UNIVERSIDAD TECNICA ESTATAL DE QUEVEDO

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACION Y ADMISION

Unidad de Admisión y Registro

Paralelo:

M49

Nombre:

Jefferson Ricardo Herrera Chávez

Docente:

Ing. Osmar Viera

Año lectivo:

2013

Historia de la matemática

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.[cita requerida]

Los inicios de la matemática

Prehistoria

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.2 También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C.,3 que sugieren intentos iníciales de cuantificar el tiempo.4

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.5 6 El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida3 de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación.

Primeras civilizaciones

En el periodo predinástico de Egipto del V milenio a. C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los

monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del III milenio a. C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.7

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.8 9

Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

Tablilla de arcilla YBC 7289.

MesopotamiaArtículo principal: Matemática babilónica.

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas desarrolladas por la gente de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia,

especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

Las evidencias más tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios, que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan de ese periodo.11

Egipto

Papiro de Moscú.

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a la matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

El papiro de Rhind13 (hacia 1650 a. C.) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división

y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,14 incluyendo números compuestos y primos, media aritmética, geométrica y armónica, y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos (a saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden15 , así como series aritméticas y series geométricas. 16

Matemática en la Antigua India (del 900 a. C. al 200 d. C.)

Numerales brahmí en el siglo I.

Los registros más antiguos existentes de la India son los Sulba Sutras (datados de aproximadamente entre el siglo VIII a.C. y II d.C),19 apéndices de textos religiosos con reglas simples para construir altares de formas diversas, como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y otros.20 Al igual que con Egipto, las preocupaciones por las funciones del templo señala un origen de las matemáticas en rituales religiosos.19 En los Sulba Sutras se encuentran métodos para construir círculos con aproximadamente la misma área que un cuadrado, lo que implica muchas aproximaciones diferentes del número π.21 22 Adicionalmente, obtuvieron el valor de la raíz cuadrada de 2 con varias cifras de aproximación, listas de ternas pitagóricas y el enunciado del teorema de Pitágoras.23 Todos estos resultados están presentes en la matemática babilónica, lo cual indica una fuerte influencia de Mesopotamia.19 No resulta claro, sin embargo, hasta qué punto los Sulba Sutras influenciaron las matemáticas indias posteriores. Al igual que en China, hay una falta de continuidad en la matemática india; significativos avances se alternan con largos períodos de inactividad.19

Matemática en la Grecia Antigua (desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.)

Teorema de Pitágoras.Se acredita a los pitagóricos la primera demostración formal del teorema.

Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.26 Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.

Tales de Mileto.

Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.27 La idea de las matemáticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.).

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

Tipos de numeración

Convenios de notación

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero:

Definición con el cero:

Donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica,1 pero no se consideraba un número natural.2

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.5

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como . Alternativamente también

se utiliza .6

Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota .

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario). Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los

primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Algunas características de los números naturales son:

1. Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.

2. Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales. (Interpretación de conjunto no denso)

3. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que éste. (Interpretación de conjunto infinito).

Construcciones axiomáticas

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de PeanoArtículo principal: Axiomas de Peano.

Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo

número natural. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un

número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada ,

2. La relación es un orden total estricto en 3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)

1 es el sucesor de 0, entonces

2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces . y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:

es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un Monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este Monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un Monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipo tente" de la siguiente manera Dados A y B∈

se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B, es decir, existe

biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al

conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales. Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos

representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semanilla conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.

Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a+b)+c=a+ (b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa:

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.

Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.

No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

y .

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturales

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N:

(A, b) ~ (C, d) si y solo si a + d = b + c.

Sustracción o resta con números naturales

Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)= m-n = d si solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es posible en el caso que m ≥ n.

Proposiciones

Si m - n = p, entonces m - p= n Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p

Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0; como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha. La resta no es conmutativa ni asociativa. Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´y m´tal que m´- n´= p; de

modo tal que en ℕxℕ la relación (m,n) ≈ (m´,n´) ssi m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del ℤ de los números enteros 7 .

Véase también

Clasificación de números

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

1: uno

Naturales primos

Naturales compuestos

0: Cero

Enteros negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesIrracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

QUIEN INVENTO LOS NUMEROS

Otro sistema simple de numeración era el sistema ordinal. Se cree que comenzó cuando el hombre empezó a contar con sus dedos, cada dedo era un número único.

Sistemas de valor posicional

Un par de civilizaciones antiguas inventaron el sistema numérico con valor posicional. El más antiguo fue el sistema maya con una base de 60, por el año 3400 a. de C. Los egipcios inventaron un sistema en base al 10 en el año 3100 a. de C. El sistema moderno de valor posicional también tiene base de 10, este vino de la India a través de los árabes.

La invención del cero

El número cero era usado por varias civilizaciones, incluyendo los mayas, los egipcios, los babilonios y los indios. Los egipcios usaban el cero en sus registros contables. Los indios se referían al cero como “vacío”. Los griegos estaban fascinados por este símbolo y desarrollaron varias vistas filosóficas interesantes al respecto, de hecho, el ocultismo y el misticismo usaba el número cero para simbolizar la nada, o el estado de falta de cosas.

La invención de números negativos

Los chinos inventaron los números negativos. Esto está registrado en “Los nuevos capítulos del arte de las matemáticas”, en el año 100 a. de C. Los matemáticos griegos no habían divisado esta opción hasta el siglo III d. de C. Por el año 600 d. de C., el dinero indio se manejaba con números negativos para representar deudas.

La invención de las fracciones

La invención de las fracciones puede tener origen en el antiguo Egipto. El Papiro Kahun discutía las fracciones y otros problemas matemáticos. Esto data del año 1800 a. de C. entre los griegos, el mejor trabajo matemático que se reconoció en el tema es “Elementos”, de Euclides.

La invención de los Números irracionales

Los indios ya sabían sobre las fracciones, como estaba registrado en el Stananga Sutra. Otro texto, el Sulba Sutra, hablaba sobre los números irracionales. Este data de entre el año 800 y 500 a. de C. Un griego seguidor de Pitágoras, Hippasus, decía haber descubierto los números irracionales al mismo tiempo que los indios, pero Pitágoras se reusaba a aceptar la existencia de números no racionales y había hecho callar a Hippasus.

La invención de los números modernos

Los indios también inventaron el sistema moderno de numeración, también llamado números arábicos debido a que vienen de Europa a través de los árabes. Los persas copiaron el sistema de numeración indio y después lo pasaron a los árabes. Después un matemático italiano llamado Fibonacci viajó a Algeria para estudiar, cuando regresaba a casa, se llevó la numeración india con él. Él escribió sobre el sistema en su libro “Liber Abaci”. Este sistema pronto ganó una gran aceptación en toda Europa, hoy es el sistema numérico usado en prácticamente todo el mundo.

BIBLIOGRAFIA

http://www.quieninvento.org/quien-invento-los-numeros/