kDA UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abieiia al timw UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeriieria

\

REPORTE DE INVESTIGACION

TEORIA DE OPERADORES CON APLICACIONES A LA FISICA 'I

J. H.. ARREDONDO R.

MATEMATICAS

ANAL IS IS

O402101 002.90

TEORIA DE OPERADORES CON APLICACIONES A LA FISICA

J. H. Arredondo R' . Universidad Nacional Autónoma de México.

Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas.

Departamen to de Física-Matemática.

Ciudad Universitaria.

Resumen

En este trabajo se discute la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert y algunas de sus

aplicaciones a la teoría matemática de colisiones en mecánica cuántica. Se presenta una prueba a la completitud asintótica de los operadores de Moller que sigue de cerca el aspecto geométrico del fenómeno

físico involucrado.

*

Dirección actual: Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. Departamento de Matemáticas. Av. Michoacán y la Purísima. Col. Vicentina, [ztapalapa. C.P. 09340. Apdo. Postal 55-534, México, D.F.

CONTENIDO

Breve introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I . Algunas propietlndcs de los opcradoics aiitoadjuiitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Subespacios iiivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

21

..... _____- .____.^.__ . c . _...-- 4-.

I . 2 . Represent acióii esp c c t. r a 1 p ;I rit o p ( ~ r n ( lo 1 es a 11 t oadj ui i tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. Medidas espect rales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4. Caracterización de las iiiedidas espectrale. j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I1 . Teoría matemática de colisiones eii iiicciíiiiia cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.1. Hamiltonianos para sisi.cin:is d e dos partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.2. Teoría espectml y dc colisioiics par;% sistemas de dos partículas . . . . . . . . . . . . . . . 49

11.3. Completitud asintOíica para o p e r : ~ ( I o r i ~ (le Cclirodiiiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

TEORIA D E OPERADORES CON APLICACIONES A LA FISICA

Breve i:ntroducción histórica

El desarrollo del formalismo abstracto en mecánica cuántica dentro de la disciplina del análisis funcional estuvo influenciado de manera esencial por la utilización por parte de J. von Neumann [ ‘ I , de la estructura matemática inventada por el genio alemán D. Hilbert. Los trabajos pioneros de Rellich sobre perturbación de eigenvalores aisladac de multiplicidad finita [’I y de Friedrichs sobre análisis espectral de operadores diferenciales e integrales 131 fueron de los pocos intentos por estudiar sistemas cuánticos específicos. A partir de los trabajos de Kat0 sobre sistemas atómicos 141 y de Garding y Wightman sobre teoría cuántica de campos [51 , se reafirmó la utilidad del análisis funcional sugiriendo también que problemas matemáticos interesantes podrían surgir de la física moderna.

En una de las ramas de la mecánica cuáiitica se encuentra la teoría matemática de colisiones. Esta teoría fue iniciada con base en dos fuentes, una de ellas puramente matemática y la otra inspirada más en la física.

La primera ha sido ampliamente desarrol1,ada sobre todo después de la aparición del famoso teorema espectral para operadores autoadjuntos junto con la creación de la teoría de invariantes unitarios y la clasificación de partes invariantes del espectro bajo transformaciones unitarias.

Por el lado de la física, Moeiler introdujo las nociones de operadores de onda y operador de colisiones tomando ciertos límites (véase más adelante), <%unque sin precisar en qué sentido habrían de tomarse éstos. Friedrichs 1’1 introdujo operadores de onda para una clase muy particular de operadores.

[ ‘I Neumann, v. J. “Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik”, Springer, Berlin, 1932. [’I Rellich, F . a) Storungstheorie der Spektrallzerlegung, I. Math. Ann. 113 (1937) 600-619. b) Storungs

theorie der Spektralzerlegung, 11. Math. Ann. 1113 (1937) 677-685. c) Storungstheorie der Spektralzerlegung, 111. Math. Ann. 116 (1939) 555-570. d) Storurigstheorie der Spektralzerlegung, IV. Math. Ann. 117 (1940) 356-382. e) Storungstheorie der Spektralzerlegiing, V. Math. Ann. 118 (1942) 462-484.

[31 Friedrichs, K. O. a) Spektraltheorie der halbbeschrankter Operatoren und Anwendung auf die Spek- tralzerlegung von Differentialoperatoren, I. Math. Ann. 109 (1934) 465-487. b) Ueber die Spektralzerlegung eines Integraloperators. Math. Ann. 115 (19381) 249-272.

141 Kato, T. a) On the convergence of the perturbation method. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I. 6 (1951) 145-226. b) Fundamental properties o f Hamilton operators of Schródinger type. Trans. Am. Math. Soc. 70 (1951) 195-211. c) On the existence of solutioins of the helium wave equation. Trans. Am. Soc. 70 (1951)

i51 Los axiomas de Garding fueron formulados por L. Garding y A. S. Wightman alrededor de 1950, no los publicaron porque solo contaban con ejemplos triviales. Varias versiones preliminares aparecieron en otros lugares.

212-218.

Hellinger, E., Toeplitz, Encyklop. Math. Wiss. IIC. 13 (1928) 1335-1616. [A Moeller, C. General properties o f the caracteristic matrix in the theorie o f elementary particles, I.

Friedrichs K. O. On the perturbation of continuous spectra. Comm. Pure Appl. Math. 1 (1948) Danske. Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 23 (19415) 1-48.

361-406.

1

Cook ['I dio el primer paso en la formulación matemática rigurosa, dando una prueba de la existencia de los límites propuestos por Moeller.

Dentro de los últimos desarrollos de la teoría de colisiones se encuentra el método de Enss [lo] para la completitud asintótica. Este método sigue de (cerca el aspecto geométrico del fenómento físico, con lo cual se logran estimaciones finas mediante la teoría del cálculo funcional. Este método se analizará con detalle en la prueba de la completitud asintótica para el problema cuántico de dos cuerpos.

En estas notas deseamos discutir los métodos y técnicas de los temas involucrados en lo arriba men- cionado. Es decir, la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert y sus aplicaciones a la teoría matemática de colisiones en mecánica cuántica.

['I Cook, J. Convergence of the Moeller wave matrix. J. Math. and Physics. 36 (1957) 82-87. [lo] Enss, V. Asymptotic completeness for quantum mechanic potential scattering. Comm. Math. Phys. 61 (1978), 285-291.

2

Preliminares

Sea Z un espacio vectorial complejo (es decir, un conjunto de elementos para los cuales las operaciones de adición 'u + v de elementos en Z y multiplicación QU por un escalar a E C están definidas). Una forma sesquilineal s(u, v) sobre 9 x E es una función a valores en C, la cual es lineal conjugada (antilineal) en el primer argumento y lineal en el primero. La igualdad

(0.1) 1 4

s(u, v) = -[.('u + u) - s(u - u ) + 2s(. - 2.) - 2s(. + zv)],

donde scf ) := ~ ( f , f), es llamada la identidad de polarización. Una forma sesquilineal s es llamada simétrica si s(g, f) = s ( f , 9). Y es llamada no-negativa si s ( f ) >_ 0,Vf E 9. Si s es no-negativa, s es llamada un semiproducto escalar sobre E. Para semiproductos es válida la desigualdad de Schwarz

I s('u,v) l 2 L s('u) . s ( v ) . (0.2)

Si s es un semiproducto escalar tal que $:('u) = O implica 'u = O, entonces s es llamada un producto escalar. Denotaremos semiproductos o productos escalares por (., .).

Sea (.,.) un semiproducto escalar en E. El conjunto de vectores 'u E Z tales que (u,u) - = O , es un subespacio de E, llamado el núcleo de (., .) y denotado por ker ( . , e ) . En el espacio cociente E = E / k e r ( . , .) , se tiene el producto escalar (., .)- definido por

([.fl, [!?I)- := ( f , s ) , (0.3)

donde [f] denota la clase de equivalencia asociada al vector f E E. Un espacio vectorial complejo con un producto escalar (.,.) es llamado un espacio pre-Hilbert.

Una seminorma p sobre Z es una función a valores reales, no-negativa que satisface

P(f + 9) I P(f> + p(g). (0.4b)

Una seminorma p es llamada norma si p(f) = O , implica f = O. Z equipado con una norma es llamado un espacio normado. En un espacio normado, 9 y norma p, una sucesión {fn} es llamada de Cauchy si

y es llamada fuertemente convergente en la norma de Z si existe un elemento f E E, tal que

liin p(fn - f) = O. n-.w

Nótese que una sucesión fuertemente Convergente es también de Cauchy. Un espacio normado es llamado completo si cada sucesión de Cauchy es fuertemente convergente en la norma del espacio. Este espacio es llamado un espacio de Banach. Un espacio pre-Hilbert completo es llamado un espacio de Hilbert. Recordemos que dado un espacio normado Z, siempre es posible construir la complesión de este espacio con respecto a su norma. La complesión de un subespacio cualquiera M c E con respecto a - la norma en Z, es denotada por u. Un subespacio M de un espacio normado Z, es llamado denso en E, si M = 9.

Un espacio de Hilbert es llamado separable si tiene un conjunto denso numerable. Supondremos que los espacios de Hilbert considerados son separabitB.

3

Ejemplos 0.6

l).- Z = Funciones continuas por pedazos is valores complejos con dominio ?R y norma

2).- E = C* 3 u = ( q , u 2 , . . . , u n ) , con norrnap(v) = maxl<i<nwi.

3).- Dada una medida v positiva en ?Rn, se puede definir la forma sesquilineal s ( f , g) := s,mr(~) .g(z)dv sobre E = Funciones acotadas y medibles con respecto a la medida v a valores complejos con soporte compacto.

En el ejemplo 1 se tiene un espacio normado el cual no es completo. En el 2, se tiene un espacio normado de dimensión finita, el cual siempre es cerrado. En el 3, se tiene un espacio pre-Hilbert, para el cual puede mostrarse que su complesión, L2(?Rn,dv) consta de elementos que no son funciones sino clases de funciones difiriendo en conjuntos de v-medida nula. Es 'decir, se obtiene un espacio de Hilbert.

Si dos normas p1,p2 en un espacio E satiisfacen ap1(.) 5 p ~ ( . ) 5 bpi(.), con a , b constantes positivas, entonces se dice que las normas son equivalentes.

Un mapeo T : 2 1 + 2 2 entre espacios normados satisfaciendo pl(T<) = pi(<) para todo < E E1 es llamado una isometria.

Con base en el axioma de elección, dado u.n espacio vectorial E, siempre es posible encontrar una base de Hamel {e,},y E I , tal que cada vector < E 1: puede ser escrito como una suma:

i

donde solo un número finito de a; son distintos de cero. Generalmente el conjunto I es no numerable. La cardinalidad de I es conocida como la dimensitjn algebraica de este espacio.

Definición 0.7

Una funciónal lineal w en un espacio vectorial E es un mapeo 2 -+ C tal que < + tu(<)

cumple con W(<l + <2) = W(t1 ) + W ( < z ) y w(a<) = a w ( t ) , a E c.

Nótese que el espacio de funcionales lineales sobre un espacio vectorial tiene una estructura lineal, pero solo en espacios de dimensión finita estas funcionales son automáticamente continuas. Por ejemplo, considérese el espacio de sucesiones a = {an):=,, tales que

n=l

Este espacio es denotado por 1'. Se puede mostrar que este espacio es de Banach y con dimensión infinita. Para el subespacio de l', que consta de los vect,ores u = { v ~ } ~ = ~ tales que solo un número finito de u, es no cero, definimos

4

Por el teorema de IIaliii-Baiiiicli [''I sc piiede cstender w a todo el espacio I' como una funcional lineal [l2I. w no es continua piicsto qi ie los vcctorcs con componentes cero exceptuando la componente n-ésima con valor i/n convergen al vector cero en I ' , mientras que tu( ( " ) = 1,V n.

Para excluir fuiicioiiales t lc cbte tipo sc tonla la siguiente

Definición O.&

En un espacio de Baiiacli E, el espacio dual E' es el espacio de funcionales lineales continuas sobre E.

En E', se puede tleíiiiir la iiornia

la cual hace a 2 1 1 1 1 espacio dc I k i i i ~ i c I i

cada elemento I : I diiai de este espacio, Z'', siempre contiene a Z si se piensa en

E E ~ 0 1 1 1 0 la f i i i i c io i in l I i i i ( T o 1 >obre 2

X < ( l U ) := 7 4 0 si E'/ Riesz.

= - =, eiitoiices E vs I i n i i i ; i ( l o r c f l ( ~ i i v n . 'Todos los espacios de Hilbert son reflexivos por el teorema de

Definición O . 10

Denótese por L(f , i') el wpacio de fiiiicioiies l ineales continuas del espacio de Banach E al espacio de Banacli r. Si E = I', Imiieiiios D(S) = L(E , Ej. Los elementos de estos conjuntos son llamados operadores acot idos.

Bajo esta definición se íic~ric la i ~ i i ; i l c l ~ ~ d L(f , C) = E', Es fácil ver que un operador T pertenece a L(E , r) si y solo si

(0.11)

Como es el caso en iiiat,i.ices de cliiiiciicióii finita, se piiede construir un mapeo dual T' : r' - E' de la

Para cada x E I", la í'iiiicioii;il liiical Z - C deíinidii por siguiente manera:

["I Veáse apéndice. ["I También es posible Iicfiiiir I ; I í ' i i i i c i o i i a l liiieai tu en términos de una base de Hamel para 1'. Para esto considérense los vcicí,ores e; E 1' , i = 1 . 2 , . _ . ( t,alcs que siis componentes sean cero exceptuando la i-ésima la cual es uno. Tóiiieiise vcctores {C,}, -; E I 1ia.jt.a completar u n a base de Hamel en 1'. Cada vector puede ser escrito como una siinia fit1ii.a

Si definimos

n=l

se verá que tu es una fiiiicionnl l i i i c c i l sol~rc I' I:8ieii definidii, puesto que solo un número finito de c; es distinto de cero.

5

.I([) := x(T0 es continua y por io tanto w E E'. Pongarnos

T'x := w , (0.12)

Trivialmente vemos que T' es un operador lineal y además por el teorema de Hahn-Banach

(0.13)

Puesto que un espacio de Hilbert E, con producto escalar (-, .)E es isomorfo a su dual, podemos asociar a cada funcional lineal continua w E E' un único elemento &, E E tal que para todo 4 E E

w(4) = ( €w , 4 )e. (0.14)

Haciendo uso de esto podemos considerar un rriapeo adjunto T' de un operador entre dos espacios de Hilbert T E L(Z , f) como un elemento de L(f , E). T' está definido por

T' := Cg' T'Cr, (0.15)

E 2 la funcional lineal continua (e , .)E. Entonces donde CE : Z --+ Z' = E, es el mapeo que asigna a cada T* satisface para todo [ E E y $ E I'

(0.16)

L(Z , I') con la norma [ITllz,r es un espacio de Banach. La topología heredada por este espacio bajo esta norma es la topología uniforme. Se pueden definir otras topologías en este espacio como son la fuerte y la débil. Las topologías fuerte y débil no provienen de una métrica. Una base de vecindades en el origen respectivamente es

El uso de distintas topologías provee de criterios para considerar existencia de límites que en la topología de la norma no existen. Si Z y r son de dimensión finita, entonces las topologías uniforme, fuerte y débil coinciden.

En mecánica clásica la dinámica en el tiempo está dada por un grupo a un parámetro. En mecánica cuántica también tenemos esta propiedad, aunque su continuidad es más débil. Esto provoca que su generador no sea un operador acotado. Es decir, el generador no puede estar definido en todo el espacio.

Sean li, i = 1 ,2 , espacios de Hilbert. Sa dice que T es un operador de 21 en 22 si T es lineal de su dominio D(T) C Z1 en S2. A menos que se especifique lo contrario, se supondrá que D(T) es denso en E1 y que Ei, i = 1 , 2 son espacios de Hilbert sepazables.

Para identificar un operador se tiene entorices que dar su dominio y la forma en que actúa en su dominio.

6

Definición 0.19

- La gráfica de u11 opcicido~ ír' de El t i i =? 13s el subconjunto de Z1 x definido por

{< E , TE > I: E D(T)} . (0.20)

La gráfica de u i i opcindoi 7' ( '5 cleiiota(l;t por r(S). T es Ilainado cerrado si r(T) es un subespacio cerrado Jel espacio de l l i l lwi t 3, x 3: con pioducto escalar

( < Ct1,vi > 3 < : 2 , 712 > ) := (E1,?71)1 + (EZ,i72)2, (0.21)

donde tZ , ql E Z?, i = 1 , 2 , y (., .)z, / = 1 , 2 denota el producto escalar en E,, i = 1,2.

Definición 0.22

_- e-.. I - . - <. _ - Sean T y R oper,itlorc\ ( I C El cii E' S I FÍR) e f(T), entonccs T es llamado una extensión de R y escribimos R c T ~ ~ ~ ~ i i ~ ~ ~ l ~ ~ i ~ ~ c i i i ~ ~ i ~ ~ ~ ~ . fl(!¿) c O(7') y TE = R,C para todo ,C E D(R).

Definición 0.23

Sea T como en la D(.íiiiicióii 0.19. T cc Ila iin(lo cerrahle, si tiene una extensión cerrada. Cada operador cerrahle tiene uiia ctstt:iisióii i i i í i i i i i i a ccir ; i t la , In cual llamamos la cerradura de T, denotada por T.

-

Por el teorenia de 1,i grcificti CCri:i<IiL, 1111 operador cerrado definido en todo el espacio de Hilbert es acotado. Veáse ap6iiclicc p a r a 1111 ciiiiiiciado df.1 teorema de la gráfica cerrada.

- - Si T es un operatlor (Ir - 1 1-11 Zi, ccirnhle. ciitoncec T ( T ) = r(T).

Definición 0.24

- Sea T un operador (le Z1 ('i i

existe O, E E1 coli

. S c i ~ D(í"*) el subespacio de E? formado de vectores 11 para los cuales

( T(,II : ? = (F,¢, ). vé E f1. (0.25)

Para cada 7 E D(T'), >c tlrfiiic T * i / = o. T' es llantado el operador adjunto de T.

Nótese que cuando T cs 1 1 1 1 opcrntloi í i c o t ado, esta definición coincide con la fórmula (0.15).

Sea I/ el operador i i i i i t . i i I O ~ I P 3, x fl \oI)ic 32 x definido por

(0.26)

(0.27)

= ( L'-'r(T*))l = I'(T**), (0.28)

donde si N c f , Jí'- deiiota PI siibcslmcio dc E de vect.ores ortogonales a M. Usando estas dos fórmulas es fácil ver que si T es 1111 opciaclor (Ir: (:n ::?, cntoiices T' es cerrado. También T es cerrable si y solo si D(T') es denso, y c n cuyo caso 7' = 'f.**. Il(leniis, si T es cerrable, entonces (T)* = T*.

- -- -

7

Definición 0.29

Sea T un operador de D(T) c E en B mismo. Se dice que un número complejo X está en la resolvente de T, si XI - T es una biyeccón de D(T) sobre Z con inversa acotada. I siendo el operador identidad en Z. p(T) denota el conjunto de números, complejos que estan en la resolvente de T y a(T) denota su complemento, el cual es nombrado como el espectro de T. Para X E p(T) se define

R.x(T) := (XI - T)-', (0.30)

Rx(T) es llamada la resolvente de T en A.

La resolvente de T es una función analítica de p(T) c C en B(E), y además se tiene la igualdad para A, c1 E P(T)

Rx(T) - Rp(T) = (P - X)Rp(T)Rx(T>. (0.31)

Definición 0.32

Un operador T de E en E mismo, es llamado simétrico si T c T*. Y es llamado autoadjunto si T = T'. Un operador simétrico T es llamado esenc.ialmente - autoadjunto si T es autoadjunto. Si T es cerrado, un subespacio D c D(T) es un núcleo para T si TID = T.

Existe un criterio para verificar si un operador T simétrico de E en B es autoadjunto.

Criterio 0.32a

Si T es simétrico entonces T es autoadjunto si y solo si T es cerrado y Ker(T* f i ) = { O } , o equivalen temente Ran(T f i) = E.

T es esencialmente autoadjunto si y solo si Ker(T* f i) = {O}, o equivalentemente Ran(T f i ) es denso en =. -

Ejemplo 0.33

Tomemos E = L2([0, 11,dx). Definamos el operador T como

1 ( W x ) = ; . t ( x ) .

con dominio D(T) = {( E El< = O a.e., en alguna vecindad del origen}.

T no es un operador cerrado, debido a que la sucesión de funciones {tn} definidas como tn(x) = x, si x > y como cero en [O, +] cumple con que

(,, -+ <(x) = x, en Z, T(,, -+ I(x) 1 en Z.

Pero ((x) = 2 no pertenece a D(T). Por lo t,anto, este operador no es cerrado. T es simétrico, pero al ser no cerrado no puede ser autoadjunto. Para obtener T, considérese q5 E D(T) y supóngase que $ E D(T*). Entonces ,

8 .

donde rl E E. Tomando funciones de la forma q5 = XA = función característica del conjunto A c [O, 11, se prueba que q(z) = :. $(x), a.e. En consecuencia, $ 1 $(z) E 2 y D(T*) = {$ E Eli . $(I) E E}. T' es un operador cerrado y simétrico. Como T c T', entonces T** c T'. Por ser Y simétrico, T' c T**. Es decir, T' es autoadjunto. Puesto que T = T" = T* les autoadjunto, entonces T es esencialmente autoadjunto.

Ejemplo 0.34

Tómese 2 como en el ejemplo anterior y diefínase al operador T como

1 (T4)(z) := 4 ( p ,

con dominio

D ( T ) :== {4 E El4 continua }.

Se desea calcular el adjunto de este operador. Tómese II, E Z y 4 E D(T*) , entonces

para todo $ E D(T) y q E E. Por la desigualdad de Schwarz

Puesto que Il$ll puede ser arbitrariamente pequeño,

(0.35)

(0.36)

(0.37)

(0.38)

(0.39)

Tomando II,, + q en 9, se obtiene que q = O. Es decir, T*4 = T,I = O. E l dominio de T' es el subespacio de vectors ortogonales al vector 1 E 2. D(T*) no es denso y T' actúa trivialmente en su dominio.

Teorema 0.40

Sean T autoadjunto y V simétrico en E con dominios D(T) y D(V) respectivamente con D(T) s D(V). Supóngase que existen constantes O 5 a 5 1, 2 O , tales que

para todo $ E D(T) . Entonces T + V definido en D(T) es autoadjunto. Si T es esencialmente auto -adjunto en D C D(T), entonces T + V también lo es.

Demostración : Nótese primero que la condición (0.43) es equivalente a la condición

9

IlVíc,l12 2; b211Tíc,lI2 + ~211íc,112, (0.44)

para ciertas constantes a, b E R'. Usando que 7' es un operador autoadjunto, tenemos para z E C

(0.45)

(0.46)

(0.47)

IlV. R(~ic:)vl l I b l lVI I , c = a / b , (0.48)

donde R(z) = R,(T) definido en (0.30). Por t:l criterio mencionado abajo de la definición 0.32, los vectores v en (0.47) forman todo E. Entonces,

(0.49)

( Z - B , ) - ( T f i c ) = T+V f i c , (0.50)

se verá que Ran(T+ V f ic) = Z. Por el criterio de autoadjuntes esto muestra que T+ V es autoadjunto en D(T). Si T es esencialmente autoadjunto en 11, argumentos similares muestran que Ran(T + V f ic) I D es denso en Z, lo cual es equivalente a que T + V sea esencialmente autoadjunto en D. Esto prueba el Teorema.

Definición 0.51

Una función ü(t) de R' a valores en B(Z), Z un espacio de Hilbert es llamada un grupo unitario a un parámetro fuertemente continuo si satisface las siguientes dos propiedades:

1. Para cada t E R', ü(t) es un operador unitario [131 y

U ( t + s) = U ( t ) U ( s ) (0.52)

para todo t , s E R', con U(0) = Z. 2. U ( t ) es fuertemente continuo: Para todo $J E Z,

si t -, to ,

Sea 1c, E E y T E R', entonces como ü(t) es fuertemente continuo, la expresión

j dtU(t)íc, , O

(0.53)

(0.54)

está bien definida como una integral de Riemrrian. Para T > h > O, 7 h

O O

Usando esta igualdad, se verá que en un subconjunto denso de Z,

U ( h ) - I s .- lim

h-O h ' existe y define un operador en Z. Donde s - lirn significa el límite fuerte en Z.

Definición 0.57

El generador de un grupo D(T) c Z dado por

y con regla de aplicación

(0.55)

(0.56)

unitario a un parámetro fuertemente continuo en E es el operador con dominio

< ez is te }, U ( h ) - I D(T) := {< E IEls - lim h-O h

U ( h ) - I T< := - i s - lim <. h-O h

(0.58)

(0.59)

Teorema 0.60 (Teorema de Stone)

El operador T es el generador de un grupo unitario a un parámetro fuertemente continuo en Z si y solo si T es autoadjunto.

Demostración:

Si se tiene U ( t ) un grupo unitario, de (0.54-55) se obtiene que su generador T , es a dominio denso y

U ( h ) - I < I rl) ( T < , q ) = :ilim(

h-O h

Esto prueba que T es simétrico en su dominio. Para ver que T es cerrado se usará

T 7.

e = dsU(s)T(, 1 U ( h ) - I = -i Jdsüi:s) O . h O

(0.61)

(0.62)

5. Para todo Z k E D ( T ) . Sean <VI E D ( T ) , 7, if E Z tales que Ttn - 7, <,, -+ <. Defínanse los siguientes operadores acotados

€ 1 (0.63) . U ( s ) - I Tat := -i.

S

(0.64)

11

V< E E. Se obtiene de (0.55), (0.62) y la continuidad de los operadores en (0.63-64) que

T a E n = (T<n)s -+ 75, (0.65)

Tat, -+ T$<. (0.66)

Por lo tanto, Ts< = qs. Como va + 7 esto implica que Td< converge. Por la definición de T, < E D ( T ) y T< = 7. Esto prueba que T es cerrado. Para. probar que T es de hecho autoadjunto se usa el argumento dado en la prueba del lema de Nelson. Esto prueba el teorema en una dirección.

Tomemos ahora T autoadjunto. Considérese

'- T2 := -I - :r2. ( T - I)-', I E R'. (0.67)

Defínase (isT,)"

exp(isT2) ::= n - lim -. m-00 rn!

j =O

(0.68)

Este operador es unitario con inversa

{exp(isTz)}-' = exp(-isT,). (0.69)

Nótese que si < E D ( T ) , lim T2< = TI,

2--00

[exp(isT2) - exp(isT,)]< = ieisTs dre-jrTS [Ty - TZ]eirTv<. O

Por lo tanto, 11 [eisTz - eis3"v]< 11 5 sl/[T2 - Ty]<ll -+ O,

usando (0.70). Por densidad se deduce que

existe. Defínase ü(s),< := lim eirTs<.

2-00

Por el teorema fundamental del cálculo:

eirTs< = < + i drTzerTs<, i O

entonces

O

= < + j drTU(r)(. O

(0.70)

(0.71)

(0.72)

(0.73)

Entonces

12

Como ü(.) es el límite fuerte de operadores unitarios, entonces ü(.) también es unitario. Es fácil checar la unicidad de U. Esto demuestra el teorema. Para terminar esta sección se discutirám algunos ejemplos que ilustran los conceptos definidos anterior-

mente.

Ejemplo 0.76

Tomemos Z = L2[0, 11. Sea T = i& COIL dominio D ( T ) = {tI( E AC[O, 11 [141, [(O) = <(l) = O}. T es obviamente simétrico pues si f, $ E D(T)

T es cerrado, pues si <,, + [, T& + q, entonces en la norma de Z,

De (0.78) se obtiene que ["(z) + [(z) puntualmente para casi toda z E [O, 11. Por lo tanto,

(0.77)

(0.78)

(0.79)

(0.80)

para casi toda z E [O, 11 [15]. Por (0.79), se verá que [(o) = ((1) = O. Es decir, [(z) E D ( T ) Y T< = 7].

T es un operador simétrico y cerrado pero no es autoadjunto pues si &(z) = exp(dx) E s, < E D(T), integrando por partes se obtiene

[141 AC[O, 13 es el espacio de funciones que sori absolutamente continuas (i.e. de la forma

con f integrable) en [O, 11 con derivadas en L2[0, 11. [151 Recordemos que funciones difiriendo en conjuntos de medida nula se consideran como idénticas en el espacio L2[0, 13. Véase Ejemplo 0.6.

13

Por lo tanto, T*$* = fi$*. Por el criterio 0.32a, esto implica que T no es autoadjunto. Para calcular el adjunto de este operador tómese < E D(T), $, 17 E L2[0, 11 tales que

Póngase t

4( i ) := Jdsrl(s) . O

Integrando por partes y recordando las condicicaes de frontera para < se obtiene

Además,

1 1

J O

Por lo tanto,

j d t ? ( t ) , : C ( t ) - i+(t) - q = o,

O

V < E D(T), V C E R’ . Sea f E L2[0,1] arbitrario. La función

t 1

F ( t ) = d s f ( s ) - t J d s f ( s ) , Ir O O

es una función en D ( T ) . Sustituyendo F en (0.85) se obtiene la igualdad

V f E L2[0, 13, escogiendo C de tal forma que

1

J d t ( + ( t ) - i+(t) - C) = o. O

Puesto que f es arbitrario, t

4(t) = J V ( S ) = i$(t) + c. O

(0.81)

(0.82)

(0.83)

(0.84)

(0.85)

(0.86)

(0.87)

(0.88)

14

Con esto se prueba fácilmente que (0.89) . d

dx' T' = I-

D(T*) = AC[O,l]. (0.90) -

Por la fórmula (0.28) y recordando que T es un operador cerrado, se obtiene que T" = T = T.

Ejemplo 0.91

Tómese E = L2[0, 11, Sean Ti, Tz los Operadores i$ con los dominios

W Z ) = { tlt E m o , 11, €(O) = 0 1. (0.93)

Ti es el adjunto del operador T del ejemplo anterior. Entonces Ti es cerrado y T; = T . T2 es cerrado y de hecho T; = i$ con dominio

W,') = { tlt E m o , 11,t(1) = 0. 1. (0.94)

Esto se puede probar usando argumentos similares a los dados en el ejemplo anterior. Este ejemplo muestra que el espectro de un operador depende de la ellección de su dominio.

El espectro de Ti es todo C. Simplemente porque la función

satisface la ecuación diferencial ordinaria f ( t ) = fX f (9 ,

para todo X E C. En cuanto a T2, el operador

(0.95)

cumple con (AI - T2)SX = I ,

SA(M - Tz) = I , sobre D(T2). Por el teorema de la gráfica cerrada se deduce que SA es un operador acotado para todo X E C. consecuencia, el espectro de Tz es vacío [16].

En

Ejemplo 0.96

Tómese otra vez E = L2[0, 11. Para cada o E C, la1 = 1, definase el operador Ta = i&, con dominio

D(Ta) = { tlt E AC[O, 11, €(O) = &€(I) 1. (0.97)

Es fácil ver que Ta es una extensión del operadlor T del ejemplo 0.76

(0.98)

[16] En contraste, por el teorema de Liouville el espectro de operadores acotados nunca es vacío.

15

En consecuencia, TO; c T’. (0.99)

Entonces D(T:) c D(T*) consta de funciones en AC[O, 11. Tomando ( E D(T,), $‘E D(T:) e integrando por partes

(O. 100) O O

Por (0.99) se obtiene que T&b = T’$ = a$’.

Lo cual implica necesariamente que [a$(l) - $(O)] = O. Esto prueba que T, es autoadjunto. Estos operadores son extensiones autoadjuntas de T. T* extiende a su vez a todos estos operadores.

Ejemplo 0.101

Sea ACZIO, 11 el conjunto de funciones f E L2[0, 11 tales que f es diferenciable, f’ es absolutamente continua y f” E L2[0, 11. Sea T = --& el operador en Z = L2[0 , 11 con dominio

Para calcular el adjunto de este operador se puede proceder como en el ejemplo anterior. Sea D(T*) , con T*$ = 71 Defínase

E D ( T ) , $ E

v*(t) = ds jdrv0-1 . (O. 103) O 0

Para todo ( E D(T) ,

J O

1

== / d t c ” q , ( t ) . O

Usando además las condiciones de frontera de (I E D ( T ) , se deduce

Por lo tanto,

(O. 104)

que para todas las constantes Al, A2

(0.105)

/ d t t” [q , + $ + Ait + A21 = o, O

para cualesquiera constantes A l , Az. Para q3 E L2[0, 11, definase

1 1 6

q3*(t) := q3*(t) - s c i t z - -czt3,

(O. 106)

(0.107)

16

donde q5* está definido en (0.103) y C1, Cz son las constantes de tal forma que q5* E D(T) . Sustituyendo en (0.106) q5*(t) por E, se obtiene que

j d l [ ) ( t ) - C1 - C2T[+(t) + $ ( t ) + AI^ + Az] = o. (0.108) O

Por cálculo explícito se pueden encontrar Aly 112 tales que

dt(C1 + Czt)[il*(t) + $( t ) + Alt + A21 = O. O

En consecuencia,

1 / dt$(t) . [v*(t) + $(t) + Alt + A21 = 0. O

Dada la arbitrariedad de q5 E L2[0, 11, se obtiene que

con dominio D(T*) == { f l f E AC2[0, 11 }.

Algunas extensiones del operador T que son au toadjuntas:

(0.109)

(0.110)

( O . 11 1)

(O. 1 12)

b d2 T =-- a dx2'

Ejemplo 0.113

Tómese E = L2(R", dk), 1 5 n 5 3. Defíniwe el operador T como multiplicación por la función k 2 , con

D(T) = { t l k 2 ( E L2(R",dk), / d"kE(k) = O. }. (O. 114)

Nótese que las funciones en D(T) son integrables. T es cerrado pues un operador de multiplicación por una función localmente integrable es de hecho un operador autoadjunto y además

dominio

R"

1 d " k [ ( i ) = O, R"

(O. 115)

es una funcional lineal continua en D(T) con la norma de la gráfica del operador por multiplicación por la función k2 . Por lo tanto, T es cerrado. T es claramente simétrico. Para ver si T es autoadjunto solo se necesita calcular Ker(T* f i). Sean E D ( T ) y T*$ = i$. Entonces,

(0.116)

17

Usando que € E D(T), se concluye que

para cualquier constante c E R'. Tómese E L,2(R", d"k), arbitrario y defínase

(O. 117)

A se toma de tal forma que v+ sea una función en D(T). Sustituyendo v+ por E en (0.117) se obtiene

(0.118)

si se toma c apropiadamente. q E L2(R", P k ) es arbitraria. Esta Última ecuación implica que

1 k2 - t

1 k2 + I

Ker(T* - i) = { -}.

Similarmente,

Ker(l'* + i ) = {-}.

Por lo tanto T no es autoadjunto. Denotése por -TA al operador de Laplace -A

(O. 119)

( O . 120)

( O . 121)

(0.122)

con dominio D =

Es fácil ver que -TA con dominio D es unitariamente equivalente a multiplicación por k2 vía la transformada de Fourier [171. Denotése por U a la transforma.da de Fourier. Es fácil checar que

€ I t E C?(R"/{Ol). 1.

[lq L a transformada de Fourier se define para f E CF(R") como

y usando la igualdad de Parseval

- donde 1 1 . 1 1 significa la norma en L2( R", d"z) - se puede extender a todo f E L2( R", d"z) como un operador unitario. Ve& apéndice

I I f II = I I f I I ,

18

En consecuencia, UTAU-' c T.

Ahora bien, puesto que T es cerrado, simétrico y no es autoadjunto, UTAU-' no puede ser esencialmente autoadjunto en C ~ ( R " / ( O } ) . Puesto que U es unitario, la misma conclusión se obtiene para SA. Sin embargo, si n 2 4 , TA sí es esencialmente autoa.djunto en Co(R"/{O}). En general, el operador

-A + q r ) , r = (I? + ... + I;):, donde V es el operador de multiplicación por la función V(r) continua en R"/{O}, será esencialmente autoadjunto en C ~ ( R " / { O } ) si se cumple la desigualdad puntual ["I

(n-- 1)(.-3) 1 3 > -. . - T2 - 4r2 + - 4

Nótese que A es esencialmente autoadjunto en Co(R") para toda n. Véase Ejemplo siguiente.

Ejemplo 0.123

Considérense los multi-índices cy =:< al, ..., a n >,

donde ai i = 1 , ... n son enteros no-negativos. La colección de multi-índices es denotada por 1;. Los símbolos IcyI, I" , y D" están definidos como sigue:

(O. 124)

xu =: x?' . 2;a ... I;", (0.125)

(0.126)

Sea {fa } ~ ~ l < ~ una familia de CI"I funciones sobre R" . Definase el operador diferencial actuando

To$ := faDQ$, (0.127) en L2(Rn, d"x)

I 4 á m

con dominio D ( Z ) = Co(R") . Integrando por partes, es fácil ver que si I), 4 E Co(R") entonces

donde

SO$ := ( - l )~Q~Du( fu$)~ l 4 l m

con dominio C?(R"). Entonces, So C T:,

To c S:.

(O. 129)

(0.130)

( O . 131)

["I Reed, M. y B. Simon., Methods of Modern Mathematical Physics. Vol 11. Academic Press. 1975.

19

To y So son cerrables. Si To = So se dice que el operador diferencial es formalmente autoadjunto. Supóngase que To es esencialmente autoadjunto. Es decir, To es simétrico y es autoadjunto. Entonces,

T o = S o , (0.132)

To cT0, * T c T,'.

Supóngase que q5 E D(T,'). Para todo $J E D ( z ) ,

donde se ha usado (0.27) para deducir que autoadjunto, esto implica que $J E D ( z ) y zq5 = TJq5. En consecuencia,

T,' es autoadjunto. (0.133)

Inversamente, si (0.132-33) se cumplen entonces To es esencialmente autoadjunto, pues en tal caso se tiene

= T,'. Por ser

como antes que To es simétrico y

donde hemos usado (0.28).

Con estos ejemplos termina la sección de Preliminares.

20

I.- Algunas propiedades de los operadores iiutoadjuntos

Sabiendo que todo operador autoadjunto es el generador de un grupo unitario a un parámetro fuerte- mente continuo, podemos deducir algunas propiedades de aquél con base en las propiedades de s u grupo unitario asociado. En particular, el teorema espectral es deducible a partir de la expresión en términos del grupo unitario de un conjunto suficientemente grande de operadores que conmutan con su generador.

I. 1 .- Subespacios Invariantes

Sea U ( t ) un grupo unitario a un parámetro fuertemente continuo. Entonces -i veces su generador es esencialmente autoadjunto en cada subespacio D denso contenido en el dominio del generador el cual sea invariante con respecto a ü(t). Este resultado es llamado el lema de Nelson.

Lema 1.1

Sea U ( t ) un grupo unitario fuertemente continuo en E. Sea A el generador de ü(t). Supongamos que D c D(A) es denso e invariante bajo ü(t) ( i.e. U ( t ) D c D, Vt E R'). Si AD := AID, ent.onces

A = z. Demostración: Es suficiente con probar que Ran(Ao f a ) es denso en E. Notemos que Ran(Ao f i) = ( A f ;)Io.

Supongamos que E [Ran(Ao f i ) ] .

( ( A f +I I € ) = o, v'7 E D,

( A'7 I € 1 = *i( '7 I t ) I

o bien,

V '7 E E. Como D es denso, existe q E D tal que

Pues si no tendriamos < E DL y por lo tanto = O. Para esa q tenemos que

usando (1.3). En consecuencia, obtenemos una ecuación diferencial cuya solución es

V t E R'. Esto es una contradicción, pues

€ = O y AD es esencialmente autoadjunto. Esto demuestra el lema.

21

1.2.- Representación Espectral para Operad,ores Autoadjuntos

L a Suposición básica en la Teoria Cuántica es que los observables (lo que podemos medir) y los estados de un sistema están representados por operadores autoadjuntos actuando en un espacio de Hilbert y por vectores de ese espacio. Los posibles resultados de mediciones de un observable representado por el operador autoadjunto A pertenecen a su espectro, u(A). :La distribución de probabilidad de una medición de A en un estado < es la medida finita inducida d,q sobre u(A).

Nosotros sólo consideraremos espacios de Hilbert que son separables.

Definición 1.8

Un operador A cerrado es llamado positivo' si

En tal caso ponemos A 2 O.

Usando (0.2) obtenemos

Lema 1.lQ

Sea A 2 O, entonces I(€, A7))I2 I (€9 4) . (7),A7))1

V<,q E D(A) . Si además ( [ , A [ ) =: O, si y solo si < = O ,

entonces la igualdad en (1.11) es cierta si 11 solo si < y 7) son linealmente dependientes.

Lema 1.13

Sea A E I?(=), A 2 O. Definimos N ( A ) := sup (< ,A<) .

11€11= 1

Entonces 1.

llA<1I2 I N ( A ) . (€, A € ) ,

2.

3. Para cualquier operador T E B(3)

Demostración: Para< E Z, ( [ , A < ) 5 N ( A ) . 1 1 < 1 1 2 . Por (1.11),

(1.11)

(1.12)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

22

Esto prueba (1.15). Por (1.15)

llAc1I2 I N(A)IIAll . 11c112~ Entonces IlAll 5 N ( A ) . Puesto que

obtenemos IlAll 2 N ( A ) . Esto prueba (1.16). Para probar (1.17), usamos (1.16):

Definición 1.22

En B(E) se puede definir un semiorden por medio de:

A 5 C, si y solo si C - A 2 O.

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.23)

Definición 1.24

Sea I< = C,(R") [191. Una medida sobre K a valores en B(S) , Z un espacio de Hilbert, es una función E : I< -+ B(E) con las siguientes propieda-des: E.l) . - E es un operador lineal.

E.3).- E ( f ) = E(f)*. E.2).- E(f . g ) = E ( f ) . E(g) .

En K , tenemos la norma 1 1 . I/,:

(1.25)

Lema 1.26

Una medida a valores en B(E) sobre I< cu.mple con :

f real, entonces E ( f ) es autoadjunto, (1.28)

[191 C,(R") es el conjunto de funciones continuas sobre R" a valores complejos con la propiedad que para todo E > o , existe un compacto G, c R" , tal que

23

f positiva, eintonces E ( f ) es positivo.

Dems t r ación : (1.27) se sigue de E.2:

(1.28) se sigue de E.3. E ( f ) = E ( 7 ) = W)'.

E ( f ) = E ( f ' / 2 . f ' / 2 ) = E ( f " 2 ) 2 .

Para probar (1.29), tomemos f 2 O. Usando E . l ,

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Por (1.28),

Esto prueba (1.29). Para probar (1.30), tomemos f E K , If(2)l I 1 , para toda I E R" . Por (1.28) y (1.17),

II E(lfI2) II = I I E(lfl> 1 1 2 - (1.33)

Por otro lado, If(I)l - 1f(q12, es una funci6n positiva. (1.29) implica que

E I W ) I E(lfl).

Como ambos son operadores positivos, por (1.16) y (1.33)

Es decir, II E(lfl) I I I 1, si llflloo I 1.

I I E(f) I I 5 1 , si Ilflloo L 1. Por (1.21),

Sea ahora f E K, arbitraria. Por (1.17), E.3 y (1.34),

Esto pueba (1.30) y el lema queda demostrado.

Lema 1.36

(1.34)

(1.35)

Sea E : k -+ B(Z) una función cumpliendo las propiedades E.1-3 de la Definición 1.24 en cualquier subespacio denso 2 c K con la norma 1 1 . l l m . Entonces E puede ser extendida de manera Única a una medida a valores en B(E) sobre todo K .

24

Demostración : Primero nótese que las fórmulas (1.27-30) siguen siendo válidas para E sobre k. Sea f E K arbitrario.

Puesto que es denso en K en la norma 1 1 . I l ta , podemos tomar fn E k tal que

Para cada f E K , definase ~ ( f ) := s - iim E(fn),

n-rw (1.38)

donde fn es una sucesión en K cumpliendo (1.37). Esta definición es independiente de la sucesión con- vergiendo a f . Si gn E k es otra sucesión que converge a f en K , se tiene que

(1.40)

(1.41)

Esto prueba que E está bien definida. Solo falta demostrar que E cumple E. l -3 de la Definición 1.24. Obviamente E.l es satisfecha por nuestro mapeo E. Para probar que también cumple E.2 se puede usar el hecho que s i Bn , An con sucesiones de operadores acotados convergiendo fuertemente a B, A entonces

s - lim A n . B n = A . B . n-.+w

(1.42)

Para probar la propiedad E.3, supóngase que fn E k converge a f en K . Entonces, Por lo tanto,, para $J,< E Z,

converge a f en K.

(1.43)

Como esto ocurre para toda [, 11, E Z, se deduce que E(?) = E ( f ) * . Esto prueba el lema.

Lema 1.44

Supóngase que el mapeo U(t) : R -+ O:=), Z un espacio de Hilbert, cumple con las siguientes tres propiedades

1. ü(0) = I, y ü ( t ) unitario para todo t E Rn.

2. U(t1 -i- t2) = U(t1) .U( t2 ) .

3. lim Ilü(t)< - €11 - O. t+O

Entonces existe una medida a valores en .B(Z) sobie K = Cw(Rn), tal que

1. E( Pt(.)f(.) 1 = U(t)E(f ) = E(f)U(t) , (1.45)

25

para todo t E R" , para toda función f E I( y donde

IDt(.) := (1.46)

(1.47)

es denso en S.

Demostración: Por el Lema 1.36 es suficiente con demostrar la existencia de la medida en un subespacio denso de I(.

Por ejemplo, en el espacio de Schwartz S(Rn) [20]. Para funciones en S(R"), definimos

(1.48)

lo cual está bien definido para toda f E S(Rn). La propiedad E.l es fácil de demostrar. Para probar E.3 nótese que

Usando esto, se obtiene que

(1.49)

(1.50)

Esto prueba E.3. Para probar E.2 se puede war la propiedad de la transformada de Fourier para la con- volución de funciones en S(R"):

(f * g)(z) := J f ( s - g g ( g P y . (1.51)

R" 1

Es fácil ver que 1 (f * !iqq = 7fg)(Z3. (2 .) n / 2

--

[20] S( R") es el conjunto de funciones infinitamente diferenciables cumpliendo

(1.52)

para todos los enteros no negativos m, a y j = 1,2, ..., n. I = ( ~ 1 ~ 2 2 , ..., zn). La transformada de Fourier es una biyección de S(R") sobre S(R").

26

Por lo tanto,

Esto prueba la propiedad E.2 [2i]

(1.53)

L21] Esta medida es de hecho única. Para poder probar esto se necesita extender E a un espacio de funciones que contenga a las funciones características de los conjuntos

(a, b ) := { Z E R"laj < ~j < b j , j = 1 , ..., n}.

Esto se puede hacer en nuestro caso, notando que existe una sucesión de funciones {f,,} en C,(R") monótonas puntualmente convergiendo a la función característica de (a, b) . Esto es cierto también para los subconjuntos de este tipo semiabiertos y cerrados. Para tales sucesiones podemos definir

E ( x ( ~ , ~ ) ' ) := s - iim ~ ( f ~ ) . n-m

La función E así extendida posee las mismas propiedades E.l-3. Entonces la unicidad se desprende de lo siguiente: Tomemos g una función continua a soporte compacto, t E E. La integral de Riemman

= E( j(t)eit(.)dnt E(g)t

- - -E(f)E(g)t1 (274 a

donde se usa que j(t)eit.",

Z E suppg, puede ser aproximada uniformemente en (t , Z) por una sucesión de funciones que son combinación lineal de funciones características. Por el resulta.do 2 del Lema 1.44 y la demostración del Lema 1.36 se deduce que

{ t E Zlt = E ( f ) q , f cimtinua a soporte compacto, q E E }

J R" 1

27

Solo falta demostrar que el conjunto definido en (1.47) es denso en S. Supóngase que existe p E E tal

(1.54) que

(9 , W ) t ) = o, v t E E, v f E S(R").

=+ 1 f(t)(p, ü(t)<)d"t = O, V f E S(R"). (1.55)

R"

Esto implica que (p, U(t)t) = O, V t E Z, V t 15 R". Tomando t = O , se obtiene la igualdad

(9, E) = o , v < E E. (1.56)

Esto implica que p = O. Solo nos resta probar la fórmula (1.45). Esto se hace aplicando la ecuación (1.48) a la función g = eat."f(Z). Calculando la transformada de Fourier 3 de la función g:

ij( Z) = j ( k - t). (1.57)

Obtenemos de (1.48),

E(g) = f ( k - t )U(k )d"k = f ( $ ) U ( k + t)d"k = ü(t)E(f) = E(f)U(t), R" J R"

donde se usa la propiedad de grupo de U. Esto prueba el lema.

1.3.- Medidas espectral-

Sea T un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert E y U ( t ) el grupo unitario asociado que establece el Teorema de Stone (Teorema 0.60). Consideremos la medida E asociada con U ( t ) construida en el Lema 1.44. Para cada < E S, el mapeo con dominio ii' = C,(R') y definido por

es denso en E. Esto prueba que

E(f) = -- J f(t)U(t)d"t. (27r)"/2 . I

R"

Puesto que al extender E, esta medida queda definida también sobre las funciones continuas y acotadas en R", obtenemos de

E(Ptf) = U(t)E(f)

para f E 1 la identidad

E(Pt) = U(t), Vt E R".

Es decir, dada U(t) cumpliendo las hipótesis del Lema 1.44 existe una única medida (extendida) E a valores en B(Z) definida en las funciones que son límite de sucesiones crecientes y acotadas de funciones continuas cumpliendo esta última identidad.

28

es una funcional positiva sobre K . Por el teorema de Riesz-Markov [22], existe una Única medida pc de Borel regular i231 tal que

( € 1 E ( f ) ' € 1 = Jf(W€(X). (1.59)

La medida pc es llamada la medida espectral asociada con el vector t . R'

Definición 1.60

Sea T un operador autoadjunto en un espa.cio de Hilbert Z. V ( t ) el grupo unitario con generador T. Considérese la medida E asociada con U ( t ) mediante el Lema 1.44. Un vector i$ E Z es llamado cíclico para E si el conjunto

{ Nf)E I f E 1 (1.61)

es denso en Z.

Lema 1.62

Sea T un operador autoadjunto en Z con vector cíclico <. Entonces, existe un mapeo unitario

W : E -+ L2(R', dpc), (1.63)

con (WTW-'h)(X) = Xh(X), h E L2(R', dpc), (1.64)

PE(R') = I I E 1 1 2 , (1.65)

donde p~ es la medida espectral asociada al vector < E E mediante la fórmula (1.59). Además, para f E K

(WE(f)W--')h)(N = f(X)h(X), h E L2(R',dP€). (1.66)

Demostración: Definase W como

W E ( f ) < f, v f E I(. (1.67)

Para mostrar que W está bien definido, calculemos

(1.68)

[221 Ve& apéndice. [231 Una medida p definida sobre una u- álgebra M (Es decir, una colección M de subconjuntos de X tal que X E M, complementos de conjuntos de M están en M y unión numerable de conjuntos de M también pertenecen a M) en un espacio topológico X cie Hausdorff localmente compacto es llamada una medida de Borel sobre X si M es la u- álgebra generada por los subconjuntos abiertos en X. Los conjuntos de esta u-álgebra son llamados los conjuntos de Borel. Si p es una medida de Borel positiva , un conjunto de Borel E c X es regular si

p ( E ) = inf{,u(V) 1 E c V, V abierto }

p ( E ) = sup{p(F) I F c E , F compacto }

Si cada conjunto de Borel es regular con respecto a la medida p , esta medida es llamada una medida de Borel regular.

29

Esto muestra que si f = 9 casi doiidqtiicrLi con respecto a pt, entonces E(!)( = E(g)(. Por consiguiente, W está bien definido qobre { E(J),C I j ' E í< } y p r ( ~ c r \ a noiiiias. Directamente de la definición de TV y la densidad del coiijiiiit o

= f I f E íi } c L'(R',dpc),

se prueba (1.66). Por ( I . 6 i ) , (1 .69)

- iY piiede entonces t~stciidcisc ~ ) i ) i . c to(¡() =. Coiiio I\' = C,(iZ1) es denso en L2(R',dpt), el rango de IV es precisament,e L'(iÍ!'? dpc ) . 13iiioiiccc 11' cs i i i i operador iiriit,ario. Solo nos resta probar (1.64). Para esto, considérese el subcoiijiiiito C o ( í ? ' ) (I(: Ii ( l i l t : corista de las funciones continuas f tales que su soporte, definido

s11pp.t' := { 2 E R' I f(.) # o }, (1.70)

es un subconjunto coiiipacto d c I ? ' . C',,( R') 1.36 se deduce que

denso eii I í . Por el Lema 1.44 y la demostración del Lema

I I , = .( E(f), ' E E I f E C,(R') } (1.71) - a- - - es denso en E. I- por bei TI' u i i i t . \ i i o ,

donde C es u n a consiante sol;iiii(Liitc dqwn(1iciido en el soporte de f, se obtiene

(1.73)

si t --+ O. Usando (1.30) .

(1.74)

si t + O. Por el Teoi.ern;i t l c Stoi ic (Tcoi~(~ni;i ( ) . G O ) , D ( T ) contiene a l conjunto Hc definido en (1.71) y

'7'1:(f)( = E( .f )(. (1.75)

H, es denso e invariaiit,c I)a,io 1 í ( t ) poi. I < I íiiiiiiiila (1.45) I'or el Lema de Nelson (Lema 1.1) el operador T con dominio Ht es escriciriltiieiite aiiton(1,jiiiiio Denótesc il este operador por Tc. Entonces se tiene

7; = T = T. - -

(1.76)

Definamos -4 como el oper;itlor íictuiinclo eii L'( R', d p t ) por multiplicación :

(.,th)(X) := X I i ( X ) . (1.77)

(1.78)

Se puede ver que A vs antoa(I,jiiiito, i iha i ido lo. iiiisiiios aiguiiiciitos que en el Ejemplo 0.33. O bien, usando el criterio 0.32a.

3 O

Para f E Co(R') se tiene que

(1.79)

donde se ha usado (1.75). Por lo tanto, de (1.7'7)

M7TtW-l C A. (1.80)

Puesto que W es un operador unitario, se tiene que

donde se ha usado (1.76). Por ser A autoadjuni,o, A es cerrado. Entonces, de (1.80-81)

WTW-' c A = A. (1.82)

Por ser tanto A como WTW-' operadores autoadjuntos, (1.8.2) implica que

MrTW-' = A . (1.83)

El operador autoadjunto T es unitariamente equivalente al operador de multiplicación con la función X ac- tuando en el espacio L2(R1, d p ~ ) . Solo queda demostrar la fórmula (1.65). Esta igualdad es una consecuencia del Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue: Tomando una sucesión de funciones fn E C,(R') monótonas crecientes convergiendo a la función constante igual a uno en la fórmula (1.66), se obtiene

Aquí 1 denota el operador identidad en L2(R1, apt). Por ser W unitario,

s - lim E(fn) = 1. n-w

I denotando el operador identidad en E. Por lo tanto,

Esto prueba el lema.

Lema 1.84

Sea T un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert Z. Existe una descomposición en suma directa para Z,

= - Y - e n : = i = n , N - N = 1,2, . . e , +w, (1.85)

tal que 1. T deja invariante cada subespacio En ['241. 2. Para cada n, existe 1c, E En el cual es cíclico para EIEn [251.

31

Demostración Considérese la colección T de conjuntos de la forma S,, @ S,, @ ... @ S,, con

tales que SQj c S& para i # si QI C Qz, para & I , QZ E T. contenido propiamente en ningún

. . j , Z , J = 1, ..., n. Ordenemos T por inclusión. Decimos que Q1 >- Q Z Aplicando el lema de Zorn, T tiene un elemento máximo el cual no está otro subconjunto de T. Esto prueba el lema.

Teorema 1.87

Sea T un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert Z. Entonces existen medidas espectrales p,, , n = 1, ..., N , un operador unitario W y una descomposición de E:

para ciertos E Z, con

n = 1, ..., N , y

tales que para

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

(1.92)

n = 1, ..., N .

Demostración: Por el Lema 1.84, E = $f>=,2, donde Z,, y TI:, n D(T) cumplen con las hipótesis del Lema 1.62.

Aplicando a cada E, este lema se obtienen (1.88-91). Esto prueba el Teorema.

Definición 1.93

Sean TI y T2 operadores autoadjunta en el espacio de Hilbert Z y sean ül(t), Uz(t) sus correspondientes grupos unitarios asociados. Se dice que Ti y T2 conmutan entre sí, siempre que

para todo t , s E R1 ['4.

Teorema 1.95

LZ6] operadores conmuten en la forma usual:

Cuando Ti y Tz son operadores autoad,juntos acotados, esta definición es equivalente con que los

Ti -T2 = T2 -Ti.

Sean TI, T z , ..., Tm, m operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert Z que conmutan entre sí. Entonces existen medidas de Bore1 regulares p1, ...,/AN sobre R", un operador unitario W Y una descomposición en suma directa para Z:

- = = $ N n=:l=n, - N = 1,2, ..., SCO,

pn(Rrn) = II +n 11'9

para ciertos $,, E 2, con

n = 1, ..., N , y

Además, para A = ( A 1 , A 2 , ..., Am),

RanWIz,, = L2(R1, dpn),

W : E -+ $n=iL2( R", dpn). - h ( i ) = ( h l ( i ) , ..., h N ( X ) ) E WD(Tj) ,

(WTjW-lh)(x)n = Ajh,(X),

donde j = 1, ..., m, n = 1, ..., N.

(1.96)

(1.97)

(1.98)

(1.99)

(1.100)

Demostración: Tómese el grupo unitario U,(t) asociado al operador autoadjunto q , j = 1, ..., m. Aplicando el Lema

1.44 al operador unitario

donde t = ( t l , t Z , ..., tm), se puede construir una medida E sobre C,(R") a valores en B(E) y cumpliendo (1.45-47). La conmutividad de los grupos unitarios asociados garantiza el que U(t) cumpla las hipótesis del Lema 1.44. A partir de aquí se pueden generalizar fácilmente los argumentos para probar resultados análogm a los de los Lema 1.62 y 1.84, así como también a los del Teorema 1.87 para m > 1, finito. Esto prueba el teorema.

U(t) = v,i:t,) * Uz(t2) * ... f U,(t,), (1.101)

Corolario 1.102

Sean TI, T2, ..., T,, m operadores autoaidjuntos en el espacio de Hilbert Z que conmutan entre sí. Entonces existe un espacio medible A con una medida p finita, funciones medibles a valores reales F1, ..., F, finitas casi dondequiera con respecto a la medida p y un operador unitario

w : Z -i L2(A,dp), (1.103)

tal que para h E W D ( T , ) ( WTjW-'h )(A) = Fj(A)h(A). (1.104)

Demostración: Utilizaremos el resultado del Teorema 1.98. Tomemos en la fórmula (1.96) vectores $n, n = 1, ..., N ,

( 1.105) tales que

11 $n 11 = 2-"-

Tomemos h := U,"=l R". (1.106)

33

A es pensado como la unión disjunta de N copias de R". Definase a p como la medida tal que restringida a la n-ésima copia de R" es igual a la medida espectral pn asociada al vector $n, n = 1, ..., N . Por (1.96)

N Y (1.1051,

n=l

p es por lo tanto finita. Por el Teorema 1.95, Fj restringido a la n-ésima copia (disjunta) de R" es de hecho la función F,(A) = A,, j = 1 , ..., rn. Esto implica que funciones características de conjuntos medibles acotados pertenecen a D( F j ) , j = 1, ..., rn. F, es entonces finita casi dondequiera. Esto prueba el corolario.

Habiendo obtenido el teorema espectral, existe una manera natural de extender la medida E : C, - B ( S ) asociada con un operador autoadjunto que fue construida en el Lema 1.44. Considérese T un operador autoadjunto actuando en B . Por el corolario 1.102 existe una medida finita p , una función F , finita casi dondequiera con respecto a p y un operador unitario W de B sobre LZ(R', dp) tal que

TF es el operador por multiplicación con la función F . Dada G una función medible finita casi dondequiera con repecto a la medida p, podemos definir el operador actuando en E

Cuando G es una función en Cm(R1), G(T) coincide con E(G). Un caso importante es cuando G donde XA es la función característica del conjunto medible A c R'.

X A ,

La familia de operadores {PA} tiene las siguientes propiedades: 1. Cada PA es un proyector ortogonal. Es) decir,

2. Pa = o, P( - C0,oo) = I.

3. Si R = Un=l R n con R n n R m = 0 si n # m , entonces

N

=: s - N-CXl iim PO,. n=l

(1.109)

(1.110)

(1.1 11)

(1.112)

Una familia cumpliendo estas propiedades es llamada una familia espectral. Dado un operador autoad- junto existe una única familia espectral tal que la medida espectral pQ asociada al vector $ definida en (1.59) de un operador autoadjunto T actuando en el espacio de Hilbert 2, con producto escalar (., .) viene dada Por

P,(Q) = (1L,Pn$). (1.113)

Inversamente, dada una familia espectral y para cada 1c, E Z,

34

es una medida de Bore1 regular bien definida. Usando (1.109-112) se puede definir el operador G, mediante la igualdad

($,GIL) = J G ( w 4 (1.1 15) R'

donde p está definida por (1.114), y cuyo dominio D(G) es

R'

Tomando T(X) A en (1.115), se obtiene que T tiene como familia espectral asociada a {PA} ['q.

Definición 1.117

(1.116)

Sean {pn}:=, las medidas espectrales asociadas al operador T en el Teorema 1.87. El soporte de { p n } es el complemento del abierto más grande Q tal que /.in(&) = O , V n = 1, ..., N. Esto es,

suppipn} := ~ , N ~ s ~ P P { P ~ ) . (1.118)

Ejercicios 1.119 1.- Sea T un operador autoadjunto en Z, {pn}:=, las medidas espectrales asociadas del Teorema 1.87,

entonces suPP{pn} = u(T)- (1.120)

2.- Sea F una función medible a valores en C, finita casi dondequiera sobre un espacio medible A y con

1.

es denso en L'(A,dp). 2. Supóngase que F es además a valores redes. Usando 1. y el criterio 0.32a, demostrar que el operador

de multiplicación por la función F con dominio D ( F ) es un operador autoadjunto actuando en L'(A, úp)

medida p finita. Demostrar que

D ( F ) := (11, E L 2 ( k +)IF$ E L ' ( A , ~ J ) } , (1.121)

['al.

['q El operador definido por (1.115), G(T) coincide con la definición dada mediante la fórmula (1.107). Esto se deduce de la unicidad de la familia espectral asociada a un operador autoadjunto y usando que dada una función medible f cualquiera, existe una sucesión de funciones que son combinación lineal de funciones características (funciones simples) convergiendo puntualmente casi dondequiera a f y dominadas por I f 1 . El Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue implica nuestra aseveración. ["I Sugerencias: 1.- Usando la notación del Teorema 1.87, demuéstrese primero que

V n = 1, ..., N . Justifíquense las siguientes identidades:

u(T) = u(U'TW-1) - N

= u u(WTW-'IL'(R',dp,)). n=l

(1.123)

2.- Tómense funciones de la forma exp(-lj'l'/n)XA, n = 1 ,2 , ... X A siendo la función característica del conjunto medible A c A. Utilice el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue.

35

Usando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue y (1.107) se obtiene por cálculo funcional:

Corolario 1.124

Sea T un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert E y G,, G funciones Bore1 medibles tales que G,(x) + G(x) para cada x E R', con ( 1 (3, [ loo acotada. Entonces Gn(T) converge fuertemente a G(T)-

Una aplicación directa de este corolario son las fórmulas que relacionan la resolvente con la familia

Calculando la integral siguiente, vemos que espectral asociadas a un operador autoadjunto 'T:

)dX 1 - 1

G(x;E) = - x - X - i e x - X + i ~

a

0 2: 4 h b l ; '

1 x E (a ,b) . % { f x = a Ó x = b ; ( 1.125)

Siendo G(x ;E) funciones uniformemente acotadas en E > o, por el corolario anterior se obtiene la fórmula de Stone:

A

a

Y en consecuencia,

s - limlim a10 c l o [Rx+ic(T) - RA-;~(T)]~A

(1.126)

(1.127)

Ejemplo 1.128

Sea E = L2(Rm,dmx). Considérese el operador unitario a un parámetro fuertemente continuo Uk(1)

(Uk(t)$)(Z) = $(Z- te;), (1.129)

donde e:, es el vector unitario cuyas componentes son cero exceptuando la k-ésima la cual es uno para k = 1, ..., m. Tomando el operador de transformada de Fourier-en (1.129) se obtiene

actuando en E:

4t($ := ( ~ k ( t ) $ ) - ( $ = e-itPk4(P3. (1.130)

Si se toman funciones $ E E tales que pt$ E 5, se puede tomar derivada con respecto a la norma en E de t :

Como el operador por multiplicación por la función pk es un operador autoadjunto con dominio

B = {$ E I pk$ E E},

36

entonces este operador es el generador del grupo unitario a un parámetro fuertemente continuo definido en (1.130). Usando la inversa - del operador transformada de Fourier - vemos que

con dominio D = {$ E E 1 $ es absolutamente continua en la variable X k , E z}.

Como medida espectral asociada al vector < E 1; se puede tomar

(1.131)

(1.132)

A SA

donde da es el elemento de área de la superficie

Ejemplo 1.133

El Hamiltonian0 asociado a una partícula moviéndose libremente en el espacio actúa en E = L2(R3, d3z):

- IA2 T = - , 2m

con resolvente

y con grupo unitario asociado

(U(t)C)($ = exp(-igt)É(p3.

(1.134)

(1.135)

(1.136)

(1.137)

- Vía el operador transformada de Fourier obtenemos que T es unitariamente equivalente a

(1.138)

El dominio de T, D ( T ) , consiste en funciones < E E tales que A< E Z en sentido de distribuciones. Es decir, < E D(T) si y solo si existe 17 E E tal que

A T = - - 2m'

(-A+,<) = (+IV), (1.139)

para todo 4 E C r ( R 3 ) . En tal caso se pone -A< = v. Véase también el Ejemplo 0.123. Estas funciones son acotadas y Holder continuas con cualquier exponente menor a 2. En general, no son diferenciables en el sentido usual. Por ejemplo, una función compostándose cerca del origen como 121 :+' pertenece localmente a L2 , pero la derivada en el origen no existe.

El hecho que T posea un grupo unitario que tiene una expresión tan simple sirve para poderlo comparar con grupos unitarios para los cuales no existe expresión algebraica conocida.

Como medida espectral asociada al vector < E Z se puede tomar

( <,pB< ) = /dX(4X)-' /li(X,a)12do, B Sa

(1.140)

37

donde da es el elemento de área de la superficie

SA = { Z E R" 11212 = A}.

Ejemplo 1.141

Considérese el operador autoadjunto que es la perturbación del operador A mediante el proyector de

vil, := - A b , $Is, (1.142) rango uno V :

donde llgll = 1.

es autoadjunto en D(T) = D ( A ) . Considérese

íP= - A + V ,

K = { P B ~ IB es bore1 medible },

(1.143)

(1.144)

donde PB es el proyector definido en (1.108) asociado al operador T. En K', T = - A . Entonces las medidas espectrales de T y - A coinciden para vectores en K'. Es suficiente con encontrar una expresión para

(9 , PES).

Primero nótese que R,(T) = &(-A) + AR,( -A)VR, (T) .

Iterando esta última ecuación encontramos que

R,(T) = & ( - A ) + A W - ~ ( Z ) R ~ ( - A ) V R , ( - A ) ,

donde u(.) = 1 + A ( g , R,(-A)g) . Aplicando esta ecuación ai vector g se obtiene

(g,Rz(T)g) = ~ - W ( g , W-47). Dado g E S se tiene que [''I los límites siguientes

w(p f o) := iimw(p f ie), e l 0

existen y son funciones medibles de p. Usando (1.146-47) encontramos que

(1.145)

(1.146)

(1.147)

(1.148)

Para cierto tipo de funciones g (por ejemplo con simetr' ia angular es posible calcular esta expresión expl' ici tamente. A partir entonces de (1.127) se puede encontrar en principio la medida espectral asociada a g .

1 =: x[w-'(p + o) - w-I(p - 011.

Ejemplo 1.149

Considérese el operador actuando en L2(61" , 8"')

1 2

A = : -(Z.F + p'.i?),

[''I Baumgartell, Wollenberg, Mathematical Scattering Theory.

( 1.150)

38

donde . a a X j

pj := -2-, j = 1, ..., v; (1.151)

con dominio CF(R"). Se puede ver que A es esencialmente autoadjunto mostrando una transformación unitaria que lo "diagonalice". Esta transformac:ión es llamada la transformada de Mellin:

Def' inase el mapeo # sobre CF(R"\{O}) como

+W

donde es la expresión en coordenadas polares de la función 4. Para 4 E CF(R"/{O})

Para ver esto calculemos,

(1.152)

( 1.153)

(1.154)

donde - denota la transformada de Fourier co:n respecto a la variable t . Para 4 E CF(R" \{O}) se obtiene que

+co

S.-l -00

4-ca

(1.155)

Por lo tanto, # se extiende a un mapeo de L 2 ( R " , d " z ) sobre L2(R x S " - l , d X d w ) . Es fácil ver que si

En coordenadas polares, esto se escribe como

a - v - a r 2 (A4)(r , w) = -ir-$(r, w) - i-$(r, w).

Por lo que

+m

Es fácil ver que el operador x : 4# + x4#

(1.156)

(1.157)

(1.158)

(1.159)

es esencialmente autoadjunto en la imagen de C~(R"\{O}) bajo #. Esto implica que A es esencialmente autoadjunto en CF(R"\{O}).

Ejercicio 1.160

Sea T un operador estrictamente positivo en Z. Es decir,

(E,W 2 Cll€Il2, v t E W). Demostrar que

a. El espectro de T , a(T), está contenido en [C, +OO)

b. Probar que la expresión

~ d w w - ' I 2 ( T + w)-' O

define un operador acotado.

c. Probar que

V < E D ( T ) , y donde el lado izquierdo de la ecuación está definido mediante cálculo funcional. Véase fórmula (1.115) i3O] .

1.4.- Caracterización de las medidas espectiales Sea ‘p E Z, un vector fijo, A un operador autoadjunto y pp la medida espectral asociada al vector ‘p. Se

descompondrá la medida p,+, en

donde paC es una medida absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, psing es una medida continua y singular con respecto a la medida de Lebesgue y ppp es una medida puramente puntual.

pa(: + P s i n g + Pppi

Sea Si := {z E R I ,uq({z}) # O } , ponernos

pPp(fl) := p,+,(Qnsl). (1.161)

Entonces pcont := p,+, - ppp es una medida coiitinua. Usando el teorema de descomposición de Lebesgue, se sabe que existe un conjunto S2 tal que si

entonces pic es una medida absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Es decir, s i SO tiene medida de Lebesgue cero, entonces pic(So) = O y la medida

es singular con respecto a la medida de Lebesgiie. Es decir, la medida de Lebesgue de S$ es cero. Definimos

(1.164) (1.165)

plot y p i n g son mutuamente singulares y además

Las medidas son mutuamente singulares entre ,sí y la descomposición es Única. Sean

B3 = S1, B2 = S,C nSE, B1 = S2 ns;, ( 1.167)

(1.168)

’ Sugerencia: Dado < E D ( T ) y pc la correspondiente medida espectral, utilice el teorema espectral y aplique el teorema de Fubini al lado derecho de la ecuación para demostrar que

(e, T”2€) = (€, {...}O,

donde {...} significa la expresión en el lado derecho de la igualdad por demostrar. Recordar la identidad:

m

41

La medida espectral asociada a P(Bl)(p es absolutamente continua, pues si So tiene medida de Lebesgue cero entonces poniento 4 = P(Bl)(p y usando (11.166-167) se obtiene

(1.169)

Análogamente para P(&)(p, P(B3)<p se demuestra que definen medidas singularmente continuas y pura- mente puntual respectivamente. Como Bi n B.1, i # j ; i, j = 1,2,3, la descomposición es Única.

Definición 1.170

Sea A un operador autoadjunto en Z. Definimos

- =pp = (6 E E I /JC es puramente puntual}, =sing = {E E E 1 pt es singuIar,mente continua}, E,, = {E E Z I p~ es absolutamente continua}.

-

Teorema 1.171

- =pp, Zsing Y Eac son subespacios cerra.dos de E e invariantes bajo A . Además,

E = :zpp @Eac @Eaing. (1.172)

Demostración: De la unicidad de la deslzomposición (1.168) y del hecho que P(Bl)(p, P(&)<p, P(B3)p son ortogonales se deduce que E,,, E.ing y 2,, son cerrados y se cumple (1.172). Usando que

y

(1.173)

- nótese que A : D(A) fl E,, -+ I,,, A : D(A) 17 Esing -+ Zsingi A : D(A) fl Epp + Spp, pues en (1.173) se obtendrá algo distinto de cero solamente en supp { p q } . Esto prueba el teorema.

Ejemplo 1.174

Se ha visto que todo operador autoadjunto es unitariamente equivalente a multiplicación por una función finita casi dondequiera en L2(I', dp) , para ciert,o espacio medible r con medida finita p . Los operadores que son unitariamente equivalentes -vía la transformada de Fourier- con operadores por multiplicación por una función, son suficientemente importantes conlo para introducir una notación especial. Considérese una función

,P(k) : R" --+ C ,

finita casi dondequiera. El operador denotado por H , = P(-iV) y actuando en Z se define como

(1.175)

(1.176)

donde - y " denotan la transformada de Fourier y su inversa.

42

Supóngase que además P es una función a valores reales continua tal que ( V P ) ( z ) # O , excepto a lo más en un conjunto Lebesgue-medible de medida nula. Sea {Pa} la familia de proyectores espectrales asociados a H,. Entonces,

(1.177)

donde áv es el elemento de área de la superficie [311.

SA = { k E R"IP(L) = A }

Por lo tanto, IIPns)II = 0 '

si la medida de Lebesgue de Q c R' es cero. En consecuencia, p+ es una medida absolutamente continua para cada s) E Z. Es decir, el espectro de H , es

a(H,) = u(H,IS,,). (1.178)

Por otro lado, si P es solamente una función clmtinua se tiene que

(1.179)

Ejemplo 1.180

Tomemos Z = L2(R1 , dz) y sea T el operador en Z definido como:

(1.181) d

dx (T<)(x) = -i-< - zt,

con dominio D(T) = CT(R'). (1.182)

Este operador es esencialmente autoadjunto piles las ecuaciones diferenciales ordinarias con s) E CF(R'):

d -i--[-x[*i[ d:c = $, (1.183)

tienen funciones solución E D(T). Por el criterio 0.32a, T es esencialmente autoadjunto. Sea T la clausura de T. Las medidas espectrales asocia.das pc, [ E E son continuas. Es decir, el espectro de T es puramente continuo, puesto que para E E R' la ecuación

(1.184) . d dz

-íi-< - Z< = E<,

donde la derivada es tomada en sentido de distribuciones, no tiene funciones solución en L2(R',dz)

L3l]

Interscience Publication, 1974. Veáse por ejemplo: Courant, R. y J. Fritz, Introduction to Calculus and Analysis Volumen 2, Wiley-

43

Ejemplo 1.185

Considérese el oscilador armónico actuando en E = L2(R1, dx):

T =: (-- d2 +x2) , dx2

con dominio D(T) = S(R1).

T I= (A'A + 1/2), En este dominio,

(1.186)

(1.187)

(1.188)

donde A = (x + ip)/fi. En general, se puede ver que un operador de la forma A*A, con A un operador cerrado, es autoadjunto en el dominio

D(A*A) = {IC, E D(A)IAIC, E D ( A * ) } . (1.189)

Nótese que en principio no tiene porqué ser este conjunto denso en E. Para probar esto, consideremos el operador unitario V de Z x E sobre x E definido por

Si A es un operador cerrado, de (0.27) se obtiene que

- - I x = V r ( A ) @ V [ r ( A ) ] *

= W ( A ) @ r'(A*)-.

Entonces cualquier vector < €1, <2 > puede ser escrito en la forma

< < I , & >=< -A<,< > + < <*,A*(* > .

Tomando < < I , & >=< o, u >, u E E, arbitrario, se obtiene

-AL< +<* = O, i1 = < + A*<*,

j u = < + A * A < , V u E 2 ,

y para algún < E D(A*A) . Supóngase que existme v E 8, tal que

( u , < ) == o, V < E D(A*A) .

(1.190)

(1.191)

(1.192) (1.193) (1.194)

(1.195)

Utilizando (1.194), sea Eo E D(A*A) tal que

Sustituyendo esta última igualdad en (1.195)l :re obtiene que

(ro + A*A<,, ,<) = o, V E D(A*A) .

Tomando < = to, se deduce que to = o, 3 v =: o. Por lo tanto, el vector cero es el único vector ortogonal a D(A*A) . Es decir, D(A*A) es un subconjunto denso de E. Para probar que A * A es autoadjunto, supóngase que rl, E (A*A)* . Por (1.189), se puede encontrar < E D(A*A) tal que

< + A*A< = 1c, + (A*A)*$. (1.196)

44

Puesto que A*A es simétrico, A*A c (A*A)* . Entonces, por (1.196)

( (A*A)* + I ) ( E - + ) = o .

Por (1.194), 1c, = < E D(A*A) . Esto implica que A*A es autoadjunto. Por lo tanto, el operador definido por (1.188-189) es autoadjunto.

Considérese T definido

satisfaciendo la ecuación

por (1.186-187). Este operador tiene a los vectores

+n(2) = (2n71! ) -1 ,12(_l )na-1/4efza (1.197)

(1.198)

Este conjunto es denso en Z. Esto implica por el criterio 0.32a que T es esencialmente autoadjunto en S(R1). En consecuencia, T es autoadjunto y - zpp = 2.

El espectro de T es puramente puntual.

Perturbaciones -A- acotadas con cota relativa menor que 1

de la forma Mediante el teorema de Kat-rellich (Teorema 0.40), se puede asegurar la autoadjuntes de operadores

H = - A + V , , (1.199)

donde -A es el operador de Laplace definido en el ejemplo 0.113, bajo algunas condiciones sobre el operador V.

Antes de establecer una clase de funciones; V que cumplen con el teorema de Rellich necesitamus de la siguiente:

Proposición 1.200

Sea E = L2(Ru, d"z) y (o, 1c, funciones meciibles tales que [321

(o, 1c, Cf LP(R",dVz), p L 2. (1.201)

Sean +(-io) el operador definido como en el ejemplo 1.174 y (o(Z) el operador por multiplicación con l a función (o. Entonces el operador $ ( - i K 7 ) ( o ( 5 ) actuando en Z es acotado y además

Demostración:

[321 LP(R", d"z) es el conjunto de funciones (Lebesgue) medibles f tales que

LP(R", d"z) es un espacio de Banach con la norma 1 ) . I I p

45

La demostración se da en el apéndice.

Definición 1.203

Sean V un operador simétrico y T un op'erador autoadjunto actuando en un espacio de Hilbert E y cumpliendo las hipótesis del teorema de Kato-Rellich 0.40, entonces decimos que V es T-acotado con cota relativa menor que 1.

Proposición 1.204

Sea V : R" -+ R una función tal que v = vi + v2

con Vi E L m ( R U , d u ~ ) , 'V2 E Lp(RU,dvz), p > ~ / 2 , p >_ 2 ,

entonces V es -A-acotado con cota relativa menor que'l.

Demostración: Calculemos

(1.205)

(1.206)

(1.207)

donde se ha usado (1.136) y la Proposición (1.200). Esto prueba la proposición.

Por el teorema 0.40 de Kato-Rellich el operador actuando en Z = L2(Ru,d"z)

H = - A + V (1.208)

es autoadjunto en D ( H ) En este caso, V(Z) = (

un ejemplo conocido se puede mencionar el potencial de Coulomb. v = 3, corresponde al átomo de Hidrógeno. Estos resultados

pueden extenderse al operador asociado a un sistema de n partículas interactuando entre sí por medio de fuerzas de Coulomb (habiendo quitado el centro de masa). En este caso, el operador tiene la forma (1.208) donde A es el Laplaciano 3n-dimensional (tres coordenadas por partícula) y el potencial es

e,, ejk, k, j = 1 , . . . , n constantes.

46

11. Teoría matemática de colisiones en mecánica cuántica

Para dar una aplicación a la teoría desarrol.lada consideremos el problema de la completitud asintótica en un sistema cuántico conservativo de dos partículas.

11.1 Hamiltonianoa para sistemas de 2 partículas

Considérese un sistema de dos partículas iriteractuando a través de un potencial V siendo una función

El operador viene dado por a valores reales en R" .

donde H actúa en Z = @ 'E2, [331

y mi corresponde a la masa de la i-ésima partícula. A, = A actuando en Zi, i = 112,

a2 a2 + o' +.. .+ - a 2

a x p a . ax(')' A i= - 8x2 1

Considérese la transformación M : R'v x R" + R" x R",

dada por

entonces

Se puede calcular . a , Pj := -2 -l

a p y := -2 - ax;" a X j

por medio de la fórmula

donde

($;) [331 El 8 S2 es la complexión del espacio generado por las funciones $(x('), x ( ~ ) ) = d(x(l)) ~p ( x ( ~ ) ) , con 4,p E L2(RUld"z) + bajo la norma ll\Ell := (J,. 1q5(x)12du~)1/2 . (J,. lCp(z)12d"z)1/2.

47

es considerado un vector en Rv x R":

y e, es el vector unitario en R2" con j-ésima componente igual a 1. Se puede definir el operator unitario en El S2

(Uf) ( z c m , z ) = f ( M-' (":">)- '

U es unitario, porque el Jacobian0 de la transformación es 1. Entonces, usando (2.1), (2.8-9) y (2.5-6)

[(u-' H U ) f ] (zcm,.) = [u-' i(Hf)] ( Z C r n , 2 )

A A 2rn' 2m2

= (u-'[-- + - + V(z(1) - z(")]f}(z"", z)

A"'" A 2h1 2m = [--- - - + V ( ~ ) ] f ( z c r n , ~ )

donde Acm es el Laplaciano con respecto a las coordenadas zcm

Similarmente, a2 ,i=c -,

j=l ax;

iM = mi + m2, Y

El operador (2.1) se transforma unitariamente en -- 61 = H,, + H,,

Acm H,", = -- 2M '

+ V(.). A H , = --

2m

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

El espacio de Hilbert E = E1 @J 3, puede ser escrito como E = Zem 63 z,, donde los operadores Hem y H, actúan no-trivialmente solo en E,, y 5, respectivamente.

Si suponemos que la función V satisface la descomposición (1.196-197), la proposición (1.195) y el teorema 0.40 nos aseguran que H, es autoadjunto con dominio D(H,) = D(A). Hem es bien conocido. Genera el movimiento libre del centro de masa. del sistema. Su dinámica viene dada por

(2.20)

donde - es el operador transformada de Fourier.

48

La dinámica del operador H en (2.17) estii dada por el grupo unitario a un parámetro fuertemente - continuo ~ ( t ) = Ucm(t) @ ~ ( t ) , (2.21)

donde Ucm(t) está dado - por (2.20) y U ( t ) es el grupo unitario a un parámetro fuertemente continuo generado por el operador H,. V ( t ) actúa en - principio en las funciones Q(zCm, z) = +(z““)cp(z). Por densidad puede extenderse u(t) a todo E,, @J Z,. H tiene espectro absolutamente continuo pues las medidas espectrales p* asociadas con el operador H se determinan con base en las medidas espectrales asociadas a los operadores He, y H,. Y como vimos, He, solo tiene medidias espectrales absolutamente continuas. Para una completa descripción de la dinámica del sistema de dos partículas, es necesario un análisis de U@).

11.2 Teoría espectral y de colisiones para sistemas de dos partículas

La tarea principal de la teoría de colisiones es estudiar el comportamiento para tiempos largos de solu- ciones de las ecuaciones de evolución. En particular uno está interesado en aproximaciones de la (complicada) dinámica de un sistema por medio de algunas más simples.

Considérese la ecuación de Schrodinger que describe la dinámica de un sistema con un número finito de partículas

(2.22)

(2.23)

$(-) es un mapeo de R sobre un espacio de Hilbert 2 (el espacio de estados del sistema), H es un operador autoadjunto en E. La solución única al problema con valor inicial (2.22-23) es

iI(t) = e-;”$ (2.24)

donde e-’tH es el operador unitario generado por H . Si el estado inicial $ es un eigenvector de H : HS, = E$, entonces la evolución es trivial

$(t ) = exp(-iEt)$. (2.25)

La trayectoria $(t) permanece en el subespacio uni-dimensional dado por $(O) = S,. El subespacio generado por los eigenvectores de H PPP(H) E es llamado el subespacio de estados ligados. Su complemento ortogonal está caracterizado por el teorema espectral como el subespacio de continuidad Peonr(H) 9, de H . El mostrar completitud asintótica consiste en:

a. encontrar una comparación de la dinámica del sistema con otra más simple; b. para tiempos largos T encontrar una desxomposición del estado $(r) tal que para tiempos posteriores

la dinámica más simple sea buena aproximación de la verdadera dinámica del sistema. La experiencia ficica sugiere algunas. Si la interacción se vuelve débil en el infinito, entonces debiera ser posible despreciar las fuerzas entre partículas muy alejadas.

En nuestro caso, obtenemos la dinámica ‘libre”. Para esta dinámica las propiedades espectrales de su generador son bien conocidas. La igualdad asintótica de la dinámica del sistema con la dinámica “libre” permite construir una equivalencia unitaria entre H y un operador conocido.

Consideremos el caso más simple, es decir, cuando un sistema de colisiones está completamente descrito por dos grupos unitarios fuertemente continuos a un parámetro U(t), Uo(t) actuando en un espacio de Hilbert 8.

$ del sistema con dinámica U(t ) , se desea aproximar la evolución en el tiempo de ese estado inicial tanto en el pasado como en el futuro y para tiempos grandes con la evolución en el tiempo de otros estados de una dinámica. más simple. Es decir,

Dado un estado inicial $(O)

49

donde ~ ( t ) + tiende al vector O en cierto sentido, cuando t + fco. Entonces uno debe preguntarse en qué topología puede converger (2.26).

En una primera aproximación uno podría tomar c p i E ~ y esperar que U ( t ) - Uo(t) converja con la topología de la norma:

(2.27) Il(U(t) - Uo(t)) - ( U ( S ) - UO(S))ll < 6, si Itl, ISI > T

Sin embargo, esto nos lleva a que

IlU(t - s) - ü o ( t - s)II < e , si (tl, Is1 > T , (2.28)

y por lo tanto H = Ho, (2.29)

donde H, Ho serían, respectivamente, los generadores de U ( t ) y Uo(t). (2.26) significa físicamente que sin referencia a un estado particular, los tiempos t = foo no son distintos a cualquier otro tiempo.

La convergencia fuerte:

implica la existencia de los límites fuertes

:= :s - lim U(-t)Uo(t). t - fm

(2.31)

Si (2.31) se cumple, se tiene que dado 'p E Xi, el sistema con dinámica ü(t) al menos tiene la posibilidad de evolucionar como Uo(t)'p cuando t -+ foo. Es decir, Rfcp evoluciona bajo U ( t ) para t -+ f o o como cp bajo üo(t) para t -+ foo:

(2.32)

s2, bien pueden ser no unitarios, pero en Sf :== Ran Q f , se tiene que H restringido a z* es unitariamente equivalente a HO en Z.

Para se cumplen las propiedades:

nf a;; n* n; = a* sz;, (2.33)

(2.34)

(2.35) * -1- sz& Lf - o. H restringido a Sf tiene la misma clase de espectro que HO en Z.

La convergencia débil en (2.26):

t-fm lim (p, ü(t)i+ - ü~(t)p*) = O, Vp E Z, (2.36)

tiene l a desventaja técnica de no proveer un operador unitario entre H y Ho. En casos más generales, un sistema puede no estar descrito por dos grupos unitarios. En el caso de

que el sistema tenga más de dos partículas, I s evolución del sistema en un estado inicial + dependerá de cómo se agrupen para tiempos grandes las partículas del sistema. Cada agrupamiento sugiere una posible dinámica (un grupo unitario) a la cual la dinámica del sistema puede ser asintótica. Para este caso se espera la existencia de operadores

. nu,& = s - lim ü(- t )Ua( t ) , (2.37)

donde üu(t) es el grupo unitario asociado al operador Ha, el cual es obtenido de H al despreciar las interacciones de partículas que se alejan entre sí.

t - fm

50

Aquí solo se considerará el caso en que dos, grupos unitarios determinan el sistema de colisiones. En la siguiente sección se presenta una teoría general para este caso.

Ejercicio 2.38

a. Suponiendo (2.27) pruebe (2.28-29) b. Pruébese (2.33-34) c. Sea

+ l / i ( N ) + V*(X(2)) + v&1) - P)), (2.39) H=-'- A - A2

2ml 2m2

el operador asociado a un núcleo I< infinitamente pesado y a dos partículas e l , e 2 de masas mi y m2 respectivamente. Discutir cuáles son los posibles agrupamienta de estas partículas y obtener los operadores que generan una dinámica que puede ser asintóticamente equivalente a la generada por H.

11.3 Completitud asintcjtica para operadores de Schrodinger

Considérense operadores de la forma 1 H = - ?A + V,

donde A es el operador que corresponde al Laplaciano en R":

(2.40)

V es el operador que actúa mediante multiplicsción por una función real v : R" 4 R. Se denotará indistin- tamente tanto a la función v como al operador por multiplicación con v con la letra V .

Bajo ciertas condiciones sobre V (por ejemplo, si V cumple las hipótesis (1.205-206)), el operador H en (2.40) es autoadjunto en D(A).

Por el teorema de Stone (Teorema 0.60),

satisface la llamada ecuación de Schrodinger (2.22-23). En este caso, se espera que existan los límites fuertes

R h := s - lim e i t H e - i t H o t-bfca 7

donde Ho := - $ A. Como vimos en el ejemplo 1.133 el espectro de Ho es absolutamente continuo. Nótese que para todo r E R,

e - i r H Q* = lim e - i r H e i t H e-iiHo t - b f w

t - f c a

8-.fUJ

- - lim e - i ( t - r ) H e-itHo

- - lim e - i s H e - i s H o e - i r H o

- - e - i r H o

Supóngase que cp E D(Ho), esto implica que

(2.42)

(2.43)

(2.44) e - i t H o -H

lim - cp = -iHop. t-O t

51

Usando (2.43) se obtiene que d . - e-.'tH ~ & c p existe. dt

Es decir, Rkcp E D(H). Además,

Por otro lado, se tiene la fórmula para la resolvente en términos del grupo unitario asociado:

Por (2.43) se deduce que R,(H)Q& := R*R,(Ho), V z E C.

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

Supóngase que S c R tiene medida de Lebesgue cero. Entonces Pd(H0) = O. Por lo tanto, de (1.126-127) y (2.49) se obtiene

P s ( H ) l - = o. =*

(2.50)

H es absolutamente continuo sobre S í .

En general se pueden definir los operadores de onda.

Definición 2.51

Sean H y Ho operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert Z. Supóngase que los siguientes límites fuertes existen:

:= s - iim eitH e-itHoPac(Ho), t - f o o

(2.52)

donde Pac(Ho) es la proyección sobre el subespacio de continuidad absoluta de Ho. Q& son llamados los operadores de onda u operadores de Mdler. Si

Rad?+ = Rana- , (2.53)

se dice que los operadores de onda son asiiitóticamente completos débilmente. Si

Rana+ = RanR- = EaC(H) (2.54)

se dice que los operadores de onda son completos. Si además se tiene que Zsing(H) = {O}, se dice que se cumple la condición de la completitud asintótica.

La parte singularmente continua Psc(Ho) es en general un tanto cuanto patológica por lo que normal- mente solo se considera la parte absolutamente continua en (2.52). Por ejemplo, D.B. P e a ~ s o d ~ ~ ] construyó

[341 Pearson, D. B., Singular Continuous Measures in Scattering Theory. Comm. Math. Phys. 60, 13-36 (1978).

52

un potencial para el cual H = -A + V contiene un subespacio singularmente continuo cuyos vectores evolu- cionan en el futuro en dos partes: una parte se aleja del origen y la otra queda atrapada cerca de éste. Es decir, la partícula se aleja cada vez más pero siempre regresa. Véase también Schechter [351, A m r e i ~ d ~ ~ ] .

Para enunciar el teorema sobre la completitud asintótica necesitamos de la siguiente

Definición 2.55

Sean 2 un espacio de Hilbert y F el subespacio de B(E) que consta de todos los operadores de rango finito P :

N

PV := ai(v)Sli, i=l

donde ai, i = 1,. . . , N < + 00 son funcionales lineales continuos en 2. $ 1 , . . . , $N son vectores en 2. Se denotará por BOO(:) a la complesión de F bajo la norma (0.11). B,(Z) es llamado el espacio de operadores compactos.

Obviamente B,(S) es un espacio de Banach y se tiene

Proposición 2.56

Sea T E B ( 2 ) . Entonces T es compacto, si y solo si para cada sucesión acotada {pn} en E, {T cpn} tiene una subsucesión convergente. Demostración : Véase apéndice.

Sea H := -i A + V con dominio CF(R:"). Si V es una función real perteneciendo a

L?,,(R") := {V : R" --* c I I V ( Z ) ~ ~ # Z < + 00, I< compacto) K I

entonces H está bien definido en Cr(R") y es simétrico. fi tiene extensiones autoadjuntas 137. Se denotará por H a alguna de estas extensiones.

Teorema 2.57

Sean Ho = - $ A y H operadores autoadjuntos tales que para algún J E B(E), z E C a.

(H - 2)-' - (Ho - z)-' E Bm(S) ,

(I - J) (Ho - z)-' E B"(Z),

(2.58)

(2.59) b.

c. La función h(r) := llY(z) F{B,t,z}ll es integrable en (0,+00):

1'" h(r)dr < +OO. (2.60)

[351 Schechter, M., Letters Math. Phys. 3 pp. 531(1979). [361 Amrein, W., et al., Scattering theory in Quantum Mechanics. W.A. Benjamin Inc. 1977. L37] Reed, M.y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Analysis. Academic Press, Inc., New York. (1975), Vol. 11, pág. 143.

53

Aquí F{Bg, .} denota la función característica del complemento de la bola de radio T en R". (2.60) es llamada la condición de Enss. Aquí

Y(.) := ( H - z)-' J - J ( H 0 - Z ) - ' . (2.61)

Entonces bajo estas hipótesis existen los operadores de onda (2.52) y se cumple la condición de la completitud asintótica para los operadores de Moller

Ran Rf = E:aC(H), ZSing(H) = { O } .

Además el O E R' es el único punto de acumulación posible de eigenvalores.

Para demostrar este teorema necesitamos de los siguientes lemas.

Lema 2.62

Sean H y Ho operadores autoadjuntos taleis que (H - z)-' J - J(H0 - z)-' es compacto, entonces para cada t E R, y para cada intervalo I acotado

( e i t H ~ e - i tHo - J P I ( H 0 ) (2.63)

es compacto.

Demostración: Considérese la expresión formal

(2.64)

Esta igualdad se justifica por el teorema de Stone. La derivada es en sentido fuerte. Por lo tanto,

( H - z)-' [ e i t H J e- i tHo - J] P~(iio) = i 1' ds e'"Y(z) e - i d H o ( H o - z )PI(Ho) . (2.65)

Por (2.58-59) y (2.61), Y( . ) es un operador compacto. Si I es un intervalo acotado, (Ho - z ) P I ( H o ) es un operador acotado. Además, e i s H y e- i sHo son fuertemente continuos. Puesto que un operador compacto multiplicado por un operador fuertemente continuo es continuo en la norma (véase Apéndice), entonces el integrando en (2.65) es un operador compacto continuo en la norma de operadores. La integral en (2.65) es una integral de Riemann y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación (2.65) es compacto.

Nótese ahora que para cualquier intervalo I1 C R, I; := R\Il,

IIPI;(H) J Pr(Ho)ll L IIPr;(H)(N - z ) - ' J ( H o - z ) P ~ ( H o ) l l + IIP1;(H)Y(2)(Ho - 2)PI(HO)ll

1 < c1 sup - + IIPI;(H) Y(2) (Ho - 2 ) PI(H0)II - %:I,. IA - 4

-, O, si := (a,b), a - -CO, b +OO. (2.66)

54

Aquí se ha usado cálculo funcional y el hecho que Y(,) es compacto y PI;(H) converge fuertemente a cero si 11 = (a, b ) , a --$ -00, b --$ +m. En consecuencia,

Il(eitHJ e-itHo - J ) P I ( H ~ ) - (PI,(.H)(eitHJ e-itHo - J)PI(H~)II = I ~ P ( I ~ ) ( e i t H J - J ) P I ( H ~ ) ~ ~ 5 2 I I P ~ ( H ) J PI(HO)II

--$O, si 1 1 = (u , b ) , a -+ -00, b - +OO. (2.67)

PI , (H) (eitHJ e-itHo - J) PI(Ho) es compacto por ser el operador en (2.65) compacto. De (2.67) obtenemos que en (2.63) se tiene un operador compacto. Esto prueba el lema.

Lema 2.68

Sea A = i (z . p + p z) el operador definido en el ejemplo 1.149. Tomemos g E Cr(R+) con soporte contenido en el intervalo [ - ~ - ~ / 2 , - a 2 / 2 , ] ü [a2/2 , a-'/?], a > O. Sea 6 = a/2. Si 1.1 < 61tl. Entonces para toda N existe C N , ~ tal que a. Para t > O ,

IIP- Icz,tll 5 c N , g (1 +t) - N + 1 / 2 , (2.69)

(2.70)

(2.71)

y P+, P- son las proyecciones espectrales ;isociadas al operador A sobre sus partes positiva y negativa, las cuales están definidas mediante cálculo funcional.

Demostración : Sea 'p E E. Por el teorema espectral y el ejemplo 1.149

-00 -00 s v - I

Es decir, el mapeo unitario # diagonaliza a1 operador A. En consecuencia,

donde

Definase

El lado derecho de la ecuación (2.72) es igual a

(2.72)

55

En consecuencia,

Aquí

(2.73)

(2.74)

Donde se ha usado que para t > O , X < O 111 < ó l t l a f - 2 ( t r - X / r - I,@. 5I)p-l 2 ( t r - X / r - a /~ t )P- ' dr

2 min {a/2, b-.'}, r E supp g(r2/2). O

Para n 2 2, & f no depende en p = w y i. Entonces,

a* I& I I M < +m, n 2 2, r E SUPP s(r2/2).

Integrando la desigualdad (2.73) se obtiene (2.69), si tomamos t suficientemente grande. Un argumento muy similar prueba (2.70). Con esto queda demostrado el lema.

Lema 2.75

Sea g E CF(R+) como en el lema anterior. Para cada entero positivo n y t E R* se tiene que

l l ~ { & l p I / z , ~ } e- i tHo g(Ho)P*II I CN,g(1 + Itl)-". (2.76)

Demostración: Primero hay que

explícito muestra que probar que (Pk +)- = P:t 4, donde - denota la transformada de Fourier. Un cálculo

( :Ad)- = -A$.

Por cálculo funcional se tiene

(p*d)- = ( # - ' w * , A } # 4- = ( # - l f w , - A l # 14) = ( # - 1 F { R T , 4 # )$I = p&

donde +-l denota la transformación inversa a #. Usando cálculo funcional y (2.71)

(2.77)

56

donde se ha usado (2.77). Por cálculo funciona.1,

1 1 ~ { ~ a l t l / 2 , e - i tHo dHo) P 4 I 2

4

Tomando N suficientemente grande, se obtiene la afirmación.

Lema 2.79

Los operadores de Moller - lim e i t H e - i t H o

t - f o o

existen.

(2.78)

Demostración: Como e i t H , e - i t H o son uniformemente acotados, es suficiente con probar la existencia de los operadores

de Moller en un subconjunto denso en E. Por ejemplo, en el subconjunto

(77 I 77 = P I . ( H O ) E , I c (€,+00), € > o, E E}. (2.79)

Nótese que para tales 77

l l e i tH e - i t H o i s H e- i sHoi l l l 3 - e

I IIPp(H)[e i tH e-'"~ - e i a H e-i8 HO1 PI ( Ho)< I I

I 2 IIPI@) PI(H0)ll 11t11 + I I P I l ( H ) [ e i t H - eisH e- i sHo] P~(Ho)<ll

+ i l P I l ( H ) [ e i t H - e i r H e- i sHo] P~(Ho)< l l .

El primer término en esta última desigualdad tiende a cero por (2.66), tomando J E 1. Por lo tanto, es suficiente con demostrar la existencia de los límites para la expresión

donde 11, I son intervalos acotados. Puesto que (H - z) PI,(H) es acotado si I1 es un intervalo acotado, es suficiente con demostrar la existencia para la expresión

P Z ( H 0 ) ( H - z)-l e i t H , - i tHo

O P I ( H 0 ) - - e i t H ( ~ l z ) - l ~ , - i t H

+ e i i H (I{ - z1-I (i - J > e - i t H o PI(HO).

El segundo término de esta Última ecuación tiende a cero porque (1 - J) PI(HO) es compacto y

lim e- i tHo = O , débilmente.

57

t - f o o

(2.80)

(2.81)

Para probar esto último, tomemos (p, II, E Z y sea Q la proyección sobre el subespacio generado por { P~cp I A bore1 medible}. Se tiene que para algún f, dpu, = If(X)('dX. Por el teorema espectral QZ es unitariamente equivalente a L2(R, úpv) de tal forma que (p corresponde al vector (p(X) E 1 y e-itHo es multiplicación por e-itx . Sea q(X) el vector correspondiendo al vector &$J.

(s>, e-itHo(p) = (Q+, ( : - i t H o (p) = J T(x) 1 f ( ~ ) 1 2 e-i*xdX.

Obtenemos que (4, e-itHOp) es la transformada de Fourier de una función en L1(R, dX), si v(X) es a soporte compacto y continua. En la demostración del teorema espectral se vio que el conjunto de tales v(X) son densas en QE. Esto y el lema de Riemmann-Lebesgue prueban (2.81). Por lo tanto, sólo se necesita probar la existencia de

s - lim e'''' ( H - 21-1~ e-itHo PI(H0). (2.82)

R

t - f a ,

Por (2.65), se obtiene

(2.83)

Para probar la existencia de los límites es suficiente con probar que

I ~ Y ( Z ) e-isHo(hro - z)PI(HO)JOII E L'(O,&CO)

con supp @ c {$E R" I a 5 para toda función 'p tal que (e E C r , norma anterior de la siguiente mamera:

5 a-' , O < a < 1). Estimamos la

11 Y(.) e - i 8 H o ( ~ 0 - ~ ) P I ( H ~ ) I I I lly(z)11 IIF{Baitl/2, .I ~-'"o(Ho - ~ ) P I ( H o ) P I I + c * lIY(z)F{B:ltl/z> w (2.84)

Para el primer término en el lado derecho de esta ecuación se prueba que está en L'(0, *CO) si se hace un argumento de integración por partes similar al dado en (2.72-74) para la expresión

(2.85)

Uno obtiene entonces

para 4 E CF(R"), inf Notando que para supp (e c {$E R" I a 5

I(eitHoII,>(41 5 (741 + 1.1 + IW' I K l + I.l>LII,ll, (2.86)

I FE supp 41 > a. a-l, O < a 5 1} , e I = (a2/2, ~3-~/2), entonces

(Ho - t.)Pr(Ho)(o = (Ho - Z ) P . (2.87)

Se deduce que

El segundo término en (2.84) está en L'(0, foe) por la hipótesis (2.60). Esto prueba el lema. IIF{Baltl/2, 51 e - i s " o ( ~ ü - z ) ~ i ( ~ o ) < p l l E ~ ~ ( 0 , *m).

Lema 2.88

Sean P+ y P- como en el lema 2.68. Entonces

(H - 2)-' (Q, - 1)S(Ho)Prt (2.89)

58

son operadores compactos si g E CF(R).

Demostración: Probaremos (2.89) para t + +OO. Un argumento similar funciona para t + -00. De (2.80) se obtiene

Por (2.65)

(H - z)-1(R+ - J)g(Ho)P- = *!jhnm i I' e i a H y ( z ) e - i s H o (Ho - z)g(Ho)P-ds. (2.90)

Del Lema 2.62 y (2.65) se sabe que la integral en (2.90) define un operador compacto para t < + co. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación l(2.90) será compacto si

Esta última expresión está mayorizada por

El segundo término está en L'(0, +co) por la hipótesis (2.60) del teorema. El primer término está en L'(0, +m), por el Lema 2.68, tomando a > O de tal forma que supp g c [-u-'/2, -a2/2] U [u2/2, ~ - ~ / 2 ] . Entonces

( H - z)-' (a+ - J) g(H0)P- es compacto (2.91)

Además,

( H - ")-ya+ - l)g(Ho)P- = ( H - z)-1(R+ - J)g(Ho)P- + ( H - z)-l(J - l)g(Ho)P_.

Por (2.59), el segundo término en el lado derecho de esta igualdad es compacto. Esta última ecuación y (2.91) prueban el lema.

Con esto ya se puede demostrar el teorema. Veamos primero que H no tiene espectrcl singularmente continuo. Sean I = P ; ~ " ~ ( H ) la proyección

espectral sobre la parte singularmente continufa en I. Tomemos una función g en CF(R) tal que

Notando que P+ + P- = 1 , se obtiene

(2.92)

59

Los dos últimos términos son idénticamente cero por (2.35) y (2.51). Los dos términos anteriores a éstos son compactos por el lema 2.88. Usando la fórmula dada en la demostración del teorema espectral

(2.93)

y tomando J E 1 en (2.65) junto con la hipótesis (2.58) se obtiene que el lado izquierdo en (2.93) es un operador compacto. Por lo tanto psing(H) es una proyección compacta. Esto solo es posible si

dim Ran ffing(H) < + OO. Además, Ran H P y g ( H ) c Ran P p g ( H ) . En espacios de dimensión finita un operador sólo puede tener espectro puntual. Esto implica que Ran PFng(H) c PPP E 3 PFng(H) = O. Esto demuestra la ausencia de espectro singularmente continuo para H . Siguiendo paso a paso la 'de- mostración dada, se demuestra que s i I c R, In(-E, E ) = 0, para algún e > O , entonces dim Ran PfP(H) < + OO. Esto quiere decir que el O es el único piinto posible de acumulación de eigenvalores. Solo nos resta probar que

Ran = Zac(H).

Esto lo probaremos para "+". Supóngase que existe 4' E (Ran Q+)' n Bac(H). Entonces deben existir 4 E (Ran Q+) n S,,(H) y g E Cr(R) tales que g(H)$ = 4. Nótese ahora que (2.81) también es válido pa.ra H restringido a su subespacio de continuidad absoluta. Entonces

e-i*H(H - z ) d + O si t + + 00, débilmente. (2.94)

El mismo aIgumento funciona para "-".

Poniendo

(2.95)

donde se ha usado (2.43). El penúltimo término del lado derecho de la ecuación (2.95) es cero por (2.35), ya que 4 E (Ran Q+)'. Los tres primeros t,érminos son operadores compactos. Por (2.94) y el hecho que operadores compactos mandan sucesiones débilmente convergentes en fuertemente convergentes (véase Apéndice), se obtiene

4 = iim ei tH P+g(Ho) e-'"o i2:4. t-+ 00

Por lo tanto,

con supp g c [ - ~ - ~ / 2 , -a2/2] U [a2/2, a- ' / 2 ] , a > O ; y donde se ha usado (2.76). 4 es necesariamente el vector O y en consecuencia

Ran Q+ = Z,,(H).

Esto prueba el teorema.

60

Ahora se presenta una clase de operadores que cumplen las hipótesis del teorema. Se tiene H = -1/2 A + V, Ho = -1/2 .4 actuando en el espacio de Hilbert E = L2(R', dux), con

V = (kí + Vz) (1 + 12.I)-'-', para algún E > O.

Vi E Loo, V, (E L*, p > u/2, p 2 2. (2.96)

La condición (2.58) se cumple ya que de hecho V(H0 - z)-l es compacto. Esto se puede ver de la siguiente forma: Tomemos jr(4 := j (Z / r ) , con j una función Cw(Ru), llj\lw I 1 tal que

Como en (1.175) definimos el operador

(2.97)

(2.98)

Este operador es compacto pues de hecho es un operador integral con Kernel

~((z, 9 = (2~)-'" .ir(.) ~ ( s ) [(P' - z1-l j r (91 ' (9, donde " denota la inversa de la transformada de Fourier. Este Kernel pertenece obviamente a L2(RZu, dux x d'y) y por lo tanto es compacto 13'1. Entonces

(2.99)

13'1 Reed, M. y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. Vol I . Academic Press, New York, 1972.

61

Esto se ve que es cierto por una estimación similar a la dada en (2.99). Por lo tanto, H y Ho cumplen las hipótesis del teorema 2.57.

Supóngase ahora que V cumple la descomposición (2.98):

solamente para 111 2 ro, y rg > O fijo. Tomemos J E jr,(.'>. Argumentos similares al del ejemplo anterior muestran que (2.60) se cumple para

H una extensión autoadjunta del operador l? = -a A+V con dominio CF(R"). En este caso (2.59) también es cierta dando un argumento como en (2.99). i(2.58) será cierta dependiendo del comportamiento local del potencial V . Ba jo las hipótesis (2.59-60) los operadores (2.52) existen. La completitud de los operadores de Moller dependen en general del comportamiento local del potencial V.

62

APENDICE

En este apéndice se presentan las demosti:aciones de algunos teoremas que se utilizaron en este trabajo. El teorema de representación de Riesz estaiblece que si X es un espacio localmente compacto de Hansdorff

y A es una función lineal positiva en Co(X), entonces existe una medida de Borel regular tal que para f E CO(X),

N f ) = J f d,u* (A.1) X

Este teorema es bastante general; de hecho, solo se necesita una versión bajo hipótesis más fuertes.

Teorema A.2

Sea A una funcional lineal positiva en Ca,(R") tal que para algún C > O,

entonces existe una medida finita de Borel regular tal que

para toda f E Cm(R"')

Demostración: Se darán solo las ideas principales. Sea V un abierto en R"', definimos para V ,

fi(V) := sup { A . ( f ) I supp f C V, O 5 f 5 1). (A.5)

Para E arbitrario, se define

F(E) = inf { f i (V) 1 E C V ; V abierto}. (A.6)

A partir de aquí se puede construir una medida de Borel mediante la construcción de Carathéodory L3'1. Es fácil checar que la medida ,u construida cumple con:

Usando estas propiedad- es posible demostrar que

para f E Co(Rm) y de aqui que sea cierto parai f E C,(Rm) pues p es una medida finita por (A.7) y (A.3). ,u es una medida Borel regular, ya que en espacios localmente compactos métricos de hecho p es una medida de Baire, las cuales son regulares. Esto prueba el teorema.

13'1 Royden, H. L., Real Analysis. MacMillan Publishing Co. Inc. 1968, 2" edición, pág. 257.

63

Transformada de Fourier

Por medio de la transformada de Fourier es posible “diagonalizar” a operadores diferenciales en espacios

Tomemos f E C r (R) . Definimos de Hilbert. Aquí se presenta una prueba elemental de algunas de sus propiedades importantes.

. +i

-00

F f := está bien definido si f E Corn(,). Calculemos la norma de f en L2(R, dz):

-00 R=

-00

- 0

-00 -00

-00 -00

= I l f 1 1 2 , donde se ha usado que

-00 I

(A.lO)

( A . l l )

(A.12)

C depende del soporte de f.

64

{xm}, la cual se deiiota por { \ r n l } , t a l clue {íL \,zL}iz es de Cauchy para m fijo. Sea ym el vector ai cual converge la sucesión. Enioiices

(A.16)

Por lo que l a siicesióii {!I,?} (Y ( I C C'aiicIi>. SIW y (-1 vcctor ai c u d converge la sucesión.

. . . . -. . . . ... . . . . . .- -. . . __ ... - 11

:= c ( ( j , .)? ( j .

j = 1

Eiit.onces

(.4.18)

(A.19)

Por io t,a.iito, {'r coiivc'rgc t .ai i i l>i i : i i tld~iliiicnte a cero. Por otro lado, por hipótesis existe una subsucesión { J l , , , } ( I C { e t t } t a l q ~ i c {'[I c ' : , , ~ } (Y ( I C Caiiciiy. Como {T $,} converge débilmente a cero, necesariamente se debe ciiniplir c o n que {'r I , ' , , , , } converge ai vecí.or cero. Por ser {A,} una sucesión monótona decreciente y /IT $ , L k l l 2 A , , h / 2 , r i i to i icw A,, - 0. Por lo t.anto la sucesión {P,} de operadores de rango finito converge a T. Esto prii(:I)ii 1;i piolmsicibii.

Proposición 11.20

Sea T un operador ct>iiip:icio, íictii#iiiclo rn un espacio de Hilbert Z. Supongamos que {A,,} es una

1. { A n } converge d( ' l ) i l i i i c i i t t al op(~ia(1or -4, ciitonccs la sucesión de operadores sucesión de operadorcs PII /)(E) t a l (1iic

{i' .ll,} (-oii\('ig,c fiiertcnicnte al operador T A .

2. {.-In} converge fi icrtcii iuitc t i l opcr:i(loi. A , eiit,onces la sucesión de operadores

{i' (oiivcige en norma ai operador T A.

Demostración :

íj G

Puesto que CF(R) es denso en L2(R,dz) se puede extender la transformada de Fourier F f = f como un operador unitario en L2(R,dt) . Si f E L' r i L2 es posible obtener el mismo resultado (A. l l ) , invocando al teorema de convergencia dominada de Lebeogue. Si f E L2,

(A.13)

El limite es entendido con respecto a la norma en L2(R,dz) . Para funciones f E S(R), es fácil ver que F f = f también está en S(R). Para estas funciones cálculos similares a los de la fórmula (A. l l ) muestran que

( F - ' f ) ( z ) = -- (A.14)

Por lo tanto, para f E L2,

(A.15)

La fórmula (A. l l ) es conocida como la igualdad de Parseval. Este resultado se puede extender a mayores dimensiones tomando en cuenta que el conjunto de funciones

{Ill(zi,...,zn)=fi(zci)...fn(zn) I fj E L 2 ( R , d z ) , i = l , . . . , n }

es denso en L2(Rn, dnz).

Demostración de la proposición 1.200

Sea g E L2(R", dux). Por la desigualdad de Holder,

IlIll(-iV> v(%ll = IlIll(PS)Íl

L III~~II, ii(Pgjiiql donde q' = (3 - l)-'. Por la desigualdad de Hansdorff-Young [401 con 4 + $ = 1,

P 9

con r = p/q, s = 2/q. Esto demuestra la proposición. Dando un argumento como en (2.99) se demuestra que de hecho el operador +(-iV)q(Z) es compacto.

Demostración de la Proposición 2.57

Sea {xm} una sucesión uniformemente acotada y {P,} una sucesión de operadores de rango finito tales que llpm - TI1 --+ O, rn -i + m. Usando el proceso de diagonalización se puede hallar una subsucesión de

L4O] Reed, M. y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. Academic Press, Nueva York, 1975, pág. 32.

65

Se demoshará solo 1. Iza ot ra asev i~ r i i c i t i i i se pi i ie l in . similarmente. Puesto que T es compacto, existe n -+ + co. Además, por el una sucesión { P,,} de op~~ratlor(!s d e railgo fii i i t .0 tales que lip, - TI1 -t O,

principio de a.cotaiiiicii t,o iiii i foriiil:

.sup l ~ . l , , l l < + ‘3c. 11

Por lo ta.~ito, es s i i f i c i c i ~ t c ( X ~ I I cIciiio,t r : l r 1. [)ara T iiii opei’a.tlor de rango finito. Para este caso, se sigue direct a.inen te cl c In tl di I I i c i I!, I I . 1.15 t o 1 1 I. i I ,! I I ;i I i l ) r o 1 ) obi c it; I 1 .

Proposicióii A.21 (’leori:iii;i ( I C I l ; i l i i i - l ln: iacl i )

Sea S u n espacio vect.oriril coii-ipl(?,jo. 11 i i i ia iiiiicióii a va.lorcs reales sobre X que satisface p(az+ @y) 5 l a l p ( ~ ) + /Plp(y), para ciiaii~scliii~:ra .x, !J E .Y, c t , ,3 E C con + IpI = 1. Sea X una funcional lineal compleja definida sobre 1111 sii1)cspncio \ - I I C ,Y clue cniisface \,\(y)( 5 p(y), para todo y E Y. Entonces, existe una funcional conipIc,i:i A , cl(:íiiii(l:i ( V I ,S3 qiic satisface /.4(z)I 5 p(t) para todo t E X y h ( y ) = X(y) para y E Y.

~ - . . __._____c ~ c._ - _ . _ _ _ Deinostracióii: Solo daiiios );IS ¡(¡c:is- l)i,¡iicÍ[)&s. ’Joinando .!!(i)’- .- = - - - e 272) se tiene queX(xr . = -. ’’---_

C(Z) - iE(iz). Ildeiti¿ís. ( (‘q Iiiw;il rc’al d 1 i . e 1. c S si lo consitlera.mos como espacio vectorial real. Para N . 0 E I<+ COI1 CY + 3 = I l ~ ~ l l ~ ~ l l l o ~ ( ( I t ( ’

En coiisecueticia, es s i í i c ivL i í c c o i l tlciiwsi r a r cl tcorciiia ~)ti.ra uiia funcional lineal real sobre espacios vecto- riales reales con p, C s a t i s f í i ~ i ~ i i ( l o (1\.2?). Ilatlo z E S con z no en Y veremos cómo se puede extender E al subespacio Y + z con Itis piupi(d:i(Ics iiilr!cii;i(l:is. I~iitoiiccs, se puede invocar al Lema de Zorii para asegurar que existe una estciisii‘m ( I r? I‘ c o i i las pivi) ic( la(lcs Iiiiscat1;is y clcfinida en todo el espacio ,Y. Notemos ahora que la. extensión de 1 ;it w l n l , i o \~ + :, Il;i i i i i , i i insli i l ‘ ~ , qi ic t la especificada una vez que definamos f ! , (z) puesto que

i , ( l i Z -4- I/) = C l C I ( Z ) + ( ( y ) . (,4.23)

Ahora usando (A.22) w ~I~.ii~iii~si r;i i l i i c i,si.-i,i: 1111 iiiíii-icro re;il b t.;il que

Se prueba entonces t j l i t --I I)oiii,iiim i i ( - ) proposición.

= b , eiitoiiccs C1 satisface (A.22) en Y + L. Esto prueba la

Sean S y Y ryxicim ( 1 ~ I l t ~ i i ; i c l i y 7‘ I I I I i i iapeo liiienl de S cn Y . Entonces T es acotado si y solo si su gráfica es cerrada.

Demostración: Si Y’ 17s amt a(lo. ~ ~ I I ~ O I I U , ~ chvi;tiiiciitc: s u gráfica es cerrada. S i la gráfica de T es cerrada, se tiene que

. I I ; l = T, (A.25)

donde ril : T ( T ) - S, íi2 : l’(7’) - ’I’

Para una presentación, t i n poco diCciciite a la q u i ofrecida de la Teoría Espectral, se recomiendan los siguientes libros:

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

Amreiii, IV. O., Rl. .Joscí' .J , i i ic l i J. 11. Siiilin Kalyaii, Scatter ing T h e o r y in Quantum Mechanics , W . A. Beiijaiiiiii. Iiic., 1354.

Kato, T., Pc.i .turhtioii T1ic:ory for Liiicar Opcrators, ?a. ed., Springer Verlag, 1976.

Reed. h l . y Siiiioii I { . . hIc>ílio(l\ oí' i\Ii )<lc~ri i hhtliciii í iti( : id Pliysics, vol. I , Academic Press, 1975.

Para la Teoría tlc C:olisioii<,n C I I ~1 i~ : Í i i i ~ : ; i (:ii:íiit icn, se pueden consultar los siguientes libros y artículos.

Agmon, S., S ~ w c t r a l P r o l i ( ~ t i r s of' Sc:lir6diiigcr Opcrators and Scattering T h e o r y , Ann. Scuoala Norni. Siip., I'im ('I Si. I ¡ , 2 1 1 1 ) . (151-2lS), 1975.

Baumgartel, 11. y l i 'ollrii lwrg, Aí., h ~ ~ i t , l i , ~ i i i ~ i t i c ~ i l Scat ter ing Theory , Birkhauser Verlag, Basel- Bostoii-S tut t sa Y i, , 1'3 83.

Ems, V., Asyiiiptotir Coiiipi(~t<~iic\s for <>iiaiitiiiii Mccliaiiical Potent ia l Sca t ter ing , 11. Singiilar mid loiig r:i11gc pot(wti ; i ls , . \ i i i i l)liyq., 119 págs. (117-132), 1979.

Ens , V., Qiiaiit,iiiii Scatttxiiip, Tli(,ory for T w o ant1 T h e e B o d y Systems with Potent ia ls of Short and Loiig IIiiilgt!, Prcpi i i i t Si

2-6, D-1000 J k i l i r i 33, \\*P-I ( ; ( ; I i 1 i< i i i v

192, Institiit L'iir Jíathematik I, Freie Universitat Aminialle

Perry, P. A,, IVIclliii Traiisfi>riiis a i i ( 1 Sc:ittcriiig Tl icory, I. Short range potentials, Duke Math. J., 47 págs. (187-193), ir>$o.

Reed, hl. y Siiiioii. ¡I.! hlctliocls of' hlotlcrii h4:~tiicriiatical Pliysics, vol. 111, Academic Press, 1979.

Tliirring, W . , A Coiirsc i i i A4¿i~li( ! i1i~it i (~¿~l Pliysics, vol. II1,Springer Verlag, New York-Wien, 1981