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UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
ESTADOS SATISFACTORIOS DEL MODELO DE ISING
ANTIFERROMAGNÉTICO EN TRIANGULACIONES
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE
DOCTOR EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
MENCIÓN MODELACIÓN MATEMÁTICA
ANDREA PATRICIA JIMÉNEZ RAMÍREZ
PROFESOR GUÍA:
MARCOS KIWI KRAUSKOPF
MIEMBROS DE LA COMISIÓN:
MARTIN LOEBL
MARTÍN MATAMALA VÁSQUEZ
GELASIO SALAZAR ANAYA
SANTIAGO DE CHILE
ENERO 2012
Resumen de la Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la
Ingenieŕıa mención Modelación Matemática
Andrea Jiménez
Enero, 2012
Esta tesis se aboca al estudio de los aśı llamados estados satisfactorios del modelo de Ising
antiferromagnético en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas y orientables. En el
modelo de Ising antiferromagnético, los estados satisfactorios corresponden a estados de mı́ni-
ma enerǵıa. Si un estado satisfactorio existe, todo estado de mı́nima enerǵıa es precisamente
un estado satisfactorio. En f́ısica estad́ıstica, el número de estados de mı́nima enerǵıa que un
sistema admite es de gran interés, debido a la información termodinámica que provee.
En teoŕıa de grafos, cada estado satisfactorio en una triangulación se identifica con algún
emparejamiento perfecto del dual geométrico de dicha triangulación el cual es siempre un grafo
cúbico sin puentes. Mas aún, para toda triangulación que admite un estado satisfactorio, la
cantidad de estos estados es a lo más dos veces el número de emparejamientos perfectos que
admite el grafo cúbico sin puentes en dualidad, siendo esto una igualdad para triangulaciones
planas. Esta relación, conecta el número de estados satisfactorios en triangulaciones con una
famosa conjetura de Lovász y Plummer, recientemente probada, que afirma la exponencialidad
de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.
En la primera parte de esta investigación se desarrollan técnicas para contar estados satis-
factorios del modelo de Ising antiferromagnético en dos familias distintas de triangulaciones.
Inicialmente, se adapta el método de la matriz de transferencia para demostrar que el número
de estados satisfactorios en la clase de triangulaciones de un n-ágono es exponencial en n. A
continuación, se elabora un método recursivo y se obtiene una cota inferior exponencial para
la cantidad de estados de mı́nima enerǵıa para la familia de triangulaciones apiladas.
Luego, se estudia la complejidad computacional de los problemas asociados a la existen-
cia y cantidad de estados satisfactorios en triangulaciones. Se prueba que, cuando el género de
la superficie en la cual se incrustan las triangulaciones es arbitrario, los problemas de decidir
existencia y enumerar estados satisfactorios son NP-completo y #P-completo, respectivamente.
Finalmente, para cada superficie fija, de género positivo, cerrada y orientable, se construyen
secuencias vértice-creciente de triangulaciones incrustadas en la superficie con exactamente un
par de estados de mı́nima enerǵıa. Este resultado, discrepa de la exponencialidad del número
de estados de mı́nima enerǵıa en triangulaciones planas obtenido a consecuencia de la exponen-
cialidad de los emparejamientos perfectos y a la identificación en dualidad, aśı como también
difiere de la intuición en f́ısica estad́ıstica acerca de la gran cantidad de estados de mı́nima
enerǵıa que los sistemas geométricamente frustrados exhibiŕıan.
A mis padres Benjamı́n y Angélica, por su amor y apoyo
incondicional
Agradecimientos
En primer lugar, agradezco sinceramente a todas aquellas personas que de una u otra forma
han sido parte de este importante proceso de aprendizaje y crecimiento.
Por su dedicada orientación, su apoyo generoso, sus valiosos consejos y sus cŕıticas tre-
mendamente constructivas, agradezco de corazón a Marcos Kiwi, mi director de tesis. Muchas
gracias por que cada reunión que tuvimos fue siempre una ganancia profesional y una motiva-
ción personal para continuar con esta investigación. Estoy segura que sin su ayuda y tiempo
este sueño no seŕıa realidad.
Quiero agradecer a Martin Loebl, quien informalmente guió este trabajo de tesis y a quien
considero un pilar fundamental en mi crecimiento matemático. Gracias por todo el apoyo que
me ha brindado, por creer en mi, por darme la oportunidad de trabajar juntos e integrarme en
su comunidad cient́ıfica. Gracias por enseñarme que un matemático brillante es también una
gran persona. Gracias infinitas por su amistad y paciencia.
A Mihyun Kang agradezco por motivarme a seguir aprendiendo y a continuar por la senda
de la investigación en los momentos de debilidad e inseguridad. Gracias por confiar en mis
capacidades, por el gran apoyo, por cada una de las reuniones de trabajo y las conversaciones
que tuvimos.
A todos los docentes del DIM y miembros del CMM con quienes he tenido el privilegio de
tener clases y compartir seminarios, agradezco por inculcarme el amor por las matemáticas.
También quisiera agradecer a los profesores del KAM y miembros del ITI por acogerme gene-
rosa y cordialmente en su comunidad. Muchas gracias a todos por darme la oportunidad de
aprender de sus enseñanzas y experiencias.
A Gelasio Salazar y a Mart́ın Matamala agradezco por aceptar ser parte de la comisión de
este trabajo de tesis, por su tiempo, disposición, comentarios y correcciones.
Agradezco especialmente a Michel Curé, quien hace poco más de cuatro años fue la persona
que me incentivó a continuar estudios doctorales.
Aśı también deseo agradecer el apoyo económico que me han brindado distintas instituciones
y proyectos. Entre otros, agradezco al Programa MECESUP que ha financiado mis cuatro años
de estudio doctoral, a CONICYT v́ıa Programa Basal en Modelamiento Matemático, a FON-
DECYT 1090227 y al Institute for Theoretical Computer Science Charles University, Prague. A
CONICYT por mi beca de pasant́ıa doctoral en el extranjero y al Núcleo Milenio Información
y Coordinación en Redes ICM/FIC P10-024F.
De corazón agradezco a todos los funcionarios del DIM, en especial a Eterin, Silvia, Regina,
Don Oscar y Don Luis, quienes con su gran vocación y buena voluntad, han estado siempre
dispuestos a ayudar de la mejor manera cuando uno lo necesita.
Agradezco sinceramente a todas las maravillosas personas que conoćı mientras estuve en
Praga. A Eva, Tomas, Honza H., Honza B., Andrew y Mayumi mil gracias por todos los mo-
mentos compartidos, por la hermosa Navidad en Tábor, las cenas, los paseos, los bailes, las
fiestas, las risas y sobretodo por su amistad que no sabe de tiempo ni de lugar. A Nana, que
tal vez nunca se entere de estos agradecimientos, le agradezco su bondad, cariño y gran voluntad.
A mis amigos y compañeros del doctorado, agradezco por los buenos momentos que hemos
vivido juntos, por las conversaciones y almuerzos. A Naty, Maxy, Lucho, Flavio, José Aliste,
José Zamora, Alvaro Daniel, Alvarito y Pablo agradezco por su ayuda y amistad. A Clarita
agradezco por ser mi gran amiga, por su lealtad, sinceridad y su apoyo incondicional. A Jairo
agradezco por nuestra amistad y por todas aquellas veces que me subió el ánimo con su alegŕıa.
Quiero agradecer a Oscar, quien a sido un apoyo fundamental en todo sentido. Gracias por
tu amor y comprensión, por levantarme en los malos momentos, por escucharme, acompañarme
y por la paciencia, por vivir y disfrutar junto a mi los momentos felices.
Finalmente, deseo agradecer a aquellas personas que han estado siempre en mi vida, mi
familia. Les doy gracias por apoyarme, por comprender y respetar mi poco tiempo, por darme
tantos momentos de alegŕıa y por ser mi fuente de enerǵıa cuando flaqueo. A mis abuelos Nena
y Tata, agradezco su enseñanza de amor y respeto para toda la vida. A mi hermano Jaime,
agradezco su generosidad, nobleza y gran corazón. A mi herma Paula, agradezco su amistad, su
gran valent́ıa y por darme la felicidad de tener dos sobrinos maravillosos. A mi papá, agradezco
por tanto amor que me ha entregado, por sus sacrificios para darnos siempre lo mejor, por su
apoyo constante y por estar siempre presente. A mi mamá, agradezco por ser mi mejor amiga,
por su amor infinito, por su vocación de madre, por su optimismo, su apoyo imprescindible, por
todas las conversaciones y por tener siempre las palabras justas que reconfortan mi esṕıritu.
Índice general
1. Introducción 1
2. Marco teórico y resultados 6
2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. El modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Estados satisfactorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3. Emparejamientos perfectos: dual geométrico de los estados satisfactorios 9
2.2. Método de la matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Triangulaciones de un n-ágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Triangulaciones apiladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Complejidad computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Estado fundamental no degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Conclusiones 15
Bibliograf́ıa 18
A. Estados satisfactorios en triangulaciones de un n-ágono 20
B. Modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones aplicado a contar em-
parejamientos perfectos 38
C. Dificultad computacional del problema de enumerar estados satisfactorios en
triangulaciones 62
D. Estado fundamental no degenerado en el modelo de Ising antiferromagnético
en triangulaciones 83
Caṕıtulo 1
Introducción
Este trabajo de tesis se centra en el estudio del comportamiento de los aśı llamados estados
satisfactorios del modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones incrustadas en super-
ficies cerradas y orientables. Estos estados, como se verá más adelante, corresponden a una
clase particular de estados fundamentales o de mı́nima enerǵıa del modelo de Ising antiferro-
magnético, uno de los tópicos más extensamente estudiado en el área de la f́ısica estad́ıstica. Las
razones para estudiar estos elementos son diversas, una de ellas es que expĺıcitamente conectan
dos notables ramas de la ciencia: la matemática discreta y como ya ha sido mencionado, la f́ısica
estad́ıstica. En este sentido y de una manera precisa que se establecerá rigurosamente en los
preliminares de este trabajo, los estados satisfactorios del modelo de Ising antiferromagnético en
triangulaciones, se identifican con los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.
Un estado satisfactorio no necesariamente existe, pero si existe entonces todo estado de
mı́nima enerǵıa corresponde a un estado satisfactorio. En f́ısica estad́ıstica, al número de es-
tados de mı́nima enerǵıa se le conoce como la degenerancia del estado fundamental y es un
parámetro vastamente estudiado y de gran interés f́ısico, debido a que, entre otros, determina
la entroṕıa del sistema. En particular, el modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones
está fuertemente caracterizado por una alta degenerancia del estado fundamental, lo cual se
traduce en entroṕıa no nula.
Una incrustación de un grafo en una superficie es un dibujo del grafo en la superficie (i.e. los
vértices están representados por puntos y las aristas por curvas continuas) tal que cada arista
conecta los vértices que la componen y el interior de cada arista es disjunto del resto del dibujo.
Además, una triangulación incrustada en una superficie cerrada y orientable Ω, o simplemente
una triangulación, es un grafo incrustado en Ω con cada cara acotada por un 3-ciclo (triángulo)
del grafo.
En el contexto de dualidad geométrica en incrustaciones de grafos, la degenerancia del es-
tado fundamental en triangulaciones que admiten un estado satisfactorio, se conecta con una
1
famosa conjetura de Lovász y Plummer, recientemente demostrada, la cual afirma que el núme-
ro de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes es exponencial en función de la
cantidad de vértices del grafo. En este aspecto y de acuerdo a un resultado que estableceremos
en este trabajo, se tiene que la cantidad de estados satisfactorios que admite una triangulación
es a lo más dos veces el número de emparejamientos perfectos que tiene su dual geométrico, el
cual es siempre un grafo cúbico sin puentes. Además, esta relación es una igualdad cuando se
considera la clase de triangulaciones planas.
De manera resumida y en palabras, las principales contribuciones de esta tesis, se pueden
dividir en tres tópicos distintos, los cuales están relacionados. En una primera instancia se desa-
rrolla la adaptación de la técnica de la matriz de transferencia para la obtención de cotas inferio-
res para el valor del número de estados satisfactorios de dos familias distintas de grafos planos
irregulares. El método de la matriz de transferencia, es la base de diversas técnicas de cálculo
que estudian fenómenos cŕıticos en la f́ısica estad́ıstica. De forma intuitiva y a grandes rasgos, si
suponemos que un sistema de part́ıculas puede ser descompuesto en bloques conexos que inter-
actúan solamente con aquellos bloques que intersectan su frontera, es posible definir una matriz
que codifica las propiedades locales de cada bloque, de manera que determinadas operaciones
sobre esta matriz entregan la información global del sistema. Esta herramienta ha sido utilizada
principalmente para solucionar problemas en donde la distribución de las part́ıculas (del sistema
analizado) describe estructuras regulares, t́ıpicamente reticulados. Aqúı justamente radica la
importancia de la adaptación desarrollada en este trabajo, puesto que se presenta una forma de
emplear el método de la matriz de transferencia en estructuras geométricamente más complejas.
La dificultad para aplicar el método recién descrito en los casos que se detallan en este
trabajo, radica en que no es posible fijar una única matriz para codificar localmente la informa-
ción, y más aún, dependiendo de la configuración local de la estructura, ni siquiera es factible
la definición de una matriz. A cambio, para alcanzar el objetivo, la adaptación del método se
apoya fuertemente en la construcción recursiva de las estructuras en cuestión. Básicamente, a
este procedimiento constructivo se le asocian operaciones y vectores que transfieren informa-
ción, los cuales codifican la cantidad de estados satisfactorios de la estructura obtenida en cada
paso de la construcción.
Como ya se ha dicho, el análisis de sistemas f́ısicos en donde las part́ıculas describen es-
tructuras geométricamente complejas, es un tema poco dominado tanto por f́ısicos como por
matemáticos. Ciertamente, solamente se conocen soluciones del modelo de Ising, lo cual significa
calcular su función de partición, para algunos reticulados planos. Por esto, se hace sumamente
interesante, explorar el modelo de Ising en triangulaciones incrustadas en superficies orienta-
bles, cerradas y de género positivo.
2
Por lo ya comentado, no es sorprendente, que el segundo tópico de este trabajo se enfo-
que en clasificar, según su dificultad computacional, los problemas derivados de la existencia y
cantidad de estados satisfactorios en triangulaciones incrustadas en superficies orientables, ce-
rradas y de género positivo. En conjunto, se estudia el problema de decidir si una triangulación
admite o no un estado satisfactorio y el problema de enumerar estados satisfactorios en una
triangulación, donde las triangulaciones están incrustadas en superficies orientables, cerradas,
de género positivo y arbitrario. En este punto, la arbitrariedad del género de la superficie, juega
un rol esencial, pues, se sabe que ambos problemas se pueden resolver en tiempo polinomial si
se fija el género de la superficie. Acá, se muestra que tanto el problema de decisión, como el
problema de enumeración son computacionalmente dif́ıciles cuando la triangulación está incrus-
tada en una superficie de género arbitrario. En ĺıneas generales, se prueba que decidir si una
triangulación admite o no un estado satisfactorio, es un problema NP-completo y que enume-
rar dichos estados es un problema #P-completo. Ambos resultados, se establecen mediante una
reducción débilmente parsimoniosa desde la variante positiva del 3-SAT de “no todos iguales”,
comúnmente abreviado como Positive-NAE-3SAT.
Para la confección de las reducciones mencionadas, fue necesario el diseño de gadgets, es
decir de triangulaciones incrustadas en superficies orientables y con bordes que satisfacieran
condiciones no triviales de existencia y de unicidad de estados satisfactorios. Las propiedades
de unicidad en un principio de la investigación no se pensaron factibles, debido a la alta degene-
rancia del estado fundamental que caracteriza a estos sistemas. En efecto, contrariamente a lo
intuido por la f́ısica estad́ıstica, la elaboración de estos gadgets, gúıa sutilmente la construcción
de triangulaciones con una cantidad arbitraria de vértices y pocos estados fundamentales. En
este contexto, este trabajo aporta en distintas direcciones, entre ellas, con el diseño particu-
lar y global de las gadgets dotadas de delicadas y “rebuscadas”propiedades f́ısicas que pueden
eventualmente ser útiles para estudiar la dificultad computacional de otros problema de tipo
Ising relacionados y además, como veremos a continuación, da un primer paso para una mejor
comprensión de la intrincada relación entre la frustración geométrica1 y la degenerancia del
estado fundamental en f́ısica estad́ıstica.
El último tema que se trabaja en esta tesis, nace como consecuencia de la confección de
las recién mencionadas gadgets. Dado que en dicho estudio se encontraron triangulaciones de
tamaño arbitrario y una cantidad pequeña de estados satisfactorios, surgió la inquietud de saber
si el mismo fenómeno se tiene cuando se fija el género de la superficie en la que las triangulaciones
están incrustadas. Nuevamente, según los postulados de la f́ısica estad́ıstica, en estos casos, se
espera que la degenerancia del estado fundamental sea exponencial en función del número de
1 propiedad f́ısica que exhiben algunos sistemas de part́ıculas, comúnmente caracterizada por una alta
degenerancia del estado fundamental; en particular, las triangulaciones analizadas en este trabajo presentan
frustración geométrica.
3
vértices de la triangulación, lo cual implica entroṕıa positiva en el ĺımite termodinámico y
coincide con la caracterización de los sistemas geométricamente frustrados. Cuando el género
de la superficie es cero, se tiene dicha exponencialidad como consecuencia de la conocida,
previamente mencionada, exponencialidad de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.
En este trabajo se muestra que un fenómeno más complejo e inesperado, surge cuando el género
de la superficie se incrementa. Concretamente, se prueba que para toda superficie fija, cerrada,
orientable Ω y de género arbitrario, existe una secuencia vértice creciente de triangulaciones
incrustadas en Ω sin degeneración del estado fundamental, es decir que admiten exactamente
un par de estados de mı́nima enerǵıa. Además, se da a conocer una estrategia para construir
tales secuencias justamente basadas en la unicidad de pares de estados satisfactorios. Este
sorprendente resultado deja muchas preguntas por responder y problemas abiertos, no solo
en f́ısica sino también en matemática. Asimismo, se espera que tanto la construcción de estas
secuencias de triangulaciones como la estrategia para obtenerlas aporte notablemente al estudio
de los sistemas geométricamente frustrados y encuentren aplicación en otras áreas.
Estructura de la Tesis
Esta tesis consta de tres caṕıtulos, el primero es introductorio, el segundo contiene el marco
teórico y los resultados obtenidos a partir del trabajo de tesis y el último, las conclusiones
globales y particulares de este estudio, aśı como también las posibles ĺıneas de investigación a
seguir.
En la Sección 2.1 enunciamos formalmente el modelo de Ising en triangulaciones, introdu-
ciendo definiciones y propiedades fundamentales que ayuden al lector a familiarizarse con el
modelo y a comprender la relevancia del trabajo que se realiza en esta tesis. En esta misma
sección, se presenta una relación entre los estados satisfactorios en triangulaciones y los empa-
rejamientos perfectos en grafos cúbicos, junto con una breve discusión acerca de la conjetura de
Lovász y Plummer. Esto último si bien no es expĺıcitamente parte de las secciones posteriores,
es otra de las motivaciones para este estudio, que vale la pena incluir y tener en cuenta.
La Sección 2.2 de esta tesis se enfoca en la adaptación del método de la matriz de trans-
ferencia. Básicamente, esta sección se divide en dos partes: la Subsección 2.2.1 en donde se
explora la cantidad de estados satisfactorios de la familia de triangulaciones de un n-ágono y la
Subsección 2.2.2 que da a conocer la adaptación del método de la matriz de transferencia para
calcular una cota inferior para la degenerancia del estado fundamental de la clase de triangu-
laciones apiladas. Cada apartado está compuesto por un breve comentario y por un apéndice
(Apéndices A y B respectivamente) en donde se adjunta un art́ıculo cient́ıfico que contiene el
desarrollo de la teoŕıa.
4
La Sección 2.3 tiene por objetivo el estudio de la complejidad computacional de los proble-
mas de decidir existencia de estados satisfactorios en triangulaciones y enumerar dichos estados.
Al igual que en la sección anterior, se añade un art́ıculo cient́ıfico, el cual se encuentra en el
Apéndice C, con el trabajo realizado y los resultados pertinentes, precedido por una debida
discusión acerca del tema.
En la Sección 2.4 se presenta la construcción de las secuencias de triangulaciones dotadas de
un estado fundamental no degenerado. De la misma forma que en los caṕıtulos anteriores, este
trabajo se exhibe mediante la incorporación de un art́ıculo cient́ıfico en un apéndice, a saber el
Apéndice D.
Finalmente, en el Caṕıtulo 3 se presenta un breve resumen del trabajo logrado en esta tesis
y se concluye con el planteamiento de problemas abiertos y las posibles ĺıneas de investigación
que los resultados obtenidos y las técnicas desarrolladas en este trabajo arrojan.
5
Caṕıtulo 2
Marco teórico y resultados
2.1. Preliminares
2.1.1. El modelo de Ising
El modelo de Ising es uno de los modelos de part́ıculas que interactúan entre śı más estudia-
dos en f́ısica estad́ıstica. Históricamente, el modelo de Ising, ha jugado un papel fundamental
en el desarrollado de la comprensión del ferromagnetismo, del antiferromagnetismo y de las
transiciones de fase. Su aparición data del año 1925, fecha en que se publicó la tesis doctoral
de Ising [11]. A pesar de la simpleza y naturalidad del planteamiento del modelo de Ising, su
solución, es decir la obtención de su aśı llamada función de partición, está lejos de ser conocida,
salvo para casos especiales de reticulados planos [3, 11, 22]. Hoy en d́ıa, el modelo de Ising
y sus generalizaciones se emplean para explicar fenómenos no solamente f́ısicos, sino también
biológicos y sociales [10, 17].
Por otro lado, el estudio del modelo de Ising (y en general de la f́ısica estad́ıstica) ha estado
fuertemente asociado a las matemáticas discretas. Técnicas, métodos y avances desarrollados
en el área de las matemáticas discretas han sido de gran utilidad para atacar problemas de
la f́ısica estad́ıstica y vice versa (ver por ejemplo [9, 19]). Dicha inter-relación es una de las
razones que motivan este trabajo. En efecto, en la siguiente sección se establece una particular
conexión entre el modelo de Ising y los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.
T́ıpicamente, para estudiar el modelo de Ising, las part́ıculas se sitúan en los vértices de un
grafo y el tipo de interacción entre ellas queda determinado por la existencia y peso de las aristas
de tal grafo. En esta tesis, se analiza el modelo de Ising en donde las part́ıculas y su interacción
describen triangulaciones incrustadas en superficies cerradas orientables con aristas con peso -1.
Vamos ahora a describir el modelo de Ising en triangulaciones. Dada una triangulación T ,
un estado de T en el modelo de Ising es una función que asigna a cada vértice de la triangula-
6
ción T un valor en el conjunto {1, -1}. Los valores 1 y -1 son comúnmente llamados espines.Si V (T ) denota el conjunto de vértices de T , un estado de T puede ser representado por un
elemento del conjunto {1, -1}|V (T )|.
Para cada estado σ ∈ {1, -1}|V (T )|, la enerǵıa o Hamiltoniano del modelo de Ising en unatriangulación T , está dada por la ecuación
H(σ) = -∑
uv∈E(T )Juvσuσv (2.1)
donde E(T ) denota el conjunto de aristas de la triangulación T y para cada arista uv en E(T )
el parámetro Juv es llamado constante de acoplamiento (Juv básicamente define el tipo de in-
teracción entre los nodos u y v). En general, la constante de acoplamiento puede variar de
positiva a negativa dependiendo del sistema que se quiera estudiar. En particular, como se ha
mencionado previamente, en este trabajo se estudia el tipo de interacción antiferromagnética,
para lo cual se considera una constante de acoplamiento igual a -1 para cada arista. A esta
variante del modelo de Ising se le conoce como modelo de Ising antiferromagnético.
Dos problemas matemáticos surgen naturalmente a partir del modelo de Ising. El primero
es el estudio de los estados que proveen la mı́nima enerǵıa posible al sistema, conocidos como
estados fundamentales, y el segundo es el cálculo de la función de partición, la cual encapsula
toda la información f́ısica del sistema en cuestión. La función de partición del modelo de Ising
en un grafo G, se define como
f(t, G) =∑
σ∈{1,-1}|V (G)|exp [−H(σ)/Kt], (2.2)
donde K es la constante de Boltzman y t la temperatura. Este trabajo se enfoca en el primer
tópico, es decir en el estudio de estados fundamentales, por lo cual no vamos a entrar en detalles
acerca de la función de partición. Sin embargo, vale la pena al menos conocer su definición para
tener una visión de la dificultad que implica su cálculo exacto. Relacionado al análisis de los
estados de mı́nima enerǵıa, se encuentra la degenerancia del estado fundamental, que por defi-
nición corresponde al número de estados de mı́nima enerǵıa que admite un sistema. Vale notar
que el cálculo de la función de partición determina inmediatamente la degenerancia del estado
fundamental. Por diversos motivos, la degenerancia del estado fundamental es una cantidad
de gran interés en la f́ısica estad́ıstica (ver [25] para mayor información y más referencias), lo
que ha implicado que por muchos años se desarrollen e implementen técnicas que permitan su
cálculo [16, 20]. En este trabajo, veremos la adaptación de uno de los métodos más renombrados
en dicha área, llamado el método de la matriz de transferencia, para determinar cotas inferiores
de la degenerancia del estado fundamental de dos clases de triangulaciones planas.
7
En el modelo de Ising antiferromagnético, dado un estado σ ∈ {1, -1}|V (T )|, se dice quela arista uv ∈ E(T ) es frustrada por σ o que σ frustra uv si σu = σv. Cualquier estadoσ ∈ {1, -1}|V (T )| frustra al menos una arista de cada cara de la triangulación, ya que cada caraes acotada por un 3-ciclo. Los sistemas con la propiedad de que todo estado frustra al menos
una arista de cada cara, se conocen como sistemas geométricamente frustrados, y están carac-
terizados por una alta degenerancia del estado fundamental (ver [21] para más detalles acerca
del término f́ısico frustración geométrica y sus propiedades). En otras palabras, en sistemas
geométricamente frustrados la degenerancia del estado fundamental es t́ıpicamente exponen-
cial en función de la cantidad de vértices del grafo subyacente (ver [21, 23, 28]; en [23] se
encuentran más referencias). Dentro de este contexto, en este trabajo de tesis se exhibe un
fenómeno inusual e inesperado, espećıficamente, se presentarán sistemas geométricamente frus-
trados que tienen un estado fundamental no degenerado (i.e. el sistema admite solamente un par
de estados fundamentales: si σ es un estado fundamental de un sistema que presenta un estado
fundamental no degenerado, entonces los únicos estados fundamentales del sistema son σ y -σ).
En el siguiente apartado vamos a definir un tipo especial de estado fundamental, el cual
será crucial no solamente para comprender el trabajo realizado y las técnicas desarrolladas para
lograr cada uno de los resultados que presentamos en esta tesis sino también para introducir
una interesante relación que conecta la degenerancia del estado fundamental con la cantidad
de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos.
2.1.2. Estados satisfactorios
En el modelo de Ising antiferromagnético, se tiene que la enerǵıa de un estado σ de la
triangulación T está dado por la expresión∑
uv∈E(T ) σuσv. La máxima enerǵıa es alcanzada
por el estado que frustra todas las aristas de la triangulación, es decir el estado que asigna a
cada vértice esṕın 1. En el otro extremo, la mı́nima enerǵıa la entrega un estado que frustre la
mı́nima cantidad posible de aristas. Como ya sabemos, cada estado antiferromagnético de una
triangulación T frustra al menos una arista de cada una de sus caras. Dicho esto, si un estado
σ frustra exactamente una arista de cada cara de T , es un estado fundamental (de mı́nima
enerǵıa), a este tipo de estados fundamentales los llamamos estados satisfactorios. A saber, σ
es un estado satisfactorio de T si y solo si frustra exactamente |F (T )|/2 aristas, donde F (T )denota el conjunto de caras de la triangulación T .
Si una triangulación admite un estado satisfactorio (veremos que no toda triangulación
admite uno), entonces todo estado fundamental corresponde a un estado satisfactorio. Por lo
tanto, si una triangulación admite un estado satisfactorio, la degenerancia del estado funda-
mental es justamente la cantidad de estados satisfactorios.
8
En esta tesis utilizaremos también la definición de estado satisfactorio en pseudo-triangu-
laciones, es decir en grafos planos tales que cada cara excepto la cara exterior está acotada por un
3-ciclo o triángulo (que será el caso de las triangulaciones de un n-ágono en la Subsección 2.2.1
de la Sección 2.2) o bien en triangulaciones incrustadas en superficies orientables con bordes
(lo cual se verá en el diseño de las gadgets de la Sección 2.3 y en la construcción de las
triangulaciones de la Sección 2.4).
2.1.3. Emparejamientos perfectos: dual geométrico de los estados
satisfactorios
En esta sección, se expone una relación v́ıa dualidad geométrica entre la degenerancia del
estado fundamental del modelo de Ising antiferromagnético en triangulaciones y la cantidad de
emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes.
Emparejamientos perfectos en grafos cúbicos
Un grafo se dice cúbico si cada uno de sus vértices tiene tres aristas incidentes. Un puente
en un grafo es una arista tal que su eliminación incrementa el número de componentes del
grafo. Además, un emparejamiento perfecto de un grafo es una colección de aristas del grafo
que incide en cada vértice del grafo exactamente una vez.
Un clásico teorema de Petersen del año 1891 establece que todo grafo cúbico sin puentes ad-
mite un emparejamiento perfecto. A mediados de los años setenta, Lovász y Plummer afirman
que el número de emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes es exponencial en
función de la cantidad de vértices del grafo. Esta conjetura se mantuvo abierta durante cuatro
décadas y hubieron pocos pero significativos avances parciales durante ese peŕıodo.
La veracidad de la conjetura para grafos bipartitos fue demostrada por Voorhoeve en
1979 [27], quien probó que todo grafo cúbico bipartito con n vértices tiene al menos 6(4/3)n2−3
emparejamientos perfectos. Luego Schrijver en 1998 extendió este resultado a la clase de grafos
bipartitos k-regulares [24].
Uno de los resultados más importantes en el avance de esta conjetura fue obtenido por
Chudnovsky y Seymour en el 2008 [4]. Ellos probaron la conjetura para la clase de grafos pla-
nares. Para precisar, mostraron que todo grafo planar, cúbico sin puentes con n vértices admite
al menos 2cn emparejamientos perfectos, donde c = 1/655978752. A pesar de la relevancia de
su resultado, la prueba es considerada extremadamente compleja por las técnicas utilizadas y
por el empleo del teorema de la cuatro coloración en grafos planares.
9
Además, como parte de los avances en la conjetura algunas cotas inferiores fueron obtenidas,
pero ninguna exponencial, sino hasta comienzos del 2011. Esperet, Kardoš, King, Král y Nori-
ne [7], presentaron una prueba para la conjetura de Lovász y Plummer. Ellos demostraron que
todo grafo cúbico sin puentes con n vértices tiene al menos 2n/3656 emparejamientos perfectos.
Su demostración utiliza técnicas probabilistas para probar existencia y se basa fuertemente en
la caracterización del poĺıtopo de emparejamientos perfectos de Edmonds.
Dualidad geométrica
Dada la incrustación de un grafo G en una superficie Ω, se define su dual geométrico, el cual
corresponde a un grafo G∗ incrustado en la misma superficie Ω obtenido de la siguiente manera:
dentro de cada cara f de la incrustación de G en Ω, se dibuja un vértice f ∗ de G∗, luego por cada
arista e de G perteneciente a las caras f1 y f2 de la incrustación de G en Ω (donde f1 y f2 no son
necesariamente caras distintas) se dibuja una arista de G∗ conectando los vértices f ∗1 y f∗2 . Una
incrustación de un grafo en una superficie es llamada fuerte si es 2-celular, es decir si cada cara
de la incrustación es homeomorfa a un disco abierto y si además, cada cara es acotada por un
ciclo del grafo. En particular, en una incrustación fuerte cada arista pertenece a exactamente
dos caras distintas de la incrustación y el dual geométrico de tal grafo incrustado no tiene loops.
En 1985, Jaeger conjeturó que todo grafo 2-conexo admite una incrustación fuerte en una
superficie cerrada orientable [12] — esta conjetura es equivalente a la versión dirigida de la
famosa conjetura del ciclo de doble cobertura para la clase de grafos cúbicos sin puentes.
Asumiendo que la conjetura de Jaeger es cierta, todo grafo cúbico sin puentes admite tal
incrustación y por lo tanto su dual geométrico es una triangulación. Por otro lado, el dual
geométrico de una triangulación es siempre un grafo cúbico sin puentes.
Emparejamientos perfectos y estados satisfactorios
Un conjunto M de aristas de una triangulación se dice que es un conjunto de intersección
de aristas si contiene exactamente una arista de cada cara (triángulo) de la triangulación.
En general, asumiendo la conjetura de Jaeger tenemos que, dado G un grafo cúbico sin
puentes, M es un conjunto de intersección de aristas de G∗ si y solo si M es un emparejamiento
perfecto de G. En particular, la relación se tiene para grafos cúbicos planares, sin necesidad de
utilizar la conjetura de Jaeger.
Por otro lado, en una triangulación, el conjunto de aristas frustradas por un estado satis-
factorio es un conjunto de intersección de aristas. Observemos que, dos estados satisfactorios
distintos, definen el mismo conjunto de aristas frustradas si y solamente si uno es igual a menos
el otro. Dado esto, el número de estados satisfactorios que admite una triangulación es a lo más
10
dos veces la cantidad de conjuntos de intersección de aristas. En general, esta relación no es una
identidad. Para triangulaciones planas la equivalencia es cierta: el grafo obtenido a partir de la
eliminación de un conjunto de intersección de aristas de una triangulación plana, es un grafo
bipartito pues cada cara del grafo queda acotada por un ciclo de largo cuatro. La bipartición
determina precisamente un par de estados satisfactorios, simplemente asignando espines iguales
y contrarios a cada bipartición.
En resumen, se tiene que si un estado satisfactorio existe, entonces la degenerancia del es-
tado fundamental de una triangulación T es a lo más dos veces el número de emparejamientos
perfectos que admite su dual geométrico T ∗. Siendo esta relación una igualdad cuando se añade
la condición de planaridad.
Esta conexión entre estados satisfactorios y emparejamientos perfectos es en un principio
una de las motivaciones para el estudio que realizamos y nos abre paso hacia el desarrollo de una
interesante teoŕıa entorno al comportamiento de los estados satisfactorios en triangulaciones.
2.2. Método de la matriz de transferencia
El método de la matriz de transferencia es una técnica clásica que se ha utilizado exten-
samente en la f́ısica estad́ıstica. Este método ha sido de particular relevancia en el desarrollo
teórico de los modelos de part́ıculas que interactúan entre śı, entre otros, hace manejable las
ecuaciones fundamentales de las teoŕıas cuántica y electromagnética. Sin ir más lejos, el modelo
de Ising en una dimensión (cadena en ĺınea recta), fue resuelto por Ising [11] utilizando como
técnica principal el método de la matriz de transferencia y luego, en diversas áreas de la cien-
cia, una gran cantidad de problemas en donde las part́ıculas que interactúan entre śı describen
reticulados, se han resuelto empleando cŕıticamente este método (ver por ejemplo [6, 18]). Asi-
mismo, se ha aplicado esta herramienta para atacar el problema de determinar la degenerancia
del estado fundamental [20]. En general, las técnicas, métodos y adaptaciones del método de
la matriz de transferencia desarrollados para determinar cotas de la degenerancia del estado
fundamental han sido centradas y exitosas en estudios de reticulados planos, no aśı en sistemas
más complejos, probablemente debido a la mayor dificultad que implica trabajar con estructu-
ras (grafo subyacente) que presentan una geometŕıa más irregular.
En esta sección se discute la adaptación del método de la matriz de transferencia para estu-
diar la cantidad de estados satisfactorios de una familia de pseudo-triangulaciones planas y la
degenerancia del estado fundamental de una familia de triangulaciones planas. Cabe mencionar,
que para cada clase de grafos estudiada la implementación del método es diferente, básicamente
en una primera instancia se adecuan los fundamentos de la técnica de la matriz de transferencia
a cada tipo de estructura a analizar y luego, se aplica una estrategia particular para cada caso.
11
2.2.1. Triangulaciones de un n-ágono
La primera familia de grafos planos que se explora, corresponde a la clase de triangulaciones
de un n-ágono. A partir de este primer estudio, se escribió un art́ıculo que lleva por t́ıtulo Satisf-
ying States of triangulations of a Convex n-gon, publicado en marzo del 2010 por la revista The
Electronic Journal of Combinatorics y que es incluido como parte de esta tesis en el Apéndice A.
Mediante una adaptación no trivial del método de la matriz de transferencia, se obtiene pri-
mero una fórmula exacta para el número de estados satisfactorios de una subclase de las trian-
gulaciones de un n-ágono, la cual está formada por un tipo particular de pseudo-triangulaciones
que llamamos cadenas de triángulos y luego, una cota inferior exponencial para la cantidad de
estados satisfactorios de la familia de triangulaciones de un n-ágono. Espećıficamente, deno-
tando por Fk el k-ésimo número en la serie de Fibonacci y ϕ = (1 +√
5)/2 ≈ 1,61803 la razónde oro, se establecen los siguientes resultados:
Teorema 2.1 Si T es una cadena de triángulos con |V (T )| = n, entonces la cantidad deestados satisfactorios de T en el modelo de Ising antiferromagnético es igual a 2Fn+1.
Teorema 2.2 Si T es una triangulación de un n-ágono, entonces la cantidad de estados
satisfactorios de T en el modelo de Ising antiferromagnético es al menos ϕ2(√ϕ)n. Donde,
√ϕ ≈ 1,27202.
2.2.2. Triangulaciones apiladas
En esta parte se desarrolla una técnica para obtener una cota inferior para la degenerancia
del estado fundamental de la clase de triangulaciones apiladas, la cual corresponde a una fami-
lia de triangulaciones planas. Esta técnica en un principio tiene sus bases en el método de la
matriz de transferencia, para luego pasar a ser una técnica autónoma que puede eventualmente
ser aplicada para calcular cotas en otros tipos de estructuras irregulares.
Este estudio también generó un trabajo escrito, titulado Antiferromagnetic Ising model in
triangulations with applications to counting perfect matchings. Dicho trabajo fue sometido para
publicación en noviembre del 2011 a la revista Discrete Applied Mathematics y también está in-
cluido como parte de este trabajo en el Apéndice B.
Denotando por ϕ = (1 +√
5)/2 ≈ 1,61803 la razón de oro, se obtuvieron los siguientesresultados:
Teorema 2.3 Sea T una triangulación apilada con |V (T )| = n, la degenerancia del estadofundamental de T en el modelo de Ising antiferromagnético es al menos 6ϕ
136
(n+3).
Además, como una consecuencia directa del teorema precedente, se tiene lo siguiente.
12
Corollary 2.2.2.1 El número de emparejamientos perfectos de un grafo cúbico G, cuyo grafo
dual es una triangulación apilada es al menos 3ϕ172|V (G)|
2.3. Complejidad computacional
Muchos problemas en f́ısica estad́ıstica son computacionalmente dif́ıciles. En particular, los
problemas de tipo Ising son comúnmente problemas pertenecientes a la famosa clase NP o bien
a su análoga de enumeración, la clase #P [2, 5]. Informalmente, un problema de decisión per-
tenece a la clase NP si existe una máquina de Turing M no determinista y a tiempo polinomial
de manera que el problema de decisión admite una solución x si y solo si M acepta x; de
forma análoga, un problema de enumeración pertenece a la clase #P si existe una máquina de
Turing M no determinista y a tiempo polinomial de manera que el problema de enumeración
se resuelve contando el número de aceptaciones de M (definiciones formales de las clases NP y
#P se encuentran en [1, Caṕıtulos 2 y 17]). Por ejemplo, en este trabajo veremos que contar es-
tados satisfactorios en una triangulación está en #P puesto que es posible reconocer en tiempo
polinomial si una asignación o configuración de espines dada es o no satisfactoria. Al igual que
en NP, los problemas más dif́ıciles de la clase #P son los llamados problemas #P-completos.
En este contexto y a modo de ejemplo, en general, el problema de contar emparejamientos
perfectos en un grafo es un clásico problema #P-completo, dado que se reduce a determinar
la permanente de una matriz [26]. Paradójicamente, el problema de contar emparejamientos
perfectos en grafos planares puede ser ejecutado en tiempo polinomial pues se reduce a evaluar
el Pfaffian de una matriz, lo cual equivale a calcular un determinante [14, 15].
Por otro lado, es sabido que la función de partición (ver ecuación 2.2) del modelo de Ising
en un grafo se puede reescribir en términos del polinomio de Tutte de dicho grafo evaluado
en una hipérbola [8]. En general, determinar el polinomio de Tutte de un grafo e incluso la
evaluación del polinomio en un punto en particular es un problema #P-dif́ıcil excepto en casos
muy especiales donde la evaluación puede ser ejecutada en tiempo polinomial [13]. En relación a
esto, dada una superficie fija, cerrada y orientable Ω, la función de partición del modelo de Ising
antiferromagnético en grafos incrustados en Ω puede ser calculada en tiempo polinomial [9].
Esto implica que decidir existencia de estados satisfactorios y calcular la degenerancia del es-
tado fundamental (impĺıcitamente contar estados satisfactorios) en triangulaciones incrustadas
en Ω son problemas que se pueden resolver en tiempo polinomial.
Como ya anticipamos, en este caṕıtulo estudiamos la complejidad computacional del pro-
blema de decidir si una triangulación (incrustada en una superficie cerrada orientable arbi-
traria) admite o no un estado satisfactorio y además, el problema de enumeración asociado.
Concretamente, probamos que es NP-completo decidir si una triangulación admite o no un
estado satisfactorio y que es #P-completo determinar el número de estados satisfactorios de
13
una triangulación. Junto con esto, estudiamos también la dificultad computacional de calcular
la degenerancia del estado fundamental en triangulaciones, demostrando que es un problema
#P-dif́ıcil. Además, a consecuencia de los resultados obtenidos en este trabajo y debido a la
biyección entre pares de estados del modelo de Ising antiferromagnético y cortes de aristas en
una triangulación (en particular, los estados fundamentales corresponden a cortes de aristas
maximales), se tiene que el problema de determinar el número de cortes de aristas maximales,
conocido como MAX-CUT en triangulaciones es #P-dif́ıcil.
Producto de la investigación relacionada con la complejidad computacional de los problemas
asociados a los estados satisfactorios en triangulaciones, se escribió el trabajo que tiene por t́ıtulo
Computational Hardness of Enumerating Satisfying Spin-Assignments in Triangulations el cual
sometimos para publicación en Julio del 2011 a la revista Theoretical Computer Science. Dicho
art́ıculo es incorporado en el Apéndice C.
2.4. Estado fundamental no degenerado
Discutiremos ahora sobre una estrategia para construir triangulaciones incrustadas en super-
ficies cerradas orientables con un estado fundamental no degenerado. Como ya fue mencionado
en el Caṕıtulo 2.1, debido a la biyección que existe entre pares de estados fundamentales en
triangulaciones planas y emparejamientos perfectos en grafos planares cúbicos sin puentes, la
degenerancia del estado fundamental en triangulaciones planas es exponencial en función de la
cantidad de vértices de la triangulación. Al principio de esta investigación, motivados por la
Conjetura de Lovász y Plummer y en gran parte por la hipótesis de la f́ısica estad́ıstica acerca
de la alta degenerancia del estado fundamental en sistemas geométricamente frustrados [21], se
teńıa como finalidad desarrollar técnicas para mostrar la exponencialidad de la degenerancia
del estado fundamental en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas, orientables y de
género positivo que admiten estados satisfactorios.
Sorprendentemente, este estudio dio un giro cuando al concluir el trabajo de complejidad
computacional notamos que a partir de la construcción de los gadgets involucrados era posible
obtener triangulaciones con pocos estados satisfactorios y una gran cantidad de vértices. Luego
de esto, rápidamente surgió la interrogante de si el mismo fenómeno se tiene al fijar la superficie
en la cual las triangulaciones están incrustadas. El trabajo que se adjunta en el Apéndice D
responde a esta pregunta afirmativamente y actualmente se encuentra disponible “on-line” en
el repositorio cient́ıfico ArXiv.
14
Caṕıtulo 3
Conclusiones
Las conclusiones de esta tesis se dividen en tres secciones: resultados, contribuciones y
futuras ĺıneas de investigación.
Resultados
En la Figura 3.1, se muestra una tabla comparativa que exhibe el ya conocido comporta-
miento de los emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin puentes junto con los resultados
que se han obtenido en este trabajo de tesis concernientes al comportamiento de los estados
satisfactorios en triangulaciones incrustadas en superficies cerradas y orientables.
Relación Grafo Primal Dual geométrico
tipos de grafos triangulación grafo cúbico sin puentes
objetos estado satisfactorio emparejamiento perfecto
existencia de objetos no siempre existe un estado satisfac-
torio; salvo en triangulaciones planas
todo grafo cúbico sin puentes admite
un emparejamiento perfecto
cantidad de objetos exponencial en el número de vérti-
ces para triangulaciones planas; exis-
ten familias de triangulaciones que ad-
miten una cantidad constante de esta-
dos satisfactorios.
exponencial en el número de vértices
dificultad computacio-
nal del problema de
existencia asociado
NP-completo (género arbitrario) P
dificultad computacio-
nal del problema de
conteo asociado
#P-completo (género arbitrario) #P-completo
Figura 3.1: Estados satisfactorios contra emparejamientos perfectos
15
Contribuciones
Las contribuciones más relevantes de este trabajo de tesis se pueden resumir concretamente
en los siguientes cuatro ı́tems:
Planteamiento de una relación entre emparejamientos perfectos en grafos cúbicos sin
puentes y estados satisfactorios en triangulaciones, junto con una completa descripción
acerca de las diferencias y similitudes que caracterizan dicha relación.
Desarrollo de adaptaciones no triviales del método de la matriz de transferencia para
contar estados satisfactorios en familias de triangulaciones irregulares.
Elaboración de exclusivas y originales gadgets que permiten la clasificación, según su di-
ficultad computacional, de los problemas asociados a la existencia y cantidad de estados
satisfactorios en triangulaciones, aśı como también del problema de calcular la degene-
rancia del estado fundamental en triangulaciones.
Descubrimiento y diseño de una estrategia para la construcción de triangulaciones con un
estado fundamental no degenerado.
Trabajo a futuro
En los siguientes puntos se discuten las posibles ĺıneas de investigación y los problemas
abiertos que surgen a partir de este trabajo de tesis.
En cuanto a las técnicas desarrolladas para contar estados satisfactorios en triangulacio-
nes, seŕıa interesante buscar familias de triangulaciones incrustadas en superficies cerra-
das, orientables y de género positivo, tales que, el método que se utilizó en este trabajo
pueda ser extendido y aplicado con el fin de demostrar exponencialidad de la degeneran-
cia del estado fundamental para dichas familias de triangulaciones. A grandes rasgos, un
primer requisito que debieran cumplir estas triangulaciones es que admitan un tipo de
construcción recursiva.
Relativo a la clase de grafos cúbicos sin puentes con un dual geométrico que no admite un
estado satisfactorio, una pregunta que surge naturalmente es si esta clase de grafos cúbicos
corresponde o no a alguna familia especial de grafos y/o se pueden describir mediante
alguna propiedad combinatorial no trivial.
Un problema abierto que nace a partir de los resultados de este trabajo de tesis, es encon-
trar una completa caracterización de las triangulaciones que tienen un estado fundamental
no degenerado. Junto con esto, es también interesante estudiar el otro extremo, es decir
explorar la posibilidad de dar una caracterización de las triangulaciones que admiten una
cantidad exponencial de estados satisfactorios.
16
Dado que en este trabajo se ha demostrado que en general la degenerancia del estado
fundamental en triangulaciones no es exponencial, ni siquiera polinomial en el número
de vértices de la triangulación, queda abierto saber que sucede con la degenerancia del
estado fundamental en triangulaciones aleatorias.
Un problema algo más particular, es estudiar, en aquellas triangulaciones que tienen
un estado fundamental no degenerado, el comportamiento de la degenerancia del estado
fundamental si se cambia la constante de acoplamiento (de -1 a 1) en exactamente una
arista.
La última discusión está motivada justamente por el punto anterior y por los sistemas
llamados vidrios de esṕın. En los vidrios de esṕın tipo Ising, las constantes de acoplamien-
to son aleatoriamente distribuidas; t́ıpicamente, cada constante de acoplamiento es 1 o
-1 con igual probabilidad. En este sentido, el caso del modelo de Ising antiferromagnéti-
co es el caso para el cual cada constante de acoplamiento es -1 con probabilidad 1,
i.e. P[Je=-1] = 1 para toda arista e. Luego, un tema interesante para analizar es elmodelo de Ising en triangulaciones dentro de este contexto aleatorio. Más precisamente,
es de particular relevancia investigar el comportamiento de la degenerancia del estado
fundamental en las triangulaciones que tienen un estado fundamental antiferromagnético
no degenerado, a medida que la probabilidad P[Je=-1] decrece. Por ejemplo, que sucedecon la degenerancia del estado fundamental si P[Je=1]=1/n, donde n denota el númerode vértices de la triangulación en cuestión.
17
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19
Apéndice A
Estados satisfactorios en
triangulaciones de un n-ágono
20
Satisfying states of triangulations of a convex n-gon
A. Jiménez∗
Departamento de Ingenieŕıa MatemáticaUniversidad de Chile
M. Kiwi†
Departamento de Ingenieŕıa Matemática &Centro de Modelamiento Matemático UMI 2807, CNRS-UChile
Universidad de Chilewww.dim.uchile.cl/∼mkiwi/
M. Loebl‡
Department of Applied Mathematics &Institute for Theorical Computer Science
Charles Universitykam.mff.cuni.cz/∼loebl/
Submitted: Dec 23, 2009; Accepted: Feb 26, 2010; Published: Mar 8, 2010
Mathematics Subject Classification: 05C30
Abstract
In this work we count the number of satisfying states of triangulations of aconvex n-gon using the transfer matrix method. We show an exponential (in n)lower bound. We also give the exact formula for the number of satisfying states ofa strip of triangles.
1 Introduction
A classic theorem of Petersen claims that every cubic (each degree 3) graph with nocutedge has a perfect matching. A well-known conjecture of Lovasz and Plummer from the
∗Gratefully acknowledges the support of Mecesup via UCH0607 Project, CONICYT via Basal-FONDAP in Applied Mathematics, FONDECYT 1090227 and the partial support of the Czech ResearchGrant MSM 0021620838 while visiting KAM MFF UK.†Gratefully acknowledges the support of CONICYT via Basal-FONDAP in Applied Mathematics and
FONDECYT 1090227.‡Partially supported by Basal project Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile.
the electronic journal of combinatorics 17 (2010), #R39 1
mid-1970’s, still open, asserts that for every cubic graph G with no cutedge, the numberof perfect matchings of G is exponential in |V(G)|. The assertion of the conjecture wasproved for the k−regular bipartite graphs by Schrijver [Sch98] and for the planar graphsby Chudnovsky and Seymour [CS08]. Both of these results are difficult. In general, theconjecture is widely open; see [KSS08] for a linear lower bound obtained so far.
We suggest to study the conjecture of Lovasz and Plummer in the dual setting. Thisrelates the conjecture to a phenomenon well-known in statistical physics, namely to thedegeneracy of the Ising model on totally frustrated triangulations of 2−dimensional sur-faces.
In order to explain this we need to start with another well-known conjecture, namelythe directed cycle double cover conjecture of Jaeger (see [Jae00]): Every cubic graph withno cutedge can be embedded in an orientable surface so that each face is homeomorphicto an open disc (i.e., the embedding defines a map) and the geometric dual has no loop.
By a slight abuse of notation we say that a map in a 2−dimensional surface is atriangulation if each face is bounded by a cycle of length 3 (in particular there is noloop); hence we allow multiple edges. We say that a set S of edges of a triangulation T isintersecting if S contains exactly one edge of each face of T.
Assuming the directed cycle double cover conjecture, we can reformulate the conjectureof Lovasz and Plummer as follows: Each triangulation has an exponential number ofintersecting sets of edges.
We next consider the Ising model. Given a triangulation T = (V,E), we associate thecoupling constant c(e) = −1 with each edge e ∈ E. A spin-assignment of U ⊆ V is afunction σ : U→ {+, -} where + denotes 1 and - denotes −1. Each spin-assignment of Uis naturally identified with an element from {+, -}|U|. A state of the Ising model is anyspin-assignment of V. The energy of a state s is defined as −∑{u,v}∈E c(uv) · σ(u) · σ(v).The states of minimum energy are called groundstates. The number of groundstates isusually called the degeneracy of T, denoted g(T), and it is an extensively studied quantity(for regular lattices T) in statistical physics (see for example [LV03]). Moreover, a basictool in the degeneracy study is the transfer matrix method.
We further say that a state σ frustrates edge {u, v} if σ(u) = σ(v). Clearly, eachstate frustrates at least one edge of each face of T, and a state is a groundstate if itfrustrates the smallest possible number of edges. We say that a state σ is satisfying if σfrustrates exactly one edge of each face of T. Hence, the set of the frustrated edges of anysatisfying state is an intersecting set defined above, and we observe: The number of thesatisfying states is at most twice the number of the intersecting sets of edges. Moreover,the converse also holds for planar triangulations: if we delete an intersecting set of edgesfrom a planar triangulation, we get a bipartite graph and its bipartition defines a pair ofsatisfying states.
We finally note that a satisfying state does not need to exist, but if it exists, then theset of the satisfying states is the same as the set of the groundstates.
Summarizing, half the number of satisfying states is a lower bound to the number ofintersecting sets. We can also formulate the result of Chudnovsky and Seymour by: Eachplanar triangulation has an exponential degeneracy. This motivates the problem we study
the electronic journal of combinatorics 17 (2010), #R39 2
as well as the (transfer matrix) method we use.
Given Cn a convex n-gon, a triangulation of Cn is a plane graph obtained from Cn byadding n−3 new edges so that Cn is its boundary (boundary of its outer face). We denoteby ∆(Cn) the set of all triangulations of Cn. An almost-triangulation is a plane graph sothat all its inner faces are triangles. Note that if n > 3, then ∆(Cn) is a subset of theset of almost-triangulations with n− 2 inner faces. For T an almost-triangulation, we saythat a state σ is satisfying if σ frustrates exactly one edge of each triangular face of T. Wedenote by s(T) the number of satisfying states of an almost-triangulation T. The maingoal of this work is to show that the number of satisfying states of any triangulation of aconvex n-gon is exponential in n.
Organization: We first recall, in Section 2, a known and simple bijection between trian-gulations of a convex n-gon and plane ternary trees with n− 2 internal vertices. We thenformally state the main results of this work. In Section 3 we give a constructive step bystep procedure that given a plane ternary tree Γ with n− 2 internal vertices, sequentiallybuilds a triangulation T of a convex n-gon by repeatedly applying one of three differentelementary operations. Finally, in Section 4 we interpret each elementary operation interms of operations on matrices. Then, we apply the transfer matrix method to obtain,for each triangulation of a convex n-gon T, an expression for a matrix whose coordinatesadd up to the number of satisfying states of T. We then derive a closed formula for thenumber of satisfying states of a natural subclass of ∆(Cn); the class of “triangle strips”.Finally, we establish an exponential lower bound for the number of satisfying states oftriangulations of a convex n-gon. Future research directions are discussed in Section 5.
2 Structure of the class of triangulations of a convex
n-gon
Let T be a triangulation of a convex n-gon. Denote by F(T) the set of inner faces of Tand let {I(T),O(T)} be the partition of F(T) such that ∆ ∈ I(T) if and only if no edge of∆ belongs to the boundary of T (i.e. to Cn). We henceforth refer to the elements of I(T)by interior triangles of T. Consider now the bijection Γ between ∆(Cn) and the set of allplane ternary trees with n− 2 internal vertices and n leaves that maps T to ΓT so that:
(i) {γ∆, γ∆′} is an edge of ΓT if and only if ∆ and ∆′ are inner faces of T that sharean edge, and
(ii) e is a leaf of ΓT adjacent to γ∆ if and only if e is an edge of Cn that belongs to ∆.
(See Figure 1 for an illustration of how Γ acts on an element of ∆(Cn).) The bijectionΓ induces another bijection, say γ, from the inner faces of T (i.e. F(T)), to the internalvertices of ΓT. In particular, inner faces ∆ and ∆
′ of T share an edge if and only if{γ∆, γ∆′} is an edge of ΓT which is not incident to a leaf. Hence, γ identifies interiortriangles of T with internal vertices of ΓT that are not adjacent to leaves.
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Figure 1: A triangulation of a convex 9-gon T and the associated tree ΓT.
2.1 Main results
Say a triangulation of a convex n-gon T is a strip of triangles provided |I(T)| = 0.Our first result is an exact formula for the number of satisfying states of any strip oftriangles. Our second main contribution gives an exponential lower bound for the numberof satisfying states of any triangulation of a convex n-gon. Specifically, denoting by Fkthe k-th Fibonacci number and ϕ = (1 +
√5)/2 ≈ 1.61803 the golden ratio, we establish
the following results:
Theorem 1 If T is a triangulation of a convex n-gon with |I(T)| = 0, then s(T) = 2Fn+1.
Theorem 2 If T is a triangulation of a convex n-gon, then s(T) > ϕ2(√ϕ)n. Moreover,√ϕ ≈ 1.27202.
3 Construction of triangulations of a convex n-gon
In this section we discuss how to iteratively construct any triangulation of a convex n-gon.First, we introduce two basic operations whose repeated application allows one to buildstrips of triangles. Then, we describe a third operation which is crucial for recursivelybuilding triangulations with a non-empty set of interior triangles from triangulations withfewer interior triangles.
3.1 Basic operations
Let T = (V,E) be a triangulation of a convex n-gon. We will often distinguish a boundaryedge of T to which we shall refer as bottom edge of T and denote by bTc.
We now define two elementary operations (see Figure 2 for an illustration):
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Operation WInput: (T, bTc) where T ∈ ∆(Cn) and bTc = (β1, β2).Output: (T̂, bT̂c), where T̂ ∈ ∆(Cn+1) is a triangulation obtained from
T by adding a new vertex β̂1 to T and two new edges {β̂1, β1}and {β̂1, β2}. Moreover, bT̂c = (β̂1, β2).
Operation ZInput: (T, bTc) where T ∈ ∆(Cn) and bTc = (β1, β2).Output: (T̂, bT̂c), where T̂ ∈ ∆(Cn+1) is a triangulation obtained from
T by adding a new vertex β̂2 to T and two new edges {β1, β̂2}and {β̂2, β2}. Moreover, bT̂c = (β1, β̂2).
Henceforth, we also view operations W and Z as maps from inputs to outputs. Abusingterminology, we consider two nodes joined by an edge to be a degenerate triangulationwhose bottom edge is its unique edge. Let T0 be a degenerate triangulation. Say that bT0cis the top edge of T, denoted dTe (see Figure 2), if there is a sequence R1, . . . ,Rl ∈ {W,Z}such that (T, bTc) is obtained by evaluating Rl ◦ · · · ◦R2 ◦R1 at (T0, bT0c). When bottomedges are clear from context, we shall simply write
T = Rl ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T0) .
bTc
dTe dTe
bTc
W Z
α1 α2
β2β1 β1 β2
α2α1
bβ2bβ1Figure 2: An arbitrary strip of triangles T with dTe = (α1, α2) and bTc = (β1, β2).Operations W and Z evaluated at (T, bTc).
3.2 The |I(T)| = 0 caseOur goal in this section is to show that any triangulation of a convex n-gon with nointerior triangles can be obtained by sequentially applying basic operations of type Wand Z starting from a degenerate triangulation.
Let T be a triangulation such that |I(T)| = 0. Note that each internal vertex of ΓTis adjacent to at least one leaf. Hence, ΓT has two internal vertices each one adjacent
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to exactly two leaves, and n − 4 internal vertices adjacent to exactly one leaf. Thisimplies that ΓT is made up of a path P = γ∆1 . . . γ∆n−2 with two leaves connected toeach γ∆1 and γ∆n−2 , and one leaf connected to each internal vertex of the path P (seeFigure 3). To obtain T from ΓT we choose one of the two endnodes of the path (say γ∆1)and sequentially add the triangles ∆1, . . . ,∆n−2 one by one, according to the bijectionγ, starting from γ∆1 and following the trajectory of the path P . Consequently, we canconstruct T from a pair of vertices (α1, α2) of ∆
1 by applying a sequence of n−2 operationsR1,R2, . . . ,Rn−2 ∈ {W,Z}, where the choice of each operation depends on the structureof ΓT. For example, for the triangulation in Figure 3, provided dTe = (α1, α2) andbTc = (β1, β2), we have that R1 = W, R2 = Z, R3 = Z, and so on and so forth.
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α1
α2
β2
β1
γ∆4
γ∆n−5
γ∆n−3
γ∆n−2
∆1
∆2
∆3
∆4
∆n−5
∆n−3
γ∆3
γ∆2
γ∆n−4
γ∆1
Γ̃ T̃
∆n−2
∆n−4
Figure 3: A tree Γ̃ in the range of bijection Γ and construction of triangulation T̃ suchthat ΓeT = Γ̃.
The next result summarizes the conclusion of the previous discussion.
Lemma 3 For any T ∈ ∆(Cn) it holds that |I(T)| = 0 if and only if there is a degeneratetriangulation T0 and basic operations R1,R2, . . . ,Rn−2 ∈ {W,Z} such that
T = Rn−2 ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T0) .
In fact, there are non–negative integers w1, . . . , wm, z1, . . . , zm adding up to n − 2 suchthat wj > 1 for j 6= 1, zj > 1 for j 6= m, and
T = Zzm ◦Wwm ◦ · · · ◦ Zz2 ◦Ww2 ◦ Zz1 ◦Ww1(T0) .
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3.3 The |I(T)| > 1 caseWe now consider the following additional basic operation (see Figure 4 for an illustration):
Operation •Input: (Ti, bTic) where Ti ∈ ∆(Cni), i ∈ {1, 2} and bTic = (βi1, βi2).Output: (T, bTc), where T ∈ ∆(Cn1+n2−1) is a triangulation obtained
from T1 and T2 by identifying β21 with β
12 and adding the edge
{β11 , β22}. Moreover, bTc = (β11 , β22).
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β11β11
β22β22
β21
T1 T2β = β12 = β
21
T1 T2•
β12
T = T1 • T2
Figure 4: Building an interior triangle by means of operation •.
Assume T is such that |I(T̃)| = 1. In particular, let I(T) = {∆}. Clearly, the tree ΓTcontains exactly one internal vertex that is not adjacent to a leaf. Hence, in ΓT there mustbe three internal vertices each of them adjacent to two leaves, and n− 6 internal verticesadjacent to exactly one leaf. Thus, we can identify in ΓT three paths P1 = γ∆11 . . . γ∆1n1 ,P2 = γ∆21 . . . γ∆2n2 , and P3 = γ∆
3n3. . . γ∆31 with end-vertices γ∆1n1 = γ∆
2n2
= γ∆3n3 = γ∆, and
such that: (1) n1 + n2 + n3 = n and n1, n2, n3 > 2, (2) each γ∆j1 with j ∈ {1, 2, 3} isadjacent to two leaves of ΓT, and (3) each γ∆jij
with j ∈ {1, 2, 3} and ij ∈ {2, . . . , nj − 1}is adjacent to a single leaf of ΓT.
Given ΓT, we can construct T by means of the following iterative step by step proce-dure:
1. For i ∈ {1, 2}, add triangles ∆i1, . . . ,∆ini−1 according to the bijection following thetrajectory from γ∆i1 to γ∆ini−1
given by Pi, thus obtaining a triangulation Ti such
that ΓTi is the minimal subtree of ΓT containing Pi \ γ∆. Moreover, note thatTi ∈ ∆(Cni+1) is such that |I(Ti)| = 0, and that there is a degenerate triangulationTi,0 which is an edge of triangle ∆
i1, and basic operations R
i1, . . . ,R
ini−1 ∈ {W,Z}
such thatTi = R
ini−1 ◦ . . . ◦ Ri2 ◦ Ri1(Ti,0) .
Also, note that bTic is an edge of ∆ini−1.
2. Apply operation • in order to construct T̂ = T1 • T2 ∈ ∆(Cn1+n2+1). Note that∆ ∈ F(T̂) and bT̂c is the unique edge of ∆ which is in the boundary of T̂.
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Steps 1 and 2
Step 3
Figure 5: Sketch of construction of an arbitrary T with |I(T)| = 1.
3. Finally, starting from T̂ add triangles associated to vertices of the path P3. This isdone by performing a sequence of n3− 1 operations W and Z along P3 \ γ∆ startingfrom (T̂, bT̂c). Given that T̂ ∈ ∆(Cn1+n2+1), we obtain T ∈ ∆(Cn1+n2+n3) (recallthat n1 + n2 + n3 = n).
We summarize the previous discussion as follows:
Lemma 4 Let T be a triangulation of a convex n-gon such that |I(T)| = 1. For somen1, n2, n3 > 2 such that n1+n2+n3 = n, there are triangulations T1 and T2 of convex (n1+1) and (n2+1)-gons such that |I(T1)| = |I(T2)| = 0, and basic operations R1, . . . ,Rn3−1 ∈{W,Z} such that
T = Rn3−1 ◦ · · · ◦ R2 ◦ R1(T1 • T2) .
Now, we state the main result concerning the recursive construction of an arbitrarytriangulation of a convex n-gon that we will need.
Lemma 5 Let T be a triangulation of a convex n-gon such that |I(T)| = m > 2. Then,there are n̂ > 5, ñ > 3 and l > 1 such that ñ+n̂+l−1 = n, and triangulations T̃ ∈ ∆(Cen)and T̂ ∈ ∆(Cbn) satisfying:the electronic journal of combinatorics 17 (2010), #R39 8
1. |I(T̃)| = 0,
2. (T̂, bT̂c) is either:
(a) The output of operation W or Z and |I(T̂)| = m− 1, or(b) The output of operation • and |I(T̂)| = m− 2.
3. There are basic operations R1, . . . ,Rl ∈ {W,Z} for which T = Rl◦· · ·◦R2◦R1(T̃•T̂).
Proof: Observe that there must be an internal vertex of ΓT, say γ∆, such that if ΓbT, ΓeTand ΓTl+2 are the three sub-trees of ΓT rooted in γ∆, then all internal vertices of ΓeT \ γ∆and ΓTl+2 \ γ∆ are adjacent to at least one leaf. In particular, |I(T̃)| = |I(Tl+2)| = 0, andcondition 1 of the statement of the lemma is satisfied.
Let γb∆ be the neighbor of γ∆ in ΓbT. Note that one of the following two situations mustoccur:
Case 1: In ΓbT \ γ∆, the vertex γb∆ is adjacent to a leaf (see Figure 6.(a)). Inparticular, ΓbT has exactly m−1 internal vertices which are not adjacent to any leaf,or
Case 2: None of the neighbors of γb∆ in ΓbT \ γ∆ are adjacent to leaves (see Figu-re 6.(b)). In particular, ΓbT has exactlym−2 internal vertices which are not adjacentto any leaf.
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