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GEOTECNIA – GICO UPC Tema 9. Aplicación de rotura a problemas de contorno básicos

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

___________________________________________________

GEOTECNIA

APUNTES TEMA 9 ____________________________________________________

TEMA 9. APLICACIÓN DE ROTURA A PROBLEMAS DE CONTORNO BÁSICOS 9.1 EMPUJES DE TIERRAS SOBRE ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN ......................................

9.1.1 Planteamiento general. Empujes activos y pasivos ..................................................................

9.1.3 Acción del agua ...........................................................................................................................

9.1.4 Sobreempujes por cargas exteriores. Otros casos ....................................................................

9.2 CAPACIDAD PORTANTE DEL TERRENO .....................................................................................

9.2.1 Planteamiento general. Mecanismo de rotura global ...............................................................

9.2.2 Modelo del Prandtl para terreno sin peso .................................................................................

9.2.3 Terreno con peso. Otros casos ....................................................................................................

9.3 ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELOS .....................................................................................

9.3.1 Introducción. Planteamiento del problema ..............................................................................

9.3.2 Caso de talud indefinido .............................................................................................................

9.3.3 Caso de corte vertical ..................................................................................................................

9.3.3.1. Métodos de equilibrio global

9.3.3.2. Métodos de equilibrio parcial o método de las rebanadas

9.3.4 Métodos generales de equilibrio límite. Equilibrio global y parcial (rebanadas) ..................


2

TTeemmaa 99.. AApplliiccaacciióónn ddee rroottuurraa aa pprroobblleemmaass ddee ccoonnttoorrnnoo bbáássiiccooss

La consideración de rotura, como ya se ha visto en el Apartado 8.2 anterior, viene relacionada

con la hipótesis desfavorable de estados límite últimos del comportamiento del suelo (referido al

equilibrio plástico del suelo). A efectos prácticos, estos estados límite últimos son de especial

interés y de uso en los procesos de diseño, tanto de las posibles estructuras con las que

interacciona el suelo (estructuras de contención: figura 9.1.a; y estructuras de cimentación:

figura 9.1.b) como de la posibilidad geométrica autoportante y de equilibrio del mismo suelo

(estabilidad de taludes: figura 9.1.c). Aun así, es importante especificar que este tema se

presenta con un enfoque más teórico que práctico, dejando de lado los aspectos más

tecnológicos (y consecuentes al diseño; pertenecientes más bien al ámbito de la Ingeniería

Geotécnica). De este modo, los problemas de contorno intrínsecos en los que se analizará la

aplicación de rotura se pueden englobar, por ejemplo, según las características geométricas y de

deformación en los bordes y de las posibles interacciones en la zona de análisis (estructuras de

contención: Apartado 9.1; estructuras de cimentación: Apartado 9.2; y estabilidad de taludes:

Apartado 9.2), así como de los parámetros resistentes característicos y particulares del tipo de

suelo, el confinamiento, el nivel y localización de cargas aplicadas, la presencia de agua, etc.

a) b) c)

WEt

Rb

Ei

qQ

qQ P

W

R

Q

q

Figura 9.1.a-c Problemas de contorno básicos generales del tema: estructuras de contención (a), capacidad portante (b) y estabilidad de taludes (c)

99..11 EEmmppuujjeess ddee ttiieerrrraass ssoobbrree eessttrruuccttuurraass ddee ccoonntteenncciióónn

99..11..11 PPllaanntteeaammiieennttoo ggeenneerraall.. EEmmppuujjeess aaccttiivvooss yy ppaassiivvooss

Se supone una porción de suelo (, , c = 0), de profundidad y espesor indefinidos, seco y con

superficie libre horizontal ( = 0), en el que no se ha alterado su estado inicial de tensiones ni de

deformaciones (grado de consolidación OCR igual a la unidad y condiciones edométricas). Si se


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presta atención a un elemento diferencial situado a una profundidad determinada z (ver figura

9.1.1), éste estará sometido a las tensiones verticales v y horizontales h , ambas principales

Ya sabido, el factor que relaciona ambas tensiones en un punto será el coeficiente de empuje K

( /h vK ). Si las deformaciones laterales están impedidas (caso edométrico), dicha relación

será el coeficiente de empuje al reposo, K0, luego 0 ,0h v hK . Este coeficiente depende

del grado de consolidación y del ángulo de rozamiento interno del suelo. Para suelos

normalmente consolidados (OCR = 1), puede utilizarse la expresión que propuso Jaky (1944):

0 1 sinK . Si se representa esta situación mediante círculos de Mohr (plano ; figura

9.1.2) incluyendo el criterio de rotura de Mohr-Coulomb, el caso considerado (en reposo:

terreno con superficie libre horizontal y sin sobrecargas, en particular con la expresión de

Jacky), permanecerá siempre bajo el criterio de rotura.

v

h = K0v

z

, , c = 0)

Figura 9.1.1 Estado tensional al reposo en un punto del suelo con superficie libre horizontal ( = 0)

0

h,0 = 3 reposo

( z)(K0v)

v = 1

Figura 9.1.2 Representación en el plano (σ, τ) del estado tensional al reposo de un punto del suelo con superficie libre horizontal


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Los empujes son las presiones que soporta una posible estructura de contención insertada o

construida en el terreno. Luego partiendo del caso anterior, si se supone una proyección vertical

en el suelo hasta una profundidad determinada y con deformaciones laterales nulas, sobre dicha

proyección se aplicarán empujes al reposo.

En caso de que las deformaciones laterales sean no nulas, el empuje pasará a ser empuje activo

(desplazamientos hacia el sentido en el que el suelo se descomprime) o pasivo (desplazamientos

hacia el sentido en el que el suelo se comprime). Conceptualmente, los empujes (activos o

pasivos) en el trasdós de una estructura de contención pueden entenderse como si provinieran

del estado tensional que se generaría al desplazar horizontalmente un paramento que contuviera

el suelo.

Se supone ahora la misma porción de suelo anterior (sin cohesión y con superficie libre

horizontal), con una plataforma vertical móvil supuestamente ilimitada en profundidad,

indeformable y movible a voluntad. En este caso, el estado activo (figura 9.1.3, superior) se

consigue desplazando horizontalmente la plataforma de contención hacia el intradós, que como

se ha comentado, descomprime el suelo. En este estado, la relación entre tensiones que controla

la ley de empujes se regirá por el coeficiente de empuje activo Ka.

De manera análoga al caso anterior, para el estado pasivo (figura 9.1.3, inferior), el

desplazamiento de la plataforma es hacia el trasdós y el coeficiente de empuje pasivo Kp es el

que controla la relación entre tensiones.

Es evidente que el empuje pasivo, con desplazamientos en contra del suelo, comprimiéndolo,

será cuantitativamente mayor que el activo (Kp > Ka).

Si se representan ahora estos dos estados mediante círculos de Mohr, en el caso del estado

activo (figura 9.1.4, superior), al desplazar la plataforma hacia el intradós, las tensiones

horizontales disminuyen desde el estado al reposo hasta alcanzar unos valores límite ,h a

correspondientes al estado activo, en el que el círculo de tensiones del punto de análisis toca el

criterio de rotura (las tensiones verticales serán prácticamente invariables en este proceso por

corresponder al equilibrio con el peso de tierras situadas por encima de cada punto, cuya altura

se supone teóricamente constante). Las tensiones principales se mantienen ordenadas respecto al

caso del estado al reposo (principal mayor correspondiente a la tensión vertical, 1 v , y


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principal menor correspondiente a la tensión horizontal, 3 ,h a ). En este estado, desde el

punto ,h a (que corresponde al polo de tensiones al ser = 0), se identifican las direcciones de

las superficies de rotura correspondientes (Ia - IIa).

Estado activo:

(h,a = Kav)

dirección (Ia) de los planos de rotura

v

h,a

dirección (IIa) de los planos de rotura

e activo

ea (z)

z

(

Ley de empujes del estado activo:

(e reposo)

Estado pasivo:

(h,p = Kpv)

e pasivo

ep (z)dirección (IIp) de los planos de rotura

v

h,p

dirección (Ip) de los planos de rotura

z

(

Ley de empujes del estado pasivo:

(e reposo)

Figura 9.1.3 Obtención de los estados activo y pasivo en un punto de una porción de suelo mediante la hipótesis de desplazamiento horizontal de una plataforma vertical ilimitada

En el caso del estado pasivo (figura 9.1.4, inferior), al desplazar la plataforma hacia el trasdós

(es decir, comprimiendo el terreno) las presiones horizontales (empujes) en el suelo aumentarán

como reacción del terreno que se opone al movimiento. En este estado también se llega a un

valor límite ,h p correspondiente al estado pasivo (de nuevo considerando las tensiones

verticales invariables). Aquí, las tensiones principales cambian de orden, siendo en los estado

pasivos la tensión principal mayor igual a la tensión horizontal, 1 ,h p , y la tensión principal


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menor igual a la tensión vertical, 3 v ). Desde el polo de tensiones se identifican también

ahora las direcciones de las superficies de rotura correspondientes (Ip - IIp), con ángulos

menores respecto a la horizontal, comparado con el caso del estado activo.

Estado activo:

0

Estado activo

(Kav)

dirección de los planos de rotura Ia

dirección de los planos de rotura IIa

reposo

( z)

v = 1

h,a = 3

Estado pasivo:

0

v = 3Estado pasivo

(Kpv)

dirección de los planos de rotura Ip

dirección de los planos de rotura IIp

reposo h,p = 1

( z)

Figura 9.1.4 Representación en el plano (σ, τ) de los estados tensionales activo y pasivo un punto del

suelo con superficie libre horizontal ( = 0)


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Si se analiza genéricamente la variación de los coeficientes de empuje (variación de tensiones

horizontales) en un punto en relación con los movimientos laterales necesarios para su

desarrollo, se obtendría una gráfica similar a la representada en la figura 9.1.5.

0 (hacia el trasdós)

Desplazamiento, hacia el intradós)

Tensiónhorizontal, h

h ,p

a << p

Ka < K0 < Kp

(E.activo)

Estado pasivo,

, Estado activo

Estado al reposo,

(E.pasivo)

h ,0

h ,a

Figura 9.1.5 Influencia de los movimientos del terreno sobre los coeficientes de empuje (criterio de activación de los mismos).

Como se ve y se ha indicado, existen dos estados límites, el estado activo y el estado pasivo, que

constituyen los dos extremos de tensión que el terreno puede ejercer sobre una estructura de

contención para cada profundidad, estos son, los empujes mínimos y máximos del terreno en la

misma. Al generarse el estado activo, la presión del terreno contra la estructura de contención

alcanza un mínimo, mientras que al generarse el estado pasivo la presión del terreno contra la

estructura alcanza un máximo. En el caso típico de una estructura de contención, si es estable

(factores de seguridad superiores a la unidad) resistirá el estado tensional generado y no

colapsará, mientras que si es inestable (factores de seguridad menores a la unidad) se alcanzará

los estados límite y colapsará.

En zonas urbanas o con edificaciones próximas se intentará trabajar normalmente cerca del

estado en reposo para reducir deformaciones y asientos y en pocas ocasiones se permitirá que el

terreno se movilice para generar los estados activos, ya que, aunque por un lado el empuje a

soportar por la estructura es menor (Ka < Ko), el inconveniente que puede generar el movimiento

del terreno a las otras edificaciones no suele ser admisible.


8

Si se considera ahora un paramento con una altura H fijada (que es lo que sucede en casos

prácticos debido a la geometría real de las estructuras de contención), el comportamiento en

rotura explicado en el apartado anterior viene condicionado por la misma, generando una

superficie de deslizamiento límite compatible con el valor de H. En este contexto se procede a

continuación a explicar el desarrollo teórico básico referente a dos teorías clásicas de obtención

y cuantificación de los empujes sobre estructuras de contención. Éstas son, la teoría de Coulomb

y la de Rankine.

Teoría de Coulomb. Caso básico

Coulomb observó que cuando los muros colapsaban (por empuje activo, esto es, por el empuje

de tierras provocado en el trasdós con desplazamiento hacia el intradós) las tierras en el trasdós

permanecían con una forma inclinada más bien plana. En base a este hecho propuso un modelo

de estimación de los empujes del terreno (empujes activos) planteando el equilibrio de la masa

de suelo desplazado en el caso más desfavorable. Dicho modelo supone que los movimientos

del muro son suficientes como para que se forme en el terreno una cuña de empuje que está

limitada por una superficie de deslizamiento plana (la curvatura real es despreciable en el caso

de los empujes activos).

El empuje activo, Ea se puede obtener por equilibrio de fuerzas en la cuña de rotura al conocer

completamente el vector peso (W) en magnitud y posición, y la dirección de la reacción en el

segmento BC (al ser plano) y de Ea. Sin embargo se desconoce todavía cuál es la cuña de rotura

que se produce. Cuñas de rotura pequeñas (segmento BC muy vertical, figura 9.1.6-derecha)

darán lugar a empujes bajos (poco peso de terreno) mientras que cuñas de rotura grandes

(segmento BC muy horizontal, figura 9.1.6-izquierda) darán lugar también a empujes bajos ya

que casi todo el peso lo absorberá la reacción en el segmento BC. En consecuencia, habrá una

cuña intermedia (figura 9.1.7) que produzca un empuje máximo y que es la que se deberá

considerar. Por su parte, la dirección del empuje depende del movimiento relativo entre el

terreno y el trasdós del muro durante el proceso de colapso (ascenso o descenso relativo de una

parte respecto a la otra, según el caso). Y dado que en el caso de colapso la cuña se mueve

(desliza sobre el segmento BC) y que además existe rozamiento en la superficie de rotura, R no

puede ser ortogonal a la misma. Aplicando el criterio de rotura de Mohr-Coulomb

( tannc ) y si se supone por el momento nula la cohesión (lo cual deja del lado de la

seguridad), R resulta tener una dirección que ha de formar un ángulo respecto al plano de

rotura.


9

Esta cuña puede obtenerse gráficamente (antiguamente se hacía así de manera habitual) o

analíticamente, tal y como se sigue, considerando un paramento de altura máxima h:

21

2a aE K h

que se puede determinar a partir de la ley de empujes:

2

0

1( ) ( )d

2

z h

a a a a a

z

e z K z E e z z K h

El coeficiente de empuje activo de Coulomb usado en estas expresiones es:

)(sin )(sin

)(sin )+(sin+1)-( sin sin

)+( sin2

2

2

=K a

La expresión del coeficiente de empuje anterior también se puede utilizar con la forma

proyectada en dirección horizontal y vertical para determinar directamente las componentes del

empuje en dichas direcciones:

h sin( )

cos( )a a

av a

K K

K K

y h sin( )a aE E y cos( )av aE E son, respectivamente, las componentes

horizontal y vertical del empuje y z la profundidad desde la superficie. De las expresiones

anteriores puede observarse la dependencia de parámetros que tienen los empujes activos

calculados por Coulomb:

( , , , , , )aE f h

W

REa

A

B

C

W

REa

A

B

C

Figura 9.1.6 Casos de cuñas de rotura posibles


10

W

Ea

RW

R

Ea

A

B

C

Figura 9.1.7 Cuña de rotura en el posible caso más desfavorable. Acciones sobre la cuña en terreno sin cohesión

La orientación que define la dirección del empuje activo Ea dependerá del movimiento que

tenga el muro en el proceso de colapso. Dicha orientación, definida según δ (siendo δ el ángulo

de interacción en el contacto tierras-muro), se opondrá al posible movimiento estructural,

reduciendo o aumentando el momento de vuelco según el caso.

El ángulo δ nunca va a ser mayor que el ángulo de rozamiento interno del terreno ( ). En

casos extremos, terrenos muy húmedos y superficies de paramento muy lisas, δ tenderá a

valores casi nulos (δ = 0), mientras que en condiciones bien drenadas y superficies del

paramento muy rugosas δ resultará igual a (caso en el que la superficie de rotura en la

interacción suelo-estructura se desarrolla separada del contacto). Sin embargo, en situaciones

especiales como por ejemplo el caso de que el terreno de apoyo del muro sea muy blando o en

presencia de empujes muy fuertes δ puede llegar a ser negativo, alcanzando valores de hasta -

con superficies rugosas.

Así pues, la teoría de Coulomb, para el cálculo del empuje de tierras, se basa en la obtención de

la cuña de tierras que provoca el máximo empuje (caso activo siguiendo el procedimiento

descrito) o el mínimo empuje (caso pasivo, para el que hay que modificar apropiadamente el

estado tensional en la cuña resistente) sobre la estructura de contención. El procedimiento

consiste en definir la cuña de rotura de empuje máximo o mínimo que es la que debe tenerse en

cuenta para dimensionar la estructura con un factor de seguridad. Como hipótesis básica se

supone que el terreno en el momento de rotura lo hace sobre una superficie plana. Esta hipótesis

es suficientemente apropiada en el caso los empujes activos pero no lo es en el caso de los


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empujes pasivos. Por ello la teoría de Coulomb para el cálculo de estructuras de contención, es

adecuada para determinar los empujes en el caso activo pero no lo es para determinar los

empujes pasivos ya que se observa que la rotura es curva, dejando, en conjunto con otros

factores como la mayor deformación necesaria para alcanzarlos, del lado de la inseguridad en

casos prácticos. Por otra parte es un método muy versátil ya que se adapta a cualquier geometría

de la estructura realizando sucesivas cuñas hasta encontrar la óptima.

Teoría de Coulomb. Efecto de la cohesión

Si se supone la existencia de cohesión (c ≠ 0), ésta contribuye a través de la adherencia en el

trasdós y el incremento de las tensiones tangenciales resistentes de la superficie de

deslizamiento BC (figura 9.1.8), todo lo cual reduce el valor de Ea.

Debido a la cohesión puede ocurrir que aparezcan fisuras de tracción en la parte más superior

del terreno del trasdós debido a posibles tensiones negativas que en realidad no se desarrollan ya

que se separa el terreno. El método de Coulomb permite analizar este problema (estimar, por

ejemplo, la profundidad de terreno afectada), pero es más fácil plantearlo mediante el método de

Rankine que se presenta en el siguiente subapartado.

W

Ea

R

ca

W

REa

A

B

C

Figura 9.1.8 Cuña de rotura. Acciones sobre la cuña en terreno cohesivo

La cohesión es, pues, un factor de mejora del comportamiento del terreno, pero si finalmente no

se acaba desarrollando, o se desarrolla sólo parcialmente, deja del lado de la inseguridad. Dado

que con frecuencia es difícil estimar su efecto de forma adecuada, en la práctica es habitual

despreciarla, quedando de esta manera del lado de la seguridad.


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Teoría de Rankine

Pese a las limitaciones de aplicación que se verán seguidamente, el método de Rankine (1857)

es, desde un punto de vista matemático, más elaborado que el de Coulomb. Este método obtiene

los empujes del terreno partiendo de un estado de equilibrio en rotura en el que la estructura de

contención no produce ninguna perturbación (estados de Rankine estudiados en el tema 8).

En una masa de terreno en estado de Rankine todos sus puntos están en situación de rotura

(plastificados), es decir, tal y como se puede ver en la figura 9.1.9, en cada punto, el círculo de

Mohr correspondiente a su estado tensional es tangente a la línea de resistencia.

v

Estado pasivoh,ph,a

Estado activo

c4 2

4 2

Figura 9.1.9 Representación de los estados activo y pasivo de Rankine en un punto de un terreno cohesivo, superficie libre horizontal y con tensión vertical σz

En estas condiciones, con terreno homogéneo en estado de Rankine, sin acciones exteriores y

con superficie libre horizontal (sin variación de tensiones verticales en los puntos de cualquier

plano paralelo a la superficie), la tensión horizontal resulta:

23 tan 2 tan 2

4 2 4 2h a az c zK c K

(estado activo)


13

21 tan 2 tan 2

4 2 4 2h p pz c zK c K

(estado pasivo)

La expresión de los coeficientes de empuje activos y pasivos (Ka y Kp) con trasdós vertical son

las siguientes (casos particulares de las expresiones vistas en el tema 8):

2 2

2 2

cos( ) cos ( ) cos ( )cos( )

cos( ) cos ( ) cos ( )aK

Que en el caso particular = 0 (superficie libre horizontal) coincide con las expresiones ya vistas anteriormente:

2

2

1 sintan

1 sin 4 2

1 sintan

1 sin 4 2

a

p

K

K

El método de Rankine, a diferencia del de Coulomb, impone el valor de (igualándolo a la

inclinación del terreno en superficie β, en el caso de trasdós vertical) y permite obtener los

coeficientes de empujes. En el tema 8 se vio cómo obtener el estado tensional, mediante el

método de Rankine, para cualquier inclinación de la superficie del terreno en el trasdós y para

cualquier inclinación del paramento de la estructura, así como el cálculo del ángulo δ en casos

arbitrarios.

En caso de considerar un suelo cohesivo, los empujes pueden resultar teóricamente negativos

cerca de la superficie (Figura 9.1.10). En la realidad, el comportamiento de tracción consecuente

con estos empujes negativos teóricos se traduce en una generación de grietas en superficie, de

profundidad variable según la magnitud de la cohesión y de otras consideraciones del contorno

(sobrecargas, etc.).

La ley de empujes que resulta (sin cargas exteriores) es la siguiente:

2( ) tan 2 tan 2 4 2 4 2a a ae z z c zK c K

Y el empuje activo total resultante:

212

2a a aE h K ch K


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En esta última expresión (empuje total) está también integrada la parte con empujes negativos,

lo cual no es correcto. Considerando nulas las sobrecargas, el terreno puede estar traccionado

con la consecuente aparición de fisuras hasta una profundidad zc de valor:

2

2 tan2 2 24 2 tan

4 2tan4 2

ac p

a

cc K c c

z KK

cz

ae z

h

Figura 9.1.10 Aparición de empujes negativos teóricos (grietas) debidos a la cohesión

Estos empujes negativos, que significarían que el terreno tira del muro para estabilizarlo (son

favorables a la estabilidad), en realidad no se producen, sino que el terreno se separa del mismo

y deben anularse.

Así pues, la teoría de Rankine, al igual que la de Coulomb, proporciona resultados bastante

realistas para los empujes activos. No obstante, al igual que le ocurre al método de Coulomb,

este método no estima de forma suficientemente correcta los empujes pasivos (las superficies de

deslizamiento no son realmente planas). Así pues, el método de Rankine, al igual que el de

Coulomb, podrá emplearse para casos simples (con factores de seguridad apropiados) y para

determinar los empujes activos, donde el terreno tiene más o menos una rotura plana, y por el

contrario no debe emplearse para determinar directamente el empuje pasivo, por las mismas

razones indicadas para el método de Coulomb.

Empuje pasivo. Método de la espiral logarítmica

Para el cálculo del empuje pasivo se ha propuesto otros mecanismos de rotura más realistas,

como el de la espiral logarítmica (Figura 9.1.11) que se explica someramente a continuación y

puede considerarse una aplicación del teorema de la cota inferior explicado en el tema 8. En este


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mecanismo AE es la superficie frente al muro (terreno superior en estado pasivo) afectada por

el posible mecanismo de rotura con terreno inclinado en el intradós; BC es una espiral

logarítmica (zona OBC de plasticidad radial) que corresponde a una superficie de rotura; y ACE

y AOB son cuñas de rotura (AC según el estado de Rankine). Para obtener el empuje sobre el

intradós del muro debe establecerse el equilibrio de pesos y fuerzas. Para ello puede

considerarse una sección vertical por el punto C e imponer equilibrio en ABCD (Figura 9.1.12).

A

E

C

O

B

Estado pasivo Estado de

plasticidad radial

Estado pasivo

D

C B

A

O

υ δ

Estado pasivo

Estado pasivo

Estado plasticidad

radial( )BCe

( )p CDE0r

r

3W

2W

1W E

Figura 9.1.12 Mecanismo de rotura según el método de la espiral logarítmica.

Fijando arbitrariamente O (que determina en consecuencia la posición del punto C a partir de la

expresión de la espiral logarítmica), se va obteniendo el valor de los distintos parámetros (unos

más inmediatos de definir que otros; así, por ejemplo, hay métodos aproximados para ayudar en

la obtención del peso en la zona en plasticidad radial W2) y se consigue Ep por equilibrio (con el

ángulo de contacto que se haya adoptado, como en el caso activo), que puede suponerse

aplicado a ⅓ de la altura sin no hay acciones exteriores. Se debe tantear varias posiciones de O

hasta obtener el menor valor, ya que se supone que el mecanismo de colapso se desarrollará de

forma que se minimice la resistencia opuesta por el terreno en el intradós (de forma análoga,

aunque contraria, a lo que ocurre con los empujes activos, que se producen a través de la cuña

que los hace máximos). Esta situación, aparte, deja del lado de la seguridad. Para la aplicación

de este método pueden aplicarse programas de cálculo específicos o ábacos disponibles en la


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bibliografía. En el caso drenado la espiral logarítmica se convierte en una circunferencia

(método del círculo de rozamiento).

Existen otros procedimientos de cálculo, con modelos diferentes, que tienen un tratamiento

análogo al ya visto para la espiral logarítmica.

99..11..22 AAcccciióónn ddeell aagguuaa

El agua, y concretamente las presiones intersticiales que genera, tiene una gran importancia en

el estado tensional producido en el terreno y, en particular, en superficies definidas en el mismo,

por lo que es también esencial en la estabilidad de las estructuras de contención.

N.F.

δ

δ

β

+

ahK hz

'( )a ahK z h K

( )w H h

H

,

agua:

0

1w

a wK

α

(90 - α)

Figura 9.1.13 Existencia de agua en el trasdós.

Para considerar el efecto del agua en una determinada superficie del terreno se debe tener en

cuenta, por una parte, el estado tensional en términos de tensiones efectivas y por otra la acción

directa del agua. Si se supone la existencia de una cierta altura de agua en el trasdós del muro

(Figura 9.1.13), para considerarla se suman los empujes del agua a los del terreno teniendo en

cuenta el peso específico sumergido del suelo bajo el NF ( ' w ). El empuje debido al

agua siempre actúa ortogonal al trasdós ( 0 ) y con coeficiente de empuje unidad ( 1waK ),

lo cual es desfavorable a la estabilidad. En conjunto, la acción directa del agua y la reducción de

empujes de tierras (acciones efectivas) inducen unos empujes mayores que en el caso de terreno

seco.


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En un caso general habría que estimar la red de flujo (por ejemplo con lluvia) y la ley general

de presiones de agua en el trasdós, y a partir de ella y del estado tensional obtener los empujes

efectivos de las tierras (Ka, δ) y los del agua (Ka = 1, δ = 0) en el trasdós.

99..11..33 SSoobbrreeeemmppuujjeess ppoorr ccaarrggaass eexxtteerriioorreess.. OOttrrooss ccaassooss

Caso de cargas uniformemente repartidas

Si existen sobrecargas uniformemente distribuidas (Figura 9.1.14) se puede aplicar sin

problemas la teoría de Rankine y, con una ligera variación, la teoría de Coulomb, según se

indica a continuación.

W

q

Figura 9.1.14 Sobrecarga uniformemente repartida en la superficie del trasdós.

Puede considerarse que las sobrecargas afectan generando un incremento ficticio del peso W de

la cuña de rotura (ver la figura 9.1.15):

1Área cuña

sin( ) 2 sin( )

1 21

2 sin( )

l lW q ABl q

W ABl qAB

donde 2

1sin( )

qAB

es un factor constante que no depende de la cuña escogida.

Luego se puede entender el problema como si la sobrecarga tuviera un efecto sobre el peso

específico del terreno, transformándolo:


18

1 21

2 sin( )

*

W ABl qAB

Considerando el plano de deslizamiento invariable y teniendo en cuenta la relación

sin

hAB

, resulta

2 sin* 1

sin( )

q

h

, y se tiene:

2 2 21 1 2 sin 1 sin* 1

2 2 sin( ) 2 sin( )a a a a a

qE z K z K z K qz K

z

es decir:

21 sin

2 sin( )a a aE h K qh K

Con la ley de empujes siguiente:

sin( )

sin( )a a ae z zK qK

q

A

Bξ

Figura 9.1.15 Cuña de rotura con sobrecarga uniformemente repartida.

Se puede pues, aplicar el método gráfico con γ* o el método analítico con las expresiones

indicadas. Los empujes evolucionarán con la profundidad según la ley de empujes deducida

(Figura 9.1.16). La utilización del peso específico ficticio permite estimar el empuje total

producido (con una ley triangular de empujes que es irreal) pero no su distribución, que es

trapezoidal. El empuje resultante pasará por el centro de gravedad del trapecio; calculándolo

queda:


19

2 sin2 3

sin( )sin

3 6sin( )

h qh

zcdgh q

Aunque resulta más cómodo trabajar con ambas componentes, cada una de ellas aplicada en un

punto de aplicación diferente.

q

h

2h3h

aE q

aE

α

(90 - α)

Figura 9.1.16 Ley de empujes para el caso de sobrecargas uniformemente repartidas.

Es frecuente el uso del concepto sobrecarga reducida de tierras para definir las sobrecargas a

través de una altura representativa del mismo terreno del trasdós, esto es, encontrando la altura

de tierras h0, con γ, que produce la sobrecarga q, luego: h0 = q / γ. De este modo, si se aplica una

sobrecarga uniforme de valor q (por ejemplo, en un terreno sin cohesión), se puede sustituir la

altura h por h+ h0, siendo h0 la altura de tierras que produciría la sobrecarga q, entendida como

una sobrecarga reducida de tierras (figura 9.1.17), o utilizarse directamente el valor de q:

2 '( ) tan

4 2a ae z q z q z K

En el caso de terreno cohesivo (figura 9.1.10 anterior), la ley de empujes de desplaza hacia la

derecha, y los valores negativos deben anularse una vez se ha tenido en cuenta los sobreempujes

debidos a las sobrecargas en superficie del trasdós, resultando:

( ) 2a a ae z q z K c K

Empuje activo total:


20

212

2a a a aE h K qhK ch K

Donde la profundidad de las posibles grietas de tracción, resulta:

12c pz c K q

ae zh

q

0 ah K

0 ah h K

0( )h q

Figura 9.1.17 Sobrecarga reducida de tierras.

Carga arbitraria

Si la carga aplicada en la superficie del terreno no es uniforme (carga variable, carga puntual,

etc.; figura 9.1.18), la ley de empujes no resulta lineal. A pesar de ello, el método de Coulomb,

que es de una potencia significativa, puede aplicarse para estimar los empujes producidos

dividiendo el trasdós en subtramos (más exactitud a mayor número de divisiones) y obteniendo

de este modo las cuñas de rotura de los submuros definidos (figura 9.1.19) y los diferentes

centros de gravedad de las distintas distribuciones de empuje resultantes.

Este procedimiento es largo de realizar y por ello resulta más sencillo en la práctica utilizar

distribuciones semiempíricas para estimar los sobreempujes producidos por cargas exteriores

arbitrarias. Mediante el mismo es también posible aproximar con la teoría de Coulomb los

empujes en otras situaciones complejas como por ejemplo sobre superficies no planas.


21

Plano de rotura

Qiq jq

Figura 9.1.18 Cargas variables en la superficie del trasdós.

1aE 2*

aE2 2* 1a a aE E E

1aE

2aE

3aE

4aE

Figura 9.1.19 Esquema del método para el cálculo de empujes en el caso de carga arbitraria.

99..22 CCaappaacciiddaadd ppoorrttaannttee ddeell tteerrrreennoo

En esta sección se analiza la capacidad portante de un suelo sometido a cargas repartidas.

99..22..11 PPllaanntteeaammiieennttoo ggeenneerraall.. MMeeccaanniissmmoo ddee rroottuurraa gglloobbaall

La rotura del terreno debido a la aplicación de cargas en superficie (por ejemplo, el hundimiento

de una cimentación) puede definirse como la movilización de la máxima resistencia al esfuerzo

cortante en el suelo a lo largo de una superficie de deslizamiento acompañada con


22

deformaciones verticales (asientos) elevadas y generalmente acompañadas con giros o incluso

vuelcos de la estructura sustentada.

El mecanismo de rotura que puede desarrollarse depende del tipo de suelo y muy

particularmente de sus características resistentes y de su compresibilidad.

Si el suelo es poco compresible, el mecanismo de rotura se desarrolla sin apenas cambio de

volumen, y las deformaciones verticales de la cimentación solamente se producen si se moviliza

una masa de terreno a lo largo de una superficie de deslizamiento. Este mecanismo de rotura es

el más general en cimentaciones superficiales y es el que se va a analizar en detalle en este

apartado.

Las características de este mecanismo, son:

Superficies de deslizamiento bien definidas que afloran en la superficie del terreno

Levantamientos del terreno en ambos lados. Aunque la teoría indica una rotura simétrica,

pequeñas irregularidades hacen que sea asimétrica con giros más o menos importantes.

La rotura puede ser repentina y catastrófica y se identifican en el terreno, de modo más o

menos claro, por ejemplo, las zonas que se muestran en la figura 9.2.1.

p

Estado pasivoEstado pasivo

Estado activo

Zonas de plasticidad radial

Figura 9.2.1 Mecanismo de rotura general

99..22..22 EExxpprreessiióónn ddee PPrraannddttll ppaarraa eell ccaassoo ddee tteerrrreennoo ssiinn ppeessoo

El modelo del comportamiento en rotura del terreno de Prandtl (1920) basó sus hipótesis en una

zapata corrida, lisa, apoyada en un terreno en el cual no consideró su peso y que únicamente

disponía de fricción o de cohesión, pero no ambas propiedades simultáneamente.

Posteriormente, la deducción de Caquot (1948) del teorema de los estados correspondientes,

permitió superponer ambas soluciones (fricción y cohesión) y obtener así la expresión conjunta


23

de la presión de hundimiento de una zapata corrida lisa, apoyada sobre un terreno sin peso con

fricción y cohesión.

La expresión resultante de la presión de hundimiento de Prandtl tiene la estructura siguiente,

que es general para cualquier modelo estático planteado con terreno sin peso:

Tal y como puede verse en la figura 9.2.6 existe una zona activa, una zona pasiva y entre medio

una zona de transición de plasticidad radial. Se muestran las distintas zonas del mecanismo y el

ángulo que forman en función de .

Estado activo

Zona de plasticidad radial

B

D

F

A C G

E 1 4 2

1

22

0r

2

2 4 2

Estado pasivo

2

1

0 exp tanr r

2

q

r

Figura 9.2.6 Mecanismo de rotura (modelo de Prandtl). (Los ángulos y dimensiones de la figura no se corresponden con la realidad).

A partir de las dimensiones de la zona cargada y del ángulo de rozamiento interno del terreno,

se puede definir la zona de afectación por el mecanismo.

Para encontrar el punto más bajo se debería hacer la derivada de la función matemática, que es

una espiral logarítmica, y que describe la curva que va de D a E (zona de plasticidad radial). No

obstante se puede considerar que el punto más bajo es aproximadamente el punto F que

coincide con la vertical del punto A (extremo derecho de la zapata), cuya profundidad se calcula

a continuación partiendo de la figura 9.2.7.


24

En donde:

/ 2cos

4 2

AB B

AD AD

y despejando AD, se obtiene:

0

1

2cos

4 2

BAD r

Figura 9.2.7 Esquema de la media cuña activa y relaciones trigonométricas de la misma

Ya vista en el tema 8, la expresión matemática de la espiral logarítmica en la zona de plasticidad

radial (Figura 9.2.8) es: tan0r r e . A partir de esta expresión, se puede estimar la profundidad

máxima del mecanismo de rotura en la zona de plasticidad radial, según:

tan0AF r r e

Sabiendo que el ángulo que existe entre AD y AF es: 2 4 2 4 2

, se puede,

entonces, calcular la distancia AF, que es una aproximación a la profundidad de rotura,

resultando:

tan tan4 2 4 2

0

1

2cos

4 2

BAF r r e e

Esta expresión, que debe ser operada mediante radianes, es muy útil porque permite predecir de

forma aproximada, si un estrato que está a cierta profundidad, afectará o no al mecanismo de

rotura.


25

y

x0r

22

2

Figura 9.2.8 Espiral logarítmica.

El ángulo entre AD y AE es π/2 tal y como puede verse en la figura 9.2.6, de modo que:

tan tan2 2

0

1

2 cos4 2

BAE r r e e

tan tan2 2

cos4 2

tan2 2 4 2

cos4 2

B BAC e e

A partir de AC se puede determinar el alcance en superficie, es decir la distancia BG que es la

extensión de rotura (sabiendo que BG = (B/2) + 2AC):

tan21 2 tan

2 4 2

BBG e

A medida que aumenta el ángulo de rozamiento interno mejora la calidad del terreno. Esto

afecta al mecanismo de rotura en que lo hace más profundo y más extenso con lo que aumenta

la presión de hundimiento de ese terreno ya que se tiene que movilizar más superficie para

producirse la rotura y generar el mecanismo.

Si el ángulo de rozamiento es menor, el terreno es de peor calidad, el mecanismo de rotura

abarca menos zona y por tanto la presión de hundimiento es más baja debido a que se moviliza

menos superficie.

r


26

El mecanismo de rotura de Prandtl se acerca a lo comprobado experimentalmente. Falta

conocer el valor de la hp : presión de hundimiento tal que genera el estado tensional que está en

equilibrio en condiciones de rotura. Para ello se hace el análisis que se desarrolla a continuación

(figura 9.2.10),

A

D

E

CB

BAvp

ACvq

2tan 4 2 2 tan 4 2ap p c

2tan 4 2 2 tan 4 2pq q c

ap pq

Figura 9.2.10 Equilibrio de tensiones (terreno sin peso).

En el interior del dominio no hay fuerzas por unidad de masa porque se supone terreno sin peso

( = 0), luego:

BDV z p p

CEV z q q

En la superficie real de rotura DE, en el momento que se alcanza la rotura se debe cumplir

estrictamente el criterio de Mohr-Coulomb, tannc (figura 9.2.11):

tan( )

tan( )c

c

Figura 9.2.11 Resistencia al corte según el criterio de rotura de Mohr-Coulomb.


27

Haciendo equilibrio de momentos en el punto A obtenemos:

2 22 2 2 2h a a p p c

AB BD AC CEp AB pK c K BD qAC qK c K CE M

donde:

Ka es el coeficiente de empuje activo de Rankine: 2tan4 2aK

Kp es el coeficiente de empuje pasivo de Rankine: 2tan4 2pK

Mc es el momento producido por la cohesión y se calcula según se indica a continuación.

Teniendo en cuenta que actúa entre D y E y el ángulo es π/2

2

/2tan 2

0

0

dd cos d

cos

( ) d

c

c

rM rc r c

M r e c

De este modo se puede despejar ph (presión de hundimiento), resultando:

tan 2 tan 2tan tan 1 cot4 2 4 2hp qe c e

Definiendo los factores siguientes:

tan 2tan4 2qN e

tan 2tan 1 cot ( 1)cot4 2c qN e N

Resulta, finalmente, la expresión de la presión de hundimiento:

h q cp qN cN

Donde:

q es la sobrecarga equivalente al peso del terreno que hay por encima de la base de la

sobrecarga correspondiente a las acciones exteriores.

c es la cohesión del terreno.

Y donde los factores Nq y Nc refieren a:

Nq: factor de capacidad de carga debido a la fricción y que sólo depende del ángulo de

rozamiento interno. Debe tenerse en cuenta que Nc se cumple siempre, sea cual sea la

hipótesis que se plantee ya que proviene del teorema de los estados correspondientes.


28

Nc: factor de capacidad de carga debido a la cohesión y que sólo es función de Nq (se

demuestra con el teorema de los estados correspondientes)

En condiciones no drenadas (se toma el límite cuando 0) ambos factores adoptan los

valores 1qN y 2cN como se demostrará posteriormente.

El planteamiento utilizado en esta sección es una aplicación del teorema de la cota inferior ya

que se ha definido un mecanismo en equilibrio en el que en ningún punto se supera a la tensión

de rotura. Como también se trata de un mecanismo cinemáticamente admisible (superficies de

deslizamiento rectas o espirales logarítmicas, al ser un planteamiento drenado), podría

imponerse un desplazamiento del mismo, aplicar el principio de los trabajos virtuales y deducir

una presión correspondiente, en este caso, al teorema de la cota superior.

99..22..33 TTeerrrreennoo ccoonn ppeessoo.. OOttrrooss ccaassooss

En el caso de tener en cuenta el peso del terreno con el mecanismo de Prandtl, el esquema de

equilibrio es el que se presenta en la figura 9.2.12. Si se realiza el equilibrio de momentos, la

expresión resultante es la de Prandtl más un tercer término debido a la contribución del peso del

terreno:

1

2q cp qN cN B N

Donde:

B es la anchura de la zona cargada.

es el peso específico del terreno.

Y también:

N: factor de capacidad de carga debido al peso del terreno.

La expresión del factor N fue dada por Buissman para el mecanismo de Prandtl pero en la

actualidad no se usa debido a su complejidad y porque deja del lado de la inseguridad.


29

A

D

E

CB

p

q

2( ) tan 4 2 2 tan 4 2p p z c

2( ) tan 4 2 2 tan 4 2a q z c

1W

2W

3W

pa

Figura 9.2.12 Equilibrio de tensiones (terreno con peso).

Para calcular N se usa habitualmente un mecanismo debido a Terzaghi en el que tiene en cuenta

el peso y la fricción entre zapata y terreno (zona elástica bajo la zapata; Figura 9.2.13). Debido

al rozamiento bajo la zapata, se generan unas tensiones que se oponen a la rotura.

Zona elástica

Figura 9.2.13 Modelo de Terzaghi.

El modelo de Terzaghi tiene la misma expresión general que el modelo de Prandtl

1

2h q cp qN cN B N

, pero en este caso, los coeficientes Nq y Nc tienen expresiones

diferentes al adoptar hipótesis diferentes a las adoptadas por Prandtl, mientras que el factor del

término de peso es 2( 1) tanqN N .

Sea cual sea el modelo a plantear (hay varios en función de las hipótesis planteadas por

diferentes autores), la estructura de la expresión para calcular la presión de hundimiento ph (con

sus tres términos Nq, Nc y Nγ) siempre es la misma. Además, a partir de Nq se puede siempre

determinar Nc a través del teorema de los estados correspondientes ( ( 1)cotc qN N ).


30

De nuevo, todos estos planteamientos en los que la presión de hundimiento se deduce a partir de

un mecanismo en equilibrio en el que no se supera en ningún punto el criterio de rotura,

corresponden a aplicaciones del teorema de la cota inferior.

En la práctica se utiliza una expresión combinada propuesta por Brinch-Hansen en la que Nq y

Nc tienen la misma expresión que en el modelo de Prandtl (Nc procede del teorema de los

estados correspondientes) y N en cambio se toma del modelo de Terzaghi.

Caso no drenado

Esta expresión puede obtenerse deduciéndola directamente como se hace a continuación a través

del mecanismo de Prandtl. Se considera el caso general de una zapata corrida apoyada en

superficie con carga vertical (Figura 9.2.14).

M

p

q

Zona de plasticidad radial

44

2

2h uq c 2h up c

P Q

T

4B

2B

4B

(abánico de transición)

Figura 9.2.14 Tensiones en condiciones no drenadas (la superficie de rotura en la zona radial en el caso no drenado es circular).

Se observa la rotura del suelo en condiciones no drenadas en el caso de que se alcance su

máxima resistencia de corte debido a un aumento de la tensión vertical manteniendo la

horizontal constante y como lo hace si se aumenta la tensión horizontal manteniendo la vertical

constante.


31

P

uc

h v p 0v

4

P

uc

4

v p h0h

Estado activo de rankine Estado pasivo de rankine

Figura 9.2.15 Rotura del terreno en estados activo y pasivo de Rankine.

La curva que describe la zona de transición es un círculo, que es la que resulta al considerar la

expresión de la espiral logarítmica con 0 , siendo la trayectoria de menor energía.

tan0 constante círculor r e r

En esta línea, la máxima tensión de corte que se puede desarrollar es cu. Si se integra las

tensiones de corte a lo largo de la superficie, se obtiene el valor de la fuerza T:

d d 22 2 2u u u

BT l c l c r c

siendo 22

Br

Fácilmente se puede determinar el valor de P y de Q que aparecen en la figura 9.2.14:

22h u

BP p c

22u

BQ q c

Justo antes del colapso el mecanismo tiene que estar en equilibrio. Si se hace equilibrio de

momentos en el punto M:

2 4 4 4 2 4h

B B B B B Bp P Tr Q q

( 2 ) 2 2 ( 2 )2 4 2 4 4 2 2 4 2 4h h u u u

B B B B B B B B B Bp p c c q c q

2 2 2 2 2 2 2

2 2 28 8 8 8 8 8 8h h u u u

B B B B B B Bp p c c q c q

2 2 2 2 2h u u u u u up c c q c c c q c

obteniéndose, finalmente:


32

(2 )h up q c

Si se comprueba este resultado, que es una cota inferior, con el obtenido mediante el teorema de

la cota superior visto en el tema 8, se observa que el resultado coincide y por tanto se puede

afirmar que la presión de hundimiento es la solución exacta con las hipótesis inherentes al

procedimiento (plasticidad perfecta y asociada, criterio de rotura de Mohr-Coulomb, etc.) ya

que la presión de colapso es la misma.

Si el terreno tuviera peso, la expresión sería la misma ya que la componente del peso está a

ambos lados, es decir, tanto en la zona pasiva como en la activa, con lo que quedaría anulada.

Este resultado para la presión de hundimiento puede deducirse también, como se ha indicado

anteriormente, por simple aplicación de la expresión de Prandtl y Terzaghi con c = cu y = 0.

99..33 EEssttaabbiilliiddaadd ddee ttaalluuddeess eenn ssuueellooss

En esta sección se estudia la estabilidad de taludes en suelos.

99..33..11 IInnttrroodduucccciióónn.. PPllaanntteeaammiieennttoo ddeell pprroobblleemmaa

Los movimientos de ladera o talud naturales constituyen uno de los principales mecanismos de

erosión y transporte en áreas de montaña y al mismo tiempo, uno de los riesgos geológicos de

mayor impacto por la cantidad de material movilizado. Los movimientos de una ladera se

pueden clasificar en: desprendimientos, vuelcos, deslizamientos, expansión lateral y flujos. En

cualquier caso puede distinguirse entre taludes naturales (por ejemplo laderas de montañas) y

artificiales (perímetros de terraplenes, desmontes o excavaciones sin elementos estructurales de

contención, paramentos de presas de tierras, etc.); o entre taludes en roca, muy condicionados

por su estructura, y taludes en suelos.


33

Figura 9.3.1 Esquema general de una ladera inestable

Muchos de los movimientos de ladera que se observan, y en particular los más voluminosos,

habitualmente no pueden ser explicados mediante un único mecanismo de rotura. Cuando se

movilizan cientos de miles o millones de metros cúbicos de terreno el comportamiento no suele

ser homogéneo y finalmente lo que se observa es una combinación de varios mecanismos de

rotura como, por ejemplo, vuelco + desprendimientos. Así pues, en la estabilidad de una ladera

o talud intervienen simultáneamente diversos factores, por lo que es difícil plantear que sólo uno

de ellos sea la causa del movimiento. No obstante, cuando se analiza la rotura puede, en

ocasiones, concluirse que ha sido la modificación de un determinado parámetro concreto la que

ha provocado el inicio de la inestabilidad (por ejemplo, en un deslizamiento particular, por el

aumento de la presión de agua debido a lluvias intensas días antes). En algunos casos,

parámetros que tienen notables influencias en la estabilidad (como por ejemplo, la altura del

talud) pueden ser secundarios. Si algún parámetro suele tener una importancia decisiva, éste es

la litología, ya que cada material presenta unas características resistentes específicas y, además,

un estado de fracturación, permeabilidad, facilidad de meteorización particulares que

condicionan fuertemente la estabilidad.

Es importante tener en cuenta qué factores y situaciones favorecen a la estabilidad y cuáles son

desfavorables a la estabilidad. A modo de ejemplo, las cargas en coronación del talud serán, por

lo general, siempre desestabilizadoras, mientras que las cargas en el pie del talud serán

estabilizadoras. Las presiones de agua, como ya se ha comentado, favorecen la inestabilidad,

con lo que será importante tenerlas en cuenta. También influyen, como es lógico, las


34

características geométricas, de forma que los taludes más altos y verticales serán más

inestables que los más bajos y horizontales, a igualdad de otros factores.

El objetivo final es determinar cuándo un talud es o no estable y con qué factor de seguridad lo

es. Para ello se deben analizar todos los mecanismos (superficies) de rotura posibles y obtener,

para cada uno de ellos, cuál es su factor de seguridad. Como es lógico, el talud tendrá un único

factor de seguridad y éste será el mínimo de todos los calculados para cada una de los

mecanismos de inestabilidad y rotura previstos.

Estabilidad de los suelos

A diferencia de otros materiales, los suelos pueden llegar a ser extremadamente heterogéneos,

con casos que incluyen granulometría, textura y consistencia muy diversas en un mismo

volumen de análisis. Los hay que son originarios de fenómenos de transporte y deposición muy

selectivos (por ejemplo arenas y limos eólicos) resultando materiales bastante homogéneos; y

otros consistentes en una mezcla de partículas de diversa granulometría (por ejemplo, los

depósitos coluviales). El mecanismo de rotura y la evolución de la masa movilizada se verán

condicionados por este tipo de características.

Los suelos cohesivos suelen corresponder a depósitos bastante homogéneos que cuando se

presentan en grosores potentes pueden dar lugar a deslizamientos rotacionales. Los

deslizamientos rotacionales se caracterizan por presentar una superficie de rotura curva. Se

produce un giro de la masa de terreno inestable alrededor de un eje imaginario. Por simplicidad

se supone una superficie de rotura circular, aunque ésta puede ser elíptica o de formas diversas.

Si por el contrario los grosores son pequeños, la rotación puede quedar inhibida y en este caso

se produce una rotura de tipo plana. Las circunstancias que provocan esta rotura plana suelen

ser, entre otras, la presencia de litologías más resistentes por debajo del material cohesivo o la

existencia de una superficie de separación entre el suelo compacto y la parte superior

meteorizada.

En los suelos no cohesivos existe, en su composición, una transición hacia los suelos cohesivos.

De este modo, no es difícil encontrar depósitos con contenido de fracción fina (matriz arcillosa

o limosa) superiores al 10% o 20% en peso, lo que puede proporcionar una cierta cohesión y

adherencia en el conjunto. En este tipo de suelos es corriente la aparición de fenómenos de

inestabilidad superficial y la caída por desprendimiento de bloques. La estabilidad del conjunto

del depósito dependerá en gran medida del grado de clasificación de las partículas y de su


35

empaquetamiento natural, si bien cuando no existe cementación entre partículas, los taludes

tienden a desmoronarse.

Estabilidad de los macizos rocosos

Las rocas presentan en general una elevada cohesión y resistencia, por lo que su

comportamiento en lo que se refiere a taludes es distinto a los suelos. En las rocas existen

numerosas debilidades estructurales internas como: juntas, planos de estratificación, diaclasas,

fallas, planos de esquistosidad, etc., que reducen la resistencia del conjunto. Cuando estas

discontinuidades no existen o no están presentes con una disposición desfavorable, puede darse

taludes verticales de gran altura sin problemas de estabilidad y también formas en voladizo de

magnitud importante. En granitos, calizas, conglomerados, areniscas, gneis y cuarcitas (entre

otras) se desarrollan paredes fuertemente empinadas únicamente controladas por dichas

discontinuidades.

En los apartados posteriores únicamente se va a analizar la estabilidad de los taludes en suelos y

no se va a considerar la estabilidad de taludes en roca. Se va a comenzar por dos casos simples

(talud indefinido y corte vertical) que permiten plantear el procedimiento básico de cálculo de la

estabilidad de un talud y con los que se pueden obtener resultados analíticos específicos, y

después se va a pasar a los métodos generales de equilibrio límite, que son los utilizados

habitualmente en casos de cierta complejidad.

99..33..22 CCaassoo ddee ttaalluudd iinnddeeffiinniiddoo

En deslizamientos translacionales, cuya superficie de deslizamiento sea sensiblemente paralela a

la superficie y la profundidad de deslizamiento sea pequeña comparada con la longitud, pueden

analizarse las condiciones de estabilidad en la hipótesis de talud indefinido que se indica en la

figura 9.3.2

Interesa conocer las condiciones de estabilidad en un plano como PP’ situado a una profundidad

d. Se alcanzará una situación inestable cuando la tensión de corte , existente en este plano sea

igual o superior a la resistencia al corte disponible. De acuerdo con la expresión de Mohr-

Coulomb, en tensiones efectivas, es necesario conocer la tensión norma y la presión de agua

u para obtener la tensión de rotura f, en el mismo plano.


36

A

Wd E

'E

B

C

D

n

l

cos( )b l

w

u

P

P’

, , nc

·l

·n lW

Figura 9.3.2 Esquema para el análisis de la estabilidad de un talud indefinido, deslizamiento plano

Teniendo en cuenta que el talud considerado es infinito, todos los planos verticales son

equivalentes entre sí. Las fuerzas E y E’ ejercidas a ambos lados de dos secciones verticales

próximas serán iguales y de sentido contrario. Esto permite resolver el estado de tensiones en la

base de un elemento (con puntos A, B, C y D del contorno) proyectando el peso del elemento W

sobre la superficie de rotura.

2

sin sinsin cos

cos coscosn

W bdd

l lW bd

dl l

Esto permite obtener el factor de seguridad que se define de la siguiente manera:

Resistencia al corte del suelo

Tensión de corte actuanteF

2' cos tan '' tan '

sin cosf

c d uc uF

d

Esta expresión puede particularizarse a determinados casos.

Talud en terreno granular seco

Al estar el terreno seco no se consideran presiones intersticiales y por ser granular la cohesión es

nula. En este caso la expresión del factor de seguridad queda reducida a:


37

tan

tanF

El máximo ángulo del talud permitido es y corresponde a un factor de seguridad 1.

Flujo de agua paralelo a la superficie

En la figura 9.3.3 se muestra el esquema con las variables necesarias para analizar este caso.

A

dB

N.F.

P P’

, , nc

C z

Figura 9.3.3 Flujo paralelo a la superficie en talud indefinido

Con objeto de conocer la presión de agua, ésta se determina en un punto genérico B de la

superficie de rotura. La equipotencial que pasa por B corta la superficie del talud en el punto A.

De este modo, la altura piezométrica en el punto A es la mismao que en el punto B. Tomando

como referencia el plano PP’ como origen para el cálculo de la altura piezométrica, se obtiene:

2

2

0 0 0cos

cos

BA

w B w

uz AC

u d

AC d

El factor de seguridad será en este caso:

2' cos tan '

sin coswc d

Fd

Si el terreno es granular (c’=0):

tan '

tanwF


38

Teniendo en cuenta valores habituales para el peso específico, la expresión resulta

aproximadamente como:

1 tan '

2 tanF

Es decir cuando hay flujo paralelo a la superficie, el factor de seguridad en terrenos granulares

se reduce aproximadamente a la mitad en roturas planas.

Talud sumergido

El esquema para plantear este caso se muestra en la figura 9.3.4.

AWd

E

'EB

C

D

n

l

N.F.

, , nc

wHw wH

w wH u

w wH u

1wE2wE

1sin( )

2 wu

Figura 9.3.4 Talud indefinido sumergido

Sobre los planos verticales ac y bd actúan las presiones de agua y los empujes efectivos E y E’

que se han supuesto iguales y de sentido contrario (mismo estado de tensiones efectivas). Los

empujes horizontales de agua Ew1 y Ew2 tienen una resultante dada por la siguiente expresión:

1 2

2 2sin

w w

w w w w w w w w w w w w w w

w

E E

H p H p d H p H p dd d

d

Resolviendo el conjunto de esfuerzos sobre el plano de corte y la dirección perpendicular,

obtenemos las siguientes expresiones para y :


39

2 2

sin cos sin cos ( ) sin cos

cos 1 sinw w

N w w w

d d d

d H d

En este caso el factor de seguridad queda:

2 2

2

' cos sin tan '

sin cos

' cos tan ' ' tan '

sin cos sin cos tan

w w w w w

w

w

w w

c d H d H dF

d

c d c

d d

Por consiguiente, en ausencia de cohesión, el hecho de sumergir un talud no altera su

coeficiente de seguridad en caso de rotura plana paralela a la superficie.

Si hay cohesión la seguridad es mayor que en el caso de terreno seco pues la tensión de corte

en la base de la columna de suelo es menor.

99..33..33 CCaassoo ddee ccoorrttee vveerrttiiccaall

El caso de corte de talud vertical se analiza a continuación por separado cuando se tiene un

suelo puramente cohesivo, que se estudia en condiciones no drenadas, y en un caso general en

condiciones drenadas.

Condiciones no drenadas

Condiciones no drenadas responde a un suelo cohesivo en el que la estabilidad de un corte

vertical del terreno se analiza a corto plazo. En terrenos de permeabilidad reducida (K 10-6 m/s)

la estabilidad a corto plazo (horas o días) siguientes a la excavación puede analizarse por el

siguiente procedimiento. Se trata de estudiar el equilibrio de las cuñas de terreno con superficie

de rotura plana que pasan por el pie del talud tal y como se observa en la figura 9.3.5.

El factor de seguridad se define como cociente entre el máximo esfuerzo de corte = cu que

puede ser movilizado a lo largo del plano de rotura AB y el esfuerzo de corte existente S en el

mismo plano debido a las cargas actuantes, en este caso el peso del terreno situado por encima

del plano AB.


40

2

sin1 1

sin cot sin cos2 2

2 2 2

sin cos sin cos sin cos

donde es un factor adimensional

u u

u uc

uc

Lc HcF

S S

S W H H H

c cF N

H H

cN

H

H

/ sinL H

A

B

uc

W

N

S

Figura 9.3.5 Estabilidad de un corte vertical en condiciones no drenadas

De todos los planos de rotura posibles caracterizados por el ángulo el que se busca es el que

tenga un factor de seguridad mínimo. Para ello se hace la derivada y se iguala a cero para

determinar qué ángulo es el apropiado:

d0 45º

d

42

sin 45º cos 45ºu u

F

c cF

H H

A partir de la expresión anterior se puede encontrar la altura máxima o crítica que se puede

alcanzar en un terreno cohesivo en condiciones no drenadas a corto plazo. Para ello basta con

imponer un factor de seguridad igual a 1 y obtener la altura máxima Hmax:

max

4 41u uc c

F HH


41

A modo de ejemplo, para un terreno cohesivo de consistencia media con una cu = 50 kN/m2 y

un peso específico de = 20 kN/m3, la altura que se puede alcanzar es de 10 metros

aproximadamente.

Puede observarse que en el caso del talud indefinido el factor de seguridad se ha definido como

cociente de tensiones mientras que en este caso se ha definido como cociente de fuerzas. Se

puede hacer mediantes tensiones si, debido a que actúan en la misma superficie, el resultado

equivale al equilibrio de fuerzas.

Por otro lado, con el procedimiento aplicado se han comprobado todas las superficies planas que

pasan por el pie del talud, pero la más crítica podría ser otra (plana pasando por otro punto o

curva). En este caso, sin embargo, en línea con lo observado por Coulomb para el colapso de

muros (con trasdós sensiblemente vertical), las superficies de deslizamiento planas adoptadas

dan lugar a una aproximación adecuada al problema.

Condiciones drenadas

A continuación se muestra el análisis en condiciones drenadas de un suelo que presenta una

cierta cohesión c’ y un ángulo de rozamiento interno ϕ’. Estas condiciones son propias cuando

se analiza la estabilidad a largo plazo. En la figura 9.3.6 se muestra el esquema para el análisis

de estabilidad.

La geometría del problema es en todo similar a la del caso no drenado, y la única diferencia

estriba en que la resistencia al corte movilizable a lo largo de AB tiene la componente de

cohesión y la de fricción, de tal modo que el coeficiente de seguridad frente a rotura a lo largo

de un plano inclinado se define como:

2

( ' ' tan ')1

cos2

rotL L cF

S H

El término L’ es, por equilibrio, la componente normal, N’, del peso W sobre el plano AB:

2 21' ' cos cos / sin2L N W H

Substituyendo los términos y simplificando se obtiene:

2 ' tan '

sin cos tan

cF

H


42

Para encontrar el plano crítico, se deriva la expresión respecto a :

2 2

2 2 2

d 2 (cos sin ) tan ' '0; donde

d sin cos

tan 'tan 1

2

cc

c

F N cN

sen H

N

El factor de seguridad obtenido es por tanto:

'2 2 (2 tan ') donde c c c

cF N N N

H

La altura crítica de un talud, es decir imponiendo F=1 es:

4 ' 'tan 45 2crítica

cH

H

/ sinL H

A

B

'cW

N

S ' tan( ')

'

Figura 9.3.6 Esquema para el análisis de estabilidad de un corte vertical en condiciones drenadas

99..33..33 MMééttooddooss ggeenneerraalleess ddee eeqquuiilliibbrriioo llíímmiittee.. EEqquuiilliibbrriioo gglloobbaall yy ppaarrcciiaall

Estos métodos son relativamente simples y proporcionan resultados razonablemente buenos

cuando se evalúa la estabilidad de un talud. Se aplican a todo tipo de terreno. La aplicación de

estos métodos requiere las siguientes etapas de cálculo:

1. Se busca un mecanismo de rotura cinemáticamente admisible.

2. Generalmente se define el coeficiente de seguridad a partir del concepto de esfuerzo o

tensión de corte movilizado.


43

3. Mediante consideraciones de equilibrio se establecen relaciones entre fuerzas. En general

las condiciones de equilibrio a satisfacer en un problema dado son:

a. Dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas (horizontales y verticales).

b. Una ecuación de equilibrio de momentos, con relación a un punto arbitrario.

4. Se obtiene el factor de seguridad “despejando F” en las ecuaciones de equilibrio

mencionadas en el punto 3. Será necesario encontrar el F mínimo variando la geometría de

la superficie de rotura, lo que conduce a un proceso de cálculo repetitivo.

En general el número de incógnitas supera al de ecuaciones y es necesario hacer hipótesis

adicionales para la resolución de los casos. Los métodos basados en las superficies de rotura

(equilibrio límite) pueden dividirse en dos grandes grupos según se considere el equilibrio

global o se plantee el equilibrio parcial de una serie de rebanadas en las que se divide a la masa

que se moviliza.

99..33..33..11.. MMééttooddooss ddee eeqquuiilliibbrriioo gglloobbaall

Son los métodos más antiguos y únicamente son válidos para suelos homogéneos ya que se

suponen constantes los parámetros resistentes en toda la masa que desliza. Para estos métodos

se va a considerar una rotura circular, ya que otros tipos de rotura como por ejemplo plana o en

cuña es más propio en rocas y no en suelos. En la figura 9.3.7 se muestra el problema más

general.

Condiciones no drenadas

En este caso resulta conveniente expresar el factor de seguridad como cociente de momentos:

Momento resistente

Momento volcadoru AB

s

c rLF

Wd

En el caso de que la resistencia al corte sin drenaje cu no sea constante se puede calcular el

factor de seguridad de la siguiente forma:

dB

u

As

c r s

FWd


44

W

A

B

r

rCentro de la rotura circular Perfil del talud

Superfíciecircular de rotura

T

cT

T

U'N

' :N Es la resultantede las tensionesnormales

:U Es la resultantede las presionesde agua

d

Figura 9.3.7 Fuerzas consideradas en un mecanismo circular de rotura

Condiciones drenadas

Si existe rozamiento, tanto la resultante de las fuerzas tangenciales movilizadas (T) como la

resistencia que puede proporcionar el suelo (R) se pueden descomponer en dos términos (TC, T)

(RC, R) asociados cada uno de ellos a las fuerzas de cohesión y rozamiento respectivamente, de

tal modo que se cumplirá:

CC

C

R R RT T T

F F F

Por conveniencia se considerará que el factor de seguridad asociado a las fuerzas de rozamiento

y de cohesión coinciden (F = FC = F).

Siguiendo el método del caso no drenado, es fácilmente deducible el valor de RC y la línea de

aplicación de TC. No obstante, para el resto de variables se hace la hipótesis de que todas las

tensiones normales efectivas que actúan sobre el círculo están concentradas en un punto x

(desconocido) del mismo.

Si se sabe la distribución de presión intersticial se puede conocer la resultante U, tal y como se

muestra en la figura 9.3.8, que compuesta por el peso del terreno W, proporciona el vector D. A

partir del vector D se encuentra el punto f por donde debe pasar la resultante de las fuerzas N’ y

T desconocidas hasta el momento.


45

W

A

B

r

rO Perfil del talud

Línea de acción de Tc

D

U

f

u

Figura 9.3.8 Condiciones drenadas. Obtención del punto f

Por otra parte se puede escribir:

'

' tan '

tan 'tan

' d

R N T F

T

N F

De donde se deduce que la resultante T y N’ forman un ángulo d con la normal de la

circunferencia de rotura en el punto x. Esto es equivalente a decir que dicha resultante debe ser

tangente a un círculo, llamado círculo de rozamiento, de centro O y de radio rsind. Conocido el

punto de paso f e imponiendo esta última condición, puede conocerse la línea de actuación de la

resultante T y N’, el valor de ésta y el de TC, tal y como se muestra en la figura 9.3.9.

A partir del valor de TC puede encontrarse el valor de FC con la siguiente expresión:

'CC

C C

R c ABF

T T

La solución se habrá encontrado si FC = F. Como en general esto no ocurrirá, se probará un

nuevo F (lo que define un nuevo círculo de rozamiento) y se obtendrá un nuevo TC.

Cuando se hayan encontrado varios valores de FC y F se puede construir un gráfico análogo al

de la figura 9.3.10 que proporciona la solución.


46

A

B

r

rO Perfil del talud

f

'N

x

''N T

D

'T

cT

radio = sin dr

Círculo de rozamiento

Figura 9.3.9 Condiciones drenadas (’0). Definición del círculo de rozamiento

cF

FF

cF F F

cF F

Puntos obtenidos

Figura 9.3.10 Obtención del factor de seguridad solución del problema.

Para llegar a soluciones más realistas se han estudiado diversas distribuciones de N’ más

acordes con las realmente existentes. Taylor (1937) propone el uso de distribuciones de tipo

senoidal. Hoek y Brown (1981) publican ábacos para distintas opciones hidrológicas del talud

con la existencia de una fisura vertical en el borde superior del talud situada en la posición más

desfavorable y con una distribución de N’ concentrada en un punto. Hoy en día, sin embargo, y

como se ha comentado con anterioridad, estos métodos se aplican mediante programas de

ordenador que facilitan el cálculo.


47

99..33..33..22 MMééttooddooss ddee eeqquuiilliibbrriioo ppaarrcciiaall oo mmééttooddoo ddee llaass rreebbaannaaddaass

Con objeto de mejorar la precisión de los métodos de equilibrio global se desarrollaron los

métodos de las rebanadas. En ellos la masa de deslizamiento se divide, a efectos de cálculo, en

una serie de rebanadas verticales, que se consideran como sólidos rígidos y bloques y que

satisfacen condiciones de equilibrio. Estos métodos permiten adaptarse a geometrías del talud

complicadas y permiten realizar el cálculo en condiciones drenadas y no drenadas. El

inconveniente de estos métodos es que son estáticamente muy indeterminados ya que el

número de incógnitas y ecuaciones no coincide y se deben realizar hipótesis adicionales. A

continuación se hace un recuento del número de incógnitas (tabla 9.3.1) y ecuaciones

disponibles (tabla 9.3.2) para un talud dividido en n rebanadas:

Tabla 9.3.1. Recuento del número de incógnitas

Número de incógnitas: Descripción:

1 Factor de seguridad (FS)

n Fuerzas efectivas normales en la base N’. La presión del agua

es conocida

n Posición de la fuerza normal efectiva en cada rebanada

n Fuerza resistente disponible en la base de cada rebanada

n-1 Fuerzas normales en los bordes laterales

n-1 Fuerzas tangenciales en los bordes laterales

n-1 Localización de los puntos de aplicación de las fuerzas

normales en los bordes laterales

6n-2 Total incógnitas

Tabla 9.3.2. Recuento del número de ecuaciones

Número de ecuaciones: Descripción:

2n Ecuaciones de equilibrio de fuerzas según direcciones

independientes

n Ecuaciones de equilibrio de momentos

n Relaciones de rotura entre las tensiones normales y tangenciales

en la línea de rotura

4n Total ecuaciones


48

Por lo tanto hay un total de 2n-2 incógnitas que requieren hipótesis adicionales. La empleada

por la mayoría de los métodos es la aplicación de la fuerza normal situada en el centro de la

rebanada. Esta hipótesis será tanto más exacta cuanto mayor sea el número de rebanadas. Esta

hipótesis reduce el número de incógnitas a n-2. Para acabar de resolver el problema se deben

hacer hipótesis adicionales acerca de las fuerzas que actúan en los bordes laterales de las

rebanadas y son distintas para cada uno de los métodos. El método de equilibrio parcial o

rebanadas que se muestra a continuación es el desarrollado por Bishop (1955).

Método de Bishop

El método de Bishop suponía originalmente rotura circular, aunque en la actualidad los

programas informáticos permiten adoptar diferentes geometrías. El método consiste en dividir el

talud en bloques o rebanadas, tal y como se muestra en la figura 9.3.11, cumpliendo equilibrio

entre ellos (ver figura 9.3.12), y en definir diferentes superficies de rotura e ir obteniendo los

distintos factores de seguridad para cada una de las superficies para finalmente quedarse con el

más pequeño.

Perfil del talud

A

B

r

O

Figura 9.3.11 Discretización del talud en rebanadas para el análisis del problema


49

A

B

r

O

ix Wi

sini ix r

iWiv

iH

1iH

1iv

iT

iN

iz

1iz

ix

il

Figura 9.3.12 Equilibrio en una rebanada según el método de Bishop

El método de Bishop establece el factor de seguridad como relación entre momentos:

resistente

volcador

MFS

M

Donde los Mresistentes y Mvolcadores se definen de la siguiente manera:

' ' ' '

1 1 1

tan ' tan 'i n i n i n

resistentes i i i i i i i ii i i

M r T r c l l r c l N

1 1

sini n i n

volcador i i i ii i

M W x r W

' '

1

1

tan '

sin

i n

i i iresistente i

i nvolcador

i ii

c l NM

FSM W

Haciendo equilibrio de fuerzas verticales, se obtiene:

' cos cos sin 0i i i i i i i i i i iW X X X N u l T


50

Se desprecia Xi porque es muy pequeño y teniendo en cuenta que Ti tiene la siguiente

expresión, se obtiene N’i del equilibrio de fuerzas verticales:

'' tani i ii

c l NT

FS FS

' cos sin

cosi i i i i i

ii

W u l TN

Substituyendo en la ecuación del factor de seguridad queda la siguiente expresión implícita

donde hay que realizar iteraciones para encontrar el FS.

1

1

sec1' 1 tan '

tan tan '1sin

i ni

i i ui nii

i ii

iu

i

FS c x W rW

FS

ur

z

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA GRADO EN INGENIERÍA DE ... · PDF fileGEOTECNIA – GICO UPC Tema 9 ... constituyen los dos extremos de tensión que el terreno puede ejercer