UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE GUAYAMA PROF. FEDERICO A. MEJIA PARDO RAZONAMIENTO CUANTITATIVO: GEMA 1000 PROYECTO TITULO V COOPERATIVO

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO

RECINTO DE GUAYAMA

PROF. FEDERICO A. MEJIA PARDO

RAZONAMIENTO CUANTITATIVO: GEMA 1000

PROYECTO TITULO V COOPERATIVO

MODULO: RAZONES Y PROPORCIONES

BOTONES DE ACCION

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OBJETIVOS

• 1. Expresar la razón de dos cantidades como un cociente en los términos mas simples.

• 2. Expresar la razón de dos cantidades con las mismas unidades.

• 3. Expresar la razón de dos cantidades con diferentes unidades.

• 4. Resolver problemas sobre razones.

OBJETIVOS

• 5. Encontrar los extremos y los medios en una proporción.

• 6. Determinar cuándo un par de razones forman una proporción.

• 7. Aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción.

• 8. Resolver problemas sobre proporciones.

PRE-PRUEBA

• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples.

• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples.

• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón.

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PRE-PRUEBA

• 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.

• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:

240

48

60

12

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PRE-PRUEBA

• 6. Determine si el par de razones forman una proporción:

• 7. Resuelva la proporción:

• 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable?

64

83

x

16

9,

15

8

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PRE-PRUEBA

• 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?

• 10 . Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?

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PRE-PRUEBA

• 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?

• 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?

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CONTENIDO

• RAZONES• ACTIVIDAD I• PROPORCIONES• TERMINOS DE LA PROPORCION• PROPIEDAD FUNDAMENTAL• ACTIVIDAD II• PROBLEMAS VERBALES• ACTIVIDAD III

RAZONES

• El concepto de razón se utiliza para comparar dos cantidades a y b.

• La razón de la cantidad a a la cantidad b es el cociente de a sobre b, el cual puede ser escrito de dos formas diferentes:

también

ba :b

a

RAZONES• Ejemplo 1: exprese la razón de 18 a 27 en los

términos más simples.

• Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos:

3

2

27

1827:18

RAZONES

• Ejemplo 2: exprese la razón de 5 pies a 25 pies en los términos más simples.

• Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos:

• Otra forma de la respuesta es 1:7

7

1

35

5

pies

pies

RAZONES

Si las cantidades a ser comparadas incluyen unidades, en lo posible deben ser expresadas en la misma forma.

Ejemplo 3: exprese la razón de 2 pies a 30 pulgadas en los términos más simples.

Solución: primero efectuamos la conversión de pies a pulgadas y luego escribimos la razón como un cociente y lo simplificamos:

• Como 1 pie = 12 pulgadas, entonces 2 pies = 24 pulgadas

RAZONES

• Ejemplo 3 (Continuación)

• Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades(pulgadas) en la respuesta final.

• Otra forma de la respuesta es 4:5

5

4

lg30

lg24

lg30

2

adaspu

adaspu

adaspu

pies

RAZONES

Ejemplo 4: exprese la razón de 50 cm (centímetros) a 2 m (metros) en los términos más simples.

Solución: primero efectuamos la conversión de metros (m) a centímetros (cm) y luego expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:

Como 1 m = 100 cm, entonces 2 m = 200 cm

RAZONES

Ejemplo 4 (Continuación)

Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades (cm) en la respuesta final

Otra forma de la respuesta es 1:4

4

1

200

50

2

50

cm

cm

m

cm

RAZONES

Ejemplo 5: Juan conduce su carro 150 millas y usa 6 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples.

Solución: podemos observar que las unidades de millas y galones no son compatibles, y por lo tanto no se pueden simplificar.

Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:

RAZONES


Podemos observar que el carro de Juan rinde 25 millas por galón.

Otra forma de la respuesta es 25 millas :1 galón

galon

millas

galones

millas

1

25

6

150

RAZONES

• Ejemplo 6: Supongamos que 160 galones de agua fluyen por una tubería en 5 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.

• Solución: podemos observar que las unidades de galones y minutos no son compatibles, y por lo tanto, estas unidades no se pueden simplificar.

Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:

RAZONES


• Podemos observar que por la tubería fluyen 32 galones por minuto. Otra forma de la respuesta es

32 galones : 1 minuto

uto

galones

utos

galones

min1

32

min5

160

ACTIVIDAD I

• 1. Exprese la razón de 20 a 28 en los terminos más simples.

• 2.Exprese la razón de 9 metros a 36 metros en los términos más simples.


ACTIVIDAD I

• 4. Exprese la razón de 40 centímetros a 3 metros en los términos más simples.

• 5. Juan conduce su carro 240 millas y usa 8 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples.

• 6. Supongamos que 220 galones de aceite fluyen por una tubería en 20 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.

PROPORCIONES

Decimos que una proporción es la igualdad de dos

razones. Por ejemplo, son proporciones:

4

3

12

9

d

c

b

a

24

20

6

5

TERMINOS DE LA PROPORCION

En la proporción:

• a es el primer término, b es el segundo término, • c es el tercer término, d es el cuarto término.• a y d se llaman los extremos de la proporción.• b y c se llaman los medios de la proporción.

d

c

b

a


• Ejemplo 1: en la proporción:

• 14 es el primer término, 28 es el segundo término,• 1 es el tercer término, 2 es el cuarto término.• 14 y 2 son los extremos de la proporción.• 1 y 28 son los medios de la proporción.

2

1

28

14


• En el ejemplo anterior, podemos observar que si

entonces

• Por lo que podemos concluir que los extremos de la primera proporción ( 14 y 2 ) son los medios de la segunda proporción ( 2 y 14 ) y viceversa.

28

14

2

1

2

1

28

14

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

• En toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.

• En la proporción:

• Tenemos que:

d

c

b

a

bcad

PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Ejemplo 2: en la proporción:

• Por la propiedad fundamental tenemos que:

35

15

7

3

157353 xx

PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Podemos aplicar la propiedad fundamental para

determinar si un par de razones forman una proporción.

• Ejemplo 3: determine si el par de razones forman una proporción:

• Forman una proporción ya que:

15

10,3

2

103152 xx


• Ejemplo 4: determine si el par de razones forman una proporción:

• No forman una proporción, ya que:

3

2,6

9

2639 xx


• También podemos aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción, es decir, encontrar el término desconocido de la proporción (encontrar x).

• Ejemplo 5: resuelva la proporción:

12

8

3

x

PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Solución: aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y

resolvemos la ecuación resultante:

• Solución:

•

8.312 x

2412 x

12

24

12

12

x

2x


• Ejemplo 6: resuelva la proporcción:

• Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y resolvemos la ecuación resultante:

Solución:

x

5

3

10

1510 x10

15

10

10

x 5.1x

ACTIVIDAD II



• 3. Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:

43

74,

41

83

9

25,

45

125

12

27

4

9

ACTIVIDAD II



9

7

18

x

64

83

x

PROBLEMAS VERBALES

• Ejemplo 1: Un pedazo de cable de 180 ft cuesta $63. ¿Cuánto cuesta 450 ft del mismo cable?

• Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.

PROBLEMAS VERBALES


• Al resolver la proporción obtenemos x = $157.50• Un pedazo de cable de 450 ft cuesta $157.50

xft

ft 63$

450

180

PROBLEMAS VERBALES

• Ejemplo 2: Una propiedad cuyo valor es de $32,000 paga $600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $96,000?


PROBLEMAS VERBALES


• Al resolver la proporción obtenemos x = $1,800• La propiedad cuyo valor es de $96,000 paga

$1,800 de impuesto.

x

600$

000,96$

000,32$

PROBLEMAS VERBALES

• Ejemplo 3: Juan recorre 150 millas con 5 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 750 millas?


PROBLEMAS VERBALES


• Al resolver la proporción obtenemos x = 25 galones• Juan necesitará 25 galones para recorrer 750 millas

x

galones

millas

millas 5

750

150

PROBLEMAS VERBALES

• Ejemplo 4: Un estudiante contestó 27 preguntas correctas de un total de 30. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?

• Solución: organizamos la información como una

proporción donde representa el por ciento

de preguntas que el estudiante contestó correctamente.

100

x

PROBLEMAS VERBALES


• Al resolver la proporción obtenemos x = 90• El estudiante contestó correctamente el 90% de las

preguntas

10030

27 x

PROBLEMAS VERBALES

Ejemplo 5: Pedro compró un carro por $12,000. Si Pedro pagó $1,800 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?

• Solución: organizamos la información como una

proporción donde representa el por ciento

que Pedro pagó de pronto.100

x

PROBLEMAS VERBALES


• Al resolver la proporción obtenemos x = 15• Pedro pagó el 15% de pronto.

100000,12$

800,1$ x

ACTIVIDAD III

• 1.Un pedazo de cable de 120 metros cuesta $45. ¿Cuánto cuesta 360 metros del mismo cable?

• 2.Un carro cuyo valor es de $18,000 paga $1,600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otro carro cuyo valor es de $40,000?

ACTIVIDAD III

• 3. María recorre 140 kilómetros con 8 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará María para recorrer 700 kilómetros?

• 4. Un equipo ganó 12 juegos de pelota de un total de 20. ¿Qué por ciento de juegos ganó el equipo?

• 5. Carlos compró una computadora por $1,200. Si Carlos pagó $300 de pronto, ¿qué por ciento pagó Carlos de pronto?

POST-PRUEBA

• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples.


• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón.

VER RESPUESTAS

POST-PRUEBA



240

48

60

12

VER RESPUESTAS

POST-PRUEBA




16

9,

15

8

64

83

x

VER RESPUESTAS

POST-PRUEBA



VER RESPUESTAS

POST-PRUEBA



VER RESPUESTAS

POST-PRUEBA:RESPUESTAS

• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4

• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6

• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas : 1 galón



Resp: 28 galones : 1 minuto


• Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48 240

48

60

12


• 6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO

• 7. Resuelva la proporción: Resp: x = 24


Resp: $200

16

9,

15

8

64

83

x



Resp: 18 galones


Resp: $2,000



Resp: 75%


Resp: 15%

PRE-PRUEBA:RESPUESTAS

• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4

• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6

• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas:1galon



Resp: 28 galones: 1 minuto

• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción

Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48

240

48

60

12


6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO

• 7. Resuelva la proporción: Resp: x = 24


Resp: $200

16

9,

15

8

64

83

x



Resp: 18 galones


Resp: $2,000



Resp: 75%


Resp: 15%

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