Universidade de Aveiro Introducao a Teoria Dos Numeros

8/20/2019 Universidade de Aveiro Introducao a Teoria Dos Numeros

1/146

INTRODUÇ ÃO ÀTEORIA DOS NÚMEROS

Vı́tor Neves

******************************

Departamento de Matemática

Universidade de Aveiro

2001


2/146


3/146

IntroduçãoO presente texto resulta da evolução de um conjunto de notas de apoio à disci-

plina Introdução à Teoria dos Números do segundo semestre do terceiro ano dalicenciatura em Ensino de Matem´ atica da Universidade de Aveiro.

Parafraseando um mestre, não pretendemos ”escrever para autodidatas, mas simpara alunos com professor”, pelo que deixámos para o leitor demonstrar – por vezesexplicitamente como exerćıcio – o que é manifestamente rotineiro (não necessariamentetrivial...) ou nos parece estar fora do âmbito de um primeiro curso sobre Teoria dosNúmeros.

Não sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos clássicos e elementares da Teoria,de carácter mais formativo e menos técnico: a orientação foi de facto muito forte nosentido de preparar docentes para o ensino secundário.

O caṕıtulo sobre extensões do corpo dos números reais (Cap. 8) pretende recuperar oestudo das construções do corpo real e suas extensões mais importantes, que deixou de sefazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretendeaprofundar o conceito de Número. As extens̃oes não arquimedianas são afloradas demodo a alertar para a sua existência e onde podem ser estudadas.

A finalidade principal do texto – apoiar uma disciplina semestral – obrigou a es-colhas não muito agradáveis: por questões de tempo não se tem mostrado razoáveltratar cuidadosamente a equação de Pell, aspectos de Teoria Anaĺıtica, aproximaçãopor fracções cont́ınuas, ráızes primitivas, critérios de primalidade ou Teoria Combi-natória. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este texto

se modificasse; mesmo assim, nem toda a matéria aqui descrita tem sido trabalhadadurante o semestre nas aulas teóricas ou teórico-práticas.

Utilizamos um mı́nimo de Álgebra, de modo a construir um texto tão independentequanto possı́vel.

Os saltos na numeração das páginas são um expediente de organização tipográficaincompleta: podem incluir-se sempre mais páginas alterando muito pouco as referênciasde edição para edição.

Agradecemos aos Mestres Paulo Almeida e Rui Duarte e à Doutora Ana Foulquiéa leitura cuidada das várias versões preliminares destas notas bem como as sugestõesque apresentaram.


4/146

NOTAÇ ÃO

Salvo referência em contr´ ario, varí aveis representadas por letras min´ usculas designam n´ umeros inteiros.

Aveiro

Maio de 2001

V́ıtor Neves


5/146

Índice

I Introdução à Teoria dos Números 1

1 Teorema Fundamental da Aritmética 3

1.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Axiomática de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Soma, ordem e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 O máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Congruências 2012.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.2 Inversão I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.3 Congruências lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3.1 Inversão II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.4 A função φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4.1 Sistemas reduzidos de reśıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . 207

2.5 Congruências polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.5.2 Módulo primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.5.3 Módulo pot̂encia de base prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2.5.4 Teorema Chinês do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3 Reśıduos quadráticos 3013.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

3.3 Lei de Reciprocidade Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4 Equações Diofantinas 401

i


6/146

Índice ITN (2001)

4.1 Ternos Pitagóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.2 Somas de duas quartas potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

4.3 Somas de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

4.4 Somas de quatro quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

5 Funções aritméticas 501

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

5.2 Produto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

5.3 Funções multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5045.4 Fórmula de Inversão de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.5 A função de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

5.6 Números perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

5.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

II Números reais 601

6 Fundamentação 603

6.1 Corpos ordenados e números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

6.2 Uma visão construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6086.3 Extensões próprias do corpo dos números racionais . . . . . . . . . . . . 610

6.4 Corpos ordenados completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

6.5 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

6.6 Números transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

6.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7 Dı́zimas e Fracções cont́ınuas 701

7.1 Dı́zimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

7.2 Fracções cont́ınuas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

7.3 Fracções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

8 Extensões 801

8.1 Os números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

8.2 Quaterniões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

8.3 Extensões ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

8.3.1 (In)Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

8.3.2 Parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

8.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

ii VN


7/146

Int. à Teoria dos Números Ind́ıce

III Aplicações 901

9 Criptografia 9039.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.2 Sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.3 Codificação Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.4 Criptografia de chave pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9059.5 Assinaturas; ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

VN iii


8/146

Índice ITN (2001)

iv VN


9/146

Parte I

Introdução à Teoria dos Números

1


10/146


11/146

Caṕıtulo 1

Teorema Fundamental daAritmética

1.1 Números Naturais

Se bem que se suponham conhecidas as propriedades algébricas elementares dos conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, vamos enunciar pro-priedades básicas dos números naturais que serão demonstradas e utilizadas mais tardenuma construção de outros conjuntos de números.

1.1.1 Axiomática de Peano

Uma estrutura de n´ umeros naturais é um terno N =≺ N, S, 1 satisfazendo asseguintes condições:

N1) N é um conjunto não vazio

N2) S é uma função injectiva de N em N.

N3) Existe um elemento de N, designado por 1, que não é imagem por S , isto é,S : N → N\{1}.

N4) Princı́pio de Indução.

Se 1 ∈ A ⊆ N e S (n) ∈ A sempre que n ∈ A, então A = N.

Um elemento S (n) designa-se por sucessor de n, a condição N3 estabelece que 1n˜ ao é sucessor e, de acordo com a condição N2, dois elementos de N s˜ ao iguais sse têm o mesmo sucessor.

3


12/146

Teorema Fundamental ITN (2001)

Explorando as propriedades das estruturas de números naturais:

Teorema 1.1.1 Qualquer elemento de N\{1} é sucessor.

Por outras palavras: 1 é o ́unico elemento de N que n˜ ao é sucessor.

Dem. Defina-se A = {1} ∪ S (N) = {1} ∪ {S (n) : n ∈ N}. Por definição de A, nãosó 1 ∈ A mas também S (n) ∈ A seja qual for n ∈ N, em particular o mesmo acontecese n ∈ A. Pelo Princı́pio de Indução, A = N, ou seja, o contradoḿınio S (N) de S éN\{1}, em virtude de N3.

Pode também demonstrar-se que

Teorema 1.1.2 Todas as estruturas de n´ umeros naturais s˜ ao isomorfas

Dem. As condições

I(11) = 12

I(S 1(x)) = S 2(I(x)) se x ∈ N1definem uma função1 I : N1 → N2. O Prinćıpio de Indução, o teorema 1.1.1 e ofacto de as funções sucessor serem injectivas garantem que I é um isomorfismo entre asestruturas.

Em face deste teorema, passaremos a designar os elementos de N por n´ umeros naturais. No entanto, ainda antes de nos fixarmos nos números naturais intuitivos,verificaremos que a axiomática N1, N2, N3 é suficiente para definir a Aritmética eordenar adequadamente a estrutura.

1.1.2 Soma, ordem e produto

Seja

N =

≺N, S, 1

uma estrutura de números naturais.

Definição 1.1.1 A soma de dois n´ umeros naturais m e n designa-se por m + n e define-se recursivamente do seguinte modo2:

m + 1 = S (m) (m ∈ N)m + S (n) = S (m + n) (m, n ∈ N) (1.1)

1Veja-se o Teorema de Recursão em [8, pp 39 e seg.]2Idem nota 1

4 VN


13/146

Int. à Teoria dos Números (2001) Teorema Fundamental

Tem-se então

Teorema 1.1.3 Para quaisquer m, n ∈ N a soma m + n est´ a definida e ≺ N, + é um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte, isto é, a con-diç˜ ao seguinte

∀m,n,p ∈ N m + p = n + p ⇒ m = n. (1.2)

Dem. Esquematizamos apenas uma demonstração da Lei do Corte. Defina-se paracada m, n ∈ N

Amn = { p ∈ N : m + p = n + p ⇒ m = n}Tem-se 1 ∈ Amn pela definição de soma e pelo axioma N2. Se p ∈ Amn tem-sem + S ( p) = n + S ( p) sse S (m + p) = S (n + p) sse m + p = n + p sse m = n

respectivamente por (1.1), por S ser injectiva (N2) e porque p ∈ Amn. Mas então1 ∈ Amn & p ∈ Amn ⇒ S ( p) ∈ Amn ( p ∈ N)

Pelo Princı́pio de Indução Amn = N.

Há uma forma frequentemente mais conveniente de enunciar oPrinćıpio de Indução, a saber:

Teorema 1.1.4 Se A ⊆ N, 1 ∈ A e n + 1 ∈ A sempre que n ∈ A, ent˜ ao A = N.

A ordenação de N pode fazer-se à custa da soma.O número natural m diz-se menor que o número natural n — escrevendo-se m < n

— se existir p ∈ N tal que n = m + p.

Teorema 1.1.5 1. 1 < n, seja qual for n ∈ N\{1}.2. N n˜ ao tem m´ aximo.

3. A relaç˜ ao < é de ordem total estrita em N, ou seja, é transitiva e para quaisquer m, n

∈N, d´ a-se uma e s´ o uma das seguintes condiç˜ oes

m = n ou m < n ou n < m.

4. Todo o subconjunto n˜ ao vazio de N tem mı́nimo para


14/146


Este enunciado é de facto equivalente ao axioma N4 e ao teorema 1.1.4 em estru-turas de números naturais, mas não em conjuntos bem ordenados quaisquer.

E passamos à definição do produto.

Definição 1.1.2 O produto dos n´ umeros naturais m e n, nota-se m · n e define-se recursivamente 3 por

m · 1 = m (m ∈ N)m · (n + 1) = m · n + m (m, n ∈ N) (1.3)

Como habitualmente, a notação simplifica-se pondo

m · n = mn (m, n ∈ N).Nestes termos vem

Teorema 1.1.7 Para quaisquer m, n ∈ N o produto mn est´ a bem definido e ≺ N, · é um semigrupo comutativo com elemento neutro 1 que verifica a Lei doCorte, isto é, a condiç˜ ao seguinte

∀m,n,p ∈ N mp = np ⇒ m = n. (1.4)Retomando o teorema 1.1.2, pode acrescentar-se que

Teorema 1.1.8 A aplicaç˜ ao I do teorema 1.1.2 respeita a soma, o produto e a ordem,isto é, se +i,

·i,


15/146


Teorema 1.1.9 Propriedade Arquimediana Para quaisquer a, b ∈ N, existe x ∈ Ntal que a < xb.

Dem. Tome-se a ∈ N. SejaA = {b ∈ N| a ≤ b ou [b < a & ∃x ∈ N a < xb]}.

Em primeiro lugar 1 ∈ A pois, ou a = 1 ou 1 < a, mas pelo teorema 1.1.5, existex ∈ N tal que a < x = x1.

Suponha-se agora que b ∈ A: se a ≤ b também a ≤ b + 1 e b + 1 ∈ A. Se b < a,ou b + 1 = a e, de novo b + 1

∈A, ou b + 1 < a; em qualquer caso, por hipótese, para

certo x ∈ N tem-se a < xb < xb + x = x(b + 1) e consequentemente, b + 1 ∈ A.Pelo Princı́pio de Indução A = N.

1.2 Aritmética

1.2.1 O máximo divisor comum

Teorema 1.2.1 (Algoritmo de Euclides) Para quaisquer a e b, se a > 0 existem n´ umeros inteiros ´ unicos d e r tais que

b = da + r & 0 ≤ r < a (1.5)Dem.

UnicidadeFixe-se a > 0. Suponha-se que da + r = da + r & 0 ≤ r, r < a. Tem-se

(d − d)a = r − r & |r − r| < aSe d = d então 1 ≤ |d − d| e vem

a ≤ |d − d|a = |r − r| < ao que é impossı́vel. Portanto d = d e também r = r.

ExistênciaSe 0 ≤ b < a tem-se b = 0a + b e pode fazer-se d = 0 & r = b. Se a < b, pelo

teorema 1.1.9, existe x ∈ N tal que b < xa. Tome-sed = min{x ∈ N| b < xa} − 1 & r = b − da

Se b < 0, pelo que acabámos de ver, existem d1 ∈ N e r1 ∈ N, sendo 0 ≤ r1 < a,tais que −b = d1a + r1; tome-se d = −d1 − 1 e r = a − r1.

Um corolário de fácil demonstração:

VN 7


16/146


Corolário 1.2.1 Para quaisquer n´ umeros inteiros a, b, se a = 0 existem d, r ∈ Z ´ unicos tais que

b = da + r & 0 ≤ r < |a|

Dem. Aplique-se o teorema anterior 1.2.1 a |b| e |a| e ajuste-se adequadamente.

Os números d e r das proposições anteriores designam-se respectivamente por co-ciente e resto da divisão de b por a.

Definição 1.2.1 Dado a

= 0, b é diviśıvel por a (ou a divide b ou a é divisor de b

ou b é múltiplo de a) se o resto da divis˜ ao de b por a é zero. Nota-se a | b se a divide b.

Repare-se que zero é divisı́vel por qualquer n´ umero inteiro, no sentido em que para qualquer a ∈ Z, existe d ∈ Z tal que 0 = da, nomeadamente d = 0; não se define ocociente de zero por zero

Proposição 1.2.1 A relaç˜ ao ·|· em Z é reflexiva e transitiva, mas n˜ ao é anti-simétrica pois

a | b & b | a ⇔ |a| = |b| (1.6)

Dem. Demonstramos apenas a equivalência 1.6, no caso em que a = 0 = b.Suponha-se que b = ad & a = bd. Tem-se a = add donde dd = 1. Segue-se qued = d = 1, caso em que a = b, ou d = d = −1, caso em que a = −b.

Mais algumas propriedades importantes, cuja demonstração fica ao cuidado doleitor.

Teorema 1.2.2 Para quaisquer a,b, c ∈ Z,1. [a | b & a | c] ⇒ ∀x, y a | (bx + cy);2. em particular a

|b

⇒ ∀x a

|bx.

3. [0 < a & 0 < b & a | b] ⇒ a ≤ b.

A aĺınea 1. do teorema anterior é de facto equivalente a qualquer das aĺıneas docorolário seguinte.

Corolário 1.2.2 Para quaisquer a,b, c, x, y ∈ Z1. [a | b & a |(bx + cy)] ⇒ a |c.2. [a | b & a | (bx + c)] ⇒ a | c.

8 VN


17/146


Definição 1.2.2 O n´ umero inteiro d é máximo divisor comum de a e b e designa-sepor mdc(a, b), se satisfaz simultâneamente as seguintes condições:

1. d > 0

2. d | a & d | b3. ∀c [[c | a & c | b] ⇒ c | d]

Se mdc(a, b) = 1 diz-se que a e b s˜ ao primos entre si.

Teorema 1.2.3 Se a = 0 ou b = 0, ent˜ aomdc(a, b) = min{z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0}, (1.7)

pelo que o m´ aximo divisor comum de dois n´ umeros inteiros n˜ ao simultˆ aneamente nulos existe e é ´ unico.

O que, em particular, tem como consequência

Corolário 1.2.3 Se d = mdc(a, b), ent˜ ao existem x, y ∈ Z tais que d = ax + by.

Dem. (Teorema 1.2.3) Seja

S = {z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0}

Como a = 0 ou b = 0, S = ∅ pois 0 < a2 + b2 = aa + bb; assim S tem mı́nimo (teorema1.1.5), digamos d = min S = ax0 + by0 > 0, para certos x0, y0; d verifica então acondição 1 da definição.

Vamos ver que d | a. Ponha-se a = qd + r, de acordo com o teorema 1.2.1, sendo0 ≤ r < d; repare-se que,

r = a − qd = a(1 − qx0) + b(−qy0) ∈ S,

portanto, se r > 0, r teria de ser maior ou igual ao mı́nimo de S , o que não é o caso. A

troca de a por b neste racićınio, permitiria concluir que d | b e a condição 2 da definiçãotambém está verificada.

Por outro lado, se c | a & c | b, como d = ax0 + by0, pelo teorema 1.2.2, c | d,verificando-se a condição 3.

Quanto à unicidade: utilize-se o que acabámos de ver e a condição 1.6 para concluirque se d verifica as mesmas condições que d, então d = d.

Algumas propriedades do máximo divisor comum.

Teorema 1.2.4 Para quaisquer a, b ∈ Z

VN 9


18/146


1. mdc(a, b) = 1 ⇔ ∃x,y ax + by = 12. mdc( amdc(a,b) ,

bmdc(a,b)) = 1

3. [a | bc & mdc(a, b) = 1] ⇒ a | c4. a | bc ⇒ amdc(a,b) | c5. mdc(na,nb) = n · mdc(a, b) se n > 0.

Dem. Aĺınea 1.

(⇒) é um caso particular do corolário 1.2.3.(⇐) Como 1 é o menor inteiro positivo, se 1 = ax + by , necessariamente 1 =min{z = ax + by| x, y ∈ Z & z > 0} e consequentemente, 1 = mdc(a, b), pelo teorema1.2.3.

Aĺınea 2. Observe-se que d = ax + by, para certos x, y e divida-se por d em, ambosos membros.

Aĺınea 3. Como mdc(a, b) = 1, para certos x,y, 1 = ax + by de onde se segue quec = acx + bcy. Como a | bc, para certo q vem c = acx + aqy = a(cx + qy) e a | c.

Aĺınea 4. Esquematicamente:

a | bc ⇒ bc = qa ⇒ cd = cax + cby = cax + qay = a(cx + qy);

ou ainda c = ad (cx + qy) e ad | c.Aĺınea 5. Observe-se que se n > 0 então min{nz| z ∈ A} = n · minA.

1.2.2 Teorema Fundamental da Aritmética

Definição 1.2.3 Um n´ umero inteiro p diz-se primo se verificar simultˆ aneamente as duas condiç˜ oes

1. p > 1

2.

∀a

∈Z [a

| p

⇒ [

|a

|= p ou

|a

|= 1]] .

Um n´ umero que n˜ ao seja primo nem 1 diz-se composto.

A propriedade mais importante dos números primos é talvez a seguinte:

Lema 1.2.1 (de Euclides) Se p é n ́umero primo e p | ab, ent˜ ao p | a ou p | b.

Dem. Se p | ab, então, pelo teorema 1.2.4, pmdc( p,a) | b; ora se p |a, como p é primomdc( p, a) = 1, consequentemente p | b.

10 VN


19/146


Lema 1.2.2 Se n > 1 e p = min{x > 1| x | n}, ent˜ ao p é primo. Em particular,qualquer n´ umero natural maior que 1 tem divisores primos.

Dem. Ou bem que n é primo e, nesse caso p = n, ou bem que não; neste caso n temdivisores maiores que 1 e distintos de si próprio, o mı́nimo dos quais é p; ora p nãopode ter divisores distintos de si próprio e de 1, pois qualquer deles seria um divisor den, maior que 1 e menor que p, que não existe por definição de p; logo p é primo.

E passamos a demonstrar o

Teorema 1.2.5 (Fundamental da Aritmética)Se n > 1, existem n´ umeros primos distintos dois a dois p1, · · · , pk e n´ umeros nat-urais α1, · · · , αk de modo que

n =k

i=1

pαii . (1.8)

Esta representaç˜ ao de n é ´ unica a menos de uma permutaç˜ ao dos factores.

Dem. Tome-se um número natural n.I. Existem n´ umeros primos p1, · · · , pm tais que n =

mi=1 pi.

Dem. Seja n > 1. Do lema anterior concluimos que n tem divisores primos.Defina-se uma sequência de números primos da seguinte forma

p1 = min{x > 1| x | n} (1.9)

pi+1 = min{x > 1| x ni

j=1 p j} se existir (1.10)

Repare-se que pi+1 só não existe se nij=1 pj

= 1, isto é, se n = i

j=1 p j , como se

pretende verificar que acontece.Por outro lado,

m j=1 p j | n desde que existam os p j definidos como acima (proposição

1.2.1) e, de facto, m

j=1 p j ≤ n.Observe-se ainda que, sendo os números primos maiores ou iguais a 2, vem

2m

≤m

j=1 p j ≤ n.

Como 2m > n, para m suficientemente grande, concluimos que os números primos pi são em número finito, em particular, para certo i, pi existe, mas pi+1 não. Comoobservámos acima, n =

i j=1 p j.

Não é dif́ıcil mostrar que p j ≤ p j+1 (1 ≤ j < i), pelo que associando da esquerdapara a direita primos iguais, se obtém

n =k

i=1

pαii

VN 11


20/146


com bases pi em ordem crescente.Resta ver que todos os divisores primos de n foram encontrados. Suponha-se que p

é primo e p | n. Pelo lema 1.2.1, p terá de dividir um dos pi, sendo portanto um deles.

Há muitos números primos.

Corolário 1.2.4 (de Euclides) O conjunto dos n´ umeros primos é infinito.

Dem. Vamos ver que, seja qual for o conjunto de números primos {

p1,· · ·

, pk}

existeum número primo que lhe não pertence.

Dados primos p1, · · · , pk, seja n = p1 · · · pk + 1. De acordo com o Teorema Funda-mental, n terá pelo menos um divisor primo. Ora como nenhum dos pi divide n, pois pi | p1 · · · pk mas pi |1, esse primo não pode ser um deles.

Os números primos estão esparsamente distribuidos

Corolário 1.2.5 Os intervalos entre n´ umeros primos consecutivos s˜ ao arbitrariamente grandes.

Dem. Para qualquer n ∈ N, a sequência(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, · · · , (n + 1)! + (n + 1)

não contém números primos, pois k | (n + 1)! + k se 2 ≤ k ≤ n + 1.

Onde parar na detecção dos divisores primos de um dado inteiro?

Teorema 1.2.6 Todo o n´ umero composto n > 0 tem um divisor primo menor ou igual a √

n.

Dem. Se n é composto tem pelo menos dois divisores primos, possivelmente iguais,caso contrário seria primo pelo Teorema Fundamental; se p1, p2 são primos que dividemn, algum não é maior que

√ n, pois p1, p2 >

√ n ⇒ n ≥ p1 p2 > (√ n)2 = n, o que é

imposśıvel.

Um resultado semelhante é o corolário seguinte do lema de Euclides (1.2.1) e doteorema 1.2.2

Teorema 1.2.7 (de Gauss) O produto de dois n´ umeros naturais menores que um n´ umero primo n˜ ao é diviśıvel por este ́ultimo.

12 VN


21/146


Quanto à distribuição dos números primos, o seguinte teorema é um dos mais im-portantes de Dirichlet; a sua demonstração é muito difı́cil e está fora do âmbito dopresente texto; o leitor interessado pode encontrar uma demonstração por exemplo em[3], onde todo o caṕıtulo 7 lhe é dedicado.

Teorema 1.2.8 (de Dirichlet) Se a e b s˜ ao n´ umeros naturais primos entre si, a progress˜ ao aritmética (na + b)n∈N tem uma infinidade de termos que s˜ ao n´ umeros pri-mos.

Tendo-se observado que um número primo ı́mpar é de uma das formas 4k + 1 ou4k

−1 (k

∈ Z), uma ligeira adaptação da demonstração do corolário 1.2.4 permite no

entanto demonstrar facilmente o seguinte:

Teorema 1.2.9 Existe uma infinidade de n´ umeros primos da forma 4k − 1(k ∈ Z).Dem. Consideremos um conjunto finito de números primos distintos da forma 4k − 1,digamos C := { p1, · · · , pn} e defina-se

N = 22 p1 · · · pn − 1.Em primeiro lugar observe-se que N é da forma 4k − 1 e maior que qualquer doselementos de C , portanto se for primo não está em C , i.e., C não contém todos os

números primos da forma em estudo; se N for composto e p for um seu divisor primo,então p também não pode ser qualquer dos elementos de C ; deixa-se como exerćıciomostrar que algum divisor primo de N é da forma 4k − 1 e, como acabámos de ver, nãoestá em C .

Em suma: C não contém todos os números primos da forma 4k − 1.

Não é t̃ao simples demonstrar que o teorema anterior vale com 4k + 1 em vez de4k − 1; fá-lo-emos mais tarde (vide corolário 2.4.3).

1.3 Exerćıcios

1. Demonstre que a adição e a multiplicação em N são associativas, são comutativase verificam a Lei do Corte.

2. Mostre que se f : N → N é estritamente crescente, então para qualquer n ∈ N,n ≤ f (n).

3. Demonstre o seguinte teorema.

Prinćıpio de Indução Completa: Se A é um subconjunto de N tal que, seja qual for o n ∈ N, n ∈ A sempre que {k ∈ N : k < n} ⊆ A,ent˜ ao A = N.

VN 13


22/146


4. Suponha dadas duas funções g : N → N e h : N3 → N. Admita que existe umafunçÃo f que verifica as fórmulas de recorrência presentes nas aĺıneas seguintese prove a sua unicidade.

(a) (Recorrência) Defina f : N2 → N tal que f (1, n) = g(n) (n ∈ N)f (m + 1, n) = h(m,n,f (m, n)) (m, n ∈ N)

(b) (Recorrência elementar)Suponha dados a ∈ N e h : N2 → N defina uma

função f :N

→N

por f (1) = af (n + 1) = h(n, f (n)) (n ∈ N)

5. Mostre que, para qualquer n ∈ N,

(a)n

i=1

i = n(n + 1)

2 ;

(b)n

i=1i2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6 ;

(c)n

i=1

i3 =

ni=1

i

2.

6. Encontre uma fórmula de recorrência para n

i=1 i p (n, p ∈ N).

7. Mostre que, para quaisquer a, b ∈ Z e n ∈ N,

(a) an − bn = (a − b)n−1i=0

aibn−1−i;

(b) an + bn = (a + b)

n−1i=0

(−1)ian−1−ibi, se n é ı́mpar;

(c) (a + b)n =n

i=0

n

i

aibn−i;

sendo o coeficiente binomial n

i

definido por

n

i

=

n!

i!(n − i)! (n ∈ N e 0 ≤ i ≤ n).

14 VN


23/146


8. O coeficiente multinomial é o número n

i1i2···ik

definido por

n

i1i2 · · · ik

=

n!

i1!i2! · · · ik! ,

com i1 + i2 + · · · + ik = n (k, n ∈ N, i1, . . . , ik ∈ Z+0 ).

(a) Mostre que os coeficientes multinomiais são números inteiros.

(b) Mostre que, para quaisquer n, k ∈ N e a1, . . . , ak ∈ Z,

ki=1

ain

=

i1+i2+···+ik=n

n

i1i2 · · · ik

ai11 ai22 · · · aikk .

9. Mostre que d | a se e só se d | |a|.10. Mostre que se a | c, b | c e a e b são primos entre si, então ab | c.

11. Sejam a, b, c e d inteiros tais que b = 0, d = 0, mdc(a, b) = 1 = mdc(c, d) e ab

+ c

dtambém é inteiro. Mostre que |b| = |d|.

12. Um mı́nimo m ́ultiplo comum de dois números inteiros positivos a e b é um númerointeiro mmc(a, b) que verifique as seguintes condições:

• mmc(a, b) > 0;• a | mmc(a, b) e b | mmc(a, b);• para todo k ∈ Z, se a | k e b | k, então mmc(a, b) | k.

(a) Mostre que mmc(a, b) existe e é único. De facto

ab = mdc(a, b)mmc(a, b)

(b) Mostre que · | · é uma relação de ordem parcial em N para a qualmdc(a, b) = inf

{a, b

} & mmc(a, b) = sup

{a, b

}13. (a) Mostre que os factores de base prima da representação de mdc(a, b) (Teorema

Fundamental) são os factores de base prima comum a a e a b tomados como menor expoente.

(b) Mostre que os factores de base prima da representação de mmc(a, b) (Teo-rema Fundamental) são todos os factores de base prima de a ou de b, sendoos factores de base comum tomados com o maior expoente.

14. Algoritmo de Euclides. Dados a, b ∈ Z com b ≥ a > 0, mostre que o algoritmodefinido pelas relações de recorrência seguintes termina com r = mdc(a, b).

VN 15


24/146


• a = r0;• b = q 1r0 + r1, 0 ≤ r1 < a;• se ri > 0 (i ≥ 1), então ri−1 = q i+1ri + ri+1, 0 ≤ ri+1 < ri;• se ri = 0, então r = ri−1 e o algoritmo termina.

15. Comprimento do algoritmo de Euclides. Considere o algoritmo descrito noexerćıcio anterior e seja rn = mdc(a, b). Mostre que:

(a) b ≥ 2r1 e a ≥ 2r2;

(b) ri ≥ 2ri+2 (i ≥ 1);(c) b ≥ 2n/2.

Qual é o número máximo de passos se b ≤ 10 p?16. Determine mdc(a, b) e escreva-o como combinação linear de a e b para os seguintes

pares:

(a) (21, 77), (12, 128), (54, 640), (28, 640); nesta aĺınea verifique a sua respostautilizando a definição de máximo divisor comum.

(b) (22587, 534), (9800, 180), (1587645, 6755).

17. Determine o mı́nimo múltiplo comum de cada um dos pares de números consid-erados no exerćıcio anterior.

18. Sejam a, b e c números inteiros não simultaneamente nulos.

(a) Mostre que equação diofantina em x e y , ax + by = c tem solução se e só semdc(a, b) | c.

(b) Mostre que se (x0, y0) é uma solução da equação da aĺınea anterior e d =mdc(a, b), então todas as soluções são da forma

x = x0 + b

dk & y = y0 − a

dk (k ∈ Z).

19. Determine as soluções inteiras das equações Diofantinas seguintes:

(a) 5x + 7y = 14;

(b) 4x + 6y = 24;

(c) 17x + 34y = 25;

(d) 56x + 634y = 168;

(e) 1521x + 1955y + 455z = 221;

(f) 2x + 3y + 5z = 7.

16 VN


25/146


20. Determine duas fracções cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja 10

48.

21. Numa papelaria vendem-se dois tipos de canetas por 110 e 70 escudos respectiva-mente. Ao fim de um dia a importância total recebida pela venda dessas canetasfoi 6570 escudos. Qual é o menor número posśıvel de canetas vendidas? E qual omaior?

22. Determine todas as soluções inteiras dos sistemas de equações seguintes.

(a)

2x + 3y − 4z = 96x + 9y + 3z = 12

(b)

3x − 2y + 6z = −314x + 28y − 21z = 35

(c)

4x + 5y + 6z = 117x + 14y + 21z = 35

(d)

9x + 3y + 15z = −3

5x − 6y + z = −2(e)

3x + 2y − 5z = 106x + 12y + 4z = 14

23. Números de Fermat. Um número da forma F k = 22k + 1 para algum k ∈ N0

diz-se um n´ umero de Fermat . F 0, F 1, F 2, F 3, F 4 são primos. Euler mostrou em1732 que F 5 não é primo. (F 5 = 4294967297 = 641 × 6700417.)

(a) Mostre que se 2n + 1 é primo, então n é potência de 2.

(Sugestão: comece por estudar o caso em que n é ı́mpar).

(b) Mostre que números de Fermat distintos são primos entre si.

(c) Deduza da aĺınea anterior que há uma infinidade de primos.

24. Números de Mersenne. Um número da forma M p = 2 p − 1, com p primo,

diz-se um n´ umero de Mersenne .

Mostre que se n > 1, a > 1 e an − 1 é primo, então a = 2 e n é primo.

25. Suponha que p é um número primo.(a) Mostre que p é o máximo divisor comum dos coeficientes binomiais

pi

, onde

1 ≤ i ≤ p − 1.(b) Mostre que para quaisquer a, b ∈ Z, a p − b p e p são primos entre si ou

p2 | (a p − b p).26. Mostre todos os números inteiros exceptuando as potências de 2 são somas de

inteiros consecutivos.

27. Mostre que só a primeira soma parcial da série harmónica é inteira.

VN 17


26/146


18 VN


27/146

Caṕıtulo 2

Congruências

2.1 Propriedades básicas

Definição 2.1.1 Seja n um n´ umero natural maior que 1. Dois n´ umeros inteiros x, e y dizem-se congruentes módulo n se n | (x − y). Se x é congruente com y m´ odulon, nota-se

x ≡ y (mod n)

Repare-se que a definição também tem sentido com n = 1, neste caso todos osnúmeros inteiros são congruentes entre si e por isso eliminamo-lo de inı́cio.

Outra formulação

Teorema 2.1.1 Dois n´ umeros inteiros x, y s˜ ao congruentes (mod n) se e apenas se a divis˜ ao de cada um deles por n tem o mesmo resto.

Dem. Pondo x = dn + r e y = qn + s com 0 ≤ r, s < n, se n | (x − y) então n | (r − s);como

|r

−s

|< n terá de ser r

−s = 0. A rećıproca verifica-se imediatamente.

Demonstra-se sem dificuldade que

Corolário 2.1.1 A relaç˜ ao de congruência · ≡ · é de equivalência em Z e compatı́vel com a soma e o produto, ou seja se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), ent˜ ao a + c ≡b + d (mod n)e ac ≡ bd (mod n).

201


28/146

Congruências ITN(2001)

E daqui se deduz que, mais geralmente,

Corolário 2.1.2 Se ai ≡ bi (mod n) (1 ≤ i ≤ k), ent˜ ao1. k

i=1 ai ≡ k

i=1 bi (mod n)

2. k

i=1 ai ≡ k

i=1 bi (mod n)

3. Se f é um polin ́omio de coeficientes em Z (f ∈ Z[x]) e a ≡ b (mod n), ent˜ aof (a) ≡ f (b) (mod n)

Note-se que, n|

m se e apenas se m≡

0 (mod n).

Exemplo 2.1.1 Dados dı́gitos a0, · · · , a p ∈ {0, 1, · · · , 9}, sejaa p · · · a0 = a p10 p + · · · + a110 + a0;

então

a p · · · a0 ≡ p

i=0

ai (mod 3).

pois, por um lado 10 ≡ 1 (mod 3), por outro, se f (x) = a px p + · · · + a1x + a0 então

a p · · · a0 = f (10) ≡ f (1) = p

i=0

ai (mod 3).

Por outras palavras: um número inteiro representado na base 10 é diviśıvel por 3 se eapenas se a soma dos seus algarismos o for.

Por exemplo 3 |7523426, pois 7+5+2+3+4+2+6 = 29 ≡ 2+ 9 = 11 ≡ 2 (mod 3)e 2 ≡ 0 (mod 3).

Observando um pouco melhor7 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 6 = (7 + 5) + 2 + (4 + 2) + 6 ≡ 2 (mod 3)

Teorema 2.1.2 Qualquer n´ umero inteiro é congruente (mod n) com um e s´ o um dos elementos de {0, 1, · · · , n − 1}.

Dem. Dados n ∈ N & x ∈ Z, pelo teorema 1.2.1, existem q e r únicos tais quex = qn + r 0 ≤ r < n;

portanto x ≡ r (mod n) & 0 ≤ r ≤ n − 1. A unicidade resulta doteorema 2.1.1.

Um conjunto {r1, · · · , rn} diz-se um sistema completo de reśıduos módulo n,se para cada número inteiro x existe um e um só ri tal que x ≡ ri (mod n)

Exemplo 2.1.2 {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} e {−7, 8, −5, 10, −3, 19, 13} são sistemas com-pletos de reśıduos módulo 7.

202 VN


29/146

Int. à Teoria dos Números (2001) Congruências

Teorema 2.1.3 Todos os sistemas completos de reśıduos para um mesmo m´ odulo têm o mesmo n´ umero de elementos.

Dem.Consideremos um sistema completo de reśıduos, digamos R = {r1, r2, · · · , rk}, para

um módulo fixo n > 1; seja ainda R0 = {1, 2, · · · , n−1}. Como vimos acima, no teorema2.1.2, para cada j = 1, · · · , k, existe um e só um i( j) ∈ R0 tal que r j ≡ i( j) (mod n),portanto R0 tem pelo menos o mesmo número de elementos que R; por outro lado, Ré também um sistema completo de resı́duos e, por definição, para cada elemento de R0existe um e só um elemento de R com o qual aquele é congruente (mod n), donde R

tem pelo menos tantos elementos como R0. Em suma: R e R0 têm de facto o mesmonúmero n de elementos.

2.2 Inversão I

A congruência em x 2x ≡ 1 (mod 4) não tem solução, porque os múltiplos de 4 sãopares e 2x − 1 é sempre ı́mpar; mas 2x ≡ 1 (mod 5) tem solução 3.

Definição 2.2.1 Um inverso aritmético de a (mod n) é um n ́umero inteiro a∗ tal

que a∗a ≡ aa∗ ≡ 1 (mod n).

Teorema 2.2.1 O n´ umero a ∈ Z \ {0} tem inverso aritmético (mod n) se e apenas se mdc(a, n) = 1.

Dem. O teorema 1.2.4 diz, em particular, que mdc(a, n) = 1 se e apenas se existemx, y ∈ Z tais que ax + ny = 1. Por um lado esta última equação indica que ax ≡1 (mod n) e consequentemente x é um inverso aritmético de a (mod n), que existe semdc(a, n) = 1;por outro lado, de aa∗ ≡ 1 (mod n), deduz-se aa∗ = dn + 1, para algumd ∈ Z, pelo que aa∗ + (−d)n = 1 e a e n são primos entre si.

Veremos adiante que dois inversos aritméticos de um mesmo número para o mesmomódulo são congruentes entre si para esse módulo.

Teorema 2.2.2 Se mdc(a, n) = d & a = 0, ent˜ ao

ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y mod( nd

)

Dem. (⇐) Se x ≡ y mod( nd ), então, para certo q ∈ Z, x − y = q nd , pelo que ax − ay =q and = q

ad n, ou seja ax ≡ ay (mod n).

VN 203


30/146


(⇒) Se ax ≡ ay (mod n), então a(x − y) = qn para algum q ∈ Z; segue-se quead (x − y) = nd q ; ora ad e nd são primos entre si (teorema 1.2.4), pelo que ad | q , vindox − y = qa/d n, isto é x ≡ y (mod n).

Observando que, de acordo com o teorema 2.2.1, a∗ (mod n) existe se e apenas semdc(a, n) = 1, deduz-se que

Corolário 2.2.1 Se a tem inverso aritmético (mod n), ent˜ ao

ax ≡ ay (mod n) ⇔ x ≡ y (mod n).E ainda

Corolário 2.2.2 Se p é primo e a ≡ 0 (mod p), ent˜ ao a tem inverso (mod p).Dem. Note-se que a ≡ 0 (mod n) ⇒ mdc(a, p) = 1.

2.3 Congruências lineares

Uma congruência diz-se linear se for da forma

ax ≡ b (mod n) (2.1)Se a = 0, esta congruência tem solução x se e apenas se n | b e neste caso qualquer

x ∈ Z é solução. Assim consideraremos apenas congruênciasax ≡ b com a = 0. (2.2)

Teorema 2.3.1 Se a tem inverso a∗ (mod n), ent˜ ao

ax ≡ b (mod n) ⇔ x ≡ a∗b (mod n).Dem. Suponha-se que aa∗ ≡ 1 (mod n).

(⇒) Se ax ≡ b (mod n), então a∗ax ≡ a∗b (mod n). Ora a∗ax ≡ x (mod n),portanto x ≡ a∗b (mod n).

(⇐) Se x ≡ a∗b (mod n), analogamente se obtémax ≡ aa∗b ≡ b (mod n)

e dáı ax ≡ b (mod n).

Teorema 2.3.2 Suponha-se que a ≡ 0 (mod n). A congruência (2.1) tem soluç˜ ao se e apenas se mdc(a, n) | b. Se d = mdc(a, n) | b, e a∗d é um inverso de ad (mod n), ent˜ aoas seguintes condiç˜ oes s˜ ao equivalentes

204 VN


31/146


1. A congruência (2.1)

2. x ≡ a∗d

bd

(mod nd )

3. x = a∗d

bd

+ k

nd

0 ≤ k ≤ d − 1 (mod n)

Dem. Seja d = mdc(a, n).

I) Existência de solução

(⇒) Se ax ≡ b (mod n) então n | (ax − b). Como d | n & d | a, tem-se d | (ax − b)e d | a, portanto d | b (corolário 1.2.2).

(⇐) Existem x0, y0 tais que x0a + y0n = d. Por outro lado, por hipótese existe ktal que b = kd, assima(x0k) + n(y0k) = kd = b

isto é a(x0k) ≡ b (mod n). Faça-se x = x0k.II) Determinação da solução.

HIPÓTESE: a∗d

ad

≡ 1 (mod nd ) & d | b.Considere-se a seguinte sequência de congruências equivalentes, observando que 2 e

3 o são obviamente:

ax ≡ b (mod n)d

a

d

x

≡ d

b

d

(mod n)

a

dx ≡ b

d (mod

n

d) (teorema 2.2.2).

2.3.1 Inversão II

Dados a = 0 e n > 0 tais que mdc(a, n) = 1, vimos na demonstração do teorema 2.2.1que a∗ (mod n) é coordenada x da solução (x, y) da equação diofantina ax + ny = 1,pelo que, determinado um a∗, todos os outros são da forma a∗ + kn (k ∈ Z), ou seja

Teorema 2.3.3 Todos os inversos (mod n) de um mesmo n´ umero inteiro n˜ ao nulos˜ ao congruentes (mod n) entre si.

E ainda

Teorema 2.3.4 Se a = 0 & mdc(a, n) = 1 ent˜ ao a∗∗ ≡ a (mod n).

Dem. A equação aa∗ + ny = 1 diz-nos que a é inverso (mod n) de a∗, isto é, a é uma∗∗.

O teorema anterior diz-nos que todos os inversos (mod n) de a∗ são congruentes(mod n). Consequentemente a∗∗ ≡ a (mod n).

Uma outra forma de enunciar o teorema 2.2.1 é a seguinte:

VN 205


32/146


33/146


Dem. Seja P n definido como no exemplo 2.4.1.

1. P n é um sistema reduzido (mod n) porque

(a) Qualquer inteiro é congruente (mod n) com algum elemento de S n ={0, 1, · · · , n − 1}, em particular um inteiro primo com n, cujo congruenteem S n é primo com n (teorema 2.3.5), logo está em P n.

(b) Dois elementos distintos de P n não são congruentes entre si. Assim

I. cada x primo com n é congruente com um e um s´ o elemento de P n.

2. Dado um sistema reduzido de reśıduos (mod n), digamos P n, a proposição Iacima afirma a funç˜ ao que associa a cada resı́duo em P n o seu ´ unico congruente em P n é bijectiva .

2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson

Teorema 2.4.3 (de Euler) Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}

mdc(a, n) = 1

⇒ aφ(n)

≡1 (mod n).

O corolário seguinte é imediato:

Corolário 2.4.1 Para qualquer a ∈ Z \ {0} e qualquer n ∈ N \ {1}

mdc(a, n) = 1 ⇒ a∗ ≡ aφ(n)−1 (mod n).

Dem. (do teorema 2.4.3) Suponha-se a = 0 & mdc(a, n) = 1.I) Se 0 = r & mdc(r, n) = 1, então mdc(ar,n) = 1.

Dem. Seja d = mdc(ar,n) nas condições da hipótese. Se d > 1, então existe umnúmero primo p tal que p

| d. Segue-se que p

| ar & p

| n, logo p

| a & p

| n ou

p | r & p | n; no primeiro caso mdc(a, n) ≥ p > 1, no segundo mdc(r, n) ≥ p > 1, o quecontradiz as hipóteses.

II) Seja {r1, · · · , rφ(n)} um sistema reduzido de reśıduos (mod n), e defina-seP = {ar1, · · · , arφ(n)}.

Todos os elementos de P são primos com n, pelo que vimos em I. Por outro lado,como os ri nunca são congruentes entre si, o mesmo acontece com os ari (teorema2.2.2). Segue-se que

cada ari é congruente com um e s´ o um dos r j, digamos r j ≡ arσ( j), em que σ é uma permutaç˜ ao de {1, · · · , φ(n)}.

VN 207


34/146


III) Tem-se entãoφ(n)i=1

(arσ(i)) ≡φ(n)i=1

ri (mod n)

ou seja

aφ(n)φ(n)i=1

rσ(i) ≡φ(n)i=1

ri (mod n)

ou

aφ(n)φ(n)

i=1

ri ≡

φ(n)

i=1

ri (mod n)

Pelo teorema 2.2.2, já que mdc(φ(n)

i=1 ri, n) = 1, conclui-se aφ(n) ≡ 1 (mod n).

Teorema 2.4.4 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p é primo e p |a, ent˜ aoa p−1 ≡ 1 (mod p).

Dem. Basta observar que φ( p) = p − 1.

Teorema 2.4.5 (de Wilson) Se p é primo, ent˜ ao ( p − 1)! ≡ −1 (mod p)Dem. Se p = 2, tem-se ( p − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2). Se p = 3, tem-se ( p − 1)! =2 ≡ −1 (mod 3). Suponha-se que p > 3. Sabemos que P p = {1, 2, · · · , p − 1} é umsistema reduzido de reśıduos (mod p). Observando que qualquer número e o seu inverso(mod n) são primos com n e finalmente considerando o teorema 2.3.4:

Cada r ∈ P p tem um inverso (mod p) r∗ p ∈ P p e (r∗ p)∗ p = r. Por outro lado, ser = r∗ p, tem-se r2 = rr∗ p ≡ 1 (mod p) e p | (r2 − 1) = (r + 1)(r − 1); logo p | (r + 1) ou p | (r − 1), isto é, r ≡ −1 (mod p) ou r ≡ 1 (mod p) ou ainda r ≡ p − 1 (mod p) our ≡ 1 (mod p).

Concluimos quer = r∗ p

⇔ (r = 1 ou r = p

−1) (1

≤r

≤ p

−1);

donde os pares {r, r∗} são conjuntos não singulares e definem uma partição de {2, · · · , p−2}, tendo-se

p−2i=2

i =

p−32

i=1

rir∗i ≡ 1 (mod p)

Segue-se que

( p − 1)! = 1 · p−2i=2

i · ( p − 1) ≡ p − 1 (mod p)

isto é ( p − 1)! ≡ −1 (mod p).

208 VN


35/146


O lema seguinte é extremamente simples, mas tem uma consequência não trivial.

Lema 2.4.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar e (−1) p−12 ≡ 1 (mod p), ent˜ ao p ≡1 (mod 4).

Dem. Suponha-se então que p é um número primo ı́mpar e que (−1) p−12 ≡ 1 (mod p);queremos mostrar que p−12 é par. Se

p−12 fosse ı́mpar, viria −1 ≡ 1 (mod p), pelo que

p dividiria 2, o que não é o caso; portanto p−12 é par.

A consequência:

Teorema 2.4.6 Seja p um primo ı́mpar. A congruência x2 ≡ −1 (mod p) tem soluç˜ aose e apenas se p ≡ 1 (mod 4); neste caso

p−12

! é uma soluç˜ ao.

Dem. (apenas se) De x2 ≡ −1 (mod p) deduz-se

x p−1 = (x2)p−12 ≡ (−1) p−12 (mod p)

e conclui-se 1 ≡ (−1) p−12 (mod p); pelo lema 2.4.1, p ≡ 1 (mod 4).(se) Se p ≡ 1 (mod 4), então p−12 é par. Por outro lado

( p − 1)! =

p − 12

!

p − p − 12

· · · ( p − 2)( p − 1).

Pelo Teorema de Wilson,

−1 ≡ (−1) p−12

p − 12

!

2(mod p)

Como p−12 é par,

−1 ≡

p − 12

!

2(mod p)

como pretendı́amos verificar.

E consequentemente

Corolário 2.4.2 Se p é primo ı́mpar e para algum n ́umero inteiro x p | (x2 + 1), ent˜ ao p ≡ 1 (mod 4).

E mais um corolário (compare-se com o teorema 1.2.9).

Corolário 2.4.3 H´ a uma infinidade de n´ umeros primos da forma 4k + 1(k ∈ Z), i.e., congruentes com 1 para o m´ odulo 4.

VN 209


36/146


Dem. Vamos mostrar que seja qual for o número natural n, existe um número primomaior que n da forma pretendida. Seja então n um número natural – maior ou igual a4 para evitar trivialidades – e defina-se

N = (n!)2 + 1.

Seja p o menor divisor primo de N . Se N é primo, N = p, é já da forma pretendidae maior que n. Se N não é primo, p > n pois N não é divisı́vel por qualquer númeromenor que n; p > 2 – porque N é ı́mpar – e p | (n!)2 + 1; pelo corolário anterior (2.4.2) p ≡ 1 (mod 4).

2.5 Congruências polinomiais

2.5.1 Introdução

Nesta secção estudamos a resolução de congruências da forma

f (x) ≡ 0 (mod n) (2.3)em que f é um polinómio de coeficientes inteiros e grau m maior que 1 (mod n):

f (x) = a0 + a1x1 +

· · · + amx

m & m > 1 & am ≡

0 (mod n). (2.4)

O grau de um polinómio f (mod n) designa-se por degn(f ). Se f (x) = α ∈ Z, o graude f (mod n) é zero.

O Teorema 2.4.6 é obviamente um caso particular deste estudo.Comecemos por observar que, para qualquer n > 1 existem congruências (2.3) &

(2.4) sem soluç˜ ao; mais precisamente:

Exemplo 2.5.1 Se p é primo e p|n, ent˜ ao a congruência x p−x+1 ≡ 0 (mod n) n˜ ao tem soluç˜ oes. Tal pode verificar-se do seguinte modo: quando p|n,se x p−x+1 ≡ 0 (mod n) também x p−x+1 ≡ 0 (mod p); mas x p−x+1 ≡ 1 ≡ 0 (mod p),quando p é primo, em virtude do Pequeno Teorema de Fermat; portanto a congruência

inicial não tem de facto solução.

Exemplo 2.5.2 Dois polin´ omios f (x) e g(x) congruentes (mod n) para todo o x ∈ Zn˜ ao têm necessariamente o mesmo grau (mod n): se p é primo, x p

2 −x e x p − xsão ambos identicamente nulos (mod p).

A situação é assim algo complicada mas, tal como a propósito do problema daresolubilidade algébrica, há resultados parciais importantes e relativamente simples1.

Repare-se que1De facto, nem mesmo no caso em que n é primo, se conhecem fórmulas resolventes gerais para a

congruência (2.3) & (2.4)

210 VN


37/146


Teorema 2.5.1 Se dois polin´ omios f e g têm coeficientes do mesmo grau congruentes (mod n), as congruências f (x) ≡ 0 (mod n) e g(x) ≡ 0 (mod n) s˜ ao equivalentes.Assim basta considerar polin´ omios cujos coeficientes estejam entre 0 e n − 1.

Dem. Suponha-se que f (x) = m

i=0 aixi e g(x) =

mi=0 bix

i, sendo ai ≡ bi (mod n)para 0 ≤ i ≤ n. Tomando ci = ai−bin vem

f (x) − g(x) = nmi=0 cixiou seja, f (x) ≡ g(x) (mod n) para qualquer x ∈ Z, em particular f (x) ≡ 0 (mod n) sse g(x) ≡0 (mod n).

De facto, uma aplicação da regra de Ruffini mostra que

Teorema 2.5.2 Para qualquer polin´ omio f (x) como em (2.3) e (2.4) e qualquer a ∈ Z,existe um polin´ omio q (x), de coeficientes inteiros e grau m − 1, tal que

f (x) = (x − a)q (x) + f (a) (x ∈ Z).

Daqui decorre

Corolário 2.5.1 Se f (x) é um polin ́omio como em (2.3) & (2.4) e a ∈ Z, ent˜ ao f (a) ≡0 (mod n) sse existe um polin´ omio q (x) de coeficientes inteiros, grau m − 1 (mod n) e coeficiente de maior ordem igual ao de f (x) tal que

f (x) ≡ (x − a)q (x) (mod n) (x ∈ Z). (2.5)Dem. Se f (a) ≡ 0 (mod n), então n|f (a) e (2.5) resulta imediatamente do teoremaanterior, por definição de congruência. Reciprocamente, se vale (2.5),então como a éconcerteza solução de (x − a)q (x) ≡ 0 (mod n) para qualquer x ∈ Z, necessariamentef (a) ≡ 0 (mod n).

2.5.2 Módulo primo

Convencionemos que p designa um número primo. O primeiro facto a registar é que

basta considerar polinómios de grau menor ou igual a p (mod p) :

Teorema 2.5.3 Qualquer congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) é equivalente a outra g(x) ≡ 0 (mod p) em que g(x) é um polin ́omio nulo ou de grau menor ou igual a p − 1 (mod p).

Dem. A ideia é baixar tanto quanto posśıvel o grau dos monómios envolvidos, uti-lizando o Pequeno Teorema de Fermat:

Repare-se que, se n = pq + r com 0 ≤ r < p, entãoxn = (x p)qxr ≡ xqxr = xq+r (mod p)

VN 211


38/146


Aplicando sucessivamente esta sequência de congruências a cada monómio de f , reduz-se o expoente de cada um deles a um número inferior a p.

Tal como para equações, o teorema 2.5.2 tem a seguinte consequência.

Teorema 2.5.4 Se b1, b2,...,bk s˜ ao soluç˜ oes da congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) n˜ ao congruentes duas a duas, existe um polin´ omio q (x), cujo coefi-ciente de maior ordem é o mesmo que o de f e tal que

deg p(q ) ≤ deg p(f ) − k & f (x) ≡ (x − b1)(x − b2) · · · (x − bk)q (x) (mod p)Dem. A demonstração é muito semelhante à correspondente para equações, por uti-lização recursiva da regra de Ruffini:

Primeiro obtem-sef (x) ≡ (x − b1)q 1(x) (mod p)

pelo corolário 2.5.1. Em seguida há que verificar se

q 1(b2) ≡ 0 (mod p) (2.6)e reaplicar o mesmo corolário, tantas vezes quanto necessário. Repare-se então que,por hipótese

0≡

f (b2

)≡

(b2 −

b1

)q 1

(b2

) (mod p),

isto é, p|(b2 − b1)q 1(b2)

e como, também por hipótese, p é primo e p |(b1 − b2), necessariamente p|q 1(b2), ouseja vale a equação (2.6).

Uma conclusão a retirar é

Corolário 2.5.2 Quando p é primo e f (x) é um polin ́omio cujos coeficientes n˜ ao s˜ aotodos nulos (mod p), o n´ umero de soluç˜ oes distintas (mod p) de uma congruência polinomial f (x) ≡ 0 (mod p) é quando muito deg p(f ).

Antes de apresentarmos uma demonstração atentemos no seguinte exemplo.

Exemplo 2.5.3 Se n não é primo, o número de soluções não mutuamente congruentes(mod n) de uma equação como em (2.3) e (2.4) pode ser superior ao grau de f (mod n):x2 − 1 ≡ 0 (mod 8) tem soluções 1, 3, 5, 7.Dem. (Do corolário 2.5.2) Tomem-se f, q e os bi, com 1 ≤ i ≤ k, como no teorema.Como q (x) tem o mesmo coeficiente de maior ordem que f (x), necessariamente o seugrau é maior ou igual a zero, portanto

0 ≤ deg p(q ) ≤ deg pf (x) − k i.e. k ≤ deg p(f ).

212 VN


39/146


2.5.3 Módulo potência de base prima

Veremos como se podem obter as soluções de uma congruência

f (x) ≡ 0 (mod pα+1) (2.7)a partir das da congruência f (x) ≡ 0 (mod pα). De facto vamos provar o seguinte:

Teorema 2.5.5 As soluç˜ oes da congruência

f (x) ≡ 0 (mod pα+1)s˜ ao da forma

x = b + kpα com k ∈ Z, (2.8)sendo

f (b) ≡ 0 (mod pα) & f (b)k ≡ −f (b) pα

(mod p) (2.9)

Comecemos com uma Fórmula de Taylor. Designando por f a derivada dopolinómio f, definimos também

f (0) = f

f (i+1) =

f (i)

i ∈ Z+0Nestes termos tem-se

Lema 2.5.1 Seja f (x) um polin´ omio de grau m (mod n) de coeficientes inteiros comoem (2.3) & (2.4). Ent˜ ao

f (x + y) = f (x) +m

k=1

f (k)(x)

k! yk (x, y ∈ Z) (2.10)

e os coeficientes f (k)(x)k! (1 ≤ k ≤ m) s˜ ao n´ umeros inteiros.

Dem. Como, para quaisquer polinómios f e g e qualquer α ∈ Z se tem(f + g) = f + g & (αf ) = αf,

basta demonstrar o teorema quando f (x) = xm e neste caso (2.10) é nada mais nadamenos que uma outra forma de apresentar o desenvolvimento de Newton para (x+y)m,pois

f (k)(x) = m(m − 1) · · · (m − k + 1)xm−k = m!(m − k)! x

m−k.

VN 213


40/146


Dem. (Do teorema 2.5.5)Observe-se que, quando f (x) ≡ 0 (mod pα+1) também f (x) ≡ 0 (mod pα), pelo que

as soluções da primeira congruência se encontram entre as da segunda; resumindo

f (x) ≡ 0 (mod pα+1) ⇒ f (x) ≡ 0 (mod pα) ⇒ x = b + kpα

para algum k ∈ Z e algum b ∈ Z tal que f (b) ≡ 0 (mod pα).Ora, pelo lema 2.5.1, vem

f (b + kpα) = f (x) +

m

i=1f (i)(b)

i! (kpα)i;

como α ≥ 1, os termos do segundo membro em que i > 1 são divisı́veis por pα+1, poisαi > 2α = α + α ≥ α + 1. Assim

f (b + kpα) ≡ f (b) + f (b)1

kpα (mod pα+1);

mas f (b) ≡ 0 (mod pα), pelo que f (b) = tpα, para algum t ∈ Z. A situação a analisaré então a seguinte

pα

t + f (b)k ≡ 0 (mod pα+1)

ou sejaf (b)

pα

+ f (b)k≡

0 (mod p)

como se pretendia verificar.

Segue-se uma verificação mais detalhada da validade da fórmula (2.9).

Caso f (b) ≡ 0 (mod p). Neste caso a congruência (2.9) é equivalente af (b)

pα ≡ 0 (mod p)

por sua vez equivalente af (b) ≡ 0 (mod pα+1); (2.11)

se esta se não verifica, pura e simplesmente não há soluções; se (2.11) se dá, então,pelo lema 2.5.1, a equação (2.8) dá-nos soluções para a congruência (2.7) seja qual fork ∈ Z.Caso f (b) ≡ 0 (mod p). Neste caso a solução em k de (2.9) é dada por

k ≡ −f (b)∗f (b) pα

(mod p)

A solução da congruência (2.7) é mesmo única e dada por

x ≡ b − f (b)∗f (b) pα

pα (mod pα+1) com f (b)∗f (b) ≡ 1 (mod p)

214 VN


41/146


ou ainda

x ≡ b − f (b)∗f (b) (mod pα+1) & f (b)∗f (b) ≡ 1 (mod p) (2.12)

2.5.4 Teorema Chinês do Resto

A resolução de congruências polinomiais (2.3) & (2.4) pode reduzir-se aos casos quetemos vindo a estudar, como vamos ver. Note-se que para a discussão que segue não

importa se f (x) é ou não um polinómio.Suponhamos então que n é um número natural composto, digamos

n = pα11 pα22 · · · pαkk

para certos números primos pi.Generalizando o argumento apresentado no exemplo 2.5.1, observe-se que

f (x) ≡ 0 (mod n) ⇒ f (x) ≡ 0 (mod pαii ) (1 ≤ i ≤ k),

pelo que as soluções da congruência

f (x) ≡ 0 (mod n) (2.13)se encontram entre as do sistema de congruências

f (x) ≡ 0 (mod pαii )1 ≤ i ≤ k

Acontece que este sistema é mesmo equivalente à congruência (2.13), pois potências deprimos distintos são primas entre si e o seu produto divide qualquer número divididosimultaneamente por todas elas (se a|c, b|c e a e b são primos entre si, então ab|c.)Provámos então o seguinte

Teorema 2.5.6 Se n é um n ́umero composto de factores de base prima pαii

n = pα11 · · · pαkk ,

a congruência

f (x) ≡ 0 (mod n)é equivalente ao sistema de congruências

f (x) ≡ 0 (mod pαii )1 ≤ i ≤ k (2.14)

VN 215


42/146


Vimos já que algumas congruências polinomiais f (x) ≡ 0 (mod n) não têm solução,mas se todas as do sistema (2.14) tiverem, então há de facto solução e deverá ser posśıveldeterminá-la. Utilizaremos o seguinte lema

Lema 2.5.2 (Teorema Chinês do Resto) Se m1,...,mk s˜ ao n´ umeros naturais pri-mos entre si dois a dois e b1,...,bk s˜ ao n´ umeros inteiros quaisquer, o sistema de con-gruências

x ≡ bi (mod mi)1 ≤ i ≤ k (2.15)

tem soluç˜ ao e quaisquer duas soluç˜ oes s˜ ao congruentes (mod m1 · · · mk).Dem. Comecemos pela afirmação final.

Se x e y são soluções do sistema (2.15), então x − y ≡ 0 (mod mi) para qualquerdos mi, ou seja, x − y é diviśıvel por qualquer dos mi. Como os mi são primos entre si,o seu produto divide x − y, como se pretendia concluir.

Quanto à existência de solução para o sistema: vamos procurá-la na forma

x = x1b1 + · · · + xkbk (2.16)

de modo que, para cada i,

1. todas as parcelas com posśıvel excepção da i-ésima sejam diviśıveis por mi,

2. a i-ésima parcela seja congruente com bi (mod mi).

Para verificar a primeira condição basta que

mi =k

j=1 j=i

m j |xi;

para verificar a segunda basta que

xi ≡ 1 (mod mi)

As duas condições são verificadas simultâneamente se

(mi)∗mi ≡ 1 (mod mi) & xi = (mi)∗mi (2.17)

Ora cada mi é primo com mi, portanto os inversos aritméticos (mi)∗ existem e as

condições (2.16) e (2.17) definem uma solução para o sistema (2.15).

216 VN


43/146


Exemplo 2.5.4 Considere-se a congruência

x2 − 1 ≡ 0 (mod 108). (2.18)

Como 108 = 22 · 33, pelo teorema 2.5.6, (2.18) é equivalente ao sistema x2 − 1 ≡ 0 (mod 22) (i)x2 − 1 ≡ 0 (mod 33) (ii) (2.19)

Por simples inspecção conclui-se que as soluções da congruência (i) são dadas por

x ≡ 1, −1 (mod 22).Quanto a (ii), vamos utilizar o teorema 2.5.5. O módulo 32 é ainda razoavelmentebaixo e, também por inspecção, se podem obter as soluções

x ≡ 1, −1 (mod 32).

Ora f (x) = 2x donde

f (1) = 2 ≡ −1 ≡ 0 (mod 3) & f (−1) = −2 ≡ 1 ≡ 0 (mod 3).

Ambas as derivadas são invert́ıveis (mod 3) e nas congrûencias em (2.9)

k ≡ 0(mod 3), portantox2 − 1 ≡ 0 (mod 33) se e só se x ≡ ±1 (mod 33).

O sistema (2.19) dá então lugar aos sistemas seguintes, que podem ser resolvidos uti-lizando, por exemplo, o Teorema Chinês do Resto 2.5.2, como vimos atrás.

(S 1)

x ≡ 1 (mod 22)x ≡ 1 (mod 33) (S 2)

x ≡ 1 (mod 22)x ≡ −1 (mod 33)

(S 3)

x ≡ −1 (mod 22)x

≡1 (mod 33)

(S 4)

x ≡ −1 (mod 22)x

≡ −1 (mod 33)

De um modo geral, as soluções da congruência (2.18) são dadas pela fórmula

x ≡ 3 · 33 · (±1) + 7 · 22 · (±1) ≡ ±81 ± 28 (mod 108)

onde as combinações de sinal são todas as possı́veis.Resolvendo detalhadamente (S 1): de acordo com a demonstração de 2.5.2, com

(2.16) e (2.17) tem-se m1 = 22, m1 = 3

3 e (m1)∗ ≡ −1 (mod 22) e também m2 =

33, m2 = 22 e (m2)

∗ ≡ 7 (mod 33). Segue-se que as soluções de (S 1) são dadas por

x ≡ 3 · 33 · 1 + 7 · 22 · 1 ≡ 109 ≡ 1 (mod 22 · 33).

VN 217


44/146


2.6 Exerćıcios

1. Mostre que a congruência y2 − x2 − 2 ≡ 0 (mod 4) não tem soluções e concluaque a equação Diofantina y2 − x2 − 2 = 0 também as não tem.

2. Utilize congruências módulo 4 para mostrar que se y2 = x3 + 2, então x e y sãoambos ı́mpares.

3. Seja f (x) = 11x3 + 15x2 + 9x − 2. Determine o resto da divisão de f (a) por bpara os pares (a, b) seguintes: (2,7), (6,7), (97,11).

4. Mostre que se p é primo, qualquer sequência de p−1 números inteiros consecutivosque não inclui múltiplos de p é um sistema reduzido de resı́duos (mod p).5. Calcule φ(n) para n ≤ 28.6. Mostre que se p é primo e n ∈ N, então φ( pn) = pn − pn−1.7. Resolva as congruências:

(a) 3x ≡ 1 (mod 5);(b) 3x ≡ 9 (mod 5);(c) 3x ≡ 9 (mod 24);(d) 5x ≡ 15 (mod 12);(e) x2 + 1 ≡ 0 (mod 4);(f) x3 + 2x + 1 ≡ 0 (mod 7);(g) x5 + x4 + x3 + x2 + x ≡ −1 (mod 5).

8. Determine os inversos (mod 18) de todos os inteiros que os têm.

9. Qual o inverso de 1975 (mod 2001)?

10. Mostre que uma quarta potência é congruente com 0 ou 1 (mod 5).

11. Resolva as congruências

(a) 2x + 3y ≡ 5 (mod 7);(b) x2 + y2 − 5y ≡ 2 (mod 9).

12. Seja ak10k + ak−110k−1 + · · · + a110 + a0 a expressão decimal do número natural

n = akak−1 · · · a1a0 (0 ≤ ai ≤ 9, 0 ≤ i ≤ k, a0 = 0).

(a) Mostre que 11 | n se e só se 11 | ki=0(−1)iai;(b) Verifique se 1234567890987654321 é diviśıvel por 11.

218 VN


45/146


13. Mostre que se k for ı́mpar, 112k + 192k é diviśıvel por 241.

14. Resolva os sistemas de congruências

(a)

2x + 7y ≡ 2 (mod 5)3x + 6y ≡ 2 (mod 7) ;

(b)

9x + 3y ≡ 3 (mod 10)15x + 2y ≡ 4 (mod 15) ;

(c)

2x + 7y ≡ 2 (mod 5)

3x − y ≡ 11 (mod 5) .

15. Verifique se as seguintes congruências têm ou não solução e, no caso afirmativo,resolva-as.

(a) x2 ≡ −1 (mod 17);(b) x2 ≡ −1 (mod 43);(c) x2 ≡ −1 (mod 65).

16. Mostre o recı́proco do Teorema de Wilson:

Se m ∈ N \ {1} e (m − 1)! ≡ −1 (mod m), então m é primo.

(Sugestão: Observe que se m > 4 e m não é primo então (m−1)! ≡ 0 (mod m).)17. Mostre que a equação Diofantina x2 + 1 = 23y não tem soluções inteiras.

18. Seja p um número primo. Mostre que (a + b) p ≡ a p + b p (mod p).19. Suponha que p é um primo ı́mpar. Mostre que

(a)

( p−1)/2i=1

(2i)2 ≡ (−1)( p+1)/2 (mod p),

(b)

( p−1)/2

i=1

(2i

−1)2

≡

( p−1)/2

i=1

(2i)2 (mod p).

20. Reduza o mais possı́vel o grau dos polinómios nas seguintes congruências e resolva-as.

(a) 2x17 + 3x2 + 1 ≡ 0 (mod 5);(b) x10 + 2x5 + 1 ≡ 0 (mod 5);(c) 3x23 + 2x20 + 4x17 − x6 + x5 − 3x3 + 2x + 1 ≡ 0 (mod 5).

21. Factorize (mod 11) de duas maneiras distintas os polinómios f (x) seguintes, ob-servando que em cada caso f (a) ≡ 0 (mod 11).

VN 219


46/146


(a) f (x) = x2 + 10x + 3, a = 6;

(b) f (x) = x3 − x2 + x + 10, a = 1;(c) f (x) = x3 − 6x2 − 2x + 20, a = −3.

22. Factorize (mod 13) o polinómio f (x) = x4 − 6x3 − 3x2 − 7x + 2 com pelo menosdois factores de primeiro grau.

23. Mostre que o polinómio x3 + 3x2 + 2x + 2 não pode ser factorizado (mod 5).

24. Resolva a congruência x pα ≡ b (mod p) sabendo que p é primo e α ≥ 1.

25. Resolva os seguintes sistemas de congruências

(a)

x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 1 (mod 5)

(b)

x ≡ 5 (mod 2)x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)

(c)

3x ≡ 1 (mod 10)4x ≡ 2 (mod 7)

(d)

3x ≡ 2 (mod 4)2x ≡ 7 (mod 15)

4x ≡ −1 (mod 7)26. (a) Suponha que m, n ∈ N e que d = mdc(m, n). Mostre que o sistema de

congruências x ≡ a (mod m)x ≡ b (mod n)

tem solução se e só se a ≡ b (mod d) e que, nesse caso, a solução é única(mod mmc(m, n)).

(b) Determine se cada um dos seguintes sistemas de congruências tem solução

e, em caso afirmativo, resolva-o.

i.

x ≡ 5 (mod 6)x ≡ 7 (mod 10)

ii.

x ≡ 1 (mod 6)x ≡ 8 (mod 15)

27. Resolva as congruências:

(a) x13 ≡ x (mod 1365);(b) x17 ≡ x (mod 4080).

220 VN


47/146


28. Resolva as seguintes congruências

(a) x2 + x + 1 ≡ 0 (mod 8);(b) x3 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 24);(c) x4 + x2 + 1 ≡ 0 (mod 250).

29. Resolva a congruência

4x4 + 9x3 − 5x2 − 21x + 61 ≡ 0 (mod 1125).

Nota: Pretende-se que este seja um exercı́cio de revisão dos vários temas tratadossobre congruências polinomiais.

30. Resolva a congruência x50 + x12 ≡ 2 (mod 75).31. Mostre que 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12), para qualquer inteiro n.32. Determine todos os números inteiros cuja divisão inteira por 8 e por 7 dá respec-

tiva e simultâneamente resto 6 e resto 5.

33. Um Coronel após ter sido destacado para comandar um regimento do Exércitoquis saber por quantos efectivos esse regimento era formado, com esse objectivomandou-os dispor sucessivamente em colunas de:

37 indivı́duos, tendo sobrado um indivı́duo;

32 indivı́duos, tendo sobrado 4 indivı́duos;

27 indivı́duos, tendo sobrado um indivı́duo.

Sabendo que um regimento tem menos de 10 000 efectivos, determine quantaspessoas constitúıam esse regimento.

34. Um casal resolveu ir fazer uma viagem à volta do mundo. Sabendo que partiramno dia 1 de Março de um ano bissexto num domingo, que chegaram no dia 6 deMarço, segunda-feira e que demoraram menos de 4 anos, determine quantos diasdemorou a viagem usando o teorema chinês do resto.

VN 221


48/146


222 VN


49/146

Caṕıtulo 3

Reśıduos quadráticos

3.1 Introdução

Neste caṕıtulo, vamos estudar a resolubilidade de congruências polinomiais de segundograu

uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) (2 < m |u)Repare-se que a condição 2 < m |u evita que o grau do polinómio no primeiro membrodesça. Vamos ver como se pode reduzir este estudo a congruências da forma

x2 ≡ a (mod p) ( p primo maior que 2 & p |a) (3.1)Comecemos por observar que, fazendo a = v2 − 4uw, x = 2uy + v, as soluções da

congruência inicial se encontram entre as da congruência

x2 ≡ a (mod 4um), (3.2)as quais são soluções do sistema

x2 ≡ a (mod pαii )1 ≤ i ≤ k

se 4um = pα11

· · · pαkk em representação canónica, resolvendo-se cada uma das con-

gruências a partir da inicial x2 ≡ a (mod p). Na verdade, se m |4u2, as soluçõespretendidas podem encontrar-se entre as da congruência

x2 ≡ a (mod m), (3.3)potencialmente com menos soluções.

Uma outra forma de considerar o problema consiste em observar que, se m é primo,o inverso (2u)∗ existe (mod m), ∆ := u2 − vw e z2 ≡ ∆ (mod m), então

uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) ⇔ u ≡ (−v ± z)(2u)∗ (mod m).Organizemos o estudo.

301


50/146

Reśıduos quadráticos ITN(2001)

3.2 Preliminares

O número inteiro a diz-se resı́duo quadrático (mod n) se mdc(a, n) = 1 e a con-gruência x2 ≡ a (mod n) tem solução; caso contrário diz-se resı́duo não quadrático.

Em primeiro lugar: se a ∈ Z é reśıduo quadrático (mod m), então é reśıduoquadrático (mod p), para qualquer número primo que divida m. Pelo que as soluçõesde x2 ≡ a (mod m) se encontram entre as do sistema

x2 ≡ a (mod p) p|m p primo

Aĺem disso qualquer n´ umero inteiro ı́mpar é resı́duo quadr ́atico (mod 2); assim bastaconsiderar primos ı́mpares. Mas podemos ser mais precisos.

Lema 3.2.1 Se p é n ́umero primo ı́mpar e p |a, a congruência

x2 ≡ a (mod pα) (3.4)

tem soluç˜ ao sse o mesmo acontece com

x2 ≡ a (mod pα+1). (3.5)

De facto, ambas as congruências têm o mesmo n´ umero de soluç˜ oes.

Dem. (se) Qualquer solução da congruência (3.5)é solução de (3.4).(só se) Se x2 ≡ a (mod pα) e (2x)∗ designa um inverso de 2x (mod p), então

(x + kpα)2 ≡ a (mod pα+1) se k ≡ k(x) = −(2x)∗x2 − a pα

(mod p), (3.6)

pois a última expressão implica

2xkpα ≡ x2 − a (mod pα+1).

Finalmente observe-se que duas soluções da forma (3.6) da congruência (3.5) que

sejam congruentes (mod pα+1) provêm de soluções congruentes (mod pα) da primeira.Resumindo: há uma injecção do conjunto das soluções de (3.4) no das soluções de (3.5)que, por sua vez está contido naquele, i.e., são equipotentes.

Segue-se

Corolário 3.2.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar e p |a, o n´ umero de soluç˜ oes das congruências x2 ≡ a (mod p) & x2 ≡ a (mod pα+1) é o mesmo.

E podemos concluir

302 VN


51/146

Int. à Teoria dos Números (2001) Reśıduos quadráticos

Teorema 3.2.1 Se m é ı́mpar e maior que 2, a é reśıduo quadr ́atico (mod m) sse é resı́duo quadr ́atico (mod p), para todos os n´ umeros primos p que dividem m.

Um outro resultado que interessa ter em conta é:

Teorema 3.2.2 Se p é n ́umero primo ı́mpar, h´ a p−12 resı́duos quadr ́aticos (mod p)que s˜ ao os elementos de {i2| 1 ≤ i ≤ p−12 }.

Dem. verifiquemos que os reśıduos descritos não são congruentes (mod p). Orai2 ≡ j 2 (mod p) sse p|i − j ou p|i + j, isto é, sse i ≡ j ou i ≡ − j (mod p); mas, paravalores de i e j entre 1 e

p−1

2 , estas condições são equivalentes a i = j . Como os resı́duosentre p+12 e p são simétricos (mod p) dos já considerados, têm os mesmos quadrados(mod p) e descrevemos de facto todos os reśıduos quadráticos (mod p).

É claro que 1 é sempre reśıduo quadrático. Mais precisamente

Lema 3.2.2 Se p é n ́umero primo,

x2 ≡ 1 (mod p) ⇔ [x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p)]

3.3 Lei de Reciprocidade QuadráticaO śımbolo de Legendre

a p

é um instrumento de determinação do carácter quadrático

do número inteiro ou reśıduo a (mod p) e define-se do seguinte modo

a

p

=

0 p | a1 a é quadrático (mod p)

−1 caso contrário( p é primo) (3.7)

É bastante simples verificar que

Teorema 3.3.1 Se p |a & p |b & a ≡ b (mod p), ent˜ ao a p = b pDesenvolvamos algumas técnicas de cálculo

Teorema 3.3.2 (Critério de Euler) Se p é primo ı́mpar e p |a, ent˜ aoa

p

≡ ap−12 (mod p) (3.8)

Dem.I) a é reśıduo quadrático.

VN 303


52/146

Reśıduos quadráticos ITN(2001)

Neste caso temos, por um lado x2 ≡ a (mod p), para algum x, pelo que p |x, e dáıa

p

= 1 ≡ x p−1 ≡ (x2) p−12 ≡ a p−12 (mod p).

II) a não é reśıduo quadráticoRepare-se que, pelo Pequeno Teorema de Fermat,

(ap−12 )2 ≡ 1 (mod p);

pelo que (lema 3.2.2)

ap−

12 ≡ ±1 (mod p).Defina-se

Q p := {i2| 1 ≤ i ≤ p − 12

};

Como xp−12 ≡ 1 (mod p) para qualquer x ∈ Q p e Q p tem precisamente p−12 elementos,

pelo Teorema de Lagrange (2.5.2), a ∈ Q p; consequentementea

p

= −1 ≡ ap−12 (mod p).

Obtém-se então

Corolário 3.3.1 Se p é um n ́umero primo ı́mpar , ent˜ ao

1.

ab p

=

a

p

b

p

( p |a & p |b)

2.−1 p

= (−1) p−12

3. −1 é reśıduo quadr ́atico (mod p), sse p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4)A terceira asserção é já conhecida (teorema 2.4.6); a segunda e a primeira resultam

de o sı́mbolo de Legendre só tomar os valores 0, 1 ou −1 e por aplicação do critério deEuler.

Dado n ∈ N\{1, 2}, seja

Ln =

{i ∈ Z| |i| ≤ n2} se n é ímpar

{i ∈ Z| |i| < n2} ∪ {n2} se n é par.

Ln é o sistema completo de reśıduos (mod n), de menor valor absoluto. Para cadax ∈ Z e cada n ∈ N, designe-se por x̂ o resı́duo em Ln congruente com x (mod n).

304 VN

8/20/2019 Universidade de Aveiro

Documents

Universidade de Aveiro Introducao a Teoria Dos Numeros