27
1252
7
125
2
e yx
4
cioè
karctgx 2
7
1252
4
Volendo calcolare l’angolo in gradi possiamo utilizzare la calcolatrice impostata in DEG. Avremo:
869,819349,402)86729,0(2
7
1252 11 tgtgy 869,126869,814545 yx
Se invece ky 2 risulta che 2
xtgt non esiste e non si possono usare le formule parametriche. In tal
caso bisogna sostituire questo valore di y nell’equazione data e vedere se anche quest’angolo è soluzione
dell’equazione.
Si ottiene che: 02302)1(3002cos302cos3 senyseny NO
Risolviamo lo stesso sistema goniometrico ricavando dalla prima equazione non la x ma la y; avremo uno
svolgimento più semplice.
1cos2
4
ysenx
yx
014
cos2
4
xsenx
xy
0144
coscos2
4
sensenxxsenx
xy
Risolviamo a parte la seconda equazione:
012
2
2
2cos2
senxxsenx ; 01cos senxxsenx ; 01cos2 xsenx
011
1
1
22
2
2
2
t
t
t
t; 0114 22 ttt ; 042 2 tt ; 042 2 tt ;
022 tt ; 0)2( tt
kxkxx
tgt 202
02
0 e 4
xy ;
ky 2
4
22
2 x
tgt
Dalla tabella a pag 309 si vede che questo valore di tangente non corrisponde ad alcun angolo noto, per cui la
soluzione rimane scritta così.
karctgxkarctgx
22222
e 4
xy cioè
karctgy 2
422
Volendo calcolare l’angolo in gradi possiamo utilizzare la calcolatrice impostata in DEG. Avremo:
8699,1264349,63222 1tgx e 869,81458699,12645xy
11. Calcolo del dominio di alcune funzioni goniometriche.
Il Dominio D di una funzione reale di variabile reale è l’insieme di tutti i valori della variabile x per i quali si
può calcolare il valore corrispondente della funzione )(xf .
Per determinare il dominio delle funzioni goniometriche bisogna imporre le seguenti condizioni:
- che le funzioni goniometriche si possano calcolare;
- che eventuali denominatori siano diversi da zero;
- che eventuali radici con indice pari abbiano il radicando maggiore o uguale a zero.
Esempio 1 Calcolare il dominio della funzione: xsenxxf cos)(
La funzione senx si può calcolare Rx e perciò non bisogna imporre alcuna condizione;
La funzione xcos si può calcolare Rx e perciò non bisogna imporre alcuna condizione;
Quindi il dominio della funzione )(xf è uguale all’insieme di tutti i numeri reali e si scrive: RD
Esempio 2 Calcolare il dominio della funzione: tgxsenxxf )(
La funzione senx si può calcolare Rx e perciò non bisogna imporre alcuna condizione;
La funzione tgx si può calcolare con la condizione che
kx 2
Quindi il dominio della funzione )(xf risulta:
kRD2
Esempio 2 Calcolare il dominio della funzione: gxtgxxf cot)(
0t
2t
La funzione tgx si può calcolare con la condizione che
kx 2
La funzione gxcot si può calcolare con la condizione che kx 0
Si possono sintetizzare queste due condizioni in una sola condizione scrivendo 2
0
kx
Quindi il dominio della funzione )(xf risulta:
2
kRD
Esempio 4 Calcolare il dominio della funzione: 12
3)(
senxxf
La funzione senx si può calcolare Rx e perciò non bisogna imporre alcuna condizione;
Il denominatore deve essere diverso da zero e perciò bisogna imporre la condizione:
kxsenxsenxsenx 26
;2
1 1;2 ;012
Quindi il dominio della funzione )(xf risulta:
kRD 26
12. Calcolo del periodo delle funzioni goniometriche.
Sia )(xfy una funzione reale di variabile reale, avente Dominio D.
Si dice che la funzione )(xf è periodica di periodo T se:
)()( inoltre e : xfTxfDTxDx
Una funzione periodica di periodo T ha il grafico identico in ogni intervallo di ampiezza T.
Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e le loro funzioni reciproche cosecante, secante,
cotangente, sono le tipiche funzioni periodiche.
La funzione senxxf )( e la sua funzione reciproca senx
ecxxf1
cos)( hanno il periodo T=2;
La funzione xxf cos)( e la sua funzione reciproca x
xxfcos
1sec)( hanno ha il periodo T=2;
La funzione tgxxf )( e la sua funzione reciproca tgx
gxxf1
cot)( hanno ha il periodo T=;
Le funzioni goniometriche più complesse hanno un periodo che si può calcolare come nei seguenti esempi.
Esempio 1 Determinare il periodo della funzione xsenxf4
3)(
Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risultare )()( xfTxf , cioè:
kkTkTkxTxxsenTxxsenTxsen3
82
3
4 ;2
4
3 ;2
4
3
4
3
4
3 ;
4
3
4
3
4
3sen ;
4
3)(
4
3
Per k=1 si ottiene il periodo principale: 3
8T
Esempio 2 Determinare il periodo della funzione
25)(
xtgxf
Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risultare )()( xfTxf , cioè:
5
;5 ;2
52
55 ;2
52
55 ;2
52
5
kTkTkxTxxtgTxtgxtgTxtg
Per k=1 si ottiene il periodo principale: 5
T
Esempio 3 Determinare il periodo della funzione xxsenxf 3cos35)(
Per calcolare il periodo bisogna trasformare la funzione in modo che contenga una sola funzione
goniometrica.
La struttura della funzione ci ricorda la formula: xsenxxsen cos22 che modificheremo opportunamente
per ottenere la nostra funzione )(xf
xsenxsenxxsenxsenxxsenxxsen 22
5cos52
2
1coscos22
Ad ambo i membri si sostituisce l’angolo x con l’angolo 3x e si ottiene: xsenxxsen 62
53cos35
Quindi la funzione )(xf si può scrivere: xsenxf 62
5)(
Per trovare il suo periodo bisogna porre: )()( xfTxf cioè:
3
;26 ;2666 ;666 ;62
5)(6
2
5 kTkTkxTxxsenTxsenxsenTxsen
Per k=1 si ottiene il periodo principale: 3
T
Esempio 4 Determinare il periodo della funzione xsenxf4
35)( 2
Per calcolare il periodo bisogna trasformare la funzione in modo che non contenga il quadrato.
La struttura della funzione ci ricorda la formula: xsenx 2212cos che modificheremo opportunamente
per ottenere la nostra funzione )(xf .
xxsenxxsenxxsenxsenx 2cos12
552cos1
2
12cos12212cos 2222
Ad ambo i membri si sostituisce l’angolo x con l’angolo x4
3 e si ottiene:
xxsenxxsen
2
3cos1
2
5
4
35
4
32cos1
2
5
4
35 22
Quindi la funzione )(xf si può scrivere:
xxf
2
3cos1
2
5)(
Per trovare il suo periodo bisogna porre: )()( xfTxf cioè:
xTx
2
3cos1
2
5)(
2
3cos1
2
5 e semplificando opportunamente si ottiene:
kTkTkxTxxTx3
42
2
32
2
3
2
3
2
3
2
3cos
2
3
2
3cos
Per k=1 si ottiene il periodo principale: 3
4T
Esempio 5 Determinare il periodo della funzione xxf2
7cos3)( 2
Per calcolare il periodo bisogna trasformare la funzione in modo che non contenga il quadrato.
La struttura della funzione ci ricorda la formula: 1cos22cos 2 xx che modificheremo opportunamente
per ottenere la nostra funzione )(xf .
xxxxxxxx 2cos12
3cos32cos1
2
1cos2cos1cos21cos22cos 2222
Ad ambo i membri si sostituisce l’angolo x con l’angolo x2
7 e si ottiene:
xxx 7cos12
3
2
72cos1
2
3
2
7cos3 2
Quindi la funzione )(xf si può scrivere: xxf 7cos12
3)(
Per trovare il suo periodo bisogna porre: )()( xfTxf cioè:
xTx 7cos12
3)(7cos1
2
3 e semplificando opportunamente si ottiene:
kTkTkxTxxTx7
22727777cos77cos
Per k=1 si ottiene il periodo principale: 7
2T
Esempio 6 Data la funzione )()()( 21 xfxfxf con
)(1 xf periodica di periodo 31 T
)(2 xf periodica di periodo 42 T
determinare il periodo della funzione somma )()()( 21 xfxfxf
Se )(1 xf ha periodo di 3 essa si ripete dopo 3 6 9 12 15 ecc.
Se )(2 xf ha periodo di 4 essa si ripete dopo 4 8 12 16 20 ecc.
La funzione somma )()()( 21 xfxfxf si ripete quando si ripetono entrambe le funzioni )(1 xf e )(2 xf .
Osservando tutti i multipli del primo periodo e tutti i multipli del secondo periodo si osserva che le due
funzioni si ripetono entrambe in corrispondenza del più piccolo multiplo comune: 12 .
Possiamo generalizzare dicendo che:
se una funzione )(xf è data dalla somma algebrica di più funzioni: ... )()()()( 321 xfxfxfxf
con )(1 xf periodica di periodo 1T
)(2 xf periodica di periodo 2T
)(1 xf periodica di periodo 3T ecc.
allora la funzione somma )(xf ha come periodo il minimo comune multiplo tra tutti i periodi delle
singole funzioni.
13. Le intersezioni di una funzione goniometrica con gli assi cartesiani.
Sono i punti in cui una funzione goniometrica incontra gli assi cartesiani. Servono per disegnare in modo più
preciso il grafico di una funzione goniometrica. Si ricavano risolvendo il sistema tra l’asse x con la funzione
goniometrica e il sistema tra l’asse y con la funzione goniometrica.
14. Esercizi vari e problemi di applicazione.
