UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE … de Matematicas... · MODELO GENERAL DE PL ... En esta forma la solución del problema entrega a manera de receta de cocina la cantidad

FACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS

PROFESOR:

Dr. Fernando Ávila Carreón

MATERIA:

Investigación de Operaciones

Morelia, Mich., a 17 de diciembre de 2009

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS

DE HIDALGO

INTRODUCCIÓN

La materia de investigación de operaciones es una materia que requiere que los alumnos hayan comprendido sus cursos de matemáticas anteriores, particularmente el de matemáticas básicas, por ello este curso trata de implementar de la mejor manera dichos conocimientos para dar un primer y pequeño acercamiento al fascinante mundo de la investigación de operaciones. El propósito de este curso es que el alumno comprenda, el potencial que representa las matemáticas, como una herramienta en el campo laboral, como a través de un planteamiento correcto se puede optimizar los recursos materiales con los que cuenta el administrador; así se pretende que el profesional administrador en el ejercicio de su profesión haga uso de herramientas matemáticas para lograr que sea más eficiente su trabajo. El presente material contiene ejercicios de dificultad básica con el objetivo principal del entendimiento del alumno de los posibles alcances de dichas herramientas matemáticas.

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES (I de O)

Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, además de la nueva tecnología y la internacionalización creciente.

Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.

La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.

ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL

SISTEMA REAL

SISTEMA

REAL

SOLUCIÓN

AL MODELO

MODELO

CUANTITATIVO

SISTEMA

ASUMIDO

JUICIOS Y

EXPERIENCIAS

VARIABLES

RELEVANTES

RELACIONES

RELEVANTES

MÉTODO

DE SOLUCIÓN

INTERPRETACIÓNDECISIONES

Definición del problema

Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que

afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

Obtención de una solución a partir del modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. Prueba del modelo

Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible. Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque de solución de problemas y no una colección asociada de métodos cuantitativos. La I de O es relativamente costosa, lo que significa que no debe emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en que las ganancias sea mayores que los costos. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

LIMITACIONES DE LA I de O Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y tener una solución. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se ven superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

Aplicaciones de la Investigación de operaciones INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. MODELO GENERAL DE PL Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración.

FORMULACION DEL PROBLEMA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Lo que se busca en este tipo problemas es obtener una expresión que represente de forma matemática la máxima ganancia o en su defecto el mínimo costo. En esta forma la solución del problema entrega a manera de receta de cocina la cantidad exacta de los diferentes ingredientes de forma tal que se alcance el objetivo mencionado en el párrafo anterior. EL PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN Ejemplo 1. Considérese el caso de un fabricante que utiliza en su proceso de producción dos máquinas A y B. La máquina A tiene una capacidad de 24 horas de operación a la semana y la B tiene una capacidad de operación de 16 horas a la semana con el fin de utilizar ésta capacidad disponible de la máquina, el fabricante estudia la posibilidad de producir 2 nuevos productos. LA PRODUCCIÓN DE CADA UNIDAD DEL PRODUCTO I NECESITA 2 HORAS DE LA MÁQUINA A Y 2 HORAS DE LA B. LA PRODUCCIÓN DE CADA UNIDAD DEL PRODUCTO 2 REQUIERE 3 HORAS DE LA A Y 1 DE LA B. El primer paso en esta formulación del problema es determinar las variables que intervienen en el proceso, por eso es recomendable que en la práctica esto se lleve a cabo con una persona que conozca a profundidad el proceso de forma que tal identificación de variables se dé en forma natural. En nuestro caso con el propósito de determinar en forma correcta las variables estructurales debemos estar seguros que éstas, no son otra cosa que el producto, artículo principal resultado de este proceso o en algunos casos la materia prima a partir de la cual se fabrica este producto. Así del enunciado anterior podemos determinar con toda seguridad que estas variables quedaran perfectamente definidas como: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1= UNIDADES DEL PRODUCTO I. X2= UNIDADES DEL PRODUCTO II.

Una vez determinadas las variables estructurales, el segundo paso es establecer las restricciones, es decir, todas aquellas limitantes que nos implica el llevar a cabo dicho proceso. RESTRICCIONES: Como restricción inicial es fundamental mantener que para nuestro caso las variables siempre serán positivas RESTRICCIÓN RESTRICTA: X1,X2 > 0 Luego identificamos una capacidad máxima de uso para las máquinas Ay B respectivamente: CAPACIDAD HORAS DE LA MÁQUINA A CAPACIDAD HORAS DE LA MÁQUINA B 2X1 + 3X2 < 24 2X1 + X2 < 16. Por último la función objetivo, que no es más que la representación matemática que representa uno de los objetivos o razón de ser de una empresa es decir el lucro o beneficio económico, sin embargo puntualizando que ese beneficio no sea cualquier beneficio, sino el óptimo en el caso de que estemos hablando de ganancia debe de ser la máxima ganancia, y en el caso de un costo debe de ser el mínimo de forma tal que nos lleve a obtener un máximo beneficio económico. FUNCIÓN OBJETIVO: MAXIMIZAR GANANCIAS = 5X1 + 7X2 La etapa de formulación del problema termina con la determinación de la expresión para función objetivo, por lo que este primer ejemplo esta finiquitado.

Ejemplo 2 Una pequeña empresa comercializa dos tipos de lámpara; el común y el de lujo. El material y la mano de obra para fabricar las lámparas están limitados. Todas las lámparas requieren para su fabricación la misma cantidad de material y hay suficiente material para producir 100 lámparas a la semana. La diferencia entre los dos tipos de lámpara se debe a la mano de obra; pues mientras que la lámpara común requiere ½ hora de trabajo para producirla, la lámpara de lujo requiere 1 hora. La mano de obra con la que s cuenta es de 60 horas a la semana (es decir un trabajador de tiemplo completo y uno de medio tiempo) Suponiendo que la ganancia bruta por lámpara de la común y de la de lujo es de $5 y $8 respectivamente, ¿Cuántas unidades de cada tipo de lámpara debe de producirse? ¿Cuál es la ganancia bruta total por semana? Solución Como se hizo para el primer problema, lo primero que se establece son las variables estructurales las cuales se obtienen interpretando en forma matemática la primera pregunta que se formula al final del párrafo anterior. VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = NÚMERO DE LÁMPARA COMÚN X2 = NÚMERO DE LÁMPARAS DE LUJO RESTRICCIONES: Ahora para determinar las restricciones, podemos encontrar en la redacción del problema la palabra limitaciones como palabra clave que nos indica con precisión la ubicación de las restricciones. Así encontramos restricciones de mano de obra y en cuanto a material. No olvidando que las variables las consideramos siempre positivas lo que nos originan las primeras restricciones. X1, X2 > 0 CANTIDAD DE MATERIAL X1 + X2 < 100 MANO DE OBRA ½ X1 + 1X2 < 60

Por último la función objetivo, que nos representa el objetivo de esta empresa fabricante de lámparas, que es la optimizar sus ganancias derivadas de la fabricación de dos tipos de lámparas, la solución optima es aquella en la que la ganancia es máxima. FUNCIÓN OBJETIVO: MAX G = 5X1 + 5X2 Ejemplo 3 Un fabricante de televisores compra todos los componentes necesarios para ensamblar aparatos de televisión tanto en blanco y negro como en color. El fabricante tiene una capacidad para ensamblar 100 aparatos de color o 500 aparatos en blanco y negro. Los mercados en ambos tipos de aparatos están limitados. El fabricante puede vender nomás de 75 aparatos de color y no más de 400 aparatos de blanco y negro a la semana. Determine el programa de producción semanal óptimo si la ganancia bruta por aparato es de $100 para los aparatos de color y y $50 para los de blanco y negro ¿Cuál es la ganancia bruta total máxima? En este problema es claro de la importancia básica del planteamiento anterior es conocer el número indicado de televisores blanco y negro así como los de color que proporcionen la máxima ganancia. Por lo que las variables estructurales son: VARIABLES ESTRUCTURALES. X1= NÚMERO DE TELEVISIÓN BLANCO Y NEGRO. X2= NÚMERO DE TELEVISIÓN A COLOR. En la redacción se precisa de nueva cuenta la palabra clave de limitaciones que nos indica una restricción. Lo que nos indica las restricciones en cuanto a el número máximo de aparatos que se pueden ensamblar, el mercado que tiene restricciones y no olvidar las variables siempre positivas. RESTRICCIONES: X1, X2 > 0

1.- CAPACIDAD PARA ENSAMBLAR. X1 + X2 < 1 500 100 2.- CAPACIDAD DE MERCADO BLANCO Y NEGRO. X1 < 400 3.- CAPACIDAD DE MERCADO COLOR X2 < 75 En este caso también el objetivo del fabricante es el de maximizar las ganancias que se deriven del ensamble de los aparatos de televisión de blanco y negro y de color. FUNCIÓN OBJETIVO: MAX G = 50X1 + 100X2

Ejemplo 4: Una desarrolladora inmobiliaria construye casas de 4 tamaños A1, A2, B1, B2, con 80, 90, 120, 140 de construcción respectivamente. Todas

construidas en terreno de 250 la desarrolladora cuenta con 50 000

inicialmente para su uso exclusivo de construcción de vivienda. El precio de las casas es proporcional a los construidos; así los precios son de $750 000, $900 000, $1100 000, $1400 000, para las casas A1, A2, B1, B2, respectivamente. En promedio las casas se llevan 180 horas por de construcción, se cuenta con 1500 trabajadores cada uno con 8 horas diarias. Seis días a la semana, se pretende construir esta primera etapa a lo más en 1 año (52 semanas) Se espera una ganancia bruta de al menos $54 000 000 por todo el proyecto. Si consideramos que los costos aproximados por casa son de $550 000, $650 000, $800 000, $950 000, para las casas A1, A2, B1, B2, respectivamente.

El municipio a consignado a la desarrolladora a construir al menos el 65% de las casas más económicas, es decir A1, A2. Determine el modelo de programación lineal que maximice la ganancia de estas casas para dicha desarrolladora.

CASAS PRECIO COSTO UTILIDAD A1 80 750000 550000 200000 A2 90 900000 650000 250000 B1 120 1100000 800000 300000 B2 140 1400000 950000 450000

MODELO Variables X1 = Cantidad de casas a construir del modelo A1 X2 = Cantidad de casas a construir del modelo A2 X3 = Cantidad de casas a construir del modelo B1 X4 = Cantidad de casas a construir del modelo B2

Restricciones

a) Restricción natural

X1, X2 , X3 , X4 ≥ 0

b) 250 X1+ 250X2 + 250X3 + 250X4 ≤ 50000

c) Trabajo de horas por metros cuadrados

14400 X1+ 16200X2 + 21600X3 + 25200X4 ≤ 3744000

180x80=14400, 180x90=16200, 180x120=21600, 180x140=25200 1500x8x6x52= 3744000

d) Construcción de al menos 65% de las casas más económicas. X1 + X2≥130 Dentro del modelo puede haber varias soluciones, la otra puede ser la siguiente:

X1 + X2≥ .65 (X1+ X2 + X3+ X4)

e) Restricción ganancia

200000X1 + 250000X2 + 300000X3 + 450000X4 ≥ 54000000 Función objetivo MaxG = 200000X1 + 250000X2 + 300000X3 + 450000X4 Ejemplo 5: Un taller de muebles elabora 3 tipos de productos; bases para cama, closet tipo sencillo y cocinas integrales tamaño económico. El fabricante considera que tiene material suficiente para la elaboración semanal de 1000 muebles de cada uno. El taller cuenta con 3 maquinas A, B, C, cuyas capacidades de trabajo son de 96, 90, y 84 horas a la semana. La madera necesaria para la elaboración de cualquier unidad de los 3 productos requiere pasar por las 3 maquinas con un tiempo de 15 minutos por maquina esto con la intervención de un trabajador. Posteriormente un artesano se encarga de unir las piezas en un tiempo de 3.5 horas por closet, el mismo tiempo en una cocina y ¼ de hora por base de cama. Luego son barnizados estos muebles por otro trabajador en un tiempo de 15/4 de hora cada cocina, lo mismo para el closet y 15 minutos por base de cama. Los closet y las cocinas deben de ser instalados en los hogares de los de los compradores por parte de un trabajador en un tiempo de 2 horas. El taller tiene un mercado en el que no venden más de 200 cocinas y no más de 250 closet y venden al menos 400 bases para cama. Cuenta con la mano de obra necesaria para la producción. Considera que el material necesario para la elaboración de los muebles representa un costo de $200 $950 y $2100 para las bases de cama, closet y cocinas respectivamente. El paso por cada una de las maquinas contando la mano de obra del trabajador representa $15 la hora. La hora del barnizador así como el material que utiliza representa $25 la hora y $12 de la hora del instalador de cocinas y closet. Los precios de venta de los productos son de: $700, $4500 y $11500 para las bases para cama. Los closet y las cocinas respectivamente. Elabora un modelo de programación lineal que cumpla con las restricciones y maximice las ganancias del taller para una semana de trabajo.

SOLUCION VARIABLES ESTRUCTURALES:

X1 = Unidades de bases para cama

X2 =Unidades de closet tipo sencillo a producir

X3 =Unidades de cocinas integrales tamaño económico a producir RESTRICCIONES: Material disponible para camas X1 = <1000 Material disponible para closet X2 = <1000 Material disponible para cocinas integrales X3 = <1000

Capacidad de producción en horas maquina A .25(X1+X2+X3) < 96

Capacidad de producción en horas de la maquina B .25(X1+X2+X3) < 90

Capacidad de producción en horas de la maquina C .25(X1+X2+X3) < 84

Capacidad de venta s de bases para cama X1 >_ 400 Capacidad de venta de closet X2 <_ 250 Capacidad de ventas para cocina X3<_ 200 Restrictas X1, X2, X3, >_0 FUNCION OBJETIVO: Máx. g. = 490 X1 + 3425.5 X2 + 9278.5 X3 COSTO TOTAL BASE PARA CAMA: COCINA Material $200 Materiales $2100 Maquinas $15 hora (.25) Maquinaria $3.75 Barniz $25 hora (.25) Barniz $ 25(3.75) Instalación ----------- instalación $ 24 _________ __________ 200+3.75 + 6.25 =210 2221.50 Precio de venta: 700+210 = 490 CLOSET Material. $950 Maquinaria. $15(.25) = 3.75 Barniz. $25 (3.75) = 93.75 Instalación $12 (2) = 24 ______________ 1071.5

EL PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN Ejemplo 6: Un laboratorio farmacéutico desea producir una cápsula de vitaminas naturales que contenga al menos 12 unidades de vitamina A y no menos de 16 unidades de vitamina B. Dos ingredientes están disponibles en existencia en cantidades suficientes para producir la cápsula de vitaminas especificada. Cada ingrediente contiene tanto vitamina A como B y la cápsula se puede producir utilizando cualquiera de los dos ingredientes o una combinación de los dos. Cada gramo del primer ingrediente contiene 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina B. Por otra parte un gramo del otro ingrediente contiene ½ unidad de vitamina A y una unidad de vitamina B. Si el primer ingrediente cuesta 6 centavos el gramo y el segundo 4 centavos el gramo, ¿Cuál es el costo mínimo de la producción de la cápsula de vitaminas? L a tarea inicial es fácil de cumplir una vez que no se convence que el primer paso es determinar que las variables estructurales, son las cantidades de los ingredientes que pueden conformar la cápsula de vitaminas. VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = CANTIDAD DE INGREDIENTES 1 (GRAMOS). X2 = GRAMOS DE INGREDIENTES 2 Las restricciones que se deben de olvidar RESTRICCIONES: X1, X2 > 0 Las limitaciones que establece el problema son en cuanto a la cantidad mínima de contenido precisamente de vitaminas que debe de contener cada una de las cápsulas a producir. CANTIDAD DE UNIDADES DE VITAMINA A 3X1 + ½ X2 > 12 CANTIDAD DE UNIDADES DE VITAMINA B 2X1 + X2 > 16 La función objetivo es en este caso minimizar los costos, para utilizamos los costos unitarios por gramo de cada uno de los diferentes ingredientes. FUNCIÓN OBJETIVO: MIN C = 6X1 + 4X2

Ejemplo 7: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = CALCULADORAS VENDIDAS A DISTRIBUIDORES X2 = CALCULADORAS VENDIDAS A TIENDAS DE DESCUENTO RESTRICCIONES: HORAS DE RELACIONES COMERCIALES ½ X1 + X2 < 5000 PRESUPUESTO PARA PUBLICIDAD 5 X1 + 5X2 <40000 X1, X2 < 0 FUNCION OBJETIVO= MAX G = 30X1 + 40X2 Ejemplo 8: VARIABLES ESTRUCTURALES. X1 = MILLONES DE PESOS EN EFECTIVO. X2 = MILLONES DE PESOS EN PRÉSTAMOS. X3 = MILLONES DE PESOS EN HIPOTECAS. X4 = MILLONES DE PESOS EN VALORES A CORTO PLAZO. X5 = MILLONES DE PESOS EN VALORES A LARGO PLAZO. RESTRICCIONES: CAPITAL EN EFECTIVO: X1 > 100 EFECTIVO Y V.G C.P.: X1 + X4 > 300 PRÉSTAMOS E HIPOTECAS: X3 + X2 < 600 X3 > 2X2 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1000 X1, X2, X3, X4. X5 > 0 FUNCIÓN OBJETIVO: MAX G. X1 1.08X2 + 1.07X3 + 1.04X4 + 1.05X5 0.08X2 + .07X3 +.04X4 + .05X5

Ejemplo 9: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1= UNIDADES DE FALDA X2 = UNIDADES DE LOMO X3 = UNIDADES DE FILETE. RESTRICCIONES: 1.- CONTENIDOS DE PROTEÍNA 0.13X1 + 0.10X2 + 0.18X3 > 140 2.- UNIDADES DE GRASA .45X1+ 52X2 + .20X3 < 450 3.- UNIDADES DE AGUA 0.42X1 + 0.38X2 + 0.62X3 < 500 4.- PRODUCCIÓN X1 + X2 + X3 = 1000 X1,X2,X3 > 0 FUNCIÓN OBJETIVO: MIN C. 25X1 + 20X2 + 40X3. Ejemplo 10.- VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = TELA 1, PROCESO EN MILES DE METROS X2 = TELA 1, PROCESO 2 EN MILES DE METROS X3 = TELA 2, PROCESO 1 EN MILES DE METROS. X4 = TELA 2, PROCESO 2 EN MILES DE METROS RESTRICCIONES: CAPACIDAD TELAR NÚMERO 1 20X1+ 17X2 < 350 CAPACIDAD HORAS TELAR NÚMERO 2 24X2 + 23X4 < 120 CAPACIDAD HORAS HILADORAS 550X1 + 850X2 < 1200 CAPACIDAD HILADORAS CONTINUAS DE ANILLO 500X3 + 500X4 < 8000 RESTRICCIÓN DE PRODUCCIÓN TELA 1 X1+ X2 > 10 X3+ X4 > 12 X1, X2, X3, X4 > 0 FUNCIÓN OBJETIVO: MAX G. 800X1 + 800X2 + 700X3 + 700X4 800 (X1 + X2) + 700 (X3 + X4)

Ejemplo 11: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = CANTIDAD DE CAFÉ BRASILEÑO USADO EN LA MARCA 1 EN KG X2 = CANTIDAD DE CAFÉ COLOMBIANO USADO EN LA MARCA 2 EN KG X3 = CANTIDAD DE CAFÉ BRASILEÑO USADO EN LA MARCA 1 EN KG X4 = CANTIDAD DE CAFÉ COLOMBIANO USADO EN LA MARCA 2KG X5 = CANTIDAD DE CAFÉ AFRICANO USADO EN LA MARCA 2 EN KG. RESTRICCIONES: ACIDEZ MARCA 1. .40X1 +.26X2 + .48X3 < 6000 CAFEÍNA MARCA 1 .10X1 + .32X2 + .14X3 < 4500 AROMA MARCA 1 .74 X1 +.90X2 + .16 > 11400 CONSISTENCIA M .82X1 + .86X2 + 0.56X3 > 10500 ACIDEZ M. 1 .40X4 + .26X2 +.48X2 < 19200 CAFEÍNA M 2 .10X4 +.32X5 + .14X6 < 7680 AROMA M 2 .74X1 + .90X5 + .16X6 > 12800 CONSISTENCIA M2 .82X4 0.86X5 0.56X6 > 24320 REST. DE PRODUCCIÓN MARCA 1 X1 + X2 + X3 = 15000 MARCA 2 X4 + X5 + X6 = 32000 RESTRICTA: X1,X2,X3,X4,X5,X6 > 0 FUNCIÓN OBJETIVO: MIN C. = .88X1+ 1.10X2 + .55X3 + .88X4 + 1.10X5 + .55X6 Ejemplo 12: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. A EN LA PLANTA 1 X2 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. A EN LA PLANTA 2 X3 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. B EN LA PLANTA 1 X4 = UNIDADES PRODUCIDAS PROD. B EN LA PLANTA 2

DEMANDA DE PRODUCTO A X1 + X2 = 2000 DEMANDA DE PRODUCTO B X3 + X4 = 2700 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO A PLANTA 1 X1 < 3000 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 2 X2 < 2000 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 1 X3 < 2000 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PRODUCTO B PLANTA 2 X4 < 2200 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PLANTA 1 X1 + X3 + 1500 < 5000 CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN PLANTA 2 X2 + X4 + 2100 < 4500 RESTRICTAS: X1 , X2 , X3 , X4 > 0 FUNCION OBJETIVO: MIN C_: (1X1 + 10 X2 + 9 X3 + 12 X4 + (13.50 X 2100) + (20X1500) Ejemplo 13: VARIABLES ESTRCTURALES: X1 NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA A X2 NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA B X3 NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA C X4 NUMERO DE ANUNCIOS COLOCADOS EN REVISTA D RESTRICCIONES: PRESUPUESTO: 20X1 + 18 X2 + 11 X3 + 10 X4 + 17 X5 < 750 PUBLICACIONES EN LA REVISTA A X1 > 12 PUBLICACIONES EN LA REVISTA B X2 > 12 PUBLICACIONES EN LA REVISTA C X3 > 3 PUBLICACIONES EN LA REVISTA D X4 > 1 PUBLICACIONES EN LA REVISTA E X5 > 3

RESTRICTAS: X1, X2 , X3, X4, X5 > 0 FUNCION OBJETIVO: 1960X1 + 1116 X2 + 2.552X3 + 1790 X4 + 2.601 X5

Ejemplo 14: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE A EN HORAS X2 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE B EN HORAS X3 CANTIDAD DE TIEMPO OCUPADO EN LA VENTA DE C EN HORAS RESTRICCIONES: TIEMPO DISPONIBLE DE AGENTES DE VENTAS X1 + X2 + X3 < 3120 MINIMO DE VENTAS PRODUCTO A EN CAJAS 2X1 < 500 MINIMO DE VENTAS PRODUCTO B EN CAJAS 4X2 > 1600

MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO C EN CAJAS 2.5X3 > 1200 MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO A EN CAJAS 2X4 < 4000 MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO B EN CAJAS 4X5 < 8500 MÁXIMO DE VENTAS PRODUCTO C EN CAJAS 2.5X6 < 6000 RESTRICTA: X1,X2 , X3 > 0 FUNCION OBJETIVO: MAX G.: 5 X1 + 4X2 +4.5 X3

Ejemplo 15: VARIABLES ESTRUCTURALES: X1 NUMERO DE ACCIONES A X2 NUMERO DE ACCIONES B X3 NUMERO DE ACCIONES C X4 NUMERO DE ACCIONES D RESTRICCIONES: MONTO DE LA INVERSIÓN 84X1 + 100 X2 + 220X3 + 128 X4 < 250000 RENDI,MIENTO TOTAL 5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4 > 17500 LIMITE DE INVERSIÓN: ACCION A 84 X1< 100,000 ACCION B 100X2< 100,000 ACCION C 220X3< 100,000 ACCION D 128X1< 100,000 RAZON PRECIO GANANCIA: 84X1 + 100 X2 + 220X3 + 128 X4 < 18 5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4

RESTRICTA: X1, X2 , X3, X4, > 0 FUNCION OBJETIVO: MAX. G: 5.88X1 + 5 X2 + 22X3 + 10.24 X4

METODO GRAFICO

ALGEBRAICO

½ X1 +X2 < 5000 5X1 + 5X2 <40000 ________________ MAX G = 30X1 + 40X2 ½ X1 + X2 = 5000 5X1 + 5X2 = 40000 X1 = 0 X1 = 0 X2 = 5000 (0, 5000) 5X2 = 4000

X2=40000/5 X2 = 0 X2 =8000 (0, 8000) ½ X1 = 5000 X1 = 1000 (1000, 0) X2 =0

5X1 = 40000 X1 =8000 (8000, 0)

2X1 + 3X2 < 12 2/3 X1 + 2X2 < 6 ________________ MAX G = 4X1 + 8X2 2X1 + 3X2 =12 2/3 X1 + 2X2 = 6 X1 = 0 X1 = 0 3X2 = 12 2X2 = 6 X2 = 4 ( 0,4) X2 = 3 (0, 3) X2 = 0 X2 = 0 2/3 X1 =6 2X1 = 12 X1 = 9 ( 9,0) X1 = 6 ( 6,0 )

2(2X1 +3X2 = 12) 6 + 3X2 = 12 3 (2/3 X1 +2X2 = 6) 2X1 + 3X2 = 6 4X1 + 6X2 = 24 X2 = 2 2X1 +6X2 = 13 __________________ 2X1 = 6 X1 = 3

SOLUCIONES FACTIBLES

A) (0,0) 0+0 =0 B) (0,3) 0+8(3) = 24 C) (3,2) 4(3) + 8(2) =28 ------------ SOLUCION OPTIMA D) (6,0)99 4(6) + 0 = 24

2X1 +3X2 < 12 2/3 X1 + 2X2 < 6 _______________ MAX G = 4X1 + 5X2 2X1 + 3X2 < 12 2/3X1 + 2X2 =6 X1= 0 X1 = 0 3X2 =12 2X2 = 6 X2 =4 (0,4) X2 = 3 (0,3) X2 = 0 X2 = 0 2X1 =12 2/3X1 = 6 X1 = 6 (6,0) X1 = 6/1 / 2/3 = 18/2 X1 = 9 (9,0) 2( 2X1 + 3X2 = 12) 2(3) + 3X2 = 12 3 ( 2/3 X1 +2X2 =6) ________________ 6+3X2 =12 4X1 + 6X2 = 24 3X2 = 6 2X1 + 6X2 = 18 ______________ X2 = 2 2X1 = 6 X1 = 3 SOLUCIONES FACTIBLES MAX G = 4X1 + 5X2

A) (0,0) 4 (0) +5(0) =0 B) (0,3) 4(0) + 5(3) =15 C) (3,2) 4(3) + 2(5) = 22 D) (6,0) 4(4) + 2 (0) = 24 ------------------- SOLUCION OPTIMA

1 2

1 2

2 3 12

2 2 10

x x

x x

MIN C = 3 x 2 + 4 x2 1.- 2x1 + 3 x 2 = 12 2.- 2x1 + 2x2 = 10

x 1 = 0 x1 = 0 3x2 = 12 2x2 =10 x2 = 4 (0,4) x2 =5 (0,5) x2 = 0 x2 = 0 2x1 = 12 2x1 = 10 x1 = 6 ( 6,0) x1 = 5 ( 5,0 )

2 x 1 +3x2>12 2 x1 +2x2>10 x2 = 2 2x1 + 3(2) =12 2 x 1 =12-6

x1 =6/2 x1=3

SOLUCIONES FACTIBLES MIN C = 3x1 + 4x2

A) (0,5) = 3 (0) +4(5) =20 B) (3,2) = 3(3) + 4(2) =17------------------- SOLUCION OPTIMA C) (6,0) = 3(6) + 4(0) = 18

4. . 2 x 1 +3x2>12 2 x1 +2x2>10 ______________________

MIN C = 2x1 + 3x2

1 (0 , 4 ), ( 6, 0 ) 2 ( 0 ,5 ), ( 5, 0 )

2 x 1 +3x2=12 2 x1 +2x2=10 x2 = 2 2x1 + 6 =12 2 x 1 =6

x1 =6/2 x1=3


A) (0,5) = 2 (0) +3(5) = 15 B) (3,2) = 2(3) + 3(2) =12------------------- SOLUCION OPTIMA C) (6,0) = 2(6) + 3(0) = 12------------------- SOLUCION OPTIMA

3 x 1 +4x2<12 5 x1 +3x2<15

x1<1.5 _________________________

MAX G = x 1 + 4 x2 1.- 3x1 + 4 x 2 = 12 2.- 5x1 + 3x2 = 15

x 1 = 0 x1 = 0 4x2 = 12 3x2 =15 x2 = 12/4 x2 = 3 (0,3) x2 =5 (0,5) x2 = 0 x2 = 0 3x1 = 12 5x1 = 15 x1 = 4 ( 4,0) x1 = 3 ( 3,0 )

A ( 0 , 0 ) B ( 0 , 1.5 ) C (2 , 1.5 ) D (24/11 , 15/11 ) EC ( 3 , 0 )

C . 3x1 + 4 x 2 = 12 B.- 5(3x1 + 4x2 = 12) x 2 =1.5 3(5x1 + 3x2 = 15) 3x1 + 4 (1.5) = 12 15x1 + 20x2 = 60 3x1 + 6 =12 15x1 + 9x2 = 45 3x1 = 12-6 =6 11 x2 =15 x2 = 3 (0,3) x2 =15/4 x1 = 6/3 x2 = .363 x1 = 2 3x1 + 4 ( 15/11) = 12

3x1 = 12 – 12 – 60/11 3x1 = 132 – 60 = 72/11

11

x1 = 72/11 3/1

x 1 = 72 /33 = 24/11

x1 = 2.1818

( 2.19, 1.36 )

X1 + 4 x 2 SOL. FAC. A ( 0 , 0 ) = 0 + 0 =0 B ( 0 , 1.5 ) = 0 + 4 (1.5 ) =6 C (2 , 1.5 ) = 2 + 4 (1.5 ) = 8----------------------------- SOLUCION OPTIMA D (24/11 , 15/11 ) = 24/11 + 4 (15/11) = 24/11 = 60/11 =84/11 EC ( 3 , 0 ) = 3 + 0 =3

3 x 1 +2x2>12 1/2 x1 +x2>4

_____________________________ MIN G = 5 x 1 + 4 x2

1.- 3x1 + 2 x 2 = 12 2.- 1/2x1 + x2 > 4

x 1 = 0 x1 = 0 2x2 = 12 x2 =4 (0,4) x2 = 12/2 x2 =0 x2 = 6 (0,6) 1/2x1 = 4 x 2= 0 x1 = 4/1 = 8 3 x1 = 12 1/2 x 1 = 4 (4 , 0) x 1 =8 (8 , 0)

3 x 1 +2x2 =12 3 (2) +2x2 =12 1/2 x1 +x2 = 4 6 + 2x2 =12

2x2=6 3 x 1 +2x2 =12 x2 = 6/2 x1 +2x2 = 8 x2 =3 2x1 = 4

x1 = 2


A) (0,6) = 5(0) +4(6) = 24 B) (2,3) = 5(2) + 4(3) =22------------------- SOLUCION OPTIMA C) (8,0) = 5(8) + 4(0) = 40

1 2

1 2

1 2

2 2 10

2 3 12

6 3 18

x x

x x

x x

MAX C = 4x 1 + 5 x2

1.- 2x1 + 2 x 2 = 10 2.- 2x1 + 3x2 = 12 3.- 6x1 + 3x2 =18

x 1 = 0 x1 = 0 x1 =0 2x2 = 12 3x2 =12 3x2 =18 x2 = 5 (0,5) x2 = 3 (0,3) x2 =4 (0,4) x2=6 (0,6 ) x2 = 0 x2 = 0 x2 = 0 2x1 = 10 2x1 = 12 6x1 = 18 x1 = 5 ( 5,0) x1 = 6 ( 6,0 ) x1 = 3 (3, 0)

A) B)

2 x 1 +2x2 =10 2 x 1 +2x2 =10 6 x1 +3x2 = 18 2 x1 +3x2 = 12

6 x 1 +6x2 =30 x2 = 2 6 x1 +3x2 =18 3x2 = 12

x2 = 4 2 x1 + 4 = 10

2x 1 +2x2 =10 2x1 = 6 2 x1 +2(4) = 10 x1 =3 (3,2) 2x1= 2

x1 = 1 (1,4)

SOLUCIONES FACTIBLES MIN G = 4x1 + 5x2

A) (1,4) = 4(1) +5(4) = 24 B) (3,2) = 4(3) + 5(2) =22------------------- SOLUCION OPTIMA

1 2

1 2

1 2

5 8 40

7 7 49

8 6 48

x x

x x

x x

MAX G = 2x 1 + 5 x2 1.- 5x1 + 8 x 2 = 40 2.- 7x1 + 7x2 = 49 3.- 8x1 + 6x2 =48

x 1 = 0 x1 = 0 x1 =0 8x2 = 40 7x2 =49 6x2 =48/6 x2 = 40/8 x2 =5 (0,5) x2 =7 (0,7) x2=8 x2 = 0 x2 = 0 x2 = 0 (0,8) 5x1 = 40 7x1 = 49 8x1 = 48 x1 = 40/5 x1 = 7 ( 7,0 ) x1 = 48/8 x1 = 8 (8,0) x1= 6 (6,0)

B) C)

7(8 x 1 +6x2 =48) 7(5 x 1 +8x2 =40) 8(7 x1 +7x2 = 49) 5(7 x1 +7x2 = 49)

56 x 1 +42x2 =336 35 x 1 +56x2 =280 56 x1 +56x2 =392 35 x 1 +35x2 =245 -14x2 = 56

x2 = 4 21 x2 = 35

8x 1 +6x2 =48 x2 = 35/21 =5/3 =1.67 8 x1 +24 = 48 5x1 +8(5/3) =40 8x1= 48-24 5x1+40/3 =40

x1 = 24/8 5x1=40/1-40/3=120-40/3 =80/3 x1 =3 x1 =80/3 5/1=80/15=16/3=5.33 (3,4)

SOLUCIONES FACTIBLES 2x1 + 5x2 A) (0,8) = 2 (0) + 5(8) =40

B) (3,4) = 2 (3) + 5(4) =26 C) (16/3,5/3) = 2(16/3) + 5(5/3) = 32/3 + 25/3 =57/3 =19 D) (8,0) =2 (8) + 5 (0) =16------------------- SOLUCION OPTIMA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líneas 1

Líneas 2

Líneas 3

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líneas 1

Líneas 2

Líneas 3

4 x 1 +8x2>32 2 x1 +2x2 >12 x2 <5 MAX C = 5x 1 + 2 x2 1.- 4x1 + 8 x 2 = 32 2.- 2x1 + 2x2 = 49 3.- x2 =5

x 1 = 0 x1 = 0 8x2 = 32 2x2 =12 x2 = 4 (0,4) x2 =0 x2 =12/2 =6 (0,6) x2 = 0 4x1 = 32 2x1 = 12 x1 = 12/2

x1 = 8 (8,0) x1 =6 (6,0) A) B)

2 x 1 +2x2 =12 4 x 1 +8x2 =32 2 x 1 +2(2) =12 2x1 +2 (5)= 12 2 x1 +2x2 = 12 2 x 1 +4 =12 ________________ 2 x 1 =12-4 2x1 =12-10 4 x 1 +8x2 =32 x 1 =8/2 2 x1=2 4 x 1 +4x2 =24 x1=4 _________________

x1 = 1 4 x2 = 8 (4,2) (1,5) x2 = 8/4 x2=2

SOLUCIONES FACTIBLES 5x1 + 2x2 A) (1,5) = 5 (1) + 2(5) =15------------------- SOLUCION OPTIMA

B) (4,2) = 5 (4) + 2(2) =24 C) (8,8) = 5(8) + 2(0) =40

1/5 x1/2x2<3 2 1/2 x1 +x2 <10 x2 <5 MAX G = 3 1/2x 1 + 2 1/2 x2 1.- 1/2x1 + 1/2 x 2 = 3 2.- 2 1/2x1 +x2 = 10 3.-x2 =5

x 1 = 0 x1 = 0 1/2x2 = 3 x2 =10 (0,10) x2 = 3/1 / 1/2 x2 =6 (0,6) x2 =0 x2 = 0 2 1/2 x1 =10 1/2x1 = 3 x1 = 10/1 / 5/2 =20/15 =4 (4,0) x1 = 3/1 / 1/2 x1 = 6(6,0)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líneas 1

Líneas 2

Líneas 3

½ X1 + ½ X2 = 3 ½ X1 + ½ (5) = 3 ½ X1 + 5/2 = 3 ½ = 3/1 – 5/2 = 6-2 / 2 = ½ X1 = ½ / ½ = 2/2 =1 B (1,5) C) ½ X1 + ½ X2 =3 ½ (8,3) + ½ X2 = 3 2 ½ X1 + X2 = 10 8/6 + ½ X2 = 3 _________________ ½ X2 = 3 –8/6 =18-8/6 = 10/6 X1 + X2 = 6 X2 = 10/6 / ½ = 20/6 2 ½ + X2 = 10 X2 = 20/6 = 10/3 _________________ (8/3,10/3) -1 ½ X1 = - 4

X1 = -4 / 1 / -3 /2 = 8/3 X1 = 8/3 SOLUCIONES FACTIBLES

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líneas 1

Líneas 2

Líneas 3

A) (5,0) = 3 ½ (0) + 2 ½(5) = 5/2 (5) = 25/2 = 12.5 B) (1,5) = 3 ½ (1) + 2 ½ (5) = 7/2 + 25/2 = 32/2 = 16 C) (8/3,10/3) = 3 ½ (8/3) +2 ½ (10/3) = 7/2 (8/3) +5/2 (10/3) 56/6 + 50/6 = 53/3

= 17.67 D) (4,0) = 3 ½ (4) + 2 ½ (0) = 7/2 (4) = 28/2 = 14 E) (0,0) = 3 ½ (0) +2 ½ (0) = 0 4X1 + 3X2 < 24 6X1 + 9X2 < 54 X1 < 24 _______________ MAX. G 3X1 + 4X2 4X1 + 3X2 = 24 6X1+9X2 = 54 X1= 4

X1 = 0 X1 = 0 3X2 = 24 9X2 =54 X2 =24/3 X2 = 54/9 X2 = 8 (0,8) X2 = (0,6) 4X1 = 24 X2 = 0 X1 = 24/4 6X1 = 54 X1 = 6 (6,0) X1 = 54/6 = 9 (9,0)

4X1 + 3X2 = 24 6X1 + 9X2 = 54 4(3) + 3X2 =24 ______________ 12 + 3X2 ==24 12X1 + 9X2 = 72 3X2 = 24 - 12 6X1 + 9X2 = 54 3X2 =12 ______________ X2 = 12/8 = 4 (3,4) 6X1 = 18 X1 = 18/6 X1 = 3

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

2000

4000

6000

8000

1000

0

Líneas 1

Líneas 2

SOLUCIONES FACTIBLES 3X1 + 4X2

A) (0,6) = 3 (0) + 4 (6) = 24 B) (3,4) = 3 (3) + 4 (4) = 25----------------- SOLUCION OPTIMA C) (4,0) = 3 (4) + 4 (0) = 12 D) (0,0) = 3 (0) + 4 (0) = 0 E) (4,8/3) = 3(4) + 4 (8/3) =12 + 32/3 = 68/3 = 22.67 4X1 + 3X2 = 24 X1 = 4 4 (4) + 3X2 = 24 3X2 = 24 – 16 X2 = 8/3 (4,8/3) ½ X1 + X2 < 5000 5X1 + 5X2 < 40000 ___________________

MAX G = 30X1 + 40X2 1.- ½ X1 +X2 = 5000 2.- 5X1 +5X2 =40000 X1 = 0 X1 = 0 X2 =5000 (0,5000) X2 = 40000/5 X2=0 X2 =8000 (0,8000) 1/2X1= 5000 X2 = 0 X1 = 10000 (10000,0) X1 = 40000/5 = 8000 (8000,0)

SOLUCIONES FACTIBLES 30X1 + 40X2

A) (0,0) = 30(0) + 40(0) =0 B) (0,5000) = 30(0) + 40(5000) =200000 C) (6000,2000) = 30(6000) + 40(2000) = 180000 + 80000 = 260000-----S.

OPTIMA D) (8000,0) = 30(8000) + 40(0) =240000

½ X1+ X2 =5000 5X1 + 5X2 =40000 _________________ 2 ½ X1 + 5X2 =25000 5X1 + 5X2 = 40000 _________________

- 2 ½ X1 = - 15000 X1 = - 15000 / 5/2 X1 = 30000/5 = 6000 ½(6000) + X2 = 5000 3000 + X2 = 5000 X2 = 5000 – 3000 X2 = 2000

EXAMEN 2 7Xi + 5X2 >_ 35 lllll 5Xi + 6x2 <_ 30 ///// 4Xi +7X2 >_ 28 == ______________ Min. C.= 8Xi +4X2

1) 7Xi +5X2 = 35 2) 5Xi + 6X2 = 30 Si Xi = 0 Si Xi = 0 5X2 = 35 6X2 = 30 X2 = 35/5 X2 = 30/6 X2 = 7 (O, 7) X2 = 5 (O, 5)

2) 4Xi + 7X2 = 28 Si Xi = 0 7X2 =28 X2 = 28/7 X2 = 4 (7, O)

A) 5( 7Xi + 5X2 = 35) B) 4(7Xi + 5 X2 = 35)

7(5Xi + 6X2 = 30) 7(4Xi + 7X2 =28) _______________ _________________

35Xi + 25 x2 = 175 28Xi + 20X2 = 140 35Xi + 42X2 = 210 28Xi + 49 X2 = 196

________________ _________________ -17 X2 = -35 -29X2 = -56 X2 = -35/-17 = 2.6 X2 = 56/29 = 1.93 5Xi + 6 (35/17) = 30 4Xi + 7 (56/29) = 28 5Xi + 217/17 = 30 4Xi 392/29 = 28 5Xi = 30 – 210/17 4Xi = 28 – 392/29 5Xi = 300/17 4Xi = 420/29 Xi = 300/17/5/1 = 300/85 = 60/17 = 3.53 Xi = 420/29/4/1=420/116 A (60/17, 35/17) Xi =105/29 = 6.62 B) (105/29, 56/29)

c) 4(5Xi + 6X2 = 30) c) 4Xi + 7 X2 = 28 5(4Xi + 7X2 = 28) 4Xi + 7 (20/11) = 28 _______________ 4Xi + 140/11 = 28 20Xi + 24X2 = 120 4Xi = 28 – 140/11 20Xi + 35X2 = 140 4Xi = 168/11 _______________ Xi = 168/11/4/1= 42/11=3.82

-11X2 = -120 c) (42/11, 20/11) X2 = 20/11 = 1.82

EJERC. 1 SOLUCIONES FACTIBLES: A (60/17, 35/17) = 8 (60/17) + 4 (35/17) = 620/17 = 36.47 solución optima B (105/29), 56/29) = 8(105/29) + 4 (56/29) = 1064/29= 36.69 C (42/11, 20/11) = 8(42/11) + 4 (20/11) = 416/11 = 37.82

METODO SIMPLEX

A) 2X1 + 3X2 < Ó = 24 2X1 + 3X2 + X1´ = 24

2X1 + X2 < Ó = 16 2X1 + X2 + X2´ = 16

MAXG: 5 X1 + 7X2 5 X1 + 7X2

Cj

5 7 0 0

SM X1 X2 X1` X2`

24 X1` 0 2 3 8 1 1

16 X2 0 2 1 16 0 0

Zj 0 0 0 0 0

Zj-Cj -5

-7

0 0

Cj

5 7 0 0

SM BASE Xj X1 X2 X1` X2`

8 X2 7 2/3 1 1/3 0

8 X2´ 0 1 1/3 0 - 1/3 1

Zj 56 16 8 0 8

Zj-Cj 11 1 0 8

2X1 + 3X2 < Ó = 24 2X1 + 3X2 + X1´ = 24

2X2 + X2 < Ó = 16 2X2 + X2 + X2´ = 16

MAXG: 5 X1 + 7X2 5 X1 + 7X2

Cj

5 7 0 0

Xj SM X1 X2 X1` X2`

0 X1´ 24 2 3 8 1 0

0 X2´ 16 2 1 16 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj-Cj -5

-7

0 0

Cj

5 7 0 0

Xj SM X1 X2 X1` X2`

7 X1 8 2/3 12 1 1/3 0

0 X2´ 8 4/3 6 0 - 1/3 1

Zj 56 4 2/3 7 2 1/3 0

Zj-Cj - 1/3 0 2 1/3 0

Cj

5 7 0 0

Xj XM X1 X2 X1` X2`

7 X2 4 0 1 1/2 - 1/2

5 X1 6 1 0 - 1/4 3/4

Zj 58 5 7 2 1/4 1/4

Zj-Cj 0

0

2 1/4 1/4

SOLUCION OPTIMA

X1 = 6

X2 = 4 MAX G. = 58

X1 + X2 < Ó = 100 X1 + X2 + X1´ = 100

1/2X1 + X2 < Ó = 60 1/2X1 + X2 + X2´ = 60

MAXG: 5 X1 + 8X2 5 X1 + 7X2

Cj 5 8 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´

0 X1´ 100 1 1 100 1 0

0 X2´ 60 1/2 1 60 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj -5

-8

0 0

Cj 5 8 0 0


0 X1´ 40 1/2 80 0 1 -1

8 X2 60 1/2 120 1 0 1

Zj 480 4 8 0 8

Zj - Cj

-1

0 0 8

Cj 5 8 0 0


5 X1 80 1 0 2 -2

8 X2 20 0 1 -1 2

Zj 560 5 8 2 6

Zj - Cj

0

0 2 6

SOLUCION OPTIMA

X1 = 80

X2 = 20 MAX G. = 560

X1/500 + X2/100 < Ó = 1

X1 < Ó = 400

X2 < Ó = 75

MAXG: 50 X1 + 100X2

Cj 50 100 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

0 X1´ 1 1/500 1/100 1 0 0

0 X2´ 400 1 0 0 1 0

0 X3´ 75 0 1 75 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj -50

-100

0 0 0

Cj 50 100 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

0 X1´ 1/4 1/500 0 1 0 1/100

0 X2´ 400 1 400 0 0 1 0

100 X3´ 75 0 1 0 0 1

Zj 7500 0 100 0 0 100

Zj - Cj

-50

0 0 0 100

Cj 50 100 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

50 X1´ 125 1 0 500 0 -5

0 X2´ 275 0 0 -500 1 5 55

100 X3´ 75 0 1 0 0 1 75

Zj 13750 50 100 25000 0 -150

Zj - Cj 0 0 25000 0

-150

Cj 50 100 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

50 X1´ 400 1 0 0 1 0

0 X2´ 55 0 0 -100 1/5 1

100 X3´ 20 1 1 100 1/5 0

Zj 22000 50 100 10000 30 0

Zj - Cj 0 0 10000 30 0

SOLUCION OPTIMA

X1 = 400

X2 = 20 MAX G. = 22000

2X1 +3 X2 < Ó = 12

2/3X1+ 2x2 < Ó = 6

MAXG: 4 X1 + 8X2

Cj 4 8 0 0


0 X1 12 2 3 4 1 0

0 X2 6 2/3 2 3 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj -4

-8

0 0

Cj 4 8 0 0


0 X1 3 1 3 0 1 -1 1/2

8 X2 3 1/3 1 0 1/2

Zj 24 2 2/3 8 0 4

Zj - Cj

-1 1/3

0 0 4

Cj 4 8 0 0


4 X1 3 1 0 1 -1 1/2

8 X2 2 0 1 - 1/3 1

Zj 28 4 8 1 1/3 2

Zj - Cj 0 0 1 1/3 2

SOLUCION OPTIMA

X1 = 3

X2 = 2 MAX G. = 28

1/2X1 + X2 < Ó = 5000

5X1+ 5x2 < Ó = 40000

MAXG: 30 X1 + 40X2

Cj 30 40 0 0


0 X1 5000 1/2 1 5000 1 0

0 X2 40000 5 5 8000 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj -30

-40

0 0

Cj 30 40 0 0


40 X1 5000 1/2 1 1 0

0 X2 45000 2 1/2 0 -5 1

Zj 200000 20 40 40 0

Zj - Cj -10 0 40 0

Cj 30 40 0 0


40 X2 2000 0 1 2 - 1/5

30 X1 6000 1 0 -2 2/5

Zj 260000 30 40 20 4

Zj - Cj 0 0 20 4

SOLUCION OPTIMA

X1 = 2000

X2 = 6000 MAX G. = 260000

2X1 + 3X2 < Ó = 12

1/2X1+ x2 < Ó = 6

MAXG: 4 X1 + 2X2

Cj 4 2 0 0


0 X2 12 2 6 3 1 0

0 X1 6 1/2 12 1 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj

-4

-2 0 0

Cj 4 2 0 0


4 X1 6 1 1 1/2 1/2 0

0 X2´ 3 0 1/4 - 1/4 1

Zj 24 4 6 2 0

Zj - Cj 0 4 2 0

SOLUCION OPTIMA

X1 = 6

X2 = 0 MAX G. = 24

X1 + 3X2 < Ó = 12

X1+ x2 < Ó = 10

MAXG: 5 X1 + 2X2

Cj 5 2 0 0


0 X1 12 1 12 3 1 0

0 X2´ 10 1 10 1 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj

-5

-2

Cj 5 2 0 0


0 X1 2 0 2 1 -1

5 X2´ 10 1 1 0 1

Zj 50 5 5 0 5

Zj - Cj 0 3 0 5

SOLUCION OPTIMA

X1 = 10

X2 = 0 MAX G. = 50

1/2X1 + X2 + x3 < Ó = 8

X1+2 x2 + x3 < Ó = 12

MAXG: 2 X1 + 4X2 + 3X3

Cj 2 4 3 0 0

Xj SM X1 X2 X3 X1´ X2´

0 X1´ 8 1/2 1 8 1 1 0

0 X2´ 12 1 2 6 1 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj -2

-4

-3 0 0

Cj 2 4 3 0 0


0 X1´ 2 0 0 1/2 4 1 - 1/2

4 X2 6 1/2 1 1/2 12 0 1/2

Zj 24 2 4 2 0 2

Zj - Cj 0 0

-1

0 2

Cj 2 4 3 0 0


3 X3 4 0 0 1 2 -1

4 X2 4 1/2 1 0 -1 1

Zj 28 2 4 3 2 -1

Zj - Cj 0 0 0 0 1

SOLUCION OPTIMA

X3 = 3

X2 = 0 MAX G. = 50

2X1 + 3X2 < Ó = 12

2X1 + X2 < Ó = 8

MAXG: 6 X1 + 8X2

Cj 6 8 0 0


0 X1´ 12 2 3 4 1 0

0 X2´ 8 2 1 8 0 1

Zj 0 0 0 0 0

Zj - Cj -6

-8

0 0

Cj 6 8 0 0


8 X2 4 2/3 12 1 1/3 0

0 X2´ 4 4/3 3 0 - 1/3 1

Zj 32 5 1/3 8 8/3' 1

Zj - Cj

- 2/3

0 8/3' 1

Cj 6 8 0 0


8 X2 2 0 1 1/2 - 1/2

6 X1 3 1 0 - 1/4 3/4

Zj 34 6 8 2 1/2 1/2

Zj - Cj 0

0

2 1/2 1/2

SOLUCION OPTIMA

X2 = 2

X1 = 3 MAX G. = 34

2X1 + 2X2 < Ó = 12

X1 + 2X2 < Ó = 8

5X1 + 4X2 < Ó = 20

MAXG: 9 X1 + 5X2

Cj 9 5 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

0 X1´ 12 2 6 2 1 0 0

0 X2´ 8 1 8 4 0 1 0

0 X3´ 20 5 4 2 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj

-9

-5 0 0 0

Cj 9 5 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

0 X1´ 4 0 2 2/5 1 -2 - 2/5

0 X2´ 4 0 1 1/5 0 1 - 1/5

9 X1 4 1 4/5 0 0 1/5

Zj 36 9 7 1/5 0 0 1 4/5

Zj - Cj 0 2 1/5 0 0 1 4/5

SOLUCION OPTIMA

X2 = 0

X1 = 4 MAX G. = 36

X3 = 0

X1 + X2 < Ó = 5

X1+ x2 < Ó = 8

x2 > Ó = 2

MAXG: 2 X1 + X2

Cj 2 1 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

0 X1´ 5 1 5 1 1 0 0

0 X2´ 8 1 8 2 0 1 0

0 X3´ -2 0 -1 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj

-2

-1 0 0 0

Cj 2 1 0 0 0

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X3´

2 X1 5 1 1 1 0 0

0 X2´ 3 0 1 -1 1 0

0 X3´ -2 0 -1 0 0 1

Zj 10 2 2 2 0 0

Zj - Cj 0 1 2 0 0

SOLUCION OPTIMA

X1 = 5

X2 = 0 MAX G. = 10

3X1 + 1/2X2 > Ó = 12

2X1+ x2 > Ó = 16

MIN C: 6 X1 + 4 X2

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

M X1´´ 12 3 4 1/2 -1 0 1 0

M X2´´ 16 2 8 1 0 -1 0 1

Zj 28M 5M 3/2M -M -M M M

Zj - Cj

5M-6

3/2M-4 -M -M 0 0

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

6 X1 4 1 1/6 -0,3333333 0 1/3 0

M X2´´ 8 0 2/3 2/3 12 -1 - 2/3 1

Zj 8M+24 6 2/3M+1 3/2M-2 -M (-2/3M+2) M

Zj - Cj 0 2/3M-3

3/2M-2

-M (-5/3M+2) 0

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

6 X1 8 1 1/2 0 - 1/2 0 1/2

0 X1´ 12 0 1 1 -1 1/2 -1 1 1/2

Zj 48 6 3 0 -3 0 3

Zj - Cj 0 -1 0 -3 -M 3-M

2X1 + 3X2 > Ó = 12

2X1+ 2x2 > Ó = 10

MIN C: 3 X1 + 4 X2

Cj 3 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

M X1´´ 12 2 3 4 -1 0 1 0

M X2´´ 10 2 2 5 0 -1 0 1

Zj 22M 4M 5M -M -M M M

Zj - Cj 4M-3

5M-4

-M -M 0 0

Cj 3 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

4 X2 4 2/3 6 1 4 - 1/3 0 1/3 0

M X2´´ 2 2/3 3 0 2/3 -1 - 2/3 1

Zj 2M+16 8/3+2/3M 4 -4/3+2/3M -M 4/3-2/3M M

Zj - Cj

(-1/3+2/3M)

0 -4/3+2/3M -M 4/3-5/3M 0

Cj 3 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

4 X2 2 0 1 -1 1 1 -1

3 X2´´ 3 1 0 1 -1 1/2 -1 1 1/2

Zj 17 3 4 -1 -1/2 1 1/2

Zj - Cj 0 0 -1 -1/2 1-M 1/2-M

SOLUCION OPTIMA

X1 = 3

X2 = 2 MIN C: 17

2X1 + 3X2 > Ó = 12

2X1+ 2x2 > Ó = 10

MIN C: 2 X1 + 3 X2

Cj 2 3 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

M X1´´ 12 2 3 4 -1 0 1 0

M X2´´ 10 2 2 5 0 -1 0 1

Zj 22M 4M 5M -M -M M M

Zj - Cj 4M-2

5M-3

-M -M M 0

Cj 2 3 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

3 X2 4 2/3 6 1 -1/3 0 1/3 0

M X2´´ 2 2/3 3 0 2/3 -1 - 2/3 1

Zj 12-2M 2+2/3M 3 2/3M-1 -M 1-2/3M M

Zj - Cj

2/3M

0 2/3M-1 -M 1+1/3M 0

Cj 2 3 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

3 X2 2 0 1 -1 1 1 -1

2 X1 3 1 0 1 -1,5 -1 1 1/2

Zj 12 2 3 -1 0 1 0

Zj - Cj 0 0 -1 0 1-M -M

SOLUCION OPTIMA

X1 = 3

X2 = 2 MIN C: 12

3X1 + 2X2 > Ó = 12

1/2X1+ x2 > Ó = 4

MIN C: 5 X1 + 4 X2

Cj 5 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

M X1´´ 12 3 4 2 -1 0 1 0

M X2´´ 4 1/2 8 1 0 -1 0 1

Zj 16M 7/2M 3M -M -M M M

Zj - Cj

7/2M-5

3M-4 -M -M 0 0

Cj 5 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

5 X1 4 1 2/3 6 -1/3 0 1/3 0

M X2´´ 2 0 2/3 3 1/6 -1 - 1/6 1

Zj 2M+20 5 2/3M+10/3 1/6M-5/3 -M (-

1/6M+5/3) M

Zj - Cj 0

2/3M-2/3

1/6M-5/3 -M (-7/2M+5/3) 0

Cj 5 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

5 X1 2 1 0 -1/2 1 1/2 -1

4 X2 3 0 1 1/4 -3/2 - 1/4 3/2

Zj 22 5 4 -3/2 -1 3/2 1

Zj - Cj 0 0 -3/2 -1 3/2-M 1-M

SOLUCION OPTIMA

X1 = 2

X2 = 3 MIN C: 22

3X1 + 1/2X2 > Ó = 12

2X1 + X2 > Ó = 16

MIN C: 6X1 + 4X2

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

M X1´´ 12 3 4 1/2 -1 0 1 0

M X2´´ 16 2 8 1 0 -1 0 1

Zj 28M 5M 3/2M -M -M M M

Zj - Cj

5M-6

3/2M-4 -M -M 0 0

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X1´ X2´ X1´´ X2´´

6 X1 8 1 1/2 0 - 1/2 0 1/2

0 X1´ 12 0 1 1 -1 1/2 -1 1 1/2

Zj 48 6 3 0 -3 0 3

Zj - Cj 0 -1 0 -3 -M 3-M

SOLUCION OPTIMA

X1 = 8

X2 = 0 MIN C: 48

METODO DUAL

Cj 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X’1 X’2 X”1 X”2

M X”1 12 3 ½ -1 0 1 0

M X”2 16 2 1 0 -1 0 1

Zj 28M 5M 3/2 M -M -M M M

Zj - Cj 5M-6 3/2 M-3 -M -M 0 0

CJ 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X’1 X’2 X’’1 X’’2

6 X1 4 1 1/6 -1/3 0 1/3 0

M X’’2 8 0 2/3 2/3 -1 -2/3 1

Zj 8M+24 6 2/3M+1 2/3M-

2 -M -

2/3M+2 M

Zj-Cj 0 2/3M-3 2/3M-

2 -M -

5/3M+2 0

C 6 4 0 0 M M

Xj SM X1 X2 X’1 X’2 X’’1 X’’2

6 X1 8 1 1/2 0 -1/2 0 ½

0 X’1 12 0 1 1 -3/2 -1 3/2

Zj 48 6 3 0 -3 0 3

Zj-Cj 0 - 0 -3 -M 3-M

X1=8 X2=0

MINC=48

PRIMAL 5X1+8X2_>40 7X1+7X2_>49

8X1+6X2_>48az

cj 40 49 48 0 0

xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2

0 Y’1 2 5 7 8 1 0

0 Y’2 5 8 7 6 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj-Cj -40 -49 -48 0 0

Cj 40 49 48 0 0

Xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2

49 Y2 2/7 5/7 1 8/7 1/7 0

0 Y’2 3 3 0 -2 -1 1

Zj 14 35 49 56 7 0

Zj-Cj -5 0 8 7 0

Cj 40 49 48 0 0

Xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2

40 Y1 2/5 1 7/5 8/5 1/5 0

0 Y’2 9/5 0 -21/5 -3/34 -8/5 1

ZJ 16 40 56 64 8 0

Zj-Cj 0 7 16 8 0

DUAL PRIMAL

Y1=2/5 Y’1=X1=8 Y2=0 Y’2=X2=0

MINC=16 3X1+1/2_>12 2X1+X2_>16

MINC=6X1+4X2

3Y1+2Y2_<6 1/2Y1+Y2_<4

MAXg=12Y1+16Y2

3Y1+2Y2=6 1/2Y1+Y2+Y’1=4

MAXg=12Y1+16Y2

CJ 12 16 0 0

Xj SM Y1 Y2 Y’1 Y’2

0 Y’1 6 3 2 1 0

0 Y’2 4 1/2 1 0 1

ZJ 0 0 0 0 0

ZJ-CJ -12 -16 0 0

Cj 12 16 0 0


16 Y2 3 3/2 1 1/2 0

0 Y’2 1 -1 0 -1/2 1

Zj 48 24 16 8 0

Zj-Cj 12 0 8 0

DUAL Y1=0 Y2=3 MAXG=48 PRIMAL Y’1=X1=8 Y’1=X2=0

MINC=48

4X1+3X2_<24 4Y1+6Y2+Y3_>3 4Y1+6Y2+Y3-Y1+Y”1=3 6X1+9X2_<54 3Y1+9Y2_>4 3Y1+9Y2-Y’2+Y”2=4

maxg=3x1+4x2 minc=24y1+54y2+4y3 minc=24y1+54y2+4y3+my”1+m

CJ 24 54 4 0 0 M M

Xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2 Y”1 Y”2

M Y”1 3 4 6 1 -1 0 1 0

M Y”2 4 3 9 0 0 -1 0 1

Zj 7M 7M 15M M -M -M M M

Zj-Cj 7M-24

15M-54 M-4 -M -M 0

0

CJ 24 54 4 0 0 M M

Xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2 Y”1 Y”2

M Y”1 1/3 2 0 1 -1 2/3 1 -2/3

54 Y2 4/9 3/9 1 0 0 -1/9 0 1/9

Zj 1/3M+24 2M+18 54 M -M 2/3M-

6 M -

2/3M+6

Zj-CJ 2M-6 0 M-4 -M 2/3M-

6 0 -

5/3M+6

CJ 24 54 4 0 0 M M

Xj SM Y1 Y2 Y3 Y’1 Y’2 Y”1 Y”2

24 Y1 1/6 1 0 1/2 -1/2 1/3 1/2 -1/3

54 Y2 7/18 0 1 -1/6 1/6 -2/9 -1/6 2/9

Zj 25 24 54 3 -3 -4 3 4

Zj-Cj 0 0 -1 -3 -4 3-M 4-M

DUAL Y1=1/6 Y2=7/18 MINC=25

PRIMAL Y”1=X1=3 Y”2=X2=4

MAXg=25

2X1+3X2_>12 2Y1+2Y2_<3 2Y1+2Y2+Y’1=3 2X1+2X2_>10 3Y1+2Y2_<4 3Y1+2Y2+Y’2=4 3x1+4x2 maxg=12y1+10y2 maxg=12y1+10y2

CJ 12 10 0 0


0 Y’1 3 2 2 1 0

0 Y’2 4 3 2 0 1

ZJ 0 0 0 0 0

ZJ-CJ -12 -10 0 0

CJ 12 10 0 0


0 Y’1 1/3 0 2/3 1 -2/3

12 Y1 4/3 1 2/3 0 1/3

Zj 16 12 8 0 4

ZJ-CJ 0 -2 0 4

CJ 12 10 0 0


10 Y2 1/2 0 1 3/2 -1

12 Y1 1 1 0 -1 1

ZJ 17 12 10 3 2

ZJ-CJ 0 0 3 2

DUAL Y1=1 Y2=1/2 MAXG=17

PRIMAL

Y’1=X1=3 Y’2=X2=2 MINC=17

EXAMEN FINAL 6X1+9X2>108 6X1+9X2<108 6Y1+9Y2+ Y =6 8X1+8X2>64 8X1+8X2<64 9Y1+8Y2+ Y =9

MAX G=108Y1+64Y2

MIN C=6X1+9X2 MIN C=6X+9X2

C J 108 64 0 0

X J S M Y 1 Y 2 Y Y

0 Y 6 6 8 1 0

0 Y 9 9 8 0 1

ZJ 0 0 0 0 0

ZJ - CJ -108 -64 0 0

C J 108 64 0 0

X J S M Y 1 Y 2 Y Y

108 Y1 1 1 4/3 1/6 0

0 Y2 0 0 -4 -3/2 1

Z J 108 108 144 18 0

ZJ - CJ 0 80 18 0

SOLUCION DUAL = Y1=1 Y2=0 MAX. G. = 108 SOLUCION PRIMAL = X1=18 X2=0 MIN. C. = 108

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