Universidad Nacional de Tucumán Facultad de … · (Contingencia). Propiedades de los Conectivos. Funciones de Verdad Lógica Trivalente. Definición. Lógicas Multivalentes

LOGICA Y

ALGEBRA

DISCRETA

Franco D. Menendez

LABIA

FACET - UNT

Universidad Nacional de Tucumán Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Contenido de la Materia UNIDAD TEMÁTICA 1: SINTAXIS Y SEMANTICA DEL LENGUAJE FORMAL

SEMÁNTICA: Noción General. Definición Algebraica. Distribución

de Valores de Verdad. Evaluación de EBF. Funciones de Verdad.

Proposiciones Atómicas, simples y compuestas. Tablas de Verdad.

Negación. Conjunción. Disyunción. Condicional. Bicondicional o

Equivalencia. Fórmulas Proposicionales. Funciones M. Satisfacción

de una fórmula, Validez y Consecuencia. Interpretaciones

Booleanas. Tautologías, Contradicción e Indefinición

(Contingencia). Propiedades de los Conectivos. Funciones de

Verdad Lógica Trivalente. Definición. Lógicas Multivalentes.

Lógicas Fuzzy


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

Decibilidad del Conjunto F de las Expresiones Bien Formadas:

Sea C la cadena de caracteres que debemos examinar: (1) C=«p» (donde p es cualquier v.p.) STOP EBF (2) C= A (donde A designa una cadena) TESTEAR A (3) C=(B (donde B designa una cadena)

3.1 B no termina con un parentesis cerrado «)» LEER B DE DERECHA A IZQUIERDA BUSCAR EL PRIMER CONECTOR BINARIO 3.1.1 Se encuentra uno B= C * D TESTEAR C Y D 3.1.2 No se encuentra conector . STOP. NO EBF 3.2 B termina con «)» LEER B DE DERECHA A IZQUIERDA BUSCAR EL PRIMER CONECTOR BINARIO POSTERIOR AL PRIMER PARENTESIS ABIERTO 3.2.1 Se encuentra uno: B= E * F TESTEAR E Y F

3.2.2 No se encuentra STOP NO EBF (4) No nos encontramos en ninguna de las situaciones. STOP NO EBF



Definición Algebraica de la semántica del Lenguaje Proposicional: A los efectos de poder tratar de la manera booleana la semántica del lenguaje, confundiremos los valores de verdad (FALSO, VERDADERO) con la dupla (0,1);

Evaluación de las EBF: sea F una formula conformada por p0, p1, …. pk, la semantica no dice bajo que condición px son verdaderos o falsos. Lo que permite es una interpretación de la distribución de valores de verdad del mismo, el cual determina el resultado de F.

Ejemplo (p (q r))

Donde δ(p)=0 , δ(q)=1 δ( r) =1



Definición por Recurrencia de la Semántica de las EBF Sea δ una distribución de verdad que posee las variables proposicionales p1,p2,…. Pn

cuyos valores tomados del conjunto son {0,1}donde su notación será de la forma δ (p1). Definimos una aplicación Fδ del conjunto F de las EBF sobre el conjunto Z={0,1}.

Fδ = F { 0,1 }

La Función por recurrencia se define de la siguiente manera:

1. Fδ (p) = δ (p) : "p V

2. Fδ (A) = ’ δ (A) = 1 - Fδ (A)

3. Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A ), Fδ ( B))

4. Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ (A ), Fδ ( B))

5. Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ (A ), Fδ ( B))

6. Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A B ), Fδ ( B A))



Teorema de Restricción El valor de verdad de EBF solo depende de las variables proposicionales que intervienen

en esta EBF.

Demostración Sea F una EBF y a una variable proposicional, que no figura en F. sea d una distribución de valores de verdad cualquiera. Definimos d’ de la forma.

d’(p)=d(p) si p a d’(p)=1-d(a)

Demostremos que (F)=(F) por induccion sobre la formacion de F:

1. F=p, luego a p y por definición d’(p)=d (p). Se cumple Fd(p)=Fd’(p)

2. F=G , Fd(F) = 1 - Fd(G) por hipotesis de recurrencia Fd(G)=Fd’(G) Fd(F) = 1 - Fd(G) = Fd(G) = Fd’(F) 3. F=G * H ( * es cualquier conectivo binario) Fd(F) =*’(Fd(G), Fd(H)) = *’H.R(Fd’(G), Fd’(H)) = Fd’(F)



Las naranjas maduran y el invierno se avecina Las naranjas maduran porque el invierno se avecina Tradicionalmente se distingue entre la compresión y la extensión de las

proposiciones. La compresión es el significado de la proposición, aquello que ella significa. La extensión es el ámbito, mayor o menor según que la proposición sea

universal, particular o individual, al cual la proposición hace referencia. La lógica es una ciencia formal por lo que no se vincula con los hechos del mundo,

es decir no con la amplitud de la realidad que la proposición abarca. La extensión se reduce al ámbito de ser verdadera o falsa.



TABLAS DE VERDAD

Esta tabla se compone de dos partes. Una, ubicada a la izquierda, es

la columna de referencia. Se coloca allí todos los valores posibles

que puede asumir una o mas proposiciones.

p

V

F

p q

V V

V F

F V

F F


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD

p p

V F

F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p q p q

V V V F

V F V V

F V V V

F F F F


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD El conector Bicondicional afirma que p es condición necesaria y suficiente para q,

del mismo modo que q es necesaria y suficiente para p. Ejemplo: Si y solo si un sistema está aislado, entonces su energía tal es constante.

Si y solo si los vegetales vuelan, entonces Socrates vive.

Si y solo si la leche alimenta, la tierra se mueve. p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD El conector Condicional presenta dificultades ya que su equivalencia

gramatical «Si ..... Entonces…» es solo parcial.

Ejemplo: Si es mamífero, es vertebrado.

Si el peso supera los mil kilogramos, la balanza se estropea.

Si estuviera muerto no respiraría.

p q q p q p q) p q

V V F F V V

V F V V F F

F V F F V V

F F V F V V


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) FORMULAS PROPOSICIONALES La formula proposicional se la utiliza para reemplazar la palabra

proposición o expresión proposicional. Este nuevo concepto fue creado por Chomsky.

Nos sirve como base simbólica de la teoría en la construcción de compiladores

Regla gramatical Simbolo:.= simbolo -1 ….. Simbolo -N Los símbolos que aparecen en el lado izquierdo son denominados no

terminales. Mientras que los símbolos que aparecen a la derecha son denominados terminales.



FORMULAS PROPOSICIONALES Definición : Una fórmula en el cálculo proposicional es una cadena generada por la siguiente gramática : fórmula :: = p Para cualquier p P fórmula :: = fórmula fórmula :: = fórmula op fórmula op :: =

Por ejemplo, la siguiente secuencia de símbolos muestra la derivación

de la fórmula proposicional p q, a partir de una fórmula no terminal inicial.

1.- fórmula 2.- fórmula op fórmula 3.- fórmula fórmula 4.- p fórmula 5.- p q,



FORMULAS PROPOSICIONALES p q p q Árbol de formación Derivación

1.- fórmula 2.- fórmula fórmula 3.- fórmula fórmula fórmula 4.- p fórmula fórmula 5.- p q fórmula 6.- p q fórmula fórmula 7.- p q fórmula fórmula 8.- p q p fórmula 9.- p q p fórmula 10.- p q p q


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) INTERPRETACIÓN BOOLEANA fórmula :: = falso | verdadero Definición: Sea A una formula proposicional y sea el conjunto {p1, … , pn}

de proposiciones o átomos que aparecen en A. Una Interpretación para A es : v:{ p1 , … , pn} {V,F} o sea que v asigna uno de los valores de verdad F o V a la fórmula A de acuerdo a los valores de verdad asignados en las diferentes tablas de

verdad para cada uno de los conectivos lógicos.



INTERPRETACIÓN BOOLEANA Ejemplo:

(p q) ( q p) Se utiliza la siguiente interpretación: v(p)= F, v(q)=V v (p q) = V v ( q) = F v ( p) = V v ( q p) = V

Por lo que la formula A obtiene el siguiente valor:

v((p q) ( q p)) = V


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Los otros usos mas que realizaremos de la tabla de verdad es: 1. Para determinar el valor de verdad de las proposiciones. 2. Para determinar el carácter de las proposiciones. 3. Para descubrir relaciones entre proposiciones dadas. 4. Para determinar la validez de razonamientos. Definimos Avaloración: al conjunto de combinaciones de los valores de verdad

de una formula.

Dominio: alude solamente a aquellos casos de avaloración verdaderos. Se define dominio pleno cuando todas las avaloraciones tienen resultado verdadero siempre. El dominio se dice vacío cuando en la avaloración solo figuran F.


TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, INDEFINICIÓN

Ejemplo: (p q); (p q) ( p q); p ( p q)

Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras verdaderos, reciben el nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos, se denominan TAUTOLOGÍAS; los del tercer tipo, siempre falsos, son denominados CONTRADICCIONES.

p q (p q) (p q) ( p q) p ( p q)

V V V V V V F F

V F V F V F F F

F V V V V V F V

F F F V V V F F


EQUIVALENCIAS LÓGICAS

p q p q p p p p

V V V V F

V F F V F

F V F V F

F F F V F

p q p q ( p q)

V V V F V

V F F V F

F V V F V

F F V F V


EQUIVALENCIAS LÓGICAS

1) (p q) [(p q) (q p)] Bicondicional (2) (p q ) [(p q) ( p q)] Bicondicional (3) (p q) (q p) Conmutación de (4) (p q) (q p) Conmutación de (5) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de (6) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de (7) ( p) p Doble Negación (8) (p q) ( q p) Transposición (9) p (p p) Tautología (10)[(p q) r] [p (q r)] Exportación (11)[p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de (12)[p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de


VALIDEZ Y CONSECUENCIA

Definición: Una fórmula proposicional A es satisfactoria si su valor es verdadero en alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un modelo para A. Una fórmula A es válida si su valor es verdadero para todas interpretaciones, a lo cual lo denotamos como: A

Definición: Una fórmula proposicional A es no satisfactoria o contradictoria si no es satisfactoria, o sea que, su valor es falso para todas interpretaciones. Es no válida o falsa si no es válida, o sea que, es falsa para algunas interpretaciones.


LOGICA TRIVALENTE

Se llama lógica ternaria o lógica trivalente a cualquier sistema lógico multivaluado en el que hay tres valores de verdad, indicando Verdadero, Falso y algún otro valor indeterminado. Esto contrasta con las más comunes lógica bivalentes (tales como la clásica lógica proposicional o la lógica booleana), que contemplan únicamente Verdadero o Falso. La idea fundamental de la lógica trivalente fue formulada por Łukasiewicz, Lewis y Sulski. Después de ellos, fue reformulada de forma axiomática y algebraica por Grigore Moisil, y extendida a lógicas n, valuadas en 1945.


LOGICA TRIVALENTE

Interpretación de las expresiones (ámbito de la semántica): Las interpretaciones en el campo de la semántica en la lógica trivalente son:

True siempre vale 1 False siempre vale 0 1/2 (ó U) siempre vale indefinido (o indeterminado)

Se extienden las interpretaciones clásicas de negación (¬), conjunción (^), disyunción (v) , implicación (→) y bicondicional (↔). También es conocida como semántica secuencial o de cortocircuito porque el valor de una expresión está determinado por el valor de las subexpresiones, considerándolas de izquierda a derecha. Solamente se consideran las subexpresiones necesarias para tal determinación y el valor de estas subexpresiones restantes es ignorado (por lo que pueden estar indefinidas)


LOGICA TRIVALENTE Tablas de Verdad la lógica de Łukasiewicz y la lógica de Klenee difieren en el tratamiento de la operación de implicación lógica. Kleene hace un tratamiento diferente del concepto de tautología. La lógica de Kleene no posee tautologías (fórmulas válidas)


LOGICA TRIVALENTE Aplicaciones en el ámbito matemático

Hay tres temas principales dentro de la matemática que se relacionan con la

lógica polivaluada (MVL):

La primera es la teoría matemática de conjuntos difusos y el análisis

matemático de razonamiento "difuso" o aproximado.

El segundo tema, estrechamente ligado a la lógica trivalente, se enfoqca

hacia pruebas que aporten consistencia a una teoría determinada

mediante un sistema adecuado de MVL.

Existe una referencia a las ideas básicas del MVL en pruebas de

independencia (p. ej. para sistemas de axiomas o axiomáticos) que a

menudo se refieren a matrices lógicas con más de dos grados de verdad.


LOGICA TRIVALENTE Aplicaciones en la Inteligencia Artificial

La inteligencia artificial (AI) ofrece una serie de ámbitos en los que se han

utilizado sistemas de multivaluados, MVL (del inglés, multi-valued logics) debido

a su posibilidad para abarcar un rango más amplio de estados.

Una primera área de aplicación la encontramos muy relacionada a la

posibilidad de representar preocupaciones, sentido común, razonamientos,

etc. por medio herramientas matemáticas como conjuntos difusos y lógica

difusa o borrosa (del inglés, fuzzy logic).


BIBLIOGRAFIA ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby

& Sharon Ross. – 2003.

MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul – 2005.

MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC. – 2005.

LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición – 2005.

MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman – 2001.


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