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JJUULLIIOO 22000055
2
INDICE
Pág.
GLOSARIO DE TÉRMINOS……………………………………….......................... 6
LISTA DE TABLAS………………………………………………………………….... 8
LISTA DE FIGURAS……………………………………………………………….… 10
LISTA DE ANEXOS.…………………………………………………………….…… 12
CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN………………………………………………..…. 13
1.1. OBJETIVO GENERAL…………………………………………………….…….. 14
1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………. 14
1.3. CONTENIDO……………………………………………………………………... 15
CAPITULO 2. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE
LA MALLA VIAL DE BOGOTA………………….………………….. 16
2.1. OBJETIVOS…………………………………………………………………… 16
2.2. ASPECTOS GENERALES………………………………………………..… 16
2.3. ESTADO ACTUAL DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA………………….. 17
3
Pág.
2.4. PRESUPUESTO AÑO BASE Y LA TASA DE
CRECIMIENTO PROMEDIO ANUAL HISTÓRICO “Α”………………… 21
2.5. ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA
-ICCP- “Γ”………………………………………………………………….… 23
2.6. COSTO PROMEDIO DE INTERVENCIÓN POR
KM.-CARRIL……….................................................................................. 23
2.7. CONCLUSIONES.................................................................................... 24
CAPITULO 3.MODELO DE OPTIMIZACIÓN DE
ASIGNACIÓN DE COSTOS………..……….……………………… 26
3.1. OBJETIVOS…………………………………………….……………………. 26
3.2. ASPECTOS GENERALES…………………………………………………. 26
3.3. MALLA VIAL DE ESTADO BUENO……………………………................ 30
3.3.1. Modelación de Km.-carril de mantenimiento….…………………… 31
3.3.2. Modelación de Km.-carril de malla inicial, rehabilitación y
reconstrucción……………………………………….…………………... 32
3.4. MALLA VIAL DE ESTADO REGULAR…………………………………….. 33
3.4.1. Modelación del deterioro de Km.-carril de mantenimiento….……. 34
4
Pág.
3.4.2. Modelación del deterioro de Km.-carril de
rehabilitación y reconstrucción……………………………………...… 34
3.5. MALLA VIAL DE ESTADO MALO………………………………………….. 36
3.5.1. Modelo de deterioro de la malla vial regular…...………………..… 36
3.5.2. Modelo de intervenciones en rehabilitación
y reconstrucción……………………………………………………….. ..38
3.6. PROCESO DE OPTIMIZACION……………………………………………. 39
3.6.1. Función para la malla vial buena…………………………………… 40
3.6.2. Función para la malla regular………………………………………... 42
3.6.3. Función para la malla mala………………………………………….. 43
3.6.4. Función para el desarrollo del índice…………………………….… 44
3.7. VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MODELO…………………………… 45
CAPITULO 4.DEFINICIÓN DEL ESQUEMA DE INVERSIÓN…………………... 47
4.1. OBJETIVOS………………………………………………………………….. 47
4.2. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS SUMINISTRADOS
POR EL MODELO…………………………………………………………….. 47
5
Pág.
4.3. ANÁLISIS DE RESULTADO CON EL ESQUEMA ACTUAL
DE INVERSIÓN IMPLEMENTADO POR EL IDU…………………………. 57
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………………………. 60
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………… 62
ANEXOS………………………………………………………………………………. 64
6
GLOSARIO DE TERMINOS
• ÍNDICE DE CONDICIÓN DE PAVIMENTO - ICP-1: parámetro que permite
calificar la condición superficial de la estructura del pavimento, que depende
del índice de rugosidad internacional (IRI), que determina la regularidad
superficial del pavimento, y del índice de falla (IF), el cual por su parte,
determina el nivel de fallas superficiales que se presentan en el pavimento.
• MANTENIMIENTO RUTINARIO (ICP>70)2: actividad que tiende a mantener
la vida útil de la estructura del pavimento. Constituye una practica
preventiva y comprende las siguientes obras: sello de fisuras, limpieza de
drenajes (cunetas, alcantarillas, pozos de inspección, sumideros) limpieza
de obras adyacentes (bermas), demarcación horizontal, limpieza de señales
verticales.
• MANTENIMIENTO PERIÓDICO (ICP>70)3: actividad tendiente a
aumentar durante un periodo adicional la vida útil de la estructura del
pavimento, en términos de comodidad y seguridad. Puede constituir una
practica preventiva o correctiva y comprende las siguientes obras: parcheo
y reparcheo, bacheo, sobrecapa, técnicas alternativas (fresado,
termoperfilado, termogeneracion y reciclado in situ de la carpeta asfáltica).
• REHABILITACIÓN (70>ICP>30)4: actividad necesaria para devolver a la
estructura de pavimento las condiciones de soporte de carga con las que
inicialmente se construyo, así como su nivel de servicio en términos de
seguridad y comodidad. Constituye una practica correctiva y comprende las
siguientes actividades: intervenciones profundas (retiro y reconformación de
1, 2, 3, 4 Definición tomada de la pagina Web del IDU, www.idu.gov.co
7
capas de estructura de pavimento con idénticas características) y reciclado
in situ de la totalidad de la estructura del pavimento.
• CONSTRUCCIÓN (ICP<30)5: caracterización de una estructura de
pavimento nueva sobre vías en afirmado o tierra, o que por su estado de
deterioro se considera deben ser reconstruidas.
• ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA – ICCP-6: el Índice
de Costos de la Construcción Pesada, mide la evolución de los costos de
los principales insumos requeridos en la construcción de carreteras y
puentes, analizando las siguientes variables: obras de explanación,
subbases y bases, transporte de materiales provenientes de obras de
explanación, aceros y elementos metálicos, acero estructural y cables de
acero, concretos, morteros y obras varias, concretos súperestructurales,
pavimentación con asfalto y otros.
• TEORÍA DE JUEGOS DE SUMA CERO7: es un juego entre dos personas o
entidades cualesquiera es de suma cero cuando los logros o ganancias de
un jugador se originan exactamente en las pérdidas o cesiones que debe
afrontar el otro jugador.
5 Definición tomada de la pagina Web del IDU, www.idu.gov.co 6 Definición tomada de la pagina Web del DANE, www.dane.gov.co 7 Definición tomada de la pagina Web, http://www.rinconmatematico.com/miro/juegos2/teoriadejuegos2.htm
8
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 2.1 Presupuesto aproximado para el año 2005………………………….… 22
Tabla 2.2 Costos de intervención…………………………………………………... 24
Tabla 2.3 Costos de intervención promedio………………………………………. 24
Tabla 4.1 Equivalencia entre filas y porcentaje
asignado a la reconstrucción……………………………………………. 48
Tabla 4.2 Equivalencia entre columnas y porcentaje
asignado a la rehabilitación…………………………………………….... 49
Tabla 4.3 Limites máximos y mínimos de asignación de porcentajes………...… 49
Tabla 4.4 Inversión optima………………………………………………………...… 54
Tabla 4.5 Situación actual y proyección al 2015…………………………………. 54
Tabla 4.6 Porcentajes de asignación de recursos, 2003…………………..……. 57
Tabla 4.7 Asignación de recursos, 2005………………………………………..… 58
9
Pág.
Tabla 4.8 Situación actual y proyección al 2015 con la
política de inversión del IDU……………………………………………. 58
10
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 2.1 Lista de contratos de inventario……………………………………….. 18
Figura 2.2 Distribución de la malla vial de Bogota………………………………... 18
Figura 2.3 Diagnostico del sistema vial de Bogota, D.C.
proyección a diciembre de 2004……………………………………… 20
Figura 2.4 Distribución de la malla vial, según el estado
de las vías………………………………………………………………. 20
Figura 2.5 Evolución de compromisos ejecutados por el IDU…………………... 21
Figura 3.1 Curva de condición típica del ciclo de vida de
un pavimento……………………………………………………………. 29
Figura 3.2 Curva de deterioramiento del pavimento…………………………....... 30
Figura 4.1 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial
buena, a 10 años …………………………….…………………..…..… 50
Figura 4.2 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial
Regular, a 10 años……………………………….…………….………... 51
11
Pág.
Figura 4.3 Grafica de los resultados de la matriz de resultados de
la malla vial Mala, a 10 años...………………….………………….… 52
Figura 4.4 Grafica de los resultados de la matriz del índice, a 10
años…………………………………………...……………….………… 51
Figura 4.5 Variación de la malla vial……………………………………………….. 56
Figura 4.6 Variación de la malla vial, porcentaje IDU……………………………. 59
12
LISTA DE ANEXOS
Pág.
Anexo A CÁLCULO DE PROYECCIÓN ICCP……………..………………..… 64
Anexo B MODELO DESARROLLADO EN MATHCAD VERSION
11 PARA OPTIMIZACION DE LA INVERSION EN LA
MALLA VIAL DE BOGOTA.…………………………….……..……. 66
Anexo C MODELO CON ESQUEMA PROPUESTO POR EL
INSTITUTO DE DESARROLLO URBANO - IDU -…………….… 83
13
1. INTRODUCCIÓN.
Uno de los temas de gran de importancia e interés para la ciudadanía, es la
movilidad de ellos a través de la ciudad de Bogota, es decir, los tiempos de viaje,
el tráfico en las calles y el nivel de servio que se presta. La movilidad esta
determinada por varios aspectos, dentro de los cuales se destacan el sistema vial
y el sistema de transporte.
Para el sistema de transporte, durante los últimos periodos de gobierno distrital
han elaborado e implementado un plan de transporte masivo, para darle solución a
los problemas presentados en Bogota, reduciendo los tiempos de viajes y los
costos asociados a ellos. La alcaldía de Bogota ha venido realizando una serie de
inversiones a planes de largo plazo, situación que progresivamente le ha ido
cambiando la cara a la ciudad.
En cambio, en la última década el sistema vial de Bogota ha venido en
decadencia, donde una de la razones es que la política de inversión de IDU, esta
en gran parte definida por compromisos políticos adquiridos durante la campaña
hacia la alcaldía. No existe una política clara de inversión a largo plazo, solo se
consideran planes de ejecución con un plazo menor o igual al de la duración de
las alcaldías.
La ciudad cuenta con un presupuesto reducido destinado a la malla vial, que en la
actual administración “el mejoramiento de la malla vial”, no ha sido una bandera de
justa causa, que inclusive, dentro de los últimos años se ha disminuido el
presupuesto, dado que se ha reasignado a planes de asistencia medica y
alimenticia subsidiada por la alcaldía, planes de no menos importancia y prioridad
que la movilidad en Bogota.
14
Además, en este momento las inversiones del IDU están concentradas en su
mayoría hacia la construcción de vías nuevas, dado al gran impacto social que
causa este tipo de obra en el sector. Ya que aunque la rehabilitación o
mantenimiento de las vías ya establecidas alargan la vida útil del pavimento, a
estas no se les esta prestando gran importancia, por que no se ve reflejado de
manera inmediata el beneficio generado en la sociedad.
1.1 OBJETIVO GENERAL
Desarrollar un programa que permita simular la evolución de la malla vial de
Bogota a través de los años, teniendo en cuenta la asignación de recursos para
cada tipo de intervención. Con el fin de optimizar, evaluar y comparar la situación
optima futura, la actual y la situación futura bajo el esquema actual de inversión
propuesto por el IDU.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Definir, evaluar y cuantificar las variables que mas influyan en el
comportamiento de la malla vial de bogota.
• Simular mediante ecuaciones matemáticas el deterioro que sufre una vía a
lo largo de su vida útil.
• Elaborar un modelo matemático, que permita simular los estados de la
malla vial.
• Desarrollar un modelo de optimización que nos permita simular la evolución
del futuro estado de la malla vial, evaluando el espectro de combinaciones
de los diferentes tipos de intervención.
• Determinar el mejor escenario de la política de inversión, para maximizar
los resultados a 10 años.
15
• Proyectar el estado de las vías siguiendo la política de inversión que rige
actualmente el IDU.
1.3 CONTENIDO
Durante el desarrollo de este trabajo el lector, en primera instancia, encontrara un
análisis de las variables que interfieren en la evolución de la malla vial de Bogota,
variables que se han considerado de gran impacto, tales como, el costo de las
diferentes tipos de intervención, el presupuesto asignado a la malla vial y su
respectiva proyección para los próximos 10 años, de igual forma se encontrara un
descripción el estado actual de la malla vial de Bogota.
En el capitulo 3, se encuentra una detallada descripción del modelo desarrollado,
allí se explica de manera minuciosa cada una de las variables utilizadas y la
deducción de cada una de las formulas que describen el proceso de deterioro de
la malla vial. Al final de este capitulo, encontraremos el proceso y desarrollo del
modelo de optimización de la inversión de la malla vial.
Por ultimo, en el capitulo 4 se realiza el respectivo análisis de los resultados
emitidos por el modelo, dentro de los cuales se presentan dos análisis, el primero
de ellos, es el obtenido por la optimización de la inversión y el segundo es el
generado bajo las condiciones de inversión actuales del Instituto de Desarrollo
Urbano - IDU -
16
2. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA.
2.1 OBJETIVOS
• Precisar cuales son las variables de entrada ( INPUT ) del modelo
• Definir cual es el estado actual de la malla vial en la ciudad de Santa Fe
de Bogota.
• Detallar y cuantificar la inversión necesaria para realizar una intervención
a la malla vial de Bogota.
• Proyectar la tasa de crecimiento del presupuesto de inversión directa del
IDU según su trayectoria histórica.
• Proyectar la tasa de variación en los precios de los insumos para la
construcción de infraestructura vial.
2.2 ASPECTOS GENERALES.
En este capitulo, encontraremos cuales son la variables de entrada para nuestro
modelo. Dichas variables, deben ser cuidadosamente seleccionadas, dado que de
su estimación dependen los resultados del modelo, teniendo en cuenta lo riesgoso
que puede llegar al concepto de TITO “Trash In – Trash Out”.
Unos de los aspectos más importantes a tener en cuenta, son las variables
relacionadas con el tiempo, en este caso, las proyecciones de tasas de
crecimiento ya que alguna variación mal planeada, puede influir de manera
drástica en la cantidad de Km.-carril que se pueden intervenir en un futuro.
17
2.3 ESTADO ACTUAL DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA.
Durante segunda mitad de la década de los noventas, la Secretaria de Obras
Publicas de bogota - que era la entidad encargada de la malla vial de Bogota en
ese momento -, en vista que el deterioramiento de la malla vial de Bogota era
progresivo y que se contaba con mas de 10.700 Km.-carril de vías, pero no se
contaba con su respectivo diagnostico, ni se conocía detalladamente su estado.
En busca de mejorar la inversión en mantenimiento de vías existentes, en 1997 se
suscribieron 8 contratos de inventario por más de 2’700 millones con el fin de
diagnosticar e inventariar la malla vial de bogota.
A partir de la creación de Instituto de Desarrollo Urbano y específicamente desde
el acuerdo 02 de 1999, el consejo de Bogota delego la creación de un sistema de
información de la malla vial de Bogota al IDU, obligando a esta entidad, a unificar y
compilar la información de estudios ya existentes y contratar los estudios
pertinentes para conformar la base de datos del sistema vial. Dicha base de datos
debería contener información general, características de la estructura del
pavimento, del tráfico vehicular, del mantenimiento de la vía y sus obras
complementarias. Para ello, el IDU suscribió 14 contratos por 6’444 millones
desde el año 1998 hasta el año 2002 (ver figura 2.1).
18
Figura 2.1. Lista de contratos de inventario
Dado que solo se realizaron estudios hasta mediados del 2002, en este momento,
el IDU cuenta con las actualizaciones que se presentan cada vez que se termina
un contrato de obra, esto sirve como base para realizar las proyecciones
correspondientes al estado de la malla vial. Para diciembre de 2004 el IDU
proyecto un total de 15.306 Km.-carril de los cuales 823 Km.-carril son
pertenecientes al sistema general de transporte, los restantes 14.483 Km.-carril se
encuentran distribuidos de la siguiente forma:
Figura 2.2 Distribución de la malla vial de Bogota
19
Para la caracterización de cada uno de los estados de la malla vial, el IDU
procedió a cualificar y asociar cada estado con su tipo de intervención requerida
para mantener el nivel de servicio óptimo. Dicha intervenciones se estimaron
mediante el Índice de Condición de Pavimento - ICP- presentando los siguientes
resultados.
• ICP < 30 CONSTRUCCION
• 30 < ICP < 70 REHABILITACION
• ICP > 70 MANTENIMIENTO
Teniendo en cuenta la asociación del estado con las intervenciones antes
mencionadas, tenemos que para la malla vial de estado Bueno se le realizaran
intervenciones de tipo Mantenimiento. Para la malla vial de estado regular se le
realizaran intervenciones de tipo rehabilitación y para el estado de malla vial de
estado malo se considerara intervenciones de tipo construcción. Dada la anterior
correlación, tenemos el siguiente diagnostico para la malla vial de bogota.
20
Figura 2.3 Diagnostico del sistema vial de Bogota D.C, proyección a diciembre de
2004
Al sintetizar las figuras 2.2. y 2.3 obtenemos en general que la malla de Bogota se
encuentran distribuidos de la siguiente forma, según su el estado de la malla.
Figura 2.4 Distribución de la malla vial, según el estado de las vías
21
2.4 PRESUPUESTO AÑO BASE Y LA TASA DE CRECIMIENTO PROMEDIO ANUAL HISTÓRICO “Α”.
Debido a que el modelo debe proyectarse a una década, es importante estimar
cual es la tasa de crecimiento del presupuesto del IDU. Aunque no existe
tendencia alguna del crecimiento histórico del presupuesto (ver figura 2.2), en
promedio, sin tener en cuenta recursos de Transmilenio ni de la UEL, es de
402.927 millones de pesos.
Figura 2.5 Evolución de compromisos ejecutados por el IDU.
Durante los últimos 4 años, el presupuestos del IDU ha venido decreciendo,
situación que en el año 2005 se acentúa mas dado que se requiere fortalecer
sectores aún más deprimidos como son la salud y la educación que la misma
infraestructura vial8. Para este año el IDU tiene destinado $ 243.500 millones para
8 Tomado del documento del IDU, soporte para el informe general de gestión 2004-2005
22
la inversión directa al subsistema vial de bogota, los cuales se dispondrán como
se muestra en la tabla 2.1.
Tabla 2.1 Presupuesto aproximado para el año 2005
Aunque las series históricas nos provean un ámbito de decrecimiento en el
presupuesto, se debe tener en cuenta que se están planteando medidas o
políticas de financiamiento que al largo plazo, permitirán incrementar el
presupuesto del IDU.
Dentro de las políticas más fuertes, se encuentran la imposición de peajes
urbanos internos y en la periferia (en los accesos a la ciudad de Bogota).
Adicionalmente, se buscara incrementar la base de liquidación del impuesto de
vehículos, ya que las tarifas están por 30 % menor al valor comercial del vehiculo.
Por ultimo, según personas cercanas al sector al igual que ingenieros
pertenecientes al IDU, se estima que de ser implementadas estas medidas, el
presupuesto del IDU crecerá indudablemente, a una tasa por debajo de la tasa de
inflación.
23
2.5 ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA -ICCP- “γ”.
Debido a que el modelo se proyectara a 10 años, los costos de intervención en el
tiempo presentaran incrementos o decrementos, debido al fenómeno de la
inflación. Para remediar esta situación, indexaremos los costos mediante el ICCP
y no mediante la inflación, debido a que esta última se calcula con los cambios en
precios de una canasta de bienes y servicios que en ningún momento reflejan el
impacto real de la inflación en las obras de ingeniería.
Tomando las variaciones porcentuales anuales del ICCP, que se registraron desde
1994 hasta 2004, y realizando una regresión con estos datos, tenemos que para
los próximos 10 años un ICCP de 4.76% anual promedio (ver anexo A.).
2.6 COSTO PROMEDIO DE INTERVENCIÓN POR KM.-CARRIL
Según el documento “Plan de Desarrollo Económico, Social y de Obras publicas
para Bogota D.C. 2001 – 2004”, se incluyó dentro del costo de intervención de
rehabilitación y reconstrucción, el costo de intervención en andenes, circunstancia
que aumento los costos de intervención en la malla vial de bogota en casi 2.2
billones.
En la tabla 2.2, podemos observar el costo promedio de cada intervención para el
año 2002.
24
Como primera medida, los costos referenciados en la tabla 2.2. deben ser
indexados con el ICCP, con el fin de actualizar el costo de cada uno de ellos a
Diciembre de 2004. Además, el modelo requiere que solo haya un costo promedio
para cada tipo de intervención, por esto, los valores de la tabla. 2.2 serán
ponderados por las longitudes correspondientes de cada tipo de malla (ver tabla
2.3).
2.7 CONCLUSIONES
• Se evidencia el mal estado en el que se encuentra la malla vial de bogota,
donde casi el 50 % de la malla vial total se encuentra ya deteriorada,
además en estado regular hay un 25 % y un 26 % en estado bueno.
• Dada la serie histórica del ICCP, se calcula que para la próxima década
dicho índice podrá tener un valor promedio cercano a 4.76%.
TIPO DE OBRACOSTO POR KM.-CARRIL, MALLA VIAL ARTERIAL
COSTO POR KM.-CARRIL, MALLA
VIAL INTERMEDIACONSTRUCCION $ 1.999 $ 980REHABILITACION $ 500 $ 350MANTENIMIENTO $ 105 $ 105
Tabla 2.2. Costos de Intervencion
Fuente: Analisis Estadistico de la Condicion Actual de la Malla Vial de Bogota, 2003
(Valores en millones de pesos, 2002)
TIPO DE OBRA COSTO POR KM.-CARRIL
CONSTRUCCION $ 1.487,67REHABILITACION $ 486,61MANTENIMIENTO $ 119,79
(Valores en millones de pesos, 2005)Tabla 2.3. Costos de Intervencion promedio
25
• Debido a que se correlaciono el estado de la malla vial con un tipo de
intervención especifica, se tiene que el costo de mantenimiento por km.-
carril es aproximado a $ 119 millones de pesos, el costo de rehabilitación es
de alrededor de $486 millones de pesos, por ultimo tenemos que se
requiere un poco mas de $ 1.487 millones para reconstruir o construir un
km.-carril en bogota.
• Si se aplicaran las medidas para generar mas ingresos para la
sostenibilidad de la malla vial, algunas personas cree que el presupuesto
del IDU puede estar creciendo alrededor del 3%.
26
3. MODELO DE OPTIMIZACIÓN DE ASIGNACIÓN DE COSTOS.
3.1. OBJETIVOS.
• Desarrollar un programa que permita la modelación de los diferentes
estados en los que se encuentra la malla vial de bogota, que incluya el
deterioramiento y el tipo de intervención que se le realice.
• Deducir y modelar todo el espectro de combinaciones de inversión,
teniendo en cuenta sus restricciones.
3.2. ASPECTOS GENERALES
En primera instancia, se definió las variables de entrada y las variables que
representaran los diferentes tipos de intervención. Luego se modelo la cantidad de
Km.-carril que se pueden intervenir según el presupuesto disponible, el porcentaje
de asignación a cada estado y el costo de dicha intervención. Este proceso, se
realizo para cada una de las intervenciones que se relacionan con los estados en
los que se encuentra la malla vial de Bogota, el estado bueno, Regular y Malo.
Variables de entrada:
Bo = Km.-carril en estado Bueno año 0
Ro = Km.-carril en estado Regular año 0
Mo = Km.-carril en estado Malo año 0
Po = Presupuesto año 0
recons = costo promedio de reconstrucción km.-carril año 0
27
rehab = costo promedio de rehabilitación km.-carril año 0
mante = costo promedio de mantenimiento km.-carril año 0
α= crecimiento promedio anual del presupuesto
γ = ICCP proyectado
t = año horizonte
Variables de tipo intervención:
• Q es el % destinado a la reconstrucción
• R es el % destinado a la rehabilitación
• S es el % destinado al mantenimiento, pero se define
automáticamente como 100 % - Q – R
• Q y R son las únicas variables a optimizar.
Como se puede ver en la ecuación 3.1., la cantidad de km.-carril que se pueden
reconstruir (intervención que permite devolver el pavimento de estado malo a
estado Bueno) es función de las variables “t” que significa tiempo y la variable
“Q” que es el porcentaje destinado a la reconstrucción, y se calcula mediante el
siguiente procedimiento.
La ecuación 3.1. nos muestra los Kms-carril que se pueden reconstruir
“reconsKM”, durante el tiempo horizonte, son el porcentaje destinado a la
reconstrucción “Q” multiplicado por el presupuesto inicial “Po” e indexado con la
tasa de crecimiento promedio anual del presupuesto “α” año tras año; todo lo
anterior, dividido por el costo de reconstruir un Km-carril e indexado con el ICCP
“γ” año tras año. Teniendo en cuenta que se modelara desde el año cero y no se
cuenta con registros históricos de ninguna intervención
28
(3.1)
De manera similar se modela los km-carril que se rehabilitaran “rehabKM” año tras
año, como se aprecia en la ecuación 3.2., donde “R” es el porcentaje destinado a
la rehabilitación y “rehab” es el costo promedio de rehabilitación de un Km.-carril
(3.2)
Debido a que el porcentaje asignado a mantenimiento se define automáticamente
cuando se definen los porcentajes de reconstrucción y de rehabilitación, en la
ecuación 3.3. podemos observar como se modela los Km.-carril que se
intervendrán con mantenimiento “ rehabKM”, donde “mante” es el costo promedio
del mantenimiento de un km.-carril.
(3.3)
Debemos tener en cuenta, que existe una relación dependiente entre cada uno de
los estados de la malla vial, esto se debe a que se aplico la teoría de juegos de
suma cero, por ejemplo, la cantidad de Km.-carril que se reconstruyen, se restan a
la malla vial en mal estado y se le suman a la malla vial de estado bueno,
manteniéndose el equilibrio en el sistema.
Por otro lado, se debe simular el deterioramiento del pavimento entre cada estado,
me explico, es simular que cantidad de Km.-carril pasa del estado Bueno a regular
reconsKM Q t,( ) QPo
recons⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
rehabKM R t,( ) RPo
rehab⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
manteKM Q R, t,( ) 1 Q− R−( ) Pomante
⋅1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
29
y del estado regular al Malo. Para dicha simulación, se ha tomado como referencia
la curva de condición típica del ciclo de vida de un pavimento presentada en la
Guía Metodológica para el Diseño de obras de Rehabilitación de INVIAS, 2002,
que relaciona el deterioro con los costos de las necesidades según el instante de
la intervención (ver figura 3.1). Además, se ha combinado con la curva de
deterioramiento del pavimento (ver figura 3.2) que fue idealizada y utilizada por el
IDU en el modelo de desarrollado por ellos.
Fuente: Guía Metodológica para el Diseño de obras de Rehabilitación de INVIAS, 2002
Figura 3.1 Curva de condición típica del ciclo de vida de un pavimento
30
Figura 3.2 curva de deterioro del pavimento
Al analizar las dos graficas presentadas con anterioridad, tenemos que un
pavimento en estado bueno se demora 6 años en cambiar totalmente a un estado
regular, lo que simularemos como una depreciación en línea recta con una
pendiente de un sexto (1/6). Análogamente, para el estado regular tenemos una
depreciación de un octavo (1/8) por año, simulando el deterioramiento de regular a
malo.
3.3 MALLA VIAL DE ESTADO BUENO.
La función que modela el estado de la malla vial no es una función acumulativa,
esta función calcula el total de la malla vial en estado bueno como la suma de los
diferentes Km.-carril que se encuentran en cada año, según su incremento y
deterioramiento año tras año. Para modelar el funcionamiento del estado bueno se
debe tener en cuenta los siguientes aspectos:
31
• La intervención por mantenimiento alarga la vida útil del pavimento en dos
años adicionales, es decir, que si la vida útil en el estado Bueno es de 6
años, al realizar la intervención dicha vida útil se alargara a 8 años. Por lo
cual su deterioramiento se calculara como un octavo (1/8) anual y no un
sexto (1/6).
• Todo el pavimento que se encuentre en estado bueno – sin tener en cuenta
al que se le realiza mantenimiento- se le calculara un deterioramiento de un
sexto (1/6), incluye los kms.-carril del pavimento inicial en estado bueno, de
lo rehabilitado y lo reconstruido.
Para la modelación del estado bueno, se dividirá en dos partes, dada la diferencia
en su periodo de deterioro. La primera de ellas, son los Km.-carril de
mantenimiento con un periodo de 8 años y segundo los Km.-carril de malla inicial,
de rehabilitación y reconstrucción con un periodo de 6 años.
3.3.1 Modelación de Km.-carril de mantenimiento
Para la cantidad de km.-carril que se intervinieron con mantenimiento, tenemos
que para el año 8 -que se considera el comienzo de la generalización de la
función, dado que allí termina de depreciarse lo recuperado por mantenimiento en
el año 1- la siguiente expresión:
(3.4)
Donde “manteKM(t)” son los Kms.-carril que es posible intervenir con
mantenimiento en el año “t”, además tenemos que la fracción simboliza la cantidad
de Kms.-carril que se tienen para ese año “t” descontando el deterioramiento. Por
32
esto para el año inmediatamente anterior a “t” tenemos 7/8, ya que en un año se
deteriora 1/8, para el año “t-2” tenemos 6/8 ya que se a deteriorado en 2/8 la
cantidad de pavimento en mantenimiento y así sucesivamente hasta que la
fracción se convierte en 0.
Al simplificar la ecuación (3.4), se obtiene la siguiente ecuación.
(3.5)
3.3.2 Modelación de Km.-carril de malla inicial, rehabilitación y reconstrucción
Como primera medida, se compilaron dentro de la variable “Bkm(Q,R,t)” las
cantidades de Km.-carril de la malla buena inicial “Bo”, los Km.-carril que se
intervinieron por rehabilitación “rehabKM(R,t)” y por reconstrucción “reconsKm(Q,t)
a través del tiempo. Esta compilación se logra debido a que estas tres cantidades
se deterioran en el mismo plazo (ver la ecuación 3.6.).
(3.6)
Dado que “Bkm(Q,R,t)” se deteriora en un plazo de 6 años y siguiendo de manera
similar el concepto explicado para el mantenimiento (ecuación 3.4.) pero utilizando
1/6 como factor de deterioro, tenemos para el año 6 - que se considera el
comienzo de la generalización de la función, dado que allí termina de depreciarse
la malla vial en estado bueno inicial- la siguiente expresión:
(3.7)
Y simplificado, tenemos:
Bkm Q R, t,( ) Bo t 0if
reconsKM Q t,( ) rehabKM R t,( )+( ) otherwise
:=
Mkm Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
manteKM Q R, t i−,( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦∑
=
:=
Bkmtotal t( ) Bkm t( )56
Bkm t 1−( )⋅+23
Bkm t 2−( )⋅+12
Bkm t 3−( )⋅+13
Bkm t 4−( )⋅+16
Bkm t 5−( )⋅+:=
33
(3.8)
Por ultimo, tenemos que la suma aritmética de la ecuación 3.5 y la ecuación 3.8,
donde “Btotal(Q,R,t)” representa el total de km-carril de la malla vial en estado
bueno a lo largo del tiempo (ecuación 3.9).
(3.9)
3.4 MALLA VIAL DE ESTADO REGULAR. De manera similar al modelo de malla vial buena, este modelo no es una función
acumulativa, esta función calcula el total de la malla vial en estado regular como la
suma de los diferentes Km.-carril que se encuentran en cada año según su
incremento y deterioramiento año tras año.
Dado que todos los modelos están correlacionados, para la malla regular se le
sumaran los km.-carril que se deterioran de la malla vial buena (incluye los km.-
carril iniciales de la malla buena, el mantenimiento, la rehabilitación y la
reconstrucción). Así mismo, se le sustraerá a esta, los deterioramientos
correspondientes a las cantidades anteriormente mencionadas y los km.-carril que
se rehabilitan.
Debido a que en la malla vial buena, se realizo un modelo especifico según el tipo
de intervención, para el modelo regular se tratara de la misma forma,
independientemente que se deterioraren igualmente a un plazo de 8 años.
Btotal Q R, t,( ) Mkm Q R, t,( )
0
6
i
6 i−( )6
Bkm Q R, t i−,( )⋅∑=
+:=
Bkmtotal t( )
0
6
i
6 i−( )6
Bkm t i−( )( )⋅∑=
:=
34
3.4.1Modelación del deterioro de Km.-carril de mantenimiento
Para desarrollar el modelo, se debe tener en cuenta, que se aplico un deterioro de
1/8 anual al mantenimiento realizado en la malla buena, así deducimos que
durante un lapso de 8 años, el mantenimiento que se realizo en un tiempo t se
estará deteriorando (aportando a la malla vial regular). Por lo anterior, el deterioro
de los km.-carril de mantenimiento se calculara como 1/8 de los diferentes km.-
carril que se mantuvieron durante los últimos 8 años al tiempo t, comenzando en
“t-1” en el tiempo t, ya que el deterioro comienza desde el siguiente año al que se
realiza la intervención (ver ecuación 3.10).
(3.10)
Al simplificar dicha expresión, tenemos la ecuación 3.11:
(3.11)
3.4.2 Modelación del deterioro de Km.-carril de rehabilitación y reconstrucción
De igual manera que se desarrollo el procedimiento para calcular el deterioro del
mantenimiento, se utilizara en este deterioro, para el cual se utiliza un deterioro de
1/6 anual, con un lapso de 6 años (ver ecuación 3.12).
(3.12)
+
deteriorodemantenimiento t( )
0
7
i
18
manteKM t i− 1−( )⋅∑=
:=
deteriorodeBkm16
Bkm Q R, t 1−,( )⋅16
Bkm Q R, t 2−,( )⋅+16
Bkm Q R, t 3−,( )⋅+:=
16
Bkm Q R, t 4−,( )⋅16
Bkm Q R, t 5−,( )⋅+16
Bkm Q R, t 6−,( )⋅+
35
Simplificando la ecuación 3.12, tenemos:
(3.13)
Hasta ahora solo se ha modelado por separado que cantidad de km-carril pasaran
año tras año de la malla buena a la malla regular, pero no se modelado como se
deteriorara este (de la malla regular a la mala) y así mismo que cantidad
realmente tendremos en un año “t”.
Para resolver este problema, procedemos a compilar en la variable Rkm(Q,R,t) las
cantidades que se suman en la malla regular (ver ecuación 3.14), los km.-carril de
la malla inicial “Ro”, el deterioro en el mantenimiento (ecuación 3.11), el deterioro
de Bkm (ecuación 3.13) que es el deterioro de la malla inicial buena, de lo
rehabilitado y lo reconstruido, por ultimo se debe restar el mantenimiento que se
realiza durante ese año (ecuación 3.3).
(3.14)
Una vez obtenidos estas cantidades año tras año (Rkm), de manera similar a lo
deducido para la modelación del mantenimiento en la malla vial buena (ecuación
3.4 y 3.5), se obtendrá el total de Rkm, teniendo en cuenta que estas cantidades
se deterioraran en un periodo de 8 años a una tasa de 1/8, dando como resultado
la siguiente expresión:
(3.15)
Rkm Q R, t,( ) Ro t 0if
1
6
i
16
Bkm Q R, t i−( ),[ ]⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
manteKM Q R, t,( )−
0
7
i
18
manteKM Q R, t i− 1−,( )⋅∑=
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
:=
deteriorodeBkm
1
6
i
16
Bkm Q R, t i−( ),[ ]⋅∑=
:=
totalRkm
0
8
i
8 i−( )8
Rkm t i−( )( )⋅∑=
:=
36
Por ultimo, tenemos que el total de Km.-carril en estado regular “Rtotal(Q,R,t)”
(ecuación 3.16) es igual al total de Rkm (ecuación 3.15) que es la sumatoria de los
diferentes Km.-carril que se encuentran en año t, menos la cantidad de Km.-carril
que se rehabilita en el mismo año t (ecuación 3.2).
(3.16)
3.5. MALLA VIAL DE ESTADO MALO.
A diferencia de los modelos anteriores, en el modelo de estado malo no existe la
posibilidad que el pavimento pueda pasar a otro estado sin requerir ningún tipo de
intervención, es decir, el pavimento que llega a este estado se quedara ahí hasta
que pueda ser reconstruido. Esta situación nos indica que la función que describirá
este proceso será una función acumulativa.
Con el fin de simplificar la explicación del modelo de la malla vial mala, este se
explicara en dos partes, en la primera de ellas se describirá el deterioro de la malla
regular (lo que pasa de la malla regular a la malla mala), y segundo se explicara el
efecto de las intervenciones en rehabilitación y reconstrucción.
3.5.1 Modelo de deterioro de la malla vial regular
Para el desarrollo del modelo del deterioro de la malla vial regular, se dividirá en
dos escenarios diferentes, dado que se utilizaran funciones acumulativas.
Para el primer escenario, el cual se presenta cuando t es menor a 8 años, esto
debido a que el deterioro de la malla regular se presenta en un lapso de 8 años,
donde en el año octavo del modelo, los km.-carril iniciales de la malla vial se
Rtotal Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
rehabKM Q t,( )−:=
37
terminaran de deteriorar (pasa la totalidad de km.-carril iniciales de la malla regular
a la malla mala).
Teniendo en cuenta que de la malla regular se deterioraran los km.-carril que se le
suman a ella, es decir, lo que son representados por Rkm (ecuación 3.14), el
deterioramiento de la malla regular será el complemento de la ecuación 3.15, pero
teniendo en cuenta que solo se habrá deterioramiento un año después de que
lleguen a la malla regular, esto significa, que el deterioramiento de la malla regular
para cualquier año t menor que 8, será 1/8 de Rkm del año anterior, 2/8 de Rkm(t-
2) , 3/8 de Rkm(t-3) y así sucesivamente hasta que 8/8 de Rkm(t-8)( ver ecuación
3.17).
Si t < 8
(3.17)
+
Simplificando la ecuación anterior, tenemos:
Si t < 8 (3.18)
El segundo escenario se presenta cuando t es mayor o igual a 8, el
deterioramiento de la malla regular, para este caso, se calculará como la suma de
la ecuación 3.18 más los km.-carril en total acumulado que se han deteriorado en
años iguales o anteriores al octavo (ver ecuación 3.19).
Si t ≥ 8 (3.19)
deteriromallaregular18
Rkm Q R, t 1−,( )⋅14
Rkm Q R, t 2−,( )⋅+38
Rkm Q R, t 3−,( )⋅+12
Rkm Q R, t 4−,( )⋅+:=
58
Rkm Q R, t 5−,( )⋅34
Rkm Q R, t 6−,( )⋅+78
Rkm Q R, t 7−,( )⋅+ Rkm Q R, t 8−,( )+
deteriromallaregular
1
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
:=
deteriromallaregular
0
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦ 0
t 8−
i
Rkm Q R, i 1−,( )∑=
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
+:=
38
Con el fin de desarrollar una sola expresión, se combinaran las ecuaciones 3.18 y
3.19 en un condicional (ver ecuación 3.20)
(3.20)
3.5.2 Modelo de intervenciones en rehabilitación y reconstrucción
Dado que el modelo de la malla vial mala es una función acumulativa, los km.-
carril que se reconstruyeron año tras año deben ser acumulados durante el
tiempo, ya que esta cifra se deducirá del total de la malla vial mala. Por otro lado,
tenemos que dentro de la malla mala se deducirán también los km.-carril que
fueron rehabilitados, ya que estos, en teoría serian parte de la malla vial mala si no
fueron intervenidos apropiadamente (ver ecuación 3.21)
(3.21)
Por ultimo, se combinaran las ecuaciones 3.20 y 3.21 con el fin de modelar el total
de km.-carril que se encuentran año tras año en estado malo “Mtotal(Q,R,t)”,
teniendo en cuenta que se parte de un cantidad de km.-carril inicial en estado
malo “Mo” (ver ecuación 3.22).
deteriromallaregular
1
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
t 8<if
0
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦ 0
t 8−
i
Rkm Q R, i 1−,( )∑=
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
:=
modelointervenciones
0
t
i
rehabKM R i 1−( ),⎡⎣ ⎤⎦∑=
−
0
t
i
reconsKM Q i,( )∑=
−:=
39
(3.22)
+
3.6. PROCESO DE OPTIMIZACIÓN
Como se pretende optimizar los porcentajes de inversión, para que en un tiempo t
horizonte, se encuentre la mayor cantidad de km.-carril en la malla vial buena y
regular con la menor cantidad de km.-carril en la malla vial mala.
Para lograr este propósito utilizaremos las expresiones de Btotal(Q,R,t) (ecuación
3.9), Rtotal(Q,R,t) (ecuación 3.16) y Mtotal(Q,R,t) (ecuación 3.22), recordando que
Q es el porcentaje asignado a reconstrucción, R es el porcentaje asignado a la
rehabilitación y el porcentaje de mantenimiento automáticamente se define como
100 % menos Q y R, y t es el tiempo horizonte.
Las ecuaciones mencionadas nos proveerán los posibles resultados de las
distintas combinaciones que sean posibles. Para ello, se restringirá el modelo para
asignar una inversión mínima “X”, una inversión máxima “Y” y unos incrementos
en la inversión “Z" en cada uno de los diferentes tipos de intervención
(mantenimiento – malla buena, rehabilitación – malla regular, reconstrucción –
malla mala).
1
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
t 8<if
0
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦ 0
t 8−
i
Rkm Q R, i 1−,( )∑=
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
Mtotal Q R, t,( ) Mo
0
t
i
rehabKM R i 1−( ),⎡⎣ ⎤⎦∑=
−
0
t
i
reconsKM Q i,( )∑=
−:=
40
Luego, procedemos a realizar una función para cada uno de los tipos de
intervención, que nos permita generar una matriz de las posibles combinaciones
de inversión, teniendo en cuenta las restricciones antes mencionadas.
3.6.1 Función para la malla vial buena
Para la malla vial buena, se calcularan los km.-carril de esta para un tiempo t
horizonte, mediante la función 3.23, la cual presentara las variables “low” que
representa la mínima inversión, “upp” que representa la máxima inversión y “incr”
que simboliza el incremento en la inversión.
Básicamente, la función 3.23 genera una matriz donde las columnas representan
el porcentaje asignado a reconstrucción y las filas representan el porcentaje
asignado a la rehabilitación, para ello se utilizaran los caracteres “a” como
contador para columnas y “b” como contador para las filas. Además se utilizaran
dos contadores internos “i” y “j” para barrer el espectro de combinaciones,
utilizando un “for” anidado de la siguiente manera, para “i” desde “low” hasta “upp”
creciendo como “low + incr”, recorra “j” desde “low” hasta “upp” creciendo como
“low + incr”, es decir, para pasar de una fila a otra se debe recorrer primero todas
las columnas de la primera fila.
X es el % mínimo de inversión
Y es el % máximo de inversión
Z es el % de incremento de la inversión
41
(3.23)
Para cada celda perteneciente a la matriz generada por la función 3.23, debe
haber un valor asignado “Ma,b” que presentara las siguientes restricciones
• Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la suma de las columnas y filas de dicha celda
es igual o mayor al numero máximo de posible de incrementos (ecuación
3.24), dado que las celdas de una matriz se enumeran desde cero (0), pero
se cuentan desde 1, esta diferencia se absorbe sumando uno (1) a la
expresión “a+b”.
(3.24)
• Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la cantidad de km.-carril de la malla regular
para un año t, t-1 y t-2 es menor a cero (0) (ecuación 3.25), esta restricción
se debe a que es posible en términos matemáticos tener km.-carril
negativos, pero en la realidad no se puede dar esta opción.
MB low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Btotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if←
42
(3.25)
• Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la cantidad de km.-carril de la malla buena para
un año t, t-1 y t-2 es menor a cero (0) (ecuación 3.26), esta restricción se
debe a que es posible en términos matemáticos tener km.-carril negativos,
pero en la realidad no se puede dar esta opción.
(3.26)
• Asígnele Btotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las
restricciones anteriores (ecuación 3.27).
(3.27)
3.6.2 Función para la malla regular
Para la malla vial regular (ver ecuación 3.29), se recorrerá todo el espectro de
combinaciones de la matriz de igual manera que la malla vial buena,
reemplazando la siguiente restricción.
• Asígnele Rtotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las
restricciones anteriores (ecuación 3.28).
(3.28)
Ma b, 0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if←
Ma b, 0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if←
Ma b, Rtotal i j, t,( ) otherwise←
Ma b, Btotal i j, t,( ) otherwise←
43
(3.29)
3.6.3 Función para la malla mala
De igual forma, para la malla vial mala (ver ecuación 3.31) se utilizara el mismo
mecanismo descrito para la función 3.23 de la malla buena, con el fin de barrer el
espectro de combinaciones, exceptuando la siguiente restricción.
• Asígnele Mtotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las
restricciones anteriores (ecuación 3.30).
(3.30)
Ma b, Mtotal i j, t,( ) otherwise←
MR low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Rtotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
44
(3.31)
3.6.4 Función para el desarrollo del índice.
Para la lograr que se optimicen las cantidades de km.-carril de la malla vial buena,
regular y mala. Se debe define un índice que nos permitan integrar todas las
variables, para así lograr la maximizar los km.-carril en bogota.
Mediante este índice, podremos optimizar la cantidad de km.-carril que se
encuentren en un estado aceptable o superior a este, es decir, que se tomara el
total de km.-carril de la malla buena más el total de km.-carril de la malla regular
que haya en un tiempo t, dividido sobre el total de la malla vial de mala, a su vez
que se esta minimizando los km.-carril de la malla mala (ecuación 3.32)
(3.32)
MM low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Mtotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
indiceMBm n, MRm n,+( )
MMm n,:=
45
Para evidenciar los posibles resultados de este índice, se construyo la función
3.33 que nos permitirá recorrer todo el espectro de combinaciones, donde m y n
son los contadores respectivos para las fila y las columnas, MBm,n es la matriz de
resultados de la malla vial buena (función 3.23), MRm,n es la matriz de resultados
de la malla vial regular (función 3.29) y MRm,n es la matriz de resultados de la
malla vial mala (función 3.31).
(3.33)
3.7 VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MODELO.
Una de las grandes ventajas del modelo es que fue desarrollado en MATHCAD
versión 11. lo cual nos permitió programar y desarrollar funciones y ecuaciones
específicas para el modelo. Al mismo tiempo, permite modificar los datos iniciales
según las consideraciones correspondientes para años futuros, permite que el
modelo se trabaje en pesos corriente, es decir, que las variables que tengan un
componente de dinero, este conserve su valor en el tiempo y el modelo se puede
proyectar a diferentes años horizontes.
Otra ventaja, es que es el primer modelo matemático que contempla el impacto de
la intervención por mantenimiento en la malla vial de bogota, teniendo en cuenta
que este presentara un tiempo de deterioro diferente. También, permite la
diferenciación entre el deterioro correspondiente a cada una de la intervenciones,
tal igual que permite diferenciarlas año tras año, es decir, que aunque pertenezcan
indice MB MR, MM,( ) L 0←
Lm n,
MBm n, MRm n,+( )MMm n,
←
n 0 cols MB( ) 1−..∈for
m 0 rows MB( ) 1−..∈for
L
:=
46
a un mismo estado de la malla vial, no quiere decir que tengan el mismo tiempo de
deterioro.
Además, se desarrollo una ecuación para cada estado de la malla vial, del cual
depende directamente de la inversión que se realice en las intervenciones. A su
vez, el modelo no esta sujeto a solo un tipo de escenario, este modelo permite que
se realicen todos los diferentes tipos de combinaciones de escenarios,
incrementando desde cada 1% o menos si es necesario, este provee la posibilidad
de realizar inversiones mínimas en cada tipo de malla vial.
Por otro lado, una de las limitaciones que presenta el modelo es que el modelo no
contempla un crecimiento en la malla vial en Bogota, es decir, parte del principio
de que del presupuesto disponible no se hace la asignación presupuestal para
construir vías nuevas. Otra limitación, es que Dado que no se cuentan con
registros históricos de comportamiento de la malla vial de bogota durante varios
años, se considera que los km.-carril iniciales de cada estado se encuentran en el
mismo tiempo de deterioro, por ejemplo, en la malla vial buena, todos los km.-carril
están comenzando a deteriorarse en el año 1, Por lo cual este modelo no ha sido
posible calibrarlo o ajustarlo a la realidad en sus primeros años de proyección.
Por ultimo, una de las grandes limitaciones del modelo es que se considera una
Esquema de inversión fijo para los 10 años, no deja la posibilidad de ir cambiando
el esquema de inversión a través del tiempo, situación que puede optimizar aun
mas el esquema de inversión.
47
4. DEFINICIÓN DEL ESQUEMA DE INVERSIÓN.
4.1 OBJETIVOS.
• Realizar un análisis de los resultados emitidos por el modelo de
optimización, asignándole el monto mínimo y máximo de inversión y el
respectivo incremento, para calcular.
• Realizar un análisis de la proyección del estado de la malla vial, según la
política de inversión del IDU.
4.2 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS SUMINISTRADOS POR EL MODELO.
Utilizando el modelo descrito en el capitulo anterior, y teniendo en cuenta que los
datos iniciales se definieron en el capitulo 2. Se realizara la proyección a 10 años,
al año 2015.
Además, se ha tomado como premisa básica para el modelo, que la inversión
mínima en cada tipo de intervención sea de un 10% del presupuesto anual, dado
que es la política del IDU, “realizar una intervención integral que permita
consolidar un proyecto de ciudad a largo plazo donde prime el bienestar común, el
valor de lo publico, las actuaciones programadas y, en general, la calidad del
entorno”9.
9 Tomado de “Plan Maestro de Sostenibilidad de Infraestructura Urbana de Bogota, D.C”, IDU 2004, Pág. 453
48
Se realizaran incrementos de un 5% con el fin de recorrer el espectro de
combinaciones, no se pretende llegar a una exactitud de un 1% o menos, dada la
ingerencia del IDU en la asignación de recursos.
Se debe aclarar que las matrices y sus graficas que resultan del modelo, deben
ser interpretadas de la siguiente forma:
• Las filas de la matrices representan la cantidad de intervalos que hay en los
porcentajes de Reconstrucción, es decir, la fila 0 toma un valor de 10%
asignado a la Reconstrucción, la fila 1 es el 15% asignado a reconstrucción
y así sucesivamente hasta la fila 14 que es el 80 % destinado a la
reconstrucción (ver tabla 4.1)
• Las columnas de la matrices representan la cantidad de intervalos que hay
en los porcentajes de Rehabilitación, es decir, la columna 0 toma un valor
de 10% asignado a la Rehabilitación, la columna 1 es el 15% y así
FILA % ASIGNADO A LA RECONSTRUCCION
0 10%1 15%2 20%3 25%4 30%5 35%6 40%7 45%8 50%9 55%10 60%11 65%12 70%13 75%14 80%
Equivalencia entre filas y porcentaje asignado a la Reconstruccion
Tabla 4.1
49
sucesivamente hasta la columna 14 que es el 80 % destinado a la
reconstrucción (ver tabla 4.1)
Dadas las restricciones al modelo, tal como, inversión mínima igual al 10%,
inversión máxima del 100% e incrementos iguales al 5%, tenemos que las
posibles combinaciones están restringidas a los valores máximos y mínimos
presentados en la tabla 4.3. Los valores expresados en la tabla 4.3 no contemplan
las restricciones presentadas en las ecuaciones 3.23, 3.29 y 3.31.
Una vez introducidos los respectivos datos iniciales y sus restricciones, al analizar
la grafica de resultados de la función 3.23 (figura 4.1), podemos observar que para
COLUMNA % ASIGNADO A LA REHABILITACION
0 10%1 15%2 20%3 25%4 30%5 35%6 40%7 45%8 50%9 55%10 60%11 65%12 70%13 75%14 80%
Equivalencia entre columnas y porcentaje asignado a la Rehabilitacion
Tabla 4.2
I II IIIRECONSTRUCCION 10% 10% 80%REHABILITACION 10% 80% 10%MANTENIMIENTO 80% 10% 10%
LIMITES DE ASIGNACION DE PORCENTAJES PARA POSIBLES
COMBINACIONES
Tabla 4.3Limites maximos y minimos de asignacion de porcentajes
50
un periodo de 10 años, se presentaran los mejores resultados –mayores km.-carril
de estado bueno - en la malla vial Buena, si el IDU invierte la mayor cantidad del
presupuesto en mantenimiento de las vías, es decir, no se realizan grandes
inversiones en Rehabilitación y reconstrucción.
Este efecto se debe a que el mantenimiento prolonga la vida útil de un pavimento
flexible, realizar mantenimientos rutinarios y periódicos previene el deterioro,
entonces la cantidad de km.-carril de estado bueno se retiene en este por más
tiempo.
Figura 4.1 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Buena, a 10 años
De la figura numero 4.2, que es el resultado de la función 3.29, podemos ver que
la mayor cantidad de km.-carril en estado regular que se logran en diez años, es
51
cuando se realiza una inversión considerable en la rehabilitación de la malla vial
regular, dejando minimizada las inversiones en mantenimiento y reconstrucción.
Esta situaron se debe a que si no se realiza una inversión en mantenimiento, la
malla vial buena no mantendrá los km.-carril en su estado, entonces cederá la
mayoría de sus km.-carril al deterioro, es decir, vendrán a ser parte de la malla vial
regular, si vemos la grafica 4.1, podemos verificar que si se realiza la mayor
inversión en rehabilitación se tendrá los valores mínimos de km. Carril en estado
bueno.
Para el estado regular, en contraposición al estado Bueno, se observa que una
menor inversión en rehabilitación y reconstrucción logra los menores valores en la
malla vial regular.
Figura 4.2 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Regular, a 10
años
52
Como podemos ver en la figura 4.3, correspondiente a los resultados de la
función 3.31 de la malla vial mala, se grafico los resultados mayores a 8.000 km.-
carril, escalando el eje z – Km.-carril de malla vial mala- desde 8.000 hasta 12.000
km.-carril, razón por la cual no se ven los demás resultados que son cero (0).
La mejor opción de inversión se da para la malla vial mala, cuando los diez años
se dan los menores km.-carril en ese estado. Por lo cual, podemos observar
(figura 4.3) un comportamiento similar al de la malla vial buena, entre mas se
invierta en mantenimiento - menor inversión en rehabilitación y reconstrucción -, se
lograra el menor numero de km.-carril en estado malo.
Si comparamos el esquema de inversión óptimo para la malla vial regular con la
grafica de la malla vial mala, observaremos que aunque no es el valor máximo de
km.-carril de estado malo, es una considerable suma de km.-carril que sobrepasa
los 10.000 km.-carril.
Figura 4.3 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Regular, a 10 años
53
Con el fin de presentar un esquema de inversión optimo, nos valdremos de la
matriz de resultados del índice que fue definido en el capitulo 3 (ver figura 4.4). La
esencia del índice es que entre mas alto sea su número, mayores km.-carril
encontraremos en estado bueno y regular y menores km.-carril en estado malo.
Como podemos ver ahora en la figura 4.4. y como se vio en las graficas
anteriores, el índice que presentar el mayor valor cuando se realice la mayor
inversión en mantenimiento.
A pesar que en la figura 4.2 el mayor valor de km.-carril de malla regular se
consiguiera realizando una mayor inversión en rehabilitación y no en
mantenimiento, este valor no es suficiente para compensar la pérdida de km.-carril
en la malla vial buena. De forma contraria sucede en la malla vial buena, que hay
un aumento sustancioso en km.-carril dado por la inversión en mantenimiento, si
compensa el mínimo valor posible de km.-carril en la malla vial regular.
Figura 4.4. Grafica de lo resultados de la matriz del índice, a 10 años
54
Una vez definidos los valores del índice, se localizo dentro de la matriz el mayor
valor con sus respectivos porcentajes de inversión. En este caso, se logra un
índice de 0,689, que significa que más o menos por cada 10 km.-carril en estado
malo, hay 7 km.-carril en estado aceptable o superior – en estado bueno o regular-
. Cifra que es menor a la registrada actualmente que es por cada 10 km.-carril en
estado malo, hay 10 km.-carril en estado aceptable o superior.
Para lograr unos resultados óptimos de los km.-carril en la ciudad de Bogota, el
IDU debe procurar invertir de la siguiente forma:
Los resultados de dicho esquema de inversión a diez años y su cambio con la
situación actual se presentan en la siguiente tabla:
Aunque las proyecciones para el 2015 no son la situación ideal para una capital de
un país, dado la malla regular pierde mas del 20% de la participación en el total de
la malla vial, es evidente que no es del todo malo, ya que se recupera un poco
TIPO DE OBRA PORCENTAJE ASIGNADO
RECONSTRUCCION 10%REHABILITACION 30%MANTENIMIENTO 60%
Tabla 4.4. Inversion Optima
TIPO DE MALLA KM.CARRIL (2005) PORCENTAJEMALLA VIAL BUENA 3.738 25,81%MALLA VIAL REGULAR 3.596 24,83%MALLA VIAL MALA 7.149 49,36%
TIPO DE MALLA KM.CARRIL (2015) PORCENTAJE ∆ PORCENTAJEMALLA VIAL BUENA 5.343 36,89% 11,08%MALLA VIAL REGULAR 611 4,22% -20,61%MALLA VIAL MALA 8.529 58,89% 9,53%
Tabla 4.5 Situacion actual y proyeccion al 2015.
55
mas del 11% para la malla vial en estado bueno, pero el 9.5% se deteriora,
aumentando la malla vial mala.
En la figura 4.5 se muestra la evolución de los diferentes tipos de malla vial para
los próximos diez años. En el anexo B se muestran los resultados pertinentes al
modelo analizado durante este capitulo.
56
Grafica 4.5
57
4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS CON EL ESQUEMA ACTUAL DE INVERSIÓN IMPLEMENTADO POR EL IDU.
En el informe “Plan Maestro de Sostenibilidad de la Infraestructura Urbana de
Bogota D,C” emitido por el Instituto de Desarrollo Urbano, a principios de 2004,
presenta en el numeral 4.5.2 de este informe, los estados de inversión para la
sostenibilidad de la malla vial durante el año 2003 para los diferentes programas
que realiza el IDU.
Aunque dichos programas de inversión no se ajustan adecuadamente a los tipos
de inversión propuestos en este trabajo, mediante un análisis de los objetivos y
montos de inversión de cada unos de los programas se estimaron los porcentajes
de inversión en mantenimiento, rehabilitación y reconstrucción de la siguiente
manera:
Se debe aclarar que el modelo propuesto en este trabajo no contempla ningún tipo
de crecimiento, por lo cual se adicionara una variable con el fin de representar la
asignación de recursos para la construcción de vías nuevas, pero no indica se
este crecimiento se contemple, el crecimiento de la malla vial no será proyectado.
En la tabla. 4.7 podemos ver el monto asignado para el año 2005, asumiendo que
se mantendrán las políticas de inversión del IDU a lo largo de los años.
TIPO DE OBRA PORCENTAJE ASIGNADO
CONSTRUCCION NUEVA 53,63%RECONSTRUCCION 15,70%REHABILITACION 7,97%MANTENIMIENTO 22,71%
100,00%
Tabla 4.6 Porcentajes de asignacion de recursos, 2003
Fuente: Plan Maestro de Sostenibilidad de Infraestructura Urbana de Bogota,IDU,2004
58
Al justar el modelo y realizar la proyección para el año 2015 con los valores de la
tabla 4.7, tenemos que indudablemente la malla vial en estado malo tendrá mas
de 11.700 km-carril, que representa casi el 81 % del total de la malla vial,
absorbiendo el 11 % de la malla vial Buena, y el 19 % de la malla regular (ver tabla
4.8). Esto nos indica, que solo por cada 10 km.-carril en estado malo tendremos
2.36 km.-carril en estado aceptable o superior (ver figura 4.6).
En el anexo C, se presenta el modelo y sus resultados con el esquema de
inversión propuesto por el IDU.
TIPO DE OBRA PORCENTAJE ASIGNADO
MONTO ASIGNADO (milones de pesos)
CONSTRUCCION NUEVA 53,63% $ 130.576,90RECONSTRUCCION 15,70% $ 38.234,94REHABILITACION 7,97% $ 19.397,55MANTENIMIENTO 22,71% $ 55.290,61
100,00% $ 243.500,00
Tabla 4.7 Asignacion de recursos, 2005
TIPO DE MALLA KM.CARRIL (2005) PORCENTAJEMALLA VIAL BUENA 3.738 25,81%MALLA VIAL REGULAR 3.596 24,83%MALLA VIAL MALA 7.149 49,36%
TIPO DE MALLA KM.CARRIL (2015) PORCENTAJE ∆ PORCENTAJEMALLA VIAL BUENA 2.025 13,98% -11,83%MALLA VIAL REGULAR 735 5,07% -19,75%MALLA VIAL MALA 11.721 80,93% 31,57%
Tabla 4.8 Situacion actual y proyeccion al 2015 con politica de inversion del IDU.
59
Figura 4.6
60
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
• La estimación de datos iniciales son de suma importancia, ya que dichos
datos deben ser precisos y cuantificables para el desarrollo del modelo.
Unos datos que no se apeguen a la situación real, el escenario que se
proyectara no tendrá ninguna justificación para su validez.
• Se evidencia la importancia del mantenimiento de las vías en la malla vial
de Bogota, ya que este tipo de intervención aumenta la vida útil del
pavimento. Además, mientras se rehabilita un km.-carril se puede mantener
4 km.-carril y mientras se reconstruye un km.-carril se puede mantener 11
km.-carril. Factores que pueden aumentar la cobertura de sostenibilidad de
la malla vial de Bogota.
• Se determino que la actual política de inversión por parte del IDU, no es un
esquema de inversión óptimo, se estima que de mantenerse así el
esquema, para el año 2015 se tendrá más del 80% de la malla vial de
bogota en mal estado.
• Indudablemente, el presupuesto asignado a la sostenibilidad de la malla vial
de Bogota, no es suficiente. Es inevitable que la malla vial de Bogota siga
decayendo, sino se encuentran medidas de financiamiento y se
implementan que puedan incrementar el presupuesto hacia el futuro
• Se recomienda cambiar la política de inversión haciendo gran énfasis en
mantener las vías ya construidas, invirtiendo la mayor cantidad de
presupuesto en mantenimiento, debido a los beneficios que este conlleva.
61
• Se recomienda realizar un estudio que permita establecer el beneficio-costo
que implica la construcción de vías nuevas versus la sostenibilidad de la
malla vial de Bogota, es decir, evaluar cual es el impacto real de tener una
malla vial congelada con un nivel de servicio aceptable o una malla vial en
crecimiento pero que a medida que pasen los años no sea sostenible
(aumente el porcentaje de malla en mal estado).
62
BIBLIOGRAFÍA.
Instituto de Desarrollo Urbano, IDU. Plan Maestro de Sostenibilidad de la
Infraestructura Urbana de Bogota D.C. febrero 2004
Alcaldía Mayor de Bogota. Decreto 440 de 2001. Plan de desarrollo
económico, Social y de Obras Públicas para Bogota D.C. 2001-2004 “Bogota
para vivir todos del mismo lado”.
Decreto numero 619 de 2000. Plan de ordenamiento territorial de bogota, POT.
Instituto de Desarrollo Urbano, IDU. Desarrollo Sostenible de Bogota, Bogota,
para vivir todos del mismo lado, febrero 2003.
Departamento Administrativo de Planeación Distrital, DAPD, pagina Web,
www.dapd.gov.co, consultada en marzo 2005.
Instituto de Desarrollo Urbano, IDU, pagina Web, www.idu.gov.co , consultada
en febrero a mayo de 2005.
JIMENEZ FLOREZ, Adriana. Análisis estadístico de la condición actual de la
malla vial de Bogota. Bogota, junio de 2003, Trabajo de Grado (Ingeniero Civil).
Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería.
VELEZ RODRIGUEZ, Juan camilo. Estudio de pavimentos locales de la
localidad de Usaquen. Bogota, Mayo de 2004. Trabajo de Grado (Ingeniero
Civil). Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería.
63
Instituto de Desarrollo Urbano, IDU, Dirección técnica de la malla vial. Modelo
de Priorizacion de Recursos, Septiembre 2003
Cámara Colombiana de la Construcción, CAMACOL, informe “Inversión en
Obras Civiles en Bogota 2003 - 2004, Diciembre de 2004.
Departamento Administrativo Nacional de Estadística, DANE. Pagina Web,
www.dane.gov.co , consultada en mayo de 2005.
64
ANEXO A
CALCULO DE PROYECCIÓN ICCP.
65
Mes 1994 1995 1996 1997 1998En año corrido 18.90 10.70 14.16 14.71 13.94
Mes 1999 2000 2001 2002* 2003 2004En año corrido 8.36 8.36 6.97 5.58 7.77 5.86Fuente: DANE
Colombia, Indices de Costos de la Construcción Pesada (ICCP*)(Variaciones porcentuales)
1994 - 2004
Datos Historicos- ICCP- y = 0.0561x2 - 1.6853x + 16.947R2 = 0.7531
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00
Años (año base 1994 = 0)
Porc
enta
je
Mes 2004 2005 2006 2007 2008 2009
En año corrido 5.20 4.80 4.52 4.35 4.29
Valor pesos 100.00 105.20 110.25 115.23 120.24 125.40
Mes 2010 2011 2012 2013 2014
En año corrido 4.34 4.51 4.79 5.18 5.68
Valor pesos 130.85 136.75 143.29 150.72 159.28
Valor inicial (2004) 100.00
Valor final (2014) 159.28
Tasa de crecimiento 4.76%
Colombia, Indices de Costos de la Construcción Pesada (ICCP*)(Proyeccion de Variaciones porcentuales)
2005 - 2014
66
ANEXO B
MODELO DESARROLLADO EN MATHCAD VERSION 11 PARA OPTIMIZACION DE LA INVERSION EN LA MALLA VIAL DE
BOGOTA.
67
DATOS INICIALES
MALLATOTAL 14483:=
Bo 3738:=
Ro 3596:= % año 0
Mo 7149:=
%BoBo
MALLATOTAL:= %Bo 25.81%=
%RoRo
MALLATOTAL:= %Ro 24.829%=
%MoMo
MALLATOTAL:= %Mo 49.361%=
Po 243000:= (Presupuesto año 0)
recons 1483:= (Costo promedio de reconstruccion Km/carril año 0)
rehab 453:= (Costo promedio de rehabilitacion Km/carril año 0)
mante 120:= (Costo promedio de mantenimiento Km/carril año 0)
(Crecimiento promedio anual historico del presupuesto)
γ 4.76%:= (Indice INVIAS proyectado)
DATOS PARA OPTIMIZAR
Q es el % destinado a la reconstruccion Q y R SON LAS UNICAS VARIABLES A OPTIMIZAR R es el % destinado a la rehabilitacion
S es el % destinado al mantenimiento pero se define como 100%-Q-R
68
FUNCION ES DE ESTADO MALLA VIAL
reconsKM Q t,( ) QPo
recons⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
rehabKM R t,( ) RPo
rehab⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
manteKM Q R, t,( ) 1 Q− R−( ) Pomante
⋅1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
Bkm Q R, t,( ) Bo t 0if
reconsKM Q t,( ) rehabKM R t,( )+( ) otherwise
:=
Mkm Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
manteKM Q R, t i−,( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦∑
=
:=
Btotal Q R, t,( ) Mkm Q R, t,( )
0
6
i
6 i−( )6
Bkm Q R, t i−,( )⋅∑=
+:=
69
MALLA REGULAR
Rkm Q R, t,( ) Ro t 0if
1
6
i
16
Bkm Q R, t i−( ),[ ]⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
manteKM Q R, t,( )−
0
7
i
18
manteKM Q R, t i− 1−,( )⋅∑=
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
:=
Rtotal Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
rehabKM R t,( )−:=
MALLA MALA
Mtotal Q R, t,( ) Mo
0
t
i
rehabKM R i 1−( ),⎡⎣ ⎤⎦∑=
−
0
t
i
reconsKM Q i,( )∑=
−
1
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
t 8<if
0
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦ 0
t 8−
i
Rkm Q R, i 1−,( )∑=
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
+:=
70
CHECK DE CIERRE
mallatotal Q R, t,( ) Btotal Q R, t,( ) Rtotal Q R, t,( )+ Mtotal Q R, t,( )+:=
cierremallatotal Q R, t,( ) mallatotal Q R, t,( ) MALLATOTAL−:=
%Btotal Q R, t,( )Btotal Q R, t,( )
MALLATOTAL:= %Rtotal Q R, t,( )
Rtotal Q R, t,( )MALLATOTAL
:=
%Mtotal Q R, t,( )Mtotal Q R, t,( )
MALLATOTAL:=
RESULTADO NETO AÑO 0 CON AÑO 10
%buena Q R, t,( ) %Btotal Q R, t,( ) %Bo−:=
%regular Q R, t,( ) %Rtotal Q R, t,( ) %Ro−:=
%mala Q R, t,( ) %Mtotal Q R, t,( ) %Mo−:=
DE AQUI EN ADELANTE ES UN PROGRAMA QUE OPTIMIZA LA FUNCION
X 10%:= X ES EL % MINIMO DE INVERSION
Y 100%:= Y ES EL % MAXIMO DE INVERSION
Z 5%:= Z ES EL % DE INCREMENTO DE LA INVERSION
71
MALLA VIAL BUENA
MB low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Btotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
MATRIZ DE RESULTADOS DE LA MALLA VIAL BUENA
MB X Y, Z,( )
72
73
MALLA VIAL REGULAR
MR low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Rtotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
74
75
MALLA VIAL MALA
MM low upp, incr,( ) a 0←
b 0←
Ma b, 0 a b+ 1+1 2 low⋅−( )
incr≥if
0 Rtotal i j, t,( ) 0<
Rtotal i j, t 1−,( ) 0<
Rtotal i j, t 2−,( ) 0<
if
0 Btotal i j, t,( ) 0<
Btotal i j, t 1−,( ) 0<
Btotal i j, t 2−,( ) 0<
if
Mtotal i j, t,( ) otherwise
←
b b 1+←
j low low incr+, upp..∈for
a a 1+←
i low low incr+, upp..∈for
M
:=
76
77
78
I1 A B,( )Btotal A B, t,( ) Rtotal A B, t,( )+( )
Mtotal A B, t,( ):=
indice MB MR, MM,( ) L 0←
Lm n,
MBm n, MRm n,+( )MMm n,
←
n 0 cols MB( ) 1−..∈for
m 0 rows MB( ) 1−..∈for
L
:=
OPT2 indice MB X Y, Z,( ) MR X Y, Z,( ), MM X Y, Z,( ),( ):=
MATRIZ DE RESULTADOS DEL INDICE
OPT2
79
80
max OPT2( ) 0.698=
m x( ) x max OPT2( )≥( ):=
F Locate OPT2 m,( ):=
F0
4⎛⎜⎝
⎞⎠
=
W F Z⋅ X( )+:=
W10
30⎛⎜⎝
⎞⎠
%=
M W0:= N W1:=
%RECONSTRUCCION M 100⋅:= %REHABILITACION N 100⋅:=
%MANTENIMIENTO 100 %RECONSTRUCCION− %REHABILITACION−:=
INVERSION OPTIMA A t = 10 AÑOS
I1 M N,( ) 0.698=
%RECONSTRUCCION 10=
%REHABILITACION 30=
%MANTENIMIENTO 60=
Btotal M N, t,( ) 5343.231= %buena M N, t,( ) 11.084%=
Rtotal M N, t,( ) 610.697= %regular M N, t,( ) 20.612− %=
Mtotal M N, t,( ) 8529.073= %mala M N, t,( ) 9.529%=
%Btotal M N, t,( ) 36.893%= %Bo 25.81%=
%Rtotal M N, t,( ) 4.217%= %Ro 24.829%=
%Mo 49.361%= %Mtotal M N, t,( ) 58.89%=
81
tproy 0 1, 10..:=
Btotal M N, tproy,( )3738
4483.922
5028.466
5375.016
5526.898
5487.383
5259.685
5469.968
5527.394
5434.532
5343.231
Rtotal M N, tproy,( )3596
2416.689
1668.156
1161.336
868.562
762.631
816.8
381.773
103.515
410.227
610.697
Mtotal M N, tproy,( )7149
7582.39
7786.378
7946.648
8087.54
8232.986
8406.514
8631.259
8852.091
8638.24
8529.073
82
83
ANEXO C
MODELO CON ESQUEMA PROPUESTO POR EL INSTITUTO DE DESARROLLO URBANO - IDU -.
84
DATOS INICIALES
MALLATOTAL 14483:=
Bo 3738:=
Ro 3596:=
Mo 7149:= % año 0
%BoBo
MALLATOTAL:= %Bo 25.81%=
%RoRo
MALLATOTAL:= %Ro 24.829%=
%MoMo
MALLATOTAL:= %Mo 49.361%=
Po 243000:= (Presupuesto año 0)
recons 1483:= (Costo promedio de reconstruccion Km/carril año 0)
rehab 453:= (Costo promedio de rehabilitacion Km/carril año 0)
mante 120:= (Costo promedio de mantenimiento Km/carril año 0)
α 3%:= (Crecimiento promedio anual historico del presupuesto)
γ 4.76%:= (Indice INVIAS proyectado)
DATOS PARA OPTIMIZAR
W es el % destinado a la construccion nueva
Q es el % destinado a la reconstruccion Q y R SON LAS UNICAS VARIABLES A OPTIMIZAR
R es el % destinado a la rehabilitacion
S es el % destinado al mantenimiento pero se define como (100%-W)-R-Q
es decir que (100% -W) es igual a 46.37%
85
Q 15.7%:=
R 7.97%:=
S 46.37% Q− R−:= S 22.7%=
FUNCION ES DE ESTADO MALLA VIAL
reconsKM Q t,( ) QPo
recons⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
rehabKM R t,( ) RPo
rehab⋅
1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
manteKM Q R, t,( ) 46.37% Q− R−( ) Pomante
⋅1 α+( )t
1 γ+( )t
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ t 0>if
0 otherwise
:=
MALLA BUENA
Bkm Q R, t,( ) Bo t 0if
reconsKM Q t,( ) rehabKM R t,( )+( ) otherwise
:=
Mkm Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
manteKM Q R, t i−,( )⋅⎡⎢⎣
⎤⎥⎦∑
=
:=
Btotal Q R, t,( ) Mkm Q R, t,( )
0
6
i
6 i−( )6
Bkm Q R, t i−,( )⋅∑=
+:=
86
87
MALLA REGULAR
Rkm Q R, t,( ) Ro t 0if
1
6
i
16
Bkm Q R, t i−( ),[ ]⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
manteKM Q R, t,( )−
0
7
i
18
manteKM Q R, t i− 1−,( )⋅∑=
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
:=
Rtotal Q R, t,( )
0
8
i
8 i−( )8
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
rehabKM R t,( )−:=
MALLA MALA
Mtotal Q R, t,( ) Mo
0
t
i
rehabKM R i 1−( ),⎡⎣ ⎤⎦∑=
−
0
t
i
reconsKM Q i,( )∑=
−
1
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
t 8<if
0
8
i
i8
⎛⎜⎝
⎞⎠
Rkm Q R, t i−,( )⋅∑=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦ 0
t 8−
i
Rkm Q R, i 1−,( )∑=
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
+⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
otherwise
+:=
88
CHECK DE CIERRE
mallatotal Q R, t,( ) Btotal Q R, t,( ) Rtotal Q R, t,( )+ Mtotal Q R, t,( )+:=
cierremallatotal Q R, t,( ) mallatotal Q R, t,( ) MALLATOTAL−:=
%Btotal Q R, t,( )Btotal Q R, t,( )
MALLATOTAL:= %Rtotal Q R, t,( )
Rtotal Q R, t,( )MALLATOTAL
:=
%Mtotal Q R, t,( )Mtotal Q R, t,( )
MALLATOTAL:=
RESULTADO NETO AÑO 0 CON AÑO 10
%buena Q R, t,( ) %Btotal Q R, t,( ) %Bo−:=
%regular Q R, t,( ) %Rtotal Q R, t,( ) %Ro−:=
%mala Q R, t,( ) %Mtotal Q R, t,( ) %Mo−:=
I1 A B,( )Btotal A B, 10,( ) Rtotal A B, 10,( )+( )
Mtotal A B, 10,( ):=
INVERSION A t = 10 AÑOS
I1 Q R,( ) 0.236=
Btotal Q R, 10,( ) 2025.764= %buena Q R, 10,( ) 11.822− %=
Rtotal Q R, 10,( ) 735.742= %regular Q R, 10,( ) 19.749− %=
Mtotal Q R, 10,( ) 11721.494= %mala Q R, 10,( ) 31.571%=
89
%Btotal Q R, 10,( ) 13.987%= %Bo 25.81%=
%Rtotal Q R, 10,( ) 5.08%= %Ro 24.829%=
%Mo 49.361%= %Mtotal Q R, 10,( ) 80.933%=
tproy 0 1, 10..:=
Btotal Q R, tproy,( )3738
3634.28
3454.121
3198.807
2869.6
2467.742
1994.453
2073.934
2095.585
2060.379
2025.764
Rtotal Q R, tproy,( )3596
3275.513
3051.694
2871.112
2723.268
2597.838
2484.674
1750.797
1076.049
901.875
735.742
Mtotal Q R, tproy,( )7149
7573.207
7977.184
8413.081
8890.132
9417.42
10003.872
10658.269
11311.366
11520.746
11721.494
90
