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UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS
PEPITO TEY
LAS TUNAS
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FÍSICA
LA FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA CON UNA
MEDIACIÓN DIDÁCTICA CONTEXTUALIZADA
Tesis presentada en opción al grado de Doctor en Ciencias Pedagógicas
Luis Zaldivar Henriquez
LAS TUNAS 2015
UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS
PEPITO TEY
LAS TUNAS
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FÍSICA
LA FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA CON UNA
MEDIACIÓN DIDÁCTICA CONTEXTUALIZADA
Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas
Autor: Profesor Asistente, Lic. Luis Zaldivar Henriquez.
Tutores: Profesor Titular, Lic. Michel E. Gamboa Graus, Dr. C.
Profesora Titular, Lic. Maricela Rodríguez Ortiz, Dr. C.
LAS TUNAS
2015
AGRADECIMIENTOS
A mis tutores, Dr. C. Michel E. Gamboa Graus, Dr. C. Maricela Rodríguez Ortiz, por su sabia dirección en la
realización de este trabajo.
A los doctores miembros del Consejo Científico de la Facultad de Ciencias, por su valiosa contribución al
perfeccionamiento del informe de la tesis.
A los compañeros de Tecnología Educativa por su apoyo incondicional para poder realizar este trabajo y, en
especial, a el Lic. Agustín Rodríguez González y la Dr. C. Yadira de la Caridad Avila Aguilera.
A todos los doctores miembros del Centro de Estudios Pedagógicos por las recomendaciones, y acogernos
como uno más de los aspirantes suyos, de manera especial a Dr. C. Rogelio Díaz Castillo.
A la Lic. Magalis Guerra Labrada, por sus sabios consejos que convirtieron en información mis ideas.
A mis compañeros del departamento y, en especial, al colectivo de Matemática, que con su esfuerzo
contribuyeron al desarrollo de otras tareas.
A mis familiares y amigos que me ofrecieron su apoyo y comprensión.
A los que con dedicación emplearon parte de su tiempo libre en la revisión de los manuscritos y brindaron sus
sugerencias.
A todos los que de manera espontánea me ofrecieron apoyo durante la realización del trabajo.
A los alumnos del pre, los que son la causa fundamental de este trabajo, con los que he aprendido lo que sé, y
de los que conservo gratos recuerdos de sus enseñanzas, que siempre han estado presentes en las clases.
A todos, mis más sinceros agradecimientos.
DEDICATORIA
A mis padres, que me dieron la vida y todo su sacrificio.
A mi esposa Yusleydis e hijos Luis Enrique y Alejandro Enrique, por los que vivo y lucho para ser su ejemplo.
A mis hermanos por la unidad, amor y fraternidad que nos caracteriza.
SÍNTESIS
La fijación de los conceptos matemáticos ocupa un lugar significativo en la Educación Preuniversitaria. Esta
tesis aborda el tratamiento de este proceso para resolver limitaciones que presentan los métodos respecto a los
procedimientos que se emplean, incoherentes con los utilizados para el proceso de elaboración total en etapas
anteriores.
En ella se presenta un modelo didáctico en el que se expresan las relaciones entre los subsistemas teórico-
orientador, mediacional-contextual y práctico-instrumental. Estos permiten la actualización didáctica del proceso
en función del desarrollo tecnológico existente en el contexto de enseñanza-aprendizaje, en el que se considera
el contenido de los conceptos para organizar el trabajo con los procedimientos lógicos asociados a estos, en
una colaboración social con diferentes agencias y agentes mediadores, a partir de un procedimiento de
mediación didáctica contextualizada para el aprendizaje de la Matemática.
La estrategia didáctica creada facilita la fijación de conceptos matemáticos con un nivel de actualización como
lo demandan las circunstancias en que se desarrolla el proceso. La viabilidad del modelo y la estrategia
didáctica fue demostrada en los talleres de opinión crítica y elaboración colectiva y un pre-experimento. Esto
permitió evaluar la efectividad del proceso modelado mediante las transformaciones obtenidas en los
estudiantes muestreados.
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS PARA LA FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN EL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN
PREUNIVERSITARIA 11
1.1 La fijación de conceptos matemáticos en el comportamiento histórico lógico del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria
cubana 11
1.2 Fundamentos teóricos que sustentan la fijación de conceptos matemáticos en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria 21
1.3 Estado actual de la fijación de conceptos matemáticos, en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria 43
CAPÍTULO 2. PROCESO DE FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS CON UNA MEDIACIÓN
DIDÁCTICA CONTEXTUALIZADA CON LAS TIC 52
2.1 Fundamentos del modelo didáctico de la fijación de conceptos Matemáticos en la
Educación Preuniversitaria con una mediación didáctica contextualizada con las TIC 52
2.1.1 Consideraciones necesarias: relaciones entre categorías y funciones didácticas a
partir de la mediación didáctica contextualizada con las TIC 71
2.2 Estrategia para la instrumentación en la práctica del Modelo Didáctico 78
CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN Y PERFECCIONAMIENTO DEL MODELO DIDÁCTICO DEL PROCESO
DE FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA Y DE
LA ESTRATEGIA PARA SU CONCRECIÓN 93
3.1 Talleres de opinión crítica y elaboración colectiva 93
3.2 Implementación de la estrategia didáctica 101
CONCLUSIONES 119
RECOMENDACIONES 120
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS
Luis Zaldivar Henriquez
1
INTRODUCCIÓN
La educación es reconocida internacionalmente por diferentes organizaciones como un derecho del hombre,
cuyo objetivo fundamental es el pleno desarrollo de la personalidad, el fortalecimiento de los derechos humanos
y las libertades fundamentales. El Estado cubano prioriza la calidad en el Sistema Educacional con un continuo
proceso de transformaciones, estas razones permiten perfeccionar la enseñanza-aprendizaje de la Matemática,
en tiempos que toma auge la puesta en práctica de concepciones avanzadas sobre la base del Enfoque
Histórico Cultural de A. S Vigotsky.
En la actualidad, la Educación Preuniversitaria enfrenta cambios esenciales en su modelo educativo, a partir del
perfeccionamiento del sistema socialista cubano, que se ha proyectado por mejorar la calidad educativa con la
puesta en marcha de los Lineamientos Económicos, concebidos para la política social y económica del país.
Esta situación ha cambiado una parte determinante de los contextos educativos en esta educación, al resurgir
los Institutos Preuniversitarios Urbanos.
La Educación Preuniversitaria contribuye a lo antes planteado, pues como parte de su fin está “…contribuir a la
formación integral del joven que se refleje en su forma de sentir, pensar y actuar que le permita construir su
proyecto de vida y a la vez garantice su participación protagónica e incondicional en la construcción y defensa
del sistema socialista cubano y lo prepare para acceder a la educación superior en carreras priorizadas
territorialmente”. MINED (2011 p. 2).
Para lograr este objetivo y poder dar respuesta a una de las tareas prioritarias de la Matemática referida a
trabajar para eliminar las deficiencias fundamentales que arrastran de grados anteriores los estudiantes, se ha
priorizado su enseñanza-aprendizaje en todos los grados. Además, se trabaja por darles cumplimiento a los
objetivos del grado con el mayor nivel de profundización, y el desarrollo de habilidades esenciales para su
dominio. MINED (2007).
Estas aspiraciones demandan nuevas ideas en los investigadores en Didáctica de la Matemática, con el
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objetivo de encauzar la docencia productiva y eficiente en el proceso de elaboración de los conceptos básicos.
Se aspira que los estudiantes adquieran los conocimientos necesarios de este nivel educacional, donde se
sistematiza la Matemática Elemental. Para el logro de los niveles deseados, partir de la realidad es
determinante: los resultados en los últimos cursos no se corresponden con los esperados por la sociedad, pues
ingresan a la Educación Superior menos del 65 % de los estudiantes que aprueban el preuniversitario. MINED
(2012).
Esta precisión genera que se incentive la búsqueda de métodos, procedimientos y formas de trabajo para hacer
más eficiente la enseñanza-aprendizaje de los contenidos conceptuales y sus aplicaciones. Sin embargo, la
Didáctica de la Matemática en Cuba presenta el proceso de elaboración de conceptos con la misma
estructuración algorítmica de hace varias décadas.
En el programa de Matemática de la Educación Preuniversitaria se precisa la implicación de los estudiantes en
la búsqueda de información en diferentes fuentes que requieran la interpretación de tablas, gráficos y textos en
que intervienen los conceptos y relaciones matemáticos que se estudian, pero los hechos demuestran que
tanto docentes como estudiantes carecen de procedimientos para que esa información que se gestiona con las
tecnologías de la información y la comunicación (TIC) se convierta en conocimientos duraderos.
Además, existen insuficiencias para motivar a los estudiantes a ser eficientes partícipes en su formación y
autosuperación para dominar aspectos concretos de la Matemática y vincularlos en su interacción social desde
posiciones reflexivas. Esta situación es analizada por especialistas que dirigen la enseñanza-aprendizaje de la
Matemática y se proponen soluciones expresadas en la Estrategia Provincial de la asignatura en Las Tunas
pero no se logra plenamente el objetivo planteado.
En la indagación empírica se evidencia que las clases para fijar los conceptos se desarrollan mediante
ejercicios y problemas, aumenta el grado de dificultad de estos, pero con el mismo contenido matemático
tratado. Se emplea el programa de heurística general en la resolución de problemas, y los resultados no son
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satisfactorios.
En la investigación desarrollada en el proyecto territorial sobre el Aprendizaje de la Matemática se pudo
determinar que los estudiantes manifiestan desconocimiento sobre el contenido de un concepto. Son capaces
de explicar su esencia, pero al aplicarlos en la fijación mediante ejercicios integradores no todos logran
interrelacionar los conceptos en nodos cognitivos. Rodríguez, M. y otros (2008)
A partir de los documentos consultados que son producto del proceso pedagógico (Anexo 1), la revisión de los
informes de visitas de control por la Dirección Metodológica del Preuniversitario en la provincia de Las Tunas, el
análisis de los resultados en las comprobaciones realizadas por los diferentes niveles de dirección, el accionar
individual del autor como investigador, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos en
el preuniversitario por más de 20 años, se ha podido revelar que se manifiestan las siguientes insuficiencias en
los estudiantes:
Poseen escasa preparación en conocimientos previos, por lo que se debe dedicar excesivo tiempo en la
etapa preliminar de consideraciones y ejercicios preparatorios, en detrimento de etapas subsiguientes del
proceso, entre las que se encuentra la fijación de conceptos.
Ejecutan con facilidad ejercicios, durante la fijación de conceptos, donde reproducen algoritmos conocidos, y
lo hacen con mayor dificultad y dependencia en aquellos integradores de conceptos donde tienen que ser
creativos para aplicar un plan de solución.
Los resultados de sus evaluaciones son de calidad en aspectos relacionados con conocimientos trabajados
recientemente; sin embargo, esta disminuye cuando enfrentan situaciones que provienen de otras unidades
didácticas, o cursos precedentes.
Las preguntas de más bajos resultados, en los diferentes exámenes que enfrentan, se encuentran en las de
formato diverso que evalúan el dominio de conceptos.
Estas y otras manifestaciones han conllevado a que el MINED lleve a cabo transformaciones encaminadas a
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4
perfeccionar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática; a promover la investigación para
solucionar las insuficiencias y lograr un mayor protagonismo de los estudiantes junto a la familia y la
comunidad. Así como aprovechar los recursos disponibles para la formación del hombre que necesita la
sociedad actual.
La experiencia del autor como docente con 24 años de trabajo relacionado con el aprendizaje de la Matemática,
su participación en actividades metodológicas, inspecciones provinciales y nacionales, en reuniones con
metodólogos e intercambios con investigadores nacionales e internacionales en diferentes encuentros
científicos en el área de las ciencias pedagógicas corroboran que existen deficiencias en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática de la Educación Preuniversitaria, que se manifiestan en la realidad
social, en contraposición con la necesidad de la formación integral de los estudiantes.
Las valoraciones anteriores permiten destacar la contradicción que se manifiesta entre la necesidad de que los
estudiantes dominen los contenidos matemáticos como parte de su formación integral, de manera que les
posibilite una adecuada aplicación de esta ciencia en los contextos escuela-familia-comunidad, y las
limitaciones en la apropiación de los conocimientos sobre conceptos matemáticos que ellos poseen para la
solución de las actividades docentes, esto no permite alcanzar los resultados deseados en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de esta asignatura en la Educación Preuniversitaria.
Investigadores como Proenza, Y. (2002); Cruz, M. (2002); Amat, M. (2009); Jiménez, H. (2010); Rodríguez, M.
(2011); La O, W. (2011); Álvarez, A. (2011), profundizan en el tratamiento de los contenidos matemáticos con el
dominio de los conceptos, desde perspectivas que propician el uso de metodologías con posiciones novedosas,
con las que se logran resultados en el aprendizaje en diferentes niveles educacionales. Sin embargo, sus
propuestas no alcanzan el tránsito hacia niveles de enseñanza superiores, donde se mantenga la solidez y
durabilidad de lo aprendido, pues en las mismas queda sin profundizar la etapa de fijación del concepto, sin
tener en cuenta el tratamiento de sus procedimientos lógicos asociados.
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5
Autores como Ballester, S. y otros (2002-2014); Álvarez, M. (2010); Campistrous, L. (2000-2012); Santana, H.
(2009); Amat, M. (2009); Rebollar, A. (2009); Rodríguez, M. (2011); Carmenate, O. (2011); Bueno, S. (2012);
proponen soluciones al ofrecer modelos didácticos matemáticos en los que docentes desarrollan el proceso de
enseñanza-aprendizaje en correspondencia con las demandas sociales y científicas de cada período histórico.
Estas dejan brechas abiertas al ser insuficiente la actualización del proceso con los recursos tecnológicos, en
función del desarrollo actual, como expresión de la contextualización didáctica de un proceso que considera el
uso de las potencialidades que poseen las TIC en la asignatura Matemática.
En la última década autores como Crespo, E. (2007); Escalona, M. (2007); Rojas, O. (2009); Portilla, Y. (2012)
han expuesto en sus investigaciones las potencialidades de las TIC en los procesos académicos y en especial
en la Matemática. Expresan su incorporación en la clase mediante la Colección Futuro que posee el software
Eureka, los Asistentes Matemáticos y otras herramientas con las que cuentan las TIC para mostrar los
contenidos en las clases; pero la adecuación de la metodología para que el estudiante se apropie de ese
conocimiento no logra a plenitud las exigencias recogidas en los Estándares Curriculares del National Council
of Teachers of the Mathematics. (NCTM).
En investigaciones desarrolladas por el autor en tres proyectos de investigación constató que la enseñanza-
aprendizaje de conceptos matemáticos en la práctica educativa se basa fundamentalmente en la propuesta de
los textos básicos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática de Ballester, S. (1992) y Jungk, W.
(1979). En las clases se manifiesta que estas propuestas promueven que docentes y estudiantes sean menos
protagónicos en busca del conocimiento a enseñar y aprender.
En el desarrollo de actividades con las TIC se asumen los ejercicios y problemas propuestos en los software
educativos o videoclases correspondientes para la fijación del concepto estudiado. Esta realidad manifiesta la
necesidad de nuevas formas para incentivar la apropiación de los conocimientos al movilizar procedimientos
lógicos del pensamiento.
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Se plantea como problema científico: ¿cómo contribuir al proceso de fijación de conceptos matemáticos en los
estudiantes de la Educación Preuniversitaria?
Este problema se manifiesta como necesidad en el desarrollo del objeto de investigación: el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática en la Educación Preuniversitaria.
Estos referentes teóricos y las exigencias de formación del estudiante, conjuntamente con la búsqueda de la
solución del problema antes mencionado, permiten definir el siguiente objetivo de investigación: la elaboración
de una estrategia didáctica para desarrollar el proceso de fijación de conceptos matemáticos en los estudiantes
de la Educación Preuniversitaria, a partir de un modelo que considera la mediación didáctica contextualizada
con las TIC para perfeccionar su enseñanza-aprendizaje.
Y su campo de investigación: la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
Idea a defender: la fijación de conceptos matemáticos requiere del proceso de mediación didáctica
contextualizada con las TIC, y de procedimientos didácticos donde se concretan acciones y operaciones para la
búsqueda y análisis de información en la solución de ejercicios, problemas y actividades del contenido que se
aprende, basados en las relaciones entre lo teórico-orientador, lo mediacional-contextual y lo práctico-
instrumental para generar una actualización didáctica en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática en la Educación Preuniversitaria
Para llegar a los resultados deseados se plantean como tareas científicas de investigación, las siguientes:
1. Caracterizar el proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos en el comportamiento histórico de
la enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
2. Fundamentar desde la teoría, la metodología y la práctica la implementación del proceso didáctico de la
fijación de conceptos matemáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la
Educación Preuniversitaria.
3. Caracterizar el estado actual de la implementación de la fijación de conceptos matemáticos en el proceso de
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7
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
4. Elaborar un modelo del proceso didáctico de fijación de conceptos matemáticos en la Educación
Preuniversitaria con una mediación didáctica contextualizada con las TIC.
5. Elaborar una estrategia didáctica para la fijación de conceptos matemáticos en la Educación
Preuniversitaria, sustentada en el modelo didáctico.
6. Evaluar la efectividad de la estrategia didáctica para desarrollar el proceso didáctico de la fijación de
conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, basada en el modelo elaborado.
Se utilizan como métodos de investigación:
El método dialéctico materialista, como plataforma metodológica general para la realización de esta
investigación, posibilita un análisis del tratamiento didáctico de los conceptos, sus relaciones con otros objetos
de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento, para la transformación del problema identificado. Este método
general fue acompañado de la aplicación de otros métodos teóricos y empíricos.
El histórico-lógico, en el análisis de los antecedentes y las tendencias acerca del tratamiento didáctico de la
fijación de conceptos matemáticos, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de estos.
Análisis-síntesis, para sistematizar los fundamentos teóricos que sustentan el modelo didáctico del proceso de
fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, en la caracterización del estado actual del
mismo, la elaboración del modelo didáctico y la estrategia, así como en la valoración crítica de los resultados
derivados de su implementación.
El sistémico estructural-funcional, en la elaboración del modelo y la estrategia didáctica para el desarrollo del
proceso didáctico de la fijación de conceptos en la Matemática.
El método de inducción-deducción resultó de gran utilidad para el tránsito de lo general a lo particular en las
principales teorías estudiadas, así como para el establecimiento de los nexos entre ellas. Este método se reveló
como una importante vía científica para arribar a análisis particulares y a generalizaciones.
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La observación como método científico se utilizó para recoger información de los diferentes agentes
involucrados en el proceso, durante el transcurso de actividades docentes, tanto en el estudio fáctico como
durante la implementación de la estrategia didáctica. Además, fue utilizado para investigar la muestra en sus
actividades extradocentes donde interactúan con la comunidad en los procesos virtuales de comunicación.
La encuesta se aplicó para conocer los aspectos que deben ser atendidos en torno al proceso de enseñanza-
aprendizaje de la asignatura Matemática.
La entrevista se empleó para conocer el dominio de los docentes y metodólogos de la asignatura acerca de las
causas que provocan las insuficiencias en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Los talleres de opinión crítica y elaboración colectiva para obtener criterios que aportan juicios valorativos de la
viabilidad del modelo didáctico y de la estrategia propuesta.
Estudio de los productos del proceso pedagógico: para valorar cómo se ha desarrollado el proceso de fijación
de conceptos a largo y a corto plazo, desde su diseño, planificación, ejecución y evaluación en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
Fue empleado el pre experimento para evaluar el grado de validez de la estrategia didáctica que se sustenta en
el modelo propuesto.
Estadístico descriptivo: para el procesamiento de los datos aportados por la indagación empírica del proceso de
caracterización y validación de la investigación.
El aspecto innovador de esta tesis revela en el orden científico los siguientes resultados fundamentales:
Como contribución a la teoría se establecen las relaciones entre lo teórico-orientador, mediacional-contextual y
lo práctico-instrumental en unidad dialéctica, para generar una actualización didáctica en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria, desde el modelo didáctico del
proceso de fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria con una mediación didáctica
contextualizada con las TIC.
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El aporte práctico son las acciones de mediación didáctica contextualizada con las TIC para actualizar el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria, en correspondencia con
el avance tecnológico existente, a partir de un diseño, desarrollo y evaluación que se concreta mediante una
estrategia didáctica para desarrollar el proceso de fijación de conceptos matemáticos en la Educación
Preuniversitaria.
La novedad científica se encuentra en la contextualización didáctica del proceso de fijación de conceptos
matemáticos, que propicia la actualización de los componentes didácticos en función del contexto de
enseñanza-aprendizaje para articular dicho proceso. Se considera el contenido de los conceptos para organizar
el trabajo con los procedimientos lógicos asociados a estos en acciones de mediación, coherentes con el
desarrollo tecnológico existente y con las utilizadas para el proceso de elaboración total en etapas anteriores. Al
mismo tiempo se tienen en cuenta las relaciones que propician la coherencia, integralidad e integración, en los
contextos escuela-familia-comunidad para el fortalecimiento de la armonía en el diseño, desarrollo y evaluación
del proceso de fijación de conceptos matemáticos en la enseñanza-aprendizaje del estudiante.
La tesis se estructura en tres capítulos, el primero contiene aspectos epistemológicos sobre la enseñanza-
aprendizaje de la Matemática relacionados con el proceso didáctico de la fijación de conceptos, con énfasis en
los antecedentes históricos, las posiciones teóricas y metodológicas que sustentan el modelo, y que constituye
el marco teórico de referencia. En el segundo se expone la solución al problema científico, derivado de todo el
proceso investigativo desarrollado por el autor para elaborar un modelo didáctico del proceso didáctico de la
fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, donde están expresadas nuevas
relaciones didácticas que surgen con la participación de una mediación didáctica contextualizada con las TIC,
también contiene la estrategia didáctica basada en este modelo. El tercero contiene los resultados de la
valoración de la estrategia que sustenta el modelo propuesto, por mediación de talleres de opinión crítica y
elaboración colectiva y de la introducción parcial de la misma en el preuniversitario, que demuestra su
efectividad.
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTOS PARA LA FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN EL PROCESO DE
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA
Luis Zaldivar Henriquez
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS PARA LA FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN EL PROCESO
DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA
Este capítulo aborda los elementos esenciales para estudiar el comportamiento, evolución y argumentación de
los presupuestos que sustentan el proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos. Se reflexiona
sobre las bases teóricas y metodológicas de las concepciones, leyes y teorías que se acercan a la elaboración
de conceptos, como marco teórico de referencia.
También se sistematizan las principales tendencias que se manifiestan en la utilización de las TIC en la
enseñanza-aprendizaje de la Matemática y se establecen los fundamentos teóricos del proceso de fijación de
conceptos en correspondencia con las perspectivas actuales y futuras. Finalmente se caracteriza el estado
actual del proceso de fijación de conceptos matemáticos al desarrollarse el modelo actuante según la Didáctica
de la Matemática.
1.1 La fijación de conceptos matemáticos en el comportamiento histórico lógico del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria cubana
Los conceptos matemáticos se enuncian en el curso de la evolución histórica del conocimiento y son
fundamentos en la práctica social de la ciencia. Estos representan el producto de la existencia humana en su
relación dialéctica con la naturaleza, la sociedad y el pensamiento, y su validez puede ser verificada
concretamente en la experiencia por cualquier ser humano.
En el estudio de la Matemática, a pesar de la abstracción de sus estructuras racionales, sus conceptos son
creados por la imaginación, pero siempre como representaciones ideales de ciertas relaciones objetivas
universales que han existido fuera e independientemente de la conciencia del hombre. Estas se van
enriqueciendo mediante su desarrollo lógico y la comprobación experimental en otras disciplinas científicas.
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Acontecimientos educacionales que marcaron transformaciones esenciales en la Pedagogía Cubana (Anexo
2), influyeron en la forma de pensar y desarrollar procesos en la Didáctica. El autor los considera génesis de
este estudio pues fueron el comienzo de cambios para un nuevo desarrollo en la Didáctica de la Matemática
mundial. Aspecto este que es contextualizado en Cuba con la implementación de teorías europeas, lideradas
por las alemanas. Estas se jerarquizaron sobre las concepciones burguesas predominantes, según el estudio
realizado por Torres, P. (1993). Dichos acontecimientos, entre otros, contribuyeron a la precisión y definición de
las etapas.
En esta investigación las etapas se determinaron según los cambios en la Didáctica de la Matemática, a partir
de las transformaciones educacionales en el período 1975-2014. Las características fundamentales de las
transformaciones ocurridas propiciaron nuevas formas para abordar los contenidos y permiten nombrar las
etapas por las modificaciones en esta ciencia. Esto influyó directamente en el proceso didáctico de la fijación
de conceptos matemáticos en el preuniversitario.
Se comienza el estudio histórico del período 1975-2015 en el año inicial, porque ocurrió un “importante cambio
cualitativo en el contenido y estructura de los planes de estudio y en las concepciones del trabajo didáctico y
metodológico” Fernández, J. R. (1984 p. 28), que incidió en la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje
de la Matemática.
La caracterización de la evolución histórico-lógica de la fijación de conceptos en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática, en función del contexto escolar de la Educación Preuniversitaria, condiciona
la necesidad de evaluar aspectos relativos a los protagonistas principales de esta práctica, que son los
profesores y los estudiantes quienes por lo general pueden desempeñar un rol más o menos activo en
dependencia de la concepción de dicho proceso en forma general.
Así es necesario prestar atención a la concepción de la enseñanza-aprendizaje de conceptos matemático en
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su etapa de fijación como un primer indicador, donde se atiende la implicación directa de los profesores para
asumir el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática de acuerdo con el contexto de aprendizaje.
Al mismo tiempo se necesita tomar en consideración los procesos o mecanismos a través de los cuales los
estudiantes se apropian de lo que fue concebido, de ahí que las estrategias de aprendizaje empleadas por los
estudiantes para fijar los conceptos fue otro de los indicadores atendidos para estudiar las relaciones desde la
práctica y encontrar las causas de las insuficiencias en el proceso de fijación de los conceptos que limitan el
dominio de los conocimientos de la Matemática.
También se consideró necesario evaluar las condiciones del aprendizaje, con este fin se inspeccionaron los
recursos didácticos empleados para apoyar la fijación de los conceptos, que fue el tercer indicador concebido
para realizare este estudio.
Estos tres indicadores constituyen componentes del sistema del aprendizaje que es necesario examinar, pues
su combinación define una variedad de contextos, situaciones, tipos y prácticas de aprendizaje, y
consecuentemente, de habilidades, capacidades y actitudes necesarias para desplegarlos.
Se determinaron las tres etapas por las características fundamentales de las transformaciones ocurridas, en
las que ocurrieron transiciones en la Didáctica de la Matemática que influyeron directamente en el proceso de
fijación de conceptos matemáticos en este nivel educacional.
Una etapa comprendida de 1975 al 1988 en la que ocurrió un proceso profundo de transformaciones
educacionales. En este perfeccionamiento de la educación cubana fueron elaborados materiales tales como
programas, libros de textos y cuadernos para la docencia. Una segunda etapa 1989 al 2002, en la que la
Didáctica de la Matemática se nutrió de las investigaciones de autores cubanos. En la tercera etapa,
comprendida entre 2002 y 2015, sucedió la Tercera Revolución Educacional con el uso masificado de las TIC
en la actividad docente, lo que generó cambios en el desarrollo de la Didáctica de la Matemática.
Primera etapa, de 1975 a 1988. Perfeccionamiento de la Didáctica: transformaciones educacionales que llegan
Luis Zaldivar Henriquez
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hasta la Didáctica de la Matemática
Esta etapa se caracterizó por grandes cambios sociales y universales que afectaron directamente la escuela
cubana y también a la Didáctica de la Matemática, que se hallaba bajo la influencia de la tendencia de la
“Matemática moderna”, en la que predominaba el operacionalismo, basado en el constructivismo de Piaget y
en la Psicología cognoscitiva.
Estos cambios se sustentaban en el desarrollarlo de un proceso en el que estudiante fuera más activo, a partir
de su motivación por la nueva materia, aunque esto no significaba que se erradicara el aprendizaje
memorístico, pues todo el sistema no contaba con estrategias de aprendizaje que llevaran al estudiante a la
reflexión para desarrollar las actividades.
En este período, en Cuba, las Orientaciones Metodológicas (1980), elaboradas por el MINED para la
enseñanza de los conceptos matemáticos presentaban acciones para el tratamiento de cada materia,
destacándose el uso de métodos expositivos, de elaboración conjunta y de trabajo independiente, sin la
especificidad de conjugación de los mismos para crear situaciones de enseñanza-aprendizaje donde se
involucraran otros agentes y agencias en el proceso. Estas orientaciones solo recogían indicaciones
metodológicas para desarrollar el proceso didáctico de la fijación o asimilación de conceptos realizando
ejercicios y problemas que necesitaban una mayor abstracción para su interpretación ya que no se
relacionaban con el contexto de aprendizaje.
Por otra parte, con la introducción de programas de Matemática elaborados similarmente a los de la República
Democrática Alemana (RDA), se importaron estructuras de sistemas de contenidos que estaban
descontextualizados, esto provocaba que las estrategias de aprendizaje de conceptos necesitaran de grandes
abstracciones para entender los ejercicios y problemas. En contraposición, estas mismas estrategias estaban
lideradas por la escuela Histórico-Cultural Vigotskiana, y los trabajos de Galperin sobre la teoría de la
formación por etapas de las acciones mentales. Esto encaminó a los investigadores a organizar estrategias
Luis Zaldivar Henriquez
15
para fijar los conceptos matemáticos en correspondencia con otros sistemas de conceptos ya formados.
Las estrategias de aprendizaje se caracterizaban por formar estudiantes dependientes de los docentes, sin
materializarse que “el concepto es una de las formas del reflejo en el pensar, mediante el cual se entra en el
conocimiento de la esencia de los fenómenos y procesos, se generalizan los aspectos y los caracteres
fundamentales de los mismos”. Rosental, M. y Ludin, P. (1982, p. 76).
En la Educación Preuniversitaria se produjeron cambios fundamentales, como el uso de nuevas orientaciones
metodológicas, en correspondencia con los nuevos libros de textos. En estas se profundizó en la
estructuración de métodos y procedimientos, y se explicaba la enseñanza o instrucción heurística. Se exponía
en estos textos cómo aplicar el Programa Heurístico General y el uso de recursos heurísticos.
Estas decisiones se asumieron a partir de lo que estaba ocurriendo internacionalmente, pues se produjo una
tendencia a enfocar el aprendizaje de la Matemática a través de la resolución de problemas. Se destacan los
trabajos de Polya, G. (1976); Guzmán, M. (1983); Brousseau, G. (1986) y Müller, H. (1986) encaminados a
aplicar una enseñanza heurística en la resolución de problemas, para fijar los conceptos formados.
Sin embargo, una de las insuficiencias en esta etapa se encontraba en las fases de la fijación de conceptos.
Además, se manifestaba la dificultad de relacionar las situaciones específicas descritas en los problemas con
los escenarios donde se impartían los contenidos. Las condiciones del medio no le permitían al estudiante
ubicarse espacialmente en el contexto descrito en las situaciones de aprendizajes, haciendo más abstracto el
proceso a modelar.
Predominaba la tendencia a la resolución de ejercicios formales de contenido y se consideraba en las últimas
clases el desarrollo de problemas intramatemáticos y extramatemáticos. Estos no recogían las condiciones
históricas sociales concretas y no representaban los problemas cotidianos de los estudiantes, por lo que su
modelación carecía de una imagen de la realidad o del entorno en que se desarrolla la vida social del mismo.
En esta etapa, en la forma de desarrollar el proceso de elaboración de los conceptos matemáticos se
Luis Zaldivar Henriquez
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emplearon diferentes recursos didácticos identificados como los medios de enseñanza, cuya función
fundamental era de instrumentos para apoyar la actividad docente y ser “soporte material del contenido”.
González, V. (1979, p.9).
Estos recursos didácticos representaban para el estudiante el acercamiento entre la información del docente y
el contenido de enseñanza para visualizarlo. Un ejemplo es el uso del retroproyector, con la superposición de
láminas para crear ambientes de movilidad. Los medios eran elaborados por los propios docentes a partir de
sus invenciones, pero el proceso didáctico de la fijación de conceptos seguía tratándose con ejercicios y
problemas. No se llegaban a completar las acciones mentales propuestas por Galperin, P. pues
sicológicamente no se concreta la intención visual para "… resolver las tareas de orientación en las situaciones
sobre la base del reflejo psíquico de esas situaciones". Galperin, P. (1982, p. 54).
Con el desarrollo incipiente de las TIC surgieron nuevas posibilidades de recursos didácticos que facilitaban las
representaciones de los contenidos y la actualización de los medios de enseñanza-aprendizaje con los que
contaban los docentes para graficar conceptos, estos recursos eran fundamentalmente recursos materiales.
Como recursos didácticos para la fijación de conceptos se proponía un gran volumen de ejercicios
intramatemáticos siguiendo patrones similares, la formalidad de crear guías de ejercicios para cada forma de
fijación con la característica similar de que “…la graduación del grado de dificultad de los ejercicios y la
variedad del planteamiento de ejercicios” respondían a determinados contenidos, sin aprovechar la integración
de diferentes conocimientos para desarrollar las capacidades. Jungk, W. (1979, tomo 2, p. 98)
Los recursos didácticos que se empleaban para apoyar la fijación de conceptos se establecía presentarlos por
vía inductiva, luego se ejemplificaba y posteriormente se desarrollaban procesos repetitivos en los que el
estudiante los fijaba mediante ejemplos tipos resueltos en clases, empleando analogías.
Se puede plantear como característica fundamental en esta etapa que la enseñanza de la Matemática se
basaba en metodologías en las que predominaba el desarrollo de los contenidos academicistas. El proceso de
Luis Zaldivar Henriquez
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fijación de conceptos era desarrollado mediante un gran volumen de ejercicios, con el predominio de métodos
expositivos y de trabajo independiente, en los que las estrategias de aprendizajes se centraban en modelos de
aprendizaje individualizados.
Segunda etapa, de 1989 a 2002. Adecuación didáctica: la enseñanza-aprendizaje se desarrolla teniendo en
cuenta el contexto de la escuela
En esta etapa ocurrieron grandes cambios económicos y sociales que afectaron notablemente la calidad de la
educación, pues no se contaba con la preparación necesaria de todos los docentes en la Didáctica de la
Matemática propuesta por autores cubanos. Se priorizó la enseñanza de esta asignatura en todos los niveles
educacionales y se empezaron a introducir, en la práctica, los resultados científicos de investigadores cubanos
Turner. L. y Chávez, J. (1989); Torres, P. (1993); Ballester, S. (1992); Campistrous L. (1996); Villegas, E.
(2002).
En los años de la década de 1990 la concepción de la enseñanza fue dirigida de manera específica al
desarrollo de los conocimientos y las habilidades generales que se deben formar en los estudiantes, al hacer
posible una mayor precisión de sus objetivos. Se insistía en la necesidad de lograr un aprendizaje activo por
parte del estudiante y desarrollar la formación integral de su personalidad.
Aunque la introducción de la Metodología de la Enseñanza de la Matemática Alemana, “…frustró las
posibilidades de sistematizar las experiencias y las posiciones teóricas que se venían acumulando entre los
matemáticos cubanos...” Torres, P. (2000, p. 5), propició el conocimiento de una ciencia estructurada con un
alto rigor científico. Además, permitió elevar la preparación de los docentes de Matemática de nuestro país,
sirviendo de referente teórico-práctico para la confección de los programa de la Disciplina Metodología de la
Enseñanza de la Matemática.
Con la introducción en el año 1989 de los programas y textos cubanos de Matemática salió a la luz el enfoque
metodológico “La enseñanza de la Matemática mediante sistemas de ejercicios (…) cuya esencia descansaba
Luis Zaldivar Henriquez
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en la utilización de grupos de ejercicios, que en un mismo complejo de materia, se correlacionan para dar
cumplimiento a las funciones básicas de los ejercicios en la enseñanza de las matemáticas” Torres, P. (2000,
p. 27), pero quedaba sin atender la unidad entre las tres etapas del proceso total de elaboración de conceptos
y aisladamente se desarrollaba la fijación de estos.
Se llevó a la práctica educativa el programa de la Heurística General desde los postulados de investigadores
del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas, tales como, Torres, P. (1989); Ballester, S. (1992); Campistrous,
L. y Rizo, C. (1996) mediante Seminarios Nacionales a metodólogos provinciales y municipales, que
asesoraban a los docentes, sin embargo, se percibía la necesidad de una actualización metodológica en
función de otros contenidos para integrarlos a las metodologías que se aplicaban.
Una gran parte del éxito en los resultados positivos se centró en la utilización de métodos de enseñanza
productivos. Se crearon las condiciones para que los docentes pudieran profundizar en el estudio de la
Didáctica General y lograr los objetivos formativos de la Educación Preuniversitaria.
Se implementó la Enseñanza Problémica mediante la formulación de un sistema de métodos propios, estos se
caracterizaban por desarrollar acciones dirigidas a dar cumplimiento a objetivos generales de la enseñanza.
Con ellos se promovió la asimilación del contenido a niveles productivos y creativos en los estudiantes. Por
tanto, para provocar la actividad de búsqueda científica de los conocimientos en la clase se les daba mayor
protagonismo a los estudiantes en las estrategias de aprendizaje al emplearse métodos como “…la exposición
problémica, la búsqueda parcial, y el método investigativo”. Torres, P. (1993, p.36)
El uso de recursos didácticos para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, con la presencia en el aula de
las TIC generó la necesidad de diseñar un proceso de adecuación de métodos y formas de organización de la
actividad docente, para que los niveles de relaciones didácticas entre las demás categorías fueran coherentes
con el cambio. Con la enseñanza heurística y el empleo de métodos problémicos se desarrollaron nuevas
concepciones para diseñar, planificar y ejecutar las diferentes formas de fijación del concepto, en las que la
Luis Zaldivar Henriquez
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lógica de la clase permitía movilizar la acción participativa del estudiante.
Como característica esencial de esta etapa se encuentra el mayor protagonismo del estudiante al ser activo en
su aprendizaje, el uso de una concepción de enseñanza problémica para promover la actividad intelectual del
mismo y la presencia de las TIC para propiciar nuevos recursos didácticos para la enseñanza-aprendizaje.
Tercera etapa, de 2002 a 2015. Redimensionamiento de la Didáctica: hacia una enseñanza-aprendizaje
desarrolladora
En esta etapa se consolidó la Didáctica de la Matemática insertada en un contexto latinoamericano, los
docentes reciben más información de los eventos internacionales que se desarrollan, cuyo propósito consiste
en fomentar el intercambio científico regional.
Las investigaciones en ciencias pedagógicas aportaron y continúan aportando soluciones, en las que el
objetivo es resolver los problemas que afectan el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Así se
pueden citar los autores extranjeros Godino, J. (2002, 2005); Chevallard, Y. (1997/2007); Brousseau, G.
(2007); Cantoral, R. (2013), y en Cuba los trabajos de Ballester, S. y otros (2002, 2004, 2005, 2009, 2013);
Ruiz, A. y Solano, L. (2003); Campistrous, L. (2002-2014); Rebollar, A. y otros (2000-2014).
Los diferentes enfoques teóricos para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática se desarrollan mediante
investigaciones de los especialistas a partir de las necesidades prácticas de formación del estudiante, al
reflexionar sobre la influencia de las Ciencias de la Educación para potenciar el proceso de elaboración de
conceptos matemáticos como base para la formación de una cultura matemática de los estudiantes.
La concepción de la enseñanza de los conceptos tuvo una relevancia significativa en la obra: “El Transcurso de
las Líneas Directrices en los programas de Matemática y la Planificación de la Enseñanza”, de Ballester, S.
(2002), en la que se dispone un ordenamiento del contenido matemático según las líneas directrices, desde el
cual se les da tratamiento a los conceptos, a partir de las situaciones típicas.
Se destacan además, los estudios realizados por un colectivo de autores encabezado por Álvarez, M., (2005)
Luis Zaldivar Henriquez
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sobre la vinculación de varias disciplinas en función del aprendizaje, en los que se puntualizan el tratamiento
de conceptos y definiciones como una situación típica de la enseñanza de la Matemática, desde una visión
interdisciplinaria.
Otras de las precisiones recogidas en los documentos normativos es que “las clases de fijación deben
prepararse minuciosamente, atendiendo a los componentes no personales del proceso (objetivos, contenidos,
métodos, medios y formas de evaluación), y las funciones didácticas que predominan en ellas…”, MINED.
(2003, p. 4), enfatizan en que no podían seguir siendo las actividades rutinarias para practicar, sino de
situaciones donde haya que reflexionar, buscar, investigar y que para responder haya que pensar.
Otro de los aspectos trascendentes es el empleo de estrategias de aprendizajes en las que el protagonismo de
los estudiantes gana relevancia, con una participación eficaz en las actividades docentes y el incremento del
trabajo en equipos para el desarrollo de estas, lo cual genera una socialización de los conocimientos; estos
procedimientos son empleados con mayor frecuencia en las clases de sistematización de los contenidos.
En esta etapa es instituido nacionalmente, como un programa de Batalla de Ideas, el uso de las TIC en la
docencia directa, que aumentó la presencia de mucha tecnología, pero pocas orientaciones metodológicas
para su uso en el aula, lo que origina que el estudiante pierda la interacción frontal con el contenido, pues
prevalecen las video clases.
En consecuencia, el estudiante apreciaba una ruptura en el proceso didáctico de la fijación del concepto, pues
encontraba limitada la comunicación que se establecía entre los diferentes agentes que intervenían: docente-
estudiante, estudiante-estudiante, estudiante-comunidad y docente-comunidad.
Las clases frontales se caracterizan por la utilización de diferentes asistentes matemáticos y software
educativos creados para estos fines, pero sigue quedándose sin atender el desarrollo de los procedimientos
lógicos asociados a los conceptos, pues se accede a estos recursos para consultar contenidos y realizar
softareas.
Luis Zaldivar Henriquez
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La característica que predominaba en esta etapa se manifiesta en una mayor incorporación de las TIC al
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y el uso de recursos didácticos para promover el
aprendizaje activo y reflexivo del estudiante, apoyándose en el contexto en que se desenvuelve y en la
atención a las necesidades de aprendizaje. Todo esto sobre la base de la investigación científica.
Con este estudio se precisaron las siguientes tendencias:
La enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos en su etapa de fijación ha transitado desde niveles
reproductivos y memorísticos hasta posiciones que incentivan mayor creatividad por los estudiantes,
ascendiendo en su contextualización; pero aún es insuficiente su concreción para un proceso de
enseñanza-aprendizaje desarrollador donde se forma y desarrolla la personalidad del estudiante.
Las estrategias de aprendizaje empleadas se han modificado desde posiciones pasivas del estudiante
mediante la resolución de ejercicios formales de manera mecánica para fijar un concepto, hasta posiciones
protagónicas y activas en busca de su aprendizaje, al aprender a aprender.
Los recursos didácticos empleados para fijar los conceptos matemáticos evolucionaron con el desarrollo de
la tecnología. Esto llevó a hacer transformaciones en el diseño, desarrollo y evaluación del proceso de
enseñanza-aprendizaje, pero aún quedan sin aprovechar eficientemente, desde la perspectiva didáctica,
las cualidades y potencialidades que poseen las TIC para la actualización de estos recursos didácticos.
Estas tendencias justifican la necesidad de que el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos
matemáticos se perfeccione a partir de cambios en la Didáctica de la Matemática, que atiendan mayor
creatividad y protagonismo de los involucrados con el aprovechamiento de las potencialidades y cualidades
que han adquirido los recursos didácticos en función del desarrollo tecnológico existente. Al respecto, aún no
se alcanzan los niveles deseados y se requiere valorar los fundamentos que sustentan este proceso de
manera que respondan a enfoques desarrolladores para perfeccionar el aprendizaje de los estudiantes.
1.2 Fundamentos teóricos que sustentan la fijación de conceptos matemáticos en el proceso de enseñanza-
Luis Zaldivar Henriquez
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aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria
En este epígrafe se sistematizan los fundamentos teóricos generales desde las distintas ciencias de la
educación. Con estos se sustenta la solución del problema científico identificado para una comprensión
universal del aporte teórico y práctico, se particulariza en referentes de la Didáctica de la Matemática en el uso
de las TIC que sirven de base al proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos en la Educación
Preuniversitaria.
En el análisis del conocimiento sobre los conceptos matemáticos se concreta que el dominio de los mismos
tiene gran importancia para la formación del estudiante, al ser un proceso concatenado pues, “…cada nuevo
complejo de contenido se apoya en el contenido de complejos anteriores…”, expresa la necesidad de
establecer interrelaciones entre ellos. Al darles tratamiento a las líneas directrices para la enseñanza-
aprendizaje de la Matemática se necesita relacionar conceptos tratados en otras precedentes. Jungk, W.
(1979, tomo 2, p. 108).
En la teoría del conocimiento de Lenin, V. I. (1979), se manifiesta que el concepto, como una de las categorías
esenciales de la lógica y el pensamiento, resume todos los juicios que se tienen de un objeto y es utilizado
para ir en busca de la verdad dialéctica, pues representa lo universal en relación con lo singular.
Las valoraciones del autor respecto al lugar que ocupa el concepto en la teoría del conocimiento, permiten
expresar que es un sustento importante para el desarrollo del pensamiento y la conciencia del hombre como
ser social. Expresa su relación con el mundo para conocerlo y transformarlo, desde una posición
revolucionaria. Su particularidad está en profundizar en la esencia de los objetos y fenómenos de la realidad
como un conocimiento incompleto. Entonces se complementa cuando se conocen más características de los
mismos en su desarrollo.
El conocimiento de los conceptos matemáticos transcurre mediante la actividad práctica como fundamento y
fin del conocimiento, Marx, C. en su Tesis sobre Feuerbach, planteó: “Es en la práctica donde el hombre debe
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demostrar la verdad, es decir, la realidad y el poderío, la terrenidad de su pensamiento”, o sea, considera la
práctica como criterio valorativo de la verdad. Marx, C. (1973, p. 831).
Con la dialéctica del mundo objetivo y las leyes conocidas del desarrollo social, Marx y Engels revelaron la
naturaleza del hombre, sus condiciones de formación y las del desarrollo social. Al utilizar el método de la
dialéctica-materialista, analizaron la educación en estrecha relación con otros fenómenos sociales,
desentrañaron su carácter histórico y sus cualidades básicas que tienen carácter objetivo, cuestiones
fundamentales para el desarrollo de esta investigación.
Otros autores como Kopnin, P. (1983); Galperin, Y. (1986); Talízina, F. (1988); Davidov, V. (1988) y Dubinsky,
E. (1996) profundizan en los conceptos como formas lógicas del pensamiento y manifiestan que las raíces
científicas para el trabajo con conceptos se hallan en la lógica, en las relaciones entre el pensar y el ser.
Plantean que los mismos se aprenden en las relaciones sociales, en la relación de lo externo a lo interno.
Al almacenarse en la memoria ese conocimiento el estudiante razona para hacer uso del mismo y su
“…corrección es a lo que llamamos formas lógicas del pensamiento y podemos distinguir tres fundamentales:
conceptos, juicios y razonamientos”. Campistrous, L. (1993, p. 3).
El concepto “…es una forma del pensamiento que refleja los indicios sustanciales de un objeto o una clase de
objetos homogéneos…”, expresa los nexos que existen entre el pensar y el ser, entre la realidad objetiva y la
mente del ser humano, y su concatenación para agrupar los objetos por sus características distintivas.
Guétmanova, A. (1991, p. 13).
El aprendizaje de los conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria transcurre con una integración
de otros conceptos de niveles y grados precedentes, donde influyen las condiciones del aprendizaje, o sea, los
diferentes tipos de situaciones de actividad e interacciones en las cuales se movilizan determinados procesos
en función de la apropiación de la experiencia socio-histórica para llegar al conocimiento matemático.
La combinación de los conceptos define una variedad de contextos, situaciones, tipos y prácticas de
Luis Zaldivar Henriquez
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aprendizaje, que a su vez se nutren de las relaciones sociales en el contexto de su desarrollo; así, mediante la
actividad de asimilación se fijan las características o propiedades esenciales de los objetos, operaciones y
relaciones matemáticas para formarse el concepto, que representa la base del conocimiento. De esta manera
estos se fijan en correspondencia con la forma que predomina en las diferentes etapas del desarrollo humano
para llegar a ser “…una forma del pensamiento abstracto”, Guétmanova, A. (1991, p. 32).
Se concuerda con la idea de que los conceptos representan la forma de designar las cosas del mundo
material, a través de la palabra, por lo que “… es la forma del pensamiento que refleja los indicios sustanciales
de un objeto o una clase de objetos homogéneos...”, recogiendo en sí las características que lo distinguen
totalmente de otros objetos, de otras relaciones u operaciones. Guétmanova, A. (1989, p.13).
El concepto se expresa por medio de su contenido y está representado por su volumen, donde el contenido es
“…el conjunto de indicios sustanciales de un objeto o clase de objetos homogéneos reflejados por el mismo” y
el volumen del concepto es “…la clase de los objetos generalizados en él”, donde se materializa la ley de razón
inversa entre el volumen y el contenido: mientras mayor sea el volumen de un concepto, es menor el conjunto
de sus características sustanciales. Guétmanova, A. (1991, p. 34).
De las definiciones citadas se puede generalizar que el concepto expresa el conocimiento de lo esencial de los
objetos, los hechos y fenómenos de la realidad, que nace como una idea abstracta y se elabora en la mente
del ser humano, o sea, es una forma del pensamiento, un proceso mental que constituye una actividad
intelectual generalizada de carácter teórico.
Los conceptos son producto de la interacción social de los sujetos con los objetos materiales o ideales que se
forman en la actividad humana en su relación con el mundo circundante. Pupo, R. (1990), considera que es un
proceso donde el hombre reproduce y transforma creadoramente la naturaleza, en la práctica cotidiana; en el
caso particular de la enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos es la actividad intelectual y práctica
que promueve esa cognoscibilidad del mundo. Los conceptos son asimilados por este en la medida en que se
Luis Zaldivar Henriquez
25
desarrolla como ser social y biológico, este proceso de adquisición de los conocimientos transcurre en dos
fases fundamentales, la búsqueda del conocimiento y el aseguramiento de ese conocimiento.
Interesa, en primer lugar, expresar la relación entre los términos fijación y asimilación para entenderlos desde
la didáctica.
En el sitio Web de la Real Academia de la lengua Española se plantea que: “Fijación es la acción y efecto de
fijar. Hacer fija o estable alguna cosa. Determinar, limitar, precisar, designar de un modo cierto. El término
puede utilizarse para nombrar el establecimiento preciso o la determinación cierta de algo”.
También se plantea sobre la asimilación que es un concepto psicológico introducido por Piaget, J. (1971) para
explicar el modo por el cual las personas ingresan nuevos elementos a sus esquemas mentales preexistentes,
explicando su crecimiento o cambio cuantitativo. Estas razones promueven al autor a hacer uso del término
fijación como componente esencial de una fase fundamental en la elaboración total de un concepto.
La adquisición de conocimientos matemáticos fue una necesidad social y práctica para el hombre y una de las
herramientas más valiosas creadas por él, al constituir el conjunto de los conocimientos sintetizados a partir de
la experiencia cotidiana. En este sentido la Matemática constituye un instrumento que permite conocer y
transformar el mundo con la condición de aprenderla y aplicarla en forma objetiva y consciente.
En estas condiciones se produce la interacción social del estudiante con el contexto en que se desarrolla, lo
que le permite adquirir el conocimiento sobre los conceptos mediante la actividad, la cual se forma
psicológicamente por acciones mentales que él desarrolla para conformar la estructura que posee ese
concepto. Es una necesidad que esa interacción del estudiante con los objetos mediadores esté en
correspondencia con el desarrollo tecnológico actual, lo cual se asume en sus teorías sin estar descrito
concretamente.
Al profundizar en el concepto de actividad, como una categoría psicológica, descrita por Vigotsky (1979)
propone en esencia la formación sociocultural del individuo en su interacción social, proceso mediante el cual
Luis Zaldivar Henriquez
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el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona con la realidad, adoptando determinada actitud
hacia la misma. Además, Petrovsky, P. (1980), plantea que la misma se entiende como todas las actuaciones
internas (psíquicas) y externas (físicas) del hombre encaminadas a solucionar tareas vitales, y que son
reguladas por él mediante un fin consciente, la actividad implica la relación entre la persona y el mundo que lo
rodea, es decir, la naturaleza, las cosas y las otras personas.
La Didáctica de la Matemática requiere de estos conocimientos de la Psicología, entre otras razones, para
despertar el interés y mantener la atención de los estudiantes; para evitar el olvido y propiciar la durabilidad de
los conocimientos. En la fijación de conceptos los ejercicios y problemas se desarrollan mediante la actividad
de aprendizaje del estudiante y en correspondencia hay actividades matemáticas que se basan en resolver
diferentes problemas.
Para organizar la actividad docente en la que se da tratamiento a los contenidos matemáticos es necesario
interiorizar los fundamentos esenciales del enfoque Histórico Cultural de Vigotsky, L. S. (1982), teniendo
presente su idea de mediación.
Esta expresa la relación del estudiante con su contexto como interacción dialéctica en la cual se produce una
mutua transformación mediada por los instrumentos socioculturales en un contexto histórico determinado. Para
Vigotsky, A. (1982) existen dos formas de mediación: la influencia del contexto socio histórico (los adultos,
compañeros, actividades organizadas) y los instrumentos socioculturales que utiliza el sujeto (herramientas y
signos).
En las últimas décadas se profundiza en las formas de mediación, y se plantea que son: la mediación social, la
mediación instrumental y la mediación anatómico-fisiológica, referidas por Escalona, M. (2007). Además,
señala que la mediación didáctica es presentada en un plano didáctico de los recursos informáticos como “…el
diseño de situaciones educativas donde el estudiante actúe, participe, construya, descubra y redescubra el
conocimiento mediante su interacción con los recursos informáticos, de modo que se favorezca su aprendizaje
Luis Zaldivar Henriquez
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y desarrolle un pensamiento crítico y creativo a través del trabajo tanto individual como en colectivo”. Escalona,
M. (2007, p. 78).
Esta mediación didáctica descrita relaciona la participación de los recursos informáticos en las situaciones
educativas donde participa el estudiante. En esta definición quedan sin atender las influencias que se
establecen entre los agentes y agencias que participan en el proceso, en función de lograr un objetivo
determinado en la enseñanza-aprendizaje de los conceptos matemáticos, donde la fijación es determinante.
Para lograr, desde la didáctica de la Matemática, una correcta fijación de conceptos es necesario que en el
diseño, planificación y ejecución de las actividades, esté presente la mediación de herramientas y signos, pues
para reflejarse en la memoria del estudiante ese mundo de objetos y fenómenos es indispensable una relación
entre pensamiento y el contexto del que se reciben las influencias, por medio de procedimientos lógicos “…en
el plano mental y es a través de ellos que el individuo capta, interioriza, interpreta, relaciona, le otorga
significancia a la información que proviene del exterior, a partir del cúmulo de experiencias previas adquiridas”
Vigotsky, L. S. (1985, p.215).
El proceso de fijación de conceptos matemáticos está indisolublemente ligado a la participación activa de
estudiantes, familia y comunidad, bajo una dirección planificada del docente que propicia la interacción
socializadora de estos agentes para la formación de la personalidad del estudiante. Con esta interacción los
agentes involucrados en el proceso se apropian de conocimientos, habilidades, capacidades y se crean
valores, en la comunicación con los otros. Este proceso de socialización, que favorece su formación, "es la
actividad de asimilación de un proceso especialmente organizado con ese fin, la enseñanza." Talízina, N.
(1988, p.15).
El espacio de interacción entre estos agentes transcurre en los Joven Club de Computación, las redes sociales
y académicas de Internet, la biblioteca escolar, el entorno familiar y comunitario, conocidos como agencias
socializadoras. Según Gamboa, M. (2007) con estas interacciones dirigidas a socializar el concepto aprendido,
Luis Zaldivar Henriquez
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se genera un desarrollo humano en ese estudiante y la formación de su personalidad desde un contexto
específico.
El docente tiene que conocer el desarrollo y los resultados de las interacciones en los diferentes contextos en
que participa el estudiante, las influencias de los contextos en su aprendizaje para lo cual se apoya en los
diagnósticos, tratados desde la pedagogía por autores como Zilberstein, J. (1998); Reyes, J. I. (2001); Cortina,
V. (2005); Fonseca, J. J. (2010)los que investigaron sobre la concepción del diagnóstico pedagógico integral,
donde coinciden en diagnosticar dificultades y potencialidades del estudiante, el grupo, la familia y la
comunidad; sin embargo, al profundizar en su concepción quedan sin atender relaciones en la integración e
interacción que se dan en la realidad subjetiva de estos contextos.
Estas relaciones se determinan con un diagnóstico. Fonseca, J. J. (2010) explica que es un proceso con
carácter instrumental, científico e integral, que permite realizar un estudio previo y sistemático, a través de la
recopilación de información, del estado real y potencial del sujeto y de todos aquellos elementos que puedan
influir de manera directa o indirecta en los resultados que aspiramos, teniendo una dinámica de evaluación-
intervención-evaluación, para poder transformar, fortalecer, formar, desarrollar y educar desde un estado inicial
hacia algo potencial, atendiendo la diversidad y apoyándose en diversos métodos y técnicas.
El autor concuerda con esta explicación al reconocer lo sistemático del diagnóstico, se entiende que las
acciones transformadoras deben nutrirse del contexto, de la realidad objetiva y la realidad relacional en un
diagnóstico pedagógico integral.
Con un diagnóstico certero se conocen las peculiaridades específicas del aprendizaje, y así establecer su
organización desde la didáctica con el objetivo de que los estudiantes dominen los métodos de la actividad
dentro de su proceso de desarrollo. El objeto de la actividad de la enseñanza es la propia actividad del
estudiante, donde el docente la organiza y la dirige dentro del contenido predeterminado, y los estudiantes
ejecutan acciones para lograr el resultado, incitados por uno u otro motivo.
Luis Zaldivar Henriquez
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El proceso de enseñanza-aprendizaje es la base fundamental para que el ser social se apropie de toda la
cultura que le antecede, el cual se desarrolla en la escuela con la participación de la familia y la comunidad. El
mismo “… es uno solo, con carácter dialéctico e integral, que conlleva la participación activa tanto del profesor
como de los adolescentes, e implica a su vez precisar los objetivos de enseñanza que los adolescentes
asumen como sus objetivos de aprendizaje, para llegar a los diferentes niveles de esencia del contenido (…)
con la utilización de formas de organización, métodos y medios de enseñanza que posibilitan la adquisición de
esos saberes que el profesor y los adolescentes deben evaluar sistemáticamente desde una concepción de
proceso y resultado”. Reyes, J. I. (2012, p. 20).
En las actividades que desarrolla el estudiante para fijar un concepto, bajo la dirección del docente, es
pertinente su protagonismo, no solo en la individualidad, sino en el colectivo, por esta razón con una
enseñanza desarrolladora, se propicia un aprendizaje desarrollador entendido como “…el proceso dialéctico de
apropiación de los contenidos y las formas de conocer, hacer, convivir y ser construidos en la experiencia
socio-histórica, en el cual se producen, como resultado de la actividad del individuo y de la interacción con
otras personas, cambios relativamente duraderos y generalizables, que le permitan adaptarse a la realidad,
transformarla y crecer como personalidad.” Castellanos, D. (2002, p.24).
Por la esencia del proceso que se investiga se asume la definición de aprendizaje desarrollador, expresada
como “...aquel que garantiza en el individuo la apropiación activa y creadora de la cultura, propiciando el
desarrollo de su auto-perfeccionamiento constante, de su autonomía y autodeterminación, en íntima conexión
con los necesarios procesos de socialización, compromiso y responsabilidad social”. Castellanos, D. (2002, p.
33).
Autores como Danilov, M. A. y Skatkin M. N. (1978); Klingberg, L. (1979); Labarrere, G. (1987) han expresado
las relaciones entre categorías y funciones didácticas que se dan para una enseñanza-aprendizaje que
contribuye a formar las cualidades de la personalidad del estudiante, que en la Educación Preuniversitaria se
Luis Zaldivar Henriquez
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encuentra preparándose para la continuidad de estudios superiores; en la planificación de la clase
desarrolladora por el docente “…se establece la relación entre el contexto social o mundo de la vida y el
proceso de enseñanza-aprendizaje o mundo de la escuela”, Álvarez, C. (1996, p. 34).
Otros aspectos esenciales para el desarrollo exitoso del proceso didáctico de la fijación de conceptos
matemáticos se encuentran en la contextualización didáctica de la Matemática, según López, E. y Montoya, J.
(2008). En correspondencia con las relaciones que deben existir entre la ciencia y el contexto en sí, se debe
tener en cuenta la armonía que existe entre la interacción y la integración entre los objetos, fenómenos y
procesos de la Matemática y el entorno, y las relaciones y nexos que se manifiestan en el proceso desde la
esencia del contenido del concepto, con la naturaleza, la sociedad y el pensamiento del estudiante. Estos
aspectos permiten determinar que el proceso didáctico de fijación necesita un cambio en la forma de
desarrollarse, en correspondencia con el desarrollo tecnológico existente para lograr una actualización
didáctica.
Este proceso de contextualización de la didáctica de la Matemática es referido “…como la acción y el efecto de
contextualizar, es decir, transformar a nuevas formas para poner en un orden, unión de las partes de un todo
en aras de formar la contextura donde se enlazan y entretejen sus elementos, es el proceso donde se
establece la disposición entre el todo y las partes en su determinado contexto, a partir del orden de
composición y unión de elementos desde la integración y la interacción para conformar un contenido
matemático”. López, E. y Montoya, J. (2008, p. 7). Entonces no debe verse solo a partir de los contenidos, sino
también del resto de los componentes, lo que potencia una didáctica desarrolladora que contribuye a una
educación para la vida.
Para un desarrollo exitoso de la clase corresponde al docente determinar, según la contextualización del
proceso, cómo diseñar, organizar, ejecutar y controlar el sistema de actividades desarrolladoras que garanticen
una relación científica entre estas y el sistema de acciones didácticas del docente.
Luis Zaldivar Henriquez
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De las categorías didácticas que intervienen en este proceso hay que destacar que los métodos desempeñan
un rol determinante, los que a juicio de varios autores tienen diversas clasificaciones de acuerdo con sus
funciones. Autores como Álvarez, C. (1992); Castellanos, D. y otros (2002) refieren que según la implicación
del estudiante en el proceso de enseñanza-aprendizaje pueden ser expositivos, de elaboración conjunta y de
trabajo independiente y según procedan con el contenido se clasifican en reproductivos, productivos y
creativos. Son expresadas otras clasificaciones, como la referida al estímulo de la actividad productiva que
genera la enseñanza problémica y enseñanza heurística.
En la actualidad no es posible comprender la esencia de los métodos de enseñanza-aprendizaje sin
considerar el papel activo del estudiante en el proceso, y su independencia cognoscitiva. Solo así se
enriquecen las relaciones estudiante-docente, y se contribuye al logro de un mayor protagonismo del
estudiante.
Los métodos productivos permiten que el docente organice las situaciones de aprendizaje, definidas como
“…el espacio de interacción en el que se organizan las condiciones necesarias y suficientes para el desarrollo
de procesos de apropiación y dominio de contenidos de enseñanza y aprendizaje.” Castellanos, D. (2002).
Esas relaciones se enriquecen cuando existe un desarrollo en la apropiación de conocimientos, al crearse las
condiciones favorables para propiciar que los estudiantes realicen acciones de aprendizaje reflexivas,
colaborativas y socializadoras.
En este sentido se desatacan las investigaciones sobre los métodos heurísticos desarrollados a partir de las
ideas de Polya, Y. (1976); Jungk, W. (1979); Zillmer, W. (1981); y sistematizados por Ballester, S. (1992),
Torres, P. (1993), para el desarrollo de la enseñanza de la Matemática. El Programa Heurístico General es
enriquecido por Müller, H. (1986) y Torres, P. (2000) donde se describen los procedimientos heurísticos (en
términos de principios, reglas y estrategias heurísticas). Se destacan sus cualidades para movilizar el
pensamiento del estudiante pues “…constituyen recursos mentales de búsqueda que permiten orientarse y
Luis Zaldivar Henriquez
32
obtener la vía de solución durante el proceso de resolución de un problema matemático”. Torres, P. (2000,
p.14)
Es esencial la planificación de procedimientos didácticos para la ejecución de los métodos. Mientras el método
está directamente relacionado con el objetivo, el procedimiento lo hace con las condiciones en que se
desarrolla el proceso. El método está conformado por procedimientos, donde los mismos dependen de la
intención a alcanzar y los procedimientos del contexto en que se desarrollan.
Otra categoría que se ha desarrollado con los avances de la ciencia y la técnica es los medios con los que se
enseña y aprende. Estos constituyen componentes del proceso en estrecha relación con los métodos y el
contenido, es importante considerar esta triada como una de las relaciones importante en el proceso didáctico.
Los medios de enseñanza-aprendizaje se seleccionan teniendo en cuenta las exigencias de los objetivos, las
características del contenido, de los métodos y procedimientos metodológicos. “Los medios de enseñanza
siempre están “unidos con el contenido”, (…) influyen específicamente sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje. Su función está determinada por el desarrollo social, el objetivo formulado y el contenido…”.
Klingberg, L. (1979, p. 142).
Ginoris, O. (2003) los caracteriza como medios para instruir, educar y desarrollar en dependencia del contexto
histórico-social en que se desenvuelve el proceso, y expresa que son “…elementos esenciales como fuentes
de los conocimientos, recursos para el trabajo de los alumnos y en esta actividad se presentan múltiples
posibilidades de formar y desarrollar habilidades y hábitos, experiencias de la actividad creadora y así propiciar
las cuatro condiciones didácticas (cognitiva, volitiva, afectiva y conductual) de la educación en valores. Los
medios de enseñanza son soporte material del proceso de enseñanza-aprendizaje, pero su papel más
importante está en recursos materiales con los cuales trabajan los alumnos para lograr el aprendizaje
desarrollador”. Ginoris, O. (2003, p.34).
Otra de las categorías didácticas lo constituyen las formas de organización que como componente integrador
Luis Zaldivar Henriquez
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del proceso de enseñanza-aprendizaje reflejan las relaciones entre los estudiantes, su grupo y el docente, en
la dimensión espacial y temporal del proceso. Estas constituyen la categoría en que se materializan todos los
componentes esenciales del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Castellanos, D. (2002);
Addine, F. (2004).
Asociado a la planificación de la actividad docente, se tienen en cuenta otros elementos “…necesarios para los
apoyos, ayudas, estrategias, vías, metodologías, acciones didácticas y recursos para la enseñanza-
aprendizaje, lo que puede involucrar aspectos tan diversos como la esfera motivacional-afectiva, el manejo de
los procesos de atención, los recursos de memorización analítica, la inducción del aprendizaje y los
procedimientos para el manejo eficiente de la información”. Marqués, P. (2000, p. 6).
En la concepción de la actividad es indispensable el uso de esos recursos didácticos que representan
mediadores para encauzar la docencia productiva, “…son elementos necesarios para la interacción
comunicativa y poder atender la diversidad de estudiantes con el fin de elevar la calidad y eficiencia de las
acciones pedagógicas”. Fonseca, G. M. (2006). Es una necesidad que estos objetos mediadores estén en
correspondencia con el desarrollo tecnológico actual.
Según Marqués, P. (2000) los recursos didácticos se clasifican en cuatro grandes áreas de sustento teórico,
metodológico y operativo, que son el soporte interactivo, la intención comunicativa, su fuente de obtención y su
uso en el proceso de enseñanza-aprendizaje, que a su vez incluyen diversos subgrupos; estas áreas de
sustento no se excluyen mutuamente. De esta forma se puede inferir que representan mediadores del proceso.
Estos recursos didácticos han existido por varias generaciones y por consiguiente han evolucionado con el
avance científico y el desarrollo alcanzado por la ciencia y la técnica. Retomando estudios hechos por autores
como Escalona, M. (2007); Avila, Y de la C. (2011); García, R. y otros (2012) se reconoce los mediadores
didácticos como componentes auxiliares del proceso de enseñanza, conjuntamente con las formas, que sirven
de espacio y sustento del proceso, en particular del método. Por ello, se entiende que los recursos que sirven
Luis Zaldivar Henriquez
34
de sustento al proceso de formación de los estudiantes se identifican con la categoría de mediadores
didácticos. Una variedad de instrumentos y objetos que muchas veces se identifican solamente con equipos
sofisticados, pero que también los constituyen la tiza, el borrador y la pizarra.
Los mediadores didácticos, desde su aparición como medios de enseñanza-aprendizaje, se han agrupado en
generaciones que van desde los materiales docentes que aparecieron inicialmente para sostener el contenido
(láminas, figuras y objetos), hasta los medios audiovisuales. En esa categorización las TIC representan la
cuarta generación de mediadores didácticos que son cualitativamente superiores, pero solo en lo técnico. Entre
estas se encuentra la computadora, la que aporta una cualidad nueva: la interactividad. Esta cualidad la
diferencia de todos los antes empleados como mediadores.
Las TIC y la enseñanza-aprendizaje de la Matemática
En los eventos y congresos internacionales se plantea, desde hace varios años, lo referido a la incorporación
de las TIC a la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, y el aprovechamiento de sus cualidades como
medios informáticos para la "navegación", por la información y la ampliación de la comunicación que se
establece entre las personas o instituciones distantes. Es la respuesta a las limitaciones que impone el espacio
escolar.
Autores como Álvarez, C. (1996); Blanco, A. (2001); Barreto, I. (2009); Ballester, S. (2013); Lima, S. (2014),
han investigado sobre las relaciones que generan los procesos de enseñanza-aprendizaje con el uso de las
TIC. Se expresa que el estudiante se apropia de la cultura matemática en un proceso didáctico de interacción
social entre los agentes y agencias de la realidad objetiva, pero se necesita también una realidad relacional
entre todos estos agentes involucrados, la que aún queda sin profundizar.
La enseñanza-aprendizaje de la Matemática se nutre de las ventajas de las TIC como novedoso medio de
enseñanza-aprendizaje, con su vertiginoso desarrollo y cualidades para la motivación. A nivel internacional se
ha potenciado la creación de diferentes herramientas y programas con las TIC (programas televisivos, video
Luis Zaldivar Henriquez
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clases, asistentes matemáticos, tutoriales, simuladores, entornos virtuales de enseñanza-aprendizaje, sitios
interactivos) que soportan los contenidos. Marqués, P. (2000).
Autores como González, M. A. y Ayala, L. (2005); Lima, S. (2005); Avila, Y. de la C. (2010, 2011) investigan y
divulgan resultados sobre las TIC como medios de enseñanza. En sus investigaciones aún les falta por
establecer la relación entre las categorías de la didáctica y estos mediadores en un proceso organizado desde
una didáctica desarrolladora.
Las TIC ofrecen uno de los más importantes mediadores para la enseñanza-aprendizaje de conceptos en la
Educación Preuniversitaria. Cuando el estudiante hace uso de estos, se le facilitan procedimientos lógicos para
hacer conjeturas, generar ideas, experimentar y poder nutrirse de relaciones sociales virtuales interactivas en
grupos con un fin común. Estos procedimientos se potencian en la medida en que se hace uso de las TIC en el
proceso didáctico.
En investigaciones desarrolladas por Arráez, F. (2003); Soto, M. A. (2005); Estrada, V. (2010); Avila, Y. de la C.
y otros (2013); Da Silva, A. (2014) se ha destacado las potencialidades de las TIC para llegar a la esencia del
contenido. Es necesario hacer una gestión del conocimiento, que es “…el conjunto de procesos y herramientas
que permiten la integración sistémica de acciones para el aprovechamiento y utilización del conocimiento, la
información y la experiencia acumulada”. Soto, M. A. (2005, p. 22).
Las bondades pedagógicas de la educación virtual y el diseño de entornos virtuales de enseñanza-
aprendizaje, a partir de la interactividad son reconocidos por investigadores como Fonseca, J. (2003); Cabero,
J. (2004); García, O. (2010), sustento que comparte el autor, pues la tendencia internacional está encaminada
a una comunicación y experimentación desde la web.
Al aprender a aprender, los estudiantes, mediante procesos dirigidos por el docente, reciben influencias de
otros agentes y agencias que interactúan con las TIC, como partícipes informales a tener en cuenta para
planificar los procesos docentes. Las investigaciones antes citadas no profundizan en la importancia de la
Luis Zaldivar Henriquez
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participación de estos elementos mediadores. Sin embargo, en las condiciones actuales de la realidad
educativa cubana, no se debe dejar de atender su participación en el proceso de enseñanza-aprendizaje, lo
que constituye uno de los componentes de esta investigación.
Autores como Ballester, S. (2013); Gisbert, M. (2013) muestran en sus investigaciones la efectividad que se
adquiere en el aprendizaje cuando se hace uso de herramientas como Exe-Learning, HotPotatoes, Moodle,
Cmaptools. Aunque muestran las posibilidades de las TIC en el proceso docente queda sin expresar su
concreción en las relaciones didácticas que se organizan para desarrollar una docencia eficiente.
Con las TIC se han perfeccionado las aplicaciones destinadas a representar los contenidos matemáticos,
conocidas como asistentes matemáticos, que les permiten a estudiantes y docentes la virtualidad de los
procesos. Estos, con sus cualidades, permiten el tratamiento de los contenidos sobre los conceptos con un
enfoque dinámico. Sus cualidades y potencialidades se utilizan desde las perspectivas de medios de
enseñanza y herramienta de trabajo en los procesos educativos. No obstante, es necesario verlos
acompañando al proceso didáctico con fundamentos que permitan su uso mediacional y que propicien su
consolidación y sistematización en la práctica educativa. Ballester, S. (2013).
El proceso didáctico de la fijación de conceptos necesita potenciar el desarrollo de los procedimientos lógicos
asociados a los conceptos. Se proyectan objetivos y contenidos con niveles de actualidad necesarios, junto a
los demás componentes, que en una gestión llega a esos contenidos, pero es imperceptible la huella que
queda; es débil el trabajo con los datos que están contextualizados en las TIC; sin embargo la información que
se obtiene no llega a convertirse en conocimiento duradero en el estudiante. Las metodologías, modelos o
alternativas propuestos no profundizan suficientemente en la esencia de las cualidades de las TIC para que en
el proceso didáctico tengan un determinado sentido, a partir de la transposición didáctica que se adquiere.
En la última década se implementan, en Cuba, las colecciones de hiperentorno de aprendizaje, como “El
navegante” y “Futuro”, que contienen software educativos para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática
Luis Zaldivar Henriquez
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(Elementos Matemáticos, Eureka, Fismat, Sophía). En ellos se encuentran los contenidos matemáticos de
Secundaria Básica y Preuniversitario, con un carácter curricular extensivo, esto significa que el software
constituye un soporte informático pleno para el proceso docente. Sin embargo, en las orientaciones
metodológicas no se expresa su uso desde una mediación didáctica contextualizada de manera que el
estudiante sea capaz de ver el contenido aplicado en su entorno.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, la utilización de los Sistemas de Aplicaciones
Informáticas que contienen herramientas para el tratamiento de contenidos matemáticos es insuficiente.
Investigaciones desarrolladas por Escalona, M. (2007); Rojas, O. (2009); Lima, S. (2010), Portilla, Y. (2012) y
Hernández, C. M. (2013); Avila, Y. de la C. (2010, 2011); Coloma, O. (2015) aportan elementos para elevar la
calidad del aprendizaje al integrar las TIC a la clase. No obstante, los trabajos de los autores mencionados
inducen la necesidad de la coherencia entre las relaciones didácticas para el diseño de la clase con las TIC, sin
expresar consenso de cómo hacerlo.
Otros autores como Rodríguez, J. B. (2003); Crespo, E. (2007) y La O, W. (2011) han enfatizado en sus
aportes el tratamiento de contenidos específicos o propuesta metodológica para el uso de las TIC como
medios de enseñanza y aprendizaje. Estos contemplan su participación como medios de enseñanza,
quedando sin atenderse la influencia que ejercen sobre las demás categorías, las que hacen posible que se
promueva que el estudiante reflexione, experimente, socialice y establezca conjeturas al enfrentarse a su
aprendizaje.
Es necesario interpretar la definición dada por algunos autores como Soto, M. A. (2005); Lage, A. (2005); Da
Silva, A. (2014); Avila, Y. de la C. y otros (2014); Rodríguez, I. (2015), respecto a las TIC para la gestión de
conocimientos. Estos la consideran como la interacción entre datos, información y el conocimiento para
propiciar el desarrollo de una cultura específica; sin embargo, no puede perderse de vista la inteligencia
colectiva en los procesos de gestión de la comunicación, a partir de la idea de que la actividad que se
Luis Zaldivar Henriquez
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desarrolla en el aula es tan importante como la comunicación en ella para estimular la exigencia de colaborar
con el aprendizaje de los demás.
Una categoría que se usa al conceptualizar las TIC en la Didáctica es la interactividad, considerada un término
al que se le asigna un variado repertorio de significados, asociados a las relaciones que proporcionan estos
medios a los estudiantes y docentes. Autores como Sánchez, D. e Ynerarity, O. (2009) expresan que este
término abarca una variedad de TIC en su relación con las personas.
Otros investigadores en Didáctica de la Matemática como Chevallard, Y. (1997/2007) y Bekerman, A. (2013),
han conceptualizado que esa apropiación del conocimiento ocurre mediante una transposición didáctica en un
proceso didáctico. Con estas conceptualizaciones sistematizadas se presenta la fundamentación del proceso
didáctico de la fijación de conceptos desde las Ciencias de la Educación.
La fijación de conceptos en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática de la Educación Preuniversitaria
En la Didáctica de la Matemática que se desarrolla en Cuba las formas de fijación de conceptos se ejecutan
mediante ejercicios y problemas con diferentes niveles de complejidad. Desde las orientaciones de
especialistas alemanes y enriquecidas por autores cubanos se plantea que la fijación del concepto se
desarrolla mediante “la ejercitación, profundización, aplicación, sistematización y repaso”. Jungk, W. (1979; p.
108). En la práctica educativa esas actividades se gradúan atendiendo a los diferentes niveles de asimilación
que poseen los estudiantes.
Otros autores como Ballester, S. (1992) proponen una estructuración metodológica para la fijación, de gran
importancia en la asignatura Matemática. Primero, por el carácter sistemático de la materia y segundo, por la
estructura de toda la formación matemática en la escuela, a partir de que cada nuevo complejo de contenido
se apoya en otros complejos anteriores.
Arteaga, E. (2001); Cruz, M. (2002); Amat, M.(2009) en sus investigaciones sobre la enseñanza-aprendizaje de
la Matemática ofrecen soluciones para el desarrollo de ejercicios y problemas matemáticos, con tareas
Luis Zaldivar Henriquez
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creativas, estrategias metacognitivas y el desarrollo del pensamiento relacional. Otros como, Rebollar, A.
(2009); Carmenate, O. (2011) y Bueno, S. (2012), proponen desarrollar el proceso mediante la resolución de
problemas, y uso de creencias que aportan soluciones teóricas a las causas que generan las insuficiencias del
aprendizaje de la Matemática, pero quedan fisuras que no permiten obtener los resultados deseados, al asumir
que la enseñanza-aprendizaje de esta ciencia se basa en la consolidación de conocimientos conceptuales. Por
otra parte, se deja sin atender la necesidad del empleo de recursos heurísticos para apropiarse de ese
conocimiento, representado por los conceptos matemáticos, y aplicarlos en la solución de problemas.
Otros investigadores como Proenza, Y. (2002); Rodríguez, M. (2011), presentan aportes para estructurar el
tratamiento de los conceptos desde las líneas directrices de la Matemática, como situación típica de
enseñanza y relaciones lógicas de significado entre ellos. A pesar de representar aportes científicos para el
tratamiento de conceptos en su formación, no expresan relaciones que lleven a los docentes a continuar con el
trabajo en la etapa fundamental, que es la fijación del concepto. Esto manifiesta una carencia que justifica la
necesidad de modelar la fijación de conceptos matemáticos.
En este sentido autores como Ron, J. L. (2007); Rebollar, A. (2009); Amat, M. (2009); Carmenate, O. (2011);
Gisbert, E. M. (2012), investigaron la importancia del aprendizaje de la Matemática basado en problemas y en
el uso de la heurística general para su enseñanza. Esta cuestión es favorable si se potencian actividades de
aprendizajes que promuevan la reflexión, y no se quede en esos ejercicios y problemas matemáticos
reiterativos que no lleva al desarrollo del pensamiento y la mente, ni a formar cualidades positivas en la
personalidad del estudiante.
Para Jungk, W. (1979) los conceptos son una categoría especial en la enseñanza de la Matemática, pues
constituyen la forma fundamental con que opera el pensamiento matemático. Estos representan la esencia
para conocer los objetos, las relaciones y operaciones matemáticas que sustentan todo el contenido del
currículo de esta asignatura en la Educación Preuniversitaria.
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El proceso de elaboración de conceptos necesita una estructuración desde la Didáctica para darles tratamiento
a los procedimientos lógicos asociados a ellos, para que el estudiante asimile correctamente su contenido al
ser capaz de identificar, ejemplificar, limitar o generalizar, deducir, comparar, clasificar, definir, reformular o
negar un concepto.
Autores como Portela, R. (2004); Escalona, M. (2007); Rodríguez, M. (2011); Álvarez, M. (2011) propusieron
soluciones desde sus investigaciones que garantizan la comprensión de relaciones matemáticas esenciales en
el tratamiento del concepto, que se sistematizan en este nivel. Se precisa que el estudiante desarrolle la
capacidad de aplicar lo aprendido de forma segura y creativa. Se plantea desarrollar los procedimientos lógicos
del pensamiento y la transmisión de importantes nociones científicas para comprender el mundo. Es necesario
que estas relaciones sean consecuentes con los niveles reales y potenciales de desarrollo de los estudiantes
(coherencia con el contexto) para lograr la solidez y durabilidad de estos conceptos matemáticos.
En las investigaciones de Proeza, Y. (2001); Ballester, S. (2005, 2009); Crespo, E. (2007); Álvarez, M. (2011);
La O, W. (2011); Gisbert, E. M. (2012) se expresan fundamentos para el tratamiento de los contenidos
matemáticos desde concepciones novedosas y en relación con bases teóricas para la enseñanza-aprendizaje
desarrolladora. En las mismas se plantea que el estudiante aprenda a aprender, haga uso de los recursos
didácticos necesarios para movilizar su pensamiento. Consecuentemente con estas ideas también se observa
que dejan sin atender las influencias que recibe el estudiante de su contexto, en función de su aprendizaje.
El proceso de fijación de conceptos, es tratado en la Metodología de la Enseñanza de la Matemática en las
situaciones típicas que se trabajan para desarrollar las líneas directrices de esta asignatura. Su tratamiento se
dirige a organizar el proceso para que el estudiante desarrolle las fases o acciones de fijación reconocidas
como “…identificar el concepto, realizar el concepto, y aplicar el concepto”, que sustentan operaciones lógicas
necesarias para promover su desarrollo intelectual. Ballester, S. (1992, p. 304). Estas no se organizan
coherentemente para darles un correcto tratamiento a los procedimientos lógicos asociados a los conceptos,
Luis Zaldivar Henriquez
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durante todo el proceso de elaboración de los mismos, pues falta coherencia entre lo práctico de la
sistematización de conocimientos y lo lógico de los procesos del pensamiento.
La fijación de conceptos se desarrolla mediante procesos que están vinculados entre sí, como es el caso de la
actividad y la comunicación. En estos los estudiantes deben comprobar si un objeto o una situación representa
o no un concepto, utilizando el sistema de características del concepto; considerar o elaborar ejemplos y contra
ejemplos, a partir de la imagen mental que ya se han formado, señalar casos límites y casos especiales,
buscar otras formulaciones o apreciar otras formulaciones para su definición, formular la negación de la
definición, en una etapa determinada por el docente, donde el estudiante debe subordinar el concepto en un
sistema de conceptos conocidos, destacando relaciones entre ellos (concepto superior, subconcepto, concepto
colateral).
Autores como Jungk, W. (1979); Zillmer, W. (1981); Ballester, P. y otros. (1992) manifiestan que la fijación de
conceptos está representada como la etapa donde se sistematiza lo aprendido en las etapas precedentes.
Expresan que este proceso depende de las consideraciones y ejercicios preparatorios para la formación del
concepto que debe ser estructurado como un sistema, donde los resultados se encuentran relacionados con el
éxito del proceso que se viene desarrollando (fig. 1.1).
En Metodología de la Enseñanza de la Matemática se consideran formas de fijación: la ejercitación,
profundización, sistematización, aplicación y repaso. El autor de esta investigación entiende que se está
Fig.1.1 Proceso total de elaboración de conceptos
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separando el repaso y la aplicación como formas, cuestión que afecta la coherencia del proceso, pues en la
práctica educativa se necesita que ambas estén en cada una de las tres primeras formas, para no
desorganizar un proceso lógico que debe estar concatenado al desarrollar procedimientos lógicos asociados a
los conceptos. Jungk, W. (1979); Ballester, S. y otros. (1992).
La ejercitación es la ejecución de una actividad en forma repetida y tiene como objetivo fundamental crear
habilidades y hábitos en la actividad, para que los estudiantes fijen y automaticen el procedimiento a seguir. La
profundización consiste en tratar de adquirir conocimientos más profundos sobre un contenido dado, esta
forma de trabajo con la fijación es la que más similitud tiene con la elaboración de una nueva materia. Los
problemas planteados no deben resultar demasiado difíciles para que no conspiren contra el interés de los
estudiantes, y en la sistematización se conciben diferentes contenidos como componentes de un sistema de
conocimientos.
Aquí se buscan las propiedades comunes a varios contenidos y se integran en conceptos más amplios.
Cuestión que debe ser atendida en una organización de los nodos cognitivos. Álvarez, M. (2005). Estos
contenidos se comparan para encontrar analogías y diferencias con el propósito de hacer generalizaciones al
relacionarse en los nodos cognitivos.
En la sistematización se desarrollan importantes operaciones lógicas, tales como la comparación, la
generalización, el análisis y la síntesis. Al ejecutarse correctamente permite ordenar y estructurar los
conocimientos en una forma lógica. Una buena sistematización contribuye a la fijación de los conocimientos.
En la aplicación el objetivo fundamental es preparar a los estudiantes para aplicar los conceptos y contenidos
matemáticos en situaciones de la vida práctica, o relacionados con otras asignaturas. La resolución de
problemas es una tarea típica dentro de esta actividad. De gran importancia resulta desarrollar habilidades en
los estudiantes para la aplicación de los conceptos, para ver la significatividad que tienen estos en su
formación integral.
Luis Zaldivar Henriquez
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Con estos fundamentos se evidencian potencialidades para desarrollar un proceso eficiente, según lo
demanda la sociedad actual, pero existen carencias teóricas que no permiten la actualización didáctica de las
formas de enseñar y aprender. Es necesario conocer el estado actual en que se encuentra el proceso de
fijación de conceptos, para ello se aplican diferentes instrumentos de investigación.
1.3 Estado actual de la fijación de conceptos matemáticos, en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la
Matemática en la Educación Preuniversitaria
El cumplimiento de una de las funciones didácticas para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la
Educación Preuniversitaria es la fijación de los conocimientos que se han formado en los estudiantes, en este
epígrafe se hace una caracterización de su estado real, a partir de una muestra seleccionada, a la cual le
fueron aplicados los instrumentos diseñados para este fin.
Para el presente estudio fue escogida la población de estudiantes de los IPU del municipio cabecera de Las
Tunas, provincia oriental de Cuba. Al utilizar las herramientas de la Estadística Matemática, con un muestreo
irrestricto aleatorio (MIA) se determinó un tamaño de muestra máximo para un nivel de significación del 95% y
un error de muestreo de 0,06. Así, de la población de 1343 estudiantes se seleccionaron 223.
El tipo de muestreo empleado fue el combinado. El mismo estuvo conformado por los métodos de muestreo
estratificado y por conglomerados. Se determinó un estrato para cada uno de los dos IPU de la población
(“Francisco Muñoz Rubalcava” y “Pelayo Paneque”) y se establecieron estratos para cada uno de los grados
de cada institución (10mo, 11no, 12mo), con distribución proporcional (Tabla 1). La determinación de la cantidad
de estudiantes en cada grado se hizo seleccionando un grupo que lo representara por escuela, considerándolo
uno de los conglomerados que lo componen. De esta manera se garantizó que la muestra tuviera calidad y
tamaño apropiados para hacer mínimos los errores de muestreo y que fuera representativa para el estudio que
se hizo.
Luis Zaldivar Henriquez
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Tabla 1: Distribución de la muestra seleccionada por cada uno de los estratos
IPU “Pelayo Paneque” IPU “Francisco Muñoz”
10mo 11no 12mo 10mo 11no 12mo Total PP Total FM Total Escuelas
Población 215 213 223 237 234 221 651 692 1343
Muestra 36 35 37 39 39 37 108 115 223
Frecuencia 0,17 0,16 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17
Variable, dimensiones e indicadores
Se delimitó como variable fundamental el proceso de fijación de conceptos matemáticos, teniendo en cuenta
que la enseñanza-aprendizaje de esta asignatura se basa fundamentalmente en los mismos. Se interpreta
como la etapa donde se consolida la elaboración de los conceptos, mediante fases de fijación que transitan por
las diferentes formas, y el estudiante desarrolla los procedimientos lógicos asociados para aprender los
contenidos conceptuales.
Para hacer una indagación sobre el comportamiento del estado de esta variable se determinan tres
dimensiones, a partir del objetivo propuesto para la caracterización:
Dimensión I. Efectividad de los conocimientos sobre conceptos matemáticos en los estudiantes de la
Educación Preuniversitaria.
Indicadores:
I -1 Nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a largo plazo.
I-2. Nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a corto plazo en las clases de fijación.
I -3. Nivel de independencia en la utilización de los conceptos matemáticos para desarrollar las actividades en
clases de fijación.
Dimensión II. Vías empleadas en la realización de las actividades para fijar los conceptos matemáticos por los
Luis Zaldivar Henriquez
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estudiantes.
II -4 Nivel de uso de estrategias de apoyo para desarrollar los procedimientos de solución de las actividades.
II -5. Nivel de participación de agencias y agentes mediadores.
II -6. Nivel de pertinencia del empleo de medios didácticos en correspondencia con el desarrollo tecnológico
existente.
Dimensión III. Disposición del estudiante para avanzar en el proceso de fijación de los conceptos matemáticos
en las clases del preuniversitario.
III -7. Nivel de interés por el estudiante para desarrollar las actividades de fijación de conceptos.
III -8. Nivel de satisfacción del estudiante por el estudio de los conceptos matemáticos.
III -9. Nivel de autovaloración del estudiante por los resultados obtenidos.
Para la caracterización en cada dimensión fueron evaluados los indicadores de acuerdo con los elementos que
permiten ubicarlos en cada nivel, en correspondencia con la escala ordinal determinada (Anexo 3). Las
categorías que se emplearon, en una gradación desde la excelencia hasta niveles inferiores fueron: Excelente
(E-4), Muy bien (MB-3), Bien (B-2), Regular (R-1) y Mal (M-0).
En correspondencia con esta indagación empírica se aplicaron diferentes instrumentos entre los que se
encuentran la consulta de documentos, productos del proceso pedagógico (Anexo 1), encuesta a los
estudiantes (Anexo 4), una prueba pedagógica (Anexo 5), y entrevista a los docentes de los tres grados
(Anexo 6), donde se consideró exponerlos a un contexto con las condiciones tecnológicas requeridas; se les
dio la libertad para realizar las actividades, en las cuales podían hacer uso de cualquier recurso que desearan,
hasta llegar a la conciliación de resultados una vez recogido el cuestionario; conjuntamente con este acto se
desarrolló una guía de observación de actividades.
Procedimiento seguido para el diagnóstico
Para el desarrollo de este proceso el investigador contó con el apoyo de los miembros del proyecto de
Luis Zaldivar Henriquez
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investigación “Didáctica de las Matemáticas”, del cual es miembro. También se involucraron en el mismo dos
docentes en formación y los profesores de cada grupo muestral. Para la entrada a las escuelas se desarrolló
un conversatorio en la reunión del proyecto sobre el objetivo de este diagnóstico y el compromiso de los
participantes para recoger y procesar la información.
El diagnóstico inicial partió del método de análisis documental, el cual se aplicó con el objetivo de poder
constatar las notas finales de Matemática del curso anterior pertenecientes a la muestra, y las de los dos
últimos trabajos de control. El objetivo central fue determinar, según los rangos de notas, en qué escala ordinal
se encuentra estructurado el rendimiento académico de la muestra (Anexo 5 a).
El método de encuesta permitió conocer la disposición de los estudiantes para avanzar en el proceso de
fijación de los conceptos matemáticos en las clases, y los procedimientos empleados para desarrollar las
actividades que permiten fijar los conceptos. Los indicadores seleccionados para el análisis de cada una de las
dimensiones, conjuntamente con los métodos e instrumentos utilizados para su estudio, conforman la matriz
para la indagación empírica (anexo 3 y 3a). En correspondencia con los indicadores de cada dimensión, se
estableció la escala valorativa y sus correspondientes categorías. La valoración de los resultados obtenidos en
la aplicación de los instrumentos utilizados para el diagnóstico revela las características más significativas del
aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
El proceso de fijación de conceptos matemáticos en este nivel se encuentra en un estado global evaluado con
la categoría de Regular. Al caracterizar este proceso desde lo cognitivo, procedimental y actitudinal se pudo
constatar que la efectividad de los conocimientos sobre conceptos matemáticos en los estudiantes se ve
afectada, al manifestarse que los estudiantes poseen un nivel de independencia regular en la utilización de los
conceptos matemáticos para desarrollar las actividades en clases de fijación (Anexo 7).
Esta afirmación se constató durante la observación al sistema de clases correspondiente a las formas de
fijación de conceptos, donde se manifestó que los estudiantes dependen de otros para avanzar en la actividad,
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o necesitan constantemente la explicación individual del profesor para desarrollar los ejercicios y problemas
matemáticos. Se evidencia que no conocen la esencia de las características del concepto para utilizarlo en los
ejercicios y problemas de la clase. Los resultados más bajos se muestran en las clases de sistematización,
aplicación y repaso.
Además, el nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a largo plazo es evaluado con la
categoría de Regular, a partir de que en las evaluaciones donde se comprueban conceptos en nodos
cognitivos, los resultados se encuentran en la categoría de Regular. Esto se constató en la consulta de los
registros horizontales académicos de cursos anteriores en comparación con los más cercanos en las
comprobaciones escritas y trabajos de controles parciales. Se manifestó que, en las pruebas pedagógicas
correspondientes al grado, los resultados son ligeramente superiores a la aplicada por el investigador, el que
evalúo la aplicación de conceptos necesarios en la Educación Preuniversitaria para enfrentarse a exámenes
de ingreso a la Educación Superior (Anexo 7).
Al profundizar en la esencia del proceso de enseñanza-aprendizaje, buscando las causas de estos resultados,
se evidenció que los procedimientos empleados en la realización de las actividades para fijar los conceptos
matemáticos por los estudiantes están en una categoría de Regular. Se manifestó en ellos poco uso de
estrategias de apoyo donde estuvo presente el empleo de medios didácticos. Los pocos que se emplean no
están en correspondencia con el desarrollo tecnológico existente en las instituciones escolares, lo que no les
permite apropiarse de procedimientos de solución de los ejercicios y actividades.
En la observación a clases y la encuesta a estudiantes se manifestó desconocimiento sobre el desarrollo de
los ejercicios, problemas y actividades con datos que se encuentran en la web 3.0. No hay orientaciones para
incluir el uso de internet en clases de fijación de conceptos. El acceso interactivo que proporciona la web 2.0,
accesible desde los Joven Club no es aprovechada en todas sus potencialidades para la socialización del
conocimiento adquirido en las clases, y tampoco los docentes lo planifican.
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Las actividades donde se hace uso de software, asistentes matemáticos o aplicaciones de los sistemas
operativos, carecen de dinamismo, imposibilitando la reflexión que experimenta el estudiante durante los
procesos de fijación de un concepto. Desde la planificación de las actividades se evidenció poco uso y
efectividad de las videoclases, videos didácticos e imágenes fijas, ya que su presencia en el aula fue
esporádica.
Al valorar los resultados sobre la disposición en los estudiantes para avanzar en el proceso de fijación de los
conceptos matemáticos en las clases, en correspondencia con sus actitudes ante el estudio se constató,
mediante la observación a clases de fijación de conceptos, la encuesta, y la revisión de libretas ,que el nivel de
interés por el estudiante durante el desarrollo de las actividades, tanto en clases como en actividades
extradocentes, se encuentra en los parámetros más bajos de la escala en la categoría de Regular, al decaer
bruscamente en las clases de sistematización, aplicación y repaso de conceptos y llegar a niveles muy bajos.
Estas consecuencias permiten la subjetividad del estudiante en su autovaloración cuando sus resultados los ve
fríamente en las notas que alcanza en un control parcial u otro tipo de evaluación. La familia se preocupó por
sus resultados y buscó apoyo en la comunidad, sin existir concatenación con el proceso que se desarrolla en
la escuela y que debe partir de una planificación.
Al consultar los resultados de promoción y compararlos con los resultados sobre los indicadores evaluados no
hay correspondencia con la realidad, lo que manifiesta que los estudiantes profundizan en su autopreparación
solo para enfrentarse a un examen y no para que ese conocimiento perdure en su formación integral.
Las insuficiencias en el aprendizaje de los conceptos evidenciadas por la caracterización a la muestra
seleccionada se debieron, entre otras causas a que:
Las principales vías que se utilizan para fijar conceptos matemáticos son el estudio del contenido por el
libro de texto, la orientación de ejercicios a partir de una guía, el repaso de los contenidos con dificultades y
actividades de estudio con el uso de la computación. Los estudiantes, por tanto, aplican el procedimiento
Luis Zaldivar Henriquez
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de apoyarse en los ejemplos resueltos en clases para obtener una idea de las soluciones de los ejercicios.
La mayoría de los estudiantes realizan los ejercicios y problemas si tienen patrones similares para guiarse,
mostrando poca creatividad para buscar un plan de solución en ejercicios en los que ya recibieron el
contenido de grados anteriores y no lo han repasado recientemente. Esto prueba que hay insuficiencias de
solidez y durabilidad del conocimiento sobre los conceptos.
La variedad de las tareas de aprendizaje, tanto docentes como extradocentes, no siempre están
elaboradas sobre la base de un diagnóstico personalizado, lo que afecta la contextualización didáctica del
proceso de fijación.
Existe escasa coherencia en el trabajo de profesores con repasadores, familiares entre otros agentes
involucrados en el proceso didáctico de la fijación de conceptos en este nivel educacional.
Es limitado aprovechamiento de las posibilidades existentes en las agencias mediadoras presentes en el
contexto de enseñanza-aprendizaje.
Hay limitaciones en los estudiantes para crear estrategias de aprendizajes en las que deban aplicar
procedimientos lógicos asociados a los conceptos, haciendo uso de las TIC; estas con posibilidades de
representar los contenidos conceptuales matemáticos de las actividades a realizar.
La poca sistematicidad con que los estudiantes se enfrentan a la formulación y resolución de problemas, de
modo que se contribuya a la fijación de conceptos y al desarrollo de estrategias cognitivas donde se
manifiesten sus cualidades y actitudes positivas hacia el aprendizaje.
La escasa utilización de métodos, procedimientos y técnicas que propicien el desarrollo de la
independencia cognoscitiva de los estudiantes y el análisis de las causas de sus dificultades, de manera
que puedan superarlas en un favorable clima afectivo.
La limitada utilización de la evaluación para valorar la efectividad de las estrategias de enseñanza-
aprendizaje y el desarrollo de acciones de autovaloración y autocontrol por parte de los estudiantes.
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Estas regularidades en el proceso didáctico que se manifiestan en los estudiantes durante la fijación de
conceptos permiten expresar que actualmente los contenidos conceptuales se encuentran actualizados y
contextualizados, pues están en correspondencia con los adelantos de la ciencia y la tecnología, sin embargo
la forma en que se desarrolla el proceso no tiene presente dicha actualización y contextualización para el
desarrollo social e individual.
Conclusiones del capítulo
Con las valoraciones y los resultados del estudio teórico, metodológico y práctico desarrollado en este capítulo
sobre la problemática que se investiga en esta tesis se puede concluir que:
En el estudio del proceso de elaboración de conceptos se reconoce la relación dialéctica que hay entre
ellos, la realidad objetiva y los procedimientos lógicos asociados que se manifiestan en la actividad y la
comunicación, entre la memoria y el pensamiento y la necesidad de ser atendidos desde un proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
El proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos está estrechamente relacionado con los
procesos de asimilación en la memoria del sujeto, ya que mediante una estructuración didáctica del
contenido se promueven acciones mentales que generan el desarrollo de la memoria mediante
procedimientos lógicos asociados a los conceptos.
La fijación de conceptos matemáticos que se desarrolla a través de las formas que establece la Didáctica
de la Matemática, se organiza mediante ejercicios, problemas y actividades en los que no se tienen en
cuenta los métodos, medios, procedimientos y vías con que venía desarrollándose el proceso de
elaboración de conceptos.
CAPÍTULO 2
MODELACIÓN DEL PROCESO DE FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS CON UNA MEDIACIÓN
DIDÁCTICA CONTEXTUALIZADA CON LAS TIC
Luis Zaldivar Henriquez
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CAPÍTULO 2. PROCESO DE FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS CON UNA MEDIACIÓN
DIDÁCTICA CONTEXTUALIZADA CON LAS TIC
Este capítulo contiene una modelación teórica del proceso didáctico de fijación de conceptos matemáticos en la
Educación Preuniversitaria como solución al problema científico que precisa la presencia de elementos teóricos,
contextuales e instrumentales. El modelo se aplica en la práctica educativa mediante una estrategia didáctica
que permite la actualización de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática en este campo, con una mediación
didáctica contextualizada con las TIC, lo que genera cambios en la estructura de los procedimientos para
encausar los métodos empleados.
2.1 Fundamentos del modelo didáctico de la fijación de conceptos Matemáticos en la Educación
Preuniversitaria con una mediación didáctica contextualizada con las TIC
El modelo que se presenta es didáctico, porque revela una vía para la dirección del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria. Se presenta una
modelación teórica del proceso en cuestión, que representa un camino para el mejoramiento de la calidad en la
formación del estudiante en la Educación Preuniversitaria.
El autor asume la definición de modelo didáctico expresada por Valle, A. (2007, p. 11), que refiere el mismo
como “… la representación de aquellas características esenciales del proceso de enseñanza-aprendizaje o de
alguno de sus componentes con el fin de lograr los objetivos previstos”, de la cual se reconoce la esencia de
representar las características de un proceso en un modelo para obtener el objetivo propuesto.
En el estudio teórico desarrollado en el capítulo anterior se identificaron características esenciales del proceso
didáctico de la fijación de conceptos matemáticos, que no se tienen en cuenta al organizarlo desde la Didáctica
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de la Matemática; al manifestarse internamente la contradicción en el modelo actuante se procede a una
modelación del mismo, con su actualización didáctica.
Al determinar referentes teóricos imprescindibles para la elaboración del modelo se reafirmó, desde la ciencia,
que toda parte del proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos requiere de la participación
social en cada contexto de aprendizaje del estudiante, lo que potencia su desarrollo.
En consecuencia se enuncian como premisas del modelo las siguientes:
El proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria se expresa en
el contenido matemático y en la relación con los contextos en que se desarrolla el estudiante, a partir de las
relaciones didácticas que se establecen en los componentes y categorías en un proceso de mediación
didáctica contextualizada con las TIC.
El carácter dinamizador que aportan las TIC como mediadores didácticos en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de conceptos matemáticos, y recurso novedoso que le permite al docente de la Educación
Preuniversitaria dinamizar el diseño, desarrollo y evaluación del proceso didáctico de la fijación de
conceptos matemáticos en correspondencia con las circunstancias del mismo, para lograr eficiencia en el
plano de las operaciones lógicas, y poder arribar a una conclusión acertada.
El carácter flexible para la integración e interacción con diferentes recursos didácticos que aportan las TIC,
para que los docentes diseñen sus actividades contextualizadas según las posibilidades reales existentes
en el contexto. Además, puedan realizar adaptaciones metodológicas razonables y apropiadas en el
proceso de enseñanza-aprendizaje para proporcionar la posibilidad a todos los estudiantes de obtener
logros.
Estas premisas y la sistematización teórica realizada permiten estructurar el modelo según los componentes
que refiere la definición antes planteada, los que constituyen base referencial para la elaboración del modelo
didáctico del proceso de fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
Luis Zaldivar Henriquez
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En la estructura organizativa diseñada se han tenido presente dos partes fundamentales. La primera, que en
esencia recoge los fundamentos epistémicos a partir de los cuales fue elaborado el modelo. La segunda parte
constituye la elaboración del modelo que incluye la solución a la contradicción fundamental, mostrada por el
cambio que ocurre, con la presencia de la mediación didáctica, que está presente en cada actividad.
En la concepción del modelo se muestran las características que debe tener su distribución al ser abierto y
representar un subproceso del proceso de elaboración de conceptos. La utilización de las TIC en la enseñanza-
aprendizaje de la Matemática demanda una actualización didáctica (cientificidad), la relación entre ellas y los
componentes del proceso didáctico de la fijación de conceptos como caso particular (concreto y abstracto),
propicia la participación activa de los estudiantes en la clase y el trabajo independiente (colectivo e individual,
consciente y activo).
Estas ideas constituyen el basamento teórico para elaborar un modelo del proceso didáctico de la fijación de
conceptos matemáticos en el que está presente una mediación didáctica contextualizada con las TIC, para
darles un dinamismo y significatividad en el contexto de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Se organiza el proceso de enseñanza-aprendizaje para que el docente lo pueda dirigir, de manera que
perduren los conocimientos en la mente del estudiante, fundamentalmente la retención de las cualidades
exactas que definen un concepto, y se potencie el uso de esa información en función de sus actitudes, hábitos,
habilidades y valores.
A partir de los análisis anteriores se declara como objetivo general del modelo didáctico: organizar el proceso
didáctico de la fijación de conceptos matemáticos, con la presencia de una mediación didáctica contextualizada
con las TIC para favorecer la gestión del conocimiento sobre los conceptos, a partir de una transposición
didáctica que permite atender el tratamiento de los procedimientos lógicos asociados a los conceptos, mediante
las formas y acciones de fijación.
Caracterización de los subsistemas y componentes del modelo
Luis Zaldivar Henriquez
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Se caracterizan los subsistemas y componentes del modelo a partir de los datos que se presentan en esta tesis
relacionados con el proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos. Se pudo determinar que la
contradicción fundamental está dada entre contenidos matemáticos contextualizados con las TIC, dirigidos a lo
desarrollador, según lo demandan los objetivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la
Educación Preuniversitaria, y la actualización de los procedimientos didácticos para fijar los conceptos con
respecto a las cualidades y potencialidades que poseen estas tecnologías para fijar los conceptos.
En el estudio de los documentos productos del proceso pedagógico, se pudo observar que la fijación de
conceptos tiene la posibilidad de ser modelado con el avance logrado por las TIC para la educación, pues la
información, el conocimiento y la comunicación sobre diferentes conceptos requieren de acciones mentales
complejas y necesarias. Estas acciones se dirigen esencialmente a hacer uso de rasgos característicos de las
TIC como es la movilidad, la interactividad y accesibilidad a una variedad de información a consultar, para que
el estudiante, en su capacidad de análisis y síntesis, de inducción y deducción, pueda apropiarse de ese
conocimiento al adquirir un nuevo desarrollo en la forma de ser representado y modelado en el proceso
didáctico para la elaboración de los conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria (fig. 2.1).
Fig. 2.1 Gráfica que representa la contextualización didáctica del proceso de fijación de
conceptos matemáticos
Luis Zaldivar Henriquez
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La función de este sistema es organizar un procedimiento didáctico actualizado para lograr la contextualización
del proceso de fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
Por otro lado, las teorías consultadas en este campo de investigación permitieron al autor poder determinar
relaciones didácticas que emergen cuando los medios de enseñanza-aprendizaje son las TIC, estas
trascienden sus funciones de medios, en su integración e interacción en el proceso didáctico de la fijación de
conceptos.
En el proceso didáctico para la elaboración de los conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, en
la etapa de consideraciones previas para elaborar los mismos y la de formación, se emplean métodos
productivos y procedimientos heurísticos en correspondencia con los medios y las formas para enseñar y
aprender, se potencia el enseñar al estudiante para que gestione sus conocimientos desde un enfoque
desarrollador, procesos que cambian en su concepción cuando se trata de la fijación de conceptos; la
metodología a seguir apunta a acciones de identificaciones, realizaciones y aplicaciones desde ejercicios y
problemas con intentos de ser contextualizados. Sin embargo, quedan sin atender procedimientos lógicos
asociados a los conceptos, que necesitan seguir desarrollándose.
Al patentizarse esta contradicción soluble desde las ciencias de la educación, se convierte en fuerza motriz del
desarrollo en la Didáctica de la Matemática. Surge la necesidad científica de crear un proceso que atienda esta
y les dé solución de forma coherente, estable y organizada a los demás sistemas concatenados y dependientes
de este proceso. Esta fisura condujo al autor a sistematizar teorías para darle solución a este proceso
aprovechando el desarrollo tecnológico existente.
Estas relaciones se establecen desde la lógica con que se desarrolla el proceso de fijación de conceptos, y
permite su estructura por niveles lógicos del conocimiento que desarrollan los estudiantes durante el
aprendizaje de conceptos matemáticos determinados y las relaciones que se establecen entre ellos. Esto
permite continuar la coherencia del proceso de formación de conceptos que se desarrolla antes de fijarse y del
Luis Zaldivar Henriquez
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que se deben aprovechar todo los elementos logrados hasta este momento.
Para el desarrollo de este proceso se transita por tres subsistemas relacionados con las teorías didácticas y la
investigación científica. Un primer subsistema teórico-orientador (fig. 2.2), determinado con el objetivo de crear
las condiciones previas necesarias para movilizar determinados procesos de dirección del pensamiento, sobre
la base de la organización teórica y metodológica de docentes y estudiantes para encauzar el proceso didáctico
de la fijación de conceptos matemáticos.
Su función en el sistema se encuentra determinada por orientar, desde la teoría de la Didáctica de la
Matemática, los elementos que son necesarios conocer para desarrollar los conocimientos conceptuales en los
estudiantes en un proceso diseñado desde la teoría y planificado para llevarlo a la práctica en su interacción
con los diferentes contextos de actuación.
Se refiere a las actividades previas que se necesitan para el procesamiento mental de información
representativa del concepto, al almacenamiento de conocimientos codificados para el desarrollo lógico y
matemático a través de los sentidos. También alude a su representación y a la interpretación de este, al
establecer relaciones lógicas entre las fases de fijación y los procedimientos lógicos asociados con el
aprendizaje de ese concepto, en situaciones que propician el desarrollo cognitivo del estudiante.
El punto de partida de la etapa de fijación es el contenido del concepto, como un componente del subsistema,
que sirve de orientación para la selección de las acciones en cada una de las fases de fijación y los
procedimientos que se potencian para determinar la solución de los ejercicios y problemas. Este representa las
Fig. 2.2 Representación del subsistema teórico-orientador
Luis Zaldivar Henriquez
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características esenciales que determinan el concepto, lo hacen ser él y se basa en el enunciado de
propiedades internas o sustanciales del ente que se caracteriza. Mientras que en la descripción pueden
aparecer rasgos que no son esenciales, en la caracterización se persigue la distinción de los que realmente lo
son. En una caracterización pueden aparecer sin embargo, más rasgos de los necesarios y suficientes para
construir una definición.
La ejemplificación se utiliza para crear una representación mental a través del análisis de algunos
representantes del concepto, lo que requiere escoger cuidadosamente los ejemplos para que se reconozcan en
ellos las características comunes. Para completar este análisis, se suelen presentar contraejemplos para
identificar en ellos las propiedades esenciales que no poseen, es decir, las razones por las cuales estos últimos
no son representantes del concepto en cuestión. A menudo se combinan descripciones, caracterizaciones y
ejemplificaciones para acometer la formación de conceptos. Los alumnos son conducidos a reflexiones que les
compelen a comparar y reconocer los rasgos verdaderamente distintivos de los conceptos que se introducen de
esta manera.
En este subsistema otro componente lo constituyen los procedimientos para fijar los conceptos. Al formar parte
de los métodos de enseñanza-aprendizaje son herramientas didácticas que le permiten al docente instrumentar
el logro de los objetivos, mediante la creación de acciones a partir de las características del contenido, que
propician orientar y dirigir la actividad del estudiante en la actividad docente y extradocente.
Los procedimientos didácticos de fijación de conceptos se clasifican en algorítmicos y heurísticos. Los
procedimientos algorítmicos permiten a los estudiantes crear patrones, esquemas mentales donde desarrollan
operaciones elementales con una secuencia finita de pasos. En la medida que el alumno transite por las
diferentes fases de fijación del concepto así será la sucesión de pasos a realizar. Es necesario considerar la
completitud de las operaciones a desarrollar, teniendo en cuenta que durante la fijación del concepto, en cada
forma, se transita por las fases de fijación que propician el desarrollo de procedimientos lógicos asociados.
Luis Zaldivar Henriquez
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Los procedimientos heurísticos, en un proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador propician en el
estudiante el descubrimiento e invención durante la realización de ejercicios y problemas. Permiten que estos
se formulen preguntas pertinentes e imaginativas, establezcan semejanzas y diferencias, aprendan a observar,
clasificar y describir, a realizar comparaciones y la elaboración de explicaciones e inferencias basadas en
situaciones que les permiten profundizar en el conocimiento y aprender más de lo que saben al identificar las
características de los elementos por ellos mismos.
Entonces, los procedimientos permiten establecer el camino o vía para enseñar y aprender el contenido, para
orientarse en las actividades previas que se necesitan para el procesamiento mental de información simbólica y
representativa del concepto. También alude a la representación e interpretación de estos, al establecer
relaciones lógicas entre las fases de fijación y los procedimientos lógicos asociados en el aprendizaje, en
situaciones que propician el desarrollo cognitivo del estudiante.
La relación entre estos dos componentes permiten contextualizar el contenido por aprender y poner a los
estudiantes en situaciones de aprendizaje donde sean capaces de asimilar los mismos de forma activa,
innovadora, creadora y transformadora, es decir, hay que preparar a los estudiantes para que aprendan desde
el contexto en que se desarrollan, a conocer y crear con los medios a su alcance.
Además, esta se realiza a partir de las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática y del seguimiento
a la línea directriz correspondiente durante el tratamiento a los contenidos de enseñanza-aprendizaje que se
desarrolla en los contextos de interacción en que participan estudiantes y docentes.
Una vez orientados desde la teoría sobre los elementos esenciales que permiten relacionar el contenido de la
cultura matemática por aprender y las condiciones psicológicas existentes para su enseñanza-aprendizaje,
entonces hay que conocer los elementos que relacionan lo externo con lo interno en el aprendizaje.
Estos elementos se encuentran en un subsistema mediacional-contextual (fig. 2.3), cuyo objetivo central está
determinado a representar un proceso necesario para dinamizar la forma en que los estudiantes y docentes
Luis Zaldivar Henriquez
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hacen la búsqueda de los conocimientos matemáticos que se encuentran en la cultura matemática y deben ser
fijados mediante un proceso organizado y dirigido por el docente en un contexto determinado.
La función del subsistema se encuentra en organizar un procedimiento didáctico que se desarrolla mediante
acciones mediacionales con las TIC, como mediadores didácticos, al ser utilizadas durante el desarrollo de las
actividades en el proceso didáctico de fijación de conceptos matemáticos, como base del contenido que está en
la cultura matemática y las condiciones en que se encuentran preparados los estudiantes y docentes que
aprenden y enseñan.
El procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC es definido como el conjunto de acciones
y operaciones que se realizan para desarrollar situaciones de aprendizaje, relacionadas con la búsqueda y el
análisis de información, la implicación reflexiva y valorativa en la solución de ejercicios, problemas y actividades
del contenido que se aprende, en correspondencia con el contexto de la realidad objetiva y relacional que
propician el desarrollo intelectual con métodos productivos.
La mediación didáctica contextualizada con las TIC, como procedimiento para encauzar los métodos
productivos, permite relacionar el contenido de enseñanza-aprendizaje, los mediadores didácticos y las
condiciones en que se desarrolla el proceso. Conduce a la reorganización de los roles tradicionales del docente
en un proceso que propicia una relación interactiva entre el estudiante, los conocimientos y el contexto. Esta
mediación se nutre de las relaciones entre los estudiantes, la familia, la comunidad y demás agencias y agentes
Fig. 2.3 Representación del subsistema mediacional-contextual
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mediadores, sobre la base de una flexibilidad que permite garantizar al estudiante el uso de recursos
tecnológicos para realizar las actividades con un enfoque desarrollador.
Este subsistema genera la categoría esencial identificada como la mediación didáctica contextualizada con las
TIC (fig. 2.3), se nutre de componentes determinados según las exigencias del proceso que se modela, al
funcionar como un sistema organizado que se desarrolla como proceso y está integrado por las condiciones
mediacionales contextuales que aportan la caracterización pedagógica del proceso y los elementos teóricos
establecidos en la orientación didáctica, la integración e interacción de agencias y agentes mediadores que
intervienen en el mismo, la gestión del conocimiento que deben desarrollar estudiantes y docentes para
aprender los conceptos matemáticos del contenido contextualizado en las TIC y la transposición didáctica que
se realiza para ser llevado al aula.
Para que el estudiante se apropie de la cultura matemática mediante una organización coherente del proceso
docente-educativo bajo la dirección del docente, es necesario conocer las condiciones contextuales y
mediacionales en que se desarrolla el proceso, como el componente que permite la contextualización didáctica.
Sus resultados son las primeras acciones del procedimiento didáctico que contribuyen a la organización
coherente del proceso de enseñanza-aprendizaje, que bajo la dirección del docente, conducen al estudiante a
apropiarse de una cultura matemática más integral (fig. 2.3).
El considerar las condiciones mediacionales contextuales como un componente que se nutre del diagnóstico
pedagógico integral, permite caracterizar otros componentes del modelo. El proceso se sustenta en las
características que poseen los estudiantes como sujetos de aprendizaje, y en la competencia didáctica que
tienen los docentes para enfrentar la actividad de enseñar desde una perspectiva desarrolladora, creativa y
contextual. Además, proporciona la particularidad que manifiesta el objeto de aprendizaje para una relación de
integración e interacción dinámica entre estos y los estudiantes.
Este componente permite contextualizar el estado actual y potencial del aprendizaje de los estudiantes y su
Luis Zaldivar Henriquez
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constante transformación. Con el conocimiento de las condiciones mediacionales contextuales se caracteriza el
proceso didáctico de acuerdo con el desarrollo tecnológico del momento, y las condiciones en que se desarrolla
ese contenido en el aula. Esto permite a docentes y estudiantes transitar hacia nuevas acciones durante el
desarrollo del procedimiento.
Las condiciones caracterizadoras permiten que la fijación de conceptos sea un proceso continuo, por lo que es
necesario reconocer agencias y agentes mediadores que están presentes, como otro componente mediacional-
contextual, en su interacción e integración con el contexto de enseñanza-aprendizaje desde una realidad
relacional objetiva y subjetiva. Estas acciones durante el desarrollo del procedimiento didáctico permiten la
presencia contextual en la enseñanza-aprendizaje del alumno.
Entre los agentes mediadores se encuentran la familia, los docentes, el grupo, los repasadores en la
comunidad y otras personas que participan indirectamente en la mediación para realizar las actividades
extradocentes. Las agencias mediadoras se encuentran compuestas por las instituciones, la comunidad y otras
relaciones de la comunidad virtual en las que los estudiantes acuden para desarrollar sus actividades de
estudio. Este componente determina la mediación social del aprendizaje.
En una relación de coordinación se encuentra la gestión de conocimientos con las TIC, la cual se caracteriza
por un proceso de transformación continua de los datos en información y luego en el conocimiento de la cultura
matemática. En ella se planifican acciones para conducir la búsqueda de soluciones como parte del
procedimiento a partir de las necesidades de la Matemática, que se convierten en objetos didácticos sobre la
base de sus avances. Aquí se genera el conocimiento que es conservado durante el proceso, y se toman
decisiones para aplicar soluciones al problema, a través de la recuperación de los conocimientos y su
transferencia a la realidad, para modificarla y que al final, permitan que este conocimiento pueda verse en
procesos didácticos.
La gestión del conocimiento en este proceso didáctico es entendida como el uso adecuado del contenido
Luis Zaldivar Henriquez
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conceptual que se adquiere en la información cultural de la matemática, las relaciones que se establecen para
la combinación entre los datos y sistemas de información, mediante la capacidad creativa e innovadora de
docentes y estudiantes que genera habilidades para potenciar la comunicación, la colaboración, la búsqueda y
producción de información como el nuevo conocimiento matemático.
En el proceso de gestión mediado por las TIC existen múltiples informaciones sobre la cultura matemática que
deben transcurrir en un proceso de actualización constante. Es necesario que se reconozca en el mismo la
lógica de la interacción y la integración, así como el sistema de relaciones y nexos entre los diferentes tipos de
conceptos de la Matemática por estudiar. Esta actualización constante, como expresión de la contextualización,
significa llevar un proceso didáctico acorde con el desarrollo tecnológico del momento en que se hace uso de
ese contenido en el aula.
Los nexos y relaciones que se establecen entre la cultura matemática y la necesidad de establecer la dinámica
de su sistematización en los componentes didácticos para convertirse en objetos didácticos necesitan de un
proceso de transposición didáctica (fig. 2.3), que es entendida como un contenido de la cultura matemática que
ha sido designado como el conocimiento a enseñar, y adaptado mediante transformaciones que permiten estar
en condiciones para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza en la Didáctica de la Matemática.
Este proceso favorece la actualización didáctica de la fijación de conceptos matemáticos con el desarrollo
tecnológico existente y se logra con el procedimiento de mediación didáctica contextualizada. Las acciones
ordenadas que permiten lograr la solución de las actividades se llevan a cabo mediante su implementación
práctica, su presencia dinamiza el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conceptos matemáticos en la
Educación Preuniversitaria.
El procedimiento didáctico se ejecuta mediante el subsistema práctico-instrumental (fig. 2.4), y representa la
estructuración de los componentes necesarios para la fijación de conceptos matemáticos. En él se relaciona el
instrumental didáctico-metodológico para desarrollar las acciones necesarias que permiten fijar los conceptos y
Luis Zaldivar Henriquez
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poder representar la base del saber científico a que se enfrentan los estudiantes, en su interacción con los
agentes y agencias involucrados, mediante una relación armónica que es establecida por la Didáctica de la
Matemática.
La función fundamental del mismo se encuentra en organizar teóricamente la implementación práctica del
proceso de fijación de conceptos mediante el procedimiento didáctico de mediación propuesto. Se estructuran
los componentes para la enseñanza-aprendizaje de los conceptos matemáticos a través de las acciones de
mediación didáctica contextualizada con las TIC.
Las acciones de mediación didáctica contextualizada con las TIC permiten organizar metodológicamente los
ejercicios y problemas matemáticos en las clases mediante actividades con preguntas heurísticas, para
movilizar el pensamiento del estudiante a ser activo, reflexivo, valorativo y socializador en un contexto
determinado en que estén presentes los recursos tecnológicos.
Hay que resaltar las acciones mediacionales del docente al utilizar las TIC, como mediadores del proceso, en la
ejecución de las mismas para promover y acompañar el aprendizaje de los estudiantes. Este debe tener un
profundo dominio del tema, del trabajo con las TIC y del componente contextual en que se desenvuelve el
estudiante, lo que favorece la máxima comunicación, al enfrentarlos a situaciones que provocan el debate, el
intercambio de ideas y la propuesta de soluciones a los problemas.
Fig. 2.4 Representación del subsistema práctico-instrumental
Luis Zaldivar Henriquez
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En la preparación metodológica de las clases se les da tratamiento a los tipos de conceptos a enseñar, por lo
que es necesario incluirlos como componentes del subsistema práctico-instrumental. La forma metodológico-
organizativa de la misma permite que este procedimiento didáctico actualice el tratamiento de las situaciones
típicas donde se trabaja con cada tipo de concepto.
Al planificar las actividades para fijar los tipos de conceptos es imprescindible transitar por las diferentes fases
de fijación del mismo como otro componente del subsistema. Estas son reconocidas como el proceder del
pensamiento a partir de las operaciones lógicas para la interiorización de los contenidos conceptuales que se
fijan. Durante el desarrollo del procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC, estas fases
de fijación, que se desarrollan en la memoria del estudiante, se dinamizan al activarse procesos lógicos del
pensamiento, de forma tal que le permita reflexionar, profundizar, definir, valorar, argumentar y plantear
conjeturas. Estas se encuentran asociadas a los niveles de desempeño cognitivo. Se relacionan con lo que se
debe saber hacer, según las exigencias del desarrollo intelectual del estudiante del preuniversitario, las
condiciones psicológicas y didácticas necesarias para lograr el aprendizaje deseado.
Estas fases empiezan con la identificación del concepto: es reconocer la pertenencia o no de características o
propiedades a conceptos determinados al estudiante visualizar, interactuar y experimentar con los asistentes
matemáticos propician una movilidad del objeto de aprendizaje que permite la manifestación de esas
características. Las acciones desarrolladas conllevan a la realización de la actividad y se elaboran conjeturas
que se socializan con los demás compañeros.
Se deben aprovechar los elementos logrados hasta este momento y el docente debe hacer uso de recursos
heurísticos para organizar la gestión del conocimiento que desarrollan los estudiantes en su investigación,
cuando está presente una mediación didáctica contextualizada con las TIC.
La realización de un concepto se presenta en diferentes actividades con la dificultad de carecer de elementos
característicos, en las que se incita a los estudiantes a buscar las características o propiedades para operar con
Luis Zaldivar Henriquez
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el contenido del concepto. De esta manera se determinan los representantes contextualizados en las TIC.
La fijación del concepto contempla las aplicaciones y el ordenamiento en un sistema de conceptos que tienen
relaciones entre sí y deben ser fijadas de forma coherente. Se refiere a su utilización práctica en otras
situaciones de enseñanza donde el estudiante se vea estimulado a realizar conjeturas. Para ello es adecuado
el uso de asistentes matemáticos para resolver ejercicios experimentales que permitan comprobar la veracidad
o falsedad de conjeturas a las que ha llegado.
Este proceso didáctico requiere de coherencia para poder atender estas fases o acciones en cada forma de
fijación del concepto. Las TIC propician, en la gestión del conocimiento, que los docentes organicen guías con
cuestionarios heurísticos como parte de la transposición didáctica que hacen. Esto permite movilizar esas
acciones en busca del conocimiento durante el proceso de fijación de ese concepto. Esa gestión que
desarrollan estudiantes y docentes es en función de conocer lo que hay de matemática en las TIC y cómo se
llevan al proceso de enseñanza-aprendizaje.
En una relación coherente de coordinación en este subsistema se encuentran los procedimientos lógicos
asociados a los conceptos, como formas lógicas del pensamiento, reconocidos como el proceder de la mente
para ejecutar las acciones correctamente (fig. 2.4). Estos se trabajan durante la elaboración del concepto en las
etapas precedentes y en esta son enriquecidos por las cualidades que poseen las TIC.
Los procedimientos lógicos como identificar el concepto, brindar una idea esquematizada del concepto, indicar
contraejemplos, señalar casos especiales, indicar casos límite y establecer relación entre conceptos superiores
y conceptos subordinados, potencian su desarrollo cuando hay una integración de las TIC durante el proceso
total de elaboración.
Este proceso transcurre paralelamente a otros que necesitan de operaciones lógicas del pensamiento
(clasificar, generalizar, limitar y definir) para una optimización del tiempo y una mayor eficacia en los resultados,
los cuales se logran con la correcta orientación de los docentes que conducen el proceso y conocen las
Luis Zaldivar Henriquez
67
características de los estudiantes, aportadas por las condiciones mediacionales contextuales derivadas del
diagnóstico pedagógico integral.
En el tratamiento de los conceptos es importante la selección y organización de ejercicios, problemas y
actividades con potencialidades sobre la base de los procedimientos lógicos asociados a estos conceptos para
su fijación. Esto promueve la reflexión e investigación del estudiante mediante un proceso de operaciones
lógicas de análisis, síntesis, comparación, abstracción y generalización durante la realización de las actividades.
El uso de preguntas heurísticas para fijar conceptos en los ejercicios, problemas y actividades elaborados
promueve la gestión de ese conocimiento con los asistentes matemáticos, lo que permite apropiarse del
sistema de acciones previsto para cada procedimiento lógico y del nivel de concienciación acerca de las
operaciones racionales que se deben realizar en cada situación, al gestionar esos conocimientos. Además,
posibilita que se eleven los niveles de comprensión matemáticos y poder transitar por los niveles cognitivos
establecidos.
Otro componente está determinado por las formas de fijación. En ellas se debe organizar coherentemente el
tránsito por cada una de las fases de fijación del concepto en correspondencia con los resultados del
diagnóstico pedagógico integral y del proceso de formación desarrollado. Al encauzar las diferentes formas de
fijación de conceptos se hace uso de una mediación didáctica contextualizada con las TIC, para lo cual es
necesaria la selección de métodos de comunicación entre los agentes y agencias involucrados.
En la fijación del concepto es importante conocer las potencialidades lógicas que poseen los ejercicios,
problemas y actividades que se seleccionan o elaboran para desarrollar las formas de fijación. Además,
promover la reflexión e investigación del estudiante mediante un proceso práctico de experimentación,
innovación e investigación. De esta manera surgen necesidades de buscar datos, información y conocimientos
en el contexto en que se desarrolla esta actividad que permitan el tránsito por las tres etapas fundamentales de
formación de los procedimientos lógicos (inicial, de interiorización y de aplicación).
Luis Zaldivar Henriquez
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Cada fase, como estados sucesivos de fijación de conceptos en una mediación didáctica, adquiere una
jerarquía en función de la formas de fijación que se desarrollan. El método productivo seleccionado por los
docentes para ejecutar las formas debe partir de una correcta estructuración didáctica en función de hacer más
eficiente el proceso con el uso de las TIC. Estas formas se caracterizan como:
La ejercitación es la ejecución de una actividad en forma repetida, es decir, con un asistente matemático se
puede presentar el mismo ejercicio en varias ocasiones pero con diferentes incógnitas para ejercitar el concepto
en cuestión, y tiene como objetivo fundamental crear habilidades, hábitos, actitudes y valores en la actividad.
En la sistematización se conciben diferentes contenidos como componentes de un sistema de conocimientos.
Es decir, se buscan las propiedades comunes a varios contenidos y se integran en conceptos más amplios.
Estos contenidos, al ser representados en un asistente matemático, generan las posibilidades de ser
comparados para encontrar analogías y diferencias con el propósito de hacer generalizaciones. Es revelar los
nexos y relaciones existentes entre el volumen y la extensión del concepto.
La profundización consiste en tratar de adquirir conocimientos más profundos sobre un contenido dado. Esta
variante de trabajo con la fijación es la que más similitud tiene con la elaboración de una nueva materia. Los
problemas planteados no deben resultar demasiado difíciles para que no conspiren contra el interés de los
estudiantes, y la selección de la forma de proceder con las TIC debe generar en los estudiantes una
interactividad socializada para crear valores y llevar a niveles superiores a sus compañeros.
El repaso es entendido por el autor como una forma de fijación que se encuentra contenida en cada una de las
anteriormente descritas, como casos particulares que debe ser atendida constantemente, según las
necesidades del estudiante. El repaso tiene como objetivo fundamental reactivar los conocimientos adquiridos
con anterioridad para fijarlos en la memoria, que en la mediación didáctica contextualizada se desarrolla
paralelamente en cada una de las formas anteriormente descritas.
La aplicación como forma de fijación se trabaja en cada una de las anteriores, pues es una de las fases de
Luis Zaldivar Henriquez
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fijación descrita a trabajarse en las diferentes formas. El objetivo fundamental es capacitar a los estudiantes
para aplicar los conceptos matemáticos en situaciones presentes en su contexto, o en la socialización durante
la navegación por sitios matemáticos de su nivel escolar, extrapolarlas a otras asignaturas que se reciben en el
currículo.
Las formas de fijación de un concepto matemático caracterizadas anteriormente representan la instrumentación
práctica del procedimiento didáctico propuesto por el autor.
Con las relaciones didácticas entre estos subsistemas del modelo se ubica al estudiante en la necesidad de
reconocer el aprendizaje como una actividad en la que se potencia su desarrollo, que va desde las formas
intuitivas iniciales de pensamiento hasta las formas deductivas finales, y que se planifica según los niveles de
asimilación de estos. Se presentan los contenidos contextualizados con las tecnologías desde una gran
variedad de situaciones y enfoques, de manera que haya más posibilidades de alcanzar un conocimiento
significativo para todos los estudiantes.
Estas relaciones no descuidan que esta enseñanza es diferenciada, ya que tiene en cuenta que las dificultades
para el aprendizaje varían de unos estudiantes a otros, por lo tanto se planifican según los niveles de
asimilación de estos; se presentan los contenidos contextualizados con las tecnologías desde una gran
variedad de situaciones y enfoques, de manera que hayan más posibilidades de alcanzar un conocimiento
significativo para todos los estudiantes.
Al concatenar este proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos donde el contenido de los
conceptos ya contextualizado se presenta y asimila con métodos productivos actualizados con una mediación
didáctica contextualizada con las TIC, que obligan al estudiante a que ponga de manifiesto sus conjeturas sobre
determinados conceptos, se construye una descripción o representación de los mismos, se incluye esta
descripción dentro de una dialéctica en la que intervienen el emisor y el receptor.
Al desentrañar estas nuevas relaciones esenciales se fortalecen los métodos productivos con la mediación
Luis Zaldivar Henriquez
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didáctica contextualizada con las TIC y están concatenadas con la función didáctica de fijación del contenido,
pues generan relaciones de coordinación entre las categorías didácticas expuestas y las funciones didácticas,
entre las formas de fijación de conceptos y las fases de fijación, entre este proceso didáctico de la fijación y
otros procesos como es el de formación de conceptos.
Para que ese contenido llegue a los estudiantes en forma de conocimientos, necesita de métodos y
procedimientos de acuerdo con las exigencias y aspiraciones sociales, apoyados en la relación didáctica que se
establece entre métodos, medios y formas de organización. Para esto se necesita que estas relaciones sean
mediadas por elementos contextuales, en este caso son las TIC.
Al desarrollar este proceso didáctico mediante los tres subsistemas relacionados y dependientes para obtener
una actualización didáctica del mismo, se crea una lógica estructural acorde con los contenidos de los
conceptos contextualizados en relación con los métodos productivos, ahora actualizados con el desarrollo
tecnológico contemporáneo al emplearse el procedimiento de una mediación didáctica contextualizada con las
TIC (fig.2.5).
Luis Zaldivar Henriquez
Fig. 2.5 Esquema del modelo didáctico de la fijación de conceptos matemáticos
Luis Zaldivar Henriquez
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Todo lo planteado anteriormente conduce a una organización coherente para el tratamiento y desarrollo de los
procedimientos lógicos asociados a los conceptos, al promover el proceder mental en función de sus procesos
lógicos. Por otro lado, es necesario establecer las relaciones entre categorías y funciones didácticas a partir de
la mediación contextualizada con las TIC.
2.1.1 Consideraciones necesarias: relaciones entre categorías y funciones didácticas a partir de la mediación
didáctica contextualizada con las TIC
Las categorías didácticas no son conceptos estáticos, constituyen un sistema dinámico que hay que
comprender a partir de su inserción en un momento específico del desarrollo social, en la actualidad los medios
de enseñanza se han potenciado con la inclusión de las TIC, lo que permite organizar un proceso didáctico
desarrollador. Este sistema dinámico exige la participación de docentes y estudiantes en un proceso de
influencias conscientemente organizado, dirigido y sistematizado sobre la base de un contexto, cuyo objetivo
más general es la formación multilateral y armónica del educando.
Estas categorías didácticas, en presencia de un proceso de mediación didáctica con las TIC, llegan a ser más
eficientes y productivas. La relación entre las categorías didácticas que se concretan en las estructuras de
acción externa del estudiante debe ser organizada coherentemente por los docentes en cada contexto de
enseñanza-aprendizaje.
Entre las categorías didácticas se encuentran los objetivos. Estos deben redactarse en función de su
interrogante clásica (¿para qué enseñar y para qué aprender?). Cuando se planifique el proceso se debe tener
en cuenta la participación activa de estudiantes, docentes y la utilización de las TIC para lograr que dichos
objetivos cumplan con ser la categoría rectora del proceso de enseñanza-aprendizaje; se deben proyectar
siempre en función de lograr el encargo que la sociedad le plantea a la educación.
El redimensionamiento de los objetivos de las clases para la fijación de conceptos viene dado a través del
modelo y la forma en que se va a desarrollar, ya que los mismos se alcanzan con una mayor actividad práctica
Luis Zaldivar Henriquez
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e interactiva, pues permiten poner énfasis en la comprensión teórica del contenido conceptual en procesos
heurísticos donde el estudiante participa activamente.
La relación objetivo-contenido cumple una acción orientadora en la dirección de las actividades en el proceso
de fijación, que muestra su eficacia al estar contextualizados, marcando las transformaciones que operan en la
personalidad del educando, a partir de su cualidad desarrolladora.
En su esencia, el contenido (¿qué enseñar y qué aprender?) expresa de lo que debe apropiarse el estudiante,
está formado por los conocimientos, habilidades, hábitos y valores que responden al contexto social nacional.
En cuanto a los contenidos conceptuales, en este proceso didáctico de la fijación se tratan con un enfoque
integrador y de generalización, que los distinguen en cuanto a su alcance.
En la determinación del contenido de un actividad se deben buscar las formas donde está contextualizado con
las TIC, sea en un asistente matemático, un software, un entorno virtual de enseñanza aprendizaje, un aula
virtual, en la intranet o internet, y ubicar su contexto e interactividad como lo muestra el uso de las TIC en otros
horizontes de la realidad.
Para la apropiación de cada idea rectora, los estudiantes deben dominar un sistema de conceptos y
habilidades, es por ello que en la planificación didáctica deberán quedar precisados cuáles conceptos
principales o fundamentales, cuáles secundarios y cuáles antecedentes se tratarán, así como las habilidades
generales y las específicas a desarrollar.
La mediación didáctica en una relación con los componentes de la didáctica conduce a la fundamentación del
método de enseñanza-aprendizaje, este aporta los procedimientos y el sistema de acciones que regula la
actividad del docente y de los estudiantes, en función del lograr los objetivos ya contextualizados. La
participación activa y reflexiva de los agentes involucrados genera la utilización de métodos productivos; pues la
relación que se establece entre estudiante, el contenido contextualizado y los docentes, convierten este
proceso en un proceso dinámico y participativo, además, se pasa a nuevas formas de socializar las actividades
Luis Zaldivar Henriquez
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en sus interacciones, se procura siempre llegar a niveles superiores en las habilidades, hábitos y valores.
En unidad dialéctica con los métodos se encuentran los procedimientos didácticos. Entre los más usados en la
Didáctica de la Matemática están los procedimientos heurísticos. Estos representan componentes
operacionales para desarrollar métodos productivos, en correspondencia con los objetivos. Ellos generan un
sistema didáctico desarrollador al estar sustentados en una mediación didáctica contextualizada con las TIC,
hasta el nivel que cada individualidad lo requiera. En esta medida las TIC, junto a otros recursos funcionan
como medios de enseñanza-aprendizaje, representan los equipos que apoyan la actividad de docentes y
estudiantes en función del cumplimiento del objetivo. Las TIC proporcionan a docentes y estudiantes
interactividad para relacionar figuras ilustrativas, esbozos o figuras de análisis, tablas y gráficos que reflejan
relaciones entre datos, los hipertextos e hipermedia que concatenan relaciones entre los conceptos, así como
teoremas, propiedades y procedimientos que aparecen en los libros de textos.
Las formas de organización son el soporte en el cual se desarrolla el proceso de enseñanza aprendizaje, en
ellas intervienen todos los implicados: estudiantes, docentes, escuela, familia y comunidad; esto hace que el
proceso para fijar un concepto no quede entre las cuatro paredes del aula, o en una institución docente. Con la
presencia de las TIC en el hogar cubano ya se involucra a familiares y amigos en una realidad o virtualidad, lo
que lleva a los estudiantes a socializar los conocimientos asimilados.
La evaluación es la categoría que ha estado presente en cada momento de las actividades de docentes y
estudiantes (¿en qué medida se cumplen los objetivos?). Es el proceso para comprobar y valorar el
cumplimiento de los objetivos propuestos y la dirección de la enseñanza-aprendizaje en su momento de
orientación y ejecución.
Al ser socializados los conocimientos en los resultados de las actividades por estudiantes y docentes se llega a
una autoevaluación, desde la individualidad y por los demás agentes involucrados. Se evalúa con los demás
participantes que apoyan el proceso, al mostrar la valoración de las actividades realizadas.
Luis Zaldivar Henriquez
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En estas relaciones didácticas es necesario caracterizar las funciones didácticas de la clase como los
eslabones fundamentales del proceso de enseñanza-aprendizaje. Ellas actúan de forma determinante sobre el
aspecto interno del método, ahora con cualidades superiores pues se nutre del proceso de mediación didáctica
contextualizada expresado anteriormente.
El desarrollo de la clase es un momento que se caracteriza por la participación activa de los estudiantes en el
desarrollo de las actividades diseñadas por el docente, cuya finalidad es lograr los aprendizajes esperados para
esa clase en función del fin educacional proyectado.
El diseño de este proceso didáctico de la fijación se organiza a partir de la introducción, el desarrollo y las
conclusiones, y en cada parte de la clase están presentes las funciones didácticas correspondientes en
estrecha relación con las categorías ya emergidas de una mediación didáctica contextualizada con las TIC, a
partir de las actividades de docentes y estudiantes que están soportadas en las TIC.
Desde la creación del nivel de partida, como primera función didáctica de la clase, se manifiesta una relación de
coordinación entre el contenido y el método productivo empleado para que el estudiante sea capaz de citar
ejemplos para el concepto fundamental que se trata, o la relación entre conceptos a desarrollarse en este
momento de la actividad; o sea, deben identificar el concepto a partir de objetos conocidos en el medio
circundante; pero con el uso de las TIC.
La motivación, como segunda función didáctica, está vinculada a la significatividad que ha tenido esa
interacción del estudiante con los contenidos contextualizados con las TIC. En los docentes les permite tener un
elemento motivador pues pueden ver con claridad las capacidades que conseguirá desarrollar en sus
estudiantes.
En estas funciones didácticas de la clase la orientación hacia el objetivo se convierte en un elemento
indispensable para el éxito de la actividad docente, ya que es la categoría rectora de la actividad. Si se conocen
los objetivos, el estudiante puede diferenciar los contenidos principales de la información complementaria y se
Luis Zaldivar Henriquez
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consigue una mayor efectividad en el estudio. Para el docente representa una herramienta útil como guía para
desarrollar los contenidos y como referencia para la evaluación del aprendizaje.
Los objetivos deben cubrir diferentes niveles, adecuados al nivel de los estudiantes y a las exigencias del
programa de la asignatura, diseñado coherentemente. Así, podrán reconocer, comprender, explicar y aplicar lo
que se aprende.
Con el empleo del procedimiento didáctico de mediación en las clases de fijación de conceptos se enuncian los
objetivos de forma diferente. Ejemplos:
Representar gráficamente las funciones matemáticas con el empleo de asistentes matemáticos
informatizados.
Comprobar las soluciones de ecuaciones sencillas, obtenidas a través del empleo de asistentes matemáticos
informatizados, resolviéndolas mediante reflexiones lógicas y conjeturas.
Modelar procesos y fenómenos de la realidad objetiva mediante el empleo de ecuaciones de funciones
conocidas o ecuaciones.
En el tratamiento al nuevo contenido, como función didáctica de la clase, están centradas todas las
potencialidades de una mediación didáctica contextualizada con las TIC; las nuevas cualidades que asume el
método para expresar ese nuevo contenido se fundamenta en cualidades de las TIC, como es la creación de la
Web 2.0 y 3.0, que brindan la posibilidad a docentes y estudiante de poder contar con conexiones dinámicas
manipulables. Para la fijación de conceptos en sus tres etapas tienen aquí la posibilidad de una interacción
dinámica para mostrar sus cualidades de ser abstractos (invisibles) y potenciar el uso de símbolos y
representaciones experimentales.
El software para Geometría Dinámica posibilita ver qué sucede al cambiar una variable mediante el movimiento
de un control deslizador (al tiempo que se mueve el deslizador, se pueden apreciar las distintas fases o etapas
de los cambios en la ecuación y en su representación gráfica) y poder hacer conjeturas para ser socializadas
Luis Zaldivar Henriquez
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con los demás.
Los sistemas de aplicaciones poseen herramientas avanzadas como las hojas de cálculo, herramientas
numéricas (cálculos, formatos de números), algebraica (fórmulas, variables), visual (formatos, patrones), gráfica
(representación de datos), y de organización (tabular datos, plantear problemas). El diseño del proceso por el
docente debe tener en cuenta estas potencialidades.
La conectividad de los centros educacionales y el portal web de la educación cubana ponen a disposición de
todos los agentes involucrados en este proceso una comunidad rica en recursos matemáticos. Los docentes
pueden encontrar en internet miles de los recursos descritos con anterioridad para enriquecer la clase de
Matemática.
Internet, el más poderoso sistema de comunicación que haya conocido la humanidad, posibilita la creación de
ambientes colaborativos y cooperativos en el ámbito local, nacional o internacional, y en los cuales docentes y
estudiantes pueden compartir proyectos y opiniones sobre un tema en particular.
Posteriormente al tratamiento del nuevo contenido es necesario, de forma coherente, hacer un tratamiento de la
fijación de lo aprendido, como otra función didáctica indispensable para lograr que el proceso sea un sistema
armónico de asimilación del contenido conceptual a tratar.
Con este fin las actividades, de acuerdo con su naturaleza y propósito, se pueden desarrollar de forma
individual, en parejas, en pequeños grupos o a nivel de todo el grupo de la clase; ahora expresadas en una
mediación didáctica contextualizada, que aporta un método productivo para desarrollar procedimientos y vías
para la realización de estas.
Otra función didáctica muy ligada a este desarrollo de las TIC es el control del proceso, pues las TIC tienen en
su configuraciones múltiples formas para desarrollar este proceso.
Es en este momento en que se abren nuevos desafíos o tareas para realizar, las situaciones de aprendizaje
deben estar orientadas a crear condiciones para que los estudiantes comuniquen sus saberes, relacionen,
Luis Zaldivar Henriquez
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guíen y autorregulen su aprendizaje. Para esto se requiere crear diversas acciones que se adapten a sus
diferentes estilos, ritmos de aprendizaje y a sus particulares, necesidades e intereses, y a su vez representen
un desafío real para los estudiantes y docentes.
Estas relaciones en el proceso didáctico de fijación de conceptos funcionan de forma concatenada en un
sistema que conforma la elaboración total de los mismos. Al dejar de funcionar coherentemente alguna de las
relaciones dadas entre sus componentes se genera una descomposición del sistema que, como modelo
abierto, es susceptible de perfeccionamiento y enriquecimiento a partir de su introducción y generalización en la
práctica pedagógica. Este posee la capacidad para incluir los cambios que se operan en la realidad (flexibilidad,
utilidad y permanencia) y de aproximarse al funcionamiento real del objeto (validez y confiabilidad).
Al ser la fijación de conceptos un sistema abierto, se nutre y fortalece cada vez que los sistemas interactuantes
le proporcionan coherencia en el diseño, elaboración y aplicación de sus estructuras. Esto le permite funcionar
como un todo, en correspondencia con los conocimientos teóricos para desarrollar dicho proceso; de ahí se
aprecia una elevada homeostasis, con un alto nivel de respuesta y de adaptación permanente a los diferentes
sistemas interactuantes. Cada componente se fortalece con el desarrollo de los sistemas interactuantes y en la
medida en que sea óptima la relación contenido-método se fortalecen las relaciones fases y formas de la
fijación.
Estas cualidades del sistema proporcionan dinámica al mismo para que sus partes estén relacionadas de
manera que esté organizado con mínima entropía. Igualmente son notables la permeabilidad y la regulación,
por las interacciones que son evidentes con el contexto en que se desarrolla, en un proceso de intercambio
fluido con él, de forma regulada para que los objetivos se cumplan.
El objetivo fundamental de la estrategia que se presenta en la tesis está dirigido a potenciar la efectividad del
proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, sustentada en un
modelo que permite la actualización didáctica del mismo, a partir de una mediación didáctica contextualizada
Luis Zaldivar Henriquez
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con las TIC, generando cambios en la estructura de los procedimientos en los métodos empleados.
El contenido de la estrategia está conformado por etapas que se despliegan en acciones para el proceso
didáctico de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria. Estas acciones tienen una
finalidad según su planeación en función de lograr resolver las insuficiencias en el aprendizaje de los
estudiantes. En su diseño se concuerda con ideas planteadas por Rodríguez, M. A. (2011) al hacerlo de forma
flexible para promover aprendizajes desarrolladores, teniendo en cuenta la diversidad de los protagonistas y los
contenidos en que se apliquen.
2.2 Estrategia para la instrumentación en la práctica del Modelo Didáctico
En el epígrafe anterior la concepción general para la elaboración de este modelo se centra en la transformación
de una contradicción que llega al plano de la didáctica de la Matemática, relacionada con la fijación de
conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria y los métodos, medios y formas de organización con
que son llevados a las clases estos contenidos, en un proceso de contextualización; con esta estrategia, para
instrumentar en la realidad el modelo, se pretende probar su factibilidad y viabilidad en la práctica educativa.
Varios autores conceptualizan la estrategia desde diferentes puntos de vista, en el plano de la didáctica se
puede señalar a Addine, F. y otros (1998); Castellanos, D. (2003); Córdova, C. (2004), pero se asume el
concepto de estrategia dado por Valle, A. (2007, p. 91), que la considera como “… aquel conjunto de acciones
secuenciales e interrelacionadas, a partir de un estado inicial (dado por el diagnóstico), que permiten dirigir el
paso a un estado ideal consecuencia de la planeación”. Este autor refiere la relación indisoluble de enseñanza-
aprendizaje al tener en cuenta la actividad del docente para enseñar en unidad, con la actividad de los
estudiantes para aprender.
Se parte de algunas premisas fundamentales en la estructura de esta estrategia, a partir de la necesidad de
aplicarla en un contexto determinado donde docentes y estudiantes tengan la posición protagónica y productiva
que les corresponde en el proceso de enseñanza-aprendizaje, de ahí su carácter desarrollador.
Luis Zaldivar Henriquez
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Hay que destacar como premisa que se involucra la escuela, la familia, y la comunidad en el proceso de
enseñanza-aprendizaje, donde estudiantes y docentes con su participación activa deben estar conscientes de
la necesidad de modificar el proceso de enseñanza-aprendizaje en función de estimular un proceso reflexivo
para llegar a los niveles creativos que demanda el mismo. Para ello deben incorporar a su actividad docente,
con carácter sistemático y sistémico, los fundamentos teóricos y metodológicos que sustentan esta estrategia.
Otra premisa es que es aplicable a cualquier contenido de la Educación Preuniversitaria, en correspondencia
con los conceptos a fijar, y las distintas formas de fijación que se desarrollen; se puede complementar con otras
estrategias para las etapas de consideraciones previas y formación de los conceptos, elaboradas por otros
autores, por su cualidad de adaptabilidad.
Otro aspecto primordial es el papel protagónico de los estudiantes que demanda este proceso en las distintas
formas y etapas de fijación del concepto, estimulando la actividad y la socialización, la independencia y la
ayuda necesaria para lograr un aprendizaje activo, lo que contribuye a la autorregulación del estudiante en este
proceso.
Otra premisa que la sustenta es el uso diseñado y planificado de las TIC en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de los contenidos de la Matemática y en especial en la fijación de conceptos.
El objetivo fundamental de esta estrategia es potenciar la efectividad del proceso didáctico de la fijación de
conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, sustentada en un modelo que permite la
actualización didáctica del mismo, a partir de una mediación didáctica contextualizada con las TIC, que genera
cambios en la estructura de los procedimientos en los métodos empleados.
El contenido de la estrategia está conformado por etapas que se despliegan en acciones para el proceso
didáctico de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria (fig. 2.6). Estas acciones
tienen una finalidad, según su planeación, en función de lograr resolver las insuficiencias en el aprendizaje de
los estudiantes. En su diseño se concuerda con ideas planteadas por Rodríguez, M. A. (2011) al hacerlo de
Luis Zaldivar Henriquez
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forma flexible para promover aprendizajes desarrolladores, al tener en cuenta la diversidad de los protagonistas
y los contenidos en que se apliquen.
Primera etapa. Diagnóstico
Objetivo: determinar el estado actual de las potencialidades y debilidades que poseen los estudiantes en el
orden psicopedagógico para enfrentar el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos en la
Educación Preuniversitaria, priorizando la investigación en correspondencia con los indicadores determinados
para evaluar el proceso didáctico de la fijación de conceptos.
Acciones del diagnóstico inicial
1. Intercambio socializador entre los docentes y estudiantes que hacen uso de la investigación, para hacer una
planeación estratégica.
Orientaciones para la ejecución:
El autor propone en esta etapa de la estrategia conocer la disposición y potencialidades de docentes y
estudiantes para resolver las insuficiencias del aprendizaje de los conceptos que poseen los mismos, se parte
de un intercambio mediante un conversatorio para mostrar la necesidad de aplicar la estrategia. Se establecen
las condiciones y momentos esenciales de la estrategia para su participación consciente, se les comunica las
posibilidades materiales para su aplicación y el beneficio en el aprendizaje de la Matemática.
Fig. 2.6 Estructura de la estrategia didáctica para la fijación de los conceptos matemáticos
Luis Zaldivar Henriquez
81
2. Taller metodológico del colectivo para la concepción y planificación de las acciones de diagnóstico inicial.
Orientaciones para la ejecución:
Análisis de los objetivos y problemas descritos en el proyecto educativo del grupo y su correspondencia con los
objetivos generales del grado, a partir de los cuales se necesita conocer el estado real y las potencialidades
para desarrollar las actividades. Se orienta aplicar los instrumentos de diagnóstico establecidos para este fin, se
hace un muestro de las libretas de clases para verificar los tipos de ejercicios, problemas y actividades que se
desarrollan en ellas, antes de la estrategia.
Determinación de los instrumentos que deben ser elaborados, contenidos en unidades temáticas y cronograma
para la aplicación.
3. Elaboración o adecuación de los instrumentos y aplicación de los métodos y técnicas seleccionados por los
docentes en cada unidad, para aplicar la estrategia, según cronograma.
Orientaciones para la ejecución:
Valorar todas las condiciones contextuales mediacionales de actuación en que se ve inmerso el estudiante y
que pueden estimular o retardar la fijación de conceptos matemáticos y el papel que, desde la psicología, se le
asigna a lo social en el desarrollo de la personalidad, que ejercen una gran influencia sobre su aprendizaje,
tales como actitudes ante determinadas actividades, formas de pensar y sentir. Se tiene en cuenta que el
proceso didáctico de fijación de conceptos es una actividad que se logra a largo, mediano y corto plazo, donde
predomina la individualidad sobre el trabajo en el colectivo, sin absolutizar ninguno; este aprendizaje es un
proceso de adquisición de conocimientos, que transcurren mediante la actividad y la comunicación.
Aplicar técnicas para valorar el dominio de los conceptos matemáticos (Anexo 8). Partir de la realidad en este
aspecto, pues si no se conocen las insuficiencias académicas no se podrá determinar qué obstruye el
aprendizaje del estudiante, ni contribuir a erradicarlo.
Establecer una organización de sistema para la aplicación de las diferentes técnicas de acuerdo con la
Luis Zaldivar Henriquez
82
responsabilidad, tanto individual como colectiva, de docentes y estudiantes, a partir de la acción número uno.
Con los resultados que se obtienen se establecen prioridades y definiciones de situaciones problémicas, a las
cuales se pueden enfrentar desde la Didáctica, evitando se conviertan en variables incontrolables dentro del
proceso.
Aplicar una encuesta (Anexo 9) para conocer el contexto y entorno en que se desenvuelve el proceso, la
dotación técnica y tecnológica del contexto en general (escuela, familia y comunidad), así como las diferentes
aplicaciones tecnológicas con que se cuenta en el centro.
4. Taller metodológico del colectivo pedagógico de grado para el análisis de los resultados y precisión de las
potencialidades y debilidades individuales y colectivas.
Orientaciones para la ejecución:
Hacer reajustes a la estrategia, de acuerdo con el estado de las características de los estudiantes, de manera
que se cumpla el objetivo general y se fortalezcan y potencien aquellos aspectos requeridos para ello.
Es indispensable que en la realización de la acción se siga coherentemente una planificación de las actividades
de acuerdo con el proyecto educativo para que funcione armónicamente, en correspondencia con las
exigencias de ambos procesos. Se sugiere que al aplicar los instrumentos se haga uso de los resultados
obtenidos en la caracterización que desarrolla el colectivo, y se interpretan los resultados en función de los
indicadores que se presentan aquí. La elaboración de otros instrumentos se desarrolla como un complemento
para obtener los datos necesarios para esta estrategia, que a la vez se facilitan al responsable del colectivo
para que enriquezca su estrategia.
Desde el primer momento de intervención con los participantes en la estrategia es necesario facilitarles todos
los documentos y aplicaciones informáticas que sean imprescindibles para el éxito de la implementación de la
estrategia, esto está en correspondencia con los resultados de los instrumentos de diagnóstico aplicados.
De acuerdo con los resultados que permitieron caracterizar los estudiantes se deben diseñar acciones
Luis Zaldivar Henriquez
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pedagógicas para que se logren minimizar los obstáculos que representen riesgos de fracaso en su
implementación. Es necesario que los estudiantes sean conscientes del cumplimiento de las actividades, pues
de esto depende la eficacia del proceso didáctico de la fijación de conceptos y su formación integral.
Segunda etapa. Orientación
Objetivo: mostrar los elementos esenciales del proceso de fijación de conceptos matemáticos al emplearse el
procedimiento didáctico propuesto en el modelo y su aplicación en las clases de fijación de conceptos
correspondientes, donde es necesaria la participación consciente de ellos para el éxito de esta estrategia.
Acciones de orientación teóricas y prácticas
1. Presentar a los estudiantes y docentes el objetivo de la estrategia y su aplicación.
Orientaciones para la ejecución:
Explicación sobre el trabajo a desarrollar en la estrategia, y la necesidad de su preparación consciente en el
desarrollo de las actividades que se proponen, y que cooperen con el uso de los materiales necesarios para
desarrollar las actividades en las clases de fijación de conceptos matemáticos.
Se presentan las herramientas informáticas (asistentes matemáticos, acceso a la intranet e internet,
observación de videos tutoriales, uso de las aplicaciones del sistema operativo Windows) correspondientes a
cada momento de las formas de fijación en las clases de Matemática, y se enfatiza en los resultados del
diagnóstico para concientizarlos de sus potencialidades cuando hacen uso de las TIC.
2. Orientar la participación de los estudiantes y docentes en el trabajo con los asistentes matemáticos, la
intranet y herramientas para construir mapas conceptuales en sus horarios de actividades independientes y
auto superación.
Orientaciones para la ejecución:
Presentación de algunos sitios web nacionales que representan entornos virtuales de aprendizaje donde se
puede gestionar conocimientos sobre los conceptos que se están tratando en las clases; además se presenta
Luis Zaldivar Henriquez
84
la herramienta CmapTools.exe para construir mapas conceptuales, se muestra un ejemplo de mapa
conceptual. Además, se orienta el trabajo con otros conceptos para ser socializados en su aula.
3. Desarrollar una actividad teórico-práctica para dar a conocer el procedimiento didáctico de mediación
didáctica contextualizada con las TIC a través de ejemplificaciones.
Orientaciones para la ejecución:
A partir de una actividad, previamente determinada en la acción anterior, se modela el procedimiento de
mediación didáctica contextualizada con las TIC, donde quede una representación de las acciones
fundamentales siguientes:
Repasar el contenido del concepto a fijar estudiado en la etapa de formación del mismo.
Reconocer las condiciones mediacionales y contextuales donde se encuentra representado ese
concepto. Se determina los mediadores TIC a utilizar y el contexto en que se encuentran.
Potenciar relaciones mediacionales sociales con los agentes y agencias mediadores que permitan en
el contexto comunitario, que el estudiante profundice en su estudio en la interacción con los mismos
para desarrollar las actividades extradocentes.
Hacer una lectura analítica e interpretativa de las preguntas heurísticas de la actividad a desarrollar.
Establecer el tiempo determinado para que se ejecuten procesos lógicos del pensamiento (análisis,
síntesis, inducción, deducción, abstracción y generalización) en función de lograr el desarrollo de
procedimientos lógicos asociados a los conceptos.
Realizar acciones de gestión del conocimiento con las TIC, para poder darle solución a cada pregunta
heurística.
Identificar la característica esencial del concepto mediante un proceso de transposición didáctica.
Reflexionar sobre el resultado obtenido desde la individualidad y socializar el mismo con los demás
agentes mediadores.
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Al profundizar en este intercambio queda patentizada la necesidad de cada acción de mediación para la
ejecución del procedimiento didáctico en las actividades para fijar conceptos. El mismo puede estructurarse
para las diferentes formas de fijación de conceptos, y en consecuencia, desarrollar los procedimientos lógicos
asociados a los mismos.
4. Desarrollar un taller con las familias de los estudiantes sobre las ventajas de uso de las TIC en una
mediación didáctica, así como el logro de sus aspiraciones con la participación eficiente junto a sus hijos en
esta estrategia donde participan agencias y agentes mediadores en el contexto de aprendizaje.
Orientaciones para la ejecución:
En un encuentro con la familia se presenta la estrategia a los padres y se les explica su participación en este
proyecto, dejando claro la necesidad de su participación, y que si no poseen el recurso necesario no se afectará
la calidad de preparación de ellos y sus hijos.
Tercera etapa. Ejecución de la estrategia.
Objetivo: favorecer la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria con el empleo de
métodos productivos que se enriquecen por una mediación didáctica contextualizada con las TIC.
Orientaciones para la ejecución:
Es en la etapa de ejecución en la que se producen las relaciones dinámicas en los conocimientos matemáticos,
que logra el nexo entre los componentes del modelo didáctico, de manera que, a través de las acciones
contenidas en ella, se logra una fijación adecuada de estos contenidos.
Acciones de orientación teórica sobre el contenido del concepto a fijar
1. Orientarse sobre las características esenciales que definen el concepto, su contextualización en las TIC
presentes en el entorno de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes.
Orientaciones de ejecución:
Durante el proceso de formación de conceptos se han desarrollado acciones que permiten reconocer las
Luis Zaldivar Henriquez
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características invariantes del concepto y se retoman para verificar su representación contextualizada en las
TIC. Se identifica el volumen y la extensión del concepto para identificar sus representantes según el tipo de
concepto que se desee fijar y cómo se encuentran contextualizados en las TIC.
2. Identificar los conceptos relacionados que permitan limitar o generalizar el concepto, a partir de su
contenido.
Orientaciones de ejecución:
Con el volumen y la extensión del concepto se identifican representantes y relaciones con otros conceptos
según el tipo a fijar. Es importante conocer las potencialidades lógicas que poseen los ejercicios, problemas y
actividades que se seleccionan o elaboran para desarrollar las formas de fijación. Además, promover la
reflexión e investigación del estudiante mediante un proceso práctico de experimentación, innovación e
investigación.
Acciones de orientación teórica sobre los procedimientos didácticos para fijar un concepto
1. Conocer la esencia de los procedimientos algorítmicos y heurísticos para la fijación de un concepto.
Orientaciones de ejecución:
Para desarrollar las diferentes formas de fijación se tendrá en cuenta el contenido de los conceptos estudiados
y las relaciones que propician el desarrollo de procedimientos didácticos para fijar el concepto con orientaciones
teóricas que permiten determinar los niveles de asimilación adquiridos por los estudiantes. Hay otras relaciones
que no se pueden dejar libres, pues la coherencia del proceso de enseñanza-aprendizaje es un sistema
armónico y la fijación de conceptos matemáticos necesita de relaciones sociales entre los agentes involucrados,
aspecto este que se descuida en la individualidad. Aquí predomina el método productivo enriquecido por la
mediación didáctica contextualizada con las TIC.
2. Estudiar la metodología para desarrollar los procedimientos didácticos durante la fijación de un concepto.
Orientaciones de ejecución
Luis Zaldivar Henriquez
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El desarrollo de un sistema de actividades para la búsqueda y exploración del conocimiento por el estudiante,
desde posiciones reflexivas que estimulen el desarrollo del pensamiento y la independencia que se logra con
acciones propias de los procedimientos didácticos que permiten la realización consciente de actividades
mentales complejas.
En la metodología a desarrollar se precisa de los principios reglas y estrategias de gran utilidad para la fijación
del concepto mediante cada forma donde se ejecutan las fases para lograr una total fijación del concepto. Es
fundamental que el estudiante aplique lo aprendido en las clases anteriores a los casos concretos, o sea: el
apropiarse de un proceso y haberlo fijado le sirve como base para darles salida a aplicaciones concretas en
otras situaciones.
Acciones de mediación didáctica contextualizada con las TIC para fijar un concepto
El docente de Matemática de acuerdo con la caracterización de los estudiantes, los resultados de aprendizaje
de conceptos matemáticos y las condiciones contextuales y mediacionales, tiene los elementos esenciales para
determinar las tareas que realizará en las diferentes fases de fijación de conceptos con la mediación didáctica
contextualizada con las TIC, en correspondencia con el desarrollo alcanzado, para ello se debe:
1. Impartir un programa de capacitación sobre el uso de las TIC en la enseñanza-aprendizaje de la
Matemática.
Orientaciones para la ejecución:
En coordinación con la dirección del centro se proyectaron secciones de trabajo con los estudiantes y docentes
para prepararlos en el uso de los asistentes matemáticos en la realización de ejercicios donde se fijan
conceptos de la enseñanza.
También se les presentan las actividades de aprendizaje que se desarrollan con el uso de las TIC en función de
una mediación didáctica contextualizada en las diferentes formas de fijación de conceptos. Estas actividades
les permiten socializar los conocimientos adquiridos durante la realización de las mismas, hacer conjeturas y
Luis Zaldivar Henriquez
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propiciar el debate en armonía.
Se desarrolla a continuación un tema sobre el uso de internet en la actividad docente, explicándoles su utilidad
en los estudios superiores para gestionar el conocimiento en otras asignaturas de la profesión seleccionada.
2. Contextualizar los contenidos conceptuales en las TIC, mediante una gestión de conocimientos.
Orientaciones para la ejecución:
Al conocer las condiciones mediacionales y contextuales se ha identificado las TIC que se encuentran en el
contexto de enseñanza-aprendizaje, esto permite determinar qué contenido se puede contextualizar en ellas.
Mediante una gestión de conocimientos el docente puede identificar el contenido que posee ese concepto a
fijar. Determinar su uso en las formas de fijación para desarrollar las fases mediante las actividades que se
planifiquen.
3. Realizar la transposición didáctica del contenido conceptual contextualizado en las TIC.
Orientaciones para la ejecución:
Con la localización del contenido contextualizado en las TIC y la determinación del procedimiento didáctico a
desarrollar se realiza una transposición didáctica para organizar las actividades con ese contenido que se
convierte en objetos de aprendizaje. En este caso es sugerente el desarrollo de preguntas heurísticas en la
fase inicial de fijación del concepto para potenciar el trabajo con los procedimientos lógicos.
4. Organizar la integración e interacción de agencias y agentes mediadores en el proceso de fijación de
conceptos.
Orientaciones para la ejecución:
Al conocerse las condiciones mediacionales y contextuales del entorno permiten que el docente planifique
actividades que involucren a agentes de la comunidad como los repasadores, el padre o la madre y otros
agentes que faciliten una coherencia en la continuidad del proceso que se desarrolla en la escuela. Las
actividades que desarrolla el estudiante en su individualidad ahora puede socializarla en las diferentes
Luis Zaldivar Henriquez
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agencias mediadoras de la comunidad.
Acciones para la instrumentación práctica de la mediación didáctica contextualizada con las TIC en el proceso
de fijación del concepto
1. Elaborar clases para la fijación de conceptos matemáticos donde se ejecuten los diferentes componentes
del modelo del proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos ante la mediación didáctica
contextualizada con las TIC.
Orientaciones para la ejecución:
Se elaboran y aplican clases en cuya la planificación se tiene en cuenta la intervención de la estrategia y en las
que se desarrollan actividades de aprendizaje con el uso de las TIC, en función del aprovechamiento de las
potencialidades que estas poseen.
2. Realizar sistemas de actividades para la fijación de conceptos matemáticos en la Educación
Preuniversitaria con una mediación didáctica contextualizada con las TIC.
Orientaciones para la ejecución:
Desarrollar clases para las formas de fijación de conceptos propuestos en el modelo, a partir de un sistema de
ejercicios, problemas y actividades para fijar los conceptos matemáticos, donde se aplique el procedimiento
descrito y se desarrollen las diferentes fases de la fijación. Se precisa que haya un protagonismo del estudiante,
que sea activo, colaborativo y socialice sus resultados con sus compañeros.
Estas actividades se expresan mediante preguntas heurísticas e indicaciones de acciones a desarrollar para
que el estudiante gestione el conocimiento con los mediadores TIC que se orientan (Ejemplo anexo 13 a y 13
b). Las mismas propician el desarrollo de procedimientos lógicos asociados a conceptos que se enseñan y
aprenden en la Educación Preuniversitaria.
Orientar actividades independientes que propicien a los estudiantes hacer uso de los asistentes matemáticos
para obtener resultados y que en sus conjeturas sea necesario la incursión de familiares u otros agentes de la
Luis Zaldivar Henriquez
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comunidad en sus propuestas. Una vez finalizadas se socializan con sus compañeros o amigos entendidos en
el tema.
Cuarta etapa. Evaluación de la estrategia.
Objetivo: evaluar la marcha de la estrategia y realizar las correcciones que correspondan para su mejoramiento.
Acciones fundamentales:
1. Análisis del desenvolvimiento de cada estudiante en los indicadores determinados para el aprendizaje.
2. Valoración de la manera en que los estudiantes incorporan lo aprendido a su desarrollo integral.
3. Reajuste de la estrategia de acuerdo con los resultados obtenidos por los estudiantes.
4. La evaluación que se planifica tiene carácter procesal, por lo que debe estar presente desde el diagnóstico,
en la valoración de la marcha del proceso de aprendizaje, y como mecanismo de retroalimentación para
corregir e introducir modificaciones en correspondencia con los resultados que se obtengan.
Orientaciones para la ejecución:
La concepción de la evaluación tiene que ser integradora, no puede reducirse solo a si los estudiantes
dominan o no un conocimiento, sino al dominio del contenido que implica saber, saber hacer y saber ser,
aspectos necesarios para una formación integral. De igual forma debe considerar las aportaciones personales,
los puntos de vista y las posiciones que, acerca del aprendizaje, tienen los estudiantes. Debe propiciar el
desarrollo de los estudiantes, su actividad cognoscitiva productiva y creadora; el desarrollo alcanzado en la
reflexión debe implicarse en la formación de sentimientos, actitudes y valores. Las actividades evaluativas
deben servir de guía y ofrecer orientaciones a los docentes acerca de la medida en que se ha alcanzado el
aprendizaje por los estudiantes, se ha promovido su crecimiento, su disposición a prepararse sistemáticamente
y no para aprobar un examen, todo lo cual favorece el desarrollo de sus posibilidades de aprender a aprender.
En el aprendizaje reflexivo la evaluación en sus diferentes variantes tiene que estar dirigida a comprobar si los
estudiantes reflexionan o no; deben incluirse juicios y valoraciones sobre el proceso seguido para llegar al
resultado en el que se revele que los estudiantes han comenzado a cuestionar el fundamento epistemológico
Luis Zaldivar Henriquez
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de la disciplina que se trata.
Otro elemento importante a considerar, al tratarse de la evaluación del aprendizaje reflexivo, es la
individualización de esta, en correspondencia con los objetivos que son evaluados; los estudiantes deben
comprender la evaluación como una forma de corregir sus dificultades, lo que no está precisamente en la
calificación cuantitativa, sino en la cualitativa. Se propone la autovaloración y la valoración colectiva, en las
diferentes formas de evaluación que se diseñen en la asignatura. Se hace necesario utilizar los informes
realizados por los estudiantes, la defensa de conclusiones en cualquier situación de aprendizaje, secciones de
intercambio de procedimientos y estrategias, entre otros.
Conclusión del capitulo
En el proceso didáctico de la fijación de conceptos matemáticos de la Educación Preuniversitaria los
estudiantes y docentes necesitan de una didáctica que propicie el uso de los medios disponibles, para
actualizar este proceso y contextualizarlo de forma coherente, con una participación protagónica y que los
prepare para enfrentar las exigencias sociales sobre la enseñanza. Aquí, al contextualizar el uso de las TIC en
una mediación didáctica en este proceso, se resuelve con cientificidad la contradicción que generó el problema
científico determinado. Con esta estrategia se pone a disposición de docentes y estudiantes una nueva forma
de fijar los conceptos matemáticos que estimulan la comunicación, la interacción y la socialización como
condición indispensable de aprendizajes desarrolladores.
CAPÍTULO 3
EVALUACIÓN Y PERFECCIONAMIENTO DEL MODELO DIDÁCTICO DEL PROCESO DE FIJACIÓN DE
CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA Y DE LA ESTRATEGIA PARA SU
CONCRECIÓN
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CAPÍTULO 3. EVALUACIÓN Y PERFECCIONAMIENTO DEL MODELO DIDÁCTICO DEL PROCESO DE
FIJACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN PREUNIVERSITARIA Y DE LA
ESTRATEGIA PARA SU CONCRECIÓN
Para el desarrollo del proceso evaluativo y de perfección de la teoría propuesta en el modelo didáctico se
siguen las orientaciones y experiencias de investigadores como Gamboa, M. E. (2007); Rojas, O. (2009) y
Rodríguez, M. (2011), que conducen al autor a estructurar el proceso mediante un análisis empírico y práctico
valorativo de los resultados según los métodos empleados.
Este capítulo está estructurado en dos epígrafes. Se presentan los resultados obtenidos a partir de talleres de
opinión crítica y elaboración colectiva, los cuales se organizan en consecuencia con la metodología establecida.
Además, se implementa la estrategia en la práctica educativa mediante un pre-experimento, cuyo objetivo está
dirigido a la aplicación de las actividades diseñadas en la estrategia didáctica que pone en práctica el modelo
de la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
3.1 Talleres de opinión crítica y elaboración colectiva
Para planificar los talleres se parte de convocar a los posibles participantes, según características distintivas
como el dominio de los fundamentos esenciales que se recogen en el modelo y la de ser posibles introductores
de estos resultados en la práctica educativa. Además, fue valorado un grupo de aspirantes que dominan los
fundamentos epistémicos, son especialistas en la asignatura y están vinculados a la actividad docente en la
Educación Preuniversitaria.
En el proceso de aplicar este método de investigación fue necesario hacer ajustes a partir de las valoraciones
colectivas de los especialistas participantes en los talleres, para finalmente considerar la factibilidad práctica de
Luis Zaldivar Henriquez
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la propuesta. Estas valoraciones enriquecieron teóricamente los fundamentos del modelo, así como sus partes
estructurales. Los referentes para este estudio se asumen de las investigaciones desarrolladas por los doctores
Cortina, V. (2005); Gamboa, M. (2007) y Rodríguez, M. (2011), Avila, Y. de la C. (2011) de las cuales se toman
la estructura y fundamentación para su aplicación. Además, se garantizó la valoración reflexiva de los cambios
propuestos según los criterios emitidos por los integrantes de un grupo por parte de los integrantes de otro.
A continuación se exponen los principales resultados de la implementación de este método, se organizaron
cuatro grupos con los participantes, a partir de los 48 integrantes y quedaron estructurados de la siguiente
forma:
Grupo A: doctores que desarrollaron temas de investigación afines con esta propuesta (9 integrantes).
Grupo B: aspirantes a doctores con temas de investigación en Didáctica (11 integrantes).
Grupo C: profesores de experiencia en la Educación Preuniversitaria y de la UCP que imparten Didáctica de la
Matemática (13 integrantes).
Grupo D: metodólogos municipales y el provincial que dirigen la Enseñanza de la Matemática en la Educación
Preuniversitaria, con la participación de profesores entrenadores para el ingreso a la Educación Superior (15
integrantes).
Estos talleres se desarrollaron en tres etapas, según Cortina, V. (2005), las cuales el autor de la tesis las
propone como momentos para el funcionamiento de un proceso.
Momento: antes de desarrollar el taller.
1. Como fue descrito anteriormente, se organizaron cuatro grupos, y se les propuso desarrollar seis talleres en
este orden:
I. Un primer taller, con los integrantes del grupo A, con el objetivo de valorar críticamente y proponer
soluciones a la estructura del modelo propuesto, su pertinencia con el tema investigado y la cualidad
resultante para solucionar la contradicción esencial.
Luis Zaldivar Henriquez
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II. Un segundo taller, con el grupo C, cuyo objetivo esencial fue valorar la pertinencia de las acciones
diseñadas en la estrategia, así como la correspondencia entre estas actividades y las del programa de
Matemática en la Educación Preuniversitaria.
III. Un tercer taller, con el grupo D, cuyo objetivo principal fue recoger la opinión crítica de las actividades
propuestas, así como su pertinencia en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la
Educación Preuniversitaria.
IV. Un cuarto taller, con los integrantes del grupo B, cuyo objetivo fue valorar la estructura de la estrategia
mejorada según las opiniones planteadas en los tres talleres anteriores.
V. Un quinto taller, con los integrantes del grupo D, en el que se presentaron los cambios y fundamentos
necesarios para la introducción de los resultados, pues en el trabajo metodológico tienen una sólida
experiencia práctica alrededor del tema y son los posibles introductores del tema en la práctica
educativa.
VI. Un sexto taller, con los integrantes del grupo A, para presentarles los cambios y fundamentos
alcanzados, producto de las valoraciones críticas hechas en los talleres restantes, para una valoración
teórica fundamental de las transformaciones efectuadas a la propuesta inicial.
2. Se estableció una lista de posibles integrantes en los grupos para conformar los talleres, en esta selección
se tuvieron en cuenta las características descritas anteriormente, y las aspiraciones, según sus cualidades,
para poder contar con su disposición de colaboración en los talleres convocados, así como la sinceridad y
compromiso académico para participar de forma constructiva y con cientificidad en las valoraciones.
3. Se estableció la comunicación con los posibles integrantes y se les explicó el objetivo de los talleres y el
grupo al que pertenecen. Se confirmó su disponibilidad para posibilitar una participación eficiente y
cooperada entre sus miembros.
4. Entrega a los grupos de los materiales necesarios para que en el encuentro pudieran tener más
Luis Zaldivar Henriquez
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conocimiento sobre la actividad y emitir su opinión de forma certera y efectiva de este momento y proponer
soluciones.
5. Se estableció como registrador la concreción de las grabaciones, medio eficaz para recoger detalles; esto
fue comunicado a los participantes. Fue seleccionado un especialista con alta disposición de colaborar y
amplio conocimiento sobre el tema para que participara en todos los talleres, con la intención de valorar la
dinámica de los cambios y elevar la objetividad de los mismos.
6. Fue establecida una guía de trabajo (Anexo 12) para los talleres, en correspondencia con el objetivo trazado
para aplicar este método.
Momento: para la ejecución de los talleres.
El análisis de las características de los grupos (Anexos 10, 11 y 12) permitió plantear que los participantes son
representativos de investigadores y docentes con profundos dominios metodológicos. De ellos 23, que
representan el 47, 9 %, son docentes que trabajan en Enseñanza Superior y el 52.08 % restante en la
Enseñanza Media. Por categorías docentes el grupo escogido estuvo compuesto por 5 Profesores Titulares, 6
Auxiliares y 18 Asistentes; el 47.9 % son Másteres en Ciencias y el 18,8 % son Doctores en Ciencias. Esta
selección, según las características descritas junto a criterios de los tutores, avala sus competencias
profesionales para participar eficientemente en los talleres.
Introducción del taller: se hace una presentación de los integrantes para socializar el proceso; si es el segundo
taller con el grupo, se convenian los cambios propuestos en correspondencia con la pertinencia emitida por el
autor para solucionar el problema planteado. A continuación el autor presenta los fundamentos teóricos
esenciales, el modelo con las características distintivas en cuanto a la relación fundamental y su componente
esencial, apoyado en la teoría antes expuesta; luego se presenta la estrategia elaborada que sustenta el
modelo. (30 minutos)
Desarrollo del taller: el moderador del taller da apertura al debate, estableciendo como punto de partida esencial
Luis Zaldivar Henriquez
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las partes fundamentales del modelo propuesto por el autor, y que en los planteamientos polémicos se deben
emitir criterios bien argumentados científicamente y con la experiencia práctica que los corrobore, siempre en
correspondencia con la exposición realizada por el autor.
Conclusión del taller: son expresados en síntesis los aspectos concordantes entre la propuesta del autor y la
opinión de los participantes, e incluidos en la investigación como pertinentes. Se hace un resumen de los
aspectos que se van a valorar por el autor y sus tutores y necesitan una reelaboración, según los criterios de los
participantes. Se les pide a los integrantes dejar por escrito lo positivo, negativo o ausente que ha tenido el taller
para ellos como integrantes del grupo.
Momento: posterior a cada taller.
Al concluir cada taller se pide al participante con mayor experiencia en esta actividad el criterio sobre ella.
Es realizada por el autor una síntesis de las valoraciones más importantes emitidas en el taller, a partir de la
grabación de voz efectuada.
El autor profundiza teóricamente en los sustentos de las valoraciones para reelaborar el proyecto
presentado a los integrantes del taller.
El autor consulta el criterio de especialistas con título científico sobre la pertinencia del cambio.
Se elabora el documento con los cambios pertinentes para ser presentados en el próximo taller.
Se tienen en cuenta los elementos señalados como ausentes en los talleres para elaborar las
recomendaciones de esta investigación.
Al finalizar todos los talleres se elaboró una síntesis de lo que aportó cada uno a la investigación, para que
se evidenciara el cambio a favor del perfeccionamiento del documento que se presentó al inicio.
Con esta lógica se desarrollan los talleres planificados, teniendo como regla respetar la planificación y orden del
trabajo, así como la profesionalidad de integrantes y conductores de los mismos. A continuación se
describieron, en síntesis, los aspectos fundamentales abordados en cada uno de ellos y las conclusiones
Luis Zaldivar Henriquez
98
finales, aspectos socializados con los integrantes. Es preciso señalar que varios integrantes de los talleres
participan en actividades de socialización y evaluación con el autor de la tesis.
Síntesis del primer taller:
En este taller participaron los integrantes del grupo A. Luego de la presentación y explicación del modelo por
parte del autor, se pide la intervención de los integrantes según el orden de solicitud. Las valoraciones se
centran en la estructura por niveles del modelo, lo cual no se corresponde con la metodología descrita y los
referentes señalados en este caso, fue indicado valorar una estructura por subsistema, en correspondencia con
su integración al proceso total de elaboración de conceptos que se sigue en la Didáctica de la Matemática.
En lo que sería el segundo subsistema fue propuesto integrar los componentes, pues unos están contenidos en
otros y no se complementan, por lo que se precisa expresarlo como un subsistema mediacional con
componentes que sustentan el uso de las TIC para la gestión del conocimiento mediante una transposición
didáctica.
Síntesis del segundo taller:
En este taller participaron los integrantes del grupo C. Se presenta el modelo ya reelaborado según la
construcción realizada a partir de las sugerencias del taller anterior, se presenta la estrategia, con sus acciones
y operaciones para su desarrollo. Como resultado de la opinión crítica de los participantes, fue valorado que las
acciones de la estrategia no deben contener operaciones a ejecutarse, sino orientaciones de ejecución. Se
expresan los fundamentos de por qué no deben ser llamadas así y se llega al consenso de que, según el
contenido, representan orientaciones, procedimientos o explicación de las acciones.
En el contenido de los ejercicios, problemas y actividades, se sugiere elaborarlo en correspondencia con las
guías que se orientan en las preparaciones metodológicas de los profesores de la enseñanza a partir de
elementos del diagnóstico que poseen los docentes sobre los grupos donde se proyecte hacer el pre-
experimento.
Luis Zaldivar Henriquez
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Síntesis del tercer taller:
En este taller participaron los integrantes del grupo D. Los docentes que participaron en este taller se encargan
de dirigir el aprendizaje de la Matemática en esta enseñanza. En la opinión crítica de las actividades propuestas
se llegó al consenso de que existe una estructuración didáctica correcta, pues hay correspondencia con el
proceso donde no ha sido aplicada la estrategia. Se sugiere un trabajo inicial con los estudiantes sobre
conceptos y elementos de los asistentes matemáticos, el trabajo con la Ecured y la aplicación de los sistemas
operativos.
Se sugiere la integración de actividades donde se trabaje con nodos cognitivos, especialmente en ejercicios
integradores de conceptos, lo que es pertinente en ejercicios de formato diverso, así como la forma de expresar
las categorías didácticas cuando se usa el procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC.
Se hace un análisis de la relación que existe entre la estrategia y el tratamiento metodológico de cada unidad
en que se aplica.
Los participantes valoraron la conveniencia de realizar una mejor descripción de la relación entre los
componentes: gestión de conocimientos, transposición didáctica y procedimientos lógicos para fijar los
conceptos a partir de los ejercicios, problemas o actividades a ejecutarse en las clases.
Síntesis del cuarto taller:
En este taller participaron los integrantes del grupo del grupo B. En las valoraciones emitidas por los aspirantes
sobre la estrategia y su correspondencia con el modelo, se critican constructivamente las actividades dirigidas a
la preparación de los docentes, se sugiere no desarrollar solamente cursos de postgrado, también incluir
talleres metodológicos, pues no todos los docentes pueden asistir simultáneamente a la superación fuera del
centro laboral.
Se elaboran nuevamente las premisas de la estrategia en correspondencia con la definición asumida por el
autor y el objetivo de la misma para lograr el fin deseado.
Luis Zaldivar Henriquez
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Síntesis del quinto taller:
En este taller participaron, de nuevo, los integrantes del grupo D. Se presenta un modelo didáctico de fijación
de conceptos ya mejorado según los talleres anteriores y una estrategia con la nueva estructura sugerida. Los
integrantes de este taller manifiestan aceptación de la estrategia para desarrollar el proceso didáctico de fijación
de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria, ven en ella una posible solución para aumentar la
solidez y durabilidad de los conceptos como base del conocimiento de los estudiantes en este nivel
educacional.
Manifiestan la funcionalidad del modelo en las condiciones actuales de la escuela cubana, es aplicable en
cualquier concepto matemático de esta enseñanza, pues consideran se han tenido en cuenta las
potencialidades de los estudiantes en este nivel para aprender a aprender cuando gestionan sus conocimientos
con una mediación didáctica contextualizada con las TIC.
Síntesis del sexto taller:
En este taller participaron, nuevamente, los integrantes del grupo A. Los integrantes de este taller consideran
que la propuesta posee suficientes argumentos para representar un aporte científico, con una óptica innovadora
dentro de la Didáctica de la Matemática. Expresan conformidad con la nueva estructura que adquiere el modelo
al quedar establecida una lógica entre las relaciones de los diferentes subsistemas del mismo. De común
acuerdo los participantes estuvieron de acuerdo con que el nuevo sistema aporta actualización didáctica al
proceso de fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
Se expresó que la estrategia es aplicable en las instituciones de este nivel, considerando su adaptabilidad
según los resultados del diagnóstico y el contexto en que se desarrolle el proceso.
Resultados generales de los talleres:
• Es opinión de los integrantes de los talleres que la contradicción planteada se resuelve con la teoría que se
propone.
Luis Zaldivar Henriquez
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• Con las premisas y teoría propuestas se actualiza el proceso didáctico de la fijación de conceptos
matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
• La estrategia didáctica es viable, cumple con las exigencias de las orientaciones para la enseñanza de la
Matemática en la Educación Preuniversitaria y hay una correspondencia con el modelo elaborado.
3.2 Implementación de la estrategia didáctica
En este epígrafe se realiza la descripción y valoración de las particularidades del proceso de implementación de
la estrategia didáctica elaborada. Se desarrolló en función del objetivo propuesto, determinado a evaluar y
valorar cualitativa y cuantitativamente la preparación que alcanzan los estudiantes en la fijación de conceptos
matemáticos en la Educación Preuniversitaria cuando se utilizan las TIC con una mediación didáctica
contextualizada. La estrategia didáctica para la fijación de conceptos matemáticos se elaboró para implementar
el modelo teórico diseñado en el capítulo anterior. También se establecen conclusiones sobre los efectos que
causa en estudiantes, docentes, directivos, familia, comunidad y otros involucrados que recibieron influencias
durante el proceso de implementación práctica de la investigación.
Es pertinente manifestar la participación en este proceso de los miembros del proyecto de investigación, del
cual es resultado esta tesis. Su función en este momento se encaminó a preparar a los docentes que
participaron en la aplicación de la estrategia. Para encauzar este proceso de instrumentación se siguen los
criterios de autores como Córdova, C. (2004); Carreño, A. (2006); Gamboa, M. E. (2007); Velázquez, M. (2007);
Valle, A. (2010); Valledor, R. (2012) y otros que manifiestan prescindir de grupos de control en un pre-
experimento. Con estas determinaciones se organizó un plan para intervenir en la escuela y poder recibir la
colaboración comprometida de los docentes y estudiantes que representan la posible muestra.
Para la implementación se partió de la creación de condiciones oportunas en la escuela para poder desarrollar
las actividades propuestas. Como parte de la aplicación de la investigación en su etapa de validación, el
investigador y sus colaboradores se presentaron en las escuelas seleccionadas para hacer las coordinaciones
Luis Zaldivar Henriquez
102
necesarias en función de la selección de la muestra de docentes y estudiantes. Esta coordinación, a nivel
institucional, contó con la presencia de los metodólogos de Matemática de la provincia y el municipio de Las
Tunas, conocedores de la investigación al ser miembros de los talleres de opinión crítica y elaboración
colectiva.
Al interactuar con los docentes, posibles introductores de la investigación, existió cierta resistencia al cambio,
mostrada al tener que dedicar tiempo de preparación, destinado a su formación, así como la planificación y
elaboración de materiales para trabajar con la estrategia. En la intervención el investigador mostró a los
docentes los puntos comunes de la estrategia planteada y la que ellos aplican, demostrándoles, a partir de los
documentos normativos ministeriales, cuántos elementos teóricos y prácticos estaban quedando fuera del
proceso, que limitaban la calidad del aprendizaje de los estudiantes. Finaliza el intercambio con expectativas de
que hay que trabajar más y con fuertes motivaciones para participar en un proceso donde hay una actualización
didáctica que transforme los métodos de enseñanza en la fijación de los conceptos matemáticos de la
Educación Preuniversitaria.
La muestra se escogió según un muestreo combinado por los métodos estratificado e intencional. Con esto se
garantizó una alta disposición de colaborar con la investigación, y que la misma tuviera calidad y tamaño
apropiados para hacer mínimos los errores de muestreo y que fuera representativa para el estudio en cuestión.
La misma estuvo compuesta por 223 estudiantes de los tres grados del nivel educacional, y fue seleccionada
para la caracterización del estado actual del aprendizaje en el mes de noviembre del 2013. Estuvo compuesta
por tres grupos del IPU “Pelayo Paneque” y tres del IPU “Francisco Muñoz Rubalcava”, del municipio Las
Tunas, lo que representa estratos para cada uno de los grados de estas instituciones.
Los docentes son másteres y poseen un buen dominio de las TIC para la docencia, pues tienen 16 años de
experiencia como promedio en la Educación Preuniversitaria. En la comunicación con vistas a su participación
como colaboradores del proyecto manifestaron su entera disposición, pues ya habían recibido el curso de
Luis Zaldivar Henriquez
103
postgrado sobre el uso de asistentes matemáticos en las clases, desarrollado por un miembro del proyecto y el
autor de esta investigación. En la interacción con la dirección de las escuelas se recibió el apoyo total de
ambas, en especial del IPU “Francisco Muñoz Rubalcava”, pues el director y secretario docente son
profesionales especialistas en Matemática, los que mostraron su colaboración incondicional.
Al desarrollarse la etapa propedéutica con los docentes que participaron en el pre experimento se concilió con
la dirección de ambas instituciones permitirle al investigador actuar con independencia junto a los docentes y el
metodólogo municipal, en función de garantizar una máxima preparación de ellos para desarrollar las
actividades con los estudiantes. Esta se garantizó en los talleres metodológicos.
Al crear las condiciones materiales requeridas, según exigen los documentos normativos del MINED para las
instituciones educacionales, se constató que en los laboratorios de informática se encuentra instalada la
colección “Futuro”, los asistentes matemáticos Geogebra 3.5, Geómetra y Cabri 3D, se copió la versión para
móviles y tabletas del Geogebra. Se activó la conectividad de ambos centros con el Nodo Provincial y se dio
acceso a intranet y el internet temático, se hizo una actualización de materiales audiovisuales en la biblioteca de
cada centro y se orientó al personal que tiene a cargo atender a los estudiantes en estos escenarios.
Se consultó la caracterización del proyecto educativo correspondiente a cada grupo, en cada centro
educacional, para ubicarse geográficamente en el contexto de los Consejos Populares y hacer coordinaciones
con seis de los ocho Joven Club de Computación y Electrónica en el municipio cabecera. En estos centros se
expuso el proyecto en el que participarían los estudiantes y docentes, se coordinó encuentros con el
investigador para facilitar información sobre las actividades a desarrollar por los estudiantes y las necesidades
de materiales, y se entregó el listado de los participantes en cada entidad.
Para el análisis y valoración del proceso la variable que se evaluó fue la fijación de los conceptos matemáticos,
para la cual se presentó la estrategia a seguir, teniendo presente las tres dimensiones y sus respectivos
indicadores con la escala ordinal establecida para el desarrollo del proceso de fijación de conceptos
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matemáticos en la Educación Preuniversitaria (Anexo 3). Estos indicadores se agruparon en las dimensiones
cognitivas, procedimental y actitudinal del aprendizaje y se midieron con los instrumentos elaborados para este
fin (Anexo 3 a).
El desarrollo de la estrategia didáctica se efectuó mediante las etapas descritas en la misma. Durante la
implementación se valoró el movimiento de la muestra al comparar el momento inicial y final en cada indicador,
lo que permitió valorar las dimensiones en las que se evaluó la fijación de los conceptos matemáticos en los
estudiantes de la Educación Preuniversitaria.
En la etapa de diagnóstico se retomaron los resultados de la caracterización efectuada y se actualizó el dominio
de los conceptos fijados a largo plazo con una prueba pedagógica de entrada (Anexo 8). Al triangular sus
resultados con los obtenidos en la caracterización se demostró que la fijación de conceptos a largo plazo se
encuentra en una escala regular, y su tratamiento es ineficiente, pues ya fueros trabajados en la Secundaria
Básica y el Décimo grado.
Esta insuficiencia representó un punto de partida para asegurar el trabajo en las unidades temáticas en las que
se aplicó la investigación. Se determinó el estado de solidez en que se encuentra el dominio de los conceptos
esenciales para fijar los conceptos funcionales y sus propiedades, partiendo de una transferencia de
propiedades y analogías necesarias que se manifiestan en este proceso.
Mediante el estudio de los resultados de entrada (Anexo 8 a) se pudo determinar que es bajo el dominio de
conceptos relacionados con las funciones. Aunque los conceptos de este tema fueron estudiados en cursos
precedentes, su solidez no se ha logrado, por lo que es un tema que se está retomando en los programas para
completar su asimilación a largo plazo. De los 223 estudiantes muestreados, 118 no superaron los parámetros
establecidos para ordenarlos en una categoría considerada aprobada.
En la valoración de los resultados de entrada, al evaluar el segundo indicador se pudo constatar que en el
proceso de formación de los conceptos son capaces de identificar las características inherentes a un concepto,
Luis Zaldivar Henriquez
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como un elemento formado a corto plazo. Al ponerlos en situaciones de aprendizajes donde podían consultar
modelos, estrategias de apoyo, y otros materiales, se mostraron muy dependientes de ayudas de otros
estudiantes y sus profesores, cuestión que no se permitió para este diagnóstico.
En la encuesta aplicada (Anexo 9) se manifestó que hay poco uso de estrategias de apoyo para el aprendizaje,
no reconocen usarlas en clases, manifestaron que este proceso de estudio lo desarrollan tradicionalmente con
guías de ejercicios de un mismo tipo, relacionadas con el contenido que se está fijando en ese momento.
Fue consultada la caracterización de cada grupo y sus resultados en el curso. Se determinó que poseen
necesidades cognitivas para estudiar los contenidos de esta unidad, pero tienen buenos conocimientos sobre el
trabajo con la computadora. En la totalidad manifestaron acceder a computadoras en su casa, familia o vecinos,
en casos aislados dicen acceder al Joven Club para realizar tareas independientes. El 100% asisten a los
laboratorios informáticos con regularidad, y en algún momento han visitado la Ecured, no saben acceder a sitios
de la intranet como el portal www.cubaeduca.cu.
En la etapa de orientación se desarrollaron los talleres metodológicos con el colectivo de docentes que
impartían clases de Matemática en esos grupos. En estos se explicó la concepción del procedimiento didáctico
basado en la mediación didáctica contextualizada con las TIC que enriquece los métodos productivos. Además,
se planificaron acciones para darles seguimiento a los resultados del diagnóstico inicial, para la preparación del
trabajo con los asistentes matemáticos, las aplicaciones de los sistemas operativos y la búsqueda de
información en las redes nacionales e internacionales. Al concluir los talleres se elaboró, por cada docente, una
ejemplificación de actividades haciendo uso del procedimiento didáctico, en la que se aportaron ideas
pertinentes, propias de su instrumentación en la práctica educativa (Anexo 13).
Con estos talleres se garantizó el dominio del uso de las TIC en la docencia, pues ahora con la capacitación ya
saben emprender acciones para su inclusión en el proceso didáctico de fijación de conceptos matemáticos, y se
acepta la guía del investigador, necesaria para la recogida de datos.
Luis Zaldivar Henriquez
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Para la aplicación del procedimiento didáctico de la investigación, durante los talleres fueron organizados
momentos para transitar por los subsistemas propuestos en el modelo. Se partió de los mismos ejercicios que
se desarrollan en las clases de otros grupos y se determinaron las relaciones entre los componentes gestión del
conocimiento y la transposición didáctica, procedimiento aceptado con facilidad por los docentes que trabajan
en la introducción de la investigación.
Entre las acciones fundamentales desarrolladas en estas reuniones de trabajo se pueden citar algunas que
permitieron franquear barreras objetivas y subjetivas, llegando a consensos tantos teóricos como prácticos en la
preparación de quienes aplicaron la estrategia y pusieron en manos de los estudiantes el procedimiento
propuesto para fijar los conceptos matemáticos, estas son:
Diagnosticar a los estudiantes en el uso de la tecnología.
Emplear las TIC para desarrollar conocimientos básicos y enriquecer el estudio de la Matemática.
Desarrollar las ideas matemáticas desde múltiples perspectivas con el apoyo de la tecnología para
enriquecer la gama y la calidad de contenidos en los estudiantes.
Seleccionar o crear actividades matemáticas que aprovechan los adelantos de las TIC para un trabajo
más eficiente.
Las peculiaridades de los implicados en el proceso varían constantemente. El diseño no puede ser rígido, para
que el profesor tenga en cuenta las interacciones que se dan en el proceso. La contextualización incrementará
la coherencia del contenido con la forma en que se enseña y aprende, y el nivel de conocimiento del contexto
depende de la interacción que se tenga con este, con lo que no se puede pretender que se conozcan todas las
relaciones que se dan en él y por tanto concebir un diseño estricto.
La realidad es cambiante, hay que estar preparado para enfrentar estos cambios de manera flexible,
manteniendo la coherencia de la unidad como totalidad. El proceso de fijación de conceptos matemático no
termina con el comienzo de la implementación de sus actividades, sino que es permanente y aplicable a estas y
Luis Zaldivar Henriquez
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a las que aún no están en funcionamiento. Se realizaron adaptaciones en ejercicios y problemas de acuerdo
con los cambios que se dan en el contexto de aprendizaje, lo que permitió alcanzar los objetivos propuestos.
El diseño de los ejercicios como actividades heurísticas y el establecimiento de los procedimientos lógicos a
trabajarse en cada sistema de actividades permitieron mostrarles a los docentes las relaciones de las TIC en
todo este proceso de enseñanza-aprendizaje para darle cualidades de desarrollador.
En estas secciones se incorporan dos estudiantes de la carrera Matemática Física que desarrollan su práctica
laboral en el IPU “Francisco Muñoz Rubalcava”, los que mostraron grandes motivaciones por el tema de
investigación durante la organización de las actividades. Estos se interesaron en proyectar su trabajo científico
estudiantil de pregrado con el tema, situación que propició fortaleza a la investigación, pues en ese momento se
comprometieron, en ambas tareas, los docentes participantes de la escuela.
Los docentes que imparten la asignatura participan en cursos de superación en las áreas del conocimiento a
nivel de municipio, y manifiestan que no es un tema tratado en esas actividades y sí para el tratamiento del
nuevo contenido. De esta forma fueron corroborados los resultados en la caracterización del estado actual de la
fijación de conceptos en la Educación Preuniversitaria.
Las principales insuficiencias de la muestra son causadas por el poco dominio del concepto formado a largo
plazo, en el que existen problemas críticos para establecer las relaciones de conceptos matemáticos con
situaciones de la vida real que así lo demanden. Junto a esto, los estudiantes reflejan barreras, al no saber
establecer conjeturas sobre situaciones descritas respecto a su aplicación en las actividades matemáticas
individuales o colectivas.
Otro aspecto de interés a señalar es la presencia en el grupo de potencialidades, conocidas en la enseñanza
por fortalezas, como son: la ejecución de un sistema de trabajo con los valores, la FEEM y UJC se interesan
por los resultados académicos de los miembros del grupo y la motivación que ha despertado esta investigación
para aprender conceptos matemáticos.
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Es justo reconocer el apoyo del departamento de Ciencias Exactas en cada institución, con la inclusión de
actividades de la propuesta en el diseño del trabajo metodológico de superación. Con todo lo aportado
anteriormente se puede inferir que el grupo no permanece estático, sino que está en desarrollo y en
condiciones de transitar por diferentes niveles con la aplicación de la propuesta.
En la etapa de ejecución de la estrategia se utilizaron diversas técnicas e instrumentos investigativos, para
desarrollar las diferentes formas de fijación de conceptos matemáticos en el tema de funciones. Estos
recibieron la aprobación del metodólogo provincial y el jefe de departamento de cada institución.
Se aplicaron los mismos ejercicios propuestos en la preparación metodológica de la asignatura, pero guiándose
por el procedimiento de la mediación didáctica contextualizada con las TIC como mediadores en el proceso
didáctico, al encauzar el mismo en una estructura orgánica, para que el estudiante gestione los conocimientos
que se encuentran contextualizados en las TIC, se vela porque sean atendidos los procedimientos lógicos
asociados a estos conceptos (reconocer propiedades necesarias y suficientes, identificar el concepto, decidir,
comparar con otros conceptos, clasificar, ejemplificar, deducir propiedades).
Como recurso heurístico se hace uso de la analogía con las funciones lineales y cuadráticas conocidas por los
estudiantes y sistematizadas recientemente; estos impulsos y generalización de propiedades permiten
gestionar los conocimientos necesarios con las TIC, en este caso se utiliza como mediador el asistente
matemático Geogebra, y se propicia la búsqueda de información en el portal educativo www.Cubaeduca.cu, el
Software Eureka y las aplicaciones de los sistemas operativos, se pone a disposición las video clases 16 a 18
de Onceno grado.
El procedimiento didáctico propuesto se desarrolló en las actividades de los tres grados, referidas a funciones.
A continuación se describen algunos ejemplos de las mismas, elaborados por los docentes participantes en la
introducción de la investigación y ejecutados por los estudiantes.
Al orientar las actividades sobre el concepto de función cuadrática los estudiantes utilizaron el procedimiento
Luis Zaldivar Henriquez
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para desarrollar las acciones de mediación didáctica con las TIC para reconocer características del concepto.
Para repasar el concepto de función se orientaron acciones como las siguientes:
Acceda al portal www.ecured.cu y compare el concepto de función cuadrática estudiado en clase que está
en el libro de texto con el concepto que aparece en este portal.
Compare la gráfica de la función cuadrática con los gráficos del ejercicio 2 y 3. Diga si estos son
representantes del concepto.
En el accionar para darle solución se movilizan procesos lógicos del pensamiento como el análisis y la síntesis
que posibilitaron a los estudiantes apropiarse de características esenciales del concepto.
En actividades para la ejercitación del concepto se presentaron indicaciones que promovieron en los
estudiantes la necesidad de acciones de mediación didáctica contextualizada con las TIC, como las siguientes:
Abra el archivo “actividad #1 de la función cuadrática.xls” e identifique cuáles conjuntos de pares
ordenados en las columnas pertenecen a las funciones con ecuaciones y=x2+3x-2 y y=(x-2)2+4. Diga qué
conjunto no es función.
Haga una búsqueda en internet de gráficos que representan a funciones cuadráticas y diga qué
característica limita en ese gráfico el concepto estudiado. Escriba la forma general de sus ecuaciones.
Abra el archivo “función cuadrática #6.ggb”. Una función cuadrática es una función polinómica de 2º grado:
y = f(x) = ax² + bx + c a ≠0. Su gráfica es una curva llamada parábola, simétrica respecto a una recta, su
eje, que la corta en el vértice.
Estas actividades se desarrollaron en los laboratorios de las escuelas en las que se aplicó la investigación, en
las mismas se ejercitaron la relación entre los conceptos estudiados, como son: función, ceros, monotonía,
entre otros. Se pudieron apreciar cualidades y potencialidades que poseen las TIC en la variación del contenido
del concepto para mostrar sus propiedades, referidas a la ampliación o limitación del concepto, su
representación gráfica, entre otros procedimientos lógicos asociados a este concepto de función exponencial.
Luis Zaldivar Henriquez
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El contenido del concepto aquí se convierte en el punto de partida que sirve de orientación, tanto para la
selección de las acciones de mediación que el docente y los estudiantes implementan de manera coherente
con las desarrolladas en la formación del concepto como los procedimientos que se potencian para
determinar la selección de los ejercicios.
Así se presenta el trabajo con las funciones exponenciales f(x)= ax, d(x)= b2x-3 y g(x)= cx-3
¿Con cuáles valores del deslizador varía la trayectoria?
¿Con cuál valor se convierte en una recta?
¿Es otra función diferente?
Se estimulan las relaciones sociales entre los agentes involucrados mediante acciones como esta:
Intercambie con sus compañeros.
En estas actividades se potenció el desarrollo de procedimientos lógicos del pensamiento asociados a
conceptos, como es el caso de identificar, generalizar, limitar el concepto, ampliar el concepto. Además, se
desarrollan otros como el análisis, síntesis, abstracción, reflexión y generalización, presentes en la
experimentación que se ejecutó con las cualidades del Geogebra como herramienta tecnológica ejecutable en
cualquier dispositivo móvil o en computadoras con cualquier versión de sistema operativo instalado.
Se siguió el mismo procedimiento en otras actividades para desarrollar una profundización en el concepto y que
el estudiante fuera capaz de transitar por las tres fases de fijación del mismo, en la mediación didáctica
contextualizada con las TIC. Su concepción fue similar a este ejemplo:
Actividad:
Utilizando el archivo “función cuadrática.ggb”, haga variar los parámetros a, b, c en los deslizadores. En su
experimentación responda:
¿Cómo cambia la gráfica de la función cuando varía el valor del coeficiente a?
¿Qué ocurre si a < 0, a = 0 ó a > 0?
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Siga cambiando el valor de a, pero manteniéndolo positivo.
¿Varía la forma de la gráfica?
Sin cambiar los valores, y por tanto sin cambiar la gráfica, haga zoom para acercar o alejar, haciendo clic
cerca del vértice.
¿Parece que cambia la forma de la gráfica?
¿Cómo cambia la gráfica cuando cambia b? (Active las casillas „Vértice‟ y „Eje‟).
¿Qué ocurre cuando cambia c?
Factorice el polinomio de la figura.
¿Qué relación tienen los factores con los puntos en que la gráfica corta al eje OX?
Modifique los valores de los coeficientes para que la gráfica sea tangente al eje OX.
¿Cómo se factoriza entonces el polinomio?
¿Qué relación hay entre la coordenada x del vértice y los puntos de corte con el eje OX?
Cuando no hay puntos de corte con el eje OX, ¿la función es siempre positiva o siempre negativa?
¿Tiene algo que ver el signo de a en ello?
¿En cuántos puntos puede cortar una recta a una parábola?
Otras actividades desarrolladas en clases de sistematización de conceptos permitieron la integración de los
mismos en nodos cognitivos y relacionarse con la navegación por sitios de internet como fue el caso de
https://www.desmos.com/calculator y http://es.slideshare.net/mduranvacas/problema-applet-de-geogebra
donde se proporcionan actividades interactivas. Esto permitió desarrollar grandes motivaciones en los
estudiantes para acceder a ellos y socializar los ejercicios que debían resolver en sus libretas, compararlos y
divulgarlos en el internet.
Estas actividades desarrolladas en coordinación con la familia y los Joven Club cercanos a las escuelas
permitieron mostrar la función didáctica de estas dos agencias en el contexto comunitario. En comentarios de
Luis Zaldivar Henriquez
112
los técnicos de laboratorio se manifestaron su satisfacción por estas coordinaciones en función del aprendizaje
de los estudiantes. Al reflexionar con la dirección de ambas escuelas manifiestan continuar aprovechando estas
coordinaciones con la comunidad desde los proyectos educativos de cada centro.
Con el desarrollo de actividades en las diferentes formas para fijar las características y propiedades de las
funciones, se generaron debates y reflexiones en momentos de la clase, se intercambiaron procedimientos que
les permitieron a los estudiantes interactuar con las TIC en busca del conocimiento mediante orientaciones de
los docentes. Se controló la participación activa de cada estudiante para que transitara por los diferentes niveles
de asimilación del concepto en correspondencia con las condiciones contextuales que resultaron del
diagnóstico pedagógico integral (Anexo 14).
La evaluación de la estrategia didáctica en diferentes momentos de su aplicación permitió la valoración
cuantitativa y cualitativa de los cambios que ocurren en el aprendizaje de los estudiantes y en el diseño de
acciones transformadoras al presentarles actividades en las que tienen la necesidad de hacer uso de
mediadores didácticos, como en este caso, las TIC.
Esta mediación didáctica con el uso de las TIC se presenta en todas las etapas de la estrategia didáctica,
desde el diagnóstico y la identificación de los problemas en la escuela, los avances en el aprendizaje, hasta el
redimensionamiento de las acciones de la estrategia que, de acuerdo con su flexibilidad, son factibles.
Se realizó un diagnostico para evaluar las necesidades de aprendizaje de los estudiantes, en el que se tuvo en
cuenta lo cognitivo, lo procedimental y lo actitudinal. Se evaluaron conocimientos teniendo en cuenta no sólo lo
instructivo, sino también lo formativo y la valoración de los resultados, lo que permitió adecuar las acciones de
la estrategia de manera flexible, crítica y reflexiva.
Estos resultados permitieron evaluar la fijación de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria,
partiendo de las dimensiones e indicadores establecidos en el capítulo anterior (Anexo 3). Al realizar la
triangulación de los resultados en los instrumentos aplicados se obtuvo que esta variable se encuentre en una
Luis Zaldivar Henriquez
113
escala ordinal de Bien (Anexo 15).
Los resultados obtenidos en cada dimensión, que se muestran en la fig. 3.1, están fundamentados en el
crecimiento cognitivo que se logró en los estudiantes al enfrentar el contenido de los conceptos de forma
diferente con el empleo del procedimiento propuesto, representado mediante los recursos didácticos
empleados. Se logró que se experimentara una mejor efectividad de los conocimientos sobre conceptos
matemáticos en los estudiantes de la Educación Preuniversitaria al utilizar acciones de mediación didáctica
contextualizada con las TIC.
Esto es una consecuencia cuando se logra que los conceptos formados perduren y sean aprovechados en
diferentes situaciones de aprendizaje. Además, se puso de manifiesto que las acciones de mediación didáctica
con las TIC permiten que los procesos mentales para formar el concepto a corto plazo sean efectivos y se
manifiesten independientes en la realización de las actividades para fijar conceptos matemáticos, lo que
propició el tránsito por los niveles de desarrollo cognitivo (Anexo 15 c).
Al valorar los resultados de los instrumentos aplicados en cada grado, con los indicadores seleccionados en
esta dimensión (Anexo 15 d), se pudo apreciar un movimiento del aprendizaje y la independencia en
correspondencia con la media de la muestra, se obtuvieron los mejores avances en el grado Duodécimo, pues
las motivaciones por aprobar los exámenes de ingreso permiten mejor consagración hacia el estudio.
La línea de tendencia del comportamiento global de los indicadores para medir la efectividad de los
conocimientos sobre conceptos matemáticos en los estudiantes de la Educación Preuniversitaria se manifiesta
Fig. 3.1 Gráfica del comportamiento final de las dimensiones
Luis Zaldivar Henriquez
114
con una pendiente hacia resultados satisfactorios, lo que indica el movimiento de la muestra hacia una
categoría de Bien (Anexo 15 e), obteniéndose los mejores resultados en las clases de profundización y
sistematización de conceptos.
Se reveló que se apropiaron del procedimiento para fijar los conceptos por lo novedoso del mismo, la
motivación que se logra y ayuda que les brinda. En la generalidad hubo transformación hacia niveles superiores
de independencia como resultado de las indicaciones docentes, apoyo de la familia y de compañeros.
En los procedimientos empleados para desarrollar las actividades estuvo presente el uso de estrategias de
apoyo, que incluyen el empleo de asistentes matemáticos, la navegación por la web 2.0 para gestionar el
conocimiento. Conjuntamente se contó con el uso de materiales tradicionales como es el caso del libro de texto,
la consulta de ejemplos resueltos, entre otros. Este indicador fue el de más altos resultados en los diferentes
instrumentos aplicados, como se muestra en la fig. 3.2, se expresó un cambio favorable en escalas de Muy
bien, respecto al inicio del experimento, lo que reveló la apropiación, por los estudiantes, del procedimiento
propuesto (Anexo 15 f).
Se manifestó la participación de agencias y agentes mediadores, en este caso la familia y otros agentes en la
comunidad y las instituciones como el Joven Club de Computación y Electrónica. En cada caso se manifestó la
pertinencia del empleo de medios didácticos en correspondencia con el desarrollo tecnológico existente.
En la medida en que se avanzaba durante la implementación de la estrategia, los estudiantes mostraron el
Fig. 3.2 Gráfica del comportamiento final de las dimensiones
Luis Zaldivar Henriquez
115
aumento de su disposición y consagración en el estudio durante el proceso de fijación de los conceptos
matemáticos en las clases del preuniversitario. Durante las observaciones a clases en las que se desarrollaban
las diferentes formas de fijación de conceptos aplicando el procedimiento propuesto con acciones de mediación
didáctica contextualizadas con las TIC, se constató la ayuda que les brinda para desarrollar las actividades de
fijación de conceptos. Este indicador se mantuvo evaluado con la categoría de Bien durante todas las clases de
fijación del concepto (Anexo 15 i).
En la revisión de libretas se muestra que ahora resuelven las actividades haciendo uso de los asistentes
matemáticos, y entran con regularidad a la intranet para consultar documentos referentes al tema de cada
actividad. Ya en la observación a las clases de sistematización de conceptos los niveles de ayuda y
autovaloraciones de los estudiantes menos aventajados se manifestaba muy por debajo de los niveles iniciales
del experimento (Anexo 16).
En los momentos finales del pre-experimento en la escuela, al agradecer la ayuda brindada, se solicita la
cooperación para desarrollar el instrumento diagnóstico de salida, los estudiantes se manifiestan agradecidos y
entusiasmados por las ideas nuevas recibidas por el docente que les da clases y por este autor. Al aplicarlo se
les comunica que se les transmitirá el resultado para que se autoevalúen si continúan aprendiendo a aprender
desde una óptica nueva con las TIC.
Al tabular los resultados de la prueba de diagnóstico se resalta el cambio de los estudiantes que representaron
la muestra de esta investigación. Ellos operan bien con el concepto para resolver problemas, lo hacen de forma
correcta; trabajan con mayor desempeño en los problemas donde se aplican los conceptos estudiados, con el
procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC; gestionan con mayor facilidad los
conocimientos objetos de aprendizaje; adaptan mejor lo conocido para ir en busca de lo desconocido, mediante
la transferencia de propiedades ya estudiadas a nuevos conocimientos, haciendo generalizaciones, analogías y
comparaciones. Estos resultados demuestran la efectividad y pertinencia de la estrategia didáctica, al comparar
Luis Zaldivar Henriquez
116
los momentos iniciales con los finales como se muestra en la fig. 3.3.
En el intercambio la dirección del centro manifiesta una opinión muy favorable respecto a los resultados, pues
en la horizontalidad son estudiantes con bajos resultados en otras asignaturas, por lo que se dejan indicaciones
para continuar con el procedimiento en las restantes unidades.
La insatisfacción queda en no haber podido mover el aprendizaje de 12 estudiantes de muy bajo
aprovechamiento, el accionar no permitió incidir en sus deficiencias educativas para su incorporación a la
dinámica del grupo en función de su formación. Ellos poseen buenas condiciones económicas y tecnologías
necesarias para instrumentar las acciones, pero la familia no les brinda el apoyo necesario en este proceso y su
disposición es nula.
Al valorar las actividades realizadas y el desempeño de los estudiantes se puede señalar que saben operar con
los conceptos de la unidad de funciones, extrapolarlos a problemas físicos, aplicar procedimientos lógicos
necesarios para llegar al conocimiento que se encuentra contextualizado con las TIC e integrar los asistentes
matemáticos como mediadores para darles soluciones a los ejercicios, problemas y actividades de aprendizaje
que se llevan a las clases durante las diferentes formas de fijación.
En las valoraciones finales del experimento, la media del grupo respecto al dominio de los conceptos para
resolver ejercicios crece notablemente, lo que se manifiesta en el aprovechamiento durante las actividades
realizadas. Con este procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC, el estudiante es más
activo, reflexivo y valora procedimientos necesarios para asimilar correctamente los contenidos matemáticos de
Fig. 3.3 Comparación inicial y final de las dimensiones
Luis Zaldivar Henriquez
117
la Educación Preuniversitaria, y desarrolla su comunicación y relaciones sociales entre la familia y la
comunidad.
Hacen valoraciones de los conocimientos expuestos por sus compañeros, comprenden mejor pues son
capaces de experimentar, hacer conjeturas, socializar lo aprendido, valorar positivamente actitudes y
manifestaciones de todos en el grupo y señalan la utilidad de las TIC para que su profesor imparta mejores
clases; además, plantearon que les motivó la idea de aprender a construir sus propios conocimientos, que esta
es una vía más fácil para aprenderse los conceptos, no solo en la asignatura Matemática sino también en el
resto.
Mediante el pre-experimento desarrollado para implementar la estrategia elaborada se confirmó la idea a
defender propuesta en la investigación, con la ejecución de las etapas previstas en la misma. En intercambio
con docentes y estudiantes se concluyó que en el aprendizaje se adquiere una mayor significación cuando ellos
realizan en conjunto la búsqueda del conocimiento con las TIC mediante la gestión organizada y planificada por
el docente y cuando se utilizan métodos productivos y procedimientos que estimulan el pensamiento reflexivo
para llegar a la esencia del concepto estudiado y vincular el contenido con la vida.
Al concebir un sistema de actividades y tareas docentes que ejerciten, sistematicen y profundicen los conceptos
mediante actividades donde sea necesario una mediación didáctica contextualizada con las TIC, se desarrollan
en los estudiantes los procesos de análisis, síntesis, comparación, abstracción y generalización que posibilitan
la elaboración total de conceptos, el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento, la creatividad y la
búsqueda consciente del conocimiento.
Entre los cambios más significativos que se manifestaron en estudiantes y docentes al concluir la puesta en
práctica de la estrategia, basada en el modelo propuesto, se encuentra la preparación que recibieron para
enseñar y aprender haciendo uso de mediaciones didácticas con las TIC, accediendo a los conocimientos
mediante las formas novedosas de representación del contenido; el uso de los asistentes matemáticos en sus
Luis Zaldivar Henriquez
118
actividades para la ejercitación, profundización y sistematización de conceptos, la búsqueda de información en
la internet temática y la socialización de los conocimientos y la experimentación para establecer conjeturas
respecto a las características que determinan el contenido de un concepto.
Es digno de resaltar la participación de la escuela, la familia y la comunidad al contextualizar la mediación
social en función de su aprendizaje y el uso de estrategias de apoyo para garantizar la solidez y durabilidad del
conocimiento sobre el concepto.
Barreras: representadas en las expectativas familiares sobre la fiabilidad de la propuesta, que fue franqueada
en la práctica con su inclusión en las actividades de aprendizaje de sus hijos, la superación en cuanto al aporte
que pueden brindar al aprendizaje del estudiante desde su contexto.
Rechazo al cambio manifestado en dos de los docentes seleccionados, resuelto con la ayuda colectiva de los
miembros del proyecto y apoyo de los docentes de informática del preuniversitario.
Aciertos: aceptación por los estudiantes como una forma novedosa para enfrentarse a los ejercicios. La
preparación de docentes y estudiantes para crear acciones de mediación didáctica contextualizada.
Desaciertos: no lograr resultados en tres estudiantes con altas posibilidades materiales pero con casi nulo
interés cognoscitivo, no comprometidos con el aprendizaje, y sin apoyo familiar.
Conclusión del capítulo
Los profesores de Educación Preuniversitaria, con la mediación didáctica contextualizada con las TIC,
proporcionaron actualización a la fijación de conceptos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática. Los métodos que se emplearon en la evaluación y perfeccionamiento del modelo que se establece
y la estrategia, permitieron valorar el perfeccionamiento de dicho proceso. Al mismo tiempo se evidenció mejor
solidez y durabilidad de los conocimientos conceptuales cuando se eleva la comunicación, la interacción y la
socialización, lo que repercute positivamente en la calidad de las clases, a favor de la integración activa y
reflexiva de los estudiantes, la familia y la comunidad.
Luis Zaldivar Henriquez
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CONCLUSIONES
1. El estudio histórico permitió mostrar las transformaciones ocurridas en la concepción del tratamiento de los
conceptos matemáticos, así como en las estrategias empleadas para hacer uso de mediadores didácticos.
No obstante, aún quedan sin aprovechar eficientemente, desde la perspectiva didáctica, las cualidades y
potencialidades que poseen las TIC para una actualización del proceso de enseñanza-aprendizaje donde se
potencie la activación del aprendizaje desde posiciones desarrolladoras.
2. La fijación de conceptos matemáticos, con la mediación didáctica, se fundamenta en categorías esenciales
desde lo filosófico, lo psicológico, lo pedagógico y lo didáctico que permiten modelar el proceso de
enseñanza-aprendizaje donde el estudiante participe, construya, establezca relaciones significativas,
descubra y redescubra el conocimiento conceptual mediante su interacción con los mediadores didácticos y
se desarrolle activamente con un pensamiento crítico y creativo.
3. El estado actual de la fijación de conceptos matemáticos que se desarrolla a través de las formas que
establece la Didáctica de la Matemática se organiza mediante ejercicios, problemas y actividades en los que
es insuficiente el desarrollo de los procedimientos lógicos asociados a los mismos, al emplearse métodos,
medios y procedimientos que limitan la participación activa del estudiante en la gestión del conocimiento con
las TIC.
4. El modelo didáctico, con las relaciones esenciales entre sus componentes y su concreción en la estrategia,
hace posible la fijación de conceptos matemáticos en los estudiantes a partir del contenido del mismo. La
participación de agencias y agentes mediadores para socializar los conocimientos y desarrollar los
procedimientos lógicos asociados propician, con una mediación didáctica contextualizada con las TIC, que
haya coherencia entre las formas de fijación con sus fases. Dicho modelo se organiza desde lo orientador, lo
mediacional y lo instrumental en una dinámica de contextualización y actualización del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
Luis Zaldivar Henriquez
120
5. Los métodos empleados en la validación permitieron corroborar la pertinencia y viabilidad de la estrategia
didáctica, lo que se evidenció en las transformaciones logradas en los participantes, y el reconocimiento de
su factibilidad como solución al problema científico.
RECOMENDACIONES
1. Perfeccionar el proceso de fijación de conceptos en la arista del trabajo con las habilidades matemáticas y
las actitudes como parte del contenido vinculado a los mismos, para buscar la completitud y ampliación de
las ideas que se presentaron en esta investigación.
2. Investigar nuevas formas de fijación que aparecen con la mediación didáctica contextualizada de las TIC en
el proceso de elaboración de conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
3. Profundizar en los fundamentos epistemológicos de la mediación didáctica contextualizada con las TIC,
desde las Ciencias de la Educación, para su adecuación a otros niveles educacionales.
4. Introducir los resultados obtenidos en la formación inicial de profesionales de la Educación de la carrera
Matemática-Física, a partir del contenido del tema 4: Tratamiento de conceptos y sus definiciones, en la
asignatura Didáctica de la Matemática II. Con esto se crearían condiciones necesarias para implementar los
mismos en la práctica social.
Luis Zaldivar Henriquez
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Luis Zaldivar Henriquez
ANEXOS
Anexo 1
Revisión de los productos del proceso pedagógico y otros documentos
Objetivo: Constatar las estrategias de aprendizaje de conceptos que aplican los estudiantes en los ejercicios y
problemas durante las diferentes formas de fijación.
Los documentos revisados fueron:
Libretas de clases de estudiantes para ver los ejercicios que resuelven.
Resultados de promoción para ver el rendimiento académico de los estudiantes.
Informe de resultados en pruebas de ingreso (cursos 2011-2012 y 2012-2013).
Tratamientos metodológicos al sistema de clases de fijación de conceptos.
Informes de visitas.
Expediente acumulativo de los estudiantes del Décimo grado.
Registro horizontal de los resultados académicos de la muestra.
Guía de análisis de documento
Objetivo: Determinar los aspectos a tratar en el proceso de fijación de conceptos matemáticos, para profundizar
en las causas que originan los bajos resultados del aprendizaje, en los distintos documentos consultados.
Aspectos a abordar:
1. Guías de orientación para fijar un concepto: ejercicios modelos, ejemplos resueltos, algoritmos de trabajo,
preguntas heurísticas.
2. Uso de mediadores para clasificar los conceptos: representar los conceptos en esquemas lógicos, mapas
conceptuales, resúmenes.
3. Objetivos que se deben lograr en relación con el proceso de fijación de conceptos matemáticos, para
profundizar en las causas que originan los bajos resultados del aprendizaje
4. Relación entre los conceptos en las clases de fijación alrededor de nodos cognitivos.
5. La relación que se establece entre los elementos del conocimiento y los procedimientos lógicos asociados a
los conceptos.
6. El tratamiento de conceptos, procedimientos y relaciones tanto por el alumno como por el profesor que
permitan profundizar en las causas que provocan los bajos resultados.
7. Contabilizar las notas finales de Matemática de la muestra en el curso anterior.
8. Contabilizar las notas de los estudiantes en los dos últimos trabajos de control.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 2
Acontecimientos educacionales que marcaron transformaciones en la Pedagogía Cubana
A partir del año 1972 se propició un fuerte intercambio de experiencias con los países socialistas de Europa
del Este, en los terrenos de la pedagogía y las didácticas específicas, desarrollándose un sistema de cursos
impartidos por especialistas de Alemania socialista y la Unión Soviética, lo cual permitió una mayor preparación
de los docentes.
En diciembre de 1975 se celebró el Primer Congreso del Partido Comunista de Cuba, en el que se aprobó la
Tesis sobre Política Educacional, que definió que la Educación Preuniversitaria: “es antesala de la enseñanza
superior. Ella debe asegurar una sólida preparación para las carreras científicas, técnicas, humanísticas y
pedagógicas que se cursan en los centros superiores.” PCC (1976, p. 393).
En el año 1975 se inició el perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación, en el que se estableció la
necesidad de superación docente, por lo que se desarrollaron seminarios con el objetivo de prepararlos en el
contenido y la metodología de los nuevos programas y planes de estudio para la escuela cubana.
Con la evolución tecnológica de los medios de enseñanza se influyó positivamente en cada nivel de
relaciones didácticas, para dar pie al desarrollo de una didáctica con una presencia más activa de estudiantes y
docentes en las clases.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 3
Tabla 4. Matriz de las dimensiones e indicadores
Variable Dimensión Indicador Escala Categoría del indicador
Categoría de la
Dimensión E MB B R M
Fijación de conceptos
matemáticos
I Efectividad de los
conocimientos sobre conceptos matemáticos en
los estudiantes de la Educación
Preuniversitaria.
I-1: Nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a largo plazo.
I-2: Nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a corto plazo en las clases de fijación.
I-3: Nivel de independencia en la utilización de los conceptos matemáticos para desarrollar las actividades en clases de fijación.
II Procedimientos empleados en la realización de las actividades para fijar los conceptos matemáticos por los estudiantes.
II-4: Nivel de uso de estrategias de apoyo para desarrollar los procedimientos de solución de las actividades.
II-5: Nivel de participación de agencias y agentes mediadores.
II-6: Nivel de pertinencia del empleo de medios didácticos en correspondencia con el desarrollo tecnológico existente.
III Disposición del estudiante para avanzar en el proceso de
fijación de los conceptos
matemáticos en las clases del
preuniversitario.
III-7: Nivel de interés por el estudiante durante el desarrollo de las actividades de fijación de conceptos en clases.
III-8: Nivel de interés por el estudiante para el desarrollo de las actividades de fijación extradocente.
III-9: Nivel de Autovaloración del estudiante por los resultados obtenidos.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 3 a
Tabla 5. Comprobación de los indicadores por los instrumentos
Indicadores Instrumentos
RD AC /1er TC AC / 2do TC PP1 PP2 DPPP GO Entrevista Encuesta
I-1 X X X X X
I-2
X X
I-3
X
II-4
X X
II-5
X X
III-6
X
X
III-7
X X
III-8
X X
III-9 X X
Leyenda:
RD: Revisión de documentos sobre el control académico horizontal (Expedientes acumulativos y control de
evaluaciones incidentales).
AC /1er TC: Análisis cualitativo de los resultados del primer trabajo de control parcial.
AC /2do TC: Análisis cualitativo de los resultados del segundo trabajo de control parcial.
PP1: Prueba pedagógica sobre contenidos del curso elaborada y aplicada en cada grupo por el docente que
imparte la asignatura.
PP2: Prueba pedagógica sobre contenido del nivel educacional elaborada y aplicada en cada grupo por el
investigador.
DPPP: Consulta de los documentos que son resultados del proceso pedagógico.
GO: Guía de observación a clases de fijación.
Test de rendimiento, entrevista, encuesta.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 3 b
Tabla 6. Rangos de notas respecto a la escala ordinal que se encuentra estructurado el rendimiento académico
de la muestra
RESULTADOS ACADÉMICOS
Rango de
notas Escala
RD Nota final del curso anterior P1 [90-100] E
AC /1er TC Primer trabajo de control P2 [80-90) MB
AC /2do TC Segundo trabajo de control P3 [70-80) B
PP1 Prueba pedagógica del año P4 [60-70) R
PP2 Prueba pedagógica del nivel P5 [0-60) M
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 4
Encuesta a estudiantes
Objetivo: Obtener información sobre el proceso de fijación de conceptos matemáticos en la educación
preuniversitaria.
Compañero estudiante, necesitamos su ayuda para conocer la calidad con que recibe los contenidos
matemáticos haciendo uso de las TIC durante las clases. Esperamos su sincera participación. Gracias por su
cooperación.
1. ¿Cómo se autoevalúas en los contenidos de conceptos matemáticos que recibes en este curso
escolar? E___ MB ____ B _____ R _____ M___
2. ¿Cómo se siente preparado para el examen final de Matemáticas?
E___ MB ____ B _____ R _____ M___
3. Marque la frecuencia con que necesita apoyarse en otras personas o medios para estudiar los
conceptos matemáticos al resolver ejercicios y problemas.
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
4. ¿Se apoya en otras instituciones o recursos para resolver los ejercicios y problemas de estudio
independiente?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
5. ¿Realiza las actividades de forma espontánea que se encuentran contextualizadas en la colección
“Futuro”?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
6. ¿Socializa los resultados con los demás compañeros?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
7. Cuando no entiendes las actividades, ¿ haces uso de los medios para buscar información?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
8. Marque con X los medios didácticos, en correspondencia con el desarrollo tecnológico existente que
emplea en desarrollar los ejercicios, problemas y actividades que le orienta el docente.
____web 3.0 _____ web 2.0 _____ software, asistentes matemáticos o aplicaciones de los
sistemas operativos ______ videos didácticos e imágenes fijas.
9. Al desarrollar los ejercicios, problemas y actividades extradocentes en tu estudio individual, ¿desearía
seguir estudiando con otras actividades?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 5
Prueba pedagógica
Objetivo: Determinar el estado actual de desarrollo que poseen los estudiantes acerca de la fijación de los
conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria.
Estudiante: necesitamos que responda lo más certeramente posible las preguntas que aparecen a continuación.
El resultado permitirá hacer una caracterización del aprendizaje de la Matemática en Las Tunas.
Gracias por su ayuda.
Cuestionario
1. Lea detenidamente y responda. Clasifique las siguientes proposiciones en verdaderas (V) o falsas (F).
Escriba V o F en la línea dada. De las que considere falsas, justifique por qué lo son.
a) ___ La función f, definida en IR por la ecuación f(x)= I x- 5 I + 3, es inyectiva.
b) ___ Si la función g está definida en c por la ecuación g(x)= x3- 2, entonces su gráfico interseca al eje de las
abscisas en (2; 0).
c) ___ Dada la expresión E = 2tt2t
1t323
, el dominio de definición de E es t IR, t ≠ 1, t ≠ –2.
d) ___Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, entonces dichos triángulos son
iguales.
e) ___ Para un cierto medicamento se utilizan dos productos diferentes, L y M que están en la razón 3:7. Si se
emplean 36 gramos del medicamento L, entonces habrá que emplear 72 gramos del medicamento M.
2. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X en la línea dada. Si una función descrita mediante
una ecuación de la forma bax
1y
tiene dominioxIR, x ≠-3 e imagenyIR, y ≠1, entonces su
ecuación es:
a) ___ 31x
1y
b) ___ 13x
1y
c) ___ 13x
1y
d) ___ 13x
1y
Luis Zaldivar Henriquez
D C
E O
F
A B
D C
E O
F
A B
3. En la circunferencia de centro O y diámetro AD se tiene que:
C y E son puntos de la circunferencia.
ABCD es un paralelogramo.
AD es perpendicular a EC en el punto F.
º150EAB .
a) Demuestre que los triángulos DFC y CAB son semejantes.
b) El triángulo ACE es equilátero. Pruebe que esta afirmación es verdadera.
4. Durante la realización de un censo de población en un consejo popular participaron dos brigadas de
estudiantes. La cantidad de casas asignadas a la primera brigada excedió en 480 a la cantidad asignada a
la segunda. Cuando la primera brigada había visitado el 80% del número de casas que se le asignaron y la
segunda brigada la cuarta parte de la cantidad de casas que le correspondía, a la segunda brigada le
faltaban por visitar 300 casas más que a la primera. ¿Cuántas casas se le asignaron a cada brigada?
5. En la figura:
• ABCDEF es un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero
de área
• 9 3 cm2.
• P y Q son los puntos medios de BC y AC respectivamente.
• La longitud de la altura del prisma es el doble de la longitud del
lado del Δ ABC.
a) Calcule la longitud de PF en el plano ABC si PFC es un triángulo
rectángulo en C.
b) Determine el área total del prisma ABCDEF.
c) Calcule el volumen de la pirámide QPCF.
Escala valorativa:
Excelente: si se demuestra un dominio excelente en las actividades de fijación de conceptos, expresado en la
calificación de la prueba pedagógica.
Muy bien: si se demuestra dominio de los conceptos en cada actividad pero hay ligeros errores de operaciones
que limitan calificaciones altas, cumpliendo con los requisitos en la ejecución de las mismas, pero demuestra el
tránsito por las fases de fijación del concepto al aplicarlos en las cuatro preguntas.
Bien: si al calificar la prueba identifica los conceptos, los utiliza en las actividades que requieran de si
Luis Zaldivar Henriquez
realización.
Regular: si en la resolución de las actividades del examen hay inseguridad en la respuestas que no todas son
correctas y deferencia en las operaciones necesaria para desarrollar el plan de solución.
Mal: No demuestra dominio de los conceptos al no sobrepasar los niveles reproductivos para identificarlos, no
llega a las soluciones de las actividades.
Tabla 7. Resultados cuantitativos de la Prueba Pedagógica
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Rango Notas Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
[18-20] E 11 13 8 8 0 2 11 3 7 0 3 14 2 1 1
[16-18) MB 16 17 5 11 1 5 18 11 19 1 7 16 7 5 0
[12-16) B 33 24 24 12 6 11 24 21 10 4 21 23 16 19 1
[60-70) R 15 15 7 27 24 14 16 7 25 22 18 21 24 30 32
[0-12) M 0 6 31 17 44 42 5 32 13 47 25 0 25 19 40
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74 74 74 74 74 74
Rango Notas Escala Resultados
[90-100] E 1
[80-90) MB 2
[70-80) B 11
[60-70) R 78
[0-60) M 131
223
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 5 a
Tabla 8. Rangos de notas en que se encuentra estructurado el rendimiento académico de la muestra
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
frecuencia Exp. 1
er
T/C
2do
T/C PP1 PP2 Exp. 1
er
T/C
2to
T/C PP1 PP2
1er
T/C Exp. 2
to
T/C PP1 PP2
[90-100] 11 13 8 8 0 2 11 3 7 0 14 3 2 1 1
[80-90) 16 17 5 11 1 5 18 11 19 1 16 7 7 5 0
[70-80) 33 24 24 12 6 11 24 21 10 4 23 21 16 19 1
[60-70) 15 15 7 27 24 14 16 7 25 22 21 18 24 30 32
[0-60) 0 6 31 17 44 42 5 32 13 47 0 25 25 19 40
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74 74 74 74 74 74
Tabla 8.1 Rango generales de los instrumentos
Totales
Rango de notas Escala Final 1er T/C 2do T/C PP1 PP2
[90-100] E 16 38 13 16 1
[80-90) MB 28 51 23 35 2
[70-80) B 65 71 61 41 11
[60-70) R 47 52 38 82 78
[0-60) M 67 11 88 49 131
223 223 223 223 223
Exp. Expediente
1er T/C. Resultados del primer trabajo de control parcial.
2do T/C. Resultados del segundo trabajo de control parcial.
PP1: Prueba pedagógica sobre contenidos del curso elaborada y aplicada en cada grupo por el docente que
imparte la asignatura.
PP2: Prueba pedagógica sobre contenido del nivel educacional elaborada y aplicada en cada grupo por el
investigador.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 5 b
I -1. Nivel de dominio de los conceptos matemáticos formados a largo plazo. Reconocer representantes de un
concepto a partir de sus características o propiedades y viceversa:
Preg. 1 y 2.
Integrar conceptos a un sistema de conceptos a partir de comparar, clasificar, limitar, generalizar el mismo.
Preg. 3
Reflexionar y valorar la aplicación de un concepto a situaciones de aprendizaje determinadas. Preg. 4
Fig. 4. Gráfica del comportamiento global del dominio del concepto a corto plazo
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 6
Entrevista a los docentes
Objetivo: Conocer los recursos didácticos que emplean los docentes para el tratamiento a los conceptos
matemáticos.
Centro docente: ______________________________________________
Nombres y apellidos: _____________________________________
Años de experiencia en la enseñanza: ________________________
1-¿Qué métodos y medios emplea usted para impartir las clases de fijación de conceptos matemáticos?
2. En los medios de enseñanza que usted utiliza en sus clases le permite abarcar el estudio de las
características esenciales y no esenciales del concepto.
3. Utilizas la computación como medio de enseñanza en las clases de fijación de conceptos, ¿cómo y en
cuáles?
4. Cuándo usted emplea un medio de enseñanza en la clase para la formación total de un concepto, ¿hacia
dónde usted dirige la actividad?
5. En el tratamiento de un concepto matemático tiene usted en cuenta la vía para el tratamiento de dicho
concepto. Ejemplifique.
6. ¿Qué criterios toma en cuenta en la selección de ejercicios para la fijación de conceptos?
7. ¿Cómo diseña usted un sistema de actividades, para la fijación de los conceptos?
8. ¿Qué dificultades para usted existen en el aprendizaje de los conceptos matemáticos?
9. ¿Consideras que las indicaciones metodológicas descritas para el tratamiento de conceptos contribuyen a un
aprendizaje productivo en los estudiantes?
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 7
VARIABLE: fijación de los conceptos matemáticos en la Educación Preuniversitaria
Tabla 9. Resultados de la variable
DIMENSIONES DIMENSIÓN I DIMENSIÓN II DIMENSIÓN III
INDICADORES 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Global por Indicador 1,3
9
1,0
2
0,8
4
1,2
5
0,8
6
0,2
8 0,71 0,80 0,82
Evaluación 1 1 1 1 1 0 1 1 1
Categoría de cada
indicador R R R R R M R R R
Global de cada dimensión 1,08 0,80 0,78
Evaluación 1 1 1
Categoría de cada
dimensión R R R
Global de la variable 0,89
Evaluación 1
Categoría de la variable R
Fig. 5 Comportamiento de las dimensiones e indicadores que miden la variable
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 8
Prueba diagnóstico de entrada
1. Clasifique las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Escriba V si es verdadero y F si es falsa en
la línea que le antecede. Fundamente las falsas.
a) ___Si f(x) es una función potencial de exponente entero positivo n, tal que f(a) = b, entonces an = b.
b) ___ Si f(x) = x
1, entonces x
x
1f para las x ϵ IR, x ≠ 0.
c) ___ Si f(x) es una función potencial de exponente entero no positivo, entonces para valores a y b de su
dominio con a < b se cumple que f(a) <f(b).
2. En los siguientes diagramas seleccione aquellos que relacionan correspondencias que son funciones, en
caso de las que no son funciones diga por qué no lo es.
3. Diga cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta su respuesta en
cada caso.
a) Se sabe que en el grupo de Matemática existen 36 sillas y la matrícula del grupo es de 35 estudiantes, la
correspondencia que se establece entre cada estudiante y la silla que le corresponde en su puesto en el
aula, ¿es una función?
b) En el mismo grupo de Matemática ahora se hace corresponder a cada una de las sillas con cada uno de los
estudiantes del grupo, ¿esta correspondencia es una función?
4. Dadas las siguientes gráficas diga:
Luis Zaldivar Henriquez
a) ¿Cuál gráfico se corresponde a una función de la forma yf x ?Justifique cada caso.
b) En las que son funciones determine dominio e imagen.
5. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de y=f(x).
a) y= -3x+2 b) y= x2-4
Escala de Resultados: En la calificación se desarrolla con la norma en base a 100 puntos, cada pregunta tiene
el valor de 20 puntos: Pregunta 1 (P1), Pregunta 2 (P2),Pregunta 3 (P3), Pregunta 4 (P4), Pregunta 5 (P5).
0 1 x
y
0 1 X
y
0 1 x
y
A B C
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 8 a
Tabla 10. Resultados de la prueba pedagógica de entrada
Rango Preg. Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
[18-20] E 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 4 1 1 1
[16-18) MB 4 6 1 3 1 3 2 6 1 1 4 1 5 5 0 11 9 12 9 2
[14-16) B 17 13 10 12 6 11 15 21 10 4 21 23 16 19 16 49 51 47 41 26
[12-14) R 36 26 29 27 24 18 13 15 17 22 18 21 24 19 26 72 60 68 63 72
[0 -12) M 18 26 34 33 44 42 44 32 46 47 30 29 29 30 31 90 99 95 109 122
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74 74 74 74 74 74 223 223 223 223 223
Escala
E
MB
B
R
M 118
75 74 74 223
36 48 34
PRUEBA PEDAGÓGICA INCIAL
RESULTADO GENERAL DE LA PRUEBA DE ENTRADA
4
9 19 39
0 1
Tabla 6. Resultados por preguntas
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado Total
0 1
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado Total por preguntas
16 18 61
1
11
27
1 2
E MB B R M
1 4
39
61
118
Dominio de conceptos formados a largo plazo
Fig.6. Cantidad de estudiantes que dominan concepto formado largo plazo
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 9
Encuesta a estudiantes
Objetivo: Obtener información sobre las acciones y operaciones que desarrollan los estudiantes para fijar los
conceptos matemáticos tanto en las clases como en su estudio independiente.
Compañero estudiante, necesitamos su ayuda para conocer la calidad con que recibe los contenidos
matemáticos haciendo uso de procedimientos para su aprendizaje. Esperamos su sincera participación.
Gracias por su cooperación.
A. En las siguientes actividades seleccione la frecuencia en las que se apoya de los siguientes aspectos
para desarrollar las actividades independientes dentro y fuera del aula.
1. ¿Se apoya en guías de orientación para fijar un concepto?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
2. ¿Consulta con sistematicidad ejercicios modelos, ejemplos resueltos, algoritmos de trabajo o preguntas
heurísticas que te facilita el profesor?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
3. ¿Pide ayuda a sus compañeros?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
4. ¿Establece relación entre los conceptos en las clases de fijación alrededor de nodos cognitivos?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
5. Uso de mediadores para identificar los conceptos, representarlos en esquemas lógicos, mapas
conceptuales, resúmenes, etc.
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
B: Respecto a otros elementos responda:
6. Marque la frecuencia con que necesita apoyarse en otras personas o medios para estudiar los
conceptos matemáticos al resolver ejercicios y problemas.
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
7. ¿Se apoya en otras instituciones o recursos resolver los ejercicios y problemas de estudio
independiente?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
8. ¿Realiza las actividades de forma espontánea que se encuentran contextualizadas en la colección
“Futuro”?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
Luis Zaldivar Henriquez
9. ¿Socializa los resultados con los demás compañeros?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca__
10. Cuando las actividades no las entiendes, ¿hace uso de los medios para buscar información?
Siempre __ Casi siempre __ A veces __ Casi nunca __ Nunca __
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 10
Talleres de opinión crítica y elaboración colectiva
Características de los integrantes convocados a los talleres de opinión crítica y elaboración colectiva.
Docentes con más de 8 años de experiencia en el desarrollo del trabajo metodológico de la
Matemática y que han estado vinculados en algún momento a la Educación Preuniversitaria.
Docentes que de una forma u otra están vinculados a investigaciones que tributan a la Didáctica de las
Matemáticas y el trabajo con las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Metodólogos que dirigen la enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Preuniversitaria.
Doctores que poseen experiencia en investigaciones sobre Didáctica de las Ciencias.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 11
Objetivo: Estructurar la ejecución de los talleres de forma organizada y creativa, en busca del objetivo
propuesto.
1. Presentación de los integrantes del grupo que se conforma para el desarrollo del taller.
2. Cada taller se ejecuta a partir de una introducción, un desarrollo y unas conclusiones.
3. Cada taller tiene un moderador para dirigir las participaciones y la recogida de datos.
4. En cada taller se recoge las opiniones de los participantes sobre los siguientes aspectos:
Opinión que tienen sobre la pertinencia del modelo.
Posibilidades y limitaciones de la implementación del modelo en la práctica educativa.
Cuestiones prácticas que no están recogidas en el modelo y pueden tenerse en cuenta.
Factibilidad referida a la aplicación de la estrategia.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 12
Participación en los talleres
Objetivo: Mostrar la composición de los participantes en los talleres de opinión crítica y elaboración colectiva por
estratificación científica-académica.
Tabla 11. Convocados a los talleres
Convocados Dr. C. MsC. Tit. Aux. Asist. UCP
48 9 23 5 6 18 23
TALLERES Cantidad Dr. C. MsC. Tit. Aux. Asist. UCP
A. Taller con Doctores en Ciencias que
desarrollaron temas de investigación
afines con esta propuesta.
9 9 5 5 2 2 8
B. Aspirantes con temas de
investigación en Didáctica.
11 5 10 5
C. Profesores de experiencia en la
Enseñanza Preuniversitaria y de la
UCP que imparten Didáctica de la
Matemática y Didáctica de la Física.
13 13 2 8 6
D. Metodólogos provincial y municipales
de la Enseñanza de la Matemática en
la Educación Preuniversitaria, con la
participación de profesores
entrenadores para el ingreso a la
Educación Superior.
15 15 2
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 13
Desarrollo de los talleres
Taller 2: Tratamiento de las situaciones típicas: Los conceptos. Vías para su fijación
Objetivos:
Profundizar en las vías para la fijación de conceptos (inductiva y deductiva, la experimentación)
Ejemplificar el tratamiento del concepto de función inyectiva a través del cuadro resumen.
Desarrollo: Parte inicial. Comprobación de lo estudiado. Trabajar de conjunto la fijación del concepto función
inyectiva y su seguimiento a través del nivel.
Trabajar, mediante el intercambio, las vías para la fijación de conceptos y los pasos a seguir en cada una.
Ejemplificar el concepto función, su formación y significación a través del nivel, con la utilización de las TIC.
Para el trabajo de reflexión por equipos y no presencial se debe orientar el trabajo de graduación de dificultades
teniendo en cuenta el diagnóstico de los estudiantes y los objetivos a lograr en cada etapa del curso.
La exposición se realizará ejemplificando por los estudiantes diferentes casos en las formas más conocidas,
haciendo uso de los asistentes matemáticos ya distribuidos en el taller anterior. Se debe organizar una auto
dirección de las actividades en la que ellos sean capaces de comprobar las conjeturas a las que han llegado
sus compañeros. En caso negativo, es necesario que sean capaces de expresar contraejemplos, hay que
lograr que sea un proceso donde la graduación de dificultades que se propone trabajar, incluyendo el estudio
individual para el hogar, llegue a los niveles de todos los estudiantes.
Un equipo trabajará la ejemplificación de la relación que se establece entre: los elementos trabajados de
funciones hasta la fecha.
Se evaluarán de forma individual y colectiva. Se desarrollará de manera sistemática mediante los criterios e
indicadores previamente consensuados, la individualización de la evaluación en función de la individualización
de los objetivos de aprendizajes, la autoevaluación, el carácter natural y creativo del sistema de evaluación, con
niveles cada vez más altos en cuanto a la exigencia del objetivo.
Tanto la evaluación sistemática como la autoevaluación deben servir para su retroalimentación y
perfeccionamiento de preparaciones posteriores y la formación de los valores ético-profesionales, como el valor
de la profesión, el valor de las ciencias y los referentes de las transformaciones de todos los niveles de
educación, a la cual deben contribuir todos los participantes con el fin de consolidar, con su desempeño
profesional, las transformaciones de la educación.
Se propone, en el intercambio final para concluir la preparación, una técnica participativa a los participantes, en
Luis Zaldivar Henriquez
la que se indagará fundamentalmente sobre sus criterios acerca de los siguientes aspectos:
Importancia de la preparación de la asignatura para mejorar el trabajo cotidiano.
Nivel de satisfacción de los participantes.
Criterios sobre los contenidos desarrollados y su tratamiento metodológico.
Sugerencias que consideren puedan mejorar el desarrollo de los talleres.
Contenidos que proponen incluir en la preparación por su importancia.
Desarrollo de los talleres
Taller 3: Relaciones entre los conceptos fundamentales en las funciones a través de su fijación en la etapa de
aplicación de los conceptos.
Temática: Nuevas funciones a partir de las funciones elementales mediante transformaciones, operaciones y
composiciones.
Objetivos:
Obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales.
Fundamentar los procedimientos para obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales.
Comprobar los resultados obtenidos mediante los asistentes matemáticos Geogebra 4.0 y Derive 6.0.
Acciones:
1. Obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales. Mediante:
a) Transformaciones sobre la base de:
Desplazamientos horizontales y verticales.
Estiramientos y contracciones respecto a los ejes de coordenadas.
Reflexiones verticales y horizontales.
b) Combinaciones a partir de operar algebraicamente.
c) Componer funciones.
2. Justificar conceptualmente los procedimientos utilizados.
3. Comprobar mediante el uso del asistente matemático Geogebra 4,0 o Derive 6.0 los resultados
alcanzados.
Actividades:
1- Realice un estudio cuidadoso de:
a) El libro de texto.
b) Los ficheros: "Acerca de las funciones reales de variable real".doc y "PowerPoint. Funciones de IR en
IR.doc", que se encuentran en la dirección: (ftp.lt.rimed.cu).
Luis Zaldivar Henriquez
2 Realice los siguientes ejercicios:
2.1 Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de y=f(x).
a) y= -3x+2, b) y=x2-4
2.2 Obtenga manualmente los esbozos gráficos anteriores para los casos que f(x) representa las siguientes
funciones:
a) f(x)=x3 b) f(x)= In x c) f(x)=ex d) f(x)= cos x
2.3 Compruebe mediante el graficado del asistente matemático Derive 6.0 la efectividad del trabajo realizado en
el inciso anterior.
2.4 Determine los intervalos de valores de x donde son realizables operaciones algebraicas, con los pares de
funciones b), c). Fundamente. Auxíliese del asistente matemático Derive 6.0.
2.5 De las siguientes funciones:
1) y=-1/x, 2) y= 2-cos x, 3) y=tan 2x 4) y= x2+ 2x+3
Grafique cada función, no por la colocación de puntos, sino a partir de la gráfica de las funciones elementales
de la cual se han obtenido.
a) Compruebe mediante el asistente matemático Derive 6.0, el trabajo realizado en el inciso anterior.
2.6) Con los gráficos de las funciones f y g mediante los métodos gráficos de combinación algebraica,
a) Grafique f+g, f-g, f.g cuando f(x)=x y g(x)=1/x, y cuando f(x)= x3 y
g(x)=-x2 Compruebe el trabajo mediante el graficado del asistente Derive.
3- Envíe por correo electrónico al profesor las respuestas de los ejercicios realizados.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 13 a
Recurso heurístico que propicia usar las Tic como mediadores en el proceso didáctico
Introducción: Para desarrollar el procedimiento de mediación didáctica contextualizada con las TIC,
primeramente hay que determinar en el contexto, según el diagnóstico pedagógico integral, cuáles TIC se
encuentran a disposición de la totalidad de los estudiantes, los conocimientos que se encuentran
contextualizados en esas TIC determinadas y la preparación del estudiante para gestionar ese conocimiento en
su contexto de actuación. Se determina como recurso heurístico la transferencia de conocimientos adquiridos,
la analogía y el uso de procedimientos lógicos asociados a los conceptos.
Desarrollo: Se determina por los resultados del diagnóstico que las TIC accesibles a la totalidad de los
estudiantes son la computadora, las video clases, Ecured y el asistente matemático Geogebra 4.0 en sus dos
versiones para Windows y sistema Android 3.0 o superior. Se ubican los contenidos sobre funciones en ellos
para que los estudiantes tengan acceso en cualquier momento antes de la clase.
Se utiliza como recurso la transferencia de conocimientos ya adquiridos, debe prestarse atención a cómo
encontrar una manera eficaz de llegar a las respuestas adecuadas para cada actividad, estableciendo
analogías con las clases de formación de conceptos ya recibidos.
Las conversaciones son la manera en que los estudiantes descubren lo que saben, lo comparten con sus
colegas, y en el proceso crean conocimientos nuevos para transferirlos a los ejercicios a desarrollar en la clase.
La actividad a desarrollar para provocar la generalización de propiedades de las funciones permite hacer uso de
las cualidades que posee el Geogebra. Se presenta la siguiente guía de preguntas e impulsos heurísticos:
Función cuadrática
(Identificación, realización)
Procedimientos lógicos asociados: identificar, limitar, generalizar, extender, graficar
Indicaciones para el uso del asistente
Cada vez que haga clic mantenido sobre los círculos que aparecen en cada deslizador, podrá variar el
gráfico de la función.
Indicaciones
1. Varíe el parámetro a.
¿Se modifica el gráfico de la función?
¿Qué ocurre en la gráfica de la función si a crece?
¿Qué sucede cuando a es menor que 0?
Luis Zaldivar Henriquez
¿Qué ocurre si a = 0?
¿Qué ocurre si a toma valores entre 0 y 1, y entre 0 y -1? ¿Por qué?
2. Varíe el parámetro b y active el rastro del vértice de la parábola.
Se propone asignar a los parámetros los valores siguientes: a = 1, b = 0 y c = 0.
¿Qué ocurre en la gráfica de la función al aumentar positivamente el valor de b? ¿Se desplaza la
gráfica? ¿En qué dirección?
¿Qué sucede cuando b toma un valor negativo? ¿Se desplaza nuevamente la gráfica en cada caso?
¿En qué dirección?
3. Asigne cualquier valor a los parámetros a y c y varíe solamente el parámetro b. ¿Se siguen cumpliendo
las conclusiones anteriores?
4. Varíe el parámetro c.
¿Qué sucede en la gráfica de la función cuando c es positivo?
¿Se mantiene la gráfica en el mismo lugar o se observa una traslación? ¿En qué dirección?
¿Qué ocurre si c es un número negativo?
¿Observas variación en el gráfico?
¿Cómo la puedes describir?
5. Observe detenidamente el gráfico de la función y varíe el valor de los parámetros a, b y c si lo considera
necesario para responder las siguientes interrogantes:
¿Cuál es el domino de esta función?
¿Cuáles son las coordenadas de vértice de la parábola?
¿Cuál es su rango?
¿Tiene asíntotas?
¿Qué valores toman los interceptos con los ejes en función de los valores de los parámetros a, b y c?
¿De qué valores de los parámetros depende que estos existan?
¿Cuál es la monotonía de esta función?
¿Posee la gráfica eje de simetría o centro de simetría?
¿Cuál es el valor máximo y cuál es el valor mínimo? Justifica su respuesta.
En las clases donde se trabajan las diferentes formas de fijación, se presentan el análisis de las funciones que
ya se encuentran elaborados. El alumno puede experimentar con otros casos y llegar a niveles superiores
escribiendo funciones similares o transformando las ya existentes bajo orientaciones del docente.
Luis Zaldivar Henriquez
Se les orienta a los estudiantes hacer un resumen para consultarlo en clases posteriores sobre las funciones,
consultar Ecured, Eureka.
Fig. 6. Gráficas de algunas funciones en la actividad
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 13b
Actividades para fijar el concepto de circunferencia haciendo uso del procedimiento de mediación didáctica
contextualizada con las TIC
Ecuación de la circunferencia
Partiendo del gráfico representado en el archivo Ecuación de la “circunferencia.ggb”, realice las siguientes
orientaciones, anote los resultados y finalmente socialice con sus compañeros.
1. Halle la distancia de un punto P(x, y) genérico al punto A(1, 2), e iguálela a 3.
2. Los valores de x e y que cumplen esa ecuación corresponden a puntos que están en la circunferencia
de centro A(1, 2) y radio 3. En general, cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el punto
(a, b) y radio r?
3. ¿Cómo cambian los coeficientes de x e y cuando mueves vertical u horizontalmente el centro?
¿Cuándo valen cero cada uno de ellos?
4. ¿Cambian estos coeficientes cuando varías el radio?
5. ¿Qué relación tienen estos coeficientes con las coordenadas del centro?
6. El término independiente, ¿cuándo es cero, positivo o negativo?
7. ¿Qué relación tiene el término independiente con las el centro y el radio?
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 14
Guía de observación a clase
Objetivo: Diagnosticar el desenvolvimiento que poseen los estudiantes en un contexto determinado en el momento
de realizar ejercicios y problemas matemáticos para la sistematización de los conceptos.
Tabla 12. Ítems evaluados durante la observación a clases
Ítems Estrategia de trabajo OC1 OC2 OC3 OC4 OC5
1 Consultan procedimientos de soluciones entre sí
2 Consultan libretas o libros de textos
3 Consultan ejercicios modelos o ejemplos resueltos
4 Socializan para comprobar resultados y explicarlos
5 Se apoyan en el software para hacer consulta del contenido
6 Necesitan la ayuda del profesor
7 Necesitan la ayuda de sus compañeros
8 Trabajan sólo y ayuda a sus compañeros
9 Ayudan a sus compañeros
10 Emplean procedimientos de solución con un algoritmo de
trabajo o preguntas heurísticas.
Indicador I-3
OC1 Observación: Durante clases de ejercitación
OC2 Observación: Durante clases de profundización
OC3 Observación: Durante clases de sistematización
OC4 Observación: Durante clases de aplicación
OC5 Observación: Durante clases de repaso
Luis Zaldivar Henriquez
Tabla 13. Ítems evaluados
niveles Ítems Escala
Trabaja solo y explica la actividad 8, 9 E
Trabaja solo y explica solamente el
resultado
4, 5, 10 MB
Trabaja solo pero necesita impulsos
de otros
1, 2 3 B
Depende de otros para avanzar en la
actividad
3, 5, 7 R
Necesita constantemente la
explicación individual del profesor
2, 3, 6 M
Resultados del indicador: El uso de estrategias de apoyo para el aprendizaje de conceptos
Tabla 14. Recogida de datos
No. Características a evaluar: Ítems del indicador
1 Consultan procedimientos de soluciones entre sí
2 Consultan libretas o libros de textos
3 Hacen uso de la computadora para comprobar resultados
4 Hacen uso de la calculadora para los cálculos auxiliares
5 Se apoyan en el software para hacer consulta del contenido
6 Consultan ejercicios modelos, ejemplos resueltos
7 Realizan los ejercicios del mismo tipo de concepto
8 Realizan el ejercicio apoyándose en el asistente matemático
9 Dividir los conceptos según se están estudiando por separado
10 Emplean procedimientos de solución con un algoritmo de trabajo o preguntas
heurísticas
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 14 a
Ejemplo de actividades para desarrollar por los estudiantes
Actividad A
1. Solicite en la biblioteca del centro el video de la tele clase 19 de Onceno grado.
2. Observe en el video el procedimiento desarrollado para determinar las propiedades de la función
cuadrática.
3. Después de ver el video represente gráficamente las funciones siguientes. Y con ayuda del Geogebra
compruebe el resultado obtenido.
a) y= 2x2-5x+6
b) y=(x-5)3-2
c) y=3/(2x+5)
d) y=log(x+1)
e) y=(x+a)3-b varíe los parámetros a y b
Mediante el deslizador ponga a variar los parámetros indicados y anote lo que observe.
Conteste verdadero o falso a las siguientes afirmaciones. En caso de falsas explique por qué.
Haga una valoración del estudio realizado, demostrando a las conclusiones que arribó con estas
actividades.
a) El dominio de las funciones polinómicas es los números reales. _____
b) La gráfica de las funciones polinómicas de grado par tienen dos ceros.____
c) Las funciones impares son inyectivas. _____.
Actividad B
Grafique las funciones f(x) y g(x) con el asistente Geogebra
a) ¿Qué sucede con las funciones definidas como f(x) = (ax+b)2 +c al variar el parámetros a y c? ¿Y con
las cúbicas definidas como g(x) = (ax+b)3 + c al variar el parámetros a y c?
b) Probar a activar el rastro de cada una de estas funciones al mover el deslizador a.
c) ¿Cómo es la familia de funciones f(x) =(x+a)n + b? (n natural).
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15
Tablas y gráficos de la medición de la variable: fijación de los conceptos matemáticos en la Educación
Preuniversitaria, para la caracterización de su estado final, a partir de las dimensiones e indicadores
correspondientes
Tabla 15. Comportamiento global de la variable
VARIABLE: Fijación de los conceptos matemáticos en la EP.
DIMENSIONES DIMENSIÓN I DIMENSIÓN II DIMENSIÓN III
Escala INDICADORES 1 2 3 4 5 6 7 8 9
E 4 Global por Indicador 2,20 1,99 2,16 2,85 2,32 2,00 2,13 2,23 2,11
MB 3 Evaluación 2 2 2 3 2 2 2 2 2
B 2 Categoría de cada indicador B B B MB B B B B B
R 1 Global de cada dimensión 2,12 2,39 2,16
M 0 Evaluación 2 2 2
Categoría de cada dimensión B B B
Global de la variable 2,22
Evaluación 2
Categoría de la variable B
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 a
Gráfico que muestra el comportamiento de las dimensiones para estudiar la fijación de conceptos en la
Educación Preuniversitaria
Fig. 7. Comportamiento de las dimensiones
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 b
Resultados generales de los instrumentos aplicados para evaluar la Dimensión 1: efectividad de los
conocimientos sobre conceptos matemáticos en los estudiantes de la Educación Preuniversitaria
Tabla 16. Comportamiento global de los indicadores por dimensión
Clase P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
E 42 42 44 32 31 44 30 40 24 21 52 41 41 33 31
MB 31 46 34 26 29 41 27 34 27 23 36 34 31 29 28
B 117 92 91 92 91 54 113 81 90 105 77 93 88 88 115
R 25 39 41 64 60 61 29 41 61 51 47 40 40 60 38
M 8 4 13 9 12 23 24 27 21 23 11 15 23 13 11
Total 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223
Global por instrumento 2,33 2,37 2,25 2,04 2,03 2,10 2,04 2,09 1,87 1,86 2,32 2,21 2,12 2,04 2,13
Evaluación 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Categoría B B B B B B B B B B B B B B B
Global del indicador
Evaluación
Categoría del indicador
Global de la dimensión
Evaluación de la dimensión
Categoría de la dimensión
2,12
2
B
B B B
2,20 1,99 2,16
2 2 2
Dimensión I
Indicador I -1 Indicador I -2 Indicador I -3
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 c
Comportamiento global de los indicadores seleccionados para medir la dimensión I
Fig. 8. Gráfica del comportamiento de los indicadores en la dimensión 1
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 d
Resultados de los instrumentos aplicados en cada grado, partiendo de los indicadores seleccionados en esta
dimensión
Tabla 17. Comportamiento global del indicador I.1 por Instrumento
Escala Final 1 tc 2 tc pru año pru nivel
E 16 38 13 16 1
MB 28 51 23 35 2
B 65 71 61 41 11
R 47 52 38 82 78
M 67 11 88 49 131
223 223 223 223 223
Fig. 9. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 1 por grados
Tabla 18. Resultados de los instrumentos por grados
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala 1-E 2-P 3-S 4-A 5-R 1-E 2-P 3-S 4-A 5-R
1-E 2-P 3-S 4-A 5-R
E 4 3 4 2 0 5 5 4 4 5
5 5 6 1 1
MB 5 5 5 4 1 6 6 6 6 6
3 4 5 5 1
B 12 5 9 9 6 32 30 30 26 26
11 13 10 16 1
R 22 6 22 26 30 12 15 12 18 17
21 5 15 20 5
M 32 56 35 34 38 19 18 22 20 20
34 47 38 32 66
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Luis Zaldivar Henriquez
Fig. 10 gráfico del comportamiento del indicador 2
Tabla 19. Comportamiento global por Instrumento
Totales
Escala Ejercitación Profundización Sistematización Aplicación Repaso
E 44 30 40 24 21
MB 41 27 34 27 23
B 54 113 81 90 105
R 61 29 41 61 51
M 23 24 27 21 23
223 223 223 223 223
Tabla 20. Resultados por instrumentos del Indicador I.3 por grados
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala 1-E 2-P 3-S 4-A 5-R 1-E
2-
P
3-
S 4-A 5-R
1-E
2-
P
3-
S 4-A 5-R
E 15 15 13 16 13 16 12 14 8 9
21 14 14 9 9
MB 5 8 10 9 8 14 17 15 11 10
17 9 6 9 10
B 38 41 36 34 51 21 16 16 30 45
18 36 36 24 19
R 13 6 13 12 1 17 24 13 18 7
17 10 14 30 30
M 4 5 3 4 2 6 5 16 7 3
1 5 4 2 6
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Luis Zaldivar Henriquez
Fig. 11. Gráfico del comportamiento del indicador 3
Tabla 21. Comportamiento global por Instrumento
Totales
Escala Ejercitación Profundización Sistematización Aplicación Repaso
E 52 41 41 33 31
MB 36 34 31 29 28
B 77 93 88 88 115
R 47 40 40 60 38
M 11 15 23 13 11
223 223 223 223 223
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 e
Gráficos del comportamiento global de los indicadores en la dimensión I
Fig. 12. Gráficos del comportamiento global de los tres indicadores en la dimensión I
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 f
Resultados generales de los instrumentos aplicados para evaluar la Dimensión II: procedimientos empleados
en la realización de las actividades para fijar los conceptos matemáticos por los estudiantes
Tabla 22. Comportamiento global de la segunda dimensión
Fig. 13 Gráfica sobre el comportamiento de los indicadores en la dimensión
Clase P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
# # # # # # # # # # # # # # #
E 94 93 89 91 76 37 34 38 36 26 0 0 0 0 0
MB 42 34 44 48 42 38 41 42 55 62 9 14 17 12 15
B 62 72 60 67 74 100 90 108 101 105 203 197 199 203 200
R 21 18 23 13 27 44 54 29 26 27 6 7 4 4 3
M 4 6 7 4 4 4 4 6 5 3 5 5 3 4 5
Total 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223
Global por instrumento 2,90 2,85 2,83 2,94 2,71 2,27 2,21 2,35 2,41 2,36 1,97 1,99 2,03 2,00 2,01
Evaluación 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Categoría MB MB MB MB MB B B B B B B B B B B
Global del indicador
Evaluación
Categoría del indicador
Global de la dimensión
Evaluación de la dimensión
Categoría de la dimensión
Indicador II -4 Indicador II -5 Indicador II -6
3 2 2
2,39
2,85 2,32 2,00
MB B B
2
B
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 g
Tabla 23. Resultados del indicador II- 4 con los instrumentos por grados
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 34 36 38 37 31 31 34 26 27 24
29 23 25 27 21
MB 10 11 9 9 9 18 11 24 25 17
14 12 11 14 16
B 25 19 16 24 27 15 22 13 16 19
22 31 31 27 28
R 5 6 9 4 7 8 5 8 4 12
8 7 6 5 8
M 1 3 3 1 1 2 2 3 2 2
1 1 1 1 1
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 14 Gráfica sobre el comportamiento del indicador 4
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 h
Tabla 24. Resultados generales de los instrumentos aplicados para medir el comportamiento por
grados del Indicador II.5
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 5 6 10 9 9 15 11 13 14 10
17 17 15 13 7
MB 10 12 16 24 27 14 17 15 17 19
14 12 11 14 16
B 36 19 38 37 31 31 34 29 28 32
33 37 41 36 42
R 23 36 9 4 7 12 11 14 13 12
9 7 6 9 8
M 1 2 2 1 1 2 1 3 2 1
1 1 1 2 1
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 16. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 5
Luis Zaldivar Henriquez
Comportamiento global por Instrumento
Fig. 17. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 4
Comportamiento global por Instrumento
Fig. 18. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 5
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 i
Tabla 25. Resultados de los instrumentos aplicados para valorar el sexto indicador. Comportamiento por grados
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
MB 4 9 7 5 6 1 2 2 2 2
4 3 8 5 7
B 68 62 67 68 67 69 68 70 70 70
66 67 62 65 63
R 1 2 1 1 0 2 2 0 0 0
3 3 3 3 3
M 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 19. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 6
Fig. 20. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 6
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 j
Resultados generales de los instrumentos aplicados para evaluar la Dimensión III: Disposición del estudiante
para avanzar en el proceso de fijación de los conceptos matemáticos en las clases
Tabla 26. Comportamiento global
P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
Clase # # # # # # # # # # # # # # #
E 21 18 19 20 15 22 31 18 16 19 21 22 29 15 19
MB 33 27 27 29 25 35 52 37 32 24 39 31 34 13 18
B 140 142 149 143 151 138 118 149 147 154 129 139 133 177 118
R 24 31 25 27 27 25 20 16 26 22 27 24 20 9 48
M 5 5 3 4 5 3 2 3 2 4 7 7 7 9 20
Total 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223 223
Global por instrumento 2,18 2,10 2,15 2,15 2,08 2,22 2,40 2,23 2,15 2,14 2,18 2,17 2,26 2,07 1,86
Evaluación 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Categoría B B B B B B B B B B B B B B B
Global del indicador
Evaluación
Categoría del indicador
Global de la dimensión
Evaluación de la dimensión
Categoría de la dimensión
2,16
2
B
B B B
2 2 2
2,13 2,23 2,11
Dimensión III
Indicador III -7 Indicador III -8 Indicador III -9
Fig. 21. Gráfica sobre el comportamiento de la dimensión
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 k
Tabla 27. Resultados generales de los instrumentos aplicados para medir el comportamiento por
grados del indicador III.7
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 6 6 6 5 5 8 7 5 7 4
7 5 8 8 6
MB 12 9 11 8 6 14 9 10 11 10
7 9 6 10 9
B 48 50 48 55 51 41 43 51 40 47
51 49 50 48 53
R 7 8 10 6 11 9 13 6 14 11
8 10 9 7 5
M 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 22. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 7
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 l
Tabla 28. Resultados generales de los instrumentos aplicados para medir el comportamiento por
grados del Indicador III.8
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 5 9 6 4 3 11 10 6 5 8
6 12 6 7 8
MB 14 14 12 16 11 14 17 13 9 6
7 21 12 7 7
B 47 41 49 45 47 34 39 45 46 48
57 38 55 56 59
R 7 9 6 8 10 15 8 9 14 12
3 3 1 4 0
M 2 2 2 2 4 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 23. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 8
Fig. 23.1 Gráfica sobre el comportamiento del indicador 8 en las preguntas
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 15 m
Tabla 29. Resultados generales de los instrumentos aplicados para medir el comportamiento por
grados del indicador III.9
Décimo Grado Onceno grado Duodécimo grado
Escala P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5
E 9 4 5 3 3 4 8 7 4 4
8 10 17 8 12
MB 18 8 8 2 3 7 14 13 2 6
14 9 13 9 9
B 40 53 56 63 24 46 42 39 62 45
43 44 38 52 49
R 7 9 5 6 31 13 6 11 0 15
7 9 4 3 2
M 1 1 1 1 14 4 4 4 6 4
2 2 2 2 2
75 75 75 75 75 74 74 74 74 74
74 74 74 74 74
Fig. 24. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 9
Fig. 25. Gráfica sobre el comportamiento del indicador 9
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 16
Guía de revisión de libretas.
Objetivo: Determinar los tipos de ejercicios y sus orientaciones para la fijación de conceptos en las clases
durante las diferentes formas de fijación.
Estrategias que usan los estudiantes para fijar los conceptos matemáticos, y poder profundizar en las causas
que originan los bajos resultados del aprendizaje
Aspectos a abordar
1. Guías de orientación para fijar un concepto: ejercicios modelos, ejemplos resueltos, algoritmos de
trabajo, preguntas heurísticas.
2. Uso de mediadores para clasificar los conceptos: representar los conceptos en esquemas lógicos,
mapas conceptuales, resúmenes.
3. Relación entre los conceptos en las clases de fijación alrededor de nodos cognitivos.
4. La relación que se establece entre los elementos del conocimiento y los procedimientos lógicos
asociados a los conceptos.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 17
Tratamiento metodológico de la Unidad # 3 “Funciones modulares. Las funciones potenciales y sus inversas”
1. Caracterización de la unidad.
Inicialmente, para ofrecer una idea de la amplitud del campo de acción en que se circunscribe esta unidad,
que ha tenido reiteradas modificaciones, es necesario resaltar que el programa de la asignatura Matemática
que se imparte en el 10º, está vigente desde el curso escolar 2013 – 2014.
Por consiguiente, este programa se desarrollará teniendo en cuenta que los estudiantes ya han adquirido
gran parte de los conocimientos de manera propedéutica durante las etapas de las Educaciones Primaria y
Secundaria Básica (sobre todo en esta educación comienzan con el estudio de las funciones lineales).
Cuando el estudiante comienza en la Educación Preuniversitaria (vigente a partir del curso 2011 – 2012)
profundiza en varias las funciones numéricas.
Es importante destacar que en esta unidad lo esencial es que los alumnos; no solo apliquen la determinación
de propiedades y representación gráfica de una función dada su ecuación (o dado su gráfico determinar su
ecuación y propiedades), la interpretación de información dada de manera simbólica y a la representación de
actividades propias de la práctica escolar; sino también que puedan resolver problemas de carácter
económico-social, político-ideológico, científico-ambiental y aquellos vinculados a futuras especialidades que
aspiren (propiciando su orientación profesional) que se resuelven con los recursos funcionales; al tiempo que
logren sistematizar, formalizar y explicar estos mecanismos de trabajo teniendo en cuenta los requerimientos
metodológicos y el empleo de procedimientos algorítmicos; que más tarde se convertirán en las
herramientas necesarias para la adquisición de los nuevos conocimientos.
2. Objetivos Formativos:
Resulta vital para todo profesor extraer de cada actividad propuesta su mensaje educativo paralelamente a la
exigencia cognoscitiva, pues el estado cubano espera que cada uno de nosotros juegue su papel desde el
“lugarcito” que nos toca para asegurar la continuidad de su Revolución. Por tal motivo, se brinda una
secuencia de objetivos que puntualizan los fundamentos del sistema de tareas docentes propuesto para
potenciar el Proceso de Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática (PEAM).
A través de esta unidad en el 10mo grado debe lograrse que los alumnos puedan:
Manifestar una concepción científica del mundo a través de la interpretación del papel jugado por distintos
problemas en determinados momentos histórico – concretos en la sociedad actual.
Afirmar su orientación vocacional a partir de la motivación alcanzada en la asignatura, en relación
interdisciplinaria con otras ciencias y sus implicaciones para la sociedad.
Luis Zaldivar Henriquez
Procesar datos sobre el desarrollo económico, político y social en Cuba y en otras regiones para valorar la
obra del socialismo, los males del capitalismo y las consecuencias de políticas exteriores, avances científicos
y tecnológicos; utilizando para ello recursos, conceptos, relaciones y procedimientos propios del trabajo con
funciones.
Estimar y calcular cantidades de magnitudes, términos de una proporción, incógnitas y parámetros; para
proyectar y ejecutar actividades prácticas, así como para resolver problemas relacionados con hechos y
fenómenos sociales, científicos y naturales, utilizando su saber acerca de los números reales, las relaciones
funcionales y las ecuaciones lineales o cuadráticas.
Representar situaciones de la práctica cotidiana mediante modelos analíticos o gráficos, extraer
conclusiones a partir de ellos, destacar las propiedades y relaciones que se cumplen aplicando los
conceptos, relaciones y procedimientos algorítmicos relativos al trabajo con los números reales, las variables
y las ecuaciones algebraicas.
Realizar ejercicios de búsqueda y demostración de proposiciones utilizando los recursos aritméticos o
algebraicos incorporados a su saber matemático.
Formular y resolver problemas relacionados con el desarrollo económico, político y social, nacional o
mundial, que requieran conocimientos y habilidades relativos al trabajo con números reales, las ecuaciones
algebraicas, las funciones (lineales, cuadráticas, entre otras) y la geometría plana; que estimulen la
imaginación, los modos de actuación, promuevan sentimientos y actitudes; que le permitan ser útiles a la
sociedad que se construye y asumir conductas responsables ante la vida.
Utilizar técnicas para un aprendizaje individual y colectivo eficiente; para la racionalización del trabajo
mental con ayuda de los recursos de las tecnologías, la informática y la comunicación.
Argumentar de forma coherente y convincente a partir del dominio de simbologías y terminologías
matemáticas, como premisa para su mejor desenvolvimiento en su actividad futura.
3. Objetivos Instructivos:
1. Sistematizar las propiedades (monotonía, paridad, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad) de las
funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa, de funciones con ecuación y = x, y = x3,
y=3 x .
2. Determinar el dominio, imagen, ceros, composición e inversa de funciones lineales, cuadráticas y de
proporcionalidad inversa, así como de aquellas que se obtienen de las funciones de ecuación y = x,
3. y =x3, y = x y y =3 x .
Luis Zaldivar Henriquez
4. Representar gráficamente funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa, así como
aquellas que se obtienen de las funciones de ecuación y = x, y =x3, y = x y y=3 x .
4. Transferir de una representación a otra de las funciones, es decir, de sus propiedades a su representación
analítica, gráfica o descriptiva (en el lenguaje común) y viceversa, aplicando estos conocimientos a situaciones
sencillas de la práctica y otras ciencias.
Dosificación del contenido de Matemática 10º. 8 h/c de ejercitación y 23 h/c de la unidad # 3 “Funciones”
permite un total de 31 h/c.
Nº de Clase Sem. Sub-Unidad Contenido Video clases
10º 11º
1
19
1.1
Definición de Funciones - -
2 Funciones Lineales,
gráfico y propiedades - -
3 Ejercicios - -
4 Función Cuadrática,
gráfico y propiedades - -
5 Ejercicios (dilatación.
Contracción, reflexión) - -
6
20
Ejercicios sobre funciones
cuadráticas 75 16
7 Estudio sobre la función
y = (x+d)² +e 86 17
8 Ejercicios 78 18
9 Ejercicios 20 21
10 Ejercicios sobre las
funciones estudiadas 20 21
11
21
Ejercicios (Evaluación) 84 -
12 La función modular
Gráfico y propiedades 85 87
Luis Zaldivar Henriquez
13 Ejercicios 86 -
14 Ejercicios (Evaluación) 90 92
15
Estudio de la función de
proporcionalidad inversa
y = 1/x
28 -
16
22
Ejercicios
17 Ejercicios (Evaluación)
18 Estudio de la función
y = x3 32 -
19
Análisis de la inyectividad,
sobreyectividad y
biyectividad de una
función
34 -
20
Concepto de función
inversa. Estudio de
y =
Ejercicios
35 37
21 Ejercicios 38 -
22 23 1.2 Ejercicios sobre
funciones. (Evaluación) - -
23
Concepto de función
inversa. Estudio de
y =
38
24 Estudio de la función
y=x-1
- 42
25 Ejercicios - 43
26
24
Ejercicios.(evaluación) - 44
27 Ejercitación integrada de
la unidad - -
Luis Zaldivar Henriquez
28 Ejercitación integrada de
la unidad - -
29 Ejercitación integrada de
la unidad - -
30 Ejercitación integrada de
la unidad (eval.) - -
5. Salida a los ejes transversales de la clase en relación con los lineamientos de la asignatura:
La asignatura Matemática se ha visto reflejada en cada uno de los ambiciosos planes en el sector
educacional, desde que se precisaron los programas directores de las asignaturas priorizadas (la Lengua
Materna, la Historia de Cuba y la resolución de problemas), en las esperanzadas transformaciones donde
costosas inversiones en medios y materiales audiovisuales se destinaron para masificar la cultura general,
integral y profesional; cuando han estado en función de lograr el objetivo más del 70% de un centenar
programas de la Revolución creados; al ofrecer salida natural desde los contenido a algunos de ellos,
considerándolos así como los ejes transversales de la clase:
Contribuir a la educación ideopolítica, jurídica, laboral, económica y estética de los alumnos a medida que
participan de su propio aprendizaje.
Favorecer la comprensión conceptual y la comunicación mediante las técnicas que ofrece la Lengua
Materna para el dictado y el análisis de textos.
Potenciar una educación formal, sexual, para la salud y medioambiental a través del mensaje que lleva
implícito el problema matemático en sí.
Estimular el desempeño de los alumnos y potenciar el tránsito hacia niveles superiores, dado por la
estructuración de un sistema de tareas docentes sustentado en el cálculo numérico y el trabajo con
variables.
Hacer que los alumnos aprendan a identificar, formular y resolver problemas dados en diferentes contextos
y/o relaciones interdisciplinarias.
Sistematizar permanentemente conocimientos, habilidades y modos de la actividad mental.
Propiciar la integración de las diferentes áreas matemáticas, mostrando el carácter rector de los números y
las variables en dichas relaciones ínterconceptual.
Enfatizar en el análisis de las causas de los errores, así como la importancia de enmendarlos con
Luis Zaldivar Henriquez
argumentación, además de socializar las soluciones correctas.
Utilizar las tecnologías de la informática y la comunicación (TIC) para fijar o ampliar sus conocimientos, ya
sea en la Colección Futuro, el software “Eureka” o en partes de las video-clases.
6. Sistema de habilidades a lograr en los estudiantes.
Para lograr la formación y desarrollo de habilidades que perduren por y para la vida, tanto el profesor como
los alumnos deben conocer su estructura interna, ejercitando el algoritmo con la orientación primero y por
último de forma independiente; es decir; al inicio dando los pasos por separado y posteriormente ejecutarlos
de una sola vez, ejercitando el sistema de actividades sobre el conocimiento más sencillo que cree las bases
para los más complejos, elevando así gradualmente el nivel de asimilación desde lo reproductivo a lo
creativo.
Dentro de las habilidades a lograr durante el desarrollo de las clases correspondientes a las funciones, se
han identificado las siguientes:
Reconocer Determinar lo esencial Observar
Explicar Demostrar Integrar
Calcular Comprender Abstraer
Evaluar Identificar Razonar
Resolver problemas Sistematizar Esbozar
Resolver ecuaciones Argumentar Representar gráficamente
Generalizar describir Comparar
Ilustrar Criticar
Sintetizar Definir
Interpretar Aplicar
7. Medios de enseñanza a utilizar:
Libros de texto de la Educación Media Superior
Software Educativo Colección Futuro “Eureka”
Video-clases, Televisor, Encarta 2008, Ecured, Cassettes metodológicos, Computadora
Laminarlos, DVD, Tablet, Celulares, internet, Pizarra. Videos
11. Sistema de evaluación.
Teniendo en cuenta la R/M 120-2010, se aplicará un sistema variado de evaluaciones sistemáticas, que
permita el control de la apropiación de los contenidos en cada momento del desarrollo de la Unidad. Así
Luis Zaldivar Henriquez
pues, se proponen utilizar actividades para medir el aprendizaje a través de las siguientes formas:
Leyenda RT: revisión de la tarea,
TI: trabajos investigativos
TP: trabajo práctico
TPC: tarea para la casa
RL: revisión de libretas
PE: pregunta escrita
PO: pregunta oral
OD: observación desempeño
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 18
Prueba pedagógica de salida
Introducción:
Queridos estudiantes, como han podido sentir en estos días de trabajo y aprendizaje, se han preparados para
aprender los conceptos de forma diferente a como se hace tradicionalmente, esperamos que lo sigan aplicando
de forma independiente, necesitamos sus respuestas en esta prueba para saber hasta dónde han avanzado
con este trabajo, pedimos su cooperación en las respuestas.
1. Diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique las que sean falsas.
a) __ El cero de una función es aquel valor del dominio cuya imagen es cero.
b) __ El conjunto de pares ordenados 4;3;3;6;2;8;3;5 es una función.
c) __ La función 5xxf 2 es una función inyectiva.
d) __ La función Bf:A es par si y solo sí A es simétrico.
e) __ Una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
2. Seleccione, de las propuestas que se dan a continuación, la más completa para el concepto de función.
__ Una correspondencia entre dos conjuntos.
__ Una correspondencia donde a cada elemento del dominio le corresponde al menos una imagen.
__ Una correspondencia donde a cada elemento del dominio le corresponde solo una imagen
__ Una correspondencia donde no se repiten imágenes.
3. Represente gráficamente las siguientes funciones:
a) y = (x – 3)2 + 1 b) y = x2 + 4x – 5 c) y = │3x – 5│–4 d) y = 2x – 1 e) y = log (2x +2)
4. Determine dominio, imagen, ceros e intervalos de monotonía.
5. El valor de un artículo disminuye con el paso del tiempo según indica el gráfico de una función lineal, donde
en el eje de las abscisas se ha representado el tiempo t transcurrido
(en años) y en el eje de las ordenadas el precio p (en pesos). ¿Al
cabo de cuántos años dicho artículo no tendría valor alguno?_____
En el sistema de coordenadas rectangulares aparecen
representados los gráficos de las funciones g tal que g(x)= -3x +12.
Halle el valor cero de la función. Diga la monotonía y justifique.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 19
Encuesta de salida
Objetivo: Obtener información sobre la calidad de las actividades que realizan durante las clases con las TIC.
Compañero estudiante, necesitamos su ayuda para conocer la calidad con que recibe los contenidos
matemáticos haciendo uso de las TIC durante las clases. Esperamos su sincera participación. Gracias por su
cooperación.
1. En las actividades orientadas por el profesor durante las clases donde se propicie el uso de las TIC:
____ Entiendo los contenidos con facilidad
____ Me ayuda en el estudio independiente a recordar los contenidos
____ Me ubica en los conceptos fundamentales
____ No los entiendo
____ Me ayuda a entender los conceptos
2. ¿Dispone de tiempo requerido para su realización?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
3. ¿Realiza con facilidad las actividades o tareas sin ayuda del profesor?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
4. Al realizar las tareas que tu profesor le orienta, si encuentra alguna dificultad para resolverlas.
¿El profesor le explica detalladamente como tiene que realizar las tareas?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
¿Trata de resolverlas de la forma que su profesor le orienta?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
¿Trata de buscar otras formas o vías para solucionarlas?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
¿Se muestra interesado ante las tareas o actividades independientes que los profesores le orientan
para realizar en el aula o fuera de ella?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
¿Se siente seguro cuando realiza las actividades o tareas que su profesor le orienta?
Siempre______ Casi siempre ______ A veces _____ Casi nunca______ Nunca______
5. Cuando hace las tareas que tu profesor le orienta.
______Los profesores no me orientan adecuadamente.
Luis Zaldivar Henriquez
______No tengo tiempo para realizarlas.
______Me gusta que el profesor me lo explique todo.
Luis Zaldivar Henriquez
Anexo 20
Tabla 30. Comparación de la evolución de la variable al inicio y al final
DIMENSIONES
INDICADORES II-4 II-5 II-6 III-7 III-8 III-9inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final inicial Final
Global p-Ind 1,39 2,20 1,02 1,99 0,84 2,16 1,25 2,85 0,86 2,32 0,28 2,00 0,71 2,13 0,80 2,11 0,82 2,11
Evaluación 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2
Categoría ind R B R B R B R MB R B M B R B R B R B
I-3
DIMENSIÓN I DIMENSIÓN II DIMENSIÓN III
I-1 I-2
VARIABLE:Fijación de los conceptos matemáticos en la EP.
Fig. 26. Gráfico de la comparación global de la variable
